geometría tema 1
Soii1g1T
tarea 5. Según la figura, Calcule "a+b+f+m+n+q’’
ejercitación
f 1. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto "D" exterior al triángulo y relativo
b
a AC; si la mBADC es obtuso, AD = 8u
a
y CD = 15u. Calcular el menor perímetro entero del triángulo ABC. A) 24u
B) 49u
D) 52u
E) 54u
A) 180º D) 600º
C) 50u
q
B) 300º E) 720º
C) 360º
x m A
3. Calcule "x".
C n
q
x
D
18°
A) 5° D) 12°
b b A) 9º D) 28º
n
6. Si: AB = AC ; AD = BD y m + n = 200º. Calcular: "x". B
2. En un triángulo ABC: mBBCA > mBBAC. Calcule el máximo valor entero de AC, siendo AB = 5u. a) 6u b) 7u c) 8u d) 9u e) 10u
q
m
B) 18º E) 15º
B) 5m
D) 3m
E) 2m
° 60
B
x A A) 20° D) 36°
C) 6m
san marcos regular 2015 – Ii
C) 10°
7. En el gráfico, BC = CD = AD; calcule x C
C) 27º
4. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura BH, en la cual se ubica el punto P. Calcular el máximo valor entero que puede adquirir AP si AB + AC = 10m. A) 4m
B) 7° E) 15°
1 1
D B) 30° E) 15°
geometría
C) 45°
Tema 1
triángulos y líneas notables
8. En el gráfico, calcule x.
12. Calcule el valor entero de "x", si: AB = AC = CD. B
q q
a
a
n
b x
a) 70° d) 100°
b
D
n
70° 134°
b) 85° e) 110°
A
c) 95°
n
63°
n
80°
q q w
aa
w
x a) 20º d) 35º
b) 25º e) 40º
c) 30º
C 14. En un triángulo ABC se traza las cevianas interiores AM y CN; desde un punto P exterior relativo a AC se trazan PQ ⊥ NC y
x
76
°
52°
PR ⊥ AM. Calcule m∠RPQ, si m∠ABC = 60º y AN = NM = MC. A) 50° B) 100° C) 40° D) 80° E) 60°
D b) 101º e) 117º
c) 121º
11. En un DABC se ubica el punto interior ‘’P’’ tal que los DAPB y DBPC son obtusángulos (obtuso en P), si: AP = 16 ; BP = 12 y PC = 9.
15. En la región interior de un triángulo rectángulo ABC recto en B se ubica el punto P; calcular BC si AB = AP = 3; PC = 4 y AC es entero.
Halle el menor perímetro del DABC sabiendo que es un valor entero. A) 42 B) 44 C) 43 D) 45 E) 41
Tema 1
C) 53º
60°
10. En la siguiente figura calcule el valor de “x”. B
a) 86º d) 114º
B) 75º E) 37º
13. En la figura mostrada calcule el valor de "x".
9. En un triángulo ABC acutángulo los puntos "I" y "E" son incentro y excentro relativo al lado BC respectivamente. Si: 12(AC) = 5(IE) y la mBABC = 30º, entonces la mBbca es: a) 18º b) 36º c) 72º d) 76º e) 80º
A
C
E
A) 60º D) 45º
profundización
54°
x
geometría
2 2
A) 4 3
B) 5
D) 3
E) 4
C) 3 3
san marcos regular 2015 – Ii
triángulos y líneas notables
16. Del gráfico mostrado, calcular x si:
19. Si: AD = BC, calcule "x". B
a + β = 260º
30°
x A A) 20º D) 25º
b
A) 160º
B) 140º
C) 150º
D) 155º
60°
x
g g
° 40
a
q q
C C) 15º
B) 10º E) 30º
20. En la figura, calcule "x", si: BC = CD B C 38°
E) 145º 17. En la figura α + β + θ + γ = 440º calcular x b m m
a
x
q n n
A A) 15° D) 37°
g
B) 45º
C) 60º
D) 40º
E) 50º 18. Si AB // CD calcular x.
C m
n
B) 20° E) 45°
A) 110º D) 100º
x A m D
30°
D
C) 30°
21. Dado un triángulo ABC; en AB y BC se ubican los puntos M y N respectivamente, en las prolongaciones de AC y de CA se ubican los puntos Q y P respectivamente; calcule la medida del ángulo que determinan las bisectrices de los ángulos BNQ y BMP. Si: AP = AM; CQ = CN y m∠ABC = 40°.
x A) 75º
22°
B n
B) 105º E) 95º
C) 85º
22. Del gráfico mostrado calcular x si AC = 2(AB)
140° B
2a q
2q a A) 100º
B) 140º
C) 120º
D) 90º
q
E) 135º
san marcos regular 2015 – Ii
q
3a b
a
A
3 3
x
b
geometría
C
Tema 1
triángulos y líneas notables
A) 45º
B) 50º
C) 60º
D) 20º
B
E) 30º P
R
23. Hallar "x", si: mBBDA – mBCDA = 18°. A A
x
B
D
C
a) 18°
b) 12°
c) 6°
d) 24°
a
a) 60° d) 48°
x
q C
Q
b) 45° e) 55°
c) 35°
F 25. En un triángulo ABC isósceles, por un punto P de la base AC se levanta una perpendicular a dicha base intersecando a AB en M y a la prolongación de cb en n. Calcula nb si am = 14 y nc = 36.
e) 9° 24. Calcule "x", si: a + 0 = 155°; AB = BC y PQ = QR
a) 11 d) 10
b) 12 e) 9
c) 13
respuesta 1. D 2. D 3. B 4. A 5. E 6. C 7. B 8. E 9. D 10. B 11. C 12. D 13. A 14. E 15. C 16. D 17. D 18. C 19. A 20. C 21. B 22. E 23. E 24. E 25. A
Tema 1
geometría
4 4
san marcos regular 2015 – Ii
GEOMETRÍA TEMA 2
SOII1G2T
TAREA 5. Calcular "AE":
EJERCITACIÓN
B
1. Del gráfico calcular "AB": A) 14
B
B) 15
2a
5 E
C) 16 D) 20 E) 22
E
16 a
A
A) 8 D) 9
C
B) 7 E) 11
6. Calcular "BH":
A
C
M 20
E) 16
A) 4
H
C
F
x
C) 8
8 C
A
E
a C
x
D) 10 A
6
12
8
C) 9
B
B
B
B) 8
C) 3
8. Si BH es altura y BM es mediana:
4. Calcular el máximo valor entero de "BM": A) 7
5
B) 2 E) 5
7. Calcular "a": A) 8 B) 10 C) 12 D) 14 A E) 11
B
B) 2
E) 12
E
A) 1 D) 4
3. Del gráfico calcular "x":
E) 6
q
A
6
D) 14
D) 7
C) 6
q
N
C) 13
C
B
2. Del gráfico calcular el valor de "BN": B A) 10 B) 12
a a
2
A
M
SAN MARCOS REGULAR 2015 – II
A
C
1 1
q
a H
GEOMETRÍA
M
C
TEMA 2
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
a–q 2 C) x = a + 2q a+q E) x = 3
a+q 2 D) x = a – q
A) x =
A) 20 D) 18
B) x =
B) 15 E) 17,5
13. Un triángulo ABC recto en B; I es el incentro “O” es el circuncentro; m]AIO = 90º.
PROFUNDIZACIÓN
Calcular m]BAC. A) 37
B) 60
9. Si: AB = BC, calcular "HM":
D) 45
E) 53
A) 4
B 14
circuncentro a los catetos miden 3 y 4.
M
Calcula la longitud de la hipotenusa.
D) 7 E) 9
A
C
H
10. Calcular "AC": a
A) 5
B) 6
D) 9
E) 10
A) 10
120°
B) 12 D) 8
C
E) 18
C) a 2
B) a E) a 6
D
C
la altura BH se intersecan en “F” tal que: AB + AH = 4; HF = 3.
C) 60
C x
E) 53 A
D
Calcular BH. A) 2
B) 2,5
D) 0,5
E) 1
C) 1,5
17. Interiormente a un triángulo equilátero ABC se ubica el punto P tal que m]APC
12. Calcular “α”, si : 2AB = DC
TEMA 2
A
q 2q
triz exterior del ]A y la prolongación de
B) 22,5
A
H E
16. En un triángulo ABC recto en “B” la bisec-
11. Calcular x”, si AC = BD y BC = CD B A) 45
B
B
3q
A
D) 37
C) 7
15. En la figura, calcular “θ”, si CE = 2HC. B
C) 15
A) a 3 D) a 5
C) 30
14. En un triángulo rectángulo la distancia del
B) 5 C) 6
C) 22,5
= 90, luego se trazan exteriormente al
D
triángulo APC los triángulos equiláteros APQ y PCE. Calcular la m]QBE.
a 2a
C
GEOMETRÍA
2 2
A) 120
B) 100
D) 150
E) 90
C) 140
SAN MARCOS REGULAR 2015 – II
CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
18. En la figura CD = 3BH, calcular el valor de “α”. B A) 15 H B 22,5
a
C) 26,5 D) 37
22. D el gráfico, calcular el valor de “x”, si AB = QC; y 5AH = 4PQ. B Q
a
A
C H A) 120 D) 135
D 19. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B, en BC se ubica el punto T y en AC el punto medio M. Si TC=2(AB) + BT. Calcula m]MTC. A) 30 B) 53/2 C) 60 D) 53 E) 15
B) 22,5
C C) 127
23. En la figura, calcular “x”. B x
10
A A) 10 D) 25
20. En la figura: AB = BC y AC = AD, calcular θ C A) 15
C C) 20
B) 15 E) 30
B 24. En la figura: AB = 4 y AH =1, calcular ED B A) 2
C) 30 D) 45 E) 18,5
A
2q
q
B) 2,5
D
21. D e la figura, calcular DC, si BE = EC; AB = 6; AC = 8 B A) 2 H B) 3 D) 1/2 A
A
a a
a
A) 3 B) 3,5 C) 4
q 6
D) 4,5 D
C
H
25. En la figura, calcular “x”.
E
C) 4
a
D) 3,5 E) 4
D
E
C ) 3
SISTEMATIZACIÓN
E) 1
x P B) 137 E) 150
A
E) 30
2
q x
E) 5
C
RESPUESTA 1. C 2. A 3. C 4. C 5. D 6. D 7. C 8. D 9. D 10. A 11. C 12. C 13. D 14. E 15. C 16. A 17. D 18. C 19. B 20. C 21. E 22. C 23. E 24. C 25. C
SAN MARCOS REGULAR 2015 – II
3 3
GEOMETRÍA
TEMA 2
geometría tema 3
Soii1G3T
tarea a) 9 u d) 18 u
ejercitación 1. Cada lado de un polígono regular mide 6 cm y el perímetro equivale al número que expresa el total de diagonales, en centímetros. Hallar la medida de un ángulo central. a) 8º b) 12º c) 18º d) 24º e) 30º
b) 15,5 u e) 16 u
c) 12,5 u
6. Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: * En el romboide las diagonales son congruentes. * En el rectángulo las diagonales son perpendiculares. * En el rombo las diagonales son perpendiculares y congruentes. a) VFF b) FFV c) VFV d) FVF e) FFF
2. Determine el número de ángulos rectos a que equivale la suma de los ángulos internos de un polígono cuyo número de diagonales es igual al número de sus ángulos internos. a) 8 b) 9 c) 5 d) 6 e) 7
7. ¿Qué afirmación es incorrecta? a) Todo cuadrilátero tiene dos diagonales. b) El paralelogramo tiene sus lados opuestos paralelos congruentes. c) En el rombo sus ángulos internos miden 90º. d) En el trapecio las diagonales se bisecan. e) Dos alternativas son incorrectas.
