Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2018 Tingkat Kabupaten

(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)

Disusun oleh:

(Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA)

Disusun oleh:

Halaman 3 dari 29

1.

,, 



    

Misalkan dan adalah tiga bilangan . Jika ketiga bilangan tersebut merupakan bilangan asli satu digit maka jumlah terbesar akar-akar persamaan yang mungkin adalah

  0

….

      0    ⇔⇔           0  2   2     0    2     0         22  ,  ,   2    ,  9        22   323       0 ⇔  (2  )  0  ⇔    atau   2        2 +             2  9 152  97,5  16,5

Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.

Sehingga, jika akar-akar dari persamaan kuadrat dan , maka dengan rumus jumlah akar-akar persamaan kuadrat diperoleh:

adalah

Perhatikan juga bahwa dan adalah tiga bilangan satu digit berbeda, sehingga akan maksimum apabila adalah bilangan terbesar dan masing-masing dipilih bilangan satu digit berurutan yang lebih kecil dari . Sehingga apabila dan masing-masing atau adalah 8 atau 7, diperoleh jumlah terbesar akarakar persamaan kuadrat tersebut adalah

Perhatikan penjabaran bentuk aljabar tersebut.

Sehingga, diperoleh jumlah akar-akarnya adalah

Dengan mudah kita tahu bahwa

akan maksimum apabila merupakan bilangan terbesar

yaitu 9. Jadi, atau adalah 7 atau 8, begitu juga sebaliknya.

Pembahasan OSK Matematika SMA 2018 by Pak Anang (http://pak-anang.blogspot.com)

Halaman 4 dari 29

2.

2×2

Setiap sel dari suatu tabel berukuran dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3. Misalkan adalah banyaknya tabel yang memenuhi kedua sifat berikut s ekaligus: untuk setiap baris, hasil penjumlahannya genap untuk setiap kolom, hasil penjumlahannya genap Nilai adalah



•

 ….

•

Perhatikan tabel

 

2× 2

berikut!

Dengan memperhatikan bahwa hasil penjumlahan setiap baris dan kolom adalah genap, maka diperoleh kedua bilangan pada setiap baris atau kolom memiliki paritas yang sama. Perhatikan juga bahwa

,,,

,,, 

atau hanya dapat diisi dengan bilangan 1, 2, atau 3.

Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus: untuk bilangan ganjil maka ada tiga kemungkinan - keempat bilangan adalah bilangan yang sama, sebanyak •

•

,,,,,, ,  ,  ,  ,,,

!×  2  8 !!  6 !!

-

diantara bilangan

ada tiga bilangan yang sama, sebanyak

-

diantara bilangan

ada dua bilangan yang sama, sebanyak

adalah bilangan 2. Sehingga

cara.

,,, 444 44  2  16 ,,, 0 1 ,2,, 3 4 161  17

Banyak tabel yang memenuhi dapat ditentukan dengan membagi kasus: Kasus pertama: adalah bilangan ganjil. •

Banyak kejadian adalah •

Kasus kedua: adalah bilangan genap. Hanya ada satu kemungkinan, yaitu adalah bilangan 2.

Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak

cara.

cara.

,,, 2861  17

untuk bilangan genap maka hanya ada satu kemungkinan yaitu keempat bilangan ada sebanyak 1 cara.

Jadi, total banyak tabel yang memenuhi adalah sebanyak

cara.

cara.


Halaman 5 dari 29

3.

….

Diberikan persegi berukuran

3×3

satuan seperti pada gambar. Luas segilima yang diarsir adalah

Perhatikan gambar berikut!

  



       ∥    ∆ ∼ ∆    2 4 ⇒   ×   ×2     3 3       1  4 1  1 3 3 ∆ ∼ ∆    ⇒    ×   2 ×3  12 []   ∙ ∙   ∙  ∙    []  [][]  1      []   ∙  ∙2∙3   ∆ ∼ ∆   []  1    

Perhatikan, karena

, maka

Sehingga, karena

, dan

Perhatikan, karena

Jadi,

sehingga diperoleh perbandingan

, maka diperoleh

sehingga diperoleh perbandingan

Sehingga,

.

Perhatikan bahwa Sehingga

, sehingga karena

, maka

 

.


.

Halaman 6 dari 29

4.

    4   8

 

Parabola dan memotong sumbu koordinat pada tepat empat titik. Keempat titik tersebut merupakan titik-titik sudut layang-layang dengan luas 24. Nilai adalah

….

