Instituto Tecnológico de Acapulco
Materia: Investigación de Operaciones Maestro: Juan Manuel Rodríguez Vázquez Alumno: Pedro Camacho Martínez Unidad: 5 Líneas de espera Grupo: 10-11/709 Fecha: 06/12/2012
Índice
5.1 Definiciones Líneas de Espera características y suposiciones 5.2 Terminología Notación Líneas de Espera 5.3 Proceso Nacimiento Muerte Líneas de Espera 5.4.1 Modelos Poisson un Servidor 5.4.2 Modelos Poisson Múltiples Servidores Fuentes de información Anexos
UNIIDAD 5 LINEAS DE ESPERA
5.1 Definiciones Líneas de Espera características y suposiciones
PROCESO BÁSICO DE LAS LÍNEAS DE ESPERA. Una situación de línea de espera, se genera de la siguiente manera: El cliente llega a una instalación se forma en un línea de espera. El servidor elige a un cliente de la línea de espera, para comenzar el servicio. Al término del servicio se repite el proceso de elegir un nuevo cliente. Cliente.- Unidades que entran al sistema para recibir un servicio. Pueden ser personas, cartas, carros, incendios, ensambles intermedios en una fábrica, etc. Servidor.- Unidades encargadas de prestar un servicio. Pueden ser las cajas en un banco, en un supermercado, unidades de emergencias, un médico, una maquina, etc. Disciplina de servicio.- Regla establecida para proporcionar un servicio a un cliente en la línea de espera. Sistema de cola Disciplina de la cola Llegadas
Col a
Mecanismo de servicio
PROCESO DE ENTRADA. (PROCESO DE LLEGADA) Este proceso se refiera a la forma en que surgen y llegan los clientes a la instalación. Una característica muy importante es el tiempo entre llegadas (tiempo de llegadas) que es tiempo que transcurre entre dos llegadas consecutivas. Este tiempo entre llegadas puede ser de dos clases: Determinístico: Cuando constante.
los
clientes
llegan
a
un
intervalo
de
tiempo conocido de forma
Probabilístico: Cuando se considera al tiempo de llegada como una variable aleatoria cuya distribución probabilística se considera conocida. Normalmente se considera que los clientes llegan de forma individual, es decir en un momento dado solo hay una llegada, pero se puede presentar también que la llegadas sean en grupo (en masa). El proceso de entrada podría depender de la cantidad o tamaño de clientes presentes en un determinado tiempo. Si la fuente de fuente de clientes es pequeña, se le nombra fuente como fuente de entrada finita, pero si la fuente de clientes es grande o no se puede determinar su tamaño se conoce como fuente de entrada infinita. (Fuente limitada o ilimitada). Rechazo: Se produce un rechazo cuando, un cliente llega a una instalación y se niega a entrar debido al tamaño de la línea de espera. Abandono: se produce cuando un cliente estando en la línea de espera se sale, debido a que la espera es muy larga.
PROCESO DE SALIDA. (PROCESO DE SERVICIO) Este proceso de refiere a la forma en que son atendidos los clientes por lo servidores. Dentro de este proceso tenemos el tiempo de servicio, que es el tiempo que le toma a un servidor atender a un cliente. Este tiempo pude ser de dos tipos:
Determinístico: Cuando el tiempo de servicio se conoce con exactitud. Probabilístico: Cuando se considera al tiempo de servicio como una variable aleatoria cuya distribución probabilística se considera conocida. En una instalación puede haber más de un servidor, y debido a esto surgen 2
Tipos de líneas de espera: Líneas de espera en paralelo (canales de servicio en paralelo).- Cuando en una instalación hay más de un servidor y todos ofrecen el mismo servicio. Prioridad en el servicio.- aquí se clasifican los clientes en categorías y cada categoría recibe un nivel de prioridad. Líneas de espera en serie (estaciones).- Cuando en una instalación hay más de un servidor en la cuales el cliente tiene que pasar a cada una para completar su servicio. Líneas de espera en red.- En estas instalaciones hay una combinación de líneas de espera en serie y otras en paralelo.
DISCIPLINA EN UNA LINEA DE ESPERA. Como se menciono, la disciplina en una línea de espera es el orden que se atiende a los clientes las cuales pueden ser: Disciplina FCFS (First come, first served) (FIFO). En el cual el cliente que llega primero se atiende primero, es decir según el orden de llegada. Disciplina LCFS (Last come, first served) (LIFO). En el cual el último cliente que llega se atiende primero. Disciplina SIRO (service in random order) Servicio en orden aleatorio. TIPOS DE LÍNEAS DE ESPERA Una cola, un servidor Llegad a
Cola or
Llegad a
Salida
Servid
Una cola, múltiples servidores
Servidor
Salida
Col a
Servid or
Salida
Servidor
Salida
Varias colas, múltiples servidores Colas Llegad a
Servidor
Salida
Colas
Servidor
Salida
Colas
Servidor
Salida
Una cola, servidores secuenciales Llegad a
Cola r
Cola Servido
Servidor
Salida
5.2 Terminología Notación Líneas de Espera
NOTACION KENDALL-LEE.
