Álgebra 1.
Se puede armar que la diagonal del cubo, cuya arista corresponde en unidades de medida al mayor de los módulos entre todas las raíces de la ecuación: x5+3x4+7x3+9x2+8x 8x+ +4=0 mide: A)
B)
2
D) 2 3 2.
C) 2 2
6
E) 3 3
ex + 1 3 f(x) = ln 27 – 3
64
6. (x+1)
4
3 podemos armar que logn 3 3 3 3 3 ........ la ecuación: A) B) C) D) E) 3.
–1
es raíz de
D)
10 100
B)
10
C)
sea verdadera. El producto mn vale:
5.
B) 124 E) 144
B) 0 E) 3
C) 130
En la figura se tiene un rectángulo inscrito en un cuadrado de 10 cm de lado. El área del rectángulo varía en función de la medida x. El valor máximo de esa viga en centímetros cuadrados es:
PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014
C) 1
8.
4x+ El conjunto imagen de la función: f(x) = |x2 – –4x +8| +1 es el intervalo: A) [5, +∞〉 B) [4, +∞〉 C) [3, +∞〉 D) [1, +∞〉 E) [0, +∞〉
9.
Si a, b y c son raíces reales de la ecuación x 3 – –10x 10x2 2 –2x – 2x+ +20 20= = 0, entonces el valor de la expresión a bc+ab2c es igual a: A) 400 D) – 200 –200
E) 100
Sean n∈ N tal que 24+25+...2n = 8176 y m es el mayor m∈ N tal que: m! 1 ≤ 2 lo l o 2 ⋅ 4 ⋅ 6...(2n) 6 g6 40 A) 120 D) 132
4x+ 2)= Sea una función fun ción cuadrática f(x) f(x)=x2 – f(k k +2), –4x +3 si f(k –2) – =f( siendo k un número real, entonces f(k) es igual a:
Para –1 < x < 1/2, el gráco de la función funció n y=|x |x+ +1| 1|+ +|2x – –1| 1| coincide con el gráco de la función funci ón y =ax ax+ +b. Los valores de a y b son, respectivamente. A) –1 y – –1 1 B) 2 y – –1 1 C) –1 y 2 D) 1/2 y – 1 E) –1/2 y 1 –1
2
10 10
C) 48
7.
Consideramos a x∈ R +, x≠1 y a≠1 el producto de las raíces de la ecuación es:
A) 10 3
B) 45 E) 52
A) – –1 1 D) 2
x3 – 2x2 – 9=0 –2x –9 3 x +x – –1 1=0 x4 – –4x 4x2 – –x x+2=0 2 x – –4x 4x+ +3=0 4 x – –4x 4x2+x+1=0
1 2 1 + logx2 (10) = log(x ( –1))
4.
A) 42 D) 50
Si n es el menor entero perteneciente al dominio de la función real de variable real
B) 200 E) – 400 –400
C) – C) –100 100
10. La gura siguiente representa el gráco de la función f: R +* → R tal que f(x) = logax
y 1/4
1
2
x
53
GUIA DE REPASO
El valor de fof(4) es: A) 0 D) 8
B) 1 E) 16
C) 1/2
11. Al dividir un polinomio P(x) entre (x –2) (x+3) el resto es (2x –5), calcule el término independiente del resto que resulta de dividir P(x) entre (x +2)(x –3) sabiendo que Q(x) es el cociente de esta división y que Q(2) = Q(–3) = 0. A) 12 B) 5 C) –5 D) –12 E) 0 12. Encuentre un polinomio P(x) de grado 3, que sea divisible separadamente entre x+3 y x –2. Además la suma de P(x) coecientes es –12 y el resto de es 12. x A) 5x3 –32x –12 B) 5x3 –3x2 –12 C) 3x3 –12
D) 5x3+3x2 –32x+12
E) 5x3 –3x –12 13. Un polinomio f(x) de grado 4, es divisible por s eparado con (x –3); (x+2) y (x+5). Si al dividirlo por x +1 el resto f(x) es 32 y f(0)=–240, calcule el resto de dividir x+4 A) 20 B) 80 C) 60 D) 18 E) 0 14. Un polinomio P(x) de tercer grado se divide separadamente entre (x –1); (x –2) y (x+3); dando como resto común 5. Además al dividirlo entre x +1 da un resto igual a 29.
