Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2017 Tingkat Kabupaten.pdf

Pembahasan Soal

OSK SMA 2017 OLIMPIADE SAINS KABUPATEN SMA 2017

OSK Matematika SMA (Olimpiade Sains Kabupaten Matematika SMA)

Disusun oleh:

Pak Anang

Halaman 2 dari 37

om

PEMBAHASAN SOAL OLIMPIADE SAINS MATEMATIKA SMA TINGKAT KABUPATEN

t.c

14 MARET 2017

By Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com) Diketahui

dan

adalah ….

jalur yang kita tempuh adalah mencari terlebih dahulu

pa Pa k- k A an n an an g. g bl og s

Pembahasan: Perhatikan untuk mencari bentuk bentuk .

. Nilai dari

po

1.

Perhatikan karena

, sehingga

, maka

ht

tp ://

Padahal karena

, maka

Pembahasan OSK Matematika SMA 2017 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

, sehingga

Halaman 3 dari 37 Empat siswa Adi, Budi, Cokro, dan Dion bertanding balap sepeda. Kita hanya diberikan sebagian informasi sebagai berikut: (a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan (b) Adi bukan juara pertama (c) Cokro kalah dari Budi Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah ….

t.c

om

2.


po

Pembahasan: Perhatikan informasi yang diberikan pada soal adalah sebagai berikut: (a) setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang belainan, artinya setiap posisi juara ditempati oleh satu orang saja. (b) Adi bukan juara pertama, artinya juara pertama tidak mungkin ditempati oleh Adi. Adi hanya bisa menempati posisi pada juara kedua, ketiga, atau keempat. (c) Cokro kalah dari Budi, artinya jika Cokro menjadi juara pertama, maka kemungkinan Budi adalah juara kedua, ketiga, atau keempat. Sedangkan jika Cokro juara kedua, maka kemungkinan Budi hanya menjadi juara ketiga atau keempat saja. Sedang jika Cokro juara ketiga, maka Budi pastilah menjadi juara keempat. Syarat ini tidak memungkinkan untuk Cokro menjadi juara keempat. Sehingga, dari informasi tersebut, kita misalkan posisi masing-masing juara sebagai berikut: 1. Posisi Adi. Kemungkinan posisi Adi adalah memilih satu tempat dari 3, sehingga . 2. Posisi Cokro dan Budi Kemungkinan posisi Cokro dan Budi adalah memilih dua tempat dari 3 tempat secara kombinasi, karena posisinya sudah pasti Cokro kalah dari Budi, sehingga . 3. Posisi Dion. Posisi Dion sudah tidak perlu ditentukan karena hanya tersisa satu tempat lagi, sehingga . Jadi, banyaknya cara menentukan susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah: Cara Alternatif: Manual dengan meletakkan masing-masing orang sesuai dengan informasi pada soal. Sehingga diperoleh 9 kemungkinan, yaitu: Juara 1 Cokro Cokro Dion Cokro Cokro Dion Cokro Cokro Dion

Juara 2 Adi Adi Adi Budi Dion Cokro Budi Dion Cokro

Juara 3 Budi Dion Cokro Adi Adi Adi Dion Budi Budi

Juara 4 Dion Budi Budi Dion Budi Budi Adi Adi Adi

ht

tp ://

No 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.


Halaman 4 dari 37 Banyaknya bilangan asli Pembahasan: Perhatikan

yang memenuhi

, maksudnya

adalah faktor dari

adalah ….

dimana

adalah bilangan asli.

, diperoleh:

po

t.c

Pemfaktoran dari bentuk

untuk semua bilangan asli

om

3.


Mudah diperiksa bahwa bentuk memuat bentuk perkalian dari 3 bilangan asli berurutan, dimana 3 bilangan asli berurutan pasti habis dibagi 6. Sehingga , untuk semua bilangan asli pasti juga habis dibagi oleh 6. Namun, setelah diperiksa lebih lanjut, ternyata 7 juga menjadi faktor dari Misal Kedua nilai

, maka dan dan adalah juga kelipatan 7 karena

.

.

.

Misal adalah kelipatan 7, maka akan dibuktikan adalah juga kelipatan 7. Perhatikan,

tp ://

Jadi jelas bahwa 7 adalah salah satu faktor dari

.

