UNIVERSIDAD DEL CAUCA
Departamento de Física Laboratorio de vibraciones y ondas I Periodo Periodo de 2015 2015
Oscilaciones de un péndulo simple Y. C. Imbachí 1, D. Rico2, A. F. Gomez3, J.Fulli4 Recibido: 03 de a!zo 201"
RESUMEN En esta práctica de laboratorio se realizó un montaje, en la cual se utilizó el péndulo simple. Con el cual pudimos tomar una serie de mediciones del periodo, tiempo, longitud, y finalmente la gravedad. El Péndulo Simple, es un instrumento ue nos permite tomar mediciones de las oscilaciones del péndulo, con la ayuda de un cronometro y una cinta métrica. Se realizó la práctica tomando !" diferentes longitudes de la cuerda ue sosten#a el cuerpo $%" a !&" cm' y se (icieron % repeticiones en cada uno de ellas, para luego (acer un promedio de los valores, obtener el periodo y poder calcular la gravedad.
INTRODUCCIÓN El movimiento oscilatori oscilatorio o tiene gran importancia importancia ya ue ue nos permite estudiar estudiar la acelera aceleración ción de la gravedad gravedad,, Para Para poder poder calcula calcularr cuál cuál será el resulta resultado do de la grave graveda dad d e)pe e)perim rimen ental tal,, se utili utiliza za el pénd péndulo ulo simpl simple e ya ue ue basad basados os en las ecuac ecuacio iones nes para para obten obtener er el period periodo o del del péndul péndulo, o, el cual cual se multip multiplic lica a por por la longitud de la cuerda ue sostiene el cuerpo ue oscila, podemos despegar y encontrar dic(a gravedad, ue la comparamos con la gravedad teórica la cual es de *,+! ms &, y as# poder conocer ué relación o semejanza tiene la gravedad e)perimental y la anal#tica, con la gravedad teórica y poder definir la precisión del método empleado -ambién mbién nos permite estudiar estudiar la acelera aceleració ción, n, como medición medición del tiempo y el comportamiento de los cuerpos para aplicaciones en ingenier#a civil, sirve también para evitar fallas en la parte de la construcción de edificios como posibles vientos, movimientos s#smicos y en puentes como fuerzas del viento, movimientos telricos /tra aplicación se conoce como Péndulo de 0oucault, el cual se emplea para evidenciar la rotación de la -ierra. Se llama as# en (onor del f#sico francés 1eón 0oucault y está formado por una gran masa suspendida de un cable muy largo.
MARCO TEORICO
Péndulo simple: El péndulo simple es un sistema idealizado constituido por una part#cula de masa m ue está suspendida de un punto fijo / mediante un (ilo ine)tensible y sin peso como se puede observar en la figura.
Si la part#cula se desplaza a una posición ) $ángulo ue (ace el (ilo con la vertical' y luego se suelta, el péndulo comienza a oscilar. 2aturalmente es imposible la realización práctica de un péndulo simple, pero si es accesible a la teor#a. El péndulo simple se denomina as# en contraposición a los péndulos reales, compuestos o f#sicos, nicos ue pueden construirse. El péndulo describe una trayectoria circular, un arco de una circunferencia de radio l. las fuerzas ue actan sobre la part#cula $masa m' son dos el peso mg $gravedad g' y la tensión $-' del (ilo o cuerda, el ángulo está representado $3'. Como pauta importante a tener en cuenta a la (ora de analizar el comportamiento del péndulo simple es ue este es un caso de movimiento periódico el cual presenta un periodo y una frecuencia angular dados por la e)presión ue se muestra a continuación4
5onde 6 representa a la frecuencia angular y - al periodo cada uno correspondiente al sistema péndulo simple, entre tanto la longitud de la cuerda está representada por 1 y la gravedad respectivamente con g. Como se puede observar en la segunda e)presión el periodo - no depende de la geometr#a ni de la masa del cuerpo ue oscila o se mueve. Solución de las ecuaciones de movimiento4 U = Mgh =mgL ( 1−COSα ) 2
U =
mgsen α 2
Sen 7 8 7 para ángulos menores ue !" o K =
mv
2
2
S 8 17 por tanto, S9 8 179 8 : ' 2
2
K =
m L α 2 2
Et =
' 2
m L α
2
+
2
mgsen α 2
=constante
5erivando tenemos ue4 2
Et = m L α ' ' + mgLα =0 g α ' ' + α = 0 L g 2 w = L
Por tanto 2
2
T =4 Π
L g
Considerando el radio de la esfera4 Se deberá tener en cuenta la energ#a rotacional de la esfera suspendida al péndulo. 2
2
K =
mv
U =
mgsen α
2
+
I α 2 2
2
Et =
mv
2
2
2
+
2
I α
;
2
mgsen α 2
Derivando: mL
2
799;<799;mg178"
gL ' ' α + 2 78" 2 L + 0.4 R
Por tanto:
gL
2
W =
2
L + 0.4 R
2
2
2
T =4 Π
0.4 R
2
+ L
2
gL
RESUTADOS = continuación se registran cada una de las distintas longitudes de la cuerda y sus tiempos correspondientes
on!itud "m# '(& '() '(* '(, '(. '(+ '($ $($ $(%
T$
T%
T&
)()* ,(&, .($& .(,, +(&-($% -(*, $' $'(., $'(-+
)(*+ ,(%+ .('* .(.* +(*, -('-(., $'($* $'(.% $$('+
)()$ ,(%& .($.(.+ +()* -($, -()$ $'($$ $'(,% $$($+
T"prom# )()+ ,(%.($%&&&&&& .(.& +(),,,,,,. -($%&&&&&& -(*.,,,,,. $'('+,,,,. $'(. $$('+
T% '(+'%+$, $(*+%*,) %('%-,.*$$ %(&-'$$, %(+,.&...+ &(&%-)'+)) &(,,+*'$.+ )(',-,&&.+ )(*.-, )(-$',*,
TA/A No0$ En la tabla 2o. ! se encuentran registrados las distintas longitudes, entre tanto cada tiempo evidentemente se tomó en segundos $s', también aparece registrado el tiempo promedio y el valor de los periodos para cada tiempo y longitud. Para (allar cada una de los periodos se utilizó la e)presión4
T1 "t TOTA#2 "N3 Os4ila4iones# 5onde - corresponde al periodo ue va ser euivalente a tTOTA ue euivale al tiempo total registrado para cada una de las longitudes, sobre el nmero de oscilaciones ue en este caso para todos fue de > en total.
