Pembahasan Soal OSK Matematika SMP 2017 Tingkat Kabupaten

Pembahasan Soal

OSK SMP 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMP 2017

OSK Matematika SMP (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMP)

Disusun oleh:

Pak Anang

Halaman 2 dari 20

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMP TINGKAT KABUPATEN 11 MARET 2017

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) 1.

BAGIAN A: PILIHAN GANDA Misalkan adalah suatu bilangan bulat positif. Jumlah tiga bilangan prima adalah …. TIPS SUPERKILAT: A. 12 Jadi, untuk bilangan bulat positif, maka jelas bahwa B. 14 jumlah dari ketiga bilangan prima tersebut merupakan C. 15 kelipatan 12. D. 17

,

, dan

Pembahasan: Perhatikan, bilangan prima yang genap hanya 2, sedang seluruh bilangan prima selain 2 adalah ganjil. Dan mengingat jumlah tiga bilangan ada genap, maka pastilah salah satu dari bilangan prima tersebut adalah 2. Bilangan prima genap 2 hanya dimungkinkan diperoleh dari . Sehingga, Maka untuk , diperoleh ketiga bilangan prima tersebut adalah 2, 3, dan 7. Jadi, jumlah ketiga bilangan prima tersebut adalah . Jawaban: A. 12 2.

Diketahui dan adalah dua bilangan bulat positif, serta merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada 2017. Jika , maka pasangan bilangan yang mungkin ada sebanyak …. A. 2 B. 3 C. 5 D. 8 Pembahasan:

Karena adalah bilangan ganjil, maka Sekarang perhatikan ruas kanan terdapat dan . Jadi, ada 3 buah pasangan bilangan

seharusnya ganjil pula. , berarti bilangan ganjil yang dapat dibuat adalah

yang dapat dibentuk.

Jawaban: B. 3 Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 3 dari 20 3.

Grafik berikut mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh tiga siswa Berdasarkan grafik tersebut pernyataan yang benar adalah ….

,

, dan

.

100 80

Jarak (meter)

60 50 40 20 10 0

A. B. C. D.

0

2

4

6 8 10 12 14 16 18 Waktu(detik)

Pelari C selalu berlari paling depan. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis. Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis. Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan konstan.

Pembahasan: Dapat diamati pada grafik bahwa jarak tempuh adalah 100 m ditandai dengan garis putus-putus. Kemiringan garis menyatakan kecepatan gerak lari dari pelari. Sehingga, pelari A mula-mula bergerak dengan kecepatan tinggi, sebelum akhirnya berhenti setelah menempuh jarak 80 m. Sedangkan pelari B bergerak semakin melambat setelah 10 detik. Dan pelari C bergerak semakin cepat setelah 10 detik. Untuk waktu tempuhnya, pelari A tidak sampai di garis finis. Pelari B membutuhkan waktu 18 detik untuk tiba di garis finis. Sedangkan pelari C lebih cepat sehingga membutuhkan waktu 16 detik saja untuk finis. Ketiga pelari berpapasan satu sama lain pada jarak 80. Hal itu dapat dilihat pada perpotongan ketiga grafik di titik (16, 80). Sehingga kesimpulannya pelari B disusul C sebelum garis finish…. Jawaban: B. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis.

Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)


Jika bilangan bulat positif dan

merupakan solusi sistem persamaan linear

maka banyak nilai adalah …. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 Pembahasan: Sehingga,

Agar

adalah bilangan positif, maka jelas

Sehingga,

Agar adalah bilangan positif, maka jelas Sehingga dari dua uraian di atas, dan

akan bernilai positif apabila

.

Sekarang perhatikan informasi di soal, bahwa dan harus bilangan bulat positif. Untuk memastikan bahwa dan adalah suatu bilangan bulat, maka coba pandang bentuk dan

.

Sehingga jelas bahwa bentuk pembilang keduanya haruslah kelipatan 5 agar dapat diperoleh masing-masing dan adalah bilangan bulat. Sehingga, pilih pada interval Jadi, ada 3 nilai

agar bentuk

dan

kelipatan 5.

yang mungkin adalah 7, 12, 17

Jawaban: B. 3



Diketahui fungsi …. A.

memenuhi persamaan

, untuk

. Nilai

sama dengan

B. C. D. Pembahasan: Gunakan

dan

, agar mendapatkan sistem persamaan linear dalam

dan

Jawaban: B.


.


Pada jajar genjang , jarak antara sepasang sisi sejajar pertama adalah 4 cm dan jarak antara sepasang sisi sejajar lainnya adalah cm. Luas jajar genjang ABCD adalah ….

4

A. B. C. D.

9

minimal 36 cm2. tepat 36 cm2. maksimal 36 cm2. Antara 36 cm2 dan 81 cm2.

