1
matematički praktikum 1. ODREĐENI INTEGRAL
1.1 DEFINICIJA ODREĐENOG INTEGRALA Istorijski gledano, prvi problem u čijem r ješavanju je korišćen pojam određenog integrala bio je problem određivanja površine ravne figure. O površini poligona (mnogougla), kao i o površini kružne površi i njenih djelova, bilo je riječi i ranije. Sada ćemo govoriti o računanju površina figura opštijeg tipa. Pri tome ćemo se osloniti na intuitivnu predstavu o površini, da se ne bismo u puštali u razmatranje pitanja definisanja i egzistencije površine proizvoljne pro izvoljne ravne figure.
Nalaženje površina površina mnogih ravnih figura može se svesti na nalaženje površina površina tzv. krivolinijskih trapeza. Krivolinijskim trapezomu ravni Oxy nazivamo svaku figuru k oja oja je ograničena nekom krivom y f x pravim linijama x a i x b i x-osom (sl.1). Pri tom se pretpostavlja da je funkcija f x neprekidna i da je f x 0 za x a , b . Površina takve figure približno se može izračunati na sledeći način: Podijelimo odsečak a, b na n delova tačkama x1, x2, x3,…. xn-1 i x0 a, x n b pri čemu je x0 < x1 < x2 < . . . < x n-1 < xn (sl.1). Ako kroz deone tačke povučemo prave paralelne sa y-osom, podijelićemo podijelićemo polazni krivolinijski kr ivolinijski trapez t rapez na n manjih krivolinijskih trapeza. Zamijenimo svaki od ovih trapeza jednim pravougaonikom, uzimajući za „osnovicu" pravougaonika odsečak nad kojim je uočeni krivolinijski trapez konstruisan, a za „visinu" ordinatu tačke na krivoj koja odgovara, recimo, recimo, lijevom kraju odsečka o dsečka.. Tako smo cio polazni krivolinijski trapez zamijenili „stepenastom" figurom sastavljenom od n pravougaonika, pravougaonika, čije „osnovice" „osnovice" su odsečci [ x0 , x1], [x1,x2], [x2, x3],. . ., [xn-1,xn], a „visine" su im jednake f x0 , f x1 , f x2 ,.... f xn1 (sl. ( sl. 1). Površina P krivolinijskog trapeza približno je jednaka zbiru zbiru površina ovih pravougaonika: pravougaonika:
sl.1. P f x0 x0 f x1 x1 f x2 x2 .... f xn1 x n1
n 1
0 f x x i
i
i
pri čemu je sa x i označena razlika xi 1 xi za i 0,1,2,3,...n 1. Što su podeoci manji to je zbir površina pravougaonika pravougaonika bliži površini krivolinijskog trapeza. Aku dužinu dužinu najvećeg najvećeg podeoka
matematički praktikum
2
označimo sa , površinu krivolinijskog trapeza možemo zapisati ovako: n 1
0 f x x
P lim
i
0
i
i
Neka je u svakom podeoku ove podjele, na proizvoljan način, izabrana po jedna tačka, tj. neka je u i-tom podeoku uzeta tačka i za i 0,1,2,3,...n 1. Zbir
n 1
0 f x x i
i
i
nazivamo integralnom sumom funkcije f x koja odgovara podjeli i određenom izboru tačke i integralne sume kad teži nuli onda tu graničnu vrijednost nazivamo određenim integralom funkcije f x na intervalu a, b i označavamo: Definicija: Ako postoji granična vrijednost b
I f x dx a
1.2. OSOBINE ODREĐENOG INTEGRALA
1°
2° 3°
b
b
a
a
k f x dx k f x dx b
b
b
a
a
a
f x g x dx f x dx f x dx Ukoliko se donja i gornja granica integracije podudaraju, određeni integral je jednak nuli,
a
f ( x)dx 0 . a
4°
U određenom integralu možemo zamijeniti granice, ali uz izlučivanje minusa ispred integrala,
odnosno, vrijedi 5°
b
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx .
Ukoliko odaberemo tačku c takvu da je
a c b , tada je
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx a
6°
Ako je funkcija
f parna, tj. vrijedi f ( x ) f ( x ) , onda je
a
f ( x)dx 20 f ( x)dx .
a a
7°
Ako je funkcija
f neparna, tj. f ( x ) f ( x ) , onda je
f ( x)dx 0 a
Mi se nećemo mnogo baviti izračunavanjem određenog integrala na osnovu njegove definicije, jer postoje mnogo jednostavnije metode za izračunavanje određenog intergrala pomoću neodređenog. Ta metoda je data Newton-Laibnizovom formulom.
matematički praktikum
3
Veza između određenog i neodređenog integrala funkcije f na a, b data je Newton-Leibnizovom formulom: b
b
f ( x) dx F ( x) a F (b) F ( a)
a
1.3. METODE INTEGRACIJE
Kao i kod neodređenog integrala i pri računanju određenog integrala često se koristi tehnika zamjene integlane promjenljive. Pri tom se koristi jedna od sledeće dvije metode:
a) izvršimo zamjenu integralne promjenljive i računamo određeni integral-nakon što nađemo primitivnu funkciju vraćamo se na prvobitnu promjenl jivu; ovaj postupak ne zahtijeva promjenu granica integracije b) integralnu promjenljivu mijenjamo direktno u određenom integralu – ovaj postupak podrazumijeva i promjenu granica integracije. Smjena promjenljivih
4
Primjer: Izračunati integral 4
Rješenje:
x
0 x 3
dx
x
x 3
x
0 x 3 dx x 3 t
dx dx dt x t 3
t 3 t
dt dt 3
4
x 3 3 ln x 3 | 7 3 ln 7 3 3 ln 3 4 3 ln 7 3 ln 3 0
(zamjena promjenljivih bez promjena granica integracije)
dt
t x 3 3 ln x 3
matematički praktikum
4 3
x
2 1 x 4 dx
Primjer: Izračunati integral
t 1 2 2 4 t x t 2 32 9 2
3
Rješenje:
x
2 1 x 4 dx
dt 2 xdx xdx
1 dt 2
9
9 1 1 1 1 dt arctgt | arctg9 arctg 4 2 4 1 t 2 2 2 4
(zamjena promjenljivih sa promjenom granica integracije)
Parcijalna integracija
Neka su funkcije u i v neprekidne na odsječku [a,b] i neka na tom intervalu imaju neprekidne izvode u' (x) i
v' (x) , tada važi formula: b
b
b
u dv u v | v du a
a
a
1
0 e
Primjer: Izračunati integral 1
Rješenje:
0 e
x
dx
u x
x
dx
du dx
x
dv e dx v e
1
1
0
0
x
x
dx e
x
1
x e | 0
1
0 e dx x e x
x
1
1
| e x dx
0
0
e 1 e x | e 1 e x | e 1 e 1 e 0 e 1 e 1 1 1 2e 1
2. PRIMJENE ODREĐENOG INTEGRALA
2.1. IZRAČUNAVANJE POVRŠINA RAVNIH FIGURA Kada smo razmotrili problem površine krivolinijskog trapeza, prij e uvođenja pojma određenog integrala, konstatovali smo da je površina krivolinijskog trapeza jedna ka graničnoj vrednosti suma specijalnog tipa. Imajući u vidu definiciju određenog integrala sada možem o u tim specijalnim sumama prepoznati integralne sume, doduše ne bilo kakv e, već dobijene biranjem tačaka i tako da se i u i-tom podeljku uočene podele poklapa sa l ijevim krajem tog podeljka. Međutim, kad određeni integral postoji, npr. kad je funkcija f neprekid na, tada način biranja tačaka nije bitan, tj. za sve izbore se dobija ista granična vrednost integralnih suma. To znači da je u takvom slučaju površina krivolinijskog trapeza jednaka određenom integralu funkcije f na uočenom ods ječku [a,b]. Formulisaćemo ovaj zaključak kao teoremu.
matematički praktikum
5
i neprekidna na odsečku [a,b] i neka je f x 0 za x a, b Tada je površina P krivolinijskog trapeza ispod krive y f x nad odsečkom [a,b] jednaka Teorema: Neka je funkcija f definisana
b
određenom integralu funkcije f na odsečku [a,b] tj.
P f x dx a
Geometrijska interpretacija određenog integrala, iskazana predhodnom teoremom, daje mogućnost da se površina krivolinijskog trapeza izračunava pomoću određenog integrala. To predstavlja osnovu za izračunavanje površina ravnih figura opštijeg tipa pomoću određenog integrala. Neka je figura F u ravni O xy ograničena krivim linijama C 1 : y f 1 x , x a, b i C 2 : y f 2 x , x a, b pri čemu su funkcije f 1 i f 2 neprekidne na odsečku a , b i f 1 x f 2 x 0 za x a, b i pravama x a i x b (sl. 1). Ako je T 1 krivolinijski trapez ispod krive C1 a T ispod krive C2 oba nad odsečkom a, b tada se figura F može predstaviti kao razlika figura T1 i T 2: F = T 1 \T 2. (Pri tom ne vodimo računa o rubnim tačkama ovih figura jer na veličinu površine figure ne utiče to da li figura sadrži svoje rubne tačke ili ne sadrži.) Površina figure F je sada jednaka razlici površina figura T1i T2, a ove se direktno izražavaju pomoću određenog integrala, tako da je 2
b
b
a
a
PF PT 1 PT 2 f 1 x dx f 2 x dx
sl. 1.
