UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: ALGEBRA LINEAL : CB-111 L. KALA, KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG :
CICLO
: 2011 - II
FECHA
: 20.10.11
EXAMEN PARCIA P ARCIAL L 1.- Mediante propiedades calcule K si:
a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4
7b1 c1
7b2 c2
7b3 c3
7b4 c4
7c1 d1
7c2 d2
7c3 d3
7c4 d4
7d1 a1
7d2 a2
7d3 a3
7d4 a4
2.- Sean A y
a1 b1 c1 d1 =K
a2 b2 c2 d1 a3 b3 c3 d3 a4 b4 c4 d4
4 5 x B matrices matrices cuadradas cuadradas de orden orden 3 donde A x 1 x x 2 , x x 5 2 x
11 a 4 adj ( 2B )3 64 6 3 b c 2 1
1
adj (3A ) 9 A . Si se sabe que B es simétrica y B 0 . Calc Calcu ular, lar,
BA
1
,
3
,
.
a b b b b b a a 2 0 0 3.- Dada la la matriz A b a 2a 0 0 b a a 0 0 2 b 0 0 a 2a i) Para qué valores de a y b el rango de A tomará su máximo valor ii) ii) Si b
3 2
. Para qué valores de “ a ” el 0 r ( A) 5
4.- Resolver el sistema ( A C ) X 1
A
B
si se sabe que
1 F2 F23 1 F31 2 F12( α ) F 13( 2) α
,
α
z 0
el elemento elemento que se se
encue encuentra ntra en la la segu segunda nda fila y segund segundaa colum columna na de de la matr matriz iz de cofact cofactore oress de A es
x X y z Victoria
,
m 1 B m 1 0
,
3m 1 3m 9 m 3 C 2m 4m 2 2m 2 4m 2 5m 10 2m 2
3
y
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2011– I
L. KALA, A. HUAMAN, R. CHUNG
FECHA
: 19.05.11
EXAMEN PARCIA P ARCIAL L 1.- Se tienen las matrices cuadradas A, B y C de orden 25 donde:
A (a i j) (i j )
B (b i j ) min i , j C ( c i j ) (i j ) D ( BC )T A ( ABC )T ( d i j ) a) Calcu Calcular lar el términ término o gener general al de la matriz matriz D
b) Halla Hallarr los los ele eleme ment ntos os d 10,20
y
d 20,10
de la matriz D.
2.- Calcular Calcular el determin determinante ante de la siguie siguiente nte matriz matriz
a ax A ax 2 n ax
1
0
0
0
a
1
0
0
ax
a
1
ax n 1
ax n 2
ax n 3
0
a
3.3.- Sea Sea A una matriz cuadrada, cuadrada, no singular de orden orden 4 donde:
A
1
F14 (1) F13 (1) F12 (1) F24 (1) F34 (1) F2 ( y x ) F3 ( y x ) F4 ( y x ) F4 ( 2 ) F 42 (1) F 4 3 (1) F1 ( x ) F 2 1 (1) F3 1 (1) F4 1 (1)
y
adj adj( A1 )
x y 0 . Calcular 4 AT A 1 .
4.- Dado el siguiente siguiente sistema de ecuaciones lineales:
k z k 4 3y 2(k 1) x (4k 1) x ( k 1) y (2 k 1) z 2 k 2 (5k 4) x ( k 1) y (3k 4) z k 1 Para qué valores de k, el sistema tendrá a) Soluc Solución ión única única?. ?. Calcu Calcular lar b) Infinitas Infinitas soluci soluciones ones que depend dependen en de un un parámetro parámetro c) Infinitas Infinitas soluci soluciones ones que depend dependen en de dos dos parámetr parámetros os d) Inco Incons nsis iste tenc ncia ia
Victoria
169 , x 0 ,
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
: 2010 – III
ALEJANDRO HUAMAN , GELACIO TAFUR
FECHA
: 04.02.11
EXAMEN PARCIAL 3 x1
5
7
2n 1
n
x2 x1
x2
0
0
0
x2
x3 x2
x3
0
0
0
x3
x4 x3
0
0
0
0
0
1.- Calcular Calcular el siguiente siguiente determinante determinante
xn
xn 1 xn
2.- Si existe existen n x, y, z no todos nulos a la vez tales que:
x - by - cz 0
- ax y - cz 0 - ax - by by z 0 ¿Es posible demostrar que:
a a 1
b b 1
c c 1
1.
