1.0 UVODNA RAZMATRANJA 1.1 EKSPERIMENT KAO OBJEKAT NAUČNOG ISTRAŽIVANJA Matematička teorija eksperimenta predstavlja jednu od novijih naučnih disciplina čiji je objekat naučnog istraživanja–eksperiment. Reč eksperiment potiče od latinske reči eksperimentum koja znači opit ili ogled. U proučavanjima zakonitosti pojava i procesa u prirodi i tehničkim sistemima eksperiment se već više vekova koristi kao jedan od osnovnih, poznatih metoda. Još je Galilej smatrao da i teorijsko postavljanje zakonitosti u fizici počiva na eksperimentu koji nije “materijalno” izveden, već se sprovodi u mislima sa ciljem da se pruži odgovor na pitanje i razotkrije priroda. Prvi moderni filozof nauke Fransis Bekon (1561-1626) je u svome delu “Unapreñenje nauke” ukazao da činjenice mogu da se prikupljaju prema nekom unapred utvrñenom planu i da onda prolaze kroz jedan logičan proces, iz kojeg bi trebalo da proizañe ispravan zaključak. Mnogi naučnici su u prošlosti izvodili sami svoje eksperimente (Njutn, Devi, Maksvel, Tesla i drugi.). U raznim naučnim oblastima eksperimenti mogu imati razne uloge i značaj. U fundamentalnim naukama, recimo u fizici, eksperiment može predstavljati kontrolu teorijski postavljene hipoteze potvrñujući je ili odbacujući. Kelvin je recimo teoriju poredio sa mlinom, a eksperiment sa zrncima žita. Za dobru pogaču je potrebno obadvoje, ali će osobine pogače zavisiti od zrna. Još veći značaj eksperiment ima u primenjenim naukama, jer ako neka postavka nauke treba da bude primenjena na stvarnost, neophodan je eksperimentalni dokaz, a često i neka dodatna informacija koja se može dobiti jedino eksperimentom. U primenjenim naukama eksperiment je ponekad jedini izvor saznanja, pošto se njime često dolazi do nedovoljno poznatih ili suviše složenih pojava. To je jedan od razloga što se eksperimentu pridaje značajno mesto u nauci. Neke procene ukazuju da se čak 80÷90 % istraživača u oblasti tehnoloških sistema bavi eksperimentalnim istraživanjima. Do dvadesetih godina ovog veka metodologija procesa eksperimentalnog istraživanja oslanjala se pretežno na intuiciju, iskustvo i vlastito znanje istraživača. Pojava složenih objekata istraživanja, brzi razvoj eksperimentalne tehnike, ekonomski i tehnički zahtevi za smanjenje broja i trajanja nekada veoma skupih eksperimenata i potreba za pouzdanijim rezultatima ispitivanja, uslovili su nastanak matematičke teorije eksperimenta. Novije etape razvoja matematičke teorije eksperimenta počinju 1951. godine i odnose se na područje planiranja eksperimenata, jedne od najznačajnijih celina ove teorije. Te godine je Box prvi primenio statistički višefaktorni metod planiranja eksperimenta pri proučavanju optimizacije procesa hemijske tehnologije, a značajan doprinos su dali i Wilson i Nalimov. U oblasti proizvodnog mašinstva metoda planiranja eksperimenta prvi put se primenila 1964. godine prilikom ispitivanja postojanosti alata.
1
1.2. KLASIČNI I SAVREMENI PLANOVI EKSPERIMENTA ZASNOVANI NA STATISTIČKOJ MATEMATICI Neka pojava, proces ili stanje tehničkog sistema mogu se proučiti primenom analitičkog ili eksperimentalnog metoda, tj. korišćenjem odreñenih procedura razvijenih u okviru ovih dveju metoda saznanja. Najčešće se, meñutim, u spoznaji objekata istraživanja koriste procedure i jedne i druge metode i to tako što se primena ovih procedura odvija uzastopno, jedna za drugom sve dotle dok se ne postigne cilj istraživanja. Polaznu osnovu eksperimentalne metode-metode eksperimentalnih predstavlja metod planiranja eksperimenta, odnosno izbor tipa i njegove strukture.
istraživanja,
Istorijski gledano u okviru metode eksperimentalnih istraživanja postoje dva bitna, meñusobno različita koncepta planiranja eksperimenta. To su klasična i savremena teorija planiranja i izvoñenja eksperimenata i analize eksperimentalnih rezultata. Klasična teorija eksperimentalnih ispitivanja se temelji na eksperimentalnim planovima jednofaktorne analize. Koncept ove teorije pri ispitivanju neke pojave svodi se na merenje samo jednog faktora, dok se vrednosti ostalih faktora zadržavaju na odreñenim konstantnom nivou. Ova eksperimentalna procedura se ponavlja na svim obuhvaćenim faktorima. Bitna mana ovakvog načina izvoñenja eksperimenata je veliki broj skupih i dugotrajnih eksperimenata i nemoć da se utvrdi stepen interakcije datih faktora. Ako se eksperimenti ne ponavljaju, za -k obuhvaćenih faktora i -n nivoa variranja svakog faktora, ukupan broj eksperimenata će biti:
N = k ⋅ (n − 1) + 1
(1.1)
U osnovi savremene teorije eksperimentalnih ispitivanja sadržani su planovi statističke višefaktorske analize. Pomoću ovih višefaktornih planova može se izvršiti: • • •
matematičko modeliranje pojava, procesa i sistema u prostoru i vremenu, proučavanje prirode unutrašnjih mehanizama pojava i procesa i optimiranje i optimalno upravljanje procesima u tehničkim sistemima.
Višefaktorne eksperimentalne planove, u odnosu na planove jednofaktorne analize, karakterišu dva osnovna obeležja: • •
minimalni broj eksperimantalnih tačaka rasporeñenih u eksperimentalnom hiperprostoru, što ima za posledicu višestruko niže troškove i kraće vreme trajanja eksperimentalnih ispitivanja procesa i sistema i maksimum informacija o efektima matematičkog modela procesa.
Savremeni metod eksperimentalnih ispitivanja oslanja se na kibernetički princip “crne kutije”. Sistem ”crne kutije” predstavlja jednostavan model realnog složenog difuznog sistema, čiji su unutrašnja struktura, mehanizam interakcije i zakonitost tog procesa nepoznati ili delimično poznati. (slika1.1).
2
Jedino su poznati ulazi: r • x - vektor kontrolisanih ili upravljačkih faktora i r • z - vektor nekontrolisanih faktora koji obuhvata i poremećajne faktore. i izlazi: r • y - vektor karakteristika procesa. r z r z r x
OBJEKAT ISTRAŽIVANJA
r y
r x
r y
OBJEKAT ISTRAŽIVANJA
MODEL
(
r r r y Mi = f i x, y, b
)
r yM
r z
Slika 1.1: Kibernetički princip modeliranja objekta istraživanja
Upravo optimalni višefaktorni optimalni planovi omogućavaju da se istraži “crna kutija”, odnosno, da se identifikuju pojave i mehanizmi procesa, postavi matematički model procesa r r r iznalaženjem matematičke zavisnosti izmeñu ulaza ( x , z ) i izlaza ( y ) procesa i optimizira tok procesa na osnovu odgovarajućih funkcija cilja. Pri tome su razvijeni pouzdani kriterijumi i matematičko-statistički algoritmi za ocenu adekvatnosti modelskog opisivanja preko konkretne r r r funkcije ili funkcije stanja y mi = f(x, z, b) realnog objekta ispitivanja predstavljenog “crnom kutijom”. OPERATIVNI PROGRAM EKSPERIMENTA
PLAN EKSPERIMENTA (ORTOGONALNI PLAN)
CILJ ISTRAŽIVANJA
ANALIZA REZULTATA, KOREKCIJA MODELA I PLANA EKSPERIMENTA
MODELI
Slika 1.2: Koncepcija savremenog metoda eksperimentalnih ispitivanja. Opšta metodološka koncepcija savramene metode eksperimentalnih ispitivanja prikazana je na slici 1.2. Metodologija se sastoji od lanca sukcesivnih ciklusa grupisanih oko cilja
3
istraživanja. Svaki ciklus se sastoji od četiri uzastopne etape čiji su osnovni sadržaji model, plan eksperimenta, program eksperimenta i matematička analiza eksperimenta. U odnosu na cilj ispitivanja i postavljeni polazni model, u početku ciklusa se planira i izvodi odreñeni broj eksperimenata. Na osnovu analize rezultata ispitivanja, utvrñuje se novi plan i program eksperimenta narednog ciklusa. Proces se nastavlja sve do postizanja željenog cilja, dok se ne prouči konkretna pojava, proces ili sistem. Osnovna obeležja svakog ciklusa su: • • • •
počinju sa odreñenim modelom, svi kontrolisani faktori se variraju istovremeno, u prethodnom ciklusu se dobijaju dovoljno precizne informacije za planiranje i realizaciju sledećeg ciklusa, eksperimentalni rezultati i ostala informativna graña prethodnog ciklusa koriste se u narednom ciklusu.
1.3 PODELA EKSPERIMENTALNIH PLANOVA Opšta podela planova polazi od kriterijuma njihovog istorijskog nastanka, pa se prema ovom kriterijumu eksperimentalni planovi mogu podeliti u dve grupe. Prvu grupu čine klasični eksperimentalni planovi ili planovi jednofaktorne analize. Druga grupa obuhvata moderne, višefaktorne planove, koji se mogu podeliti na osnovu nekoliko kriterijuma, kao što su broj faktora u planu, red plana, cilj plana itd. Tako se moderni eksperimentalni planovi dele: 1. prema broju faktora na : • jednofaktorne planove, • dvofaktorne planove, • trofaktorne planove i • višefaktorne planove. 2. prema redu plana (stepenu modela) na : • planove prvog reda, • planove drugog reda i • planove višeg reda. 3. prema cilju koji se postiže eksperimentalnim ispitivanjem na: • planove za selekciju i rangiranje skupa ulaznih faktora (planovi za analizu signifikantnosti ili sekcioni planovi), • planove za otkrivanje i proučavanje zakonitosti datih pojava i procesa, • planovi za optimizaciju i optimalno (adaptivno) upravljanje datim pojavama, procesima ili sistemima (optimizacioni planovi). Sem ovih, koriste se i drugi kriterijumi podele: 4. prema vrsti statističke metode ispitivanja: • disperzioni planovi i • regresioni planovi.
4
5. prema karakteru ponavljanja eksperimenata: • planovi bez ponavljanja, • planovi sa ponavljanjem u jednoj ili više tačaka u planu, • na planu ili izvan plana sa istim ili različitim brojem ponavljanja u pojedinim eksperimentalnim tačkama. 6. prema potpunosti i parcijalnosti plana. 7. prema tipu i kriterijumu optimalnosti plana: • D - optimalni planovi, • A - optimalni planovi, • G - optimalni planovi. 8. prema centričnosti plana: • centralni planovi, • centralni kompozicioni planovi.
1.4 OSNOVNE METODE U TEORIJI EKSPERIMENTA Kao što je već rečeno moderna teorija eksperimentalnih ispitivanja obuhvata planiranje eksperimenta sa projektovanjem i analizom eksperimentalnih planova, operativnu realizaciju projektovanih eksperimenata i matematičku obradu rezultata eksperimenata. Pri ovome se koriste dve osnovne statističke metodologije, poznate pod imenom disperziona i regresiona analiza. Osnovni zadatak disperzione analize je odreñivanje signifikantnosti (značajnosti) i stepena interaktivnosti datog skupa faktora (x 1 , x 2 ,..., x k ) na karakteristike stanja objekta ispitivanja (y1 , y 2 ,..., y k ) . Disperzionom analizom se dati skup faktora prvo deli na dve grupe, jednu koja bitno utiče na izlazne karakteristike i drugu čiji uticaj nije bitan na njih. Zatim se prva grupa faktora rangira po vrednosti stepena uticaja na izlazne karakteristike. Ovaj postupak selekcije i rangiranja je od izuzetnog značaja u teoriji eksperimenata. Poznato je, naime, da se pri proučavanju objekta ispitivanja u proces ispitivanja moraju uključiti svi faktori čija je signifikantnost uticaja na izlazne karakteristike procesa nesumnjiva ili se smatra da bi to mogla biti. Izostavljanjem samo jednog značajnog faktora znatno se povećava veličina greške eksperimenta što može da ima za posledicu greške u interpretaciji stanja i ponašanja objekta ispitivanja. Sa druge strane, istraživač je često suočen pri proučavanju složenih pojava pored velikog broja faktora i sa problemom nepoznavanja stepena uticaja obuhvaćenih faktora na objekat ispitivanja. Naravno da svi obuhvaćeni faktori nisu značajni, ali pošto ne postoje prethodne informacije o njihovoj nesignifikantnosti ne sme se ni jedan faktor isključiti iz procesa ispitivanja. Meñutim, uvoñenje svih faktora (meñu njima i nesignifikantnih) u proces eksperimentalnog ispitivanja ima za posledicu vrlo dugotrajna i skupa istraživanja. Stoga rangiranje skupa ulaznih faktora prema njihovom uticaju na izlazne karakteristike objekta ispitivanja, što je krajnji cilj disperzione analize, ima izuzetan značaj u teoriji eksperimentalnih istraživanja.
