Topología General
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Breve reseña histórica Sus orígenes están asociados a la obra de Euler, Cantor y Möbius. La palabra topología había sido utilizada en 1847 por J.B Listings en un libro titulado Vorstudien zur Topologie. Este había sido un alumno de Gauss en el año 1834. Usaba el término topología para lo que prefería llamar “geometría de posición”, sin embargo von Staudt usaba este último para la geometría proyectiva. Para algunos historiadores de las matemáticas, el punto decisivo fue dado por la publicación de Análisis Situs de Poincaré en 1895. La geometría elemental maneja las magnitudes (longitud, ángulos y áreas) que son invariantes por movimientos rígidos, (transformaciones isométricas o que conservan la medida), mientras que la geometría proyectiva trata los conceptos (puntos, línea, incidencia, razón simple) que son invariantes por el grupo, todavía más extenso, de las transformaciones proyectivas proyectivas (proyectar, seccionar). Pero los movimientos rígidos y las proyecciones son casos muy particulares de las transformaciones topológicas que son correspondencias biunívocas y bicontinuas entre dos conjuntos. La topología estudia entonces los conceptos invariantes frente a dichas transformaciones. Felix Hausdorff creó una teoría de espacios abstractos usando la noción de vecindario (Grundzüge der Mengenlehre, 1914). Un espacio topológico se define como un conjunto de puntos junto con una familia de vecindarios asociados a ellos. Aquí hay varias nociones que se establecen: espacio compacto, conexo, separable. También es aquí donde entra la idea de homeomorfismo. Una vez establecido esto, se formula la topología conjuntista como aquélla que estudia las propiedades invariantes bajo homeomorfismos. Hausdorff también dio la noción de completitud, que el mismos Fréchet había usado en 1906. Usó la noción de conectividad, planteada antes por otros matemáticos (aunque él no lo sabía), Para considerar conjuntos conexos como ideas topológicas. Hausdorff formalizó la topología conjuntista mediante una nueva concepción de geometría en la cual un espacio tiene una estructura que consiste en relaciones que pueden definirse en términos de un grupo de transformaciones. Con el trabajo de Hausdorff se afirmó la topología conjuntista como una disciplina propia dentro de las matemáticas. -3-
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En el siglo XX, la topología se afirmó como una nueva disciplina con toda propiedad dentro de las matemáticas, el igual que la geometría, el álgebra o el análisis, y participó de un espíritu de convergencia que ha caracterizado buena parte de las matemáticas modernas; se trata de la utilización de métodos de una disciplina en las otras, potenciando constantemente nuevas ramas de un árbol cada vez más complejo y diversificado.
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Capítulo 0 Conjuntos Con el interés de identificar un elemento de una colección de conjuntos, algunas veces es conveniente adjudicar un “nombre” a cada elemento. Sea A una colección no vacía de conjuntos. Una función indexada para A es una función sobreyectiva f de un conjunto J denominado conjunto de índices, en A. La familia A, junto con la función f , se denomina familia indexada de Definición 0.1
conjuntos. Dado α ∈ J , representaremos el conjunto f (α )
por Aα Y denotamos la familia
indexada, propiamente dicha, mediante
{ Aα }α∈ J que se lee como “la familia de todos los Aα cuando α recorre J ”. En ocasiones escribiremos { Aα } , si no ofrece dudas cuál es el conjunto de índices. Obsérvese que, aunque es necesario que una función indexada sea sobreyectiva, no se necesita que sea inyectiva. Aα y Aβ pueden ser el mismo conjunto de A , incluso si α ≠ β . Una forma de usar funciones indexadas es dar una nueva notación para uniones e intersecciones arbitrarias de conjuntos. Supongamos que f : J → A es una función indexada para A ; representemos f (α ) por Aα . Entonces definimos:
U A = { x : al menos para un α ∈ J , x ∈ A } α
α
α ∈ J
y
I A = { x : para todo α ∈ J , x ∈ A } α
α ∈ J
α
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Leyes de Morgan C
( U Aα ) = I AαC y C
( I Aα ) = U AαC Dado un conjunto A , una relación R en A es un subconjunto del producto cartesiano A × A . Definición 0.2
Sea ~ una relación en A (anotamos ( a, b ) ∈: o a : b ) decimos que es una relación de equivalencia si se verifican tres propiedades: a) Reflexiva a : a ∀a ∈ A b) Recíproca si a : b entonces b : a ∀a, b ∈ A c) Transitiva si a : b y b : c entonces a : c ∀a, b, c ∈ A Definición 0.3
Definición 0.4 Dada una relación de equivalencia ~ en un conjunto A y un elemento x de A definimos un cierto subconjunto de A que anotamos [ x ]: llamado clase de equivalencia determinada por x, mediante la ecuación:
[ x ]:
= {a ∈ A : a : x}
Observación 1 x ∈ [ x ]:
ya que x : x es decir las clases de equivalencia son no
vacías Las clases de equivalencia tienen las siguientes propiedades: i) Dos clases de equivalencia o son disjuntas o son iguales. Propiedad
Sean E y E’ dos clases de equivalencia definidas por x y x’ respectivamente entonces si no son disjuntas eso quiere decir que existe un elemento en común
Demostración:
Entonces
y ∈ E ⇒ y : x ∃ y ∈ A / y ∈ E I E ′ ⇒ ⇒ x : x′ ′ ′ y E y x : ∈ ⇒ ∀ z ∈ E ⇒ z : x (y como x : x′ por transitiva) ⇒ z : x′ ⇒ z ∈ E ′
o sea E
⊆ E ′
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análogamente E ′ ⊆ E
lo que concluye que E
= E ′
ii) La unión de todas las clases de equivalencia de A es todo A ya que todo elemento de A tiene asociada una clase de equivalencia. A ⊆ U [ x ]: por definición x∈ A
A ⊇ U [ x ]: x∈ A
ya que si z ∈ U [ x]: ⇒ ∃x0 ∈ A / z ∈ [ x0 ]: x∈ A
⇒ z ∈ A por definición de [ x0 ]: La familia de las clases de equivalencia de A es un ejemplo de lo que se llama partición del conjunto A. Una partición de un conjunto A es una familia de subconjuntos disjuntos no vacíos de A cuya unión es todo A Definición 0.5
Definición 0.6 Dada una relación de espacio cociente al conjunto formado anotamos A
equivalencia en un conjunto A llamamos por todas las clases de equivalencia. Y
:
A
= x : x ∈ A} : {[ ]:
Definición 0.7 Una relación ≤ en un conjunto A (parcial) si verifica las siguientes propiedades:
i) Reflexiva
x ≤ x
se denomina relación de orden
∀x ∈ A
ii) Antisimétrica x ≤ y
⇒ x = y ∀x, y ∈ A
y ≤ x
iii) Transitiva x ≤ y
⇒ x ≤ z ∀x, y , z ∈ A
y ≤ z
Ejemplo 0.1 Si A es un conjunto sea P ( A) el conjunto de potencia de A es decir:
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P ( A) = { X : X ⊂ A}
Definimos la relación ≤ de la siguiente manera: X
≤ Y si
X
⊆ Y ∀X , Y ∈ P ( A)
verifica las tres propiedades, por lo que es una relación de orden. Definición 0.8 Dado un conjunto A y una pareja ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado.
relación ≤ de orden en A se dice que la
Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado y consideramos un subconjunto S ⊂ A , definimos: i) a ∈ A es cota superior (inferior) de S si x ≤ a ∀x ∈ S (a ≤ x ∀x ∈ S ) ii) m ∈ A es máximo si es cota superior y pertenece a S Definición 0.9
Definición 0.10 Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado y S un subconjunto de A decimos que m es un elemento maximal si se cumple: si x ∈ S y m ≤ x ⇒ m = x Definición 0.11 Dado un conjunto A relación de orden total si:
y una relación de orden ≤ decimos que es una
a ≤ b dados a, b ∈ A ⇒ o b ≤ a y a la pareja ( A, ≤ ) llamamos conjunto totalmente ordenado. Observación 2
si A es un conjunto finito y totalmente ordenado tiene máximo y
mínimo. Demostración : Consideremos por inducción sobre el i) Para # A = 1 es obvio. ii) Si vale para # A = n − 1 y # A = n , A = {a1 ,..., an }
cardinal de A
Por hipótesis el conjunto {a2 ,..., an } tiene máximo y mínimo por tener n-1 elemento sean estos M y m respectivamente. Sea m0 = min {a1 , m} ⇒ es el mínimo de A ya que: m0 ∈ A m0 ≤ a1 y m0 ≤ m ≤ ak ∀k = 2,..., n De la misma forma -8-
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Capítulo 0 M 0
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= max {a1 , M }
es el máximo de A Si ( A, ≤ ) es un conjunto ordenado llamamos cadena a un subconjunto C de A tal que (C , ≤ ) es totalmente ordenado. Definición 0.12
Lema 0.1 ( Lema de Zorn ) Sea ( A, ≤ ) un conjunto ordenado en el que toda cadena tiene una cota superior, entonces A tiene un elemento maximal.
Ejemplo 0.2.
Consideremos el siguiente conjunto que llamamos partes finitas de los naturales A ⊂ ¥ : # A es finito} P F ( ¥ ) = { Con la relación de orden dada por la inclusión. B ≤ A ⇔ B ⊆ A
Entonces (P F ( ¥ ) , ≤ ) no tiene elemento maximal, ya que si A es maximal ⇒ A ∈P F ( ¥ ) y B ≤ A ∀B ∈P F ( ¥ ) Pero para cualquier A ∈ P F (N) , ∃ x ∈ ¥ con x ∉ A , porque A es finitos ⇒ A U {x} es de finitos elementos
⇒ A U { x} ∈P F ( ¥ ) y obviamente A U { x} ‘ A ⇒ A no es maximal. Zorn
Entonces como (P F ( ¥ ) , ≤ ) no tiene elemento maximal ⇒ ∃ una cadena C de P F ( ¥ ) , que no está acotada superiormente, por ejemplo: C = {{1} , {1, 2} , {1, 2,3} ,..., {1,...n} ,...} es una cadena y no está acotada ya que una cota tiene que tener a todos los naturales y eso no esta en el conjunto. A cota ⇒ A = ¥ y ¥ ∉P F ( ¥ ) Veamos una aplicación del pasado lema: Proposición 0.1 Todo espacio vectorial V tiene una base.
Vamos a pensar una base de un espacio vectorial como un subconjunto L.i. maximal, sea entonces L = { A ⊂ V : A es L.i.} con la relación de orden ≤ definida:
Demostración:
B ≤ A ⇔ B ⊂ A
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Entonces (L , ≤ ) es un conjunto ordenado y sea { Aα } ⊂ L una cadena, (subconjuntos de L totalmente ordenados), vamos a probar que está acotada, sea veremos que es L.i. consideremos una n-upla en A , A = U Aα x1,..., xn ∈A ⇒ ∀xi ∃α i con i ∈ {1,..., n} / x i ∈ Aα , además como { Aα1 ,..., Aα } es finito y totalmente ordenado, entonces tiene máximo Aα0 xi ∈ Aα ⊂ Aα0 ∀i = 1,..., n ⇒ xi ∈ Aα0 ∀i = 1,..., n ⇒ { x1,..., xn } ⊂ Aα 0 y Aα0 es L.i. ⇒ { x1 ,..., xn } es L.i. ⇒ A es L.i. y es una cota superior de L entonces por el lema de Zorn L tiene elemento maximal ⇒ que V tiene una base. i
n
i
Sean A1 , A2 ,..., An conjuntos ,definimos un nuevo conjunto llamado producto cartesiano y anotamos por A1 × A2 × ... × An a: A1 × A2 × ... × An = {( a1 ,..., an ) : a i ∈ Ai } a ( a1 ,..., an ) puede pensarse como una función f : {1,..., n} → U Ai tal que f ( i ) = ai ∀i = 1,..., n Entonces en forma más general . Sea { Aα }α∈ I una familia de conjuntos llamamos producto cartesiano de esos conjuntos y anotamos Aα a: Definición 0.13
∏ ∏ A α ∈ I
α
= { f : I → U Aα : f (α ) ∈ Aα ∀α ∈ I }
α ∈ I
Sea { Aα }α∈ I una familia de conjuntos no vacíos entonces el producto cartesiano de ellos es no vacío. Aα ≠ φ ∀α ∈ I ⇒ Aα ≠ φ Axioma de elección
∏ α ∈ I
Esto es equivalente a decir que dada una familia de conjuntos no vacíos podemos elegir un elemento de cado conjunto ( en forma simultánea). Una cuestión básica sobre un conjunto es conocer la cantidad de elementos, sin grandes conocimientos matemáticos para saber la cantidad de elementos de un conjunto lo que hacemos es contarlos, ¿pero que significa esto, a cada elemento le estamos asociando un número con el cuidado de no repetir elementos y para asegurarnos de no repetir números le asociamos el 1, 2, ...., n en ese orden entonces lo que establecemos es una función inyectiva (no repetimos elementos) y sobreyectiva (no dejamos ningún elemento sin su correspondiente). Es decir: - 10 -
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Existe una función f : A → {1,..., n} biyectiva ⇒ cardinal de A es n Definición 0.14 Dados dos conjuntos A y B decimos que tienen el mismo cardinal que son coordinables o equipotente si existe una función f : A → B biyectiva.
o
Proposición 0.2 La relación de Card ( A ) = Card ( B ) verifica las propiedades de una relación de equivalencia.
Demostración i) A es equipotente con A ya que la identidad es una función biyectiva de A en si mismo ⇒ card ( A ) = card ( A ) . ii) Si A es equipotente con B entonces B es equipotente con A card ( A) = card ( B ) ⇒ existe f : A → B biyectiva ⇒ que f −1 : B → A es biyectiva
⇒ card ( B ) = card ( A ) iii) Si A es equipotente con B y B es equipotente con C entonces A es equipotente con C . f : A → B Por hipótesis existen biyectivas ⇒ g o f : A → C también es biyectiva g : B → C Y eso implica que A es equipotente con C . Definición 0.15 Dados dos conjuntos A y B decimos que el cardinal de A es menor o igual que el cardinal de B si existe una función f : A → B inyectiva .
Card ( A ) ≤ Card ( B ) ⇒ ∃ f : A → B
inyectiva
0.3 Sabemos que el Card ( ¢ ) ≤ Card ( ¡ ) ya que la inclusión es una función inyectiva. inc : ¢ → ¡
Ejemplo
a→a
0.4 Si X es un conjunto Card ( X ) ≤ Card (P ( X ) ) basta tomar la función ϕ : X → P ( X ) definida ϕ ( x ) = { x} es decir que a cada elemento x del conjunto X le asociamos el conjunto cuyo único elemento es el propio x. Esta función claramente es inyectiva Observar que si X es finito con Card ( X ) = n entonces Card (P ( X ) ) = 2n .
Ejemplo
Proposición 0.3 Dados dos conjuntos A y B entonces existe una función f inyectiva si y solo si existe una función g : B → A sobreyectiva.
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: A→ B
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Demostración:
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⇒ Sea f : A → B inyectiva con A ≠ φ y sea
A
a0 ∈ A
B
f
b
Im f
a a0 g Entonces : si b ∈ Im f ⇒ ∃a ∈ A tal que b = f ( a ) y como f es inyectiva el “a” es único y podemos definir: g ( b ) = a si b ∉ Im f definimos g ( b ) = a0 Definimos de esta forma una función g : B → A f −1 (b ) si b ∈ Im f g ( b ) = si b ∉ Im f a0 Que es sobre.
⇐ Dada g : B → A sobreyectiva Entonces { g −1 ( a ) : a ∈ A} establece una partición en B ya que: U g −1 ( a ) = B por ser g sobreyectiva a∈ A
y g −1 ( a1 ) ≠ g −1 ( a2 ) ⇔ a1
≠ a2
g ( b ) = a1 ⇒ absurdo si a1 ≠ a2 por se g una g b a = ( ) 2
ya que si g −1 ( a1 ) = g −1 ( a2 ) ⇒ ∃b ∈ B /
función. Por el teorema de elección podemos elegir un representante por cada clase que anotamos g −1 ( a ) entonces definimos: por f ( a ) = g −1 ( a ) Por ser g sobre esta bien definida para todo a ∈ A y además es inyectiva ya que: f : A → B
−1
f ( a1 ) = f ( a2 ) ⇒ g ( a1 )
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= g −1 ( a2 ) ⇒ a1 = a2
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⇒ f es inyectiva. Proposición 0.4 ( Teorema de Cantor ) Dado X un conjunto no vacío entonces: Card ( X ) < Card (P ( X ) )
Ya sabemos que Card ( X ) ≤ Card (P ( X ) ) Probaremos que Card ( X ) ≠ Card (P ( X ) ) para ello supongamos por absurdo que son iguales y por lo tanto existe una función: f : X → P ( X ) biyectiva
Demostración
x → f ( x ) ∈ P ( X )
Consideremos: B = { x ∈ X : x ∉ f ( x )}
pero como B ⊆ X ⇒ B ∈ P ( X ) ⇒ ∃u ∈ X / B = f ( u ) por ser f sobreyectiva entonces si u ∈ B ⇔ u ∉ f ( u ) ⇔ u ∉ B B = f ( u )
Corolario Si N
es el conjunto de los números naturales aplicando lo anterior Card ( ¥ ) < Card ( P ( ¥ ) )
Proposición 0.5 (Teorema de Cantor-Bernstein) Dados dos conjuntos X e Y tales que: Card ( X ) ≤ Card (Y ) ⇒ Card ( X ) = Card (Y ) Card (Y ) ≤ Card ( X )
Como Card ( X ) ≤ Card (Y ) ⇒ ∃ una función h : X → Y inyectiva entonces si llamamos B = Im h la función h : X → B es biyectiva. Por otro lado Card (Y ) ≤ Card ( X ) ⇒ ∃ una función g : Y → X inyectiva y si llamamos A = Im g la función g : Y → A seria biyectiva.
Demostración
Sea f : X → X la composición f = i A o g o iB o h donde i A e i B son las correspondientes inclusiones. Claramente f es inyectiva por ser composición de funciones inyectivas.
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h X
B
i A
i B A
Y
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Capítulo 0
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Queremos encontrar una función ϕ : X → A biyectiva para ello tomamos el conjunto C = A − f ( X ) ⇒ ( C U f ( X ) = A ) y el conjunto S = C U (U i≥1 f i ( X )) con f n la composición de f consigo misma n veces. f ( S ) = f (C U ( U i ≥1 f (C )) ) = f (C ) U i ≥2 f (C ) = U i ≥1 f (C ) i
i
i
Luego S = C U f ( S ) definimos entonces a φ de la siguiente manera: x si x ∈ S ϕ ( x ) = f ( x ) si x ∈ X − S Por definición ϕ ( S ) = S y ϕ ( X − S ) = f ( X − S ) además es sobreyectiva ya que:
ϕ ( X ) = ϕ ( S ) U ϕ ( X
− S ) = S Uϕ ( X − S ) = C U f ( S ) U f ( X − S ) = C U f ( X ) = A
Finalmente probaremos que es inyectiva, como ϕ |S y ϕ | X − S son inyectivas por definición, entonces bastará con ver que ϕ ( S ) y ϕ ( X − S ) son disjuntos, supongamos que no lo son, es decir que existe x ∈ S = C U f ( S ) tal que por ser f inyectiva ya que si x = f ( x′ ) con x′ ∈ X − S ⇒ x ∉ f ( S ) x ∈ f ( S ) ⇒ ∃x′ ∈ S / f ( x′ ) = x = f ( x′ ) ⇒ x′ = x′ lo cual es absurdo por pertenecer a conjunto disjuntos. Pero si x ∉ f ( S ) ⇒ x ∈ C y por definición de C x ∉ f ( X ) lo que es una contradicción pues x era la imagen de un x’ por medio de f . La función ϕ así definida es una biyección y entonces Card ( X ) = Card ( A ) = Card (Y )
∴ Card ( X ) = Card (Y ) Dado un conjunto A decimos que es finito si es vacío o es coordinable con el conjunto {1,..., n} para algún n ∈ ¢ + . En caso contrario se dirá que el conjunto es infinito. Definición 0.16
Dado un conjunto A decimos que es numerable si es finito o de ser infinito es coordinable con el conjunto de los números naturales. A finito A numerable ⇔ Definición 0.17
card ( A) = Card ( ¥ ) Observación 3 P ( ¥ ) es no numerable por ser Card ( ¥ ) ≠ Card ( P ( ¥ ) )
Se dice que un subconjunto A de los números reales es inductivo si contiene el número 1, y si para todo x de x+1 también está en A. Sea A la familia de todos los subconjuntos inductivos de R. Entonces, el conjunto Z+ (números naturales) de enteros positivos se define de la forma. - 14 Definición 0.18
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Capítulo 0 ¢+ +
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= I A A∈A
Obsérvese que le conjunto R de los reales positivos es inductivo, pues contiene al 1, y la afirmación x > 0 implica x + 1 > 0 . Por lo tanto ¢ + ⊂ ¡ + y de esta forma los elementos de ¢+ son efectivamente positivos, tal y como la elección de la terminología sugiere. De echo se comprueba que 1 es el elemento más pequeño de ¢ + , ya que el conjunto de todos los números reales x para los cuales x ≥ 1 es inductivo. Las propiedades básicas de ¢+ , las cuales se deducen inmediatamente de la definición, son las siguientes: (1) ¢+ es inductivo. (2) (Principio de inducción ). Si A es un conjunto inductivo de enteros positivos entonces A = ¢ + . +
Proposición 0.6 (Principio del buen orden) Todo subconjunto no vacío de ¢ tiene un mínimo.
En primer lugar vamos a demostrar que, para cada n ∈ ¢+ , se verifica la siguiente afirmación: Todo subconjunto no vacío de {1,..., n} tiene un mínimo. Sea A el conjunto de todos los enteros positivos n para los cuales se cumple dicha afirmación. Entonces A contiene al 1, ya que si n = 1 , el único subconjunto no vacío de {1,..., n} es el propio {1} . Por tanto, suponiendo que A contiene a n, vamos a demostrar que también contiene a n + 1 . Sea C un subconjunto no vacío de {1,..., n + 1} . Si C está formado únicamente por n + 1 , entonces dicho elemento es el menor elemento de C . En caso contrario, consideremos el conjunto C I {1,..., n} , que es no vacío. Como n ∈ A , este conjunto tiene un mínimo que automáticamente será también el mínimo de C . Así A es inductivo, y podemos concluir que A = ¢ + ; y por lo tanto, la afirmación es cierta para todo n ∈ ¢ + .
Demostración
Ahora vamos a demostrar el teorema. Supongamos que D es un subconjunto no vacío de ¢+ . Elijamos un elemento n ∈ D . Entonces, el conjunto A = D I {1,.., n} es no vacío, y A tiene un mínimo k . El elemento k será también el mínimo de D. Proposición 0. 7 Todo los subconjunto de números naturales son numerables .
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Capítulo 0
A = φ ⇒ es numerable A ≠ φ ⇒ ∃a1 = min {a ∈ A} por proposición 0.6 A = {a1} es finito ⇒ numerable si A ≠ {a1} ⇒ ∃ a2 = min { A \ {a1} por proposición 0.6}
Demostración Dado A ⊆ ¥
Nuevamente
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si
A = {a1 , a2 } finito ⇒ numerable A ≠ {a1 , a2 } ⇒ ∃a3 = min { A \ {a1, a2 }}
Si Y así sucesivamente
A = {a1 ,..., an } es finito ⇒ numerable A ≠ {a1 ,..., an } ⇒ ∃an +1 = min { A \ {a1 ,..., an }} Sea ϕ : ¥ → A tal que ϕ ( k ) = ak es una biyección ya que: ϕ ( k + 1) > ϕ ( k ) por elección ⇒ inyectiva Ahora si a ∈ A sea n = max {k : ak < a} ⇒ a = min { A \ {a1 ,..., an }} = an +1 = ϕ ( n + 1) Si
Lo que quiere decir que ϕ es sobreyectiva. Proposición 0.8 Dado un conjunto A no vacío, es numerable si y solo sí: 1) Existe una función ϕ : A → ¥ inyectiva o 2) Existe una función ψ : ¥ → A sobreyectiva.
Demostración: ⇒ Sea A numerable entonces puede suceder que A sea i) infinito ⇒ Card ( A ) = Card ( ¥ ) ⇒ ∃ϕ : A → ¥ biyectiva y por lo tanto inyectiva.
ii) finito ⇒ hay una biyección ϕ 0 entre A y {1,..., n} entonces definimos: ϕ : A → ¥ tal que: ϕ ( a ) = ϕ 0 ( a ) es inyectiva ⇐ Supongamos ahora que existe una función inyectiva ϕ : A → ¥ lo que significa que ϕ : A → ϕ ( A ) es una biyección , y entonces Card ( A ) = Card (ϕ ( A )) pero como ϕ ( A ) ⊂ ¥ ⇒ ϕ ( A ) es numerable por proposición anterior. Entonces si ϕ ( A ) es infinito ⇒ Card (ϕ ( A ) ) = Card ( ¥ ) por definición y por transitiva Card ( A ) = Card ( ¥ ) ⇒ por definición A es numerable. Si ϕ ( A ) es finito ⇒ ∃n ∈ ¥ tal que Card (ϕ ( A ) ) = n por definición y por transitiva Card ( A) = n ⇒ por definición A es numerable. Corolario 0.9 Sea B un conjunto numerable y ϕ : A → B inyectiva entonces A es numerable.
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Capítulo 0
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Si B es numerable ⇒ por proposición anterior ∃ψ : B → ¥ inyectiva entonces ψ o ϕ : A → ¥ es inyectiva ⇒ A es numerable.
Demostración
Corolario 0.10 Si A es un conjunto numerable y B es numerable.
Demostración ψ o ϕ : ¥ → B
∃ψ : A → B
sobreyectiva entonces
Si A es numerable ⇒ ∃ϕ : ¥ → A sobreyectiva entonces es sobreyectiva ⇒ B es numerable.
Corolario 0.11 Si B es un conjunto numerable y A ⊂ B ⇒ A es numerable.
Sea ϕ ≡ inclución ⇒ ϕ : A → B que es inyectiva entonces por corolario 0.9 ⇒ A es numerable.
Demostración
Proposición 0.12 ¥ × ¥ es numerable.
Basta ver que la función ψ : ¥ × ¥ → ¥ dada por: ψ ( m, n ) = 2 m.3n es inyectiva, por tanto ¥ × ¥ es numerable.
Demostración
Proposición 0.13 ¥ ¥ ...3 ¥ es numerable. ×24 14 j
Demostración
Sean p1 ,..., p j primos distintos, entonces ψ : ¥ × ¥...¥ → ¥ donde n
ψ ( n1 ,..., n j ) = p1n1 ... p j j
es inyectiva. Corolario 0.14 Sean A1 ,..., An conjuntos numerable
⇒ A1 × A2 × ...× An
es numerable
Para cada i = 1,..., n el que Ai sea numerable ⇒ ∃ϕi : Ai → ¥ inyectiva. Entonces si definimos: ϕ : A1 × ... × An → ¥ × ... × ¥ por ϕ ( a1 ,..., an ) = (ϕ1 ( a1 ) ,..., ϕ n ( an ) ) queda naturalmente inyectiva. Y por lo tanto existe la función ψ o ϕ : A1 × ... × An → ¥ inyectiva lo que implica que A1 × ... × An es numerable.
Demostración
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Capítulo 0
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Proposición 0.15 Sea I un conjunto numerable, y Ai un conjunto numerable
entonces
U A
i
∀i ∈ I
es numerable.
i∈I
Demostración Como I es numerable ⇒ ∃ ϕ : ¥ → I sobreyectiva y por ser Ai numerable ⇒ ∃ ψ i : ¥ → Ai ∀i ∈ I definimos: J : ¥ × ¥ → U Ai i∈I
por
J ( m, n ) = ψ ϕ ( m ) ( n )
entonces ϕ es sobre ⇒ ∃m ∈ ¥ / i0 = ϕ ( m ) y ∀a ∈ U Ai ⇒ a ∈ Ai para algún i0 ∈ I y como i∈I
0
como a su vez ψ i0 es sobre ⇒ ∃n ∈ ¥ / a = ψ i0 ( n ) luego: a = ψ i0 ( n ) = ψ ϕ ( m ) ( n ) = J ( m, n ) lo que significa que J es sobreyectiva ⇒ por ser ¥ × ¥ numerable ⇒ U Ai es i∈I
numerable. Ejemplo 0.5 ¤ es numerable
Sea I = {( m, n ) : con m ∈ ¥, n ∈ ¥ − {0}} ⊂ ¥ × ¥ que es numerable por ser un subconjunto de uno numerable, entonces como: ¤=
U
( m , n )∈I
m n
es numerable Ejemplo 0.6 Todo conjunto infinito tiene un subconjunto infinito numerable.
Sea A un conjunto infinito. Sea x0 ∈ A, entonces A − x0 es infinito, entonces existe x1 ∈ A tal que x1 ≠ x0 y entonces como A − { x1 , x0 } es infinito, existe x2 ∈ A tal que x2 ≠ xi con i = 0,1 . En general, definimos { x0 , x1,..., xk } y tenemos que A − { x0 , x1,..., xk } es infinito así que existe xk +1 ∈ A tal que xk +1 ≠ xi con i = 0,1,..., k . Entonces la función f : ¥ → A dada por f ( i ) = { xi } es una biyección entre ¥ y { x0 , x1 ,..., xn ,...} ⊂ A por tanto dicho subconjunto de A es numerable que es al conjunto infinito numerable que buscábamos. - 18 -
Demostración
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Capítulo 0
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Ejemplo 0.7 Si A es infinito y B es numerable entonces A es coodinable con A U B
Por la proposición de Cantor-Bernstein, basta encontrar una función inyectiva de A en A U B y otra inyectiva de A U B en A . Para la primera la inclusión es una función inyectiva inc : A → A U B ⇒ Card ( A ) ≤ Card ( A U B ) . Para encontrar una función inyectiva g : A U B → A . Como A es infinito (ver ejercicio 6) tiene un subconjunto infinito numerable que llamaremos C. Entonces como B y C son numerables C U B es numerable lo que implica Card (C U B ) = Card ( ¥ ) = Card ( C ) ⇒ C U B y C son coordinables luego existe una función g 0 : C U B → C biyectiva Consideremos la siguiente función: g : A U B → A dada por : a si a ∈ A \ ( C U B ) g ( a ) = g0 ( a ) si a ∈ C U B
Demostración
a si a ∈ A \ ( C U B ) g ( a ) = g0 ( a ) si a ∈ C U B
⇒a=b
⇒ g0 ( a ) = b ⇒ que b ∈ C si b ∈ A \ ( C U B ) ⇒ a = b por ser g 0 inyectiva g ( b ) = si g b b C B U ∈ ( ) 0 entonces g es inyectiva, y por tanto Card ( A U B ) ≤ Card ( A) luego son iguales y los conjuntos son coordinables. b
Ejemplo 0.8 Sea n un entero positivo. Sean A un conjunto y a 0 un elemento de A. Entonces Card ( A) = n + 1 ⇔ Card ( A − {a0 }) = n Demostración Tenemos que probar que existe una correspondencia biyectiva f entre A y el conjunto {1,..., n + 1} si, y solamente sí, existe una correspondencia biyectiva
del conjunto A − {a0 } con {1,..., n} . Supongamos en primer lugar, que existe una correspondencia biyectiva g g : A − {a0 } → {1,..., n} Definimos entonces una función: f : A → {1,..., n + 1} de la forma: f ( x ) = g ( x ) si x ∈ A − {a0 } f ( a0 ) = n + 1 es claro que f es biyectiva. Recíprocamente: Supongamos que existe una correspondencia biyectiva : - 19 -
Topología General
Capítulo 0
- 20 -
f : A → {1,..., n + 1}
i) Si f asocia a0 al número n+1, todo es especialmente sencillo; en este caso, la restricción f | A−{a0} nos da la correspondencia biyectiva buscada entre A − {a0 } y {1,..., n} . ii) En caso contrario sea f ( a0 ) = m y sea a1 el punto de A tal que n + 1 = f ( a1 ) . Entonces a1 ≠ a0 Definimos una nueva función: h : A → {1,..., n + 1} Mediante: h ( a0 ) = m h ( a1 ) = n + 1 h( x) = f ( x)
para x ∈ A − {a1 , a0 } De esta forma h es biyectiva y está comprendida en el caso i) luego la restricción h | A −{a0} es la biyección buscada entre A − {a0 } y {1,..., n} Ejemplo 0.9 Sea A un conjunto de cardinal n para algún n ∈ ¢ + . Sea B un subconjunto propio de A. Entonces el cardinal de B es distinto de n Si B ≠ φ Entonces existe algún m < n tal que el cardinal de B es m.
Tenemos que probar que no existe biyección alguna g : B → {1,..., n} . Pero si B ≠ φ sí existe una biyección h : B → {1,..., m} para algún m < n . El caso de que B es vacío es trivial, ya que no puede existir una biyección entre el conjunto vacío B y un conjunto no vacío {1,..., n} . Demostraremos la afirmación por inducción. Sea C el subconjunto de ¢+ formado por aquellos entero n para los cuales la afirmación es cierta. Vamos a probar que C es inductivo ⇒ C = ¢ + y por lo tanto la afirmación es cierta para todo entero positivo. En primer lugar demostramos la afirmación para n = 1 .En este caso A está formado por un único elemento {a} y su único subconjunto propio B es el conjunto vacío. Supongamos ahora que el teorema es cierto para n; vamos a ver que también lo es para n + 1 Sea f : A → {1,..., n + 1} una biyección y sea B un subconjunto propio no vacío de A. Elegimos un elemento a0 de B y un elemento de a1 de A − B y aplicando lo del ejemplo anterior, podemos deducir que existe una biyección: g : A − {a0 } → {1,..., n} Por otro lado, B − {a0 } es un subconjunto propio de A − {a0 } , ya que a1 pertenece a A − {a0 } y no a B − {a0 } . Como la afirmación se supone cierta para el entero n, podemos concluir lo siguiente: - 20 -
Demostración
Topología General
Capítulo 0
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1) No existe ninguna biyección h : B − {a0 } → {1,..., n} 2) Bien B − {a0 } = φ , bien existe una biyección k : B − {a0 } → {1,..., p} para algún p < n El ejercicio anterio junto 1), implica que no existe ninguna biyección entre B y {1,..., n + 1} Esto completa la primera mitad del resultado al que queremos llegar. Para demostrar la segunda parte, obsérvese que si B − {a0 } = φ , existe una biyección entre B y el conjunto {1} , mie mient ntra rass que que si B − {a0 } ≠ φ , podemos aplicar lo del ejercicio anterior, junto con 2) , para concluir que existe una biyección entre B y {1,..., p + 1} . En cualquiera de los casos, va a existir una biyección de B con {1,..., m} para algún m < n + 1 , tal como se buscaba. El principio de inducción demuestra que la afirmación es cierta para todo n ∈ ¢+ . Ejemplo 0.10 Si A es un conjunto finito, no existe ninguna biyección de A con un subconjunto propio de sí mismo.
Supongamos que B es un subconjunto propio de A y que f : A → B es una biyección. Por hipótesis existe una biyección g : A → {1,..., n} para algún n. La composición g o f −1 es, por tanto, una biyección entre B y {1,..., n} . Esto contradice la afirmación del ejemplo anterior
Demostración
Ejemplo propio.
0.11 Un conjunto es infinito si y solo sí es coordinable con un conjunto
Sea A un conjunto infinito, primero observemos que por el ejemplo 6 tiene un subconjunto infinito numerable que llamamos B. Sea C = A − B entonces hay tres posibilidades: 1) Que C = φ Quiere decir que A = B y como B es numerable por construcción ⇒ A numerable ⇒ Card ( N ) = Card ( A ) pero ya vimos que todo subconjunto (propio) de una numerable es numerable ⇒ si A′ Ü A ⇒ Card ( A′ ) = Card ( ¥ ) ⇒ que A y A’ son coordinables 2) Que C sea finito ≠ φ . Si C es finito entonces A = C U B por ser unión de dos numerables es numerable ⇒ Card ( A ) = Card ( ¥ ) = Card ( B ) es decir que A es coordinable con el conjunto B Ü A 3) Que C sea infinito, como B es numerable ⇒ (ver ejemplo 7) que C es coordinable con C U B = A . Recíprocamente Sea A un conjunto coordinable con un subconjunto s ubconjunto propio.
Demostración
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Topología General
Capítulo 0
- 22 -
Si A fuera finito tenemos una contradicción con lo probado en el ejemplo 10 luego A tiene que ser infinito. Proposición 0.16 El conjunto de las partes finitas de los naturales que anotamos es numerable. P F ( ¥ )
A ⊂ ¥ : A P F ( ¥ ) = { Demostración
es finito}
Definimos: P n ( ¥ ) = { A ⊂ ¥ : Card ( A ) = n}
entonces P F ( ¥ ) =
U P ( ¥ ) n
n∈¥
alcanza con probar que ∀n ∈ ¥ siguiente función:
P n ( ¥ )
es numerable y para ello definimos la
ϕ n : P n ( ¥ ) → ¥ n
como sigue: Si A ∈P n ( ¥ ) entonces A = {ai1 , ai2 ,..., ai } y definimos ϕ n como la función que a cada n-upla le corresponde la n-upla ordenada en forma creciente, es decir: ϕ n ( A ) = ( a1 ,..., an ) con a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ an Claramente ϕ n es inyectiva ya que si A y B son conjuntos con n elementos ϕ n ({ai1 ,..., ain }) = ( a1 ,..., an ) con a1 ≤ ... ≤ an n
ϕ n ({bi1 ,..., bin }) = (b1,..., bn ) con b1 ≤ ... ≤ bn
entonces ( a1 ,..., an ) = ( b1 ,..., bn ) ⇒ {ai1 ,..., ai
n
} = {bi ,..., bi } 1
n
o sea A = B y como ¥ es numerable ⇒ P n ( ¥ ) es numerable ⇒ la unión numerable de numerables es numerable por la proposición anterior. ⇒ P F ( ¥ ) es numerable n
Corolario 0.17 Las partes finitas de un conjunto A numerable es numerable. A ) = { X ⊂ A : X es finito} P F (
Demostración igual que el teorema definimos: P n ( A ) = { X ⊂ A : Card ( X ) = n}
y ϕ n : P n ( A ) → An inyectiva
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Topología General
Capítulo 0
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como An es numerable ⇒ P n ( A ) es numerable y como la unión de una cantidad numerable I de conjuntos numerables es numerable. P F ( A ) = UP n ( A ) (e I ⊂ ¥ ⇒ I numerable) n∈I
es numerable.
Corolario 0.18 Las partes infinitas de los naturales es no numerable P ∞ ( ¥ ) = { A ⊂ ¥ : A es infinito}
Demostración Si fuera numerable como: P ( ¥ ) = P F ( ¥ ) U P ∞ ( ¥)
sería numerable
Y ya vimos que es no numerable. De la anterior proposición se desprende que el cardinal de las partes infinitas de los naturales (conjunto potencia de los naturales ) no es igual al de los naturales y lo que demostraremos a continuación es que dicho cardinal es igual al cardinal de los números reales. Pero con dicho propósito antes demostraremos algunos teoremas previos. El primero de ellos hace referencia a la posibilidad de escribir cualquier número real entre 0 y 1 como una serie. Dependiendo de una sucesión de ceros y unos (notación binaria del real en cuestión) Lema 1 Sea t ∈ ( 0,1] entonces existe una sucesión {ak : k ≥ 1} donde ak ∈ {0,1} para todo k y tal que: ∞ ak t = k
∑2 k =1
salvo que para algunos reales esa descomposición no es única Por ejemplo. 1 1 5 0 + 22 + 0 + 24 = 16 0 + 212 + 0 + 0 + 215 + 216 + ... + 21 + ... Hay dos formas de elegir la sucesión 0,1,0,1,0,0,0,0,.... pero una de ellas es finita. Es decir: {ak } = 0,1,0,0,1,1,1,1,1,... n
Si t =
∞
∞
∑ 2 = ∑ 2b k =1
ak k
⇒ que existe
k =1
n0
k k
con ak , bk ∈ {0,1} y {ak } ≠ {bk } ⇒ no son la misma sucesión
tal que: - 23 -
Topología General
Capítulo 0
- 24 n0 6 47 4 8
{ak } = ...........1,0,0,0,0..... {bk } = ...........0,1,1,1,1,1,.....
ak = 0 ∀k > n0 y bk = 1 ∀k > n0 o b = 0 ∀k > n y a = 1 ∀k > n 0 0 k k
⇒
o n0 6 474 8
{ak } = ...........0,1,1,1,1,1,.... {bk } = ............1,0,0,0,0,....
0 < t < 12 se define a1 = 0 Si 12 ≤ t ≤ 1 se define a1 = 1 En ambos caso se verifica:
Demostración Si
a1
0 ≤ t −
2
≤
1 2
ahora definimos a2
entonces en ambos casos:
0 si 0 ≤ t − a1 < 1 2 4 a2 = 1 si 1 ≤ t − a1 ≤ 1 4 2 2
1 2 2 2 22 Y así sucesivamente tenemos a1 , a2 ,..., an ∈ {0,1} tales que: n ak 1 ≤ 0 ≤ t − k 2n k =1 2 se define an+1 como: 0 si 0 ≤ t − n ak < 1 k 2 n+1 k =1 2 an+1 = n 1 si 1 ≤ t − ak ≤ 1 k 2 n+1 2n k =1 2 en ambos casos: n +1 ak 1 0 ≤ t − ≤ k 2n +1 k =1 2 0 ≤ t −
a1
−
a2
≤
∑
∑
∑
∑
{
→0
por lo tanto t−
n +1
ak
∑2 k =1
k
∞
→ 0 ⇒ t = ∑ k =1
- 24 -
ak
2 k
Topología General
Capítulo 0
Lema 2 Si {an } ≠ {bn }
∞
ak
∑2
y
k =1
k
∞
=∑
bk
k k =1 2
- 25 -
= t entonces tenemos que probar que existe
n0 tal que:
bk = 1 ∀k > n0 y ak = 0 ∀k > n0 o b = 0 ∀k > n y a = 1 ∀k > n 0 0 k k Demostración n0 = min {k : ak Sea an0
=1 y
bn0
≠ bk } se puede suponer sin perder generalidad que
=0 =1
}
a1
a2
....... an0 .....
P
P
,
b1
b2
....... bn0 .....