sl. 2. b
Lako možemo uočiti da jednakost
P F
f 1 x f 2 x dx a
važi i u slučaju kad figura F ne leži sva iznad x-ose, tj. kad nisu obe funkcije f 1 i f 2 nenegativne (sl.2). Naime, takva figura se može translirati paralelno y-osi do neke figure F 1 koja leži sva iznad y-ose. Površina figure se pri tom ne mijenja, pa je PF PF 1 , a funkcije f 1 i f 2 zamjenjuju se sa funkcijama g1 x f 1 x k i g 2 x f 2 x k , gdje je k intezitet vektora translacije. b
b
b
a
a
a
Kako je PF 1 g1 x g 2 x dx f 1 x k f 2 x k dx f 1 x f 2 x dx
6
matematički praktikum 2.2. ZAPREMINA OBRTNOG TIJELA
Pomoću određenog integrala možemo računati i zapreminu tijela. Ovde ćemo se ograničiti samo na obrtna tela. Nećemo se baviti definisanjem zapremine tijela, ni pitanjem njene egzistencije, već ćemo obratiti pažnju samo na izračunavanj e.
Neka je jedna funkcija f definisana i neprekidna na odsečku a, b i neka je f x 0 za x a, b . Obrtanjem oko x-ose krivolinijskog trapeza u ravni O xy ograničenog krivom y f x odsečkom [a, b] na x-osi i pravama x=a i x=b nastaje jedno obrgno tijelo K (sl. 1). Da bismo, najprije približno, izračunali zapreminu ovog tijela, podijelimo odseča k [a,b] na n delova tačkama a x0 , x1 , x2 ,..., xn b Ako kroz deone tačke postavimo ravni normalne na x-osu, podijelićemo tijelo K na n manjih obrtnih tijela (sl. 2). Zamijenimo svako od ovih tijela po jednim pravim valjkom, uzimajući za visinu i-tog valjka odsečak [ x ,i xi+1], a za (jednu) njegovu osnovu presek tijela K i ravni normalne na x-osu postavljene, npr., kroz lijevi kraj xi, odsečka [xi, xi+1], i = 0,1, 2,..., n- 1. Tako smo cijelo obrtno tijelo K zamijenili tijelom koje se sastoji od svih valjaka dobijenih na opisani način. Njihove visine su jednake x0 , x1 , x2 ,..., xn1 a poluprečnici njihovih osnova iznose f x0 , f x1 , f x2 ,..., f n1 Zapremina i-tog valjka iznosi f 2 xi xi i predstavlja približnu vrijednost zapremine i-tog manjeg obrtnog tijela, i = 0,1, 2,..., n- 1. Zapremina cijelog tela K približno je jednaka zbiru zapremina svih ovih valjaka: V K
n 1
0 f x x 2
i
i
i
n 1
0 f 2 x x
i
i
i
Što su podeo ci uočene pod jele odsečka [a, b] manji, to je zbir zapremina valjaka bliži zapremini obrtnog tijela. Drugačije rečeno, kad dužina najvećeg podeoka teži nuli, zbir zapremina valjaka teži zapremini tijela K 2 f x x 0 0
V K lim
n1
i
i
i
matematički praktikum
7
S druge strane, kako je funkcija f neprekidna, i funkcija f 2 je takva, pa je integrabilna na odsečku [a, b]. Zbir zapremina valjaka, koji je u gornjem tekstu pridružen uočenoj (inače proizvoljnoj) pod jeli odsečka [a, b] kao približna vrijednost zapremine V (K), tj. zbir
n 1
0 f 2 x x
i
i
i
predstavlja istovremeno i jednu integralnu sumu za funkciju f 2 na odsečku [a, b] pridruženu uočenoj pod jeli odsečka. Iz integrabilnosti funkcije f 2 sada slijedi da ta integralna suma teži integralu b
f 2 x dx a
kad teži nuli. Dakle, zapremina obrtnog tijela K jednaka je ovom integralu. Formulisaćemo dobijeni zaključak kao teoremu. Teorema Neka
je funkcija f definisana i neprekidna na odsečku [a, b] i neka je f(x) 0 za svako x a, b Tada je zapremina obrtnog tijela K, koje nastaje obrtanjem oko x-ose krivolinijskog trapeza ispod krive y f x nad odsečkom [a, b] jednaka b
V f 2 x dx a
Primer:
Pokazati da zapremina loptinog sloja, koji ima visinu h i poluprečnike osnova iznosi
V
h
6
r 1
i
r 2
3r 12 3r 22 h 2
Rješenje Obelježimo sa R poluprečnik lopte iz koje je isečen sloj čiju zapreminu treba da izračunamo. Lopta poluprečnika R može se dobiti obrtanjem oko x-ose kružne površi x2 y 2 R2 Uočimo na odsečku [0,R] na x-osi tačke a i b takve da je b - a = h , R2 a 2 r 12 i R2 b2 r 22 (sl. 3 ). Ravni kroz tačk e a i b normalne na x-osu odsijecaju od uočene sfere sloj visine h i poluprečnika osnova r 1 i r 2 . Jasno je da ovaj sloj nastaje obrtanjem krivolinijskog trapeza ispod krive ispod krive odsečkom [a, b]
y R2 x2
nad
matematički praktikum
8
Prema formuli njegova zapremina je: b
2 x 3 b 2 b 3 a 3 2 | R b R a V R x dx R x 3 3 a a
3
2
2
3 R 2 b a b aa 2 ab b 2 b a 3 R 2 a 2 ab b 2 3
b a
3
3 2 3 2 1 2 2 3 R 2 a 2 b 2 b a
b a
b a
6 6
2.3.
