Organigrammes Ec 2 Flexion Simple

Cours de Béton Armé FGI : EUROCODE 2 : ORGANIGRAMME FLEXION SIMPLE : DIMENSIONNEMENT POUTRE RECTANGULAIRE (ELU)

EUROCODE 2 : ORGANIGRAMME FLEXION SIMPLE : DIMENSIONNEMENT POUTRE RECTANGULAIRE (ELU) Début

Données : * Environnement : Nature du Bâtiment : usage d’habitation ? etc… ; Classe d’exposition de l’élt X_ _?; Classe structurale S_? QP STR CAR * Sollicitations : Combinaison fondamentale à l’ELU : MELU = MED ; Combinaison caractéristique à l’ELS : MELS ; Combinaison quasi permanente à l’ELS : MELS ; * Géométrie : b ; h ; d = 0,85h (ou 0,9h, au choix) ; d’= 0,05h (ou 0,1h, au choix) * Matériaux : Classe du béton utilisé → Résistance caractéristique du béton à la compression (résistance mesurée à 28 jours) fck ; Type d’acier utilisé → Limite élastique de l’acier fyk ;Type de ciment utilisé ; Diamètre du plus gros granulat dg ; Module d’Young de l’acier Es =200 GPa=2.105MPa ; Loi de béton utilisée (peu important ici) : Bilinéaire (B.L) ; Acier Classe B (HA laminés chaud) →εuk= 50°/°° = 50.10-3 et k =1,08 Résistance moyenne mesurée après essai d'écrasement en compression: fcm = fck + 8 MPa Résistance à la compression du béton (calculée): fcd = avec = 1 = 1,5 (situation durable ou transitoire) ou 1,2 (accidentelle)

Résistance moyenne du béton à la traction à 28 jours : fctm (Mpa) = 0,3*(fck)(2/3) si Béton Ordinaire (BO); si BHP : fctm (Mpa) = 2,2*ln(1+ Module d'élasticité calculé à 28 jours : Ecm (Mpa)= 22000*[(fcm/10)0,3] Coefficient de fluage lu sur les abaques (en fonction de HR, ho, Classe de Ciment, classe de béton, temps to) : φ(ϖ,t0) Limite élastique de l’acier (calculée) : fyd = Déformation limite armatures: =

×

; =

=

)

1,15 (si situation durable ou transitoire) ou 1 (si accidentelle)

; Il faut que ≥ c-à-d acier plastifié et bien utilisé. Si < alors acier élastique et mal utilisé en EC2

(redimensionner section en changeant h ou b ou ajouter des armatures comprimées). On a : = 1,74.10-3 si acier S400 ; = 2,17.10-3 si acier S500 Paramètre : ξy =

=

, . "#

, . "#

avec ξy = 0,668 si acier S400 ; ξy = 0,617 si acier S500

Moment réduit ultime de référence : µ =

@AB

C×D²×FGD

Moment réduit ultime limite : J 4 = 0,8ξy(1-0,4ξy) K = 0,392 si acier S400 ; K = 0,372 si acier S500

Comparaison : J ≤ J4

OUI

SSAC (Section Sans Armatures Comprimées)

Paramètre : H = H4 = 3, WXY3 − [3 − WJ4 \

Paramètre : H = 3, WXY3 − [3 − WJ\ Épaisseur du béton comprimé : x = d× H

Épaisseur du béton comprimé : xy = d× H4

Bras de levier des forces internes : Z= d-0,4x = (1-0,4ξ)×d Fixer déformation limite du béton : = 3,5. 101 = 3,5°/°° Déformation de l’acier : =

(M1N) N

=

( 1H) H

NON

3,5. 101 = 3,5°/°°

OUI

Contrainte de l’acier tendu :

= 1,74.10 si S400 ; = 2,17.10 si S500 -3

σ% = fyd =

&' ()

σ% (+, )= fyd× ./ +

-3

si acier 1 (comportement plastique parfait) (+, 1+2/ )(/13) +2/ 1+ 4

5 si acier 2 (comportement pseudo

plastique) et vérifier que σ% (ε% ) ≤ σ% (ε89 ) = σ% (0,9ε8< ) = σ% (ε = 45. 101 )

Acier Classe B (HA laminés chaud) → εuk= 50°/°° = 50.10-3 et k =1,08

Bras de levier des forces internes : Zy=d-0,4xy= (1-0,4H4 )×d Fixer déformation limite du béton : = 3,5. 101 = 3,5°/°° Déformation de l’acier tendu : =

