1. VEROVATNOĆA POJAVA OSNOVNIH STANJA SISTEMA sistem (
) - celina sastavljena od delova
Sistemi u mašinstvu predstavljaju skupelemenata i relacija izmeđ izme đu njih i njihovih karakteristika struktuiranih na nač način koji obezbeđ obezbeđuje izvođ izvođenje predviđ predviđenih postupaka rada i vršenje postavljene funkcije kriterijuma u vremenu i u datim uslovima okoline. Sposobnost vršenja funkcije kriterijuma u vremenu nazivamo RADNA sposobnost sistema. Sistem koji je jednom postavljen u proces rada izložen je uticajima različ razli čitih: − po velič veličini − pravcu i smeru − karakteru što uzrokuje najč najčešć ešće odstupanje u nivou postavljene funkcije kriterijuma i umanjuje radnu sposobnost sistema. Kretanje parametara funkcije kriterijuma pod dejstvom navedenih uticaja u okviru granica dozvoljenih odstupanja određ određuje stanje sistema u smislu: − ZADOVOLJAVA – označ označava stanje u RADU – zadovoljena funkcija kriterijuma − NE ZADOVOLJAVA – stanje u OTKAZU OTKAZU – ne vrši postavljenu postavljenu funkciju kriterijuma pouzdanost - Verovatnoća da će stvarni ishod nekog procesa biti jednak željenom ishodu FC – Funkcija Funkcija cilja ili Funkcija Funkcija kriterijuma
Može biti definisana na osnovu različitih zahteva koji se postavljaju pred sistem: • • • • • • •
maksimalni (optimalni) učinak maksimalni (optimalni) kvalitet maksimalne verovatnoće ostvarenja zadatka minimalnih troškova maksimalne ekonomičnosti minimalnog zagađenja okoline maksimalne bezbednosti za radnike ...
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
i
U OTKAZU )
i
U OTKAZU )
U RADU -> OTKAZ -> U OTKAZU -> POPRAVKA -> U RADU
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
Otkaz nastaje kada proces (ili bilo koja veličina koja je bitna za taj proces) izađe van granica dozvoljenih odstupanja (koje definiše FC). Otkaz može nastati u bilo kojem trenutku rada sistema. Kako vreme protiče, raste verovatnoća da će otkaz nastati. 1
Otkaz mora nastati, makar se to desilo kada t -> ∞ Verovatnoća da će otkaz nastupiti = F(t) = NEPOUZDANOST Verovatnoća da otkaz neće nastupiti = R(t) = POUZDANOST R(t) + F(t) = 1
Ovo važi uvek i za sve sisteme !!!
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
i
U OTKAZU )
Kada sistem otkaže potrebno je sprovesti intervenciju održavanja – otklanjanja otkaza. Što se duže radi na intervenciji otklanjanja otkaza (što je više vremena na raspolaganju), ve ća je
verovatnoća da će otkaz biti otklonjen.
Verovatnoća da će otkaz biti otklonjen do vremenskog trenutka t = Po(t) = POGODNOST ZA ODRŽAVANJE. Verovatnoća da otkaz neće biti otklonjen do vremenskog trenutka t = Pn(t) = NE-POGODNOST ZA ODRŽAVANJE Po(t) + Pn(t) = 1
Ovo važi uvek i za sve sisteme !!!
Verovatnoće pojava osnovnih stanja sistema ( U RADU
0 ≤ R(t) ≤ 1 0 ≤ F(t) ≤ 1 0 ≤ Po(t) ≤ 1 0 ≤ Pn(t) ≤ 1
i
U OTKAZU )
⇓ ⇑ ⇑ ⇓
2
2. Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu POTPUNI otkaz delova sistema – radna sposobnost sistema pada na nulu DELIMIČNI otkaz delova sistema – sistem vrši rad, ali ispod donje granice postavljene funkcije cilja Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu
PODELA UTICAJA koji dovode do otkaza: •
SISTEMSKI uticaji dovode do otkaza sistema obično u početnoj fazi rada – period dečijih bolesti
•
SLUČ AJNI uticaji uslovljavaju otkaze koji su rezultat nestabilnosti konstrukcionih, tehnoloških i parametara uslova okoline i
•
MONOTONO DEJSTVUJUĆI uticaji vode intenziviranju dejstva određenih procesa u vremenu, kao što su procesi habanja, nedovoljne regulisanosti elemenata, čestice prljavštine na kliznim površinama, zamor materijala, izmene fizičko-hemijskih karakteristika materijala
3
Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu
Uzroci i oblici pojava stanja u otkazu
4
3. INTENZITET OTKAZA Intenzitet otkaza λ(t) predstavlja odnos funkcije gustine pojave stanja U OTKAZU i kumulativne gustine pojava u stanja stanja U RADU. Kod neprekidnih promena stanja:
dF (t ) λ (t ) =
f (t )
1 dF (t ) 1 dR(t ) = dt = × =− × R(t ) R(t ) R(t ) dt R(t ) dt
Za prekidne promene stanja
N ( Δt )
λ (t ) =
N (Δt ) = n × Δt = nsr R (t ) n sr ⋅ Δt f (t )
n Funkcija intenziteta otkaza ima veoma karakteristič karakterističan oblik u toku vremena. Uoč Uo čavaju se tri karakteristič karakteristična perioda: - I period predstavlja područ područ je uč učestalih stanja u otkazu koja se javljaju u poč po četku rada sistema (perod uhodavanja ili deč dečijih bolesti sistema) izazvanih „ugrađ „ugra đenim greškama“ u procesu projektovanja, projektovanja, izgradnje i postavljanja postavljanja sistema. - II period sluč slučajnih stanja u otkazu – period normalnog rada sistema - III period već većih uč učestalosti stanja u otkazu izazvanih procesom starenja, zamorom materijala, pojavom korozije, procesom intenzivnog habanja i sl. Zbog svog karakteristič karakterističnog oblika ovaj dijagram se ponekad naziva dijagram „kada“ .
