ESCUELA MILITAR DE INGENIERÍA
OPTIMIZACION PRACTICA NO3
OPTIMIZACION ENTERA 1.
(Problema del viajante)La red de la figura muestra 4 ciudades 1, 2, 3 y 4 y las conexiones entre estas con sus respectivos tiempos de transporte (se supone que al ser formas de transporte distintas entre ciudades, os pares de arcos tienen medidas diferentes). Un individuo sale de la ciudad 1 y desea determinar el itinerario de minina distancia que pase por cada ciudad una sola vez y regrese a la ciudad de partida.
Variables de decisión Sale solo una vez de cada ciudad x12 + x13 + x14 = 1
Salidas de ciudad 1
x21 + x23 + x24 = 1
Salidas de ciudad 2
x31 + x32 + x34 = 1
Salidas de ciudad 3
x41 + x42 + x43 = 1
Salidas de ciudad 4
Entra en cada ciudad solo una vez x21 + x31 + x41 = 1
Entrada a ciudad 1
X12 + x32 + x42 = 1
Entrada a ciudad 2
x13 + x23 + x43 = 1
Entrada a ciudad 3
x14 + x24 + x34 = 1
Entrada a ciudad 4
Para evitar itinerarios inconexos
Sea la variable auxiliar Ui (i=2,3,4) Caminos Hamiltonianos U2 + U3 + 4x 23 ≤ 3
U4 – U2 + 4x 42 ≤ 3
U2 - U4 + 4x 24 ≤ 3
U3 – U4 + 4x 34 ≤ 3
U3 – U2 + 4x 32 ≤ 3
U4 – U3 + 4x 43 ≤ 3
Función Objetivo Min Z = 2x 12 + 3x21 + 4x14 + 2x41 + 6x13 + 4x31 + 4x23 + 5x32 + 2x24 + 3x42 + 5x34 + 3x43 Tabla de equivalencia
X12
X13
X14
X21
X23
X24
X31
X32
X34
X41
X42
X43
U2
U3
U4
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7
X8
X9
X10
X11
X12
X13
X14
X15
RESPUESTA El itinerario de tiempo mínimo consiste en 1-2-4-3-1 con tiempo mínimo de transporte de 11 horas 2.
(Emplazamiento y encubrimiento) Una cadena de alimentación pretende abrir varios supermercados en una gran ciudad. Tras un estudio de la disponibilidad de locales en los 7 distritos en que está dividida la ciudad, se considera que son 5 los emplazamientos donde se podrían situar supermercados. La siguiente tabla muestra los distritos que se cubren por cada emplazamiento, así como las rentas anuales esperadas para cada
uno de los supermercados emplazados con la condición de que a cada distrito se cubra a lo sumo un supermercado de la cadena. Distrito
Emplazamiento 1
1.
x
2.
x
2
3
4 x
x
3.
x
4.
x
5.
x
6.
x x x
x x
7.
x 6
Beneficio(x10 pesos)
36
5
39
x
x
x
44
41
38
Función Objetivo Max Z = 36x1+39x2+44x3+41x4+38x5 Variables de decisión X1= emplazamiento 1 si se escoge el distrito; 0 si no se escoge X2= emplazamiento 2 si se escoge el distrito; 0 si no se escoge X3= emplazamiento 3 si se escoge el distrito; 0 si no se escoge X4= emplazamiento 4 si se escoge el distrito; 0 si no se escoge X5= emplazamiento 5 si se escoge el distrito; 0 si no se escoge Restricciones X1 + x4 <= 1 X1 + x3 + x5 <= 1 X2 + x5 <= 1 X2 + x4 <= 1 X2 + x3 <= 1 X3 + x5 <= 1 X1 + x3 + x4 <= 1 a)
INTERPRETACION: Deben abrirse supermercados en los emplazamientos 4 y 5 siendo el beneficio de 79 millones de pesos, todos los distritos menos el 5 estarían cubiertos. b) Función objetivo Min Z = 14x1 + 17x2 + 21x3 + 15x4 + 18x5
INTERPRETACION: Deben abrirse en los emplazamientos 1, 2 y 5 con un costo minimo de 49 millones de pesos
3.
