Penerapan Integral

APLIKASI INTEGRAL PADA BIDANG LAIN

BAB I

PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Masalah Kalkulus adalah cabang ilmu matematika yang mencakup limit, turunan, integral, dan deret takterhingga. Kalkulus adalah ilmu mengenai perubahan, sebagaimana geometri adalah ilmu mengenai bentuk dan aljabar adalah ilmu mengenai pengerjaan untuk memecahkan persamaan serta aplikasinya. Kalkulus memiliki aplikasi yang luas dalam bidang-bidang sains, ekonomi, dan teknik; serta dapat memecahkan berbagai masalah yang tidak dapat dipecahkan dengan aljabar elementer. Kalkulus memiliki dua cabang utama, kalkulus diferensial dan kalkulus integral yang saling berhubungan melalui teorema dasar kalkulus. Pelajaran kalkulus adalah pintu gerbang menuju pelajaran matematika lainnya yang lebih tinggi, yang khusus mempelajari fungsi dan limit, yang secara umum dinamakan analisis matematika. Aplikasi kalkulus diferensial meliputi perhitungan kecepatan dan percepatan, kemiringan suatu kurva, dan optimalisasi. Aplikasi dari kalkulus integral meliputi perhitungan luas, volume, panjang busur, pusat massa, kerja, dan tekanan. Aplikasi lebih jauh meliputi deret pangkat dan deret Fourier. Kalkulus juga digunakan untuk mendapatkan pemahaman yang lebih rinci mengenai ruang, waktu, dan gerak. Selama berabad-abad, para matematikawan dan filsuf berusaha memecahkan paradoks yang meliputi pembagian bilangan dengan nol ataupun jumlah dari deret takterhingga. Seorang filsuf Yunani kuno memberikan beberapa contoh terkenal seperti paradoks Zeno. Kalkulus memberikan solusi, terutama di bidang limit dan deret takterhingga, yang kemudian berhasil memecahkan paradoks tersebut.

1


2. Rumusan masalah Adapun yang menjadi rumusan masalah dalam penulisan makalah tugas akhir ini yaitu persoalan-persoalan yang berkaitan dengan ilmu matematika khususnya kalkulus yang berhubungan dengan aplikasi integral. Beberapa masalah yang akan dibahas dalam makalah ini adalah seputar penggunaan ilmu-ilmu kalkulus, terutama penggunaan integral, pada bidang fisika dan bidang lainnya. 3. Manfaat dan Tujuan Adapun manfaat dan tujuan penulis dalam menulis makalah tugas akhir ini adalah: a.manfaat 1. untuk menambah pengetahuan mahasiswa tentang kalkulus khususnya dalam pengaplikasian integaral yang telah didapat dari perkuliahan dengan keadaan ang sebenarnya. 2. untuk memperoleh keterampilan yang baru sekaligus mengembangkan pengetahuan, wawasan serta cara berpikir. 3. mengembangkan wawasan penulis yang dipelajari selama semester II ini terhadap mata kuliah kalkulus II. 4. sebagai sarana untuk bahan pelajaran pendukung dalam penerapan ilmu kalkulus seperti integral. 5. sebagai bahan acuan dalam penyusunan Tugas Akhir mata kuliah kalkulus II.

2


b.tujuan Penulisan makalah “Aplikasi Integral pada Bidang Lain” ini bertujuan untuk mengetahui sampai sejauh mana kemampuan penulis dalam menganalisis suatu masalah serta kemampuan dalam mempertanggungjawabkan bagaimana cara mengatasi masalah tersebut khususnya dalam penggunaan integral seperti menentukan titik berat suatu benda, usaha, integral dalam fluida dan penerapan integaral lainnya. Selain itu, pembuatan makalah ini bertujuan juga agar dapat menambah pengetahuan kita dalam bidang kalkulus serta pengaplikasiannya ke dalam kehidupan sehari-hari.

3


BAB II

PEMBAHASAN 1. TITIK BERAT (CENSTROIDS)  MOMEN MT SUATU LUASAN BIDANG, terhadap suatu garis T ialah hasil kali luas dengan jarak langsung titik berat ke garis itu. Untuk suatu luasan bidang A yang mempunyai titik berat x, y dan momenmomennya Mx dan My terhadap sumbu-x dan sumbu-y,

 

Ax  M y

Ay  M x

dan

Misal: Tentukan titik berat daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola y  4  x 2  1  Titik berat persegi panjang yang didekati ialah  x, y   2  Penyelesaian : 2 2 16 A   y dy =  4  x 2 dx = 3 0 0





2

2



1 1 y  y dy =  4  x 2 2 20 0

Mx   2

M y   x  y dx = 0

My

Maka x 

A



2

dx =

128 15

2

 x4  x  dx = 4 2

0

M 8 3 , y  x  , dan koordinat titik berat A 5 4



3 8  ,   4 5

CONTOH Cari titik berat daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola y  x 2 dan garis y  x .  1  Titik berat persegi panjang yang didekati ialah  x, x  x 2  .  2  Penyelesaian : 1 1 A   ( x  x 2 ) dx = 6 0 1











