Septiembre 16 de 2009 Departamento de Física Código: FIS-1043-10 Ciencias Básicas Laboratorio de Física Calor-Ondas Universidad del Norte - Colombia Experiencia: ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA CUERDA TENSA Claudia Marcela García Pertuz Kerim Muvdi Muvdi Email:
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This second physically experiment has like …nality to observe the behavior of a standing , in the case of a string more speci…cally. By transmitting a certain frequency to the object, this will range giving way to the formation of spindles and nodes, being b eing the second point that remains remains motionless. motionless. Standing Standing waves waves aren’t propagating waves, so they are the modes of vibration of an air tube, rope, etc.. Resumen
Esta segunda experiencia física tiene como …n observar el comportamiento de una onda estacionaria estacionaria,, en el caso de una cuerda más especí…came especí…camente nte.. Al transmitir cierta frecuencia al objeto, este oscilará dandole paso a la formación de husos y nodos, siendo los segundos puntos puntos que permanencen permanencen inmóviles. inmóviles. Las ondas estacionarias no son ondas de propagación, sino los distintos modos de vibración de un tubo con aire, una cuerda, etc. INTRODUCCIÓN
Dentro del estudio de oscilaciones, está presente el caso de las ondas estacionarias. cionarias. Para Para el desarrollo desarrollo de la práctica, práctica, ya anteriorm anteriorment entee se conocía conocía un concepto concepto general del tema, y sus aplicaciones aplicaciones en el diario diario vivir. La experiencia experiencia se basó en observar el número de husos que se formaban, a medida que aumentaba mentaba la frecuenci frecuenciaa transmiti transmitida da a la cuerda. El …n era establecer establecer este valor según el patrón de nodos requeridos. OBJETIVOS
OBJETIVO GENERAL: Analizar el comportamiento de las ondas estacionarias. 1
OBJETIVOS OBJETIVOS ESPECÍFICOS: Identi…car ante que condiciones es posible originar este tipo de ondas. Determinar las características de las ondas estacionarias. Relacionar los conceptos de frecuencia, longitud de onda y longitud del ob jeto. MARCO TEÓRICO
La …gura muestr muestraa muest muestra ra una cuerda cuerda …ja en su extremo extremo izquier izquierdo. do. El extremo derecho se sube y baja en movimiento armónico simple para producir una onda que viaja a la izquier izquierda, da, la onda onda relfej relfejada ada viaja a la derech derecha. a. El movimiento resultante cuando las dos ondas se combinan ya no parecen dos ondas que viajan en direccion direcciones es opuestas. opuestas. La cuerda parece subdividir subdividirse se en segmentos.
El patrón de la onda permanece en la misma posición de la cuerda, y su amplitud amplitud ‡uctúa. ‡uctúa. Hay ciertos ciertos puntos puntos llamados nodos que nunca se mueven. A la mitad de camino entre los nodos hay puntos llamados antinodos donde la amplitud amplitud del movimien movimiento to es máxima. máxima. Dado que el patrón patrón no parece estarse moviendo a lo largo de la cuerda, se denomina onda estacionaria . El principio principio de superposició superposiciónn explica como la onda incidente incidente y la re‡ejada re‡ejada se combinan combinan para para formar una onda onda estacionar estacionaria. ia. En la …gura, las curvas curvas rojas indican una onda que viaja a la izquierda. Las curvas azules muestran una onda 2
que viaja a la derecha con la misma rapidez de propagación, longitud de onda y amplitud. En ciertos ciertos instantes, como t = 44T T =16, los dos patrones de onda están exactamente en fase, y la forma de la cuerda es una curva senoidal con el doble de amplitud amplitud que las ondas individua individuales. les. En otros instante instantes, s, como t = 8T =16, las dos ondas están están totalmente desfasadas y la onda total en ese instante es cero. Para el entendimiento de la experiencia, se presentan las siguientes de…niciones: * Ondas Estacionarias: Son aquellas ondas que se forman por la interferencia de dos ondas de la misma naturaleza e igual amplitud, longitud de onda y frecuencia que avanzan en sentido opuesto en un medio. * Frencuencia de una Onda Estacionaria: En las ondas estacionarias la frecuencia dependen de un par de factores que son fundamentales, la longitud y la tensión tensión en la cuerda. Se forman forman nodos en x = 0 y x = L, sabiendo que la cuerda tiene una longitud L. La longitud de la onda esta dada por la ecuación: = 22L=n L=n
donde L es la longitud de la cuerda y n es el modo en el que se encuentra la onda. * Empleamos la relación entre la longitud de onda y la frecuencia con la velocidad de propagación. Para esto empleamos = T . Con esto esto sabemos que la frecuencia esta relacionada con la velocidad de propagación y también con la longitud de la onda. f n =
