“Año de la Inversión para el Desarrollo Rural y la Seguridad Alimentaria” Rural
Universidad Nacional de Piura Facultad de Ingeniería de Minas Escuela Profesional de Ingeniería Química
TRABAJO:
MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO Y AMORTIGUADO
INTEGRANTES: ARISMENDIZ GABINO HELDER JIMMY CULQUICONDOR VICENTE WALTER MORAN LOZADA KEVIN LOPEZ ALVAREZ ANTONY PAREDES PISCOYA LILYAN CURSO:
FISICA II
DOCENTE:
GUSTAVO MORENO QUISPE
CICLO:
3ER SEMESTRE
PIURA - 2013
INTRODUCCIÓN De los sistemas ideales es de lo que ya hemos venido viendo que es lo que sería el movimiento armónico simple; y por un sistema ideal se sabe que es aquel que oscila indefinidamente bajo la acción de una sola fuerza, la fuerza restauradora lineal. En el caso de los osciladores reales es inevitable que parte de su energía se disipe debido a fuerzas de origen "viscoso" (fuerzas no conservativas), es decir fuerzas que sean proporcionales a la velocidad del oscilador es decir a la derivada primera de espacio respecto del tiempo. En consecuencia la energía mecánica del sistema disminuye con el tiempo tiempo y se dice dice que está amortiguado. Dentro de este trabajo se apreciaran sus representaciones mediante ecuaciones diferenciales para un entendimiento mayor. La teoría de los movimientos armónicos forzados es fundamental en muchos ámbitos de la física y la ingeniería. Un oscilador amortiguado por sí solo dejará de oscilar en algún momento debido al roce, pero podemos mantener una amplitud constante aplicando una fuerza que varíe con el tiempo de una forma periódica a una frecuencia definida. Un ejemplo cotidiano es un columpio, que podemos mantenerlo con amplitud constante con sólo darle unos empujoncitos una vez cada ciclo. El movimiento resultante se llama oscilación forzada. Si se suprime la excitación externa, el sistema oscilará con su frecuencia natural.
OBJETIVOS El principal objetivo de este tema se dirige a descubrir un tipo de movimiento que ocurre cuando la fuerza que actúa sobre un cuerpo es proporcional al desplazamiento del mismo, desde la posición de equilibrio. Si esta fuerza siempre actúa en la dirección de la posición de equilibrio del cuerpo, se producirá un movimiento hacia uno y otro lado de esta posición. Este movimiento es un ejemplo de lo que se llama movimiento periódico movimiento periódico u oscilatorio. oscilatorio. Aunque generalmente al explicar este tema se hace referencia a ejemplos tales como la oscilación de una masa acoplada a un resorte, el movimiento de un péndulo y las vibraciones de un instrumento musical de cuerdas, el número de sistemas que exhiben movimiento oscilatorio es extenso. Por ejemplo, las moléculas de un sólido oscilan alrededor de su posición de equilibrio; las ondas electromagnéticas, tales como ondas de luz, radar y ondas de radio, se caracterizan por vectores eléctricos y magnéticos oscilantes; y en los circuitos de corriente alterna, la carga eléctrica, el voltaje y la corriente varían periódicamente con el tiempo. Conociendo la innumerable lista de ejemplos a los cuales es aplicable este tipo de movimiento, se hace más interesante el estudio de este tema. Los objetivos a los que se desea llagar en este trabajo son en primer lugar al tener un claro concepto del tema de movimiento oscilatorio amortiguado y forzado. Por lo que será necesario el conocimiento de las formulas básicas, para luego entender las formulas que corresponden a los temas. Otro fin de este trabajo es poder proporcionar el conocimiento adecuado para poder darle aplicación en un problema real que necesite de estos conceptos. Y generar nuevas formas de poder emplear estos temas en las ramas de la ingeniería.
