PDF 10 Teorema de Tales

IES PROF. JUAN BAUTISTA El Viso del Alcor

Matemáticas 2º (Ver. 3) Unidad 10: Teorema de Tales

UNIDAD 10. PROPORCIONALIDAD GEOMÉTRICA. TEOREMA DE TALES. Unidad 10: Proporcionalidad geométrica. Teorema de Tales.

Al final deberás deberás haber haber aprendid aprendido... o... El examen examen tratará tratará sobre. sobre... .. •

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Reconocer figuras semejantes.

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Entend Entender er e interp interpreta retarr plano planos s y mapas a escala.

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Conocer el teorema de Tales y apreciar su importancia.

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Aplicar la semejanza de triángulos a problemas de la vida cotidiana.

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- Unidad 10. Página 1/18 -

Identificar figuras semejantes. Calcul Calcular ar distan distancia cias s y medida medidas s reales a través de una escala. Aplicar el concepto de razón de semejanza. Divi Dividi dirr segm segmen ento tos s iguales.

en

part partes es

Utilizar el teorema de Tales para resolver la resolución de problemas.






Hasta ahora hemos estado aprendiendo y trabajando con diferentes tipos de números y con expresiones con letras. Damos ahora un cambio en el tema a tratar. Nos adentraremos en el mundo de la Geometría. Esta palabra es una palabra compuesta por dos partes, “geo”-”metría”. La primera parte tiene relación con la palabra “Gea”, que es como se conocía en la Grecia antigua al planeta Tierra; la segunda parte, “metría” está relacionada con la palabra “medida”. Por tanto tenemos que Geometría significa algo así como “medida de la Tierra”. Efectivamente con lo que vamos a aprender con este tema y los siguientes podremos saber medidas de objetos, espacios, figuras, etc. que nos rodean y que no se pueden medir como hacemos para medir una hoja de papel, por ejemplo. ¿Te imaginas como podemos saber la altura de la torre de la iglesia? Pues casos como éste son los que podremos hacer con unos sencillos cálculos que aprenderemos en esta unidad

Figuras semejantes. Al igual que hemos estado viendo con las fracciones (que dos de ellas eran equivalentes cuando al multiplicar sus términos cruzados daban el mismo resultado) o con las ecuaciones (dos ecuaciones eran identidades cuando tenían la misma solución), con las figuras geométricas y con todos los objetos en general existen semejanzas. Por ejemplo al hacer una fotocopia ampliada de un dibujo obtendremos un dibujo que se parece mucho al original pero con dimensiones más grandes. Si hacemos algunas medidas en los dos dibujos y vamos dividiendo las correspondientes a la copia entre las del original podremos observar que el resultado siempre es el mismo. Entonces se dice que esas dos figuras son semejantes. Resumiendo: Dos figuras son semejantes cuando son iguales o solo difieren en su tamaño. En tal caso sus dimensiones son proporcionales. El resultado de realizar las divisiones de unas medidas por sus correspondientes recibe el nombre de razón de semejanza. Supongamos que un aficionado a las maquetas construye dos maquetas de un mismo barco, pero con tamaños diferentes. En una de ellas el barco mide 30 cm de largo mientras que en la pequeña mide 12 cm. ¿Son figuras semejantes? Sí, son semejantes porque tienen la misma forma, sólo se diferencian en el tamaño. ¿Cuál es la razón de semejanza entre ambas figuras? Como hemos dicho antes, la razón de semejanza es el resultado de dividir las medidas correspondientes. En este caso será: 30 12

