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8
Capítulo J: Lógica
e) La tisa
no es blanca
d) La tisa
es azul
Comose puede notar b) y
son cada uno la negación de a),
e)
en cambio d) no
es la negación de a). Otras formas de expresar caso que",
"es falso
En estos
casos
la negación
que",
la
negación
r- ( ••••
propos iciones
niega
Si P
=
10 es múltiplo
entonces EJEMPLO
3.
de 3, y q
la proposición
cer el valor a)
Solución.
"'qvr
b) El valor
de 3 o que 5-1-2< 10".
5-1-2<10 ; '\. (PVq)
p="3 es un número par",
número primo es
de verdad ae las siguientes
'\.(pl\q)
=
se simbol izo:
Sean las proposiciones: que 2" y r="Todo
compuestas y
proposición:
"No es el caso de que 10 sea múltiplo
Solución.
"no es el
)
la siguiente
Simbolizar
los ténninos
etc.
generalmente
s imbÓli cemente se expresa por EJElrfPLO 2.
es utilizando
q="5 es mayor
impar". Escribir
proposiciones
y estable-
compuestas:
c) "'("'rl\p)V"'q
de verdad de cada proposición
simple
es:
·V(p)=F , V(q)=V , V(r)=F Según estos
valores
Ahora bien, b)
de verdad,
"No es cierto
a) '\. (pl\q):
V(Pllq)=F
..•. V{ 'I.(pl\q)]=V
"'qV r : "No es cierto o bien: V("'q)=F
que 5 es mayor que 2 ó todo número- primo es impar"
"5 no es mayor que Z ó todo nÍl1lero primo es impor". y V(r)=F
V<,"qvr)=F
+
e) "'( '\. r 1\ p)v "'q: "No es cierto número por,
..•. V['V ('\.rl\p)]=V
para considerar
ha de tener
en cuenta
"0",
de la disyunción).
que no todo nÍl1lero primo es
En adelante,
la palabra
(Según la tabla
impar y 3 es un
o 5 no es mayor que 2".
V('" rl\p)=V(VI\F)=F
Nbta.
se tiene:
que 3 es un m:6neropar y 5 es mayor que 2".
es decir,
• Luego:
el valor
de verdad de una disyunción
Que se ha utilizado
"p o q" significará
V(c)=(VvF)=V
el
sentido
se
incluyente de
"PVq".
•
Sección 4.16: El Máximo Entero de un Número real
(1) Si xER
.•. x = [x]
(2)
.•.
[x] =
(3) Si 0 -c< n < 1 (4)
TEOREMA 65.
i'yeZY xcll.
Demostración.
En efecto:
.•. -1 < -n ~ O
si y > x
x-1 <
Por hipótesis: Entonces
(6)
Como
(7)
Por lo tonto.
[xTI ~
e
Yx,yeR,
Demostración.
En efecto: (1) Por el T.64:
(6)
=
Demostración.
En efecto: (1) . (2)
•.•
Por el T.56: ++
([x].$x)
'" (x
<[x]
+1 -$. Y
[x]
~ y
[yll
[xD
<
ü
[y]
+ 1
[x] .s [y]J
+ 1)
x - [x] ) ,. (x - [x]
x - [x11 < 1)
<
1)
..•• O ~ n
, O~ n < 1 -
Stmando y:
+ 1 >
[xll
[x] -'S x < [x] + 1
(O .$
(2)
< y. yü .•.
O ~ n < 1
(0.$
(1) Por hipótesis:
[x]
y-1
+ 1 - 1 .••
-
En efecto:
~x
.•.
-
Demostración.
.•
[x]
+ 1 ,
(3)
Si xERI.r=y+n
[x]
IIxTI -'Sy
(4)
TEOREMA. 68.
\
.•.
T.56:
x - [x]
y ~
x
[y] -'S Y < [y] De (3): [x] ~ y < [y] + 1 Como; [y] EZ .•• [xTI .s [y]
Si n
< y
[xD -s
.•.
x-l < [x] ~ x ~ y .• [xTI
Por hipótesis;
TEOREMA 67.
+1 >
[xD ~ [y]
.•.
(3) POr trans i tividod;
(5)
[xli -s x
y son enteros
si x ~ y
Por el
[xll
.•.
x:
de (2) y (6):
TEOREMA 66.
(4)
+ 1
y > x • yez • xeR.
de (3) y (4):
[x]
[xli
1
Por transitividad:
(3) Por el T.64:
(2)
+ 1 >
.•. y ~[x]
[x] ~ x <[xD + [x] < [xD
(1) Por el T.56:
(4)
x-1 < x-n ~ x
se tiene:
x-1 < [x] .... < x
de (2):
(5)
O ~ n < 1
+ n • donde:
x-n
Sumando x o codo extremo
(5) Luego
(2)
303
Y
<
1
= [xD
O~ n < 1 y ~ y+n < y+l
,:
304
Capitulo 4: Números Reales
(3) Pero: (4)
69.
TEOREMA
=
x
y+n
Como yEZ
y
.•
[xll
-
VxER y cualquier
= y
(1)
(2)
Entonces:
(3)
Como
[11:ll]
[xTIn
a ~
[xn
[x] =
< a +
entre an
an ~
x
< an +n l~s
an+1 ~ x < an+2
an+2
.•
an+2 ~ x < an+3
IIxll =
an+(n-1)
-.
~ x < an+n
an+(n-1)
an ~ x < an + n
obtenemos:
-. [~~=a [:ll ]
de (1) y (5): [
=
*]
1
Q
ILUSTRATIVOS
Hallar
el
16
Hallar
Efectuando
Por el
T.61:
valor
< 3
-.
2 < _3_
, 16-1
el
valor
la división: E = [-2
(n > O)
siguientes
< an + 1
.•
< 2, entonces:
2.
OxD
puede tomar
an+1
Como: 2 <
EJERCICIO Solucion.
l.
an ~
.•
lixD = ITxll =
(6) Por lo tanto,
EJERCICIOS
1
an y an+n:
(5)
%
n -- ',.1 xn liU-
a
=
es un número entero
(4) Uniendo los intervalos
y si:
[ [xn]
n > O, se cumple:
na,
Supongamos que:
valores
Solución.
[xn
y =
+-+
En efecto:
Demostración.
EJERCICIO
< y+l
$o x
- 3= [--11
de E
k-1.lJ
/6-1
1 <
<3
.•
< 2
E =
1.
->
2
[_3
/6-1
de E
=
3
<
< 3
,16-1
II = 2
~3~!;E
3-2 " '0+ 1
+1T~1D =
= -2
--2 +
5
'0+1
+UTT~1D
(1)
Sección 4.16: El Máximo Entero de un Número Real
Dado que:
3 < n
Entonces:
ITn:l]
EJERCICIO
-;
..
4
Si xE[-I,O>
••
Entonces: b) Si xE[O, 1 J.
••
. S - -<3
-4
-1
E = -1 tanto,
EJERCICIO Solución.
-1
Por lo
tanto:
EJERCICIO
5.
Solución.
=
A
_1_< < x-3 '
·1
1
-
n
(1)
1
""3 ~
+- 1] 3-x
._1_ <1. 3-x '- 2
[ -1 + -3-x 1 TI = -1
VxE[-I,I)
conjunto
el
n ~ 3x-l
¡[3x-l]lxE[O,lll
3·~
•..•
el
intervalo
=
=
A n+I
< n+I
cubrir
n
todos
x: <
[0,1),
x
1
•
2/3,<
n = 2
.•
x = 1
los elementos
x+3
=
de A
xE<-I, 6> U [6,8>,
o sea para x < 6
A = [S-XII x+3tl
!i<.JL<4
"4
1 --¡
.. [~=;TI tI
.
1
- "2
por extensión
-1 < x < 6 .•
9
- "3
-x
(2)
a) Si xE<-1,6>,
~
.•
2 ~ 3-x ~ 3
E = -1
Dado que: xE<-1,8>
XE<-I,6>
=
n+2
3 '
= [-1
+
2 < x+3 < 9
- 1< -1 9
+
=
<
se .•
ll
1 ¡[IX-61- l,n<-l,8>}. x+3 tiene:
Ix-61
=
-ª-ll
x+3 .•
-ª-
x+3
1. < _1_ < 1. 9 x+3 2
< 3
-(x-6)
XE[O,lJ
se tiene:
¡-l,O,I,2}
Hallar
••
Ixl
-1, Vxf;[-I, O>
= x
Ixl
x < 2/3
1/3,<
=
E
O ~ x < 1/3
.•
nO..
..
a n hasta
Dando valores Si n
= [E:l2ll 3-x
+- S < x-3 '
_ 2 < 3
-1 ; luego:
y (2):
TI =
[3x-1
Si
.
S
< -,
1 < -1 + 3-x <
Detenninar
4.
de E
< -3
-4 ~ x-3
VXE[O, 1) de (1)
el valor
-x -!; O
$'.
2
Por lo
=
TI
- "3 Luego,
S x-3
o sea para x: >/ O
Si O ~ x.~ 1 .•
S < §.. n+l 4
= -2+1 = -1
o sea para x < O ••
-1 ~ x < O
+- S x-3
[1
1 <
[-~=;TI
=
E
E
..
_1_ < 1. n+I 4
1.< S
en (1) :
hallar
Si xE[-I,I),
a) Si xE[-I,O>,
Solución.
..
4 < n+l < S
1 ; luego,
3.
305
306
Capitulo 4: Números Reales
+..L x+3
-1 < - -91 ..• -1 < -1
C~: ~'~
=
Luego, A
< 3
Si 6 ~ x < 8
9 ~ 9
Luego. A = {-l,Ol,
11
6.
"
de donde:
5 ~
+-+
(x >.,. 7 v ;x; .$o
\f
A
4
-
11
10 < 1 - x+3
-1,0
{-1.0.1.2}
4 ~
1x-21
<.1...
x+3
9
(2)
=
la ecuación:
=
(x-2 ~ 5
9
xd6.8>
Resolver
-
x+3"
11
< 1 ...• -1 :< 1
para
rr IX-21+3]
Solución.
1
TI
.r+3
de (1) y (2):
Por lo tanto,
EJERCICIO
-1
1 y
(1)
:<_-12 <_.10 ...• -..!~1-..1Q
_lfl Como,' -1 < -
, ,
Ix-61 = .r-6
9 ,< .r+3 < 11
..•
-1 O 1 2
x+3'
[1 - ;~]
=
[~~]
.J!...]
+
[-1
, para xc<-I,6>
{-l,O,1,2}
b) Si .r&[6.8>, o sea para .r > 6 -
..• A =
..•
< 7
=
[lx-;1+3]
IX-21+3
< 4
(lx-21
-
4 (T, 57)
+ 1 >.,. 5)
,,(lx-21
< 7)
< ;,:-2 < 7) -3) " (-5 < x < 9)
x-2 ~ -5)
" (-7
~r-----------------------~ I , ,. : ,
I
I
!
-_·~.~ -oB~~~~~~~~¿?~L~~~~(~:~~~~·~~:~·~1~ ~t~~~~~~~h~~~~~~~j~~~~~:~~·=~~i~o~-----__l~+-3
-5
.. S = <-5.-3) EJERCICIO Solución.
1, Si.r,
U [7,9>
Si x,b&R +- • .r < b, halla,.; bt:R+ ..• x > O
SUponganos que: y
9
7
Y
E =
[~b
[~n ~
+-
EblJ1T
b > O
= ~ .• [y'Ü ~
y < Uyll + 1
(T. 56)
[~]~~<[~]+1 AiJltiplicando
por
~
~ [~]
(~[!!]~1) b x -+
+t
~ 1 <~ [~]
(~[.k]+~~l b.r
,,(1 b
<~[~n+-~) .b x b
+~)
b
"(l
<~[.k]+E) b:r
b
("')
Sección 4. J 6: El Máximo Entero de
COOlOX
Luego,
b >0
Y
NúmeroReal
UIl
..•. 1 +i<2
..•. ~<1
......(~b. rr.Qx ]
en (*):
•...•.(1
+ ~ < 2) b
D+É <
< ~ [~
EJERCICIO
Resolver
8.
[4.x]:
Solución.
3x+3 ~
3x : 9,10,11
EJERCICIO
9.
b
Solución.
Universo (x>
++
(3x)&Z
A
(9 ~ 3x < 12)
y
m>
O
TI-/91
(x-m >--0)
m
:
++
(x>
=
i3,10/3,11/3}
del' conjunto:
IX,
donde O <
(x > O) " (~
o
.• ~ >--1
< 4)
.• S
3,10/3,11/3
todos los elementos
A
:i
(3 ~
=
(T. 57)
(x >.. 3 " x < 4) A
de la ecuación: O)
(3.x+3 ~ 4x < 3x+3+1)
A
(3x)&Z"
ixcRII['i-
z:
3x+3
•...•. (3x)&Z •...•.x
Hallar A
[4x]:
(3x+3)&Z
++
x ~m
+ -x )
2)
la ecuación:
Como 3EZ
Si
X[b] b x
<-
(l
A
E=[~[~]+É]:l
yporeIT.57:
Entonces:
307
m < 1/4}
>;. O)
x
(x >--m) ,mc<0,1/4>
O)"
< 1 ....
< (~)-1 m
(T.24a)
O
x
Analicemos a) Si
de
O <
..•
[i] =
donde: X·-Xffll:O
EJERCICIO
Solución.
1)
x
cada caso:
i< 1
b) Si ~ = 1
x
-
X
.•
[~TI = 1.
10.
Resolver:
Según el T.58:
O
En A:
= i(1
En A:
± /1
lO 11-4m)
-If I
[:x: - ~ ] >.. [
x - ~
Al
TI~ 1
= IX
..•
'¡x~m
=
,IX
, si mc
= ,IX .•
1 =,IX
-
s:
=
1
1 ++
(.x-2)(:x:+l) > O :x: •.•
Por de
el método de los la inecuación es:
valores
críticos, verificar U [2,+->
S = [-1,0>
que el
conjunto
solución
Capítulo 4: Números Reales
308
EJERCICIO
Solución.
Por el T.43:
- [ [:n] donde:
I( [rr:n] -
Resolver:
11.
[x]]
lal
=
1
Si x >.-1
O
[11:]] - 11
-
< 2
1 '" [:]
(* )
dos casos:
[XJ]EZ+
...•
[x]]
(*):
.s
([xJ] ~
< 2[x]
X
( [x] [xJ] '" x,
(Por el T.56: b) S i x < O
+
Entonces en
x
[
(xER)
V:nR)
~ (x
(1'"~< [x])
>-- 1)
=
S,
+
[1, +~>
TI EZ[x]
(*):
>--x > 2[x]
< x~
2[x]
TI
...• S. = S
12,
x) ~ (x < 2[x])
~ x) ~
([ x
EJERCICIO
O
[O, 1>
I O •..•. x;.
Entonces en
=
= lQi ...• 1
Entonces, debemos considerar a)
1)'
=
S, U S.
[lxl-2]
Resolver:
=
<
z-n
[x]
1)~(x ~
[x
TI)
R- = Z-
Z- U [1, +~>
>.-3
[x] Solución,
Si
..,2]
[Ixl
[x] Sea[x]=n
_
Consideremos a) Si
En
(n
3_ ~
>.••
[x]
n~x
-
3,
[x]
I O ..•. x;.
[0,1>
Ixl~2>.-3
(1)
dos casos:
> O) ~
(1):
>-.
(n ~
Ixl-2 ~ 3n
x
'e
n+l)
...•[cc] >,,3n+2 -
(x >--3n+2) v [x ~ -(3n+2)]
_oo=:======~¡~--~.======~6----~'======:=;:+oo n
-(3n+2)
Cor.~ no existe
intersección,
el conjunto
n+l
3n+2
solución
para este caso es:
S, = • , 'Vr¡=1,2,3, ..• b) Si
(n
< O) ~
(n ~
x < n+l )
En 'O): Ixl-2", 3n ...• [cc] ~ 3n+2 Como n < O ...• 3n+2 < O, por tanto, es:
el conjunto
S. ; .) -'jn=-1,-2,-3,
solución ..•
para este caso
SecciólI
4.16: El Máximo Elltero de 111INrímeroReal
EJERCICIO
13,
Solución.
[3+X] 4~
U
Resol ver: ~ 2
309
!~~] ~2
3+x < 2+1 4~
++
4x-9 > O
+-+
Por el método de los valores críticos: S = <-~,9/4>
EJERCICIO
(x > 4) v (x < 9/4)
U<4.+~>
;¡;y:2 ~ O
Resolver:
14.
(T. 60)
x~
[x'-2x-3] Solución.
-
dada es vál ida si: (X&U)
EJERCICIO
[ 14+3x-x' ]
e~
1
ra ~ O,
Pero: Luego:
x
[/4+3x-x']
•...•(XEU) ~
S
=
< O)
< 4
TI
•...• -2 < [14+3x-x'
< 4
< 2
~ ++
[ra]
< 2
(T.34ii)
? O
< 2
O ~ 14+3x-x' O ~ 4+3;r-x' (x'-3x-4
('1'.58 Y T.59)
< 4
~ O)
•...• (x-4)(x+1) ++
< O
(x+l)(x-3)
A
[2,3>
[/4+3x-x']'
VotR
?2
U
(;:r:&U)A ([x'-2x-3]
< 3)
Resolver:
15.
Solución.
(-1 <
A
~
< O)
(x'-2x-3
A
(XEU)
++
-2) v (x ?2)
(x~
La incuación
Ixl-2 ? O ~ Ixl = <-~,-2]u[2,+"'>
de la inecuación:
Universo
(-1 ~ x ~ 4)
A
< 4)
(4+3x-x'
A
> O
~ O " x(x-3) (x
o
<
> 3)
v X
5 = [-1, O> u <3, 4 ]
EJERCICIO
16.
Solución.
Sea m ~
ITxIJ'-8[x]'+7
Resolver:
=
IJ '
[x
m'-&n'+7
mtZ
~ O
•.•.•
(m+1)(m-1)(m+/f)(m-/fj
Por el método de los puntos críticos: se detennina
que:
Para mE<-,-!7]
u [-1,1]
mr.<-••,-!7] ~
[x]
~O
~ -17,
~ O
m=-1 , m=1 , m=-!f, U
(17,_> [x]
pero mEZ ~
~
-3 •...•x < -3+1
•...•x < -2- mr.[-1,l] mE[ 17, ->
~
-
-1 ~
[ x
[xI! ~ TI ~
3 ~
1
X
-
-1 ~ x < 1+1
-
-1 ~ x < 2 >-- 3 -
+
xc [3, ->
.'.5=<-.2>U[-1,2>U[3,+
m=1'i
(Verificar)
X&<-"',-2> (T.58 Y T.60)
Xt[-1,2>
310
Capitulo 4: Números Reales
EJERCICIO
17.
COmo
SOlucl6n.
[lx/l-1]
<2.6
< -2
3-x
..
•...
x-l
..
~O
..•
1
.x-l
..•
< O
= .x-l
I.x-ll
..
=
Ix-ll
•..• (x < 1) ~ (2 < x < 3)
EJERCICIO SOlución.
=
..
1I2.r]-2[x]+4
= n
S. = <3.4>
-
por (2):
que:
=
=
S.
]-2[x
~
O
o
[2.r]-2[x]
-
(7)
Lueqo, si
= 2n+l
< n+1/2
[x]
=
(n.n
•
n+1
j> U (n + j .n+1>
..• 2n ~ 2x < 2n+1
=
n y 1[2x] ..•
=
=
2n ..• [2x]-2[xIl
= 2n-2(n)
=
O
2n+1 ~ 2x < 2n+2
n )1 [2x]
(9) De (6) )1 (8) podemos escribir: (10) Esto significa
+
(n.n+1>
)0
1 n+"2
n+l/2 ~ s: < n+l
(8) lAtego. si
dividanos el intervillo esto es:
)t
n
[x]
~-4
(T. 57)
[2x]
iguales,
t (n.n+1>
(6)
<3.4>
2n ~ 2x < (2n+l)+1
= 2n
[2x]
de longitudes
en dos partes
(5) Si n ~'x
< O)
]+4 > 2
(4) Para obtener un único valor para [2x].
,
x-2 (x < 1) ,. ( x-3
..• S •. = •
•..• n ~ s: < n-r , n&Z
(3) MUltiplicando Significa
< O) (x ~ 1) ~ ( ;r-4 .x-3
del universo de la ¡necuoción:
Cálculo (1)
(T. 59)
-(;r-1)
S.US.
18. Resolver: /[2X
[i]
Si
)
< -2
3-x
-x+1-2x+5 (x < 1) ,. ( > O) x-3
.'. S
1-3,-4.-5 •...
(1)
(x ~ 1) ~ (3 < x <,4)
En (1):
(2)
1.x-11-1
..•
el Teorema 59.
directamente
[IX3~1-1]
.•
:. O) (x ~ 1) ~ ( .x-1-2x+5 .x-3 .
En (1) :
<
5
1.x-11-2.x+5> O .x-3
o) Si x ~1
b) Si x
J1
no podemos aplicar
[1.x-11-1]
que:
de donde:
1[ 3-x
(-13/5)tz,
Pero si: Significa
Ir IX-11-1 Jl < _ 13
Resolver:
= 2n+1 .•• [2x]-2[x] [2x]-2[~]
=
dicho relación.
=
1
= {O. si :t&(n,n+1I2> 1. si ~[n+1/2.n+1>
que el primer miembro de lo desiguoldad
res O o 1 y que, ambos satisfacen
2n+1-2(n)
(1) tana valo-
Par lo tanto.
lo solución
311
Ejercicios: Gnlpo 30
de (1) es el conjunto Eliminación
(11)
R, esto
es: U
= <-~,+~> >
de la raíz de: /[2x]-2[x]+4
(12) Elevando al cuadrado:
> 4
[2x]-2[x]+4
Pero de (9) sabemos que [2x]-2[x] face
la relación
forma: solución
es decir,
de la inecuación
la unión de los
la mitad derecha
dada: S =
••
U [n
2 [f2x]-2[xll
> O
es O o 1, de los cuales 1 satis-
En consecuencia,
(12).
[n+1/2,n+1>,
••
del
intervalos
intervalo
de la
[n,n+l> es la
1 +
"2 '
n+l>
n=1
EJERCICIOS: Grupo 30
1.
Hallar
2.
Detenninar
3. Hollar A
el valor
de:
[2;~! TI
pore:rtensión
el conjunto
el mayor y el menor elemento
-TI
b) [_1
15-2
A
=
{[lx~:1-2]lxE<-l,5>}
del conjunto
= {x[xrr~llllIXE:}
En los ejercicios 4.
[2x-3]
5.
[IX-l!-l]=2
7.
[ff-X]
8.
[x1-2x]
9.
[3;r-5]
=
10.
[3x]
2x+2
11. [~~;]
del 4 al 21, resolver
=-5
6. [IX-21+!2X-11-2]
12.
a)
=
1
= 2 = 3
=
[zxll-lx-1l=
14.
[1X-il+3]
15.
[-x +x+3/4]
16.
[x]1-[x]-6
=
dadas:
2x-3 = 4
=
1
18. Ix-[x]
Zx+1
O
=
O
=
57
x
19. [5;r] = 4x+3 = 1
20. [2X-1] x+2
21. o4-[x]
2x
12. SI A es el conjunto
solución
de las siguientes
afirmaciones
a) AC[-7,-4>
13.
17. [X_l]1+2[x]1
=2
[x+1] =
las ecuaciones
de la ecuación
b) ACb6,-5>
t
+
¡f;f:3 = O
[x-[xD]+[I-x]=5,
cual
es verdadera? e) AC<-6.-4]
d) A
=
R
Capítulo 4: Números Reales
312
23. Detenninar
el valor
a) [2.:x: + 112] b)
de las siguientes e) [.:x:]
= 2[.:x:]
curre
afinnaciones:
+ [.:x: + 112]
d) [.:x: + [.:x:TI
[-.:x:+1 TI = [.:x:-1]
24. Demostrar
En
de verdad
que ~,bER,
[ a+b]
entonces:
TI
= 2 [.:x:]
>,. [a TI + [b TI.
los ejercicios
las
resolver
siguientes,
inecuaciones
>,.1
31. [.:x:lll-2[.:x:]-2
26. [1.:x:-;1+3]
>,.5
32.
que caso
0-
11.:x:1-3 [.:x:l-2.:x:-19TI
~ O
33. [.:x:]'-1O[.:x:]l+9
< 1 28. [ 4.:x:'-5.:x:-4] ....
34. 1[.:x:]1-12
1
D
+1 < 2 29. [.:x:.:x:+2
=
de verdad de las siguientes
.•.
z
b)
VnEZ, [.:x:+nTI
= [.:x:] '+2n[.:x: TI +n' .•. [.:x:]
1
.•.
1[1I.:x:]
38. Dados los conjntos
proposiciones:
Hallar
A
=
A
el conjunto
= n
+ 11 = [-1/.:x:]
{.:x:cRI2(.:x:+2)-8.tX+2+6>,. 01 y B={.:x:cRI[.:x:-1 ]'+ b.
B'.
39. Si A'={.:x:cRI[.:x:-1]'+2[.:x:TI 40. Expresar
>.•..O
O ~ z < 1
e) Sea nEZ, (z = .:x:-n) ~ (O ~ z < 1)
2[.:x:]'=571.
([.:x:]'-[.:x:]-6)
I - [2.:x:] 36. 21.:x:
el valor
x- [.:x: TI
a)
Si.:x: < -1
~ O
35. 1[.:x:]1-9([.:x:]1-2[.:x:]-15)
[ 12.:x:'+5.:x:1-2 TI < 1
37. Detenninar
dadas. < O
27. [5+.:x:]<1 5 -.:x: ....
d)
En
la igualdad?
25. [ 2.:x:_ 1~]
30.
= [2.:x:]
>"17, si
A en ténninos
A = {.:x:ERI1.:x:-41+12.:x:+31 ~ O , si 1.:x:-11-1
b)
A = {.:x:cRI[/1O-3,:x:-.:x:'
-s
9
hallarA.
de intervalos:
a)
TI'
[.:x:+2]=51,
-
*
[.:x:'+4.:x:-6] < -3/21. [.:x:-1 ]=31.
>"0 ~ O
313
CAPITULO
:RELACIONES Y FUNCIONES EN 82 RELACIONES DEFINIDAS DE R EN R
DI
EL PRODUCTO En la Sección
CARTESIANO
3.3 señalábamos
A y B se define
conjuntos
(a,b) en los cuales componente
la primera
el producto
de los números
En el capítulo mos
conjunto
de números
ea de un solo número Para graficar
=
RxR,
se define
reales.
ordenados
como:
la noción de la recta real y vi entre
puntos
de la recta y el es la gráfl
real y viceversa. debemos
disponer
El dispositivo
todas perpendiculannente
rectangular
en un punto
El eje horizontal
pora grafi-
o sistema Ilanadas
O, llamado
coordenado
cartesiano.
ejes de coordenadas, origen
de coordenadas
El cor del
se llama eje X o eje de las x y el eje vertical,
eje de las y. Los puntos y a .la izquierda
de un procedimiento
más COI1'IU1YI'ICnte usado para este propósi-
en dos ~ectas mméricas,
eje Yo
AxB de dos
RZ, donde R es el
Cada punto sobre una recta numérica
coordenado
.positivas
pores
de A y la segunda
que se denota
que existe
to es el sistema
sistema.
a, es elemento
4.9, introdujimos
biunívoco
sistema
consiste
cartesiano
de todos los
{(a,b)&AxBla&A y bEB}
reales,
una relación
car pares ordenados.
componente
cartesiano
4, Sección
la correspondencia
R
de B, esto es:
AxB
conjunto
x
que el producto
como el conjunto
b. es elemento
Aná I ogamente,
DE R
a la derecha
del origen,
del origen
negativas.
tienen coordenadas'
Anólogamente
los puntos
314
Capitulo 5: Relaciones
del eje Y arriba del origen bajo del origen
no en cuatro regiones que se enumeran
tienen coordenadas
tienen coordenadas
positivos y los que estón aLos ejes X e Y dividen
negativos. y
Ilanadas cuadrantes
y
por 1, 11, 111 Y IV (Fig.S.l)
II
en sentido antihorario. Construido
un sistema coordenado
podemos establecer
uno entre el conjunto
reales. Sea P un punto cualquiera Su proyección
perpendicular
Q.
La proyección
bre el eje Yes
I
I
y
de núneros del plano.
IV
111
sobre el eje X es
es el níÍnero real ú-
un punto cuya coordenada nico
uno a
de puntos del plano
el conjunto de los pores ordenados
n«.» ----1
b
rectangular
una correspondencia
al plg
perpendicular
de P so-
FIGURA 5.1
un punto que tiene como coor-
denada al número real único b. Si tomamos g a camo el primer elemento por y a b como el segundo, do un por de números par ordenado Definición
entonces
reales
(a,b), único, y viceversa.
(a,b) un punto P nos llevo o las siguientes 5.J
Si (a,b) es el par asociado
5.2
a cada
los n§
de P; a se llama coornen!!
y, u ordenada
Si P es el punto asociado
El asociar definiciones:
con el punto P, entonces
meros a y b se Ilanan coordenadas da x o abscisa de P; b es la coordenada Definición
de un
con cada punto P del plano hemos asocig
de P.
con el par ordenado
(a,b), enton-
ces se dice que P es la gráfica de (a.b).
Ejenplo.
Graficar
el conjunto de pares o~enados:
(4,-1)} Y nombrar el cuadrante
{(2,3),(-3,2),(O,-2),
en que quedo cada uno. y
Solucí6n.
Construimos
primel'o el sistema
tangular XY. luego representamos marcamos
reg y
cada uno de los puntos P(2.3),Q(-3.2)
S(O,-2) y T(4.-1). Así, P queda en el
P
~---
I
, I
1 cua-
drante, Q en el 1I, S Quedo sobre el eje 1) no está en ningún cuadrante te.
y T en el IV cuadra~
--. -----
s
.• T
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
ID
DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean A(x"y,),
Btxc
y C(x"y,)
.y«)
estén situados sobre una línea horizontal By
315
C sobre una línea vertical.
Entonces, d(A,C) =
tres puntos en R', tales que A y C y,
(Fig.5.2)
Y Y2
por lo visto en valor absoluto:
IXCI
d(C,B) = lcal
1 = Ix,-x,I = ly,-y,1 = ly,-y,1
e2
1
:
= Ix,-x,
Yl
t- A
Luego, por el Teorema de Pitágoras:
+
IMl\' = IAGI' d(A,B) = I(x,-x,)'
Ejemplo.
Si P(a,a+1)
+ +
Y2-Y
1
-------ic1
I
o
I al\'
I
I
Xl
X2
r--
(y,-y,)'
iX:2 -X 1
X
--!
Figura 5.2
es un punto que equidista de A(2,l) y B(-6,5),
hallar
el valor de a. Solución.
Se debe verificar
que: d(A,P) = d(B,P)
Entonces, por la fónnula de distancia ¡,r-( 0---2-)-:-' +-{-(-a-+ 1-)---1-]-:-'= I(a+6 ) , +{( a +1) - 5]' +
=
(0'-40+4)+0'
m
(0'+120+36)+(0'-80+16)
entre dos puntos:
, de donde: 0=-6
Q
GRAFICAS DE RELACIONES DE R EN R Un conjunto
G de puntos del plano cartesiano
ción R si verifican
"P(a,b)cG En la práctica,
es la gráfica de la relQ
la propiedad:
la gráfica
-
(a,b)cR"
de una ecuación
de la fomla E(x,y)=O
o inecuaciQ
nes de las fonnas: E(x,y) < O, E(x,y) > O, E(x,y) ~ O, E(x,y) ~ O ,en variables
X
e y, es la gráfica
R Veamos a continuación
algunos
las
de la relación:
=
{(x,y)IE(x,y)1
ejemplos de gráficas
de relaciones
más impor-
tantes.
11II
GRAFICAS DE RE'LACIONES LINEALES DE LA FORMA:
i=
{(x,y)lax+by+c
=
Q
01
Tienen por gráfica una línea recta. EJEMPLO
l.
Trazar
la gráfica
de la relación: Rl = {(x,y)e:R213x-2y+6=0}
r
316
Capitulo 5: Relaciones y funciones en R2
Solución.
Según un postulado de la geometría que afirma que dos puntos distintos de terminan una recta y sólo una, bastará hallar dos pares de la misma, de la
siguiente manera: Si y=O -+ 3x+6=0
x=-2. Así, (-2,0) es una so-
H
lución de la ecuación dada. Si x=O -+ -2y+6=0
H
y=3
Luego, (0.3) es una segunda solución. Para obtener la gráfica requerida,
solo necesita-
mos unir los puntos P( -2,0) Y Q(O,3) con una línea recta, dada que: G(R,) = (P(-2,0) , Q(O,3},
+oo}
Como vemos: Dom(R,)= Ran(R, ) = (-00,+00) = R
~
Trazar la gráfica de la relación: R2 = {(x,y)eR212x-3y=O)
Solución.
La relación R, tiene la forma ax+by+c=O, en la que c=O. En estos casos
(0,0) es una solución de la ecuación 2x-3y=0, es decir, la recta pasa por el origen de coordenadas. Necesitamos un segundo punto para determinar
la
--------~----~--~x
recta. Si x=3 -+ 2(3)-3y=0
H
y=2 -+ P(3,2} es el otro
punto. Como G(R, ) = {(O,O) , (3,2) , ..... ,+oo} -+ Dom (R, ) = Ran (R2 ) = (-00,+00) = R Trazar la gráfica de la relación: S = {(x,y)eR2I(x+2)(y-3)=O)
~ Solución.
Según el T.4.l4
f: ab=Ü
-+ (x+2)(y-3}=0
H
H
a=O v b=O
x+2-0 v y-3=0
H
x=-2 v y:=3
La gráfica de S es la unión de las gráficas de R,={ (x,y)eR2Ix=-2)
con R,={ (x,y}eR2Iy=3)
decir: G(R, )={(-2,0} , (-2,1 ), (.-2,2), es una recta vertical
, es (-2,n)}
cuyos puntos tienen abscisa
constante: x=h
o sea
Dom(R) = {-2} Y Ran(R,) = R
G(R2 )=(-2,3)
, (-1,3 ),(0,3}
es una recta horizontal O sea: Dom(R,)=R
(n,3})
cuyos puntos tienen ordenada constante: y=k
y Ran(R2)={3)
-+ G(S} U G(R2) = Toda la cruz
:. Dom(S}=Dom(R2 }=R y Ran(S)=Ran(R,}=R
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
EJEMPLO
.Trazar la gráfica
4.
T
=
317
de la relación; XE<-2,411.
{(x,y)ER'\5x-3y+7=O,
observar que el dominio de lo <-2,4). Luego, para esbozar su gráfica tomaremos los valores extremos de di cho intervalo, esto es: Podemos
Solución.
Si x=-2 +
5(-2)-3y+7=O
+
P(-2,-1)
Si x=4
+
Trazando
++
T está
restringido al inter~ y
y=-l
~ G(T)
5(4)-3y+7=O
++
el segmento
PQ, sin incluir al pun-
y=9
+
Q(4,9)eG(T)
td p. tendremos la gráfica de T. .-, 1)w¡(T)=<-2,4J Y Ran(T)=<..,.1.9)
lIS
Q
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA: R
= { (;;;:,y)sR'\x2+y'=r2};
R • = I (x,y)s 112\ (x-h)" +(y-k)' =r Z} Tienen por gráfica una circunferencia de radio r y centro Cl(O,O) y C.(h,k) respectivamente. Asi mismo, las relaciones de la formo R={(x,y)ERZ\x"+y'+Dx +Ey+F=OI tienen por gráfica una circunferencia o uno de sus casos especiales, En efecto, completando el cuadrado para las variables x e y se tiene:. 1
ts: + ~)1
+ (y +
= ~(D'+E'+4F)
Haciendo;
j)
= {(D
Z
Z
+ E" - 4F)
, ocurre que:
de R es una circunferencia
a) Si t > O, la gráfica
radio r=t b) Si t=O, c) Si
la gráfica de
t < O,
EJ~LO
R es un punto
(- ~ ~ -
R no tiene representación
gráfica,
de centro
(-.Q~-~)
2
2
y
i) es un conjunto vacío.
l. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R.l =: {(x,Y)ERllx'+y'=4}
Solucioo.
de Rlles una circunferencia
La gráfica
~
y
Para deteminar y
=
tI4-x'
+
el dominio 3y ++ -
.'
de centro C(O,O) y radio·
~
O
Xl
4
++
~
y:
despejanos
4-x1
-2 ~
x~
2
Para deteminar
el rango despejanos
x:
x =:tI4-y2
x
-2 ~ y~
+ 3
+-+
4-y2
~O
+-+
2
" 318
Capítulo 5: Gráficos de Relaciones
=
.",Dom(R,)
=
Ran(R.J
NOta. Dado que la gráfica
[-2,2)
de una circunferencia,
respecto de su centro, entonces,
de radio r, es simétrica
una fonna práctica de hallar su doml
nio y su rango es la siguiente: a) Si el centro está en C(O,O)
Dom(R) = Ran(R) = [-r,rJ
b) Si el centro está en C(h,k)
Dom(R)=[h-r,h+rJ
y Ran(R)=[k-r,k+rJ
EJEMPLO 2. Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R. = 1(x,y)E:R'14x'+4y'-"12x+24y+9=01 SOlución.
Completando
el cuadrado
para las variables x e y se tiene:
=
4(x'-3x+914)+4(y'+6y+9) de donde: (x-312)'+(y+3)'=9
-9+9+36
h=3/2,
+
."
Y
k=-3
La gráfica de R2 es una circunferencia
de ce~
tro C(312,-3) y radio r=3. Dominio de R.: y=f(x) - y+3 = ±19-(x-3/2)' - 3y ++ 9-(x-3/2)' >-- O ++ (x-3/2)' ~ 9 ++
-3 ~ x-3/2 ~ 3
Rango de R.: x=f(y) "x
++
9-(y+3)' >-- O
++
-3.$
y+3
++
-3/2 ~ x ~ 912 ~ [h-r,h+r]
=
...•x-312 ++
±19-(y+3)'
(y+3) , ~ 9
.$.3 ++ -6.$. y.$
Dom(R,)
=
=
O
[k-r,k+r]
[-3/2,912)
Ran(R.)
Y
[-6,0)
Observaciones: (1)
Si de (x-h)'+(y-k)l=r', y
=
despejamos
y=f(x),
obtenemos
las ecuaciones:
k ±/r'-(x-h)l
Obsérvese que ambas ecuaciones Con relación a sus gráficas
difieren
en el signo ± antes del radic~l.
puede ocurrir
a) La gráfica de la reldción y=k+/rl_(X-h)l
lo siguiente: es una semicircunferencia
dio r y centro C(h,k), ubicada en el semiplano Entonces: Dom(R)=[h-r,h+r]
de r~
superior de la recta y=k.
y Ran(R)=[k,k+r]
b) La gráfica de la relación y=k- Ir l-(x-h) 1 es una semicircunferencia de centro C(h,k) y radio r, ubicada en el semiplano inferior de la recta y=k. Entonces: Dom(R)=[h-r,h+r] (2) Si de (x-h)l+(y-k)l=r' x h ± I'rl-(y-k)1
y Ran(R)=[k-r,k]
despejamos
x=f(y),
obtenemos
las ecuaciones:
=
a) La gráfica de X=h+1r2_(y-k)2
es una semicircunferencia
de centro C(h,k)
y radio r, ubicada en el semiplano derecho de la recta x=h. Entonces:
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R Dom(R)=(h,h+rl
y Ran(R)=[k-r,k+rl
b) La gráfica de x=h-/r2-(y-k)2
es una semi circunferencia
y radio r, ubicada en el semiplano Dom(R)=(h-r,h) EJEMPLO
y
de centro C(h,k)
izquierdo de la recta x=h. Entonces:
y Ran(R)=[k-r,k+r).
Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R, = {(x,y)eR2 jy+2 = '5+4x-x2}
3.
Solución.
319
=
-2
+
/9-(x-2)2
El signo + antes del radical indica que la gráfica de R, está en el semiplano superior de la recta y=-2 (y ~ -2) Luego, la ecuación dada es equivalente (y+2)2=9-(x-2)2, Semicircunferencia
y
a:
(X-2)2+(y+2)2=9,
y>,. -2 -
y >/ -2
de centro C(2,-2) y r=3
x
Entonces: h=2, k=-2 Y r=3 [h-r,h+r) = (-1,5)
Luego: Dom(R,)
Ran(R, ) = [k,k+r) = [-2,1) EJEMPLO
Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R. = {(x,y)eR2jy = -/3-3x-x21.
4.
Solución.
y
=
-/3-(x2+2x+l)+1
=-
/4-(x+l)2
k=O y el signo negativo
Aqui,
gráfica de R. está en el semiplano cuación dada es equivalente y2=4-(x+l)2, y ~
o~
antes del radical
indica que la
inferior del eje X (y ~ O). Luego, la é-
a:
(x+l)2+(y-0)2=4,
y
s
e
y=O
O
y x
Entonces: h=-l, k=O y r=2 Dom(R.)
(h-r,h+rl
=
(-3,1)
Ran(R.) = [k-r,k) = (-2,0) EJEMPLO
Hallar el dominio, rango y esbozar la gráfica de la relación:
5.
R. = {(x,y)eR2jx = -1 + /7+6y-y21. $olución.
x
=
-1 + /16-íy-3)2
El signo
+
antes del radical indica
que la gráfica de R. está a la derecha del semiplano de la recta x=-l (x ecuación equivalente
>,.
-1). Entonces
es: (x+l)'+(y-3)2=16,
h=-l, k=3 Y r=4 .• Dorn(Rs)=[h,h+r]=[-l,3] .• Ran(Rs)=[k-.,k+r]=
la x ~ -1
7J
[-1,
Y
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
320
lIIl
GRAFICAS DE RELACIONES
DE LA FORMA:
Tienen par gráfica una parábola. cuadrado,
las ecuaciones
la"forma:
y
=
a(x-h)l+k
el método de completar pueden
el
transformarse
a
, en donde V(h,k) es el vértice de cada parábola.
Hay dos características a) Simetría.
Mediante
de este tipo de relaciones importantes
Cada parábola
que tienen en común todas las parábolas
es simétrica
con respecto a una línea vertical
llamada eje de simetría. b) Vértice.
Es el punto donde Si la gráfica
la parábola
intersecta
de la parábola
a su eje de simetría.
se abre hacia arriba
(a > O), su
vértice es el punto más bajo de la curva; si se abre hacia abajo (a < O) su vértice es el punto más alto. En las Figuras 5.3 ) 5.4 se muestran ciones cuyas gráficas
parábolas
son las parábolas
típicas, junto con las ecua-
respectivas.
r-------~----------_, y
y=(:r+4)2 I
I
I
\
\
\
I I
, 1,1
I
I
/ y=(X-4).2
/
"
-4
1-
x x
h=-4
Figura
Figura 5.3
En la Fig.5.3,
se observa que tanto las gráficas de y~(X-4)1
5.4
camo la de y=
(X+4)1 tienen la misma forma que la de y=x', solo que están desplazadas rizontalmente Análogamente,
ho-
4 unidodes
a la derecha e izquierda respectivamente. en la Fig.5.4, las gráficas de y=x1+3 y de y=xl-3 son las mi§
mas que la de y=x' , solo que desplazadas
verticalmente
3 unidades
hacia a-
rriba y abajo respectivamente. En general: (1) La gráfica de y=a(:r-h)l tiene la misma fonna que la de y=ax1, plazada horizontalmente
h unidades
hacia
la derecha
pero des-
si h > O, o hacia
la izquierda si h < O. (2) La gráfica de y=ax2+k tiene la misma forma que la de y=ax2 pero desplazada verticalmente
k unidades hacia arriba si k >0 o hacia abajo si k<
o.
'.
321
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
Cor.winando estos dos criterios podemos graficar parábolas de la fonna: y=a(x-h)'+k, EJEMPLO
toncndo como base la gráfica de y=ax'. Hallar el dominio,
1.
rango y trazar la gráfica de la relación:
Rl = {(x,y)ER' ly=x'-6x+51 Solución.
Completando
el cuadrado:
y=(x'-6x+9)-4
y=(x-3)'-1
Tomando como base la gráfica de y=x' ,
~- .• y
se desplaza h=3 (h>O) unidades a la derecha Como a
>
\
V(3,-4).
Entonces: Dom(R1)
R
Ran(R1) EJEMPLO
,
I ' I
x:
O
(-4,~>
-4
v
Trazar la gráfica de la relación R.={ (x,y)ER'14y+x'-4x=OI.
2.
So:{ución.
I •
y=x2.)..
O, el punto más bajo de la parábo-
la es el vértice
,
\
y luego k=-4 (k<0) unidades hacia abajo.
y=(X-3)2 .... y .
Completando
el cuadrado
se tiene: 4y=-(x'-4x+4)+4 y
++
y =-¿(x-2)'+1
+
v
h=2, k=1 1
Como a=-1/4 < O, la curva se abre hacia abajo x
o sea que el punto más alto es el vértice de
la parábola:
V(2,1). Sin usar el criterio anla gráfica de R. encontran·
terior, esbozamos
do otros dos puntos de la parábola. Para y=O
+
x'-4x=0 _. x=O o x=4
Un iendo el vért ice con los puntos
0(0, O) Y P( 4. O) obtenemos
la gráfica de
la relación. Entonces: Dom(R.)=R y Ran(R.)=<-=,1). Observac iones : (1) Las relaciones
de la [orma: 1~={(x,y)ERllx=ayl+by+cI
una parábola de eje horizontal. drado es posible
transfonmar
su gráfica ~or los métodos Cuando
a
> O, la curva
tienen por gráfica.
Alediante el método de completar
la ecuación
a la fonna: x=a(y-k)'+h,
el cua-
y esbozar
ya conocidos.
se abre indefinidamente
hacia la derecha,
y cuando
a < O, la curva se abre indefinidGTIente hacia la izquierda. EJEMPLO
3.
Hallar el dominio, rango y esbozar R] = {(x,y)ER2Iy2_6y-4x+5=0} •
la gráfica de la relación:
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
322
Solución.
Completando
el cuadrado para la variable y, se tien.e:
(y'-6y+9)=4x-5+9 -
x = 1(y-3)'-1
->
4
(y-3)'=4(x+l)
y
h=-l Y k=3
Vértice de la parábola: Como 0=1/4
~
V(-1,3)
v
O, la curva se habre hacia la de
>
recha sin límite. Para x=O
-+
y'-6y+5=0 -
y=l o y=5
------~~~--------~x
Uniendo el vértice con los puntos P(0,1) y Q(0,5) obtendremos
la gráfica de R •.
:. Dom(R.)=[-l,+w> (2) Las relaciones
, Ran(R.)=R
=
de la forma: R
=
{(x,y)ER'ly
nen por gráfica una semiparábola
En efecto, de la ecuación anterior: x=a(y-k)'+h, (y-k)' =
1 (x-h) a
Dado que a puede ser pasitivo obtenemos: je y=k: dependen
=
, b
>
(±b)'
1 a
O
las gráficas de las parábolas
de los signos
respecto de su ~
antes del radical, y la forma como se ex-
±
(hacia la derecha o izquierda) dependen de a)
k + bl±(x-h)
y=f(x):
entonce~ haciendo:
los signos ± dentro del radical. En consecuencia, y'
despejamos
a
o negativo,
tienden o se abren las parábolas
Caso 1:
, o > 01 tig
(y=k).
Y = k ± /1 (x-h)
-
y = k ± bl±(x-h)
La forma como están ubicadas
k ± bl±(x-h)
de eje horizontal
•..• {
b)
existirán dos casos:
y
=
k + bl+(x-h)
y
=
k + bl-(x-h)
En este caso, la gráfica de la semiparábola
se encuentra en el semiplano
sg
perior del eje y=k (y ~ k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b), hacig la izquierda. a)
__ C
b)
y
k
~ -------
J
'\ I"
<,
h
Caso 2.
y
/'
"-
=
k -
O
-W±
y
=
k - b I +(x-h)
b) Y
=
k - bl-(x-h)
a) (x-h) .•..• {
----
..••.
"
I
h
x
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
323
.En· este caso, la gráfica de la semiparábola se encuentra en el semiplano il] ferior del eje y=k (y $ k). En a) la curva se abre hacia la derecha y en b)
-- --
hacia la izquierda. y
.•....
"- "- , \
k
k---
----~----~~------------~x 4.
Hallar
el dominio,
=
En R.: y
-3
+
\ h
rango y trazar la gráficCf de las relacio-
=
nes: R.={(X,y)ER'¡y+3 Solución.
--y~<.!:...-
O
O
EJEMPLO
-
v'2x+51 y R,={(x,y)ER'¡y-1
(12)1+(x+5/2)
+
=-12-X1 .
h=-5/2 Y k=-3
Tenemos el Caso la, la gráfica de la semiparábala
está en el se-
miplano superior· del eje k=-3 y la curva se habre hacia la derecha.
En R,: y
=
semiparábola
1 - (-(x-2)
+
h=2 Y k=l. Tenemos el Caso 2b; la gráfica de la
está en el :;emiplano inferior del eje k=l," y 1 a curva se abre
hacia la izquierda. y
y
-k=l
------~~""c...*--x <,
"- ...••.
-
Gráfica de R.
Gráfica de R. Dom(R.)=[-5/2,+~>,
lIIl
Dom(R,)=<-~, 2]. Ran(Rz)=<-~,ll
Ran(R.)=[-3,+~>
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA R=I (x,Y)ERzIAr'+<:y'+llx:+Ey+F=OI
; R=I (x,Y)ERZI ~
a' R
=
(x-n)
{(x,y)ER'¡ __
a'
Z
(k)
+ ~
Z
=
+
L=
11
b'
11
b'
Tienen por gráfica una elipse, donde a es el semi eje mqyor, b es el semieje menor y C(h,k) es el centro de la elipse.
"-
324
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
1.
EJEMPLO
el dOOJinio, rango y esbozar
Hallar
la gráfica de la relación: y
.R, =1 (x,Y)ER"14x'+9yl=36}.
4x1+9y1=36
Solución.
x" +..L. ", = 1
++
-
de donde: 01=9
+
0=3
b1=4
+
b=2
Dom(R,)=(-a,a]=[-3,3];
9
4
-3
cuadrados
Cbmpletando
la gráfica
I16x'+9y"-64x+18y-71=O}
R.=I(x,Y)ER' Solución.
de donde:
scu: 16
0"=16
+
}3
•x
para las variables
x e y, se tiene: y \.
=
1
a=4 ; b1=9
h=2 Y k=-l
de la relación:
,
16(xl-4x+4)+9(y'+2y+l)=144 1 •...•. (x-2) 9 +
¡j
Ran(R,)=[-b,b]=[-2,2)
2. Ilallar el dOOJinio, rango y trazar
EJEMPLO
t
+
hi
b=3
\
I
x
C(2,-1)
+
Dan(R,)=(h-b,h+o]=[-l,S] Ran(R,)=[k-a,k+a]=[-S,3]
lID
Q
GRAFICAS DE RELACIONES DE LA FORMA:
=-
1
; R={(x,y)sR"1
R={(x,y)sR"IAx"-Cy'+Dx+Ey+F=O' (x-h) R={(::c,y)sR"I __ a'
(y-kj
1
1
- __
=
-L
a" l) ; R={(x,y)sR"I.ry=±a"/21
•
= 1
b"
1
b
R={(::c,y)ER11(x-h)(y-k)=ta'/Z Tienen
o
por gráfica
una hipérbola,
el semieje conjugado 1. Hallar
EJEMPLO
donde a es el semieje
transverso
el dOOJinio, rango y esbozar
la gráfica
de la relación:
R,={(X,y)cR"I9yl_4:x:"=36' Solución •
de donde:
J.,
Y
J..
.z49'1.- ~
9y1-4x"=36
•...•.
01=4 +
tienen de: 9yl-4:x:1=O
Dan(R,)=R
++
J., :3y+2::c=O
~~ ~
= 1
a=2; 01=9
de la hipérbola,
80n asíntotas
+
o
1..:3y-2x=O [2,+">
b=3
se ob- ~~.
(3y+2:x:)(3y-2x)=O
¡ Ran(R.)=<--,-2]u
o real,
y C(h,k) el centro de la hipérbola.
o imaginario
-
2
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
2.
EJEMPLO
325
rango y trazar la gráfica de la relación:
Hallar el dominio,
R.={(x,y)€R"lx·-4y·+2x+24y-51=Oi. Solución.
Completando
el cudrado para x e y se tiene:
y
(x'+2x+l)-4(y'-6y+9)=51+1-36
=
(x+1)' _ (y-3)' 16
1
4
de donde: 0"=16
+
0=4 , b'=4
h=-l Y k=3
C(-l,3)
+
Luego, Dom(R.)=<_o,-5l
b=2
+
U [3,+0>
-5
Ran(R2)=R NOta.
Las hipérbolas
equiláteras
de la fonna: xy=±a'/2,
tos a los ejes coordenados, (x-n) (y-k)=±a'/2, 3.
EJEMPLO
tienen
y las hipérbolas
asíntotas
COO10
Luego, Dom(R,)
EJEMPLO
=
+
=
-0'/2
=
Ran(R.)
y
-2
+
0'=4
+
0=2
-----::i~---•x.
R-{Oi
Hallar el dominio,
4.
de la fonna
rango y trazar la gráfica de la relación:
Hallar el dominio,
Si xy=-2
equiláteras
a las rectas x=h, y=k.
R.={ (x,y)€R2Ixy=-2i. Solución.
tienen como asíntQ
rango y trazar la gráfica de la relación:
R,={(x,y)€R'lxy-ZX-3y=2i. y
Solución.
Despejando
y=f(x) se tiene:
_ 2x+2 _ 2 Y - x-3 +
8 y-2 = x-3
Entonces: 0'/2
=
~
8 ~
+
8 x-3 (x-3) (y-2)=J
0"=16
+
0=4
h=3 Y k=2 :. DOO1(R,)=R-{3i , Ran(R.J=R-{2i
lIIlJ
GRAFICAS
DE RELACIONES
Ixl=y (y ~ O)
En R, según el T.49: Entonces,
y
si:
si aplicamos
y=lxl
-<---+
la definición
1\
++
CON VALOR ABSOLUTO (y>-- O)
A
U
tx=y v x=ry)
{y=x v y=rx)
de valor absoluto para el ténnino
Ixl,
ocurre
326
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
X
que:
=
Y
En consecuencia,
!x! -
y =
si
,
{
X ~ O
y
-x,six
de y=!x! equivale
la grúfica
a la grúfica de cada una de las rectas: y=x ,
y=-x, pero en el saniplano
------~~------~x
superior del eje X.
(y ~ O).
Este mi&no criterio
se sigue para ·esbozar gráficas
de relaciones
que invol~
eran el valor absoluto. EJEMPLO
l.
rango y esbozar
Halar el dominio,
..
Si X ~ 2
x
< 2
Z
..
Luego, si
;r >.
Entonces,
la gráfica
x-2 >
.•. x-2
=
y
.. ..
O
< O
:c-Z Z-x =
-1
!x-2! 1:c-21 si
= x-Z = -(x-2)
x <
y
2
de R, consiste en dos
= 2-x
= 2-x =
i
2-x
y=l
partes: la parte de la recta y=~l para x>Z, y la parte de l~ recta y=l, para :C
EJF~PLO
2.
-11
Hallar el dominio,
rango y trazar la gráfica
R1=!(x,Y)f:R1!y Solución.
Eliminaremos
=
1
1
y Ran(R,)={-l,ll
D
de la relación:
!~=!I}
R,=! (x,Y)f:R1!y = Solución.
la gráfica
de ·10 relación:
(:c-2)+lx-11} Ix-Z!+(:c-l)
las barras de ~~lor absoluto
utilizando
el método
de los puntos críticos, que en este caso son: x=l y x=Z
x
< 1
[ce-r] = -(:c-l) Ix-21
x<
Para: 1 .~
;:c
=
-(;r-2)
1 I
1 ~ s: < Z
Z
x~Z
i
1;r-1! = +(:c-l)
I:c-ll
I
IX-21 = -(:c-2)
Ix-z!
I
1, en R.: y = (:c-2)-(x-l) = -1 (2-x)+ (;:C-l) < 2, en R.: y=
(;r-2)+(x-1)
= 2x-3
Y
1
(Z-x)+(;:C-1)
x ~ 2, en R1: Y = (:c-2)+(x-l) - 1 (x-2 )+(:c-1) -
O -1
= =
+(:c-l) +(:c-Z)
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
EJEMPLO
Dada
3.
327
la relación R.=I(x,y)ER1!y
su dominio,
::: ~»hal!ar
Ixl-z rango y trazar su gráfica.
Solución.
En este caso, los puntos críticos x < O
O
n
2 __
:
':'(x-2)
x > Z, en R.: y
tro C(-2,l).
(x+2) (v-l)=-4
..
y
~Jl~+-~----VI
¿&
• Dan(R.)
Ran(R.)
Solución.
..-
= -1
Obsérvese que para x < O tenemos la ecu~ ción de una hipérbola aquilátera.de cen-
EJEMPLO
:
4
-(x-2) = ----x-=z x-z =3:=2 ::: 1
Ixl = +x Ix-zl :::+(x-Z)
I
y = --.,.,....,.... -x-¿ = 1 - -4 x+
O.$. x < Z, en R.: y
x>Z
n_-T
Ixl = +x Ix-21 = -(x-Z)
I
x < O, en R.:
Para:
O-!;x
T
Ixl :::-x: Ix-21 = -(x-2)
son: x=O y x=2
4.
= =
x ~
rango y trazar la gráfica de la relación:
Hallar el dominio,
R.={(x,y)€R"llxl+!yl=a. a Ixl+lyl=a .• Iyl=a-Ixl O .•
> 01.
Ixl=x .•
Iy!:::a-x++ (a-x ~O)
•• Si
O" Ixl=-x .• y
O ~ x -s a
.•
=
Iyl=a+x
(O~ x ~
(a+x ~O)
++
(-a -!; x < O)
A
y=-a+x)
v
(y=a-x
~
absoluto para x
esto es:
~ (y=a-x a)
++
e-x
de valor
Iyl,
reales para
++
b) Si x <
=x
<-",-IJtJU,+"'>
En este caso, aplicaremos la definición Si
'z
O"
R-{-Z,Z}
y luego, el T.49, de los números
a)
_
(y=a+x A
y=x-a)
v
y=-a-x)
v
(y=x+a y
y=-x-a)
v
{ x-a
a
x+a -c ~ x < O .• y::: { -x-a Trazando la gráfica de cada una de estas rectos en el intervalo indicado, obtenemos la gráfica de R~. Nótese que es un cuadrado de centro (0,0) y cuyas diagong les miden Za. Entonces Dan(~)
=
Ran(R~)
= [-0.0]
a
-o
x
'1...
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
328
A base de la gráfica de Ixl+lyj=a podemos construir ciones de la fonna:
IX-hl+ly-kl=a,
mediante
otras gráficas
una traslación
denados al nuevo origen C(h,k), centro del cuadrado EJEMPLO 5,
Hallar el dominio,
rango y esbozar
de rela-
de los ejes coor
de diugonales
20,
la gráfica de la relación:
R,=I(x,y)eR'IIX-31+ly-ll=31. Solución.
Aqui tenemos: h=3 y k=l diagonales
miden
al centro del cuadrado, jes, encontrando do. Uniendo
20=6;
+
C(3,l)
luego,
es el cent o del cuadrado
medimos de este punto 3 unidades
asi los vértices del cuadra-
los cuatro vértices
cuyas
tr'asladando los ejes coordenados sobre los nuevos !!.
Y
obtendremos
la gráfica de la relación dada. +
Dcmm,)
[h-a,;l+a]
=
Ran(R,)
EJEMPLO
[k-a,k+a]
[0,6]
=
[-2,4)
Hallar el doolinio, rango y trazar la gráfica de la relación:
6,
R.=I(x,y)ER11Ixl-lyl=a, Solución. a) x ~ O b) x < O
Ixl-Iyl=a
a > Ol.
lyl=lxl-a
+
Siguiendo
los mismos pasos del ejemplo
Ixl=x
Iyl=x-a ~
+
+
+
Ixl=-x
+
4,
tendremos:
(x-a ~ O) ~ (y=x-a
v
(x >;. a) ~ (y=x-u
y=a=x¡
Iyl=-x-a
v
y=-x+a)
(-x-a ~ O) ~ (y=-x-a v y=x+a) (x ~ -a) ~ (y=-x-a"v y=x+a)
Si x ~ a
x s -a
y
+
+
{~=~ y = {~~~a =
y
----~~~~--~-----x
Entonces; Dam(R.)=<-'*, -a] U [a, +••> Ran(R. )=R Obsérvese que aqui la gráfica de R6 se obtiene fácilmente prolongando dos del cuadrado EJEMPLO
7.
Hollar el dominio, R7 = ( (x,y)
Solución.
Aqui
los Io-
(trazo punteado),
cuyos vértices
están sobre el eje X.
rango y trazar la gráfica de la relación:
E R21Ix+11-1y-21=2}.
tenemos: h=-l y k=2
+
C(-1.2)
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
los ejes coordenados
Si trasladamos
do tal que el origen
coincida
329
de mg
con el cen-
tro e, tendremos que en el nuevo sistema X'Y', la ecuación de R se transfonna en:
Ix'I-ly'I=2,
ecuación
mos su gráfica
EJEMPLO
trazg
U [1I+a,+">
<-••, -3] U [1, +~>
=
Ran(R7)
consecuencia,
en idéntica fonna .
•. Dcm(R7)=<-",h-a]
=
similar a la del e-
En
jemplo 6, con a=2.
R
Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación:
8.
R.=Hx,y)&R11Iyl-lxl=a, SOlución.
Iyl-Ial=a
a > 01.
.• lyl=lxl+a
Como en los ejemplos anteriores a)
Si x >... O (x >.- O A
-e-
X
Ix\=x .• jy\=x+a >.- -a .• x >.- O)
las condiciones:
A
A
(a-x >~O)
O .• Ixl=-x • Iyl=-x+a (Pero: x <·0 A x.~ a .• x < O)
b) Si x <
Luego, s i
consideremos
(x+a >~O) (y=x+a v y=-x-a) (x >... O) (y=x+a v y=rx-a} (x <
O)
A
A
(y=-x+a
(y=a-x
v
v
y=x-a)
y=x-a)
x >.- O • Y = { x+a
-x-a
s i x < O .• Y
= {a-x x-a
r~tese que la gráfica
de este tipo de relacio-
nes, se obt ienen prolongando drado (trazo
los lados del cu~
cuyos vértices están
punteado)
sobre el eje Y • Y Ran(R.)=<-oo,-a]
•'. Dom(R.)=R EJEMPLO
9.
U [a,+<»
Hallar
el dominio, rango y esbozar S={ (x,y)e:R1 ly=;13+2x-x' l.
la gráfica
de la relación:
I
SOlución.
y = 1-(x"-2x+l)+41 (y>...O)
A
=
1-(x-l)'+41
[y=(x-l)'-4
=
----~--~¿~ (1)
Luego,
la gráfica
las parábolas
I (X-l)1-41
v y=-(x-1Jl+4]
de la relación
(2)
S consiste
en la unión de las gráficas .de
(1) y (2) ubicadas en el semiplano
y ~ O. La parábola
(1) tiene su vértice
superior del eje X, yo que
en Vl(1,-4)
dirigida
hacia arriba
• Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
330
(a=1 > O) .y la parábola en V.(1,4) dirigida
(2)
tiene su vértice
hacia abajo (a=-1 < O).
Nótese en el resultado
final (trazo continuo)
camo la parte' de la parábola
(1) que se encueD
tra en el semi plano
(trazo punteado)
inferior
se ha reflejado hacia
la parte superior,
(1)
x
te-
niendo camo espejo al eje X. :. Dam(S)=R
y Ran(S)= [O,h>
EJERCICIOS: Grupo 31 Hallar el dominio,
rango y esbozar
la gráfica
de cada una de las siguientes
relaciones. 1.
R={(x,y)&R'12x-3y+6=01
16. R= {(x, y) &R' ly+1=13x+5 1
•2.
R={(x,y)eR'lxy-2x+y-2=01
17. R= {(x,y) eR'ly=5+16-3~1
3.
R={(x,y)&R'12x-3y+8=O,
4.
R={(x,y)&R'14x'+4y'-lCx+4y-47=01
19. R={(x,y)ER'I9:x:1+4y1+18x-32y=-371
5.
R={(x,)i}ER'ly=1-115-2x-x'}
20. R= {(x, y)ERIxy-2:x:-y+l=01
6.
R= {(x, y) eR'ly=-3+14x-x'}
21. R=1(X,y)ER'Iy=lx-11+XI
7.
R={(x,y)eR1Ix=2+16y-y1
8.
R={(x,y)ER'lx'+y'-2Ixl-6y+l=01
23. R={(X,y)ER'ly
9.
R={(X,y)ER1Ix'+y'-2:x:-4Iyl-11=01
24. R={ (x,y)ER'llx!+lyl
YE<2,6ll
}
18. R={(x,y)&R'I4:x:'+9y1-16x+18y=111
22. R={(x,y)dl11Ix-21=ly+1I,
y >-- 01
= 11=~1 + x} =41
10. R={(X,y)ER1Iy=x'-2Ixl+31
25. R={(X,y)ER'llx+21+1y-31=41
1l. R={ (x,y)ER'lx1+2:X:-2y+7=01
26. R={(x,y)ER'llx!+ly+ll=21
12. R={(X,y)ER'12x1-4x+y+3=01
27. R={ (x, y) ER111:x:-11-ly+21=31
13. R={(X,y)ER'lyl+4y+3x-8=01
28. R={(x,y)ER111y-31-lx-ll=21
1 14. R={ (x,y)ER Iy=1+12=X'1
29. R={(x,y)ER1Iy=lx'+4x+lI1
15. R={ (x,y)ER'ly=-16-2xl
30. R={ (x,y)ER'ly=13-115-2x-x1I
*
}
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
11I3
GRAFICAS DE RELACIONES
1) DESIGUALDADES
331
DEFINIDAS
POR INECUACIONES
Q
LINEALES
Si el signo de igualdad de la relación
«,
tuye por uno de orden
<,
>"
<,
>),
R={(x,y)€R'lax+by+c=O~
la relación resultante
se susti-
se llama desi-
gualdad lineal en x e y. Sabemos que la gráfica
de R es una linea recta
no vert ical (biD) cuya ecuaci6n bir:
a
- L: y Esta gráfica divide
5.1
-
b
k
al plano XY en dos regio-
R, y R., Y sirve de frontera
nes o semiplanos a dichas regiones, TEOREMA
se puede escr i
c
= -"bX = mx +
y
y
cuyas gráficas
se basan en el siguiente
El punto P,(X"y,)
está en el semiplano
teorema.
superior de la rec-
si y sólo si y,>r.t"C,+k, y está en el semiplano
ta L:y,~+k inferior si y sólo si y,~,+k. Demostración.
En efecto,
recta L (frontera),
en el plano XY dos puntos con igual
consideremos
abscisa: P,(X"y,)
y P,(X"y.),
de modo que p. esté sobre la
es decir:
Si P,(X"Y.)EL
y.
-
=
mx,
+ k
Se observa que si P, está en el semi plano superior
(1)
(R,) de la recta L (Figg
ra 5.5), si y sólo si, y, > y. Sustituyendo
en
se tiene:
(1),
-
y, > mx,
Del mísmo modo, P, está en el semiplano 5.6), si y sólo si:
(R.) de la recta
L (Figura
y, < y. -
y
+ k
inferior
y, < mx, + k
P, (x, ,y,)
~ I
I I
P.(X"y.)
----:::0-(>---+---...::-...;:--- x I
b
P,(x,;y,)
Figura 5.5
Figura 5.6
332
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
EJ!llPLO 1. Construir
la gráfica de la relación;
Los posos que se deben seguir para construir gráficas de relaciQ
SOlución.
nes de este tipo son los siguientes: (1) Despejar y en términos de x 2x+y> (2)
R={(X,Y)ER"12x+y > 4}.
4
-
y>
y L'V
4-2x
Graficar la frontera L:y=4-2x (Con trozo punteado por la desigualdad es tr.icta
ss .••.:.-:.=·-:..,.:..~."''-r''";~·•.
~~~~if?A~~~~i~ \~~10..~)~.;~~~~~i \"'--"""""-1."":_':;f
·~~/~~:~~~~·:~L~~ ~:(,:~~~.:?:": ..f';;~ ~.~"#~·~{r:'::-i-~ ... ~..c;. '..!..',~< '.••• :;:~~ \'j~~f~:~#~:'; t.~: ••.. <,.• 0;;-'"", - .•
»
(3) Apl icor el Teorema 5.1. Por (1), la gráfi.
ca de R es la total idad de puntos que se O ";-~.;.'?-~~!!:~;:: ..11 ~ encuentran en el semiplano superior de lo V.J~:)~_!f.:~ i;-""'~!~" Xt recto L, sin incluir los puntos de frontera ~':;',!.r.c.':,-.."\ :. Se sanbrea el semiplano superior, (4) COmo comprobación tomemos un punto del semiplano inferior, tal como el origen (0,0), y sustituyamos en R: 2(0)+0 > 4. O > 4, es fal~o. ,., Los puntos del semiplano inferior no sat is jacer: la desigualdad. COmo consecuencia del Teorema 5.1, enunciamos el siguiente:
Corolario. El punto P1(x"y,) está en el semiplano superior y sobre la recta L:y=+k si sólo si y, ~ tm:, +k, Y está en el semiplano inferio,. y sob,.eella, s i y sólo si: y, ~ tm:, +k. EJEMPLO 2. Const,.uir la gráfica de lo relación: R={(x,Y)ERlI2x-y+2 SOlución.
(1) 2x-y+2
(2)
~ O-
~ O}.
Y ~ 2x+2
Groficamos la frontera
L:y=2x+2
con trazo contínuo. (3) Por (1). la gráfica de R está constituida por los puntos sobre L y la totalidad de puntos del sem/plano inferior a ella. EJ~LO
3. Construir la gráfica de la región que consta de los puntos que satisfacen la relación: R={(X,Y)ER"I(x+3y ~ 6) ~ (2~y+5 > O)}
SOlución. (1) Si x+3y-6 ~ O
++
Y ~ 2-:r/3;
2x-y+5
> O
++ Y
< 2x+5
Sean L1:y=2-x/3 L,.:y=2x+5 Trazanos las gráficas de Ll con trazo continuo y la de ~ con trazo pun(2)
teado.
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
333
(3) Según (1), la gráfica de R está constituida por los puntos de intersección de la r~ gión ubicada en el semiplano superior y sobre la recta L"
c~n la región ubicada en el semi-
plano inferior de la recta L.,
EJEMPLO
Construir
4,
la gráfica de la relación:
S = {(x,Y)ER'12x'-3:cy-2y'+Sx+4y
Solución,
2x'-3xy-2y'+8x+4y
=
~ O},
y
(2x+y)(x-2y+4)
(1) Sean las rectas L,:2x+y=0 L. :x-2y+4=0
n L. determinan en el plano
(2) L,
4 regiones
R, , R. , R, Y R. Tomemos un punto de cada región y comprobemos si satisfacen S
=
a la relación:
{(x,y)ER 1 (2:c+y)(;c-2y+4)~ O} 1
(3) (l,O)ER,
(2+0)(1-0+4) ~ O
(0,3)ER.
(0+3)(0-6+4)
.s
10 ~ O, es falso
O
-6
(-5,0)ER,
(-10+0)(-5-0+4)
(-l,O)ER.
(-2+0)(-1-0+4) ~ O
-1';
O
.s
R,tS
O, verdadero
,",R.ES
10 ~ O ,falso
,',R,tS
-6 ~ O ,verdadero
,',R.ES
(4) Por lo tanto, la gráfica de S es la de R1u R., o sea: Graf(S) EJEMPLO
Construir
5,
S Solución,
=
Graf(R.u R.)
la gráfica de la relación:
{(x,y)ER'IXE(-3,5>,
YE[-2,4]}
(1) Si XE(-3,5> •• -3 ~ x < 5 (R,) y<:(-2,4]
-2 ~ Y ~ 4 (R.)
y 4
(2) R, es la intersección del semiplano a la derecha de x=-3 con el semiplano a la izquierda de x=5 (No incluida) R. es la intersección del semiplano superior de la recta y=-2 con el semiplano
inferior de
la recta y=4, (3) Por lo tanto, la gráfica de S es el área rectangular rectas x=-3 , x=5 , y=4 , y=-2
.'
confonnada por las
334
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
6. Ha'llár el dominio.
EJEMPLO
T=
rango y construir la gráfica de la relación {(x.y)o:R11Ix+ll~ 3. ly-21 > 1}.
Solucióñ. (1) IX+ll ~ 3
++ ++
ly-21 > 1
++
y-2 > 1
++
(y >
v
-3 ~ x+I ~ 3 -4 ~ x ~ y-2 < -1
Z
(R.)
3) v (y < 1)
(R.)
del samiplano a la derecha de x=-4. con el samiplano a la i! quierda de x=5. R. es la unión del semi plano SUperior de la recta y=3 con el samiplano inferior dela recta y=l (Las fronteras y=1. y=3 no está~incluidas). '(3) Entonces: Graf(T) = Graf(Rl) Graf(R.) es el área sombreada. :. Dan(T)=[-4.2) y Ran(T)=<-"',l> U <3.+"'> (2) Rl es la intersección
EJEMPLO
Construir la gráfica de la relación: S = l(x.y)ER·llxl+lyl 92. si xy >,. O o
7.
Soluci6n.
(1)
Ixl+lyl xy >,. O
Si (x >,.
>,,2 , ++
(;;.:
si >..- O
x+y >,.
si ~Ol
>.... 0
xy A
Irl+lyl.:> 2.
y'>,. O) v (x ~ O
A
Y ~ O)
2-x (Rl) (x ~ O) (y $ O) .•. -x-y> >,. 2 - Y ~ -2-x (R.) Considerando las restricciones del dominio y rango, 14 es la totalidad de puntos en el semiplano superior de la recta L1:y=Z-r, y R. está formado por los puntos del semiplano inferior de la recta L1:y=-Z-x. (2) Ixl+lyl 2. si xy < O O)
A
(y >,. O)
.•.
2
++
Y >,.
A
-s
xy < O (x >0
A
r-----~:--------.
(x > O "" Y < O) v (x < O "" Y > O)
Y
CX 'O) .•.-x.j.y'~2 -
Y ~ x-2
(R.)
~x+2 CR.) Considerando las restricciones,del dominio y rango. R. es la totalidad de puntos en el semiplano superior y sobre la r~cta L,:y=x-Z. y R.,está formada por los puntos en el samiplano inferior y sobre la recta L.:y=:x:+2. (3) Graf(S)=Graf(R1 U R.) U c-sr:«, U R.) -EJEMPLO
8.
Y
Construir la gráfica d~ la relaci6n: T ={(x,Y)E:rlo~ Ixl ~ 3, 1x-31~
1)1+11>
.
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
Soluci6n.
(1) Si [ce] ~ 3
Entonces:
S={(x,y)dPIO
O ,< .:c,<3
+
x -s
,<
(S)
3}
1x-31' ~ 1y+11'
1x-31 ~ Iy+ll -
.•..• -3 ~.J: ~ 3
Ixl ~ O
Pero
335
(x-3)'-(y+l)'..:: O -
(2) Sean L,:x+y-2=O
(x+y-2)(x-y-4)
y L.:x-y-4=O,
.$ O
entonces
L,n L., detenninan en el plano 4 regiones R, , R. , R. ' R •• Veamos cual de estas regiones satisface
lación: R={(x,y)cll'¡ (x+y-2)(x-y-4) (4,-1)ER, +
(O,O)eR.
+
(3,-2)ER.
(4-1-2)(4+1-4) ~ O
+
(3,O)ER.
..$+
la r~
O}.
(3+0-2)(3-0-4)..$- O
+
-1..$ O, verdad
(0+0-2)(0-0-4)
+
8 ~ O, falso
+
~ O
(3-~-2)(3+2-4) ~ O
=
(3) Luego: Graf(R)
+
(4, -i u«
1 ~ O , falso
+
-1 ~ O, verdad
=
EJEMPLO 9. Resolver gróficamente
y detenninar
enteras, no nulas y positivas {(x,y)CRlI2x+3y-12,<
Soluci6n.
O , 2x-Sy+S
(1) Si 2x+3y-12
2x-Sy+S (2) Sean L,:y=4-2x/3
(3,-2)tR
Graf(S)f1 Graf(R)
Esto es, la gráfica de T es la porción de R.UR.
=
(O,O)~R +
Gl'af(R.) I.J Graf(R.)
(4) Por lo tanto: Graf(T)
R
(3,O)ER
+
~ O < O
+
el conjunto
Y
de coordenadas
de la relación:
< OL
Y ~ 4-2x/3
+
entre 0.$ x ~ 3.
y
> 2x/5+1
, L.:y=1+2x/5
las rectas L. con trazo cont!
Construimos
nuo y L. con trazo punteado. (3) Según (1),
la gráfica
de R lo constituyen
l-b""'"_~....J...-',-....J...__ '¡;'.
,""",,_
[a totalidad de puntos de intersección de la región ubicada en el semiplano inferior y ~
sobre la recta L" s~niplano
con la regi6n ubicada
--'
en el
superior de la recta L ••
(4j En e[ 1 cuadrante yas intersecciones
se trazan lineas poralelas no~ darán
s= Nótese que P(3,2)
satisface
las coor~enadas
a los ejes coordenados pedidas, esto es:
{(1,2),(l,3),(2,2)} 2x+3y-12 ~ O, pero no a 2;x:-5y+5<
o.
cu-
336
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
EJERCICIOS:
Grupo 32
COnstruir la grófica de la región descrita por las siguientes relaciones: = Ux,y)t:R11(2.r+-y-3 >..
O) ••. (x-y+2 > OH
J.
El
Z.
El = Hx, y) t:R1 (x+4y-6 -s O) ••. (~6y+i
3.
El
4.
R = {(x,y)t:R" I(2.r-y+8 ~ O) " (4y-4x+l
5.
R = ((x,y)t:R11 (3.x+y-17 >.. O) ,. (5x-2y-lO
I
=
~O)
7. R ~ l(x,y)t:R11(lx-lOy-4 R = {(x,y)cR11.r-2y-4
9. R = l(x,y)t:R11(3.x+y-4
>.. Ol)
< O) v (4x+6y-15
> O)
< O) ,..(2x+3y-19
(x-2y+l
A
¡ ::>;.. 3
R = {(x,y)t:R111y+l
13. R
=
{(x,y}cR IO < ys 1
15. R = {(x,y)cR"llxl+!yl
~
A
A
y>
A
(.r-y
::>;..
O)
A
< O)}
(2x+y-20
< O)}
12. R={(x,y)e:R111.r-21 +3y-4
< 6
I.r-ll
< O)}
>.. O, 4x+5y-20 -s 01
~ O, 6x+y-ll
10. R = I (», y) t:R1I(.r-2 >.. O) •.. (y+5 >.. O) ll.
> O)}
< O)}
(6.r-3y-2
A
Ol)
on
I(x,y)t:R11 (2.r-y-5 ~ O) " (y-3x+3 ~
6. R = l(x,y)t:R11(2.r-y+l
8.
::>;..
14. R={(x,y)t:R"IIy-xl
Ixl-l}
~ 2x}
::>;.. 2 •..x-4y+4 >.. 01
16. R = {(x, y) cR111x+2I+!x+31 +4y-5 ,< O ••• x-y ~ O} 17. R = {(x,y)e:R1Iy
18. R
=
{(x,y)cR1Iy
~ x, ~ -Ixl
19. R = {(x,y)cR"llyl=lxl %J. R
=
Ix!+lyl
Hx,y)cR11Ixl-lyl
' 2 < [ce] ~ 4 , y::>;..-6} , Ixl+lyl
-s
U. R = I(x,y)cR11(lxl-lyl 23. R
=
S 6, x >,.- O}
2,
~ H
20. R={(x,y)cR11Ix+yl
~ l}
Iyl ~ l}
::>;..4) (Ixl ~ 6)}
I(x,y)cR1 1(Ivzl-!y-31
24. El = I(x,y)cR11(1.r-2!+1y-31
A
::>;.. 4)
A
(Iv21
-s 6) ••.(1y-31 ~ 6H
~ 6) ••. (Iyl ~ x))
2S. COnstruIr la gráfica de la región descrita por las relaciones: a) R
=
Hx,y)cR1Ixa-Z.ry+h+2y-3,<
b) S = Hx,y)cR"12xl-5xy+2y"+.r-2y
01 ::>;..
01
(SUgerencia: Factorizar y aplicar la regla de los signos) %6. Hallar el área de la región acotada por la relación:
< O}
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
=
R
{(x,y)ER'llxl+lyl
Resolver gráficamente
y detenninar
tivas de las siguientes
=
27. R
>-. 2 ,
337
Ixl ~
6 ,
Iyl -s 4l
las coordenadas
enteras no nulas y posi-
relaciones:
{(x,y)ER'I (x+2y ~ 8)
A
(x-3y+3 < O)l
28. R
{(x,y)ER'I (Sx-2y > O)
(8x+Sy < 40)l
29. R
I(x,y)ER'I (Sx-2y >10)
(2x+3y~
12)l
* 11)DESIGUALDADES En conexión
con
considerar inecuaciones
CUADRATICAS las ecuaciones relacionadas
cuadráticas
de dos variables vemos a
de la siguiente manera:
y > ax'+hr+c
x > ay'+by+c
y < ax'+hr+c
x < ay'+by+c
donde a,b,cER. La porábola cuya ecuación es y=ax'+hr+c divide al plano en dos regiones (s~ en una de las cuales y > ax'+hr+c y en la otra y < ax'+hr+c. Ni~
miplanos),
guna de las regiones contiene a dicha porábola La gráfica de una inecuación cuadrática guientes TEOREMA
(frontera).
se basa fundamentalmente
en los si-
teoremas: 5.2.
El punto P,(x"y,)
está en el semiplano
bola P:y=axt+hr+c,
a > O, si y sólo si, y, > ax~+hr,+c y e~
interior de la parg
tá en el semiplano exterior de ella si y sólo si y, < ax~+hr,+c. Demostración.
En efecto, consideremos y P, (x "y,)
de modo
dos puntos con igual abscisa P,(x',Y0
tal que P, esté sobre la parábola p, es
decir: ( 1)
y
---O~-------------X~l----~'X Figura 5.7
Figura 5.8
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
338
En la figura 5.7 se observa que P, está en el semiplano bola P, si y sólo si:
interior de la parg
y, > y,
y sustituyendo
en
(1)
se tiene:
y, > ax~+bx,+c
De igual modo,
p,
está en el semiplano
exterior
si y sólo si:
y, < y,
esto es:
y, < ax~+bx,+c
Corolario. El punto P,(x"y,)
está en el semiplano
bola P:y=ax'+bx+c,
a > O,
miplano exterior y sobre ella, Nota. Para la parábola
de la parábola
P (Fig.5.8),
interior y sobre la parg
y, ~ ax~+bx,+c
, y está en el se-
y, ~ ax~+bx,+c
++
P:x=ay'+by+c,
a > O, se sigue el mismo criterio parg
construir gráficas de relaciones:
x>
ay' +by+c , a > O
x < ay' +by+c , a > O Esto es, el punto P,(x"y,) la P:x=ay'+by+c, a > O, y sobre ella
TEOREMA
++
5.3
++
está en el semiplano x, > ay~+by,+c,
El punto P, (x"y;)
está en el semiplano
bola P:y=ax'+bx+c,
a <
El punto P,(x"y,)
5.4
bola
O,
si
Y
a < O,
1. Construir
++
(1)
> ay~+by,+c.
interior de la parª
x, < ay~+by, +c , y está en el
x, > ay~+by,+c.
la gráfica de ia relación:
-s
Rl ={ (x,y)ER'!x'-2x-3-y Solución.
++
interior de la pará
sólo si y, < ax~+bx,+c, y e2
está en el semiplano
P:x=ay'+by+c,
semiplano exterior de la parábola EJEMPLO
externo
x, < ay~+by,+c
tá en el semiplano exterior y sobre ella ~y, TEOREMA
interior y sobre la parábQ
y está en el semiplano
Despejamos
O}.
y en ténninos de x:
y ~ x'-2x-3 (2) Trazamos la parábola P:y=x'-2x-3=(x-1)'_4 de donde: h=l y k=-4 Para y=0
+
x'-2x-3=0
V(1,-4) ++
x=-1
o
Con estos 3 puntos construimos (3) Según el Teorema 5.2, (a=1 > O),
=3 la parábola la totali
dad de puntos de la relación Rl' se encue~ tra en el semiplano
interior de la parábola.
x
Sección5.3: Gráficas de Relacionesde R en R
EJEMPLO 2. Construir R1 Solución.
=
la gráfica
co de
A
h=5 y k=-l
respecto
~
del
construimos
estos
tres
P:x
de y: x ~ -2y1_4y+3
x = -2(y+1) 1+5
-2y1_4y+3.-.
V(5,-1)
y.
Un punto
eje
k=-l
simétrl
es 8(3,-2).
que pasa por
la parábola
puntos.
Según (1): a=-2 < O, entonces
(3)
>~Ol.
caso despejamos x en ténninos
(1) En este
Para y=O .• x=3 .• A(3,0)EP.
Luego,
de la relación:
{(x,y)eR1!x+2y1+4y-3
(2) Sea la parábola de donde:
339
por el
te~
rema 5.4, la total idad de puntos que satisfacen
la relación
exterior
de la parábola
R1 están en el
semiplano
(se sombrea
esto
~--~--------------~
región).
EJEMPLO 3. Hallar
el dominio, rango y construir la gráfica 1 S = {(x,yhR1!y-x +10x >, 24, :x;+y-6 < 01.
Solución.
y >, x'-10x+-24
(1)
De la ecuación
(4) Construimos
la parábola
h=5 y k=-l
que pasa por V, A
total
interior Y sobre la parábola de puntos
L. c-orts¡
"-
idad de 'puntos
en
P, Y R1 es
en el semiplano
inferior
de la recta (6)
:.
Graf(R,)
La parte (7) Dom(S) Nota.
=
<3,6>,
En conexión elipse,
E(x,y)
=
están
Sea
E(x,y)=O
(circunferencia,
de las desigualdades
< O , E(x,y)
,< O
inecuaciones
cuadráticas
asociadas:
se basan en la a-
teorema:
P(x,y)
gráfica
cuadráticas
las gráficas
de cada una de estas
TEOREMA 5.5
v
[-1,3>
>-- O , E(x,y)
plicación del siguiente
-1
sombreada.
Ran($)
hipérbola)
O
n Graf(R1)
con las ecuaciones
> O , E(x,y)
La gráfica
L:y=6-x
V(5,-1)
L que pasa por A 'Y B.
(4) Según (1), R, es la
el conjunto
(R1)
1-1 , y
y=(x-5)
y B(3,3)
Y B, Y la recta el
~
de la parábola:
(3) PnL = A(6,0)
y < B-x
(R,)
P:y=x1-10x+24
(2) Sean,
de la relación
un punto
de la ecuación
de
las regiones divide al plano.
una de
E(x,y)=O
en que una Si E(x,y»O
(
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
340
para P(x,y) entonces Como consecuencia desigualdad
E(x,y) >
de este
cuadrática
(1) Dibujando
°
para cualquier
teorema
es posible
la verdad de la desigualdad
una de las dos regiones (3) Sombrear mat ívc.
dada en un punto P(x,y) de cada
en que la gráfica de E(x,y)=O
la región o regiones
=
R
Solución.
{(x,y)ER1Ix1+y1_8x+4y+1l
Sea ~:x1+y1-8x+4y+11=0
(1)
Completando
+
para x e y se tiene: f:(x-4)1+(y+2)1=9
++
C(4,-2)
(2) Tomamos un punto cualquiera
del plano, de
preferenci'a, el origen. Entonces: Es (O,O)ER? + 01+01-8(0)+4(0)+11 ~ 11 ~ 0, es falso,
la gráfica de la relación
~ 01. (frontera)
el cuadrado
(x1-8x+16) +(y1+4y+4)=-11+20 de donde: h=4, 'k=-2, r=3
divide al plano.
en las cuales la prueba anterior es afir-
l. Hallar el dominio, rango y construir
EJEMPLO
(3)
trzar la gráfica de cualquier
de la siguiente manera:
la gráfica de la ecuación E(x,y)=O.
(2) Comprobando
~
otro punto de la región de P
°
luego (O,O)tR
Por lo tanto, la gráfica de R es la región interior de la circunferencia
incluyendo
la frontera t: (4) Dom(R) Ran(R) EJEMPLO Solución.
=
[h-r,h+r]
[1; 7]
[k-r,k+r]
[-5,1]
2. Construir
la gráfica de la relación: R={(X,y)ER113x1+4y1
Sea E:3x1+4y1=12
(1)
.• ~1+ f1 = de donde:
=4
01
+
0=2, b1=3
.• 3(0)"+4(0)1
°
>....12 -
(frontera)
1
+
(2) Es (O,O)ER?
>,121
b=13 x >....12, es falso
(3) Luego, la gráfica de R. es la región exterior de la elipse, EJEMPLO
3.
Hallar
incluyendo el
relación: R
dominio,
=
{(X,y)E
la frontera E. rango R21x2_y2
y trazar
la gráfica
de
la
> 9}.
(
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
Solución.
Sea H:X2_y2=9
(1)
(frontera)
equilátera de la fonna: x2_y2:a2
Hipérbola Dibujamos
341
02=9
+
0=3
la frontera con linea de puntos.
\'.
(2) Es (O,O)ER? - (0)2-(0)2 (3)
+
Entonces,
9 •• O
>
>
la gráfica de
:,:;\
9, es falso
'.;,:".\
""
es la región in-
R
terna de las dos ramas de la hipérbola
x
sin
incluir la frontera H. (4) Dom(R) EJEMPLO
=
<-~,-3>u<3,+~>
Construir
4.
; Ran(R)
R
la gráfica de la relación:
R : 1 (tx, y)ER21:x:y+x-2y-4 >•...01. Solución.
(1) Sea H:xy+x-2y-4=0 ~
y(x-2)=4-x
(frontera)
~
y
=
4-x x-2
~
y
=
2 -1 + x-2 ~
Hipérbola equilátera de la fonna: (x-h)(y-k)=a2/2 Entonces: h=2, k=-l ~ C(2,-1), Dibujamos
2
0
=4
+
(x-2)(y+l)=2
y
0=2
la frontera con linea continua.
(2) Es (O,O)ER? ~ 0(0)+0-2(0)-4 (3) Entonces,
~ O
~ -4 ~ O, es falso
la grofica de R es la totalidad
de puntos en el interior de las dos ramas de la hipérbola,
lID
incluyendo la frontera.
GRAFICAS
DE RELACIONES
INVERSAS
Sabemos que una relación directa de A en B es el conjunto: R = 1 (x,y)EAxBI (x,y)&RI y su inversa, el conjunto: R* = l(y,x)EBxAI(x,y)&RI Esto es, si A=ll,2,41 y
y 8=10,31, entonces: R
1(1,0). (1,3), (2,0), (2,3). (4,0), (4,3)1
R*
\(0,1). (3,1), (0,2), (3,2), (0,4). (3,4))
Ubiquemos cada uno de los pares de R y R* sobre un misn~ plano cartesiano. En la figura se observa que los pares da R y R* son eq~idistanles ta L:y=x. Entonces, si consideramos
de la re~
la recta L como espejo, los pares de R*
342
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
se pueden obtener como reflexión
o imagen de
de los pares de R, simétrlcamente,
4
a través
de diho espejo Esta caraterística
de las relaciones
puede ser aprovechada
inversos
paro construir
ficas cuando se conocen o son dadas cas de las relaciones
EJEMPLO
las gráfi
lo gráfico
de la relación R y su inversa, si:
R = {(x,y)(R'I4x-5y+1l=O SOlución,
Siendo
(1)
1
directos.
Construir
l.
sus grá-
, x~<-4,l]},
la gráfica de Runa
linea recta, detenninemos
dos pun-
tos de ésta en x,,<-4,l] Si x=-4
x=l
-16-5y+l1=O
+ +
4-5y+11=O
+
y=-l
~ y=3
~
+
A(-4,-1)
8(1,3)
(2), Trazamos el segmento de la recta L: 4x-5y+ll=O,
uniendo
(3) Si A(-4,-j)tR
B(l,3)&R
-
A'(-l,-4)_R* B'(3,l)"R*
(4) Uniendo A' y B' obtenemos EJEMPLO
de R*
la gráfica
Si S=(x,y)ER%ly=x'+2I,
2.
x
los puntoa A y B.
construir
la gráfica
de la relación S
y su inversa. Solución.
La gráfica
de la relación S es la
parábola P:y=x'+2, es de la fonuo: y=(x-h)%+k,
cuya ecuación de eje vertical
(h=O) y vértice en V,(O,2) La gráfica
de la relación
parábola P*:x=y'+2, x=(y-k)t+h,
inversa
S* es
la
ecuación de la fonma:
con eje horizontal
(k=O) y vért!
ce en V1(Z,O). EJ!JtPLO
3.
Construir la gráfica de la relación S y su inversa, si: S = {(x,y)"l{112x-3y+6..s 01.
SOlución. (1) 2x-3y+6 ~ O •• Y ~ 2x/3 + 2 (2) Sea L:2x-3y+6=O
x
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
343
Intersectando L con Los ejes coordenadas se tiene: si x=O + -3y+6=O ++ y=2 - A(O,2) , y=O + 2x+6=O ++ x=-3 8(-3,0) (3) Trazamos la recta L que pasa por A y B. Según (1) la gráfica de S es el conjunto de puntos en el samiplano superior y sobre L (4) La relación inversa de S es el conjunto: S*={(x,y)cR'!2y-3x+6 ~ O} Si 2y-3x+6 ~ O Y ~ 3x/2 - 2 (5) Luego, la gráfica de S* es la totalidad de puntos que están en el samiplano inferior y sobre la recta L,:2y-3x+6=O Que pg so por A'(2,O) y B'(0,-3), simétricos de A y B respecto de la recta y=x.
y
EJEMPLO 4, Indicar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación inversa de R, si R={(x,y)E:R'!lxl ~ y+l , Y ~ x+3, 1 ~ x,< 3}. Solución.
(1)
Sea
Rl:
Ix! ~
y-1 .•...•(y-l
~ O) ..• (x ~ y-l
.•...• (y ~ 1) ..• (y ~
Si L,:y=x+1 y L.:y=l-x, la gráfica de Rl es la totalidad de puntos comunes Que están en el samiplano superior de las rectas L, y L. arriba de y=l.
..•x ~ Ir-y}
x+l ..•y ~ l-x) y
(2) R.: y < x+3
La gráfica de R. es el conjunto de puntos en el semiplano inferior y sobre la ref ta L,:y=x+3. (3) R.: 1 <
x <
3
La gráfica de R. es la reglon entre dos
3
rectas verticales x=l y x=3. (4) Luego. Graf(R) = Graf(R,) n Graf(R.) n Graf(R.) = Región sombreado Obsérvese que es un paralelogramo. (5) Por lo tanto, los vértices del paralelogramo R- se obtienen de los de R por simetría respecto de la recta y=x, tal como se indica en la figura. (6) Dom(R-) = [2,6) Y Ran(R*) = [1,3)
344
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
w
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO
1.
R={(x.y)ERzl-1
Sea la relación tes afinnaciones,
(1)
R es reflexiva,
SOlución.
(2) R es simétrica
Si hacemos x=y
(1)
Entonces (2) Si hacemos y=x es, (x.y)ER (3)
A
+
-1 <
+
(5.4)&R
es verdadero,
entonce~. R no es transitiva.
A
EJERCICIO
2.
-2 < y~
(4.-1)E(R.n R.r) R.)
es F.
\.
es [al so, ya que 5-3=2 j 2
es falsa.
en R: R.=1(x,y)12..5
x < 51. R,={(x,y)1
> 141. Hallar el valor de ver-
21, R.=1(x.yJl4x-3y e)
(2,2)E(R1-R.)r) R.
d)
(2.-2)~(R.ni,.'l.)
a) Vemos que 5~Dom(Rl) y (5.2)~R., pues 4(5)-3(2)=14 ~ 14 Entonces:
(5.2);(Rlr) R.). La afinmación
b) 4cDom(R.), -lcRan(R.) y (4,-1)eR. Entonces:
(4, -1)
c) Por definición:
E
(R 1 r) R. n R.).
R.-R.=(x,y)ER1
Vemos que: (2,2)cR1 y (2.2UR.; (2.2)&(R.-R.)fl Rz•
d) Dado qua -2;Ran(R.)
3.
(1)
+
La af inmac ión es verdadera. A
(x,y);R. también (2,2)ER.
(2.-2);(R.n~R.).
+
=
Sean P.:y=6-x"=-(x-O)1+6
(2) Ambas paróbolas
es verdadera. La afinnación
es verdadera.
el rango y el área acotada por la rela-
l(x.y)CR'ly..5
Intersectando
es falsa.
4(4)-3(4)=19 > 14
La afinnación
Indicar el dominio. ción: R
Solución.
La afinnación
(x.z)&R
es verdadera.
(1)
n R.)
(5,2)c(R.
b)
EJERCICIO
a -1 < y-x < 2; esto
a[innaciones:
a)
Luego,
~xER.
(5.3)ER
+
La afinmación
Sean las relaciones
dad de' las siguientes
SOlución.
(4,3)ER
+
pero el consecuente
Por lo tanto, sólo la afinnación
verdadero
R no es simétrica. (y,z)&R
A
truflsi!iva
es verdadera.
x-y < 2. no es equivalente
(y,x);R. entonces,
Veamos un ejemplo:
(3) Res
-1 < x-x < 2, es siempre
(x.=)&R. La afinnación
Se debe cumplir que: (x,y)ER
El antecedente
< x-y < 21. De las siguien-
cuáles son verdaderas?
6-x' • y ~x'-2L y
ambos parábolas
p.:y=x·-2=(x-O)'-2 se tiene: 6-x'=x'-2
tienen la fonna: y=a(x-h)2+k
+
++
x'=4
++
x=±2
V1(O.6) y V2(O,-2)
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R el! R
(3) COmo los coordenadas
del origen satisface
o ambas desigualdades, loción
R
345
y
la gráfico dela rg
es el conjunto de puntos en el inte-
rior de ambos parábolas. (4) Dom(R)=[-2,2],
Ran(R)=[-2,8J
(5) El área de un sector paraból ico es iguaf o 213 del área del rectángulo
que subtien
de dicho sector. +
=
a(R,)
=
:. oíR)
a(R,)
= i(4x4) = =
a(R,)ffi(R,)
EJERCICIO
4.
3;
6j u' R,={(x,y)cll'llxl+lyl
Sean los relaciones: R,={(x,y)cll'lx'+y'
>--81.
~ 41 Y
Hollar el área de R,nR •.
(1) 10 gráfico de R, es el conjunto de puntos en el interior del
SOlución.
cuadrado de diagonal y lodo 412
+
=
a(R,)
(412)'
=
2(4)=8
32u'
(2) Es (O,O)eR.? +
0%+0' >.-8
O ~ 8 , es falso
+
Luego, la gráfica de R. es el conjunto de pun tos que están [uera y sobre la circunferencia C:x'+y%=8,
cuyo círculo
tiene por área:
= wrZ = 8wu' a(R, n R.> = o (R, )-a(C) a(C)
(3)
•
EJERCICIO
5.
8(
4-w)u'
Dados las relaciones:
R,={(x,y)ER'lx'+3y'-4x+6y-20
R,={(x,y)&R'1 IX-21+ly+ll ~
31, hallar
~ 01 Y
el área acotado par
y Solución.
(1) Sea E:x1+3yl_4x+6y-20=0 _
(X-2)1 + (y+l)' _
J:'.
~. +
a'=27
+
a=313,
27
9-
b =9 • b=3 ; C(2:-1) 1
(2) 10 gráfico de R, es la totalidad de ~ tos en el interior y sobre la elipse E. Area de la elipse
=
.ab
+
a(Rl)=9~l3u'
(3) 10 gráfica de 1x-21+Iy+ll=3 es un cuadrg do de lado 312 y centro C(2,-1), el mismo de la elipse. Entonces
la gr~
\
346
Capittllo 5: Gráficas de Relaciones
fica de R. es la totalidad de puntos en el exterior y el borde del cuadrado (4)
a(R,OR.)
:.
EJERCICIO
6.
=
:: a(R,)-a(R.) Hallar
el área de intersección
las relaciones: Iyl
9,,13 - (312)2
=
9(,,13-2) u'
acotada por las gráficas
R,={(x,y)tRtllxl-lyl
de
S 2} Y R,={(x,y)tRtl
.s 11.
Solución.
(1) Construimos
el cuadrado
La gráfica
este cuadrado,
de
de diagonal
4, con trazo punteado.
se obtiene prolongando
Ixl-lyl=2
los lados de
cuyos vértices están sobre el
eje X. (2) COmo (O,O)ER"
la totalidad de puntos de
2
R, están en la región donde se encuentra el origen de coordenadas. de Iyl ~ 1 - -1 ~ y~ 1 es la región entre las rectas horizonta-
(3) La gráfica
J
les: y=-l , y=l (4) Fn (1),
Luego: (5) R,
s i x ~ O, Y >.- O ..•
(y=l) n (x-y=2)
Rt es la zona sombreada
- a(R,
EJERCICIO
n Rt)
7.
x-y=2
:: P(3,1)
de la figura
s:
2(área del trapecio de boses 4 y 6, Y al tura 1)
=
4+6 2(2 )(1)
:: 10
u'
Si R,"'l(x,y)eR'lx'+yt R.::{(x,y)&Rtllx+31
~ 91. R,=l(x,y).:R·lx·-4y· ~ yl,
R,={(x,Y)tR21Ix-31,<
área de s=(R,n R.)-(R.U R.). Solución.
(1) Cano las coordenadas satisfacen
Graf(R, n R.)=Graf(R,).
a R, y R., entonces;
conjunto. de puntos en
el interior y sobre la circunferencia (2) En R.; -
del origen
x'+y'::9
1:C+31 ~ y
y ~ O
A
(:c+3 ~ y
•.• y ~ O .•• (y
>.- x+3
A
x+3 >.. -y)
.•• y >,. -x-3)
Luego, la gráfica de R. es el conjunto de p~ tos en el s8niplano
superior
y sobre las rec-
tas Ll:y~3 , L2:y=-;x:-3 , y el eje X (y>.. O)
~ 91. yl.
hallar el
•• Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
1.r-31..$.y
(3) En R..:
O)
•..•(y ~ ++
347
(x-3.$. Y
A
(y ~ O)
(y ~ .r-3
A
:c-3 ~
A
=y)
y ~ 3-.r)
A
L gráfica de R\ es el conjunto de puntos en el semiplano superior de las rectas L. :y=x-3, L\:y=3-:c, el eje X (y ~ O) (4) Por lo tanto, el a(R,-R.U
R.) es la región
rayada y es igual al área del semicírculo de radio 3 más el área del triángulo ABC. Esto es: a(S)
EJERCICIO
= 1(Y)(3)'
8.
Dadas
+
=
1(6X3)
~(Y+2)Ul
las relaciones:
x1+y'-4.r-12
Rl={(.r,y)ER"'lyl~
~ 01, hallar
8x} yn •.=f(.r,y)ER11
el área acotada por R1f).~1.
(1) En R1: y' ~ 8x
Solución.
de R, es el conjunto
La gráfica
de puntos en el interior de la parábola P:yl=8x (2) En R"
sea €:.r"+y·-4x-12=0 ~:(.r-2)·+(y-0)1=16
++
••
C(2,O) y r=4
COmo (O,O)c~+ la gráfica
de R. es el con-
junto de puntos en el interior y sobre la circunferencia
C.
(3) PI1C = A(2,4) Y B(2,-4) (4)
=
a(R,f)R.)
(área del semicírculo)
= i(Y)(4)1 + EJERCICIO
~(2x8)
=
+ (área del sector
poraoolico
~(3Y+4) u·
Dada la relación R=I(.r,y)cR1Iy ~ 1.r1-ll+lx-ll,
9.
AOB)
y ~ 4), cons-
truir y hallar el área de la inversa de la relaci6n R. Solución.
(1) Sea Rl:y
>, I.r+ll+Ix-lI
El iminando
las barras de valo,. absoluto por el mitado de los
valores críticos se detenmina Si:
s: < -1
..• y>"-2.r
-1 ~:c < 1
..• Y >, 2
:c>"1
y:>'2.r
lo siguiente:
348
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
)
Luego. la gráfica de R. es el conjunto de los puntos que están en el semiplano
y,
superior de
las rectas L. :y=-2x. L. :y=2. L,:y=2x (2) Sea R.:y ~ 4. Su gráfica
consta de todos
las puntos en el semiplano
inferior de la
recta y=4. (3) Entonces Graf(R)=Graf(R.)n
Graf(R.)
~ Graf(R) = área del trapecio de la figura (4)
La gráfica de
se obtiene de ia gráfica
R*
de R por simetría respecto de la recta y=x ~ a(R*) = ~(4+2)(2)
<,
= 6u· \.
EJERCICIO
10.
Dada la relación R=I(x.y)eR·lly-xl=[x]l.
esbozar su grá-
fica indicando su dominio y rango. Solución.
Según el Teor~na 49: Iy-xl=[x]
•..•([Ix]
~
O)
A
(y-x=[x]
•..•([x]
~
O)
A
(y=x+IT.x] " y=x-[x])
V
y-x=-[x])
~ O •..•x: >... O .• Dom(R) = (O,+Q>
Universo de la relación:
[xTI
Por el T.57. si [xll=n
•..• n.$ x e n+1. neZ
Luego. la gráfica de R es la unión de las gráficas de: R.=I(x,y)eR'ly=x+nl
o
R,=I(x.y)eR'ly=x-nl
Dando valores a n en cada intervalo (n.n+1>. se tiene: Si n=O n=l n=2 n=3
.. ..
.. ..
Para: y=x+n
.. ..
xdO.1> xd1.2>
.. ..
x€(2.3> xd3.4>
y
y=x
6
- - ---
y=x+I
y=x+2
5 ---
---/
y=x+3
4._____
o;;
Ran(R.)=(O.1> U (7..3>U (4.5>u ... Si n=O n=1 n=2
.. .. ..
Para: y=x-n xdO.1> xd 1. 2> xd2.3>
n=3
..
n=4
.• xe(4.5>
xd3.4>
.. .. ..
..
----.
y=x
J __
2
--
y=x-L
:
I
I
I
I
! I
I
y=x-2 y=x-3
.• y=~-4
~
,
,
,
,
,
•
Note Que l~an(n2)= [0,1> Ran(;U = Ran(R
1) u
Ran(R2)
[0.1> U [2.3>U [4.5>U ..
Ü n=O
[2n.2n+1>
·x
Ejercicios: Grupo 33
,~349
EJERCICIOS: Grupo 33 En los ejercicios ca de la región
del 1 al 9, indicar
1. R={(X,y)ER'lx'+y'~25,
x'>2y+l}
2. R={(X,y)ER'19x·+4y·.$25, 3. R={(X,y)ER'ly
R={(x, y)
x'~-2y,
>.;. O/,
TI
-s
y, x+4 > y}
6. R={(X,y)ER'ly',;ó
4x, 2x+y
7. R={(X,y)ER'lx+y
~3,
x'+y'~5}
ER'I [x-1 TI '+2[x
10. Si R,={(x,yhR'lx
s:
2x+y <
la gráfi-
rango y esbozar
relaciones:
5. R={(:x:,y)ER·lx·-8.$
3x+l ~ 2y}
~x'-6x+5,
4. R={(x,y)ER'Ix-2Y$1, 9.
el dominio,
por las siguientes
acotada
.s
y~-x'-3x+6}
8. R=((.:.c,y)ER'IIy-..cI+ly+:c1
2, x'+y'
4}
~ 2}
>,. 1}
R.={(x,yJr.R·lx
R,={(x,y)<;R'!x'+y'
-s
~.,~!,'y' ,,:. 'J, .Y ;;. XI,
d:md.!
>-- y}.
lB}.
Hallar el área acotada por R, n R. n f: ••
R={(:c,y)ER'II:cI+!:/i
11. Dada la ,'elación
ha 11 ar ' e! va 1 or de a de modo QU'3 c! seu 25(n-2)
13. R
~ O, y'-4
cda
pM'
del
13 al 22, ccntr.ltir
de n:-.'~,.
la !Jróficll de (es rel!! '
dadal;.
=
Il~r.+
1a g7·¡j t'i ca de n:
el órea aco.!a
~ O}, hallar
{(x,y)ER'lx'+y"
>,. 4
15. R
=
{(x,y)ER·14.$
16. R
=
{(x,y)ER'ly'+8x-2y
17. R
=
{(x,y)ER'lx'+y'
18. R
=
{(x,y)ER'lx'+4y'
19. R
=
{(x,y)ER·13y'-x".$
20. R
=
{(x,y)ER"lxy-x-2y-2,<
21. R
=
{(x,y)cR·I4x"-4y·.$
22. R = í (x,y)ER"lx'-y'
1.r+yl+I:C-ll, Ixl ~ 12yll
~ 9, y~
14. R = Hx,y)e;Rllx'+y"
(x-2 )"+y'
o
T:{(.r,y)E:R'¡Iy-31
$ 1
Y
>,. 15 , (x-1)'+(p·2)1.$ >,. 9
r
.s. 16
x+y+3 .$ O , y' , x'+y'
~ 9 ,
x >.•.•y}
Ixl+3}
9 , Ixl+2 ~ y.$
x·+y·.$
251
~ 2xl
Ixl+lyl
>,. 21
2 , x· ~ 16y} O , 2x+y-ll
9 , 2y·-2x-3.$ ,< 4 , y'+x-2
23. Sean R={(x,y)E:R211.r+41+!y-31.$
.'
l.l~·(\t
~ :::;, :~.'S .iyi y R.=-I(":,y),ER'1
R,={(X,y)ER'lx'-I':>'!
En cada uno de los ejercicios ciones
0,
ér'<;!(¡
u'.
12. Dadas las relaciones x'-9
>,.
~ 1}. Hallar
>,. O} O}
>,. O , y·-2.$. X} 2}, S={(x,y)E:ItIlx+41.$ el área acotada
n.
por Rn.,g(SnT)
.
350
24.
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
Dadas las
relaciones
T=j(X,y)ER'lx 25. Sean:
R={(X,y)ER'ly
>...•01.
R={(X,y)ER'1
T={(X,y)ER'I(y
Hallar
(x-511)'+(y-511)'
ly-31 ~ 61. Hallar
área de la región En cada uno de los
ejercicios
región
las
por
R={(x,yhR'llxl
29. R={(X,y)ER'13x'+y'
del
28 al 35, graficar
[x+y
I[
R={ (x,yhR'
e) R={(x,yhR'1
~ 9 ,Ixl
En los
ejercicios
37. R={(X,y)ER'ly
y hallar
el área
+Iyl
$.
~ O , IX+ll+ly-21
>-.2 , x-y+3
$
siguientes
siguientes, el área
>, Ixl+lx-ll
39. R={ (x,YhRllx'+y'+4.r-6y+4
Ixl,
x'+y'$4xl
relaciones:
+ y = 01
4x1-yl]
" al
= 21 $ xl
graficar acotada
en un mismo plano
la relación
por R*.
' y ~ 51 >,..4 , 2 -!- y~
,
~ O
r
x-2y+8
41 ~ 01
~ .r-2 , x s: 61
41. R={(X,y)ERllx'+yL8x+2y+13
>-.·01
35. R={ (x,yhR'llyl
de las
de la
01
~ 61
TI
el
'l31
~ 11-21xlll
38. R={(.r,y)ER'llx+II-ly-31
40. R={ (.r,YhR'llyl
hallar
33. R={(x,yhR'llyl
[x]+[y]
Hallar
>--4/2i,
~ 3 , x: ~ yl
Ixl+lyl
d) R={(X,y)ER'1 ly'-2yl+2Ix-ll
.y su inversa.
61, T={(X,y)ER'1 de RnSnT.
.$o 121
34. R={(X,y)ER'12Ixl+3Iyl la gráfica
511}, de Rn(SuT).
de SI) T.
~ O , 4x'+8x+9y-5
+Iy-xl
RnsnT.
relaciones.
31. R={(X,y)ER'19x'+16y'+18x-64y-71
b)
la gráfica
la gráfic
~ 27 ,
a) R={(x,yhR'1
por
por
' x'+y'
30. :~={(x,YhR'12x'+4x-9y-43
36. Construir
el área
~ 81,
por
S={(x,yhR'llx+21.:;
acotada
siguientes
>--Iyl
32. R={ (x,y)ER'llxj
Hallar
.$ 41 Y T={(X,y)ER'llx+yl+lx-yl
acotada
Ixl+lyl
acotada
2511'1, S={(x,yhR'ly.:;
.$
~4},
el área
27. Si S={(x,y)ER'llxl+lyl
28.
S={(x,y)ER'1
de la región
~x+511) v ( y+x >-.1511)}.
26. Sean R={(X,Y)ER'llx~21-ly-31
acotada
~ xl,
el área
~ O,
Ix-41+ly+ll
*
...• < 4 , x-y
>,..51
R dada
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
lIIl
351
CRITERIOS GENERALES PARA GRAFICAR UNA RELACION
Q
Al hacer el estudio de la gráfica de una relación de R en R, habíamos visto las gráficas de relaciones con inecuaciones.
lineales y cuadráticas
y sus asociadas
Todas ellas tenían una fonma especial que las caracterizg
ba y que resultaba fácil su trazado en el plano XY. Sin embargo, existen otras relaciones
cuyas gráficas
su trazado es necesario algunos
métodos
no tienen tales caroct erí s t icas y que para
seguir ciertos pasos o reglas. En seguida veremos
que penmiten
estudiar
los pasos previos
a la discusión y
trazado de la gráfica de dichas relaciones. 1) COORDENADAS Una gráfica
AL ORIGEN
puede
método de averiguarlo a) Interceptos
(Interceptos
tener una, varias o ninguna coordenada
Interceptos
al origen. El
es el siguiente:
con el eje X:
Hacemos y=o , y se resuelve b)
con los ejes coordenados)
la ecuación E(x,O)=O
con el eje y:
Hacemos x=O , y se 'resuleve la ecuación E(O,y)=O Ejemplo.
Dada la relación R={(x,y)eR1!x1+yl+2xy-x+5y-6=OI,
hallar sus coor
denadas ~l origen de su gráfica. Solución.
Sea E(x,y):X1+yl+2xy-x+5y-6=O a) Para y=O
+
E(x,O): x'-x-6=O
++
x=-2
o
x=3
Luego, -2 y 3 son las abscisas al origen y los puntos A(-2,O) y 8(3,0) son los interceptos de la gráfica de R con el eje X. b) Para x=O
Luego,
+
E(O,y): yl+5y-6=O
++
y=-6
o
y=l
-6 y 1 son las ordenadas, al origen y los puntos C(O,-6) y D(O,l)
son los interceptos de la gráfica de R con el eje Y. 11) SIMETRIAS Se consideran
solo dos tipas ,se simetría: respecto a un punto y respef
to a una recta. Definición
5.3
Se dice que dos puntos P y P' están localizados simétricamente
pecto a un tercer punto M -
con res-
lA es el punto medio del
segmento que los une. En ese caso, M es un centro de simetría del segmento PP'.
.. Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
352
Definición
5.4
Se dice que dos puntos P y P' están localizados
pecto a una recta L ~
simétricamente
L es la mediatriz
con resdel segmeu
to que los une. (Al punto P' se le denomina xión o imagen de P respecto
refle-
a la recta L, a la cual
se le llama eje de simetría). Veamos en seguida
el uso de estas definiciones
en la simetría de gráficas
de ecuaciones. a) Simetría
respecto al eje X
Si un conjunto R es simétrico
X, entonces, para cada punto P(x,y)eR un punto correspondiente
P'(x,-y)eR,
R tiene por ecuación E(x,y)=O, simétrico
respecto
y
respecto al eje
P{x,y)
?
debe haber
I I
es decir, si
I
--:O~----II---
entonces R será
al eje X si y sólo si:
I
6
E(x,y) = ± E(x,-y) (La ecuación no cambia si se reemplaza
P'{x,-y)
y por -y)
Por ejemplo, para la relación R={(x,y)eR'ly'-4x=OI, Entonces: E(x,-y):
(-y)'-4x=O
COmo vemos: E(x,y)=E(x,-y), b) Simetría
respecto
entonces,
R es simétrica
respecto al eje X.
al eje Y
P'(-x,y)ER,
decir, 3i R tiene por ecuación E(x,y)=O,
debe
=
P'(-x,y)
0--- - -
P (x, y)
- - _.-i)
es entoD
respecto del eje Y, si y
E(x,y)
y
respecto del
eje Y, entonces, para cada punto P(x,y)eR haber un punto correspondiente
sólo si:
sea E(x,y):y'-4x=O
E(x,-y): y'-4x=O
++
Si un conjunto R es simétrico
ces R será simétrica
± E(-x,y)
-------~O~------~x
(La ecuación no cambia si se reemplaza x por -x) Por ejemplo, para la relación R={(X,y)ER'lyl+8x'=OI, Entonces: E(-x,y): y'+(-x)'=O Como E(x,y)=E(-x,y),
•.X
I
~
la gráfica de R es simétrica
e) Simetría respecto del origen Los puntos P(x,y) y P'(-x,-y)
son simétricos
respecto del origen, por tanto, si para un conjunto R ocurre que: Pt», y) e R
++
sea E(x,y):y'+8x'=O
E(-x,y):y'+SX'=O
P'(-x,-y)f.: R
respecto del eje Y.
