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PENDULE DE FOUCAULT
Gilbert VINCENT
Février 2004 http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/
Pendule de Foucault
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Plan du pendule fixe par rapport à une étoile
Au pôle
Dans le repère terrestre, le plan du pendule: • effectue un tour en 1 journée • est fixe (plan de l’équateur)
A l’équateur
La terre tourne
La terre tourne
Pendule de Foucault
Plan du pendule fixe par rapport à une étoile
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PENDULE DE FOUCAULT "Je vous invite à venir voir tourner la Terre". Non la proposition de Foucault n’était pas d’observer le mouvement des étoiles, mais de s’enfermer dans une pièce et de regarder osciller un pendule. Ceci mérite bien une petite étude que nous allons mener selon l'itinéraire ci-dessous : Le pendule aux pôles et à l'équateur Présentation du problème général Forces appliquées Accélération: repère Galiléen Terre-Etoiles Application du principe fondamental de la dynamique (PXY) Position d'équilibre et simplifications Introduction de la variable complexe Résolution avec conditions initiales Equation du mouvement et conclusion Mouvement dans un repère tournant Autre résolution: coordonnées locales polaires (P, r, α) Le pendule et les pseudo-forces
LE PENDULE SIMPLIFIE
LE PENDULE AU POLE NORD (OU SUD) ET A L’EQUATEUR
Aux pôles Un pendule qui serait écarté de sa position d’équilibre, et lâché sans vitesse initiale, au pôle ne reste pas dans un plan fixe par rapport à l’observateur assis à côté. Il semble faire un tour en 1 journée. Voici la raison : un pendule lancé au pôle garde une direction constante … PAR RAPPORT AUX ETOILES. Il n’y a aucune force susceptible de faire tourner son plan d’oscillation avec la terre. Il ne faut pas inventer une force d’ "entraînement" communiquée par l’air ou par tout autre moyen! Si le pendule est mis sous vide, son comportement est inchangé. Ce plan étant fixe par rapport aux étoiles, c’est la terre qui tourne sous le pendule, en un peu moins de 24h. NB. Le temps de révolution est de 23h 56min 04,1sec, jour sidéral, période nécessaire pour retrouver une étoile à la même position. Ce temps est facile à vérifier en observant le lever ou le coucher, ou encore le passage d’une étoile brillante plusieurs jours de suite.
Pendule de Foucault
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Ω
N
M uur K
ur J
H Parallèle
P
ϕ
O
λ Mé r id i en
Equateur
Vers Etoile
S
Pendule de Foucault
L
A Point de fixation du pendule
r I ur E
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A l'équateur A l’équateur, le plan d’oscillation est fixe, quelle que soit la direction dans laquelle on l’écarte avant de le lâcher. Ceci se comprend encore très bien si le pendule est lancé dans le plan de l’équateur : le plan de l’équateur est fixe par rapport aux étoiles, celui du pendule aussi, il n’y a donc pas de rotation du plan du pendule dans le repère local. Si à l’équateur le pendule est lancé suivant une direction Nord Sud, c’est un peu plus compliqué, mais le physicien dirait que vu la symétrie du problème, il n’a aucun argument pour fixer le sens de rotation dans un sens ou dans l'autre, donc le plan ne tourne pas. Si la direction du lâcher est quelconque, la discussion se complique, et comme nous ne sommes généralement ni au pôle ni à l’équateur, il est temps de formaliser le problème.
PRESENTATION DU PROBLEME GENERAL La figure pose le problème dans toute sa généralité. Le pendule, supposé ponctuel, repéré par le point M, est suspendu au point A par un fil de longueur L. La terre est supposée à symétrie rsphérique, uur dans l’espace en compagnie d’étoiles ur seule lointaines. Le point P et les axes X ( I ), Y ( J ), Z ( K ) sont le repère local que l’on pourrait matérialiser dans un amphithéâtre. La question que l’on se pose est : quelle est la trajectoire du pendule dans le repère local ?
FORCES APPLIQUEES Il n’y a que DEUX forces appliquées à la masse m du pendule : • l’attraction de la terre • la tension du fil Le problème du pendule est un trop grand classique pour le reprendre ici et nous allons simplement utiliser certaines de ses conclusions. Pour des petits mouvements (X ou Y très petits devant L), la résultante de ces 2 forces est une force proportionnelle à l'écart θ du pendule : ou F = − mgθ F = − mg ( PM / L ) Toujours du fait des uuuu faibles amplitudes envisagées, la variable Z (altitude) ne sera pas r considérée, et le vecteur PM sera repéré par : uuuur r ur PM = X I + Y J La force résultante (Terre+fil) est alors très bien approchée par l'expression: ur r ur ur r ur mg g F = −mω02 ( X I + Y J ) avec ω02 = ou F =− (X I +Y J) L L Cette force est nulle si M est en P, et proportionnelle à l'écart du pendule par rapport à la droite OA.