-
INTENZITET OTKAZA (intenzitet pojave stanja U OTKAZU sistema je verovatnosna gustina pojave otkaza u trenurku t 1 za deo koji nije otkazao do tog trenutka ili - INTENZITET OTKAZA je verovatnoć verovatnoća da će deo koji se nije nalazio ustanju U OTKAZU do trenutka t1, otkazati u narednom periodu. INTENZITET OTKAZA se često naziva stopom otkaza, a ponekad i brzinom pojave otkaza (neispravnosti).
5
4. GOTOVOST SISTEMA
Dva sistema: koji je “poželjniji” ?
A(t) – availability (raspoloživost) G(t) – Gotovost sistema OG(t) – Operativna Gotovost Gotovost sistema predstavlja verovatnoću da će sistem uspešno stupiti u dejstvo i ostvariti projektovane izlazne veličine u neophodno minimalnom minimalnom vremenu trajanja trajanja i datim uslovima okoline.
tur
÷ t uo
n
Tur
n
= ∑ tur ÷ Tuo uo = ∑ tuo i
i =1
j =1
j
Problem 1: u početku je tuo = 0 ! Problem 2: teško je uporediti dva sistema Problem 3: ne postoji “granica” odnosa dve vrednosti n
K =
T ur T uo
=
∑ t ur
Tur – ukupno vreme U RADU sistema
∑ t uo
Tuo – ukupno vreme U OTKAZU sistema
i =1 n
i
j =1
j
n
A(t ) = G (t ) = OG (t ) =
ukupno vreme u radu ukupno vreme
=
∑ t ur
i =1 n
=
i
n
∑ tuo + ∑ t ur
j =1
j
i =1
i
T ur Tuo + Tur
Upoređ Upoređivanjem se dobija: 6
OG =
1 1+
T uo
Tur Kako svakom intervalu u radu odgovara interval U OTKAZU, to je broj intervala U RADU jednak broju intervala U OTKAZU, pa se ukupna vremena mogu izraziti kao: što zamenom daje: 1 Tur = n ⋅ t ur odnosno OG =
Tuo
= n ⋅ t uo
1+
t uo
t ur
Komponenta operativne gotovosti gotovosti ukazuje na potrebu ostvarenja uslova u radu sistema koji daju: − MAKSIMALNO vreme U RADU i − MINIMALNO vreme U OTKAZU putem: − projektovanja struktira maksimalnog maksimalnog stepena stepena jednostavnosti jednostavnosti − kvalitetnog izvođ izvođenja postupaka obrade i montaže sistema − pažljivog ispitivanja sistema sistema u eksploataciji eksploataciji i podešavanja konstrukcije sistema sistema − primene preventivnog preventivnog sistema održavanja održavanja
7
5. POUZDANOST SISTEMA SA REDNOM VEZOM ELEMENATA Nakon što sistem uspešno poč počne da radi, od njega se oč o čekuje da i nastavi da uspešno radi, odnosno da se ne pojavi OTKAZ! R(t) – Pouzdanost Pouzdanost sistema predstavlja verovatnoć verovatno ću da će sistem uspešno vršiti funkciju kriterijuma u granicama dozvoljenih odstupanja u projektovanom vremenu vremenu trajanja i datim uslovima okoline. Redna veza je najč naj češć ešća, ima veoma nepovoljne osobine sa stanovišta uticaja pouzdanosti sastavnih elemenata na pouzdanost sistema. Kada otkaže bilo koji element iz redne veze, otkazuje i ceo sistem, odnosno, sistem je U RADU kada je svaki element redne veze U RADU.
R1
R2
D1 – događ događaj 1 – element 1 U RADU D2 – događ događaj 2 – element 2 U RADU Da bi sistem bio U RADU, moraju biti realizovana oba događ događaja – presek dva doga događđaja ! Verovatnoć Verovatnoća realizacije ovog događ doga đaja je jednaka preseku dve verovatnoć verovatnoće (elementi). R 1 i R 2 pouzdanosti predstavljaju verovatnoć verovatno će da do posmatranog trenutka vremena neć ne će doć doći do pojave otkaza Događđaj koji predstavlja stanje U RADU sistema određ Doga odre đen je samo onim delom prikazanih površina koje se preklapaju, pošto je samo tada zadovoljen uslov da su oba elementa u radu, r adu, ispravnom stanju. = D1 I D2 P s = P1 I P 2 R s = R1 ⋅ R2
P ( D s ) = P (D1 ) I P (D2 )
D s
R s = R1 ⋅ R2 ⋅ ... ⋅ Rn =
R s (t ) = R1 (t ) ⋅ R2 (t ) n
∏R
i
redna veza n elemenata
i =1
n
s
= R1 ⋅ R1 ⋅ ... ⋅ R1 = ∏ R1 = R1n 1
R1 =
n
ukoliko se radi o identič identi čnim elementima pouzdanosti su im iste
R s
8
6. POUZDANOST SISTEMA SA AKTIVNOM I PASIVNOM PARALELNOM VEZOM ELEMENATA
Sistem je u radu sve dok je barem jedan element paralelne veze u radu. Tek kada otkažu oba (svi) elementi paralelne veze, otkazuje i sistem, ovaj sistem obezbeđuje visok nivo pouzdanosti sistema.
