PLANEAMIENTO Y CONTROL DE LA PRODUCCION
I.
II.
III.
IV.
OBJETIVO Analizar e interpretar interpretar el comportamiento comportamiento de de la demanda demanda Aplicar los modelos modelos para el tratamiento de demanda con con tendencia y estacionales. estacionales.
TEMAS A TRATAR Método de Regresión de Mínimos Cuadrados. Método de Regresión Exponencial
DURACIÓN DE LA PRACTICA 2 horas.
MARCO TEORICO
1. CORRELACIÓN La correlación es el método es el método empleado para determinar el grado de relacionamiento relacionamiento entre las variables que se estudian, para así determinar en que medida una relación funcional describe o explica de una forma adecuada la relación entre estas dos variables Se usa el término correlación cuando se habla de relaciones entre variables variables de experimentos bivariantes. bivariantes. Los diversos tipos de correlación que existen pueden ser:
2 1.1. Coeficiente de correlación lineal de Pearson Es una medida del grado de asociación lineal lineal entre las variables X e Y. Es un número abstracto y se representa por r:
1 a n i g á P
Ing. Vanessa Nieto Peña
Donde: SXY = Covarianza de X e Y. s X = Desviación estándar de X. s Y = Desviación estándar de Y.
Propiedades • •
r está siempre comprendido entre -1 y 1. Si r = 1 ó r = -1 entonces los puntos de la muestra están situados en línea recta
(correlación lineal perfecta). Si r está próximo a 1 ó a -1, habrá una asociación lineal fuerte entre ambas variables. Si r es cercano a 0, habrá una asociación lineal muy débil. r no varía cuando en las variables se realiza un cambio de escala o de origen. Esto demuestra que r no tiene dimensión. • • •
1.2. Dos consideraciones sobre el coeficiente de correlación. a) Se trata de una medida matemática que luego hay que interpretar. Aunque un alto grado de correlación indique buena aproximación a un modelo matemático lineal, su interpretación puede no tener ningún sentido. Por ejemplo puede haber un alto grado de correlación entre las ventas de celulares y el consumo de alcohol en Arequipa, pero ambas variables están claramente disociadas. b) Aunque el grado de correlación sea cercano a cero (pobre aproximación al modelo lineal) eso no significa que no haya relación entre las dos variables. Puede ser que dicha relación sea no lineal.
2. COEFICIENTE DE DETERMINACIÓN El coeficiente de determinación se calcula elevando al cuadrado el coeficiente de correlación y representa el porcentaje de la variación explicada por la recta de regresión. El coeficiente de determinación r 2, es una medida de la proximidad del ajuste de la recta de regresión; cuanto mayor sea el valor de r 2, mejor será el ajuste y mas útil la recta de regresión como instrumento de predicción. (r 2 = 0.92 indica que de 100 pares de puntos 92 están en la recta de regresión y 8 fueran de la recta de regresión) Cuando el n es pequeño se debe calcular el coeficiente de determinación corregido.
2 a
3. MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS PARA ENCONTRAR LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN Ing. Vanessa Nieto Peña
n i g á P
Recordemos que el análisis de regresión lo que persigue es determinar la relación funcional de la variable dependiente Y con respecto a la variable independiente X con el fin de predecir valores de Y. A continuación desarrollaremos un modelo matemático (ecuación de la línea) para expresar la relación entre dos variables y para estimar el valor de la variable dependiente Y basándonos en el valor de la variable independiente X . La técnica que se utiliza para desarrollar la ecuación de la línea y hacer estas predicciones, se le llama análisis de regresión. El principio matemático con base con el cual se traza la ecuación de la línea y se predicen los valores de Y, se conoce con el nombre de mínimos cuadrados. Este principio consiste en trazar una línea sobre la gráfica de dispersión de los valores de modo que la suma de los cuadrados de la distancia vertical entre el valor real de Y y su valor predictorio, sea la cantidad más pequeña posible. Entonces la ecuación lineal que se tiene que encontrar es:
Donde: Y * = Se lee Y asterisco, es el valor predictorio de la variable Y para un valor seleccionado de X. a = Es la intersección con el eje Y. Es el valor estimado de Y cuando X = 0. b = Es la pendiente de la línea, o el cambio promedio en Y* por cada cambio en una unidad de la variable independiente X. X = Es el valor que se escoge para la variable independiente. A los valores a y b se les conoce como coeficientes de regresión y se calculan con las siguientes fórmulas:
Ejemplo.- La Generox, Inc, ha estado produciendo durante 5 años herramientas especiales manuales para clavar. La planta ha operado casi a su capacidad durante los últimos 2 años. Se necesitan pronósticos para programar la producción del próximo año y para suministrar estimaciones a fin de planear la expansión futura de los medios de producción. Se han tabulado los registros de ventas para los 5 años, en trimestres, como se indica en la tabla 1.1 Tabla 1.1: Ventas trimestrales en miles de dólares.