NB: ces approximations poseront un petit problème plus loin (cf. application PFD)
Pendule de Foucault
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Plan du pendule OAM (ou PAM). Résultats classiques θ petit uur K
Position dans PXYZ
uuuur r ur PM ≅ X I + Y J
A
Mouvement suivant Z négligeable
L
θ M P
Force résultante
uur r ur FR ≅ − mω02 ( X I + Y J )
ω02 =
g L
La pesanteur ramène le pendule suivant AP (ou AO)
Vers centre O de la terre
Pendule de Foucault
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ACCELERATION: REPERE INERTIEL TERRE-ETOILES Le repère « amphithéâtre » est insuffisant pour traiter ce problème, car même si son extension spatiale n’est pas très importante, le temps sur lequel il se déroule exige un repère plus "large". Dans un repère de type local (amphithéâtre), l’application du principe fondamental conduirait au mouvement classiquement établi d’oscillations harmoniques dans un plan fixe, ce qui est contraire à l’observation. Calculons donc l’accélération dans un repère constitué par le centre de la terre O et des axes lié aux étoiles : ce repère prend donc bien en compte la rotation que nous caractérisons par le ur vecteur Ω : suivant l’axe de rotation de la terre, orienté du Sud vers le Nord (voire le tirebouchon) dont le module est égal à 2π / 86164 rad/s et qui est constant en module, sens et direction.
Position La position du pendule est repérée par : uuuur uur r ur Rappel : Z est considéré comme négligeable. OM = RK + ( X I + Y J ) Pour calculer l'accélération, nous pouvons employer le théorème de composition des accélérations (voir annexe), mais il est tout à fait possible d’opérer par différentiation, ce que nous allons faire. Nous aurons besoin pour cela des différentielles de vecteurs unitaires, que nous allons établir tout de suite en nous aidant des figures ou mieux d’un globe terrestre. r ur d I = −E d λ vecteur dans le plan de rotation (plan du parallèle) ur r doit faire zéro si ϕ = 0 (translation pure) d J = − sin ϕ I d λ uur uur r doit faire zéro si ϕ = π 2 ( K tourne sur lui-même) d K = + cos ϕ I d λ ur r d E = I dλ vecteur dans le plan de rotation (plan du parallèle) ur NB: le vecteur E ne fait pas partie de la panoplie ordinaire des trois vecteurs de base des repères sphériques, mais il est extrêmement utile.
Il n’y a plus qu’à calculer la vitesse puis l’accélération.
Vitesse Fort de ces relations, calculons la variation différentielle de la position: uuuur uur r ur r ur dOM = Rd K + Xd I + Yd J + IdX + JdY Soit, en remplaçant lesurdifférentielles desrvecteurs par leurs expressions: uuuur ur r ur d OM = [ R cos ϕ I − X E − Y sin ϕ I ]d λ + IdX + JdY Pour obtenir la vitesse, il faut diviser par dt et, compte tenu de d λ / dt = Ω : uur r ur dX r dY ur VM = [( R cos ϕ − Y sin ϕ ) I − X E ] Ω + I+ J dt dt Ceci est l'expression de la rvitesse du pendule dans le repère Galiléen. Dans le repère local, ur ce serait simplement ( dX dt ) I + ( dY dt ) J . Expression à vérifier en essayant de visualiser chacun des termes : annuler X et Y, faire ϕ = 0 et ϕ = π / 2 …
Pendule de Foucault
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Coordonnées locales X,Y,Z Plan tangent à la sphère
Y
ur Ω
Vers Nord
Vers Nord
uur K
P
ur J
Vers Est
r I
uur K
r I
Y
ur J
ϕ = Cte
PS: la direction Z est notée "suivant OP"; il n’est pas écrit "suivant la verticale". Si la verticale est bien définie comme la direction du fil à plomb, OP et la verticale ne sont pas confondus, nous verrons plus loin pourquoi.
Plan du parallèle (ou plan équatorial)
ur Ω
Attention, ce n’est pas un dessin dans l’espace, mais dans un plan
est normal au plan du parallèle (et à celui de l’équateur)
ur Ω
Vers Est
ur E
X
P
r I
r I
ur E
P dλ =Ω dt
λ
Vers étoile
ra Pa
Parallèle
le llè
λ n’est pas la longitude, mais un angle qui repère la rotation du plan méridien par rapport aux étoiles
Pendule de Foucault
(Latitude)
Parallèle à l’équateur
ur E
P
X
Suivant OP (vers le haut)
Z
Vers Est
X
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Accélération
uur Il n’y a plus qu’à recommencer exactement la même gymnastique, et calculer dVM puis uur uur dVM / dt . Dans dVM , garder d ( dX / dt ) (variation de la vitesse suivant X dans le repère local)
qui deviendra d (dX / dt ) / dt = d 2 X / dt 2 . Si vous avez un peu de mal, définissez VX = dX / dt et
VY = dY / dt . Ceci conduit finalement à l’accélération : uuur d 2 X ur dY Γ M = [ 2 − 2Ω sin ϕ − Ω2 X ] I dt dt 2 u r d Y + 2 J dt ur dX + [−2Ω + Ω 2 sin ϕ Y − Ω 2 cos ϕ R] E dt Là encore il est possible de visualiser les composantes. Mais du fait du rassemblement (mathématique) de termes, certaines composantes sont difficiles à "voir" : ce sont notamment les termes Coriolis, qui se distinguent par un facteur 2 et qui sont ici des couplages translationuur uuur rotation. NB : il est beaucoup plus facile de visualiser les termes dans dVM que dans Γ M .
