MATEMÁTICA DE INGENIERÍA Primer Semestre 2016
GUÍA N°4 Probabilidades
“
”
Profesor: Nicolás Enrique Opazo Soto
[email protected]
1. Tres caballos A, B y C están siendo tratados con tres métodos experimentales distintos para aumentar la velocidad con la que pueden correr. Después del tratamiento intervienen en una carrera. El caballo C tiene doble probabilidad de ganar que B, y B doble probabilidad de ganar que A. Calcular las probabilidades probabilidades que gane gane cada cada uno.
P A k ; P B 2 k ; P C 4 k
P A B C P A P B P C k 2 k 4 k 7k 7k 1 k
P A
1 7
1 7
ya que es el espacio muestral
; P B
2 7
; P C
4 7
2. En una población el 4% de las personas son daltónicas, el 18% hipertensas y el 0.5% daltónicas e hipertensas. ¿Cuál es es la probabilidad probabilidad de que una persona sea daltónica o hipertensa?
A : Persona daltónica
B : Persona hiperten hipertensa sa
P A 0.04 ; P B 0.18 ; P A B 0.005
P A B P A P B P A B 0.04 04 0. 0.18 18 0. 0.00 005 5 0. 0.215
3. En un parque nacional se detectan tres plagas. El 25% de los árboles tienen la enfermedad A, el 20% la B y el 30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11% la B y la C y el 5% tienen las tres enfermedades. Calcular las probabilidades siguientes: a. Un árbol tenga alguna de las enfermedades b. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B c. Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A
Datos
P A 0.25 ; P B 0.2 ; P C 0.3 ; P A B C 0.05 P A B 0.12 ; P A C 0.1 ; P B C 0.11 a.
P A B C P A P B P C P A B P A C P B C P A B C
0.25 0.2 0.3 0.12 0.1 0.11 0.05 0.47
b.
P A BC P A B P A P A B
0.25 0.12 0.13 c.
P B C AC P B C A
P B C P A B C 0.11 0.05 0.06 4. Sean A y B dos sucesos, con Ac y B c P B c
2 3
; P A B
3 4
; P A B
1
sus complementos.
Si se verifica que
. Hallar: P A ; P B ; P Ac B
4
2
P B 1 P BC 1
3
y P A B
1 3
P A P A B P A B P B
3
4
1
4
1
3
2 3
P AC B P B P A B
1
3
P A B
1
4
P A B P B
1 12
14 13
3 4
5. En un espacio probabilístico se consideran los sucesos A y B cuyas probabilidades son P A 0.3 ; P B 0.6 . Por B c se designa el suceso complementario o contrario al suceso B. Calcular la probabilidad del suceso A B , en los siguientes casos: c
a. La P A B 0.2
P A BC P A P A B
0.3 0.2 0.1 b. Los sucesos A y B son independientes
P A BC P A P A B
P A P A P B ya que son independientes 0.3 0.3 0.6 0.12
6. Sean A
y B dos
sucesos
de
un
espacio
de
probabilidad,
de
manera
que:
P A 0.4 ; P B 0.3 ; P A B 0.1. Calcular P A B ; P Ac B c ; P A B . P A B P A P B P A B
0.4 0.3 0.1 0.6 P AC BC P A B
C
1 P A B 1 0.1 0.9 P A B
P A B P B
0.1 0.3
1 3
7. Según cierto estudio, el 40% de los hogares en una comuna de la Octava Región tienen contratado el acceso a internet, el 33% tiene contratado el plan de televisión por cable del CDF y Fox Sport y el 20% disponen de ambos servicios. Se selecciona un hogar al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que sólo tenga contratada el plan de CDF y Fox Sport?
A : el hohgar tiene ccontratado internet B : el hogar tiene contratado CDF y Fox Sport P A 0.4 ; P B 0.33 ; P A B 0.2
P AC B P B P A B 0.33 0.2 0.13 b. ¿Cuál es la probabilidad de que no tenga contratado ningún servicio?