Jadi, karena faktor adalah 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, dan 42, maka terdapat 8 buah bilangan asli yang merupakan faktor dari .

ht

Atau menggunakan rumus banyak faktor bulat positif, maka karena banyak faktor bulat positif dari 42 adalah buah.


, sehingga

Halaman 5 dari 37 Pada sebuah lingkaran dengan pusat , talibusur berjarak 5 dari titik dan talibusur berjarak dari titik . Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka adalah ….

om

4.


po

t.c

Pembahasan: Ilustrasi soal terlihat pada gambar berikut:

(i)

(ii)

Ternyata tali busur AC ada dua buah yang sesuai kriteria pada soal, yaitu berjarak dari titik . Sehingga, titik kita beri indeks masing-masing untuk membedakannya, yaitu dan . Kasus 1. Pada gambar (i), titik Perhatikan sin

, misal

kita pilih berada “di atas” B. , maka:

sin sin

Perhatikan sin

, misal

, maka:

sin

tp ://

sin

Padahal, sudut keliling Sehingga sudut pusat

.

.

ht

Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh: s


Halaman 6 dari 37

Perhatikan sin

, misal

kita pilih berada “di bawah” B.

om

Kasus 2. Pada gambar (ii), titik

, maka:

sin

sin

, misal

, maka:

po

Perhatikan

t.c

sin

sin


sin

Padahal, sudut keliling Sehingga sudut pusat

. .

Jadi, dengan menggunakan aturan cosinus, diperoleh: s

Komentar terhadap soal: Menurut pandangan saya, soal ini multitafsir dan cenderung ambigu, karena memiliki dua penyelesaian….. Menurut kabar yang beredar kun inya adalah , yang artinya jawabannya tunggal. Padahal, dari hasil pengamatan pada soal dan ilustrasi soal pada gambar, dapat ditemukan dua nilai panjang yang dimaksud pada s al….

ht

tp ://

Jadi sebaiknya soal perlu diberi keterangan lebih lanjut agar jawaban benar tunggal dan tidak bias atau ambigu…..


Halaman 7 dari 37 Jika

, maka nilai dari

adalah ….

om

5.

t.c

Pembahasan: Misal,

Maka,

dan,


Apabila kedua persamaan dikuadratkan, maka

po

Sehingga diperoleh,

Jadi, diperoleh,

tambah kedua ruas dengan

ht

tp ://

Cara Alternatif: Perhatikan,


Halaman 8 dari 37 Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil dua bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah dengan . Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya b la merah dan hitam adalah ….

om

6.

t.c

Pembahasan: Misal, banyaknya bola merah banyaknya bola hitam


Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah

Perhatikan, pada soal diketahui

Jadi, nilai terbesar adalah Sedangkan karena

ht

, sehingga:

, sehingga:

tp ://

Padahal,

dan banyak

po

Sehingga, apabila banyak bola merah dan bola hitam secara keseluruhan dimisalkan keseluruhan kurang dari 1000, maka

, , jadi jumlah terbesar

, maka diperoleh

Sehingga selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah


.

Halaman 9 dari 37

om

Cara Alternatif: Misal, banyaknya bola merah banyaknya bola hitam

, sehingga:


po

Perhatikan, pada soal diketahui

t.c

Peluang terambil dua bola merah dan dua bola hitam adalah

Padahal, banyak keseluruhan bola adalah kurang dari 1000, maka

Sehingga, dengan sedikit manipulasi dari

sedangkan selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya .

ht

tp ://

Jadi, diperoleh bola merah dan hitam adalah

dapat diperoleh,


Halaman 10 dari 37 Misalkan menyatakan faktor prima terbesar dari dan terkecil dari . Banyaknya bilangan asli … sehingga

, maka dua bilangan prima yang selisihnya 1 adalah dan

t.c

Pembahasan: Karena bilangan 2 dan 3. Jadi jelas bahwa

menyatakan faktor prima adalah ….

om

7.


po

Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah , dengan dan adalah bilangan asli. Padahal bilangan … , maka - untuk , diperoleh tiga buah nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh dua buah nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh dua nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh satu nilai yang mungkin adalah - untuk , diperoleh satu nilai yang mungkin adalah Jadi, ada buah bilangan asli

yang memenuhi.