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
entonces se dice que el conjunto R tiene su centro de simetría el origen,es decir, si R tiene por ecuación E(x,y)=O, entonces: E(x,y) = ± E(-x,-y) (La ecuación no cambia si se sustituyen simultáneamente x por -x e y por -y) Por ejemplo, pora la relación: R={ (x,Y)f:R"lr+y'=4}, sea E(x,y) :r +y' =4 Entonces: E(-x,-y): (-x)"+(-y)"=4 E(-x,-y):r+y'=4 Vemos que: E(x,y)=E(-x,-y), por lo tanto. la gráfica de R es simétrica respecto al origen. 1 Jl)
EXTENS ION
Para detenninar donde se localiza la gráfica de una relación. se recy rre a lo siguiente: a) Despejar. si es posible, cualquiera de las dos variables: y = f(x) (Para calcular el dominio de la relación) x = g(y) (Para detenninar el rango de la relación) b) Si la ecuación de la relación tiene la forma: f(x) = P(x) Q(x) donde P(x) y Q(x) son polinomios que no tengan factores comunes que contengan a x. tratar de faclorizar el denominador y excluir aquellos valores de x para los cuales Q(x)=O c) Si la ecuación de la relación tiene la forma: y" = función racional tratar de factorizar el s~o miembro y mediante inecuaciones detenninar los intervalos o regiones del plano en los cuales y"~O. y e--cluir los valores de x para los cuales y"
Discutir la extensión de Id gráfic~ de la relación: R={(x.y)eR"I4r"+9y1=36}.
Solución.
DespejaRdD
y=1(%),' 8e
tiene: y'" ± 1/9-x'
...•ay •.• 9-x" ~ O ...• -x" ~ 9 -3 ~ x ~ 3 Entonces: Dom(R)=[-3,3] Valores ex¡:luidos: <-.-3>u <3.-> La grafica de la relación R está contenida e~ tre las >rectas verticales %=-3 y %=3 Análog(lll61\te: x = ± %14-y':J.x ++ 4-y2 ~ O ..•. y'- ~ 4 wego.
RanlR)=t-2.2].
+-+
-2
-s
y~
2
Valol"es excluidos: <-.-2>U
y
2
-2
<2.*"'>
• 354
Capitulo 5: Gráficas de Relaciones
La gráfica de Restó contenida' entre las rectas horizontales y=-2, y=2. Luego, se sCJllbreael rectángulo que detennina la extensión de la curva en e/ plano. Dado que la curva está encerrada en un rectángulo de dimensiones finitas, se trata de un caso de gráfica acotada. ASINTOTAS
(IV)
Si para una curva t; existe una recta L tal que si nos movemos a lo largo de L Indefinidamente, la distancia entre L y e tiende a cero, entonces se dice que L es una recta aaíntota, o que € es asintótica a L. una curva puede tener una, varias o ninguna asíntota. Entre las e/ases de ~ sfntotas figuran /as asíntotas horizontales, verticales y oblícuas. a) Asíntotas Horizontales. Tienen la fonna: y=k Para hallar las asíntotas horizontales de una , curva se ordena su ecuación E(x,y)=O en potencias decrecientes de x y se hace cero, si es posible, el coeficiente de la mayor potencia de x, luego se despeja y. EjeMplo. Hallar las asíntotas horizontales de la gráfica de la relación R={ tx, y) eRa Ix*Y+.%)I*-r-l=O}.
Solución.
Ordenando en potencias decrecientes de x se tiene: E(x,y):(y*-l)r+y·x-l=O AquI vemos que la mayor potencIa de x es r, y su coeficiente es y·-l. Luego, si y·-l=O ++ y=-l o y=l son las asíntotas horizontales de la gráfica de R. b)
Asíntotas Verticales. Tienen la fonna: x--h
Para hallar las asíntotas verticales de una curva de ecuación E(x,y)=O, se ordena ésta en potencias decrecientes de y, se hace cero, si es posible el coeficiente de la mayor potencia de y, luego se despeja x, Eja.plo.
Hallar las as1ntotas de la gráfica de la relaclón R={(x,y)~~lxly-xy-2y-l=O}.
Soluciiin. Ordenando se tiene: (xl-x-'2)y-l=O Aquí el coeficie'!te de la mayor potencia de y es: x.l-x-2. Luego, si r-:r:-2=O - ;r--l o ;r-2 son las asíntotas verticales de la curva. (Trazoctode la GUrva). ConsIste en calcular un núnero adecug do de puntos para obtener una gráfica aproximada de la ecuact6n docta.
V) TABt1L.1ClC;W
"
Sección 5.3: Gráficas de Relaciones de R en R
EJERCICIOS EJEMPLO
1.
Solución.
355
ILUSTRATIVOS Discutir
y graficar
la relación:
Sea E(:x:, y) ::x:y-2x-y-2=O Intersecciones
1)
X.
a) Con el eje
11) Simetría:
con los ejes coordenados:
E(;r,0):-2x-2=O
b) Con el eje Y.
~
E(O,y):-y-2=O
;r=-l
+
no tiene potencias respecto
y=f(:x;) .•. y =
a)
=
.•. :x:
IV) Asíntotas.
Pi .
verticales:
V)
Construcción
.•. Dom(R) y=2
=
R-{I}
..• Ran(R)
=
R-{2}
Horizontales:
(y-2);r-y-2=0 Asíntotas
pares de :x:e-y, la
de los ejes coordenadas.
2:x:+2 x=I-
Valor excluido:
a) Asíntotas
b)
8(0,-2)
curva no es simétrica
Valor excluido::x:=l x=g(y)
A(-l,O)
+
y=-2
++
Dado que la ecuación
111) E:ctensión.
b)
R={(;r,y)dl'!xy-2x-y-2=Ol
y-2=0 ~
+
y=2
y
(x-l)y-2x-2;0 .•.:x:-l=O-
x=1
de la gráfica.
a) Si existen,
se trazan las líneas de guía _____ (Asíntotas). x=1 , y=2
b) Se ubican los interceptas Y. A(-I,O) y 8(0,-2) c) De y=f(;r), se analizan
los intervalos
los cuales y es positivo En Illa) : y>
con los ejes X e
2
1"-
I +----),~2
I
1-----.;~'9--+:------.x
para
o negativo.
O, para: x > 1 Y x < -1
Y < O, para -1 < x < 1 EJEMPLO
Solución.
2.
Discutir
y gralicar:
R={(x,y)eR1Ix'y-9y-3;r'=O}
'.
Sea E(x,y):x'y-9y-3x'=O 1) Intersecciones
con los ejes -coordenadas
a) Con el eje X.
E(x,O):~3;rl=O
b) Con el eje Y.
E(0,y):-9y=O
No hay interceptos 11) Simetría.
+
x=O y=O
con los ejes coordenados,
a) Con el eje +
+
E(x,-y)
la curva pasa par el origen
X: E(x,-y)~(-y)-9(-y)_3;r2 + 1: E(x,y) :. No 6S simét,.ica
-x2y+9y-3;r2=O
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
356
b) Con el eje y: E(-x,y)
=
(-x)'y-9y-3(-x)'
..•. E(x,-y)
=
E(x,y)
c) Con el origen: E(-x,-y)
y=f(x)
a)
y
~
=
=
..•.x
±3
=
Entonces: Ran(R) IV) Asíntotas.
a)
¡¡;
3X
-+
-
x=-3, x=3 ~
Asíntotas
V) Construcción
+
Asíntotas
~
+
;x:'-9=0-
;x:=±3
las asíntotas:
;x:=±3 , y=3
b) La curva pasa por el origen simétri camente respecto del eje Y. c) En lIla): Para ;X:E<-3,3>, y ~
.(y ~ O) v
y=3
----+--I
°
Solución.
3.
I I
I I
I
._.--+---1
1
I
I x
-3
1 1
I
I 1
La curva se extiende asintóticamente. EJEMPLO
3)
Y
x > 3, Y > 3
o
(y >
~j ,
La curva se extiende hacia abajo. Para ;x:<:: -3
Dom(R)=R-{-3,31
Horizontales
de la curva.
a) Trazamos
°-
~
Verticales.
(;x:1-9)y-3;x:=0
-x'y+9y-3r'=0
<-Q,0)U<3,+Q>
(y-3);x:'-9y=0 + y-3=0 b)
~
.',No es simétrica 3x (x+3)(x-3)
Valores excluidos: b) r=g(y)
x'~9y-3x'=0
(-x)'(-y)-9(-y)-3(-x)' le E(x,y)
~ E(-x,-y) Il1) Extensión.
+
:. Si es simétr~ca
Discutir y graficar:
R={(X,y)ER'!x'+xy'-2y'=01
Sea E(x,y):x'+xy'-2y'=0 1) Intersecciones
Dado que la ecuación
origen (No hay interceptos 11) Simetría.
a) -+
b) Con el eje Y.
con los ejes coordenados
carece de ténmino independiente,
Con el eje·X: E(;x:,-y)= x'+x(-y)'-2(-y)' E(x,-y)
=
E(x,y)
Comp)'"obarque: E(-x,y) le E(x,y)
a) y=f(x) ~ 3y -
IV) Asíntotas.
+
=
x'+xy'-2y'
r. Si es simétrica
c) Con el origen. Cam:Jrobar que: E(-x,-y) II 1) Extens i ón.
la curva pasa par el
con los ejes).
:. No es simétrica.
le E(x,y)
±X.(1; ° - °~
:. No es simétrica
y =
x 2-x ~
x < 2
+
Dam(R) = [0,2>
a) Asíntotas Horizontales: La curva no tiene asíntotas horí zontales porque el coeficiente de x3 es constante.
• 357
b) Asíntotas Verticales: (x-2)y'+x'=O
~
x-2=O •• x=2
V) Construcción de la curva: a)
la asíntota x=2 pasa par el origen.
Trazamos
b) La curva c)
siméhacia la 11
Para :1:&[0,2>, la curva se extiende tricamente y asintóticamente nea x=2.
EJEMPLO
Discutir
4.
Solución.
y graficar: R=Hx,y)clplxy"-x-2y'+1=OI
Sea E(x,y)=.ry·-x-2y·+1
I) Intersecciones con los ejes coordenados Con el eje X. E(x,O): -x+l=O. x=1 ~ A(1,O)
a)
b) Con el eje Y.
E(0,y):-2y·+1=O
~
y=±12i2
=
Simetrías. a) Con el eje X: E(x,-y)
II)
-+
b)
Con el eje Y. Canprobar
e)
Con el origen. Comprobar
Ill)
Extensión.
b) x=g(y)
-+
=
E(x,-y)
a) y=f(x)
-¡¡y 2yLJ x = yLl
+-+ -+
=
= xy·_x-2yl+l
:. No es simétrica
i E(x,y)
:.
No
es simétrica
±~
x-1 x_2~O-x~1 3l: +-+
x(-y)·-x-2(-y)·+J
'1 E(x,y)
que E(-x,-y) y
B(O, 1.2/2), C(O,-1.212)
.•.Es simétrica
E(x,y)
que E(-x,y)
~
~
Y
o
=
tI
-
x>2-
xc<--,l)U<2,+->
Ran(R)=R-{-1,11
IV) Asíntotas. a) Asíntotas Horizontales: (yl-I)x-2y"+I=O • yl-l=O +-+ y=±l b)
Asíntotas Verticales: (x-2)y"-x+l=O
~
x-2=0 •.• x=2 Y
de la curva. a) Trazamos las asíntotas: x=2 , y=tI
Construcción b) Ubicanos
los interceptos:
e) En 1110):
Para xc<~,l), A, B Y e, y se extiende
A, By
1
C.
---..al__-
--
-1- ---
,
f
la curva pasa parl---~--I-:A:---::2:i----"x simétrica
y asintQ 1__
ticanente hacia las rectas y=±l. Para XE<2,+->, la curva se extiende simétrica y asintóticanente
':' '--
hacia las rectas x=2, y=±l
--['
I
---:'1 ----+---':
358
Capítulo 5: Gráficas de Relaciones
5.
EJEMPLO
Solución.
Construir
la gráfica de R= {(x,y) eR'lx'-4x'+4xy' -y '=0 I
Factorizando
se tiene:
x+y=O Si E(x,y)=O
~
=
x - y {
°
x'+y'-4x
=
E(x,y)
(x+y) (x-y) (x'+y'-4x)
(R,)
(R,)
°
(R,)
Las gráficas de R, y R, son las rectas que pasan por el origen, L,:x+y=O
--~~----~-----4--~x
y L.:x-y=O,
respectivamente. R,:x'+y'-4x=0
++
(x-2)'+(y-O)'=4
Es una circunferencia
:. Graf(R) Nota.
=
Cuando
de centro C(2,0) y r=2
Graf(R,) u Graf(R.) U Graf(R,) se trata de graficar
no es necesario
discutir
dado que, por lo general,
relaciones
lo relacionado
las gráficas
de ecuaciones
factorizables,
a interceptos,
simetría,
etS
son rectas o curvas de característi-
cas ya conocidas.
EJERCICIOS: Grupo 34 Discutir y graficar
las siguientes
relaciones:
l. R={(x,y)eR'lxy+3y-x+2=O
7. R={(x,y)eR'lx'y+y-2=OI
2. R={(x,y)eR'Ixy-x-4y+3=O
8. R={(x,y)eR'lx'y'-4x'-y=OI
3. R={(x,y)eR'lx'y-9y-2x'=OI
9. R={ (x,y) eR'ly'=x(x+3) (x-2) I
4. R= I(x,y) eR1.\x'y-y-x'=O I
10. R=I(x,y)eR'lx'+y'-4y+4=01
5. R=I(x,y)eR'\x'y-3xy-6=01
11. R=I(x,y)eR'\x'+xy'-y'=OI
6. R={(x,y)eR'\x'y-12=OI
12. R=I(x,y)eR'I(x'-3x-1O)y=2x+ll
Construir 13. R 14.
=
las gráficas
de las siguientes
l(x,y)eR'\x'-y'-x'y+xy'-9x+9y=OI
R = l(x,y)eR'ly'+xy'-4xy-4x'=OI
15. R
=
16 •. R
= {(x,y)e-R'\y'+y'-x'-x=OI
l(x,y)eR'\x'-x'y-xy+y'=OI
relaciones: 17. R=I(x,y)eR'ly'=9x'-12x+41
18. R=I (x,y)eR'\x'y'-4x'+4xy'-y'=OI
19. R=I(x,y)eR'\x'+x'+2xy'+2y'-4x=41 20. R=I (x,y)eR'ly'-xy'-xy+x'=OI
*
'.
Sección 5.4: Funciones Reales de Variable Real
11I
FUNCIONES
359
REALES DE VARIABLE
En el Capítulo
3, Sección
una forma muy general
3.9, habíamos
sin fijarnos
forman, pero dado que nuestro
REAL estudiado a las funciones de
en lG naturaleza
interés está dirigido
san aqué 11 as [une iones cuyos pares ordenados
de l0;zsljetos que lo al análisi , nos inter~
es tán formados
les. Esto es, nos referimos a las funciones del tipo f:R llamaremos funciones reales de variable
or nínieros re!! R,
a las cuales
aeDom(f),
la expresión
+
real y denotaremos:
f = {(x,y)eRxRly=f(x)} o bien:
f
Según esta notación, fea) significa
=
{(x,f(x»eRxR!xeDom(f)}
si f(x) es una función de x
y
la imagen de a o el valor numérico
tituir x por a. Por esta razón siempre
obtenido por f(x) al sus-
se define
una función mediante una
regla que permite calcular poro cualquier XE~n(f), En consecuencia,
una función queda completamente
su imagen y=f(x).
determinada
o bien defini-
da si se conocen: Su,regla de correspondencia
i)
f(x)
i i) Su dominio EJEMPLO
Dada la función t=! (x,2x-l) IxeR}, hallar:
l.
a) f(2)
Solución.
Si xeR
b)
(2x-l)eR,
+
rrespondencia
c)
fea)
[(x+h)-[(x) h
luego, Dom(f)=R y Ran(f)=R.
de f es f(x)=2x-l,
entonces,
La
regla de co-
la función está bien
definida. Por lo que: a)
f(2)
=
2t2)-1
=
3
b)
c) f(x+h)=2(x+h)-1=2x+2h-1
EJEMPLO
2. Determinar
So 1 uc i ón.
La
fea) = 2(0)-1 = 20-1
f(x+h)-f(x)
2x+2h-1-(2x-1).
h
h
si el conjunto f={(r-l,x)!xeRI
2
es o no una función
reg 1a de correspondenc ia de f es [(r-1)=x
Para x=2
+
x=-2
+
f(4-1)=f(3)=2
Según la propiedad:
(x,y)ef
se sigue que:
(3,2)ef"
¡;.
(x.e)«]
(3,-2)ef
(3,2)ef
+
f(4-1)=f(3)=-2
(3,-2)ef
+
+ +
y=z 2 = -2 , lo cual es absurdo
Luego, f no es una [une ión. !NOta. No todas las funciones se definen por medio de una fórmula única.
,
360
Capitulo 5: Funciones
Por ejemplo,
si escribimos:
f(x)
tenemos una definici6n
perfecta
f(l) =: 12(1)-(1)1
y
m
1
=:
f(3)
=: {
de
=
1 1'2x-x , si. xc[O,2J x'-3x+2, si :r.&<2,61
una [unc ibn, Algunos de sus valores son:
(3)1_3(3)+2
2
=:
GRAFICA DE UNA FUNCION Cuando
el dominio
y rango de una función consisten
ambos, es posible plasmar el comportamiento Definición.
Dada una funci6n f:A+B, donde AcR ca de f y se denota
en números reales
de la funci6n en fonna gráfica. y BcR,
se define
"Gr(f)", al conjunto
La gráfl
de todos los pares
ordenados en los que :r.&A está como primer el~nento y su imagen y=f(X)ER fiID
I(x,y)eR1!:r.&A, ye{(x)cRICAxB
Gr(f)
o bien:
Gr(f)
EJEMPLO
7>, esbozar Solución.
=:
l(x,y)eRz!:r.&AlcAxB
Sea la.t'unci6n f:A+Blf(x)=2x-3
3.
En primer
la gráfica,de
y los conjuntos
f mostrando
lugar construimos
A=:[2,5> y 8=[1,
el conjunto AxB.
el
AxB (zona sombreadO), la gráfica de f eligiendo
rectángulo luego esbozamos
co-
Es decir:
segundo elemento.
y.
dos puntos de A=Dom(f)
x=2eA
+
f(2)=2(2
x=5,A
+
r(5)=2(5)-3~7
Obsérvese que aunque
3=1 (5,7)~Gr(f)
to nos sirve como referencia
este pun-
para el trazg
---;:+---;;...'
O
do de la Gr(f).
2
!~ A...j
.',Gr(f)={(x,2x-3) Ixc[2,5>lc Ax8
11II
PROPIEDADES G.l:·~
:n:A,
existe un par ordenodo
G.3: Si P(x,y)cGr(fJ .• , Sea la funci6n
res ordenados a) (-2,-2)
fl
DE LA GRAFICA DE UNA FUNCION
G.2: (x,y)EGr(f) ~ (x,z)eGr(f)
EJEMPLO
---'>~-- X
+
+
(x,y)EGr(f),
esto es Dom(Gr(f»=A (Unicidad)
y=z
P(x,y)Ef
real f(x)~6+2.x-:r>. Decir si los siguientes pertenecen
o no a la Gr(f).
b) (3,3)
el (6,18)
pa-
361
Sección 5.6: Calculo del Dominio de una Función
Solución.
Según la propiedad G.J, se tiene: f(-2) = 6+2(-2)-(-2)"= -2 + (-2,-2)EGr(f)
. a)
b) f(3) c)
f(6)
= 6+2(6)-(6)'
= 3
= 6+2(6)-(6)"
= -18
(3,3)EGr(f)
+
(6,18J'Gr(f)
+
Observación.
Saber/losque una función no debe tener dos pares ordenados con la mismo primera componente. Según esta propiedad si se presenta la gráfica de una función en R'- se debe cumpl ir la siguiente propiedad fundamental: "Una relación f:A+B, Ac R y BCR, es una función real si y sólo si cada línea vertical L corta a la gráfica de f a lo más en un punto P". Es decir: Gr(f)nL = [P}, PEOR' Esta observación proporciona un criterio visual para funciones. EJEMPLO
5. En las siguientes gráficas, establecer la diferencia entre grQ
ficas de una función y los de una relación. y
a.)
L
b)
L
Y
y.
---+~------~~----~x O X,
X.
----O+---~------------~x X,
Solución.
La gráfica de a) es la de una función porque una línea vertical L corta a la curva en un solo punto P, esto es, a cada 'elemento del dominio le corresponde una de la imagen: x, + y, x, + Y, La gráfica de b) es el de una relación que no es una función pues una línea vertical L corta a la curva en dos puntos P, Y p •• es decir, a cada elemento del dominio x, le corresponde varias imágenes. las comprendidas entre Y, e Y •.
m
CALCULO DEL DOMINIO DE UNA FUNCION
Cuando una fun~ión viene dada por una fónmula o regla de corresponde~ cia. se suele sobreentender Que el dominio consiste de todos los números pq ra l.os que la regla de correspondencia está bien definida. Ahora bien. el dominio de una función puede describirse e:rplícitCJlleTlte junto con la función o estar ~Iícito en la fónmula Que define a la función. por ejemplo, pora las funciones: f(:X:)=1-2:l:. -3~5 Y g(x)=;x:'-x.~3
362
Capitulo 5: Funciones
el dominio está descrito erplícitamente, pues: Dan(f)=fx&RI-3~~5} y Dan(g) = ~RIX<3}
=
<-3,5]
= <-",3]
Por su parte: a) Las funciones r-ccíonntes de la forma: f(x) = tienen como dominio il!!. plícito a R-{xsRlq(x)=O} b) Las funciones con ratces de tndice par: f(x)=2~g(x), nEZ+, tienen como dominio implícito al conjunto {xERlg(x)~O} e) Las funciones con raíces de índice impar: f(x)=2n+~g(X), nEZt tienen cQ mo dominio implícito al dominio de g, esto es; Dom(f)=Dan(g).
~f~~
EJEMPLO a)
f(x)
8.
=
x e) h(x) = a / x+l Ix2-5x-14 "x·-5::x:2-4r+20 La funci6n tiene sentido - 9-x'~O - x'~9 - -3~3 Entonces: Dom(f) = fXERI-3~3} = [-3,3]
'19-::x:~
Solución. b)
Hallar el dominio de las funciones:
a)
g(x)
g(x)
b)
x
=
.• Dom(g)
{xclll
(x+2)(:c-7»O}
{xcR!x<-2
Ó x:'71
l(x+2)(x-7)
<-"',-2>1.1 <7,_> e)
h es una funci6n con raíz de índice impar, luego: Dom(h)=Dom(fJ, donde
=
f(x)
X_+_l
_ , x
¡. -2,2,5
.• Dom(h)
=
R-{-2,2,51
(::x:+2)(:x;-2)(:c-5)
BIJ
CALCULO DEL RANGO DE UNA FUNCION
COso 1. Cuando el dominio está implícito en la regla de correspondencia que define a la función. En este caso se despeja x en ténninos de y, luego se analiza para que valores de y, x es rea/. EJEMPLO
Solución.
Hallar el rango de la función: f(x)
1.
3x~+4
= xC4
Sea y=f(x) .•y(xl-4)=3xJ.+4 - x = ±2¡f:~
Entonces: xeR
+-+ ~
~
O - ~-1 ó y>3
:. Ran(f) = {yERI~-l 6 y>3}
=
<-",-1] u <3,+">
caBO Z. Cuando el dominio estó descrito explrciLamente junto con la fórmula que define a la función. ES decir, si (:A+B, entonces Ran(f)=f(A), donde feA) es el conjunto de imágenes de x, tal que xcA.
.v
363
Sección 5.6: Calculo del Dominio de una Función
EJEMPLO
8. Sea la función f={(x,y)eRlf(x)=4+2x-x", .:re:[-2,4J. Hallar su
rango. Solución.
f(x)=5-(x-l)". Llegaremos al segundo tremo de esta fónmula partiendo del dominio de la función.
Si f(x)=5-(x'-2xd)
(1) Si .:re[-2,4J
++
-2~~4
++
.•
El:!
-3~1,3
Elevando al cuadrado: O ~ (.:r-l) , ~ 9 .• -9 ~ -(.:r-l)1~ O (3) Stmando 5: ·-4", S-(.:r-l)· "' 5 .• -4 < fe;:;:) < 5 (4) Por tanto: Ran(f) = f([-2,4) ~ {y&RI-4 ~ Y ~ 5} = [-4,5] (2)
.' 2.:r-7 I.:r EJEJlPLO 9. Uallar el rango de la [unctbn: f = {(x,-x:y)
Solución.
Regla de corr-espondenctu Si A=<2,+&>
(1)
Si
(2)
Como .:r-1 > 1,
.:r
> 2
.• .:r-l> 1
.• Ran(f)
(3) Luego, de los pasos (1)
(5) Por tanto:
-5:
de f: f(x)
=
feA)
=
2:r:-7 = -x=r =
5
2 - .:r-l
f(<2,+o» .
.• _1_ < 1 .:r-l
también x-l
(4) Multiplicando por
.
> 2}.
> O
.•
-J.... > x- ~
(Si aeR
O
y (2) se sigue que: O <
-5 <
_...L -::O :r:-l
Ran(f) = ~xeRl-3 < y
< 2}
.•
=
y
0>0
1
i=i
-3 < 2
< 1
_-L ;r-l
< 2
<-3,2>
Definición.
FUNCION·RESTRINGIDA Sean los conjuntos A,B y D subconjuntos de R y sea la funci6n f:A+B. Si definimos la función g:D+B, tal que: f(x)=g(x), "".:reD, DcA entonces se dice que la función g es la rest,.icciónde f a¡" conjunto D. F.quivalentemente, si f:A+B tiene una restricción g:D,.B, DCA, entonces se dice que f es una extensión de g al conjunto A. EJ~LO
10.
Dada la función f:[-l,3>+<-2,1]lf(;r)=9-.:r', indicar el dominio, rango y construir La gráfica de la función g, sabiendo que g es la rest,.icciónde al conjunto DC[-1,3>. y
r
Solución.· Para f, el conjunto de partida es A=[-1,3> y el conjunto de llegada ·esB=<-2, 1]. Si g:./)+BI f(.:r)=g(x),iXeD, para hallar D se procede del modo siguiente: (1) Se construye el rectángulo Ax8. (2) Se traza la parábola y=9-xI, con vértice en V(O,9).
-) I
Capítulo 5: Funciones
364 (3) Interceptamos
las rectas y=7, x=3 (restricción)
Si x13
.• YI9-9=0
Si y=7
.• 7=9-x' .•x'=2 .•x=12 (pues x>O)
(4) Luego: D=Dom(g)=[I2,3> EJEMPLO
con la parábola.
.• (3,O)tGr(f) (/2,7)eGr(f)
y Ran(g)=f(D)=
11. Sea la función f:[-2,6> .• [-4,4)If(x) el dominio,
rango y construir
X'-8~~~17X+4,
hallar
la gráfica de la función g que
es la restricción de f al conjunto DC[-2,6>. En f, el conjunto de partida es A=[-2,6> yel
Solución.
da es B=[-4,4). (1) f(x)
=
(x-4)(x'-4x-l)
x-4
Si g:D .•Blf(x)=g(x),
=
x'-4x-l
~eD,
x14
' r
conjunto de IlegQ se tiene:
y
(2) Trazamos el rectángulo AxB y luego la parQ bola y=(x-2)'-S,
x14, de vértice V(2,-S).
(3) Jnt er-cept omos las rectas y=4, y=-4 (extremos de Si y=4
B)
con la parábola y=x'-4x-l-
.• x'-4x-S=0
y=-4
++
.• x'-4x+3=0
(4) Si x14 .•YI16-16-1=-1
++
x=-1 ó x=S x=l Ó x=3
.•P(4,-1)tGr(f)
(5) Luego, Dom(g)=[-l,l) u [3,S)-{4} Ran(g)=f(D)=[-4,4]-{-1} EJEMPLO
12. Hallar una función f(x) que exprese el área del rectángulo de bose x y perímetro 2a
Hallar
(0)0)_
también el dominio y ran-
go de f. Solución.
(1)
Si x e y son las dimensiones
(2) Dado que: p=2x+2y=2a (3) Entonces, en
f(x)=x(a-x)
(1):
del rectángulo
.• f(x)=xy
.• x+y=a , "de donde: y=o-x
, a>O , es la función buscada.
(4) Dominio de la función f. Como el área es un valor positivo, entonces: f(x) > O (5)
~
x(x-a) > O
++
Rango de la función. De (1):
~ < a.. (6) SI" O < ~
-
2a
<
a x - 2
O < x < a f(x) a .• <"2
.•
Dom(f)= a' a ax-x' ="4 - (x- 2)2 O~
a). (x- 2
2
a <"4
0< (7) Por lo que: Ran(f)
=
f(x)
02
~"4
• Ejercicios: Grupo 35
365
EJERCICIOS: Grupo 35 En los ejercicios
del 1 al 4, determinar
si el conjunto dado de pares orde-
nados, es o no una funcioo. 1.
{(x+2,x) IXE:R}
3.
{«x+l,y-3),(x,y})I(x,y)cR1}
2.
{(x1+2,x}lxeRI
4.
«(x,y~),(x,Y})I(X,Y)CR2}
5.
Si f es una función real de variable real, tal que f(x+3)=xt-l, el valor de
6.
a-2
'
a~2
Si f es una funei6n real de variable real, tal que, f(x+l}=x2+3, e
7.
f(a+2)-f(2)
hallar
1
1 de va or
Determinar
f(a+2}-f(a-2) a-1!-
hallar
41 ar
una funci6n cuadrlitica f (dar su regla de correspondencia)
que tiene a~R como su dominio y tal que, f(-1)=3 , f(2)=0 , f(4)=28 8.
Sean f:R.
R Y g:R
R, tales que: f(x+3)=4x+l,
+
g(x+5}=3x-l,
si A=lxERI
f(x) e g(x)}, hallar A'O<-,30). 9.
+ Rlf(x) = 1 + 1:.. x De las siguientes afirmaciones,
Si f:
al f(1/35,l/79}
cu.Ues son verdaderas'?
,. 115/114
b) f(x}c
, ~c
el Si ;JacR tal que b=f(a), entonces ¡icr:Rtal que c=f íb)
o
En los ejercicios
10-15, diga si la relaci6n dada es o no una funciOno
Hallar el dominio, rango y construir la grlifica de cada relaci6n. 10. a={(X:Y)ER1Ix2-y=1}
13. R={ (X,Y}CRlI4yl_X'=144,
y ~ 01
11. R={(x,ylcR1Ix'-4x-2y+10=O}
14. R={(x,y}cR'14y'=x'-4xl
12. R={(x,y)CR1Iyl+4x=4
¡5. R={(X,y)CR"lx'+y'+lx-4y--4}
, y ~ 01
. O En los ejercicios de 16 al 19, hallar el rango de la funci6n. 16. f:[-l,2> 17. f:<-2,3]
+ +
Rlf(x}=x1+2 1
Rlf(x}=x +4x-l
18. f:[-2,2>
+
Rlf(x)=3+2x-x1
19. f:<-1,2J
+
Rlf(x)=1+13+2x-x1
O En los ejercicios del 20 al 29 se da una funci6n f:A nio, rango y construir
la gr~fica
ae la
+
funci6n g:O-B
B, hallar el domi que es la restrif
ci6n de f al conjunto De A. 20. f:<-4,l>
+
[O,5Jlf(x)=x'+4x+3
22. f:[-3,3> • <-1,7)lf{x)=3-2x
21. f:[-2,2J
+
[l,3Jlf(x)-I9-x·
23. f:[-3,3]
+
<2,5]lf{x)=lxl+lx-ll
Capítulo 5: Funciones
366
24. f: [-2,3>
+
[-1,2]lf(x)=x'-2
27. f:<-1,5]
+
[-3,5]lf(x)=5+2x-x'
+
[-1,7>lf(x)=
25 f: [-2,3>
+
[-2,6>lf(x)=x'-9
28. f:<-5,2]
26. f:[1,4>
+
[-1,5>lf(x)=x'-4x+3
29. f:[1,5>
+
[O,6>lf(x)
=
X'+~~~3X+l 12x+7x'-x' x-3
* DI
FUNCIONES
11m
FUNCION
ESPECIALES
IDENTIDAD
Es aquella función denotada go es el conjunto de los números
por I:R
R, donde el dominio y el ran-
+
reales y que
y
tiene como regla de correspondencia: l(x)
=
Es decir, en esta f~ción corr-esponde a si mismo.
x cada número real se Su gráfica
es la rec-
de pendiente m=Tan45 °=1 , detenminada {(x,xJlxERI
y que pasa por el origen.
Cuando el dominio de la función tá restringido lA'
----------~----------x·
por:
a un conjunto
identidad es-
Ac R, se denota:
esto es: IA(x)=>r, -\':x:EA
se dice entonces que es la función
lIB
FUNCION
sobre A.
Identidad
CONSTANTE
Es aquella función,
denotada
por
e,
con dominio R y el rango consi§
te en un número real, cuya regla de .correspo!)
Y.
-c
dencia es: (;= {(x,y)ly=cl
o bien, C(x)=c. La gráfica de la función con§ tailte es el conjunto de pares ordenados:
x
{(x,cJlxeRI, o sea una recta horizontal.
En
particular,
es nula: y=O,
es el eje X.
si
c=O, la función constante
-\':x:ER,
cuya gráfica
Sección 5.7: Funciones Especiales
lIIl
367
FUNCION LINEAL Es aquella función con dominio R y c~
ya regla de correspondencia {(x)
=
es:
mx+b
donde m y b son constantes y mlO. Su gráfica es una recta cuya pendiente
es
m=tga y su ordenada en el origen es b. EJEMPLO
l.
Sea
f una función
1 ineal de pendiente
m,
e
intercepto con el
eje y igual a b, tal que f(m'-2b)=f(b+12-2m') y f(2m+b-2)= f(m+b-1); hallar la función g si se tiene g(x+4)-x=f(-!l;b)+f(-!l~b). Solución.
Sea la función lineal f(x)~+b, f(m'-2b)=f(b+12-2m')
f(2m+b-2)=f(m+b-l)
-
Luego, en (1): b=5
mil
=
=
m(b+12~2m')
~
b=m'-4
(1)
, de donde: m=3
..• f(x)=3x+5
Entonces: f(7)+f(--6-) ú~ego, g(x+4)-x
mlO
m(m'-2b)+b
~(2m+b-2)+b=m(m+b-l)+b
.m-b
)1l+b
~
12 ~
=
=
f(l)+f(-1/3) g(x+4)=(x+4)+8
3(1)+5+3(-1/3)+5
~
12
g(x)=x+8
FUNCION CUADRATICA Es aquella función con dominio R y definida por la regla de corres-
pondencia:
{(x)
=
ar'+br+c
donde a,b y c son constantes y 010 Su gráfica es una parábola simétrica
respecto a la recta vertical x=h, lla-
mada eje de simetr(a, abierta hacia arriba si a si a < O (Fig.5.10).
>
O (Fig.5.9) Y hacia abajo
y
y
T k
o
x
x
Figura 5.9
Figura 5.10
368
Capítulo 5: Funciones
El vértice de la parábola se puede ubicar ma: y=a(x-h)'+k, mediante
t.ronsformanao la función a la fOE
el artificio de completar el cuadrado:
b b' b' ~)' [Lx) = a(x' +,? + 40') + c - 40 = a(x + 2a donde:
b
h
- 20 Y
k
4ac-b'
+----;¡a
4ac-b'
=40
Para a > O, la función tiene su valor mínimo k, cuando x=-b/2a, es decir, el V(h,k).
punto más bajo de la gráfica es el vértice
Para a < O, la función tiene su valor máximo
k, cuando x=-b/2a, es decir; el
punto más al to de la gráfica es el vért ice V(h,k).
EJEMPLO
2. Si f(x)=-3x'+6x+2,
Solución.
Completando
detenninar su valor máximo o mínimo.
el cuadrado obtenemos: f(x)=-3(x-l)'+S
~ h=l Y k=S
Como 0=-3<0, el punto más alto de la parábola es el vért. V(l,S) o sea el valor máximo de la función es y=S. EJEMPLO
3.
Sea 9 una función cuadrática -g(x-l/2)=4(2x-l),
Solución.
tal que g(O)=l y tal que g(x+1I2)
~xeR. Hallar el único valor de xeR!g(x)=O.
Sea la función cuadrática g(x)=ox'+bx+c Si g(O)=l
l=O+O+c
g(x+l/2)-g(x-l/2)=8x-4
c=l
+
g(x)=ax'+bx+l
a(x+l/2)'+b(x+l/2)+1
- a(x-l/2)'-b(x-l/2)-1=8x-4
de donde: 2ax+b = 8x-4 . Identificando coeficientes Entonces: g(x)=4x'-4x+l=(2x-1)'. EJEMPLO
4.
Luego, si g(x)=O
se tiene: 0=4 y b=-4 +
(2x-1)'=0
++
x=1/2
Un hombre que dispone de 160 pies de alambre desea cercar una superficie
de fonna rectangular.
Si uno de los lados no necesi
ta cerco, cuáles deben ser las dimensiones
para que el área sea máxima?
Solución.
r r te : e:no l
Seanxeylasdimensionesdel Area de la superficie: A=xy
Perímetro por cercar = 2x+y
+
2x+y=160
+
y=160-2x
lx------y------xl
2
(2) en (1): A(x)=x(160-2x)=-2(x-40)'+3200 C~
0=-2<0, la función A alcanza su rnáximo valor de 3200 cuando x=40 pies,
luego, en (2): y=160-BO=BO
pies.
Sección 5.7: Funciones Especiales
L!IJ
369
FUNCIO Es aquella función con dominio el co~
y
junto de los números reales positivos y cuya regla de correspondencia
f
=
es:
{(x,y) !y=,IX¡
poro la cual f(x)=,IX es el número cuyo cuadr~ do es x. Los elementos del conjunto f son pares de la forma:
--~~------~----~
{(y',y)!y ~O¡
Esto es, Dom(f)=[O,+c>
x
x
y Ran(f)=[O,h>.
Nótese que cuando elevamos al cuadrado ambos lados, la ecuación y=~
toma
una forma conocida, y'=x. Esta ecuación representa
una parábola de eje horizontal
con vértice en el ~
rigen que se abre hacia la derecha. Por lo tanto, la gráfica de y=~
es par
te de la gráfica de la parábola y~~x con y ~ O. EJEMPLO
1.
Solución.
Construir
(1)
la gráfica de f(x)=12x-4, dar su dominio y rango.
Sea y=12x-4
..• sy -
2x-4 ~ O -
Entonces: Dom(f)=[2,+z> (2) Dado que y ~O,
x ~
2'
y
V,rcDom(f) ~ Ran(f)=[O,+z>
(3) Elevando al cuadrado se tiene: y'=2(x-2) ..•x
=
~yt+2
, es una parábola de eje ho-
rizontal, con vértice en V(.,O). Luego se construye parte de esta parábola EJEMPLO
Hallar el dominio,
2.
f(x)=lxt-3x-4 Solución.
(1)
arriba del eje X.
el rango y trazar la gráfica de la función
.
Dominio de la función: y ~ sy _
=
(x+1)(x-4) ~ O -
~ Dom(f)=<-z,
IxL3x-4
función es la unión de dos intervalos cu-
(y
>~O).
=
x2-3x-4
++
es una curva
indefinidamente
arri-
:. Ran(f)=[O,->
(3) En (1), elevando al cuadrado
y2
l(x+1)(x-4)
-1] U [4, +z>
yos extremos son ±;., su gráfica abierta que se extiende
=
x.$ -1 v x ~ 4
(2) l~ango de la función. Como el dominio de la
bo del eje X
O
se tjene:
(x-3/2)2_(y-O)2=25/4
y
Capitulo 5: Funciones Especia/es
370
Luego, la gráfica de la función es parte de La hipér'boLa de La forma: (x-h)'-(y-k)'=a',
rJZa
con centro en C(3/2,O).
FUNCION
0=5/2, arriba deL eje X.
DE GRADO n
POLINOMICA
Es aqueLla función con dominio R y cuya regla de correspondencia
e~
tá dada por:
i t»)
= aox
n
donde n es un entero positivo
+ alx
n-l
+ an ,an son constantes
+ ..
al' a •....
y 00,
reales
(0010)
Es evidente que las funciones
constante,
ticuLares de una función poLinómica
11m
FUNCION
Lineal y cuadrática
RACIONAL
Si f y g son funciones poL inómicas, La función rrespondencia es: F(x)
aoxn + alxn- J + b,xn t blxn-1 +
f(x) g(x)
=
son casos par-
de grado n.
cuya regla de co-
F,
g(x)IO
se denomina función racionaL. Cualquier
función
poi inomial es una función
g(x) es una función constante,
en porticuLar
racionaL,
esto ocurre cuando
cuando g(x)=I, v.x~Dom(g).
El dominio de una función racionaL es el conjunto de los números reaLes taLes que g(x)10. EJEMPLO
l.
HaL lar eL dominio,
f (x) Solución.
=
Factorizando f(x)
Restricciones:
=
rango y trazar La gráfica de La función:
x'+4x'+x-6 x' +2x-3 los términos de La función racional se tiene:
(x+2)(:r+3)(x-l) (x+3)(x 1)
x=-3 x=l
f(x)=x+2, xl-3 , xII
y=-3+2=-1 :. y=1+2=3
Luego, La gráfica de La función dada es La recta L:y=x+2, sin Los puntos P(1,3) y Q(-3,-1). Luego, Dom(f) Ran(f)
= =
R-{-3,11 R-{-1,31
'.
Sección 5.7: Funciones Especiales
EJEMPLO
2.
Hallar e! dominio,
=
f(x) Solución.
371
rango' y construir
Factorizando
los ténninos de la función racional se tiene:
f(x) = x(x+l)(x-5)(x-2)(x-4) (xtl)(x-2)(x-5) ~
f(x)=(x-2j'-4,
la gráfica de la función
(x'-4xl-5x)(xl-6x+8) x' -6x1+3x+lO
= x(x-4)
, x#-l , x#2 , x#5 y
x#-1,2,5'
La.gráfica de f es la de una parábola de vértice en V(2,-4). Entonces: Para detenninar
=
Dom(f)
R-{-1,2,51
el rango tuü t cmos los puntos
excluidos, esto es: Si x=-l .•y=(-3)1_4=5
..•P(-1,5)~G(f)
x=2 .•y=(O)'-4=-4
~
x=5 .•y=(3)1_4=5
V(2,-4)~G(f)
~
Q(5,5)~G(f)
Obsérvese que los puntos P y Q tienen la misma ordenada, entonces habrá que quitar y=5 del.rango, esto es: Ran(f)=<-4,5>u<5,+~>
11II
FUNCIONES
SECCIONADAS
Hasta aqur hemos
tratado solamente
una misma fónnula nos describe dominio. Sin embargo, podemos miento dependiendo
el comportamiento
de los valores del dominio. Es decir, si una función esentonces: {,(x)
f(x)
Ran(f)
= =
EJEMPLO
l.
y
Dom(f)
Solución.
de la función en todo su
tener funciones que tengan distinto comporta-
tá definida por dos o más secci~s;
tales que: AnBncn
funciones de tipo f(x)=y, donde
...
= •..•
, xEA
f,(x)
xEB
f, (x)
XEC
G(f)
=
G(f,)lJG(f,)UG(f.)u.
Dom(f,)lJDom(f.)UDom(f.)u. Ran(f,)
U
Ran(f.) u Ran(f.)lJ .
Graficar y hallar el rango de:
f(:.:)=
{-~,
:: =2<-$-!< 2 3,six~2
Obsérvese que el dominio de la función se ha dividido en tres
Capitulo 5: Funciones Especiales
372
subconjuntos: A=<-;2>. B=(-2.2>. C=(2._>, tales que: AflBnC " " y que los valores de la función dependen de donde esté localizada x. Por ejemplo: f(-4)=-l, puesto que -4&<-,-2> y f(0)=1 • puesto que Qe[-2.2> r 3 f(5)=3. puesto que SE[2._> I Er¡"toncesla gráfica de f(x) en cada sección 1 es una recta paralela al eje X, dado que: I x f.(x)=-1 • f.(x)=1 • f.(x)=3 , 80n {uncio-4 O 2 6---- 1 nes constantes. Dam(f)=R ~ Ran(f)={-l,l.3} 1 :. ocn = G(f.>UG(f,.)uG({.)
- --
:
:
EJEMPLO
Hallar el doorinio, el rango y trazar la grá{ica de
Z.
=
{(x)
,
{X'
la
{unción
-4 , s i x: < 2 IX-2I, s i x >.. 2
SOlución. Aquí el doorinio de la {unción se ha dividido en dos subconjuntos A=<-o,2> y B=(2,_> .• Dom(n = AIJ.B = R r---~~~----------~ y (2) Detenninación del rango: Sea f.(x)=x·-4 (Parábola con vértice en V(O,-4)).Six<2" (x<0)..,(0~x<2) .• (x' > O) v (O..:¡ x' < 4) Xl >-- O
-e-
xl-4
~ -4 .• {. (x) ~ -4
Ran(f.)=[-4,-> (3)Six~2 .• :r-Z>"O .• {.(x)=:r-2 'Entonces: f.(x) >.. O, luego, Ran(f.)=[O,-> (4) :. Ran(n = [-4, _> U [O,_> = [-4,_>
GIl)
FUNCION ESCALaN UNITARIO
paso
y que está definida par:
Es 0"
aquella fUnción denotada por ua' que se lee "escalón unitario de O
Ua(x)
=
ll(x-a)
=
{
,
si x
< a
1 , si x ~ a cuyo ,Dom(Ua)=R y Ran(ua)={O, 1 I
EJEMPLO.
-4
~~---.! "'---"I'!'ór ~
.::
Sea una {unción que consiste en el conjunto'de pares ordenados (x,y), donde y está relacionado con x por: f(x)=u(x)-2u(:r-l)+ u(:r-2), donde u es la función escalón unitario. Indicar su doorinio. rango y construir su gráfica.
•• Secci6n 5.7: Funciones Especiales Solución.
373
Sea y = u(x)-2u(x-l )+u(x-2) Por definición:
u(x)=uo(x)=
O, x-cü 1 , x2:0
; u(x-l )=u,(x)= {
{
0, x-cl
u(x-2)=u2(x)=
1 , x2:1
siguiendo el método de los puntos críticos, determinamos
los intervalos de variación en
x=O, x= 1 y x=2. En cada intervalo, la función u tomará los valores de y derecha, respectivamente, x < O O •
del punto crítico correspondiente. O $ x< J J O $x < 2
e
u(x)=O u(x-J)=O u(x ·2)=0
Luego, en (1): si
x<
O, x<2 { 1, x2:2
°
y J, a la izquierda x ~2 ~+oo
°
u(x)=l u(x-J)=O u(x-2)=0
u(x)=l u(x-l)=J u(x -2)=0
u(x)= J u(x-J)= 1 u(x-2)=·1
°
~
Y = 0-2(0)+0 =
O$x<1
~
y = 1-2(0)+0 = 1
1$x <2
~
Y = 1-2(1)+0 =-1
°
x2:2
~ Y = 1-2(1)+1 = Por lo tanto, la regla de correspondencia de la función es:
~~~----~~~~~~~~--~~~--~
x
¡(x) =
y
x < 1
1
$x<2 x2:2
:. Dom (f)=R , Ran(f)={ -1 ,0, 1}
lIIl!I FUNCION
SIGNO
Es aquella función denotada por "Sgn(x)", que se lee "signo de x", y que está definida por:
¡°,
y
-1 ,six
Sgn(x) =
si x =
1, si x >
En donde:
° °
Dom(Sgn) = R Ran(Sgn) = {-I,O,I}
EJEMPLO.
Construir la gráfica de la función y rango.
f(x)=Sng(lx;-21-2),
¡°,
-1 , si Ix!-21-2 <
Solución.
Por definición:
Sgn(lx!-21-2)=
si Ix!-21-2 =
I , si Ix!-21-2 >
° ° °
Hallar su dominio
Capítulo 5: Funciones Especiales
374
Entonces, si: Ix'-21 < 2
~
(x'-2 < 2) (x' < 4)
A
A
(x'-2 > -2)
(x· > O)
Ix'-21 = 2
(x'-2=2) v (x'-2=-2)
Ix'-21 > 2
(x'-2 > 2)
v
(x' > 4)
(x' <
(x'=4) v (x'=O) -.
Luego, la ley de correspondencia
v
x=±2
O
1
.,1
u
,
0, si x=O , x=±2
Dom(f)=R,
lIIIl
X
~
-1
función con dominio R y cuya regla de correspondencia si x ~
X,
= Ixl = {
f(x)
1 1
VALOR ABSOLUTO
Es aquella es:
I
I
Ran(f)={-l,O,l}
FUNCION
<2,+<»
)1
x > 2
v
u
y I
{ 1, si x < -2
xE<-=,-2>
O)
de f
-1' si -2 < x < 2 - {O}
=
x=O
(x'-2 < -2)
queda definida por la fónnula: f(x)
XE<-2,2>-{0}
° °
y
=x: , si x < Los elementos del conjunto f son pares ordeng dos de la fonna {(x, Ixl)lxER} y su gráfica es la unión de dos partes de rectas cuyos puntos son simétricos y ~
°
A
respecto del eje Y.
°
(y=x, si x ~
v y=-x, si x < O)
Dom(f)=R y Ran(f)=[O,+=>
EJEMPLO l. Solución.
la gráfica de la función: f(x)=lx-21-3
Construir
Sea: y+3=lx-21, (y+3
>---
O)
(y >--- -3)
A
A
entonces por definición
[(y+3=x-2, si x ~ [(y=x-5, si x
>--- 2) v
(y=-x-1, si x <
La gráfica de f es la unión de dos partes de
rectas cuyos puntos son simétricos
de valor absoluto:
v (y+3=-x+2, si x <
2)
y
respecto
de la recta x=2. (y >--- -3)
~{Ll:y=;;:-5, si x ~2
_
L.:y=-x-1, Dom(f)=R Y Ran(f)=[-3,+~>
si ;;:< 2 -3
2))
2))
Sección 5.7: Funciones Especiales
2.
EJEMPLO
Construir la
Si y=lxa-41
Solución.
375
gráfica
{X
s=
_ .
.•. (y >"0)
'" [(y--.x'-4,
a
-4 , si x
-(xl-4),
si x~
f(x)=lxa-41
de la función
a
si
~4 Xl
< 4
-2 o x >,,2) v (y=4-x',
la gráfica de f es la unión de dos partes de parábolas, en el santplano superior del eje X. P.:y=;x:'-4, con vértice en VtO,-4) y P,:y.:4-xt, con vértice en V.(O.4).
si -2 < x < 2)]
Entonces,
I---~--~~--~--·X
si x ~ -2 o s: ~ 2
P.:y=x'-4, .•. (y ~ O)
y
'" { P.:y=4-x"
I
si -2 < x < 2
Hallar
\
\
I
:. Dom(f)=R • Ran(f)=[O.+->
EJEMPLO 3.
\
/ '"
la
el rango y trazar
gráfica
de
\
la función:
f(x)=lx-11+I.r-zl Sea Y=1.r-ll+lx-ZI
Solución.
Seguiremos
intervalos el
signo
el
que odopten
de los puntos críticos para detenninar los las borras de valor absoluto según sea cada intervalo. En este 'caso los valores críticos método
y eliminar
de variación en
son: x=L y =2 ~~ x
_~_'~
__ ~~~1~x<2 __ ~
~'~ 1
x~ >,,2
~I
IX-11=-(x-l)
:
l.r-ll=+(.r-1)
I
Ix-11=+(x-1)
1.r-21=-(x-2)
:
IX-21=-(x-2)
:
1.r-21=+(x-2)
x: < 1 .• y=-(.r-1)-(.r-2
Si
2
__ ~,~
+w
r------;-----------,
)=3-2.1:
1 < x < 2 .•.y=+(.r-l)-(.r-2)=1 x > 2 .• y=+(.r-1)+(x-Z)=2.r-3 3-2X .•. f(x).:
, si x < 1
1, {
si 1 ~
x < 2
----~~--~-~-----.x
~3,six~2
•. Dan(f)=R Y Ran(f)=[l,+->
EJDtFUJ
4.
Sea f:R
.• R definida
y trazar la gráfica Solución.
Procediendo Valores
par:
f(x)
hallar
el
de f.
en forroo análoga al ejemplo
críticos:
1
---...,--, IX-1 H.r-21
x=L y =2.
anterior
se
tiene:
rango
•• 376
Capitulo 5: Funciones Especiales
x
· Si
1
!x-1!=-(x-l) . 1X-~!=-(x-2)
X < 1
•.•.
< < 1", x 2
=
Y ..•
1~x<2
2
T I
!x-l!=+(x-l)
T
I
Ix-21=-(x-2)
!
=
1
-(x-l)+(x-2)
_ 1 y - (x-1)+(x-2)
x~2
-1
!x-2!=+(x-2)
¡L ,
y
__ 1_ - 2x-3 1
x~2'"
En el senta
Y
intervalo
un~
=
1 (x-l)-(x-2)
la
[1,2>
vertical
asíntota
que la curva se extiende encima de la recta
ta y=-L,
lIlE)
la
Es
x=3/2,
la
I
función
1I
-1
1
res
-1] U [1,->
MAXIMO
"
1:
o
ENTERO
dominio R
con
x
1 I ~
O
lo
por
y debajo de
:. Ran(f)=<-"',
FUNCION
de f pr~
indefinidamente
y=l
I
=1
gráfica
•
Ix-ll=+(x-l)
I
y cuya regla
de correspondencia
está
dada por:
f(x) ::: [xD donde [x
D
es el máximo entero
=
[x]
n
no mayar que x, es decir,
[x]
-
Según el Teorema 57, si:
[xD=n
-
Entonces el dominio
de la función
de la fonna [n,n+l>,
nEZ, esto es: Dom(f)
=
n ~
x <
si
x}
= max{neZln ~
n+1. ntZ es la
máximo entero,
unión
de intervalos
U [n.n+!>
R = xe:
ne:Z y como f(x)=n
Luego, pa,.a trazar intervalos
f(x)=[x]
=
Ran(f)
+
Z
la gráfica
de f(x)=[x],
uni taria a cada -2'si -2 ~ x < -1, n=-2 -1, si -1 ~ x < O , n=-l
de longi tud
=
¡
O, si
especificaremos lado del
origen.
f para algunos
y,
2
~
1
--,..-9
I
O ~ x < 1 , n=O
1, sí 11 ~ x < 2 , n=l
2, si
la gráfica valores a n. esto es, obtenemos un intervalo
NOtese que
I
2 -s x < 3 , n=2 de
f
se obtiene
para cada valor en
el
cual
-
2
I
dando
I
de n
I I J......¿..-
I
I
I I
3 x
"-1
-7.
se tiene
"
Sección 5.7: Funciones Especiales
377
una función constante de rango n. EJEMPLO
Construir
1.
Solución.
la gráfica de la función f(x)=[xI2]
D=n
Si [x12
n ~ x < n+1
Entonces: Dom(f)
=
2n ~ x < 2(n+1)
-
2
{xl~[2n,2(n+1J>,
nEZ}
del dominio de f son de longitud doble
Obsérvese que aquí los subintervalos y como f(x)=n, entonces, el Ran(f)=Z.
y 2
-2, si -4 ~ x < -2, n=-2
1
-1, si -2 ~ x < O, n=-l
f(x)=[xI2]
2.
EJ»dPU)
Solución.
O, si O ~ x < 2 1, si 2 ~ x < 4
n=O
2, si 4 ~ x < 6
n=2
n=l 2
la gráfica de la función f(x)=ff rro:],
Construir
Si [rro:] =n -
n ~ rro: < n+1
mEZ
(1)
Puede ocurrir dos casos: Si m < O
+
b) Si m > O
+
a)
n+1
+
L!. < "X <.!!ti
m.....
m
Dom(f)
= Ü
Dom(f)
= nEZ Ü
[1:
En a) nótese que cuando n es positivo versa
(m
..!!]
m'
m
n+1>
m'
m
y
f(x)=n
y
f(x)=n
el intervalo de x es negativo y vice-
< O). Luego, dando valores a n en ambos casos se tiene: -2, -11m < x~ -1,
f(x)
nEZ
O
-21m,
n",-2
-2, -21m ~ x < -11m, n=-2
-l/m
n=-l
-1, -11m ~ x < O
O,
11m < x ~ O
n=O
1,
21m < x $ 11m
n=l
2,
31m < x ~ 21m,
n=2
<,
n=O
1,
11m ~ x < 21m
n=l
2,
21m ~ x < 31m , n=2 y 2
2
m>O
m
:
",
9
~--
I
I
",
1
/ --
-2(m
I I
l' '.1I
~
"
/
-11m.
I
I
I
••••
,
__ I
-2
I
~~--~~~ .. ~~~~~~-.x
~~~~--~~"~~,--~1~m~--2~/~m~·x -1
I
--M!
//
I
---~~"'-.;>::> /
1
"
, n=-l
l/m,
y
~------
O.$x<
O,
f(x)
~--
/'
-~l
"1
2
I
I
,
378
Capitulo 5: Funciones Especiales
EJEMPLO
3.
el dominio,
Hallar
rango y construir
la gráfica
de la función
f(x)=[rx]. Solución.
Ir x IJ EZ,
Dado que IXeR •..•. x >,. O Y
tenemos que:
.;...,.(x ~ O) ~ (O ~ n < rx < n+l , nEZ+
[rx]=n
nEZi'
••.• nI ~ x < (ri+i )", Entonces: Siendo:
Dan(f)={XER+lx&[nl,(n+1)I>, f(x)=n
-vne;Z+1 0= (O,+Q>
Ran(f):;:Z+ U {O}
+
O f(x)
=
, xdO,l>
, n=O
1 , x&[l,4>
, n=1
23 ' xe[4,9> , n=2 { , xe[9,16> , n=3
y ..•.. .;
--
-_.-- --
-
!
-- --- ,,~,~/""--">? ,/
!
/'
I
-f'
"
/',
1
I
9
4
ObseMXlción.
Las gráficas
de las funciones
por característica Supongamos un intervalo
f t») Si
en
tervalo.
~,b>
x&[a,b>
del
=
'= [g(x)]
n
es la proyección
Entonces, es conocida,
(línea
grófica
de la función
f=[g
D
estará
tuido por segmentos horizontales yos extremos
estaró
Esta ccrncter-Is t rcc tilizada del
sobre
para esbozar gráficas
t,
sabemos que para m:Z,
si:
< n+l , b:e[a,b>
de la gráfica
en dicho
de g(x)
n+l
const ] de g.
---~---;7(
g(x) f(x)=n
----:'1'" /,
/r :!
•.... _ L.
puede ser ude funciones
in-
«.
y
la
·uno de cu-
la grófica
importante
g(x)
g, cuya
punteada),
tienen
lo siguiente:
resul toda veremos que la grófi ea de
vertical
dada una función
gráfica
11-1>
tipo f(x)=[g(x)],
del
dominio de ••.•
geométri camente este
interpretamos
f(x)
fundamental
!
f
t t
~
'~g(X)]
1
----~O~--~a~-x~--~Q-b--~X
J.
tipo mencionado.
EJEMPLO
4_
lIallar
el dominio,
f(xJ=lI.x2 Solución.
Construimos,
rango y construir
la gráfica
]
con trazo
punteado,
la parábola
g(x)=x2
de la función
Sección 5.7: Funciones Especiales
Lueqo, determinemos los Cano
x' ~ O,
fJ:ER
.•
379
intervalos
»ttonces en (1): O ~ n ~ Ixl'
Caso 1.
Si
Caso 2.
Si x > O
X
Ixl=-x
+
[a.b>.
[x'n ~ O.
esto
< n~1
y como f(x)=n
.•
O 1
f(x)
=
2, {
< x ~ -Iñ
Iñ ~ x <..1i+í
= <-.1l+1,-Irl]u
[m....h+l>.
xe[m,..fi+i> y
si x&<-1,O]U[O,l>=<-l,l>
I
: ~----2
,\
1:I 1
[13,2>
U
./11
~I\
----
Hallar
el dominio.
~
---1
~
I
:
'1
I
•
I
"r'(
, ", I
'
"
//
I
I I
I
o
-2 S.
!!~
3
~
I
EJEMPLO
(1)
xe<-hi+'i. -Irl]
+
.•
si x&<-I2. -1] u [1.12> si xl:<-I3, -12] u [12.13> xe:<-2,-I3]
< n+1
!la
Ran(f)=Z+U{O}
3 , si
X"
n ~
..n+I
< Ixl <
Ixl=.:x:-
.•
Dom(f)
m
•..•
TI=n -
n ~O
Iñ ~ -x < ..fi+l
+
•..• --Iri+1 •
[Xl
Si
es,
rango y construir
la gráfica
de la flUlción
f(x)=[1-2x]
(1) Trazamos, con línea punteada.
Solución.
(2) Determinación
Si [1-2X D=n -
n ~ 1-2x < n+1 •..• -Ln+I) < 2x-1 .$. -n -n < 2x ~ -n+ 1
.•
=
Dom(fJ
{xlxe<-
Siendo f(x)=n
+
n 1-n '2 • 21.
(3)
f(x)
n
co
=
-s r.
-
-
n 2"
1-n
U <-2' 2] =
X&
Ran(f)=Z
{-2~, :;
=
na}
neZ
1/2 < x
de la recta y=1-2x
la gráfica
de! dominio y rango de f:
9
>
I x .
, I
1/2 , n=O
-112 < x ~ O
, si -1 < tx ~ -112
~g
,
I
, n=l
---•• 1----~1/./2~~ •• ~~-1.-.X
n=2
:
-1 EJEMPLO
6.
f(x) Solución.
el dominio,
Hallar
=
llamada. ~
rango y construir
la gráfica
-,
I
--~
de la flUlción
[1~']
(1) Dibujamos,
(2) Dado que x2
2
"
1
O < x~
1-n
2
xcR y
..." --
1
n;=-}
< x .$.
con trazo
curva
O , T.n:R'"
de
punteado,
Agnesi,
x~l
~ 1 .•. 0<
de
la gráfica
que tiene
g(x)
=
como asíntota el
1+!1~
1
1+;. eje
X.
, "
• 380
Capitulo 5: Funciones Especiales
.•.•
Como
O<
1"::. ~ 4 -.. de
la gráfica
Conocidos dominio
Para n=O .• n=1
..
n=2
+
n~3 n=4
g(x)
.. ..
0,1,2,3,4
a
se extiende
los elementos
del
rango,
=
[1+!']
haciendo:
=
[1+!.]
; esto
lo largo
2~~
1+x· > 4
2
3<~ -c
XE
.•.•
4
~ -..•.•" ,<-
(Verificar)
" I
".....
----~
2
?---r---1
I
I
,
I
I
-1
~g
>.1"'"
I
J. ----,----\
-1/13
el dominio,
Hallar
-,
I
•• ------~------~--~~--~----~~--~----~~
O
..•.>. -p--
I
I
1--
1//3
1
3
rango y construir
••••••
de la función
la gráfica
l(x)=lxl-[x]
Solución.
Si
[x]=n
b) Si x < O
-..
n --!- x < n+1. Consideremos dos casos:
-
a) Si x>.. O -+
Ixl=x -..
-..
f(x)=x-n Ixl=-x
el rango consideremos
••
n .•. < s: < n+I -
••
n ~
Ixl
[xTI=n
también dos cosos:
, ntZ
< n+1
Restando n a cada lado:
n-n ~ Ixl-n
••
O"
-m-1 '" x < por -1:
.•..•xe[n,n+1>,
Dom(f)=R
o) Si x >,0
Sumando m+l a coda
n ~ O , n<:Z'¡'
...• f(x)=-x-[x]=-x-n
Poro detenninar
Mlltiplicando
f(x)=x-[x]
.•..•x<:[n,n+1>,
Luego, de (1) y (2):
b) Si x < O ••
-13
..••. .••.
3
'"
7.
x <
(Verificar)
<0,1/13]
,/
EJEMPLO
o
<13, +••>
y ,- ".-
--
del
(Verificar)
<1113.0
x&[-1/I3,o>o
=0
__ ,E
•...• x > 13
< -=, -13> U
<1,13]
x<:[-1.-1I13>u
1+x· < 4
.•. Dam(f)=R.
los subintervalos
.•.• x· > 3
x&[-I3.-PU
< 3
1+x
X
eje
n ~ 1+!' < n+1
•.•.•
1+x
del
podemos detenninor
n
0.$ 1+!2 < 1
1.$-4-<
es Ran(f)=IO,l,2,3,41
-111,
m <
lado: ••
< n+1-n < 1 •• ye(O,Ú
Ixl-[x] m<:Z ••
ITx B=-(m+1)
-x.s m+l .•.lit
m+(m+1) 2m+l <
<
<
Ix/+(m+1)
Ixl-[x]
e
Ixl ~ 1it+1 ~ m+1+(m+1) (2m+1)+1
(1)
n<:Z-
(2)
x
• Sección 5.7: Funciones Especiales
381
n < f(x)
Haciendo 2m+1=nEZ impar
[O,PÜ
Ran(f)
~ n+1
YE
~
nEZ impar
1'----
n=l Dando valores
a n en (1) y
2-x,
xd-2,-1>
1-x,
xd-1,0>
x-1,
xE[1,2>
x-2,
xd2,3>
:
, n=-2
~-
4
3
n=-l
x , xdO,P
f(x)
obtenemos:
(2)
y
n=O r
n=l n=2
-2 EJEMPLO
el dominio,
Hallar
8.
=
f(x)
La función
Solución.
Si x ~ O gún el T.56).
Si x < O
Por lo tanto,
es real +
>-- O -
Ixl-[x]
La desigualdad
Ixl=x.
..•
Ixl
es vál ida ~xER-
~ -x,
de (1) y (2):
el rango cons ideremos también:
Restando n a cada lado: -
< 1
Ixl-[x']
O ~
"ti It ipl icando por -1:
Strnando m+l:
m+(m+l)
-
/2m+l
..
f(x)
+
y=1;--[
x],
-
~
< 1
~
m < Ixl ~ m+l
~
~
rn+I ,
nEZ+ impar.
nEZ+ impor +
y=l-x-
1 ~ x < 2
n=l n=2
,I1-x , si
-1 ~ x < O, n=-l
<3
< n+1
ydO,1>
-,< /(2m+l)+1
,Iñ < f(x)
< 1
x
~ m+1+(m+l) ...• 2m+l < Ixl-[x]~
2;$x
, si
Y
..• n ~ Ixl
[x]=-(m+1)
m < -x ~ m+l
IX , si rx=I , si rx=2 si /2-x
(2)
< n+1-n
O ~ ..-1xl-[x]
y si x < O O~x
x ~O
=n , nEZ
n-n ~ Ixl-n
< .-1xl-[x]
~11,
Ran(f)=[O,pU
[x]
< Ixl+(m+l)
Haciendo 2m+l=nEZ+ impor:
Si x >....O
-
~ x < -m, mEZ
-m-l
+
...• Dom(f)=R-
Dom(f)=R
n ~ x < n+1
~
(Se-
(1)
a) Si x ~ O
Si x < O
~ Ixl
[x]
~ x es vál ida ~ER+
[x]
Para determinar
b)
de la función:
Luego, Dom(f)=R'"
Ixl=-x
+
la gráfica
rango y trazar
rixl-[x]
n=O
-2 ~ x < -1, n=-2
/3-x , si -3 ~ x < -2, n=-3
[x
D y
(2m+1)+1
382
Capitulo 5: Funciones Especiales
EJEMPLO
9.
Construir la gróficay
Solución.
[X-2.].,
=
f(x)
{
f,:
=
=
2k
=
n
=
[x]
m"Z
sean:
- Graf(f) [x]
En fz:
si
Sabemos que Entonces,
En
3x - [x+ -+
hollar el rango de la función"
si [x] es par 1 11 ' s i [x Des [Xffll TI [x] = [x]]-2
f,(x)
si
r
f1(x) = 3x-[x]-1 Grafefl) U Graf(fl)
,
2k.$ x < 2k+1, k&Z
-
+
f(x) =
[x]
si
keZ
4--/- : I S
x&[-2,-1> } x&[O,l> n par
O f(x)
I
i
--
x&[2,3>
3x+2
xc[-l,O>
3x-2
x&[l,2>
n impar
i
I
I
Son aquellas
I
:
FUNCIONES
U [1,4] U [5,8> ~______
7
PARES funciones
que se caracterizan
por ser simétricas
pecto del eje Y, es decir, si en ellas se cumple: Si xcDoot( f)
=
i i ) f(x)
Ejemplos.
I
r--
I
U [-3,0)
• Ran(f)=[-7,-4]
i)
I ¡
X&[-3,-2>}
3x
3x-4 , x&(3,4>
11Im
--7; --------1 !
8 -------
para k=-1,O,l
-2
es impar
.•. f.(x)=3x-2-2k y
f1' para k=-2,-l,O,l; obtenemos: -4
(r.S1) es par
{ 3x-2-2k, 2k+1 .$ x < 2k+2
f"
Luego, en yen
m
[x]
2k-2 , 2k.$ s: e 2k+1
-
iX&{-3,4]
.•. f,(x)=2k-2
2k+2,
.•..•. 2k+1.$ x <
n :: 2k+1
, impar
(1)
-If.x:cDoot( f)
Sea la función: -+
fe-x)
-
{(x)
(2) Sea la función: i) Si xc<-5,5>
ii) fe-x) = ••. ((-x)
-xcDoot( f)
-
'f( -x) ,
=
f(x)=3x1-x'
3(-X)'_(-X)'
= ((-x)
=
f es
:.
una función
par:
f(x)=lx"+2xl , x&<-5,5> .•..•.-5 < x < 5 -
5 > -x>
I(-x)3+2(-x) I = l-x -2xl 3
=
3x1-x'
{(x)
-5
.•. -xe<-5,5>.
= 1-(x +2x)I
.'. f es una función
3
par.
= Ix'+~1
res-
Sección 5.7: Funciones Especiales
11III
FUNCIONES IMPARES Son aquellas
origen
383
de coordenadas,
ti)
Si nDom(f)
=
(-x)"_(-X)
=
=
-f(x)
f(x)
++
=
++
=
-x'+x
=
_(x"-x)
-fe-x)
f
••
es
impar
'/x(l+lxl)
=
_./xr(-,l,....+.,...lx...,I~)
= -fe-x)
f(x)
•• f es una funci5n
impar.
FUNCIONES PERIODICAS Una función
f
T~O, llamado período,
tal i)
ii) Ejenrplos.
f(x)=;x:'-x
fe-x)
(2) Sea la {unción f(x) •• ((-x) = '/-x(l+l-xl)
CIIB
, ~~Dom«()
..•. f(-x)
-f(x)
del
..•. -xEDom(f)
= -(~)
(x)
EJempio8. (1) Sea la función
=
respecto
esto es: i)
-. fe-x)
por ser simétricas
que se caracterizan
se qice que es periódica
en R,
si existe
un mínero
que:
Si (x+T)~(f) f(x+T)
=
~
{(x)
(1) Probor que la función
xEDom(f)
, ~EDom(f) es una función
f(x)=[2x]-2[x]
pe-
riódica. En efecto:
COmo Dom(f)=R, entonces,
i)
ii) f(r+T)
=
= [2xTI Por lo tanto,
clásicos
=
+ 2T - 2[x]
f es una función
Otros ejemplos
si xER ~ (X+T)ER
[2r+2TTI-2[r+T]
[2x]+2T-2([x]+T) - 2T::
[2x]-2[x]
=
((x)
periódica.
de funciones
periódicas
lo constituyen
las funcio-
nes trigonométricas. Asi
tenemos que: Sen(x.¡.2.•) :: Seru: , ~E:R
tembién:
Sen(x+4 .•) = Seru: , ~R
..•
T=2.•
~
T=41r es un periodo de la fun-
ción seno, siendo T=2. el menor periÓdo positivo. Entonces se define
período mínimo de f al menor de los períodos positivos.
(2) Sea la función
f(x)=Co~(lx:c+a),
donde b > O, halldr
el período de la
clÓfl. Se debe verificar -+ Cos[b(r+T)+a]
que: f(r+T) = Cos(b%+a)
= -+
f(x) Cos! (b%+a)+bTl = Cos(b%+a)
fUlj
384
Capílulo 5: FuncionesEspeciales
-
=
Cos(bx+a).Cos(bT)-Sen(bx+o).Sen(bT)
La igualdad
se cumple si:
&~ ambos casos:
Cos(bT)=l
bT=O o
Pero como T#O -
T=O o
bT=2rr -
T = 2rr/b
Cos(bx+a)
y Sen(bT)=O
es el mínimo
T=2rr/b
período
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO
.
1.
[t x)
Solución.
Luego,
(A08)'.
- (x+3)(x-3) - (x-3)(~+1)
- x+3 -13 - x+1 ' ~
=
EJERCICIO
-
-
Sean f y g dos funciones:
En g:
[(:::)=0
Si
Si
[ 2x+3 ] =4 -
A'=<-=,1/2>·U
[1,+=>
-
12x-31=2.-.
(2x-3=2)
DOf,1(g)=R-!l/2,5/2/;
3.
Si
f es
[t x)
=
luego:
(x=5/2) A'
E-4,
2x-3
hallar
=
12x-jl-2
(A'ODom(g))'. 1 /2 ~ x <
.-.
v (2x-3=-2) (x=1/2)
v
n Dom(g)
= <-~,1I2>
U [1, +~>-{5/2/
-x]
de variable + x[xTI,
real
demostrar
definida
por:
que i/xeDom(f),
y f(-x)=f(x).
Demostración.
En efecto, 3
Entonces de (1)
y (2),
f una función
siendo
f -- x+[ -x]
Pero,
por el
~
O --
T.56:
[-x]
se sigue
que:
de variable
[-x D ~ -x [-x]
[x]=x
Por lo tanto,
.•. Dom(f)=Z.
i'xf:Dom(f)=Z:
Entonces en f:
-:;:¿Z y f(-x)=(-x"
real,
entonces
>-- -x: , "'~eR
(1)
(2)
, V:x:.R -x
--
(T. 55)
-xeZ x
Luego, si
qt x)
= [1/2,1>~{5/2/
función
la
Ix+[
y#3/2
4 ~ 2:c:+3< 5
.-.
A=[1/2,1>
(A'ODom(g»)'
-xeDom(f)
f(x)=[
12x-31-2=0
EJERCICIO
-
{-1,1,3/2,3/
entonces
.-. &,tonces:
=
(A08)'
y si A={xeRlf(x)=O/, Solución.
A y ran-
con dominio
B=R-!l,3/2/
R-j-l,1,3/2,3/
2.
reul
A = R-j-l,3/
-
3+3 3 y = 3+1 ="2 ; como x13
x=~,Yll
AOa
es una función
x2-2x-3
go B, hallar
Par·c ::..:=3 -
YT~:i -
x'-9
=
Sr f(x)
f(x)=I~+ =x2 = [t x)
=
-(-x)eZ xt x)
=
x2
.. Sección 51·Funciones Especiales
EJERCICIO
385
Sea { una (unción real definida
4.
f(x) =
correspondencia Solución.
en [-2,4> por la regla de
IX+11-3 . 1+ IX-31
Hallar el rango de f.
Como los puntos críticos x=-l y x=3 pertenecen entonces, para eliminar
presar el intervalo
las barras de valor absoluto debemos ex-
como una unión de subintervalos,
[-2,4>
= [-2.-1>
[-2,4>
al dominio de (,
U [-l,3>u
esto es:
[3,4>
y hallar el rango de f en cada subintervalo.
a) Si xc[-2,-1>
-
IX+11=-(x+1) y IX-31=-(x-3) - f(x) =-iX;!);~
'xc[-2,-1> •..•-2 ~ x: < -1 -
•..• _ll. <--11.... ~ _..i __ 5
b) Si xc[-l,3>
xc[-l,3>
x-4
Si xc[3,4>
- 1
:.
Rant
5.
EJERCICIO
f)
Determinar
a) Si x ~ O
Si x >-- O
+
Si s: < O
+
+
Ixl=-x
=
+
=x: > 0-
= [O.J>u<-l,O>
De (1) obtenemos: Entonces,
+
f(x)
=
(x+1)-3 ~ -1 1-(x-3)
=
((x)
+ ~
4-x
•..•1~_1_<1 5 4-x
•..• yc[-3/5,l>
x+1-3 1+x-3
=
1
[-3/5,1]
el rango de la función (defi.lida
1 +x¡xl . Graficar
Ixl=x -
1-x >
1
4-x
=
l~x
-
la función.
[Lx)
1
- l+x
(1)
1 < O -1 ~ - l+x
l+x
f(x) = t.x -- [Lx)
-
=
{(x)
....L <
:.::+1 >-- 1 •..• O < _1_ l+x ~ 1
•..• -1 < -1 +
:. Ran(O
.¡.
analíticamente
_0~1-_1_<1 b) Si x < O
< -1
6
~ --31 •..• yc<-3/5.-1I3]
8
= <-3/5,-l/3] U [-3/5,l>lJl1l
en R por: f(x) Solución.
-
5"
8
x-4
x-4
5
IX+11=x+1 y IX-31=x-3
+
s-«>
-3 < -x: ~ 1 •..• 1 < 4-x ~ 5
•..•-1 ~ x < 3 •..•~~..2..<2 5 4-x
c)
1 +
+-
< _1_ < _ L
5
1. <
3
IX+11=x+1 y Ix-31=-(x-3)
+
.!.
-6 ~ x-4 < -5
=
yc[O,1> = -1
+-
1
l-x
(2)
_0<_1_<1 1-x
.J.. < O -
1-x
yc<-1.0>
= <-1,1>
(x+1)(y-1)=-1
la gráfica de (1) es parte de la
x
"-
Capitulo 5: Funciones Especiales
386
de la
hipérbola H,
centro C.(-l,l), para
de
>'-0.
x
De (2), se tiene: (l-x)(y+l)=l •• (x-l)(y+l)=-l
Luego, la gráfica de
parte
(2) es
la hipérbola H. ,
de
de
centro C.(l,-l),
para x: < O. EJERCICIO
6.
Se define la función 9 en
g(x)
R par
=
-l' {
s x < O, s x=O 1, s
O
x > O
hallar el dominio, rango y graficar la función f(X)=9r-i:~). Solución. Por definición, 9 es si.d
-1'
.
f(x)
x-3
= Sgn(i+2) =
x+2
O,
SI
la
función signo, entonces:
< O -
. x-3 :r+2 = O
-2 < x < 3 -
x=3
{
1, si ~:~ >
x < -2
O -
o
x > 2
y
..••. ------o¡>-- -- -1
O'!'r----..•
- - - - ---
...•
,
1
-------------------_-2~tr---r-~~--~--~~.-------------~·x Dom(f)=<-"',-2>U <-2,+"'> Ran(f)= {-l,0,11
, ÓIII--_-•••• ----1Ó 1
Sea f una función con dominio [-a,al,donde a > O. Demostrar como f(x)=f,(x)+f.(x), donde f. es una [une ión par y f. es una [une ión impar. EJERCICIO
7.
que f se puede expresar
Demostración.
En efecto, haciendo: f(x) f(x)
+
Sean f,(x)
= ~[f(x)
+
= ~Cf(X)
fe-x)] y
+
fe-x)]
f.(x)
= ~f(x) +
+
if(x)
+
if(-X) - ~f(-x)
1Cf(X) - fe-x)]
= 1{f(X)
(1)
- fe-x)]
Si f,(x) es una función par, se debe cumplir que: f,(-x)=f.(x)
Entonces: f.(-x)
= 1Cf(-x)
+
f(-(-x»J
= {[re-x)
+
f(x)]
= f.(x)
Luego, f,(x) es una función par. Si f.(x) es una función impar, se debe cumplir que: f.(-x) Entonces: (.(-x) Luego,
t
=
jCf(-X) - f(-(-x»]
= '~lf(-,r)-
es una función impar. Por lo tanto, en
f(x)]
(1):
=
= -
-(.(x) fl(x)
f(X)=fl(X)~fz(x)
387
Sección 5.7: Funciones Especiales
EJERCICIO
8.
inscrito Si
"y"
es el
un rectángulo
área de dicho
base ~. Hallar
las dimensiones'del del
..N} =
•
PQ
= ~(lO-~)..
Canpletando
COmo
Ym~=15
(1)
6-h
y
=-
i(~l-lOx)
= -
y
i(X-5)1+15
v
de la forma: y=a(x-h)"+k < O. la parábola
tiene
su punto
el vértice V(S.15). Esto es, para ~S. En (2), se tiene: .h=3 en
--~------~------~~~x
del re~
de área óptima.
EJERCICIO
9.
Hallar
el dominio.
f(~)=2+(-l)n. SOlución.
Si
[~]=n -
rango y trazar
donde
la gráfica
de la función
n=[~].
n ~ ~ < n+1 • ConsIderemos dos casos: par + n=2k. k&Z .• (_1)2k = 1
a) Para n=nlÍnero
r. f(x) = 2+1 = 3 • V;c&[2k.2k+P b) Para n=número impar .'. f(x) = 2-1
=
+
n=2k+l
.•
(-1)
2hl
=
=
-1
1 • ~[2k+l.2k+2> y
Luego. Dom(f)=R y Ran(f)={1.3}
y {(x)
de su
..L
Luego. ~=5 y h=3 son las dimensiones tángulo
AB.
(2)
el cuadrado:
a=-3/5
más alto
=
~
función
(2) en (1). se tiene:
Sustituyendo
Parábola
de
e lado
lado SR
"y" ccmo una área máxima.
H=6. está
e
= xh
S
..!Q
•
CE
rectángulo
h = ~(10-~)
de donde:
S(~)
CD
que el
expresar
rectángulo
Area del rectángulo: AABC • APQ::
PfJtS tal
rectángulo.
Sea h la altura
SOlución.
ABC cuya base A8=:10 y cuya altura
En un' triángulo
3 • si ~[2k.2k+l> { 1 • si ~[2k+l.2k+2>
c¡>-- - ...•,-II()~-_ I
I
I I
"
"
•
I
I
H-I
i
3..••• -<>-
I
II I I
- -~ .'
I
'1 1"
2 I
1i
--~---+ 1:
1
,I
Capítulo 5: Funciones Especiales
388
EJERCICIO
10.
Sea f una función real definida por {(x)=x [~]-4X[y]
y
cuyo dominio es <0,6], hallar el rango de la función.
[~TI rn
Solución. Si
~ ~ < n+l ,
= n-n
m
O
m>
m.n,< x: < m(n+1)
-
,n [mn,m(n+l»
Obsérvese
rr 1] y
que los subintervalos
son de Iongi tud dobl e y tr i pl e respectivamente,
[}]
a) Si m=2
en que se divide el dominio <0,6] para
,n[2n,2(n+l»,
+
n=O,l,2,3; ya que O <
X
2~
es dec ir:
3
Entonces para cada valor de n tendremos: :n: u [2,4> U [4,6> U 161 b) Si m=3
,n[3n,3(n+1»,
+
n=O,l,2; ya que 0<
Entonces para cada valor de n se tiene:
x
3-$
2
(1)
XEu[3,6>uI61
Interceptando (1) y (2) resulta:
XE<2,3>U [3,4>U
Luego, si [t x) = x2[~]-4x[}],
hallaremos
[4,6>
(2)
uI61
[1"-]
los valores de
y
[y]
en cada uno de estos intervalos. (1) Para .n<2,3> (x/2)c y (x/3)c<2/3,l> [Lx) = x2 (l)-4;x:(0)=x2 f(x)c<4,9> (2) Para .n[3,4> (x/2)c[3/2,2> y (x/3)c[l,4/3> f(x) = x2(1)-4x(1) = x2-4x - f(x)c[-3,O> (3) Para .n[4,6> (x/2)c[2,3> 2 f(x) = x (2)-4x(1) 2x2-4x
=
(4) Para x=6
=
f(x)
f(5)
y -
(x/3)c[4/3,2>
f(x)c[16,48>
36(3)-24(2)
=
60
:. H.an(f) = [-3,O>u<4,9>u EJERCICIO
11.
Si
4f (;:,:-3) =x2 +4, hallar los valores de a tales que el ran-
. go de g sea <-3,3>, Solución.
UI601
[16,48>
donde: g(x)
=
f(2x-3)-ax f(2x 3)+x
4f( x-3)=x2+4 4f(2x-3) = (2X)2+4 = 4x2+4 x2-ax+1 - g(x) = x2+x+1 . Si Ran(g)=<-3,3> <
f(2x-3)=x2+1
-3 ~::~;1 3
Dado que x2+x+l > O, ~xcR (Verificar), entonces en -3(x2+x+l) < x2-~~+1 < 3(x2+x+l) de donc.e: {4x2-(a-3)x+4 > O] ~ {2x2+(a+3)x+2 > O]
(1)
(1)
se tiene:
Para que se cumpla ambas desigualdades de (2), el discriminante meros miembros
<
(2) de los pri-
debe ser negativo, esto es:
{(a-3)2-4(4)(4) < O]
1\
{(a+3)2-4(2)(2) < OJ
.•.••
e e <-5,1>
(Verificar)
Sección 5.7: Funciones Especiales
EJERCICIO
Hallar
12.
rango y construir
el
/IXI+2
si
[lE
+ x· , si
t t»)
{ Solución.
Ilxl+2
Dado que x < O Si -7..$ x < -2
=
(2) Sea f.(x)
[1] =
Si
Luego, si
, si
f
•..•. n ~
f.(x)=n+x·,
=
Ixl=-x
= l2-X
..•. f.(x)
l2-X
< n+L
•..•. 2n ~ x < 2(n+l) a n hasta
cubrir
el
-2 $ x < O ,n=-1
.•. yr.<-1,3]
O ~ x < 2 ,n=O
.•. yr.[O,4>
si
x=2
.•. ye{5}
si
< 3 .•. yr.<2,3)
-2 ~ x $ 2
si
IX+11
1 -
2
si
O+x', { l+x·,
(3) Sea f.(x)
Ixl ~
-7 ~ x < -2
, si
-+
damos valores
-I+X" f.(x)
de la función:
2 < -zc ~ 7 •..•. 4 < 2-x ~ 9 •..•. 2 <
-+
["Í]+x· n
la gráfica -7 ~ x < -2
si2
l-lx+11 2x-l
=
(1) Sea f.(x)
389
,n=l
2 < x~
5 . Comox > O .•.
intervalo
Ix+ll
=
[-2,2]
x+l
zx-t
= -
f.(x) Ran(f)
2X:l
' si
2 < x -s 5 -
= <2,3] U <-1,3)
(Verificar)
ye<-2/3,-5/9]
u [0,4> u {5}U <-2/3,-5/9]
= <-1,4> u {5}
l2-X ,
si
-7 ~ x < -2
5
xLI,
si
-2 ~ x < O
4
x·+1
, si
si
f(x)
'Y
-- .•
0.$0 x < 2
= 2 . 2 SI
x -"2X-1'
x
-7
EJERCICIO
13. Sea f una función I·lar La función
Solución.
el dominio, es real
definida
rango y graficar
TI i
•..•. Ixl-[x
Consideremos los siguientes Caso 1.
Caso 2.
-1
Y
[ce] >
Ixl=-x
-
Ixl+x
Luego, si
~e<-=,O>
[x]..$
f(x)=O,
Si
x
Si
Ixl-[ x: ]=0
>.-0 -
x+lxl Ixl-[x] la función ..
ha-
O
casos:
Pero si x < O ..•
Si x < O -
en R por f(x)
-
O ..•
=
O
Ixj-[ x]
> O
_ i t»)
xeR- ~ Ran(f)
=
= -L = (+)
{O}
O (1) .
Ixl= -
[x]=
•..•. (xeZ) ~ (x >.- O) •..•.xr.Z+
(2)
.. Capitulo 5: Funciones Especiales
390
Entonces de (1) y (2) se tiene
Para determina,.
=
que: Dom(f)
R-Z+
ronqo en el Caso 2, cons rder-enos : a) O < x < 1
el
b) x
a) O e x -c 1
b)
x
> llxtz·.
=
.• [(x)
x
Si n ~
11=0
•..• [x
y Ixl=x
[x]=n
x +x x-=n
•.•
= 2 +
2n
i=ñ -
Pe,.o cano x > 1 Y [x]=n
.J.. x-n
-
Ran(f)
de (1),
.
O
x-n
-
> 4
=
si x<:<1,2>
2x x-2
si
'~\l\ I
I
:
'
:
!
I
I
=
[(x)
Solución. Entonces: [x]
=
n
(1)
Ix -
' si
[x+1]
1'
Sea f,(x)=lx
-
Por el T.56:
[x]l,
[x]
=
2k ~ s: e 2k+l,
2k
-
=
Ix-[x+l
Pero de (1):
x-[x
Luego, f1(X)
=
n
De (1) Y (2),
=
=
11 1 = 11 < 1
-(x-[x1l-1)
2k+1 -
la regla
keZ
[x]
4
x-[x
=
l'xER , si
f,(x)=x-2k,
ll-l
2k+1 .s: x < 2k+2 de co,.,.espondencia
.• [x]
I
5
si
O.$. x-[xjl es par , 2k.$o x < 2k+l
e O si +
I
es pcr-,
x-[::::]
l-x+[x],
I
de la función:
Ix-[x]-ll -o-
,
I
es impa"
[xll+1, +
I
I
es par
[x]
=
I
3
la gráfica
[xD
si
...• f,(x)
2
si
,< x <
= x-[x]
, ,,
I I I I
[x]1
Ix-[xTII
(2) Sea f1(X)
[x]
{
I
I
I ,
I
4
-
I
I
I I
el dominio y trazar Ix
I
I I
I '1
8
xE<2,3>
llalla,.
(5)
:
I
1
1 14.
n ~ 1)
si x > 1, xl.Z+
2
EJERCICIO
( pero
y
, si xE<3,4>
X-3
> 2n+2
<4,+<»> U{O,2!
6
2::::
en (4)
f(x)
...• ye<4,+<»>,
Ron(f)
si x.:<0,1>
2x x-1
f(x)
(4)
> 2n+2 -
2 + ~x-n
Y (5):
(3)
n ~ O
2n >.•..2 > O , luego,
-o-
si X&<-<»,O>
2
{2!, tx.:
> 1
...• _1_
~ 1
(3)
=
e n+1. n ~O
[(x) Po,. lo tanto,
= ~~~ = 2
x&[n,n+1>,
~ x-n > 2n
> 1
f(x)
x
n ~
O ~ ce-n < 1
e n+1 -
..•
Y
> llxiZ+
[x]
es impar:
f2 (x)=2k+2-x
de f es:
e 1
Sección 5.7: Funciones Especiales
f(x) =
39]
{ x-2k 2k+2-x
.
2k+1
x<
si 2k~
2k+2
si 2k+l ~ x<
Entonces. para algunos valores de k obtenemos:
.
x+4 x+2
t, (x)
x
si -4 ~ x< si -2 $:. x< si 0.-<.x<
x-2
si
x-4
si
k=-2
-2-x. si -3 ~ x<
-1. k=-l
-x. si -1 ~ x<
-3.
1
k=O
2~
:x: < 3
4~
x<
5
-2. k=-2 O
x < 2
1 ~
k=l
4-x. si
3 ~ x<
4
k.: 1
k=2
6-x. si
5 < x<
6
k=2
Dom(f)=R y Ran(f)=[O.l] Obsérvese
que la función f ti~ne un período míni~o T=2.
EJ ERCI CIO
15. Hall ar el rango y cons tru ir
=
f(x) Solución.
a)
1a
gráfi ca de la [une ión:
• si x<:[-4.4]
2-:;:
U
Ixl -
x TI
__ si x<:[O.4] Ixl=:;: .• f,(x) __ 2_-x x-[ x: Vemos que 3 f <->;x:- [ x: TI 1 O <-+ i[ x TI 1- x .• x r¡
Si x>
O"
n
z'
Es decir. Dom(f,) = [0.4]-10.1.2.3.41 silTxll=n
n~x
2-x
b) Si
3f.
x < O +-+
:;:-1
1 < x < 2
.•
-1. 2 < x: < 3. n=2
2-x x-S
3 < x < 4
:::.: + [xli
.
n=3
f. (x) = '"O
-
J t,
(Asíntota x=O)
(O)
.! t , (1) { r, (1)
n=l
2-x x-2
\x\=-x
2-x x-n • n=O.1.2.3
f.(x)
2-x x . O < x < 1 • n=O
t .(x)
k=-l k=O
2-x. si
f. (tx)
.•
f. (2)
O
f.(x)=-1
.. r r,
tr.
2-x
-x-[x TI ITxTI i -x ~
(Constante) (Asíntola :x:=3)
(3) (4)
(Asíntota x=1)
+"
-2
=~ x+[ x II x f/ Z-
xc[-4. O>
• 392
Capítulo 5: Funciones Especiales
Es decir, Dan(f) Si
[xTI =
=
[-4,0> - {-4,-3,-2,-1} ~ x < n+1
n-n
+
f.(x) = x-2 , n = -1,-2,-3,-4 x+n
..•
x-2 , -1 ~ x < O , n=-l x-1
+
f2
(x)
=
f.(-1)=3/2
f.(0)=2
;
x-2 , -2 ~ x < -1 , 11=-2 x-2
...•
f.(x)=l
x-2 , -3 ~ x < -2 , n=-3 x-3
...•
f.(-3)=S/6
;
x-2 , -4 ~ x < -3 , n=-4 x-4
..•
f.(-4)=3/4
; f.(-3)=S/7
y
(constante) f.(-2)=4/S
iI
~
?- _
~~-4 : -3
I
-4
1
u
I
-2
I
I I
I I
I I
O
-1
tr
1
-------c
-1
,
~
I
I
I
?
4,
I I
I
-2 '{1an(f)= <-0,-2> U{-ll U <0,+0>
g(x)
14-x'
= 7-2.
f y g de variable
real definidas
=
por f(x)=3x'+6x+8
y
¡r- 12.r-sl
1-2+-.r--x-'
por f(x)=-12=i+3
y g(x)=x·+14.r+SO. Hg
Ran(g)
<4. Sean f(x)=[x+2]+[1-x],
5. Si flor)
I I I
Hallar [Dan(f) U Ran(f) J'.
3. Sean f y g dos funciones definidas
n
I
Grupo 36
Z. Hallar el dominio de la función f(x) =
llar Ran(f)
I I
------------1~
EJERCICIOS: l. Sean las funciones
x
2~::~:~
g(x)=lx+21-ll-xl,
hallar Ran(f) n Ran(g).
' hallar todos los valores de a·para los cuales
• Ejercicios: Grupo 36
-1 < f(x) 6.
393
< 3, 'o'xEll
. en R por la 19ualdod f(x)
Sea f una función definida
6x'+2rra:+l0
=
,
ha-
15x'-3x+ll llar todos los valores reales de m para los cuales f(x) > l. 7.
[x DI,
g(x)=1 8.
=
Si A es el dominio de la función f(x)
Y B es el rango de
1
[l-x]+l hallar
AU B.
Si f es una función cuadrática,
tal que f(~ -1)-f(~ +1)=-8(x+l),
'o'xEll;
hallar el valor mínimo de f, si f(O)=I. 9.
Hallar el mínimo valor de la función f definida
en R por:
f(x)=2x'+(215-1 )x-15. 10. Uha ventana rectangular e írcu·lo. El parímetro
está rematada en la porte superior por un semi(total) de dicha ventana es 2 m. Hallar cual debe
ser la longitud de la base de dicho
rectángulo
para que la superficie
de la·ventana sea mayor posible. 11. Sea BCD un triángulo como se muestra
-------T
en
la figura adjunta. Eligiendo
cuatro puntos de este triángulo
se construye un rectángulo
como FQRS.
a) EXpresar el área del rectángulo
como fun
ción de la longitud x del lodo indicado. b) Detenninar
las dimensiones
del rectángu-
lo como FQRS, que tenga área máxima. 12. Uh fabricante
puede producir calzados
B
l·
\.--
x
s --1 20----
a un costo de $20 cada par. Calcy
la que si fija un precio de x dólares por par, podrá vender 120-x pares de calzado al mes. a) EXpresar
la utilidad mensual
del fabricante
como una función del precio
al cual vende cada par de calzados. b) Si se conoce
la cantidad
por la venta de calzados, se mes?
de dólares
obtenidos
¿es pasible detenninar
Just ificar demostrando
e) Cuál es la utilidod mensual
como utilidad de un mes, el precio de venta de ~
una propiedad de la función hal lodo en a).
máxima
que puede obetner
el fabricante
par
la venta de los calzados?
13. Un fabricante de automóviles automóviles mercodo
encuetra que el costo diario
es (80+63x) dólares.
Sabiendo
!ocal viene doda par $(105-x)=p,
total para x
que la función demanda en el hallar la función de utilidad
• Capitulo 5: Funciones Especiales
394
y la má.:;:imautilidad,
sabiendo
Que como
incentivo
por ventas
se le dá
$80 adicionales. 14. Un pedazo de alambre de 10 m de longitud las partes es doblada
se corta en dos partes.
en fonma de cuadrado
Una de
y la otra en fonma de circuG
ferencia. a) Detenminar
las longitudes
de la circunferencia
drado, de modo Que sea mínima
y del perímetro
del cua-
la suma de las áreas de las figuras fonma-
das. b) Qué porción del área mínima
total es el área del cuadrado
15. Hallar el dominio y rango de la función 16. Dadas las funciones Dom(f)
(2X'-X-l x.+3x
=
f(x)
correspandient~
f={(X'X:4)/(X(X'-4)
~ OJ.
y g(:X:)=lx + 3-x I , hallar: I
/
/
Ran(g).
6
17. Detenninar
analític~nente
f(x)=4-lx'+12x+27
el rango de las funciones:
xe.
y g(x)=x'+6x+6,
, xe<-m,-ll]
18. Hallar todos los valores reales de x, si es Que existen, x-l ,xLI $gn( + Sgn(-2-x) =- O
tales Que:
Ixl-2)
.
19. SI f(x)
=
2x'-kx+l x'+2x+2'
hallar
todos los valores
reales de
k
poro los cua-
les -1 < f(x) < 3, V,xER. 20. Detenminar
el rango y trazar
la gráfica
de cada una de las siguientes
funciones: a) f(x)
=
IX-l/+lx+ll
b) f(x) =' /x+21-2/3-x/,
c)
xE[ -10,10]
21. Graficar y hallar el dominio {(x)
=
(x'+4) [2x+3
22. Detenninar
((x)
=
en R por:
TI. de la función definida
en R por:
xE
23. Hallar el dor.linio, rango y trazar la gráfica a) f(x)
12x-ll +lx-21 IX+21+1;-21-lxl-l
de la función definida
el rango y la gráfica
= /x·[ 5t]-4\'
f(x)
d) {(x)
de la función dada:
2u(x)+x'u(x-l)-u(x-2)
b) ((x) = ;x:u([x+3 E)-xSgn(lxl-l) 24. Hallar el rango de la función:
f(x)
=
x2 [ 2-x
D+3x-l
2
J5x-11-15+6Ix+21
. ,si :x:e:.<-2,1/5>
•• Ejercicios: Grupo 36
395
Para cada' una de las siguientes
funciones,
el dominio,
hallar
el rango y es
bozar su,grófica. 25. [Ix}
26. [t x)
x'-x1-13x-3 x+3
27. f(x)'
(x+1)(x1+3::::-10) xZ+6x+5
28. f(x)
x'+9x1+27x+35 x+5
29. f(x)
x'-3x'-11x1+23x+6 x1-x-6
30. f(x)
---X'i::2x·-i; ,_ ..-
32. [t x)
Ixl·lx-11
(x1+5x+6) (x1+2x-24)
31. f(x)
-
33. f(x)
=x-[xTI
34. [t x)
ix: -
35. f(x)
=~
36. f(x)
[
+ IX-11
Ixl
rr x TI)'
Ixl - 2
[xD
n
lJ
3-x
37. [t x)
1..c-2Hx+11
38. i t x)
·/¡jxD-3;
39. ,f(x)
lax ]-x
40. [ t x)
[ x TI
42. f(x)
Ix- [ x: TI 1,
si
X'+X1-2X-2 x+I
'
2-x
41. f(x)
{[xn, si [xn 43. f(X)=.fx-lí:X+1 n, si
es par /Ix] es
44. f(x)
={
x1-3x,
,
si xd-2,l
) 46. f(x)
=
IX-11+x. {
si xE
r'l r'." ,12-2x,
=
48. f(x)
=
"
= {X
J
x1-10x+26,
+10X+21 , si xE[-7,-5>u
[-2,-I>.
<
x
$
-3
si 5 < x
7
$
5-x 'fi s~ -: < x < 3
tx
+
el rango de la función
1
11l-X~' g definida
Graficar
si 3,< x$
5
por:
la función.
Ix+1 + 1 , si xE<-l,3J
_{r'X -2:r.: 1
52. Sea la función:
f(x)
x'-4x-4Sgn( Hallar
=
< 8
$ x
51. Detenminar analíticamente g(x)
50. f(x)
si 0.$ x < 4 4
si -1.$ x < 2
Ix+31-2, si -3 < ~ ~ 5 {
si x > 2
2+.1X-4 , si
si xd-3,2>
si 2.$ x < 5
r:;-;.'
, si -1 < x ~ 2
x-lx-2I,
x1-4x+4.
,x1-9 , si -5
-3 ,< x: < O
49. [I x)
es par
1-2x , s i -4 .$ x: < -1
, si -5 < x ~ -1
47. f(X)' = 2x1
11 x U
, si xd2,4>
8-2x
Impar
= rX+1
lx-Ir xII
TI
Ixl-[2x
45. f(x)
+
su dominio,
rango y construir
Ix
, si xEI \x\-3),
-e
1I > 11 n Ilx-11
si xE! IX-3\ >-11n l\x-1\
su grófica.
< 31 .$
11
• 396
Capítulo 5: Funciones Especiales
53. Hallar el dominio,
rango y construir
f
Ixl
+
lo gráfico de la función:
2 , si -7.$ x < -2
si Ixl < 2
f(x) =.[~il+x
I~~ \
54. Detenminor
analíticamente
si2$.x.$5
zs-i
el rango de los funciones
dadas.
Trazar sus
gráficas. S r+2 a) f(x)
o
.s.,» x-4 ' SI 'SI.
Ix(xl-36)
Ix-21 > 3
\~:"4X-l
si
O < x: < 1
2+12x-sl
si
2 ~ x .$ 3
b)
[Lx)
= t/3X-1I2, x
4.
representado
de lo función f está
*
s i ~,< x ,< Ix, si 9/4 < x ~ 4
+
si
[x+2] 55. Si el gr5fico
~ O
4 < x < 6
,
y
e
por la figuro adjunto,
A
B
hallar lo regla de correspondencia
OAlloc
y
OXIIAB.
C1.=4So D
56. Si el gráfico de lo función f(x) está dado por:
a) Hallar la regla de correspondencia b) Resolver
f(x)(f(x)+lJ f(x) 4
la inecuoción:
57. Para codo uno de las siguients
funciones,
> O
determinar
si es por, impar o
ninguna de las dos. a) f(x) d)
f(x)
g) f(x)
2Xl-3x'+S
b)
f(x)
h(x) = 3-2xl+COS1X
Sx'-3x+l
c)
x: (x+3)(x-jT
f) f(x)
h) g(x)
=~
-x
e I
{x+ll-x
TI
-
1
+ x[ x:
II
Sección 5.8: Algebra de las Funciones
58. Comprobar
=
si la siguiente 1
397
función es par o impar. Bosquejar
{-X +8X-10 -x'-8x-10
, si 2 -$o x ~ 6 , si -6 ~ x < -2
59. Sea f(x)=x'+3x+2.
Si h(x)=f(x)+f(-x)
{(x)
de las funciones, 60. Demostrar
y g(x)=f(x)-f(-x),
su gráfica.
detenminar
cuál
h o g, es par y cuál es impar. en R por f(xj=[mxn-m[x]
que la función definida
es una
función periódica. 61. Demostrar
que las siguientes
funciones
son periódicas
y hallar el períQ
do mínimo para cada función.
= 21 - Sen x 1
a) f(x)=Sen(ax+b)
b)
f(x)
d) f(X)=2CoS(x;w)
e)
f(x)=sen(%x)
DI
c) f(x)=lsenxl
* ALGEBRA DE LAS FUNCIONES Sean f y g dos funciones
f(x) y g(x). Se define
reales cuyas reglas de correspondencia
entonces
las cuatro operaciones:
son
suma, diferencia,
producto y cociente de f y g del modo siguiente: (1) La función
SLlJla,
=
f+g (2)
=
La función
La función
l.
{(x,y) Iy=f(x)-g(x),
=
o;
{(x,y) Iy
Dom(f)={-3,0,2,3,4) Aplicando
a) f+g
=
por "
&~~~,
& ":
xeDom(f) n Dom(g)
a)
f+g
(4,3)}
b) f·g
y Dom(g)={2,3,4,6}
la definición
(x,f(x)+g(x»Ix
n Dom(g)}
xeDom(f)ODom(g)}
Si f={(-3,2), (0,0), (2,4),(3,-1), (6,2)}. Hallar:
Solución.
=
xeDom(f)
par "f.g":
((x,y)ly=f(x).g(x),
cociente, denotada
-& EJEMPLO
denotada por "f-g":
producto, denotada f.g
(4)
por "f+g":
{(x,y) Iy=f(x)+g(x) , xeDom(f)nDom(g»)
La función diferencia,
f-g (3)
denotada
E{2,3,4}}
correspondiente
=
c)
~
, g(x)#O)
Y g={(2,0), (3,4), (4,7), f/g Dom(f)
d) f'+3g
n Dom(g)={2,3,4}
se tiene:
(2,4+0),(3,-1+4), (4,3+7)} = {(2,4), (3,3), (4,10)}
Capitulo 5: AIgebra de las Funciones
398
b) I.g
=
= =
{(x,f(x).g(x)IX&{2.3.4}}
c) ~ = {(X,&~~~~Xt{2,3,4}}
Obviamente,
=
(2.4xOJ,(3,-lx4),(4,3x7)} {(2,O). (3,-4),(4,21)}
=
{(2,4/0),(3,-1/4),(4,3/7)}
{(3,- ~J,(4,~)}
porque g(2)=0
2;Dom(I/g)
=
1
d) 1~+3g = (x,f (x)+3g(x»lx&{2,3,4}}
{(2,4·+0).(3,(-1)1+12),(4,3'+21)}
= 1(2,16),(3,13),(4,30)} EJEMPLO
1.
Si f(x)=2x'+3:x-1 y g(x)=l(-1.12).(O,-1),(12,9), minar: a) (f2-3g)(I2)
b) (31+5g')(-1)
=
Entonces: (f'-3g)(12) b)
=
(3f+5g')(-1)
EJEMPLO
y g(I2)=9
a) f(I.2)=2(1.2)1+3(12)-1=3(l+12)
Solución.
=
3f(-1)+5g'(-1)
=
9(1+{2)1_3(9)
3(2-3-1)+5(12)'
Hallar el daninio de la !W1ción
3.
(3,12)" Deter:
f(x)
1812
"
=
4
=
14x-x'
+ x+2 -
:x-3 Solución.
Si {
= f.
+ f. + ( •.•
f¡ (x) = /4.x-x·
f.(x)
= x+2 :x-3
.•
:x-1 (,(x) = Ix'-4
3f.
.•
x/3
++
.• 5f.
++
=
Dom(!>
»r
4:x-x' ~ O
-
O ~
x'-4 > O
++
x ~
=
4
++
x(:x-4) "' O Dom(fd=[O,4]
-
R-{3}
x' > 4
++
x < -2 o x>
gráfica de la intersección
2
= <-",-2> u <2,+"'>
Dom(I.) Ilustración
<,
Dan(f¡) nDom(f.) n Dom(f,)
++
.• Dom(f.)
;:;.!.-
,I'x'-4
de los danin/os: Dom(fl)
4
-2
!,
EJEMPLO
4.
el dominio de la fW1ción;
Detennínar ((x) = ~
Solución.
Sea f¡(x)
.
++
l:x-21 ~
+
=~ 4
:r;O
Sí '2(X) = /[SgnCx'- )+x2]-2
•......
Sgn(x')
...•. 31
x 1\
I[
+-+ -+-
+-+
+ Xl
]-2
4-1:x-21>,..
O
A
-4 ~ :x-2~ 4 ,,:r;O + 3' ++
[Sgn(X2)+X2]
x¡O
Dom(1 1)= [-2, 6] -{O}
~ 2
(1)
'-
• Sección 5.8: Algebra de las Funciones
399
si Xl < O si x1;'0
1
r-
Sgn(x2 )
Por definición:
=
Luego, si Sgn(x1)=1, Xl ~l+-)ox>,.l
.-.
l~
o
X ~ -1
Dont
Si puede ser
I+iT
+
i¿ )
Xl
Dont] )
Dont j , )
.00
6
[-2,-1)
U
en un mismo plano f, 9 y f+g·
Vemos que 9 es una función seccionado
Dom(f)nDom(g.)
[0,4)0[-1,2>
Dom(f) n Dom(gl)
[0,4)
cuyas subfunciones
entonces si g.(x)=l y gl(x)=3,
son fun
se tiene:
= [0,2>
[2.6> = [2,4) 4X-Xl-2+1 = 4x-x1-1 (f+g)(x) = { 4x-xl-2+3 = 4x-x'+1 O
Sea y=4x-xl-2=-(x-2)1+2 Construimos
[1,6)
1 si -1.$. X < 2 xc[O,4) y g(x)= { 3: si 2.$. X < 6
Hallar (f+g)(x) y graficar
ciones constantes,
[Xl TI ~ 1
+
I:·;::·'~>~\'·'·".'~;"·f.:.;.!.«cr_: 1
n Dom( f 1)
Sean, f(x)=4x-xl-2,
5.
>/ 2
Dom(f2)
o O
Entonces:
II
< -~ ,-1) u [1, +~>
Dom(f¡)
9
Solución.
No puede ser (En f.: xlO)
si Xl > O en (1) : [ 1+x1 TI >/2 -+
puede ser (Xl es + VxcR)
de los dominios: Dom(f2 )
Intersección
EJEMPLO
No
las gráficas de la parábola
xE[O, 2> xE[2,4) y 5
con
vértice en V(2,2) y las rectas y=l, y=3.
4
Obsérvese que la gráfica de f+g en [0,2> ti~ do poralela a ésta, obteniéndose plazamiento
9 3
ne la misma fonna que la gráfica de f, sienpor un des-
vertical de f. Lo mismo se pue-
de notar en la gráfica de f+g en [2,4). En general,
si 9(x)=c
+
f+g={(x,f(x)+c)I O
xcDom(f)n Dom(g)l. Es decir, a cada valor de
2
4
6
X
la ordenada de f se le debe sumar la constante c. EJEMPLO
6.
Sean las funciones f y {(x)
s.
cuyas reglas de correspondencia
= {3X-2,
si xc[O,2) 1-x , si xc<2,5)
g(x)
=
r
son
Xl, si xE[O,3> , si xE[3,6)
L4
Hallar f+g, su rango y construir su gráfica. Solución.
En este caso vemos que tanto f como g son funciones seccionadas,
.. Capítulo 5: Algebra de las Funciones
400
entonces los pasos para detenninar
f+g son los siguientes:
(1) Considerar a f y g como la sumo ae dos funciones, Z
esto es:
f,(X)=3x-Z
, si xc[O,Z]
g,(X)=X
si xc[O,3>
f.(x)=l-x
,si
gz(x)=4
si xc[3,6]
Entonces: f+g
xc
=
(f, + f.) + (g, + g.)
= (f,+g,) + (f,+g,) + (f.+g,) + (fz+gz) (Z) Hallar los dominios de cada una de las sumas parciales
Dom(f,+g,)
= = =
Dom(f.+g.)
= Dom(f,)
Dom(f,+g,) Dom(f,+gZ)
(3)
Dom(f,) n Dam(g,) Dam(f,) n Dom(g,)
Dam(f.) n Dam(g,)
n Dom(gz)
= = = =
[O,z]n[O,3> [O,Z]n[3,6]
n [3,6]
Sumar las imágenes correspondientes
8
para obtener la regla de corresponde~
7
= [O,Z] = ~ -+ = = [3,5]
cia de f+g. X'+3X-Z
=
(f+g)(x)
xZ-x+1 { 5-x
Ran(f+g)
EJEMPLO
, xc[O,Z] , xc
2
[-Z,8]
Dadas las funciones f:[-3,3] .• [-Z,Z]lf(x)=x'-4,
7.
a) Construir
g:R .•RI
y h={(-3,Z),(-Z,3),(O,l),(l,-1),(Z,4),(6,5)}.
g(x)=19-x',
Solución.
3
, xd3,5]
la gráfica de f y'hallar su dominio.
a) Construyamos
el rectángulo
b) Hallar f+g y g-h.
[-3,3]x[-Z,Z].
Luego, tracemos la
gráfica de la parábola: y=x'-4 con vértice en V(O,-4). Interceptando
y=Z - Z=x'-4 .•x'=6
=
:. Dom(f) x·~ 9
++
mt;:-.....-,~:""2+.-~:-r:~~ ++
++
x=±/2
x=±16
-+
'Jg ++ 9-x' ~ O
-3 ~ x ~ 3 -
- Dom(n
n Dom(g) =
(f+g)(x)
=
Dom(g)=[-3,3J
\ -2 \
Dantf )
x'-4+19-x',
x&[-I6,-/2]
IJooi(h)={-3,-Z,O,l,Z,6} y Dom(g)=[-3,3] Calculamos
x
[-16,-/2] U [/2,16]
b) Si g(x)=19-x' ++
Y
las rectas y=-Z, y=Z con la pg
rábo Ia obtenemos: Para y=-Z ~ -Z=x'-4 .•x'=Z
U
[/2,16] +
, -'4
Dom(g)nDam(h)
=
{-3,-Z,O,l,Z}
las ordenadas de g para cada uno de estos valores de x, esto es,
Sección 5.8: Algebra de las Funciones
si g(x)=19-x1·
8.
EJEMPLO
g=I(-3,0),(-2,15),(0,3),(1,212),
+
=
:. g-h
401
las funciones f y g de la siguiente manera:
Se definen
f(x)=/~1-16 y g(x)=2-!x-4!, Solución.
(2,15)1
1(-3,-2).(-2/5-3),(0,2),(1,212+1),(2,15-4)1
Detenninemos Si f(x)=lxl-16
xE<-6,B]. Hallar: f+g y f/g
los dominios de cada función: .• e] •..> xl-16 ~ Xl ~ 16 •..•. x ~ -4 ó x: >-- 4
° .-
Dado que en Ja función g, el punto X=4E<-6,B],
debemos desdoblar
su dominio
en: <-6,4> u [4,B] y volver a definir esta función del modo siguiente: !x-41=-(x-4) si x < 4, Y Ix-41=(x-4) si x ~ 4 -
g(x)
__{2+(X-4)
= x-2 , si xE<-6,4>
2-(x-4)
=
Intersección de los dominios:
..
.r
(x~
-4 ó x ~ 4) n (-6 < x < 4) = -6 < x~
(x ~ -4 ó x ~ 4)
Ixl-16+6-x, si xE[4, B)
EJEMPLO
9.
n
(4
x ~ B)
.$.
= 4
.$.
-4
x: ,< B
J Ixl-16 xE<-6,-4) x-2 ' si
si xE<-6,-4)
X'-16'X-2,
(f+g) (x)
6-x , si xE[4,B)
(f)(x) g = l/xl-16 si xE[4, B)- {61 6-x '
Sean las funciones reales definidas por: 3X-l
f(x)=lx-31+lx+11
six;..; 1 X
y g(x) = { 2-x, '. S 1
Si definimos una función h:<-1,3> .•Rlh(x)=f(x)+g(x);
hallar el rango de h
y esbozar su gráfica. Siguiendo el método de los puntos críticos para f se tiene: x > 3 3 x < -1 -1 < x < 3 -1
Solución. -
c:o
O
O
•
IX-31=-(x-3)
I I I
IX+11=+(x+1)
IX+11=+(x+1)
IX-31=-(x-3)
Ix-31=+(~-3)
+ 00
nos 'interesa el segundo intervalo, en donde:
Como el Dom(h)=<-1,3>, f(x)=-(x-3)+(x+1)=4,
I
I
I
IX+11=-(x+1)
xE<-1,3>
(Constante)
...• h=l(x,y) Iy=f(x)+g(x) , xEDom(f) n Dom(g) 1 ..• ni x)
= J 4+(3x-1)=3x+3 L4+(2-x)=6-x
Geométricamente:
, si -1 < x < 1 , si 1 ~ x < 3
-~
Ran(h)=<0,6>
Verificar analíticamente
I
el Ran(h).
--Oo---r---'-----...L..--_ -lO?
3
x
402
Capitulo 5: Algebra de las Funciones
10.
EJEMPLO
Sea g(x)=Senx, calón
unitario.
par o impar y graficar Solución.
h(x)=u(x+1I)-u(x-.),
si
Verificar
donde u es
la
función:
la
función
es-
f(x)=g(x).h(x)
es
en la función u se x ?
tiene
f(x).
Según el método de los puntos críticos,
x
<-tr
-Ir
<
X
-11 ~
y
Y
~-------U-(X-+-Y-)-=-O--~:>'---U-(-x-+-y-)=-l--~:~---U-(X-+-.-)-=1------·· .u(X-1I)=0
U(x-1f)=O
:
si x: <
O' -
=
h(x)
=
u(x+1I)-u(x-tr)
lO'
f
si
-1f
-y ~ x
a
Comprobaremossi
su
de
regla
,si
o
++
++
f(-x)
-
=
fe-x)
función esto
l
y
Senx, si
-y
a
x c-«
por
una [une ión
< x <
lo
tanto,
11
par o impar arreglando
conveniéntemente
=
,
Sent=x) , si
< -x < ,.
-11
, si -x
O
>,. ,.
y
es
1
impar.
11.