APPLICATION DU PRINCIPE FONDAMENTAL L’application de ur ur F = − mΓ M avec, comme nous l’avons vu pour la force résultante : ur r ur 2 F = −mω0 ( X I + Y J ) nous fournit l’équation différentielle vectorielle: uuur uuur r u r Γ M + ω02 ( X I + Y J ) = 0 L'expression de Γ M n'est pas réécrite ici. Nous cherchons X et Y. Pour obtenir deux équations scalaires, il faut projeter sur 2 axes. Le plus commode est de projeter sur les axes X et Y, c’est à dire de multiplier scalairement par les ur ur ur r vecteurs I puis J . Attention J .E n'est pas nul (= − sin ϕ ). d2X dY − 2Ω sin ϕ + (ω02 − Ω 2 ) X = 0 2 dt dt 2 d Y dX + 2Ω sin ϕ + [ω02 − (Ω sin ϕ ) 2 ] Y = −Ω 2 sin ϕ cos ϕ R 2 dt dt NB: Là se situe le petit problème évoqué au début: l'accélération est valable à 3 dimensions uur ur ème équation en multipliant par exemple Γ par K etuur nous pouvons donc établir une 3 ur ( K .E = cos ϕ ). Du fait des approximations opérées, cette équation n'a pas de sens.
POSITION D’EQUILIBRE ET SIMPLIFICATIONS Plaçons nous tout à la position d’équilibre du pendule : X = Cte et Y = Cte . Dans le repère local PXY la vitesse est nulle, ainsi que l’accélération. Les 2 équations conduisent à : X eq . = 0 Yeq. = −
Ω2 sin ϕ cos ϕ R ω02 − (Ω sin ϕ )2
Pendule de Foucault
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EQUILIBRE Y
Yeq. = − R
Ω2 sin ϕ cos ϕ ω02 − (Ω sin ϕ )2
1 RΩ2 Yeq. ≅ − L sin 2ϕ 2 g
X
P Yeq P’
Position d’équilibre du pendule
Changement d’axe à effectuer pour éliminer le terme constant des équations
Pour le pendule classique, Yeq/L est au maximum égal à 0,0017 P et P’ sont pratiquement confondus
Pendule de Foucault
11 X eq. ne nous surprend pas, mais pourquoi Yeq . n’est-il pas nul ?
Il suffit de regarder la figure de la présentation du problème pour se rendre compte que du fait de la rotation de la terre, le pendule doit s’écarter le la direction AO. Pour parler "Galilée", le pendule décrivant un cercle, il faut une force pour assurer cette rotation, et c’est ce petit écart Yeq . qui permet à la pesanteur d'assurer cette force. Si cela ne vous convainc pas, pensez à la pseudo force centrifuge … A ce stade, deux réflexions. 1) On peut effectuer un changement de variable très simple Y ' = Y − Yeq . . C’est une simple translation des axes qui ne change pas les dérivées. Le terme constant de la deuxième équation différentielle disparaît. En réfléchissant on s’aperçoit d’ailleurs que le pendule va "automatiquement" faire ce changement de variable, puisqu'au repos, il va se positionner en Y = Yeq . , suivant la verticale du lieu qui n'est donc pas suivant PA (ou OP). 2) Pour notre système, Ω est tout à fait négligeable devant ω0 : les périodes correspondantes sont la journée et quelques secondes: (Ω / ω ) 2 = 10−8 à 10−10 Donc nous avons sensiblement :
1 RΩ2 Y = − L sin(2ϕ ) eq . 2 g ω02 La valeur de Yeq est maximum sous 45 degrés de latitude, et pour L=10m, ordre de grandeur des Yeq. = − R
Ω2
sin ϕ cos ϕ
soit
grands pendules de démonstration, Yeq = 17 mm . Cette correction est donc faible, et on pourrait la négliger, et donc supprimer le terme constant sans autre forme de procès. Nous allons cependant effectuer le changement de variable Y ' = Y − Yeq. en gardant en mémoire que cette correction est faible et que pratiquement, les déplacements observés vérifient Y', donc la valeur que nous allons calculer, et non pas Y. Les deux équations s'écrivent finalement, en négligeant Ω 2 devant ω02 : d2X dY ' − 2 Ω sin ϕ + ω02 X = 0 2 dt dt 2 ' d Y dX + 2Ω sin ϕ + ω02Y ' = 0 2 dt dt En supprimant la rotation de la terre ( Ω = 0 ), les équations deviennent de très classiques équations harmoniques indépendantes. Cette rotation couple donc X et Y, de manière assez symétrique, par un terme de dérivée première.