1 1 x  x 2 x  x 2 dx = 15 2 0

Mx   1

M y   x x  x 2 dx = 0

1 12

4


Maka x 

My A



M 2 1 1 2 , y  x  , dan koordinat titik berat  ,  A 5 2 2 5

2. PUSAT MASSA BATANG

5


 Tentukan pusat massa batang yang panjangnya 9 satuan dan rapat massanya di setiap titik yang jaraknya x satuan dari ujung kiri batang adalah  x   3x 2  2 x Penyelesaian

6


3. PUSAT MASSA KEPING DATAR 

 

Hasil tadi akan menghasilkan koordinat-koordinat titik berat x, y yaitu

x

My

y

m

Mx m

Faktor  saling menghilangkan (  konstan dalam pengintegralan ) sehingga : b

x

 x f x   g x dx a b

  f x   g x dx a





b

y

1 x f 2 a

2

x   g 2 x dx

b

  f x   g x dx a

CONTOH Tentukan pusat massa daerah yang dibatasi oleh y  x 3 dan y  x

7


Penyelesaian

4. USAHA ( WORK )  Dalam fisika kita tahu bahwa apabila benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis, sedangkan ada gaya F yang ki=onstan yang menggerakkan benda itu dengan arah yang sama dengan gerak benda tersebut, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tadi adalah W  F d Rumus ini menyatakan pula bahwa Kerja = (gaya). (jarak)

Hanya saja dalam praktek pada umumnya gaya itu ridak konstan. Andaikan benda digerakkan sepanjang sumbu x dari titik x = a ke titik x = b. Andaikan gaya yang menggerakkan benda yang berada di x adalah F(x) dengan F sebuah fungsi yang kontinu. Untuk memecahkan persoalan ini, kita menggunakan lagi metode potongpotong, aproksimasi, integralkan. Dalam hal ini, kita harus mengartikan potongpotong sebagai mempartisikan selang a, b menjadi selang-selang bagian, aproksimasi di sisi berarti bahwa pada selang x, x  x ; gaya adalah konstan dengan nilai F(x) sehingga kerja yang dilakukan adalah F ( x)x , integralkan berarti jumlahkan semua kerja pada masing-masing x dan kemudian ditarik limitnya dengan membuat x menuju nol.

8


Dengan demikian dapatlah kita simpulkan kerja yang dilakukan untuk menggerakkan benda dari a ke b adalah



APLIKASI PADA PEGAS Dengan menggunakan hukum Hooke yang berlaku dalam fisika, gaya F(x) yang diperlukan untuk menarik (atau menekan) pegas sejauh x satuan dari keadaan alami adalah F ( x)  kx Di sini, k konstanta dan disebut konstanta pegas, k adalah positif dan tergantung dari sifat-sifat fifis pegas itu. Makin pegas makin besar k.



CONTOH Apabila panjang alami pegas adalah 10 inci dan apabila diperlukan gaya 3 pon untuk menarik dan menahannya sejauh 2 inci, tentukan kerja yang diperlukan untuk menarik pegas itu sejauh 15 inci dari keadaan alami. Penyelesaian Menurut hukum Hooke gaya F (x) yang diperlukan untuk menarik pegas sejauh x inci adalah F ( x)  kx . Untuk menghitung konstanta k pada pegas khusus ini, kita 3 lihat bahwa F (2)  3 . Jadi k  2  3 , atau k  , dan selanjutnya 2 F ( x) 

3 x 2

9


Apabila pegas dalam keadaan alami sepanjang 10 inci, x  0 ; apabila pegas panjangnya 15 inci, x  5 . Sehingga kerja yang diperlukan untuk menarik pegas itu adalah 5

3 W   x dx = 2 0

5

3 x2  75  18,75 inci-pon     4 2 2 0

5. Termodinamika 1.usaha Jika suatu sistem gas melakukan usaha pada lingkungan sehingga sistem mempunyai (V B > VA), yang berarti ∆V=VB – VA bertanda positif, maka usaha (w) bertanda positif dan sebaliknya, ketika lingkungan melakukan usaha pada sisitem memampat ( V A – VB) bertanda negatif, maka usaha bertanda negatif. Usaha pada proses termodinamika dapat ditentukan dengan: 𝑊 = 𝑝 ∆𝑉 = 𝑝 (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ) (proses isobarik) Dengan: p=tekanan tetap (N/m2) VB=volum akhir (m3) Va=volum awal (m3) W=usaha (joule) Jika grafik tekanan (p) terhadap Volum (V) diketahui, maka usaha pada proses dapat ditentukan dari luas kurva dibawah kurva p = f (V) 2. proses isotermik Proses isotermik adalah suatu proses perubahan keadaan gas pada suhu tetap. Pada proses ini berlaku persamaan: 𝑊 = 𝑝 ∆𝑉 𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 𝑛𝑅𝑇 𝑝= 𝑉 𝑉2