Dadas las siguientes
{(x)
= {
f+g y construir
funciones:
X€<-4,-11 g(x)=
X€[O,Z]
lx-zl+3,
X€<-I,O>u <2,3]
su
Simplificaremos
-4
5
[x]+l,
, si ~<-3,-1>
-2, xE[O,2>. { -3, XE:(-l,O>
11 (Z,3>
gráfica.
la
función
f
I
eliminando
y los corchetes para intervalos . -3~-2"
,< x < >,. ,.
y ,
[X-l],
Soluci6n.
-11
x:
-f(x)
f(-x)=-f(x),
Hallar
,si
11
Luego, ~EDan(f), -x€Dan(f)
EJEMPLO
{o
{
x >--
,si
x < -tr
,si
Senx, si
es:
((-x)
-
>--. ,si
tr
O
< x <
-y
x
,si
O
=
x ... < -1f
= Senx, si {
una
es
correspondencia,
O {(x)
f
<
Dan(g.h)=Dan(h)
= g(x).h(x)
f(x)
u(x-y)=l
si s: ~ y
Cano g(x)=Senx y Dan(g)=R -
:.
:
++
[x-l]=-5
-
[x-l]=-4
de
las
longitud
barras de
valor
absQ
unitaria.
O~l
.• [x]=O
.•
[x]+l
= 1
1~<2
+ [xD=l
•
[x]+l
=
Z
403
Sección 5.8: Algebra de las Funciones
-2~:X:<-1 x=-1
-
+
-3~r-1<-2
r-1=-2-
-
[r-1
-+ f(x)
-
g(x)
=
.:
IX-21+3 -= -x+2+3
..•. 1r-21-=+(x-2)
D=2
=
[x]+1
+
3
(a)
-4 , x&[-3,-2>
(b)
-3 , ;x:f:[-2,-l>
(e)
-2 , x = -1
(d)
xc[O,1>
(e)
5-x
-4+5=l,,;x:f:<-3,-2>
(f+g)(x)
2 , xc[I,2>
(h)
3 , x=2
(i)
5-x, xc<-l,O>
(j)
x+1, ;x:f:<2,3J
(k)
(bn m)
-3+5=2, ;x:f:[-2,-1>
(enm)
-2-3=-5
=-1
(d n p)
1-2=-1
;x:f:[O,1>
(en n)
xcU,2>
(hn n)
2-2=0 3-3=0
, x = 2
(i Il p)
5-r-3=2-x,
xc<-1, o-i¡
x+1-3=r-2,
XE:<2,3> (k"p)
Il p)
rml
{ 5 • ~<-'.-l> -2, :x:t:[0,2> -3 , xC[-l,O>
=
1r-21+3 -= x-2+3 = x+l
-
-5 , ;x:f:<-4,-3>
1
[x
[r-1]=-2
Si ;x:f:<-j, O> ....•.1r-21 =-(r-2) xc<2,3l
x=2"
]=-3
(n) U
[2,3>
.(p)
x
EJEMPLO
12,
Dadas las funciones f y g. definidas en R por: Sgn(/Xl-41). :ti Ixl ~ 3 f(x)
=
rrX;6].
si xE:<3.9>
/ x~+10x+21, si
Construir la gráfico de
g(x)=3.
si XE:<--,9>
IX-31 > 6
indIcando explícitamente su rango,
f+g,
SOlución, Vamos a definir f, eliminando las barras y los corchetes, (1) Set: fdx)=Sgn(lxl-4j)
h'_41<.J Lx'· 4 ~ = O.,s; I x'· 41 = O { t.» 1x'-41>1 ,l.
Pordejinición:
Sgn(
si
, si -3
-$
x
-$
(nopuedeser:lal~) H:t=-2
Ó
=2
H.u:R-{-2.2)
3
\
•
Capítulo 5: AIgebra de las Funciones
404
Luego, si xE[-3,3]
= [X+6] -3-
(2) Sea f.(x)
Si 3 < ~6
< 4
3
4,
= {O
f,(x)
-+
__ '
-
[X;6
E , X <3'6>}
(3) Sea f.(x)=x'+10x+21,
f(x)
=
3
f2 ( x)
=
> 6 -
-+
[X+6] 3
=3,4
-{3 , XE<3,6> 4 , xE[6,9>
xE<-~,-3>u<9,+"'>
xEI-2,2}
1 , xd-3,-2>U
Luego:
-
, xE[6,9>
]=4
Ix-31
o,
l
]=3
x+6 < S 3 <-3-
3 < x < 9 -
,xE<3,9>
[X;6
3
,
xd-2,2} 1 , xd -3, -2> u <-2,2> U <2,3]
<-2,2>U
<2,3]
xc<3,6>
4 , xd6,9>
x'+10x+21
Entonces: f+g
=
{(x,y)
, xE<-"',-3>
Iy=f(x)+g(x)
Dom(f) = R-{91 Y Dom(g)=<-"',9> 3
(f+g)(x)
= <-"',9>.
xE[-3,-2>
-6 7
n Dom(g)}
.Dom(f+g)
+
xE{-2,21
4 :.
U<9,+"'>
, xEDom(f)
U <-2,2>U
<2,3]
xE<3,6> xE[6,9>
r
-x'+10x+24,
xE<-"',-3> y 7 - -6 ----
- --
- -
-1
---.'---09 ~
I
v El rango de f+g se detennina rábola
y=x'+1Ox+24=(x+S)'-1
EJEMPLO
13.
Sea F la función
reo Solución.
(1) Sea f(x)
~
V(-S,-l).
.'. Ran(f+g)
de variable
= 19-x'. sgn(lX+2)
Detenminar el dominio,
x-1
19-x'
••.
del
=
vértice
de la pa-
[-1,+"'>
real x definida
par:
+ [2X+S]_1 x+3
el rango y construir
=
a partir
geométricamente +
3f -
su gráfica. 9-x'
>..- O <- x'
Ll
-$.
9 -
xc[-3,3]
_
Sección 5.8: Algebra de las Funciones
»a
g(X)=Sgn(~) Entonces: Dom(F) -
Dom(F)
x ~ -2, x~l ; h(X)=[ 2~:~ TI
>:
=
Dont]') n Dom(g) n Dom(h)
=
[-2,3]-{l}
corchetes y evaluaremos
=
,
Pero: sgn(rx+2) x-1
=
1_
2-1 =
TI =
2 + [-1
x+3
. rx+2 x-1 . l:i+2
Sl--
1 , sI
(3) Interceptando obtenemos en - 019-~' F(x)
=
1 < x+3 ~ 6
Se
x-L
rx+2 x-1
< O
> O
...
(x > -2)
(a)
(x
'V
y
I I
si xE<-2,1>
U
"
I
si x <1,3]
:. Ran(F) = [-3,-/5>
/
,
-2
una parte de la circunferencia
> 1)
,,~-;a
(a)~
=
-1
=-2
O
I
el intervalo indicado, la gráfica de F es
14.
1
-"6
-2 < x < 1
++
observa que para cada raíz cuadrada, en
EJEMPLO
1<_1_<1 6' x+3
+-+
con el dominio de F
si x { 19-x'
los
TI
F(x) = 19-x,.Sgn(~)
SI
1-:
n (R-{-3})
el rango de F, eliminaremos
x+3'
[2:~] =
•...•xl--3
[-3,3] n ([-2,+-{l})
•.• -1 < __ 1_ <
Luego:
=h
[-2,1>U<1,3]
-2 ~ x ~ 3, x#l
-
=
+
la función signo, esto es:
[2X+5 x+3
2 _ _1 _ . x+3
Si xd)(m(F)
=
la gráfica y detenninar
(2) Para construir
2x+5 x+3
405
\ -2, \ \.
x'+y'=9
\
o
: : I
[0,212>
Sean f y g dos funciones definidas por: f(x)
=
{x,[2;X.]+3x_1 x+8
g(x)
, xE<-2,1] , xE<2,8]
= {15X-11+6Ix+21-1~ 3x-4
, xE[-3,0]
, xE[1,6]
a) Hallar el dominio y la regla de correspondencia
de la función flg.
b) Hallar el rango de la función flg. Solución. Eliminaremos
a) Sean: fl(X)=x,[2;xD+3:X:-1,
XE<-2,1] y f.(x)=x+8, xE<2,8]
las barras en g teniendo en cuenta que 1/5
t
[-3,0> Y -2E[-3,0>
Capítulo 5: Algebra de las Funciones
406'
Si -3 -,< x < -2
~
° ..•
-2 ... < x <
y Ix+21=-(x+2)
ISx-11=-(Sx-1) ISx-11=-(Sx-1)
y Ix+21=+(x+2)
g,(x)=-(Sx-1)-6(x+2)-lS=-11x-26
=
g(x)
, x&(-3,-2>
(g,)
x-2
, x&(-2,0>
(g1)
,x&(l,6]
(g,)
l Intersección
de
de , y g:
los dominios n Dan(g,)
Dan(,,)
n Dan(g1) = <-2,1]
= <-2,1]
n (-3,-2>
n Dan(g,)
Dan(f.)
n Dom(g.) = <2,8]
11[-3,-2>
Dan(f1) n Dan(g1) = <2,8]
n (-2,0>
Si -2 < x ~ O
..•
= (1)1[2;1
.. (&)
= <-2,1]11(1,6]
n Dom(g,) = <2,8] n U,6]
el corchete
en x&<-2,O]
°~
-x < 2 -
x1+3x-1 x 2 (x)
x&<-2,01,
Para x=l
+
Para x&<2,6], :.
-2
:::-2,0]
x+8 3:c-4
x&<2,6]
SI
,
Ran(f/g)
=,
j_
f/g)
(No existe
=.
f/g)
(No existe
= <2,6]
;
f,(l)
y g,(l):
2-x < 2 ...• 1 ~ 2
=
g,(1)
=
Dan(f/g)
3(1)-4
<-2,0]
[22-X]
=
1
= -1
u 111 u <2,6]
1
h,(x)
h.(x)=-2 si
= (ll
2 ... < 2-x < 4 = 2
f/g)
(No existe
= <-2,0]
y calculemos
= 1(0)+3-1
]+3(1)-1
=.
n (-2,0]
Dan(f,)
Dan(f.)
b) Para
3x-4
Dan(,,)
Eliminemos
f,(1)
g1(x)=-(5:c-1)+6(x+2)-lS~-2
y
'-11x-26
h,(x)
= +
=
x +3x-1 ---:;:::¡--
+
Ran(h,)=(1/2,1l
(Verificar)
Ran(h.)={-21 x+8 3x-4
+
Ran(h,)=[1,S>
= U/2,1]U{-2IuU,S>
(Verificar)
= {-2IU[l/2,S>
EJERCICIOS: Grupo 37 1. Si f={ (0,12), (1,12+13), (2,0)1 y g={ (o ,(8), (2,1/2), (4,13)1, determinar: a) (f+g)(2) 2.
b) (f.g)(2)
e) (f'+3g)(2)
Determinar gráficamente las líneas que representan a f+g a) f(x)=lxl , g(x)=x e) f(x)=x, x&R;
y
g-f, si:
b) f(x)=x , g={(-1,2),(1/2,3/4),(2,-3),(4,12)1
g(x)=[x],
x&(-2,3]
i
407
Ejercicios: Grupo 37
3.
=
nadas las funciones: f(x)
{O, , s7 x ~ 0° , g(x)=Sgn(x).
° ,(
2 R definida por f(x) = { 3: hallar el dominio de g.
4. Sea f:B 5.
Se define la
SI. X 9
t
hallar el rango de H.
función H(x)=f(x+2)+g(x-2),
.
Si f={(o,l2). (1,15), (2,O)} y s={(O ,/8) ,(2.1/2), (4.13)}.
x+4 , u[0.2) 6 • Si f(x) -_{31-x ,x&<2,51
()
y 8 x
{x
a
Hallar ~~~~ "tía
h 11 f a ar +g y cons-
• u(O,3> = 4. x&[3,6);
truir su gráfica.
7. Se definen las funciones f g(x)=2-\x-1I, 8.
y g de la siguiente manera: f(x)=¡g:x¡
y
x&<-2,5], hallar f+8.
Dadas las funciones f(x)=lx-21-1, x&[-2,6> y g(x) = {-~ : ~:~2:6!> Hallar f+g y construir las gráficas de f, g Y f+g.
9. Sean las funciones f
y g definidas de la siguiente
f( x ) -- {X+3 ,XI:<-4,O) , 3x+2, x&<0.5>
()
_- {2x-4 2-x
g x
, x&[-3,2) ,x&<2.8)
manera:
.,ar hall
t +g.
10. Dadas las siguientes funciones, f:[-2,3) ~ [1,4>lr(x)=xt-2x+1, g(x)=2x+1, y&[-1,3>; h:R
+
Rlh(x)=lxl-11+x,
a) Grafic.ar la funci6n g+h. 11. Dadas las funciones í:B h:R + Rlh(x)=lxz-9,
+
+
Rlr(x)=x-lx-11;
y g(x)=12xl,
= ~
15. Sean las funciones f:<-3,5)
+
Rlg(x)=xl-2,
x ~-2;
y
y ~
5; g:R
+
Rlg(x)=2Ix-11+1,
esbozar su gráfica.
,
g(x):[ 1%-1], X&[O,9>, hallar:
c) Dom(f/g) [-5,3]lf(x)=-x&+2%+3
+
y g:R • Rlg(x)=/9-x'
b) Dom(f/g)
16. Si f(x) = {IX-11 [Sgn(3-x)]
,x&[0,6] xc<6,10>
Xl
,
={4X+[X] Ir+11
, x€:< -3,0> y g(x) ,~":-1,6>
g(x) = {lx-21 , xc<-8,3]' xlx-2l, xc<3,8]
y
hallar g/f. 17. Si r(x)
al
trazar la gráfica de f+g y hallar su rango.
b) Dom(f+g)
hallar: a) f/g
g:R
Rlf(x)=xo-2x+2,
14. Dadas las funciones: f(x) a) f+g
+
b) Hallar el dominio de f-g.
x&[-3,4>. Hallar f+g, su rango
13. Sean r(x)=x°
g:R
2.
y~
hallar el dominio de la función (f+g).h
12. Sean las funciones í:R
'/
«)
si x ~ :3 si 3 ~ x~ 6 • Si 8 x)=f 3x +f(x-2)
+
'"
{[-X]-2X,
-4< Ix-5I,O
Hallar la 1'unci6n f+g y esbozar su gráfica.
x ~-1
408
Capítulo 5: Algebra de las Funciones
sgnlXl_41 18. Sean las funciones:
Hallar
f'{x ) =
f+g y construir
=
[x;6]
a) Determinar
definidas
la función la función
si
Hallar
j
,si
TI
g (x ) _ {IIx/2
12x-101
, xE<-~,9>
) , si 1 ,< x < 8 , si 8,< x < 12
f-g f-g,
indicando
explícitamente
g(x)
=
xE<6,9]
las funciones:
g(x)=3
por:
x/2 +5, si xE<2,6] 2x-4
3
su rango.
'Xl-2X , si xE[-4,2]
20. Si f(x) =
-s
IX-31 > 6
indicando
,1x=;1 , si 2,< x < 4 { xl-14x+48, si 6 ~ x < 10
b) Graficar
Ixl
, si 3 < x < 9
l x +10x+21,
su gráfica
19. Sean f Y g las fünciones f(x)
j
si
'
hl(x)=f(x).g(x)
y
su rango.
¡x'
, si xE
1.3
,si
xE[2,8>
g(x) = T{X)
hl (x)
21. Sean las funciones:
D '
f'{x ) = {4X+ [x
si -3 < x < O
Ixl+11-3, Hallar 22. Dadas
la función
= {[ -x ll-5x , si -4 < x < 1 , si O < x < 2 Ix-31
g(x)
1 < x < 6 f+g y esbozar
su gráfica.
las funciones:
f'{x ) ={IXl-41
2 Hallar
,xE[-6,O)
, x >, -2
,x>~2
, x < -2
la regla
de correspondencia
las funciones:
23. Dadas
{[ x-2 f(x) =
n'
(Trazar
si [xTI
3x-[x+1],
si
de f/g y su rango.
la gráfica
de f+g,
indicando
su rango)
es par
[x]
g(x)=Sgn(xl-4),
si
Ixl .$ 3
es impar
24. Sean las funciones:
f(x) =
[Xl TI+lx'-11-3 2x-1
{ , x-1
, xE[-2,2] g(x) , xE<2,4>
r~
25. Construir
la gráfica
de f-g, sabiendo
f(x) =
IT ~]
1-lx+11 2x-1
Ixl .$ 2
g(x)
_
{J:
*
x >,. 2
-1 , #1
Ix-11
Sgn(lxl-11-1)
2 < x ~ 5
, x < 2
que:
, -7 $. x < -2
+ Xl,
={4-[X1J1 -2
, x < -1
Sección 5.9: Composición de Funciones
m
COMPOSICION
409
G
DE FUNCIONES
En el Capítulo 3. Sección 3.9.4. habíanos descrito que bajo ciertas condiciones era posible obtener. a partir de dos funciones f y g. una nueva función h. llanada la compuesta de aquellas. denotada por h=gof y definida p?r: (gof)(x) = g[f(x)}. ~Dom(gof) gof = {(x.g[f(x)})lx&Dom(gof)} donde: Dom(gof) = {xEDom(f.)lf(x)EDom(g)} = {xIXEDom(f) A f(X)EDom(g)} y cuya interpretación geométrico se muestra en el siguiente diagrama:
A
f
y=f(x)
B
z=g(y)
C
g
D
= g[f(x)} = (gof)(x)
OBSERVACIONES (1) Dom(gof) e Dom(f) = A (2) Ran(gof) e Ran(g) !;. D (3) ~(gof) - Ran(f) n Dom(g) 1 • (4) Cuando el Ran(f) está contenido en el Dom(g). entonces la función gof está definida en el Dom(f). esto es, si: Ran(f) C;; Dom(g) + Dom(gof) = Dant f") (5) Cuando Rantf ) rt: Dom(g) + Dom(gof) = {xlnDom(f) f(x)&Dom(g)} (6) La aplicación se hace de derecha a izquierda. es decir. la función de partida es la que está a la derecha de la notación "o". En gof. f es la función de partida y g la función de llegada. En fog. g es la función de partida y f la función de llegada. (7) Si g:A + By f:C + D. entonces: (fog)(x) = f[g(x)}. ~Dom(fog) (8) Dom(fog) e Dom(g) = A (9) Ran(fog) e Ran(f) C;; D A
~
..•.
-----
410
Capítulo 5: Funciones
(10) 3(fog)
Ran(g) n Dom(f) I ,
--
(11) Cuando Ran(g) ~ Dom(f)
r/= Dom(f)
(12) Cuando Ran(g) EJEMPLO
l.
Solución.
-
Dom(fog)
Sean f y g dos funciones
=
g
= Dom(g) = {.r¡.:nDom(g)
Dom(fog)
definidas
g(x)dJom(f) I
A
por: f(x)=,,;x"-4 y
{(-1.-ZI2).(2.-1).(4.1:5).(3.4).(7.1:5)1.
Hallar fog.
El rango de la función de partida es: Ran(g)={-ZI.2.-1.1:5.41
»t -- x"-4 ~ O -
=
Dom(f)
=
Ran(g)n Dom(f)
x" >/ 4 •..• x -s -2
<-~.-2]
o
x ~ 2
u [2.+~>
{-21.2.1:5.41 I , ~
3fog
Entonces. para x=-212.1:5.4. obtenemos en f: y=2.1.21'3. respectivamente.
=
Luego. f
{(-21.i.Z).(1:5.1).(4.21.3)
Ahora. si (1.-2{2)Eg (4.I[)cg
A
(~.l)cf
(7.f5)cg
A
(1:5.1)cf
1: A
t
+
(7.1)c(fog)
+
(3. 21'3)c(fog)
t
las funciones f:R
Si f(x+1)=x'
xc[l.+~>.
+
Rlf(x+1)=;X:". xc<-l.7]
~allar: a) (fog)(x)
f(x)=(x-1)'.
+
=
Dom(fog)
f[g(x)]
=
g(x-1)=2:x:-1
+
y
g:R
+
RI
b) (gof)(x) g(x)=2(x+1)-1=2x+1
= (2x+1-1)" = 4:>:" {xcRlxcDom(g) g(x)cDom(f)I = xc(l.+~> (2x+1)c<-1.7] (x ~ 1) (-1 < 2x+ 1 ~ 7) = (x ? 1) (-1 < x ~ 3) = (1.3] :. (fog)(x) = 4x". x&[1.3]
a) (fog)(x) +
(4.1)c(fog)
(4.zl'3)cf
g(x-1)=2x-1. Solución.
(1.2)c(fog)
.'.fog = {(1.2). (4.1>. (7.1>. (3.21'3)I
Dadas
2.
~
t
(3.4)cg
EJEMPLO
(-2{i.2)cf
A
f(2x+l)
A
A
A
A
~
b)
(gof)(x) Dom(gof)
= g[f(x)] = g[(X-1)"] = 2(x-1)'+1 = 2x"-4:>:+3 = {xcRlxcDom(f) f(x)cDom(g)1 = xc<-l. 7] (x-1)"c[1.+~> = - (-1 < x ~ 7) (x-1)' >, 1 = (-1 < x.!- 7) (x ~ 2 o x.s. O) A
A
A
.'. (gof)(x) = 2x'-4x+3.
I!II
A
xc<-1.0]
U [2.7]
PROPIEDADES Pura las funciones
f. g. h. 1 (Función
identidad) se ctmplen
las
siguientes propiedades: Fe.l: (fog)oh
=
PC.2: En.general:
fo(goh) fog 1 gof
(Ley Asociat iva) (No es conmutativa)
• Sección 5.9: Composición de Funciones
= =
Fe. 3: (f+g)oh Fe.4: (f.g)oh
411
(Ley Distributivo para la suma)
(foh)+(goh) (foh)(goh)
(Ley Distributivo
para la multiplicación)
Fe.5: 3!1lfol = 10f = f , ~f
Fe. 6: 1nof! = l1T11, n,mEZ+ Fe. 7: lno(f+g) EJEMPLO
(f+g)n , nEZ+
Si f=21'-31 y g=I'-1+2,
3.
Solución.
=
fog = (21'-31)0(1'-1+2)
hallar fog y gof.
= 21'0(1'-1+2)-310(1'-1+2)
= 2(1'-1+2)'-3(1"-1+2) gof = (1'-1+2)0(21'-31)
(Fe. 3)
= 21'-41 +71'-51+2
(Fe. 7)
3
= 1"0(21'-31)-10(21'-31)+20(21"-31)
(21"-31)"-(21"-31)+2
(FC.3)
= 41'-121'+71'+31+2
(Fe. 7)
:. fog I gof EJEMPLO
Sean f:R
4.
h:R Solución.
+
Según·Fe.1: Entonces,
(1)
Rlf(x)=2x-3,
=
fogoh
t
xe:<-l,31. g:R
+
Rlg(x)=x+2,
(fog)oh
=
fo(goh)
(g=función de partida, f=función de llegada)
Dom(f)
-
Dom(F)=lxe:Rlxe:Dom(g)
g(x)e:Dom(f)}
A
Dom(F) = (-2 ~ x < 4)
A
(x+2)e:<-l,3] = (-2 ~ x < 4)
= (-2 .... < x < 4)
A
(-3 < x ~ 1) = -2 ~ x ~ 1
(2) Entonces: (3) Ran(h)
xe:[-2,4>,
xe:<-6,O]. Hallar fogoh y su rango.
sea F=fog
Como Ran(g)=[O,6> -
+
Rlh(x)=3x+7,
A
(-1
< x+2 ~ 3)
F(x) = (fog)(x) = f[g(x)] = f(x+2) = 2(x+2)-3 =2x+1, xe:[-2,lJ
q:. Dom(F)
- Dom(Foh)
-
Dom(Foh)
= xe:<-6,O]
=
A
= Ixe:Rlxe;Dom(h)
A
h,",)e:Dom(F)I
(3x+7)e:[-2,l] = (-6 < x ~ O)
(-6 < x ~ O)
A
(-3 ~ x .... < -2)
(4) ...•. (Foh)(x) = F[h(x)) = F(3x+7)
=
= 2(3x+7)+1
(-2 ~ 3x+7~
A
-3 ~ x ~ -2
= 6:1:+15,x&[-3,-2]
:. fogoh = {(x,y) ER" ly=6:I:+15,x&[-3,-211 (5) Si xe:[-3,-2] -
:. Ran(fogoh) EJEMPLO
-3 ~ x~
(fog)(x) Solución.
Pero f(x)"r-3x+5 Sustituyendo
en
-3
-$
6:1:+15.... < 3 .
UTg(X)
hallar dos funciones g para los cuales
= x'-x+3.
Si (fog)(x)=x'-x+3 Sea
-18 ~ 6x ~ -12 -
=[-3,3]
Si f(x)=x'-3x+5,
5.
-2 -
-
-
ffg(x)]=x'-x+3
f(u)=x"-x+3
~
f(u)=r1.-3u+5
(1):
u2-3u+5=x2-x+3
(1) +-+
uL3u-(x2-x-2)=0
1)
412
Capitulo 5: Composición
Resolviendo
para u:
u
3 ± 19+4(x1-x-2)
=
u = 3 + 12x-ll
de donde:
_
g(x)
EJEMPLO
6.
Dadas las
Solución. »
,xc[1,3> . (x-3)2, x&[3,7>
t,» f.u ... Vfn• u ffl.
..• fog
=
U (flog:.>
(1) Luego, sean:
fl(X-3)=:x:
(2) Dete~inación
-
y=4 constante
(6) Ran(g.)r')D
Cono {4} e [3.7>
xc[S.7>
• x&(5.7>
l •.•
(x-3)e[1,3> ={.(x-3)
{4} n (1,3>
[-l,2>n
Ran(g.)=(-1,2>
-+
~(f.og.)
{xlxeDOOl(g,) ,. g.,.(x)&Dom(f.)}
=
(2.$ x < 5)
=
(x-3)+3
=. -
[3.7>
< 2
Ran(g.)={4}
Dcxn(f,og.)::;
=
f.(4)
de (3) y (6):
Determinar g(x)
x-S < 2 g.(x)
A
(1.$ x-3 < 3)= [4,5>
::; x , .n[4.5>
'1(f.og.)
= •.•
~(f.og.)
= {4In[3,7> l. - ,.(f.og.) .; Dom(f.og1.)::; D
f.[g.(x)]
(7) Por lo tanto,
Solución.
-
= ,'l[gl(X)1
= =
_
[1.3>1'\[-1,2>
= .n[2,5> ,.
n Dcxn(f.)
7.
=
Dom(f.)
(4) Ran(g,)flD
EJEMPLO
g.(x)=4
-l.s. - -l.s.
rt
(f.og.)(x)
Entonces,
entonces:
g, (x)=:x:-S • xc [2.5>
-+
-+
U Dom(gn)'
xc[1.3>
f.(x)=:x:1,
•..• 2.s. x < 5 .•••
xe[5,7>.
C~'Ran(gl)
(S) Ran(g.)
secclo-
de los rangos de g, y de g.
xc[2,5>
(3) D
-+
de flUlciones
U (fnogn>
U ••••
fl(X)=x+3.
-+
g.(x-1)=4
->- Dom(f,og.)
XE:[2.5> • .:%:&[5,7>
UDom(f.) U ••• UDom({n)
u (f,og.)
U (f.og.)
g. (x-1 )=;r-4
g.:
(fog)(x).
donde Dom(g)=Dom(gl) U Dom(g.) IJ •••
f.(x-S)=(x-3)·
En
hallar
lUIa composición
donde Dom(f)=Dom(fl)
U g. O •••
En g.:
1/2
esto es, si:
9 ::;g.
(flog.)
s: <
;9(X-Cl)={X-4. 4
de efectuar
Cuando se trata nadas,
t
siguientes.
{x
{(x-3)=
• si
2-x
funciones
(
.2
• si x >;, 1/2
={X+1
2
3 ± /(2x-1Ji
=
2
de Funciones
(fog)(x),
(Oba.1l)
::; (4)1 ::; 16 • .n[S.7> (fog)(x)
= {x • si .n[4.5> 16 • si .n[3.7>
si f(x)~-2x.
%&[-1.7> y
::; 1-2x • si xc<- , -1 > { x+2 , si xc<2. +""> •
(1) Sean: g. (x)=l-2x
y g.(x)=X+2
-
fog = (fog.)
U ({og.)
Sección 5.9: Composición de Funciones
(2) Verificar que Ran(g,)=<3,+m> Como Ran(gl) n Dom(n
413
y Ran(g,)=<4,+m>
# • y Ran(g,) n Dom(n
# 4>
-e-
tv«,
existen
y fog,.
(3) Cálculo de cada uno de los dominios: Ran(g,) ~ Dom(f) ~ Dom(fog,)=lxlxcDom(g,)
Ran(g,) ~ Dom(f)
~ g,(x)cDf}
Dom(fog,)={x IxcDom(g,)" g,(x)cDf}
(1-2x) &[-1 ,7> (x < -1) ~ (-1 .$ 1-2x < 7)
- xc<-m,-l>"
•..•(x < -1.> ~
(-3
xc<2,+m> ~ (x+2)c[-1,7>
+
•..• (x > 2) ~ (-1 ,< x+2 < 7)
e x s: 1)
-
(x >
:. Dom(fog,)=<-3,1>
x <
2) ~ (-3.$
5)
.',Dam(fog.)=<2,5>
I
(4) Detenninación de las reglas de correspondencia:
=
f[g.(x)]
f(1-2x) (1-2x)'-2(1-2x)=4x'-1
=
f[g,(x)]
=
f(x+2) (x+2)'-2(x+2)
=
x'+2x
:. (fog)(x) ={4X'-1 , xc<-3,-1> x1+2x , xc<2,5> Sean las funciones «x)=1T+:i: , -1.$ x < 2, Y
8.
EJEMPLO
g(x) = Solución.
[x] { x'-l
'
x
< O
.
Hallar fog y graflcarla.
•
,x~O y g,(x)=x'-l
Sean g,(x)=[x]
-
fog
=
(fog.)
U
(fog,)
(1) Cálculo de los dominios de fog. Dam(fog.)={xlxcDom(g.) ~ (s:< -
O)
(x < O)
~ g.(x)cDf}
~
([x]c[-1,2»
A
(xcl-l,O,l})
Dam(fog,)=lxlxcDam(g,)
A
g,(x)cDf}
- (x >-- (V ~ (x'-1)c[-1,2> -
•..• xc{-l}
-
(x >/0) (x >... 0)
A
A
(-1,< xLI < 2) (0.$ x < 13)
-o.!;x<13 (2) Detenninación de las reglas de correspondencia: f[g.(x)) = f([x]) = /l+[x] , xc{-l} ~ (fOgl)(X)
=
f[g,(x)]
= ¡y:y = =
f(x'-l)
- (fog,) (x)=lxl=x, (fog)(x)
EJEMPLO
«x)
9.
=
{O ,
1
~-i
si x , si xc[0,,I3>
~
A~
1
.0
IX
Dadas las funciones siguientes; hallar; si existe, (gof)(~)
IX+21
[x]
O, x=-l 11+x'-1
x&[0:,I3>
. {[/-6i ~. =
tY ./3-
{X2[~2n-2Ixl, ,i -la<1
• si x>-- 1
, g(x) = '. x[ 1x-31 ]+2,
si --I2
"
• 414
Capítll[o 5: Composición
de Funciones
Volvamos a definir {y 9 eliminando las barras y los corchetes. (1) En [: si -1 < x < 1 ..... 1 < x+2 < 3
Solución.
..... 1<_1_< 3 IX+21 Si x > 1 ...•
J..<
1 ...•. [x]
13
< 1
[~]
¡IX~21
=0
x
=
-12
< x ~ O [cc] -x -12 < x ~ O = (-12 < x ~ -1) v (-1 < x ~ O)
(2) En g: Para
-+
(1 ~ -x < 12)
v
(O.$. -x < 1)
(1 ~ x' < 2) v (O ~ x' < 1)
([x' TI =1) (2 < x < 3) v (3 < x < 4)
Si 2 < x < 4
(-1 < x-3 < O)
v
(O < x-3 < 1)
([x'll=O)
v
(O < IX-31 < 1) [ IX-31 ll=O X'+2X
[t x) ={O,
si -1 < x< x , s i x >-- 1
g(x) =
Entonces, go{ está definida (3)
¡
v
(O < Ix-31 < 1)
xE<2,4> si -12 < x ~ -1(g.)
22x
si -1 < x.$o O , si 2 < x < 4
(g,)
(g,)
Dom(g) n Rant ] ) ¡. ~
Detenninación de los rangos de
r. y r..
En {., Ran({.)=O , constante. En {,: y=x, s i x >-- 1 ...•Y >/ 1 ..... Ran ({, ) = (j , +~> (4) Interceptando el rango de (. con los dominios de g., g, y g"
que sólo Ran({.) n Dom(g,) ~ ...•Dom(g,o{.)
...• g,r{.(x)]
$
.....
{xlxEDom({.)
=
=
(-1 <
=
(-1 < x < 1)
g,(O)
x <
=
{.(x)EDom(g,)}
1)
2(0)
se deduce
3(g,·O{.)
A
A
=
OE(-1
x ~ O)
<
(-1 < x~
O)
=
<-1,0)
O , si xE<-l,O)
(5) Interceptando el rango de (, con los dominios de g., g, y g, vemos que
sólo Ran({,) n Dom(g,) I 9 ...• 3(g,O{,) Como [1,+~> 1<2,4> ...•Dom(g,o{,) ..... Dom(g,o{,) = (x >-.-1) (XE<2,4»
=
A
...• g,l{,(x)]
=
g,(x)
=
9.
((x)
{,(x)EDom(g,)}
A
2 , xE<2,4>
(6) Por lo tanto, de (4) y (5):
EJEMPLO
{XIXEDom({,) <2,4>
(gof) (x)
- ft 2O
si -1
-
<
x.$ O
si 2 < x < 4
¡-L
Sean { y 9 dos {unciones reales definidas por:
¡
= IlITIXI-2] 3-x' Ir+2x
si:cr:<-ll> '; ,si.n:
[1,2>
g(x)
=
:x:-I
t-x
Hallar el dominio y la regla de corresporaenci a de gof.
'
SiXEr-2,-1> l
si xc;
• Sección 5.9: Composición de Funciones
Solución.
t,
En
dado que OE<-l,l>
(1) Para XE<-l,O> -1 < x <
°
415
<-1,1> = <-1,0> u <0,1>
-
Ixl=-x
+
-X-2] 3-x
[
=
_1.<_l_<_L 3 x-3
-4 < x-3 < -3
-+
[
5 ] 1 + x-3 __
(2) Si XE
Ixl= ..• [~=!]= [-1
-+
x < 1
0<
2<
-"3
-1
={
si XE[1,2>
1x'-+2x,
La cOO!pOsición gof está (3) Detenminación Ran(f,)=-l,
EJEMPLO
10.
Sean:
La función
x€:< -1,0] x€:O,10>
(g,)
=
l(x+1)'-1
< r'B
=,
F ,
y f,:
~
l(x+1)'-1
3 ~ (x+1)2-1
< 8
Ran(f,)=[13,212>
-+
, no están
y Ran(f,)nDom(g,)=,
definidas
í/,of,
~(g,of,)
-+
3(g20f,)
e Dom(g,)
-
=
+2x)
={ Ixl
Dom(g,of,) 1-lx·+2x
--
reales
'
si XE<-l,O]; , si xE[1,10>
=
=
Dom(f,)
(gof)(x)
definidas g(x)
=
[1,2> 1-lx'+2x,
(Obs.4) XE[1,2>
por:
={3X [x']
XE<-l, 1] , XE[2,4]
gof.
f.(x)=lxl,
xE<-l,O]
t, (x)=rx=I.
,
XE
gof está definida
(1) Detenminación
I rx: , si XE
13~
~
Solución.
(g,)
Dom(g) n Ran(f)
Sean f y g funciones
si existe,
si XE[-2,-l>
-
= g,(lx'
f(x) Hallar,
tT«)
En f"
o Dom(g,) # q. .••
g,ff,(x))
'
X
4.$- tx+t )" < 9 -
Dado que Ran(f,) -+
l :-1
2.$- :1:+1< 3 -
Dom(g,)
Ran(f,)
=
= -1 , ;x:E<0,1>
m<-l,l>
+
Cano Ran(f,) n Dom(g,)=, Ran(f,)n
+ _1_] 3-x
-1,
g(x)
definida
constante:
y g,of,· (5)
;
de los rangos de f,
Si 1.$- x < 2
(4)
ir.:
[1+2]=-1 x-3
4
1. < _1_ <.1. 3 3-x 2
++
[-1
(2): [1~1;2]=
, si XE<-l,l>
5
-"4
+ 3~X]
2 < 3-x < 3
1+_1_<_1._ 3-x 2
-
de (1) y
Por lo tanto,
((x)
°_
-1 < -x <
É..<2....< 3 x-3
4
_1.<1+_5_<_..!._ 3 x-3
(1 )
,
[1,10>
g,(x)=3x, ,
s, (x) = [
XE<-l,l] x' ],
Dom(g) n Ran(f)
-
XE[2,4]
'1 ,
de los rangos de f1 y f2:
+-+ -1 <
xs
°
++ 00$.
Ixl <
+-+ 1~ x < 10 +-+ O~ x-l
1 ~
Ran(f1)=[0,1>
< 9 ++ O.$- ;x::¡ < 3+ Ran(f2)=[0,3>
416
Capítulo 5: Composición de Funciones
(Z) lnter&ecci~del
COmo
b) RQ11(f,)
Dom(g,)
n Dom(g.)
Entonces:
-
rx=I
A
(-;1
(O <-x~l ~ 1) :: (1,< x ~ Z)
'" g.(~x-l)
=
n
[0.3> -
<
:: (xcri.l0»
I • -
=
3(g.0{.)
.
txl~Dom(f~)
(I.X=lE[.Z.4)
A
s: < 10)
.$ 1)
31i=1 • ~(l.Z)
::
[Z.4)
Dom(g.of.)
'"
j
'" (1 ~ x < 10),.
::
{X'-4.
11 X
.
si x6:<-1,10]
3tX=I
•
si xlt[l.Z]
n.
[x-l
rx=I .$.4)
x.:[5,10>
si, xE[5.10» f y 9 definidas
reales
si x < 3 si x ~3
la regla de correspondencia
(Z.$
(4.$. x-l " 16) :: 5,< x < 10
A
SeQ11las funciones
f.(X)EDom(g.)l
A
9,(Ii=Ü :: [(rx=l)' TI :: [X-1] ,
'"
8-x,
;
= ~
g(X)'
1x-21
de la función
por: +
1x-31
fog.
Por el método de los puntos crÍf icos en %=Zy x=3. verificar
la función
9 se puede redefinir
XI-4 . x < 3
{ 8-%
• x ~3
(I.l definidO
••
<2,+->;
(2) Intersección
RQ11(g,)::
del Ran(g.)
RQ11(g,) r:f. Dom(',)
-
:: (x < 2)
manera:
j4-X . x < Z
(g,)
(g.)
Z-x • :2 .c x < 3 x-4 • x ~ 3
(g.)
Dom(n O RQ11(g) I •
que los rangos de los funciones
=
a) <2.+->n <--.3> i • •.• Dom(f,og,)
=
g(x)
Verificar Ran(g,)
de la "siguiente
(f.)
Entonces la fUilción fog está (1)
f • (x)cDom(g,)}
A
A
f(x)
!(x) ::
:: txIXEDom(f.)
(~E<-l.lJ)
A
3
Solución.
3(g.of.)
x < 10)
rt Dom(g.)
11.
f. ••.•
x < 10)
Por lo .tQ11to: (gof)(x)
Hallar
~(g,of,)
-
:: (1 ~
g.[{.(x»)
g.ft.(x))
EJEMPLO
'" <-1.0]
" (1.$
:: (1.$
(4)
:: •
Dom(g.of.)
(x.:[1.10»
•.• Dorn(g,of.)
-
'" Dom(f,)
31xl • x.:<-1.0]
:: [0.3>0<-1.1)
n Dom(g.)
RQ11(f.)
=
'" [0.1> 0[Z.4]
rt Dom(g.)
•.• Dom(g,of.)
b) Ran(f.)
Dom(g,of.)
3(g,of.)
del RQ11(f.) con los dominios de g. y g.: O Dom(g,¡
RQ11(f.)
-.
:: g,(lxl)
g,(f,(x)}
(3) Intersección a) Ran(f.)
I •..•
'" [0.1>0<-1.1]
e
Ran(f,)
Entonces:
con los dominios de g. y g,:
Ran({.)
a) RQ11(',)~Dcr.I(g.)
g,.
g. y g.
<-1,0);
Ran(g.).::
con los dominios
de f,
son:
(-1._>
y fa:
3(f.og,) Dom(f,og.) A
(4-X < 3)
(:::IXED!IR(g.)"
g,(x)cDom(,,»)
(s: < 2) " (x » 1) :: 1 < x < 2
que
• Sección5.9: Composiciónde Funciones
=
~ f,{g,(x)]
=
f,(4-x)
=
b) Ran(g,)flDom(f.)
=
~ Dom(f.og,)
=
(x < 2)
Intersección
Ran(g.)flDom(f,)
=
(4)
Intersección Ran(g,)n
= -
=
Dom(g.)
=
=
x'-4x
(2-x)'-4
~
=
f.(x-4)
=
12.
EJEMPLO
=
SOlución.
u
=
x+I x-1
.-~
=
->
Dom(fog)
, xd3,7>
.• 3(f .og,)
{xlxeDom(g,)
A
g,(x)EDom(f.)I
, xE<-~,l]
x'-8x+12,
xE<],2>U[3,7>
x'-4x
xE<2,3>
12-x
, xe[7,+~>
yes
de f(x),
=
tal
<1,4];
la función
que (fog)(x)=x'-x+1.
f
tiene
Hallar
el dominio y el rango de la función
x==-
u~l u-1
del
Dom(fog):
=
xd-1.PU<],4]
(X+1)E<_1 P U <1 2] x-1 .,
f(x~l) x-1
x'-x+1
a la variable
Volviendo (2) Cálculo
g,(x)eDom(f,)}
A
la
fog.
Cálculo de f(x):
(1)
f{g(x)] Sea:
f.:
12-x , xe[7,~~>
Dom(f)=<-l,l>u
regla de correspondencia
f, y
3(f,Og,)
->
x+L x-1 con Dom(g)=[-l,l>u
=
<2,3>
, xe<2,3>
x'-8x~12
=
=
!
Sea g(x)
=
{xlxeDom(g,)
X+4
(5) Por lo tanto:
f.:
>....3) = x >-- 7
8-(x-4)
(fog)(x)
x ~ 1
;(f.og.)
f.,
Dom(f.og,) (x-4
=
< 3) = 3 ~ x < 7
(x-4)'-4
A
f, y
con los dominios de
(x-4
A
(x ~ 1)
A
g, (x)eDom( f.)}
3(f,Og.)
.•
Dom(f,og.J"
=
= (x ~ 3)
=
$
= [-1. ~~> n [3, .~> f.,
~ Dom(f.)
..• f.{g,(x)]
1-
Dom(f,og,)
f,(x-4)
b) Ran(g,) n Dom(f.) Ran(g,)
(x < 2)
A
x~4 , xe<-~,l]
[-l,~~>n<-~.3]
= (x >-- 3)
=
=
= {xlxeDom(g,)
con los dominios de
del Ran(g,)
~ Dom(f,og,)
..• Dom(f.og,)
=
, xe 3(f.og,)
= <-1.0>n[3,~~> =, -
Dom(f,)
f,{g,(x))
~ 3)
->
Ran(g,) c¡t: Dom(f,)
-+
(4-x 8-(4-x)
A
f,(2-x)
b) Ran(g.)flDom(f.)
a)
t » ~
= <-l,o>n<-~,3>
e Dom(f,)
~ f,{g.(x)]
x'-8x~12
Dant] .og,)
del Ran(g.)
(3)
Ran(g.)
~
=
f.(4-x)
a)
=
(4-x)'-4
<2,~~>n[3.~~>
Como Ran(g ,) 9f Dom(f.) ~ f.{g,(x)]
417
..•
= (u~l )'_(U+1 )+1 u-1 u-1
f(u)
original: Dom(fog) A
+-.
(-1
= x'-x+1
f(x)
=
=
u'+3 (u-1)2
x'+3 (x-1 )2
{XIXEDom(g)
A
g(X)EDom(f)1
(x+1)E<-l,l>U
(a)
• Capítulo 5: Composición de Funciones
418
~+1 ~+1 p+1 x+L [ x-1 > -1) ~ x-1 < 1)] v [ x-1 > 1) ~ (x-1 ~ 2)] 2x
[(x-1
2
> O) ~ (x-1
2
< O)]
x-3 > O) ~ (x-1
v [(X-1
[(x < O v x > 1) ~ (x < 1)) " [(x> •...•
(x >,.3) -
(x
Luego. en (a):
_(O
t:..<~~~-}
:
1) ~ (x < 1 v x>,. 3)]
xE<-=.O>u[3.+-> n (xE<-~.0>U[3.+-»
(xEf-1.1>U<1.4])
Dom(fog)
>,. o))
¡
t;-4'F7'~j ·,·a
_---!>~.-.'O':'·<..::~::.;:·('~~·;¡¡;.í:.;cl:b)---~~~-----¡~· ••..• ',.
.•••
·1
(3) Cálculo
O 1 .', Dom(fog) = [-l. O>U [3. 4]
del.Ran(fog):
[3.4]
Si XE[-1.0>U 3
1
(- 2 -s x - 2
(fog)(x)
-
< -
1
5
+
3/4
4)
7
2) v ( '2 ~ x - '2 ~ '2 )
=:»1).
1 3 < ( (4 t-;¡
~ 3) .:
'1
4
= (x-1/2)'
(-1 ~ x < O) v (3 ~ x~
(t < (X-1)' ~ 1 ) (1 < (fog)(x)
= x'-x+1
3
V
2~ ,< (x
(
-1)' ~
3 9 3 +4~4+4)v(4+4~ V
25
(7 ~ (fog)(x)
Ran(fog)
4~ ) 3
~ 13)
= <1.3] U [7.13]
EJERCICIOS:
Grupo 38
g(x) = x+3 . Hallar Dom(fog) n Domf gof },
1.
Sea f(x) = ~2
2.
Si f, g Y h son funciones definidas por las ecuaciones: f(x)=x1,
~
g(x)=3x
y
Y
x
.
h(x)=x-5. Si se sabe que (f+g)(x)=f(x)+g(x), hallar los valo-
res de x tales que: [hofo(g+h»)(x)=O. 3.
Si f, g Y h son funciones de R en R y tales que f(x)=x'-4, g(x)=3x y b(x)=3x-·. Hallar el dominio de (hofog)(x).
4. Si f:[3,+=>
+
R está definida por f(x) = __1__ Y g:[1/2,+=> x-2
+
R está def!
nida por g(x) = 2x+1, hallar el Dom(gof). x
5.
Sean f(x)=2x-3 y g(x)=x1+1 dos funciones reales. Hallar la suma de todos los valores de x tales que: (fog)(x) = (gof)(x)
Sección 5.9: Composición de Funciones
419
6.
Si (fog)(x)=x'+x+1
7.
Sean las funciones: f(x) = {X'+2x+2 2x+4
y
g(x)=x'+1, hallar (gof)(9). , O~ x < 3 , , x ~ 3
g (x)
= {4X+5 , ~X<1 3x'+2, x >, 1
Hallar (fog)(1/4)+16(gof)(1/2). 8.
Sean las funciones reales: f(x)~
y
g(x)
1
---Ix -11
. El dominio de la
t
función fog es A. Hallar A'. 9.
Dadas las funciones reales f
y
g, tales que: f(x-1)=3xt+ax+12,
g(x+1)=5x+7; hallar el valor de a tal que (f9g)(-2)=-4a. 10. Si f(x)=/2x-1, g(x)=/2x'-7, hallar una función h tal que (foh)(x)=g(x). 11. Sean las funciones f y g definidas en R por las ecuaciones f(x)=xt+2 y g(x)=x+p, p fijo. Hallar la suma de todos los valores de p que satisface a: (fog)(p+3)=(gof)(p-3). 2
12. Si f(x-2) = x-3 .'hallar el valor de x de modo que (fof)(2/x)=5. 13. Si f(x)=xx, h(x)=,fx y (hogof) (x)=
17, hallar
g(x).
14. Si f(x)=2x'-4x-5, halla·r dos funciones g para las cuales (fog)(x)=2x'+ 16x+25. 15. Hallar todos los polinomios f(x) de primer grado tales que: (fof) (1/x) =
4-x --x'
1
XI"O
16. Sean las funciones f
y
g definidas en R, tales que:
si x.:S
(gof)(x) =
f(x) = {X+2 , (x-1)"+3, si x >
{X
t
_2
, si x > 2
x-5
, si x ~ 2
Hallar la función g(x). Graficar la función g. 17. Sean las funciones: f(x)
=
t:.:
si x < 1 si x >,2
g(x)
=f
-x L2x
,
si x < 2
'. si x ~4
Hallar el Dom(gof). 18. Sean las funciones f y g definidas por: f(x)= [ x] , x&(4,9],
g(x)=x'-x+1/4, xE(-3,O). Hallar el Dom(fog). 19. Sean las funciones de ~ariable real: f(x) = {X':1 -x X-1 , si x < 2 g(x) = { 2 , si x >,4 • Hallar el Dom(gof). 20. Sean las funciones: f(x)=21'+1, si xE<-2,20> , g () x Hallar fog.
si x < 1 , , si x ~4
1-X, xE<-<>,-2> = { 2x, XE<6,+m>
• 420
Capítlllo 5: Funciones
21. Sean las funciones reales: f(x)=lx+21+x, g(x) = {2X+3 , x ~ 1 3x-1 , x < -1 Establecer el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) xE[-2,-3/2>
c ) x < -1
(gof)(x)=6x+4
(fog)(x)=-2
b) Ran(f)-Ran(g) = [-2,1>
°
22. Determinar fog si f(x)=3x+2, si xE<-=,-3> y g(x) - 2x ' si x < - { -3x, si x >--1 23. Sean las funciones reales de variable real: f'{x ) = {X+2 , x.$ 1 ,
g(x) = {x' ,x < 1_x', X ~
x-1 , x > 1 24. Sean f
° . Hallar fog °
y
su dominio.
g funciones definidas en R por:
y
l
f(x) = {X -3X, si x ,< 3 _x'+3, si x > 3
g(x) = {3-X, si 5-x, si x
.Hallar fog y su rango >
25. Dadas las funciones f Y g definidas en R, por:
j
X+3
f(x)=x'-2, xE[-5,5] ; g(x) =
si xE[-5,-3]
2x-1 : si xE<-3,1>
. Hallar (fog)(x).
4x+1 , si xE[1,3]
26. Sean las funciones f y g definidas por: {1.1~xl '
f(x)
si x < -2
{ g (x) =
1 ••
6
, 3i -4 < x ,< -1
1
IX+31-3
(x+2)', si xE[-2,-1]
,I5-x -2
, si
-1
< x < 5
27. Sean las funciones f y g definidas por: f(x)
={
,I1-x , si xE<-3,1>
1/x
g(x)
l
=
{X _4,
° ,
, si xE[3,B]
, n[O,1>
, xE<-1, 1>
2B. Si f(x)
=
{ x-1 1 [x +11, xE<1,2>
si xE[O,4] . Hallar fog. si xE<4,7>
g(x)
= { ~x:_~ , xE[1,3]
. Hallar fog.
29. Dadas las funciones: f(x) = {Ixl ' xE[-5,-1] 2 ,xE[ 1,2] 30. Sea la función f(x)
=
g(x) = {[ x' 2
{-2+xsgn(X -1)
IX
x-1 ], xE[O,2> , xE[2,3] , xE [-2,3] , XE [4,9]
+ 2
Hallar, si existe, fofo
*
. Hallar gof.
Sección 5.10: Funciones
GIl!)
421
Crecientes y Decrecientes
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES Una función f es no decreciente en un intervalo' [o,b) de su dominio, si para dos números Xl, x.e[a,Ol, se cumple:
Definición 5.5
y si ocurre que:
Xl
<
Xl
< X.
X.
.••
{(Xl)
~ {(X.)
..•. {(X'>
< ((X.)
entonces se dice que f es estrictamente creciente
o simplemente
creciente.
una función es creciente o no decreciente en [0,0), si al crecer
Es decir,
la variable X los valores de la función también crecen (Figura 2) o penman~
en el tramo CD) y
Figura 1 (FUnción no decreciente) Definición
Figura 2 (FUnción creciente)
Una función f es 1W creciente en un intervalo [a,b) de su dominio, si para dos números x" x.e[a,bl, se cumple:
5.6
y s i ocurre que: Xl
<
X.
f(x.)
-
> f(x.)
entonces se dice que f es estrictamente decreciente
----~y~------------------_.
te.r·
I I I I
f {Xl)
I a
y f [x
f (x l)
o simplemente decreci~
1)
,
-r--
-
I I I
--¡------~ I Xl
'"
I
Figura 3 (FUnción no creciente)
I I
_L_~ _____
f (Xl)
I
I
I
I !
I
X
! I
O
a
Xl
Figura
X2
b
4
(FUnción decreciente)
X
Capitulo 5: Funciones
422
Es deci'r, una función es decreciente x, _40s valores
la variable
o no creciente
en (a,bJ, si al crecer (Figura 4) o permanecen
de la ¡'unción decrecen
constaht!s
(Figura'3: f(xl)=f(x.)
Definición
5.7
en el tramo CD).
Una función f se dice que es monótona
en un intervalo [a,b]
a cualquiera de las
si y s610 si corresponde
de !u dominio,
dos tiefiniciones antes mencionadas. Anal izar la verdad o falsedad de las siguientes
EJEMPLO.
a) Si f(x)=ox+b, b) La funci6n g(x)=ax2+bx+c, 40
,-
Solución.
a > 0, es monótona,
a
el rango de g es:
<,
a)
'\..
Sean X, y x, dos puntos del dominio de {(x)=ox+b Para a > 0, si
Para
entonces
::>
4aC-b'
[
proposiciones:
entonces X, < x. no implica que {(x,) < {(x,)
x,
< 0, si X, <
X, <
0x, >
+
ox, < ax,
x, -
,{(x~1 < {(x,). aX,+b> oX.+b
OX,
{es
f(X,) > f(x,) , {es Luego, si f(x)=ox+b.
entonces:
Por lo tanto, la proposición D) Sea p:La función
Xl < X. ~
1 X, < x,
-. 0x, +b < ox.+b creciente decreciente
< f(x.)
((X,)
es verdadera.
g(x)=ox'+bx+c,
a > 0, es monótona,
I
q:el rango de 9 es: [4a~~b·.+m> 1'enemos la propos ic i ón: p
+
I
y
q
En P. compl etando el cuadrado 'obtenemos:
=
g(x)
a(x + ~)'
+
4a~~b2
Si a > 0, la gráfica de g es una parábola cava hacia arriba, donde h=-2~ y k Según el diagrama.
FUNCION
Definición
5.8
4a~~b1
g es decreciente
, g es creciente.
Dodo que Ran(g)=[k._>
lIII
=
CÓD
o~
"
g no es una función monótQ
na, porque' para ~<_m.h] para x€[h,+~>
<;
+
•.X
h~
y
Por lo tanto. V(p)=F
V(q)='V: Luego: V(p
+
q)
"
V(F
+
V) " F
Q
INVECTIVA
Sea {:A ~ B una función. Si cada elemento y del conjunto B es imqg~n de un solo elemento
X
-...:
del conjunto A, se dice qu~
~
• 423
Sección 5.10: Funciones Crecientes y Decrecientes
la función f es una inyección o es inyectiva; Dicho de otro modo: una función f:A + B es una inyección si ~I,X.EA i) f(xl)=f(x.) en B + Xl = x. en A o equlvalentemente: ii) Xl Ix. en A + f(x.) I f(x.) en 8 Es decir, en una inyección, la igualdad de las imágenes en el conjunto 8 de llegada implica la igualdad de los elementos en el conjunto de partida A. La figura adjunta es una interpretación geométrico de esta definición.
Br--------------------.
f (x z )
f (x 1)
Observaciones:
Xl
(1) una función f:R
+
X 2
A
R es inyectiva o univalente si una recta horizontal
intercepta a su gráfica en un solo punto. Y y
----~~--~--+-L -~---<~-~--~"""'X O
x
--::-9--+-J--_J-- ...•.. _·X O
i
(2)
x%
Xl
Función lnyectiva
Función no Inyectiva
una función que es creciente o decreciente en un intervalo [a,b] es ad~ más univalente.
y
y
f(b)
fea)
f(X2)
f (x 1)
f (x 1)
f(X2)
fea)
o
-
f(b)
a
X
Xl
Figura
En la Figura 5:
5
X
O Figura
6
f(x.) < f(x,) , f es creciente. x. ! x. en A=[a,b] + f(x.) # f(x.) en 8=[f(a),f(b)l X, < X,
+
Capitulo 5: Funciones
424
En la Figura 6: x, x, ;¡! x. en A=[a.b]
<
x •.• !(x,) > !(X,) • ! es decreciente !(x,) # f(x.> en B=[f(b),f(a) l. f es univalente. ,
.•
(3) Si una función inyectiva f es continua en un intervalo [a,b] su rango se detennina calculando los valores fea) y f(b). Asi. en la Figura 5, f es creciente en x&[a,b) .• Ran(f)=[f(a).f(b)] Fn la Figllra 6. f es decreciente en x&(a,b] ..•Ran(f)=[f(b).f(a)] (4) Para verificar si una función f:A
+
B es inyectiva se toman (x,Y)&f y
(z,y)tf y se demuestra que x=z. EJEMPLO
l.
Sea la función definida en
R:
f(x)=3x+2.
Es
f inyectiva?
Solución.
Sean x"x,&Oom(f), tales que: f(x,)=3xl+2 y f(x.)=3x.+2 Debemos probar que si f(x,)=f(x.) .•.Xl = x. En efecto. si f(x.)=f(x.) .•. 3xl+2 = 3x.+2 .•. 3xJ = 3x, .•. Xl = X. , f es inyectiva
EJEMPLO
2.
Demostración.
Sea la función f(x)=ex+-1, demostrar que f es ¡nyectiva En efecto. sean x"x.
Dontf );
Vxt:R.
Suponganos que:
f(x,)=f(x.) ex,+l= ex.+1.•. (x,+l)lne = (x.+l)lne ..•x,+l=X.+l -+ x.=, :. f es inyectiva EJEMPLO
3.
La función g:<-~,Ol i'x&<-~.O]?
+
R,
definida por g(x)='-l,
es inyectiva
Solución. Sean x,.x,&<-Q,Ol, tales que g(x,)=x~-l Y g(x.)=x~-l Si g(x,)=g(x.) -+ x~-l = x~-l - xi = x~ ++ Ix,l Ix.1 Pero como. XE<-~,O) ...•. -X, = -x. - x, = x. :. g es inyectiva·. EJEMPLO
4.
Dada la función f(x)=2+2x-x', restringir su dominio de tal do que f sea inyectiva.
Solución. COmpletando el cuadrado: f(x)=-(x-l)"+3 La gráfica de f es una parábola de vértice en V(l,3). Sean x"x.&Dom(f) tales que: f(x,)=f(x.J ..•3-(x,-1)1=3-(x,-1)" •.•Ix,-ll=lx,-ll ++ (xl-l=.-l) v (x,-l=-x,+l) •.•(x, = x,) V (x, = 2-x.)
IIIQ
Sección 5.11: Función lnyectiva
425
Se observa que se presentan
dos alternativas,
la prinlera par cumpl ir con la condición En consecuencia,
para restringir
a) Para signos positivos - f,(x)=3-(x-I)',
Nota.
el dominio
si xE[I,+~>,
Cuando se trata de funciones
donde: f = I , U f 1 U f. u- . = Dom(f,) U Dom(f,)
y Dont j )
i)
x-l
O _
seccionadas,
,
xEDom(f,) xeñant] 1) XEDom(f .)
"
xEDom(fn)
Dom(f.)
U
parciales:
f"
f"
U
•.••
U
Dom(fn)
si y sólo si: f"
...
, fn son inyectivas,
y
y
Ron (f ,) n Ron (f,) = ~ Es decir,
x ~ 1
esto es, si:
i i) Ron (f ,) n Ron (f.) = ~
Ron (f .) n Ron (f .)
$
. u fn
la función f es inyectiva,
Las funciones
x ~ 1
es inyectiva.
fn (x),
entonces,
~
es inyectiva.
t ,(tx) f, (x) f .(x)
f(x)
dos casos:
x-1 ~ O
(a la izquierda del vértice): si xE<-~,I],
solo interesa
de f se presentan
(a la derecha del vértice):
b) Para signos negativos ~ f.(x)=3-(x-I)',
de las cuales
de inyección.
f2 ( b
= ~
los rangos parciales
l
-~'
deben ser dis-
__ i \
juntos dos a dos. El diagrama de la figura ag junta nJUestra una función f inyectiva seccionado: f,
U fl, con dominio xE[a,b> u [b,c]=[a,c] y en donde se observa lo siguiente:
a)
f,
es inyectiva y creciente
en [a,b>, por
I1 l
tanto, su rango es [f,(a),f,(b». b) fl es inyectiva y decreciente
en [b,c],
'
por tanto, su rango es [fl(c),fl(b)]. De a) y b) se observa que Ran(f1) EJEMPLO
5.
Detem,inar
= ~,
n Ran(f,)
si la función f(x)
=
----
1
e
(al
luego, f es inyectiva.
{3-2X , xE[-2,l> 4;;::-xl-3,xE[2,4>
, es illyef.
tiva o no. Trazar su grófica. Solución.
Sean: f1(x)=3-2x, i) En f1:
xE[-2,1>
si f1(x1)=f1(Xl)
y f,(x)=I-(x-2)1, -
3-2x1=3-2xl x,
=
-x
b
Xl'"
xE[2,4> -
-2x1
=
-2xl
f, es inyectiva
Capítulo 5: Funciones
426
En f.: f,(x.)=f,(x,) Dado que xE[2,4>, Luego: ii)
-
esto es, x >, 2
x.-2 = x,-2
Detenminación
1-(x.-2)'=1-(x,-2)' x-2 >, O
-. x. = x,
Ix-2!=x-2
f, es inyec ti va
o
de los rangos de f. y f,:
En f.(x)=3-2x,
para x.=-2
xd-2,P:
-, f.(-2)=3-2(-2)=7
f.
x,=l Vemos que: x. < x,
-
f. es decreciente
:0
IX.-21=lx,-21
((x.)
>
f(x,)
(1)=3-2( 1)=1 Y
-, Ran(f.)=
=
Ran(f.)
En f,(x)=4x-x'-3,
<1,7)
xE[2,4>
Entonces, para x.=2
f,(x.)=l
x,=4
f,(x,)=-3
Vemos también que: x. < x, - f,(x.) > f,(x,) f, es decreciente
:0
Ran(f,)=
+
=
<-3,1)
Luego,
Ran(f.)ORan(f,)
= $
E
FUNCION
Ran(f,)
Definición 508
f es inyectivao
SOBREYECTIVA
Sea la función f:A
+
Bo Se llama sobreyección
(suryect iva)
breyectiva
a una función
o función so-
f de un conjunto A s2
bre un conjunto B cuando todo elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A; es decir,
cuando el rango o imagen es todo B (conjunto de lle
gada): Fonmalmente: f es sobreyectiva
~
J' oVyEB ,
3XEA
I ((x)
=y
I.Ran(f) = B
T a
T 1 B
1 1-
./
A
Función Sobreyectiva EJEMPLO
1.
Detenminar
si
la función
1-
i\
_.
__
._~
Función no Sobreyectiva f:R -Rlf(x)=2x+3
es sobr-eyect
í
vc ,
Sección 5.13: Función Biyectiva
Solución.
(1) Se tiene: ycR (R es el conjunto de llegada) (2) Despejando
(3) Aplicando +
f(x)
=
f a
= ~2'
x: X
. cada lado
y , ~cR.
2.
EJEMPLO
427
-
y=2x+3
xcDom(f)=R
ti
~
de (2) se tiene: f(x)=f( 2 ) ~ f(x)=2( 2 )+3= y
Por lo tanto, f es sobreyectiva.
Sea la función f:R
+
Rlf(x)=x2-1.
Averiguar
si es o no sobre-
yect iva. Solución.
Sea ycR (Conjunto de llegada)
(1)
(2) Despejando (3) Aplicando
=
x: x
±
/:Y+T
f en (2): f(x)=f(±;y+1)
+
-
+
~
y=x'-l ~
y+l ~ O
+
Ran(f)=[-l,+=>
f(x)=(±/:Y+T)'-l=(y+l)-l
=
y
Por lo tanto: f(x)=y, ~c[-l,+m> (4) Dado que el conjunto de llegada es R y Ran(f)=[-l,+m>
IR,
entonces f
no es sobreyectiva. Obsérvese
que toda función
función de la forma f:A
+
para saber si una función
es sobreyect iva sobre su rango, es decir, toda Ran(f)
es siempre
es sobre~ctiva
sobreyectiva.
En consecuencia,
bastará hallar su rango y ver si
coincide con el conjunto de llegada. 3.
EJEMPLO
Sea la aplicación
f:[-1,5>
+
<-7,5JIf
Demostrar que
es sobreyectiva. Solución.
Sea yC<-7,5]
(1)
(2) Si xc[-1,5> (3) Entonces: Ran(f)=<-7,5]
IIIJ
(Conjunto de llegada) -1 ~ x < 5
~
=
++
y=3-2x
+
-7 < 3-2x~
Conjunto de llegada.
5 -
yC<-7,5]
:. f es sobreyect iva.
Q
FUNCION BIYECTIVA
Definición
5.9
Se dice que una función f:A
+
B es biyectiva
o es una biye~
ción si a la vez es inyectiva y sobreyectiva. ~' f es biyectiva
{
ycB , a !xcA, tal que y=f tx}
Ran(f) = B
En la sigiente página se una interpretación EJEMPLO
l.
DemDstración.
Demostrar
Formalmente:
gráfica de esta definición.
que la función f(x) =mx:+n, m,ncR, mlO, es biyect iva.
Debemos probar s imul táneamente que f es inyect iva y sobreyef Uva.
En efecto:
• 428
Capítulo 5: Funciones
T '.-:._'.:. .... -<.<. i
. -.....•..
!
Función Biyectiva
Función no Biyectiva
Ran(f)=B
Ran(f)I-B
(1) Sean x"x.EDom(f)
f(x,)~,+n
y f(xl)~l+n
(2) Si f(x, )=f(x
-+
ITIX, +n = ITIX+n l
(3) Sea YERan(f)=R
--+
y~+n
l)
(4) Despejando x: x
=
y-n
ITIX,= ITIXl x, = Xl , f es inyect iva.
f(x)
m
=
f(x) (5) Por lo tanto, de (2) y (4) queda demostrado EJEMPLO 2.
Determinar
"-
y, f es sobreyectiva
que f es biyectiva.
si la función f:[-1,6> .• [-7,11>!f(x)=2x-S
es bi-
yectiva. Solución.
(1) Sean x"xlE[-1,6> (2) Si f(x,)=f(xl) --+
f(x,)=2x,-S
.-+
=
2x,-S x,
=
Xl'
(3) Sea ye I-7,11> (Conjunto de llegada) (4) Para XE[-1.6>
--+
2xl-5
y f(xl)=2xl-5 2x, ~ 2xl
-
~E[-1,6>
, f es inyectiva.
-, y=2x-S
Ran(f)=[f(-1),f(6»
=
[-7,7> 1- [-7,11>, esto es:
Ran(f) # Conjunto de llegada, luego. f no es sobreyectiva. (5) Por lo tanto, f no es biyectiva .
.,
FUNCION INVERSA
Definición
5.9
Sea la función f:A es f= Kx,y)!y=f(x),
ser inyectiva, entonces
+
Ran(f), cuya regla de correspondencia xEDom(f)}.
se define la función
Si f posee la propiedad.de
inversa de f, denotada por f*,
a la función: f* Fonnalmente:
=
{(y,x)!x~f*(y).
y=f(x)
+-+
x=f*(y),
xtDom(f)} ~tDom(f)
•• Sección 5.14: Función Inversa
Observaciones. (1)
De la definición
se tiene, f:A - Ran(f) , entonces,
Significa que: Dom(f*)=Ran(f) (2) Según la definición,
f*:Ran(f)
A
-+
y Ran(f*)=Dom(f)
f es inyectiva, entonces f* también lo es.
De aqui se deduce que (f*)* = f (3) Si f es una aplicación de A en 8 (f:A +8) f*:8 -A,
(4) Si f es una aplicación
(aplicación),
GIBI
tiene función inversa
si y sólo si f es biyectiva. f:A - B, tiene su función
invrsa f*:Ran(f) - A
si y sólo si f es inyectiva.
PROPIEDADES DE LA FUNelON INVERSA
a) Si la función f:A
+
8 es inyectiva y si f*:8
+
A es la función
inversa
de f, entonces: i) f*of = lA'
siendo Dom(lA) = Dom(f)
ii) fof* = lB ' siendo Dom(lB) = Ran(f) b) Si f, g y h son funciones univalentes
entonces:
iii) fog es univalente iv) (fog)* = g*of*
v) Si h=fog
+
[=hog*
vi) Si h=fog
+
g=f*oh
Demostraciones i) Sea aeDom(f)
-+
f(a)=b,
donde (a,b)ef
Esto impl ica que (b,a)ef*, o sea-f*(b)=a Luego, para aeDom(f): Si xeDom(f) ii) Sea aeRan(f),
f*[f(a)]
= f*(b) = a
f"'[f(x)] = f*(y) = x
-+
•..• f=o]
esto es, sea aeDom(f*)
= lA
f"'(a)=b, donde (a,b)ef*
-+
Esto implica que (b,a)ef, o sea que f(b)=a Luego, si aeRan(f) y si xeRan(f)
iii) Demostrare~os
-
f[f"'(a»)
([f"'(x)]
-+
=
=
f(b)
=
f(yi
=
a
x
[o]>
13
que fog es univalente
En efecto, sea h=fog y sean x"x1eDom(fog) Si h(x,)=h(x1)
-
Si x"x,eDom(f)
y siendo f un rvctenre
De (1): x,=g(x,)
(fog)(x,)=(fog)(x.> y x.=g(x.)
y dado que g es univalente
iv) Demostraremos
que: (fog)'"
=
-
g(x,) x,
=
-.
=
f[g(x,)]=f[g(x1)] f(x,)=f(x,)
-. x,
(1)
=
g(x1)
x •. :. fog es univalente.
g*of*
En efecto, de iii), fog es univalente,
entonces existe (fog)"'.
x,
430
Capítulo 5: Función Inversa
Según la definición Si y=f{g(x)]
g(x)=f*(y)
+
~
fonmal 5.9, si y=(fog)(x)
x=(fog) (y)
+
x=g*{f*(y)]=(g*of*)
+
(2)
De (1) y (2) se tiene: (fog)*(x) = (g*of*)(y) , YyERan(fog) (fog)*
+
Corolario. Si f,g y
h
=
(fogoh)*
que si: h=fog
g=f*oh
+
+
f*oh=f~(fog)
(2)
+
f*oh
(3)
+
f*oh
(4)
+
(f*oh)(x)
= =
(7) Entonces: (8)
(f"oh)(x) +
EJEMPLO
l.
IxlxEDom(g)
=
h
(Composición por la izq. con f*)
(f*of)og
(Ley Asociativo) (Prop iedad
IDfog
(5)
=
tales que (fogoh)* existe,
h*og*of"
(1) En efecto, si h=fog
(6) Pero Dom(fog)
= x = Dom(fog)*
g*of*
son funciones univalentes,
entonces: vi) Demostraremos
=
(1)
(y)
=
(IDfog)(X)
~
IDf{g(X)]
=
i))
'-.
g(x), si g(x)EDom(f)
g(x)EDom(f)}
g(x), si xEDom(fog)
f"oh = 9 , ~EDom(fog)
Dada la función f=l(l,3),(2,S),(4,7),(3,8)},
hallar: f*, f*of
y t»t=. Solución.
(1) Sea A=11,2,3,4}=Dom(f)
y B=13,S, 7,8/=Ran(f). Por simple ins-
pección f es univalente gunda componente), Por definición: (2)
(No existe dos pares con la misma s~
entonces existe f*.
f*=1(3,l), (5,2),(7,4),(8,3)/
+
Dom(f*)=Ran(f)=B=13,S,
7,8/
r-»t = u i.r-trt n n, o.t-iroin. u.t-trco n. o.t-tronn l(l,f*(3»,(2,f*(S»,(4,f*(7»,(3,f*(8»} l(l,l), (2,2),
(4,4),
(3,3)/
=
lA
Identidad sobre A = Dom(f) = 11,2,3,4/ (3) fof*
=
1(3,f{f*(3)]),(S,f{f*(S)]),(7,f{f*(,)]), 1(3,f(1»,(S,f(2»,(7,f(4»,
(8,f{f"(8)])/
(8,f(3»}
1(3, 3) , (5, 5) , (7, 7) , (8, 8) / = 13
Identidad sobre B = Dom(f*) = 13,5,7,8/
EJEMPLO
2.
Sea la función f:(-2,l> si existe, y construir
Solución.
Si A=(-2,l>,
+
Rlf(x)=2x+3.
l/alIar la función f*,
las gráficas de f y f*.
la función tiene la fonma, f:A
(1) Detenminación
del rango de f:
+
B
'-
,
Sección 5.14: Función Inversa
431
•..•-1~2x+3<5 _ -1 , e R , f no es sobreyectiva Entonces. según la observación 4, la función inversa de f, si existe. tendrá la forma, !*:Ran(f) - A (2) Probaremos la inyectividad d f: Sean x1,x,c[-2,1> ~ f(x1)-_x,+3 y f(X,)=2x.+3 Si (x,)=f(xt) ~ 2x,+3 = 2x.+3 ~ x, = x, . f es inyectiva ..•.~f* (3) Para detenninar la funci6n inversa de f existen dos métodos: a) Haciendo uso de la propiedad: fof"=! x-3 Si f(x)=2x+3 y (fof*}(x)=x .•.ttt=co t=» ~ 2[f*(;r)]+3=x •..•f"(x)="2
Sixc[-2.1>
b)
-
-2~x<1
Método de intercambio de variables (x por y e y por x) Si y=2x+3, cambiando variables: x=2y+3 ·y=,*(X)= X;3 , xc[-1.5> :. f*:[-1,5> ..•. [-2,1>ly
=
:r;3
En las gráficas de f y f* podemos observar que el punto P(O.3)ef es el reflejo del PUB to Q(3,O)ef* respecto de l(x), o sea que la recta y=x es la ¡;Jediatrizdel segmento de recta que une P con Q. En general el punto P(a.b)ef es el reflejo del punto Q(b.a)Ef* respecto de la recta y;;x. De aqui que la grg fica de f* se obtiene por reflexión de la gráfica de f, respecto de la recta y=x. EJEMPLO
3.
-.--I-,.--'1ilr+---:~~,,-~-X
Sea la función f={(x.y)ly=x·-4. xe<--.-2H. Detenninar L", si existe. Verificar que fof*=1 para xcRan(f) y f"of=1. x&Dom(f)
r
Solución. (1) Debemos probar que es inyectiva en todo su dominio. Sean x,.x,E<-"'.-2j ..•.f(x,)=x~-4 Y f(x,)=x~-4 Si f(x.)=f(x.) - x~-4 = xf-4 y
..•. x~ =
x~ -
Ix.I=lx.1
-x. - X, = x. , f es ¡nyectiva ..•.3f* (2) Rango de f: Si X·.$.-2 + Xl ~ 4 ..•. x·-4 >,- O ..•. Y >" O ..•. Ran(f)=[O, +"'> Dado que
XE<--.
-2] -
-Xl
'"
(3) Cálculo de f* por intercambio de varíg bles: x=y'-4 - y=±...x+4 COmo el Dan(f)=Ran(f")= <--,-2). debemos
f*
432
Capitulo 5: Función Inversa
elegir: y=-~
~
f*(x)=-I;r+4,
X&[O,+->
de f y f" se puede observar
(4) En las gráficas
la simetría
de ambas respeQ
to de la recIa y=x. f(x)=xt-4
(5) De .las funciones (fof*) (x)
=
(f*of)(x)
=
f*[f(x)]
= f*(x"-4) = =
• fof* f*of
EJElLPLO 4.
y f*(x)=-¡;¡:¡::¡ se tiene:
f[f*(x)]
=
f(-I;r+4)
Pora x&[O,+m>=
I
I , para xE<--,-2]
Sea la función f:R si existe función
=
(-IX+4)t-4
= -lxo-4+4
x, para X&[O,+~>
-Ixl
=
=-(-x)= x, x&<-m,-2]
Ran(f)
=
por f(x)=x°-2x+3.
Establecer
inversa de f; en caso contrario,
restringir
+
R, definida
Dom(f)
su dominio de modo que exista tal función. Solución.
(1) COmpletando Probemos
el cuadrado:
si f es inyectiva ~ER. *
Sean x.,xtEDan(f). Si f(x.)=f(x.) Ix.-l1=lx.-lI
f(x)=(x-l)t+2
v
(x.-l=x.-l)
++
(X,-l)2+2
=
(x.-l=-x.+l)
(x.-l)t+2 ++
Luego, f no es inyectiva porque X, tiene dos valores no existe función (2) Trazando
inversa de f.
la gráfica
Ran(f):[2,+m>,
(X,=X.) v diferentes.
y
de f vemos que
y que la condición
de in-
yect ividad ocurre para x ;" 1 (derecha del ver tice, f es creciente) del vértice,
o para x~
1 (izquierda
f es decreciente).
(3) canbiando
variables:
x=(y-l)'+2
+;y=l±tx-2 (4) COmo Dom(f)=Ran(f*), ción del dominio
veamos
Para x ~ 1
+
Ran(ft)=U,
x ~ 1
+
Ran(f;)=<-m,l],
(5) Por lo tanto:
EJEMPLO
5.
+0>, en (3): y=1+..rx::2
en (3): y=l-1:X=1
ft(x)=l+~,
si xE[2,+->
f:(X)=l-~,
si xE[2,+->
Determinar,
f(x)
la restric-
en cada caso:
=
i
si existe,
la función inversa de:
~'+l , si x&[-4,-2>
(fl)
12+.X,
(f,)
[lO~X]
si xt[-2,2]
-tr '
si XE<2,6]
(f.)
(x,=2-x.) Por lo que
•• Sección 5.14: Función Inversa
433
Siendo f uno función
Solución.
seccionado
probaremos la inyectívidod
de co-
do uno de las subfunciones: 1) Si f.(x,):',(x.)
..•
x
Paro x&[-4,2>,
< O
Si f.(x.)=f.(x.)
~~+1
"'1r~+1
-o-
-x.;::
~,
= ~
1-
1 r'
Con lo que queda demostrado 2) Detenninoción f.
es decreciente es creciente
f.
es decreciente
3) Dado que Ran('.) Ron(f ,)
n Ron(f.)
= 4>
= •
inversas
..• Ran(f.)
de cada subfunción:
4) En f,:
x =~'+1
.•. y=±12x-2
Como Ron·(f~)=Dan(f,)=(-4,-2> +
y=-IZx-2
, x&<3,9]
En
f.:
x=/i+Y -
En
f.:
x=1-y/2
:.
(*(x)
;::
y--x
-2, x&[0,2]
1
.•. y=2-Zx,
es ínyectiva ínyectivo
' f. es inyectíva
=
que
=
=
=
[f.(-2),f.(2)]
=
('.(6),f(2»
R lO~X]
<3,9]
[0,2] [-2,0>
;:: 1, en x&<2,6)
Y 9
=.
las funciones
"
X,=:I:. , f.es
de f.
Ran(f.);::
(1), verificar
n Ron(f.)
r
f. y f.:
.•. Ron(f,) ~
en xt<2,6]
Ran({.>nRan(f.>
'" x.
x.
2+x,=2+x ••
la inyectlvidad
en x&(-4,-2>
Procedemos a calcular
-
Ix.l;:: Ix.1
1 r' ...x.;:: x.
= 1-
en x&[-2,2]
del paso
En f.
=x~
•.•.
de los rangos de f"
f.
(lJota.
-x.
.•. x!
I 6
.: : I I I :
x&[-2,O>
1::~;-2: ::;::~~ 2-2x
,x&[-2,0>
-4
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO
1.
Sean g(x)=2xl-4x+5
con Xt<2.5> y h(x)=lxl-2.
Hallar
el dom.!
nio de g"'oh. Solución.
(1) Veamos la inyectividad
de g en x&<2,5>
Canpletando el cuadrado; g(x)=2(x-l)'+3.
una parábola
con vértice
La gráfica
en \1(1,3). Lueq«, g es inyectivo
de g es
poro x ~ 1 (dere-
•• Capitulo 5: Funcion Inversa
434
cha del vértice),
es decir, para x&<2,5>
C:[l,+->.
(2) Rango de g: Siendo g una función creciente Ran(g)
=
=
(3) Dom(g*oh)
IxlxtDon(h)
5 < Ixl-z Dom(g*oh)
= de donde: 2.
EJERCICIO
para x&<2,5>,
= Dom(f*) =
Ran(g)
-+
;..h(x)clJan(g")I
=
entonces:
<5,35>
(R) .•.(lxl-Z)c<5,35>
< 35 ++ 7 < Ixl < 37 <-37,-7>u<7,37>
=
Dada la función
f(x)::3xt-6x+2
con daninio
[-1I2,Z/3].
Det er:
minar el valor de verdad de cada afirmación: a)
f es inyectiva
c) lA función SOlución.
b) Ran(f)=[f(-1/2),f(Z/3)]
inversa de f es Y=1-j/3x+3
a) Canpletando
b)
x ~ 1.
Cano [-1/2,2/3]
Para x,=-1/2 .x.=2/3
de vértice
e <-",1]
Vemos que: x, < x.
=
Cana Ran({*)
EJERCICIO
=
:: Dom(f)
(5) Luego,
3x
.
-2 x-
en [-1/2,2/3]
La afirmación y
=
La afirmación es verdadera.
inyectivas
variabl6s,
tales que: f*(x)
en f*:
X == ~
..• g*(x):: y- 3
=
y
..•
• En g: x ==JL..::.
g*(u~~)
(f"og)(u+Z)
== f*(4+3)
4-1
6
x-
x-
3
== f*(7)
== ~==
7-3
== ~
--1 == 3 + -1
6
== f*lg(4)J
2x i:=3
3x+3
3U _ 1 :: 3(~~i1) u-2 3(2u-1) == 3 , de donde: u==2 u+1 +
==
(f*og)(u+Z).
v+3
-+
es Falsa.
1 ± ~
3 ; si (g*of) (u)==3, hallar
..• g*[f(u)]==3
= 3
(3) Pero: g*(u~~) y (3)'
-
es decreciente
x-3
((x)::
(2) Si (g*of)(u)=3
(2)
== X+
afi"!lación es V.
esto es, y < 1
[-1/Z,2/3),
(1) Intercambiando -
(4) De
=
Sean f y g funciones
3.
g(x) SOlución.
x=3(y-l)1-1
-1~ , x&[-2/3,23/4).
1
de [ es
-2/3
[f(2/3),f(-1/2)].
<:) lntercCFllbiando variables:
La gráfica
inyectiva para x ~1
= 23/4 =
[(x,) > f(x.) , f
-
yes
f es inyectiva.La
-.
3(Z/2-1)'-1
==
- Ran(f) :: [f(x.),f(x,)]
Luego, y
en V(l,-l)
·[(x,)::3(-1/2-1)Z-1
..•f(x.)
[-2/3,23/4]
el cuadrado: [(x)=3(x-l)t-l.
una parábola o
con daninio
1. 2
435
Sección 5.14: Función Inversa
4.
EJERCICIO
.• R definida
Sea f:[3,+">
=
por [(x)
{(:X:-3)'
, x&[3,9] ;re<9, +••>
5:x:-9, Dete~inar
el valor de verdad de las siguientes
a) f no es inyeetiva
=
b) f[f(7)1
"
_
{
e) f (x) ~
71
3
+ yx , x&[O,36]
x+9
-5-
SOlución. a)
Sean f,(x)=(x-3)1,
Si Sean f.(x)=5x-9
Si
x>
-
3 ~
••
5:x:,-9=5x.-9
f.
b) f(7)=(7-3)1=16
y Ran([.)
.•
En f.:
x"'5y-9
-
= .,
f es inyectlva.
entonces,
=
5(16)-9
=
71
Luego, intercambiando variables
3f*.
3+rx
=
,
en
f. y
•..•. y=2±rx
= Dan(f.) =
[3,9] .•
y=3+rx,
x&[0,36]
, x&<36,+">
xc[0,36]
9' {~
. La aflnnación
es verdadera.
,x&<36,+"'>
Definimos en R la función
5.
es ínyectiva.
f.
,f. ("»=<36,+">
nRan(f.)
[(16)
;x:=(y-3)t
.••. Y'" i(X+9)
f*(x)
EJERCICIO
=
f[f(7)1
Pero como el Ran(f!)
Entonces:
x,=.r. ,
~
es falsa.
c) Por a), f es inyectiva
En t.:
inyectiva.
es verdadera.
La afinooción
Se tiene:
.•• 5x.=5x. Ran(f.)=
inyectivas
Luego, la a[inmación
f,
x,=.r. , [, es
4
y x"x.&Dan(f.)
r.(x.)=f.(x.)
t, y
Ix.-31=lx.-31
(x,-3)·=(x~-3)·
x,-3=.r.-J
Ran(f,)=[f.(3),f,(9)]=[0,36]; Siendo
,x&<36, +00>
y x.,x.&Dan(f.)
x&[3,9]
fdx,)=f,(x.)
Pero como x&[3,9J,
afi~aeiones
r-
f por f(x)
'" ~
1+lxl si f es biyeetiva
a) Dete~inar
b) Dete~inar
si existe
la función f*.
e) Esbozar
la grófica
de f y f* en
un
SOlueitin.
Sean f
~ = 1+x
4
1
(tx)
f,. sean x"x.cDan(f,). 4 1+x.
-
=
4 1+x,
-+
En f •• sean x.,x.dJom(f
-
t-x ,
Determinacitin
=
l-x •..•.
Xl
f' ,es
Si f .(x,)=[
=
X. ,
de los rangos de f.
°
y f,(x)
~
l-x
=
4
-4+ 1-x'
de f. y f.: ..• 4 -
Si t,(x.)=f.(:r.)
x, = x., .).
mismo sistema coordenado.
= 4 - 1+x ' x ~
a) Veamos la inyectividad En
de R a <-4,4>
=
4 - 1!X
t
myec t'¡va. .(x.)
-
-4 + l~X, = -4 + l~X.
f. es inyectiva. y f "
l!X,
x
Capítulo 5: Funciones
436
f ,(x)
4 - ---14
f • (x)
-4
+x.
es creciente ~&[O,+=>
1-x' es creciente
[0,4>
=
<-4,0>
los rangos de f, y f.)
Siendo f, y f. inyectivas y Ran(f ,) n Ran(f Como el Ran(f)=Ran(f,)
[f,(O),f(+=»=
Ran(f,) .
,O> ~ Ran(f.)
~&<-=
+ ~
(Verificar analíticamente
-
.)=, -
f es inyectiva ~&R
de llegada, entonces f es
u Ran(f.)=<-4,4>=Conjunto
biyectiva de R 0<-4,4>.
y
b) Siendo f inyectiva, existe
la función f*·
Intercambio de variables:
= ~l+y -
En f,: x
En f.: X = ~
X&[O ,4>
y = 2x&<-4 O> 4+x ' ,
-+
1-y
= ~4-x'
y
j
.l. X
~
4:'X ' x&[0,4>
f*(x) =
j .s,
4+x '
c) Obsérvese
x&<-4 O> ,
que la frófica de f* se ob-
tiene"de la grófica de f por
-4
respecto de la recta y=x. EJERCICIO
6.
Hallar, si existe, lx-X'+2 f(x)
={
2 - 7/x+1
inversa de:
-1 ~ x ~ 1/2
,
2 < x < 4
f y f* en el mismo plano.
Si existe f*, graficar
Solución.
la función
+ 1,
Veamos la inyectividad de f: (1) Sean f,(x) :; ~ +1 = 19/4-(x-l/2)'
Si f,(x,)=f,(x.)
~
=
19/4-(x,-1/2)'+1
(x,-1/2)'=(x.-1/2)' Como x&[-1,1/2],
x ~ 1/2
19/4-(x.-1/2)'+1 ~
!x,-1/2!=!x.-1/2!
-(x,-1/2)=-(x.-1/2)
~
+1 y x"x.&Dom(f,)
~ x,=x., f, es inyectiva. 1.
(2) Sean: f.(x)
=
7
2- x+1 y x"x.&Dom(f.)
Si f.(x,) = f.(x.)
-+
2-
2.. = x,+ 1
2-
-2...
x.+ 1
-
x,+l = x.+1 x,
(3) Detenminación
f, es
creciente
f. es creciente Siendo
t,
=
x. , f. es inyectiva
de los rangos de f, y f.· en [-1,1/2]
+
en <2,4>
Ran(f.)
+
Ran(f,)
=
=
[f,(-1),f,(1/2)]
y f. inyectivas y Ran(f,) ORan(f.)='
=
=
[1,5/2]
<-1/3,3/5>
, f es inyectiva
~
"iJf*·
Sección 5.14: Función Inversa
437
(4) lntercambio de variables:
= .I9/4-(y-I/2) '+1
En f,: x
Ran(f~)=Dom(f,)
x~ •...•Y = 2-x'
7
En f.: x = 2 - y+I
:. f*(x)
=
~
¡
=
y
1/2 ± 19/4-(x-1/2)'
o seo y ~ 1/2
= [-1,1/2],
~(1-ls+8X-4X'),
Y = 1/2 - 19c/74~_~(-x-_17/~2~)~'
-
y
4--·
xE<-l/3,3/S>
xE[1,S/2]
x+S 2-x ' xE<-I/3,3/5>
(5) Obsérvese
que los gráficos de
=x
f, y
f1 son portes de los circunferencias ~,:(x-I/2)'+(y-1)'=9/4
y
~.:(x-1)'+(y-1/2)2=9/4
respectivamente
EJERCICIO
7.
Demostrar que lo función f definido por: f(x)=6-2x-
1 2x'
con
Dom(f)=[-4, -2] u <0,2] es univalente y hollar f*. Solución.
1
f(x)=8- ;/~+2.)',
xE[-4, -2] u <0,2]
4---
La gráfico de f en R' es lo parábola de vértice V(-2,8) (1)
Sean x"x,EDom(f)
y si f(x,)=f(x.)
y
V
.• 8- 2(x,+2)' 1
= 8- 2(x.+2)' 1
~
-IX,+21=[lx4,+22I] a)p oro X"X,E - ,-
(1)
__
Como x s: -2 .• x+2 ~ 0-. Ix+21=-(x+2) Luego, en (1): -(x,+2)=-(x.+2) b) Poro X"X,E<0,2],x En (1):
x,+2=x.+2
>
° ..
.• x,
11 /
.• x,=x.
I
x.
I I
I
f,(x)=8- 1(X+2)' es creciente en [-4, -2]
=
[f,(-4),f,(-2)]
=
~/----~--~--~--~-x
[6,8]
-6
_4
f.(x)=8- 1(X+2)' es decreciente en <0,2] .• Ran(f.)
" f es univalente
Por o), b) y Ran(f,)nRan(f.) (3) Intercambiando
variables: x
Si Ran(f~)=Dom(r.)=[-4,-2] Si Ran(f!)=Dom(f.)=<0,2]
I
;
I
(2) Rang~ de f en codo intervalo:
- Ran(f,)
jl __ ~\
/
Ix+21=x+2
=
8
=--8
-1(y+2)' 2
+-+
=
[f.(2),f.(0»
3f*· y = -2 ± 116-2x
, y.$. -2 .• Y =-2-116-2x , xE[6,8] , y > O-y
=
-2+lí6-2x , xE[0,6>
[0,6>
438
Capítulo 5: Funciones
-2 - 1í6-2x,
f*(x) =
8.
EJERCICIO
{
-2
+
xd6,8]
116-2x , x&[0,6>
Sea la función definida
por f(x)
3~:;~.
=
res de a y b si se cumple simultáneamente a)
Dom(f*)=R-{21
Dom(f*)=R-{21
a):
Por b): f*(x)
=
=
x
= 3X=2b
Sea y
Entonces, Por
2by+5
f* es real a/3
-+
2
2bx + 5 3x - 6
f(x)
f*(x)
3x-a = O
++
=
->
3y-a
las condiciones:
=
++
=
2bx+5 3x-a
x = a/3 ~ Dom(f*)=R-{a/31
a=6
-
•
a=6.
"
b=3
Sea la función f definida por f(x)=[x]+lx-[xD,
9.
'<,
6x + 5. . 3x _ 2b' La Igualdad se cumple SI: b=3
• f(x) = ~~~~
EJERCICIO
los valo-
y b) f*=f ax+5
Solución.
Hallar
x&[-1,3]
a) Hallar la función f*. b) Graficar f y f* en un mismo plano. Solución.
a) Puesto que :x:-[x] [x]=n
-
~ O, Vx&R, entonces,
n < x < n+1, n&Z
-+
si
f(x)=n+lX=ñ., xdn,n+1>
(1) Veamos si f es inyectiva Vxe[n,n+1> Sean x"x.&Dom(f),
si f(x,)=f(x.)
~
n+lx,-n
=
n+lx.-n
x,-n=x.-n
~ x,=x., f es inyectiva
(2) Cálculo del rango de la función f: [
X ]
=n
+-+
n ~ x < n+ 1 -
O ~ :x:-n< 1
+-+
O ~ IX=;:¡ < 1
++
n ,< n + ¡x=;:¡ < n+1
++
n ~ f(x) < n+l -
Luego, el rango de f es la unión de interva-
3ty --
ye lri.n+J>
- - - - - ---
los de longitud unitaria de la fonma [n,n,l> al igual que su dominio, esto es: Dom(f)
=
Ran(f)
=
LJ [n,n+1>
2
n=Z Como no hay intersección entre los rangos la función f es univalente
+
3f*.
(3) Intercambio de variables: x=n+¡y=ñ de donde: f*(x)=n+(x-n)', b) Construimos
2
x&[n,n+1>
la gráfica de f(x)=n+l:x:-n
~
3
Sección 5.14: Función Inversa
dando valores
439
a n, (n=-l,O,l,2) -1 +
IX+!
fi
f(x)
=
xd -1 ,O>
-1 + (x+ 1) 1
xc[O,l>
x'
1 + Ix-1
xc[l,2>
1x=2
xE[2,3>
1
2 +
10.
=
=
2x-3 , xER-/-2,l,21
~ Ran(f)=R-/f(-1),f(1),f(2)I=R-/-7,-l,ll .• 2x,-3=2x,-3
.• x,=x,
y
por lo tanto, existe f*.
de variables:
Intercambio
=
(x+2) (2x'-7x+6) (x-1) (x 2)(x1+x 2)
(X+2:~2~;;~~i;~~~~;1)
Si f(x,)=f(x,)
Luego, f es univalente,
x
, x=3
que f es univalente.
Si Dom(f)=R-/-2,l,21
b)
xE[2,3>
las gráficas de f y I": en un mismo plano.
a) En efecto, f(x)
Sean x"x,EDom(f).
xc[ -1, O>
,xc[l,2>
(X-2)'
+
3
a) Demostrar
Solución.
1
,
[-1,3].
, xE[O,l>
1 + tx-t )?
=
2
Sea la función f(x) =
Hallar f* y esbozar
b)
i=t»)
, x=3
3
EJERCICIO
de modo que cubra todo el intervalo
2y-3
= ~x+3 ,
f*(x)
xER-/-7,-l,ll
-7
EJERCICIO
11.
Dadas las funciones: f(x)
= {2-X~
/3 ~
1-lx'-4
x ~ 2 , x ~ -4
g(x)=llxl-41-3,
xE<-~,-4]u <0,2]
tales que f=h*og. a)
Demostrar
b)
Hallar
Solución.
que f y g son funciones
univalentes.
la función h. a) Sean f,(x)=2-x', XE[/),2] y f,(X)~1-1~1-4, xE<-~,-4] (1) En fi: Si f,(x,)=f.(x,) ...•2-x~=2-x~ ..• Ix,I=lx,1 Como xd/J,2J,
x: > O
(2) En f.: Si f.(x,)=f,(x.)
->
Ixl=x ...•x,=x.
(3) Detenminación f,(x)=2-x'
t,
Ix,i
1- Ix~-4 = 1- Ix~-4
Siendo xE<-~,-4J, x < O ..• Ixl=-::.• -x,=-x,•
'
x,=x,
es univalente =
Ix.1
' f. es univalente
de los rangos:
es decreciente
en [13,?] • Ran(f.)=[f,(2),f,(I':f)]=[-2,-1]
Capitulo 5: Funciones
440
(4)
'.(x) es creciente en <--.-4] - Ran({.)=<{.(--).{.(-4») Siendo Ran({dnRan(f.) =~, entonces existe {". 1 Ix'-41 = {X -4 , si x' ::}4 +-+ (x,< -2) v (x >-- 2)
~ <~,1-213)
4-x' , si -2 < x < 2 Interceptando los dominios parciales con el Dom(g)=<--,-4] U <0.2] obte3 si s: •• -4 (g ) mos: g(x) =' • 14-x' - 3 • si O < x ~ 2 (g,) (5) Sean x"x.€Dom(g¡). Si g. (x.)=g,(x.) ..•.Ix~-4-3 = Ix!-4-3 x~-4 = x;-4 ..• Ix. I z: Ix,1 Cano X,< -4, o sea. x < O .••. -x. = -x, ..•.x. = x. ' g. es univalente. (6) Sean x"x.t:Dam(g,.J. Si g. (x, )=g. (x.) ..•.14-xi-3 = 14-xi-3 - 4-xf = 4-x~ -+ Ix.1 = Ix.1 Gamo ,x:€,o sea x> O ~ Ixl=x ..•. Xi = x. , g. es univalente. Luego, de (5) y (6), 9 es univalente ~Dom(g) b) Si f = h*og + fog" = (h*og)og* = h*o(gog*) = h*oI = h* + (fag*)* = (h")" + go{* = h (7) Intercambio de variables en (l: x=2-y' ~ y = ~~ Siendo Dom(fl)=Ran(f.J=[,í§,2) ..• yd2-i, ,x:€[-2.-1] (8) En f.: x = l-ly1-4 ++ Y = ~/4+(1-x)' Dom(foJ = Ran(f1) = <--,-4) ..• y = -1--(x---l-,)·=-+-4, ,x:€<--,l-ZI3)
. {/X>-4 -
. ,x:€[-Z.-ll in ) -1(x-l)t+4 • ,x:€<--.1-2/J] (fr ) 9) gof* está definida .•.• Dom(g) n Ran(f*) F ~ Dado que Ran(f~) = Dom(f.) = [~Z) y Ran({:)=Dom(f.)=<--,-4] Vemos que solo existen; g.of~ y 9,oft Ran(n) e Dom(9.) ..• DÓm(g.oft) = Dam(ft) = <--,1-2/.f] Ran(fU e Dom(9.) ..•.Dom(g.oft) = Dom(f~) = [-2.-1] 10) Luego; (g.oft)(x) = gl[ft(x)] = g.[-I(x-l)'+4] = ~~(x-~17)'~+-'4~-~4-3=1x-11-3 Siendo xc<--.1-2/.f), o sea x < 1 ..• (gloft)(x) = -(x-l)-3 = -x-2 (g.oft)(x) = g.[f:(x») = g.(ff-i) = 14-(2-x)-3 = 1X+2-3 1X+2-3 • si ,x:€[-2,-1l :. h(x) = g[{*(x)] = { -x-2 ,si xe:<-<>,l-2I3J :. f"'(x) =
{ff-i
¡
-(x+2)Z-4• xe[-5,-2)
EJERCICIO
12.
Sea la función:
f(x)
=
2x[x+3ll l.X+.f + 2
' x€<-2,-l> ,x&<-1.3>
4
, si =-1
Detenninar, si existe, la funéióñ f". Graficar
f y f" en un mismo plano.
Sección 5.14: Función Inversa
Solución. Detenninemos
441
la univalencia
(1) Sean: f,(x)=-(x+2)1_4 Si f,(x,)=f,(Xl)
Pero
x < O
COOlO
-(X,+2)1_4
-+ -+
(2) Sea f~(x)=2x[x+3]
-(x,+2)
=
Luego, si [x+3]=1
~
Si f.(x,)=f.(Xl)
, X"X1E[-5,-2],
x < O
= -(x.+2)·-4
Ix,+21 = Ix.+21
-(x.+2)
-+
~
f.(x)=2x
de f.
x,=x. , f, es univalente.
~ -2 < x < -1
, xE<-2,-P
(3) Sean: f.(x)=Ii+I+2
de cada una de las subfunciones
~
(función lineal)
1 < x+3 < 2
f. es univalente.
-+
; x"x.E<-1,3> Ix,+1+2
-e-
=
Ix.+1+2
(4) f.(-1)=4 , es un punto del plano (5) Verificar que los respectivos
~
-+
x,+l = x.+1
-+
x,
=
x. , f. es univalente.
f. es univalente.
rangos son:
Ran(f, )=[ -13, -4] " Rarü] 1)=<-4, -2> , Rant f , )=<2,4> , Rant] .)={4} Como no hay intersección dos a dos entre los rangos,
la función f es u-
nivalente f.x Dom(f) Y por lo tanto, existe f*. (6) Intercambio de variables: En f,: x=-(y+1)"-4
~
y=-2 ± l-x-4
v e. -2
Pero Dom(fl)=Ran(f~)=[-5,-2], -+
f~(x) = -2-1-(x+4)
En f1: x=2y -+
~
f~(x)=/2,
y=-2-1-(x+4)
, xE[-13,-4]
y=/2 y
xE<-4,-2>
En f.: x=/:Y+1+2 ~ -+
->
y=(x-2)'-1
f~(x)=(x-2)1-1,
xE<2,4>
En f.: y=-l , si x=4
-2-l-(X+4), f*(x)
=
j
xE[-13,-4]
x/2 (x-2) 1-1
, xE<-4,-2>
-1
, x=4
xE<2,4>
:
•.. -I
~~
f* _'
I
--
- -- -----
-13
Capitulo 5: Funciones
442
EJERCICIOS: Grupo 39
f es una función real de variable real e inyectiva.
Si r(x+1 )=a y x
f*(x) = 3~:1 •.para cierto real x, hallar el valor de n=4x-S. 2.
Las funciones . f y g son tales que f () x
". g* () = 2x+6 x-4' xP+: x
x+2 ="2i'
xto
y
se sabe que existe un número real a tal que (f*og)(a).6. Hallar el núm~ 16 ro n=(g*of)(a + 27)' 3x 1 x+3 3. Sean las funciones f y g definidas en R por f(x) = x~2, g(x) = x-2
x:2'
xt2. Si (g*of)(u)=3, hallar (f*og)(u+2). 3x-4a 4. Sea f una función definida en R por la regla: f(x) =---S--• Si f*(3)= 2a-36 y f*(S)-3a+b,
hallar el valor n=f*(a-3b).
2 5. Sean f(x)=x'+2, g(x) = x+ X- 3'Si g*[f*(x)]=-4/3, . 6.
Sean f y g funciones
reales de variable re~l tales que f(x)=3x+5. g(x)=
mx+b y f[g(x»)=x, ~&B.
7.
f es una función
Hallar (f*og)(1/a +5).
real biyectiva
el valor de n=f*[f(a)} 8.
hailar n=8*(a+5).
tal que f[f(a)]=f(8);
f*(8)=3. Hallar
1
+5f[f*(5)].
Si f* es una función biyectiva tal que f*(x;:).c;
hallar el conjunto B~
lución de f(c) > x~ 9.
Sea la función f:[1,4] ~ [a.b), tal que f(x)=x%-2x+3.
Demostrar que
la
función f es inyectiva y hallar a y b para que f sea biyeetiva.
10: Si f. g Y h Bon funciones de R en R, definidas por las ecuaciones f(x)= 2Ixl-x, g(x)= ~:~ , h(x)=2x+3. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) f es inyectiva
b) g es sobreyectiva
11. Si f:B .• R definida por f(x)=2[2x].
e) h es inyectiva
establecer
el valor de verd~d de
las siguientes afirmaciones: a) f es sobreyectiva
12. Sean las funciones inyectivas: Si f*[g*(a)]=2,
e) f(1/2)-f(2/3)+f(~)=12
b) f es inyectiva f(x)=3xz-6x+4,
xt[1.+~> y g(x)= X-21•x/_1 x+
hallar n=f[g(a+8/5»).
13. Dadas las funciones: f={(x,xZ)ltX(x-1) hallar, si existe. fog*.
~O)
Y g={(x.!3=i)
1-1 ~
x ~ 31 ,
443
Ejercicios: Grupo 39
14. Sea f:A ~ f(A)=B, una función definida en A=[-1,4] por: f(x) =
{5-3X , x€[-1,2> 3x'-6x+12 x€[2,4]
a) f es biyectiva
Hallar el yalor de verdad de las afirmaciones siguientes:
b) B=<-1,36]
c) f*(10)=1+13/3
d) f*(4)+f*(21)=10/3
15. Dadas las funciones reales f(x) = ~ x y g(x) =..1... .lO x· x~; nio de f*og*. (No es necesario hallar f* y g*). 16. Demostrar que la función f:R
+
ha11ar e1 dom~'
<-1,1>lf(x) = 1+lxl es biyectiva.
17. Determinar analíticamente si la función f:R
+
[-1/2,1/2]lf(x) = -----1 x. +x
es biyectiva. 18. Sea f una función real definida por f(x)
xZ~4' X€[0,+=>-{2}. Determi-
nar si f es biyectiva. 19. Sea f(x)=[2x-4](xz+2).
a) Si f:[1,3]
+
R, hallar el rango y graficar
la función. b) Determinar, si existe, inversa de f(x).
¡
'¡
20. Analizar si las funciones reales f y g son inyectivas: -2x+10 , x < O -xZ-10x-21 , xd-5,-1] f(~)
=
Ix'+16,
3 x'-4
g(x) =
O~ x ~ 3
'
.
S1.
x >
Ix-21-1 IX+31
3
x€<1,2] '
21. Sea la función lineal f(x)=ax+b, xE[-3,3], a > 1/2 a) Si h(x)=f(x)+f*(x) =~x
+ ~ , hallar a y b.
b) Si g(x)=lx+31-lx+11, hallar fog, si existe. 22. Sea la función f inyectiva definida en R por la ecuación:
¡
-;;-:x ,
f(x) =
x <
Hallar f*(-2)+2f*(1/2)+3f*(2)
x-[x],1~x<2
3x-5
, 2.$ x < 4
23. Sea f una función real de variable real definida por f(x)
2x+1 x-2' x-!2
a) Determinar el dominio y el rango de f. b) Determinar f* (si es posible) demostrando lo que fuera necesario. c) Es verdad que el gráfico de f es simétrico respecto a la recta y=x? d) Existe algún número real cuya imagen según f sea él mismo? Justificar e interpretar geométricamente. 24. Decimos que una función f:A si: ~"x.EDom(f): ción g:A
.'
+
+
x, < x. -
B, con BCR
R, con AC R es estrictamente decreciente f(x,) > f(x,). Demostrar que si una fun-
es sobreyectiva y estrictamente decreciente, en-
Capítulo 5: Funciones
444
tonces: a) g tiene inversa.
b) g* es estrictamente
25. Si h(x) = {X'-2X+2 , si x ~ O -3x'-6x+2, si x > O 26. Sea la funci6n f:<-1,1> " f()x 27. Sea la func~on:
+
decreciente.
a) Demostrar que h es estrictamente decreciente.
b) Determinar h*.
Rlf(x) = 1-1xl. Hallar, si existe, f*.
, xE[-3,-1> • a ) Hallar, si existe, f* = {-X'-2X 2+/3+2x-x', xE[-1,1]
b) Esbozar las gráficas de f
y
f* en un mismo plano.
28. Demostrar que la funci6n f(x)= ~(12-4x+x'),
XE[O,1>
U
[2,3] es univalen-
te y hallar la función f*. 'En los ejercicios del 29 al 38, se dan las funciones reales f; probar que son univalentes y hallar, en cada caso, la función f*. 29. f(x) = {4_/x'+12X+27, x~ -1 x'+6x+6 , x > O 31. f(x)
.j
30. f(x) =
"''''-2 . xE[-3,-2>
.
IX+31
J.i
·+1
X
l/x+2
_ {-2X'+8X-7 - ~
x
Ix-21-1
_ {4X-X' 35. f(x) x· x-2
r -
37. f(x) =
17-2x
, xc ] -1,3>
xE<_oo,2>
36. f(x) = {X'+2X+2' x ~ 1
, xt::<2,4>
x'+4
+ 1 ' xt::[-4,-2>
~x 1 - 2"
¡
X'
38. f(x) =
' XE:[-2,2]
, xE[1,2>
[xTI+J-[x],
-I=i
' XE:<2,6]
, x < 1
, 13~x~ , x ~ -4
2
g(x)=lx-21, -4~
x~
-3/2
Determinar (g+f*)(x). 40. Sean las funciones: f(x)
Hallar, si existen, las funciones: f*
g(x)
y
g*.
Xt::[-1,i>
, xE[-9,-1>
39. Dadas las funciones reales de variable real: f(x) ={2-X' 1-/x'-4
x~2
3,-1>U
, xE[5,+=>
,
'
f
, xE[-2,1>
,.tX::5
, x < 2
32. f(x)
, xE<-1,2>
33. f(x) = {X'+4X-5
xE[-4,-2> , xE[-2,2] ,
445
Sección 5.i5: imagen Directa de un Conjunto
41. Sea la función
f(x) = x-3 + ~)' x-1 \x-1¡
valen te y hallar
si existe,
f(x) =
x'+4 Determinar
f(x) =
x+1
X
t
f y g definidas
, ,
x < -2
°
g(x) ={2X-1' x< Ix ,x>/O
-1
~
por:
g(x)
=
2.$. x.$. 4
una función
44.
, x < -1
X'-1 {
fog*.
43. Sean las funciones
r°..../2::x
que f es uni
f*.
42. Dadas las funciones: Hallar,
- 1, xE<1,2.>; demostrar
tal que g=h*of.
h, si existe,
[-2,2]U<3,9]
x.$. -3 {4-X , 12x-3, 3~ x.$. 4
está definida
por:
,XE[-4,-2> Demostrar
, xc [-2,2]
que f es biyectiva.
, xt<2,6] 45. Sean f(x)
Hallar
2x+x ' x < -2
f*og
indicando
46. Sea la función Haciendo tiva,
2X'-12X+2 g(x) = { ;-x+2 x-3
Y
su dominio
real f:A
+
y t funciones
°
h
f(x) = {2-X' x < 3-x, x > 4
posibles,
Si t=hogof,
hallar
reales í
- .2(x'-2x-5) xE[1 4] 2 " { -2x + 3 , XE [-2,1 >
=
de modo tal que el dominio
47. Sean f,g,h
x)
> 3
' x
y regla de correspondencia.
Blf(x)
las restricciones
, -2 < x ~ 3
hallar
A y B para que f sea biyec-
restringido definidas
={IX=1, x
<
posible.
por:
x>-- 1 ,x
sea el mayor
°
t(x) =
{-1-r-)(, x-3
x < ,x
o
> 4
g y g* si es que existe.
* DI
IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO
Definición
5.10
Sea una función se denomina
lo
f:A
+
imagen
a, donde AcR
y aCR.
directa de M mediante
{(Al), donde: ((M) Y se lee
"Conjunto
de las
=
{f(x)
imágenes de x,
IXEM I tal
que XEM"
Si A!cA=Dom(f)
f,
al
conjunto
Capítulo 5: Funciones
446
o bien:
=
f(M)
I}'EBI3X&M ~ f(x)=yl
Según esta definición: )'Ef(M)
-
3X&Mly=f(x)
f(X)Ef(M)
si M=A, entonces
En particular
feA)
más, para toda función f se tiene:
-
XEM
se llama
dominio
imagen del
Obviamente,
f(~)=~.
por f.
Ade-
f es sobreyectiva
si
y sólo si, f(A)=B. EJEMPLO 1.
Sean los conjuntos: M=ll,2,3,SI
(2,2),(-1,6),(7,S),(3,7)}.
Solución.
Hallar:
a) MCA
.•
f(1)=3, b) NCA
f(O)=l,
=
a)
f(M)=lf(x) f(2)=2
B=I -1, l , 3, 4, 61,
y sea la función f(M)
b) f(N)
e)
f=I(O,l),(l,3),
f(MUN)
En f se tiene.
IXEMI=lf(l),f(2),f(3),f(S)}' , f(3)=7
, f(S)=no
d) f(MnN)
existe"
f(M)=13,2,71
f(N)=lf(x)\xENI=lf(O),f(3),f(S),f(7)}.
-+
En f: e) AfuN
A=IO, l , 2,3,5,71,
y N=IO,S,3,71,
f(3)=7,
10,1,2,3,
d) MnN = \1,3ICA Observación.
7IC A
no existe, f(7)=S
f(S)
.•
f(N)=ll,7,SI
f(MUN)=lf(O),f(1),f(2),f(3),
-+
.• f(AfflN)
= If(l),f(3)1
(7)1=\1,3,2,
7,51
= 13,71
f(M) U f(N)
13,2,71 U \1.3,71 =11.2,3.5,71
f(Af) n f(N)
In
= f(MUN)
1-f(Mn N)
PROPIEDADES DE LA IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO Sea la función
ID. 1
Si un subconjunto lación
vale
Si f:A
+
Demostración.
B Y M Y N subconjuntos
f:A"
del
dominio A.
del dOfilinioes parte de otro, entonces
la misma
re-
para sus imágenes. Esto es:
B , MCA ,NCA
y
MCN
.•
f(M) cf(N)
En efecto: (1)
Si MCN
-
(xEM ~ xEN)
toer:«¡
447
Sección 5.15: Imagen Directa de un Conjunto
(2) Sea zcf(M)
.•
(3)
.• 3XcNlf(x)=z
3xcMIf(x)=z
(4)
.• zcf(B)
(5) Por lo tanto, ID.2
(Def.
de I.D)
(Por ser AJeN) (Def.
de (2) y (4):
f(M)
e f(N)
de I.D) (Def. e)
La imagen de la unión de dos subconjuntos
del
dominio, es igual
a la
unión de sus imágenes. Esto es: Si f:A
.• B , MeA y NeA
~
feA/UN)
Probaremos la igualdad
Demostración.
=
f(M) U f(N)
por doble
inclusión
a) f(M U N) e f(M) u f(N) En efecto: (1)
Sea zcf(MuN)
(2)
.• 3xl (xcM
(3)
.• (3xlxcM
(4) .•zcf(M) (5)
.• zcf(M)
~ xcN)
v
v
h
f(x)=z
f(x)=z)
h
toer.
3xc(MUN)lf(x)=z
de lJ)
(Def.
(3~lxcN
v
de I.D)
f(x)=z)
h
1.12)
(Intersec.
zcf(N)
(Def.
U f(N)
de I.D) de u)
(Def·
(6)
Luego, de (1) y (.j):
b)
Probaremos ahora que:
f(M u N) e f(M) u f(N) f(lA) u f(N)
(Def·e)
e f(M U N)
En efecto: (1)
Por la propiedad
(2) Si Me(MuN) (3)
(4)
Si Ne(A/UN) Entonces:
.•
f(M)ef(MUN)
.•
f(N)
e
Ae(AuB)
',lB
Be(AuB)
VA (ID. 1)
f(/IILJN)
f(M) U f(N) c: f(MUN)
Por lo tanto, ID.3
U.7 (Unión de conjuntos):
de a) y b) queda demostrado que: f(MUN)
La imagen de la intersección
de dos subconjuntos
del
cluida
en la intersección
de las imágenes. Esto es:
Si f:A
.• B,
-
La igualdad
MeA,
NeA
f(MnN)
=
f(M) U f(N)
dominio está
in-
~f(M)nf(N)
se cumple en el caso de que f sea inyectiva.
Demostración.· En efecto: (1) Sea zcf(MnN)
.•
(2)
3xc(MnN)
(3)
.•
[zof(Al))
(4)
.•
zdf(M)
(5) Por lo tanto,
(Def.
If(x)=z
(3xcMIf(x)=z) h
h
(3XENlf(x)=z) (Def.
[zcf(N»)
n f(N»)
de (1) y (4):
f(AlnN)
de 1. D) (Def. n)
de 1.D) (Def·
e
f(M) nf(N)
nJ
(Def. e)
Capítulo 5: Funciones
448
.lD.4
La diferencia
de imágenes de dos subconjuntos
da en la imagen de su diferencia. Si f:A .•B , MeA
y NCA
del dominio está inclui
Esto es:
...•f(M)-f(N) C;;f(M-N)
Se cumple la igualdad en el caso de que f sea inyectiva. DEmostración. (l)
En efecto:
Sea zE[f(M)-f(N)]
...•3XE[f(M)-f(N)]lf(x)=z (3rEf(M)lf(x)=z)
(2)
...• [ZEf(M)]
(3)
(Def. de I.D) (trEf(N)lf(x)=z)
[zif(N)]
A
11II
(Def. Dif.)
f(M)-f(N) e f(M-N)
Por lo tanto, de (1) y (4):
(Def. Dif.) (Def. de I.D)
...• zE[f(M-N)}
(4) (5)
A
(Def. C:)
IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO
Definición
Sea una función
5.11
denomina
f:A .• B, A,BcR.
la imagen inversa o preimagen
Si S e B=Ran(f) , se del conjunto S me-
diante f, al conjunto f*(S), donde: f*(S)
=
{x&Dom(f)lf(x)&S}
...•xEf*(S) Es decir, un elemento del dominio sólo si su imagen pertenece
•• f(X)ES pertenece
a la imagen inversa de S si y
a S.
A
1.