INTRODUCTION DE LA VARIABLE COMPLEXE ZC En posant ZC = X + iY '
Ω S = Ω sin ϕ
et
Les 2 équations se résument à une seule:
Pendule de Foucault
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CONCLUSION Trajectoire du pendule dans P’XY’ 1/ Oscillations harmoniques de pulsation ω0 2/ Rotation du plan d’oscillation Si ϕ>0, sens horaire Si ϕ<0, sens trigonométrique
Vers le Nord
Y’
ur J P’ 2Xinit
r I
Vers l’Est
X (Ωsinϕ).t
Pendule de Foucault
13 d 2 ZC dZ + 2 i Ω S C + ω02 Z C = 0 2 dt dt Un deuxième changement de variable ou Z C 0 = Z C exp[iΩ S t ]
Z C = Z C 0 exp[ −iΩ S t ]
( Ω S = Ω sin ϕ )
reporté dans l'équation en ZC conduit à: d 2 ZC 0 + [ω02 + Ω 2S ]Z C 0 = 0 dt 2 qui compte tenu des valeurs respectives de ω0 et Ω S (= Ω sin ϕ ) se simplifie sous la forme: d 2 ZC 0 + ω02 Z C 0 = 0 2 dt Nous ne pouvions pas rêver beaucoup plus simple! C'est l'équation d'une évolution harmonique de pulsation ω0 . Sans aller plus loin dans les calculs, nous pouvons donc décrire le mouvement: • c'est une oscillation harmonique de pulsation ω0 , traduite par l'équation d 2 Z C 0 dt 2 + ω02 Z C 0 = 0
•
le plan de l'oscillation tourne avec une vitesse - Ω S : c'est le sens de l'équation Z C = Z C 0 exp[ −iΩ S t ]
RESOLUTION AVEC LES CONDITIONS INITIALES La solution de l'équation en Z C 0 s'écrit: Z C 0 = A exp(iω0t ) + B exp(−iω0t )
Soit en en revenant à ZC : Z C = exp(−iΩ s t )[ A exp(iω0t ) + B exp(−iω0t )] Fixons nous des conditions initiales. Par exemple: t = 0, X = X init . , Y ' = 0, dX / dt = 0, dY ' / dt = 0 Appliquons ces conditions à la variable complexe ZC et à sa dérivée: Z C = A exp[i (ω0 − Ω s )t )] + B exp[−i (ω0 + Ω s )t ] dZ C / dt = i (ω0 − Ω s ) A exp[i(ω0 − Ω s )t )] − i (ω0 + Ω s ) B exp[−i (ω0 + Ω s )t ] Les deux inconnues A et B doivent vérifier: X init . = Z C ( t =0) = A + B 0 = (dZ C / dt )t =0 = i (ω0 − Ω s ) A − i (ω0 + Ω s ) B d'où: X Ω A = init . (1 + S ) 2 ω0 B=
X init . Ω (1 − S ) 2 ω0
Pendule de Foucault
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TRAJECTOIRE LOCALE DU PENDULE Nord 1,0
Y’/Xinit. Conditions initiales: • X=Xinit • vitesse nulle
0,5
X/Xinit. Ouest
0,0 -1,0
-0,5
0,0
P’
0,5
1,0
-0,5
-1,0
1/ Hémisphère Nord. 2/ Le rapport Ω/ω0 est très exagéré (10-1) par rapport à celui du pendule de Foucault (10-4)
Pendule de Foucault
Est
15 La fonction Z C s'écrit donc: X Ω X Ω Z C = X + iY ' = init . (1 + S ) exp[i (ω0 − Ω s )t )] + init . (1 − S ) exp[−i (ω0 + Ω s )t ] 2 ω0 2 ω0 En identifiant les termes réels et imaginaires: Ω Ω X X = init . (1 + S ) cos[(ω0 − Ω s )t ] + (1 − S ) cos[(ω0 + Ω s )t ] 2 ω0 ω0 Y' =
ΩS Ω X init . ) sin[(ω0 − Ω s )t ] − (1 − S ) sin[(ω0 + Ω s )t ] (1 + 2 ω0 ω0
Soit encore, en utilisant les lois d'additions de la trigonométrie: Ω X = X init .[cos(ω0t ) cos(Ω s t ) + S sin(ω0t ) sin(Ω s t )] ω0 Y ' = X init .[− cos(ω0t ) sin(Ω S t ) +
ΩS
sin(ω0t ) cos(Ω s t )] Ω S = Ω.sin ϕ ω0 Voir la figure "trajectoire locale du pendule" pour illustration. Pour avoir une idée approchée (mais attention, ceci déforme les trajectoires) en négligeant Ω s / ω0 , les expressions deviennent très simples: X = X init . cos(ω0t ) cos(Ω s t ) Y ' = − X init . cos(ω0t ) sin(Ω S t ) Y' = −tg (Ω S t ) Ω S = Ω.sin ϕ X Cette dernière relation a une signification très claire. Pour résumer: Le pendule effectue un mouvement harmonique de pulsation ω0 telle que ω02 = g / L
Le plan du pendule effectue un mouvement de rotation dans le sens trigonométrique dans l'hémisphère Sud et dans le sens horaire dans l'hémisphère Nord (l'équateur est l'équivalent d'un miroir). La vitesse angulaire Ω S de cette rotation est égale à Ω sin ϕ , liée à la latitude ϕ et à la vitesse de rotation de la terre Ω . Elle est nulle à l'équateur et égale à Ω aux pôles. La période en un lieu donné est T=1 jour/sinϕ C'est le génie du pendule de Foucault: enfermé dans une cave, on peut affirmer que la terre tourne, et même déterminer la latitude si la période de rotation de la terre est supposée connue. Attention, ces conclusions sont sensiblement différentes lorsque Ω n'est pas négligeable devant ω0. C'est notamment le cas lors d'expériences en laboratoire ou Ω est simulé avec une table tournante. Il existe une explication simplifiée pour expliquer la période de rotation du plan du pendule sous une latitude quelconque. Basée sur la différence des vitesses de la terre au point extrême atteint par le pendule, elle marche lorsque le plan d’oscillation est Nord-Sud, mais reste muette pour une orientation Est-Ouest: elle est présentée en fin de document. A titre d’exercice, une approche avec des coordonnées locales polaires est maintenant proposée.
