Unidad 2. Diseño de Controladores Digitales Paso 3. Analizar el Diseño de Controladores Contro ladores Digitales Descripción del Problema: Usando como base la temática de la Unidad 2 del curso, y con el uso de Matlab dar solución a los siguientes problemas: 1. Consid Considere ere el el sigui siguient ente e siste sistema: ma:
Hacer análisis del lugar de las races y anali!ar la estabilidad del sistema. Para obtener la "unción de trans"erencia e#ui$alente del diagrama de blo#ues anterior, se procede a reducir dic%o diagrama en cascadas o en paralelos.
&omado de '(.) *e considera entonces #ue el sistema tendrá como "unción de trans"erencia:
( ) G ( z ) = C ( z ) 1 + G ( z ) H ( z )
R z
Donde:
( )=
G z
z + 0,8 z
2
+
0,25
+
( )=
H z
1 z + 0,3
( )=
F z
( ) R ( z ) G ( z ) = = 1+ G ( z ) H ( z ) X ( z ) C ( z ) Y z
eempla!ando los $alores, di$idiendo y multiplicando para $ol$erla lineal.
z + 0,8 z
( )=
F z
(
1+
2
+
z + 0,8 z
2
+
0,25
]
[ )( )
0,25
1
z + 0,3
( z ( z
2 2
+
0,25 ) ( z + 0,3 )
+
0,25 ) ( z + 0,3 )
]
2 ( z + 0,8 ) ( z + 0,3 ) z + 1,1 z + 0,24 = F ( z )= ( z 2+ 0,25 ) ( z + 0,3 )+ ( z +0,8 ) z 3 + 0,3 z2 +0,25 z +0,075 + z +0,8
( )=
F z
3
z
2
+ 1,1 z + 0,24 + 0,3 z 2 + 1,25 z + 0,875 z
-a mecánica de dibuar el lugar geom/trico de las races es e0actamente igual en el plano ! #ue en el plano s. l lugar geom/trico de las races es el lugar geom/trico de proposiciones donde las races de la ecuación caracterstica pueden ser encontradas a medida #ue una simple ganancia sea $ariada de cero a in"inito 'Murillo 3ermude!). -a ecuación caracterstica del sistema con retroalimentación negati$a es:
( )= z 3 + 0,3 z 2 + 1,25 z + 0,875
P z
-as constantes de proporcionalidad y la "recuencia natural constante son: 2
0,3
+
2 z =0,875
ω =0,55
+
z =0,44
ω
=
Para ubicar el lugar geom/trico de las races, se usó la "unción de Matlab llamada !grid #ue tiene las mismas caractersticas de sgrid. sas instrucciones tra!an lneas de la ra!ón de amortiguamiento constante y la "recuencia natural.
Como se puede apreciar en la "igura, el sistema presenta una inestabilidad cuando el polo es igual a 41, ya #ue este no se encuentra dentro del circulo unitario. -as lneas punteadas representan la proporción de amortiguamiento constante y la "recuencia natural constante. -a estabilidad del sistema de"inida por la ecuación caracterstica encontrada en el denominador, as como la de otros tipos de sistemas de control en tiempo discreto, puede determinarse por las locali!aciones de polos en la!o cerrado en el plano !, o por las races de la ecuación caracterstica 'Murillo 3ermude!). De "orma analtica, y con la ayuda de Matlab se puede obtener su respecti$o $alor utili!ando el comando roots').
Por medio de esto se con"irma #ue %ay un polo #ue se encuentra por "uera del circulo unitario, por lo tanto, el sistema se con$ierte en inestable.