EJEMPLO
B
Sean los conjuntos A= lO,l,2,3,5,7}, 6} Y
B= {-1,1, 3, 4, 6}, S= {-l,3, 4.
la función: f={(O,l),(l,3),(2,2),(-l,6),(7,5),(3,7)},
llar f*(S). f*
=
SeB
...•f*(S) = {xEDom(f) If(x)E5} = {f*(x) IXES}
Solución.
- f*(S) En f*:
=
{(l,O),(3,l),(2,2),(6,-1),(5,7),(7,3)}
{f*(-l),f*(3),f*(4),f*(6)}
f*(-l) no existe, f*(3)=1 .'.f*(S)
, f*(4) no existe, f*(6)=-1
=
Il,-l}
hg
Sección 5. I5: Imagen Directa de
EJEMPLO 2. Solución.
1/11
449
Conj11nto
Dado el conjunto 8={-3,1,31. Si f(x)=2:r-5,
=
[*(S)
hallar
f*(S).
(xEDom(f)!f(x)&S1
Si f(x)=-3
2:r-5=-3
+
x=1
-
f(x)=1
.•
2:r-5=1
++
x=3
f(x)=3
+
2x-5=3
++
x=4
•. [*(S) = 11,3,41 PROPIEDADES DE LA IMAGEN INVERSA DE UN CONJUNTO Para la función guientes 11.1
..• Y Y los conjuntos
f:X
Si un subconjunto
del dominio
~slración.
-
f*(A)
En
efecto:
(1) Si
C
si-
AcB -
(xE:A -
(3)
.• 3yeSlf(x)E8
(4)
.•
(5) Por lo tanto, de
(De[.e)
xEB)
(De[. de 1.1) (Hipótesis:
y
AeB)
(Def .de
zfIIt(S) (2)
la misma re-
inversas. Esto es:
3yEAlf(x)EA
.•
(4):
1. 1)
(Def. e)
f*(A)cf*(S)
La imagen inversa de la unión es igual a la unión de las imágenes versas.
Demostraciór.t.
Si xef*(A
in-
Es decir: {*(A u S)
=
u [*(B)
f*(A)
En efecto: ++
f(x)e(AuB)
(2)
-
(f(x)eA)
(3)
++
(4)
-
UB)
xef*(A) xE[[*(A)
(Def.
de
1.1)
(Def. u)
U (f(x)eB)
(Def.
v xef*(S)
de 1. 1) (Def.
uf*(B)]
(5) Por lo tanto, de (1) y (4): f*(AUB) 11.3
se cLrnplen las
'*(S)
(2) Sea zEf*(A)
(1)
BeY
es parte de otro, entonces
lación vale para sus imágenes Si Ac.B
11.2
ACXy
propiedades:
=
[*(A) U [*(B)
La imagen inversa de la intersección es igual a la intersección de
las imágenes inversas. Es decir: ["(A n B) = {*(A) n [*(B) La demostración queda como ejercicio.
U)
Capítulo 5: Funciones
450
11.4
La imagen inversa del complemento al complemento
=
f*(A') Demostración.
de un conjunto
del rango es igual
de su imagen. Es decir: [f*(A»)'
En efecto: (1)
Si.xef*(A')
t
(2) ++ f(x) (3)
++
f(x)~A'
(Def. de 1.1)
~(f(X)EA)
(De] . Comp. Y Neg.)
t
(Def. I.lyNeg.)
++
A
++
~(xEf*(A»)
x
++
f*(A)
(4) ++ xE{f*(A»)'
(Def· Comp.)
=
(5) Por lo tanto, de (1) y (4): f*(A') 11.5
La imagen inversa de la diferencia mágenes
Demostración.
inversas. Es decir:
=
de las i-
f*(A)-f*(B)
En efecto: (1) Sea xE{f*(A-8)]
+
f(x)E(A-8)
(Def. de 1.1)
(2)
+
f(x)EA ~ f(x)iB
(3)
+
xEf*(A)
(Def. Dif·) (Def. de 1.1)
+
xE{{*(A)-f*(8)]
(5) Luego, de 1.
es igual a la diferencia
f*(A-B)
(4)
EJEMPLO
(f*(A)]'
y
(1)
(4):
~ xif*(8)
f*(A-B)
=
(Def. Dif.)
f*(A)-f*(8)
Dado el conjunto M=<-3, 2] y la función f:R
+
Rlf(x)=Ix-ll+1
,
hallar f(M) y construir su gráfica. Solución.
El iminemos las barras de valor absoluto finir f de modo tal que su dominio
en x=ldl y volvamos
cubra al conjunto M=<-3,2]=
esto es: Si x < 1 ..•. f(x)=-(x-1)+1=2-x
<-3,1> u [1,2];
x ~ 1 ..•. f(x)=(x-1)+1=x Luego, ~EM1=<-3,1>: -3 < x < 1 ++
1 < 2-x < 5
~EM2=[1,2]:
1 .:S: x~
++
2
++
EJEMPLO
f(M) = <1,5>U[1,2] 2.
++
-1 < -x < 3
1·~
Sea la función f:R
Si S=<2,5] -
-
-
2 < f(x) ~ 5
f.(x) ~ 2 M.H X
+
Rlf(x)=xt-2x+2.
Determinar
(1x-11 > 1) ~ (1x-11 ~ 4),
la imagen in-
del rango <2,5]. (Def. de 1.1)
'f*(S)={XERlf(x)E<2,5]} ++
xE<-3,1>
Y
= [1,5>
versa del subconjunto Solución.
..•. f,(x)=2-x,
.• f.(x)=x, ·xE[1,2]
1 <. f,(x) < 5
Entonces: f(M) = {f(x)=f,(x) Ufl(X)lxE(M,U ..
a d~
2 < (x-1)1+1 ~ 5
++
1 < Ix-JI
de donde: f*(<2,5])=[-1,0>U
<2,3]
~ 4
Sección 5.15: Imagen Directa de un Conjunto
EJEMPLO
hallar
.•. B una función finimos f*(S)={x&Alf(x)&$I. las imágenes inversas de S. Sea f:A
3.
Solución.
xef*(S)
3 < x1+2x ~ S
++
(x1+2x-3
••
(x+3)(x-1)
-
(x
< ~3
O) ~ O
Para una
: {S-4X
función
, x&<-3,1]
f:A
; hallar
++
para
++
-3 < x~
2
x>
f*«6,16])
hallemos
, x&<-3,l]U 1
el Ran(f)=B.
<2,+"'>
-4 ~ -4x < 12
++
Si X&<-"',-3]
x~
-3
++
4 ~ 8-4;x: < 20
:.
(3) Detenninación a) Vemos que:
de
=
.••. (8-4;r:)&<6,16]
-
-
Ran(f.)
++
2x+22 ~ 16
24 < 2x+22 ~ 28
=
<-"',16]
=
{x&Alf(xJeS}
~
n«6,16)
~
-
Ran(f.)
Ran(f.)
=
=
<-<>,16]
<24,26]
u <24,26) {x&Alfl(x)&<6,1611
y
8 < 8-4x ~ 16
++
-2 ~ x < 1/2
•..• -2 < -4x ~ 8 b) Tanbién:
[4,20>
Ran(fl)=<-"'O>
<-<>,0> U [4,20>
2x ~ -8
++
f*«6,16])
<6,18]c[4,20>
8-4x < O -
U
++
1 < x e 2
++
=
Ran(fl)
X&<-"',-3]
++
-
-4;r:< -8
++
:. (2) Sea f.(x)=2x+22,
define:
la función:
~ Ran(f,)
x&
de-
lJ <1,2]
(1) Sea f.(x)=S-4;x: Si x&<-3,1]
se
y seB,
.•. B cualquiera
Dado que S=<8, 18] y SCB,
xE<2,+~>
Si SCB,
2)
Según esto,
u <2,+->
2x+22 , X&<-"',-3] Solución.
x~
> 1) " (-4 ~
f*(S):{;r:&Alf(x)&S¡. f(x)
por f(X)=:x;1+2x.
[-4,-3>u <1,21
:
4.
> O) ~ (x'+2x-S~
> O ~ (x+4)(x-2)
x
v
definida
f(x)&<3,S]
++
++
f*(S)
EJEMPLO
451
<6,18]C<-c>,16]
f~«6,16])={x&Alf.(x)&<6,16)} (2x+22)&<6,16]
++
6 < 2x+22 ~ 18
-8 < x .... < -3
(4) Luego, de a) y b), se tiene: f*(<6,16])
= <-8,-3]
u [-2,112>
--_~8~----~X------~~--~~~~X f f*(S)
452
Capítulo 5: Funciones
EJEMPLO 5.
Sea f:A
.•
a
una función
f*(S)={XEA!f(x)ESI. llar
cualquiera.
Si
sea.
Si S={y€R!!y+1I+1y-3!
definimos:
.5 61 Y f(x)=1/x.
hg
f*(S).
Solución.
Detenninemos
el
conjunto
S por el método de los puntos -1 -s Y.<
críticos.
_oo~.~--~----------.~------~~----~,~----~~------~. y < -1
-1
3
Y :;. 3
3
+00
I
!y+1!=-(y+1)
I
I
!y-3!=-(y-3) Para y < -1.
I
3 • en S:
!y-3!=-(y-3)
!y-3!=+(y-3)
=
f*(S)
•..•. y?
6 ~ 6
(y+1)+(y-3).:s
S = [-2.-1> Entonces:
!y+1 !=+(y+1)
en S: -(y+1)-(y-3).$.
-1 ~ Y < 3. en S: (y+1)-(y-3) y:;.
!y+1!=+(y+1)
6
u [-1.3>
•..•. Y ~ 4
Si
A
(4X-1
A
Yd3.4]
-
-2 ..•x <1~ < 4
>-. O)
x
(x < O v X >/1/4)
f*(S)
y€[-1.3>
(~)€(-2.4]
x v x > O)
Yd-2.-1>
-
= (-2.4]
u[3.4]
{xEA!(1/x)€(-2.4]1.
. (2XT1 >-. O) (x ~ -1/2
-2
•..•. 4~ 6 -
= <-=. -1/2]
(x.$. -1/2
v x >,1/4)
u (114. +=>
EJERCICIOS: Grupo 40
1. Sean los conjuntos A={-1,O,1,2,3,5,61,
B={-1,O,3,5,71, M={-1,O,2,31,
S={-1,O,3,71 y la función f(x)=2x-1. Hallar f(M) y f*(S). 2. Sean f:A"
B una función y los subconjuntos MeA
y Nel:!. Demostrar las
siguientes relaciones: a) M ef*[f(M)]
c) f*(B-N) = A-f*(N)
e) f[f*(N)] e N
d ) f[M n f*(N)] = f(M) n N
3. Sea f:A .•B. Demostrar la equivalencia de las siguientes proposiciones, cualesquiera que sean M e A
y
N C B. c ) N CM
a) f*[f(M)] = M b) MnN
= ~ ....f(M)nf(N)
4. Sea A=R-{21
y
....f(M-N) = f(M)-f(N)
= ~
la función f:A .•R, definida por: f(x) =.x+1 x+2 b) Si M=(-1,2/5>, hallar f(M)
a) Determinar f*(4/3)
c) Es verdad que f(x) < 1, Vx€A. Justificar.
.. Ejercicios: Grupo 40
5.
453
Sea la funci6n
f:R"
a) Considerar
R definida
do explícitamente b) Resolver vinculaci6n
6.
del
la siguiente
< 92 y expresar
conjunto
soluci6n
A. se define
propiedad:
que:
analítica
En los SeB.
ejercicios
con el gráfico
una funci6n
"'f-X,YEP(A):Xny
e
)
() f x
d) í(x) e) f(x) 8.
r:p(A~ =.
+
9.
se dan una funci6n
f*(S)=lxtAlf(x)eS}
y-
la
de f.
+
[0,+->
f(XOY)
, que cumple
= f(X)+f(Y)
; hallar
O N) f:A .• B, un conjunto
r-rs).
< -1}
, S=lyeRI(ly-1I+ly-21)(I1-yl-12-yl) IIY-11-2 ,S={yeR y+3
1 = x-2
9y2-6}
~ O}
=..!. , S={Y&RI.L < 21 x y- 1 = 1/x , S= ly&RI y-23 > 01 y-
Dada una funci6n para
siguientes
, S={yeRI ~3
b) f(x)=x'-2x-1
y gráficamente
que MCN, se cumple f(M) ~ í(N)
Si se define:
a) f(x)=2x-1
indic~
en [-4.1J.
e) "H1,NEP(A) se cumple: f(M ON) = f(M)+f(N)-f(M 7.
Ix,f(x)I~M},
f(+)=O
a)
b) "H1.NeP(A) tales
-12x-4.
gráficamente
f(M).
que f es inyectiva
Dado el conjunto
Demostrar
el conjunto
O < 3i' -12x-4
e) Demostrar
por f(x)=3r
y representar
M=[-5,8)
la funci6n
f:A .• B Y SeB, definida
Sea S={yeRI ~;:~
< 01
í*(S)={xERlf(x)ES}
•
10. Dada una funci5n
definimos
por f(x) Si f(x)
f*(S)=lxeAlf(x)&S}.
9%1-2 = 3x-1 - (3x+4), = x13 ' #-3
f:A .• B, Y MCB, ReB,
hallar
f*(<-a,O).
es una 1'unci6n,
demostrar
Entonces
hallar:
que:
r*(1'I n N) = f*(M) n f*(N) 11. Dada la funci6n: . a) Esbozar
b) Determinar
= ~(4-60X-18X') e) Graficar
f*([4,+-»
12. Para una funci5n Según esto,
f(x)
su gráfico
para
d) Determinar
f:A .• B cualquiera f(x)
= {3;..2x.
y SeB,
xc<-2,1] 3%+5, xE<--,-1
*
g(x)zlr(x)1 g*([4,+-»
se define
tJ <3,+->
J U <1,3]
r*(S)={xEAlf(x)&S
,hallar
f*(<--,.-4)
• 454
CAPITULO
FUNC!ONES EXPONENC!ALES T LOGA:ft!TH!CAS ID
LA FUNCION
Q
EXPONENCIAL
Antes de dar la definición para una función e.rponencial, comencemos construyendo las gráficas de las ecuaciones: 1 x y
=
(2)
fonmanao una tabla-de valores para cada ecuación, esto es: x
-3
-2
-1
O
1
2
3
Y
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
x
-3
-2
-1
O
1
2
3
Y
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
Llevando cada par ordenado (x,y) sobre un plano coordenado obtenemos: y 8 ----
y 8 ~=2X
I
I
I I I
I I
y=(~)x
: I
I I
I
!
I
!
--~~~~~~~3---.X Figura
6.1
Figura
6.2
.. Sección 6. J: La Función Exponencial
Se observa claramente
455
en ambas gráficas que para cada número real x existe
uno, y sólo uno, número real "y" tal que: x
y
o
2
Vemos entonces que la ecuación y=~ y=~}
cuyo dominio
2. De manera
y
=
(~)x
define una función univalente
f={(x,y)!
es R. Esta función se llama función exponencial
semejante
podemos
de base afinnar que toda ecuación de la fonna y=bx,
en donde b > O, define una función Si b>
exponenc iot sobre R. de cualquier función de la fonna {(x,y)!y=bx} se parea la gráfica de y=2x. Si estudi~lOS esta gráfica (Fig. 6.1) vemos
1, la gráfica
ce mucho
que es posible convenir en aceptar
las siguientes
propiedades
para cada una
de tales funciones. (1) El rango o imagen de la ·función exponencial
es el conjunto de los núme-
(R+). Es decir, que para cada xER, y=bx>
ros reales positivos (2)
(La gráfica está dispuesta encima del eje X) Si x=O + bX=l x > O bX > x
(3)
A
> x¿
O
< ÓX < 1
< b < 1, la gráfica de la función
propiedades
de la fonna {(x,y)!y=bx}
cada una de esas funciones
ma general de la gráfica de y=(~)x. Las siguientes
creciente)
f(x,) > f(x.)
apariencia distinta. Sin embargo,
(1)
O
medida que x crece, crece también y=bx. (f es estrictamente
Es decir, si x"x.Ef!x, Si O
<
O.
tendrá una
tendrá la for-
(Fig. 6.2).
son válidas para las funciones de este tipo.
El rango o imagen de la función es R+ es decir, 't'xER,ÓX > O.
(2) Si x=O
x>
x < O
O
(3) A medida que x crece, decrece y=bx. Es decir, si x"x.Ef!x, Esta propiedad
De este breve análisis, 6.1
bX x
+
O
cuando
x
+
~
cuando
x
definición
+
• ~
poro la función exponencial
Sea b cualquier número real positivo distinto de 1.
función exponencial exPb
con la notación:
b
la siguiente
Entonces
o bien:
{
decreciente)
f(x,) < f(x.)
+
se expresa brevemente
Si O < b < 1, entonces:
Definición
> x¿
(f es estrictamente
=
una función f, denotada
de base b si, y sólo si: {(x,y)!exPb(x)=~,
xER}
por eXPb' se llama
f={(x,y)!f(x)=bx,
xER}
456
Capítulo 6: Funciones Exponenciales
El siguiente
teorema resume todo lo dicho y lo aceptamos
sin demostración:
Si R+={XERlx > O!. entonces la función exponencial: f:R + R+ = {(x,y)lf(x)=bx¡
6.1
TEOREMA
y Logaritmicas
a) Es biyectiva
si b> O Y b11, esto es, si: x
Y bX'=b ••.+ xl=x.
i) X"X.Ef
ii) Ran(f)=R+ b) Es estrictamente
creciente si b > 1. Es decir, si: f(x,) < f(x.)
c) Es estrictamente decreciente
si 0<
b < 1. Es decir, si:
f(x,) > f(x.) La gráfica de cierta función exponencial
l.
EJEMPLO
P(3/2,27).
cont iene al punto
Cuál es la base y la regla de correspondencia
de
la función? Solución.
f(x)=bx
Sea la función exponencial: Si P(3/2,27)ef
27=b'/'
b
(3')'/'
•...• b=9
:. f={ (x,y) ly=9x¡ Z.
EJEMPLO
Dada la función f(x)=1+exp,lx-21,
construir su gráfica y ha-
llar su dominio y rango. Es inyectiva? Solución.
Si f(x)=1+exp,lx-21 x-Z ~ O
x-2 < O
+
f(x)
Ix-21=+(x-2)
+
Ix-zl=-(x-2) 1 + 3x-2
x-2
,la
1
+
y-1=(3)
y-1=3
+
x-2 y
x-2
, si x ~ 2
- {1 (1 )x-Z +'3,SIX<
En f,(x)=1+3
y_1=3Ix-21
_
.
2
base es b=3, b>
1,
entonces su gráfica es similar al de la fi gura 6.1, es creciente Vx ~ 2. 1 x-2
En f.(x)=1+(3) es, 0<
,la
---
base es b=1/3, esto
X
b < 1, luego su gráfica es similar
al de la figura 6.2, es decreciente
~
< 2.
Por lo tanto: Dom(f)=R y Ran(f)=[2,+=>
GeQnétrican~nte
vemos que f no es
inyectiva, dado que una recta horizontal
corta al curva en dos puntos.
.. 457
Sección 6.2: Logaritmos
ID
LOGARITMOS Si b es un número positivo diferente de 1 y si N es cualquier número
positivo dado, entonces existe un número real ~nico L, tal que: L
N = b
Se dice que el número L es el logaribno de N de base b y se escribe: L = 10gbN
Esta definición Definición
se puede enunciar de una fonma más concisa como sigue:
6.2
Si N Y b son números positivos y si bl1, entonces: 10gbN=L
Según esta definición, garitmo
N=bL
_.
vemos que el concepto de un exponente y el de un 10dos [armas diferentes
son simplemente
de ver exactamente
cosa. Las dos ecuaciones N=bL y 10gbN=L son equivalentes usar indistintamente Ejemplos:
a)
la misma
por lo que podemos
los dos fonmas.
log,8 = 3
2'=8
b) log.(1/4)=-2/3
8·'/'=~
c)
b =b
d)
b'=l
1
+
logb(b) 10gb(1)
Ahora veamos algunos ejemplos de aplicación de la equivalencia
de la definl
ción 6.2 pora calcular el logaritmo L, el número N y lo base b. EJEMPLO
Solución.
l.
/2.
Hollar el logari tmo de 16 en base
Si log1216
=
x
_.
24
16=(I2)x
4
=
(2)x/2
x
="2'"
x=B
Luego: EJEMPLO
Solución.
2.
Ha 11ar e I número cuyo Iogar itmo en base 1/16 es -O. 75.
Sea x el número buscado, Y 0.75
..•
logl/16(X) =
-4
3
x =
(..l.)
Solución.
3.
75 100
-3/4
16
3 x " 2
EJEMPLO
=
=
3
=4 =
(24)3/4
(16)3/4
8
Si logx(9/4) = -2/3, hallar x,
log (9/4) = - l. x 3
-49
=
x-2/3
=:r
~
O
•. 458
Capítulo 6: Funciones Exponenciales
=
x
y Logaritmicas
.• x = 8127
EJEMPUJ 4. Hallar el valor de E=( log7 '/7 49) (1 og40. 25) Solución.
Sea log7
'/7 49 =
x
=
Y
Si log40.25 Luego:
E
=
(-5/3)(-1)
=
',I'f. __.x _ 7
(
4Y -
=
0.25
_1 _ 2 __ ~ 3 ~
~
=
log8(1116) , hallar x.
Solución.
=
Y
Luego:
-
logx(1181)
1!
=
=
-1
8Y
- 413
(3~)
3'
EJEMPUJ 6.
Y
+
-513
513
EJEMPUJ 5. Si logx(1181) Sea log8(1116)
4Y
=
~4
=
x
+
=
=
x-413
x
x=27
-+
Hallar el valor de: E
Solución.
=
2LoglI4(32) - 3Log118('(16)
Sean: Log114(32)
=
Xl
-
+
~Log343(49)
- ~LOg4(8-312)
(4l)Xl -. 25 __2-2x
l
32
+
Xl
= - 512
(l)x. 8
Log343(49) = x, Log/8-312) Luego:
E
= =
49
=
(343)x,
72
=
73x,
+
x,
2(-
x, .•
%)
+ §.(?)
2 3
- ~(-~) 3 4
x .•
=
- -21
EJERCICIOS: Grupo 41
1.
Una función f cuyo dominio es el conjunto {-2,-1,O,1,2} está definida por f(x)=4-x a) Escribir f como un conjunto de pares ordenados. b) Escribir los elementos que pertenecen al rango de f.
2.
Si g es una función cuyo dominio es D = I- ~,- ~,-
i,o, i '-t ' ~}
.
Sección 6.2: Logaritmos
459
y g(x)=64%, expresar g como un conjunto de pares ordenados. 3. En los ejercicios siguientes, hallar la base de una función exponencial cuya gráfica incluye a los puntos dados. (3,27)
a)
4. En
105
b) (-2,1/100)
e)
(2,1/4)
d ) (-2/3,1/4)
ejercicios siguientes, trazar la gráfica para cada.una de las-
funciones dadas. Indicar el dominio y el rango. {(x,Y)IY=2x/2}
a)
I
b) {(x,y) y
e) {(x,y)ly
f)
3(3 )}
g) r(x)
=
5+exP2/3 I2x+7
=
2x+3}
~) f(x)
=
eXP1/2 [x]
L) r(x)
=
eXP2[ x]
1
x
d) r(x)
=
1-exP2(x~1)
e) f{x)
=
-1+exP2/3(lx+1
1)
Determinar el valor de x, si:
6.
Hallar el valor de:
=
I
J) r(x) '"1-eXP2 [x+1 ]
5.
E
r(x) = 2+exP4/3
.=
1 1 r= 2Log3(81) + 3Log10(0.001) + 2Log5(125) - 2Log8(2) + 5Log8(4S,16)
Log
7.
Hallar el valor de:
8.
Hallar el valor de:
E =
(6') x LOg
(93/4)
216 27 -...::..'-"------'=::....""'71",2
Logl3(3') + LOg4(8-3/ )
LO~28(81) E= __ ~~
+ Log~8(4) _
Log1/827 - Log2/5(25/4)
CIIJ
PROPIEDADES
PROPIEDAD L.l:
FUNDAMENTALES
Para todo núnero se verifica: Logb(x.y)
"El
logarltmo
de tul producto
ma de los iogaritmas
=
real
Logb(x)
DE LOS LOGARITMOS
positivo
x,y,b,
ti
en donde b#l,
+ Logb(y)
de dos nlJ'lleros reales
positivos
es la S!!
de cmbos nlÍlleros"
/
Capítulo 6:. Funciones Exponenciales
460
Demostración.
En efecto, si hac~ws:
Logb(x)=A
por la definición
se tiene:
=A
Logb(x) Efectuando el producto:
xy
De modo Que usando nuevamente
y Logb(y)=B
X=bA
++
=
6.2,
Logb(y)
=
(bA)(bB)
y Logarítmicas
= B
y=bB
++
bA+B
la definición
6.2:
Logb(~JI)
=
A+B
Y por sustitución:
PROPIEDAD
L.2:
Para todo número real
positivo
y para cada número real Logb(Xn)
=
x.o, tales Que b#l
n:
nLogb(x)
"El logaritmo de la n-ésima potencia de un número positivo es n veces el logaritmo del mismo".
Demostración.
En efecto, si hacemos: Logb(x) Pero:
Logb(x )
=
x
=
(Def. 6.2) (Ley de EXp.) (Def. 6.2)
=
y por sustitución:
Logb(x )
PROPIEDAD
Para todo número real x Logb()í)
pA
nA n
L.3:
++
xn = (bA)n = bnA n
De donde se tiene:
=A
=
nLogb(x)
positivo
x,y,b,
tal Que b#l,
Logb(x) - Logb(y)
"El logaritmo de un cociente de dos números reales positivos
es la
diferencia de los logaritmos del dividendo y divisor". Demostración.
En efecto, si hacemos: Logb(x)=A
x=bA
(Def· 6.2)
Logb(y)=B
y=bB
(Def· 6.2)
Entonces, dividiendo: y por sustitución: PROPIEDAD
L.4:
x A-B - = b Y LOgb(~)
.. =
Log (~) = A-B b Y
(Def· 6.2)
Logb(x) - Logb(y)
Para todo número real todo número real Logb(~)
positivo x.t», tales Que bll y para
n:
=
lLog (x) n b
SecciólI
6.-2: Logarltmos
461
"El logaritmo de la raiz n-ésima de un número real positivo es igual al 10garitmo del número dividido entre el índice de la raiz". Demostración.
En efecto, sea: Logb(x)
=
A
~
=
bAln
+
Pero: xlln y por sustitución: NOta.
(bA)lIn
= =
Logb(n/X)
Las propiedades
obtenidas
x
bA
=
(Def. 6.2)
=~
Logb(Xlln)
(De] . 6.2)
*Logb(X)
se llaman fundamentales
o generales,
pues-
to que ellas no dependen de la base b (siempre que b>O). Las propiedades, propiedades
entre otras, que se dan a continuación
particulares,
cuyas demostraciones
son las llamadas,
se dejan como ejercicio para
el lector.
n
n
PROPIEDAD
L.S:
Logb(x) = Logbn(x ) = Lognv1)()IX)
PROPIEDAD
L.6:
Logbn(x)
PROPIEDAD
L.7:
m Logbn(x )
PROPIEDAD
L.8:
Logb(x)
PROPIEDAD
L.9:
Loga1b(X)
PROPIEDAD
L.IO:
Logab
PROPIEDAD
L.ll:
Cambio de base de un sistema de logaritmos a otro.
=
~Logb(X)
r-
=
m ñLogb(x)
. Logx(b)
=
1
Logx
Loga(x) l-Loga(b)
Loga-Logb Logx
Loga(x) (x)
1
=«.
(b)
Loga+Logb
Logb(x) Loga(x)
Logb(a)
Por ejemplo, hallar por dos métodos diferentes: Primer Método: Por la definición
6.2:
Log2(8)
Log2(8)
=
8 =
x
3
2
Segundo Método: Por la propiedad
DEFINICION
·6.3
Se denomina
Ls ll : Log 8 2
cologaritmo
=
Log8 Log2
=
3 Log2 Log2
r = r =
= Logb(~)
3Log2 Log2
x=3
=
3
de un número N al logaritmo
de su inversa, esto es: Cologb(N)
+
= Logb(l)-Logb(N)
-Logb(N)
,
Capitulo 6: Funciones Exponenciales
462
y Logarítmicas
De modo que el cologaribno del número N es el logariUno del mismo número t~ modo can signo contrario. Esta definición pennite escribir la propiedad L.3 como sigue:
=
Logb~)
DEFIHICIOH
Logb(x)
6.4
= Logb(x)
- Logb(y)
+ Cologb(y)
anliloga,.iflDo al número
Se denomina
correspondie!!
te al logsaritmo dado, esto es, si L es el logari!
mo de N en base b, entonces: =
antilogb(L)
que siguen
nicianes establecidas EJEMPLO
1.
garibno
b)
B
= Logb(X)
Solución.
=N
ilustran
las aplicaciones
de las propiedades
cada una de las expresiones
y defl
dadas cano un solo IQ.
uno.
con coeficiente
3Logb(y)
A
=
Loga(y)l
.• A
=
Log (y'.?) a z
= Logb(X)
+
-
2Logb(9)
- 5
+ Loga(IX)
(L.2 Y L.4)
- Loga(z)'
(L.l y L.3)
podemos escribir: ,
Logb(Y)'
([..2)
- Logb(9)1 - Logb(b)' .•
EJEAlPLO Z.
10gb(antilogbN)
+ jr.oga(X) - 3Loga(z)
b) Dado que Logb(b)=l
B
= N
+
a)
'\.
ant i logb(logbN)
en esta sección.
Representar
a) A = 2Loga(Y)
= bL
antiIOgb(L)
.•
se deduce que:
De esta definición
Los ejemplos
N
B
=
(L.l Y L.3)
Logbrsih;)
Hallar el valor de E
=
Log2
(15T2 (1/4)' _\ 64(1IB)' )
Soluci6n.
E
= Log2(1Sl2) = jLog2(512) = ~2(2)9
- Log2(64) + +
5Log(1/4) 5Log2(2-2)
- Log2(1/B)' - Log2(64)
+ Log2(1/4)'
-2Log2(1/B)
- Log2(26) - 2Log2(2-3)
(L.1 Y L.3) (L.4 Y L.2)
463
Sección6.2: Logaritmos
EJEMPLO
3. Simplificar:
Solución.
E
=
75 Log(16)
+
3x25 E = Log(16) EJEMPLO
75 5 Log(T6) - 2Log(g)
5 -2 Log(g) +
9 2 Log(p
E E
=
+
(L.2)
2x16 Log(3x81)
j,
= SLQga{a(,l2+1)) =
3
S{Loga(a)
(12-1)
a
E = ~[l
+
t
=
a
se tiene:
E
Si Log
12(3)=b,
Log12(8)
=
(1)
1
"3
Loga(a)+Loga(,12-1)
=
~(1 +
EJEMPLO
6.
Solución.
E
=
Log12(2)
3(1-b)
Hallar el valor
=
Logb,{(b')']
= Logb,{(b')I'j
t
+
3
=
3Log12(2)
=
~
=
12
3Lo912(~)
=
3[l-Log12(3)-Log12(2)]
3 - 3b - Log12(8)
Log12(8)
=
j(l-b)
de: E = Logb,(ant i lo9b,8)-ant i loga' (LOgaf2) (Def.6.4 y L.6)
- antiloga.{2Loga2) - antiloga·{Loga2·j
(L.o)
16L09b .•(b·) - ant il Jga.{2Lo"a' (4)] +
E
=
Loga(I2-1)
hallar Log12(8).
3 - 3b - 3Log12(2) 2Log12(8)
=
t) = ;;
3{L0912(12)-Log12(3x2)]
Entonces:
Loga(~l»)
+
5
~Loga{a(,12-1)] +
Solución.
(L.4 Y L.1)
Loga(,l2+1)]
- L09 í,l2-1)) a
Si Log ('l{a(I2-1»)')
5.
de:
a
5
EJEMPLO
Log2
Log ('I{c(,12+1))').
3
(1),
3x25x81x2x16
= Log( 16x25x3x81 )
hallar el valor
= 1{1 + Log (-/2+1)(,12-1)] = 1{1
Luego, en
32 Log(243'
+
32 Log(243)
+
Dado Loga('I{a(-/2-1))')
4.
Solución.
=
E
16(1) - antilogc.(Loga.16)
=
16 - 16
=
O
464
Capítulo 6: Funciones Exponenciales y Logarítmicas
EJEMPLO SoluciOn.
Si Log2=k, hallar
7.
E
=
+
=
EJEMPLO SoluciOn.
=
3(Log10-Log2)
3-2Log2
=
En efecto, sea: E
= 9.
E
25
-
+
1
-=aL0g(--) 12+1
=
Calcular: E
-1
~g,4
+
E
=
=
SLog(12-1)
3-2k
-
=
= 34Log.(9/2)
3Log,(9/2)
De la definición 6.2 se deduce fácilmente que: N Entonces, según esta propiedad: 10.
25 aLog(12-1)
=
~~g(I2+1)·-4Log(I2+1)
25
-1
+ ~og14
•
+ 3Log2
Log2
+ 7-Log,4
811-Log.2
= 34(Log.9-Log.2)
+
- Log(-~)
~efog(3+212)-4Log(I2+1)
25
=
BLog(12+1)
= 32Log,(9/2)
EJEMPLO
=
E
7 12 Demostrar que: tef0g(3+2 2)-4Log( 12 2+1)
8.
Dado que: (12+1)'=3+21] Luego: E
Log5 + Log(2~)
Log5 + 2(Log5-Log2)
3Log(~)+Log2
3(1-Log2) + Log2
SoluciOn.
=
10
=
Log2
=
de: E
Log5 + Log(~)' - Log(2)-' 3Log5
EJEMPLO
el valor
E
(1f)2
=
+ 4-1
•
=
= 8!
.+
+ ~og14
~og14
-1
-1
bLogbN
+{
=
20.5
Hallar el valor de x en:
=
2
,13)(Log1,Log.Log.3 )]
=
(~g.Log.Log,(x+1).Log,5]{11Logl,Log.Log.3.Logl,13] Solución.
Ordenando
los exponentes de cada factor, se tiene:
[7(Log,5) (Log.Log.Log,(x+1»]{11(Log, Aplicando sucesivamente
la propiedad:
[5Log.Log.Log,(x+1)][1~og,.Log.Log.3] +
Log.{Log,(x+1).Log.3]
+
Log.(x+1)
EJEMPLO
11.
=
2'
=
4
=
=
=
2
bLogbN , obtenemos: +
(Log.Log.(x+1)][Log.Log,3]=2
Log.{Log.(x+1)]
=
(L.l1 )
2
x+l=S', de dende: x=624
++
Si x e y son dos nííneros consecut ivos y
Log 6+Log 6 x y SoluciOn.
2
N
Sea y=x+1
-
=
2
Log 6.Log 6, hallar el valor x y
Logx6 + Logx+16 = Logx6 . Logx+16
Según la propiedad L.8, se tiene:
de x+y.
Sección6.2: Logarítmos 1
465
1
1
1
Log.x t Log.x+1 '"(Log.X)(Log.x+1)
Log.x
.•.Log.x(x+1) = Log.6 - x(x+1)=6 - x'+x-6=O Dado que ~O, la única solución es x=Z .•.x+y=5 EJEMPLO
E
De modo que:
EJEMPLO
=
111 +
y;I
x+1
E
E
13.
=
+
=
1
x=-3
Ó
z+l
Logabc
+
Logaa
y+1
= =
Logbac
+
Logbb
z+l
=
Logcab
+
Logcc
Se tiene: x+1
y por L.8:
Log•.(x+1)
x=Z
Si Logabc=x, Logbac=y, Logcab=z; calcular el valor de:
12.
Solución.
+
++
1
Loga(abc)
= Logabc(a)
+
+
+
Logb(abc)
Logabc(b)
+
= = =
Loga(abc) Logb(abe) Logc(abc) 1
Logc(abc)
Logabc(c)
==
Logabc(abc)
== 1
Se sabe que: xl=Log.x., x.=Log.x., x.=Log.x,, x•.x •.x,=lZ8, x.+x.=6. Hallar: xl'x.,x. Y x,.
Solución. Si xl=Log.x •.•. x.=zXl ; x.=Log.x •.•. x.=zX·; x.=Log.x,
.•.x,=zX'
.•.X"X'.'X' = zXl+X.+X •
.•.1Z8 = Z7 = zXl+X.+X. - Xl+X.+X. = 7 . Pero: x.+x. Entonces: xl+6=7 ++ xl=l ; x.=Z ; x.=Z·=4 ; x,=Z'==16 EJEMPLO
14.
6
Si Log.15=a y Log1118=b, calcular en télTllinos de a y b: Log ••Z4. IAbstrar que la expresión obtenida es un número real.
Solución. Log ••Z4
==
a = Log.15 = Log.15 =
Log.6·
Log5.(Z·.3) =={Log.(Z·.3) 1 + Log,3
Log.3
+
= ~.Z
+
~.3
(1)
.•.aLog,3 + aLog,Z = 1+Log.3
Log.Z .•. (a-l)Log·.3+ aLog.Z = 1
Log,18 -- ZLog.3 + Log.Z b -- Lo gl1 18 -- --Log.1Z
ZLog.Z
+
.•.ZbLog. Z +bLog ~3
==
ZLog , 3 +L og.Z
Log.3 .•. (b-Z)Log.3+(Zb-1)Log.Z
Resolviendo (Z) y Log Z 5
==
(3)
(Z)
obtenemos:
b-Z a(b-Z)+(a-l) (l-Zb)
Log 3 5
=
1-Zb a(b-Z)+(a-1) (l-Zb)
yal sustituir estas dos expresiones en (1) se obtiene:
=
O
(3)
Capítulo 6: Funciones Exponenciales
466
y Logarítmicas
b-S Log2S24 = ----2(2b-a-ab-1) La expresión En efecto,
obtenida
es real
si a=Log61S
++
a 6
++
2b-a-ab-1 15
# O
a 2 61 < 6 < 6
+
1 < a < 2
(4)
-2 < -a < -1 . b=Log 18 12
++
Multiplicando
12b=18
(4)
y
(6)
..• 121 < 12b < 123/2
-4 < 2b-a-ab~1
(6)
2 < 2b < 3
(7)
se tiene: 1 < ab < 3 ..• -3 < -ab < -1
Sumando (5),(7) y (8) resulta: Luego:
(5)
1 < b < 3/2
< O
+
Por lo tanto, la expresión
-3 < 2b-a-ab 2b-a-ab-1
(8)
< 1
# O
hallada es un número
real.
EJERCICIOS: Grupo 42 En los ejercicios del 1 al 3, usar las propiedades de los logaritmos para representar cada una de las expresiones dadas como un solo logaritmo con coeficiente uno. 1. 2Loga(X-b) - aLOga(x-c) + tLOga81 - x 2.
3Log2a
+
jLog2125 - ~LOg227 - a
5 3. 7Loge128 - 4Log2(O.2)
+
31Loge(O.027)
En los ejercicios del 4 al 8, hallar la representación numérica más simple de x. 4.
13 x = 2Log(~)
5.
x
5 363 2Log(3) + Log(~)
6.
x
1 Logl84 + Logl65O - 2Log546
1. x
133 . 143 77 + Log(~) - Log(-go) + Log(171)
= LOg(';{29 .•~-1
11 - 2Log(~)
.27-4/3)
+
192 Log(125)
8.
x = LOg'(·~.'¡(6¡164.8-374)
En los ejercicios del 9 al 12, despejar x de las expresiones dadas. 9.
Logx
=
lLog16 - lLog8 + 1 2 3
11. 3Logx - Log32
=
2Log(x/2)
10. Logx
=
2
+
12. 2Log2(X-2)
1(Log18+Log8-2Log25) 2
=
Log2(7a-1)
-
2a
467
Ejercicios: Grupo 42
13. Sabiendo que Log ('/[a(~-1»)·)=O.6,
calcular el valor de:
a
x=Log (/[a(~+1)J·). a
14. Demostrar que Jfx>1: Logb(x + 15. Si Log2(atbl)=LOg4(a/b)=k, Log2(ab) • 16. Si Log
3=a
30
y
Log
;xr::t)
= -Logb(x -
rxr:1)
hallar, en términos de k, el valor de:
5=b, hallar Log
30
8.
30
17. Sean a,b,k números mayores que 1, si (Logak)4 = 16(LO~k)4, relación ·entre las bases. 18. Si A=LOglD[antilogb,(4)]
y B=antilog ,(Log .(4»),
b
b
hallar una
hallar el valor de AB
19. Hallar el ángulo cE, tal que: Log.Sen2a = LognLogO.5Logbantilogb(O.5)
, siendo n>O y n~1.
20. Si Log2(3)=P, hallar Log36243 en términos de p. 21. Si a,btR+-f1. y Logab(a)=5, hallar: Logab(·I8/ID). "
22. Si X=[Loga(antiloga.2)][antiloga,(LOga,8)],
hallar x.
23. Si Log a:1/2 y Log3(,1ab/9)=-3/2, hallar el valor de e, 3 24. Despejar x de: Log2x + Log4x + Log8x 25. Si p,qt y Log 26. Calcular:
pq
=
11/2
(q}=6, hallar el valor de E=Log
pq
('IP/q')
antilog4x = antilog2Colog~3Log~3) 1 .
+
27. Sean a,bER , si a1+b'=10ab, demostrar que 2Logab-Log(a+b) 28. Si X=LOgbantilogbColo~antilo~(-1/b), E = (Logbx
b
1 = zLog3-Log6
hallar el valor de:
x . x'+b% - Cologxb )" + ColOg1/x(b )
29. Si Log(ab1)=1 y Log(a'b)=-1, hallar el valor de E=ab. 30. Si x,y,zER+-{1}, hallar Log x sabiendo que 243(Log 2)'=32(Log z)·. x
Y
'31. Sean a
y
Y
b las longitudes de los catetos y c la longitud de la hipoten~
se de un triángulo rectángulo. Si (c-b)~1 y (c+b)i1, expresar 2(Logc_ba)(LogC+ba)
como suma de logaritmos en las bases anteriores.
*
Capítulo 6: Funciones Exponenciales
468
DI
y Logaritmicas
(J
LA FUNCION LOGARITMICA Sea la ecuación
logarítmica:
Sabemos que si bER+-lll, cada xER+.
=
y
esta ecuación
Logbx asocia un número real único "y" con
De ahí que la ecuación defina una función que se puede expresar
del modo siguiente:
=
f
=
Logb
{(x,y)\y=Logbx,
Nótese que el dominio de cualquier
función
x>OI
logarítmica
es R+. Nos falta sa-
ber cual es la imagen o rango de una función
tal. Esta pregunta
responder
6.1 que nos permite definir
examinando
la parte
la función logarítmica DEFINIeION
6.5.
(a) del Teorema
como sigue:
...•.
Si bER+-lll,
entonces
la función
logarítmica
base b, denotado de la función exponencial
por Logb, es la función eXPb:R .• «+. Esto es:
Logb:R+ .•R = {(x,y)\f(x)=Logbx, o sea:
Logb
Como consecuencia
de esta definición
=
(e~Pb)* se tiene que:
a)
Logb[exPb(x)]
=
x·
b)
eXPb[Logb(x)]
=
x
c)
Logb(x)
=
y
••
x=bY
=
ecuación y=Logbx,
la gráfica de la ecuación
trazando
independiente
mos por seleccionar
{(x,y;\x=bYl,
podemos
obtener
la gráfica de la
exponencial
x=~.
Aquí
es la y; por tanto, para trazar su gráfica empezQ
valores de y, para detenninar
tes de x. Por ejemplo,
en
inversa
x>OI
Puesto que {(x,y)\y=Logbxl la variable
se puede
los valores
/y=2x
y tracemos la gráfica de y=L012(x) I
I
/
I
x
1/8
1/4
1/2
1
2
4
8
Y
-3
-2
-1
O
1
2
3
correspondie~
/
/
/
/ / ./ / /
/
/
4
8
x
Sección 6.3: La Función Logarítmica
469
Aunque esta curva es la gráfica de una función l~aríúnica en particular,su fonna general y sus características son típicas de la gráfica de cualquier función logarítmica y=Logbx, donde b>1. Obaervac iones: (1) El rango o imagen de una función logaríúnica de base b>1 es la totalidad de los números reales. (2) Si O < x < 1, entonces Logb(x) < O (La gráfica está dispuesta debajo del eje X) Si =1 + Logb=O y si x>l + LogbX>O (La gráfica está dispuesta sobre el eje X) (3) Si x"x, son números reales positivos, entonces: Logbx, < Logbx, •• x. < x. (La función es estrictamente creciente) (4) Toda línea paralela al eje X corta a la curva en uno y solo un punto. (La función logarítmica es inyectiva) (S) Toda gráfico de uno función logarftmica de la formo y=logbx, pasa par .\ el punto (1,0). EJEMPLO
Sea !:R + <2,+-> definido por !(X)=exp2 (x+l)+2. Determinar el \/Olorde verdad de.·cada uno de las siguientes afirmaciones; a) f* es estrictamente creciente b) x=2 es una asíntota de la gráfico de f*. e) Dan(f*)=<2,+-> d) y=2 es una asíntota de la gráfica de f. Solución.
x-2
=
zY+1
1.
Analícenos cada uno de las afirmaciones dadas: a) f(x)-2 = exp2(X+l) = zX+l Y Cambiando de variables se tiene; --2 + Log2(x-2) = y+l
de donde: f*(x)=-1+Log2(x-2) Sean x"x,~Dan(f*) = <2,+-> si f"(x.> > f"(x,) + -1+I..og,(x,-2)> -1+Log.(xl-2) + Log.(x,-2) > Log.(x,-2) Siendo las bases iguales + x.-2 > x.-2 + x. > x, f* es estrictamente creciente en todo su dominio. Luego, la afirmación es verdadera.
I
I
--+---I I
1
I
o
1
x
2
1
I
I I
I
Capítulo 6: Funciones Exponenciales
470
y Logarítmicas
b) Si x=2
+ f*(2)=-1+Log (0)=-Q, entonces x=2 es una asíntota vertical de 2 la gráfica de f*. La afirmación es verdadera.
c) Por definición
f:R
+
Esto es, Dom(f*)=<2,~>. d) f(x)=2+zX+1=2(1+zX).
go, y=2(1+0)=2
entonces, 2-~ tiende a O, lue de la gráfica de f.
es verdadera.
r)], hallar
La función es real
(Log
r)
Log1/2(Log
++
el dominio de f.
> O.
(Log3x> (x >
A
A
r
(Log
(x>
< 1/2)
(x < (3) -
Una función es simétrica to es:
i) Si
Dom(f)
=
3')
A
< 1/2
(x < 31/2)
<1,13>
rrr::' (-x+"x-+l)
En efecto, f(-x)=Log a - f(-x)
=
=
respecto al origen cuando es impar, es-
xelxmt f )
ii) f(x)
Luego, f(x)
O < Log
Mostrar que la gráfica de Ja función y=Loga(x+/X'+l) es simétrica respecto al origen. Hallar la función inversa.
3.
Solución.
1)
O)
(1)
r
Dado que (1)E, se cumple (1)
EJEMPLO
R
+
es verdadera.
Cuando x tiende a -~,
Si f(x)=LogiLog1l2
2.
Solución.
La afinmación
es una asíntota horizontal
La afinmación
EJEMPLO
entonces, f*:<2,+~>
<2,~>,
-xEDom(f)
-f(-x), ~xEDom(f)
=
(x'+l )-x' (lx'+l-x)(lx'+l+x) Log ~-'---=-'::::::::::C-'---=-:':':' = Log.~=~~ a Ixi+1+x a ~+x
=
Log (x+/x'+1)-1 a
=
-Log (x+lx'+l) a.
-f(x)
-f(-x)
Para hallar la función inversa de f illtercambiamos las variables: x
=
Log (y+ly'+l) a·
+
y+ly'+l
=
Elevando al cuadrado obtenemos: EJEMPLO
4.
aX
ly'+l = aX_y x
2a y
=
a
2x
-1
Hallar el dominio de la función
-
f*(x)
=
1 x -x 2(a -a )
inversa de y
=~
1 + zX
Solución.
Intercambiando
variables:
x =
2Y 1 + 2Y
De donde, tomando logaritmos de base 2, se tiene: La función es real
.-+
1~X > O
.-+
y
=
Log
(2-.)
2 1-x
~x1 < O ..•.Dom(f*) =
Ejercicios: Grupo 43
Dada la función f definida por:
5.
EJEMPLO
471
Log (X-l) 2
=
f(x)
3 ~ x~
,si
i(.T-l) ,
,
9
si 1 .... < x < 3
{
a)
Hallar,
-1+rxrr-xJ ,si O~ x < 1 existe, f·(x). f(x) y f*(x) en el mismo sistema de coordenadas.
si
b) Graficar Solución.
(2)
(3) (4)
(1)
Sean: f,(X)=Log2(x-l),
'.(x)= ~(X-1)',
~[3,9J;
~[1,3>
y f,(x) = -l+II-(.T-l)l, ~[O,P Siendo estas funciones univalentes y crecientes en su intervalo de defl nición (verificar), entonces: Ran(f,) = (f,(3)",(9)J = [l,3J = Dom(f:) Ran(f.) = (f.(1),'.(3» = (0,1> = Dom(f!) ; Ran(fs)=l-l.O> (Verificar) Cano Ran(f,)nRan(f')URan(f.Jn Ran(f,)u Ran(f.)r\Ran(f.) = ~. 'ilf*(x) Determinación de las funciones inversos (lntercambiando variables). En fl: :r=Log (y-Í) - y-l=r y 2 +
En
f.:
ft(x)=l+r , ~[1,3J x = ~(Y-l)' .• y-l=21X
.• H(x)=1+2IX En ,.:
, ~{O,
x=-1+/1-(y-l)i
l+r
=
1+2IX
(
1:
r
.• (y-l)'=l-(X+l)"
.• ,:(x)~l-ll-(x+l)',
, f*(x)
J>
9
"
~>
I
/ /y=x
xE{-l,O>
, x&[1,31 ~(O, 1>
1-/1-(x+l)',
xE{-l,O>
fa
EJERCICIOS: Grupo 43 En los ejercicios del 1 al 8. trazar la gráfica para cada una de las funcie:? nes dadas. 1.'
f =
{(x,y)IY=Log1/2(x)}
2. f = {(x,y)ly=L083(x)J 3.
! =
{(x,y)ly=Log2[x]}
.4.
t
= I (x,y)/y=Log2(1/x))
5.
!
= {(x,Y)ly=Log2Ix-11}
6. f
=
l(x,y)ly=Log(x+6)+1J
~
Capitulo 6: Funciones Exponenciales
472
9.
Una función f viene dada por la ecuación yZ-1+Los2(x-1)=O.
y Logaritmicas
Hallar el d~
minio de la función dada y escribir la función inversa. 10. Hallar el dominio de las funciones que se indican: a) y=Log[1-Log(xl-5x+16)] b) y=Log(1X=4 + 16-x) c) y=Log(2+x) 2-x 11. Sea ia,b,c,d,x}cR+-i1}.
Determinar el valor de verdad de cada una de
las siguientes afirmaciones: a) Si x>1 y b<1
+
Logbx > O
b) (Logab)(Logbc)(Logcd)
=
Logad
12. Sean a,bER+-i1}, X.Xl,X.E.
Establecer el valor de verdad de cada
afirmación: Logb(Xi) < Logb(x.)
a) Si X, < Xl
b) La gráfica de y=Logb(x) corta al eje X en x=1. c) Si cER, entonces la gráfica de y=Logbx corta a la recta y=c en un punto y sólo en uno. d) La gráfica de y=Logbx pasa por el punto (a,Logab).
13. Establecer el valor de verdad de cada una de las siguientes afirmaciones a) a,b&R+ y c&R+-{1}. Si a < b -
Logca < Logcb
b) La funci6n exponencial en base b>O, bF1, es inyectiva. e) b>O, Logbx < Lo~y
..• x < y
14. Determinar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: a) Las gráficas de las funciones f(x)=Logbx y g(x)=Log1/b(x), son simétricas respecto del eje X. b) Si b1 > b. > 1, entonces Lo~,x
b>O, bt1,
~ Logb.x, iX&R+
c) La ecuaci6n Logbx = bX tiene solución solamente si O < b < 1.
15. Analizar la verdad ó falsedad de las siguientes proposiciones: a) La inecuación O < Log215(x) tervalo <0,1>. b) Si al,a., •••• ,~eR+-{1}, Log
a••Lo~
a,
< 1 tiene como conjunto solución el in-
la ecuación:
a ••Loga a, •••••Loga
-a..
~.Lo~ n-1-sn
x
1/2, tiene como con-
Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales
.473
junto solución tan}. c) Si f:<1,+=> f*:R
+
R está definida por f(X)¡L~g2(X+1)-LOg2(X-1), entonces
+
<1,+=> está definida por f*(x)= 2 +1 22+Log75 + 5Log.14
16. Determinar: E =
5Log72
17. Sean f y g funciones reales de variable real, definida por: ~ ' si -7 ~ x < -2 {2X-[X] , si 2
2X[;+3 ] , si xE<-2,O> -3/5Lnx , si xE
g(x) = [
x'+1
, si xe:<1,+=>
a) DeterminaF si g es inyectiva. b) Si A=[-4,+=>-{4}, determinar la función h:A
+
R tal que (goh)(x)=x,
'lxER. 19. Sean f y g funciones definidas en R por: f(x)
= {3X+2.
i[x' ll.
Hallar:
11I
' si
x~ g(x) =
f"0g
si x >
x (»') x+1
si x >-- 3
[x] '-2x+2
si x < 3
(fog)(x) •
ECUACIONES Las ecuaciones
EXPONENCIALES exponenciales
son aquelas
que tienen
la incógni ta en
en el exponente. Para resolver
las ecuaciones
exponenciales
existen dos métodos
fundamenta-
'.
les:
DII
METODO DE REDUCCION
A UNA BASE COMUN
Este método se basa en la aplicación Si b>O y b~l EJEMPLO
SOlución.
l.
Resolver:
Haciendo
_
bX
de la propiedad:
= ~
r+1 + :r-2 - r-3
+
r-4
x=y
=
750
uso de las leyes de los exponentes,
se tiene:
Capítulo 6: Funciones Exponenciales
474
2.
EJEMPLO
ix+5
Resolver:
32x.35 - 28(T.3-2)
Solución.
Haciendo: T~ Para:
=3
m
.
..:x:
1
~ =.-l
+
3.
3
T =
+
81
EJEMPLO
=
;j
3-4
.x
2..:x: = 3(¿)
r
=
Solución.
3x
••
c.S
~(r) ..
3.22y Sustituyendo
2
(3)
(~)x
=
t
=
m
++
=
5.
=
6 .• 22y
_
;rY-x
=
xn(xy)n (xy)2n -
= {-4,-1}
=
O
o m
=
x=-l ]
++
=
{-l,l}
=1
21+x + 22+2y = 24
_
.•
=
2y=1
r=
+
=
;
r -22y
= 2
r+2(22Y)=8
(1)
y=1/2 x=2
{(2,1I2)}
si nEZ , x>O , y>O x2n
(1) y (2): (xy)y-x(y)-n
(x.y)n _
(xy)Y-x _
~
22
(1)
2n=y-x
O
3n/2
• es
2
=
6m'-13mn+6n'=O
2n/3
(2)
++
el sistema,
Multiplicando
Si xyi1
m=1/81
la segunda ecuación dada de (1), se tiene:
Resolver
=
o
6(32x)-13(r.r)+6(22x)
O _
3 -1
=
el sistema:
en (1): r+2(2)=8
yn
Caso 1.
=
(m>O y n>O)
:. C.S
Solución.
+ 6.2
En la primera ecuación: 2.r+4.22Y=16 Restando
EJEMPLO
2x
is.e" 2x)
=
O
}
+ 6(2
(2)
=
m=1/3
++
= -4
2.32x+1 -
Resolver
4.
243(32x)-84(T)+1
-1
x
(3m-2n)(2m-3n)=0
;j
EJEMPLO
=
x
y 2x=n
55
.• 243m'-84m+1=0
-1
-
=
- 2)
55
(m>O)
Resolver:
Sean: 3x~ Factorizando: Luego:
=
2.32x.3 - 13(r.r)
Solución.
28(T+1
=
y Logaritmicas
y=x+2n
=
=
~x-n
(xy)y-x(y)-n
(xy)n(xy)n = (xy)y-x
(2)
Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales
En (1):
475
x+2n=r
+
= 1.(1 +/I+lfri) 2
+
x, -x-2n=0
x
+
Y = 2n + ~(1+11+8n)
+
Caso 2. -n=x
-1
-x
2
y =
+
r-n;x:-1=0
+
+
1 . r-.-:-7 = .2(nTVn +4) 1
x
1 r:-;-:-:¡ = Z(yn'+4 - n)
n+ln'+4 EJEMPLO
en R: (3x+y)x-y
Resolver el sistema
6.
=
9
(1)
-1
324(X-y) 124 Solución. En (2): (2'x3,)x-y=2(3x+y)'
+
=18x'+12xy+2yl
(2)
(zX-y) (3x-y) =2 (3x+y)'
(3)
2 De
(1): 3x+y 2
Sustituyendo Luego:
=
zX-y
de donde:
(4)
2
en
=
-
2
~-y
;
....!.- =
1
x-y
(1):
A
3x+y=3) -'x=5/4
(x-y=2
A
3x+y=-3) -
4
=
x-y
2(3x-y)
=
en (3): (2x-y)(~-y)
(3x+y)'=9 -
(x-y=2
4
2
(4)
o
3x+y=3
3x+y=-3
, y=-3/4
x=-1/4 , y=-9/4 {(5/4,-3/4),(-l/4,-9/4)}
:. e.s =
lID
METODO DE LOGARITMACION
EJEMPLO
Dado Log2=0.3010,
7.
Solución.
(5-3x)Log5 +
(5-3x)(Log10-Log2)
=
EJEMPLO
8.
Solución.
5-7Log2 3-2Log2
_
=
Resolver:
[(ol-b')'
jx-1
(x+2)Log2
+
(x+2)Log2
+
55-3x
(5-3x)(1-Log2)
(a+b)'(o-b)l
2x
=
=
zX+2
_
xLog(a+b)
2x
(
(x+2)Log2
2x
=~
1
(a _b')1
=
=
1.206
(o -b)
'(~_b)2x _ (a+b)"
(x+2)Log2
(0_b)2x(0+b)-2
••
(o-b) (o+b/
=
=
2,893 2.348
(0'-20'b'+b,)x-l
=
=
(5-3X)Log(1~)
=
5-7(0.3010) 3-2(0.3010)
(0+b)2x(0_b/X
Apl icondo logoritmos:
la ecuación:
resolver
Q
logaritmos en ambos lados de lo ecuación y obtenemos:
Aplicamos
de donde: x
EN AMBOS LADOS DE UNA ECUACION
(a+b)l
(o+b);X:= o-b
Log(o-b)
-
x
=
~(O-b)
(o+b)
476
Capitlllo 6: Fllnciones Exponenciales y Logarítmicas
" x Solución. Haciendo: e ~ • (m>O). se tiene: mJ-3m"+4m-4=O + (m-2)(m"-m+2)=O ++ m-2=O o m"-m+2=O Uhica solución ~eal: m=2 • luego. si: eX=2. aplicando loga~ibnos en ambos lados de la ecuación. se tiene: xLne=Ln2 (Pe~o: Lne=l) :. x = Ln2 EJERCICIOS: Grupo 44 Resolver las siguientes ecuaciones sin emplear logaritmos: 1. (2112+3/:5+61173)2/5 = ~2Xl_2X-2
1.
3(2x+3)
2. 3x+2 + 9x+1 = 810
8.
22x+6 +
8(2X+1 )
,.
9.
a2X(a1+1)
(a3x+ax)a
x2x_(x1+x)xX+xJ
'= O
4. (,x-1 + 3x+2)(5x+2 + 5x-1)
5.
64(2x-5)x _ 729(3x)x-5
6. 3x+1 + 3x-2 _ ~ x 1 3 -
=
=
O
247 3x-2
3528
"
132(3x-3)
10.
(35-x)(52x-4) = 1511-3x
11.
4x+1/2_32X
12.
3x 3x (x )
=
4x-1/2_32x-1 1
=
2-1 1/~ (-8 )
Resolver las siguientes ecuaciones haciendo uso de logaritmos:
13. 3x+1 + 18(3-x) = 29 14. 105-3x 2x 15. 4 -1
= 2
7-2x
= 5x+2
17. 3(10x_10-x) 3x
-1e
2x
= 10x+10-x
x -x -1ge.-5+48 = O
18.
3e
19.
R + ¡;=x
20.
33-x • 25x = 3x+5 • 23x
= ~~
16.
(a3-x)(b5x) = (ax+5)(b3x)
21.
Si Log2=k "1Log3:h, resolver los sis"temas de ecuaciones:
Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
24. 25.
2 x y
=
•
477
Sección 6.5: Ecuaciones Logarítmicas
26.
x{x+y
ZT.
x-~
=
(X+Y). 3x = 279936
2
= 2.13 ;
=
28.
xx+y
29.
{x+y)x+y
(x+y).~-x
; yx+y
yn
=
=
8_(x+y)x
= 3 , O < Y < x
x2n.yn , y>O • nEZ+ (dado) ;
(x+y)x-y = 6-16(x+y)Y-x
30. x uv+4u-u· = y (1+u)(2u-B) 2uV = 125(5)u xy.
ID
31.
2x
23+
, x,y enteros (>0) + 24y
21+2x + 22+4y _ 4z
= =
B
15
23+4y _ 41+z = 24
=
* ECUACIONES
LOGARITMICAS
La ecuación con la inc6gnita bajo el signo de logarítmo se llama ecug . clón logarítmica. En general, una ecuación logarítmica se resuelve teniendo en cuenta las condiciones iniciales que debe.cumplir la variable, esto es, la detenninación del universo de la variable dentro del cual se resuelve la ecuación aplicando las propiedades descritas en la secci6n 6.2.1. Si la ecuación logarítmica tiene la.fonna: Logbf(x)
=L
el universo de la ecuación se detennina del modo siguiente: a) Primera COndición: Base positiva y diferente de uno. (b b) Segunda Condición: Núnero pos i t iva (f(x) > O) Universo de la ecuación: U = (b>O A btl) A (f(x) > O) Los ejemplos que siguen EJEJlPLO Soluci6n.
l.
i lustran
Resolver:
>
O
A
b!l)
algunas de las técnicas qul'j,ueden emplear.
2Log(Log:x:)= Log(7-2Log:x:)-Log5
a) Aqui, la primera condición está dada: b=10 .• x > 10' .• x > 1 .', U=
b) Log:x:> O
Según las propiedades L.2 Cono
y
L.3: Log(Log:x:)2= Log(7-2~)
la función logarttmo es inyectiva
.• (Log:x:JZ= 7-2~og:x:
donde: 5.Log1:x:+2Log.r-7=O.• (5Log:x:+7HLogr-l)=O - Log:x:=-7/5 o Log:x:=l Vemos que la primera alternativa no cumpl.e la segunda condición inicial. Luego, si Log:x:=l .• :x:=lOEU :. e.s = UD} De
Capitulo 6: Funciones Expollencia/es y Logarítmicas
478
EJEMPLO 2. SOlución.
Resolver:
iniciales:
Condiciones
s:
1og;:¡:;(12;6) :: 4 Dado que x=-~tU
EJEMPLO 3. SOlución.
Resolver:
r::2
pertenecen
EJEMPLO 4.
Resolver:
al universo Loga.(x·) ;
dada:
Z· :: 4
~
e.s =
1z.ogax
8+(Log:r)(Log 4)
3
EJEMPLO 6.
Resolver:
Universo
»
2-1
4
1/4
::
:: ZLog:r
4
=
:: 3
y:: -3/2
--
-i
(L.6
u» ó
a1/2 Ó
x::
Zy
Logax::
x::
-Z
a-2
LogiX - Log (36 ) 3
r
:: (Log )(Log 36) 3
++
+ Log 4) 3
=
(Log:r)(2+I~34)
r
+(Log )(Log 4) 3
x=3':: 81 •
e.s::
{8II
x>
de la ecuación:
Según las propiedades
-3
- Lo~a:X:i'
(Log )(Log39
Log :: r
3
{1Ci,l/a"}
r
(Log34)=
se tiene:
=
x
(LogZCJ'::
{1/4.41
•
.•..•. Logax
8 + (Logr)(Log34)
SimplifiCando
o
..•
:: Log (l/27) 9
~v
1
8 + Log 3 (4LogiX)
Resolver:
~ 8+ (Logr)
SOlución.
x ::-~
U=- U}
(xil)
A
27 = ir
-
·+3Log x.-2 :: O a
Según L.2:
-
o
x
- Logx(a)
c.s
SOlución.
= /3
=
= 8Log Z
z:
++
EJEMPLO 5.
x
;:¡:;>O, x#l)
En la ecuación
xi
og;:¡:;
.•..•..x
:: y
a
x
:.... x
3LagzX - LogzX = LogzX
Sea: Log9(1I27)
2(Log
•.•. x":3
8
-Z
(a>O ,ail
de donde:
1 L2
(x > O)
r::
Log
Ambas raíces
SOlución.
U=-{l}
x
.•..•. 9=x'
iniciales:
según L.8:
o
4
3LogzX -
Condiciones
Log
=
Lagx9
-
4 ..• Log 1Z-Log 43/2+Lag 6
=
x
x:
(x~l)
A
4
e.s = {~}
..•
Luego, -
(x > O)
Log 12 - -23Log4 + Lag 6
Luego:
=
Logx(12)-3Log "(4)+Logx(6J x
U:: <.1,+00> (dato)
L.9 y L.6, se tiene:
1
Y L.8)
4
Sección 605: Ecuaciones
LOg81(3») .• Log~3 ( 1 ~ - Log81x De donde:
479
Logarltmicas
_ -hog (x) -3 x
=
(Log~)'-4Log~+3
O 0'0
EJEMPLO
Resolver:
7.
Solución.
Log~=3
CoS
= !3,271
6(Logx2)'-5Logx2+1
~
o
Log,x=3
EJEMPLO
Resolver:
8.
Solución.
3
~ x=3'
o
~
.• U=-!11
Log2 1-LO~ 64 x
o
x=2'
x=3'
Logx/64(2)
(L.8)
Logzr-5Log~+6=O x=2'
=
.• C.S
14,81
Log8X(~) + Logg(x) = 1
Condiciones iniciales: (x Según L.3:
=
O"
Logzx=2
Log~=1
O) ~ (xI1)
LOg2) X Logx2 ( 1-Log 16 x
)= 1.
1-(1/4)Log3x
o
=
Logx(2).Logx/16(2)
Según L.9: De donde:
Log3x
~
Condiciones iniciales: (x>
( (1/4)Log33
.• _1_
Log8x(8) - Logax(x)
+
=
.• U
O) ~ (axll)
>
Logg(x)
-!1/81
1
y por L.8: 1
.•
Sea LogaX = m
Para:
m=l m=-2
Solución.
+
Loggx =
l-m + m' l-+m
=
.. LogaX = O .. LogaX = .. LogaX = -2 ~
m=O
EJEMPLO
1 LogaX l+LogaX - 1+LogaX
1
1+LogaX - 1+Log 8 x
Resolver:
9.
Por L.l:
m'-+mZ-2m = O
x = 8' x = 8'
Log'(lOOx)
1/64
+
(LoglOO + Logx)'
+
(LoglO
EJEMPLO Solucion.
10.
Ó
Resolver:
Logx=-9/2
o
(1)
5
+
=
,
o
m=1
14
Logx)Z + Logx
=
14
.• 2Log'x+7Logx-9=O 9 2
Ó x=1o'- /
2 (Log 81-Log-x) x J = -2(Log~
ó
m=O
Logx
+
14
x=10
(S)
(Log 3'-Log~) (1.) x 5
-
=
Loggx =
C.S = !l,8,1/641
Logz(10x)
.• (2+Logx)z + (1+Logx)Z + Logx Loqx=L
}
8
x=8-'
-
+
25 (Log~ (4")
- ~) 2
J
o
1) 2
m=-2
Capitulo 6: Ecuaciones
480
de donde:
Logjx - SLogr
+ 4 =
Logarítmicas
.•..•. Log4 + L.ogr = 5 r Log:r=l O Log:r=4
O
++
x=3
O
x=3'=81
C.S
+
=
{3,811
Resolver el sistema: . 21:i+IY = 512 Log;XY = 1+Log2 fi+IY 9 Solución. En la primera ecuación: 2 = 2 ++ IX + ry = 9 Elevando al cuadrado se tiene: (x+y)+2~ = 81 (1) En lo segunda ecuación: Log/Xy = Log10 + Log2 = Log20 .• xy = 400 (2) Sustituyendo (2) en (1): x+y+40=81 .• x+y=41 (3) De (2) Y (3) fonmamos la ecuación cuadrática; m·-41m+400=0 cuyas raíces; m=16 o m=25 , corresponden a los valores de x e y, esto es; C.S = {(16.25),(25,16)1 EJEMPLO
11.
EJEMPLO
12.
Resolver el sistema:
(Lag y,»:
5/2
x)
y
:: X
(1)
(Log4y)[Logy(y-3x)]
=
1
(2)
Solución. Condiciones iniciales: y>O , yil , x>O
r";'
En (2); Lag (y-3x) ~ = Log y 4 ++ y-3x=4 Y uv~4Y . Log x En (1), aplICamos logar/unos de base x: Logx(y·x y) = LogXX 5/2 Log;rY T Logyx.Lagxx de donde:
= {LOgxx
-
Log;rY +
(3)
r..o!;rY = ;
2(Log;rY)"_5Log;rY+ 2 :: O .•..•. Log;rY = 2 .•.••. y=.:x:"
o
o
Log¿
1 ="2
y=fi .•x=y·
y=.:x:", en (3): x -3x-4=0 .•..•. x=4 o .:x:=-l
Si
EJEMPLO
13.
1 Dado el sistema en R: Logkx.Logz:t')' = Log 2 '
Log3(x+y)
=
x 3m!~
a) Plantear un sistema equivalente sin expresiones logarítmicas. Determinar el máximo valor de k para el cual el conjunto sa.lución es no vacro y los correspondientes valores de x e y.
b)
Solución.
Condiciones iniciales: k>0, kl1 , x>0 , xiI En la primera ecuación: (Logx2)(Lag,¿c)(Logz:t')'J =1
Ejercicios: Grupo 45
Aplicando
481
sucesivamente
la propiedad
=
Logk2.Logzx:y
1
L.l1 (cambio de base), se tiene: Logk:x:y= 1 •.• :x:y=k
-+
En la segunda ecuación dada, por L.11: Log3(x+y)=3Log32 (1) Y (2) es el sistema buscado, del cual fonnamos m'-8m+k=O,
cuyas raíces serán reales
Entonces:
(-8)'-4(1)(k)
~ O
x+y=8
++
(2)
la ecuación cuadrática:
A ~ O, esto es: b'-4ac ~ O
++
k ~ 16
-
(1)
kE[0,16]-{l}
-+
Luego, el máximo valor de k es k=16, para el cual las raíces son iguales:
=
x EJEMPLO
14 .. Resolver
=
y
4
el sistema:
(1 )
=
Log12z Log2[z(x+y)]
=
x-2y Solución.
En
=
Log3(x+y+z)
(1):
=
•.•x+y+z
(Log122)[Log2z(x+y)] De (4) Y (5):
= 1
z(8-z)
12
=1
z'-8z+12=0
++
(3} Log323
=
3Log32
8
(4)
= 1 . Aplicando
Log12z(x+y)
+
=
L.11, se tiene:
z(x+y)
++ ++
(2)
z
tY(z-2)(z-6)
3(Log3z)(Logz2)
En (Z): (Log12z)(Logz2)[Log2z(x+y)}
1
Log 2
z=2
o
12
(5)
z=6
(x+y=6) o (x+y=2) En (3):
(x-2y)
=
ty'
x-2y
+
=
2
Luego, para z~2
+
(x+y=6)
A
(x-Zy=2)
++
x=14/3
z=6
+
(x+y=Z)
A
(x-2y=2)
++
x=2 , y=O
Dado que en (3), y#O, entonces:
e.s
, y=4/3
= {(14/3,4/3,2)f
EJERCICIOS: Grupo 45 Resolver las siguientes
ecuaciones
logarítmicas:
=
1.
Log (x'+8)-Log (x+2)=Logg7 9 9
6. Logxl5+Logx5x-
2.
Logx15+2Logx·50-Logx6
1. Logx(I.2)·Logx/ (1.2) = Logx_·(I.2) 32
=
3. Log16x+Log4x+Log2x 4. Logl7x+4+Log/2x+3
=
= 3 7 1+Log1.5
9 +7 ) = 2+Log2 (x-1 3 +1 )I 5. Log2 (x-1
8.
Logax + 2Logxa
2.25
=
3.
(Logxl5)'
a&R+ -·{1}
9. Log(8)Logx_ Log(2)Logx= LogxX x~1 10.
Log4x + Log4(x-1)
=
Log4(Log4128)
Capítulo 6: Ecuaciones Logaritmicas
482
11. Logx3.Logx/ (3); 9 12.
Log128 = Log2
17.
4Log'l8i = Logax , a>O
19.
Log (2xx-2_1) = 2x-4 , xf1
20.
('IX)Logx(X'+2) = 2Log
(0.4)1+(LOgX)·= (6.25)2-Logx'
14. x + Log(1+2x) = xLog5 + Log6 1
15. Logl7i+5 + 2Log(2x+7)=1+Log4.5 21.
3x'-2x+1
16.
Log81x(3)
-Log12+Log5
x
127 3
Dado aER+-{1}, hallar el conjunto solución de: Loga(a/x).Log~x
e
(1-Log~X)Loga(ax)
22. Despejar x de: Log(2x_1) + Log(2x-1_1) = 1-Log2 23.
Hallar el menor número positivo x tal que: 1
2Log(Cscx+7)-Log(1.2) = 24. Resolver:
Log
(2).
1xl
1
- ZLog(14+Cscx)
Log~(2) 16
25. Resolver:
31+LogCotgx _ 31+LogTanx + 8 = O
26. Resolver:
Log1/2(16) + 2Log3(X-3).Log3(X+2) = Log3(x+2) + Log (x-3) 3
27. Resolver:
¡
28. Resolver:
Log2x•
1
LOg'18i + Logx'18i + VI{Og a
,f%. aV~
+
Log '~
xYi
= a , a>O
Logx (~)=-1 ~ Log (x+2) + 3 .j. log3(x-3)
29. Resolver para xER: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: 30.
Log9 = 2Log(x-y)
35. 2x'+y=75 ; Logx'-Logy=2Log2+Log3
31. Loglxy-Log·(2:)=8 y 32. xl-y.=10 ; (x_y)Log(X+Y)=103 1
33. LogO.5(y-x)+Log2(y)=-2 ; x·~y·=25 38. Lnx+3Lny=5 ; 2Lnx-Lny=3 2 9 " x'.+y;=.i 34. y+Logx= -arcSen1 • xY -2Logo 510 39. ~Log x -4 u ,-. LogxY x -y 3 40. Resolver:
,¡;>
+
.¡y; = 34
0.4(Logx+Logy) = 2+Log2.25
Sección 6.6: Inecuaciones
Exponenciales
483
41. Dados: at1/2. bt3 ; resolver
42. Hallar los valores de x e y tales que: 2Logx = 4Logy
Log'(xy) - Log'(~) = 32 y
43. Sean f(X)=Log(3-x)(x'~4) y g(x-1)=x-3 , O
*
m
INECUACIONES EXPONENCIALES La resolución
de inecuaciones
exponenciales
se basa fundamentalmente
en la aplicación de los incisos (b) y (c) del Teorema 6.1. En efecto, consi de remos las gráficas
de las funciones
exponenciales: g:R
+
R+
=
l(x,y)lg(x):bx,
O
y
--------~--~----~~x
o
Xl
En la gráfica de f se observa que: x, < x.
+
f es creciente ~xEDom(f)
f(x,) < f(x,)
y en la gráfica de g: :. g es decreciente En fonmna similar, si tenemos inecuaciones
~x¡;Dom(g)
exponenciales
de la fonma:
o donde P(x) y Q(x) son funciones de x. entonces podemos considerar siguientes: Caso l.
Si b>l, entonces:
bP(X) > bQ(x)
P(x)
bP(x) < bQ(x)
P(x) < Q(x)
>
Q(x)
los casos
'
484
Capitulo 6: lnecllaciones Exponenciales
Caso 2.
Si O < b < 1, entonces: bP(X) > bQ(x) bP(X) < bQ(x)
l.
EJEMPLO
Resolver:
~
P(x)
< Q(x)
P(x)
> Q(x)
< x-V322x+5
x+.y?
2x+5
x+3
SOlución.
La inecuación
a:
es equivalente
3x+9 10x+25 .•...• 2 x+l < 2
-x=r •..•.X;J 3x+9
¡necuación equivalente: Para e/ primer Luego,
SOlución.
2.
si: (x+1)(x-l)
Resolver:
x+y
(t)
Se tiene: ++
EJEMPLO
3.
_
_
(O.2)~
~ _ 2x+6 < O x-2 x-l -c
x#-3
, x#-2 que la
(a)
solución de
<-"',-3> U <-2,-lJ de la
(a)
(Verificar)
¡necuación
(0,04)xt3
x'~t:;;:~~2
~ O ; ha/lar
_
(O.2;-x=r (x-3)(x-5) (x-2)(x-l).
(x-3)(x-5)(x-2)(x.-1)..$
críticos A
.'
O ,
(B-A)'
2(x+3) ~
Par el método de los valores
< 1)
O
se detennina
=
i
~
solución
>" x-V
(0.008)x-1
equivalente:
(Caso 2: O <
x+2
críticos
Si A es el conjunto
x-V
(i/X-2
2x-2
(x+1) (x+2) (x+3) ~
de los valores
En A:
(1) 7xZ+29x+34>0, ~ER
~
.•..•.• x>l v x<-l
x+1 (x+3)(x+2)
3(x-1)
Inecuación
(i)
x+3 ~
y B es el conjunto solución de: SOlución.
> O
-111<0
> O
C.S = jxlx<-3 v -2
es:
>O
(2~)X-3 ~ x+Y
2x-6
2x-6 ,,2x-2 x+3 ". x+2
Inecuación equivalente: Por el método
(Caso 1: b=2>1)
C.S = <-<0,-1> U<1,+<0>
:.
EJEMPLO
=
x-1
(2')
x-1
(7x'+29x+34)(x+1)(x-l)
~=(29)~4(7)(34)
factor:
se cllllple
(1)
<~
7x'+29x+34 (x+l)(x-1)
++
<
(2·)X+1
=
3(x-l) x-2
(Caso 2)
< O '<
O , X1-1, X1-2
se detennina
<1,2> ti [3,5]
>.,....~ x-l
que: (Verificar)
Sección 6.6: Inecuaciones Exponenciales
En a se tiene: [necuación
(x-1)'(x-2}), (x-4)(x-5)
equivalente:
""
485
O
(x-2)(x-4)(x-5)
Por el método de los valores
O ,
~
críticos
x=l
, x#4 , x#5
se detennina
que:'
a = {1}u[2,4>u<5,+~>
(Verificar)
B 1
2
345
Luego: a-A = [2,3> U<5, +~> u {l}
EJEMPLO
•
Solución.
En A: _
[necuación
x-y
r.3·
x+2 < 2-2x x-3.... x+3
equivalente:
En el primer
factor:
+ +
V'
1 -2
(;j )(3)
< O
< O -
Y
2-2x
3 x+3
(Caso 2: b=3>1)
~ O , x#-3
(x'-x+4)(x+3)(x-3)
}
xEal.
< O .•.•
3 (x'-x+4) (x+3){x-3)
(x+3)(x-3)
...; (9)("9)
x+2 .•....•.3x-3 ~
Xt~(3')(3-')X
1 x
x+2/
~
P={xERlxEA-
hallar:
A=(-1)'-4(1)(4)=-15
Luego, (1) se cumple si: En a:
~ _
Ix-3 /..x
t
A=\XER
> x+4};
a={xERl/x'-2x
= <-~,2>U[3,5J-{1}
(a-A)'
+
Dado los conjuntos
4.
B
+
, x#3
(1)
> O, ~xER
x'-x+4
-3 < x < 3
+
A=<-3,3>
Ix'-2x > x+4
(x'-2x x(x-2)~
~ O) ~ [x+4<0 ~ [x<-4
v
+
(x~O v x~2) ~ [x<-4
+
[(x~O v x>2) ~ (x<-4)]
+
[(x<-4)]
v [(-4
(x+4~
v
(x~-4
v [(x~O v x>2) ~ (-4 ~ x < -815)]
lógica:
= <-~, -4~ U [-4, -815> p
++
q
=
(Ana)u(A'nB')
AnB = <-3,3>n <-~,-815>
= <-3,-815>
AuB = <-3,3> u <-~,-815>
= <-~,3>
A -a
Según
las
O
=
a=<-~, -815> , se tiene:
(Ana)u(AUB)'
(A UB)' = [3,+0>
= <-3,-815> U[3,+=>
dadas,
construyamos
de las funciones
casos:
O
+
(p ~ q) V (~p ~ ~)
condiciones
solo plano las gráficas Consideremos los siguientes
=
+
:. P = {xERlxEA-xEB}
Solución.
(T.45i i)
> (x+4)')]
v (-4 ~ x < -815)]
~ x < -815)]
Según la equivalencia
~ x'-2x
~ x<-815)]
O
y=ax , y=bx.
en
un
Capítulo 6: lnecuaciones' Exponenciales
486 • < a < b
01
1
..• ..•
i) x < O i i) x > O
a
O < a < 1 < b
"
b
01
a
1
bX
i) x < O
..•
aX>
aX < bX
i i) x > O
~
aX < bX
aX>
Obsérvese que en los tres casos considerados, x'-l
x'-1
< b
..•x'-1 > ú
-:or
x
Ó
dad aXO; entonces, a
O < a < b < 1
bX
i) x < ii)
x>
o ..•
aX>
O
aX < bX
..
bX
en los que a
"-
si: x' > 1
.•
. •X
I
a b
(X<-1) v (x>1)
:. X€<-~,-1>u<1,+~>
EJERCICIOS:
Grupo 46
Resolver las siguientes inecuaciones: 1.
X+1y!(O.01)X-2
2.
(22x-3)(24-x) 25x-1
3. x+;;t(O.04)2X-1
~ x+3y1(O.1)2x-3 <
x+~22X+3
> xJ'(O.2)2X-1
7. Dados los conjuntos A={x€R!/x'-x-2 Hallar: A 8.
4.
X-V(-()~¿-()~)x-1~ x-V(O.04)x+3
5.
x-
--2 9x+
x+Wx •.•....
< (lf+2(_1_)x1:-3x "5 625
6. (2f(.l)4x'+1 250
> x-11
y
5
B={x€R !25 x-1 ~
x¡,( 0.2 )x+1 }
B'
xl-3 Dados los conjuntos A={x€R! x+1 ~ O , B={x€R!x'-81 27x-2
~
~ 01, C={X€R!
x
~ 81 1 ; hallar (A n e) n B
9. Dados los conjuntos: A={x€R!lX=5t[-2,4>I, ~ x-2 C={x€Rrx 1 > x+21 ; hallar (A-B) U (B o.c) . , IxeR]x+2\1/'"JC'+3 81"'~ > 10. Sean los conJuntos: M= x€R
B={x€RI(0.1)x-3
~ 10x+31
+
x-2~ /'2'i(:1 9-" '}
N=lx€Rjl2x+5 > x+11 , hallar el conjunto: P={xtR!x€M
y
.• x€NI.
y
Sección 6.7: Inecuaciones
Logarítmicas
487
11. Sean los conjuntos: M={XERI2X-~(O.00032)x+2 N={XERllxl+2Ix-11-12x-51
< x-~1/5)3X-11
y
< 31. hallar el conjunto P={xER!XEM
~
xENI.
*
m
INECUACIONES LOGARITMICAS Para una mayor comprensión
cas es necesario
remitirnos,
en la resolución
en primer
de inecuaciones
lugar, a la definición
logarítml
de logaritmos
esto es: LogbN En segundo
lugar, a la observación
=~
++
N
=
bX
de la grófica de la función y=Logbx cuaD
do b>l y O
o
los números positivos.
< b < 1
b > 1
x
Los casos que se presentan Caso l.
son los siguientes:
Cuando O < b < 1 En la grófica de y=L09bx se observa que:·
(1)
Los números mayores
(2)
Los números entre O y Entonces
que 1
1
tienen logaritmo negativo
tienen logaritmo positivo
para cualquier x"x.&R
Si O
f(x,)
>
(yO)
se tiene:
f(x.)
(f es decreciente)
Logbx, > Logbx. de donde se deducen
las siguientes
a) Si x>O
O
b) Si x>O
O < b < 1 Y mER
+
Logx>m b +
relaciones: O<~<¡ffI
Logbx < m
x: > br.J
• Capítulo 6: lnecuaciolles
488
Cuando l.a base b > 1
Caso 2.
En la gráfica
de y=Logbx
(1) Los níuneros
mayores
(Z) Los nÚtileros
entre
Entonces
para
que 1 tienen
logaritmo
se
f(Xl)
de donde podemos deduc i r
> m
b) Si x > O
b > 1 Y mER
< m
EJEMPLO
Resolver:
Solución.
1.
Log (Z:x:-5) 3
Dado que 3>1, entonces Log (Z:x:-5) 3
> Z
Solución.
según
desigualdad
x, excepto
Solución.
> Z
3.
el
Dado que
> 9
de donde obtenemos: EJEMPLO Solución.
4.
Resolver: Tenemos el
4:x:-3 > 9
o
:x: < -3/Z
> 3
o
<3,+=>
Log
> -3
IZx-31
tenemos el
> -3
~xER-{3/Z1
xE<7,+=>
valores
según el
x xE<-=,-3/Z>u
Como (1/Z)E,
IZx-31>o,
t~ar
Luego,
> 3' ~ x13/4
1/Z
tiene:
se
> 3')
~ (x > 7)
se pueden x=3/4.
14x-31
.• Lo91/zIZx-31
Caso Za,
> Z
13-4xl
Resolver:
relaciones:
> O) ~ (Zx-5
Log313-4xl
En esta
es creciente)
> Z
(Zx-5
vos pare Log313-4xl
EJEMPLO
Resolver:
2.
tt
x > br.l
(x > 5/Z) EJEMPLO
< O)
< Logbx,
s'iguientes
.• Logbx
> O)
(y
(y
tiene:
LogbXl
las
positivo negativo
< f(x,)
b > 1 Y r,lER .• Logbx
X
lo siguiente:
logaritmo
xl,x,ER
< x,
Xl
•..•
> O
se observa
O y 1 tienen
cualquier
Si b > 1 Y O <
a) Si
Logarítmicas
4x-4
positivos Caso Za:
< -9
= R-{-3/Z,3]
Caso la:
(x13/Z)
~ (O < IZx-31
(x13/Z)
~ IZ:x:-31 < Z'
(x13/Z)
~ -8 < Zx-3
< (1/Z)-3)
< 8
xE<5/Z,ll/Z>-{3/Z1
Log1l3ILog4(x1-5)1 Caso la,
.• Log1/3IL094(:x:1-S)1
> O
(1/3)E > O
•..•
O < Log (x'-S) 4
< (1/3)'
y negati-
Sección 6.7: Inecuaciones
489
Logaritmicas
++
(xl-5
++
(Xl_S>
> O)
+
S. =
< 41)
(x > 15 ~ x < -15) C.S =:
EJEMPLO
Si b>l,
5.
Solución.
...s. = S,oS. =
resolver:
(-3 < x < 3)
A
Logbx + Logb(VI)
O
.•. x(vI) 2x+6
> O
= <-3,-1>
<
~
=
EJEMPLO
6.
Solución.
Universo c) Además,
Caso l.
parcial
Caso 2.
de la variable:
(O < x < 1)
Universo de la
<--,-3> U <-2,3>
(Verificar)
<-2,-1>U <0,3> -c 1 las siguientes
debemos considerar
> 1) ,.
A
(O
U,
>
=
O
-Ill
>....O .•. (0
.•. (x
.•. U2
=
o x>
~ O
~ O O)
x < -3
AnB
•
de la variable: U
=
-
x+3 ~---z.x < 1) =
r-z! ~
¡necuación:
x>0 y xiI
LogxF;!)
Si x > 1 Y Logx(X;~
parcial
=
X;! > O
Si O < s: e 1 Y Log.xF;;J
.•. (x
Universo
de 1:
positivo:
por el radical:
.•.
O
iniciales:
y diferente
bJ Mínero o argunento
<
(Caso 2b)
se detenmina que:
la base una variable,
condiciones a) Base positiva
=1
1:c+6
resolver:¡Logxp.~)
Si x&R+-{l}, Siendo
=
S,O S.
b'
(x-3)(x+2) A
< O
(2)
críticos
U y S.
.'. C.S
< Log (2x+6) b Logb(x~i+f)
+-+
(1)
S1
(x·>5)·A (x1<9)
+-+
<-3,-16>0<16,3>
.•. ~
Por el método de los valores
O x > 16
<-3,-:15>0<15,3>
Logbx+Logb(x+1)-Logb(2x+6)
Dado que b>l
(Caso 2a)
s: < -16
-
<--, -16> U <16,->
O) A (x'-5
(Xl_S>
:.
4')
(Xl_S>
A
1) •.• x· > 6
(x>
=
A
= <1,3]
<1,3]
X;; < x')
=•
p:;3 2x ">,. x')
1) ,. (O <
S1US.
u. n u•. =
S.
1)
(O ~
A
x~
3)
.•. S.=
490
Capítulo 6: lnecuaciones
la inecuación
d) Ahora resolveremos
x+3 Logx(Tx)
.•
(x > 1)
EJEMPLO
7.
el dominio
Hallar
La función
Solución.
de la variable:
Universo
Caso 2.
9/2
9/2
•...•(x
> 5)
_ (x-4) 2x 9
(x-4 :.
EJEMPLO
8.
Solución.
Condiciones
~ 2x-9) Dom(f)
Si 0<
O
13x-21 < 1
..
~
2
< O .•
Caso 2.
(1)
5)
.• S,
••
= .• < O
Y
.• xn/3
v (x;1/3)
=
n
Si 13x-21 > 1
(2)
Y
A
.•
=
R-{1/3,2/3,11
<--,3/2> u <5/2,+->-{1f3,2/3,ll
LogI3x_21(14x-81-2)
A
< O
(13:r-21 < 1)
A
=
(-1<3x-2<1)
14x-81-2> 13x-2I'=1 14x-81>3 •...• (4x-8>3) <1/3,1>-{2/31
=
LogI3x_21(14X-81-2)
<1/3,1>-{2/31
(1)
v (4x-8<-3)
•...• (x > 11/4)
=
••
x < 3/2 o x > 5/2 e = <-Q,3/2>U <5/2,+->
U = AnB
(x;2/3)
S
S,
(x.$
A
-YxeR-{2/31 (x;l)
(13x-21 > O)
< 13x-21 < 1
.',
.• A = <9/2,+~>-{51
(2x-9#1)
U n (S , u S,)
13x-21#1
.• 14x-81"
LogI3x_21(14x-81-2)
~ 1
>•..1
•...• (x > 5)
=
.• Caso l.
_ (x-4) 2x 9
iniciales:
de la variable:
Universo
Log
•...•
~ 1
la base positiva
Adenás: b) 14x-81-2 > O
A
en R: LogI3x_2{14X-81-2)
Resolver
a) Siendo
~ O
- 1
= <9/2,+->-{51
U = AnB
Log
Y
<3/2,3J
B = <4,+->
.•
< 5 A (O < x-4 ,< 2x-9) < 5 A (~ > 4 A:r >,. 5)
Si 2x-9 > 1
x > 3/2)
= '¡Log2x_9(X-4)
f(x)
(2x-9>O)
.• x>4
Si O < 2x-9 < 1 Y Log2:r_9(x-4)
•.... .....
v
(Cálculo del Universo)
de 1:
:r-4>O
=
.• C.S
de la función:
iniciales:
y diferente
b) Argumento positivo:
Caso 1.
x > 3/2)
v
que x>l. (Caso 2b)
(-1 < x < O
es real •...• -1+Log _ (x-4) 2x 9
Condiciones a) Base positiva
> O
(-1 < x < O
A
en cuenta
x+3 < _, 2x -
< 1
(2x-3)(x+1) 2x
<~
Luego, si:
dada teniendo
Logarítmicas
v
(x < 5/4)
<1/3,2/3> < O
U
<2/3,1>
(2)
Sección 6_7: lnecuaciones
13x-21 > 1
++
Logarítmicas
(3x-2<-1)
(3x-2>1)
++
(x < 1/3) v (x > 1)
14x-81 < 3 Entonces:
Solución.
5/4 < x < 11/4
++
(4)
S2 = (3) n (4) = <5/4,11/4>
:. C.S = Un(S,US,) EJEMPLO
(3)
14x-81-2 < 13x-2I'=1
< O
LogI3x-21(14x-81-2)
491
9.
= <1/3,2/3>U<2/3,1>u<5/4,3/2>U<5/2,1l/4>
Resolver:
Loglxl/4(lx-11-2)
Condiciones
> 1/2
iniciales:
a) Base positiva y diferente de 1: (lxl/4 > O) ~ (lxl/4 # 1) (xER-{O}) ~ (X#4
+
b) Argumento positiva:
Ix-11-2>0
o x#-4) +
A
+
1x-11>2
=
R-{-4,0,41
(x-1>2) v (x-1<-2)
••
(x>3) v (X<-l)
+
B=<-=, -]>
U <3,+~>
Universo de la variable: U = AflB = <-~,-4>U<-4,-1>U<3,4>u<4,+~> Caso 1.
°<
Ixl/4 < 1 (1)
°<
Laglxl/4(lx-11-2)
Y
Ixl < 4
(2) LDglxl/4(1X-11-2)
++
> 1/2
++
>
í
(x#O) ~ (-4 < x < 4) 0<
+
S, = <-4,4>-{0}
1x-11-2 < (~)1/2
Como por condición inicial: IX-11-2 > 0+
IX-11-2 <~
Elevando al cuadrado obtenemos: 4(x-l)'-16Ix-ll+16
< Ixl
Por el método de los valores críticos se detenmina que: S
~ego, Caso 2.
z
=
<-
J8 (9+m)
U <-º 4> 4'
- J(-9+m» ' 8
(Verificar)
C = S, n S, = S, Si Ixl/4 > 1
(3) Si Ixl>4
++
Y
LOglxli4(lx-11-2)
X<-4
o
1 (4) Lag I I (1x-11-2) > tx /4 2
x>4 +
+
> 1/2
S.=<-~,-4>U<4,+~>
Ix-11-2>
(lxl/4)
1/2.ro-;
+
Elevando al cuadrado se tiene: 4(x-1)'-16Ix-11+16
(tomplem.deS,) 1x-11-2 >y Ixl/2 > Ixl
cuyo solución es el complement~ de S•. +
Entonces: D =
S. = <-~,-
s.ns.
:. C.S = Un(CUD)
EJEMPLO
10.
=
1 1 8 (9+-/I'f) > u
s.
9
4> u<4,~>
= <-~,-4>U<4,~>
= <...<>,-4>U<-t<9+,/T7J.-1>U<3,4>U<4,~>
Resolver:
Log2x[Logx(2x+3)]
>
°
.\..
492
Capítulo 6: Inecuaciones Logarítmicas
Solución.
Condiciones
iniciales: y diferentes
a) Bases positivas
=
Luego: A b) Argumentos
2x+3 > O
1
2x+3 > x·
+
Luego: (x > 1)
x>O
x#1/2
x#l
O
>
O < 2x+3 < x· (O < x < 1)
ii) Si x>
x>O
+
x>-3/2
+
Logx(2x+3) +
+
2x#1 -{1/2,l.
positivos:
i) Si O
de 1: 2x>0
Universo de la variable:
=
U
Análisis de los casos: 0<
=~
x>-l
+
=
(x > -1)
A
-3/2 < x < -1 (-3/2 < x < 1)
A
x > 1
An B
b < 1 Y
=
B
+
=
<1,+=>
<1, +"'>
b>
1
Dado que el universo de la variable es x>l, debemos to es, si x>l
+
plir que: Logx(2x+3)
> 1
2x+3>
=
:. C.S EJEMPLO
Solución.
11.
Re60lver:
Log
1) Condiciones
COS(n-:x)
Xl
X >
++
UO(x
=
> -3)
y diferente
> O •... > CoS(4x;n)
> O
++
# 2ktr-
•...•~11
de 1:
i + 2/or <
.;
x #
4x;'1 <
+ 41« < x <
i + 2/or
"4511 +
Cosx > - /2/2
+
Universo de la variable:
( 1)
¡+ 4k1l_
(2)
U
=
(1)
U
=
<-
Anál isis de los casos: O < b <
-
3 - 4311 + 2k11 < x < 4'1 + 2k11
(3)
n. (2) n ~'1
(3)
+ 4k11 , ~ .• + 41or> - {~ + ·4k .•• Y
b > 1
Como la base está entre O y 1, aplicaremos -
"
el Coso lb:
,,-4x
Cos4 + Cosx > Cos (-8-)
11 x fI X "x .•..•2Cos(8 + 2)·Cos(S - 2) > Cos(B - 2)
.'
4k.
fI COS;¡ + Cosx > O
b) Argumento positivo:
1I-4x O < Cos (-8-) < 1
-3 <1,->
iniciales:
a) Base positiva
COS(4X;fI) ~ 1
el Caso 20, es-
> O , se debe cum-
4 (COS-4n+ Cosx) < 1 n- x Cos(-8-)
3 - 4"
II)
aplicar
2x>2, luego, poro que: Log2x{Logx(2x+3)]
'.
Sección 6.7: Inecuaciones Logarítmicas
8
- .!. + 2kT < .! + ~ < !. + 2kT 382 3
>1.
de donde: Cos(.!!.+~)
2
493
2 .•
<_U1l
Si =
+ 4kTr
12
3
511 + 4kT> 12
511
C.S = Ur¡Sl = <-"411 + 4/(11, 12 + 4kll> -
EJEMPLO
Resolver:
12.
SOlución.
Iniciales:
a) Base positiva y diferente Tgx > O Tgx ;. 1 b) Número
(2k11 < x <
-
:x: '" kT +
o argumento
Sera: + ~ > O .•
u
= (1)
n
(2)
n
4kTr}
< O , xe[0,411]
LogTgx(Sera: + 1/2)
1) Condiciones
11 {i +
1t 2k11)
11
"4 '
de 1
(11 + 2k11 < :x: < ~11 + 2k11) , k=O,l 11
5 :X:;'"4'"411
.•
k=O, 1 , 2, 3
9
13 , "411 , 411
Sera: >
(3)
-1 - - i-
= (2k1l < x <
+ 2k1l < :x: < ~ 11 + 2k1l, k=O, 1
i + zk»)
U (1I+2k1l < x e i1l
O < b < 1
Si O < Tgx < 1
b)
O < Tgx < 1
Sera: +
1
..
{
a)
.!
"4
11
+ 2kn
}
k = 0,1
í
Sera: >
=
+ 2b < :x: < i1l
i + 2kn
+ 2k"
< x < "4 " + 2k1l
k
k
=
=
0,1
0,1
.!.
b)
"/4
0,1
n + 2kn < :x: < ~11 + 2kn
.•
n (b)
Y
2k1l < :x: <
6" (a)
=
b > 1
Sera: + 1/2 > (Tgx)'=l
-
>"1
(3)
+ 2k1l) - {~,~11} k
a)
(2)
positivo:
11) Análisis de los casos: Caso lb.
(1 )
,,/6 7T
-"'r"::=~F-=-=-0
Caso 2b. a)
..
Si Tara: > 1
Tara: > 1 -
b) Sera: < 1/2
(1- +2k" (2ka
7T
Sera: +
O ..r----t¡r;...,.--~ O
......;:~
t
< 1
..
< :x: < ~ + 2kn) U (~" <
x
Sera: <2
1
3 +2k1l < x <]"
< .! +2kll) U (~11 + 2k" 6 . 6
+2k1l) , k=O.l
< :x: < 211 + 2k1l)
k=O,l
'.
694
Capítulo6: Inecuaciones Logaritmicas
(a) n (b)
=
.• Sz !.
5
"4"
3
2kll < x < "2n
+
+
2k1l
0,1
11
11/4
~
2
511/6
2
511/6
11·
"
k
11
11/6
O
511/4
.. EJEMPLO
C.S
Un(S,uSz)
13.
Dado 0>0 , an
=
S,
6
2kll <
< 4"11
X
+
2kll
k=O,l
, se define:
+
Lga:R
!. +
.•RILga(x)
=
t·
r~ogax
,si
Loga(l/x), i) En base a la gráfica de logaritmos deducir Resolver: Lg9(xZ-2x) < 1/2
Logax
>--
O
si Logax < O la gráfica de L9a(x).
i i )
Solución.
i)
Sean: f(x)=Logax Graf[Lga (x) J
Tracer.loslas gráficas
g(x)=Loga(l/x)=-Logax
y
=
Graf{ f(x)]
de f y 9 considerando
U
Graf[g(x)]
los casos: 0<0<1 y a>1
0<0<1
0>1
y
y
--;;O~~:---
X --
y
ro..r---'~--·X
y
--;;c>-~---x--~)--~---X
La gráfica de Lgax se deduce así: Cuando el argumento
es xE,
se u-
En este caso, si el argumento
til iza la gráfica de f(x)=Logax
xE
Si el argumento
g(x)=-Logax,
es xE, se usa
la gráfica de g(x)=-Logax. ii)
Lg9(xZ-2x)
(xZ-2x > O)
A
y cuando xE se
usa. la gráfica de f(x)=Logax.
< 1/2.
a) Si el argumento
es
se utiliza la gráfica de
Dado que 0=9 (0)1), utilizaremos el segundo caso: es: O < xZ-2x < 1, Y -Log,(xZ-2x) < 1/2 (x'-2x < 1) (Log,(xZ-2x) > -1/2] A
Sección 6.4: Ecuaciones Exponenciales
.
495
+
[(x-1)' > 1 ~ (x-1)' <2J ~ (x'-2x > 9-1/2
+
[(1-/2
< x < O) v (2 < x < 1+(2)] +
b) Argumento:
x'-2x > 1 Y
+
[(x-1)'
+
[(x
EJEMPLO
=
S,
> 1/2
12 > 2J ~ (x'-2x < 9 / ) ~ (-1 < x < 3)
=
S,
+
<-l.l-l2>lJ
Según la propiedad
L.11 (cambio de base), se tiene:
IX-2111 :;:..Log
1_1
1) Condiciones
Senx:
1_1
[~+1]
(1)
[~+1]
Iniciales:
Base positiva y diferente
de 1:
[1]1 +
> O-
1]
~
- Ixl [~+
1]
,¡ 1
[~]+1#1
Ix-ll
O
#1
b) Argumentos
(~) o (lxl~2)
#O
positivos:
o·
x
U = (2)
n
Ix-2111 >
(3)
=
n
(4)
n
O •.• x # 211 •.• 2k. < x <
(5)
n
o
x~-2
x~2
<2,11>U <2kll,1I+2kw>,
~
+
1x-2111 ~ Senx
Sean las funciones:
(3)
f(x)=x-211
las gráficas
Y
+ 1 >....2
kEZ-{O}
b > 1
.•
[J;L +
•.• x-21f >,. Senx ,
(6)
.+2kw
(6)
Sabemos que Ix f ~ 2
Tracemos
-
(5)
O < b < 1
(1):
(2)
Ixl T>--l
o
#2
Análisis de los casos:
Luego, en
O + :.::€R
(4)
x
++
U
11)
>--
xII
+
Senx > O Entonces:
Ixl T
+
+ 1 ~O+l
[~n#O
-
IXI 0":7":1
IX-11·>
<1+12.3>
<-1,1-12> U <2,3>-{1+12}
Resolver:
14.
Log
a)
v x > 1 + 2{()
<2,1+/2>
Logg(x'-2xj
1-12) v (x> 1+12)] :. e.s = S,lJ S. =
<
SOlución.
.
~ (x < 1 _2{(
g(x)=Senx
1]
o
>-- 2
(b>l)
x-211 ~ -Senx
, h(x)=-Senx
de cada una de estas funciones
en un mismo plano:
En la figura podemos observar que: f >"g para X€[211,+"'> +
x-211 ~ Sera:
-
s: ~ 2.
(7 )
Capítulo 6: Inecuaciones
496
Logaritmicas
f < h , para xE<-~,2wJ x-2'1l< -Senx
+
.•..•. x < 2w
Luego, de (7) y (8) se detennina IX-2wl > Sero:, ~ER
=
Entonces: C.S :.
S,
+
=
U ns,
(8) que:
= R
U
C. S=<2, '11>u <2kw, 1T+2kw> , kEZ- {O I
15.
EJEMPLO
Graf i car el conjunto
Solución.
1) Condiciones
o
x>y
++
de puntos de R' tales que:
{(x,y) I Logx'_y'(X'+y.' ) >-- O).
=
R
iniciales:
(Gráfica del universo)
xc-y .•..•. y
o" y<-x
Es el conjunto de puntos en el semiplano inferior de las rectas y=x , y=-x x'-y'11
++
o
x'-y"
x"-y">l
Es el conjunto: R"_{X"_y"=ll. b)
Argumento
positivo:
x"+y' > O
Es el conjunto Rl, la gráfica
es simétrica
respecto de los ejes X e Y • .'.
=
U
o
(y
n
y<-x)
(R'- {Xl_yl=ll)
11) Análisis de los casos: O < b < 1 a) O < xl_y' < 1 +
(Xl_yl>O
R,
=
A
O < Xl+y' ~ (x"+y')'=l
+
x"+y"
(y
A
A
(X"+y">O
(xl_y"
A
A
x'+y"~l)
(X"+y"~l)
R, es el conjunto de puntos comprendido los semiplanos
b>
y
entre
inferiores de las rectas y=x
y=-x, la parte exterior de las dos ramas de la hipérbola x'-y'=l y en el interior de la circunferencia b) xl-y">l
R.
=
x'+y'=l
". X"+y"~(X"_y")·=l
(X"_yl>l)
A
(X"+yl~l)
1, para Lag
1
X -y
"(X'+y")?O
•• Sección 6.7: Inecuaciones
Luego, R, es el la hipérbola
Logaritmicas
y en el exterior
..
EJEMPLO
Solución. a)
R
1) Condiciones
Base positiva x'+y
Graf(R)
Graficar:
16.
de puntos ubicados en el interior
conjunto
x'-y'=l
crottu)
n (Graf(R,)
=
{(x, y)
E1l! Logx'+/x'-y'
Iniciales
de las ramas de
de la circunferencia
=
y diferente
> O
497
(Gráfica
del
~'+y'=l
.
u Graf(R,)] ) < 11Universo)
de 1:
y
Y > -x~
Conjunto de puntos en el semi plano exterior de la parábola x'+y ~
# 1
y < 1-x'
y=-x'.
+
Y # l-x'
o
y > 1-x'
Conjunto de puntos en R', b) Argumento positivo:
x'-y'>O -
+
o
x>y
x'
xc-y
> y'
~
o
y
y<-x
Conjunto de puntos en los semiplanos res de las rectas: .", U = (y> 11) Análisis a) Si + +
+
O < x'+y
(y>-x'
=
< 1
Y
~ y'-x' > 1
b) Si x'+y +
R,
(y
=
A
+
> 1-X')
O < b < 1
x"_y"
> (x'+y)'
~ (x'-y'
> x'+y)
~ (y'+y
y<1-x')
> L=x+) (y
y=-x # 1-x')n(y
de los casos:
(x'+y>O ~ x'+y<1)
R,
o
y=x
-x')n(y
x"_y" ~ (y'+y A
(y >O
A
í-1
< (x'+y)' > O)
o
y<-l )
o Y
y<-x) b > 1 , Y
LOg;y::"+/X'-y') y
< 1
•• .Capítulo 6: lnecuaciones
498
EJERCICIOS:
Logarítmicas
Grupo 47
Hallar el conjunto solución ~e las siguientes inecuaciones: 1.
LOg1/3(2x+6) <: -2
10.
2.
1,og2(3x+2)-Log2(1-2x) > 2
11. ~LOg
3.
LOg (3x+4)-Log (2x-1) > 1 3 3
12.
1,o&ranx(x1-x-5) > O
4.
Log213-4xl > 3
13.
Log1/3
5.
1,og1/312x-31 > -1
14.
1,og1/ (x2-4x+3) ~-1 3
6.
Log2<1x-21-1) >
15.
Log1/3[Log4(xl-5») > O
16.
Log (4x-5 ) ~'1 x Ix-21
1,og6(x- 31i+1 + 3) <
17.
LOg . (3-2x) -1>;.0 x+ -x x
9. 1,og0.5 (xl-x-3/4) > 2-Log25
18.
7. LOg2<1~=;1 + 8.
7) > 3
19. Dado los conjuntos A={XERIx>o
A
rrw]
Log (x+~) > 1 x xx
(5-3~) < 1 x+
M
x-6 < -1
M
Log2x_ ( [x ]-2x-6) >;.1 9
= 1}, B=jXERI1 ~~}UA}.
Si x~B-{1}, resolver Logx(X+1/2) > O. 20. f!.esolver: 21.
Hesolver:
LOg[.B 2
+
22. Considerando que Cos(x/2»0
y Sen(1 +
¡)> O, graficar
el lugar geomé-
trico de. los puntos tales que: Log x+y (1+Senx+Cosx) < Log x+y (212) w w . () 1 (Senx+Cosx) 1 (y) 1 1 23. Graf~car: R = { x,y ER LogTanx 2 LogSenx > O} Construir.la gráfica de las siguientes' relaciones: (x"+2x-y»0 24. R = ¡(x,Y)ERll1,ogx 1-y (lxl+2IYI)~1) 26. R={(X,Y)ER'ILog x •• -y 27. R={(x,Y)ER210<1,ogx+y 2(2x-y)<1} 25. R={(X,Y)ER2ILog x-xy+ 1(x+2Y) > 1} 26. Si !(x)=4x2-GY"-36 y g(x) = 1~(XI+y1_9), graficar: Logf(x)g(x) >.,.0
•. 499
CAPITULO
IN:DUCUCION MATEMATICA DI
INTRODUCCION Uno de
es el
101' métodos de demostración
llamado de inducción
te para demostrar tificadas los
por recurrencia
universalmente
A continuación
mentalmente
lB
la validez
o el
(N)
inducción
de
en Matemática
que se uti liza
de proposiciones
de la variable
conjunto
enunciaremos
el método de
da más importancia
o matemática,
y con dominio,
números naturales
(Z+).
canpleta
n,
los niíneros
generalme!]
abiertas
en el enteros
conjunto
cua!]j de
posi ti vas
en los que se basa [uaaa-
los principios matemática.
PRINCIPIO DEL BUEN ORDEN Todo subconjunto
no vacío
de números naturales
tiene
un elemento míni
mo Esto es, Ejemplos:
si AcN
y A1$
.•
3!aEAI-VXEA,
(1) Si A={::::ENlx es
par}.
a ~ x
Entonces,
el
elemento mínimo o primer
e-
lemento es a=2, porque -VxEA, 2 ~ x.
(2) Si 8={4,9,16,...} .• a=4 es el el~nto TEOREMA 7.1.
Si S es un subconjunto i)
Es decir:
conjunto
Demostración.
al h, es (Prueba del
.•
(h+1)ES
los números
de
"Todo subconjunto
pre que incluya
de N que satisface:
lES
i i) Si hES Entonces S es el
mínimo porque -VxcB, 4 ~ x.
naturales
de N que incluye
igual
al N".
ahsurCo)
al
(S=Nj.
1, y al siguiente
de h. siel.!)
Capítulo 7: Inducción Matemática
500
Hipótesis:
SCN,
lE-.S
i)
ii) heS Tesis:
S
=
(h+1 lES
N
En efecto: (1) Supongamos que la tesis no es verdadera, (2) Entonces:
3TCNIT=N-S
(3) Por el principio
es decir, S 1 N
y T1~
del buen orden T contiene un elemento mínimo m,tal que
~ 1 1 (leS por hipótesis). (4) Siendo m natural, (5)
Como m-1~,
se tiene: m>
(6) Según la hipótesis (7) Entonces:
1
m-1 > O
+
por ser m el mínimo de T ii): (m-1)eS
+
+
(m-1)eS
[(m-1)+1}eS
+
meS
m ~ T
(8) Por (3) meT y por (7), m~T lo cual es una contradicción. (9) Lueqo , T=~ y NCS, (La que habíamos
11I
y
COOlO
por hipótesis
SCN,
resulta que S=N
supuesto falsa es correcta).
PRINCIPIO DE INDUCCION COMPLETA
TEOREMA 7.2
Sea p(n) una función proposicional
que contiene a la varia-
ble n€N
de que P(n) es cierta o
y que tiene ·10 propiedad
falsa, pero no ambas, poro cada neN. Si P(n) satisface i)
las dos condiciones:
P(l) es verdadera
ii) Si de la verdad de P(h) se deduce
la verdad de P(h+1)
entonces, P(n) es verdadera ~neN. Demostración.
En efecto,
el subconjunto
cuales P(n) es verdadera, h siempre que contenga
a h. Luego,
S de números naturales contiene
por el Teorema
al 1, yal 7.1,
poro los
siguiente de
S=N. Esto es, P(n)
es verdadera ~eN. Observación.
Una demostración
por inducción con~leta consiste de las 3 pa!
tes siguientes: Parte l.
Verificación
de la variable proposicional
para el menor valor de
n poro el cual el teor~na es válido. Parte 2.
~wstración
de la propiedad
inductiva. Si la función proposicio-
nal vale para n=h, donde h designa un valor cualquiera de n, entonces vale para n=h+1. Parte
3.
Conclusión:
La función proposicional
vale para todo valor de n
Sección 7.3: Principio de Inducción Completa
igualo
501
mayor que aquel para el cual se verificó l.
EJEMPLO
Demostrar
que n'+Zn es divisible
en la parte 1.
par 3, es decir, 3 es un far¿
tor de n'+Zn. Demostración.
Sea P(n)=n'+Zn. (1) Si n=l
P(1)=(1)'+Z(1)=3,
+
es divisible
par 3.
Luego, P(l) es verdadera. (Z) Para n=hEN, supongamos es verdadera.
que: P(h)=h'+Zh
(Hipótesis
es divisible
par 3, o sea, P(h)
inductiva)
Debemos probar que para n=h+1, la función proposicional: P(h+1)=(h+l)'+Z(h+l)
es divisible
por 3.
En efecto:
=
P(h+l)
AqUI los dos sumandos hipótesis
=
h'+3h1+3h+1+Zh+2
(h'+2h) + 3(h1+h+1)
entre paréntesis
son divisibles
por'3, el primero por
inductiva y el segundo por contener camo fa~tor el 3. Esto es:
=
P(h+1) = (3m)+3(h1+h+l) Luego, P(h+l) es divisible (3) COnclusión.
2.
DEmostrar
Demostración.
Sea P(n)
EJEMPLO
por 3, o sea P(h+1) es verdadera.
Se ha demostrado P(l) es V
3(m+h1,+h+l)
que:
P(h) es V
A
P(h+l) es V
+
que: lOn+3(4n+2)+5
=
(1) Si n=l
es divisible
{nENIIOn+3(4n+2)+5 +
por 9.
es divisible
P(1)=lO+3(4')+5=207,
por
9.
es divisible por 9
Luego P(l)· es verdadera. (2) Para n=hEN, supongamos cir, P(h) es verdadera
que P(h)=lah+3(~+2)+5 (Hipótesis
Debemos probar que poro n=h+l, P(h+l) ~
efecto: +
=
inductiva)
la proposición:
lah+1+3(4h+3)+5
P(h+1) P(h+l)
(9.1ah+lah)
+ (9.4h+2+3.4h+2)
9(lah+4h+Z)
+
P(h+1)
=
9(10h+~+Z)
Luego, P(h+1) es divisible
=
+
por 9
10.1ah+12(4h+Z)+5 + 5
(lOh+3.4h+Z+5)
son divisibles
como factor y la segunda por hipótesis +
es divisible
lO.lah+3(4.4h+2)+5
Las sumas entre paréntesis
es divisible por 9, es d~
(m9)
por 9, la primera por tener a 9
inductiva.
=
9(lah+4h+2~)
por 9, o sea P(h+l) es verdadera.
502
Capítulo 7: Inducción Matemática
(3) Conclusión. EJEMPLO
3.
Se ha demostrado
que: P(l) es V
A
P(h) es V
Demostrar por inducción que JfntN: 32n+2_2n+l Q
+
P(h+l) es V
tiene como factor
1 nLr.lerO 7.
Demostración.
Sea P(n)
=
(1) Si n=l
(7 significa
IntNI32n+2_2n+l
=
~I
P(1)=3'-2·=77
=
7 , es
+
múltiplo de 7)
verdadera
7,
(2) Para n=h, suponganos que P(h)=32j+2_2h+l = es verdadera. 2h+4 h+2 Probaremos que para n=h+l, P(h+l) = 3 -2 = o7
=
E" efecto, Pth+l )
3
2h+2
.3
h+l
2
- 2
.2
h+l 2 . Sumando y restando 2 .3 a P(h+l), se. tIene: = 9(32h+2_2h+l)+2h+l(9_Z)
P(h+l) = 32h+2.32_2h+l.32+2h+l.32_2h+l.2
7 )+
9(
7.2h+l
9(m7) + 7.2h+l
(Hipótesis
=
\.
inductiva)
7(9m + 2h+l)
Luego, P(h+l) tiene como factor 7, es decir, P(h+l) es verdadera. (3)
Conclusión:
EJEMPLO
4.
Se ha probado que P(l) es V
P(h) es V
A
+
Demostrar que: x2n-l+y2n-l
es divisible
por x+y .