Año Trimestre I
2008
2009
2010
2011
2012
190
280
270
300
320
3 a n i g á P
Ing. Vanessa Nieto Peña
Trimestre II Trimestre III Trimestre IV Totales
370 300 220 1080
420 310 180 1190
360 280 190 1100
430 290 200 1220
440 320 220 1300
Solución por mínimos cuadrados. La línea recta está definida por la ecuación
y= a +bx y = valor pronosticado a = el valor de y en el punto base b = la pendiente de la recta.
Se emplean 2 ecuaciones para determinar a y b. a = ( y - b x ) / n n xy - x y b = -------------------n x² - ( x)² Formula del pronóstico: y = a + bx Año
x
2008 2009 2010 2011 2012 Sumatoria
y 1 2 3 4 5 15
x2 108 119 110 122 130 589
xy 1 4 9 16 25 55
(5 * 1814) (15 * 589) b = -----------------------------------(5 * 55) (15)2
= 4.7
a = (589 (4.7* 15)) / 5
= 103.7
108 238 330 488 650 1814
–
–
–
El pronóstico para 2013 está a 6 años del punto base y = 103.7 + 4.7(6)
= 131.9
Otra forma se calcular la demanda para 2013 sería:
Cambiando el punto base de 2008 a 2010 Año
2008 2009 2010 2011 2012 Sumatoria
x
y -2 -1 0 1 2 0
x2 108 119 110 122 130 589
xy 4 1 0 1 4 10
-216 -119 0 122 260 47
4 a n i g á P
Los cuales permiten que a y b se calculen como: Ing. Vanessa Nieto Peña
y 589 ----- = ---- = 117,8 n 5
a=
xy 47 b = ----- = ----- = 4,7 10 x²
El pronóstico para 2012 está a 3 años del punto base y = 117.8 + 4.7(3) = 131.9
Método de regresión exponencial, algunas veces una curva suave suministra un mejor ajuste para los datos que una línea recta. La curva esta dada por: Y = ab x, y varía con la tasa constante b en cada periodo, para esto convertimos la ecuación exponencial a su forma logarítmica: log y = log a + x log b (log
y) - x (log b) log a = -------------------------N n (xlog y) - x (log y) log b = -------------------------------N x² - ( x)² Cuando el punto base se escoge para hacer
x=0, la solución se reduce a
calcular
(log
y) log a = ---------N (x
log y) log b = ----------- x² Año 2008 2009 2010 2011 2012 Sumatorias
x
y -2 -1 0 1 2 0
x2 108 119 110 122 130 589
Log y 4 1 0 1 4 10
x Log y
2,0334 2,0755 2,0414 2,0864 2,1139 10,3507
-4,0668 -2,0755 0,0000 2,0864 4,2279 0,1719
Debido a que x = 0, podemos resolver para a y b en la forma siguiente: 10,3506 (log y ) log a ------------ = -------- = 2,0701 N 5
5 a n i g á P
a = ant.log (2,07) = 117,5 y, por tanto, a = 117,5 Ing. Vanessa Nieto Peña
(x log y) 0,1719 log b = ----------- = -------- = 0,0172 10 x²
b = ant.log(0,172) = 1,0404 En esta forma, la ecuación de pronósticos es log y = 2,0701 + 0,0172x ó y = 117,5 + (1,0404) x y = 132
