parciales metodos numericos2

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miércoles, 27 de noviembre de 2013, 12:37 miércoles, 27 de noviembre de 2013, 12:37 13 segundos 1/6 1.3 de un máximo de 8 ( 17%) No dedicó tiempo suficiente al curso

Question1 Question1 Puntos: 1

En que casos el nivel de precisión requerido puede variar enormemente Seleccione una respuesta. a. Análisis de datos b. administración de proyectos

incorrecto

c. proyectos de ingeniería d. educación y administración

Incorrecto

Puntos para este envío: 0/1.


En base al concepto de precisión es correcto afirmar Seleccione una respuesta. a. El análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal y circunscripción. b. El análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código de circunscripción.

incorrecto

c. El análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal solamente d. El análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción.

Incorrecto



De acuerdo al texto la exactitud es perteneciente. Seleccione una respuesta. a. a la calidad de información b. al número de aproximaciones

incorrecto

c. a la base de datos d. a la calidad de datos

Incorrecto



Deacuerdo a la lectura seleccione la palabra correcta : El nivel de__________ requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Seleccione una respuesta. a. Redondeo

incorrecto

b. Precisión c. Exactitud d. Aproximación

Incorrecto



Es importante distinguir desde el principio la diferencia entre exactitud y precisión: 1. Exactitud es el grado en el c ual la información de un mapa o en una base de datos digital se muestra verdadera o con valores aceptables. La exactitud es un asunto perteneciente a la cualidad de l os datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Analizando una base de datos de un SIG, es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica. El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Producir y compilar una gran exactitud en los datos puede ser muy difíc il y costoso. 2. Precisión hace referencia a la medida y exactitud de las descripciones en las base de datos de un SIG. Los atributos de información precisos pueden especificar la características de los elementos con gran detalle. Es importante observar, no obstante, que los datos precisos - no importando el cuidado en s u medida - pueden ser inexactos. Los topógrafos pueden cometer errores, o bien los datos pueden ser introducidos en las bases de datos incorrectamente. El nivel de precisión requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Los proyectos de ingeniería como el de una carretera, y las herramientas de construcción, requieren una muy precisa medida, de milímetros a decenas de centímetros. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción. Obtener datos altamente precisos puede ser verdaderamente difícil y costoso. Topografiar cuidadosamente las localizaciones requiere de compañías específicas para la recogida de la información.  





Tomado de 

www.uam.es/geoteca/articulos/error/Esp/Error,%20 Exactitud %20y%20Precision.htm %20y%20Precision.htm

Segun la lectura para obtener datos altamente precisos puede ser:

Seleccione una respuesta.

c. a la base de datos d. a la calidad de datos

Incorrecto



Deacuerdo a la lectura seleccione la palabra correcta : El nivel de__________ requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Seleccione una respuesta. a. Redondeo

incorrecto

b. Precisión c. Exactitud d. Aproximación

Incorrecto



Es importante distinguir desde el principio la diferencia entre exactitud y precisión: 1. Exactitud es el grado en el c ual la información de un mapa o en una base de datos digital se muestra verdadera o con valores aceptables. La exactitud es un asunto perteneciente a la cualidad de l os datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Analizando una base de datos de un SIG, es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica. El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Producir y compilar una gran exactitud en los datos puede ser muy difíc il y costoso. 2. Precisión hace referencia a la medida y exactitud de las descripciones en las base de datos de un SIG. Los atributos de información precisos pueden especificar la características de los elementos con gran detalle. Es importante observar, no obstante, que los datos precisos - no importando el cuidado en s u medida - pueden ser inexactos. Los topógrafos pueden cometer errores, o bien los datos pueden ser introducidos en las bases de datos incorrectamente. El nivel de precisión requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Los proyectos de ingeniería como el de una carretera, y las herramientas de construcción, requieren una muy precisa medida, de milímetros a decenas de centímetros. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción. Obtener datos altamente precisos puede ser verdaderamente difícil y costoso. Topografiar cuidadosamente las localizaciones requiere de compañías específicas para la recogida de la información.  





Tomado de 

www.uam.es/geoteca/articulos/error/Esp/Error,%20 Exactitud %20y%20Precision.htm %20y%20Precision.htm



a. Verdaderamente difícil y no costoso b. verdaderamente fácil y costoso c. verdaderamente difícil y costoso incorrecto

d. verdaderamente fácil y asequible

Incorrecto



7x – 3 = 2x + 2. Con cual de los siguientes el valores de x , se cumple la igualdad. De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación

Seleccione una respuesta. a. x = -1 b. x = -3 correcto 7(1) – 3 = 2(1) + 2 7 – 3 = 2 + 2 4 = 4

c. x = 1 d. x = 3

Correcto

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Usted se ha autentificado como MARCELINO APONTE (Salir Salir))

Puntos: 1 La variante del algoritmo, consistente en el caso de que el intervalo quede fijo p or un extremo en ir dividiendo p or dos el valor de la función en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se había quedado fijado se llama:

Seleccione una respuesta. a. Método modificado b. Método de regula falsi c. Método de regula falsi interactivo d. Método de regula falsi modificado

Incorrecto


Incorrecto


Cifras significativas. Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos. 1.- Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. 2.- Aunque ciertos números representan número específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de cifras. Exactitud y Precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido del valor verdadero. La precisión se refiere a qué tan cercano está un valor individual medido o calculado respecto a los otros. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad. La imprecisión, sobre el otro lado, se refiere a la magnitud del esparcimiento e sparcimiento de los valores. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin sesgos para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. Error. En general, para cualquier tipo de error, la relación entre el número exacto y el obtenido por aproximación se define como: Error = Valor real -valor estimado = |p-p*| (Llamado Error Absoluto) En ocasiones, se sabrá exactamente el valor del error, que denotaremos como Ev, o deberemos estimar un error aproximado. Ahora, para definir la magnitud del error, o que incidencia tiene en el cálculo el error detectado, detectado , podemos normalizar su valor: Ea = Error relativo (fracción) = (|p-p*|)/p Como el valor de Ea puede ser tanto positivo como negativo, en muchos casos nos interesa saber más la magnitud del error, caso en el cual usaremos el valor absoluto de este. Un caso muy interesante es una investigación que realiza Scarborough, en que determinó el número de cifras significativas que contiene el error como: ERROR DE REDONDEO Muchas veces, los computadores cortan los números decimales entre el 17° y 12° decimal introduciendo así un error de redondeo Por ejemplo, el valor de "e" se conoce como 2.718281828... Hasta el infinito. Si cortamos el número en 2.71828182 (8 cifras significativas luego del punto decimal) estamos obteniendo u error de E = 2.718281828 -2.71828182 = 0.000000008... Sin embargo, como no consideramos que el número que seguía al corte era mayor que 5, entonces nos convenía dejar el número como 2.71828183, caso en el cual el error sería solo de E = 2.118281828 -2.11828183 = -0.000000002.. , que en términos absolutos es mucho menor que el anterior. En general, el error de corte de las computadoras será muy inferior al error introducido por un usuario, que generalmente corta a un menor número de cifras significativas. Dependiendo de la magnitud de los números con los que se trabaja, el error de redondeo puede tener una incidencia muy grande muy pequeña en el cálculo final. Así por ejemplo, si tenemos un producto de 502,23 m y un precio en dólares de US $ 7,52, el precio total nos dará US$ 3.776,7696 (que en pesos chilenos, con 1 dólar = $500 nos da $1.888.384,8). Ahora, si introducimos una variación del 0.1% en los metros del producto y calculamos el total, obtenemos 502,23 * 0.1 % = 507, 54, que en US$ equivalen a US$3.816,7008 (o sea,

$1.908.350,4 pesos chilenos, una diferencia de $19.965,6) lo que no deja de ser importante, ya que una variación de 0.1% en el metraje del producto nos da un error superior a 1.5% en el precio final

