90004A_361
CONECTIVOS LÓGICOS Y TEORIA DE CONJUNTOS DE LÓGICA MATEMÁTICA
Jonatan Nemias Mogollon Imva 1075096827 Carlos Julio Murcia Rodríguez 80202418
JUALIAN ZAPATA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD 2017
En el desarrollo de los ejercicios propuestos en el presente trabajo colaborativo, aplicaremos los conocimientos aprendidos sobre teoría de conjuntos y principios de la lógica, utilizando los conectores lógicos y las leyes de las proposiciones y aplicando igualmente los contenidos sobre razonamientos deductivos e inductivos, para dar solución a los interrogantes planteados a través de la capacidad interpretativa, propositiva y de síntesis de cada uno de los integrantes.
Con el objetivo de sacar adelante la tarea, el grupo interactuó en el foro colaborativo para a través de observaciones respetuosas, corregir o complementar las respuestas a las tareas asumidas de manera individual, retroalimentando con ello los conocimientos sobre conectivos lógicos y teoria de conjuntos de lógica matemática, aplicables al presente trabajo.
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Desarrollar la primera tarea enunciando las proposiciones compuestas propuestas, en lenguaje natural determinando su valor de verdad, con fundamento en el valor de verdad de cada proposición simple.
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Solucionar los enunciados propuestos, expresándolos en lenguaje simbólico, desarrollando tablas de verdad y haciendo uso del simulador Truth Table.
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Simbolizar los eventos propuestos a través de conjuntos, y con fundamento en ellos representar en un diagrama de Venn las situaciones e interrogantes planteados.
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Afianzar los conocimientos sobre teoría de conjuntos y principios de la lógica, necesarios para al desarrollo de la tarea, por medio de la interacción entre los compañeros del foro colaborativo
DESARROLLO DE LAS TAREAS
Tarea 1:
Escriba la proposición compuesta propuesta en lenguaje natural y determine su valor de verdad, a partir del valor de verdad de cada proposición simple:
: . : . Proposición compuesta en lenguaje natural: No es cierto que la UNAD es una universidad y que las materias en la UNAD se cursan de manera virtual, si y solo si, La UNAD no es una Universidad o las materias en la UNAD se cursan de manera virtual. Valor de verdad: p:V
q: V ¬(⋀) ↔ (¬ ∨ )
¬
⋀
¬
↔ ( ∨ ) ↔ ↔
p: los estudiantes de la UNAD estudian los contenidos del Entorno de conocimiento. q: los estudiantes aprenden a desarrollar los ejercicios. Proposición compuesta en lenguaje natural:
Los estudiantes de la UNAD estudian los contenidos del entorno de conocimiento entonces los estudiantes aprenden a desarrollar los ejercicios y los estudiantes no aprenden a desarrollar los ejercicios entonces los estudiantes de la UNAD no estudian los contenidos del entorno de conocimiento. Valor de verdad: p. V q. V [(p→q)∧¬q]→¬p
[ (V→V)∧ F ]→F (V∧ F) → F V → F V
: ℎ . : í á .
Proposición compuesta en lenguaje natural: Si tres colombianos han ganado el premio nobel de paz, entonces Gabriel García Márquez ganó un nobel de paz, si y solo si, tres colombianos no han ganado el premio nobel o Gabriel García ganó un nobel de paz. Valor de verdad: = V
= V ( → ) ↔ (¬ ∨ ) ( → ) ↔ ( ∨ )
Cada solución de los siguientes enunciados debe contar con las siguientes etapas: Expresión en lenguaje simbólico. Desarrollo mediante tablas de verdad
Uso del simulador Truth Table.
Si estamos en el año 2017 o faltan dos años para el mundial y no faltan dos años para el mundial de fútbol, entonces estamos en el año 2017. p: Estamos en el año 2017 q: Faltan dos años para el mundial de futbol v
¬
→
v
¬
v
¬
v
V
V
F
F
F
V
V
F
V
V
V
V
F
V
F
V
V
V
F
F
V
F
V
V
Uso del simulador Truth Table:
¬
→
Estudiar en la UNAD me dará crecimiento personal si y solo si me esfuerzo y soy responsable. Expresión en lenguaje simbólico: p ↔ ( q Λ r ) Desarrollo mediante tablas de verdad: V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
V
F
V
F
F
V
F
F
F
F
F
V
V
V
F
F
V
F
F
V
F
F
V
F
V
F
F
F
F
V
Si Carlos no trabaja en el día y se dedica al estudio en la noche, se matricula en la universidad.
