Otomatik Kontrol I Laplace Dönüşümü Vasfi Emre Ömürlü
Laplace Dönüşümü: Özellikleri Teoremleri K ısmî Kesirlere Ayırma
Laplace Transform It is advantageous to solve By using, we can convert many common functions into Operations like differentiation and integration can be replaced by algebraic equations. A linear differential equations can be transformed into an algebraic equation. If the algebraic equation in s is solved for the dependent variable, then the solution of the differential equation may be found by use of
Laplace dönüşümünün avantajı Grafik tekniklerin kullanımına imkan verir
Difera Dif eransi nsiyel yel denklem denklemler lerin in çözümünü çözümünü kol kolayl aylaaştırır
Some dynamic systems and their mathematical representations
Automatic control valve to adjust the liquid levels of the tanks by controlling the flap angle ϕ
Valve to adjust the flow rate Q3 between tanks
q1
Q1
Discharge valve
Q2
h1 Q3
h2
Discharge valve
Q4
Kompleks Değişken Bir kompleks sayı gerçek ve imajiner k ısımlardan oluşur. Bu iki k ısım değişken olduğundan kompleks değişken ismini alır. G(s) kompleks fonksiyonu gerçek ve imajiner k ısımlardan oluşur, Gx ve Gy.
Doğrusal kontrol sistemlerinde kompleks fonksiyonlara çokça rastlarız ki bunlar s cinsinden fonksiyonlardır.
Euler`s Theorem cos θ = sin θ = cos θ + j sin θ =
Since
x
e
= 1 + ( x) +
( x) 2 2!
+
( x )3 3!
+
( x) 4 4!
+ ...
Euler’s theorem Also
(Ters) Laplace Dönüşümü Tanımı ve varlığı f(t) =
s=
L= F(s) =
∞
∫
L { f(t)} = F ( s ) = f (t ) ⋅ e − st dt
Ters laplace dönüşüm ümüü de mev mevcu cutt ttur ur ve ve L-1 ile gösterilir.
0
Genellikle Laplace dönüşümünün integral fonksiyonu yerine daha basit yöntemleri kullan ırız. f(t) fonksiyonunun laplace dönüşüm ümüü la lapl plac acee integr integral alii yak ınsarsa mevcuttur. Bu da ancak f(t)) fonksiy f(t fonksiyonu onu t>0 t>0 için için her sonlu sonlu aral aralıkta sürekli ise ve t sonsuza giderken fonksiyon üstel bir hal alıyorsa mümkündür.
Bazı yaygın laplace dönüşümü örnekleri Basamak fonksiyonu
⎧0 f(t) = ⎨ ⎩ A
step ) t i n u l a n g i s ( h t g n e r t s l a n g i s
7 6
for t < 0 for t ≥ 0
5 4 3 2 1 0 0
2
4
6
8
10
12
time(sec)
Yüksekliği bir olan basamak fonksiyonuna birim basamak fonksiyonu denir. t=t o da gerçekleşen birim basamak fonksiyonu t-to ın fonksiyonu manasına 1(t-to) ililee göste gösteri rililir. r.