(Localización y transporte de mercancías). Considérese una empresa con cuatro centros de producción de alimentos denominados P j j=1, 2, 3,4 que busca situar uno o más almacenes de gran capacidad para guardar la materia prima (harina) para satisfacer la demanda semanal de los centros de producción. Después de un estudio detallado de la zona, se llega a la conclusión de que hay lugares posibles de ubicación de almacenes, denotados por A i=1,2,3. Los costos C
ij
(en miles de
pesos), de envío por toneladas de harina de las ubicaciones Ai a los centros de producción Pj, el alquiler semanal de cada ubicación en miles de pesos y la demanda de los centros de producción en toneladas, vienen dados por la tabla: Cij
P1
P2
P3
P4
Alquiler
A1
27
13
9
12
600
A2
25
9
8
15
490
A3
16
21
12
11
570
Demanda
230
250
210
300
Se desea también que, por limitaciones en la contratación del personal, a lo sumo se ocupen dos almacenes de los tres posibles y además por razones de operatividad su use la ubicación 1 siempre que se utilice la 3. Formular y resolver un modelo de programación entera que proporcione la ubicación de los a lmacenes y las cantidades a enviar desde cada almacén a las fábricas para satisfacer las demandas con costo m ínimo. Función Objetivo Min Z = 27x1 + 13x2 + 9x3 + 12x4 + 25x5 + 9x6 + 8x7 + 15x8 + 16x9 + 21x10 + 12x11 + 11x12 + 600x13 + 490x14 + 570x15 Variables de Decisión X1 = de almacén 1 a centro de producción 1 X2 = de almacén 1 a centro de producción 2 X3 = de almacén 1 a centro de producción 3 X4 = de almacén 1 a centro de producción 4 X5 = de almacén 2 a centro de producción 1 X6 = de almacén 2 a centro de producción 2 X7 = de almacén 2 a centro de producción 3 X8 = de almacén 2 a centro de producción 4 X9 = de almacén 3 a centro de producción 1 X10 = de almacén 3 a centro de producción 2 X11 = de almacén 3 a centro de producción 3 X12 = de almacén 3 a centro de producción 4 X13 = costo de alquiler del almacén 1 X14 = costo de alquiler del almacén 2 X15 = costo de alquiler del almacén 3 Restricciones X1 + x2 + x3 + x4 – 990x13 <= 0
X5 + x6 + x7 + x8 – 990x14 <= 0 X9 + x10 + x11 + x12 – 990x15 <= 0 X1 + x5 + x9 >= 230 X2 + x6 + x10 >= 250 X3 + x7 + x11 >= 210 X4 + x8 + x12 >= 300 X13 + x14 + x15 <= 2 -x13 + x15 <= 0
INTERPRETACION: El costo total minimo de envio de materia prima es de 13290000 pesos. Debe enviarse:
250 tonelasdas de MP desde A1 hasta P2 210 tonelasdas de MP desde A1 hasta P3 230 tonelasdas de MP desde A3 hasta P1 300 tonelasdas de MP desde A3 hasta P4
4.
(Problema de la mochila). Se debe realizar un envío de 7 objetos distintos. El valor, peso y volumen de cada objeto se tiene en la siguiente tabla: Objetos
3
3
Valor (x10 pesos)
Peso (Kg)
Volumen (cm )
1
56
7
21
2
71
11
16
3
69
4
17
4
91
14
28
5
70
9
12
6
85
2
31
7
65
12
19
j
a)
Formular y resolver un programa 0-1 cuya solución proporcione el envío de máximo valor para un peso total que no exceda de 41 Kg
Función Objetivo Max Z = 56x1 + 71x2 + 69x3 + 91x4 + 70x5 + 85x6 + 65x7 Variables de decisión X1 = Objeto 1 X2 = Objeto 2 X3 = Objeto 3 X4 = Objeto 4 X5 = Objeto 5 X6 = Objeto 6 X7 = Objeto 7 Restricción 7x1 + 11x2 + 4x3 + 14x4 + 9x5 + 2x6 + 12x7 <= 41
INTERPRETACION: Enviar los objetos 2,3,4,5 y 6 con un valor de 386000 pesos y un peso de 40Kg
b) Restricciones 7x1 + 11x2 + 4x3 + 14x4 + 9x5 + 2x6 + 12x7 <= 41 21x1 + 16x2 + 17x3 + 28x4 + 12x5 + 31x6 + 19x7 <= 100
INTERPRETACION: Enviar los objetos 2,3,5,6 y 7 con un valor de 360000 pesos, siendo el peso 38Kg y el volumen de 95 cm 5.