3. Interiormente a un pentágono regular ABCDE, se construye un triángulo equilátero AMB. Hallar: m
8. En el romboide ABCD: AB = 4 u y BC = 10 u; luego se trazan las bisectrices interiores de “B” y “C” que cortan a AD en “E” y “F” respectivamente. Hallar el segmento que une los puntos medios de BE y CF. a) 5 u b) 6 u c) 7 u d) 8 u e) 4 u
5. En el trapecio ABCD la bisectriz interior de “C” corta a AD en “F” tal que ABCF es un paralelogramo. Si: BC = 7u y CD = 11u, hallar “AD”.
profundización
san marcos regular 2015 – Ii
9. En un romboide ABCD, las bisectrices interiores de “B” y “C” se cortan en un punto
1 1
geometría
Tema 3
CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
de AD . Calcular el perímetro de ABCD, si: BC = K. a) 4K b) 2K c) 5K d) 3K e) 2,5K
b) 56º e) 62º
D c) 10 u
16. Si ABCD es un romboide, tal que: AB = 18 u. Calcular la longitud del segmento que une los puntos medios de AE y BD. E B C
q
A
12. Graficar un triángulo escaleno ABC y su altura BH (ABBC ). Si “M”, “N” y “P” son puntos medios de AB,BC y AC, entonces el cuadrilátero MNPH es un: a) Romboide b) Rombo c) Trapecio rectángulo d) Trapecio isósceles e) Rectángulo
a) 10 u d) 9 u
b) 12 u e) 8 u
q D c) 13 u
17. De la figura adjunta: BC //PQ//AD. Calcular BC. B C 3a P
13. Exteriormente al triángulo isósceles ABC (obtuso en “B”); se construye el rombo ABDE; mAED = 128º y mBAC = 14º. Hallar mBDC. a) 40º b) 60º c) 55º d) 50º e) 65º
a
3b 14 16
A A) 6 D) 7
B) 8 E) 10
Q b D C) 12
18. Las diagonales de un trapecio miden 8 y 10. El valor máximo entero de la mediana es: A) 8 B) 9 C) 5 D) 7 E) 6
14. Si: AB = 6 u, hallar la longitud del segmento que une los puntos medios de AB y CD.
geometría
37° b) 8 u e) 16 u
15. En un romboide ABCD, la mediatriz de BC interseca a AD en “Q”, tal que: mBCQ = 54° y AB = AQ. Calcular: mQCD. a) 28° b) 18° c) 20° d) 24° e) 26°
c) 72º
11. En un triángulo escaleno ABC (ABBC), se traza la altura BH, sean “M”, “N” y “Q” los puntos medios de AB; BC y AC, respectivamente. Entonces MNQH es un: A) Trapecio isósceles B) Cuadrado C) Trapecio escaleno D) Romboide E) Trapecio rectángulo
Tema 3
45°
A a) 9 u d) 12 u
10. Se tiene un rombo ABCD y se construye exteriormente el cuadrado BEFC, tal que: mECD = 89º. Calcular mAEC. a) 68º d) 58º
C
B
2 2
san marcos regular 2015 – Ii
CUADRILÁTEROS Y POLÍGONOS
19. Del gráfico adjunto calcular “x”, ABCD: Romboide. D
M
C
a AC, las mediatrices de las diagonales se intersecan en un punto “P” que pertenece a AD. Calcular la mBPC, si mPQD = 40. A) 80 d) 60
x
B) 40 E) 45
C) 50
P
B A) 37/2 D) 45
23. En un rectángulo ABCD se ubican los puntos medios P y Q de BC y RD respectivamente (R es punto medio de PC). Calcular la mQPR, si mRAB = 48. A) 36 B) 42 C) 48 d) 32 E) 45
A B) 53/2 E) 30
C) 15
20. En un rombo ABCD, las diagonales AC y BD miden 16 y 12 respectivamente. Calcular la altura BH relativa a CD. A) 6,2 B) 8,3 C) 9,6 D) 6,9 E) 3 3
24. En un trapecio ABCD (AB // CD); AB es la base menor tal que: AD ≅ BD; BC=6. Calcular DM, siendo “M” punto medio de AC. A) 4 B) 2 C) 3 D) 4,5 E) 1,5
sistematización
25. Si ABCD y GFED son cuadrados y AG = 10, calcular la distancia entre los puntos medios de AE y CG. B C
21. ABCD: Cuadrado, FM = MD. Calcular q. B
C F q
M F
A A) 20 D) 30
E
D B) 35 E) 36
C) 22,5
A
22. En un trapezoide ABCD, BD biseca en “Q”
G
A) 5
B) 5 2
D) 10 3/2
E) 10 2/3
D C) 4 2
respuesta 1. D 2. D 3. B 4. E 5. D 6. E 7. E 8. B 9. D 10. A 11. A 12. D 13. D 14. C 15. B 16. D 17. B 18. A 19. B 20. C 21. D 22. A 23. B 24. C 25. B
san marcos regular 2015 – Ii
3 3
geometría
Tema 3
geometría tema 4
Soii1g4T
tarea a) 6 d) 10
ejercitación
b) 5 e) 8
c) 12
1. AB + DE = 14, BD + AE = 26, CF = ? a) 12
5.
B
C
b) 15
D
b) 16
c) 6
d) 14
e) 8
e) 12
F
2. a) 15°
E
a
B
a
0,5 1 1,5 2 2,5
A
P B
Q C
B
O b) 110° e) 135°
a) 120° d) 150°
c) 130°
7. Calcula x.
N
x
D
DE = ??
A
D
O
3. AM = BN, AQ = 3, BC = 5 a) b) c) d) e)
3
M A
C
4
E
N
O1
d) 12° e) 10°
a
6. Si m AB = 100°, m BC = 140°, calcula x. x
C
x
b) 16° c) 18°
2a
c) 10
d) 7,5 A
a
B a) 18
3 A
Q
M
C
4. El inradio de un triángulo rectángulo mide 2 y su circunradio mide 5, la diferencia de los catetos es igual al inradio. Calcular el cateto mayor.
san marcos regular 2015 – Ii
x
2 a) 1 d) 10
1 1
b) 1,5 e) 6
geometría
c) 5
Tema 4
circunferencia I
11. El perímetro de un triángulo rectángulo es 18. Hallar la longitud del exradio relativo a la hipotenusa. a) 3 b) 4,5 c) 6 d) 9 e) 12
8. Si OA = OB, m O = 60°, calcula x. B
12. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, se traza la altura BH, las bisectrices de los ángulos ABH y HBC cortan a AC en P y Q. Hallar el inradio del triángulo ABC, si PQ = 6. a) 18 b) 3 c) 12 d) 9 e) 14
6 x A
O a) 2 d) 0,5
b) 3 e) 1
c) 1,5
13. Calcula x.
profundización
B x
9. Calcula x.
E
B 5
F
A
6
a) 3 d) 7
b) 1,5 e) 9
c) 6
C
x F: incentro del ∆ABC. a) 8 b) 12 d) 9 e) 10
14. Calcular r, si O es centro de la circunferencia mayor, además AB = BC, AO = 12.
c) 14
C
10. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC) por un punto D del lado BC se traza DE perpendicular al lado AB de modo que m BAD = 45° y el inradio de la circunferencia inscrita en el triángulo rectángulo BED mide 3. Calcular CD. a) 4 b) 5 c) 8 d) 6 e) 9
Tema 4
C
D
4 A
2
geometría
B
O r D
A a) 3 d) 6
2 2
b) 6 2 e) 4
c) 3 2
san marcos regular 2015 – Ii
circunferencia I
15. Calcula x, si CD = 4. D
19. Calcula x. a) 30°
C
C
B
b) 37° x
c) 45°
a) 2 d) 1
d) 53°
A
B b) 4 e) 3
a
e) 60°
c) 8
x
A
D
a
20. Calcular BE, si AB = CD, AE = BC, BD = a. 16. En el cuadrado ABCD el punto o es centro de la circunferencia. Hallar el valor de x. a) 30°
a) 2a
C
B
c) 53°
e) a–2r A
A
C
B
b) 12° e) 18°
c) 15°
22. Calcula x. CD: diámetro BC + AD = 9, AB = ED = 4
18. Calcula x. a) 15°30'
B
C
a) 1
x
c) 3
d) 30° e) 18°
x
d) 1,5 A
san marcos regular 2015 – Ii
e) 1,25
D
3 3
C
B
b) 2
b) 15° c) 22°30'
D
21. En un triángulo ABC se toman los puntos medios M de AB, N de BC el cuadrilátero AMNC es circunscrito a una circunferencia de centro O, la recta que pasa por O y que es paralela al lado AC al cortarse con los otros lados determina un segmento que mide 4. Calcular AM + NC. a) 6 b) 8 c) 12 d) 16 e) 18
x
a) 10° d) 8°
E
sistematización
D
17. Calcula x. A
r
d) a–r
x
d) 37° e) 60°
C
c) a+r
O
b) 45°
B
b) 3a
E A
geometría
D
Tema 4
circunferencia I
23. Calcula x si: r = 0,5; r1 = 1; r2 = 2,5.
r1 x
r
BE = 4, BD = FG a) 3
b) 1,5
d) 2,5
e) 1
c) 2
25. El perímetro de un triángulo rectángulo r2
ABC recto B es 2p, la circunferencia inscrita de radio r es tangente a los lados AB y AC
en los puntos M y N, por un punto del arco
r, r1, r2 son radios de las circunferencias máximas. a) 3 b) 4 c) 1,5 d) 2 e) 3,5
24. Calcula x.
MN se traza una tangente a la circunferencia que corta a AB en D y a AC en E de modo que AN = 2NC. Hallar el perímetro del triángulo ADE.
B
a) 4/2(p + r)
D
b) 4/3 (p – r)
E
c) 5/3(p + 2r)
x A
d) 4/5 (p – r) F
G
e) 2/3 (2p + r)
C
respuesta 1. c 2. b 3. b 4. e 5. d 6. a 7. c 8. a 9. a 10. d 11. d 12. b 13. d 14. d 15. b 16. b 17. c 18. c 19. c 20. e 21. b 22. a 23. a 24. c 25. b
Tema 4
geometría
4 4
san marcos regular 2015 – Ii
geometría tema 5
Soii1g5T
tarea ejercitación
4. En la figura, mBN = 50° y AM = MC. Halle "x". B a) 36°
1. En la figura, O es centro de la circunferen-
b) c) d) e)
cia, MN = OQ, NP//QT y mQMP = 15°. P Halle "x". a) 40°
Q
b) 37°30'
O
c) 36°
x
d) 36°30' e) 37°
T
M
2. En la figura P, B, Q y R son puntos de tangencia. Si mPAR = 20°, halle mQT. B
130°
A
Q R
a) 82°
T b) 80°
c) 86°
d) 88°
A
M
x
C
6. En la figura, A, B y C son puntos de tangencia, si m EBL = 130° y m ABC = 240°. Halle mMN. L C a) 15° M b) 18° P B c) 20° N d) 12° A E e) 10°
C
P
N
5. En la figura, m PA = m AQ . Halle "x". B a) 25° b) 15° x c) 35° C d) 20° 155° e) 30° Q P A
N S
33°30 32°30' 34° 27°30'
e) 96° 7. En la figura, halle "x". F
3. En la figura, DC = CE y mLDM = mMDE. Halle m BEM .
A
a) 120°
C
L
b) 140°
40°
c) 100°
M
d) 110° e) 115°
D
C B
B
T
A
E
san marcos regular 2015 – Ii
a) 37° d) 5°
1 1
x
x
D
E b) 60° e) 50°
geometría
c) 53°
Tema 5
circunferencia II
12. Del gráfico, calcule "x".
8. En la figura, O es centro de la circunferencia, mDCB = 115° y m BE = 120°. Halle "x".
3x
E
5x x
A
a) 84° d) 80°
B
O D
x a) 28° d) 34°
C b) 89° e) 85°
c) 75°
b) 30° e) 36°
c) 32°
13. En la figura L1 // L2 , B es punto de tangencia y m PAD = 238; halle "x".
profundización
a) 31°
9. En la figura, AB es diámetro y C punto de tangencia. Halle mADC.
B a) 110° d) 99°
d) 28°
b) 129° e) 120°
P
c) 115°
D
x
a) 20° d) 18°
c) 37°
L2
B
b) 23° e) 22°
C
c) 25°
15. En la figura, A y T son puntos de tangencia. Si m CD = 80°, halle "x". C
12 x
x
A
11. Del gráfico, calcule "x". 100°
L1
14. En la figura, "T" es punto de tangencia y AB es diámetro. Si mAED = 40° y mTCA = 50°, calcular x. D E T
10. En un cuadrilátero ABCD inscrito en una circunferencia C, 3(m BCD ) = 2(mBCD). Calcule la mBAD. a) 45° b) 53° d) 30° e) 60°
A
e) 4,5°
72°
A
P
c) 30,5°
C
D
B
b) 32°
0°
B A
T x D
a) 25° d) 50°
Tema 5
b) 30° e) 60°
c) 40°
geometría
a) 30° d) 39°
2 2
b) 38° e) 42°
c) 40°
san marcos regular 2015 – Ii
circunferencia II
16. En la figura, P y T son puntos de tangencia
a) 71°30' d) 45°
si AB//PQ y 2m BP = m BT , halle mAPC.