5
Regresiona analiza se bavi postavljanjem stohastičkog modela objekta istraživanja kojim se na dovoljno pouzdan način objašnjava stanje i ponašanje datog objekta unutar obuhvaćenog eksperimentalnog prostora. Osnovni ciljevi regresione analize u teoriji eksperimenata su: • identifikacija adekvatnog matematičkog modela kojim se opisuje dati objekat ispitivanja, • proučavanje mehanizma nastanka pojava i dejstva u objektu ispitivanja, • analiza karaktera i stepena uticaja pojedinih faktora iz ulaznog skupa na matematički model objekta, • definisanje optimalnih vrednosti faktora ulaznog skupa u cilju dobijanja najpovoljnijih vrednosti izlaznih karakteristika.
6
2.0. PLANIRANJE EKSPERIMENTA 2.1. IZBOR FAKTORA, NIVOA I PARAMETARA OPTIMIZACIJE Izbor faktora koji ulaze u eksperiment vrši se na osnovu prethodnog znanja kojim raspolaže istraživač o ispitivanoj oblasti, na osnovu literaturnih informacija i iskustva kojim raspolaže osoblje koje će vršiti eksperiment. Tako se najpre nabroje svi uticajni faktori za koje se pretpostavlja da imaju najveći uticaj na posmatranu pojavu ili sistem, koje se nazivaju nezavisno promenljive (x 1 , x 2 ,..., x k ) . Zatim se sagledavaju sve zavisnosti, odnosno funkcije koje se iz takvih ispitivanja mogu dobiti- (y1 , y 2 ,..., y k ) , pri čemu se moraju definisati i spoljšnji uslovi koje je neophodno držati na konstantnom nivou i koje smatramo ograničenjima u posmatranom procesu. Na slici 2.1. ilustrovani su slučajevi ispitivanja obrade bušenjem i livenjem.
POMAK BRZINA REZANJA
X1 Y1 X2 X3
PREČNIK BURGIJE MATERIJAL OBRATKA
X4
DIFUZNI SISTEM OBRADE BUŠENJEM
Y2
SILA REZANJA (Fz)
MOMENT (M)
X5 MAŠINA SREDSTVO ZA HLAðENJE
Y3
HABANJE BURGIJE
XK
X1 OSOBINE KALUPA (MATERIJAL KALUPA, FIZIČKE OSOBINE KALUPA, VRSTA I DEBLJINA PREMAZA) X2 OSOBINE LIVA (HEMIJSKI SASTAV, TEMPERATURA LIVENJA, BRZINA ULIVANJA)
DIFUZNI SISTEM OBRADE LIVENJEM
Y1
STRUKTURA ODLIVKA
Y2
MEHANIČKE OSOBINE ODLIVAKA
Y3
EKSPLOATACIONE OSOBINE ODLIVAKA
Slika 2.1: Primer izbora uticajnih faktora pri ispitivanjima i funkcija koje iz takvih ispitivanja mogu proizaći
7
Recimo pri ispitivanju veličine momenta kod obrade bušenjem za jednu odreñenu vrstu materijala, odabraćemo faktore za koje smatramo (iz literature i na osnovu ličnog iskustva) da imaju najveći uticaj. To su faktori: • x1 - pomak (s), i • x 2 – prečnik burgije (D). Izlazna funkcija je: • Y – moment bušenja (M) Ostale uticaje, kao što je materijal, mašina, sredstvo za hlañenje, radionički uslovi smatramo spoljašnjim faktorima. Matematički model, na osnovu ranijih saznanja dat je izrazom:
M = C M ⋅ s x1 ⋅ D y1
(2.1)
gde su C M , x 1 , y1 koeficijenti zavisni od vrste materijala koji se dobijaju eksperimentalnim putem. Spoljni faktori se mogu : • eliminisati, • držati na konstantnom nivou, • menjati po zakonu slučajnosti. Spoljni faktori se u nekim slučajevima mogu eliminisati, a u nekim ne mogu, ili se čak zahteva njihovo prisustvo. Prost fizički zakon brzine slobodnog pada koji glasi: v = g ⋅ t , pokazuje da brzina padanja zavisi samo od trajanja pada pošto je g konstantno ubrzanje zemljine teže. Galilej je, meñutim imao muke dok nije dokazao ovu zakonitost, obzirom da su se njegovi oponenti oslanjali na laičko iskustvo koje je pokazivalo da neka tela padaju brže, a neka sporije. Stoga su Galilejevi protivnici tvrdili da brzina slobodnog pada zavisi i od mase tela. Da bi dokazao da je on u pravu, Galilej je pristipio eksperimentalnom dokazu. Sa poznatog tornja u Pizi pustio je da padnu dve lopte jednake veličine ali napravljene od materijala različite težine. Lopte su pale istovremeno na zemlju. U ovom prostom eksperimentu nezavisno promenljiva je bila vreme. Nezavisna promenljiva se u teoriji eksperimenta naziva faktor, a zavisno promenljiva rezultat eksperimenta. U Galilejevom eksperimentu zavisno promenljiva je bila brzina. Galilej je znao da brzina slobodnog pada zavisi i od otpora vazduha ili bilo koje druge spoljne sredine u kojoj se slobodni pad obavlja. Takvi faktori koji utiču na rezultate, a ne uzimaju se u razmatranje, obično su posledica spoljne sredine, i u teoriji eksperimenta se nazivaju spoljnim faktorima. Kada se proveravaju opšti zakoni fizike dejstvo ovih faktora se mora eliminisati ili držati na konstantnom nivou. Galilej je izgradivši lopte od materijala različite težine, ali sa istim otporom vazduha, zadržao spoljne faktore na konstantnom nivou. Danas se taj dokaz izvodi puštanjem tela različitih masa i oblika da slobodno padaju u vakumskoj cevi. Ovakve pojave bez uticaja spoljnjeg faktora nazivaju se determinisane pojave. Drugo obeležje determinisanih pojava je njihov prost mehanizam koji se uvek može opisati zakonom. Reč zakon ukazuje na opšte važenje matematičkog zakona za sve odgovarajuće pojave. U eksperimentima koji istražuju determinisane pojave faktori i rezultati su tačne veličine bez ikakvog rasipanja. Ako postoji rasipanje rezultata ono se može pripisati netačnosti merenja faktora ili rezultata.
8
U izvesnim slučajevima, rešavanje problema zahteva sprovoñenje eksperimenata uz efekte spoljnjih faktora, jer nas interesuju rezultati u realnim uslovima, a ne u idealizovanim. To je najčešće slučaj u inžinjerskim, primenjenim istraživanjima. Necelishodnost eleminisanja dejstva spoljnih faktora u inžinjerskim eksperimentima može se prikazati na primeru habanja. Poznata je činjenica da je habanje znatno manje ako se dodir tela ostvaruje u vakumu. Eliminisanje vazduha u laboratoriskim uslovima je lako ostvarljivo. Za primenu rezultata takvog ispitivanja nema uslova u stvarnim konstrukcijama jer se takvo stanje u njima ne može ostvariti. Ispitivanje habanja u vakumu može biti predmet fundamentalne nauke koja ne očekuje neposrednu primenljivost rezultata. Naprotiv, izričit je zahtev da se ispitivanje izvede u realnim uslovima kakvi se očekuju u stvarnom pogonu, pa se oni ponekad i simuliraju u laboratoriji. Pojave koje se istražuju eksperimentalno uz uticaj spoljnih faktora nazivaju se randomiziranim pojavama. Uticaj spoljnih faktora je takav da izaziva rasipanje rezultata, odnosno povećava grešku eksperimenta. Ovo ne odgovara eksperimentatorima, pa je tražen način da se razdvoje uticaji spoljnih i osnovnih faktora. Ovo se postiže, uz proizvoljno izabranu verovatnoću, predhodnim planiranjem eksperimenta. Dejstvo spoljnih faktora se može potpuno sagledati ako se učini da njihov uticaj bude slučajan i sa normalnom raspodelom, o čemu će kasnije biti reči. Treba napomenuti da pri iznošenju rezultata eksperimenata treba uvek navesti spoljne uslove pri kojima je isti izvršen, odnosno, koji nisu obuhvaćeni matematičkim modelom, kako bi se eksperimentalni rezultati vršeni u raznim vremenskim periodima ili regijama mogli uporeñivati. Različiti istraživači ne moraju uvek uzeti u obzir iste faktore koje će razmatrati i koji će figurirati u matematičkom modelu. Koji će faktori biti uzeti u razmatranje najviše zavisi od iskustva istraživača i od nivoa znanja u toj oblasti do momenta kada se eksperiment izvodi. Broj faktora pak zavisi od toga koliko sveobuhvatno želimo da matematički opišemo proces. Višefaktorni planovi eksperimenta, kojima ćemo se dalje najviše baviti, omogućuju uzimanje u obzir velikog broja faktora pri istraživanju, za koje nema predhodnog iskustva. Posle izvoñenja delimičnih eksperimenata moguće je eliminisati iz daljeg razmatranja one faktore koji uz sebe nemaju značajne (signifikantne) koeficijente.
2.2 IZBOR MATEMATIČKOG MODELA • •
Prilikom planiranja eksperimenta postoje dva slučaja: matematički model ispitivanja pojave ili sistema je poznat na osnovu ranijih saznanja o ograničenom eksperimentalnom području kojim se bavimo (tzv. odzivna površina ili površina reagovanja). matematički model je nepoznat.
Stvarni analitički oblik odzivne funkcije je u stvari nepoznat, a matematički oblik je samo više ili manje tačna njena aproksimacija. U opštem slučaju funkcija odziva (funkcija reagovanja) može se predstaviti u obliku:
y = ϕ(x 1 , x 2 ,...x k , β1 , β 2 ,...β k )
gde su:
x1 , x 2 ,...x k - faktori (i = 0,1,..., k ) , β1 , β 2 ,...β k - teorijski koeficijenti regresije. 9
(2.2)
Površina reagovanja ili odzivna površina je geometriski reprezent funkcije cilja i može se predstaviti konturnim dijagramom (slučaj dvofaktornog procesa) koji čini skup konturnih ili nivojskih linija y=const.
x2
x3
y1
x 2 max
M0
y2
y4
y3
y3
M0
y2 y1
M1
y4
x2 x 2 min
x1
O
M1
x 1min
x 1max
x1
Slika 2.2: Konturni dijagram površine reagovanja sa optimalnim područjem Ako je mehanizam procesa nepoznat, odzivna funkcija se obično predstavlja u obliku polinoma: k
k
k
i =0
i< j
i =1
y = ∑ β i ⋅ x i + ∑ β ij ⋅ x i ⋅ x j + ∑ β ii ⋅ x i2 + ...
(2.3)
gde su: β 0 , β1 ,...β k - teorijski koeficijenti regresije čistog dejstva, β ij - teorijski koeficijenti regresije uzajamnog dejstva koji se mogu samo proceniti na osnovu izračunatih koeficijenata b0, bi, bij koji se dobijaju na osnovu rezultata eksperimenta. Tada se linearni efekti bi mogu proceniti: bi → βi b ij → β ij
(2.4)
b 0 → β 0 + ∑ β ii + ∑ β iii + ... Na taj način stvarna jednačina regresije, dobijena na osnovu eksperimentalnih podataka, postaje: k
k
k
i =0
i< j
i =1
yˆ = ∑ b i ⋅ x i + ∑ b ij ⋅ x i ⋅ x j + ∑ b ii ⋅ x i2
(2.5)
gde su: bi - koeficijenti regresije čistog dejstva, bij - koeficijenti regresije uzajamnog dejstva, dvofaktorno meñudejstvo (interakcija), bii – kvadratni efekat, yˆ - ocena matematičkog očekivanja y.