ERRORES DE TRUNCAMIENTO. Los errores de truncamiento tienen relación con el método de aproximación que se usará ya que generalmente frente a una serie infinita de términos, se tenderá a cortar el número de términos, introduciendo en ese momento un error, por no utilizar la serie completa (que se supone es exacta). En una iteración, se entiende como el error por no seguir iterando y seguir aproximándose a la solución. En un intervalo que se subdivide para realizar una serie de cálculos sobre él, se asocia al número de paso, resultado de dividir el intervalo "n" veces. ERROR NUMERICO TOTAL El error numérico total se entiende como la suma de los errores de redondeo y truncamiento introducidos en el cálculo. Pero aquí surge un gran problema. Mientras más cálculos se tengan que realizar para obtener un resultado, el error de redondeo se irá incrementando. Pero por otro lado, el error de truncamiento se puede minimizar al incluir más términos en la ecuación, disminuir el paso o proseguir la iteración ( o sea mayor número de cálculos y seguramente mayor error de redondeo). Entonces, ¿qué criterio utilizamos? ...lo ideal sería determinar el punto en que los errores de donde empiezan a ocultar la ventaja de considerar un menor error de truncamiento. Pero como dije, es lo ideal; en la práctica pr áctica debemos considerar que hoy por hoy los computadores tienen un manejo de cifras significativas mucho mayor que antes por lo que el error de redondeo se minimiza enormemente, aunque no se debe dejar olvidar su aporte al error total. PREGUNTA: El error relativo en las siguientes aproximaciones de p=3,35 por p*=3,53 es Seleccione una respuesta. a. Ea= 0,05909 b. Ea= 0,05099

Correcto. Ha entendido el concepto

c. Ea= -0,05099 d. Ea= 0,0599

Correcto



Si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método de la secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X ), ), esto significa: Seleccione una respuesta. a. Linealizar la derivada b. Linealizar la función

Incorrecto

c. Linealizar la pendiente d. Listar la función

Incorrecto

Puntos para este envío: 0/1. Question4 Puntos: 1

Si se aplica el método de Bisección entre los valores 23 y 25 obtenemos: Seleccione una respuesta. a. 12 b. 20

Incorrecto

c. 18 d. 24

Incorrecto


El valor de g (2,6) en la función iteradora del ejemplo es: Seleccione una respuesta. a. 1,15 b. 5 c. -5

Incorrecto

d. -1,15

Incorrecto

Puntos para este envío: 0/1. Question6 Puntos: 1 La variante del algoritmo, consistente en el caso de que el intervalo quede fijo p or un extremo en ir dividiendo p or dos el valor de la función en dicho extremo hasta que el nuevo intervalo no contenga al extremo que se había quedado fijado se llama:

Seleccione una respuesta. a. Método modificado b. Método de regula falsi modificado c. Método de regula falsi interactivo

Correcto

d. Método de regula falsi

Correcto

Puntos para este envío: 1/1. Finalizar rev isión

Usted se ha autentificado como MARCELINO APONTE (Salir)

Puntos: 1 La tercera iteración encontrada en el ejemplo realizado en la página anterior por el Método de Bisección es:

Seleccione una respuesta. a. 1,3125 b. 1,375 Incorrecto

c. 1,430 d. 1,25

Incorrecto


De los siguientes conceptos cual se refiere al termino Errores Inherentes o Heredados Seleccione una respuesta. a. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa b. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas

Incorrecta

c. Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales d. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.

Incorrecto


El método de iteración del punto fijo converge a la raíz si: Seleccione una respuesta. a. |g(x)|<1 para x en un intervalo [a, b] b. |g’(x)|<1 para x en un intervalo [a, b]

Incorrecto.

c. |g(x)|>1 para x en un intervalo [a, b] d. |g’(x)|>1 para x en un intervalo [a, b]

Incorrecto


De los siguientes conceptos cual se refiere al termino exactitud Seleccione una respuesta. a. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas b. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición. c. Son errores en los valores numéricos d. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa

Incorrecto


Al medir el error aplicando la formula

que tipo de error se esta calculando

Seleccione una respuesta. a. Son errores sistemáticos relativos b. Son errores relativos c. Son errores absolutos

Correcto.

d. Son errores en los valores numéricos

Correcto


De los siguientes conceptos cual se refiere al termino Errores Sistemáticos Seleccione una respuesta. a. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas b. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa c. Son errores en los valores numéricos

Incorrecta

d. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición.

Incorrecto


Complete correctamente el enunciado teniendo en cuenta la lectura anterior: Se observa que cuando el método de Newton-Raphson converge a la raíz, lo hace de una forma _____________ y de hecho, observamos que el error aproximado______________ Seleccione una respuesta. a. Muy rápida y disminuye b. Muy rápida y aumenta

Incorrecto

c. Muy lenta y aumenta d. Muy lenta y disminuye

Incorrecto


MÉTODO DE LA BISECCIÓN El método de bisección se basa en el siguiente teorema de Cálculo: Teorema del Valor Intermedio Sea f(x) continua en un intervalo [a,b] y supongamos que f(a)f(b). Básicamente el Teorema del Valor Intermedio nos dice que toda función continua en un intervalo cerrado, una vez que alcanzó ciertos valores en los extremos del intervalo, entonces debe alcanzar todos los valores intermedios. En particular, si f(a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces un valor intermedio es precisamente z=0 , y por lo tanto, el Teorema del Valor Intermedio nos asegura que debe existir x 0 Î (a,b) tal que f(x 0 )=0 , es decir, debe haber por lo menos una raíz de f(x) en el intervalo(a,b). El método de bisección sigue los siguientes pasos: Sea f(x) continua, i) i) Encontrar valores iníciales x a , x b tales que f(x a ) y f(x b ) tienen signos opuestos, es decir, f(x a ) . f(x b ) < 0 ii) ii) La primera aproximación a la raíz se toma igual al punto medio entre x ay x b :

iii) iii) Evaluar f(x ) r . Forzosamente debemos caer en uno de los siguientes casos:

f(x a ) . f(x ) r < 0

En este caso, tenemos que f(x a ) y f(x ) r tienen signos opuestos, y por lo tanto la raíz se encuentra en el intervalo [x a , x ] r . · f(x a ) . f(x ) r > 0 ) ) tienen En este caso, tenemos que f(x a ) y f(x ) r tienen el mismo signo, y de aquí que f(x r y f(x b signos opuestos. Por lo tanto, la raíz se encuentra en el intervalo [x r , x b ] . · f(x a ) . f(x ) r = 0 · En este caso se tiene que. f(x ) r = 0 y por lo tanto ya localizamos la raíz. El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que: |E a|<|Es| es decir,

Ejemplo Aproximar la raíz de f(x) = e-x – ln x hasta que |Ea|< 1% . Solución Sabemos por lo visto en el ejemplo 1 de la sección anterior, que la única raíz de f(x) se localiza en el intervalo [1; 1,5]. Así que este intervalo es nuestro punto de partida; sin embargo, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que f(1) y f(1,5) tengan signos opuestos. En efecto, tenemos que f(1) = e-1 – ln 1 = e-1 > 0

mientras que f(1,5) = e-1 ln (1,5) = - 0,18233 < 0

Cabe mencionar que la función f(x) sí es continua en el intervalo [1; 1,5]. Así pues, tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección. Comenzamos: i) Calculamos el punto medio (que es de hecho nuestra primera aproximación a la raíz):

ii) Evaluamos f(1,25) = e -1,25 – ln ( 1,25) = 0,0636 > 0 iii) Para identificar mejor en que nuevo intervalo se encuentra la raíz, hacemos la siguiente tabla:

Por lo tanto, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,5]. En este punto, vemos que todavía no podemos calcular ningún error aproximado, puesto que solamente tenemos la primera aproximación. Así, repetimos el proceso con el nuevo intervalo [1,25; 1,5] . Calculamos el punto medio (que es nuestra segunda aproximación a la raíz):

Aquí podemos calcular el primer error aproximado, puesto que contamos ya con la aproximación actual y la aproximación previa:

Puesto que no se ha logrado el objetivo, continuamos con el proceso. Evaluamos f(1,375) = e -1,375 – ln (1,375) = -0,06561 < 0 , y hacemos la tabla:

Así, vemos que la raíz se encuentra en el intervalo [1,25; 1,375] . Calculamos el punto medio,

Y calculamos el nuevo error aproximado:

El proceso debe seguirse hasta cumplir el objetivo. Resumimos los resultados que se obtienen en la siguiente tabla: <> <> Aprox. a la raízError aprox. 1.25 1.375

9.09%

1.3125

4.76%

1.28125

2.43%

1.296875

1.20%

1.3046875

0.59%

Así, obtenemos como aproximación a la raíz

PREGUNTA:

2 Utilizando el método de Bisección para la funcion f(x)= x , se encontrara que la - 10x + 22 tercera iteración entre los valores x= 6 y x = 8 de la función f(x) es:

Seleccione una respuesta. a. 7 b. 6,75 c. 6,5

Incorrecto

d. 6

Incorrecto


Dígitos Significativos: Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa. Exactitud: Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa. Precisión: Se refiere al número de cifras significativas que representan una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando. Errores Inherentes o Heredados: Son errores en los valores numéricos con que se va a operar, pueden deberse a dos causas: sistemáticos o accidentales. Errores Sistemáticos: Debidos a la imprecisión de los aparatos de medición. Errores Accidentales: Debidos a la apreciación del observador y otras causas. Errores de Truncamiento: Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido. Error de Redondeo: Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos. Dependiendo de cómo se redondea puede ser de dos formas.