 0,     4  4  0,8   8     4   8        ⇔⇔    124  8 0 ⇔   ± 12  + , 0  + , 0   12 × ×  ⇔ 24  12 ×|8 4|× 12   12 ⇔ 24  12 ×12×2 12 ⇔ 2   12 ⇔⇔  4  312

Perhatikan, titik potong parabola pada sumbu Y adalah di titik potong parabola pada sumbu Y adalah di titik .

. Sedangkan, titik

Perhatikan juga, agar dapat diperoleh dua titik lagi sebagai titik-titik sudut layang-layang yang lain, maka titik potong parabola dan pada sumbu X seharusnya adalah pada titik yang sama, sehingga dapat disimpulkan kedua kurva berpotongan di sumbu X. Sehingga, titik potong di sumbu X dapat ditentukan dengan

Jadi, titik potong kedua parabola pada sumbu X adalah di titik

dan

Padahal, luas layang-layang adalah 24, sehingga


.

Halaman 7 dari 29

5.



 ….



      ∙ 10   ∙ 10  ⋯     ∙ 10            ⋯          10 ∙ 10  1  ∙ 1010   1 ∙ 10 10⋯      ⋯      1⋯  99  9911  999  ⋯  111  ⋯ 9|   

Untuk setiap bilangan asli didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari . Banyaknya bilangan asli sehingga habis membagi untuk setiap bilangan asli adalah

Perhatikan, bilangan asli dapat dinyatakan sebagai , maka jika didefinisikan sebagai hasil penjumlahan dari semua digit-digit dari , maka diperoleh

Misal,

Sehingga,

, maka

. Jadi bilangan asli adalah faktor bulat positif dari 9, yaitu 1, 3, dan 9.

Jadi, ada sebanyak 3 buah bilangan yang memenuhi.


Halaman 8 dari 29

6.

  ….



Diketahui dan bilangan prima dengan yang memenuhi

 <      2018  30  300 3018 , dan

   2018  30  3003018  ⇔⇔     30 300 1000  0   10  0    10 ⇔    10 ,  <   3   7

. Nilai

Perhatikan,

Sehingga, diperoleh

Karena, adalah bilangan prima, maka dua buah bilangan prima yang jumlahnya 10 adalah 3 dan 7. Mengingat , sehingga dapat diperoleh dan .



Jadi, yang memenuhi adalah 3.


Halaman 9 dari 29

7.

Diberikan dua bilangan asli dua angka yang selisihnya 10. Diketahui bahwa bilangan yang kecil merupakan kelipatan 3, sedangkan lainnya merupakan kelipatan 7. Diketahui pula bahwa jumlah semua faktor prima kedua bilangan tersebut adalah 17. Jumlah dua bilangan tersebut adalah

       73  >     10 7  2×31 1  72×3 10  7060



….

 

Perhatikan, misal kedua bilangan tersebut adalah dan , karena adalah bilangan kelipatan 7 dan adalah bilangan kelipatan 3, maka untuk dan adalah suatu bilangan asli, dan dapat dinyatakan sebagai

7 3  10  

Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan persamaan . Nilai

, maka

. Ini sama saja dengan

dan dapat ditentukan menggunakan pembalikan algoritma Euclid, yaitu

Sehingga,

Dengan mengalikan 10 kedua ruas diperoleh

  10   20  207 103 ⇒⇒   6021 7021 , ,  {28,18, 49,39, 70,60, 91,81}  17  3  7    7 , ,   70   60    7060  130

Sehingga, diperoleh

dan

.

Sehingga, solusi umumnya adalah

Diperoleh pasangan bilangan dua digit

yang memenuhi adalah

Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan y adalah 17, maka Maka , sehingga bilangan prima yang memenuhi hanyalah 2 dan 5. Sehingga, jelas diantara pasangan

yang memiliki faktor prima 5 hanyalah

Jadi, jumlah kedua bilangan tersebut adalah

.


.

dan

.

Halaman 10 dari 29

 ≡ 0mod 7  ≡ 0mod 3  >     10    10 ≡ 0mod 3 ⇒  ≡ 1mod 3 ⇒   3 1   3 1 ≡ 0mod 7 ⇒ 3  6mod 7 ⇒ 3  7 6   21 7    {28,49,70,91}   17  3  7    7 , ,   70   60    7060  130   17  3  7    7 ,   7(2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7)   3(2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7)      10     35 ⇒ 35, 7 0   15 ⇒ 15, 30, 45, 60, 90    10   70   60    7060  130

Perhatikan, maka

dan , sehingga

. Karena selisih kedua bilangan adalah 10, dan

,

Sehingga,

Diperoleh,

dan nilai yang memenuhi adalah

Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka Maka , sehingga bilangan prima yang memenuhi hanyalah 2 dan 5. Sehingga, diantara pasangan

yang memiliki faktor prima 5 hanyalah


.