? Just Justif ifiq ique ue su res respu pues esta ta
1 2 1 0 3.3.- a) Sea A 1 0 3 5 1 2 1 1 Halle una matriz escalonada reducida por fila R que sea equivalente a la matriz A y una matriz no singular P de orden 3 tal que R PA
b) Sea
1 0 A 0 0
2
3
4
2
3
4
0 3 4 0 0 4
exprese A
1
como un producto de matrices elementales.
1 2 1 4.-Dada la matriz A F12 F32 (1) F2 F21 ( 2) F 13 (α ) y adj( A) α 3 0 2k 2 x k 2 2 2 2 Resolver el sistema A M y 2k k / M k 1 k k 1 k k 1 z 0 4k 2 3k 3k 1 Victoria
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
ALGEBRA LINEAL CB-111
CICLO
:
2010-II
A. HUAMAN, R. CHUNG
FECHA
:
22.10 .10.20 .2010
EXAMEN PARCIAL 1.- Dada la matriz matriz
M A1 I
1
1 I A1 I A I A
t
con AA
I At A
¿Es una matriz antisimétrica?. Justifique su respuesta. 2.- Dadas Dadas las matrices matrices
0 5 1 y A (aij )33 matriz matriz triangular triangular inferior inferior con aij α , B 5 0 2 1 2 0 M Adj (C t ) Adj (C ) matrices matrices no singulares singulares y cumple cumple MB BM 0 , MA B / A B 30α 7 exprese A B como un producto de matrices matrices elementales. elementales. 3.- Hallar Hallar el determinante determinante
1
1
1
1
φ1 ( x1 )
φ1 ( x2 )
φ1 ( xn 1 )
φ1 ( xn )
A φ2 ( x1 )
φ2 ( x2 )
φ2 ( xn 1 )
φ2 ( xn )
φn 1 ( x1 ) φn 1 ( x2 ) φn 1 ( xn 1 ) φn 1 ( xn ) donde φk ( x ) x
k
a1k x k 1 ak 1k x akk n
4.- Dado el sistema sistema A X
BAn 2Y t
t t An Y B X , n
3 2 0 1 B y 1 0 3 2
Si A
Determine las matrices X , Y
Victoria
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS
CURSO CODIGO DOCENTE
: : :
CICLO
ALGEBRA LINEAL CB-111
:
FECHA :
A. HUAMAN, R. CHUNG
2010-I 21.05.2010
EXAMEN PARCIAL
1. Si
2
x
x
x
x 4
x2
x
2x
x 4 x
4
3x
4
x 2
4x
2x
x
3x
2
x
4
α
x 2 1 β .
Calcule:
αβ
2. a) Si F rs es una matriz elemental fila de orden n demuestre que: r ( I Frs ) r ( I Frs ) n Sugerencia: Si B, C son matrices de orden n, entonces
r ( BC ) r ( B ) r (C ) n
r ( B C ) r ( B ) r (C ) ,
a ac bcd ab b ab bd acd b) Dada la matriz A c cd ac abd d cd bd bdc para qué valor de
a, b, c , d
la matriz
3. Dada la matriz E de orden 3. Si : E
A
ad
bc bc ad tien tiene e rang rango o 4.