3
(Formación de una cartera). Un analista de inversiones debe decidir para el próximo mes la inversión de 100 millones de pesos entre 10 valores del mercado bursátil, denominados vi= 1,2,….,10. La tasa esperada de interés para el mes entrante viene dada por:
Valor vi
v1
v2
v3
v4
v5
v6
v7
v8
v9
v10
Interés r i
1.73
2.14
1.9
1.82
1.97
2.04
1.89
1.94
2.11
1.86
El analista quiere formar una cartera equilibrada, para lo cual propone las siguientes condiciones:
Invertir en al menos 5 valores, y a lo sumo en 8. No invertir más de 25 millones de pesos en cada valor.
Invertir en los valores seleccionados al menos 10 millones de pesos.
Invertir en v 2 solo si se invierte en v 1
No invertir en v6 si se invierte en v 2
Formular un programa entero que proporcione la cartera de máximo beneficio Función Objetivo Max Z = 1,73x1 + 2,14x2 + 1,9x3 + 1,82x4 + 1,97x5 + 2,04x6 + 1,89x7 + 1,94x8 + 2,11x9 + 1,86x10 Variables de decisión X1 = Interés para el valor del m ercado bursátil 1; y1 si se llegara a escoger X2 = Interés para el valor del m ercado bursátil 2; y2 si se llegara a escoger X3 = Interés para el valor del m ercado bursátil 3; y3 si se llegara a escoger X4 = Interés para el valor del m ercado bursátil 4; y4 si se llegara a escoger X5 = Interés para el valor del m ercado bursátil 5; y5 si se llegara a escoger X6 = Interés para el valor del mercado bursátil 6; y6 si se llegara a escoger X7 = Interés para el valor del m ercado bursátil 7; y7 si se llegara a escoger X8 = Interés para el valor del m ercado bursátil 8; y8 si se llegara a escoger X9 = Interés para el valor del m ercado bursátil 9; y9 si se llegara a escoger X10 = Interés para el valor del mercado bursátil 10; y10 si se llegara a esc. Restricciones x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 + x8 + x9 + x10 <= 1000 5>= y1 + y2 + y3 + y4 + y5 + y6 + y7 +y8 + y9 + y10 <=8 x1 - 25y1 <= 0 x2 - 25y2 <= 0 x3 - 25y3 <= 0 x4 - 25y4 <= 0;
x5 - 25y5 <= 0
x6 - 25y6 <= 0;
x7 - 25y7 <= 0
x8 - 25y8 <= 0 x9 - 25y9 <= 0 x10 -25 y10 <= 0 x1 – 10y1 >= 0 x2 – 10y2 >= 0 x3 – 10y3 >= 0 x4 – 10y4 >= 0 x5 – 10y5 >= 0 x6 – 10y6 >= 0 x7 – 10y7 >= 0 x8 – 10y8 >= 0 x9 – 10y9 >= 0 x10 – 10y10 >= 0 -y1 + y2 <= 0 Y2+y6 = 1
INTERPRETACION: Deben invertirse: 10 millones en el valor 1 25 millones en el valor 2 25 millones en el valor 5 15 millones en el valor 8 25 millones en el valor 9 Con una cartera de beneficio máximo de 201.9 millones de pesos
