INTRODUCCIÓN Y CASOS DE APLICACIÓN.
DEFINICIÓN Y MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA.
DEFINICIÓN: Un modelo de programación entera es aquel que contiene restricciones y una función objetivo idénticas a las formuladas en programación lineal, la única diferencia en que una o más variables de decisión deben tomar valor entero en la solución final. CLASIFICACIÓN: Existen tres tipos de modelos por programación entera
PURA: Son modelos similares a los de programación entera
Forma General: Max (Min) = A1X1+A2X2+A3X3+A4X4+A5X5+..........+AnXn
Sujeto a : A1X1+A2X2+A3X3+A4X4+A5X5+..........+AnXn >= (<=)(=) Bi
No negatividad : Xi >= 0 y ENTERO
B) BINARIA: Estos modelos lineales , las variables sólo toman valores 0 y 1 , son usadas para uso probabilistico Donde 0 se rechaza la opción y 1 se acepta la opción
Forma General : Max (Min ) = A1Y1+A2Y2+A3Y3+A4Y4+A5Y5+..........+AnYn
Sujeto a : y1+y2+y3+y4+..........+yn >= (<=)(=) Bi No negatividad : yi >= 0 v 1
C) MIXTA : En estos tipos de modelos , integra las variables puras y las mixtas Max (Min ) = A1X1+A2X2+A3X3+A4X4+A5X5+..........+AnXn+A1Y1+A2Y2+A3Y3+A4Y4+A5Y 5+..........+AnYn
Sujeto a : A1X1+A2X2+A3X3+A4X4+A5X5+..........+AnXn >= (<=)(=) Bi y1+y2+y3+y4+..........+yn >= (<=)(=) Bi
No negatividad : Xi >= 0 y ENTERO Xi >= 0 v 1
Tipos de Restricciones Usadas en la Programación Entera Mixta: 1) Excluyentes: Solo sirve para elegir una alternativa de varias posibles 2) Pre-requisito: Cuando necesitas realizar una acción antes de proceder con la siguiente 3) Incluyente: Dicha restricción se da para cuando realizas una acción "A" entonces debes hacer la acción "B" 4) Costo Fijo: Cuando se nombra un costo fijo , es sinónimo de uso de variable mixta
Ejemplo Aplicativo Un problema que afronta todos los días un electricista consiste en decidir qué generadores conectar. El electricista en cuestión tiene tres generadores con las características que se muestran en la tabla 3. Hay dos periodos en el día. En el primero se necesitan 2900 mega watts. En el segundo. 3900 mega watts. Un generador que se conecte para el primer periodo puede ser usado en el segundo sin causar un nuevo gasto de conexión. Todos los generadores principales (como lo son A, B y C de la figura) son apagados al término del día. Si se usa el generador A también puede usarse el generador C, no se usa generador B si se usa generador A. Formule este problema como un PLEM.