𝑊= 𝑉1

𝑛𝑅𝑇 𝑑𝑉 𝑉

𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 In V2 − nRT In V1 V2 𝑊 = 𝑛𝑅𝑇 In V1 Dengan: V2= volum akhir V1= volum awal Untuk gas ideal monoatomik berlaku hubungan: 3 ∆𝑈 = 𝑛𝑅(𝑇2 − 𝑇1 ) 2 3 ∆𝑈 = (𝑝2 𝑉2 − 𝑝1 𝑉1 ) 2

10


6. GAYA CAIRAN (FLUIDA)  Perhatikan tangki yang tampak pada Gambar 2. Ia diisi dengan fluida dengan kepadatan  setinggi h . Maka gaya pada sebuah persegi panjang-panjang datar dengan luas A yang terletak di dasar tangki, sama dengan berat kolam cairan yang terletak tepat di atas persegi panjang itu (Gambar 1), yaitu F  hA

Menurut Pascal, tekanan (= gaya pada tiap satuan luas) dari cairan sama besarnya dari arah mana pun. Jadi tekanan pada semua titik sebuah permukaan sama besarnya, tidak peduli apakah permukaan itu datar, tegak atau miring, asalkan titik-titik yang bersangkutan berada pada kedalaman yang sama. Khususnya gaya pada tiga persegi panjang dalam Gambar 2 kira-kira sama. Aproksimasi inilah yang memungkinkan kita untuk menghitung gaya keseluruhan pada salah satu sisi tangki. 

CONTOH Pandang salah satu tepi tegak dari tangki berbentuk seperti tampak pada Gambar 3. Andaikan tangki diisi dengan air (  = 62,4 pon per kaki kubik) dengan kedalaman 5 kaki. Hitunglah gaya total yang bekerja pada tepi tersebut.

Penyelesaian Gambarlah system koordinat pada tepi tangki itu seperti tampak pada Gambar 4. Perhatikan bahwa kemiringan sisi kanan adalah 3, sehingga persamaannya adalah 3, 1 sehingga persamaannya adalah y  0  3x  8 atau x  y  8 . Gaya pada sebuah 3 persegi panjang datar pada kedalaman 5  y adalah hampir sama dengan 1 hA   (5  y)( y  8)y . 3

11


1  F   5  y  y  8) y 3  5 1  F    5  y  y  8 dy 3  0 5

5

19 1  19 1    F     40  y  y 2 dy   40 y  y 2  y 3  3 3  6 9 0  0 475 125    62,4 200     6637 pon 6 9   7. KESETARAAN MASSA DAN ENERGI Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya pada benda sama dengan selisih energi kinetik benda itu. Hubungan paling terkenal yang diperoleh Einstein dari postulat relativitas khusus adalah mengenai massa dan energi. Hubungannya dapat diturunkan secara langsung dari defenisi energi kinetik (Ek)dari suatu benda yang bergerak dapat dinyatakan sebagai: 𝑤 = ∆𝐸𝑘 𝑠 Dalam hubungan dengan gaya, usaha (W) dapat dinyatakan dengan 𝑊 = 0 𝐹 𝑑𝑠, sehingga 𝑠

𝐸𝑘 = 0 𝐹 𝑑𝑠 Dengan F menyatakan komponen gaya yang bekerja dalam arah perpindahan ,serta ds dan s menyatakan jarak yang ditempuh.Dengan memakai bentuk relativistik hukum gerak kedua diperoleh 𝑑(𝑚𝑣) 𝐹= 𝑑𝑡 Sehingga rumusan energi kinetik menjadi: 𝑠

𝐸𝑘 = 0

𝑑(𝑚𝑣) 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡

𝐸𝑘 =

𝑣𝑑 𝑚𝑣 = 𝑣 𝑚𝑣 −

𝐸𝑘 =

𝑣2

Misalkan 𝑥 2 = 1 − 𝑐 2

𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑 𝑚𝑣 ↔ =𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑚𝑜 𝑣