Error de Redondeo Inferior: Se desprecian los dígitos que no pueden conservarse dentro de la localización de memoria correspondiente (pensando de una manera estricta, este caso puede considerarse como un error de truncamiento). Error de Redondeo Superior: Este caso tiene dos alternativas, según el signo del número en particular. a) Para números positivos, el último que puede conservarse en la localización de memoria se incrementa en una unidad si el primer dígito despreciado es > 5. b) Para números negativos, el último dígito que puede conservarse en la localización de memoria se reduce en una unidad si el primer dígito despreciado es < 5. PREGUNTA: 1. Las definiciones: A. “ Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a

derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa” B. “ Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando

se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos. Un caso adicional de error de truncamiento ocurre cuando una calculadora poco sofisticada sólo toma en cuenta los dígitos que caben en la pantalla y no analiza el primer dígito perdido.”

Son definiciones de: 1. Error de Redondeo 2. Error de Truncamiento 3. Dígitos Significativos 4. Error relativo La respuesta correcta es Seleccione una respuesta. a. Los items 1 y 4 b. Los items 1 y 3 c. Los items 2 y 3 d. Los items 2 y 4

Incorrecto


Incorrecto. Debes interiorizar bien los conceptos

De los siguientes conceptos cual se refiere al termino exactitud Seleccione una respuesta. a. Errores debidos a la imprecisión de los aparatos de medición. b. Errores debidos a la apreciación del observador y otras causas

Incorrecta

c. Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa d. Son errores en los valores numéricos

Incorrecto



1 Puntos: 1

Es claro que si en lugar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el punto donde cruza al eje x esta recta, nos aproximaremos mucho más rápido a la raíz; ésta es en sí, la idea central del: Seleccione una respuesta. a. Método de Biseción b. Método Iterativo de Punto Fijo

Incorrecto

c. Método de Gauss-Jordan d. Método de la regla falsa

Incorrecto


Utilizando el método de Bisección para la función f(x)= x 2 - 10x + 22, se encontrara que la tercera iteración entre los valores x= 2 y x = 5 de la función f(x ) es: Seleccione una respuesta. a. X = 3,5 b. X = 2,06 c. X = 2,75

Incorrecto

d. X = 3,125

Incorrecto


.El valor de o los valores de a para los cuales el sistema tiene una cantidad

Dado el sistema infinita de soluciones es:

Seleccione una respuesta. a. 1/3 b. -1/3

Incorrecto

c. -1.3 d. 1.3

Incorrecto


En el metodo de biseccion, se garantiza la convergencia de una función f, cuando los valores de f(a) y f(b) tienen: Seleccione una respuesta. a. Igual numero b. Igual signo c. Distinto numero d. Distinto signo

Correcto

Correcto


Uno de los métodos más interesantes del análisis numérico y particularmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas, donde primero despejamos la variable X1, y las demás variables se igualan a c ero. Nos referimos a:


a. El método de Gauss-Seidel para localizar raíces b. El método de Punto Fijo para localizar raíces c. El método de Gauss-Jordan para localizar raíces

Incorrecto

d. El método de Newton-Raphson para localizar raíces

Incorrecto

Puntos para este envío: 0/1. Question6 Puntos: 1 Con el método de Gauss-Jordan, si una matriz tiene dos filas iguales la solución del sist ema es:

Seleccione una respuesta. a. Finitas soluciones b. Ninguna Solución

Incorrecto

c. Única Solución d. Infinitas soluciones

Incorrecto


El error relativo y absoluto de la siguiente aproximación P = e y P* = 341/125 son respectivamente:

Seleccione una respuesta. a. Ea= - 0,0097 y Er= - 0,003575 b. Ea=0,0097 y Er=0,003575

Correcto

c. Er=0,0097 y Ea=0,003575 d. Er=-0,0097 y Ea=-0,003575

Correcto


El concepto que: "Se refiere a la cercanía de un número o de una medida al valor verdadero que se supone representa" Corresponde a:

Seleccione una respuesta. a. Precisión: b. Exactitud: c. Dígitos Significativos

Incorrecto

d. Errores Inherentes o Heredados

Incorrecto


El Error relativo, que se define como: Seleccione una respuesta. a. Er=|p-p*| b. Er=|p-p*|/|p*||

Incorrecto

c. Er=|p-p| d. Er=|p-p*|/|p|

Incorrecto


El método de Newton Raphson no es posible aplicarlo cuando: Seleccione una respuesta. a. La función f(x) es positiva b. La derivada de la función f(x) es igual a cero c. La función f(x) es negativa d. La derivada de la función f(x) es igual a uno

Incorrecto

Incorrecto


Las siguiente definicion: “Este método,

el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los otros métodos, este método no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo”. Correspondes al método:

Seleccione una respuesta. a. Método de la Regla Falsa

Incorrecto

b. Método de Newton Raphson c. Método de Biseción d. Método Iterativo de Punto Fijo

Incorrecto

Puntos para este envío: 0/1. Question12 Puntos: 1 El error absoluto entre p=0,253 y p*=0,532 es

Seleccione una respuesta. a. 0,524 Incorrecto

b. 0,785 c. 0,279 d. 0,729

Incorrecto


. El valor de a para los cuales el sistema no tiene s olución es:

Dado el sistema

Seleccione una respuesta. a. 1/3 b. -1/3 c. 1.3 d. -1.3

Incorrecto


El significado de Error de Redondeo es :

Incorrecto

Seleccione una respuesta. a. Se refiere al número de cifras significativas que Incorrecto representan una cantidad, a esto se refiere cuando se habla de doble precisión, dependiendo de la máquina que estemos utilizando. b. Se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren un gran número de dígitos. c. Se debe a la interrupción de un proceso matemático antes de su terminación. Sucede cuando se toman sólo algunos términos de una serie infinita o cuando se toma sólo un número finito de intervalos d. Son aquellos números diferentes de cero, en una cifra o guarismo, leyendo de izquierda a derecha; empiezan con el primer dígito diferente de cero y terminan con el tamaño que permitan las celdas que guardan la mantisa.

Incorrecto


El Error de Redondeo, se ocasiona debido a las limitaciones propias de la máquina para representar cantidades que requieren: Seleccione una respuesta. a. Un minimo número de dígitos. b. Un gran número de Elementos. c. Un minimo número de dígitos.

Incorrecto.

d. Un gran número de dígitos.