, akibatnya

.

.

Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka Maka , sehingga bilangan prima yang memenuhi hanyalah 2 dan 5. Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah

dan

.

.

LOGIKA: 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau . Mengingat , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti menjadi faktor dari baik maupun . • •

Sehingga dengan cara mendaftar kemungkinan secara manual:

Jelas yang memenuhi

, adalah


dan

.

.


Halaman 11 dari 29

   7

  17  3  7 ,   7(2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7)   3(2 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7)  

Perhatikan bahwa jumlah semua faktor prima dan adalah 17, maka Maka , sehingga bilangan prima yang memenuhi hanyalah 2 dan 5. Akibatnya, kemungkinan yang terjadi adalah

dan

.

.

LOGIKA: 5 adalah semestinya menjadi salah satu faktor prima dari salah satu dari atau . Mengingat , suatu bilangan kelipatan 5 pasti memiliki selisih 10 dengan bilangan yang lain, apabila bilangan yang lain juga kelipatan 5. Sehingga, disimpulkan 5 sudah pasti menjadi faktor dari baik maupun . Karena 2 belum menjadi faktor dari masing-masing bilangan, maka 2 pasti juga menjadi faktor dari salah satu bilangan. Dan karena selisihnya 10, merupakan kelipatan 10, berarti bilangan lain juga kelipatan 2. Akibatnya karena 2 dan 5 adalah faktor setiap bilangan, maka keduanya adalah kelipatan 10. • •

   10

•





•

 3070⇒⇒30,7060    10   70   60    7060  130

Sehingga, kemungkinan yang terjadi hanyalah

Jelas yang memenuhi

, adalah


dan

.

.


Halaman 12 dari 29

8.



  ….        1       2     3 −  ∙ 1− ⇔ ! ∙  1∙ 1   ∙    − −   3 ! 1 3 ⇔  2!2! ∙4 ∙4   3!3! ∙4 ∙4  2! 3  ∙ 1 ∙ 2∙ 3! 1 ⇔  ∙1∙ ∙  ∙ 2! ∙2 43  2  3!∙3! 4 ⇔⇔ 218  264 ⇔⇔ 22  112

Diberikan satu koin yang tidak seimbang. Bila koin tersebut ditos satu kali, peluang muncul angka adalah . Jika ditos kali, peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga angka. Nilai adalah

Perhatikan, dengan menggunakan konsep distribusi binomial, misal angka, maka

dan

peluang kejadian muncul

.

Apabila satu koin ditos kali, maka peluang muncul tepat dua angka sama dengan peluang muncul tepat tiga angka dapat dinyatakan sebagai



Jadi, nilai yang memenuhi adalah 11.


Halaman 13 dari 29

9.

….

Panjang sisi-sisi dari segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan. Diketahui bahwa garis berat dari segitiga tegak lurus dengan salah satu garis baginya. Keliling segitiga itu adalah

Perhatikan gambar segitiga berikut







                  merupakan garis berat dan

Perhatikan segitiga

merupakan garis bagi, keduanya berpotongan saling tegak lurus.

sama kaki, sehingga

. Misal

.

Perhatikan juga, karena sisi-sisi segitiga merupakan bilangan asli yang berurutan, maka selisih dari dua sisi segitiga adalah 1 atau 2.

  1   1,   2   03   2   2,   4  3   3,   2,   4     324  9   2∙ 1 2 ≯ 3 23 > 4 234  9

2   1 ⇒   1   >  2   2 ⇒   2

Kasus pertama, selisih dua sisi segitiga adalah 1, sehingga Karena , maka , sehingga , tidak memenuhi karena sisi segitiga tidak mungkin nol , tidak mungkin karena tidak memenuhi ketaksamaan • •

Kasus kedua, selisih dua sisi segitiga adalah 2, sehingga Karena , maka , sehingga , memenuhi. •

Sehingga, sisi segitiga adalah

.

Jadi keliling segitiga adalah

.

Perhatikan, karena panjang sisi-sisi segitiga adalah bilangan asli yang berurutan, dan dari gambar kita tahu bahwa . Jadi, kemungkinan tiga bilangan urut, dimana salah satunya adalah dua kali dari yang lain adalah: 1, 2, 3 Namun karena , maka jelas segitiga ini tidak memenuhi ketaksamaan segitiga. 2, 3, 4 Benar, bahwa , maka jelas segitiga ini memenuhi ketaksamaan segitiga. •

•

Jadi, keliling segitiga adalah

.