I A
1
A2 I A
1
A1 I A
1
A
2 4 5 Exprese E como un producto de matrices elementales, sabiendo que: A 2 2 1 3 5 2 x 1 4. Resolv Resolver er el siguie siguiente nte siste sistema: ma: M y b sabiendo que: z 1 4 a 13 b 4 15 M 4Q 47 ab 16 , donde Q se obtiene a través de las condiciones: 52 b 20 a 21 1 1 1 1 2 1 2 C AB y B QA / B I , además C 2 y adj (C ) 10 x 7 3 1 Victoria
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
ALGEBRA LINEAL CB-111 VICTOR MONCADA CAJAVILCA
: : :
CICLO
:
2010 -I -II
FECHA
: 2010.10.05
EXA EXAMENE MENES S PARC PARCIA IALE LES S CICLO 2010-I
1. Si
2
x
x
x
x 4
x2
x
x
4
x 2
4x x
x
2x
3x
4 x 4
3x 2
2x
4
α
x 2 1 β .
Calcule:
αβ
2. a) Si F rs es una matriz elemental fila de orden n demuestre que: r ( I Frs ) r ( I Frs ) n Sugerencia: Si B, C son matrices de orden n, entonces
r ( B C ) r ( B) r (C ) ,
r ( BC ) r ( B) r (C ) n
a a b a c a d bcd b ab bd bc acd b) Dada la matriz A c cd ac bc abd d cd bd ad bdc para qué valor de a, b, c , d la matriz A tien tiene e rang rango o 4. 3. Dada la la matriz E de or orden 3. Si : E
I A
1
A2 I A
1
A1 I A
1
A
2 4 5 Exprese E como un producto de matrices elementales, sabiendo que: A 2 2 1 3 5 2 x 1 4. Resolv Resolver er el siguie siguiente nte siste sistema: ma: M y b sabiendo que: z 1 4 a 13 b 4 M 4Q 47 ab 16 15 , donde Q se obtiene a través de las condiciones: 52 b 20 a 21
1
C AB y B QA / B 2 I , además
C
1 1 1 2 y adj (C 1 ) 10 x 2 7 3 1
CLO 2009-II 1.- Calcule los siguientes siguientes determinantes
a)
1
2
3
4
n
x
1
2
3
n 1
x
x
1
2 n2
x
x
x
x
1
1 x
b)
2
x
0
0
0
x
1 x2
x
0
0
0
x
0
0
0
0
0
1 x
0
0
0
1 x
2
2
x
1 x2
x
2.- Hallar Hallar la matriz inversa inversa de A
1 a A a 2 n a
0
0
1
0
a
1
a n 1
an 2
0
0 1 0
3.- Demuestr Demuestree sin desarrolla desarrollarr
y 1 y 2 z 1 z 2
1 x 1 x 2
x3
1
y3 = 1 y 2
1
z
3
1 x 2
1 z 2
yz
1 xy xz
xz 1 xy
yz
xy yz
xz
1 xz yz
xy
2λ 4λ 1 5λ 1 λ 1 x 4.4.- Sea Sea C 4λ 2 λ 2 4λ 2 , B 1 , X y 6λ 2 2λ 2 5λ 1 2λ z 1 y A1 F31 (α ) F21 ( 1) F12 ( α ) F 1 donde el cofactor del elemento a12 de la matriz 2 A es -1. Para Para qué valores valores de de λ , el sistema de ecuaciones ecuaciones A C X B tendrá: a) Solución única. Calcular c) Inconsistente
, b) Infinitas soluciones. Calcular
CICLO 2009-I
1.- Si
1 x
x3 xyz y2 z yz2
1 y
y3 xyz x2 z xz2 k ,
1 z
z 3 xyz x2 y xy2
calcular
2.- a) Hallar el el determinante de la siguiente matriz
x 2 k
xy
y2
y 2
x2 k
xy
xy
y2
x2 k
cos( x a1 )
cos( x a2 )
cos( x a3 )
A sen( x a1 )
sen( x a2 )
sen( x a3 )
sen( a3 a1 )
sen( a1 a2 )
sen( a2 a3 )
b) Determine la relación que existe entre a1, a2 y a3 para que el r ( A) sea menor que 3. 3.- A y C son matrices matrices cuadradas cuadradas de orden orden 3 donde AC AC = I 1 1 A F31 (b) F32 (1) F21 F2 ( 2) F12 (1) F 1 , 2 2 C F31 ( a) F32 ( c) F21 1 F12 ( 1) D adj( adj (adj ( A))) ( d ij ) donde d 13 7 . Resolver ( A C ) X B ,
si B a, b, c
4.- Dado el sistema de ecuaciones lineales x3 x4 0 x1
x x 1 1 2 x3 x3 x4 0 x1 bx x x4 1 1 2 x2 bx3 x4 a
Para qué valores de a y b el sistema tendrá : a) Soluci Solución ón única única?. ?. Calcul Calcular ar b) Infinitas Infinitas soluc soluciones iones que depe dependen nden de 1 parámet parámetro, ro, 2 parám parámetro etross c) Inco Incons nsis iste tenc ncia ia..