R1
R2 D1 – događaj 1 – D2 – događaj 2 –
element 1 U RADU element 2 U RADU
Da bi sistem bio U RADU, mora biti realizovan barem jedan događaj – unija dva događaja ! Verovatnoća realizacije ovog događaja je jednaka “zbiru” (pravila Bool-ove algebre ) dve verovatnoće (elementi). = D1 U D2 P ( D s ) = P (D1 ) U P (D2 ) P s = P1 U P 2 P s = P1 + P2 − P1 I P 2 R s (t ) = R1 (t ) + R2 (t ) − R1 (t ) ⋅ R2 (t ) R s = R1 + R2 − R1 ⋅ R2 R s = 1 − F s D s
Sistem je u otkazu kada su oba elementa u otkazu → nepouzdanost !!! = F1 ⋅ F 2 R s = 1 − F1 ⋅ F 2 R s = 1 − (1 (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 ) F s
R s = 1 − (1 (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 ) ⋅ ...⋅ (1 − Rn ) = 1−
n
∏ (1− R ) i
i =1
Ukoliko se radi o identičnim elementima, pouzdanosti tih elemenata su iste R s = 1 −
n
∏ (1 − R ) = 1− (1− R ) 1
n
1
1
R1
= 1 − n 1 − R s
9
Pasivna paralelna veza
Aktivni element je u radu. Kada otkaže aktivni element, uključuje se pasivni element. Tek kada otkaže pasivni element (svi pasivni elementi) koji se nalazi u pasivnoj paralelnoj vezi, otkazuje i ceo sistem.
R1
R2
R1 R2
Pretpostavka – eksponencijalni zakon raspodele vremena U RADU Period stabilne eksploatacije !
Pretpostavka – eksponencijalni zakon raspodele vremena U RADU Period stabilne eksploatacije !
R = e − λ ⋅t n (λ ⋅ t )k − λ ⋅t R s = ∑ ⋅e k ! k = 0 2 k ⎡ ⋅ ⋅ λ t λ t ( ) ( ) ⎤ − λ ⋅t + ... + R s = ⎢1 + λ ⋅ t + ⎥ ⋅e 2! k ! ⎥ ⎢⎣ ⎦
k – broj elemenata u pasivnoj vezi !!! k=0
R s = [1] ⋅ e− λ ⋅t k=1
R s = [1 + λ ⋅ t ] ⋅ e− λ ⋅t = R1 + ( λ ⋅ t ) ⋅ R1 10
7. POUZDANOST SISTEMA SA DELIMIČ DELIMI ČNO PARALELNOM I KOMPLEKSNOM VEZOM
ispravnost sistema se uslovljava ispravnošć ispravnoš ću bar „k“ od „m“ elemenata.
⎛ m ⎞ x m− x 1 R R ∑ ⎜ x ⎟ ⋅ i ⋅ ( − i ) x = k ⎝ ⎠ x = m m! m− x R s = ⋅ R xi ⋅ (1 − Ri ) x = k x !⋅ ( m − x ) ! R s =
R1
x = m
R2
∑
R3
x ! = x ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 2 ) ⋅ ... ⋅ 2 ⋅ 1
4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 24 5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 = 120 0! = 1
R K K R M
Strukture sa kmpleksnom vezom elemenata predstavljaju sisteme u čijoj gradnji postoje i redne i paralelne veze
R1 R5 R2 R6
R8
R3 R7 R4
Ra
Rb
R8
= 1 − (1 (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 ) ⋅ (1 − R3 ) ⋅ (1− R4 ) Rb = 1 − (1 (1 − R5 ) ⋅ (1 − R6 ) ⋅ (1 − R7 ) R s = Ra ⋅ Rb ⋅ R8 R s = [1 − (1 (1 − R1 ) ⋅ (1 − R2 ) ⋅ (1 − R3 ) ⋅ (1 − R4 )] ⋅ Ra
(1 − R5 ) ⋅ (1 − R6 ) ⋅ (1 − R7 )] ⋅ R8 [1 − (1 11
Puno elemenata – povezanih na različite načine.