Sea
{
=0
Tenemos que: =0
∞
bk
n0 −1
}
bk
∑2 =∑2 k =1
k
k =1
n0 −1
=∑ k =1
n0 −1
k
ak
2k
+ +
bn0
2
n0
+
∞
∑2
{
= ∞
=∑
k k = n0 +1 2
k = n0 +1
ak
bk
∑
bk
1 = + = n0 k 2 k =1 2
∑
∞
k
bk ≤1 }
≤↓
n0 −1
ak
+ k
1 k k = n0 +1 2
∞
∑ 2 ≤ ∑ 2a k =1
∞
∑2 ∑
(1) k =1
n0
=
ak
k
↓
(2 ) k =1
k k
=
an 0 2n0
bk
2 k Lo que implica que todas las desigualdades son igualdades y entonces: (1) ⇒ bk = 1 ∀k > n0 ( 2 ) ⇒ ak = 0 ∀ k > n0 Si hubiésemos supuesto que era an0 = 0 y bn0 = 1 hubiéramos llegado a: bk = 0 ∀k > n0 ak = 1 ∀k > n0 k =1
- 25 -
Topología General
Capítulo 0
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Lema 3 Card (( 0,1]) = Card (P ∞ ( ¥ ))
Para la demostración lo que haremos es definir una función biyectiva entre dichos conjuntos. Para ello usamos los lemas 1 y 2 que quieren decir que todo número entre 0 y 1 se escribe en notación binaria como una sucesión infinita de ceros y unos. A este número binario le asociamos el conjunto de los índices correspondientes a los lugares en que lleva un uno su desarrollo binario. Que claramente es un subconjunto de las partes infinitas de los números naturales. Consideremos la siguiente función: ϕ : ( 0,1] → P ∞ ( ¥ ) definida de la siguiente forma: Si t ∈ ( 0,1] entonces existe una única sucesión {ak } tal que {k : ak = 1} es infinito siendo
Demostración
t =
∞
∑ 2a k =1
k k
Siempre hay una ya que si hay una finita tal que: n
t
=∑
ak
k k =1 2
, an = 1
definimos t =
∞
bk
∑2 k =1
k
donde
= ak ∀k < n bn = 0 , bk = 1 ∀ k > n bk
definimos: ϕ ( t ) = {k : ak = 1} ∈ P ∞ ( ¥ )
Por ejemplo: 5 1 1 = 0+ 2 +0+ 4 16 2 2 ⇒ ϕ ( t ) = {2,5,6,7,8,.....} 5 1 1 1 1 ∞ 1 1 1 = 0 + 2 + 0 + 0 + 5 + 6 + ... = + = + 16 2 2 2 4 k =5 2k 4 24 ϕ es inyectiva ya que si ϕ ( t ) = ϕ ( s ) sea {ak } tal que: ∞ ak = 1 si k ∈ ϕ ( t ) ak ⇒t = =s k ak = 0 si k ∈ ϕ ( t ) 2 k =1 además es sobreyectiva ya que si A ∈P ∞ ( ¥ ) sea {ak } tal que: ∞ ak = 1 si k ∈ A ak y sea t = k ak = 0 si k ∉ A k =1 2 ∞ ∞ ak 1 12 Como los ak son infinitos ⇒ ak ≤ 1 ∀k ∈ ¥ ⇒ ≤ = 1 = 1 es decir que k k k =1 2 k =1 2 2 la serie converge en (0,1] ⇒ t ∈ ( 0,1] ⇒ A = ϕ ( t ) .
∑
∑
∑
∑
- 26 -
∑
Topología General
Capítulo 0
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Proposición 0.19 El cardinal del conjunto potencia de los naturales es el del continuo. Es decir Card ( ¡ ) = Card ( P ( ¥ ) )
Primero se demuestra que Card ( ¡ ) = Card ( ( 0,1]) por medio de una función apropiada; por ejemplo por medio de la función y = tan x que es biyectiva para x ∈ ( − π2 , π2 ) se tiene que: Card ( ¡ ) = Card ( − π2 , π2 ) Luego por medio del segmento de recta Card (( − π2 , π2 ) ) = Card ( ( 0,1])
Demostración
Por el ejemplo 0.7 se tiene que un conjunto es infinito si, y solamente sí, es coordinable con un subconjunto propio ∞ ( ¥ )) ⇒ P ( ¥ ) es infinito ⇒ Card (P ( ¥ )) = Card (P Ya que P∞ ( ¥ )
Ü
P ( ¥ )
y como por la proposición anterior: Card (( 0,1]) = Card (P ∞ ( ¥ )) Card ( ( 0,1]) = Card (P ( ¥ ) )
y Card ( ( 0,1]) = Card ( ¡ )
⇒ Card ¡ = Card ( P ¥ ) ( ) ( )
Ejemplo practico
Sea la familia de intervalos de extremos racionales F F
= {[ a, b ] : a, b ∈ ¤}
Definimos la función ϕ : F → ¤ × ¤ de la siguiente manera: ϕ ( [ a , b ]) = ( a , b ) ∈ ¤ × ¤
Es decir que a cada intervalo de extremos a,b le asociamos la pareja ordenada ( a,b) Dicha función es inyectiva ya que - 27 -
Topología General
Capítulo 0
- 28 -
a ≠ a′ [ a, b] ≠ [ a′, b′] ⇒ o ⇒ ( a, b ) ≠ ( a ′, b′ ) ⇒ ϕ ([a, b ]) ≠ ϕ ([a′, b′ ]) b ≠ b′ y como ¤ es numerable ⇒ que el producto cartesiano ¤ × ¤ es numerable Tenemos una función inyectiva del conjunto F a un conjunto numerable, como la función es biyectiva sobre su imagen, que es un subconjunto de uno numerable, luego numerable; entonces como podemos definir una biyección de F a un conjunto numerable, este F es numerable.
- 28 -
Capítulo 1 Espacios Métricos Definición 1.1 Sea E un conjunto d : E × E → ¡ tal que verifica: 1) d ( x, y ) ≥ 0 ∀x, y ∈ E
no vacío una distancia o métrica es una función
2) d ( x, y ) = 0 ⇔ x = y 3) d ( x, y ) = d ( y, x ) ∀x, y ∈ E 4) d ( x, z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y, z ) ∀x, y, z ∈ E desigualdad triangular Al par ( E , d ) le llamamos espacio métrico Sea E en las mismas condiciones que antes pero sin la propiedad 2, es decir se puede dar el caso en que la distancia es cero y no se trate de la identidad, llamamos en dicho caso seudo distancia o seudo métrica. Definición 1.2
Ejemplo 1.1 Si E = ¡ y d ( x, y ) = x − y
es una métrica.
Ejemplo 1.2 Sea E = ¡ n x = ( x1 ,..., xn ) , y = ( y1,..., yn )
entonces podemos definir la siguiente
distancias 1) Distancia taxi d1 ( x, y ) =
n
∑x −y i
i
i =1
2) Distancia euclidiana ( x − y ) ∑
d 2 ( x, y ) =
3) Distancia del máximo
1
n
2
i
i =1
i
2
Topología General
Capítulo 1 d ∞ ( x, y ) = max i =1,...,n { xi
- 30 -
− yi }
Ejemplo 1.3 Distancia discreta Dado E ≠ φ definimos
0 si x = y 1 si x ≠ y
d ( x, y ) =
fácilmente se comprueba que es una métrica. Ejemplo 1.4 Distancia indiscreta Dado E ≠ φ definimos d ( x, y ) = 0
∀x, y ∈ E
Ejemplo 1.5 Sea E = C¡ [ a, b ] = { f : [ a, b ] → ¡ / f es continua} entonces definimos que llamamos distancia infinito o del supremo de la siguiente manera: d ∞ ( f , g ) = sup x∈[ a ,b] { f ( x ) − g ( x ) }
la distancia
Cumple con las propiedades 1,2, 3 ∀ x ∈ [ a, b] y f , g , h ∈ C¡ [ a, b ] la propiedad 4 se tiene f ( x ) − g ( x )
= f (x) − h(x) + h(x)− g (x) ≤
f (x)− h (x )
+ h ( x)− g (x )
y los supremos también cumplen dicha desigualdad luego se cumple la desigualdad triangular La distancia del supremo se puede definir para el espacio de las funciones continuas en el intervalo [ a, b ] siendo f : [ a, b] → £ (complejos) representamos dicho conjunto como C [ a, b ] . Sea E = Cb ( ¡ ) = { f : ¡ → £ cont. y acotadas} = Cb ,¡ ( ¡ ) = { f : ¡ → ¡ cont. y acotadas} Definimos la distancia igual que antes: d ( f , g ) = sup x∈¡ { f ( x ) − g ( x ) } Dicha definición es consistente ya que: Si f ( x ) es tal que f ( x ) ≤ M1 ∀x ∈ ¡ y g ( x ) tal que g ( x ) ≤ M2 ∀ x ∈ ¡ Entonces f ( x ) − g ( x ) ≤ f ( x ) + g ( x ) ≤ M 1 + M 2 ∀x ∈ ¡ y esto implica que f ( x ) − g ( x ) está acotado ⇒ tiene supremo - 30 -
Topología General
Espacios Métricos
- 31 -
Observación 1.1 Para un mismo conjunto podemos tener distintos espacios métricos
asociados, según la métrica que estemos considerando, así si la métrica es la indiscreta al espacio llamamos indiscreto, si la métrica es la discreta al espacio llamamos discreto, si la métrica que estamos considerando es la euclidea al espacio llamamos euclideo. Sea V un espacio vectorial sobre K ( ¡ o £ ) una norma sobre el espacio vectorial es una función : V → ¡ que cumple con las siguientes propiedades: 1) x ≥ 0 ∀x ∈ V y x = 0 ⇔ x ≡ 0 2) λ x = λ x ∀λ ∈ K , y ∀x ∈ V 3) x + y ≤ x + y ∀ x, y ∈ V Definición 1.3
Tenemos un espacio vectorial normado cuando sobre el espacio vectorial tenemos definida una norma. Definición 1.4
Ejemplo 1.6
El producto interno , en V nos define una norma mediante la siguiente relación:
= ( x, x )
x
1
2
Observación 1.2 Todo
espacio V vectorial normado se transforma en un espacio métrico por medio de la distancia definida de la siguiente forma: d ( x, y ) = x − y ∀x, y ∈ V Demostración d ( x, y ) = y − x
≥ 0 por definición de norma d ( x, y ) = 0 ⇒ y − x = 0 ⇔ y − x = 0 ⇔ x = y d ( x, y ) = y − x = − ( x − y ) = − 1 x − y = x − y = d ( y, x ) d ( x, z ) = z − x = z − y + y − x ≤ z − y + y − x = d ( y, z ) + d ( x, y )
Definición 1.5
Sea x ∈ ¡ n x = ( x1 ,..., xn ) definimos las siguientes tres normas:
1) n
x
1
= ∑ xi i =1
2) n
x
2
1
= ∑ xi i =1 - 31 -
2
2
Topología General
Capítulo 1
- 32 -
3) x
∞
= max { xi : i = 1,..., n}
Todos son normas que inducen las respectivas distancias d1 , d2 , d ∞ con la igualdad. d ( x, y ) = y − x Ejemplo 1.7 £ [ a, b ] es un £
espacio vectorial con las operaciones punto a punto o sea si f , g ∈ £ [ a , b ] definimos :( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ( λ f )( x ) = λ f ( x )
entonces: f
= sup x∈[a ,b] { f ( x ) }
es una norma en £ [ a, b ] que induce la distancia habitual. La misma vale en £ ¡ [ a, b ], £ b (¡ ) , £ b ,¡ ( ¡ ) Sea l1 el conjunto de las sucesiones complejas { xn } l1¡ el conjunto de las sucesiones reales . Tales que xn < ∞ (convergen) l1 es un espacio vectorial con las operaciones
∑ 1
x = { xn } ∈ l
1
y = { yn } ∈ l
λ ∈£
como
( x + y )n = xn + yn ( λ x )n = λ xn
∑ x + y ≤ ∑ x + ∑ y < ∞ ∑ λ x = λ ∑ x < ∞ n
y
n
n
n
está bien definida Y se define
n
x
que es una norma en l1
n
= ∑ xn
Ejemplo 1.8
Sea l∞ el conjunto de las sucesiones complejas acotadas l∞¡ el conjunto de las sucesiones reales acotadas l∞ es un espacio vectorial sobre los complejos ( l∞¡ sobre los reales) con las operaciones definidas de la misma forma que en el ejemplo anterior - 32 -
Topología General x = { xn } ∈ l
Espacios Métricos
- 33 -
∞
y = { yn } ∈ l∞
λ ∈£
( x + y )n = xn + yn ( λ x )n = λ xn
Definimos x
∞
= sup n∈¥
xn
si x = { xn }
entonces si x = { xn } e y = { yn } xn
+ yn ≤
xn
+
yn
≤
x
∞
+
y
∞
como dicha igualdad se cumple para todo n, en particular se debe cumplir para el supremo: ⇒ x + y = sup xn + yn ≤ x ∞ + y ∞ Lo que implica que es una norma. Sea ( E , d ) un espacio métrico, x ∈ E , ε > 0 llamamos bola abierta de centro x y radio ε al siguiente conjunto: Bε ( x ) = { y ∈ E : d ( x, y ) < ε } Que también anotamos B ( x, ε ) Definición 1.6
Ejemplo 1.9
En ¡n
l
Bε1 ( x )
l
Bε2 ( x )
Bεl ∞ ( x )
- 33 -
Topología General
Capítulo 1
- 34 -
Si tomamos las funciones continuas en [ a, b ] , C¡ [ a, b ] , f ∈ C¡ [ a, b ] Bε ( f ( x ) ) = {g ∈ C¡ [ a, b ] : max x∈[a ,b] f ( x ) − g ( x ) < ε } f + ε
f
f − ε a
b
Si g ∈ Bε ( f ( x ) ) ⇒ ∀x ∈ [ a, b] f ( x ) − g ( x ) < ε y el gráfico de g cae en la zona rayada limitad por f + ε y f − ε . Ejemplo 10 Espacio discreto
Sea ( E , d ) con la distancia discreta es el espacio que llamaremos
discreto, es decir:
1 si x ≠ y 0 si x = y
d ( x, y ) =
Sea B ( x,2 ) = { y ∈ E : d ( x, y ) < 2} = E ∴ B ( x, ε ) = E si ε > 1 Sea B ( x,1) = { y ∈ E : d ( x, y ) < 1} = { x} ∴ B ( x, ε ) = {x} si ε ≤ 1 Es decir que las bolas son todo el espacio o los puntos. Proposición 1.1 Dado una espacio métrico ( E , d ) , x ∈ E , ε
> 0 ,sea la bola B ( x, ε ) .
Si y ∈ B ( x, ε ) entonces :
∃δ > 0 tal que B ( y, δ ) ⊂ B ( x, ε ) Demostración Sea δ ≤ ε − d ( x, y )
entonces Si z ∈ B ( y, δ ) ⇒ d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) 123 <δ
⇒ d ( x , z ) < ε ⇒ z ∈ B ( x, ε ) ⇒ d ( x , z ) < d ( x , y ) + δ ≤ d ( x , y ) + ε − d ( x, y ) = ε ∴ B ( y, δ ) ⊂ B ( x, ε ) - 34 -
y
δ
x
ε
Topología General
Espacios Métricos
- 35 -
Dado un espacio métrico ( E , d ) y un subconjunto F ⊂ E, F ≠ φ Entonces la restricción de d a F × F o sea: d | F ×F : F × F → ¡ esto es una métrica que llamaremos métrica relativa Definición 1.7
Observación 1.3 Si x ∈ F , ε > 0, sea B F ( x, ε )
la bola con la métrica relativa y sea: B E ( x, ε ) la bola
con la métrica en E entonces: B F ( x, ε ) = B E ( x, ε ) I F
Ya que: F B ( x, ε ) = { y ∈ F : d ( x, y ) < ε } = { y ∈ E : d ( x, y ) < ε } I { y ∈ F } Ejemplo 1.11 Así por ejemplo si en R con la métrica habitual F = [0,1) Si x ∈ [0,1) B F ( 0, 1 2 ) = [0, 1 2 ) y B ¡ ( 0, 1 2 ) = ( − 1 2 , 1 2 ) Entonces: [0, 1 2 ) = [ 0,1) I ( − 1 2 , 1 2 ) Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E no vacío, decimos que A es un conjunto abierto si: ∀ x ∈ A ∃ε x > 0 tal que B ( x, ε x ) ⊂ A En el caso que A es vacío lo definimos como abierto. Definición 1.8
Corolario 1.2 Las bolas abiertas en un espacio métrico cualquiera son conjuntos abiertos
Demostración
Es consecuencia inmediata de la proposición anterior.
Ejemplo 1.12
En los espacios discretos todo conjunto A ⊂ E es abierto ya que si x ∈ A entonces: B ( x,1) = { x} ⊂ A
Ejemplo 1.13
En £ ¡ [0,1] A = { f ∈ £ ¡ [ 0,1] : f ( 0 ) > 0} si f ∈ A tomando ε = tenemos B ( f , ε ) ⊂ A ya que si g ∈ B ( f , ε ) ⇒ por definición que: max x∈[0,1] { f ( x ) − g ( x ) } < ε (en particular) ⇒ f ( 0 ) − g ( 0 ) < ε - 35 -
f ( 0 )
2
>0
Topología General
Capítulo 1
- 36 -
o sea
−ε < f ( 0 ) − g ( 0 ) < ε f ( 0 ) − ε < g ( 0 ) y si tomamos f ( 0 ) f ( 0 ) ⇒0< < g ( 0 ) ⇒ g ∈ A por definición de A luego ε= 2 2 B ( f , ε ) ⊂ A Proposición 1.3 Sea ( E , d ) un espacio métrico entonces se cumplen las siguientes propiedades: 1) E y φ son abiertos
2) Si { Aα }α∈ I es una familia de subconjuntos abiertos de E entonces: ⇒ U Aα es abierto α∈ I
3) Si A1 , A2 ,..., An son una cantidad finita de subconjuntos abiertos de E entonces: n
I A
k
es abierto
k =1
Demostración 1) B ( x, ε ) ⊂ E
∀x ∈ E , ε > 0 ⇒ E es abierto
φ es abierto por definición .
2) Si x ∈ U Aα ⇒ ∃α 0 ∈ I tal que x ∈ Aα0 que es abierto, luego α ∈ I
∃ε > 0 tal que B ( x, ε ) ⊂ Aα ⇒ como Aα ⊂ U Aα ⇒ B ( x, ε ) ⊂ U Aα o sea que 0
0
U A
α
α ∈ I
α ∈I
es abierto
α ∈ I n
3) Si x ∈ I Ak ⇒ x ∈ Ak con Ak abierto ∀k = 1,..., n ⇒ ∃ε k tal que B ( x, ε k ) ⊂ Ak sea k =1
n
ε
= min {ε k : k = 1,..., n} ⇒ B ( x, ε ) ⊂ B ( x, ε k ) ⊂ Ak ∀ k = 1,..., n ⇒ B ( x, ε ) ⊂ I Ak k =1
n
∴ I Ak es abierto k =1
Proposición 1.4 Sea ( E , d ) un espacio métrico y A ⊂ E no vacío entonces A es abierto si y solo sí, es unión de bolas abiertas.
- 36 -
Topología General
Espacios Métricos
- 37 -
Demostración
⇐ ya vimos que la unión de bolas abiertas es un conjunto abierto. ⇒ Si A es abierto ⇒ si x ∈ A ∃B ( x, ε x ) ⊂
A
y nos tomamos:
U B ( x, ε ) ⊂ A x
x∈ A
además como si x ∈ A ⇒ x ∈ B ( x, ε x ) ⇒ x ∈ U B ( x, ε x ) x∈ A
⇒ A ⊂ U B ( x, ε x ) x∈ A
∴ A = U B ( x, ε x ) x∈A
es decir que A es abierto
⇔ A = U B ( x, ε x ) x∈ A
Proposición 1.5 Sea ( E , d ) un espacio métrico y un F ⊂ E subconjunto, A ⊂ F es abierto con la métrica relativa ( abierto en F ) si y solo sí A = U I F donde U es abierto en E.
Demostración Se sabe que B F ( x, ε ) = B E ( x, ε ) I F
∀x ∈ F , ε > 0
Si A es abierto en F ⇒ A = U B F ( xα , εα ) por teorema anterior α ∈ I
A = U ( B E ( xα , εα ) I F ) = U B E ( xα , εα ) I F α ∈ I
α ∈I
14 4244 3 =U abierto en E
luego
⇐ Si
U
⊂ E es abierto
A = U I F con U abierto en E ⇒ U = U B E ( xα , εα ) ⇒ α ∈ I
A = U I F
= U B ( xα , εα ) I F = U ( B E ( xα , εα ) I F ) = U BF ( xα , εα ) que es abierto E
α ∈ I
α ∈I
α ∈I
en F. Ejemplo 1.14 Sea E = ¡ con la métrica habitual y F = [0,1) U ( 2,3) A = [ 0,1)
0
es abierto en F ya que - 37 -
1
2
3
Topología General
Capítulo 1
- 38 -
A = ( −1,1) I F {
abierto en E
( 2,3) es abierto ya que ( 2,3) = ( 2,3) I F {
abierto en E
Sea ( E , d ) un espacio métrico y el subconjunto A ⊂ E se dice que A es cerrado si AC es abierto ( AC = E \ A ). Definición 1.9
Ejemplo 1.15
Como en el ejemplo anterior [0,1) es abierto en F y su complemento que es ( 2, 3) es por definición es cerrado. Al igual que el complemento de ( 2,3) que es [0,1) ambos son abiertos y cerrados es decir abierto no es oposición de cerrado. Proposición 1.6 Sean d 1 y d 2 dos métricas en E las siguientes afirmaciones son equivalentes. 1) Todo abierto en ( E , d1 ) es abierto en ( E , d 2 )
2) Dados ε > 0, x ∈ E existe δ > 0 tal que d d B 2 ( x, δ ) ⊂ B 1 ( x, ε ) Demostración 1) ⇒ 2) B d 1 ( x, ε )
es abierto con d 1 ⇒ que es abierto con d 2 ⇒ por definición de
abierto Si x ∈ B d1 ( x, ε ) ⇒ ∃δ > 0 tal que B d2 ( x, δ ) ⊂ B d 1 ( x, ε ) como se quería. 2) ⇒ 1) Sea A ⊂ E abierto en ( E , d 1 ) lo que quiere decir por definición que: para cada elemento x de A ∃ε x > 0 tal que d B 1 ( x, ε a ) ⊂ A y además ya vimos que A = U B d 1 ( x, ε x ) x∈A
entonces aplicando la hipótesis 2) para cada x ∈ A ∃δ x > 0 tal que d d B 2 ( x, δ x ) ⊂ B 1 ( x, ε x ) entonces ⇒ U B d2 B ( x, δ x ) ⊂ U B d 1 ( x, ε x ) = A por otro lado
x∈ A
x∈ A
- 38 -
Topología General
Espacios Métricos
- 39 -
∀ x ∈ A ⇒ x ∈ B d ( x, δ x ) ⇒ A ⊂ U Bd ( x, δ x ) 2
2
x∈ A
luego A = U B d 2 ( x, δ x ) x∈ A
lo que quiere decir que A es abierto en ( E , d 2 ) . Este teorema nos lleva a realizar las siguientes definiciones. Definición 1.10 Dos métricas d 1 y d 2 métricas equivalentes si :
A ⊂ E
en un mismo conjunto E decimos que son
es abierto en d1 ⇔ es abierto en d 2
Ejemplo 1.16
Las métricas d1 , d2 y d ∞ son equivalentes en ¡ 2
B 2 ( x, ε ) d
Demostración d Dado ε > 0 ∃δ = ε tal que ∀ x ∈ ¡ 2 B 1 ( x, ε ) d d B 1 ( x, δ ) ⊂ B 2 ( x, ε ) y ∈ B d 1 ( x, δ ) ⇒ d1 ( x, y ) < δ Ya que si y − x < δ
y1 − x1
( y1 − x1 )
2
+
y2 − x2
x
<δ
+ ( y2 − x2 )2 ≤ ( y1 − x1 )2 + ( y2 − x2 )2 =
y1 − x1
+
y2 − x2
<ε
entonces 1
Luego
2 2 2 d 2 ( x, y ) = ∑ ( yi − xi ) ≤ ∑ i =1 i =1 2
yi − xi
= d1 ( x, y ) < ε
y ∈ B 2 ( x, ε ) ⇒ B 1 ( x, ε ) ⊂ B 2 ( x, ε ) d
d
Entonces por proposición anterior tenemos que: Todo abierto en ( E , d 2 ) es abierto en ( E , d 1 ) Y recíprocamente Dado ε > 0, x ∈ ¡ n δ =
ε
2
> 0 tal que B d2 ( x, δ ) ⊂ B d 1 ( x, ε )
ya que si y ∈ B d 2 ( x, δ ) ⇒ d2 ( x, y ) < δ - 39 -
d
B d 1 ( x, ε ) x B 2 ( x, δ ) d
y
Topología General d 2 ( x, y ) = ( y1 − x1 ) y1 − x1
+
y2
Capítulo 1 2
+ ( y2 − x2 )2 < δ =
ε
2
- 40 entonces se prueba analíticamente que
− x2 < ε ⇒ d1 ( x, y ) < ε ⇒ y ∈ Bd ( x, ε ) como queríamos demostrar. 1
Observando lo que probamos es que dado un cuadrado podemos encontrar una bola dentro del mismo como en la figura Luego los abiertos en ( E , d 1 ) son abiertos en ( E , d 2 ) ∴ d1 : d 2 en ¡ 2 en ¡n es totalmente análogo. Análogamente se demuestra que d 2 : d∞ o d1 : d ∞ ya que se puede inscribe un cuadrado en una circunferencia o en un cuadrado. B
d 2
B
B
d ∞
d ∞
B
d 1
Ejemplo 1.17 Si E = ¢ y sea d 1
la distancia relativa a la euclidea y d 2 la métrica discreta. {n} es abierto en ¢ con d 2 ya que: d B 2 ( x, ε ) = {x} si ε < 1 pero también es abierto con d 1 ya que: {n} = ( n − 12 , n + 12 ) I ¢ 14 4244 3 abierto en ¡
Si A ⊂ ¢ y A ≠ φ A = U {a} es abierto por ser unión de abiertos. a∈ A
Entonces los abiertos con d 1 son todos los subconjuntos de ¢ , y con d 2 también. Por la tanto d1 , y d 2 son métricas equivalentes. Ejemplo 1.18 Sean ( E , d E )
y ( F , d F ) dos espacios métricos y d1 , d2 y d ∞ las métricas en E × F
dadas por: - 40 -
Topología General
Espacios Métricos
- 41 -
d1 [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = d E ( e, e′ ) + d F ( f , f ′ ) d 2 [ ( e, f ) , ( e′, f ′ )] = ( d E ( e, e′ ))
2
2
1
+ ( d F ( f , f ′ ) ) 2 d ∞ [( e, f ) , ( e′, f ′ )] = max {d E ( e, e′ ) , d F ( f , f ′ )}
es fácil ver de que se trata de distancias métricas, vamos a probar de que son equivalentes. Bε 1 ( e, f ) ⊂ Bε ∞ ( e, f ) d E + d F < ε d
d
ya que si cada una es menor que ε y d d Bε 2 ( e, f ) ⊂ Bε ∞ ( e, f ) ya que si:
B
d 1
B
d ∞
1
( d E ( e, e′ ) )2 + ( d F ( f , f ′) ) 2 2 < ε ⇒ ( d E ( e, e′ ))2 + ( d F ( f , f ′) ) 2 < ε 2 2 ′ d e e < ε 2 ⇒ d E ( e, e′ ) < ε , ( ) ( ) E 2 ⇒ cada uno es menor que ε ⇒ 2 2 ( d F ( f , f ′ )) < ε ⇒ d F ( f , f ′ ) < ε O sea que si x ∈ Bεd ⇒ x ∈ Bεd ∞ 2
Por otro lado d d B ∞ ( e, f ) ⊂ Bε 1 ( e, f ) ya que si d E y d F < ε 2 2
B
d 1
y
B
d ∞
ε
⇒ d E + d F < ε
Bεd∞ ( e, f ) ⊂ Bεd 2 ( e, f ) 2
d E ( e, e′ ) <
ε
d F ( f , f ′ ) < ε
ya que: 1
2 2 ⇒ d e, e′ 2 + d f , f ′ 2 < ε 2 12 = ε )) ( ( )) ( ) (1 E4(24 243 1F 4 4244 3 <ε 2 2 <ε 2 2
2
Entonces d1 , y d ∞ son equivalentes y d 2 , y d ∞ son equivalentes y por definición es transitiva d1 , y d 2 son equivalentes.
- 41 -
Topología General
Capítulo 1
- 42 -
Ejemplo 1.19
Sean ( Ei , d i ) espacios métricos ∀i = 1,..., n y d1 , d 2 y d∞ las métricas en
n
∏ E i
i =1
Dadas por : d1 [ ( e1 ,..., en ) , ( e1′,..., e′n )] =
n
∑ d ( e , e′ ) i
i
i
i =1
1
2 2 d 2 [ ( e1 ,..., en ) , ( e1′,..., e′n )] = ∑ ( di ( ei , e′i )) i =1 d ∞ [ ( e1 ,..., en ) , ( e1′,..., e′n )] = max {d i ( ei , e′i ) : i = 1,..., n} n
el razonamiento a seguir es el mismo que en el ejemplo anterior solo modificamos ε por ε y ε por ε entonces: 2 n 2 n Bεd1 ( e1 ,..., en ) ⊂ Bεd ∞ ( e1 ,..., en ) Bεd2 ( e1 ,..., en ) ⊂ Bεd ∞ ( e1 ,..., en ) Bε ( e1 ,..., en ) ⊂ Bε ( e1 ,..., en ) n d∞
d 1
B ε ∞ ( e1 ,..., en ) ⊂ Bε 2 ( e1 ,..., en ) d
d
n
- 42 -
y d ∞ son equivalentes equivalent es d 2 y d ∞ son equivalentes equivalente s d1
Capítulo 2 Espacios Topológicos En este capítulo introduciremos el concepto de espacio topológico, rescatando de los espacios métricos las propiedades básicas que estos cumplen. Es decir que se trata de una abstracción de los mismos. Sea X un conjunto no vacío. Una topología τ en X es una familia incluida en las partes de X es decir τ ⊂ P ( X ) tal que: 1) X , φ ∈ τ 2) Si { Aα }α∈ I ∈ τ ⇒ U Aα ∈ τ Definición 2.1
α ∈ I n
3) Si A1 ,..., An ∈ τ ⇒ I Ai ∈ τ i =1
A los miembros de τ llamamos abiertos Al par formado por τ y X llamamos espacio topológico. 2.1 Sea ( E, d ) un espacio métrico, entonces τ d = { A : A abierto en E } τ d es una topología por los propiedades que ya vimos se cumplen 1,2,3. Además d1 , d 2 son equivalentes si y solo sí:
Ejemplo
τ d1
= τ d
2
Decimos que las métricas equivalentes inducen las misma topologías. Todo espacio métrico puede ser visto como un espacio topológico con la topología inducida por la métrica. No es casualidad que una métrica defina una topología ya que la idea es abstraer las propiedades de los espacios métricos en espacios donde no hay definida una métrica, tratamos de definir un abierto sin tener una distancia, por eso, si decimos que un conjunto es abierto en realidad estamos queriendo decir que está en la topología.
Topología General
Capítulo 2
- 44 -
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico se dice que τ es metrizable si existe una métrica d en X tal que: Definición 2.2
τ
= τ d
es una especie de recíproco del ejemplo 1 . Ejemplo 2.2 Topología discreta Dado X τ = P ( X ) es una topología
y es un caso particular del ejemplo anterior
con la métrica d discreta. Es decir se si d 0 es la métrica discreta en X entonces:
= P ( X )
τ d 0
Ejemplo 2.3 Topología indiscreta Sea ( X , d ) un espacio seudométrico con d indiscreta entonces:
τ d = {φ , X }
es una topología llamada indiscreta. Claramente no es metrizable porque no existe una métrica asociada (seudemétrica si). Ejemplo 2.4 Cofinito Sea X ≠ φ la topología τ
definida como: τ = { A ⊂ X : AC es finito} U {φ } veremos que es una topología llamada de complementos finitos 1) φ , X ∈τ 2) Si { Aα }α∈ I ∈ τ ∀α ∈ I entonces: C
entonces:
A = AC es finito por cada AC es finito α U α I α α∈ I α∈I
U A ∈ τ α
3) Sean A1 ,..., An ∈ τ entonces:
α ∈ I
C
n A = n AC I i U i i =1 i =1 que es finito por ser unión de una cantidad finito “ n” de conjuntos finitos AiC Luego: n
I A ∈ τ i
i =1
Además se en vez de finito ponemos numerable sigue siendo una topología - 44 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 45 -
Ejemplo 2.5
En ¢ definimos: τ
= { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1∈ A ∀n ∈ ¢}
τ es una topología ya que: Si { Aα } ∈ τ y n ∈ ¢
Si 2n ∈ U Aα ⇔ 2n ∈ Aα0 para algún α0 α ∈ I
⇔ 2n − 1 ∈ Aα ⇔ 2n − 1∈ U Aα 0
α ∈ I
idem con la intersección La forma de los abiertos de τ son {1,2} , {1, 2, 3, 4},..., {3, 4}, {3, 4, 5, 6},..., {5, 6},.. etc. Cada vez que un par pertenece al conjunto el anterior también y cada vez que un impar pertenece al conjunto su siguiente también, así {5,6,11,12} es un abierto. Ejemplo 2.6
En ¡ definimos: τ
= {φ } U { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A}
también es una topología. Definición 2.3
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico e Y ⊂ X llamamos topología
relativa en Y a:
τ Y = {U I Y : U ∈ τ }
Sea {Uα }α∈ I ∈ τ ⇒ Uα I Y ∈ τ Y ∀α ∈ I entonces:
U (U
α ∈ I
α
IY ) =
U U α 1 α ∈I 424 3
I Y ∈ τ Y
∈τ por ser τ una popología
ídem con la intersección ⇒ τ Y es un topología. Sea ( X ,τ ) un espacio topológica y x ∈ X N ⊂ X es un entorno de x si existe un abierto U ∈ τ tal que: Definición 2.4
x ∈ U
⊂ N
Sea N x la familia de entornos de x es decir: N x = { N ⊂ X : N es entorno de x} Ejemplo 2.7 Si ( E , d ) es
un espacio métrico, x ∈ E entonces N ∈ E es un entorno de x si y solo
sí : - 45 -
Topología General
Capítulo 2
- 46 -
∃ε > 0 tal que B ( x, ε ) ⊂ N Demostración
⇐ Se toma A = B ( x, ε ) ⇒ Si N ∈ N x por definición existe un abierto U tal que x ∈ U ⊂ N Como U es abierto en un espacio métrico ⇒ por definición ∃ε > 0 tal que: B ( x, ε ) ⊂ U ⇒ B ( x, ε ) ⊂ N Ejemplo 2.8 Sea ( X ,τ ) el espacio topológico discreto N ∈ N x Ejemplo 2.9 Sea ( X ,τ ) espacio
⇔ x ∈ N
topológico indiscreto, los abiertos ya vimos que son φ y todo X
entonces: N x
= { x}
Ejemplo 2.10
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n −1 ∈ A} {1, 2} ∈ N 2 ⇒ N 2 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A} {1,2,3} ∈ N 2 Ejemplo 2.11 Sea ( X ,τ ) con τ
topología de complementos finitos. Sean x ∈ X entonces: si N ∈ N x ⇒ existe U ∈ τ tal que x ∈U ⊂ N entonces N C ⊂ U C ⇒ N C es finito ⇒ N ∈ τ es decir: {
finito
N x
= {U ∈ τ : x ∈ U }
Proposición 2.1 Sea ( X ,τ ) es un espacio topológico, x ∈ X entonces: 1) N ∈ N x y N ⊂ M ⇒ M ∈ N x
2) Si N , M ∈ N x ⇒ N I M ∈ N x 3) N x ≠ φ 4) U ⊂ X es abierto ⇔ U ∈ N x ∀x ∈ U es decir si U es entorno de todos sus puntos.
- 46 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 47 -
Demostración 1) Si N ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ
tal que x ∈ U ⊂ N y como N ⊂ M ⇒ x ∈ U ⊂ M ⇒ M ∈ N x 2) Sean U N ,U M tal que: x ∈ U N ⊂ N
⇒ x ∈ U N I U M ⊂ N I M ⊂ M y como U N I U M ∈ τ ⇒ N I M ∈ N x 3) X ∈ N x ∀x ∈ X ⇒ N x ≠ ? 4) ⇒ Si U es abierto y para todo x ∈ U ⇒ x ∈ U ⊂ U ⇒ U ∈ N x ⇐ Si U ∈ N x para todo x ∈ U ⇒ que para cada x ∈ U existe U x ∈ τ tal que: x ∈ U x ⊂ U ⇒ U U x ⊂ U x ∈ U M
x∈U
pero como ∀ x ∈ U ⇒ x ∈ U x ⇒ x ∈ U U x ⇒ U ⊂ U U x x∈U
x∈U
∴ U = U U x x∈U
y como U x ∈ τ ⇒
U ∈ τ U ∈ x
por propiedad 2 de la definición de topología y luego
x U
Observación 2.1
U ∈ τ
(es abierto)
De la definición de entorno y de la propiedad anterior podemos
tenemos: A es abierto
⇔ ∀ x ∈ A ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ A
Es decir que un conjunto es abierto si para todo punto de él se puede encontrar un elemento de la topología incluido en él. Si sustituimos elemento de la topología por bolas es la misma propiedad que teníamos para espacios métricos. Lo que era de esperar ya que los elementos de la topología en el caso de espacios métricos son las bolas. Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X . Se dice que x ∈ A es un punto interior a A, si A es entorno del punto, es decir A ∈ N x . Y llamaremos interior de A al conjunto de los puntos interiores de A Ao = { x ∈ X : x es interior de A} Definición 2.5
Observación 2.2 De la misma definición se desprende que.
- 47 -
Topología General
Capítulo 2 o
A
- 48 -
⊂A
Proposición 2.2 Dado ( X ,τ ) espacio topológico y A, B ⊂ X dos conjuntos con A ⊂ B entonces: o o A ⊂ B
Demostración Que x ∈ Ao implica que A es entorno de x y por definición de entorno: ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ A y como A ⊂ B se tiene: ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ B
luego B es entorno de x y eso implica que x es interior a B ⇒ Ao ⊂ B o Proposición 2.3 Sea ( X ,τ ) en espacio topológico A ⊂ X Entonces si A es abierto
se tiene que A = A . o
Demostración
Por definición sabemos que se cumple Ao ⊂ A . Para probar la otra
inclusión Si x ∈ A como A es abierto, es entorno de todos sus puntos es decir A ∈ N x lo que implica por definición que x ∈ Ao luego A ⊂ A
o
y se da la igualdad.
Proposición 2.4 Sea ( X ,τ ) en espacio topológico A ⊂ X Entonces A es el mayor abierto contenido en A. o
Primero probaremos que Ao es abierto, para ello probaremos que es entorno de todos sus puntos. Sea x ∈ Ao ⇒ por definición A ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ tal que:
Demostración
x ∈ U
⊂A
Pero esto no alcanza trataremos de ver que U ⊂ Ao y para ello: Si y ∈ U ⇒ y ∈U ⊂ A ⇒ A ∈ N y ⇒ por definición y ∈ Ao luego: es decir que ∃U ∈τ tal que:
U
⊂ Ao
- 48 -
Topología General
Espacios Topológicos x ∈ U
⊂ Ao ⇒
- 49 -
Ao ∈ N x
Esto mismo se tiene para todo punto de Ao entonces por proposición 2.1 – 4) Ao es abierto. Para probar de que es el mayor probamos que cualquier otro abierto incluido en A está contenido en Ao Sea entonces B ⊂ A ⇒ por proposición 2.2 Bo ⊂ Ao y como B es abierto se tiene por proposición 2.3 B = Bo luego: B ⊂ A
o
Observación 2.2 Uniendo las proposiciones 2.2 y 2.3 se tiene que:
A es abierto
⇔ A = Ao
Ejemplo 2.12
Sea ( ¡,τ ) τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ }
A si 0 ∈ A φ si 0 ∉ A
Dado A ⊂ ¡ Ao = Definición 2.6 Dado ( X ,τ )
espacio topológico decimos que es T 0 si se verifica que si dados x ≠ y ⇒ N x ≠ N y
Ejemplo 2.13
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2 n − 1∈ A} U {φ } N 2 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A} N1 = { A ⊂ ¢ : {1, 2} ⊂ A} Luego N1 = N 2 pero 1 ≠ 2 ⇒ que no es T 0 Proposición 2.5 Un espacio topológico ( X ,τ ) es T0 si y solo sí dados x
≠y
N ∈ N x tal que y ∉ N o existe: M
∈ N y
tal que x ∉ M N
x
Demostración ⇒ si ∃ N ∈ N x
y
tal que y ∉ N ⇒ N ∉ N y ⇒ N x ≠ N y por definición es T 0 ∃ M ∈ N y tal que x ∉ M ⇒ M ∉ N x - 49 -
existe
Topología General
⇒ Si X es
Capítulo 2
T0 x ≠ y ⇒ N x
- 50 -
≠ N y entonces puede suceder al menos una de las
siguientes posibilidades: 1) ∃ N ∈ N x tal que N ∉ N y ⇒ por ser N entorno ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N si y ∈ U ⇒ y ∈U ⊂ N Y entonces N ∈ N y lo cual es absurdo o sea que y ∉ U y como U es abierto es entorno de todos sus puntos o sea encontramos un U ∈ N x tal que y ∉ U . 2) ∃ M ∈ N y tal que M ∉ N x ⇒ al igual que lo anterior ∃V ∈ N y tal que x ∉ V . Ejemplo 2.14
Dado el espacio topológico ( ¡,τ ) con τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ } Sean dos puntos x ≠ y cualesquiera distintos en principio de cero. x ≠ y entonces {0, x} ∈ τ ⇒ que es entorno de todos sus puntos en particular de x o sea que {0, x} ∈ N x donde y ∉ {0, x} . Ahora si uno de ellos es el cero. Sea x = 0 entonces claramente {0} ∈ τ o sea : {0} ∈ N 0 y ∉ {0} Luego este espacio topológico es T 0 . A pesar de que todos los entornos de y contienen al cero es decir al cero lo podemos separar del y por entornos pero no al y del cero. Nuestro próximo axioma de separación contemplará que tanto unos como otros son separables por entornos. Definición 2.7 Dado un espacio topológico decimos que es T 1 N = { x}
si se verifica que:
I
N ∈N x
Proposición 2.6 Dado el espacio topológico ( X ,τ ) este es T1 si y solo sí, dados x ≠ y cualesquiera existen N y M con: N ∈ N x tales que y ∉ N x y M ∈ N y tales que x ∉ M
Demostración ⇒ Si ( X ,τ )
es un espacio topológico T1 , x ≠ y entonces por definición I N = {x} y como x ≠ y ⇒ y ∉ I N N ∈N x
lo que significa que:
N ∈N x
∃ N ∈ N x tal que y ∉ N - 50 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 51 -
⇐ Si ∃ N ∈ N x tal que y ∉ N esto implica: y ∉
I
∀ y ≠ x
N
N ∈N x
⇒ { x} = I
N
N ∈N x
Corolario 2.7 Dado un espacio topológico ( X ,τ )
si es T1 ⇒ es T 0
La proposición 2.6 implica la proposición 2.5 que es más débil y por lo tanto se cumple que es T 0
Demostración
Ejemplo 2.15
Sea ( ¡,τ ) con τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ } como I N = {0, x} si x ≠ 0 no es T 1 N ∈N x
Ejemplo 2.16 Sea X con la topología de complemento
finito.
C
C Dados dos puntos x ≠ y {y} ∈ N x e y ∉ { y} luego X es T 1 .