𝑣

−

𝑚𝑜 𝑣

𝑣2 𝑣2 1− 2 0 1− 2 𝑐 𝑐 2 , maka v dv =-c x dx, maka

𝑚𝑣 𝑑𝑣 𝑑𝑣

12


𝑚𝑜 𝑣 2

𝐸𝑘 =

𝑣2 1− 2 𝑐

𝐸𝑘 =

𝑚𝑜 𝑣 2 1−

𝐸𝑘 =

𝑚𝑜 𝑐 2 𝑥

− −

𝑥2

+ 𝑚𝑜 𝑐 2 1 −

𝑣2 𝑐2 𝑚𝑜 𝑣 2 1−

𝑣2

𝑑𝑥

𝑣2 𝑐2

− 𝑚𝑜 𝑐 2

𝑐2 𝐸𝑘 = 𝑚𝑐 − 𝑚𝑜 𝑐 2 𝐸𝑘 = (𝑚 − 𝑚𝑜 )𝑐 2 2

Hasil ini menyatakan bahwa energi kinetik suatu benda sama dengan pertambahan massanya (akibat gerak relatifnya ) dikalikan dengan kuadrat kelajuan cahaya.Persamaan dapat juga ditulis 𝑚𝑐 2 = 𝐸𝑘 − 𝑚𝑜 𝑐 2 Einstein berpendapat bahwa energi total benda ketika bergerak dengan kecepatan v adalah mc2, sedangkan m0c2 adalah energi total benda ketika diam dan Ek adalah energi kinetik benda. Untuk munyingkat penulisan, biasanya hubungan energi benda yang diam dan benda yang bergerak dalam teori relativitas dapat dinyatakan dengan persamaan dengan persamaan berikut ini. 𝐸𝑘 = 𝐸 − 𝐸𝑜 CONTOH Berapakah energi total, energi kinetik dan momentum sebuah proton (m0c2=938MeV) yang bergerak dengan kecepatanv=0,6c? Penyelesaian: m0c2

a. E =

v2 1− 2 c

=

938MeV 1−

0,6c 2 c2

𝐸

𝑡𝑜𝑡 = 1172 ,5×10 6 𝑒𝑉

=

1,602 ×

938 0,64

= 1172,5MeV

10 −19 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 𝑒𝑉

= 1,878 × 10−10 𝑗𝑜𝑢𝑙𝑒 b. Enegi kinetiknya: Ek=E-moc2 Ek=(1172,5-938)meV=234,5MeV c. Momentumnya mo=

938𝑀𝑒𝑉 𝑐2

=

=1,73x10

-27

Sehingga: 𝑝 = 𝑝=

938 ×10 6 (1,6×10 −19 ) 3×10 8 2

kg 𝑚0𝑣 𝑣2

1− 2 𝑐 1,73×10 −27 (3×10 8 ) (0,6𝑐)2 1− 2 𝑐

= 3,98 × 10−19

𝑘𝑔 𝑚 𝑠

13


8. PELURUHAN RADIOAKTIF (DESINTEGRASI) Peluruhan terjadi secara spontan dan tidak dapat dikontrol serta dipengaruhi oleh persamaan kimia dan fisika seperti pengaruh suhu dan tekanan. Dari hasil penelitian diperoleh bahwa kemampuan suatu unsur untuk meluruhkan berbeda-beda. Ada unsur yang dalam waktu singkat semua intinya meluruh,dan ada pula yang meluruh dengan lambat. Contonya,sejumlah besar inti atom N dari suatu radioisotop yang meluruh melancarkan partikel – partikel α dan β serta diikuti pemancaran ϒ. Jumlah rata – rata atom belururbanding (dN) yang akan meluruh dalam waktu dt adalahs dengan jumlah atom N sehingga dapat diberikan dalam persamaan. 𝑑𝑁 = −𝜆𝑁 𝑑𝑡 𝑁 𝑡 𝑑𝑁 = − 𝜆 𝑑𝑡 𝑁 𝑁0

Sehingga,

0

N In = −λt N0 N = N0 e−λt

Dengan N =jumlah atom radioaktif setelah meluruh selama t N0 =jumlah atom radioaktif sebelum meluruh E =bilangan asli (eurel)= 2,71828 λ =konstanta peluruhan t =waktu paruh Hubungan N dengan t pada proses peluruhan inti radioaktif dapat dinyatakan dalam grafik berikut ini: Pada peristiwa peluruhan inti radioaktif, waktu yang diperlukan untuk inti radioaktif untuk meluruh sehingga jumlah atomnya setengah jumlah atom mula-mula disebut waktu paruh(t1/2). Waktu paruh pada peristiwa peluruhan radioaktif dapat ditentukan dengan persamaan berikut: N = N0 e−λt −λt1 1 N0 = N0 e 2 2 1 1 = λt 1 2 e 2 In 2 = λt 1 2

Karena In 2=0,693, maka

𝑡1 Dengan:

In 2 0.693 = = 2 𝜆 𝜆

t1/2=waktu paruh CONTOH Hitung tetapan peluruhan dari partikel pengion yang memiliki waktu paruh 4 tahun? Penyelesaian: Diketahui: t1/2=4 tahun

14


Dengan menggunakan persamaan:

𝑡1 = 0,693, diperoleh 2

𝜆

0,693 0,693 0,17 𝜆= = = 𝑡1 4 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛 2

0,17 Jadi, tetapan peluruhan adalah 𝑡𝑎ℎ𝑢𝑛

9. KINEMATIKA  Menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui maka kecepatan v dapat ditentukan dengan teknik integrasi. 𝑑𝒗 𝒂= ↔ 𝑑𝒗 = 𝒂 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Integralkan kedua ruas, maka kita peroleh: 𝑣