R2
R3
A B
R1
C R4
R6
= R1 ⋅ R2 ⋅ R3 R B = R1 ⋅ R4 ⋅ R5 RC = R5 ⋅ R6 ⋅ R7 R A
R5
R7
= DA U DB U DC P ( DS ) = P ( DA ) U P ( DB ) U P ( DC ) DS
P ( D A ) U P ( DB ) = P ( D A ) + P ( D B ) − P ( D A ) I P ( D B )
= P1 I P2 I P 3 P B = P1 I P4 I P 5 P A I PB = P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P 5 P1 U P1 = P 1 P1 I P1 = P 1 P A
= P 1 P1 I P1 = P 1 P1 U P1
P ( D A ) I P ( DB ) = ( P1 I P2 I P3 ) I ( P1 I P4 I P 5 )
= P1 I P2 I P3 I P4 I P 5 R A ⋅ RB = R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R4 ⋅ R5 P ( DS ) = P ( DA ) U P ( DB ) U P ( DC ) PS = PA + PB + PC − PA I PB − PA I PC − PB I PC + PA I PB I P C P A I PB
R2
R3
PS = PA + PB + PC − PA I PB − PA I PC − PB I P C + A B
R1
C R4
R6
R7
R5
+ P A I PB I P C PS = P1 I P2 I P3
+ P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P 7 − − P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 − P1 I P2 I P3 I P5 I P6 I P 7 − − P1 I P4 I P5 I P5 I P6 I P 7 + + P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 I P5 I P6 I P 7
PS = P1 I P2 I P3
+ P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P7 − P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 − P1I P2 I P3 I P5 I P6 I P 7 − − P1 I P4 I P5 I P5 I P6 I P7 + P1 I P2 I P3 I P1 I P4 I P5 I P5 I P 6 I P 7
PS = P1 I P2 I P3
+ P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P7 − P1 I P2 I P3 I P4 I P5 − P1 I P2 I P3 I P5 I P6 I P 7 − − P1 I P4 I P5 I P6 I P7 + P1 I P2 I P3 I P4 I P5 I P6 I P 7
12
PS = P1 I P2 I P3
+ P1 I P4 I P5 + P5 I P6 I P7 − P1 I P2 I P3 I P4 I P5 − P1I P2 I P3 I P5 I P6 I P 7 − − P1 I P4 I P5 I P6 I P7 + P1 I P2 I P3 I P4 I P5 I P6 I P 7
= RS = R1 ⋅ R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R4 ⋅ R5 + R5 ⋅ R6 ⋅ R7 − R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R4 ⋅ R5 − R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R5 ⋅ R6 ⋅ R7 − − R1 ⋅ R4 ⋅ R5 ⋅ R6 ⋅ R7 + R1 ⋅ R2 ⋅ R3 ⋅ R4 ⋅ R5 ⋅ R6 ⋅ R7
PS
RS = R1 R2R3 + R1 R4R5 + R5R6 R7 − R1 R2 R3 R4 R5 − R1 R2 R3 R5 R6 R7 − R1 R4 R5 R6 R7 + R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7
RS = R123 + R145 + R567 − R12345 − R123567 − R14567 + R1234567
13
8. POUZDANOST SISTEMA SA SPECIFIČ SPECIFIČNIM VEZAMA ELEMENATA Specifične veze, koje imaju karakteristike rednih i paralelnih veza, a nisu čisto redne ni paralelne veze – kvaziredne i kvaziparalelne veze. R1 R1 R2
Kf
kvaziredna veza
Kf
kvaziparalelna veza
Primer: radna i pomoćna (parkirna) ko čnica kod automobila.
R1
Kf - fiktivni element koji “simulira” degradaciju radnih karakteristika. Kf= put kočenja radnom kočnicom / put kočenja parkirnom kočnicom
Kf
kvaziparalelna veza Primer kvaziredne veze: Kočioni sistem automobila, ako bi bile odvojene kočione grane za leve i desne točkove. Otkaz jedne grane ne znači potpuni gubitak sposobnosti kočenja, ali značajno umanjuje bezbednost vozila. R s
R1
= RK 2 ⎡⎣1 − (1 − RKR ⋅ RPMR ⋅ RK1 ) ⋅ (1 − R KP ⋅ R PMP ⋅ R fp ) ⎤⎦
K fp
=
S R S P
=
put koč enja enja pri dejstvu dejstvu radne koč nice nice put koč enja enja pri dejstvu pomo ćne koč nice nice
uvek mora da važi odnos:
R2
Kf
kvaziredna veza
0 ≤ K fp ≤ 1
14
9. OSNOVNI STATISTIČ STATISTIČKI POKAZATELJI SLUČ SLUČAJNE PROMENLJIVE Događaji – slu čajne veličine
→
statistika i teorija verovatnoće
Osnovne veličine koje je potrebno poznavati za svaku pojavu koju treba izučiti: • • • • • •
srednja vrednost, medijana, mod, mera rasipanja oko srednje vrednosti, granice poverenja i rang.
• za neprekidne (kontinualne) promene (uslov – poznato f(t)) ∞
površina ispod krive
m=
∫ t ⋅ f (t )dt
−∞
• m=
za prekidne (diskretne) promene i =n
∑ i =1
Neprekidna (kontinualne) promena
i=n
ti ⋅ p (ti )
m=
i =n
∑ t ∑ t ⋅ f i
i =1
n
=
i
i
i =1
n
Prekidna (diskretna) promena
Medijana - deli populaciju na dva jednaka dela (50 % populacije ima manju vrednost od medijane, a drugih 50 % populacije ima veću vrednost od medijane !
-
m=
deli populaciju na dva jednaka dela (50 % populacije ima manju vrednost od medijane, a drugih 50 % populacije ima veću vrednost od medijane !
∞
t 50
t 50
−∞
∫ t ⋅ f (t )dt = 0, 5 = ∫ t ⋅ f (t )dt 15
Mod - najveća verovatnoća pojavljivanja – najviša frekvencija
df (t ) dt
= 0 ⇒ t = mod
Mera rasipanja oko srednje vrednosti ∞
2
σ
2
= ∫ ( t − m ) ⋅ f (t ) dt
σ 2 =
−∞ i=n
∑ (t − m )
2
⋅ p (ti )
i =1
1 i=n 2 − ⋅ f i σ = t m ( ) ∑ n − 1 i =1 2
16
10.GRANICE 10.GRANICE POVERENJA SLUČ SLUČAJNE PROMENLJIVE
Granice poverenja
Razlika između srednje vrednosti uzorka i srednje vrednosti cele populacije. Što je veći uzorak, dobijene statističke veličine uzorka su približnije stvarnoj vrednosti odgovarajuće veličine cele populacije.