Dado el espacio topológico ( X ,τ ) decimos que es T 2 (o de Hausdorff ) si dados x ≠ y existen: N ∈ N x , M ∈ N y tales que N I M = φ Definición 2.8
N Observación 2.3 Todo espacio topológico que es T2
⇒ T 1
M x
y
Claramente por definición. Ejemplo 2.18 Sea X infinito con la topología de complemento finito. Si A, B ∈ τ tal que A I B = φ con A y B no vacíos entonces: X
=
AC U B C
{
{
finito
finito
⇒
X sería finito
con esta topología no tenemos abiertos disjuntos, y como: N x = { A ∈ τ : x ∈ A} Si A ∈ N x , B ∈ N y tales que A I B = φ serían dos abiertos no vacíos disjuntos que ya vimos que en esta topología no los hay ⇒ X no es T2 aunque sí T 1 como ya vimos. Ejemplo 2.19
Todo espacio métrico es de Hausdorff. - 51 -
Topología General
Capítulo 2
- 52 -
Demostración
1 Si x ≠ y Sea ε < d ( x, y ) 2 Entonces : B ( x, ε ) I B ( y, ε ) = φ Ya que si existiera z tal que: z ∈ B ( x, ε ) I B ( y, ε ) se tendría: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) < 2ε < d ( x, y )
x
d
y
Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que x es adherente a un subconjunto A de X si todo entorno de x contiene puntos de A. Es decir que x es adherente a A ⇒ ∀ N ∈ N x N I A ≠ φ Definición 2.9
Dado un espacio topológico ( X ,τ ) , A ⊂ X , la clausura de A es el conjunto de todos los puntos adherentes a A. A = { x ∈ X : ∀N ∈ N x es N I A ≠ φ } además decimos que A es cerrado si y solo sí A = A Definición 2.10
Proposición 2.8 A ⊂ A
Demostración Si x ∈ A ∀N ∈ N x
⇒ x ∈ N I A ⇒ x ∈ A luego: A ⊂ A o uniendo esto con A ⊂ A tenemos: o A ⊂ A ⊂ A Proposición 2.9 Si A ⊂ B ⇒ A ⊂ B
Demostración Si x ∈ A ⇒ ∀N ∈ N x N I A ≠ φ
y como A ⊂ B se tiene:
N I B ≠ φ
∀N ∈ N x ⇒ x ∈ B
o sea A ⊂ B
- 52 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 53 -
Ejemplo 2.20
Sea ( ¡,τ ) donde τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ } A Si A = {1} ⇒ A = {1} ya que: si x ≠ 1 {0, x} I A = φ 0 Sea A = {0} A = ¡ En general en esta topología para un subconjunto A cualquiera tenemos: ¡ si 0 ∈ A A = A si 0 ∉ A Ejemplo 2.21 Sea ( E , d ) un
espacio métrico definimos bola cerrada, y anotamos B − ( x, ε ) de centro x y radio ε como: − B ( x, ε ) = { y ∈ E : d ( x, y ) ≤ ε } probaremos que es cerrada es decir: B − ( x, ε ) = B − ( x, ε )
Demostración
Tenemos que la inclusión B − ( x, ε ) ⊂ B − ( x, ε ) se cumple siempre. Para probar la otra inclusión C
probaremos ( B − ( x, ε )) ⊂ ( B− ( x, ε ) )
B − ( x, ε ) ⊂ B − ( x, ε )
C
Sea y ∉ B − ( x, ε ) ⇒ d ( x, y ) > ε
∃δ > 0 tal que δ < d ( x, y ) − ε ver figura Si z ∈ B − ( x, ε ) I B ( y, δ ) entonces: d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) < ε + δ < d ( x, y ) 123 123
x
luego
ε
≤ε
δ
<δ
d ( x, y ) < d ( x, y )
O sea que: − B ( y , δ ) ∈ N y tal que B ( y, δ ) I B ( x, ε ) =? lo que significa que y ∉ B − ( x, ε )
∴ B como queríamos probar.
−
C
( x, ε ) ⊂ B − ( x, ε )
- 53 -
C
y
Topología General
Capítulo 2
- 54 -
Proposición 2.10 Sea ( X ,τ ) espacio topológico A ⊂ X .Entonces A es cerrado si y solo sí el complemento es abierto:
A
es cerrado ⇔ AC es abierto
Demostración ⇒ Si A es cerrado
Sea y ∈ AC
⇒ A = A ⇒ y ∉ A = A ⇒ ∃N ∈ N y tal que N I A = φ ⇒ N ⊂ AC
y por definición de entorno:
∃U ∈ τ tal que y ∈ U ⊂ N ⊂ AC Es decir que
∀ y ∈ AC ∃ U ∈ τ tal que y ∈ U ⊂ AC por observación 2.1 AC es abierto. Recíprocamente: ⇐ AC es abierto aplicando otra vez la observación 2.1 ∀ y ∈ AC ∃ U ∈ τ tal que y ∈ U ⊂ AC y como U es abierto es entorno de todos sus puntos ⇒ U ∈ N y y A I U = φ luego y ∉ A
C
⇒ y ∈ ( A) ⇒ A ⊂
A
Como la otra inclusión se cumple siempre.
∴ A = A Corolario 2.11 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico entonces se cumplen: 1) X , φ son cerrados
2) Sea { Aα }α∈ I una familia de cerrados ⇒ I Aα es cerrado. α∈ I
n
3) Sean A1 ,..., An cerrados ⇒ U Ai es cerrado. i =1
Demostración
Todas se demuestran en forma análoga usando las leyes de Morgan y la proposición anterior, veamos a modo de ejemplo la 2) Como cada Aα es cerrado ⇒ AαC es abierto ⇒ U AαC es abierto luego: α ∈ I
C
A = AC es abierto I α U α α∈ I α∈I - 54 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 55 -
entonces.
I A
es cerrado
α
α ∈ I
Proposición 2.12 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) , es T1 si y solo sí :
{ x} es cerrado Demostración ⇒ Sea ( X ,τ )
∀x ∈ X
espacio topológico T 1 entonces por definición dado y ∈ X : N = { y} I ∈
N N y
lo que significa si ∀ x ≠ y
x∉
I
N ⇒
N ∈N y
∃ N ∈ N y tal que x ∉ N entonces: N I { x} = φ ⇒ y ∉ { x} Como esto es válido para cada y de X se tiene:
{ x} = { x}
e { x} es cerrado ∀ x ≠ y pero como el y es arbitrario en realidad se tiene ∀ x ∈ X Recíprocamente: ⇐ Dado x, y ∈ X con x ≠ y si { x} , { y} son cerrados ⇒ { x}C ,{ y}C son abiertos entonces como y ≠ x ⇒ y ∈ { x}C que por ser abierto es entorno de todos sus puntos ⇒ { x}C ∈ N y y x ∉ { x}C análogamente como x ≠ y x ∈ { y}C que por ser abierto { y}C ∈ N x e y ∉ { y}C Luego por proposición 2.6 ( X ,τ ) es T 1 . Lema 2.13 a) Dado ( X ,τ ) espacio topológico y A ⊂ X entonces: C
( A ) = ( AC )
o
Demostración por definición
Sea x ∈ ( A )
C
⇒ x∉ A
}
⇒
∃N ∈ N x tal que N I A = φ lo que significa que: - 55 -
Topología General
Capítulo 2 N
y por definición de entorno:
- 56 -
⊂ AC
∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N ⊂ AC luego: AC ∈ N x
entonces por definición de punto interior: C o
x ∈ ( A
Recíprocamente: o Si x ∈ ( AC ) ⇒ {
AC ∈ N x
)
y por definición de entorno:
por definición
∃V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ AC entonces por un lado A I V = φ y por otro lado como
V es
abierto es entorno de
todos sus puntos en particular de x. O sea: ∃V ∈ N x tal que A I V = φ Luego C
x ∉ A
⇒ x ∈ ( A)
Como queríamos probar. Análogamente se prueba que Lema 2.13 b) C
( Ao ) = ( AC ) Proposición 2.14 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X . Entonces A es el menor cerrado que contiene a A.
Demostración
Primero que nada A es cerrado ya que por la proposición anterior: C
( A ) = ( AC )
o
y como ya vimos que el interior de un conjunto es abierto (proposición 2.4) entonces C ( A ) es abierto ⇒ A es cerrado . Sea ahora B ⊂ X un conjunto cerrado cualquiera que contenga a A. Entonces como A ⊂ B ⇒ A ⊂ B = B luego: {
prop. 2.6
{
cerrado
A ⊂ B
es decir que la clausura de A es el menor cerrado que contiene a A.
- 56 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 57 -
Corolario2.15 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, y A ⊂ X entonces: o
1) ( Ao ) = Ao 2) ( A) = A Demostración.
1) Ya demostramos que el interior de un conjunto es abierto y si es abierto que es igual a su interior. o Ao abierto ⇒ ( Ao ) = Ao 2) También ya demostramos que la clausura de un conjunto es cerrado entonces: A cerrado ⇒ ( A) = A {
def.
Ejemplo 2.22 o
Sea ( X ,τ ) espacio topológico como X ∈ τ ⇒ es abierto ⇒ ( X ) = X Y como φ ∈ τ ⇒ es abierto (φ )o = φ Por otro lado como X C =? ⇒ es cerrado ⇒ ? =? Y φ C = X ⇒ es cerrado ⇒ X = X La clausura y el interior son invariantes para X e φ Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, y A ⊂ X decimos que x ∈ X es un punto de acumulación de A si y solo sí: ∀ N ∈ N x A I ( N \ { x}) ≠ φ Definición 2.11
llamamos conjunto derivado al conjunto de puntos de acumulación. A′ = { x ∈ X : x es de acumulación de A} claramente por definición A′ ⊂ A
Si ( X ,τ ) es un espacio topológico, A ⊂ X decimos que x ∈ X es un punto aislado si no es punto de acumulación. Definición 2.12
Definición 2.13 Si ( X ,τ )
es un espacio topológico, A ⊂ X llamamos frontera de A
al conjunto δ A como: δ A = A I AC de la definición sacamos que un punto x ∈ δ A si se cumplen:
- 57 -
Topología General
Capítulo 2
- 58 -
x ∈ A ⇒ ∀N ∈ N x N I A ≠ φ ⇒ x ∈ AC ⇒ ∀N ∈ N x N I AC ≠ φ
Es decir que un punto pertenece a la frontera si para todo entorno del punto este corta tanto al conjunto como al complemento. Ejemplo 2.23 Sea ( X ,τ ) con τ
= {φ } U { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} ¡ si 0 ∈ A A = A si 0 ∉ A Sea 0 ∈ A {0} ∈ τ ⇒ {0} ∈ N 0 pero {0} \ {0} =? 0 no es punto de acumulación. Si x ∈ ¡ y 0 ≠ x ∀N ∈ N x ⇒ ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N pero si U es abierto implica si no es vacío que contiene al cero ⇒ 0 ∈ N ⇒ 0 ∈ N \ { x} ∀N ∈ N x como 0 ∈ A ⇒ A I { N \ { x} } ≠ φ
x es de acumulación. Si 0 ∈ A veamos cual es la frontera:
δ A = A I AC = ¡ I AC {
= AC
=¡
y si 0 ∉ A δ A = A I AC
= AI ¡ = A
Definición 2.14 Dado ( X ,τ ) un espacio topológico se dice que Y
⊂ X es denso en X
si: Y
= X
Dado ( X ,τ ) un espacio topológico se dice que X es separable si tiene un subconjunto Y denso numerable Y ⊂ X tal que Y = X con Y es numerable. Definición 2.15
Proposición 2.16 Dado ( X ,τ ) espacio topológico, Y Para cada U ∈ τ , U ≠ φ se cumple U I Y ≠ φ
⊂ X es denso si y solo sí:
Demostración ⇒ Si Y ⊂ X e Y denso, sea U ∈ τ , U ≠ φ Como U es abierto es entorno de todos sus puntos o sea:
- 58 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 59 -
∀ x ∈ U ⇒ U ∈ N x y como Y = X ⇒ x ∈ Y lo que significa por definición: ∀ N ∈ N x N I Y ≠ φ y en particular
U ∈ N x U I Y
≠ φ
Recíprocamente: ⇐ Si x ∈ X y N ∈ N x ⇒ por definición ∃U ∈ τ tal que x ∈ U ⊂ N y por hipótesis como U ∈ τ se tiene U IY
≠φ ⇒
N IY
≠φ
por definición Si N ∈ N x es N I Y ≠ φ ⇒ x ∈ Y luego x ∈ Y
Y
=X ⇒
Y
es denso en X
Ejemplo 2.24
El conjunto de los racionales ¤ es denso en ¡ ⇒ ¡ es separable Ejemplo 2.25 Sea ( X ,τ ) con X no
numerable yτ la topología discreta entonces X es no separable ya que si consideramos que existe un subconjunto denso A ⊂ X entonces:
∀U ∈ τ
U I A≠φ
y en particular como ∀ x ∈ X { x} ∈τ ⇒ { x} I A ≠ φ ⇒ x ∈ A X
⊂ A⇒ X = A
es decir que el único conjunto denso es el propio X que por definición es no numerable luego X es no separable. Ejemplo 2.26
En la topología τ = { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ } se tiene que {0} es denso ⇒ ( ¡,τ ) es separable Ejemplo 2.27
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1∈ A} Sean I = imparares P = pares como: I = ¢ y P = ¢ ⇒ que es denso tanto I como P son densos por lo que ¢ es separable. - 59 -
Topología General
Capítulo 2
- 60 -
Ejemplo 2.28 Sea ( X ,τ ) con X infinito y τ
la topología de complemento finito. Cualquier subconjunto infinito de X cumple: Y ⊂ X infinito Y = X ⇒ X denso ya que si consideramos que: U ∈ τ tal que U I Y = φ ⇒ Y ⊂ U C ⇒ U C es infinito, pero ⇒ U ∉ τ luego
∀U ∈ τ
U I Y ≠ φ
por la proposición 2.16 Y es denso en X . Ejemplo 2.29
Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que de τ si todo abierto no vacío es unión de miembros de B. Definición 2.16
B
⊂ τ es una base
Dicha definición e equivalente a decir que B es base de la topología si se cumplen: 1) ∀ B ∈B ⇒ B ∈ τ 2) Dado x ∈ U ∈ τ ⇒ ∃B x ∈B tal que x ∈ Bx ⊂ U La primer condición es obvia y la segunda si se cumple tenemos: Si U ∈ τ ⇒ U = U B x x∈U
es decir es unión de elementos de elementos de B es decir: U
B.
Y recíprocamente todo abierto es unión de
= UB ⇒ B∈B
Si x ∈ U ⇒ x ∈ U B ⇒ ∃B ∈B tal que x ∈ B además este B ⊂ U ⇒ 2) B∈B
Ejemplo 2.32
En un espacio métrico la bolas abiertas es una base porque ya vimos que todo abierto es igual a la unión de bolas abiertas. Ejemplo 2.33 Sea ( X ,τ ) con la topología discreta. B
= {{ x} : x ∈ X }
es una base Ejemplo 2.34
( ¡,τ ) con τ
= { A ⊂ ¡ : 0 ∈ A} U {φ } - 60 -
Topología General
Espacios Topológicos B
- 61 -
= {{0, x} : x ∈ ¡}
es una base ya que si A es abierto A =
U {0, x}
x∈ A
Proposición 2.17 Sea X un conjunto no vacío B ⊂ P ( X ) existe una topología τ en
X para la cual B es una base si y solo sí se cumplen:
1)
U A = X
A∈B
2) Si A, B ∈B, x ∈ A I B ⇒ ∃C x ∈B tal que x ∈ C x
⊂ AI B
Demostración
⇒ Si B es una base de τ , entonces como X es abierto implica de que es unión de elementos de B
=UA A∈ Para probar la segunda propiedad sean A, B ∈B con x ∈ A I B como A y B son X
B
abiertos también lo es A I B entonces: A I B = U Bα si x ∈ A I B ⇒ ∃α 0 tal que Bα ∈B
x ∈ Bα0
luego x ∈ Bα0 ⊂ A I B o sea C x = Bα 0 ∈B ⇐ recíprocamente: Si B verifica 1) y 2). Construiremos una topología de la que B es base. Sea entonces τ la familia de conjuntos que son unión de miembros de B. τ = {U Bα : Bα ∈B} U {φ } probaremos primero que τ es una topología. 1) φ ∈ τ y X = U B ⇒ X ,φ ∈ τ {
por hip. B∈B
2) Si Aα ∈ τ la unión de conjuntos de τ también está en τ por ser unión de uniones de elementos de B. 3) Sean A, B ∈ τ ⇒ A = U Aα B = U Bβ entonces: Aα ∈B
Bβ ∈B
A I B =
U A I U B = U( A α
β
α
I Bβ )
Si x ∈ A I B ⇒ x ∈ Aα I Bβ para algún α x , β x y existe C x ∈B tal que: x
x
x ∈ C x
⊂ Aα
x
I Bβ x
consideremos
U
C x ∈ τ
x∈ AI B
- 61 -
Topología General A I B ⊂
U ∈
C x
x AI B
Capítulo 2
⊂ U ( Aα
x
- 62 -
I Bβ x ) ⊂ A I B
∴ A I B = U
⇒ A I B ∈τ
C x
x∈ AI B
entonces τ es una topología de la que B es base por construcción Corolario 2.18 Sea B un recubrimiento de un conjunto X cerrado por intersecciones finitas entonces existe una única topología τ sobre X respecto de la cual B es una base.
Por ser un recubrimiento se cumple la condición 1) de la proposición anterior. Y por ser cerrado por intersecciones finitas se cumple la condición 2). Luego solo es una formulación diferente (más débil) de la proposición anterior. Dicha topología es única por la condición 2 de ser base.
Demostración
Definición 2.17 subbase
Si ( X ,τ ) es un espacio topológico, S ⊂ τ decimos que es una
de τ si: B
= { A1 I A2 I ... I An : Ai ∈ S , n ∈ ¥} U {φ }
es una base. Proposición 2.19 Si X es un conjunto no vacío, S
⊂ P ( X ) ,S es una subbase de una
topología si y solo sí:
U A = X
A∈S
Se dice que τ es la topología generada por S Demostración
⇒ Por ser S subbase ⇒ B = { A1 I ... I An : Ai ∈ S , ∀i = 1,..., n} entonces si B ∈B ⇒ B = A1 I ... I An ⇒ B ⊂ Ai por lo menos para algún i X = U B ⊂ U A ⇒ X = U A B∈B
⇐ Hay que probar que
B
A∈S
A∈S
= { A1 I A2 I ... I An : Ai ∈ S } es una base de
probaremos las propiedades 1 y 2 de la proposición anterior. 1) Ai ∈B ya que Ai = Ai I Ai ∀i ⇒ S ⊂ B además: por hipótesis X = U A ⊂ U A A∈S
2) Si A y B ∈B ⇒ - 62 -
A∈B
τ o sea
Topología General
Espacios Topológicos
- 63 -
A = A1 I A2 I ... I An
con Ai ∈ S ∀i = 1,..., n B = B1 I B2 I ... I Bm con Bi ∈ S ∀i = 1,..., m A I B = A1 I .... I An I B1 I ... I Bm ∈ B por definición entonces B es una base y S una subbase Definición 2.18
Si τ y σ son dos topologías en X se dice que τ es más fina que σ
si σ
⊂τ
Proposición 2.20 Si X es un conjunto no vacío, S
⊂ P ( X ) tal que:
U A = X
A∈S
la topología τ generada por S en X es la menos fina en X que contiene a S. Demostración
Supongamos que σ es una topología en X y S ⊂ σ entonces: Si A1 , A2 ,..., An ∈ S ⇒ A1 I A2 I ... I An ∈ σ La intersección finita de abiertos es también un abierto. Como además la unión de elementos de σ está en σ entonces por definición de τ τ
⊂σ
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico decimos que verifica el segundo axioma de numerabilidad si tiene una base numerable. Para abreviar decimos que es N 2 Definición 2.19
2.35 Sea X no numerable con la topología de complemento finito veremos que no es N 2 Supongamos que { Bn }n∈¥ es una base entonces:
Ejemplo
C
B = BC I n U n n∈¥ n∈¥ son abiertos ⇒ BnC es finito y como la unión numerable de
pero como los Bn numerables (finitos) es numerable
C
C
⇒ U Bn n∈¥
es numerable ⇒ I Bn ≠ X n∈¥
- 63 -
Topología General
Capítulo 2
- 64 -
ya que X es no numerable ⇒ I Bn ≠ φ entonces ∃ x ∈ I Bn ⇒ x ∈ Bn ∀n ∈ ¥ por n∈¥
n∈¥
C
otro lado el conjunto { x} es abierto (por tener complemento finito que es el { x} ) pero este abierto no se puede escribir como uniones de los elementos de la base ya que si fuera así. C
{ x}
= U
{nk }⊂ ¥
Bnk
x ∉ {x}C pero tenemos x ∈ B ∀n ∈ ¥ ⇒ x ∈ U Bn n k {n }⊂ ¥ k
k
k
⇒
Proposición 2.21 Si ( X ,τ ) es un espacio topológico N 2 entonces es separable.
Demostración Sea { Bn }n∈¥ una base numerable
Construiremos un conjunto denso numerable para ello tomamos un elemento de cada abierto de la base, y ese conjunto que es numerable resultará que es denso. Sea { xn } con xn ∈ Bn ∀n ∈ ¥ Tomemos un abierto U no vacío por ser { Bn }n∈¥ una base se puede escribir: U
= U
{nk }⊂ ¥
Bnk
y como ∀nk ∈ ¥ se tiene que xn ∈ Bn ⇒ xn ∈ U I { xn }n∈¥ entonces U I {xn }n∈¥ ≠ φ ⇒ { xn }n∈¥ es denso y esto significa que X es separable. No vale el recíproco en general, como veremos en el siguiente ejemplo. k
k
k
Ejemplo 2.36 Sea X no numerable
con la topología de complemento finito, ya vimos que es separable (ejemplo 2.28 ) y que no es N 2 (ejemplo 2.35)
Pero en espacios métricos sí vale el recíproco como veremos en la siguiente proposición. Proposición 2.22 Si ( E , d ) es un espacio métrico separable, entonces es N 2
Demostración
Por hipótesis existe un subconjunto { xn }n∈¥ denso en E tomemos: B = { B ( xn , 1 m ) : n, m ∈ ¥} - 64 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 65 -
es claro que B es numerable. Probaremos de que es una base. Sea entonces A ∈ E un abierto no vacío. Por ser abierto en un espacio métrico implica que si x ∈ A ⇒ ∃ε > 0 tal que B ( x, ε ) ⊂ A ahora consideremos m x tal que: 1 ε 1 < y xn tal que d ( x, xn ) < m x 2 mx que es posible por ser { xn } denso ⇒ { xn } I B ( x, 1 m ) ≠ φ entonces x ∈ B ( xn , 1 m ) k
k
x
k
además si z ∈ B ( xn , 1 m ) tenemos: 2 d ( x , z ) ≤ d ( x, xn ) + d ( xn , z ) < <ε k
x
1 424 3 1 424 3 k
B ( xnk ,
m x
k
< 1m x
< 1 mx
B ( x, ε )
⇒ z ∈ B ( x, ε ) ⇒ B ( xn , 1 m ) ⊂ B ( x, ε ) ⊂ A entonces para cada x ∈ A ∃ una bola ∈B B ( xn , 1 m ) tal que : x ∈ B ( xn , 1 m ) ⊂ A o sea: A = U B ( xn , 1 m ) k
k
1
m x
)
xnk z
x
x
x
k
x
A
x
x∈A
k
x
Lo que implica de que B es base y por lo tanto ( E , d ) es N 2. Definición 2.20
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico un cubrimiento por abiertos de X
es una familia: { Aα }α∈ I ⊂ τ tal que U Aα
= X
α∈
Dado ( X ,τ ) espacio topológico y en él un cubrimiento { Aα }α∈ I por abiertos de X , un subcubrimiento es una subfamilia de la anterior { Aβ } ⊂ { Aα } que también es cubrimiento por abiertos de X .
Definición 2.21
Ejemplo 2.37
1 ,1 : n ∈ ¥ es un cubrimiento de X n
{
Si X = ( 0,1)
}
1 ,1 : n ∈ ¥ es un subcubrimiento del anterior. 2n
{
}
Un espacio topológico ( X ,τ ) decimos que es de Lindelöff si todo cubrimiento por abiertos de X admite un subcubrimiento numerable. Definición 2.22
- 65 -
Topología General
Capítulo 2
Ejemplo 2.38 Sea X no numerable con la topología de sabemos que no es N 2 y si es de Lindelöff.
- 66 complemento finito entonces X que
Demostración
Supongamos que tememos un cubrimiento { Aα } por abiertos de X . Sea Aα 0 ∈ { Aα } , AαC0 = { x1 ,... ,...,, xn } que es fin finito ito po porr ser ser Aα 0 abi abiert erto ahora ahora para para cada i = 1,..., n sea Aα tal que xi ∈ Aα existen por ser i
i
U A = X y por el α
α
axioma de elección elegimos uno cuando hay más de uno. Entonces { Aα0 , Aα1 ,..., Aα } es un subcubrimiento finito ( luego numerable) que cubre a todo X n
n
X
= U Aα ⇒ que es de Lindelöff i
i=0
Ejemplo 2.39 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico con X numerable
entonces cualquiera se τ en X es
de Lindelöff. Sea {U α }α∈ I un cubrimiento por abiertos cualquiera: X
= U U α α∈ I
para cada x ∈ X se tiene que : x ∈ U Uα ⇒ ∃α x ∈ I tal que x ∈ U α siempre existe al meno uno, de existir más x
α ∈ I
de uno elegimos uno cualquiera. De esta forma {U α } x∈ X es una subfamilia que además cubre a X ya que: Si x ∈ X ⇒ x ∈ Uα ⇒ X ⊂ U Uα y por otro lado los Uα ⊂ X ⇒ U Uα ⊂ X x
x
luego:
x∈ X
x
x
X
x∈X
x
= U U α x∈ X
x
y como X es numerable, entonces tiene un subcubrimiento numerable luego es de Lindelöff. Proposición 2.23 Sea ( X ,τ ) es un espacio topológico N 2 entonces es de Lindelöff.
Demostración
- 66 -
Topología General
Espacios Topológicos
- 67 -
Sea { Aα }α∈ I un cubrimientos por abierto de X como ( X ,τ ) es N 2 ⇒ existe una base numerable { Bn }n∈¥ de X Primero elegimos los abiertos de la base que están contenidos en algún abierto del cubrimiento. Y luego consideramos los abiertos correspondientes del cubrimiento, este será el subcubrimiento que buscamos. Es decir que definimos el conjunto I n = {α ∈ I : Bn ⊂ Aα } y para cada I n ≠ φ elegimos un elemento que denominamos α n ∈ I n Sea I ′ = {α n : n ≥ 1} claramente I’ es numerable además I ′ ⊂ I por construcción entonces si: X
=U
α n ∈ I ′
Aαn
sería { Aα }α ∈ I ′ un subcubrimiento de { Aα }α∈ I para ello tomemos un x ∈ X = U Aα n
n
α ∈ I
⇒ ∃α 0 ∈ I tal que x ∈ Aα pero como { Bn }n∈¥ es una base ⇒ Aα = U 0
0
{nk }⊂ ¥
Bnk es
decir: x ∈ Aα0
= U
{nk }⊂ ¥
Bnk
⇒ ∃n0 ∈ {nk } tal que x ∈ Bn ⊂ Aα 0
0
lo que significa que I n0 ≠ φ ⇒ ∃α n0 ∈ I n0 ⇒ Bn0 ⊂ Aα 0 ⇒ x ∈ Aα 0 con α n0 ∈ I ′ n
∴ X = U
α n ∈ I ′
n
Aαn
lo que implica que X es de Lindelöff. El recíproco no es cierto, ver ejemplo 2.38 pero en espacios métricos si se cumple el recíproco, como veremos en el siguiente enunciado Observación
Proposición 2.24 Dado ( E , d ) espacio métrico las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) E tiene una base numerable ( es N 2 ) L 2) E es un espacio de Lindelöff. 3) E es separable. N 2
Demostración
S 1) ⇒ 2) se cumple para todo espacio topológico como ya vimos en la proposición anterior 2) ⇒ 3) Para cada m ∈ ¥ consideremos las bolas abiertas de radio todo punto x ∈ E , como E = U B ( x, m1 ) x∈E
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1 m
y centro en
Topología General
Capítulo 2
- 68 -
y el espacio es de Lindelöff, entonces existe un subcubrimiento numerable de E es decir que existen una cantidad numerable de estas bolas B ( x, 1 m ) , como todas son de igual radio lo que son numerables son los centros de dichas bolas que llamaremos para cada m; xnm con n ∈ ¥ ,entonces: E = U B ( xnm , m1 ) n∈¥
Sea el conjunto A = { x : m, n ∈ ¥} claramente es numerable y demostraremos además que es denso en E y por lo tanto separable. Dado ε > 0 existe m ∈ ¥ tal que m1 < ε para este m E = U B ( xnm , m1 ) m n
n∈¥
entonces si x ∈ E ⇒ x ∈ U B ( xnm , m1 ) ⇒ ∃n0 ∈ ¥ tal que x ∈ B ( xnm0 , m1 ) o sea: n∈¥
d ( x, xn0 ) < m
< ε ⇒ xnm ∈ B ( x, ε ) y entonces Para cada ε > 0 y x ∈ E existe un xnm ∈ A tal que xnm ∈ B ( x, ε ) 1
m
0
es decir
∀ε > 0, x ∈ E
A I B ( x, ε ) ≠ φ
y A es entonces denso en E. 3) ⇒ 1) ya lo vimos en la proposición 2.22 Observación
En general las implicancias que se cumplen son las del siguiente
diagrama Y hemos visto ejemplos donde las flecha no se cumplen en sentido contrario al representado en el esquema. Así L no implica N 2 ejemplo 2.38 y S no implica N 2 ejemplo 2.36. Se trata del mismo espacio topológico que siendo S y L no es N2. Para ver que L no implica S o S no implica L veremos los dos ejemplo siguientes:
L N 2 S
Ejemplo 2.40 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico donde X es no numerable y τ
es la topología donde los abiertos son el vacío y los conjuntos de P ( X ) con complemento numerable. Para cualquier cubrimiento por abiertos se tiene. X = U Uα con Uα ∈ τ ∀ α ∈ I α ∈ I
tomemos uno cualquiera de estos abiertos U α 0 entonces como su complemento por
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Topología General
Espacios Topológicos
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definición de la topología tiene una cantidad de elementos numerable podemos llamarles a estos xn con n ∈ ¥ , y se tiene: U αC0 = { x1 , x2 ,..., xn ,..} y para cada xi con i ∈ ¥ xi ∈ X ⇒ xi ∈ U Uα ⇒ ∃α i ∈ I tal que xi ∈ U α i
α∈ I
y entonces
n
UU i =0
αi
es un subcubrimiento de X claramente numerable por lo que X es
de Lindelöff. Pero no es separable ya que si A es un conjunto denso y numerable en X se tiene por ser denso:
∀U ∈ τ
U I A ≠φ
y en particular como A es numerable AC ∈ τ y se tiene: AC I A = φ
luego A no es denso. Ejemplo 2.41
Veremos un caso en que sí es separable pero no es de Lindelöff. Sea X = ¡ 2 con la topología de los rectángulos semiabiertos es decir: τ = {[a, b ) × [c, d ) ⊂ ¡ 2 : a, b, c, d ∈ ¡} Sea A = {( p, q ) ∈ ¡ 2 : p, q ∈ ¤} es claro de que es un conjunto numerable y denso en X . Sean los abiertos que anotamos U ( a ,− a ) y U (b,− b) definidos:
= {[a, b ) × [− a, d ) ⊂ ¡ 2 : a, b, d ∈ ¡ } 2 U (b,− b ) = {[ a, b ) × [c , −b ) ⊂ ¡ : a, b, c ∈ ¡} es U ( a ,− a )
decir los rectángulos con vértice (opuestos) en la recta y = − x como en la figura. Claramente X
= U U (a ,− a ) U U U (b,− b ) a∈¡
b∈¡
Como el conjunto de puntos de la recta es discreto y no numerable no existe entonces un subcubrimiento del anterior que sea numerable. Luego no es de Lindelöff.
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Topología General
Capítulo 2
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Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y x ∈ X , una familia B x de entornos de x es una base local si dado N ∈ N x existe V ∈B x tal que x ∈ V ⊂ N Definición 2.23
Ejemplo 2.42 B x
= {U ∈ N x : U es abierto en X }
es una base local de x . ya que si: U ∈ N x
⇒ ∃V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ U
y V ∈B x por definición. Ejemplo 2.43 Sea ( E , d ) espacio métrico x ∈ E B x
= { B ( x, 1n ) : n ∈ ¥}
o B x
′ = { B ( x, an ) : n ∈ ¥ y an → 0}
son bases de x Ejemplo 2.44 Si B = { Bα }α ∈ I
es una base de la topología τ en X y si x ∈ X entonces: : x ∈ Bα } B B x = { α ∈ B es una base local. Ya que dado N ∈ N x ⇒ ∃V ∈ τ tal que x ∈ V ⊂ N por definición de entorno pero como V ∈ τ tenemos: V = U Bα y si x ∈ V ⇒ α ∈ I
∃α x ∈ I tal que x ∈ Bα ⊂ V ⊂ N con Bα ∈Bx es decir que dado un entorno N de x existe un elemento Bα ∈B x tal que Bα ⊂ N definición de base local. x
x
x
x
Ejemplo 2.45
Sea τ la topología discreta entonces B x
= { x}
es una base local ya que { x} es abierto en esta topología y obviamente esta contenido en cualquier entorno de x Ejemplo 2.46
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2 n − 1∈ A} U {φ } Entonces: - 70 -
Topología General
Espacios Topológicos B2 n
- 71 -
= {{2n, 2n − 1}} = B2 n−1
es una base local. Dado un ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es N 1 o que verifica el primer axioma de numerabilidad si todo punto de X tiene una base de entornos (base local ) numerable. Definición 2.24
Proposición 2.25 Un ( X ,τ ) espacio topológico que es N 2 es entonces N 1
Demostración
Si B es una base numerable de la topología τ entonces para cada x ∈ X sea: B ∈B : x ∈ B} B x = { ya vimos que es una base local y como numerable ⇒ Bx es numerable B x ⊂ B Ejemplo 2.47 Sea X no numerable y τ
la topología discreta entonces: B x
= {{ x}}
en ejemplo 2.45 vimos que es una base local y por ser un solo elemento es numerable. Luego es N 1 pero no es N 2 ya que Sea B una base de la topología como { x} ∈ τ entonces { x} se puede escribir como unión de elementos de B ⇒ { x} ∈ B ⇒ B no es numerable. Este es un contraejemplo de que no vale la proposición recíproca de la 2.25 Ejemplo 2.48
Todo espacio métrico es N 1 ya que: B x
= { B ( x, 1n ) : n ∈ ¥}
es una base local numerable. Ejemplo 2.49
Sea ( ¢,τ ) con τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2n − 1∈ A} U {φ } entonces: B2 n = {{2n, 2n − 1}} es una base local ( con un solo elemento ) numerable luego es N 1 Ejemplo 2.50 Sea ( X ,τ ) con X numerable y τ
de complemento finito ya vimos que: X ) = { A ⊂ X : A finito} P F ( - 71 -
Topología General
Capítulo 2
- 72 -
es numerable y como podemos definir X ) → τ \ {φ } ϕ : P F ( de la siguiente forma ϕ ( A ) = AC
como ϕ es biyectiva y P F ( X ) numerable ⇒ τ \ {φ } es numerable o sea τ es numerable, luego el propio τ es una base numerable y por lo tanto N 2. Ejemplo 2.51 Sea X no numerable
con la topología de complementos finitos ya vimos en el ejemplo 2.35 que no es N 2 ,veremos ahora que tampoco es N 1 Supongamos que: : x ∈U n , n ∈ ¥} U B x = { n ∈ τ entonces C
que como U n ∈ τ ⇒ U nC entonces:
U = U C I n U n n∈¥ n∈¥ es finito ⇒ Unión numerable de numerables es numerable C
U ≠ { x}C I n 1n4 no numerable ∈¥24 3 {
numerable
o sea
I U ≠ {x} ⇒ ∃y ≠ x tal que y ∈ I U n
n∈¥
n
n∈¥
C
C
C
es entonces { y} ⊂ U n ∀n ∈ ¥ ⇒ U n ⊂ { y} lo que significa que U n ⊄ { y} pero C { y} ∈ τ por se abierto es entorno de todos sus puntos en particular como C C C x ≠ y ⇒ x ∈ { y} ⇒ { y} ∈ N x y U n ⊄ { y} ∀n ∈ ¥ ⇒ U n no es base local de x en X . Ejemplo 2.52 Sea l1 = {( xn )n∈¥ , reales o complejas tal que ∞
x
∑x
= ∑ xn n =1
define una distancia d ( x, y ) = x − y
entonces ( l1 , d ) es un espacio métrico. Definimos el siguiente conjunto en l1 - 72 -
n
< ∞} con la norma
Topología General
Espacios Topológicos
- 73 -
D = {( yn )n∈¥ : ∃n0
tal que yn = 0∀n ≥ n0 } Probaremos que D es denso para ello se tiene que cumplir Que si ε > 0 y x ∈ l1 ⇒ ∃y ∈ D tal que d ( x, y ) < ε y esto se cumple porque 1
Si x ∈ l ⇒ ∀ε > 0 ∃n0 tal que
∞
∑x
< ε 2 si la serie converge se puede acotar la
i
n0
cola de la serie (porque esta tiende a cero) entonces: x si n < n0 Definimos y = { yn }n∈¥ tal que yn = x ⇒ y ∈ D y además n n ≥ 0 si 0 d ( x, y ) =
∞
∞
n0
∑ x −y = ∑x − y + ∑ i
i
i
i =1
xi − yi
i
i =1 1 424 3
=
{
i = n0 +1
∞
∑
xi
i = n0 +1
=0
<ε2
=0
lo que significa que cualquier entorno de x tiene un elemento de D o sea que D es denso fabriquemos ahora dentro de D un denso numerable. Sea E = {( zn )n∈¥ ⊂ D : zn ∈ ¤ ∀n ∈ ¥} Llamemos Em = {( zn ) n∈¥ ⊂ E : zn = 0 ∀n ≥ m} entonces E puede verse como E
= U E m m∈¥
que por ser unión numerable de numerables es numerable. Falta ver que es denso. Dado un x ∈ l1 ya vimos que ∃y ∈ D tal que d ( x, y ) < ε 2 Ahora sea z ∈ En0 +1 tal que zi − yi < ε 2n ∀i ≤ n0 entonces: 0 d ( y, z ) =
∞
n0
n0
∑ z − y = ∑ z − y < ∑ 2εn i
i =1
i
i
i
i =1
1
0
=ε2
por otro lado d ( x, z ) ≤ d ( x , y ) + d ( y , z ) <
luego
ε
ε
+ =ε
2 2
dado x ∈ l1 y ε > 0 ∃z ∈ E tal que d ( x, z ) < ε ⇒ E = l1 E numerable ⇒ l1 separable. Ejemplo 2.53 Sea l∞ = {( xn )n∈¥ :
reales o complejas, acotadas } con la norma del supremo x = sup n∈¥ { xn } definimos la distancia - 73 -
Topología General
Capítulo 2
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d ( x, y ) = sup n∈¥ { xn
− yn } Consideremos A = {( xn )n∈¥ ⊂ l∞ : xn = 0 o 1 ∀n ∈ ¥} Sean x, y ∈ A con x ≠ y ⇒ d ( x, y ) = 1 y solo es cero en el caso que sean iguales entonces A es discreto luego el único conjunto denso es el propio A que no es numerable por ser de igual cardinal que P ( ¥ ) o ¡ ya que Sea ϕ : A → P ( ¥ ) definida tal que a ϕ ( A ) le asociamos el conjunto de índices en los que la sucesión correspondiente vale 1 dicho conjunto pertenece a las partes de N Claramente dicha función es biyectiva por lo que los conjuntos tienen el mismo cardinal. Proposición 2.26 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, x ∈ X tiene una base local numerable entonces tiene una base local numerable decreciente.
Demostración Sea {U n }n∈¥ una base local numerable de x
Tomamos
= U 1 V2 = U 2 I V 1 V3 = U3 I V 2 V1
M Vn
Por construcción Vn ⊂ V n−1 Además Vi
=
U i I Vi {
{
entorno
entorno
= Un I V n−1 ⇒ Vi es entorno de x ∀i
⇒ Vn ∈ N x ∀n ∈ ¥ y si N ∈ N x ⇒ ∃n0 ∈ ¥ tal que U n ⊂ N y entonces como Vn ⊂ N ⇒ ∀N ∈ N x ∃Vn tal que Vn ⊂ N para algun n ∈ ¥ 0
0
O sea que {V n }n∈¥ es una base local.
- 74 -
Capítulo 3 Convergencia y Continuidad Dado el espacio topológico ( X ,τ ) una sucesión es una función de los naturales a X . x : ¥ → X Definición 3.1
xn
= x ( n)
Notación cuando nos referimos a la sucesión anotamos { xn } o ( xn ) y para hacer referencia a un termino de la sucesión xn sin corchetes ni paréntesis. Una sucesión { xn } en un espacio topológico ( X ,τ ) converge a x ∈ X si dado N ∈ N x ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0 Definición 3.2
xn ∈ N Ejemplo 3.1 Sea ( X ,τ )
un espacio topológico con τ la topología indiscreta es decir τ = {φ , X } ⇒ toda sucesión en este espacio converge a cualquier punto.
3.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico con τ la topología discreta, entonces en este espacio convergen las sucesiones que son constantes a partir de un n0
Ejemplo
Dado en un espacio topológico ( X ,τ ) una sucesión { xn } ⊂ X llamamos a { xn } subsucesión de la dada si { xn } ⊂ { xn } y la aplicación de ¥ → ¥ que k → nk tal que lim k →+∞ nk = +∞ Definición 3.3
k
k
Proposición 3.1 Dado un espacio topológico ( X ,τ ) y una sucesión { xn } ⊂ X entonces xn → x ⇔ toda subsucesión converge a x
Topología General
Capítulo 3
- 76 -
Demostración
⇒ Es inmediata aplicando la definición ⇐ Si xn → x ⇒ Dado N ∈ N x por definición ∃n0 ( k ) tal que ∀nk ≥ n0 ( k ) k
cumple que
se
xnk ∈ N
Como lim k →+∞ nk = +∞ ⇒ dado un cierto n0 ( k ) > 0 ∃k0 tal que ∀k ≥ k0 se cumple nk > n0 ( k )
Dado N ∈ N x ∃n0 = n0 ( k 0 ) tal que ∀n ≥ n0 Proposición 3.2 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y A ⊂ X , x ∈ X entonces si
existe una sucesión { xn } ⊂ A tal que xn converge a x
⇒ x ∈ A
Por definición de convergencia xn → x Dado N ∈ N x ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0
Demostración
xn ∈ N
⇒ N I { xn } ≠ φ
y como { xn } ⊂ A
entonces N I A ≠ φ ⇒ x ∈ A
Proposición 3.3 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y A ⊂ X
, x ∈ X con base local
numerable en x, entonces si x ∈ A ⇒ existe una sucesión { xn } ⊂ A tal que converge a x.