𝑡

𝑑𝒗 = 𝑣0

𝒕

𝒂 𝑑𝑡 ↔ 𝒗 − 𝒗𝟎 = 0

𝒂 𝑑𝑡 𝟎

𝒗 = 𝒗𝟎 +

𝒂 𝑑𝑡

Dengan 𝒗0 adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t=0).(catatan hasil 𝒂 𝑑𝑡 tidak perlu diberi konstanta.) Untuk gerak satu dimensi (pada sumbu X saja atau sumbu Y saja), persamaan persamaannya persis seperti persamaan diatas, hanya huruf tebal diganti huruf miring. Ini karena arah vektor kecepatan diwakili oleh tanda positif atau negatif. 𝒗 = 𝒗𝟎 + 

𝒂 𝒅𝒕

Menentukan Posisi dari fungsi kecepatan

Jika komponen-komponen kecepatan 𝑣𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑦 sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan pengintegralan: 𝑑𝑥 𝑣𝑥 = 𝑑𝑡 𝑥

𝑡

𝑑𝑥 = 𝑥0

𝑣𝑥 𝑑𝑡 0 𝑡

𝑥 − 𝑥0 =

𝑣𝑥 𝑑𝑡 𝑜

𝑡

𝑥 = 𝑥0 +


𝑣𝑦 = 𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑡

𝑑𝑦 = 𝑦0

𝑣𝑦 𝑑𝑡 0

15

APLIKASI INTEGRAL PADA BIDANG LAIN 𝑡

𝑦 − 𝑦0 =

𝑣𝑦 𝑑𝑡 𝑜

𝑡

𝑦 = 𝑦0 +


𝑡3

𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑎𝑛 = 𝑡2

𝑡2

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 =

𝑣 𝑡 𝑑𝑡 𝑡3

𝑣 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑡1


CONTOH Misalkan 𝑎 𝑡 = 6𝑡 2 + 12𝑡 − 8 adalah fungsi percepatan pada garis koordinat titik x, dengan t dalam detik dan a dalam m/s2. Tentukan persamaan kecepatan 𝑣 𝑡 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑡 = 1 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 2 𝑚 𝑠 dan persamaan posisi 𝑥 𝑡 𝑠𝑎𝑎𝑡 𝑡 = 2 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 8 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 Penyelesaian: 𝑎 𝑡 = 6𝑡 2 + 12𝑡 − 8 → 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑣 𝑡 = 𝑣0 + 𝑣 𝑡 =

𝑎(𝑡) 𝑑𝑡

6𝑡 2 + 12𝑡 − 8 𝑑𝑡; 𝑣0= 0 maka

6𝑡 2 + 12𝑡 − 8 𝑑𝑡

𝑣 𝑡 = 2𝑡 3 + 6𝑡 2 − 8𝑡 + 𝑐 𝑣 1 = 2(1)3 + 6(1)2 − 8 1 + 𝑐 2 =2+6−8+𝑐 𝑐=2 Sehingga persamaan kecepatannya adalah: 𝑣 𝑡 = 2𝑡 3 + 6𝑡 2 − 8𝑡 + 2 𝑥 𝑡 = 𝑥0 +

𝑣 𝑡 𝑑𝑡

𝑥 𝑡 = 𝑥0 + (2𝑡 3 + 6𝑡 2 − 8𝑡 + 2) 𝑑𝑡; 𝑥0 = 𝑜, maka 𝑥 𝑡 =

(2𝑡 3 + 6𝑡 2 − 8𝑡 + 2) 𝑑𝑡

1 4 𝑡 + 2𝑡 3 − 4𝑡 2 + 2𝑡 + 𝑐 2 1 𝑥 2 = 2 4+2 2 3−4 2 2+𝑐 2 8 = 8 + 16 − 16 + 𝑐 𝑐=0 Sehingga persamaan posisinya adalah: 1 𝑥 𝑡 = 𝑡 4 + 2𝑡 3 − 4𝑡 2 + 2𝑡 2 𝑥 𝑡 =

16


10. DALAM BIDANG EKONOMI fungsi biaya Contoh kasus: Biaya marjinal suatu perusahaan ditunjukkan oleh MC = 3Q2 - 6Q + 4. Carilah persamaan biaya total dan biaya rata-ratanya. fungsi penerimaan Contoh kasus: Carilah persamaan penerimaan total dan penerimaan rata-rata dari suatu perusahaan jika penerimaan marjinalnya MR = 16 – 4Q fungsi utilitas Contoh kasus: Carilah persamaan utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas marjinalnya MU = 90 – 10Q fungsi produksi Contoh kasus: Produk marjinal sebuah perusahaan dicerminkan oleh MP = 18x – 3x2 . carilah persamaa produk total dan produk rata-ratanya. fungsi konsumsi dan tabungan Contoh kasus: carilah fungsi konsumsi dan fungsi tabungan masyarakat sebuah negara jika diketahui outonomous consumption-nya sebesar 30 milyar dan MPC = 0,8. Pendekatan integral tak tentu dapat diterapkan untuk mencari persamaan fungsi total dari suatu variabel ekonomi apabila fungsi marjinalnya diketahui. Karena fungsi marjinal pada dasarnya merupakan turunan dari fungsi total, maka dengan proses sebaliknya, yakni integrasi, dapatlah dicari fungsi asal dari fungsi tersebut atau fungsi totalnya. 1. Fungsi biaya Biaya total C = f(Q) Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q) Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas: Biya total : C = ∫ MCdQ = ∫ (3Q2 - 6Q + 4.) dQ = Q3 - 3Q2 + 4Q + k Biaya rata-rata : C/Q = Q3 - 3Q2 + 4Q + k/Q Konstanta k tak lain adalah biaya tetap. Jika diketahui biaya tetap tersebut adalah 4, maka: C = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4 AC = Q3 - 3Q2 + 4Q + 4/Q 2. Fungsi Penerimaan Penerimaan total : R = f(Q)