Incorrecto



Puntos: 1

Deacuerdo a la lectura : El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. correcponde al concepto Seleccione una respuesta. a. Redondeo b. Precisión c. Aproximación

incorrecto

d. Exactitud

Incorrecto


Ajuste de curvas El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas / análisis de regresión (cuando se permite una aproximación). Ajuste de líneas y curvas polinómicas a puntos Empecemos con una ecuación polinómica de primer grado: y= ax + b

Esta línea tiene pendiente a. Sabemos que habrá una línea conectando dos puntos cualesquiera. Por tanto, una ecuación polinómica de primer grado es un ajuste per fecto entre dos puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de segundo grado, obtenemos: y = ax 2 + bx + c

Esto se ajustará exactamente a tres puntos. Si aumentamos el orden de la ecuación a la de un polinomio de tercer grado, obtenemos: y = ax 3 + bx 2 + cx + d

que se ajustará a cuatro puntos. Una forma más general de decirlo es que se ajustará exactamente a cuatro restricciones. Cada restricción puede ser un punto, un ánguloo una curvatura (que es el recíproco del radio, o (1/ R). Las restricciones de ángulo y curvatura se suelen añadir a los extremos de una curva, y en tales casos se les llama condiciones finales. A menudo se usan condiciones finales idénticas para asegurar una transición suave entre curvas polinómicas contenidas en una única spline . También se pueden añadir restricciones de orden alto, como "el cambio en la tasa de curvatura". Esto, por ejemplo, sería útil en diseños de intercambios en trébol para incorporaciones a autopistas, para entender las fuerzas a las que somete a un vehículo y poder establecer límites razonables de velocidad. Si tenemos más de n + 1 restricciones (siendo n el grado del polinomio), aún podemos hacer pasar la curva polinómica por ellas. No es seguro que vaya a existir un ajuste exacto a todas ellas (pero podría suceder, por ejemplo, en el caso de un polinomio de primer grado que se ajusta a tres puntos colineales ). En general, sin embargo, se necesita algún método para evaluar cada aproximación. El método demínimos cuadrados es una manera de comparar las desviaciones. Ahora bien, podríamos preguntarnos la razón de querer un ajuste aproximado cuando podríamos simplemente aumentar el grado de la ecuación polinómica para obtener un ajuste exacto. Existen varias: 





Incluso si existe un ajuste exacto, no quiere deci r necesariamente que podamos encontrarlo. Dependiendo del algoritmo que se use, podríamos encontrar un caso divergente, donde no se podría calcular el ajuste exacto, o el coste computacional de encontrar la solución podría ser muy alto. De cualquier modo, tendríamos que acabar aceptando una solución aproximada. Quizá prefiramos el efecto de promediar datos c uestionables en una muestra, en l ugar de distorsionar la curva para que se ajuste a ellos de forma exacta. Los polinomios de orden superior pueden oscilar mucho. Si hacemos pasar una curva por los puntos A y B, esperaríamos que la curva pase también cerca del punto medio entre A y B. Esto puede no



suceder con curvas polinómicas de grados altos, ya que pueden tener valores de magnitud positiva o negativa muy grande. Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio (y queda garantizado que pasará exactamente por ahí, en los de primer grado). Los polinomios de orden bajo tienden a ser suaves y las curvas de los polinomios de orden alto tienden a ser "bulbosas". Para definir esto con más precisión, el número máximo de puntos de inflexión de una curva polinómica es n-2 , donde n es el orden de la ecuación polinómica. Un punto de inflexión es el lugar de una curva donde cambia de radio positivo a negativo. Obsérvese que la "bulbosidad" de los polinomios de orden alto es sólo una posibilidad, ya que también pueden ser suaves, pero no existen garantías, al contrario que sucede con los polinomios de orden bajo. Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo, trece puntos de inflexión, pero podría tener también doce, once, o cualquier número hasta cero.

Ahora que hemos hablado del uso de grados demasiado bajos para conseguir un ajuste exacto, comentemos qué sucede si el grado de una curva polinómica es mayor del necesario para dicho ajuste. Esto es malo por las razones comentadas anteriormente si los polinomios son de orden alto, pero también nos lleva a un caso en que exista un número infinito de soluciones. Por ejemplo, un polinomio de primer grado (una línea) restringido por un único punto, en lugar de los dos habituales, nos dará un número infinito de soluciones. Esto nos trae el problema de cómo comparar y escoger una solución única, lo que puede ser un problema tanto para humanos como para el software. Por esta razón es mejor escoger el polinomio de menor grado posible para obtener un ajuste exacto en todas las restricciones, y quizá incluso un grado menor si es aceptable una aproximación al ajuste. Para más información, véase el artículo sobre interpolación polinómica . PREGUNTA:

Teniendo en cuenta la lectura entonces: "Un polinomio de grado quince podría tener, como máximo": Seleccione una respuesta. a. Doce puntos de inflexión

Incorrecto

b. Diez puntos de inflexión c. trece puntos de inflexión d. Once puntos de inflexión

Incorrecto


Una de las técnicas que nos permite aproximar a un polinomio una serie de puntos, es el conocido como método de mínimos cuadrados, que en métodos numéricos esta detallado como: Seleccione una respuesta. a. Polinomios de Lagrange b. Ajuste de curvas

c. Interpolación no Lineal

Incorrecto

d. Aproximación polinomial

Incorrecto


En el caso de tres puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), en principio se busca el polinomio de interpolación de: Seleccione una respuesta. a. Grado cuatro b. Grado uno c. Grado tres

Incorrecto

d. Grado dos

Incorrecto


El polinomio y = ax 3 + bx 2 + cx + d de tercer grado se ajusta a:

Seleccione una respuesta. a. Un punto b. Dos puntos c. Cuatro puntos

Correcto. Si ha asimilado el contenido anterior.

d. Tres puntos

Correcto


En el caso de tres puntos (x 0 , y 0 ), (x 1 , y 1 ), (x 2 , y 2 ), en principio se busca el polinomio de interpolación de: Seleccione una respuesta. a. Grado uno b. Grado tres c. Grado cuatro

Incorrecto

d. Grado dos

Incorrecto



Puntos: 1

7x = 2x +10. Con cual de los siguientes el valores de x , se cumple la igualdad. De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación

Seleccione una respuesta. a. x = 2 b. x = -3 c. x = 3

incorrecto

d. x = -1

Incorrecto


Para números sin coma decimal, los ceros posteriores a la última cifra distinta de cero pueden o no considerarse significativos. Así, para el número 70 podríamos considerar una o dos cifras significativas. Esta ambigüedad se evita utilizando la notación científica. como por ejemplo: 7 · 102 tiene una cifra significativa. De acuerdo al texto es correcto afirmar Seleccione una respuesta. a. la notación cientifica algunas veces no evita la ambigüedad b. la notación cientifica no evita la ambigüedad c. la ambigüedad no es evitada con la utilización de la notación cientifica d. la notación cientifica evita la ambigüedad

Incorrecto

Puntos para este envío: 0/1. Question3

incorrecto

Puntos: 1

POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON CON DIFERENCIAS DIVIDIDAS Dados n+1 datos:

- El polinomio de interpolación de Newton se define de la siguiente manera: f(x) = b0+b1(x-x 0 )+b2(x-x 0 )(x-x 1 )+…+bn(x-x 0 )(x-x 1 )…(x -x n-1 )

donde: b0=f(x 0 ) b1=f [x 1 , x 0 ] b2=f [x 2 , x 1 , x 0 ] . . . bn = f [x n ,…, x 0 ]

Para calcular los coeficientes b0 , b1 ,…, bn, es conveniente construir una tabla de diferencias divididas como la siguiente:

Obsérvese que los coeficientes del polinomio de interpolación de Newton, se encuentran en la parte superior de la tabla de diferencias divididas. Ejemplo 1 . Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:

Y utilizar la información de dicha tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton. Solución . Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton es:

f(x) = 4+2(x+2)-0.25(x+2)(x+1)-0.3(x+2)(x+1)(x-2)

Ejemplo 2. Calcular la tabla de diferencias divididas finitas con los siguientes datos:

Y usar la información en la tabla, para construir el polinomio de interpolación de Newton.