10
Odreñivanjem koeficijenata regresije jednačine (2.5) dobiće se predstava o uticaju razmatranih faktora na proces, o njihovom uzajamnom dejstvu i o pravcu kretanja ka optimalnoj oblasti. Pri ovom razmatranju predpostavlja se da je funkcija reagovanja neprekidna, da ima jedan maksimum i da nema više od jednog ekstrema. Pri ovim uslovima je moguće tražiti optimum koristeći se metodom “korak po korak” (step by step). Prvi korak bi bio postavljanje kratkotrajnog eksperimenta, pa ako se pomoću modela polinoma prvog reda nañemo blizu oblasti optimuma, možemo smatrati da smo došli do rešenja. Ukoliko to nije slučaj, u sledećim koracima je potrebno preći na polinome višeg reda, kako bi se dosegnuo optimum. Na osnovu matematičkog modela, za slučaj da je broj faktora k ≤ 3 proučavana funkcija reagovanja se može predstaviti grafički (slika 2.3): • za k=2 kvadratom ili jednakostraničnim trouglom, • za k=3 latinskim kubom. U slučaju da je k>3 tačke opita se nalaze u tačkama k – hiperkuba. k=3
x3
k=2
x2
x2
O O
x1
O
x1
x2
x1
Slika 2.3: Geometrijska interpretacija funkcije reagovanja
Za k=2 najprostiji model je oblika:
yˆ = b 0 ⋅ x 0 + b1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2
(2.6)
Funkcija koja uzima u obzir meñudejstvo faktora ima oblik:
yˆ = b 0 ⋅ x 0 + b1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + b12 ⋅x 1 ⋅ x 2
(2.7)
Izlazna funkcija predstavljena polinomom drugog reda glasi:
yˆ = b 0 ⋅ x 0 + b1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + b12 ⋅x 1 ⋅ x 2 + b11 ⋅ x 12 + b 22 ⋅ x 22
(2.8)
a polinom trećeg reda ima oblik:
yˆ = b 0 ⋅ x 0 + b1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + b12 ⋅x 1 ⋅ x 2 + b11 ⋅ x 12 + b 22 ⋅ x 22 + + b112 ⋅ x 12 ⋅ x 2 + b122 ⋅ x 1 ⋅ x 22 + b111 ⋅ x 13 + b 222 ⋅ x 32
(2.9)
Treba napomenuti da se polinomi trećeg, a pogotovo četvrtog, petog i viših redova izuzetno retko koriste. 11
3.0 JEDNOFAKTORNI PLANOVI ZA ANALIZU SIGNIFIKANTNOSTI FAKTORA Kada na objekat istraživanja, odnosno na njegovu izlaznu karakteristiku y, deluje samo jedan faktor, koristi se jednofaktorni eksperiment. Jednofaktorni planovi se formiraju na sledeći način. Posmatrani faktor A uzima k različitih diskretnih vrednosti (nivoa) u nekom intervalu. Uzima, dakle, vrednosti a 1 , a 2 ,..., a k . Pri tome se na i-tom nivou (ai) faktora A eksperiment ponavlja ukupno ni puta, što omogućuje da se odredi greška merenja. S obzirom na ovo, rezultati merenja y ij mogu se izraziti skupom.
K K
y11 y12
y 21 y 22
y i1 y i2
M y1j
M y 2j
M y ij
M
M
y1n1
y 2n 2
M y in i
K K
y k1 y k2
K
M y kj
(3.1)
M K y kn k
Posle realizacije jednofaktornog eksperimenta dobija se dakle, niz od k srednjih vrednosti rezultata merenja koje su nastale pod dejstvom vrednosti a 1 , a 2 ,..., a k faktora A. Da bi se uporedilo k efekata ( α1 , α 2 ,..., α k ), koji odgovaraju nivoima a 1 , a 2 ,..., a k faktora A, odnosno, da bi se utvrdilo da li ili ne dati faktor značajno (signifikantno) utiče na karakteristiku y (rezultat merenja), polazi se od modela eksperimenta:
y ij = µ + α i + ε ij
(3.2)
Ovim modelom se inače iskazuju rezultati merenja y ij u zavisnosti od vrednosti (nivoa) posmatranog faktora A pri čemu je: µ - ukupni efekat svih eksperimenata, α i - efekat faktora A na i-tom nivou, ε ij - slučajna greška na i-tom nivou i u j-tom ponovljenom eksperimentu. Pri praktičnoj realizaciji jednofaktornog plana (3.1) treba imati dve pretpostavke u vidu: • pojedini eksperimenti kojih ima ukupno: N=n1+n2+…+nk
(3.3)
izvode se slučajnim poretkom, tj. svaki eksperiment iz skupa N ima jednaku verovatnoću da bude prvi (ili bilo koji sledeći) po redu, pa se po tom slučajnom poretku, nezavisno od nivoa i grupisanja unutar nivoa, operativno i izvode, i 12
• rezultati merenja na bilo kom fiksnom nivou ai faktora A rasporeñuju se oko centra grupisanja: µ i = µ + αi (3.4) po zakonu normalnog rasporeda čija je disperzija σ 2 .
3.1 DISPERZIONA ANALIZA JEDNOFAKTORNIH PLANOVA Praktična procedura matematičke obrade rezultata merenja za isti broj ponovljenih eksperimenata na svakom nivou faktora A izvodi se u obliku odreñenog broja sukcesivnih koraka. Dakle, prvo se izvodi eksperiment i njegovi rezultati upišu u tablicu (tabela 3.1). Ponavljanje
1 2 M j M n Sume Srednja vrednost
a1 y11 y12
a2 y 21 y 22
M
M
y1 j M
y2 j M
y1n
y 2n
A1 y1
A2 y2
Nivo faktora ai y i1 K yi2 K
K K K K K K
M y ij M y in Ai yi
K K K K K K K K
ak y k1 yk2
M y kj M y kn Ak yk
Tabela 3.1 Zatim se izvodi disperziona analiza u sledećim koracima: 1. Suma rezultata merenja u pojedinim kolonama n
A i = ∑ y ij j=1
(i = 1,2,..., k )
(3.5)
2. Suma kvadrata svih rezultata merenja u planu eksperimenta k
n
s1 = ∑ ∑ y ij2
(3.6)
i =1 j=1
3. Suma kvadrata veličina Ai (zbirova kolona) podeljena brojem eksperimenata (u koloni) 1 k 2 s2 = ∑ Ai (3.7) n i=1 4. Kvadrat suma veličina Ai podeljen brojem svih eksperimenata 2 1 k s3 = ∑ Ai N i=1 13
(3.8)
5. Suma kvadrata faktora (vezana za rasturanje izmeñu nivoa faktora A) s A = s 2 − s3
(3.9)
6. Suma kvadrata greške (Koristi se za ocenu greške eksperimenta) s E = s1 − s 2
(3.10)
7. Opšta suma kvadrata s O = s A + s E = s1 − s 3
(3.11)
8. Disperzija
s 2A =
sA k −1
(3.12)
9. Disperzija greške eksperimenta sE s 2E = k (n − 1)
(3.13)
10. Disperzioni odnosi s 2A Fr = 2 sE
(3.14)
Ako je Fr > Ft (f1 , f 2 ) za odreñeni nivo značajnosti α , tada je uticaj faktora A signifikantan (značajan) na funkciju y (izlaz) ispitivanog objekta, pa se odbija nulta hipoteza o nesignifikantnosti ovog faktora. Ovde su:
f1 = k − 1 f 2 = k (n − 1) = N − k
(3.15)
Prikazana procedura važi za: • jednofaktorni plan sa fiksnim nivoima faktora A, • isti broj ponavljanja eksperimenata na svim nivoima faktora. Ako se, meñutim, brojevi ponavljanja eksperimenata razlikuju od nivoa do nivoa, navedena procedura ostaje ista uz izmene u prva tri koraka: k
N = ∑n
(3.16)
i =1
ni
A i = ∑ y ij j=1
k
(i = 1,2,..., k )
(3.17)
ni
s1 = ∑ ∑ y ij2
(3.18)
A i2 s2 = ∑ i =1 n i
(3.19)
i =1 j=1 k
14
Ovom algoritmu disperzione analize treba dodati i jedinične procedure parametara u matematičkom modelu (3.2): 1 k ni µˆ = y = ∑ ∑ y ij (3.20) N i=1 j=1 1 ni αˆ i = y i − y = ∑ y ij − y (i = 1,2,..., k ) (3.21) n i j=1
Primer Jedan katalizator za hemijske reakcije dobija se na četiri različita načina. Ovi načini odgovaraju k=4 nivoima katalizatora (faktora A). Na svakom nivou su ponovljeni eksperimenti po n=5 puta. U eksperimentima je kao izlaz (funkcija y) merena aktivnost katalizatora. Redosled izvoñenja eksperimenta je potpuno slučajan (randomiziran). Potrebno je proveriti nezavisnost kvaliteta katalizatora (njegovu aktivnost y) od načina njegovog dobijanja. Drugim rečima potrebno je proveriti jednakost vrednosti aritmetičkih sredina aktivnosti katalizatora. Rezultati merenja aktivnosti katalizatora za svaki od četiri načina njegovog dobijanja dati su u tabeli 3.2. Ponavljanje 1 2 3 4 5 Sume Srednja vrednost y
1 56 55 62 59 60 292 58,4
Nivo faktora 2 3 64 45 61 46 50 45 55 39 56 43 286 218 57,2 43,6
4 42 39 45 43 41 210 42
Tabela 3.2
Disperziona analiza: 1. Suma rezultata merenja u pojedinim kolonama n
A i = ∑ y ij = 292 + 286 + 218 + 210 = 1006 j=1
2. Suma kvadrata svih rezultata merenja u planu eksperimenta k
n
s1 = ∑ ∑ y ij2 = 56 2 + 55 2 + 62 2 + ... + 432 + 412 = 51940 i =1 j=1
3. Suma kvadrata veličina Ai (zbirova kolona) podeljena brojem eksperimenata (u koloni) 1 k 1 s 2 = ∑ A i2 = ⋅ (292 2 + 286 2 + 282 + 210 2 ) = 51736,8 n i =1 5
15
4. Kvadrat suma veličina Ai podeljen brojem svih eksperimenata 2 1 k 1 s3 = ∑ A i = (1006)2 = 50601,8 N i=1 20 5. Suma kvadrata faktora (vezana za rasuranje izmeñu nivoa faktora A) s A = s 2 − s 3 = 51736,8 − 50601,8 = 1135 6. Suma kvadrata greške (Koristi se za ocenu greške eksperimenta) s E = s1 − s 2 = 51940 − 51736,8 = 203,2 7. Opšta suma kvadrata s O = s A + s E = s1 − s 3 = 51940 − 50601,8 = 1605,2 8. Disperzija
s 2A =
sA 1135 = = 378,33 k −1 4 −1
9. Disperzija greške eksperimenta sE 203,2 s 2E = = = 12,7 k (n − 1) 4 ⋅ (5 - 1) 10. Disperzioni odnosi s 2A 378,33 Fr = 2 = = 29,789 sE 12,7
f1 = k − 1 = 4 - 1 = 3 f 2 = k (n − 1) = 4 ⋅ (5 − 1) = 16 Iz tablica za Fisher-ovu raspodelu za nivo značajnosti α = 0,01 očitavamo Ft = 5,29 . Nulta hipoteza Ho: α1 = α 2 = α 3 = α 4 = 0 proverava se na osnovu uporeñenja računske i tablične vrednosti disperzionih odnosa: Fr > Ft 29,8 > 5,29 Znači da način dobijanja katalizatora bitno utiče na njegov kvalitet (aktivnost katalizatora), te se odbacuje postavljena nulta hipoteza o jednakosti vrednosti aritmetičkih sredina. Vrednosti procene parametara u modelu (3.2) iznose:
1 k ni 1 y ij = (56 + 55 + 62 + ... + 43 + 41) = 50,3 ∑ ∑ N i=1 j=1 20 1 ni αˆ i = y i − y = ∑ y ij − y n i j=1 αˆ 1 = 58,4 − 50,3 = 8,1 αˆ 2 = 57,2 − 50,3 = 6,9
µˆ = y =
16
αˆ 3 = 43,6 − 50,3 = -6,7 αˆ 4 = 42,0 − 50,3 = −8,3
yˆ ij αˆ 3
αˆ 4
αˆ 2
αˆ 1
µˆ = 50,3
1
3
2
17
4
a
4.0 FAKTORNI ORTOGONALNI PLANOVI EKSPERIMENATA PRVOG REDA 4.1 REGRESIONA ANALIZA K – FAKTORNOG PLANA EKSPERIMENTA Regresiona jednačina k – faktornog plana eksperimenta ima oblik:
R = C ⋅ f1β1 ⋅ f 2β2 ⋅ ... ⋅ f kβ k
(4.1)
gde su:
f1 , f 2 ,..., f k - faktori, β1 , β 2 ,..., β k - nepoznati koeficijenti. Logoritmovanjem gornje jednačine dobijamo:
lnR = lnC +β1 lnf1 + β 2 lnf 2 + ... + β k lnf k
(4.2)
Uvoñenjem smena:
lnR = y
lnf1 = x 1
lnf 2 = x 2
lnf k = x k
lnC = β o
xo = 1
(4.3)
dobijamo jednačinu (4.2) u sledećem obliku:
y = β 0 x 0 + β1 x 1 + β 2 x 2 + ... + β k x k
(4.4)
Nakon sprovedenog eksperimenta i obrade njegovih rezultata moguće je odrediti koeficijente regresije b 0 , b1 , b 2 ,..., b k koji predstavljaju procenu teorijskih vrednosti koeficijenata β 0 , β1 , β 2 ,..., β k , pa se dobija jednačina modela u kodiranom obiku:
