LOGO
PEMBAHASAN OLIMPIADE SAINS TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2014 Saman Abdurrahman., S.Si., M.Sc (
[email protected])
www.themegallery.com
1. OSK 2014 GEOMETRI Garis berat pada segitiga ABC memotong garis berat di titik P, serta perpanjangan memotong ABC di titik E. Jika diketahui segiiga ABC lancip, dan AB = 6, maka panjang DE adalah … Penyelesaian:
Menurut Teorema “Jika CE : EA = CD : DB, maka “. Akibatnya, ABC EDC, sehingga:
DE = =
2. OSK 2014 Deret Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama tetap, bilangan kedua ditambah 10, dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka ketiga bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan adalah … Penyelesaian: Misalkan bilangan bulat positif yang berurutan adalah: x, x + 1, x + 2. x, x + 11, x + 2 + p membentuk deret ukur (geometri) dengan p adalah prima. 20x + 121 = px x|(20x + 121) x|121 x = 1, 11, 121
a). Untuk x = 1, dan px = 20x + 121 p = 20 + 121 = 141 = 3 . 47 (bukan prima) b). Untuk x = 11, dan px = 20x + 121 11p = 20.11 + 121 p = 31 (prima) c). Untuk x = 121, dan px = 20x + 121 121p = 20.121 + 121 p = 21(bukan prima)
Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 11 bilangan ketiga sehingga bilangan bulat ketiga dari bilangan bulat berurutan adalah 13.
3. OSK 2014 ALJABAR Misalkan a, b adalah bilangan riil sedemikian sehingga a+b= Nilai dari
= 6.
+ 1980 adalah …
Penyelesaian: Mengingat a + b = 6, dan 6 =
= 34 + 1980 = 2014
ab = 1
4. OSK 2014 DERET Nilai dari
adalah ...
Penyelesaian: Perhatikan bentuk Dari sini maka:
Jadi, =1
5. OSK 2014 Deret Untuk 0 x , nilai minimum dari
adalah …
Penyelesaian: Berdasarkan ketentuan AM – GM diperoleh
Tanda kesamaan terjadi, jika 16 sin x =
Jadi, nilai minimum dari
= 24
6. OSK 2014 KOMBINATORIK Misalkan S adalah himpunan bilangan asli digitnya tidak berulang dan dipilih dari 1, 3, 5, 7. Jumlah digit satuan dari semua anggota S adalah … Penyelesaian: Misalkan angka 7 adalah angka yang harus menjadi angka satuan dari bilangan 1 digit, 2 digit, 3 digit, dan 4 digit, maka:
1
Bilangan 1 digit ada 1
3
1
3
2
1
3
2
1
Bilangan 2 digit ada 3 Bilangan 3 digit ada 3
1
.2=6
Bilangan 4 digit ada 3.
2. 1 = 6
Total bilangan yang angka 7 sebagai angka satuan ada 1 + 3 + 6 + 6 = 16. Demikian juga untuk digit yang satuanya angka 1, 3, dan 5 masing-masing ada 16 bilangan. Jadi, jumlah digit satuan dari anggota S adalah
16 (1 + 3 + 5 + 7) = 256.
7. OSK 2014 ALJABAR Misalkan x, y, z 1 dan w 0. Jika logxw = 4, logyw = 5 dan logxyzw = 2, maka nilai logzw adalah … Penyelesaian: Mengingat logab = c b = ac, maka w = x4, w = y5, dan w = (xyz)2. Dari sini, maka: w10 = (xyz)20 w5 . w4 . w = x20 . y20 . z20 x20 . y20 . w = x20 . y20 . z20 w = z20 logzw = 20
8. OSK 2014 KOMBINATORIK Terdapat tiga meja bundar yang identik. Setiap meja harus dapat ditempati minimal satu siswa. Banyaknya cara mendudukan enam siswa pada mejameja tersebut adalah … Penyelesaian: Ingat: permutasi dengan beberapa unsur yang sama Kemungkinan susunan keenam siswa adalah: a). Cara duduk untuk susunan 4 kursi, 1 kursi, 1 kursi adalah:
b). Cara duduk untuk susunan 3 kursi, 2 kursi, 1 kursi adalah:
c). Cara duduk untuk susunan 2 kursi, 2 kursi, 2 kursi adalah:
Banyaknya cara mendudukan enam siswa pada meja-meja tersebut adalah 90 + 120 + 15 = 225 cara.
9. OSK 2014 GEOMETRI
D
Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1 satuan. Titik E, dan F berturut-turut berada pada sisi BC dan CD sehingga AEF samasisi. Dibuat pula persegi yang melewati B yang sisi-sisinya sejajar dengan ABCD dengan salah satu titik sudutnya berada pada ruas garis AE, namun bukan A dan bukan E. Jika panjang sisi persegi yang lebih kecil adalah dengan a, b, c bilangan bulat positif dan b bukan kuadrat sempurna, maka nilai a + b + c adalah … Penyelesaian: Karena ▲ABE ▲ADF, maka HAG = 150. F
C
tan 150 = tan (450 – 300) = 2 – Perhatikan ▲AHG tan HAG = tan 150
1
G
E I
x
A
1-x
H
B
Jadi, a + b + c = 3 + 3 + 6 = 12.
