2.5 Notasi dan Formulasi Alternatif
Postulat dasar dan aturan Aljabar untuk mekanika kuantum sampai sekarang adalah dalam bentuk Persamaan keadaan dan operator dalam Schrodinger, Schrodinger, Karena banyak kasus-kasus pada listrik benda padat dan cahaya bisa diselesaikan dengan formulasi ini. Tapi ada beberapa kasus yang bisa ditangani secara lebih mendalam menggunakan rumus alternatif. Rumusnya ekuia ekuialen len seperti seperti formul formulasi asi !eisenb !eisenberg erg pada pada mekani mekanika ka kuantu kuantum m menggu menggunak nakan an matrik matrikss "#atriks #ekanik$. %alam hal notasi juga begitu, ketika kasus-kasus menjadi lebih rumit, dibuthkan penyederhanaan dan pengeliminasian informasi yang tidak berguna dari sebuah notasi. &otasi %irac adalah sistem yang bagus sekali dari semua notasi yang digunakan dalam mekanka kuantum. Tanpa persamaan tertulis pada teori kuantum, pembahasannya menjadi sulit. %isini akan diperkenalkan cara efisien untuk notasi %irac dan juga formulasi matriks !eisenberg untuk mekanika kuantum. A. &ota &otasi si %ira %iracc &otasi %irac pada fungsi keadaan abstrak ' adalah (bra) ektor *'+ atau (ket) ektor +' Apapun Apapun bentukny bentuknya. a. Perbedaan Perbedaan antara keduanya keduanya adalah pada dalam keadaan apa ektor digunakan dan akan menjadi lebih jelas lagi letika digunakan lagi dan lagi dalam konteks yang berbeda. !asil skalar dari fungsi keaadaan dalam Schrodinger ditunjukkan oleh dan ',
Pada notasi %irac adlaah (/racket) *+'. 0ang 0ang mana hasil skalar dari ektor bra *+ dan ektor ket + ' yang merupakan definisi dari integral yang berhubungan dan merupakan bilangan biasa. Sampai hasil angka akhir integral diragukan, informasi pada koordinat sistem yang seperti seperti apa yang yang diguna digunakan kan untuk untuk mengha menghasilk silkan an integr integrasi asi yang yang rumit rumit contoh contohnya nya,, koordinat kartesian, koordinat silinder atau koordinat bola. Secara singkat notasi %irac dapat didefiniskan
#isalkan persamaan keadaan ' diturunkan dari persamaan keaadaan lain '1 oleh sebuah operator
Q oleh operator persamaan ^
'
Q Ψ =Ψ ^
!asil skalarnya menjadi
%alam notasi %irac, integral di atas didefiniskan
&otasi ini lebih sederhana dan informasi tak berguna tidak diba2a diba2a dalam notasi ini.
Persamaan Schrodinger yang tidak bergantung 2aktu pada notasi %irac, contohnya,
0ang mana fungsi eigen ditandai hanya oleh nilai eigen yang sama dan notasi %irac pada persamaan keadaan. 3ontoh lainnya, persamaan nilai eigen untuk operator
^ x yang berkesinambungan
dengan nilai eigen 4 dari fungsi eigen yang sama +4 adalah
5ungsi keadaan '"4$ adalah proyeksi dari +' pada fungsi eigen +4. 6leh karena itu '"4$ pada notasi %irac adalah *4+' %an konjugasi yang lebih rumitnya '7"4$ adalah *'+4 Kondisi orthonormalitas untuk kasus nilai eigen diskrit adalah
... (2.36a) ... (2.36b)
%an untuk kasus nilai eigen berkesinambungan,
Kondisi sempurna pada kasus 8 dimensi menjadi
0ang bisa juga ditulis
Perbandingan antara persamaan .9: dan .;< menunjukkan bah2afaktor pada tanda kurung disebelah kiri dari persamaan .9: mempunyai arti (operator unit)
!asil yang sama pada kasus operator seperti
x ^
dengan nilai eigen
berkesinambungan 4 adalah
Persamaan-persamaan alternatif dari kondisi sempurna sangat berguna sebagai alat untuk mencapai fungsi keaadaan ekspansi dalam basis yang berbeda, seperti persamaan .<, .= atau .
%imana
0ang mana benar-benar sama sebagaimana persamaan .