6 R 2 3a 2 3b 2 b a 2 3 R 2 a 2 3 R 2 b 2 b a 2 6h 3r 12 3r 22 h 2
IZRAČUNAVANJE DUŽINE LUKA KRIVE
Pogledaćemo još kako se pomoću određenog integrala može izračunati dužina luka krive linije u ravni. Izbeći ćemo i ovog puta navođenje definicije i razmatranje pitanja egzistencije.
Neka je u ravni Oxy zadata kriva y f x gde je f neprekidna funkcija sa neprekidnim izvodom. Uočimo luk ove krive od tačke sa apsciso m a do tačke sa apscisom b (sl. 1.), U nameri da dužinu
sl. 1
sl.2
uočenog luka izračunamo približno, podijelimo segmenta a, b na n djelova tačkama a x0 , x1 , x2 ,..., xn b i povučimo kroz deone tačke prave paralelne osi Oy . Na taj način se razmatrani luk krive podijeli takođe na n manjih djelova. Svaki od ovih djelova može se zamijeniti tetivom koja spaja njegove krajnje tačke, a njegova dužina dužinom te tetive kao približnom vrednošću. Izračunajmo dužinu bilo koje, i-te, od ovih tetiva. Njene krajnje tačke su tačke sa apscisama xi i xi+1
matematički praktikum
9
na razmatranoj krivi, obelježimo ih sa A i i Ai+1 ( i 0,1,2,..., n 1 ) (sl. 1). Iz pravouglog trougla Ai Ai+1Mi neposredno se dobija da je Ai Ai 1 Ai M i2 Ai 1 M i2 xi2 k i2 xi2
1 k i2 xi
gdje je k i koeficijent pravca tetive Ai Ai+1 i xi xi1 xi , i 0,1,2,..., n 1 Sa slike 2 vidi se da je k i jednak koeficijentu pravca tangente krive y f x u nekoj tački sa apcisom i gdje je xi i xi 1 . Na osnovu geometrijskog tumačenja pojma izvoda, dakle, možemo pisati da je
k i f i ,
a
Ai Ai 1
1 f i 2 xi za i 0,1,2,..., n 1
Kako je dužina i-tog od n manjih lukova približno jednaka dužini tetive A i Ai+1 kao što smo već istakli, to je dužina cijelog uočenog luka krive y f x približno jednaka zbiru dužina svih takvih tetiva, za i 0,1,2,..., n 1 tj. l
n1
0
1 f i 2 xi
i
Kada dužina najvećeg podeljka uočene pod jele odsečka a, b teži nuli, jasno je da će gornji zbir težiti, s jedne strane, traženoj dužini luka date krive, a sa druge strane, određenom integralu b
1 f 2 x dx
a
jer iz pretpostavljene neprekidnosti funkcije
f
(izvoda funkcije f ) sledi da je funkcija
1 f 2 x
takođe neprekidna, pa zato i integrabilna na odsečku a, b . Jasno je, inače, da gornji zbir predstavlja i jednu integrabilnu sumu ove funkcije, pridruženu uočenoj podeli odsečka a, b .Prema tome, važi jednakost b
l
1 f 2 x dx
a
Izvedeni zaključak ćemo formulisati u obliku teoreme. Teorema: Neka
je u ravni Oxy zadana kriva y f x gdje je funkcija f neprekidna i ima neprekidan izvod na odsječku a, b . Tada dužina luka l krive od tačke sa apcisom a do tačke sa apcisom b iznosi b
l
a
1 f 2 x dx