1.- Oscilaciones Amortiguadas De los sistemas ideales es de lo que sabemos hasta el momento, en las clases recibidas; y por un sistema ideal se sabe que es aquel que oscila indefinidamente bajo la acción de una sola fuerza, la fuerza restauradora lineal. En el caso de los osciladores reales es inevitable que parte de su energía se disipe debido a fuerzas de origen "viscoso" (fuerzas no conservativas), es decir fuerzas que sean proporcionales a la velocidad del oscilador es decir dec ir a la derivada primera de espacio respecto del tiempo. En consecuencia la energía mecánica del sistema disminuye con el tiempo y se dice que está amortiguado. De esta manera la energía mecánica perdida se transforma en energía interna del objeto y el medio retardador. Una situación más verosímil se corresponde con la presencia de una fuerza adicional que frena el movimiento (lo retarda). Esa fuerza puede ser constante (pero siempre con signo tal que frene el movimiento). Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:
− − =
=
Donde b es una constante llamada coeficiente de amortiguamiento que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad y la fuerza restauradora del sistema es – kx,. kx,. Si es pequeño, el sistema sistema está poco amortiguado. amortiguado. Nótese Nótese el signo signo negativo que indica, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección opuesta a la velocidad. Con este término complementario se puede escribir la segunda ley de newton como:
⅀ −− =
=
Y la ecuación diferencial del sistema es:
2
+
+
2
=0
Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden (contiene derivadas segundas) y homogénea. Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :
Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico). Si el sistema tiene amortiguamiento crítico. Si el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico).
1.1 .- Oscil ador con amor ti guami guam i ento nt o dé bil bi l
Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponencial. En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:
2
<4
La solución es:
− =
2
.cos (
+ ф)
A y ф son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La frecuencia angular es:
−
( )2 2
=
La frecuencia angular del sistema amortiguado es un poco menor que la frecuencia angular del sistema no amortiguado o también llamada frecuencia natural del sistema
0
=
porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.
La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia:
− =
1
(
2
2
)2
cuya amplitud está multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es
=
2
. Es conveniente expresar la frecuencia angular de un oscilador
amortiguador en la forma:
− 2
=
(
2
)2
1.2.- Osci Osci l ador con amor tiguami ti guami ento crítico ti co Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando
2
=4
La solución única es:
− − =
1
2
+
2
2
A1 y A2 son constantes que dependen de las condiciones iniciales.
El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).
1.3.- Oscil Oscil ador sobreamo sobreamorr ti guado
Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado. curva azul: amortiguamiento crítico. curva roja: amortiguamiento doble que el crítico. curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico. En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:
=
1
1
+
2
2
donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):
y
A1 y A2 dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.
1.4.- F actor de cali dad Q En un sistema poco amortiguado es interesante de definir el factor de calidad (Quality factor en factor en inglés) o simplemente Q como:
=
Esta cantidad es igual a veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período. Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un Q de 628. Más interesante, interesante, Q es también también veces el número de oscilaciones que que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor . Si se puede aceptar una aproximación más grosera, Q es 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial. Como ejemplos, el Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millón. Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de plomo (cristal).
2.- Oscilaciones Forzadas Se ha visto que la energía mecánica de un amortiguador disminuye en el tiempo como resultado de la fuerza resistiva. Es posible compensar esta disminución de energía al aplicar una fuerza externa que realice un trabajo positivo en el sistema. En cualquier instante, se puede transferir energía al sistema mediante una fuerza aplicada que actúe en la dirección de movimiento mediante “empujones” adecuadamente cronometrados. La amplitud del movimiento permanece constante si la entrada de energía por cada ciclo que resulta de las fuerzas resistivas. Un ejemplo común de un oscilador forzado es un oscilador amortiguado impulsado por una fuerza externa que varia periódicamente, como , donde F donde F 0 = 0 es una constante y ω es la frecuencia angular de la fuerza impulsora. En general, la frecuencia ω de la fuerza impulsora es variable, mientras que la frecuencia natural ω0 del oscilador es fija por los valores de k y k y m. la segunda ley de Newton en esta situación produce:
⅀ → − − 2
=
=
0
2
Después de que comienza a actuar la fuerza impulsora en un objeto inicialmente estable, la amplitud de la oscilación aumentará. Después de un periodo de tiempo suficientemente largo, cuando la entrada de energía por cada ciclo de la fuerza impulsora sea igual a la cantidad de energía mecánica transformada a energía interna por cada ciclo, se alcanza una condición de estado e stado estacionario en que las oscilaciones proceden con amplitud constante. En esta situación, la solución de la ecuación diferencial es:
ф − = .