yˆ = b 0 x 0 + b1 x 1 + b 2 x 2 + ... + b k x k
(4.5)
odnosno za u-ti opit, gde je 1 < µ < N :
yˆ u = b 0 x 0u + b1x 1u + b 2 x 2u + ... + b k x ku
(4.6)
Da bi se metodom najmanjih kvadrata odredili parametri b 0 , b1 , b 2 ,..., b k , potrebno je odrediti sumu kvadrata odstupanja stvarnih vrednosti yˆ u od teorijskih y u i pronaći minimum zbira kvadrata ostataka. Princip metode najmanjih kvadrata sastoji se u traženju takvih vrednosti parametara za koje je zbir kvadrata grešaka najmanji, odnosno: 2
2
∑ ε 2u = ∑ (y u − yˆ u ) = ∑ [y u − (b 0 x 0u + b1x1u + b 2 x 2u + ... + b k x ku )] = N
N
u =1
u =1
N
u =1
= f (b 0 , b1 , b 2 ,..., b k ) = min 18
(4.7)
Ova vrednost je minimalna kada je: N ∂f = 2∑ [y u − (b 0 x 0u + b1 x 1u + b 2 x 2u + ... + b k x ku )] ⋅ (− x 0u ) = 0 ∂b 0 u =1 N ∂f = 2∑ [y u − (b 0 x 0u + b1 x 1u + b 2 x 2u + ... + b k x ku )] ⋅ (− x1u ) = 0 ∂b1 u =1 M N ∂f = 2∑ [y u − (b 0 x 0u + b1 x 1u + b 2 x 2u + ... + b k x ku )] ⋅ (− x ku ) = 0 ∂b k u =1
(4.8)
Posle sreñivanja dobija se sistem jednačina: N
N
N
N
u =1 N
u =1
N
u =1 N
u =1 N
u =1
u =1
u =1
u =1
N
N
N
N
u =1
u =1
u =1
u =1
2 b 0 ∑ x 0u + b1 ∑ x 0u ⋅ x 1u + ... + b k ∑ x 0u ⋅ x ku = ∑ x 0u ⋅ y u
b 0 ∑ x 0u ⋅ x 1u + b1 ∑ x 1u2 + ... + b k ∑ x 1u ⋅ x ku = ∑ x1u ⋅ y u
(4.9)
M b 0 ∑ x 0u ⋅ x ku + b1 ∑ x 1u ⋅ x ku + ... + b k ∑ x 2ku = ∑ x ku ⋅ y u uvodeći smenu za članove pod znakom sume: N
∑ x iu2 = (ii ) u =1
N
∑ x iu ⋅ y ju = (ij) u =1
N
∑x u =1
iu
⋅ y u = (iy )
i, j = 0,1,2,..., k
(4.10)
dobijamo sistem linearnih jednačina:
b 0 (00 ) + b1 (01) + ... + b k (0k ) = (0y ) b 0 (10) + b1 (11) + ... + b k (1k ) = (1y ) M b 0 (k0) + b1 (k1) + ... + b k (kk ) = (ky )
(4.11)
Ovaj sistem linearnih jednačina može se napisati u matematičkom obliku: ˆ = X⋅B Y gde su: ˆ - matrica kriterijuma optimizacije Y B – matrica regresionih koeficijenata X – matrica vrednosti faktora
(4.12)
Rezidualni vektor (vektor ostataka) je: ˆ = Y −X⋅B R0 = Y − Y
(4.13)
Minimiziranjem gornjeg izraza dobija se: (Y − X ⋅ B)′ ⋅ (Y − X ⋅ B) = 0
(4.14)
što daje sistem normalnih jednačina: X′ ⋅ X ⋅ B − X′ ⋅ Y = 0
19
(4.15)
odakle sledi:
B = (X′ ⋅ X ) ⋅ X′ ⋅ Y −1
Ulazne (X) i izlazne obliku glase: x 01 x 11 x x 12 X = 02 M M x 0N x 1N
(4.16)
(Y) informacije iz posmatranog difuzionog sistema u matričnom
K x k1 K x k2 M K x kN
y1 y Y = 2 M yN
(4.17)
transponovana matrica matrice X glasi: x 01 x 02 K x 0N x x 12 K x 1N 11 X′ = M M M x k1 x k2 K x kN
(4.18)
Informaciona matrica se dobija kao proizvod matrice X i njene transponovane matrice X′ :
x 01 x X ′X = 11 M x k1
x 02 x 12 M x k2
x 0N x 01 x 1N x 02 ⋅ M M x kN x 0N
K K K
(x 01 x 01 + x 02 x 02 + x 0N x 0N ) (x x + x x + x x ) 12 02 1N 0N X′X = 11 01 M (x k1 x 01 + x k2 x 02 + x kN x 0N )
N 2 x 0u ∑ u =1 N x1u ⋅ x 0u X′X = ∑ u =1 M N ∑ x ku ⋅ x 0u u =1 (00) (10) X′X = M (k0)
(01) (11) M
(k1)
N
∑x u =1
0u
⋅ x 1u
N
∑x u =1
2 1u
M N
∑x u =1
K K
ku
⋅ x 1u
x 11 x 12
K K
M x 1N
K
x k1 x k2 M x kN
(x 01x11 + x 02 x12 + x 0N x1N ) (x11x11 + x12 x12 + x1N x1N )
(4.19)
K K
M (x k1x11 + x k2 x12 + x kN x1N ) K
(x 01x 01 + x 01x 01 + x 01x 01 ) (x11x k1 + x12 x k2 + x1N x kN )
M (x k1x k1 + x k2 x k2 + x kN x kN )
⋅ x ku u =1 N K ∑ x 1u ⋅ x ku u =1 M N K x 2ku ∑ u =1 N
K
∑x
0u
(0k ) (1k )
(4.20)
(4.21)
M K (kk )
20
Uvodeći oznake:
C ii =
1 = (ii )
1
C ij =
N
∑x u =1
2 iu
1 = (ij)
1 N
∑x u =1
iu
⋅ x ju
dobijamo inverznu matricu informacione matrice X′X u obliku: C 00 C 01 K C 0k C C11 K C1k 10 (X′X ) = M M C k0 C k1 K C kk Matrica X′Y x 01 x X′Y = 11 M x k1
(4.22)
je: x 02 K x 0N y1 x 01 y1 + x 02 y 2 + ... + x 0N y N x 12 K x 1N y 2 x 11 y1 + x 12 y 2 + ... + x 1N y N ⋅ = M M M M x k2 K x kN y N x k1 y1 + x k2 y 2 + ... + x kN y N
N x 0u ⋅ y u ∑ (0y ) u =1 N (1y ) x ⋅ y ∑ 1u u X′Y = u =1 = M N M x ⋅ y (ky ) ku u ∑ u =1
(4.23)
Matrica koeficijenata B je:
b0 b B = 1 M b k
(4.24)
Jednačina (4.16) postaje: b 0 C 00 C 01 K C 0k (0y ) b C C11 K C1k (1y ) 1 = 10 ⋅ M M M M b k C k0 C k1 K C kk (ky )
(4.25)
b 0 = c 00 (0y ) + c 01 (1y ) + ... + c 0k (ky ) b1 = c10 (0y ) + c11 (1y ) + ... + c1k (ky ) M b k = c k0 (0y ) + c k1 (1y ) + ... + c kk (ky )
(4.26)
21
odnosno: k
k
b i = ∑ ∑ c ij (iy ) i = 0 j=0 N
k
k
b i = ∑ ∑ ∑ c ij ⋅ x in ⋅ y n
(4.27)
n =1 i =0 j= 0
Odreñivanjem koeficijenata regresije b i , dobijamo predstavu o uticaju pojedinih faktora na izlaznu funkciju. Tako se faktori uz koje stoje nesignifikantni koeficijenti ne uzimaju u obzir u daljim razmatranjima. Znak koeficijenata daje uvid o tipu uticaja faktora na proces. Tako, znak + označava direktno proporcionalan, a znak – obrnuto proporcionalan uticaj. Koeficijenti b ij , ako su uključeni u matematički model, daju uvid o meñusobnom uticaju faktora na odzivnu funkciju (funkciju reagovanja), a svi dobijeni parametri omogućuju da se dobije predstava o pravcu kretanja po optimalnoj oblasti. Posle odreñivanja numeričkih vrednosti koeficijenta u matematičkom modelu, vrši se disperziona analiza.
4.2. IZBOR INTERVALA VARIRANJA FAKTORA Posebnim izborom parametara x 01 ,..., x 0N ; x 11 ,..., x 1N ; x k1 ,..., x kn pojednostavljuje se rešavanje sistema jednačina (4.16) jer se matrica koeficijenata svodi na jediničnu matricu. Kodiranje izabranih parametara eksperimenta vrši se pomoću jednačina transformacije, pri čemu se uzima da je veličina intervala jednaka jedinici nove razmene faktora. Radi uprošćenja pri upisivanju i obradi eksperimentalnih podataka, razmere za ose se biraju tako da gornji (maksimalni) nivo bude jednak +1, donji (minimalni) –1, a osnovni (nulti) nivo jednak nuli. Početak koordinatnog sistema se iz tačke O1 premestio u tačku O koja označava nulti nivo faktora (slika 4.1), dok se vrednosti faktora sada mere u novoj razmeri. Za novu osu x1 je:
x1 =
X1 − X1(0 ) W1
(4.28)
xi =
X i − X i(0 ) Wi
(4.29)
odnosno:
pri tome je:
X i = lnf i
X i(0 ) = lnf imax − Wi
(4.30)
Ovde je Wi – interval varijacije faktora jednak jednoj polovini razmaka donjeg i gornjeg nivoa:
Wi =
1 (lnf imax − lnf imin ) 2 22
(4.31)
X2 x2 x 2 max
W2
x1
O
W2 X (20 )
x 2 min
W1
W1
O1 x 1min
x 1max
X1
X1(0 )
Slika 4.1: Izbor intervala variranja faktora za k=2
Zamenom jednačina (4.30) i (4.31) u (4.29) dobija se izraz preko kojeg se vrši kodiranje nivoa i-tog faktora. lnf − (lnf imax − Wi ) lnf − lnf imax lnf i − lnf imax = 1+ i = 1+ 2 xi = i Wi Wi lnf imax − lnf imin lnf − lnf imax x i = 1 + 2 imax =1 (4.32) lnf imax − lnf imin Zamenom fi=fimax dobijamo: lnf − lnf imax x i = 1 + 2 imax =1 lnf imax − lnf imin Zamenom fi=fmin dobijamo: lnf − lnf imax lnf − lnf imin x i = 1 + 2 imin = 1 − 2 imax = −1 lnf imax − lnf imin lnf imax − lnf imin Za f i = f isr , gde je f isr2 = f imax ⋅ f imin dobijamo: 1 ⋅ ln (lnf imax ⋅ lnf imin ) − lnf imax 2 xi = 1 + 2 ⋅ lnf imax − lnf imin 1 1 ⋅ lnf imax + ⋅ lnf imin − lnf imax 2 xi = 1 + 2 ⋅ 2 lnf imax − lnf imin
23
1 ⋅ (- lnf imax + lnf imin ) xi = 1 + 2 ⋅ 2 lnf imax − lnf imin (lnf imax + lnf imin ) = 0 xi = 1 lnf imax − lnf imin Dekodiranje se vrši po sledećim formulama: 2b i βi = (i = 1,2) f imax ln f imin 2
2
i =0
i =1
β 0 = ∑ b i − ∑ b i lnf imax C = exp(β 0 )
(i = 0,1,2)
(4.33)
odnosno za k – faktora:
βi =
2b i f ln imax f imin k
k
i =0
i =1
β 0 = ∑ b i − ∑ b i ⋅ ln f i max
(4.34)
Do sada su razmatrani tzv. linijski efekti pojedinih faktora. Meñutim, kod potpunog faktornog eksperimenta postoji isprepletano delovanje efekata pojedinih faktora i njihovo meñusobno delovanje (interakcije). Interakcije višeg reda se najčešće zanemaruju, ali dvofaktorne interakcije mogu biti značajne. Kao primer posmatramo potpuni dvofaktorni eksperiment:
y = β 0 x 0 + β1 x 1 + β 2 x 2 + β12 x 1 x 2
(4.35)
Uvoñenjem smena:
Ai =
2 f ln imax f imin
i
a i = 1 − A i ⋅ lnf imax
Koeficijenti regresije nakon dekodiranja dobijaju oblik:
β 0 = b 0 + b1a 1 + b 2 a 2 + b12 a 1a 2 β1 = A1 (b1 + b12 ⋅ a 2 ) β 2 = A 2 (b 2 + b12 ⋅ a 1 ) β12 = b12 ⋅ A1 ⋅ A 2
(4.36)
C = exp(β 0 ) = e β0 Nakon antilogaritmovanja, dobija se izraz:
R = C ⋅ f1β1 ⋅ f 2β2 ⋅ exp(β12 ⋅ lnf1 ⋅ lnf 2 )
24
(4.37)
Za trofaktorni potpuni eksperiment sa meñusobnim uticajem dobija se oblik funkcije odziva:
y = β 0 ⋅ x 0 + β1 ⋅ x 1 + β 2 ⋅ x 2 +β 3 ⋅x 3 + β12 ⋅ x 1 ⋅ x 2 + β13 ⋅ x 1 ⋅ x 3 + β 23 ⋅ x 2 ⋅ x 3 + β123 ⋅ x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3
(4.38)
A koeficijenti regresije imaju vrednosti:
β 0 = b 0 + b1 ⋅ a 1 + b 2 ⋅ a 2 + b 3 ⋅a 3 + b12 ⋅ a 1 ⋅ a 2 + b13 ⋅ a 1 ⋅ a 3 + b 23 ⋅ a 2 ⋅ a 3 + b123 ⋅ a 1 ⋅ a 2 ⋅ a 3 β1 = A1 ⋅ (b1 + b12 ⋅ a 2 + b13 ⋅ a 3 + b123 ⋅ a 2 ⋅ a 3 ) β 2 = A 2 ⋅ (b 2 + b12 ⋅ a 1 + b 23 ⋅ a 3 + b123 ⋅ a 1 ⋅ a 3 ) β 3 = A 3 ⋅ (b 3 + b13 ⋅ a 1 + b 23 ⋅ a 2 + b123 ⋅ a 1 ⋅ a 2 ) (4.39) β12 = A1 ⋅ A 2 (b12 + b123 ⋅ a 3 ) β13 = A1 ⋅ A 3 (b13 + b123 ⋅ a 2 ) β 23 = A 2 ⋅ A 3 (b 23 + b123 ⋅ a 1 ) β123 = A1 ⋅ A 2 ⋅ A 3 ⋅ b123 C = exp(β 0 ) Nakon antilogaritmovanja dobija se izraz:
R = C ⋅ f1β1 ⋅ f 2β 2 ⋅ f 3β3 ⋅ exp(β12 ⋅ lnf1 ⋅ lnf 2 + β13 ⋅ lnf1 ⋅ lnf 3 + β 23 ⋅ lnf 2 ⋅ lnf 3 + β123 ⋅ lnf1 ⋅ lnf 2 ⋅ lnf 3 ) (4.40) U slučaju da ne postoje interakcije faktora, koeficijenti β12 , β13 , β 23 i β123 , su jednaki nuli pa jednačina (4.39) prelazi u :
R = C ⋅ f1β1 ⋅ f 2β 2 ⋅ f 3β3
(4.41)
Odnosno, u opštem obliku:
R = C ⋅ f1β1 ⋅ f 2β2 ⋅ ... ⋅ f kβ k
(4.42)
Broj nivoa je različit, ali se najčešće primenjuje planiranje na dva nezavisna nivoa. Ovaj način omogućuje opisivanje procesa polinomom prvog reda sa i bez meñusobnih uticaja faktora i obeležavaju se sa 2k, gde je k- broj ulaznih faktore. Ukoliko se polinomijalni linijski model pokaže neadekvatnim, prelazi se na polinom višeg reda, te se zbog toga mora povećati i broj nivoa ulaznih faktora. U opštem slučaju, minimalni broj nivoa faktora mora biti za jedan veći od reda polinoma kojim se opisuje posmatrani proces (nmin=rn+1).