Halaman 14 dari 29

    2    1 ≠ 1 10 ….     ,  ≠ 0,     2 0 ≤  <  ⇔⇔  (2  )  (   )   22 ⇔     2    2     22  2 1   20    2    2 ⇒   20 ≤  <  ⇒ 0 ≤ 2 <  ⇔⇔ 1 <≤ 2 <≤ 22  2     2            ≠ 0         2 ⇔⇔  2       22 ⇔     2     2 2  0 ⇒   0 atau   0    2 ⇔ ⇒  2   1 2  00 ⇔   2 atau   1    0 10  2210  20   2 1  2 ≠ 1  1 1 ≠ 1       1 10 1         ≠ 0         2 ⇔⇔     2    2     2       22 ⇔     2    2   2     2

10. Diberikan suku banyak dengan untuk setiap bilangan real maka jumlah semua nilai yang mungkin adalah

Perhatikan, anggap

suku banyak derajat dengan

. Jika

, maka

Sehingga, dengan memperhatikan kesamaan di atas, maka kemungkinan yang terjadi adalah , maka dengan . , apabila maka . Perhatikan, , maka • •

Jelas bahwa

.

Jadi, suku banyak , agar kesamaan berlaku maka adalah suku banyak berderajat satu. adalah suku banyak berderajat dua. • •

,

Misal,

adalah suku banyak berderajat satu. , , maka

Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh

Dari kasus ini Apabila maka Apabila mengingat memenuhi. •

•

,

Misal,

yang memenuhi hanya jika , sehingga , jadi yang memenuhi adalah , sehingga karena . , jadi yang memenuhi adalah , sehingga karena , maka tidak memenuhi. Sehingga tidak ada nilai

adalah suku banyak berderajat dua. , maka


,

, dan yang

Halaman 15 dari 29

   0 ⇔⇒   0 at1  0 au   1 2  0 ⇒   0 atau   0   2   2 ⇔⇒ 22  22 ⇔   1      1 10  10  1  101 10 20101  121

Sehingga, dari kesamaan suku banyak diperoleh

Dari kasus ini

yang memenuhi adalah

Jadi jumlah semua nilai

yang mungkin adalah

, sehingga

.

.


Halaman 16 dari 29

{}



    ⋯    0   2     +  +  2  ….

11. Misalkan adalah barisan bilangan bulat yang memenuhi untuk setiap bilangan asli berlaku . Nilai

,

, dan

adalah

Perhatikan, kita akan mencoba menguraikan kombinasi linear dari bilangan 143 terhadap bilangan 9 dan 13, sehingga diperoleh

9 13  143 ⇔⇒ 9∙9  13∙11 14313 9 13  143 ,   013 11 1109⇒⇒112 ,,    13,0,112 +  +  2      1  9 13  ∙       ∑2 =   4∙142048∙1 2 ∙ 14132 ∙ 100   2104 562048   2 102  2 112  2  2⋯ 0  2 1  2 2  2 100    2 101    2 102    ⋯2 1010        −−   ∑2 =         ⋯    0

Sehingga, terdapat dua penyelesaian bulat untuk , sehingga , sehingga , sehingga , sehingga • •

Padahal, untuk

, dengan

, rumus umumnya untuk

bilangan cacah.

adalah

Sehingga,

Jika kita uraikan secara terus menerus, maka kita juga akan bertemu pola kombinatorik pada sukusuku yang dihasilkan. Perhatikan,

Jadi, rumus umum penjabaran dari

hingga langkah ke- adalah

Nah, jika kita perhatikan seksama pola yang terbentuk, hanya suku dari penjabaran tersebut harus kita uraikan menjadi , jika tidak dapat diuraikan menjadi maka nilainya nol, mengingat bahwa . Sehingga, kita akan mencoba menguraikan bilangan 13 dari pengurangan bilangan 143 oleh kombinasi linear dari 9 dan 4, sehingga diperoleh

1313 143910410 14391441   14  10 ,   14,1 ,   10,9   2  1    2 10  2∙14∙21024∙1∙2  562048  2104

