Notas de Análise Funcional - Jorge Mujica

Notas de Análise Funcional Jorge Mujica

Sumário

1. Espaços normados e operadores lineares .......................... .......................................... ............................... .............................. ...........................01 ............01 2. Desigualdades de Hölder e Minkowski para somas ........................... ......................................... ............................. ...........................05 ............05 3. Espaços normados de sequências.................... sequências................................... ............................ ............................ .............................. ............................. ..................08 ....08 4. Desigualdades de Hölder e Minkowski para integrais ............................ .......................................... ............................ ......................12 ........12 5. Espaços normados de funções................................... funções................................................. ............................ ............................ ............................ ........................14 ..........14 6. Espaços n ormados de dimensão finita ............................. ............................................. .............................. ............................. .............................20 ..............20 7. Completamento Completamento de espaços normados ............................. ........................................... ............................ .............................. .............................. ...............23 .23 8. Espaços quociente .......................... ........................................ ............................. .............................. ............................. ............................ ............................ .....................26 .......26 9. Espaços com produto interno ............................ .......................................... ............................ ............................. .............................. ............................. ................29 ..29 10. Projeções ortogonais .......................... ......................................... ............................ ............................ .............................. ............................. .............................32 ...............32 11. O teorema de Hahn-Banach ....................................... ..................................................... ............................. ............................. ............................. ....................37 .....37 12. Consequências do teorema de Hahn-Banach .............................. ............................................. .............................. .............................. ................41 .41 13. O dual de lp ........................... ......................................... ........................... ........................... ............................. ............................. .............................. ..............................44 ..............44 14. O dual de Lp(X,_, µ) .......................... ......................................... ............................. ............................ ............................. .............................. .............................46 ..............46 15. Bidual de um espaço normado ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................. ............................51 .............51 16. Teorema de Banach-Steinhaus..................... Banach-Steinhaus..................................... .............................. ............................ ............................ .............................. ...................54 ...54 17. Teorema da aplicação aberta e teorema do g ráfico fechado................................ fechado............................................. ......................57 .........57 18. Espectro de um operador em um espaço de Banach ............................ .......................................... ............................ .......................60 .........60 19. Operadores compactos entre espaços de Banach ............................. ........................................... ............................ ...........................63 .............63 20. Conjuntos ortonormais em espaços de Hilbert................................ Hilbert.............................................. ............................ ............................65 ..............65 21. Conjuntos ortonormais completos em espaços de Hilbert ............................. ........................................... ...........................68 .............68 22. Operadores auto-adjuntos em espaços de Hilbert ............................ .......................................... ........................... ...........................75 ..............75 23. Teorema espectral para operadores compactos e auto-adjuntos em espaços de Hilbert ........................... ......................................... ............................. ............................. ............................ ............................ ............................. ...................78 ....78 24. Espaços localmente convexos .......................... ........................................ ........................... ............................ ............................. ........................... .................81 ....81 25. O teorema de Hahn-Banach em espaços localmente convexos.................................... convexos.................................................85 .............85 26. A topologia fraca.................................... fraca................................................... .............................. ............................. ............................ ........................... .........................87 ............87 27. A topologia fraca estrela ............................ .......................................... ............................ ............................ ............................ ............................ .......................89 .........89

1. Espa¸ cos normados e operadores lineares cos Sempre consideraremos espa¸cos cos vetoriais sobre K, onde K é R ou C. 1.1. Defini¸ Defini¸ c˜ cao. a õ. Se E é um espa¸ esp a¸co co vetorial, então ao uma fun¸c˜ caao õ x x R é chama cha mada da de norma se verifica as seguintes propriedades:

 ∈

∈ E →

  ≥ 0 para todo x ∈ E ; (b) x = 0 se e só se x = 0; (c) λx = |λ|x para todo λ ∈ K e x ∈ E ; (d) x + y  ≤ x + y  para todo x, y ∈ E . (a) x

A desigual d esigualdade dade (d) é chamada cham ada de desigualdade triangular . O espa¸co co vetorial E , junto com a norma . , é chamado chama do de espa¸co co normado. normado. E é chamado chama do de espa¸co co de Banach se for completo com rela¸c˜ cão ao a` métrica etrica natural natura l d(x, y) = x y .



 − 

Logo veremos muitos exemplos de espa¸cos cos normados e espa¸cos cos de Banach. De agora em diante, a menos que digamos o contrário, ario, E e F denotarão ao espa¸cos cos normados.

∈

1.2. Defini¸ Defini¸ c˜ ao. Sejam a E e r > 0. A bola aberta de centro a e raio r é o conjunto BE (a; r) = x E : x a < r .

{ ∈

 − 

}

A bola fechada de centro a e raio r é o conju con junto nto

{ ∈ E : x − a ≤ r}.

B E (a; r) = x

A esfera de centro a e raio r é o conju con junto nto

{ ∈ E : x − a = r}.

S E (a; r) = x

Se a = 0 e r = 1, escreveremos BE , B E e S E em lugar de BE (0; (0; 1), 1), B E (0; (0; 1) e S E (0; 1), respectiv respectivamen amente. te. 1.3. Defini¸ Defini¸ c˜ ao. Dada uma aplica¸c˜ cao aõ linear T : E

→ F , F , seja T  definido por T  = sup{T x : x ∈ E, x ≤ 1}. T é dita limitada se T  < ∞. 1.4. 1.4. Propo Proposi¸ si¸ c˜ ao. ao. Dado uma aplica¸c˜ cao ˜ linear T : E → F , F , as seguintes

condi¸c˜ coes ˜ s˜ ao equivalentes: (a) T é limi li mita tada. da. (b) T é unifo uni forme rmeme mente nte cont´ınua. ınu a. (c) T é con cont´ınua. (d) T é cont´ con t´ınua ın ua na orig or igem em..

1

⇒ (b): Se T é limita lim itada, da, entãaoo T x ≤ T  para todo x ∈ E, x ≤ 1,

Demonstra¸ c˜ ao. (a)

e portanto

T x ≤ T x

para todo x

∈ E.

Segue que

T x − T y ≤ T x − y

para todo x, y

∈ E.

Logo T é unif un iform ormeme emente nte cont´ con t´ınuo. ınu o. As implica¸c˜ coes o˜es (b (b)

⇒

⇒ (c) e (c) ⇒ (d) são ao claras.

(d) (a): Se (a) não ao for verdadeiro, então ao existiria existir ia uma sequência encia ( xn ) em E tal que xn 1 e T xn n para cada n. Seja yn = xn / T xn para cada n. Entãaoo yn 1/n e T yn = 1 para cada n. Logo T não ao seria seri a cont´ınuo ınuo na origem.

 ≤  ≤



≥  





→

1.5. 1.5 . Corol´ Cor olário. ari o. Seja T : E F uma aplica¸c˜ cao ˜ linear. Ent˜ ao T é con co nt´ınua se e s´ o se existe uma constante c > 0 tal que

T x ≤ cx

para todo x

∈ E.

1.6. Defini¸ Defini¸ c˜ ao. Denotaremos por La (E ; F ) F ) o espa¸co co vetorial de todas as aplica¸c˜ coes o˜es lineares T : E F . F . Denotaremos por L(E ; F ) F ) o subespa¸co co de todas os T La (E ; F ) F ) que são ao cont co nt´´ınuas. Os elementos el ementos de La (E ; F ) F ) s˜ ao ao usualmente chamados de operadores lineares. lineares . ´ claro que o valor absoluto define uma norma em K, e que K, munido E dessa norma, é completo. O espa¸co co La (E, K) é denot d enotado ado por po r E ∗ , e é chamad cha madoo  de dual dua l alg´ al gébri eb rico co de E . O espa¸co co L(E ; K) é denotado denotad o por E , e é chamado de dual topol´ ogico, ogico, ou simplesmente dual de E . Os elemento elementoss de E ∗ s˜ ao ao usualmente chamados de funcionais lineares. lineares. Diremos que T L(E ; F ) F ) é um isomorfismo topol´ ogico se T é bijeti bij etivo vo e seu inverso invers o é cont´ınuo. ınuo . Diremos Dire mos que T L(E ; F ) F ) é um mergulho topol´ ogico se T é um isomorfismo isomorfismo topológico ogico entre E e o subespa¸co co T ( T (E ) de F . F . Diremos que T L(E ; F ) F ) é um isomorfis isom orfismo mo isom´ iso métrico etri co se T é bijeti bij etivo, vo, e T x = x para todo x E . Dire Diremo moss que que T L(E ; F ) F ) é um mergulho isom´ is ométri et rico co se T é um isomorfi iso morfismo smo isom´ iso métrico etri co entre entr e E e o subespa¸co co T ( T (E ) de F . F . Diremos que duas normas . 1 e . 2 em um espa¸co co vetorial E sãaoo equivalentes se a aplica¸c˜ cao ão identidade de (E, (E, . 1 ) em (E, (E, . 2 ) é um isomorfismo isomorfi smo topológico. ogico.

→

∈

∈

 



∈

∈

∈

∈

 

1.7. Corol´ ario. ario. Seja T e s´ o se existem constantes b





∈ La (E ; F ) F ). Ent˜ ao T é um mergulho mergul ho topol´ topol ogico ´ se ≥ a > 0 tais que ax ≤ T x ≤ bx para todo x ∈ E. 2

   2 em

1.8. Corol´ Corol´ ario. ario. Seja E um espa¸co co vetorial. vetorial. Duas normas normas . 1 e . E s˜ ao equivalentes se e s´ o se existem constantes b a > 0 tais que

≥

 1 ≤ x2 ≤ bx1

a x

para todo x

∈ E.

→ 

1.9. Proposi¸ Proposi¸ c˜ cao. a õ. A fun¸c˜ c˜ ao T T é uma norma norm a em L(E ; F ) F ). Se F é um espa¸co co de Banach, ent˜ ao L(E ; F ) F ) tamb ta mb´ ém em ´ e um espa¸ es pa¸co co de Banach. ´ fácil Demonstra¸ c˜ ao . E acil verificar que a fun¸c˜ caao õ T T é uma norma nor ma em L(E ; F ). F ). Provaremos que L(E ; F ) F ) é complet comp letoo se F é completo c ompleto.. Seja (T n ) uma sequência enci a de d e Cauchy C auchy em L(E ; F ). F ). Então, ao, dado  > 0, existe n0 N tal que

→ 

∈

T n − T m  ≤  ≥ n0. Segue que T nx − T mx ≤ T n − T mx ≤ x (1) para todo n, m ≥ n0 e x ∈ E . Segue que (T (T n x) é uma sequˆ seq uência enc ia de Cauchy em F para cada x ∈ E . Como por hipótese otese F é completo, existe o limite limn T n x para cada x ∈ E . Definam Definamos os T : E → F por T x = limn T n x para cada x ∈ E . ´ facil verificar que T é linear. E lin ear. Fazendo m → ∞ em (1) segue que T nx − T x ≤ x para todo n ≥ n0 e x ∈ E . Logo T n − T  ≤ , e portanto T n − T ∈ L(E ; F ), F ), para todo n ≥ n0 . Segue que T = (T ( T − T n ) + T n ∈ L(E ; F ) F ) e T n − T  → 0. para todo n, m

1.10. 1.10. Corol´ Corol´ ario. ario. O dual de um espa¸co co normado é sempre um espa¸co co de Banach. Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 1.A. Prove que

|x − y| ≤ x − y para todo x, y ∈ E. Em particular a fun¸c˜ caao õ x ∈ E → x ∈ R é unifo uni form rmeme emente nte cont´ con t´ınua. ınu a. 1.B. (a) Se xn → x em E , e yn → y em E , prove que xn + yn → x + y em E . (b) Se λn → λ em K, e xn → x em E , prove que λn xn → λx em E . Em particular as seguintes aplica¸c˜ cões oes são ao cont´ co nt´ınuas: ınu as: (x, y)

∈ E × E → x + y ∈ E, (λ, x) ∈ K × E → λx ∈ E. 3

1.C. (a) Prove que, para cada a homeomorfismo.

∈ E , a aplica¸c˜ cãaoo x ∈ E → x + a ∈ E é um



(b) Prove que, para cada λ = 0 em K, a aplica¸c˜ caao õ x homeomorfismo.

∈ E → λx ∈ E é um

1.D. Prove que cada subespa¸co co fechado de um espa¸co co de Bana B anach ch é um u m espa¸ es pa¸co co de Banach com a norma induzida. 1.E. Se M é um subespa sub espa¸¸co co vetorial próprio oprio de E , prove que intE int E é vazi vazio. o. 1.F. (a) Prove que a fun¸c˜ cãaoo (x, y) E F . F .

×



1 = x + y define uma norma em

× F, .1) é completo complet o se e só se E e F são ao completos. 1.G. (a) Prove que a fun¸c˜ cãaoo (x, y)∞ = max{x, y } define uma norma em E × F . F . (b) Prove que (E ( E × F, .∞ é completo complet o se e só se E e F são ao completos. 1.H. Prove que a aplica¸c˜ cão ao identidade I : (E × F, .1 ) → (E × F, .∞ ) é um isomorfismo isomorfismo topológico. ogico. Calcule I  e I −1 . 1.I. Dado T ∈ L(E ; F ), F ), prove que: T  = sup{T x : x ∈ E, x < 1} = sup{T x : x ∈ E, x = 1} T x : x ∈ E, x = 0 } = sup{ x = inf {c > 0 : T x ≤ cx para todo x ∈ E }. (b) Prove que (E ( E

4

2. Desigualdades de H¨ older e Minkowski para somas older 2.1. Lema. Lema. Sejam a, b, α, β > 0, com α + β = 1. Ent˜ ao: aα bβ

(1)

≤ αa + βb,

com igualdade se e só se a = b. Demonstra¸ c˜ ao. Queremos provar que aα b1−α

≤ αa + (1 − α)b,

ou seja

a b

α

≤

(2) Consideremos a fun¸c˜ caao õ

φ(t) = αt + 1 Entãaoo

a α +1 b

− α − tα

φ (t) = α

− α.

(t > 0). 0).

− αtα−1.

Como 0 < α < 1, segue que φ (t) < 0 s e 0 < t < 1, φ (t) > 0 se

t > 1.

Logo φ é estritamente estrita mente decrescente em (0, (0 , 1], e estritamente crescente em [1, [1 , Como φ(1) = 0, concluimos que

∞).



φ(t) > 0 se t > 0, t = 1. Isto prova (2), e portanto (1), com igualdade se e só se a = b. 2.2. Teorema eorema (desigu (desiguald aldade ade de H¨ older older para para somas) somas).. Sejam 1 < 1 1 p,q < , com p + q = 1, e sejam (ξ1 ,...,ξn ), (η1 ,...,ηn ) K n . Ent˜ ao:

∞

∈

n

1/p

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ | ≤⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ n

|

ξj ηj

j =1

n

ξj p

ηj

j =1

q

1/q

.

j =1

Demonstra¸ c˜ ao. Aplicando o lema anterior, com aj = obtemos

ξj p , bj = n p p j =1 ξj

 | || | 

n j =1

ξj ηj 1/p

| |    | | p ξj p

q | , n q j =1 |ηj |

|

ηj

n j =1

5

|

|ηj q

1/q

α=

1 1 , β = , p q

≤ a pj + bqj

para j = 1,...,n. ,...,n. Somando estas desigualdades, segue que n j =1 1/p

 | |  | |   | |  n j =1

p ξj p

ξj ηj

n j =1

ηj

q

≤ 1/q

1 p

n

 j =1

1 aj + q

n



bj =

j =1

1 1 + = 1, p q

completando a demonstra¸c˜ cao. aõ.