Ocena odstupanja izračunate srednje vrednosti od prave srednje vrednosti odgovarajuće raspodele, vrši se na osnovu utvrđivanja granica, odnosno, intervala poverenja. Interval poverenja predstavlja dijapazon u kome se, sa određenom verovatnoćom, tvrdi da se nalazi prava srednja vrednost populacije. Granice poverenja predstavljaju vrednosti C α/2, koje odgovaraju verovatnoći realizacije od 1- α %.
m − Cα / 2 ≤ m ≤ m + Cα / 2 Vrednost granica poverenja mogu da se odrede na osnovu veličine uzorka i standardne devijacije. Npr, ako se želi odrediti granice poverenja za α = 5 % (1 – α = 95 %), to se postiže sledećim izrazom:
m−
1, 96 ⋅ σ n
≤ m ≤ m+
1, 96 ⋅ σ n
17
11. HISTOGRAM I POLIGON Omoguć Omogućuju bliže upoznavanje stvarnog zakona raspodele posmatrane sluč slučajno promenljive velič veličine, vrši se izrač izračunavanje relativnih (f) i kumulativnih (F) frekvencija i njihovo grafič grafičko prikazivanje u obliku histograma odnosno poligona. Za ovakvu obradu svi rezultati merenja treba d se grupišu u određ određene klase, tj. intervale promene posmatrane velič veličine, pa su relativne frekvencije određ određene izrazom: f
=
ni
ili f =
n
ni
⋅100 ( % )
n
gde je ni broj rezultata u svakoj pojedinač pojedinačnoj klasi n ukupni broj rezultata Grafič Grafički prikaz ovako izrač izračunatih relativnih frekvencija naziva se histogram. ] % [ f
0
Δt
+t
Na osnovu relativnih frekvenci lako se dolayi i do njihovih kumulativnih kumulativ nih vrednosti F =
j
ni
∑n
ili
F =
i =1
j
ni
∑ n ⋅100 (%) i =1
što se grafič grafički prikazuje u vidu stepenastog dijagrama ili poligona
] % [ F
100 %
] % [ F
100 %
0
0
Δt
+t
Δt
+t
18
12. RANGIRANJE REZULTATA Kod sistema u mašinstvu raspoložive informacije su obič obično relativno oskudne, odnosno potič potiču iz relativno malog uzorka. Iz tog razloga se mora ić ići na mali broj klasa, širokih intervala promene sluč slučajne velič veličine. Histogram tada dobija sasvim netipič netipičan karakter te se na ovoj osnovi čak ni elementarna prosuđ prosuđivanja ne mogu obaviti. Za ovakve sluč slučajeve se primenjuje metod rangiranja (naroč (naročito kada je broj rezultata manji od 50) koji se zasniva na dodeljivanju kumulativnih frekvenci ovako rangiranih rezultata. Pretpostavimo da za određ određenu velič veličinu posedujemo 5 rezultata. Ako sve rezultate sredimo po rastuć rastućem redu, rang prvog iznosio bi 20% drugog 40% itd. To bi znač značilo da 20% ukupne populacije ima vrednosti manje ili jednake prvom rezultatu, 40% manje ili jednake drugom rezultatu, itd. Ovo međ međutim nemora biti tač tačno, stoga je potrebno potražiti neki statistič statistički pokazatelj koji će objektivnije da oceni stvarni rang svakog pojedinač pojedinačnog rezultata. Najznač Najznačajniji metod rangiranja je određ određivanje tzv. medijalnog ranga. Empirijski obrazac: j − 0,3 0, 3 MR = n + 0,4 0, 4 j – redni broj rezultata merenja n – ukupan broj rezultata Ovako izrač izračunate vrednosti rangova znač značajnosti, a posebno medijalnog ranga mogu da se prikazuju grafič grafički, tako se dobija znatno realnija slika pravog stanja stvari, naroč naročito kod relativno malih uzoraka.