V.D. Xij= Número de megawatts a usar del generador i(i=A,B,C) en el periódo j(j=1,2). Yi= 0 No arranca el generador i(i=A,B,C) 1 Si arranca el generador i(i=A,B,C)
Restricciones:
Demanda en el periodo 1: xa1 +xb1+xc1 >= 2900
Demanda en el periodo 2: xa2+xb2+xc2>= 3900
Capacidad de generador A:
xa1 <= 2100y1 (enlace variable entera con variable binaria) xa2<=2100y1 (enlace variable entera con variable binaria)
Capacidad de generador B: xb1<=1800y2 (enlace variable entera con variable binaria) xb2<=1800y2 (enlace variable entera con variable binaria)
Capacidad de generador C: xc1<=3000y3 (enlace variable entera con variable binaria) xc2<=3000y3 (enlace variable entera con variable binaria)
Función Objetivo:
Minimizar (z)= 5(x11+x12) +4(x21+x22) + 7(x31+x32) +3000(y1)+2000(y2) + 1000(y3)
MÉTODO GRÁFICO DE PROGRAMACIÓN ENTERA Qué es la Programación Entera? Un modelo de Programación Entera es aquel cuya solución óptima tiene sentido solamente si una parte o todas las variables de decisión toman valores restringidos a números enteros, permitiendo incorporar en el modelamiento matemático algunos aspectos que quedan fuera del alcance de los modelos de Programación Lineal. En este sentido los algoritmos de resolución de los modelos de Programación Entera difieren a los utilizados en los modelos de Programación Lineal, destacándose entre ellos el Algoritmo de Ramificación y Acotamiento (o Branch & Bound), Branch & Cut, Planos Cortantes, Relajación entre otros. Método Gráfico Una compañía de auditores se especializa en preparar liquidaciones y auditorías de empresas pequeñas. Tienen interés en saber cuántas auditorías y liquidaciones pueden realizar mensualmente para maximizar sus ingresos. Se dispone de 800 horas de trabajo directo y 320 horas para revisión. Una auditoría en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y 10 horas de revisión, además aporta un ingreso de 300 dls. Una liquidación de impuesto requiere de 8 horas de trabajo directo y de 5 horas de revisión, produce un ingreso de 100 dls. El máximo de liquidaciones mensuales disponibles es de 60. OBJETIVO: Maximizar el ingreso total. VARIABLE DE DECISION: Cantidad de auditorías (X1). Cantidad de liquidaciones (X2). RESTRICCIONES: Tiempo disponible de trabajo directo Tiempo disponible de revisión Número máximo de liquidaciones. MAXIMIZAR Z= 300X1+100X2 SUJETO A: 40X1+8X2<=800 10X1+5X2<=320 X2<=60 Xi>=0
La solución óptima siempre se encuentra en uno de los vértices del conjunto de soluciones factibles. Se analizan estos valores en la función objetivo. El vértice que representa el mejor valor de la función objetivo será la solución óptima.
MÉTODO DE RAMIFICACIÓN Y ACOTACIÓN La ramificación consiste en dividir cada problema en dos nuevos subproblemas, obtenidos mediante la imposición de restricciones excluyentes que dividen el conjunto de oportunidades del problema original en dos partes, pero eliminando en ambas partes la solución no entera del problema original. Si Xbi no entero, entonces se generan a partir de dicho valor dos restricciones xi ≤ [Xbi] y xi ≥
[Xbi]+1 (siendo [Xbi] la parte entera por defecto de Xbi), que añadidas cada uno por separado al problema original, da lugar a dos nuevos subproblemas. Por ejemplo la variable x1 tiene que ser entera, pero en la solución anterior (PLA u otro), la variable vale: x1 = 6.8. Esta solución no es válida, ya que no es admisible un valor fraccional, por tanto se introduciran las siguientes restricciones: x1≤ 6 y x1≥ 7, de forma que se ha eliminado una
porción del conjunto donde no hay soluciones enteras, pero se m antienen las enteras:
Así se prosigue con todas las variables hasta que sean enteras. Si al proceso de ramificación no se mejora de alguna forma, llegaríamos a analizar TODAS las soluciones enteras (Enumeración Total). Por eso, se añade la fase de Acotación, esta tiene que ver con el valor de la función objetivo. A medida que se va ramificando se obtienen soluciones enteras y otras que no lo son. No podemos asegurar que la primera solución entera obtenida sea la solución óptima, sino que es necesario comprobar si existen otras soluciones enteras o no.
El análisis del PLA: Ramificación se realiza siempre a partir de aquel problema que tiene el mejor valor de la función objetivo, y siempre que exista alguna solución (no entera) con un valor de la función objetivo Ejemplo: (Maximización) * Solucion del PLA: FO: 5487,33 (Solución no entera) Primera Ramificación: Problema 1: FO: 5340, 75 (solución no entera) Problema 2: FO: 5425.10 (solución no entera). Segunda Ramificación: A partir del problema 2, por tener un mejor valor de la función objetivo: Problema 21: FO: 5405, 30 (solución no entera) Problema 22: FO: Infactible. Como no hay solución entera hemos de seguir ramificando: Por dónde? Problema 22 tiene mejor valor que problema 1. Tercera ramificación: A partir del problema 21 Problema 211: FO = 5350 (solución entera) Problema 212 F= = 5385.25 (solución no entera). La solución del problema 211 (5350) es la optima?