Cara Alternatif: Dicoba dengan cara manual, karena yang selisihnya 1 adalah bilangan 2 dan 3. Jadi jelas bahwa dan Sehingga, bilangan yang dimaksud adalah

, maka dua bilangan prima

, dengan

dan adalah bilangan asli.

Jadi, bilangan tersebut adalah: Jadi, ada buah bilangan asli

yang memenuhi.

tp ://

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan jelas bahwa , dengan bilangan asli. Maka adalah bilangan kelipatan 2 dan 3 yang tidak habis dibagi bilangan prima , dimana , jadi . Sehingga misal banyaknya adalah dapat dirumuskan sebagai:

yang memenuhi.

ht

Jadi, ada buah bilangan asli


Halaman 11 dari 37 Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari yang sudut pusatnya . Jika persegi diletakkan secara simetris dalam juring, maka adalah ….

po

t.c

nilai

om

8.

Pembahasan: Perhatikan gambar disamping,

Perhatikan tan


Misal, jari-jari lingkaran sisi persegi ,

tan

Sehingga diperoleh koordinat Dan karena

.

, maka koordinat

Pandang persamaan lingkaran dengan pusat

.

yang melalui

ht

tp ://

, maka


adalah

Halaman 12 dari 37

Jika persegi berada di dalam juring dengan sudut pusat maka adalah segitiga sama sisi. Sehingga, . , berlaku aturan kosinus sebagai berikut: s

ht

tp ://


po

Pada

,

t.c

Perhatikan,

om

TRIK SUPERKILAT: Perhatikan gambar disamping,


Halaman 13 dari 37 Misalkan ….

bilangan real positif yang memenuhi

. Nilai minimum dari

Pembahasan: Misal,

Tanda kesamaan terjadi saat

Tanda kesamaan terjadi saat

Sehingga, nilai minimum dari

t.c dan

diperoleh:

, sehingga

dan

adalah

ht

tp ://

min

, sehingga


Padahal , sehingga Berdasarkan ketaksamaan

diperoleh:

po

Berdasarkan ketaksamaan

adalah

om

9.


Halaman 14 dari 37

om

10. Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999. Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut: jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan tempatnya, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah ….

po

t.c

Pembahasan: Perhatikan aturan aneh pada hotel tersebut: “Jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang dua digit nomor kamar tersebut dipertukarkan tempatnya”, maka diperoleh:  nomor kamar yang sama. Jika nomor kamarnya sama, maka sudah pasti nomor kamar tersebut berisi tamu.  nomor kamar yang tidak berisi tamu. Artinya, permutasi dari digit kamar menghasilkan nomor kamar yang tidak berisi tamu.




Padahal, kamar hotel bernomor 000 sampai dengan 999. Artinya ada 1000 buah kamar hotel. Kamar hotel tersebut dapat diklasifikasikan berdasarkan jenis digitnya, yaitu:  Nomor kamar yang ketiga digitnya sama. Maka nomor kamar tersebut adalah . Karena … , maka ada sebanyak 10 buah kamar yang tiga digitnya sama. Karena apabila dipertukarkan dua digitnya mendapat nomor kamar yang sama, maka ada 10 buah kamar yang berisi tamu. Nomor kamar dengan dua digit yang sama. Maka nomor kamar tersebut adalah Karena … dan misal dipilih sebanyak buah kamar.

.

, maka

…

, maka ada

Perhatikan tabel berikut: Jenis nomor kamar

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

⧎

Sehingga ada 

kamar yang berisi tamu.

Nomor kamar yang ketiga digitnya berbeda. Maka nomor kamar tersebut adalah . Karena … dan misal dipilih , maka , maka … , maka ada sebanyak

… dan misal dipilih buah kamar

Perhatikan tabel berikut:

tp ://

Jenis nomor kamar

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

Tamu

Ditukar 2 digitnya

Ada Tidak

⧎

⧎

ht

Berarti, ada tiga kamar yang terisi tamu, yaitu Sehingga ada kamar yang berisi tamu.

Jadi, maksimal banyak kamar yang berisi tamu adalah

⧎ .

buah kamar.


Halaman 15 dari 37

dengan

, maka diperoleh , dimana:


…

…

, maka berlaku

po

Perhatikan, pandang bentuk . Jika untuk setiap bilangan asli berbeda … …

dengan

t.c

Pembahasan: Perhatikan bahwa untuk setiap bilangan asli berbeda .

om

11. Fungsi memetakan himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi dan untuk setiap bilangan asli berbeda dengan , berlaku . Jika diketahui , maka nilai dari adalah ….

