Metodos Numericos Para Ecuaciones en Derivada Parciales

1.3. EL ESPACIO H 01 (Ω)

2- Calculemos

∂M R v ∂x i

· en el sentido de las distribuciones.

 ·

∂M R v ∂M R = ∂x i ∂x i

·

v + M R

∂v · ∂x

i

El segundo término evidentemente converge a 0 cuando R primer término. Tenemos que se tiene que l´ımR→∞ supx∈Rd

  ·  Rd

∂M R v ∂x i

2

∂M R (x) ∂x i

∂M R (x) ∂x i

dx

  |

1 ∂M x R ∂x i R

=

= 0 . As´ı podemos concluir

≤ sup | ∂M ∂x

R 2

x

∈

→ ∞. Veamos el , por tanto ∀i = 1, . . . , d,

i

Rd

v 2 dx

Rd

0 −−−→ →∞ R

2- Regularizaci´ on Queremos demostrar que toda funci´ o n de H 1 (Rd ) con soporte compacto se puede escribir como l´ımite en H 1 (Rd ) de funciones v definimos una funci´ on ϕ

∈ D(R ) tal que: d

 ≥  

∈ D(R ). Para ello d

ϕ 0 ϕ(x) = 0 si x > 1 ϕ(x)dx = 1 Rd

| |

Ahora, para cada  > 0, construimos la funci´ on ϕ ϕ (x) =

1 ϕ( x ) d

que verifica:

 ≥   

∈ D(R ) definida por d

ϕ 0 ϕ (x) = 0 si x >  ϕ (x)dx = 1 Rd

| |

Consideramos la funci´ on regularizada v = ϕ  v, es decir, v (x) =

ϕ (x

Rd

− y)v(y)dy

Como v y ϕ son de soporte compacto, v también es de soporte compacto. Por las propiedades del producto de convoluci´ o n y por ser ϕ que v es C ∞ diferenciable.

−

13

∈ D(R ) tenemos d


Por u ´ltimo, utilizando el resultado del lema que demostramos a continuaci´ on, tenemos: v v en L2 (Rd )

−−→ →

∂v  ∂x i



0

= ϕ 

∂v ∂x i 

−−→ → 0

∂v ∂x i

en L 2 (Rd)

v en H (R ).  −−→ →

Y as´ı tenemos que v

1



d

0

Lema: Si f L 2 (Rd )

∈

f en L (R ). ⇒ ϕ  f −−→ → 2





d

0

D(R ) es denso en L (R ), se puede considerar una sucesión f ∈ D(R ) tal que f −−−→ f en L (R ) y escribir, →∞ d

Demostración: Como d

n

2

n

ϕ  f

2

d

d

n

− f = ϕ  f − ϕ  f + ϕ  f − f + f − f Tomando la norma  ·  , ϕ  f − f  ≤ ϕ  f − ϕ  f  + ϕ  f − f  + f − f  



n



n

n

n

0,Rd

0,Rd





n 0,Rd





n

n 0,Rd

0,Rd

n

Por un lado, por las propiedades del producto de convoluci´ o n, y por ser ϕ 0,1,Rd = 1, tenemos,

  ϕ  f − ϕ  f  

n 0,Rd



= ϕ  (f

− f ) ≤ ϕ 



0,Rd

n

 0,1,Rd

0 f − f  −−−→ →∞ n 0,Rd

Por otro lado, obviamente, 0 f − f  −−−→ →∞ 0,Rd

n

Por u´ltimo, multiplicando por

n

 −   − Rd

ϕ (x

y)dy = 1

(ϕ  f n f n)(x) = Rd ϕ (x y)f n (y)dy f n (x) = ϕ (x y)f n (y)dy ϕ (x y)dyf n (x) = Rd Rd ϕ (x y)(f n(y) f n (x)dy = Rd |x−y|≤ ϕ (x y)(f n(y) f n (x)dy,

− − −

  

−

− −

−

−

−

tomando valor absoluto,

 

|(ϕ  f − f )(x)| ≤ | − |≤ |ϕ (x − y)||(f (y) − f (x)|dy ≤ sup | − |≤ |(f (y) − f (x)| | − |≤ |ϕ (x − y)|dy = sup | − |≤ |(f (y) − f (x)| 

n

n

x y

y: x y



n

y: x y



n

n





x y

n

14

n





n

n


|

Tenemos que supy:|x−y|≤ (f n (y)

|(ϕ



 f n

− f (x)| −−− → 0 uniformemente, por tanto →∞ n



− f )(x)| −−− → 0 uniformemente. Además ϕ →∞ n

y f n tienen soporte





compacto, luego su producto de convoluci´ on también tiene soporte compacto. Sea K = sopϕ sopf n , entonces,

 |

∪

ϕ  f n

Rd

2

− f | dx ≤ n

ϕ  (f (x) − f (x) | | − |≤ sup

y: x y



n

n



 | 2

−−− → 0, →∞

1dx

K



es decir, tambi´ en tiende a 0 el término que faltaba para completar la demostración. ϕ  f n f n 0,Rd 0.



−  −−− → →∞ 



Teorema (de prolongación): Si v

1 0

∈ H (Ω), la función v, prolongación



de v por 0 en Rd Ω, es una función de H 1 (Ω).

\

Demostración: Para esta demostraci´ on utilizaremos repetidamente el teorema de prolongaci´ on de aplicaciones lineales continuas: Sea E un subespacio de un espacio normado E , con E denso en E , B un espacio de Banach y f : E B una aplicaci´ on lineal continua, entonces existe una prolongaci´ on

→ f : E → B lineal y continua. Sea ϕ ∈ D(Ω), evidentemente ϕ prolongación de ϕ por 0 en R \ Ω es una función de D(R ) pues ϕ en la frontera de Ω es 0. Por tanto ϕ sigue siendo de soporte compacto y C ∞ −diferenciable en todo R . Además ϕ = ϕ provisto D(Ω) de la norma inducida por la de H (Ω). Por tanto, la siguiente



d



d



d

1

aplicación es lineal y continua:

1,Rd

1,Ω

D(Ω) −→ D(R ) ⊂ H (R ) ϕ −  →ϕ d

1



d

Por otro lado, (Ω) es denso en H 01 (Ω), entonces utilizando teorema de prolongación de aplicaciones lineales continuas, esta aplicaci´ on se prolonga a una aplicación lineal continua,

D

H 01 (Ω) v

−→ H (R ) − → v 1

15



d


Para concluir tenemos que ver que v es la prolongación por 0 en Rd Ω. En efecto, sea ϕn una sucesi´ on de funciones de (Ω) que converge a v en H 01 (Ω), en particular converge en L2 (Ω). Por la continuidad de la aplicaci´ on



{ }

\

D

ampliada, ϕn converge a v en H 1 (Rd ) y también en L2 (Rd ). Entonces podemos extraer una subsucesi´ on ϕm que converja a v casi por todas partes en



Rd , y por tanto,

 {  }   \

si x Ωse tiene que ϕm(x) = ϕ m (x) si x Rd Ωse tiene que ϕm (x) = 0

∈ ∈





→ v(x) = v(x) → 0 = v(x)

 

F´ ormula de Green para funciones de H 01 (Ω):



∂v u dx = Ω ∂x i

1 0

∀u, v ∈ H (Ω) se tiene

 −

∂u vdx Ω ∂x i

∀i = 1, . . . , d

Demostración: La demostraci´ o n de basa en la f´ o rmula de Green para funciones de (Ω) (integraci´ on por partes) y la densidad de (Ω) en H 01(Ω).

D

D

Por la densidad de (Ω) en H 01 (Ω), existen dos sucesiones un ∞ n=1 y vn ∞ (Ω) que convergen respectivamente a u y v en la norma de n=1 de H 1 (Ω), por tanto, i = 1, . . . , d,

{ }

D

D

{ }

∀

∂u n ∂x i n ∂v n ∂x i n

−−−→ →∞ −−−→ →∞

∂u ∂x i ∂v ∂x i

en L2 (Ω), en L2(Ω).

D(Ω),

Aplicando la fórmula de Green cl´ asica a las funciones de



∂v n un dx = ∂x i Ω

 −

∂u n vn dx + ∂x i Ω



unvn γ i ds

Γ

Como son funciones de soporte compacto, la integral sobre la frontera es nula, y pasando al l´ımite se concluye. 

Definici´ on: Se define la siguiente seminorma sobre H 1 (Ω):

  d

v

→ |v|

1,Ω

=(

(

i=1

16

Ω

∂v 2 1/2 ) dx) ∂x i


Esta aplicaci´ o n es s´ olo seminorma porque hay funciones de H 1(Ω) que no son nulas pero sus derivadas si lo son.

Teorema (Desigualdad de Poincar´ e): Si Ω es un abierto acotado de Rd , existe una constante C = C (Ω) > 0 tal que, d

1 0



∀v ∈ H (Ω) v ≤ C (Ω)( 0,Ω

i=1

∂v ∂x i

2 1/2 0,Ω )



Demostración: Por la densidad de (Ω) en H 01 (Ω), basta demostrar este resultado para funciones v (Ω), luego tomando sucesiones convergentes queda demostrado v H 01 (Ω).

D

∈ D

∀ ∈

Como Ω está acotado, podemos suponer que est´ a contenido en una banda   x = (x , xd ), x = (x1 , . . . , xd−1 ), a x d b . Sea v (Ω) y v su prolon-

{



≤ ≤ } ∈ D \ Ω. Obviamente v ∈ D(R ), y se tiene por la desigualdad

gació n por 0 en R d de Cauchy-Schwarz,

d

             ≤         | |≤ − ≤ −  | | ≤ −      | |   | | ≤ −       −      ≤ −  xd

v (x , xd) =

a

xd

∂ v  (x , ξ )dξ ∂x d

a

∂ v  2 (x , ξ ) dξ ∂x d

xd

1/2

12 dξ

1/2

.

a

Tomando el cuadrado del valor absoluto, xd

v (x , xd ) 2 (xd

a)

a

∞ ∂ v 2 a) (x , ξ ) dξ, −∞ ∂x d

∂ v  2 (x , ξ ) dξ (xd ∂x d

integrando respecto a la variable x  , v (x , xd ) 2 dx

a)

(xd

Rd−1

Rd

∂ v 2 (x) dx, ∂x d

finalmente, integrando respecto a la variable x d , b

2

v (x , xd ) 2 dx dxd

v (x) dx =

Rd

a

Rd−1

1 (b 2

a)2

Rd

∂ v 2 (x) dx, ∂x d

obteniendo, v

2 0,Ω

= v

2 0,Rd

≤

1 (b 2 1 (b 2

−

a)2 a)2

2 ∂ v (x) dx = 21 (b ∂x d d ∂ v 2 1 i=1 ∂x i 0,Ω = 2 (b

Rd

e

 e

17

a)2 a)2 v

∂ v 2 ∂x d 0,Ω 2 1,Ω .

− ||

e


b a 2

  ≤ | √ − || v|

Tomando ra´ız cuadrada, concluimos v 

0,Ω

1,Ω .

Observar que en la demostraci´ on anterior basta exigir que Ω sea acotado en una direcci´ on. Supongamos que Ω es acotado y definimos v tal que v(x) = 1, x

∀ ∈ Ω,

esta funci´ o n es de H 1 (Ω) pero no verifica la desigualdad de Poincaré. Por tanto, podemos concluir el siguiente resultado:

Corolario: Si Ω es un abierto acotado de Rd , entonces H 01 (Ω) es un subespacio propio de H 1 (Ω), es decir, H 01 (Ω)

⊂ H (Ω). =  1

Corolario: Si Ω es un abierto acotado de Rd , entonces la seminorma es una norma sobre H 01 (Ω) equivalente a la norma inducida por decir, existen constantes C 1 y C 2 tales que

 · 

C 1 v

  ≤ |v| ≤ C v 1,Ω

1,Ω

2

1,Ω

|·|

1,Ω ,

1,Ω

es

1 0

∀v ∈ H (Ω)

Demostración:

1. Es evidente que C 2 = 1, en efecto,

    ≤     d

2 1,Ω =

|v|

Ω

i=1

∂v ∂x i

2. Como Ω es acotado y v

2

d

∂v ∂x i

2

dx

v +

Ω

i=1

2

dx = v

2 1,Ω



1 0

∈ H (Ω), utilizando la desigualdad de Poin-

    ≤

caré obtenemos C 1 = 1/ C 2(Ω) + 1 despejando de: d

v

2 1,Ω

= v

2 0,Ω +



i=1

∂v ∂x i

2

0,Ω

   d

(C 2 (Ω)+1)

18

i=1

∂v ∂x i

2 0,Ω

= (C 2 (Ω)+1) v

2 1,Ω

||

1.4. UN TEOREMA DE LA TRAZA

1.4.

Un teorema de la traza

Sea Γ = ∂ Ω, dada una funci´ on v la frontera Γ. Para d = 1, se tiene H 1 (I )

1

∈ H (Ω), queremos definir su valor en 0

⊂ C (I ), entonces como toda finción v ∈

H 1(I ) tiene un representante continuo en I , basta tomar el valor de este representante en los extremos del intervalo I para definir v Γ . Sin embargo,

|

para d 2, las funciones de H 1(Ω) no son en general continuas y hacen falta argumentos m´ as sofisticados para definir su valor en la frontera.

≥

Nuestro objetivo es estudiar si (Ω) es denso en H 1 (Ω), para as´ı poder prolongar por continuidad la aplicaci´ on γ 0 ,

D

γ 0 :

D(Ω) −→ v − → ⇓ γ : H (Ω) −→ v − → 1

0

C 0 (Γ) γ 0 v = v L2 (Γ) γ 0 v = v

|

Γ

|

Γ

y as´ı dar sentido al valor de las funciones v H 1 (Ω) en Γ. Esta aplicación ´ TRAZA, y el valor de γ 0v de una función prolongada se llama APLICACION

∈

v

1

∈ H (Ω) se llama TRAZA de v en Γ. D(Ω) será denso en H (Ω) para Ω un abierto acotado de R 1

d

con frontera Γ suficientemente regular . Veamos cu´ ales son estas condiciones de regularidad suficientes.

1.4.1.

Caso A

Consideremos el caso m´ as simple, Ω = Rd+ donde Rd+ = x = (x , xd )

d

∈ R , x

{

d

> 0 .

}

Entonces, la frontera de Ω es el hiperplano Γ = x = (x , 0)

{

19

∈ R , x ∈ R − }. d

d 1


D(R

d) +

Teorema:

es denso en H 1(Rd+ ).

Demostración: De nuevo, esta demostraci´ on se divide en fase de truncamiento y fase de regularizaci´ on. 1- Truncamiento Queremos aproximar las funciones de H 1 (Rd+ ) por funciones de H 1(Rd+ ) con soporte compacto en Rd+. La demostraci´ on es igual que en el caso anterior. 2- Regularizaci´ on Queremos demostrar que toda funci´ o n de H 1 (Rd+ ) con soporte compacto se puede escribir como l´ımite en H 1 (Rd ) de funciones v (Rd+). Se procede de nuevo mediante regularizaci´ on por convoluci´ on, pero en este caso se plantean algunas dificultades.

∈ D

Sea v

∈

H 1(Rd+ ) con soporte compacto en Rd+ , para aplicar convolu-

ción necesitamos que sea una funci´ on ampliada de todo Rd y luego volver a restringir a Rd+ el producto de convoluci´ on. Sin embargo, si prolongamos

∈ H (R

por 0 a todo Rd , la función prolongada no pertenece a H 1 (Rd ). Para resolver esta dificultad trasladamos la funci´ on. 1

v

d +)

Sea wh la siguiente funci´ on τ −h v = w h(x , xd) = v(x , xd +h), definida para

v en H (R ), para ≥ −h, y consideremos v = w | . Veamos que v −−→ → ello basta ver que v −−→ v en L (R ) y observar que τ − = (τ − v). → Para demostrar que v −−→ v en L (R ), por densidad, basta demostrarlo → para v ∈ D(R ). xd

h

h

h

h

Rd +

2

h

h

h

2

0

d +

0

∂v h ∂x i

d +

0

h

1

∂ ∂x i

h

d +

d +

Sea v

∈ D(R

d + ),

por tanto tiene soporte compacto dentro de Rd+ , luego

podemos ampliarla por 0 en Rd Cauchy-Schwarz, tenemos,

   −     τ −h v

v (x) = v (x , xd + h)

1 2 h dt 0

1/2

1 0

\R

d + y

la función ampliada v

       1 0

− v(x, x ) = h e (x , x + th) dt ≤ h

∂ v ∂x d

d

1/2

2

d

20

(Rd ). Por

 ∈ D

∂ v (x , xd + th)dt ∂x d 1/2 2 1 ∂ v (x , x + th) dt d 0 ∂x d

e



e

≤






integrando el cuadrado en todo Rd ,

     −  ≤       ≤ || −−→ |     − ≤  − −−→  − − 2

Rd

h2

y finalmente, siendo vh = τ −hv vh v

2 ∂ v (x , x + th) dtdx = d ∂x d 2 ∂ v (x) dx h 2 v 21,Rd ∂x d h 0

1

e e

τ −h v v (x)dx h 2 Rd 0 1 e (x) 2 dx = h 2 d ∂ v dt Rd ∂x R 0 d

0,Rd+

=

Rd +

Rd +

(vh v)2 dx =



→

0

, tenemos,

Rd +

(τ −hvh v )2 dx

Una vez que hemos demostrado que vh

Rd

−−→ → h

0

(τ −h vh v )2dx

h

→0

0

0 en H 1 (Rd+), podemos

limitar nuestro estudio a funciones v que son restricciones a R d+ de funciones

∈ H (R− ) y de soporte compacto.

w

1

d

h

∈ D (R− ) tal que ψ = 1 en el sopv y ψ = 0 cuando x ≤ −h/2. Naturalmente ψw ∈ H (R− ), se anula en un entorno de la frontera de Sea ψ

d

d

h

h

1

d

h

 

o n por 0 a todo R d , ψwh , pertenece a H 1 (Rd ). Ahora ya Rd−h y su prolongaci´

estamos en condiciones de aplicar regularizaci´ on por convoluci´ on, por tanto,

 −−→ 

existe una sucesi´ on de funciones ϕ  ψw h tales que ϕ  ψwh



→0

ψwh en

o n, a partir de un  H 1(Rd ). Por las propiedades del producto de convoluci´ suficientemente peque˜ no, se tiene,

 ⊂  ⊂   | −−→   | −−→ |   | ∈ D sopϕ  ψwh

sopϕ + sopψwh

Rd−h

por tanto, tomando restricciones a Rd−h , ϕ  ψwh

Rd −h



→0

ψwh en H 1(Rd−h ),

y tomando restricciones a Rd+ , ϕ  ψw h

Rd +

donde naturalmente ϕ  ψwh 



→0

ψwh

Rd +

(Rd+)

Rd +

21

en H 1 (Rd+ ),


D(R ) se tiene la desigualdad v(·, 0) ≤ v d +

on v de Lema: Para toda funci´

0,Rd

1,Rd+

1

−

Demostración: Sea v integral,

|v(x, 0)|2 = −



∈ D(R

d ), +

∞ ∂ ∂x d

0

por el teorema fundamental del c´ alculo

|v(x, xd)|2dxd = −2



∞

v(x , xd )

0

∂ v  (x , xd )dxd , ∂x d

utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwartz,

  |≤ | ∞

|v(x, 0) 2 2

≤ a

2

∞ ∂v

1/2

v(x , xd )|2 dxd

0

y la desigualdad 2ab

   | 0

∂x d

(x , xd)|2 dxd



1/2

,

+ b2 ,

|v(x, 0)|2 ≤

 | ∞

| | ∂∂xv (x, x )| dx ,

v(x , xd ) 2 +

0

d

d

2

d

de modo que concluimos integrando en x ,

 |

v(·, 0) = |v(x , x )| + | 0,Rd−1



d

Rd +

2

v(x , 0) 2 dx ∂v (x , xd ) 2 dxd ∂x d

| ≤ | ≤ v

Rd−1

2 . 1,Rd+



Corolario (Teorema de la traza en R d+ ): La aplicación lineal continua

D (R

d +)

v

−→ D(R − ) ⊂ L (R − ) − → v(·, 0) d 1

2

d 1

se prolonga por continuidad a una aplicaci´ on lineal continua H 1 (Rd+ ) v

−→ L (R − ) − → v(·, 0) 2

∀ ∈ H (R ) v(·, 0)

verific´ andose adem´ as v

1

d 1

d +

0,Rd

≤ v

1

−

22

1,Rd+ .


1.4.2.

Caso B

Definici´ on: Un abierto Ω de Rd se dice que es 1-regular si es acotado y su frontera Γ es una variedad de clase C 1 de dimensión d 1.