Bazı yaygın laplace dönüşümü örnekleri Üstel fonksiyon
⎧ 0 f(t) = ⎨ − at A e ⋅ ⎩
for t < 0 for t ≥ 0
exp decay 6
t i n u l 5 a n g 4 i s ( h t 3 g n e r 2 t s l a n 1 g i s
0 0
2
4
6
time(sec)
8
10
12 12
Bazı yaygın laplace dönüşüm örnekleri Rampa fonksiyonu
⎧ 0 f(t) = ⎨ ⎩ A ⋅ t
for t < 0 for t ≥ 0
∞
∫
L{ f (t )} = A ⋅ t ⋅ e 0
∞ − st
∫
dt = A ⋅ te −
0
at
⋅dt
ramp t i n u l a n g i s ( h t g n e r t s l a n g i s
7 6 5 4 3 2 1 0 0
2
4
6
time(sec)
8
10
12
Bazı genel laplace dönüşümü örnekleri Sinüs fonksiyonu for t < 0 ⎧ 0 A jωt j t f(t) = ⎨ recall A sin ωt = e − e− ω 2 j ⎩ A ⋅ sin ωt for t ≥ 0
(
)
sine 6
t i n u 4 l a n g 2 i s (
h t 0 g n e r -2 t s l a n -4 g i s
-6 0
2
4
6
time(sec)
8
10
12
En çok kullanılan (kullanacağımız) dönüşümler f(t) A At n
At
A ⋅ e −
at
A ⋅ sin( a ⋅ t ) A ⋅ cos( a ⋅ t ) A ⋅ e A ⋅ e
− bt
− bt
sin( a ⋅ t )
cos( a ⋅ t )
F(s)
Sinyal şekilleri At n
8 t 6 i n u l a 4 n g i s ( 2 h t g n 0 e r t s l -2 a n g i s -4
A A ⋅ e
A ⋅ e
− bt
A ⋅ e
cos( a ⋅ t )
A ⋅ cos(a ⋅ t )
-6 0
2
At
− at
− bt
sin( a ⋅ t )
A ⋅ sin( a ⋅ t ) 4
6
time(sec)
8
10
12
Laplace dönüşümü özellikleri süperpozisyon f(t) = α ⋅ f 1 (t ) + β ⋅ f 2 (t )
= α ⋅ F 1 ( s) + β ⋅ F 2 ( s) Ölçekleme özelliği
L{α ⋅ f 1 (t )} = α ⋅ F 1 ( s )
Laplace dönüşümü özelliği - gecikme
Laplace dönüşümü özelliği - gecikme Suppose f(t) is delayed by λ>0. The The Laplase Laplase transfo transform rm of the function function,, ∞
∫
L{ f 1 (t )} = f (t − λ ) ⋅ e − st ⋅ dt 0
Define a new variable, t’=t- λ, and then, dt’=dt, f(t)=0 for t<0 f(t)
A/t0
L{ f (t − λ )} = e − λ s ⋅ F ( s )
0
t0 λ
λ+t0
t
Laplace dönüşümü özelliği – türev ⎧ d f (t )⎫ = ⎬ ⎩ dt ⎭ ⎧ d 2 ⎫ L ⎨ 2 f (t ) ⎬ = ⎩ dt ⎭ ⎧ d n ⎫ n L ⎨ n f (t )⎬ = s F ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f & (0) − ........ − sf ( n − 2) (0) − f ( n −1) (0) ⎩ dt ⎭ L⎨
f(0) fonksiyonun başlangıç şartı ve df(0 df(0)/d )/dtt fonks fonksiyo iyonun nun türe türevin vinin in bbaaşlangıç şartıdır. Mesela, fonksiyon mekanik sistemin konumunu veriyorsa, konum ve h ız başlangıç şartları gibi.
Bazı laplace dönüşümü örnekleri Darbe fonksiyonu f(t)
⎧ A ⎪ f(t) = ⎨ t 0 ⎪⎩ 0
A/t0
0 < t < t 0
for
for t < 0,
t > t 0
⎫ A A ⎬ f (t ) = ⋅1(t ) − ⋅1(t − t 0 ) t 0 t 0 ⎭
∞ ⎤ ∞ ⎛ A ⎞ − st A A ⎡ L{ f (t )} = ∫ ⎜⎜ ⋅1(t ) − ⋅1(t − t 0 ) ⎟⎟ ⋅ e dt = ⋅ ⎢ ∫ 1(t ) ⋅ e − st dt − ∫ 1(t − t 0 ) ⋅ e − st dt ⎥ 0 t t 0 t 0 ⎣ 0 ⎠ 0 ⎝ 0 ⎦ ∞
= 0
t0
t
A t 0 s
−
A t 0 s
e
− st 0
=
A t 0 s
(1 − e
− st 0
)
Bur uraada da,, A ve t0 sabittir. Darbe fonksiyonu yüksekliği A/t0 olan, t=0 da başlayan bir basamak fonksiyonu ve t=t0 da negatif aynı şiddette bir basamak fonksiyonu ile birleşen bir toplam fonksiyon olarak düşünülebilir.