Calcular el término independiente de P(x). A) 15 D) 18
B) 16 E) 19
15. La identidad
x3 + 4 x3 +1
=1+
D) 1+2 2
B) 2+3 3
C) 2+ 2
E) 2+2 2
19. Sean los conjuntos: A = {(x –1)∈ R /x2 ≤ 16} B = {y ∈ R /(y+1)2 ≥ 9} halle A ∩ B A) 〈 –10; –5〉 B) [3;8] C) {3;8} D) [ –5;3] E) [ –5; –4] ∪ [2;3]
20. El dominio de la función f(x) =
es el conjunto: A) 〈 –∞, –1〉 ∪ [3,+∞〉 C) 〈 –1,3] ∪ 〈4,+∞〉 E) 〈4,+∞〉
2 x – 8 x 2 – 3x – 4
B) 〈 –1,3〉 ∪ [4,+∞〉 D) 〈 –∞, –1〉 ∪ 〈4,+∞〉
21. Sea p(x) un polinomio de grado 3 tal que p(x) =p(x+2) –x2 –2 para todo x∈ R . Si –2 es una raíz de p(x) entonces
el producto de todas las raíces de p(x) es: A) 36 D) –18
B) 18 E) 1
C) –36
22. Sea P(x) un polinomio de grado 5, con coecientes reales, admite 2 e i como raíces. Si P(1) .P( –1)<0 entonces
el número de raíces reales de P(x) pertenecientes al intervalo ] –1,1[ es: A) 0 D) 3
B) 1 E) 4
C) 2
C) 17 23. Las raíces de la ecuación de coeficientes reales x3+ax2+bx+c=0 son enteros positivos consecutivos.
a
+
bx + c
x2 – x +1 es válida para todo número real x ≠ –1 entonces a+b+c x +1
es igual a: A) 5 D) 2
A) 3+ 3
B) 4 E) 1
La suma de los cuadrados de esas raíces es igual a 14. Entonces a2+b2+c2 es igual a: A) 190 D) 193
B) 191 E) 194
C) 192
C) 3 24. La suma de los cuadrados de las raíces de la ecuación x3+ 5x2+2 3x+8=0 es igual a:
16. Multiplicando por 2 las raíces de la ecuación x 3 –2x2 +2x –1=0 vamos a obtener raíces de la siguiente
D) 9+ 5+2 3
ecuación: A) 2y3 – 6y2+6y – 4=0
B) y3 – 4y2+8y – 8=0
C) 8y3 – 8y2+4y – 1=0
D) y3 – 8y2+8y+ 8=0
E) 4y3 – 4y2 – 4y – 8=0 17. Sabiendo que 4 +i 2 y 5 son raíces del polinomio 2x5 –22x4+74x3 –420x+540, entonces la suma de los
cuadrados de todos sus raíces es: A) 47 D) 53
B) 49 E) 55
C) 51
18. El polinomio de grado: (a+2b+c)x4+(a+b+c)x3 –(a –b)x2+(2a –b+c)x+2(a+c)
con a, b, c∈R es una función par. Entonces, la suma de los módulos de sus raíces es igual a:
54
A) 5
ÁLGEBRA
B) 5 – 4 3 E)
C) 12 5
3+ 5
25. El conjunto de los valores de k para los cuales f(x) =x3 –2x2+3 –k tiene uno o tres ceros reales entre 1 y 2 es: A) k<2 B) 1
k ó k<6 D) k>7 E) 2
cartesiana es:
4 5 PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014
GUIA DE REPASO
A) x+y –2=0 C) x –y –1=0 E) 5x+3y –7=0
B) x –y+3=0 D) 2x+y –1=0
37. Considerando log2=a y log3=b encuentre en función de
a y b el logaritmo del número 5 11,25 en el sistema de base 15. A) a+b+3 B) a –b+6 C) 1/5(a+b) 1 2b + 1 – 3a D) 5(a+b) E) 5 b – a + 1
28. Considere la función f tal que para todo x real se tiene que: f(x+2) = 3f(x)+2 x. Si f( –3) = 1/4 y f( –1)=a,
entonces el valor de a 2 es: A) 25/36 D) 16/81
B) 36/49 E) 49/64
C) 64/100
38. Los números complejos 1+i y 1 –2i son raíces de un
polinomio con coecientes reales, de grado 8. El número de raíces reales de este polinomio, como máximo es: A) 2 D) 6
29. Calculando el área de la región limitada por: y ≤ 3 (x+2) 2 x2+(y –3)2 ≤ 13 se obtiene que: A) 2 13 p
B) 13p
D) 3 13 p /2
E)
C) 13p /2
13 p
30. Sea a un número real con 0
que representa al conjunto de todos los valores de x tales que:
a2x 1 a A) ( –∞,0] ∪ [2,+∞) C) (0,2) E) (2,+∞)
2x 2
<1
B) ( –∞,0) ∪ (2,+∞) D) ( –∞,0)
B) 3 E) 5
C) 4
39. Los valores pertenecientes al dominio de la función f(x) = log( –x2+3x+10) que satisfacen la inecuación 3 x+2 ≥ 3 pertenecen al intervalo: A) ( –5, –2) B) ( –2, –1) C) ( –1,5) D) ( –1,5] E) [ –1,5) 40. El resto de la división de un polinomio P(x) por (x +2) (x –2)(x+4) es R(x)=x2 –2x+3 entonces el resto de la división de P(x) por x +4 es: A) –27 B) 27 C) –30 D) 30 E) cero 41. Una ventana tiene forma de un rectángulo coronado
31. En el universo
R ,
en un triángulo equilátero, de manera que el lado del triángulo coincide con el lado superior del rectángulo. Determine la función que representa el área encerrada por la ventana si esta debe tener un perímetro de 10m, ¿cuál es el dominio de la función? A) R B) (0,10/3) C) [10/3,+∞〉 D) x<0 E) [0,10/3]
el conjunto solución de la inecuación
(2 – 3) x > (2+ 3)2 es el intervalo: A) ( –2,2) B) (2,+∞) C) ( –∞,2) D) ( –2,+∞) E) ( –∞, –2) 32. Si logbx = log8x+log64x; x∈R , x>0 entonces la base b