Como x tiene una base local numerable entonces existe una base local decreciente {V n } de x . Luego si x ∈ A ⇒ ∀n ∈ ¥ Vn I A ≠ φ por definición de clausura. Entonces elegimos xn ∈ Vn ⊂ A ⇒ { xn } ⊂ A y además dado N ∈ N x ∃n0 ∈ ¥ tal que Vn0 ⊂ N por ser {V n } base local decreciente Además
Demostración
∀n ≥ n0
∴ { xn } converge a Ejemplo 3.3
xn ∈ Vn
⊂ Vn ⊂ N 0
x
Sea R con la topología de complementos numerables y sea - 76 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
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A = ¡ \ {0}
tenemos que A = ¡ ya que sea U ∈ τ con 0 ∈ U ⇒ U ∈ N 0 por ser abierto U C es numerable esto implica que U no puede ser solo el cero es decir U ≠ {0} luego U I A≠φ
lo que significa que A es denso
∴ A = ¡ Consideremos una sucesión { xn } tal que xn ≠ 0 ∀n ∈ ¥ entonces como C C x ({ n } ) = { xn } es numerable ⇒ {xn }C ∈ N 0 Ya que { xn }C ∈ τ ⇒ que es entorno de todos sus puntos Luego C
{ xn }
∈ N 0 y { xn }C I {xn } = φ
lo que significa que la sucesión no tiende a cero esto sucede por no ser este espacio topológico N 1 y no poder aplicar la proposición anterior. Un conjunto dirigido es un par ( D, ≤ ) donde D es un conjunto no vacío y una relación de orden ≤ que verifica: i) d ≤ d ∀d ∈ D Definición 3.4
≤ e ⇒ d ≤ l ∀d , e, l ∈ D e ≤ l iii) Dados d 0 , d1 ∈ D entonces existe d ∈ D tal que d ≥ d 0 y d ≥ d 1 ii)
d
3.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y x ∈ X , ( N x , ≤ ) con la relación de orden definida como sigue: Definimos U ≥ V ⇔ U ⊂ V entonces: ( N x , ≤ ) es un conjunto dirigido, es claro que se cumplen 1) y 2) probaremos la 3) iii) Dados U ,V ∈ N x ⇒ U I V ∈ N x y U I V ≥ U ,V ya que U I V ⊂ U ,V
Ejemplo
Ejemplo 3.5 Sea D = {a, b, c} x ≤ x
∀x ∈ D y además :
con la relación de orden
b
a≤b c≤b
Se cumplen las tres propiedades
a
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c
Topología General
Capítulo 3
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3.6 Sean ( D, ≤ D ) y ( E , ≤ E ) son dos conjuntos dirigidos entonces definimos: ( D × E , ≤ ) con el orden lexicográfico definido por:
Ejemplo
d × D d ′ ( d , c) ≤ ( d ′, c′ ) ⇔ o d = d ′ y
c× E c′
comparar con el orden alfabético de las palabras, se cumple que es un conjunto dirigido i) y ii) son inmediatas. iii) Dados ( d , e ) , ( d ′, e′ ) sea d 0 ≥ D d , d 0 ≥E d ′ y e0 ≥ E e , e0 ≥ E e′ que existen por ser cada conjunto dirigido y: ( d 0 , e0 ) ≥ ( d , e ) ( d 0 , e0 ) ≥ ( d ′, e′ ) Otro orden es tomar componente a componente es decir:
d ≤ d ′ ( d , c) ≤ ( d ′, c′ ) ⇔ y c ≤ c′
espacio topológico y ( D, ≤ ) un conjunto dirigido. Una red es una función T : D → X que anotamos {T d } a toda la red y T d a un elemento de la red. Por ejemplo las sucesiones son redes. Definición 3.5 sean ( x,τ ) un
Sea {T d } una red en un espacio topológico ( X ,τ ) y sea x ∈ X . Se dice que {T d } converge a x si dado N ∈ N x existe d 0 ∈ D tal que: Definición 3.6
Td ∈ N
∀d ≥ d 0
3.7 Sea ( X ,τ ) con τ discreta T d converge a x si se cumple que existe d 0 ∈ D tal que:
Ejemplo
Td ∈ {x}
∀d ≥ d 0
es decir que Td = x ∀d ≥ d0 3.8 En ¢ con la topología τ = { A ⊂ ¢ : 2n ∈ A ⇔ 2 n − 1∈ A} U {φ } Si T d es una red que converge a 2n si y solo sí converge a 2 n-1. Ya que :
Ejemplo
N 2 n
= N 2 n−1
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Topología General
Convergencia y Continuidad
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3.9 Sea D = {an : n ∈ ¥} U {bn : n ∈ ¥} donde los elementos an y bn son distintos entre sí. Y consideramos la relación ≤ dada por: an ≤ am si n ≤ m bn ≤ am si n + 1 ≤ m bn ≤ bn Podemos representar gráficamente:
Ejemplo
a1
a2
a3
b1
b2
b3
a4
Consideremos la red T : D → ¡ 2 dada por x ( an ) = ( 1n ,0 ) x ( bn ) = ( 1n ,1 − 1n )
( 0,1)
x ( b4 ) x ( b3 ) x ( b2 ) x ( b1 ) x ( a4 ) x ( a3 ) x ( a2 )
x ( a1 )
Vemos que T d tiende a ( 0,0 ) pero no tiende a otro punto por ejemplo ( 0,1) Proposición 3.4 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, A ⊂ X , x ∈ X entonces un
punto x está en A ⇔ existe una red {Td } ⊂ A que converge a x. Demostración
⇐ Si existe una red {Td } ⊂ A convergente a x ⇒ por definición que: Dado N ∈ N x , existe d 0 ∈ D tal que Td ∈ N ∀d ≥ d 0 luego Td ∈ N I A y entonces N I A ≠ φ ⇒ x ∈ A ⇒ Sea x ∈ A tomemos el conjunto dirigido ( N x , ≤ ) como ya vimos definido por : U ≤ V si U ⊃ V Entonces si U ∈ N x , U I A ≠ φ ya que x ∈ A y U I A ∈ N x Definimos una red {T U } de la siguiente forma TU = U I A es decir T : N x → A 0
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Topología General
Capítulo 3
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Tenemos así una red {TU } ⊂ A y además T U converge a x ya que si N ∈ N x entonces ∃U 0 = N tal que si U ≥ U 0 se tiene: TU ∈ U I A ⊂ A I U 0
o sea
TU ∈ N
= AI N ⊂ N
∀U ≥ U 0
lo que implica que T U converge a x Corolario 3.5 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico. Un conjunto A ⊂ X es cerrado si y
solo sí para roda red {Td } ⊂ A que converge a x se tiene que x ∈ A Demostración Es una es cerrado si A = A
fácil consecuencia del anterior resultado y del hecho de que A
Corolario 3.6 Sean σ y τ dos topologías en X entonces σ ⊂ τ si y solo sí toda red que converge con la topología τ implica que converge con la topología σ .
Es decir:
Td → x ⇒ Td →x τ σ
Si σ ⊂ τ observemos que dado un entorno N ∈ N xσ por definición existe U ∈ σ tal que x ∈ U ⊂ N y como σ ⊂ τ ⇒U ∈τ tal que x ∈ U ⊂ N luego también por definición N ∈ N xτ . Entonces como Td → x dado N ∈ N xσ ⊂ N xτ ⇒ ∃d0 ∈ D tal que Td ∈ N ∀d ≥ d 0 τ luego Td →x σ Recíprocamente Tomemos A ⊂ X cerrado con la topología σ Queremos probar que A es cerrado con la topología τ para lo cual tenemos que probar que Aτ = A (clausura de A según τ ) una inclusión se cumple siempre
Demostración
A ⊂ Aτ Sea x ∈ Aτ
entonces por proposición 3.4 existe una red {Td } ⊂ A tal que
→x Td τ
⇒ {
por hip.
→x Td σ
⇒ {
x ∈ Aσ
prop. 3.4
y como A es cerrado en σ ⇒ Aσ = A entonces x ∈ A luego Aτ ⊂ A y por lo tanto Aτ = A y A es τ -cerrado Es decir que si U ∈ σ ⇒ U C es σ -cerrado ⇒ U C es τ -cerrado ⇒ U ∈ τ luego σ
⊂τ
τ tiene más abiertos que σ , entonces si una red converge con la topología que tiene
más abiertos (más fina ) converge con la otra topología (más gruesa). - 80 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
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Dos topología coinciden si toda ves que una red converge con una de las topologías también converge con la otra y viceversa. En cierta forma la convergencia de las redes caracterizan a la topología. Observación 3.1
Proposición 3.7 ( Unicidad de la Convergencia) Sea ( X ,τ ) un espacio topológico. Toda red en X converge a lo sumo en un punto si
y solo sí X es de Hausdöff. Demostración ⇐ Si X es de Hausdöff supongamos que T d
Sean
converge a dos puntos x e y distintos.
U ∈ N x
, V ∈ N y tal que U I V = φ Entonces existen d 0 y d1 ∈ D tales que Td ∈ U si d ≥ d 0 d 2 ≥ d 0 d sea tal que d ≥ d entonces 2 Td ∈ V si d ≥ d1 2 1 absurdo por ser U I V = φ Td 2 ∈ U I V ⇒ Supongamos que X no es de Hausdöff o sea que existen: x e y distintos tales que U I V ≠ φ ∀U ∈ N x , V ∈ N y y sea D = N x × N y con (U ,V ) ≤ (U ′,V ′ ) ⇔ U ′ ⊂ U y V ′ ⊂ V es fácil ver que es un conjunto dirigido Si (U ,V ) ∈ N x × N y sea T(U ,V ) ∈ U I V ⊂ U entonces T (U ,V ) converge a x ya {
elegimos uno
que dado W ∈ N x existe (U 0 ,V0 ) = (W , X ) tal que si (U , V ) ≥ ( W , X ) entonces: 123 d 0
T(U ,V ) ∈ U
⊂ W ⇒ T(U ,V ) → x
Análogamente se prueba que T(U ,V ) → y Sea {T d } una red en un espacio topológico ( X ,τ ) . Un punto x ∈ X se dice de aglomeración de {T d } si dados N ∈ N x y d 0 ∈ D entonces existe d ∈ D con d ≥ d 0 tal que: Definición 3.7
Td ∈ N
Dados ( D, ≤ D ) , ( E , ≤ E ) dos conjuntos dirigidos, una función f : E → D es cofinal si dado d 0 ∈ D ∃e ∈ E tal que
Definición 3.8
f ( e ) ≥ d 0
- 81 -
Topología General
Capítulo 3
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Sea {T d }d∈D una red en un ( X ,τ ) espacio topológico y sea ( E , ≤ ) un conjunto dirigido y f : E → D una función cofinal tal que ∀d 0 ∈ D existe e0 ∈ E tal que f ( e ) ≥ d 0 si e ≥ e0 entonces {T f (e ) }e∈E es una subred de {T d } .
Definición 3.9
Proposición 3.8 Sea {Td } una red en un ( X ,τ ) esp espacio acio top topoló ológico gico y x ∈ X entonces
x es de aglomeración de {Td } si y solo solo sí exis existe te una una sub subre red d de de {Td } que converge a x Demostración
⇐ Si existe una subred {T f (e ) } que converge a x con f : E → D cofinal entonces : Dado N ∈ N x y d 0 ∃e0 ∈ E tal que f ( e ) ≥ d 0 ∀e ≥ e0 y además ∃e1 ∈ E tal que {T f (e ) } ∈ N ∀e ≥ e1 Sea e2 ∈ E tal que e2 ≥ e1 , e2 ≥ e0 ⇒ f ( e2 ) ≥ d 0 y {T f (e ) } ∈ N ⇒ que x es de aglomeración. ⇒ Si x es de aglomeración sea E = N x × D con el orden componente a 2
componente o sea:
U ⊂ U ′ d ≥ d ′
(U , d ) ≥ (U ′, d ′ )
Dado (U , d ) ∈ N x × D sea f (U , d ) ∈ D tal que f : N x × D → D (cofinal ) definida por: f (U , d ) ≥ d y T f (U ,d ) ∈ U Dado d 0 ∈ D sea e0 = ( X , d0 ) e ntonces si tomamos (U , d ) ≥ ( X , d 0 ) se tiene f (U , d ) ≥ d ≥ d 0 f (U , d ) ≥ d 0 ⇒ {T f (U ,d ) } es una subred de {T d } Además: {T f (U ,d )} converge a x ya que: dado N ∈ N x sean d 0 ∈ D y e0 = ( N , d 0 ) si (U , d ) ≥ ( N , d 0 ) entonces: T f (U ,d ) ∈ U
⊂ N ⇒ T f (U ,d ) ∈ N
luego
{T f (U ,d )} → x
- 82 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
Definición 3.10 Sean X e X e Y espacios Y espacios topológicos, f : X es continua en x si: Dado W ∈ N f ( x ) ∃N ∈ N x tal que
→Y
- 83 , x ∈ X se dice que f
f ( N ) ⊂ W Decimos que f que f es es continua si es continua en todo punto. Observación para el caso particular de espacios métricos la definición se puede rescribir f : X → Y , x ∈ X f es f es continua en x en x ⇔ dado una bola B ( f ( x ) , ε ) implica
que existe una bola B ( x, δ ) tal que f ( B ( x, δ ) ) ⊂ B ( f ( x ) , ε ) dicho de otra forma : Si dado
ε > 0 ∃δ >
0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces d ( f ( x ) , f ( y ) ) < ε
Proposición 3.9 Sean X e Y espacios topológicos, f : X las siguientes afirmaciones son equivalentes:
→ Y una
función entonces
1) f 1) f es continua 2) ∀ ∈ X , N ∈ N f ( x ) se tiene que f −1 ( N ) ∈ N x 3) A ⊂ Y abierto
⇒
f −1 ( A) es abierto
4) Para 4) Para toda base B de la topología de Y ; f −1 ( B ) es abierto ∀ B ∈B 5) Para 5) Para toda subbase S de la topología topología de Y; f −1 ( C ) es abierto 6) Si F
⊂Y
es cerrado, f −1 ( F ) es cerrado.
Demostración 1) ⇒ 2) por definición de continuidad si W ∈ N f ( x ) , entonces como N ∈ N x
⇒
∀C ∈ S
⊂ f
−1
∃N ∈ N x
tal tal que f ( N ) ⊂ W
( f ( N ) ) ⊂ f 1 (W ) es decir que N ⊂ f 1 (W ) y como −
−
f −1 ( N ) ∈ N x
2) ⇒ 3) Si A Si A es abierto implica que es entorno de todos sus puntos A ∈ N y
pero si y ∈ A ⊂ Y hipótesis que
⇒ ∃x ∈
∀ x ∈
f −1 ( A ) ⊂ X tal que y = f ( x ) luego A ∈ N f ( x )
f −1 ( A ) , f −1 ( A ) ∈ N x
⇒
⇒
∀y ∈
A
por la
f −1 ( A) es entorno de todos sus
puntos luego es abierto. 3) ⇒ 4) ⇒ 5) son obvios 5) ⇒ 6) ahor ahoraa si F ⊂ Y es cerr cerrad ado o topología de Y entonces Y entonces
⇒
F C es abie abiert rto o
- 83 -
sea S una subbase de la
Topología General
Capítulo 3
- 84 índice que indica una selección.
F C
{
abierto
= U S1α I S2α I ... I S nα
α
α
entonces: f
−1
(FC) =
S α I ... I S α U1 n α
f −1
α
= f −1 S α I ... I f −1 S α es abierto por ser ( n) ( 3 1 ) U 142 α abiertos4 α
1444424444 3 intersección finita de abiertos es abierto
unión de abiertos luego como f −1 ( F C ) = f −1 ( F )
C
abierto ⇒ f −1 ( F ) es cerrado
6) ⇒ 1) Primero observemos que: Si f −1 ( F ) es cerrado ∀F ⊂ Y ⇒ para todo A ⊂ Y abierto ⇒ AC es cerrado ⇒ f −1 ( AC ) = f −1 ( A )
Sean x ∈ X , W ∈ N f ( x )
es cerrado ⇒ f −1 ( A ) es abierto ∃A ⊂ Y abierto abierto tal que
⇒ {
C
por def. de entorno
f ( x ) ∈ A ⊂ W
como A es abierto ⇒ f −1 ( A) es abierto por la observación de más arriba y f ( x ) ∈ A ⇒ x ∈ f −1 ( A) por ser abierto es entorno de todos sus puntos llamemos N a f −1 ( A ) ∈ N x y se tiene que:
−1 ⊂ A ⊂ W ⇒ f ( N ) ⊂ W f f ( A ) ⊂ 424 3 1 N
Luego se cumple la definición de continuidad. Ejemplo 3.10 Sea X con la topología discreta f : X → Y es continua ya que
e Y un espacio topológico cualquiera, toda función para cualquier A ⊂ Y se tiene f −1 ( A) lo podemos escribir como la unión de sus elementos que son abiertos en X −1 f ( A ) = U { x} ⇒ unión de abiertos es abierto . x∈ f −1 ( A ) abierto {
3.11 Sea Y con la topología indiscreta entonces toda función f : X → Y es continua ya que: Y = {φ } U Y que son los únicos abiertos de Y. f −1 (φ ) = φ , f −1 ( Y ) = X que son abiertos en X
Ejemplo
- 84 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 85 -
3.12 Sea en X dos topologías τ y σ tal que τ ⊂ σ ( σ es más fina que τ ) y sea la función Id : ( X , σ ) → ( X ,τ ) es continua ya que: ∀ A ⊂ Y tal que A ∈τ entonces Id −1 ( A) = A ∈ τ ⊂ σ luego es abierto en el dominio.
Ejemplo
→ Y continua , A ⊂ X entonces: definida como f | A ( x ) = f ( x )
Ejemplo 3.13 Sea la función f : X
| A: A → Y (también suele anotarse en vez de f | A ( x ) como f A ( x ) ) es continua con la topología relativa ya que: Sea U abierto en Y f A−1 (U ) = f −1 (U ) I A ⇒ f
1 424 3
abierto en X
−1
por definición que f A (U ) es abierto en A con la topología relativa.
→ Y continua y consideremos : f% : X → f ( X ) definida f% ( x ) = f ( x )
Ejemplo 3.14 Sea la función f : X
tenemos que es continua con la topología relativa en f ( X ) ya que: Sea U abierto en f ( X ) entonces por definición U = V I f ( X ) con V abierto en Y f% −1 (U ) = f% −1 (V ) I f% −1 ( f ( X ) )
= f −1 (V ) I X = f −1 (V ) que es abierto en X luego f % es continua. Ejemplo 3.15 Sean f,g dos funciones continuas f : X → Y ⇒ g o f : X → Y es continua g : Y → Z Sea U abierto en Z entonces −1
( g o f ) (U ) = f
−1
−1 g (U ) ⇒ abierto por f 1 424 3 abierto por g
3.16 Sea X = A U B con A y B cerrados en X si f : X → Y es tal que sus restricciones f | A = f1 , f |B = f 2 son funciones continuas y tal que en los puntos de A I B vale f1 = f 2 entonces f es continua.
Ejemplo
- 85 -
Topología General
Capítulo 3
- 86 -
Demostración
si x ∈ A si x ∈ B la condición f1 ( x ) = f 2 ( x ) ∀x ∈ A I B es para que f está bien definida. Entonces sea F ⊂ X cerrado en X
f1 ( x ) f ( x ) = f 2 ( x )
f −1 ( F ) = f1−1 ( F ) U f 2−1 ( F )
es continua ⇒ f1−1 ( F ) es cerrado en A y como A a su vez es cerrado en 1 1 X entonces f1− ( F ) es cerrado en X ; análogamente con f 2− ( F ) es cerrado en X luego f −1 ( F ) es cerrado o sea f es continua. f1 : A → Y
Proposición 3.10 Sean X e Y espacios topológicos, x ∈ X entonces f es continua en x si y solo sí para toda red {Td } que converge a x se tiene que la red { f (T d )}
converge a f ( x ) .
⇒ si f es continua y Td → x por definición Dado W ∈ N f ( x ) ⇒ f −1 (W ) ∈ N x y en consecuencia ∃d 0 ∈ D tal que Td ∈ f −1 (W ) ∀d ≥ d 0 entonces si d ≥ d 0 f (Td ) ∈ f ( f −1 (W ) ) ⊂ W f (Td ) ∈ W
Demostración
y por lo tanto { f (T d )} converge a f ( x ) . ⇐ Supongamos que f no es continua en x es decir que: ∃W ∈ N f ( x ) tal que ∀N ∈ N x se tiene: f (U ) ⊄ W
Sea D = N x si U ∈ N x sea TU ∈U tal que f (TU ) ∉ W f (U ) ⊄ W . Dado V ∈ N x , si U ≥ V ⇒ TU ∈ U ⊂ V ⇒ TU → x Pero { f (T U )} no converge a f ( x ) ya que f (TU ) ∉ W
∀U ∈ N x
Construimos así una red {T U } convergente a x pero que: f (T U ) → f ( x )
lo que contradice la hipótesis.
- 86 -
es posible por ser
Topología General
Convergencia y Continuidad
Proposición 3.11 Sean X e Y espacios topológicos , f afirmaciones son equivalentes:
- 87 -
: X → Y las siguientes
1) f es continua. 2) Para todo A ⊂ X se cumple f ( A ) ⊂ f ( A) 3) para todo B ⊂ Y se cumple f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B ) 4) para todo B ⊂ Y se cumple f −1 ( B o ) ⊂ ( f −1 ( B ) )
o
Demostración 1) ⇒ 2) Sea x ∈ A
( ⇒ f ( x ) ⊂ f ( A )) ⇒ por proposición 3.4 ∃{Td } ⊂ A tal que Td → x y además f (Td ) ⊂ f ( A ) y f es continua ⇒ f (Td ) → f ( x ) entonces por
la misma proposición 3.4 f ( x ) ∈ f ( A)
o sea f ( A ) ⊂ f ( A ) 2) ⇒ 3) como B ∈ Y ⇒ f −1 ( B ) ⊂ X y aplicamos lo anterior f
1 f ( f − ( B )) ⊂ B ( f −1 ( B ) ) ⊂ 14243
⊂ B
Luego
( (
) ⊂ f − (B ) f ( f − ( B ) ) ⊂ f − ( B )
f −1 f f f −1 ( B ) ⊂ f −1
es decir
−1
( B ))
1
1
1
f −1 ( B ) ⊂ f −1 ( B )
3) ⇒ 4) usando el lema 2.13 b) f
−1
C
C C
o C ( B ) = f ( ( B ) ) = f −1 ( B ) = C C C o = f −1 ( B C ) ⊂ f −1 ( B C ) = ( f −1 ( B C ) ) = C o o = f −1 ( B C ) = ( f −1 ( B ) )
−1
o
o
4) ⇒ 1) Sea B abierto en Y entonces como B o = B aplicando lo anterior f
−1
( B ) = f −1 ( B o ) ⊂ ( f −1 ( B ) ) o
o
⊂
f −1 ( B )
luego f −1 ( B ) = ( f −1 ( B ) ) ⇒ f −1 ( B ) es abierto y por lo tanto f es continua. - 87 -
Topología General
Capítulo 3
- 88 -
Sean E y F espacios métricos, f : E → F es uniformemente continua si dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si x, y ∈ E, d ( x, y ) < δ ⇒ d ( f ( x ) , f ( y)) < ε Definición 3.11
El concepto de continuidad es un concepto local (para un punto) mientras que el concepto de continuidad uniforme es un concepto global.( no depende del punto). De la definición se desprende que continuidad uniforme implica continuidad. Definición 3.12 isométrica si:
Sean E , F espacios métricos f : E → F es una inmersión d ( x, y ) = d ( f ( x ) , f ( y ) )
∀x, y ∈ E
Proposición 3.12 Si f es un inmersión isométrica se cumplen las siguientes propiedades: 1) f es inyectiva 2) f es uniformemente continua 3) la composición de inmersiones isométricas es también una inmersión isométrica.
Demostración 1) si f ( x ) = f ( y ) ⇒ 0 = d ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x, y ) ⇒ x = y
porque estamos en un
espacio métrico. 2) Dado ε > 0, tomando δ = ε entonces si d ( x, y ) < δ ⇒ d ( f ( x ) , f ( y ) ) = d ( x, y ) < δ = ε 3) es inmediato por definición. Definición 3.13 Una isometría es una inmersión isométrica sobreyectiva. Definición 3.14 Dos espacios métricos E,F son isométricos si existe i : E → F isometría Observación
La inversa de una isometría y la composición de isometrías son isometrías. La isometría se comporta como una relación de equivalencia. Definición 3.15 Sea ( E , d ) un espacio métrico, A ⊂ E , A ≠ φ
Si x ∈ E la distancia de x a A es por definición: d ( x, A) = inf {d ( x, a ) : a ∈ A} como consecuencia de lo anterior definición : - 88 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 89 -
A = {x : d ( x, A) = 0} Demostración Si d ( x, A) = 0
⇒ ∃{ xn } ⊂ A tal que d ( xn , x ) <
Definición 3.16
1 n
⇔
B ( x, 1n ) I A ≠ φ
⇔ x∈ A
Definimos un función llamada función distancia d A : E → ¡ tal
que d A ( x ) = d ( x, A) Proposición 3.13 La función distancia es uniformemente continua.
Demostración
Dado ε > 0 si d ( x, y ) <
ε
2
, a∈ A
d ( y, a ) ≤ d ( x, a ) + d ( x, y )
x
ε
d ( x, a ) ≤ d ( y, a ) + d ( x, y )
2
d ( x , a ) − d ( x , y ) ≤ d ( y, a ) ≤ d ( x, a ) + d ( x, y )
y
a
Si tomamos la primer desigualdad d ( x, a ) − d ( x, y ) ≤ d ( y, a ) d ( x, a ) ≤ d ( y, a ) + d ( x, y ) como d A = inf {d ( x, a ) : a ∈ A} entonces d A ( x ) ≤ d ( x, a ) ∀a ∈ A d A ( x ) ≤ d ( x, a ) ≤ d ( y , a ) + d ( x, y ) ∀a ∈ A d A ( x ) ≤ d ( y , a ) + d ( x, y ) ∀a ∈ A si la desigualdad se cumple siempre también se cumple con el ínfimo d A ( x ) ≤ d A ( y ) + d ( x, y ) ≤ d A ( y ) +
tomando la segunda desigualdad
ε
2
d ( y, a ) ≤ d ( x, a ) + d ( x, y )
d A ( y ) = inf {d ( y, a ) : a ∈ A}
luego d A ( y ) ≤ d ( y , a ) ≤ d ( x, a) + d ( x, y )
- 89 -
∀a ∈ A
A
Topología General
Capítulo 3
- 90 -
pasando al ínfimo d A ( y ) ≤ d A ( x ) + d ( x, y ) ≤ d A ( x ) +
ε
2
es decir: d A ( x ) ≤ d A ( y ) +
ε
2 ⇒ d (x ) − d ( y) < ε < ε A 2 ε d A ( y ) ≤ d A ( x ) + 2 ε
> 0 ∃δ =
ε
tal que si d ( x, y ) < δ ⇒ d A ( x ) − d A ( y ) < ε ⇒ d A ( x ) 2 uniformemente continua. Dado
Definición 3.17 Si X , Y son si f es tal que: i) f es continua. ii) f es biyectiva iii) f −1 es continua.
es
espacios topológico f : X → Y es un homeomorfismo
Definición 3.18 Se dice que los espacios existen f : X → Y homeomorfismo.
topológicos X ,Y son homeomorfos si
3.17 Sean X ,Y espacios topológicos discretos entonces f : X → Y es continua por ser X discreto entonces f −1 es continua por ser Y discreto, entonces tienen el mismo cardinal si y solo sí son homeomorfos.
Ejemplo
Ejemplo
3.18 X e Y indiscretos son homeomorfos si y solo sí tienen el mismo
cardinal. Sean X,Y espacios topológicos f : X → Y se dice que f es abierta si f ( A ) esabiertoparatodo A ⊂ X abierto. Y se dice que f es cerrada si f ( F ) es cerrado para todo F ⊂ X cerrado. Definición 3.19
Proposición 3.14 Sean X,Y espacios topológicos f siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) f es un homeomorfismo 2) f es continua y abierta 3) f es continua y cerrada. - 90 -
: X → Y biyectiva entonces las
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 91 -
Demostración 1) ⇒ 2) como f −1
es continua solo para que la notación quede más amigable llamemos a f −1 = g si A ⊂ X es abierto entonces ( g −1 ( A) ) es abierto = f ( A ) 2) ⇒ 3) si F es cerrado implica F C es abierto y por hipótesis C
) es abierto ⇒ ( f ( F C ) ) es cerrado = f ( F ) 3) ⇒ 1) Si F ⊂ X es cerrado llamemos g = f −1 entonces f ( F ) es cerrado = g −1 ( F ) luego g = f −1 es continua y por lo tanto un homeomorfismo. f ( F
C
Sean E y F espacios métricos consideremos el conjunto B ( E , F ) = { f : E → F : acotada} f acotada: f ( E ) ⊂ F es acotada como conjunto es decir: diam f ( E ) = sup{d ( f ( x ) , f ( y ) ) : x, y ∈ E } < ∞ a su vez podemos definir una distancia en B ( E , F ) de la siguiente forma: d ( f , g ) = sup {d ( f ( x ) , g ( x )) : x, y ∈ E} en el conjunto B ( E , F ) el supremo es finito. Sea e ∈ E ∀x ∈ E d ( f ( x ) , g ( x ) ) ≤ d ( f ( x ) , f ( e )) + d ( f ( e ) , g ( e ) ) + d ( g ( e ) , g ( x ) ) 1442443 144244 3 Definición 3.20
≤ diam f ( E )
≤ diamf ( E )
entonces d ( f ( x ) , g ( x ) ) ≤ diamf ( E ) + d ( f ( e ) , g (e ) ) + diamf ( E )
14243 1442443 14243 acotado
acotado
acotado
luego el supremo de d ( f ( x ) ,g ( x ) ) es finito por estar la distancia acotada. El conjunto de funciones acotadas B ( E , F ) con la distancia del supremo define un espacio métrico llamado espacio de convergencia uniforme. Definición 3.21
Una red { f d } de funciones se dice que converge uniformemente a f si para cada ε > 0 ∃d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 se cumple: d ( f d ( x ) , f ( x ) ) < ε ∀x ∈ E u Anotamos f d à f o f d → f El nombre de dicho espacio métrico está justificado por la siguiente proposición Definición 3.22
- 91 -
Topología General
Capítulo 3
- 92 -
Proposición 3.15 Una red { f d } ⊂ B ( E , F ) que converge a f en ( B ( E , F ) , d ) si y
solo sí { f d } converge uniformemente a f. Demostración ⇒ Si f d → f
⇒ dado ε >0 existe d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 d ( f d , f ) < ε
es decir que
∀ x ∈ E
d ( f d ( x ) , f ( x ) ) ≤ sup {d ( f d ( x ) , f ( x ) ) : x ∈ E } < ε
luego f d à f ⇐ Si d0 ∈ D tal que ∀d ≥ d0 se cumple: d ( f d ( x ) , f ( x ) ) <
tomando supremo
ε
∀x ∈ E
2
ε
d ( f d , f ) = sup {d ( f d ( x ) , f ( x ) ) : x ∈ E} ≤
2
<ε
luego f d Œ f converge uniformemente. y acotadas } Proposición 3.16 Sea el conjunto Cb ( E , F ) = { f : E → F : continuas entonces Cb ( E , F ) es cerrado en ( B ( E , F ) , d ) . Demostración
Sea f ∈ Cb ( E , F ) ⇒ ∃{ f n } ⊂ Cb ( E , F ) tal que f n
→
f
hay que probar que f es acotada y continua para probar que f ∈ Cb ( E , F ) por definición de convergencia dado x ∈ E , ε > 0 sea n0 tal que ∀n ≥ n0 d ( f n , f ) <
ε
3 Y como f n0 es continua sabemos que existe δ > 0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces d ( f n0 ( x ) , fn0 ( y ) ) <
ε
3
y entonces ∀ x, y ∈ E d ( f ( x ) , f ( y )) ≤ d ( f ( x ) , fn0 ( x ) ) + d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) + d ( f n0 ( y ) , f ( y ) ) ≤ ε
≤ d ( f , f n ) + + d ( f n , f ) < ε 0 1424 3
<ε 3
0 3 3 1424
<ε 3
luego f es continua - 92 -
Topología General
Convergencia y Continuidad
- 93 -
análogamente como f n0 es acotada esto significa que ∀ x, y ∈ E existe M positivo tal que d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) < M entonces ∀ x, y ∈ E d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ d ( f ( x ) , f n0 ( x ) ) + d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) + d ( f n0 ( y ) , f ( y ) ) ≤ ε
≤ d ( f , fn ) + M + d ( fn , f ) < 2 + M 0 1424 3
0 1424 3
<ε 3
<ε 3
3
luego f está acotada y entonces f ∈ Cb ( E , F ) . Definición 3.23 Sea el conjunto de funciones F ( X , Y ) = { f : X
→ Y }
con X e Y espacios topológicos una red { f d } en este conjunto se dice convergente puntualmente a f del mismo conjunto si para todo x ∈ X la red { f d ( x )} converge a p f ( x ) en Y. Lo anotamos f d → f Definición 3.24 Sean X e Y espacios topológicos para cada x ∈ X y para cada abierto U ⊂ Y con U ∈ N f ( x ) sea W x ,U = {g ∈F ( X , Y ) : g ( x ) ∈ U } entonces el conjunto S = {W x ,U : x ∈ X , U ⊂ Y abierto } es una subbase de una topología llamada de convergencia puntual La afirmación de que es una subbase está justificada por ser F ( X , Y ) = U W x ,U U
x∈ X
abierto en Y
ya que por definición W x ,U ⊂ F ( X , Y ) y además Si f ∈F ( X , Y ) ⇒ si x ∈ X y U ∈ N f ( x ) con U abierto en Y entonces f ( x ) ∈W x ,U implica f ( x ) ∈
U
U
W x ,U
x∈X
abierto en Y
entonces : con xi ∈ X ,U i ∈τ Y ,U i ∈ N f ( x )} es una base de la topología llamada de convergencia puntual. B
= {W x ,U 1
1
I .... I Wx
n
,U n
i
- 93 -
Topología General
Capítulo 3
- 94 -
Proposición 3.17 Toda red { f d } en F ( X , Y ) converge en la topología definida
como de convergencia puntual si : f d → f ⇔ f d ( x ) → f ( x ) para cada x ∈ X Demostración ⇒ Sea x ∈ X U
abierto en Y U ∈ N f ( x ) ∃d0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 se cumple que
queremos
ver
que
f d ( x ) ∈ U
Sea W x ,U es un entorno de f y como f d → f ⇒ para cada entorno de f en particular el W x ,U entorno de f existe d 0 ∈ D tal que ∀d ≥ d 0 f d
∈Wx,U ⇒
f d ( x ) ∈ U
luego
⇐
f d ( x ) → f ( x ) Sea V un abierto de la base tal que f ∈ V ⇒ V
= W x ,U 1
1
I ... I Wx ,U n
n
= {g : X → Y : g ( xi ) ∈ Ui}
luego f
∈ V ⇒ f ( xi ) ∈ U i y como f d ( xi ) → f ( xi ) tal que f d ( xi ) ∈ U i ∀d ≥ di ∀i = 1,..., n tomando
implica que ∃d i ∈ D d 0 = max {di : i = 1,..., n} que existe por ser D un conjunto dirigido entonces ∀d ≥ d 0 f d ( xi ) ∈ Ui ∀i = 1,..., n es decir f d ∈ Wx1 ,U1 I ... I Wx ,U = V luego f d → f n
- 94 -
n
Capítulo 4 Conjunto de Cantor Estudiaremos en este capítulo un ejemplo de subespacios de la recta más importantes e interesantes en Topología definido por Cantor en 1883, y que ha aparecido desde entonces en multitud de ejemplos y teoremas topológicos. Consideremos el conjunto cuya construcción es la siguiente, partimos el intervalo [0,1] en tres tercios, y extraemos el tercio central, luego repetimos el proceso para estos tercios y así sucesivamente, el límite de esta construcción es el conjunto de Cantor. Para entender más esto vamos primero a introducir un poco de notación. 2 (b − a ) b − a Si I = [ a, b ] ⇒ I ∗ = a, U a + , b , si I = U I k ⇒ I ∗ = U I k ∗ 3 3 k k Introducida la notación comencemos, sea A0 = [ 0,1]; A1 = A0∗ = [0, 13 ] U [ 23 ,1] ∗ A2 = A1 = [0, 19 ] U [ 29 , 13 ] U [ 23 , 79 ] U [ 89 ,1] en general An = An∗−1 entonces el conjunto de Cantor es: ∞
C = I An n= 0
es unión de 2 intervalos A2 es la unión de 4 intervalos A1
M An
es la unión de 2 n intervalos disjuntos. 2n
An
= U ank , bnk k =1
y k
bn
− ank =
1 3n
1 2 n o sea la medida de An es 2 . n = . 3 3 Ahora veremos algunas de las propiedades más importantes del conjunto de Cantor n
Topología General
Capítulo 4
- 96 -
Proposición 4.1 El conjunto de Cantor C es cerrado.
para todo n es unión finita de cerrados luego es cerrado y como es intersección de cerrados es cerrado.
Demostración An
C
Proposición 4.2 C no contiene ningún intervalo abierto es decir que C
o
=φ
Supongamos por el absurdo que sí tenemos un abierto ( c, d ) ⊂ C lo que implica ( c, d ) ⊂ An ∀n y como An es unión de intervalos disjuntos lo que significa que tiene que estar en uno de ellos ( c, d ) ⊂ ank , bnk para algún k por lo tanto 1 0 < d − c ≤ n ∀n ⇒ d − c = 0 3
Demostración
{
→0
Proposición 4.3 Los extremos de las intervalos cerrados disjuntos dos a dos que definen An se escriben como n x {a } = ∑ ii : xi ∈ {0,2} i=1 3 k n
Demostración Lo demostraremos por inducción completa.
Primero que nada observemos que a10 = 0 En A1 {a1k } = {0, 23 }
{a2 } = {0, , , + k
A2
2 2 2 9 3 3
A0 A1
2 9}
Etc...
A2
n x H) {a } = ∑ ii : xi ∈ {0,2} i=1 3 k n
1
T) {a
n+1
n +1 x } = ∑ ii : xi ∈ {0, 2} i =1 3
k n +1
j n
3 6474 8
a
k 144424443 an +1
2
n+1
3
- 96 -
an j +1
Topología General
Conjunto de Cantor
- 97 -
Demostración
an j para algún j {ank +1} = j 2 an + 3n+1 para algún j
∑3
∑ 3x + 32
xn +1 = 0
xn+1
n
n
xi
i =1
i
i i
i =1
n +1
xi
∑3 por lo tanto
=2 : xi ∈ {0,2}
i
i =1
xi ∈ {0,2}
n +1
n +1 x } = ∑ ii : xi ∈ {0, 2} i =1 3
{a
k n +1
Proposición 4.4 Si m > n
y am j , bmj I ank , bnk ≠ φ entonces:
am j , bmj ⊂ ank , bnk Demostración m yi j Sean am = i
∑3 i =1
n
a
k n
=∑ i =1
xi
3i
con xi , yi ∈ {0,2}
Vamos a analizar tres casos Caso a) Sea xi = yi ∀i = 1,..., n en este caso tenemos: m
a
j m
n
yi
xi
m
y
− a = ∑ i − ∑ i = ∑ ii ≥ 0 k n
i =1
3
i =1
lo que significa am j ≥ ank k
an
j
am
más precisamente
- 97 -
3
n +1
3
Topología General j m
a
Capítulo 4
−a = k n
m
∑3
i = n +1
es decir
yi i
- 98 -
1 = i 3 n +1 m
≤ 2∑
1 1 m 1 1 n 3 1 − 3 3 1 − 3 m 1 n 1 = = 2 ∑ i − ∑ i = 2 − 1 − 13 i =1 3 i =1 3 1 − 13 1 n 1 m 1 − 3 1 − 3 1 m 1 n = 1 − − 1+ = 2 − 2 2 3 3 1 n 1 m = − 3 3 1 1 − 3n 3m 1 1 am j + m ≤ ank + n 33 123 3 1 424 am j
− ank ≤
=bm j
ank
am j
bm j
bnk
=bnk
bm j
≤ bnk
por lo tanto
am j , bmj ⊂ ank , bnk Caso b) Sea xl ≠ yl , yi = xi ∀i < l < n Entonces ⇒ yl − xl = ±2 Analicemos primero i) yl − xl = 2 ≥08 67
=−28 67
2 n yi − xi m yi a −a = + l+ + ≥ i i i 3 3 3 3 i =1 l +1 n +1 ∞ n 2 1 2 1 ≥ l −2 i ≥ l −2 i = 3 3 l +1 3 l +1 3 j m
l −1
∑
k n
yi
− xi
∑
∑
= Luego
∑
∑
(1
l +1
2 3) = 2 − 1 = 1 > 1 2 − 3l 1 − 13 3l 3l 3l 3n - 98 -
Topología General
Conjunto de Cantor
− ank >
am j
am j
ank
bnk
am j
- 99 -
1 3n
> ank +
1 = bnk n 3
no hay intersección
bm j
ii) yl − xl = −2 a
j m
≤
−2
−a = k n
−2 3l
3l
≤ 28 67 n
+∑
yi
3i
l +1
∞
1 l +1 3
+ 2∑ i =
−2 3l
− xi
≤2
}
m
+∑ n +1
− ank <
3l
1 l +1 3 m
+ 2∑ i ≤
) −2 1 − 1 − 1 +2 3 = l + l = l < m 2
3
3
3
3
3
−1 3m
1 < ank m 33 1 424
am j
3i
≤
−2
l +1
(1
luego am j
yi
+
am j
bm j
ank bnk
=bm j
bm j
< ank
absurdo porque en esta situación no hay intersección. Entonces solo es posible el primer caso en que ya vimos que. am j , bmj ⊂ ank , bnk Proposición 4.5 Si C es el conjunto de Cantor entonces: ∞ x C = ∑ ii : xi ∈ {0,2} i=1 3
Demostración Sea y =
∞
∑ x3 i =1
i i
con xi ∈ { 0,2}
Por construcción Si m ≥ n ⇒ Am ⊂ An Y como
m
xi
∑3 i =1
m
x
∈ Am ⇒ ∑ ii ⊂ An ∀m ≥ n y por lo tanto su límite pertenece a la i i =1
3
clausura. - 99 -
Topología General
Capítulo 4
- 100 -
Pero An = An por ser cerrados Entonces y = lim m
m
∑ x3 ∈ A i i
i =1
n
∀n ⇒ y ∈ I An = C n∈¥
Recíprocamente: en primer lugar: si t ∈ C = I An implica que para cada n ∃k ( n, t ) tal que t ∈ ank ( n,t ) , bnk (n ,t ) ⇒ n∈¥
k ( n ,t )
an
− t <
Luego k n ,t )
an (
1 →0 3n
→ t
En segundo lugar Como ∀m ≥ n t ∈ amk ( m,t ) , bmk ( m,t ) I ank (n ,t ) , bnk ( n,t ) implica por proposición 4.4 que:
amk (m ,t ) , bmk ( m,t ) ⊂ ank (n,t ) , bnk (n ,t )
es decir que:
k n ,t )
an (
≤ amk (m ,t ) ≤ t
siendo a
k ( n ,t ) n
n
xi
=∑ i =1
3i
k ( m ,t ) m
y a
m
=∑
i =1
yi
3i
pero ya vimos que xi = yi ∀i = 1,..., n si m ≥ n
entonces a
k ( n ,t ) n
y a
k ( m ,t ) m
son reducidas de la serie
∞
∑ x3 i =1
entonces como existe el límite de
i i
las reducidas ( por ser monótonas crecientes y acotadas superiormente )
∴ t = lim n a
k ( n ,t ) n
∞
xi
=∑ i =1
3i
Proposición 4.6 Todos los puntos del conjunto C de Cantor son de acumulación
Demostración
Si t ∈ C ⇒ t =
∞
xi
∑3 i =1
i
con xi ∈ {0,2}
Si no existe n0 a partir del cual todos los términos de la serie son ceros entonces las sumas parciales de la serie ( puntos del conjunto de Cantor ) son distintas a t y siempre hay una a distancia menor que un cierto ε > 0 arbitrario. Supongamos que ∃n0 tal que xi = 0 ∀i > n0 Entonces - 100 -
Topología General
Conjunto de Cantor n0
t
xi
=∑ i =1
3
i
- 101 -
y sea t ′ ∈ C tal que
0 ∞ 2 t ′ = + + i i i 3 3 i =1 n0 +1 n +1 3 Claramente t’ pertenece a C por proposición anterior. Entonces: n +1 1 ∞ 2 ( 3 ) = t + 1 ⇒ t − t′ = 1 2 t′ = t + t = + i 2 3n 3n n +1 3 3 2 1 2 Sea ε tal que n < ε ⇒ t − t ′ = n < n < ε esto significa: 3 3 3 t ′ ∈ C I B ( t , ε ) \ t ⇒ t es de acumulación n0
xi
∑
n
∑
∑
∑
Proposición 4.7 Existe una función f : C → [0,1] sobre y uniformemente continua
Definida como: ∞ xi ∞ x 2 f ∑ i = ∑ i con i =1 3 i=1 2 i
xi ∈ {0,2}
Demostración ∞ xi ∞ yi Si xi ∈ {0,2} ⇒ yi = 2 ∈ {0,1} y podemos escribir f ∑ i = ∑ i con i=1 3 i=1 2 yi ∈ {0,1} f es sobreyectiva ya que en primer lugar si yi = 0 ∀i ⇒ f ( ) = 0 y si yi = 1 ∀i
xi
implica f ( ) =
∞
∑ 21 = 1 i =1
i
en segundo lugar ∞
yi
∑2 i =1
i
con yi ∈ {0,1} es un número en base dos entre cero y uno.