10. OSK 2014 KOMBINATORIK Suatu perusahaan permen memproduksi empat macam rasa permen. Permen dijual dalam bungkus, setiap bungkus berisi 10 permen dengan setiap rasa permen ada dalam bungkus. Banyaknya macam variasi isi bungkusan permen adalah … Penyelesaian: Misalkan xi menyatakan banyaknya permen warna ke-i dalam bungkusan, sehingga permasalahan equivalen dengan mencari banyaknya solusi persamaan: x1 + x2 + x3 + x4 = 10 dengan xi 1, dan i = 1, 2, 3, 4. Misalkan y = x1 – 1; y2 = x2 – 1; y3 = x3 – 1; y4 = x4 – 1, maka y1 + y2 + y3 + y4 = 6 dengan yi 0. Sehingga banyaknya variasi isi bungkusan permen adalah
11. OSK 2014 TEORI BILANGAN Bilangan-bilangan 1111, 5276, 8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagi N. Nilai N terbesar yang memiliki sifat tersebut adalah … Penyelesaian: Karena 1111, 5276, 8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagi N, maka N membagi setiap selisih antara dua bilangan tersebut. 1111 5276 8251 9441 k (mod N) 9441 – 8251 = 1190 2. 595 (mod N) 9441 – 1111 8330 14 . 595 (mod N) 9441 – 5276 4165 7 . 595 (mod N) 8251 – 5276 2975 5. 595 (mod N) 8251 – 1111 7140 12 . 595 (mod N) 5276 – 1111 4165 7 . 595 (mod N) Jadi nilai terbesar N yang memiliki sifat tersebut di atas adalah
595
12. OSK 2014 Kombinatorik Ada sebanyak 6! Permutasi dari huruf-huruf OSNMAT. Jika semua permutasi tersebut diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke … Penyelesaian: Urutan alfabet dari OSNMAT adalah A, M, N, O, S, T • Banyak susunan yang diawali huruf A: A ___ ___ ___ ___ ___ = 5! = 120 • Banyak susunan yang diawali huruf M: M ___ ___ ___ ___ ___ = 5! = 120 • Banyak susunan yang diawali huruf N: N ___ ___ ___ ___ ___ = 5! = 120 • Banyak susunan yang diawali huruf O(A): OA ___ ___ ___ ___ = 4! = 24 • Banyak susunan yang diawali huruf O(M): OM ___ ___ ___ ___ = 4! = 24 • Banyak susunan yang diawali huruf O(N): ON ___ ___ ___ ___ = 4! = 24 • Banyak susunan yang diawali huruf O(S)A:
OSA ___ ___ ___ = 3! = 6
• Banyak susunan yang diawali huruf O(S)M:
OSM ___ ___ ___ = 3! = 6
• Banyak susunan yang diawali huruf O(S)N:
OSNA ___ ___ = 2! = 2
• Banyak susunan yang diawali huruf O(S)N:
OSNM ___ ___ = 1! = 1
Jadi, kata OSNMAT ada pada urutan 3 120 + 3 24 + 2 6 + 2 + 1 = 447.
13. OSK 2014 Trigonometri Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan panjang AB = AC = 10 cm. Titik D terletak pada garis AB sejauh 7 cm dari A, dan E titik pada garis AC yang terletak sejauh 4 cm dari A. Dari A ditarik garis tinggi dan memotong BC di F. Jika bilangan rasional a/b menyatakan perbandingan luas segi empat ADFE terhadap luas segitiga ABC dalam bentuk yang paling sederhana, maka nilai a + b adalah … Penyelesaian: Karena
adalah garis tinggi samakaki ▲ABC, maka
▲AFB ▲AFC, sehingga Luas ▲AFB = Luas ▲AFC. Misalkan t = tinggi ▲AFB, dan t = tinggi ▲AFC.
t
t
Jadi, nilai dari a + b = 31.
14. OSK 2014 ALJABAR Hasil kali semua akar real dari persamaan 2x2 + 3x + 4 = adalah … Penyelesaian: Misalkan a = 2x2 + 3x + 12 – 8 = 2a a2 – 8 = 2a (a – 4)(a + 2) = 0 a = 4, karena a ≥ 0 2x2 + 3x + 4 = 2 . 4 2x2 + 3x – 4 = 0 x1 . x2 = –2
15. OSK 2014 GEOMETRI Diberikan segitiga ABC dengan AB = 360, BC = 240, dan AC = 180. Garis bagi dalam, dan garis bagi luar dari CAB memotong BC dan perpanjangan BC berturut-turut di P dan Q. Jari-jari lingkaran yang melalui titik A, P, dan Q adalah … Penyelesaian: Karena AP garis bagi, maka
24
0
Maka BP = 160 dan PC = 80. Karena Aq garis bagi, maka
Maka PQ = PC + CQ = 80 + 240 = 320. 2CAQ + 2CAP = 180 PAQ = CAQ + CAP = 900 Karena PAQ = 900, maka PQ adalah diameter lingkaran yang melalui titik A, P, dan Q. Jadi, jari-jari lingkaran yang melalui titik A, P, dan Q adalah 160.