CICLO 2008-III
1.- Dada la matriz matriz
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 Exprese I A I A A2
1
como un producto de matrices elementales
1 2.- Si A1 F21 (α ) F23 (3) F2 F13 α F 12 una matriz de orden 3 y 2 A1 1
resolver el siguiente sistema A C X B
2m 1 m m 1 donde C m 2 m 2 m 1 2m 1 m 1 m 3
x X y z
m 1 y B m m
T
3.- Hallar el valor valor del determinante determinante de A 1 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 1 λ 1 A 1 1 1 λ 1 1 1 1 1
1
1 λ n 1 1 1
CICLO 2008-2 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Dada Dada la matriz matriz A 1 1 1 1 1 1 1 1 producto de matrices elementales
1 1 Exprese I A I A A2
1
como un
resolver 1 2m 1 m m 1 x m 1 el siguiente sistema A C X B donde C m 2 m 2 m 1 X y y B m 2m 1 m 1 m 3 z m
1 2. Si A1 F21 (α ) F23 (3) F2 F13 α F 12 una matriz matriz de orden orden 3 y A1 2
1 1 1 1 λ 1 1 1 λ 1 1 1 1 λ 1 A 3. Hallar Hallar el valor del determina determinante nte de A 1 1 1 λ 1 1 1 1 1 4.- Sea el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales lineales a DX B b C FX
1
0
1
0
0
0
1
1
1
0
2
1 0 2 0 0 0 2 2 2 0 , F , B 3 , Donde: D 0 0 2 0 0 0 1 2 2 0 2 1 0 1 0 0 0 1 1 2 0 3
Para que valores de a y b el sistema: a) b) c) d) e) f)
Tiene Tiene soluci solución ón única. única. La solució solución n depende depende de 1 parámetro parámetro La soluc solución ión depe depende nde de 2 parám parámetr etros. os. La solució solución n depende depende de 3 parámetros parámetros.. La solució solución n depende depende de 4 parámetros parámetros.. La solució solución n depen depende de de de 5 paráme parámetro tros. s.
1
1 λ n 1 1 1
x1 x2 2 C , X x3 1 x4 1 x 5 1
CICLO 2008-1
1.- Calcular Calcular el siguiente siguiente determinant determinante: e:
1
2
3
n
1
23
33
n3
1 22n 1
32n 1 n 2n 1
x 2 3 a b b c 2 donde adj ( 2 A)T 218 2.- A es una matriz matriz antisimé antisimétrica trica y adj( A) ad c 1 d -1 a) Encontrar A . b) Expresar la adj( A) como un producto de matrices elementales fila
c d
2
a b a b
, b c b c .
a b c d e e 0 ,
3.-Sean los vectores a , b , c , d y e de V 3 tal que cd a,
2
5
,
d
2
d
2
c . a 0 , b . e 0 ,
c
2
8.