Ahora dado ε > 0 Sea n0 tal que
1 < ε tomamos dos elementos del conjunto de 2n0
1 Cantor a distancia menor que n0 Sean 3 caso:
∞
xi
∑3 i =1
- 101 -
i
,
∞
∑ 3y i =1
i i
⇒ xi = yi ∀i ≤ n0 en este
Topología General
Capítulo 4
- 102 -
∞ xi ∞ yi 1 ∞ xi − yi d f ∑ i , f ∑ i = ≤ ∑ i 3 3 2 2 i=1 i=1 n +1 1 ∞ xi − yi 1 ∞ 1 1 ≤ ∑ i ≤ 2∑ i = n <ε 0
2 n0 +1
2
2
n0 +1
2
20
1 = δ entonces: 3n0 d ( f (t ) , f ( s )) < ε por lo que f es uniformemente continua. Como corolario podemos afirmar que el conjunto de Cantor es no numerable. entonces si t , s ∈ C y d ( t , s ) <
- 102 -
Capítulo 5 Topología Producto Veamos primero la definición de topología producto para el cado finito. Definición 5.1 Sea {( X i ,τ i ) : i = 1,..., n} una familia finita de espacios topológicos. Entonces la familia de subconjuntos del producto cartesiano X 1 × X 2 × ... × X n B = {U1 × U 2 × ... × U n : U i ∈ τ i ∀ i = 1,..., n} Como X 1 × X 2 × ... × X n se puede expresar como unión de elementos de B ,basta con tomar los U i = X i que son elementos de τ i , y como este conjunto es cerrado por intersecciones finitas Por tanto según corolario 2.18 existe una única topología sobre dicho conjunto respecto de la cual B es una base. La llamaremos topología producto y al espacio resultante producto topológico. Para referirnos a un elemento del espacio producto podemos adoptar las siguientes anotaciones: Observación
n X i = f : {1,..., n} → U X i : f ( i ) ∈ X i ∀i = 1,..., n ∏ i =1 i =1 n
también suele usarse la siguiente notación
n X i = x : {1,..., n} → U X i : xi ∈ X i ∀i = 1,..., n ∏ i =1 i =1 n
poniendo xi en vez de x ( i ) . Definición 5.2 Dado el producto cartesiano
n
∏ X definimos las funciones i
i =1
pi
:
n
∏X
i
→ X i como
i =1
pi ( f ) = f ( i )
o pi ( x ) = xi
que llamamos proyección canónica asociada al índice i
Topología General
Capítulo 5
- 104 -
Proposición 5.1 Las funciones proyecciones son continuas.
Para probar el enunciado tenemos que probar que la imagen inversa de un abierto es abierto. Sea U i abierto en X i
Demostración
−1
pi
lo que significa:
n (U i ) = x ∈ ∏ X i : pi ( x ) = xi ∈ Ui con U i ∈ τ i i=1
pi−1 (U i ) = X 1 × ... × X i −1 × U i × X i +1 × ... × X n
y por lo tanto pi−1 (U i )
es abierto en el producto por lo que las proyecciones son continuas para todo i
Topología Producto
Caso infinito
Sea {( X α ,τ α ) : α ∈ I } una familia indexada de espacios topológicos se define el producto cartesiano de espacios topológicos a: Definición 5.3
∏ X
α
α∈ I
= f : I → U X α : f (α ) ∈ X α α ∈ I
El axioma de elección nos dice que este conjunto producto es no vacío si y solo sí cada factor X α no lo es. A los elementos del espacio producto en ocasiones los anotaremos por x en lugar de f y en este caso x (α ) lo anotamos por xα con esta notación
∏ X α∈ I
α
= x : I → U X α : xα ∈ X α α ∈ I
Sea {( X α ,τ α ) : α ∈ I } una familia de espacios topológicos indexada definimos topología producto como la menor (la menos fina) topología que hace continua a las proyecciones pα : X β → X α Definición 5.4
∏ β ∈ I
para todo α ∈ I .Así que definimos como topología producto como a la generada por la subbase S = { pα−1 (U α ) : U α abierto ,U α ⊆ X α ∀α ∈ I } los abiertos de la base son entonces de la forma. - 104 -
Topología General
Topología Producto
- 105 -
pα−11 (U α1 ) I pα−21 (Uα 2 ) I ... I pα−n1 (U αn )
con n finito también podemos escribir a los mismos como X β × Uα1 × ... × U α
∏
n
β ∈ I
β ≠{α1 ,...,α n }
Esto es, un abierto B de la base es un producto donde todos los espacios coordenados son los X α salvo para un número finito de índices α i con i = 1,..., n donde tenemos abiertos propios de cada uno de los espacios indexados. Finalmente un abierto de la topología producto será todo lo que podamos expresar cono unión de estos elementos B de la base que anotamos por B. Suele llamarse a esta topología, topología producto de Tychonoff pues fue A. Tychonoff quién en el año 1929 definió esta topología y probó sus más importantes propiedades. Observación 5.1 Realmente esta topología (τ ) es la menos fina de las que hacen continua todas las proyecciones.
Supongamos que tenemos otra topología que llamamos σ que también hace continuas todas las proyecciones. Como
Demostración
B
= I pα−1 (Uα ) : con U α abierto, Uα ⊆ X α y F ⊂ I finito α∈ F
es la base de la topología producto τ . Entonces si U ∈B ⇒ U = pα−11 (Uα1 ) I ... I pα−1 (Uα ) y como cada pα−1 (U α ) es abierto en σ porque esta topología hace continua las proyecciones entonces la intersección finita de abiertos es abierto en σ y U ∈ σ . Todo elemento de la base de τ esta en σ entonces si A es abierto con la topología τ como ⇒ A = U Aα con Aα ∈B y cada Aα es abierto según σ , la unión de abiertos n
n
i
i
α
es abierto ⇒ A = U Aα es abierto según σ ⇒ τ ⊂ σ o sea σ tiene más abiertos que α
τ la topología producto.
Si tomamos como base de una topología aquellos conjuntos que sean producto arbitrario de abiertos, esto es si llamamos B a un elemento de la base: B = Uα con U α abierto en X α ,α ∈ I Observación 5.2
∏ α ∈ I
obtenemos la llamada topología caja introducida por H. Tietze en 1923 históricamente anterior a la introducida por Tychonoff la cual posea más abiertos que nuestra topología producto y por tanto la contiene. Como las proyecciones son continuas con la topología producto entonces son continuas con la topología cajas. Ya que: - 105 -
Topología General
Capítulo 5
: X → Y
sea U abierto en τ ⇒ τ X1 ⊂ τ X2 Y 1 f continua según τ X f
- 106 -
f −1 (U ) ∈ τ 1X
f continua ⊂ τ X 2 ⇒ 2 según τ X
A menos que especifiquemos lo contrario, cuando hablemos del espacio producto, entenderemos que la topología involucrada es la topología producto de Tychonoff. Y la hemos preferido ya que la topología caja tiene ciertos defectos como. Tiene muchos abiertos si lo que queremos es hacer las proyecciones continuas, es claro que cuanto más abiertos tengamos en el dominio de una función más fácil es de que sea continua. No siempre el producto de espacios compactos es compacto No siempre el producto de espacios conexos es conexo. La continuidad de una función que llega a un espacio producto no puede ser caracterizada en términos de la continuidad de las funciones coordenadas.( ver ejemplo 5.1) Aún en el caso de productos enumerables no se garantiza que el producto de espacios N 1 sea N 1 §
§ § §
§
Proposición 5.2 En el espacio producto con la topología producto las proyecciones son funciones continuas y abiertas. pα : X β → X α son continuas y abiertas
∏ β ∈ I
Demostración
Que son continuas porque la topología producto se definió con dicho
propósito. Para probar que es abierta alcanza con probar que pα ( B ) es abierto para todo abierto B de la base B . Tomemos un abierto B de la base ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I y abiertos Uα ∈ X α ∀i = 1,..., n tales que B = pα−11 (U α1 ) I ... I pα−1 (U α ) i
n
∏
= Uα × ... × Uα × 1
n
i
n
X β
β ∈ I
β ≠{α1 ,...,α n }
entonces pα ( B ) = U αi pα ( B ) = X α
si α = α i
para i = 1,..., n si α ≠ αi
en ambos casos la imagen es un abierto. Es decir que la imagen de abiertos de la base es un abierto. - 106 -
Topología General
Topología Producto
Proposición 5.3 Dada una red {Td } ⊂
- 107 -
∏ X converge a x si y solo sí β
β ∈ I
pα (Td ) → pα ( x ) Demostración
⇒ Si la red converge
Td → x
∀α ∈ I como las proyecciones son continuas
entonces pα (Td ) → pα ( x )
∀α ∈ I
⇐ Si pα (Td ) → pα ( x ) ∀α ∈ I Como si V ∈ N x ⇒ existe A abierto tal que x ∈ A ⊂ V y A es abierto implica que es unión de elementos de la base A = U Bβ donde Bβ son abiertos de la base β
entonces si x ∈ A ⇒ x ∈ U Bβ ⇒ ∃β 0 tal que x ∈ Bβ0 es decir que β
x ∈ Bβ0
⊂ A ⊂ V
entonces basta con probar que dado un abierto B de la base que contenga a x existe d 0 ∈ D tal que Td ∈ B
∀d ≥ d 0
así Td ∈ B ⊂ U Bβ
= A⊂V
β
Luego sea B un abierto de la base que contiene a x n
B = I pα−i1 (U αi )
donde U α son abiertos en X α ∀i = 1,..., n i
i =1
i
por hipótesis si x ∈ B ⇒ x ∈ pα−1 (Uα ) ⇒ pα ( x ) ∈ Uα ∀i = 1,..., n y por hipótesis ∃di ∈ D tal que Td ∈ Uα ∀d ≥ di con i = 1,..., n sea: d 0 ≥ max {d1 ,..., d n } que existe porque cada dos d i d j se puede obtener una mayor que esos dos, repetimos este razonamiento con este último y otro d cualquiera y así tenemos uno mayor que todos . ∀d ≥ d0 ⇒ d ≥ di ⇒ pα (Td ) ∈U α ∀i = 1,..., n o sea Td ∈ pα−1 (Uα ) ∀i = 1,..., n y por lo tanto i
i
i
i
i
i
i
i
i
Td ∈ B
∀d ≥ d 0
- 107 -
Topología General
Capítulo 5
- 108 -
Observación 5.3 Sea X un conjunto e Y un espacio topológico. Anotamos Y X = Y = { f : X → Y}
∏
x∈ X
entonces una red { f d } converge a f ⇔ { f d ( x )} converge a f ( x ) ∀x ∈ X o sea, la convergencia en la topología producto es la convergencia puntual. El espacio producto también nos da otra forma de ver las sucesiones, estas son elementos del espacio X ¥ . Proposición 5.4 Sean Y , X α
∀α ∈ I espacios topológicos una función f : Y → ∏ X α α ∈ I
es continua si y solo sí ( pα o f ) : Y
→ ∏ Xα
es continua
∀α ∈ I
α ∈ I
Demostración ⇒ Como pα es continua pα o f
es continua si f
es continua ⇐ Si pα o f son continuas ∀α ∈ I sea x ∈ Y y sea T d la red que converge a x entonces ( pα o f )(Td ) → ( pα o f )( x ) en X α es decir: pα [ f ( Td ) ] → pα [ f ( x ) ] ∀α ∈ I por proposición anterior f (Td ) → f ( x ) en
f Y
∏ X
α
α∈ I
pα o f
pα X α
∏ X
α
α∈ I
y por proposición 3.10 f es continua.
5.1 Consideremos ¡ω , el producto numerable de infinitas veces. Es decir ¡ω = X n con X n = ¡ ∀n ∈ ¥
Ejemplo
R
consigo mismo
∏ n∈¥
Sea R con la topología usual y definimos f : ¡ → ¡ω mediante la ecuación: f ( x ) = ( x, x,...., x,...) la n-ésima función coordenada de f es la función pn ( f ( x ) ) = x cada una de las funciones coordenadas pn o f : ¡ → ¡ es continua; así pues, la función f es continua si ¡ω está dotado con la topología producto por la proposición anterior. Pero f no es - 108 -
Topología General
Topología Producto
- 109 -
continua si ¡ω está dotado con la topología por cajas. Consideremos, por ejemplo, el elemento básico 1 1 1 1 B = ( −1,1) × − , × − , × ...... 2 2 3 3 para la topología por cajas. Afirmamos que f −1 ( B ) no es abierto en R. Ya que primero que nada como el 0 ∈ B y f −1 ( 0 ) = 0 ⇒ 0 ∈ f −1 ( B ) entonces si f −1 ( B ) es abierto en R es entorno de todos sus puntos en particular del cero entonces tendría algún abierto ( −δ , δ ) ⊂ f −1 ( B ) . Esto significa que f ( ( −δ , δ ) ) ⊂ f ( f −1 ( B ) ) ⊂ B , por lo que aplicando pn a ambos lado de la inclusión, 1 1 pn ( f ( −δ , δ ) ) ⊂ − , ∀n ∈ ¥ 144244 3 =( −δ ,δ )
n n
lo que implica que δ = 0 ⇒ ( −δ , δ ) = {0} que no es abierto en usual.
R
con la topología
Proposición 5.5 Dados ( X α ,τ α ) α ∈ I espacios topológicos tenemos entonces que
son Hausdöff para todo α ∈ I si y solo sí
∏ X
α
es de Hausdöff.
α∈ I
Demostración
⇒ X α sean de Hausdöff ∀α ∈ I tomamos
x, y ∈
∏X
α
con x ≠ y
α∈ I
entonces ∃α 0 ∈ I tal que x (α 0 ) ≠ y (α 0 ) y como X α0 es de Hausdöff implica que existen U ,V abiertos en X α0 tales que x (α 0 ) ∈ U , y (α 0 ) ∈ V con U I V = φ y como pα−01 (U ) , pα−01 (V )
son abiertos de la subbase de
∏ X y además son disjunto ya que α
α∈ I
de no serlo el elemento en común tendría que proyectarse sobre X α0 en la interseción de U y V que es vacía. Tenemos que
x ∈ pα−01 (U ) −1
y ∈ pα0 (V )
abiertos y disjuntos ⇒ que el producto es de Hausdöff
⇐ Si ∏ X α es de Hausdöff tomemos un X α cualquiera y en él sean xα , yα ∈ X α α ∈ I
con xα0 ≠ yα0 y sean x, y ∈
0
∏X
α
tales que x (α ) = y (α ) ∀α ≠ α0 y :
α ∈ I
x (α 0 ) = xα 0 y (α 0 ) = yα0
- 109 -
0
0
0
Topología General
Capítulo 5
- 110 -
Entonces como x ≠ y implica que existen abiertos de la base U , V disjuntos tales que x ∈ U e y ∈ V lo que significa a su vez que: existen α1 ,...,α n ∈ I tales que Uα abierto de X α ∀i = 1,..., n y β1 ,..., β m ∈ I tal que V β abierto de X β ∀i = 1,..., m tales que: i
i
i
i
n
U
= I pα−1 (Uα ) = U α × ... × U α × i
i =1
1
i
n
∏
m
V
= I pβ−1 (Vβ ) = Vβ × ...× Vβ × i
i =1
1
i
m
Xα
α ≠{α1 ,...,α n }
∏
U Vβ
β ≠{ β1 ,...,β m }
U α0 xα0 V α0 yα0
como: x ∈ U
⇒
p ( x) 1α23 i
V
X α 0
∈ Uα ∀i = 1,..., n i
= pαi ( y ) si αi ≠α 0 = pαi ( x ) si αi ≠α 0
y ∉ U
⇒ ∃α i con i = 1,..., n tal que
678 pα ( y )
∉ U α
i
i
es decir que uno de los α i = α 0 (podemos suponer que además es único ya que de haber más de uno tomamos la intersección de ellos ) Análogamente ∃ j tal que β j = α0 único. Entonces proyectando U,V sobre X α0 xα 0 ∈ }
X ∏ α = U α α ≠{α ,...,α } pα Vβ × ... × Vβ × ∏ X β = V α β ≠{β ,...,β } ∈
pα0 U α1 × ... × U αn ×
0
1
1
n
1
m
0
abiertos disjuntos en X α0
0
m
{
yα
0
ya que como U I V = φ ⇒ Uα0 I Vα0 = φ luego conseguimos dos abiertos disjunto que separan a x (α 0 ) e y (α 0 ) en X α0 ⇒ es de Hausdöff . Proposición 5.6 Sean ( E1 , d1 ) ,..., ( En , d n ) espacios métricos y :
d ∞ ( ( x1 ,..., xn ) , ( y1 ,..., yn ) ) = max {d i ( xi , yi ) : ∀i = 1,..., n} la topología inducida por d ∞ es la topología producto .
Sea {T d } una red en E1 × E2 × ... × E n tal que: d ∞ → x Entonces dado ε > 0 ∃d0 ∈ D tal que : Td
Demostración
- 110 -
Topología General
Topología Producto
- 111 -
p (T ) = (Td (1) ,..., Td ( n ) ) max d T ( i ) , x < ε ∀d ≥ d y i d 0 i x = ( x1 ,..., xn ) lo que implica pi (Td ) = Td ( i ) → xi ∀i ya que: d Si el máximo de los di ( Td ( i) , xi ) es < ε ⇒ que son todos menores que ε Td
i
d
P
}
i
Sea di ( Td ( i) , xi ) < ε
∴ pi (Td ) = Td ( i ) → xi ∀i d i
y como la convergencia coordenada a coordenada implica en la topología producto que Td → x con la topología producto y recíprocamente todas las implicaciones son recíprocas. Proposición 5.7 Sea { E n }n∈¥ una familia numerable de espacios métricos entonces: ∞
∏ E
n
es metrizable
1
Demostración
Recordar que si ( E , d ) es un espacio métrico decimos que es acotado
si:
∃k > 0 tal que d ( x, y ) ≤ k ∀x, y ∈ E
Si no esta acotado sea: d 0 ( x, y ) = min {1, d ( x, y )}
es una distancia en E y además esta acotada probaremos que induce la misma topología que d . O sea d 0 , d inducen la misma topología porque: → x ⇔ d ( x, xn ) → 0 ⇔ d0 ( x, xn ) → 0 ⇔ xn →x Si xn d d 0 Entonces se puede suponer que los espacios métricos ( En , d n ) están acotados para todo n si no es así cambiamos por ( En , d 0 ) y no cambia la topología entonces: d n ( x, y ) ≤ 1 ∀n ∈ ¥ Se define d:
∞
∞
∏ E × ∏ E → ¡ n
1
n
1
x = {x ( i )} y = { y ( i )} : d ( x, y ) =
∑ d ( x (i2) , y ( i )) ∞
i
1
es fácil ver que es una distancia y además - 111 -
i
Topología General
Capítulo 5 d ( x, y ) ≤
∞
∑ 21 = 1 < ∞ 1
d induce la topología producto en
- 112 i
∏ E como: n
n∈¥
Te → x ⇔ Te ( i ) → x (i ) top. prod. d i
entonces tenemos que probar que: Te → x ⇔ Te ( i ) → x (i ) d d i
∞
1 ε < que existe si ε > 0 i 2 2 k +1
⇐ Dado ε > 0 sea k ∈ ¥ tal que: ∑ y para i ≤ k sea ei tal que:
d i (Te ( i ) , x ( i ) ) <
ε
si e ≥ ei
2
Sea e tal que e ≥ ei ∀i = 1,..., k Entonces si e ≥ e ∞ d T i ,x i ( )) i( e( ) d (Te , x ) = = i 2 1 k d i (Te ( i ) , x ( i ) ) ∞ di (Te ( i ) , x ( i ) ) = + ≤ i i 2 2 1 k +1
∑ ∑
∑
ε
∞ 1 ε k 1 ε 2 ≤ + < + < i i 2 1 2i 2 k +1 2 1 2 ε ∞ 1 ε ε ε < + = + =ε 2 1 2i 2 2 2 k
∑
∑
∑
∑
∴ Te →x d y recíprocamente Si Te → x, dado ε > 0, n ∈ ¥, sea e0 tal que: d d (Te , x ) <
entonces como d n (Te ( n ) , x ( n ) )
2n
ε
2n
∀e ≥ e0
∞
di (Te ( i ) , x ( i ) )
1
2i
≤∑
= d (Te , x )
o sea 1 ε , , d T n x n d T x ≤ < ( ) ( ) ( ) ( ) e 2n n e 2n ⇒ d n (Te ( n) , x ( n ) ) < ε si e ≥ e0 ∀n ⇒ Te ( n ) → x ( n ) ∀n ⇒ la tesis d n
- 112 -
Capítulo 6 Espacios Conexos Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, vamos a decir que X disconexo si existen abiertos no vacíos y disjuntos U,V tales que: Definición 6.1
X = U U V En caso contrario diremos que X es conexo.
6.1 Sea X con la topología discreta, entonces si X tiene más de un punto no es conexo ya que para cualquier punto { x} se tiene que es abierto y cerrado luego C { x} es abierto y:
Ejemplo
X
= { x} U {x}C
claramente disjuntos. 6.2 Sea X con la topología indiscreta. Tenemos que es conexo porque no hay abiertos disjuntos no vacíos ( los únicos abiertos son X ,φ )
Ejemplo
6.3 Sea X con la topología de complementos finitos y X de infinitos elementos Sean A y B abiertos disjuntos y B ≠ φ entonces: Si A I B = φ ⇒ A ⊂ B C ⇒ A es finito
Ejemplo
{
finito
luego AC no es finito y como A es abierto implica que es vacío, o sea no hay abiertos disjuntos no vacíos luego es conexo. Sea ( X ,τ ) un espacio topológico , Y ⊂ X decimos que Y es conexo si es conexo con la topología relativa. Definición 6.2
Topología General
Capítulo 6
- 114 -
Ejemplo 6.4 Sea X = ( 0,1) U ( 2,3]
con la topología relativa.
No es conexo ya que X
3 3 = ( −1, 2 ) I X U ( 2 ,4 ) I X = ( 0,1) U ( 2,3] 14 4244 3 14243 abierto relativo abierto relativo
Ejemplo 6.5 Sean los racionales Q con la topología relativa
Como ¤ = ( −∞, 2 ) I ¤ U ( 2, +∞ ) I ¤ ⇒ 14 4244 3 14 4244 3 abierto en ¤
abierto en ¤
que Q es disconexo. Proposición 6.1 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) X es conexo 2) No existen cerrados disjuntos no vacíos A y B tal que: X
= AU B
3) Si A ⊂ X es abierto y cerrado, entonces: A = φ o A = X 4) No existe función f : X → {0,1} que sea continua y sobreyectiva . Demostración
1) ⇒ 2) supongamos por el absurdo que sí existen A y B cerrados disjunto no vacíos tales que: X = A U B ⇒ AC = B , B C = A con AC , B C son abiertos disjuntos ya que φ = AC I B C tales que X
= AC U B C
2) ⇒ 3) Supongamos que A ≠ φ , A ≠ X y A ⊂ X abierto y cerrado ⇒ A , AC son cerrados y X = A U AC con A , AC cerrados disjuntos no vacíos ⇒ contradice 2) - 114 -
Topología General
Espacios Conexos
- 115 -
3) ⇒ 4) Supongamos que existe f : X → {0,1} continua y sobre entonces f −1 ( 0 ) es abierto y cerrado en {0,1} y f −1 ( 0 ) no es vacío, ni todo el espacio por ser f sobre. O sea −1 f ( 0 ) ≠ φ lo que contradice 3) −1 f ( 0 ) ≠ X 4) ⇒ 1) Sea X disconexo ⇒ ∃ A y B abiertos disjuntos no vacíos tales que X = A U B Entonces definimos f : X → {0,1} de la siguiente forma: 1 si x ∈ A f ( X ) = 0 si x ∈ B f −1 ( 0 ) = B f definida así es continua ya que : −1 ⇒ que la preimagen f (1) = A
f −1 (φ ) = φ , f −1 ({0,1}) = X
de todo abierto es un abierto ⇒ f es continua y sobreyectiva y esto contradice 4) Proposición 6.2 En los reales y con la topología usual [0,1] es conexo .
Demostración
Supongamos por el absurdo que no es conexo es decir que existen A y B cerrados disjuntos no vacíos tales que [0,1] = A U B Como 0 ∈ A U B ⇒ que pertenece a alguno de ellos, podemos suponer sin perder generalidad que 0 ∈ A y definimos el siguiente conjunto: A0 = {a ∈ A : a ≤ b ∀b ∈ B} Por definición A0 ⊂ A , además como 0 ∈ A y A I B = φ ⇒ 0 ≤ b ∀b ∈ B ⇒ 0 ∈ A0 luego A0 ≠ φ acotado superiormente por 1 implica que tiene extremo superior, le llamemos α . Tenemos que α ∈ A0 ⊂ A = A ⇒ α ∈ A ahora puede suceder que {
cerrado
1) α = 1 ⇒ [0,1] I B = φ
⇒
{
B
=φ
por ser AI B =φ
2) α < 1 Sea β
= inf {b ∈ B} entonces β ∈ B = {
cerrado
entonces por definición de A0 α ≤ β pero
- 115 -
B
Topología General
Capítulo 6 α
= β como
- 116 -
α ∈ A
⇒ A I B ≠ φ β ∈ B luego α < β ⇒ ∃ t ∈ [0,1] tal que α < t < β Ahora si t ∈ A ⇒ por ser t < β ⇒ t ≤ b ∀b ∈ B ⇒ t ∈ A0 extremo superior de A0 ⇒ t ∉ A Pero t ∉ B por ser t < β (ínfimo) pero [0,1] = A U B
por ser α el por lo tanto [0,1] es
conexo. Proposición 6.3 ( Teorema de Bolzano) Sean X e Y espacios topológicos, f : X
→ Y
continua si X es conexo entonces
f ( X ) también es conexo. Demostración Sea f : X → f ( X )
que es continua con la topología relativa en f ( X ) si este no es
conexo ⇒ existe
g : f ( X ) → {0,1}
continua y sobre
entonces como g o f
: X → {0,1} es continua y sobre
luego X no es conexo Proposición 6.4 Sea X un espacio topológico {Y α }α∈ I una familia tal que Yα
convexos
⊂ X
∀α ∈ I tal que Yα I Yβ ≠ φ ∀α , β ∈ I entonces
U Y
α
es conexo
α∈ I
Demostración
Supongamos por el absurdo que no es conexo ⇒ que existe una función g : U Y α → {0,1} continua y sobre. Como g |Y : Y α → {0,1} es continua y como Y α es α
α∈ I
conexo ⇒ que no es sobre. g ( y ) = cte ∀y ∈ Y α (esa constante es cero o uno) podemos entonces afirmar que: g ( y ) = g ( z ) ∀y , z ∈ Y α Sea x, y ∈ U Yα ⇒ x ∈ Yα ( x ) e y ∈ Yα ( y ) con α ( x ) ,α ( y ) ∈ I y como Yα ( x ) I Y α ( y ) ≠ φ α ∈ I
por hipótesis entonces:
∃ z ∈ Yα ( x ) I Yα ( y ) ⇒ g ( x ) = g ( z ) = g ( y ) y g es constante lo que contradice el que g sea sobre . - 116 -
Topología General
Espacios Conexos
- 117 -
Proposición 6.5 Sea X un espacio topológico X es conexo si y solo sí ∀ x, y ∈ X existe C ⊂ X conexo tal que x ∈ C , e y ∈ C
Demostración ⇒ Si X es conexo se toma C
= X y tenemos la tesis.
⇐ Fijemos y ∈ X entonces ∀x ∈ X sea
⊂ X conexo tal que x ∈ C x e y ∈ C x
C x
sabemos que existe por hipótesis además los C x no son disjuntos, pues y pertenece a todos ellos. Como: X
= U C x x∈X
entonces por proposición anterior X es conexo. Ejemplo 6.6 Un subconjunto A ⊂ ¡ es conexo si y solo sí es un intervalo. Demostración Si a, b ∈ A ∀c tal que a < c < b se tiene que c ∈ A ya que si c ∉ A
podemos
considerar: U
= ( −∞, c ) I A ,
V
= ( c, +∞ ) I A
donde U I V = φ y A = U U V con U y V abiertos disjuntos no vacíos ⇒ A es disconexo . Recíprocamente probaremos que si I ⊂ ¡ es un intervalo ⇒ I es conexo. Si I es un intervalo entonces dados x, y ∈ I , [ x, y ] ⊂ I como existe: h : [ 0,1] → [ x, y ] homeomorfismo (función continua y sobre ) entonces aplicando teorema de Bolzano al ser [0,1] conexo ⇒ [ x, y ] es conexo luego por proposición anterior I es conexo. Se concluye que cualquier intervalo ( a, b ] , [ a, b ) , ( a, b ) o [a, b ] donde a o b pueden ser −∞ o + ∞ respectivamente. Proposición 6.6 Dado ( X ,τ ) espacio topológico, A ⊂ X conexo y A ⊂ B ⊂ A entonces B es conexo.
Demostración
Para la demostración vamos a considerar que existe una función f : B → {0,1} continua y ver que no puede ser sobre. Como A ⊂ B ⇒ f | A : A → {0,1} es continua y como A es conexo ⇒ f ( A ) es el conjunto unitario {0} o {1} . Podemos suponer sin perder generalidad que f ( A ) = {0} . - 117 -
Topología General
Capítulo 6
- 118 -
Por ser f continua f ( A ) ⊂ f ( A )
y si B ⊂ A ⇒ f ( B ) ⊂ f ( A ) ⊂ f ( A ) = {0}
= {0} {
top. disc.
lo que significa que f no es sobre ⇒ B es conexo. Como corolario tenemos la siguiente proposición Proposición 6.7 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, C conexo
Demostración
anterior
⊂ X conexo entonces
Es inmediata si ponemos C ⊂ C ⊂ C y aplicamos proposición y
Definición 6.3
C es
Sea ( X ,
) un espacio normado,
un conjunto A ⊂ X es convexo si ∀ x, y ∈ A ∀t ∈ [0,1] se tiene que: tx + (1 − t ) y ∈ A (1 − t )( y − x ) x ⇒ x + ( t − 1) x + (1 − t ) y x + (1 − t )( y − x ) ∈ A Ejemplo 6.5 B ( 0, ε ) es convexo ya que B ( 0, ε ) = {a ∈ X
: x < ε}
sean x, y ∈ B ( 0, ε ) , t ∈ [0,1] entonces: tx + (1 − t ) y ≤ tx + (1 − t ) y = = t x + 1− t y = = t x + (1 − t ) y < tε + (1 − t ) ε = ε o sea ∀t ∈ [0,1] tx + (1 − t ) y ∈ B ( 0, ε ) Si la bola no es centrada en cero como existe un homeomorfismo: h : B ( 0, ε ) → B ( x0 , ε ) dada por h ( x ) = x + x0 (traslación) La bola trasladada es también convexo. - 118 -
Topología General
Espacios Conexos
- 119 -
Proposición 6.8 Sea A un conjunto convexo en un espacio normado entonces A es conexo.
Demostración Sea a ∈ A fijo y h : [0,1] → C x
∀x ∈ A sea el segmento C x = {ta + (1 − t ) x : t ∈ [0,1 ]} consideramos por h ( t ) = ta + (1 − t ) x esta función es continua y sobre para cada x lo
que implica por Bolzano que su imagen C x es conexo (por ser imagen por medio de una función continua de un conexo). Entonces A =
U C
x
x∈A
es conexo por ser unión de conexos con intersección dos a dos no vacíos, porque a es común a todos. Ahora veremos en primer lugar que el producto finito de espacios topológicos es conexo si y solo sí es conexo cada uno, para después ver el caso infinito. n
n
Proposición 6.9 Sean { X i }i =1 espacios topológicos entonces
solo sí X i es conexo
∀i = 1,..., n
∏ X es conexo si y i
i =1
Demostración
n ⇒ Como p j ∏ X i = X j ⇒ X j es conexo i =1 continua conexo ⇐ probemos solo para dos y después por inducción generalizamos Sean X 1 , X 2 conexos probaremos que X 1 × X 2 es conexo. Sea ( a1 , a2 ) ∈ X 1 × X 2 fijo X 1 × {a2 } X 2 Dado un x = ( x1 , x2 ) ∈ X 1 × X 2 sea a2 C x = X 1 × {a2 } U { x1} × X 2 { x1} × X 2 por Consideremos h1 : X 1 × {a2 } → X 1 dada h1 ( z , a2 ) = z {
{
1
Claramente h1 es una proyección luego es continua y biyectiva. h1−1 : X 1 → X1 × { a2 } h1−1 ( z ) = ( z, a2 ) - 119 -
a1
x1 X 1
Topología General
Capítulo 6
- 120 -
Sea una red { zd } ⊂ X 1 tal que zd → z entonces: h1−1 ( zd ) = ( zd , a2 ) → ( z , a 2 ) = h1−1 ( z ) lo que implica que h1−1 es continua. Luego h1 es un homeomorfismo y si X 1 es conexo entonces X 1 × {a2 } es conexo. Sea h2 : { x1} × X 2 → X 2 definida por h2 ( x1 , z ) = z al igual que h1 h2 es una proyección y por lo tanto continua y biyectiva y de la misma manera que se hizo para h1 se demuestra que h2 es un homeomorfismo Luego como por hipótesis X 2 es conexo entonces { x1} × X 2 es conexo. Y como ( x1 , a2 ) ∈ X 1 × {a2 } I { x1} × X 2 ⇒ que la unión es conexo es decir C x1 es 1 424 3
1 424 3
conexo
conexo
conexo ∀ x1 ∈ X 1 luego como X 1 × X 2
= U C x
1
x1∈X 1
Ya que si ( x1 , x2 ) ∈ X1 × X 2 entonces ( x1, x2 ) ∈ C x1 por definición y recíprocamente si ( x, y ) ∈ C x1 ⊂ X 1 × X 2 ⇒ ( x, y ) ∈ X 1 × X 2 {
por def.
Además todos los conjuntos C x1 tienen en común el punto ( a1 , a2 ) y son conexos luego su unión es conexo ⇒ X 1 × X 2 es conexo. Generalizamos tomando X = X 1 × X 2 e Y = X 3 por lo anterior X × Y es conexo es decir X 1 × X 2 × X 3 es conexo y así sucesivamente tenemos que X 1 × ... × X n es conexo. Veamos ahora el caso infinito. Proposición 6.10 Sea { X λ }λ∈ I una familia de espacios topológicos entonces
∏ X es conexo si y solo sí los X son conexos para todo λ ∈ I . λ
λ
λ∈ I
El caso directo es inmediato por ser la proyección una función continua al igual que el caso finito. Para el recíproco consideremos un punto fijo {aλ }λ∈ I ∈ X λ tomamos una
Demostración
∏
cantidad de índices finitos λ1 , λ2 ,..., λn ∈ I y definimos: X λ1 ,...,λ = X λ1 × X λ2 × ... × X λ × n
n
- 120 -
∏
λ∈ I λ ≠{λ1 ,...,λn }
λ∈ I
aλ
Topología General
Espacios Conexos
- 121 -
es decir: X λ1 ,..., λn
definimos la función
= x ∈ ∏ X λ : xλ = aλ ∀λ ≠ λ1 ,..., λn λ∈ I → X λ × ... × X λ sobre X λ × ... × X λ luego es continua y biyectiva
ϕ : X λ1 ,..., λn
1
n
como la proyección de X λ1 ,..., λ 1 para probar que la inversa es continua lo demostramos igual que el caso finito, nos tomamos una red convergente. ϕ −1 : X λ1 × ... × X λ → X λ1 ,..., λ Sea { zd } ⊂ X λ1 × ... × X λ tal que zd → z n
n
n
n
n
ϕ −1 ( zd )( λ ) = aλ → aλ − si λ∉{λ ,..., λ } ϕ −1 ( zd ) = −1 = ϕ 1 ( z ) ϕ ( zd )( λ ) = zd → z si λ∈{λ ,..., λ } {
1
n
{
1
n
por lo que ϕ −1 es continua y lleva conexo en conexo luego como por hipótesis cada X λ es conexo entonces por proposición anterior X λ1 × X λ2 × ... × X λ es conexo y entonces X λ1 ,..., λ es conexo. Sea n
n
=
Z
U
{λ1 ,..., λn }⊂ I
X λ1 ,..., λn
como {aλ } ∈ X λ1 ,...,λ ∀{λ1,.., λn } ⊂ I tienen intersección no vacía y luego su unión es un conjunto conexo. Además si U es un abierto de la base de la topología producto. U = pα−11 (U1 ) I ... I pα−1 (U k ) con U i ⊂ Xα ∀i = 1,..., k Como n
k
i
X α1 ,...,α n I U ≠ φ
ya que U
= U1424 × 1 × ... × U 3k ⊂ X α1 ×...× X αk
X α1 ,...,α k
luego Z I U
∏
λ∉{α1 ,...,α k }
= Xα × ... × Xα × 1
k
Xλ
∏
con U i ⊂ Xα i
aλ
λ∉{α1 ,...,α k }
≠ φ ∀U abierto de la base ⇒ Z = ∏ X λ y como Z es conexo implica que Z
es conexo luego
∏ X
λ
λ∈ I
es conexo.
λ ∈ I
- 121 -
Topología General
Capítulo 6
- 122 -
Definición 6.4 Sea X un espacio topológico , x, y ∈ X . Se dice que x conectados (anotamos x : y ) si existe un conjunto C ⊂ X conexo tal que x, y ∈ C Proposición 6.11 X es un espacio topológico conexo si y solo sí x : y
Demostración por la proposición 6.5 X es conexo conexo con x, y ∈ C ⇔ por definición que x : y .
e y están
∀x, y ∈ X
si y solo sí ∀ x, y ∈ X existe un C
Proposición 6.12 Estar conectado es una relación de equivalencia.
Demostración 1) x : x ya que { x} es conexo 2) Si x : y ⇒ y : x por definición Si x : y 3) ⇒ x : z e y : z
Ya que x : y ⇒ ∃C ⊂ X conexo tal que x, y ∈ C y : z ⇒ ∃D ⊂ X conexo tal que y, z ∈ D Entonces x, z ∈ C U D y como C U D es conexo por ser unión de conexos no disjuntos ya que y ∈ C I D luego x : z Toda relación de equivalencia en un conjunto establece una partición del mismo en clases de equivalencia tales que son disjuntas y su unión es el conjunto. Podemos entonces introducir la siguiente definición. Definición 6.5 Sea X un espacio topológico, x ∈ X de x a la clase de equivalencia de x. Anotamos C x
C x
llamaremos componente conexa
= { y ∈ X : y : x}
también podemos escribir C x
= { y ∈ X : ∃C ⊂ X , conexo tal que x, y ∈ C}
para un A subconjunto de X definimos la componente conexa de x en A que anotamos C x A como: C x A = { y ∈ A : y : x} o también C x A = { y ∈ A : ∃C ⊂ A, conexo tal que x, y ∈ C} Observar que de acuerdo a la definición siempre C x A ⊂ A . - 122 -
Topología General
Espacios Conexos
- 123 -
Proposición 6.13 Dado un espacio topológico X este es conexo si y solo sí tiene una única componente conexa.
Demostración Por la proposición 6.11 tenemos que X es todo x, y ∈ X , x ∼ y entonces si fijo x implica que y ∈ C x
conexo si y solo sí para ∀y ∈ X ⇒ X ⊂ C x como la otra inclusión es obvia entonces son iguales C x = X luego tiene solo una componente conexa. Proposición 6.14 La componente conexa de x es el mayor conexo que contiene a x
Demostración Tenemos que probar dos cosas primero que cualquier otro conexo que contenga a x esta contenido en C x y luego que la componente conexa C x es conexo.
Sea D ⊂ X conexo con x ∈ D ⇒ ∀y ∈ D y : x por definición de conectado lo que implica por definición de componente conexa que y ∈ C x luego D ⊂ C x . Como ∀ y ∈ C x ⇒ y : x ⇒ ∃Dy ⊂ X conexo tal que x, y ∈ Dy pero por lo anterior {
por def.
D y
⊂ C x entonces C x
= U Dy y∈C x
y como la unión no disjunta de conexos es conexo ⇒ C x es conexo. Corolario 6.15 Las componentes conexas son cerrados.
Se tiene que por proposición anterior las componentes conexas son conexas luego su clausura C x es también conexa ⇒ C x ⊂ C x porque la componente conexa es el mayor conexo que contiene a x. Luego como siempre C x ⊂ C x ⇒
Demostración
C x
= C x
6.6 Sea X = ( 0,1) U [ 2,3) las componentes conexas son ( 0,1) y [2,3) que son abiertos y cerrados a la vez
Ejemplo
6.7 Sean los racionales ¤ con la topología heredada de ¡ las componentes conexas de un punto p ∈ ¤ es el propio p es decir C p = { p} ya que si la componente conexa tuviera más de un punto por ejemplo p, q ∈ C p con p ≠ q ⇒ ∃α irracional tal que p < α < q y entonces podemos escribir C p = ( −∞,α ) I C p U C p I (α , +∞ )
Ejemplo
14 4244 3 abierto
- 123 -
14 4244 3 abierto
Topología General
Capítulo 6
- 124 -
se puede escribir a C p como unión de abiertos disjuntos, luego C p no es conexo lo cual es absurdo. Con p racional claramente { p} es cerrado ya que ¤ con la topología relativa a la usual de ¡ es T 1. Pero no es abierto, ya que un abierto en ¤ es un abierto de ¡ intersección ¤ que claramente tiene más de un punto (contiene infinitos puntos). 6.8 El conjunto de Cantor C es un conjunto donde las componentes conexas son los conjuntos unipuntuales ya que no hay intervalos en C .
Ejemplo
Definición 6.6 Sea X un espacio topológico decimos ∀ x ∈ X se tiene una base de entornos conexos.
que X es localmente conexo si
Ejemplo 6.9 Los reales ¡
es localmente conexo ya que {( x − ε , x + ε ) : ε > 0} es una base de entornos conexos de x. Además ¡ es conexo.
Ejemplo
6.10 Sea el espacio X = ( 0,1) U ( 2,3] no es conexo pero sí es localmente
conexo. Ejemplo 6.11 Sea ¡ × ¤ ⊂ ¡ 2
no es conexo, ni localmente conexo
Ejemplo 6.12 Sea ¡ × ¤ U [ ( x, x ) : x ∈ ¡ ]
no es localmente conexo pero sí es conexo.
Dos puntos de una misma recta están conectados, dos puntos de rectas distintas están conectados pero siguiendo el camino indicado por las flechas, ya que ese camino es unión de segmentos (conexos) no disjuntos luego la unión es conexa. Es decir existe un conexos incluido en el espacio que contiene a los puntos. Proposición 6.16 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:
1) X es localmente conexo 2) Si A ∈ τ las componentes conexas de A son abiertas. - 124 -
Topología General
Espacios Conexos
- 125 -
3) Existe una base de la topología τ cuyos miembros son conexos. Demostración 1) ⇒ 2) Si X es localmente conexo
⇒ ∀ x ∈ X se tiene : B x = {V ∈ N x : V conexo} Sea A abierto y C una componente conexa de A.( C ⊂ A ) Tomemos x ∈ C al ser A abierto implica que es entorno de todos sus puntos, como x ∈ A ⇒ A ∈ N x por definición de base local ⇒ ∃V ∈B x tal que x ∈ V ⊂ A . Como V,C conexos y x ∈ V U C ⇒ V U C es conexo ⇒ V U C ⊂ C por proposición 6.14 y esto último significa que V ⊂ C . En resumen ∀ x ∈ C ∃V entorno conexo tal que x ∈ V ⊂ C ⇒ que C es abierto. 2) ⇒ 3) Sea B = { A ∈ τ : A es conexo} Si B es abierto por hipótesis las componentes conexas de B son abiertas llamemos a estas C x B para x ∈ B entonces: B =
U C
B x
x∈B
y por ser los C conexos y abiertos ⇒ C x B ∈B ∀x ∈ B luego todo abierto se puede escribir como unión de elementos de B ⇒ es una base. 3) ⇒ 1) Sea B una base de conexos, x ∈ X , definimos. B x = {V ∈ B : x ∈ V } implica queB x es una base de entornos conexos de x ya que si V ∈B ⇒ V es abierto y como x ∈ V ⇒ V ∈ N x y conexo. B x
Corolario 6.17 Cualquier componente conexa C de un espacio X localmente conexo es abierta y cerrada.