2.3. Corol´ ario ario (desigualdade de Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz para somas). Sen jam (ξ1 ,...,ξn ), (η1 ,...,ηn ) K . Ent˜ ao:

∈

n

1/2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ | ≤⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ n

|

ξj ηj

j =1

ξj

n

2

ηj

j =1

1/2

2

.

j =1

≤ ∞ | | ∞

2.4. Defini¸ c˜ ao. Dado 1 p < , seja  p o conjunto co njunto de todas t odas as sequˆ s equências encias p (ξj ) em K tais que ∞ ξ < . j =1 j



Temos então ao os corolários arios seguintes. 2.5. Corol´ Corol´ ario ario (desigualdade (desigualdade de H¨ older older para s´ eries). eries) . Sejam 1 < p,q < , com p1 + q1 = 1, e sejam (ξj )  p e (ηj ) q . Ent˜ ao (ξj ηj ) 1 e

∞

∈

∈

1/p

∈

⎛ ⎞ ⎛ ⎞  | | ≤ ⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ ∞

∞

∞

ξj p

ξj ηj

j =1

ηj

j =1

1/q

q

.

j =1

2.6. Corolário ario (desigualda (desig ualdade de de Cauchy-Schwarz para s´ eries). eries). Se jam (ξj ), (ηj ) 2 . Ent˜ ao (ξj ηj ) 1 e

∈

∈

∞

ξj ηj

j =1

1/2

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ | ≤⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ ∞

|

ξj

∞

2

ηj

j =1

1/2

2

.

j =1

2.7. Teorema eorema (desigual (desigualdade dade de Minko Minkowsk wskii para para somas) somas).. Sejam n 1 p < , e (ξ1 ,...,ξn ), (η1 ,...,ηn ) K . Ent˜ ao:

≤

∞

∈

1/p

⎛ ⎝ |

1/p

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ | ⎠ ≤⎝ | | ⎠ ⎝ | ⎠

n

n

ξj + ηj p

j =1

ξj p

n

η pj

+

j =1

1/p

.

j =1

Demonstra¸ c˜ ao. A desigualdade desigua ldade é clara se p = 1. Se p > 1, temos que: n

n

|

ξj + ηj

j =1

p

|

=

n

|

||

ξj + ηj ξj + ηj

j =1

p− p−1

|

n

 ≤ | ||

ξj ξj + ηj

j =1

6

p− p−1

|

+

| j =1

p−1 ηj ξj + ηj p− .

||

|

Como ( p ( p

− 1)q 1)q = p, segue da desigualdade de Hölder older que n

p−1 ξj ξj + ηj p−

j =1

e

⎛ ⎞ ≤⎝ | | ⎠ ⎛ ⎞ ≤⎝ | | ⎠

1/p

1/q

⎛ ⎞  | || | ⎝ | | ⎠ ⎛ ⎞  | || | ⎝ | |⎠ ⎧ ⎫ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎪ ⎪ ⎨ ⎬  | | ≤ ⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ ⎪⎩ ⎪⎭ n

ξj p

ξj + ηj p

j =1

n

j =1

j =1

1/p

n

p−1 ηj ξj + ηj p−

n

ηj p

1/p

n

ξj + ηj p

ξj p

j =1

1/q

n

ξj + ηj p

j =1

Logo

Como 1

n

j =1

1/p

n

n

ηj p

+

j =1

.

ξj + ηj p

j =1

1/q

.

j =1

− q1 = p1 , segue que

⎛ ⎝ | n

1/p

1/p

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ | ⎠ ≤⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ n

ξj + ηj p

j =1

ξj p

n

ηj p

+

j =1

1/p

,

j =1


2.8. Corol´ Corol´ ario ario (desigualdade de Minkowski para s´ eries). eries). Seja 1 p < , e sejam (ξj ), (ηj )  p . Ent˜ ao (ξj + ηj )  p e

∞

∈

⎛ ⎝ | ∞

∈

1/p

1/p

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ | ⎠ ≤⎝ | | ⎠ ⎝ | | ⎠ ∞

ξj + ηj p

j =1

ξj p

j =1

7

∞

ηj p

+

j =1

1/p

.

≤

3. Espa¸ cos cos normados normad os de sequˆ encias encias 3.1. Exemplo. Exemplo. Dado 1

definamos ≤ p < ∞, definamos

⎛ ⎞ ⎝ | |⎠ n

x p =

1/p

ξj p

j =1

para cada x = (ξ1 ,...,ξn ) Kn . Segue Segue da desigu desiguald aldade ade de Minkowsk Minkowskii que a n n fun¸c˜ caao õ . p é uma norma nor ma em K . Denotaremo Denotaremoss por K p o espa¸co co vetorial Kn , munido da norma . p . Não ao é dif´ di f´ıcil ıc il provar pro var que qu e K pn é um espa¸ es pa¸co co de Banach.

∈





3.2. Exemplo. Exemplo. Definamos

x∞ = max{|ξ1|, ..., ..., |ξn |} ´ f´ para cada x = (ξ1 ,...,ξn ) ∈ Kn . E acil acil verificar que a fun¸c˜ cãaoo .∞ é uma n n n norma em K . Denotaremo Denotaremoss por K p o espa¸co co vetorial K , munido da norma n ao é dif di f´ıcil ıci l provar pr ovar que qu e K∞ é um espa¸ esp a¸co co de Banach. .∞. Não 3.3. Exemplo. Exemplo. Dado 1 ≤ p < ∞, lembremos que ∞

{

 p = x =

(ξj )∞ j =1

⊂K:

| |

ξj p <

j =1

∞}.

Segue da desigualdade de Minkowski para s´ eries eries que  p é um espa¸ esp a¸co co vetorial, e a fun¸c˜ caao õ

⎛ ⎞ ⎝ | |⎠ ∞

x p =

1/p

ξj p

j =1

é uma norma norm a em  p . Prova Provaremos remos que  p é de fato um espa¸co co de Banach. Banach. Seja ∞ ∞ (xn )n=1 uma seq¨ uˆ uência enci a de Cauchy em  p . Escrevamos xn = (ξnj )j =1 para cada n. Então, ao, dado  > 0, existe n0 tal que

⎛ ⎝ |

⎞ |⎠

∞

(1)

xn − xm =

ξnj

j =1

1/p

− ξmj p

≤

≥ n0. Em particular |ξnj − ξmj | ≤ xn − xm  ≤  para todo n, m ≥ n0 e todo j ∈ N. Logo (ξ (ξnj )∞ e uma seq¨ seq uˆ u ¨ência enci a de Cauchy n=1 ´ em K para cada j ∈ N. Seja ξj = limn ξnj para cada j ∈ N, e seja x = (ξ ( ξj )∞ j =1 . ∞ Provaremos Provaremos que x ∈  p e que (x ( xn )n=1 converge a x. De fato, segue de (1) que para todo n, m

⎛ ⎝ | k

(2)

ξnj

j =1

8

⎞ |⎠

− ξmj p

1/p

≤

para todo n, m

≥ n0 e todo k ∈ N. Fazendo m → ∞ em (2) segue que

⎛ ⎝ | k

ξnj

j =1

para todo n

∞

ξnj

j =1

≥ −

1/p

⎞ |⎠

1/p

− ξj p

≥ n0 e todo k ∈ N. Logo

⎛ ⎝ |

⎞ |⎠

≤

− ξj p

≤

− ∈  − x ≤  para todo n ≥ n0. Segue  − →

para todo n n0 . Assim xn x  p e xn que x = (x ( x xn ) + xn  p e xn x 0.

∈

3.4. Exemplo. Exemplo. Seja ∞ = x = (ξj )∞ j =1

{

⊂ K : supj |ξj | < ∞}.

´ f´ E acil acil verificar que ∞ é um espa¸ es pa¸co co vetorial, e a fun¸c˜ cãaoo

x∞ = supj |ξj | é uma norma nor ma em ∞ . Não ao é dif´ di f´ıcil ıci l provar pr ovar que qu e ∞ é um espa¸ es pa¸co co de Banach. 3.5. Exemplo. Exemplo. Sejam c0 = x = (ξj )∞ j =1

⊂ K : (ξj )

conve converge rge a zero zero

c = x = (ξj )∞ j =1

⊂ K : (ξj )

é convergente converg ente .

{

e

{

}

}

Não ao é dif´ di f´ıcil ıc il provar pro var que qu e c0 e c são ao subespa¸cos cos fechados de ∞ , e são ao portanto espa¸cos cos de Banach. Lembremos que um espa¸co co métri et rico co X é dito separ´ avel se existir um subconjunto enumerável avel D X que é denso dens o em X , ou seja D = X . Não ao é dif´ıcil ci l provar que o espa¸co co K pn é sepa se par´ rável avel para 1 p .

⊂

≤ ≤∞ 3.5. Proposi¸ Proposi¸ c˜ cao. a õ.  p é separ se par´ ´ avel para cada 1 ≤ p < ∞.

Demonstra¸ c˜ ao. Seja c00 = x = (ξ ( ξj )∞ j =1

{

e seja

⊂ K : ξj = 0

D = x = (ξ ( ξj )∞ j =1

{

para para todo todo j

∈ c00 : cada

≥

algum n

}

ξj é rac r acio iona nall .

}

O conjunto D é claramente enumerável. avel. Prova Provaremo remoss que D é denso dens o em  p . p Sejam x = (ξj )  p e  > 0 dados. Como ∞ ξ < , existe n N tal que j =1 j

∈

∞

||



ξj p <  p .

j =n+1

9

| |

∞

∈

Seja y = (ξ1 ,...,ξn , 0, 0, 0,...) ,...), e seja z = (ζ 1 ,...,ζ n , 0, 0, 0,...) ,...), com ζ 1 ,...,ζ n racionais tais que n

|

ξj

j =1

Entãaoo y

− ηj | p <  p .

∈ c00, z ∈ D e x − z p ≤ x − y p + y − z p < 2.

Logo D é denso den so em  p . 3.6. Proposi¸ Proposi¸ c˜ cao. a õ. ∞ n˜ ao é separ se par´ ´ avel. Demonstra¸ c˜ ao. Seja (x (xn )∞ avel avel de ∞ . Seja Seja n=1 um subconjunto enumer´ ∞ ∞ xn = (ξnj )j =1 para cada n. Seja x = (ξ ( ξj )j =1 definido por

| | ≤ 1, |ξjj | > 1.

ξj = ξjj + 1 se ξjj ξj = 0 Claramente x

se

∈ ∞, mas

x − xj ∞ ≥ |ξj − ξjj | ≥ 1 para todo j . Logo {xj : j ∈ N} não ao é denso dens o em ∞ . Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss

∈ Kn e 1 ≤ p ≤ q < ∞, prove que: (a) xq ≤ x p . (b) x∞ ≤ x p ≤ n1/p x∞ . (c) x∞ = lim p→∞ p→∞ x p . Em particular todas as normas . p , com 1 ≤ p ≤ ∞, s˜ ao ao equivalentes entre n 3.A. Dados x

si em K .

3.B. Seja T : K1n

operador identidade identidade.. Calcule Calcule T  e T −1 . → K∞n o operador 3.C. Se 1 ≤ p ≤ ∞, prove que cada aplica¸c˜ cão ao line li near ar T : K pn → F é cont´ınua nu a. 3.D. Se 1

ao é cont´ co nt´ınua ın ua.. ≤ p ≤ q < ∞, prove que  p ⊂ q , e a inclusão 10

≤ p < ∞, prove que  p ⊂ c0, e a inclusão ao é cont´ co nt´ınua ınua.. 3.F. Prove que K pn é sepa se par´ rável avel para 1 ≤ p ≤ ∞. 3.E. Se 1

3.G. Prove que c0 e c são ao separáveis. aveis. 3.H. Prove que c0 e c s˜ ao ao isomorfos entre si.

11

4. Desigualdades de H¨ older e Minkowski para integrais older Seja (X, (X, Σ, µ) um espa¸co co de medida , ou seja X é um conjunto conj unto não ao vazio, Σ é uma σ -´ algebra de subconjuntos de X , e µ : Σ algebra [0, [0, ] é uma medida. Se 1 p < , denotaremos por p (X, Σ, µ) o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ cões oes p mensuráveis aveis f : X K tais que X f p dµ < . Escrevamos Escrevamos

≤

∞

→ ∞

L

 | | ∞     ||

→

1/p

p

f p =

f dµ

X

para cada f

∈ L p (X, Σ, µ).

4.1. Teorema eorema (desigualdade (desigualdade de H¨ older para integrais). Sejam 1 < older 1 1 p,q < , com p + q = 1, e sejam f Ent˜ ao p (X, Σ, µ) e g q (X, Σ, µ). Ent˜ fg 1 (X, Σ, µ) e

∞ ∈L

∈L

∈L

1/p

 |

|

f g dµ

X

      ≤ || || f p dµ

1/q

g q dµ

X

.

X

Demonstra¸ c˜ ao. Sem perda de generalidade podemos supor que f p > 0 e g q > 0. Aplicando o Lema 2.1 com





a=

f (x)| |f ( f  p ,

segue que

b=

|g(x)| , gq

α=

1 1 , β = , p q

|f ( |f ( |g(x)|q . f (x)g (x)| f (x)| p ≤ + f  p gq pf  p p qgqq

Integrando segue que

 |

f g dµ f p g q

| ≤ 1 + 1 = 1,     p q X


4.2. Corol´ ario ario (desigualdade de Cauchy-Schwarz Cauchy-Schwarz para integrais). Sejam f, g ( X, Σ , µ ) . Ent˜ En t˜ ao a o f g ( 2 1 X, Σ, µ) e

∈L

∈L

 |

1/2

|

f g dµ

X

      ≤ || || 2

2

f dµ

X

g dµ

1/2

.

X

→

∨

Dadas duas fun¸c˜ coes o˜es f, g : X R, as fun¸c˜ cões oes f g : X s˜ ao ao definidas por: (f g )(x )(x) = max f ( f (x), g (x) ,

∨ { } (f ∧ g )(x )(x) = min{f ( f (x), g(x)}. 12

→ R e f ∧ g : X → R

4.3. Teorema eorema (desigu (desiguald aldade ade de Minko Minkowsk wskii para para integ integrai rais). s). Seja 1 p < , e sejam f, g ao f + g p (X, Σ, µ). Ent˜ p (X, Σ, µ) e

≤

∞

∈L

∈L

1/p

 |

1/p

|

p

f + g dµ

X

1/p

 ≤  | |   | | 

p

f dµ

p

+

g dµ

X

.

X

Demonstra¸ c˜ ao. A desigualdade desigua ldade é clara se p = 1. Log Logo o vamos vamos supor que p > 1. Como

|f + g| p ≤ (|f | + |g|) p ≤ 2 p (|f | ∨ |g|) p ≤ 2 p (|f | p + |g| p ), segue que f + g ∈ L p (X, Σ, µ). Como p−1 p−1 p−1 |f + g| p = |f + g||f + g| p− ≤ |f ||f + g| p− + |g ||f + g | p− , segue que

 |

p

|

f + g dµ

X

 ≤ | ||

f f + g

X

p− p−1

|

dµ +

|

∈L

f f + g

p− p−1

p−1 g f + g p− dµ.

|

X

p−1 q Temos que f + g p− (X, Σ, µ), pois ( p ( p Usando a desigualdade de Hölder, older, segue que

|

 | ||

1)q = p e f + g ∈ L p (X, Σ, µ). − 1)q

1/p

 | || X

|

dµ

     ≤ || | p

f dµ



p

|

1/q

f + g dµ

X

X

.

De maneira análoga aloga 1/p

 | ||

g f + g

X

p− p−1

|

dµ

1/q

     ≤ || | p

g dµ



p

f + g dµ

X

|

X

.

Logo

 |

p

f + g dµ

X

Como 1

|

≤



X

  | |    | 1/p

p

|f | dµ

1/p

p

+

g dµ

1/q

p

f + g dµ

X

|

X

− q1 = p1 , segue que

 |

1/p

p

1/p

f + g dµ

X

|

1/p

 ≤  | |   | |  p

f dµ

X

p

+

g dµ

X


13



,

.

5. Espa¸ cos normados de fun¸ cos c˜ coes o ˜es 5.1. 5.1. Exem Exempl plo. o. Seja X um conjunto não ao vazio, e seja B (X ) o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ cões oes limitadas f : X K. N˜ ao ao é dif´ıcil ıcil provar que B (X ) é um espa¸ esp a¸co co de Banach sob a norma

→

f  = sup{|f ( f (x)| : x ∈ X }. 5.2. Exempl Exemplo. o. Seja X um espa¸co co topológico ogico compacto, e seja C (X ) o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ cões oes cont´ con t´ınuas ınu as f : X K. N˜ ao ao é dif´ d if´ıcil ıc il veri verific ficar ar que C (X ) é um subesp sub espa¸ a¸co co fechado de B (X ), ), e é portanto p ortanto um espa¸co co de Banach.

→

5.3. Exempl Exemplo. o. Seja X um espa¸co co topológico ogico arbitrário, ario, e seja C b (X ) o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ cões oes cont´ cont´ınuas e limitadas limita das f : X K. Não é dif´ıcil ıcil verificar verifi car que C b (X ) é um subespa¸ subes pa¸co co fechado de B (X ), ), e é portanto port anto um espa¸co co de Banach.