−

Esto significa que existe un n´ umero finito de abiertos acotados θi de Rd , I i i=0 es

≤ i ≤ I , tales que θ está incluido en Ω, {θ }

0

0

un recubrimiento abierto

de Ω, y para todo i = 1, . . . , I existe una aplicaci´ on invertible de clase C 1 ϕi : x y = ϕ i (x) de θ i en B , bola abierta de R d de radio 1, cuya aplicaci´ on

→ 

1 inversa ϕ− también es de clase C 1 y tal que i d +

d

∩ Ω) = B ∪ R = {y = (y, y ) ∈ R , |y| < 1, y > 0}, ϕ (θ ∩ Γ) = {y = (y  , y ) ∈ R , |y | < 1, y = 0}. Diremos que {θ , ϕ } es un sistema de cartas locales que definen Γ. ϕi (θi

i

i

i

I i i=1

d

d

d

d

d

Vamos a demostrar el teorema de la traza para Ω Rd abierto 1-regular, pero también se puede generalizar a abiertos acotados con frontera de clase C 1 a trozos.

∈

La demostraci´ on se hace en varias etapas, a trav´ es de los siguientes lemas.

Lema 1: Si Ω es 1-regular, existe un operador P lineal continuo llamado on P : H 1 (Ω) H 1 (Rd ), tal que de 1-prolongaci´

→

1

∀v ∈ H (Ω)

P v = v

casi por todas partes en Ω.

Demostració n: Veamos primero el caso de Ω = Rd+ y luego por cartas locales y partición de la unidad lo extenderemos al caso de Ω un abierto 1-regular. Caso: Ω = Rd+

∈ D(R

Si v

d ), +

sea P v su prolongaci´ on por reflexión, P v(x , xd ) =



v(x , xd ) si xd 0  v(x , xd) si xd < 0

−

23

≥


P v es continua, est´ a en H 1(Rd ) y se tiene, ∂P v  (x , xd ) = ∂x i

 −

∂v (x , xd ) ∂x i ∂v (x , xd ) ∂x i ∂v (x , xd ) ∂x i

 

si xd 0 si xd < 0 y 1 si xd < 0

≥

− ≤ i ≤ d − 1  − √ de donde se deduce que P v  = 2v  que nos da la continuidad de la aplicación P : D(R ) −→ D(R ) ⊂ H (R ). 1,Rd

1,Rd+

d

d +

Como

D(R

d) +

1

d

es denso en H 1 (Rd+), esta aplicaci´ on se prolonga por conti-

nuidad a todo H 1 (Rd+ ), verificando que P v(x) = v(x) casi por todo Rd+ . Caso: Ω abierto 1-regular Sea αi I i=1 una partici´ on de la unidad subordinada al recubrimiento θi

{ }

es decir, αi

 

I i=1 θi =

∈ D(θ ), ∀i = 0, . . . , I y i

1

1. Si v

I i=1 ,

{ }

∈ H (Ω), escribimos,

I

v =

αi v,

i=1

y para cada i = 0, 1, . . . , I definimos P (αi v) de modo que, I

P v =



P (αi v).

i=1

Por un lado, P (α0v) = α0 v, prolongaci´ o n de α0v por 0 en Rd



\ Ω. Por otro lado, para i = 1, . . . , I , consideramos la función w = (α v) ◦ (ϕ− | ), donde B = B ∩ R . Se tiene que w ∈ H (B ) y es nula en un entorno de {y ∈ ∂B ; y > 0}, entonces podemos prolongar w por 0 en R \ B y obtener una funci´ on w ∈ H (R ), y ésta a su vez prolongarla por reflexi´ on a una función w ∈ H (R ) de soporte compacto en B. Finalmente, w ◦ ϕ definido en θ se prolonga por 0 en R \ θ de modo que w ◦ ϕ es una función de H (R ). De este modo definimos P (α v) = w ◦ ϕ para i = 1, . . . , I . d +

+

+

1

I

i

i

i

1

d +

i



i 1

1

B+

+

d

i

1

i

+

+

d

i

d

d

i

i

i

Ahora es fácil verificar que la aplicaci´ on v condiciones del lema. 

24

i

i

−→



i

i

I i=0 P (αi v)

verifica las


Lema 2: Si Ω es 1-regular,

1

D(Ω) es denso en H (Ω).

∈ H (Ω) y P v ∈ H (R ) su prolongación a todo R . Como D (R ) es denso en H (R ) existe una sucesi´ on {w }∞ ∈ D(R ) tal que w −−−→ P v en H (R ). Sea v = w | , la sucesión {v }∞ es una →∞ sucesión de D(Ω) tal que v −−−→ v en H (Ω). →∞ 1

Demostración: Sea v

d

d

n

1

1

1

d

d

d

n n=1

d

n

n

n Ω

n n=1

1

n

n



Para el tercer lema utilizaremos la siguiente notaci´ on dσ denota la medida superficial sobre Γ, inducida por la medida Lebesgue dx. As´ı definimos L 2 (Γ) el conjunto de las funciones definidas sobre Γ medibles para la medida dσ y de cuadrado integrable, con la norma v

0,Γ =

 

 

v 2 dσ 1/2.

Γ

De manera equivalente, utilizando la p` artició n de la unidad, podemos definir, L2 (Γ) = vΓ

{ → R,

1 2 d−1 (αi v) ϕ− ), i ( , 0) L (R

◦

· ∈

1

≤ i ≤ I }

con la norma I

[ v[ 0,Γ =

| |



1 (αi v) ϕ− i

◦

i=1

2 0,Rd



1

−



1/2

que es equivalente a la anterior, es decir, existen constantes C 1 y C 2 tales que C 1[ v[ 0,Γ v 0,Γ C 2 [ v[ 0,Γ .

| | ≤   ≤ | |

Lema 3: Si Ω es 1-regular, existe una constante C > 0 tal que

∀v ∈ D(Ω) γ v ≤ C v 0

1,Ω .

0,Γ

I i i=1 ,

∈ D(Ω), utilizando la partición de la unidad {α } las funciones w = (α v) ◦ ϕ− , para 1 ≤ i ≤ I . Sea w

Demostración: Sea v definimos en B+

i

i

i

1



i

su

prolongada por 0 a todo Rd+ . Seg´ u n el teorema de la traza en Rd+ , se tiene que wi ( , 0)

 ·  ≤ w  , y por las propiedades de α y ϕ , se deduce w  ≤ C v . Finalmente, por la equivalencia anterior de normas, se

 

i 1,Rd+

0,Rd

1

−

i

1,Ω



i 1,Rd+

i

25

i

1.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE LA TRAZA

concluye,



I i=1

γ v ≤ C [|γ v[| = C ≤ C C = C v 0

0,Γ

2



2

0

0,Γ

  I i=1

2

2 1/2 i

(·, 0) w 

2 0,Rd

i

1,Ω



1/2

1

−

≤

El teorema de la traza es consecuencia directa de estos tres resultados.

Teorema (de la traza): Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces 1

D(Ω) es denso en H (Ω) y la aplicación lineal continua γ : v → γ v = v | de D(Ω) en L (Γ) se prolonga por continuidad a una aplicación lineal continua 0

0

Γ

2

de H 1 (Ω) en L2 (Γ), que denotamos también γ 0 , llamada aplicación traza.

1.5.

Aplicaciones del teorema de la traza

F´ ormula de Green para funciones de H 1 (Ω) Denotamos por γ i la i-ésima componente del vector normal unitario exterior de Ω.

Teorema: Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces u, v H 1 (Ω) se tiene, ∂v ∂u u dx = vdx + uvγ i dσ, i = 1, . . . , d . ∂x ∂x i i Ω Ω Γ

∀ ∈



 −



∀

Demostración: Si u, v H 1(Ω), entonces existen sendas sucesiones un ∞ n=1 d 1 ∞ y vn n=1 en (R ) tales que convergen respectivamente a u y v en H (Ω).

∈

{ }

D Para u , v ∈ D(R ) es válida la fórmula de Green, ∂v ∂u u dx = − v + u v γ dσ, ∀i = 1, . . . , d . ∂x ∂x n



{ }

d

n

n

n

i

Ω

 Ω

n i

n



n n i

Γ

Se concluye pasando al l´ımite, puesto que por la continuidad de la aplicaci´ on traza, un Γ y vn Γ convergen respectivamente a u n y v n en L2 (Γ). 

|

|

|

26

|


Caracterizaci´ on del espacio H 01(Ω) El teorema de la traza tambi´ en nos permite caracterizar de forma más sencilla el subespacio H 01 (Ω) de H 1 (Ω).

Teorema: Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces H 01 (Ω) es el n´ ucleo de la aplicación traza γ 0 : H 1 (Ω)

2

→ L (Γ), esto es, H (Ω) = {v ∈ H (Ω) : v | = 0} 1 0

Demostración: Sea v

1

Γ

1 0 1

∈ H (Ω), entonces existe una sucesión {ϕ }∞

n n=1

de

v en H (Ω). Por la continuidad de la aplicación traza, D(Ω) tal que ϕ −−−→ →∞ γ v en L (Ω). Como γ ϕ − γ v ≤ C ϕ − v , de donde γ ϕ −−−→ →∞ las funciones ϕ son de soporte compacto en Ω, entonces γ ϕ = 0 ∀n, y por n

0

n

0

n

0,Γ

n

1,Ω

0

n

2

0

n

n

0

n

tanto γ 0 v = 0 en Γ.

La demostraci´ on del rec´ıproco es m´ as delicada. Lo demostraremos para Ω = Rd+ , pues por cartas locales y partici´ on de la unidad se generaliza al caso Ω abierto 1-regular. Sea pues v

1

d +)

: γ 0 v = v( , 0) = 0 y queremos demostrar que

·

}

∈ D(R ). Buscamos una sucesi´ on {ϕ }∞ de funciones de D (R ) tal que ϕ −−−→ v →∞ v

∈ H (R

∈ {v ∈ H (R

1 0

d + ),

d +

es decir, que se puede aproximar por funciones ϕn d +

n n=1

n

n

en H 1 (v).

Sea v la prolongaci´ o n por 0 de v a todo Rd. Es fácil ver que v



L2 (Rd ) y también

Obviamente v

 ∈  ∀ ∂ v ∂x i

e =

∂v , ∂x i

∈

∂v ∂x i

 ∈

L2 (Rd ), i = 1, . . . , d. Basta de-

∀

H 1(Rd ). En

i = 1, . . . , d y tendremos que v

 ∈ ∀ ∈ D · ∀    −  −   −        

mostrar que

H 1 (Rd ).

efecto, ϕ (Rd), aplicando la fórmula de Green y teniendo en cuenta que v( , 0) = 0, tenemos que i = 1, . . . , d, ∂ v ,ϕ ∂x i

e

v,

=

∂ϕ ∂x i

=

{(x ,0),x ∈Rd } vϕγ i dσ = 



1

−

Rd

Rd +

v ∂∂xϕi dx =

∂v ϕdx = ∂x i

27

Rd +

Rd

v ∂∂xϕi dx =

∂v ϕdx = ∂x i

Rd +

∂v ϕdx ∂x i

∂v ,ϕ ∂x i

−


Como en los casos anteriores, tenemos que hacer producto de convoluci´ on por una sucesi´ on regularizante, ϕ (Rd ), pero de nuevo el soporte de ϕ  v puede estar fuera de R d+. Para evitarlo nos trasladamos una magnitud h definiendo τ h v (x , xd ) = v (x , xd h). Ya demostramos que τ h v v y que

∈D



  −  −−→   ⊂ | −−→ | ⊂  −−→  | −−−−−→ | | ∈ D 

Rd+ , por tanto τ h v

además sopτ h v

Rd +



→0

Rd+ y como ya vimos ϕ   τ h v

sop(ϕ  τ h v )

cosas, ϕ  τ hv

Rd +



→0,h→0

v

Rd +

v 

→0

Rd +

→0

en H 1 (Rd+ ). Por otro lado,

τ h v en H 1 (Rd ). Con ambas

en H 1 (Rd+ ), siendo ϕ  τ h v

(Rd+) la

Rd +

sucesión buscada. 

Construcci´ on de subespacios de H 1 (Ω) de dimensi´ on finita Otra aplicación muy u´til es la construcci´ on efectiva de subespacios de dimensió n finita de H 1 (Ω). Sea Ω = N o n de Ω tal r=1 Ωr una descomposici´ que:

∪

Ωr es un abierto de Rd contenido en Ω con frontera Γr de clase C 1 , para todo r = 1, . . . , N ,

∩ Ω = ∅ para r = s.

Ωr

s

C 0(Ω) tal que la restricción v Teorema: Sea v 1, . . . , N , entonces v H 1 (Ω).

∈ ∈

1

| ∈ H (Ω ) ∀r Ωr

r

=

Demostración: Sea v C 0 (Ω) con v Ωr H 1 (Ωr ), r = 1, . . . , N . Evidentemente v L2 (Ω), veamos que también las derivadas en el sentido de las

∈

distribuciones vi

∈

∂v ∂x i

| ∈

∀

son también funciones de L2(Ω), i = 1, . . . , d. Definimos

2

∈ L (Ω) tal que v |

∀

∂v , ∂x i Ωr

| ∀r = 1, . . . , N , veamos que v = sentido de las distribuciones. En efecto, ∀ϕ ∈ D(Ω), se tiene, v dx =  , ϕ = −v,  = − v dx = − ϕdx − vϕγ dσ = ϕdx v ϕdx = v ϕdx = v , ϕ. Entonces ∈ L (Ω) y por tanto v ∈ H (Ω). i Ωr

=

i

           ∂v ∂x i N r=1 N r=1

∂v ∂x i

∂ϕ ∂x i

Ω

∂v Ωr ∂x i

Ωr

i

∂ Ωr

Ω

N r=1

∂ ϕ ∂x i

∂ ϕ Ωr ∂x i N ∂v r=1 Ωr ∂x i

i

i

i

2

1



28

∂v ∂x i

en el

1.6. UN RESULTADO DE COMPACIDAD

1.6.

Un resultado de compacidad

El siguiente resultado se llama teorema de Rellich, y ser´ a u ´ til para las sucesiones pues nos permite afirmar que en las condiciones del teorema de la traza, dada una sucesi´ on acotada en H 1 (Ω), podemos extraer una subsucesi´ on convergente en L 2 (Ω).

Teorema: Sea Ω un abierto 1-regular de Rd . Entonces la inyección can´ onica de H 1 (Ω) en L2 (Ω) es compacta, es decir, todo subconjunto acotado de H 1(Ω) es relativamente compacto en L2 (Ω).

1.7.

Los espacios de Sobolev H m (Ω)

Generalicemos la definici´ on del espacio de Sobolev H 1 (Ω).

Definici´ on: Para todo entero m orden m sobre Ω al espacio H m (Ω) = v

≥ 1 llamamos espacio de Sobolev de

2

α

2

{ ∈ L (Ω), ∂ v ∈ L (Ω), |α| ≤ m},

dotado del producto escalar,

                ∂ α u∂ α v dx,

(u, v)m,Ω =

Ω

la norma asociada,

u

m,Ω =

α m

≤

2

1/2

(u, u)m,Ω =

∂ α u dx ,

Ωα m

≤

y la seminorma,

|u|

m,Ω =

2

∂ α u dx ,

Ω α=m

Teorema: H m (Ω) es un espacio de Hilbert separable para la norma m,Ω .

 ·



29

1.7. LOS ESPACIOS DE SOBOLEV H M (Ω)

La demostraci´ on es idéntica al caso m = 1.

Caso particular H 2 (Ω) Si Ω es 1-regular, se puede definir la traza de una funci´ on v

2

∈ H (Ω), γ v = v | . Por otro lado, si v ∈ H (Ω) entonces ∈ H (Ω), 1 ≤ i ≤ d, y por tanto también se pueden definir las trazas de estas funciones γ = |, 1 ≤ i ≤ d, que pertenecen a L (Γ). La funci´ on γ | es entonces una 0

∂v ∂x i

2

Γ

1

∂v 0 ∂x i

∂v ∂x i Γ

∂v i ∂x i Γ

2

función de L 2(Γ) por ser producto de una funci´ on de L ∞ (Γ) y otra de L 2 (Γ), y podemos definir la derivada normal, ∂v Γ = ∂γ

|

d



γ i

i=1

∂v ∂x i

|

Γ

como una funci´ on de L2 (Γ). Sea ∆u =



d ∂ 2 u i=1 ∂x 2i

el Laplaciano de una distribuci´ on u. Entonces si

on v u H 2 (Ω), se tiene para toda funci´

∈

 − Ω

  − d

(∆u)vdx =

1

∈ H (Ω),

i=1

∂ 2 u vdx = 2 ∂x Ω i

   d

i=1

∂u ∂v dx ∂x ∂x i i Ω

 − Γ



∂u vγ i dσ , ∂x i

de donde se obtiene la f´ ormula de Green generalizada.

Teorema: (F´ ormula de Green generalizada) Si Ω es 1-regular, para toda función u de H 2(Ω) y toda funci´ on v de H 1 (Ω), se tiene:

 −

(∆u)vdx =

Ω

  → − → − − ∇ · ∇ − u

vdx

Ω

Γ

∂u vdσ. ∂γ

Nota: para m > d/2 las funciones de H m(Ω) son continuas, en particular, si Ω es un abierto de R2 o R3 , entonces H 2 (Ω)

30

0

⊂ C (Ω).

Cap´ıtulo 2 Formulaci´ on d´ ebil de problemas el´ıpticos 2.1.

Problemas variacionales abstractos

Vamos a introducir un marco abstracto bien adaptado para problemas de contorno asociados a ecuaciones en derivadas parciales. Sean: 1. V un espacio de Hilbert sobre R de norma

 · ,

· · × V → R continua, es decir, existe una ≥ ∀ ∈ V, a(u, v) ≤ M uv, y V -el´ıptica, es decir, existe una constante α > 0 tal que ∀v ∈ V, a(v, v) ≥ α v  , 3. y una forma lineal L : V → R continua, es decir, ∀v ∈ V, |L(v)| ≤ L · v, donde L = sup ∈    2. una forma bilineal a( , ) : V constante M 0 tal que u, v

2





L(v) v V,v =0 v

Consideramos el siguiente problema variacional: (P ) Hallar u V tal que a(u, v) = L(v)

∈

∀v ∈ V

La existencia y unicidad de la solució n de este problema nos la da el teorema de Lax-Milgram. 31

2.1. PROBLEMAS VARIACIONALES ABSTRACTOS

Teorema de Lax-Milgram: Si se verifican las condiciones 1, 2 y 3, el problema P tiene soluci´ on uńica. Observar que si suponemos que la forma bilineal a( , ) es además simétrica, entonces a( , ) es un producto escalar en V con norma asociada v E =

  a(v, v)

1/2

··

··

, que es equivalente a la norma

 

 ·  de V . En este caso, la exis-

tencia y unicidad de la solución del problema (P ) viene dada por el teorema de Riesz-Frechet. Demostración: Introducimos el siguiente operador, A : V u

−→ V − → Au

definido por (Au,v) = a(u, v) v V donde ( , ) designa el producto escalar en V . Esta aplicació n est´ a bien definida pues fijado u, la aplicación v a(u, v) es lineal y continua de V en R, y por el teorema de Riesz-Frechet se puede representar dicha aplicaci´ o n por un uńico elemento de V que llamaremos Au.

∀ ∈

··

→

Evidentemente la aplicaci´ on A es lineal y continua por serlo a( , ), y además verifica,

··

Au = sup ∈  (Av,v) ≥ α v 

v V,v =0 2

a(u,v) v



≤ M u

Por otra parte, al ser L una forma lineal continua sobre V , aplicando de nuevo el teorema de Riesz-Frechet, existe un uńico τ L V tal que v V se tiene L(v) = (τL,v).

∈

∀ ∈

Observar que esto define una biyecci´ on lineal, τ : V  L

−→ V − → τ L

que es una isometr´ıa puesto que,

τ L =

(τL,v) L(v) = sup = L v v∈V,v  =0 v∈V,v  =0 v sup

   



32




Entonces el problema (P ) se puede escribir de la siguiente forma, Hallar u

∈ V tal que (Au,v) = (τL,v) ∀v ∈ V,

esto es, Hallar u V tal que Au = τ L.

∈

Para demostrar que este problema, en su ultima ´ versión, tiene soluci´ on u ´ nica utilizaremos el teorema de Punto Fijo de Banach para contracciones estrictas. Para ello, dado un ρ > 0 que elegiremos más adelante de forma apropiada, escribimos nuestro problema de la siguiente forma, Hallar u V tal que u = u

∈

− ρ(Au − τL).