Jadi, nilai dari

dapat diperoleh untuk

dan


Halaman 17 dari 29

⌊ ⌋   ⌊⌋⌊⌋  43,8   ⌊⌋  18,4 10  ….  0≤<1    ⌊⌋   ⌊⌋⌊⌊⌋ ⌋⌊  ⌋ 43, 8 43,8 ⇒ ⌊⌋⌊⌋⌊⌋  43,8 ⇔ ⌊⌋2⌊⌋  43,8 ⌊⌋2⌊⌋  43   0,8 ⌊⌊⌋ ⌋ 18,18,44 ⇒ ⌊⌋  ⌊⌋  ⌊⌋  18,4 ⇔⇔ ⌊⌊⌋⌋    0,8  18,18,44 ⌊⌋  17,6 ⇔ ⌊⌋  17   0,6 ⌊⌋2⌊ ⌋   43 ⌊⌋2⌊⌋  43 ⇒⇔ ⌊⌋217  43 ⌊ ⌋34   43 ⇔ ⌊⌋  9     ⌊⌋  90,6  9,6   ⌊⌋  170,8  17,8 10   109,617,8  1027,4  274

12. Untuk setiap bilangan real , dengan . Jika diketahui

Perhatikan, misal

menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dan . Nilai adalah

, maka untuk setiap bilangan real berlaku:

Dari persamaan

, diperoleh

Sehingga diperoleh,

dan

Dan dari persamaan

Sehingga diperoleh

.

diperoleh

, dan

Perhatikan kembali bahwa

.

, sehingga diperoleh

Jadi, diperoleh nilai dan adalah

Jadi, nilai

.


Halaman 18 dari 29

   

          ….                ⇒    ∙      [[  ] ]  1 21 ∙  ∙ 24  ∙∙   254   25 1                     ⇒⇔   ∙ ∙ ∙    1 ∙ ⇔ 1 ∙ ∙   ∙ ⇔   1 425  1  ⇒ 425  1    25 ⇔⇔ 41  48 4  25  ⇔⇔ 441  1744  00 ⇔   14 atau   4      4     >   < 

13. Misalkan adalah trapesium siku-siku dengan sejajar dan tegak lurus juga adalah titik potong diagonal dan . Jika perbandingan luas segitiga trapesium

adalah 4 : 25 maka nilai

Perhatikan trapesium berikut. adalah titik potong diagonal dan

. Misalkan dan luas

adalah

.

Misal,

Sehingga, dari perbandingan luas segitiga trapesium diperoleh

Padahal, dari kesebangunan segitiga Sedangkan, dari kesebangunan

dan

dan segitiga

dan

serta

, diperoleh

dan

.

diperoleh.

Maka,

Sehingga,

Jadi, perbandingan

atau

.

Pembuat soal kurang waspada terhadap perbandingan panjang ditambahkan keterangan atau .

dan

. Seharusnya pada soal


Halaman 19 dari 29





14. Himpunan merupakan himpunan bilangan-bilangan 7 digit sehingga masing-masing angka 1, 2, 3, 4, 5, 6, atau 7 tepat muncul satu kali. Bilangan-bilangan di diurutkan mulai dari yang paling kecil sampai yang paling besar. Bilangan yang berapa pada urutan ke-2018 adalah

….

Pertama, kita akan memeriksa banyak bilangan dengan memeriksa digit pada tempat terbesar, yaitu tempat jutaan. Bilangan 1XXXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1 sampai dengan bilangan ke-720 adalah berformat 1XXXXXX. Bilangan 2XXXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-721 sampai dengan bilangan ke-1440 adalah berformat 2XXXXXX. Bilangan 3XXXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai dengan bilangan ke-2160 adalah berformat 3XXXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada format 3XXXXXX. •

•

•

6!  720 6!  720 6!  720 5!  120 5!  120 5!  120 5!  120 5!  120

Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat ratusan ribu. Bilangan 31XXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1441 sampai dengan bilangan ke-1560 adalah berformat 31XXXXX. Bilangan 32XXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1561 sampai dengan bilangan ke-1680 adalah berformat 32XXXXX. Bilangan 34XXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1681 sampai dengan bilangan ke-1800 adalah berformat 34XXXXX. Bilangan 35XXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1801 sampai dengan bilangan ke-1920 adalah berformat 35XXXXX. Bilangan 36XXXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai dengan bilangan ke-2040 adalah berformat 36XXXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada format 36XXXXX. •

•

•

•

•

4!  24 4!  24 4!  24 4!  24 4!  24

Selanjutnya akan diperiksa digit pada tempat puluhan ribu. Bilangan 361XXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1921 sampai dengan bilangan ke-1944 adalah berformat 361XXXX. Bilangan 362XXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1945 sampai dengan bilangan ke-1968 adalah berformat 362XXXX. Bilangan 364XXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1969 sampai dengan bilangan ke-1992 adalah berformat 364XXXX. Bilangan 365XXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-1993 sampai dengan bilangan ke-2016 adalah berformat 365XXXX. Bilangan 367XXXX menyumbang sebanyak bilangan. Jadi bilangan ke-2017 sampai dengan bilangan ke-2040 adalah berformat 367XXXX. Sehingga bilangan ke-2018 berada pada format 367XXXX. •

•

•

•

•

Selanjutnya akan diperiksa secara manual digit pada tempat ribuan. Bilangan 3671245 adalah bilangan ke-2017. Bilangan 3671254 adalah bilangan ke-2018. • •

Jadi, bilangan ke-2018 adalah 3671254.