A a) 21° d) 22°
x
c) 24°
O
17. En la figura P, Q, R, S y T son puntos de tangencia. Halle x + y. B
a) 11°30' c) 10° e) 15°
80° Q x A
T
a) 160° d) 140°
b) 14° d) 11°
sistematización
y
S
M B
Q
b) 20° e) 23°
P
AB = OB y m(AB) = 3m(MB). Halle "x". A
B
P
C
c) 67°30'
20. En la figura, O es centro,
T 100°
b) 60° e) 50°
C
R b) 150° e) 130°
21. En la figura, O es centro y B punto de tangencia. Halle "x".
c) 125°
A
18. En la figura, halle "x".
B
40°
x
O x
q q
a) 48° d) 54°
42°
b) 42° e) 50°
a) 50° d) 80° c) 36°
T 24° O
C
D
x
x
F
x A
san marcos regular 2015 – Ii
c) 45°
22. En la figura, O es centro de la circunferencia y T es punto de tangencia. Halle "x".
19. En la figura, 3DE = 5EF y AB es diámetro. Halle "x".
E
b) 60° e) 70°
a) 33° d) 37°
B
3 3
b) 57° e) 53°
geometría
c) 66°
Tema 5
circunferencia II
B
23. Del gráfico, la m AB = 48 y BC = CG. Calcule la m∠BGC. B a A L a) 24° d) 30°
2a
b) 26° e) 32°
S L
C A
G
a) 46° d) 52°
D c) 28°
C
H b) 48° e) 56°
c) 50°
25. En un triángulo ABC, se traza la ceviana interior BL, tal que AB = LC, la mABL = 2(mLBS) y BL = AL. Calcula la mLBC. a) 32° b) 30° c) 28° d) 26° e) 25°
24. Del gráfico, la mBAS = 48; calcule la m∠LCB.
respuesta 1. B 2. B 3. B 4. C 5. A 6. E 7. B 8. E 9. D 10. A 11. C 12. B 13. C 14. A 15. C 16. B 17. D 18. A 19. A 20. C 21. A 22. B 23. A 24. B 25. B
Tema 5
geometría
4 4
san marcos regular 2015 – Ii
geometría tema 6
Soii1g6T
tarea B
ejercitación
m a) 1/3 d) 1/4
L1 n
A
3
L2
9
a a
a) 8 d) 14
c) a+2b
6. Hallar EF, si BF = 3; AB = 9; AC = 6. B E
C
D b) 10 e) 6
b) a+b e) N.A.
5. En un triángulo acutángulo ABC se traza la altura BH y la mediana CM. Calcular el ∠MCA si BH = MC. a) 10° b) 20° c) 30° d) 40° e) N.A.
c) 4/1
2. Hallar AC, si AB = 15, BC = 20 y AD = 6. B
A
C
30–3a
a) 2a+b d) 0
L3 b) 3/2 e) 3/4
E
10+2a
1. De la figura hallar m/n, si L1//L2//L3.
F
a
c) 12
a A a) 2 d) 3
3. En un triángulo ABC, los ángulos B y C miden 45° y 60°. ¿Qué longitud tiene la altura bajada de A sobre el lado "a", si el
C c) 4
b) 6 e) 5
7. Hallar BC, si AN = 3NB = 9. C
lado "b" mide 10 3? a) 5 2
b) 8 3
d) 15
e) 12
c) 18
a
4. En la figura mostrada BE = a y BC = b. Hallar "AE".
san marcos regular 2015 – Ii
a A
1 1
N
geometría
B
Tema 6
proporcionalidad y semejanza de triángulos
a) 9 d) 4
b) 6 e) 7
c) 5
8. En un triángulo ABC, AB = 27, por el baricentro G, se traza EF paralelo a AC (E sobre AB y F en BC). Hallar BE. a) 9 b) 18 c) 25 d) 24 e) 15
a) 3,8
b) 3,5
d) 4,8
e) 4,5
c) 4
12. Los lados del rectángulo miden 20 y 30 m, respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo de 360m de perímetro semejante al dado? a) 72 y 108 m b) 80 y 100 m
profundización
c) 75 y 150 m d) 68 y 102 m
9. Hallar PQ, si PQ // AC. B
e) 96 y 144 m 13. Hallar "x" si AB = BC y BE = BD.
5 P A
20°
C
12
a) 7,5 d) 6
B Q 3
b) 6,5 e) N.A.
E
c) 7
A
10. Calcular "x" si AB = 12 y CD = 6. A C
D
a) 10° d) 25°
C
b) 15° e) N.A.
c) 20°
14. Si AB =2 y CB = 3, calcula MN – 2.
O
C
x B
D
a) 2 d) 5
x
b) 3 e) 1
D B
N
c) 4
A M
11. Si MN // AC, AC = 10; MN = 4; BC = 12, hallar BN. B
a) 2 2 c)
10
b)
5
d) 2 5
e) 2 3 M A
Tema 6
N 15. En un triángulo equilátero ABC de 8 cm de lado, por el punto medio D del lado AB
C
geometría
2 2
san marcos regular 2015 – Ii
proporcionalidad y semejanza de triángulos
se traza DE perpendicular a BC. Hallar la distancia de E al lado AC. a) 2 3cm
b) 3 3cm
c) 4 3cm
d)
20. En un iABC se prolonga AB y CB hasta P y Q respectivamente, tal que QP//AC. Además BQ, BC y BP toman valores consecutivos. Calcula el valor entero de AB, si es menor que 7.
3cm
e) 4 cm 16. ¿Cuántos puntos del plano de un triángulo equidistan de sus lados? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
A
D
A
A'
6 a) 4 d) 8
C
4 3 a) 3 3
b) 4 3
d) 6 3
e) 8 3
b) 1/3
d) 0,5
e) 1
c) 4 2
b) 4,5
d) 3
e) 6
c) 0,25
D
B' b) 2 e) 10
a) 1 d) 2,1
C' c) 6
b) 2 e) 2,8
c) 2,5
24. La base de un triángulo mide 4m, calcular la paralela a la base que divide al triángulo en dos partes equivalentes.
c) 4
san marcos regular 2015 – Ii
C
23. En un iABC, AB = 9, BC = 8 y AC = 3. Sobre AB y BC se toman los puntos E y F respectivamente, de modo que EF sea tangente a la circunferencia inscrita en el iABC y además EF//AC. Calcula EF.
19. En un triángulo ABC se traza la bisectriz interior AD, por D se traza una paralela a AC que corta a AB en E. Hallar AB, si DE = 3 y BE = AB/3. a) 5
c) 5
22. En un iABC donde AB = 8, se prolonga CB hasta L tal que m∠LBA = m∠CBK (K ∈ AC), BK = 4. Calcula el mayor valor entero de AC. a) 21 b) 22 c) 23 d) 24 e) 25
18. Los lados de un triángulo miden 8m, 10m y 9m. Hallar la longitud del segmento que une el incentro con el baricentro. a) 3
e) 7
21. En la figura mostrada ABCD es un paralelogramo A'A = 4; C'C = 2. Hallar BB'. B
17. Determinar el valor de "x" en la siguiente figura: B
x
b) 4
d) 6
sistematización
e) Ningún punto
12
a) 3
3 3
geometría
Tema 6
proporcionalidad y semejanza de triángulos
B
a) 3( 3–1) b)
a
5 –2 S
c) 2 2 d) 4( 3–1)
a
e) N.A.
A
Calcula
SK . kT
T
L
a) 1/2 c) 3/4 e) 3/5
25. Del gráfico AS = 3(5B) y AL = LC.
K
C
b) 3 d) 2/3
respuesta 1. C 2. D 3. D 4. B 5. C 6. A 7. B 8. B 9. A 10. C 11. D 12. A 13. A 14. A 15. b 16. A 17. B 18. B 19. B 20. E 21. C 22. C 23. D 24. C 25. D
Tema 6
geometría
4 4
san marcos regular 2015 – Ii
geometría tema 7
Soii1g7T
tarea 4. Hallar: “x”
ejercitación
x
1. Hallar: x + y + z
q
q x
2
z
y
4
a) 2
36
64
a) 188 d) 189
b) 160 e) 150
b) 2 3 d) 3 2
c) 2 2 e) 5
c) 187
5. Hallar: “AN”; “O” es punto medio de AC; AB = 2
2. Hallar: x + y + z
B x
60
y
3
11
7
a) 61 d) 72
b) 4 e) 73
z
4 3
N A
1
a) 1 c) 2 2 e) 4
c) 71
3. Si: “O” y “O1” son centros, hallar: “AQ” PQ = 8, QS = 18
C
O b) 2 d) 3
6. Hallar: “CM”; MH = 5 Y BN = NH B
P
N
Q S
A a) 14 d) 15
O1
O b) 13 e) 12
A
B
1 1
C
M
a) 10 c) 5 e) 8
c) 10
san marcos regular 2015 – Ii
H
geometría
b) 15 d) 6
Tema 7
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA
11. Hallar la menor altura del triángulo isósceles de lados 7, 7 y 8.
7. Hallar: “MH”; AB = 5; AH = 2; HD = 8 a) b) c) d) e)
1 2 3 4 5
B
C
a)
22
b)
33
d)
11
e)
55
c)
44
M A
12. En una circunferencia se tiene una cuerda de longitud 20 y su flecha correspondiente mide 2. Calcule el radio de dicha circunferencia. a) 25 b) 26 c) 13 d) 14 e) 15
D
H
8. Hallar: “r”; “O” es centro. 4
5 4
13. Hallar: CD; AB = 2, PC = 3, PA = 4
O r
D C
a) 4 d) 8
b) 5 e) 3
c) 6
A
P
B T
profundización
a) 2 d) 5
9. Hallar “AP”; BH = 4; AF = 6 ABCD es un cuadrado P B C
b) 3 e) 6
c) 4
14. Hallar: “CL”; AO = OB = BC = R A L
H F A a) 6 d) 10
O
D c) 9
b) 8 e) 12
10. Hallar: “AB”; r = 16, BC = 24
A a) 2 d) 6
Tema 7
b)
2R 3
d) 14,5 2
e)
3R 5 5
c) 5R 3
x
C
b) 10 e) 8
a) R 5
15. Hallar: “x”
r B
C
B
c) 4
geometría
53° 1
2 2
1
san marcos regular 2015 – Ii
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA
a) 12/5 d) 13/3
b) 11/5 e) 6/5
c) 10
A) 8,5 D) 9,5
16. Hallar a/b.
B) 6,6 E) 5
C) 7,5
20. Según la figura AM=2; MC=8. Halle OM 7k
a a) 49/25 d) 2
B
5k O
b
b) 7/5 e) 3
c)
A
1 1 1 + = , (BE)2 (BF)2 81 calcule el perímetro del cuadrado.
17. Sea ABCD: cuadrado, B
R
7 5
C
M
A) 2 2
B)
2
D) 2 6
E)
6
C)
5
C
sistematización E A
D
A) 28 D) 16
21. Del gráfico AB=BC=20, MN=NP; O: centro. Calcule OM
F
B) 36 E) 40
C
C) 18
P N
18. Sea ABCD: Rectángulo, P, Q, T, M son puntos de tangencia, R=3. Calcule PM. Q B C P R T A
B) 2 6 E) 8
C)
H
B) 3 E) 12
B C) 6
22. Se sabe BP = 3, PM = 2 y BM = MC. Calcule PC.
6
B
19. Sea ABCD: Romboide, AP = 4, QD = 6, CO = CB. P, Q, H: puntos de tangencia. Halle CE. B C Q P E O A
M
O
A) 1 D) 9
D
M
A) 12 D) 3 6
A
M P A
D
san marcos regular 2015 – Ii
3 3
C
A) 8
B)
D) 9
E) 5
6
geometría
C) 4
Tema 7
RELACIONES MÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Y LA CIRCUNFERENCIA