4.3 STRUKTURA I OSOBINE ORTOGONALNIH PLANOVA PRVOG REDA Ideja višefaktornih ortogonalnih planova (Box-Wilsonovi planovi) predstavljaju nov kvalitet u teoriji višefaktorne statističke analize, a polazi od posebno ureñenih rasporeda skupa eksperimentalnih tačaka u hiperprostoru. Ovakva kompozicija eksperimentalnih tačaka u hiperprostoru izražava se kroz odgovarajuću plan matricu specifične strukture, oblika i obima. 25
Ako se eksperimentalne tačke rasporede u hiperprostoru tako da u korespodentnoj plan matrici zadovoljavaju uslove: 1.simetričnosti N
∑x u =1
iu
=0
i = 1,2,..., k
(4.43)
i, j = 0,1,2,..., k
(4.44)
i = 0,1,2,..., k
(4.45)
2.ortogonalnosti N
∑x u =1
iu
⋅ x ju = 0
3.normativnosti N
∑x u =1
2 iu
=N
tada se takvi planovi nazivaju faktornim ortogonalnim planovima. • • • • •
U odnosu na druge planove, za ortogonalne planove je karakteristično: raspored eksperimentalnih tačaka u eksperimentalnom prostoru je optimalan. broj eksperimentalnih tačaka je minimalan, što ima za posledicu niže troškove i kraće vreme ispitivanja difuznog sistema. obim dobijenih informacija je maksimalan: svi faktori se menjaju istovremeno, pa se svaki efekat faktora odreñuje na osnovu svih N eksperimentalnih rezultata, pa je otuda disperzija bilo kog regresionog koeficijenta bi manja za N puta od greške eksperimenta. svi efekti bi faktora izračunavaju se nezavisno jedan od drugog i nezavisno od vrednosti faktora u obuhvaćenom višefaktornom eksperimentalnom prostoru. matematička obrada eksperimentalnih rezultata je vrlo jednostavna i kratkotrajna.
x3
Ni
r ρi O
x2
x1
Slika 4.2: Položaj eksperimentalne tačke Ni u trofaktornom prostoru na temenu kuba oko koga je opisana sfera Višefaktorni optimalni plan se stvara tako da skup graničnih tačaka intervala varijacije ulaznih faktora leži uvek na hipersferi obrazujući pri tome hiperkub (za slučaj k=3) oko koga je opisana hipersfera (slika 4.2).
26
4.4 ANALIZA EKSPERIMENTALNIH PODATAKA Nakon postavljanja plana eksperimenta, njegovog izvoñenja i odreñivanja koeficijenata regresije, pristupa se analizi dobijenih vrednosti. Uočava se da se ne dobijaju identični rezultati prilikom ponavljanja nekog opita. Razlog tome su greške eksperimenta, koje se dele u dve glavne grupe: • greške eksperimenta u pojedinim tačkama plana, i • greške celokupnog eksperimenta. Za analizu rezultata eksperimenta neophodno je poznavanje vrste ponavljanja opita. Tako se razlikuju tri sistema ponavljanja: • sistem ponavljanja – u tačkama nultog nivoa (centralna tačka plana) vrši se ponavljanje n0 puta, • sistem ponavljanja – u svakoj tački plana (hiperkuba) vrši se ponavljanje, o u svim tačkama plana isti broj ponavljanja (n) puta, o u svakoj tački plana različit broj ponavljanja (n 1 ≠ n 2 ≠ ... ≠ n N ) , o opiti se ponavljaju samo u jednoj tački plana (n1) puta, o opiti se ponavljaju samo u jednoj tački izvan plana (p) puta. • sistem ponavljanja – ponavljanje opita se ne vrši.
4.4.1 PRVI I DRUGI SISTEM PONAVLJANJA Nakon izračunavanja koeficijenata regresije b 0 , b1 , b 2 ,..., b k regresionom analizom, vrši se izračunavanje greške. Pri izračunavanju greške eksperimenta u pojedinim tačkama plana uzima se u obzir broj ponavljanja u tim tačkama i ocenjuje disperzija, dok se kod ocene celog eksperimenta računa sa brojem svih opita i procenjuje se odgovarajuća sveukupna disperzija. U tabeli 4.1 dat je prikaz izvoñenja eksperimenta sa ponavljanjem u centralnoj tački plana, a u tabeli 4.2 pri ponavljanju opita u tačkama plana eksperimenta, pri čemu se eksperiment sastoji iz N opita, a pojedini opiti se ponavljaju isti broj puta (n 1 = n 2 = ... = n N ) ili različit broj puta (n1 ≠ n 2 ≠ ... ≠ n N ) . OPIT 1 2 M N N+1 N+2 M N+n0
FAKTORI
x1
x2
K
xk
x 11 x 12 M x 1N
x 21 x 22 M x 2N
K K
x k1 x k2 M x kN
0 0 M 0
0 0 M 0
K K K K
Tabela 4.1 27
0 0 M 0
EKSPERIMENTALNI REZULTATI
y1 y2 M yN y N+1 y N+ 2 M y N +n0
OPIT
FAKTORI
x1
x2
K
KRITERIJUMI OPTIMIZACIJE
xk
y1
y2
yk
1. ponavljanje (n1)
x 11
x 21
K
x k1
y11
y12
K
y1n1
2. ponavljanje (n2)
x 12
x 22
K
x k2
y 21
y 22
K
y 2n 2
3. ponavljanje (n3)
x 1N
x 2N
K
x kN
y N1
y N2
K
y Nn N
y
1 n1 y1 = ∑ y1j n 1 j=1 1 n2 y2 = ∑ y 2j n 2 j=1 1 nN yN = ∑ y Nj n N j=1
Tabela 4.2
Ukupan broj opita pri ponavljanju u centralnoj tački plana je:
NE = N + n0
(4.46)
gde je N=2k broj opita kod linearnih matematičkih modela kod kojih se najčešće ulazni faktori variraju na dva nivoa (gornji i donji). Ukupan broj opita pri istom broju ponavljanja u svim tačkama plana eksperimenta iznosi:
NE = n ⋅ N
(4.47)
Posle izvedenih eksperimenata pri unapred predviñenom ortogonalnom planiranju vrši se analiza rezultata metodom »korak po korak«. Na slici 4.3 prikazana je metodologija redosleda rada.
28
X1 X2 IZBOR FAKTORA
XK
IZBOR MATEMATIČKOG MODELA
Y1 Y2
IZBOR PARAMETARA OPTIMIZACIJE
YK PLANIRANJE EKSPERIMENTA
K
PLAN 2
IZVRŠENJE EKSPERIMENTA
REGRESIONA ANALIZA
, -1 , B=(X X) X Y
PROGRAM I
DISPERZIONA ANALIZA
SISTEM PONAVLJANJA
PROGRAM II
ADEKVATNOST MODELA
F-TEST Fa
NE
DA NE ODBACITI NESIGNIFIKANTAN KOEFICIJENT
F-TEST Fbi>Ft
SIGNIFIKANTNOST KOEFICIJENATA DA STOP
Slika 4.3: Blok šema metodologije eksperimenta
1. Korak Najprostiji slučaj kod ortogonalnih planova je slučaj ponavljanja opita u nultoj tački plana, pri čemu su koeficijenti regresije izračunavaju na osnovu izraza (4.27) ili N
bi =
∑x u =1
iu
⋅ yu (4.48)
N
∑x u =1
2 iu
29
U slučaju ponavljanja opita u tačkama plana sa istim brojem ponavljanja n 1 = n 2 = ... = n n = n , koeficijenti regresije se izračunavaju iz izraza: 1 N b i = ∑ x iu ⋅ y u N u =1 1 N (4.49) b ij = ∑ x iu ⋅ x ju ⋅ y u N u =1 1 N b ijn = ∑ x iu ⋅ x ju ⋅ x nu ⋅ y u N u =1 gde je: 1 n y u = ∑ y uj - aritmetička sredina rezultata merenja u pojedinim tačkama plana, n j=1 n - broj ponavljanja opita, N - broj tačaka plana, y uj - vrednost kriterijuma optimizacije za pojedina merenja. Pri ponavljanju opita u tačkama plana različit broj puta n 1 ≠ n 2 ≠ ... ≠ n n ≠ n ne može se dati univerzalan izraz za izračunavanje koeficijenata regresije, već se za svaki slučaj posebno vrši proračun koristeći se metodom najmanjih kvadrata.