Hallar
a b . d . es una matriz cuadrada de orden n y AAT AT A I , (I matri matriz z identid identidad) ad) adj ( I A) adj ( I A1 ) demostrar que es una matriz antisimétrica . T ( I A )
4.- Si A
CICLO 2007-2 1.- Calcular el el siguiente determinante de orden n x 2 x 1
x3 x 2
0
0
0
1
x 2 x 1
x3 x 2
0
0
0
1
x 2 x 1
0
0
0
0
0
x
0
0
0
2.- Si AAt At A I ,
( I A )
y
x 1 1
x3 x 2 x 2 x 1
B son matrices no singulares
Demostrar que: M = M = A1 B 1 A A B
2
1
B ( I A)( I A) 1
es antisimétrica
3.- A es una matri matriz z antisimétr antisimétrica ica de orden orden 4 con con determin determinante ante positiv positivo, o, donde donde a x b 1 adj( A) 4 3 2 1 1 4.- Sean ean A 0 1 3 1
Si AC 1B
T
3
3 , x < x < c 2 d 1 0 2 , B 1 2 0
9
0
1 1 adj adj A . 3 9
y
Calcular 2 A AT
0 1
2 0 1 1
y
C
matrices cuadradas de orden 3
AB , expresar C como un producto de matrices elementales fila.
.
CICLO 2007-1 2 3 1 a 1 1 2 A 1.- Dada la la siguiente siguiente matriz matriz a 1 a 1 1 a 1 a 1 a 1
4
determ rmin ine e la matr matriz iz inve invers rsa a de 2 , dete 1 3
A, si es que existe. existe. 2.- Sea A K 4 (matriz triangular triangular superior) donde los elementos de la diagonal principal BX XB están dados por aii i , la matriz B bij tal que bij b ji 0 , además B XA con X matriz no singular y simétrica.
0 a3 Determine el rango de la matriz M = M = A + D , donde D 1 4a 3
a
a
2
3 a
a 2 a 1 2 3 2a 3a 3 4a 2 3a 2a 3 2
4 2 1 3.- Sean A, B, y C 8 5 4 matrices no singulares tales que ACB = | A| A| B , donde 12 4 3 A| |A| >0
a) Hallar A Hallar A y A1 b) Expresar A A y A1 como un produc producto to de matrices matrices elementale elementales s fila
| A |
4.- Calcular Calcular el siguiente determin determinante ante
1
1 2
1 3
1 n
1 2
1 3
1 4
1 n 1
1 n
1 n 1
1
1 2n 1
n 2
CICLO 2006-1 0 1.- Sea la matri matriz z A c a
a
c
0
a
b
2
b
adj A AT
1 a 21 2.2.- Sea Sea la la mat matri riz z A a31 a n1 1
b a c 0 son números enteros tales que
A 0 , A AT 0 .
diagonal tal que I
4 2 8
a12
a13
a1n
2
a 23
a 2n
a32
3
an2
a n3
. Calcular A ( A AT )
. 1
a 3n
n
1 ( I D) A , calcular
y
D ( d i j )
2 adj (2 adj (2 A A))
i j 1
es una matriz
cd ab 1 g 1 ab 3.3.- Sea Sea la matr matriz iz A ab f 1 2d e d e f (C no C no singular) tales que BC = BC = CB ,
f g
, d g 3 1 AC = AC = B d
B y C son matrices simétricas
Para qué valores de los elementos elementos de A, el rango de A es 4, 3, 2, 1?. 4.- Sea a , b , c , d V n no nulos, donde a b c d , a b c d 0 ,
a c d a c b , Hallar a d a c .
, a c c b 0 .
a b c d b c
CICLO 2005-2
1.- Calcular Calcular el siguiente determin determinante ante
1 1 2.- Sea la matri matriz z A b 1
a
1
a
1
1
1
1
a
1
a
1
3
5
7
2n 1
2n 1
1
3
5
2n 3
2n 3
2n 1
1
3
2n 5
3
5
7
9
1
, donde a 0 , b Z . 1 b
En la matriz de cofactores de A, el elemento A 34= 1, |adj( adj(b b A)| = - 8 5. Expresar la matriz matriz adj ( A ) como como un un produc producto to de matric matrices es elemen elemental tales es fila. fila. 3.- Sean A, B y C matrices cuadradas de orden n, donde AA T = I, BBT = I y AB = BA.