Sehingga apabila

diurutkan dari kecil ke besar diperoleh

Dan apabila bilangan asli dimana Jadi, akan berlaku

, maka

.

Nah, sekarang perhatikan bentuk faktorisasi prima dari 2016 adalah Serta pandang bentuk faktorisasi prima dari adalah Juga pada soal diketahui dan

tp ://

Untuk

ht

Dan karena Perhatikan juga karena Dari alternatif susunan

, maka diperoleh salah satu alternatif susunan

maka berlaku dan

, yaitu:

. , artinya

di atas maka dengan mudah dapat dilihat


. .

Halaman 16 dari 37

om

12. Diberikan segitiga dengan . Misalkan dan berturut-turut titik tengah dan . Titik terletak pada sisi sehingga adalah garis bagi sudut . Jika , maka besarnya sudut sama dengan …. Pembahasan: Perhatikan ilustrasi segitiga pada gambar di samping!

membagi sudut

sama besar, sehingga

po

Karena garis

t.c

Misal,

Sehingga,

Padalah


Padahal

dan

merupakan titik tengah berturut-turut sisi

Sehingga, karena Misal Diperoleh

, maka

Begitu pula karena Misal Diperoleh

adalah segitiga sama kaki.

adalah segitiga sama kaki.

dapat ditemukan dengan memandang bahwa

adalah suatu garis lurus.

ht

Jadi,

, sehingga

, berlaku

tp ://

Perhatikan

, maka

dan


Halaman 17 dari 37 Komentar terhadap soal: Perhatikan, aturan kosinus pada

:

om

s s

t.c

s s

s diperoleh

, maka


Mengingat, dari

po

s

s

s

s s

Sehingga, s

Padahal Sehingga, untuk

.

.

Faktanya, pada soal

soal di atas akan menjadi benar dan nyata apabila memenuhi

, yaitu

.

ht

tp ://

Kesimpulannya soal tersebut memang dapat dikerjakan secara benar dengan konsep dan mendapatkan hasil yang seolah-olah benar. Namun, apabila dicermati lebih lanjut maka bentuk segitiganya tidak dapat digambarkan….


Halaman 18 dari 37 suatu polinom berderajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di , maka nilai adalah ….

dan

om

13. Misalkan . Jika

, sehingga

Padahal


po

dapat ditentukan dengan menggunakan anti-turunan dari

t.c

Pembahasan: Perhatikan, nilai maksimum di dan , artinya dan . Karena suatu polinom berderajat 4, maka adalah suatu polinom berderajat 3 yang memuat faktor dan , serta satu faktor yang lain, misal . Jadi,

memiliki nilai maksimum 2018 di

Sehingga, karena

, artinya

, maka

maka diperoleh

juga memiliki nilai maksimum 2018 di

, artinya

, maka

ht

tp ://

Sehingga, diperoleh Maka, nilai dapat ditentukan menggunakan

Sehingga, diperoleh Jadi,


Halaman 19 dari 37

Karena Karena

, maka , maka

………

…….

Sehingga, dari eliminasi pada persamaan ……. dan

Dari eliminasi pada persamaan , sehingga

dan

dan

Sehingga, karena Jadi,

dan

, diperoleh

diperoleh

…….


Dari eliminasi pada persamaan …….

Substitusi

t.c

maka , maka , maka

po

Karena Karena Karena

.

om

Cara Alternatif: Misal, maka,

ke persamaan

,

,

,

diperoleh

diperoleh

, dan

, diperoleh:

TRIK SUPERKILAT: Karena grafik dari fungsi pangkat 4 simetris, maka apabila diperhatikan, ambil dua titik puncak dan , maka fungsi tersebut adalah , sehingga karena nilai dan , maka fungsi tersebut adalah . Uji titik

, maka diperoleh:

Sehingga fungsi tersebut adalah

.

ht

tp ://

Jadi,

.


