PENERAPAN KONSEP MATRIKS DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI
Oleh : Gede Edy Priyadnya 0915057123 VII.C
Jurusan S1 Pendidikan Teknik Informatika Fakultas Teknik dan Kejuruan
Universitas Pendidikan Ganesha Singaraja 2009
PENGERTIAN MATRIKS Matriks adalah suatu jajaran (kumpulan) bilangan yang disusun dalam bentuk baris dan lajur (kolom) sehingga berbentuk persegi panjang serta ditulis dalam kurung biasa atau kurung siku. Bilangan-bilangan yang disusun tersebut dinamakan unsur atau elemen atau entri suatu matriks. Sehingga dapat disimpulkan bahwa syarat suatu matriks adalah: a.
Berbentuk persegi panjang dan ditempatkan dalam kurung biasa atau kurung siku.
b.
Unsur-unsurnya terdiri dari bilangan-bilangan.
c.
Mempunyai baris dan lajur (kolom). Penerapan /aplikasi matriks sangat luas dan banyak dijumpai dalam
kehidupan sehari-hari, baik dibidang ekonomi, ilmu-ilmu sosial, maupun ilmuilmu alam. Salah satu contoh penggunaan matriks di bidang ekonomi adalah untuk menyelesaikan masalah investasi dan pada aplikasi perbankan yang senantiasa berkutak atik dengan angka-angka. Sementara dalam dunia olahraga penentuan klasemen suatu pertandingan. Dalam
kehidupan
sehari-hari
atau
dalam
proses
penyelesaian
permasalahan dalam pelajaran lain, sering dihadapkan kepada pencarian nilai beberapa peubah (variabel). Matriks adalah salah satu media bantu untuk memecahkan masalah-masalah tersebut. Beberapa contoh penggunaan matriks sebagai media bantu dalam memecahkan masalah, diantaranya adalah: 1.
Memudahkan dalam membuat analisis mengenai suatu masalah ekonomi yang mengandung bermacam-macam peubah.
2.
Digunakan dalam memecahkan masalah operasi penyelidikan atau penelitian, misalnya: penyelidikan sumber-sumber minyak, kependudukan, dan lain-lain.
3.
Dikaitkan dalam penggunaan program linier, analisis input-output baik dalam bidang ekonomi, statistika, maupun bidang-bidang pendidikan, manajemen kimia, dan bidang-bidang teknologi lainnya.
Kita ambil suatu contoh yang sederhana, misalnya daftar siswa kelas I Program Akutansi pada suatu SMK seperti berikut. Jenis Kelamin Kelas II Ak 1 II Ak 2 Jumlah
Putra
Putri
Jumlah
28 32 60
15 10 25
43 42 85
Dalam matematika, himpunan bilangan demikian, yaitu himpunan bilangan yang tersusun menurut baris-baris dan kolom-kolom sehingga terbentuk persegi panjang, dan ditempatkan diantara dua kurung disebut matriks. Tanda kurung yang dipakai : kurung biasa ( ) , kurung siku [ ] , atau kurung bergaris dua
.
28 Daftar diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai berikut 32 60
15 10 25
43 42 85
Setiap bilangan pada matriks disebut elemen(unsur) matriks. Letak suatu unsur matriks ditentukanoleh baris dan kolom di mana unsur tersebut berada. Misalnya, pada matriks di atas unsur 25 trletak pada baris ke-3 dan pada kolom ke-2. Suatu matriks dinyatakan dengan huruf kapital A , B , C ,. . . . dan seterusnya, sedangkan unsur matriks dinyatakan dengan huruf kecil a, b , c , . . ., dan seterusnya. Contoh : 1 A = 4 ↓
2 5
← baris ke-1 ← baris ke-2
3 6 ↓
↓
Kolom Kolom Kolom Ke-1 Ke-2 Ke-3 Matriks A mempunyai dua baris dan dua kolom. Oleh karena itu kita katakan bahwa matriks A berordo 2 ×3, ditulis A2×3 atau ( a 23 ) . Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris dan banyaknya kolom dalam matriks tersebut. HUBUNGAN MATRIKS DENGAN MATRIKS.