Solución. Procedemos como sigue:

Por lo tanto el polinomio de interpolación de Newton nos queda: f(x) = 5+3(x+3) – 1.66667(x+3)(x+2) - 020238(x+3)(x+2)(x)

PREGUNTA: Teniendo en cuenta el ejemplo 1 de la pàgina anterior (pàgina 11), se observa que se encuentra una funciòn o polinòmio, de acuerdo a ello, el coeficiente del X 3 de la funciòn encontrada es:

Seleccione una respuesta. a. 0.25 b. 0,3 c. -0.3 d. -0,25

Incorrecto


Las siguientes matrices cuales se pueden invertir:

Incorrecto

Seleccione una respuesta. a. La Matrices A y B b. Las matrices A, B y C c. Las matrices A y C d. Las matrices B y C

Incorrecto


Método de Mínimos cuadrados Suponga que se tiene el siguiente diagrama

Incorrecto

Y le solicitan que ajuste una recta que la mayor parte de los datos. Para ello se desarrolla una ecuación de estimación llamada de Mínimos Cuadrados. El procedimiento del método de Mínimos Cuadrados es determinar la recta Ŷ= a + bX , donde Ŷ= es la variable dependiente, o variable a predecir a= Intersepto con la variable Y b= Es la pendiente de la recta. X= Variable independiente, información conocida parapredecir Y El objetivo del método es determinar los valores de a y b dela ecuación Ŷ= a + bX, para ello se tiene las siguientes ecuaciones:

y Ejemplo: Suponga que un analista de una empresa Z le solicitan encontrar la recta de estimación de ingresos y gastos, de modo que tiene los siguientes datos: Ingresos Y202534304031 Gastos X 2 3 5 4 115 Ingresos Y202534304031 Gastos X 2 3 5 4 115

En millones de pesos. Entonces el debe realizar las siguientes operaciones para determinar la recta de estimación que más se ajuste: n=6 ∑X= 2+3+5+4+11+5= 30 ∑Y= 20+25+34+30+40+31= 180 ∑XY= (2+20)+ (3*25)+ (5*34)+ (4*30)+ (11*40)+ (5*31)= 1000

∑X2= 22 +32 +52 +42 +112 +52 = 200 (∑X)2 = (30)2 = 900

Reemplazamos en la fórmulas a y b y se obtiene los siguientes resultados: b= [(6)(1000) - (30)(180)]/ [(6)(200)- 900]= 600/300 = 2 Esta estimación quiere decir que por cada millon gastado la empresa recibe 2 milles de ingresos y a= [180 - (2)(30)]/6 = 120/6 = 20 que significa que los ingresos mínimos son de 20 millones. La ecuacion es entonces: Ŷ= 20

+ 2X A partir de esta ecuación estimada se puede predecir los ingresos si los gastos son 7 millones, es decir si X=7 luego: Ŷ= 20

+ 2(7) = 34 millones PREGUNTA:

La solución de siguiente sistema

utilizando la eliminación de Gauss es:

1) x1= 4 2) x2= 4 3) x1= 3 4) x2= 3 Son correctas: Seleccione una respuesta. a. 3 y 2

Incorrecta.

b. 1 y 4 c. 1 y 2 d. 3 y 4

Incorrecto


La interpolación de un polinomio de grado 2 se debe expresar mediante la expresión: Seleccione una respuesta. a. f (x) = b1(x - x0)+b2(x - x0)(x – x1) b. f (x) = b0+b1(x - x0)+b2 c. f (x) = b0+b1(x - x0)+b2(x - x0)(x – x1) d. f (x) = b0 + b2(x - x0)(x – x1)

Incorrecto

Incorrecto


12x = 2x +10. Con cual de los siguientes el valores de x , se cumple la igualdad. De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación

Seleccione una respuesta. a. x = -3 b. x = -1 c. x = 1

correcto 12(1) = 2(1) + 10 7 – 3 = 2 + 2 4 = 4

d. x = 3

Correcto


Las siguientes matrices cuales se pueden invertir:

Seleccione una respuesta. a. Las matrices B y C b. Las matrices A, B y C c. Las matrices A y C d. La Matrices A y B

Incorrecto.

Incorrecto


Teniendo en cuenta el método de Gauss-Seidel para una matriz dada tenemos la siguiente ecuación: Si se asume que x 2y x3 son iguales a uno el resultado de x 1 es aproximadamente igual a: Seleccione una respuesta.

Incorrecto. No has realizado correctamente el proceso

a. 2,6 b. 2,70 c. 2,71 d. 2,72

Incorrecto


Para las siguientes matrices

el producto AB es igual:

Seleccione una respuesta. a. (15,12) b. (-15,12) Incorrecto.

c. (-15,-12) d. (15,-12)

Incorrecto



100401

1 Puntos: 1

Con polinomios de grado bajo existen más posibilidades de que la curva pase cerca del punto medio. polinomio

queda

garantizado

que

Seleccione una respuesta. a. cuarto grado b. tercer grado

pasará

En

que

exactamente

grado por

de ahí.

c. segundo grado d. primer grado

Incorrecto


En la ecuación y=30 es una funciòn: Seleccione una respuesta. a. Parabòlica b. Constante c. Lineal

Incorrecto

d. Cuadratica

Incorrecto


En la ecuación y=3 Ln x es una funciòn: Seleccione una respuesta. a. Logaritmica b. Constante c. Parabòlica

Incorrecto

d. Cuadratica

Incorrecto


Para la solución de un sistema de ecuaciones lineales se conocen dos técnicas o métodos para su resolución, uno de estos es: Seleccione una respuesta. a. Métodos iterativos b. Métodos indirectos c. Métodos de eliminación

Correcto

d. Métodos gráficos

Correcto


En la ecuación y=3(Log 3x)-5 es una funciòn: Seleccione una respuesta. a. Cuadratica

Incorrecto

b. Logaritmica c. Parabòlica d. Constante

Incorrecto


En la ecuación y=-5 es una funciòn: Seleccione una respuesta. a. Parabòlica b. Cuadratica

Incorrecto

c. Constante d. Lineal

Incorrecto


es la fórmula

La ecuación Seleccione una respuesta. a. Diferencias divididas b. Interpolacion Cuadrática c. Ajuste de curvas d. Interpolación Lineal

Correcto

Correcto


En la ecuación y=(COSx) -5 es una funciòn: Seleccione una respuesta. a. trigonometrica b. Parabòlica c. Cuadratica

Incorrecto

d. Constante

Incorrecto


En la ecuación y=5x-5 es una funciòn: Seleccione una respuesta. a. Lineal b. Parabòlica c. Constante

Incorrecto

d. Cuadratica

Incorrecto


Este es uno de los métodos más interesantes del análisis numérico y particularmente útil ya que nos permite encontrar la solución de un sistema de “n” ecuaciones con “n” incógnitas.

Seleccione una respuesta. a. Interpolacion de Lagrange b. Método de interpolación c. Método de Gauss- Seidel d. Método de Multipaso

Incorrecto


Incorrecto

Question11 Puntos: 1

Este método, se constituye una variación del método de eliminación de Gauss,permite resolver hasta 15 0 20 ecuaciones simultaneas Seleccione una respuesta. incorrecto

a. Metodo de Gauss Seidel b. Interpolación c. Metodo Grafico d. Método de Gauss-Jordan

Incorrecto


El polinomio que se obtiene al usar el método de Diferencias Divididas de Newton con los siguientes datos: x

2

3

4

f( x)

-2

0

2

es: Seleccione una respuesta. a. 2x - 6 b. 2 + 2(x-2)

Incorrecto

c. -2 - 2(x-2) d. -2 + 2(x+2)

Incorrecto


Consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla con una serie de restricciones adicionales Seleccione una respuesta. a. regresion polinomial b. ajuste de curvas c. Integracion polinomial

incorrecto

d. Diferenciacion de funciones

Incorrecto


El método que es considerado como una variación del método de eliminación de Gauss es el método: Seleccione una respuesta. Incorrecta

a. Diferencias Divididas b. Interpolación c. Gauss-Jordan d. Gauss-Seidel

Incorrecto


Se puede asegurar que toda matriz cuadrada tiene inversa: Seleccione una respuesta. a. Si se puede asegurar b. Siempre se puede asegurar c. Se puede asegurar algunas veces

Incorrecto

d. No se puede asegurar

Incorrecto



1 Puntos: 1

INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTRODUCCIÓN En ingeniería se presenta con frecuencia la necesidad de integrar una función que sería, en general, de una de las tres formas siguientes:

1.

Una función simple y continua tal como un polinomio, una función exponencial o una función trigonométrica.

2. 3.

Una función complicada y continua que es difícil o imposible de integrar directamente. Una función tabulada en donde los valores de X y f(X) se dan en un conjunto de puntos discretos, como es el caso a menudo, de datos experimentales.

En el primer caso, la integral simplemente es una función que se puede evaluar fácilmente usando métodos analíticos aprendidos en el cálculo. En los dos últimos casos, sin embargo, se deben emplear métodos aproximados. Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica. Se basan en la estrategia de reemplazar una función complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil de integrar. La integral se puede aproximar usando una serie de polinomios aplicados por partes a la función o a los datos sobre intervalos de longitud constante. Se dispone de las formas abierta y cerrada de las fórmulas de Newton-Cotes. Las formas cerradas son aquellas en donde los puntos al principio y al final de los límites de integración se conocen. Las fórmulas abiertas tienen los límites de integración extendidos más allá del rango de los datos. Las fórmulas abiertas de Newton-Cotes , en general, no se usan en la integración definida. Sin embargo, se usan extensamente en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. REGLA DEL TRAPECIO La regla del trapecio o regla trapezoidal es una de las fórmulas cerradas de Newton-Cotes . Considérese la función f(X), cuya gráfica entre los extremos X = a y X = b se muestra en la fig. 1. Una aproximación suficiente al área bajo la curva se obtiene dividiéndola en n fajas de ancho ?X y aproximando el área de cada faja mediante un trapecio, como se indica en la figura.

