Pendule Simple

Université Yahia Ferès De Médéa Départementt Du Tronc Commun LMD ST-SM Départemen Année Année S.T Génie Civile (LMD)

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Travaux Pratiques De Physique 3 Module : V.O.M TP N° 1 : Pendule Simple

INTRODUCTION Vibration, mouvement d’un système dont chaque particule ou élément va et vient périodiquement autour d’une position d’équilibre.

Et dans ce TP Il est demandé dans la partie savoir-faire expérimentale: "Utiliser un pendule simple pour étudier un mouvement vibratoire". En plus, dans la partie savoir-faire théoriques, il est demandé "écrire et exploiter des équations (théoriques et expérimentales) pour déterminer une grandeur physique". 1-BUT DE TP :

1- Réaliser un montage à partir des matériels. l’étude d’un mouvement mouvement oscillent oscillent 2-l’objective de ce TP est l’étude (pendule simple) dans le cas des petites oscillations et des grandes oscillations. 3-Mesurer les caractères de ce pendule et leurs incertitudes. l’accélératio n de la pesanteur (g) et calcule leur 4-Calcule l’accélération incertitude. 5-l’application de les lois de la mécanique classique. 6-L’exploitation de la confrontation expérience/t héorie héorie pour déterminer une grandeur physique. 2-MATERIELS : -Compteur.

-Source d’alimentation 5VDC/0.3A. -Balle en acier d=24mm ; d=32mm. -Règle avec une paire de curseurs (L=1000mm). -Fil de pêche. -Vis de fixation. -Serre joint. -Tige de support carré L=1250mm. -Tri pieds. Page 1

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3-RAPPELE THEORIQUE :

1- Définition Du Pendule :

Le pendule simple est un point matériel qui oscille à une distance fixe d’un point. En pratique, un tel

pendule est obtenu en attachant un solide de faible dimension à un point fixe par l’intermédiaire d’un fil inélastique. La période d’un tel pendule c’est -à-dire le temps mis

par le pendule pour effectuer un aller et retour est

Le pendule simple, utilisé pour la mesure du temps dans les horloges, par exemple, se révèle précis, si la longueur réelle du balancier est constante.

Page 2





2- Principe d'application :

Le principe du pendule fut découvert par le physicien et astronome italien Galilée. Il établit que la période d’une oscillation complète (un va-et-vient) d’un pendule d’une longueur donnée est constante, quelle que soit l’amplitude de son mouvement. Ce n’est plus vrai pour les grandes amplitudes.

Galilée pensa aux applications possibles de ce phénomène, l’isochronisme, pour la mesure du temps. Par ailleurs, la période d’un pendule dépend de sa situation géographique, puisque la gravité varie en fonction de la latitude et de l’altitude du lieu. Ainsi, au sommet d’une montagne, la période des oscillations est supérieure à celle que l’on observe au niveau de la mer. Le pendule peut donc être utilisé pour déterminer l’accélération

locale de la pesanteur. Les horloges oscillent trop vite en hiver et trop lentement en été. En effet, à température élevée, les balanciers métalliques se dilatent. La longueur du balancier n’est donc plus constante. Pour

éviter ces irrégularités, on utilise des pendules à compensation. Le pendule à mercure et le pendule à grille en sont des exemples. Le premier est muni d’un cylindre de verre contenant du mercure. Lorsque le pendule s’allonge sous l’effet de la chaleur, l’élévation du niveau de mercure dans le cylindre compense l’augment ation de la longueur du balancier. Le pendule à grille se compose d’une

série de barres métalliques verticales constituées de matériaux différents, en général en acier ou en cuivre. Leurs coefficients de dilatation sont donc différents. Si les longueurs relatives de ces barres sont soigneusement ajustées, les variations de température n’ont pas d’effet sur la mesure du temps par le pendule.

Page 3





3-Etude de mouvement : 3-1-pour les petites oscillations ; On a l’énergie totale d’un pendule simple est la somme de l’énergie cinétique (Ec ) et l’énergie potentielle ( Ep ).

Avec



θ

1 d 2 I( ) 2 dt

Ec =

 − θ θ  − θ

Ep = mgl 1

Donc 1

2 d

θ

2 1 2 d ml ( dt ) 2

=

cos

2

Etot = ml ( ) + mgl 1 2 dt On a:

⟺ ⟺ θθ θ dE tot

=0

dt

2 2d (ml dt dt d

d

θθ

2 2d d

ml

cos

+ mgl

θ

dt dt

+ mgl sin ) = 0

d

θ

dt

cette énergie est conservée

θ

sin = 0

On a dt ≠ 0 (la vitesse angulaire ne pouvant être nulle) On a donc :

θ

2 2d ml dt

d2

θ

+ mgl sin = 0 (on divise sur ml2 )

θ θ θ θ

dt

g

+ l sin = 0

Pour les faibles oscillations sin θ≈θ d’où d2

g

+ = 0 est une équation différentielle du 2eme ordre. dt l

La solution est de la forme : θ= α sin (ωt+φ) d’où ω = Puisque T =

πω ⇒

2



T = 2π

l

g



g l

.

