Dr. Ir. P. Boeraeve
Cours de Béton Armé
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Chapitre 5. Dimensionnement Dimensionnement du béton en flexion simple 5.1 CAS 1 : dimensionnement complet (dimensions poutre + armatures) C'est généralement le cas qui se présente lors d’un avant-projet : on va donner aux éléments (dalles, poutres, colonnes) des dimensions en rapport avec les sollicitations qu’ils doivent supporter On connaît : les charges sollicitant la poutre, donc le moment sollicitant à l’ELU : M Ed On veut déterminer h, b et A s Au paragraphe « 4.6.4 : Phase 4 : rupture », on a vu que le diagramme de déformation qui exploite au maximum le béton et l’acier est celui qui passe par les points A et B aussi appelés « pivots ». -3 La déformation maximale en compression dans le béton vaut εcu3 = 3.5 10 pour des bétons de classe de résistance inférieure ou égale à C50/60. -3 La déformation maximale en traction dans l’armature est limitée à 10.10 en pratique. Les triangles semblables permettent d’écrire :
3, 5
=
10 + 3, 5
xu
→
d
xu d
=
0,259
ε ε
c = 3 .5
1 0 - 3 3
Or : M Ed
M Ed,ELU = C. ( d − 0.4 xu ) =0,8.xu . f cd b ( d − 0.4 xu ) En remplaçant la valeur de x u=0,259d, on obtient la formule de dimensionnement rapide reprise au MC 12.1.1.1 : b d 2
≅
M
ε ε
d
10 s = 1 0
1 0 -3 3 0 -
Ed,ELU
0 . 1 f ck
5.2 CAS 2 : dimensionnement des armatures On connaît : • les dimensions de la section : b et h fixés par l’architecte, par exemple, ou par l’espace disponible (hauteur sous plafond). • Les charges sollicitant la poutre, donc le moment sollicitant à l’ELU : M Ed On veut déterminer la section des armatures : As. Cette fois, les hypothèses de calcul sont : • La zone comprimée est modélisée par un diagramme rectangulaire équivalent. • ε c,max=0.0035 (si classe résistance ≤ C50/60).
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ε ε= 0
.0 03 5
d
ε ε
s = ?
Les efforts internes à la ruine, C et T, doivent au moins équilibrer le moment sollicitant de calcul MEd. Donc, en prenant le moment par rapport au CG des armatures :
M Ed,ELU = C. ( d − 0.4 xu ) =0,8.xu . fcd b ( d − 0.4xu ) On obtient donc une équation du second degré en x u dont on extrait la seule racine plausible : d xu
−
d ² −
=
2 M Ed b. f cd
0.8
Vérification du rapport xu /d : (xu / d)lim = 0,45 pour des bétons de classe de résistance ≤ C35/45 et (xu / d)lim = 0,35 pour des bétons de classe de résistance ≥ C40/45.
Si xu /d > (x u /d)lim, on doit ajouter des armatures comprimées pour ramener le xu /d dans les limites (on dit alors qu’on a une section avec armatures doubles). Cette solution n’est en général pas souhaitable, et n’est à ne faire que si la hauteur ne peut absolument être changée. On a vu précédemment que le respect de ces limites entraînait automatiquement le fait que l’armature était plastifiée à la ruine. On a donc toujours f s=f yd.
5.2.1 Calcul de As : Les efforts internes à la ruine C et T doivent au moins équilibrer le moment sollicitant de calcul MEd. Donc, en prenant le moment cette fois par rapport au CG de la zone comprimée, on en déduit As:
M Ed = T . ( d − 0.4 x ) =As f yd ( d − 0.4 x )
⇒
As
=
M Ed f yd ( d − 0.4 x )
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5.3 Dispositions constructives des armatures de flexion (MC :13.1.5) Les armatures doivent respecter : les conditions de section minimale et maximale imposées par l’EC2 • les espacements minima et maxima recommandés par l’EC2 •
5.4 Contrôles à l’ELS Le dimensionnement est souvent plus critique à l’ELU, mais il faut s’assurer que les limitations à l’ELS sont également respectées : • déformations (flèches) • contraintes (MC : 14.2) • ouvertures de fissures (MC(14.3) • fréquence de vibrations (ce point très spécifique n’est pas abordé dans le cadre de ce cours : il convient de se référer à l’Eurocode 2)
5.4.1 Vérification des déformations (flèches) Le code limite le rapport de la flèche à la portée d’un élément fléchi à une valeur de 1/250 sous charges quasi-permanentes. Le calcul rigoureux des flèches dans les structures en béton armé est complexe, car selon les endroits, la section est fissurée ou non fissurée, ce qui a un effet non négligeable sur son inertie et, si la structure est hyperstatique, sur la répartition des moments. L’Eurocode prévoit une méthode simplifiée qui dispense de ces calculs laborieux : cette méthode limite le rapport l/d (portée/hauteur utile) de l’élément fléchi. La justification de cette méthode se trouve dans l’extrait suivant de Calcrete :
De nombreux calculs ont été effectués, de manière rigoureuse, sur des éléments fléchis et les formules empiriques de l’Eurocode sont le résultat de ces calculs (Voir MC 14.1).
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