P AC BC P A B
C
1 P A B 1 0.4 0.33 0.2 0.47 8. En una ciudad existen 2 periódicos A y B. El 50% de sus habitantes son lectores del diario A y el 30% del diario B. Un 20% de ciudadanos leen ambos periódicos. Se elige un ciudadano al azar. Calcular la probabilidad de que dicho ciudadano:
a. Sea lector de algún diario
P A 0.5 ; P B 0.3 ; P A B 0.2
P A B P A P B P A B 0.5 0.3 0.2 0.6
b. Lea sólo el diario A
P A BC P A P A B
0.5 0.2 0.3 c. No lea la prensa
P AC BC P A B
C
1 P A B 1 0.6 0.4 d. Lea sólo uno de los diarios
P A BC P AC B
P A P A B P B P A B 0.5 0.3 2 0.2 0.4 9. El 40% de las personas que pasaron sus vacaciones en Chile eran extranjeras, el 70% eran mayores de 50 años y el 30% no eran extranjeras y tenían más de 50 años. Elegida al azar una de las personas que veranearon en Chile, determinar:
a. Probabilidad de que sea extranjera y mayor de 50 años
E : personas extranjeras ; P E 0.4 M : personas mayores de 50 años ; P M 0.7 P E C M 0.3 P M P E M
P E M P M P EC M 0.7 0.3 0.4 b. Probabilidad de que ni sea extranjera ni mayor de 50 años C
P E C M C P E M
1 P E M 1 P E P M P E M 1 0.4 0.7 0.4 0.3
10. Una fábrica de enlatados produce 5000 envases diarios. La máquina A produce 3000 de estos envases, de los que el 2% son defectuosos y la máquina B produce los 2000 restantes de los que se sabe que el 4% son defectuosos. Determinar:
a. La probabilidad de que un envase elegido al azar sea defectuoso
P A
3 5
P D A P D B
; P D A
P A D P A P B D P B
0.02 ; P B
2 5
; P D B
P A D P A P D A P B D P B P D B
0.04 3 5 2 5
0.02
0.012
0.04
0.016
P D P A D P B D
0.012 0.016 0.028
Otra forma Como la máquina A produce 3000 envases y se sabe que el 2% son defectuoso s, entonces hay 60 envases defectuosos que provienen de la máquina A, a su vez la máquina B produce 2000 envases, de los cuales el 4% es defectuoso, es decir 80 envases defectuosos que provienen de la máquina B. En total tenemos 60 80 140 enva ses defectuosos de un total de 5000 envases. Por lo tanto, la probabilidad de escoger al azar un envase defectuoso corresponde a
140 5000
0.028
b. ¿Si el envase seleccionado es defectuoso, qué probabilidad hay de que proceda de la máquina A?¿y de la B?
P A D P B D
P A D P D P B D P D
0.012
0.016
0.028 0.028
0.4285714286 0.5714285714
Otra forma P B D 1 P A D
1 0.4285714286 0.5714285714 Esto se debe a que el envase es defectuoso , por lo cual o proviene de la máquina A o proviene de la máquina B , es decir son complementarios
11. En un colectivo de Inversiones Bursátiles, el 20% realiza operaciones vía internet. De los inversores que realizan operaciones vía internet, un 80% consulta InfoBolsaWeb. De los inversores bursátiles que no realizan operaciones vía internet, sólo un 20% consulta InfoBolsaWeb. Determinar:
a. La probabilidad de que un inversor bursátil elegido al azar en este colectivo consulte InfoBolsaWeb b. Si se elige al azar un inversor bursátil de este colectivo y resulta que consulta InfoBolsaWeb. ¿Cuál es la probabilidad de que realice operaciones vía internet?
I : realiza operaciones vía internet IBW : consulta InfoBolsaWeb P I 0.2 P I C 0.8
; P I IBW 0.2 0.8 0.16 ; P I C IBW 0.8 0.2 0.16
a. P IBW P I IBW P I C IBW
0.16 0.16 0.32 b. P I IBW
P I IBW P IBW
0.16
0.32
0.5
12. Sea E el suceso de que “ los precios de sus acciones aumentarán al menos un 50% ” y F el suceso de C que “el índice de acciones Dow Jones aumentará ”. Describa el suceso E F :
Los precios de las acciones no aumentarán al menos un 50% o el ínidice de acciones Dow Jones aumentará 13. La próxima tabla muestra las ventas de barcos recreativos, en nuestro país, durante el periodo 1999 a 2001:
Añ o
L anchas a motor
Jet ski
Veleros
Total
1999
330
100
20
450
2000
340
100
20
460
2001
310
90
30
980
290
70
430 1340
Se elige al azar un barco recreativo. Sea E el suceso de que el barco sea una lancha a motor, sea F el suceso de que el barco sea comprado en 2001 y sea G el suceso de que el barco sea un velero. Determine:
a. P E
c. P E F
b. P F
d. P E F
a. P E
980 1340
b. P F
430 1340
c. P E F
310 1340
e. P G
d . P E F
1100 1340
C
e. P G C
1270 1340
14. Dos hermanos salen de caza. El primero mata un promedio de 2 piezas cada 5 disparos y el segundo una pieza cada 2 disparos. Si los dos disparan al mismo tiempo a una misma pieza. ¿Cuál es la probabilidad de que la maten?