6 5 4 T2
f(x) = 4.08x R² = 1
3 2 1 0 0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
LONGITUD (L)
5RA6ICA No0 $ En la gráfica 2o ! se relacionó el periodo vs longitud de cuerda $- & :s 1'.tomados de la tabla !, donde obtenemos la ecuación de la recta ue fue de au# donde encontramos la pendiente la cual la reemplazamos en la fórmula de periodo para obtener la gravedad de la siguiente manera
T"prom#
T%
T$
T%
T&
)()*
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En la tabla 2o & se muestran los valores de periodo al cuadrado por la longitud y longitud al cuadrado
7 6 f(x) = 4.12x - 0.08 R² = 1
5 4
T2L
3 2 1 0 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
L2 5RA6ICA No % "T% 8s %# En la gráfica 2o & observamos la relación entre el periodo al cuadrado multiplicado por la distancia :s la distancia de la cuerda al cuadrado esto nos da una recta bastante lineal en donde comprobamos e)perimentalmente la ecuación 2 2 2 2 0.4 R + L donde vemos ue la distancia es inversamente proporcional T =4 Π gL al periodo al cuadrado y la ecuación de la recta nos da la pendiente. = partir de las dos graficas anteriores se determinara el valor de la gravedad por método grafico mediante el ajuste lineal por m#nimos cuadrados dado por la siguiente e)presión y donde se reemplazaran los datos correspondientes, se debe tener en cuenta ue por el ajuste lineal de m#nimos cuadrados obtenemos el valor de m y b, donde m representa el valor de la pendiente, obtenemos ue la ecuación de la recta es4 y = 4,39x - 0,270 para la gráfica No1 y = 4,1244x - 0,0791 para la gráfica No2.
AN9ISIS DE RESUTADOS Baga las transformaciones adecuadas al modelo teorico de tal forma ue al graficar las variables - y 1 pueda obtener inmediatamente una l#nea recta ue le permita calcular el valor de g de la aceleración de la gravedad. = partir de la ecuación general de periodo obtendremos la gravedad e)perimental4
√ en la !r?@i4a No$ enton4es por lo tanto la !ravedad es !1 -(''m2s T =2 π
L 2 2 L 2 T = 4 Π T =mx + b=¿ g g
)% 2! 1 )(&- ;ue ser
tenido %
1a e)presión anterior corresponde al cálculo del periodo $-' ue depende de una longitud $1' y el valor de la gravedad $g', “usada en el péndulo simple” , pero para calcular el valor de la gravedad ue se muestra en la gráfica 2o. ! es necesario despejar la gravedad $g' de la anterior e)presión luego de ello se obtiene ue4
1uego de obtener el despeje correspondiente de la gravedad $g' se (ace el reemplazo en la ecuación de cada uno de los valores longitud $1' y periodo $-' ue aparecen en la tabla 2o. !. Drafiue el periodo - &b vs b para comprobar e)perimentalmente la ecuación. 5e los resultados de regresión lineal calcular g y . 2
2
T b =
4 π
g
2
2
b+
1,6 π
g
2
R = y = mx + b =4,1244 x − 0,0791 2
2
2
T b =b R
2
5.6 π
g
2
π 2 g =b R g =9.57 m / s 2 T b 2
2
5.6
1atitud de Popayán 8 &,?%% ó &,?> g= 978,0495 [ 1 + 0.005289sin ( α )−0,0000073 sin 2 ( α ) ] 2
2
al remplazar los valores de la latitud en los correspondientes gravedad es g 8 *,A+"@ms &.
( α ) el valor de la
CONCUSIONES •
•
1a conclusión a ue se llega es ue este método de calcular la gravedad 2 (2 π ) e)perimental como g= no es muy e)acto tendr#a ue (aber mayor T 2 precisión al momento de tomar las medidas de todas formas el error (umano es bastante al tomar el tiempo al medir las distancias, al momento de (acer los cálculos etc. El análisis y procesamiento de cada uno de los datos tomados con respecto al montaje e)perimental, los tiempos, y cada una de las longitudes ue se marcaron en el procedimiento $en cuanto al péndulo' y ue nos permitieron identificar de manera clara el concepto de péndulo simple y todas sus caracter#sticas ue (acen parte de la temática del presenta laboratorio.
/I/IO5RA6IA
$B Me4?ni4a Eperimental para Cien4ias e In!enieroratorio de vi>ra4iones ondas universidad del Cau4a0 &B ttp:22FFF0s40eu0es2s>Fe>2@isi4a2dinami4a2tra>aGo2pendulo2pendulo0tm0