Pembahasan: Perhatikan, unsur yang diketahui pada soal hanyalah dua buah jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang. Perhatikan ilustrasi berikut,

(i)

(ii)

(iii)

Perhatikan pada tiga gambar di atas. Terdapat dua lingkaran berjari-jari 4 dan 9 sebagai perwakilan jarak sepasang sisi sejajar pada jajar genjang. Luas jajar genjang dapat bervariasi apabila kita memutar salah satu pasangan sisi sejajar.. Sehingga jelas bahwa pada gambar (i) merupakan luas minimal jajaran genjang yaitu saat kedua pasang sisi sejajar saling tegak lurus. Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi panjang berukuran 4 dan 9: cm2. Sedangkan pada gambar (ii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (i). Dan juga pada gambar (iii) salah satu pasangan sisi sejajar jajar genjang diputar sehingga luasnya lebih besar dari luas jajar genjang pada gambar (ii). Begitu seterusnya hingga kedua pasang sisi sejajar nyaris berhimpit, maka luasnya menjadi tak hingga. Jadi, jawabannya adalah luas jajar genjang

minimal 36 cm2.

Jawaban: A. minimal 36 cm2 . Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 7 dari 20 Cara Alternatif 1: Perhatikan jajar genjang

4

,

9

Apabila kita tarik garis jarak dua garis sejajar bernilai pada salah satu titik sudut jajar genjang, maka misal garis tersebut adalah , dan sudut , maka: sin

sin

Padahal luas jajar genjang adalah: sin sin Kita tahu bahwa

dan

sin

sin

,

sin sin Perhatikan juga bahwa

sin

, jadi:

kalikan dengan

Jadi, jelas bahwa diperoleh

, ini artinya bahwa luas jajar genjang minimal adalah 36 cm2.

Jawaban: A. minimal 36 cm2.


Halaman 8 dari 20 Cara Alternatif 2: Perhatikan jajar genjang

4

Perhatikan

,

9

siku-siku di titik , sehingga

Ingat, pada suatu segitiga, sisi terpanjang lebih kecil dari jumlah sisi-sisi yang lain, sehingga diperoleh: kuadratkan kedua ruas

Sehingga, jelas bahwa luas jajaran genjang adahal

Dengan menerapkan konsep yang sama untuk , maka dengan mudah juga akan diperoleh bahwa . Sehingga luas jajaran genjang yang didapatkan juga . Namun, masih ada pertanyaan bahwa apakah mungkin = 4 dan ? Jika , maka berimpit dengan , dan jika , maka berimpit dengan , sehingga merupakan persegi panjang, Sehingga luas minimal jajar genjang adalah luas persegi panjang berukuran 4 dan 9: cm2.



Lingkaran pada gambar berikut mempunyai radius 1 satuan panjang dan daerah trapesium yang diarsir adalah …. A. B. 1 C.

. Luas

D.

Pembahasan:

1

1

Ingat perbandingan istimewa pada segitiga siku-siku dengan sudut yang lain 30° dan 60°, perbandingan sisi-sisinya adalah Karena panjang Dan panjang Jadi, luas trapesium

, maka jelas serta

dan

.

adalah:

Jawaban: B. 1.



Diketahui persegi panjang gambar berikut adalah ….

dengan

dan

. Panjang lintasan

pada

A. B. C. D. Pembahasan: Perhatikan

siku-siku di , sehingga

Perhatikan

sebangun dengan

, sehingga

Mudah dibuktikan bahwa karena: (lebar persegi panjang ) (sudut dalam berseberangan) (sudut siku-siku) maka kongruen dengan , sehingga Pandang ruas garis serta karena

merupakan hasil penjumlahan dari beberapa ruas garis , maka diperoleh:


dan

,

Halaman 11 dari 20 Dengan menggunakan kesamaan luas

Sehingga karena

kongruen dengan

Sehingga panjang lintasan panjang lintasan

Jawaban: D.

, maka

, maka

adalah:

.



Diketahui … dan adalah himpunan bagian dari yang mempunyai 4 anggota. Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah A. 1.980 B. 148.995 C. 297.990 D. 299.970 Pembahasan dengan “Ralat Soal”: Ralat soal “Jika jumlah semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah” seharusnya menjadi “Jika semua anggota merupakan suatu bilangan genap, maka banyak himpunan yang mungkin adalah” Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah … Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda , maka banyak anggota dapat ditentukan dengan:

Banyak kemungkinan

maupun

adalah bilangan genap adalah:

. Jawaban: B. 148.995

embahasan tanpa “Ralat Soal” Perhatikan, bentuk adalah bernilai genap dapat diperoleh dalam tiga buah kasus, yaitu: dan seluruhnya adalah bilangan genap dan seluruhnya adalah bilangan ganjil dan memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan genap Kasus 1: adalah himpunan seluruh bilangan genap yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah … Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda , maka banyak anggota dapat ditentukan dengan:

Banyak kemungkinan

dan

adalah bilangan genap adalah:

.