Bazı laplace dönüşümü örnekleri Darbe fonksiyonu
⎧lim A ⎪ f(t) = ⎨t →0 t 0 ⎪⎩ 0
f(t)
for t < 0,
L{ f (t )} = lim
A/t0
t 0 →0
d
= lim
t 0 →0
0,t0
0 < t < t 0
for
0
t
dt 0
A t 0 s
(1 − e
− st 0
t > t 0
)
[ A(1 − e − )] st 0
d dt 0
= As / s = A
(t 0 s )
Darbe fonksiyonun yüksekliği A/t0 ve sü süres esii t0 olduğundan, bunun altındaki alan direk olarak A dır. t0 0 a yaklaştığında, alan A olarak kalır. Şu da hatırlanmalıdır ki darbe fonksiyonunun genliği altındaki alanla ölçülür. Darbe fonksiyonunun altındaki alan 1 e eşit ise buna birim darbe fonksiyonu veya Dirak Delta fonksiyonu denir.
Laplace dönüşümü teoremleri – son değer teoremi
lim f (t ) = lim sF ( s) t →∞
s →0
Example: aşağıdaki sistemin kalıcı hal değerini y(∞) bulunuz.
Y ( s ) =
3( s + 2) s(s 2
+ 2s + 10)
144 244 3 poles:
lim y (t ) = t → ∞
− 2 ± 4 − 4⋅10 2
Laplace dönüşümü teoremleri – ilk değer teoremi ve DC kazanç f (0+ ) = lim sF ( s ) s →∞ 1 424 3 should − exist
DC − Gain = lim G ( s ) s →0
K ısmî kesirlere ay ayırma Neden Ned en ihtiya ihtiyaçç duyu duyuyor yoruz? uz?
th
m deg ree. polynomial. with.m. z . roots
F ( s) =
B( s ) A( s )
=
m
∏ + b2 ⋅ s m−1 + ...... + bm+1 i =1 = K n n −1 n s + a1 ⋅ s + ...... + a n 144 4 4 244 4 4 3
i 644 4 4 4 744 4 4 4 8
b1 ⋅ s th
m
n deg ree. polynomial. with. n. p j .roots
called zeros }
( s − z i )
∏ (s − p j =1
j
)
{
called poles
= Fonksiyonun s-ortamında paydasının köklerine bağlı olarak k ısm smîî ke kesi sirl rler eree ay ayırma üç ayrı şekilde yapılır. 1. Payda ayrık gerçek köklere sahipse, 2. paydada kompleks kökler varsa, 3. paydada tekrar eden kökler varsa.
K ısmî kesirlere ay ayırma – ayrık kökler F ( s) =
C 1
( s − p1 )
+
C 2
( s − p 2 )
+ ... +
C n
( s − p n )
C 1
,
for C 1
= ( s − p1 ) ⋅ F ( s) s→ p
1
C n
= ( s − pn ) ⋅ F ( s) s→ p
n
K ısmî kesirlere ay ayırma – ayrık kompleks kökler Bazı kökler kompleks ise C s + C 3 C 1 F ( s) = = 1 + 22 , 2 s s( s + s + 1) s + s +1