Pendule de Foucault
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Mouvement dans l’espace ZC’
Le système d’axes P’xy tourne à la vitesse –ΩS par rapport au système local P’XY
Trajectoire du
y
pendule
(Ω.sinϕ /ω)X
init.
X
P’
−Ω S t Xin
it.
Ellipse extrêmement aplatie, rapport des axes ~10-4 A ne pas confondre avec la trajectoire réelle du pendule (cf. figure précédente)
Trajectoire dans le plan P’XY d’un pendule lancé avec vitesse initiale négative suivant Y. 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.0 -1.0
-0.5
-0.2
0.0
0.5
-0.4 -0.6 -0.8 -1.0
Pendule de Foucault
1.0
x
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MOUVEMENT DANS UN REPERE TOURNANT Nous venons de voir que dans notre repère P’XY, fixe par rapport au sol, le mouvement du pendule a une allure en "étoile". Il est beaucoup plus simple dans un repère tournant à la vitesse −Ω S . C’est en fait le repère de la variable complexe Z C 0 , dans lequel le mouvement a été trouvé égal à: Z C 0 = A exp(iω0t ) + B exp(−iω0t ) En reprenant les conditions initiales précédentes (lâcher sans vitesse initiale le long de l’axe X), nous avons montré que les constantes A et B respectent : A=
X init . Ω (1 + S ) 2 ω0
B=
X init . Ω (1 − S ) 2 ω0
Appelons x et y les variables du repère Z C 0 . Nous avons en développant les exponentielles imaginaires : X Ω X Ω Z C 0 = x + iy = init . (1 + S )[cos ω0t + i sin ω0t ] + init . (1 − S )[cos ω0t − i sin ω0t ] 2 ω0 2 ω0 D’où, en identifiant les termes réels et imaginaires : x = X init . cos ω0t ΩS
sin ω0t ω0 Ceci est l’équation d’une ellipse, très aplatie puisque Ω S ω0 est faible, parcourue en un temps T = 2π ω0 , période du pendule y = X init .
NB : La littérature traite très généralement le cas du lâcher sans vitesse initiale. La trajectoire observée doit donc être celle de la figure "Trajectoire locale du pendule" : à chaque demipériode, le pendule s’immobilise. Or on trouve souvent dans cette littérature des courbes aussi esthétiques que fantaisistes, qui correspondent en fait à des lâchers avec une vitesse tranversale. Dans le repère Z C 0 que nous venons d’étudier, lorsque le pendule arrive à une extrémité (x=Xinit par exemple), il est très facile de montrer que le pendule a une vitesse dy/dt =XinitΩS, qui est égale et opposée à la vitesse d’entrainement du système d’axes Xinit(-ΩS) : le pendule est bien immobile.
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Coordonnées locales polaires Plan tangent à la sphère
Vers Nord
ur w
Y
uur K
r
ur J P
M
r u
θ
r I
Vers Est
X
Pendule de Foucault
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PENDULE DE FOUCAULT: COORDONNEES POLAIRES
Accélération D'après la relation de composition des accélérations (Annexe 1) ur uuur uur ur uur ur ur uuuur d Ω uuuur uur Γ M = Γ P + 2Ω ∧ VR + Ω ∧ [Ω ∧ PM ] + ∧ PM + Γ R dt uur uur VR et Γ R sont la vitesse et l'accélération dans le repère dit relatif PXY ur ur uuuur En supprimant le terme en Ω ∧ [Ω ∧ PM ] , négligeable (voir paragraphes précédents), et le ur terme d Ω dt qui est nul: uuur uur ur uur uur Γ M ≅ Γ P + 2Ω ∧ VR + Γ R Dans la suite, comme précédemment, nous négligerons aussi la composante Z (altitude).