Donde :
+
0
=
2
Y donde
0
=
0
2
+(
)2
es la frecuencia natural del oscilador subamortiguado (b=0). Las
ecuaciones mostradas muestran que el oscilador forzado vibra a la frecuencia de la fuerza impulsora y que la amplitud del oscilador es constante para una fuerza
impulsora determinada porque se impulsa en estado estacionario mediante una fuerza externa. Para amortiguamiento pequeño, la amplitud es grande cuando la frecuencia de la fuerza impulsora esta cerca de la frecuencia natural se llama resonancia, y la frecuencia natural ω 0 también se llama frecuencia de resonancia del sistema. La explicación para oscilaciones de gran amplitud en la frecuencia de resonancia es que la energía se transfiere al sistema bajo las las condiciones más favorables. Este concepto se comprende mejor si se considera la primera derivada de x en el tiempo en la ecuación de la elongación, que produce una expresión para la velocidad del oscilador. Se encuentra que υ es proporcional a sen(ωt + ф), que es la misma función trigonométrica que la descrita por la fuerza impulsora. Por lo tanto, la fuerza aplicada F está en fase con la velocidad. La rapidez a la que F realiza trabajo sobre el oscilador es igual al producto punto F .υ, esta cantidad es la potencia entregada al oscilador. Ya que el producto F.υ es un máximo cuando F y υ están en fase, que concluye que, en resonancia, la fuerza aplicada está en fase con la velocidad y la potencia transferida al oscilador es un máximo.
La figura es una gráfica de la amplitud como función de la frecuencia para un oscilador forzado con y sin amortiguamiento. Advierta que la amplitud aumenta con amortiguamiento decreciente (b — »0) »0) y que la curva de resonancia se ensancha a medida que aumenta el amortiguamiento. En ausencia de una fuerza de amortiguamiento (b = 0), se ve por la ecuación de la amplitud (ultima ecuación) que la amplitud en estado estacionario tiende a infinito conforme ω tiende a ω0. En otras palabras, si no hay pérdidas en el sistema y se continúa impulsando un oscilador inicialmente sin movimiento con una fuerza periódica que está en fase con la velocidad, la amplitud del movimiento se acumula sin límite. Esta acumulación sin límite no se presenta
en la práctica amortiguamiento.
porque
en
realidad
siempre
hay
presente
algún
BIBLIOGRAFÍA SE BUSCO EN LAS SIGUIENTES PAGINAS: Un actor:
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Disponible en
:
http://es.wikipedia.org
Fecha de consulta 16 de mayo 2013 a las 2:00am
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LIBROS dos autor aut ores es r aymond a. ser way y j ohn w. je j ewett, wett, jr jr. volu me men n 1 seve seventh nth editi dit i on publ i cado en i ngl es por Br B r ooks/cole ooks/cole 2008 2008 un autor L eyva yva N aver aver os, os, H umber umber to D atos de de edici edici ón: 2a ed. ed. Reimp Publi cació cación n : L ima : M : M oshera oshera S.R.L. S.R.L. , 1995 D escri cr i pción f ísi ca: 413 p.: i l .; 21 cm N ota Bi bli ográf i ca: B i bli ograf ía: p. 413