C 1
=
1,2
{
solve.as usual
1
1
C 2 s + C 3
(C 2
= + = + s + 1) s s 2 + s + 1 (C 2 + 1) s 2 + (C 3 + 1) s + 1 = 1 ⇒ C 2 s(s 2
⇒
s + 1/ 2 + 1/ 2
⎛ 3 ⎞ ⎟ ( s + 1 / 2) 2 + ⎜ ⎜ 2 ⎟ ⎝ ⎠ F ( s) =
2
=
+ 1) s 2 + (C 3 + 1) s + 1 ⇒ s(s 2 + s + 1) = −1, C 3 = −1 ⇒ F (s) =
1
0,8 ) t i n u l a n 0,6 g i s ( h t g n e r t s 0,4 l a n g i s
step sine decay cosine decay f(t)
0,2
0
f (t ) = -0,2 0
2
4
6 time(sec)
8
10
K ısmî kesirlere ay ayırma – tekrar eden kökler Bazı kökler tekrar ediyorsa
1,2
C 3 C 2 + 2s + 3 C 1 = + + s + 1 (s + 1)2 (s + 1)3 ( s + 1) 3 ⎡ C C 3 ⎤ C 2 s 2 + 2s + 3 (s + 1)3 = (s + 1)2 C 1 + (s + 1)C 2 + C 3 = (s + 1)3 ⎢ 1 + + 3 2 3 ⎥ ( s + 1) ⎣ s + 1 (s + 1) (s + 1) ⎦ F ( s) =
s2
(s + 1)3 F ( s) s →−1 = C 3 = 2, also
d ds
[(s + 1) F (s)] = d [(s + 1) C + (s + 1)C 3
2
ds
1
⎧ d [(s + 1)3 F (s)]⎫ = C = 2s + 2 =0 ⎨ ⎬ 2 →− ⎩ ds ⎭ →− ⎫ 1 ⎧ d 2 1 3 differentiating again ⎨ 2 [(s + 1) F ( s)]⎬ = C 1 = 2 = 1 2 ⎩ ds 2 ⎭ →− s
s +1
+
0,8
f(t) e^-t t^2*e^-t
h 0,6 t g n e r t s l a n g i s
0,4
1
s
1
+ C 3 ]
) t i n u l a n g i s (
1
s
F ( s) =
2
1
0
(s + 1)
2
+
2
(s + 1)
3
0,2
1
⇒ f (t ) = e −t + t 2 e −t
0 0
2
4
6 time(sec)
8
10
Örnek: tank dinamiği Proseste kullanıla tank dinamiği şöyle veriliyor:
Q(s)
-h(t) yi bulunuz -h(t) nin t = 105 teki genli ğini bulunuz
Örnek: tank dinamiği H ( s ) =
1 s + 10
⋅ Q( s )
I
II
III IV
Örnek: tank dinamiği
Örnek: tank dinamiği H ( s ) =
C 3
=
C 2
=
d 2 ⎧ ⎫ C 1 = ⎨ s H ( s)⎬ = ⎩ ds ⎭ s =0
Örnek: tank dinamiği h(t ) =
−1 100
+
t
10
+
1 100
e−
10 t
h(t) for only 1/s^ 1/s^2 2 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4
Bu so sonu nuç ç sa sade dece ce 1/ 1/s s2 girişi içindir, ama diğer cevaplar süperpozisyon ve ölçeklendirme özelliği kullanılarak elde edilebilir.
0,3 0,2 0,1 0 0
0,2
0,4
0,6
time (sec)
0,8
1
Örnek: tank dinamiği Overall system response is