Halaman 20 dari 37

om

14. Terdapat 6 anak, A, B, C, D, E, dan F, akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah …. Pembahasan: Perhatikan, mula-mula setiap anak membawa kadonya sendiri-sendiri C

D

E

F

t.c

B

po

A

Kado dari A pasti diberikan kepada B, sehingga ilustrasinya sebagai berikut B

C

D

E

F


A

Sehingga, sekarang B harus memberikan kadonya ke salah satu dari 5 anak yang lain.

ht

tp ://

Disini ada dua pilihan, yaitu - B memberikan kado ke A - B memberikan kado ke selain A


Halaman 21 dari 37 Perhatikan ilustrasi berikut:

B

C

D

E

F

po

t.c

A

om

Kasus 1.1 Misal B memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut


Artinya kita akan mengacak 4 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.

Perhatikan, - banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah . - apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah - apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah - apabila ada 3 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah - apabila ada 4 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah

dan . dan . dan . dan

permutasi permutasi permutasi permutasi

Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah: . ara

Kasus 1.2 Misal B memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut B

C

D

E

F

tp ://

A

Artinya, kita akan memilih kemungkinan B memberikan kado ke C, D, E atau F? .

ht

Jadi,

ara


Halaman 22 dari 37 Setelah B memberikan kado ke salah satu dari 4 orang tersebut, misalkan kado B diberikan ke C.

B

C

D

E

F

po

t.c

A

om

Sehingga ilustrasinya menjadi berikut


Maka disini akan muncul dua kasus lagi. Disini ada dua pilihan, yaitu - C memberikan kado ke A - C memberikan kado ke selain A

Kasus 2.1 Misal C memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut A

B

C

D

E

F

Artinya, kita akan mengacak 3 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.

dan permutasi . dan permutasi . dan permutasi .

tp ://

Perhatikan, - banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah . - apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah - apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah - apabila ada 3 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah

Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah: .

ht

ara


Halaman 23 dari 37

B

C

D

E

F

po

t.c

A

om

Kasus 2.2 Misal C memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut

Artinya, kita akan memilih kemungkinan C memberikan kado ke D, E atau F? .

ara


Jadi,

Setelah C memberikan kado ke salah satu dari 3 orang tersebut, misalkan kado C diberikan ke D. Sehingga ilustrasinya menjadi berikut A

B

C

D

E

F

Maka disini akan muncul dua kasus lagi. Disini ada dua pilihan, yaitu - D memberikan kado ke A - D memberikan kado ke selain A

Kasus 3.1 Misal D memberikan kadonya ke A, maka ilustrasinya sebagai berikut B

C

D

E

F

ht

tp ://

A

Artinya, kita akan mengacak 2 anak agar tidak mendapat kadonya sendiri.


Halaman 24 dari 37

dan permutasi . dan permutasi .

om

Perhatikan, - banyak keseluruhan permutasi yang mungkin adalah . - apabila ada 1 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah - apabila ada 2 orang yang dibiarkan tetap, maka ada cara memilih orang yang mungkin adalah sebanyak , sehingga banyak kemungkinan adalah

t.c

Jadi, menggunakan prinsip inklusi-eksklusi himpunan diperoleh banyak kemungkinannya adalah: .

po

ara Kasus 3.2 Misal D memberikan kadonya ke selain A, maka ilustrasinya sebagai berikut B

C

D

E

F


A

Artinya, kita akan memilih kemungkinan D memberikan kado ke E atau F? Jadi,

.

ara

Setelah D memberikan kado ke salah satu dari 2 orang tersebut, misalkan kado D diberikan ke E. Sehingga ilustrasinya menjadi berikut B

C

D

E

F

tp ://

A

ht

Maka disini hanya akan muncul satu kasus saja, yaitu E memberikan kado ke F.


Halaman 25 dari 37

B

C

D

E

F


po

t.c

A

om

Kasus 4.1 Maka E pasti memberikan kadonya ke F. Mengapa? Karena tidak mungkin E memberikan kado ke A, karena F akan mendapatkan kadonya sendiri. Sehingga ilustrasinya sebagai berikut

Dan otomatis, F akan member kadonya ke A. Sehingga ilustrasinya sebagai berikut A

Jadi,

B

.

C

D

E

F

ara

Secara sederhana berikut bagannya dari awal sampai akhir proses pengacakan ini. AB

Kasus 1.1

Kasus 1.2

BA

B(C, D, E atau F)

Misal

ht

tp ://

BC

Kasus 2.1

Kasus 2.2

CA

C(D, E atau F)

Misal CD

Kasus 3.1

Kasus 3.2

DA

D(E atau F)

Kasus 4.1 DE dan otomatis EF


Halaman 26 dari 37

.