Page 4





3-2-pour les grandes oscillations ;

θ

1

2 d 2 ml ( ) 2 dt

Etot =

 − θ

+ mgl 1

cos

⟹α θ⟹ α− θ θ  α− θ θ  θ− α ⟹ θ  θ− α

Soit α l’amplitude du pendule on a alors : Ecin (θ = α) = 0 E = mgl (1- cos α)

Puisque l’énergie totale est constante à touts points alors E =E E E =0

α

1 2

d

ml2 ( )2 + mgl cos

=0

cos

dt

L’équation donne alors : 1 2 d

d

2

l ( ) = g cos

2

( ) =

cos

dt

dt

2g

cos

l

   θ− α θ    θ− α α θ     θ− α θ α θ

2g

= dt dt

d

d

cos

l

l

=

cos

1

2g

cos

cos

La période sera donc : T =

l

2g 0

d

cos

On pose k = sin 2 et sin 2 = sin l’intégrale précédente à :

T=4

cos

π

    − φ φ α  l

d

2

2g 0

1 k 2 sin 2

2

cos

α

.sin φ pour ramener

qui est une intégrale elliptique du

1er Ordre et donc le développement en série est :

T = 2π

l

1

[1+ sin2 +…………..] . g 4 2 Page 5





4-MANIPULATION :

Montage et méthode de travail : On dispose d’un tri-pied sur le quelle une tige est fixée

horizontalement. On constitue le pendule en suspendant une masse à un fil fixé à cette potence par son extrémité supérieure .on dispose de plusieurs masselottes de forme cylindrique ou sphérique et de fil de pèche. On laisse la balle suspendue quelque se contes avant la mesure de la longueur du pendule puis on écarte légèrement la masse de sa position d’équilibre et on qualifie ce mouvement après on

déterminer pour chaque longueur. La période T (l de 10 a 60cm) sans négliger le rayon de la balle.

Page 6





I. Partie 1 : Variation de la période en fonction de la longueur [T=f ( pour les faibles oscillations :  La qualification du

 

)]

mouvement :

Le pendule va et vient périodiquement autour d’une position d’équilibre et après un certain temps il s’arrête. On relève pour chaque mesure :  La longueur du fil "l" (l peut être réglé à la longueur désirée)  La période "T" le temps d’une oscillation.



 

Tmoy =



On calcule



On calcule les incertitudes tel que :

Pour la longueur du fil "L" on a

∆∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆∆ ∆

∆∆ 

T 1 +T 2 +T 3

∆

3

L = Linst + Llecture + Lmesure Linst = 1mm , Llecture = 0.5mm Lmesure = 0 on a musuré une seule fois .



Pour le rayon de balle "r" :



∆ ∆ ∆

r = rinst + rlecture + rmesure rinst = 0.05 mm , rlecture = 0.025 mm rmesure = 0 (on a musuré une seule fois)



Pour "l" :

l = L + r =1.575 mm

Page 7



 

∆ 

Pour "

l ": 1 2 1 2

On a l = (l)

 ∆ ∆ ⟺  ∆ ⟺  ⟺∆  ln l = ln (l) l

l

=

ln l =

1 l 2 l

l =

1 2

ln (l) 1 l

l(

2 l

)

(Les résultats dans le tableau) 

Pour la période "T":

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆  ∆ − 

T = Tinst + Tlecture + Tmesure

Tinst = 0.001s , Tlecture = 0 s affichage numérique Tmesure = max Ti Tmoy



On a T = (T moy ± ∆T) s Donc : Pour essai-1-………………. Pour essai-2-………………. Pour essai-3-………………. Pour essai-4-………………. Pour essai-5-……………….

∆ ∆ ∆ ∆ ∆

= (1.115 ± 0.003) s = (1.283 ± 0.004) s = (1.430 ± 0.003) s = (1.583 ± 0.003) s = (1.686 ± 0.004) s

Page 8





5-Tableau de mesure des périodes pour chaque longueur : gran N°

l=L+r (m)



(m)

1

0.3127

0.559 1.40

2

0.4127

0.642 1.22

3

4

5

 

0.5127

0.6287

0.7127

  − − − − −

∆ (m)

0.716 1.09

0.792 0.99

0.844 0.93

T (s)



(s) ∆T (s)

1.117 1.115 1.119 1.284

1.115

0.003

1.281

1.283

0.004

1.283 1.431 1.430

1.430

0.003

1.583

0.003

1.686

0.004

1.429 1.582 1.583 1.584 1.686 1.684 1.688

6-Le graphe de la période (T) en fonction de ( ( )] sur le papier millimétré

 

) [T=f

Page 9





 Calcule de g :

On a théoriquement :

 ⟺  π  l

T =2π

T=

g

2

g

l

Et on a graphiquement : Le trace est une ligne droite passe par l’origine leur équation :

ρ ρ ρ −− ρ = 2.003 s/ π ρ⟺  π ρ ⟺  ρπ ⟺ T=

[tel que représente la pente]

l

=

1.686 1.115

0.844 0.559

1 2

m .