NO, ya que ramificando por el problema 212 se podrían encontrar mejores soluciones. Pero lo que es seguro que a partir del Problema 1: FO: 5340, 75 no vamos a encontrar ninguna solución entera mejor que la que hemos encotrado, por tanto ese valor de 5350 es la COTA a partir de la cual no analizaremos ningún problema que tenga un valor de FO menor o igual. Cuarta Ramificación: Problema 2121: FO = 2360 (solución entera) Probelma 2122 FO = 2366.25 (solución no entera). Que hacer: a) La cota ha mejorado, ahora no analizaremos ninguna solución con un valor de FO menor o igual que 2360. Pero aun no podemos afirmar que la solución del problema 2121 sea la optima, hemos de seguir ramificando: Quinta Ramificación: Problema 21221: FO = 2355 (solución entera) Problema 21222 FO = 2358.75 (solución no entera). Hemos de ramificar el problema 21222?: NO, ya que tenemos una solución entera 2360 mejor que cualquier valor de una función objetivo de un problema no ramificado.
Esquema del algoritmo de ramificación y acotación.
MÉTODO HEURÍSTICO PARA PROBLEMAS BINARIOS
Uso de software (WIN QSB,TORA, DS for Windows, LINGO, LINDO, Y OTROS) WinQSB Es un sistema interactivo de ayuda a la toma de decisiones que contiene herramientas muy útiles para resolver distintos tipos de problemas en el campo de la investigación operativa. TORA Es un programa para resolver problemas de PL. TORA no se instala, ya que es un programa para ser operado bajo el Sistema Operativo MS-DOS. DS for Windows durante mucho tiempo fue un gran aliado a la hora de tomar decisiones, ya que nos brindo mucha ayuda con respecto a los cálculos, ahora bien, es un software algo viejo, Pearson, compañía dedicada a su creación, desde hace tiempo ya lo elimino del mercado, lo cambio por uno llamado POM-QM, es idéntico al DS. Además a esto añaden la opción de un nuevo software con todas las características pero asociadas a Excel, es decir trabajar directamente sobre Excel, esto nos ayuda mucho si trabajamos solo en esas hojas de calculo. Recomiendo que lo prueben, además de ser una valiosa herramienta para el ingeniero actual. LINGO es una herramienta diseñada para construir y resolver modelos de optimización matemática. LINGO proporciona un paquete integrado que incluye un potente lenguaje para expresar modelos de optimización, un ambiente con todas las funciones para los problemas de construcción y edición, y un conjunto de solucionadores rápidos incorporados, capaces de resolver de manera eficiente la mayoría de las clases de modelos de optimización. LINDO LINDO es una aplicación para computadoras que se utiliza para resolver problemas de programación lineal, cuadrática y entera. Desde 1979 el programa LINDO ha sido una de las herramientas de optimización favoritas de las comunidades Educativas y Empresariales. LINDO Systems se ha dedicado a proveer poderosas e innovativas herramientas de optimización que también son flexibles y muy fáciles de usar. LINDO tiene una larga historia y es uno de los pioneros en crear poderosos programas de optimización. Antes que aparecieran Lotus 1-2-3 o Excel, LINDO había sido incorporado a la planilla de cálculo VisiCalc, el paquete se llamó VINO y es el equivalente del SOLVER que viene con Excel. En estos momentos existe una hoja de cálculo llamada WHAT´S Best! la cual se integra a EXCEL o LOTUS 12-3; ésta resuelve problemas de optimización con algoritmos de LINDO Systems.