Sea p(n)=lntNlx2n-1+y2n-l
es divisible
por x+yl
Demostración.
(1) Si n=l
P(l)=x+y,
+
luego P(lj es verdadera.
(2) Para n=h, supongamos que: P(h)=x2h-l+y2h-l
es divisible
Probaremos que para n"h+l, P(h+1)=x2(h+l)-1+y2(h+l)-1 x+y. " En efecto:
=
P(h+l)
x
= x
= Pero, por hipótesis
=
Entonces: P(h+l)
2h+l 2h-l
(3) Conclusión:
+y .x:
zn-i
2h+l
= x
2
2h-1
- x
x2h+l(x._y.)
+
2 .y
2
.x +
+
x
y
2h-l
2h-l
y.(x2h-l
+
2 .y
por x+y es divisible
por
2 .y +
y
2h-l
2 .y
2h+l
2 (x-y)-+my]
y2h-l)
inductiva: x2h-l+yZh-l~(x+y) x
2h+l
2
(x+y)(x-y)+y [m(x+y)] = (x+y rí x
Luego, P(h+l) es divisible
EJEMPLO
P(h+l) es V
por x+y
+
:.
P(h+l) es verdadera
Se ha probado que P(l) es V
A
P(h) es V
+
P(h+l) es V
5. Demostrar' por inducción que la proposición dada es cierta -YntN l'
+
3' + 5'
+ ...•
+(2n-l)' = n·(211·-l)
Sección 7.3: Principio de Inducción Completa
Demostración.
503
.... +(2n-1)'=nZ(2nZ-1)
Sea P(n) = {nENI1'+3'+5'+ (1) Si n=l
•
P(l): (2-1)' = (1)Z(2-1)
~
1=1·
P(l) es V
(2) Para n=hEN, supongamos que la proposición: P(h): 1'+3'+5'+ .... +(2h-1)'=hz(2hz-1) es verdad~ra.
(Hip. Ind.)
Debemos probar que para n=h+1, la proposición: P(h+1): 1'+3'+5'+
.... +(2h-1)'+(2h+1)' = (h+1)z[2(h+1)z-lJ
es cierta
En efecto, sumando el ténnino h+1 a cada lado de P(h) se tiene: 1'+3'+5'+ .... +(2h-1)'+(2h+1)' = hZ(2hz-1) + (2h+1)' = {h+1)z(2hz+4h+1) = (h+1)z{2(h+1)z-lJ que es precisamente
la proposición
P(n) para n=h+1; luego, queda der.l0strado
la parte (2). (3) Conclusión: EJEMPLO
6.
Demostración.
Se ha probado que P(l) es V ~ P(h) es V
Demostrar por inducción que: .J1 1 n+1 3+2x3z+3x3'+ .... +nXj· = 41(2n-l)3 +3J, Sea P(n) = {nENI3+2x3z+3x3'+ (1) Si n=l
+
P(h+1) es V
+
\.
~n>-lEN.
.... +nx3n = ~{(2;1-1)3n+1+3J
P(l): (l)x3' = ~H2-1)3Z+3]
+
3=3
+
(2) Para n=h EN, supongamos que: h 1 h+1 P(h): 3+2x3z+3x3'+ .... +hx3 = 4{(2h-1)3 +3J es V.
P(1) ~s
tnt»,
l¡
ind.)
Debelilosprobar que para n=h+ 1, 1 a propos ic ión: P(h): 3+2x3z+3x3'+
h h+1 1 h+2 ... +hx3 +(h+1)x3 = 4{(2h+1)3 +3J es verdadera.
En efecto, su~ando el ténnino h+1 a cada lado de P(h) se tiene:
3+2x3z+3x3'+
h h+1 1 n+I . h+1 .... +hx3 +(h+1)x3 = ¡{(2h-1)3 +3J + (h+1)3 = t{(2h-1)3h+1+3+4(h+l)3h+1 = t{3h+1(6h+3)+3J
=
J
~{(2h+l)3h+2+3J
Luego, P(h+l) es verdadzra. (3)
Conclusión: Se ha probado que P(l) es V ~ P(h) es V
EJEMPLO
7.
Demostrar por inducción que: 111
j;J Demostración.
P(h+1) es V
+
1
+ 3x5
+
5x7 + ....
n
+ (2n-l)(2n+l) = 2n+1
Sea P(n) la proposición dada: (1) Para n=l
•
1 1 P(1): -,,~,.-,':",~~.-.-, = 2+1 +"31
=
1 "3 + Pt,l) es V
504
Capitulo 7: Inducción Matemática
(2) Poro n=h, supongamos 1
1
P(h); IX3 + 3x5
que la proposición: 1
1
5x7 + •••
+
+
Debemos probar que para n=h+1. 1 P(h+l}: lx3 t
1
3X5 +
h
=
(2h-1)(2h+1)
2h+1 ' es V.
(Hip.lnd.)
la proposición:
1 5x7 + ••••
1
1 + (2h-1)(2h+1)
1"1+1
=2h+j
+ (2h+1}(2h+3)
es verdadera. En efecto, 1
sumando el ténnino h+1 a cada extremo de Plh) se tiene: 1
TX'3 + 3x5
1 + (2h-I)(2h+l)
+ •••
+
1 (2h+1)(2h+.3) =
1
2Fi+I
1 +
(2h+1)(2h+3)
h(2h+3)+1 (2h+1)(2h+3) h+1 = 2h+3 Luego, se ha demostrado
(3) Conclusión:
m
que P(h+l) es verdadera.
Se ha probado
DEFINICIONES
que P(1) es V
RECURSIVAS
= i)
{(n,Y)I~f(n), ne~,
P(h+1) es V.
(Definiciones por Inducción)
Se dice que tenemos una definición
f
P(h) es V ~
A
recursiva
Q
de f(n) para una función
si:
f(l) está dada en términos de uno o más de los valores
i i) Para n>l, f(n) está expresada f(i} con
i
en tal forma que, dado cualquier
heN, f(h) esté unívocame~
te definida. EJEMPLO
8.
Detenninar
una fónnula· para
so del principio definida
recursivonente
de
f(n)
por:
i) f(l) ii) f(n)
Solución.
Por definición:
2{(1)
{(4)
= = =
f(n)
=
nf(n-1}
f(2) f(3)
en ténninos de n, haciendo
inducción matemática,
= =
=
1
=
nf(n-1), neN y n>1
2.1 = 2
=
6
4{(3) = 4.3.2.1
=
3f(2)
3.2.1
=
24
n(n-1)(n-2) •... 1
Núnero Que se conoce con el nombre de "factorial de n". Demostración (1) Poro n=1
por inducción: -
f(1) = 1! =.1, es verdadera.
u-
para la proposición
=
n!
Sección 7.4: Definiciones
Recursivas
. 505
(2) Para n=h. supongamos que f(h)=h! es verdadera. Debemos probar que para n=h+1
=
f(h+1)
+
En efecto. por definición: f(n+1)=(h+1)f(h) (3)
Conclusión.
EJEMPLO
+
f(h+1)=(h+1)h!
+
f(h+1)=(h+1)!
Se ha probado que: P(l) es V
9. Demostrar
(Hip.lnd.)
(h+1)!
P(h) es V
A
la ley de los exponentes: am.an
n). haciendo uso de la definición
recursiva:
(Hip.lnd.) P(h.l) es V.
+
am+f1
(respecto
a'=a an=a.an-l
Demostración. Sea P(n): am.an=am+n
+
P(l); an.al
+
m h m+h P(h): a.a = a
+
ni h+l P(h+l): a .a
=
ntN y n>l
am+l
=
am+l
(1) P(l) es cierta porque según la definición:
3
a
m+h+l
a.am+1-1
a.a~
(2) Si P(h) es cierta (Hip. Ind.). probaremos que P(h+1) es cierta.
En efecto:
(3)
am.ah+1 = am(a.ah+1-1) = am(a.ah) = am.ah(a)
am+h.a
= a(m+h)+l
am+(h+1)
Se ha probado que: P(l) es V
EJEMPLO
10.
A
(Hip. Ind.)
P(h) es V
Dada 1a defin ic ión:
(Def. Recursiva)
P(h+1) es V
+
i) f( 1)=25 ii) f(n)=f(n-1)+4
. n>l
Detemlinar una fórTTM.lla para f(n) y luego demostrarla por el principio de in ducción matemática. Solución.
Por definición:
+
f( 1)
fí2)
+ 4
=
25 + 4
=
f(3)
f(2)+4
(25+4)+4
f(4)
f(3)+4
[25+2(4)J+4
f(n)
=
25+(n-1)(4)
Demostración por inducción: (1) f(l)
=
4(1)+21
25+2(4)
=
25+3(4)
=
4n+21
=
25 • es cierta.
(2) Supongamos que f(h)=4h+21 es verdadera
(Hip. Ind.)
Demostraremos que f(h+l)=4(h+l)+21
En efecto. por defInición: f(h+l)=f(h+l-l)+4=f(h)+4=(4h+21)+4
(Hip.lnd.)
= 4(h+l)+2l • es verdadera (3) Conclusión. Se ha probado que f(l) es V
A
f(h) es V
+
f(h+l) es V.
Capitulo 7: Inducción Matemática
506
EJEMPLO
11.
Seo f:N .•. R una función tal que:
=
i) f(4)
ii) f(n+l)
15
=
2f(n)+1
Hollor el valor de f(lO). SOlución.
Por definición: f(4)
=
.•. f(S+l)
r. f(lO) EJEMPLO
12.
=
=
15
2'-1
f(5) = 2f(4)
.•.f(4+l)
=
+
1
=
2(2'-1)+1 = 25-1
f(6)
=
2f(S) + 1 = 2(25-1) + 1
f(n)
=
2f(n-l)+1
2 "-1
=
1023
=
2(2
Definimos por inducción f:N n [S, ma:
i ) f(5)
=
n-1
+m>
-1)+1
.•.
=
2'-1
=
2 -1
n
R en lo siguiente for-
15
i i) f(n+1) = of(n)+5
, n ~5
Hallar f(10) si f(S)=155. SOlución. Por definición:
2
Entonces: 50(30 +0+1)=155 Unica solución real: 0=2
f(5+1) = f(5)
=
of(5)+5 = 150+5
f(6+1)
=
f(7) = af(6)+5 = a(150+5)+5 =5(30'+a+1)
f(7+1)
=
f(S)
=
of(7)+5 = 50(302+0+1)+5
.•. (0-2)(30'+70+15)
=
O
.•.f(9)=of(8)+5=2(15S)+S .•.f(10)
=
of(9)+5
=
=
31S
2(31S)+S
=
635
EJERCICIOS: Grupo 48 En cada uno de los ejercicios siguientes. usar el principio de inducción matemática para demostrar que la proposición o fórmula dada es verdadera p~ ra cualq~ier número natural n. 1. n(n+1)(n+5) es divisible por 6. ~
~ 1
2.
4n_1 es divisible por 3. ~
~ 1
3.
4n 2 es divisible por 15. ~
~ 1
4.
2
+5 es divisible por 8. ~
~ 1
5.
32n+7 es divisible por 8. "in
~ 1
6.
n'-n es divisible por 7. ~
7.
3n'+15n+6 es divisible por 6. Yo ~ 1
2n
>,. 1
Ejercicios: Grupo 48
8.
507
32n+3 + 2n+3 tiene como factor el número 7, ~
~ 1
2n 9. 3 +2 + 26n+1 tiene como factor el número 11, ~ 10. 1 + 3 + 6 + ••••
=
+ ~(n+1)
~(n+1)(n+2)
11. 11 + 31 + 5" + ••••
+ (2n-1)1 = 3(4n1-1)
12. 1" + 2" + 3" + ••••
+ n"
13. 2' + 4" + 6" + ••••
+ (2n)" = 2n"(n+1)'
14. l' + 3' + 5" + ••••
+ (Zn-1)'
15. 1><2 + 2><3 + ••••
~ ~(n+1)1
=
17. 2><5 + 3x6 + 4><7 + •
1 1 1 + 2><3 + 3><4 + • • • • + n(n+1)
19.
1><3 + 2><4 + 3><5 +.
20.
1><2 + 2><2" + 3x2' + • • • . + nx2n
21.
1><1· + 2><'· + 3x5" + ••••
22.
1><3 + '><3" + 5x3' + 1
1
1
=
• • + (n+1)(n+4)
W
1
2><4 + 4><6 + 6,,8 +
24.
Demostrar por inducción
=
n n+1
1
=
(n_1)><2n+1 + 2
+ n(Zn-1)"
= ~(n+1)(6n"-2n-1)
+ (2n-1)><3n
por inducción,
re enteros positivos:
2
"hIelf , -V-x,yeR+
2n-
i) al = a ii ) a
26.
(n_1)><3n+1 + 3
que: ·xn + yn >--~n,
Haciendo uso de la definición: demostrar
=
1 n-1 + "'Zn"""( 2,...n:...-""2 .•.. ) = 4n ,~~
[Sug. Use (xk-y k )(x-y) >..O J 25.
3(n+4)(n+5)
+ n(n+2) = 4
1
23.
.•..
= ~(n+1)(2n+7)
• + n(n+2)
18.
1
n1(Zn"_1)
+ n(n+1) ~ 3(n+1)(n+2)
16. 1><3 + 2x4 + 3><5 + • •
1
=
~1
respecto
n
=
a.a
~
,ncM
y.n>1
a n, las leyes de los exponentes
(1)
(am)n
=
amn
(2)
(ab)n
=
a~n
pa-
De las siguientes
afirmaciones. cuáles son verdaderas? (1) ~E:., n1-n+17 es un número primo.
(2)
~c.,
n~1 : 1 - 2"
(3) Si t:.
+
t
31
-
41 + ••.•
1
+ (_1)n- .nt
R está dada por t(1)=1 y t(n+1)=f(n)+8n
=
-,
(-1)
~(n+1)
• t(n)=(Zn-1)1.
Capítulo 7: Inducción Matemática
508
2:7.Sea f:H ~1.
+
R definida inductivamente por: 1'(1)=1 y f(n+1)=~f(n),
"\'nEH,
Según esto, determinar el valor de verdad de las siguientes afirm~ 80 (2) f(5)-f(6) = 81
(1) f(n) = 15(~)n-1, ~EN
ciones:
(3) f(3)[f(3) - ~xJ = f(5) 28. Sea f:H
+
+
x=14
R una función definida inductivamente por f(5)=17 y
f(n+1)=2f(n)-1. Hallar el valor de 3f(1)+2f(3) 29. Sea f:H
+
Z una función definida inductivamente por: f(0)=-1, f(1)=2 y
f(n+1)+f(n-1)=f(n), n>'1. De las siguientes afirmaciones, cuáles son ver daderas?
(1) 1'(8)+1'(6)= f(1)
(2) f(74)+f(97) = 5
(3) Si r es el residuo de dividir n entre 6
+
f(n)=f(r)
30. Sea f:Z+ + R definida por: f(1)=4, 1'(2)=4, f(n+2)=4+f(n). De las afirm~ ciones siguientes, cuáles son verdaderas?
(1) f(8)=16
(3) ~EZ+:
(4) f(95)-f(75) = f(20)
f(n) es múltiplo de 4 .
(2) f(35)=68
31. Sea f:H + R definida inductivamente por: f(1)=2, f(2)=3 Y f(n+1)+f(n-1)=f(n), para n~1. Hallar f(87)-f(124).. 2f(n-1)-1 R definida inductivamente por: f (O )=1 Y f () n 2f(n-1)+5' 2f(n)+1 gen) Considerar también: gen) = f(n)+1 ' ~EH. Hallar ~
32. Sea f:H ~EH.
33. Sea f:H
+
+
R una función definida por: 1'(1)=1, f(n+1)=f(n)+8n, hallar:
f(n+1 )+f(n)+2. 34. Sean a,bER y sea f:H
+
R definida inductivamente por f(1)=a, f(2)=b y
f(n+1)=f(n)-f(n-1). Hallar el valor de f(65)+f(75). , 35. Se define: f(1)=1 y ~EZ+=H:
f(n+1)=f(n)+(n+1). Hallar f(n+2).
36. Se define f:H + R por inducción:
i) f(1)=c+d
ii) f(n+1)=c+f(n)
Hallar f(31). 37. Demostrar por inducción que:
21
+ Cosx + Cos2x + . • • . + Cosnx __Sen[ (x/2)(2n+1) J 2Sen(x/2)
[Sugerencia: Usar la identidad: 2CosxCosy = Sen(x+y)-Sen(x-y)]
*
Sección 7.5: Sumatorias
ID
509
SUMATORIAS En matemáticas
es
ente tratar con sumas de muchos
TiUly fl
tales como:
1
2
+
+ 3
, +
+
11 +
Para facilitar
+ (2n-1) + n1
31 + .•.•
la escritura de
ténninos,
+ n
:has
introducimos
Sll1lOS
una notación
110lll!!
da signa (EJ. Así tenemos que: n
2;i=1+2+3+ .... i=l n I (2i-1) = 1 + 3 + 5 + i=l n i1 = 11 + 21 + 31 + i=l
+n
....
+
L
+
(2n-1)
n1
En genera 1, s i m y n son en teros ta 1es que rn
, F(n)
son números reales, entonces: n
L
= F(m)
F(i) i=m
+
F(m+1)
+
En esta fónnula, el segundo miembro
F(m+2)
y así
i por m+1 en F(i)
timo ténnino reemplazando
+
F(n)
es la sunc de (n-1i1+1)ténninos, el pri-
mero de los cuales se obtiene reemplazando plazando
+ .•.
i por m en F(i), el segundo ree~
sucesivamente,
hasta que se obtiene el úl-
i por n en F(i). Los números m y n se llaman lím!
te inferior y superior de la Sll1la,respectivamente.
El símbolo arbitrario
i
se llama índice de la suma. 7
Por ejemplo:
L F(i)
= F(3) + F(4) + F(5) + F(6) + F(7)
i=3
+
t
7
L
31
i1
+
41
+
+
+ 51
+
61
+ +
71
i=3 Otra fonna de definir
una sumatoria y que es de mucha utilidad para demos-
traciones por inducción matemática, n
L
F(i)
i=l
=
es la siguiente definición
{F(
sin
1)
n-1 F(n) +'
I F(i)
i=l EJEMPLO
1.
Demostrar
que:
1 + 3 + 5 + . . . • + (2n-l)
=
n1
, si n>
= 1
recursiva: (1)
Capítulo 7: Inducción Matemática
510
n
Sea la proposición:
Demostración.
P = {nclYj~ (2i-1)
1
(1) Para n=l
¿: (2i-1)
P(l):
+
= nO,
i=l = (1)1
2(1)-1
+
= 11
1
+
=
1
i=l
Luego, P(l) es verdadera,
es decir: 1tP h
(2) Para n=h, supongamos que P(h): ~
h1
=
(2i-l)
(Hip. 1nd.)
i=l
la proposición:
Debemos probar que poro n=h+1, h~
¿: (2i-1)
P(h+1):
= (h+1)1 es verdadera
i=l En efecto:
P(h+l):
h~ ~ (2i-1)
h
L (2i-1)
= 2(h+1)-1 + 2h+1 ; h1
= Luego, P(h+1) es verdadera, (3)
Conclusión.
EJEMPLO
2.
n
Para n=l
(h+1)1
A
P(h) es V
¿: 1=1
1 __ 1 i(i+1)
P(l).
"
P(h+1) es V
+
= n+1
i(i+1)
n
+
(Hip. 1nd.)
n
1
P = {nENj?= i(TiTj = n+1' 1=1
Sea la proposición: .
(1)
=
n
1
¿ ---
que:
i=l Demostración.
1)
es decir, (h+1)tP
Se ha probado que P(l) es V
Demostrar
(Def·
i=l
i=l
1_ - 1+1
Luego, P(l) es verdadera.
=1..
1_ 1(1+1)
+
__
+
2
-4- =1. 2
2
h
(2) Supongcmos que poro n=h, P(h):
? i(i+1)1
h
(Hip. 1nd.)
= h+1 ' es V.
1=1
h+1 Probaremos que para n=h+1, P(h+l):
?=
1
i(i+l)
=
h+1 h+2 ' es verdadera.
1=1
h+1
1
¡:: i7T+1J
En efecto:
h
1 = (h+1)(h+2)
I~
+ ~
1 (Def. 1)
i(i+1)
I~
(h+1)~h+2) + h~l h(R+2)+1 (h+í)(h+2) (3) Conclusión. EJEMPLO
3.
Demostrar que:
.
¿ (-!..) i=l 21
Demostración.
h+1
=11+.2
Se ha probado que P(l) es V n
Sea la proposición:
(Hip. 1nd.) +
A
P(h+1) es verdadera.
P(h) es V
P(h+l) .es V
+
= 2 _ n+2
z" .n.
P = {nENj ~ (...;.) = 2 -~, i=l 21
2
z"
'-'
Sección 7.5: Suma/arias
(1)
511
.•. P(1):
Para n=l
1:.~):: i=l
(2)
1.
la proposición:
E (-f)
=: 2 - h:~ , es verdadera. h+1
i L: (-,..) =2
h~ i ,-.(-.-)
la Def·I):
h+l _h 1'"
=
i=l 2'
z'+
= (3)
Conclusión.
EJEMPLO 4.
Demostración.
(1) Para n=l (2)
Se ha probado que: P(l) Demostrar que:
n i ~Ln("'1) i=l 1+
.•. PO):
es V
1 i ~lLn(i+l)
=
es verdadera.
.•. P(h+l) A
z·
P(h) es V
.•. P(h+1) es V
1
= Ln(-;r) n
P = {ntNl
Sea la proposición:
n-z
h+l _h 1 + (2 --:h)
z·+
i=l Z'
h+3 2 - ~+1
1 ' es verdadera
_h
~ 1 ~(-:-)::
z·+
100.)
h+3
-
i=l ZI (por
(Hip.
z:
i::1 2
Probaremos que para n=h+1, P(h+1):
En efecto,
v.
Luego, P(1) es
2'
Supongamosque para n=htN, P(h): .
.•. 21 =:
2 - 1;2
n.
1
L Ln(~)t+
= Ln(-l)}
n+
i=l
1
1
Ln(I+i)
.•. Ln("2)
=
1
Ln(Z)'
P(l)
es V
Supongamosque para n=heN, la proposición: h.
P(h):
1 :: Ln(hl)
L: Ln(~) ir1 1+
, es verdadera
(Hip.
lruis )
+
h+l Probaremos que para n=h+l,
L: Ln(h12)
P(h+1):
En efecto:
h+1. ¿Ln(""'!"') i=l 1+1
=
h 1 Ln(..!:-) h+2
h+1 = Ln(h+2) (3) Conclusión.
,
es verdadera.
+
i=l h . + LLn(..,.!...l) i=l 1+ 1 + Ln(h+1)
Se ha probado que: P(l)
EJEMPLO 5. Demostrar que il/1&zt:
i:;
{De]';
1
= Ln(h+2)
es V
A
Cos(2i-l)x
.•. P(h+l)
P(h) es V
es V.
.•. P(h+1) es V
:: s;~nx
enx
i=l n
Demostración.
Sea la proposición:
P =
{na+1
¿: Cos(2i-l):r
i=l
::
1
(1) Para n=l
.•. P(l):
L:
Cos(2i-1)
i=l
Luego, P(l)
es verdadera.
:: ~ ZSenx
1)
.•. Cos.r:: Cos.r
~l
enx
512
Capitulo 7: Inducción Matemática
(2) Supongamos que para n=heZ+, P(h):
h . Cos(2z-1)x 1=1
h+l Probaremos que para n=h+1, P(h+l): . En fecto,
h~ LCos(2i-l)x i=1
P(h+l):
Sen2hx = -?-, es verdadera _Senx
¿
L C,os(2i-l)x
=
i~
es V.
sen~~h+l)X enx
h -r L.Cos(2i-!)x i=1
= Cos{2(h+1)-1)x
Sen2hx
2SeiiX
= Cos(2h;'C+x) +
(Def.
(Hi p . 100.)
_ 2Senx(Cos2hxCos;x:-Sen2hxScnx) 2Senx
+ Sen2hx .
_ Sen2xCos2x + Sen2hx(1-2Sen"x) 2Senx
(3) Conclusión.
=
Sen2xCOs2hx + Sen2hxCos2x 2Senx
=
sen~~z~)x
Se ha probado que P(l)
es V
~
=
Sen(2hx+2x) 2Senx
es verdadera
P(h+l)
es V -
P(h)
A
P(h+l)
es V
EJERCICIOS: Grupo 49 Demostrar por inducci6n matemática cada una de las siguientes f6rmulas: 1.
2 + 5 + 8' +
2.
1x3 + 3><5+
1"
1+n) + (3n-1) = 4(3n ¿
n" + (2n-1)(2n+1)
2"
111
3. 1X4 + 4x7 + 7x10 4.
5·
1 + (2n-1)x3n
1x3 + 3x3' + 5x3' + .••• n
L (a+(k-1
id]
n(n+1) 2(2n+1)
+ • • • • + (3n-1)(3n+1)
= 1(2a+(n-1
)d)
=
=
n 3n+·1
(n_1)x3n+1~3
9.
k=1
6.
n
L.is
nZ
=4'(n+1)'
n
10.
2 + (n-1).2n+1
i=1
1=1
7.
.
L i.2~ =
11.
n ".
L.. ~.X
i-1
=
1=1 8.
12.
l)
nx n+1- ( n+1) )Cn+1 (1-x)'
n 2k.¡.1 = L -.,..---
k=1 k'(k+1)Z
n(n.¡.2) (n+1 )Z
• Sección 7.6: Propiedades de las Sumatoria o
13.
J. Seo(2i-1)x
La(r1-
16.
o ¿(ix)i! i=1
.10 )
i=1
2Seox
o
15.
o
1-Cos20x
~",1 14.
513
20
a(~) r - 1
• rl1
.
L (-1)1(2i+1)
17.
= x[(o+1)!-1]
=
= 20
i=1 .
¿ 1.3
1
1
18.
-
i=1
ID
* PROPIEDADES DE LA SUMATORIA n
S.l:
c = cn ,
L
c es
donde
una
constante.
c
c
i=1 n
En
Lc
efecto,
= c
+
+
c
+
+ ..••
+
c = nc
i=1 n
S.2:
L cF(i) =
n
c
¿F(i)
i=1
i=1 n
En
L cF(
efecto,
=
i)
cF(1)
+ cF(2)
= c[F(1)
+ F(2)
+ cF(3)
+ ...
+ cF(n)
i=1 + F(3)
+ •••
+ F(n)]
=
n cLF(i)
i=1 n
S.3:
L [F(i)
n + G(i)]
¿F(i)
i=1 En
n + ¿G(i)
i=1
i=1
efecto:
n
L [F(i)+G(i)]
[F(1)+G(1)]
+ [F(2)+G(2)]
[F(1)+F(2)+
...
+ .•.
+ [F(n)+G(n)j
i=1 n
L ru¡ S.4:
L
[F(i)
=
- F(i-1)]
+ [G(1)+G(2)+
...
+G(n)]
n
L. G(i)
+
i=1 n
+F(n)]
i=1 F(n)
-
F(O)
i=1 En
efecto:
n
¿ [F(i)-F(i-1))
=
[F(1)-F(Q))
+ [F(2)-F(1)]
+ [F(3)-F(2)]
i=1 + [F(n-l)-F(n-2)] Efectuando
las simplificaciones
+ [F(n)-F(n-1)]
correspondientes.obtenemos:
+ ••.
!T
Capítulo 7: Inducción Matemática
514 n
í:[F(i)
=
- F(i-l)]
F(n) - F(O)
i=l n
S-.5:
¿ [Ft
=
i+l ) - Ft i-L)¡
F(n+l)
+ F(n)
- F(l)
- F(O)
i=l (Nota. A las propiedades
cópicas S.6: S.7:
S.8:
= F(n+l)
teles-
» m
i=l n LF(i) i=l
> 1
Si n->m>l
L ru¡
+
m L:F(í)+ i=l
n
L
F(i)
i=m+l
n-m+l
n L.F(i)
+
L
i=m S.9:
S.5 se les denomina propiedades
n
n+l ¿F(i) i=l Si n
y
S.4
de la sumatoria)
F(i +m-L)
"
i=l
Cambio de subíndice: n+h L. F(i-h) i=l+h
n
L. F( i)
a)
i=l
b)
n
n-h
i=l
i=1-h
L F(i)
L
F(i+h)
El volor de una sumatQ.ria no se altera si al argumento F(i) se le re~ ta,
o se le s~na, (b),
(a),
un entero
ma o se le resta dicho entero, rior e inferior
DI
FORMULAS
h; si simultánear.lente
respectivamente,
se le su-
a los subíndices
su~
de la sumatoria. IMPORTANTES
Q
DE LA SUMATORIA
n
F.l:
Li=
~(n+l)
i=l Demostración.
Aplicando
sumatorias
a la identidad:
i'~(i-l)' = 2i-l
se tiene: n
L i=l
n' =
n
L:
nL(Op
2¿
i - n
i'
=
¿ (2i)
-
i=l
-
i=l F.2:
+
i=l
n
+
n
n
n
¿ (2i-l)
(í'-(i-l)']
L (1)
(S.4,
i=l
n L: i = !!(n+l) i=l 2
~(n+l)(2n+l)
i=l Demostración.
De
la identidad:
i'-{í-l)'
n L{i'-(i-l)']
n ¿-(3i'-3i+l)
i=l
i=l
= 3j1-3i+l,
se tiene:
S.3)
Sección 7. 7: Formulas Importantes
n
Según S.4:
=
n'-(O)'
n
3E ¡1 - 3r; ¡
..• n' =
1 -
1=1 n
3 ]'l(n+1)
3¿ i
- L i = ~(n+l)(2n+l) 1
+ n
1=1 F.3:
n
n
1:(1)
+
i=1
1=1 n
515
de la Sumatoria
i=1
ni = -:; (n+1)1
!:i' i:=l
¡'-(j-1)' = 4i'-6¡I+4i-1,
De la identidad:
Demostración.
n
E nv-u-u:
E (4i"-6i +4i-1)
J :
l
i=1
1=1
n - n' ..•n' =
n
i=1
n - L(1) 1=1 n
n
4E i'
n + 4r;1
- 6Lf1 i=1
41>3 i=l
(O)':
~ ¡·s +2n(0+1) - o ..• .Lo.
- n(n+1)(2n+1)
F.4:
L
l' : 1=1
l
=4n ( n+1) 1
i:1
i=l n
se tiene:
n
F<.~n+1)(6n'+90 ffl-1) I
.
La demostración se deja como ejercicio • (Sug. Partir de: ¡"-(i-1)" = 5¡'-10i'+10il-5i+1)
Q
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS n
1.
EJERCICIO
L (31 -31+1)
la f6rm.tla para:
Hallar
1
i=1 n
Solucl6n.
n
Eae-u-n = 3E i=l
n il
-
i=l
=
o
r:
o
o
3.](0+1)(20+1)
- 3. (0+1) +
2
= ](n+1) (2n+1)-3J EJERCICIO
Z.
40 Sí A = Ef(iJ
Sea {:N .•..R la runci6n y
B
i=l Solución.
=
(S.3 y S.2)
3í: i + (1) j:1 í=l
=
+ n
definida
n
(F.2,
o'
por:
f(:e)
sr-IOOO
li+9
40 L,f(i-1),
halla,.
el valor
de A-B.
i=l A-B
=
40
L (f(i) i=1
- {(i-1)]
• Po,. S.4:
F.1 Y
A-B
=
!(40)
- feO)
s.u
Capitulo 7: lnduccián Malemáti~a
516
Luego, A-B
=
70~0 + 1O~O
=
40~0
4
EJERCICIO
4
L (ak+b)=10
DeteTTninar a y b si:
3.
L (oi+b)=14.
y
k=O
1
Solución.
¿: (ok+b) =
¿; tak-b)
o(O)+b +
k=O
444
a ¿: i
L (ai+b)=14.... i=1
+
i=1
~ta. En la lista
i-1
L: b =
4.
¿: b k=l
10. de donde:
4 a["2(4+1)]+4b=14
14"
2a+b=2
(1)
5a+2b=7
(2)
0=3 y b=-4
de fórmulas
importantes de la sumatoria se omitió
geométrico,
1 _
cuya demostración
la fór-
queda como ejercicio.
,.n
=O(-¡:;:-),,.-I1 n
EJERCICIO
=
+
í=1
mula de la serie
:¿..
L: k
+ a
k=l
b+a[1(4+1)]+4b
Luego, de (1) y (2) obtenemos:
,L..ar i=1
= b
k=1
Según F.l y S.l, para n=4:
F.5:
i=l
444
Calcular:
.
L: (--.;.) 1
i=1 2
Solución.
Según S.4:
n.
.
Lr~--·I i=1 Z' 2,-1
1 +-. ] Z,-l
t
(-!)
i=l 2'
EJERCICIO
5.
Por fracciones
Entonces:
-,:--:-:::-:-'73::-:---:-:(3i+2)(3i-1)
parciales:
coeficientes:
(ZB-A=3)
t
.3 1=1 (3i+2)(3i-1)
Vemos que si: F(i)
=
n
ífí
(3i+2)(3i-1)
de donde: 3=A(3i-1)+B(3i+2) Identificando
_ T
n 3 L: ---:;..--
Calcular:
i=l
Solución.
1 - (1/2)" + 1 - (l/Z)
1/(3/+Z)
3
+ n
=
-- -A.. 3i+Z + --1L 3i-1
(ZB-A) + (3A+38)i
(3A+3B=0)
-
A=-1,
B=1
:f:r-_l -+-_1] = -tr-L __11 i=I
L
3i+2
F(i-1)
3í-1
=
1/(3i-1)
i=11Ji+2
3i-1J
(F.S)
Sección 7.7: Formas Importantes
Luego, por
la propi~dcd
telescópica
n
L:
de la Sumatoria
3
i=l
517
S.4,
se
6.
Hallar
3n
1 1 - ( 3n+2 - 0+2)
(3i+2)(3i-1)
12
EJERCICIO
tiene:
el valor
40
2:: [2:
de S =
2(3n+2)
(,12k+1 - 12k-l)1 (2i-5)
i =3 k=1
Solución.
F(k)
Luego, por S.4:
12 S '-' ). [12(40)+1 i=3
Dado que el la cual
límite
inferior
tenemos:
S
z:
86
es
,12k+1
12-3+1
i+m-1
i+3-1
= 10
(2i.,5)
.'1
F(k-1)
12k-1 12 L8(2i-5) i=3
- 12(O)+l}(2i-5)
(límite
la propiedad
S.8 pera
superior)
(argumento)
= i+2
10
10
i=3
+
debemos cpt rccr-
i=3>1,
n-m+1
12
+
=
En el corchete:
L: [2(
i+2)-5]
8
i=l
L (2i-1)
8[2. 1~(lO+1)-10]
coa
i=1 n
EJERCICIO
Hallar
7.
una fónnula
L Sent
para:
Z i=l )»
i=l Solución.
Partir.lOs
de
(A-a)
2
=
identidad:
argumento de
Como el (A+B) 2
la
(2i-I)X} .
CosA-CosB = -2SenfA;B)se,,(A;B)
la sur.mtoria
de donde: A=(2i+1)x
=
Cos(2i+l)x-Cos(2i-3)x
y B=(2i-3)x
-2Sen(2i-1)x.Sen2x
n
n
L: [Cos(2
i +1)x-Cos( 2 i -3)x]
=' -2Seru:.
si:
F(i)=Cos(2i-1)x
según
+
la propiedad
Cos (2n+ 1 ix-Cos (2n-1 ix-Cosx-Coex a producto
los
= -2Sen2x
S.5,
L Sen(2 i -1 ),x i=l
y F(i-1)=Cos(2i-3)~
se tiene:
n = -2Sen2x.L:Sen(2i-1)x i=l n = - 2Sen2:.:: Sen(2 i -1 rx: i=I
GOS primeros n
2Cos2nxC.JSI-2Cosx
F(i+1)=Cos(2i+1)x
telecópica
Cos[2(n+1)+l]x+Cosí2n-j)x-Cos(2-1)x-Cos(-x)
Transformando
2: Sen( 2 i -l)x i=l
i=l Ahora bien,
+
hacemos:
2:.:
Luego, en (1):
Entonces,
(2i-1)~,
es
(1)
L
téTTninos se
n ¿ Sen(2i i=l
tiene: -Lrx
= 1-Cos2ru: 2Seru:
,
518
Capitulo 7: Inducción Matemática
Sean A y B rtÍmeros enteros
8.
EJERCICIO
A
A
L: (P -"3
-1)=1944
A Z.
=
A l(A+l)(2A+l)
_+1 =
.•• ~(A+l)[(2A+1)-11 B
i
-3 - 3) =
I~l
L (2i-l)
; hallar
A+B.
. - B == 1024 -
2
i=l
A - (J)A
lA - Y2(A+1)
o
, de donde: A=18
1944
B .•. 2. (B+l)
1024
que si:
i=l A
o
(1 'l
tales
¿ (2i-l)=1024
y
i=l
Solución.
y positivos B
o
Bl=1024
8=32
-
••• A + B = 50
9.
EJERCICIO
+ 2-k 2k Dados no:Z ,x=b ,y=a ; hallar
ey
D tales
que:
n
L:
(Log;yp-T..,ogyb)~ == 1(4n+1-l)C-2D. k=O
Solución.
L.6: S
Por la propiedad
n
k
= ¿ (2
-k-
Logba - 2 -°Lag b)l
a
k=O
n
= L. (4kLog~él
.•.S
n
= (¿ 4k ) Logba
- 2 + [kLog~b)
k=O ==
(1 - 4
+
(1-(1/4)
b
= 1(4"+1-I)T..,og~a
- 2(n+1) +
k=O
a
+ 1(4-n)(4n+1_1)Log~b
-n.
4
COmparando con la relación
Logab) - 2(n+1)
dada,
NOTACION DE-PRODUCTO Dada una sucesión
2l: (1)
)Log1b
01-1/4
1 n+1 • = j{4 -l)(Logba
el producto de
nN
)Log1a _ 2(n+1)
1-4
al
_
k=O n~
.•. S
n
8e deduce que: C=Logba+Log~b
DE LOS TERMINOS
de números
todos estos
reales:
F(l),
DE UNA SUCESION
F(2),
F(3),
nún~ros se denota par:
n
TT F(i) =
F(1).F(2).F(3)
••..
F(n)
i=l
y se lee: "producto
Ejemplos:
de los números F(i),
desde
i=l
hasta
4
(1) llr(3i-2) i=l
==
[3(1)-2][3(2)-2][3(3)-2]{3(4)-2}
=
lx4x7xl0
== 210
y D=n+1
i=n".
•••
W
, F(n);
• 519
Sección 7. 9: Propiedades de la Productora
n
TT (i) =
(2)
1><2><3><4><••••
(Definici6n de factorial)
>
ii'1
n
TI (-i)
(3)
(-1)(-2)(-3)
=
(-n)
••••
n (-1) nl
i=1 n
IIJ
PROPIEDADES
DE
TI F (i) i=1
Las propiedades del praducto de los témainos de una sucesión son lII.l)I similares a las propiedades de las~umatorias. por lo que enunciaremos cada una de ellas y su demostraci6n se deja como ejercicio para el lector. n
n
P.1: TIc ~ en
i=1 n
(TfF(i)f'
i=1 = CnnF(i) i=1
i=1 n
=
P.3: TIF(i).G(í)
i=l
i=1
n+1 P.6: TIF(i)
n
P.2: TTcF(i)
n
= F(n+l)[TTF(i))
i=1
n
n
i=1
n-1
n
P.7: TIF(O = TTF(i-l) i=1 i=1
TIF(i). TIG(í) i=1 i=1
TI 21.iL = !1!!l i=l F(i-1)
P.4:
n
=
P.5: TI(F(i)f'
n P.B: ¿LogbF(O
=
i=1 .
F(O)
n
Logb[lTF(O] i=l
n
n
EJEMPLO
Detemlinar una fórrtlJlapara:
1.
TI (-i)
a)
b)
i=1
i=1 n
Solución.
a)
TI (-i)
TT (-1)1
i=1
i=l
n
b)
TI i(i+2)
n
fT i.
=
i=1
i=l
=
n
n
=
TT
n (11+20
n
(-1).
i=1
TT i
(P.3)
i=1
=
(-1)n(1.2.3
n)
==
n (-1) n!
(Def. de factorlal)
(P.l)
n
n (i+2)
(P.3)
i=l
(Def. de factorial)
n!(n+Z)I 2n+1
",uoLO2.' EJr..c.
TI (1 -1(Z 1)
n-- s t I'al'que: .,.."•.•
n+l • ..•.•• .Ilo.EZ+. = 2n+l
k=2 DEmostración.
Sea la proposición: P
+ 2n+1 = {h¡zl
TT(1
-+r
k
k=2 (1) Para n=l
+
3 P(1): TT (1 k=2
-
1 '-f") k
1+1
= -2+1
+
(l
1
- -)(1
4.
2n+11}
)=
n+
1
- -)
9
= -23 -
.
520
Capitulo 7: Inducción Matemática
Luego, P(l) es verdadera. (2) SUpongamos que para n=htZ+, se cumple 2h+1
h+l = Zh+1
1
TT (1
P(h):
la proposición:.
- -)
(Hipótesis lnductiva)
t
k=Z
k
2h+1
TI (1 -1...)
Probaremos que para n=h+l se cll!1ple,P(h+l):
k=2 2h+3 En efecto:
TI (1
1-)
-
k=:Z
1 [1 - --][1
=;
---)
(Zh+3)t
k'
(2h+3)"
h+2
EJEMPLO
3.
2"
y
Siendo x ::---1
1+~+
Demostrocioo.
n
A = L:LogISec(2
k
k=O Pero:
Sec(Zkx)+l
k=2
P(l) es V A=
A
1](Zh+l h+l)
P(h) es V
p::
L:n LoglSec(2 kx)+ll,
CoS(2kx)
I = rrnI2CoS (Zk-lx) k
k X) +1
probar que A=O
I
(1)
ZCos> (2k-1x) = CoS(2kx)
Cos(2
' se tiene:
x)
Ir!Cos>(X/Z)] r ZCOS'X] rZCos (ZX)] L Cosx lCos(2x) L Cos(2'x) 2
.
n+ll" Cos (x/Z).Cosx.Cos2x.
=
2
=
2n+l Cos(x/2) n Cos(2 x)
I
II
[Zcos>(2n~lX)J Cos(2 x) n-1 . . . . Cos(Z n Cos(2 x)
Cos(x/Z).Cosx.Cos2x .....
X>I
Cos(z-n-1x)
¡
= 2n
=
Cos(x/2) 112Sen(xI2)CoS(X/Z).CoSx.CoS2X ... Cos(~;;::)Sen(xI2) .
I Cos(~x)Tan(xI2) zn
(Hip. lnd.)
~ P(h+l) es V
1
k=O
(P.6)
k"
k=O
1 + Cos(2kx)
Cos(Zkx) Luego, desarrollando: P
1 --)
r(2h+3)(2h~'1)](l}.:!i) [4(h+l)" 2h+l
n ;;::)+11= LogTIISec(2 k=0
+ 1
1
(Zh+Z)"
h+2 2h+3
P(h+l) es verdadera.
= 2h+3
(3) Conclusión. Se ha probado que:
nO
(2h+2)1
r4(h+2)(h+l)J [
=
Zh+l
1
1] [(2h+Z)
(2h+3) [ (2h+3)t
k"
IISenx.cosx.CoS2X ...•
Cos(2n-1x)!
I
I
(P. S)
• Ei~rr;icios: Grupo 50
p
521
ICos(Z¡x).Tan(x/Z)112senx.cosr.cos2x .•• COs(2 ICOS(Z¡x).Tan(x/Z)I Sen2(Z¡-lx) ICos(2"x).Tan(x/Z) Ilsen(Z¡x) Tan(z¡x)I ..n+l x..n x = . Pero: x x.z = "2 s: Z = • -"2 I 2n-1
=
n-l xJI
1
p
1 =
I
2" ...•.
+
Tan (xtz) tueao, por ser suplementarios: Tan(Z¡x)
= 1-11 =
Entonces: P
1
=
+ ;¿
f)
Tan(.lI-
1 . Por tanto, en (1): A
I
11
=:
x:
••••.
n
X
-Tan(x/2)
= Log(P) = Lag(l)
=:
O
EJERCICIOS: Grupo 50
En los ejercicios
del 1 al 12, calcular
o hallar
~~a f6rmula para las
indicadas.
41
1.
1:('/3i-1
n
7.
'/31+2)
i=1 2.
i:.
i=1 n
(10i+1 _ 10i)
8.
i=1 100
}.
9.
Cos(2k-"¡)x k=1
¿; Cos2(kx) k=1
n
L:
(k'+2k+1) k=1
10.
n 2' ECos 1.(2x) k=1
11.
(k+2) • Ln k'+71<+12 k=1
12.
L (kx)k!
n
5.
E
n
E_1_
1=1 1(1+1)
4.
L (i.2i)
L (n_I<+1)t k=1
E [; n
6. 32
+
52
• +- (2n+1)"
+ 71 + •
k=1 1}.
n Demostrar que: L(n-i+1)' i=1
5
14.
Si
=
¿i' i=1
5
¿ (ai+b)=7
y
i=-1
15.
n
L (a1+b)=20,
" Sea f:1I .• Runa funci6n definida 60 60 Si A = Ef(i) i=1
hallar
a-b ,
i=1
y
B
=
Ef(i-1) i=1
por r(x) =
-==== 2x'-200
13x+16
; hallar
A-B.
J
sumas
Capítulo 7: Inducción Matemática
522 n
16. Hallar el valor de n, si
k
L2
; 255.
k=O En los ejercicios del 17 al 20, hallar el valor de la iumatoria dada. 4
15
17.
L3(.1}2k+3
k=3 5 18.
L
2
i=2 k=O
10
k [E (_1)k+1(k_i+2)]
i;8
10 12 z:; (Ak-B};22 Y E(Akk;O k;3
k=O
11 16B)=62, hallar A+B.
4
22. Si se cumple que:
i
E (L>Z)
20.
k;1 i=1 21. Si
i
¿(L>')
19.
L (a'i-ai)
5
L (ak+6),
;
i;2
hallar: E=3az-7a-10.
k;3 20
i) a.;h
23. Se define por inducción:
• Hallar E =
n+1 ii}
La,
i;O ~
i=1 ~
n h +
La,
L>'
i=O ~
n
24.
Si
L (i'- ~ h1
20 25. Si ¿kx k;1
3
- .i) 3
72, 'hallar el valor de n.
25
20
k=5
k=2
L: (2x-3) - L [(k-3)'-(k:-4)'] = O,
-
hallar x.
n 26. Sea f:R .•R definida por f(x)=x·+2x+1. Si ¿ [f(i+1 )-f{i)] lar el valor de E=2n'-n. 27. Determinar a,b
y
c tales que la igualdad dada sea cierta: + (3n-2) = an'+bn+c.
1 + 4 + 7 +
28. Hallar el número de términos necesarios para que la
,
2 + 6 + 10 + Si Sk
n
L> i=1
entonces hallar: n
30. Probar que:
SUIIa:
sea 12,800.
k
29.
=143, calc~
i=O
n
i=2
L:s • k;1 k
n-1 n 1 )i-1 (1 + i-1 =---
, -Yn>2
(ri-j ) !
2n
31. Demostrar por inducci6n matemática:
L
k=n+1
*
(f)
2n (_1)r+1 .lffi~1 [; -r-' r=1
·, Sección 7.10: El Binomio de Newton
lIl!J
523
EL BINOMIO DE NEWTON
Antes de enunciar y demostrar el teorema del binomio es necesario iD troducir algunas notaciones que son muy frecuentes en el enunciado del teorema. Definición
El factorial de un núnero entero y positivo
7.1
que se denota por n!, nt
1.2.3.
O!
1
se
n,
define como:
n, si n>l si n=O
COmo el factorial de n es el producto de una sucesión de números enteros de' 1 hasta n , por analogía con la notación de SI.I1lOS, podemos usar la notación para representar productos, esto es: n
n!
.=
rr i
= 1.2.3 ....
(n-1)n
i=1
5
Por ejemplo:
51
= TI
i
1.2.3.4.5 = 120
i=1 o En
bien: general:
51
=
5.4.3.2.1
=
5.4!
I
=
5.4.3!
=
120
"1 ;::"(n-1)!
Es decir, el factoria! de un nÚi¡ero es igual al producto por el factorial del anterior.
de
dicho nlÍllero
Definición 7.2 Sean n y r núneros enteros positivos tales que ~
ft
r
t;J "'--
ni
r!(n-r)!
Por ejemplo:
(5)
2
Casoa Especiales.
S! = 5.4.3! 2!3! 2!.3! C.E.1:
C.E.2:
=H = 2.1
O! 1 01.0! n! (nJ 1 O '"01.n! = (o) O
10
Capítulo 7: Inducción Matemática
524 n
e.E.3: e.E.4:
(n)
=
e.E.5: NOta.
n!
=
=ñ!:7J!
n
=
(n+1) n
=
n! 1!(n-1)!
=
(1)
1
(n+1)! n!.l!
Se dice que dos números
=
=
n(n-1)! (n-1)! (n+1)n! n!
=
n
n+1
combinatorios
son de orden complementarios
y la suma de sus denominadores
cuando tienen igual numerador
es igual
a aquel. 9 9 (2) y (7)
Por ejemplo:
amIl
PROPIEDADES
DEi. COEFICIENTE
B.1: Dos números combinatorios (n)
B.2: Para dos coeficientes dores consecutivos,
de orden complementarios
= __
n_! __
= (
r!(n-r)!
n! (n-r)!r!
binaniales
que tienen
r
r
+
n ) n-r y denoming
igual numerador
(n+1) r+t
(n)
r+l
n!
n!
En efecto:
+-------
r t (n-r)!
(r+1)!(n-r-1)!
n!
n!
+
r t (n-r )(n-r-1)
nt
(r+1)r!
!
r!lJ
[ -+ 1
r!(n-r;.l)!
n-r
(n-r-1)!
n! r!(n-r)!
[
n+1 ] (n-r)(r+1)
(n+1) !
n+1)n! (r+1)r!
(n-r) (n-r-l)
(r+1)!(n-r)!
(n+1) ! (r+1)! [(n+1)-(r+1)]
=
son iguales:
vale la fónmula: (n)
n (r+ 1)
Q
BINOMINAL
!
(n+1) r+1
n-r n r+ 1 (r)
En efecto: n!
r!(n-r)!
(n)
r
nt (r+1)
n!
r t in-r
)!
r!(r+1)(n-r)(n-r-1)!
n! J(r+1) [ (r+1)!(n-r-1)! n-r
_
n! n-r n --....:.:..~-=(7'+l)(r) (r+1)! (n-:r-1)1
525
Sección 7./0: El Binomio de Newton
8.4:
r(~)= n(~~) En efecto:
rn!
r(~)
n!
n!
r!(n-r)!
(r-l)!(n-r)!
(r-l)!(n-l)-(r-l)1!
= n(n-l)
n(n-l)! (r-1)![(n-l)-(r-1)1!
7.10.2
EL TEOREMA DEL BINOMIO
entero
positivo,
Sí
llBoostraciÓll.
a y
b son
números
r-l·
reales
de cero y n un número
diferentes
entonces:
Por inducción En efecto,
completa:
sea P
n
=
v
(nqvl(a+b)
=
n n ~(r)a
.•
a+b
1
(1) Para n=l
.•
NI):
(a+b)l
= L (;Ja1-rbr
n-r
=
r
b}
(~)a1-0bO+(~)a1-1bl
r=O O 1 + (1)a b = a+b -
.• a+b = (1)a(1)
P(1) es verdadera
(2) Para n=h&Z+, supongamos q~e se cumple la proposición: P(h):
(a+b)h
=
h
L: (~)ah-rbr
(Hip.
100.)
r=O En tonces debemos probar que, P(h+1):
(a+b)
h+l
h+l-r = h+1 L (h+1 r )a
r b , es V.
r=O En efecto:
(a+b)
h+1
h
=
(a+b)(a+b)
=
h aL (h)ah-rbr
=
r=O r
L (h)ah-r+1br +
+
L: (':J.ah-r+1br
t
(Hip.
TOO.)
h
r=O
r=l
r
E (h)alt-rbr+1
+
(~)ah-r+lbr
r h-1
+
r=l (~)ah+lbo
b
L. t)ah-rbr
It
(~)alt+lbo
h-r
r=O r
r=O r .• (a+b)h+l
h
()a r=O r
h
+ b
h
=
h L
(a+b)
+
L
(~)ah-rbr+l r=O
E r=l
(r~l)alt-r-+lbr
+ (~)aobh+l
+ (~)aObh+l
Capítulo 7: Inducción Matemática
526 h
+
Pero:
+
(2)ah+1bO + ~ [(~) + (r~l)Jah-r+lbr r=l
(a+b)h+l
y
(h)_(h+l) h - h+1
(h)+(h)=(h+l) r r-1
+ (~)aObh+l
(B.2)
r
h (a+b)h+1 = (h~l )ah+1b O + ~ (h;l )ah-r+1br r=l
+ (~:~)aObh+1
h+l
L (h+l )ah+1-rbr
r=O (3)
Conclusión.
+
P(h+l) es verdadera.
r
Se ha probado que P(l) es V
Si designamos por Tl el primer tercero y así sucesivwnente,
A
P(h) es V
+
P(h+1) es V.
T2 el segundo, T3 el
ténmino del desarrollo;
entonces:
Tl T2
(~)an (7)an-1b
..
T3
(~)an-2b2
Tr
( n )an-r+1br-l r-l
Así, el ténmino general del desarrollo
es:
Observac iones : (1) El desarrollo
de la potencia
n-ésima de un binomio
tiene n+1 ténm ínos,
según lo indica la variación de r, desde O hasta n. (2) El coeficiente
binomial de cada ténmino del desarrollo
rador el exponente del binomio, y el denominador
tiene como nume-
es variable de O hasta
n. (3) El exponente
de a es la diferencia
el de b es igual al denominador suma de ambos exponentes (4) Los ténminos equidistantes ser n~eros
combinatorios
entre el numerador y denominador,
del coeficiente
binomial. Es decir,
y la
es igual a n, pora todos los ténminos. de los extremos
tienen igual coeficient~por
de órdenes complernentarios.
Sección 7.10: El Binomio de Newton
(5) Si
en
la fónmula del
527
(I)
binamio:
(6) Si a=b=l, namiales,
la fónnula (I) se
n
=
(a-b)n
hacemos b=-b, entonces:
convierte
(-l)rL:
(n)an-rbr r=O r
la suma de
en
(1I)
bl
los coeficiente8
esto es:
(1)
o bien:
Si
a=b=l
en (II):
.] Sunando (1)+(2)
se
tiene:
+ (~) + (~) + •••
]
=
n + (2)
+ (~) +
1=
n (n) + (2) O
+ (~) +
= 2n-1
2[(~) +
n (n) + (3) 1
(1)-(3) obtenemos:
y restando
- [(~)
n + (5)
(2)
O
n
2
(3)
= 2n-1
+
(4)
n
En reSf.IlIen:
T.B.l:
L (~)= ~,
si
a=b=l
r=O
n
T.B.2:
L (~)(_l)r
= O , si a=l,
b=-l
r=O
n T.B.3: L: (~) = 2n-1 , si r par,
r=2k , keZ+
,.=0 n T.B.4: L: (n)
=
~-1
,
si r
impar,
r=2k+1,
keZ+
r=O r ?
EJEMPLO l.
Hallar
la
expanción
del
binomio:
(x'y
+
¿)'
5 Solución.
Por
la fómula
(1):
(x'y
+~)'
= E(~)(x'y)5-r(~/ r=O
+
(x'y
+~)'
(~)(x~yp+(i)(x'Y)'(~)
+ (i)(Xly)(~)"
+ (3)(x·y)"(}).1
+ (~)(Xly)(.~)'
+ (~)(~)'
+
.
Capítulo 7: Inducción Matemática
528
(x'y
=
+ ~)'
~
XlOy'
+
5(x'y')(~) ,x
10(x'y')(4x-')
+
+ 5(x'y)(16x-')
10(x'y')(8x-')
+
+
+ 1(32x-')
= xl·y·+10x7y·+40x·y·+80~J1·+80x-·y+32x-·
EJEMPLO
2.
Demostrar cada una de las siguientes afinnaciones:
=
a) 2(n!)-(n-1)(n-1)!
=
b) (n) r Demostración.
(n-2) r
+
2(n-2) r-1
2n!-(n-1)(n-1)!
a)
n!+(n-1)!
=
, neZ+
(n-2) r-2
+
=
2n(n-1)!-(n-1)(n-1)!
=
= (n-1)!(n+1)
(n-1)![2n-(n-1)]
n(n-1)! + (n-1)!
= n! + (n-1)!
b) (n ) r
=
(n~2) r
(n~2) r-1
+
+
(n~~2-)---+---(n~~2) (n-1) r-1 r-1 r
+
(n-1) r-1
(8.2)
y nuevamente por 8.2: EJEMPLO
Simplificar cada una de las sumas indicadas:
3.
Solución,
=
a)
S
(n-1) r-1
b)
1(~)+ 2(~)+ 3(~)+
a) Aplicando
+
(n-2) r-2
(n-3) r-3
+
, .••
sucesivamente
pn-4) r-4
+
+
(n-4) r-5
+ n(~)
la propiedad B.2 en cada dos últimos
ténninos, se tiene: S
=
(n-1) r-1 (n-1) r=L
+ +
(n-2) r-2 (n-1) r-2
+
(n:'3) + (n~3) r-3 r-4 n (r-1)
(n-1 )
n
b) Apoyóndonos en la propiedad B,4: r(r)
..
n
Pero si:
z (~)= 2n r=O
Por lo tanto, en (1): EJEMPLO
Solución.
4.
z (n-1)
n-1
r=O S
=
+
r=L
=
(n:'2) r-2
+
(n~2 ) r-3
n-1 n(r-1)' se tiene:
+ (n-1)]
n-1
=
n-1 -z (n-1) r=O
(1)
r
2n-1
(T.B.1)
r n(2n-1)
Hallar los valores de x, tales que: (3~) x Por ser números combinatorios
iguales: x'=2x
=
(35) 2x ~
x=O
o x=2
Ejercicios Ilustrativos
529
y por ser comp¡e~ntarios,
Pero -7tN
e.s =
.•
según la propiedad B.l: x~+2x=35
-+
x=5
=
n 4
o x=-7
IO,2,5}
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS n
EJERCICIO
1.
Hallar el valor de n para que:
n ~o(2r+l)(~)
Solución.
n n ¿,.( )=
1'=0
n 2~r(~)
= n
+
D( O)
l'
n + ~O(~)
n n 1'( ) r=.l l'
L:
n ¿ r(n)
y por la propiedad S.9b:
=
" ~ (n+1)
Luego,
SI: 4
EJERCICIO Solución.
=
2. Simplificar:
=
S
S
=
=
(r+2)!(~:~) = (1'+2)1
=
3.
(1)
=
n.2
(B.4)
n-1
(T.B.l)
2n ="f1(n+l)
+
4 n 2.2
.• n+1=2 4=16 .• n=15
(n+1) + (n+2)] r+2 7'+3
+ (n+1) + (n+2)] = (r+2) , [
(n+3)! (r+3)!(n-r)! n
EJERCICIO
n
+2
1 3 (r+2H[L:( n ) + :E(n+k~l)J ,.=0 r+k k=2 1'+
n (1'+2)1[(~) + (1'+1) +
y por 8.2: S = (r+2)! [(~:~) • S
2n.2n-1
.• 2n (n+1)
2n+4
n 2r~r(~)
2 +
n-1 n-1 n-1 n¿ ( ) = n.2 1'=0 r
n-1 1 = n ¿(n- ) 1'=0 r
1'=0 r Entonces. en (1): ~ (2r+1)(n) 1'=0 r
=
=
L: (2r+1)(~) 1'=0
Demostrar que:
r:r tr t )
("+3)(n-r)!
=
(n+l ) !-1
1'=1
n
Solución.
Según S.4:
L [r(r!
)-(,.-1)(r-1)1] = n,ni - 0(0) 1
,.=1 n
• L: (r(,.!)
- ,.(,.-1)1
+ (,.-l)!J
= n.nt
,.=1
n
.• L: [,.(,.!) ,.=1
n
+ (r-1)!]
=
n.n!
n
n
..¿ rtr-t ) - L: [r! ,.=1
- rt
1'=1
- (r-1)!]=
n.n!
.•
¿ 1'(,.1) 1'=1
-
(n! -
Ol)
= n.n!
Capítulo 7: Inducción Matemática
530 n
=
¿r(r!) 1'=1
+
EJERCICIO
4.
DEmostración.
=
Sea: x +
::.:
n.n!
+ n!
- 1
Demostrar
que:
....
=
201
- Log 201! 100!(21OO)
100 Logllr(2k+1) k=l
=
= Log(1.3.5.7
••..
=
2
S =
n
k=l
i=l
¿ exp. o [L. Logi
(x+y)n
a:
DEmostración.
En efecto:
100
= ¿ exp ••
L
n exp" L
En' Log
=
k=l +
S
L. Logi
-
n
n
i=l
i=l
- (~)Xn-
Hallar
el
(x>-2x-0) Solución.
Si T +
Luego, el
=
T
1 1'+
r
coeficiente
=
L. Log!
l
+ (n-k)Logx+kLogy
J
(x)
n-k
(y)
k]
n-k + Lag::.:
+ Logy k]
n n n-k k = L (k)::': y k=I
OO y
n = E
(~)Xnk=O
coeficiente
+
T
1'+1
(13)(_2)r(x)39-5r
-
k k . y - xn
::l
de x"
en el desarrollo
de:
• (13)(x»13-r(_2X_1)r l'
.
• Si x39-5r
l'
del
(De] . de fadorial)
LDb~!
lJ.
(n)an-rbr
1'+1
-
i=l
- Log(n-k)!
:. S " (X+Y)"
6.
que n>k. Demostrar que: n-k
i=l
k=O k
EJERCICIO
201 !
tales
k
L Logi = LogTlíi =
. k! (n-k)!
n n n-k k = ¿ co« y
( 1)
- xn.
- Logk!
rLogn!
k=l
201)
100)
(1. 2.3 ....
n
S
201)
- Log 201! 100!(21OO)
n
es equivalente
...
201 200
Sean n y k números naturales
5.
Log(3.5.7
201! =
(2.100)
100 L.Log(2k+1) k=1
en (1):
(n+1)!-1
.
....:2:;.::0..;:1..:..!_· _
EJERCICIO
+
=
1.2.3.4.5 2.4.6
+
( 1. 2)( 2.2)( 2.3) .... Luego,
- 1
100 ¿Log(2k+1) k=1
100 ¿Log(2k+1) k=1
En efecto:
1.3.5.7
(n+1)n!
ténnino
buscado es:
C. ='
=
x14 ~
(1~)(_2)5
39-51'=14 ~
= -41,184
1'=5
, Ejercicios I1ustrativos
EJERCICIO
7.
531
El
coeficiente del tercer término del desarrollo de
(x~+x-~)n es mayor que el coeficiente del segundo término en 44. Hallar el término que no contiene a x. SoLución. Si C.=C,+44
+
=
(~)
(~)+44
1
de donde: n -3n-88=0
Luego, el
(11)(_1X)11-r(x_,)r r -
= xO =
término buscado es: T. 8.
EJERCICIO
Si
n+44
n=11 o n=-8~N
++
Término general del desarrollo: Tr+1 Entonces, si (x3/Z)11-r(x-4)4
=
1(n+1)
+
3 2(11-r)-4r
=
(1;)
=
O
+-
r=3
165
aeR, a#O. Si un término del desarrollo de (~Zy·>"
es
n+a 33a'x'y", hallar: S'
Solución.
I
rr+1
=
(n) n-rbr
+
r a
de donde: x n-r
= x7
++
xr;».
k=O te
(n)(a )n-r(_Zy.)r
=
n-r
y n+r ~ Y 17 •...• n+r
(IZ)(~)7(_2)5
Cálculo de a:
5 2
=
3308
n+c
+
= a
}
7
+
EJERCICIO
n=12
y
r=5
17 _
1
(12
4)(33
5)
=
-6
6
L (n+a) = L (~) = 26 =
k=O
33a'x7y" •
-zxy
r
64
k=O
k
Hallar la menor potencia a la que hay que elevar a+b de tal manera que el desarrollo contenga el coeficiente 84: En qué
9.
lugar? Dado que: (n) = 84 = 21)(3)(7; busquemos la filenorpotencia de n r dando valores a r, esto es:
Solución.
Para r=1 r=Z
(~)=84 +
n
(2)=84
+
n=84
+
2(n-1)
n
=
84
+
, n(n-l) = 2 '(3)(7
Como (n-1)n es el producto de dos números enteros consecutivas, no existe neN que satisfaga la ecuación para r=2. Para r=3
+
(n) = 84 3
+
n(n-1)(n-2)
1.2.3
=
21)(3)(7
+
n(n-1)(n-2)=2'''3',,7=9)(8''7
532
Capítulo 7: Inducción Matemática
COmo el segundo miembro entonces,
es el producto
la menor potencia
de tres números enteros consecutivos
te, existe dos ténninos equidistantes
aplicando
la propiedad
ténminos
son: T, y T,. 10.
n
SI
=
l'
(78)x45 a
si a=11
36
x
+
l'
=
que contiene ••
a
de
(7~)X78-3r
1'=11 0=67>20 0=11<20
+
a x40-8
36=78-31'
buscado
11. Detenninar
(7~)(X)78-r(X_I)r
78-31' = 45 + r+a = 78 • {
Por tanto, el coeficiente EJERCICIO
=
T + r l
••
= x78-3r
[o
los
es (78) siendo 0<20, hallar el coef tc: de x4o-8. a
.
Luego,. el coeficiente
Por tanto,
binomial de :r45 en el desorrol
Si el coeficiente
Ténnino general:
(78)x78-3r
que tienen como coef!
9 9 Esto es, (3)=(6)=84.
n
B.1: (r)=(n-r)'
(:r+:r~/8 SOlución.
de los extremos
un ténmino para 1'=3 y n=9, el otro ténnino se detennina
ciente 84. Conocido
EJERCICIO
(a+b) es n=9. Obviamen-
a la que hay que elevar
de: :r40-8 = x78-3r
lo obtenemos 1'=14.
+
es: c.,=(J!). de x' en el desarrollo
el coeficiente
de:
(1 +3:x:' -2:r')'.
SOlución.
En este caso se trata de un trinomio al cual se le puede dar la fonna de un binomio
agrupando
sus ténninos convenientemente:
[ 1+( 3;.c&-2x' ) 1'. +
[l+(3;.c1_2;x:')]" =
(3;.c&-2x,)r=
6
6
1'=0
1'=0
L (~)(ll-r(3;.c1-2;::,)r = L (~)(3X'-2X,)r l'
l'
L (r)(3;.c1
)r-k(_2:r,)k
= L (r)(3)r-k(_2)kx2r+2k
k=O k
k=O k 6
En (1):
(1+3:r1-2x')"
= E
l'
E(B)(r)(3)r-k(_2lx2r+2k
r=O k=O Para los enteros
l'
l'
k
y k se deben cumplir
las siguientes
e
o e ic s r s Para x':
2r+2k
Dando valores a k (k~ esto es, para: k=0
+
1') encontraremos 1'=4
k=1
+
=
8
+
r+k=4
los valores de 1'=3
condiciones:
k=2
l'
correspondientes,
+
1'=2
(1)
.,
Sección 7. J O:El Binomio de Newton
533
Entonces en el desarrollo de la potencia dada, hay tres sumandos con x', cy ya s~
.• e --
total es el coeficiente buscado: (6)(4)(3)~{_2)'+
4
(6)(3)(3)'(_2)1
o
:. e =
= 1215-1080+60
+ (6)(2)(3)1(_2)'
3 1
2 2
195 n
EJERCICIO Solución.
Hallar la fórmula pora: S = Lr'(~) r=l
12.
Expresando: r'=r(r-1)+r
, se tiene:
n
S =
L [r
n
t r-Lr+r
) ](~)
=
r=l
n
L r(r-1)(~)
+
r=l
E r(~) r=l
n
Para r=l,
el primer slmando es cero
L r(r-l)(~)
.• S =
n
+
r=2 =
r(r-1)n!
=
r!(n-r)!
n(n-1)(n-2)! --..:....-...:..:--=-----=-=---=
(1)
r=l n!
r;...(r_-..:.1;..)n..:. . .:.'_ r(r-1)(r-2)!(n-r)!
L r(~)
(r-2)!(n-r)!
n-? n (n-1)(r-"2)
(r-2j![(n-2)-(r-2)]! En (1):
n
n-2
n
~ = n(n-1)~(
n-2
r=O r
= n.2
n-2
(n-1
+
n-l
(B.4)
+ L:n(r-1) r=l
S = n(n-1)¿(r_2) r=2
)
n-l 1 n-2 n-l +n2 nrL:=o(n~) = n(n-I)2
+
2)
=
n(n+1).2
n-2 5
EJERCICIO
13.
Hallar el valor de:
4
S = L(¿[(~)
i=1 k=1 54
Solución.
S
5 (.) + = L [¿ i=l k=l
555 = 4L(~) i=1 I
=
5
4(2
4 k=l
i=1
- 1) + 300
i=l
=
+ 20~>
=
+
2ki))
I
554
= ¿ [4(.)
2i L,k]
I
(S.9b y T.B.l)
4[¿(~) i=O I
424
+ 2i. 2(4+1)]
I
- (~)] + 20.~(5+1)
cs.i
y F.I)
Capítulo 7: Inducción Matemática
534
EJERCICIOS: Grupo 51
En los ejercicios del 1 al 4, desarrollar usando el Teorema del Binomio. 2 - 6 ¿Z)5 1. (-x _ ..2) 3. (2x y t x 3 2x x'
a' 4
+ ~.)4 4. (2c x, 2c'
2.
(a -x)
5.
Demostrar que:
n!
n! 3n! = ni + +-(n-z) ! (n-1) !
(n-3) ! 6.
Demostrar que:
(n+1)[n.n~ + (2n-1)(n-1) ! + (n-1)(n-2) !)
(n+2)! _
7. Resolver:
(n-Z) !
72n!
= O
(n-z ) !
n
8.
(n+2)!
k
¿ [¿ (~))
Hallar el valor de E
k=1 i=O
9. Si (~) + 14(~) +.36(~) + .24(~) = 256, hallar el valor de n. 10. Simplificar: 11. Simplificar: 12. Si se cumple la siguiente relación:
=
23 11 '
hallar el valor de n.
(~) + 2(~) + 3(~) +
, (n+1) 13 . s• m+1
y
5 (n+1) : (n+1) m m-1 = 3"
'
hallar m.n
15. Simplificar:
, (22) (21) 16 . s• 2n : 2n-1 17. Si (n)
5 18. Si nEN
=
8(n)
y
80 (3nl-4)
y
4
11 = -::; y
m+2) (m+3)_C 3 2 = m+2 ,ha 11ar e 1 valor de m •+n 1.
(148)-(18)=0, para m=2, hallar el valor de m+n. m+2 80 (2n-1) , hallar el valor de E=n'-5
Ejercicios: Grupo 51
19.
Si
535
(m+1)! +_m_!_ + (m-1)! m! (m-2)! (m-2)!
6
y
n:2m'+1, hallar el valor de (n) m
50 (118-14x)' hallar el producto de todos los posibles valo-
20.
res enteros de x. 40 )-( 40) entonces hallar el valor de A:(3x'). x'+15x-10 - 5x+6 '
21.
Sea XtNI(
22.
Si (3;) : (X:~8)' hallar el valor de S : (~) + (;)
23.
Hallar el valor de n tal que:
n
L: (2k+1)(~)
80
k:O
24.
Al desarrollar (2x-y')' se tiene los términos r1xky', Nx'yh. Hallar M-N
25.
El sexto término de (~-
26.
Si S, Y S, son las sumas de todos los coeficientes de los desarrollos
2
2yl)n es 33ax'yl', hallar (a+n)'.
de (1+x)n y (1+x)m, respectivamente,
y
si: 5,:.85,y 5 5,:512, determi1
nar el valor de mn. 27.
Al desarrollar (x+ay)n, en orden decreciente con respecto a las potencias de x, se tiene el cuarto término igual a 672x·y'. Hallar n-a.
28.
Sea A el término central en el desarrollo de (l!. + ~) lO x
a
ir.dependientede x en el desarrollo de (~x' - 3!)"
Y B
el término
hallar A+18B.
29.
Si axby es un término del desarrollo de (x'-2.'I;Y)·, hallar: a.b
30.
El término que contiene a xlI' en el desarrollo de: (~x'/'y'/' - ~-'/'y-l/')l'
31.
tambien contiene a y. Hallar su exponente"
Qué término del desarrollo de (ax' - by),. tiene a x e y con el mismo y' x'
exponente. 32.
33.
Qué término del desarrollo de (3x' - ~)l' y 3x' iguales de x e y.
está formado por potencias
Dado el binomio (;. - 3x,)n, si en su desarrolle el mayor exponente de x es 24, hallar el coeficiente del término que contiene a x'.
34.
En el desarrollo de (x-'-x-')"
los términos que ocupan los lUbares:
7m+2 y 2m tienen coeficientes iguales. Hallar dichos términos.
536
Capitulo 7: Inducción Matemática
Sea Tk el k-esimo término del desarrollo de (X+7)" y T~_k el (n-k)-'s! mo t'rmino del desarrollo de (X+7)M. Hallar en su forma más simple: n
E (N)(
Nota:
k-O k
YI.
M ) = (N+M)
n-k
n
n+1 k Hallar el valor de: ~(k~1)(-1/2) (Sug. Hacer cambio de variables) k=1 n k+1 Calcular el valor de: A = E [E (k+1)] k=O =1 r-1 Sean A=(2o-1)+(2n-1) y B=(2n-3)+(Zn-3) n-2 n-1 n-:1 n ~l
39. El r-'simo ~rmino 40.
Si el quinto ~rmino
que:
de (2kx+y1)'" es 8,064x'7'" 1
del desarrollo (2x
._
,ha
11
ar n ,
Hallar: 2k+r
~xy.)n es 2640x"7",
minar el coeficiente del término que contiene a
41. En el desarrollo del binomio (9x' - ~)",
A 132 B • T5
deteE
x'
l•
hallar el coeficiente del
término que contiene a x'·.
(~) + 3(~) + 5(~) + .•••
+ (2n+1)(~) = (n+1)2n
[Sugereneia. Expresar (~) en funci6n de (~=~)] 43.
Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones:
En 1ri-1
a)
i-1
() n n+1 = 1- n+1 r +nr '.r;l1 , JfncZ+ (1-r)· n
b) No existe ncZ+ tal que: 2:(k-1)(~=~) k=2 44.
45.
=
64(n-1)
Determinar el coefieiente de x"
en el desarrollo de (3x+ZX'-x-')'. Hallar también el término independiente. Hallar el coefieiente del t'rmino que contiene a x'y' en el desarrollo
de (pX"+qxy+ry")'¡ p,q,r constanree.
r=
46. Dado n'., resolver el sistema: x-1 2n _
n
-¡;
n] ,
).Expy -o(xx kt.ykn!(n-k)!
• x-y=1
*
x>O , y>O
537
CAPITULO
m
INTRODUCCION Es una experiencia
común el encontrarse
no, o posiblemente
8
4
2
1
+
+
• a,
a cOda
Esto define
1/2
?
f
a,
número
natural
dicho conjunto
=
0n
de ontem!;!
sea el conjunto:
16
mos expresar
de números
puede conocerse
una ley paro ellos a partir de algu-
habrá que descubrir
nos datos. Por ej~nplo,
Vemos que
con un conjuntó
en algún orden. El orden y disposición
dispuestos
o(n)
una función
le corresponde
un número
0n' entonces
pode-
por la fónnula:
=
1-n
16(2)
,nEN
f cuyos elementos
son los pares ordenados
{(n,an)}.
Esto es:
f
=
{(l,16),(2,8),(3,4J,(4,2J,
...
de f es N y el rango es; . ~ l-n {16,8,4,2, .•. 1 {a(n)jnEN, a(n)=lo(2) 1
El dominio
=
Una función
tal se llama sucesión
DEFINIelON
8.1
Una sucesión
numérica
es una función
junto de los números dar de él. Si el dominio bio es un subconjunto
cuyo dominio
naturales
es N, se llama sucesión
estandar
meros del rango de la sucesión, tán restringidos
infinita.
a -los números
de N,
se
reales.
infinita;
llama sucesión
llamados elementos
es el
o subconjunto
CO!]
estan
si en cam-
finita.
Los nú-
de la sucesión,
es-
Capítulo 8: Sucesiones
538
ya que el d~ninio de toda sucesión es siem~re N o Z+, pod~nos usar la notación If(n)lo lanl para denotar
una sucesión.
Ejemplos: (1) a
=
{(1,-1),(2,1),(3,3),(4,5),
...
1 es una sucesión
infinita, en don-
de el n-ésimo ténnino de la sucesión es an=2n-3, de modo que podemos es cribir: 10nl = 12n-31 = -1,1,3,5, ... ,2n-3 (2) b
=
1(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(5,10)1
es una sucesión finita, en donde, Ibnl'= 12nln < 61
bn=2n, nEN, 1,~ n ~ 5 , ,de modo que: (3) La sucesión para la cual:
tiene cono elementos:
f
entonces .
=
111
2"
1,
={~
1
sin
2,4,6,8,10
es impar
n+2 ' si n es par
1,
3
' 4'
....
1(1,1), (2,1/2), (3,1), (4,113). (5,1),.
es una sucesión NOta.
f(n)
=
.1
infinita.
Otro método para definir
un~ sucesión es dar el primer
fónnula para el término n+I en función del n-ésimo
ténnino y una
término. Tal tipo
de fónnulas se llaman fónmulas de recurrencia. EJEMPLO
1.
Escribir a
Solución.
n+1
=
Si 0,=16
los ténminos de la sucesión {l)a
2
y' así sucesivamente.
EJEMPLO
2.
Escribir
cuatro
Luego:
Se sustituye
IOnl
, a,=(f)a.=2
16,8,4,2,1,
ténninos de la sucesión
cuyo primer tén;¡ino
o = (an)1 n+1 (on - 1)(on + 1)
es 2 Y en la que:
Solución.
a,=2 en la fónnuia de recurrencio
luego éste para obtener a. y así sucesivamente. +
01
(2)2 4 (2-1)(2+1) ="3
a,=16 y
n
01=(j) (16)=8 , 0'=(~)@1=4
+
lanl en la que:
a,
=
(16/7)"
256
(1~ _ 1)(1~ + 1)
207
(4/3)' 4 4 (3 - 1)(3 +
1)
16 " 7
.
para obtener a"
Sección 8.2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas
I!J SUCESIONES
539
y GEOMETRICAS
ARITMETICAS
Hay dos tipos de sucesiones que son importantes mental como para garantizar d
=
an - an-1, ~>1,
se llama sucesión
d se llwna diferencia La sucesión
un estudio especial.
o progresión aritmética,
an -a-' ~>1, se llama sucesión geanétrica n-1 r se llama razón común.
lan}, en la que r
=
a) Sea la sucesión ari tméti ca: {an} Por definición:
de donde:
aritmética
(1) :
d
a, - a, a. - a,
d
a,
d
an - a
d
lan I
an = a
1
-
a"
+
=
a,
-
a, - al +
n-1
de donde: Por tanto,
(2):
an
d
a.
+
2d
+
=
a,
al + 2d = a, + 3d
an = a, + (n-1)d , al + (n-1 )d
a,+d, a,+2d, a,+3d,
+ (n-1)d a
a,
r.a,
r(r.a,)
r.a.
r(a,.r')
lan}
=
=
n-1
a,r
=
a,.r· n-1 a,r
al
tenemos fórmulas
Qué
(2)
a,r'
=
que
canprenden
el primer
término
de
la sucesión
jan} ~ -15,-13,-11, ....
aritmética:
, es 89?
n-1
término, el n-ésimo
bles cuando se conocen las otras tres. 1.
n
r.a,
término, n., d o r. Podemos usarlas para encontrar cualquiera
EJEMPLO
(1)
n
a,r Luego, en
o
al + d
a. - a,
a.
. ,a
al,ol/o!1
b) Sea la sucesión geor.1étrica: lanl Por definición:
ele-
jan}' en donde
común.
progresión geométrica,
Luego, en
en la matemática
La sucesión
de las varia-
540
Capítulo 8: Sucesiones
De la sucesión dada: a,=-15 , an=89 y d=-13-(-15)=2 Si an=al+(n-l)d + 89=-15+(n-l)2, de donde: n=53
Solución.
Luego, a $ ,=89 EJEMPLO
aritmét ica es 16 y el décl.
2. El cuarto término de una progresión
mo término es 28.Hallar el término 50. Solución.
Se tiene:
=
a~ al,=
Ahora de (1) y Lu~o:
a ••
=
16
(1)
=
28
(2)
16
a,+49d
•
a,=10 y d=2
obtenemos:
(2)
=
a1+3d
28 • a,+9d
=
10+49(2)
108
3. Si a,b,c son tres números en progresión
EJEMPLO
tamos
1,4
y
son
Sea k el factor de proporcionalidad,
si: a+1
=
b+4 c+9
Dado que a,b,c es sucesión +
9k-4-(3k-1)
=
4.
ariUnética
l8k-9-(9k-4),
Luego: a=3(2/3)-1=1 EJEMPLO
+
(a-d) + a (a+d)'
+
Luego, en (1): EJEMPLO
5.
b-a
directamente
{anl
=
+
66
=
•
9k
+
=
18k
+
E
+
c=18(2/3)-9=3
es 66. Hallar
=
a-d , a , a+d 12 , de donde: a=4
3a'+2d'=66
+
3(4)1+2d'=66 o
jan}
+
a+b+c
aritmética
son a,b y c, respectivamente,
es 12 y la
(1)
d'=9
++
d=3
o
d=-3
'.
7,4,1
hallar el valor de:
E=(q-r)a+ (r-p)b+(p-q) c.
=Q bq = b cr = c
6
la sucesión.
=
•
=
Si los términos de lugares p,q,r de una progresión
Solución. Sí: Qp
= 3k-l b = 9k-4 c = 18k-9 a
de donde: k=2/3
tan}
1,4,7
3k
c-b
(a+d)
Sea la sucesión: a"
=
Lo St.rna de tres nÍll1eros en progresión
+
(a-d)'
d
+
b=9(213)-4=2
suma de sus cuadrados Solución.
y si all71e!1
aritmética,
respectivamente,
9
a los números 3,9 y 18; hallar el valor de E~a+b+c.
proporcionales Solución.
en
+
a +(p-1)d
=
a
+
a +(q-1)d
=
b
(2)
•
a +(r-1)d
=
c
(3)
(1)
aritmética
Sección 8.2: Sucesiones Aritméticas y Geométricas
Restando: a-b Luego:
(1)-(2) , (2)-(3) , (1)-(3) • obtenemos
=
(p-q)d
=
E
= (q-r)d
b-c
(b~C)a + (c~a)b
Si Tn
6.
(bc-ab)
+
(ac-bc)
+
d
Los nCmeros rea 1es a l' a~. . . . .an son pos ¡tivos y es tán progresión ariúnética de razón común d. 1 +
"u,
Solución.
ra-;
1
+
ra-;
+
+
..'O;
1
+ •
ID. + ~
ra-; - ra-; a~ - a,
n
= Simplificando Luego:
ra. - ro, d
queda: T
7.
a, - a.
,fa, -~
+
d
a
- a,
,I~)
la.
- ,la. + a. - a,
an
y n -.
+
1(1- .¡¡¡-: n n-1 an - an-1
ra;;- -
-s, - ,fa,
+
d
=
an
pero:
d
lan -
,Ia _ + ,la n 1 n
de cada sLIOOndose tiene:
+
ron - ;o.
+
ra;:;:I
d
ü,+(n-1)d
n - 1
ra;;+1il;
Demostrar que si a,b cr.mple:
Demostración.
+
.-a. -;o.
n
(n-1)( n
+
en
1
+
de Tn en ténnifios de a"
simplificada
Raciona·1 izando el denominador T
y
(a+b+c)(a-b+c)
c están en progresión geométrico,
=
se
a1+b·+c·.
En efecto, como a,b,c están en progresión geonlétrica. entonces:
Luego:
(r-p)d
(ab-ac)
E = O
obtener una expre~ión
EJEMPLO
respectivamente:
c-a
=
(a~b)C
+
de donde:
El ElIPLO
541
ab =
Y
l'
c
b
(a+b+c)( a-b+c) = (-Q. + b r
=
l'
r
.•. a =
+
rb
=
r
b·{(l
=
a'
+
+ r)+11{(1.
l'
= b'(-hr
b" + (br)'
»:
c =
y
+ br)(3!. - b +br)
+ r)' - 1J
b·((l (~~
= r
+ 1')-11
l'
+ 1 + r+)
b'
+
c'
tres números en P.G. es 70, si se multiplican los dos extremos por 4 y el intenmedio por 5, los productos están en P.A. Rallar la sucesión geométrico. EJEMPLO
Solución.
8.
LA SLll10 de
Sea la sucesión geométrico:
tan}
=
f:
a
al'
542
Capítulo 8: Sucesiones
+
1
.!!. + a + ar = 70 r
0(1 + r + r ) = 70 r
+
Sea la sucesión aritmética: Ibn' +
=
( 1)
4(~), 50 , 4ar
50 - 4(g) = 4ar - 50 , de donde: 2rl-5r+2=0
Sustituyendo
ambos valores
• IOn' EJEMPLO
~
r
=
Tres núEros
9.
en (1) se obtiene: 0=20 10 : 20 : 40 o IOn} cuya
diferentes
Sl.llllJ
o
r=1/2
20
10
r=2
40
es igual a 93 fOrrJ«J11
WIQ
P.
G. También se pueden considerar como el primero, el segundo y el sétimo té"ninos de una P.A. respectivamente. Hallar el producto de tales niíneros. Solución. Sean los números en P.G.:
Entonces: Además:
o+d : 0+6d
a:
a + (o+d) + (0+6d) = 93
a + d 0+6d -0= o+d
(o+d)' = 0(0+6d)
De (1) Y (2) obtenemos:
0=3 y d=12
EJEMPLO
10.
=
93
(1)
d=40
+
IOn}
+
P = (3)(15)(75)
30+7d
++
3 : 15
(2) 75
= 3,375
En una P.G. se tiene: 01=2, 0n-3=-486 Y 0n=13, 122. Hallar la razón y el número de ténninos.
Solución. Si 0n-3
=
-486
an = 13,122
+ +
01rn-4 n-1
a1r:
Dividiendo (2) entre (1) se tiene: Luego en (1) : 2(-3) n-4
=
-486
=
-486
(1)
= 13,122
(2)
rn-1
13,122
n=4 =--=486
+
r (_3)n-4 = (_3)5
r'
-
=
-27
+
r
n-4=5
+
n=9
-3
y tales que el producto de la primera par la tercera es al producto de la segunda por la cuarta como 1 es a 4.
EJEMPLO
11.
Dividir 45 en cuatro partes que están en P.G.
Solución. Sean las portes de 45: a r a .• - + a + or + or2 =: 45
Además:
r (e/r)(ar) o(ara)
1
=4"
Sustituyendo en (2): 0=6
de donde:
: ar
: a +
:
ar2
(1)
S l 0(1 + r + r + r )
r
1
r = 4
+
45
(2)
r=2
Luego, en (1) se tiene: 3
6
12
24
Ejercicios: Grupo 52
543
EJERCICIOS: Grupo 52
En los ejercicios del 1 al S, expresar los primeros cinco términos de las sucesiones dadas. 1.
{2n&+1 }
2.
te -1 )n+1 (2n-1) }
4.
3. al=1 , an+1
=
·2
an + 3
En los ejercicios del 6 al 11, hallar una fórmula para el término n-ésimo de las sucesiones cuyos primeros 4 términos se dan. 6. 7.
.
4,6,12,16,
9. 2,6,10,14,
-2,7,22,43, 1
1
8. 2"' -"3'4'
10.
1
1
11.
-3 '
.
(1x2),-(3x4),(Sx6),-(7x8), 1
1
3"1 -11
1
'27 '
1
- 18'
.
12. La suma del segundo y quinto t~rminos de una P.A. es igual a 14, la suma del tercero 1 séitimo términos es igual a 8. !iallar el término cincuenta. 13. La suma del tercer y sexto términos de una P.A. es igual a 3, y la suma de sus cuadrados es igual a 4S, hallar la sucesión. 14. Determinar el valor de k de modo que la sucesi6n:
18k+4,6k-2,2k-7}
sea
aritmética. 1S. La suma de tres términos en P.A. es 27 y su producto S04. Hallar la sucesión. 16. Dividir 20 en cuatro partes que están en P.A. y tales que el producto de la primera por la cuarta sea al producto de la segunda por la tercera como 2 es a 3. 17. Las cUras
de un número entero positivo que tiene tres dlgitos están en
P.A. y su suma es 21. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 396 unidades mayor que el número original. Hallar el número original. 18. Si los números positivos a.,aa ya!
estén en P.A. y los números positi-
vos b.,ba 1 b. están en P.G., y se sabe que a,=b1=3, aa-ba=6 y a,=b.,h~ 3 llar el valor de: ¿(ai 1=1
+ bi).
S44
Capitulo 8: Sucesiones
19. Hallar el número de términos de la progresi6n: 324;-108;36; 20. Dadas las sucesiones:
lan}=1/3,1,5/3,7/3, .•.,an •bn ; hallar: a) b7+b,. o) 15(an + bn)
y
••• ; 7~9
Ibn}=1/5,4/5,7/5, ••••
21. En una P.C.: a.:1/27 y a.=1/243; hallar los tres primeros términos de la progresi6n. 22. El producto de tres números en P.C. es 216
y
la suma de los productos
que resultan tomados dos a dos es 156. Hallar los números. 23. Una P.A.
y
otra P.C. tienen por primer término 3, sus terceros términos
iguales y la diferencia entre el segundo término de la P.A. menos el se gundo término de la P.C. es 6. Hallar el segundo término de la P.G. 24. La suma de tres números en P.A. es 15. Si estos números se aumentan en 2,1
y
3 respectivamente,
las sumas quedan eñ P.C •• Calcular los números
25. En una P.G.: a,=3, an+3=-384 y an=3072. Hallar la razón y el número
de
términos. 26. Hallar cuatro núme~os positivos que conforman ~~a P.C., tales que: a,+a.=15 , a.+a,=60. 27. Tres madres impacientes esperan consul~a con niños de 1, 37 y 289 dias de nacido. El médico para entretenerlas,
les pide que averiguen dentro
cuantos días las edades de sus niños eatarán en P.C. 28. Demostrar que si tres números m,n,p consecutivos pertenecen a la vez a una P.A. y a una P.C. y ocupan en ellas el mismo lugar. entoncea se c~ ple: mn-p.np-m.pm-n
=
1
29. Sea la sucesi6n lanl, nEM, donde an=1/1ñ. Usando propiedades de números reales probar que para cualquier n, se tiene: 21ñ+'f - 21ñ <
..2. <
21ñ - 21ñ="f
Iñ 30. Una sucesi6n lan} de números reales cumple: an+1-2an+an_1 • 1, ~ a) Deducir una expresi6n de Bn en térainos de a., a.
y
~ 2
n
b) Demostrar por inducción, que la expresi6n hallada en a) es válida ~ ra toda n ~2.
*
.,
Sección 8.3: Sucesiones Monotonas
11I
SUCESIONES
MONOTONAS
8.2
DEFINICION
Se dice que una sucesión
{anl es:
a) Creciente si y sólo si: an ~ an+1' ~EN creciente si y sólo si: an < an+1, ~EN
b) Estrictamente c) Decreciente
545
si y sólo si: an >;.an+1 ' -VnEN
d) Estrictamente
Decreciente
si y sólo si: an > an+1' -VncN
Si se ctmple cualquiera de estas cuatro propiedades,
se dice que la
sucesión es monótona.
EJEMPLO
l.
Averiguar
si la sucesión {2n~3} es creciente, decreciente
o
monótona. Solución.
Supongamos
que an ~ an+1
Como n>O, multiplicamos
(1)
cada extremo de (1) por (2n+1)(2n+3)
.• n(2n+3) ,< (n+1)(2n+1) La igualdad
.• _n_~ n+1 2n+1 2n+3
(2) es válida ~cN
-
2n'+3n
-$o
2n'+3n+1
(2)
ya que el extremo derecho es igual al extre-
mo izquierdo más uno. Por tanto, la desigualdad EJEMPLO
2.
Solución.
(1) es válida y asi la sucesión es creciente.
Detenninar
si la sucesión { (-1~ o no monótona.
n+1}
es creciente, decreciente
La sucesión puede escribirse:
(_1)n+1 --n-' de dende:
0,=1
Vemos que 0,>0"
0,=-1/2, pero 0,<0"
(_1)n+2 n+1
(_1)n+3 n+2
0,=1/3 entonces consideremos
tres elementos consecutl
vos:
Si n es par
an < an+1
y
an+1 > an+2
Luego, la sucesión no es creciente ni decreciente tono.
y por lo tanto no es monó
, 546
Capitulo8: SI/cesiones
3.
EJEMPLO
si
Determinar
{2~:n es
la sucesión
creciente,
decreciente
o
no monótona. Los elementos de la sucesión se pueden escribir:
Solución.
3
jan} = 2,
7"' ....
Vemos que: 0,=2 y 0,=1 , Y asi: a, En general:
an >...
n+2
, 2n-1 ' 2n+1
> a,
n+1 n+2 .• -->-2n-1 '2n+1
an+1
.• (n+1)(2n+1)
~ (n+2)(2n-1)
La igualdad (2) obviamente es vál ida y asi
n+1
5
'5"'
1
(1)
~
2n.'+3n+2 ~ 2n'+3n-2
(2)
es válida ~nEN. Por lo tanto, la desigualdad
(1)
la sucesión dada es decreciente. ......,
DEFINICION
El número C se llama cota
8.3
inferior
de la sucesión
jan} si C ~ an, para todo entero positivo número S se llama cota superior
de la sucesión
,
n, yel
jan} si S .~ an, -\lntN.
Por ejemplo en la sucesión: jan}
=
1
"3
2
4
3
"5
El número O es uno cota inferior,
n
"9
"7
2n+1
lo mismo 1/3, y cualquier
sea menor o igual a 1/3 es una cota inferior Para la sucesión
{~} cuyos elementos {an}
El núr,lero 1 es
U/1O
= 1 ,
1
número que
son: 1
1.
1
"2 ' 3" ' "4 '
cota superior,
otro
de esta sucesión.
5 también
n
lo es. Cualquier
número que sea
mayor o igual a 1 es una cota superior de esta sucesión y cualquier negativo servirá
nÚ/¡¡ero
como una cota inferior.
Vemos entonces que una sucesión puede tener muchas cotas superiores
o infe-
riores. DEFINICION
8.4
Si m es una cota inferior si C <
(,1,
de la sucesión. Aná 1 ogamente, sión .
{a
n
}
y si
la sucesión.
¡\j
< S, entonces
de una sucesión
{an } y • entonces m se llama má:rima cota inferior si M es uno cota superior ¡\j
de una suce-
se llama la mínima cota superior
de
<,
,. Ejercicios: Grupo 53
547
La máxima cota inferior de {2n:1} es 1/3 ya que toda cota inferior de la s~ cesió~ es rnenor o igual que 1/3. La mínima es 1 ya que toda cota superior DEFINICION
Una sucesión
8.5
cota superior
de la sucesión
to es: O
<1n
{*} tiene
una cota superior
< 1, ~clV, entonces
también una sucesión decreciente
{k}
jan} se dice que está acotada si y
sólo si tiene una cota superior Ya que la sucesión
de la sucesión
es mayar o igual que 1.
y una inferior. inferior O, es-
1 y una cota
se dice que está acotada.
Esta sucesión
y por tanto es una sucesión monótona
es
acotg
da. La sucesión
por 2, pues 2 ~ 2n, ~clV. No eporque no hay un número fijo S que satisfaga: 2n ~ S ,
{Zn} está acotada
xiste cota superior,
inferionnente
-YnEN.
EJERCICIOS: Grupo 53
DISCUTIR LAS COTAS Y MONOTONiA
1. pn-1} 4n+1 4.
{;~}
7.
{~
2.
DE LAS SUCESIONES
{n+s:nn'}
5.
t
8.
{n' + (_1)nn}
~n52n}
10. {1 3 5 ~ ..I (2n-1)} 11. {n :'1} 2 .n. 13..
{--L} n 4 + 1
16. {(n ~11)'} 19. {LOg(n~1)}
14.
.
{(_1)n.lñ}
SIGUIENTES. 3.
t
6.
{~}
~n2n}
9. {1 3 5 n! ... (2n-1)} 12.
{/4n~n+
J
15.
{LOg(n:~)}
17. {2n2~ 1}
18.
H-
20. {(_1)n ;:}
21.
{Coanr l
22. Demostrar que la sucesión: a~ da y monótona.
= (cn + dn)1/n, con
n:1}
O < c < d, es acota-
Capítulo 8: Sucesiones
548
11I LIMITE
DE UNA SUCESION
Recordando
la definición
tos asociados
con los números
convendrá marcar
8.1.
.•.•an sobre una recta numérica.
los números
0,.0••0••.
Para evitar confusión marcaremos
de la sucesión mediante
los pun-
símbolos que les re-
presenta en la sucesión. a, a. --------~o------~o~------~o--------------------~o~----~·~f(n) De esta manera podemos establecer
una correspondencia
entre los ténninos de
una sucesión de números y un conjunto de puntos sobre la recta numérica. el comportamiento de una sucesión de números y de los puntos
Para estudiar
a ellos. consideremos
correspondientes a)
tan}
1
e-
ac
O
2'
a. a. o 1
los siguientes
. 4" . 8' . . 1
1
1
16 8
1
.
1 16
a.
ejemplos:
1
2n-1 a, o
a.
o 1
Q
1
4'
"2
Los puntos que corresponden
,an
1
a ténninos sucesivos de la sucesión se apro-
ximan cada vez más al punto O a medida que n crece. es decir. an a cero (an + O) a medida que n crece. b)
123 tan} ="3 . "'5
4
• '7 • "9'
tiende
n
.
• 2ntl
Un trazo de algunas parejas ordenadas en esta sucesión se muestra en la figura siguiente.
an 1
"2
---.,
(1.113)
..
, ,,
(2.2/5)
I
I
I
I
(3.3/7)
I
(4.4/9)
•
,
(5.5/11)
I
I I
I
I
I I I
I
I I
--~0~------~1------~2~----~------~----~~--~n
Ahora
tracemos en un eje horizontal
mentos sucesivos de la sucesión.
los puntos correspondientes
a los ele-
Sección 8.4: Limite de una Función
549
:~& =t 1
•
1
3"
s.•
.1-•
5
7
Vemos que los elementos
•
4
9
Ti
sucesivos
1
<2 -
&
,
1
2
distancia
an
=
de la sucesión
e
&=j2+
•
se aproximan
también que fijada
2n~1 se encontrarán
+ e> para los índices n ~6
& alrededor
1
1 2
5
a 1/2 cuando n crece. Se observa dedor de 1/2, los números
L
> 5
de 1/2, los números
=
a
n
cada vez más
la distancia
& > O alr~
dentro del intervolo:
k. Obvianente
si se voría
la
an se encontrarán
en el mismo
in-
tervalo pero con otro índice n16. EXpresando e dada
esto de otra manera,
temando n bastante
(que de~nde
podemos
grande.
hacer lan-l/21 menor que cualquier. Es decir, para e > O existe un número k>O
de &) tal que lan-l/21 < & siempre que n > k. si existe un número L tal que 1an-L 1 es arbitrariamente
En general,
para n suficientemente 8.6
DEFINICION
grande,
decimos
que la sucesión
pequeño
lan} tiene límite L.
Una sucesión
lan} se dice que tiene límite L, si para e: > O existe un número k>O tal que lan-LI < &
para todo entero n > k, Y escribimos:
=
I im an
L
n++o
o equivalentemente: Si I im an
=
L
-\le: > O, 3k > Olsi
-
lan - LI < e:
n > k
n++~
Llemaremos
entorno
del número
L al conjunto de números
cen la desigualdad: lan - LI < e: a,
Por ejemplo, <2.9,3.1>
a1
• L-e:
as
-
reales que satisfa-
L-e: < an < L+e: an
a.
•
O
• f(n)
L+&
L
para L=3 y &=0.1, el entorno del número 3 es el intervalo:
.
Geométricamente,
el entorno del número.L
Si los ténminos de la sucesión
representa
se representan
quier entorno del número L que tomemos, comenzando todos los ténminos de la sucesión tinuando acumulándose
alrededor
el intervalo
par puntos del eje real, cual de un número detenminad~
caen en este entorno y no salen de él,cOD
del punto L, que representa
el límite de la
Capítulo 8: Sucesiones
550
sucesión numérica. EJEMPLO
1.
Demostración.'
Dada la sucesión:
an=lln, demostrar
en el princIpIo
Apoyándonos un número
real positivo
tal que 1 < nr, esto es: O <
1 < n
de Arquímides
entonces
~
Lo que demuestra
í < E,
. Luego,
i'n>k
O
que dice: "Si r es
existe un número natural n
k>
De. modo que si cons ideramos n ?- k, tenemos: ~ ~ O <*
=
r"
Entonces, dado E > O existe un número natural
Esto es:
que: lim an n-
O tal que: O <~
< E
-k 8.6: 1* - 01 < E
por la definición
que: lim an = O n+~
EJEMPLO
2.
Usar la definición
8.6 pora denostrar
que la sucesión
{2n~1}
tiene 1 ím ite 112. Demostración.
En efecto: 1
"2
(1) lim an
:
.•..•. -VE >
O,
ak > O 1sin
> k .• 1
(2)
In2n+1 -2 11 = 1. 4n'-1+
(3) Debemos encontrar k > O
1 2
1 .• 4n+2 <
E
,
de donde: n >
1-2E -¡;-
.• k = l~:E . La definición k=312
+
En efecto, si tomamos n=2
-il
1-1011
Solución.
< E
1 '.!n+2
=
Por ejemplo, para E=118, obtenemos:
3.
1
21
un número k>O, tal que si:
(4)Por tanto, si n > k
EJEMPLO
n
2n+1 -
n+~
.• 12n~1
12n~1
8.6 es vál ida.
--tI
1 10
<
1
'8 '
-Vn>312
1
<"8
23n+36y 1 im a = L, hallar el minimo entero k tal que n+ n.•~ n SI, n > k, entonces: ,12n+6 3n+3 - L 1 < 0.005
Si a n
=
En el ejemplo 1 se demostró
que lim(lln) n"~
=
O. En general si c es
lim (cln) = O nL dividiendo numerador
.. '-...
un número real finito, entonces: (1) APlicando
esta propiedad
evaluaremos
y denomina-
de an entre n. '<;
Sección 8.5: Teoremas sobre Limites
Entonces:
SS1
L = lim 2 + 6/n n- 3 + 3/n
2 + O 2 =3+] ="3
(2) 12n+6 - ~I 3n+3 3
12n+6-2n-21 = 4_ 3n+3 3n+3
( 3)( Luego.
> k
(4)
Para
sin E
5
=
1000
=
+
1
200
_4_
3n+3
< E
+
• obtenemos:
Dado que n > k. el mínimo entero
Demostrar que:
EJEMPLO 4.
4-3E 3E
n >--
n
>
es k=26S.
lim {s-n}:_1. n+~ 2+3n
S-n I2+3n
(1) -\lE>O. 31<>0 ISi n > k.. (2)
S-n + 11 = 11s-3n+2+3nl = ~ I 2+3n 3 3(2+3n) 6+9n
(3)
Luego.
SI
.
(4) Por tanto. s-n} I im {2+3n n+~
n
17
>k
+
6+9i1
necesitamos = -
<
n
.
< E
17-6 E
.•
.
17-6E k = ~.
para probar
que:
"31
(Teorema de Uni c idad)
Si I im an = L, n +e» Demostración.
Y
I im a = L •• se verifica n...- n
Para
Para
E,=E!2
E.=E!2
..
+
> O
IL,-L.I
=
..
lan - L,I
<
31<, > OISi n > k,
IOn - L,I
< ~IL, - L.I
31<, > OISi n > k. -
IOn - L.I
< E. = d2
IOn - L.I
1 < zlL,
(4) De (2) Y (3) para n ~ ma.rlk,.k.l.
..
el mayor entre
la n - L,I + la n - L.I IOn - L,l+lan
El
L, = L.
~IL,-c.1
31<, > OISi n > k,
31<. > OISi n > k,
(5) Pero:
que:
En efecto: (1) Supongamos que L, 1 L,
(3)
I
>--g;-
E
el eq ir
1 - (- 3)
TEOREMAS SOBRE LIMITES
TÉOREMA 8. 1
(2)
3
En efecto:
Demostración.
ID
2
2653
> O
E/2
- L.I
dos valores.
tenemos:
< IL, - L.I
- L.I = IL, - anl+lan
- L.I
~ IL, - L.t (Desigualdad
Triangular)
Capítulo 8: Sucesiones
552
(6) Combinando
(4) y (5) obtenemos:
(7) La hipótesis
(1) conduce
IL, - L. I < IL, - L.I
a un absurdo, por tanto: L,
TEOREMA
8.2
La sucesión constante
TEOREMA
8.3
Lim c(an)
=
L.
{c} tiende a c como su límite.
n·"
TEOREMA
8.4
Lim (an + bn)
Lim an + Lim bn
n+=
n+m
Demostración.
En efecto:
=
Sean: Lim an
L,
(2)
E
Para El=E!2
la definición
de límite para cada caso se tiene: IOn - L,I < El
> Olsi n > k,
3kl
L.
n+c:o
> O, usando
(3) Para E.=E/2
=
Y Lim bn
n+a:J
Dado un
n+=
olsi
3k. >
n > k. ICon
(4) Luego, si n > max{k1,k1l
IOn - L.I < E. +
bn)-(L1
+
L1)1
< El
+
=
El
E
(5) Pero: I(an - L,)+(bn - L.)I .:> IOn - L,I + Ibn - L.I (6) Combinando (4) y (5) se deduce que:
(7)
IOn --L,I + Ibn - L.I < E , -\ln>k,donde k=mox{k"k.}. POI' tanto, se concluye que: Lim (an + bn) = L¿ + L. = Li¡;¡an + Lim bn n n +co n+c:o +00
TEOREMA
8.5
Lim (an)(bn) n·"
TEOREMA
8.6
Lim n·"
DEFINICION
8.7
=
(Lim an)(Lim bn) nn·'"
Lim an nsi Lim bn ¡ O Lim bn' n·'" n·'"
an
(-)
bn
Si una sucesión
tan} tiene un 1 ímite L, se dice
que la sucesión es convergente,
y decimos
que an
converge a L (se denota an ~ L). Si la sucesión no tiene el límite L se dice que es divergente.
EJEMPLO 4.
Detenminar
si la sucesión a
n
=
3n'-n 5ni-6 es converge~te
o diver-
gente Solución.
Sea L
=
I im e
n-
n
.• L:: I im 3n'-n
n-
Luego, la sucesión 0n es convergente,
5n'-6
:: I im 3 - (1 In)
n- 5- (6/n1)
esto es: {un} • L :: 3/5
3-0
3
:: 5-0 :: 5"
Sección 8.5: Teoremas Sobre Limites
553
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO
Solución.
l.
Se define la sucesión bn=3n"-2n y se tiene la sucesión an =0.2.6.12.20 •.... Si ahora se define la sucesión
Hallamos el ténnino n-ésimo de an por el método de las diferencias sucesivas: O 2 6 12 20 2
4
8
6
2
2
2
COmo la diferencia constante se obtuvo en el segundo intento; la ley de fOI maqión del ténnino n-ésimo de an está dada por la ecuación: y=an"+bn+c Si n=1 + O=a+b+c n=2 + 2=4a+2b+c n=3 + 6=9a+3b+c Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: 0=1 • b=-1 • c=O Entonces: an = n"-n n" - n . n-1 lim 1 - 1/n Si L = I im cn + L = I im 11m 3n-2 n'" n.••. 3n" - 2n n- 3 - 2/n n-
Hallar el lim 19n"+5n-4 n5n+7 Solución. En este caso debemos dividir los ténninos del denominador n y los del numerador entre: n = 1h1. EJERCICIO
2.
/g
L = lim
+
EJERCICIO
3.
Solución. Sea
5/n - 4/n"
/9
5 t 7/n
Hallar: I im n-
(1ñ+1 -
5 +
rn
= I im (1ñ+i+1)"-(,lñP n1+1n + l1+n
L = I im n_ EJERCICIO
l/n" + 4.
t
IT
3
=5'
+ 1)
=
2 + 21ñ+i In + Iñ+i
I im n-
1 +
y denominador entre ni se tiene:
el numerador
2/n"
O
[(1ñ+i+1)-Iñ] = lim [(1ñ+i+1)-Iñ][(1ñ+i.+1)+/ñ] n(rn+1+1) + In
L = lim n-
Dividiendo
+ O - O
T
n_
2.1i+l7ñ + /1 + 1/n
Hallar:
O +
211+0
O + 1 +
.I.f+O
lim ~ (1' + 2' + ••.• n",n'
+ n')
1
entre
Capitulo 8: Sucesiones
554
Solución.
La
Sll7lO:
n n' L i' = 4" (n+l)1
=
L
.•
=
L
5.
EJERCICIO Solución.
=~
1 im (n+1)1
n-
4n1
Hallar
el
2
I im ('In'-n'
=
+ n)
cada ténnino
Dividiendo
(a+b)(a'-ab+02),
+ n' n'
'/n+2n1+n'
'll/n1
de donde: L
=
EJERCICIO
6.
'In'-n'
+
+ 1
Sea SI la
Sllilll
de n ténninos
de la sucesión:
l-al
.t
{ a
3-40'
5-90'
a
a
n
L. k{2n-(2k-l)J
SI
(2n+1)
.k=1
(2k-l )-k'a'
= ~
a
k=l
no' 6(n+1)(2n+1)
1im n-
SI + S, - n' /a n'
EJERCICIO
7.
i:.
ak=l
n2
=0 -
Lk
n
- 2
k=l
(2n+1).](n+1)
=
} , a70
n' n
.• L
7-!6a'
Sll7lO
SI + SI - n /a
n-
t
y sea S, la
1
lim
Solución.
n, se tiene:
1
1/3
n ténninos de la sucesión:
S,
n
del numerador y del denominador entre
+ 2/n + 1 - '~
+ n
n
1 im n..., 3In+2n2+n'
{(2n-1),2(2n-3),3(2n-5),4(2n-7),.
.•
- 'In'-n'
-:--;:::~====...:..-:-;:===---
Hallar:
se tiene:
n +
1
L = I im n.'"
=f
+ n] , nEN
{'In'-n'
=
0'+0'
- n.'ln'-n'
n+'"
s,
(1 t ~)1
n-
identidad:
('In'-n')' n.'/n+2n'+n'
=
1 n' (ñ')'4" (n+1)2
('ln2:'n' + n)('/(n1-n')2 - n. '/n1-n' + n2) + n = ..:...;..;..:......:.:....-:-j:;::::=;:==..:..:...!.....-:-:#~-F-...:.;:-......:..:.....!. 1 1 '/(n -n')1 - 11.'ln'-n' + n
'''nr::--: -n •
• L
I im (n ~
n.•..,
de la sucesión:
límite
Haciendo uso de la
I im
n--1), = 1- I im
i=l
-1(n+l)(2n+1) k
L k'
k=l = %
n • -.!! - a' ¿ k' = !1(n+1) a k=l a
n'
S. + S; - Q
a1n
n
6(n+1)(2n+1)
a
n
= "6(n+l)(2n+1)(1-a') 1-a'
-3
los n primeros
ténninos
de la s·ucesión:
3:4(~) , ...} y S, la
SlI7IO
de los n
de
Sección 8.5: Teoremas Sobre Limites
términos de la sucesión:
primeros l. n!:
555
(nS,
S;
{2~
, 3~4 ' 4:S ' ...
n+1 Tenemos:
n 1 ¿ _---=--__
S,
1 (k+1)(k+2)
·1 (k+1)(k+2)
(n)
k
y
(n)
k=O (k+1)(k+2)
k
k=l
n! k! (n-k) !
1
1 (n+1)(n+2)
n n+2 (k+2) k=O
....•S,
1 (n+l)(n+2)
L (n+2) [ k=O k
1 (n+l)(n+2)
=
n
E(
L (n+h) =
r=O
2n+h
=
1 k+l
-s; nS
Luego: L ~ I im (
n+-
1 - k+2
2n+3) n+l
= lim _2(n + 3) n+= n .+ 1
EJERCICIO
8.
(1 )
=
=
S.
=
1 L- -(k+2 k=l
+
S.
=
2(n~2)
=
(n+l) (n+3) (k+1)(k+2)(k+3)
Sean: S,
= ¿
Hallar:
lim (S, - S, + n;3) n-
k=O
(n+1)(n+3)
1 - k+1)
n (k)
n+4
Y S.
(n+l)(n+3)
k
(k+ 1)(k+2 )(k+3)
(S.4)
= L
k=2
2 n+2 n+2(k-2)
n! k! (n-k) !
1 n+3 = ñ+2(k+3) (n+2)(k+3)![(n+3)-(k+3)]! n+3 n+3 (_1_) (n+3) = 1 (n+3) _ (n+3 )_(n+3 )_(n+3) ] n+2 k=3 k ñ+2 k=O k O 1 2 (n+3) !
-S,
1 1 -(n+2 - 0+2)
-2
t)
(kt1)(k+2)(k+3)
=
n _ 2 +3 ] n+1
. [2(2n+2-n-3) 11m n+l n+m
lim (1 + 3/n)(_2) n+= 1 + l/n n
n 2 +2 - r. - 3 (n+l)(n+2)
.{!.
+
=
(T.B.l)
r
1 [ n+2 ] -(-n-+-l)-'('-n-+-2-)2 - 1 - (n+2)
(2) ~~~l~~ (k+l)(k+2)
(Cambio de índice)
- (n+2) - (n+2) ] O 1
n+h
2n
r=O r
Solución.
n+2 n+2 k ) k=2
(n+l)(n+2)
(n+2) k+2
n+2
¿ (n) =
'Pero:
L
(k+l)(k~2)
n! (k+2)!(n-k)!
(n+2) !
....•S,
1
n = ¿
S.
(n+1) (n+2) (k+2) ![(n+2)-(k+2)]
....•S,
l/alIar:
n 3 -_ 2 + )
Solución.
(1)
}.
¿
[L
Capítulo 8: Sucesiones
556
s, = s, =
n!z[
Z n+4 n+Z n+Z (k-Z) k=Z
L:
Luego:
- 1 -(n+3)
~+3
=
- j(n+3)
Z n+Z n+Z n+Z k ) k=O
L(
L = lim (S, - Sz + n;3) n_
Zn+3 n+4 n+3 n+Z - n+Z - 2
(n+Z)]
zn+3
.2. (Zn+2) n+Z
n+Z
1 im (_.!!:!:1) n+Z
-1
EJERCICIOS: Grupo 54 En los ejercicios siguientes, usar la definición de límite para probar que la sucesión dada tiene límite hallando k para E dado.
{n:+
1.
L=O
H~:~},
4.
L=3/2
2.
{2~:3}' L=4
5.
{3~~~}'
6.
L=-1/2
{2~:;1},
L=2/3
En los ejercicios siguientes determinar si la sucesión dada es convergente o ~ivergente. Si la sucesión converge, hallar su límite. 7. {1 ,
i ' % ' i, ...}
{~} 2nz + n
8.
9. {3 , 2 ,~
12.
{,/ñ:;:1 - Iñ}
13.
¡/nZ-5n+6 - n}
14.
, 1~ , •••}
z4 tn
+ (_~)n} 10. {3n+1 3/n + 2n n 11.
{d, - n}
17. Sea Hm· ( n+1) 2n+1
:
J J
15.
n {/2n. :
16.
{ Log(n+1) . 2n}
L. Hallar el menor número natural k tal que: n+1 1 2n+1
- LI <
t, ~
> k
18. Se tiene una P.A. no constante, cuyo primer término es a,=1 y donde az' al' Y as. son términos consecutivos de una P.G. de razón r. Hallar: . Lim(an n+<>
+ nr) n
19. Sea la sucesión tan} definida por: an+1=~
, a1=1. Hallar lim an°
n-
lJT
Ejercicios: Grupo 54
557
n+10 20. Hallar: a) lim [ (n+3)'(2-3n) + (n-2)(2-n) ] n(n-1)(2-n)' (n+1)'
b ) lim n+o::o
L
(~)k
k=n
21. Empleando la definición de límite de una sucesión, demostrar que: a)
lim n+~6
{1 + 4(102n2n) } = ~ + 7(10
)
n {3.10 n - 5 } _ -1 4 n+= 4.10 + 2 1"
b)
_LID
7
22. Sean: A = lim [2+(-1)n(n12)]' B=lim n+c.,) n-
-
1 4n n
+ 2n
n) " (5y C=lim 2+3n' n+~
Hallar:
A+B+C. 23. Sea la sucesión tan} definida por: a,=4 y an lim a n->
a
2
1+-' n ~ 1. Hallar: n9n
n
24. Se define la sucesión bh=2n'-5n y se tiene la sucesión (an}=-2,7,22,43, 70, .... Si cn=(an):(bn), hallar: lim cn' nan-1+an-2 25. Sea la sucesión {~} , nEZ+ definida por: a1=0, a.="I, an = n'l3 a) Demóstrar por inducción matemática que: a b ) Hallar:
= .5 +.5 3
(_1)n 3 2n-1 '
" SL
n 'l2.
lim ra - ~ - nJ n+= L n n(/n'+5 + n)
26. Dada la sucesión lan}, nEH definida por: a1=1, a.=1/2 y 1 (1 n-1 , lInEH, an = 2(~-1 + an_2)' n ~ 3, demostrar que lan - an_11 = 2) n >--2 27. Analizar la convergencia de la sucesión tan} definida de la siguiente manera: al=-6/5 , an
3 3 +
[an_1]
, n
'l
2.