(M1N )

=

N

( 1H 4 ) H4

Vérifier que l’acier est plastifié et bien utilisé c-à-d :

= 1,74.10-3 ≤ O si acier S400 ; = 2,17.10-3 ≤ O si acier S500 OUI

NON


+4 = 1,74.10-3 si S400 ; +4 = 2,17.10-3 si S500

σ% = fyd =

&' ()

si acier 1 (comportement plastique parfait)

σ% (+, )= fyd× ./ +

(+, 1+2/ )(/13) +2/ 1+ 4

5 si acier 2

(comportement pseudo plastique) et vérifier que σ% (ε% ) ≤ σ% (ε89 ) = σ% (0,9ε8<) = σ% (ε = 45. 101 )

Déformation de l’acier comprimé : ′ =

V

(H 4 1 ) H4

Acier mal utilisé, Redimensionner en changeant h et/ou b

Vérifier que l’acier est plastifié et bien utilisé c-à-d : = 1,74.10-3 ≤ O ≤ O PQR si acier S400 ; = 2,17.10-3 ≤ O ≤ O PQR si acier S500 Avec STN = 50.10-3 (acier 1) ; 45.10-3 (acier 2) Prendre : <

NON

SAAC (Section Avec Armatures Comprimées)


= 1,74.10-3 si S400 ; = 2,17.10-3 si S500

σ′% = σ% = fyd =

&' ()

σ′% (+′, )= fyd× ./ +

si acier 1 (comportement plastique parfait) (+V, 1+2/ )(/13)

5 si acier 2 (comportement

pseudo plastique)

;

+2/ 1+4

Acier Classe B (HA laminés chaud) → εuk= 50°/°° = 50.10-3 et k =1,08

Élaboré par Mlle NGO BIBINBE Jeanne Noëlle, étudiante en Master I, Filière GCI, FGI, année académique 2011-2012

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Cours de Béton Armé FGI : EUROCODE 2 : ORGANIGRAMME FLEXION SIMPLE : DIMENSIONNEMENT POUTRE RECTANGULAIRE (ELU)



Moment repris par le béton tendu : Mu1 Mu1 = ], ^ × C × _ 4 × FGD × `4

Moment repris par le béton tendu : MED STR MED = MELU

Moment repris par le béton comprimé : Mu2 Mu2 = MED - Mu1 Calcul de la section d’armatures :

Armatures en zone tendue

: As,calc =

agh

d) ×f

=

Calcul des sections d’armatures : abc Armatures en zone comprimée : A’s,calc = V

d) ×(919V )

agh

d) ×(91 ,ij)


Condition de non fragilité :

,kl×m×9× nop As,min = Section théorique d’armatures : : As,théo = max ( As,calc; As,min)

Sections théoriques d’armatures : : A’s,théo = A’s,calc


: As,réel → Ycg → dréel= h - Ycg

Vérification des contraintes à l’ELS (SSAC) : En CAR : Pas nécessaire, mais l’on peut toujours faire les calculs En QP : Cas généralement le plus défavorable m._ W Résoudre : é + αz{ . A%,uéwx . _é − αz{ . A%,uéwx . d = 0 k → xréel trouvé →Inertie homogène fissurée (utilisée pour faire participer les aciers) : + αz{ . A%,uéwx (dué wx −xuéwx )²

ag . (9é 1jé )

z{ Vérifier que : si bâtiment σz{

≤ σ ,j = z{ z{ z{ z{ si pont σ ≤ σ ,j Et σ% ≤ σ%,j et w

k

+ αz{ . (A%,uéwx + A}%,uéwx ). _é − αz{ . (A%,uéwx . dré el + A}%,uéwx . d’ré el) = 0

→ xréel trouvé →Inertie homogène fissurée (utilisée pour faire participer les aciers) :

b. xuéwx 2 + αz{ . A}%,uéwx Yxuéwx − d′ué wx \ + αz{ . A%,uéwx (dué wx −xuéwx )² 3

z{

hf

= αz{ . .

m._ W é

Contrainte dans le béton : σ

z{

: As,réel → Ycg → dréel= h - Ycg

Vérification des contraintes à l’ELS (SAAC) : En CAR : Pas nécessaire, mais l’on peut toujours faire les calculs En QP : Cas généralement le plus défavorable Résoudre :

qrF =

. _é z{ a Contrainte dans le béton : σ = g I

Contrainte dans l’acier : σ%

: As,théo = max ( As,calc; As,min)

Choix Sections réelles d’armatures : Zone comprimée : A’s,réel → Y’cg → d’réel Zone tendue