V. 1.
ACTIVIDADES Industrias Nina creció casi 50% el último año debido a la gran demanda que tuvieron los reproductores de discos compactos entre los corredores. Como el número de corredores va en aumento, Nina espera que también aumente la demanda de los reproductores, ya que hasta la fecha no hay ningún reglamento de seguridad que evite que los usen los corredores. El año pasado, la demanda de unidades fue:
Mes
Demanda (unidades)
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Mes
4 200 4 300 4 000 4 400 5 000 4 700
Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre
Demanda (unidades) 5 300 4 900 5 400 5 700 6 300 6 000
a) Use el análisis de regresión de mínimos cuadrados; Cuál sería su pronóstico de la demanda para cada mes del próximo año. 2.
3.
La Molinera Valencia, tenía grandes contratos para la comercialización de azúcar. En los últimos años el mercado se ha reducido por el ingreso de otros competidores en la comercialización de este producto. Por lo que la compañía le encomienda la tarea de pronosticar el próximo año, para realizar la importación del producto. La demanda para los 12 últimos trimestre se muestra a continuación. Use la técnica más adecuada para pronosticar los cuatro trimestre de 2002. Trimestre
Año 1999
Año 2000
Año 2001
I II II IV
4800 3500 4300 3000
3500 2700 3500 2400
3200 2100 2700 1700
Prepare un pronóstico para cada trimestre del próximo año a partir de la información de ventas trimestrales de los últimos años, que se presentan a continuación. Suponga que existen factores de tendencia y de estacionalidad y que el ciclo de estacionalidad dura un año. Trimestre
Ventas
Trimestre
Ventas
1
160
5
215
Ing. Vanessa Nieto Peña
6 a n i g á P
2 3 4
VI.
195 150 140
6 7 8
240 205 190
EJERCICIOS
1. LANDA SRLtda. produce carcasas para estabilizadores utilizados en la venta de computadoras. Rodrigo Gonzales, gerente de planta, estima que el crecimiento de las ventas continuara y desea desarrollar un pronóstico a largo plazo que se utilizara para planear las necesidades de las instalaciones para los siguientes tres años. Se han totalizado las ventas correspondientes a los últimos 10 años:
a) Elaborar un diagrama de dispersión y sacar conclusiones. b) Hallar el coeficiente de correlación y determinación e interpretar los resultados. c) Encontrar la ecuación de regresión lineal por el método de mínimos cuadrados. d) Encontrar un intervalo de predicción para el año 11. 2. Industrias Peruanas S.A., es una empresa que se dedica a la producción y comercialización de artículos para limpieza en todo el territorio peruano, cuenta con agencias en 10 ciudades del país, a continuación se presenta la cantidad de vendedores por agencia que posee esta empresa.
a) Elaborar el diagrama de dispersión. b) Hallar el coeficiente de correlación y determinación e interpretar los resultados. c) Encontrar la ecuación de regresión por el método de mínimos cuadrados, con tendencia lineal, exponencial y parabólica. d) Halle el intervalo de confianza y de predicción cuando los vendedores sean 10, para cada una de las ecuaciones halladas en el punto (c).
VII.
CUESTIONARIO 7 a n i g á P
Ing. Vanessa Nieto Peña
1. ¿Cuál es la lógica del método de mínimos cuadrados en el análisis de regresión lineal? 2. ¿Cuál es la principal desventaja de la proyección diaria mediante la utilización del análisis de regresión? 3. ¿Que es la estacionalidad en los pronósticos de series de tiempo?
VIII.
BIBLIOGRAFÍA
1. Chase, Jacobs y Aquilano. 2009. Administración de la Producción y Operaciones. Ed. Mc Graw Hill. 2. Norman Gaither y Greg Fraizer. 2000. Administración de la Producción y Operaciones. International Thomson Editores S.A.
8 a n i g á P
Ing. Vanessa Nieto Peña