De este modo, tenemos definida una aplicaci´ on, T : V v

−→ V −→ v − ρ(Av − τ L)

cuyo punto fijo ser´ıa soluci´ on de nuestro problema. Para demostrar que esta aplicación tiene un u ńico punto fijo bastar´ a demostrar que es una contracci´ on estricta puesto que al ser V un espacio de Hilbert y por tanto completo, podremos aplicar el teorema de Banach que asegura en este caso la existencia de un u ´ nico punto fijo. En efecto, se tiene que, 2

2

T v − T v  = v − v − ρ(A(v − v )) = v − v  − 2ρ(A(v − v ), v − v ) + ρ A(v − v ) ≤ (1 − 2αρ + ρ )v − v  1

1

2

2

1

2

2

1

2

1

1

2

2

1

2

2

2

1

2

2

2

luego para que T sea una contracci´ on estricta basta tomar ρ de modo que 1 2αρ + ρ2 < 1, y esto es cierto para 0 < ρ < 2α/M 2 .

−

Por tanto para cada ρ entre 0 y 2α/M 2 hemos demostrado que existe una solucón del problema (P ), veamos que esta es u ńica independientemente del valor de ρ elegido. Supongamos que existen u1 y u2 dos soluciones de (P ), entonces, a(u1 , v) = L(v) a(u2 , v) = L(v) 33

∀v ∈ V, ∀v ∈ V.


Restando a(u1 u2 , v) = 0, v

∀ ∈ V , en particular, a(u −u , u −u ) = 0, y por la V -elipticidad de la aplicación bilineal, 0 = a(u −u , u −u ) ≥ α u −u  . −

1

1

2

2

1

1

2

2

1

2

2

Por tanto u1 = u 2 . 

Cuando la aplicaci´ on bilineal a( , ) es adem´ as simétrica, el problema (P ) es equivalente a un problema de optimizaci´ on.

··

Teorema: Si se verifican las condiciones 1, 2 y 3, y además a( , ) es ssimétrica y verifica a(v, v) 0 v V , entonces el problema (P ) es equivalente al siguiente problema de optimizaci´ on,

··

≥ ∀ ∈

(Q) Hallar u V tal que J (u) = m´ın J (v)

∈

donde J (v) = 21 a(v, v)

v V

∈

− L(v).

Demostración: Sea u solución del prolema (P ). Sea v v = u, es decir, v = u + w con w = 0, entonces,





J (v) = J (u + w) = 21 a(u + w, u + w) 1 a(u, u) + a(u, w) + 21 a(w, w) L(u) 2 J (u) + a(u, w) L(w) + 21 a(w, w).

−

−

∈ V cualquiera con

− L(u + w) = − L(w) =

Como u es solución de (P ), entonces a(u, w) = L(w), por otro lado a(w, w) 0, por tanto, 1 J (v) = J (u) + a(w, w) J (u), 2

≥

≥

y esto es cierto v

∀ ∈ V con v = u.

Veamos la demostraci´ on del rec´ıproco. Sea u solución del problema de optimización (Q), entonces v V y λ > 0,

∀ ∈

J (u) J (u + λ(v u)) J (u) 21 a(u + λ(v u), u + λ(v u)) L(u + λ(v u)) 2 J (u) 21 a(u, u) + λa(u, v u) + λ2 a(v u, v u) L(u) 2 0 λa(u, v u) + λ2 a(v u, v u) λL(v u) 0 λ2 a(v u, v u) + a(u, v u) L(v u).

≤ ≤

≤ ≤ ≤

− −

−

−

−

−

− − − − − − − − − − − − − 34

− λL(v − u)

´ 2.2. PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO ASOCIADO AL

−

OPERADOR +

Tomando el l´ımite cuando λ

→→ 0 , tenemos, 0 ≤ a(u, v − u) − L(v − u). Como esta desigualdad es cierta ∀v ∈ V , podemos tomar v + u en lugar de u, de donde,

≤ a(u, v) − L(v), ∀v ∈ V, y de la misma forma, tomando−v en lugar de v, 0 ≥ a(u, v) − L(v), ∀v ∈ V, 0

de donde se deduce, a(u, v) = L(v),

∀v ∈ V.



2.2.

Problema de Dirichlet homog´ eneo asociado al operador

−

Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: (PDH1) Dada f L 2 (Ω), hallar u definida en Ω y soluci´ on de,

∈

−u

= f en Ω u = 0 sobre Γ

Supongamos que u es suficientemente regular de modo que la ecuaci´ on anterior tenga sentido, por ejemplo u H 2 (Ω), entendiendo las derivadas en el sentido de las distribuciones. Multiplicando la primera ecuaci´ o n por una función test v H 01 (Ω) e integrando en Ω,

∈

∈

 −  uvdx =

Ω

fvdx.

Ω

35


−

OPERADOR

Utilizando la fórmula de Green, teniendo en cuenta que v Γ = 0, tenemos,

|

 −  ∇ · ∇ uvdx =

u

Ω

vdx,

Ω

de modo que la ecuación anterior queda,

 ∇ · ∇  u

vdx =

1 0

fvdx,

Ω

∀v ∈ H (Ω).

Ω

Esta ecuaci´ on tiene sentido aunque u no esté en H 2(ω), basta con que u

∈

H 1 (Ω). Por otro lado, al ser u = 0 sobre Γ y por las propiedades de Γ tenemos que u

1 0

∈ H (Ω). As´ı podemos reemplazar el problema anterior por

´ VARIACIONAL O el siguiente, que recibe el nombre de FORMULACION ´ DEBIL, (PDH2) Dada f L 2 (Ω), hallar u H 01 (Ω) tal que,

∈

∈

 ∇ · ∇  u

vdx =

1 0

fvdx,

Ω

∀v ∈ H (Ω).

Ω

Teorema: El problema anterior tiene soluci´ on u ńica. Demostración: Basta demostrar que se verifican las condiciones del teorema de Lax-Milgram, siendo, V = H 01 (Ω), a(u, v) = Ω u L(v) = Ω fvdx.

  ∇ · ∇

vdx,

Evidentemente a( , ) es bilineal. La continuidad se obtiene gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, en efecto,

··

   ∇ · ∇ ≤           ≤ a(u, v) =

Ω

d i=1

Ω

= u 1,Ω v

1,Ω

u

d ∂u ∂v i=1 Ω ∂x i ∂x i dx 1/2 d ∂v 2 dx i=1 Ω ∂x i

vdx =

1/2 ∂u 2 dx ∂x i

| | | | ≤ u v 1,Ω

1,Ω .

36

=


−

OPERADOR

La V -elipticidad se obtiene por la equivalencia de normas en H 01(Ω), por ser Ω acotado, ya que en este caso se verifica la desigualdad de Poincaré, en efecto,

    d

a(v, v) =

i=1

Ω

∂v 2 dx = v ∂x i



 Ω

 Ω

2 1,Ω .

→ R con L(v) = fvdx, es evidentemente lineal, fvdx ≤ f  v  ≤ f  v  , y por tanto conti-

Finalmente L : H 01 (Ω) y además L(v) = nua.

2 1,Ω

| | ≥ αv

0,Ω

0,Ω

0,Ω

1,Ω

Comentarios: 1. Observar que evidentemente una soluci´ on del problema fuerte (PDH1) es solución del problema débil (PDH2). Rec´ıprocamente, si u H 01 (Ω) es solución del problema débil (PDH2), entonces podemos recuperar las ecuaciones de la formulaci´ on fuerte en el sentido de las distribuciones y el teorema de la traza. En efecto, como (Ω) es denso en H 01(Ω), tenemos que la ecuaci´ on de la formulaci´ on débil también es cierta ϕ (Ω),

∈

D

D

∀ ∈

 ∇ · ∇  u

ϕdx =

∀ϕ ∈ D(Ω), que interpret´ andolo como productos de dualidad entre D(Ω) y D (Ω), Ω

fϕdx,

Ω

equivale a,

∇u, ∇ϕ = f, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω), y aplicando la definici´ on de derivada en el sentido de las distribuciones,

−∆u, ϕ = f, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω). De este modo recuperamos la primera ecuaci´ on en el sentido de las distribuciones, ∆u = f, en (Ω),

−

D

en particular, como f L2 (Ω), se tiene,

∈

−∆u = f, 37

en L  2 (Ω),

´ 2.3. PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO ASOCIADO AL

− + ID

OPERADOR

y por las propiedades de las funciones de L  2 (Ω)

−∆u = f,

en c.t.p. de Ω.

Por u´ltimo, por las condiciones de la frontera del dominio, podemos aplicar el teorema de la Traza de modo que, al ser u H 01 (Ω), entonces u Γ = 0.

∈

|

2. Observar también que al ser la aplicaci´ on bilineal de este caso simétrica, el problema débil es equivalente al siguiente problema de optimizaci´ on, Dada f L 2 (Ω), hallar u

∈

1 0

∈ H (Ω) tal que, J (u) = m´ın J (v) v V

∈

donde J (v) =

2.3.

1 2

    −  d i=1

Ω

∂v 2 dx ∂x i

fvdx.

Ω

Problema de Neumann homog´ eneo asociado al operador + Id

−

Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: (PNH1) Dada f L 2 (Ω), hallar u definida en Ω y solución de,

∈

−u + u ∂u ∂γ

= f en Ω = 0 sobre Γ

Supongamos que u es suficientemente regular, por ejemplo u H 2(Ω). Multiplicamos la primera ecuaci´ o n de (PNH1) por una funci´ o n test v

∈

H 1 (Ω) e integramos en Ω,

 −   uvdx +

Ω

uvdx =

Ω

38

fvdx.

Ω

∈


− + ID

OPERADOR

Utilizando la fórmula de Green, teniendo en cuenta que

 −  ∇ · ∇ uvdx =

u

Ω

∂u = ∂γ Γ

|

0, tenemos,

vdx,

Ω

de modo que la ecuación anterior queda,

 ∇ · ∇   u

vdx +

uvdx =

Ω

fvdx,

Ω

Ω

1

∀v ∈ H (Ω).

Podemos reemplazar el problema anterior por la correspondiente FOR´ VARIACIONAL O DEBIL, ´ MULACION (PNH2) Dada f L 2(Ω), hallar u H 1 (Ω) tal que,

∈

∈

 ∇ · ∇   u

vdx

Ω

uvdx =

Ω

fvdx,

Ω

1

∀v ∈ H (Ω).

Teorema: El problema anterior tiene solución unica. ´ Demostración: Se demuestra aplicando el teorema de Riesz-Frechet siendo, V = H 1 (Ω), a(u, v) = di=1 Ω L(v) = Ω fvdx.

  

∂u ∂v dx + ∂x i ∂x i

 Ω

uvdx = (u, v)1,Ω ,

·

donde como vimos antes L( ) es lineal y continua, y como la aplicaci´ on bilineal a( , ) es directamente el producto escalar en H 1 (Ω), aplicando directamente el teorema de Riesz-Frechet, tenemos que el problema (PNH2) tiene soluci´ on u ńica.

··



Comentarios: 1. Es evidente que una soluci´ o n del problema fuerte (PNH1) es solución del problema d´ ebil (PNH2). Veamos en que medida una solución del problema débil (PNH2) es también soluci´ o n del problema 39


− + ID

OPERADOR

fuerte (PNH1). Si u es soluci´ on del problema débil (PNH2), como (

D(Ω) ⊂ H Ω), se verifica,

 ∇ · ∇   u

ϕdx +

Ω

uϕdx =

fϕdx,

Ω

∀ϕ ∈ D(Ω).

Ω

D(Ω) y

Interpretando las integrales como productos de dualidad entre (Ω), podemos escribir,

D

∇u, ∇ϕ + u, ϕ = f, ϕ, ∀ϕ ∈ D(Ω), y como por definición de derivada en el sentido de las distribuciones u, ϕ = ∆u, ϕ , podemos recuperar la ecuaci´ on de la formulación fuerte en el sentido de las distribuciones,

∇ ∇  −



−∆u + u = f

en

D(Ω).

De hecho, como f L 2(Ω), se tiene,

∈

en L2 (Ω).

−∆u + u = f

Para recuperar la condici´ on de contorno se necesita cierta regularidad en la solución. En efecto, si suponemos que u H 2 (Ω), tiene sentido integrar por partes en la ecuaci´ on de la formulación débil tenemos,

∈

 −

( ∆u + u)vdx +

Ω

 Γ

∂u vdσ = ∂γ



fϕdx,

Ω

2

−∆u + u = f en L (Ω), entonces,

pero como ya hemos recuperado

 Γ

Como u

∂u vdσ = 0, ∂γ ∂u ∂γ Γ

2

1/2

∀v ∈ H 2

(Γ). 1/2

∈ H (Ω) entonces | ∈ L (Γ), y al ser H L (Γ), se tiene que | = 0 en L (Γ). 2

∂u ∂γ Γ

(Γ) denso en

2

Observar que para recuperar la condici´ on de contorno es imprescindible la hipótesis de regularidad u H 2 (Ω).

∈

40

´ 2.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NO HOMOGENEO ASOCIADO AL

−

OPERADOR

2. Al ser a( , ) el producto escalar en H 1(Ω), es simétrico, y tenemos la equivalencia del problema (PNH2) con el problema de optimización,

··

Dada f L 2 (Ω), hallar u

∈

1

∈ H (Ω) tal que, J (u) = m´ın J (v) v V

∈

donde J (v) =

1 2

       −  d i=1

Ω

∂v 2 dx + ∂x i

Ω

uvdx

Ω

fvdx.

3. En el problema de Neumann las condiciones de contorno se recogen directamente en la formulaci´ on variacional, mientras que en el problema de Dirichlet aparecen en el espacio funcional elegido para resolver el problema.

2.4.

Problema de Dirichlet no homog´ eneo asociado al operador

−

Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: (PD1) Dada f de,

2

1/2

∈ L (Ω) y g ∈ H

(Γ), hallar u definida en Ω soluci´ on

= f en Ω u = g sobre Γ

−u 2

∈ H (Ω), multiplicamos la primera ecuación de (PD1) por una funci´ on test v ∈ H (Ω) e integramos en Ω. Aplicando la fórmula de Supongamos que u

1 0

Green obtenemos que la función u verifica,

 ∇ · ∇  u

Ω

vdx =

fvdx,

Ω

1 0

∀v ∈ H (Ω).

Esta formulaci´ o n no encaja en el marco abstracto del teorema de LaxMilgram puesto que u H 1 (Ω) con u Γ = g y v H 01 (Ω). Sin embargo, como

∈

|

41

∈

´ 2.4. PROBLEMA DE DIRICHLET NO HOMOGENEO ASOCIADO AL

−

OPERADOR

g H 1/2 (Γ), existe una funci´ on u0 H 1(Ω) tal que u 0 Γ = g. Sea w = u u0 , entonces w Γ = 0, y si u es solución de la ecuaci´ on anterior, entonces w lo es de la siguiente,

∈

∈

|

|

 ∇ · ∇  −  ∇ w

vdx =

fvdx

Ω

1 0

u0

Ω

−

· ∇vdx, ∀v ∈ H (Ω).

Ω

De esta forma hemos trasladado el problema al caso homogéneo, de modo que el problema variacional es, (PD2’) Dada f L 2 (Ω) y g

∈ ∇w · ∇vdx =

 Ω

1 0

  Ω

1

donde u0

1/2

∈ H (Γ), hallar w ∈ H (Ω) tal que, fvdx − ∇u · ∇vdx, ∀v ∈ H (Ω) 1 0

0

Ω

∈ H (Ω) con u |

= g . Resuelto este problema, la solucci´ on que buscamos es u = w + u0 . Por tanto, el problema variacional que realmente resolvemos es, 0 Γ

(PD2) Dada f L 2 (Ω) y g

1/2

∈ H

∈

(Γ), hallar u H 1 (Ω) tal que,

∈

 ∇ · ∇  u

Ω u Γ = g

vdx =

|

Ω

1 0

∀v ∈ H (Ω)

fvdx,

on u ńica. Teorema: El problema anterior tiene soluci´ Demostración: Sea u0 H 1 (Ω) tal que u0 Γ = g y w solución del problema (PD2’), veamos que w existe y es u ´ nica. Si demostramos que la siguiente aplicación, R H 01 (Ω) v u0 vdx Ω

∈

|

−→  −→ ∇

·∇

es lineal y continua, estaremos en las condiciones del teorema de Lax-Milgram como en el caso homogéneo. Evidentemente es lineal, la continuidad se obtiene gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz y al hecho de ser u0 fijo, en efecto,

 ∇ · ∇     ≤    ≤  ≤  Ω

u0

vdx =

d i=1 Ω

= u0

∂u 0 ∂x i

d ∂u 0 ∂v i=1 Ω ∂x i ∂x i dx 1/2 2 d dx i=1

| | |v| ≤ |u | v 1,Ω

1,Ω

0 1,Ω

1,Ω

42

Ω

1/2 ∂v 2 dx ∂x i

=

´ 2.5. PROBLEMA DE NEUMANN NO HOMOGENEO ASOCIADO AL

− + ID

OPERADOR

Por tanto tenemos, V = H 01 (Ω), a(u, v) = Ω u L(v) = Ω fvdx

  ∇ −· ∇ ∇

vdx, bilineal, continua y H 01 (Ω)-el´ıptica u0 vdx, lineal y continua. Ω

·∇

y por el teorema de Lax-Milgram existe una uńica w H 01 (Ω) soluci´ on del problema (PD2’). Entonces u = w + u0 es solución del problema (PD2), pero como la elecci´ on de u 0 no es u ńica, tenemos que demostrar la unicidad de u.

∈

Sean u1 y u 2 dos soluciones del problema (PD2), entonces se verifica,

 ∇  |∇

u1 Ω u1 Γ = g u2 Ω u2 Γ = g

|

· ∇vdx = · ∇vdx =

  Ω

f vdx,

Ω

f vdx,

1 0

∀v ∈ H (Ω) ∀v ∈ H (Ω) 1 0

restando las dos expresiones,

 ∇ Ω

(u1 tomando v = u 1 C u1

· ∇vdx = 0, ∀v ∈ H (Ω)

− − | 1 0

− u ∈ H (Ω), resulta, 2

2 2 1,Ω

2 2 1,Ω =

 − u  ≤ |u − u |

por tanto u1 

2.5.

1 0

(u1 u2 ) u2 ) Γ = 0

2 2 1,Ω =

 − u 

1

 ∇

(u1

Ω

− u ) · ∇u − u dx = 0, 2

1

2

0 en H 1 (Ω), luego u1 = u 2 en H 1 (Ω).

Problema de Neumann no homog´ eneo asociado al operador + Id

−

Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. El problema a resolver es: 43

´ 2.5. PROBLEMA DE NEUMANN NO HOMOGENEO ASOCIADO AL

− + ID

OPERADOR

(PN1) Dadas f L 2 (Ω) y g

∈

de,

1/2

∈ H

−u + u

(Γ), hallar u definida en Ω y soluci´ on

= f en Ω = g sobre Γ

∂u ∂γ

Supongamos que u H 2 (Ω), multiplicamos la primera ecuaci´ on de (PN1) por una funci´ on test v H 1 (Ω) e integramos en Ω. Aplicando la fórmula de Green obtenemos,

∈ ∈

 ∇ · ∇  −  u

vdx +

Ω

uvdx

Ω

Γ

∂u vdσ = ∂γ



1 0

fvdx,

∀v ∈ H (Ω).

Ω

El correspondiente problema variacional o formulaci´ on débil es, (PN2) Dadas f L 2 (Ω) y g

1/2

∈ H

∈


 ∇ · ∇    u

Ω

vdx +

uvdx =

Ω

fvdx +

∈

gvdσ,

Ω

Γ

1

∀v ∈ H (Ω).

on u ńica. Teorema: El problema anterior tiene soluci´ Demostración: La demostraci´ on es como en el caso homogéneo, aplicando el teorema de Riesz-Frechet donde, V = H 1 (Ω), ∂u ∂v a(u, v) = di=1 Ω ∂x dx + i ∂x i L(v) = Ω fvdx + Γ gvdσ.

     −→  −→ ·∇

uvdx = (u, v)1,Ω ,

Ω

Basta demostrar que la siguiente aplicaci´ on es lineal y continua, R H 1 (Ω) v gu 0 Γ

vdσ.

Evidentemente es lineal, veamos la continuidad, que se obtiene gracias a la desigualdad de Cauchy-Schwartz, al teorema de la traza y al hecho de ser g fijo, en efecto,

 ≤       gvdσ Γ = g 0,Γ v

1/2

g 2 dσ Γ C g 0,Γ

v 2 dσ Γ v 1,Ω

    ≤     44

0,Γ

1/2

=

2.6. PROBLEMA DE CONTORNO ASOCIADO A UN OPERADOR EL´ IPTICO DE SEGUNDO ORDEN

Por tanto, estamos en condiciones de aplicar el teorema de Riesz-Frechet que nos asegura la existencia y uniicidad de la soluci´ on. 