AER Y lim bn =BER
28. Si tan} y {bn} son sucesiones en R tales que lim an ndemostrar que: lim (an)(bn) = AB. n-
n-
29. Empleando la definición de límite de una sucesión convergente • probar que: Si nEH y tERI-1 < t <"1 + lim tn = O n..~ 30. Sea Sn la suma de n términos de la P.A. cuyos primeros términos son: 2a2-1 a
---
4a'-3 a
, --
6a'-5 a
, ---.
Ha11ar: 1"1m_ Sn ~ n'
31. Sea Sn la suma de n términos de la sucesión: {(2n-1),2(2n-3),3(2n-5),4(2n-7), .••} ; hallar:lim {l+CD
Sn nJ
Capítulo 8: Sucesiones
558
32. Sea Sn la suma de n términos de la sucesión: 9 9 9 { 1x2 • 2x3 • 3x4
•
33. Si S" '8,.
9 4x5 .'..
.
.}
hallar: lim Sn n+~
Sp son las sumas respectivas de n términos de progr~
siones aritméticas cuyos primeros términos son 1.2.3.4 •...• y cuyas dip
L:
ferencias son 1.3.5.7 •....; hallar: lim (~,) Sk n+~ k=1 34. Sean: S, la suma de n términos de la sucesión: {1~3 • 3~5 • 5~7 • 7~9 •... } y S, la suma de n términos de la suceción:
{1 (~) • i(~) , i(~)
• i(~)
•...
}.
hallar: lim (S, + 5,) 2n
n+CZI
35. Si Sn es la suma de los n primeros términos de la sucesión {anl={n(~)2n} 4
calcular: lim (Sn + 2ian) n+~ -2
36. Sea {akl la sucesión se números reales. en la cual ak
(2k+1)(2k-1)
n
L: ak k=1
• hallar: lim n+c
s., Lim ( n+~
n
siendo:
Sn =
L k,(n) k=1
. (5ug. Expresar: k'=k(k-1)+k)
k
.38. Sea S, la suma de los n primeros términos de la suces~on: n+3 n+1(n) n+1(n) {n+1(n) (n+1) y 5, = 2 1 • 3 2 • 4 3 k=2 k-2 n' + 1 Hallar: lim
. ... }
L:
- S,)
}
-2 -2 -2 {3x5 ' 5x7 • 7x9 a) Hallar Sn. la suma de los n primeros términos de la sucesión.
..
39. Dada la sucesión:
b) Demostrar por inducción matemática, l~ fórmula Sn. hallada en a). e) Hallar: lim Sn' n-
*
Sección 8.6: Series Infinitas
ID
559
SERIES INFINITAS Sea {akl = a.,
a"
a.,
a"
....
,ak,
una sucesión
y
n
Sn = L ak = a. k=O nita
denotada
+
por
a,
+
a.
+ •••
Lak, k=O
+
un ' una sUlila. Entonces,
es la sucesión:
el nCmero ak se denomina n-ésima.
término
{a.,a.+a"a.+a,+a.,
k-ésimo
de la serie,
la serie
infi-
....
donde
I,
y el núm~ro sn ' suma
parcial
De modo que si convenimos en asignar:
s. S
a. a,
1
+
al
+
a,
5200+a)+02.
sn
=
a.
+
a.
+ ..•
+
an <>
la suno {snl se denomina sucesión
de las SIl1lOSparciales
de la serie
L ak k=O
Observac iones : (1)
Decir que la serie
Lak converge al número L es decir k·-:O al número L. Esto es:
{snl converge
=
I im sn n+n
n I im ak n+- k=O
¿:
que la sucesión
L
Q
(2)
Decir que la serie
Lak k=O
áiverqe , es decir
que la sll1la {snl diverge.
w
(3) Si la serie
L ak converge k=O y escribimos: Lak k=O
al número L, entonces
L se llama SIlOOde la
Q
serie
=
Loa.
+
al
+
a,
+ .
•
L
00
EJEJ.1PW l.
La serie:
L 2n es
divergente
k=O En efecto,
observamos que la n-ésima sn
Como la sucesión
=
1 + 2 + 2'
{snl no es acotada
verger,
por lo tanto,
EJafPW
2.
La serie:
la serie
i (-1/
k=l
suma parcial
n
+ 2
+
(no tiene
cota
dada es divergente. es divergente
viene dada par:
superior)
no puede con-
,. . Capitulo 8: Sucesiones
560
En efecto, aquí: Sn
=
-1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ••••
para n impar:
-1 ,
sn
=
n , esto es:
+
1. 3, 5.
. •..
{
O , para n par: 2.4,6, •..• Luego. ISn} tiene dos límites diferentes, en consecuencia no existe lim sn. es decir,
{Sn} no converge.
n+o
Uha de las series que tiene muchas aplicaciones se presenta en el siguiente EJEMPLO 3.
LA SERIE
GEOJlETRICA
a) Si Irl
< 1
Irl
> 1
••
L: r
= _1_
1-1'
k
atverqe k=O Demostración. En efecto, una SUlla parcial de la serie geométrica: b)
el
Si
.. k=O irk
niÍnero:
=
Sn
t
k
=
(l-r)Sn Si
11'1
< 1,
1 - r
entonces: rn+1_
Esto prueba la porte
a),
n+I O y,
=
r
k=O MUltiplicando por r se tiene: rSn Restamos ahora (1)-(2), obteniendo:
=
1 + r + r1 +
r + r1
.• Sn
=
1 - rn+1
por tanto,
es decir: 'f.rk k=O
+
+ 1"
1 _
=
+
l'
l'
,r
en (3):
'" k L r •
rn
(1)
n+1
# 1
Sn -
es
k=O
(2)
(3)
l:r
-11 -1'
Para 1'=1, utilizando (1) vemos que: Sn = 1 + (1 + 1 + 1 + ••• ) = 1 + n Par tanto, la serie diverge. Para l' > 1, 1'#1, utilizamos (2). Como en este cáso {rn+1• diverge, entonces l.>nl diverge. Uh caso especial
de la serie
geométrica
es:
i:(~)= 1 _11/2
k=O
i:
f.
2"
(1 k) = 1 + (1 k) k=O 2 k=l 2 COmenzando la suma en k=l, en lugar de en k=O, obtenemos:
Dado
que:
cuyos
Stll1ClS
parc ia 1 es :
t s. "t t "i S1
=
+
s.-.l+l.+l-L '-2
4
8-8
=
2
Sección 8.6: Series Infinitas
561
s, - 1.
+
- 2
1.
+
1. ~ -L _ 15
4
8'
= 1. + 1. + 1.
s,
2
4
16 -
16
-L.¡. 1
+
8
16
32
=
31 32
se ilustran en la figura siguiente: 1
3
2"
7
"4"8
15 16
31 32
~c----------------------------~o~------------~o~-----oO--~O>-_9 s, s, s, s, s, 1
Podemos
cbser-vcr
Que cada nueva suna parcial se sitúa a medio camino entre
la sumo previa y el número l. En el sistema decimal, Para comprobarlo.
la serie geométrica
desempeña
un papel importante.
tomemos la serie para r=1/10
i: -;¡< 1
k=O
_ -:--,1,-;--;-:-;;1 - 1/10
La n-ésima sIma parcial de estu última serie. es: sn
=
111
10
+ lO'
+ -
10'
f(2-)e
Tomemos ahora la serie:
k=l
Las sumos parciales
JO/
con a&{0.l,2,
...
,91
'
(4)
en este caso son:
- a, a. ~ a, t n-TQ+_·_T lO'
COmo {snl converge,
+
1 1 9(10 + -
.
1 + -)=9sn
+ •••
lO'
io:
entonces
l~
Isnl es acotada. Esto implica Que {tnl es aco-
tada. Dado Que {tn} es creciente,
será convergente,
esto es , la serie (4)
converge. La suma de esta serie es lo que da sentido a la fracción decimal: O.a, a,a, ..•. EJEMPLO
Solución.
4.
Hallar
COmenzamos
la fracción generatriz por escribir
mas parciales.
la fracción decimal
=
0.1 + (0.036
'" -L + 10
(~ ID'
+ ~ 10.
es la serie geométrico a,
=
36
1000
Y r
=
+
1 100
0.00036 + ••• + ~ lO'
0.136 ...
como una serie de s~
esto es:
0.1363636 ....
La sumo entre paréntesis
de la fracción decimal
)
+ . • • .,)
infinita en la que:
.. 562
Capítulo 8: Sucesiones
0.1363636 ..• ::
1~ + 10~0 ~1(l~~k) 1
36
1
1
36
)
10 + 1000(1 _ 1/100
3
~ 10 + 990 : 22 La serie geométrico EJEMPLO
S.
aparece naturalmente
en muchas
Una pelota cae de una al tura de 48m y rebota 2/3 de la dista!! cia desde la cual cae. Si continua
ta forma, qué distancia Solución.
recorrerá
cayendo y rebotando
en es-
antes de quedar en reposo.
La pelota antes del primer rebote recorre 48m,
distancia
otras cuestiones.
igual a 2/3 desde
es la ~istancia
\
luego sube y baja una
\
la cual cae. Si d
que recorre antes
en reposo, entonces: d ::48 2 en donde: 0,= 3(48) = 32 Entonces:
d '"48 + 2(1 :2Ú3)
EJEMPLO
6.
\
de quedar
\
48
.,;::. 2k 2~ 0'(3) k=l
+
I
\
\ I \ 1
\ \ I
\1
iI
11
11
r
I
;: 48 + 192 1 n 9(175) ,
Sea an : an-1 +
1
24Qn
-'In ~ 1
Y
a ,=4.
2
Hallar:
Iim an
nSolución.
JIallemos
una fórmula para el término an0 1 9(IO) =
Para n=l
.•.
al
=
a•
n:2
.•.
a~
=
o, +
n:3
.•
a
=- a 2 + 9( 1~)'
+
9(fa)'
4 + 9(...1.)
10
::
4 + 9(1~ + _1_)
=
4 +
101 J
1 1 1 an :: 4 + 9(-0 + + + ••. 110' 10' En la n-ésima suma parcial del paréntesis: Entonces:
lim an:: 4 + 9(
nEJEMPLO
7. Los tres
1/10
primeros
Solución.
hallar
.1
W
+
1
1
+ i"(¡O) .
:
4 + 9[
IOn
.;., lk L..- (10~
]
k:l
0,:1/10 y r::l/10
=
5
términos de una P.C. son:
donde h es una constante dela progresión,
g(10 + -)
j ; 4 + 9(i)
1 - 1110J
1
real. Si Sn es la
100+h, 50+h, 20+h, sllila
de n ténninos
lim Sn' n ..•••
Si (100+h):(50+h):(20+h)
están en progresión
geométrica,entonces:
.,
#
Ejercicios: Grupo 55
50+h
20ffl 50+h ' de donde:
TOO+h = Luego,
563
los tres primeros
h=25
-~-1.<1
+
r - 100+25 - 5
términos
de la progresión
son: 125:75:45
EJERCICIOS: Grupo 55
Cada una de las series siguientes converge. Hallar su suma. 1.
..
Q
1
L
k=3 (k+1)(k+2)
4.
7.
(_1)k k=O 5k
•• k 4k ¿:3 + k=O 5k
5.
±(~ k __6)k 10
8.
9.
•• k-1
L:-2k-
k=O 3
+ 2k k
:¿3
11.
k=O
•• k ¿:!.....=....L k=O
k=1 2k+1
100
1
L
k=O (k+2)(2k+2)
6.
.. L2=.:!.
:: k+3
10.
3.
k=O (k+3)(k+4)
i:
k=O
1
L
2.
12.
3k
.. L_1_
k=O 2k+3
i:2k + k3k
k=O
5
6
En los ejercicios que siguen, escribir cada fracción decimal como serie infinita
y
expresar la suma como cociente de los enteros.
13· 0.242424 ....
16.
1.424242 ....
14. 0.112112112 ....
17.
0·37251251251 ...
15. 0.62454545. '...
18.
0.315315315 •...
19. Demostrar que:
.. 2:
ak k=O
L
-+->-
¿ ~=
L - (ao + al +
k=i-+1
20. Utilizar la serie geométrica para demostrar lo siguiente:
..
1 "'" (-1)krk ,para a) -1-= .Lo. T r k=O
IrI < 1
a>i)
•
11'
564
Capítulo 8: Sucesiones
21. Cuánto dinero ha de depositar un hombre al 5% de interés (compuesto anualmente) si desea que sus descendientes
puedan retirar a perpet.uidad
100 d61ares por año? Expresar la respuesta como serie geométrica.
22. Empleando propiedades sobre limites de una sucesión ponvergente, demostrar que si Sn = a, ~~~rn) "' donde a" r
r-e R , Ir I < 1, nEli + lim Sn = 1:~ n+~
n
23. Hallar n , si:
í:3k
120
k=1
24. Hallar el número de términos que se deben sumar de la P.A: 9,11,13,· .•, para que la suma sea igual a la de los 9 primeros términos de la progr!i!. sión geométrica: 3:-6:12:-24: .•.• 25. Una bola abandonada desde una altura de h metros rebota hasta una altura de ah metros, donde a es una constante positiva menor que 1. la distancia
desde una altura de h, metros.
26. Si Sn
=
Hallar
total recorrida por la bola si se dejó caer inicialmente 2n+1
"
2 - ----, hallar a, y an0 Qué serie es? 3n
*
.,
,.. 565
CAPITULO
NU.EBOS CO.PLEJJOS DI
INTRODUCCION del campo de los números reales
Dentro que xt=a,
que satisfaga
esta
sistema
pues,
ecuación
pre pos i t t vo o cero. el
Por tanto, e incluir
nwnérico
del
meros son parejas de n(uneros reales te para conser-vo»
separados
semejantes o unidad
(a,b),
dos números.
debemos ompl i ar
a i=r-T,
tal
(llamados
donde el sínWolo Esto es,
que ¡1=-1 Podenos en
ÍlilUginaria.
de números reales.
conjunto
real
es siem-
níineros Estos
nú-
i sirve solame~
si designamos por C a di-
entonces: C
La combinación
la ecuación
de números de la fonna a+bi
donde o.y b se eligen
cho conjunto,
resolver
para
expresiones
invest igar el conjunto
tonces
número
ningún
euadrado de todo núj1Jero real
el
es llamada r:ímero imaginario
Esta expresión
ccmplejos),
podemos hal lar n(meros ::c tales
0>0. Pero que sucede cuando 0<0. No existe
si
=
{(a,b)~a+bi!a,bER
de los n~neros
tema de níineros ccmplejos.
complejos
reales
a semejanza con el estudio
Entonces
de los números reales
en forma axiomát.ica
A i'=-11
con los nú~eros
se llama si~ desarrollado
comenzaremos por definir
este si§
tema en [une ión de los n(uneros reo Ies.
lB
EL SISTEMA El
sistema
DE NUMEROS
de números complejos
ordenados de números reales
y dos operaciones elementos i)
Igualdad:
ii) Adición: iii)
Ilan~das
cualesquiera
Multiplicación:
(0,0).
(a,b)
(c,d)
(a,b)
~ (c,d) (a,b)(c,d)
es el
conjunto
C de todos
provisto de una relación
de adición
(a,b)EC
COMPLEJOS
y multiplicación.
y (C,d)EC se tiene: •...• u=c x b=d (a+c,brd) = (oc-bd,ad+bc)
tales
los pares
de equivalencia que, para dos
.,
* . 566
NOta.
Capítulo 9: Números Complejos
Los elementos del conjunto e se denotan por las letras de modo que si:
ZEe
z=(a,b)
a,bER
e
w=(c,d)
c,dER
\<4
m
w, W,
z, etc,
PROPIEDADES DE LA ADICION Para los números c~,lplejos z"
z., Z,Ee, se cumple las siguientes prg
piedades: A.l:
~Z"Z.Ee
.• (z,
A.2:
~Z"Z.Ee
.• z,
A.3:
~Z"Z.,Z,EC
A.4:
3!Z.Eel~ZEe: z
=
z.
.• (z, +
(Clausura)
Z.)Ee
+ +
+
z,
(Conmutat ividad)
z.
+
z,
z.)
+
z,
z,
(z.
+
z,)
+
(Asociat ividad)
z
(Existencia y unicidad del elemento neutro aditivo z.=(O,O)) A.S:
Para cada ZEC, existe un único (-z)EClz
+ (-z)
= z.=(O,O)
(Existencia y unicidad del inverso aditivo) Demostración de A.2:
z,
+
zi
=
z.
+ Z,
En e{ecto, sean z,=(a,b) y z.=(c,d) dos números complejos. z,
+
z.
(a,b)
=
(c,d)
+
(a+c,b+d)
(c+a,d+b) (c,d)
=
(a,b)
+
(De{. de suma) (Conmutatividad
z.
z,
+
en R)
(De{. de suma)
:. La suma de complejos es conmutativa. Demos trac ión de A. 3: (z,
+
zs )
+
z, = z •
(z.
+
+
z «)
En e{ecto, sean: z,=(a,b), z.=(c,d) y z,=(e,{)la,b,c,dER (?,+z.)+z,
[(a,b)+(c,d)] (a+c,b
(e,{)
+
(De{. de suma)
(e,{)
+
, (b+d)+f]
(De{. de suma)
b+t d+f") ]
(Asociat ividcd en R)
(a+(c+e) (a,b)
+
[(c+e),(d+{)]
(De{. de suma)
(a,b)
+
(c,d)
toer,
+
(e,{)]
z,+(z.+z,) :. La suma de complejos es asociativo. D~nostración de A.4:
3!Z,Eel~Ee:
z
+
z,
=
z
En e{ecto, sean: z,=(x,y) y z=(a,b) Averiguar~nos que valores deben tomar x e y de modo que: z+z,
Z
de suma)
,. Sección 9.3: Propiedades de la Adición
(a,b)
= =
(a+x
x
+
=
(x,y)
+
(a+x,
+
567
(a,b)
b+y)
=
a)
(b+y
A
(a,b)
O
= =
Y
Entonces el elemento neutro aditivo
(Def. de Igualdad)
b)
O
es ~,=(O,O). La unicidad de z, resulta
de la unicidad de los valores de x e y. :. z,=(O,O) es el et enenro neutro aditivo de C. Demostración de A.5: VZ&C, 3!(-z)&cIZ
=
(-z)
+
z,
En efecto, sean: z=(a,b) y -z=(x,y) que valores deben tomar s: e y, tal que: z + (-z.)
Averiguaremos +
(a,b)
+
(a+x , b+y)
+
=
(x,y)
Luego, si z=(a,b)
z,
(0,0) •..• {O + x b+y=O
(0,0)
=
O
x: y
+ +
= =
-o -b
-z=(-a,-b)
+
-z=(-a,-b) es el inverso aditivo u opuesto de z=(a,b) Según esto propiedad, se puede definir
I
lación:
Zl - Z.
=
lo resto: Zl-Z. por la siguiente re-
z,
+ (-z.)
I
Ejemplos: (1) Si z,=(-2,-3) En efecto:
, z.=(5,2); verificar
z,+z.
=
que: z,+z.
(-2,-3)+(5,2)
=
(-2+5,-3+2)
z.+z,
=
(3,-1)
[5+(-2),2+(-3»)
z,
+
z.
= z.
En efecto:' z,+(z.+z.)
=
(1,3) + [(-3,2)+(2,-4)]
=
(2,3) + (-1,-2)
[(2,3)+(-3,2») + (2,-4) (-1,5)+(2,-4)
z, + (z. + z.) (3)
Si z,=(2,3)
z,
+
z.
=
=
z, - z.
=
(2,3)+[-3+2,2+(-4»)
[2+(-3),3+2] + (2,-4)
(1,1)
z,+z,
+
=
(2,3)+(0,0)
+
z
+ (-z)
(3-3,5-5)
Si z,=(7,5) Y z.=(-l,3) +
=
(1,1)
(2+0,3+0)
(2,3)
z,
(4) Si z=(3,5) Y -z=(-3,-5) (5)
=
=
(z,'+ z.) + z.
Y z,=(O,O)
=
(3,-1)
; verificar A.3
(2) Si z,=(2,3) , z.=(-3,2) Y z.=(2,-4)
(z,+z.}+z.
=
+ ~,
z,
+ (-z.)
(7,5)+(1,-3!
(8,2)
(0,0)
=:
Z,
Capítulo 9: Números Complejos
568
I!II PROPIEDADES
DE LA MUL TIPLlCACION
Para z"z.,z.tC, 101.1: ~z"z.&C
+ +
se cumplen las siguientes propiedades: (Clausura)
(z,.z.)tC
101.2:
~z"z.tC
lA.3:
~z"z.,z.tC
101.4:
=!weC, wFz.l~ztC:
101.5:
~ZEC, z#zo, 3!Z-'EClz.z-'=
(Conmutatividad)
Z"Z'. = z •. z , (z,.z.).z. = z,.(z •.z.)
+
(Asociatividad)
z.w=z, donde w=(l,O)
(Existencia y unicidad del elemento neutro multiplicativo) w
(Existencia y unicidad del elemento inverso multiplicativo) 101.6: ~z"z.,Z.EC:
z,.(zz+z.) = Z •.Z.
+
Z,.Z.
(Propiedad Distributiva) Demostración de 101.2:
~"Z.EC,
Z •• z.=z •.z.
En efecto, sean: zl=(a,b) Y z.=(c,d) (1)
+
z •.z ,
(2)
+
z•.z.
=
(a,b)(c,d)
(ac-bd,ad+bc)
(c,d)(a,b)
(ca-db,cb+da)
(Def. de Mul t.) (Def. de Mult.) (Conmutatividad
(ac-bd,ad+bc)
(3)
(4) Luego, de (1) y (3): z,.z.
=
z•.z,
:. El producto de niíneros canplejos es conmutativo Demostración de 101.3: (Zl'Z.).Z. = Zl'(Z •.Z.) En efecto, sean: zl=(a,b) , z.=(c,d) y z.=(x,y) (1)
+
(z,.z.).z.
=
(ac-bd,ad+bc).(x,y)
(2)
=. [(ac-bd)x-(ad+bc)y, (ac-bd)y+(ad+bc)x]
(3)
= Ja=-bdx-ady-bcy
, ac~bdy+adx+b=)
(4)
(acx-ady-bdx-bcy
(5)
[a (=-dy)-b(cy+dx)
, acy+adx-bdy+b=)
(6)
(a,b)(cx-dy,cy+dx)
(7)
(a,b)[(c,d). (x,y)] = z i . (z•. z s )
a(cy+dx)+b(cx-dy)]
:. El producto de nCrneros canplejos es asociativo Demostración de 101.4: 3!weCIVzeC;
En efecto, demostraremos (1) Si z .» (2)
=
z
-+
z.w=z, w=(l,O)
que: w=(l,O). Sean: z=(a,b) y w=(x,y)
(a,b).(x,y) (ax-by,ay+~)
=
(a,b)
=
(a,b)
_
{ax-bY m+ay
= =
a b
(a) (a)
en R)
,. Sección 9.4: Propiedades
de la Multiplicación
569
(a) por a: aix - aby = o~ '/ (6)" b: b~x + oby = b1 1 (5) Sumando (3)+(4): (a +b")x = al+b~ .• x=l (6) SUstituyendo en (s): b+ay = b .• y=O. Entonces: w=(l,O)
(3) Mlltiplicando
(4)
:.•• =(1,0) es el elemento neutro nultiplicotivo
NOta.
de
C.
El elemento neutro nultiplicativo
definido en M.4 se llama también unidad compleja o uno complejo y se denota por l. Esto es, w=l=(l,O)
En efecto, sean z=(o,b) y z·'=(x,y) (1) Si z.z-'=w
+
..
(2) (3)
(a,b).(x,y)·
=
(1,0)
=
(ax-by , ay+txx)
(1,0)
_
{ax-bY=l b.r +
ay
=
O
Resolviendo el sistema para x e y obtenemos: a __
x=al
-b y=--ot + b~
+ bi
(4) Luego, si z=(o,b)
•
Z-l
=
(a~~bt'a;~bt)
es el inverso nultiplicativo
de z=(o,b)
y es único.
NOta.
inverso multiplicativo de z=(o,b) definido en M.S, se de de z. Es costumbre representar a Z-1 como l. z Según esta propiedad, se puede definir la división de z entre w por la siEl elemento
nomina
también recíproco
guiente relación:
I~ De esta definición
se obtiene
z=(a,b) y ~e(c,d).
.• wz -_ o sea:
(a, b) _ (c,d) - (a,b). (c,d)-1
=
z.(~
1
=
z.(w-1)
la regla para dividir dos números complejos:
570
Capítulo 9: Números Complejos
EJEMPLO
Solución.
Según la regla para la división: z
(5,3) (3,-1)
W= EJEMPLO
= (
15-3 9+1
+
(2,-1)z + (-4,3)
+
(2,-1)z
mR
6
7
(5 ' 5)
=
(1,1)(1,-2)(1,3)
Debido a la propiedad M.3 no interesa el orden en que se empiecen a multiplicar
=
9+5) 9+1
Hallar el valor de z para: (2,-1)z+(-4,3)
2.
Solución.
z
hallar: z/w
Si z=(5,3) y w=(3,-1),
1.
=
=
los factores en el segundo extremo.
(1+2,-2+1)(1,3)
(6,8)-(-4,3)
g~~~~ = (2t~
=
1~:~0)
=
COMO SUBCONJUNTO
Veremos enseguida
=
(3,-1)(1,3)
(6,8)+(4,-3)
=
(3+3,9-1) = (6,8)
=
(10,5)
(3,4)
DE
e
j?
la relación que existe entre los números
complejos
y los números reales. Sea A={(a,O)la€RCCI, Se
el conjunto de los complejos de parte imaginaria nula
puede establecer
una correspondencia
biunívoco
entre
A y
los reales de
la siguiente manera: La función f:A
R, definida
+
por f[(a,O)]=a,
asigna a cada complejo real su
primera componente. f es inyectiva,
puesto que si: z,=(o.,O) y z.=(a.,O) y z,#z. +
Además como: fez,)
=
f[(a"O)]
a,
l
a.
tenemos que:
a, y
=
f(z.)
a, # a.
++
f[(a.,O)]
si
z, # z.
pues ~a€R, existe
a en los reales,
(o,O)€Alf[(a,O)]=a.
tos A y R. Si z,=(a"O)
z,
+
z,.z. Aplicondo
z.
=
le corresponde
++
o, ~€R
de las operaciones
i i ) Y ii i) de 9.2 en los conju!]
Y z.=(a.,O), entonces:
=
el
lo cuol se indica escribiendo: (0,0)
Veamos el comportamiento
o.
fez,) # f (z.)
+
Por tonto, f es una función biyectiva. Esto es, ~a,O)€A elemento
=
fez,) # f(z.)
de donde se concluye que, f es sobreyectiva,
(0,,0) # (0.,0)
=
(a"O)+(a.,O)
(0,,0)(0.,0)
=
=
(0,+0.,0)
(a,.a.,O)
f a cada una de estos operociones
~
0,+0. a,.a.
se tiene:
,. Sección 9.6: Forma Cartesiana de un Número Complejo
[(z,+z.)
=
[[(a"O)+(a.,O)J
=
a, +
0,
=
=
[[(0,+0.,0)]
[[(0,,0)]
+ [[(a.,O)J
=
[[(a,.a.,O)J
[[(0,,0).(0.,0)]
f(z ,.z.)
=
0,.0,
Esta analogía pennite
571
=
[[(0,,0)].[[(0,,0)]
identificar
=
[(z,) + [(Z,)
[(z,).[(Z,)
cada complejo real con el real corresponr
diente, es decir, es válida
la igualdad: (a, O)
=
a , 'ffieR
o sea, podemos afirmar entonces que A=R y como Ac.:C, De aqui se considera
que el sistema de los números cOfiV'lejoses una amplia-
ción del sistema de los números
mil
FORMA CARTESIANA LA UNIDAD
tenemos que: RCC
reales.
DE UN NUMERO COMPLEJO
IMAGINAR'lA
El número complejo
e 'r
.
i~ag¿nario
denomina unidad imaginariá
y
cuya segunda componente
es la unidad se
s~ denota por: (0,1)
Tiene la propiedad de que si: j1 = (0,1)(0,1) y por la analogía de los campl~jos ¡>
=
(0-1,0.1+0.1)
=
(-1,0)
reales con los reales: -1
i
= /-T
Podemos usar esta notación para obtener diversas .potencias de i: iO
Obsérvese
Aná 1 ogamen te:
i' i1
-1
P
i1i = (-l)i = -i
i• i• i'
-1
-i
(i')(i')=(-l)(-l)=l i' i' que para cada 4 potencias sucesivas de i se repiten
sultados. Luego, si el exponente de i es neN, al efectuar
los mismos
la división
r~
entre
,572
Capítulo 9: Números Complejos
cuatro se obtiene 4k+r, donde O ~ r < 4, entonces: .n .4k+r
=
I
I
En consecuenc ia, in se reduce a uno de los cua tro cons iderados
en pr imer Iu
gar, según el valor que tenga r . Ejemplos:
(1)
.128
(2) i25
=
Usando la convención
.0
i4(32)+0
=
I
i4(6)+1
1
I
i1
=
=
de identificar
con el número real a, podemos z
ma:
(a,b)
.87
i4(21)+3
(4)
I
el número complejo
=
-i
z=(a,b) en la for
=
a + bi
a + bi
Notación que se conoce con el nombre de fonna cartesiana,
rectangular,
canó
donde a es su parte real y b su par-
nica o binómica de un número complejo,
a
.3
I
-1
(b,0)(0,1)
+
z
te imaginaria, y se denotan,
.2
I
(q,O) + (O,b)
(a,O) + b(0,1) En consecuencia:
i4(13)+2
I
los números complejos de la fonna (a,O)
escribir
(a, O)
.54
(3)
respectivamente:
=
=
b
Re(z)
Im(z)
de modo que podemos escribir:
= Re(z)
z Una ventaja de escribir suma y la.multiplicación
los números
.+ Im(z)i
complejos
en fonna cartesiana
se pueden efectuar
sin referirse
es que la
a las definicio-
nes en ténninos de pares orde~ados. Si usamos la notación plicación
z.=(a,b)=a+bi
, z.=(c,d)=c+di
z •.z. donde consideramos
llos obedecieran tendríamos:
la multi-
los ténninos a,b,c,d, i, como si todos e-
a las leyes de los números z •.z.
para efectuar
=
(a+bi)(c+di)
reales y reemplazando
i' por -1
ac + adi + bci + bdi'
(ac-bd) + (ad+bc)i (ac-bd,ad+bc) Por ejemplo, si z.=(-2,3) y z.=(1,-2), z •.z.
(-2+3i)(1-2i)
=
-2 + 4i + 3i - 6i' En adelante adoptaremos
entonces:
(-2)(1)+(-2)(-2i)+(3i)(1)+(3i)(-2i)
=
-2+7i+6
la representación
raciones de suma, diferencia, jos.
=
4+7i
cartesiana
multiplicación
=
(4,7) para efectuar
y división de números
las opecomple-
, . Sección 9.7: Representación
ID
Geométrica
de los Números Complejos
573
Q
REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS NUMERaS COMPLEJOS La idea de representar
geofilétricamente un número ccmplejo
te muy simple. Se puede establecer
una correspondencia
es realmen-
uno a uno entre los
números complejos y los puntos del plano cartesiano de acuerdo
con el esqu~
ma: .'iCmeroeanplejo
Punto del plano P(a,b)
(a,b) = a + bi Así,
cada
número
cuyas coordenadas corresponde
complejo son x=a ,
a+bi :y.=b.
a un punto
corresponde
Recíprocamente,
único
del plano
cada punto P(a,b) del plano
a un número único a+bi.
y
El punto P(a,b) recibe el nombre de punto 4fijo o gráfica del número complejo El plano donde suponemos
representados
los
afifos de todos los números complejos, llama planQ carplejo.
P(a,b)
a+bi.
El eje OXde
se este
plano contiene todos los afijos de los c~ p.lejos de la forma (a,O)=a+Oi . es decir,
1---;fF---------..La-.-X
los números reales. Por esta razón recibe el nombre de eje real. los af i jos de los números
El eje OY contiene l lama eje imaginario.
imaginarios puros (O.b) y se
La 1 ínea OP que representa
la magni tud del complejo
a+bi se llama radio vector.
CIII
REPRESENTACION
GRAFICA
Si en un plano complejo
z1=(a.,b.)
por sus respectivos
representamos
los complejos
radios vactores
suma z,+z. es la diagonal del paralelogramo tores representativos
G
DE LA SUMA Y DIFERENCIA
1',
y r••
construido
z,=(a"b,)
entonces
y
el vector
sobre los radios ve~
de los sumandos.
En efecto:
"acw " Entonces:
a b
= =
OB
PB
Por 10 tanto: z
'OD = f\¡E { MD = PE
ANEP , por tener:
= (}\ = PE
=a
Para la diferencia: de modo que: OM - ON
+ AB
= (}\
+ NE
+ ES = MD + NA
+
bi
z
=
=
(a,+a.>
+
= =
OA +
(b,+b.)i
z, - z., construimos
= CM
+ ON'
=
OP
+
=
Q{)
a, + a.
b. + b,
Z
=
=
z, + z.
el inverso aditivo de z.: z,+ (-z.)
or~'
.,
Capítulo 9: Números Complejos
574
P(a,b)
11
P
--~~~--~--~------~-x --------~~--------~~~x " -.; I/
,
,
I
N'
m
CONJUGADO DE UN NUMERO COMPLEJO
Im(z) z=a+bi
Si z=(a,b) es un nwnero complejo, ces z=(a,-b)
se denomina
simplemente,
conjugado de z.
Geométricamente
conjugado
dos complejos
rán representados
por
entou
complejo o
conjugados
dos puntos
--::~--------+-
estg
Re (z)
simétricos
respecto del eje real.
li!II PROPIEDADES
z=a-bi
OC.l: a) La suma de dos complejos conjugados
es igual al doble de la parte
real. b) El producto
de dos complejos conjugados
es un número real no nega-
tivo. Demostración.
En efecto, sea z=a+bi, entonces: a) z
b) z.z = (a+bi)(a-bi)
=
Un niÍllerocomplejo
Demostración.'
=
z
=
2Re(z)
A
(z.z) ? O
es real si y sólo si es igual a su conjugado.
En efecto: i) ztR
ii) Si z
2a
a" - (bi)'= a' + ~
Dado que a,bER, se tiene: (z.Z)tR CC.2:
=
(a+bi) +. (a-bi)
+ Z
+
a+bi
+
=
z a-bi
=
a +
+
Oi 2bi=O
(z=a) +
b=~.
A
(z=a)
+
z
z
Luego, z=a, o sea: zER
, Sección 9.8: Conjugado de un Número Complejo
eC.3:
575
El conjugado de una suma es igual a la suma de los conjugados. Si z,wcC
Z+W
+
= z + w
En efecto:
Demostración.
y ~(c,d)
(1) Sean z=(a,b) (2) Si z + w = (a+c,b+d)
z + w = (a+c, -b-d)
(3) Igualmente, si: z=(a,-b)
y ~(c,-d)
+
z + w=
(a+c,-b-d)
(4) Luego, de (2) y (3), se tiene: z + w = Z + W CC.4:
El conjugado de un producto Si z,wcC
z:w
+
En efecto:
Demostración.
y ~(c,d)
(1) Sean z=(a,b) (2) Si Z.w
=
(ac-bd,ad+bc)
(3) Si z=(a,-b) y we(c,-d) (4) Luego, de (2) y (3): CC.S:
Si
Z&C
+
+
Z.w
=
(ac-bd,-ad-bc)
+
z.w
=
(ac-bd,-ad-bc)
z.w
=
Una aplicación
a = Re(z) =
+
CC.1b, el producto
número real positivo. Entonces ciente de z=a+bi y ~c+di
Solución.
Si z=2+5i y ~3-i, Si w = 3-i Entonces:
+
z)
b = Im(z)
de cualquier consideremos
En efecto.
(ac+bd) + (bc-ad)i c· + d' hallar: ~ w
(3-i)(3+i) 1
=
TO
17. + 101
-
según
el problema de encontrar el co-
(6-5) + (2+15)i 1 .!. = ~(;;.2+....;S,-,i;.:.).:.(;;.3+....;I~·)
w
1
2i(z-z)
complejo y su conjugado es un
w = 3+i
+
=
en C es el de la simpli-
de dos núnreros complejos.
de la siguiente manera:
z _ Z.W _ (a+bi)(c-di) W - w.w- (c+di)(c-di) .Ejemplo.
1(Z
importante de la conjugación
ficación de la división la propiedad
Z.w
(i) = z
CC. 6: Si z=a+bi y z=a-bi NOta.
es Igual al producto de los conjugados.
= Z.w
3' + l'
+ 17i
10
.
. Capítulo 9: Números Complejos
576
EJERCICIOS EJERCICIO
ILUSTRATIVOS
l.
Se sabe que: (3,5)(x-1,4)=(y-2,5)+(3,-1)
para ciertos nÍU'ne-
ros complejos. Hallar t y u , tales que: (5x-4,u+t)=(3t+l,-5y-19). Solución.
(3,5)(x-1,4)=(y-2,5)+(3,-1) +
(3x-23,5x+7)
=
Si (5x-4,u+t) (-7,u+t)
+
EJERCICIO
=
=
(3t+l,-5y-19)
(3t+l,110)
2.
(y+l,4)
{
5x+7
(-3-4,u+t)
-7 = 3t+1
••
{
=
u+t
110
= =
3x-y=24
+
4
+
x
=
-3/5
y=-129/5
+
(3t+l,129-19)
+
t =
+
u
=
-8/3 338/3
Determinar el complejo: 5z+2w'+u, sabiendo que: _ 4i"_i
_
, u -
w - ~
'
'7'
1
+
[(1_·)-2iJ3i 1
Para calcular potencias de l+i y l-i, tener presente lo siguien(l+i)' = 1+2i+.i'
te:
(l-i)' Entonces:
3X-23=Y+l
~
+
_ (l+i)'+(l-i)' z 2+1 Solución.
(3x-3-20,12+5x-5)=(y-2+3,5-1)
+
=
·(1+i)'
[(l+i)1 F
i l= i }"
[(l-i)l]'
1+2i-l = 2i
=
1-2i+i'
1-2i-l
=
-2i
(2i)1 = 4i' = -4
=
(-2i)'
=
4i'
=
-4
-8 -8(2-i) = _ 8(2-i) = _ .!i(2-i) = 2+T = (2+i)(2-i) 4+1 5 .11 = i4x2+3 = i3 = -i + -4i-i -5i(1-2i) 1 w = 1+2i = (1+2i)(1-2i) w' = (2+i)' = 4+4i+i' = 3+4i z
Luego:
_ -5(i-2i') 1+4
=
-(2+i)
+
75 i
.4xl8.+3= 1.3.=.
1
:. 5z+2w>+u EJERCICIO Solución.
EJERCICIO
E
=
-1
=
+
U
= - i+ (-2 i), = - i-8 i' = - i+8.i = 7i
-1+
-8(2+i)+2(3+4i)+7i
=
Calcular: E
=
(1+i;2(1+i)n-2 (1_i)n-2
=
2i(2~)n-2
=
=
=
. (1-1.)6
U
3.
4.
. (1-1.)-6i'
+
-1+
=
-i+[(1-¡j2 ]3
-10+7i
=c..
donde nEZ+
(1_i)n-
=
2i(1+~)n-2 1-/
2i(i)n-2
Hallar el valor de:
=
2i[
(1+i)' ]n-2 (l-i)(1+i)
2in-1
= E
=
[(2+i)'
+ (2-i)' ]' (l+i)'
Sección 9.8: Conjugado de un Número Complejo
Solución.
577
Según la identidad: (a+b)'+(a-b)' (4 + ¡Z) [ 2 2i(1+i).
=
E
EJERCICIO
J'
=
3, (l-i)
Expresar en la forma
5.
=
2(a'+b')
81 (-2i)'
=
81
81
= -¡¡p = - 4"
binómica; z
1 + 1 +
--'-1'--' 1 + l+i
=
z
Solución.
1 + ---:........,~1 + i
1 +--:""""'i1 +--
(1+2 2
1+2i =t-:
1 + ----'-i- ""1.,-· 2 + (3,1)
2-1
2)
10i (6,8) 1 + -(9:;;-+"""3""":--;9:--:;;-3= 1 + 6(2,1) = 3(2,1) 10 10) 4
=
2(3,4) 3(2,1)
2.
= 3" +31 6.
EJERCICIO
Comprobar
la identidad;
x'+4 = (x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+1+i) Solución.
En efecto; (l+¡f'=Zi y (l-i)'=-Zi Entonces: x'+4
Factorizando:
x'+4
y por la propiedad
x'-(-4)
=
Para simplificar
=
Si z =
-(1-i)'
x'-{(l+i)']' = [x'-(1-i)'][x'-(l+i)']
del producto en C, obtenemos:
(x-1-i)(x-1+i)(x+1-i)(x+l+i) ciertas operaciones
=
a) (l+il3)'
(l+i ) ,
con núm~ros complejos tener pr~ (l-il3)' y
b) (l3+i)'=8i
7.
=
(x+1-i)(x-1+i)(x+1+i)(x-1-i)
sente lo siguiente:
EJERCICIO
=
(l+i)'
+
x'-(Zi)'
[x' + (l+i)'J[x' -(l+i)']
conmutativa
x'+4 NOta.
= =
=
=
-8
(l3-i)'=-8i
,hallar Imt z")
(/3-i)'
Solución. +
EJERCICIO
=
z z·
i t l+i ) ---=r-
(l+i)'(l+i) _ (Zi)'(l+i) 8i -8i
=
8.
1(1-i)'
442
=
l(-Zi)
=
_1 i
Si "W=Zü+v , v=-u+(l-i) z
=
v+2w-u u2-w
+
~
Im(z)
u=
-(l-i)+Z(l-i)
-"2
1
1
= - "2
, u+(1-i)=Z(1+i).
Efectuar:
-+ Zi-1 + u', expresando el resultado en for-
ma de par ordenado. Solución.
_ 1(1_')
l-i
+
u
=
l+i
Capítulo 9: Números Complejos.
578
= W= v
=
z
Luego:
=
-u + (l-i)
=
2u + v
=
-(l+i) + (l-i)
=
2(1-i)-2i
2-4i
-2i w
+
2i + 2(2+4i) - (l+i) + (-1-2i)
=
2+4i
+ (l+i)'(l+i)
(1+i)'-2(1+2i) 2i+4+8i-l-i
. :.
EJERCICIO
= -
z
2
7z i32.2i + 4i10'+
=
z
('/3 -
=
z
nP
i
+
[
t=
i
lO'
n
.11'
n
1
Luego:
=
: n=7
i
z ::
EJERCICIO
-3(2,112)
=
,p
=
11
(l)(2i)
=
+
z=l
4+1 , p ~ O
+
z
+
z
P es por
+
n
=
n
n
= 4+2 " o = 4+3
n
=
o
4 + 3
En (1):
+
Zz
.10'
.11'
=sr:
MUltiplicando
(2) por 2:
SlIiUlndO(3)+(4): En (1): EJERCICIO
2(l+i)z,::
-2(2 - ~i) + z. = 2+3i 11.
2+3i
2
-i
2
+
-2z,
+
=
1
= 1. + li
-2z,
+
Zz
::
2+3i
1'2z. ::'25
2z,
zz
=
+
(2)
2-3i ·(3)
-
z, = 6+2i
:. C.S::
Demostrar que 'Io'w,z,v&C:
wimt'i .») + zIm(v.w)
( 1)
+
Z, ::-2+3i 2iz, + z, ::5+2i 1. 3+5i ., de donde: z, :: 2 + 21
Multiplicando por -1:
-i
1
1
+
6i = 4(l-i)
::
=
1
Resolver el sistema:
-2z,
= z
+
.7'
+
iz, + Solución.
1
z
4+3 , p es impar
p=5 ( impar)
-
+ 4(1)
=
o
-81
10.
p ~ 2
p=3 (p > 2)
2
se tiene:
+
4 + 3 , p=2 (par)
= ~
.nP
1
>-- O
o
10
el complejo:
i)'
de i, de la forma:
Fara potencias
2
6il1'
Si' n = ~
Para:
=
~(8+2i)
2
1+1
Expresar en la forma rectangular
9.
Solución.
= _ 2(3+5~) = _ 1 (3+5i)(1-i)
-1-2i+2i(1+i)
2i-2-4i
+ vlm(w.z)
(0,0)
(4) (Verificar) 1(2,1I2),(6,2)l
IT
Ejercicios Ilustrativos
Demostración.
579
En efecto,
sean: w=(a,b) +
+ +
+
= = w.z =
, z=(c,d) y v=(e,fJ
w=(a,-b)
~.v
(c,-d)(e,f)
V.W
(e,-f)(a,b)
(ea+bf,be-af)
(a,-b)(c,d)
(ac+bd,ad-be)
Luego: wlm(z.v)
, z=(c,-d)·,
(ce+df,cf-de)
(a,b)(cf-de)i
(acf-ade)i (bde-bef)
zIm(v.w)
=
(c,d)(be-af)i
vIm(w.z) = (e,f)(ad-bc)i
(bee-acf)i
12.
(1)
+ (bde-adf)i
(bee-acf)i
(2)
+ (adf-bef)i
+ (ade-bce)i
(bef-adf)
(3)
obtenemos:
wIm(z.v) EJERCICIO
(bef-bde)i (acf-ade)i
+
= (ade-bee)i
= (1)+(2)+(3),
+ +
(adf-bde)
Sumando
v=(e,-f)
+ zIm(v.w)
+ vIm(w.z).=
=
O+Oi
(0,0)
z = (,13
Hallar el valor de:
- ~), (~), 13+1 1-1
SoLución.
O' 4~
[(-13 - i)' J1(/3'-
(13 -
i)'
2'
(L4)' 1 -
1
z = 13.
EJERCICIO
=
(3) Dado que: w + z
=
=
es real
w.z es real
=
a+bi , z
(a+c)+(b+d)i
.+
+
14.
En z"w
=
O.
e definimos
c+di
=
, w.z b+d
=
ad + be
Luego, de (3) se deduce que z=a-bi
z*(l+i)
+ i)
z,
(1) Sean: w
EJERCICIO
= - i(13
En efecto:
(2) Entonces: w + z
(4)
i 13)i
Sean w,ZEC tales que: w+-z y W.z son reales. Demostrar que w
Demostración.
j(1 -
=
O
+
(ac-bd) d
O
+
+
z=
la operación
=
+
a(-b)+be
,o
(ad+bc)i
-b
a+bi
+
=
O
w
+.
a
=
c
=Z
de la siguiente manera:
= z+w+-zw, ~,W&c. hallar el valor de z tal que:
•
!T
580
Capítulo 9: Números Complejos
Solución. Aplicando la operación * a z*(1~i)=0 se tiene: z+(l+i)+z(l+i)=O Si z=(o,b) + (0+l,b+1) + (o,b)(1,l) = (0,0) +
=
(o+l,b~l) + (a-b,o+b)
Resolvie~do
~ --
(0,0)
(1) y (2) obtenemos;
{O+l+O-b
=
O
+
20-b+1
O
(1)
b+1+0+b
=
O
+
0+20+1
O
(2)
0=-3/5 y b=-1/5
+
Z
=
(-3/5,-1/5)
EJERCICIOS: Grupo 56
1.
Determinar
los números reales x e
a) (2-5i)x + (1+3i)y -8+9i b) (-1+1)x + (1+21}y
O
d)
(1+1)1 + _1 __ 1+1 1-1 x+y1 -
e)
x(1_2i)1 + y(2+3i)1 = -2+4i 3-2i
1
=
e) (1+2i)x + (3-5i)y f)
=
que satisfacen las eeuaeiones:
y
2x+3yi+4xi-2y-5+10i
1-31
=
(x+y+2)-(y-x-5)i
g) x(3+4i)-y(8-3i) = (2xi-10y+4).·(4yi-2x+71) 2.
·En los siguientes ejercicios. obtener z. dando el resultado en la forma
de par ordenado.
b)
1'+i'+i"
z
2-i' + 1l1+ e)
ai + 3a
Z
= ~
-
Z
e)
Z =
ilS
b + bi + 2ai ai - b
(1 + i)'
3. Calcular: a)
4.
Demostrar: e) 51 z
y
(1 + i)" + 1
(--ª:-)' 1 + lo
~&C:
+
2
z.}
=
+
/21)1
Z"Z,
2 +
Z"Z,
(a + b)z = az + bz
w son dos números complejos diferentes, entonces: Re(..2-)
- Re(....:!-)
z-w
Zt
=
1
z-w
, zn son números complejos. entonces:
d)Siz,z"z., z(z, +
("-?
d)
a} ~ ••Z••Z.&C:z,.(z. b) ~.bER,
4i15" ¡:z¡ 2(2-1) ---+-(l3-i)' 2 (1-i)'
(1 - 1)" - 1
e)
(1 - 1) 7 b)
=
d)
+
+ zn)
=
ZZ,
+
ZZ.
+ • • . + zZn
•
Ejercicios: Grupo 56
581 3
6. Calcular:
a)
(1+il3)(-2+2i)(-I:3+i) (2-2I3i)( 1+i) 2
7.
b)
.37 i3 + i3' + i3' + l. +
c)
i'
.3>1 +.l.
.
i 1 \+
+i'+ilO+
+ i"
Dados los números complejos z,=2-i, z.=2+l3i, z.=5-4!}i. hallar Im(z), si z = 3z1 - z: + zs.
8.
Si zl=(-1,3), z.=(-5/3,1)
9.
Si z = i(1-il3), calcular:
10. Hallar z tal que:
z,.zs=3z., hallar: z;'
y
3 z+1
z
3+2i 4· 8 z(2+i} = H
11. Sea z = i(1-3i), hallar (i+Z)7 en la forma a+bi. 12. Obtener z en los siguientes casos: a)
z
i-2
c) z
(6+2I3i) (7+7i) (413+12i)
1
b)
z
+i
13. Qué relación debe existir entre x e
1.;..-...;l.:..· -.,......,._
1-i __ ..:1_-;::i...",.,... 1-i + 2~ 3-l.
(12+l3i)'-I6i+(- ~ + i~)'
y
para que siendo z=x+yi, xeR, yeR,
se tenga que el cociente z+11 tenga parte real nula. z-
14. La suma de dos números complejos es 3+2i. La 'parte real de uno de ellos es 2. Determinar dichos números, sabiendo que su cociente es imaginario puro. 15. Dados los números: w,=3+2i, w.=1+4i y sus afijos Ml y M.; se pide: a) La expresión binómica del complejo z=a+bi tal que sus afijos están 2 lineados con M, y M., Y la suma w.+z, sea imaginario puro. b) La expresión binómica del número complejo z,=a,+b1i tal que la resu! tante de la suma w,+z"
pase por el afijo (-3,12).
16. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones: a)
(3-i)z + (4+2i)w = 2+6i (4+2i)z - (2+3i)w = 5+4i
b) (3 - ~)z + 2w = 3+4i l. 4iz + (3+i)w = -4
c) (3-i)z - (1+3i)w
5+5i
(4+i)z + (5-3i)w
7+6i
d) (2-3i)z - (1+i)w
4-3i
(3-i)z + (1+2i)w
11+i
Capitulo 9: Números complejos
582
e) 32' + lw· zll
7i
+ 2w'
=
(t + 1)'
-1
r) (1-i)Zl - Z. + (2+i)z. 2,
=
(2+1)2, -
Re{2,)
=
22,
-z.
2z, +
= =
+ 2,
2.
1-2i
-6 6-1
1+2i
+ (2-i)z.
j) 2, + Z. + Z.
7-3i
+ Z. =
-2Z3 -iz2
22, + (1-i )2. + (1+2)z.
g) Z,."'Z. 10 + 111 70,
-21
i) (1+i)"Z, + iz. + 2.
3-4i
= 3i z, = -i
+ (1-1)ZI +(1+1)z.
(1-1)z, +
=
h) 3i2, + 2z. -izo
O
=
2 12+4i
lz, + 2z. + (2+3i)2.
3
-
2,
izo +
~.Z+: 1 + z + z· + •
18. Demostrar que ~~C-{1i.
-Z, =
• +
O
2i
n
2
Z
n+1 21-1
(Sug. Sea S=1+2+2'+ ...• +Zll, multiplicar zS. luego restar zS-S) 19. Hallar todos los valores posibles de: S n par.
,
(Sug. S
n
= El
h
=
1
+ i + i'
+
• +
in. neZ;
luego, analizar S para n=2k)
h=O 100 k
20. Obtener los siguientes
complejos:
a)
2
= Ei
b) z
k=O
ID
MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO Dado z=a+bi,
negativa
módulo o valor
el
absoluto
de z es la raiz cuadrada
de la suma de los cuadrados de las partes
real
no
e imaginaria.
Se denota par:
r Geométricanente,
presenta fijo
del
correspondiente,
liDI
si z=4-3i
y
;';1+b'
el módulo
la magnitud
Por ejemplo,
VA.l:
= Izl =
de un coorplejo
radio
vector
z = a+bi
re-
r del .Q
01 origen.
.•
izl
.•
r::.-125=5
1(4)1+(-3P
~~------------~x a
PROPIEDADES
El módulo de todo niÍnero
coorplejo
es mayor o igual
que cero.
, . Sección 9.9: Modulo de un Número Complejo
=
[a] ~o • [z]
O
= z, =
z
-
583
(0.0)
VA.2: El módulo de todo nímero complejo
y su parte
es mayor o igual
que su parte
real
imaginaria.
Izl
Izl ~ Im(z)
y
~Re(z)
Denost1'Oción. En efecto: (1) Sea z=a+bi
(4) (5)
1
/011 = a' + lal la / -s I Z / Dado que a&R + a ~ 101 • y por (3): [e] ~ Izl De donde se tiene: Izl ~ Ret z ) Análogcmente se dermestra que: Izl ~ 11i1(z)
(2) Pero: (3)
Izl' = a'+b a' + b 1a1 -s 1z1
+ 1
1
Según (2) :
VA.3: El módulo de inverso
Wl
1
1
~
.•
es igual
complejo
al módulo de su conjugodo
y de su
aditivo.
Izl = Izl = I-zl VA. 4:
de cualquier
El producto
por su conjugado
complejo
es igual
al cuadrg
do del módulo.
z.Z = Izl2 VA.S: El módulo de
Wl
de de complejos
producto
es igual
al producto
de los
módulos.
Iz·"'1 = Izll"'l VA.6: El módulo de la
StIJIQ
de dos complejos
es menor. o igual
que la
StITIQ
de
los módulos.
1z + Demostración. (1)
Iz
+
wl% =
(3) (4) (5)
(6)
Cano los
Iz (7) (8) (9)
+
1z 1 +
(z
Iwl
(Desigualdad
Triangular)
(VA.4)
+ ",)(z + w)
w)(z + w) = z.z + z.w + w.z = Izlt+z.W"+z.w+ = Izl2 + z.w + z.w
+
ténninos
son complejos
=
(2)
wl ~
En efecto:
(CC.3)
(z +
centrales
+
"'.w Iwl' Iwl%
"'12 = Izl1 + 2Re(z.w) + Iwl2 ~ Izl' + 2Iz·\;;1 + 1"'12 ~ Izl1 + 21zllwl + 1"'12 ~ Izl1 + 21zllwl + /"'11
(Prop.
Distrib.)
(VA.4 yM.2)
(z.w = conjugados,
Z.W
= z.w)
entonces:
(CC.6J (VA.2j (VA.S) (VA.3;
Capítulo 9: Números Complejos
584
(10) .•.Iz + wl' ~ (lzl + IwlJZ (11)
(Prop. en
R)
[z + wl ~ Izl + Iwl
.",
VA.7: El módulo de un cociente
IL w
1 ==.El, Iwl
Demostración. En efecto:
es igual al cociente de los módulos.
siempre que w # w. == (0,0) I(~wl
(1)
== Izl
(2) Apl icando VA.5 se tiene: 1.!.-llwl w
IL
(3) Despejando:
1 ==.El Iwl
w
Observación.
Izl
el módulo o valor absoluto de un número comentre el origen y el afijo corre] pondiente al complejo. Aplicaremos esta propiedad para hallar la distancia entre dos puntos. Sean P,(x"y,) y p.(x"y,) los afijos de los complejos z, y z, respectivamente. y, Por definición de módulo: d(P"P,) == Izl Pero: z = z,-z, .•. Izl == Iz,-z,1 .•.d(P"P.) == Iz,-z.1 == 1(x,-x,)+(y,-y,)iI Geométricamente,
plejo significa
:. d(P"P,)
la distancia
== I(x,-x.)'+
--~~~----------~~Re
(y,-y,>"
O
Por ejemplo, si z,==2+3i y z.==5-i, la distan-
cia entre sus afijos P.(2,3) y P,(5,-1) es: Iz,-z,1 ==d(P"P,)
am
== 1(2-5)' + (3+1)' ==5
LA RAIZ CUADRADA DE UN NUMERO COMPLEJO z == a+bi
Sea el complejo:
cuya raiz cuadrada es el complejo: w
=
IZlw
w' == z
=
a + bi
Entonces:
Aplicando módulos:
Desarrollando
(x + yi)'
-
l(x+yi)'1
(1): x
Q
•- , y
=
la+bil
+ 2xyi
=
=
x+yi (1)
.•. Ix + yij' .•. x' + y' =
a + bi
-
= ~ rar+b" = Izl
{x' -
y' =
2xy == b Sumando y luego restando
(2)
y (3)
se tiene:
a
(2) (3)
(4)
585
Ejercicios Ilustrativos
2;r~ =
_ +
Izl + a
+
x - -
Zy~ = Izl - a
+
y
=
;'lzl 2+
:/Izlz-
a a
Se obtiene cuatro pares de valores reales. de las cuales se seleccionan dos de acuerdo con la condición (4): 1) Si b> O. entonces x e y se eligen con el mismo signo. ii) Si b < O. entonces;;;:e y se eligen con distinto signo. EJEMPLO.
Hallar las raíces cuadradas de los siguientes complejos: (3) z=-9 (1) z=5-12i (2) z=8i
Solución.
z=5-1Z1
(1)
=
x
±
0=5
+
jI3;5
Y b=-lZ
+
Izl =
1(5)~+(-1Z)~
Y = ± /13;5
= ±3
=
=
13
:t.2
Dado que b=-lZ
o
Luego. si (2) z=81
'11I
(3)
15-1Zi
0=0, b=8
+
Como a=O
b=Z>O,
;;;:=-3, y=Z
=
w.=3-Zi y
'11I,=-3+21
(Note que
=411.)
'11I1
Izl=8
+
:J: = Y =
+
+
±1-41 = ±.ff
= ±2
(2.2) y (-2,-2).
eligen con el mismo signo. Entonces. las soluciones 80n Luego. si '11I = ff¡ + '11I,=2+2/ o w1=-2-ZI ('11I1=411.>
z=-9
b=O
:J: e y se
+
0=-3 Y
Entonces: x
=
Izl=9
+
±.fi1 =
O
Y = ±~
;
= ±3
COmo b=0. en este caso, los cuatro pares se reducen o dos: (0,3),(0,-3) Luego, si '11I= n + w.=3i o w1=-3i EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO Solución.
l.
SiT1]p1 ificar:
E
=
E = (lz+zi\+líl-2i-z)I)(li
(lz+2ij+IZ-izl)(IZ'-2ij)
.•.2ij> = (lz+2il + Itll-z-2t!)(lz+zt!) = (lz+211 +·lz+2i1Hlz+211) = (2Iz+21 1)(lz+21 1) =: zlz+zt! a
(l'ZI=lzl)
rce.s
y VA.5)
(1 iI=l
y VA.3)
Capítulo 9: Números Complejos
586
2. Si z,~C, demostrar que: Iz + wl~ + Iz - wl' = 2(lzl'+lwl') Qué significado geométrico tiene esta identidad?
EJERCICIO
Demostración. En efecto, [z + wl'
=
Izl~=z.z,
(z + w)(z +
w)
z.Z + z.w + w.z + w.w (z - w)(z - v~ = (z - w)(z z . Z - z . W - w. Z + w. W
w)
=
(z + w)(z + w)
Iz - wl' SUmando
en lo propiedad:
apoyándonos
se tiene: (1)
(2)
(1)+(2), obtenemos: Iz + wl' + Iz - wl'
=
2(z.z + w.w) = Z(lzl'
+ Iwl')
El significado geométrico de lo identidad
es el de un teorema de lo geometría eleme1ltal: "Lo SLI7IQ de los cuadrados de los diagonales del paralelogrg TilO es iJUal o la SLI7IQ de los cuadrados de sus lados". R En efecto, si P y Q son los afijos de z y \V respectivamente, entonces: Además,
OP = Izl y ~ = Iwl R es el afijo de z+w + OR=lz+wl
Q también es el afijo de z-w
+
Rt- = ~+ PR~+ Pero como: OQ=PR y oP=ii?, 00' + Kt = Z«)'P' + fit) + Entonces:
00'+
EJERCICIO
~Iz-wl OP'+ Q'l' Iz + wl' + Iz - wl' = 2(lzl' 3
3.
l-r
1
Demostrar que: Iz - "'4il ="4'
Demostración. En efecto, 14z-3i 1
+ Iwl')
si z = l+Zir ' rER.
Iz - ~i 1 = ~14Z-3i 1 I"Á.-~r_ 3i I l+Zlr
=
(1)
14i4r-3i-:6iZ rl 1+21r
1 i+zrl l+Zir
li(l-Zir)1 _ lil11~1 1+2ir 11+2irl +
14z-3
i/ __ 1..J...11_+_ZI_· rl, .
(VA.5 y VA.3)
Por tonto, en (1): Iz - ~i
11+2irl 4.
EJERCICIO
Resolver
lo ecuación:
lxi-x = 1+2i , :nC.
Solución. Seo x=(a,b) +
lo'
+ b' - (a,b)
= (1,2)
_
a = 1 b -2
{~-
-b
Sustituyendo en lo primero ecuación obtenemos:
=
2
a=3/2
=
+ +
x=(3/Z,-Z)
I=
t
, Ejercicios llustrativos
587
Si '" Y z son dos nCmeros ccmp!ejos y u::IWZ, verificar
5.
EJERCICIO
IZ;\
dentidad:
Deroostracioo. .•. E:: .•. E
En efecto,
sea:
'2UWZI
+,,;2.-wi1
Iz
+
IZ;'" + ul :: 1"'1 + [z]
. IZ+\
+ IZ
-
rwl1
= ][1 (rz
- - ;¡¡¡) - IW)( rz + (fi
+ IW)]
::
"VzEC:
i)
ii) Deroostracioo.
(1) Sea z=(x,y),
Izl1 ~ 2IRe(zJlllm(z)1 I2lzl ~ IRe(z) + 1m(z) 1
1.
donde: x=Re(z),
flxl-lyl)1
y=Im(z)
.•. .•.
IzI1>-.-2IRe(z)IIIm(z)1
Entonces:
>--0
.•.
1Z11 = X' + y1 :: Ixl1 + Iyll Izl1 ~ 2/x/lyl .•. 21z11 >-- Izl' + 21xl iyl ~ (Ixl + lylJ1 .•. I2lzl >--Ixl + Iyl
.•. .•.
(7) Por tanto:
21zlt I2lzl
>-- IRe(z)I
+ 1 Im(z) 1
Dados z,wcC. demostrar que: [z-w] En qué condiciones
>--
Ilzl-lwll
se cumple la igualdad?
En efecto: (1)
Iz - wl1 = (z - w)(~)
= (z - w)(z - w)
(VA.4 y CC.3)
\---2Iz.wl Luego, en (4): Iz - \<111 >--lzl1 + .1"'11 - 21zllwl (Pero: I;;¡;¡'.:I"'I> t Entonces: Iz - "'I ~ (Izl - Iwl)" ...•. Iz - wl ~ IIzl - 1\<111 (2)
(6)
Iwl + Izl
(4)
+ y'
IX1
(6) Entonces:
Demostrae ioo.
E::
(3)
(5) De (3):
EJERCICIO
.•.
Ixl' + lyl1 >....2Ixllyl Izl1 >-- 21xllyl
(2)
zI =
rwl1
En efecto: i)
Si /
+
obtenemos:
11W11+ lal1
Demostrar que
6.
.•.;¡¡¡)( fi
indicadas
las operaciones
EJERCICIO
(7)
j 1rz
+ IWIJ .
- + 2fi.fi] E =i{2IW.IW
(5)
+
IZ+\
--- rw)(1Z - rw) + (IZ + rw)(rz
.
ií)
u1 +
1 = ][(IZ
Efectuando
la i-
::
Vecmos ahora en que condiciones
z.z -
Z.W -
se cumple la
igualdad.
.
588
Capíhtlo 9: NÚmeros Complejos
Sean: z=(a,b) y w=(c,d) Entonces: I(a-c)'
[z-w] = /(a-c)'+(b-d)';
(b-d)'
+
I~i
Izl=/a'+b';
Iwl=/c'+d'
+ ~
Elevando ai cuadrado y luego simpl ificando ténminos se llega a: (ad-bc)'
O
-.
ad-bc = O
+
a
ad = bc
b
+
=
c
d
=
k
Por tanto, la igualdad se cumple, si y sólo si, las partes reales y las par tes imaginarias
de los complejos son proporcionales.
EJERCICIO
Detenminar
8.
Solución.
Si z=a+bi
algebraicamente
x = ±1iO
EJERCICIO
Y = ±12 . Como b=415>o
w,=llO+l2i
Resolver
=
c
o
+
di
w,=-m-12i
; son las raíces
5
+
x
=
(l+i)
±
/(1+i)'+(3-6i)
+
x
=
(l+i)
±
/3-4i
+~ -;~2-
=
e
+
Si a~3 y Izl=/3'+4'
y
c = ±2
+
d = +¡lzl -
Sustituyendo
= ±(2-i).
en (1): x
.: e.s =
(1)
2-
a
d = ±l
Como b=-4
x e y deben tener el mis-
la ecuación en C: ;:;;:'+(-2-2i)x = 3-6i
x'-2(1+i)x-(3-6i)=O
Sea: 13-4i
+
dada.
9.
Solución.
y=±/lzI2-a
x=±~
+
mo signo. Luego, si \-Fx+yi de la ecuación
=
signo, esto es:
(l+i) ± (2-i) -. x,=3
j(3,O),(-l,2)}
EJERCICIOS: Grupo 57 1.
Si
2+i \01=- 3-i
2. Si z
=
y
z
=- l-i 2+i
, hallar:
1\01+
zl·
(1 + i)(13 - i)(-3 + 3i) , hallar Izl· (1-i)(3i)(1 - l3i)
3. calcular z', siendo: z 4.
=
-I-l+il +
ni
Analizar la verdad o falsedad de los siguientes enunciados: a)
i17 + i'"
+ i'"
b)
I- - + ~ I"2 z
1zl
de z=8+4/Si
a=8 y Izl = I~' + (415)' = 12
+
Sea:w=lz="x+yi Entonces:
las raíces cuadradas
1\011 "
= 1
, 't'z,\oI&c-lz.},
z,=(O,O)
o
x=-1+2i
Ejercicios: Grupo 57
589
e)
5.
Analizar la verdad o falsedad de lea siguientes a) Si zIO , ~ = z-l e) .
I=- +
Izl=l
b) Si Z=(l+i)CosS;
il < IzI + Ivl , WJ'O " Ivl
v
enunciados:
z.:v
d)
= 4+i
6. Hallar z. y za tale que: z. + z.
+ voz
2
+
=
Z
•
Izl"l2Coa}
(
-)
Re z.v + z + l.
, z••z.=5+5i, ~: ~ l~(l-i)
(%)
,
.Izala••10 7.
Resolver la ecuaci6n:
8.
Hallar z. si z"
Ixl + x = 2+i , ~C
Zz y z. son vértices
de un tri&lgulo equil~tero
tal
que: %.=4+6i , za=(l-i)z •• 9.· Dados %.-8+5i Y z.=(5,0), los anteriores 10. Deter.inar z,=(3,3)
el complejo z=(3,y) que forma con
el complejo cuyo afijo
equidista
de lados iguales el z.
de los afijos
enton-
Demostrar que si z,+%,+z,=o y Iz,I-lz.I-lz,l=l, de un tri&tgulo equil!tero
inscrito
en
de radio l.
12. Dados v. y v, talea que 1"'¡"lv.l=l, % ••
de z.=(-2,O),
"
Za y z, .son los vértices
una circunferencia
. pIe:
de vértice
y z,=(O,-2)
11. Sean z.,z",z.~C.· ces z.,
calcular
un tri:5ngulo is6sceles
V.=h'l'
demostrar que .on~C, se a..!!
Re(.!...",. + Re(!..)va v, v,
13. S1 ZEC, resolver:
Iz+il&-z+l = 4-2i,
Re(z) ~O.
14. Si v y ~C, demostrar que: Iz-wl· ~ (l+lzIZ)(l+lvl") 15. Si v y ~C, deunstrar· que: Iz-wl' + Iz+vl· + 2Iza-wal' 16. Dados z"
z"
Iz••li.-z,.li.lz
,. 4[{z.z)& + (v.y)'
v.' V.EC, deI1Iostrar que: -
que:
1z.
••.
,7nCC,tales
+ Za + .
. .+
19. Sea zCC, si ae ~le:
+ Ivala) - Iz,.v,
+ Iz,la)(lv.l·
17. Si v,zCC, demostrar que: ¡l-v.zla 18. Sean z"z.,
+ 2z.v.z.li]
- Iv-zla
que: Iz.I=lzal=
Zn 1 =
I.!.. +!. Zl
z.
m
+ z,.v.l·
(l-lvl&)(l-lzl') •••
+ • • •. +
=IZnI
=
1.-1 Zn
(z + !)o:R, damootrar que IIII(z)cO o %
l. Demostrar
Izl=1-
, . Capítulo 9: Números Complejos
590
20. Hallar Z"Z.EC
tales que: IZll=lz.I=lz,+z.l=l
, Z"Z.
es un imaginario
puro. 21. Demostrar que si para i=l,2, •.• ,n, cada zi es un número complejo, entoD ces: IZl + Z. + •••
+ znl ~ Iz,1 + Iz.1 + ••.
22. sabiendo que z y w son nUmeros complejos que
z-w
Z;W'
+ IZnl
tales que !zl=lwl=l, demostrar
(z j -w), es un imaginario puro.
23. Sean Z"Z.EC:
=
a) Si w
l=~~~~.' demostrar
que:
w.w =
b) En el caso a): si Iz,1 ~ 1, demostrar 24. Determinar
algebraicamente
(z,.z.+z ••z,) Iz'¡' + Iz.l· 1 + Iz,I·lz.l· - (Z,.Z1+Z •. z,) que Iwl ~ l.
las raíces cuadradas
de los siguientes
coro-
plejos. a) z = -15-8i
d) z = -8+6i
g) z = -213+2i
b) z = 3-4i
e) z = 5-l2i
h) z = 7+24i
f) z = -8-6i
i) z = 6 + 2i 2
e)
z = -ll+60i
j) z = -1+4I3i
25. Resolver la ecuaci6n en C: (z-l-i) (z-l+i){z+l+i){z+l-i) 26. Resolver las siguientes a) z1-{2+i)z+{3+i)
ecuaciones
en C.
= O
b) z1-(2+i)z+{-1+7i)
5
e) z'-(3-2ilz+(5-5i)
= O
d) (2+i)Z1_(5-i)z+(2-2i)
= O
O
*
lID
Q
LUGARES GEOMETRICOS EN C El
término
lugar geométrico
se apl iea normalmente
todos los puntos que tienen alguna característica ejemplo, son lugares geométricos. la elipse, etc.
Haciendo
biramos analítica
aIIJ EJEMPLO
la recta, la circunferencia.
uso de la noción de módulo,
y geométricamente
al conjunto
geométrica
la parábola,
a continuación
descrl
algunos de estos lugares geométricos.
Q.
LA LlNEA RECTA 1.
Representar a)
en el plano complejo
Re(z) '" 3
b) Im(z) = 2
de
cOO1lÍn.Asi por
las siguientes Im(z)
1
d) Re(z) - Im(z)
c) Re(z)
z.
+
relaciones:
JT
Sección 9.11: Lugares Geométricos en
Solución.
a) Re(z)=3,
e
591
es el conjunto de todos los pares ordenados para los
cuales x=3, es decir, es el lugar geométrico la fonna z=(3,y). La ecuación x=3 corresponde
de los afijos de
a la recta paralela al eje i-
maginario que pasa por el punto dz abscisa 3 (Fig. 1). b) Im(z)=2,
es el lugar geométrico. de todos los puntos o afijos para los
cuales y=2, es decir, L.G.=jzlz=(x,2)l.
Su gráfica
corresponde
a la rec-
ta paralela al eje real que pasa por el punto de ordenada 2 (Fig. 2).
1m
1
z,
z,
z,
----------~~----------Re
z. Figura 1 c) Re(z)+lm(z)=l,
Figura 2
es el lugar geométrico
(x,O) + (O,y) = 1
++
de todos los puntos tales que:
x(l,O)+y(O,l)
= (1,0)
++
L:x+y=l
Es una recta que pasa por los puntos (1,0) y (0,1), (Fig. 3). d) Re(z)-Im(z)=zo,
está representado
en el plano complejo por ~odos los PUQ
. tos tales que: (x,O)-(O,y) = (0,0)
++
x(l,O)-y(O,l)
= (0,0)
Es una recta que posa por el origen de coordenadas tercer cuadrantes
++
L:x-y~O
y biseca al primer y
(Fig. 4).
1m L
------~~------~----~Re
----------~~--------~Re
Figura
EJ!JLPLO 2.
Detenminar
Figura
4
la ecuación de la recta cuyos puntos equidistan de
dos puntos dados. Solución. Sean P,(x"y,)
y Pz(Xl'Y')
respectivamente, Se debe CUllplir que: d(P"P) Esta ecuación
nos describe
los af i jos de los complejos
z , y z.
y sea z=P(x,y)EL.G. = d(P.,P)
Iz - z,l = Iz - z.1 [z - (x"y,)1 = Iz -
(x.,y.)
I
el L.G. de todos los afijos de z que equidistan
•
S92
Capítulo 9: NÚmeros Complejos
de z, y Zl,
de los afijos triz
y que es la medig
del .segmento que une P, y P1,
Por ejemplo,
si
= IZ-(3,S)1
l(x+1,y-3)1 I(X+l)l de donde,
CiIIE
y zl=(3,S)
z,=(-1,3)
IZ-(-1,3)1
+
= 1(x-3,y-S)
=
+ (y_3)1
LA CIRCUNFERENCIA La circunferencia de un punto
Sean Q(x.,y.)
el
el afijo
del
el L.G.
complejo
w y
del
r>O, w fijol,
nos
de z
fijo
entonces
I=r representa
Iz-z,
con centro
r. En efecto,
w. Es d~
de centro
r , Si \.;=z.=(O,O),
cunferencia
[z-w] = r
+
punto
en el
1 (x,y)-(O,
de todos los puntos que e
z.
complejo
de todos los afijos r del
compleja
geométrico
centro.
A es una circunferencia
y radio
lugar
llamado
= r
d(Q,P)
a una distancia
dio
afijo
A=lzllz-wl=r,
Entonces: describe
ción
es el
fi jo
generatriz
Por definición:
cir,
+ (y_S)l
L:2x+y-6=0
quidistan
P(x,y)
1
l(x-3)1
w
la ecug
Re
una cir-
origen
ra-
y
O) 1 = r
+
/r(x-_-O-)-;l;-+-(-y-_-O-)""l = r
EJEMPLO
3. Sea A
L.G.
de los afijos
de zllz-S+7i
B
L.G.
de los afijos
de z IIz+1+2il=s.
b) Hallar
AnB.
Solusión.
+
La ecuación tos (5,7) Entonces:
Izl=lzl
Según VA.3:
Iz-(S+7i)1 compleja
Iz-(S-7ifl
= lillz-(-3-i)1 representa
Xl
+
1=1iz-1+3i
a) Graficar
la mediatriz
del
= IZ-(-3,-nl
segmento que une los pun-
de donde, Li x+y=A
En B: IZ-(-1,-2)I=s Circunferencia +
de centro
;'(X+l)1+(y+2)1
b) AnB:
= 5
De A: y=4-x
Q(-1,-2) +
y radio
(X+1)1+(y+2)1
; sustituyendo
5 = 25
en B:
AUB.
= li(z+3+i)1 Iz-(S,7)1
= l(x+3)1+(y+1)i,
,,1
1 y sea:
Y (-3,-1). l(x-S]1+(y-7)1
+ yl
(x+lJ1+(4-x+2J1
25
, Sección 9.11: Lugares Geométricos
de donde: xl-5x+6=O
en
e
-
x,=3 o X,=2"} y,=l o y.~2 se deja como ejercicio.
593
•
AOB
=
(3,1),(2,2)
++
Lo
gráfica de
IIIIJ
AU'B
LA PARABOLA
La parábola es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta llamada directriz. Caso l. El eje de la parábola coincide o es paralelo con el eje real. sean: P(x,y) el afijo genérico del complejo z; el foco F(p,O), ftl afijo del complejo z, y L:x+p=O, la directriz; donde p es la distancia del vértice al foco de la parábola. L 1 Por definición: d(P,F)=d(P,D) D t-"1--~ + +
Iz-z,1 = Iz-(p,O)1
IPE =
+ EDI Ix+pl
=
IRe(z)+pl
Es la ecuación compleja de la parábola con vértice en el origen y eje de simetría coi~ cidente con e/ eje real. En efecto, I(X-p)l+y"= Ix+pl Elevando al cuadrado: (X-p)l+y' = (x+p) 1, de donde: y'=~px Si el vértice coincide con el punto V(h,k) la ecuación tama la fo"na: (y-k)1=4p(x-h). CUando p>O, la curva se abre hacia la derecha y cuando p
Iz-z,1 = IPE + EDI Iz - (O,p)1 = Iy+pl
+
Iz-(O,p)I=IIm(z)+pl
1m
Es la ecuación c~leja de la parábola con vértice en el origen y eje coincidente con el eje imaginar.io.En efecto: Ix'+(y_p)l = Iy+pl + x'+(y-p)' = (y+p)' de donde: x1=4py D Si el vértice coincide con el punto V(h,k) la ecuación tomo la forma: (x-h)I=4p(y-k) CUando p>O, la curva se abre hacia arriba y cuando p
Re
.
, . 594
Capítulo 9: Números Complejos
4.
EJEMPLO
el lugar geométrico:
1i(z-2-3i) 1 = 1x-41
Soluci6n. +
Construir
+
(x-2)'
+
(y-3)
+ (y-3)' 1
=
=
-4
= 1:X:-41
directriz,
1m
=
p
V(3,3)
-1 -o
se abre hacia
la izquierda. A
mE
'DD
<
Q
LA ELIPSE La el ipse es el lugar geométrico
a dos puntos
distancias Eje mayor:
A.A.=2a
Eje menor:
8,B.=2b
Distancia
de los puntos
fijvs es una constante
En una elipse se tiene los siguientes
108
IZ-(2,3)1=lx-41
+
L:x-4=O
-4(:x:-3)
+
La curva
F(2,3),
= IRe,(z)-41
= (x-4)'
Vértice de la parabola: 4p
lillz-(2,3)1
+
Foco de la parabola: /(""x-_":"Z-:-):-' -+-(""y--""3"")~' = 1x-41
1iz+3-2il
cuya
Slma
de
103
20.
elementos: 1m
focal: F,F.=2c,
donde F, y F. son
focos de la ,elipse, de modo que se cuma'
ple la relación:
=
b' + c1
Q es el centro de la elipse Detenninación
+
Q
= 4(F,+F1)
de la ecuación:
Sean F,(:x:,,y,),
F(X"Y1)
los áfijos de los -:::?"'=
complejos z, y z, respectivamente. Por definición:
d(P,F,)+d(P,F,)
• Re
O
=
20
+
Iz-z,1 + Iz-x,1 = 20 IZ-(:X:"Yl)1 + Iz-(.l:"y.>1 = 20
es la ecuación EJEMPLO
compleja
S.
Solución. +
Construir
el lugar geométrico:
IZ-(1+3i) I+\z-(-2+2i)
1=4
IZ-(1,3)1+lz-(-2,2)1
=
De donde: 20=4 d(F"F,)
de la elipse.
+
0=2 ; F,(1,3)
IZ-1-3il
+ Iz+2-2il
4
1m
4
Y F.(-Z,2)
= IF',-F~I = 1(3,1)1
131+1' = líO + c = 1Tó/2 COmo c < a, el L.G. es una elipse 'de centro: 2e =
Q
"
=
1
2(F,+F.)
=
(-1/2,5/2)
119
•
Re
'-...
, . Sección 9.11: Lugares geométricos
GIIE
en
e
595
Q
LA HIPERBOLA La hipérbola es el lugar geométrico" de los puntos
de las distancias
a dos puntos fijos,
~uya diferencia
llamados focos, es constante e igual
a 2a. Una hipérbola
tiene por elementos,
los siguientes:
Focos: F.(x.,y.) y F,(x"y,) Eje transverso:
=
A,A,
=
Eje conjugado: B,B,
2b
=
Distancia focal: F.F, c > a
.•
=
c'
=
Q
Centro:
Detenminación
a'
+ b'
Z(F,
+
1
1m
2a 2c
F,)
de su ecuación:
Sea P(x,y) el afijo genérico del complejo z y sean F. y F, los afi [os de los complejos --;;<""'==/::;z::::=~+-_....::::~•.
z.
y z"
respectivamente.
Por definición:
/
=
Id(P,F.)-d(P,F,)1 +
Ilz - z.I-lz - z,1 I
2a
=
2a
.• IIz-(x.,y.)I-lz-(x"y,)1
1=2a
es la ecuación compleja de una hipérbola. EJEMPLO
Esbozar el lugar geométrico de los afijos zc C, tales que:
6.
(1 liz-3+4il-lz+3i-21 Solución. En A: +
=
L.G. de los afijos de z
Iliz-3+4il-lz+3i-211-3
=
L.G. de los afijos de z
IZ-l+3il-lz+2-2il
lIi(z+3i+4)1-lz-(2-3i)1I
= 3
Ilil IZ-(-4-3i)I-lz-(2+3i)1
.•d(F"F,) = IF,-F, I .• 2c = 16' +6' = 612 > a,
Es
= .•
I
=
=
1
z(F,+F~)
jZ-(1,-3)1
=
3
3
F,=(2,3)
1(6.6)1 c = 312
el L.G. es uno hipérbola
centro es: Q En B:
=
cuya
(-1,0)
IZ-(-2,2)1
la ecuación complejo de la mediatriz
del seglllentoque une o P.(1,-3) y P,(-2,2) +
O
B
de donde: 0=3/2, F,=(-4,-3),
"
=
Sea A
.• I IZ-(-4,-3)1-lz-(2,3)1 I =
Como c
1-3)(lz-l+3il-lz+2-2il)
l(x-1)'+(y+3)'
=
l(x+2)'+(y-Z)',
de donde, L:3x-5y-1=O
= O
O
·, Capítulo 9: Números·Complejos
596
Observación.
Tener mucho cuidado al identificar lugares geométricos cuyas
ecuaciones complejas tienen la fonna: Iz-z, I-Iz-z, 1=20 , pues éstas representan solamente una de las dos ranas de la hipérbola. EJElrlPLO
Solución.
7.
Identificar y construir
la gráfica del L.G: IZ+31-lz-31=4
Se tiene: IZ-(-3,O)I-lz-(3,O)I=4 Aparéntemente se trata de una hipérbola con focos en F,(3,O) y
F,(-3,O) y con centro Q(O,O). Además: 20=4 , 2c=6 Ecuación de la hipe'rbola' ~ . a'
_:l.. b'.
+
r _::l5 4
=·1 _
b2=c'-a'=5
= 1
Este mismo resultado lo obtenemos portiendo de la ecuación compleja dada: IZ+31 = 4+lz-31 + /(X+3)1+y' = 4 + /(X-3)'+y' Elevando al cuadrado: 21(x-3)'+Y = 3x-4 "
1m \
Pero, Iii ~ O, ~O
\
\
(21(x-3)'+y')'= (3x-4)' 3x-4 ~ O de donde: 5xl-4y2=20, poro x ~ 4/3 +
A
Por tanto, la ecuación del L.G. representa solamente la rama derecha de la hipérbola. ~ta.
Asociadas a las gráficas de los lugares geométricos
de ecuaciones
complejas estudiadas, están las gráficas de relaciones que involucran desigualdades.
Sus representaciones
en el plano complejo se hacen en
idéntica fonna tal como se hizo poro las gráficas de relaciones en~. EJEMPLO
8.
(1) R,
satisfacen a las siguientes relaciones: hl-2~ lmt z ) < 3} , (3) R. {z12 < IZ-11.$ 4}
(2) Rl
{zI2Re(z)-3Im(z) ~ 6}
Solución.
Representar
en el plano complejo
(4)
los conjuntos de puntos que
R. = {zl Iz+11 ~ 4-lz-11}
(1) La gráfica de R, es la intersección de las gráficas de: [Im(z) ~ -2} IIm(z) < 3}; es decir, R, es el conjunto de A
puntos poro los cuales: (y ~ -2)
A
(y < 3), que corresponde al semipla-
no que contiene al origen cuyas bordes inferior y superior son las rectas y=-2, y=3, respectivamente.
(No se incluye la frontera y=3)
(2) La gráfica de R, es el conjunto de puntos z=(x,y), tules que: 2x-3y.$ 6 _. y ~ ~-2 Es deéir, es el conjunto de puntos situados en el semiplano superior de la recta L:2x-3y=6,
incluida la frontera L.
Sección 9. J J: Lugares geométricos
en
e
597
1m lm(z)=3
lm( z)=-2
Gráfica de R1
Gráfica de R, (3) Las gráficas
de IZ-ll=2 y IZ-ll=4 son dos circunferencias
concéntricas
de radios 2 y 4 Y centro común en Q(I,O). En efecto, si IZ-ll=2 IZ-ll=4 En consecuencia,
1(x-l,y) 1=2
C,: (x-l)l + yl = 4
l(x-l,y)I=4
C.:(x-l)l
+ yl = 16
la gráfica de R, es el anillo circular comprendido
tre las circunferencias
C, y C1, incluyendo
en-
los bordes o fronteras.
(4)R.={zllz+ll+1z-11~41 Si Iz-(-I,O)I+lz-(I,O)1
~ 4
20=4
+
Y F1=(1,0)
0=2 ; F,=(-I,O)
2c = /21+01
d(F"Flj
= IF1-F,1 = 1(2,0)1
2
~
c~1
Como a>
c, la gráfica de IZ+ll+lz-ll=4 es una elipse cuyo centro está = (0,0). Ader.-,ás,a1=b1+c1 b1=4-1=3
en Q = {(F,+Fl)
Xl
Ecuación de la el ipse: Luego,
la gráfica
7
,,1
Xl
+t;r = 1
E:
"4
,,1
+"3
=
1
de R. es el conjunto de puntos que están en el inte-
rior de la elipse E in~luyendo
la frontera.
1m
Gráfica de R,
Gráfica de R.
Capitulo 9: Números complejos
598
Q
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO
l.
Solución.
Detenainar
los conjuntos de puntos del plano complejo que
verifican:
(z + Z-1)tR.
tal que: z # z. = (0,0)
Sea z=(x,y), Luego, z
z-· =
+-
Z
+-
1=
x
Izl 1 O
+ y( +-=:l.i.
z
x'+-y' (x + ~)
+- (y -
X'+y" Si
(z + Z-1)Jl
y(x'+yl-1J
.•
Im(z
= O
+ Z-1)
=
O
.•
.• y(x'+y"-l) = O
Y --yx'+y' A
_Y_Ji x'+-y'
=
O
x1+y' I O
X'+y"
1m
o x"+y'=I)
(y=0 .• (y=0
A
.• x'+y' 1 O
X'+y"#O)
A
(x'+y' 1 O)
" (x'+y'=1
A
x·+y·-¡'O.)
La gráfica de (z + z-lJeR es la unión de la gráfica de la circunferencia de radio r=l y centro z.=(O,O) con la gráfica del eje real y=O, exceptuando el origen.
---~-~~--J-~Re
EJERCICIO 2. Demostrar que si c es una constante
real positiva,
los afijos de zeC, tales que 1~~~I=c representa
entonces
una circun-
ferencia si c#1 y una recta si c=l. nemoBtración.
En efecto,
sea z=(x,yJ
.• z+1=(x+1,y)
y z-l=(x-l,y),
de mo-
do que si 1~~~I=c .• Iz+ll = clz-11 .• Iz+ll'=c'lz-ll' .• (x+l)"+y'=c'[(x-l)'+l] .• (c'-1)xl+(cl-l)y'-2(c"+I)x+c"-1 = O (1) Sea a=c'-l
.• ox"+ay'-2(a+2)x+a = O
[x - a+2). + y' = (a+2). - 1 a a r-r-rx- __ Tenemos una circunferencia de centro (a:2,0) y radio: r = vI(a:2)'-1
Canpletando
cuadrados se tiene:
a 1 O , luego, c"-l 1 O En (1), si c=l
.• C"11
.• -2(1+1)x
= O
, pora
.• C11 .• x=O, es una recta.
EJERCICIO 3. Anal izar que lugar gecmétrico representa zccl az.z+cz+cz+b=O, donde a,bER y CEC.
los afi jos de los
Sección 9,11: Lugares Geométricos en
Solución.
e
Luego, si:
alzl"
EJERCICIO
:= Solución.
z
=
l+i
l+i
z:
x
=
1 + _1__ 1 + 1'"
-r(x-1)
de donde:
(y-l)'
.•
=
1"
=
(y-1)'
S.
(1 + __ 1_ 1 + 1" 1 +
=
Solución.
{zl
(- ~,O) y
r'(x-1)'
=
.•.
1'"
=
2-x x-1
2-x (:;:-1 )(x-1)"
.•. (y-1)"
=
=
114
de centro
(3/2,1) y radio 1'=1/2.
~ 8i·
11z+4-3 ¡j-I i(z-2-Si)
Y F,=(-4,-3)
.• 2c = 136+64
= 1(F +F,) = 1
IC"~ab
- r(:r:-1)
iz-2i+SII
Comoc> a, el L.G. es una hipérbola centro en Q
=
d,e la relación:
la gráfica
11z+4-3 i 1-1 i :-2i+sll
= 1(6,8)1
l'
-(:r:-3/2)" + 1/4
Ilz+4-3ij-1
de donde: 20=8 .•.0=4 ; F,=(2,5) d(F"F,J
11
.• d(FI,F,)
= 10 .•. c=S
=
8
= 1(2,5)-(-4,-3)1
\ ilm
con
(-1,1).
Gráfica de la relación: Si
11:-(-4,-3)1-lz-(2,5)1
~ 8
': ~-::'::':': ': ':{:';¡if··:' :':' :..-~.• .• l(x+4)' +(y+3)"
- l(x-2)' +(y-S)'
Re
~ 8
Veamos si (O,O)eR /4' +3' - /(_2)1 +(-S)'
.•. 125 - 129 ~ Luego,
-s 8
8 , se cl61I(Jle.
la gráfica
de R es el conjunto de ~'tos
mas de la hipérbola,
incluidos
O
el afijo z cuando:
11z+4+3 iI - 1di z-2-5i 11 Ilz-(-4,-3)1 - Iz-(2,5)11
+
=
, 1 __ 1 __ ) 1 .• 1'"
:= _1_
rZ
es una circunferencia
Construir R
x
c'-ab = --0-
que describe
:. (:r:-3/2)" + (y-l)'
EJERCICIO
=
+ 2cx + b
a(x"+y")
+
de centro
1 - 1'( __ 1_) 1 + ,.'
-(x'-3x+2)
El lugar geométrico
O
:r:-1
=
1 +
=
.•
l'
y = 1 .•. y-1
1'"
=
+ -z)
' r€R.
+ l .• ~i
+~
1 Re(z) ="2(z
;
c (x .• (¡>' + y'
= - ab .•
el lugar geométrico
1 +
Entonces:
b
es una circunferencia
Hallar
4.
z) +
c(z +
+
c .• x' + 2«i)x + y' El lugar geométrico
= z . Z = x"+y"
1z 1~
Sea z=x+yl
599
los bordes.
ubicados
entre
las dos ra-
., Capítulo 9: Números Complejos
600
EJERCICIO
6.
Sean R,={zl R1=lzl
Solución.
(1) Construcción . A:
(2) En A:
I
~ 6} Y
,< 1iz+5-4i 1 . Construir
la gráfica de R,O R1"
de los lugares geométricos:
IZ+1-2i 1+1 iz+2-3i 1=6 y B: Iz+2-i 1=1 iz+5-4i 1
IZ+1-2il+li(z-3-2i)I=6
(3) De donde: 20=6
+
IZ-(-1,2)1+lz-(3,2)1=6
+
a=3, F,=(3,2) y F1(-1,2)
d(F"Fl)=1(4,O)1
+
Iz+1-2il+liz+2-3il
IZ+2-i
+
2c=4
+
d(F"Fl)=1(3,2)-(-1,2JI
c=2
+
(4) Como c < a, A es una elipse con centro en Q = j(F,+F1) Ad~nás: (5)EnB:
b"=a"-c"=9-4=5 IZ+2-ij=li(z-4-5i)1
+
(1,2)
15
b =
+
IZ+2+il=lillz-4-5il
IZ-(-2,-1)1=lz-(4,5)1 del segmento que une los puntos +
(6) El L.G. B es la mediatriz (4,5). En efecto: +
(-2,-1) Y
1(x+2,y+1) 1=1 (x-4,y-5) 1
=
l(x+2)"+(y+1)i
l(x-4)1+(y-5)",
de donde, L:x+y=3
(7) Gráfica de R,:
/(X+1)1+(y-2)" (8)
+
+
1(x-3)"+(y-2)'
lI+4
Es (O,O).:.R? . +
15 + li} .:;:: 6 ,
~ 6
+ 19+4 ~ 60
se cwnple.
Luego, R, es la total idad de puntos en el interior de la el ipse, incluyendo el borde. (9) Gráfica de R.: x+y ~ 3
y ~ 3-x
+
R. es el conjunto de puntos el semiplano
ubicados en
inferior de la recta L,
inclu-
yendo el borde L. EJERCICIO
7.
Sean: R,=lzl
1iz+3i+21+lz-5+6i
1 ,< 12} y R.=lzll iz-i-41 ~ 3}
Hallar el área de (R,nR.). Solución. (1) En
Sean A: 1iZ+3i+21+lz-5+6il=12
A: li(z+3-2i)I+lz-5+6il=12
(2) De donde: 0=6, F,=(5,6), +
2c=ls'+4'=415
+
+
~(-3,2)
y B: 1iZ-i-41=3 IZ-(-3,2)1+lz-(5,6)1=12 , d(F"F.)=1(5,6)-(-3,2)1=I(S,4)1
c=215. Como a>c, A es una elipse con centro en:
Q =1.(F,+F.) = (1,4); a'=b"+c' + b"=36-20=16 .+ b=4 2 . (3) En B: li(z-1+4i)I=3 + lillz-1+4il=3 + IZ-(1,4)1=3 Luego, B es una circunferencia
de centro Q(1,4) y radio r=3.
(4) Gráfica de R,: IZ-(-3,2>1+lz-(5,6)1
~ 12
"
601
Ejercicios: GntpO 58
.•.1(x+3)1+(y-2)' Es (O,O)&R.?
.•.
+
1m
~ 12
1(x-5)2+(y-6)1
¡¡¡;;¡.¡. /25+36 ~ 12
li3 + 161 ~ 12, se cumple Luego, R. es el conjunto de puntos en el in terior de la elipse, incluyendo el borde. (5) Gráfica de R.: IZ-(1,4) I :;-3 +
.•. (x-1)'+(y-4)'
~ 9
se cumple. Luego, la gráfico de R, es lo totolidad de puntos ubicados en la porte exterior a lo circunferencia, incluyendo el bar de. Entonces: a(R. r¡ R.) = a(el ipse)-a(círculo) = 1Iab - .•r· = .• (6)(4)-,,(3)' Es (O,O)ER.?
+
(1)2+(4)1 ~9,
.; a(R.O R.)
=
15" u·
EJERCICIOS: Grupo 58 1.
Identificar el lugar geométrico de los puntos que representan los :1úmeros complejos z=x+yi, tales que: a) Izl+Im(z)=O b) Izl-Re(z)=2 e)
2.
z
d) Iz-21=2Iz+ll e) Iz-2+il=2
+ z = Izl'
g) Iz-z,I=lz-z.1 h) Im(z')=4
f) Iz+1-2íl+lz-1-2ij=8
í
)
Izl=Im(z)+l
Hallar el lugar geométrico de los afijos que representan a los números complejos z=x+yi, que satisfacen a las desigualdades:
3.
a) Iz-ij -s 1
d) O e Re(iz) " 1
g) IIz-4il-lz+2il I ~ 4
b) Iz-i-ll < 1
el Iz-21-lz+21 > 3
hl IIz-5-il-liz+3i+51 I >
el Iz-21+lz+41 ~ 10
f)
Dadas las relaciones R, y R" a) R,=lzIIIm(z)-SI b) R,={zl e)
5.
i) IzH-Sil
I Iz+4i-31-lz+5+2i I I ~
I ~6
R=lzllz-3+2il ~ a}
:
a
>,.liz+3-il
.construir las qráf í.cas de R,
~ Iz+1-3il} t
R,={zl Iz-1-2i 1+liz+6-3i
d) R,=lzlliz-2-ij 4.
12z1 > ll+z'l
R ••
liz+3i-4ll.
R,={zlliz-l+il.$
S}.
; R.=izl Iz-2+4il ~ 3 .
>,.IRe(z)-3Il : R,=izllz-2-2il·~
3}.
Donde se halla el afijo de z si: Log -( Izl'-lzl+l\ < 2 ,13 Izl+2 / Si el afijo del complejo z describe
Izl=l, qué lugar describe el afijo
del complejo w=x+yi, sabiendo además que: w(z+1)'=4.
,.
Capítulo 9: Números Complejos
602
E
FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO Sea el número complejo no nulo z=x+yi. Como ya se ha visto, este nú-
mero se puede representar
en un plano complejo
por la pareja
zamos la recta desde el origen al punto (x,y), habremos tancia r y un ángulo
9
en posición
nonnal
mediante
polares
una di!
(medido en sentido antihorario).
Esto es, el punto (x,y) ha sido representado en ténninos de las coordenadas
(x,y). Si tra-
detenninado
1m
z=(x,y)
r y e,
las relaciones: x=rCos9
de modo.que
y=rSen9
si: z=x+yi, entonces z = r(Cose+iSene)
Esta representación
del complejo
fonna polar o trigonométrica
~~--~--------~---Re
z se llama
de z, donde r
radio vector o nonna y e el argumento
es el módulo, Observaciones.
(1) El número complejo
o amplitud.
z puede ser representado
polar simpl ificada: z=rCise
en su fonna
..
(2) Los valores de r y e se pueden hallar por las relaciones: r =
Iz I
= Ix'+y'
,
Tana = ~
+
o=arcTan(~)
(3) El argumento de un núnero complejo no es único, pero se tomará como ar~nto
O'::;
principal:
(Algunos autores
O <
21f
toman como argumento
principal:
-lf
< o~
1f )
(4) La relación Tano =~ da dos valores para o y el ángulo que se eligirá x será el que se detennine por los signos de x e y. (5) Dados dos complejos z = Z, EJE1UPLO
en su fonna polar: z=rCis9 y zl=r,Cisa ++
1. Detenninar a)
r = r,
la fonna polar de los siguientes
z=-2+2I3i
c)
b) z=-I3-i Solución.
a) z=-Z+2(3i
(positivo), entonces Luego, si
rene
=f=
+
r
=
O tennina
:'{f
z=l+l3i
d) z=-5+0i
Para el argumento
= - 13
Izl
entonces si:
0, = 9+2k1f , kEZ
A
=
f) z=O-Zi
1(-2)2+(2(3)2=
principal
complejos:
z=3-3I3i
e)
4
tenemos: x=-2 (negativo), .y=zl3
en el 11 cuadrante. +
o=arcTan(-,Ij)
+
0=1800-600=1Z0'
= ~1f
.,
,.. Sección 9.13: Operaciones en la Forma Polar
•• Z = b)
603
4Cis(2~/3)
z=-I3-i r=lzl=I(-I3)I+(-1)I=2 Como x e y son ambos negativos, el argumento principol tennina en el 111
(-1) 13 cuadrante. Entonces: rana:; -Y = -="3 x (_/5)
=
• z
+
7
a= 180°+30' = 210' = 611
2Cis(7fr/6)
.• r = [a] = 11+(-/3)& = 2 Tane =~ = 13 .• a=arcTan (13) Como x e y son ambos positivos. el argumento figura en el 1 cuadrante. Luego, 9=60':11/3 .• z = 2Cis(1I/3)
c) z=1+13i
d)
z=-5+Oi • Aqui, y=O , x=-5 (senieje real negativo) Tana =;}!. = 2.. = x S
e)
O
••
8=11.
Luego: z
=
.• r=lzl=l-sl=5
SCis"
z=3-3I3i .• r = Izl = ;(3)Z+(313)Z = 6 Como x=3 (positivo) e y=-3t3 (negativo), el argumento y
cuadrante. Luego. rana = x .•
8
=
300'
= i1l
=
-3/3 -3-
Entonces: z
=-
=
1"'{
3 -
e
=
S
arcTan(-I3)
EJEMPLO
2.
Solución.
= -
m
(indetenninado)
A={zf:Cll_< Izl.$ 4, car el conjunto A.
Si
* r=lzl=I-31=3
..• 8=270'=311/2 ..• z
-7.$ arg(z) ~
=
3Cis(311/2)
111. Graficar e Identifi1m
1 .•. < Izl-< 4 , es un anillo
circular fonnado por las circunferencias: Izl=l y Izl=4. Enton ces A es un segmento de dicho anillo que parte de 8=11/4y tennina en 8=11 .
aD
= 360·-60·
6CíS(5fr/3)
f) z=O-3i . Aquí, x=O, y=-3 (sanleje in~glnarlo negativo) TanS = ~ = -~
tennina en el IV
/
I
OPERACIONES EN LA FORMA POLAR
9.13.1 MULTIPLlCACION El producto de dos números complejos en fonna polar es otro número complejo en fonna polar, cuyo módulo es el producto de los módulos de los factores, y cuyo argumento es la suma de sus argumentos, esto es, si: z,=r, (Cosa ,+1 Sena,) y z.=r.(Cos8t+iSena.)
.~
Capitulo 9: NÚmeros complejos
Entonces:
Z,
.z.
r,.r.(Cos8,+iSen8,)(CosO.+iSenO.) r,.r.[(Cos8,Cose.-Sene.SenO,)+i(Sen8,Cos8.+CoS8,Sens.)1 r,.r.[Cos(8,+8.)
Así tenemos que:
z,.z.
INTERPRETACION
=
GEOMETRICA.
+ iSen(a,+o.)1
r,.r.Cis(8,+8.) En un sistema cartesiano complejo unitarío
B representantes
de los complejos
denadas polares A(r"S,)
consideremos
el
u=(l,O) y los arijos A y
y z.=r.CisS. ,es decir', de co0l:
z,=r,CisB,
y B(r.,S.), res-
1m
pect ivamente. Considerando
a
construimos
OB como homólogo
el t.OBP
de coordenadas
t.OUA. ReslII tando P
polares
Detenninamos
(r,8,+6.).
r por la proporcionalidad
lados homólogos, d(O,P) --d(O,B)
2
de OU,
de
esto es:
_ d(O,A)
---
-
d(O,U)
de donde:
r
Por lo tanto, el vector OP representa producto de los complejos
am
COCIENTE El cociente de dos números
otro número complejo, los módulos
=.!..!
z.
=
w.
z¿
-
rCis8.r.Cise.
(1)
r,Cis8,
(r
=
D[Cis(S,-e.)] r.
=
~ r.r.Cis(O+S.)
(r.r. = r,) -
w
es el cociente
de los argumentos.
= z,
.•
(1):
dados en su fonna polar, es
es la ái f er-encis:
rCis9
Par la igualdad de complejos:
Luego. en
complejos,
también en fonna polar. cuyo módulo
y cuyo argunento
En efecto, sea: w Si w
al
z, y z •.
= 1:J) r. -
A
.!! Zl
A
(e
=
(0+8.
=
=
r,Cis8,
8,+2kn)
a,- e.. si k=O)
!:J.[Cis(& 1"2.
-B.)] 1
de
Esto es,
Sección 9.13: Operaciones en la Forma Polar
INTERPRETACION
GEOMETRICA.
605
Consideremos
el complejo unitario u=(l,O)
y los afijos A y B de los complejos: z,=r,Cis6, y z.=r.Cis6., polares son: A(r,,6,)
cuyas coordenadas
1m
y B(r.,a.).
a OU como homólogo de OB, con2
Considerando
truimos sobre OU el 60UQ ~ 60BA; resultando
Q de coordenadas
(r,9,-a.).
Según la proporcionalidad d(O,Q) gos: --d(O,U)
de lados homólo-
d(O,A)
= ---
d(O,B)
de donde: Por tanto, el vector OQ representa ciente de los complejos
313 3. Sean: z,= 2"" -"21 Y Z.=-2+2I3i,
3.
EJEMPLO
siguientes Solución.
el co-
z, y z•.
operaciones:
z,: r,=lz,I=3
En
en el IV cuadrante
+
a) z,.z.
y Tan6,=L= x
Cano x es positivo
efectuar en forma polar las b)
z.
1
-3/2 313/2
e y negativo,
~
/3
el argwnento
principal
termina
6,=arcTan(-1/13)=360'-30'=330'=11n/6
Luego, z,=3Cis(11n/6) r.:
En z.=-2+2'3i
, r,=lz,I=4
Como x es negativo
cuadrante
e y positivo,
z,.z.
b) ~
z.
=
z. EJEMPLO Solución.
xy -_ ~213 -_
el argwnento
+ .jn) = 12Cis({n)
12(cos90'+iSen90')
= ~Cis(lln 4 6
z.
_
~ -(3 principal
9.=arcTan(-I3)=180'-60'=120'=2n/3
+
a) z,.z. = (3)(4)CiS(1~n +
y TanO,-
_lñ)
3
= ~is(Ln) 4 6
12Cis(2n
12(O+i)
=
+
z.=4Cis(2n/3) +
i) =
12CiS(1)
12i
-43CiS(180'+30')
= -43(-COS30'-iSen30')
_l(l3+i) 8
4. Calcular:
z = (1-il3)(Cosa 2(1-i)(CoS6
+ iSenG) - iSena)
Sean: z,=1-il3 y z.=1-i. Expresando
ambos complejos
polar y teniendo en cuenta que sus argwnentos nan en si
termina en el 11
IV cuadrante,
se t fene:
en la foroJa
principales
termi-
,. . Capítulo 9: Números Complejos
606
Para z,: r,=2 y Tan9,=-13
+
Z,: r,=12 y Tan9,=-1
+
z,~2Cis300'
9,=360'-4S'=31So
+
z,=I2Cis315°
•
=
2Cis300'(Cis9) 2I2cis31S'Cis(-9)
Z
=
~[COS(29-1S')+isen(29-1S')]
Luego,
+
9,=360'-60'=300'
EJ!JLPLO
5. Representar
= '1CiS(3000-31S0
gráficamente
)Cis(9+9)
12 = ~[Cos(29
=
,t1CiS(-lS0)Cis29
7". 7" - 12) + ¡Sen(29 - 12)]
el L.C. de los afijos de los comple-
jos que cumplen con la relación Arg~)=O,
Zl-Z2
donde: zl=l+i y
z,=-1+2i. Solución.
Sean: z=(x,y)
y
w =~ Z,-Z,
=
+ W
Si Arg(w)
=
arcTan(x+2y-3) 2x-y-1
=
(x-1)+(y-l) i 2-i
i{(2x-y-1)+(X+2Y-3)
(x+2y-3=0) ~ (2x-y-1 > ~)
Arg(w)=O
+
i]
~
(x+2y-3=0) ~ Sean L:x+2y-3=0 y L,:y=2x-1 Entonces,
"-
in
ferior (y<2x-1) de la recta L,. L
O < Arg(z-1)
Si zECllz-11=1,
~ii~~~¡!;I~~!. ..
L
sobre
la recta L, en la región del semiplano
6.
2x-1)
1m
los afijos del L.C. que cumplen
con la relación dada se encuentran
EJEMPLO
(y <
< ";
determinar Ar(z'-z)
en fun-
ción de Arg(z). Solución.
IZ-11=1 es una circunferencia Entonces,
Por la geometría
elemental sabemos que:
m(~P)=m(fOPQ)
(Subtienden
Además: a
=
=
Arg(z'-z)
29
Argz(z-1)
= Arg(z) +
arcos iguales)
=
m(~P)+m
Luego: Arg(z'-z)
con centro en Q(1,0) y radio r=1.
sean: 9=Arg(z) y a=Arg(z-l)
+
Re Arg(z-l)
= 9+29 = 38 = 3Arg(z)
Ejercicios: Grupo 59
607
EJERCICIOS: Grupo 59 l.
Expresar los siguientes números complejos en su forma polar: e) z = 1: (--I3+i) e) z = -4+4I3i a) z = 613+6i 2 b) z = 3-313i
d) z = -S/3-Si
f) z = 212-212i
2.
Si z,=6Cis30o, z,=2CislOo y z.=3(Cos200-iSen20'),
3.
Realizar la operación indicada
y
hallar: z,.z,.z,'.
expresar el resultado en su forma rec-
tangular. a)
(I2Cis22°) (3Cis84°)(2Cis27°) (6Cis2S') (Cis183')
b) e)
d)
(Cos133 °tiSen767 ')(Cos317°+iSen223°) Cos30'-iSen30' (Cos171 '+jSen729°) (Cos284°+iSen1336') Cos330'-iSen330' (Cos29S'+iSen6SS') [Cos(-20')+iSen700'] Cos41S '-iSen12S ,
4. Localizar en un plano complejo los afijos que representan a los números complejos z=x+yi, tales que:
5.
a)
11/6 < Arg(z) ~ 211/3
e)
11/8 .$. Arg(z) ~ 11/2 " [z ] ~ 3
b)
11/4 ~ Arg(z) < 311/4
d)
~/3 ,< Arg(z+i)
Hallar la forma polar de:
11
.$.
a) z = iCis(1I/3)+1 b) z = l+iCotgB , 11< B < 311/2
6.
Escribir en la forma polar el resultado de: (6+2/3i) (7+7i)(41:3+12i)
7.
Si z,=1-2i
y
z.=2+i, graficar el lugar geométrico de los afijos de n~
ros complejos que satisfacen la relaci6n: Arg(~)
Zl-Z
8.
Si z=CiSB, representar en forma polar:
2.
2z l-z'
9. -craf ícar los conjuntos: a) A = {zEClz=iw', donde Iwl=l y Arg(W)E[1I/6,1I/4]} b) A = {zEClz = (~,), Iwl ~l
y Arg(w) E[1I/6,11/3]}
*
= O
"
.,
Capítulo 9: Números Complejos
608
E
POTENCIACION
TEOREMA
DE NUMERaS
DE MOIVRE.
La potencia
COMPLEJOS
n-ésima de un número complejo en
su fonna polar tiene por módulo
la potencia n-ési
ma de su módulo, .y por argumento el producto de su argumento por n. Es decir, si: z=rCisa Demostración.
zn = rn(Cosne+iSenne)
+
Por inducción completa, sea la proposición: P(n) = {nlzn = rncisne¡.
(1) Para n=l
+
P(l): z'=r'Cisa
z=rCiso , es verdadera
+
(2) Supongamos que para n=h, la proposición: P(h): zh = rhCisha , es verdadera
(Hip. 1nductiva)
Demostraremos
que para n=h+1, la proposición: P(h+1): zh+l rh+1CiS(h+l)O, es verdadera
En efecto: "~zh+1 = zh.z = (rCiso)h(rCisO)
=- (rhCishe)(rCisO)
= rh.r[Cis(hO+O)]
(3) Conclusión. Se ha probado que: P(I) es V EJEMPLO Solución.
1.
Si z
=
Expresamos
Izl = r =
-1
+~i
,hallar:
Entonces:
=
;1-13/2)'+(1/2)'
+
=
.'. Re(zll)
2.
+
P(h+1) es V
Re(z").
1 ;
TonO
= L=
.sa. .,__
I_
-/3/2
/3
tenmina en el 11 cuadrante.
180'-30' = 150' = 5u/6
z=ICis(5u/6)
z·· = Cis(8x2w +i-)
EJEMPLO
P(lt) es V
x
o=arcTan(-l/13) +
A
z en su fonna polar:
Como xO , el argumento principal Luego, si z=rCiso
(fbip. 1nd.)
= rh+1[CiS(h+l)O]
+
z"=I"Cis20(5u/6)
(Moivre)
= Cos(2u/3) + iSen(2u/3)
=
Co s'3 ,2) u
=
Co s (11 -"3u)
=
..•
- Co s"3(u)
= -
1 "2
Usando el Teorema de Moivre, demostrar las siguientes dades:
identi-
Sen3a = 3Sene - 4Sen'a Cos3a = 4Cos'o - 3Coso
Solución.
Sea el complejo unitario: z=Cose+iSene Elevando al cubo:
(lzl=l)
z' = Cos'e+3iCosteSene+3itCoseSento+i'Sen'e
,. Sección 9.14: Potenciación
de Números Complejos
~ z' = (Cos'B-3CosBSen'B) Por el Teorema de Abivre: ~
Cos30+iSen30
Igualando
609
+ (3Cos'BSenB-Sen'B)i
z' = (CosB+iSenB)'
= Cos30+iSen30
= (Cos' -3CosoSen'o)+(3Cos'8Sen8-Sen'O)i
las partes reales y las partes
imaginarias
obtenemos:
Cos38 = Cos'8-3Cos8(1-Cos'O)
~
Cos38
Sen3e
~
Sen38 = 3Sene-4Sen'e
3(1-Sen'e)Seno-Sen'e
NOta 1.
Dado un complejo
z=rCis8 y urr entero positivo
z-n=r-nCis(-ne),
es decir, el Teorema de Abivre es válido
para potencias
EJEMPLO
n, se cumple
enteras negativas.
3. Dado z=l= i , hallar:
SOlución.
4Cos'6-3Cos8
El complejo
z-'.
z en su fonna polar es: z=I2Cis(7v/4)
z-'=(12r'Cis(-21w
= _1_(COS(2~,,)
/4)
(Verificar)
- iSen(2~1I)]
2,12
12
5. +·4v)-ISen(4w
= ~(Cos(4"
12
11.
= ~(Cos(1I - z -,
NOta 2.
+
12 rz ="4 t : 2
5
411)]
11.
4)] = ~(-Ces(4!)+ISen(4!)]
+
41
1-
Si para un complejo. unitario. z=Cise aplicames Meivre,
se cll7lplen las siguientes zn
Cosne+iSenne
y
V
+
1
"21) = - 4
12 5 . 5 = ~(Ces(4")-ISen(4v)]
12
V
4)-ISen(1I
-.'2.
+
+
z-n
el Teerema de
relacienes:
=
Cesne-iSenn8
, neZ
de donde se ebtiene: Cesne
1 n = Z(z
Estas dos fónnulas
+
-n
Z
)
se utilizan
para expresar
potencias
de Seno. y Ceseno en
función de ángules múltiples. EJEMPLO
4.
Hallar Sen'e y Ces'e en términes de Senk8 y CeskB, respectivg mente.
SOlución.
Para n=l 32Cos'o
+
2Ces8 = (z
= z'
+
+
5z'(1) z
1) z +
(2CosB)'
10z,(I), z
+ ~
610
Capítulo 9 : Números Complejos
32Cos'e ~ (z'
+
+
~J z
+- 5(z'
+
-?-rJ z
(2Cos5e) + 5(2Cos3e) 1 I6(CoS5e
Cos 'e
+
+- 5Cos3e
Aná Iogamente, para n=1, 2iSen6 .•.32i'Sen'S
z· - 5z' ( z?
.•.32iSen's
1) z
+ 10(2CoS6)
+- 10C0se)
(z - ~)'
z
+ lOz _ 10 +.Q.. _ L z z, z' 5(z'
+ 10(z -~)
- ;,)
(2iSen5s) - 5(2iSen3s)
= I6(Sen5e -
+
-! ...(2iSene)' z
-¿) -
1
.'.Senos
z
+ 10(z
10(2iSens}
+
5Sen3e + lOSene)
EJERCICIOS: Grupo 60
1. Calcular y expresar el resultado en la forma a+bi. a}
(_1.
+
2 b)
2.
2
{fi + 1.i)1" 2
e}
/.3i) 'o
2
13 - i d) (1 - ---)" 2
g) (-l+il3)" (l-i)"
e) (2-2i)1I-(2+21)"
h} (/2+/.3 + i/2-13)<
y
expresar el resultado en la forma a+bi.
(2Cis22S')'(3Cis140'), a)~~~~~~~~~(~is2S'}'{I2Cis60')' b)
(-l-il3)" (l+ii'o
i} (12 _ ~2i)lO' 2 2
(1 + i?)1t 1 - 1
Efectuar
+
(~2Cis445·)'(/6cis140')·
e)
[2Cis(-130'»)"(3Cis34St).
12Cis(-30'){f6Cis13S')" 24Cis{-lSO')(/3CíslOS')'
12+0 + i12-13 , hallar:
3.
Si z
4.