.

.

.

.

.

po

t.c

.

om

Berarti sampai disini kasus sudah berhenti dan mari kita menghitung ulang seluruh kemungkinan yang terjadi, yaitu:


Jadi, banyaknya cara membagikan kado adalah 53 cara.

Cara Alternatif: Dengan cara manual kita dapat mencari banyaknya cara membagi kado. Tanpa mengikutkan B yang sudah pasti mendapatkan kado dari A, maka hasil pengacakan yang mungkin dapat dilihat seperti berikut: Kemungkinan pertama, B memberikan kado ke A, sehingga terjadi pengacakan pada keempat orang lain yaitu C, D, E, dan F sehingga menghasilkan bentuk sebagai berikut: 24 permutasi yang mungkin dari CDEF adalah sebagai berikut: CDEF CDFE CEDF CEFD CFDE CFED

DCEF DCFE DECF DEFC DFCE DFEC

ECDF ECFD EDCF EDFC EFCD EFDC

FCDE FCED FDCE FDEC FECD FEDC

Maka diperoleh 9 buah kemungkinan pengacakan yang diperbolehkan yaitu yang bertanda biru. Kemungkinan kedua, B memberikan kado ke selain A, berarti ada 4 kemungkinan, yaitu memberikan kado tersebut ke C, D, E atau F. Anggap B memberikan kado ke C, berarti ada 24 permutasi yang mungkin dari CDEF yang akan diletakkan pada ADEF, yaitu:

tp ://

CDEF CDFE CEDF CEFD CFDE CFED

DCEF DCFE DECF DEFC DFCE DFEC

ECDF ECFD EDCF EDFC EFCD EFDC

FCDE FCED FDCE FDEC FECD FEDC

ht

Maka diperoleh 11 buah kemungkinan pengacakan yang diperbolehkan yaitu yang bertanda biru. Sehingga, banyaknya kemungkinan adalah cara. Jadi banyak kemungkinan seluruhnya adalah

cara.


Halaman 27 dari 37

om

TRIK SUPERKILAT: Banyak cara membagikan kado adalah derangement (pengacakan) dengan ada tempat terlarang. Dengan prinsip inklusi-eksklusi dapat dihitung sebagai

ht

tp ://


po

t.c

ara.


Halaman 28 dari 37 dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari

Pembahasan: Perhatikan,

bilangan

om

15. Bilangan asli terbesar sehingga asli berurutan adalah ….

… buah akt r

t.c

Ide untuk menjadikan menjadi perkalian bilangan asli berurutan adalah dengan memotong beberapa perkalian bilangan asli berurutan pertama.

po

Pandang bahwa adalah perkalian dari bilangan asli berurutan, maka bilangan terbesar dapat diperoleh dengan memotong buah perkalian bilangan asli pertama, yaitu … …

…

buah akt r

buah akt r buah akt r


buah akt r buah akt r

dimana, adalah hasil perkalian dari beberapa perkalian bilangan asli pertama yang terpotong. Sehingga, karena

…

…

buah akt r

buah akt r

dapat dinyatakan sebagai hasil

ht

tp ://

Jadi, diperoleh bahwa bilangan asli terbesar sehingga perkalian dari bilangan asli berurutan adalah 119.


Halaman 29 dari 37 dan

. Jika

Pembahasan: Perhatikan gambar di samping. dan berturut-turut titik tengah

dan

sebangun dan

, maka

, maka

po

Perhatikan,

dan

t.c

Karena


Misal, maka,

dan

Perhatikan, misal, maka t t tan

tan tan

Sehingga, t

t

, maka diperoleh

, maka diperoleh

tan

tan tan

tan tan

Jadi, nilai minimum

tan tan

diperoleh

tp ://

Mengingat, dari

ht

Perhatikan, misal, maka t t

t

dan

om

16. Pada segitiga titik dan berturut-turut adalah titik tengah saling tegak lurus, maka nilai minimum adalah ….

kalikan kedua ruas dengan

t


Halaman 30 dari 37 dan

bilangan-bilangan bulat positif. Jajargenjang yang dibatasi oleh garis-garis dan mempunyai luas 18. Jajargenjang yang dibatasi oleh garis-garis dan mempunyai luas . Nilai terkecil yang mungkin untuk adalah ….