2 1
1
2 5 2 P A B P A P B P A B
5
P A
2 5
; P B
1
; P A B
2
1
1
7
5
2
5
10
15. La probabilidad de que un macho de cierta especie viva 20 años es hembra viva 20 años es de
1 4
y la probabilidad de que la
1
. Determinar: 3 a. De que ambos vivan 20 años b. De que el macho viva 20 años y la hembra no c. De que ambos mueran antes de los 20 años
a. P M H P M P H
1 1
1
4 3
12 1
b. P M H C P M P M H
1
4 12
1 6
C
c. P M C H C P M H
1 P M H 1 P M P H P M H 1 1 1 1 1 4 3 12 2 16. Un taller de automóviles sabe que por término medio acuden por la mañana 3 automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, mientras que por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.
a. b. c. d.
Hacer una tabla ordenada con los datos Calcular el porcentaje de los que acuden por la tarde Calcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos Calcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana
a. Jor nada
Elé ctr icos
M ecáni cos
Chapa
Total
M añ an a
3
8
3
Tarde
2
3
1
Total
5
11
4
14 6 20
b. P acudenen la tarde
6 20
30% c. P problemas mecánicos
d . P mañana problema eléctrico
P mañana eléctrico P eléctr ico
3 20 5 20
11
55%
20 3 5
60%
17. Un estudiante cuenta, para un examen con la ayuda de un despertador, el cual consigue despertarlo en un 80% de los casos. Si oye el despertador, la probabilidad de que realiza el examen es de 0.9 y en caso contrario, de 0.5.
a. Si va a realizar el examen. ¿Cuál es la probabilidad de que haya oído el despertador?
O : oyó el despertador ; E : hace el examen P O 0.8 P O
C
0.2
;
P E O 0.9
P E O P O
C
; P EO
0.5
P E OC P OC
P E O P E O P O 0.9 0.8 0.72 ; P E OC P E OC P OC 0.5 0.2 0.1 P E P E O P O P E OC P OC 0.72 0.1 0.82 P O E
P O E P E
0.72 0.82
36 41
b. Si no realiza el examen. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya oído el despertador?
C
C
P O E
P OC E C P E C
P O E
C
1 P E
1 P O E
1 P O P E P O E 1 P E
1 P E
1 0.8 0.82 0.72 1 0.82
5 9
18. El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de los ingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que los no ingenieros y los no economistas solamente el 20% ocupa un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
P I 0.2 P I C 0.8 ; P E 0.2 P E C 0.8 P I D 0.2 0.75 0.15 P I D P D I P I P E D 0.2 0.5 0.1
P E D P D E P E
P I C E C D P X D 0.6 0.2 0.12 P X D P D X P X
P I D
P I D P D
P I D P D I P I P D E P E P D X P X
0.15 0.15 0.1 0.12
0.405
19. La probabilidad de que haya un accidente en una fábrica que dispone alarma es 0.1. La probabilidad de que suene esta sí se ha producido algún incidente es de 0.97 y la probabilidad de que suene si no ha sucedido ningún incidente es de 0.02. En el supuesto de que haya funcionado la alarma. ¿Cuál es la probabilidad de que no haya habido ningún incidente?