Force résultante Comme nous l’avons vu, la force résultante s'écrit: ur uuuur F ≅ −mω02 PM
Application du PFD
ur uuur L’équation du PFD F = mΓ M s’écrit finalement: uur uuuur uur ur uur r Γ R + ω02 PM + Γ P + 2Ω ∧ VR = 0 Avec: uur ur Γ P = −( R cos ϕ )Ω2 E car le point P décrit un cercle (un parallèle) de rayon R cos ϕ , et les relations classiques des coordonnées polaires: uuuur r PM = ru uur dr r dθ ur VR = u + r w dt dt uur d 2 r r dθ dr dθ d 2θ ur Γ R = [ 2 − r ( ) 2 ] u + [2 + r 2 r ]w dt dt dt dt dt
r ur Ecrivons tout de suite deux équations scalaires en projetant l'équation du PFD sur u et w . r r (Se rappeler qu'un produit vectoriel impliquant u est obligatoirement perpendiculaire à u !) ur r d 2r dθ dθ ur ur r − r ( ) 2 + ω02 r − ( RΩ 2 cos ϕ ) E.u + 2r (Ω ∧ w).u = 0 2 dt dt dt ur ur dr dθ d 2θ dr ur r ur [2 + r 2 ] − ( RΩ 2 cos ϕ ) E.w + 2 (Ω ∧ u ).w = 0 dt dt dt dt Avec: ur r uur ur r ur E.u = (cos ϕ K − sin ϕ J ).(cos θ I + sin θ J ) = − sin ϕ sin θ ur ur uur ur r ur E.w = (cos ϕ K − sin ϕ J ).(− sin θ I + cos θ J ) = − sin ϕ cos θ ur ur r ur uuurr ur uur ( Ω ∧ w ).u = Ω.( w ∧u ) = Ω.(− K ) = −Ω.sin ϕ ur r ur ur uuurur ur uur ( Ω ∧ u ).w = Ω.(u ∧ w ) = Ω.( K ) = Ω.sin ϕ
Pendule de Foucault
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Jean-Bernard-Léon Foucault : Paris,
1819 - Paris, 1868
Pendule de Foucault
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Les deux équations scalaires deviennent donc: d 2r dθ dθ [ 2 − r ( ) 2 ] + rω02 + RΩ 2 sin ϕ cos ϕ sin θ − 2rΩ sin ϕ =0 dt dt dt dr dθ d 2θ dr [2 + r 2 ] + RΩ 2 sin ϕ cos ϕ cos θ + 2Ω sin ϕ =0 dt dt dt dt Au repos (r et θ constants), nous obtenons: • de la deuxième équation cos θ = 0 donc θ = ± π 2 • de la première équation: req . = RΩ 2 sin ϕ cos ϕ ω02 qui est l'équivalent du Yeq . de l'approche XY, en prenant θ = − π 2 Nous négligerons le terme RΩ 2 sin ϕ cos ϕ sin θ En posant ϖ =
dans la suite (voir discussion Yeq . ).
dθ : dt
d 2r + rω02 − rϖ [2Ω sin ϕ + ϖ ] = 0 dt 2 dϖ dr dr r + 2 ϖ + 2Ω sin ϕ =0 dt dt dt La deuxième équation conduit à: rdϖ + 2dr[ϖ + Ω sin ϕ ] = 0 => 2dr dϖ + =0 => r 2 [ϖ + Ω sin ϕ ] = Cte = C r ϖ + Ω sin ϕ Qui est une relation ressemblant à la loi des aires de Képler. En reportant ce résultat dans la première équation, nous obtenons : d 2r C C + rω02 − r[ 2 − Ω sin ϕ ][ 2 + Ω sin ϕ ] = 0 2 dt r r 2 2 d r C + r[ω02 + (Ω sin ϕ ) 2 ] − 3 = 0 dans laquelle ω02 + (Ω sin ϕ ) 2 se résume à ω02 . Finalement: 2 dt r 2 2 d r C + rω02 − 3 = 0 2 dt r C ϖ = 2 − Ω sin ϕ r
Il ne reste plus qu’à résoudre et à mettre en musique les conditions initiales …! Fixons nous tout d’abord deux conditions initiales pour y voir un peu plus clair : pendule écarté, immobile dans le repère local. r = r0 ϖ0 = 0
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FORCE DE RAPPEL ET PSEUDO-FORCES
uur uuuur uur ur uur m Γ R ≅ − mω 02 PM − m Γ P − m 2Ω ∧ VR Force rappel => oscillations harmoniques de pulsation ω 0
Coriolis => Rotation du plan
Y Centrifuge => écart équilibre / OA
ur J
P
Vers Est
r I
X
2X init L’interprétation de la rotation du plan à partir de Coriolis n’est pas aussi simple qu’il n’y paraît car VR change de sens à chaque ½ période! Il faut bien observer la trajectoire pour comprendre
Le pendule a une vitesse nulle
1,0
Y’/Xinit.
Conditions initiales • X=Xinit • dX/dt=0 • dY/dt=0
0,5
X/Xinit. 0,0 -1,0
-0,5
0,0
P’
0,5
1,0
Aux extrema, la vitesse est nulle, • il n’y a pas de pseudo-force de Coriolis, • le mobile se dirige vers la position d’équilibre P’ sous l’effet de la force de rappel (poids)
-0,5
Lorsque la vitesse augmente, la pseudo-force de Coriolis agit et incurve la trajectoire -1,0
Pendule de Foucault
23 r04 d 2r 2 + ω − r (Ω sin ϕ ) 2 = 0 0 2 3 dt r r02 ϖ = [ 2 − 1] Ω sin ϕ r La vitesse de rotation ϖ = dθ dt s’annule chaque fois que r = r0 . Il est aussi possible d’éliminer le temps pour obtenir l’équation différentielle en r et θ , en C remarquant que d’après l’équation ϖ = 2 − Ω sin ϕ : r dθ dt = Ce qui conduit finalement à : C r 2 − Ω sin ϕ d 2r C dr 2 C 2C C2 2 2 [ sin ] [ ] [ sin ] r − Ω ϕ − − Ω ϕ + ω − =0 0 dθ 2 r 2 dθ r 2 r3 r3 A ce stade il faut se tourner vers une solution numérique …
LE PENDULE ET LES PSEUDO FORCES Repartons de l'application du principe fondamental dans un repère Galiléen (cf. ci dessus), en utilisant les deuxurforces uuuuuniquement r uur uur uur en présence: tension du fil et pesanteur. 2 -mω0 PM=mΓ R + mΓ P + m2Ω ∧ VR Cette uur équation uuuurse réécrit: uur ur uur 2 mΓ R =-mω0 PM − mΓ P − m2Ω ∧ VR
ur uuuuuuuur (voir figure) Dans cette équation de type mΓ = Σ Forces uur Γ R est l'accélération dans notre repère local, qui conditionne le mouvement que nous observons. uuuur En ce qui concerne les forces : 2 - mω0 PM est la force classique de rappel du pendule uur − mΓ P est la pseudo-force centrifuge qui écarte le pendule de l'axe de la terre ur uur − m2Ω ∧ VR est la pseudo-force de Coriolis qui fait tourner le plan d'oscillation ur uur A propos de le pseudo force de Coriolis − m2Ω ∧ VR uur ur • elle est maximum au pôle car Ω et VR sont toujours perpendiculaires. • en s'éloignant du pôle son efficacité diminue uur uur • à l'équateur, la force a pour direction K (et ici, comme aux pôles, la verticale et K sont confondus) et elle ne donne aucune contribution à une rotation.