19
13.WEIBULLOVA 13.WEIBULLOVA RASPODELA se najviše koristi u svim analizama efektivnosti tehnič tehničkih sistema, a posebno u područ područ ju pouzdanosti. Ovo neposredno proistič proističe iz njenog parametarskog karaktera i širokih moguć mogućnosti da se izborom odgovarajuć odgovarajućih vrednosti ovih parametara interpretiraju veoma različ različiti zakoni sluč slučajno promenljivih velič veličina. Ona je razvijena za statistič statističku obradu rezultata ispitivanja elemenata u tehnici, konkretno rezultata ispitivanja elemenata na zamor, odnosno trajnost. Weibullova raspodela se izražava u dva oblika: sa dva ili tri parametra. Osnovne funkcije weibull-ove raspodele imaju oblik: β
β −1
f (t ) =
β ⎛ t ⎞
⋅⎜ ⎟ η ⎝ η ⎠
⋅e
⎛ t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ η ⎠
β
R (t ) = e
⎛ t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ η ⎠
β
F (t ) = 1 − e
⎛ t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ η ⎠
/ ln /ln
⎛ ⎛ 1 ⎞⎞ ln ⎜ ln ⎜ ⎟ ⎟ = β ⋅ ln(t ) − β ⋅ ln(η ) 1 ( ) − F t ⎠⎠ ⎝ ⎝
y = a ⋅ x + b β – parametar oblika η – parametar razmere Različ Različite vrednosti parametra β veoma menjaju karakter raspodele. Za već veće vrednosti parametra β Vejbulova raspodela se više približava normalnom zakonu raspodele, a nekad se razlike izmeđ između vejbulovog i normalnog zakona raspodele praktič praktično ne primeć primećuju. Ako podaci uneti u verovatnosni papir odgovaraju nekoj krivoj liniji može se pretpostaviti da se radi o troparametarskoj vejbulovoj raspodeli, odnosno o raspodeli koja se karakteriše postojanjem patametra položaja γ, on označ označava minimalnu vrednost sluč slučajno promenljive koja može da se ostvari (vek trajanja – minimalni vek trajanja)
20
14. STATISTIČ STATISTIČKI TESTOVI Ocena polazne hipoteze o važnosti određ određenog zakona raspodele vrši se na verovatnosnom papiru procenjivanjem da li sve unete tač tačke (kumulativne uč učestanosti ili medijalni rangovi) odgovaraju pravoj liniji, mogu da se tolerišu i određ određena odstupanja bez obzira iz kojih izvora potič potiču. ovo se posebno odnosi na tač ta čke koje odgovaraju najmanjim relativnim uč učestalostima. Da bi se u oceni ovih odstupanja dobila potebna sigurnost mogu da se koriste statistič statistički testovi. Međ Među najč najčešć ešće korišć korišćene spadaju test Kolmogorov-Smirnova, ili ’’d’’ test. Test Kolmogorov-Smirnova se zasniva na pretpostavci da dobijena raspodela zaista odgovara teorijskoj, i to za celu populaciju.Stepen saglasnosti se ocenjuje na bazi odstupanja pojedinih tač tačaka od predpostavljene raspodele (prave linije) upoređ upoređujuć ujući ova odstupanja sa kritič kritičnim vrednostima ’’d’’, koje se daju tablič tablično. Velič Veličina Stepen znač značajnosti uzorka 0,2 3 5 10 20 40 0,17 preko 50 Ako npr. imamo uzorak sa 40 elemenata i stepen znač zna čajnosti 0,2 onda je „d“=0,17.Nanošenjem „d“ u procentima sa obe strane pretpostavljene raspodele dobić dobiće se dve granič granične krive. Ako bilo koja tač tačka izlazi iz područ područ ja omeđ omeđenog ovim krivim linijama, postoji manje od 80% šanse da pretpostavljena raspodela odgovara stvarnim osobinama populacije, odnosno ako nijedna tač tačka neizlazi iz ovog područ područ ja to neznač neznači da je ovako pretpostavljena raspodela tač tačna većć samo da može biti zadovoljavajuć ve zadovoljavajuća.
21
15. TROPARAMETARSKA (WEIBULLOVA) RASPODELA se najviše koristi u svim analizama efektivnosti tehnič tehničkih sistema, a posebno u područ područ ju pouzdanosti. Ovo neposredno proistič proističe iz njenog parametarskog karaktera i širokih moguć mogućnosti da se izborom odgovarajuć odgovarajućih vrednosti ovih parametara interpretiraju veoma različ različiti zakoni sluč slučajno promenljivih velič veličina. Ona je razvijena za statistič statističku obradu rezultata ispitivanja elemenata u tehnici, konkretno rezultata ispitivanja elemenata na zamor, odnosno trajnost. weibullova raspodela se izražava u dva oblika: sa dva ili tri parametra. Ako podaci uneti u verovatnosni papir odgovaraju nekoj krivoj liniji može se pretpostaviti da se radi o troparametarskoj vejbulovoj raspodeli, odnosno o raspodeli koja se karakteriše postojanjem patametra položaja γ, on označ označava minimalnu vrednost sluč slučajno promenljive koja može da se ostvari (vek trajanja – minimalni vek trajanja). β – parametar oblika η – parametar razmere γ – patametar položaja Hipotezu o važnosti troparametarske Vejbulove raspodele treba prvo proveriti suštinski, fizič fizičkom analizom posmatrane sluč slučajno promenljive. Ako se zaključ zaključi da ima logike da posmatrana sluč slučajno promenljiva ima neku minimalnu vrednost, treba pristupiti proveri da li se ova polazna pretpostavka može dokazati i na verovatnosnom papiru. β
( t3 − t2 ) ⋅ ( t2 − t1 ) γ = t 2 − ( t3 − t2 ) − ( t2 − t1 )
R (t ) = e
⎛ t −γ ⎞ −⎜ ⎟ − η γ ⎝ ⎠
22
16.SLOŽENA 16.SLOŽENA RASPODELA Ako se unošenjem podataka na verovatnosni papir zaključ zaključi da je prikladno povuć povući dve ili više pravih linija ima osnove za pretpostavku da su obrađ obrađivani podaci nehomogeni tj. danemaju isti karakter. Ovo je čest sluč slučaj pri obradama rezultata koji se odnose na ispitivanje pouzdanosti u eksploataciji, kada prikupljene informacije nemoraju biti i dovoljno precizno izdiferencirane u odnosu na karakter nastalih neispravnosti.