2.6.

Problema de contorno asociado a un operador el´ıptico de segundo orden

Sea Ω un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos. Sea V un subespacio cerrado de H 1 (Ω) tal que, H 01 (Ω) Sean ai,j , 1

1

⊆ V ⊆ H (Ω).

≤ i, j ≤ d y a funciones medibles y acotadas en Ω, es decir, 0

funciones de L∞ (Ω). Definamos la siguiente aplicación, a( , ) : V V u, v

··

×

−→ R − → a(u, v) =

   Ω

d ∂u ∂v i,j=1 ai,j ∂x j ∂x i



+ a0 uv dx

que es una forma bilineal y continua en H 1 (Ω) H 1(Ω). Supongamos que ai,j , 1 i, j d y a0 verifican las hipótesis de elipticidad:

≤ ≤

×

1. Existe un n´ umero real α > 0 tal que, d

d

∀ξ ∈ R ,



2

ai,j (x)ξ i ξ j

≥ |ξ | , c.t.p. en Ω.

i,j=1

2. Existe un n´ umero real α0 tal que,

∀x ∈ Ω, a (x) ≥ α , c.t.p. en Ω. 0

0

De estas hip´ o tesis se deduce que a( , ) es V -el´ıptica si α0 > 0. Cuando

··

V = H 1(Ω) la condici´ on α0 > 0 es necesaria y suficiente para que la forma bilineal a( , ) sea V -el´ıptica. Por el contrario, cuando V = H 01 (Ω), para que

··

45


la forma bilineal a( , ) sea V -el´ıptica, basta que α0 0, o incluso es suficiente que α 0 > C 2α(Ω) , donde C (Ω) es la constante de la desigualdad de Poincaré.

−

··

≥

Finalmente, sea f L 2 (Ω) y definamos,

∈

−→ R − → L(v) =

L( ) : V v

·

que es lineal y continua en V .



fvdx

Ω

Definamos el siguiente problema, (PV) Dadas a( , ) y L( ) definidas sobre V como antes, hallar u tal que,

··

·

a(u, v) = L(v)

1

∈ H (Ω)

∀v ∈ V.

Si la forma bilineal a( , ) es V -el´ıptica, el teorema de Lax-Milgram nos da la existencia y unicidad de la solución de (PV).

··

Veamos como recuperar el problema fuerte a partir de esta formulaci´ on variacional. Si elegimos una funci´ on ϕ (Ω) en lugar de v V , utilizando las reglas de derivación en el sentido de las distribuciones, obtenemos,

∈D

∈

a(u, ϕ) = Au,ϕ ,





donde A es el operador diferencial el´ıptico de segundo orden con coeficientes variables definido por, d

Au =

   −

∂ ∂u ai,j + a0 u. ∂x ∂x i j i,j=1

Por otra parte, L(ϕ) = f, ϕ . Por tanto, se verifica la ecuaci´ on en derivadas parciales de segundo orden, Au = f

 

en el sentido de las distribuciones sobre Ω. Pero como f L2 (Ω), entonces la distribución Au L2 (Ω), y la igualdad anterior es cierta en L2 (Ω), y en consecuencia, Au(x) = f (x) c.t.p. en Ω.

∈

∈

46


Teniendo en cuenta que Au = f L 2 (Ω), deducimos también,

∈

a(u, v) =



Auvdx

∀v ∈ V,

Ω

relación que tenemos que traducir en términos de condiciones de contorno. Para esto es para lo que necesitamos suponer que la frontera Γ de Ω es de clase C 1 a trozos, es decir, que estamos en las condiciones del teorema de la traza. Supongamos adem´ as que las funciones ai,j , 1 i, j d son funciones de C 1 (Ω) y que u

≥ ≥

1

∈ H (Ω), por tanto las funciones



d ∂u j=1 ai,j ∂x j ,

1

≤ i ≤ d,

pertenecen a H 1 (Ω). Entonces, aplicando la f´ ormula de Green generalizada, tenemos que u H 2 (Ω) y v

∀ ∈ Auvdx = −

      − Ω

1

∀ ∈ H (Ω),

d i,j=1 f rac∂∂xi

Ω d ∂u = Ω i,j=1 ai,j ∂xj frac∂v∂xi dx + ∂u = a(u, v) vdσ, Γ ∂γ A

donde el operador

∂ ∂γ A

     −

∂u ai,j ∂x vdx + Ω a0 uvdx = j d ∂u a uvdx 0 i,j=1 ai,j ∂x j γ i vdσ = Ω Γ



d ∂ i,j=1 ai,j ∂x j γ i se

=

asociada al operador A.

denomina derivada conormal

Por lo tanto, despejando, a(u, v) =



Auvdx +

Ω

 Γ

∂u vdσ, ∂γ A

por lo que podemos deducir que,

 Γ

∂u vdσ = 0, ∂γ A

∀v ∈ V.

Observar que si las hip´ otesis de regularidad no se verifican, la derivada conormal no tiene sentido. En resumen, la soluci´ on u de (PV) verifica:

 

u V, Au = f en Ω, a(u, v) = Ω Auvdx

∈



47

∀v ∈ V,


donde esta u´ltima ecuaci´ on, en condiciones de regularidad suficientes se puede sustituir por, ∂u vdσ = 0, v V. Γ ∂γ A



∀ ∈

Veamos que problema fuerte estamos resolviendo seg´ un la elecci´ on de V . ´ 1. V = H 01 (Ω) PROBLEMA DE DIRICHLET HOMOGENEO El problema resuelto es,

⇒

 En este caso α0

≥ 0 o α

0

Au = f en Ω, u = 0 sobre Γ. α > C −2(Ω) es suficiente para que el problema

variacional tenga soluci´ on uńica. ´ 2. V = H 1 (Ω) PROBLEMA DE NEUMANN HOMOGENEO El problema resuelto es,

⇒



Au = f en Ω, ∂u = 0 sobre Γ. ∂γ a

En este caso es necesario suponer α0 > 0 para que el problema variacional tenga soluci´ on uńica. 3. V = v H 1 (Ω); v = 0 sobre Γ0 El problema resuelto es,

{ ∈



} ⇒ PROBLEMA MIXTO

Au = f en Ω, ∂u u = 0 sobre Γ0 , ∂γ = 0 sobre Γ1 , a

∪

donde Γ0 y Γ1 son dos partes de la frontera Γ tales que Γ = Γ0 Γ1 y con interiores disjuntos. La aplicaci´ on composici´ on de la aplicaci´ on traza H 1 (Ω) L 2(Γ) y de la

→

aplicación restricci´ on de L 2(Γ) sobre L 2(Γ0 ) es evidentemente continua de H 1 (Ω) en L2 (Γ0 ). Es sencillo comprobar que V es un subespacio cerrado de H 1 (Ω) y por lo tanto espacio e Hilbert con la norma inducida 48


por la de H 1 (Ω). Si suponemos que α0 > 0 entonces la aplicaci´ on bilineal a( , ) es V -el´ıptica y el correspondiente problema variacional tiene soluci´ on uńica. Este resultado se puede generalizar al caso α 0 0 si suponemos que Ω es conexo y la parte de la frontera con condiciones de tipo Dirichlet Γ0 , tiene medida no nula, pues en este caso la V -elipticidad de la aplicación bilineal a( , ) es consecuencia del siguiente teorema.

··

≥

··

Teorema: Si Ω es un abierto acotado de Rd con frontera Γ de clase C 1 a trozos y Γ0 una parte de la frontera de medida superficial no nula, entonces la seminorma 1,Ω induce una norma sobre el espacio

| · | V = {v ∈ H (Ω); v = 0 sobre Γ } equivalente a la norma  ·  1

1,Ω .

0

Demostración: Veamos que la siguiente aplicaci´ on es una norma sobre V ,

−→ R v −→ |v | V

1,Ω =

Basta demostrar que si v



d i=1



 

∂v 2 ∂x i 0,Ω

1/2

∈ V es tal que |v| = 0 entonces v = 0. En efecto, si |v | = 0 entonces = 0 en Ω, ∀i = 1, . . . , d, por tanto v es constante en Ω en virtud de su conexidad, pero como además v | = 0, 1,Ω

∂v ∂x i

1,Ω

Γ0

entonces v = 0 en Ω. Veamos ahora la equivalencia de las normas, es decir, que existen dos constantes C 1 y C 2 positivas tales que v V ,

∀ ∈ C v  ≤ |v | ≤ C v  1

1,Ω

1,Ω

2

1,Ω .

Evidentemente, la segunda desigualdad es cierta para C 2 = 1. La primera desigualdad se deduce por reducci´ on al absurdo. Supongamos que esta desigualdad no es cierta, entonces n entero positivo, existe una función wn V tal que wn 1,Ω > n wn 1,Ω . Sea vn = w n/ wn 1,Ω , as´ı obtenemos unan sucesi´ on vn V tal que vn 1,Ω = 1 y vn 1,Ω < 1/n.

∈

  { } ⊂

∀ | |

 

  | |

Por el teorema de Rellich, la inyecci´ on can´ onica de H 1 (Ω) en L2 (Ω) es compacta, por tanto, podemos extraer una subsucesión convergente vµ convergente en L2 (Ω),

{ }

vµ

v −−−→ →∞ µ

49

en L2(Ω).

2.7. UN EJEMPLO SIN UNICIDAD

Pero tenemos que vµ se tiene

∂v µ ∂x i

0, por tanto para i = 1, . . . , d, | | < 1/µ −−−→ →∞ < 1/µ −−−→ 0, es decir, . Luego v es constante en Ω →∞ 1,Ω

µ

∂v ∂x i

µ

y como v Γ0 = 0, entonces v = 0 en Ω, pero esto no es posible porque v 1,Ω = l´ımµ→∞ vµ 1,Ω = 1.

|



 



Ejemplo:Problema

´ n de transmimixto asociado ala ecuacio

´ n de calor. sio

Consideremos el problema de la determinaci´ on de la distribución de la temperatura u de un cuerpo que ocupa una región Ω del espacio Rd , siendo d = 1, 2 o´ 3. En f´ısica e ingenier´ıa se conoce con frecuencia la temperatura de una parte Γ0 de la frontera de Ω, y en el resto de la frontera Γ1 , se conoce sino el flujo de calor, una relación que liga éste con la temperatura en Γ1, que suele ser una condici´ on de transmisión de calor por convecci´ on en la frontera y que depende de un coeficiente h de convecci´ on. Las ecuaciones que rigen este fen´ omeno son,

−

   d ∂ ∂u i,j=1 ∂x i K i,j ∂x j d ∂u i,j=1 K i,j ∂x j γ i

= f = h(u u = g

−

− u∞)

en Ω sobre Γ1 sobre Γ0

∈ L∞(Ω) es el tensor de conductividad, que se supone el´ıptico, es decir, existe una constante α > 0 tal que − K ξ ξ ≥ α |ξ | ∀ξ ∈ R . Si donde K i,j



d i,j=1

i,j i j

2

d

K = kId, se dice que el medio es isótropo, es decir, el calor se transmite igual en todas direcciones. h L ∞ (Γ1 ), es el coeficiente de convecci´ on, u∞ L2 (Γ1 )

∈

es la temperatura ambiente, f L 2 (Ω) es la fuente de calor y g es la temperatura en Γ0 .

2.7.

1/2

∈ H

∈

(Γ0 )

Un ejemplo sin unicidad

Observemos el problema de Neumann asociado al operador de Laplace, 50


(P1) Dadas f L 2(Ω) y g

∈

de,

1/2

∈ H

−u

(Γ), hallar u definida en Ω y soluci´ on

= f en Ω = g sobre Γ

∂u ∂γ

En caso de que tenga soluci´ on, ésta no ser´ıa uńica pues cualquier soluci´ on más una constante ser´ıa también soluci´ on. En el caso no homogéneo podemos caracterizar el conjunto de soluciones. Razonemos desde el punto de vista f´ısico de la ecuaci´ on del calor, u representa la temperatura de un cuerpo, f L2 (Ω) son las fuentes volum´ etricas

∈

de calor, y g L2 (Γ) las fuentes superficiales de calor. Estamos buscando una soluci´ on estacionaria, es decir, independiente del tiempo, pero si el aporte global de calor al cuerpo es positivo (resp. negativo), la temperatura del mismo aumentar´ a (resp. disminuir´ a) con el tiempo y por tanto la soluci´ on no ser´ıa estacionaria. Luego parece un requisito indispensable para que nuestro problema tenga al menos una soluci´ on, que el aporte global de calor sea nulo, lo que matemáticamente se expresa,

∈

  fdx +

Ω

gdσ = 0

Γ

El correspondiente problema variacional, procediendo como de costumbre, es, (P2) Dadas f L 2 (Ω) y g

∈

1/2

∈ H


 ∇ · ∇   u

vdx =

Ω

fvdx +

Ω

gvdσ,

Γ

∈

1

∀v ∈ H (Ω).

Inicialmente nuestro espacio de trabajo ser´ıa V = H 1 (Ω), y la forma bilineal a(u, v) =

 ∇ · ∇ Ω

u

vdx, que no es el´ıptica sobre H 1 (Ω), y por tanto

no podemos aplicar el teorema de Lax-Milgram. Sin embargo, el hecho de que una solución venga determinada salvo constantes, nos lleva a introducir un nuevo espacio de clases de funciones, el 51


espacio cociente V = H 1(Ω)/R, cuyos elementos son clases de equivalencia u, donde dos funciones u1 , u2 H 1 (Ω) pertenecen a la misma clase de equivalencia si u1 u2 = cte.



−

∈

Este espacio cociente V , es un espacio vectorial normado con la suma, producto por escalares y norma habituales,  u + v = u + v, λu = λu, u V = inf u∈ue u

   



1,Ω .

Además V es un espacio completo por ser H 1 (Ω) completo con la norma 1 1,Ω y R un subespacio cerrado de H (Ω).

·

Por otro lado, podemos definir un producto escalar en V ,

   ∇ ·∇ ∈  ∈        ||   ||   (u, v )V =

u

vdx,

Ω

con u

uyv

v , y su correspondiente norma asociada, d

u V =

(u, u)1/2 V

∂u 2 dx ∂x i

=

i=1

Ω

1/2

.

Teorema: La norma u V = (u, u)1/2 V es equivalente a la norma cociente en V = H 1 (Ω)/R. Demostración: En concreto, vamos a demostrar que u V = u

 

| |

Primero observemos que u

∀ ∈ u, se tiene,

          || ≤ ∀ ∈  || ≤    d

u 2V =

i=1

y como es u

Ω

∂u 2 dx ∂x i

d

i=1

Ω

∂u 2 dx + ∂x i

u, tomando ´ınfimos, u 2V

inf u∈ue u 52

1,Ω

= u

V .

u2 dx = u

Ω

 

V .

2 1,Ω ,


Rec´ıprocamente, por reducci´ on al absurdo, supongamos que no es cierta la desigualdad inversa, es decir, que para todo entero positivo n, existe una clase wn tal que wn V < wn V /n. Denotemos un = wn / wn V , formando una sucesi´ on un V tal que un V = 1 y un V < 1/n. Como un V = ´ınf u∈ue u 1,Ω , existirá, cualquiera que sea n, un ε > 0 y un representante 1 + ε. Entonces un forman una sucesi´ on un un tales que un 1,Ω

 { |}⊂|    ∈   ≤ |  |

   || 

{ } acotada en H (Ω), por tanto existe una subsucesi´ on { u } en L (Ω), sea u su l´ımite. Por otra parte, como u < 1/ν → 0, tenemos que → 0 en 1

2

ν

∂u ν ∂x i

ν V

L2 (Ω), y por la continuidad de las derivadas en el sentido de las distribuciones, ∂u ∂x i

= 0, i = 1, . . . , d. Por tanto, u es constante, luego,

∀

u 



ν V =

´ınf

uν uν

∈f

u  ≤ u − u → 0, ν 1,Ω

ν

1,Ω

pero esto no es posible porque uν V = 1. Por tanto es cierta la desigualdad u V u V , u V .



 

  

| | ≥   ∀ ∈ 

Por tanto, V = H 1 (Ω)/R es un espacio de Hilbert en el que son normas equivalentes.

 ·  y | · | V

V

Por otro lado, definamos la siguiente forma lineal,

−→ R −→ ψ(v) =

ψ : V v

    ∀ ∈  ∈   −  −   Ω

fvdx +

gvdσ,

v

Γ

v.

Es fácil comprobar que est´ a bien definida, en efecto, sean v 1 , v2 f (v1

v2 )dx +

Ω

g(v1

v2 )dσ = C (

Γ

fdx +

Ω

v , entonces,

gdσ) = 0.

Γ

La linealidad es trivial, y la continuidad se obtiene por la desigualdad de Cauchy-Schwartz y el teorema de la traza, en efecto,

 



|ψ(v)| ≤ | fvdx| + | gvdσ| ≤ f  v ≤ (f  + C (Ω)g )v , ∀v ∈ v, Ω

0,Ω

Γ

0,Ω

0,Γ

1,Ω

0,Ω +



g v ≤ 0,Γ

0,Γ

y como esta desigualdad sigue siendo cierta tomando ´ınfimos en v mos, ψ(v ) ( f 0,Ω + C (Ω) g 0,Γ ) v V .

|

|≤  

∈ v, tene-



 

53



´ ELASTICA ´ ´ 2.8. DEFORMACI ON DE UN S OLIDO

Por tanto, simplemente aplicando el teorema de Riesz-Frechet en V , tenemos la existencia y unicidad del problema siguiente, Hallar una clase u

∈

2.8.

V = H 1 (Ω)/R unica ´ que verifica (u, v )V = ψ(v ),

v

   ∀ ∈

V.

Deformaci´ on el´ astica de un s´ olido

Consideremos un cuerpo s´ olido que se deforma el´ asticamente bajo la acció n de fuerzas exteriores. El cuerpo ocupa una regi´ on Ω del espacio Rd (d = 2, 3). Supongamos que una parte de la frontera Γ0 , de medida no nula en R d−1 , se mantiene fija. En el resto de la frontera Γ1 = Γ Γ0 , supongamos

\ →g = (g , . . . , g ) ∈ L (Γ) . En Ω que se ejercen unas fuerzas superficiales − −→ se ejercen unas fuerzas volum´ etricas f = (f , . . . , f ) ∈ L (Ω) . Debido a −→ →g , el cuerpo se deforma y cada punla acción de estas fuerzas exteriores f y − →u = (u , . . . , u ). Al deformarse, se generan en to sufre un desplazamiento − 1

1

1

d

d

    2

2

d

d

d

el cuerpo unas tensiones el´ asticas, caracterizadas por el tensor de tensiones σi,j ( u ), hasta que se logra un equilibrio con las fuerzas exteriores.

−→

Las ecuaciones que rigen este fen´ omeno se estudian en la teor´ıa de la elasticidad y son,

−

 

d ∂ j=1 ∂x j σi,j (

−→u )

= f i ui = 0 d j=1 σi,j ( u )ν i = g i

−→

en Ω, sobre Γ0, sobre Γ1,

i = 1, . . . , d , i = 1, . . . , d , i = 1, . . . , d .

Las primeras y u´ltimas ecuaciones representan el equilibrio entre las fuerzas exteriores y las fuerzas el´ asticas. Las segundas ecuaciones representan que en la parte de la frontera Γ0 no hay desplazamiento. El tensor de tensiones viene dado por la ley del comportamiento del material o ley de Hook,

−→

−→

−→

σi,j ( u ) = (div u )δ i,j + 2µεi,j ( u ) 54


donde,

− → →u ) = (−

(div u ) =

 1 2

d ∂u i i=1 ∂x i ∂u i i + ∂u ∂x j ∂x i



εi,j δ i,j = 1, si i = j, 0, resto, (delta de Kronecker), λ, µ 0, coeficientes de Lamé.

≥

Los coeficientes de Lamé dependen del material, est´ an directamente relacionados con el m´ odulo de Young y el coeficiente de Poisson del material. Veamos la correspondiente formulaci´ on variacional. Consideramos el es-

 

pacio H 1 (Ω) producto,

d

= H 1 (Ω)

d ...

1

× × H (Ω), que es un espacio de Hilbert con el

→u , −→v ) (−

d

   H 1 (Ω)

(ui , vi )1,Ω .

=

d

i=1

El espacio donde buscamos la soluci´ on, llamado espacio de desplazamientos admisibles es, V =

{−→v ∈

  H 1 (Ω)

d

: v i = 0 sobre Γ0 , i = 1, . . . , d .