Halaman 20 dari 29

Perhatikan,

12 4567 3 (bilangan ke 2+1) 1245 7  6 (bilangan ke 4+1) 1245  7 (bilangan ke 4+1) 245  1 (bilangan ke 0+1) 45  2 (bilangan ke 0+1) 4  5 (bilangan ke 1+1) 4  4 (bilangan ke 0+1)

2018578  4×5!98 2×6!578 982 0×3!2 4×4!2 22  0×2!2 1×1!1 1  0×0!1

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 3671254.

Nah, penulis mencoba membuat “analisis forensik” mengapa pembuat soal bisa membuat kunci Menurut kunci jawaban yang beredar, jawaban untuk soal ini adalah 3561274. jawaban seperti tersebut di atas.

Langkah yang kurang tepat ditunjukkan oleh warna merah. 12 4567 3 (bilangan ke 2+1) 124 67  5 (bilangan ke 4+1)  pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 5, tapi 6. 124 7  6 (bilangan ke 4+1)  pembuat soal lupa bahwa bilangan ke-5 bukan 6, tapi 7. 247  1 (bilangan ke 0+1) 47  2 (bilangan ke 0+1) 4  7 (bilangan ke 1+1) 4  4 (bilangan ke 0+1) Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 3561274. (jawaban akhir menurut kunci jawaban yang dipakai korektor untuk mengoreksi jawaban peserta)


Halaman 21 dari 29

,   ….   { ∈ ℝ|0 ≤  ≤ 1}    ′ ℎ, yai t u “     .   ”  0 ≤   ≤     ∈ ℤ ,  ∈ ℤ

15. Misalkan . Banyaknya pasangan bilangan asli sehingga tepat ada 2018 anggota yang dapat dinyatakan dalam bentuk untuk suatu bilangan bulat dan adalah

Perhatikan, dari Jika dan dua bilangan bulat yang keduanya taknol maka terdapat bilangan bulat dan sehingga . Sehingga banyaknya anggota yang dapat dinyatakan adalah banyaknya yang memiliki solusi .

;

Dengan membagi kasus, yaitu

′ ℎ       ∈ ℤ  1  2018 , 1 {1,20182017,⇒ 2017, 20171} ′ ℎ ,   > 1 ,  > 1    1  1   ∈ ℤ     1,  2018 {2017, ⇒ 2017 2017 ⇒   2017 } , Kasus 1. Apabila dan adalah relative prima, maka dari dinyatakan dalam sehingga haruslah Sehingga, diperoleh penyelesaian Kasus 2. Apabila ,

, maka

dapat dinyatakan dalam

, semua

, sehingga .

. Sehingga dari . Semua

, semua (dan hanya)

ada sebanyak

Sehingga diperoleh penyelesaian

Jadi, banyaknya pasangan bilangan asli

dapat

yang memenuhi adalah 3 buah.


, sehingga

Halaman 22 dari 29

         

16. Diberikan segitiga dan

     30    

dan lingkaran Γ yang berdiameter

berturut-turut

, maka luas segitiga

  2 3

Perhatikan, gambar segitiga

di

dan

adalah ….

.

.

Lingkaran Γ memotong sisi

Jika

,

,

dan

dan lingkaran Γ.

     3       2   3     4          4   3    30   ×    ×  ⇔⇔ 2 ×63 123 × 4 ⇔   2 ∆      ∆  ∆ ∆        ⇔⇔ 30    4  2  ⇔⇔ 900900   168  44  ⇔⇔ 900  1805   √    √30    √ 900 180  √ 720  12√ 5     √ 180  6√ 5   3  3  18√ 5 ∆    ×  ×   ×18√ 5 × 12√ 5  108 × 5  540 Misal,

, karena

sehingga

maka

, akibatnya

, karena

sehingga

,

.

maka

, akibatnya

,

.

Berdasarkan power of point diperoleh

Luas dapat dicari menggunakan sisi alas dan tinggi . Sehingga kita akan mencari dengan terlebih dahulu mencari nilai , lalu mencari dengan menggunakan aturan Pythagoras pada . dapat dicari dengan memandang aturan Pythagoras pada

dan

Sehingga,

.

