MODUL MAT.XI.04
Peluang Kejadian Majemuk Pendahuluan Modul ini menguraikan tentang peluang kejadian majemuk yang terdiri dari peluang komplemen suatu kejadian, peluang dua kejadian yang saling asing, peluang kejadian saling bebas, dan peluang kejadian bersyarat. Standar Kompetensi : Menggunakan aturan statistik, kaidah pencacahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar
:
1. Menentukan ruang sampel, dan peluang suatu kejadian serta penafsirannya.
Indikator Pembelajaran a. Menentukan peluang suatu kejadian secara teoritis
Tujuan Pembelajaran Setelah selesai pembelajaran ini diharapkan siswa dapat: a.
menentukan peluang komplemen suatu kejadian
b.
menentukan peluang dua kejadian saling lepas
c.
menentukan peluang dua kejadian saling bebas
d.
menentukan peluang kejadian bersyarat
Uraian Materi D. Peluang Kejadian Majemuk
Misalkan, pada sebuah kotak terdapat 2 bola merah dan 3 bola hijau. Dari kotak tersebut, akan diambil 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau. Kejadian terambilnya 1 buah bola merah dan 1 buah bola hijau dinamakan kejadian majemuk . 1. Peluang Komplemen Suatu Kejadian
Dalam teori himpunan, himpunan bukan A, himpunan A, dan S
A’ A
himpunan semesta dilukiskan dalam diagram Venn di samping. Himpunan bukan A ditulis A′ , A , ataupun A C dan sering disebut komplemen dari A.
Kejadian bukan A atau A′ dinamakan juga komplemen kejadian A. Peluang kejadian A dilambangkan dengan P( A A), dan
peluang komplemen kejadian bukan A dilambangkan dengan P( A ).
Berdasarkan definisi peluang berdasarkan ruang sampel dapat dituliskan:
)
(i). P( A) + P A = 1
)
(ii). P A = 1 − P ( A ) (iii). P( A) = 1 − P A
)
2.20 Tentukan peluang komplemen dari peluang berikut. a. Peluang kereta datang terlambat adalah 0,03. b. Peluang Indra meraih juara kelas adalah 0,25. Jawab:
a. Komplemen kejadian kereta api datang terlambat adalah kejadian kereta api datang tepat waktu. Peluang kereta api datang tepat waktu adalah (1 − 0,03) = 0,97 . b. Peluang gagal menjadi juara kelas adalah (1 − 0,25) = 0,75. 2. Peluang Dua Kejadian Saling Asing
a. Peluang gabungan dua kejadian (kejadian A atau kejadian B) dapat ditentukan dengan rumus sebagai berikut. Misal A dan B adalah dua kejadian yang berada dalam ruang sampel S , maka peluang kejadian ( A ∪ B ) ditentukan oleh formula: P( A ∪ B ) = P( A) + P ( B) − P( A ∩ B)
2.21 Dalam melambungkan sebuah dadu, jika A adalah kejadian munculnya bilangan ganjil dan B adalah kejadian munculnya bilangan prima. Tentukan peluang kejadian munculnya bilangan prima ganjil atau prima! Jawab:
S
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A
= bilangan ganjil : {1, 3, 5}
→
P( A) =
3 6
B
( A ∩ B )
P( A ∩ B ) =
= {3, 5} →
P( B ) =
→
= bilangan prima : {2, 3, 5}
3 6
2 6
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) =
3
+
6
3 6
−
2
=
6
4 6
=
2 3
Jadi peluang kejadian munculnya bilangan ganjil atau prima adalah
2 3
.
b. Peluang gabungan dua kejadian saling asing (kejadian A atau B di mana A dan B saling asing). Karena A dan B saling asing maka A ∩ B = 0 atau P ( A ∩ B ) = 0 Sehingga: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) = P( A) + P( B ) − 0
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B)
2.22 Dalam sebuah kantong terdapat 10 kartu, masing-masing diberi nomor yang berurutan, sebuah kartu diambil dari dalam kantong secara acak, misal A adalah kejadian bahwa yang terambil kartu bernomor genap dan B adalah kejadian terambil kartu bernomor prima ganjil. a. Selidiki apakah kejadian A dan B saling asing. b. Tentukan peluang kejadian A atau B. Jawab:
a. ( A ∩ B ) = { } , maka A dan B saling asing. b. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} A = {2, 4, 6, 8, 10} → P ( A) =
B = {3, 5, 7}
( A ∩ B ) = { }
5 10
→ P ( B ) =
3 10
→ P ( A ∩ B ) = 0
P( A ∪ B ) = P( A) + P( B) =
5 10
+
3 10
=
8 10
=
4 5
3. Peluang Kejadian Saling Bebas
Dua kejadian A dan B disebut kejadian-kejadian yang saling bebas jika terjadinya kejadian A tidak mempengaruhi terjadi atau tidaknya kejadian B. Bila A dan B adalah kejadian-kejadian yang saling bebas, maka: P ( A ∩ B ) = P ( A) × P( B )
Jika P( A ∩ B ) ≠ P( A) × P( B ) , maka A dan B disebut saling bergantungan.