} →v ∈ V , inteMultiplicando escalarmente el primer grupo de ecuaci´ o n por − grando en Ω y aplicando la f´ ormula de Green, tenemos,

  d

σi,j

Ω i,j=1

→u ) ∂v dx − (− i

∂x j

  d

σi,j

Γ1 i,j=1

→u )ν v dσ = (− j i

  d

f i vi dx.

Ω i=1

−→

Teniendo en cuenta que σi,j ( u ) es simétrico, y utilizando el tercer grupo de ecuación, queda,

  −→ −→     −→ ∈   −→ ∈   −→ ∈   −→ −→     d

d

d

σi,j ( u )εi,j ( v )dx =

i,j=1

Ω

f i vi dx +

i=1

Ω

i=1

gi vi dσ.

Γ1

Por tanto, el correspondiente problema variacional a resolver es, (PE) Dadas f

L2 (Ω)

d

y g

d

L2 (Γ) , hallar u

d

d

d

σi,j ( u )εi,j ( v )dx =

i,j=1

V tal que,

Ω

f i vi dx +

i=1

Ω

55

gi vi dσ,

i=1

Γ1

∀−→v ∈ V.


→ −∈

Esto significa que la posici´ on de equilibrio se obtiene para u V verificando esta ecuaci´ on para cualquiera que sea v V . Es lo que se conoce en f´ısica como principio de trabajos virtuales : el primer miembro representa el trabajo de las fuerzas elásticas y el segundo miembro el trabajo de las fuerzas exteriores.

−→ ∈

Para poder demostrar la existencia y unicidad de la solución de este problema se necesitan los siguientes resultados.

Lema (Desigualdad de Korn): Supongamos que Ω es un abierto acotado de Rd de frontera Γ de clase C 1 a trozos. Entonces,

{−→v ∈

 

−→ ∈ L (Ω), i, j = 1, . . . , d} = →v ∈ H (Ω) y existe una constante C = C (Ω) > 0 tal que ∀− E =

d

L2(Ω) ; εi,j ( v )

d



  1

−→ 

εi,j ( v )

i,j=1

2

2 0,Ω +

−→v 

=

d

,

2 0,Ω

2 1,Ω .

         −→       d

2 0,Ω

d

H 1 (Ω) ,

−→v  ≥ C −→v 

Se han utilizado sobre los espacios L2 (Ω) bertianas,

 

v

2 0,Ω

1/2

d

y H 1 (Ω)

d

las normas hil-

d

,

v

i=1

2 1,Ω =

v

2 1,Ω

1/2

.

i=1

La desigualdad de Korn no es en absoluto trivial pues el primer miembro sólo hace intervenir ciertas combinaciones lineales de las primeras derivadas, mientras que en el segundo miembro intervienen todas las derivadas. Como consecuencia de la desigualdad de Korn, tenemos el siguiente resultado que nos va a permitir demostrar la existencia y unicidad de la soluci´ on del problema variacional de la elasticidad (PE).

Teorema (Corolario de la desigualdad de Korn): Supongamos que Ω es un abierto acotado de Rd de frontera Γ de clase C 1 a trozos. Entonces 56


∀−→v ∈ V ,

existe una constante C 0 > 0 tal que, d



−→  ≥ C −→v 

εi,j ( v )

i,j=1

2 0,Ω

2 1,Ω .

0

Como consecuencia de estos dos resultados tenemos la existencia y unicidad de la solución del problema variacional de la elasticidad (PE). on uńica. Teorema: El problema (PE) tiene soluci´ Demostración: Denotemos,

− −→ → −→

  −→ −→    

a( u , v ) = di,j=1 Ω σi,j ( u )εi,j ( v )dx, ψ( v ) = di=1 Ω f i vi dx + di=1 Γ1Γ gi vi dσ. Por tanto el problema (PE) se escribe ahora,

−→ ∈ V tal que a(−→u , −→v ) = ψ(−→v ), ∀→ −v ∈ V. Es fácil ver que ψ(·) es lineal y continua, y que a(·, ·) es bilineal y continua. Hallar u

La V -elipticidad es consecuencia del corolario de la desigualdad de Korn, en efecto,

   −→   −→  ≥ −→

−→ −→

a( v , v ) = λ Ω (div v ) 2 dx + 2µ Ω 2µ di,j=1 εi,j ( v ) 20,Ω 2µC 0 v

≥

d i,j=1 (εi,j ( 2 1,Ω .

−→v )) dx ≥ 2

Y en estas condiciones, el teorema es consecuencia del Lax-Milgram. 

Equivalencia con un problema de optimizaci´ on. La forma bilineal a( , ) es simétrica, por tanto,

··

−→

Teorema: La solución u del problema (PE) verifica,

−→

−→

J ( u ) = − m´ın J ( v ), → v V

∈

57


donde,

  d

1 J ( v ) = 2 i,j=1

−→

σi,j

Ω

→v )ε (−→v )dx (− i,j

  − d

f i vi dx +

i=1

Ω

  d

i=1

gi vi dσ.

Γ1 Γ

La formulaci´ on del problema de elasticidad de esta forma se conoce en f´ısica como el principio de m´ınima energ´ıa, e indica que el estado de equilibrio de un cuerpo el´ astico se corresponde al de la m´ınima energ´ıa. La aplicaci´ on bilineal a( , ), representa el trabajo de deformaci´ o n elástica, la aplicaci´ on

··

−→

lineal ψ( ), el trabajo de las fuerzas exteriores, y el funcional J ( v ), la energ´ıa

·

−→

total del sistema correspondiente al estado v .

58

Cap´ıtulo 3 Aproximaci´ on num´ erica mediante el M´ etodo de Elementos Finitos 3.1.

Aproximaci´ on variacional abstracta

Consideremos el siguiente problema abstracto: Sean V un espacio de Hilbert

× V :→ R bilineal continua y el´ıptica < l, . >: V → R lineal y continua a(., .) : V

Hallar u V tal que

∈

a(u, v) =< l, v >

∀v ∈ V

(P )

(3.1.1)

⊂ V un subespacio de

El correspondiente problema aproximado será: Sea V h dimensión finita de V . Hallar uh

∈ V tal que h

a(uh , vh ) =< l, vh > 59

∀v ∈ V h

h

(P h )

(3.1.2)

´ VARIACIONAL ABSTRACTA 3.1. APROXIMACI ON

ńica. Teorema El problema aproximado (P h ) tiene solución u Demostración: a(., .) es bilineal, continua y el´ıptica sobre V h y < l,. > es lineal y continua en V h . Resolución Pr´ actica Sea [ϕ1 ,...,ϕN ] una base de V h. (P h ) se escribe Hallar uh =

 

N j j=1 uh ϕ j tal

que

N

a(ϕ j , ϕi )u jh =< l, ϕi >

i = 1,...,N

(3.1.3)

j=1

Es decir, un sistema algebraico lineal de ecuaciones.

Teorema de aproximaci´ on: lema de C´ ea Existe una constante C > 0 independiente de V h tal que

||u − u || ≤ C ´ınf ||u − v || ∈ h

h

vh V h

(3.1.4)

Demostración: a(u, v) =< l, v >

∀v ∈ V ∀v ∈ V

a(uh , vh ) =< l, vh > tomando en la primera v = v h

h

h

∈ V y restando a(u − u , v ) = 0 ∀v ∈ V h

h

h

h

h

de donde α u

|| − u || ≤ a(u − u , u − u ) = a(u − u , u − v ) ≤ M ||u − u ||.||u − v || h

h

h

h

h

h

||u − u || ≤ M ||u − v || ∀v ∈ V α h

h

60

h

h

h

´ VARIACIONAL ABSTRACTA 3.1. APROXIMACI ON

y finalmente ´ınf ||u − v || ||u − u || ≤ M α ∈ h

h

vh V h



Comentarios: 1. Si a(., .) es simétrica, se puede mejorar el resultado anterior. En efecto, para todo vh V h

∈ a(u − v , u − v ) = a(u − u + u − v , u − u + u − v ) = a(u − u , u − u ) + 2a(u − u , u − v ) + a(u − v , u − v ) h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

h

En el segundo miembro, el segundo término es nulo y el tercero es mayor o igual que cero. De donde α u

2

2

|| − u || ≤ a(u − u , u − u ) ≤ a(u − v , u − v ) ≤ M ||u − v || h

h

h

h

h

h

y finalmente

 || − || ≤ || −  || − || ≤ u

es decir

u

.

M u α

uh

vh

|| ∀v ∈ V h

M ´ınf u α vh∈V h

uh

h

|| − v || h

2. Si a(., .) es simétrica la soluci´ o n obtenida es la mejor posible en el sentido de la norma v A = a(v, v)1/2

|| ||

En efecto: a(u

− u , v ) = 0 ∀v ∈ V ||u − u || = a(u − u , u − u ) = a(u − u , u − v ) ≤ ||u − u || .||u − v || 2 h A

h

h

h

h

h

h

h

h

h A

h A

y finalmente

||u − u ||

h A

= ´ınf

vh V h

∈

||u − v ||

h A

Interpretaci´ on geométrica: uh es la mejor aproximaci´ on de u en el espacio V h , con respecto a la norma .

|| ||

A.

61

´ DE ESPACIOS DE ELEMENTOS FINITOS 3.2. CONSTRUCCI ON

3.2.

Construcci´ on de espacios de Elementos Finitos

El método de Elementos Finitos consiste en elegir un subespacio de V h y más precisamente una base de este subespacio en el que la funciones de dicha base son de peque˜ no soporte.

3.2.1.

Generalidades

Sea Ω R d , un abierto poliédrico de Rd (un pol´ıgono si estamos en R2 ) de frontera Γ.

⊂

Vamos a considerar una descomposici´ on finita de Ω:

∪ ∈T T

Ω=

T

h

tal que:

T es un poliedro de R de interior no vac´ıo. 2. Los interiores de dos poliedros distintos de T son disjuntos. 3. Toda cara de un poliedro T ∈ T es o bien una cara de otro poliedro 1. Cada elemento T de

d

h

h

1

h

T 2 , en cuyo caso T 1 y T 2 son adyacentes, o bien una parte de la frontera Γ de Ω

on de Ω verificando las propieades anteDefinici´ on: Toda descomposici´ riores se llama triangulaci´ on de Ω. En la figura 3.1 se muestra un ejemplo. Notación: h designar´ a en general una triangulaci´ o n de Ω tal que h = máxT ∈T h hT donde hT es el diámetro del poliedro T .

T

Un subespacio de V h de dimensió n finita de H 1(Ω) se puede construir, como se ver´ a más adelante, tomando por ejemplo, V h = v

0

{ ∈ C (Ω); v| ∈ P ∀T ∈ T } T

k

h

done P k designa un espacio de polinomios de grado k en el poliedro T . 62


Figura 3.1: Ejemplo de triangulaci´ on

3.2.2.

Concepto de Elemento Finito

Un Elemento Finito es una terna (T,P, Σ) donde 1. T Una parte compacta T de Rd conexa de interior no vac´ıo. 2. P es un espacio vectorial de dimensi´ on finita N cuyos elementos son funciones de T en R. 3. Σ es una base del espacio dual de P , es decir, N funciones lineales de P en R linealmente independientes. Base asociada a un elemento finito La base dual de Σ en P es la base asociada, es decir si Σ =

N i i=1

{L } , la base asociada al elemento finito (T,P, Σ) ser´ a el conjunto { p } ⊂ P tal que L ( p ) = δ . N j j=1

i

j

ij

Elementos Finitos de Lagrange 63


Definici´ on: Se dice que el conjunto a j

N j=1

{ }

si, dados N escalares reales cualesquiera α j p del espacio P y una sola tal que p(a j ) = α j

es P unisolvente si y solo

−

≤ j ≤ N , existe una función

1

≤ j ≤ N

1

Un Elemento Finito de Lagrange es entonces un Elemento Finito (K,P, Σ) en el que Σ = P unisolvente.

−

N i i=1 y

{a }

donde ai

N i=1 es

{ }

Interpretemos la definici´ on: Los puntos ai formas lineales del dual de P , en efecto

un conjunto de puntos de T ,

{ }

ai : P p

N i=1 se

pueden considerar como

−→ R −→ a ( p) = p(a ) i

i

Un Elemento Finito de Lagrange es entonces una terna (K,P, Σ) donde 1. T es una parte compacta de Rd conexa de interior no vac´ıo. 2. Σ = a j

N j=1 es

{ }

un conjunto finito de N puntos P unisolvente de T

−

3. P es un espacio vectorial de dimensión finita y compuesto por funciones definidas sobre T a valores reales. Dado un elemento finito (T,P, Σ) se llaman funciones de base a la base dual de Σ, es decir, a las N funciones pi 1 i N definidas por pi (a j ) = δ ij

≤ ≤ 1 ≤ j ≤ N

Comentario : Una condición necesaria para que el conjunto Σ sea P unisolvente es que la dimensión de P sea igual al cardinal de Σ = N . Una vez verificada esta condici´ on, tenemos dos criterios sencillos que aseguran la P unisolvencia de Σ.

−

−

64


1. Basta verificar que la u ńica funci´ on p P que se anula en Σ es la función nula. En efecto, cuando esta propiedad se satisface, la aplicaci´ on lineal

∈

L :

P p

N

−→ R −→ ( p(a )) j

N j=1

es inyectiva y por lo tanto biyectiva pues P es de dimensión N 2. Basta hallar las funciones pi N i=1 del espacio P verificando p i (a j ) = δ ij para probar la P unisolvencia. En efecto, si estas funciones existen, a todo conjunto de N escalares reales α j 1≤ j≤N le asociamos la funci´ on

{ }

−

{ }

p =



α j p j

≤ j ≤ N . Esto

Esta funci´ on es una función de P tal que p(a j ) = α j prueba que la aplicaci´ on

L :

P p

1

N

−→ R −→ ( p(a )) j

N j=1

es sobreyectiva y por tanto biyectiva.

Definici´ on: Operador de P interpolación sobre T .

−

Se llama operador de P interpolación de Lagrange sobre T al operador que a toda funci´ on v definida en T le asocia la función ΠT v definida por ΠT v = v(ai ) pi . ΠT v se llama la función interpolada de v.

−



La funci´ on ΠT v verifica ΠT v(a j ) =



v(ai ) pi (a j ) =



v(ai )δ ij = v(a j ) 1

Es pues la u ńica función p de P verificando p(a j ) = v(a j ). 65

≤ j ≤ N


3.2.3.

Elementos Finitos de Lagrange en un d simplex

−

Vamos aconstruir una clase de elementos finitos de Lagrange (T,P, Σ) donde T será un d simplex de Rd . Recordemos la noci´ on de d simplex:

−

−

∈ R

Consideremos d +1 puntos a j = (aij )di=1

d

1

≤ j ≤ d +1 no situados

en un mismo hiperplano de Rd , es decir, que la matriz

A =

 

a1,1 a1,2 ... a1,d+1 a2,1 a2,2 ... a2,d+1 ... ... ... ... ad,1 ad,2 ... ad,d+1 1 1 ... 1

 

sea no singular.

−

Se llama d simplex T de vértices a j a la envolvente convexa de los puntos a j . Si d = 2 se llaman triángulos y si d = 3 tetraedros. Coordenadas baricéntricas: Todo punto x de R d de coordenadas cartesianas x i 1 i d, está caracterizado dando d + 1 escalares λ j = λ j (x) 1 j d + 1 definidos como soluci´ on del sistema lineal

≤

≤ ≤

≤

d+1



aij λ j = x i

j=1

d+1



λ j = 1

j=1

cuya matriz es precisamente la matriz regular A. Los escalares λ j (x) 1 j d+1 se llaman las coordenadas baricéntricas del punto x con respecto a los puntos a j . Cada una de estas funciones es una

≤ ≤

función afin de Rd en R y se tiene para todo x d+1

x =



λ j (x)a j

j=1

66

∈R

d


El d simplex T definido por los vértices a j está caracterizado por

−

d+1

d

{ ∈R ;

T = x

x =



λ j (x)a j

0

j=1

≤ λ (x) ≤ 1, j

1

≤ j ≤ d + 1}

Observemos que λi (a j ) = δ ij para 1

≤ i, j ≤ d + 1.

Ejemplos 1. Tria-p1-c: K : Triángulo. P : Polinomios de grado 1. Σ: Los tres vértices del tri´ angulo. Es el ejemplo que hemos estudiado. Las funciones de la base local son pi = λ i . 2. Tria-p2-c: K : Triángulo. P : Polinomios de grado 2. Σ: Los tres vértices y los puntos medios de las aristas. Las funciones de P son pues funciones de la forma p(x, y) = a+bx+cy+ dxy + ex2 + f y2 . P es un espacio de dimensi´ on seis. La base asociada de P estar´ a formada por las seis funciones p i verificando p i (a j ) = δ ij . Para hallar las seis funciones de la base, podemos proceder de la manera siguiente: Llamemos ai , i = 1, 2, 3 los tres vértices y ai , i = 4, 5, 6 los tres puntos medios de las aristas (ver figura 3.2). Para hallar p1 , es decir una funci´ on que verifique p(a1 ) = 1 p(a j ) = 0 j = 1



Observemos que λ1 la coordenada baricéntrica que vale 1 en el nodo a1 y cero en a2 , a3, a4 no se anula en a5 , a6 donde vale λ1 (a5 ) = λ 1 (a6 ) = 1/2. Por tanto si tomamos p1 = λ 1 (2λ1 1)

−

verifica las propiedades requeridas. An´ alogamente las otras dos funciones asociadas a los vértices ser´ an p2 = λ 2 (2λ2 67

− 1)


p3 = λ 3 (2λ3

− 1)

Busquemos ahora p4 , p5 y p6, las funciones asociadas a los puntos medios de los lados. Basta observar que la funci´ on λ2 se anula en la recta a1 a5 a3 , y λ 3 se anula en la recta a 1 a6 a2 , por lo tanto λ 2 λ3 se anula en todos los puntos de Σ salvo en a4 donde vale λ2 (a4 )λ3(a4 ) = 1/2,1/2 = 1/4, de donde finalmente la funci´ on

− −

− −

p4 = 4λ2 λ3 será la funci´ on base asociada al nodo a4. Análogamente obtenemos p5 = 4λ1 λ3 p6 = 4λ1 λ2 En las figuras 3.3,3.4,3.5,3.6,3.7 y 3.8 se representan las gráficas de las funciones de la base pi , i = 1, ..., 6 en el tri´ angulo de referencia de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1). 3. Tetra-p1-c: K : Tretraedro. P : Polinomios de grado 1 de tres variables. Σ: Los cuatro vértices del tetraedro. Las funciones de la base local son pi = λ i , i = 1, 2, 3, 4.

3.2.4.

Un m´ etodo general para construir a partir de Σ) toda una familia de un elemento finito (Tˆ, Pˆ , ˆ elementos finitos (T,P, Σ)

ˆ de Rd , convexo y de interior no Consideremos un conjunto compacto T ˆ en Rd. Supongamos que T = F (T ) ˆ es una parte vac´ıo. F una aplicación de T compacta, conexa y de interior no vac´ıa (por ejemplo exigiendo que F sea ˆ en T ). biyectiva y bicontinua de T on F es biyectiva. Entonces si Teorema : Supongamos que la aplicaci´ (Tˆ , Pˆ , ˆ Σ) es un elemento finito de Lagrange, la terna (T,P, Σ) donde T = 68


a

3

3

a

4

2.5

a

2

2

a

5

1.5

1 a

6

0.5

0 0

a

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

1

Figura 3.2: tri´ angulo de seis nodos

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2 1 0.5 0

0

0.2

0.4

0.6

Figura 3.3: funci´ on p1

69

0.8

1


1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2 1 0.8

1 0.6

0.8 0.6

0.4 0.4 0.2

0.2 0

0


1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

−0.2 1 0.8

1 0.6

0.8 0.6

0.4 0.4 0.2

0.2 0

0


70


1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

1 0.8

0 0.6

0 0.2

0.4

0.4 0.6

0.2 0.8 1

0


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1 0.8

1 0.6

0.8 0.6

0.4 0.4 0.2

0.2 0

0


71


1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1 0.8

1 0.6

0.8 0.6

0.4 0.4 0.2

0.2 0

0

Figura 3.8: funci´ on p6 ˆ y donde P = p : T F (T ) finito de Lagrange.

{

ˆ es un elemento → R p ◦ F ∈ P ˆ } y Σ = F (Σ)

ˆ = aˆ j Demostración: Sea (Tˆ , Pˆ , ˆ Σ) un elemento finito donde Σ ˆ conjunto de N puntos distintos de T .