Pendule de Foucault
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Foucault
Léon Foucault Paris 1819-1868
Pendule de Foucault
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ANNEXE: CALCUL DE L'ACCELERATION PAR LES THEOREMES GENERAUX Rappel de la relation de composition des accélérations. Voir : http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/
Mécanique /changement de repère.
uuur Elle fournit l'accélération Γ M dans un repère A lorsque: uur uur uuuur • la position PM , la vitesse VR et l'accélération Γ R sont connus dans un repère R, • et que l'on dispose des deux caractéristiques du mouvement du repère R par rapport uur ur au repère A : l'accélération Γ P de l'origine du repère R, et vecteur rotation Ω . ur uuur uur ur uur ur ur uuuur d Ω uuuur uur Γ M = Γ P + 2Ω ∧ VR + Ω ∧ [Ω ∧ PM ] + ∧ PM + Γ R dt
Relation dont la démonstration utilise largement la recette qui permet d'obtenir la dérivée r r ur r d'un vecteur unitaire u : d u dt = Ω ∧ u Application au pendule de Foucault.
La terre et des ur étoiles constituent le repère A et PXYZ le repère R. Le vecteur Ω , est le vecteur rotation de la terre sur elle-même. En négligeant la variable Z, nous obtenons. ur uuur uur ur dX r dY ur ur ur r ur r ur d 2 X r d 2Y ur dΩ Γ M = Γ P + 2Ω ∧ ( I+ J ) + Ω ∧ [Ω ∧ ( X I + Y J )] + ∧ (X I +Y J) + 2 I + 2 J dt dt dt dt dt ur La vitesse de rotation étant constante, le terme d Ω / dt disparaît. L'accélération du point P est très facile à exprimer puisque le point P décrit un cercle de rayon R cos ϕ : uur ur Γ P = −( R cos ϕ )Ω2 E Le travail n'est pas terminé pour autant! Il faut effectuer les produits vectoriels. Ce qui donne: ur r ur Ω ∧ I = −Ω E ur ur r Ω ∧ J = −Ω sin ϕ I ur ur r Ω ∧ E = −Ω I uuur Il ne faut plus qu'un peu de patience pour reporter tout cela dans Γ M .
Pendule de Foucault
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PENDULE DE FOUCAULT Approche simplifiée - par la vitesse différentielle - par la force de Coriolis (qualitative)
Gilbert VINCENT Université Joseph Fourier, Grenoble Janvier 2007
http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/
Pendule de Foucault
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PENDULE DE FOUCAULT Approche simplifiée - par la vitesse différentielle - par la force de Coriolis (qualitative)
Gilbert VINCENT Université Joseph Fourier, Grenoble Janvier 2007
http://perso.wanadoo.fr/physique.belledonne/
Pendule de Foucault
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Nord
Y
r
H
ϕ
B a O A
Equateur
L’angle OBH est égal à
ϕ
Lorsque la Terre tourne, la vitesse du point A est supérieure à celle du point B
Y
2π (r − a sin ϕ ) J
B a
2π r J
O A
Y (Nord) B Trajectoire du pendule
a O
a
X a
Dans le plan horizontal
X (Est)
A
Pendule de Foucault
Vitesses (m/s)
2π (r + a sin ϕ ) J
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Démonstration simplifiée de la période de rotation Première démonstration, vitesse différentielle : Nous n’utiliserons pas ici les vitesses angulaires de rotation, mais les périodes. La terre tourne sur elle-même en un temps J Lâchons le pendule, sans vitesse initiale, depuis un point A situé au sud du point O d’équilibre, à une distance a. Il oscille avec une période T, et une amplitude 2a. La vitesse vers l’Est, liée à la rotation de la terre est, en désignant par r le rayon parcouru par le point O : 2π (r + a sin ϕ ) au point A J 2π (r − a sin ϕ ) au point B J Au bout d’une demi-période, le pendule arrive au point septentrional (au Nord) de sa trajectoire. Comme il a conservé sa vitesse du point A, il aura parcouru vers l’Est une distance de : 2π (r + a sin ϕ ) T J 2 Le repère OXY, se sera lui déplacé vers l’Est de : 2π r T . J 2 Après une demi-période, le pendule sera donc en avance d’une distance égale à la différence, soit: 2π a sin ϕ T J 2 Ceci explique la déviation du plan de rotation. Pour aller un peu plus loin, on peut établir le temps qu’il faut au point B pour effectuer un tour complet, en supposant que la vitesse de rotation est constante. Le périmètre du cercle décrit par les extrémités des oscillations mesure : 2π a A raison, pour chaque demi-période, d’une distance 2π a sin ϕ T il faudra : J 2 2π a J = demi-périodes pour faire un tour complet, soit un temps 2π a sin ϕ T T ( ) sin ϕ ( ) J 2 2 total de Pendule de Foucault
30
1,0
Y/Xinit.
