PDS - Curvas y Regiones en El Plano Complejo

27/10/2012

Curvas y Regi Regiones ones del Plano Complejo Universidad del Cauca Facultad de Ingeniería Electrónica y Telec omunicaciones Departamento de Telecomunicaciones

Introducción La curvas y regiones del plano complejo se utilizan con frecuencia en el análisis de sistemas. Para su representación se hace uso de ecuaciones y desigualdades. desigualdades. Recordemos que la distancia entre dos puntos puede ser representado como | z  a | Universidad del del Cauca

Circunferencia

Disco Circular

Consideremos al punto a como el centro de una circunferencia C de radio ρ, ρ, representando dicha circunferencia como:

| z  a |  a



e  jf ,

w  z  a



z  x  jy

•

Un Disco Circular Abierto es tal que:

| z  a | •

 ;

 z al interior de C

Un Disco Circular Cerrado es tal que:

| z  a |

 ;

 z al interior de C

( x  e)  j ( y  f )

| w |2  ( x  e) 2



( y  f ) 2

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Vecindad


Exterior de Disco

Al Disco Circular Abierto también se le conoce como vecindad de a, tal que una vecindad de a son todos los puntos z que satisfacen,

El exterior de un circulo o disco, se representa como,

| z  a | 

| z  a |  Donde  es cualquier número positivo En general cualquier región que contenga un disco circular abierto se llama vecindad de a. Universidad del del Cauca


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Anillo Circular Abierto Se denomina así a la región que se encuentra entre dos circunferencia de radio  1 y  2 con centro en a (  1   2 ).

Circunferencia Unitaria |z|=1 es una circunferencia unitaria con centro en el origen

 2 | z  a |  1

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Semiplanos


Conjunto de Puntos

•

Superior abierto z = x + jy tal que y>0

•

Inferior abierto z = x + jy tal que y<0

•

Izquierdo abierto z = x+jy tal que x <0

•

Derecho abierto z = x + jy tal que x >0

Es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano complejo. 

•

Conjunto Abierto: S es un conjunto abierto si todo punto de S tiene una vecindad que consta por completo de puntos que pertenecen a S. 




Conjunto de Puntos •

•

Conjunto Cerrado: S es un conjunto cerrado si su complemento es abierto, siendo el complemento todos los puntos del plano complejo que no pertenecen a S.

ejemplo: solución de una ecuación cuadrática

ejemplo: los puntos al interior del circulo No es: puntos al interior de una circunferencia Universidad del Cauca

Conjunto de Puntos •

•

Aquel conjunto que no es acotado se considera conjunto infinito. Conjunto Compacto es acotado y cerrado

Conjunto Acotado: es aquel para cuyos puntos existe una constante M tal que:

| z | M

 z  S



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Conjunto Conexo Un conjunto abierto es conexo si cualquier par de puntos del conjunto pueden unirse por un camino formado por segmentos de recta (camino poligonal) contenidos en S.

Punto de Frontera z es un punto de frontera de S si toda vecindad de z contiene puntos que pertenecen a S y puntos que no pertenecen a S. Si S es abierto, no tiene puntos frontera.

Domino: conjunto abierto y conexo.


Región


Región

Si a un conjunto abierto se le agrega algunos, todos o ningún punto de frontera se obtiene un conjunto llamado región. - Si toma todos los puntos limites se considera región cerrada. - Si no tiene puntos limites será una región a bierta (dominio).


Sean dos funciones x (t ) y y(t ) de un parámetro real t , definida para b≥ t ≥ a de manera que, Z (t )= x (t )+j y(t ) Define una curva C que va del punto Z (a)= x (a)+j y(a) al punto Z (b)= x (b)+j y(b), si Z (a)= Z (b) la curva es cerrada. Universidad del Cauca

Región La curva C es Simple so no se cruza a si misma. El circulo unitario es una curva cerrada.


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