2. Korak Posle izračunavanja koeficijenata regresije b i pristupa se analizi rezultata, odnosno: • oceni signifikantnosti koeficijenata regresije, i • oceni adekvatnosti matematičkog modela. Signifikantnost koeficijenata se odreñuje na osnovu vrednosti disperzije ( s 2y ) koja daje grešku celokupnog eksperimenta, pa se označava sa s 2E . Za sistem ponavljanja u centralnoj tački plana, disperzija je: n0
s 2E =
sE = fE
∑ (y u =1
− y0 )
2
0u
(4.50)
n0 −1
gde su: s E - suma kvadrata odstupanja za ceo eksperiment, f E - broj stepeni slobode eksperimenta, y 0u - rezultati merenja, y 0 - aritmetička sredina rezultata merenja u centralnoj tački plana, n 0 - broj ponavljanja u centralnoj tački. Za slučaj ponavljanja u tačkama plana n puta, disperzija je:
∑ ∑ (y N
s 2E =
sE = fE
n
u =1 j=1
− yu )
2
uj
(4.51)
N ⋅ (n - 1) 30
Za nejednak broj ponavljanja opita, disperzija je: N
s 2 ⋅ f + s 2 ⋅ f + ... + s 2N ⋅ f N s 2E = 1 1 2 2 = f1 + f 2 + ... + f N
∑s u =1
2 u
⋅ fu (4.52)
N
∑f u =1
u
gde je:
s12 , s 22 ,...s 2N - disperzija greške za pojedine opite, f1 = n 1 - 1, f 2 = n 2 - 1,..., f N = n N - 1 - broj stepeni slobode za pojedine opite, n 1 , n 2 ,..., n N - broj ponavljanja u pojedinim opitima. Za proveru signifikantnosti koriste se Fisher-ov i F-test ili Studentov t-test. Računska vrednost F-testa dobija se iz odnosa disperzija pojedinih faktora od 1,…,k i greške celokupnog eksperimenta: s i2 Fri = 2 (4.53) sE Računske vrednosti Fri za pojedine faktore uporeñuju se sa tabličnom vrednošću (Ft), Ffunkcije za pragove značajnosti α=10%, α=5% ili α=1%. Ako je ispunjen uslov:
Fri > Ft
(4.54)
može se zaključiti sa rizikom od 10%, 5% ili 1% da posmatrani faktori značajno utiču na odzivnu funkciju sistema. Ako je meñutim, računska vrednost Fri manja od tablične vrednosti Ft za usvojeni prag značajnosti, posmatrani faktor ne utiče bitno na odziv sistema. Adekvatnost matematičkog modela se proverava Fisher-ovim kriterijumom:
s a2 s 2E s s − sE s a2 = a = R fa fa Fra =
N
(4.55)
s R = ∑ (y u − yˆ u )
2
u =1
fa = fR − fE fR = N - k -1 gde je
s a2 - disperzija adekvatnosti modela, s R - rezidualna suma, f a - broj stepeni slobode koji se odnosi na disperzionu adekvatnost, f R - broj stepeni slobode koji se odnosi na rezidualnu sumu. Za slučaj ponavljanja u centralnoj tački plana, izraz se svodi na: N
k
u =1
i =0
s R = ∑ y 2u − N ∑ b i2 31
Računska vrednost Fra u slučaju adekvatnog matematičkog modela treba da je manja od tablične vrednosti Ft, odnosno:
Fra < Ft
(4.56)
U slučaju neadekvatnog matematičkog modela potrebno je poboljšati model, što se postiže uzimanjem u obzir meñusobnog uticaja faktora (interakcije), čime se povećava broj izračunavanja koeficijenata regresije ili u nekim slučajevima preći sa polinoma prvog reda na polinom višeg reda, čime se povećava broj opita.
3. Korak Poslednja etapa pri obradi eksperimentalnih podataka je odreñivanje granice pouzdanosti za: • •
koeficijente regresije, matematički model.
Kod odreñivanja granica pouzdanosti za koeficijente regresije izračunava se verovatnoća, za izabrani nivo značajnosti α, da će se koeficijenti βi nalaziti u intervalu poverenja:
P{b i − ∆b ≤ β i ≤ b i + ∆b i } = 1 − α
Odgovarajuća greška koeficijenata regresije bi jednaka je: t ⋅ sy ∆b i = ± N⋅n
(4.57)
(4.58)
gde je: t - tablična vrednost t-kriterijuma za usvojen nivo značajnosti α i broj stepeni slobode f koji se koristi pri oceni s 2E , s y - procena vrednosti greške eksperimenta, N - broj tačaka plana, n - broj ponavljanja u tačkama plana. Kod linearnog matematičkog modela, vrednost s bi se može dati izrazom:
s 2bi = pa je tada:
s 2y N⋅n
=
s 2E N⋅n
(4.59)
∆b i = ± t ⋅ s bj
(4.60)
Izraz (4.57) prelazi tada u oblik:
P{b i − t ⋅ s bj ≤ β i ≤ b i + t ⋅ s bj } = 1 − α
(4.61)
Ocenjivanje tačnosti matematičkog modela vrši se preko izraza: k
η = ∑ b i ⋅ x i ± t (f; α ) ⋅ σ 2 (yˆ ) i =0
gde je σ 2 (yˆ ) -disperzija rezultata eksperimenta 32
(4.62)
4.4.2 TREĆI SISTEM PONAVLJANJA
Kod planova eksperimenta bez ponavljanja potrebno je naći način za odreñivanje rezidualne varijanse, za šta se koriste dve metode: 1. iz prethodnih istraživanja na bazi saznanja o procesu koji se ispituje – eksperimentalna greška se procenjuje na bazi iskustva, 2. rezidualna varijansa se izjednačuje sa varijansama uzajamnih dejstava faktora višeg reda, prema Bartlett-ovom kriterijumu. Bartlett-ov kriterijum se sastoji u sledećem: Pretpostavlja se da postoji n-procena varijansi V1, V2,…,Vk sa f1,f2,…fk broja stepeni slobode, gde je: k
f = ∑ fi
(4.63)
i =1
ukupan zbir broja stepeni slobode. Tada je prosečna vrednost varijanse: n
V=
∑f i =1
i
⋅ Vi (4.64)
f
M-kriterijum je dat izrazom: n
M = f ⋅ lnV − ∑ f i ⋅ lnVi
(4.65)
i =1
Ukoliko je izračunata vrednost manja od tablične vrednosti Mt važi pretpostavka da su procene varijansi homogene. Ovo važi za broj stepeni slobode fi=1. Ako to nije ispunjeno, Fisher je predložio sledeći F-test: f2 ⋅ M Fr = (4.66) f1 ⋅ (b − M ) Ako je ovako izračunata vrednost Fr manja od tablične vrednosti Ft prihvata se hipoteza o homogenosti varijansi. Pri tome je: f1 = k − 1 f2 b= 2 1− A + f2 k +1 f2 = (4.67) A 1 1 1 A= ⋅ − 3 ⋅ (k − 1) f i f Radi preglednosti u tabeli 4.3. je dat pregled redosleda izračunavanja pojedinih vrednosti za različite sisteme ponavljanja opita.
33
broj stepeni slobode
s 2b0 =
s b0 = N ⋅ b 02
M
M
M
bk
fk = 1
s bk = N ⋅ b 2k
Ponavljanje u centralnoj tački plana
f0 = 1 f1 = 1
Rezidualna suma
b0 b1
Ukupna suma
Disperzija (s2)
Suma kvadrata (s)
s b1 = N ⋅ b12
s 2b1 =
N
fR = N − k − 1
N
s 2b1 s 2E
M
s 2b k =
s bk
s 2E =
sE fE
s 2E =
sE fE
fk
Frk =
s 2b k s 2E
k
u =1
i =0
s R = ∑ y 2u − N ∑ b i2 N
s u = ∑ y 2u
fu = 1
u =1
2
u =1
n0
1 n0
u =1
Greška eksperimenta
s 2E
2
2 s E = ∑ y 0u −
∑ y 0u u =1 n0
f E = N ⋅ (n - 1)
s E = ∑∑ (y uj − y u )
f E = ∑ (n u − 1)
s E = ∑∑ (y uj − y u )
N
n
2
2
u =1 j=1
N
Ponavljanje u jednoj tački n1 puta Ponavljanje u tačkama van plana p puta Ponavljanje u centralnoj tački plana Ponavljanje u tačkama plana isti broj puta Ponavljanje u tačkama plana različit broj puta
Fr1 =
f1
s 2b0
u =1
fE = n0 − 1
Ponavljanje u tačkama plana različit broj puta
Fr0 =
Napomena
s R = ∑ (y u − yˆ u )
n0
Adekvatnost matematičkog modela
f0 s b1
M
s E = ∑ (y 0u − y 0 )
Ponavljanje u tačkama plana isti broj puta
s b0
Dispezioni odnosi (Fr)
Koeficijenti su signifikantni za Fri>Ft ;gde je Ft(fE, fa, α)
Način ponavljanja eksperimenta
N
u =1
nu
N
s 2E =
2
u =1 j=1
∑s u =1
u
N
∑f u =1
f E = n1 − 1
s E = ∑ (y1j − y1 )
s 2E =
sE fE
fE = p − 1
s E = ∑ (y j − y )
s 2E =
sE fE
fa = fR - fE = N − k − n0
s a = ∑ (y u − yˆ u ) − ∑ (y u0 − y 0 )
s a2 =
sa fa
n1
2
j=1
p
2
j=1
N
n0
2
u =1
f a = N − (k + 1) − N ⋅ (n − 1)
⋅ fu u
2
u =0
N
s a = n ∑ (y u − yˆ u )
2
u =1
f E = N − (k + 1) − ∑ (n u − 1) N
u =1
s a = ∑ n u ⋅ (y u − yˆ u ) N
2
u =1
s a = n 1 ⋅ (y1 − yˆ1 ) + ∑ n u ⋅ (y u − yˆ u ) N
Ponavljanje u jednoj tački n1 puta
f E = N − (k + 1) − (n 1 − 1)
Ponavljanje u tačkama van plana p puta
f E = N − (k + 1) − (p − 1)
2
u =1
N
s a = ∑ (y u − yˆ u )
2
u =1
Tabela 4.3 34
Fa =
s a2 s 2E
Matematički model je adekvatan za Fa
Izbor varijac ije
4.5 YATES-ov POSTUPAK Kada su svi faktori u eksperimentu na dva nezavisna nivoa, za izračunavanje koeficijenata regresije bi i bij primenjuje se specifičan metod koji pojednostavljuje izračunavanje, što je vrlo pogodno kada imamo veći broj faktora. Ovaj postupak je poznat kao Yates-ov postupak. Faktori se umesto x1,x2,…,xk označavaju slovnim oznakama A,B,C,…,Q. Pri tome je usvojeno sledeće: • nivo faktora A,B,C,…,Q obeležava se: o A sa a o B sa b o C sa c itd. sa značenjem da se svaka vrsta plan matrice označena slovima nalazi na gornjem nivou, odnosno na vrednosti +1. • opiti kod kojih su svi faktori na minimalnom nivou, označavaju se sa (1) • kombinacije ab, bc i ac označavaju da se na gornjem nivou istovremeno nalaze dva faktora • kombinacija abc označava da se na gornjem nivou nalaze tri faktora itd. Izraz:
PM{(1), a, b, ab, c, ac, bc, abc}
(4.68)
predstavlja plan matricu trofaktornog eksperimenta na dva nivoa, pri čemu se redosled eksperimenata odreñuje randomizacijom. U tabeli 4.4 je prikazana plan matrica eksperimenta tipa 23. Eksperimentalne tačke 1 2 3 4 5 6 7 8 Koeficijenti regresije
A + + + + -
Nivo faktora B + + + + -
C + + + + -
b1
b2
b3
Kod vrste abc bc ac c ab b a (1)
Vektor izlaza y1 y2 y3 y4 y5 y6 y7 y8
Tabela 4.4
Efekat faktora A predstavljen razlikom prosečnih rezultata na gornjem i donjem nivou: 1 1 A = ⋅ (a + ab + ac + abc ) − ⋅ ((1) + b + c + bc ) 4 4
35
A= A= A= A= A=
1 ⋅ [(a − 1) + (ab − b ) + (ac − c ) + (abc − bc )] 4 1 ⋅ [(a − 1) + b(a − 1) + c(a − 1) + bc(a − 1)] 4 1 ⋅ (a − 1) ⋅ (1 + b + c + bc ) 4 1 ⋅ (a − 1) ⋅ [1 + b + c ⋅ (1 + b )] 4 1 ⋅ (a − 1) ⋅ (b + 1) ⋅ (c + 1) 4
Na isti način se dobijaju: 1 B = ⋅ (a + 1) ⋅ (b − 1) ⋅ (c + 1) 4 1 C = ⋅ (a + 1) ⋅ (b + 1) ⋅ (c − 1) 4 Opšti izraz za k- faktora A,B,...,Q i nivoe a,b,...,q je:
1 A= 2
k −1
⋅ (a − 1) ⋅ (b + 1) ⋅ (c + 1) ⋅ ... ⋅ (q + 1)
(4.69)
Interakcija dva ili više faktora odreñuje se iz izraza koji je jednak polovini razlike efekta A kada je B na gornjem nivou (označava se sa A1) i efekta A kada je B na donjem nivou (označava se sa A0). 1 AB = ⋅ (A1 − A 0 ) 2 gde je: 1 1 1 1 A1 = ⋅ (abc + ab ) − ⋅ (bc + b ) = ⋅ (abc + ab − bc − b ) = ⋅ b ⋅ [a ⋅ (c + 1) − c − 1] 2 2 2 2 1 A1 = ⋅ b ⋅ (a − 1) ⋅ (c + 1) 2 1 1 1 A 0 = ⋅ (ac + a ) − ⋅ (c + (1)) = ⋅ (ac + a - c + (1)) 2 2 2 1 A 0 = ⋅ (a − 1) ⋅ (c + 1) 2 odnosno: 1 AB = ⋅ [b ⋅ (a − 1) ⋅ (c + 1) − (a − 1) ⋅ (c + 1)] 4 1 AB = ⋅ (a − 1) ⋅ (b − 1) ⋅ (c + 1) 4 Opšti izraz za k- faktora je: k −1 1 AB = ⋅ (a − 1) ⋅ (b − 1) ⋅ (c + 1) ⋅ ... ⋅ (q + 1) 2 36
(4.70)
Analogno ovome, ostale interakcije su: k −1 1 AC = ⋅ (a − 1) ⋅ (b + 1) ⋅ (c − 1) ⋅ ... ⋅ (q + 1) 2 k −1
1 BC = ⋅ (a + 1) ⋅ (b − 1) ⋅ (c − 1) ⋅ ... ⋅ (q + 1) 2 M k −1 1 AQ = ⋅ (a − 1) ⋅ (b + 1) ⋅ (c + 1) ⋅ ... ⋅ (q − 1) 2
(4.71)
Meñusobni uticaj tri faktora ABC dobija se kao polovina razlike interakcije AB kada je faktor C na gornjem nivou (obeležava se sa AB1) i interakcije AB kada je faktor C na donjem nivou (obeležava se sa AB0): 1 ABC = ⋅ (AB1 − AB0 ) 2 1 AB1 = ⋅ (abc − bc - ac + c ) 2 1 AB1 = ⋅ c ⋅ [b ⋅ (a − 1) − (a − 1)] 2 1 AB1 = ⋅ c ⋅ (a − 1) ⋅ (b − 1) 2 1 AB0 = ⋅ (ab − b - a + 1) 2 1 AB0 = ⋅ [b ⋅ (a − 1) − (a − 1)] 2 1 AB0 = ⋅ (a − 1) ⋅ (b − 1) 2 odnosno: 1 ABC = ⋅ [c ⋅ (a − 1) ⋅ (b − 1) − (a − 1) ⋅ (b − 1)] 4 1 ABC = ⋅ (a − 1) ⋅ (b − 1) ⋅ (c − 1) 2 Meñusobni uticaj k – faktora je: 1 ABC...Q = ⋅ (a − 1) ⋅ (b − 1) ⋅ (c − 1) ⋅ ... ⋅ (q − 1) 2
37
(4.72)
5.0 TRAŽENJE OPTIMUMA EKSPERIMENTALNIM PUTEM Optimizacija složenih tehničkih i proizvodnih sistema može imati deterministički i stohastički prilaz. Deterministički prilaz podrazumeva ispitivanje suštine procesa, odnosno mehanizma pojava koje se mogu opisati matematičkim jezikom (npr. sistemi diferencijalnih jednačina) i koje se mogu poznatim matematičkim aparatom rešavati. Meñutim, u složenim procesima koji se ne mogu opisati i rešavati na ovaj način, jedan od najčešćih postupaka je optimizacija pomoću eksperimentalnih statističkih metoda. Ima više metoda koje omogućuju traženje ekstrema (maksimuma ili minimuma) koje se zasnivaju na metodi strmog penjanja uz različite metode uzastopnog približavanja optimumu. Klasične eksperimentalne metode pri traženju optimuma su se pokazale neracionalnim. Tako se, recimo, kod dvofaktornog eksperimenta kretanje ka optimumu vrši u dva pravca (slika 5.1).