om

17. Misalkan


po

t.c

Pembahasan:

Secara grafik, kita dapat melihat dengan mudah bahwa titik potong dengan sumbu Y untuk keempat garis adalah: 1. Untuk jajargenjang dengan luas 18, adalah di dan . 2. Untuk jajargenjang dengan luas 72, adalah di dan . Perhatikan bahwa luas jajargenjang menjadi 4 kali lebih besar, maka dengan prinsip kesebangunan dan perbandingan, maka ukuran panjang sisi jajargenjang menjadi 2 kali lebih besar dari semula. Sehingga, Perhatikan jarak Perhatikan jarak

ke ke

adalah adalah

.

.

Padahal, ukuran sisi jajargenjang menjadi 2 kali lebih besar dari semula, sehingga Secara grafik, kita juga dapat melihat dengan mudah bahwa jajargenjang dipisahkan menjadi dua bagian sama besar oleh sumbu Y. Perhatikan luas bagian sebelah kanan sumbu Y adalah 9, sehingga:

tp ://

ehingga diper leh

adi

ht

Perhatikan, bahwa Dan pandang bentuk masing-masing dan

, sehingga dari hubungan juga dapat diperoleh . dengan bilangan positif, maka nilai terkecil adalah

Sehingga, diperoleh penyelesaian min Jadi, nilai minimum

. .


Halaman 31 dari 37

om

18. Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat p siti yang terdapat pada lingkaran tersebut adalah ….

po

t.c

Pembahasan:

…


…

…

Perhatikan ilustrasi di atas.

Terdapat 100 buah bilangan bulat yang mengelilingi lingkaran, sedemikian hingga menurut arah jarum jam, setiap bilangan lebih besar dari hasil penjumlahan dua bilangan seterusnya. Sehingga dapat dipahami bahwa pada susunan bilangan melingkar tersebut berlaku:

. . .

Perhatikan pernyataan Artinya, paling tidak ada satu buah nilai diantara

…

yang bernilai negatif.

yang negatif diantara

Sehingga, diperoleh

.

…

dan

…

ht

tp ://

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan , perhatikan bahwa tidak ada satu nilai yang negatif diantara atau . Misalkan juga , maka akibatnya paling tidak juga ada satu nilai atau . Agar bilangan negatif minimum, maka . Proses tersebut berulang sampai .

Jadi, banyaknya bilangan positif ada sebanyak 49 buah.


berarti paling

Halaman 32 dari 37

t.c

om

Cara Alternatif 1:

…

po

…


…

Perhatikan ilustrasi di atas.

Dan ingat sifat barisan Fibonacci, yang nilai sukunya sama dengan jumlah dua suku sebelumnya. Padahal di soal ini nilai suku lebih dari jumlah suku sebelumnya. Barisan Fib na i misalkan saja … adalah barisan yang m n t n naik. Artinya, nilainya akan terus menerus membesar. Padahal di soal ini, bilangan tersebut disusun melingkar, sehingga nilai paling ujung di akhir barisan akan bertemu dengan nilai di awal barisan. Jelas apabila barisan tersebut monoton naik, ataupun monoton turun tidak mungkin terpilih sebagai barisan yang dimaksudkan pada soal. Sehingga pola barisan pada soal seharusnya adalah bertanda selang-seling. Positif, negatif, positif, negatif. Dan kita pilih suku positifnya adalah bilangan bulat positif terkecil, yaitu 1. Misal barisan tersebut adalah

…

tp ://

Sehingga diperoleh Jadi, diperoleh

ht

Pertanyaannya kini adalah “Apakah Agar berlaku ,

sedangkan

juga bernilai dan

”

Jadi, dari ketiga pertidaksamaan tersebut, jelas sekali bahwa Maka bilangan positif yang mungkin

.

maka

. yaitu sebanyak 49 buah.