Primero aplicamos el teorema anterior para el abierto X por lo que las componentes de X son abiertas y por el corolario 6.15 estas son cerradas.
Demostración
Proposición 6.18 Sea X un espacio topológico localmente conexo, sea Y un espacio topológico, f : X → Y continua si además f es abierta o cerrada entonces f ( X ) es
localmente conexo. Demostración
Primero haremos la demostración para el caso de que la función f sea
abierta. Que X sea localmente conexo significa por definición: - 125 -
Topología General
∀ x ∈ X
Capítulo 6
- 126 -
= {V ∈ N x : V conexo} es una base local esto implica a su vez que: Dado N ∈ N x existe V ∈Bx tal que x ∈ V ⊂ N Como f es continua ⇒ dado W ∈ N f ( x ) ⇒ ∃N ∈ N x tal que f ( N ) ⊂ W Y como para cada N ∈ N x existe V ∈Bx tal que V ⊂ N entonces f (V ) ⊂ f ( N ) ⊂ W Por otro lado que V ∈ N x ⇒ ∃U abierto tal que x ∈ U ⊂ V ⇒ f ( x ) ∈ f (U ) ⊂ f (V ) y como f es abierta ⇒ f (U ) es abierto ⇒ por definición de entorno que f (V ) ∈ N f ( x ) además al ser V conexo y f continua ⇒ f (V ) es conexo. B x
Entonces si consideramos B f ( x )
= { f (V ) : V ∈B} = { f (V ) : V ∈ N x , V conexo}
Se tiene que: f ( x ) tal que Para cada W ∈ N f ( x ) ⇒ ∃f (V ) ∈B f (V ) ⊂ W
lo que significa por definición que B f ( x ) es una base local donde sus elementos son conexos luego es f ( X ) localmente conexo. Ahora consideremos la hipótesis de que f es cerrada y en primer lugar observemos que f : X → f ( X ) es sobre y por lo tanto vale: ∀ A ⊂ f ( X ) , f ( f −1 ( A) ) = A Lo que vamos a probar es que para todo abierto en f ( X ) tiene sus componentes conexas abiertas. Dado A ⊂ f ( X ) abierto sea D una componente conexa de A. Como f es continua f −1 ( A) es abierto en X y como ya vimos en la demostración de la proposición 6.16 que un abierto en un espacio localmente conexo se puede escribir como unión de las componentes conexas de todos sus puntos, es decir: f −1 ( A ) =
U
α ∈ f
−1
C α
( A)
donde las componentes conexas C α ya vimos que son abiertas. Y como D ⊂ A ⇒ f −1 ( D ) ⊂ f −1 ( A) ⇒ f −1 ( D ) = f −1 ( A) I f −1 ( D ) y sustituyendo f −1 ( D ) =
U
α ∈ f
−1
Cα I f
−1
(D)
( A)
Supongamos que Cα I f −1 ( D ) ≠ φ lo que significa que.
- 126 -
Topología General
Espacios Conexos
- 127 -
x ∈ Cα ⇒ f ( x ) ∈ f ( C α ) ∃ x ∈ Cα I f −1 ( D ) ⇒ ⇒ f ( x ) ∈ f (Cα ) I D −1 −1 x f D f x f f D D ∈ ⇒ ∈ = ( ) ( ) ( ) ( ) Luego f ( Cα ) I D ≠ φ
Por otro lado como C α es componente conexa de f −1 ( A) implica que: Cα
⊂
f −1 ( A) ⇒ f ( Cα ) ⊂ f ( f −1 ( A ) ) = A
Como C α es conexo y f es continua ⇒ f ( C α ) es conexo en A pero como D es componente conexa de A y f ( Cα ) I D ≠ φ ⇒ f ( Cα ) ⊂ D Demostramos que Si Cα I f −1 ( D ) ≠ φ ⇒ Cα ⊂ f −1 ( D ) entonces podemos escribir: f −1 ( D ) =
U Cα I f
−1
C α
( D ) ≠φ
y por ser unión de abiertos es abierto por lo tanto C f −1 ( D ) es cerrado C
y como f −1 ( D ) = f −1 ( D C ) entonces como f es cerrada f
Luego D es abierto.
f −1 ( D C ) = D C 3 1424 cerrado cerrado {
Sea X un espacio topológico, x, y ∈ X Un camino de x a y en X es una función f : [0,1] → X continua y tal que: f ( 0 ) = x f (1) = y Definición 6.7
Definición 6.8 Se dice que un X espacio topológico, x, y ∈ X están conectados por caminos si existe un camino de x a y . Anotamos x : C y Definición 6.9 Decimos que un espacio topológico X es conexo por caminos si : x : C y ∀x, y ∈ X
A ⊂ X
decimos que A es conexo por caminos si lo es como espacio al considerar sobre él la topología relativa. Proposición 6.19 Si x e y están conectados por caminos implican que están conectados.
- 127 -
Topología General
Capítulo 6
- 128 -
x : C y ⇒ x : y
Por hipótesis como estar conectados por caminos implica que tenemos una función continua f : [0,1] → X y como [0,1] es conexo y f continua implica que f ([0,1]) es conexo y contiene a x e y ⇒ por definición que x está conectado con y.
Demostración
Corolario 6.20 Si el espacio topológico X es conexo por camino entonces X es conexo X conexo por ca min os ⇒ conexo
Demostración Por definición si X es conexo por se tiene que x : C y ⇒ x : y ⇒ que X es conexo
camino entonces ∀ x, y ∈ X
{
prop.6.11
El recíproco no vale ver ejemplo 6.13 Proposición 6.21 Estar conectados por camino ( : C ) es una relación de equivalencia.
Demostración a) f : [ 0,1] → X
definido f ( t ) = x ∀t ∈ [0,1] ⇒ x : C x b) f : [0,1] → X cont. con f ( 0 ) = x f (1) = y Sea g : [0,1] → X dado por g ( t ) = f (1 − t ) ∀t ∈ [0,1] ⇒ g es continua y g ( 0 ) = f (1) = y g (1) = f ( 0 ) = x
⇒ y : C x
c) f , g : [0,1] → X continuas tal que:
f ( 0 ) = x f 1 = y = g 0 ( ) () g (1) = z Consideremos h : [ 0,1] → X definidas por :
g f
f ( 2t ) si t ∈ [0, 12 ] h ( t ) = g ( 2t − 1) si t ∈ [ 12 ,1] el recorrido de x a y , y a z lo tenemos que hacer el doble de rápido. - 128 -
z x
Topología General
Espacios Conexos
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H es continua ya que es la cocatenación de funciones continuas y f (1) = g ( 0 )
con
h ( 0 ) = f ( 0) = x h 1 = g 1 = z () ()
luego x : C y .
La relación de equivalencia de estar conectado por camino establece una partición en clases de equivalencia que llamamos componente conexa por camino de X. Anotamos CC x para referirnos a la componente conexa por camino de x. Definición 6.10
Proposición 6.22 El espacio topológico X es conexo por caminos si y solo sí tiene una única componente conexa por camino.
Demostración Por definición tenemos que X es conexo por camino si y solo todo x, y ∈ X , x ∼C y entonces si fijo x implica que y ∈ CC x ∀y ∈ X ⇒ X
sí para
⊂ CC x
como la otra inclusión es obvia entonces son iguales CC x = X luego tiene solo una componente conexa. Proposición 6.23 Sea X un espacio topológico entonces las componentes conexas por camino están incluidas en las componentes conexas de X.
CC x Demostración
es decir:
⊂ C x
Esto es porque estar conectados por camino implica estar conectado Si y ∈ CC x ⇒ y : C x ⇒ y : x ⇒ y ∈ C x {
Prop. 6.19
Luego CC x
⊂ C x
Proposición 6.24 Dado X espacio topológico, sea x ∈ X entonces la componente conexa por camino CC x es el mayor subconjunto conexo por camino que contiene a
x. Demostración CC x que
es el mayor conexo por camino, implica que, por un lado es el mayor en el sentido que contiene a todo conjunto conexo por camino y que él es conexo por camino. Lo demostraremos por separado:
- 129 -
Topología General
Capítulo 6
- 130 -
A ⊂ X conexo por camino ∀ y ∈ A ⇒ y : C x en A ⇒ se puede unir y
y x ∈ A entonces por definición con x mediante un camino en A, pero como A ⊂ X se puede unir y con x por medio de un camino en X . ⇒ y ∈ CC x . Luego a)
Si
A ⊂ CC x
b) CC x es conexo por camino. Tenemos que probar que no puede suceder A lo que está representado en la figura en punteado, es decir que el camino no sale de CC x x y la componente conexa CC x . Dado un camino σ en X con σ ( 0 ) = x llamemos I = [0,1] todos los puntos del X σ ( I ) = {σ ( s ) ∈ X : s ∈ I } camino son entonces todos los puntos σ ( s ) ∈ σ ( I ) pueden ser unidos con x por el camino σ ′ ( t ) definido como sigue: σ ′ ( 0 ) = σ ( 0 ) = x σ ′ ( t ) = σ ( st ) = σ ′ (1) = σ ( s ) Luego σ ( s ) : C x ∀s ∈ I ⇒ σ ( s ) ∈ CC x ∀s ∈ I es decir que σ ( I ) ⊂ CC x ⇒ CC x es conexa por caminos en X. Proposición 6.25 Si X es un espacio topológico conexo por camino y f es una función continua entonces f ( X ) es conexa por camino.
Sean f ( x ) , f ( y ) ∈ f ( X ) al ser X conexo por camino implica que para todo x, y ∈ X se cumple x : C y ⇒ existe h : [0,1] → X continua y tal que: h ( 0 ) = x h 1 = y entonces sea f o h : [ 0,1] → f ( X ) () que es continua por ser composición de continuas y tal que: ( f o h )( 0 ) = f ( h ( 0 ) ) = f ( x ) f o h 1 = f h 1 = f y ⇒ f ( x ) : C f ( y ) )( ) ( ) ( ( )) ( Luego f ( X ) es conexo por camino.
Demostración
Ejemplo 6.13 Sea X = A U B ⊂ ¡ 2
con A = {0} × [ 0,1] y B = {( x, sen xπ ) : x ∈ ( 0,1]} - 130 -
Topología General
Espacios Conexos
- 131 -
Para todo los puntos de B se tiene que hay un camino que los conecta que es el propio gráfico de sen ( xπ ) Luego B es conexo por camino ⇒ es conexo. Además A ⊂ B entonces como B ⊂ X ⊂ B ⇒ que X es conexo. Probaremos que X no es conexo por camino. Para lo que consideramos un camino que llamamos α ( t ) definido α : [ 0,1] → X tal que. α ( 0 ) = ( 0,1) es decir que partimos del punto (0,1) de A. Llamemos α ( t ) = (α1 ( t ) ,α 2 ( t ) ) empezamos a movernos en el conjunto A y queremos saber en que momento dejamos él mismo para ello definimos : t0 = sup {T ∈ [ 0,1] : α1 ( t ) = 0 ∀t ≤ T } Como α1 es continua y {0} es cerrado ⇒ α1−1 ({0}) es cerrado ⇒ t 0 ∈ α1−1 ({0}) ⇒ α1 ( t 0 ) = 0 Si t0 = 1 ⇒ ∀t ≤ 1 α1 ( t ) = 0 es decir que no salimos del conjunto A ⇒ α ([ 0,1]) ⊂ A Supongamos que t 0 < 1 . Como α es continua: Dado ε > 0 ∃δ > 0 tal que si t − t 0 < δ entonces α ( t ) − α ( t 0 )
<ε
Sea t1 tal que t 1 − t 0 < δ entonces α ( t1 ) ∈ B I B (α ( t0 ) , ε )
pero tenemos que existe t ∈ ( t0 , t1 ) tal que α1 ( t ) =
1 y para este t 3 2 + 2n
1 , 1 − ∉ B (α ( t 0 ) , ε ) 2 + n 3 2 Luego t 0 < 1 nos lleva a un absurdo por lo tanto t 0 = 1 ⇒ que no podemos salimos α (t ) =
de A. Lo que implica que no es conexo por camino. Además sus componentes conexas por camino son A y B ( B no es cerrado) Mientras que componente conexa hay una sola, ya que X es conexo. Definición 6.11 Sea X un espacio topológico decimos que es localmente conexo por caminos si todo punto x ∈ X tiene una base de entornos conexos por caminos.
- 131 -
Topología General
Capítulo 6
- 132 -
Anotamos lcc Proposición 6.26 Sea X un espacio topológico las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) X es lcc 2) Si A ⊂ X abierto entonces las componentes conexas por camino de A son abiertas. 3) Existe una base de X cuyos miembros son conexos por camino.
Demostración 1) ⇒ 2) Si X es localmente conexo por camino B x
⇒ ∀ x ∈ X se tiene :
= {V ∈ N x : V conexo por camino}
Sea A abierto y C una componente conexa por camino de A.( C ⊂ A ) Tomemos x ∈ C al ser A abierto implica que es entorno de todos sus puntos, como x ∈ A ⇒ A ∈ N x por definición de base local ⇒ ∃V ∈B x tal que x ∈ V ⊂ A . Como V es conexo por camino y tiene a x en común con C entonces:
∀ y ∈ V ⇒ y : C x ⇒ y ∈ C ⇒ V ⊂ C {
{
x∈V
x∈C
en resumen ∀ x ∈ C ∃V ∈ N x tal que V ⊂ C por lo tanto C es abierto. 2) ⇒ 3) Sea B = { A ∈ τ : A es conexo por camino} Si B es abierto por hipótesis las componentes conexas por camino de B son abiertas llamemos a estas CC x B para x ∈ B entonces: B =
U CC
B x
x∈B
y por ser los CC x B conexos y abiertos ⇒ CC x B ∈B ∀x ∈ B luego todo abierto se puede escribir como unión de elementos de B ⇒ es una base. 3) ⇒ 1) Sea B una base de conexos por caminos, x ∈ X , definimos. B x = {V ∈ B : x ∈ V } implica queB x es una base de entornos conexos por camino de x ya que si V ∈B ⇒ V es abierto y como x ∈ V ⇒ V ∈ N x y conexo por camino. Proposición 6.27 Si X es un espacio topológico localmente conexo por camino entonces las componentes conexas por camino CC x de x, son abiertas y cerradas
∀ x ∈ X . Por la proposición anterior 2) si tomamos A = X tenemos que las componentes conexas por camino de X son abiertas.
Demostración
- 132 -
Topología General
Espacios Conexos
- 133 -
C
Sea x0 ∈ ( CC x ) ⇒ x0 : C x como el espacio es localmente conexo por camino implica que existe N ∈ N x0 con N conexo por camino ∀ y ∈ N supongamos que y : C x como y : C x0 ⇒ x : C x0 C C Luego y : C x ⇒ y ∈ ( CC x ) ⇒ N ⊂ ( CC x ) o sea que el complemento es abierto y por lo tanto la componente conexa por camino es cerrada. Proposición 6.28 Sea X un espacio topológico localmente conexo por camino entonces: X es conexo si y solo sí, X es conexo por camino.
Demostración ⇐ ya está demostrado en la proposición 6.20 ⇒ Sea x ∈ X y CC x su componente conexa por camino
que por la proposición anterior es abierta y cerrada luego como por hipótesis X es conexo, entonces usando proposición 6.1(2) CC = φ ⇒ x CC x = X y como CC x es no vacía ya que x ∈ CC x ⇒ CC x = X
Es decir que X tiene solo una componente conexa por camino ⇒ es conexo por camino (por proposición 6.22). Ejemplo practico Sea X un espacio topológico y A ⊂ X . Sea C ⊂ X un conjunto conexo tal que C I A ≠ φ y C I AC ≠ φ . Probar que C I ∂A ≠ φ
Demostración
Supongamos por absurdo que
C I ∂A = φ
primero que nada observemos que C I A \ ∂A = C I A − C I ∂A = C I A 123 =φ
y como A \ ∂A = Ao ⇒ es abierto en X pero esto a su vez implica que C I A es abierto en C y distinto del vacío por hipótesis. Por otro lado como ∂ A = ∂AC ya que por definición:
∂ A = A I AC
y entonces aplicando la definición al complemento se tiene - 133 -
Topología General
Capítulo 6
- 134 -
C
∂ AC = AC I ( A C ) = AC I A = ∂A luego podemos hacer el mismo razonamiento que más arriba para C I AC . C C C C C C I A \ ∂A = C I A − C I ∂A = C I A {
=∂ A 1 424 3 =φ
o
y como AC \ ∂AC = ( AC ) que es abierto en X luego C I AC es abierto en C y distinto del vacío por hipótesis. Es decir que en resumen tenemos que los conjuntos C I A y C I AC son abiertos no vacíos en C y disjuntos por serlo A y AC tales que: C
= ( C I A ) U ( C I AC )
lo cual es absurdo por ser C conexo. Luego tiene que ser C I ∂A ≠ φ
- 134 -
Capítulo 7 Espacios Métricos Completos Definición 7.1 Una sucesión { xn } es de Cauchy en un espacio métrico ( E , d ) Dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple:
si:
d ( xm , xn ) < ε Proposición 7.1 Si una sucesión { xn } es convergente entonces es de Cauchy
Demostración
Si xn → x ⇒ Dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0 d ( xn , x ) <
ε
2 entonces si n, m ≥ n0 aplicando la desigualdad triangular d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , x ) + d ( xm , x) < ε 1 424 3 1 424 3 <
ε
<
2
ε
2
Proposición 7.2 Una sucesión de Cauchy que tiene una subsucesión convergente es convergente.
Demostración
Sea { xn } de Cauchy ⇒ dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n, m ≥ n0 se
cumple d ( xn , xm ) <
ε
2
Por hipótesis xn → x ⇒ Para el ε anterior ∃k0 ∈ ¥ tal que ∀nk ≥ nk 0 se tiene que: k
d ( xnk , x ) <
ε
2 Sea n%0 ≥ max {n0 , nk 0 } entonces para todo n > n%0 existe nk > n%0 (por definición de subsucesión) tal que:
Topología General
Capítulo 7 d ( xn , x ) ≤ d ( xn , xnk
- 136 -
ε ε ) + d ( xn , x ) < + < ε
2 2
k
y por lo tanto xn → x
Proposición 7.3 Sea ( E , d ) un espacio métrico y una sucesión { xn } ⊂ E de Cauchy
entonces { xn } está acotada.
⇔ para algún K > 0 se tiene: sup {d ( xn , xm ) : m, n ∈ ¥} < K Tomemos ε = 1 y apliquemos la definición de Cauchy para ese ε ⇒ ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple: d ( xn , xm ) < 1
Demostración Primero observemos que { xn } acotada
A partir de n0 la sucesión está acotado por 1 y como los n0 primeros también están acotados por ser éste un conjunto finito. Luego existe M positivo tal que: M = sup {d ( xi , xn0 ) : i ≤ n0 } Entonces si i ≤ n0 y m ≥ n0 d ( xi , xm ) ≤ d ( xi , xn0 ) + d ( xn0 , xm ) < M + 1 1424 3 14243 < M
<1
por lo tanto d ( xn , xm ) < M + 1 ∀n, m ∈ ¥ El recíproco no es cierto vasta con ver el siguiente ejemplo 7.1 Una sucesión puede ser acotado como ( −1)n y no ser de Cauchy como se puede ver claramente.
Ejemplo
Proposición 7.4 Sea f : E → F una función uniformemente continua si { xn } ⊂ E es
de Cauchy entonces { f ( xn )} es de Cauchy.
ser f uniformemente continua implica que dado ε > 0 ∃δ > 0 tal entonces d ( f ( x ) , f ( y)) < ε como { xn } es de Cauchy implica que para ese δ > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n, m ≥ n0 se tiene d ( xn , xm ) < δ luego
Demostración Por que si d ( x, y ) < δ
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Topología General
Espacios Métricos Completos
- 137 -
d ( f ( xn ) , f ( xm ) ) < ε
por lo tanto { f ( xn )} es de Cauchy. 7.2 Una función que es solo continua no lleva sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy como muestra el siguiente ejemplo. 1 1 Sea f : ( 0,1) → ¡ tal que f ( x ) = es continua en ( 0,1) y { xn } = es de Cauchy
Ejemplo
{n }
x
pero { f ( xn )} = {n} no es de Cauchy. Esto nos muestra que la noción de que una sucesión sea de Cauchy no es una propiedad topológica ya que solo se conserva por homeomorfismos uniformes (que sean uniformemente continuos). 7.3 Toda sucesión de Cauchy no tiene porque ser convergente por ejemplo 1 1 n en ( 0,1) es de Cauchy pero no converge en ese espacio. Otro ejemplo 1 +
Ejemplo
{n }
n
en los racionales ¤ es de Cauchy pero claramente no converge en los racionales. Es decir que la convergencia esta sujeto a lo que sucede en el espacio ( si le faltan puntos por ejemplo ). Nos va a interesar el estudios de aquellos espacios métricos en que las sucesiones de Cauchy sean convergentes y por eso introducimos la siguiente definición Un espacio métrico ( E , d ) es completo si toda sucesión de Cauchy en E es convergente. Definición 7.2
Ejemplo7.4
Los reales son un espacio métrico completo. Los racionales ya vimos que no y el intervalo [ 0,1] es completo mientras que ( 0,1) no es completo porque { 1 n} es de Cauchy y converge a cero que no pertenece al intervalo. Proposición 7.5 Sea E y F espacios métricos, f : E → F continua, biyectiva y con inversa uniformemente continua entonces si E es completo implica F es completo.
Sea { yn } ⊂ F de Cauchy por proposición anterior (7.4) aplicado a la función inversa. ⇒ { f −1 ( yn )} es de Cauchy y como { f −1 ( yn )} ⊂ E que es
Demostración
completo por hipótesis, luego f −1 ( yn ) → e ∈ E y como f es continua : f −1 ( y n ) ) → f ( e ) ( 14243
f
= yn
- 137 -
Topología General
Capítulo 7
- 138 -
como f ( e ) ∈ F demostramos entonces que yn → f ( e ) ∈ F converge en F ⇒ que F es completo. Corolario 7.6 Sean E y F son isométricos entonces E es completo si y solo sí F es completo.
Como las isometrías son funciones uniformemente continuas y como las inversas de isometrías son isometrías tenemos que su inversa también es uniformemente continua. Luego se puede aplicar la proposición anterior tanto en el directo como en el recíproco. Vamos a ver ahora dos proposiciones que relacionan el ser completo con ser cerrado
Demostración
Proposición 7.7 Sea ( E , d ) un espacio métrico completo y F F es completo.
⊂ E cerrado entonces
Tomemos una sucesión de Cauchy { xn } en F y como F ⊂ E dicha sucesión es de Cauchy en E ⇒ xn → x ∈ E . Tenemos entonces que existe una sucesión { xn } ⊂ F tal que xn → x luego por la proposición 3.2 x ∈ F = F ⇒ { xn } converge en F ⇒ F es completo.
Demostración
{
cerrado
Proposición 7.8 Sea ( E , d ) un espacio métrico, y F cerrado.
⊂ E completo
entonces F es
Demostración Tomemos x ∈ F implica por proposición 3.2 que existe una sucesión { xn } ⊂ F tal que xn → x como F es completo y la sucesión está en F entonces { xn }
converge en F ⇒ x ∈ F luego F ⊂ F como la otra inclusión se cumple siempre F = F y por lo tanto F es cerrado. Proposición 7.9 Sean E y F dos espacios métricos consideremos el espacio producto E × F con cualquiera de las métricas ( d1 , d 2 , o d ∞ ) se tiene que es
completo si y solo sí lo son E y F.
Recordemos primero que dichas métricas son equivalentes ya que 2d1 ( x, y ) ≤ d ∞ ( x, y ) ≤ d1 ( x, y ) lo que equivale a: d d d B 1 ( x, ε ) ⊂ B ∞ ( x, ε ) ⊂ B 1 ( x, 2ε )
Demostración
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B
B
d 1
d 1
B
d ∞
Topología General
Espacios Métricos Completos
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y 2 d 2 ( x , y ) ≤ d ∞ ( x, y ) ≤ d 2 ( x , y ) lo que equivale d d d B 2 ( x, ε ) ⊂ B ∞ ( x, ε ) ⊂ B 2 ( x, 2ε ) Todas las métricas son equivalentes
B
d 2
B
d ∞
d 2
B Consideremos la función identidad Id : ( E × F , d ∞ ) → ( E × F , d i ) Con i = 1,2 estas funciones son continuas , biyectivas y con inversa uniformemente continua. Entonces ( E × F , d i ) es completo si y solo sí ( E × F , d ∞ ) es completo. Demostremos solo entonces que ( E × F , d ∞ ) es completo. ⇒ Consideremos una sucesión de Cauchy { xn } ⊂ E por definición ⇒ dado ε > 0 entonces existe n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple d E ( xn , xm ) < ε Sea y0 ∈ F fijo y consideremos la función h : E → ( E × F , d∞ ) definida por h ( x ) = ( x, y0 ) h es una inmersión isométrica ya que d ∞ ( h ( x ) , h ( x′) ) = max {d E ( x, x′ ) , dE ( y0 , y0 )} = dE ( x, x′ ) entonces aplicando la proposición 7.4 por ser la inmersión isométrica uniformemente continua {h ( xn )} = {( xn , y0 )} es de Cauchy en E × F luego
xn → x y0 → y = y0
( xn , y0 ) → ( x, y ) ⇒
luego ( E , d E ) es completo. Análogamente con ( F , d F ) ⇐ Si ( E , d E ) y ( F , d F ) son completos y consideramos una sucesión de Cauchy {( xn , yn )} en el producto ( E × F , d ∞ ) como: d E ( xn , xm ) ≤ d ∞ [( xn , yn ) , ( xm , ym )] = max {d E ( xn , xm ) + d F ( yn , ym )} al ser {( xn , yn )} de Cauhy se tiene que para cada ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0 d E ( xn , xm ) ≤ d ∞ [ ( xn , yn ) , ( xm , ym )] < ε por lo tanto al ser d ( xn , xm ) < ε ∀m, n ≥ n0 ⇒ { xn } es de Cauchy en E De la misma forma { yn } es de Cauchy en F entonces como E y F son completos xn → x en E ⇒ ( xn , yn ) → ( x, y ) en E × F yn → y en F
- 139 -
Topología General
Capítulo 7
- 140 -
Lema 7.10 Sea ( E , d ) un espacio métrico y en el xn
→x e
yn
→y
entonces
d ( xn , yn ) → d ( x, y ) es decir lim n d ( xn , yn ) = d ( x, y )
Es como que podemos pasar del límite de la distancia al límite de sus componentes Demostración Si xn → x ⇒ para cada ε
> 0 ∃n1 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n1 se cumple d ( xn , x ) < ε y que yn → y ⇒ para cada ε > 0 ∃ n2 ∈ ¥ tal que ∀ n ≥ n2 se cumple d ( yn , y ) < ε entonces si tomamos n0 = max {n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se cumple: d ( xn , yn ) − d ( x, y ) ≤ ≤ d ( xn , yn ) − d ( xn , y ) + d ( xn , y ) − d ( x, y ) ≤ ≤ d1424 ( yn , y ) + d ( xn , x ) < ε 3 1 424 3 <ε 2
<ε 2
luego ( xn , yn ) → ( x, y ) Proposición 7.11 Sean E y F espacios métricos y consideremos: B ( E , F ) = { f : E → F acotadas}
con la métrica d ( f , g ) = sup {d ( f ( x ) , g ( x )) : x ∈ E} sea el espacio métrico ( B ( E , F ) , d ) entonces Si F es completo ( B ( E , F ) , d ) es completo. Demostración
Sea una sucesión { f n } de Cauchy en ( B ( E , F ) , d ) lo que significa
que Dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n, m ≥ n0 d ( f n , f m ) <
ε
2
pero por definición de distancia d ( f n , f m ) = sup {d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) : x ∈ E} entonces por definición de supremos
∀ x ∈ E
d ( f n ( x ) , f m ( x )) ≤ d ( f n , f m ) <
luego { f n ( x )} es de Cauchy en F y como F es completo - 140 -
ε
2
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 141 -
⇒ f n ( x ) → f ( x ) ∈ F Por otro lado si { f n } es de Cauchy implica que está acotado para todo n en particular para n0 ∃k > 0 tal que d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y )) < k ∀x, y ∈ E entonces ∀n, m ≥ n0 d ( f n ( x ) , f m ( y ) ) ≤ d ( f n ( x ) , f n0 ( x ) ) + d ( f n0 ( x ) , f n0 ( y ) ) + d ( f n0 ( y ) , f m ( y ) ) < k + ε 1442443 144 42444 3 144 42444 3 < k
<ε 2
<ε 2
Llamemos a k + ε = L y ∀m, n ≥ n0 entonces Tenemos que hemos demostrado que ∀ x, y ∈ E d ( fn ( x ) , fm ( y ) ) < L por el lema anterior pasamos al límite lim d ( f n ( x ) , f m ( y ) ) = d ( f ( x ) , f m ( y ) ) ≤ L n →∞
luego tenemos que ∀ x, y ∈ E lim d ( f ( x ) , fm ( y )) = d ( f ( x ) , f ( y )) ≤ L m →∞
o sea que
∀ x, y ∈ E
d ( f ( x ) , f ( y )) ≤ L
lo que implica que f ∈ B ( E , F ) retomando el hecho de que { f n } es de Cauchy en ( B ( E , F ) , d ) y que esto implica d ( f n ( x ) , f m ( x ) ) ≤ sup {d ( f n ( x ) , f m ( x )) : x ∈ E} = d ( f n , f m ) <
por el lema anterior pasando al límite ε
por lo tanto
ε
3
ε
lim d ( f n ( x) , f m ( x ) ) = d ( f ( x ) , f m ( x ) ) ≤ < n →∞ 3 2
∀ x ∈ E
d ( f ( x ), fm ( x )) <
ε
2 si dicha desigualdad se cumple para todo x de E entonces también se cumple para el supremo ε
sup {d ( f ( x ) , f m ( x ) ) : x ∈ E} ≤ < ε 2 P d ( f m , f ) < ε luego f m → f y se tiene que ( B ( E , F ) , d ) es completo. Corolario 7.12 El conjunto de la funciones continuas Cb ( E , F ) es completo
- 141 -
Topología General
Capítulo 7
- 142 -
Demostración Ya vimos que el conjunto Cb ( E , F ) = { f : E → F : continuas y acotadas} ⊂ B ( E , F )
y el conjunto de las funciones continuas es cerrado (proposición 3.16) en un conjunto que es completo entonces es completo. Definición 7.3 Dada una función f continua de f a una función
f% : X Proposición 7.13 Sea f
: A → Y continua, A ⊂ X llamamos extensión
→ Y tal que f% | A =
f
: X → N una función uniformemente continua definida en
un subconjunto denso de un espacio métrico M ( X
= M )
y tomando valores en un
espacio métrico completo N Entonces existe una única extensión continua f% : M
→ N
% es uniformemente continua y además si f es una de f, donde f
inmersión isométrica entonces f % también y además
Im f% = Im f
Demostración
Dado x ∈ M
= X ⇒ ∃{xn } ⊂ M tal que
xn
→x X
Luego definimos f% ( x ) = lim f ( xn )
f %
= M
N
xn → x
esta definición tiene sentido si { f ( xn )} es f X convergente y además este límite no cambia cuando consideramos otra sucesión que converge a x. 1) Por ser { xn } convergente es de Cauchy y como f es uniformemente continua se tiene que { f ( xn )} es de Cauchy en N que es completo luego converge. 2) Por ser f uniformemente continua para cada ε > 0
∃δ > 0 tal que si d ( x, y ) < δ entonces Si
d ( f ( x ) , f ( y )) <
∃n1 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n1
→ x { xn } ⊂ X ⇒ yn → x { yn } ⊂ X ∃n2 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n2 xn
Sea n0 = max {n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 Como d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , x ) + d ( yn , x ) < δ entonces - 142 -
ε
2
d ( xn , x ) <
δ
d ( yn , x ) <
δ
2 2
Topología General
Espacios Métricos Completos d ( f ( xn ) , f ( yn )) <
y por el lema 7.10 se tiene: d
( lim f ( x ) , lim f ( y )) = lim xn → x
n
n
yn → x
n
ε
2
d ( f ( xn ) , f ( y n )) ≤
es decir que d
( lim f ( x ) , lim f ( y )) < ε xn → x
n
n
yn → x
- 143 -
ε
2
<ε
∀ε > 0
luego lim f ( xn ) = lim f ( y n )
xn → x
yn → x
y dicho límite no depende de la sucesión, luego: f% ( x ) = lim f ( xn ) donde { xn } ⊂ X está bien definido xn → x
Si x, y ∈ X = M tal que d ( x, y ) <
δ
3
Sean { xn } ,{ yn } ⊂ X tal que:
∃n1 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n1
→x ⇒ yn → y ∃n2 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n2 xn
d ( xn , x ) <
δ
d ( yn , x ) <
δ
3 3
Sea n0 = max {n1 , n2 } entonces ∀n ≥ n0 se cumple d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , x) + d ( x, y ) + d ( y, yn ) < δ otra vez por la continuidad uniforme d ( f ( xn ) , f ( yn )) <
ε
2
y por el lema 7.10 ε d ( f% ( x ) , f% ( y ) ) = d ( lim f ( xn ) ,lim f ( yn )) = lim d ( f ( x n ) , f ( y n )) ≤ < ε n →∞ n →∞ n→∞ 2 luego ∀ε > 0 d ( f% ( x ) , f% ( y ) ) < ε por lo tanto f % es uniformemente continua. Si f es una inmersión isométrica se tiene lim d ( xn , yn ) = d ( x, y ) d ( f% ( x ) , f% ( y )) = lim d ( f ( xn ) , f ( yn )) = n →∞
{
f
inm. isom.
n →∞
luego f % también es una inmersión isométrica además como f% : M → f% ( M ) es sobre entonces es una isometría. Por ser f% ( x ) = lim f ( xn ) ⇒ f% ( x ) ∈ Im f ⇒ Im f% ⊂ Im f Por otro lado - 143 -
Topología General
Capítulo 7
- 144 -
Como M = X tenemos que es cerrado luego por ser f % es una isometría f% ( M ) es cerrado ⇒ Im f% = Im f % entonces como Im f ⊂ Im f%
⇒ Im f ⊂ Im f% = Im f %
luego Im f = Im f % Sea M un espacio métrico una completación de M es un par ( Mˆ , i ) ˆ es completo e i : M → M ˆ es una inmersión isométrica tal que donde M ˆ i ( M ) = M Definición 7.4
7.5 La pareja ( ¡,inc ) es una completación de ¤ ya que inc:¤ → R es una inmersión isométrica y ¤ = ¡ .
Ejemplo
Ejemplo ( X ,Id.)
7.6 Un espacio métrico completo X tiene como completación la pareja
Proposición 7.14 Si M,N son espacios métricos, N completo
f : M
→ N
uniformemente continua, ( Mˆ , i ) una completación de M entonces existe una única f% : Mˆ
→ N
uniformemente continua. Y si además f es una inmersión isométrica
entonces f % también y además: f% ( Mˆ ) = f ( M )
Im f% = Im f Demostración X
ˆ i ( M ) ⊂ M
f %
Sea
= i ( M ) ⊂ Mˆ y sea f 0 = f o i −1
i
i
−1
f
Como f es uniformemente continua implica M que f 0 también ˆ por teorema anterior existe Al ser X = M una única f% : Mˆ → N tal que f % es una extensión continua de f 0 Si x ∈ M tenemos ( f% o i ) ( x ) = f% (i ( x )) = ( f o i −1 ) (i ( x ) ) = f ( x ) f % es uniformemente continua y es una inmersión isométrica si f lo es.
- 144 -
N
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 145 -
ˆ es cerrado y como f% : Mˆ → f% ( M ˆ ) es una isometría se Como Mˆ = i ( M ) ⇒ M ˆ ) es cerrado . tiene que f% ( M Por otro lado f% ( Mˆ ) = f% (i ( M ) ) ⊂ f% (i ( M ) ) = ( f o i −1 ) (i ( M ) ) = f ( M ) Luego f% ( Mˆ ) ⊂ f ( M ) ˆ) por ser f % una extensión de f tenemos f ( M ) ⊂ f% ( M Tenemos f ( M ) ⊂ f% ( Mˆ ) ⊂ f ( M ) y por lo tanto f ( M ) ⊂ f% ( Mˆ ) ⊂ f ( M ) f ( M ) ⊂ f% ( Mˆ ) ⊂ f ( M )
es decir que f% ( Mˆ ) = f ( M ) Proposición 7.15 Sea ( M , d ) un espacio métrico. Si ( Mˆ 1 , i1 )
y ( Mˆ 2 , i2 ) son dos
completaciones de M entonces existe una isometría j : Mˆ 1 → Mˆ 2
m i1
tal que j o i1 = i2 M
i2 i1
i1 ( m )
i2
ˆ1 M
i2 ( m )
ˆ2 M
j
j
Demostración Podemos aplicar el teorema
anterior tomando f = i2 ⇒ f% = j Como además i2 es una inmersión isométrica implica que j es una inmersión isométrica y ˆ2 j ( Mˆ 1 ) = i2 ( M ) = M Como j es sobre entonces es una isometría - 145 -
M
i1−1
i1
ˆ1 M
ˆ2 M
i2 j
Topología General
Capítulo 7
- 146 -
Proposición 7.16 Todo espacio métrico tiene una completación
Consideremos un punto fijo m0 ∈ M entonces para cada x ∈ M nos definimos una función f x : M → ¡ tal que f x ( y ) = d ( y, x ) − d ( y, m0 ) f x es continua para cada x ∈ M por ser la distancia una función continua. Probaremos que está acotada
Demostración
f x ( y ) − f x ( z )
=
d ( y, x ) − d ( y, m0 ) − ( d ( z, x ) − d ( z , m0 ) )
≤ ≤ d ( y, x ) − d ( y, m0 ) + d ( z, x ) − d ( z, m0 ) ≤ ≤ d ( x, m0 ) + d ( x, m0 ) = = 2d ( x, m0 ) cte para cada x ∈ M ∀y, z Luego f x está acotada ⇒ f x ∈ C b ( M , ¡ ) y este
y
z
x
m0
último es cerrado y completo ( proposición 7.12) Definimos i : M → C b ( M , ¡ ) como i ( x ) = f x Tenemos que probar que i es una inmersión isométrica. d ( i ( x ) , i ( y ) ) = d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } y como f x ( z ) − f y ( z ) = d ( z , x ) − d ( z , m0 ) − d ( z , y ) + d ( z , m0 ) =
= d ( z , x ) − d ( z , y ) ≤ d ( x, y ) luego d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } ≤ d ( x, y )
y como para z = x se tiene f x ( x ) − f y ( x )
= d ( x, x ) − d ( x, m0 ) − d ( x, y ) + d ( x, m0 ) = d ( x, y )
por lo tanto d ( f x , f y ) = sup { f x ( z ) − f y ( z ) : z ∈ M } = d ( x, y )
es decir d ( i ( x ) , i ( y ) ) = d ( x, y )
por lo que i es una inmersión isométrica. ˆ es cerrado dentro de C b ( M , ¡ ) que es completo Consideremos Mˆ = i ( M ) como M ˆ es completo y por lo tanto el par ( Mˆ , i ) es una completación de M. entonces M
- 146 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 147 -
Proposición 7.17 (Teorema de Cantor) Sea ( M , d ) un espacio métrico entonces M
es completo si y solo sí para toda sucesión { Fn } de conjuntos cerrados no vacíos encajados, es decir Fn ⊂ F n−1 cuyo diámetro tiende a cero se tiene que existe a ∈ M tal que I Fn
= {a}
Demostración
⇒ tomemos un xn ∈ F n esto es posible por ser los F n no vacíos. Que el diámetro tienda a cero implica que dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀n ≥ n0 se cumple que diam Fn = sup{d ( x, y ) : x, y ∈ F n } < ε Ahora
∀m, n ≥ n0
xn ∈ Fn
⊂ F n ⇒ d ( xn , xm ) < diamFn < ε xm ∈ Fm ⊂ F n 0
0
0
luego
∀m, n ≥ n0
d ( xn , xm ) < ε
⇒ { xn } es de Cauchy en M que es completo luego ∃a ∈ M tal que xn → a Es decir que si tomamos B ( a, ε ) ∃n0 ∈ ¥ tal que xn ∈ B ( a, ε ) entonces B ( a, ε ) I Fn ≠ φ ∀n ≥ n0 y si n < n0 ⇒ Fn ⊂ Fn B ( a, ε ) I Fn ⊃ B ( a, ε ) I F n ≠ φ 0
0
luego B ( a, ε ) I Fn
≠ φ ∀n ∈ ¥ ⇒ a ∈ Fn =
{
F n
cerrados
es decir {a} ∈ I F n n∈¥
ahora si existiera otro {b} ∈ I Fn ⇒ a, b ∈ Fn ∀n ∈ ¥ y n∈¥
d ( a, b ) ≤ diamFn
< ε para todo ε > 0 d ( a, b ) < ε ⇒ d ( a, b ) = 0 ⇒ a = b .luego existe un único punto a ∈ M que cumple la tesis. ⇐ Sea { xn } una sucesión de Cauchy en M . Definimos
F n Fn
= { xk : k ≥ n}
xn
xn+1
Por ser la sucesión de Cauchy se cumple que ∀ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que ∀m, n ≥ n0 se cumple que
- 147 -
Topología General
Capítulo 7 d ( xn , xm ) <
- 148 ε
3
Sea Fn con n ≥ n0 y tomemos dos puntos x, y ∈ F n como x ∈ { xk : k ≥ n} entonces por definición de clausura para cualquier entorno del punto x tenemos puntos del conjunto y en particular:
∃ xl con l ≥ n ≥ n0 tal que d ( xl , x ) < análogamente para y ∈ F n
∃ xt
t
≥ n ≥ n0 tal que d ( xt , y ) <
entonces aplicando desigualdad triangular d ( x, y ) ≤ d ( x, xl ) + d ( xl , xt ) 1 424 3 1 424 3 <ε 3
ε
3
ε
3
d ( xt , y ) < ε +1 424 3
<ε 3
por ser de Cauchy y n ≥ n0
<ε 3
es decir que ∀ x, y ∈ Fn se tiene d ( x, y ) < ε entonces diam Fn = sup{d ( x, y ) : x, y ∈ F n } ≤ ε < 2ε = ε ′ y esto además se cumple ∀n ≥ n0 ⇒ diam Fn < ε ′ ∀n ≥ n0 ⇒ diamF n → 0 y por hipótesis ∃a ∈ M tal que {a} = I F n n∈¥
como a ∈ Fn y xn ∈ Fn ⇒ d ( a, xn ) ≤ diamFn < ε ′ si n ≥ n0 luego para cada ε ′ > 0 existe n0 tal que ∀n ≥ n0 se tiene d ( xn , a ) < ε ′ por definición de límite xn → a Luego M es completo. Sea M un espacio métrico y f : M → M se dice que f es una contracción si existe c ∈ ( 0,1) tal que d ( f ( x ) , f ( y ) ) ≤ c.d ( x, y ) Definición 7.5
Sea M un espacio métrico y f : M → M una función decimos que tiene un punto fijo si existe un x0 ∈ M tal que f ( x0 ) = x0 Definición 7.6
Proposición 7.18 Si f es una contracción entonces es uniformemente continua
Por ser f contracción existe c ∈ ( 0,1) para el cual se cumple la definición de contracción, y se tiene que: Dado ε > 0 si d ( x, y ) < δ ≤ ε c entonces se cumple
Demostración
d ( f ( x ) , f ( y )) ≤ c.d ( x, y ) < c.δ
que es la definición de uniformemente continua. - 148 -
=ε
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 149 -
→ M una
Proposición 7.19 Sea M un espacio métrico completo y f : M contracción entonces existe un único punto fijo por f, “a”.tal que Si x ∈ M lim f n ( x ) = a siendo f n = f o f o ... o f
14243
n
n
veces
Demostración Sea x0 ∈ M definimos
= f ( x0 ) x2 = f ( x1 ) = x1
f 2 ( x0 )
M xn
= f ( xn−1 ) = ... =
n
f ( x0 )
entonces d ( x2 , x1 ) = d ( f ( x1 ) , f ( x0 ) ) ≤ c.d ( x1 , x0 ) d ( x3 , x2 ) = d ( f ( x2 ) , f ( x1 ) ) ≤ c.d ( x2 , x1 ) ≤ c 2 .d ( x1 , x0 )
M por inducción d ( xn +1 , xn ) = d ( f ( xn ) , f ( xn −1 ) ) ≤ c.d ( xn , xn−1 ) ≤ .... ≤ c d ( x1 , x0 ) n
Sea m > n entonces d ( xn , xm ) ≤ d ( xn , xn +1 ) + d ( xn +1 , xn + 2 ) + ... + d ( xm−1 , xm ) = m −1
m −1
∑d (x , x i
i =n
i +1
)≤
m −1
≤ ∑ c d ( x1 , x0 ) = d ( x1 , x0 ) ∑ ci i
i=n
Como c ∈ ( 0,1) ⇒
i= n
∞
∑c < ∞ i
⇒ ∃n0 tal que
∞
∑ c < d ( xε, x ) i
i =n
i=1
1
0
Luego si m, n ≥ n0 se tiene d ( xn , xm ) ≤ d ( x1 , x0 )
m −1
∞
∑ c ≤ d ( x , x ) ∑ c < d ( x , x ) d ( xε, x ) = ε i
1
0
i =n
i
1
i= n
0
1
0
es decir que dado ε > 0 ∃n0 ∈ ¥ tal que si n, m ≥ n0 entonces d ( xn , xm ) < ε así { xn } es de Cauchy y por se M completo ∃a ∈ M tal que xn → a y por ser f continua. f ( xn ) → f ( a ) {
P
xn+1 → a
luego a es punto fijo.