→

≤

∞

5.4. Exempl Exemplo. o. Seja (X, (X, Σ, µ) um espa¸co co de medida, e seja 1 p< . Segue da desigualdade de Minkowski que p (X, Σ, µ) é um espa¸ esp a¸co co vetorial, e a fun¸c˜ caao õ

L

f  p = tem as seguintes propriedades:

 | | 

1/p

p

f dµ

X

  ≥ 0; (b) f  p = 0 se e só se f ( f (x) = 0 quase sempre; (c) λf  p = |λ|f  p ; (d) f + g  p ≤ f  p + g  p . Estas Estas propri proprieda edades des mostra mostram m que a fun¸ fun¸c˜ cãaoo . p (a) f p

tem quase todas as proprieda priedades des de uma norma norma.. S´ o não ao verifica a propriedade (b) da defini¸c˜ cão a o de norma. norma. Para Para obter uma norma, norma, vamos introduzir introduzir uma rela¸c˜ cão ao de equivalˆ equi valência enci a em p (X, Σ, µ) da maneira seguinte. Dadas f, g g p (X, Σ, µ), definimos f ´ se f ( f (x) = g (x) quase sempre. E claro que esta é uma rela¸c˜ cao aõ de equivalˆ equi valência enci a em p (X, Σ, µ). Seja L p (X, Σ, µ) o conjunto con junto das da s classes classe s de equivalˆ equ ivalência. encia. Dadas [f ] f ], [g ] L p (X, Σ, µ) e λ K, definimos definimos

L L

∈L

∈

∼

∈

[f ] f ] + [g [ g ] = [f + g ],

λ[f ] f ] = [λf [ λf ]].

´ fácil E acil verificar que estas opera¸c˜ coes o˜es estão ao bem b em definidas, de finidas, e que L p (X, Σ, µ), com estas opera¸c˜ coes, o˜es, é um espa¸ esp a¸co co vetorial. vetor ial. Além em disso, dis so, a aplica¸c˜ cão ao quociente π : f

∈ L p (X, Σ, µ) → [f ]f ] ∈ L p (X, Σ, µ)

é linear. l inear. Se definimos definimo s

[f ]f ] p = f  p 14

∈

para cada [f [f ]] L p (X, Σ, µ), é fácil acil verificar que esta fun¸c˜ cao aõ está bem definida, e é uma norma em L p (X, Σ, µ). Antes Antes de provar provar que L p (X, Σ, µ) é complet comp leto, o, vamos precisar de um resultado auxiliar. 5.5. 5.5. Defini Defini¸ ç˜ ao. (a) Uma série eri e ∞ e dita di ta convergente se a n=1 xn em E ´ sequência encia de somas parciais sn = jn=1 xj é conve c onverge rgente nte em E . ∞ n=1 xn ∞ n=1



(b) Uma série erie tamente som´ avel se

 

em E é dita absolutamente convergente ou absoluxn < .

  ∞

5.6. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Um espa¸co co normado E é completo se e s´ o se cada série erie absolutamente convergente em E é converge conv ergente nte..

⇒

Demonstra¸ c˜ ao. ( ) Suponhamos E completo e m < n, entãaoo n

sn − sm =

n

 

xj

j =m+1

≤





∞ n=1

xn < ∞.

Se



xj .

j =m+1

Segue que (s (sn ) é uma sequência enci a de Cauchy em E , e é portanto port anto convergente.

⇐

( ) Suponhamos que cada s´ erie erie absolutamente convergente em E seja convergen vergente. te. Para Para provar provar que E é completo, complet o, seja (xn ) uma sequência encia de Cauchy em E . Então ao existe uma sequˆ encia encia estritamente crescente ( nj ) N tal que

⊂

xn − xm  ≤ 2−j Em particular

∞

xnj +1

j =1



∞ j =1 (xnj+1

≥ nj .

∞



Logo Lo go a série eri e

para todo n, m

− xn

j

 ≤

2−j = 1.

j =1

− xn ) é convergente conver gente em E . Como j

k

xn1 +



(xnj +1

j =1

− xn ) = xn j

k+1

,

concluimos conclui mos que a sequência encia (xnk ) converge em E . Assim (x (xn ) é uma um a sequ se quˆênci en ciaa de Cauchy em E , que admite uma subsequência encia convergente. Segue que ( xn ) é convergente. 5.7. Teorema. L p (X, Σ, µ) é um espa¸ es pa¸co co de Banach sempre que 1 Demonstra¸ c˜ ao. Para provar que L p (X, Σ, µ) é completo, complet o, seja uma série erie absolutamente absolut amente convergente em L p (X, Σ, µ), ou seja ∞

∞



[f n ] =

n=1





n=1

15

f n <

 ∞.

≤ p < ∞.



∞ n=1 [f n ]

Seja g : X

→ [0, [0, ∞] definida por ∞

g (x) =

n

|

|

f n (x) = lim lim

n=1

n→∞

|

|

f j (x) .

j =1

Pelo teorema da convergência encia monôtona, otona,



n

lim g p dµ = lim

f j

n→∞

X

X

Pela desigualdade de Minkowski,

  g dµ

= lim lim

n→∞

X

.

j =1

n

1/p

p

p

 ⎛⎝ | |⎞⎠ n

  |

f j

j =1

| p ≤ nlim →∞



∞

f j

j =1

 p =

  f j

p

j =1

<

∞.

∈ L p (X, Σ, µ), e g(x) < ∞ quase sempre. Seja N = {x ∈ X : g (x) = ∞}, e seja f : X → K definida por Assim g

∞

f ( f (x) =



f j (x) se x

j =1

∈ X \ N,

´ claro que f ( E f (x) g (x) para todo x f p (X, Σ, µ). Como

∈L

|

|≤

f ( f (x) = 0 se x

∈ X .

Como Como g

∈ N.

∈ L p(X, Σ, µ), segue que

n

f (x) |f ( para todo x

 −

f j (x)

| ≤ 2g(x)

j =1

∈ X e n ∈ N, o teorema da convergˆ convergˆ encia encia dominada garante que n

 | −

lim f

n→∞

f j p dµ = 0.

|

j =1

Logo

n

lim

n→∞

f ] [f ]

 −

[f j ]

j =1

 p = 0.

Os elementos do espa¸co co L p (X, Σ, µ) s˜ ao ao classes de equivalência encia de fun¸c˜ cões. oes. Mas na prática atica vamos considerar os elementos de L p (X, Σ, µ) como fun¸c˜ cões, oes, mas lembrando de identificar duas fun¸c˜ coes o˜es que coincidem quase sempre.

16

L

5.8. Exempl Exemplo. o. Seja ∞ (X, Σ, µ) o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ cões oes f : X K que sãaoo limitadas limitadas quase quase sempre sempre, ou seja, existe c > 0 tal que f ( f (x) c quase sempre. Para cada f ∞ (X, Σ, µ), definimos

|

→ |≤

∈L f (x)| ≤ c f ∞ = inf {c > 0 : |f (

quase sempre .

}

´ f´ E acil acil verificar que f (x)| ≤ f ∞ quase sempre. sempre. |f ( ´ f´ E acil acil verificar que a fun¸c˜ cãaoo .∞ tem as seguintes propriedades: (a) f ∞ ≤ 0; (b) f ∞ = 0 se e só se f ( f (x) = 0 quase sempre; (c) λf ∞ = |λ|f ∞ ; (d) f + g ∞ ≤ f ∞ + g∞ . A fun¸c˜ cãaoo .∞ verifi verifica ca quase todas as propried propriedade adess de uma norma. norma. Só não ao verifica a propriedade (b) da defini¸c˜ cão ao de norma. Para Para obter uma norma, vamos introduzir uma rela¸c˜ cao aõ de equivalˆ equi valência enci a em e m L∞ (X, Σ, µ), como no caso de Dadas f, g ∈ L∞ (X, Σ, µ), definimos f ∼ g se f ( f (x) = g(x) quase L p (X, Σ, µ). Dadas sempre. Esta é uma u ma rela¸ r ela¸c˜ cão ao de equivalˆ equi valência enci a em L∞ (X, Σ, µ). Seja L∞ (X, Σ, µ) o conjunto das classes de equivalˆ equivalência. encia. Dadas [ f ] f ], [g ] ∈ L∞ (X, Σ, µ) e λ ∈ K,

definimos

[f ] f ] + [g [ g ] = [f + g ],

λ[f ] f ] = [λf [ λf ].

Estas opera¸c˜ cões oes estão ao bem definid definidas. as. Com estas estas opera¸ opera¸c˜ coes o˜es L∞ (X, Σ, µ) é um espa¸co co vetorial, e a aplica¸c˜ cao aõ quociente π : f

∈ L∞(X, Σ, µ) → [f ]f ] ∈ L∞(X, Σ, µ)

é linear. l inear. Se definimos definimo s para cada [f [f ]] L∞ (X, Σ, µ).

[f ]f ]∞ = f ∞

∈ L∞(X, Σ, µ), esta fun¸c˜ cão ao está b em definida, e é uma norma em

5.9. Proposi¸ Proposi¸ c˜ cao. a õ. L∞ (X, Σ, µ) é um espa¸ es pa¸co co de Banach. Demonstra¸ c˜ ao. Para provar que L∞ (X, Σ, µ) é completo, complet o, seja ([f ([f n ]) uma ´ sequência enci a de d e Cauchy C auchy em L∞ (X, Σ, µ). E fácil acil achar N Σ, com µ(N ) N ) = 0, tal que f n (x) f n ∞ para todo x X N, n N;

∈

| | ≤  |f m(x) − f n(x)| ≤ f m − f n∞

∈ \ ∈ para todo x ∈ E \ N,m,n ∈ N. Isto prova que (f (f n ) é uma sequˆ seq uência enci a de Cauchy em B (X \ N ). N ). Como B (X \ N ) N ) é um espa¸ esp a¸co co de Banach, segue que (f ( f n ) converge uniformemente em X \ N . N . Definamos

f ( f (x) = lim lim f n (x) se x n→∞

∈ X \ N, 17

f ( f (x) = 0 se x

∈ N.

Entãaoo f

∈ L∞(X, Σ, µ) e [f n] − [f ]f ]∞ = f n − f ∞ → 0.

Os elementos do espa¸co co L∞ (X, Σ, µ) s˜ ao ao classes c lasses de equivalência encia de fun¸c˜ coes. o˜es. Mas na prática atica vamos considerar os elementos de L∞ (X, Σ, µ) como fun¸c˜ cões, oes, mas lembrando de identificar as fun¸c˜ coes o˜es que coincidem quase sempre. Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 5.A. Seja (X, (X, Σ, µ) um espa¸co co de medida finita, e sejam 1

≤ p ≤ q < ∞.

(a) Prove que Lq (X, Σ, µ)

ao é cont´ co nt´ınua ın ua.. ⊂ L p (X, Σ, µ), e a inclusão (b) Prove que L∞ (X, Σ, µ) ⊂ Lq (X,σ,µ), X,σ,µ), e a inclusão ao é cont´ co nt´ınua ın ua.. Sugest˜ ao: Para provar (a), considere uma fun¸cãaoo f ∈ Lq (X, Σ, µ), e aplique ao:

a desigualdade de Hölder older às as fun¸c˜ coes o˜es φ = f p

| | ∈L

q p

(X, Σ, µ),

ψ =1

∈L

q q−p

(X, Σ, µ).

5.B. Use o teorema de aproxima¸c˜ cão ao de Weierstrass para provar que o espa¸co C [a, b] é sepa se par´ rável avel..

∈

5.C. Seja X um espa¸co co topológico. ogico. Diremo Diremoss que uma fun¸c˜ caao õ f C (X ) se anula no infinito se para cada  > 0 existe um compacto K X tal que f ( f (x) <  para todo x X K . Seja Seja C 0 (X ) o espa¸co co vetorial de todas as f C (X ) que se anulam no infinito. Prove que C 0 (X ) é um subespa sub espa¸¸co co fechado de C b (X ), ), e é portanto porta nto um espa¸co co de Banach.

|

∈

|

⊂

∈ \

5.D. Use o teorema de aproxima¸c˜ cão ao de Weierstrass para provar que o espa¸co C 0 (R) é separ se par´ável. avel. 5.E. Use o fato que C [a, b] é um subespa¸ subes pa¸co co denso de L p [a, b], para provar que L p [a, b] é sepa se par´ rável avel sempre que 1 p < .

≤

∞

5.F. Seja U um aberto de C, e seja H ∞ (U ) o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ coes o˜es f : U C que são ao holomorfas holomorfas e limitadas. Prove Prove que H ∞ (U ) U ) é um subespa¸co co fechado de C b (U ), U ), e é portanto porta nto um espa¸co co de Banach.

→

5.G. Dada uma fun¸c˜ cãaoo f : [a, b]

→ K, a varia¸c˜ cao ˜ total de f é definid defi nidaa por n

V ( V (f ) f ) = sup

|

f ( f (bj )

j =1

− f ( f (aj )|,

onde o supremo é tomado t omado sobre todos os aj , bj tais que

≤ a1 ≤ b1 ≤ a2 ≤ b2 ≤ ... ≤ an ≤ bn ≤ b. Diremos que f tem varia¸c˜ cao ˜ limitada se V ( V (f ) f ) < ∞. Se f for crescente, ou a

decrescente, prove que f tem varia¸c˜ cao aõ limitada. limitada. 18

→

5.H. Seja BV [ BV [a, b] o espa¸co co vetorial de todas as fun¸c˜ coes o˜es f : [a, b] K de varia¸c˜ cao aõ limitada. Prove que BV [ BV [a, b] é um espa¸ esp a¸co co de Banach sob a norma

f  = V ( V (f ) f ) + |f ( f (a)|.

19

6. Espa¸ cos cos normados normad os de dimensão ao finita 6.1. Teorema eorema.. Todos os espa¸cos cos normados de dimens˜ ao n sobre topologicamente isomorfos entre si.

K

s˜ ao

Demonstra¸ c˜ ao. Seja E um espa¸ espa¸co co normad normadoo de dimens dimens˜ãaoo n sobre K. n Provaremos Provaremos que E é topologicame topo logicamente nte isomorfo isomorf o a K2 . Seja (e (e1 ,...,en ) uma base de E . Seja T : K2n E definida por

→

n

Tx =



∈ K2n.

ξj ej para todo x = (ξ1 ,...,ξn )

j =1

´ claro que T é bijetiva. Segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz E Cauchy-Schwarz que

⎛ ⎞   ≤ | |  ≤ ⎝   ⎠ n

T x

n

ξj ej

ej

j =1

1/2

2

x,

j =1

e portanto T é cont´ c ont´ınua. ınu a. Para provar pr ovar que qu e T −1 é cont´ınuo, ınuo, consider cons ideremos emos a esfera esfe ra n unit´ aria aria S de K2 : n

S = x = (ξ1 ,...,ξn )

{

∈

K2n

:

| | ξj

2

=1 .

}

j =1

´ Pelo teorema de Bolzano-Weierstrass, S é um u m subcon s ubconjunto junto compacto de K2n . E claro que T x > 0 para todo x S . Logo existe c > 0 tal que T x c para todo x S , e portanto

∈

 

∈

T x ≥ cx Logo T : K2n

 ≥

para todo x

∈ K2n.

→ E é um isomorfismo isomorfi smo topol´ topo lógico. ogico.

6.2. 6.2 . Corol´ Cor ol´ ario. ari o. Cada espa¸co co normado de dimens˜ ao finita fini ta é completo. comple to. 6.3. 6.3 . Corol´ Cor olário. ari o. Cada subespa¸co co de dimens˜ ao finita de um espa¸co co normado é fecha fec hado do.. 6.4. Corolário. ario. Cada espa¸ espa¸co co normado de dimens˜ ao finita é localmente compacto. O rec´ rec´ıproco ıproc o deste corolário ari o é verdadeir verda deiro. o. 6.5. Teorema eorema de Riesz. Cada espa¸co co normado localmente compacto tem dimens˜ ao finita. Para provar este teorema precisamos do lema seguinte. 6.6. Lema de Riesz. Seja E um espa¸co co normado, e seja M um subespa¸co co fechado pr´ oprio de E . Dado θ, com 0 < θ < 1, existe y S E tal que

∈

y − x ≥ θ

para todo x 20

∈ M.

∈ E \ M , M , e seja d = d(y0 , M ) = inf { {y0 − x : x ∈ M }. Como M é fecha fe chado do,, d > 0. Seja x0 ∈ M tal que y0 − x0 ≤ dθ . Demonstra¸ c˜ ao. Seja y0

Seja y= ´ claro que y E

y0 y0

− x0 .  − x0

∈ S E . Para cada x ∈ M temos: y − x = y0 − x0y−0 −yx00− x0x ≥ y0 −d x0 ≥ θ.