Fig. 1 Llamando a las ordenadas Y i (i = 1, 2, 3,..., n+1), las áreas de los trapecios son:

El área total comprendida entre X = a y X = b está dada por:

Sustituyendo las ecuaciones. (1) en esta expresión se obtiene:

La cual recibe el nombre de Fórmula Trapezoidal , y se puede expresar como:

En esencia, la técnica consiste en dividir el intervalo total en intervalos pequeños y aproximar la curva Y = f(X) en los diversos intervalos pequeños mediante alguna curva más simple cuya integral puede calcularse utilizando solamente las ordenadas de los puntos extremos de los intervalos. PREGUNTA:

La integral

es igual a

Seleccione una respuesta. a. 1 b. e

c.Cero d. 2

Incorrecto

Puntos para este envío: 0/1. Question2

Incorrecto. Dado que debes recordar que la integral definida como la que se tiene propuesta dara como resultado un numero real. Y como se esta solicitado derivar el resultado de la integral, entonces la derivada de todo numero siempre es CERO

Puntos: 1

En análisis numérico , el Método de Romberg genera una matriz triangular cuyos elementos son estimaciones numéricas de la integral definida siguiente: Usando la extrapolación de Richardson de forma reiterada en la regla del trapecio . El método de Romberg evalúa el integrando en puntos equiespaciados del intervalo de integración estudiado. Para que este método funcione, el integrando debe ser suficientemente derivable en el intervalo, aunque se obtienen resultados bastante buenos incluso para integrandos poco derivables. Aunque es posible evaluar el integrando en puntos no equiespaciados, en ese caso otros métodos como la cuadratura gaussiana o la cuadratura de Clenshaw–Curtis son más adecuados. Método El método se define de forma recursiva así: o donde La cota superior asintótica del error de R(n,m) es: O (hn2m+1) La extrapolación a orden cero R(n,0) es equivalente a la Regla del trapecio con n + 2 puntos. a orden uno R(n,1) es equivalente a la Regla de Simpson con n + 2 puntos. Cuando la evaluación del integrando es numéricamente costosa, es preferible reemplazar la interpolación polinómica de Richardson por la interpolación racional propuesta por Bulirsch & Stoer. Ejemplo Como ejemplo, la se integra la función gaussiana en el intervalo [0,1], esto es la función error evaluada en 1, cuyo valor es erf (1) = 0,842700792949715 . Se calculan los elementos de la matriz triangular fila a fila, terminando los cálculos cuando la diferencia entre las dos últimas filas es menor que 1x10 -8 0.77174333 0.82526296 0.84310283 0.83836778 0.84273605 0.84271160 0.84161922 0.84270304 0.84270083 0.84270066 0.84243051 0.84270093 0.84270079 0.84270079 0.84270079 El resultado en la esquina inferior derecha de la matriz triangular es el resultado correcto con la precisión deseada. Nótese que este resultado se deriva de aproximaciones mucho peores obtenidas con la regla del trapecio mostrado aquí en la primera columna de la matriz triangular. PREGUNTA: Para que este método de Romberg funcione, el integrando debe ser suficientemente: Seleccione una respuesta. a. Sumable b. Diferenciable

Correcto

c. Antidiferenciable d. Integrable

Correcto


Es importante distinguir desde el principio la diferencia entre exactitud y precisión: 1. Exactitud es el grado en el cual la información de un mapa o en una base de datos digital se muestra verdadera o con valores aceptables. La exactitud es un asunto perteneciente a la cualidad de l os datos y al número de errores contenidos en un conjunto de datos o mapa. Analizando una base de datos de un SIG, es posible considerar la exactitud horizontal y vertical con respecto a la posición geográfica, tanto atributiva y conceptual, como en la agudeza lógica. El nivel de exactitud requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Producir y compilar una gran exactitud en los datos puede ser muy difíc il y costoso. 2. Precisión hace referencia a la medida y exactitud de las descripciones en las base de datos de un SIG. Los atributos de información precisos pueden especificar la características de los elementos con gran detalle. Es importante observar, no obstante, que los datos precisos - no importando el cuidado en s u medida - pueden ser inexactos. Los topógrafos pueden cometer errores, o bien los datos pueden ser introducidos en las bases de datos incorrectamente. El nivel de precisión requerido puede variar enormemente de unos casos a otros. Los proyectos de ingeniería como el de una carretera, y las herramientas de construcción, requieren una muy precisa medida, de milímetros a decenas de centímetros. Análisis demográficos de las tendencias del electorado pueden prescindir de esta precisión mediante un código postal o de circunscripción. Obtener datos altamente precisos puede ser verdaderamente difícil y costoso. Topografiar cuidadosamente las localizaciones requiere de compañías específicas para la recogida de la información. 







Tomado de 

www.uam.es/geoteca/articulos/error/Esp/Error,%20 Exactitud %20y%20Precision.htm



Seleccione una respuesta. a. verdaderamente difícil y costoso b. verdaderamente fácil y costoso c. Verdaderamente difícil y no costoso d. verdaderamente fácil y asequible

Incorrecto


incorrecto

La regla de Simpson de 3/8 de manera similar a la derivación de la regla trapezoidal y a la regla de Simpson de 1/3, se ajustan polinomios de Lagrange de: Seleccione una respuesta. a. Tercer orden a dos puntos a integrar

Incorrecto

b. Tercer orden a cuatro puntos a integrar c. Segundo orden a cuatro puntos a integrar d. Segundo orden a dos puntos a integrar

Incorrecto


De acuerdo a la lectura anterior responda: Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica, porque se basan en: la estrategia de reemplazar una función fácil o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar Seleccione una respuesta. a. La estrategia de reemplazar una función no facil sino complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar b. La estrategia de reemplazar una función facil menos complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil (y no dificil) de integrar

Incorrecto.

c. La estrategia de reemplazar una función facil o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar d. La estrategia de reemplazar una función no facil sino complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil (y no dificil) de integrar

Incorrecto


De acuerdo a la lectura anterior responda: Las fórmulas de integración de Newton-Cotes son los esquemas más comunes dentro de la integración numérica, porque se basan en: la estrategia de reemplazar una función fácil o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar

Seleccione una respuesta. a. La estrategia de reemplazar una función facil o un conjunto de datos tabulares con alguna fu nción aproximada que sea más dificil de integrar b. La estrategia de reemplazar una función facil menos complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil (y no dificil) de integrar c. La estrategia de reemplazar una función no facil sino Incorrecto complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más dificil de integrar d. La estrategia de reemplazar una función no facil sino complicada o un conjunto de datos tabulares con alguna función aproximada que sea más fácil (y no dificil) de integrar

Incorrecto



1 Puntos: 1

Método Multipasos. Los métodos de Euler y Runge-Kutta descritos anteriormente son ejemplos de métodos de un paso. En ellos, se calcula cada valor sucesivo y n+1 solo con base en la información acerca del valor inmediato anterior y n. Por otra parte, un método de varios pasos o continuo utiliza valores de varios pasos calculados con anterioridad para obtener el valor de y n+1. Existen numerosas formulas aplicables en la formulación de soluciones de ecuaciones diferenciales. Como no se pretende describir el extenso campo de los procedimientos numéricos únicamente se presentara uno de estos métodos. Método de Adams-Basforth/Adams-Moulton de Cuarto Orden. Este es uno de los métodos más populares. En este método, la predicción es la fórmula de Adams-Basforth:

para n?3. Luego de lo anterior se sustituye el valor de

en la corrección de Adams-Moulton

Obsérvese que la formula (1) requiere que se conozca los valores de y 0 , y 1 , y 2 y y 3 para obtener el y 4 . Por supuesto, que el valor de y 0es la condición inicial dada. Como el error local de truncamiento en el método de Adams-Basforth/Adams-Moulton es O (h5 ), los valores de y 1 ,

y 2 y y 3 se suelen calcular con un método que tenga la misma propiedad de error, como la formula

de Runge-Kutta de cuarto orden. Ejemplo. Use el método Adams-Basforth/Adams-Moulton con h=0,2 para llegar a una aproximación a y (0,8) de la solución de: y’ = x+y-1, y(0)=1 Solución: Dado el tamaño de paso es h=0,2, entonces y 4 aproximara y (0,8). Para comenzar aplicamos el método de Runge-Kutta, con x0 = 1, y0 = 1 y h = 0,2 con lo cual, y1= 1,02140000, y2 = 1,09181796, y3 = 1,22210646. Ahora definimos x 0 = 0; x 1 = 0,2; x 2 = 0,4; x 3 = 0,6 y f(x, y) = x + y -1, y obtenemos