⎧ Q / T ⎧ − Q0 / T ⎫ + (Q0 / T )t + 0 e −10t ⎬ ⎨ ⎪ 10 ⎩ 10 ⎭ ⎪ ⎫ ⎪ ⎧ − Q0 / T + (Q / T )t + Q0 / T e −10t − 0 ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ 10 10 ⎪ ⎨ ⎬ ⎪ ⎪ − Q0 / T + (Q / T )(t − T ) + Q0 / T e −10(t −T ) ⎪ 0 ⎪⎭ ⎪ ⎪⎩ 10 10 ⎪ ⎧ − Q0 / T Q / T ⎫ ⎪⎪ + (Q0 / T )t + 0 e −10t − ⎪ 10 ⎪ ⎪ 10 ⎪ ⎪ ⎪ − Q0 / T Q0 / T −10 (t −T ) ⎪ e + (Q0 / T )(t − T ) + −⎬ ⎪⎨ 10 ⎪ ⎪ 10 ⎪ h(t ) = ⎨ Q T Q T − / / ⎪ ⎪ − 10 ( t − 2 T ) ⎪ ⎪ 0 + (Q0 / T )(t − 2T ) + 0 e ⎪ ⎪ ⎩ 10 10 ⎭ ⎪⎧ − Q0 / T Q / T ⎫ ⎪⎪ + (Q0 / T )t + 0 e −10t − ⎪ 10 ⎪⎪ 10 ⎪ ⎪⎪ − Q0 / T Q0 / T −10 ( t −T ) + (Q0 / T )(t − T ) + − ⎪⎪ e ⎪⎪ 10 ⎪⎨ 10 ⎬ ⎪⎪ − Q0 / T Q0 / T −10( t − 2T ) ⎪ + ⎪⎪ 10 + (Q0 / T )(t − 2T ) + 10 e ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ − Q0 / T + (Q / T )(t − 3T ) + Q0 / T e −10(t −3T ) ⎪ 0 ⎪⎩⎩ 10 10 ⎭
for
t < T
"
T ≤ t < 2T
"
2T ≤ t < 3T
tank height height , h(t) 0,35 0,3 0,25
) m 0,2 ( t h g i e 0,15 h 0,1
"
3T ≤ t < ∞
0,05 0 0
0,5
1
time (sec)
1,5
Örnek: kütle-sönüm-yay sistemi
? Sistem matematik modeli
&& + b x& + kx m x
= f (t )
Örnek: dinamik sistem cevabının laplace dönüşümü 1
G(s)=1/(s+2) t
u (t)=
⎧1 0 < t < 1 ⎨ 1 < t < ∞ ⎩0
1 saniye süren bir darbe fonksiyonu için yukar ıdaki sistemin cevabını bulunuz.
?
Örnek: dinamik sistem cevabının laplace dönüşümü Y Ι ( s ) = 1
t
Response of the System to a second long pulse 0,5
Y Ι ( s ) = Y ΙΙ ( s ) =
One-second delayed of YI(s).
t u 0,4 p t u o 0,3 m e 0,2 t s y 0,1 s
0
0
1
2 time (sec)
3
Ex-1
⎧1 ⎪ u(t) = ⎨ 0 ⎪ −1 ⎩
(Time delay)
, , ,
L {u ( t )
0< t <1⎫
⎪ 1< t < 3 ⎬ 3 < t < ∞⎪ ⎭ =?
Ex-1
L { f (t − λ )} = e − λ s ⋅ F ( s ) ⎧ 1 ⎪ s ⎪ ⎪ − 1 ⋅ e − sλ U (s) = ⎨ ⎪ s ⎪ − 1 − sλ ⎪⎩ s ⋅ e
U (s)
λ=0 λ =1 λ=3
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
1 1 1 = − ⎡⎢ ⎤⎥ ⋅ e − s − ⎡⎢ ⎤⎥ ⋅ e −3s s ⎣s⎦ ⎣s⎦
Ex-2 ••
(Differentation)
•
y − 10 10 y + 9 y y (0) •
y (0)
= 5t
= −1 =2 Find the Laplace Transform of this equation…