Conditions initiales X=Xinit dX/dt=0 dY/dt=0
0,5
X/Xinit. 0,0 -1,0
-0,5
0,0
O
0,5
1,0
Aux extrema, la vitesse est nulle, • il n’y a pas de pseudo-force de Coriolis, • le mobile se dirige vers la position d’équilibre O sous l’effet de la force de rappel (poids)
-0,5
Lorsque la vitesse augmente, la pseudo-force de Coriolis agit et incurve la trajectoire -1,0
Pendule de Foucault
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J
T J ( )= T sin ϕ sin ϕ ( ) 2 2 La période de rotation du plan d’oscillation est donc :
J sin ϕ
Le problème est que cette approche n’explique pas le comportement du pendule pour des oscillations Est Ouest. Cette démonstration est donc fausse, même si le résultat est exact !
Deuxième démonstration : pseudo-force de Coriolis. Il est possible d’employer le repère local OXY pour exprimer la relation fondamentale de la dynamique, à condition d’ajouter aux forces réelles des pseudo-forces, pour tenir compte du mouvement de ce repère par rapport à un repère considéré comme Galiléen. Pour notre problème ce repère dit inertiel sera le centre de la Terre et des axes liés aux étoiles. Si la terre ne tournait pas, notre pendule oscillerait dans un plan fixe. Ce qui provoque la rotation du plan, c’est la pseudo-force de Coriolis qui s’exprime par (si le produit vectoriel vous uuuur est inconnu, ur ur allez directement à "plus simplement" ): FCor . = −2mΩ ∧ V ur r r Où m est la masse du pendule, Ω le vecteur rotation de la terre (= (2π J ) n ) si n est un ur vecteur unitaire porté par l’axe de la terre, dirigé du Sud vers le Nord, et V la vitesse du pendule dans OXY. Plus simplement, le pendule est soumis à une force toujours perpendiculaire à sa vitesse, et toujours dirigé vers la droite (dans l’hémisphère Nord) dont le module est égal à : 2π sin ϕ V FCor . = 2m J Cette force est nulle à l’équateur, puis s’inverse dans l’hémisphère Sud où la force est dirigée vers la gauche du mouvement. Ceci explique qualitativement que le pendule, toujours dévié vers la droite de son mouvement ait un plan d’oscillation qui tourne (voir figure).
Pendule de Foucault
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Y
Force de Coriolis
B Trajectoire du pendule
a O
a
A
Pendule de Foucault
X
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Quantitativement. Attention, attention
Prenons un pendule qui oscille au départ dans un plan Nord Sud, sur une Terre immobile. S’il part du Sud, on peut décrire son mouvement par : dY Y = − a cos(ω0t ) ( ω0 = 2π T ) et sa vitesse s’exprime par : = aω0 sin(ω0t ) dt Maintenant la terre tourne. Lors de la première demi-période, le mouvement reste sensiblement sinusoïdal le long de Y. Il en est de même de la vitesse, et donc durant tout ce temps le pendule est soumis à une force de Coriolis perpendiculaire, dirigée suivant X, égale à : FCor . = 2mΩ sin ϕ (dY dt ) = [2mΩ sin ϕ ][aω0 sin(ω0t )] Il est donc tentant de calculer le mouvement du pendule suivant X en appliquant FCor . = mΓ , soit : d2X = [2Ω sin ϕ aω0 ]sin(ω0t ) dt 2 Avec la condition initiale dX dt = 0 , la vitesse de X est donc donnée par : dX = [2Ω sin ϕ a][1 − cos(ω0t )] (dériver pour vérifier). dt Et X, nul au temps t=0, répond finalement à : Ω X = [2 sin ϕ a][ω0t − sin(ω0t )]
ω0
Au bout d’une demi période ( ω0t = π ), X est égal à : Ω X π = 2π a sin ϕ ou encore :
ω0
T sin ϕ J On trouve exactement le double de la bonne valeur (cf. approche par vitesses différentielles), ce qui prouve bien que cette simplification n’est pas valable). La période trouvée serait trop courte d’un facteur 2. X π = 2π a
Le coin du spécialiste: En fait, dans la direction X, l’équation fondamentale de la dynamique s’écrit, en tenant compte des forces réelles (voir étude complète) et de la force de Coriolis : d2X dY m 2 = − mω02 X + m2Ω sin ϕ dt dt dY = aω0 sin(ω0t ) que nous avons calculée ci-dessus : d’où en prenant la vitesse dt d2X + ω02 X = [2Ω sin ϕ aω0 ]sin(ω0t ) 2 dt Ceci correspond à une résonnance non amortie ! Cette approche est effectivement trop simplifiée !! Conclusion , attention à bien traiter les équatios couplées
Pendule de Foucault