Si
B
T
AT
B 1
T
AT C T B A( B A) 1 ,
4.- Sea el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales: lineales:
hallar C
x ay a 2 z 1 x ay abz a bx a 2 y a 2 bz a 2 b
Para qué valores de a y b, el sistema tendrá: a) Solución ún única?. Ca Calcular b) Infinitas so soluciones. Ca Calcular
c) Inconsistencia
CICLO 2005-1 1.- Calcular el valor del siguiente determinante de orden n , si x x
x
x
. . .
x
x
1
2
0
. . .
0
0
0
1
2
. . .
0
0
0
0
1 . . .
0
0
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
. . .
.
.
.
.
.
. . .
.
.
0
0
0
. . . 1 2
1 2n 1
2 x 1 x 1 2 x 2 x 1 x 1 2.- Sea la matriz matriz no singula singular r A 2 x tal que 10 | 4 A| = | adj(2 A) A) | 2 x 1 3 x 1 2 x 3 Expresar la adj(A) como un producto de matrices elementales fila
3.- AX = B es un sistema de ecuaciones lineales que únicamente únicamente su solución depende de dos parámetros cuando t 1, k k 0 , donde: Adj(AdjAT) = |A| 2 (F1(a-1)F2(k + a) F21(1) C) 1 0 C 0 0
1 1 1 a a 2b ab a b t a b t 0 2 1 1 0
0
0
,
B = (a, a, a + b, a + b) T .
si k k 0 , para qué valores de a, b y t el sistema dado: a) Tiene solución solución única, calcular calcular b) Depende Depende de un parámetro parámetro c) Es inconsistente ab ≠ 0 4.4.- Sean Sean b , c y a tres vectores de V 3 tal que a b c 0, t (b c ) (a c ) , t ≠ 2
Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. Justificar ab 1 a b a) b) proyb c b (a b ) (b c ) 0 c 2 4 2
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 VASQUEZ : A. HUAMAN, R. VASQUEZ
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2009-III
FECHA
: 05 .02.2010
EXAMEN PARCIA P ARCIAL L 1.- Sean las matrices cuadradas de orden 50, A, B, C y D donde: i A BDC , B C T , C ci j , 50 j
2
i j D di j 50
2
a) Hallar Hallar el el elemen elemento to genér genérico ico de la fila i columna columna j de la matriz A. b) Hallar Hallar el elemen elemento to genéric genérico o de la la fila 20 columna columna 10 de la matriz A
2.- Hallar el el siguiente siguiente determinante a1 x1
a2
a3
a4
an
x1
x2
0
0
0
0
x2
x3
0
0
0
0
0
0
xn
3.- Dado el siguient siguientee sistema A25 X 2Y t BA24 t
t
x A
30
,
y Bt ,
3 2 3 2
0 1 1 0
Si A
y B
Hallar X e Y K 22 4.-Demuestre que
i) a b . b c c a m c. a b
ii) Si a
Victoria
b c
a. b c
, b
ca
2
y
c
ab
a. b c
con m a b c b c a c a b
a. b c
entonces
a
b c
a. b c
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Industrial y de Sistemas
ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : A. HUAMAN, C. MENDOZA
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2009 – II
FECHA
: 23.10.09
EXAMEN PARCIA P ARCIAL L 1.- Calcule Calcule los siguien siguientes tes determin determinante antess
a)
1 x 2
x
0
0
0
n 1
x
1 x2
x
0
0
1
2 n2
0
x
0
0
x
x
x
1
0
0
0
1 x
0
0
0
1
2
3
4
n
x
1
2
3
x
x
x
b)
1 x
2
x
2
x
1 x2
2.- Hallar Hallar la matriz inversa inversa de A
1 a A a 2 n a
0
0
0
1
0
0
a
1
a n
1
a n
2
0 1
3.- Demuestre Demuestre sin desarrollar desarrollar
2 y 1 y 2 z 1 z
1 x 1 x 2
x
3
1
y
3
= 1 y 2
3
1 z 2
1
z
1 x 2
yz
1 xy xz
xz 1 xy
yz
xy yz
xz
1 xz yz