l1
x2
6
l2
3 5
4
M0 y 2 y1
1
y 0 = const.
0
2 O
x1
Slika 5.1: Kretanje prema optimumu kod dvofaktornog klasičnog eksperimenta
Polazi se iz tačke (0) i kreće po pravcu l1 držeći vektor x1 na konstantnom nivou. Da bi se odredio smer kretanja ka optimumu vrše se ogledi u tačkama (1) i (2). Pošto u smeru (2) izlazna funkcija opada, novi opiti se izvode u tačkama (3) i (4). Izlazna funkcija y4 ponovo opada ako je optimum – maksimum, ili raste ako je optimum – minimum pa se zaključuje da treba zadržati faktor x1 na nivou koji je odreñen tačkom 3 (x1(3)). Sada se ista procedura traženja smera, a time i optimuma obavlja u pravcu l2. Pri ovome je veoma važno pravilno izabrati korak, jer suviše mali korak iziskuje veliki broj opita, a suviše veliki korak ima za posledicu prolaz kroz optimalnu oblast. Iz izloženog se vidi da je ovaj postupak neracionalan, pa se uglavnom koriste metode planiranja eksperimenta kombinovane sa raznim numeričkim tehnikama. Operativni postupak
38
ovih metoda zasniva se na kretanju po gradijentnoj liniji do optimuma procesa u odreñenom broju sukcesivnih ciklusa (slika 5.2)
x2
M0
O
x1
Slkika 5.2: Kretanje prema optimumu kod gradijentnih metoda traženja optimuma
Razvijen je veliki broj metoda za dostizanje optimuma eksperimentalnim putem, a koja će se od njih primeniti zavisi od prirode problema koji se ispituje. Na slici 5.3 su sistematizovane uobičajene metode traženja optimuma.
TRAŽENJE OPTIMUMA
OPTIMUM FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH
PARCIJALNI PLANOVI
SEKVENCIJALNI PLAN
METODE DIREKTNOG TRAŽENJA
SIMPLEX METODA
KANONIČKA ANALIZA JEDNAČINE 2. REDA
NUMERIČKE METODE TRAŽENJA
CENTRALNI KOMPOZICIONI PLANOVI
GRADIJENTNE METODE
UBRZANO DIREKTNO TRAŽENJE
METODA STRMOG USPONA
METODA KONJUGOVANIH PRAVACA
Slika 5.3: Metode trženja optimuma
39
ROTATABILNI PLANOVI
D-OPTIMIZACIONI PLANOVI
5.1 OPTIMUM FUNKCIJE VIŠE PROMENLJIVIH. SEKVENCIJALNI PLAN Kod sekvencijalne analize broj opita se ne zna unapred. Odluka koliko opita treba da bude zavisi od informacija dobijenih na svakoj etapi istraživanja. Sam naziv (sequel – niz) govori da se radi o metodi gde se opiti vrše u nizu – etapama. Metoda ima tri osnovna pravila, koja daju smernice za dalji rad i odlučivanje, a to su: • rezultati ispitivanja se prihvataju i ispitivanje se završava, • test se odbacuje, • test se produžava, a informacije iz predhodne etape se koriste u sledećoj. Ovakva interaktivna metoda omogućuje dostizanje optimuma uz manji broj opita nego što je to slučaj kod uobičajenih planova eksperimenta. Traženje optimuma kod ove metode obuhvata sukcesivno izračunavanje nove vrednosti funkcije odziva (y) i poreñenje njene vrednosti sa do tada najboljom vrednošću. Kretanje se pri tome vrši iz početne tačke (x(0)) po odreñenom pravcu (l), sa odreñenim korakom (s). Koordinate novog vektora u tački (j) će biti:
x ( j+1) = x ( j ) + s ⋅ l 1. 2. 3. 4. 5. 6.
(5.1)
Redosled rada “korak po korak” obuhvata: izbor startne tačke – bira se gruba vrednost nezavisno promenljive, vrši se opit (razvija se funkcija u startnoj tački), izabranom metodom se utvrñuje nova tačka, vrši se opit u novoj tački, porede se rezultati (2) i (4), ako je druga tačka bolja bira se nova tačka, a ako nije bira se nov pravac ili prekida ispitivanje.
5.2 POTPUNI I DELIMIČNI (PARCIJALNI) FAKTORNI EKSPERIMENT Potpuni faktorni eksperiment (PFE) je onaj koji uključuje sve kombinacije izmeñu faktora koji se ponavljaju. Tako pored “čistih” efekata bi, koji pokazuju uticaj pojedinih faktora xi na funkciju reagovanja y, jednačina sadrži i koeficijente meñufaktorskog dejstva (interakcije) bij. Matematički model funkcije reagovanja biće predstavljen izrazom: k
k
i =1
i< j
k
k
i =1
i< j
y = β 0 + ∑ β i ⋅ x i + ∑ βij ⋅ x i ⋅ x j + ... a sama funkcija:
y = b 0 + ∑ b i ⋅ x i + ∑ b ij ⋅ x i ⋅ x j + ... Za slučaj dvofaktornog i trofaktornog eksperimenta funkcija odziva dobija oblik: yˆ = b 0 ⋅ + b1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + b12 ⋅x 1 ⋅ x 2
odnosno:
yˆ = b 0 + b1 ⋅ x 1 + b 2 ⋅ x 2 + b12 ⋅x 1 ⋅ x 2 + b13 ⋅ x 1 ⋅ x 3 + b 23 ⋅ x 2 ⋅ x 3 + b123 ⋅ x 1 ⋅ x 2 ⋅ x 3
40
Posmatrajući plan matricu potpunog trofaktornog eksperimenta (tabela 5.1) vidi se da kolona koja označava meñudejstvo x1x2 poklapa u nekim opitima sa kolonom koja označava faktor x3, a negde je suprotnog znaka. Tako imamo za opite 1, 4, 6, 7 da je x3=x1x2, a za opite 2, 3, 5, 8 da je x3=-x1x2. N0 1 2 3 4 5 6 7 8
x0 1 1 1 1 1 1 1 1
x1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
x2 1 1 -1 -1 1 1 -1 -1
x3 1 1 1 1 -1 -1 -1 -1
x1 x2 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1
x1 x3 1 1 -1 -1 1 -1 -1 1
x2 x3 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1
x1 x2 x3 1 -1 -1 1 -1 1 1 -1
Tabela 5.1
Može se zaključiti da se iz delimičnog (parcijalnog) faktornog eksperimenta (DFE) mogu dobiti, premda ne kompletne, informacije o uticaju faktora i njihovih meñudejstava na izlaznu funkciju. Iz jednog PFE mogu se dobiti različiti planovi DFE zavisno od sistema zamene meñudejstava novim faktorom. Za izbor DFE koristi se specijalni kriterijum ocene “sposobnost replike”, pod kojim se podrazumeva broj čistih, linearnih efekata koji nisu pomešani sa meñuefektima. Zamenom meñufaktorskih efekata linearnim efektima otežava se analiza eksperimentalnih podataka, jer se dobijaju zbirni koeficijenti, pomoću kojih se ocenjuju dejstva istovremeno i faktora i interakcija. Meñutim, ovakav postupak daje manji broj opita, pa je i jeftiniji, te se koristi naročito kada imamo veliki broj faktora. Posmatrajući dvonivojske planove tipa 2k, videće se da je broj opita N=2k veći nego što je broj ocenjenih liniskih efekata k. Razlika koja predstavlja “višak” opita jednaka je:
∆ = N − k = 2k − k
(5.2)
S obzirom da delimični eksperiment ima manji broj opita i ovaj “višak” će biti manji. Ako se u DFE “p” meñudejstava faktora iz PFE zamene novim faktorima, broj opita je tada:
N = 2 k-p
(5.3)
Minimalan broj koji predstavlja “višak” opita neophodan da se pored k – koeficijenata tipa bi odredi i koeficijent b0 je:
∆ = N − k = 2 k -p − k = 1
(5.4)
Plan sa graničnim brojem faktora koji je dobijen zamenom svih meñufaktorskih efekata linijskim efektima novih faktora naziva se zasićenim. Zasićen plan sadrži minimalan broj opita, 41
što je povoljno sa ekonomskog stanovišta, ali krije u sebi opasnost da se iz analize eksperimentalnih rezultata izvedu pogrešni zaključci. Ako posmatramo plan tipa 23 (tabela 5.1) i u njemu kolone koje označavaju interakciju zamenimo novim faktorima, imaćemo sledeće slučajeve: a) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, dobija se DFE kao deo PFE sa N=2k=24 x 4 = x1x 2 x 3
N = 2 k-p = 2 4-1 = 23 = 8 ∆ = N − k = 23 − 4 = 4 p 1 1 = 2 2 b) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, a kolone x1x2 faktorom x5 x 4 = x1x 2 x 3 x 5 = x1x 2
N = 2 k -p = 25-2 = 23 = 8 ∆ = N − k = 23 − 5 = 3 p 1 1 = 4 2 c) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, kolone x1x2 faktorom x5 a kolone x1x3 faktorom x6 x 4 = x1x 2 x 3 x 5 = x1x 2 x 6 = x 1x 3
N = 2 k -p = 2 6-3 = 23 = 8 ∆ = N − k = 23 − 6 = 2 p 1 1 = 8 2 d) ako se kolone x1x2x3 zameni faktorom x4, kolone x1x2 faktorom x5 ,kolone x1x3 faktorom x6 a kolone x2x3 faktorom x7 x 4 = x1x 2 x 3 x 5 = x1x 2 x 6 = x 1x 3 x6 = x2x3
N = 2 k - p = 2 7-4 = 2 3 = 8 ∆ = N − k = 23 − 7 = 1 p 1 1 = 2 16 Odluka, koje će se interakcije zameniti novim faktorom, i kojim, zavisi od predhodnih saznanja o ispitivanoj oblasti i od iskustva istraživača. 42