Demonstra¸ c˜ c˜ ao ao do teorema de Riesz. Seja E um espa¸co co normado de dimens˜ ao ao infinita, seja x1 S E , e seja M 1 = [x [ x1 ], o subespa¸co co de E gerado por x1 . Pelo lema de Riesz existe x2 S E tal que

∈

∈

x2 − x ≥ 1/2

para para todo todo x

∈ M 1.

Em particular

x2 − x1 ≥ 1/2. Seja M 2 = [x1 , x2], o subespa¸co co de E gerado por x1 e x2 . Pelo Pelo lema de Riesz Riesz existe x3 S E tal que

∈

x3 − x ≥ 1/2


∈ M 2.

Em particular

x3 − xj  ≥ 1/2

para para j = 1, 2.

Procedendo por indu¸c˜ cão ao podemo p odemoss achar uma sequência encia (xn )

xm − xn  ≥ 1/2

⊂ S E tal que



semp sempre re que que m = n.

Logo a sequência encia (xn ) n˜ ao admite nenhuma subseq¨ ao uˆ uência encia convergente. Logo a esfera S E n˜ ao é compacta. ao compacta. Logo a bola B E não ao é compacta. compacta. Logo a bola B E (0; r) n˜ ao é compacta ao compact a para nenhum r > 0. Logo Logo E não ao é localmente local mente compacto. 6.7. Exemplo. Exemplo. A conclusão ao do lema de Riesz não ao é verdadeir verda deiraa com θ = 1, como mostra o exemplo seguinte. Sejam

{ ∈ C [0, [0, 1] : f (0) f (0) = 0},

E = f

1

{ ∈ E :

M = f

 0

21

}

f ( f (t)dt = 0 .

Suponhamos que exista g h E M , M , seja

∈ \

∈ S E tal que g − f  ≥ 1 para todo f ∈ M . λ=

Segue que g

Dado Dado

1 g(t)dt 0 . 1 h ( t ) dt 0

 

− λh ∈ M , e portanto 1 ≤ g − (g − λh) λh) = |λ|h,

ou seja

| 1≤ |

1 g (t)dt 0 1 h(t)dt 0

 

| h. |

Consideremos Consider emos a sequˆ s equência encia de fun¸c˜ cões oes hn (t) = t1/n . Entãaoo hn e 1 1 hn (t)dt = 1 1. 0 n +1



∈ E \ M , hn = 1

→

Segue que

1

1

 ≤|

g (t)dt .

0

|

1



Mas como g = 1 e g (0) = 0, a continuidade de g em 0 implica que 0 g (t)dt < 1, contradi¸c˜ cao. aõ. Logo n˜ ao ao existe g S E tal que g f 1 para todo f M .



∈

 − ≥

|

∈

|

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 6.A. Seja E um espa¸co co normado de dimensão ao finita, e seja M um subespa¸co co pr´ oprio oprio de E . Prove que existe y S E tal que y x 1 para todo x M . M .

∈

 − ≥

22

∈

7. Completamen Completamento to de espa¸ cos cos normados 7.1. Proposi¸ Proposi¸ c˜ cao. a õ. Sejam E e F espa¸cos cos normados, seja M um subespa¸co co ˜ denso de E , e seja T L(M ; F ) F ). Ent˜ Ent˜ ao existe um ´ unico T L(E ; F ) F ) tal que ˜ ˜ T M = T . T . Tem-se que T = T .

∈ ∈ |     Demonstra¸ c˜ ao. Dado x ∈ E , seja (x (xn ) uma sequência enci a em M que converge a x. Como T xm − T xn ≤ T xm − xn,

e F é completo comp leto,, segue segu e que a sequˆ seq uência enci a ( T xn ) converge em F . F . Se definimos T˜x = lim lim T xn , n→∞

é fácil acil ver que T˜ x está bem definido, ou seja, depende apenas de x, e não ao da ˜ ˜ sequ se quˆênci en ciaa (x ( xn ) escolhid e scolhida. a. Além em disso, T : E F é line li near ar e T x = T x para todo ´ ˜ ˜ segue da densidade x M . E f´ acil acil verificar que T = T . A unicidade de T de M em E .

∈

→

   

7.2. Teorema. eorema. Dado um espa¸co co normado E , sempre existe um espa¸co co de Banach F tal que E é isometri i sometricamente camente isomorfo isomorf o a um subespa¸co co denso F 0 de F . F . O espa¸co co F é unico, ´ a menos de um isomorfism i somorfismo o isom´ is om´ etrico. etrico. Demonstra¸ c˜ ao. Seja C o espa¸co co vetorial de todas toda s as sequências encias de Cauchy X = (xn ) em E . Como

|xm  − xn | ≤ xm − xn

para todo m,n,

 

segue que ( xn ) é uma sequência enci a de Cauchy em R para cada X = (xn ) ´ E f´ acil acil ver que a fun¸c˜ cãaoo X = lim lim xn

 

n→∞

∈ C .

 

tem as propriedades seguintes:

  ≥ 0; (b) X  = 0 se e só se limn→∞ xn  = 0; (c) λX  = |λ|X ; (d) X + X + Y  ≤ X || || + Y . A fun¸c˜ cãaoo X ∈ C → X  ∈ R tem quase todas as propriedaes de uma norma. (a) X

Para obter uma norma, vamos introduzir uma rela¸c˜ cao aõ de equivalˆ equi valência enci a em e m C da maneira seguinte. Dadas X = (xn ) e Y = (yn ) em C , definimos definimos X

∼ Y

se

li m

n→∞

xn − yn|| = 0.

Seja F o conjunto das classes de equivalˆ equivalência. encia. Se definimos [X ] + [Y [ Y ]] = [X + X + Y ] Y ], 23

λ[X ] = [λX ],

então ao é fácil acil verificar que estas opera¸c˜ cões oes estão ao bem definidas, e que F , F , com estas opera¸c˜ coes, o˜es, é um espa¸ esp a¸co co vetorial. vetor ial. Além em disso dis so a aplica¸c˜ cão ao quociente

∈ C → [X ] ∈ F ´ f´ E acil acil ver que a fun¸c˜ cãaoo [X ] = X  está bem definida, e é uma π : X

é line li near ar.. norma em F . F . Seja

F 0 = [X ]

{

x,x,x,...), ∈ F : X = (x,x,x,...)

com x

∈ E }.

´ claro que F 0 é um sub E su b espa es pa¸¸co co de F , F , e que E é isometricamente isometr icamente isomorfo isomorf o a F 0 . Para provar que F 0 é dens de nsoo em F , F , sejam [X [X ] F e  > 0 dados. Se X = (xn ), então ao existe n0 N tal que

∈

∈

xm − xn < 

para todo m, n

≥ n0.

∈ F 0 e [X ] − [Y ] Y ] = X − Y  = lim lim xn − xn  ≤ . n→∞

Seja Y = (xn0 , xn0 , xn0 ,...). ,...). Então ao [Y ] Y ]

0

Para provar que F é compl c ompleto eto,, seja s eja ([X ([ X n ]) uma sequência encia de Cauchy em e m F . F . Como F 0 é denso de nso em F , F , para cada n existe [Y [Y n ] F 0 tal que

∈

[X n] − [Y n] < 1/n. Podemos supor que Y n = (y ( yn , yn , yn ,...), ,...), com yn ∈ E , para cada n. Como ym − yn = [Y m] − [Y n ] ≤ [Y m ] − [X m ] + [X m] − [X n] + [X n] − [Y n] ≤ m1 + [X m] − [X n] + n1 , segue que Y = (y ( yn ) é uma sequência enci a de Cauchy Cau chy em E . Como 1 Y ] ≤ [X n ] − [Y n ] + [Y n ] − [Y ] Y ] ≤ + lim yn − ym , [X n] − [Y ] n m→∞ segue que limn→∞ [X n ] − [Y ] Y ] = 0. Para provar a unicidade de F , F , a menos de um isomorfismo isométrico, etrico, seja c o de Banach tal que E é isometricamente isomorfo a um G um outro espa¸co subespa¸co co denso G0 de G. Seja Sejam m S L(E ; F 0 ) e T L(T ; T ; G0 ) isomorfismos isométricos. etricos . Entãaoo U = T S −1 L(F 0 ; G0 ) e V = S T −1 L(G0 ; F 0 ) são ao também em isomorfi iso morfismos smos isométricos etr icos,, V U = I F V = I G0 . Pela F0 , e U ˜ ˜ ˜ L(G; F ) Proposi¸c˜ cão ao 7.1 existe U L(F ; F ; G) tal que U F 0 = U , U , e existe V F ) tal ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ ˜ são que V G0 = V . V . Segu Seguee que V U = I F em em disso diss o U e V F e U V = I G . Al´ isomorfi isom orfismos smos isom´ is ométricos etr icos..

◦

|

∈

∈

∈

∈

◦

◦

24

| ◦

◦ ◦

∈ ∈

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 7.A. Seja P ( P (R) o espa¸co co vetorial vetorial de todos os polinˆ omios omios P ( P (x) = com aj K e n N.

∈

∈ (a) Prove que P  =



n j =0



n j j =0 aj x ,

|aj | é uma norma norm a em P ( P (R).

(b) Prove que P ( P (R), com esta norma, não ao é complet comp leto. o. (c) Prove que o completamento de P ( P (R), com esta e sta norma, é isometrica iso metricamente mente isomorfo isomorfo a 1 .

 

{|

|

7.B. (a) Fixados a < b em R, prove que P = sup P ( P (x) : a uma norma em P ( P (R).

≤ x ≤ b} é

(b) Prove que P ( P (R), com esta norma, não ao é complet comp leto. o. (c) Prove que o completamento de P ( P (R), com esta e sta norma, é isometrica iso metricamente mente isomorfo isomorfo a C [a, b].

25

8. Espa¸ co co quociente Seja E um espa¸co co vetorial, e seja M um subespa¸co co de E . Diremos que x, y E sãaoo equivalentes m´ odulo M , M , e escreveremos x = y(mod( mod(M ), M ), se x y M . ´ E claro que esta é uma rela¸c˜ cao aõ de equivalência encia em E . Denotaremo Denotaremoss por E/M o conjunto de todas as classes de equivalˆ equivalˆ encia encia módulo odulo M . M . Para Para cada cada x E , denotaremos por [x [ x] a clas c lasse se de equivalˆ equi valência enci a que contém em x. Definamos

− ∈ ∈

[x] + [y [ y ] = [x + y ],

∈

λ[x] = [λx] λx]

´ fácil para todo [x [x], [y ] E/M e λ K. E acil verificar que estas opera¸c˜ coes o˜es estãaoo bem definidas, e que E/M , com estas opera¸c˜ coes, o˜es, é um espa¸co co vetorial. Além em disso, a aplica¸c˜ cão ao quociente

∈

∈

π:x

∈ E → [x] ∈ E/M

é linear. li near. O espa¸ es pa¸co co vetorial E/M é chama cha mado do de espa¸co co quociente de E m´ odulo M . 8.1. Exemplo. Exemplo. Seja (X, (X, Σ, µ) um espa¸co co de medida, e sejam E =

L p(X, Σ, µ)

(1

≤ p ≤ ∞),

{ ∈ L p (X, Σ, µ) : f ( f (x) = 0 quase quase sempr sempree}. Neste caso o espa¸co co quociente L p (X, Σ, µ)/M coincide coin cide com o espa¸ es pa¸co co L p (X, Σ, µ) M = f

introduzido introduzido na se¸c˜ cao aõ 5.

8.2. Exemplo. Exemplo. Seja E um espa¸co co normado, e sejam

{

⊂ E : (xn) é sequência enci a de Cauchy }, M = {(xn ) ⊂ E : (xn ) conve converge rge a zero zero}.

C = (xn )

Neste caso o espa¸co co quociente C/M coincide com o espa¸co co F introduzido na se¸c˜ cão ao 7. 8.3. Teorema. Seja M um subespa¸co co fechado de E , e seja

X  = inf { {x : x ∈ X } ∈ E/M . Ent˜ ao: (a) [x] = x + M e [x] = d(x, M ) M ) para cada x ∈ E . (b) A fun¸c˜ c˜ ao X → X  é uma norma norm a em E/M . (c) π(BE ) = BE/M . Em particular π : E → E/M é cont´ con t´ınua ın ua e abert abe rta. a.

para cada X

(d) Se E é completo, compl eto, ent˜ ao E/M é compl com plet eto o tamb ta mb´ ém. em . ´ claro que Demonstra¸ c˜ ao. (a) E [x] = x + M para cada x 26

∈ E.

∈ →

∈

Como a aplica¸c˜ cãaoo t E x + t E é um homeomorfismo, homeomor fismo, e M é fecha fe chado do em E , segue que [x [ x] = x + M é fechad fec hadoo em E para cada x E . Além em disso dis so

∈

para cada cada x ∈ E. [x] = inf { {x + t : t ∈ M } = d(x, M ) para ´ claro que X  ≥ 0 para cada X ∈ E/M . Se [x] = 0, então (b) E ao segue de (a) que x ∈ M , M , e portanto x + M = M = [0]. [0]. Se λ = 0, então ao é claro clar o que λX  = |λ|X  para todo X ∈ E/M . Se λ = 0, entãaoo λX  = inf { {y : y ∈ λX } = inf { {λx : x ∈ X } {x : x ∈ X } = |λ|X . = |λ| inf { Dados X, Y ∈ E/M e  > 0, existem existem x ∈ X e y ∈ Y tais que x < X  + , y < Y  + . Entãaoo x + y ∈ X + X + Y e X + X + Y  ≤ x + y  ≤ x + y ≤ X  + Y  + 2. 2. Como  > 0 é arbit arb itr´ rário, ario, segue que

X + Y  ≤ X  + Y . (c) é conse c onsequˆ quência enci a imedi i mediata ata da defini¸ defin i¸c˜ cão ao da norma em E/M . (d) Finalmente provaremos que E/M é completo comp leto quando qua ndo E ´ E é comple com pleto. to. Seja absolutamente absolut amente convergente em E/M . Para Para cada cada n existe

∞ erie erie n=1 X n uma s´ xn X n tal que



∈

xn < X n + 2−n,

e portanto portanto

∞

∞

∞

   xn <

n=1

X n +



n=1



2−n <

n=1

∞.

∞ Assim Assi m a série erie e absolutamente convergente, convergente, e portanto convergente, convergente, n=1 xn ´ pois E é complet com pleto. o. Sejam Seja m



sn =

n

∞

n







xj ,

j =1

∈

s = lim lim sn = n→∞

xj ,

S n =

j =1

X j .

j =1

→

Então ao é claro clar o que sn S n para cada n. Como Como a aplica¸ aplica¸c˜ cao aõ quociente quociente π : E c ont´ t´ınua ınua,, segu se guee que q ue S n = [sn ] [s]. Logo a série erie ∞ e conve co nverg rgent entee E/M é con j =1 X j ´ em E/M .

→



Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 8.A. Seja E um espa¸co co normado, seja M um subespa¸co co fechado de E , e seja π : E E/M a aplica¸c˜ cão ao quociente.

→

27

→

(a) Se X n 0 em E/M , prove que existe (x ( xn ) para cada n, e xn 0 em E .

∈

→

→

⊂ E tal que π(xn) = X n

(b) Se x E e X n π(x) em E/M , prove que existe (x ( xn ) π (xn ) = X n para cada n, e xn x em E .

→

⊂ E tal que

8.B. Seja X um espa¸co co de Hausdorff compacto, e seja A um subconjunto fechado de X . Usan Usando do o teor teorem emaa de exten extens˜ s˜ ao ao de Tietze prove que C (A) é isometricamente isomorfo a um quociente de C (X ). ). 8.C. Usando o exerc ex erc´´ıcio anterior prove que c é isometricamente isometr icamente isomorfo a um quociente de C [a, b].

28

9. Espa¸ cos com produto interno cos 9.1. 9.1. Defini Defini¸ c˜ çao. a õ. Se E é um espa¸ espa ¸co co vetorial, então ao uma fun¸c˜ cao aõ (x, y) E E (x y ) K é chamado chama do de produto produto interno se verifica as seguintes propriedades:

∈

× → | ∈

(a) (x (x1 + x2 y ) = (x1 y ) + (x ( x2 y );

|

|

|

|

|

(b) (λx (λx y ) = λ(x y);

| | (d) (x (x|x) ≥ 0; (e) (x (x|x) = 0 se e só se x = 0. (c) (x (x y ) = (y x);

9.2. Observa¸ Observa¸ c˜ ao. De (a), (b) e (c) segue que: (a’) (x (x y1 + y2 ) = (x ( x y1 ) + (x (x y2 );

| | (b’) (x (x|λy) λy ) = λ(x|y).

|

Assim o produto interno é linear na primeira variável, avel, e linear conjugado na segunda variável. avel. 9.3. 9.3. Propos Proposi¸ i¸ c˜ c˜ ao ao (desigualda (desig ualdade de de Cauchy-Schwarz). Seja E é um espa¸co co com produto interno. Ent˜ ao

|(x|y)| ≤ xy para todo x, y

∈ E .