Con los valores anteriores, la predicción, ecuación (1) da:

Para usar la corrección, ecuación (2), necesitamos primero:

Si comprobamos el valor exacto de y (0,8) se obtiene que y (0,8) = 1,42554093 Ventajas y Desventajas de los métodos multipasos. En la selección de un método para resolver numéricamente una ecuación diferencial intervienen muchos aspectos. Los métodos usados de un paso (en especial el de Runge-Kutta) suelen usarse por su exactitud y facilidad de programación; sin embargo, una de las mayores desventajas es que el lado derecho de la ecuación diferencial debe evaluarse muchas en cada etapa. Por ejemplo, para el método de Runge-Kutta de cuarto orden se necesitan cuatro evaluaciones de función en cada paso. Por otra parte, si se han calculado y guardado las evaluaciones de función en la etapa anterior, con un método de multipasos solo se necesita una sola evaluación de función por paso. Esto puede originar grandes ahorros de tiempo y costo Otro asunto que interviene en los métodos de multipasos es la cantidad de veces que se debe repetir la de Adams-Moulton en cada paso. Cada que se usa el corrector ocurre otra evaluación de función, con lo cual aumenta la precisión al costo de perder una de las ventajas del método de varios pasos. En la práctica, el corrector solo se calcula una vez, y si el valor de y n+1 cambia mucho, se reinicia el problema con un menor paso. PREGUNTA: En el método multipasos la predicción es la fórmula de: Seleccione una respuesta.

a. Adams-Basforth: Incorrecto

b. Basforth-Moulton c. Moulton-Basforth d. Adams-Moulton

Incorrecto


En el Ejemplo 1 de la lectura anterior, para aproximar la integral método de Romberg se usan los segmentos de longitud:

con el

Seleccione una respuesta. a. 1; 1/2; 1/2 b. 1; 1/2; 1/4 Incorrecto

c. 1; 3/2; 1/4 d. 1; 1/2; 2/4

Incorrecto


Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así por ejemplo x= 5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2 2 De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y + 3y=6 + 4y En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 2 x+5 = 3(x+1) -2 es:

Seleccione una respuesta. a. x = 4 b. x = 2 c. x = -2

Incorrecto.

d. x = - 4

Incorrecto


7x – 3 = 2x + 2. Con cual de los siguientes el valores de x , se cumple la igualdad. De acuerdo al texto Ecuaciones Lineales en la ecuación

Seleccione una respuesta. a. x = -3 b. x = -1 c. x = 1

correcto 7(1) – 3 = 2(1) + 2 7 – 3 = 2 + 2 4 = 4

d. x = 3

Correcto


"Una ecuación es una proposición que expresa la igualdad de dos expresiones algebraicas. Por lo regular involucra una o más variables y el símbolo de igualdad “=”. Las siguientes proposiciones son ejemplos de ecuaciones" De las siguientes cuales No se consideran ecuaciones. Seleccione una respuesta. a. 2y =( 4x +100)/3 b. 3e = 6 – 5y c. 8w=(1+3k)/400 d. cos(5x)+ sen(5x)

Incorrecto


incorrecto

Que valor de x, hacen que se cumpla la igualdad. 2x – 3 – 9 = x Seleccione una respuesta. a. x =12 incorrecto

b. x = - 6 c. x = -12 d. x = 6

Incorrecto


Un valor de una variable que haga que la ecuación sea una proposición verdadera se denomina raíz o solución de la ecuación dada. Decimos que tal valor de la variable satisface la ecuación. Así por ejemplo x= 5 es una raíz de la ecuación 2x – 3 = x + 2 2 De manera similar y = -2 es la solución de la ecuación y + 3y=6 + 4y En álgebra elemental se enseña a resolver este tipo de ecuaciones en especial las ecuaciones lineales y cuadráticas.

La solución de la siguiente ecuación 4(x - 3)2 = 2(3x - 7) es:

Seleccione una respuesta. a. x = -5 b. x = 5 c. x = 1 d. x = - 1

Incorrecto.

Incorrecto


Integración Numérica Cuadratura gaussiana: Las fórmulas de Trapecios y Simpson utilizan nodos equidistantes y dan valores exactos para polinomios de grado menor o igual que n (n = 1 en el caso de Trapecios y n = 2 en el caso de Simpson).La elección de puntos equidistantes no es la mejor. Puede seleccionarse los puntos de manera que mejore la aproximación.

La cuadratura gaussiana selecciona los puntos de manera óptima. El método consiste en seleccionar los nodos x 1, x2,..., xn en [a, b] y los coeficientes c 1, c2,..., cn que minimicen el error de la aproximación Reglas de Cuadratura Gaussiana: Consideramos por el momento integrales de la forma

Note que si el integral esta dado en un intervalo arbitrario [a, b] entonces mediante el cambio de variables

tenemos que

lo cual nos da una integral en [-1,1]. Así que sin pérdida de generalidad podemos asumir que el integral es en [-1,1]. Sean x1, x1,…,xn puntos (no necesariamente uniformemente distribuidos) en [-1,1] y w 1, w2,…, wn números llamados pesos ("weights"). Los puntos x j's y los pesos w j's se determinan de modo que la fórmula de integración numérica

sea exacta para polinomios de grado a lo más 2n-1, i.e., I n(p)=I(p) para todo polinomio p de grado a lo más 2n-1. Como I n é I sonoperadores lineales, basta verificar que

Caso n=1 : Aquí I 1(f)=w1f(x1) y requerimos que I 1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I 1(x)=2x1, de donde obtenemos que x 1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I 1(f)=2f(0) lo cual se conoce como la fórmula del punto medio . Caso n=2 : Tenemos ahora que I 2(f)= w2f(x1)+ w2f(x2) y se requiere que I 2(xi)=I(xi) para i=0,1,2,3. Esto nos lleva al siguiente sistema nolineal para x 1, x2, w1, w2:

Suponiendo que x1, x2 son conocidas, resolvemos la tercera y cuarta ecuación (que son lineales en los w's) mediante la regla de Cramer para w 1, w2 obteniendo así que

Sustituyendo estas expresiones en la primera y segunda ecuación y resolviendo para x 1, x2 obtenemos que

Asi que nuestra fórmula numérica en el caso n=2 lee como sigue:

Caso n>2 : Al aplicar las condiciones se obtiene un sistema nolineal de 2n ecuaciones en 2n desconocidas (las x's y las w's). Este sistema se puede resolver numéricamente usando el método de Newton para sistemas nolineales. Pero en lugar de proceder de esta forma se utiliza el hecho de que se puede demostrar que los x i's son los ceros del n-esimo polinomio de Legendre Ln(x). Estos polinomios se definen por la recursión

En particular tenemos que L 2(x)= (3/2) x2-(1/2) cuyos ceros son ± 1/ ?3 que fueron los x's que determinamos en el caso n=2. También

de donde podemos obtener los x's para las fórmulas de los casos n=3,4 respectivamente. Teniendo los x's podemos ahora calcular los w's resolviendo un sistema lineal de ecuaciones. Ejemplo 2 : Aproximamos

usando la regla de cuadratura con n=2. Primero hacemos un cambio de variables de modo que el integral sea en el intervalo de [-1,1]. Para esto usamos el cambio de variables discutido al principio de esta sección lo que resulta en:

Tenemos ahora que

Hay 2n parámetros que elegir. Si los coeficientes de un polinomio se consideran parámetros, un polinomio de grado 2n - 1 también tiene 2n parámetros. Este es el tipo de polinomios de mayor grado para el cual se puede esperar que la solución sea exacta. PREGUNTA: Teniendo en cuenta la lectura anterior: Para el Caso n=1: Aquí I 1(f)=w1f(x1) y requerimos que I 1(1)=I(1), I1(x)=I(x). Pero I(1)=2 y I1(1)=w1 de modo que w1=2. Además I(x)=0 y I 1(x)=2x1, de donde obtenemos que x1=0. Tenemos pues la fórmula numérica I 1(f)=2f(0) lo cual se conoce como: Seleccione una respuesta. a. Sistemas no lineales. b. La fórmula del punto mínimo c. La fórmula del punto medio

Correcto

d. Sistemas lineales.