Matriks A dan matriks B dikatakan berordo sama atau berukuran sama jika banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks A sama dengan banyaknya baris dan banyaknya kolom pada matriks B
Contoh : 2 0
A=
1 3
3 dan B = 2
3 5
2 4
1 6
Matriks A berordo sama dengan matriks B, yaitu 2 ×3 Definisi: Dua buah matriks A dan B dikatakan sama, ditulis A = B, jika dan hanya jika : a. Matriks A dan B mempunyai ordo sama b. Unsur-unsur yang seletak pad matriks A dan matriks B sama. MACAM-MACAM MATRIKS 1. Matriks Baris Matriks Baris adalah matriks yang terdiri dari satu baris Contoh : A = (1 5
3
− 2)
2. Matriks Kolom Matriks Kolom adalah matriks yang terdiri dari satu kolom 2 Contoh : A = 1 −3
3. Matriks Persegi atau Matriks Bujur Sangkar
Matriks Persegi atau matriks Bujur Sangkar adalah matriks yang mempunyai jumlah baris = jumlah kolom 1 Contoh : A = 2 − 2
3 4 3
5 0 , jumlah baris = jumlah kolom 7
4. Matriks Nol Matriks Nol adalah Suatu matriks
m × n yang setiap unsurnya 0 berordo
m × n ,ditulis dengan huruf O. 0 0
Contoh : O2×3 =
0 0
0 0
5. Matriks Segi Tiga Matriks Segi Tiga adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur-unsur dibawah atau diatas diagonal utama semuanya 0 . 2 3 Contoh : C = −9 4
0 7
0 0
5 1
8 −3
0 0 , 0 5
8 0 D= 0 0
2 6
1 5
0 0
3 0
−3 4 7 9
Matriks C disebut matriks segi tiga bawah dan matriks D disebut matriks segitiga atas.
6. Matriks Diagonal
Matriks Diagonal adalah suatu matriks bujur sangkar yang semua unsurnya , kecuali unsur-unsur pada diagonal utama adalah nol. 5 0 Contoh : E = 0 0
0 7
0 0
0 0
−2 0
0 0 0 8
7. Matriks Skalar Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang unsur-unsur pada diagonal utama semuanya sama. 7 0 Contoh : F = 0 0
0 7
0 0
0 0
7 0
0 0 0 7
8. Matriks Identitas atau Matriks Satuan Matriks Identitas atau Matriks Satuan adalah matriks diagonal yang unsurunsur pada diagonal utama semuanya satu ditulis dengan huruf I.
1 Contoh : I3 = 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 , I4 = 0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
0 0 0 1
I3 adalah matriks identitas ordo 3 dan I4 adalah matriks identitas ordo 4
9. Matriks Simetris
Matriks Simetri adalah suatu matriks bujur sangkar yang unsur pada baris ke-i kolom ke-j sama dengan unsur pada baris ke-j kolom ke-i sehingga aij = a ji . 1 3 Contoh : G = 2 5
3 4
2 6
6 9
7 10
5 9 8 2
Unsur pada baris ke-2 kolom ke-4 adalah 9 dan unsur pada baris ke-4 kolom ke-2 juga 9. 10. Matriks Mendatar Matriks Mendatar adalah matriks yang banyaknya baris kurang dari banyaknya kolom . 3
2
4
Contoh : H 2×3 = 5
1 6
11. Matriks Tegak Matriks Tegak adalah suatu matriks yang banyaknya baris lebih dari banyaknya kolom. Contoh : K 3×2
5 = 2 9
6 1 −7
12. Matriks Transpos ( notasi At ) Transpos A adalah matriks baru dimana elemen kolom pertama = elemen baris pertama matriks A, elemen kolom kedua = elemen baris kedua matriks A, elemen kolom ketiga= elemen baris ketiga matriks A. 1 Misal Matriks A = 9 0
−2 1
5 4
3
−2
8 2 −3
1 −2 t Maka Transpos A adalah A = 5 8
9 1 4 2
0 3 − 2 − 3
Jadi jika ordo matriks A = 3x4 maka ordo matriks transpos adalah 4x3 Sifat-sifat matriks transpos 1) ( A + B )t = At + Bt 2) ( At )t = A 3) ( AB )t = Bt At CONTOH LAIN PEMAKAIAN MATRIKS 1.
Matriks banyak digunakan dalam komputasi numerik untuk representasi dalam finite element.
2.
Seperti penggunaan matriks dalam matematika. Perhitungan “biasa” terhadap matriks : penjumlahan, perkalian dua matriks, menentukan determinan, menginvers sebuah matriks, memeriksa apakah sebuah matriks : simetris, matriks satuan. Hanya saja dalam algoritma, semua “perhitungan” itu menjadi tidak primitive, harus diprogram.
3.
Dalam perhitungan ilmiah dimana suatu sistem diwakili oleh matriks (elemen hingga dalam teknik sipil dan mesin).
4.
Dalam persoalan pemrograman linier dan operational research.
5.
Dalam persoalan algoritmik : untuk menyimpan informasi yang cirinya ditentukan oleh dua komponen (yang nantinya diterjemahkan dalam baris dan kolom) dan diakses langsung. Contoh : Merepresentasi “cell” pada sebuah spreadsheet, merepresentasi “ruangan” pada sebuah gedung bertingkat.