R (t ) =
n I n
⋅ R I (t ) +
nII n
β
R (t ) =
n I n
⋅e
⎛ t ⎞ I −⎜ ⎟ ⎝ η I ⎠
+
nII n
⋅e
⋅ RII (t ) + ⎛ t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ η II ⎠
nIII n
β II
⋅ R III (t ) β III
+
nIII n
⋅e
⎛ t ⎞ −⎜ ⎟ ⎝ η I II ⎠
Kako su podaci grupisani na različ različitim pravama može se zaključ zaključiti da se radi o više vrsta stanja U OTKAZU te se podaci grupisani oko različ razli čitih prava ponovo unose u tablice (ali posebno – kao posebni uzorci). Potom se oni ponovo nanose na verovatnosni papir, te se od složene raspodele kakva je bila dobijaju dve ili više raspodela. Ovako razdvojene raspodele daju moguć mogućnost za objektivnije odluč odlučivanje. Podeli dobijenih podataka na dva ili više skupova treba pristupiti samo ako postoji određ određena fizič fizička logika da uzorak zaista nije homogen, odnosno da uključ uključuje podatke koji po svom karakteru nisu jednaki. Bez osnovane logike da je ovo zaista tako , primena ovog metoda može da dovede do neobjektivnih zaključ zaključaka. 23
17.PODRU 17.PODRUČ ČJE POVERENJA RASPODELA Podrazumeva proveru odgovarajuć odgovarajućih granica poverenja, određ određivanje područ područ ja poverenja za raspodelu u celini, kao i određ određivanju granica poverenja faktora oblika β. Područ Područ je poverenja za raspodelu u celini ima smisla određ određivati samo ako se radi o relativno malom uzorku, po pravilu sa manje od 50 uzoraka. Tada se zakon raspodele definiše preko medijalnih rangova, sa verovatnoć verovatnoćom realizacije od 50%. Ako se na verovatnosni papir unesu i podaci o rangovima znač značaja za 5% i 95% područ podru č je izmeđ između ovako dobijenih krivih linija odgovara područ područ ju poverenja posmatrane raspodele sa 90% verovatnoć verovatnoće realizacije. Područ Područ je poverenja raspodele se određ određuje preko faktora poverenja za određ određene vrednosti kumulativne uč učestanosti. Ovi faktori poverenja Fq neposredno određ određuju moguć moguće intervale poverenja sluč slučajno promenljive, za određ određenu verovatnoć verovatnoću. Granice poverenja se određ određuju:
t min
=
t q F q
tmax
= t q ⋅ F q
Ako se radi o velikim uzorcima sa preko 100 ili 200 elemenata područ područ ja poverenja su veoma uska, te je dovoljno ić ići na proveru intervala poverenja parametra oblika raspodele. Jedan od preporuč preporučenih postupaka za određ određivanje intervala poverenja parametara oblika sastoji se u određ određivanju faktora poverenja Fβ koji neposredno određ određuje granice poverenja prema izrazu: β min
=
β F β
β max = β ⋅ F β
24
21. POSTUPAK PODJEDNAKE RASPODELE POUZDANOSTI SISTEMA Alokacija → preraspodela (unapred zadatu pouzdanost je potrebno preraspodeliti na sastavne elemente sistema (sklopove), uvažavajuć uvažavajući nač način povezivanja elemenata u celinu - sistem! Određ Određivanje potrebnog nivoa pouzdanosti elemenata • Postupak podjednake raspodele • Postupak raspodele na osnovu podataka vremenskih slika stanja sli čnih elemenata (ARINC postupak) • Postupak raspodele na osnovu znač zna čajnosti (AGREE postupak) • EFTES postupak Bitna je pretpostavka da su otkazi na pojedinim elementima nezavisni od otkaza na drugim elementima, tj. da zavise samo od njegovih sopstvenih osobina. Najjednostavniji metod metod alokacije pouzdanosti pouzdanosti je metod podjednake raspodele, raspodele, ali najnerealniji. najnerealniji. Pretpostavlja se redna (ređ (re đe paralelna) veza elemenata i eksponencijalni zakon raspodele (period stabilne eksploatacije) Zahtevana pouzdanost pouzdanost se “deli“ podjednako na sastavne delove sistema, n redno vezanih jednakih elemenata sa jednakim pouzdanostima. pouzdanostima. n
R s
= ∏ R = Rn 1
= n R s Ukoliko je pouzdanost svakog elementa:
Ri
= e − λ ⋅t onda je R s = e− λ ⋅t i
s
odnosno
λ s
=−
ln( R s ) t
Pošto je preduslov da sve pouzdanosti budu jednake R s = R1 ⋅ R2 ⋅ ... ⋅ Rn sledi:
e
− λ s ⋅t
= e− λ1⋅t ⋅ e−λ 2 ⋅t ⋅ ... ⋅ e−λ ⋅t n
λ s = λ1 + λ2 + ... + λn =
n
∑λ
i
i =1
λ s
= n ⋅ λ
λ =
λ s n
25