Demonstra¸ c˜ ao. A desigualdade desigua ldade é clara se x = 0 ou y = 0. Logo podemos supor x = 0 e y = 0. Para todo α K temos que





∈

≤ (αx + y|αx + y) = αα( αα(x|x) + α(x|y ) + α(y |x) + (y ( y |y ) = |α|2 (x|x) + 2Re{α(x|y )} + (y (y |y ). Escrevamos (x (x|y ) = |(x|y )|eiθ . Tomando α = te−iθ , com t ∈ R, segue que 0 ≤ t2 (x|x) + 2t 2 t|(x|y )| + (y ( y |y ) para todo t ∈ R. Segue que ∆ = b2 − 4ac ≤ 0, ou seja 4|(x|y )|2 − 4(x 4(x|x)(y )(y |y ) ≤ 0, 0

completando a demonstra¸c˜ cao. aõ. 9.4. 9.4 . Corol´ Cor ol´ ario. ari o. Seja E um espa¸co co com produto interno. Ent˜ ao a fun¸c˜ c˜ ao ( x|x)1/2 x = (x é uma norma norm a em E . 29

Demonstra¸ c˜ ao. Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz provaremos a desigualda desigualdade de triangular. triangular. As outras propriedades propriedades da norma são ao de verifica¸c˜ cãaoo imediata.

x + y2 = (x + y|x + y) = (x ( x|x) + (x ( x|y ) + (y ( y|x) + (y ( y |y ) = x2 + 2Re(x 2Re(x|y ) + y 2 ≤ x2 + 2xy + y 2 = ( x + y )2 . 9.5. 9.5. Defin Defini¸ i¸ c˜ ao. Chamaremo Chamaremoss de espa¸co co de Hilbert a todo espa¸co co com produto interno que seja completo na norma definida pelo produto interno. 9.6. Exempl Exemplo. o. K2n é um espa¸ esp a¸co co de Hilbert com o produto interno n

|

(x y ) =



ξj ηj

j =1

se x = (ξ ( ξ1 ,...,ξn ) e y = (η1 ,...,ηn ). 9.7. Exemplo. Exemplo. 2 é um espa¸ es pa¸co co de Hilbert com o produto interno ∞

|

(x y ) =



ξj ηj

j =1

se x = (ξ ( ξj ) e y = (ηj ). 9.8. Exemplo. Exemplo. L2 (X, Σ, µ) é um espa¸ esp a¸co co de Hilbert com o produto interno (f g) =

|



fgdµ.

X

9.9. 9.9. Defin Defini¸ i¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co com produto produto inter interno. no. Diremo Diremoss que x, y E sãaoo ortogonais, ortogonais , e escreveremos x y , se (x (x y ) = 0.

∈

⊥

|

9.10. 9.10. Propos Proposi¸ i¸ c˜ cao a õ (Teorema de Pit´ agoras). agora s). Seja E um espa¸co co com produto interno, e sejam x, y E , com x y . Ent˜ ao

∈

⊥ x + y2 = x2 + y2.

Demonstra¸ c˜ ao .

x + y2 = (x + y|x + y) = (x|x) + (x ( x|y ) + (y ( y |x) + (y ( y|y ) = x2 + y2 . 9.11. 9.11. Propos Proposi¸ i¸ c˜ c˜ ao ao (Lei do paralelogramo). Seja E um espa¸co co com produto interno, e sejam x, y E dois vetores arbitr´ arios. Ent˜ ao:

∈

x + y2 + x − y2 = 2x2 + 2y2. 30

Demonstra¸ c˜ ao. Temos que

x + y2 = (x ( x + y |x + y ) = (x|x) + (x ( x|y) + (y ( y |x) + (y ( y |y ) , ( x − y |x − y ) = (x|x) − (x|y) − (y |x) + (y ( y |y ) . x − y2 = (x Somando estas identidades obtemos a identidade desejada. Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 9.A. Seja E um espa¸co co com produto interno interno.. Se xn x e yn y em E , prove que (x (xn yn ) (x y ) em K. Ou seja a aplica¸c˜ cao aõ (x, y) E E (x y) K é cont´ınua nu a.

→

| → |

→ ∈ × → | ∈

9.B. Seja E um espa¸co co com produto interno. interno. Sejam x1 ,...,xn vetores nãaoo nulos, ortogonais entre si, ou seja xj xk sempre que j = k.

⊥



(a) Prove que os vetores x1 ,...,xn são ao linearmente linearm ente independentes. indep endentes. (b) Prove o teorema de Pitágoras agoras generalizado:



n 2 j =1 xj





=



n j =1

xj 2.

9.C. Seja E é um espa¸ espa ¸co co com produto produto inter interno no real. real. Prove Prove a f´ ormula de polariza¸c˜ cao ˜ 4(x 4(x y ) = x + y 2 x y 2

|

para todo x, y



 − − 

∈ E .

9.D. Seja E um espa¸co co normado real que verifica a lei do paralelogramo. Prove que a fórmula ormula de polariza¸c˜ cao aõ do exerc´ exerc´ıcio anterior define um produto interno em E que induz a norma original.

|

|

|

Sugest˜ ao: Para provar a identidade (x ao: ( x1 + x2 y) = (x1 y ) + (x ( x2 y ), estude as expressões oes

u + v + w2 + u + v − w2

e

u − v + w 2 + u − v + w 2 .

9.E. Seja E um espa¸co co com produto interno complexo. Prove a f´ ormula de polariza¸c˜ cao ˜

|



4(x 4(x y) = ( x + y para todo x, y

2 − x − y2) + i(x + iy2 − x − iy2)

∈ E .

9.F. Seja E um espa¸co co normado complexo que verifica a lei do paralelogram gramo. o. Prov Provee que a f´ ormula ormula de polariza¸c˜ cao aõ do exerc´ exerc´ıcio anterior define um produto interno em E que induz a norma original.

31

10. Proje¸ c˜ c˜ oes oes ortogonais 10.1. 10.1. Teorema eorema.. Seja E um espa¸co co de Hilbert, e seja M um subespa¸ subespa¸co co fechado de E . Ent˜ ao para cada x E existe um unico ´ p M tal que

∈

∈

x − p = d(x, M ) = inf { {x − y : y ∈ M }. Demonstra¸ c˜ ao. Para provar existência, encia, seja d = d(x, M ), ), e seja ( p ( pn ) tal que 1 (1) x pn < d + para cada n. n Pela lei do paralelogramo

⊂ M

 − 

 − pm2 + 2x − pn2 = 2x − pm − pn2 +  pn − pm 2.

2 x Segue que

 pn − pm 2 = 2x − pm2 + 2x − pn2 − 4x − pm +2 pn 2 1 2 1 4d 2 4d 2 ) + 2(d 2(d + )2 4d2 < + 2+ + 2. m n m m n n Logo ( p ( pn ) é uma u ma sequˆ seq uência en cia de Cauchy Ca uchy em E . Como E ´ E é comp c omple leto to,, e M é fec f echa hado do em E , concluimos que ( p ( pn ) converge a um ponto p M . M . Fazendo azendo n em (1) obtemos que x p d, e portanto x p = d, como queriamos. queriamos. Para provar unicidade, seja q M tal que x q = d também. em. Pela lei do paralelogramo < 2(d 2(d +

−

 − ≤

∈  −   −

∈

→∞

 − p2 + 2x − q2 = 2x − p − q2 + q − p2.

2 x Segue que

q − p2 = 2x − p2 + 2x − q2 − 4x − p +2 q 2 ≤ 2d2 + 2d 2d2 − 4d2 = 0, 0, e portanto portanto q = p. 10.2. Observa¸ Observa¸ c˜ cao. a õ. A conclusão ao do teorema permanece verdadeira se E é um espa¸co co com produto interno, e M é um subconjunto convexo completo de E . Dado qualquer subconjunto S de um espa¸co co com produto interno E , S ⊥ denotar´ a o conjunto S ⊥ = y

{ ∈ E : y⊥x

para todo x

∈ S }.

´ f´ E acil acil verificar que S ⊥ é sempre um subespa¸ subes pa¸co co fechado de E . 32

10.3. 10.3. Teorema eorema.. Seja E um espa¸co co de Hilbert, e seja M um subespa¸ subespa¸co co fechado de E . Ent˜ ao: (a) Cada x E admite uma ´ unica decomposi¸c˜ cao ˜ da forma

∈

x = p + q, com p

∈ M

e q

∈ M ⊥.

Tem-se que

x − p = d(x, M ) M )

e

x − q = d(x, M ⊥).

(b) Se definimos P x = p e Qx = q para cada x P 2 = P , P , Q2 = Q e Q P = P Q = 0.

◦

◦

∈ E , ent˜ ao P, Q ∈ L(E ; E ),

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Dado x E , seja p o unico u ´ nico elemento de M tal que x p = d(x, M ), ), e seja q = x p. p. Provaremos que q M ⊥ e que x q = d(x, M ⊥ ). Para provar que q M ⊥ , seja y M . Para cada λ K temos que

 − 

−

∈

∈ ∈ ∈ ∈ q = x − p ≤ x − p − λy = q − λy.

 − 

Segue que

q2 ≤ q − λy2 = (q − λy|q − λy) λy) = (q |q) − λ(y |q) − λ(q|y ) + λλ( λλ(y |y) = q 2 − 2Re{λ(y|q )} + |λ|2 y2 . Escrevamos (y (y |q) = |(y |q )|eiθ . Então, ao, fazendo λ = te−iθ , com t ∈ R, segue que 2t|(y|q )| ≤ t2 y2 para todo t ∈ R. Logo

| | | ≤ ty2 para todo t > 0. Fazendo t → 0, segue que (y (y|q )| = 0, e portanto q ∈ M ⊥ . Para provar que x − q = d(x, M ⊥ ), tomemos z ∈ M ⊥ . Como x = p + q, segue que x − z = p + (q (q − z ), com p ∈ M, q − z ∈ M ⊥ . 2 (y q )

Pelo teorema de Pit´goras goras

x − z2 =  p2 + q − z2 ≥  p2 = x − q2. Segue que

d(x, M ⊥ ) = inf x

{ { − z : z ∈ M ⊥} = x − q.

Para provar a unicidade da decomposi¸c˜ cao, ão, suponhamos que x = p1 + q1 , com p1

∈ M,

q1

∈ M ⊥.

Como x = p + q, segue que p

− p1 = q1 − q ∈ M ∩ M ⊥. 33

Mas h M M ⊥ implica que (h (h h) = 0, e portanto h = 0. Segue que p = p1 e q = q1 . (b) Segue da unicidade da decomposi¸c˜ cao aõ em (a) que as aplica¸c˜ coes o˜es P : E E e Q : E E s˜ ao ao lineares. Para cada x E temos que

∈ ∩

|

→

→

∈

(2)

x = P x + Qx, com P x

∈ M,

Qx

∈ M ⊥.

Pelo teorema de Pitágoras agoras

x2 = P x2 + Qx2 para todo x ∈ E . Segue que P  ≤ 1 e Q ≤ 1. Escrevamos P x = P x + 0 ∈ M + M ⊥ . Segue da unicidade da decomposi¸c˜ cão ao em (2) que P ( P (P x) = P x,

Q(P x) = 0.

De maneira análoga, aloga, escrevendo Qx = 0 + Qx

∈ M + M ⊥,

segue que P ( P (Qx Qx)) = 0,

Q(Qx Qx)) = Qx,

completando a demonstra¸c˜ cao. aõ. 10.4. Observa¸ Observa¸ c˜ ao. As conclusões oes do teorema permanecem verdadeiras se E é um espa¸ esp a¸co co com produto interno, e M é um subespa sub espa¸¸co co completo de E .

∈ ∈

Seja E um espa¸co co com produto interno, e seja y0 E . Se definimos φ : E K por φ(x) = (x y0 ) para para todo todo x E,

|

→

então ao é facil ácil verificar que φ é linear. l inear. Além em disso, pela desigualdade desigua ldade de CauchySchwarz, φ(x) = (x y0 ) x y0 ,

|

| | | | ≤    provando que φ é cont´ co nt´ınuo ın uo e que qu e φ ≤ y0 . De fato, como φ(y0 ) = (y0 |y0 ) = y0 2 , segue que φ = y0 . O próximo oximo teorema mostra que, quando E é um espa es pa¸¸co co

de Hilbert, então ao todos to dos os funcionais funcion ais lineares li neares cont c ont´´ınuos em E são ao desta des ta forma. for ma.

10.5. 10.5. Teorema eorema de represe represent nta¸ a¸ c˜ cao a õ de Riesz Riesz.. Seja E um espa¸ espa¸co c o de  Hilbert, e seja φ E . Ent˜ ao existe um ´ unico y0 E tal que

∈

∈

(3)

|

φ(x) = (x ( x y0 ) para todo x

34

∈ E.

Demonstra¸ c˜ ao. Primeiro provaremos existência. encia. Se φ = 0, basta tomar y0 = 0. Se φ = 0, seja



M = φ−1 (0) = x

{ ∈ E : φ(x) = 0}.

Entãaoo M é um subespa¸ sube spa¸co co fechado próprio oprio de E , e dai M ⊥ = 0 . Como M ⊥ = 0 e M M ⊥ = 0 , existe x0 M ⊥ tal que φ(x0 ) = 1. Ent˜ Ent˜ ao ao cada x E admite admite uma decomposi¸ decomposi¸c˜ cão ao da forma

{}

∈

(4)

∩

x = (x (x

{}

 {}

∈

− φ(x)x0) + φ(x)x0,

com x

− φ(x)x0 ∈ M,

φ(x)x0

∈ M ⊥.

Da unicidade desta decomposi¸c˜ cao aõ segue que dimM dim M ⊥ = 1. Procuramos y0 E que verifique (3). Escrevamos y0 = p0 + q0 , com p0 e q0 M ⊥ . Em particular devemos ter

∈

∈

∈ M

0 = φ( p0 ) = ( p0 y0 ) = ( p0 p p0 ) + ( p ( p0 q0 ) = ( p ( p0 p p0 ).

|

|

|

|

Logo p0 = 0, e portanto y0 = q0 M ⊥ . Escrev Escrevamos amos y0 = λx0 , onde λ será escolhido de maneira que φ(x0 ) = (x ( x0 y0 ),

∈

|

ou seja

1 = φ(x0 ) = (x0 λx0 ) = λ x0 2 .

|

 

 −2. Da decomposi¸c˜ cao aõ (4) segue que (x|y0 ) = φ(x)(x )(x0 |y0 ) = φ(x)φ(x0 ) = φ(x),

Assim basta tomar λ = x0

e y0 verifica (3). Para provar unicidade, suponhamos que exista y1

∈ E tal que (5) φ(x) = (x|y1 ) para para todo todo x ∈ E. De (3) e (5) segue que (x (x|y0 − y1 ) = 0 para todo x ∈ E . Em par parti ticu cula larr (y0 − y1 |y0 − y1 ) = 0 e y0 = y1 . Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 10.A. Seja E um espa¸co co de Hilbert, e sejam M e N dois subespa¸cos cos fechados de E tais que x y sempre que x M e y N . Seja

⊥

∈ ∈ M + N = {x + y : x ∈ M, y ∈ N }.

Prove que M + N é um subespa sub espa¸¸co co fechado de E . 10.B. Seja E um espa¸co co de Hilbert Hilbert.. Seja Seja M um subespa¸co co fechado de E , e seja P a proje¸c˜ cão ao ortogonal de E sobre M . M . Prove que (P ( P x y ) = (x P y) para todo x, y E .

|

∈

35

|

10.C. Seja E um espa¸co co de Hilbert, e seja P L(E ; E ) tal que P 2 = P e (P x y ) = (x P y ) para todo x, y E . (a) Prove que P ( P (E ) é um subespa sub espa¸¸co co fechado de E . (b) Prove que P é a pro pr o je¸c˜ cão ao ortogonal de E sobre P ( P (E ). ).

|

|

∈

∈

10.D. Seja E um espa¸co co de Hilbert. Seja M 0 um subespa¸co co fechado de E ,   e seja φ0 M 0 . Prove que existe φ E tal que: (a) φ(x) = φ0 (x) para todo x M 0 ; (b) φ = φ0 .