xy
2λ 4λ 1 5λ 1 λ 1 x 4.4.- Sea Sea C 4λ 2 λ 2 4λ 2 , B 1 , X y 6λ 2 2λ 2 5λ 1 2λ z 1 y A1 F31 ( α ) F21 (1) F12 (α )F 1 donde el cofactor del elemento a12 de la matriz 2 A es -1. Para qué qué valores valores de λ , el sistema de ecuaciones ecuaciones A C X B tendrá: a) Solu Soluci ción ón únic única. a. Calc Calcul ular ar c) Inconsistente Inconsistente
Victoria
, b) Infin Infinita itass solu soluci cion ones es.. Calc Calcul ular ar
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : A. HUAMAN, L. KALA
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2009 – I
FECHA
: 22.05.09
EXAMEN PARCIAL
1.1.- Si
1 x
x3 xyz y 2 z yz2
1 y
y 3 xyz x 2 z xz2 k ,
1 z
z 3 xyz x2 y xy2
x 2 k
xy
y2
y 2
x2 k
xy
xy
y2
x2 k
calcular
2.- a) Hallar el determinante determinante de la siguiente siguiente matriz matriz cos( x a1 )
cos( x a2 )
cos( x a3 )
A sen( x a1 )
sen( x a2 )
sen( x a3 )
sen( a3 a1 )
sen( a1 a2 )
sen( a2 a3 )
b) Determine la relación que existe entre a1, a2 y a3 para que el r ( A) sea menor que 3. 3.- A y C son matrices cuadradas de orden 3 donde AC = I 1 1 A F31 (b) F32 (1) F21 F2 ( 2) F12 (1) F 1 , 2 2 C F31 ( a) F32 ( c) F21 1 F12 ( 1) D adj (adj ( adj( A))) ( d ij ) donde d 13 7 . Resolver ( A C ) X B , B a, b, c
T
4.- Dado el sistema sistema de ecuaciones lineales lineales x3 x4 0 x1
x x x 1 3 1 2 x3 x4 0 x1 bx x x4 1 1 2 x2 bx3 x4 a
Para qué valores de a y b el sist istema tendr ndrá : a) Soluc Solución ión única única?. ?. Cal Calcul cular ar b) Infinitas Infinitas soluciones soluciones que dependen de 1 parámetro, parámetro, 2 parámetros parámetros c) Inco Incons nsis iste tenc ncia ia..
si
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: ALGEBRA LINEAL : CB 111 RIQUELME VASQUEZ VASQUEZ , A HUAMAN : RIQUELME
CICLO
: 2008 – III
FECHA
:03- 02- 09
EXAMEN PARCIAL
1.- Dada la matriz matriz
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 Exprese I A I A A2
1
como un producto de matrices elementales
1 2.- Si A1 F21 (α ) F23 (3) F2 F13 α F 12 una matriz matriz de orden 3 y 2 A1
resolver el siguiente sistema A C X B 1 2m 1 m m 1 x m 1 X y donde C m 2 m 2 m 1 y B m 2m 1 m 1 m 3 z m 3.- Hallar el valor valor del determinante determinante de A 1 1 1 1 λ 1 1 λ 1 1 1 1 1 λ 1 A 1 1 1 λ 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 λ n
4.- Sea el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales a DX B b C FX
Donde:
1 1 D 0 1
0 0 2 0 0 0 , F 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0
1
0
0
x1 2 1 x2 2 2 2 0 3 2 , B , C , X x3 2 1 1 2 2 0 x4 1 1 2 0 3 1 x 5 1
1
1
Para que valores de a y b el sistema: a) b) c) d) e) f)
Victoria
Tien Tienee sol soluc ució ión n únic única. a. La soluc solució ión n dep depen ende de de 1 par parám ámet etro ro La soluc solución ión dep depend endee de 2 parám parámetr etros. os. La solución solución depende depende de 3 paráme parámetros. tros. La soluc solución ión dep depend endee de 4 parám parámetr etros. os. La soluci solución ón dep depend endee de 5 parám parámetr etros. os.