A : se produce un accidente S : suena la alarma
P A 0.1 P AC 0.9
P A S C
P AC S P S
; P S A 0.97 ; P S AC 0.02
P S AC P AC
P S A P A P S AC P AC
0.02 0.9 0.97 0.1 0.02 0.9
0.1565217391
20. En la sala de pediatría de un hospital, el 60% de los pacientes son niñas. De los niños el 35% son menores de 24 meses. El 20% de las niñas tienen menos de 24 meses. Un pediatra que ingresa a la sala selecciona un infante al azar. Determine: a. La probabilidad de que el infante tenga menos de 24 meses b. Si el infante resulta ser menor de 24 meses, determine la probabilidad de que sea una niña
P niña 0.6 ; P niño menores 0.4 0.35 0.14 ; P niño mayor 0.4 0.65 0.26 P niña menor 0.6 0.2 0.12 ; P niña mayor 0.6 0.8 0.48 a. P menor P niño menor P niña menor
0.14 0.12 0.26 b. P niña menor
P niña menor P menor
0.12 0.26
0 .4615384615
21. Un médico cirujano se especializa en cirugías estéticas. Entre sus pacientes, el 20% se realizan correcciones faciales, un 35% implantes mamarios y el restante en otras cirugías correctivas. Se sabe además, que son de género masculino el 25% de los que se realizan correcciones faciales, 15% implantes mamarios y 40% otras cirugías correctivas. Si se selecciona un paciente al azar, determine:
a. La probabilidad de que sea de género masculino b. Si resulta que es de género masculino, determine la probabilidad que se haya realizado una cirugía de implantes mamarios
F : pacientes que se realizan cirugías faciales ; M : pacientes que se realizan implantes mamarios O : pacientes que se realizan otras cirugías correctivas ; H : pacientes de género masculino ; P O 0.45 ; P H F P H F P F 0.25 0.2 0.05
P F 0.2 ; P M 0.35
P H M P H M P M 0.15 0.35 0.0525 ; P H O P H O P O 0.4 0.45 0.18 a. P H P H F P F P H M P M P H O P O 0.05 0.0525 0.18 0.2825 b. P M H
P M H P H
P H M P M P H F P F P H M P M P H O P O
0.0525 0.2825
0.185840708
22. Un doctor dispone de tres equipos electrónicos para realizar ecosonogramas. El uso que le da a cada equipo es de 25% al primero, 35% al segundo y 40% al tercero. Se sabe que los aparatos tienen probabilidades de error de 1%, 2% y 3% respectivamente. Un paciente busca el resultado de una ecografía y observa que tiene un error. Determine la probabilidad de que se ha usado el primer aparato.
P A 0.25 ; P B 0.35 ; P C 0.4 ; P E A 0.01 ; P E B 0.02 ; P E C 0.03
P A E
P A E P E
P E A P A P E A P A P E B P B P E C P C
0.1162790698
23. Tres máquinas denominadas A, B y C , producen un 43%, 26% y 31% de la producción total de una empresa respectivamente. Se ha detectado que un 8%, 2% y 1.6% del producto manufacturado por estas máquinas es defectuoso. a. Se selecciona un producto al azar y se encuentra que es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto haya sido fabricado en la máquina B? b. Si el producto seleccionado resulta que no es defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que provenga de la máquina C ?
P A 0.43 ; P B 0.26 ; P C 0.31 P D A 0.08 ; P D B 0.02 ; P D C 0.016 a. P B D
P B D
b. P C D
C
P D
P D B P B P D A P A P D B P B P D C P C 0.02 0.26
0.08 0.43 0.02 0.26 0.016 0.31
P C D C P D C
P C P C D
0.31 0.016 0.31 1 0.04456
1 P D
0.319266516
0.0052 0.04456
0.1166965889
P C P D C P C 1 P D
24. Una empresa recibe visitantes en sus instalaciones y los hospeda en cualquiera de tres hoteles de la ciudad, A, B y C , en una proporción 18.5%, 32% y 49.5% respectivamente, de los cuales se ha tenido información de que se les ha dado un mal servicio en un 2.8%, 1% y 4% respectivamente.
a. Si se selecciona un visitante al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que no se le haya dado un mal servicio? b. Si se selecciona un visitante al azar y se encuentra que él no se quejó del servicio prestado. ¿Cuál es la probabilidad de que se haya hospedado en el hotel A? Si el visitante no se quejó del servicio prestado. ¿Cuál es la probabilidad que se haya hospedado en c. el hotel C ?