N j=1 es

{ }

un

Pongamos a j = F (â j ) 1 Entonces Σ = a j

N j=1

{ }

≤ j ≤ N 1 ≤ j ≤ N

ˆ en T = F (T ) ˆ Puesto que F es biyectiva de T ˆ = dim(P ) ˆ = dim(P ) card(Σ) = card(Σ) para demostrar que Σ es P -unisolvente basta obtener las funciones de base correspondientes a (T,P, Σ). Sean pî entonces

Σ), i = 1, ...N las funciones de base correspondientes a (Tˆ , Pˆ , ˆ pi = pî F −1

◦

i = 1,...,N

son las funciones de base correspondientes a P , en efecto pi

∈ P pues

∈ P ˆ

pi F = pî F −1 F = pî

◦

◦

◦

72


y además si ai

∈ Σ pi (a j ) = (ˆ pi F −1 )(a j ) = pî (â j ) = δ ij

◦



Σ) y (T,P, Σ) se Definici´ on: Dos elementos finitos de Lagrange (Tˆ , Pˆ , ˆ ˆ en T dice que son equivalentes si existe una aplicaci´ on F biyectiva de T verificando: ˆ R, p = pˆ F P P = p : T

{

→

◦ ∈ }

ˆ Σ = F (Σ) Cuando se puede elegir como aplicación F una aplicación af´ın, los elementos finitos se llaman af´ın equivalentes.

Teorema : Sean (Tˆ , Pˆ , ˆ Σ) y (T,P, Σ) dos elementos de Lagrange equivaˆ en T verificando la condici´ lentes y F una biyecci´ on de T on de equivalencia. ˆ es el operador de P -interpolaci´ ˆ ˆ el operador Π de P Si Π on sobre Σ, interoplaci´ on sobre Σ est´ a caracterizado por ˆ (Πv) F = Π(v F )

◦

◦

para toda funci´ on v definida en T .

Ejemplo 1 Veamos como podemos construir una familia de elementos finitos (T,P, Σ) af´ın equivalentes al elemento finito (Tˆ , Pˆ , ˆ Σ) siguiente: ˆ Triángulo de R2 de vértices (0, 0), (1, 0), (0, 1) T : ˆ Polinomios de grado 2 en T . ˆ P : ˆ a Σ: î

ˆ ya donde aˆ1 , a ˆ2 , a ˆ3 son los tres vértices de T , ˆ4 , a ˆ5 , a ˆ6 son los ˆ puntos medios de los las aristas de T .

{ }

6 i=1 ,

73


ˆ a Consideremos la aplicaci´ on afin F que lleva los vértices de T , î i=1,2,3 a los vértices ai i=1,2,3 de T respectivamente. Esta aplicaci´ o n es fá cil de construir. Observemos que

{ }

{ }

ˆ 1 = 1 λ

− ˆx − ˆy

ˆ 2 = xˆ λ ˆ 3 = yˆ λ

Entonces

x =

        −−          − −   x ˆ1 = λ y

x1 ˆ2 +λ y1

=

x1 y1

x2 ˆ3 +λ y2

x3 y3

x2 y2

x1 x3 y1 y3

+

−

x1 +ˆx y1

= (1 x ˆ yˆ)

−

x1 y1

x2 +ˆ y y2

xˆ yˆ

x = F (x ˆ) = b + Bˆ 2.5

a

3

2

a

T

2

1.5 F

1 a

1

0.5 ~

T

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

La aplicaci´ on F es af´ın y lleva los vértices a los vértices. Por otra parte ˆ i F −1 , para i = 1, 2, 3 son si definimos sobre T las funciones pi = λ polinomios de grado 1. Resulta

◦

ˆ i F −1 )(a j ) = ˆλi (â j ) = δ ij pi (a j ) = (λ

◦

74

x3 y3


ˆ i (ˆ Por lo tanto pi = λ i para i = 1, 2, 3. Tenemos pues que λi (x) = λ x) donde ˆ y los puntos medios de las aristas van a parar x = F (ˆ x). Es decir T = F (T ) a los puntos medios de las aristas. Es inmediato ver que (Tˆ , Pˆ , ˆ Σ) y la familia (T,P, Σ) compuesta por T , triángulos, P , polinomios de grado 2 en T y Σ la unión de vértices y puntos medios de las aristas son af´ın-equivalentes.

Ejemplo 2: Familias equivalentes a elementos finitos paralelótopos ˆ = [ 1, +1]d . Construiremos elementos Consideremos el cubo unidad K ˆ , (K, ˆ Q, ˆ ˆ finitos sobre K Σ). Un elemento finito paralel´ otopo ser´ a un elemento

−

ˆ Q, ˆ ˆ finito af´ın-equivalente a (K, Σ).

Ejemplo 2.1 ˆ = [ 1, +1]2 K

−

ˆ ˆ Q = p : ˆ K

{

ˆ= a Σ î

4 i=1 ,

{ }

→ R;

p(ˆ ˆ x, ˆ y) = a + bˆ x + cˆ y + dˆ xyˆ

}

ˆ. los cuatro vértices de K

ˆ ˆ Veamos cu´ ales son las funciones de la base de Q (dual de Σ): ˆ = card(Σ) ˆ = 4. Observando que la ecuación de la recta Tenemos dim(Q) a ˆ3 a ˆ4 es yˆ = 1 y de la recta a ˆ3aˆ2 es xˆ = 1 resulta,

−

−

1 pˆ1 = (1 + x ˆ)(1 + yˆ) 4 y análogamente pˆ2 =

1 (1 4

− ˆx)(1 + yˆ)

pˆ3 =

1 (1 4

− ˆx)(1 − ˆy)

pˆ4 =

1 (1 + xˆ)(1 4

Ejemplo 2.2 75

− ˆy)


ˆ = [ 1, +1]2 K

−

ˆ Q ˆ2 = Q = ˆ → R; ˆ K { p :

p(ˆ ˆ x, ˆ y ) = a + bˆ x + cˆ y + dˆ xyˆ + eˆ x2 + f ˆ y2 + gˆ x2 yˆ + hˆ xyˆ2 + kˆ x2 yˆ2

}

ˆ = a ˆ ya Σ î 9i=1, donde aˆ1 , ..., aˆ4 son los cuatro vértices de K ˆ5 , ..., a ˆ8 son los puntos medios de los lados, y â9 es el centro del cuadrado. Tenemos pues que ˆ2 Q ˆ 2 P ˆ4 P

{ }

⊂ ⊂

La base ser´ a:

pˆ1 = 41 (1 + xˆ)(1 + yˆ)ˆ xyˆ pˆ2 = 41 (1

− ˆx)(1 + yˆ)ˆxyˆ

pˆ3 = 41 (1

− ˆx)(1 − ˆy)ˆxyˆ

pˆ4 = 41 (1 + xˆ)(1

− ˆy)ˆxyˆ

pˆ5 = 21 (1 + xˆ)(1

− ˆx)(1 + yˆ)ˆy

pˆ6 = 21 (1

− ˆx)(1 + yˆ)(1 − ˆy)ˆx

pˆ7 = 21 (1

− ˆx)(1 + xˆ)(1 − ˆy)ˆy

pˆ8 = 21 (1 + xˆ)(1 + yˆ)(1 ˆ)(1 pˆ9 = (1 + x

− ˆy)ˆx

− ˆx)(1 + yˆ)(1 − ˆy) 76


2

1.5 a

a

a

1

5

2

1

0.5 a

a

a

6

8

9

0

−0.5

−1 a

a

a

4

7

3

−1.5

−2 −2

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

2

Construcci´ on de subespacios de H 1

3.2.5.

En primer lugar veremos como se pueden construir funciones de H 1 (Ω) a partir de funciones definidas a trozos sobre sunconjuntos de Ω.

Teorema : ¯= Sea Ω

∪

N ¯ r=1 Ωr una

¯ tal que descomposici´ o n de Ω

1. Ωr es un abierto de Rd contenido en Ω de frontera Γr todo r = 1,...,N .

C 1 a trozos para

∩ Ω = ∅ para r = s

2. Ωr

s

¯ tal que la restricción v Sea v una funci´ on continua en Ω H 1(Ωr ), para todo r = 1,...,N . Entonces v

1

∈ H (Ω).

¯ tal que v Demostraci´ on: Sea v continua en Ω mente v

2

∈ L (Ω). Hemos de ver que

Para ello veamos que

∂v ∂x i

= vi

∂v ∂x i 2

2

∈ L (Ω)

Ωr pertenece

1

a

| ∈ H (Ω ); EvidenteΩr

r

para i = 1,...,d

∈ L (Ω) donde v | 77

|

i Ωr

=

∂ (v Ωr ) ∂x i

|

2

∈ L (Ω ). r


En efecto, para toda funci´ on ϕ

∈ D(Ω), tendremos

 − −      − −   −       ∂v < , ϕ >= ∂x i N

r=1

∂ϕ = v ∂x i Ωr N

Ωr

r=1

N

r=1

pues v es continua.

∂ϕ < v, >= ∂x i N

(

Ω

∂v ϕ ∂x i

∂ϕ = ∂x i vϕν i ) =

∂ Ωr

N

∂v ϕ ∂x i

∂v ϕ = ∂x i

Ωr

Ωr

r=1

v

vϕν i =

r=1

∂ Ωr

N

vi ϕ =< vi , ϕ >

r=1

Ωr



Vamos ahora a construir subespacios de H 1 (Ω) de dimensión finita. Sea Ω un abierto poliédrico (para simplificar) de Rd . ¯= Ω

∪ ∈T T , siendo T una triangulación de Ω Suponemos adem´ as que cada poliedro T de T está asociado a un elemento finito de Lagrange (T , P , Σ ) tal que P ⊂ H (T ) T

h

h

h

k

k

1

k

Definimos el espacio de dimensi´ on finita ¯ { ∈ C (Ω); ∀T ∈ T , v| ∈ P } 0

V h = v

h

T

k

As´ı en virtud del teorema anterior V h es un subespacio de H 1 (Ω). Sin hipótesis suplementarias sobre los elementos finitos (T, P T , ΣT ) no es en modo alguno evidente la determinaci´ o n de una base de V h (pues V h es isomorfo a un subespacio propio de ΠT ∈T h P T ). Por otra parte resulta natural introducir el operador de interpolaci´ on Πh que a toda funci´ on continua ¯ le hace corresponder la funci´ definida en Ω on Πhv de L 2 (Ω) definida por

∀T ∈ T , ∀x ∈ T ˙ h

78

Πh v(x) = ΠT v(x)


donde ΠT es el operador de P T -interpolación sobre ΣT . En general sin hip´ otesis suplementarias sobre el elemento finito (T, P T , ΣT ), la función Πh v no es ¯ y no pertenece a V h . Para evitar esta situaci´ en general continua sobre Ω on otesis de compatibilidad entre dos elementos finitos: se introduce una hip´

Supondremos que para todo par T 1 , T 2 de poliedros adyacentes de de cara com´ un T  = T 1 T 2 , tenemos

{

∩

1. P T1

}

T , h

| = P | ∩ T  = Σ ∩ T  T

T2 T





2. ΣT 1

T 2

Además necesitaremos la definici´ on siguiente:

Definici´ on: Sea T un poliedro de Rd ; Un elemento finito (T,P, Σ) se llama de clase C 0 si las dos condiciones siguientes se satisfacen: 1. P

0

⊂ C (T )

2. Para toda cara T  de T , el conjunto Σ = Σ T  es P  -unisolvente donde P  = p T ; p P .

{|



∩

∈ }

¯ y sea (T, P T , ΣT )T ∈T una famion de Ω Teorema: Sea h una triangulaci´ h lia de elementos finitos asociada. Suponemos que las condiciones de compatibilidad (1) y (2) anteriores se satisfacen y que para todo T h , (T, P T , ΣT ) es un elemento finito de clase C 0 y P T es un subespacio de H 1(T ). Entonces el operador de interpolaci´ on Πh , definido por

T

∈ T

Πhv(x) = ΠT v(x)

∀x ∈ T˙ T ∈ T

h

¯ Dicho de otro modo y de manera de C 0 en L 2 (Ω) tiene su imagen en C 0 (Ω). más precisa ¯ V h = Πh v; v C 0 (Ω)

{

∈

}

¯ la restricci´ on Demostraci´ on: Sea v una función continua definida en Ω; a un elemento cualquiera T de h de la función Πh v pertenece al espacio P T ,

T

79


subespacio de C 0(T ). Para demostrar que Πh v pertenece a V h basta verificar que Πhv es continua sobre toda cara T  com´ un a dos elementos adyacentes T 1 y T 2 de h , es decir, que tenemos

T

ΠT 1 v Como la funci´ on w = ΠT 1 v T P T 1 T = P T 2 T tal que a Σ 

|

∀ ∈



= ΠT 2 v

T



|

T



es una función del espacio P  = w(a) = 0 donde Σ = ΣT 1 ∩T = ΣT 2∩T , los

| − Π v| 

|

|

T 2

T







elementos finitos son de clase C 0 y Σ es P  -unisolvente, deducimos w = 0. ¯ es decir Πhv; v C 0 (Ω) ¯ En consecuencia Πhv es continua sobre Ω, V h .

{ ∈ }⊂ ¯ Rec´ıprocamente, sea v ∈ V = {v ∈ C (Ω); v | ∈ P }, tenemos v | ∈ P , entonces v | = Π v as´ı pues v = Π v y v es continua pues v ∈ V . 0

h

T

T

T

T

T

T

h

h

Construcción de una base de V h Introduzcamos el conjunto de nodos de los elementos finitos

∪ ∈T Σ = {a } ≤ ≤ card(Σ) = I 1 ≤ i ≤ I , designamos ϕ la función de V tal que ϕ (a ) = δ 1 ≤ j ≤ I

Σh = Para todo entero i

T

h

T

i 1 i I

i

i

j

h

ij

¯ tenemos evidentemente Si v es una función continua sobre Ω, I

Πh v =



v(ai )ϕi

i=1

Corolario: Con las hipótesis anteriores el conjunto de funciones ϕi constituyen una base de V h y toda funci´ on v de V h se escribe

{ }

I i=1

I

v=



v(ai )ϕi

i=1

Definici´ on: Los escalares v(ai ) función v de V h .

{

I i=1 se

}

80

llaman grados de libertad de una


Observemos que las funciones ϕi tienen peque˜ no soporte. M´ as precisamente, el soporte de ϕ i es el conjunto de elementos T de h que contienen al nodo a i . Además la restricci´ on de ϕ i a cada uno de estos elementos T es una función de la base del elemento finito (T, P T , ΣT ).

T

Ejemplos

1.

T , triangulación de Ω¯ construida mediante d-simplex. Dado un entero k ≥ 1, se asocia a todo T de T el d-simplex de tipo (k), (T, P , Σ ). P h

h

k

k

k

es el espacio de polinomios de grado k en T . Entonces todo (T, P k , Σk ) es de clase C 0 y se verifican las condiciones de compatibilidad siendo aplicable el teorema anterior.

T

2. Análogo al anterior construyendo h mediante paralel´ otopos y elementos finitos del tipo (K, Qk , Σk ), siendo Qk el espacio de polinomios de grado k obtenido mediante producto tensorial del espacio de polinomios de grado k en cada variable. 3. Mezclando los dos anteriores de manera que en una cara com´ un a un triángulo y a un paralelótopo se cumplan las condiciones de compatibilidad.

81

Cap´ıtulo 4 An´ alisis num´ erico del M´ etodo de Elementos Finitos 4.1.

Resultados generales de aproximaci´ on en espacios de Sobolev

Si (T,P, Σ) es un elementos finito de Lagrange, a toda funci´ on v definida en T , le hemos asociado una funci´ on Πv, función P -interpolada de Lagrange de v sobre Σ. Vamos a estudiar en este apartado el error de interpolaci´ on v Πv. Para los problemas el´ıpticos de orden 2, estaremos especialmente interesados en una mayoraci´ o n de este error en la norma de H 1 (T ), v Πv 1,T .

−

|| −

||

Empezamos por dar algunos resultados generales de aproximaci´ on en los espacios de Sobolev. Sea T una parte compacta de Rd , conexa y de interior ˙ donde T ˙ es el no vac´ıa. Para simplificar denotamos H m (T ) al espacio H m(T ), interior de T . Si E es un subespacio de H m(T ), el espacio cociente H m (T )/E es el conjunto de clases de equivalencia v de ˙ funciones de H m (T ) módulo la relación de equivalencia v1



v2

⇐⇒ v − v ∈ E 1

2

Cuando E es un subespacio cerrado de H m (T ), el espacio H m (T )/E provisto 82

´ EN ESPACIOS 4.1. RESULTADOS GENERALES DE APROXIMACI ON DE SOBOLEV

de la norma cociente

||v˙ ||

||v||

ınf H m (T )/E = ´ v v˙

∈

m,T

es un espacio de Hilbert (Dem: ejercicio). En particular, para todo entero, k 0, el espacio P k de los polinomios de grado menor o igual que k sobre

≥

T es un subespacio de dimensi´ o n finita de H k+1 (T ), de manera que podemos introducir el espacio cociente H k+1 (T )/P k ; vamos a dotar a este espacio de una norma más manejable que la norma cociente. Para ello, habr´ a que suponer adem´ as que la inyecci´ on can´ onica de H 1 (T ) en L2 (T ) es compacta; puesto que T es un acotado de R2 , esta propiedad se verifica siempre que la frontera ∂T es de clase C 1 a trozos.

Teorema : Sea T una parte compacta de Rd , de frontera C 1 a trozos. Entonces para todo entero k 0 la aplicación

≥

v˙

→ |v˙ |

k+1,T

= v

||

k+1,T

=(

  |

∂ α v 2 )1/2

|α|=k+1

T

|

donde v es un representante cualquiera de la clase v˙ en H k+1 (T ), es una norma sobre H k+1 (T )/P k equivalente a la norma cociente.

Demostraci´ on: Sea v˙ una clase de equivalencia de H k+1 (T )/P k y sea v v. ˙ El valor de v˙ k+1,T no depende del representante elegido. En efecto,

| |

∈

|

∀ p ∈ P |v| k

k+1,T

= v + p k+1,T

|

|

Tenemos evidentemente

|v˙ | en efecto, para todo v ∈ v˙ |v˙ |

≤ ||v˙ ||

k+1,T

H k+1(T )/P k

| | ≤ ||v|| y tomando el ´ınf para todo v ∈ v obtenemos ˙ el resultado. k+1,T

= v

k+1,T

83

k+1,T


Para obtener la equivalencia de normas resta establecer la existencia de una constante C tal que

||v˙ ||

H k+1 (T )/P k

≤ C |v˙ |

k+1,T

para todo elemento v˙ de H k+1 (T )/P k . Empezamos por demostrar la existencia de una constante C tal que

||v||

2 k+1,T

≤ C {|v|

k+1,T

 

+

∂ α vdx)2

(

|α|≤k

T

1/2

}

para toda funci´ on v H k+1 (T ). Razonamos por reducci´ on al absurdo. Supongamos que para todo entero positivo n existe una función vñ tal que 1 ( ∂ α vñ dx)2 < 2 vñ 2k+1,T vñ 2k+1,T + n T

∈

 

| |

|| ||

|α|≤k

poniendo vn =

vñ

||v˜ ||

n k+1,T

obtenemos una sucesi´ on vn verificando

{ } ||v ||

n k+1,T

vn 2k+1,T

| |

+

=1

 

∂ α vn)2 <

(

|α|≤k

T

(4.1.1) 1 n2

(4.1.2)

Si la inyecció n de H 1 (T ) en L2 es compacta, tambi´ en la inyecci´ o n de H k+1(T ) en H k (T ) es compacta. Entonces de (4.1.1), deducimos la existencia de una subsucesi´ on v µ convergente en H k (T ). Por una parte de (4.1.2) resulta

|v |

µ k+1,T

<

1 µ

de modo que vµ

→ v 84

en H k (T )


∂ α vµ

∀α, |α| = k + 1

en L2 (T )

→ 0

por la continuidad de la derivaci´ on en el sentido de las distribuciones también ∂ α vµ ∂ α v

→

para todo α, v

k+1

∈ H

α

|α| = k + 1. De modo que ∂ v = 0 para |α| = k + 1 y

(T ). Por otra parte d

∀α ∈ N ,

 | |≤ | → ∞  | |≤ α

1 µ

∂ α vµ <

k

T

|

pasando al l´ımite cuando µ d

∀α ∈ N ,

α

∂ α v = 0

k

T

como T es una parte convexa de Rd, las relaciones ∂ α v = 0

∀α |α| = k + 1

implican que v es un polinomio de grado k sobre T . Y de las relaciones



∂ α v = 0

∀α |α| ≤ k

T

deducimos v = 0. Pero esto contardice la elecci´ on vn

|| ||

Finalmente consideremos v˙

k+1

∈ H

k+1,T

= 1.