nv 2L
Con esto podemos sustituir la velocidad de onda que depende de su tensión y su coe…ciente , dando la siguiente ecuación n f n = ( ) 2L
s
T
PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL
1. Primero que todo, se realizó el montaje del sistema. Se conectó el generador de funciones digitales al generador de ondas mecánicas. 2. En el extremo derecho de la cuerda, se colocaron pesas que permitieran la vibración en su modo fundamental a una frecuencia de 25 Hz. 3. Se ajus a justó tó la cantid cantidad ad de masa masa necesari necesaria, a, hasta hasta que los nodos nodos de cada extremos estuvieran de…nidos. 4. Se anotó el valor de la tensión ejercida, la longitud y la frecuencia. 5. Se fue incrementando incrementando la frecuencia, frecuencia, para encontrar encontrar la formación formación de un solo huso hasta la formación de siete husos. 3
6. En cada caso, se tomaron los valores respectivos sobre la frecuencia y la longitud de onda. DATOS OBTENIDOS
Los datos tomados durante la experiencia fueron: Longitud de la cuerda = 1,79 m Masa de las pesas = 500g Tensión de la cuerda = 4,9 N Amplitud = Máxima permitida FRECUENC FRECUENCIA IA (Herz) (Herz) NÚMERO NÚMERO DE HUSOS HUSOS 25 50 74 99 124 149;; 5 149 174
1 2 3 4 5 6 7
Para calcular la densidad lineal de la cuerda ( ), primero que todo, partimos de la ecuación: n f = 2L
s
T
La tensión y la longitud de la cuerda durante el experimento fueron las mismas, así que los valores que varían en el cálculo son la frecuencia, la densidad lineal y el número de husos. 4
=
n2 T 4L2 f 2
La densidad lineal queda con respecto a la variación de frecuencia y número de husos. Interpretando la grá…ca, se observa que estos dos valores aumentan a la par. Así que, tomando a n = 2 , la frecuencia toma el valor de f = 50 (2)2 (4; (4; 9) 2 4(1; 4(1; 79) (50)2 4 4; 9 = 12; 12; 81 2500 = 0; 312(0; 312(0; 00196) = 0; 000612 =
Su valor teórico es: = 00;; 000628
Así que comparando este valor teórico y el valor experimental el porcentaje de error es:
5
%error %error %error %error
=
valor experimental - valor valor teórico 100 valor teórico
0; 000612 0; 000628 0; 000628 0; 000016 100 = 0; 000628 = 2; 547% =
100
ANÁLISIS Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS
Cuando las ondas están con…nadas en el espacio, como en el caso presente de la cuerda, se producen re‡exiones en ambos extremos, y p or consiguiente, existen ondas que se mueven en los dos sentidos que se combinan de acuerdo con el principio de superposición. Dependiendo de la frecuencia, la superposición dará paso a un patrón de vibración estacionario denominado denominado onda estacionaria. Estas frecuencias de resonancia del sistema de la cuerda. frecuencias son llamadas frecuencias Cada una de estas frecuencias y la longitud de onda que la acompaña se llama modo de vibración. La frecuencia de resonancia más baja ba ja se denomina frecuencia fundamental f 1 y produce un primer patrón de ondas estacionarias. La segunda frecuencia más baja f 2 produce un segundo segundo armónico. armónico. El conjunto conjunto de todas las frecuencias resonantes de la cuerda se denomina espectro de frecuencias de resonancia . Mediante la siguiente siguiente grá…ca, se muestran los patrones estacionarios de la cuerda:
Preguntas:
1. ¿Qué ¿Qué tiene tiene que ver ver el fenómeno fenómeno de resona resonanci nciaa con las frecuenc frecuencias ias de vibración de la cuerda? Explique. La resonancia es un fenómeno que se produce cuando un cuerpo capaz de vibrar es sometido a la acción de una fuerza periódica, cuyo periodo de vibración coincide con el periodo de vibración característico de dicho cuerpo. Cuando la frecuencia de la fuerza oscilante, la que marca el generador coincide con alguno de los modos de vibración de la cuerda, la amplitud de su vibración se incrementa notablemente, presentándose una situación de resonancia. Ya una vez estableci establecida da la velocidad velocidad de propagación propagación o la la tensión de la cuerda, vamos cambiando la frecuencia de la fuerza oscilante para buscar los distintos modos de oscilación de la cuerda. 2. ¿Cuál ¿Cuál es el modelo matemático matemático que mejor relaciona relaciona las frecuencias frecuencias y el # de husos? Encuentre ésta relación e interprétela. ¿Qué concluye? 6
La ecuación f n =
n 2L
q
T
, es la que mejor relaciona la frecuencia con el
número de husos. La grá…ca es una línea recta, cuya pendiente es: df 1 = f n = dm 2L
s
T
La pendiente es la frecuencia en estado fundamental, esto quiere decir que las frecuencias frecuencias posteriores posteriores siempre siempre van a ser mayores mayores que la fundamenta fundamental.l. Si nos basamos en la ecuación, deducimos que el número de husos que se formaran en la cuerda, aumentaran junto con el valor de la frecuencia.