P A 0.185 ; P B 0.32 ; P C 0.495 P MS A 0.028 ; P MS B 0.01 ; P MS C 0.04 a. P MS C 1 P MS 1 P MS A P A P MS B P B P MS C P C
1 0.028 0.185 0.01 0.32 0.04 0.495 0.97182
C
C
b. P A MS
c. P C MS
P A MS C P MS C P C MS C P MS C
P MS C A P A
P MS C C P C
P MS C P MS C
0.972 0.185 0.97182 0.96 0.495 0.97182
0.1850342656
0.4889794406
25. Se estima que el 15% de la población adulta padece de hipertensión, pero que el 75% de todos los adultos creen no tener este problema. Se estima también que el 6% de la población tiene hipertensión aunque no es consciente de padecerla. Si un paciente adulto opina que no tiene hipertensión. ¿Cuál es la probabilidad de que si sea hipertenso?
A : el paciente tiene hipertensión ; P A 0.15 AC : el paciente no tiene hipertensión ; P A C 0.85 B : el paciente es consciente de padecer hipertensión ; P B 0.25 B C : el paciente no es consciente de padecer hipertensión ; P B C 0.75 P BC A 0.06
P A BC
P A BC P BC 0.06 0.15 0.75
P BC A P A
0.012
P BC
26. Se repartirán 2 cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de que salgan 2 oros? A : la primera carta es oro B : la segunda carta es oro P A B P B A P A 9 10
3
39 40 52 Otra forma ( Probabilidad Hipergeométrica )
10 30 2 0 3 P 52 40 2 27. En la evaluación de un programa de capacitación de ventas, una empresa descubrió que de los 50 vendedores que recibieron un bono el año anterior, 20 habían acudido a un programa especial de capacitación en ventas. La empresa tiene 200 empleados. Sea B el suceso de que un vendedor reciba un bono y S el suceso de que acudieron al programa especial. Hallar
P B ; P S B y P B S . P B
50
1
200 4 20 2
P S B
50
5
; P S
1 10
P B S P S B P B 2 1
1
5 4
10
28. El 42% de la población activa de cierto país está formada por mujeres. Se sabe que un 24% de las mujeres y un 16% de los hombres están en el paro. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar de la población activa en este país esté en el paro?
P M 0.42 P H 0.58 ; P P M 0.24 ; P P H 0.16 P P P P M P M P P H P H
0.24 0.42 0.16 0.58 0.1936
29. En una fábrica se embalan (en cajas) galletas en 4 cadenas de montaje;
A1 , A2 , A3 , A4
respectivamente. El 35% de la producción total se embala en la cadena A1 y el 20%, 24% y 21% en
A2 , A3 y A4 respectivamente. Los datos indican que no se embalan correctamente un porcentaje pequeño de las cajas; el 1% de A1 , el 3% de A2 , el 2.5% de A3 y el 2% de A4 . ¿Cuál es la probabilidad de que una caja escogida al azar de la producción total sea defectuosa?
P A1 0.35 ; P A2 0.2 ; P A3 0.24 ; P A4 0.21 P D A1 0.01 ; P D A2 0.03 ; P D A3 0.025 ; P D A4 0.02
P D P D A1 P A1 P D A2 P A2 P D A3 P A3 P D A4 P A4 0.01 0.35 0.03 0.2 0.025 0.24 0.02 0.21 0.0197 30. Una compañía dedicada al transporte público explota 3 líneas de una ciudad, de forma que el 60% de los autobuses cubre el servicio de la primera línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que diariamente un autobús se averíe es del 2%, 4% y 1% respectivamente, para cada línea. Determine la probabilidad de que en un día un autobús sufra de una avería.
P L1 0.6 ; P L2 0.3 ; P L3 0.1 P A L1 0.02 ; P A L2 0.04 ; P A L3 0.01
P A P A L1 P L1 P A L2 P L2 P A L3 P L3 0.02 0.6 0.04 0.3 0.01 0.1 0.025 31. Tres máquinas A, B y C , producen el 45%, 30% y 25% respectivamente, del total de piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuosa? b. Tomamos una pieza al azar y resulta ser defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido producida por la máquina B? c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido dicha pieza defectuosa? P A 0.45 ; P B 0.3 ; P C 0.25 ; P D A 0.03 ; P D B 0.04 ; P D C 0.05 a. P D P D A P A P D B P B P D C P C
0.03 0.45 0.04 0.3 0.05 0.25 0.038 b. P B D c. P A D
P D B P B P D P D A P A P D
0.04 0.3 0.038
0.3157894737
0.3552631579 ;
P C D
P D C P C P D
0.32894 73684
Se tiene que la mayor probabilidad , es que la pieza defectuosa haya salido de la máquina A , correspondiente a un 35,52631579%