Ihf

], XFG/ Et

abc

d) ×(919V )

Armatures en zone comprimée

Choix Sections réelles d’armatures : Zone comprimée : Armatures de construction à mettre

m.j#é

+

&'


qrF =

abe

d) ×f&


,kl×m×9× nop As,min =

&'

Zone tendue

: As,calc =

ag . _é Ihf

z{

Contrainte dans l’acier tendu : σ%

5

z{ σz{ % ≤ σ%,j j

≤ wj = 5(c +

=

k

;

)

z{ z{ z{ σ% trop grand (càd σz{ % >> σ%,j ) et σ satisfaisant (càd

Si z{ σz{

≤ σ ,j ), alors cela veut dire qu’il n’y a pas acier d’acier → Augmenter la section d’acier Asréel sans modifier la section de béton

z{ z{ Si σ trop grand (càd σz{

> σ ,j ) et quelque soit la valeur de

z{ z{ z{ z{ σz{

(càd σ% ≤ σ%,j ou σ% > σ%,j ), alors cela veut dire qu’il n’y a pas assez de béton. Alors choisir 1 des 3 solutions suivantes : → Augmenter la section de béton, de préférence h à b → S’il est impossible de modifier la section de béton, ajouter des armatures comprimées (passer au calcul SAAC) → Utiliser la table si elle existe et passer à un calcul de section Té

= αz{ . . } z{

Contrainte dans l’acier comprimé : σ%

ag . (9é 1jé )

= αz{ . .

5

Ihf

ag . (xréel −d′ré el ) Ihf

5

z{ z{ Vérifier que : si bâtiment σz{ Et σz{

≤ σ ,j = ], XFG/ % ≤ σ%,j Et } z{ } z{ σ% ≤ σ%,j ; z{ z{ z{ } z{ z{ Si pont σz{ ≤ σ}%,j et

≤ σ ,j ], XFG/ et σ% ≤ σ%,j et σ%

w ≤ wj = 5(c + z{

j k

)

} z{

z{ } z{ z{ Si σ% ou σ% trop grand (càd σz{ >> σ}%,j ) et σz{ % >> σ%,j ou σ%

z{ z{ satisfaisant (càd σ ≤ σ ,j ), alors cela veut dire qu’il n’y a pas acier d’acier → Augmenter la section d’acier Asréel sans modifier la section de béton

z{

z{ z{ Si σ trop grand (càd σz{

>> σ ,j ) et quelque soit la valeur de σ (càd z{ z{ z{ z{ σ% ≤ σ%,j ou σ% > σ%,j ou ), alors cela veut dire qu’il n’y a pas assez de béton. Alors choisir 1 des 3 solutions suivantes : → Augmenter la section de béton, de préférence h à b → S’il est impossible de modifier la section de béton, ajouter des armatures comprimées) → Utiliser la table si elle existe et passer à un calcul de section Té


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EUROCODE 2 : ORGANIGRAMME FLEXION SIMPLE : DIMENSIONNEMENT POUTRE RECTANGULAIRE (ELS) Début

Données : * Environnement : Nature du Bâtiment : usage d’habitation ? etc… ; Classe d’exposition de l’élt X_ _?; Classe structurale S_? QP STR CAR * Sollicitations : Combinaison fondamentale à l’ELU : MELU = MED ; Combinaison caractéristique à l’ELS : MELS ; Combinaison quasi permanente à l’ELS : MELS ; * Géométrie : b ; h ; d = 0,85h (ou 0,9h, au choix) ; d’= 0,05h (ou 0,1h, au choix) * Matériaux : Classe du béton utilisé → Résistance caractéristique du béton à la compression (résistance mesurée à 28 jours) fck ; Type d’acier utilisé → Limite élastique de l’acier fyk ;Type de ciment utilisé ; Diamètre du plus gros granulat dg ; Module d’Young de l’acier Es =200 GPa=2.105MPa ; Loi de béton utilisée (peu important ici) : Bilinéaire (B.L) ; Acier Classe B (HA laminés chaud) →εuk= 50°/°° = 50.10-3 et k =1,08 Résistance moyenne mesurée après essai d'écrasement en compression: fcm = fck + 8 MPa Résistance à la compression du béton (calculée): fcd = avec = 1 = 1,5 (situation durable ou transitoire) ou 1,2 (accidentelle)