Et par application on a 2

g

= g

2

=

1

g=

2

g=

πρ

4 2 2

Application numérique :

g = 9.86 m/s2 .  Calcule de l’incertitude sur g (∆g)

On utilise la méthode des pentes

ρρ

On a l’incertitude sur la pente : ∆ =

Avec : (T 2 + = max ( l

ρ ρ

−ρ

min

2

  ∆ − −∆ − − −  −∆ −∆ −−  ∆∆  − − − −− − − − −  ∆ −  −∆  2

min

max

:

=(

(T 2

l2+

T 2 ) (T 1 T1) 1.686+0.004 (1.115 0.003) = l 2 ) ( l 1 + l 1 ) 0.844 0.93×10 3 (0.559+1.4×10 3 ) T 2 ) (T 1 + T 1 ) 1.686 0.004 (1.115+0.003) l2 ) ( l 1

l1 )

= 0.844+0.93×10

3

(0.559 1.4×10 3 )

Page 10




On a alors

ρρ


1 2

= 2.044 s/m .

max

1 2

= 1.962 s/m .

min


ρ ρ

∆ =

−

2.044 1.962 2

1 2

∆ = 0.041 s/m

πρ πρ ⟺

On sache que g = Donc: ln g = ln (

4 2 2

4 2 2

)

ln g = ln (4

⟺ ln g = ln 4 +2 ln π + 2 ln ρ ∆ ∆ρρ ⟹∆ ∆ρρ ∆ g

g

=2

π ρ 2

) - ln

2

g = 2g ( )

Alors g = 0.403 m/s2 .

g= (9.860 ± 0.403) m/ s2 . 9-conclusion :



La valeur de la gravitation est proche à la valeur réelle (g=9.89 m/ ).

Page 11


 II.


Partie 2 :

   

Variation de la période en fonction de l’angle de variation [T=f (

)]:

α

On relève pour chaque mesure : 

L’angle de pendule " " (l peut être réglé à l’angle désirée)

"l" la longueur du pendule est constante l= 0.5 m.  La période "T" le temps d’une oscillation. 

 On calcule 



 

Tmoy =

T 1 +T 2 +T 3 3

On calcule les incertitudes tel que :

Pour la longueur du fil "l" on a :

∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆ ∆ −

l = linst + llecture + lmesure linst = 1mm , llecture = 0.5mm , lmesure = 0 (on a musuré une seule fois) l = 1.5 × 10 3 m.



Pour la période "T":

∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆  ∆ − 

T = Tinst + Tlecture + Tmesure

Tinst = 0.001s , Tlecture = 0 s affichage numérique Tmesure = max Ti Tmoy



Page 12





On a T = (T moy ± ∆T) s Donc : Pour essai-1-………………. Pour essai-2-………………. Pour essai-3-………………. Pour essai-4-………………. Pour essai-5-………………. 

Pour la longueur"x" on a :

∆∆ ∆ ∆∆ ∆ ∆

∆∆ ∆∆ ∆

= (1.450 = (1.467 = (1.488 = (1.513 = (1.540

± 0.002) s ± 0.002) s ± 0.002) s ± 0.002) s ± 0.002) s

∆

x = xinst + xlecture + xmesure xinst = 1mm , xlecture = 0.5mm , xmesure = 0 (on a musuré une seule fois) x = 1.5 × 10



L’incertitude sur sin2

α

αα ∆ 2

α

−

3

m.

, " sin2 ( )" : 2

On pose Sin² = D 2

Log sin² 2 = log D

α

α

α α  α α α α α α 



(Log D)’ = (log sin² )’ = 2(log sin ) 2



2

( ) = 2(cos 2 / sin2 ) d

= sin² 2 × (cos² 2 / sin²2 ) d

Δ Sin² = sin ×cos 2

α

Avec: Δ =

2

Δ αα sin

cos

2

×Δ .