q
3. ¿En la formula de las cuerdas, f = 2nl T , n = 1; 2; 3;::; que signi…cado físico tiene “n”? En el experimento realizado, los valores de la tensión y la densidad lineal fueron fueron constant constantes, es, se trabajó trabajó sin variación variación alguna. Ahora Ahora bien, nuestra nuestra obserobservación se basó en la diferencia de frecuencia, con respecto a la formación de husos en la cuerda. Matemáticamente, esto se puede expresar: cuando n = 1 , L = 2 . Esto quiere decir, que en la longitud de la cuerda, se presenta media longitud de onda. 7
cuando n = 2 , L = . En este caso, tenemos presente una longitud de onda en la cuerda. Y de igual manera se deduce en los demás casos. n, nos permite identi…car las longitudes de ondas presentes en la cuerda, teniendo en cuenta que a medida que la frecuencia aumenta, la vibración transmitida a la cuerda también lo hará, viendose re‡ejado en la onda estacionaria resultante. 4. ¿Qué sucede con la rapidez de una onda en una cuerda tensa cuando se duplica la frecuencia? Supóngase que la tensión en la cuerda permanece igual. Por la ecuación: v=
s
T
vemos, vemos, que la rapidez no depende de la frecuenci frecuencia, a, sino de la tensión. tensión. Al ser constante la tensión, no habrá variación en la velocidad de propagación de la onda. También ambién podemos hacer la analogía analogía con la onda senoidal, senoidal, donde la velocidad solo depende del factor fuerza, dividido entre el factor masa, que en este caso corresponde a la densidad lineal. No in‡uye la frecuencia de la onda respecto a la velocidad con que se propague, puesto que es la misma. 5. ¿Qué ¿Qué ocurre con la longitu longitudd de onda onda en una cuerda cuerda tensa tensa cuando cuando se duplica la frecuencia? Supóngase que la tensión en la cuerda permanece igual. La ecuación de frecuencia de una onda es: f n =
1 n
s
T
Se observa que la frecuencia es inversamente proporcional a la longitud de onda. De manera que si la frecuencia se duplica, la longitud de onda se reducira a la mitad. CONCLUSIONES
De la práctica realizada durante el laboratorio, sobre las ondas estacionarias en una cuerda tensa, se destacan las siguientes a…rmaciones que refuerzan el concepto general que se tiene del tema y concluyen el informe: - Las ondas estacionar estacionarias ias son el resultado resultado de una superposición superposición de ondas transversales al re‡ejarse, ya que el extremo del medio donde se propagan, es …jo. 8
- En el caso de una onda estacionaria, el patrón de onda no se mueve, sino las partículas de la cuerda. - En caso de que la tensión sea un valor constante, su longitud de onda dependerá inversamente de la frecuencia aplicada, es decir, el número de husos aumenta con la frecuencia. REFERENCIAS REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS BIBLIOGRÁFICAS
Física Física para la ciencia y la tecnología. tecnología. Volumen olumen 1B, Oscilacio Oscilaciones nes y ondas. ondas. Editorial REVERTÉ (2003) Física Universitaria. Sears y Zemansky. Undécima Edición, Vol 1. Editorial Pearson Otros:
http://es.wikipedia.org/wiki http://es.wikipedia.org/wiki/Resonancia_(m /Resonancia_(mec%C3%A1ni ec%C3%A1nica) ca) http://www.sc.ehu http://www.sc.ehu.es/sbw .es/sbweb/…sica/ondas/esta eb/…sica/ondas/estacionarias/estacion cionarias/estacionarias.html arias.html
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