Ex-2 d ⎧ ⎫ L ⎨ f (t ) ⎬ = sF ( s ) − f ( 0 ) ⎩ dt ⎭ ⎧ d 2 ⎫ L ⎨ 2 f (t ) ⎬ = s 2 F ( s ) − sf ( 0 ) − f & ( 0 ) ⎩ dt ⎭ ⎧ d n ⎫ n L ⎨ n f (t ) ⎬ = s F ( s ) − s n −1 f ( 0 ) − s n − 2 f & ( 0 ) − ........ − sf ( n − 2 ) ( 0 ) − f ( n −1) ( 0 ) ⎩ dt ⎭
HO1 System Response 12
10
8
Ex-2
{ } = s ⋅ Y (s) − s ⋅ y (0) − y (0) L {y} = s ⋅ Y ( s ) − y ( 0 ) ••
L y
•
2
e d u t i n g a m
6
4
2
•
-2
L {y} = Y ( s ) L {5 t } =
0
0
0.05
0. 1
0.15
0.2 time (sec)
0. 25
0.3
0.35
5 s2
Y ( s ) ⎡⎣ s Y(s)
=
2
− 1 0s + 9 ⎤⎦ + s − 1 2 = 5
s ( s − 9 ) ( s − 1) 2
−
5 s2 s − 12
s 2 ( s − 9 ) ( s − 1)
0.4
Ex-3
F(s)
(Distinct Poles)
=
s+2 ( s − 9 ) ( s − 1)
Find the Inverse Laplace Transform of this equation…
Ex-3
F(s)
=
C n
A
s+2 ( s − 9 ) ( s − 1)
=
A s−9
= ( s − p n ) ⋅ F ( s ) s = p = [ ( s − 9 ) F ( s ) ]s = 9 =
B = [ ( s − 1) F ( s ) ]s =1
=
11 8 −3 8
+
n
B s−1
HO2 Impulse Response 20 18 16 14
Ex-3
12 e d u t i l p m A
−3
11
f (t)
=
8
e
9t
−
3 8
e
8 6 4
8 + 8 F(s) = s − 9 s −1 −1 f ( t ) = L {F ( s )} 11
10
t
2 0
0
0.05
0.1
0.15 Time (sec)
0.2
0.25
0.3
HO3
Ex-4
(Repeated poles)
F(s)
=
s + 25 s ( s − 5) 2
)
Find the Inverse Laplace Transform of this equation…
F(s)
=
s + 25 s ( s − 5) 2
)
=
A s
+
B s
2
+
C s−5
Ex-4 C
= [ ( s − 5) F (s ) ]s = 5 =
B = ⎡⎣ ( s 2 ) F ( s ) ⎤⎦ s = 0
30 25
=
6 5
= −5
d 2 d ⎧ s + 25 ⎫ ⎧ ⎫ A = ⎨ (s ) F(s ) ⎬ = ⎨ ⎬ ⎩ ds ⎭s = 0 ds ⎩ s − 5 ⎭ s= 0 ⎧ ( s − 5 ) − ( s + 2 5) ⎫ −30 −6 d ⎧ s + 25 ⎫ = ⎨ ⎬ =⎨ ⎬ = 2 ds ⎩ s − 5 ⎭s = 0 ⎩ ( s − 5) 5 ⎭s = 0 25
Impulse Response 12
10
8
Ex-4
e d u t i l p m A
6
4
F(s) f (t) f (t)
= = =
6
5 s
−
5 2
−
s −1 L {F ( s )} 6 5
− 5t −
6 5
6
5 s−5
e
5t
2
0
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25 Time (sec)
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
Ex-5 L1/L2 =1/2 M=1 kg R=60Nsec/m K=800N/m F(t)=1 N - Find y(t)
Y (s ) F(s)
=
L1
⋅
L 2 ms2
1
+ rs + k
Ex-5
⎛⎜ F0 ⎞⎟ ⎛⎜ F0 ⎞⎟ ⎛⎜ F0 ⎞⎟ ⎛⎜ F0 ⎞⎟ T⎠ T⎠ T⎠ T⎠ ⎝ − st ⎝ −2 st ⎝ −3 st ⎝ F(s) = −e −e +e 2 2 2 2 s
s
s
s
Ex-5 Y (s) F (s) Y (s) Y(s)
= =
L1
1
⋅
L 2 ms2
+ rs + k
L1
1
⋅