23. ABCD: Rectángulo, BC=25; AP=5. Calcule R. Si P: punto de tangencia. B C A) 17
A) 6 C) 10 E) 14
B) 13
25. En el gráfico, LB=BN. Si MQ=9 y QN=7, calcule AM.
C) 10 D) 15 E) 12
P
R
A
D L
24. En el gráfico, ABCD es un cuadrado MB=36. Calcule BN. N B
M
B) 8 D) 12
A
B A
C
D
M
Q
A) 4 C) 6 E) 5,4
P
N
B) 5 D) 6,4
respuesta 1. A 2. D 3. E 4. B 5. A 6. B 7. A 8. C 9. C 10. E 11. B 12. B 13. D 14. E 15. E 16. A 17. B 18. A 19. C 20. E 21. C 22. E 23. B 24. D 25. D
Tema 7
geometría
4 4
san marcos regular 2015 – Ii
GEOMETRÍA tema 8
Soii1G8T
tarea 5. En la figura mostrada se cumple: AB = 3, BC = 4 y EF = FC = 2, entonces (BF)2 – (BE)2 es: A E
ejercitación 1. En un triángulo acutángulo ABC, la distancia del ortocentro al baricentro mide N J K 109 O y la distancia del circuncentro al L 3 P lado AC es 3,5. Si la distancia del ortocentro al lado AC mide 5, entonces la longitud de la mediana relativa al lado AC es: a) 13 b) 12 c) 12,5 d) 11,5 e) 11
F
a) 3/5 d) 1/4
2. En un trapecio ABCD (AB // CD), se traza la base media MN (M∈AB). Si (AC)2 + (BD)2 – 2(MN)2 = 392, entonces la longitud del segmento que une los puntos medios de las bases del trapecio es: a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 16
d) 4
41 5 41 5
b) 2
41 5
e) 5
41 5
c) 3
d) l/ 3
c) 3/4
e) 2l/3
7. En un triángulo ABC, se trazan la ceviana BQ y la bisectriz interior CM las cuales se interceptan perpendicularmente en el punto H. Si AB = 15, BC = 13 y AC = 14, entonces la longitud de AH es:
41 5
4. En un triángulo ABC, la circunferencia inscrita al triángulo es tangente al lado AC en el punto M. Si AB = 5, BC = 7 y AC = 6, entonces la longitud de BM es: a) 3 b) 4 c) 5 d) 5,5 e) 6
san marcos regular 2015 – Ii
b) 4/5 e) 2/5
6. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), considerando como diámetro el lado BC se dibuja una semicircunferencia que intercepta a la altura AH del triángulo en el punto M. Si AC = l, entonces la longitud de MC es: a) l/2 b) l/3 c) l/ 2
3. En un trapecio ABCD (BC // AD), se cumple AB = 5, BC = 4, CD = 3 y AD = 9, entonces la longitud de AC es: a)
C
B
a)
137 7
b)
137 5
d)
157 7
e)
135 7
c)
61
8. En un triángulo ABC, se trazan las cevianas BQ y CR que se interceptan en el punto M.
1 1
GEOMETRÍA
Tema 8
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
Si BM = QM, BR = 24, MR = 3 y CM = 7, entonces: K = 2(AC)2 + 5(BC)2 es: a) 6780 d) 12 780
b) 8780 e) 14 780
a) 40 d) 60
9. En una circunferencia de diámetro AB y centro O, se traza la cuerda BC (AC < BC). Considerando como diámetro la flecha o sagita de la cuerda BC se dibuja una circunferencia cuyo radio mide "b". Si el radio OA mide "a", entonces el radio de la circunferencia tangente de la cuerda BC, al arco BC y la circunferencia es: ab
b(a+b) a a(a–b) e) b
c)
14. En un paralelogramo ABCD sus lados miden AB = a y BC = b (a < b). El ángulo agudo que forman las diagonales AC y BD mide 45°. Entonces la distancia entre los lados paralelos BC y AD es: b2–a2 2a b2–a2 c) 2b 2 2 b –a e) a 2
b2+a2 2b b2–a2 d) b 2
a)
a(a+b) b b(a–b) d) b
b)
b)
15. En la figura mostrada, AOB es un cuadrante cuyo radio mide R. Hallar x.
10. En un triángulo ABC, se trazan las alturas AF y CQ. Si AB = 5, BC = 7 y AC = 6, entonces la longitud de FQ es: a) 144/35 b) 114/35 c) 117/35 d) 3 e) 4,5
A x R
O 11. En un triángulo equilátero ABC, se ubica el punto P, interior al triángulo. Si AP = 5, PB = 7 y PC = 8, entonces el perímetro del triángulo es: a) 3 129
b) 3 139
c) 3 119
d) 3 125
a) R/2 d) R/4
12. En un rombo ABCD, M es punto medio del lado AD. Si MB = 13 y MC = 9, entonces el perímetro del rombo es:
GEOMETRÍA
B
R b) R/3 e) 2R/5
c) 2R/3
16. En un trapecio isósceles, una diagonal mide 24 y el producto de las longitudes de las bases es 351. Entonces, la longitud de uno de los lados no paralelos es: a) 15 b) 16 c) 18
e) 3 112
Tema 8
c) 56
13. En un triángulo ABC las medianas miden AM = 12 y BN = 9 y CP = 15, entonces la longitud de AB es: a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12
c) 10 780
profundización
a)
b) 44 e) 72
d) 12
e)
145
17. En un triángulo ABC sus lados miden
2 2
san marcos regular 2015 – Ii
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
AC = b, BC = a y AB = c, siendo p el semiperímetro del triángulo. Entonces la longitud de la bisectriz interior CF es: abp a) 2 2 b +c 2 b) a+b abp(p–c)
a) a/2 d) 3a
e)
21. Un triángulo equilátero ABC está inscrito en una circunferencia, en el arco AB se ubica el punto M. Si MA = a y MB = b, entonces la longitud del lado del triángulo equilátero es:
ab(p–a)
a)
abc ab+bc+ac
b2–c2 c
c)
bc
e)
b2–c2 2c
ab a c) (a+b) b
b2+c2 bc b+c d) 2
b)
d)
a2+ab
e)
a2+b2+ab
22. En la figura mostrada se verifica: AB = BC y mABE = 90°. Si BM = 1 y ME = 3, entonces la longitud de AC es: B
A
19. En un triángulo ABC recto en B, se traza la bisectriz interior BD. Por el punto D se traza una recta perpendicular al lado AC, dicha perpendicular intercepta al cateto BC en el punto E. Si AB = a y BE = b, entonces la longitud de BD es: a) (a+b) 3 J a+b N O 2 c) K L 2 P J a+b N O 5 e) K L 2 P
a2+b2
b)
18. En un triángulo ABC se verifica que: mABC = 2mBCA, AB = C y AC = b. Entonces, la longitud de BC es: a)
c) 2a
sistematización
1 c) a+c bcp(p–a) 1 d) a+c
b) a e) 4a
M
E a)
b) (a+b) 2 J a+b N O 3 d) K L 2 P
d)
4 5 12 5
8
b)
e) 5 3
5
c)
9 5
23. En la circunferencia circunscrita a un triángulo equilátero ABC, se ubica un punto P cualquiera. Si (PA)2 + (PB)2 + (PC)2 = 50, calcular AB. a) 4 b) 6 c) 2 5 d) 5 e) 5 2
20. Dado el triángulo ABC escaleno se dibujan los triángulos equiláteros ABE y BCN exteriormente al triángulo ABC. Además AN ∩ CE = {M}. Si AM = 2a, MC = 3a y MN = 7a, entonces la longitud de BM es:
san marcos regular 2015 – Ii
C
3 3
GEOMETRÍA
Tema 8
RELACIONES MÉTRICAS EN TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS
24. En un cuadrante AOB de centro "O" (OA = OB = 2) se traza una circunferencia de centro O1 y radio igual a 1, la cual es
25. Sea el triángulo ABC, Q es un punto exterior y relativo a BC. La altura BH intercepta a AQ en P (H en AC). Si mAQC = 90°;
tangente a Oa y OB e intercepta al arco AB en N. Luego se traza O1M perpendicular a ON, entonces la longitud de MN es: a) 2/3 b) 3/4 c) 4/5 d) 4/7 e) 3/5
AB = 6; BC = 8; AP = 3 y PQ = 2, entonces la longitud de AC es: a)
57
b)
58
d)
67
e)
71
c)
64
respuesta 1. A 2. D 3. C 4. C 5. B 6. C 7. C 8. C 9. D 10. B 11. A 12. A 13. C 14. C 15. D 16. A 17. B 18. B 19. C 20. E 21. E 22. B 23. D 24. B 25. B
Tema 8
GEOMETRÍA
4 4
san marcos regular 2015 – Ii
GEOMETRÍA tema 9
SOiI1G9T
tarea 5. Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada, siendo CDEF un rectángulo y (AB) (CD) = 18 u2.
Ejercitación 1. En un triángulo sus lados miden 13u, 14u y 15 u. Calcular su área. A) 76 B) 84 C) 100 D) 42 E) 38
B
D 2. La base de un triángulo isósceles mide 10 m y la altura relativa uno a sus lados iguales mide 8 m. Hallar su área. A) 40 B) 80 C) 100/3 D) 40/3 E) 24
E
α A
F
C
A) 18 D) 36
3. Una circunferencia de 2 cm de radio está inscrita en un triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa. El área de dicho triángulo es: A) 48 B) 24 C) 12 D) 20 E) Faltan datos
B) 9 E) 12
C) 5
6. En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 15°, se inscribe un cuadrado de área "A" que descansa sobre la hipotenusa. Hallar el área del triángulo rectángulo. A) A/2 B) A/3 C) 5A D) 16A
4. En la siguiente figura hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado de área S.
E)
25A 8
7. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si el área de la región triangular LBP es 30 u2. L y N son puntos de tangencia.
C
B
α
B
A) L2/2 D)
2
L
4
2
N
D
A B) L2/ 2
E)
2
L
C) L2
L
2
37°
A
2
san marcos REGULAR 2015 – iI
P
1 1
GEOMETRÍA
C
Tema 9
Áreas de las regiones triangulares y sus relaciones
A) 110
B) 80
D) 120
E) 90
12. Según el gráfico, calcular la razón de áreas
C) 60
de las regiones MBN y ABC, si: AB = BC, BN MN AM = = . 3 4 B
8. Hallar el área de la región ABC, si OM = 4 u.
3
A
O
A) 48
B) 24
D) 60
E) 72
N
C M
B
M
A
C) 12
Profundización
C
A) 7/15
B) 5/12
D) 9/17
E) N.A.
C) 8/13
13. Según el gráfico, calcule el área de la región triangular BNC, sabiendo que: AB = 13 u,
9. Hallar el área de la región sombreada, si (AC)(CD) = 4 3 cm2 y mAPB = 140°. “C” es punto de tangencial. C D 10°
BC = 15 u y AC = 14 u. (N, L y P son puntos de tangencia).
B
A) 12 u2 B) 16 u2 C) 24 u2
A
2
D) 36 u
B
E) N.A.
A
L
N
C P
O
P A)
3 D) 6
B) 9
C) 3
14. En un triángulo ABC, se traza la mediana
E) 8
BM y luego MF perpendicular a BC (F en BC). Si “A” dista 8 cm de BM.
10. Si en un triángulo ABC, las alturas miden 12 cm, 15 cm y 20 cm, entonces su área en cm2 es: A) 150
B) 120
D) 140
E) 125
hallar el área del triángulo ABC. A) 20 cm2
C) 130
2
D) 80 cm
Calcular S(MPN). B) 8 E) N.A.
Tema 9
C) 10
GEOMETRÍA
C) 60 cm2
E) N.A.
traza la mediana AT . En AC se ubica un DC punto "D" tal que AD = . AT interseca 2 a BD en el punto "P". Calcular S(APD) si
BM se intersecan en "P". Si S(ABC)= 120.
D) 12
B) 30 cm2
15. Se tiene un triángulo ABC en el cual se
11. En un triángulo ABC las medianas AN y
A) 5
MF = 5 3 cm y el ángulo MBC mide 30°,
S(ABC)=120.
2 2
san marcos REGULAR 2015 – iI
Áreas de las regiones triangulares y sus relaciones
A) 12 D) 6
B) 10 E) 24
A) 48 cm2 D) 16 cm2
C) 8
16. Por el baricentro G de un triángulo ABC se trazan GE//AB y GF//BC (E y F en sobre AC). Hallar la relación entre las áreas de los triángulos EGF y ABC. A) 1 : 2 B) 1 : 3 C) 2 : 3 D 1 : 9 E) 2 : 9
C) 24 cm2
20. En un triángulo ABC se traza la mediana AM y la ceviana CN (N∈AB) las cuales se intersecan en G. Por M se traza una recta paralela a AB que interseca a la ceviana BN en Q. Si = 3 y el área del triángulo NA 2 ABC es 140 u2. Hallar el área del triángulo QMG.
17. En la figura AM es mediana, BC = 20 y AM = 22. m∠BMA=2m∠BAM. Calcular S(ABC).
B) 36 cm2 E) N.A.
A) 9 u2 2
D) 10 u
B) 7 u2
C) 11 u2
2
E) 14 u
B
Sistematización 2α
M
21. Dado un triángulo rectángulo isósceles ABC (recto en C). Sea P en BC y M es el punto medio de AB y sea L y N puntos del segmento AP tal que CN es perpendicular a AP y AL=CN. Si el área ABC es 4 veces el área LMN Calcula m∠CAP. A) 15 B) 30 C) 45 D) 22,5 E) 18
C
α A A) 176 D) 84
B) 112 E) N.A.