Résistance moyenne du béton à la traction à 28 jours : fctm (Mpa) = 0,3*(fck)(2/3) si Béton Ordinaire (BO); si BHP : fctm (Mpa) = 2,2*ln(1+ Module d'élasticité calculé à 28 jours : Ecm (Mpa)= 22000*[(fcm/10)0,3] Coefficient de fluage lu sur les abaques (en fonction de HR, ho, Classe de Ciment, classe de béton, temps to) : φ(ϖ,t0) Limite élastique de l’acier (calculée) : fyd =

)

; = 1,15 (si situation durable ou transitoire) ou 1 (si accidentelle)

Coefficient de fluage : dépend du type de béton (classe de béton), de l’humidité ambiante (50%≤HR≤80%, avec HR=50% si élément à l’intérieur de bâtiment, et HR=80% si élément à l’extérieur de bâtiment), de la durée d’application des charges (t compté en jours entre et ∞) ( ) *+, #$% φ(∞, t ) )/01 -.

)

En combinaison Quasi-permanente : (!; ) ; En combinaison CAR: Combinaisons avec charges variables et permanentes : Combinaison caractéristique

Charges variables de courte durée (Combinaison la plus défavorable)

Ec = E

Coefficient d’équivalence : α =

67T

=

67T

Module d’Young effectif du béton :

Module d’Young effectif du béton :

EQQRS =

6, 67

UVW

UV

[-. (X;YZ)×[ /01

Coefficient d’équivalence : αQRS =

*+,

À long terme (action de chargement de longue durée): Charges permanentes et Combinaison quasi permanente (QP)

Module d’Young différé du béton : 6,

ECAR C

Contraintes limites Combinaison caractéristique : Contrainte limite du béton comprimé : 89,:;< = , =>9? (classes XD, XF, XS) Contrainte limite acier tendu :

8ABC @,:;< = , D>E? (toutes les classes)

ABC = , D> (toutes les classes) 8F@,:;< E?

Ec,∞ =

Ecm

Coefficient d’équivalence : αMN = α! = 1+φ(∞;t0)

6,

67,X

Contraintes limites Combinaison quasi permanente : Contrainte limite du béton comprimé : 89,:;< = , GH>9? (toutes les classes) Contrainte limite acier tendu : 8@,:;<

Elle est limitée en fonction de l’ouverture des fissures. Pour les bâtiments :

* soit sans calcul de l’ouverture des fissures : fixer ouvertures des fissures max wmax en fonction de la classe d’exposition (tableau 7.1N, p50) et diamètre max utilisé Φmax → σJ,KL = MN

F MN σJ,KL

=(tableau 7.2N, p51) * soit avec calcul de l’ouverture des fissures (à privilégier) :

Pour les ponts : si section entièrement tendue (SSAC)

σJ,KL(MPa) = 600× WKL ; si section partiellement tendue (SAAC) MN

alors σMN J,KL (MPa) = 1000× WKL (Wmax : ouverture des fissures en mm)

Épaisseur du béton comprimé

xF = `

-.

a7,Tbc

-.

d -. a7,Tbc U e,Tbc QP α

h ×d

Moment fléchissant max que la section peut équilibrer sans armatures comprimées

MKL = (

OUI

ABC Comparaison : nopq


j.LF l

σ ,KL ) (d - ) MN

≤ n:;<

LF m

NON



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NON


Moment réduit ultime de référence : µCAR =


=×£/01 ×nABC opq ¤×¥²×8ABC @,:;<

Bras de levier des forces internes : Zy = d –

(Itérer ou utiliser MAPPLE)

Moment repris par le béton tendu : M1 M1 = Mmax

Épaisseur du béton comprimé : x = d× ξ

Moment repris par le béton comprimé : M2 tu M2 = :;<(nABC ; nopq ) - M1 opq

L

s

Bras de levier des forces internes : Z= d - = (1- )×d m


: As,calc =

)/01 *+,

=

8ABC @,:;< ×{

Calcul des sections d’armatures : )v Armatures en zone comprimée : A’s,calc = w /01

m

Calcul de la section d’armatures :

)/01 *+,

Armatures en zone tendue c ~

8ABC @,:;< ×(xy )

|

Vérification des contraintes à l’ELS (SSAC) : En CAR : Pas nécessaire, mais l’on peut toujours faire les calculs En QP : Cas généralement le plus défavorable Résoudre : + αMN . AJ,é . <é − αMN . AJ,é . d = 0

→ xréel trouvé →Inertie homogène fissurée (utilisée pour faire participer les aciers) : + αMN . AJ,é (dé −xé )²


MN

Contrainte dans l’acier :

MN σJ =

=

α

-. )*+, . <é

MN

Ihf

.