Correcto


MÉTODO DE EULER La idea del método de Euler es muy sencilla y está basada en el significado geométrico de la derivada de una función en un punto dado. Supongamos que tuviéramos la curva solución de la ecuación diferencial y trazamos la recta tangente a la curva en el punto dado por la condición inicial.

Debido a que la recta tangente aproxima a la curva en valores cercanos al punto de tangencia, podemos tomar el valor de la recta tangente en el punto x 1 como una aproximación al valor deseado y(x 1 ).

Así, calculemos la ecuación de la recta tangente a la curva solución de la ecuación diferencial dada en el punto (x 0 ,y 0 ). De los cursos de Geometría Analítica, sabemos que la ecuación de la recta es: y=m(x-x 0 )+y 0

donde m es la pendiente. En este caso, sabemos que la pendiente de la recta tangente se calcula con la derivada:

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente es: y = f(x 0 ,y 0 )(x-x 0 )+y 0

Ahora bien, suponemos que x 1 es un punto cercano a x 0, y por lo tanto estará dado como x 1= x 0 + h. De esta forma, tenemos la siguiente aproximación:

De aquí, tenemos nuestra fórmula de aproximación: y(x 0 + h) = y 0 + hf(x 0 ,y 0 )

Esta aproximación puede ser suficientemente buena, si el valor de h es realmente pequeño, digamos de una décima ó menos. Pero si el valor de h es más grande, entonces podemos cometer mucho error al aplicar dicha fórmula. Una forma de reducir el error y obtener de hecho un método iterativo, es dividir la distancia h= ? x 1 – x 0 ? en n partes iguales (procurando que estas partes sean de longitud suficientemente pequeña) y obtener entonces la aproximación en n pasos, aplicando la fórmula anterior n veces de un paso a otro, con la nueva h igual a En una gráfica, tenemos lo siguiente:

.

Ahora bien, sabemos que: y 1 = y 0 + hf(x 0 ,y 0 )

Para obtener y 2 únicamente hay que pensar que ahora el papel de (x 0 ,y 0 ) lo toma el punto (x 1 ,y 1 ), y por lo tanto, si sustituimos los datos adecuadamente, obtendremos que: y 2 = y 1 + hf(x 1 , y 1) De aquí se ve claramente que la fórmula recursiva general, está dada por: y

n+1 =

y n + hf(x n ,y n )

Esta es la conocida fórmula de Euler que se usa para aproximar el valor de y(x 1 ) aplicándola sucesivamente desde x 0 hasta x 1 en pasos de longitud h. Ejemplo 1 Dada la siguiente ecuación diferencial con la condición inicial: y’ = 2xy

y (0) = 1

Aproximar y(0,5). NOTA Primero observamos que esta ecuación sí puede resolverse por métodos tradicionales de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el método de separación de variables. Veamos las dos soluciones. Solución Analítica .

Sustituyendo la condición inicial: x = 0 ? y = 1 ln 1 = 02 + c entonces 0 = c

Por lo tanto, tenemos que la curva solución real está dada:

Y por lo tanto, el valor real que se pide es:

Solución Numérica Aplicamos el método de Euler y para ello, observamos que la distancia entre x 0 = 0 y x 1 = 0,5 no es lo suficientemente pequeña. Si dividimos esta distancia entre cinco obtenemos un valor de h = 0,1 y por lo tanto, obtendremos la aproximación deseada en cinco pasos. De esta forma, tenemos los siguientes datos:

Sustituyendo estos datos en la formula de Euler, tenemos, en un primer paso:

Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, en un segundo paso:

Y así sucesivamente hasta obtener y 5. Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n x n y n

00 1 10.11 20.21.02 30.31.0608 40.41.12445 50.51.2144

Concluimos que el valor aproximado, usando el método de Euler es: y(0,5) = 1,2144

Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero, podemos usarlo para calcular el error relativo porcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler. Tenemos que:

Ejemplo 2 Aplicar el método de Euler para aproximar y(1,3) , dada la ecuación diferencial. y’ = x 2 + 0,5y 2 si se tiene que y(1) = 2

Solución Nuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente h =0,1 para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:

En un primer paso, tenemos que:

Resumimos los resultados en la siguiente tabla: n

01 2 11.12.3 21.22.6855 31.33.1901

De lo cual, concluimos que la aproximación buscada es: y(1,3) = 3,1901

PREGUNTA: La fórmula de aproximación: y (x 0 + h)= y 0 + h f(x 0 , y 0 )

por el método de Euler puede ser suficientemente buena, si el valor de h es: Seleccione una respuesta. a. Realmente alto

Incorrecto

b. Realmente Mediano c. Realmente Grande d. Realmente pequeño

Incorrecto


REGLA DE SIMPSON DE UN TERCIO Suponemos que tenemos los datos:

donde x mes el punto medio entre a y b. En este caso se tiene que:

donde f 2(x) es el polinomio de interpolación para los datos en la tabla anterior. Usaremos el polinomio de Lagrange. Así, tenemos que:

Si denotamos

, entonces:

Simplificando términos:

Vemos que cada uno de los términos anteriores, es esencialmente de la misma forma, es decir, una constante por (x- ?)(x-?) Así, calculamos la siguiente integral por partes:

Sea:

por lo tanto,

Usamos esta fórmula para calcular la integral de cada uno de los tres términos de f 2(x).

Debido al factor 1/3h se le conoce como la regla de Simpson de un tercio . En la práctica, sustituimos el valor de

para obtener nuestra fórmula final:

Ejemplo 1 . Usar la regla de Simpson de 1/3 para aproximar la siguiente integral:

Solución . Aplicamos la fórmula directamente, con los siguientes datos:

Por lo tanto, tenemos que:

Ejemplo 2 . Usar la regla de Simpson de 1/3, para aproximar la siguiente integral:

Solución . Igual que en el ejercicio anterior, sustituimos datos adecuadamente:

Al igual que con la regla del trapecio, podemos extender la regla de Simpson de 1/3, si

subdividimos el intervalo [?,b] en n subintervalos de la misma longitud . Sea P= {x 0 , x 1 ,…, x n } la partición que se forma al hacer la subdivisión, y denotemos por x M ?[x i-1 , x ] i el punto medio en cada subintervalo. Aplicamos primero propiedades básicas de la integral definida:

Ahora, aplicamos la regla de Simpson de 1/3, en cada una de las integrales de arriba:

Sustituimos

y usamos la notación sigma:

Ejemplo 1 . Aproximar la siguiente integral, aplicando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 5 intervalos.

Solución . En este caso, tenemos que n=5, y la partición que se genera es: P = {0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1} demás, los puntos medios de cada subintervalo son: PM = {0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9} Por lo tanto, sustituimos los datos en la fórmula para obtener:

Nótese que esta aproximación ya es exacta hasta el cuarto decimal! Ejemplo 2 . Aproximar la siguiente integral, utilizando la regla de Simpson de 1/3 y subdividiendo en 4 intervalos.

Solución . En este caso, tenemos que n=4, y la partición que se genera es: P = {2, 2.5, 3, 3.5, 4} Además, los puntos medios de cada subintervalo son: PM = {2.25, 2.75, 3.25, 3.75} Sustituyendo todos estos datos en la fórmula obtenemos la siguiente aproximación:

PREGUNTA: Según en el método de Simpson de 1/3, el punto x m que se encuentra entre a y b se conoce como: Seleccione una respuesta. a. Punto Incial. b. Punto medio

Correcto. De acuerdo a la lectura Xm es el punto medio entre a y b.

parciales metodos numericos2

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