5 =

2

=


2´ 5



Fíjate detenidamente en estas tres estrellas

Son parecidas, ¿verdad?. Vamos a saber más sobre ellas. Mide los lados de las tres y divide el lado más largo de la primera entre el lado más largo de la segunda, el más corto de la primera entre el más corto de la segunda, y lo mismo entre los otros tres lados. Después haz lo mismo entre las estrellas primera y tercera y después entre las segunda y tercera. Fíjate en los resultados de estas divisiones. Observarás que, si redondeas estos resultados, los que han dado las divisiones entre dos de esas estrellas son los mismos, mientras que los que se dan con la otra son diferentes. Entre dos de ellas ocurre lo que se decía antes, que sus lados son proporcionales (recuerda que una proporción es la igualdad entre dos razones o, lo que es lo mismo, divisiones). Comprobamos así que, aunque son muy parecidas, sólo dos son semejantes, la otra es parecida. Como entre las dimensiones de las figuras semejantes se pueden establecer proporciones, podemos encontrarnos con problemas como ya hicimos en la unidad relativa a las fracciones. Es decir, nos encontraremos con problemas en los que sabiendo dos medidas de una figura y una correspondiente en la otra figura, deberemos averiguar el valor de la medida correspondiente desconocida. Esto se hará escribiendo una proporción numérica. Por ejemplo: si tenemos el marco de un cuadro cuyas dimensiones son 10 x 15 y queremos comprar otro marco semejante, pero cuyo lado más pequeño mida 16 cm, ¿cuánto medirá su lado mayor?




Tendremos que escribir la proporción entre sus lados y como desconocemos uno de ellos aplicamos la propiedad de las proporciones: 10 16

15 =

x

; x

15 16

240

⋅

=

=

10

=

10

24cm

1.- Las dimensiones de un rectángulo son 2 cm y 3 cm. ¿Cuáles de los siguientes rectángulos son semejantes a él? Di, cuando lo sean cuál es la razón de semejanza: a) 36 cm y 54 cm

b) 12 cm y 20 cm

c) 10 cm y 15 cm

d) 45 cm y 70 cm

2.- Un rectángulo tiene unas dimensiones de 8 cm x 20 cm. El lado menor de otro rectángulo semejante a él mide 6 cm. Halla: a) La razón de semejanza existente entre el primero y el segundo. b) El lado mayor del segundo rectángulo. 3.- Nos aseguran que estos dos rectángulos son semejantes: A

B´

5 cm C´

8 cm

5 cm 10 cm

C

B

A´

Halla la medida de los lados que faltan. 4.- Los lados de un triángulo miden 3 cm, 4 cm y 5 cm respectivmente. Se quiere construir otro semejante a él pero cuyo lado menor mida 15 cm. a) ¿Cuál será la razón de semejanza? b) Halla los otros dos lados del segundo triángulo. c) El primer triángulo es rectángulo. ¿Podemos asegurar que el segundo también lo será? ¿Por qué? Esto que acabamos de aprender tiene mucha importancia y es bastante utilizado en la vida ordinaria. Sigue leyendo y lo podrás comprobar.




Planos y escalas. Cuando una persona va a comprar una casa lo mejor es verla para saber como es. Pero en muchas ocasiones se compra la casa sin estar construida aún, se dice que “se compra sobre plano”. Esto quiere decir que la empresa constructora muestra a la persona compradora unos planos de la vivienda: los de situación para saber en qué zona está situada, cómo son o van a ser las calles, si hay jardines, etc.; pero sobre todo interesan los planos de como va a ser nuestra casa, qué dimensiones va a tener, cuántas habitaciones va a tener, cómo estarán distribuidas, etc. Nos enseñan el plano de la planta, en el que se representa el suelo de la casa, para saber la distribución y dimensiones de las habitaciones, y el plano del alzado, para saber como va a ser el aspecto de nuestra casa vista desde la calle. Pues bien, para tener una idea exacta de como va a ser la casa que está comprando, la representación no debe ser un simple dibujo, sino que debe estar proporcionado, es decir que las medidas que se dan en el papel sean proporcionales a las de la realidad. Estas representaciones reciben el nombre de planos. Si lo que se representa es una superficie mayor recibe el nombre de mapa. Para saber la correspondencia (mejor estaría dicho, la razón de proporcionalidad) de las medidas del plano y las de la realidad se indica mediante la escala, que no es más que el cociente indicado entre la unidad y una cantidad que indica los cm, m, km... que le correspondería en la realidad a un cm, m, km... del plano o del mapa. Por ejemplo, si un plano tiene una escala 1:200 quiere decir que 1 cm del plano equivale a 200 cm (que son 2 m) en la realidad. Por lo tanto si la fachada de la casa mide en el plano 3´5 cm, en la realidad la casa medirá (3´5 · 200 = 700 cm = 7 m) 7 metros. Por lo tanto, sabiendo la escala en la que está hecho un plano, un mapa o una maqueta podemos conocer todas las medidas reales de lo que representa. Pero ¿qué tenemos que hacer en caso contrario, en el caso de que no conozcamos la escala?. ¿Cómo podremos saber la escala a la que está hecho ese plano, mapa o maqueta en el caso de que no esté indicada? No te preocupes que no es difícil, verás: Como sabemos que las medidas representadas y las reales son proporcionales, podemos establecer una proporción entre ellas, para lo cual sólo hemos de conocer una medida real y su correspondiente en el plano, mapa o maqueta. Con esas dos medidas escribimos una razón. La otra razón de la proporción estará formada por la unidad (ya que las escalas siempre son del tipo 1:200; 1:350.000; 1:250, etc.) y por la cantidad desconocida. Veamos, como siempre, un ejemplo: Si queremos dibujar un aula del instituto a escala sobre una hoja de nuestro cuaderno, no puede hacerse a cualquier escala, ya que si fuera muy grande podría “salirse del papel”, por lo tanto el largo del aula (que es la medida mayor) debe caber en el largo del papel. Por lo tanto, si el papel tiene 30 cm de largo y la clase mide 15 metros de larga, la escala deberá ser, como máximo:




30

1

1500

=

x

; x

=

1·1500 30

1500 =

30

=

50

Por lo tanto la escala será, como máximo, 1:50. Resumiendo, para conocer la escala a la que está hecho un plano, mapa o maqueta se dividirá una medida real entre su correspondiente representada. 5.- En un mapa a escala 1:50.000, la distancia entre dos pueblos, P y Q, es 11 cm. ¿Cuál es la distancia real entre P y Q? La distancia real entre los pueblos M y N es de 18 km. ¿A qué distancia estarán en ese mismo mapa? 6.- Una maqueta de una avioneta hecha a escala 1:50 tiene las siguientes medidas: largo: 32 cm;

ancho: 24 cm; alto 8 cm.

Halla las dimensiones reales. 7.- Averigua qué distancias separan en la realidad en línea recta los tres puntos del siguiente plano:

.

B

.

.

A

C

Escala 1:400.000

Teorema de Tales. Si estudiáramos más a fondo dos figuras semejantes, como pueden ser una aula y su representación, una persona y una fotografía suya, un cuadro y una fotocopia del mismo, etc., podemos encontrar más relaciones numéricas y aprender cosas que nos




servirán para otras situaciones reales. ¿Y por qué no hacerlo ahora? ¿Por qué no tratamos un poco más a fondo las relaciones numéricas entre dos figuras semejantes? Pero, claro está, para que no sea muy difícil lo haremos con las figuras más sencillas: los triángulos. Para que nos resulte divertido empezaremos con un juego: Para dibujar un triángulo se necesitan tres segmentos. Pues bien, ¿serías capaz de dibujar dos triángulos utilizando tan solo 4 segmentos? Si lo has conseguido, ¡enhorabuena!; si no, no te preocupes, lo veremos un poco más adelante. Te preguntarás que a qué viene este juego. No es ninguna tontería, ya verás como tiene relación con lo que estamos tratando. Ahora debes coger lápiz, papel y regla, ya que vas a hacer algunas mediciones y cuentas. Fíjate en la siguiente figura: r

s

Son dos líneas rectas que se cortan. Son la recta r y la s. Sobre ellas se dibujan varias rectas (por ejemplo, tres) que sean paralelas entre sí y que corten a las dos anteriores. Vamos a llamarlas a, b y c. r

c a

b

s




Estas líneas, determinan puntos en el corte entre ellas. Vamos a darles nombres: r

C B A O

c b

a A´

B´

s

C´

Observa lo siguiente: –

–

–

A las líneas se les pone por nombre una letra en minúscula. A los puntos se les da una letra en mayúscula. A los puntos de corte que han determinado una misma recta se les ha puesto como nombre la misma letra, pero para distinguirlos, a uno se le ha puesto una comita. (Se leen A´= A prima; B´ = B prima, etc)

Mide los segmentos siguientes con mucho cuidado, fijándote muy bien desde dónde a dónde mides y escribe los resultados en un papel: OA, OB, OC, OA´, OB´, OC´, AB, AC, BC, A´B´, AĆ´, BĆ´. Pero, por favor, escríbelo ordenadamente y con limpieza. Hazte una lista así: OA =