Esta notación sirve para etiquetar o nombrar a los diferentes modelos de líneas de espera que se pueden tener. La notación consta de 6 números de la forma siguiente: a/b/c/d/e/f Donde los símbolos representan lo siguiente: a = La distribución de tiempo entre llegadas. b = La distribución de tiempo de servicio. c = El numero de servidores en paralelo. d = Tipo de disciplina en el servicio (FCFS, LCFS, SIRO, PRIORIDAD) e = Numero máximo admitido en el sistema (línea de espera + en servicio). f = Tamaño de la población de donde se extrae los clientes.
Para remplazar a los símbolos a y b se usan las siguientes iniciales: M = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución exponencial entrada o salida de Poisson (o Markoviana). D= Cuando el tiempo de llegada o servicio es determinista Ek = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución de Erlangs con parámetro K. G = Cuando el tiempo de llegada o servicio tiene una distribución general (Cualquier distribución arbitraria). Como observamos los elementos básicos para crear un modelo de línea de espera, dependerá de los siguientes factores: Distribución de llegadas. (Individuales o en grupo). Distribución de servicio. (Individuales o en grupo).
Diseño de la instalación (estaciones en serie, paralelo, o en red) Disciplina de servicio tamaño de la línea (finita o infinita) Fuente de los clientes (finita o infinita).
5.3 Proceso Nacimiento Muerte Líneas de Espera
PROCESO DE NACIMIENTO Y MUERTE.
La mayoría de los modelos de colas suponen que las entradas y salidas al sistema de colas, ocurren de acuerdo al proceso de nacimiento y muerte. En este caso un nacimiento se refiere a la entrada de un nuevo cliente y una muerte a la salida de un cliente servido. Este proceso nos sirve para calcular el número de clientes probables que habrá en un sistema en un tiempo determinado t. N (t) número de clientes que hay en el momento t. Este proceso de nacimiento y muerte describe en términos probabilísticos como cambia N (t) al aumentar t. Este proceso hace las siguientes suposiciones:
1 La media de esta función esta dado por:
1 La varianza de esta función es:
2
Aquí se puede observar las siguientes propiedades de esta distribución:
1) La probabilidad de que ocurra un evento siempre es positiva pero menor que 1 2) fT(t) es una función decreciente respecto a t, es decir es más probable que el valor de T este cercano a la media. 3) La distribución de probabilidad del tiempo para que ocurra un evento, no depende del tiempo en que ocurrió el evento anterior, es decir es independiente.
Para calcular la probabilidad de cuál será el número de llegadas en un tiempo determinado, se utiliza la distribución de Poisson (densidad de probabilidad discreta)
Donde X(t) representa el numero de ocurrencias de un evento en un determinado tiempo t. Siempre que t >0, en donde el tiempo cero es el instante donde comienza la cuenta.
5.4.1 Modelos Poisson un Servidor
5.4.2 Modelos Poisson Múltiples Servidores
Cálculos en los modelos de colas Pn = probabilidad que en el estado estable haya n clientes en el sistema Ls = número de clientes que espera halla en el sistema Lq = número de clientes que espera halla en la línea de espera. Ws = Tiempo de espera en el sistema (línea mas servicio) Wq = Tiempo de espera en la línea de espera. (M/M/S) S=1 Y S>1 (M/M/S) VARIACION DE COLA FINITA S=1 Y S>1(COLA FINITA) (M/M/S) VARIACION DE FUENTE DE ENTRADA FINITA S=1 Y S>1 REPARACION DE MAQUINAS (M/M/1)(GD/∞/∞), (M/M/C)(GD /∞/∞) (M/M/1)(GD/N/∞), (M/M/C)(GD/N/∞) VARIACION DE COLA FINITA (COLA FINITA) (M/M/R)(GD/K/K) MODELO DE SERV A MAQ. ORIGEN FINITO (M/M/∞)(GD/∞/∞) MODELO DE AUTOSERVICIO. FORMULARIO DE ACUERDO AL MODELO: En estos modelos utilizaremos las siguientes literale s: λ
=
Tasa de llegadas por unidad de tiempo . μ
= Tasa de
servicio por unidad de tiempo. ρ = Intensidad de tráfico del sistema. 0 = Probabilidad que sistema este ocioso.
j = Probabilidad que haya j clientes en el sistema L
= Cantidad de personas en el sistema. Lq = Cantidad de personas en la cola.
Ls
= Cantidad de personas en servicio.
W = Tiempo promedio que un cliente pasa en el Sistema. Wq = Tiempo promedio que un cliente pasa en la cola. Ws = Tiempo promedio que un cliente pasa en el servidor.
M/M/1/GD/∞/∞ En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio también es exponencial, solo hay un servidor, el número de clientes que se pueden formar en la cola es infinito, y el tamaño de la población también es infinito.
En este modelo las llegadas son de forma exponencial, el tiempo de servicio también es exponencial, solo hay un servidor, el número de clientes que se pueden formar en la cola es C, es decir, después de cierto tamaño en la cola ya no se aceptan clientes, y el tamaño de la población es infinito.
P (j
S )PARA
UN SISTEMA DE COLAS M/M/S/GD /∞/∞
FUENTES DE INFORMACIÓN: http://www.unamerida.com/archivospdf/337%20Lectura6.2.pdf http://metodoscuantitativo2.galeon.com/enlaces2219625.html http://metodosunoydos.galeon.com/enlaces2221688.html http://www.elprisma.com/apuntes/ingenieria_industrial/teoriadecolaslineasdeespera/
ANEXOS