C) 96
18. En un ∆AEF, B∈AE, C∈EF y D∈AF; BC//AD y CD//AB. Calcular el área AEF, si área BEC = 25 u2 y área CDF = 9 u2. A) 68 u2 B) 64 u2 C) 81 u2 D) 72 u2 E) 80 u2
22. En el triángulo ABC se trazan las medianas AM y las cevianas BD y CE concurrentes en P, si los inradios de los triángulos BEP y CDP son iguales. Calcule AB/AC. A) 1 B) 0,5 C) 2 E) 31/2 D) 21/2
19. Por un punto interno al triángulo mostrado se han trazado paralelas a los lados del triángulo ABC, cuya área se desea conocer. Se sabe que A = 1 cm2, B = 4 cm2 y C = 9 cm2. B
B
A A
23. El triángulo ABC tiene m∠ACB= 120º y el lado AC mayor que el lado BC. Sabiendo que el área del triangulo equilátero de lado AB es 31 y el área del triangulo equilátero de lado AC – BC es 19. Halla el área del triángulo ABC. A) 3 B) 4 C) 6 D) 6(31/2) E) 4(31/2)
C
san marcos REGULAR 2015 – iI
C
3 3
GEOMETRÍA
Tema 9
Áreas de las regiones triangulares y sus relaciones
24. En el triángulo ABC, se traza la ceviana interior AD, se ubican M y N en las prolongaciones de CA y BA tal que MB//AD// NC. Si el área de la región triangular ABC es A. Calcula el área de la región MDN. A) A B) 2A C) 3A D) 3/2A E) 4A
25. Se tiene un pentágono ABCDE convexo, tal que AB=BC, CD=DE, m∠ABC = 120º y m∠CDE=60º. Si BD= 2u. Calcula el área de la región pentagonal ABCDE. A) 4 3
B) 6 3
D) 2 3
E)
C) 4
3
respuesta 1. B 2. C 3. B 4. D 5. B 6. E 7. A 8. B 9. C 10. A 11. C 12. B 13. D 14. E
15. E 16. D 17. A 18. B 19. E 20. A
21. A 22. A 23. B 24. B 25. E
Tema 9
GEOMETRÍA
4 4
san marcos REGULAR 2015 – iI
GEOMETRÍA tema 10
SOiI1G10T
tarea 6. En la figura calcular el área de la región sombreada. Si: AM = 2m (A y C puntos de tangencia). A M
Ejercitación 1. El perímetro de un rectángulo es 46 cm y su diagonal mide 17 cm. Hallar el área de su región A) 100 cm2 B) 105 cm2 2 C) 60 cm D) 140 cm2 2 E) 120 cm
A) 4 3 m2 D) 2 2 m2
B A A) 4 cm2 D) 8 cm2
B) 5 cm2 E) 10 cm2
C) 6 cm2
8. Según el gráfico calcular el área de la región sombreada, siendo: AI+IC=12u
4. Un cuadrado tiene todos sus vértices en una circunferencia de radio R. Calcular el área de dicho cuadrado.
B 60°
C) R2
I θ A
5. Una circunferencia de radio R es tangente interiormente a todos los lados de un cuadrado. Calcula el área del cuadrado. A) 8R2 B) 6R2 C) 4R2 D) 2R2 E) 0
san marcos REGULAR 2015 – iI
B) 8 3 m2 C) 4 2 m2 E) 10 3 m2
7. En la figura: A=6 cm2. Calcule B.
3. Calcular la altura de un trapecio de bases 4 m y 12 m si es equivalente a un cuadrado de lado 6 m. A) 9 m B) 6 m C) 5 m D) 4 m E) 4,5 m
D) 3 R2 2
C
2. Se tiene un rectángulo de 60 cm de área. Si los lados son números enteros (en cm), el perímetro mínimo posible en cm es: A) 38 cm B) 30 cm C) 34 cm D) 32 cm E) 36 cm
B) 4R2 3 E) R2 5
B
N
2
A) 2R2
60°
O
1 1
θ
A) 22 6 u2 C) 18 2 u2 E) 72u2
GEOMETRÍA
b b
C
B) 36 3 u2 D) 24u2
Tema 10
ÁreaS de regiones cuadrangulares y sus relaciones
12. Si el triángulo ABC es equilátero, DB=8 y BC=6 3 ; calcular el área de la región sombreada. B A) 8
Profundización 9. Si "O" es el centro del cuadrante, OB=10 y T es punto de tangencia, calcular el área de la región sombreada.
B) 6
D
C) 5 3 D) 12
A
E) 3 90 T
C
A
13. Calcular el área de la región sombreada si: BC=2(EC)=4; AD=7u.
B
O
A) 24 D) 72
B) 40 E) 36
A) 33 3 u2 2
C) 50
B
B) 16 3 u2 C) 18 3 u2
10. Calcular el área de la región paralelográmica sombreada si OB = 10u. A
C
D) 19 3 u2
A
E) 20 3 u2
C
D
E
D
14. Calcular el área de la región sombreada si: PC=2(AB) y QC=6u. B
B
O A) 60 u2 C) 50 u2
P
B) 80 u2 D) 100 u2
E) 40 u2
Q
A A) 6 u2 D) 10 u2
11. Si O es el centro del arco AB, T, P y Q son puntos de tangencia, calcular el área de la región sombreada (AO = 6u). A
C C) 8 u2
15. Si: AB=3, BC=4 y G es baricentro del triángulo ABC; calcular el área de la región paralelográmica AGPC. B
T
Q
B) 9 u2 E) 12 u2
G
O
P
A) 12 u2
B) 15 u2
D) 6 3 u2
E) 18 u2
Tema 10
B
C) 3 6 u2
GEOMETRÍA
A A) 6 D) 4
2 2
P C B) 5 E) 3
C) 2
san marcos REGULAR 2015 – iI
ÁreaS de regiones cuadrangulares y sus relaciones
16. Según el gráfico, AO=3 y OC=2. Calcule
19. Calcular el área de un región trapecial inscrita en una circunferencia de radio 5 m sabiendo que las bases del trapecio miden 6 m y 8 m. Además el centro de la circunferencia es interior a trapecio. A) 48 m2 B) 52 m2 C) 16 m2
el área de la región cuadrangular ABCD. C
°
21
B O
D) 49 m2
37
°
A
D B) 46 3 24 E) 5
A) 9 D
48 5
20. En un cuadrado ABCD se ubica los puntos medios "M" y "N" de AB y AD respectivamente tal que (R=MD ∩ CN) y por R se trazan las perpendiculares RE y RF a los lados AB y BC respectivamente. Calcular el área de la región rectangular EBFR si el
C) 8
17. Del gráfico mostrado P; M y N son puntos de tangencia, calcular el área de la región
lado del cuadrado es 10 m.
cuadrangular O1CDO2 en función de R
A) 54 m2 2
D) 48 m
C
P
O1
puntos medios de AD y BC. Los segmentos BM y DN intersectan a AC en T y S. Halle
3 C) R2 2
B) 2R 2 E) R 2
2 2 R 3
tiene un área de 200 u2. Se ubican M y N
O2 2
A) R
el área de la región TBNS.
18. Calcule el área de la región sombreada, si ABCDEF es un hexágeno regular y AB=2u B
A) 60
B) 52
D) 50
E) 62
T es punto de tangencia. B
D
D) 6
Sx T
E B) 3 3 E) 4 3
C
P
F
C) 55
22. Dado el gráfico hallar Sx, si: AP=3 y AQ=4
C
A
A) 4
E) 64 m
21. En un paralelogramo ABCD cuya región
R
2
D)
C) 72 m2
2
N
D
R A
B) 42 m2
Sistematización
M
E) 36 m2
C) 2 3
san marcos REGULAR 2015 – iI
3 3
A
Q
A) 16
B) 12
D) 21
E) 18
GEOMETRÍA
D C) 10
Tema10
ÁreaS de regiones cuadrangulares y sus relaciones
N
23. En el gráfico; OT//AB y r=3 calcule área
P
T
de la región sombreada (T y C son puntos de tangencia)
T
C
r O
A
A) 6 2
B) 18 2
C) 10 2
D) 12 2
E) 14 2
A A) 64 m2 D) 16 m2
B M B) 32 m2 E) 8 m2
Q C) 15 m2
25. Calcular el área de la región sombreada, si: NH=2(AN); AB=r y AT= 5 A) 5 B) 10
O
r H
C) 9/2
24. En la figura mostrada ATPB es un romboide y AT=4 m. Calcule el área de la región cuadrada MNPQ (N: punto de tangencia)
N
D) 3 5 E) 8
A
T
B
respuesta 1. E 2. D 3. E 4. A 5. C 6. B 7. C 8. B 9. E 10. C 11. D 12. C 13. A 14. B
15. D 16. D 17. C 18. B 19. D 20. D
21. D 22. D 23. B 24. B 25. D
Tema 10
GEOMETRÍA
4 4
san marcos REGULAR 2015 – iI
GEOMETRÍA tema 11
SoiI1G11T
tarea 3. Hallar el área de la región sombreada si ABCD es un trapecio rectángulo; AB = 24 cm y DC = 8 cm.
Ejercitación 1. Hallar la relación de radios, de cuarto de círculo al círculo, para que las áreas de las regiones no sombreada y sombreada sean entre sí como 4 a 5.
D
A
37°
B
A) 6(4 – π)cm2
B) 8(4 – π)cm2 D) 12(4 – π)cm2
2
A) 2/3 C) 3/4 E) 4/9
C) 9(4 – π)cm E) 12(π – 2)cm2
B) 4/3 D) 3/8
4. En la figura: ∆ABC, equilátero; AM = MB; C, centro del EM ; B, centro del MF ; área iABC = 3 3 cm2. Hallar el área de la
2. Hallar el área de la región sombreada si el sector circular AOB tiene radio 4 cm y OF = 2π cm. A
región sombreada. B
F
O
C
45°
E
M
A E
B
san marcos REGULAR 2015 – iI
C
A) 3/2π cm2
3π 2 cm B) πcm2 2 2π 2 3π 2 C) cm D) cm 3 4 5π 2 E) cm 4
A)
F
2
C) 4/5π cm E) N.A.
B) 5/4π cm2 D) 2π cm2
5. ABCD, cuadrado; área del sector BAP = 12 cm2. Hallar: área del sector EDF.
1 1
GEOMETRÍA
Tema 11
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
B
C P F
A) 8π + 12 3
B) 6π + 18 3
C) 12π + 3 3
D) 6π + 5 3
E) N.A.
T
A
8. Calcular el área de un dodecágono regular inscrito en un círculo de 1 m de radio.
D
E 2
B) 16 cm2 D) 9 cm2
A) 12 cm C) 15 cm2 E) 18 cm2
D)
30°
7π 2 cm 4
D) 2 3 m2
A)
D
C)
C) 3 m2 E) 2 m2
9. El área en m2 del círculo inscrito en un triángulo equilátero de área 1 m2, es:
metro. Área iABC = 4 3 cm2. Hallar el área de la región sombreada. C
A) 7π cm2
B) 2 2 m2
Profundización
6. En la figura, C es centro de BD y AD diá-
A
A) 3 2 m2
3π 4
B)
3π 9
E)
3π 2
C)
2π 3
10. Un círculo está inscrito en un sector circular de 60°. Hallar la relación de áreas entre el círculo y el sector. A) 1/3 B) 2/3 C) 1/2 D) 3/5 E) 2/5
B 7π 2 B) cm 2 10π D) cm2 3
11. En la figura ABCD es un paralelogramo; AB = 4 m, BC = 6 m; m < A = 45°. Haciendo centro A y C se han trazado los arcos BE y FD. Hallar el área de la región sombreada. F B C
E) πcm2 7. En la figura: iABC equilátero; M, N, P, puntos medios de AC, AB y BC; CP y CM son tangentes al arco MP. Hallar el área de la región sombreada en cm2. B
P
N
3 6
A
D
E 2
A) 4(3 2 – π)m B) 2(3 3 – π)m2 A
Tema 11
M 12 cm
C) 5(3 3 – π)m2 D) (8 – π)m2
C
GEOMETRÍA
E) 3(3 2 – π)m2
2 2
san marcos REGULAR 2015 – iI
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
12. Calcular el área de la región sombreada si
M
C
el arco BC tiene su centro en A, vértice del
4
triángulo equilátero ABC.
8 A
B
A)
9 (π – 2
9 C) (2π – 3 3 ) 4
B) 30π m2
2
D) 12π m2
C) 48π m E) 24π m2
C 3 )
B
O
A) 36π m2
3 A
D
9 (2π – 3 3 ) 2
15. En el gráfico: A, B y C son puntos de tan-
9 D) (3π – 2 3 ) 4
entre el área del círculo y la región trian-
B)
gencia, m∠CFB = 53°, calcule la relación gular BEF
E) N.A.
A
L1
13. En la figura se tiene un cuadrado de lado 2 m.
L1 // L2 . D
E C
Calcular el área de la región sombreada.