OB =

OC =

OA´=

OB´=

OC´=

Así sucesivamente. Ahora haz bastantes divisiones entre dos de ellos, pero, claro, cada vez que hagas una división, coge al menos un segmento distinto. No se trata de hacer muchas veces las mismas divisiones. Trata de escribirlo ordenadamente y anotando las divisiones que haces de la siguiente manera: OB

OA OB

=

OC

=

OA OC

=

Para no cansarte mucho, puedes utilizar la calculadora. En la calculadora te darán, seguramente, muchos decimales. No hace falta que escribas todos. Se pueden redondear. (¿Recuerdas cómo se redondeaban los números decimales?. Si no lo recuerdas, repásalo). Compara el resultado de la división entre OA y OB con el de la división entre OA´ y OB´. ¿Se parecen algo?. Compara los resultados con la división entre AB y A'B'. ¿Son parecidos?. Seguramente sí.




¿Por qué no haces un dibujo parecido? Sólo tienes que tener en cuenta que las líneas que corten sean realmente paralelas entre sí, por lo que debes utilizar una escuadra y un cartabón. Hazlo cambiando la abertura de las rectas r y s y la separación entre las rectas a, b y c. Comprueba que ocurre lo mismo. Pues bien, todo esto se puede generalizar en el Teorema de Tales, que dice los siguiente: Si las rectas a, b y c son paralelas y cortan a otras dos rectas, r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales:

8.- Las rectas a, b y c del dibujo son paralelas. Calcula el valor de x.

c x

2 cm

b

1´6 cm

1 cm a

9.- Teniendo en cuenta las medidas que aparecen en el dibujo, calcula los valores de x e y.




C 2 cm B 4 cm A 3 cm x 4´5 cm

C´

y

B´

A´

10.- Las rectas a, b y c son paralelas. Halla la longitud de x. ¿Qué teorema estás aplicando?

5 cm 2 cm a b

c

x

4 cm

11.- Conociendo las medidas del dibujo, di si son paralelas o no las rectas a, b y c.

8m 3m

a

b

c

2m 7m




Triángulos en posición de Tales. ¿Conseguiste hacer los dos triángulos con los 4 segmentos que te proponía a principios del tema?. La solución es así:

C A

O B

D

Ves los dos triángulos, ¿verdad?. Son: El OAB, formado por los segmentos OA, OB y AB El OCD, formado por los segmentos OC, OD y CD Pues bien, cuando dos triángulos se encuentran de la forma que has visto (con un ángulo y dos lados en común y el otro lado paralelo) se dice que “están en posición de Tales”. Para tener claro todo ve mirando en el dibujo y tratando de descubrir donde están las siguientes figuras o componentes: - Estos dos triángulos tienen dos de sus lados sobre la misma recta. Son los siguientes: El lado OA y el OC están sobre la misma recta, aunque tienen distinto tamaño. El lado OB y el OD, les ocurre lo mismo que a los dos anterriores. - Los dos triángulos tienen un ángulo común:




El ángulo AOB y el COD son el mismo. - Tienen un lado paralelo: El lado AB y el CD son paralelos. Con todos estos datos podemos hacer muchos ejercicios, ya que podemos escribir proporciones entre sus lados, de forma que conociendo tres datos, podemos averiguar un cuarto. 12.- Explica por qué los triángulos ONP y OMQ están en posición de Tales. Calcula la longitud de M a N. O 3m

N

x

M

2m

40º

P

7m

40º

Q

Semejanza de triángulos. Sabiendo que todos los polígonos se pueden descomponer en triángulos, el estudio y conocimiento de esta figura geométrica nos ayudará mucho en la comprensión de todas las demás. Así que vamos a tratar de entender las relaciones numéricas entre dos triángulos semejantes. Ya habíamos aprendido que dos figuras son semejantes cuando tienen la misma forma y sus medidas son proporcionales. En concreto, dos triángulos son semejantes cuando tienen: - Sus lados proporcionales: a/a´=b/b´=c/c´= razón de semejanza - Sus ángulos correspondientes son iguales: A=A'; B=B'; C=C'




B

A'

B'

a'

b a b'

C c' c A C'