∈   

∈

∈

36

11. O teorema de Hahn-Banach Hahn-Banach O teorema seguinte generaliza o Exerc´ Exerc´ıcio 10.D. 11.1. Teorema eorema de Hahn-Banac Hahn-Banach. h. Seja E um espa¸co co normado, e seja  M 0 um subespa¸co co de E . Ent˜ ao, para cada φ0 M 0 , existe φ E  tal que: (a) φ(x) = φ0 (x) para todo x M 0 ; (b) φ = φ0 .

∈

∈

  

∈

Para provar este teorema, vamos utilizar o lemma seguinte. 11.2. Lema. Seja E Seja E um espa¸co co normado real, seja M um subespa¸co co pr´ oprio  de E , seja y0 E M , M , e seja N = M [y0 ]. Ent˜ ao, para cada φ M , existe  ψ N tal que: (a) ψ (x) = φ(x) para todo x M ; (b) ψ = φ .

∈ \

∈

⊕

∈

∈

 

Demonstra¸ c˜ ao. Temos que

|φ(x)| ≤ φx

para todo x

∈ M,

ou seja (1)

− φx ≤ φ(x) ≤ φx para todo x ∈ M. Como y0 ∈ M , cada z ∈ N pode ser escrito de maneira única unica na forma  M , z = x + λy0 com x ∈ M, λ ∈ R. Vamos definir ψ : N → R por ψ (z ) = φ(x) + λη0 , onde η0 é um numero u ´mero real independent independentee de z , que será escolhido escolhido depois. ´ E claro que ψ é linear e verifica (a). Para provar (b), basta provar provar que

|ψ(z)| ≤ φz

para todo z

∈ N,

ou seja

−φx + λy0 ≤ φ(x) + λη0 ≤ φx + λy0

para todo x

∈ M, λ ∈ R,

ou ainda (2)

−φ(x)−φx+λy0 ≤ λη0 ≤ −φ(x)+φx+λy0

para todo x

∈ M, λ ∈ R.

Fazendo λ = 1 em (2) obtemos (3)

− φ(x) − φx + y0 ≤ η0 ≤ −φ(x) + φx + y0

para todo x

∈ M,

e portanto (2) implica (3). Vamos provar que de fato (2) e (3) são equivalentes. equivalentes. De fato, se λ = 0, então ao (2) segue segue de (1). Se λ > 0, ent˜ ao, ao, aplicando (3) com 37

x/λ em lugar de x, e multiplicando por λ, obtemos (2). Finalmen Finalmente, te, se λ < 0, então, ao, aplicando (3) com x/λ em lugar de x, e multiplicando por λ, obtemos (2). Afirmamos que (4)

−

sup ( φ(x) x∈M

− φx + y0) ≤ xinf (−φ(x) + φx + y0 ). ∈M

Para provar (4) basta provar que (5)

− φ(x1) − φx1 + y0 ≤ −φ(x2) + φx2 + y0

para todo x1 , x2

∈ M.

De fato

− φ(x1) = φ(x2 − x1) ≤ φx2 − x1 ≤ φ(x2 + y0) − (x1 + y0 ≤ φx2 + y0 + φx1 + y0, e (5) segue. Seja η0 ∈ R tal que sup (−φ(x) − φx + y0 ) ≤ η0 ≤ inf (−φ(x) + φx + y0 ). x∈M x∈M φ(x2 )

Com esta escolha de η0 , (3) e portanto (2) são ao verificadas. Logo ψ verifica (b). Demonstra¸ c˜ c˜ ao ao do teorema de Hahn-Banach para espa¸ cos cos normados reais. Seja a fam´ fam´ılia de todos os pares (M, φ) tais que: (i) M é um subespa sub espa¸¸co co de E contendo M 0 ;  (ii) φ M , φ M 0 = φ0 , φ = φ0 . Dados (M (M 1 , φ1 ), (M 2 , φ2 ) , definimos definimos

∈

P |

   ∈ P

| ´ fácil E acil ver que qu e esta es ta é uma u ma rela¸c˜ cao ão de ordem parcial em P . Seja {(M i , φi ) : i ∈ I } uma um a cad´ ca déia eia em P . Seja M = ∪i∈I M i , e seja φ : M → ´ fácil R definido por φ(x) = φi (x) se x ∈ M i . E acil ver que φ está bem definido, que (M, (M, φ) ∈ P e que (M, ( M, φ) é uma cota cot a superio sup eriorr da cadéia eia {(M i , φi ) : i ∈ I }. Pelo lema de Zorn P possui um elemento maximal (M, (M, φ). Para Para completar completar a demonstra¸c˜ cão ao basta provar provar que M = E . Supon Suponha hamo moss que M  = E , seja y0 ∈ E \ M , e seja N = M ⊕ [y0 ]. Pelo Pelo Lema Lema 11.2 exist existee ψ ∈ N  tal que ψ |M = φ e ψ  = φ. Ent˜ Ent˜ ao ao (N, ψ ) ∈ P e (M, φ) n˜ ao ao seria seria maximal. maximal. Isto Isto (M 1 , φ1 )

≤ (M 2, φ2)

se M 1

⊂ M 2

e φ1 = φ2 M 1 .

prova que M = E , como queriamos.

Para provar o teorema de Hahn-Banach no caso de espa¸cos normados complexos, vamos utilizar o lema seguinte. 11.3. 11.3. Lema Lema.. Seja E um espa¸co co vetorial complexo, e seja E R o espa¸co co vetorial real associado. (a) Cada φ E ∗ admite uma unica ´ representa¸c˜ cao ˜ da forma

∈

(6)

φ(x) = u(x)

− iu( iu(ix) ix) 38

para todo x

∈ E,

com u com u (E R )∗ . (b) Dado u (E R )∗ , a f´ ormula (6) define um φ

∈

∈ E ∗. Para Para cada cada x ∈ E , podemos escrever de

∈

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Seja φ E ∗ . maneira unica u ´ nica φ(x) = u(x) + iv( iv (x),

∈

com u(x), v(x) Notemos que

∈ R.

Como φ

∈ (E R)∗, é fácil acil verificar que u, v ∈ (E R )∗ .

iφ( iφ(x) = φ(ix) ix) = u(ix) ix) + iv( iv(ix) ix), e portanto φ(x) = Segue que

−iu( iu(ix) ix) + v(ix) ix).

u(x) = v(ix) ix),

v (x) =

−u(ix) ix),

e portanto φ(x) = u(x)

iu(ix) ix). − iu(

(b) Seja u (E R )∗ , e seja φ : E C definida por (6). Como u f´ acil acil verificar que φ(x + y) = φ(x) + φ(y )

∈

→

(7)

φ(λx) λx) = λφ( λφ(x) para para todo todo x, y

∈ (E R)∗, é

e

∈ E, λ ∈ R.

Por outro lado (8)

φ(ix) ix) = u(ix) ix) + iu( iu(x) = iφ( iφ(x) para para todo todo x

∈ E.

De (7) e (8) segue que φ(λx) λx) = λφ( λφ(x) para para todo todo x Logo φ

∈ E, λ ∈ C.

∈ E ∗ .

Demonstra¸ c˜ c˜ ao ao do teorema de Hahn-Banach para espa¸ cos cos norma dos complexos. Seja φ0 M 0 . Pelo lema anterior podemos escrever

∈

φ0 (x) = u0 (x)

− iu0(ix) ix)


∈ M 0,

((M 0 )R )∗ . Como ∈ ((M |u0(x)| ≤ |φ0(x)| ≤ φ0x para todo x ∈ M 0, segue que u0  ≤ φ0 . Pelo teorema de Hahn-Banach para espa¸cos cos normados  reais, existe u ∈ (E R ) tal que (a) u(x) = u0 (x) para todo x ∈ M 0 ; (b) u = u0 . Definamos φ : E → C por φ(x) = u(x) − iu( iu(ix) ix) para para todo todo x ∈ E. com u0

39

Pelo lema anterior φ E ∗ , e segue de (a) que (c) φ(x) = φ0 (x) para todo x M 0 . Para provar que φ = φ0 , fixemos x E e escrevamos

∈ ∈   

∈

φ(x) = reiθ , com r

≥ 0.

Entãaoo φ(e−iθ x) = e−iθ φ(x) = r e portanto portanto

∈ R,

φ(e−iθ x) = u(e−iθ x).

Logo

|φ(e−iθ x)| = |u(e−iθ x)| ≤ ue−iθ x. Segue que

|φ(x)| ≤ ux = u0x ≤ φ0x, e portanto φ ≤ φ0 . Como Como a desigu desiguald aldade ade oposta oposta segue de (c), a demondemonstra¸c˜ cão ao está completa. Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 11.A. Seja E um espa¸co co normad normado, o, seja seja M 0 um subespa¸co c o de E , e seja T 0 L(M 0 ; ∞ ). Prove que existe T L(E ; ∞ ) tal que: (a) T x = T 0 x para todo x M 0 ; (b) T = T 0 .

∈

   

∈

∈

40

12. Consequˆ encias encias do teorema de Hahn-Banach 12.1. 12.1. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Dado x0 φ = 1 e φ(x0 ) = x0 .



 

∈ E , x0 = 0, sempre existe φ ∈ E  tal que

Demonstra¸ c˜ ao. Seja M 0 = [x0 ] o subespa¸co co de E gerado por x0 , e seja  ´ fácil K. E acil ver que φ0 M 0 definido por φ0 (λx0 ) = λ x0 para todo λ φ0 é linear e que φ0 = 1. Pelo Pelo teorema de Hahn-Banac Hahn-Banach h existe φ E  tal que φ = φ0 e φ(x) = φ0 (x) para todo x M 0 . Segu Seguee que que φ = 1 e φ(x0 ) = x0 .

∈ 

   

 

 

∈

∈ 

∈

12.2. 12. 2. Corol´ Cor olário. ari o. Se E = 0 , ent˜ ao E  = 0 . 12.3. 12. 3.

{} {} Corol´ Cor olário. ari o. Se E  = {0}, ent˜ ao para cada x ∈ E tem-se que: x = sup{|φ(x)| : φ ∈ E , φ = 1}.

12.4. 12.4. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Seja M um subespa¸co co fechado de E , seja y0 E M , M ,  e seja d = d(y0 , M ). Ent˜ ao existe φ E tal que φ = 1, 1 , φ(y0 ) = d e φ(x) = 0 para todo x M . M .

∈

∈

∈ \



Primeira demonstra¸ c˜ ao. Seja N = M + M + [y0 ]. Então ao cada z escrito de maneira única unica como z = x + λy0 , com x Seja φ0

∈ N pode ser

∈ M, λ ∈ K.

∈ N  definido por

∈ M, λ ∈ K. ´ claro que φ0 é line E li near ar,, φ0 (x0 ) = d e φ0 (x) = 0 para todo x ∈ M . M . Provaremos Provaremos  0, entãaoo que φ0  = 1. Se λ = x + λy0 = |λ| λx + y0 ≥ |λ|d. φ0 (x + λy0 ) = λd para todox todox

Como a desigualdade anterior é claramente verdadeira se λ = 0, segue que φ0 1. Por outro lado, dado  > 0, existe x0 M tal que y0 x0 < d + . Seja y0 x0 z0 = . y0 x0

 ≤

Entãaoo z0

∈

N , z0  = 1 e ∈ N , φ0 (z0 ) =

 − 

−  −  d

>

d . d+

y0 − x0 Como  > 0 é arbi ar bitr tr´ário, ario, segue que φ0  = 1, como queriamos. queriamos. Pelo Pelo teorema  de Hahn-Banach existe φ ∈ E tal que φ = φ0  e φ(z ) = φ0 (z ) para todo z ∈ N . N . Segue que φ = 1, φ(y0 ) = d e φ(x) = 0 para todo x ∈ M . 41

→ 

Segunda demonstra¸ c˜ ao. Seja E/M o espa¸co co quociente, e seja π : E E/M a aplica aplica¸¸c˜ cao a˜ o quoci quocien ente te.. Como Como y0 / M , segu seguee que que π (y0 ) = 0. 0. Pela  Proposi¸c˜ cão ao 12.1 existe ψ (E/M ) tal que ψ = 1 e ψ (π (y0 )) = π (y0 ) . Sabemos que

∈

∈







π(y0) = d(y0, M ) = d e π(BE ) = BE/M . ´ claro que φ ∈ E  , φ(y0 ) = d e φ(x) = 0 para todo x ∈ M . Seja φ = ψ ◦ π . E Além diss di ssoo

φ = sup{|φ(x)| : x ∈ BE } = sup{|ψ ◦ π(x)| : x ∈ BE } = sup{|ψ (y )| : y ∈ BE/M } = ψ  = 1. 1. 12.5. Proposi¸ c˜ ao. Se E  é separ se par´ ´ avel, ent˜ ao E é separ se par´ ´ avel ave l tamb´ ta mbém. em. Demonstra¸ c˜ ao. Como E  é sepa se par´ rável, avel, a esfera unitária aria S E é sepa se par´ rável avel também. em. Seja Sej a φn : n N um subconjunto denso enumerável avel de S E . Para ara 1 cada n existe xn S E tal que φn (xn ) [ xn : n N] o subespa¸co co 2 . Seja M = [x de E gerado por xn : n N . Para Para completar completar a demonstra¸ demonstra¸c˜ cao aõ basta provar que M é denso den so em E . Suponhamos que M = E , e seja y0 E M . Pela proposi¸c˜ cao aõ anterior existe φ S E tal que φ(y0 ) = 0 e φ(x) = 0 para todo x M . M . Segue que 

{

∈ } ∈ | |≥ ∈ { ∈ }  ∈ \ ∈  ∈ 1 ≤ |φn(xn)| ≤ |φn(xn) − φ(xn)| ≤ φn − φxn = φn − φ 2 para todo n. Isto é absurdo, ab surdo, pois {φn : n ∈ N} é denso de nso em S E .







12.6. Observa¸ Observa¸ c˜ cao. a õ. A rec´ rec´ıproca ıpro ca da proposi¸ propo si¸c˜ cao aõ anterior não ao é verdadei verda deira. ra.  Logo veremos que 1 é isometricamente isometri camente isomorfo isomorf o a ∞ . E já sabemos que 1 é separável, avel, mas ∞ não ao é separ sep ar´ável. avel. 12.7. 12.7. Propo Proposi¸ si¸ c˜ ao. ao. Cada espa¸ espa¸co co normado normado separ´ separ´ avel é isometricamente isometr icamente isomorfo a um subespa¸co co de ∞ .

{

Demonstra¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co normado separável, avel, e seja xn : n N um subconjunto enumerável avel denso de E . Pelo Pelo teorema teorema de Hahn-Banac Hahn-Banach h existe existe φn : n N S E tal que φn (xn ) = xn para cada n. Seja Seja T L(E ; ∞ ) definido por T x = (φn (x))∞ para cada x E . Como φ n = 1 para cada n, n=1 segue que T x x para cada x E . E como φn (xn ) = xn para cada n, segue que T xn = xn para cada n. Como xn : n N é dens de nsoo em E , segue que T x = x para cada x E .

{

∈ }⊂  ≤         

∈

  ∈

{

∈

    ∈ }

∈ }

∈

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 12.A. Seja E um espa¸co co normado, seja M um subespa¸ subespa¸co co de E , e seja M ⊥ = φ

{ ∈ E  : φ(x) = 0 42


∈ M }.

(a) Prove que M ⊥ é um u m sub s ubes espa¸ pa¸co co fechado de E  . (b) Prove que M  é isometricamente isometr icamente isomorfo isomorf o a E  /M ⊥ . 12.B. Seja E um espa¸co co normado, e seja M um subespa¸co co fechado de E .  ⊥ Prove que (E/M ( E/M ) é isometricamente isometr icamente isomorfo a M . 12.C. Seja E um espa¸co co normado separável avel de dimensão ao infinita. infinita. (a) Prove que existe uma seqüˆ uência encia estritamente estrita mente crescente ( M n )∞ n=1 de sube∞ spa¸cos cos de E de dimensão ao finita tal que n=1 M n é um subespa sub espa¸¸co co denso de E . ∞  (b) Prove que existe uma seqüˆ uênci en ciaa (φn )n=1 E tal que φn = 1 para cada n N e limn→∞ φn (x) = 0 para cada x E .

∈



43

∈

⊂

 

13. O dual de  p 13.1. 13.1. Teorema eorema.. Se 1 isomorfo a q , onde 1 < q

isom etricamen icamente te ≤ p 1< ∞1 , ent˜ ao o dual de  p é isometr ≤ ∞, p + q = 1. Demonstra¸ c˜ ao. Dado y = (ηj )∞ definamos φy :  p → K por j =1 ∈ q , definamos ∞

φy (x) =



ξj ηj para cada x = (ξj )∞ j =1

j =1

∈  p.