17

APLIKASI INTEGRAL PADA BIDANG LAIN Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q) Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas: Penerimaan total : R = ∫ MR dQ = ∫ (16 – 4Q) dQ = 16Q – 2Q2 Penerimaan rata-rata : AR = R/Q = 16 – 2Q Dalam persamaan penerimaan total konstanta k = 0, sebab penerimaan tidak akan ada jika tak ada barang yang dihasilkan atau terjual. 3. Fungsi Utilitas Utilitas total : U = f(Q) Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q) Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas: Utilitas total: U = ∫ MU dQ = ∫ (90 – 10Q) dQ = 90Q – 5Q2 Seperti halnya produk total dan penerimaan total, disinipun konstanta k = 0, sebab tak ada kepuasan atau utilitas yang diperoleh seseorang jika tak ada barang yang dikonsumsi. 4. Fungsi Produksi Produsi total :P = f(x) dimana. P = keluaran; x = masukan Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x) Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) Dx Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas: Produk total : P = ∫ MPdX = ∫ (18x – 3x2 ) dX = 9x2 – x3 Produk rata-rata : AP = p/x = 9x – x2 5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). C = f(Y) = a + By MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b Karena Y = C + S, maka S = g(y) = -a + (1 – b) Y MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b) Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save.

18


C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a Konstanta k pada fungsi produksi da fungsi tabungan masing-masing adalah outonomous consumption dan outonomous saving. Penyelesaian dari masalah yang tersebut diatas: C = ∫ MPC dY = ∫ 0,8 Y + 30 milyar. S = ∫ MPS dY = ∫ 0,2 Y – 30 milyar. Atau S = Y – C = Y – (0,8 Y – 30 milyar) = 0,2Y – 30 milyar.

19


BAB III

KESIMPULAN Integral tentu dapat diterapkan pada bidang lain. Misalnya pada bidang fisika. Pada bidang fisika, integral tentu dapat digunakan pada :  Titik berat  Pusat massa batang  Pusat massa keping datar  Usaha  Termodinamika  Gaya cairan ( fluida )  Kesetaraan massa dan energi  Peluruhan radioaktif (disentegrasi)  Kinematika  Penerapan dalam bidang ekonomi Pada pembahasan titik berat: − untuk suatu luasan bidang A yang mempunyai titik berat ( − 𝑥 , 𝑦 ) dan momen-momennya Mx dan My terhadap sumbu-x dan sumbu-y − A− 𝒙 = 𝑴𝒚 𝒅𝒂𝒏 𝑨 𝒚 = 𝑴𝒙 Pada pusat massa batang : Massa batang , momen massa batang terhadap titik O , dan titik pusat massa batang didefenisikan sebagai berikut. n

L

i 1

0

Massa : M = Lim   (ci )xi    ( x) dx P 0

n

L

i 1

0

Momen massa terhadap titik O : M o  Lim  ci  (ci )xi   x ( x) dx P 0

L

M Titik pusat massa : x  o  M

 x ( x)dx 0 L

  ( x) dx 0

Pada pusat massa keping datar : − 𝒙

=

− 𝒚

=

𝒃 𝒙 𝒇 𝒙 − 𝒈 𝒙 𝒅𝒙 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂 𝟏 𝒃 𝒙 𝒇𝟐 𝒙 − 𝒈𝟐 𝒙 𝟐 𝒂 𝒃 𝒇 𝒙 − 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙 𝒂

𝒅𝒙

20


Pada pembahasan usaha: apabila benda bergerak sejauh d sepanjang suatu garis, sedangkan ada gaya F yang constant yang menggerakkan benda itu dengan arah yang sama dengan gerak benda tersebut, maka kerja W yang dilakukan oleh gaya tadi adalah: W = F.d Dimana penggunaan integralnya : ∆𝑾 ≈ 𝑭 𝒙 ∆𝒙 𝒃 W = 𝒂 𝑭 𝒙 𝒅𝒙 Pada pembahasan termodinamika Jika suatu sistem gas melakukan usaha pada lingkungan sehingga sistem mempunyai (V B > VA), yang berarti ∆V=VB – VA bertanda positif, maka usaha (w) bertanda positif dan sebaliknya, ketika lingkungan melakukan usaha pada sisitem memampat ( VA – VB) bertanda negatif, maka usaha bertanda negatif. Usaha pada proses termodinamika dapat ditentukan dengan: 𝑊 = 𝑝 ∆𝑉 = 𝑝 (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ) Dimana penggunaan integralnya: 𝑾 = 𝒑 ∆𝑽 𝒑𝑽 = 𝒏𝑹𝑻 𝒑= 𝑽𝟐