Estudiaremos la semejanza de triángulos con el caso particular de los triángulos rectángulos, ya que siempre sabemos que uno de los ángulos es recto, por lo tanto no tenemos que hacer comprobación alguna con él. Recuerda las siguientes ideas importantes: - La suma de los ángulos de un triángulo suman 180º. - En un triángulo rectángulo la hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. (Los otros dos lados se llaman catetos). Sabiendo esto, trata de entender lo siguiente: - Dos triángulos rectángulos que tengan un ángulo agudo igual son semejantes. Si tienen un ángulo agudo igual y sabemos que tienen otro que mide 90º, por ser recto, y como la suma de todos los ángulos de un triángulo tiene que ser 180º en total, forzósamente el otro ángulo tiene que medir lo mismo en los dos triángulos. Por lo tanto la forma es la misma, tan solo se diferencian en el tamaño de los lados. Por ello, para comprobar que dos triángulos rectángulos son semejantes sólo tenemos que ver que uno de los ángulos agudos mide igual en ambos triángulos. Además, por si la razón anterior no te basta, al tratar de ponerlos en situación de Tales, el ángulo agudo coincide, por lo tanto también la hipotenusa y el cateto que lo forman. Además tienen otro ángulo igual (el recto, ya que son rectángulos). Por lo tanto los otros catetos deben ser paralelos. ¡Se pueden poner en posición de Tales, por lo que son semejantes.! - Dos triángulos rectángulos son semejantes si tienen dos de sus lados proporcionales. En tal caso, también se pueden poner en posición de Tales y por tanto son semejantes. Estas propiedades tienen bastantes aplicaciones en la vida real. Ya veremos más adelante algunas de ellas. Pero antes debemos hacer algunos ejercicios para afianzar lo aprendido.




13.- En el triángulo ABC, el ángulo A mide 30º y el ángulo C, 90º. En otro triángulo parecido, A´BĆ´, el ángulo B´ mide 57º y el C´, 90º. Averigua si son semejantes o no. 14.- Explica por qué los triángulos ABC, AHC y BCH son semejantes: C 255 136

120

A

225

H 64

B

15.- Demuestra que los triángulos adjuntos son semejantes:

28´8

12 12 5

Aplicaciones de la semejanza de triángulos. Suponte que queremos calcular la altura de algo muy alto, por ejemplo, un árbol. ¿Cómo podremos hacerlo sin necesidad de poner en peligro nuestra integridad física? Aprendamos dos maneras:

a) Utilizando la sombra: - Debemos proceder de verticalmente un palo.

la siguiente


manera:

Clavamos

o

sostenemos



Ap Aa

Sp

Sa

- Medimos en ese momento la sombra que produce el palo (Sp) y la del árbol (Sa) del que queremos conocer su altura. - También mediremos la altura del palo (Ap). - Haremos la siguiente proporción, calculando el término que falta. Sa Aa =

Sp Ap

; Aa

Sa Ap ⋅

=

Sp

b) Sin utilizar la sombra: Situaremos una regla de dimensión conocida (Ar) a cierta distancia nuestra, que también conocemos midiendo (Dr). Mirando con un solo ojo alinearemos el extremo de la regla con el punto más alto del objeto que queremos medir, por ejemplo el árbol.

Aa

Ar

Dr

Da

De esta manera tendremos dos triángulos en posición de Tales. Mediremos la distancia desde nosotros hasta el árbol (Da) y ya tenemos tres medidas conocidas; nos falta la cuarta: la altura del árbol (Aa).




Da Aa =

Dp Ar

; Aa

Da Ar ⋅

=

Dp

16.- BC y DE son dos postes clavados verticalmente en el suelo. ABD es una cuerda tensa. ACE es el nivel del suelo. Teniendo en cuenta las medidas que aparecen en el dibujo, calcula la altura del poste más alto. D

B

3´2 m

A

10 m

C

5m

E

17.- Calcula la altura de un edificio sabiendo que proyecta una sombra de 49 m en el momento en que la sombra de una estaca de 2 m mide 1´25 m.

18.- Las sombras de estos árboles medían a las 5 de la tarde, 12 m, 8 m, 6 m y 4 m, respectivamente. El árbol más pequeño mide 2´5 m. ¿Cuánto miden los demás?




19.- Halla la altura del árbol más alto:

17´2 m

160 cm

16 m

10 m


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