(T )/P k y sea v¯ un representante

cualquiera de v˙ en H k+1 (T ). A esta función v¯ le podemos asociar el polinomio p P k definido de manera uńica por las relaciones

∈

d

∀α ∈ N |α| ≤ k,



α

∂ p =

T

 −

∂ α v¯

T

Entonces v = v¯ + p es el representante de v tal ˙ que

∀α ∈ N Para este v tendremos

||v||

 | |≤  

2 k+1,T

≤ C {|v|

k+1,T

d

α

∂ α v = 0

k

T

+

∂ α v)2

(

|αlek

85

T

}

1/2

= C v

||

k+1,T


y deducimos

||v˙ ||

H k+1 (T )/P k

≤ ||v||

≤ C |v|

k+1,T

lo que termina la demostraci´ on.

k+1,T

= C v˙

||

k+1,T



A partir del teorema anterior obtenemos el siguiente teorema general de aproximaci´ on en los espacios de Sobolev.

Teorema de Aproximación I: Sea T una parte compacta y conexa de Rd de frontera C 1 a trozos y sea Π un opeardor lineal continuo de H k+1(T ) en H m(T ), 0 m k + 1, tal que

≤ ≤

∀ p ∈ P ,

Π p = p

k

Entonces existe una constante c = c(T, Π) tal que k+1

∀v ∈ H (T ) ||v − Πv|| ≤ c|v| Demostraci´ on: Sea v ∈ H (T ), de la hipótesis hecha sobre Π, para todo p ∈ P v − Πv = v + p − Π p − Πv = (I − Π)(v + p) m,T

k+1,T

k+1

k

de donde

||v − Πv|| ≤ ||I − Π||∗||v + p|| donde ||.||∗ designa la norma en el espacio L(H (T ), H ||v − Πv|| ≤ C ´ınf ||v + p|| = C ||v˙ || ∈ m,T

k+1,T

k+1

m,T

1

k+1,T

p P k

m

1

(T )). Resulta

H k+1(T )/P k

con C 1 = I

|| − Π||∗. Finalmente gracias al teorema anterior ||v − Πv|| ≤ C C |v| ∀v ∈ H (T ) m,T

1

k+1

k+1,T

El teorema queda demostrado tomando c = C 1 C .



El siguiente paso consiste en poner en forma expl´ıcita la dependencia de la constante c en función de las caracter´ısticas geométricas de T . Para ello ˆ de Rd , conexa y de frontera C 1 a vamos a introducir una parte compacta T 86


trozos, que nos va a servir de dominio de referencia. Suponemos que existe una transformación af´ın invertible x = F (ˆ x) = B xˆ + b,

d

d

∈ R , xˆ ∈ R ,

x

d

∈ R ,

b

B, matriz d

×d

ˆ tal que T = F (T ). Adoptamos las siguientes definiciones: A toda funci´ on v definida sobre T , le asociamos biun´ıvocamente la ˆ función vˆ definida sobre T por las relaciones

∀xˆ ∈ T ˆ

vˆ(ˆ x) = v(x) es decir, vˆ = v

◦ F .

Introducimos las siguientes caracter´ısticas geométricas ˆ diámetro de T ). ˆ • h = diámetro de T (resp. h = • ρ = diámetro máximo de las esferas (c´ırculos si d = 2) contenidas T

T

ˆ en T (resp. ρˆ diámetro m´ aximo de las esferas contenidas en T ).

Podemos estimar las normas espectrales B y B −1 en funci´ o n de las ˆ recordemos que la norma de una matriz caracter´ısticas geométricas de T y T ;

|| || || ||

B está definida por

||B|| =

sup ξ

∈Rd,ξ=0

|Bξ | = |ξ |

sup ξ

∈Rd ,ξ≤1

|Bξ | =

sup ξ

∈Rd ,|ξ|=1

donde ξ designa la norma eucl´ıdea del vector ξ de Rd .

| |

Lema: Se verifican las siguientes mayoraciones

||B|| ≤ 1

hT ρˆ

||B− || ≤

ˆ h ρT

87

|Bξ |

´ EN ESPACIOS 4.1. RESULT RESULTADOS GENERALES DE APROXIMA APROXIMACI CI ON DE SOBOLEV

Demostraci´ on on: Podemos escribir Bξ | ||B|| = ρ1ˆ |sup | | ξ =ˆ ρ

Sea ξ Sea ξ un un vector de Rd tal que ξ = ρˆ; por definici´ definicion oń de ρˆ, diámetro ametro m´ aximo aximo de ˆ, existen dos puntos yˆ y z ˆ tales las esferas contenidas en T , T zˆ de T tales que ξ que ξ = yˆ z zˆ .

||

−

Entonces

Bξ = B yˆ

= F ((yˆ) − F ( F (z zˆ ) = y − z − Bz zˆ = F

donde los puntos y y z pertenecen pertenecen a T ; T ; por definici´ on on de hT resulta

|Bξ | = |y − z | ≤ h Esta desigualdad es v´ alida alida para todo ξ con |ξ | = ρˆ, por tanto, tomando el T

supremo y dividiendo por ρˆ

||B|| ≤ hρˆ

T

ˆ Lo que prueba la primera desigualdad. Intercambiando los papeles de T de T y T se obtiene la otra desigualdad. ˆ una parte compacta y conexa de o n II: Sea T una T Teorema de Aproximación ˆ un operador lineal continuo de H k+1 (T ) ˆ) Rd de frontera C 1 a trozos y sea Π T ˆ), 0 m k + en H en H m (T ), T k + 1 tal que

≤ ≤

∀ pˆ ∈ P

k

ˆ p = Π pˆ = pˆ

Si T es T es una parte de Rd tal que existe una transformaci´ on on af´ın ın invertib inver tible le F ˆ) y el operador Π est´ de Rd en Rd para la cual T cual T = F ( a definido por F (T ) T k+1

∀v ∈ H



ˆv (T ) T ) Πv = Πˆ

Entonces existe una constante C independiente C independiente de F tal F tal que k+1

∀v ∈ H

(T ) T )

|v − Πv| ≤ m,T

88

hkT +1 C m v ρT

||

k+1,T +1,T

´ EN ESPACIOS 4.1. RESULT RESULTADOS GENERALES GENERALES DE APROXIMA APROXIMACI CI ON DE SOBOLEV

ˆ y por tanto de d, de Π ˆ y por tanto de k y La constante C depende depende de T y T de m; la novedad reside en que la constante C es C es independiente de F F y por tanto de las caracter´ cara cter´ısticas ıstica s geométricas etric as de T . T . Para la demostración on ser´ a util u ´til utilizar la noción on de diferencial de Fréchet echet de una funci´ on. Recordemos, si v es una función o n definida en un entorno de un punto Rd y diferenciable (en sentido cl´ x asico) asico) l veces, se denota Dl v (x) a su

∈

diferencial de orden l que es una forma l-multilineal -multilin eal simétrica etric a sobre Rd Dl v (x) : Rd

d

× ... × R −→ R D (v (x)(ξ )(ξ ,...,ξ ) ∈ R ξ ∈ R i = 1,...l )(ξ ,...,ξ )| |D v(x)(ξ sup ||D v(x)|| = |ξ |...|ξ | ∈  donde |ξ | designa design a la norma eucl´ıdea ıdea de ξ ∈ ∈ R . Por otra parte recordemos la notaci´ on |α| = α = α + ... + ... + + α α , y l

1

l

d

i

l

l

Rd ,

ξ1 ,...,ξl

1

1

ξ1 ,...,ξl =0 =0

l

l

d

1

d

∂ α v (x) = D l v (x)(e )(e1 , .(α1 veces) ., e1 ,...,ed , .(αd veces) ., ed ) donde ei es el i-ésimo esimo vector de la base can´ onica onica de Rd . Demostraremos primeramente primeramente el siguiente siguiente

Lema: Existen dos constantes γ 1 = γ 1 (l, d) y γ 2 = γ 2 (l, d) mayores que cero tales que T ) ∀v ∈ D(T )

 | | ≤ ||

γ 1 v

Dl v (x) 2 dx) dx)1/2

(

l,T

||

T

≤ γ |v| 2

l,T

Demostraci´ on on: Sea α un multientero y α = l = l,, se tiene α

l

|∂ v(x)| =≤ ||D v(x)|||e |. 1

α1 (veces)

| | .|e |...|e |. 1

d

αl (veces)

d

de modo que (

  |

|α|=1

T

α

2 1/2

∂ v (x) )

|

  ≤ || (

|α|=1

89

T

l

|e | = ||D v(x)||

Dl v (x) 2 )1/2

||

´ EN ESPACIOS 4.1. RESULT RESULTADOS GENERALES DE APROXIMA APROXIMACI CI ON DE SOBOLEV

de donde donde (

  |



2 1/2

∂ v (x) )

C ( ≤ C (

|

T

|α|=1 donde C donde C =

α

card α; α = l = l y γ 1 =

{ | | }

l

||D v(x)|| =

poniendo ξ i =



1 . C

 ||

d k k=1 ξ i ek

||

T

Por otra parte l

sup ξ1 ,...,ξl

Dl v (x) 2 )1/2

...=|ξl |=1 ∈Rd |ξ |=...= 1

)(ξ ,...,ξ )| |D v(x)(ξ 1

i = 1,...,l

d

d



l

D v (x)(ξ )(ξ 1 ,...,ξ l ) =

l

ξ 1k1 ...ξ lkl Dl v (x)(e )(ek1 ,...,ekl )

=

k1 ,...,kl =1



ξ 1k1 ...ξ lkl ∂ α v (x)

k1 ,...,kl =1

donde ∂ donde ∂ α v (x) designa una de las derivadas parciales de v de orden α = l = l..

||

d

l

)(ξ ,...,ξ )| = |D v(x)(ξ 1

l

d

 |

ξ 1k1 ...ξ lkl ∂ α v (x)

k1 ,...,kl =1

 |≤|

k1 ,...,kl =1

  |

d k 2 k=1 (ξ i )

d

k1 ,...,kl =1

α =l

|

d

k i

d

ξ 1k1 ...ξ lkl

|| | |

,...,l son de norma ∈ R i = 1,...,l son = 1 resulta |ξ | ≤ 1 para k para k = = 1,...,d e ,...,d e i i = = 1,...,l, ,...,l,

ahora bien, como los vectores ξ i = (ξ i1 , ...ξ ...ξ id ) unidad, es decir, de modo que

ξ 1k1 ...ξ lkl máx ax ∂ α v (x)

 |≤ |

d

ξ 1k1 ...ξ lkl

k1 ,...,kl

 |≤

1 = γ 2(l, d)

k1 ,...,kl

as´ı pue pu es: l

α

ax ax |∂ v (x)| ||D v(x)|| ≤ γ (l, d) m´ || 2

α =l

de donde donde (

 || T

Dl v (x) 2 )1/2

||



≤ γ (l, d)( 2

(máx ax ∂ α v (x) )2)1/2

T

|α|=l

|



90

|

≤ γ (l, d)( 2

  |

∂ α v (x) 2 )1/2

|α|=l

T

|


(T ) y vˆ = v F donde F es una Demostraci´ on del teorema: Sea v aplicación af´ın invertible, es decir, x = F (ˆ x) = B xˆ + b, siendo B una matriz invertible de orden d d. Aplicando la regla de la cadena tenemos:

∈ D

◦

×

Dl vˆ(ˆ x)(ξ 1 ,...,ξ l ) = D l (v F )(ˆ x)(ξ 1 ,...,ξ l

◦

= D l (v(F (ˆx)))(Bξ 1 ,..., Bξ l ) = D l v(x)(Bξ 1 ,..., Bξ l ) de donde l

||D vˆ(ˆx)|| = |

l

sup ξ1 =...= ξl =1

|

| |

|D vˆ(ˆx)(ξ ,...,ξ )| = | 1

l

sup

l

ξ1 =...= ξl =1

|

| |

|D v(x)(Bξ , ..., Bξ )| 1

l

l

≤ ||D v(x)||||B||

l

y finalmente

 || ˆ T

Dl vˆ(ˆx) 2 dˆ x

||

 ≤ || || || B

2l

D(F (ˆ x)) 2 dˆ x

ˆ T

||

utilizando la f´ ormula del cambio de variable bajo el signo integral

 || ˆ T

Dl vˆ(ˆ x) 2 dˆ x

 | ||

2l

|| ≤ ||B|| |detB −

1

Dl v(x) 2dx

||

T

Obtenemos as´ı, aplicando el lema anterior l

1/2

∀v ∈ D(T ) |vˆ| ≤ γ ||B|| |detB|− |v| ˆ l,T

donde γ = Como

γ 2 γ 1

l,T

> 0, γ = γ (l, d). l

D(T ) es denso en H (T ), deducimos ∀v ∈ H (T ) |vˆ| ≤ γ ||B|| |det B|− |v| l

l

ˆ l,T

1/2

l,T

ˆ obtenemos an´ intercambiando los papeles de T y de T , alogamente ˆ |v | ≤ γ ||B− || |det B | |vˆ| ∀vˆ ∈ H (T ) l

Sea finalmente una funci´ on v v Πv

−

1 l

l,T

k+1

∈ H

1/2

ˆ l,T

(T ), aplicando el u´ltimo resultado a

1 m

1/2



|v − Πv| ≤ γ (l, d)||B− || |det B| |vˆ − Πv| m,T

91

ˆ m,T




ˆv por el teorema de aproximaci´ on y como Πv = Πˆ



|vˆ − Πv|

ˆ m,T

ˆ v | ≤ C |vˆ| | − Πˆ

= vˆ

ˆ m,T

ˆ k+1,T

ˆ T ). ˆ Como donde C = C (Π, k+1

1/2

≤ γ (k + 1, d)||B|| |det B|− |v|

|vˆ|

ˆ k+1,T

k+1,T

resulta ˆ T )γ ˆ (l, d)γ (k + 1, d)||B− || ||B|| |v | |v − Πv| ≤ C (Π, 1 m

m,T hT ρˆ

1

|| || ≤ , ||B− || ≤

y como B

k+1

ˆ h ρT

|v − Πv| ≤ m,T

hk+1 C T m v ρT

||

ˆ T )γ ˆ (l, d)γ (k + 1, d) hˆkm donde C = C (Π, . ρˆ +1

k+1,T



Corolario: Consideremos ahora todos los valores l, 0 operadores Πl = I Π definidos por

◦

Πl : H k+1 (T ) v

k+1,T

m

≤ l ≤ m y los

l

−→ H (T ) −→ H (T ) −→ Πv −→ Πv

entonces

|v − Πv|

l,T

= v

| − Π v| ≤ l

l,T

l = 0 l = 1

l = m

hk+1 C T l v ρT

||

k+1,T

k+1

∀v ∈ H

(T )

|v − Πv| ≤

hk+1 C 0 T 0 v ρT

k+1,T

|v − Πv| ≤

hk+1 C 1 T v ρT

k+1,T

hk+1 C m T m v ρT

k+1,T

0,T

1,T

|v − Πv| ≤ m,T

92

|| || ||

...

∀l,

0

≤ l ≤ m

´ AL AN ALISIS ´ ´ 4.2. APLICACI ON NUM ERICO DEL M.E.F. EN ´ PROBLEMAS ELIPTICOS DE SEGUNDO ORDEN

elevando al cuadrado, sumando y sacando la raiz cuadrada

||v − Πv|| ≤ m,T



hk+1 C ∗ T m v ρT

||

k+1,T

2(m l)

−

2 donde C ∗ = ( m )1/2 . La constante C ∗ se puede mayorar por una l=0 C l ρ T constante independiente de las caracter´ısticas geométricas de T, si consideramos solo elementos T suficientemente peque˜ nos, por ejemplo de di´ ametro inferior a 1, para los cuales evidentemente el di´ ametro de la circunferencia inscrita ser´ a menor que 1. 

4.2.

Aplicaci´ on al an´ alisis num´ erico del M.E.F. en problemas el´ıpticos de segundo orden

Consideraremos el caso de Ω un abierto poliédrico de R.

{T }, triangulaciones de Ω, según se ha definido en el Cap´ıtulo 3 subh

sección 3.2.1.

(T, P T , ΣT )T ∈T h una familia de elementos finitos asociada a cada af´ın equivalentes a un elemento finito de referencia (Tˆ , Pˆ , ˆ Σ). h = máxT ∈T h hT para cada

T , h

T . h

{T } será una familia regular de triangulaciones , es decir, existe una constante σ ≥ 1 tal que h

hT ρT

∀T ∈ {T } h

h

≤ σ

ˆ un tri´ angulo la u ´ltima propieComentario : En dimensión d = 2 si T es dad es equivalente a la existencia de un ángulo θ0 > 0 tal que

∀T ∈ T

h

93

θT

≥ θ

0


donde θ T es el ańgulo menor del elemento T . ˆ de P -interpolaci´ ˆ ˆ es lineal continuo on sobre Σ Comentario : El operador Π ˆ en H m(T ) ˆ si k 1, d 3 y P ˆ H m (T ). ˆ En efecto, si d 3 la de H k+1 (T ) aplicación

≥

≤

⊂

ˆ H k+1(T ) v es continua y v ˆ Πv

∈ P ˆ ⊂ H

|| ||

m

ˆ Πv

|| ||

ˆ m,T

ˆ −→ C (T ) −→ v 0

k+1 ˆ tenemos ∞,T ˆ ≤ ||v||k+1,T ˆ . Además para todo v ∈ H (T )

0,

ˆ En consecuencia (T ).

 ||

=

≤

v(ai )φi

||

 ≤ |

ˆ m,T

v(ai ) . φi

| || || ≤ C ||v|| ˆ m,T

0,

∞,T ˆ ≤ C ||v||k+1,T ˆ

ˆ es un espacio de polinomios se verifica que P ˆ Observemos que si P

m

⊂ H

ˆ (T ).

P de la forma a(u, v) =< l, v > ∀v ∈ V u ∈ V

Consideremos un problema modelo

donde supondremos que V = H ( Ω) o V = H 01 (Ω) o un espacio intermedio entre los dos. Con las hipótesis sobre a(., .) y < l, . > del teorema de LaxMilgram. El problema aproximado h será

P

a(uh , vh ) =< l, vh >

donde

∀v ∈ V u ∈ V h

h

h

h

¯ v | ∈ P ∀T ∈ T } { ∈ C (Ω);

V h = X h = v

0

T

T

h

o bien V h = X h

1 0

∩ H (Ω)

o bien V h = X h

∩ V

en caso de que V sea un espacio intermedio entre H 1 (Ω) y H 01 (Ω). 94


||u − u ||

El objetivo es estimar el error C ´ınf vh∈V h u

|| − v ||

h 1,Ω .

Sabemos

Como Πh u V h tenemos

∈

h 1,Ω .

||u − u || ≤ C ||u − Π u|| h 1,Ω

h

||u − u || ≤ h 1,Ω

1,Ω

∪

donde Πh es el operador de interpolaci´ on definido sobre Σ = T ∈T h ΣT . Esto es factible si podemos construir Πh u. Para ello necesitamos cierta regularidad de u.

Teorema : sea Ω un abierto poliédrico de Rd , d 3. Sea h una trian¯ asociada a un elemento finito de referencia (Tˆ , Pˆ , ˆ gulación de Ω Σ) de clase

≤

{T }

C 0 . Supongamos que existe un entero k

≥ 1 para el cual tenemos

P k

ˆ ⊂ P ˆ ⊂ H (T ) 1

Entonces el Método de Elementos Finitos es convergente, es decir, la soluci´ on uh del problema aproximado converge hacia la soluci´ on u del problema ( )

P

en la norma de H 1 (Ω): l´ım u

|| − u ||

h

→0

h 1,Ω

=0

Además, si la solución u de ( ) pertenece al espacio de Sobolev H k+1 (Ω) tenemos

P

k

||u − u || ≤ C h |u| h 1,Ω

k+1,Ω

Se dice entonces que el método es de orden k.