L2
B
F
A) π/2
B) π/3
C) π/4
D) π/5
E) π/6
A) 4 2 – 2 – π
B) 2 2 – π + 1
16. Se da un círculo de centro O y 10 m de ra-
C) 3 2 – π
D) 4 2 – π – 1
dio. Se trazan 2 diámetros perpendiculares AC y BD. Haciendo centro en C y con radio
E) 4 2 – π
CB, se traza un arco de circunferencia que pasa por D y que corta a OA en M. Hallar
14. En una circunferencia de radio igual a 8 m,
el área de la figura BADMB.
se tiene una cuerda CD de 8 m, paralela a un diámetro AB. Hallar el área del círculo tangente a AB y CD.
san marcos REGULAR 2015 – iI
A) 50π m2
B) 100π m2
C) 50 m2
D) 100 m2
E) N.A.
3 3
GEOMETRÍA
Tema 11
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
17. En un cuadrado ABCD se traza la circunferencia de radio r, tangente a AB y AD en P y Q. Por D se traza la tangente DT,
A
tal que m∠TDA=37°, calcule la razón de áreas de las regiones ABCD y el círculo de radio r. A) 9/π
B) 12/π
C) 15/π
D) 16/π
A) 10 π C) 8 π E) 12 π
E) 10/π
B 37°/2 H B) 9 π D) 3 π
22. En el gráfico la suma de perímetros de las regiones sombreadas es 4(π + 1). Calcule el área del círculo.
18. En un cuadrado ABCD se traza una circunferencia tangente a CD en D y secante a BA en M (AM=MB), luego se traza la tangente BT a dicha circunferencia.
Si BT = 4 3 calcule el área del círculo. A) 16 π
B) 9 π
C) 12 π
D) 25 π
E) 8 π 19. Calcule la razón de áreas del circulo inscrito A) π C) 3π E) 4π
y circunscrito en un triangulo equilátero. A) 1
B) 4
C) 8
D) 3
E) 12
B) 2π D) 16π
23. En el gráfico OP = 2 y PQ = 6. Calcule el área de la región sombreada.
20. Se inscribe un trapecio ABCD en una circunferencia, tal que el arco CD mide 90° y CD=2 2 . calcule el área del menor segmento circular determinado por AB. A) 4π – 4
B) π – 2
C) π + 4
D) 4π – 2
O P
E) 2π + 4
Q
Sistematización A) 8π
B) 9π
21. En el gráfico el arco AB mide 90° y BH =1.
C) 12π
D) 15π
E) 16π
Calcule el área de la región sombreada.
Tema 11
GEOMETRÍA
4 4
san marcos REGULAR 2015 – iI
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES Y SUS RELACIONES
25. Hallar el área de la región sombreada, si ABCD es un cuadrado (AB = a, M y N son puntos medios de AB y CD).
24. En el gráfico N es punto de tangencia y ON=NB=4. Calcule el área de la región sombreada.
O A) B) C) D) E)
N
B
B
C
M
N
A
20π 10π 9π 25π 12π
2
D 2
A)
a (2+ 2 ) 2
B)
a (1+ 2 ) 2
C)
a2 (2– 2 ) 2
D)
a2 ( 2) 2
E)
a2 (3–2 2 ) 2
respuesta 1. B 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. E 8. C 9. B 10. B 11. A 12. E 13. A 14. D
15. A 16. D 17. D 18. D 19. B 20. B
21. A 22. E 23. E 24. C 25. E
san marcos REGULAR 2015 – iI
5 5
GEOMETRÍA
Tema 11
GEOMETRÍA tema 12
SoiII1G12T
tarea a) 4 d) 10
Ejercitación 1. Indicar verdadero o falso. I. Una recta y un punto que no pertenece a ella determina un plano. II. Dos rectas secantes no forman un plano. III. Dos rectas paralelas determinan un plano. a) VFV b) VVV c) FVF d) FFF e) VFF
b) 6 e) 15
c) 8
5. ¿Cuántos planos como mínimo forman 6 rectas paralelas? a) 1
b) 10
d) 20
e) 25
c) 15
6. Se tiene un plano Q, un segmento de recta AB de 8m situado en el plano y un
2. Indica verdadero o falso. I. Tres puntos cualesquiera determinan un plano. II. Una recta y un punto determinan una plano. III. Dos puntos no colineales forman un plano. a) VVV b) VFF c) FFF d) FVV e) VFV
punto “P” que dista 12m del plano. Hallar la distancia de AB al pie de la distancia mencionada, si AP = BP = 13m. b) 3
d) 5
e) 5,2
c) 4
7. La recta L de intersección de 2 planos X e Y perpendiculares entre si es paralelo a una recta R del plano X y a una recta S del plano Y la distancia entre R y L es 8m y entre L y S es 15m. Calcular la distancia entre R y S. a) 10m b) 12m c) 15m d) 17m e) 19m
3. Indicar verdadero o falso. I. La intersección de un plano y una esfera nos da un círculo siempre. II. Una recta está contenida en un plano cuando todos los puntos de dicha recta pertenecen al plano. III. Todo plano tienen porciones limitadas a) VFV b) FFV c) FVF d) VVV e) VVF
8. Se tiene un cuadrado ABCD de lado 7m, se levanta por C la perpendicular CE. Si EB mide 25m. Calcular: CE + ED.
4. Calcular el máximo número de planos que determinan 5 puntos no colineales en el espacio.
san marcos REGULAR 2015 – iI
a) 2
1 1
a) 24
b) 25
d) 50
e) 59
GEOMETRÍA
c) 49
Tema 12
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
Profundización
( ) La intersección de tres planos es necesariamente una recta.
9. Se tiene dos cuadrados ABCD y ABEF
( ) La proyección de un triángulo sobre un plano es siempre un triángulo.
ubicados en planos perpendiculares y
( ) Las rectas alabeadas pertenecen a un mismo plano.
cuyos centros son P y Q respectivamente. Calcular la distancia PQ; si: AB = 6. a) 5
b) 3 2
d) 5 2
e) 6 2
c) 3 3
b) 2 10
d) 4 10
e) 5 10
C) 4
dicular trazada del punto medio de BC al plano mide 3. Calcular la distancia del vértice “A” al pie de la perpendicular.
c) 3 10
A) 3
B) 4
D) 6
E) 3 3
C) 5
15. Por el vértice A de un triángulo ABC, se
y perpendiculares tal que AB=12 y CD=16.
levanta la perpendicular AM al plano del
Calcular la medida del segmento que une
triángulo. Se trazan AP ⊥ MB y AQ ⊥ MC.
los puntos medios de AC y BD B) 12 E) 13
E) 1
Por “A” pasa un plano tal que la perpen-
11. Se tienen los segmentos AB y CD alabeados
A) 5 5 D) 10
B) 3
D) 5
14. En un triángulo ABC, BC=6 y AC2+AB2=68.
10. Se tiene un rectángulo ABCD donde AD = 5, CD = 4, si del punto D se levanta una perpendicular DE. Calcular EC sabiendo que AE = 13. a) 10
A) 2
Si MQ = 5; PB = 6; MP = 4 y m
C) 15
calcular SBMC.
12. La hipotenusa de un triángulo rectángulo BVC, mide BC = 13. Por “V” se traza VA,
A) 15
B) 20
D) 40
E) 18
C) 30
16. Se tiene un triángulo ABC. Desde un punto
perpendicular al plano BVC, de modo que AB=9 y AC=10. Si “M” es punto medio de
interior P se levanta una perpendicular PT
AC , calcular m∠VMB. A) 30º B) 45º D) 75º E) 53º
¿qué punto notable es P?
al plano del triángulo. Si TA = TB = TC,
C) 60º
incorrectas: ( ) Dos rectas en el espacio determinan un plano siempre. ( ) Dos planos al intersecarse pueden determinar un solo punto.
GEOMETRÍA
B) Baricentro
C) Circuncentro
D) Ortocentro
E) Cevacentro
13. De las siguientes afirmaciones cuántas son
Tema 12
A) Incentro
17. Por el centro “O” de un cuadrado ABCD se levanta la perpendicular OS a su plano. Calcular la distancia desde “A” al plano SCD; OS = 4 y AB = 6.
2 2
san marcos REGULAR 2015 – iI
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
A)
17 5
C) 4,8
B)
34 2
D) 2,4
un triángulo equilátero ABC mide 3 . Por B se levanta BE perpendicular al plano del triángulo. Si BE = 1, calcular el área de la región triangular AEC.
3 31 C) 4
B)
31 2
D) 3 15
22. Dado un triángulo ABC, equilátero, se traza AE, perpendicular al plano del triángulo. Si AE = BC, calcular la medida del ángulo con que se cruzan EB y AC A) 30 B) 45 J 1 N C) ArcCos K – O L 2 2P D) 90 J 1N E) ArcCos K – O L 2P
D) 4 31 3
E) 4 31 19. Se tiene dos rectas alabeadas AB y CD, MN es la mínima distancia entre ambas (“M” en AB y “N” en CD). Sobre AB se toma un punto “P” y sobre CD un punto “Q”. ¿Qué ángulo forman las dos rectas si m∠MPN = 45º, y además m∠NPQ=45 y
23. Se tiene un plano P y un punto exterior “S”, desde el cual se trazan las oblicuas SB, SA y SC que forman con “P” ángulos que miden 30º; 45º y 53º respectivamente. Si A, B y C se encuentran en el plano, y SB=8, calcular SA+SC.
m∠MPQ=60º? A) 30º C) 45º E) 90º
C) 5 6
21. Los puntos A y B se encuentran a 8 y 4 cm encima de un plano horizontal, además la proyección de AB sobre el plano mide 9 cm. Calcular la longitud del menor camino de “A” a “B” pasando por un punto del plano. A) 15 cm B) 9 cm C) 30 cm D) 25 cm E) Faltan datos
18. El radio de la circunferencia circunscrita a
31 4
B) 2 15
E) 4 30
E) 3
A)
A) 2 30
B) 37º D) 60º
Sistematización
A) 9
B) 5 2 + 4
C) 8
D) 4 2 + 5
20. Por el extremo “A” del diámetro AB de una circunferencia se levanta una perpendicular al plano del círculo, sobre esta perpendicular se toma un punto “M” y se une
E) 3 2 + 4 24. Dado un cuadrado ABCD, por “M” punto medio de AB se levanta MP perpendicular al plano del cuadrado tal que AB=PM=3.
“B” con un punto “C” de la circunferencia. Calcular MC, si MB = 26 y BC = 14.
san marcos REGULAR 2015 – iI
Se une “P” con “D” de modo que PD
3 3
GEOMETRÍA
Tema 12
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
interseca en “E” al plano que pasa por AC
y es perpendicular al plano del cuadrado. Calcular el área de la región triangular CED A) 3 6
B) 5 2
C) 2 2
D) 3
Si BL = LC = 5 y m AS = m SB , calcule el área de la región triangular SLD. S B L C A
E) 3 2
D
25. En el gráfico ABCD y la semicircunferencia de diámetro AB se encuentran en planos perpendiculares.
A)
5 14 2
D) 14
B)
3 14 2
C)
14 2
E) 5
respuesta 1. A 2. C 3. C 4. A 5. A 6. B 7. D 8. C 9. B 10. D 11. D 12. C 13. D 14. B
15. B 16. C 17. C 18. C 19. E 20. E
21. A 22. C 23. D 24. E 25. A
Tema 12
GEOMETRÍA
4 4
san marcos REGULAR 2015 – iI
GEOMETRÍA tema 13
SoiI1G13T
tarea A) 2 D) 5
Ejercitación 1. La suma de los ángulos internos de todas las caras de un poliedro convexo de "V" vértices; "C" caras y "A" aristas es igual a: A) 360° (A – C) B) 360° (V – C) C) 360° (A – V) D) 360° (A – 2) E) 360° (C – A)
C) 4
6. En todo poliedro convexo el número de caras es igual a: A) Número de aristas – número de vértices – 2 B) Número de aristas + número de vértices + 2 C) Número de aristas – número de vértices + 2 D) Número de vértices – número de aristas + 2 E) Número de vértices + número de aristas – 2
2. El área, de la sección diagonal, de un cubo es igual a 16 2 u2. Calcular la diagonal del cubo. A) 8 B) 4 2 C) 6 D) 4 3 E) 3 6
7. Si la arista de un icosaedro regular mide 4
3 , calcular el área de su superficie. A) 15 m2 B) 9 m2 2 C) 13 m D) 6 m2 E) 6 3 m2
3. En todo poliedro convexo, el número de aristas es igual a: A) Número de caras + número de vértices + 2. B) Número de caras + número de vértices – 2. C) Número de caras – número de vértices – 2. D) Número de vértices – número de caras + 2. E) Número de vértices + número de caras – 2.