Halaman 13 dari 20 Kasus 2: Misalkan adalah himpunan seluruh bilangan ganjil yang merupakan himpunan bagian dari dari adalah … Pandang sebagai barisan aritmetika dengan suku pertama dan beda , maka banyak anggota dapat ditentukan dengan:

Banyak kemungkinan

dan

adalah bilangan ganjil adalah:

. Kasus 3: Banyak kemungkinan genap adalah:

dan

memuat masing-masing dua bilangan ganjil dan dua bilangan .

Sehingga, bentuk bagian adalah:

adalah bernilai genap, dimana .

.

.

.

dan

adalah himpunan

.

Jawaban: -

Komentar terhadap soal: Menurut pandangan saya, pembuat soal agak lalai dalam mengunci soal. Saya menduga bahwa penulis dan pembuat soal sebenarnya meletakkan alternatif jawaban benar pada opsi jawaban D. Mengapa? Hal ini dimungkinkan jawaban benar adalah D, apabila penghitungan pada ketiga kasus terjadi kekeliruan, yaitu perhitungan pada kasus ketiga, yaitu bentuk perkalian secara tak sengaja dianggap sebagai bentuk penjumlahan , sehingga perhitungannya akan menjadi: Sehingga, bentuk bagian adalah:

adalah bernilai genap, dimana .

.

dan

adalah himpunan

.

Jawaban: D. 299.970.


Halaman 14 dari 20 10. Dari 4 pengamatan berupa bilangan positif yang sudah diurutkan dilambangkan dengan dan . Jika jangkauan data tersebut adalah 16, median, median, dan nilai rata rata data tersebut adalah …. A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 Pembahasan:

Padahal Maka dari

, sehingga dan

diperoleh:

Jadi rata-rata data tersebut adalah:

Jawaban: B. 11. Cara Alternatif: Setelah diperoleh

, maka dihitung nilai

dan

, sehingga diperoleh

Jadi rata-rata data tersebut adalah:

Jawaban: B. 11. Pembahasan OSK Matematika SMP 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

, maka

Halaman 15 dari 20 BAGIAN B: ISIAN SINGKAT 1. Diketahui dan adalah dua bilangan bulat. Jika terdapat tepat satu nilai pertidaksamaan , maka nilai terbesar yang mungkin adalah ….

yang memenuhi

Pembahasan:

Jadi,

terbesar yang mungkin adalah 112, dengan nilai

.



Nilai

.

.

.

.

Pembahasan: Pandang bentuk maka diperoleh:

sama dengan …. sebagai bentuk deret geometri dengan

Sehingga,

Dan seterusnya….. Sehingga . .

.

.

Cara Alternatif: Misal . . .

.

. . .

. .

. .

Maka dari dua persamaan di atas, diperoleh: . . . . .


dan

,


Diketahui

adalah bilangan-bilangan tidak nol. Bilangan dan adalah solusi persamaan serta bilangan dan adalah solusi persamaan . Nilai sama dengan ….

Pembahasan: penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh: ….….…. …………….. penyelesaiannya adalah dan , sehingga diperoleh: ……..…. …………….. Jumlah persamaan (1) dan (2) ……………….. Eliminasi dan pada persamaan (1) dan (3), diperoleh:

Substitusikan

ke persamaan (2) dan (4), diperoleh:

Jadi dari persamaan (5) diperoleh:



Misalkan dan sebuah persegi dengan merupakan titik tengah AD. Luas segitiga adalah 6 satuan luas. Luas segitiga adalah …. TIPS SUPERKILAT: Dengan mudah diamati bahwa AC = 2 CD, dan DE = 2BF Jadi luas CDE = luas ABC = 6

Pembahasan: Karena dan

Karena

titik tengah

sebuah persegi, maka:

, maka

Sehingga, Perhatikan

sebangun

Sehingga Perhatikan

sebangun

Sehingga Padahal Maka



Tersedia 10 loket pelayanan pelanggan pada sebuah bank. Terdapat sejumlah pelanggan yang sedang berada dalam satu baris antrian. Peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah …. Pembahasan: Misal loket tersebut diilustrasikan pada gambar berikut: 1 A

B

2

3

C

D

4

5

6

7

8

9

10

E

Tidak diketahui secara jelas jumlah pelanggan, namun pada soal disajikan lima pelanggan pertama, misalkan . Maka, banyak kejadian keempat orang pertama dilayani di loket berbeda dan orang kelima pada antrian loket yang sama dengan 4 orang sebelumnya adalah . Sedang seluruh kejadian yang mungkin untuk kelima orang pertama tersebut adalah

.

Jadi, peluang bahwa 4 orang pertama pada antrian dilayani di loket yang berbeda, dan orang ke-5 pada antrian dilayani di loket yang sama dengan salah satu dari 4 orang sebelumnya adalah:


Halaman 20 dari 20 Pembahasan soal OSK Matematika SMP 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini. Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Terima kasih. Pak Anang


Pembahasan Soal OSK Matematika SMP 2017 Tingkat Kabupaten

Recommend Documents