¬P ¬P (¬P
y q entonces r ^ q ^ q ) ͢ r
P: Carlos no trabaja en el día ¬P Q: Carlos se dedica al estudio en la noche q R: Carlos si se matricula en la universidad r V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
F F F F V V V V
F F F F V V F F
Uso del simulador Truth Table:
V V V v V F V v
A partir del ejemplo anterior representar cada una de las siguientes situaciones en un diagrama de Venn y con las operaciones entre conjuntos, desde la siguiente situación: Consideremos eventos que se pueden representar por medio de un conjunto:
= { } = { } = { } = { } Estos conjuntos se representan en un diagrama: Los estudiantes que realizaron los tres problemas (problema de conjuntos, problema de tablas de verdad, problema de la validez de un razonamiento)
∩∩
d. Los estudiantes que solo resolvieron la tabla de verdad y la validez de un razonamiento
∩
e. Los estudiantes que no resolvieron ningún problema
U-C-T-V = {x∉C,/ x ∉ T,Λ, x∉ V }
De las siguientes situaciones representarlas en un diagrama de Venn y solucionar los interrogantes planteados. a. Se realizó en una empresa de telecomunicaciones una verificación del estado de un lote de 130 equipos celulares que presentaban fallas técnicas, encontrando los siguiente: A equipos con defecto en la pantalla, B equipos con defectos en el pin de carga, Se observó que los equipos con mal funcionamiento de pantalla y pin de carga, son el doble de los que sólo tienen pantalla dañada; mientras que los que sólo tienen
defecto en pin de carga son 70 equipos. A: Equipos con defecto en la pantalla B: Equipos con defectos en el pin de carga + 2 + 70 = 130 + 2 = 130 − 70 3 = 60
=
60
3 = 20 20 + 2(20) + 70 = 130 20 + 40 + 70 = 130
Se realizó una encuesta a 100 estudiantes que estudian ingenierías en la UNAD, se les pregunto qué curso preferían; la encuesta arrojo los siguientes resultados: A 45 de ellos les gusta el curso de Algebra, a 40 les gusta el curso de Cálculo Diferencial, a 48 les gusta el curso de Física; a 15 les gusta el curso de Algebra y el curso de Cálculo Diferencial, a 13 el de Algebra y Física, a 10 el de Cálculo Diferencial y el de Física, a 5 les gusta los tres cursos. ¿Cuántos estudiantes prefieren solo el curso de cálculo diferencial?
¿A cuántos estudiantes solo prefieren el curso de Física? ¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente los cursos de Algebra y Física? ¿Cuántos estudiantes prefieren solamente los cursos de Cálculo Diferencial y Física?
= { } = { í } = { } = { } Estos conjuntos se representan en un diagrama:
Las cifras de preferencias de los estudiantes se representan así en el diagrama:
El diagrama refleja entonces: 5 estudiantes que son coincidentes en el gusto por los tres cursos (A∩ ∩ ).
15 estudiantes prefieren algebra y calculo diferencial (A∩ ), estos comprenden a los 5 estudiantes que tienen gusto por los tres cursos, más los 10 restantes. 13 estudiantes que coinciden en preferir algebra y física (A∩C) estos igualmente comprenden a los 5 estudiantes que se inclinan por los tres cursos, más los 8 restantes. 10 estudiantes que son coincidentes en el gusto por los cursos de cálculo diferencial y física (B ∩ C), estos comprenden a los 5 estudiantes que tienen gusto por los tres cursos, más los 5 restantes. 45 estudiantes que les gusta el curso de algebra (A), este comprende los estudiantes de las intersecciones (A∩B∩C), (A∩B), (A∩C), y los restantes es decir, 45-5-10-8= 22 estudiantes. 40 estudiantes que les gusta el curso de calculo diferencial (B), este comprende los estudiantes de las intersecciones (A∩B∩C), (A∩B), (B∩C), y los restantes es decir, 40-5-10-5= 20 estudiantes. 48 estudiantes que les gusta el curso de física (C), este comprende los estudiantes de las intersecciones (A∩B∩C), (A∩C), (B∩C), y los restantes es decir, 48-5-8-5= 30 estudiantes. Lo anterior, para un total de 100 estudiantes de Ingeniería de la UNAD.
¿Cuántos estudiantes prefieren solo el curso de cálculo diferencial?
20 estudiantes.
¿A cuántos estudiantes solo prefieren el curso de Física?
30 estudiantes.
¿Cuántos estudiantes prefieren únicamente los cursos de Algebra y Física?
8 estudiantes.
¿ Cuántos estudiantes prefieren solamente los cursos de Cálculo Diferencial y Física?
5 estudiantes.
Una firma planea un proyecto de construcción de 140 viviendas teniendo en cuenta las especificaciones requeridas por cada cliente, por lo que se han determinado las siguientes cantidades de casas a construir: 55 casas con sótano, 82 casas resultan de la unión del conjunto de casas con sótano con el de casas con terraza, las casas con terraza y jardín son 21, las casas con terraza son 40 y 23 son las casas que no requieren ninguna especificación de las mencionadas. Para terminar la planeación, los ingenieros deben determinar las siguientes cantidades:
¿Cuántas casas deben tener terraza únicamente? ¿Cuántas casas deben tener jardín únicamente? ¿Cuántas casas deben tener sótano y terraza?
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En desarrollo de la tarea No. 1 de la que el grupo desarrollo los literales a, b y c, logramos expresar en lenguaje natural las proposiciones compuestas propuestas, asignando a cada una su valor de verdad.
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De otro lado y en relación con la tarea No. 2, los enunciados propuestos a, d y e fueron expresados por cada uno de los participantes del foro en lenguaje simbólico, desarrollando tablas de verdad para determinar su valor (V o F), y haciendo uso para ello del simulador Truth Table.
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En relación con la tarea No. 3 de la que desarrollamos los puntos a, d y e, cada uno de los participantes del foro en desarrollo de la tarea individual, simbolizamos los eventos propuestos a través de conjuntos, y posterior a ello, representando en un diagrama de Venn las situaciones planteadas.
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Finalmente y en cumplimiento de la tarea no. 4 de la que realizamos los literales a, b y c, a través de la representación de diagramas de Venn, solucionamos los interrogantes planteados en los diferentes ejercicios.
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Simulador Truth Table: http://turner.faculty.swau.edu/mathematics/materialslibrary/truth/