2.23 1. Sebuah kotak berisi 11 bola yang diberi nomor 1 hingga 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian dengan pengembalian. Tentukanlah peluang terambil bolabola tersebut bernomor bilangan a. kelipatan 4 dan nomor 9; b. ganjil dan genap 2. Sebuah kotak berisi 11 bola yang bernomor 1 sampai dengan 11. Dua bola diambil dari kotak secara bergantian tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang terambilnya bola-bola tersebut bernomor bilangan berikut ini. a. Genap, kemudian ganjil; b. kelipatan 3, kemudian nomor 8; c. Kelipatan 4, kemudian nomor 11. Jawab:
1.
a. Peluang terambil bola bernomor kelipatan 4 adalah P(kelipatan 4) = bola bernomor 9 adalah P(9) =
2 11
, peluang
1 11
Jadi, P(kelipatan 4 dan nomor 9) = P(kelipatan 4) × P(9) =
2
×
11 11
b. Peluang bola bernomor bilangan ganjil adalah P(ganjil) = bernomor bilangan genap adalah P(genap) =
5 11
.
Jadi, peluang bola bernomor ganjil dan genap adalah P(ganjil dan genap) = P(ganjil) × P(genap) =
6
×
5
11 11
=
1
30 121
.
6 11
=
2 121
.
, peluang bola
2.
a. Peluang bola bernomor bilangan genap adalah P(genap) =
5 11
.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor bilangan ganjil adalah P(ganjil
genap) =
6 10
. Jadi, P(bola bernomor bilangan genap kemudian ganjil)
adalah P(genap) × P(ganjil
genap) =
5
6
×
30
=
11 10
=
110
6 22
.
b. Peluang bola bernomor kelipatan 3 adalah P(kelipatan 3) =
3 11
.
Mengingat pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor 8 adalah P(8 3) =
1 10
kelipatan
.
Jadi, P(kelipatan 3 kemudian nomor 8) adalah P(kelipatan 3) × P(8
kelipatan 3) =
3
×
1
3
=
11 10
110
.
c. Peluang bola bernomor kelipatan 4 adalah P(kelipatan 4) =
2 11
. Mengingat
pengambilan dilakukan tanpa pengembalian, jumlah bola di dalam kotak tinggal 10 buah. Peluang terambil bola bernomor 11 adalah P(11
kelipatan 4) =
1 10
.
Jadi, P(kelipatan 4 kemudian nomor 11) adalah P(kelipatan 4) × P(11
kelipatan 4) =
2
×
1
11 10
=
2 110
=
1 55
.
4. Peluang Kejadian Bersyarat
Dua kejadain disebut kejadian bersyarat atau kejadian yang saling bergantung apabila terjadi atau tidak terjadinya kejadian A akan mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian B. Peluang terjadinya kejadian A dengan syarat kejadian B telah muncul adalah:
P( A / B ) =
P( A ∩ B ) P( B )
, dengan syarat P( B B) ≠ 0
Atau peluang terjadinya kejadian B dengan syarat kejadian A telah muncul adalah: P ( B / A) =
P ( A ∩ B ) P ( A)
, dengan syarat P( A A) ≠ 0
2.24 Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih. Jika sebuah bola diambil dalam kotak itu berturut-turut sebanyak dua kali tanpa pengembalian. Tentukan peluang yang terambil kedua-duanya bola merah. Jawab:
P ( A) =
6 10
5
P ( B / A) =
;
9
P ( A ∩ B ) = P( A) ⋅ P ( A / B ) =
6
×
5
10 9
=
30
=
90
1 3
Jadi, peluang yang terambil kedua-duanya bola merah tanpa pengembalian adalah
1 3
Rangkuman 1. Kejadian majemuk. Peluang kejadian A atau kejadian B dinotasikan P ( A ∪ B ) adalah:
P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )
Jika A ∩ B = φ , maka disebut kejadian saling lepas atau saling asing, sehingga: P ( A ∪ B ) = P( A) + P( B) 2. Kejadian A dan kejadian B merupakan merupakan dua kejadian saling bebas apabila:
P ( A ∩ B ) = P ( A) × P( B ) 3. Kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian tidak saling bebas atau kejadian bersyarat apabila:
P ( A / B ) =
P( A ∩ B ) P ( B )
B) ≠ 0 atau , dengan syarat P( B
.