Pela desigualdade de Hölder, older, ∞

|φy (x) Segue que φy

 |≤ |

ξj ηj

j =1

| ≤ x p yq .

∈  p e φy  ≤ yq .

Reciprocamente provaremos que, dado φ  p , existe y q tal que φy = φ e y φ . Para cada n N seja en = (0,..., (0,..., 1, 0, 0,...), ,...), com 1 no lugar n-ésim si mo. ∞ ´ E claro que en  p e que en = 1 para cada n. Se x = (ξj )j =1  p , entãaoo

  ≤ 

∈

∈

∈

 

∈

n

  −

lim x

n→∞

j =1

e portanto portanto

∈

⎛ ⎞ ⎝ | |⎠ ∞



ξj ej = lim lim

n→∞

1/p

ξj p

= 0,

j =n+1

∞

x=



ξj ej para cada x = (ξj )∞ j =1

j =1

Segue que

∈  p .

∞

φ(x) =



ξj φ(ej ) para para cada cada x = (ξj )∞ j =1

j =1

Seja y = (φ(ej )∞ j =1 . Provaremos que y

∈  p .

∈ q e que yq ≤ φ.

∞e |φ(ej )| ≤ φej  = φ para cada j. Segue que y ∈ ∞ e y ∞ ≤ φ. Se p > 1, fixemos n ∈ N, e definamos x = (ξj )∞ j =1 por: ξj = |φ(ej )|q−1 sinalφ sinalφ(ej ) se j ≤ n, ξj = 0 se Se p = 1, entãaoo q =

j > n.

onde sinalλ sinalλ é definido defin ido por: po r: sinalλ sinalλ =

λ λ

||



se λ = 0, 44



sinalλ sinalλ = 0 se λ = 0.

Entãaoo ξj φ(ej ) = φ(ej ) q = ξj p para cada j Como x =

|

n j =1 ξj ej ,



|

≤ n.

segue que n

φ(x) =

| |

n



ξj φ(ej ) =

j =1

n

|

φ(ej ) q =

|

j =1

| |

ξj p = x p p .

j =1



Logo n

n

|

φ(ej ) q

| ≤ φx p =

j =1

Como 1

⎛ ⎞  ⎝ | | ⎠

− p1 = q1 , segue que

1/p

φ(ej ) q

φ

.

j =1

n

|

φ(ej ) q )1/q

(

j =1

|

≤ φ.

Como n N é arbi ar bitr tr´ário, ario, segue que y Se definimos T : y q

∈

∈ q e yq ≤ φ. ∈ → φy ∈  p , entãaoo T é linear e sobrejetivo, sobrejet ivo, e T y  = y q para cada y ∈ q . Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 13.A. Prove que ∞

x=



ξj ej para cada x = (ξj )∞ j =1

j =1

∈ c0.

13.B. Prove que c0 é isometricamente isometr icamente isomorfo isomorf o a 1 . 13.C. Prove que ∞

x = ξe 0 +



(ξj

j =1

− ξ)ej

para cada x = (ξj )∞ j =1

onde e0 = (1, (1, 1, 1,...) ,...) e ξ = limj →∞ ξj . 13.D. Prove que c é isometricamente isometr icamente isomorfo isomorf o a 1 .

45

∈ c,

14. O dual de L p (X, Σ, µ) Nesta se¸c˜ cao aõ caracteriza car acterizaremos remos o dual do espa¸ esp a¸co co L p (X, Σ, µ). Por simplicidade consideraremos apenas o espa¸co co L p (X, Σ, µ) real. Uma vez vez fixado o espa¸co co de medida (X, (X, Σ, µ), com frequência encia escreveremos L p em lugar de L p (X, Σ, µ). Dada f : X

→ R, sejam f + e f − definidas por: f + = f ∨ 0, f − = ( −f ) f ) ∨ 0.

Entãaoo

f = f +

f +

− f −,

f −

≥ 0,

≥ 0.

A seguir provaremos um resultado análogo alogo para funcionais lineares cont´ cont´ınuos em L p (X, Σ, µ). 14.1. 14.1. Defini¸ Defini¸ c˜ ao. Um funcional linear T : L p (X, Σ, µ) se T f 0 para cada f L p (X, Σ, µ) tal que f 0.

≥

∈

≥

→ R é dito positivo

14.2. 14.2. Lema. Lema. Seja T um funcional funcion al linear cont´ cont´ınuo em L p (X, Σ, µ). Ent˜ Ent˜ ao − + existem dois funcionais lineares lineares cont´ cont´ınuos positivos positivos T e T em L p (X, Σ, µ) tais que T f = T + f T − f para todo f L p (X, Σ, µ).

−

∈

∈ L p . Para cada f ∈ L p , f ≥ 0, seja T +f definido por T + f = sup{T φ : φ ∈ L p , 0 ≤ φ ≤ f }. Para cada φ ∈ L p , 0 ≤ φ ≤ f , f , tem-se que T φ ≤ |T φ| ≤ T φ p ≤ T f  p . Demonstra¸ c˜ ao. Seja T

Notando que T 0 T 0 = 0, segue que (1)

0

≤ T +f ≤ T f  p

para todo f

∈ L p , f ≥ 0.

´ f´ E acil acil verificar que (2)

T + (λf ) = λT + f

para todo f

∈ L p , f ≥ 0, λ ≥ 0.

A seguir provaremos que T + (f 1 + f 2 ) = T + f 1 + T + f 2

∈ L p , f 1 ≥ 0, f 2 ≥ 0. Se φj ∈ L p e 0 ≤ φj ≤ f j para j = 1, 2, então ao 0 ≤ φ1 + φ2 ≤ f 1 + f 2 , e portanto T φ1 + T φ2 = T ( T (φ1 + φ2 ) ≤ T + (f 1 + f 2 ). (3)

para todo f 1 , f 2

Segue que T + f 1 + T + f 2

≤ T +(f 1 + f 2). 46

∈ L p , com 0 ≤ φ ≤ f 1 + f 2, sejam φ1 e φ2 definidas definidas por φ1 = φ ∧ f 1 , φ2 = (φ − f 1 ) ∨ 0. Então ao é facil ácil verificar que 0 ≤ φj ≤ f j para j = 1, 2 e φ1 + φ2 = φ. Logo T φ = T φ1 + T φ2 ≤ T + f 1 + T + f 2 ,

Por outro lado, dada φ

e portanto portanto

T + (f 1 + f 2 )

≤ T +f 1 + T +f 2.

Isto prova (3). A seguir definamos

− T +f −

T + f = T + f +

para cada f

∈ L p .

Usando (2) e (3) não ao é dif´ıcil ıcil verificar verifi car que T + é linear. Segue de (1) que T é cont´ co nt´ınuo ın uo.. Finalmente definamos T − f = T + f

− T f

para cada f

∈ L p .

´ claro que T − é um funcion E fun cional al cont´ınuo ınuo positi pos itivo vo em e m L p , completando a demonstra¸c˜ cão. ao. 14.3. Teorema de representa¸ representa¸ c˜ c˜ ao ao de Ries Ri esz. z. Seja ( Seja (X, Σ, µ) um espa¸co co de medida finita, e seja 1 p < . Ent˜ ao o dual de L p (X, Σ, µ) é isome iso metr tricam icament entee 1 1 isomorfo a Lq (X, Σ, µ), onde 1 < q , p + q = 1. 1.

≤

∞

Demonstra¸ c˜ ao. Dada g T g f =

≤∞

∈ Lq , seja T g : L p → R definido por



fgdµ

para todo f

X

∈ L p .

Pela desigualdade de Hölder older

 |≤ |

|T g f Segue que T g

| ≤ f  p gq

f g dµ

X

para toda f

∈ L p .

∈ L p e T g  ≤ gq .

Reciprocamente provaremos que, dado T e g q T .

  ≤ 

∈ L p , existe g ∈ Lq tal que T g = T

(a) Primeiro suponhamos T positivo. Neste caso definamos ν : Σ ν (A) = T ( T (χA )

∈ Σ. Como T é positivo, posi tivo, segue que ν (A) ≥ 0 para todo A ∈ Σ.

→ R por

para todo odo A

T 0 T 0 = 0.

47

Além em disso d isso,, ν ( ) =

∅

A seguir provaremos que (4)

ν (

∞

∞





An ) =

n=1

ν (An )

n=1

para cada sequência encia ( An )∞ n=1 de membros disjuntos de Σ. Escrevamos Bn =

n

∞

∞







Aj ,

A=

An =

n=1

j =1

Bn .

n=1

A sequˆ seq uência en cia (χBn )∞ e crescente cr escente e converge co nverge pontualmente p ontualmente a χA . Como µ(X ) < n=1 ´ , o teorema teorema da conver convergˆ gˆ encia encia dominada dominada garante garante que χBn χA em L p , e portanto T ( T (χBn ) T ( T (χA ). Como Como os Aj são ao disjun disjuntos tos,, temos temos que χBn = n j =1 χAj , e portanto

∞

→

→



ν (A) = T ( T (χA ) = limn T ( T (χBn ) = limn

n

∞





T ( T (χAj ) =

j =1

ν (Aj ).

j =1

Isto prova (4). Logo ν é uma medida em Σ. Como ν (A) = T ( T (χA )

≤ T χA p = T µ(A)1/p,

vemos que ν (A) = 0 cada vez que µ(A) = 0, ou seja ν é absol abs olut utam ament entee cont´ con t´ınua ınu a com rela¸c˜ cao aõ a µ. Pelo teorema de Radon-Nikodym existe g L1 (X, Σ, µ), g 0, tal que

∈

ν (A) =

 

≥

gdµ,

A

e portanto T ( T (χA ) =

χA gdµ

X

para todo A

∈ Σ. Segue que Tφ =



φgdµ

X

para toda fun¸c˜ cão ao mensurável avel simples φ. A seguir provaremos que (5)

T f =



fgdµ

X

∈

∈

≥

para toda f L p . Dada Dada f L p , f 0, seja (φ (φn ) uma sequência encia crescente de fun¸c˜ coes o˜es mensuráveis aveis simples positivas que converge pontualmente a f . f . Como Como f L p , segue do teorema da convergˆ convergˆ encia encia dominada que φn f em L p , e portanto T φn T f . Usando o teorema da convergˆ convergˆ encia encia monôtona concluimos que

∈

→

→

T f = limT limT φn = lim



X

48

φn gdµ =



X

fgdµ.

∈

≥

∈ L p arbitrária, aria, ≥ 0, e aplicar o

Isto prova (5) para cada f L p , f 0. Para provar (5) para f basta escrever f = f + f − , com f + , f − L p , f + 0, f − resultado anterior.

−

∈

≥

ar bitr tr´ário, ario, então, ao, pelo lema anterior podemos escrever ∈ L p é arbi T f = T + f − T − f para todo f ∈ L p , sendo T + , T − ∈ L p funcionais funcionais positivos. positivos. Por (a) existem existem g + , g − ∈ L1 , g+ ≥ 0, g − ≥ 0, tais que (b) Se T

+

T f =

 

f g + dµ

X

e T − f =

f g − dµ

X

para toda f

∈ L p. Se definimos g = − g−, segue que g+

(6)

T f =



fgdµ

X

para toda f

∈ L p . ∈ { ∈

  ≤   }

A seguir provaremos que g Lq e que g q T . Se p = 1, seja A = x X : g (x) > T . Entãaoo A =

∪∞n=1An, onde

{ ∈ X : g(x) > T  + n1 }.

An = x

Aplicando (6) com f = χAn , segue que 1 ( T + )µ(An ) n

 

 ≤

gdµ = T ( T (χAn )

An

≤ T χA 1 = T µ(An). n

Segue que µ(An ) = 0 para cada n, e portanto µ(A) = 0. De maneir maneira a an´ aloga aloga podemos provar que µ(B ) = 0, onde onde

{ ∈ X : g(x) < −T }. Segue que |g (x)| ≤ T  para quase todo x ∈ X . Logo g ∈ L∞ e g∞ ≤ T . Se p > 1, fixemos n ∈ N, e definamos An e f por; An = {x ∈ X : |g (x)| ≤ n}, f ( f (x) = |g(x)|q−1 sinalg sinalg (x) se x ∈ An , f ( f (x) = 0 se x ∈ / An . B= x

49

Para x

∈ An tem-se tem-se que f ( f (x)g (x) = g (x) q = f ( f (x) p ,

|

(7) e portanto portanto

 | |  | | f p dµ =

X

em particular f

An

|

≤ nq µ(X ) < ∞,

∈ L p . Usando (6) e (7) segue que

 | |  q

g dµ =

An

Como 1

g q dµ

|

fgdµ = T f

X

≤ T f  p =

   ||

g q dµ) dµ)1/p .

T (

An

− p1 = q1 , segue que

 | |

g q dµ) dµ)1/q

(

An

≤ T .

Como X = ∞ encia enci a (An ) é cresc c rescente, ente, o teorema teo rema da convergˆ conver gência enci a n=1 An , e a sequˆ monˆ otona otona garante que

∪

(

 | |

g q dµ) dµ)1/q

X

ou seja g Lq e g Se definimos

∈

 q ≤ T .

≤ T ,

∈ Lq → T g ∈ L p , entãaoo T é linear e sobrejetivo, sobrejet ivo, e T g = gq para cada g ∈ Lq . Isto completa completa T : g

a demonstra¸c˜ cão. ao.

50

15. Bidual Bidual de um espa¸ co co normado Seja E um espa¸co co normad normado. o. Dados Dados x E  e x creveremos x , x = x (x).

∈



encia es∈ E , com frequência



15.1. Defini¸ c˜ ao. O dual de E  , denotado por E  , é chamado chama do de bidual de E .

→ E  definido por Jx,x  = x, x para todo x ∈ E, x ∈ E .

15.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja J : E

Ent˜ ao J é um isomorfi iso morfismo smo isom´ iso métrico etri co entre E e um subespa¸co co de E  . clar o que J x ∈ E ∗ . Como ∈ E , é claro |Jx,x| = |x , x| ≤ xx, segue que J x ∈ E  e J x ≤ x. Assim J : E → E  é line l inear ar e cont´ c ont´ınua. ınu a. Pelo teorema de Hahn-Banach, para cada x ∈ E tem-se que: J x = sup{|Jx,x| : x ≤ 1} = sup}|x, x| : x ≤ 1} = x. Demonstra¸ c˜ ao. Se x

Logo J é um isomorfi iso morfismo smo isométrico etr ico entre E e sua imagem em E  . 15.3. Defini¸ c˜ ao. E é dito reflexivo se J (E ) = E  . ´ claro que cada espa¸co E co normado nor mado reflexivo r eflexivo é necessariament neces sariamentee completo. compl eto. F ), seja T  : F  → E  definido por ∈ L(E ; F ) T y, x = y, T x para todo y ∈ F , x ∈ E. Ent˜ ao T  ∈ L(F  , E  ) e T   = T . T  é chamado de dual de T , T , ou transposto 15.4. Proposi¸ c˜ ao. Dado T

de T . T .

Demonstra¸ c˜ ao. Se y 

clar o que T  y  ∈ E ∗ . Como ∈ F , é claro |T y, x| = |y, T x| ≤ y T x ≤ yT x, segue que T  y  ∈ E  e T  y  ≤ T y . Assim T  : F  → E  é line li near ar e cont´ co nt´ınua ınu a    ≤   e T T . Po outro lado, pelo teorema de Hahn-Banac Hahn-Banach, h, para cada x ∈ E temos:

T x = sup{|y, T x| : y ≤ 1} = sup{|T y, x| : y  ≤ 1} ≤ sup{T yx : y ≤ 1} ≤ T x. Logo T  ≤ T  . 15.5. Proposi¸ c˜ ao.  p é reflexivo reflexi vo para cada 1 < p < ∞. 51

Demonstra¸ c˜ ao. Seja p1 + q1 = 1, e sejam S :  p q e T : q  p os isomorfismos isomorfi smos isométricos etricos canônicos, onicos, os isomorfismos dados pelo Teorema 13.1.  −1 Então ao é claro que S T é um isomorfi iso morfismo smo isom´ iso métrico etr ico entre  p e  p . Para ara completar a demonstra¸c˜ cao, ão, basta provar que S  T −1 = J , o mergulho canônico onico de  p em  p , ou seja, basta provar que

→

◦

→

◦

S  ◦ T −1x, x = Jx,x = x, x para todo x ∈  p , x ∈  p . Sejam x = (ξj ) ∈  p e Sx  = (ηj ) ∈ q . Então: ao: −1



S ◦ T



 

−1

x, x = T





x,Sx =

∞

∞





j =1

ηj ξj =

ξj ηj = x , x ,



j =1



como queriamos. De maneira análoga, aloga, utilizando o Teorema 14.3, podemos provar o resultado seguinte. 15.6. 15.6. Propo Proposi¸ si¸ c˜ ao. ao. Seja (X, Σ, µ) um espa¸co c o de medi medida da finita finita.. Ent˜ Ent˜ ao L p (X, Σ, µ) é reflexivo reflexi vo para cada 1 < p < .