. Page 13




α

On a:

Sin =



α ∆ ∆ =

sin

 ∆  ∆  ∆  ∆  ∆   ∆  ∆  ∆  ∆  ∆ Δ sin


+

= sin

 ∆ (

∆

+ )

sin

1

= 0.500 (1.5/250 + 1.5/500) = 0.0045

sin

2

= 0.642 (1.5/321.3 + 1.5/500) = 0.00492

sin

3

= 0.766 (1.5/383 + 1.5/500) = 0.00529

sin

4

= 0.866 (1.5/433 + 1.5/500) = 0.00559

sin

5

= 0.939 (1.5/469.8 + 1.5/500) = 0.00581

Donc:

Δ

     

= Δ sin

1

= sin

1

/ cos

2

= sin

2

/cos

3

= sin

3/

4

= sin

4/

5

= sin

5/

 α α α α α α

cos cos

cos

/ cos

1

= 0.00450 / 0.866 = 0.00519

2

= 0.00492 / 0.766 = 0.00642

3

4

5

= 0.00529 / 0.642 = 0.00823 = 0.00559/ 0.500 = 0.0111 = 0.00581 / 0.342 = 0.0169

α α α



Alors Δ Sin²2 = sin 2 ×cos 2 ×Δ . Les résultats dans le tableau suivant

Page 14





Tableau de mesure des périodes pour chaque angle : g X (mm)

     

(°)

( )

∆

( )

T (s)

(°)

1

250

30

15

0.066

0.00129

2

321.3

40

20

0.116

0.00206

3

383

50

25

0.178

0.00315

4

433

60

30

0.250

0.00480

5

469.8

70

35

0.328

0.00794

1.451 1.450 1.450 1.467 1.466 1.467 1.488 1.487 1.488 1.513 1.514 1.513 1.540 1.540 1.541



(s)

∆T (s)

1.450

0.002

1.467

0.002

1.488

0.002

1.513

0.002

1.540

0.002

Le graphe de la période (T) en fonction de

 

[T=f(

( ))] sur le papier millimétré:

 

( )

Page 15





 Calcule de g :

On a théoriquement :

 ⟺ π 

l

1

sin2

α

l

T= 2

α

[1+ sin2 +…………..]. g 4 2

T = 2π

g

2

+……………

Et on a graphiquement : Le trace est une ligne droite passe par l’origine leur équation :

α ρ  −  − 

ρ

2

T=

sin

ρ ρ= =

[tel que représente la pente]

2

.

.

.

.

0.353 s.

Et par application on a

π 

l

2

= g

ρ⟺ π

2

l

4 g

=

ρ⟺ 2

πρ 2

g=4

l 2


g = 9.900 m/s2 .  Calcule de l’incertitude sur g (∆g)

:

On utilise la méthode des pentes

Page 16





On a l’incertitude sur la pente : ∆

Avec : max =

ρρ =

max

∆ − −∆ ρ  α −∆− α −− α ∆ α  − − −∆− − ∆ − ρ  α− ∆ −α − α −∆ α − − − −  (sin 2

(T 2 + T 2 ) (T 1 T1 ) sin 2 ) (sin 2 + sin 2

22

22

1.540+0.002

21

22

22

1.540 0.002

= 0.328+7.94×10 On a alors

min

2

=

21

)

(1.450 0.002)

0.328 7.94×10 3 (0.066+1.29×10 3 ) (T 2 T 2 ) (T 1 + T 1 ) = min (sin 2 + sin 2 ) (sin 2 sin 2

ρρ

−ρ

21

21

)

(1.450+0.002)

3

(0.066 1.29×10 3 )

= 0.371 s. = 0.317 s.

max

min


ρ ρ

∆ =

−

0.371 0.317 2

∆ = 0.054 s.

On sache que g =

πρ 2

l

4

2

⟺ π ρ ⟺ ln g = ln +2 ln π 2 ln ρ– ∆ ∆ρρ ∆ ⟹∆ ∆ρρ ∆ ∆ Donc: ln g = ln ( l

g

g

=2

l

l

πρ 2

4

l

) 2

ln g = ln (l

-

g = 2g (

2

) - ln 4

2

ln 4

l

l

)

Alors g = 0.00908 m/s2 .

g= (9.90000±0.00908) m/ s2 .

Page 17





9-conclusion :



La valeur de la gravitation est proche à la valeur réelle (g=9.89 m/ ).

CONCLUSION GENERALE : Dans ce TP., nous allons étudier le mouvement de pendule simple et mesurer la période T, et on a étudié leurs mouvements. Ce TP nous a permis de mieux comprendre et utiliser le pendule simple, on a apprit aussi comment mesurer les incertitudes de l’angle .

α

Nous allons étudier aussi les incertitudes et on a calculé à la fin la gravitation. On a apprit aussi la mesure de la gravitation et on a trouvé une valeur proche à la valeur réelle. g : Accélération de la pesanteur (g =9.8 m/s 2).

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Pendule Simple

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