-.

)*+, . (xé W yLéW ) Ihf

MN MN MN Vérifier que : si bâtiment σMN

≤ σ ,KL = , GH>9? Et σJ ≤ σJ,KL Et F MN F MN σJ ≤ σJ,KL ; KL MN MN MN Si pont σMN

≤ σ ,KL , GH>9? et σJ ≤ σJ,KL et w ≤ wKL = 5(c + l ) MN MN Si σJ trop grand (càd σMN J > σJ,KL ) et σ satisfaisant (càd MN MN σ ≤ σ ,KL), alors cela veut dire qu’il n’y a pas acier d’acier → Augmenter la section d’acier Asréel sans modifier la section de béton

MN

MN Si σ trop grand (càd σMN

> σ ,KL ) et quelque soit la valeur de MN MN MN MN MN σ (càd σJ ≤ σJ,KL ou σJ > σJ,KL ), alors cela veut dire qu’il n’y a pas assez de béton. Alors choisir 1 des 3 solutions suivantes : → Augmenter la section de béton, de préférence h à b → S’il est impossible de modifier la section de béton, ajouter des armatures comprimées (passer au calcul SAAC) → Utiliser la table si elle existe et passer à un calcul de section Té

MN

w a/01 e,[bc ×(xyx )

Sections théoriques d’armatures : : A’s,théo = A’s,calc


: As,théo = max ( As,calc; As,min)

Choix Sections réelles d’armatures : Zone comprimée : A’s,réel → Y’cg → d’réel Zone tendue : As,réel → Ycg → dréel= h - Ycg

Choix Sections réelles d’armatures :

m

+

Armatures en zone comprimée

Zone comprimée : Armatures de construction à mettre Zone tendue : As,réel → Ycg → dréel= h - Ycg

j.L~éW

a/01 e,[bc ×{|

ae,[bc ×(xyxw ) )v

|

Section théorique d’armatures : Armatures en zone tendue : As,théo = max ( As,calc; As,min)

¨©> =

: As,calc =

)z


,l×j×x× 7YT As,min =

,l×j×x× 7YT

Condition de non fragilité : As,min =

l

m

Résoudre : ξm -3ξl − μξ + μ =0 Valeur de § trouvée

j.< é

Lw

Vérification des contraintes à l’ELS (SAAC) : En CAR : Pas nécessaire, mais l’on peut toujours faire les calculs En QP : Cas généralement le plus défavorable Résoudre : j.< é l

+ αMN . (AJ,é + AFJ,é ). <é − αMN . (AJ,é . dré el + AFJ,é . d’ré el) = 0

xQPréel

→ trouvé →Inertie homogène fissurée (utilisée pour faire participer les aciers) : I = MN

m b. xé 2 + αMN . AFJ,é xé − d′é + αMN . AJ,é (dé −xé )² 3


MN

=

-.

-.

)*+, LéW

Contrainte dans l’acier tendu : σJ

MN

QP Ihf

= αMN .

Contrainte dans l’acier comprimé : σJ

F MN

-.

-.

)*+, . (xé W y LéW LéW )

= αMN .

Ihf

-. -. )*+, . ( LéW −d′ré el ) QP

Ihf

MN MN Vérifier que : si bâtiment σMN Et σMN

≤ σ ,KL = , GH>9? J ≤ σJ,KL Et F MN F MN σJ ≤ σJ,KL ; KL MN MN MN F MN F MN Si pont σMN ≤ σJ,KL et w ≤ wKL = 5(c + )

≤ σ ,KL , GH>9? et σJ ≤ σJ,KL et σJ l

MN F MN MN Si σJ ou σJ trop grand (càd σMN > σFJ,KL ) et σMN J > σJ,KL ou σJ

MN MN satisfaisant (càd σ ≤ σ ,KL ), alors cela veut dire qu’il n’y a pas assez d’acier → Augmenter la section d’acier Asréel sans modifier la section de béton

MN

F MN

MN MN Si σ trop grand (càd σMN

> σ ,KL ) et quelque soit la valeur de σ (càd MN MN MN MN σJ ≤ σJ,KL ou σJ > σJ,KL ou ), alors cela veut dire qu’il n’y a pas assez de béton. Alors choisir 1 des 3 solutions suivantes : → Augmenter la section de béton, de préférence h à b → S’il est impossible de modifier la section de béton, ajouter des armatures comprimées) → Utiliser la table si elle existe et passer à un calcul de section Té

MN


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