Paso 2 - Recolectar información introductoria al curso procesamiento digital de señales
Presentado por: Martin Eduardo Tapias Orozco – 1052020703
Grupo: 299004_2
Tutor: MAURICIO ALBERTO GARCIA
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES 299004A_363 Septiembre de 2017
Actividades a desarrollar
Cada estudiante realizará dos ejercicios de convolución discreta, para ello el estudiante escogerá las dos señales de entrada x(n) y las dos respuestas al impulso h(n), las señales x(n) y h(n) tendrán tres (3) muestras de longitud, por lo cual la longitud de las salidas y(n), será de cinco muestras. Por ejemplo:
x(n) = [1 2 3] h(n) = [5 6 8]
Entonces la salida a esta convolución sería:
y(n) = [5 16 35 34 24]
NOTA: Deben realizar dos convoluciones como se mostró en el ejemplo anterior, para ello deben realizarla con el editor de ecuaciones de Word, si creen necesario utilizar gráficas, pueden utilizarlas. Hay que evidenciar todo el proceso matemático. Tampoco se admiten valores iguales entre estudiantes, ni ejemplos de libros.
Solución al taller propuesto La convolución discreta se define como sigue:
∞
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘) ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘=−∞
Ahora comenzamos la solución:
𝑥3 (𝑛) = [ 11, −4, −3 ]
, ℎ3 (𝑛) = [ −5, −3, 4]
𝑦3 (0) = 𝑥3 (0) ∗ ℎ3 (0) = −1 ∗ 5 = −55 𝑦3 (1) = 𝑥3 (0) ∗ ℎ3 (1) + 𝑥3 (1) ∗ ℎ3 (0) = −13 𝑦3 (2) = 𝑥3 (0) ∗ ℎ3 (2) + 𝑥3 (1) ∗ ℎ3 (1) + 𝑥3 (2) ∗ ℎ3 (0) = 71 𝑦3 (3) = 𝑥3 (1) ∗ ℎ3 (2) + 𝑥3 (2) ∗ ℎ3 (1) = −7 𝑦3 (4) = 𝑥3 (2) ∗ ℎ3 (2) = −12 𝑦3 (𝑛) = [ −55, −13, 71, −7, −12]
𝑥4 (𝑛) = [ 1, 5, −3]
, ℎ4 (𝑛) = [ −2, 1, −2]
La convolución discreta se define como sigue: ∞
𝑦(𝑛) = ∑ 𝑥(𝑘) ℎ(𝑛 − 𝑘) 𝑘=−∞
Comenzamos la solución
𝑦4 (0) = 𝑥4 (0) ∗ ℎ4 (0) = −1 ∗ 5 = −2 𝑦4 (1) = 𝑥4 (0) ∗ ℎ4 (1) + 𝑥4 (1) ∗ ℎ4 (0) = −9 𝑦4 (2) = 𝑥4 (0) ∗ ℎ4 (2) + 𝑥4 (1) ∗ ℎ4 (1) + 𝑥4 (2) ∗ ℎ4 (0) = 9 𝑦4 (3) = 𝑥4 (1) ∗ ℎ4 (2) + 𝑥4 (2) ∗ ℎ4 (1) = −13 𝑦4 (4) = 𝑥4 (2) ∗ ℎ4 (2) = −3 ∗ (−2) = 6 𝑦4 (𝑛) = [ −2, −9,9, −13,6]
Cada estudiante realizará un ejercicio de transformada Discreta de Fourier, en la cual la señal x(n) también debe tener una longitud de tres (3) Muestras. Este también debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word, sin omitir procedimientos, también se debe calcular la magnitud de la transformada y la respuesta en fase.
Ahora vamos a calcular la DFT para la señal 𝑥(𝑛) = [ −1, 3, −2], teniendo en cuanta la definición de la DFT:
Solución al segundo punto;
𝑁−1
𝑋(𝑘) = ∑ 𝑥(𝑛) ∗ 𝑒 −
𝑗2𝜋𝑘𝑛 𝑁
𝑛=0
2
𝑋(0) = ∑ 𝑥(𝑛) ∗ 𝑒 −
𝑗2𝜋𝑘𝑛 𝑁
= −𝑒 −
𝑗2𝜋∗0∗0 3
+ 3𝑒 −
𝑗2𝜋∗0∗1 3
− 2𝑒 −
𝑗2𝜋∗0∗2 3
𝑗2𝜋𝑘𝑛 𝑁
= −𝑒 −
𝑗2𝜋∗1∗0 3
+ 3𝑒 −
𝑗2𝜋∗1∗1 3
− 2𝑒 −
𝑗2𝜋∗1∗2 3
𝑛=0
=0 2
𝑋(1) = ∑ 𝑥(𝑛) ∗ 𝑒 − 𝑛=0
= −1 + 3 ∗ (−0.5 −
√3 √3 𝑗) − 2 ∗ (−0.5 + 𝑗) 2 2
= −1.5 − 5
√3 𝑗 2
=
2
𝑋(2) = ∑ 𝑥(𝑛) ∗ 𝑒 −
𝑗2𝜋𝑘𝑛 𝑁
= −𝑒 −
𝑗2𝜋∗2∗0 3
+ 3𝑒 −
𝑗2𝜋∗2∗1 3
− 2𝑒 −
𝑛=0
=
= −1 + 3 ∗ (−0.5 +
√3 √3 𝑗) − 2 ∗ (−0.5 − 𝑗) 2 2
= −1.5 + −5
√3 𝑗 2
Podemos concluir que: 𝑋(𝑘) = [ 0, −1.5 − 5
√3 √3 𝑗 , 1.5 + 5 𝑗] 2 2
‖𝑋(𝑘)‖ = [ 0, 4.583, 4.583 ] ∡𝑋(𝑘) = [0, 250.89, 109.11 ]
𝑗2𝜋∗2∗2 3