Demostraci´ on: Empezamos demostrando el caso en que u H k+1(Ω). ¯ para k Si u H k+1 (Ω) entonces u C (Ω) 1, d 3. Entonces podemos construir el operador de interpolaci´ on Πh . Tenemos

∈

∈

≥

≤

∈

||u − u || ≤ C ||u − Π u|| h 1,Ω

con C 1 = tenemos

M . α

1

h

1,Ω

Considerando la restricción Πh u T = ΠT u para todo T

|

||u − Π u|| h

1,Ω

=(

 || − u

T

∈T h

95

ΠT u

||

2 1/2 1,T )

∈ T

h


Por el teorema de aproximaci´ on II, existen dos constantes C 2 y C 3 que dependen uńicamente del elemento de referencia (Tˆ , Pˆ , ˆ Σ) tales que

|u − Π u| ≤ T

1,T

hk+1 C 2 T u k+1,T ρT

||

hk+1 C 3 t 0 u k+1,T = C 3 hk+1 u k+1,T T ρ

||u − Π u|| ≤ || || Como la triangulaci´ on T es regular ≤ σ, es decir ≤ |u − Π u| ≤ C σh |u| ¯ ||u − Π u|| ≤ C diam(Ω)h |u| T

0,T

hT ρT

h

T

T

1 ρT

1,T

k T

2

0,T

σ , hT

de donde

k+1,T k T

3

k+1,T

y

2 1,T

2 1,T

2 0,T

||u − Π u|| = |u − Π u| + ||u − Π u|| ¯ h |u| ≤ (C σ + C (diam(Ω)) ||u − Π u|| ≤ C h |u| T

T

2 2 2

2 3

T

1,T

T

2 2k T

k 4 T

2 k+1,T

k+1,T

¯ 2 )1/2 Finalmente donde C 4 = (C 22σ 2 + C 32 (diam(Ω) k

||u − Π u|| ≤ C h |u| h

1,Ω

4

k+1,Ω

Para demostrar que el método converge aunque la función u no sea regu¯ si V = H 1 (Ω) o intermedio entre H 1 (Ω) y H 1(Ω). lar, tomemos = (Ω) 0 1 Tomamos = (Ω) si V = H 0 (Ω). Entonces es denso en V y Πh está definido en , Πh : V h . Tenemos por la primera parte de la demostraci´ on

V D V D V V V −→ ∀v ∈ V ||v − Π v|| ≤ Ch|v| es decir l´ım → ||v − Π v || = 0. Por otra parte como V es denso en V , para todo ε > 0 existe un elemento v ∈ V tal que ε ||u − v|| ≤ 2C y para este v, existe un n´ umero h(ε) > 0 tal que ∀h ≤ h(ε) ||v − Π v || ≤ h

h

0

h

1,Ω

2,Ω

1,Ω

1,Ω

h

ε . 2C

1,Ω

Entonces para h suficientemente peque˜ no

||u−u || ≤ C ||u−Π u|| ≤ C (||u−v|| h 1,Ω

h

1,Ω



96

||v−Πv||

1,Ω +

1,Ω )

ε ε + ) = ε ≤ C ( 2C 2C

Cap´ıtulo 5 Aspectos pr´ acticos y programaci´ on del M.E.F. 5.1.

Un M´ etodo de Elementos Finitos para el problema de Poisson

Consideraremos el siguiente problema de Dirichlet para la ecuaci´ o n de Poisson:

−u = f

en Ω

(5.1.1)

u = 0 sobre Γ

(5.1.2)

donde f es una función dada, definida en Ω. Un gran n´ umero de problemas en f´ısica y mec´ anica se modelan mediante esta ecuaci´ on. u puede representar por ejemplo la temperatura de un cuerpo, el potencial electromagnético, el desplazamiento de una membrana elástica fija en su contorno y sometida a una fuerza. Siguiendo los pasos en el tratamiento del problema modelo unidimensional del cap´ıtulo 1, introduciremos una formulaci´ on débil del problema (5.1.15.1.2). Para ello introducimos un espacio de funciones definidas en Ω y para las cuales tengan sentido las operaciones que vamos a realizar, en este caso, V = H 01 (Ω). 97

´ 5.1. UN M ETODO DE ELEMENTOS FINITOS PARA EL PROBLEMA DE POISSON

Multiplicamos ambos miembros de la ecuaci´ on (5.1.1) por una funci´ on v V cualquiera e integrando aplicando la f´ ormula de Green resulta teniendo en cuenta que v = 0 en Γ que u es solución del siguiente problema:

∈

Hallar u V tal que verifique,

∈

 ∇ ∇

u v dx1 dx2 =

Ω



fv dx1 dx2

(5.1.3)

Ω

para toda funci´ on v

∈ V

Evidentemente toda soluci´ on del problema (5.1.1-5.1.2) ser´ a solución de (5.1.3). Rec´ıprocamente si u es soluci´ on del problema (5.1.3) entonces u será solución del problema de partida (5.1.1-5.1.2), interpretando las derivadas en el sentido de las distribuciones. Vamos a construir un método num´ erico para calcular en la pr´ actica una aproximaci´ o n de la soluci´ o n de (5.1.3). Empezamos introduciendo un subespacio de V que sea de dimensión finita y elegiremos una base de este espacio de modo que las funciones del mismo sean f´ aciles de manejar. Para simplificar supondremos que la frontera Γ del dominio Ω es poligonal. Construyamos una triangulaci´ on h de Ω, subdividiendo Ω en un conjunto de tri´ angulos h = T e e=1,...,E de modo que ¯ = Ω T e , que los triángulos no se superpongan, y que las aristas de

T

T { }



e=1,...,E

cada tri´ angulo sea bien la arista de otro tri´ angulo o una parte de la frontera poligonal Γ. Ver un ejemplo en la figura 5.1. A cada mallado o triangulación h le asociamos el parámetro h = máxT ∈T h diam(T ), donde diam(T ) = diámetro de T = lado mayor de T .

T

Definimos ahora V h como sigue: V h = v : Ω

{

→ R, continuas, v | ∈ P (x , x ), v = 0 enΓ} h K

1

1

2

h

donde P 1 (x1 , x2 ) designa el conjunto de polinomios de grado 1 de dos variables. El espacio V h consiste en todas las funciones continuas que son lineales en cada tri´ angulo de la triangulaci´ on h y que se anulan en la frontera Γ. Observemos que V h V . Como parámetros para describir una funci´ on v h de V h elegimos los valores vh ( pi ), i = 1,...,M de vh en los puntos pi , i = 1,...,M , vértices de la triangulaci´ on h , excluyendo los vértices situados en la frontera Γ, puesto que vh = 0 sobre Γ. Las correspondientes funciones de la base

T

∈

T

98


Figura 5.1: Ejemplo de triangulaci´ on

ϕ j

∈ V , j = 1, ...M , están definidas por h

ϕ j ( pi ) =



1 if i = j 0 if i = j



Una función t´ıpica de la base se representa en la figura 5.2 Estamos en disposici´ on de formular el correspondiente problema aproximado del problema(5.1.3): Hallar uh V h tal que verifique,

 ∇ ∇

∈

uh vh dx1 dx2 =

Ω

para toda funci´ on vh



f vh dx1 dx2

(5.1.4)

Ω

∈ V . h

En la pr´ actica el problema (5.1.4) se reduce a resolver el siguiente sistema lineal algebraico de ecuaciones:

Au = b donde Aij =

 ∇ ∇ Ω

ϕi ϕ j dx1 dx2 , bi =

 Ω

(5.1.5)

f ϕi dx1 dx2 y el vector solu-

ción u = (ui )i=1,...,M , donde ui = uh ( pi ) son los coeficientes de la combinació n lineal de elementos de la base de V h representando uh, es decir, uh(x1 , x2 ) = i=1,...,M u h ( pi )ϕi (x1, x2), siendo pi , i = 1,...,M los vértices de



la triangulaci´ on que no están en la frontera Γ. 99


1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 0

0.4

0.3

0.2

0.1

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Figura 5.2: Ejemplo de una funci´ on base

El cálculo de los términos de la matriz A y del segundo miembro b se realiza sumando las contribuciones de la integral en cada elemento T de la triangulación, as´ı:

Aij =



AT ij

T

∈T h

donde

AT ij =

 ∇ ∇  

ϕi ϕ j dx1 dx2

T

y

bi =

bT i

T

∈T h

donde

bT i =

T

T Γ f ϕi dx1 dx2

Los pasos a dar en la resoluci´ on de un problema mediante el método de elementos finitos con la ayuda de un ordenador son: 1. Entrada de datos f , Ω, etc. 100


2. Construcci´ on y representaci´ on de la triangulación o mallado. 3. Cálculo de las matrices elementales AT y de los vectores segundo miembro bT 4. Ensamblaje de la matriz global del sistema A por suma de las matrices elementales AT y del vector segundo miembro b por suma de los vectores elementales bT . 5. Resoluci´ on del sistema algebraico Au = b . 6. Presentaci´ on y visualización de resultados. Vamos a precisar con algo m´ a s de detalle el paso 3 y el 4. En primer lugar para calcular las integrales AT on expl´ıcita de ij necesitaremos la expresi´ las funciones de la base ϕi , o más concretamente, la restricci´ on a T de las funciones ϕ i . Observemos primero que s´ olamente un n´ umero reducido de las funciones de la base son distintas de cero en cada tri´ angulo T , en efecto, la función ϕi será distinta de cero en el tri´ angulo T si y sólo si pi es un vértice de T . Para fijar las ideas, consideremos un tri´ angulo genérico T de vértices ai = (xi , yi ), i = 1, 2, 3 (para no manejar un excesivo n´ umero de ´ındices utilizaré aqu´ı la notaci´ on (x,y) para designar las coordenadas cartesianas en olo hay tres funciones de la base de V h cuya restricci´ on a T sea distinta R2 ). S´ de cero. Son las funciones λ i , i = 1, 2, 3, polinomios de dos variables de grado 1 en T y que verifican (figuras 5.3, 5.4, 5.5) λi (a j ) = δ ij

i, j = 1, 2, 3

. La funci´ on λ1 = a + bx + cy se puede determinar resolviendo el sistema de tres ecuaciones con tres inc´ ognitas, a, b, c,

a + bx1 + cy1 = 1 a + bx2 + cy2 = 0 a + bx3 + cy3 = 0 101


1

1

0.8 0.8

0.6 0.4

0.6

0.2 0.4

0 0

0.1

0.2

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0

0.9

1

Figura 5.3: funci´ on λ1

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1 0.8

1 0.6

0.8 0.6

0.4 0.4 0.2

0.2 0

0

Figura 5.4: funci´ on λ2

102

´ 5.2. C ALCULO DE LA MATRIZ DEL SISTEMA DE ECUACIONES Y DEL SEGUNDO MIEMBRO: UN EJEMPLO

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 1 0.8

1 0.6

0.8 0.6

0.4 0.4 0.2

0.2 0

0

Figura 5.5: funci´ on λ 3

y análogamente para las funciones λ2 y λ3 . Observemos que si K es el triángulo de vértices a1 = (0, 0), a2 = (1, 0) y a3 = (0, 1), entonces las funciones on muy sencilla, pues, λ 1 = 1 x y, λ 2 = x λi , i = 1, 2, 3 tienen una expresi´ y λ3 = y. Las funciones λ1 , λ2 , λ3 asociadas a un tri´ angulo T , se llaman coordenadas baricéntricas y toman valores entre 0 y 1 en los puntos interiores de T y mayores que 1 o menores que 0 en los exteriores, y el valor 0 o 1 en los puntos frontera. Se tiene adem´ as i=1,2,3 λi (x, y) = 1 en todo punto

− −

(x, y)

5.2.



∈R . 2

C´ alculo de la matriz del sistema de ecuaciones y del segundo miembro: Un ejemplo

Vamos a calcular expl´ıcitamente el sistema (5.1.5) en el caso sencillo correspondiente al problema (5.1.4) en un dominio cuadrado con la triangulación de la figura 5.6. Calcularemos la i-´ esima ecuaci´ on del sistema (en las figuras, la ecuaci´ o n n´ u mero 41 que es la que corresponde al centro del cuadrado). En la figura 5.7 se han dibujado las curvas de nivel de la corres103


Figura 5.6: Triangulaci´ on del cuadrado [0, 1]

× [0, 1]

pondiente funci´ on base ϕ41 y en la figura 5.8 se ha resaltado el soporte de dicha funci´ on. Empecemos calculando los términos de la matriz. La fila 41 de dicha matriz solo tendr´ a algunos términos no nulos, concretamente y “a priori los términos Aij correspondientes a los valores de indices i = 41 y j = 32, 33, 40, 41, 42, 49, 50, pues solo para estos valores de los ´ındices los soportes de las funciones ϕ i y ϕ j tendr´ an intersecci´ on no vac´ıa (ver la figura 5.9). Vamos a calcular los términos AT angulo T de la figura ij para cada tria´ 5.9. De hecho bastar´ a hacerlo para uno de ellos (por ejemplo el de vértices a41 = (0.5, 0.5), a42 = (0.6, 0.5), a50 = (0.5, 0.6)) y por permutaci´ o n de sus términos obtendremos el resultado para los otros tri´ angulos. De forma algo más general consideremos un tri´ angulo de vértices (y utilizando numeraci´ on local para simplificar la escritura, es decir, utilizando valores para los 3 ´ındices 1,2 y 3, en lugar de 41,42 y 50) a1 (x1 , y1 ), a2(x2 = x1 + h, y2 ) a3 = (x3 = x1, y3 = y 1 + h), la restricción de las funciones base a este tri´ angulo ser´ an λ1 = 1

− x −h x − y −h y , 1

λ2 =

x

1

−x , 1

h

104


Figura 5.7: Curvas de nivel de la función ϕ41

Figura 5.8: Soporte de la función ϕ41

105


49

50

40

41

42

32

33

Figura 5.9: Estrella asociada a la ecuaci´ on 41

λ3 =

y

−y . 1

h

En efecto, las anteriores funciones verifican λi (a j ) = δ ij para i, j = 1, 2, 3. Los gradientes respectivos son:

∇λ

1

= [ 1/h, 1/h]t ,

−

−

t

∇λ = [−1/h, 0] , ∇λ = [0, 1/h] . 2

t

3

De donde, los correspondiente productos:

∇λ .∇λ 1

1

= 2/h2

2

1

2

2

1

3

1

2

1

2

2

= 1/h2

3

2

=0

∇λ .∇λ = −1/h ∇λ .∇λ ∇λ .∇λ = −1/h ∇λ .∇λ 2

2

∇λ .∇λ = −1/h ∇λ .∇λ = −1/h 3

∇λ .∇λ = 0 ∇λ .∇λ = 1/h 2

3

3

3

2

Integrando en el tri´ angulo T , teniendo en cuenta que son términos constantes y que a ´ rea(T ) = h 2 /2 resulta,

AT =

 − −

1 1/2 1/2

−1/2 −1/2 1/2 0

106

0 1/2




y análogamente para los otros tri´ angulos del soporte de ϕ41 . Para construir la matriz global A estas contribuciones se han de sumar adecuadamente en la posici´ on fila-columna correspondiente, as´ı el término A T a a sumarse en la 1,1 ir´ posici´ on A 41,41 de la matriz global, el término A T a en la posici´ on 1,2 , se sumar´ a en la posición A41,50 y as´ı sucesivamente. A41,42 , el término AT 1,3 , se sumar´ Los términos de A, distintos de cero, correspondiente a la ecuaci´ o n n´ umero 41 ser´ an (fila 41 de la matriz) :

A41,32 = A 41,40 = A 41,42 = A41,50 =

−1

A41,33 = A41,49 = 0 A41,41 = 4 Calculemos el segundo miembro. El término de la ecuaci´ on 41 es: b41 = fϕ41 dx1 dx2 , la integral la calcularemos utilizando integraci´ on numérica. Ω



La fórmula siguiente de Newton-Cotes que integra exactamente polinomios de grado 1, es suficiente:



f (x, y) dxdy

≈

T



a ´rea(T ) f (ai ) 3 i=1,2,3

donde ai i = 1, 2, 3 son los 3 vértices del tri´ angulo. En nuestro caso, la función a integrar es fϕ41 , que vale 1 en el vértice 41 y 0 en los otros. Por tanto,



f (a ≈ a´rea(T ) 3

f ϕ41 dxdy

T

41 )

sumando las contribuciones de los seis triángulos de la estrella (ver la figura 5.9) y teniendo en cuenta que el área de cada tri´ angulo es igual a h2 /2, resulta



2

fϕ41 dxdy

≈ h f (a 1)

T

4

La ecuaci´ on 41 del sistema se escribe:

−u − u 32

40 + 4u41

−u −u 42

107

50 = h

2

f (a41 )

(5.2.1)

´ ´ 5.3. UN M ETODO GENERAL PARA EL C ALCULO DE MATRICES Y VECTORES ELEMENTALES

que coincide con el método cl´ asico de diferencias finitas. Naturalmente el método de elementos finitos es mucho m´ as general pues se aplica sin dificultad a dominios mucho m´ as generales, con triangulaciones no tan estructuradas como la del ejemplo anterior. Veremos también como se puede, sin grandes dificultades, utilizar polinomios de grado m´ as alto, lo que permite en la práctica mejorar la precisi´ on del método.

5.3.

Un m´ etodo general para el c´ alculo de matrices y vectores elementales

Vamos a desarrollar un método de c´ alculo de las matrices y vectores elementales que se pueda aplicar a situaciones m´ as generales que la correspondiente al caso anterior. Por ejemplo en mallados m´ as generales de dominios cualesquiera, con elementos finitos de orden mayor que 1, y en problemas el´ıpticos más generales como los que veremos en el cap´ıtulo siguiente. Desarrollaremos con detalle el ejemplo correspondiente al c´ alculo de términos:

  d

AT ij

=

Dkl

K

kl

∂ϕ j ∂ϕ i dx1 ...dxd ∂x k ∂x l

(5.3.1)

donde Dkl k, l = 1,...,d son funciones reales definidas en Ω. Con notaci´ on matricial se escribe: AT ij =

 ∇

t

ϕ j D ϕi dx 1 ...dxd

∇

T

(5.3.2)

El cálculo de estos términos se hace generalmente pasando a un elemento de referencia y utilizando integraci´ on num´ erica. Supongamos para fijar las ideas que Ω R2 , es decir d = 2 y consideremos un triángulo genérico T de vértices a1 = (x1 , y1 ), a2 = (x2 , y2) y a3 = (x3, y3 ) definido en un plano ordinario de ejes x y. Introducimos ahora una transformaci´ on af´ın cuya ˆ de vértices aˆ1 = (0, 0), aˆ2 = (1, 0) y aˆ3 = (0, 1) en el imagen del tri´ angulo T

∈

−

plano de ejes ξ η sea precisamente el tri´ angulo dado T . Dicha transformación af´ın es fácil de encontrar, en efecto, utilizando las coordenadas baricéntricas ˆ del triángulo T ,

−

ˆ1 = 1 λ

− ξ − η

108


ˆ 2 = ξ λ ˆ 3 = η λ la imagen [x, y]t de un punto [ξ, η]t viene dada por

    −−            x = y

o bien

x1 y1

x = y

(1

x2 y2

η) +

ξ

x21 x31 y21 y31

ξ η

ξ +

x3 y3

η

x1 y1

+

donde x21 = x 2 y21

−x , = y − y , 2

o bien llamando

1

x31 = x 3

1

y31 = y 3



x21 x31 y21 y31

c =

 

B = y

resulta

−x , −y 1

1



x1 y1



x = F (ξ, η) = B y

 ξ η

+c

La tranformaci´ on de coordenadas F induce una tranformaci´ on de funciones, as´ı, una funci´ on ϕ definida en el plano x y induce una función ϕ en ˆ el plano ξ η mediante la composici´ on de funciones

−

−

ˆ η) = (ϕoF )(ξ, η) = ϕ(F (ξ, η)) = ϕ(x, y) ϕ(ξ, Por otra parte las derivadas se transformar´ an seg´ un la regla de la cadena:

     ∂ ϕ ˆ ∂ξ ∂ ϕ ˆ ∂η

=

∂x ∂ξ ∂x ∂η

109

∂y ∂ξ ∂y ∂η

∂ϕ ∂x ∂ϕ ∂y


o bien, observando que

  ∂y ∂ξ ∂y ∂η

∂x ∂ξ ∂x ∂η

t

B = con notaci´ on matricial,

t

ˆ B ∇ϕ ∇ϕ = de donde, t

∇ϕ = B− ∇ϕˆ Finalmente, teniendo en cuenta que

B −1 =

1 det B

B−t =

1 det B

 − 

y por tanto

y31 y21

−x

y31 x31

−y

−

31

x21

21

x21

 

aplicando el teorema del cambio de variable bajo el signo integral AT ij

=

 ∇

t

T

1 = detB

ϕ j D ϕi dxdy

∇

 ∇  t

ˆ T

ϕˆ j

y31 y21

−

−x

31

x21





D11 D12 D21 D22

y31 x31

−

−y

21

x21

∇

ϕî dξdη

En el caso en que los términos de la matriz D sea funciones constantes por elemento, introduciendo la matriz

C =



y31 y21

−

−x

31

x21



D11 D12 D21 D22



y31 x31

−

−y

21

x21



el cálculo de AT on ij se simplifica. En efecto, con la notaci´

C =



c11 c12 c21 c22



la matriz AT se escribe

AT ij

1 = detB

 ∇

t

ˆ T

  2

1 ϕˆ j C ϕî dξdη = ckl detB k,l=1

∇

110

∂ ϕ ˆ j ∂ ϕî dξ 1 dξ 2 ˆ ∂ξ k ∂ξ l T

Metodos Numericos Para Ecuaciones en Derivada Parciales

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