8. Sobre la arista EF del hexaedro regular ABCD – EFGH, se ubica el punto medio M, de tal manera que la distancia entre las rectas alabeadas EG y CM es igual a 2 unidades. Calcular el volumen de dicho hexaedro. A) 180 u3 B) 216 u3 C) 196 u3 D) 204 u3 E) 224 u3
4. Si partiendo de un cierto vértice de un cubo se trazan las diagonales de dos caras vecinas, ¿cuánto medirá el ángulo que así se forma? A) 90° B) 60° C) 120° D) 80° E) 75°
Profundización 9. "P" es el baricentro de la región triangular CED, ubicada en el octaedro regular E– ABCD–F. Calcular la medida del ángulo determinado por las rectas CD y AP.
5. ¿Cuántos poliedros cuyas caras son triángulos equiláteros existen?
san marcos REGULAR 2015 – iI
B) 3 E) 6
1 1
GEOMETRÍA
Tema 13
POLIEDROS REGULARES
A) 30° D) 60°
B) 45° E) 90°
15. La distancia del centro de un tetraedro regular a una de sus caras es igual a 2 unidades. Calcular el volumen del tetraedro.
C) 53°
10. La diagonal de un octaedro regular mide
A) 36 6 u3
6 unidades. Calcular el volumen de dicho B)
6 u3
D) 9 u3
E) 3 3 u3
E) 80 2 u3
C) 6 2 u3
16. El volumen de un tetraedro regular es igual a 9 2 . Calcular la longitud de la altura de 4 dicho tetraedro.
11. Se ubican los puntos medios L, M y N de las aristas EF, BF y FG de un hexaedro regular ABCD – EFGH, respectivamente. Calcular la distancia entre las rectas LM y BN. Si BH = 36. A) 6
B) 2 3
D) 3 2
E) 3
A) 3 2 D)
C) 4
A) 2 6
B) 6 E) 2 3
C) 3 3
E)
3 2
14. El volumen de un octaedro regular es igual a 6 u3. Calcular la distancia del centro del octaedro a una de sus caras. A)
2
C) 1 E)
Tema 13
6 6
B) D)
E) 2
19. Hallar en qué relación se encuentran las áreas de un hexaedro y un icosaedro regulares, sabiendo que la arista del primero es la triple de la del segundo. A) 9 B) 18 C) 3
3 3 2 2
D) 9 3
GEOMETRÍA
C) 2 3
18. Un tetraedro regular de 400 m2 de superficie total, se secciona mediante un plano paralelo a una cara, de modo que se obtiene un tetraedro cuyas aristas son la mitad de los del tetraedro original y un tronco de pirámide de cuya superficie total será: A) 200 B) 300 C) 350 D) 325 E) 250
13. El área total de un tetraedro regular es igual a 8 3 u2. Calcular la mínima distancia entre dos aristas opuestas de dicho tetraedro. A) 3 B) 2 C) 3 D) 2
6
B) 3
17. Un poliedro convexo está limitado por 4 regiones triangulares, 2 regiones cuadrangulares y "x" regiones pentagonales. Calcular "x", si la suma del número de aristas con el número de diagonales de dicho poliedro es igual a 44. A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
12. Se tiene un octaedro regular E–ABCD–F cuya arista mide 6 unidades. Calcular la mínima distancia entre las rectas BC y EM, siendo M punto medio de la arista AD. D) 3
D) 64 3 u3
C) 72 2 u
octaedro. A) 6 u3
B) 48 3 u3
3
2 2
E) 9 3 2
san marcos REGULAR 2015 – iI
POLIEDROS REGULARES
20. Las aristas de un cubo miden 15 cm cada una. Si una mosca puede desplazarse sólo sobre las aristas y parte de uno de los vértices, el máximo recorrido que puede hacer para volver a su punto de partida, sin pasar dos veces por la misma arista es: A) 1,80 m B) 0,60 m C) 0,75 m D) 0,90 m E) 1,20 m
A) 5/7 D) 4/7
Q P R
21. Calcular el área total de un hexaedro regular, sabiendo que la distancia de uno de los vértices al centro de una cara opuesta es de 2 m. A) 40 m2 B) 45 m2 C) 25 m2 2 2 D) 16 m E) 20 m 22. Se tiene un tetraedro regular de arista "a". Hallar el volumen del tetraedro regular que se forma al unir los baricentros de las caras. A) D)
a
2
27 a3 2 216
B)
E)
3
a
C) 1
24. Se tiene un cubo de arista "a", hallar el área del triángulo PQR, si P es centro, Q y R son puntos medios.
Sistematización
3
B) 6/7 E) 5/8
2
81
C)
3
a
A)
a2 3 4
B)
a2 3 8
C)
a2 3 2
D)
a2 3 6
E)
a2 3 3
25. En un tetraedro regular ABCD, M y N son puntos medios de AD y BC, respectivamente. Si la distancia entre MN y AC es 3 2 u, calcular el área de la superficie del poliedro conjugado del tetraedro inscrito en él.
2
162
a3 2 324
23. En un triedro trirectángulo O – ABC se sabe que: OA = 1 cm; OB = 2 cm y OC = 3 cm. Hallar la distancia de "O" a la sección plana ABC.
A) 4 3 u2
B) 2 3 u2
C) 16 3 u2
D) 6 3 u2
E) 5 3 u2
respuesta 1. A 2. D 3. B 4. B 5. B 6. C 7. A 8. B 9. D 10. B 11. D 12. A 13. D 14. D
15. D 16. D 17. E 18. C 19. D 20. E
21. D 22. E 23. B 24. B 25. C
san marcos REGULAR 2015 – iI
3 3
GEOMETRÍA
Tema 13
GEOMETRÍA tema 14
Soii1G14T
tarea 4. Dado un cilindro de revolución cuya área lateral es numéricamente igual al volumen, si la generatriz mide 3u. Calcular el perímetro de la superficie lateral del desarrollo del cilindro. b) (6π+4) a) (π+3)u c) (6π+3) d) (8π+6) e) 2π
Ejercitación 1. Calcular el área lateral del prisma recto mostrado.
(3–
3) 30°
a) 3 d) 12
5. El desarrollo de un prisma es un rectángulo cuya diagonal mide 8m y su altura 4 3 m. Calcular el área lateral de dicho sólido.
1
B) 6 E) 16
C) 8
a) 32 3 m2 b) 32 m2 d) 12 m2
2. El área lateral de un cilindro recto es “A” y su volumen es “V”. Calcular el radio de la base. a)
V d) 2V e) 2A A 3. Calcular “S” , si la figura es un prisma. A = 15m2, B = 20m2
7. La figura es el desarrollo de un prisma triangular regular. Calcular el volumen del sólido en mención. a) 37 b) 36 c) 3 3 d) 12 e) N.A. 6
a) 20 2 m2 c) 20 m2 d) 25 m2
S
A
B
e) N.A.
san marcos REGULAR 2015 – iI
e) 16 3 m2
6. Se tiene un cilindro cuyo radio de la base mide 40 cm y de la altura 30 cm. Un plano pasa a 24 cm del eje y es paralelo a ella. El área de la sección mide: a) 1920 cm2 b) 960 cm2 2 c) 720 cm d) 800 cm2 2 e) 540 cm
V2 A 2A c) b) A V V
b) 10 m2
c) 16 m2
1 1
GEOMETRÍA
Tema 14
prisma y cilindro
8. En qué porcentaje debe aumentar la altura de un cilindro, sabiendo que el radio de su base disminuye un 50%, para que ambos sólidos (final e inicial) tengan el mismo volumen. a) 100% b) 200% c) 300% d) 400% e) 30%
A) 15,2% D) 40%
b) 20% E) 50%
c) 30%
13. Calcule el volumen del prisma regular.
2 3
Profundización 9. Calcular el área lateral del prisma triangular regular, si la arista lateral es 3 y la arista
básica es 2. a) 2 3
b) 3 3
d) 18
e) 12
c) 6 3
A) 36 D) 48
2 B) 18 E) 4 3
14. Calcular el volumen de un cilindro circular recto, sabiendo que su proyección sobre un plano perpendicular a su base es una región cuadrada de 16 m2 de área. a) 16π m3 b) 8π m3 C) 10π m3 d) 4π m3 E) 2π m3
10. Al aumentar el radio de un cilindro en 6m el volumen aumenta en x m3. Si la altura del cilindro aumenta en 6m el volumen aumenta en xm3 si la altura inicial mide 2 m, el radio original es: A) 2 m b) 4 m c) 6 m D) 8 m E) 10 m
15. El siguiente sólido es un prisma. Halle el valor de S, si: A = 4 3 m2, B = 4m2. a) 4
11. Calcule el volumen del rectoedro.
b) 8 c) 12
A
S
d) 16
60°
B
e) N.A.
4
37°
A) 24 3
B) 48 2
C) 16 3
D) 90
16. En el gráfico, calcular el volumen del cilindro circular recto, si AP = 5u, AB = 4u y mBP = 60º.
E) 48 3
a) 36π c) 8π
lindro de revolución, si el radio de la base
d) 10π
aumenta en el 20% y la altura disminuye
e) 20π
en el 20%.
GEOMETRÍA
A
b) 12π
12. En cuánto aumenta el volumen de un ci-
Tema 14
C) 72
2 2
B P
san marcos REGULAR 2015 – iI
prisma y cilindro
17. En un vaso que tiene la forma de un cilindro
Sistematización
recto de revolución, la longitud de la altura
21. Las bases de un cilindro recto están inscritas en dos caras opuestas de un hexaedro regular. Calcular el volumen del cilindro si la diagonal intersecta a la superficie cilíndrica en dos puntos que distan 6 cm. a) 2π cm3 b) 4π cm3 c) 3π cm3 d) 5π cm3 e) 8π cm3
es el doble de la longitud del diámetro de la base, si e vaso contiene un líquido que ocupa los 3/4 partes de su capacidad.
Determina la medida del ángulo que debe inclinarse desde su posición normal hasta el instante en que el líquido está por derramarse. a) 30 d) 75
b) 45 e) 90
c) 60
22. Un cubito descansa en el fondo de un prisma recto lleno de agua (Ver figura) Al extraer al cubito la altura del agua disminuye en 1/8. Hallar el área del triangulo ABC:
18. Calcule el semi volumen de un prisma triangular regular. Si la arista lateral es 2 3 y la arista básica es 4. A) 24 B) 12 c) 6 D) 18 E) 48
B
19. En el cilindro equilátero mostrado PM = MQ,
6 cm
BM2–OM2 = 18 y mAQ = 60. Calcula el área
A
de su superficie total.
O
M
a) 54 p d) 48 p
Q
4 2 cm
4 2 cm
P
A
C
B) 16 3 cm2
C) 8 3 cm2
D) 12 3 cm2
E) 15 3 cm2
B
b) 36 p e) 25 p
A) 4 3 cm2
23. ¿Cuál es la relación entre las alturas de dos cilindros de revolución semejantes, si sus volúmenes están en la relación de 27 a 216? A) 1/2 B) 2/3 C) 4/3 D) 1 E) 2
c) 16 p
20. Calcule el área lateral de un prisma regular de 20 aristas básicas, además las aristas básicas son de igual longitud que las late-
24. La figura muestra un prisma triangular regular, cuya arista lateral es igual a la altura de la base. Si el área del triángulo AHP es 72u2. Calcular el volumen del prisma.
rales que valen 2 cm. a) 40 cm2 b) 80 c) 20 d) 100 e) imposible
san marcos REGULAR 2015 – iI
3 3
GEOMETRÍA
Tema 14
prisma y cilindro
25. Los volúmenes de dos cilindros de revolu-
D
F
P
ción están en la relación de 125 a 216.
E
¿Cuál es el radio del cilindro mas grande si el del mas pequeño es de 5m?