L 2 ms 1
2 s2
1
⋅ F (s )
+ rs + k 1
= ⋅
Y(s) =
2
⋅
+ 6 0s + 8 0 0
2 s2
1
⋅
1
Common term for every sub-input
s2
⋅
1
+ 6 0s + 8 0 0 s 2
=
C1 s
+
C2 s2
+
C3 ( s + 40 40)
+
C4 ( s + 60 60 )
Ex-5 C2
= ⎡⎣ s Y ( s ) ⎤⎦ s = 0 = 2
1 1600
d d 1 ⎫ = ⎧⎨ ⋅ s 2 ⋅ Y ( s ) ⎫⎬ = ⎧⎨ ⋅ 2 ⎬ d s d s s + 6 0 s + 8 0 0 ⎩ ⎭ ⎩ ⎭s=0 ⎧ ⎫ − 2s − 6 0 −5 =⎨ 2 = − ⋅ 9 1 0 ⎬ 2 ⎩ ( s + 6 0s + 8 0 0 ) ⎭ s = 0 ⎡ ⎤ 1 −5 C 3 = [ ( s + 4 0 ) Y ( s ) ]s = −40 = ⎢ 2 = 1 , 5 6 ⋅ 1 0 ⎥ ⎣ 2s (s + 6 0 ) ⎦ s = −40 ⎡ ⎤ 1 = − 6, 9 ⋅ 1 0 −6 C 4 = [ ( s + 6 0 ) Y ( s ) ]s = −60 = ⎢ 2 ⎥ ⎣ 2s ( s + 40 ) ⎦ s = −40 C1
Ex-5
Y(s) y( t )
=
−9 ⋅ 10
−5
s
+
6, 2 5 ⋅ 1 0 s
−4
2
+
1, 5 6 ⋅ 1 0
= − 9 ⋅ 1 0 + 6, 2 5 ⋅ 1 0 ⋅ t + e −5
−4
s + 40 − 1, 5 6 ⋅1 0 −5 t
−5
− 6, 9 ⋅ 1 0 + s + 60
+e
− 6 , 9 ⋅1 0−6 t
−6
Ex-5 Overall system response:
I
= − 9 ⋅ 1 0 + 6, 2 5 ⋅ 1 0 ⋅ t + e
II
−5
−4
−1, 5 6 ⋅1 0 −5 t
= − 9 ⋅ 1 0 + 6, 2 5 ⋅ 1 0 ⋅ ( t − T ) + e −5
−4
+e
−6 , 9 ⋅1 0 −6 t
−1, 5 6 ⋅1 0 −5( t − T )
+e
III
= − 9 ⋅ 1 0 + 6, 2 5 ⋅ 1 0 ⋅ ( t − 2 T ) + e
−1, 5 6 ⋅1 0 − 5( t − 2 T )
IV
= − 9 ⋅ 1 0 + 6, 2 5 ⋅ 1 0 ⋅ ( t − 3T ) + e
−1, 5 6 ⋅1 0 − 5( t − 3 T )
−5
−5
−4
−4
−6 , 9 ⋅1 0 −6 ( t −T )
+e
−6 , 9 ⋅1 0 −6 ( t − 2 T )
+e
−6,9 ⋅10 −6( t − 3 T )
Ex-5 Overall system response:
⎧ t
= ( F0 / T ) ⋅ I ⎫ ⎪ y ( t ) = ( F0 / T ) ⋅ ( I − II ) ⎪ ⎬ y ( t ) = ( F0 / T ) ⋅ ( I − II − III ) ⎪ y ( t ) = ( F0 / T ) ⋅ ( I − II − III + IV ) ⎪ ⎭ y( t)
Ex-5 Final value teorem:
lim f (t ) = lim sF ( s ) t → ∞
s→0
− 1, 5 6 ⋅1 0− 5 t
= − 9 ⋅ 1 0 + 6, 2 5 ⋅ 1 0 ⋅ t + e li m y ( t ) = − 9 ⋅ 1 0 − 5 + ∞ + 1 + 1 = ∞ t→∞ −5
y( t)
Y(s)
1
= ⋅
1
2 s2
+ 6 0s + 8 0 0
s→ 0
lim y(t)
=
s2
2 s + 6 0s + 8 0 0 s lim {sY(s) Y(s)}
0
⋅
1 2
+e
1 1
s→ 0
1
⋅
1
lim {sY(s)} = t→∞
−4
⋅ =
=∞
− 6 , 9 ⋅1 0−6 t
Ex-5 Initial value teorem:
f ( 0 + )
= lim sF ( s ) s→∞ 1 42 4 3 should − exist
Y(s)
1
= ⋅
(0+ )
2 s
1 2
+ 6 0s + 8 0 0
⋅
1 s
2
1
= lsi→m∞ {sY ( s )} = ⋅
2 s
1 2
+ 6 0s + 8 0 0
1
1
s
∞
⋅ =
=0