Mengingat Jadi, luas

, yaitu:

, maka

.

adalah


.

Halaman 23 dari 29

TRIK SUPERKILAT:

Perhatikan, gambar segitiga





dan lingkaran Γ.

Perhatikan, dengan dalil de Ceva pada segitiga diperoleh

       3 × ×  1 ⇒      2 2 3     × 30  18        ⇔ 1×   3 ×    3 5 ⇔   95 30 ⇔   1620   √    √ 1620 324  √ 1296  36 ∆    ×  ×    × 30× 36  540 Jadi,

.

Berdasarkan power of point diperoleh

Sehingga, Jadi, luas

.

adalah

.




Halaman 24 dari 29

 <  < 2 −  −  ….              −  −     −  −  −−   − −−   − +− ′  −   −    −− − ′ 4′  80 14    0 ⇒ 22 1  0 ⇔ 4  8 147  0 ⇔   2  2  90 ⇔   2 1  92 ⇔  1  2 3 ⇔  1  ± √ 2 3√ 2 ⇔   1± ′     1 √ 32 1 √ 32 −  <  < 2   1 √    √ 1 √  3 2 2 √   2 3  1 √ 2  23√ 2 2  23√ 2 22 1 2 2 √ 2 22  3√ 223  363√  363√ 2 2√ 2  632√ 2√ 2 √ 2 22  563√ 2  563√ 2 2√ 2 × 63√ 63 2 √  182418 √ 2  1 4√ 32

17. Diberikan bilangan real dan yang memenuhi

Perhatikan,

. Nilai minimum

, dan misal

, maka

adalah

.

Sehingga,

Diperoleh titik stasioner

adalah saat

, yaitu

Perhatikan garis bilangan dari

Sehingga,

minimum dari

adalah titik balik minimum dan karena

adalah

, yaitu


maka nilai

Halaman 25 dari 29

  2    2     +   + 12 <  < 2 ⇒ 12 < 22  < 2 ⇒  > 0, > 0 ,  2  22  ⇒ ,  23  223  32  43 1  > 0  > 0  > 0 2  >40   3 2 3 ≥  23 ∙ 34 ⇔ 23  34 ≥ 4√ 32 ⇔ 23  34  1 ≥ 1 4√ 32 −  − 1 √  ,  2   22  2  1322  23 1  23 22  43 22 1  <  < 2 2   > 0 2  > 0 − − > 0 − 2 2− > 0 4 2    3 2  2 3 2  ≥  23 22 ∙ 43 22  ⇔ 32 22   43 22  ≥ 4√ 32 ⇔ 23 22  43 22 1 ≥ 1 4√ 32 ⇔ 2   22 ≥ 1 4√ 32 −  − 1  √ 

Misal,

dan

, maka diperoleh

dan

.

Sehingga,

Dan, diperoleh

Karena

dan

, sehingga

Jadi, nilai minimum

dan

adalah

, maka menurut

, diperoleh

.

Perhatikan,

Karena

, maka

Sehingga, untuk

Jadi, nilai minimum

dan

dan

.

, maka menurut

adalah

, diperoleh

.


Halaman 26 dari 29

18. Diberikan sembilan titik pada bidang yang membentuk segitiga sama sisi seperti pada gambar. Pada tiap sisi, dua titik yang bukan titik sudut segitiga membagi sisi menjadi tiga bagian sama panjang. Kesembilan titik ini akan diwarnai masing-masing dengan warna merah atau biru. Peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga siku-siku adalah

….

Perhatikan gambar berikut!











   

Dari keenam titik yang bukan titik sudut segitiga dapat dibuat sebuah lingkaran yang di dalamnya terdapat segienam beraturan.

,, 

Sepasang titik sudut segienam beraturan yang saling berhadapan dapat membentuk garis yang merupakan diameter lingkaran, yaitu dan . Sehingga, apabila sepasang titik sudut yang berhadapan memiliki warna yang sama, maka jika satu titik dipilih dari empat titik yang lain pada lingkaran berwarna sama, maka jelas tiga titik berwarna sama tersebut akan terbentuk segitiga siku-siku. Ingat kembali bahwa sudut keliling yang menghadap ke diameter lingkaran pastilah siku-siku.

  

Sekarang, coba perhatikan bahwa kondisi terburuk yang mungkin terjadi adalah dua pasang titik sudut segienam beraturan yang saling berhadapan memiliki warna berbeda. Misalnya, dan berwarna merah, sedangkan dan berwarna biru, maka jika satu saja titik yang lain dari atau diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku dengan titik-titik sudutnya sewarna.