es igual a: A) 1/2 D) 72
B) 2 E) 4
C) 16
42. Una sustancia radiactiva se desintegra exponencialmente.
Si al comienzo había 600 gramos de la sustancia y 30 años después hay 500 gramos, ¿cuántos gramos habrá después de 250 años? A) 130 B) 131,31 C) 140
33. El conjunto solución de la ecuación logx +log(x –3)=1,
está contenido en el intervalo: B) [ –1,0] E) [3,6]
A) [ –6, –2] D) [2,3]
C) [0,2]
34. Sea f(x)=log3(x+12), x> –12. Si |f(k) –f(0)| < 1, entonces: A) –12
D) 150
43. El número de bacterias B en una colonia después de t horas es B=B0.ekt donde k es una constante real.
Sabiéndose que el número inicial de bacterias es 100 ln2 y que esa cantidad se duplica en t = , entonces el 2 número N de bacterias después de 2 horas s atisface: A) 800
35. Para b>1; x>0, resuelve la ecuación en x: (2x)logb 2 – (3x)logb 3 = 0 A) 3 D) 1/6
B) 4 E) 7
C) 5
44. P(x) es un polinomio de coecientes reales y menor grado
1
36. Sea f(x) = e
log2 e
(x 2 + 5) un cociente de las soluciones
de la ecuación f(x) =12x puede ser: A) 5/6 D) 1/3
B) 5 E) 6/5
E) 100
con las propiedades siguientes: • Los números r1=1, r2=i, r3=1 –i son reales de la ecuación P(x)=0
• P(0) = –4 Entonces P( –1) es igual a:
C) 6
5 5 PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014
A) 4 D) 10
B) –2 E) –40
C) –10
ÁLGEBRA
55
GUIA DE REPASO
45. Sean f y g funciones reales de variable real denidos 17 por f(x) = x y g(x) = 3+2x –x2 el valor mínimo de 2 +1
49. La tabla siguiente muestra el precio en soles del kg de
cada mercadería en dos puntos distintos de venta:
f(g(x)) es:
A) 1/4 D) 1
B) 1/3 E) 2
C) 1/2
46. Si f(x) =4x 2, g(x) =x 3 y h(x) =x 4, ¿cuál(es) de las
siguientes armaciones es(son) verdadera(s)? I. f(x) ≠ g(x) para todo número real x distinto de cero II. f(x) = h(x) para algún número real x distinto de cero III. f(x) < g(x) < h(x) para todo número real x distinto de cero A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y II E) II y III 47. Si los números reales x e y son soluciones de la ecuación
Quinua
Arroz
Cebada
Mercado
4x –0,3
2x
x+0,2
Almacén
4x
2x+0,1
x
Una señora compra 3 kg de quinua, 5 kg de arroz y 2 kg de cebada, escogiendo los puntos de venta con menores precios, y pagó S/.13,50 en total. Se puede armar que el precio del kg de quinua en el almacén es igual a: A) S/.3,20 B) S/.1,60 C) S/.2 D) S/.2,40 E) S/.2,80 50. El gráfico de la función f. R → R tal que f(x) =x 3 – 8x2+15x+3 interceptan a la recta r, paralela al eje de
las abcisas en los puntos A, B y C, como se muestra en la gura: y
2
1 +i + 1 =1 + i 1 – i x + iy entonces: 5x+15y es igual a: A) 0 D)
B) –1
C) 1
E) – 2
2
B
A
48. Dos números estrictamente positivos son tales que, la
D)
2
B) 1+ 2
5 /2
E)
r x
diferencia, la media geométrica y la media aritmética entre ellas, en ese orden, una progresión geométrica. La razón entre el mayor y el menor de esos números es igual a: A)
C
La razón entre las medidas de los segmentos AB y BC, en ese orden, es: A) 0,5 B) 0,6 C) 0,8 D) 1,5 E) 2,0
C) 3/2
3+1
CLAVES
56
ÁLGEBRA
1.
D
14.
C
27.
A
40.
B
2.
C
15.
D
28.
E
41.
B
3.
C
16.
B
29.
C
42.
B
4.
E
17.
A
30.
C
43.
B
5.
D
18.
E
31.
E
44.
E
6.
A
19.
E
32.
E
45.
D
7.
C
20.
E
33.
E
46.
D
8.
A
21.
C
34.
C
47.
B
9.
D
22.
B
35.
D
48.
B
10.
A
23.
D
36.
B
49.
D
11.
C
24.
B
37.
E
50.
D
12.
D
25.
E
38.
C
13.
B
26.
B
39.
E
6 5 PROCESO DE ADMISIÓN 2015 - I - SETIEMBRE 2014