⇒ por ser M - 149 -
T2
entonces f ( a ) = a
Topología General
Capítulo 7
- 150 -
Además si tuviera otro punto fijo b se tendría f ( b ) = b se tiene que: d ( a, b ) = d ( f ( a ) , f (b )) ≤ c.d ( a , b ) × d ( a , b ) {
si d ( a ,b ) ≠ 0
lo que es absurdo salvo que d ( a, b ) = 0 ⇒ a = b Luego el punto fijo es único. Sea M un espacio topológico y X ⊂ M se dice nunca denso en M si
Definición 7.6
o
X = φ
Sea M un espacio topológico e X ⊂ M se dice que es magro si
Definición 7.7
∞
X
⊂ U Ai con
Ai
nunca denso ∀i ∈ ¥
i =1
Ejemplo 7.7 Sea M espacio métrico entonces X o
{ x} = φ Ejemplo
= {x} es nunca denso ya que
o
⇔ { x} = φ ⇔ {x} no es abierto ⇒ x no es aislado
7.8 Sea M = ¤ racionales entonces ¤ = U { x} como {x} no es aislado x∈¤
entonces es nunca denso lo que implica que ¤ es magro. o
o
Por otro lado ¤ como subconjunto de ¡ no es nunca denso ya que ¤ = ¡ = ¡ pero sí sigue siendo magro. Ejemplo 7.9
Sea M espacio métrico A ⊂ M abierto o
o
Como ∂ A = A I A es cerrado y entonces ∂ A = ∂A = φ ya que si x ∈ A ⇒ ∀ε > 0 B ( x, ε ) I A ≠ φ C
x ∈∂A ⇒
C x ∈ A ⇒ ∀ε > 0
y B ( x, ε ) I AC
≠φ
es decir que cualquier bola de centro x contiene puntos de A y como A I ∂A = φ por ser A abierto, entonces no hay bola que este totalmente contenida en ∂ A . ⇒ Tiene interior vacío. Ejemplo 7.10
Sea M = ¡ y consideremos el conjunto de Cantor C ya vimos que o
C
o
= C = φ ⇒ C nunca denso en ¡ - 150 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
- 151 -
esto implica que es magro en ¡ ( pero más adelante veremos que no es magro en sí mismo) Observación 7.1 A
es magro si y solo sí A ⊂ U Dn con Dn cerrados con interior n∈¥
o
vacíos ya que por definición es magro si A ⊂ U F n con F n = φ pero siempre n∈¥
Fn
⊂ Fn ⇒ A ⊂ U Fn ⊂ U F n con F n cerrado. n∈¥
n∈¥
⇐ A ⊂ U Dn con Dn cerrado ⇒ Dn = Dn y como tienen interior vacío por n∈¥
o
o
hipótesis se cumple Dn = Dn = φ por definición A es magro. Observación 7.2 Todo conjunto nunca denso es magro ya que lo podemos ver como
la unión de sí mismo. Es decir es la unión numerable (un solo conjunto ) de conjuntos nunca densos (él mismo). Pero no se cumple el recíproco, por ejemplo los racionales ya dijimos que es magro pero no es nunca denso. Proposición 7.20 Sea X un espacio topológico, A ⊂ X entonces o
1) A es nunca denso en X si y solo sí ( AC ) es denso en X 2) Si A es cerrado, A nunca denso si y solo sí AC es denso. Demostración B
C
=A y
C
o
Sea B = ( A) ⇒ por lema 2.13 (a) B = ( AC ) por otro lado como o
A
o
C
nunca denso ⇔ A = φ ⇔ ( B C ) = φ ⇔ ( B ) = φ ⇔ B = X ⇒ B es
denso en X . C o 2) Si A es cerrado , y A nunca denso ⇔ por 1) ( AC ) es denso ⇔ ( A ) es denso ⇔ como A es cerrado entonces AC es denso en X. Proposición 7.21 (Teorema de Baire) Sea M un espacio métrico completo y U n es denso en {U n }n∈¥ una familia numerable de abiertos densos en M entonces
I
M. Demostración
Vamos a probar que ∀ x ∈ M y r > 0 entonces B ( x, r ) I ( IU n ) ≠ φ Dado entonces x ∈ M , r > 0 Sea B1 = B ( x, r ) como U 1 es denso ⇒ ∃ x2 ∈ U1 I B1 además por ser U 1 y B1 abierto ⇒ U1 I B1 es abierto y entonces existe r 1 > 0 tal que
- 151 -
Topología General
Capítulo 7
- 152 -
B ( x2 , r1 ) ⊂ U1 I B1
⊂ B1
1 r 1 , entonces B ( x2 , ε 2 ) ⊂ B ( x2 , r 1 ) 2 2 Llamemos B2 = B ( x2 , ε 2 ) se tiene que: B2 ⊂ U 1 I B1 ⊂ B1 ⊂ B1 es decir B2 ⊂ B1 a su vez como U 2 es denso ⇒ ∃ x3 ∈ U 2 I B2 y por ser U 2 y B2 abiertos ⇒ U 2 I B2 es abierto luego igual que antes existe r 2 > 0 tal que: B ( x3 , r2 ) ⊂ U 2 I B2 ⊂ B2 1 r Sea ε 3 = min , 2 ⇒ B ( x3 , ε 3 ) ⊂ B ( x3 , r 2 ) 3 2 Llamemos B3 = B ( x3 , ε 3 ) se tiene que: B3 ⊂ B ( x3 , r2 ) ⊂ U 2 I B2 ⊂ B2 ⊂ B2 De esta forma tenemos { xn } , ε n tales que Bn = B ( xn , ε n ) con ε n < 1n y Bn ⊂ B n−1 cerrados no vacíos y como U n es denso tenemos que existe xn+1 ∈ U n I Bn y por ser U n y Bn abiertos U n I Bn es abierto ⇒ ∃r n > 0 tal que B ( xn+1 , rn ) ⊂ U n I Bn 1 r Sea ε n+1 = min , n ⇒ B ( xn+1 , ε n+1 ) ⊂ B ( xn+1 , rn ) ⊂ U n I Bn n 2 Llamemos Bn+1 = B ( xn+1 , ε n+1 ) se tiene que: Bn+1 ⊂ U n I Bn ⊂ Bn ⊂ Bn obtenemos una sucesión de cerrados encajados no vacíos cuyo diámetro cumple: diam Bn < 2n ⇒ diamBn → 0 entonces podemos aplicar el teorema de Cantor es decir que existe a ∈ M tal que Sea ε 2 = min
{ }
{ }
{ }
a∈
I∈ B
n
n ¥
Entonces:
∀n ∈ ¥ a ∈ Bn+1 ⊂ U n I Bn ⊂ U n ⇒ a ∈ I U n n∈¥ ⇒ a ∈ B1 I ( IU n ) a ∈ Bn+1 ⊂ Bn ⊂ ... ⊂ B2 ⊂ U1 I B1 ⊂ B1 ⇒ a ∈ B1
Por lo tanto IU n es denso en M. Una forma diferente de enunciar el teorema de Baire es el siguiente corolario o
Corolario 7.22 Sea M un espacio métrico completo y F es magro entonces F es vacío.
- 152 -
Topología General
Espacios Métricos Completos
Demostración F magro si F
⊂ U Dn con Dn cerrado y
o
Dn
- 153 -
= φ ver observación 7.1
o
Sea D = U Dn afirmamos que D = φ ya que D
C
C
= (U Dn ) = I DnC
como Dn es cerrado ⇒ DnC es abierto, por la proposición 7.20 por ser Dn nunca o
denso entonces ( DnC ) es denso ⇒ DnC es denso, por el teorema de Baire, al ser M un espacio métrico completo la intersección numerable de abiertos densos es denso. Es decir que D C = I DnC es denso
D C = X lema 3.13 b o o ⇒ o C ⇒ F ⊂ D ⇒ F ⊂ D = φ o D = X ⇒ D = φ Corolario 7.23 Si M es un espacio métrico completo entonces no es magro en sí mismo.
Demostración
Si M fuera magro en M por corolario anterior o
M
= M = φ
lo que es un absurdo. Corolario 7.24 Sea M un espacio métrico tal que M
entonces existe n0 ∈ ¥
F n es cerrado
o
tal que F n0 ≠ φ o
Demostración
= U Fn y
o
Si no fuera así se tendría que Fn = Fn = φ ∀n ∈ ¥ ⇒ nunca denso {
cerrado o
lo que quiere decir que M es magro y por corolario 7.23 ⇒ M = φ El teorema de Baire como alguno de sus corolarios siguen siendo verdaderos si sustituimos la hipótesis de espacio métrico por la de espacio topológico homeomorfo a un espacio métrico completo. Observación 7.3
Un espacio topológico cualquiera se dice de Baire si todo conjunto magro tiene interior vacío Definición 7.8
- 153 -
Topología General
Capítulo 7
- 154 -
Con esta terminología y con el corolario 7.22 podemos enunciar el teorema de Baire como sigue. Proposición 7.25 Sea M un espacio métrico completo entonces es un espacio de Baire.
La terminología usada por el propio Baire era, a los espacios de Baire se les llamaba espacios de primera categoría y se decía que otro espacio que no fuera de Baire, de segunda categoría Observación 7.4
Proposición 7.26 Sea M un espacio métrico completo, A abierto entonces A es homeomorfo a un espacio métrico completo.
Demostración
Sea una función f : M → ¡ definida como: d ( x, AC ) = inf {d ( x, b ) : b ∈ AC } si x ∈ A f ( x ) =
0 si x ∈ AC
Primero que nada f es continua por ser d continua y la función 0 estando definidas en cerrados tales que su unión es todo el espacio y en los puntos comunes valen lo mismo es decir si x ∈∂A = A I AC ⇒ x ∈ AC ⇒ d ( x, AC ) = 0 (ver ejemplo 3.16 ) Además tenemos que si para algún x f ( x ) = 0 ⇒ inf {d ( x, b ) : b ∈ AC } = 0 e implica que existe bn ∈ AC tal que d ( x, bn ) <
1 n
lo que significa que bn → x ⇒ x ∈ AC = AC {
cerrado
luego si f ( x ) = 0 ⇔ x ∈ AC entonces ∀ x ∈ A ⇒ f ( x ) > 0 y definimos la siguiente función: ϕ : A → M × ¡ a → a,
1
f ( a )
es decir ϕ ( a ) = ( a, f (1a ) ) está bien definida por ser f ( a ) > 0 y es continua ya que: π 1 o ϕ ( a ) = a es continua π 2 oϕ (a) = 1
f ( a )
que tambien es continua
además Im ϕ ⊂ {( x, r ) ∈ M × ¡ : f ( x ) r = 1} y Sea ( x, r ) ∈ M × ¡ tal que f ( x ) r = 1 ⇒ f ( x ) ≠ 0 entonces existe x ∈ A tal que
- 154 -
Topología General
Espacios Métricos Completos r =
1 f ( x )
- 155 -
y luego ( x, r ) = ϕ ( x )
implica que ( x, r ) ⊂ Im ϕ luego: Im ϕ = {( x, r ) ∈ M × ¡ : f ( x ) r = 1} ahora probaremos que este conjunto es cerrado. Para ello sea {( xn , r n )}n∈¥ ⊂ Im ϕ una sucesión tal que ( xn , rn ) → ( x, r ) Ahora como los ( xn , rn ) ∈ Im ϕ ⇒ f ( xn ) r n = 1 y como f es continua f ( xn ) → f ( x ) y por se rn → r se tiene que f ( xn ) rn
→ f ( x ) r
luego ( x, r ) ∈ Imϕ por lo tanto Im ϕ es cerrado en M × ¡ que es completo luego Imϕ es completo. Además ϕ : A → ϕ ( A ) es inyectiva por ser la primer coordenada inyectiva (es la identidad). Entonces sobre su imagen es biyectiva y con inversa: ϕ −1 ( x, r ) = x que es la proyección luego es continua. Así tenemos que ϕ es un homeomorfismo de A en Im ϕ que es un espacio métrico completo. La métrico correspondiente es la inducida por M × ¡ o sea: d (ϕ ( x1 , r1 ) , ϕ ( x2 , r2 ) ) = d M ( x1 , x2 ) + r1 − r2 7.11 Sea M un espacio métrico completo con una cantidad numerable de elementos entonces de acuerdo al teorema de Baire (corolario 7.22) debe tener un punto aislado porque de lo contrario M sería magro y por lo tanto el interior de M sería vacío y esto es absurdo. En realidad M debe tener infinitos puntos aislados pues si x1 ∈ M es aislado (ya sabemos que hay uno) entonces M − { x1} es cerrado en M y por lo tanto completo (proposición 7.7) luego existe un punto aislado x2 ∈ M − { x1} y así sucesivamente. En particular todo subconjunto cerrado numerable del espacio euclidiano ¡n posee una infinidad de puntos aislados. El teorema de Baire proporciona también una demostración de que el conjunto de los números reales no es numerable, por ser un espacio métrico completo sin puntos aislados.
Ejemplo
Ejemplo 7.12 El conjunto de cantor C es cerrado en [ 0,1]
que es completo luego por proposición 7.7 es completo y como por la proposición 4.7 todos sus puntos son de acumulación, es decir no tiene puntos aislados entonces como en el ejemplo anterior no es numerable. Además C no es magro en sí mismo, por corolario 7.23, ver ejemplo 7.10. - 155 -
Topología General
Capítulo 7
- 156 -
Ejemplo practico Enunciado Un subconjunto P de un espacio topológico se llama perfecto si y solo sí es igual al conjunto de sus puntos de acumulación.
a) Probar que un espacio métrico perfecto y completo no es numerable. b) Dar un ejemplo de un espacio métrico perfecto numerable.
a) Dado un espacio métrico P sabemos que es de Hausdöff luego es T 1 y los conjuntos unipuntuales son cerrados . { x} = { x}
Todo conjunto se puede escribir como la unión de sus elementos es decir: P =
U∈ {x}
x P
Decimos que un punto es aislado si no es de acumulación; entonces un conjunto perfecto no tiene puntos aislados y como: o
{ x} = φ si { x} no es aislado
o sea que o
{ x} = φ si x es de acumulación
Entonces si P es perfecto y numerable se tiene P =
U∈ {x}
o
o
y {x} = {x} = φ
x P
es decir un conjunto perfecto P numerable es magro por ser unión numerable de conjuntos nunca densos Pero ya vimos que un espacio métrico completo no es magro en sí mismo porque sino sería vacío. Luego si P es perfecto y completo entonces no es numerable. b) Los racionales ¤ ⊂ ¡ con la topología relativa usual Primero que nada es un espacio métrico con la métrica relativa a la de ¡ en ¤ . Además es perfecto porque no contiene puntos aislados ya que todo entorno de un racional siempre contiene puntos racionales. Y los racionales son numerables. § §
§
- 156 -
Capítulo 8 Espacios Compactos Cuando un espacio topológico posee una propiedad local, es natural considerar la familia de los entornos (abiertos) donde se satisface dicha propiedad. Esta familia constituye un recubrimiento del espacio, y en el estudio de la propiedad dada es, sin duda, de gran ayuda saber que este recubrimiento puede ser reducido a uno finito. La compacidad de un espacio nos proporciona siempre un recubrimiento finito dentro de cualquier recubrimiento abierto del espacio, y ello permite, bajo ciertas hipótesis, poder pasar de lo “local” a lo “global” ; es decir, poder obtener una propiedad del espacio como consecuencia de resultados locales en un número finito de puntos. Por su naturaleza, los espacios compactos retienen muchas propiedades de los conjuntos finitos. Así, a modo de ejemplos, tenemos que toda función real continua de un espacio compacto siempre alcanza su máximo y su mínimo, y que dos subconjuntos compactos disjuntos en un espacio de Hausdörff pueden ser separados por abiertos disjuntos. Un espacio topológico X decimos que es compacto si todo cubrimiento por abiertos de X tiene un subcubrimiento finito. Definición 8.1
Si A ⊂ X decimos que es compacto si lo es con la topología relativa Proposición 8.1 Dado el espacio topológico X, A ⊂ X es compacto si y solo sí para todo cubrimiento de A por abiertos de X admite un subcubrimiento finito que lo sigue recubriendo.
Demostración
⇒ Un cubrimiento por abiertos de X con la topología relativa es una
familia de la forma
{U α I A}α∈ I donde Uα es abierto en X
si A = U (Uα I A) α ∈ I
∀α ∈ I
Topología General
Capítulo 8
- 158 -
esto es la mismo que tomar una familia {U α }α∈ I de abiertos en X tales que: A ⊂
UU
α
α ∈ I
Entonces como A es compacto con la topología relativa significa que existen (Uα1 I A) ,..., (Uα I A) con α i ∈ I ∀i = 1,..., n tal que n
n
A = U (U αi I A ) i =1
lo que es lo mismo n
A ⊂ UU αi i =1
Entonces todo cubrimiento de A por abiertos de X tienen un subcubrimiento finito que lo siguen recubriendo. Y recíprocamente: Sea A = U V α con V α abierto de la topología relativa o sea que α∈ I
Vα
= Uα I A con
abierto en X
Uα
entonces A =
U (U
α
α ∈ I
I A ) ⇒ A ⊂ U U α α∈I
entonces por hipótesis existen Uα1 ,...,Uα con αi ∈ I ∀i = 1,..., n tal que n
n
A ⊂ U Uαi i =1
n
⇒ A = U (Uα i =1
i
I A)
n
∴ A = UV α i =1
i
y por definición A es compacto 8.1 Los reales no es compacto ya que {( −n, n ) : n ∈ ¥} es un cubrimiento de ¡ por abiertos sin recubrimiento finito ¡ = U ( − n, n )
Ejemplo
n∈¥
si tuviera subcubrimiento finito l
¡ = U ( − nk , nk ) = ( − m, m ) k =1
siendo m = max {nk : k = 1,..., l} Ejemplo 8.2 Sea X finito con cualquier topología X = U α
U
α∈ I
- 158 -
Topología General
Espacios Compactos
- 159 -
sea αi ∈ I tal que xi ∈U α entonces: i
X
= U U α xi ∈X
i
que es un subcubrimiento finito por ser X finito Ejemplo 8.3 X con la topología discreta es compacto si y solo sí es finito ya que X = {x}
U
x∈X
es un cubrimiento por abiertos de X solo existe subcubrimiento finito si X es finito. 8.4 Sea X con la topología de complementos finitos tomemos un cubrimiento {U α }α∈ I por abiertos de X .
Ejemplo
X
= UU α α∈ I
tomemos un abierto cualquiera no vacío U α0 se tiene por definición de abierto en esta topología UαC0 = { x1 ,..., xn } para cada xi ∃Uα tal que xi ∈U α y entonces i
i
{Uα ,Uα ,...,U α } es un cubrimiento finito ⇒ X es compacto. 0
1
n
Ejemplo 8.5 Sea ( 0,1]
no es compacto ya que ( 0,1] = U ( 1n ,1] n∈¥
supongamos que existe un subcubrimiento finito ( 0,1] = U ( 1n ,1] n∈F
tal que F es un conjunto finito luego podemos tomar el max {n ∈ F } = m U ( 1n ,1] = ( m1 ,1] ≠ ( 0,1] ya que m1 > 0 n∈F
Proposición 8.2 ( Teorema de Heire-Borel ) Sean los reales con la topología usual entonces [ a, b ] ⊂ ¡ es compacto.
Demostración
Sea {U α }α∈ I una familia de abiertos en ¡ tal que cubren al intervalo
[ a, b ] es decir [ a, b ] = UU α
definimos el siguiente conjunto S
α∈ I
= x ∈ [ a, b ] : [ a, x ] ⊂ U Uα para algún F finito α ∈ F - 159 -
Topología General
Capítulo 8
- 160 -
con F = {α1 ,...,α n } es decir es el conjunto de los x para el cual existe un subcubrimiento finito El conjunto S no es vacío ya que a ∈ S [ a , a ] = {a} que claramente es cubierto por algún abierto por definición de cubrimiento. Además S está acotada superiormente por b, luego existe extremo superior o supremo que llamaremos c .Como c ∈ [ a, b] ⇒ ∃Uα0 tal que c ∈ Uα0 como U α0 es abierto ⇒ ∃ε > 0 tal que ( c − ε , c + ε ) ⊂ U α0 por definición de supremos ∃ s ∈ S tal que c −ε
n
< s ≤ c ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I tal que [ a, s ] ⊂ UUα i =1
entonces n
s a
[ a , c ] ⊂ UU α U U α0 i =1
i
c −ε
U α0
x c
c+ε
b
i
y por lo tanto c ∈ S . Sabemos que c ≤ b : Supongamos que c < b ⇒ ∀x tal que c < x < c + ε entonces {
x∈Uα
0
n
[ a , x ] ⊂ UU α U U α 0 i =1
i
{
⇒ x∈ S y x > c
Luego c = b ⇒ [ a, b] tiene subcubrimiento finito y luego es compacto Proposición 8.3 Sea X un espacio topológico Hausdörff , K ⊂ X compacto x ∉ K entonces existen abiertos disjuntos U ,V tales que K ⊂ U , x ∈ V
Sea y ∈ K como x ∉ K y es espacio es de Hausdörff entonces existen entornos (que podemos tomar abiertos) U y , V y tales que y ∈ U y , x ∈ Vy con U y I V y = φ tenemos que K ⊂ U U y y como K es compacto existe un subcubrimiento finito es
Demostración
y∈K
n
decir ∃ y1 ,..., yn tal que K ⊂ UU y i =1
i
n
nos definimos a U = UU y tenemos que es i =1
i
n
abierto por ser unión de abiertos por construcción y tomemos como V = IV y que i =1
i
es abierto por ser la intersección finita de abiertos y como x ∈ V y ∀y ⇒ x ∈ V además
- 160 -
Topología General
Espacios Compactos
- 161 -
z ∈ U = n U ⇒ ∃k ∈ {1,..., n} tal que z ∈ U U y y z ∈ U I V ⇒ ⇒ i =1 z ∈ V ⇒ z ∈ V y ∀i = 1,..., n ⇒ z ∈ V y i
k
i
k
z ∈ U yk I V yk
absurdo ya que por construcción estos son disjuntos. Luego U y V así obtenidos son los abiertos de la tesis.
Proposición 8.4 Dado un espacio topológico X de Hausdörff y en él dos conjuntos disjuntos K ⊂ X , L ⊂ X compactos entonces existen abiertos U ,V abiertos disjuntos tales que K ⊂ U y L ⊂ V .
Como los conjuntos K y L son disjuntos si tomamos x ∈ L ⇒ x ∉ K y podemos aplicar la proposición anterior, luego existen abiertos U x , V x tales que:
Demostración
⊂ U x y x ∈ V x
K
U x I V x
=φ
tenemos que L ⊂ U V x luego como L es compacto ∃ x1 ,..., xn tales que: x∈L
n
L ⊂ UV xi i =1
n
entonces nos definimos V = UV x que es abierto por ser unión de abiertos y i =1
i
n
U
= IU x que es abierto por ser la intersección finita de abiertos además K ⊂ U x i =1
i
para todo x lo que implica que K ⊂ U y también por construcción L ⊂ V ahora si
z ∈ V = n V ⇒ ∃k ∈ {1,..., n} tal que z ∈ V U x x z ∈ U I V ⇒ ⇒ i =1 z ∈ U ⇒ ∀i = 1,..., n z ∈ U x ⇒ z ∈ U x i
k
i
k
z ∈ U xk I V xk
absurdo ya que por construcción esos conjuntos son disjuntos. Luego U y V son disjuntos y son los que cumplen con el enunciado de la proposición. Proposición 8.5 Sea X un espacio topológico compacto, Y es compacto.
Demostración
⊂ X cerrado entonces Y
Sea {U α }α∈ I una familia de abiertos de X tales que Y
⊂ UU α α ∈ I
- 161 -
Topología General
Capítulo 8
- 162 -
como Y es cerrado Y C es abierto y entonces {Uα }α∈ I U Y C es un cubrimiento por n
abiertos de X que es compacto ⇒ ∃α1 ,...,α n ∈ I tales que {Uα }i =1 U Y C sigue siendo un recubrimiento de X (a Y C lo agregamos en caso que no integre el cubrimiento finito ) entonces se tiene: i
n
X
= UU α i =1
i
UY
C
n
⇒ Y ⊂ UU α i =1
i
entonces por la proposición 8.1 Y es compacto Proposición 8.6 Sea X un espacio topológico de Hausdörff e K entonces K es cerrado.
⊂ X compacto
Primero que nada si K = X el enunciado no aporta nada nuevo, entonces podemos considerar que existe un x ∉ K y por la proposición 8.3 existen abiertos U ,V tales que K ⊂ U , x ∈ V con U I V = φ ⇒ V I K = φ es decir que
Demostración
x ∈ V ⊂ K C ∃V abierto tal que x ∈ V ⊂ K C
luego ∀ x ∈ K C abierto ⇒ K es cerrado.
lo que quiere decir que K C es
8.6 Sea { K α }α∈ I una familia de compactos en un espacio topológico de Hausdörff entonces I K α es compacto.
Ejemplo
α ∈ I
Por la proposición anterior los K α son cerrados y por lo tanto la intersección de ellos es un cerrado tal que I Kα ⊂ Kα0 para cualquier α 0 ∈ I
Demostración
α ∈ I
luego por la proposición 8.5 ( un cerrado en un compacto es compacto) ⇒ I K α es α ∈ I
compacto.
8.7 Un conjunto K ⊂ ¡ con la topología usual es compacto si y solo sí es cerrado y acotado.
Ejemplo
Si K ⊂ ¡ es compacto como ¡ es de Hausdörff por proposición 8.6 Además es acotado porque {( −n, n ) : n ∈ ¥} es un cubrimiento por abierto de ¡ y en particular como:
Demostración K es cerrado.
- 162 -
Topología General
Espacios Compactos K
- 163 -
⊂ U ( −n, n ) n∈¥
entonces tiene un subcubrimiento finito luego: m
⊂ U ( −nk , nk )
K
k =1
m
sea m0 = max {nk : k = 1,..., m} ⇒ K ⊂ U ( − nk , nk ) ⊂ ( − m0 , m0 ) k =1
y por lo tanto K ⊂ ( −m0 , m0 ) está acotado. Recíprocamente Si K es cerrado y acotado en ¡ ⇒ ∃a, b ∈ ¡ tal que K ⊂ [a, b ] y como este último es compacto por la proposición 8.5 K es compacto. Proposición 8.7 ( Lema de Alexander ) Sea ( X ,τ ) un espacio topológico si existe S una subbase de τ tal que todo
cubrimiento por abiertos de S tiene un subcubrimiento finito entonces X es compacto. Demostración Supongamos por el absurdo que X no es compacto.
Definimos el siguiente conjunto: F = {U : U es cubrimiento de X sin subcubrimiento finito} F ≠ φ porque supusimos que X no es compacto. Ordenamos F por inclusión es decir establecemos el siguiente orden parcial: U
≤V ⇔U ⊂V
obtenemos así un conjunto (F , ≤ ) ordenado Sea {Uα }α∈ I ⊂ F linealmente ordenado (una cadena) consideremos: U
= U U α α ∈ I
Probaremos que
U
∈F para lo cual suponemos por el absurdo que no es así n
entonces existen U1 ,...,U n ∈ U tal que X = UU i pero como los U i ∈ U = U U α i =1
α ∈ I
⇒ ∃α i ∈ I tal que U i ∈ U α ∀i = 1,..., n pero por orden lineal existe α 0 ∈ {α 1 ,...,α n } tal que Uα ⊂ Uα ∀i = 1,..., n ⇒ Uα ∈ Uα ∀i = 1,..., n ⇒ U α es un cubrimiento por abiertos que tiene un subcubrimiento finito lo cual es absurdo porque Uα ∈F . Luego U ∈F ⇒ F ordenado y acotado entonces por el Lema de Zorn existe elemento maximal M ∈F . i
i
0
i
0
0
0
Antes de seguir con la demostración demostraremos tres afirmaciones necesarias para terminar de demostrar este lema - 163 -
Topología General
Capítulo 8
- 164 -
Afirmación 1 Sea φ ≠ A ∈ τ , A ∉ M ⇔ ∃M 1 ,..., M n ∈ M tal que X = A U M 1 U .... U M n
∈F maximal esto implica que M U A ∉F luego tiene un subcubrimiento finito lo que implica ∃ M 1 ,..., M n ∈ M tal que X = A U M 1 U ... U M n
Demostración Como φ
≠ A ∉ M y
M
además A tiene que formar parte del recubrimiento finito porque sino sería M el que tiene subcubrimiento finito ⇒ M ∉F lo cual es absurdo. Recíprocamente si existen M 1 ,..., M n ∈ M tal que X = A U M 1 U .... U M n entonces A ∉ M porque sino fuera así se tendría un subcubrimiento de X en M lo cual es absurdo porque M ∈F . Afirmación 2 φ ≠ A ∈ τ , A ∉ M A ⊂ B ∈ τ ⇒ B ∉ M Demostración Si A ∉ M ⇒
por la afirmación 1 que ∃ M 1 ,..., M n ∈ M tal que X = A U M 1 U ... U M n ⊂ B U M 1 U ... U M n como la otra inclusión es obvia X = B U M 1 U ... U M n y por el recíproco de la afirmación 1 ⇒ B ∉ M Afirmación 3 Si A, B ∉ M
⇒ A I B ∉ M
A, B ∈ τ \ φ
≠ A ∉ M por la afirmación 1 ∃ M 1 ,..., M n ∈ M tal que X = A U M 1 U ... U M n Análogamente φ ≠ B ∉ M por la afirmación 1 ∃ N1 ,..., N m ∈ M tal que X = B U N1 U ... U N m ahora si x ∉ M 1 U ... U M n U N1 U ... U N m ⇒ x ∈ A I B luego : 14 4244 3 14 4244 3
Demostración Como φ
x∈A
x∈B
= A I B U M1 U ... U M n U N1 U ... U N m y por el recíproco de la afirmación 1 A I B ∉ M X
Continuemos con la demostración del Lema Sea S la subbase de la topología τ de la hipótesis, con S = { Aα }α∈ I .
- 164 -
Topología General
Espacios Compactos
- 165 -
Para cada x ∈ X se tiene que existe M x ∈ M tal que x ∈ M x por ser M un cubrimiento por abiertos de X además por definición de subbase ∃ Aα1 ,..., Aα ∈ S tal que: n
n
x ∈ I Aαi
⊂ M x
i =1
n
Por la afirmación 2 como M x ∈ M ⇒ I Aα ∈ M ya que si no fuera así es decir si i
i =1
n
I A ∉ M i =1
αi
como
n
I A ⊂ M i =1
αi
x
por la afirmación 2 ⇒ M x ∉ M lo cual es absurdo
y por la afirmación 3 (contrarecíproco de la misma ) n
Si I Aα ∈ M ⇒ ∃α 0 ∈ {α1 ,...,α n } tal que Aα0 ∈ M i
i =1
Es decir que x ∈ Aα0 ∈ M En resumen para cada x ∈ X encontramos un Aα0 ( x ) ∈ S tal que x ∈ Aα 0 ( x ) ∈ S I M ⇒ X
= U Aα ( x ) x∈ X
0
tenemos que { Aα0 ( x ) : x ∈ X } = S I M es un cubrimiento de X por elementos de S que como S I M ⊂ M ⇒ que no tiene subcubrimiento finito lo cual es absurdo porque contradice la hipótesis. Proposición 8.8 Sean X e Y espacios topológicos, con X compacto y una función f : X → Y continua entonces f ( X ) es compacto.
Demostración
Consideremos un cubrimiento {U α }α∈ I por abiertos de Y es decir: Y
⊂ UU α α ∈ I
como f ( X ) ⊂ Y ⊂ U U α se tiene α∈ I
⊂
X
f
−1
α∈ I
( f ( X ) ) ⊂ f −1 UU α = U f −1 (U α )
−1
α∈I
y como f es continua los f (U α ) son abiertos en X , { f −1 (U α )}α∈ I es entonces un cubrimiento por abiertos de X que por hipótesis es compacto luego tiene un subcubrimiento finito ⇒ ∃α1 ,...,α n tal que n
X
n
−1
n
−1
⊂ U f (Uα ) ⇒ f ( X ) ⊂ U f ( f (U α )) ⊂ UU α i =1
i
i =1
- 165 -
14 4244 3 i
⊂U αi
i =1
i
Topología General
Capítulo 8
- 166 -
y por lo tanto f ( X ) es compacto. Proposición 8.9 Sea X e Y espacios topológicos con X compacto e Y Hausdörff y sea f : X → Y una función continua entonces f es cerrada. Si además f es biyectiva entonces f es un homeomorfismo.
Demostración Sea F ⊂ X cerrado, como X es compacto por proposición 8.5 tenemos que F es compacto y por ser f continua por la proposición anterior se tiene que f ( F ) es compacto pero Y es Hausdörff ⇒ f ( F ) es cerrado luego f lleva
cerrados en cerrados y por la proposición una función biyectiva que sea cerrada y continua es un homeomorfismo. Proposición 8.10 Sea X un espacio topológico compacto y f entonces f alcanza máximo y mínimo.
: X → ¡ continua
Como X es compacto y f continua, luego f ( X ) es compacto en ¡ ya vimos que es cerrado y acotado ver ejemplo 8.7 luego existe s = sup { f ( x ) : x ∈ X } y como s ∈ f ( X ) = f ( X ) ⇒ es máximo
Demostración
{
cerrado
análogamente con el mínimo. Proposición 8.11 ( Teorema de Tijonov ) Sean X α espacios topológicos ∀α ∈ I , entonces
es compacto
∀α ∈ I .
∏ X es compacto si y solo sí X α
α
⇒ Si ∏ X α es compacto ⇒ X α = Pα ( ∏ X α ) y como P α es continua ∀α ∈ I ⇒ X α es compacto para todo α . ⇐ Sea S = {Pα−1 ( A) : A ⊂ X α abierto ∀α ∈ I } es una subbase del ∏ X α como
Demostración
vimos en su momento. Probaremos que si tenemos un cubrimiento por abiertos de la subbase podemos obtener un subcubrimiento finito para aplicar el lema de Alexander. Tomemos un cubrimiento A ⊂ S por abiertos de X α y definimos para cada
∏ α∈ I
= { A abiertos ⊂ X α : y tal que Pα−1 ( A) ∈A } Probaremos que existe α 0 ∈ I tal que A α es un cubrimiento de X α . Supongamos de que no es así o sea que para todo α ∈ I A α no cubre a X α luego α ∈ I
Aα
0
existe - 166 -
0
Topología General
xβ
∈ X β \ U
A
Espacios Compactos
- 167 -
con β ∈ I
A∈A β
U
∏
x Entonces sea x ∈ X α tal que x ( β ) = xβ Como x ∈ X α que es cubierto por A ⇒ ∃U abierto tal que U ∈A pero los abiertos de A son elementos de la subbase S A xβ α=β −1 es decir U = Pα ( A) con A abierto de X α ∀α ∈ I en particular para α = β es decir que existe U = Pβ−1 ( A) con A abierto en X β y tal que x ∈ U ⇒ xβ = x ( β ) ∈ Pβ (U ) = Pβ ( Pβ−1 ( A) ) = A ⊂ X β es decir
∏
xβ
∈ A pero por definición A ∈A β ⇒ xβ ∈ U
A
A∈A β
luego existe α 0 ∈ I tal que A α0 es un cubrimiento de X α0 que por hipótesis es compacto lo que implica que ∃ A1 ,..., An abiertos de X α0 que siguen recubriendo a y por lo tanto { Pα−01 ( A1 ) ,..., Pα−01 ( An )} ⊂ A es un subcubrimeiento finito de X α con elementos de S ya que:
X α 0
∏
Si x ∈
∏X
n
α
⇒ Pα ( x ) ∈ Xα = U Ai ⇒ 0
∃i ∈ {1,..., n} tal que
0
Pα0 ( x ) ∈ Ai
n
es decir que x ∈ U Pα−01 ( Ai ) ⇒ i =1
Aplicando el lema de Alexander es
i =1
∏ X
α
⇒ x ∈ Pα−1 ( Ai ) 0
∏X
n
α
⊂ U Pα−1 ( Ai ) i =1
0
compacto.
Corolario 8.12 Sea K ⊂ ¡ n es compacto si y solo sí es cerrado y acotado.
Demostración
⇒ Si K es compacto en un espacio de Hausdörff (por ser producto de
espacios de Hausdörff ) entonces por la proposición 8.6 es cerrado y como además { B ( 0, n ) : n ∈ ¥} es un cubrimieto de K por se K compacto existe un cubrimiento finito k
{ B ( 0, n1 ) ,..., B ( 0, nk )} ⇒ K ⊂ U B ( 0, ni ) i =1
sea n0 = max {ni : i = 1,..., k } entonces k
K
⊂ U B ( 0, ni ) ⊂ B ( 0, n0 ) i =1
- 167 -
Topología General
Capítulo 8
- 168 -
y por lo tanto K está acotado. ⇐ Si K es cerrado y acotado en ¡ n significa que está acotado en cada coordenada o sea que existen [ ai , bi ] con i = 1,..., n tal que Pi ( K ) ⊂ [ ai , bi ] ∀i = 1,..., n y se tiene: n
K
⊂ U [ ai , bi ] i =1
y como cada [ ai , bi ] ⊂ ¡ es compacto entonces por la proposición anterior se tiene n
∏[a , b ] compacto i
i
i =1
entonces K que es cerrado dentro de un compacto es compacto. Sea X un conjunto y {S α }α∈ I una familia de subconjuntos no vacíos de X. Se dice que {S α }α∈ I tiene la propiedad de intersección finita si: Definición 8.2
n
I S ≠ φ ∀n ∈ ¥ i =1
αi
α i ∈ I
es decir que siempre que tomemos una cantidad finita de ellos la intersección es distinta del vacío. 8.8 Sea X = ¡ S x = [ x, +∞ ) este conjunto tiene la propiedad de intersección finita que siempre que tomamos finitos de ellos
Ejemplo
l
I[ x , +∞ ) = [m, +∞ ) ≠ φ i
i =1
siendo m = max { xi : i = 1,..., l} Proposición 8.13 Sea X un espacio topológico , X es compacto si y solo sí para toda familia { F α } de cerrados con la PIF ( propiedad de intersección finita) se tiene:
I F ≠ φ α
α
Si X es compacto y { F α } una familia de cerrados con la PIF supongamos que
Demostración
C
y como Fα
I Fα = φ ⇒ I Fα = U FαC = X α α α C son cerrados ⇒ F α son abiertos ⇒ { F αC } es un cubrimiento por abierto
de X y como X es compacto admite un subcubrimiento finito { FαC1 ,..., F αC } tal que n
- 168 -
Topología General
Espacios Compactos
- 169 -
n
U F C = X αi
i =1
Tomando los complementos
C
n F C = n F = X C = φ U α I α i =1 i =1 i
i
lo cual es absurdo por ser { F α } un conjunto con la P.I.F. Recíprocamente Si {U α } es un cubrimiento por abiertos de X entonces los complementos son cerrados y C
IU
C α
α
C = UUα = X = φ α
entonces por hipótesis no tiene la P.I.F. porque sino
IU C ≠ φ α
α
luego existe una cantidad finita de los U αC tal que: n
IU C = φ para algún n i =1
αi
y tomando otra vez complemento
C
n U C = n U = X I α U α i =1 i =1 i
i
es decir que los Uα1 ,...,U α son un subcubrimiento finito de X ⇒ X es compacto. n
Proposición 8.14 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, X es compacto si y solo sí toda red tiene una subred convergente.
⇒ Sea X compacto y tomemos una red {Td }d∈D ⊂ X entonces si se define Fd = {Te : e ≥ d }
Demostración d ∈D
{ F d } es una familia de cerrados con la P.I.F. ya
F d
que dados Fd1 ,..., F d , sea e ∈ D tal que e ≥ d i para todo i = 1,..., n que existe porque D es un conjunto dirigido. Entonces: n
n
Te ∈ I Fdi i =1
d
n
⇒ I F d ≠ φ
- 169 -
i =1
i
Topología General
Capítulo 8
- 170 -
y como además X es compacto entonces por proposición anterior
I F ≠ φ d
luego si
d∈D
x ∈
I F
d
es de aglomeración de la red {T d } ya que:
d ∈D
Dados N ∈ N x y d 0 ∈ D como x ∈ Fd ∀d ∈ D en particular x ∈ Fd0 = {Td : d ≥ d 0 } ⇒ N I {Td : d ≥ d 0 } ≠ φ lo que implica ∃d ≥ d 0 tal que Td ∈ N ⇒ que x es de aglomeración de {T d } ⇐ Sea { Fα : cerrados α ∈ I } con la P.I.F. y nos definimos: n F = I Fα : α1 ,..., α n ∈ I i =1 ordenado por inclusión es decir F , G ∈F F ≤ G ⇔ F ⊃ G el conjunto F es un i
conjunto dirigido.
∀ F ∈F ⇒ F ≠ φ ∃x F ∈ F entonces { xF } F ∈ es una red entonces por hipótesis existe una subred convergente ⇒ ∃ x ∈ X de aglomeración entonces : Para todo N ∈ N x y ∀F0 ∈F ∃F > F0 tal que xF ∈ N luego como F ⊂ F0 tal que x F ∈ N F
pero x F
entonces
∈ F ⇒ xF ∈ N I F ⊂ N I F 0 ∴ N I F 0 ≠ φ
∀ N ∈ N x ∀α ∈ I N I F α ≠ φ ⇒ x ∈ Fα = Fα ⇒ x ∈ I F α α
y por proposición anterior el conjunto X es compacto. Corolario 8.15 Sea X compacto y N 1 entonces toda sucesión tiene una subsucesión convergente.
Sea { xn }n∈¥ una sucesión que es un caso particular de red entonces tiene punto x de aglomeración ⇒ x ∈ { xn } por ser N1 (proposición 3.3) existe { xn } ⊂ {xn } tal que
Demostración
k
xnk
→x
Definición 8.3 Dado un espacio topológico X decimos compacto o compacto por sucesiones si toda sucesión en
convergente. - 170 -
que es secuencialmente él tiene una subsucesión
Topología General
Espacios Compactos
Proposición 8.16 Dado un espacio topológico X secuencialmente compacto.
- 171 -
compacto y N 1 entonces es
Sea en X una sucesión { xn }n∈¥ por el corolario anterior tiene una subsucesión convergente luego por definición es secuencialmente compacto.