Halaman 33 dari 37

Contohnya, Apabila

, maka untuk semua

bilangan bulat non negatif

adalah 5.

t.c

Pembahasan: Perhatikan, Misal, jumlah digit-digit dari

, maka diperoleh: .

po

Sehingga, jumlah digit-digit dari 1121 adalah Terbukti, .

yang apabila dijabarkan akan


Jadi diperoleh bentuk menjadi, sebanyak

suku

sebanyak

dalam penulisan

om

19. Untuk sebarang bilangan asli , misalkan adalah jumlah digit-digit dari desimal. Jika , maka nilai maksimum dari adalah ….

sebanyak

suku

suku

sebanyak

sebanyak

suku

suku

sebanyak

sebanyak

suku

suku

Sehingga, terdapat 7 bentuk suku yang dapat dikelompokkan berdasarkan pangkat dari yaitu: Cara penjumlahan menghasilkan bentuk 5

Bentuk

Keterangan: Pandang bentuk

Banyak suku yang terbentuk

sebagai perkalian berulang sebagai berikut:

Koefisien dari adalah berapa banyak cara dengan mengacak bentuk yaitu

tp ://

maka, 

Koefisien

,

dapat terbentuk dari perkalian berulang sebanyak lima kali,

dan seterusnya…

Sehingga, koefisien dapat dihitung dengan konsep permutasi adalah .



Banyak suku yang terbentuk dari dari huruf-huruf yang tersedia yaitu

unsur dengan ada unsur yang sama. Diperoleh koefisien dari

dst adalah berapa banyak cara pangkat dari

dapat terbentuk

.

ht

Yaitu, memilih sebuah huruf secara permutasi untuk dipasangkan dengan 3, dan memilih dua huruf yang lain dipasangkan dengan 1 dari dua huruf yang tersisa secara kombinasi. Sehingga, buah suku.


Halaman 34 dari 37

Perhatikan, sebagai contohnya misalkan saja ada dua bilangan yaitu 8 dan 9. Maka, jumlah kedua digit adalah . Sedangkan, apabila kedua digit dijumlahkan . Jelas bahwa .

om

Lalu pandang lagi, bahwa apabila dua digit dijumlahkan dan lebih dari 10, maka jumlah digit mereka akan lebih kecil dari jumlah kedua digit tersebut. , maka jumlah digit dari

adalah

adalah bentuk berbeda nilainya.

po

sehingga seluruh bentuk Maka, bilangan …

t.c

Sehingga, jumlah digit-digit dari adalah akan maksimum apabila setiap bentuk memiliki bentuk pangkat yang tidak sama . Artinya:

yang menghasilkan jumlah digit terbesar adalah: dengan hanya dilihat jumlah digitnya saja (contoh: 20 hanya dilihat sebagai adalah:


Jadi, jumlah digit maksimum dari Bentuk

Koefisien

Jumlah maksimum dari digit-digit

Jumlah digit

398

adalah

ht

tp ://

Jadi, jumlah maksimum dari digit-digit

Banyak suku yang terbentuk


)

dan

Halaman 35 dari 37

Pembahasan: Perhatikan ilustrasi

om

20. Diberikan segitiga dengan dan . Misalkan suatu titik pada garis bagi yang terletak di dalam dan misalkan suatu titik pada sisi (dengan ). Garis dan memotong dan berturut-turut di dan . Jika dan , maka nilai adalah ….

sama besar, maka menurut

dan


Perhatikan, Misal, dan , maka Dengan menggunakan sudut luar segitiga diperoleh:

po

Karena membagi sudut sifat garis bagi berlaku:

t.c

berikut.

Perhatian sekali lagi pada dan , berlaku kedua sisi berhimpit si at garis bagi sudut si at sudut luar segitiga Jadi, dengan prinsip si-su-su maka kongruen dengan Perhatikan, karena adalah segitiga sama kaki, maka juga merupakan garis berat, dan garis tinggi . Oleh karena itu, dan . Perhatikan, misal, maka,

, sehingga,

selain merupakan garis bagi, maka

, sehingga

dan

Dengan menggunakan kesamaan pada kedua persamaan diatas, maka diperoleh:

sebangun

tp ://

Padahal,

ke

, sehingga diperoleh:

ht

Substitusikan

, sehingga


Halaman 36 dari 37 berlaku,

ht

tp ://


po

t.c

om

Perhatikan, pada


Halaman 37 dari 37

om

Pembahasan soal OSK Matematika SMA 2017 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini. Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com.

ht

tp ://


po

t.c

Terima kasih. Pak Anang


Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2017 Tingkat Kabupaten.pdf

Recommend Documents