Iz izloženog se vidi da postoje razne kombinacije formiranja parcijalnih planova, zavisno od toga koliko kompletno želimo da dobijemo informacije o procesu, sa kakvim sredstvima raspolažemo, sa koliko raspoloživog vremena i slično. U tabeli 5.2 su prikazane razne mogućnosti formiranja replike PFE. Tako iz plana sa k=8 faktora možemo formirati DFE sa p=1 kao polurepliku sa N=128 opita, zatim četvrtrepliku sa N=64 opita, 1/8 replike sa N=32 opita, 1/16 replike sa N=16 opita i 1/32 repliku sa N=8 opita. To je ujedno i minimalna replika posle koje plan postaje zasićen, tako da iz tabele dobijamo odmah i maksimalni broj faktora koji se mogu u PFE uvesti umesto interakcija. p replika
PFE
k
p=0
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
8 16 32 64 128 256 512 1024 2048 4096
DFE p=1 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
p=2 1 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
p=3 1 8 8 16 32 64 128 256 512
p=4 1 16 8 16 32 64 128 256
p=5 1 32 8 16 32 64 128
p=6 1 64 8 16 32 64
p=7 1 128 8 16 32
p=8 1 256 8 16
p=9 1 512 8
Tabela 5.2
5.2.1 DELIMIČNI FAKTORNI EKSPERIMENT KAO DEO POTPUNOG FAKTORNOG EKSPERIMENTA-TIPA 23 Iz PFE tipa 23 mogu se dobiti dve polureplike (slika 5.4). x3 4
1
x3
3
x2
x2
6
x1
2
8
x1
7
I polureplika tačke: 1, 4, 6, 7 N = 2 k -p = 23-1 = 2 2 = 4
5
II polureplika tačke: 2, 3, 5, 8 N = 2 k -p = 23-1 = 2 2 = 4
Slika 5.4: Polureplike PFE tipa 23 43
Replike PFE se ocenjuju posredno, preko generatora (generirajuća meñuzavisnost) koji pokazuju zavisnost izmeñu interakcije i faktora, kojim je zamenjena. Tako za trofaktorni plan eksperimenta imamo dva generatora: x 3 = x1x 2 i x 3 = −x1x 2 Kontrast J se dobija množenjem generatora odgovarajućim faktorom. Tako da je za trofaktorni eksperiment: J = x1 x 2 x 3 i J = −x1x 2 x 3 (5.5) Kontrast omogućuje odreñivanje načina menjanja efekata. Potrebno je pomnožiti obe strane odgovarajućim faktorima, pa pošto je x i = ±1 biće x i2 = 1 , odnosno za prvu repliku: J = x1x 2 x 3 = 1 dobijamo: x1 = x 12 x 2 x 3 = x 2 x 3
x 2 = x 1 x 22 x 3 = x 1 x 3
(5.6)
x 3 = x 1 x 2 x 32 = x 1 x 2 Za drugu polurepliku: x1 = −x 2 x 3 x 2 = − x 1x 3 x 3 = −x1x 2
(5.7)
Sistem rešenja je pogodno pisati pomoću koeficijenata regresije, pa je za prvu polurepliku: b′1 → β1 + β 23 b′2 → β 2 + β13 (5.8) b′3 → β 3 + β12 Za drugu polurepliku se dobija: b1′′ → β1 − β 23 b′2′ → β 2 − β13 b′3′ → β 3 − β12
(5.9)
Sjedinjavanjem obe polureplike dobija se PFE. Koeficijenti regresije su tada: ′ ″ ′ ″ b0 + b0 b3 − b3 b0 = b12 = 2 2 ′ ″ ′ ″ b1 + b1 b2 − b2 b1 = b13 = (5.10) 2 2 ′ ″ ′ ″ b + b2 b − b1 b2 = 2 b 23 = 1 2 2 ′ ″ b + b3 b3 = 3 2
44
Označavanje koeficijenata regresije polureplika sa b′i odnosno b′i′ vrši se onda ako se rade dve replike. Ako se radi samo jedna replika, koeficijenti se označavaju sa bi. Plan matrica za prvu polurepliku, dobija se iz PFE čija je matrica plana prikazana u tabeli 5.3. Opit 1 4 6 7 9 10
x0
x1 = x 2 x 3
x 2 = x 1x 3
x 3 = x1x 2
1 1 1 1 1 1
1 -1 -1 1 0 0
1 -1 1 -1 0 0
1 1 -1 -1 0 0
yu y1 y4 y6 y7 y9 y10
Tabela 5.3
a) Ponavljanje opita u nultoj tački n0=4 (tačke 9, 10, 11, 12 - za celokupni eksperiment) – interakcija x 1x 2 x 3 se zanemaruje. Matrica ulaznih vrednosti X je :
1 1 1 1 1 − 1 − 1 1 1 − 1 1 − 1 X= 1 1 − 1 − 1 1 0 0 0 0 0 1 0
(5.11)
Njena transponovana matrica je:
1 1 1 1 1 − 1 − 1 1 X′ = 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1
1 1 0 0 0 0 0 0
(5.12)
Njihov proizvod je:
1 1 1 1 1 − 1 − 1 1 X′X = 1 − 1 1 − 1 1 1 − 1 − 1
1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 − 1 − 1 1 6 0 1 − 1 1 − 1 0 ⋅ = 0 1 1 − 1 − 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 45
0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 4
(5.13)
A inverzna matrica je: 1 6 0 1 0 (X′X )-1 = 4 0 0 0 0
0 0 0 1 4
0 0 1 4 0
(5.14)
Tada je:
1 b1 6 b 0 2 = b3 0 b 4 0
0
0
1 4
0
0
1 4
0
0
0 1 1 1 1 0 1 − 1 − 1 1 ⋅ 0 1 − 1 1 − 1 1 1 −1 −1 1 4
1 0 0 0
y1 1 y 4 0 y 6 ⋅ 0 y 7 0 y 9 y10
U razvijenom obliku dobiće se tada da je: 1 b 0 = ⋅ (y1 + y 4 + y 6 + y 7 + y 9 + y10 ) 6 1 b1 = ⋅ ( y1 − y 4 − y 6 + y 7 ) 4 1 b 2 = ⋅ ( y1 − y 4 + y 6 − y 7 ) 4 1 b 3 = ⋅ (y1 + y 4 − y 6 − y 7 ) 4
(5.15)
(5.16)
b) Ponavljanje u tačkama plana n=3 Srednje aritmetičke sredine mernih vrednosti pojedinih opita su y1 , y 4 , y 6 , y 7 , a vrednosti koeficijenata regresije su: 1 b 0 = ⋅ ( y1 + y 4 + y 6 + y 7 ) 4 1 b1 = ⋅ ( y1 - y 4 − y 6 + y 7 ) 4 1 b 2 = ⋅ ( y1 − y 4 + y 6 − y 7 ) (5.17) 4 1 b 3 = ⋅ (y1 + y 4 − y 6 − y 7 ) 4 Pri čemu je opšti izraz za srednju aritmetičku sredinu pojedinih opita: n
∑y yi =
j=1
j
n 46
5.2.2 DELIMIČNI FAKTORNI EKSPERIMENT TIPA 25-2 (ČETVRTREPLIKA)
Dobijanje četvrtreplike vrši se zamenom dvaju meñudejstava faktora novim faktorom. Ako meñudejstvo dva faktora zamenimo sa x4, a tri faktora sa x5 imaćemo 12 mogućih kombinacija za dobijanje četvrtreplike iz PFE tipa 25:
x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4 x4
= x1x 2 = x1x 2 = − x 1x 2 = − x 1x 2 = x 1x 3 = x 1x 3 = − x 1x 3 = − x 1x 3 = x2x3 = x2x3 = −x 2 x 3 = −x 2 x 3
x5 x5 x5 x5 x5 x5 x5 x5 x5 x5 x5 x5
= x1x 2 x 3 = −x1x 2 x 3 = x1x 2 x 3 = −x1x 2 x 3 = x1x 2 x 3 = −x1x 2 x 3 = x1x 2 x 3 = −x1x 2 x 3 = x1x 2 x 3 = −x1x 2 x 3 = x1x 2 x 3 = −x1x 2 x 3
(5.18)
Razmotrimo slučaj (1) – prva četvrtreplika:
x 4 = x1x 2 x 5 = x1x 2 x 3
J = x1 x 2 x 4 J = x1 x 2 x 3 x 5
(5.19)
Množenjem dva kontrasta dobijamo treću zavisnost J = x 3 x 4 x 5 , pa je:
J = x1 x 2 x 4 = x 1 x 2 x 3 x 5 = x 3 x 4 x 5
(5.20)
Iz ovog zbirnog kontrasta dobijamo sledeće odnose združenih efekata, ako sve pomnožimo odgovarajućim faktorima:
x1 = x 2 x 4 = x 2 x 3 x 5 = x1x 3 x 4 x 5 x 2 = x1x 4 = x1x 3 x 5 = x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 = x1x 2 x 3 x 4 = x1x 2 x 5 = x 4 x 5 x 4 = x1x 2 = x1x 2 x 3 x 4 x 5 = x 3 x 5 x 5 = x1 x 2 x 4 x 5 = x 1 x 2 x 3 = x 3 x 4 x 1x 3 = x 2 x 3 x 4 = x 2 x 5 = x 1 x 4 x 5 x 1x 5 = x 2 x 4 x 5 = x 2 x 3 = x 1 x 3 x 4
b1 → β1 + β 24 + β 235 + β1345 b 2 → β 2 + β14 + β135 + β 2345 b 3 → β 3 + β1234 + β125 + β 45 b 4 → β 4 + β12 + β12345 + β 35 b 5 → β 5 + β1245 + β123 + β 34 b13 → β13 + β 234 + β 25 + β145 b15 → β15 + β 245 + β 23 + β134
(5.21)
Iz ovih jednačina se vidi da su mnogi liniski efekti pomešani sa dvojnim, trojnim i četvornim meñudejstvima faktora, što u mnogome otežava analizu uticaja pojedinih faktora, kao i njihovih meñudejstava na proces. Zato je potrebno, ako postoje neke apriori informacije da su meñudejstva faktora značajna, izvršiti još jedan niz opita, koji predstavljaju dopunsku
47
četvrtrepliku. Vrši se prema plan matrici koja odgovara prvoj četvrtreplici, ali sa promenjenim znakom: x 4 = − x 1x 2 x 5 = x1x 2 x 3 (5.22) pa je zbirni kontrast ravan:
J = x 1 x 2 x 4 = x 1x 2 x 3 x 5 = − x 3 x 4 x 5
(5.23)
Treći kontrast se dobija množenjem predhodna dva. Iz kontrasta dobijamo:
x1 = −x 2 x 4 = x 2 x 3 x 5 = −x1x 3 x 4 x 5 x 2 = −x1x 4 = x1x 3 x 5 = −x 2 x 3 x 4 x 5 x 3 = − x 1 x 2 x 3 x 4 = x 1x 2 x 5 = − x 4 x 5 x 4 = −x1x 2 = x1x 2 x 3 x 4 x 5 = −x 3 x 5 x 5 = −x1x 2 x 4 x 5 = x1x 2 x 3 = − x 3 x 4 x 1x 3 = − x 2 x 3 x 4 = x 2 x 5 = − x 1 x 4 x 5 x 1x 5 = − x 2 x 4 x 5 = x 2 x 3 = − x 1 x 3 x 4
b1 → β1 − β 24 + β 235 − β1345 b 2 → β 2 − β14 + β135 − β 2345 b 3 → β 3 − β1234 + β125 − β 45 b 4 → β 4 − β12 + β12345 − β 35 b 5 → β 5 − β1245 + β123 − β 34 b13 → β13 − β 234 + β 25 − β145 b15 → β15 − β 245 + β 23 − β134
Sabiranjem koeficijenata obe četvrtreplike dobijamo nove vrednosti: b1 → β1 + β 235 b 5 → β 5 + β123 b 2 → β 2 + β135 b13 → β13 + β 25 b 3 → β 3 + β125 b15 → β15 + β 23 b 4 → β 4 + β12345
48
(5.24)
(5.25)