Simplificar (1 + ~}n, donde ~is(2./3)
=
5. Simplificar: 6.
(1 + Senx + iCosx)f 1 + Senx - iCosx
Representar mediante un polinomio de primer grado en términos de .'íngulos IDÚltiplos de x, lo siguiente: a) Sen'x
7,
b) Cos'x
e} Sen7x
d} Cos'x
Expresar mediante Cosx y Senx lo siguiente: al Cos5x
b} Cos8x
e} Sen7x
Sección 9.15: Radicación de Números Complejos
611
8. Dado neZ+, demostrar que: (cotge + 1)'" = Cos2n6 + iSen2na Cotge - 1 9.
Si
z=c.í.s e ,
hallar todos los valores de e para los cuales (z+l)' es ima-
ginario puro.
(1 -
10. Resolver: [(1 + l3i) 'z)'
l3i) 'z
a) z = (-/3+i)-1
11. Calcular z' siendo:
b) z
llIliJ
=
a . Sena+1Sena
aeR " 0.$ a < 211
I
e)
Z
l+i
=--
/:i-i
RADICACION
DE NUMERaS
Por definición,
dado un número complejo z y un entero positivo n. se
dice que el complejo wes
raiz n-ésima de z si y sólo si. wn=z. se escribe:
'VZ .
w =
w = zlln
o bien:
El problema de calcular w se resuelve fácilmente polar, esto es. si:
z
entonces por definición
ti
COMPLEJOS
=
r(Cosa+iSene)
de raiz:
y
w
n
=
=
r(Cose
w
escribiendo
=
R(Cosw+iSenw)
+
iSene)
z y w en fonma (1)
z
Por la fónmula de Moivre: Rn(Cosn~
+ iSennw)
y por la igualdad de números complejos: e+2k1l =-n Luego. en (1): w =
nr.: e+2k1l e+2kn V r[Cos(-n-) + iSen(-n-)]
donde. para k=O.1.2 ••.•.• n-1. obtenemos
los n valores de'w, que lo designa-
remo.s por wk• k=O.1.2 •....• n+L, respectivamente. En resumen. se ha demostrado
TEOREMA
9.1.
el siguiente:
Todo complejo no nulo admite n raíces n-ésimas distintas dadas por: wk
=
n~rC ,e+2kn) + 1 'Sen (e+2k1l)] v r[ oS\"-n-n-
donde: k=O.1,2, ....• n-1 •
r=lzl
ya=Arg(z)
Dado que todas las raíces tienen el mismo módulo, éstas se encuentran sobre
612
Capitulo 9: Números Complejos
una circunferencia mento
de centro el origen y radio·~,
en múl tiplos de 21/In. Por esta razón,
complejo no nulo, se identifican lígono regular EJEMPLO
l.
geomé:ricamente
inscrito en la circunferencia y representar
Determinar
y difieren
las distintas
en el argu-
n raíces de un
con los vértices
de un po-
mensionada.
en un plano complejo
las raíces qui!!
tos de z=-16-1613i
r = Izl = 1611+3 = 32 ; Tane = 13 .• Si w = s,rz .• w = Sffl[Cis(240;2ktt)] k
SOlución.
.• w,
Para k=0 k=1
.• w, = 2Cis(1200)
k=2
.• w.
k=3
.• w.
k=4
.• w. = 2Cis(336°) que la diferencia entre [os
Obsérvese argumentos
n
SOlución.
2.
=
360 = 720 5
Determinar
las raíces cúbicas de la unidad:
Izl=l
Si z=l
.• wk Para k=O
2Cis(192') 2Cis(264')
de cada raiz es:
o '" l.2!..
EJEllPLO
, para k=0,1.2.3,4
1m
2Cis(48')
= =
e=arcTan(l3) =1801 +60'=240'
=
y e=Arg(z)=O
.• w
=
z=l
'IT[CiS(O+~kll)]
2kll . 2kll Cos(T) + ISen(3) , para k=O.1.2
.• w,=CosO+iSenO
=
1
211
.• w,
=
Cos(3)+iSen(3")
k=2
.• w.
=
CoS(3)+iSen(~)
411'
4'"
13.
1
21/
k=l
-2
21
+
1
13.
-"2 - '21
lm
Observac iones . (1)
Los afijos de las raíces cúbicas de la unidad son tos vértices de un triángulo equilátero
inscrito en la circunferen-
cia de radio
Re
Izl=l.
(2) Los raíces cúbicas de la unidad se encuentran
igualmente
de ellas un ángulo (3)
w.=
w,
espaciadas
con una .
igual 0"'-=2,,/3
W, .• w.+w.+w. =
O
,. Sección 9.15: Radicación de Números Complejos
GIBJ ECUACIONES
CUADRATICAS
En anterior
613
CON COEFICIENTES
ti
COMPLEJOS
estudio vimos que una cuación cuadrática
con coeficie~
tes reales ar'+boc+c=O, tiene por raíces: -b±~
x= En esta sección
20
y, en idéntica forma,
trataremos
de hallar
un proceso que
nos pennita resolver una ecuación de la'forma:
=
Az'+Bz+C COmpletando
el cuadrado
B + -)B' A(z' + -z -A 4A' Suponganos
que:
O , A,B,CeC Y MO
se tiene: B'
-C +-
..•
=
B
z +'lA y
B'-4AC 4A'
(2)
B'-4AC =--4A'
u
de modo que en (2) tendremos:
=
+ .l!)' 2A
(z
4A w
(1)
w'
=
u
(3)
PUede ocurrir entonces que: 1) Si B'-4AC=O,
entonces
u=O y la ecuación
junto {B/2A., esto es, si: En consecuencja,
11) Si B'-4AC#O, Como w
=
~=O
la ecuación
(1)
la ecuación ~=u
de:
1<1'
-B/2A
tendrá por: C.S
=
{-B/2A.
tiene dos soluciones
denotados
z +tA' entonces las soluciones de la ecuación
= w. -
Pero en la sección 9.10 vimos que S
(3) tendrá por solución el con-
=
B
z,
es:
z
++
= {W. ~ 2!'-w, - 2!}' = ~.
donde
B
2A
-z¡;
Y
por tanto, el conjunto solución
es cualquiera
En restmen hemos demostrado
de las dos soluciones
el siguiente:
El· conjunto de soluciones de la ecuación: Az'+Bz+C=O,
1) {- 2!}
si B'-4AC=O
A,B,C&C
y A~O es:
y
11) {- 2~ + W. , - 2~ ~
w.} si B'-4AC~O
donde w. es una de las soluciones
y w,
serán:
4A' TEOREMA 9.2
\lit
B
W,=-W.,
w,
(1)
por
,
de la ecuación:
w'
=~ 4A'
.
Capitulo 9: Números Complejos
614
EJEMPLO
Resolver:
3.
Solución.
za_(3+20z+(S+SO=0
Tenemos: A=l, 8=-(3+20 y C=S+Si Ba-4AC (3+2i)a-4(1)(S+Si)
=
(1) Entonces: (Z) Resolvemos (3) Elegimos
.
..
B
- 2A
+
3+2i
w. =-Z-
t-
+
2i = Z-i
3+Zi -21 + Z'! = 1~3i =-Z-
B
-:-2A -
141,
C.S = (2-i,1+3i1
_
RAICES PRIMITIVAS
=~
Si z
=
1
Y l=CosO+iSenO,
2k1f, Zkll Cos(~)+!Sen(~),
~ = -
= Cos~)+iSen(211) n n
1411
= ~ '
Se observa que: ~
ti
DE LA UNIDAD
unidad, según el Teorema de Moivre,
Si k=l
4
w. =21 - Zi
una de sus raíces cuadradas:
(4) Entonces:
(5)
= -15~8i = _l.§.. - 2i
w' = Ba~~C
la ecuación:
-1S-8i 1- O
-
entonces
las n-ésimas
estan dadas por: k=O,1,2, ... ,n-1
141 L
aquí que
1411
es decir,
k=0,1,2, ... ,n-l genera
141,
todas las n-ésimos
recibe el nombre de raíz primitivo
En general,
si
como poten-
raíces de la unidad, de
de la unidad de orden n.
es la raiz n-ésima de la unidad
141
(1)
w~ = COS(2kll)+iSen(2k1f) n n
Esto significa que tadas las raíces de la unidad son expresadas cias de
raíces de la
tal que sus potencias:
k w para k=O,1,2, ..•. ,n-l, son diferentes, entonces se dice que
141
es una raiz primitiva
En el ejemplo Z detenminamos co,
=
1
C1.)1
de orden n de la unidad.
las raíces cúbicas de la unidad:
=
co.
De las cuales co, y co. son raíces primitivas
= -
t -1í
de la unidad de orden 3, porque
para k=n-l * k=2, se tiene: co~
(_ 1 +
2 1Il~
(_.1_ 2
w! =
(1)'
Observamos
=
l3i)a 2
lJi)1
2
1,es igual) ~
1
2 1
13,
-21
/3,
-2 +21
co, no es raiz primitiva
que: n=3 y k=2 son primos
En consecuencia,
de la unidad de orden 3.
entre si, es decir, mCd(2,3)=1
'el nÚllero de las raíces primitivas
de la unidad de orden n
, Ejercicio: GnlpO 61
615
se deducen del siguiente: TEOREMA 9.3
wk es una rai z primitiva
Sea O ~ k < n. Entonces
la unidad de orden n, si y sólo si n y (primos entre si).
EJEMPLO
4.
Determinar
de
k son coprimos
todas las raíces de la unidad de orden 5.
Las raíces sextas de la unidad estan dadas por (1) pora n=8, es-
SOluciOno
tas son: Según el Teorema
.~
=
2kff.
2k'11
Cos(~)+lsen(~)
, k=O,1,2,3,4,5
k de modo que mcd(k,5)=1,
9.3. elegimos
esto ocurre para:
k=1 y k=5, entonces:
EJEMPLO
=í+
w,
=
Cos(-2;)+isen(2~)
=
Cos80'+iSen60'
w.
=
5-. 511 CoS(-;r)+ISen(-s)
=
Cos300·+iSen300·
5. Demostrar
que sí )=3.
(1-0»)(1-0)2
Demostración.
En efecto,
si
Cil es
O)
";i
1
=2 -
l3"
~í
raíz cúbica primitiva de
1,
entonces:
es raíz cúbica primitiva de 1, entonces w1
también lo es, pues el mcd(2,3)=1 Luego:
(l-w)(l-w")
Pero: 1 + w +
=
0)1
Por tanto, en (1):
=
1 - w' - W + 0)"
=
1 -
(O)~_)
+ lO'
(1)
O (Ver ejemplo 2) (l-w)(l-wZ)
+
=
w1+w
= 1 - (-1)
+ 1
-1
= 3
EJERCICIOS: Grupo 61 1.
calcular
todas las raices que se indican:
al Las ratees cuartas de z=-8+8I3i b) Las ra1ees cúbicas de z=-Bi el Las ratees quintas 2.
Calcular:
a)
.¡
l-i
l3+i
3. Si w.' lor de:
0),
y
0)1
de z=l6-l6I3i b)
@
l3-i
son todas las ratees de la ecuaci6n
e)
V,1+il3 l-i
x'=l, hallar el va-
.
616 4.
Capítulo 9: Números Complejos Demostrar que si z, es una raiz cúbica de z y si 1, ~ Y w' son las raíces cúbicas de la unidad, entonces z"
z,.~, z,.~· son las tres raíces
cúbicas de z. 5.
6.
Resolver las siguientes eeuaeiones: a) z'+(1-Si)z-(12+Si)=O
e) (z'-iz')-(2+2i)(z'-iz)+2(iz-l)=O
b) z'-(3+2i)z+(1+3i)=O
d) z'+(4+3i)z+(7+i)=O
Hallar todas las soluciones de las ecuaciones siguientes: a) z'+8+8I3i = O
d) z'+6+6I3i = O
g) z'+(2i-3)zt+S-i
b) z'+4 = -413i
e) z'-2z'+4 = O
h) l6z' = (z+l)'
e) z'+7z'-8 = O
f) z'+4z'+16 = O
i) zO-3Sz'-36 = O
j)
7.
O
(z+3)'=16i
Si w es una raiz cúbica de la unidad, demostrar que: a) (l+~')' = ~
e) (l-~~')(l+"'-~')
4
b) (1-~)(1-~')(1-"")(1-~')=9 8.
si ~ es una raiz n-ésima de la unidad, hallar el valor de:
al
S
b) S 9.
1
+ n~
2~ + 3~' +
n-l • n-l
1 + 4~ + 9~' +
+ n ~
Sean m y nez+ y sea M un mGltiplo de m y n, tal que MEZ+. Si "',es raiz m-ésima de 1 y ~. es raiz n-ésima de 1, probar que w,.~.es raia M-ésima de 1.
a::m
* Si z=x+yi. se define exponencial exp(z)
=
eZ
=
donde eX es la función exponencial perianos
de z como;
eX(Cosy+iSeny) real y e es la base de los logaritmos n~
(e=2.71828 ..)
Si z es un imaginario puro, esto es, si luego, en la exponencial
e
Z
(exCosy
+
x=o ~
Z
yi
compleja se tiene:
exp(yi) Pero:
Q
LA EXPONENCIAL COMPLEJA
ieXSeny)
=
eYi
=
Cosy + iSeny eXSen arCTan(excos~) y
arcTan (Tany )
Sección 9. 16:La Exponencial Compleja
luego, la relación:
exp(ia)
=
617
=
eia
Cosa+iSena
es la llamada: fónnula de EUler o exponencial Siendo la representación
compleja.
de un número complejo: z
=
r(Cosa+iSena)
la fónmula de Euler da lugar a una representación
alternativa
de los núme-
ros complejos en la fonma exponencial: z
=
reia
donde: r=lzl y a=Arg(z).
z =
Ejemplos:
= Cos(w/2)+iSen(w/2)
i
z = -1 = Cosw z =
1
= Cosa
+
iSenw iSenO
+
z = ei(w/2)
~
z = ei.
~
z = eiO = ei2n
•
z = -i = Cos(3w/2)+iSen(3w/2) z NOta.
=
-4+4I3i
=
BCis(2w/3)
z = ei(3w/2) = e-i(w/2)
~
z ~ Bei2n/3
~
Si en la fónmula de Euler: eia=Cosa+iSena, (-a) se obtiene:
se sustituye
a por
e-ia=Coss-iSena I
De estas dos ecuaciones
résultan
las identidades: Sena
que son de mucha utilidad EJEMPW.
en demostraciones
1 ia -ie 2(e -e )
=
de identidades
Hallar Cos's en función de Coska.
Solución. +
Cose =
1(eia+e-ie) =
Cos'a
•
~[~(e3ie+e-3ia)
Cos'a = ~(e3ia+3e2iae-ie+3eiae-2ia+e-3ie) + j(eie+e-ia) ]
aIIJ PROPIEDADES DE LA EXPONENCIAL EC.1 :
z w e.e
=
Demostración.
e
(3)
+
=
~(CoS3e + 3Cose)
COMPLEJA
z+w
En efecto, sean: z=x+y! , w=a+bi (1) +
(2)
trigonom.
é.ew
eZ
=
eX(Cosy+iSeny)
[ex(Cosy+iSeny)] [ea(COsb+iSenb)]
=
ex+a[(CosyCosb-SenySenb)
+
i(CosySenb+SenyCosb)]
Capítulo 9: Números Complejos
618
zw (4).•e.e (5) .•
eZ• eW
= =
x-o i (y+b) e .e
ex+ar:lCos(y+b) + iSen(y+b) ] e(x+a)+i (y+b)
=
eZ+w
eZ ., e z -w w e
EC.2: EC.3:
eZ t O , ~ZEC
EC.4:
¡eZ¡
=
eX
y=Arg(z),
Demostración.
donde z=x+yi eZ = eX(Cosy+iSeny)
En efecto, por definición: .• ¡ez¡ = eX/(CosY)'+(Seny)'
Z
Si e
.• e = Arg(z)
= eXCosy + ieXSeny
.• e EC.5:
Si Y es real
EC. 6:
eZ
=
1
Demostración.
.•.•.
Si eZ=l
=
Z
y
2n" i , fnEZ
.• eZ = ex+yi= eX.eiy = eX(Cosy+iSeny)
.• eXCosy+iexSeny
=
Como eXtO, entonces: Seny=O
(5) Ahora, si y=kv
(7) Pero eX > O
.• k=2n
(8) Por lo tanto: (9) Recíprocamente,
= eXCosy+ieXSeny
1
eXCosy
=
1
A
eXSeny
=
O
.•.•.y=k1r , kEZ
.• Cosy = Cosk .• = (_l)k
(6) Luego, en la primera
igualdad de
(3):
.• {eX = 1 Y = 2n .•
eX(_l)k = 1
(-llk
.• eX=(-l/
X=O
Z = x+yi = 2n .•i , ~EZ si z=2n .•i .• eZ = e2nni = Cos2n .• + iSen2nn = 1+0i = 1 Z
aI!l
=
= arcTg(Tgy)
.• ¡eiy¡
(3) Por la igualdad de complejos: (4)
Arg(z)
= arCTan(::~::~)
En efecto, sea z=x+yi (1)
(2)
=
= eX
=
w.-2k.•i , -\1hZ
OPERACIONES EN LA FORMA EXPONENCIAL Las fórmulas relativas
cación de nÚlileroscomplejos
al producto,
cociente, potenciación
y rad!
en la forma polar son similares para dichas o~
raciones en la forma exponencial.
Esto es:
,. . Sección 9.16: La Exponencial
Compleja
619
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS
EJERCICIO
1. Si z = -
-i +
~i
Y
w
= -
t-
~i
detenninar zn+wn, don-
,
de n es un número entero. Solución.
Expresando z y w en su foma polar obtenemo8: z=Cis(2~/3) y ~Cis(4n/3) (Verificar) n 2nlf. 2n1l 4mr. 4n" Luego: zn + w = Cos(~)+ISen(~) .+ Cos(~)+ISen(~) Pero: Cos120'=-Cos60' y Cos240'=-Cos60' Sen120'=Sen60· y Sen240'=-Sen60' Por tanto. en EJERCICIO
2.
(1):
zn
+
wr
+
+
4nn COS(-S-)
2n1l Cos(-S-)
=
4mr Sen(~)
(1)
2n" -Sen(~)
= 2CoS(2~1f)
Apl icar la potenciacíón de nÍ8lleroscomplejos para expresar Tg6a en términos de Tga.
Por el Teorema de MOivre: Cos6a+iSen6a = (Cos9+iSens)' Desarrollando la potencia y luego ordenando las partes reales y las partes imaginarias, obtenemos: Cos6e+iSen&f= (Cos'e-15Cos'eSen1s+15Cos'eSen's-Sen'9) + Solución.
+
i(6Cos'SSenS-20Sen'sCos'S+6Co8sSenSS)
Por igualdad de números complejos: Cos68 = CoSOe-15Cos'SSen16+15CoStSsen-e-sen69} Sen6S = 6CosseSene-20Sen'eCossS+6Cos6Sen'S
+
-r
68 _ Sen69
,an
- Cos6a
.
Finalmente, dividiendo
cada término del numerador y denominador de Tan6e en
tre Cos"e, resulta:
Tan69 =
6Tana-20Tan'e+6Tan'a 1-15Tan'6+15Tan'a-Tan'9
Capítulo 9: Números Complejos
620
EJERCICIO
3.
Sea ZEC, #z"
demostrar
En efecto, si z=rei8
Demostración.
zn = rnein9
=
z Por tanto, de EJERCICIO Solución.
(1)
4.
re
(x)n -n(z )
y (2):
Hallar
Sea z'=u
=
=
(1)
rne-in8
(2)
- n (z)
todas las raíces de la ecuación: u1+u+1=O
+
EXpresando
z=re-i9
+
(zn) = rne-in8
+
-i9
que: (zn)
z·+z'+l=O
u = - ~ ± 1i
+-+
cada una de estas raíces en su fonna polar se tiene:
u.=Cis(120') y ul=Cis(240') Lueqo,
si z' = Cis(120')
+
wk = CiS(120;2kTT), k=O,1,2,3
Z' = Cis(240')
+
w
= CiS(240;2kTT), k=O,1,2,3
k
Se deja al lector hallar las 8 raíces dando los respectivos ra cada z', luego ubicarlas EJERCICIO Solución. Luego:
Izl = 1(13-1)2+(13+1)2
z = IBCis(75') :.
EJERCICIO Solución.
ñet z+")
=
hallar Ret z+"):
lB';
Tg8 = 13+1 = 2+13 13-1
+
Z'2 = (1B)"Cis(12x75')
+
z"
= 8'Cis(180')
8=75'
+
= 8'Cis(900')
= 8'(CosTT+iSenTT)
= 2'·Cosll = -2'8
Si Ixil=8 y Arg[z(1+i)]=1I/6,
6.
PQ.
en un plano complejo.
Si z=(13-1)+(13+1)i,
5.
valores de k
hallar z en forma
Ixil = lil Ixl = Izl. Si z=x+yi y Izl=8 Arg[z(1+i)]=1I/6
+
Arg(x-y,X+y)=TT/6
+ +
~
exponencial. (1)
x1+y'=64 ~ ~
=
T9(~) =_1_ 13
+
de donde, elevando al cuadrado obtenemos: SUmando (1)+(2): x'+2xy+y'=32 +
De (3) Y (4) obtenemos x Y
= =
~
l3(x+y)=x-y
2(12+/6) 2(12-16)
+
(x+y)'=32
13(±412)
=
=
2xy
(2)
-32
++
x+y = ±412
(3)
+
x-y = ±4/6
(4)
x-y
cuatro soluciones: x
=
-2(16+12)
x
Y
=
2(16-12)
Y
= =
=
2(12-/6)
x
2(12+16)
Y =-2(16+12)
2(16-12)
., Sección 9. J 6: La Exponencial
(1)
'[:
.
ge,
2(12-16)
=
Compleja
621
...
-2+13 , x>O , y<0
9, en el IV cuadrante
2(12+16)
.•.8,= 360'-15° (2)
T
8
_ 2(/6-12)
... z = 8 e i231r/12 X0 .•. e. en el
=
3150
2311 12
-2+>'3,
g • ~
11 cuadrante
-2(16+12)
(3)
... e,= ng e • _
2(12+16)
-2-13
-e-
.•. z
- 11" - 12
165.
180'-15'
= 8eillll/12
..
, x<0 , y>O
e. en
11 cuadrante
el
2(12-16) +
(4)
8.= 180'-75'
T
g9,
=
lOS'
=-2(16+12)
77f
12 .
.•. z
i711/12 = 8e
.•.
-2-/3 , x>O , y<0
9,
en el IV cuadrante
2(16-12)
.•. e.= EJERCICIO
z.
Entonces:
entre
i(a.-f,)
Re(z •.
z.)
= =
demostrar
"
que Cosi!
vectores.
=
z,
y
8ei191l/12
=
Re(Z,.z.), 1 z,llz. I que representan
1m
los complejos:
sean
= r,e ¡el
Z =
11
los radios
En efecto,
Demostración.
r,.r,e
= 12 !2 ...
285'
Sean z"z.&C,
7.
ángulo comprendido
z,.z.
=
360°-75'
Q
es el
a z, y z ••
z
iB
r.e
donde
r,r1Cis(a.-f,) r,r1Cos(a.-fl)
Iz.llz.ICos1jJ de donde:
Cos1jJ =
EJERCICIO
Re(z,.z.)
1z, 11z.1 Demostrar que si 0;19=1 y wil,
8.
En efecto,
Demostración.
(1)
.•. w',
(2) Como wf1
.•. "'-1#0
(3) Entonces,
sea: S
=
.•. wS
=
S - o;S
=
(4) (5) Restando:
",:i
.•. w"-l=O
si 0;'°=1
(w-l)(w'"+o;"+
.•.
entonces:
+ 1901"
1+2",+3",".¡-.
+
+w+l)=O 7
w'
+
.•. '" +
1 .•.2'" .•.3w' + o; +
2~1
1
=
.•. 19"'"
+
1 .•. '" + w· .•.
.•. 180;'"
+ 190;"
+
19","
0;"
-
~'---------~~--------~' O
(6) .•. S(1-0;) EJERCICIO
9.
=
0-19w"
19","
S = -;;;=y- =
19(1)
-;:::y-
Sea z=x+yi tal que: z'"=l
Re(z
+
z' .•.z·
+ •••
O
+
=
19 w-1
y z=1 • Hallar:
z·').
'.
Capítulo 9: Números Complejos
622
Solución. Sea S = z + z· + z? + ... + Z17 = z(1 + z + Z· + ... I= z 17 Pero Z"=Z17.Z• + z37.z'=l + Z17 + S = Z(T-Z) +
t S = z(l ~ !/z )
+
S =
T
_(Z;l) = _[(X+1,y)] (x,y)
x'+y'+x ,~) x'+y' x'+y'
(-
EJERCICIO
10.
=_[(.(X+1)X+Y· xt+y: .
+ Z16)
=
11z'
:x:y-y(X+1»)] x'+y'
..•.Re(S) = _ x'+y'+x x'+y'
Uno de los vértices de un octógono regular coincide con el afijo del complejo z=2COs1So-2iSenlSo.
Hallar los vértices
restantes (o una fónmula que penmita calcularlos). Solución.
z=2[Cos(-lS')+iSen(-lS')] Un octógono regular es descrito por los afijos de la raiz octava
de un detenminado
complejo. Ahora bien, sabemos que los argumentos de cada
raiz están igualmente espaciadas un ángulo a ~ 2~ = 3~O = 4S' Entonces,
una fónmula
que penmite
calcular
los afijos de cada uno de los
vértices del octágono es:
z
=
2[Cos(-lS+4Sk)+iSen(-lS+4Sk»)
, k=0,1,2,3,4,S,6,7
Para k=O
+
w,=2Cis(-lS')
k=4
+
w.=2Cis(16S')
k=l
+
w,=2Cis(30')
k=S
+
w.=2Cis(210')
k=2
+
w.=2Cis(7S')
k=6
+
w.=2Cis(2SS')
k=3
+
w.=2Cis(120')
k=7
+
w7=2Cis(300')
~JERC:ICIO
11.
Detenminar
el total de niíneros enteros pos itivos n de tres
cifras que verifican Solución.
Si z
=~
+ ~i
+
z
=
la igualdad: (~ + ~i)n
eiT/3
= ~ + ~i
(Verificar) (Igualdad de complejos)
de donde: n=6k+1 , pero: 100 < n ~ 999 +
Dado que, por cada k existe un n EJERCICIO
1%.
+
16.S < k ,< 166.3 +
100 < 6k+1 ~ 999 +
17.$. k ~ 166
n = (166-17)+1 = ISO
Demostrar que para e€[0,2T] y n niínero natural: (1tSene+~COse)n= Cos(n(~ - e)] + iSen[n(~ - e)] l+Sene-¡COSe 2 2
Sección 9.16: La Exponencial
Demostración.
Compleja
623
En efecto, sean:
y ~1+Sene-iCos9
z=1+Sen9+iCos9
.•z = sen ! + Sen8 + iSen(-211 - 8) = 2Sen(1!.+ .!1.)COS(1!. - !)+2iSen(.!!.-~)Cos(.!!.+.!1.) 2 4 2 4 2 4 2 4 2 .118 Pero, por ser complementarIos: Cos(4 +})
11 e = Sen(4 - })
.•z = 2Sen(!!.+ ~)CoS(.!!._.!) + 2iSen(1!.+ .!!)Sen(! _!) 4 2 4 2 4 2 4 2 = 2Sen(! + !)rCos(1!.- .!!)+iSen(1!. 4 2 ~ 4 2 42Por un razonamiento w = 2Sen(¡
Entonces:
+
similar se demuestra
1) [COS(¡
2Sen(.!!.+ !)fei(1I/4 - 8/2)] 4 2 L
que:
i - ~)] = 2Sen({ + ~) [e':"(11/4 - 8/2)]
-1)-iSen(¡
= ein(1I/2 - 8) = Cosn(f - 8) + iSenn(f - 8)
(~n
EJERCICIO
2)] -
13.
Dado 8e:R, demostrar a) zm +
que si z + 2 = 2COS8 , entonces:
z
-l m
= 2Cosme , me:Z+
-l m
= 2iSenm8
z
b) zm -
" me:Z+
z
Demostración.
En efecto, sea z=r(Cos8+iSen8) Entonces:
Dado que: z +
! es z
z +2 z = (r +1)Cos9 r
..
real
Esto es:
(r -l)Sene
Para r=l
.• z=Cos8+iSen8
r
Im(z + (r
O
1)
-1 = r
r = 1 v 8=2k1l z-'=Cos8-iSen8
a) zm + ~ =,2Cosm8 zm
EJERCICIO
14.
los extremos de ambas ecuaciones
b) zm -
,-1 =
=
.• A+B+C = (Cosa+Cosb+Cosc) .• [(A+B)+C)'=O O..
demostrar que:
3Sen(a+b+c)
En efecto, sean: A=Cosa+iSena
(A+B)'+C'+3C(A+B)(A+B+C)
2iSenm8
y Coea+Cosb+Cosc=O,
Si Sena+Senb+Senc=O
Luego, si A+B+C=O
obtene
zm
Sen3a+Sen3b+Sen3c Demostración.
O)
z.m = Cosm8-iSenm8
Por tanto, sumando y luego restando mos:
O) v (Sen8
++
y
r
+ i(r -1)Sen8 r.
= O
z
y
.• zm = Cosm8+iSenm8
.• z-,=1(Cose-iSen8)
, B=Cosb+iSenb
, C=Cosc+iSenc
+ i(Sena+Senb+Senc)
.• (A+B)'+3(A+B)1C+3(A+B)C1+C' (A+B)'+C'+3C(A+B)(
O )
=
O
O
Capítulo 9: Números Complejos
624
+
o
(A+B) '+C'
+
+
A'+B3+C'+3AB(A+B)
+
A'+B'+C'
=
o =
(Cos3a+Cos3b+Cos3c)+i(Sen3a+Sen3b+Sen3c)
Por igualdad de complejos,
(Pero A+B=-C)
3ABC 3{Cos(a+b+c)+iSen(a+b+c)]
tomondo la parte imaginaria obtenemos:
Sen3a+Sen3b+Sen3c
= 3Sen(a+b+c) k
Q
EJERCICIO
Sabiendo que -\'zeC,eZ = 1 +
15.
L (k i), Z
k=l
<,
demostrar que:
.
r'Sen2a r'Sen3a rSena + --2-! - + --3-.-' - = e rCosaSen(rSena) Demostración.
En
efecto, sea:
Desarrollando
+
e
rCosa
=
er(Cosa+iSena)
tiene:
=
= reia
Z
rCisa
los tres primeros + z· +
1 + ~ l!
2!
ténninos de la sumatoria se
s: 3!
+
irSena _ 1 rCisa r'Cis2a r'Cis3a + 1! + 2! + 3!
.e
r'Cis2a + r 'Cis3a erCosa efeos (S r ena )'S +¡ en (S r ena )] = 1 + ~rCise + ----2-!-3! •.•...
Por igualdad de complejos, e
rCosaS
tomando las partes imaginarias obtenemos:
(S ) S r'Sen2a r'Sen3a en r ena = r ena + 2! + --3-!x TI
x x Si - Ti
3
EJERCICIO
16.
Demostración.
Demostrar que: x -
5
+
7
En efecto, si en el ejercicio
+ •.
= Senx
anterior sustituimos r=x y
a=n/2, tendremos: xCosn/2S (S ~)_xS (~) x'Sen(n) e en x en2 en 2 + 2!
+
x'Sen(5n/2) + 5! +
eí Senx
=
xt l ) + x'(O)
2!
.. Senx
EJERCICIO
17.
=
+ x'(-I) 3! x -
x'
TI
+ x'(O) 4! +
X·
x'
Si - Ti
x'Sen(3n/2) x'Sen(2n) 3! .+ 4!
+
x'Sen(3rr) x'Sen(7n/2) t 6! + 7! + x'(-l) 5!
+ x'(O) 6!
+X'(-l)
7!·
+ +
...
+ . • •
Para z=Cis(n/4), hallar: a) El módulo y el argumento de (l+iz)'.
b) Im(l+iz)6 en suncs , usando el Teorema del binomio de Newton. Solución.
a) Sea 6=-/4 +
+
iz = i(Cos6+iSen6)
=
-Sen6+iCos8
l+iz = (I-Sene)+iCose = (Senn/2 -Sene)+iSen(w/2
-e) <,
Sección 9.16: La Exponencial Compleja
+
l+iz
=
ZCos(.!.+ 4Z
625
2 )Sen(.!.-~)
=
=
Cos(4 - "2)
i)
.• l+iz = ZSen(~ - ~) [CoS(~ + .• I+iz
4Z
O
1f
Por ser complEmentarios:
Poro 8~/4
+ ZiSen(!..- !)Cos(.!. - _Z8)
4Z
•
4
O
1f
Sen("4 +])
+ iSen(~ +
1)]
ZSen(1f/8) [Cos(31f/8)+iSen(31f/8)]
.• (l+i z )" = Z'Sen'(1f/8) [Cis(91f/4)] .•Mod(l+iz)' b) (l+iz)'
= Z'( /Z¿)'
f = t.
=
(z-I2)'
r!)(l)k(izl-k
=
±
=
k=0
•...
= ZO-14/2
; Arg(l+iZ)'
=225'
l-k
(~)(eh/Z.eiO
k=0
=
(~)(ei(1f/Z +9Jl-k
k=O
+9)(6-k)
f(~).ei(1f/Z k=0
6
6
6
= L (k)Sen(~
Im(l+iz)'
6
= ~
+ oH6-k)
k=O
(k)Cos(6-k)8
k=0
18. Simpl i i icar : 2+(3)(2)COS8+(4)(3)CoSZB+
EJERCICIO
9./4
.•. +(ZO)(J9)Cos189
. il9a io sabiendo que: e =1 y e tI
SOlución.
Sean: A
=
2~(3)(Z)CoS8+(4)(3)Cos29+
•..
+
B
=
(3)(Z)Sen9+(4)(3)SenZ9+
•••
+ (ZO)(19)Sen189
Tomando el complejo unitario: ~=Cos9+iSenB, A+Bi
=
2 + (3)(2)~
(4)(3)w'
+
(20)(19)Cos18e
obtenemos el complejo: + (ZO)(19)~"
+ .••
Entonces, si Z=A+Bi, debemos simplificar A=Re(Z) Z
=
2 + (3)(Z)w + (4)(3)~'
.• ~Z
=
Z~
Luego, si:
.• (l-w)Z
=
+ (3)(Z)~1
Z + Z(Z)~ + 3(Z)~'
.•
(l-~)Z
w-1
1
= 2(~) (0-1
+
+ (19)(18)w"+
+ 19w"]
= ~l
"'-
- (ZO)(19)w"
(Ver ejercicio 8) y wl'=ei199=1
- (ZO)(19) = _38(1~-11) ~-1
_
Z = 380 _
w-1
= Cose-l+iSen9 = -ZSen'~ + 2iSen]Cos~ = ZiSen~(CosI = 2ei1f/Zse~(ef1f/Z) ~ 2(Sen;>ei(1f/Z+9/Z)
.• ;;:jT
e-I(1f/Z+9/2) ZSen9/2
(ZO)(19)w"
+ 19(Z)",'" - (20)(19)w1'
+
= Z[l + Zw + 3w' + • La expresión entre cOrchetes es
(ZO)(19)w"
+ + ..•
• Luego en (1):
380e-I(1f/Z+8/2) Z = ;;.;;.;..:;...--~2Sen8/2
38 (",_1)i
+ ¡SenIl
38ei (H9) 4Sen'0/2
(1)
626
Capitlllo 9: NÚmeros Complejos
Entonces:
= Re(Z) =
A
2Sene/2
=
A
las raíces
13 ~ = (- ~2'-2) [(l-i)CosH
.• - (1+i)Cos~i
11.• =
Solución.
.•
de donde:
.• Hallaremos Para k=S k=10
Par lo
• 2(2-n)
tanto,
n=18
se
• ".
=
«z wk .• z Por consiguiente,
=
2n/2(ei"/2)2-n
+ 2k",
/3 2' -"2)
=
20.
2"/2(ei"/2)2-n
_
k=0;1,2 •••.
, k=0,1,2, a k,
2"/2~ei2n"/S
,n-1
&:'
("Se
i7./6
= I"
las raíces
=
3e •
de complejos)
•••. , n-l
tales
las
~ 2"/2(ei"/2)2-n
(Igualdad
esto es:
que ne:Z+,
6<18)
(no cumple con la condición:
S
W
EJERCICIO
=
lo2ei71f/4
deben hallar
Dado que: wk = (-
' que: y se conoce además
- 2"/2(ei1l/2)2-n
(cumple con la condición:
n=6
.•
12
=
n dando valores
de z~C, sabiendo que:
isenH1f)Jn= 2"/2(ei"/2)2-n
.••.
= ~(2k+l)
n
.•
38Coso
2(1-Coso)
= - Senil. 12
COsE.
.• + i(1-i)Senij,,]n
[l.2eI7"/4.ei11"/12]n 2n_ -S-;r
.•
12-
I.2Cis(7w/4)
(n
es una de ellas
.• + (l+i)Senil,,]n
.• [(1-i)(CosH
=
n-ésima8
12
[(1-i)CosH
1-i
2Seno/2
= 2"/2. i2-n
.•]n
.! + li.. 2 12
12
.• [(l-i)Cosll
Pero:
4Sen19/2
19(o11CosO - 1) 148e
19. Hallar
EJERCICIO
= _ 380Sen9/2 +
_ 38Cos(.•~)
380Co8(.•/2+8/2)
raíces
i7T/6
r 27e
=
27e
¡. 18)
de z.
sextas
. es una ralz
i7..
sextas
18
sexta,
es decir,
¡s
de z están dadas por la fónnula:
nr. 1f+2k .• ,,,CI8(-6-)' k=0,1,2,S,4,5
Dado nFoZ+, convertir
a producto
la
8tmCJ:
(~)Cosne + (~)CoS(n-1)e + (~)COS(n-2)e +
n
Solución.
Sean: A
= L (~)Cos(n-k)e
n
y
B
k=O Tomando el .complejo unitario:
= L: (~)Sen(n-k)e k=O
z=Cose+iSeno
••
Zn-k=Co8(n-k) O+iSen(n-k) 9
Sección 9.16: La Exponencial
Compleja
627
n
n
í: (~)[Co8(n-k)e+iSen(n-k)e]
Pero: A+iB·=
A+iB =
+
k=O
L: (~)Zn-k
(1)
k=O n
Por el binomio de Newton:
¿ (~)Zn-k(l)k
(z+1)n:;
(2)
k=O De (1) y (2) se deduce que: Ahora:
z+l = (l+Cosa)+iSena
Luego:
(z+1)n
= MiB
21.
=
(z+l)n
= 2COS'}+
+ iSen~J]
= z"CoSn(-}JCoS(n;J
a producto
Convert ir
= 2CoS~(C08~+ isen})
2isen~cos}
= 2nCOSn(~) [CoS(n;J A = Re(z+l)n
:.
EJERCICIO
A + iB
la
SI.lOO:
Cosx + (~JCoS2X + (~JCoS3X + • • • + (~)CoS(n+l)x n
Solución.
Sean: A
Tomando el
complejo
n
= ¿ (~)CoS(k+l)X
y
B
= ¿ (~)Sen(k+lJx
k=O
k=O
unit~rio
z=Cosx+iSenx
n
Luego:
= L (~) [Cos(k+l)x+iSen(Ir.+1)x]
A+iB
zk+1=COS(k+lJx+iSen(k+1Jx
+
n (n) k+1 L... k .z k=O
_ ~
-
k:;O
n
+
= z L (k")(1)n-k(Z)k
MiB
k=O Del
ejercicio
anterior: +
Entonces:
EJERCICIO Solución.
ol(l+z)n
22.
= z"Cosn1) [CoS(~)+isen(~)l
(1+z)n
=
en
Expresar
a) En productos:
b) En 81.1008: Z
(z + x)n
(z + x)n =
(z + x)n:;
=
t:
rCisa
z"Cosn1)(einx/2)
=
SI.lOOS
=
(2x)n
,-_
z"cos n~)(2 .e i(n+2)x/2
y productos:
(ol +
=
~(ol+X)
Si z=x+yi
=
+
x
z)n
ccc.u
= z"rnCosna
(2rCosa)n
reie
(~)(Zl(x)n-k k=O
f(~Jrn.e2kie-ine k=O
(Binomio de Newton)
(l+z)n
z (1+z )n -_ e ix . i"c osn(~)( 2 e inx/2)
+
+
= .
:;
t
(~)(reial(re-ia)n-k k=O
= rne-inaE
(~(ei2el k=O
=
z"E(~)(ei2a)k k=O
628
Capitulo 9: Números Complejos
EJERCICIO
Dado nE Z+, convertir a productos:
23.
+ Cos23x + Cos25x +
C~S2X
+ Cos2(2n-l)x -
Basándonos en la identidad: COS2X=
Solución.
+(1 +
T
Cos2x), la suma dada se puede
escribir: n ~
i&í Cos2(2k -
n
n
1~
"2 i&í [1 + Cos(2k - 1)2x] -"2
=
I)x - "2
n
L Cos2(2k k=1
-+
l)x .
+
n
n
=
n 1)2x -
n
T
n
.,f = .L Cos(2k -
J~
"2 + "2 k";'¡ Cos(2k - 1)2x
(1)
k=1
Consideremos el complejo unitario z = Cos2x + iSen2x = ei2x n
A=
y sean:
.L Cos(2k k=1
n
- l )2x
B=
y
.L Sen(2k k=1
n
-+ A+iB
=.L Cos(2k 1-
- z
z2n
n
n
k=1
k=1
.L z2k-1 = z .L z(2k-l)
- 1)2x + iSen(2k - 1)2x =
k=1
_
_
(1=2:) - z
[~
-
e os2n(2x)
- iS_en2n(2X)]
-iScn2(2x)
I -Cos2(2x)
= z [2Sen2 (2nx) -2iSen(2nX)COS(2nX)]
2Sen2 2x Sen2nx de donde: A+iB = (-S-2-)Cis2nx en x J
- l )2x
+ .iSen2nx)] + ISen2x) Sen2nx Sen4nx -+ A = Re(A+iB) = (-S 2 )Cos2nx =-2S 2 en x . en x = z [-2iSen2nX(COS2nX
Cos2x
2iSen2x
-2iSen2x(C
o-s2x
Sen4nx 2 en x
~
Luego, en (1): -2 L.JCos(2k - 1)2x =-2S k=l
EJERCICIO
24. Convertir a productos: 1 - (~ )Cos2x + (~ )Cos4x -
Solución.
Sea z
= Cos2x
+ iSen2x
(3 )Cos6x
+
+ (-1 )n( ~ )Cos2nx
Zk = Cos2kx + iSen2kx
-+
n
y sean: A =
.L (_l)k( k )Cos2kx k=O
n
n
de modo que A+iB
= .L (_l)k( k )(Cos2kx k=O
B=
(suma dada),
.L (_l)k( k )Sen2kx k=O
n
+ iSen2kx)
=
.L (_l)k( k )(z)k k=O
n
=
(Binomio de Newton)
= 1 - Cos2x - iSen2x = 2Sen2x - 2iSenxCosx = 2iSenx(Cosx + iSenx) = 2(e-iltl2)Senx(eiX) = Senx.ei(x.1tI2) (I-Z)D = 2nSen"x.eiD(x.1tI2) -+ A = Ret l-z)" = 2nSen"x.Cosn(x-1tI2)
Pero: 1 - z -+
.L (k )( _Z)k(l)n.k = (-z + I)n k=O
Sección 9.16: La Exponencial
EJERCICIO
Compleja
Im{(l-iz)n1,
Hallar
25.
a) Expresando en-
Solución.
629
TEZ+. expresando en sunas y productos.
SIIilOS
z==Cosx+iSenx==eix
COII:
n
n
(l-iz)n
L tHl)k(-iZ)n-k
==
k=O k
i:.
.•. a-te)" =
(~)(e-i./2.eix)n-k
k=O k
t
==
k==O
L: (n)(_iz)n-k
==
(~)ei(X-1I/2)(n-k)
k~O :.
n
lm[(l-iz)
1
n <:::' n = L... (k)Sen[(x k=O
11
- 2)(n-k)]
b) Expresando en productos con z==Cosx+iSenx .• .• i-Lz
,.. Pero:
= =
l+S~nx-iCosx
Seni + Senx -
:=
iSen(Í
2Sen(.! + JE)Cos(!!. - JE) - 2iSen(2! _.JE.)Cos(!!.-~)
4
11
Cos(4 -
X
2) =
2
4
11
Sen(¡
2
X +})
4
"2Sen(!.
, por
.'. Im[(l-Iz)
~
LSen1kx k==l
z:
En
L:nI
Sen'x
Luego, s i A "
. 2
L Cos2kx
.• B"
L (Cos2kx+iSen2kx) z[1-Cos2nx-isen2nx]
ssennxrei (n+l)xl enx~ J .•
+
con n entero
x)
2"
=
k
n
=
k=l
Z
z[2Sen nx
k-l
=
2
l-zn z( 1-z )
- 2isennxCosnx]
2Sen'x - 2iSenxCOsx
=
.• A"
nx=1I-X
e2ix[Sennx(enix)] Senx(etx)
Re(A+iB) .•
Sennx
=
=
4)
:=
n;1
~(1-COS2X). se tiene:
¿
n
i(x/2-1I/4)
mayor que uno, en-
= -nA- 2
= ¿ z = z L: z
.e
+ ... . + Sen'nx
Sen'x
Cos2kx
k=l
(n+l)x=lI
4
Sen2kx ·k==l
-2iSenx(Cosx+iSenx)
Dado que:
(11
n
= z[-2isennx(Cosnx+isennx)]
=
L.
en
x XII + 2)·Senn(2" -
+ Sen'3x
2 k=l
1-Cos2x-iSen2x
A+iB
(4
2S
z=Cos2x+iSen2x=ei
k=l
=
nlr
=
2x
unitario n
n
:=
..n
¡: Sen
+ Sen'2x
= -nl~- -
-(1-Cos2kx)
k=l .• MiB
=
según la identidad:
efecto,
k==l 2
Sea el complejo
1
2
t)J
-
Demostrar que si (n+l)x=1I. tonces:
Demostración.
.n
4
ser complementarIos.
+JE)rCos~ - .!)+iSen~ _ .!)] 2.~ 2 4 2 4
4
26.
2
.
.• t-t z = 2Sen(¡ + ~) [CoS(¡ - })-iSen(¡
EJERCICIO
iz=-Senx+iCosx - x¡
ssennxCOS(n+l)X enx
SenCo-x) = Senx
(1)
630
Capítulo 9: Números Complejos
Luego, en
Se"~Cos" .~
Por tanto, en
-1.
n n+1 ¿:Sen'/o: =-2 k=l
(1):
Dado nEZt, convertir a producto:
27.
EJERCICIO
Senx:
=
A
(2):
Sea el complejo unitario: z=Cosx+iSeru: . y sea A la suma dada:
Solución.
n
n
= L
A
(~)COS(n-k)X
.•.B
= ¿: (~)Sen(n-k)X
k=O
k=O
n
= L
Luego: A+iB
(~)[COS(n-k)x+iSen(n-k)xJ
k=O n
A+iB
= L (n)(1)kzn-k =
(1+z)n
(Teorema del Binomio)"
k=O k (l+Cosx+iSeru:)n '"2nCOSnx/2(C~S~
=
(2Cos'x/2 + 2iSeru:/2Cosx/2)n iSen~)n
t
=
2nCOSn(})[COS(~)
+ iSen(~)]
:. A = Re(A+iB) = 2nCOSn(})COS(~) 28.
EJERCICIO
Solución.
Calcular: Cos(2~)
+
2COS(4~)
+ .••.
+
(n-1)COs2(n~1)"
Sea el complejo unitario: z=Cosx+iSeru:, donde: x=2,,/n" Fonnemos el complejo A+iB en función del complejo z, de modo tal
que si:
.•.A+iB
=
A
=
Cosx
2Cos2x
+
3Cos3x
+
+
B
=
Seru: + 2Sen2x
+
3Sen3x
+
+ (n-1)Sen(n-1)x
z
+
2z'
.•.z(A+iB)
z'
+
(n-1)Cos(n-1)x
+
3z' +
+ (n-1)zn-1
+
2z'
+ (n-2)zn-1 + (n-1)zn
+
Restando ambos extremos de las dos igualdades obtenemos: (1-z) (A+iB)
z
+
z(1
z' +
. .•. A + lB
z'
+
+ •.•
z
+
z'
=
z-zn (1-z)'
+ ." ..
Cosx-1+iSeru:
=
-2Sen'x/2
= 2(ei"/2)sen~[eiX/21
+
zn-2) - (n-1)zn
n-1 I+z n z(--y:z-)-(n-1)z
(n-1)zn
----¡=z-
Pero: zn=1 para x=2,,/n (Verificar). z-1
zn-1 - (n-1)zn
+
+
(1)
Luego, en (1); A+iB
2iSenx/2Cosx/2
2Sen~(ei("/2+X/2»
=
= .n, z-1
2iSen:f[Coi! + ise11 2 2
(2)
Sección 9_/6: La Exponencia/ Compleja
Luego, en :.
A
.
=
A+IB
(2):
631
n
(2SeñX/z)e
-i(vl2 + x12)
n
s:
"1!
n
= Re(A+iB) = (2SenxI2)CoS(-¡+Z)
EJERCICIO
29.
Hallar
las sumas:
= (2Senx/2)(-SenxI2) =-2 n
1 - (2)
a)
Sea el complejo: z
=
l+i
=
=
+ (~)i +
(~)i
(~) + i(~)
+ (~)i
(~)i
- (~) - i(~)
+ (~)i
=
~Cosfw/4)
lm(l+i) = ~Sen(v/4) Por lo tanto:
n
(~)i + (~)i + (~)i +
- (~) - i(~)
• Re(l+i)n
=
2"12Cos(nvI4)
• Im(l+i)n = 2"12Sen(nv/4)
a) 1 - ~)
+ (~)
- ~)
Demostrar que: 1
30.
+ •
Im(l+i)n = (~)-(~)+(~)-(~)+
=
•
2"/2Cos(nv/4)
= EJERCICIO
+
L (n)(l)n-"(i)n k=O ,. +
+ (~) + i(~)
• Re(l+i)n = (~)-(~)+(~)-(~)+ Pero: Re(l+f)
- (~)
~Cis(v/4)
Po,. el Teoreroodel BinOOlio: (1+0n = • (l+i)n
n
+ (4) - (6) + ....
- (~) + (~)
b) ~)
SOlución.
n
n n + (4) + (8) + •.•
2"12sen(nv/4)
="21 Ctt-1 +
..n/2 nv ] CoS('4)
¿
n
Demostración.
En efecto, por el Teorema del BinOOlio: (a+b)n
= L (~an-kbk
Si a=b=1
.•
z" =
k=O
n
L (~)= (~)
+ ~).
+ (~)
+ (~)
+ (~)
+ •••
n
n
n
n
k=0
Si
a=1 y b=-l
.•
-o
=
(-1)
k n
n L (¡¿
=
n
(O) - (1) + (2) - (3) + (4) -
k=O
SUmando ambos lados de estas dos igualdades se tiene: n
2
n n n n = 2 [ (0)+(2)+(4)+(6)+
•.••
]
Del ejercicio anterior: Re(l+i)n Entonces: zn-1 + Re(l+i)n = 2[1 de donde:
n
n
1 + (4) + (8)
n
+ ••••
+
=
..n-l
¿
=
n n n 1 + (2) + (4) + (6) + •••
1 - (~) + (~)
+ (~)
=
+ (~) + ..• 1r..n-1
2L¿-
+
- (~)
+ •••
J
,.n/2 nv ] ¿Cos(-¡)
., Capítulo 9: Números Complejos
632
31.
EJERCICIO
Hallar la suma: Cosa-Cos (a+x)+COs (a+2x)-
Solución.
Sea el complejo unitario: entonces:
A
n
= L (-1)
k-1
k=1 +
A+iB
=
~ (_1)k-1 ~.e k=O
z
=
. +(-1) Cise
=
n-1
Cos[a+(n-1)X]
eie. Si A es la suma dada,
. n k-1 Cos[a+(k-1)x] y B=¿ (-1) Sen[a+(k-1)x k=O
i[a+(k-1)x] _ ~ ill(k-l) i[a+(k-1)x] - ~e .e k=O
_ i(a-1I-X)':¿"[ i(1I+X)]k_ i(a-w-x) i(Tr+X)':¿"[i(II+X)]k-1 - e .~ e - e .e ~ e k=l k=1
=
eia[1 - ei~Tr+X)n] 1 - el(1I+x)
=
eia[1-COSn(Tr+X)-iSenn(Tr+X)] 1-Cos(1I+x)-iSen(Tr+x)
Procediendo como en ejercicios anteriores. obtenemos: n SenZ(Tr+x) e[a+(n-1)(Tr+x)/2] A+iB = eia[ Senn(Tr+x)/2 . ~in(1I+X)/2] Sen(1 el(Tr+x)/2 Cosx/2
t}) . Sen(~
+
A
= Re(A+iB~ =
+ nx) 2
2
n=L
Cos[a + (~)(Tr+x)]
Cosx/2 Para n par:
Sen(n;
=
+ ~)
± Sen(nx/2)
J
n-1 Gas [(n-1)2Tr + a + (~)x n1l nx Para n impar: Sen(2 + 2) Cos[(n-1)I
+
=
=
n-1
± Sen[a+(~)x]
± Cos(nx/2)
a + (n;1)x]
=
± cos[a+(n;1 )x]
A
=
Sen(nx/2) Sen[a Cos(x/2)
A
=
Cos(nx/2) Cos[a + (n;1)x] • para n impar Cos(x/2)
+
(-n-1)x].• para n par 2
EJERCICIOS: Grupo 62 . i. r en forma exponenc i. al t z = (lV3-11i) 1. Escrib (-l+l3i)
(9+9i) _ (4-4i)
2. calcular y expresar el resultado en la forma a+bi de: z 3. Expresar Cos'x en términos de Cos4x y Cos2x.
=
(l~~~)- ••
, 633
Ejercicios: Grupo 62
4.
Expresar Se n5x en términos s610 de potencias de Cosx. senx
5.
Resolver las ecuaciones: a) b)
,
13-i_0
(-413-4) + i(4I3-4)
----il3 - 1
e)
(z+l-i)' = 1
d)
z
=
-l-i
z· (iz-l)' - z' = O
. 19 n 6. S1 z=re , demostrar que la parte real de~+
nc nI::: e 2k1l v z es 2. v rCos(-; + -;-),
k=O,l,2, ..•. ,n-l. Además, hallar la parte real de '/1+i~3 + -/1-i/3 7.
8.
Para cada n€z+, definimos: ~+iYn 2(n-l) ~-lYn - xnYn-l = 2 13, ~cz
= (l+il3)n con xn,yn€R. Demostrar que -{ll.
Demostrar que cualquiera que sea el complejo unitario z, entonces: Iz-z' I = 2Isen(Ar~z)l·
9.
-re--e (1 -
Demostrar que:
e
ia
)
10. Si V es el ~ngulo comprendido
=
e
-ie
(1 - e
-ia
)
entre dos vectcres que representan a los
complejos z y w, demostrar que: z.w + z.w = 2Iz.w!Cos*. 11. Si z=3+4i y w=2+6i, hallar el coseno del §ngulo conprendido ent.re (z-w) y z.
12. Sean m:Z+ y acR. Demostrar que: . n n nana. na (1+Cosa+1Sena) = 2 Cos (2)[COS(~)+lSen(~») 13. Analizar la verdad o falsedad de: ~3n + w3ntl + w3n+2
a)
Si ~'=l , ~fl, ntZ
+
b)
Si wi-l , w'=-l
~·-w'~.'-w+l
+
=
O
= O
14. Si z=l+il3, hallar: Re(z·o). 15. Si A={ZECI
1z+2-2/3i! ~ 121;
hallar z,&A de módulo máximo, z.EA de argu-
mento máximo. 16. Sea A={zccll/5,< D={izcClzCBI,
Izl ~ 1, 11/8 ~ Arg(zl ~ 11/3}, B={zcCIZ&AI. Graficar:
y determinar la forma polar de z€D de módulo máximo y ar-
gumento mínimo. 17. Hallar Re(zl, Im(z), tal que: (z+i)n
. n
lZ
I
nEZ+
Capítulo 9: Números Complejos
634
18. Simplificar:
(l+iTanx)n + (l-iTanx)n
19. Demostrar que todas las raices de la ecuaci6n (l+~z)n - l+i , nEZ+ son 1-1z - l-i reales y distintas. 20. si z + ~ = 2Cos(~), calcular: z· + ;. 21. En base a las expresiones de (l+i)n a) Demostrar que: (~) + i(~) - (~) - i(~) + (~) + .•• + in(~)
=
2n/2[Cos(n~)+iSen(n~)]
b) Usando lo anterior, calcular: (l0) _ (l0) + (l0) _ (l0) + 1 357 22. Demostrar que: a)
n n + (9) + • (1) + (n) 5
b)
n (n) + (n) + (10) + 2 6
_ 1[2n-l - 2
e)
n n (3) + (7) + (l~) +
=
..
23. Hallar la suma: (~) - ~(~) +
=
l[2n-l + 2n/2sen(2!)] 2 4 2n/2cos(nll)] 4
1[2n-l _ 2n/2Sen(2!)] 2 4
i(~)- ~(~)
+ ••••
24. Demostrar que: a)
n n n 1 + (3) + (6) + (9) + •
b)
n n n (1) + (4) + (~) + (10) +
=
e)
n n (n) + (~) + (8) + (11) + 2
1 n = 3[2
. . = 3l[ 2n
25. oémostrar que:
nT ] + 2Cos(~)
1 n n-2 3[2 + 2CoS(~)1I] n-4 + 2COS(~)T]
n+l Sen(~)x
nx • sen(:2)
Senx + Sen2x + Sen3x + • • . . + Sennx Sen(x/2) 26. Deoostrar que: Sen(2n+l)x
21 +
Cosx + Cos2x + Cos3x + • . • . + Cosnx
2
2Sen(x/2) 27. Hallar la suma: Sena - Sen(a+x) + Sen(a+2x) - •••. 28. Hallar la suma: n· n Senx + (1)Sen2x + (2)Sen3x + ••.•
+ (-1)n-1Sen[a+(n-l)x]
n + (n)Sen(n+l)x
(l0) 9
635
Ejercicios: Grupo 62
29. Hallar
las
sumas:
al Cosx - (~)cos~x
+ (~)Cos3x - •••
+ (-l)n(~)Cos(n+l)x
b) Senx - (~}Sen2x + (~)Sen3X 30. Hallar
la suma:
31. Demostrar
Sen%x + Sen'3x
+ ••••
+ Sen%(2n-l)x
que:
a)
Cos'x
+ Cosl2x +
b)
Sen'x
+ Senl2x
32. Demostrar
+ Sen'5x
• .•
% -.!! + Cos(n+l)xSennx s nx - 2 2Senx
+ Co
+ Senl
+ •
n
Cos(n+l)xSennx 2Senx
-"2 -
nx
que: 3COs(~)xSen(~)
al
Cos'x+Cosa2x+
+cos"nx
+
=<
COs(3n+3)xSen(3nx) 2 2
4Sen(x/2)
+ Sen'nx
b) Sen'x+Sen"2x+ 33. Demostrar
=
4Sen(3x!2)
3Sen (n+l) XSen(!1!!) 2 2 4Sen(x/2)
Sen(3n+3)xSen(~)
2
4Sen(3x/2)
que:
a) Cosx + 2Cos2x + 3Cos3x +
+ nCosnx
=
(n+l)Cosnx~~(n+l)x-1 4SenZ{x/2)
b) Senx + 2Sen2x + 3Sen3x +
+ nSennx
=<
(n+l)Sennx-nSen(n+1)x 4Sen2(x/2)
34. Hallar
la BUJDa: Senx - Sen2x + ••••
35. Demostrar
que:
al Cosa + Cos{a+b) + ••••
b) Sena + Sen(a+b)
+
36. Dado nl:Z , demostrar
[SUgerencia:
37. Hallar
+ (_l)n-lSennx
Desarrollar
el valor
[SUgerencia:
+ • • • • + Sen{a+nb)
que:
ix
e
de S, si:
n+1 Sen(T)b ---Senb/2
+ Coa(a+nb)
L:
Sen(n;l)b --"';;""-Sen{a sen{b/2)
n n (Coskx) (k) k=l Cos x i& (1 + ~e)nl 1+
-::-re
S = f:{-l)k{~) k=O
= COSX(l+iTgx»)
=<
nb Cosía
+
2)
+
2)
nb
n n n-k k k L: (k)2 Cos{ ;)Tg x k=O
(C~) . Coa x
2
636
Capitulo 9: NÚmeros Complejos n
38. Usando números COIl'plejos, convertir
L Sen{n-~)x
a producto:
n-
k=l n 2kn ~lCos{2o+l).
39. Calcular:
. (Sugerenc1a:
.
x-l
son imaginarias
puras.
40. Resolver la ecuacf.ón en C: (x+l) sus raíces
41. Resolver la ecuacioo: 42. Desarrollar 43. Hallar
n
x+l n (x:r)
= 2Cosa
y mostrar_que todas
(Sug. Hacer: u = (x-l)n) x+l
(l+z)'=(l-z)'
en sumas y productos:
el valor
+
2n Hacer u = 20+1)
~
de:
k+l
L.. (-1)
k=l
Re(eia_i)n
4kll Cos' (-) 51
44. Hallar el valor exacto de: _ (1í3).7{lOO) + (A)•• (lOO) _ (r-;).,{IOO) (~) •• {lOO) 1 3 5 7 + •••• r..)
[Sug. Desarrollar:
{¡-3+i)l"]
=
45. Demostrar que: 2neos(n;> siendo
n
un número entero
46. Sea P<,z) = z Hallar
r.)
Y.)
n
- z
n-l
+'Z
la forma polar
de
47. Transformar a producto:
(Z)-(~)(3)+(~)(3) -(~)(3) + ••••+ (~>(3>n/2
positivo
n-2
múltiplo
de 4. [Sug. Des. (l+il3)n]
n-3 - Z + ••••
pez).
(Sug. Usar cocientes
Ln (~){-l)
al
" -1, n l.rrpar,
b)
Sen(2n-l)x Cos2oxCosx
49.
demostrar
que:
f
k=l
so.
Ballar
51. Hallar [Sug.
la expresión
ná.s sillple
el resultado
de: Sen'(l')
Usar la identidad:
52. Simplificar:
n ¿2
k-1
kCos(2kll) =.!!.2 n
de: Cosx-<0s3x+Cos5x- ..••
+ Sen'(Z'}
+ ••
Sen'x = 1(3Senx-Sen3x})
l-k -k Cos{2 x}.Sen2(2 x)
k=l n
52. Transformar a productos:
E (~)(-l)kSenke
k=O
k=O
inducci6n matemática,
¿ {~)COS[k(a-b)+nb] k=O
*
z#-l.
n
k ccske
n 48. Demostrar que: LTgkxSec2kx k=l Sin usar
z=Cl.se,
notables)
+Cos(2n-l)x
• • + Sen'(180')
637
CAPITULO
II!II
DEFINICIONES Y NOTACIONES Un polinomio en una variable compleja z, es una función de la forma: pez)
donde los números
ajE
= aozn + alzn-I
C (i=O, 1, 2,
+
+
an_lz
+ an
, n-I) son sus coeficientes;
ao es el coeficiente
principal, an es el coeficiente final o término constante, n=gr(P) es el grado del polinomio siempre que ao"'O. Observaciones: (1) Si n= 1, gr(P)= l
--t
(2) Si n=2, gr(P)=2
--t
(3) Si n=O y ao"'O
--t
pez)
= aoz +
al;
P es polinomio lineal.
= aoz2 + alz + a2; P es un polinomio cuadrático. gr(P)=O; P es un polinomio constante. pez)
(4) Si n=O y ao=O, el grado de P (polinomio nulo) se define convencionalmente
como
esto es, gr(P)=-oo (5) Si z=x+i (O) --t
pez)
es un polinomio de variable real, esto es:
P(z) = P(x) = aox" + alXn-1 +
donde los coeficientes
ajE
+ an_lx + an K (K denota a los conjuntos Z, Q, 1, R o C).
(6) Los polinomios con coeficiente
principal
l se llaman polinomios mónicos.
(7) Al conjunto de todos los polinomios en x, con coeficientes K(x)
11I3
=
{P(x)IP(x)
= aoxn +
alXn-1
+
+
an_lx
K, se denota por:
+ an' nzü,
ajE K}
IGUALDAD DE POLlNOMIOS Dos polinomios coeficiente
P, y P2 son iguales si, y sólo si, son del mismo grado y cada
de P, es el mismo número que el correspondiente
coefi-
-00,
Capitulo10:Polinomios
638
ciente de Fa. Entonces se escribe:
=
P,
Esto es,
P,(x)
si:
y p.(x) Entonces:
B
n = aol! +
F.(x)
=
b,xm
+
= F&(x)
n-1
a,x b,xm-l
•...•
m=n
F. + an-Ix + an
+ •••• + ••••
A
(ai
+
=
brnr1x
+
bm
bi ' ~i&N)
SUMA Y MULTIPLlCACION DE POLlNOMIOS
En el conjunto K(x) se definen las operaciones de sumo producto (x) de la siguiente manera: a) SUna:
Dados
P y Q
tales que:
p(x)
=
Q(x)
=
a,xn
a,x n-1 + b.xn + b,xn-1 +
(+) y
otro de
+
n
+
bn-1x
+
bn
n-1
Entonces: P(x) + Q(x) = (a,+b.)x + (al+b,)x + •••• + (an-Z+bn-1)+an+bn Se suma los ténninos correspondientes. Aquellos ténninos en 108 que el polinomio de mayor grado no tiene ténninos correspondientes en el otro polinomio. pennanecen sin cambio en P+Q. EJIMPUJ 1. Hallar la Solución.
8l1J11l
de:
F(x)
= 2x'+3x"-5x+2 y.Q(x)=3x·-2x"+x·
un polinomio e8ta completo si en su desarrollo existen todos los
ténnlnos que siguen al ténnino principal. cano vemos, tanto P y Q son polinomi08 incompletos, a F le faltan los ténninos en x· y x', ya Q los ténninos en x· y x. Estos ténninos Que faltan pueden escribirse con eo~ fieientes nulos, esto es: P(x) = O;i:s+2x·'+3x'+Ox&-5x+2 Q(x) = 3x'-2x'+Ox'+x&+0x+1 de modo Que: P(x)+Q(x) = (O+3)x'+(2-2)x'+(3+0)x'+(0+1)x'+(-5+0)x+(2+1) = 3x'+3x'+x'-5x+3 b) Producto.
Si P(x) y Q(x)
= =
a,xn m b.x
Entonces, el producto
+ +
a,xn-J m-l b,x
F(x)xQ(x).
P(x)x.Q(x) = c,x Siendo; ~+n . EJFJ.fPLO 2.
y
ci
=
+ +
es el polinomio definido por: k
+c.x
k-1
aib,+ai-lb,+ •.••
+..
+ a,bi.
Hallar el producto de P(x)=2x'-3r+1
••
+
ck
con i=0.1.2•....•k
y Q(x)=x'+2x-3
., Sección 10.4: Algoritmo de la División
Solución.
639
Sean P(x)=o.x'+a,x·+o,x+o,
y Q(x)=b.x'+b,x+b •.
Vemos que gr(P)=3 y gr(Q)=2
+
gr(FxQ)=3+2=5
Además: 0.=2, 0,=-3, 0,=0, 0,=1, 0,=0,=0 ; b.=1, b,=2, b,=-3, b,=b,=O
ci
k-1 k-2 +c,x + .... +ck' se tiene: 0ib• + 0i-1b, + 0i-2b, + .... + o.bi ' i=0,1,2,3,4,5
c,
o.b,
C,
o,b.+G.b, = (-3)(1)+(2)(2)
k
Luego, paro P(x)xQ(x) = c.x +c,x
+
(2)(1) = 2
c, = o,b,+o~b,+a,b.
= 1
= (0)(1)+(-3)(2)+(2)(-3)
= -12
c, = o,b.+o.b,+ a,b,+a.b, = (1)(1)+(0)(2)+(-3)(-3)+(2)(0) c, = o,b,+o,b,+o.b,+o,b,+a.b,
c, = o,b.+o,b,+o,b.+a.b,+o,b,+a.b,
La multiplicación
=
-3
se puede hacer más rápidamente usando el m~
separados,
como se muestro en seguido, donde se puede
notar lo similitud con el procedimiento
paro multiplicar
2
-3
O
1
2
-3
-6
9
O
-3
2
4
-6
O
2
-3
O
1
2
1
-12
.• P(x)xQ(x)
lllII
=
2x'+x'-12x'+10x'+2x-3
de polinomios
todo de coeficientes
= 2
= (0)(1)+(0)(2)+(1)(-3)+(0)(0)+ +(-3)(0)+(2)(0)
:. P(x)xQ(x)
10
= (0)(1)+(1)(2)+(0)(-3)+(-3)(0)+(2)(0)
2
10
enteros.
1
-3
2x'+x'-12x' +10x' +2x-3
ALGORITMO DE LA DIVISION Existe algún entero no negativo q, tal que: 284 = 12xq?
La
respuesto se puede detenminor
mediante el procedimiento
de lo división,
llamado algoribno de la divisián: 284
112
íz3
24 44 36
8 COmo el residuo es 8, la respuesto es no. Sin embargo el algoritmo nos mue~
640
Capítulo 10: Polinomios
tra que 284=(12)(23)+8;
es decir, que 284 se puede expresar como el produc-
to de 12 por otro entero no negativo más un número menor que 12. si p y d son enteros no negat ivos, entonces
En general.
división nos pennite
p Un resultado similar Supongamos
=
.
P(x)=2x'-5x'+x+12
división de P(x) entre D(x), recordando decrecientes
las potencias
+
qxd + r, donde q,reZ
y r < d
se tiene para polinomios.
los polinomios
en potencias
el algori tmo de la
escribir:
y efectuamos
, D(x)=x'-3x+2
que debemos disponer
de x, cuidando
de poner
la
cada polinomio a
cero como coeficiente
de x que faltaran en P(x).
4x'
-2x' + 6x' 6x'
=
x· - 3x + 2
2x' + Ox' - 5x' + x + 12
P(x) =
2x' + 6x
+
9
D(x)
=
Q(x)
- 9x' +x
- 6x' +18x' - 12x 9x' - llx + 12 -9x' + 27x - 18 16x - 6
= R(x)
En reSI.6¡¡en: (1) Obtener el primer
ténnino del cociente
cial del dividendo
(2x') dividiendo
P(x) entre el ténnino
el ténnino ini-
inicial del divisor D(x).
(2) Mul t ipl icor el divisor D(x) por este ténnino del cociente tar el producto
del dividendo
(2x')
y res-
P(x).
(3) Usar el residuo de esta resta, junto con los ténninos no utilizados dividendo,
como nuevo dividendo
repectivamente,
obteniendo
(4) Cuando el residuo
(6x'-9x'+x)
y seguir
del
los pasos (1) a (3)
cada vez un nuevo ténnino del cociente.
tenga grado menor que el del divisor
(o que sea cero),
el proceso ha tenninado. En este ejemplo,
el cociente
modo que podemos
indicar el resultado
2x'-5x'+x+12
=
es Q(x)=2x'+6x+9
y el residuo es R(x)=16x-~de
escribiendo:
(x'-3x+2)(2x'+6x+9)
+ 16x-6
o sea: P(x) Este ejenwlo visión.
=
ilustra el siguiente
D(x)xQ(x)
+ R(x)
teorema conocido
como algoritmo
de la di-
641
Seccion JO.4:Algoritmo de la Divisián
TEOREMA.
10.1
Ptx) de grado 71>1 y un polinomio
Dados un polinomio
D(x) de grado m, con 1 ~ m~
n ; entonces existen PQ
linomios únicos Q(x) y R(x). que tienen la propiedad
= D(x)xQ(x)
P(x) en donde: gr[R(x)]
Nota.
Si
+
de que:
R(x)
< gr[~(x)]
al dividir
entre
Pix)
P(x)=D(x)xQ(x),
D(x)
se obtiene
se dice que D(:x;)divide
R(x)=O.
es decir.
si
o es divisor o factor de
P(x). En cuyo caso se escribe: D(x)lp(x) EJEMPLO
Bajo que condición
3.
el poi inomio x'+px +q es divisible
por un
polinomio de la fonna x'~+l?
Solución.
Sean P(x)=x'+px'+q
y D(x)=x'~+l.
Dado que P es divisible
por D. el resto de la división debe ser
cero Y. por el Teorema 10.1: P(x)=D(x)xQ(x) COmo gr(P(x»)=gr[D(x)]+gr(Q(x)] Luego. si: Q(x)=ox'+bx+c de donde:
x'+pr'+q
+
4
x'+px'+q
+
=
2+gr[Q(x)]
=
(x'~+l)(ox'+bx+c)
+
gr(Q(x)]=2
= ox'+(am+b)x'+(a+hm+c)x'+(b~c)x+c
Por igualdad de polinomios: Coeficientes
de x':
0=1
=
"
de x':
am+b
"
de
a+hm+c
Xl:
de x: Términos Entonces,
EJEMPW
independientes: en
4.
=
b=-m
+
=
l-m'+c
p
+
O
.•
-m+mc = O
q=c
+
q=1
=
p
m=0
++
(1)
m=0
-
o
=
P
a) Si m=O
+
b) Si q=l
.• 1-m'+1 = p
Calcular
=
1+q
=
q
++
p-l
m"
+-+
±
¡z=P
la raiz cuadrada del poi inomio:
9x'+6x'-23x'-3x+13
Dado que P(x) no es un cuadrado
perfecto,
a P(x) como dividendo,
el divisor
Yx'+6x"-23x'-3x+13
= (ox'+bx+c)'
la raiz cuadrada que
y el resto: R(x)~n D(x) y el cociente Q(x)
serán iguales a A(x), entonces por. el Teorema 10.1: -
c=1
q=l
se busca tendrá la fonna: A(X)=qx'+bx+c Si consideramos
o
existen dos condiciones:
(1),
P(x)
Solución.
b+mc
O
+ mr+n
P(x) = (A(x»)'+R(x)
Capítulo 10: Polinomios
642
=
de donde: 9='+6x'-23x'-3x+13 Identificando coeficientes
a'x'+2abr'+(b'-2ac)x'+(2bc~)x+(c'~)
obtenemos: a=±3, b=±l, c=+4, m=5, n=-3
:. A(x)=±(3x'+x-4)
R(x)=5x-3
EJERCICIOS:
1.
Multiplicar
los polinomios:
a) P(x)=2x'-x'+x'+x+l b) P(x)=x'+x'-x-l 2.
Grupo 63
,Q(x)=x'-3x+l Q(x)=x'-2x-l
Efectuar la división con resto de: a) P(x)=2x'-3x'+4x'-5x+6
entre D(x)=x'-3x+l
b) P(x)=x'-3x'-x-l entre D(x)=3x'-2x+l 3.
Bajo que condición el polinomio x'+px+q es divisible por un polinomio de la forma x'+mx-l?
4.
Sin efectuar la división, demostrar que x'+2x'+5x'+12x-6
es divisible
entre x·+2x-1. 5.
Al dividir el polinomio x'+ax'+bx'-18x-12
por x'+4x+3, el resto es 2x+3,
hallar a y b , 6.
7.
Calcular la raiz cuadrada de los siguientes polinomios: a)
p(x)
x'-12x'+60x'-160x'+240x'-192x+64
b)
P(x)
16x"-40x'+49x'-46x'+29x'-12x+4
Hallar la condición para que el polinomio x'-2ax'+bx'-cx+l pueda ser un cuadrado perfecto .para todos los valores de x.
8.
Determinar los valores de m y n para que el polinomio x'+mx'+nx'+12x+4, sea un cuadrado perfecto.
_
LA DIVISION
SINTETICA
Es un procedimiento
práctico
*
Q
para obtener el cociente y el resto de
la divi~ión de un polinomio P(x) entre un binomio de la fonna (x-r) , sin n~ cesidad de recurrir a la división ordinaria. Supongamos el pol inomio dividendo, de grado n: n + a x n-1 +.... P(x) = a,x + an-Ix + an 1
( 1)
Sección 10.5: La División Sintética
643
y el binomio divisor, de grado uno: D(x)=x-r Entonces, por el Teorema 10.1:
P(x)
=
(x-r)Q(x) + R
(2)
donde R es un poI inomio constante Y Q(x) es un polinomio de grado n-1 , de la forma: b,xn-1 + b,xn-2 + • • • . + bn-2x + bn-1
Q(x) SUstituyendo
(3)
(1) y (3) en (2) se tiene:
n n-1 a.x +a,x +
+an_1x+an
(x_r)(b.xn-1+b,xn-2+
=
.... +bn-zX+bn-1)
n n-l' n-2 b.x +(b,-rb.)x +(b.-rb,)x + ••
Por igualdad de polinomios: a.
b.
b.
a.
b,
a, + rb.
b.
a. + rb,
a,
=
b, - rb.
a.
=
b. - rb,
an-1
=
an
=
+
bn-1 - rbn_2
R - rb _
+
n 1
Estas relaciones nos penniten
expresar
R en ténninos de los coeficientes
bn-1 R
=
+ rb _ n 2 n-1 a n + rbn_1 a
sucesivos de Q(x) y
los coeficientes
de P(x) y Q(x) previamente
detenninados.
Para propósitos de cálculo, estas igualdades se pueden disponer de la fonna siguiente: a,
a.
¡
r,
,.,rb.
a.
Los números de la primera fonna decreciente
b,
a
an-1
b.
......
n
rb _ n 1
rb, ...... rbn_2
" 'b;
.......
LB-
bn-1
fila son los coeficientes
de P(x) dispuestos
en
respecto a las potencias de x. Como a.;b., ésta se baja a
la tercera fila, luego, el producto rb. se escribe cano primer elemento de la ~egunda fila y se obtiene b,=a,+rb •. El producto mento de la segunda
rb, es el segundo ele-
fila y b. es la suma de los elementos que están encima
de él, y así sucesivamente. De la tércera fila de esta
Q(x)
=
b.xn-1+b,xn-2+
tabla c3cribimos
el cociente:
+bn-1 ' y el resto: R
=
an+rbn-1
Capítulo 10: Polinomios
644
1.
EJEMPLO
Obtener el cociente y el resto de la división de: P(x)=2x'-14x'+8x'+7
Solución.
entre D(x)=x+3.
Aqui r=3, se obtiene haciendo D(x)=O Entonces,
según el esquema anterionnente 2
-3 2
descrito
o
-14
8
o
7
-6
18
-12
12
-36
-6
4
-4
12
-29
.. Q(x)=2x'-6x'+4x'-4x+12
se tiene:
R=-29
Obse~ciones: (1) La división sintética
también es aplicable
nanio de segundo grado factorizable En efecto,
y x-a el binanio divisor, por
si P(x) es el polinanio dividendo
división sintética encontramos
cuando el divisor es un poli
de la fonna: (x-a)(x-b)
el cociente Q,(x) y el resto R"
P(x) = (x-a)Q,(x) Tomando Q,(x) cano polinanio dividendo
+
tales que:
R,
(1)
y x-b cano binanio divisor encontra-
mos el cociente Q(x) y el resto R., tales que: Q,(x) Sustituyendo
=
(x-b)Q(x) + R.
(2)
(2) en (1) obtenemos: P(x)
(x-a)(x-b)Q(x)
+
R.(x-a)
+
R,
donde se observa que Q(x) es el cociente y el resto: R=R.(x-a)+R,. 2.
EJEMPLO
Por división
sintética,
hallar el cociente y resto de la divi
sión de P(x)=x'-3x'+5x'+22x-10 Solución.
x'+x-2
=
(x+2)(x-1)
. Hallemos,
entre x·+x-2. sucesivamente
Q,(x) y Q(x) de la
división de P(x) entre (x+2) y (x-1) , respectivamente: -2 Q,(x) 1 Q(x)
1
-3
5
22
¡
-2
10
-30
1
-5
15
-8
I
1
-4
11
-4
11
3
= :. Q(x)=x'-4x+l1
I -10 :
16
~=
= R.
y el resto: R=3(x+2)+6=3x+12
R,
,
645
Sección 10.6: Teorema del Resto
(11) La división
sintética
es también aplicable
linomio de segundo grado, jactorizable mio de grado mQ}~r que 2. Esta división Rorner.
Se ilustra con el siguiente
EJEMPLO
3.
Por división división
Solución.
cuando el divisor es un po-
o no jactorizable,
ejemplo:
sintética,
hallar el cociente
de los coeficientes
y el resto de la
entre D(x)=4x2+Sx-6
de P(x)=12x'-13x'-S7x'+32x+8
La disposición
o un polino-
se realiza por el llamado método de
del polinomio
dividendo
y di-
visor es como sigue: 12
4 -5
'I
-13
-57
-15
18
I
I I
35
6
-42
I
5
-6
-S
2
_1 3 EXplicación.
la primera
En
se colocan
-28
-4
-7
-1
a la izquierda de la línea vertical D(x) , con los signos cambiados, tiene multiplicando
de la línea vertical
del dividendo del primero;
entre el primer coeficiente columna
coeficiente
del cociente.
En seguida
del divisor
la segunda
del divisor).
Luego se su-
entre el .pr imer coeficiente
tercer ténnino del cociente.
se obtiene
la tercera fila multiplicaG
del divisor
La cuarta fila se obtiene multiplicando el número de ténninos deseados
el residuo
las demás
se obtiene
sumando
TEOREMA
TEOREMA 10.2
columnas
restantes
-S y 6
del cociente, (después de la
punteada). :. Q(x)=3x'-7x-1
cm
(que es -4),
(esto da -1). que es el
por -1. Cuando se ha obtenido línea vertical
se divi-
(esto da -7), que es el segundo
do -S y 6 por -7; la suma de los ténninos de la tercera columna se divide
fila se ob-
el primer coefi-
(esto da -28), el resultado
del divisor
llena,
P(x). En la columna
llena van los coeficientes
después
man los ténninos de la segunda coeficiente
I
-5 y 6 por 3 (que resulta de dividir
ciente del dividendo de entre el primer
! !
fila, a la derecha
los coeficientes
8
32
y R(x)=-5x+2
DEL RESTO
Si un polinomio
o P(x) se divide entre x-r. siendo r una con~
Capítulo 10: Polinomios
646
tante arbitraria,
hasta obtener
un cociente Q(x) y un residuo R, entonces, p(r)
Demostración.
=
R
En efecto, por el algoritmo P(x)
=
de la división:
(x-r)Q(x)
+
R
Como esta igualdad es válida para todo x, en particular P(r)
EJEMPLO
4.
(r-r)Q(r)
+
R
( O )Q(r)
+
R
Hallar el resto de la división
para x=r, entonces:
P(r)
+
=
R
de:
P(:x:)=x'-2xo-24x'+15x+50 entre D(x)~x+4 Solución.
Por el Teorema 10.2: R=P(-4) +
=
R
Como se puede observar en este ejemplo, borioso. La división
sintética
cuando la sustitución
=
-10
el cálculo de R resulta bastante
puede usarse ventajosamente
l~
para calcular R,
sintética: 1
-4 1
1m
256+128-384-60+50
directa de r por x se dificulte.
En efecto, por la división
determinamos
=
(-4)'-2(-4)°-24(-4)'+15(-4)+50
fácilmente
-2
-24
15
50
-4
24
O
-60
-6
O
15
-10
que: R=-10 y además: Q(x)=xo-6x'+15
TEOREMA DEL FACTOIJ
TEOREMA 10.3
Dado un polinomio
p(x), un número r es raiz de P(x)
si y
sólo si (x-r) es un factor de P(x). Demostración.
i) En efecto,
por el Teorema
10.1: P(x)=(x-r )Q(x)+R
Por el teorema del resto: P(r)=R, pero como r es un cero, es decir, P(r)=O, entonces R=O. Por lo tanto, P(x)=(x-r)Q(x), ii) Recíprocamente,
luego, (x-r) es un factor de P(x).
si x-r es un factor de P(x) , entonces:
Como el resto R=P(r) es cero, entonces:
P(x)=(x-r)Q(x)
P(r)=(r-r)Q(r)=O
Significa que r es una raiz de P(x). EJE]4PLO 5. Solución.
Determinar
si (x-3) es factor de P(x)=x·-8xz+9x+18.
Bastará comprobar
que P(r)=P(3)=0
Sección 10.7: Teorema del Factor
En efecto, P(3) Luego,
=
647
=
(3)'-8(3)'+9(3)+18
=
27-72+24+18
O
(x-3) es un factor de P(x).
EJERCICIOS ILUSTRATIVOS 1.
EJERCICIO
m y n de manera
Detenninar
P(x)=x'+x'-11x'~+n Solución.
x'-9
=
sea divisible
(x+3) (x-3). A~licando
sión sintética
que el poi inomio por x'-9.
sucesivamente
el método de la divi-
para cada factor se tiene: -11
-m
n
-3
6
15
-45"t3m
-2
-5
3
3
-6
1
-2
9-m
1
1
-3
3 1
3m+n-45
= R.
= R. ..
Los restl)s R. y R. deben ser igual o cero, esto es, si: R.=O
.•
9-m=O 2.
EJERCICIO
..
m=9
..
R.=O
Si p(x) es divisible
3m+n-45=O
Soluc.ión.
Luego, dividiendo
EJERCICIO
Hallar S(l).
=
P(x) entre (x-1) obtenemos
este resultado
(x-2)S(x)+4
el cociente:
.• S(x)
= .(x-l)Q(x) x 2
- 4
.• S(l)
3.· Si P(x)=x'+x'-19x'+a.:c+b y D(x)=x'+x-20,
para algún polinamio
(x-1)Q(x)
entre (x-2) se obtiene:
si a y b penniten
Solución.
entre (x-2) se obtiene 4 de r~
Sea P(x)=(x-l) (x-1 )Q(x). Dividiendo
(x-1)Q(x)
n=18
pero al dividir Ptix) entre·
por (x-L)",
(x-1) y luego este resultado siduo y S(x) de cociente.
..
=
4
detenninar
101+101,
que P(x) se exprese como P(x)=D(x)xQ(x),
Q(x).
D(x)=(x+5)(x-4).
Si P(x)=D(x)~(x)
.• D(x) es un factor· de P(x)
Por el teorema del factor: x=-5 y x=4 son raíces de P(x), luego, por el método de la división si R.=O
sintética
se tiene: (en la página siguiente)
.• b-5a+25=0
[e]
+
Ibl =
.• b=-20 21
Capítulo 10: Polinomios
648
1
-19
a
-5
20
-5
25-5a
-4
1
a-5
b-5at25
4
O
4
O
1
a-1
1
-5
4 1
EJERCICIO
4.
b
= R,
= R.
Si (x'-4)(x+3) son factores del poI inomio: P(x)=x'+x'-9x'-+mx;'+nx+p, con m,n y p cqnstantes
en R, deter:
minar el valor de E4n+n+p. Solución.
(x'-4)(x~3)
=
(x+2)(x-2)(x+3)
x=-2, x=2 y x=-3 son raíces de
P(x) , entonces, por el método de la división 1
-9
m
n
2
2
6
-6
2m-12
3
-3
m-6
2m+n-12
-2
-2
-2
10
1
-5
-3
6
-3
-2
1
m+l
1
-3 1
sintética
se tiene:
p 4mt2n-24
R,
~n+2n+p-24
-2m-8
=
n-20
=
R.
R.
Por el Teorema del factor: R,=R.=R.=O Resolviendo cada ecuación obtenemos: m=-l , n=20 , p=-12 EJERCICIO
Si
5.
(x-k)'
es
un
factor
del
-
poI inomio
E4n+n+p=7 P(x)=x5 -5ax+4b,
mostrar que: a'=b'. Solución.
En efecto, por el Teorema del factor, x=k es una raiz doble. En-
tonces por el método de la división 1
k 1
k 1
Como R,=R.=O de donde:
sintética
se tiene:
O
O
O
-5a
4b
k
k'
k'
k'
k'-5ak
k
k'
k'
k'-5a
k
2k'
3k'
4k'
2k
3kz
4k'
5k'-5a
(5k'-5a=0)
~ (k '-5ak+4b=0) a' = b'
k'-5ak+4b
= R,
= R.
(a=k' )
~ (b=k' )
Sección 10.7: Teorema del Factor
EJERCICIO
6.
649
Sea el poi inomio P(;¡:)=i;¡:'+2;¡:·-ox+7+2i. Al restar del resto de P(;¡:)entre (x-3i), el resto de P(;¡:)entre (;¡:-2i)se ob-
tiene b+i. Hallar el residuo al dividir P(;¡:)entre (x-3i)(x-2i). SOlución.
Si R1-R. = b+i
P(3i)-P(2i)
+
P(3i) = i(3i)'+2(3i)'-a(3i)+7+2i P(2i)
= b+i
(1 )
= 16+2i-3ai
(2) ¡
=
i(2i)'+2(2i)'-a(2i)+7+2i
= 7+2i-2ai
(2) y (3) en (1):
Sustituyendo
de donde: b=9 y a=~l
3i
2i
R = R.(;¡:-3i)+Rl
EJERCICIO
7.
(3)
16+2i-3ai-7-2i+2ai
= b+i
9-ai = b+i
+
'P(;¡:)= i;¡:'+2;¡:'+;¡:+7+2i
+
Por el método de la división
Luego:
y R.=P(2i)
Por el Teorema del resto: Rl=P(3i)
sintética
se tiene:
2
1
7-t2i
-3
-3i
9+3i
-1
1-3i
16+5i
-2
-6i
-3
1-9i
= Rl
= R.
(1-9i)(;¡:-3i)+16+5i = (x-11)+(2-9x)i
P(;¡:)es un poi inomio que dividido
entre x'+;¡:+6da como co-
ciente Q(;¡:)y como residuo -5. Hallar, en ténninos de ~, el resto de dividir P(;¡:)entre (x-~-1) sabiendo que Q(-~')=~ y ~'=1, ~/1. SOlución.
Por el Teorema 10.1: Dado que: ~'=1
Como ~/1
+
~-110
+
P(x) = (;¡:'+x+6)Q(x)-5
(~-l)(~'~+l)
+
~'~+1=0
~
= O
-w'=w+1
Por el Teorema 10.2, el resto de dividir P(;¡:)entre [x-(~+l)] es P(~+1). Pero: P(~+1) = P(-w') = [(-~')'+(-w')+6]Q(-w')-5 +
R
=
P(~+1)
EJERCICIO
= 8.
=
~'(~'-1)+~-5
1[(-~-1)-1]+6~-5
P(a)+P(b)=P(a+b).
En efecto, si: P(a)+P(b)=P(a+b) Pero: P(O)=O'f(O)+Of(O')=O
Como ~/1
5w-7
Demostrar que:
si ~'=1 , ~/1
Demostración. Si ~'=1
=
P(;¡:)=;¡:' f(;¡:) +xf(;¡:' ), P(;¡:)es una expresión poi inomial entera Se sabe que ~,b&C:
P(2~+1)=0
= (~'-w'+6)~-5
+ +
~'-l=O ~'~+¡=O
+
+
+
(~-1)(~'+W+1)=0 +
~+1
= -w'
+
P(a)+P(-a)=P(a-a)=P(O)
P(a)+P(-a)=O
2~+1 = ~-~'
+
P(-a)=-P(a)
650
Capítulo 10: Polinomios
Luego: P(2w+1) = P(w-w') = P(w)+P(-w')
(Por condición dada)
= P(w) - P(w') +
P(2w+1)
w'f(w) -+
P(-2",+l)
EIERCIC
(P(-a)=-P(a)]
(w'f(w)+ f(w')] - (w'f(w')+w'f(w')] +
wf(w') - w·.wf(w') - w·f(w·.w)
w'f(w) + wf(w') - wf(w') - w'I(w)
=
O y Q(x)=x·+2x+5.
Dados los poI inomios P(x)=x'+px'+q
(J -9,
son los valores de p y q respectivamente
Cuáles
para los que P(x)
sea divfs:ible por Q(x). Solución.
Aplicaremos
la división sintética de Horner:
1
O
P
-2
-2
-5
-5
O
q '<,
4
10 -5p+5
-2pt2 -2
1
12~2p
p-1
q-5p+5
Para que Ptx) sea divisible por Q(x) , el resto debe ser cero, esto es:
-
(12-2p=0) ~ (q-5p+5=0) EJERCICIO
10.
p=6 ~ q=25
Hallar el valor de m para que el poI inomio x'-7x+5 sea faQ tor de P(x)=x·-2x'-4x·+19x·-31x+12~.
Solución.
Según la división sintética de Horner se tiene: 1
-2
1
O
I
-4
O
7
-2
11.
-5 -14
10
O
21
-15
O
O
m-3
3
Se sabe que: xn+pyn+qzn y#O, zlO. Demostrar que:
O
+
En efecto: x'-(ay+bz)x+abyz
m-3=0
+
Ln +!Ln =
=
-1
b
(x-ay)(x-bz)
Por el Teorema del factor: (x-ay)(x-bz)=O y
=
x/a
o
z
=
x/b
m=3
es divisible por x1-(ay+bz)x+abyz, a
Demostración.
12tm
7
Por el Teorema del factor: Resto = P(r) EJERCICIO
-31
O
-5 1
19
•..•x=ay
o
x=bz
Sección 10.7: Teorema del Factor
Luego, si P(y)
=
P(=E) a
O
pez)
=
p(1.)
O
.. ..
Pero, en (1) : x
n
x
n + p~)n a
x
n
+ fTY~ + qz
n
=
..
O O
py
..
n
+ qz
w,
Pero: 1+w = -w'
= -
+
O
.•P(w)
(A6)n(Ak)_(A6)2n(A2k)_1.
.•P(w)
Ak_).2k_1
.. .. .. .. .. ..
m = 6n m = 6n+1 m = 6n+2 m = 6n+3 m=
6n+4
m = 6n+5
.. .. .. .. .. ..
y
Demostración.
a la ecuación cúbica w'=l,
1i
= - ~ -
w,
r:
13. Demostrar
bajo que condiciones
el residuo:
k=0,1,2,3,4,5 Como: w'=(A')'
P(w) = 1-1-1
=
.• 1=).6
-1 # O
=
P(w)
)'~A·-l
P(w)
A"-A'-1 = )."+A-1 # O
P(w)
A'-A·-1
P(w)
A'-A'-l = -).-A'-l # O A'-A"-l
P(w)
Por lo tanto, P(x) es divisible EJERCICIO
por x"+x+1
= Am_wm_1 , pero: A' = (_w")' = w'.w = w
Am_A2m_1 , si m=6n+k,
k=5
n
A es una raiz primitiva de la unidad de orden 6 (Ver pági
.•P(w)
k=4
(3)
de la unidadad de orden 3 de Q(w)=O son
t 1i
.• P(w) = (w+1)m_wm_1
k=3
-x
O
.• (<41) ~ (w'+w+1=0)
no 615). Luego, si W€P(x), detenninoremos
k=2
n
xn(l +E... +!L) on bn
.• (••.... 1)(w"+w+1)=0
las dos raíces primitivas
.,
k=1
(2)
+ pyn + qzn
Si w es una raiz de Q(x)., satisface
Para: k=O
O
y Q(x)=x"+x+1
Sean: P(x)=(x+1)m-xm-1
toda vez que: w'-l=O
P(w)=O
(1)
12. Para qué valores de m, (x+1;ffl-xm-1es divisible
EJERCICIO
Es decir,
=
O
+3.... -1 bn
p
n a
Solución.
n
+ py n + q ~b)n
n 2xn + xn(E...+ s..) - x n n a b
En (3):
+ qz
2xn + xn (L +!L) on bn
(1)+(2), se tiene:
Sumando
~.
b
651
(1+w)-w-1
=
O
-1-1-1 = -3 # O
= -).·+A-1 = O
por Q(x) si: m=6n+1 y m=6n+5
que: x3m+x3n+1+x3p+2
Sean: P(x)=x3m+x3n+1+x3p+2 Si w es roiz de Q(x)
es divisible
por xí+x+l .
y Q(x)=;X:'+x+1 .• ·Q(w)= ••·+w+1
.• w'=1, ya que: w'-l=O
•...
Capítulo la: Polinomios
652
=o
(~-1)(~1+~+1)
. +
Probaremos En efecto:
~1+~+1=O,
+
~/1
entonces que el resto: P(~)=O P(~) = ~3m + ~3n+1 + ~3p+2 = (~,)m + (~,)n.~ + (~,)P.~' = (l)n + (l)m.~ + (l)P.~.
Por lo tanto, P(x) es siempre divisible EJERCICIO
14.
=
1+~+~'
+
=
P(~)
O
por Q(x), ~,n,pcZ+
Bajo que condición: x3m+x3n+1+x3p+2
es divisible
por
x'+x'+l . ._ Soluclon.
Sean: P(x)=x
3m
+x
3n+1
+x
3p+1
y Q(x)=x'+x'+1=(x'+x+1)(x'-x+1)
En el ejercicio anterior der.lostramos que Q,(x)=x'+x+1 es siempre divisor de P(x). Nos queda averiguar bajo que condición P(x) es divisible por Q.(x)=x'-x+1. Luego, si A es raiz de Q.(x) = O
(A+l)(A"-A+1)
+
+
A'=-l, ya que: A'+l=O
A"-A+l=O,
"
A/-1
Si ACP(X), probaremos bajo que condición: P(A)=O +
P(A) = (A·¡n + (A·)n.A + (A·)P.A' = (_l)m + (-l)nA + (-l)PA' =(_l)m _ (_1)n+1A
(-l)PA"
+
Cuando m, n+1 y p son pares Cuando m, n+1 y p son impores
<,
P(A) = 1-A+A" = O
+
-l+A-A" = -(l-A+A')
P(A)
+
= O
Por lo tanto, P(x) es divisible por Q(x) cuando los números m, n+1 y p son simultáneamente pores o impares. EJERCICIO
15.
49 Si p(x) = TT(1_x6k+1+x6k+S)(1_x6k+S+x6k+7), k=O
hallar el re.§
to de dividir P(x) entre Q(x)=x'+x+1 Solución.
Sea ~cQ(x)
+
Q(~)=~'+~+l. Si ~ es raiz de Q(x)
vez que: ~'-l=O
+
(~-l)(~l+~+l)=O
++
~/1
A
+
~'=1,
~'+~+l=O
Por el teorema del resto: R=P(~) 49 2k 2k 2k 2k + P(~) [1-(~').~ + (~') .~'1[1- (~') .~' + (~') .~71 k=O
= rr
49 = Tlr(1-~+~')(1-~'+~7) k=O
=
49 Tlí(1-~+~2)(1-~1+~) k=O
49 = 1lr(1+~+~'-2~)(1+~+~'-2~') k=O Resto
=
P(~)
4'0
49
=
lrf(O-2~)(O-2~1) k+O
=
2'00
49 n(4~') k=O
toda
653
Ejercicios: Grupo 64
EJERCICIOS: Grupo 64 l.
Por división sintética obtener el cociente y resto de las divisiones si guientes: a) b) e)
d) 2.
3.
x'-2x'+4xl-6X+8 , entre D(x)=x-l P(x) = 4x'+6xl-2x+3 , entre D(x)=2x+l p(x)
pez) = 4Z'+Zl pez) = zJ-z2.-z
, entre D(z)=z+l+i , entre z-1+2i
Halar el- resto que resulta de dividir p(x) entre D(x): a)
P(x) = x'+(312-2)x'+212+7
b)
p(x)
x'+(1+2i)x'-(1+3i)x +7
e)
p(x)
4x'-16x'+9x1+3x-33
D(x)
d)
p(x)
2x'-7x'+12x1-llx-7
D(x)
D(x) = x-/2+l D(x) = x+2+i
1
2xl-5x-7 2xl-3x-2
si para la constante kER, al dividir el polinomio P(x)=kx'+3xl-5x-4
en-
tre x-2 da por residuo 22, hallar el valor de k·-k1+4. 4.
si el polinomio P(x)=2x'-mx'+x1-nx+2
es divisible por .xt+x-2, hallar el
valor de E=n-m. 5.
Hallar el valor de m si el residuo de dividir x'-5x+12 entre x1+mx-l es cero.
6.
Si -1 es una de las raíces del polinomio P(x)=ax'+ax'+13x'-11x1-10x-2a y P(l)=k, hallar el valor de a+k.
7.
El polinomio p(x)=x'+bx1+cx+d
es múltiplo de (x'-9)
y
ál dividir entre
x+l, da un resto de -8. Hallar b, e y d. 8.
Dado el polinomio P(x)~xS-2x'-6x'+mx"+nx+p; divisible por el producto
9.
t
p(x):(x -3x+2)
hallar m, n y p, si P(x) es
(x-3)(x+l)(x-l).
tiene como resto ax+b. Si P(1)=4 Y P(2)=2, hallar a
10. Si el polinomio P(x)=x'-3ax'+a1x'+ma'x-na' mio Q(x)=x'-ax+2a',
y
b.
es divisible entre el polin2
hallar el valor de (m+n)(m"-mn+nt).
11. Qué valor debe tener k para que el polinomio P(x)=x'+2x'+kx'-x'+2(8+k)x~ +6x-18, sea divisible por x·+2xt-3. 12. El polinomio P(x)=x'-5ax+4b
da un cociente exacto al dividir entre D(x)
=(x-k)·. Hallar b-a en términos de k.
654
Capitulo la: Polinomios
13. Si x+i es un factor de x'-2ax'+(3a+b)x-3b 14. Un polinomio es divisible dada
de tercer grado,
y de x'-(a+2b)x+2a,
cuyo coeficiente
principal
hallar ab
es la inidad
por x'-x-2, y al dividir por x-3 da de resto 20. Qué resto
al dividir dicho polinomio
15. Hallar un polinomio
por x+3?
pez) de tercer grado, cuyo coeficiente
la unidad y que es divisible
principal
es
por zl-z-6, y que al dividir entre z+l
su
residuo es 9. 16. Determinar
A y B de tal modo que el trinornio Ax'+Bx'+l
sea divisible
e~
tre (x-l)·. 17. Determinar
A y B de tal modo que el trinomio Axn+l+Bxn+l
sea divisible
por (x-l)·. 18. Al dividir un polinomio
entero P(x) entre (x-l)(x-2) el cociente
minar el resto de la divisi6n 19. Hallar un polinomio
20. Bajo qué condiciones
indicada.
de tercer grado tal que sea divisible
dividirlo separadamente
es el
2. S~ P(O):ll y P(l)=20, deter
polinornio Q(x) con término independiente
por (x+l),(x+2),(x+3)
el polinomio
por x-l y al
el resto es siempre -9.
p(x)=x3m_x3~+l+x3p+2
es divisible
por
xl-x+l. 21. Bajo qué condici6n
el polinomio
x2m+xm+l es divisible
22. Para qué valor de m, (x+l)m+xm+l
es divisible
por x'+x+1?
por x'+x+l?
23. Para qué valores de m, (x+l)m_xm_1
es divisible
por (x·+x+l)·.
24. Para qué valores de m, (x+l)m+xm+l
es divisible
por (x'+x+l)·.
25. Dados nez + inpar, meZ + par y si; P(x) = x3n_x3n-3+x3n-6_
••
Q(x) = x3m_x3m-3+x3m-6_ Demostrar que p(x)+Q(x)
+(_I)n-lx'+x +(_l)m-lx'+XI
es divisible
por x1+x+l.
26. Para qué valores de a y n el polinornio xn_axn-l+ax_l
es divisible
por
(x-L)? •
27. Determinar p y q de modo que P(x)=x'-9x1+px+g tro factor x-a elevado al cuadrado.
*
admita el factor x-S y o-
Sección 10.8:Raíces de un Polinomio
655
Q
RAICES DE UN POLlNOMIO ,
Por el Teorema del Factor sabemos que dado un pol inomio P(x) con gr,g do mayor o igual que 1, un nÚl1ero r se 1 lema rai z o cero del polinomio
Pttx)
si P(r)=O. EJE'f1PLOS :
(1) P,(x)=2x'-5x-3,
tiene por raíz r=3, pues: P,(3)=2(3)'-5(3)-3=0
(2) p.(x)=x'+2x·-5x-10,
=
p.(IS)
tiene por raiz r=l!. pues:
(3) p.(x)=x'-5x'+4x-20, P.(2i)
=
(15)'+2(~!)'-5~5-jO
=
O
tiene por raiz r=2i, pues:
= -8i+20+8i-20
(2i)'-5(2i)a+4(2i)-20
COmo se puede observar en estos ejemplos, tes en Q que pueden
O
existen polinomios
tener raíces racionales
la forma a+bi, donde a y b son niñteros reales, en R ~
e,
tiene sus raíces en
Este importante resultado fué fonmulado
con coeficien-
(como P,), raíces reales (como
(como P,), y ca,w todo complejo
Pa) o raíces complejas con coeficientes
=
se puede expresar
en
ocurre que todo poI inomio,
e necesariamente.
por el fracés D'Alembert
y demostrg
do luego el alemán Guuss y que se conoce con el nombre de: TEOREMA
FUNDAMENTAL
DEL
ALGEBRA
Todo polínomio de grado positivo P(x)
=
a,x
n
+
a,x
con gr(P) ~ 1 Y 0,10, definido
n:
n-1
+.... + Un-jX + an sobre el campo de los números compl~
jos, tiene por lo menos una raiz, ya sea real o compleja. Supondremos
válido el teorema, ya que su demostración
teóricos del presente
U!D TEOREMA
NUMERO DE RAicES 10.5
Todo polinomio P(x)
tiene exactamente Demostración.
escapa a los alcances
tratamiento.
=
DE UNA ECUACION POLlNOMICA
it
de la forma:
a.xn + a,xn-1 + ••.
n raíces.
&. efecto,
por el Teorema fUndamental,
na raíz r, y por el teorema del factor:
P(x) tiene al menos ~ P(x) ~ (x-r,)Q,(x)
Capítulo 10: Polinomios
656
Siendo Q.(x) el cociente de la división de P(x) por x-r •. Análogamente
Q.(x) tiene una raiz r., de modo que: P(x)
=
(x-r.)(x-r.)Q.(x)
Como además cada nuevo' cociente es de grado menor en una unidad al del cociente anterior, podemos continuar el proceso hasta obtener finalmente: P(x)
=
(x-r,)(x-r.'
....
(x-rn)Qn(rJ
Dado que hay n factores (x-ri)' entonces Qn(r) debe ser la constante a" en consecuencia: (1)
donde cada ri es una raiz o cero de P(x).
Si en la identidad (1) hacemos x=r, siendo r un número arbitrario, tenemos: P(r) = a.(r-r.)(r-r.) .... (r-rn) Si rlri' -Vi, ninguno de los [act oree (r-ri) es cero, y como a.IO, f(rUO,
r no es cero de P(x); por lo tanto, hay ~xactamente teorema queda demostrado.
lIl!Il
y
n raíces, con lo que el
MULTIPLICIDAD DE UN FACTOR
Definición.
Una raiz r de un pol inomio Pt.x), se dice que es de mul tiplicidad m ~ 1, si P(x)=(x-r)mQ(x),
donde Q(xUO.
Por ejemplo, el polinomio P(x)=(x-1)(x+2)'(x-4)' es de grado 6 y sus raíces son: 1,-2,-2,-2,4,4, y en donde: r=l es una raiz simple r=-2 es un cero de multiplicidad 3 o es una raiz triple r=4 es un cero de multiplicidad 2 o es una raiz doble.
II!I!J
MULTIPLICIDAD DE UN FACTOR Por el Teorema
Fundamental
sabemos que todas las raíces de un en e, siendo algunas reales
polinomio con coeficientes reales se encuentran
y otras complejas. Veremos en seguida qu~ las raíces, tanto complejas como irracionales , se presentan por pores. TEOREMA 10.6
Sea P(x)=a,x
n
+a,xn-1 + •..
+an_1x+an
un polinomio real no
constante. Si un número complejo r=a+bi, blO, a,bER es una
,
Sección 10.8: Raíces de un Polinomio
raiz de P(x), entonces su conjugada Demostración.
657
r=a-bi también es raiz de P(x).
En efecto, si r es una raiz, entonces P(a+bi)=O, a.(a+bi)n
Como los ai son reales, ao(a-bi)n lo que demuestra Observación.
+ a, (a+bi)n-1 + .... + an-1(a+bi) tomando conjugadas +
a, (a-bi)n-1
esto es:
+ an = O
en ambos extremos se tiene:
+ .... +
an-1(a-bi)
+
an
=
O
que r=a-bi es una raiz de P(x).
El Teorema 10.6 es válido sólo si los coeficientes ros reales. Si los ai son números
rar que si r es una raiz de P(x), entonces
complejos
ai son núm~
no se puede asegu-
r también lo es.
Veamos un ejemplo, sea: P(x)=x'+2ixZ-(1+i)x-7+6i Podemos probar que r=2-i es una raiz de P(x). En efecto,
P(2-i) = (2-i)'+2i(2-i)Z-(1+i)(2-i)-7+6i =" (8-12i+6iZ-i')+2i(4-4i+i')-(2+i-iZ)-7+6i = (2-11i)+(8+6i)-(3+i)-7+6i
= O
Ahora bien: P(r) = P(2+i) = (2+i)l+2i(2+i)"_(1+i)(2-i)-7+6i ~ = (8+12i+6iz+i') + 2i(4+4i+i") - (2+3i+iZ)-7+6i = -11+20i / O
= (2+11i)+(-8+6i)-(1+3i)-7+6i Luego, r=2+i no es raiz de P(x). Corolario 1.
Todo poI inomio real Pt x) , con coeficientes
reales y de grado
impor debe tener por lo menos una raiz real. En efecto, si n=1, entonces:
=
P(x) = a.x+a
ao/U, aO,a,ER + x ~ es una raiz real de a. " P(x)=O. Si n~3 y r,=a+bi, blO, es una raiz compleja de P(x), por el Teorema 10.6, r.=a-bi
también es raiz de P(x).
Luego, por el teorema del factor: donde gr(Q)=n-2~1,
P(x) = (x-r,)(x-rz)Q(x) (xZ-2ax+az-b1)Q(x)
siendo n-2 impar por ser n impar.
Si razonamos por inducción podemos afinnar que Q(x) tiene una raiz real que también es raiz de P(x). Corolario 2.
Todo polinomio
real P(x) con coeficientes
sarse como producto de factores coeficientes
reales, correspondiendo
da factor cuadrático
lineales
reales puede exprey
cuadráticos
con
cada factor lineal a un cero real y c~
a un par de ceros complejos
conjugados.
.. 658
Capítulo 10: Polinomios
EJEMPLO
l.
Hallar
todas las raíces del poI inomio P(x)==x'+x'+x'+llx+10,
sabiendo que una de sus raíces es 1+2i. Solución.
Por el Teorema
10.6, si r,==1+2i es raiz de P(x)
+
r.==1-2i tam-
bién es raiz de P(x). Formando una ecuación cuadrática
de raíces r, Y rz se tiene:
S == r,+r. == 1+2i+1-2i == 2 Luego, si D(x)==x'-SX+P
P == (1+2i)(1-2i)
== 5
D(x)==x'-2x+5
+
Dividiendo P(x) entre D(x) obtenemos
el polinomio Q(x)==x'+3x+2, cuyas raí-
ces: x==-2 y x=-l son también raíces de P(x). Por tanto, las cuatro raíces de P(x) son: 1+2i, 1-2i, -2 y-l. EJEMPLO
Solución.
2.
Hallar
un
polinomio
con
coeficientes
reales,
de
grado mínimo, que tenga como raíces r,==2 Y r.==2-3i. , Por el Teorema 10.6, si r.==2-3i + r.==2+3i Por el teorema del factor: P(x)==(x-r,)(x-r.)(x-r.)
+
P(x) == (x-2)(x-2+3i)(x-2-3i)
TEOREMA
10.7
Si un binomio
== (x-2)(x'-4x+13) irracional
==x'-6x'+21x-26
a+1b es una ra i z del poI inomio
real P(x) con coefientes
racionales,
entonces
el binomio
irracional a-lb es también raiz de P(x). EJEMPLO
3. Hallar
todas las raíces def poI inomio P(x)=x'-9x'+27x'-33x+14,
sabiendo Solución.
que 3+12 es una de sus raíces.
Por el Teorema 10.7, si r,==3+12 P(x). Fonnamos
S = r,+r. = (3+12)+(3-12) Dividiendo
un polinomio == 6
+
r.==3-12 es también raiz de
cuadrático
con r, Y r.:
P == (3+12)(3-12)
P(x) entre D(x) obtenemos
== 7
el polinomio
+
D(x)=x'-6x+7
reducido: Q(x)=x'-3x+2
cu
yas raíces x==l y x==2 son también raíces de P(x). Por lo tanto, las raíces de P(x) son: 3+12, 3-12, 1 y 2 EJEMPLO
4.
Construir
un poI inomio con coeficientes
mo, que tenga como raíces Solución.
los números
reales, de grado mínl 1, 1+15 Y 3i.
Sean r,=l, r.=1+15 y r.==3i. Ahora, r. y r. admiten conjugadas, entonces:
r,=l-15 y r.=-3i
+
gr[P(x)]==5
Luego: P(x) == (x-1)(x-l-!5)(x-1+15)(x-3i)(x+3i)
=
x'-3x'+7x'-23x'-18x+36
659
Sección 10.8: Raíces de /In Polinomio
EJEMPLO
5.
Construir
Solución.
de grado seis, entre cuyas raíces se
una ecuación
encuentran Las conjugadas
los números:
1+i, 1+~
de 1+i y 1+~
Y 1/2.
son 1-i y l-I.f, respectivamente.
CQ
mo la ecuación buscada es de grado seis, las raíces serán: r.=1+i. r.=l-i, 1',=1+1.2,r.=l-l.f. 1'.=1'.=1/2. es decir. ble. Entonces:
=
(x'-2x+2)(x'-2x-l)(4x1-4x+l)
10.8
1/2 es una raiz do-
O
= O
(x-1-i)(x-l+i)(x-I-IZ)(x-1+1.i)(x-l/2),
TEOREMA
=
(x-r.)(x-r.)(x-r.)(x-r.)(x-r.)· O ~
4x'-2Ox'+37x'-32x'+5x'+6x-2=O
(Regla de los signos de Descartes) Si P(x)=O es una ecuación entera con coeficientes
reales y con raíces reales, entonces: a) El número de raíces positivas de P(x)=O es igual al número de ~ riaciones
(V) que presentan
los signos de los coeficientes
de
'P(x), o es menor que este número (V) en un número par. b) El número de ratces negativas
riaciones
que presentan
(V)
de P(x)=O es igual al número de ~ los signos de los coeficientes
P(-x) , o es menor que este número Esta proposición, bién proporciona
conocida
como la "Regla de los signos de Descartes",
infonnación
acerca del número de raíces complejas.
que si el polinofilioPttx) es de grado n, entonces por tanto, el número de raíces complejas raíces positivas EJEMPLO
6. Uallar
toda la información
es iguol a n menos
el número de
posible acerca de la naturaleza
7x
+
- -- ---x'
+
5x'
tenemos:
2 (2 variaciones)
V
+
x'
7x
V
V
de
P(x)=x'+Sx"-x'+7x+2.
Vemos que P(x)
Sabemos
tiene e:ractanenle n raíces
Por la regla de los signos de Descartes, P(x) = x' P(-x)
tam-
y negativas.
las raíces del polinomio Solución.
de
en un número por.
(V)
+
2 (3 variaciones)
V
tiene dos variaciones
de signo, entonces
la ecuación P(x)=O
tendrá, a lo más, 2 o O raíces positivas. P(~)
·tiene tres variaciones
de signo,
a lo más, 3 o 1 raíces negativas.
entonces
la ecuación P(:)=O
tendrá.
Capítulo 10: Polinomios
660
Si designamos
e
por
el número de raíces comple-
jas, el cuadro adjunto binaciones
ilustra las posibles
entre las raíces positivas,
vas y complejas.
c~
negati-
(La suma de cada fila debe ser
igual al grado del polinomio).
EJEMPLO
7.
Detenninar P(x)
Solución.
=
= -
l1x'
~+
--
V
4
2
1
6
o
3
6
o
1
8
2x' -
4x'
V
se tiene: 6x - 2
4x' + ~-
V
----
+ 5x' +
V
V
+ 2x' +
V
----6x
- 2
V
a) Raíces reales positivas: P(x) tiene tres variaciones
de signo.
Entonces, número de raíces positivas
3 o 1
b) Raíces reales negativas: P(-x) tiene 4 variaciones +
e
3
el mínimo mínero de raíces complejas del poi inomio
Según la regla de los signos de Descartes,
---
-
llx'+5x'-2x'+4x'+2x'-6x-2
P(x) = llx' +~ P(-x)
+ 2
de signo.
NUmero de raíces negativas
=
4 , 2 o O
c) En el cuadro adjunto vemos que el poi inomio
+
-
e
3
4
2
3
2
4
3
O
6
1
4
4
1
2
6
1
O
8
P(x) tiene como mínimo 2 raíces complejas.
EJERCICIOS: Grupo 65 En los ejercicios siguientes,
se dan una de las raíces del polinomio p(x).
Hallar las demás raíces. 1-
P(x}
x'-6x'+14x'-14x+5
, x=2-i
2.
p(x}
x'+2x'+5x'-2x+36
, x=-2+il5
3. P(x}
x'-3x'-6x'+14x+12
4. p(x)
6x'+35x'-49x'+7x+7,
,
x=l-/3 x=-3+/2
Construir la ecuaci6n de menor grado, con coeficientes
reales, que tengan
las ra1ces indicadas. 5.
x=-l, 3, l+il3
6. x=2+4i, 2i
7. x=2, -3, 2-13
8.
x=1/2, -2+i,-1+212
9. x=2-i,' 1+12,2,-1
10. x=l+it3, 4+~2, 0, -1, -2
Sección 10.8: Raíces de un Polinomio
661
Hallar toda la informaci6n acerca de la naturaleza de las raíces del polin2 mio dado, por medio de la regla de los signos de Descartes. 11. p(x)=x'+4x7-6x'+4x'-a
13. p(x)=Bx7+4x'-3x'+Sx'-6x'+3x-2
12. P(x)=2x'-3x'-9x'-x+S
14. P(x)=Sx'-2x7+6x'+2x'-3x+S
15. Demostrar que el polinomio P(x)=3x'-x'+2x-B
tiene por lo menos dos raí-
ces cooplejas. 16. Demostrar que el polinomio P(X)=2X7_X'+4x'-S
tiene como m1nimio cuatro
raíces complejas.
lllDJ
* RAICES RACIONALES
TEOREMA 10.9
e
DE UN POLlNOMIO
(Teorema de Gauss)
=
Sea P(x) linamio cuyos coeficient~s do en formo irreductible,
n
a.x +a,x
n-1
+
+an-1x+an' a.#O y an#O, un P2
son enteros. Si el número racional p/q, expresaes una raiz de P(x), entonc~s p es el divisor ex-
acto de an y q es un divisor exacto de a,. Danostrocioo.