16. OSK 2014 ALJABAR Diberikan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c yang didefinisikan pada himpunan bilangan real dengan b ≠ 0. Jika f(x) selalu positif, maka nilai terkecil yang mungkin untuk adalah … Penyelesaian:
f(x) selalu positif (definit positif), maka a 0 dan D = b2 – 4ac 0. 4ac b2 0 c 0 dan Dengan menggunakan ketaksamaan AM – GM, maka
Tanda kesamaan terjadi jika, b = 2a = 2c.
atau a = c dan b2 = 4ac sehingga
Jadi, nilai terkecil yang mungkin untuk
adalah 1.
17. OSK 2014 ALJABAR Semua pasangan bilangan prima (p, q) yang memenuhi persamaan (7p – q)2 = 2(p – 1)q2 adalah … Penyelesaian: (7p – q)2 = 2(p – 1)q2 49p2 – 14pq + q2 = 2(p – 1)q2 q|49p2 Karena p dan q prima, maka: Kasus I: Jika q|49 q = 7 (7p – 7)2 = 2(p – 1)72 (p – 1)2 = 2(p – 1) (p – 1)(p – 1 – 2) = 0 p = 3, karena p prima Kasus II: Jika q|p q = p (7p – p)2 = 2(p – 1)p2 36 = 2(p – 1) p = 19 Jadi, pasangan bilangan prima yang mungkin adalah (3, 7) dan (19, 19).
18. OSK 2014 GEOMETRI Diberikan segitiga ABC yang sisi-sisinya tidak sama panjang sehingga panjang garis berat AN dan BP berturut-turut 3 dan 6. Jika luas segitiga ABC adalah 3 , maka panjang garis berat ketiga CQ adalah … Penyelesaian:
L▲ABP = ½ L▲ABC = Karena PG : GB = 1 : 2, maka L▲ABG = Perhatikan ▲ABG: s = ½ (2c + 2 + 4) = c + 3 Dengan rumus Heron, maka
(c2 – 4)(c2 – 6) = 0 c = 2 atau c =6 Untuk c =6, maka AB = 26 Cos GAB = Diperoleh k = 2, maka GQ = GP, sehingga AB = AC. Kontradiksi dengan panjang ketiga sisi berbeda.Untuk c = 2, maka AB = 4, sehingga Cos GAB = Jadi, CQ = 3k = 36
19. OSK 2014 TEORI BILANGAN Diketahui bahwa: 20! + 14! = 243290a0953b4931200. Nilai a dan b adalah … Penyelesaian: 20! + 14! habis dibagi 9 dan 11, maka: a). 9|(2 + 4 + 3 + 2 + 9 + 0 + a + 0 + 9 + 5 + 3 + b + 4 + 9 + 3 + 1 + 2 + 0 + 0) 9 |(56 + a + b) a + b = 7 atau a + b = 16 b). 11|(2 – 4 + 3 – 2 + 9 – 0 + a – 0 + 9 – 5 + 3 – b + 4 – 9 + 3 – 1 + 2 – 0 + 0) 11|(14 + a – b) a – b = –3 atau a – b = 8 Berdasarkan analisa di atas, maka 1). a + b = 7 dan a – b = –3 a = 2 dan b = 5 2). a + b = 16 dan a – b = 8 a = 12 dan b = 4 (a = 12 Tidak memenuhi, karena digit bilangan tidak memenuhi syarat)
Jadi, nilai a dan b yang memenuhi adalah a = 2 dan b = 5.
20. OSK 2014 TEORI BILANGAN Semua bilangan bulat n sehingga n4 – 51n2 + 225 merupakan bilangan prima adalah … Penyelesaian: n4 – 51n2 + 225 = (n2 + 15)2 – (9n)2 = (n2 + 9n + 15) (n2 – 9n + 15) a). Karena (n4 – 51n2 + 225) prima, maka n2 + 9n + 15 1. Akibatnya n2 – 9n + 15 = 1 (n – 2)(n – 7) = 0
n = 2, 7
b). Karena (n4 – 51n2 + 225) prima, maka n2 – 9n + 15 1. Akibatnya n2 + 9n + 15 = 1 (n + 2)(n + 7) = 0
n = –2, –7
Jadi, semua bilangan bulat yang memenuhi adalah, –7,
–2, 2, 7.
LOGO
Add your company slogan
www.themegallery.com