A H B 3
A) 152 3 u
v2
v1
B) 728 3 u3
D) 596 3 u3 E) 166 3 u3
R
5
C) 576 3 u3
a) 2m
b) 4m
d) 8m
e) 10m
c) 6m
respuesta 1. B 2. D 3. D 4. D 5. E 6. A 7. C 8. C 9. D 10. A 11. E 12. A 13. A 14. A
15. B 16. A 17. B 18. B 19. A 20. B
21. E 22. C 23. A 24. C 25. C
Tema 14
GEOMETRÍA
4 4
san marcos REGULAR 2015 – iI
GEOMETRÍA tema 15
SOiI1G15T
tarea 5. Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular, cuyas caras laterales son triángulos equiláteros y cuya arista básica es 4. B) 16( 3 + 2) A) 16( 3 + 1) D) 16( 3 + 4) C) 16( 3 + 3) E) 16( 3 + 5)
Ejercitación 1. La arista de un tetraedro regular es igual a 4. Calcular el área total. A) 12 3 B) 14 3 C) 16 3 D) 18 3 E) 20 3 2. En el cubo mostrado, "P" es un punto de la cara BFGC. Calcular el volumen de la pirámide P – AEHD. F B
G
P C
E
A A) 70 D) 76
6. El perímetro de la base de una pirámide cuadrangular regular es igual a 12. La altura es igual a la diagonal de la base. Calcular su volumen. A) 8 2 B) 9 2 C) 10 2 D) 12 2 E) 3 2
6
7. En una pirámide regular de base cuadrada cuyo lado mide 12, la arista lateral de la pirámide mide 10. Calcular el área total. A) 144 B) 336 C) 288 D) 168 E) 112
H D B) 72 E) 78
C) 74
8. Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular cuya arista básica mide 6. Siendo su área lateral el quíntuplo del área de la base. A) 72 B) 72 6 C) 72 3 D) 48 6 E) 54 3
3. La base de una pirámide cuadrangular regular tiene un lado igual a 3. La altura es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a la base. Calcular su volumen. B) 18 2 C) 16 2 A) 20 2 D) 14 2 E) 9 2
Profundización
4. La altura de un tetraedro es igual a 6/3. Calcular su volumen. A) 2/12 B) 2/6 C) 2/7 D) 2/16 E) 2/8
san marcos REGULAR 2015 – iI
9. Calcular el área lateral de una pirámide si su base es un hexágono regular, si su apotema mide 10 y su arista básica mide 8.
1 1
GEOMETRÍA
Tema 15
pirámide y cono
A) 480 D) 280
B) 240 E) 140
A) 50π D) 80π
C) 360
10. Una pirámide regular de base cuadrada es equivalente con un cubo. Si la arista del cubo mide 6 y la arista básica de la pirámide mide 9, calcular la altura de la pirámide. A) 16 B) 9 C) 8 D) 24 E) 12
17. Calcular el radio de una esfera inscrita en un octaedro regular cuya arista mide "a". A) D)
12. El área lateral de un cono circular recto es 90π. Si la medida de su generatriz es el doble de la medida del radio del círculo de su base, calcular el área de su base. A) 9π B) 35π C) 45π D) 60π E) 27π
60
E)
3
100
a 3 2
A) 1 D) 1 4
a 6
B)
a E) 2
6
C)
a 2 4
B) 1 2 1 E) 5
C) 1 3
20. Calcular el volumen de un cilindro de revolución el cual se halla circunscrito a una pirámide regular cuadrangular cuyo volumen es "V". 3Vπ A) B) 3Vπ C) 4Vπ 5
15. El área lateral de un cono recto es igual a 65π y el área de su base es 25π. Calcular el volumen del cono.
GEOMETRÍA
3
19. El desarrollo de la superficie lateral de un cono circular recto es un sector de 120°. Calcular en qué relación está el radio de la base con la generatriz.
14. La altura de un cono circular recto es 20, la medida del radio de la base es a la medida de la generatriz como 3 es a 5. Calcular el área total del cono. A) 150π B) 200π C) 600π D) 300π E) 250π
Tema 15
a 7
18. El área lateral de un cono recto de revolución es el doble del área de su base. Calcular la medida del ángulo que forma la generatriz con la altura. A) 10° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
13. El volumen de un cono circular recto es 90π. Si la medida de la altura del cono es el triple de la medida del radio de la base, calcular la medida del radio. 3 3 3 A) 45 B) 90 C) 15 3
C) 100π
16. Si el volumen de un cono es numéricamente igual al doble del área de su base, calcular la medida de su altura. A) 3 B) 4 C) 7,5 D) 6 E) 12
11. Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular si las aristas laterales miden 5 y la altura 4. A) 12 B) 18 C) 24 D) 30 E) 48
D)
B) 75π E) 120π
D)
2 2
3Vπ 2
E)
4Vπ 3
san marcos REGULAR 2015 – iI
pirámide y cono
A) 96 m3
Sistematización
3
C) 192 m E) 208 m3
21. Calcular el volumen de un cono cuyo vértice coincide con el de un tetraedro regular de arista "a" cuya base está circunscrita a la base del tetraedro. A) C) E)
a3 2 π 17 3
5π
a
37 a
3
B) D)
a3 6 π 27 3
a
24. El área lateral de un cono de revolución es S y el área total es S1. Determine el ángulo que forma la altura y la generatriz.
A) ArcSen
S1 – S S
B) ArcSen
S1 S
C) ArcSen
S S1
D) ArcSen
S 2S1
E) ArcSen
S1 – S 2S
3π
18
2π
19
22. Una cuerda de la base de un cono de revolución mide 8 m y la sagita mide 2 m. Si la altura es de 10 m, calcular la generatriz. A) 12 m B) 13 C) 20 D) 10 3
B) 162 m3 D) 184 m3
E) 5 5
25. En un tronco de pirámide de bases paralelas ABC–DEF, los volúmenes de las pirámides ABCE, DEFC son V1 y V2. Halle el volumen de la pirámide ACED. V + V2 B) 1 A) V1 + V2 2
23. El volumen del cono superior es 48 m3. Calcular el volumen del cono total, si el plano "P" es paralelo a la base. 2h P h
C)
V1V2
E)
V1V2 V1 + V2
D)
V1V2 2
respuesta 1. C 2. B 3. E 4. A 5. A 6. B 7. B 8. B 9. B 10. C 11. C 12. C 13. B 14. C 15. C 16. D 17. B 18. B 19. C 20. D 21. B 22. E 23. B 24. A 25. E
san marcos REGULAR 2015 – iI
3 3
GEOMETRÍA
Tema 15
GEOMETRÍA tema 16
SniII2G16T
tarea a) 12p d) 24p
ejercitación 1. El volumen de una esfera es numéricamente igual a su área. Calcular su radio. a) 1 b) 3 c) 6 d) 9 e) 27
b) 20p e) 18p
c) 16p
6. Del gráfico, calcular OC, de modo que al girar las regiones sombreadas 360° alrededor de AC generen sólidos equivalentes, AO = OB = 4 B
2. El área total de un cubo es 96 m2. Calcular el área de la esfera inscrita en dicho cubo. a) 16 p b) 8 p c) 12 p d) 32 p e) 4 p
A a) 8 d) 6
O b) 4 e) 5
C c) 16
3. El volumen de un cilindro es 30 m3. el volumen de la esfera inscrita en el cilindro es: a) 20 R b) 12 c) 18 d) 25 e) 15
7. Sabiendo que el volumen de un cono de revolución equilátero es “V”. Calcular el volumen de la esfera inscrita. a) 3V/5 b) 4V/27 c) 4V/9 d) 7V/17 e) 2V/3
4. A 4 u del centro de una esfera, se traza un plano secante el cual determina una sección cuya área es igual a 9p u2. Calcule el radio de la esfera a) 10 u b) 8 u c) 7 u d) 5 u e) 6 u
8. La sección máxima de una esfera tiene área "S". Calcular el área total resultante, al dividir dicha esfera, mediante un plano, en dos sólidos congruentes a) 2 s b) 3 s c) 4 s d) 6 s e) 8 s
5. Hallar el volumen de la semiesfera, si el área lateral del cilindro es 18p
profundización 9. Calcular el área de la superficie esférica circunscrita a un cubo, si el área de la superficie esférica inscrita en el es 60 a) 120 b) 240 c) 180 d) 220 e) 180 3
san marcos regular 2015 – Ii
1 1
GEOMETRÍA
Tema 16
ESFERA Y PAPPUS-GULDIN
10. Se interseca una esfera, cuyo radio mide 5, con un plano que dista 3 del centro. Calcular el área de la sección producida por el plano a) 4p
b) 9p
d) 16p
e) 18p
15. Un sector circular equivalente a un cuadrado cuyo lado mide 6 p tiene ángulo central que mide 10°. Dicho sector es el desarrollo de la superficie lateral de un cono. Calcular el área total de dicho cono. a) 20p b) 30p c) 32p
c) 12p
d) 37p
11. Un cubo y una esfera tienen superficie igual a 8,4 m2. Hallar la relación del volumen del
16. En un cono de revolución de generatriz "g" está inscrito un cilindro cuya superficie total es equivalente a la superficie lateral del cono. El ángulo entre las generatrices del cono en su sección axial mide 90°. Hallar la distancia entre el vértice del cono y la base superior del cilindro a) g/5 b) g/2 c) g/3 d) g 2 /4 e) g 2 /3
cubo y el volumen de la esfera. a)
6p/6
d) p/3
b)
3p/3
c)
2p/2
e) p/2
10 2 cm de p área y un eje L coplanar a una distancia de 10 cm. de sus centro. Calcule el volumen del sólido generado por la región circular cuando gira 180° alrededor de L (en cm3).
12. Se tiene un círculo de centro O de
a) 100p2 d) 200
b) 100p
c) 100
17. El centro de la esfera inscrita en una pirámide hexagonal regular divide a la altura de la pirámide en dos segmentos que miden 1 y 2. Calcular el volumen de la pirámide. 12 3 c) a) 12 b) 8 3 2 9 3 d) 6 3 e) 2
2
e) 200p
13. Una región triangular de área 60 u2 gira alrededor de un eje coplanar siendo la distancia de sus vértices al eje de giro 10 u, 11 u y 42 u. Calcule el volumen generado (en u3). a) 1 250p
b) 2 520p
d) 3 250p
e) 4 270p
e) 42p
c) 2 780p
18. En la figura, AB = PC = 6 m, el volumen del sólido de revolución que se obtiene al rotar el triángulo ABC alrededor de la recta L es:
14. Calcular el radio de la base de un cilindro de revolución que tiene igual área lateral e igual volumen que un cono de 2 2 m
A
de altura y 3 m de generatriz. a)
2 2 9
b)
d)
5 2 9
e)
Tema 16
5 9
c)
B
4 2 9
P
2 2 3
GEOMETRÍA
C L
2 2
san marcos regular 2015 – Ii
ESFERA Y PAPPUS-GULDIN
a) 108p m3
b) 72p m3
3
a)
d) 27p m3
c) 60p m e) 24p m3
c)
19. En la figura, todos los triángulos son
e)
equiláteros. Los pequeños tienen lados
6 2 5 2
pa3
b)
pa3
d)
2 2
pa3
10 3
pa3
2 3 3 pa 3
de longitud “a”. Si tomamos como eje de revolución la recta L, entonces el volumen 22. Una esfera esta inscrita en un cono recto
del sólido generado por el triángulo som-
de revolución de altura 12 u y radio 5 u.
breado es:
Calcule el radio de la sección circular
L
determinada por un plano tangente a la esfera y paralelo a la base del cono. a) 10/3
b) 20/3
c) 10/9
d) 20/9
e) 14/3 a)
2 pa3 3
3 pa3 c) 7 24 e)
b)
3 pa3 8
d)
3 pa3 4
23. Se traza un plano secante a una superficie esférica determinando dos casquetes esféricos de áreas A1 y A2 (A1 < A2). Halle el área de la sección determinada en la
3 pa3 12
superficie esférica por el plano.
20. Calcular el radio de la esfera inscrita en un tetraedro trirectángulo S–ABC, si SA = 3; SB = 6 y SC = 9. a) 1/2
b) 1
c) 1,5
d) 2
a)
A1A2 A1 + A2
b)
A1 + A2 A2 – A1
c)
2A1A2 A1 + A2
d)
A1A2 2A1 + 3A2
e)
A21 + A1A2 + A22 A1 + A2
e) 3
24. Una superficie esférica está inscrita en un huso esférico y dos semicírculos máximos
sistematización
de una esfera, si el área del huso esférico es 24 p y su radio es 6 u entonces el área
21. Un hexaedro regular de arista "a" se en-
de la superficie esférica máxima inscrita es
cuentra inscrito en una semiesfera. Calcule
(en u2):
el volumen de la semiesfera.
san marcos regular 2015 – Ii
3 3
GEOMETRÍA
Tema 16
ESFERA Y PAPPUS-GULDIN
a) 12p
b) 14p
d) 18p
e) 20p
c) 16p
esférica inscrita en el cono. Si el volumen del cono es 175 u3. Calcule el volumen de la esfera(en u3).
25. El área de la superficie total de un cono
a) 4
b) 5
es igual a 25 veces el área de la superficie
d) 9
e) 15
c) 7
respuesta 1. B 2. A 3. A 4. D 5. E 6. A 7. C 8. D 9. C 10. D 11. A 12. C 13. B 14. C 15. D 16. B 17. D 18. B 19. D 20. B 21. A 22. D 23. A 24. C 25. C
Tema 16
GEOMETRÍA
4 4
san marcos regular 2015 – Ii