En
efecto, como por hipótesis p/q es una raiz de P(x), ento~
ces P(p/q)=O, a.(E)n q
MUltiplicando
+
esto es:
a,(E)n-1 q
n
+
a,p
n-1
q
+ . . . . +
Pasemos anqn al segundo miembro se
t rene .
. +
an-1~)
+
q
( 1)
an = O
por qn, obtenemos: a.p
_
+ .
a.p
n-1 +
a,p
n-2
an-1PQ
y dividiendo
q + ....
+
n-1
+
anq
n
=
O
la igualdad resultante entre p an-lQ
n-1
qn
= -an(p)
\o
Dado que cada ai, P Y q son enteros, el primer miembro de la igualdad es un entero y, por ende, lo es también el segundo miembro. Además, p y q son prl mos entre si, de modo que p no es divisor de qn; luego, p es divisor exacto de an0 Si en la ecuación (1), posamos al segundo miembro
a,pn y dividimos
la igual
dad resultante por q, obtenemos: n a,pn-1
+
a,pr-2q
+ . . . . +
an-1pq"-2
+
anqn-1
- a.(L) q
, 662
Capítulo 10: Polinomios
y por un razona
EJEMPLO
l.
ento similar, concluimos
que q es divisor exacto de a •.
H· lar todas las raíces del polinomio P(; =12x'-44x'+37x'+11x-10
Solución.
Probables
Divisores
de an=-lO:
Divisores
de 0.=12:
raíces racionales:
=
r
=
p
*
q
=
± U,2,S} ± U,2,3,4}
= ±(1, ~ '
(Nótese que hay en total 20 probables Por el teorema del resto hacemas P(1)=6#0 y P(-1)=71#0. Mediante
la división
Entonces
12 Como el resto R=P(2)=0, +
hacemos
%)
que:
la prueba con x=2 y obtenemos:
37
-40
-20
-3
11
I
-6:
I
-10
"
10 O
5
(x-2)(12x'-20x'-3x+S) sintética,
que -2 y ±S no son rOl
encontramos
probamos
con x=1/2
-20
-3
5
6
-7
-5
1/2 12
(1)
de P(x) lo son de: Q(x)=12x'-2Ox'-3x+S
el proceso, 12
+
t,
raíces racionales)
24
=
la división
ces de Q(x). Continuando
R=Q(1/2)=0
,5 , ~ '
x=2 es una raiz de P(x). P(x)
Los otros factores probables Usando nuevamente
1
la prueba con r=±l y encontramos
-44
2
2 ,
±1 no son raíces de P(x).
sintética ;12
1' i '
-14
-10
O
x=1/2 es una raiz de Q(x) y, por ende, de P(x).
Luego, en (1):
P(x)
=
(x-2)(x-1/2)(12x"-14x-10)
=
(x-2)(2x-l)(6x'-7x-S)
= (x-2)(2x-1)(2x+l)(3x-S) :. {x<:Qlp(x)=O} = {-1/2,l/2,S/3,2} Corolario.
Sea P(x)
=
xn+a1xn-1+
nico cuyos coeficientes
....
+an-lx+an,
un polinomio m~
son enteros. Si 0.=1, entonces
cualquier número racional que sea raiz de P(x) es un entero y un divisor de an. EJEMPLO
2. Detenminar
todas las raíces enteras del polinomio
P(x)=x'+2x'-13x'-14x+24 Solución.
Los divisores de an=24 son: p = ± {1,2,3,4,6,12,24}
-
Sección 10.8: Raíces de un Polinomio
663
Por el teorema del resto: P(l)=O y P(-l)#O.
Entonces, mediante
la división
sintética con :x:=l,se tiene: -13
2
-14
24
I I
1
~
3
-10
: -24
3
-10
-24
~
P(x)
+
Hagamos
1
(x-l) (x' +3x'-10x-24)
3
-10
-24
-2
-2
24
1
-12
O
1
-2 1
Entonces en (1):
=
P(x)
(x-1)(x+2)(x'+x-12)
:. {X&Clp(x)=ol Obserwc
(1)
la prueba con x=-2 en Q(x)=x'+3x'-1Or-24
(x-l) (x+2) (x+4) (x-3)
'" {-4,-2,l,31
ianes :
(1) Si los coeficientes
de un polinomio
P(x) son reales y positivos,
la e-
cuacióÍt P(x)=O no tiene raíces positivas. (2)
Si un poI inomio P(x)
..
tiene sus coeficientes
positivos y negativos,
entonces
reales y al temat ivamente
la ecuación P(x)=O no tiene raíces neg~
tivas. Por ejemplo:
TEOR~
a)
2x'+7x'+7x+2=0
b)
3x'-19x'+29x'-29x+6=O
10.10
no tiene raíces posi.tivas
(Teorema del
no tiene raíces negativas.
Valor Intermedio)
Sea P(x) una función continua i) Si pea) y P(b) tienen signo diferentes, entonces
en [a,b] , entonces;
es decir, si P(a)P(b)
existe al menos un rc o un número
< O
impar de ellas,
tal que P(r)=O ii)
Si pea) y P(b)
tienen el mismo signo, es decir, si P(a)P(b)
ninguna raiz o un número par de ellas estarán en
En la figura (1): P(a) .P(b) < O
+
3reIP(r)=O
En la figura
+
3r1,
> O
+
¡!reIP(r)=O
> O
.• ar ,; r.f: IP(r)=O
(2): P(a) .p(b) < O
En la figura (3): Pea) En la figura
.ro»
(4): P(a).P(b)
r.,
r,elP(r)=O
> O,
., Capítulo 10: Polinomios
664 P(a»O
y
y ( 1)
(2)
I I
:P(bJ>O I I
--~-
.•...... --4---+b-
X
P(a)
y
(3)
-~O~~a------~~·X
EJEMPLO
3. Detenninar
todas las raíces de la ecuación:
6x'-23x'+30x'-10x'-16x+8=0
Solución.
Sea: P(x)=6x'-23x'+3Ox'-10x'-16x+8
Divisores de an=8: p = ±(1,2,4,8) Divisores· de a,=6: q= ±(1,2,3) Probables raíces racionales: P(0)=8 y P(1)=-5
P(O).P(l)
+
~ =
(1,1/2,1/3,1/6,2,2/3,4,4/3,8,8/3)
< O
+
3rE:<0,pIP(r)=0
Las posibles raíces son: r = 1/2 , 1/3 , 1/6 , 2/3 Hacemos la prueba con r=1/2 6 1/2 6
-23
30
-10
-16
8
3
-10
10
O
-8
-20
20
O
-16
o
Luego, r=1/2 es una raiz de P(x)=O, y por el teorema del factor: P(x)
=
(x-1/2)(6x'-20x'+20x·-16)
=
(2x-l)(3x'-1Ox'+10x'-8)
(1)
la prueba con r=1/3 y r=2/3 en Q(x)=3x'-lOx·+lOx·-8., encontramos que ninguna es raiz de Q(x)=O. Camo Q(0)=-8 y Q(-1)=15 + Q(O).Q(-l) < O + 3rE:<-1,O>IQ(r)=O
Haciendo
'-- _--..•....
Sección 10.8.4: Raices racionales de un polinomio-
Las posibles Hacemos
raíces
racionales
la prueba
en (-1,0)
665
son: -2/3, -1/3,
·10
.•.,
·2/3
·12 Luego,
10
O
8
-12
Q.(x) = x
Siendo
por lo menos
una raiz real, entera
dos). Entonces,
hacemos
O L--
de Q(x).
y positiva
la prueba
-
4x' + 6x - 4)
4x, + 6x - 4)
-
4x' + 6x - 4 un polinomio
-
8
I
12x' + 18x - 12) = (3x + 2) (x3
-
P(x) = (2x - 1) (3x + 2) (x3 3
-8
...r:
18
r = -2/3 es una raiz o x + 2/3 es un factor
~ Q(x) = (x + 2/3) (3x3 En (1):
-1/2
con r = -2/3
(2)
(aD = 1) de grado
mónico
(los signos
impar,
de los coeficientes
debe tener van alterna-
con r = 2:
~~I-----:-:------~---~ ~ Q,(x) = (x - 2) (x' - 2x + 2); Luego,
P(x) = (2x -1)
en (2):
si x' - 2x + 2 = O
Solución.
Como
Entonces,
las raíces
de an = 3:
Divisores
de
ao
1/2,2,
I-i,
del polinomio
I+i)
P(x) = 6x" + 5x3 + 19x' + 15x + 3
p = ±{ I ,3}
= 5:
q = ±{ 1, 2, 3, 6} de P(x) son positivos,
de los coeficientes
las probables y P(-I)=8
~
raíces
P(O).P(-I)
10.10, ninguna
la división
racionales
sintética
son:
p
q
las raíces
reales
= -{ 1, 1/2, 1/3, 1/6,3,
3/2}
>O
raiz o un número
hacemos
3 -1/2
par de ellas están en (-1.,0)
la prueba
5 -3·1
con r = -1/2 Y r = -1/3
19
15: -9:
18
6 ·1/3
~
= I ± i
ser negativas.
Por el Teorema Usando
= (-2/3,
Divisores
los signos
deberán
P(0)=3
Hallar
x = 1 ±~
(3x + 2) (x - 2) (x - 1 - i) (x - 1 + i)
.. {xeCIP(x)=O}
EJEMPLO 4.
H
·2
O
6 -6
o
18
o
-3 ~
P(x) = (x + 1/2) (x + 1/3) (6x' + 18) = (2x + 1) (3x + 1) (x' + 3) :. {xeCIP(x)=O}
= (-1/2,
-1/3,
-us. iff)
de P(x) = O
666
Capitulo 10: Polinomios
D
ACOTACION
DE RAICES
una i,,~rtante
cuestión
linomio es la acotación
en el estudio de las raíces reales de un po-
de las mi&nas.
tervalo en donde se encuentran Ilustraremos
REALES
con un ejemplo
es decir.
la detenminación
de
IUl
in-
tales raíces.
el procedimiento
a seguir poro detenninar
dicho
Intervalo. EJEMPLO
5.
Dado el poI inomio P(x)=12x·-8x1-3x+Z. ~.M>
Solución.
tal que m
El método
a seguir es el de las divisiones
Se comienza
dividiendo
Veamos que información
arroja
En seguida. dividimos
12
-3 4
1
4
1
3
P(x) = (x-l)(12x'+4x+l)+3 el cociente
Q(x)=12x1+4x+1
12 .• Q(x)
=
(x-l)(12x+6)+17
.• Q(x)
=
12(x-1)1+28(x-1)+17
en (1) obtenemos:
=
(1) entre x-l
4
1
12
16
16
17
(x-l)[12(x-l)+2S]+17
P(x)=12(x-l)'+2S(x-1)1+17(x-l)+3
se observa que todos los coeficientes
tivas. entonces
2
12
12
(2)
entre x-l.
-s
1
En
sucesivas.
o cero.
la división
12
.•
sintéticas
P(x) entre x-l. luego entre x-Z. x-3. etc,
hasta obtener un residuo positivo
Sustituyendo
hallar el intervalo
para toda raiz real r de Pttx};
P(x) > O. ~~l.
Luego,
de los binomios
(2) (x-l) son posi
las raíces reales positivas
de P(x)
que 1. Es decir, M=l es una cota superior de las raí-
no pueden ser mayores ces reales y positivas
de P(x).
Para detenninar
una cota
la sustitución:
x=-y
inferior
.• P(-y)
Interesa que el coeficiente
=
de las raíces
reales negativas.
12(-y)'-S(-y)1-3(-y)+Z
de y' sea positivo,
=
hacemos
-lZy'-8yl+3y+2
poro ello hacemos:
.•.F(y) = -N-y)' = 12y'+Sy'-3y-2 En este caso corresponde F(y). Comenzaremos
calcular
dividiendo
ta obtener un residuo positiva
una cota superior de las raíces reales de
F(y) entre y-l. luego entre y-2. y-3, et~ ha! o cero.
Sección 10.9: Acotación de Raíces Reales
8
-3
-2
12
20
17
20
17
15
12 1 12
F(y)
667
(y-l) (12y'+20y+17)+l5
Camo el resto es positivo, es conveniente obtenemos:
F(y)
=
continuar
la división Por y-l, y
(y-l)[12(y-l)'+44(y-l)+49j+15
= 12(y-l) "+44(y-l)'+49(y-l)+15 Donde se observa que: F(y) > O, ~>1. Pero: x=-y
~
Camo F(y)=-P(-y)
P(-y) < O, ~>l
P(x) < O, VX<-l
Luego, las raíces negativas no deben ser menores que -1, es decir, m=-l es una cota inferior de las raíces reales negativas de P(x). Por tanto, el intervalo buscado es <-1,1>. En efecto, las raíces reales de P(x)=O son: -1/2,1/2,2/3 y todas satisfacen
Precisamos
_1223< 1 < ~
-1 <
la propiedad: en este punto,
< 1 e inferior de un
lo que son las cotas superior
conjunto. DEFINICION.
i) Se dice que un conjunto Ac: R estú acotado
superionnente
si existe un nÚ1lero Mcll, llamado cota superior, con la a ~ M, -v
propiedad de que:
ii) Se dice que un conjunto Ac:R está acotado
inferionnente,
si existe un
número mcll, llamado cota inferior, con la propiedad de que: m ~ a, -v
El criterio
para detenninar elegido
plicar y, además, el que proporciona TEOREMA
10.11
P(x)
=
a,x
+ 0lX
Si c es un número real positivo, proporcionó
la mejor cota.
Dado un polinamio n
las cotas de las raíces reales de
en el ejemplo 5 es el mús sencillo de a-
con coeficientes n-l
+ .... +
an-lx
reales: +
an, 0,>0, anFO
tal que la división de P(x) entre x-c
un cociente con coeficientes
no negativos bj y residuo R,
no neqat ivo, tales que:
entonces c es una cota superior de las raíces reales positivas de P(x)
Capítulo 10: Polinomios
668
Demostración.
En efecto.
por el método de la división
a,
a •.
al
e
an-1
ea,
cbl
C%-2
bl
b.
bn-1
a,
sintética
iene:
: an I I I
rbn-1 bn
=
R
donde a,.b1.b ••..•.• %-1 y R=bn son números positivos. Si designamos
por Ql(X) el cociente.
=
Ql (x)
de modo que:
a,xn-1 + b1xn-2 + ."•••
=
P(x)
Dividiendo nuevamente
(X-C)Ql(X)
P(x)
=
R
+
( 1)
Ql(X)
=
(x-c)Q.(x)
+
Y eL r~
I
R.
índuct tvo , en la úl tima división se tiene: Qn-1(x)
Sustituyendo
+ bn-1
Ql(X) entre (x-c). se halla el cociente Q
siduo R •• entonces: Por razonamiento
entonces:
=
(x-c)a,
estas igualdades sucesivamente
a,(x-c)n + b1(x-C)n-1
Si los coeficientes
+
en
Rn obtenemos:
(1)
+ bn-1(x-c)
+ •..•
bj y R son todos positivos.
+ R. bjER
(2)
se cumple que P(x»O.
~x>c;
luego. si rER es una raiz de P(x)=O. entonces r~c. es decir. c es una
cota
superior de las raíces reales positivas de P(x). con lo queda demostrado
el
teorema. TEOREMA 10.12
Dado un poI inomio con coeficientes P(x)
=
a,x
n
Si c es un número real positivo
+ a1x
n-1
reales:
+ an-1x + ano a,>O. an#O
+ ..•.
tal que la división de P(-x) entre x-c
proporciona un cociente con coeficientes
positivos y un residuo positi
vo. entonces -c es una cota inferior de las raíces negativas de P(x).
La demostración de este teorema es una aplicación Las dos teoremas anteriores
se traducen en sendos criterios que penniten d~
t6rminar las cotas superiores con coeficientes Criterio
l.
directa del teorema 10.11
e inferiores de. las raíces de los poI inomios
reales.
Si c es un número real positivo
tal que al efectuar
sión sintética del polinomio P(x). con coeficientes tre el binomio x-C.
todos los números que aparecen
la divi-
reales. en
en la tercera fila son
positivos. entonces c es una cota superior de las raíces positivas de P(x).
Sección 10.9: Acotación de Raíces Rea/es
669
Criterio 2. Si c es un número real positivo sintética binomio
del polinomio
todos los números
X-C,
tal que al efectuar
P(x), con coeficientes
que aparecen
reales, entre el
en la tercera fila son positi-
vos, entonces
-c es una cota inferior de las raíces negativas
EJEMPLO
Dada la ecuación:
6.
a) Hallar
la división
de P(x).
18x'-57x'+125x'-87x'-43x+20=0
la cota superior
positiva y la cota inferior negatl
va. b) Presente
el cuadro correspondiente
al número de raíces positivas,
negatl
vas y complejas. c) Hallar
todas las raíces de la ecuación.
Solución.
a) Sea P(x)=18x'-57x'+12Sx'-87x'-43x+20
=
P(-x) -
P(y)
Cota superior positiva: 18 1 18
=
-18x'-57x'-125x'-87x'+43x+20
18y·+57y·+125y·+87y·-43y-20 En primer
lugar, tomemos c=l
-57
125
-87
-43
20
18
-39
86
-1
-44
-39
86
-1
-44
-24
El residuo R=-14 es un número negat ivo, entonces
corresponde
tomar un c > 1,
que puede ser c=2,3, pero ninguno de estos sirve (verificar). 18 4 18
Luego, si c=4
-57
125
-87
-43
72
60
740
2512
9876
15
185
653
2469
9896
El residuo R=9896 y los demás coeficientes
20
son todos positivos.
Luego, c~J=4 es una cota superior de las raíces reales positivas. Cota inferior negativa. Probemos
con y=1
Basta hallar 18
1
18
57
125
87
-43
-20
18
75
200
287
244
75
200
287
244
224
El resto R=224 y los demás coeficientes una cota superior negativa
la cota superior de P(y).
resultaron
de P(y); pero coma y=-x
-
positivos.
m==-l
Luego, y~l es
es una cota inferior
de Ptx},
Hemos hallado asi un intervalo las raíces de P(x)=O.
<-1,4> en donde deben estar ubicadas
todas
670 b)
Capitulo 10: Polinomios
Por la regla de Descartes, las variaciones de signo son:
+ 1&]-
Ptr)= ~-~ V
V
4 variaciones ~
87x'-~+
V
20 V
Raíces reales (+)~ 4, 2 o O
~+
Ptr) = ":"'18xl-57x'-125x'-
V
I variación ~ e)
Raíces reales (-): I
Divisores de a. = 20:
p = ±(l, 2, 4, 5, 10,20)
Divisores de ao = 18:
q = ±(l, 2, 3, 6, 9,18)
Probables raíces racionales:
f = ±(l,
o
4
43x.+ 20
2
2
o
4
112,1/3, 116, 1118,2, 2/3, 2/9, 4/3, 4/9, 5/2, 5/3, 5/6,5/9, 5/18, 10/9,20/9)
P(O)= 20, P( 1) = -24, P(2) = 250, P(-1) = -224 Por el teorema del valor intermedio:
P(O). P( 1) < O
~
3 r, E (0,1) I P(r,) = O
P( 1) . P(2) < O
~
3 r, e 0,2)
P(-I). P(O) < O
~
3 r] e
I P(r,) = O (-1,0) I P(r = O 3)
Por el proceso de la divición sintética verificar que con: x = 113e (0,1), x = 4/3 e (1,2), x= -1/2 e (-1,0), los restos respectivos son ceros. Entonces:
EJEMPLO 7.
P(x) = (x - Il3)(x - 4/3) (x + 1/2) (l8x' - 36x + 90) = (3x- 1)(3x- 4) (2x + 1) (r- 2x + 5) .. {xeCIP(x)=Oj = {-I/2,1/3,4/3,1-2i,I+2i) Dada la ecuación 12x"+ 32x' + 3x' + Tx' + 32r + 3x - 5 = O
Aplicando la regla de los signos de Descartes, señale cuáles son todas las posibilidades de las raíces positivas, negativas y complejas. b) Factorizar la ecuación y de allí, hallar las raíces.
a)
Solución. a) Sea P(x) = J.2x6+ 32x' + 3x' + 7xl + 32.r + 3x - 5
'----'
~
P(-x)= 12.t'-32/+3.t'-7.t'+32x'-3.t-5 ""'---" "--'" '--"'" "--'" "---' Una variaciónde P(x) ~ Raíces (+): I 5 variaciones en P(-x) ~ Raíces (-): 5,3 o l Luego, todas las posibilidades de las raíces pósitivas negativas y complejas se dan en tabla adjunta. b)
Divisores de a. = 5: p = ±(l, 5) Divisores de ao = 12: q = ±(I, 2,3,4,6,
12)
Luego, el conjunto de las posibles raíces racionales de la ecuación es:
+ "'-.------.
_._--_5...._-
o
3
2 4
671
Sección 10.9: Acotación de Raíces Reales
+{l
p _
1
q- c) P(O)=-5.
P(1)=84
Como P(-l)=O.
1.
1
'"2'
1
~
P(O).P(l)
< O
una raiz positiva
Por el método de la división 12
-1 12 P(x)
5
~
5 5 5 5 , "2 • "3 • 4" ' 6"'
5} 12
3rEIP(r)=O
en 3:&<0.1> puede ser; 1/3.1/2.1/4.1/6
sintética
probamos con x=1/3 y x=-l
32
3
7
32
3
-5
4
12
5
4
12
5
36
15
12
36
-12
-24
9
-21
: -15
24
-9
21
15
O
113 12
1
3" • 4 • 6 • 12'
I I
(x-l/3) (x+1) (12x'+24x'-9x'+21x+1S) (3x-1) (x+1) (4x'+8x'-3x'+7x+5)
Dado que en el polinamio Q(x)=4x'+8x·-3x·+7x+5.
(1)
a,=4. las otras raíces ra-
cionales y negativas de P(x) podrían ser: -1/2,-1/4.-5/2,-5/4 Verificar que con x=-1/2 y x=-5/2. ~
=
Q(x)
Luego, en (1):
P(x)
=
=
residuos son ceros.
(2x+1)(2x+5)(x'-x+l)
(3x-l)(x+1)(2x+l)(2x+5)(x'-x+l)
=
:. {xEClp(x)=Ot EJEMPLO 8.
los respectivos
(x+l/2)(x+5/2)(4x'-4x+4)
Dada la ecuación
{-S/2.-1,-1I2.1I3.í
±
10
9x'-15x'-29:x;'+59x'-28x+4=O
a) Hallar el intervalo ~,!P
donde deben estar ubicadas
las
raíces de la ecuación. b) Señalar
las posibilidades
dei número de raíces positivas,
negativas
y
complejas. c) Factorizar
Solución.
la ecuación y hallar sus raíces.
Cota superior
9x'-15x'-29xs+59x'-28x+4
=
a) Sea: P(x)
=
+
P(-x)
•
P(y) = 9y'+15y'-29y'-59y'-28}~4
positiva:
-9:x;'-15x'+29x'+59:x;'+28x+4
Las pruebas
con c=1 y c=2 no sirven (verificar),
tonces. corresponde 9 3 9
Siendo los coeficientes rior positivo es c=M=3
en
tomar c=3
-15
-29
59
-28
4
27
36
21
240
636
12
7
80
212
640
positivos
y el residuo R=640 positivo,
la cota sup~
672
Capítulo 10: Polinomios
Cota inferior negativa. Las pruebas con c=l y c=2 no sirven (verificar) Entonces para c=3 en P(y) tendremos: 9 3 9
15
-29
-59
-28
-4
27 42
126
291
696
2004
97
232
668
2000
Como en la tercera fila. todos tos números son pasitivos. superior positiva para P(y) es c=3. pero como y=-x -
entonces una cota
m=c=3 es una cota i~
feriar negativa para P(x)=O. Por tanto: xe<-3.3>. b) Vemos que en P(x) hay 4 variaciones
de signo y en P(-x) una variación de
signo. Entonces: NUmero de raíces reales positivas
= 4. 2 o O
NUmero de raíces reales negativas = 1 El·cuadro adjunto muestra
todas las posibilidades
número de raíces positivas.
negativas y complejas.
c) Divisores de an=4:
p = ±(1.2.4)
Divisores de 0.=9:
q = ±(1.3.9)
Probables raíces racionales: Cama P(1)=P(2)=0
~
del
+
-
C
4
1
O
2
1
2
O
1
4
~ = ± {1.1/3.1/9;2.2/3.2/9.4/3.4/9~
r=l y r=2 son raíces de P(x). luego. por el proceso de
la división sintética
se deduce que:
P(x)
=
(x-1)(x-2)(9x'+12x'-11x+2)
En el polinomio Q(x)=9x'+12x'-11x+2.
(1)
0.=9 y an=2. Luego. las otras posibles
raíces de·P(x) serían: ±(1/3.1/9.2/3) Probando dos veces con 1/3 mediante Q(x) Sustituyendo en
(1):
=
la división
(x-1/3)(x-1/3)(9x+18) P(x)
=
=
sintética.
se deduce que:
(3x-1)'(x+2)
(x-1)(x-2)(3x-1)'(x+2)
.•.{X&Qlp(x)=o~ = {-2.1/3.1/3.1.2~
EJERCICIOS: Grupo 66 En los ejercicios se pide determinar:
del 1 al lO, se dan los polinomios
P(x). para los cuales
a) El número de ratees positivas.
negativas y complejas
b) Las posibles raices racionales. l. P(x)=6x'-Sx'+4x'-4x'-2x+l
e) El conjunto soluci6n de P(x):O. 4. P(x)=12x'-40x'-48x'+S7x'+20x-3
2. p(x)=x'-2x'-4x'+14x'-33x'+60x-36
5. 4x'+21x'-24x'-6x+S
3. P(x)=2x'-7x'-3Sx'+13x+3
6. p(x)=x'-3x'+4x'-6x+4
= p(x)
Ejercicios: Grupo 66
673
7. P(x)=35x'+Sx'+x'+5x'-2x
9. p(x)=9x'+15x'-143x'+41x+30
8. P(x)=2x'+3x'-10x'-12x+8
10. P(x)=4x'-16x'+17x'-19x'+13x-3
En los ejercicios siguientes se dan la ecuación y ~na de sus raíces. Hallar las demás raíces. 11. 3x'-19x'+45x'-49x'+18x1+10x-4=0
, x=l-i
12. 6x'+11x'-34x'-107x'-32x'+46x+20=0 13. 3x'-14x'+10x'+3x1+1Ox-4=O
, x=-2+i
, x=l-it3
14. Descomponer el polinomio P{x)=12x'+4x'+105x'+35x'-27x-9
en sus factores
lineales, sabiendo que una de las ratees de P(x)=O es 3i. 15. Dado el polinomio P(x)=8x'-14x'-79x+105,
probar por dos mét~
distin-
tos y sin resolver la ecuación P(x)=O, que todas sus raíces son simples (Sug. Tabular P(x) en xE[-3.4}; como primer método aplique el T.V.I; CQ mo segundo método aplique la regla de Descartes) 16. Dada la ecuación: 10x'-8x'-13x'-3x'-2x'+x'-x+15=O a) Aplicar la regla de los signos de Descartes y tabular el conjunto de posibles raíces racionales. b) Osando el T.V.I. garantizar
.. la existencia de raíces positivas en
<0.1> y <1.2>. Como afecta esto a la tabulación dada por a). e) Se sabe que al dividir
(en forma sintética) un polinomio entre x-r.
con r
del cociente, incluyendo el residuo, tie-
entonces no hay ratees negativas menores que r.
Aplicar este criterio dado con r=-l. Interpretar el resultado obtenido y explicar como afecta al conjunto de posibles raíces racionales. En los ejercicio
siguientes,
se pide determinar:
se dan las ecuaciones P(x)=O, para las cuales
a) El númerO de raíces positivas. negativas y complejas
b) Todas las posibles raíces racionales de la ecuación. rior positiva e inferior negativa.
el Las cotas supe-
d) El conjunto soluci6n de la ecuación.
17. 12x'+4x'+7x'+14x'-34x+12=O
22. x'+3x'-13x'-25x'+50x+24=O
18. l2x'-44x'+37x'+11x-l0=O
23. l2x'-28x'+2lx'-15xt+3x'+13x-6=O
19. 8x'-62x'+115x'-28x'+42x-135=O
24. 6x'+x'+2x'+41x'+22x-12=O
20. 6x'-19x'+20x'-12x'-x+2=O
25. 8x'-12xt-58x1+75x+5O=O
21. 24x'-74x'+133x'-145x'+81x'-21x+2=O
*
674
II!ID
Capitulo 10: Polinomios
RELACION ENTRE LAS RAICES y LOS COEFICIENTES
TEOREMA 10.13
Si fl' fJ> f.l' grado n:
..•.......•
Q
son las n raíces de la ecuación mónica de
f.
entonces las raices y los coeficientes están relacionados por las siguientes igualdades: SI = rl + ez + r, + Sl'" el, + flC, +
c ••
+ fA =-a, +rA-,r. al
« •••
" (Suma de las raíces) (Suma de los productos de las raíces tomados 2 a 2) (Suma de los productos de las raíces tomadas 3 a 3)
=
't
Demostración.
En efecto dado que:
x·+a, x··'+a, x··,+
+an- , x+a. = (x-r.) (x·e,) (x-r,
(x-r)
Identificando coeficientes de potencias iguales de x, se tiene: n
a, = ·S,
~
·a,
H
Lr. = ·a, ;"'1'
S, = a,
H
Lr ..r.= j<:j
S,
=
n
a, =
S, ~
a,
'J
.
n
a)
=
,S3
~
S3 = ·a3
r;.rj"r. = ·a3
j~k
H
n
(-1)·S. ~
". z
S. = (·I)·a.
H
Lr. ;=1
= (·I)·a n
I
Si e) coeficiente de x· es ao' entonces la ecuación se escribe; .TC+~Xfl.l+
Qo
Entonces: EJEMPLO Solución.
a2x;ol+
••...
ao
s = .!!2.
s = .!2
s , =.~U
o
+ ~x+
ao
2
00
'
I
tI/)
O
~= Uo
s
e
= (.I)·(~é) ao
Dado el polinomio P(x) = 24x3 + 46x' + 9x • 9, resolver la ecuación P(x) = O, sabiendo que una de las raíces es el doble de la otra. Sean las raíces: a , 2a . b
1.
Sección /0./ O:Relación Entre las Raíces y los Coeficientes
Entonces, según el teoreralü.Ls
a..
S 1 = - !!2 S, = ~: S.
=
46 a+ 2 a+ b = - 24
+
2a'+3ab = 2~
+
(-l)'~:
+
2a'b
, tenemos: (1)
a(2a+3b) = ~
(2)
2a1b
(3)
= - ;~
De (1) Y (2) obtenemos:
3a+ b = - 12 23
+
+
675
+
=~
56a'+46a+3=0
++
a1=-3/4
++
b1=1/3
o o
a1=-1/14 b,=-143/84
Se encontrará por tanteos que los valores de a1=-1/14 y b,=-143/84 no sati~ facen (3). EJEMPLO
:. C.S = {-3/4,-3/2,1/31 Expresar por extens ión el conjunto:
2.
A={xERlx'-(3k+4)x1+(k+1) están en progresión SOlución.
'=0, kERl, sabiendo que sus elementos
aritmética.
Sean los elementos de A: Por las relaciones
a) (a-3r)+(a-r)+(a+r)+(a+3r)
a-3r,
a-r , a+r , a+3r
entre las raíces y los coeficientes -+ 4a = _!!.... -+ a. 1 A = {-3r,-r,r,3rl
a=O
= - ~ -+
(1)
=~
b) (-3r)(-r)+(-3r)(r)+(-3r)(3r)+(-r)(r)+(-r)(3r)+(r)(3r) -+
=
-10r'
-(3k+4)
c) (-3r)(-r)(r)(3r)
-+
De (2) Y (3) obtenemos:
EJEMPLO
3. Resolver
a.
10r'=3k+4
= (-1)'~ a.
Por tanto, en (1):
tenemos:
9r'=(k+1),
-+
.
(k=2
(2)
A
r'
-+
r=±l) v (k=-22/19
A={-3,-l,l,31
o
(3)
3
A
r=±1/119)
A={-3/If9,-1/I19,l/IT9,3/(f91
3x'+kx1-7x+3=O
la ecuación
±(k+1)
y hallar el valor de k si
las raíces, en cierto orden, están en progresión geométrica. SOlución.
Sean las raíces en P.G:
% :a : ar
Por las relaciones entre raíces y coeficientes a k 1+r+r1 k a) r + a + .ar = -"3 • a(--r-) = - 3" b) (E.)(a)
r
+
(E)(ar)
+ (a)(ar) =
=
a'=-l
c) (~)(a)(ar)
r
r
-1 -
-
_.1.
3
1
+
a,(1+r+r
7
)
r-3
se tiene: (1)
(2)
a=-l.
Sustituyendo a=-l en (1) y (2), se obtiene k=-7 Luego, en (1): 3r1+10r+3=O ++ r=-3 o r=-1/3 -+ C.S
=
{1/3,-l,31
676 EJEMPLO
Capitulo 10: Polinomios 4.
Dada la ecuación x1+px+q cuyas raíces son a.b y c, hallar: a3+b3+c3•
Solución:
Según las relaciones entre coeficientes a+b+c=O
y raíces se tiene:
ab-ebc= ac ep
abc=-q
3
Si x¡=a , x,=b , x =c ~
Lx.
Como: a'+b'+c'
= a+b+c= O
i= 1 '
J
= (a+b+c)'-
2(ab+bc+ac)
3 Lx.'
~
= (O)' - 2(p) = -2p
i= 1 '
~
3 3 LxJ = -p Lx i= 1 ' i= l'
3 - Lq i= l
= -p (O)-3q = -3q
3
~ xJ=_pxJ_qxJ ~ ~ Nota
3 3 = -p LxJ - q LxJ i= l' i= l " i= 1 ' aJ+bJ+cJ = -p(-3q)-q(2p) = 5pq
LxJ
Para un polinomio mónico: P(x)= x4-ax3+px2_yx+1jI y d, se cumplen las siguientes relaciones:
cuyas raices son a, b, e
4
a+b+c+d=a
Lx.' =
ab+ac+ad+bc+bd+cd
p
= a' - 2p
i=1 ' 4
abc+abd+acd+bcd
= y
Lx.J
i=1 ' abcd = ljI
3r
= aJ
-
3a/3 +
= a4
-
4a'p + 4ay +2P' - 41j1
4
Lx' i=1 ' 4
LxJ
= a' - 5a3p + 5ap' - 5Py - 5aljl
i=1 '
EJEMPLO
Solución
5.
Hallar cuatro números cuya suma es 2, la suma de sus cuadrados es 3D, la suma de sus cubos es 44 y la suma de las cuartas potencias es 354.
Sean a, b, e y d los números buscados y que las raíces de la ecuación: x"-ax1+px2-yx+1jI = O
Según las relaciones entre coeficientes
=
a) a+b+c+d a ~ b) ab+ac+ad+bc+bd+cd
a=2
= f3
y raíces tenemos: e) abc+abd+acd+bcd d) abcd = ljI
(1)
=y
Si a' + b' + el + d' = al - 2p ~ 30 = (2)' - 2p ~ P = -13 a3+bJ+cJ+dJ=aJ_3ap+3y ~ 44=8+78+3y ~ y=-14 a4+ b' « c'+ d" = a'- 4a'p + 4ay+ 2p'- 41j1 ~ 354 = 16+208-112+338-41j1 ~ Luego, en (1): x"- 2xJ_ 13x'+ 14x + 24 = O
1jI=24
Sección 10.10: Relación entre las Raíces y los Coeficientes
Por el método de la división sintética: Por tanto. los números son: EJ~LO
6.
677
(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)=0
-3,-1,2 y 4 cuyas raíces son a,b y c; ha-
Dada la ecuación x'+2x'-2x+l=0 llar otra ecuación
entera que tenga como raíces: a"+1, b'+l y
c'+l. SOlución.
Por el teorema 10.13:
a+b+c = -2
(1)
ab+ac+be
-2
(2)
abe = -1 Sea la ecuación buscada:
=
y'-Ay'+B)rC
donde: A·= (a'+l)+(b'+l)+(c'+l)
O
= a +b"+c'+3 S
=(ab)'+(Qc)'+(be)'+2(a'+bs+c')+3
B = (a'+1)(b'+1)+(a'+1)(c'+1)+(b'+1)(c"+1)
e
= (a'+l)(b'+l)(c'+l)
(3)
= (abc) '+(ab) '+(bc)s+(ac) '+(a"'+b'+c')+l
Según las ecuaciones (1),(2) y (3) se tiene: a"+b"+c"=
(a+b+c)"-2(ab+be+ac)
x'+2x"-2x+1=0
~
Cano abc=-l
~
+
t(l) ,.,1
Pero:
~
tx" = -2tx"+2tx-3 = -2(8)+2(-2)-3 = -23 ab = -
Si x'+2x"-2x+1=0 a
tx" = (-2)"_2(-2) = 8
~
1 c
;,
-
' ~1
_.1
be = +~
ac = -
a
+ 1
=
O
1
(4)
b
t(1/x'l'r2t(1/x")-21:(lIx)-3
~
(5)
+ 1. + 1 = ab + bc + ac = -2 = 2 b c abc -1 I
1 + = Qi
I(L)
x"
b11 +
1
Ci
(1 a
+
1
b
+
(1 + 1. + a
Luego, en (5):
=
t(l/x')
1)1 _
b
2(0)-2(2)-3
1 _
c c
=
2(2- + -1. ab be
1
1"
1
B = (-?'+(-li)'+(-Ci)'+2(a'+b"+c')+3
+ ..1.) ac
2(c + a + b) abe
(2)1_2(-2) = O -1
-7
sustituyendo en A.B y e, se tiene:
Finalmente,
e
1)
A = -23+3 = -20
= -(-7)+2(-23)+3 = -36
= (-1) +(7)+(-23)+1 = -16
Por tanto, la ecuación buscada es: EJEMPLO
7.
y'+2Oy'-36y+16=0
Sean a,b.c y d cuatro números no nut os cuya SLrna es cero. Demostrar que: 6(a'+b'+c'+d')=5(a"+b"+c"+d1)(a'+b'+c'+d')
Demostración.
En efecto, sea 'la ecuación: x'-ax'+~'-yx+~ a,b,c y d. De las relaciones
tenemas:
a+b+c+d
ab+ac+ad+bc+bd+cd
=
a
= 8
+
a=0 (condición del problema) abe+abd+acd+bed
= O, con raées:
entre coeficientes y raíces ob= y
abcd = V
678
Capítulo·IO: Polinomios
1- + 1abcd
+
1.
1. = I(1.) =
+
X'.,.
¿
=
a"+b"+c'T(i2
«1-26
=
O
.•. x'-ax1+Bx-l .•. l:x'
0(-26)-6 (O) +4Y-1\I(2.) .•. EX'
X'-..x'+6X"-yX+$
=
O
.•. ¡;x,
=
O
.•.
=
6(-SSy)
8.
.•. l:x'
=
V
=
3Y
O(3Y)-6(-26)+l(0)-1jI
O(282-1jI)-8(3y)+y(-26)-V(O)
=
S(-2s)(3y)
2gZ-.
=
.•. 6tx'
-5Sl
5(l:X')(l:X')
= 5(a'+b'-I-c'T(i')(a '-I-b'+c'+d,)
:. 6(a'+o'+c'T(i') EJEMPLO
O
l:X' = l:X
.•. ¡;x,
.•. 6l:X'
+.i X
=
.•. l:x1=-26
x'-ax'+BX2-lx+1jI
x'-..x' ;·ex'-yx1+.p:
=
=
l:(x2)
Dada la ecuación
x'+p.x'+qx+r=O,
cuyos raíces son a,b y e, ha-
llar el valor de la expresión:
E=
1
+
(a-p)1(b-p) (c-p) Soluci6n.
E
=
(b-p)(c-p)
1
+
(b-p) 2(a-p) (c-p)
(c-p)'(a-p)(b-p)
+ (a-p)(c-p) + (a-p)(b-p) (a-p)Z(b-p)'(c-p)'
3pl+bc-p(b+c)+ac-p(a+c)+ab-p(a+b)
(1)
[abc-p(ab+be+ac)+p'(a+b+c)-p']2 a+b+e nbc
=
-p... +r
Luego, en
b+c=-(p+a)
.•. be
=
ab+ac+bc
=
q
r 1 + 1+ 1. - ab+oc-l-bc = _!L a o b c obe r 3p' -!:. + p(p+a) _!:. + p(p+b) -!:.. + p(P+c)
= __
.E
(1):
y raíces se tiene:
entr-e coeficientes
Por las relaciones
..;;;o'--
--:;o
...:c'--
_
[_r_p(q)+pl(_p)_p'¡l E =
3p2 -
r(1. -1- 1- +1) o_....;;.b __
-1-
p(3p+a+o+c)
c;...·
_
3p' - r(-q/r)
(-r-pq-2p' )'
+
p(3p-p)
(r+pq+2p' )' 5p'+q
E = --'---'-_
(r+pq+2p')' EJEMPLO
9.
Hallar
los valores
reales de p y q para los cuales las ecua-
ciones: x'+px'+18=0
y x'+qx+12=0
tienen dos raíces comunes y
hallar dichas raíces. Solución.
Sean: a.b y c las raíces de x'+p.x~+18¿0 a,b y d las raíces de x'+qx+12=0
Por las relaciones a+o+c
entre coeficientes
=
-p
A
a+bT(i
=
O
y raíces en ambas ecuaciones .•. c~
=
-p
se tiene: (1)
Sección 10.10: Relaciones entre las Raíces y los Coeficientes
ab+ac+bc=O ~ ab+ad+bd=q De
abc=18
A
679
=
.•. c
abd=12
(3/2)d
(2)
Y (2) obtenemos: d=-2p c=-3p Si a+b+d=O .•.a+b=-d .•. a+b=2p abc = 18 .•. ab = lB = .1§... .•. ab = -.§.. c -3p P (1)
Si ab+bc+ac=O
.•.ab+c(a+b)=O
Entonces: d=2, c=3. q=ab+a~+bd
.•. q :.
=
.•. -
f
En (3): a+b=-Z
=
6+d(a+b)
+ (-3p)(2p)=O.
ab=6
A
(3) (4)
de donde: p=-l
y'+2y+6=O y=-l ± ..•.a=-1 +i.15 • b=-1- i.15
.II=6
=2
6+2(-2)
a=-l+i.l5, b=-l-i.15 • e=S, d=Z
p=r-l , q=2,
EJ~PLO 10. Usando las relaciones la ecuación
entre coeficientes
z·-(8+i)z'+4(6+i)z-24+6i=0.
y raíces. resolver sabiendo que el afi-
jo de una de sus raíces se halla sobre la bisectriz del primer cuadrante. Solución.
z,=a+bi, z.=c+di. donde el af i jo de x,
Sean las raíces: zl~+xi. está sobre I~bisectriz
=
a) x + xi + a + bi + c + di
del primer cuadrante.
B+i
_
=
b) (x~i)(a+bi)+(x+xi)(c+di)+(a+bi)(c+di) c)
=
(x+xi)(a+bi)(c+di)
24-6i
Sumando (5)+(6): Zacx-Zbdx=lB ++
1
3+3i
=
1 1/ . +
R
=
P(~ +
z"+(-5+Zi)z+(3-5i)=0
= 24
{ax-bx+cx-dx+ac-bd ~+bx+CX+dx+ad+bc
-
x(ac-bd)=9
-
= 4
(4) (5) (6)
.•. 7x+ac-bd=24
• .•. ac-bd=24-7x
x(24-7x)=9 o
z,= ~ +~i
sintética, se tiene: -B-i
24+4i
-24+6i
3+3/
-21-9i
24-6i
3-5i
o
tj) i O
.•..•. z
5 Zi ± 1(5-Zi}'-4(3-5i) = ":::'--'="':'--'--':"::"';2:=-::"':":;'-:;":;":' = 4-i o z = l-i
e.s =
{3+3i,4-i.l-il
++
(3)
{acx-bcx-adx-bdx = 24 ad:.c-bdx+acx+bcx = -6
_
-5+2i
1 Zl
4
24+4i
x=3 o x=3/7 . Luego: zl=3+3i
Por el proceso de la división
Para
=
(2)
. En (3): x(a-b+c-d)+ac-bd=24
Restando (1)-(2): a-b+c-d=7
de donde: 7x'-24x+9=O
(1 )
{x+a+c = 8 x+b+d 1
Z
5-2i ± 3 Z
680
Capítulo 10: Polinomios
EJEMPLO
11.
Las raíces de x'+4x'-2x'+3x'-3xt-2=0 son ai' 1 ~ i ~ 6. Usando solamente relaciones entre coeficientes y raíces, hallar: S =
t [f:(~ ai ak
+ a~ )]
k=l
i=l
Solución. a, + a, + a. + a. + a. + a. = -4 + a.a, = -2 + a.a.a. = O + a.a.a.a, a,a,a.a.a.+ a,a,a~a.a,+ a,a,a,a.a,+ a,a,a.a.a.a. = 2 6 6 a' a~ ¿ [¿(~ +_1)] k=l i=l a a i
+
S
k
6
=
6 1 ¿ ra' L (a:) k=l~ k i=l 1
f ra'(a,o,a,a,a.+
k=lrk
+ 1
3
a
k
a,a,a,a,a.+ a,a,a,a.a,+ ... ) + a,a2a,a,a,a.
I (a,+a.+a,+a.+a.+a.)'-2(a¡a,+a,a.+a,a.+
~
=
+ L(-4)2_2(-2»)]
ak
:it
a' + 20t.
2k=1
• S
3
6 ] 1~=l(a})
1 +
=
=
1(20)
+ 20(~)
EJERCICIOS:
k
k=l
(L)
ak
60
Grupo 67
l.
Resolver la ecuación 2x'-x'-22x-24--0, estando dos de sus raices en la
2.
Resolver la ecuaci6n x'-Sx'+14x'+8x-1S--0 si las ra1ces, en cierto orden
razón 3:4. est~n en progresi6n aritmética. 3.
Resolver la ecuaci6n x'-9x'+kx-24=O orden, est~
4.
sabiendo que sus raices, en cierto
en progresión aritmética.
Probar que las raices del polinomio p{x)=x'-3kx2+{3k'-a')x-k{k'-r2)
es-
t~n en progresión aritmética •• 5.
Probar que las raices del polinomio P{x)=xl-abx1+a'bx-a"
6.
Resolver la ecuaci6n 54x'-39x -26x+16=O, l
b)
en P.G.
estando las rafces en P.G.
7. si a,b y c son las raices de la ecuaci6n x'-px'+qx-r=O, de:
est~
111 b'c1 + c'd' + a1b'
hallar el valor
681
Ejercicios: GnlpO 67
8.
si a,b y c son las raices de la ecuaci6n x'+qx+r=O, hallar el valor de: E = a'+b'+c'.
9.
si A=lxcRI6x'-11x"-3x+2=OI=la,b,cl,
hallar el valor de: S =
l + 1+ 1y a b c
E = a"+b'+c·. 10. si A={X&Rlx'+px+q=OI={a,b,cl,
hallar el valor de:
a) (b-c)'+{e-a)"+(a-b)l
a) (a+b)" (a+e)" (b+c)"
e) (a"-bc) (b'-ac) (c1-ab)
e) .2 + E + ~ + .s: + !? +..s. b a c a c b f) a'bl+alb'+a'cl+!'c'+b'cl+blc'
11. Demostrar que si el cuadrado de una de las raices de la ecuaci6n x'+ax1+bx+c=O
es igual a la suma de los cuadrados de las otras dos, en-
.tonces: a' (a"-2b)=2(a'-2ab+2c)'. 12. se sabe que el polinomio
P(x)=x'-56x+1S
tiene dos raíces cuyo producto
es la unidad. Hallar todas sus raices. 13. Resolver las ecuaciOAes x'+8x'+20x+16=O
y x'-2xl-5x+6=O
sabiendo que ~
bas tienen una solucioo común. 14. Dada la ecuacioo: 5x'-3Sx'-lSx'+185x'+90x·+7Ox+60=O. a) Hallar la cota superior positiva y la cota inferior negativa. b) Cu&l es el rMximo de rafces positivas
y negativas que puede tener la
ecuación. c) cuál es la suma y el producto de las raíces de la ecuaci6n. dl Cuál es la suma de las raíces tomadas de 5 en 5 factores. 15. Si A={xcRlax'-30x'+35x'-15x+2=O}={a,b,c,dl, . a) E = a+b+c+a+a(a-l)+b{b-l)+c(c-l)+d{d-1)
hallar el valor de: 1 1 1 1 + b + +d
+a
e
b) Resolver la ecuaci6n. 16. Dada la ecuaci6n x'+6x'-2x+4=O ecuacioo,
cuyas raíces son a,b,c. Sin resolver
hallar una ecuaci6n de raíces: b) a{b+c) , b(a+c) , c(a+b)
a) a"-1 , b"-l , c1-l
17. Hallar m, si existe, para que las raíces del polinomio: P(x)=9x'-9mx"+(m-l)"
formen una progresi6n aritmética.
18. Demostrar que si x'+3px+q=O tiene ~~a raiz doble, entonces: q"+4p'=O.
*
la
.. 682
Respuestas a ejercicios propuestos
RESPUESTAS
A EJERCICIOS PROPUESTOS
GRUPO 1. (c) ; 2. a) r 3. VVVV ; 4. VFV 10. Sólo e ; 11. 17. a) V, b) V ;
1, Pago 17
~ (q + p) , b) (q .•p)6(~) , ~) (p ~ q) (r" p) ; 5. (b) ; 6. Todos; 7. Ninguno; 8. FVVV ; 9. Sólo A y B Sólo A ; 12. FFF ; 13. F ; 14. V ; 15. VVFV ; 16. F 18. V(A)=V, V(B)=V o F, V(C)=V ; 19.VFF ; 20. Sólo A y e GRUPO
2. Pago 25
Contingente: 1,6,9 Y 12. Contradicción: 2 y 7. Tautología: 3,4,5,8,10,11. 13. Todas; 14. Sólo 2 y 3 ; 15. a) ; 16. Contradicción; 17. Sólo c y d ; 18. Contingencia: VVFVVVVV ; 19. a) A e! B , b) A B fe; 20. A .•K, B!C e .• K ; 21. a) M .•L, b) M f L ; 22. a) VVFVVVVF, b) FVVV, c) VVVVVVVF, d) VFFF. GRUPO
3. Pago 32
Son válidas: 1,2,3,6,8,9,10,11,12,13,14,16,17,18,19 y 20 Son falacias: 4,5,7 y 15 GRUPO
4. Pago 41
1. Psp .• q ; 2. "'(qAP)vr ; 3. a) p v q , b) q , e) pv...q, d) (px r) .•q e)...q, f) p x q , g) p"q ; 5. B;;C ; 6. Todas; 7. ...q; 8. Tautología 9. p"q; 12. p"q; 18. b) Y c).
13. p'~q; 14. pt.q; 15. t"p; 16. P;;PAq, Q=pt.q;
GRUPO
5. Pago 56
<;
1. a) "'p,b) P - q, e) PAq, d) "'(p.•q), e) "'p"q, f) p x q , g) p"r, h) P 2.
a)_p-[~J-'
-["':J-; c)-C~J-' d) .-c:=~J-
f ) --C"'~]-q-
e)_",p_, e)
b)
; 3. a) -[p"'.:.."J-'
-C~J-' d)_p-q_,
7. A....f~.3-B "'s
-c. :J-;
; 8. _p-q_,
Q ;;p x q .• p .•Q "
e) -p-...q-;
'"
b)_...q-
",p-
4. $2.4 y $6 ;
9. $30 ; 10. A_p_B
; 11. p" P ,
12. a) V , b) F ; 13. _r-c.:~
683
Respuestas a Ejercicios propuestos
14. VIS.
x=p
16. -[~]--r_ CRUPO
1. A-{-Z,-1,41, 2. AuI3n-SlneN,1 2 O-13n_1IneNI, °
; 17. _q_ 6. Pag.78
B-tSI, e-I-1i-Z,S,-8,111, 0=11,4,9,161 ; -s n ~ SI, B=14n-lllneNI, e-t~ln~N, l':¡¡n~SI 1 n%+Z E=t2(3n-S)lneN, 1 ~ n':¡¡51, F={---n-lneNI3~n~7J
3. A=tZnz-3n+llneNI, B-Inz-Zn+3IoeN} C-t3nZ-SlneNI, D-14n%+6lneN, 1~n~6} E={xlX=(_1)O(3o~Z), o&NJ, F-txlx-lOo-5, neZ, Hn~81; 4. t4nz+3InEN,1$n~} 5. A=+ , B-C~D-t.,I2f,6,-2/3,-1/5} ; 6. A=t-S,Z,1/5,1S,0:31, B={;:Z,l+iJ,D=+ E-B ; 7. Son verdaderas: B,O y E, falsos: A,e y F ; 8. Todas; 9. 5 10. a) [3x&NIP(x)] .•.[\lyeTlg(x)],b) "Algunos OÚDeros son impares y algunos triángulos no soo equiláteros" ; 11. FFFF ; 12. a) !laEZ,!I~zlan. A n x) v (x ~ y+l) 13. a} *>0, 3O.1~) (n>o.) .•.lal0, ~.I30.(o>n.)"lal~& b) *>0, 3y>0IVx, (a-yO, \Iy>OI3X, (a-y
GRUPO 1. Tres ; 1.
VVFVV ;
7. Pag.88
3. 38 0; 4. a) A=B, b) e+o
5. a}
VVFFF, b) FVFV,
e) FFFVF, d) VFVV ; 6. FVVf.
GRUPO
8. Pag.l08
1. a) 16,8,101, b) 11,4,9J, e) tJ,4,5,71, d) {4,91 ; 2. (51; 3. a) ttal,tl b) +, e) E ; 4. a) tU, b) to,I,41, e) +, d) H,41 0; 5. S ; 6. Todas; 7.B-C
8. 4 ; 9. e) ; 10. {81 ; 11. Todas ; 12. 4 ; 13. a) ; 14. 2 Y 3 ; 16. a y d 17. A={a,b,cl, B={a,c,dl ; 19. tl2,3+I2,2il ; 20. {-6,-3,01 ; 21. f-9,-I2, O.~.,3il ; 22. Sombrear las zonas: A-t1,2,3}, B-t2,3,4,5}, 0=11,2,3,4,51, E=t3,4} ; 23. Sombrear: 141=! ; 24. 5,6 Y 7 ; 25. e) ; 26. d) ; 27. e) 28. 29. U
Respuestas a ejercicios propuestos
684
30. a y b j 32. 16 j 33. s n e' j 34. 1 Y 3 j 35. a) e , b) Bu e j 36. A' j 37. , j 38. {{q.1,{31,{4>}}j 39. AnB j 40. e' j 41. s o c ; 42. AUBLJe 43.A 44. AU (BUD) j 59. Sombrear IU N={1,41 GRUPO
9. Pag.122
1. 34 ; 2. 52 ; 3. 29 ; 4. 65 ; 7. a) 45 , b) 60 , e) 75 , d) 45 ; 8. 12 9. 6 ; 10. 28 ; 11. 10 ; 12. a) 160 , b) 496 ; 13. a) 35% , b) 3% ; 14a.10S 14. b) 35 ; 15. a) 36, b) 17 ; 16. a) 240 , b) 120 ; 17. a) 60 , b) 32 GRUPO
7. b Y e
-.....
11. Pag.1S1
1. 19 ; 2. 1H ; 3. 5/h ; 4. 10 ; 5. Todas; 6. 7 ; 8. B={4,6,71 ; 10. 6 12. a y e ; 13. m=3, p=2, q=3 j 14. FVV ; 15. Todas; 16. a y e ; 17. Todas 18. b Y e ; 19. Sati.sfacepara x=3, v=, z=2 ; 21. Todas; 22. Sólo a ; 23. VVVF ; 24. b Y e ; 25. WFV _.
~__
GRUPO
h
6. 1
7. 37
12. Pag.1S9
1. a y e ; 2. a,e y d ; 3. 2 ; 4. R. Y R, ; 5. 16/9 ; 6. 2/3 ; 7. l-f(p)+ f(p)f(q) ; 8. b Y e ; 9. (x+h)' ; 10. Ninguna j 11. a y b ; 12. 7 ; 13 ..a,b ye ; 14. 25 ; 15. {1,4,lS,34I. GRUPO
<,
13. Pag .171
1. FFV ; 2. 9 ; 3. ~(3x+7) ; 4. 9>"6+1 ; 5. 8. 1 ; 9. 2 ; 10. 17 ; 11. O ; 12. 10/3 GRUPO
'--
10. Pag.132
1. a) {(-20,-S)I, b) {(2,-3)1, e) {(-1,2)1, d) {(3,2),(-2,-3)1 2. {(1,2),(3,2)} ; 3. n(P)=6 ; 4. a y b ; 5. a,e y d ; 6. !(3,1)1; 8. Todas ; 9. Todas GRUPO
-,
•....
14. Pag.179
1. VW ; 2. VFV~ ; 3. FVV ; 4. VVF ; 5. FFF ; 6. VFV ; 7. FVFV i 8. x=l 9. 24 ; 10. e' ; 11. VW ; 12. a y e 13. {0,1,2,3,41 ; 14. a,b y e; 15. 2 16. Todas; 17. -1 ; 18. 5 ; 19. 1/2 ; 20. e ; 21. Todas; 22. (a,b); 23. t 24. x=4 ; 25. a ; 26. x=l GRUPO
15. Pag.196
1. 2xy'-Sx' ; 2. 3x'-6xl_2 ; 3. Sxy+4y' ; 4. a-b 5. 2x'+x'-18x-9 j 6. 3x'-3x'-2x ; 21. a) x=l , b) x=S , e) x=2n/(a-b) , d) x=a+b , e) x=a+b , f) x=17a , g) x=a-b , h) x=m-n
'-
.,
685
Respuestas a Ejercicios Propuestos
GRUPO
16. Pag.201
1. ax2 ; 2. 3n-m ; 3. 1/10 ; 4. 64 ; 5. 2700 ; 6. 4 ; 7. 5 ; 8. 7/8 ; 9. 1 10. 6 ; 11. Xl' ; 12. x, ; 13. a) x'-y', b) x'-8x'+4, c) x6-84 ; 17. E=O 18. E=12 ; 19. E=O ; 23. a) x'-64a', b) x'-l ; 24. ~(m'+3n') ; 31. 8ab GRUPO
17. Pag.207
1. 511-2015 ; 2. 2. '&'12 3. 815-13 ; 4. 13 ; 5. 218-b 1216+1015 ; 8. l5(a+b)(a-b)' ; 9. 2 ; 10. 4+315 ; 11. 78 GRUPO
6. (~)ra ; 7.
18. Pag.209
1. 2+16 ; 2. i(l+1S) ; 3. ~(313-5) ; 4. S+./1; 5. 47 ; 6. ~(a+l'a'-x') ; 7. /.i"E') '6l(n. :t"ff15
; 8.
7a+b+8/a'-b' 38+5b ; 9. 4x.;,;>:1" x -1 ; 10. 311(3-2.;-) 15 ; 11. S4(-) 5+-110
12..1(2+-110--16); 13. ~(./2+13-w) 16. ~(1-'19+'13) ; 17. 4+2. '&'/9
; 14. i(4+313+-I5-21f5); 15. -(2+12+&~
; 18.rt(4&5)
; 19. ii5
; 20.
2-13
21. a) ~(1+IR) , b) '13-1 ; 22. 10+4/5 ; 23. -§(213+9) ; 24. 1 ; 25. E=2n 26. b"; 27. E=l ; 28. 289 ; 29. 12 " GRUPO
19. Pago 212
1. 2m.'/a'm'n' ; 2. x.·rxt ; 3. 1:('/x'y') ; 4. x ; 5. n-1rx; 6. rx; 7. a' x 8. an ; 9. '/:8 ; 10. F ; 11. V ; 12. V ; 13. -'/.a1¡b 14. iX+iY GRUPO 1. k=-2
20. Pago
220
2. m=2, m=-1O/9, A={7}, A={-7/3} ; 3. a)
b(3ac-b') b alc "b) ?(3ac-b')
4. 10/3 5. m=2 ; 6. -4 ; 7. m=5 ; 8. k=9/2 ; 9. {t'3-~'}; 10. k=±1C=q 3a'+1 be' a-b 2a 11. 12. 16 ; 13. a (3ac-b') ; 14. m = a+b ; 15. a'-b' ; 16. 5 ;
zrar ;
17. 22/5 ; 18. 2/3-3 ; 19. 3x'+8x-16 ; 20. a'c'x'+(2a'c'-b')x+a'c'=O ; 21. x'-2(p'-2q)x+p'(p'-4q)=o ; 22. x'-4mnx-(m'-o')=O ; 23. B=lxcR\n'x'-9(m-3)x+ n=O, nfO} ; 24. acx'+2b(2c+a)x+(2c+a)'=O ; 25. k=a(c-a), b=c(a-2c) ; 27. acx2+2b(a+c)x+(a+c)2=O ; 29. (a+b+c)x'+2(c-a)x+(a+b+c)=O ; 30. x'-2(a+b)x+ 2ab=0. GRUPO 1. {-2,2,-3,3}
21. Pag.223
2. 1l,-3,3±2,IJ}; 3. {0,-3,1,-4}
4. {-3,2}
7. {3/2,2}
., 686
Respuestas
5. {4,-7/2,!(1±r"b3)l
; 6. {-3/2,-1/61
; 8. ¡-2,-2,~(-4±.10)};
11. {-6,-2,1,31
~(-3±163)}
15. 1-4a,0,3a,7al
; 16. {±9~
; 19. {l/a,a'};
1.
VVV
;
2.
b)
;
3.
,± 4~}
; 14. {-9/2,3,
; 17. {4/9,1/4}
; 18.
20. {b1/40,9a"/b}
GRUPO 22.
11.
9. {9/13,4/13 I
; 12. 1-112,21 ; 13. 1-2a,a,4al
10. {2f13}
{-2,-2,-2±1fS1
a Ejercicios Propuestos
VVVF
;
4.
Pag.234 Todas;
y d)
a)
5.
10.
VFV;
R-r
Pag.244
1. x~2 ; 2. x<3 ; 3. 22 ; 8. 1(2-13)
; 9. {3/21 ; 10. R-14/31 ; 11. x<-6/5 o x>l ;
12. x<-3 ; 13. -7~x<4 ; 14. -63 ; 16. x<10 o x>2 ; 17. -l31 22. {xERlx>'5/61 ; 23. {xeRlx<:-ll ; 24. ¡xeRlx~lI k=9/13 ; 28. 1-7,-6,-5,3,4,S,6,7} 32. A B-{5,6,7}
+
se1S
25. k=-2 ; 26. sz6 ; 27.
; 29. t=144/32 ; 30. m-n=55¡ 31. -S/3
; 33. -4
Pag.253
1. [16,+<-> ; 2. <-7,4> ; 3. <-"',-5> U[S,+-> ; 4. Ninguna
5. S610 b); 6. 2
7. 2 ; 9. m=3/5, M=4/5 ; 10. M=3 ; 11. MP-5/3 ; 12. 16/3
13. m=2.1, MP9/4
14. M=30 ; 15. m=-6 ; 17. {xENlx>3} ; 18. a)."
e) <-10,8> , d)
b) [-1,7>,
<--,-10> U[S,+-> ; 19. <-~,-4> U<-5/3,4> U<6,+-> ; 20. M=<-1/2,9/2>, N-~<-",-10>U [-7,6>U<17,+->, <-9,-1)U<5,9>; +->;
p..<-"',1/4) U<5/4,+->,
T=<-1/2,9/2>
22. A=[-3,14>,"B=<-"',-1/4>U[5/3,+->,
23. <-00,-4) U[-2f3,1]
e) <-",-9> U[3,+->,
U[2,+->
; 24. a) (-9,-1/3]
d) , ; 25. A=(-4,-2/3> U<8/3,+->
<-~,-3)U<-2,O>U<1,+<->
¡ 28. 0=[1/2,3>
; 29. t=1/2;
; 21.
C=R, 1)=<-",3/4)0[14, U<1,6>, b) [3,+-> ; 26. <-15,15> ; 27. 31. (-1,3)li[6,+
••>-
{2,5/2}. GRUPO 25. 1. <-3,1> ; 2. [-3/2,1/2>
; 3. <-3,-1> U<2,5> ; 4. <-,-2)
5. <-3,-1> U<2,3> ; 6. <-,-3> (4,+<->U{-1} ; 9. <-,2]
Pag.264
U<-1,1/2>
; 10. <-1,0>u<2,4>
; 11. <-,-1/2>
12. <--,-3/2> UlJ <2,+-> ; 13. <-••,-4/3> +{-3}-¡2}
; 15. [-1,3)Ú<4,+->;
<..••,-3] U[-2,1)
O
U (4,+->
U
{1} ;
; 7. <-•••,-4>u<1,+ .•• > ; 8. [1,2]
16. [-2a,a>u
¡2} ; 19. (x-3)(x-2)(x+2)1>0
U
<1,2>u<3, ••• >
; 14. [-2,-1/2>U 17. [-3,l>U¡2}
; 24. <-,-2>
U<-2,0>
; 18
Respuestas a Ejercicios Propuestos
x~3x-4 20. x'+2x-3
687
°;
x'-2x-3 21. x'-2x-8
>-; O
>....
23. [-2,-1]
GRUPO 26. 1. {2} ; 2.
{0,±2} ; 3.
8. {-5/2,6}
; 9.
14.
13/2,12}
{1/2,5}
; 15.
; 21.
{-4,5}
{3/5} ; 10.
; 4.
UO} ; 16.
{-3,5}
; 17.
{{4}, U} ,A,~} ; 22. -13/3
[2,3>U <6,+",> ; 2. <3,4]
[-2,1]
; 7.
[1,2>
12. <-2,-1/2>
; 13. <-.,,-4]
[-5,-3]
U {S} ; 17.
<-.,,-3]
U [4,5]
[4,5>
; 24.
; 3.
; 8. <-,-3]
[2,3>
; 21.
; 18.
[-4,-1]
[-2,0] U [4,5]
[1,2>
l7} ; 18.
; 4. <-5,-4]
; 13.
{S} ; 19.
; 14.
{6}
{S} ; 20.
; 5. <-0,1] ; 11.
[-2,2>U [4,+.,> ; 15.
[-1,0> U [1,4]
[2,5/2]
U [3,5>
; 10. <-2,1> U [3,5]
; 19.
[-3,2]
"16.
; 20.
; 23. <-5,-2]
; 26. <-",,-2] U [-1/3,3/4]
B={0,1} ; 32. P(A)=1l1}'¡2},A,~};
; 6.
[-6,3]
[-6,3];
U [3,5]
U [1,2/2>
27. m=-2 ; 28. m=±3 ; 29. mE<3-2{10,2{10-4> ; 30. A={-2,-1,0,1},
{a/4} ; 7.{-4,0}
{-10/3,4}
Pag.274
U{2} ; 22. <-2/2,-2]
; 25.
; 6.
; 12.
; 23. 65
; 9. <2,4]
U[0,1/2>
{-10a/3}
{-10a/3}
GRUPO 27. 1.
Pag.266
{9} ; 5.
{4} ; H.
U [-113,1> U{2} U <4,+,,>
U<5,+",>
[-1,3>U [10,12]-{1}
; 31.
33. <-6,-4> U [-1,2> U[3,,,,>
34. mE<-5,1> ; 35. a) <-"'.1] U {3}, b) <1,+"'>-{3} ; 36. a)
b)
[-3,0] U<2,5],
[-4,-1>U <-1,0>0 <0,1> U[3,4>U <4,_> GRUPO 28.
Pag.284
3. VFV ; 4. VFVV; 6. VVFV; 14. a) 5, b) 4, e) -7, M=15/16 ; 17. M=13/11
{-5,-1/3}
; 2. ; 7.
H.
{-7,-3,1,5}
16.
{-1,7/3}
{-4,0,2}
{-1, 7/3}
; 17.
; 3.
U/5,3}
Pag.296 ; 4.
U,2,6,7}
; 8.
{-5/4,1/4}
{-1/2,2}
; 13.
{217,8} ; 14.
{-5/2,11/4}
; 18.
{3,7} ; 19.
; 12.
; 9.
; 5.
{-9,5}
{-5,1/3,H/3}
; 10.
{-4,1+13} 51/5;
; 6. {±12,±2}
; 15.
[- 5,3]
; 26. <1,5>-{3}
; 31. <-1/2,-1/4>
34. <-0,-8/3] 38. <-,2> <-1,2-Ib] U[-l,l]; 49. [4,7]
; 27. <-2/3,2>
U <2/5,1/2>
U [2,+"'> ; 35.
[-3,-1]
; 28.
~ 32.
[-10,-2]
[-1,-1/2]
U [1,3]
; 36.
{7/4,16}
20. R-{-2,0}
[5,+",> ; 22. <-0,3/4> U <1,+~> ; 23. <-",,1/2] U [3,+",> ; 24. <-0,-2] 25. [-1,3]
16.
18. M=3 ; 19. M=3 ; 20. M=21/11 ; 21. m=18 GRUPO 29.
1. {-4/5,6}
d) 2 ; 15. M=4/7
; 29. <-6,2>
U [1,+",> ; 33.
[/3-1,2]
; 21.
U [-1,1] ; 30.
[-5JIT]
; 37. <-",,4]-{-2}
U<9/2,+"'> ; 39. <-"',-2> U <3/2,+",> ; 40. <-"',7> U [16,+",> ; 41. U [4,5> 45.
[-/2,/2]-{O} ; 54.
; 42. <-2,-1/2]
[-4,-3>U<3,5]
; 50. <-",,7/2>
[-3,-2]
U [6,9]
U [3/2,2>
; 43. <--,5> U <9,+",>; 44. <-",,-3>
; 46. <3,26/5];
47. <--,1> U [3,+",>; 48.[-5,-1]
; 51. <0,2> ; 52. <-5,-13/5]
; 55. <-,-3]
U [~(l+m),3>1I
U [13/5,5>;
[~(3+m),+.,>
53.
688
Respuestas
56. [4,9] ; 57. a) A= [-4,+=>, b) A=[-5,-13/4], -l/lO : 60. <-~,-1> ; 61. <0,15-2> N=1598/3
a Ejercicios Propuestos
e) A=(1,3>
; 62. <-2/3,2] U [3,~>
; 58. 3 ; 59. m= ; 63. <-3,-2>; 64.
; 65. (1,12] ; 66. <-=,-1] U [3,+ ••• > ; 67. <0,2> ; 68. <-2,3>-{1,2}
69. n=6 ; 70. A={l,2;3}
; 72. <2,9] ; 73. <1,5/2> ; 74. <3,5> ; 75. E=-8 GRUPO
1. a} -4, b} 4 ; 2. A={-1,O,ll <-5/3,-2/3] U {8/3,ll/3>
30.
Pag.31l
; 4. [-1,-1/2>
; 5. <-9,-6] U [8,11> ; 6.
; 7. <-6,-1] ; 8. <1-15,-1}
10. i2,5/2} ; 11. <11/2,8]
U [3,1+15> ; 9. {6,13/2}
; 12. {l/2,11 ; 13. {-2,10/3,1l/3,4};
18. [0,1> ; 19. {3,13/4,7/2,15/4}
17.[-4,-3>
: 20. (3,+",,>;21. {-3,3}; 22. el; 23.VFVV
25. [-2,0> IJ (5/2,+=> ; 26. <- ee ,-5] U [9,+",> ; 27. <-••,5/3] U [5,~> [-3/4,2];
29. <--,-2>U<-1,3>;
30. <-3,-3/2> U <-1,1/2>
..
; 33. (-3,O>U
; 28.
; 31. [0,2] ; 32.
<1-215,-3]
U (3,1+215>
[1,4> ; 34. <-••,-3> U [4,+=>; 35.(-3,-2>
U[3,6>;
36. [O,l>U(U <2n-1,2n]l ; 37.VVVV; 38. <-••. ,-4> U [-3,-2> U <-1,7> 1n; 40. al <-~,-1) U <0,2> u [5,+00>, b) <-(D,-5>U <2,4> U [5,+.•• >
39. A=[3,4>
GRUPO l. O=R=R;
Pag.330
2. O=R=R ; 3. 0=<-1,5], R=<2,6)
0=[-5,3], R=[-3,l] R=(O,6]
31.
; 9. 0=[-3,5J, R=[-6,6J
O=R, R=<-=,5J R=<-~,O]
; 16. D=[-5/3,+=>,
R=[-3,lJ
; 19.0=[-3,1)
22. 0=<--,1] U [3,+"'>, R=[O,+-> R=(-l,l]
; 21.0=R,·R=[1,+",,>
; 23. O=R-{ll, R=R ; 24. 0=[-4,4J, R=[-4,4)
; 26. 0=(-2,2], R=(-3,l]
GRUPO ;
12.
; 15. 0=<--,3],
17. 0=<-",,2J, R=<- ••• ,5) ; 18.0=[-1,5)
; 20. O=R-{l}, R=R-{21
; 27. 0=<-"",-2J, R=[4,+
28. O=R, R=<-~,lJ U [5,+-> ; 29. O=R, R=[O,+->;
26. 32u1
; 11. O=R, R=[3,~>;
14. 0=<-=,2], R=[l,~>
R=(-l,+=>;
, R=(1,7]
; 5.
7. 0=[2,5), R=[O,6J;·S.0=(-4,4]
; 10. O=R, R=12,~>
; 13. 0=<-~,4], R=R;
25. 0=[-6,2],
; 4. 0=[-2,6), R=[-9/2,7/2]
; 6. O=(O,4J, R=[-3,-1]:
32.
30. 0=[-5,3), R=(O,3J
pag.336
27. {(1,2),(l,.3},(2,2l,{2,3)1
; 28. {(3,l),(3,2),{4,l)}
29. ({3,ll,{3,"2},(4,l)}. GRUPO
33.
pag.349
l. 0=[-5,5J, R=[-5,4>
; 0=(-5/3,1],
4. 0=[-5,5], R=(-3,5]
; 5. O=[-2,4J, R=[-8,8>
[-3,1], R=[l,33/4]
; 8. 0=[-1,1]( R=[-l,l] 1
11. a=5f2 ; 12. 12u 32(3-212)u1
;
R=(-3/2,5/2]
;
1
23. 4u
28. {9/2)(w-2)u1
1
; 3. 0=<0,4>, R=(-4,5>
; O=[O,4J, R=[-4,2]
; 9. 0=[-1,2>, R=R;
;
1
;
24. 16u
;
29. (9/2)(w¡-3-2)u1
;
; 7. 0=
10. 6wu1
25. 25w {w-l) ; 26. 16u' ; 27. 1 ; 30. 24u ; 31. 2{3w-2)
32. Su" ; 33. 1u' ; 34. 12u" ; 35. 2(W+2)u" ; 3Gb. 0=[0,+->, R=R ; 37. 12u'
., Respuestas a Ejercicios Propuestos
38. 14u'
39.
(9w/2)u'
689
40.
16u'
; 41.
2(8-w)u'
GRUPO 34. l.
D=R-{3},
<-"',0]
R=R-{l}
U <2,+"'>
R=< ...••,-8/3]
;
2.
O=R-{4},
R=R-{l}
O=R-{-1,l},
U <0,+"'>
8. O=R-{O}, R=<-2,O) 0=<...••,1>,
;
4.
pag.358
;
6.
D=R-{O},
; 9. 0=[-3,0]
R=R ; 12. O=R-{-2,5},
; 2. No '; 3. Si
16.
[0,4>
~2),
R=R;
R=<2,5]
-2)u[O,l>U
8. R=<-2,O]
[3,4>
U [2,5>
; 2.
U [1,2],
[-30,30]
R=[-l,5) U [-1,
23.0=[-2,
; 25.0=[/7,3>
U[2,4),
R=[-3,5];
; 29. 0=[-1,4]-{3},
R=[O,4];
,
28.0=<-4, 30.0=<-1,1>
[2·,+'"'>, b)
; 3.
4 b= 11+4 ; 11.
; 10.
b) Si,
R=<.•••,-l)
Pag.392 [1,3)
{O,l,3,4,5,._
x=$50,
a)
e)
23. a) O=R, R={O,2} U [3,+<»>, b) 0=[-3,+<»>,
R=R-{-7,-3}
; 28. O=R-{-5},
O=R-{-2,4I,
R=[-9/4,+<»>
R=[3,+<»> ; 38. 0=[-1,-1/3>,
O=R-{-3},
R=[3,+'"'>-{12}
; 31.
; 34. O=R, R=[O,l>
R=<-4,7]
x=10 ; 12.a)
e
=
; 13. U(x)=(105-x)x-(80+
!~,
b) S=(,,!4)&r
; 45.
U [1,3>
22.R=[O,5]
; 24. <2/9,1)
R=[-5,+<»>-{20} ; 29. O=R-{-3,2I,
; 17.
19. k€<-4,2,15-6>
[1,+<»>; 21. 0=[-1,1]; R=<-2,2>
; 15. 0=
; 25. 0=
; 27. O=R-{-5,-1}, R=<-5,+<»> ; 30.
O=R, R=t1,+<»> ; 32. O=R, R=[O,+<»> ; 33. O=R,
; 35. 0--<-,0> R=[O,l]
; 48.
U [-1/2,0>
x€<...••,-2> U <-1,+<»>-{2}; d)
5.a€<-4,2(1S-3»
3x 10 (zo-x) , b)
e) Umax=$2,l00
[3/2,+<»>,
<-<»,-1] U [4,+<»>, R=[O,+<»> ; 26.
{2,3};
~ min(f)=O
U <1,+<»>U {O} ; 16. <-"',-3>
E-18,5],
47. 0=<5,+<»>, R=<--,O]
; 4.
•• l : 8. f(x)=(2x+l)" A(x)=
; 14. a) p = 1I~'
Rf=<"" ,O] U [8,+<»>, Rg=<6,+<»> ; 18.
0=[-3,4>-¡-1I,
8.
R=[O,+<»>; 13.
R=<-l,7];
R=[-l,2]
; 27. 0=<-1,0)
[-3,4]-{5/2}
Max.Utilidad=$441
[2,4>U<4,+<»>,
R=[O,l>
R=R ; 11.
<2,+ ••• >
; 22. 0=[-2,2>,
; 24. 0=[-2,-1) R=[-l,3>
U [25/2,+<»> ; 7.
U(x)=(12o-x)(x-20),
20. a)
R=
, R=<-2,6)-I1}
1~ 1 k= - '8(2" 5+1)
63x)+80,
D=R,
[1+13,3> ; 20. 0=[../6-2,-3)
; 19.
R=[IS,3]
R=[-l,2>U<2,7
6. !ll€<...••,-19/2) 9.
D=R-{O,3}
pag.365
GRUPO 36. 1. <-,-2>
; 7.
R=
5.
O=R, R=[3,+<»> ; 12. 0=<-<»,1],
; 18.
; 26.0=[1,4>,
U<3,5)-{O,4}
; 11
; 21.0=[-2,2],
-1/2>U<3/2,3], R=[-2,O>
R=
;
[6,+<»> ; 14. 0=<-<»,0] U [4,+<»>, R=R ; 15. 0=[-4,2],
; 17. <-5,20]
R=[O,5]
O=R-{-3,3},
; 4. No ; 5. a ; 6. 8 ; 7. f(x)=3x'-4x-4;
9. e ; 10. O=R, R=[-l,+<»> O=R, R=<-,6]1J
3.
U <1,+"'>
U [2,+<»> , R=R ; 10. 0=<...••,0],
GRUPO 35. 1. Si
;
R=<-"',O]
0=[-2,4), 0=<-5,7],
U [1,+<»>, R=[-1,O> U [1,2>;
37. O=R
; 39. O=Z, R=¡OI ; 40. O=R, R=R ; 44. R=[-3,4] R=<-2,6]
; 46.
0=[-4,5>,
; 49. 0=[-3,8>,
R=[O,9] R=[-2,7]
Respuestas a Ejercicios Propuestos
690
; 51. R=<-4,O] u <1,3] U (5,12>
50. D=<-2,5],
R=(2,7>
53.0=(-7,5],
R=<-1,4> U {51; X,
55. f Ix )
e)
{-X/2 56.
f(x)
=
r
5 ~ x ~ 8
, b) No es par impar
, g)
b)
ni
e) par
impar,
impar
, h) par
; 58.
a)
6.
(f+g)(x)
1/2,
O,
b)
3/2
e)
(f+g)(x)
xc[O,2]
x'-x+l,
xc<2,3>
xl - -
=
;
X'+3X+4, =
{ S-x
{ x-l 10. Dom(f-g)=<-l,O] Ran(f+g)=(10,26]
, d) impar, f es par
e) impar,
; 60.
(f)(x) 9
(!)(x) 9
3.
{-l,O,l,21
a) T=2w/a,
;
4.
b) T=w
;
9. (f+g)(x)
=
{
xe[2,6> ; 12.
5x-2,
xc
= {X'-4X+5
(f+g)(x)
=
2x
b)
[0,6]
6x-12
xe[O,3>-{l1
X~10 , xE<3,6]
h.(x)
={
, x=-2,
(x+5)'-l,
x=-l
21.
(f+g)(x)
2x-4
, xc<6,8> ' xc<2,6] ' xc<6,8>
xe{-2,21
6 , xE<3,6> xc [6,9>
xE<-3,-1>-{-21
2', {
xE<1,3] xE<-"',-3>
=
1
x=-2 , x=-l
(x-2)', Ran(f+g)
22.
(!)(x) 9
xE
= [0,4>
4 , xE[-3,3]-{-2,21
7
, xc<2,6]
_3_
-X-l, xE<-3,-1>-{-21
{
3
[0,1> U [4,6]
, xE<6,8]
x -x+6,
(f+g)(x)
, e)
20. h, (x) ={iX+15
2X-1, (f+g)(x)
14.
, xe[-3,-1]
, xE[3,4>
[2,3>
19-x'
x'-2x 1-x x'-2x
xc[l,3]
, xe[-:-3,O]
2x+4 , xc<2,5]
; 13. Ran(f+g)=[O,+",> 0=[-2,0]0
{(O,4)1 xc<-2,l>
¡g:;z-x+3,
xc[-2,2>
= 2x-x'+3
5.
(f+g)(x) 3X-l
, r
{21
__{.íg:j('+X+l, 7.
; 11. xc[3,+<->
-xr
18.
f) No es
Pag.406
, xc[3,5]
Ix-21 --, Ix-ll
17.
xE<8,+<->
<-"',8> U <12,40/3>
x'+l
16.
xc [0.8]
T=w/2 , d) T=6w , e) T=8
1.
15.
, R=(O,4]
, xc<-<»,O>
TI,
[~/2
- "4(x-12),
GRUPO 37.
8.
a)
, 4.5 ~ x < 5
8-x
par ni
x < 2.5
, 2.5 ~ x < 4.5
{ x-2
57. a) par
-s
O
2.5
; 52. D=<-2,4
b) R=[O,3]U <15/4,6]
"54. a) R=<-4/3,10/3>,
=
X'-4
, xt[-6,-2>
2-x { 2
xc[2,+",>
X+2
xc<-2,O]
Ran(f+g)=[-l,+co>
[~J
Respuestas a Ejercicios Propuestos
691
,1X-2-1, xe:[2,4> 19. (f-g)(x) =
lx'+ll+l, xe:[-2,2>
x'-14x+4S, xe:[6,8> {
24. (f+g)(x) =
x'-16x+S8, xe:[8,lO>
Ran(f-g)=[-6,-2> U [-1,12-l>
; 2. ~(S±I5)
38.
<-m,-2]
U
' xe:<2,4>
Pag.418
; 3. R-{-2/3,2/3}
7. 555 ; 8. <_m,_(2] U [(2,+m> ; 9. a=53
; 4. [3,4] ; 5. 6 ; 6. 1332
10. h(x)=x'-3 ; 11. -17/3 ; 12.
X+5, x~4 = { -x-3, x<-4
14/17 ; 13. 2x ; 14. 9() x
, x=2
Ran(f+g)=
GRUPO l. R-{-2,-l,O}
~ { x+L
15. f(x)=2x-l/3
, f(x)=1-2x ; 17.
<-12,1>U [2,+<-» ; 18. [-3,-3/2] ; 19. <-,-13] u <-1,1> Z
20. (fog) (x) = {2X -4X+3, xe:<-19,-2> ; 21. 8x'+1 , xe:<6,10> X'-l , x
23. (fog)(x) = {
VVV
;
27. (fog)(x) =
{/S-X 1
•
XZ+6X+7 4xz-4x-l
25. (fog)(x) = {
, xe:<1,/S> , xe:<4,7>
1
p;-
x'-4'
x'-3x , xe:[O,l] z { -x +l0x-22, xe: x'-7x+l0 , xe:[2,+m>
[4,+<-»
22. (fog)(X)={6X+2, x<-3/2 2-9x, x>l
3-x , x~O -XZ+6X_6, xe:<_m,O]
24. (fog)(x) =
U
xe:[YI,2,13]
28. (fog)(x)
, xe:[-5,-3] , xe:[-2,l>
16xz+8x-l, x=l
x+~ , xe:<-4,-3> _ ~ , xe:<-2,-1] 26. (fog) (x) (3x+6)., xe:<-3,-2] " x { S-x , xe:["4,S>
29. (sof)(x) -4
, x=-l
-(x+4), xe:<-l,O] 30. (fof)(x)
-4
, x=l
-x
, xe:
-2
, x=3
11X+2 -2 , xe:[4,9] GRUPO
39.
Pag.442 1
l. n=6 ; 2. a=11/27, n=1/12 ; 3. -6 ; 4. n=55/3 ; 5. n=-1/2 ; 6. 9a(1-lSa) 7. n=4 ; 8. <-4,-1> \.J <0,2> ; 9. a=2, b=11 ; 10. 3-x', xdO,I2] U {13} ; 14.
VFFV
;
FFV
;
11.
FFV
;
12.
in ;
13
15. <-l,l>-IO} ; 19. a) Ran(l)=
<-17/2,-17/4] U {O} u [29/4,10> U {22} ; 20. f es inyeetiva, 9 no es inyeetiva _ _ {4X+ll, xe:[-3,-1> 21. a=2, b=3, (fog)(x)- 7 , xe:[-l,3] ; 22. 7 ; 23. a) Df=Rf=R-{2}, b) f=f*, e) Si, porque para todo punto P(a,b)e:f existe otro punto Q(b,a)e:f*
"
., Respuestas a Ejercicios Propuestos
692
que son simétricos d) Si,
x=2±/S,
quiHítera. 25. h*(x)
27a.
=
f*(x)
respecto
corresponde
¡~-
1,
'5'
a la recta a los
26.
1-1l=X
, XE:[-3,1>
1+/4x-x',
__{-2+~
, xe:<9/2,6]
__{-6-/x'-8X+25, rx+3-3
34.
f*(x)
, xe:<3,9]
-
, xe:[0,2]
-l-rxn ,
2 32. f*(x)
=
35. f*(x)
36.
6 { x'-l
f*(x)
= {
l2=X
=
(fog*) (x)
'-1,
(f*og)(x)
XE:<-~,-3> XE:[O,+~> ' xe:<-2,3-
{
, xe:<2,+=> g*(x)
x'+l
1. f(M)=1-3,-1,3,51,
__{(X+l)'+2 -1X+l
x'+2x,
XE:[-l,O> xe:[O,l> xE:[-3,-1>
1 1+/I+x
{10-1X=2 , xE:[7,+~> 1 r-. ~ -4(x'+3)'+4, xe:[r3,r5]
f*(S)=10,2,41
, xE<-~,-l> , xE<2,+~>
Pag.452
; 4. a) -5,
e) <-=,1] U <5/3,2> U[3,+m>,
e) <-~,0>u<0,1/3>U
, xdl,4>
B=[-3,7]
, xe:<-=,-l> GRUPO 40.
b) [-1,O]u[2,3],
, x e] -2,0>
46. A=[-2,0> U [1,4] x€<3,+co>
I
-1-1X-2 =
, xe:[O,2]
17/2>
Ix-3-/x+2 47. g(x)
x < 5
li772
21X+2 {
-
,
2-2x
f*(x)=1+
43. h(x)
x'+l,
~
41.
, x ~ 5
, xe:<3,9]
-x',
x+l g*(x)=2(x_l)
x > 8
/2x-2
{ x',
, x [-2,-3/2]
+x+2
4(X'-6X+l) -2x2+12x-1 45.
f*(x)
, x < 4
x'-2
IX
' xe:<1,2]
__{i(X+1) •
(
xe:<-=,l>
40. ~f* (f no es univa1ente),
42
=
-«(X'-2X+5+X+2) , xe:[-4,1-213]
(g+f*)(x)
X E:<1, 3]
'rx=4
, XE:<-~,-5>
-/9 '
XE:<-9,O]
__{-1+rx=I
xe:<-2,1 37.
4+/x+9, ~(7-X'.),
2-14=X 1 ~ { 2(x-rx--8x),
=
f*(x)
38. 39.
, xE[O,+~> , XE:<16,4O]
=
XE:<-~,O]
_{-/2X-2
= { x-3 x+l
x'+5
f
, xe:<6,+~>
, xE[-9,O>
4-rx+9
xe:[2,4]
29. f*(x)
31. f*(x)
e-
f*(x)
2+12X=8 , xe:[4,9/2]
x'-2
_ Q(7,3)
=_x_
f*(x)
33.
28. f*(x)
30. f*(x)
P(3,7)
l+lxl , XE:[2,+~>
__{2-,I2X-8
para
de ambas ramas de la hipérbola
xe:<-~,2>
l-1X=1
{
y=x , Verificar
vértices
; 8 • .g«2/9,1/3])
b) f(M)=(O,7/12>;
7.a)
<1,2>
d ) <-=,0>lJ<0,1/2>U<1,+~>, ; 9.
<-1,2>
; 11.b)
[-8/3'3]
2
•
693
Respuestas a Ejercicios Propuestos
d)
<--,-~{s+3rs)] U [-8/3,+-> ; 12. <-,-3]
U
[7/2,-+<->.
GRU~O 41. Pago
458
3.a) b=3, b) b=10, e) b=i/2, d) b=8 ; 4.a) D=R, R=, el D=R, R=, d) O=R, R=<~,l>,
b) O=R, R=
e) OfR, R=<-l,O], f) D=R, R=[3,+c>, g)
D=R, R=[6,+~>, h) D=xE[n,n+1>, neZ, i) ~[n,n+l>,
nEZ ; 5.a) x=25, b) x=~
el x=2s ; 6. E=7/2 ; 7. E=-10/27 : 8. E=16/1s GRUPO 42. Pago Z
1. T.og 27(x-bl a aX(y_e)a
:
2. L;g2(~) 81.2a
466
3. Log (20e '); 4. x=Log2 : 5. x=LogS e 3
6. x=l : 7. x=Log3 ; 8. x=167/240
9. x=20 ; 10. x=48 ; 11. x=8: 13. x=3/2
12. x=2 ~ l7a-l : 15. 4k/s ; 16. 3(1-a-b) : 17. b=a" ; 18. 24'2 : 19. c=1r/4 a
2
20. 2(~1) 26. x~
; 21. 11/3 : 22. x=48 : 23. ~ : 29.
s/IO :
; 24. x=8 : 2s.E=-77/4: 28. E=2
30. 3/2 ; 31. LogC-b(a)+Loge+b{a). (Sug. Partir del
Teorema de Pitágoras) GRUPO 43. Pago f*{x)=1+2x'-1
9. Dom{f)=<1,3>, xe<-2,2>, 13. VFF
5=<1,2.15>, S={
a,.,
10.a)
d) xe<-1,1>U<2,+->, ; 14. b)
VFF
i s .«)
F,
17.
471 xe<2,3>,
e) xe[l,4]
F
2 (gof)(x)
=
el V
{
1.
t-i .z:
2. {21 : 3. {l,l.
9.
t-i .n -1,1
{3 } : 11.
10.
I 1, 1
4.
nI :
12. {I-2 1
{;=~~~}
15. {-1+5~og2} : 16. {Log~~a}
l(l-2Log2) 2(2Log2-1)} 1-Log2 ' l-Log2
19. {
b) x = 4~~=~
12-X-2
2x"-2
{ 20.
; 12.
e) FVVF
, xE<-17/4,~2> , xf:
Ln{/x'+l), GRUPO 44. Pago
xe[4,6],
b)
; 11. FVV
xe
476
5. {2,31 ; 6.
{J)
:
7. 13}: 8.1-3}
: 13. {Logl-Log3} 2, Log3
: 14.
; 17. {~Log21 ; 18. {Ln3,Ln4}
Log3 } . _~ _ i. Log(2/3) • 21.a) x - h-k ' Y - h-k
' Y = 4(h~k) ; 22. !(3,5)} ; 23. {(1/4,1/2)1; 24.{(9/4,27/4)}
25. 1{1/3,9)} : 26. {{7,121)} ; 27. {(7,S)1 ; 28. x=~(1i+8n-1), 11+80) ; 29. {(2,0)} ; 30. x= j(~rs), {(-1/2,1/2,1/2)1.
y= j(1S
+ 12),
y=2n+ ~(1-
u--=5/3, v=7/5 ; 31-
., www.mundoindustrial.net 694
Respuestas
a Ejercicios propuestos
GRUPO 45. Pag.4Sl 1.
{-l,3}
{a,a&J: 14. 20.
; 2. 9.
{1}
15.
{51
30.
flOI
21.
+arcTglO
; 16.
fI/r'a}
; 27.
{a
: 41.
6. 12.
{l/a, lO/a}
aO ,a}:
: 34. {(1/10,2),(lOO,-1)1
(e -1 ,e'), (el ,e-'),
{(S',3'),(3',S')1
; 17.
a-o
{1,2}
fI/3,Sl};
2S.
: lS.
'IS} ;
: 29.
{2} 2S.x=k1r
{29/S,-21/SI
: 33.
: 36.
{(3,4),
{(9,S)}
: 37.
{(S,4) I ; 40.
{(e" ,e)} : 39.
{(2a,b/3),(1/2a,3/b)}
{S} : S •.
{±4,±S};
{(50S,49SH
{(6,3)}
7.
13.{2,l/·I4}
{lO} : 19.
{'IJ,l/'13) 32.
; 35.
(e-' ,e) I : 3S.
{S,
HO,10'};
; 23. x=1f/6 : 24.
ruco.ror.t i/roo.r/ion :
; 31.
(-712/2,12/2)}
f-4/3,2}
; 5.
3+141 : 22. X=Log (-2-) 2
: 26. x=29/S
{(1,-2)}
{(e,e-I),
nsi ; 4. {3} 5+1l45 {--¡o--} ; 11.
{51 ; 3.
{Log4} ; 10.
; 42.{(lO·,10'j)
; 43.
x=i(
11±141) •
GRUPO 46. Pag.4S6 1. xc:<-3,-1> U [3,+m> : 2. xE<-1,+m>-{-1/2};
<-••,-3]
3.x&<-3,O> u <1/2,3>
5. XE<-1,2] u ; 6. xe c ..••,-2] U [-1/2,+m>
U [3,5]
: 9. ; 10.
[-5/2,-2/5)
; 7.
; 4.x&<1,2>·
[3,+m> ; S.
U [2,+m> ; 11.< .•••,-6] U <1/2,2>
U [3,+m>
GRUPO 47. Pag.49S 1. xc:<2,+m> ; 2. xe<2/11,1/2> 5. xE<0,3/2> U. <3/2,3> xE[-l,O>U<3,lS>
; 3. x&<1/2,7/3>
; 4.
; 9. XE<-1,-1/2> U <3/2,2>
; 10.
XE:<3,+o> ; 13. XE<6,2S/4> : 14. xc[O,l> LJ <3,4] 16. XE<-1+/6,2> U <2,5J xE
u
<11/4,+m>
xE<1,3> ; 11.
3-a. 2
+
XE:~
; 15. xe<-212,-,Ii»
; 17. xc u [2,+m> ; lS.
<1,+0> ; 20. Si 1
XE<-,-S/4>u
ti ; 7. xE<7/2,5> U ; S.
: 6. xE<-,-l>
51.
xt
a>2 •
x
;
U
3-a < 2-a
12.
u <16,2.12>
o
; 19.
x>2;
2l.
!(
xe< -1(1+11+1611) ,-I2ir> U
-1+11+16.»
GRUPO 48. Pag.506 26.
(2) Y (3)
32. 3/4
27: FVV
28. 16 ; 29. Todas : 30.
; 33. 8n"+4 ; 34. f(40)
;
35.
f(n)+2n+3
(1),(3)
Y (4)
31.
3
: 36. 31c+d
GRUPO 50. pag.S21 1~ '~-S
n ; 2. 10(10 -l)
; 3.
i~ ;
!l3(4n"+1lo+11) ; 7. 2[1+(n-1)2n] 10.
(l-Cos
lo. 2x)Cotg
4. ~(2n"+9n+13)
; 5. ~(n+l)(2n+1)
; 6.
nloX ; 9 • .!!2 + Cos(n;l)xSen(nx) 2Se nx enx
: 8. Se
36 2x ; 11. Lnl(n+4)(n+3)'
J
; 12. x[(n+1)!-1]
; 14. S
www.mundoindustrial.net Respuestas a Ejercicios Propuestos
695
15. 550 ; 16. n=7 ; 17. 2-"(211-1)
; 18. 12 ; 19. 19 ; 20. 874
22. -4 ; 24. n=6 ; 25. 37/28 ; 26. 190 ; 27. a=1/2, b=-1/2, c=O
21. 10 28. n=80
n
29. '6(n+l)(n+2) GRUPO 51. pag.534 7. n=7
8. ~n+1_2
9. n=4
10. (2~:i) ; 11. (n~l) ; 12. n=22 ; 13. 18
14. 25
15. (n~3)
16. 53
17. 56 ; 18. 120 ; 19. 36 ; 20. 48 ; 21. 56
22. 56
23. n=4 ; 24. 392 ; 25. 1,296 ; 26. 18 ; 27. 7 ; 28. 259; 29.-4480
30. -14/3 ; 31. T •• ; 32. T. ; 33. 495><2'><3';34.-816x-u y -816x-J1; 36. _1/20+1 ; 37. 2n+2-n_3 38. n=6 ; 39. 8 40. -165/4 ; 41. 5/9; 43.Las dos son falsas, en b) n=Lü ({3/2,l/2)
44. 4020 Y -540
45. 5pq'+3Op2q~r+lOp'r1 ; 46.
}.
GRUPO 52. Pag.543 l. 3,9,19,33,51 ; 2. 1,-3,5,-7,9 ; 3. 1,4,19,364,132499 13/16,-19/64 ; 5. 3,1,-2,:3,-1 ; 6. ~=4n
; 7. ~"'3n'-5
4. 100,23,21/4, ( l)n+l 8. ~= -n+l ; 9.
n+L
n+l n (1/3) ; 12. -86 ; 13. (2n-l) (20) ; 11. an=(-I) 12,9,6,3,0,-3 o -9,-6,-3,0,3,6 ; 14. k=1/2 ; 15. 4,9,14 o 14,9,4 ; 16. 2,4,
~=4n-2
; 10. ~"'(-l)
6,8 ; 17. 579 ; 18. 84 ; 19. n"'11 ; 20.a) 13, b) 19n-l1 ; 21. 9,3,1 o -9,3,
-1
22. 2,6,18
23. 9 ; 24. 1,5,9 o 10,5,0 ; 25. r=-2, n=11 ; 26. 5,10,20
40
27. 5 días
30. an= ~n-2)(n-l)+(n-l}a.-(n-2)al
1
GRUPO 53. Pag.547 1. Creciente ; 2. No mon6tona ; 3. Creciente ; 4. No mon6tona ; 5.Decrecien te ; 6. Creciente;
7. Decreciente;
8. Creciente;
9. Decreciente ; 10.Cr~
ciente. 11. Creciente, acotada inferiormente por 1/2, pero no acotada supo 12. Creciente, acotada inferiormente por 415/5 y superiormente por 2 13. Decreciente,
O
2/5
14. No es mon6tona, no acotada ni suprior ni inferiormente. 15. Creciente, acotada interiormente por
O
16. Decreciente,
1
17. Creciente,
y superiormente por Log2 4
1/2 ••
1
18. Decreciente,
O
••
1/2
19.
O
•
(1/3)L093
20. No mon6tona
1/3 •
21. No mon6tona
-1 "
•• 4/9 1
www.mundoindustrial.net Respuestas a Ejercicios Propuestos
696
GRUPO
54.
Pag.SS6
l. k={3+E}/E ; 2. {12-3E}/2E ; 3. l/E' ; 4. {S-3E}/4E ; 5. {7-6E}/4E ; 6. l/I3E ; 7. Converge a 2 ; 8. Converge a 3/2 ; 9. Converge a 3/2 ; 10.Conver ge a 3/2 ; 11. Divergente ; 12 Divergente ; 13. Converge a -5/2 ; 14.ConveE g~ a 4 ; 15. Converge a 12/2 ; 16. Converge a Log2 ; 17. 832 ; 18. 10/3; 19-. 3 ; 20.a} -3, b} O ; 22. 3 ; 23. 17/4 ; 24. 3/2 ; 2S.b} 1/3 ; 30. {a'-l)/a 32. 9 ; 33. p'/2 ; 34. S,=n/2n+l, S,={2n+1_1)/n+l, L=1/2 ; 35. 100/441; 36. -1 ; 37. 1/2 (Ver Ejerc.12, pag.S33) ; 38. 1/2 ; 39.a) Sn=-2n/3{2n+3), c}-~ GRUPO
55.
Pag.S63
l. 1/4 ; 2. 1/3 ; 3. 1/2 ; 4. 5/6 ; 5. 15/2 ; 6. -3/2 ; 7. 2150/99 ; 8. 1/2 9. 1/4 ; 10. 24 ; 11. 5/2 ; 12. 7/2 ; 13. 8/33 ; 14. 112/999 ; 15. 687/1100 16. 47/33 ; 17. 18607/49950
; 18. 7/22 GRUPO
56.
Pag.S80
l.a) x=3, y=2, b) x=-2/3, y=1/3, e) x=-4/11, y=S/ll, d) x=2/S, y=-l/S, e) x=-13/7, y=S/7, f) x=l, y=-2, g) x=2, y=-3 ; 2.a) z={l,-12), b) z={O,l), e) z={l,l), d) z={-l,O), e) z={-1/2,3/2) 5. z.=(2,-2), z.'={1/4,l/4)
; 3.a) 2, b) 8{1-i), e) -1, d) -i ;
; 6. 2[{/3-1)+i{~+1)1
(-2/17,-9/17) ; 9. 1 ; 10. z={17/100,-6/100)
; 7. Im{z)=-3.; 8. z.'=
; 11. (1/16,1/16) ; 12.a) z=
672{-1+i), b) z=i/6, e) z=-{3+i)/2 ; 13. x'+y'=l ; 14. 2+{1+~)i, lS.a) (-1,6), b) (-4,8) ; 16.a) z=l+i, w=i, b) z=~{37,73), z=2+3i, w=l-i, d) z=2+i,'w=1-2i, e) z= ±il2, w= ~(-l±i~),
l+{l-~)i
W=1~{8,-lS), e) t=-l±i, f) z,=l
z,=i, z.=2i, g) z,=3+2i, z,=4-i, h) z,=l-i, z,=-l-i, z.=3, i) z,=2-i, z,=-2 +i, z.=-l+i, j) z,=i, z,=2i, z.=2-3i ; 17. 1 ; 19. S=l, S=i ; 20.a) 1, b)-l GRUPO
57.
Pag.S88
l. 12/2 ; 2. 12 ; 3. 4i ; 4. VVV ; 5. VVVF ; 6. z,={1,2), z,=(3,-1) ; 7. x= 7 7 z.={7-2/3,4-3/3) ; 9. (3,2) o (3,8); 10. (S'S) 3/4+i ; 8. z.={7+213,4+3~), 13. z=(2,-2) ; 24.a) w=±(1-4i), b) w=±(2-i),. e) w=±(S+6i), d) w=±(1+3i), e) w=±(3-2i), f) w=±(1-3i), g) w=±(/i-I3,il2+13)
I
h) w=±(4+3i),
í
)
w=±{~ + ~i)
j) w=±(13+2i) GRUPO
58.
Pag.601
l.a) Eje imaginario para y~O, b) Parábola y'=4(x+l), e) Circunferencia de centro Q(-l,O) y r=l, d) Circunferencia de centro Q{-2,O) y r=2, e} Circunferencia de centro Q(2,-1), r=2, f) Elipse, Focos: F,(l,2), F,(-1,2), semiejes: a=4, b=2/3, g) Mediatriz qel segmento z,z"
h) Hipérbola' equilátera
697
Respllestas a Ejercicios Propllestos
xy=2, i) Par§bola:x1=2y+l
; 2.a) El interior y el borde de la circunferen-
cia de radio 1 y centro Q(O,l), b) El interior de la circunferencia
de ra-
dio 1 y centro Q(l,l), c) El interior y el borde de la elipse con focos en F,(2,0) y F,(-4,O), semiejes: a=S y b=4, d) La franja -l
Iz+il=l2, excepto la regi6n común. g) El
interior y el borde de las dos ramas de la hipérbola de centro Q(O,O) y semiejes: a=2 y b="s,
focos: F, (0,4) Y F,(0,-2).
h) El interior de las dos
ramas de la hipérbola con centro en Q(1,2) y focos en F,(-3,5) y F.(5,-1), . semiejes: a=4, b=3.
í
)
El semiplano superior y el borde de la .rect.a x+4y=-4
4. En el interior de la circunferencia
de centro (0,0) y radio r=S.
5. Parábola: y'=4(l-x) GRUPO
59.
Pag.607
l.a) z=12Cis30', b) z=6Cis300', e) z=CislSOt, d) z=lOCis210', e) z=8Cis120' f) z=4Cis31St: 2. 2(1+i~) : 3.a) -l-i, b) ~(l+il:f), el ~(-I2+il2), d) ~( l3-i) : S.a} z=/2-13cis7St,
b) z=lcoseceICis(270t-9)
; 6. 672I2Cis(3./4)
8. iCosece GRUPO l.a) ~(-l-i/1),
b) ~(-1+i~1),
60.
Pag.6l0
e) 2'(1-il3), d) (2-13)"+Oi,
e) 0-2"i,
f) 1
g) -64+Oi, h) 0+64i, i) -l+Oi ; 2.a) -13+i, b) -l+Oi, e) 1-i/1 : 3. _2": 4. Cis(nn/3)
: 5. -Cos6x+iSen6x
6Cos4x+1SCos2x+l0), +21Cos3x+3SCosx)
: 6.a) ~(C0s4~-4COS2X+3),
e) ~(-Sen7x+7Sensx-21Sen3x+3sSenx),
: 7.a) Cos'x-1OCos'xSen'x+5CosxSen'x,
+7OCos'xSen'x-28Cos'xSen'x+Sen'x,
d) 6~(COS7X+7COSSX b)Costx-28Cos'xSen'x
e) 7Cos'xSenx-35Cos'xSen'x+21Cos'xSen'x1
-
Sen'x : 9. 9=k. o e=kv-v/2 : 10. {(0,0)'64(1,13)}: e)
b) 3~(COS6X+
-a'
1
11.a) 32(-1+13), blSen,o
l(-I3-i) 2
GRUPO 1.a) ±(13+i},±(-1+il3)
61.
Pag.61S
, b} 2i,-I3-i, I:f-i, e) 2Ci~(5.~~k.),
k=O,1,2,3,4.
2.a) (1/"I2)Cis(5.~kV),
k=O,1,2,3,4,S
: b) (1/"I2)CiS(19.~4k.),
e) (1/'·/2)CiS(17.~4k.)!
kE[O,5] : 3.a) O , b)O : 5.a) 12+3i,-3+2i), b)
{1+i,2+i}, el {O,l+i,l+i}
, d) {-1+i,-3-4i}
; 6.a) ±(1+il3),±(-I3+i)
kE[O,7)
, b)
= 2Cis(2~2k·l, k=0,1,2 , e) 1, -2, ~(-l±l3i), l±il3 , d) wk = k 'S,t}2Cis(2«>;2kV), k=O,1,2 : e) ±(~i), ±(~i) : f) (l±i/3), (-l±il3) w
www.mundoindustrial.net 698
Respuestas
g) ±(~
,
w =I6Cis(k;) k 1,2,3
_ln;2) : o
: 8.a)
b} Si ••• =1 -
±(P~l
wk=Cis{w+~k.},
Si ",:1
, si
, si .••• ¡tl
GRUPO 62. 21
1. z = ~(eiSlI/3) 12Cos'x+l
-1
w.=
~(l-i), 10
_2
: S.a),w.=Cis70·,
+ k~),
, k=O,
; 3. ~(C0s4X+4COS2X+3) : 4. 16Cos'xw.=Cis310·,
b) w,=i,
w.=2Cis340',
11. -1'5/5
Im(z)~-1/2
w.= ~ +(l+~)i
: 13.a)
V
d) z,= , b)
14.
V :
; 18. 2Cosnx : 20. -2: Cosnx nx
21.b 32
2)
I
si
n es par-
Cos(x/2)
I
si
2nSenn(1)Cos[nll-(~+2}xl
Sen(n+l)xCos(nx) 2 2 Cosx/2
I
, n n x 'n+2 n es ~mpar- ; 28. 2 Cos (2)sen(Z-)x , b) 2nSenn(~)Sen[(n+2~x-nlf]: Cos(n+l)xSen(nx) 2 2 Cosx/2'
n impar-
,,~nXCoS(3112n) •• 38 (nx) 37. ""-.,, • Sen 2=ñ :::~
!2kY)]_3
Pag.632
: 27.
Sen[a + (~)x]COS(~) Cos(x/2)
34.
; i)
..•. S = n'IIl'-2n(n+l}lIl+n(n+2) (••-1)'
n-l Cos [a+(T)x]Sen(Sen(nlf/6)
- i(1±2i)
S = ••~1
w,=2Cis220',
3
29.a)
1Il¡t1 ..•
'12, -2.'12, '/2" :
: 6.
17. Re(z)= ~Cotg(;
2n (n-l)/2
23.
w,=Cisl90',
, e) w,=2CislOO',
+ (1 - ~)i z.= ~(l+i)
;
(-l+il3)
; 2. Z=2-
h) 1, -1/3,
; j) W :2(Cis(W/2 k
k=O,1,2,3
..•. S = ~(n+1)
S = ~(n+l)(2n+l)
1/'1;1) ;
,
a Ejercicios Propuestos
, ••• =e
2l1i S / ; 42. ~
:
39
(~)Sen(n-k)e
• - 1'/2: n n = 2 Sen
41
30. ~ _
~~~=
n par
1Il-1 ","-1 ",'-1 • O, ",+1 ' ",1+1 ' ",'+1
(.¡ - ~)cosn(~
-1>
I
43. O
Sen(!!!1) 9 e 44. 2 •• •11 3 : 46. pez ) = __ -..::2'--Cl"S(1I+n) 2 ; 47.a ) 2nSen n(e) -2 Cos (n -2 ) ,n par Cos(O/2) ne" n n e nS n n 9 n n e nS 2 Sen (2:)sen(z)' n Impar- : b) -2 Sen (2:)Sen(z), n pa~ : 2 Sen (2)cos(2)' Sen"nx n impar : 50. Cosx/2
' n par
Cos'nx, 1 ' 1 3 : Cosx/2 ' n llr{lar : 51. 4[3Cotg(2 )-cotg(2)]
GRUPO 63. 1.a> 2x'-7x'+6x'-3x'-x"-2x+l R(x)=25x-5
, b) Q(x)= i(3X-7)
Pag.642
, b) x$-x'-4x'+3x+1 R(x)= ~(13X+1)
: 2.a)
Q(x)=2x'+3x+l1
3. p=-ql_l,
,
m=q : 5. a=4,
www.mundoindustrial.net 699
Respuestas a Ejercicios Rropuestos
b=2 ; 6.a) ±(x'-6x1+12x-8),
b) ±(4x'-Sx1+3x-2)
; 7. a=e, b=a1/4 +2; 8. m=±6
n=13 o n=S. GRUPO 1.a) Q(x)=x'-x'+3x-3,
64.
pag.6S3
R=S : b) Q(x)=2x'+2x-2, R=S; e) Q(z)=4zt-(3+4i)z-1+7i
R=8-6i ; d) Q(z)=z'-2iz-S-2i,
R=-9+8i ; 2.a) 10., b) -l-44i , e) 2x-S , d)
1-3x ; 3. 22 ; 4. 21 ; 5. 2 ; 6. -lS ; 7. b=2, e=-9, d=-18 ; 8. m=8, n=5, p=-6 ; 9. a=-~, b=6 ; 10. 215 ; 11. k=-2 ; 12. k'(k-1) ; 13. a=3, b=-4 ; 14 9191S . -10 ; 15. P(z)~z'-4zt- ~z+ ~ ; 16. A=3, 8=4 ; 17. A=n, 8=-n-1; 18. 5x+lS 19~ ~x' + i~res.
~t
+ 3~x - 2~ ; 20. CUando m.n 'y p son si~ltáneamente
pares o
21. Si m no es divisible por 3 ; 22. Para IIF6n+2 y IIF6n+4 ; 23. 52
lo para ~n+l
; 24. 5610 para UF6n+4 ; 26. n>2, a= n/n-2 ; 27. p=24, q=-20 GRUPO
6S.
Pag.660
l. 2+i~'1, 1 ; 2. -2-~i, l±il3 ; 3. 1+~-2,3 x'-4x'+Sx'-2x-12=0
; 6. x'-4x'+24x"-16x+80=0
2x'+11x'+6x'-42x'-52x+3S=0
66.
12. {-2±i,-1/2,2/3,1±13} (2x-l)(x+3i)(x~3i) d) {-1/2,1/2,S/3,2}
; 3. {-3,1/2,3±3~2}
; 10. Il/2,1/2,3,±ii
; 4. 11/3,1/2,
; 13. {1/3,~(-1±i~3),1±il3}
; 14.P(x)=(3x+l)(2x+l) ; le.e) -1
; 19.e) xc<0,8>, d) {3/2,9/4,5,~(-I±il3)}; ; 2l.e) xe,
22.e) xe<-6,4>, dl {-4,-3,2,l±lÍ¡
20.e) -1
{1/4,l/3,1/2,l/2(-l±il7) ¡ ;
; 23.c} xc<-I,2>, d} {-2/3,l/2,l,3/2,±i}
24.c) xe<-2,l> , d) {-3/2,-1,1/3,I±il3¡: GRUPO
d)
: 8.1-2,-2,
; 11. {1±i,1/3,2,1±1:2¡ ;
; 17.e) xc<-2,l>, d) {-3/2,1/2,2/3,±i/2}
d) ¡-1/3,l/2,2,t(l til3}
; 8.
; 10. x'-7x'+
: 5. {1,5,±~i} ; 6. 11,2,±il2} ; 7. 10,-2,1/3,±i}
2,1/2} ; 9. 1-5,-1/3,2/3,3}
; 5.
Pag.672
l. 1-1/2,1/3,1,±i} ; 2. 1-3,l,2,2,±il3}
1. {-3/2,-2,4}
; 7. x'-3x'-9x'+25x-6=O
; 9. x"-9x'+32x'-54x'+37x'+3x-10=0
GRUPO
3/2~(1±il3).
_::::> : 4. -3-/2,1/2,-1/3
2S.el -3
6.7. Po.g.680
2. {-I,I,3,S} : 3. k=26
r
f2i3,4}
; 6. {8/9,-2/3,l/2} ; 7.a
(q'-2pr)/r' , b) (p'-2q)/r' : 8. E=2q" ; 9. E=lS7/36 , 5=3/2 ; 10.a) -6p b) p/q , e) -p' , d) q' , e) -3 , f) _2p'_3qt ; 12. {2+13,2-(!,-2±iliI¡ 13. {-2,-2,-4} Y {-2,1,3} ; 14.a) m=-3, M=8 , b) 2 Y 4
I
15.a) 205/16 , b) fl/4,l/2,l,2}' ; 16.a) x'-37x'-121x-99=O 216=0 ; 17. r",10 o IIFlO/19
*
e) 7,y 12 , d) -14 , ~) x'+4x'+28x+
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r
BIBLIOGRAFIA 1.- MATEMÁTICAS PREVIAS AL CÁLCULO Louis Leithol - Editorial Harla 2.- ÁLGEBRA SUPERIOR Louis Leithol - Compañía Editorial Continental 3.- EL CÁLCULO Louis Leithol - Editorial Oxford University Press 4.- MATEl\'lÁ TICA BÁSICA con vectores y matrices H.R. Taylor - T.L. Wade - Editorial Limusa - Wiley 5.- CONJUl'iJOS y ESTRUCTURAS Alvaro Pinzón - Colección Harper 6.- MÉTODO DE LA I DUCCIÓN MATEMÁTICA I. ominski - Editorial Mír - Moscú 7.- PROBLEMAS DE ÁLGEBRA SUPERIOR 1. Sominski - Editorial Mir - Moscú 8.- FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA J. M. Silva - A. Lazo - Editorial Limusa
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Problemas y ejercicios de
ANALISIS MATEMATICO Tomo 1
Solucionario por: R. Flgueroa G.
n