𝑾= 𝑽𝟏

𝒏𝑹𝑻 𝑽 𝒏𝑹𝑻 𝒅𝑽 𝑽

𝑾 = 𝒏𝑹𝑻 𝐈𝐧 𝐕𝟐 − 𝐧𝐑𝐓 𝐈𝐧 𝐕𝟏 𝐕𝟐 𝑾 = 𝒏𝑹𝑻 𝐈𝐧 𝐕𝟏 Pada pembahasan gaya cairan ( fluida): apabila suatu tangki diisi dengan fluida dengan kepadatan 𝛿 setinggi h. maka gaya pada sebuah persegi panjang datar dengan luas A yang terletak didasar tangki sama dengan berat kolam cairan yang terletak tepat diatas persegi panjang itu yaitu : F = 𝛿ℎ𝐴 Dimana penggunaan integralnya : ∆𝑭 ≈ 𝜹𝒉𝑨 ∆𝑭 ≈ 𝜹. 𝒉. 𝒙. ∆𝒚 𝒃 F = 𝒂 𝜹 𝒉 𝒙 ∆𝒚 Pada pembahasan kesetaraan massa dan energi Usaha yang dilakukan oleh sebuah gaya pada benda sama dengan selisih energi kinetik benda itu. Hubungan paling terkenal yang diperoleh Einstein dari postulat relativitas khusus adalah mengenai massa dan energi. Hubungannya dapat diturunkan secara langsung dari defenisi energi kinetik (Ek)dari suatu benda yang bergerak dapat dinyatakan sebagai: 𝑤 = ∆𝐸𝑘 𝑠 Dalam hubungan dengan gaya, usaha (W) dapat dinyatakan dengan 𝑊 = 0 𝐹 𝑑𝑠, sehingga 𝑠

𝐸𝑘 = 0 𝐹 𝑑𝑠 Dimana penggunaan integralnya: 𝑠

𝐸𝑘 = 0

𝑑(𝑚𝑣) 𝑑𝑠 = 𝑑𝑡

𝑑𝑠 𝑑𝑠 𝑑 𝑚𝑣 ↔ =𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡

21


𝐸𝑘 =

𝑣𝑑 𝑚𝑣 = 𝑣 𝑚𝑣 −

𝐸𝑘 =

𝑣2

Misalkan 𝑥 2 = 1 − 𝑐 2

𝑚𝑜 𝑣

𝑣

𝑚𝑣 𝑑𝑣

𝑚𝑜 𝑣

𝑑𝑣 𝑣2 0 𝑣2 1− 2 1− 2 𝑐 𝑐 2 , maka v dv =-c x dx, maka 𝑚𝑜 𝑣 2 𝑚𝑜 𝑐 2 𝑥 𝐸𝑘 = − − 𝑑𝑥 𝑥2 𝑣2 1− 2 𝑐 𝐸𝑘 =

𝑚𝑜 𝑣 2 1−

𝐸𝑘 =

−

+ 𝑚𝑜 𝑐 2 1 −

𝑣2 𝑐2 𝑚𝑜 𝑣 2 1−

𝑣2

𝑣2 𝑐2

− 𝑚𝑜 𝑐 2

𝑐2 𝐸𝑘 = 𝑚𝑐 2 − 𝑚𝑜 𝑐 2 𝐸𝑘 = (𝑚 − 𝑚𝑜 )𝑐 2 𝑚𝑐 2 = 𝐸𝑘 − 𝑚𝑜 𝑐 2 𝐸𝑘 = 𝐸 − 𝐸𝑜 Pada pembahasan peluruhan radioaktif (disentegrasi) Peluruhan terjadi secara spontan dan tidak dapat dikontrol serta dipengaruhi oleh persamaan kimia dan fisika seperti pengaruh suhu dan tekanan. Dari hasil penelitian diperoleh bahwa kemampuan suatu unsur untuk meluruhkan berbeda-beda. Ada unsur yang dalam waktu singkat semua intinya meluruh,dan ada pula yang meluruh dengan lambat. Contonya,sejumlah besar inti atom N dari suatu radioisotop yang meluruh melancarkan partikel – partikel α dan β serta diikuti pemancaran ϒ. Jumlah rata – rata atom belururbanding (dN) yang akan meluruh dalam waktu dt adalahs dengan jumlah atom N sehingga dapat diberikan dalam persamaan. 𝑑𝑁 = −𝜆𝑁 𝑑𝑡 𝑁 𝑡 𝑑𝑁 = − 𝜆 𝑑𝑡 𝑁 𝑁0