22. POSTUPAK ARINC ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA Alokacija → preraspodela (unapred zadatu pouzdanost je potrebno preraspodeliti na sastavne elemente sistema (sklopove), uvažavajuć uvažavajući nač način povezivanja elemenata u celinu - sistem! Određ Određivanje potrebnog nivoa pouzdanosti elemenata • Postupak podjednake raspodele • Postupak raspodele na osnovu podataka vremenskih slika stanja sli čnih elemenata (ARINC postupak) • Postupak raspodele na osnovu znač zna čajnosti (AGREE postupak) • EFTES postupak Bitna je pretpostavka da su otkazi na pojedinim elementima nezavisni od otkaza na drugim elementima, tj. da zavise samo od njegovih sopstvenih osobina. ARINC postupak nastoji da se određ određivanje potrebnih karakteristika pouzdanosti pojedinih elemenata strukture uskladi sa realnim moguć mogu ćnostima njihovog ostvarivanja. Ovaj postupak zahteva posedovanje bar grubih orjentacionih vrednosti intenziteta otkaza za sve elemente sistema. Na samom poč početku treba da se usvoje vrednosti intenziteta otkaza za svaki element λi. ln( R s ) λ s = − t
Na osnovu toga a polazeć polazeći od izraza λs, raspodela potebne pouzdanosti na pojedine elemente vrši se srazmerno statistič statističkoj težini odgovarajuć odgovarajućih usvojenih vrednosti intenziteta otkaza preko faktora: ω i
λ i
=
n
∑ λ i
i =1
pri čemu mora biti zadovoljen uslov: n
∑ ω = 1 i
i =1
Tada je maksimalno dopustiva vrednost intenziteta otkaza i-tog elementa sistema: λi = ωi ⋅ λ s pa je i potrebna pouzdanost pouzdanost i-tog elementa: − λ ⋅t −ω ⋅λ ⋅t Ri = e =e i
i
s
26
23. POSTUPAK AGREE ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA Postupak raspodele na osnovu znač zna čajnosti - AGREE postupak Razvijen je za potrebe američ ameri čke armije. Osnovna prednost mu se ogleda u tome što uvažava relativni znač zna čaj pojedinih sklopova (elemenata) za ceo sistem, kao i kompleksnost svakog podsistema i njegovo vreme rada. Znač Značaj pojedinog podsistema se definiše faktorom znač zna čajnosti Ei koji se definiše kao verovatnoć verovatno ća da će sistem otkazati ako otkaže element koji se posmatra. E = 1 → otkaz sklopa znač znači i siguran otkaz celog sistema E = 0 → otkaz sklopa nema uticaj na otkaz celog sistema Deo sistema od kojeg se ne zahteva da bude u radu uvek kada je i sistem u radu (ure đaji za startovanje, koč kočenje i slič slično) imaju koeficijent znač značajnosti manji od 1. Određ Određivanje dodeljene vrednosti intenziteta otkaza i-tog elementa sistema:
λ i
=−
ni – broj elemenata koji ulaze u sastav posmatranog sklopa N – ukupan broj elemenata elemenata u sastavu sastavu sistema Ei – faktor znač značajnosti posmatranog sklopa ts – vreme rada sistema ti – vreme rada posmatranog sklopa
ni ⋅ ⎡⎣ − ln Rs ( t s ) ⎤⎦ N ⋅ Ei ⋅ t i
Određ Određivanje potrebne pouzdanosti i-tog elementa sistema: ni
Ri ( t i ) = 1 −
1 − ⎡⎣ R s ( t s ) ⎤⎦ N E i
27
24. POSTUPAK EFTES ZA ALOKACIJU POUZDANOSTI SISTEMA − Procena relativnih odnosa intenziteta otkaza sastavnih delova u odnosu na “najslabiji“ deo sistema − Ocena stepena uslovljenosti E i (faktor znač značajnosti) delova sistema i sistema kao celine Polazi se od koeficijenta alokacije u vidu:
ω i =
gde je: λi intenzitet otkaza delova sistema koji u sebi sadrži njihov stepen uslovljenosti
λ i n
∑ λ i
i =1
na osnovu toga se alokacija pouzdanosti sistema na delove sistema vrši na osnovu: λi* = ωi ⋅ λ s Izabere se “najslabiji“ deo sistema (najveć (najve ći intenzitet otkaza) i utvr đuje se λr (referentni intenzitet otkaza) Intenziteti ostalih delova sistema neuzimajuć neuzimajući u obzir njihov stepen uslovljenosti stavlja se u odnos prema intenzitetu otkaza najslabijeg dela. k i =
λ i* λ r
Uzimajuć Uzimajući u obzir stepen uslovljenosti E i 1 * 1 λi = ⋅ λi = ⋅ k i ⋅ λ r Ei
E i
zamenom se dobija k i ω i
=
λ i
k i
⋅ λ r
E i k i
=
n
što omoguć omogućava alokaciju intenziteta otkaza na delove sistema:
λi
n
∑ λ ∑ E ⋅ λ i
= ωi ⋅ λs =
r
i =1
i =1
E i ⋅λ k i s
n
∑ E i =1
i
i
pouzdanost dela dela sistema je tada:
Ri
= e − λ ⋅t i
Jedna od znač zna čajnih prednosti EFTES postupka je i moguć mogućnost primene na sisteme kod kojih se pouzdanost teško može da izrazi preko intenziteta otkaza (rakete i drugi sistemi jednokratne upotrebe) polazeć polazeći od: − λ ⋅t Ri = e možemo izraziti ln( Ri ) ln( R s ) λ i = − i λ s = − i
t
t
zamenom ovih izraza (pod pretpostavkom da je vreme rada sistema jednako vremenu rada svakog elementa: k i λi
= ωi ⋅ λ s
−
ln [ Ri (t )] t
=−
E i n k i
∑ E i =1
⋅
ln [ Rs (t ) ] t
i
rešavanjem po R i dobija se k i R s ( t )⋅
Ri (t ) = e
E i n k i
∑
i =1 E i
28