Demostración
Proposición 8.17 Sea ( M , d ) es un espacio métrico compacto entonces M es completo.
Dada una sucesión de Cauchy { xn }n∈¥ como por hipótesis M es compacto y espacio métrico (que es N1) esto implica por proposición anterior que es secuencialmente compacto luego tiene una subsucesión convergente y por proposición 7.2 la sucesión dada es convergente lo que significa por definición que M es completo. Demostración
Proposición 8.18 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico secuencialmente compacto y N 2 entonces X es compacto.
Sea {U α }α∈ I un cubrimiento por abierto de X como el espacio es N2 implica que es de Lindelöff o sea que existe un subcubrimiento numerable que llamamos {U n }n∈¥ supongamos por el absurdo que este cubrimiento no tiene subcubrimiento finito o sea : U1 ≠ X ya que de no ser así U 1 sería un subcubrimiento de {U n }n∈¥ obviamente finito. ⇒ ∃ x1 ∉ U 1 y como {U n } cubre a X ⇒ ∃n1 ∈ ¥ tal que x1 ∈ U n1
Demostración
n1
análogamente sea A1 = UU i ≠ X que tampoco es un subcubrimiento luego x2 ∉ A1 i =1
lo que implica que ∃n2 ∈ ¥ tal que x2 ∈U n2 con n2 > n1 ya que si no fuera así se tendría que x2 ∈ A1 y esto es absurdo. nk −1
Sea Ak −1 = UU i ≠ X ⇒ ∃xk ∉ Ak −1 i =1
luego ∃nk ∈ ¥ con nk > nk −1 tal que xk ∈ U n
k
nk
tenemos que así construimos sucesiones { xk }k ∈¥ , {nk }k ∈¥ ( creciente) y Ak = UU i i =1
tal que { xk }k ∈¥ no tiene punto de aglomeración porque si este fuera x ∈ X como {U n }n∈¥ es cubrimiento de X ⇒ ∃i0 ∈ ¥ tal que x ∈ U i0 como U i0 es abierto es
- 171 -
Topología General
Capítulo 8
- 172 -
entorno de todos sus puntos U i0 ∈ N x y {nk }k ∈¥ es creciente entonces existe k0 ∈ ¥ tal que nk0 −1 ≤ i0 ≤ nk 0 ⇒ ∀k ≥ k0 nk
0
xk
es decir que
∈ Ak pero xk ∉ Ak −1 ⇒ xk ∉ Ak = UUi ⇒ xk ∉ Ui ∀k ≥ k 0 0
∀ x ∈ X ∃U i ∈ N x , 0
k0 ∈ ¥
luego { xk } no tiene puntos de aglomeración lo que significa que no tiene subsucesión convergente o sea no es secuencialmente compacto lo que es absurdo por hipótesis.
0
i =1
tal que ∀k ≥ k0 xk ∉ U i0 N 1 X
cto
X sec. cto N 2
Definición 8.4 Un espacio topológico X decimos que tiene la propiedad de BolzanoWeiestrass (B-W) si todo subconjunto infinito de X tiene un punto de acumulación
8.9 ¡ no es B-W ya que el conjunto de los enteros ¢ es infinito y no tiene ningún punto de acumulación en ¡ .
Ejemplo
Proposición 8.19 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico entonces se cumple que 1) Si X es secuencialmente compacto implica que verifica B-W 2) Si X verifica B-W, es T 1 y N 1 implica que es secuencialmente compacto.
Demostración 1) Sea un conjunto A infinito incluido en X entonces existe { xn } ⊂ A tal que xn
≠ xm si n ≠ m como { xn } es una sucesión en X
T1 X
sec. cto
y N 1 X B - W
que es sec. cto. Implica que tiene una subsucesión convergente a y; sea N ∈ N y ∃n0 ∈ ¥ tal que xn ∈ N ∀ nk ≥ n0 como además xn ≠ y por como se eligió la sucesión entonces k
{ xn } I N − { y} ≠ φ
es más tiene infinitos elementos luego y es de acumulación de { xn } ⊂ A y por lo tanto es de acumulación de A lo que significa que verifica B-W. 2) Sea { xn } ⊂ X si { xn } es finito implica que hay una subsucesión constante y por lo tanto convergente luego es sec. cto. Si { xn } es infinito por ser B-W tiene un punto y de acumulación en X que por ser N1 tiene una base local numerable y decreciente {V n } del punto y Dado V 1 existe n1 ∈ ¥ tal que xn1 ∈ V1 − { y} - 172 -
Topología General
Espacios Compactos
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Como X es T1 existe W2 ∈ N y tal que { x1 ,..., xn1 } I W 2 = φ Por ser { xn } − { x1 ,..., xn1 } es infinito e y es de acumulación entonces existe n2 ∈ ¥ tal que xn2 ∈ V2 I W2 − { y} además n2 > n1 repetimos el procedimiento por ser X espacio T1 existe W3 ∈ N y tal que
{ x1 ,..., xn , xn +1 ,..., xn } I W 3 = φ así sucesivamente sea: xn ∈Vk con n j > n j −1 ∀j = 2,..., k entonces por ser T1 implica que ∃Wk +1 ∈ N y tal que { x1 ,..., xn , xn +1,..., xn ,..., xn − +1,..., xn } I Wk +1 = φ por ser y de acumulación entonces existe xn + ∈ Vk +1 I Wk +1 − { y} además nk +1 > nk 14243 1
1
2
k
1
1
2
k
1
k ,
1
k
∈ N y
construimos así una subsucesión { xn }k ∈¥ de { xn } ya que los {nk }k ∈¥ es una sucesión creciente en los naturales tal que xn ∈ V k luego xn → y es decir que tenemos una subsucesión convergente lo que implica que X es sec. Cto. k
k
k
Proposición 8.20 Sea ( E , d ) un espacio métrico secuencialmente. compacto entonces es separable.
Supongamos que E tiene más de un elemento si no fuera así no hay que probar nada. Definimos An = { A ⊂ E : d ( x, y ) ≥ 1n si x, y ∈ A, x ≠ y} como el espacio E tiene más de un elemento entonces tenemos al menos dos puntos x, y ∈ E y sea n0 tal que 1 1 d ( x, y ) ≥ ⇒ n0 ≥ >0 n0 d ( x, y ) 1 1 además ∀n ≥ n0 ⇒ ≤ ≤ d ( x, y ) ⇒ { x, y}∈ An ⇒ An ≠ φ ∀ n ≥ n0
Demostración
n
n0
Para cada n ordenamos los An por inclusión ( A ≤ B ⇔ A ⊂ B ) y sea { Aα }α∈ I una cadena ( conjunto linealmente ordenado) en ( An , ≤ ) Probaremos que
U A ∈ A α
n
α∈ I
ya que si x, y ∈ U Aα ⇒ ∃α1 ,α 2 ∈ I tal que x ∈ Aα1 e y ∈ Aα 2 luego α ∈ I
⇒ { x, y} ∈ max { Aα , Aα } ∈ An ⇒ d ( x, y ) ≥ 1
2
- 173 -
1 n
si x ≠ y ⇒ { x, y} ∈ An
Topología General
Capítulo 8
- 174 -
luego
U A ⊂ A α
n
α∈ I
Entonces ( An , ≤ ) es un conjunto ordenado tal que toda cadena en él esta acotada lo que implica por el lema de Zorn que existe elemento maximal y llamémosle M n
∀n ≥ n0
Además M n es finito para todo n ≥ n0 ya que si fuera infinito ∃{ xn } ⊂ M n con xk ≠ x j ∀k ≠ j como estamos en un espacio secuencialmente compacto implica que tendríamos una subsucesión { xn }n ∈¥ convergente en M n pero la subsucesión { xn } no puede ser convergente ya que por construcción: d ( xn , xn ) ≥ 1n si xn ≠ xn es decir que no es de Cuachy lo que es absurdo por proposición 7.1 luego M n es finito y por lo tanto numerable. Sea i
i
i
j
k
M
j
k
= U M n n∈¥
como M es unión numerable de conjuntos numerables es numerable y además probaremos que M = E es decir es denso y por lo tanto E es separable. Si x ∈ M ⇒ B ( x, ε ) I M ≠ φ ⇒ x ∈ M Por otro lado si x ∉ M ⇒ x ∉ M n ∀n ≥ n0 dado ε sea n0 tal que n10 < ε entonces { x} U M n ' M n lo que significa { x} U Mn ∉ An por ser M n el elemento maximal de An lo que implica que no cumple la definición del conjunto An o sea ∃ y ∈ M n tal que d ( x, y ) < 1n ≤ n10 ≤ ε ∀n ≥ n0 luego ∃ y ∈ B ( x, ε ) ⇒ y ∈ B ( x, ε ) I M n ⊂ B ( x, ε ) I M
∴ B ( x, ε ) I M ≠ φ ⇒ x ∈ M {
por def.
Sea ( E , d ) un afirmaciones son equivalentes: 1) E es compacto 2) E es secuencialmente compacto 3) E verifica B-W Proposición
8.21
espacio
métrico
entonces
las siguientes
1) ⇔ 2) como ( E , d ) es espacio métrico ⇒ que es N 1 entonces compacto y N 1 ⇒ secuencialmente compacto ahora por la proposición anterior en
Demostración
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Topología General
Espacios Compactos
- 175 -
espacios métricos secuencialmente compacto ⇒ separable ⇒ N 2 por proposición 2.21 y por ser sec. cto y N 2 ⇒ es compacto. N 1 X
Espacios métricos
cto
X se. cto N 2
T1 X
X
cto
X se. cto
y N 1
B-W
X
B-W
2) ⇔ 3) Sea ( E , d ) espacio métrico luego es N 1 y es Haurdösff ⇒ T 1 ; entonces si el espacio es sec. cto ⇒ que verifica B-W y ahora como es espacio métrico es T 1 y N 1 ⇒ sec. cto. ( E , d ) un espacio métrico compacto y {U α }α∈ I un cubrimiento por abiertos de E entonces ∃λ > 0 tal que ∀ x ∈ E ∃α ( x ) ∈ I se cumple B ( x, λ ) ⊂ U α ( x ) Proposición 8.22 Sea
además decimos que λ es el número de Lebesgue del cubrimiento
Para cada x ∈ E se tiene ∃α ( x ) ∈ I tal que x ∈ U α ( x ) por ser éste último abierto en un espacio métrico ⇒ ∃r ( x ) tal que B ( x, r ( x ) ) ⊂ Uα ( x ) consideremos el conjunto: { B ( x, r(2x ) ) : x ∈ E } Que es un cubrimiento por abiertos de E que por ser compacto ∃ x1,..., xn tal que:
Demostración
n
E ⊂ U B ( xi ,
r ( xi )
2
i =1
)
Sea λ = min { r (2x ) : i = 1,..., n} probaremos que este λ cumple con la tesis de proposición . ∀ x ∈ E ⇒ ∃i0 ∈ {1,..., n} tal que i
x ∈ B xi0 ,
r ( xi0 )
ahora si z ∈ B ( x, λ ) ⇒ d ( x, z ) < λ y - 175 -
2
la
Topología General
Capítulo 8
- 176 -
d ( z , xi0 ) ≤ d ( z , x ) + d ( x, xi0 ) < λ +
r ( xi0 )
2
≤ r ( xi ) 0
luego se tiene que z ∈ B ( xi0 , r ( xi0 ) ) es decir que: B ( x, λ ) ⊂ B ( xi0 , r ( xi0 )) ⊂ U α x
( i0 )
∴ B ( x, λ ) ⊂ Uα ( x ) con i0
α ( xi0 ) ∈ I
Corolario 8.23 Dado ( E , d ) espacio métrico, K
que K
⊂ E compacto,
sea U abierto tal
existe λ > 0 tal que ⊂ U entonces
U B ( x, λ ) ⊂ U
x∈K
Sea {U α }α∈ I un cubrimiento por abiertos de K la prueba es la misma que la proposición anterior poniendo E = K .
Demostración
Dado ( X ,τ ) espacio topológico decimos que es localmente compacto si es Hausdörff y todo punto tiene un entorno compacto. Definición 8.5
Ejemplo 8.9 Si X es compacto y T 2 ⇒ localmente compacto. En los reales ¡ dado x ∈ ¡ se tiene [ a, b ] es compacto y tal que x ∈ [ a, b] luego
es
localmente compacto pero no es compacto.} Al igual que ¡ n no es compacto pero para cualquier punto x siempre existe una bola B ( x, δ ) tal que x ∈ B ( x, δ ) compacto X con la topología indiscreta el propio punto { x} es compacto 8.10 Los racionales ¤ ya vimos que no es compacto pero sí es localmente compacto porque dado un q ∈ ¤ tenemos que: [ q − ε , q + ε ] I ¤ ⊂ [a , b ] ⇒ [q − ε , q + ε ] es compacto
Ejemplo
1442443 cerrado en ¤
{
compacto
8.11 Como ¤ es numerable sabemos que existe f : ¥ → ¤ biyectiva y sea ¥ con la topología indiscreta ⇒ que f es continua ya que:
Ejemplo
B
{
∈¤
= Uq ⇒ q∈B
q f −1 ( q ) abierto U = U 123 q∈B q∈B abierto
f −1 ( B ) = f −1
la compacidad local no se conserva por aplicaciones continuas. - 176 -
Topología General
Espacios Compactos
- 177 -
Lema 8.24 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico de Hausdörff y compacto dado en X un cerrado F y un abierto A con F ⊂ A entonces existe un abierto V tal que F ⊂ V
y V
⊂A
Como F ⊂ A ⇒ F I AC = φ además como A es abierto ⇒ AC es cerrado entonces los conjuntos F , AC como son cerrados en un compacto son compactos y podemos aplicar la proposición 8.4 es decir existen abiertos U ,V ⊂ X disjuntos tales que F C A ⊂ U y F ⊂ V Pero si AC ⊂ U ⇒ U C ⊂ A además V I U = φ ya que de no ser así
Demostración
A F
V
U abierto Si z ∈ V I U ⇒ z ∈ U ⇒ U ∈ N z z ∈ V ⇒ V I U ≠ φ luego V I U = φ ⇒ V ⊂ U C ⊂ A encontramos un abierto que contiene a F y su }
clausura esta dentro del A como queríamos. Proposición 8.25 Sea X un espacio topológico de Hausdörff entonces los entornos cerrados del punto constituyen una base local.
para demostrar la tesis tenemos que demostrar que dado un entorno cualquiera del punto es posible encontrar un entorno del punto cerrado. Dado N ∈ N x ⇒ ∃ A abierto tal que x ∈ A ⊂ N .Como { x} es cerrado por se X de Hausdörff podemos tomar F = { x} y aplicar el lema anterior luego existe V abierto tal que { x} = F ⊂ V y V ⊂ A entonces como
Demostración
x ∈ V
{
⊂ V ⇒ V ∈ N x
abierto
tal que V ⊂ A ⊂ N encontramos un entorno cerrado del punto contenido en el entorno dado. Proposición 8.26 Sea ( X ,τ ) un espacio topológico localmente compacto entonces los entornos compacto de cada punto constituyen una base local.
Sea x ∈ X tomemos un entorno cualquiera de x N ∈ N x y encontremos un entorno compacto de x en N.
Demostración
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Topología General
Capítulo 8
- 178 -
Como X es localmente compacto implica que existe U ∈ N x compacto entonces como U I N ∈ N x existe una abierto A tal que x ∈ A ⊂ U I N como el punto x es un subconjunto cerrado por ser X de Hausdörff ( T2 ⇒ T 1 ) en un abierto A podemos aplicar el lema tomando U N = X y F = { x} luego existe un abierto N V ⊂ N tal que x ∈ V V ⊂ A ⊂ U I N en particular V ⊂ U ,al ser V abierto en N y como V ⊂ A y A es abierto en X implica
x
V
A
que V es abierto en X . También V es cerrado en U más como X es de Hausdörff el compacto U es cerrado en X luego V coincide con la clausura de V en X . Por otro lado como V es cerrado en U que es compacto implica que es compacto. Luego conseguimos un V compacto tal que x ∈ V ⊂ V ⇒ V ∈ N x {
abierto
Proposición 8.27 El producto finito de espacios localmente compacto es localmente compacto.
Primero vamos a probar que el producto de Hausdörff es de
Demostración
Hausdörff . Sean entonces dos puntos del producto distintos x ≠ y ∈
n
∏ X i
por ser distintos
i =1
significa que existe j ∈ {1,..., n} tal que x j ≠ y j y como X j es de Hausdörff existen abiertos disjuntos U , V ⊂ X j tal que x j ∈ U , y j ∈ V entonces x ∈ X 1 × ... × X j −1 × U × X j +1 × ...× X n abiertos disjuntos y ∈ X 1 × ... × X j −1 × V × X j +1 × ...× X n luego
n
∏ X
i
es Hausdörff
i =1
Sea x ∈
n
∏ X ⇒ ∀x ∈ X i
i
i
∃U i ∈ N x ⊂ X i con i
i =1
x ∈
n
∏U
i
U i
compacto entonces:
es compacto y entorno del x
i =1
Luego es localmente compacto. Veamos algunas aplicaciones. - 178 -
Topología General
Espacios Compactos
- 179 -
Proposición 8.28 ( Teorema de Dini ) Sea X un espacio topológico compacto f n : X → ¡ sucesiones de funciones
continuas tales que: i) f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) ∀x ∈ X
ii) existe lim f n ( x ) = f ( x ) continua n
entonces f n
Ã
f (converge uniformemente)
Demostración Dado ε > 0 tomemos Fn = { x ∈ X : f n ( x ) − f ( x ) ≥ ε } Por ser f n y f continuas ⇒ f n − f es continua luego
Fn = ( f n − f ) [ε , +∞ ) ⇒ Fn es cerrado ∀n ∈ ¥ 123 cerrado −1
como f n ( x ) ≤ f n+1 ( x ) entonces: f n ( x ) − f ( x )
= f ( x ) − f n ( x ) ≥ f ( x ) − f n+1 ( x ) = f n+1 ( x ) − f ( x ) ≥ ε luego si x ∈ Fn+1 ⇒ x ∈ Fn ⇒ Fn+1 ⊂ F n Por la hipótesis de convergencia puntual (ii) ∀ x ∈ X ∃ n0 ( x ) ∈ ¥ tal que f n ( x ) − f ( x ) < ε ∀n ≥ n0 ( x ) luego x ∉ Fn
∀n ≥ n0 ( x )
por lo tanto
I F = φ n
n∈¥
es decir no hay un x que pertenezca a todos los F n luego como estamos en un espacio compacto { F n } no puede tener la P.I.F k
⇒ ∃n1,..., nk tales que I F n = φ j
j =1
sea n%0 = max { x1 ,..., xk } entonces k
I1 F = F = φ ⇒ ∀n ≥ n%0 j =
n j
n% 0
Fn
⊂ Fn% = φ ⇒ F n = φ 0
luego
∀n ≥ n%0
fn ( x ) − f ( x )
luego por definición converge uniformemente.
- 179 -
< ε ∀x ∈ X
Topología General
Capítulo 8
- 180 -
Corolario 8.29 Sea X un espacio topológico compacto supongamos que existe { Pn } sucesión de polinomios Pn ∈ ¡ [ X ] en las hipótesis del teorema anterior con
f ( x ) =
x
en [0,1] entonces Pn
Demostración
Ã
f
Consideremos P0 ( t ) = 0 y Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) +
1 2
( t − Pn2 ( t ) ) ∀n ≥ 1 si t ∈ [0,1]
Por inducción se demuestra que 0 ≤ Pn ( t ) ≤ t Sea g : [0,1] → ¡ g ( x ) = x + 12 t − x
2
como g ′ ( x ) = 1 − x ≥ 0 en [ 0,1] ⇒ g Z y g ( t ) = t entonces si 0 ≤ x < t ⇒ g ( x ) ≤ g ( t ) = t como 0 ≤ Pn ( t ) ≤ t g ( Pn ( t ) ) ≤ t
1424 3 P
Pn +1 ≤ t Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) +
1 2
t − Pn2 ( t ) ) ≥ Pn ( t ) (1424 3 ≥0
Pn+1 ( t ) ≥ Pn ( t )
Al ser P n creciente y Pn ( t ) ≤ t acotada superiormente entonces existe el límite puntual ∃ lim Pn ( t ) = ϕ ( t ) n
tomando límite en la siguiente igualdad
(t − Pn2 (t ) ) ↓ ↓ ↓ ϕ ( t ) = ϕ ( t ) + 12 ( t − ϕ 2 (t ) ) ⇒ t − ϕ 2 ( t ) = 0 ⇒ como ϕ ≥ 0 es ϕ ( t ) = t que es continua entonces como tenemos que P n : [0,1] → ¡ con Pn ( t ) ≤ Pn+1 (t ) y tal que Pn ( t ) → t luego por el n Pn+1 ( t ) = Pn ( t ) +
1 2
teorema de Dini - 180 -
Topología General
Espacios Compactos
- 181 -
lim Pn ( t ) Ã t n
Proposición
8.30
Sea
K ⊂ ¡ compacto
y
f : X → ¡
definida
como
f ( x ) = x entonces existe qn ( x ) ∈ ¡ [ x ] tal que qn à f en K
Se tiene que existe L ∈ ¡ tal que K ⊂ [− L, L ] sea g : [ −L, L ] → [ 0,1]
Demostración
tal que 2
x
g ( x ) = L
Sabemos que existe Pn ∈ ¡ [ X ] tal que Pn ¶ Pn o g
Ã
x
g ( x)
{
polinomio
en [0,1] luego:
=
x L
Sea qn = L.Pn ( g ( x ) ) ∈ ¡ [ X ] Ejemplo practico Enunciado Probar que un espacio métrico compacto y localmente conexo tiene un número finito de componentes conexas Probar con ejemplos que las hipótesis son necesarias.
Sea X espacio topológico compacto y localmente conexo. Por ser localmente conexo sabemos que si A ⊂ X es abierto entonces sus componentes conexas son abiertas , en particular si A = X las componentes conexas de X son abiertas. Llamemos C x la componente conexa que contiene a x entonces {C x } x∈ X es un cubrimientos por abiertos de X, que por ser compacto tiene un subcubrimiento finito es decir existen { x1 ,..., xn } tal que n
X
= U C x i =1
i
luego X tiene una cantidad finita de componentes conexas que serían a lo sumo las C x con i = 1,..., n .Digo a lo sumo porque podría suceder que C x I C x ≠ φ y eso implica que C x , C x es la misma componente conexa. i
i
i
§
j
j
Sea en los reales el siguiente subconjuto X con la topología relativa usual - 181 -
Topología General
Capítulo 8 X
- 182 -
= U ( n, n + 1) n∈¢
Tenemos que es localmente conexo ya que: x ∈ X = U ( n, n + 1) ⇒ ∃m ∈ ¢ tal que x ∈ ( m, m + 1) n∈¢
y los intervalos ( x − δ , x + δ ) con δ < min { x − m, m + 1 − x} es una base de entornos conexos de x. Además como los conexos en ¡ vimos que son los intervalos tenemos que ( n, n + 1) ⊂ X es conexo para todo n ∈ ¢ que son disjuntos por ser abiertos luego son componentes conexas y por lo tanto tenemos infinitas componentes conexas. En este ejemplo no se cumple que el espacio sea compacto ya que en los reales, los compactos son cerrados y acotados y por definición X no es acotado. Sea C el conjunto de Cantor sabemos que es compacto por ser cerrado dentro de [0,1] que es compacto. Por otro lado sabemos que no tiene ningún intervalo luego los únicos conjuntos conexos son los conjuntos unipuntuales. En este ejemplo lo que no se cumple es la hipótesis de localmente conexo porque las componentes conexas (conjuntos unipuntuales ) no son abiertos ya que si fueran abiertos serían aislados y sabemos que son de acumulación y tenemos no numerables componentes conexas. §
- 182 -
Capítulo 9 Espacio Cociente Modelos geométricos sencillos como el cono, el cilindro o la pirámide son habitualmente construidos pegando partes de una pieza plana de papel de acuerdo con ciertas reglas. Esta operación es un ejemplo muy simple de la noción de objeto cociente en matemática. Habitualmente éste viene definido por una relación de equivalencia sobre el conjunto subyacente al objeto dado, compatible, en cierto sentido, con su estructura. Sea f : X → Y una función entre el espacio topológico ( X ,τ ) y un conjunto Y llamamos topología final de τ por medio de f es la topología τ f dada por τ f = {U ⊂ Y : f −1 (U ) ∈ τ } Definición 9.1
Sea p : X → Y una función sobreyectiva entre el espacio topológico ( X ,τ ) y un conjunto Y , llamamos topología cociente a la topología final de τ por medio de p. Y a la función p le llamamos aplicación cociente. Definición 9.2
Sea ( X ,τ ) un espacio topológico, ~ una relación de equivalencia en X y π : X → X : la proyección canónica. Llamaremos espacio cociente a ( X : ,τ π ) siendo τ π la topología cociente definida por π ( es decir la topología final de τ por medio de π ) donde: Definición 9.3
π ( x ) = [ x ]:
y [ x ]: denota la clase de x por medio de la relación de equivalencia ~ A la topología cociente τ π también suele anotarse como τ X : y por lo antes dicho: τ X :
= { A ⊂ X
: : π −1 ( A ) ⊂ τ }
los abiertos de la topología cociente son los que su imagen inversa por π (proyección canónica) son abiertos en X.
Topología General Proposición 9.1 Sea A ⊂ X :
Capítulo 9
⇒
- 184 -
π (π −1 ( A ) ) = A
Demostración Para cualquier función π
y cualquier conjunto A siempre:
−1
π (π ( A) ) ⊂ A
para probar la otra inclusión tomemos un elemento a ∈ A ⊂ X : como π : X → X : es sobreyectiva implica que existe x ∈ X tal que a = π ( x ) lo que implica x ∈ π −1 ( A) o sea: a = π ( x ) ∈ π (π −1 ( A ) )
y luego A ⊂ π (π −1 ( A) ) por lo cual se cumple la igualdad. Sin embargo no es cierto siempre que π −1 (π ( B ) ) = B lo que podemos afirmar es que: π −1 (π ( B ) ) = { x ∈ X : x : b para algún b ∈ B} en general lo que se cumple es que B ⊂ π −1 (π ( B ) ) . Sea ( X ,τ ) un espacio topológico y π la proyección canónica asociada a una relación de equivalencia ~ .Se dice que B ⊂ X es saturado por π si π −1 (π ( B ) ) = B Además el saturado de un conjunto C ⊂ X es π −1 (π ( C ) ) anotamos sat ( C ) = π −1 (π ( C ) ) veremos algunas propiedades relacionadas con los conjuntos saturados. Definición 9.4
Proposición 9.2 Sea B ⊂ X entonces es saturado si y solo sí existe A ⊂ X : tal
que π − ( A) = B 1
Demostración
⇒ por ser B saturado B = π −1 (π ( B ) ) llamemos A = π ( B ) ⊂ X :
luego se cumple la tesis. ⇐ si existe A ⊂ X : tal que B = π −1 ( A) ⇒ π ( B ) = π (π −1 ( A) ) = A por ser π sobre entonces sustituyendo: B = π − π ( B ) 1
{
luego B es saturado.
A
Proposición 9.3 Sea A ⊂ X : entonces es cerrado si y solo sí π −1 ( A ) es cerrado
- 184 -
Topología General
Espacio Cociente
Demostración A es cerrado
- 185 -
⇔ AC es abierto ⇔ π −1 ( AC ) es abierto pero: C
π −1 ( AC ) = (π −1 ( A) ) abierto
⇔ π −1 ( A) es cerrado
Proposición 9.4 π lleva compactos en compactos, conexos en conexos.
→ X : es continua y sobre entonces si compacto X : = π ( X ) es compacto conexo X : = π ( X ) es conexo
Demostración π : X X X
Proposición 9.5 A ⊂ X : es abierto si y solo sí existe B ⊂ X abierto saturado tal
que A = π ( B ) . Demostración
⇒ Si A es abierto en X : , sea B = π −1 ( A) ⇒ B es abierto en X y
saturado por proposición 9.2 entonces: π ( B ) = π (π −1 ( A) ) = A
∴ A = π ( B ) ⇐ Sea A = π ( B ) con B abierto y saturado ⇒ B = π
−1
−1 π ( B ) = π ( A) abierto A {
luego A es abierto en X :
Definición 9.5 Dada una relación de equivalencia, decimos que abierta (cerrada) si la proyección canónica π es abierta (cerrada) .
es una relación
Ejemplo 9.1 Sea X = ¡ y la relación x : y ⇔ x − y ∈ ¢
Sea B ⊂ ¡ abierto entonces π −1 (π ( B ) ) = { x ∈ ¡ : x : b para algún b ∈ B} lo que podemos escribir: π −1 (π ( B ) ) = {b + n ∈ ¡ : n ∈ ¥, b ∈ B} = U B + n n∈¥
B + n = {b + n ∈ ¡ : b ∈ R}
la aplicación
es homeomorfo a B para cada n ya que si consideramos f : B → B + n b →b+n
- 185 -
Topología General
Capítulo 9
- 186 -
es decir f ( b ) = b + n es un homeomorfismo ya que es una traslación, continua biyectiva y abierta (lleva bolas abiertas en bolas abiertas) luego es un homeomorfismo y por lo tanto B + n es abierto ⇒ U B + n es abierto n∈¥
−1
⇒ π (π ( B ) ) es abierto ⇒ π ( B ) es abierto ⇒
: es abierta.
Ahora consideremos B cerrado como por ejemplo: B = {n + 1n : n ≥ 2} B es cerrado ya que su complemento: B C = ( −∞ ,2 + 12 ) U U ( n + 1n , n + 1 + n1+1 ) es unión de abiertos ⇒ es abierto. Tomemos el saturado de B
n≥2
π −1 (π ( B ) ) = {n + 1n + m ∈ ¡ : n ≥ 2, m ∈ ¢}
1
{n ∈ ¡ : n ≥ 2} es decir que: 1 {n ∈ ¡ : n ≥ 2} ⊂ π (π ( B ))
y tomando m = − n nos queda
−1
pero 0 ∈ π −1 (π ( B ) ) \ π −1 (π ( B ) ) ⇒ que no es cerrado luego π no es cerrada ⇒ ~ no es cerrada. Proposición 9.6 La relación ~ es abierta (cerrada) si el saturado de un abierto (cerrado) es abierto (cerrado).
Demostración Sea B un abierto de X entonces π ( B ) es abierto ⇔ π -1 (π ( B ) ) es abierto ⇔ sat ( B )
análogamente con cerrado. Ejemplo 9.2
Sea X Si B ⊂ ¡ tenemos que:
x = y = ¡, x : y ⇔ o x, y ∈ ¢ B si B I ¢ = φ B U ¢ si B I ¢ ≠ φ
sat ( B ) = π −1 (π ( B ) ) =
- 186 -
es abierto
Topología General
Espacio Cociente
- 187 -
implica que si B es cerrado sat ( B ) en ambos casos es cerrado por ser B C I ¢C abierto, entonces por definición la relación es cerrada. Además no es abierta ya que si tomamos B = ( − 12 , 12 ) como 0 ∈ B ⇒ sat ( B ) = ( − 12 , 12 ) U ¢ que no es abierto luego la relación ~ no es abierta. Por otro lado X : no es N 1. Supongamos por el absurdo que si es N 1 ⇒ que si tiene una base local numerable ⇒ por la proposición 2.25 que también tiene una base local de abiertos numerable decreciente {V n } de por ejemplo π ( 0 ) . π ( 0 ) = { y ∈ ¡ : 0 : y} = { y ∈ ¢} = ¢ π
-1
0
1
2
3
4
-1
0
2
3
4
π −1 Vn ∈ Nπ ( 0)
⇒ ¢ ∈ V n entonces π (Vn ) = V n
Al ser π continua y V n abierto π −1 (V n ) es abierto y ¢ ⊂ π −1 (V n ) entonces ∀n ∃an ∈ π −1 (Vn ) tal que n < an < n + 1 y sea C B = {an : n ∈ ¥} que es abierto y saturado ya que ¢ ⊂ B sat ( B ) = B U ¢ = B ⇒ π ( B ) es abierto {
9.5
−1
y por lo tanto π ( B ) ∈ N π ( 0) y como an ∈ π (Vn ) ⇒ π ( an ) ∈ Vn {V n } es base local decreciente de π ( 0 ) ⇒ si π ( B ) ∈ Nπ ( 0) ⇒ ∃n0 tal que ∀n ≥ n0 : Vn
⊂ π ( B ) ∈ N π (0 )
y como π ( an ) ∈ Vn
⊂ π ( B ) ⇒ π ( an ) ∈π ( B ) ⇒ an ∈ π −1 (π ( B ) ) = B
Proposición 9.7 Sean X,Y espacios topológicos , ~ una relación de equivalencia en X ,y una función f : X : → Y entonces f es continua si y solo sí f o π es continua.
- 187 -
Topología General
Capítulo 9
Demostración ⇒ Si f es continua como π es continua entonces f o π es continua. ⇐ Si f o π es continua sea U ⊂ Y abierto
- 188 -
X
f o π
π
Y f
entonces: X :
−1
π −1 ( f −1 (U ) ) = ( f o π ) (U ) es abierto
pero si π −1 ( f −1 (U ) ) es abierto
⇒
f −1 (U )
es abierto en X ∼
∴ f es continua Proposición 9.8 (propiedad universal del cociente) Sea f : X → Y continua con X,Y espacios topológicos, sea ~ la relación de
equivalencia x, y ∈ X x : y ⇔ f ( x ) = f ( y ) entonces existe una única función f% : X : → Y continua tal que el siguiente diagrama conmuta. O sea
f
=
f % o π y además
Im f = Im f %
Demostración
X
Si existe f % debe cumplir: f% ([ x ]~ ) = ( f% o π ) ( x ) = f ( x ) como [ x ]~ = [ y ]~ ⇒ f ( x ) = f ( y ) o sea: f% ([ x ]~ ) = f ( x )
f
Y
f %
π X :
esta bien definida además f % es continua ya que f% o π = f es continua y Im f = Im f % porque π es sobre. Ejemplo 9.3 Sea I = [ 0,1] , ~ una relación de equivalencia en I definida como sigue:
x = y 0 x : y ⇔ { x, y} = {0,1} vamos a probar que I : es homeomorfo a S 1 = { z ∈ £ : z = 1} Sea ϕ : [ 0,1] → S 1 por ϕ ( t ) = e2π it se tiene que: ϕ ( t ) = ϕ ( s ) ⇔ e2π it = e 2π is ⇔ t − s ∈ ¢
- 188 -
Topología General
Espacio Cociente
- 189 -
t=s ⇔t :s o ⇔ {t , s} = {0,1}
entonces por el teorema anterior existe ϕ% continua tal que:
X
(ϕ% o π )( t ) = ϕ ( t ) 1424 3
ϕ
ϕ%
π
P
ϕ% ([t ]) = ϕ ( t )
Y
I :
y como ϕ% ([t ]) = ϕ% ([ s ]) ⇔ ϕ ( t ) = ϕ ( s ) ⇔ t : s ⇔ [t ] = [ s ] luego ϕ% es inyectiva y por ser ϕ sobre ⇒ ϕ% es sobre {
⇒ ϕ% es biyectiva.
Im ϕ =Im ϕ%
Por ser entonces ϕ% continua , biyectiva y ser [0,1] compacto entonces ϕ% : [0,1] → S 1 es un homeomorfismo por proposición 8.9 ya que S 1 es Hausdörff . Ejemplo 9.4 Toro El toro n-dimensional T n
= ¡n
: con ~ definido:
( x1 ,..., xn ) : ( y1,..., yn ) ⇔ xi − yi ∈ ¢ T n
∀i = 1,...n
S 1 ×24 es homeomorfo a S114 ... × 3 n
veces
n
Definimos ϕ : ¡ n → ( S 1 ) como ϕ ( x1 ,..., xn ) = ( e2π ix1 ,..., e2π ix ) entonces: n
ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇔ x : y entonces existe ϕ% : ¡ n : → ( S 1 )
n
Como ϕ |[0,1] es sobre n
n
n ( S 1 ) entonces ϕ% es sobre y al ser [ 0,1] compacto ⇒ [0,1] es compacto ⇒ π ( [0,1]n ) = ¡ n : es compacto y por lo tanto como en el ejemplo anterior ϕ% es
un homeomorfismo. Ejemplo 9.5 Cilindro Sea J = [− 12 , 12 ] en J 2
definimos
( x, y ) = ( x′, y′) ′ ′ x y x y ⇔ , , : ( ) ( ) x = ± 1 y = y′ 2
es homomorfo al cilindro
- 189 -
− 12
1 2
Topología General
Capítulo 9
- 190 -
Ejemplo 9.6 Cinta de Möbius
Sea J 2 : con la relación ~ definida como sigue: ( x, y ) = ( x′, y′ ) ′ ′ ( x, y ) : ( x , y ) ⇔ 1 ( − 2 , y ) : ( 12 , − y )
Ejemplo 9.7 Botella de Klein
Sea J 2 : con la relación ~ de equivalencia definida como sigue:
( x, y ) : ( x′, y′ ) ( x, y ) : ( x′, y′ ) ⇔ ( − 12 , y ) : ( 12 , y ) ( − y, 1 ) : ( y, − 1 ) 2 2 Ejemplo 9.8 Espacio proyectivo real PR
n
=
¡ n+1 \ {0} donde la relación de equivalencia x : y ⇔ x = λ y para algún :
n λ ∈ ¡ PR n es homeomorfo a S
Sea ϕ : ¡
n +1
\ {0} →
S n
:1
:1
donde ~1 esta definida: x :1 y ⇔ x = ± y
1 definida por ϕ ( x ) = x con x :
Entonces ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇒
1
1 x
x=±
1 y
x = ±
y
despejando:
x
y⇒ x: y
y
Si
- 190 -
x
= ( ∑ ( xi )
2
1
)2
Topología General
Espacio Cociente
- 191 -
λ λ y y = : 1 1 . y = ±1 y = ϕ ( y ) y : y : ∴ϕ ( x ) = ϕ ( y ) ⇔ x : y
x : y ⇒ x = λ y ⇒ ϕ ( x ) =
1
λ λ
1
1
⇒ ϕ% : PR n → S n es inyectiva y continua y sobre .
PR n
es además compacto
alcanza con proyectar la esfera S n PR
n
PR n
= π ( S ) n
π :¡
n +1
\ {0} →
¡ n+1 \ {0} entonces: :1
es compacto y S n es Hausdörff ⇒ ϕ% es un homeomorfismo.
- 191 -
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[email protected]
-v-
Indice Capítulo 0 Relación de Orden...................................................................................... Orden total.................................................................................................. Cadena........................................................................................................ Lema de Zorn............................................................................................. Axioma de Elección................................................................................... Cardinal...................................................................................................... Teorema de Cantor..................................................................................... Conjunto finito........................................................................................... Conjunto Numerable..................................................................................
7 8 9 9 10 11 13 14 14
Capítulo 1 Distancia métrica....................................................................................... Norma........................................................................................................ Bola Abierta............................................................................................... Métrica Relativa......................................................................................... Conjunto Abierto........................................................................................ Conjunto Cerrado....................................................................................... Métricas Equivalentes................................................................................
29 31 33 35 35 38 39
Capítulo 2 Espacios Topológicos................................................................................. Metrizable................................................................................................... Entorno........................................................................................................ Interior......................................................................................................... T0.................................................................................................................. T1................................................................................................................ T2 o Hausdörff............................................................................................ Clausura...................................................................................................... Punto de Acumulación................................................................................ Punto Aislado.............................................................................................. - vi -
43 44 45 47 49 50 51 52 57 57
Frontera........................................................................................................ Conjunto Denso........................................................................................... Conjunto Separable...................................................................................... Base.............................................................................................................. Sub-base....................................................................................................... N2................................................................................................................. Cubrimiento................................................................................................. Subcubrimiento........................................................................................... Espacio de Lindelöff................................................................................... Base Local................................................................................................... N1.................................................................................................................
57 58 58 60 62 63 65 65 65 69 70
Capítulo 3 Sucesión Convergente................................................................................ Conjunto Dirigido...................................................................................... Red............................................................................................................. Punto de Acumulación.............................................................................. Continuidad............................................................................................... Continuidad Uniforme............................................................................... Homeomorfismo........................................................................................ Función Abierta......................................................................................... Función Acotada..........................................................................................
75 77 78 81 83 88 90 90 91
Capítulo 4 Conjunto de Cantor..................................................................................... 95
Capítulo 5 Topología Producto..................................................................................... 103 Proyección Canónica................................................................................... 103
Capítulo 6 Espacio Conexo........................................................................................... 113 Teorema de Bolzano.................................................................................... 116 - vii -
Conexo en Espacios Normados................................................................... 118 Conectados................................................................................................... 122 Componente Conexa.................................................................................... 122 Localmente Conexo..................................................................................... 124 Camino......................................................................................................... 127 Localmente Conexo por Camino................................................................. 131
Capítulo 7 Sucesión de Cauchy..................................................................................... 135 Espacio Métrico Completo.......................................................................... 137 Completación............................................................................................... 144 Teorema de Cantor...................................................................................... 147 Contracción y punto fijo.............................................................................. 148 Magro........................................................................................................... 150
Capítulo 8 Espacio Topológico Compacto.................................................................... 157 Teorema de Heire-Borel.............................................................................. 159 Lema de Alexander...................................................................................... 163 Teorema de Tychonoff................................................................................ 166 PIF............................................................................................................... 168 Espacio Secuencialmente Compacto........................................................... 170 Espacio de Bolzano-Weiestrass................................................................... 172
Capítulo 9 Topología Final............................................................................................ 183 Topología Cociente...................................................................................... 184 Conjunto Saturado....................................................................................... 184 Relación de Equivalencia Abierta (Cerrada)............................................... 185 Propiedad Universal del Cociente............................................................... 188 Cinta de Möbius........................................................................................... 190
- viii -
Índice alfabético Adherente 52 Aplicación cociente 183 Axioma de elección 10 Base 60 Base local 69 Bola abierta 33 Botella de Klein 190 Cadena 9 Camino 127 Cardinal 11 Cardinal del conjunto potencia 27 Cilindro 189 Cinta de Möbius 190 Clase de equivalencia 6 Clausura 52 Cofinito 44 Complementos finitos 44 Completación 144 Componente conexa 122 Componente conexa por camino 129 Conectado por camino 127 Conectados 122 Conjunto abierto 35 Conjunto cerrado 38 Conjunto compacto 157 Conjunto conexo 113 Conjunto convexo 118 Conjunto de Cantor 95 Conjunto de índices 5 Conjunto de partes finitas 22 Conjunto denso 58 Conjunto dirigido 77 Conjunto finito 14 Conjunto numerable 14 Conjunto ordenado 8 Conjunto saturado 184 Conjunto totalmente ordenado 8 Contracción 148 Convergencia puntual 93 Convergencia uniforme 91 Cota superior 8 Cubrimiento por abiertos 65 Disconexo 113
Distancia 29 Distancia discreta 30 Elemento maximal 8 Entorno 45 Equipotente 11 Espacio cociente 183 Espacio de convergencia uniforme 91 Espacio discreto 34 Espacio métrico 29 Espacio métrico completo 137 Espacio proyectivo real 190 Espacio topológico compacto 157 Espacio topológico de Baire 153 Espacio vectorial normado 31 Espacios conexos 113 Espacios homeomorfos 90 Espacios isométricos 88 Espacios Topológicos 43 Extensión continua 142 Familia indexada de conjuntos 5 Frontera 57 Función abierta 90 Función cerrada 90 Función cofinal 81 Función continua 83 Función distancia 89 Función Indexada 5 Función uniformemente continua 88 Hausdörff 51 Homeomorfismo 90 Inductivo 15 Inmersión 88 Interior 47 Isometría 88 Lema de Alexander 163 Lema de Zorhn 9 Lindelöff 65 Localmente compacto 176 Localmente conexo 124 Localmente conexo por camino 131 Magro 150 Máximo 8 Métrica relativa 35