Sehingga,

0

N In = −λt N0 N = N0 e−λt

−λ t 1 1 N0 = N0 e 2 2 1 1 = λ t1 2 e 2 In 2 = λt 1 2

Karena In 2=0,693, maka

𝑡1

In 2 0.693 2= 𝜆 = 𝜆

22

APLIKASI INTEGRAL PADA BIDANG LAIN Pada pembahasan dalam kinematika  Menentukan kecepatan dari grafik fungsi percepatan Jika percepatan a sebagai fungsi waktu t diketahui maka kecepatan v dapat ditentukan dengan teknik integrasi. 𝑑𝒗 𝒂= ↔ 𝑑𝒗 = 𝒂 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Integralkan kedua ruas, maka kita peroleh: 𝑣

𝑡

𝑑𝒗 = 𝑣0

𝒕

𝒂 𝑑𝑡 ↔ 𝒗 − 𝒗𝟎 = 0

𝒂 𝑑𝑡 𝟎

𝒗 = 𝒗𝟎 +

𝒂 𝑑𝑡

Dengan 𝒗0 adalah vektor kecepatan awal (kecepatan pada t=0).(catatan hasil 𝒂 𝑑𝑡 tidak perlu diberi konstanta.) Untuk gerak satu dimensi (pada sumbu X saja atau sumbu Y saja), persamaan persamaannya persis seperti persamaan diatas, hanya huruf tebal diganti huruf miring. Ini karena arah vektor kecepatan diwakili oleh tanda positif atau negatif. 𝒗 = 𝒗𝟎 + 

𝒂 𝒅𝒕

Menentukan Posisi dari fungsi kecepatan

Jika komponen-komponen kecepatan 𝑣𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑣𝑦 sebagai fungsi waktu diketahui maka posisi horizontal x dan posisi vertikal y dari partikel dapat ditentukan dari persamaan pengintegralan: 𝑑𝑥 𝑣𝑥 = 𝑑𝑡 𝑥

𝑡

𝑑𝑥 = 𝑥0

𝑣𝑥 𝑑𝑡 0 𝑡

𝑥 − 𝑥0 =


𝑡

𝑥 = 𝑥0 +


𝑣𝑦 = 𝑦

𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝑡

𝑑𝑦 = 𝑦0

𝑣𝑦 𝑑𝑡 0 𝑡

𝑦 − 𝑦0 =


𝑦 = 𝑦0 +

𝑡


23

APLIKASI INTEGRAL PADA BIDANG LAIN 𝑡3

𝑝𝑒𝑟𝑝𝑖𝑛𝑑𝑎ℎ𝑎𝑛 = 𝑡2

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 =


𝑡3

𝑣 𝑡 𝑑𝑡 − 𝑡1


Penerapan dalam bidang ekonomi 1. Fungsi biaya Biaya total C = f(Q) Biaya marjinal : MC = C1 = dC/dQ = f1 (Q) Biaya total tak lain adalah integrasi dari niaya marjinal C = ∫ MC dQ = ∫ f1 (Q) dQ 2. Fungsi Penerimaan Penerimaan total : R = f(Q) Penerimaan marjinal : MR = R1 = dR/dQ = f1 (Q) Penerimaan total tak lain adalah integral dari penerimaan marjinal R = ∫ MR dQ = ∫ f1 (Q) Dq 3. Fungsi Utilitas Utilitas total : U = f(Q) Utilitas marjinal : MU = U1 = dU/dQ = f1 (Q) Utilitas total tak lain adalah integral dari utilitas marjinal U = ∫ MU dQ = f1 (Q) dQ 4. Fungsi Produksi Produsi total :P = f(x) dimana. P = keluaran; x = masukan Produk marjinal : MP = P1 = dP/dX = f1 (x) Produk total tak lain adalah integral dari produk marjinal P = ∫ MPdX = ∫ f1 (x) Dx 5. Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan Dalam ekonomi makro, konsumsi (C) dan tabungan (S) dinyataka fungsional terhadap pendapatan nasional (Y). C = f(Y) = a + By MPC = C 1 = dC/dY = f 1 (Y) = b Karena Y = C + S, maka S = g(y) = -a + (1 – b) Y MPS = S1 = dS/dY = g 1 (Y) = (1 – b) Berdasarkan kaidah integrasi, konsumsi da tabungan masing-masing adalah integral dari marginal propensity to consume dan marginal propensity to save. C = ∫ MPC dY = F(Y) + k k ≡ a S = ∫ MPS dY = G(Y) + k k ≡ -a

24


DAFTAR PUSTAKA Martono, Koko. 1999. Kalkulus. Bandung: Erlangga Purcell, E.J. 1995. Kalkulus dan Geometri Analitik (terjemahan I.N Susila, dkk). Jilid I, edisi V. Jakarta: Erlangga Schaum. 1985. Kalkulus. Jakarta : PT Gelora Aksara Pratama. Serway,A.L. dan Faughn,J.S.1999.College Physics,USA: Harcourt Brace College Publisher Tim Dosen Matematika. 2010. Kalkulus II. Medan: FMIPA UNIMED Tripler,P.A.1998.Fisikauntuk sains dan teknik jilid 1(terjemahan).Jakarta:Penerbit Erlangga

25

Penerapan Integral

Recommend Documents