 

,

,, ,,

Kondisi terburuk lain yang mungkin terjadi adalah dan berlainan warna, maka jika satu saja titik sudut segitiga diberi warna apapun, pastilah akan terbentuk segitiga siku-siku dengan titik-titik sudutnya sewarna. Sehingga peluang bahwa dari kesembilan titik tersebut, terdapat tiga titik yang warnanya sama dan membentuk segitiga siku-siku adalah 1.


Halaman 27 dari 29

    13    …. teorematent6ang±1bilangan priadal ma yaiathubi“Setlanganiap biasllangan pri m a   > 3  i”.  > 3, > 3   6 ±1  ≥ 1     13 ≡ 1113 ≡ 15 ≡ 0mod 3   2, ≤2,3 ≤ 3    13 ≡131113 ≡ 15 ≡ 0mod 5   2  ≤ 3     13     3  3     1313 ≡ 1113 ≡ 15 ≡ 0mod 5   2, >2,3 > 3  6  ±1 13≥ 1     13 ≡ 0 1 13 ≡ 14 ≡ 0mod 2   2  > 3     13   3, >631   6 ±1  ≥ 1 5   ≥ 0  ≠ 4   4     13 ≡ 8165   1  13 mod 5  15, unt4mod ≡ ≡ 0mod 5 u k  ≠ 4   6 1  5   ≥ 0  ≠ 1   1     13 ≡ 8165  11  13 mod 5  15, u1mod ≡ ≡ 0mod 5 ntuk  ≠ 11     13   3,  5     13  3  5  13  8162513  719

19. Bilangan prima terbesar yang dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan prima dan adalah

Perhatikan, dinyatakan sebagai Untuk

dan

, berarti

,

, maka

adalah bukan bilangan prima. adalah bukan bilangan prima.

, maka maka , maka

adalah bukan bilangan prima.

Untuk , berarti , Jadi untuk , maka Begitu pula untuk , , maka Untuk , berarti Untuk , maka misal , maka tak prima. Maka, •

•

, maka adalah bukan bilangan prima. adalah bukan bilangan prima.

, , berbentuk

Untuk , maka misal berbentuk , maka tak prima, kecuali untuk . Maka,

Maka, solusi satu-satunya adalah jika terbesar untuk . Jadi,

, maka dapat

, dengan

Untuk , maka Jadi untuk , maka Begitu pula untuk , , maka Untuk Jadi untuk

untuk suatu bilangan-

, dengan

. Disini,

sebab jika

, dengan

. Disini,

sebab jika

, sehingga

adalah bilangan prima

.


Halaman 28 dari 29

||  ||∙||   …. ,

20. Pada segitiga memenuhi adalah

  



, panjang sisi adalah 1 satuan. Ada tepat satu titik pada sisi yang . Jika menyatakan keliling , jumlah semua yang mungkin

|| ||        1        2 1 ||||  1 ||||  1     ∆ | || || | 0,0 ,0 1,0   1 ∆  | | |  |   | ∙  |   ⇔⇔   2     1    ⇔ 2   2 1     0  ,0   0    0 ⇔ ⇒ (2 1)  42   4  00 ⇔ 2 1  82 1  0   ⇔ 8      0<<1 0 <  < 1 ⇔⇒ 00 << 22411 << 14 ⇔⇔ 1 1< <2 << 33 2 2 ∆   1   1   2 1     1  2 81 2 1   2 81     2 3 2 1    1 8  8  1 22√ 32  22√ 12  1√ 2 Perhatikan,

.

Sehingga, keliling

adalah

.

Perhatikan juga bahwa pada

berlaku

Ingat, bahwa agar tepat diperoleh satu titi k

Padahal,

, sehingga

Jadi, keliling

adalah

maka penyelesaian real kembar


Halaman 29 dari 29

Pembahasan soal OSK Matematika SMA 2018 ini sangat mungkin jauh dari sempurna mengingat keterbatasan penulis. Saran, koreksi dan tanggapan sangat diharapkan demi perbaikan pembahasan soal OSN ini. Untuk download pembahasan soal SBMPTN, UNAS, Olimpiade, dan rangkuman materi pelajaran serta soal-soal ujian yang lainnya, silahkan kunjungi http://pak-anang.blogspot.com. Terima kasih. Pak Anang


Pembahasan Soal OSK Matematika SMA 2018 Tingkat Kabupaten

Recommend Documents