0
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS : ALGEBRA LINEAL : CB-111 : R. VASQUEZ, A. HUAMAN
CURSO CODIGO DOCENTE
CICLO
: 2008 – II
FECHA
: 17.10.08
EXAMEN PARCIAL 1.- Calcular Calcular el determinan determinante te 1 x
2
3
4
n
x
1
2
3
n 1
x
x
1
2 n2
x
x
x
x
1
2.- Dada la matriz matriz A
1 x x2 1 2 x 3x2 2 A 1 4x 9x ( 2 x) 2 1 2 x 2 1 2( 2 x) 3(2 x)
4 5x 4 25 x 4 ( 2 x) 5(2 x)4
x3
x4
4 x3 16 x
3
( 2 x)3 4(2 x)3
Para qué valor valor ó valores valores de de x la matriz A tiene tiene rango rango 5, 4, 3, 2 3.- Sean A, B, C, D matrices no singulares singulares de orden n Determinar el valor de k en la expresión:
A BDC
1
A A BDC
4.- Resolver Resolver el el sistema sistema ax ay bz bw 0 ay bw 0 ax ay bz bw a b bx az a b by aw a w 2ab
Victoria
1
1 1 1 1 1 2K I C D B A I A BDC
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: ALGEBRA LINEAL : CB 111 RIQUELME VASQUEZ VASQUEZ , A HUAMAN : RIQUELME
CICLO
: 2008 – III
FECHA
:03- 02- 09
EXAMEN PARCIAL
1.- Dada la matriz matriz
1 1 1 1 1 1 1 1 A 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 Exprese I A I A A2
1
como un producto de matrices elementales
1 2.- Si A1 F21 (α ) F23 (3) F2 F13 α F 12 una matriz matriz de orden 3 y 2 A1
resolver el siguiente sistema A C X B 1 2m 1 m m 1 x m 1 X y donde C m 2 m 2 m 1 y B m 2m 1 m 1 m 3 z m 3.- Hallar el valor valor del determinante determinante de A 1 1 1 1 λ 1 1 λ 1 1 1 1 1 λ 1 A 1 1 1 λ 1 1 1 1 1
1
1 1 1 1 λ n
4.- Sea el sistema sistema de ecuaciones ecuaciones lineales a DX B b C FX
Donde:
1 1 D 0 1
0 0 2 0 0 0 , F 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0
1
0
0
x1 2 1 x2 2 2 2 0 3 2 , B , C , X x3 2 1 1 2 2 0 x4 1 1 2 0 3 1 x 5 1
1
1
Para que valores de a y b el sistema: a) b) c) d) e) f)
Victoria
Tien Tienee sol soluc ució ión n únic única. a. La soluc solució ión n dep depen ende de de 1 par parám ámet etro ro La soluc solución ión dep depend endee de 2 parám parámetr etros. os. La solución solución depende depende de 3 paráme parámetros. tros. La soluc solución ión dep depend endee de 4 parám parámetr etros. os. La soluci solución ón dep depend endee de 5 parám parámetr etros. os.
0
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ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS CURSO CODIGO DOCENTE
: ALGEBRA LINEAL : CB-111 KALA, A. HUAMAN HUAMAN , R. VASQUE VASQUEZ Z : L. KALA,
CICLO
: 2008 – I
FECHA
: 30.05.08
EXAMEN PARCIA P ARCIAL L 1.- Calcular el siguiente siguiente determinante determinante 1
2
3
n
1
23
33
n3
1 22n 1
32n 1 n 2n 1
x a b 2.- A es una matriz antisimétrica y adj( A) ad
3
2
2 donde adj (2 A)T 218 1 c d
bc
-1
a) Encontrar A . b) Expresar la adj( A) como un producto de matrices elementales fila
3.-Sean los vectores a , b , c , d y e
b . e 0 ,
5 2 4.- Si
d
2
A
c
2
V 3
tal que
a b a b
,
a b c d e e 0 , c . a 0 ,
b c b c
.
c d
2 2
d
,
8 . Hallar a b . d .
es una matriz cuadrada de orden
demostrar que
Victoria
c d a,
de
adj ( I A) adj ( I A1 ) T
( I A )
n
y AAT AT A I , (I matriz identidad)
es una matriz antisimétrica .