∞

15.7. Proposi¸ c˜ ao. Se E é reflexivo, reflexi vo, ent˜ ent ˜ ao E  é reflex refl exiv ivo o tamb´ ta mbém. em . Demonstra¸ c˜ ao. Sejam J 0 : E E  e J 1 : E  E  os mergulhos mergulhos canˆ onicos. onicos. Supondo que que J 0 (E ) = E  , vamos provar que J 1 (E  ) = E  . Dado Dado        x E , seja x = J 0 x . Provaremos que J 1 x = x . Para cada x E temos:

→

→

∈

∈

J 1x, J 0x = J 0x, x = x, x = J 0 x, x = x, J 0x. Como J 0 (E ) = E  , segue que J 1 x = x , como queriamos. queriamos. 15.8. 15.8. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Se E é reflexivo, reflexi vo, ent˜ ao cada subespa¸co co fechado de E é reflexi refle xivo vo tamb´ ta mbém. em . Demonstra¸ c˜ ao. Seja M um subespa¸co co fechado de E , e sejam J 0 : E E  e J 1 : M M  os mergulhos canônicos onicos.. Supondo Supondo que que J 0 (E ) = E  , vamos provar que J 1 (M ) = M  . Seja R : E  M  a aplica¸c˜ cao aõ restri¸ restri¸c˜ cao, aõ, e seja R : M  E  o dual de R. Dado y  M  , seja x = R y E  . Como J 0 (E ) = E  , existe x E tal que J 0 x = x . Afirmamos que x fato, suponh suponham amos os que x / M . Ent˜ Ent˜ ao, ao, pelo M . De fato,     teorema de Hahn-Banach, existe x E tal que Rx = 0 e x , x = 0. Segu Seguee que

→

→

∈

→

→

∈

∈

∈ 

∈

∈



x, x = J 0x, x = x , x = Ry , x = y, Rx = y, 0 = 0, contradi¸c˜ cao. aõ. Isto prova que x ∈ M . Para completar a demonstra¸c˜ cao ão provaremos que J 1 x = y  . De fat fatoo para para cada x ∈ E  temos: y , Rx = Ry, x = x, x = J 0x, x = x, x = Rx, x = J 1x,Rx . 52

Pelo teorema de Hahn-Banach R(E  ) = M  . Segue Segue que y  = J 1 x, como queriamos. Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss

∈ L(E ; F ) F ) e T ∈ L(F ; F ; G), prove que (T (T ◦ S ) = S  ◦ T  . 15.B. Prove que se T : E → F é um isomorfismo isomorfis mo topol´ topo lógico ogico (resp. isomor   fismo isométrico), etrico) , entãaoo T : F → E também em é um isomorfis isom orfismo mo topol´ top ológico ogico 15.A. Dados S

(resp. isomorfismo isomorfis mo isom´ i sométrico). etrico) .

15.C. Seja T : E F um isomorfismo isomorfismo topolóogic gico. o. Prov Provee que se E é reflexivo, entãaoo F tamb´ ta mbém em é refle re flexi xivo. vo.

→

15.D. Prove que um espa¸co co de Banach E é reflexivo se e só se seu dual E  é refl r eflex exiv ivo. o. 15.E. Prove que nemhum dos espa¸cos cos 1 , ∞ , c0 ou c é reflexi refl exivo. vo. 15.F. Seja E um espa¸co co de Banach, e seja M um subespa¸co co fechado de E . Prove que se E é reflexivo refle xivo,, entãaoo E/M é refle re flexi xivo vo tamb´ ta mbém. em . 15.G. Usando o Exerc´ Exerc´ıcio 8.C prove que o espa¸co co C [a, b] não ao é reflexi refl exivo. vo.

53

16. Teorema eorema de Banach-Stei Banach-Steinhaus nhaus 16.1. Defini¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co co topológico. ogico. (a) Diremos que X é um espa¸co co de Baire se a interse¸c˜ cão ao de cada seqüˆ uência ci a de subconjuntos abertos e densos de X é um subconjunto subco njunto denso de X . (b) Diremos que um conjunto A X é de primeira categoria categoria em X se é poss´ po ss´ıvel ıvel escrever escr ever

⊂

∞



A=

◦

An , com An =

n=1

∅

para cada n.

Caso contrário ario diremos que A é de segunda categoria em X . 16.2. Proposi¸ c˜ ao. Cada espa¸co co de Baire n˜ ao vazio ´ e de segunda categoria em si mesmo. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co co de Baire não ao vazio, e suponhamos que X seja de primeira categoria em si mesmo. Então podemos escrever escrever ∞



X =

An ,

n=1 ◦

onde An é fecha fec hado do em X , e An =

∅ para cada n. Segue que ∞

∅= \

\

\



\

(X An ),

n=1 ◦

X An é aberto ab erto,, e X An = X An = X para cada n. Logo Logo X n˜ ao ao seria um espa¸co co de Baire. 16.3. Teorema eorema de Baire. Baire. Cada espa¸co co métrico etr ico completo comple to é um espa¸co co de Baire. Demonstra¸ c˜ ao. Seja X um espa¸co co métrico etrico completo complet o não ao vazio, azio, e seja seja ∞ (U n )n=1 uma seq¨ uˆ uencia eˆncia de subconjuntos abertos e densos em X . Para Para provar provar ∞ que ∞ U ´ e denso den so em X , basta provar que ( U ) B ( a ; r ) = para n=1 n n=1 n cada bola B (a; r) em X . Fixemo Fixemoss uma bola B (a; r) em X . Como Como U 1 é dens de nsoo em X , existe x1 U 1 B (a; r). Seja 0 < 1 < 1 tal que





∈ ∩

B [x1 ; 1 ]

∩

∅

⊂ U 1 ∩ B(a; r). Como U 2 é denso de nso em X , existe x2 ∈ U 2 ∩ B (x1 ; 1 ). Seja 0 <  2 < 1/2 tal que B [x2 ; 2 ] ⊂ U 2 ∩ B (x1 ; 1 ). Procedendo por indu¸c˜ cão ao podemos po demos achar sequências encias ( xn ) ⊂ X e (n ) ⊂ R tais que 0 < n < 1/n e B [xn ; n ] ⊂ U n ∩ B (xn−1 ; n−1 ) 54

≥

para cada n 2. Segue que (x ( xn ) é uma sequência enci a de Cauchy em X , e converge ´ portanto a um ponto x. E claro que x

∞

∞

 ∈

 ⊂

B [x n ;  n ]

n=1

Logo

∞ n=1 U n



(

U n )

n=1

∩ B(a; r).

é denso den so em X .

⊂ − ∈ −

16.4. Defini¸ c˜ ao. Seja A E . (a) A é dito sim´ si métri et rico co se x A sempre que x A. (b) A é dito convexo se (1 λ)x + λy A sempre que x, y A e 0 λ (c) co( co(A) denota o menor subconjunto convexo de E que qu e cont´ co ntém em A.

∈

∈

∈

≤ ≤ 1.

16.5. Teorema eorema de Banach-Stei Banach-Steinhaus. nhaus. Sejam E e F espa¸cos cos normados, com E com E completo. Seja T i : i I L(E ; F ) F ) tal que

{

(1)

∈ }⊂ supi∈I T i x < ∞

para cada x

∈ E.

Ent˜ ao (2)

supi∈I T i <

  ∞.

∈ N seja An = {x ∈ E : T i x ≤ n para cada i ∈ I }.

Demonstra¸ c˜ ao. Para cada n

Como An =

{ ∈ x

  ≤ n},

E : T i x

i∈I

vemos que cada An é fechado. Segue de (1) que ∞

E =



An .

n=1

Pelo teorema de Baire E é de segunda categoria em si mesmo. Logo algum An tem interior não ao vazio. Logo An cont´ con tém em uma um a bol b olaa B (a; r). Como o conjunto An é sim´ si métric et rico, o, segue se gue que qu e An B ( a; r). Como Como o conjun conjunto to An é convexo, convex o, segue segu e que An co( co(B (a; r) B ( a; r)) B (0; r).

⊃ −

⊃

∪ −

⊃

Segue que Logo e portanto

T ix ≤ n

para todo i

∈ I , x ∈ B(0; r).

T ix ≤ nr

para todo i

∈ I , x ∈ B(0;1), (0;1),

T i ≤ nr

para todo i 55

∈ I.

O teorema de Banach-Steinhaus é tamb´ em em conhecido como princ´ pri nc´ıpio ıpi o de limita¸c˜ cao ˜ uniforme. uniforme. 16.6. 16. 6. Corol´ Cor ol´ ario. ari o. Seja E um espa¸co co normado, e seja A um subconjunto de lim itado do em K para cada φ E  . Ent˜ ao A é limi li mita tado do em E . E tal que φ(A) é limita

∈

Demonstra¸ c˜ ao. Seja J : E E  o mergulho canônico. onico. Segue da hipótese otese que J (A) é um subconjunto pontualmente limitado de E  . Pelo Pelo Teorema Teorema 16.5 J (A) é limita lim itado do em E  . Logo A é lim l imit itad ado o em e m E .

→

16.7. 16.7. Corol´ Corol´ ario. ario. Sejam E e F espa¸cos cos normados, com E complet completo. o. Seja (T n ) uma um a sequˆ s equência enc ia em L(E ; F ) F ) tal que (T n x) converge em F para cada x E . Se definimos T x = lim T Tn x para cada x E , ent˜ ao T L(E ; F ) F ).

∈

∈

∈

´ f´ Demonstra¸ c˜ ao . E acil acil verificar que T é linear. Para cada x uma sequência encia convergente em F , F , e portanto limitada, ou seja

  ∞

supn T n x <

para cada x

∈ E , (T nx) é

∈ E.

  ≤ c para todo n.

Pelo Teorema 16.5 existe c > 0 tal que T n T c, e portanto T é cont´ınua nu a.

 ≤

Segu Seguee que que

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 16.A. Seja 1 p < , e seja (η ( ηj )∞ uˆ uênci en ciaa em K tal que a série eri e j =1 uma seq¨ ∞ ∞ conve converge rge para para cada cada ( ξj )j =1  p . Pro Prove que que (η (ηj )j =1 q , onde onde

∞ j =1 ξj ηj 1 1 p + q = 1.



≤

∞

∈

∈

16.B. Seja (η (ηj )∞ uˆ uênci en ciaa em K tal que a série erie j =1 uma seq¨ ∞ ∞ para cada (ξ (ξj )j =1 c0 . Prove que (η ( ηj )j =1 1 .

∈

∈

56

∞ j =1 ξj ηj



converge

17. Teorema eorema da aplica¸ c˜ cao a õ aberta e teorema do gr´ afico afico fechado 17.1. Teorema eorema da aplica¸ c˜ ao ao aberta. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach, e seja T L(E ; F ) F ). Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ coes ˜ s˜ ao equivalentes: (a) T é sobreje sob rejeti tiva. va. (b) T ( T (BE ) BF (0; δ) para algum δ > 0. (c) T ( T (BE ) BF (0; δ) para algum δ > 0.

∈

⊃ ⊃

Demonstra¸ c˜ ao. (a)

⇒ (b): Como T é sobre so breje jeti tiva, va,

∞

F = T ( T (E ) = T ( T (



∞

BE (0; n) =

n=1

∞



T ( T (BE (0; n)) =

n=1



T ( T (BE (0; n)). )).

n=1

Pelo teorema de Baire F é de segunda categoria em si mesmo. Logo existe n tal que o conjunto T ( T (BE (0; n)) tem interior não ao vazio. Logo o conjunto T ( T (BE (0; n)) cont´ con tém em uma um a bol b olaa BF (b; r). Como o conjunto T ( T (BE (0; n)) é sim´ si métric et rico, o, segue seg ue que T ( T (BE (0; n)) BF ( b; r). Como o conjunto T ( T (BE (0; n)) é convexo, segue que

⊃

−

T ( T (BE (0; n))

co(BF (b, r) ∪ BF (−b, r)) ⊃ BF (0; r ). ⊃ co(

Logo (0; 1)) 1)) T ( T (BE (0;

⊃ BF (0; nr ),

provando (b). (b)

⇒ (c): Por hipótese otese T ( T (BE )

e portanto T ( T (BE (0;1/ (0;1/2n ))

⊃ BF (0; δ),

δ/ 2n ) ⊃ BF (0; δ/2

para para cada cada n.

Provaremos Provaremos que T ( T (BE )

⊃ BF (0; δ/2) δ/2)..

Seja y

δ/2) ⊂ T ( T (BE (0;1/ (0;1/2)). 2)). ∈ BF (0; δ/2)

Logo existe x1

(0;1/2) tal que ∈ BE (0;1/ y − T x1 ∈ BF (0; δ/2 δ/22 ) ⊂ T ( T (BE (0;1/ (0;1/22 )). )). Logo existe x2 ∈ BE (0;1/ (0;1/22 ) tal que (0;1/23 )). )). y − T x1 − T x2 ∈ BF (0; δ/2 δ/ 23 ) ⊂ T ( T (BE (0;1/ Procedendo por indu¸c˜ cão ao podemo p odemoss obter obt er uma u ma sequˆ se quência encia ( xn ) em E tal que n

xn

∈ BE (0;1/ (0;1/2

n

) e y

 − j =1

T xj

∈ BF (0; δ/2 δ/ 2n+1 )

57

para para cada cada

n.

Como



∞ n=1

xn <

∞ −n n=1 2

 

= 1, segue que

∞

∞

xn

n=1

Como a implica¸c˜ cão ao (c) pleta.

∈ BE (0; 1)

e T ( T (



xn ) = y.

n=1

⇒ (a) é clara, a demonstra¸ demonst ra¸c˜ cao aõ do teorema está com-

17.2. 17.2. Corol´ Corol´ ario. ario. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach. Banach. Ent˜ ao cada aplica¸c˜ c˜ ao sobrejetiva T L(E ; F ) F ) é aber aberta ta..

∈

17.3. 17.3. Corol´ Corol´ ario. ario. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach. Banach. Ent˜ ao cada aplica¸c˜ c˜ ao bijetiva T L(E ; F ) F ) é um isomorfismo isomorfis mo topol´ ogico.

∈

→ {

Lembremos que, se f : X Y é uma u ma apli ap lica¸ ca¸c˜ cao ão qualquer, então ao o gr´ afico de f é o conju con junto nto Gf = (x, y) X Y : y = f ( f (x) .

∈ ×

}

→

17.4. 17.4. Propos Proposi¸ i¸ c˜ ao. Sejam X e Y espa¸cos cos topol´ ogicos, e seja f : X Y uma aplica¸c˜ cao ˜ cont´ınua. ınua . Se Y é um espa¸ es pa¸co co de Hausdorff, então ao Gf ´ e um subconjunto fechado de X Y . Y .

×

× ∈ × → ∈

Demonstra¸ c˜ ao. Para provar que Gf é fech f echad ado o em e m X Y , Y , seja ((x ((xi , f ( f (xi )))i∈I uma rede em Gf que converge a um ponto (x, ( x, y) X Y . Y . Entãaoo xi x em X e T xi y em Y . Y . Como f é cont´ con t´ınua, ınu a, segue se gue que qu e f ( f (xi ) f ( f (x) em Y . Y . Como Y é Hausddorff, Hausddo rff, segue que y = f ( f (x). Logo Logo (x, (x, y) Gf , e portanto Gf é fech fe chad adoo em X Y . Y .

→ ×

→

17.5. Teorema do gr´ afico afico fechado. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach, e seja T : E F uma aplica¸c˜ cao ˜ line linear. Se o gr´ afico GT de T é fechado fech ado em E F , F , ent˜ ao T ´ e con co nt´ınua.

×

→

Demonstra¸ c˜ ao. GT é um subespa sub espa¸¸co co fechado de E espa¸co co de Banach. Consideremos as proje¸c˜ oes oes canônicas onicas π1 : (x, y)

× F , F , e é portanto port anto um

∈ E × F → x ∈ E, π2 : (x, y) ∈ E × F → y ∈ F. ´ claro que π1 ∈ L(E × F ; E F ; E ) e π2 ∈ L(E × F ; F ; F ). F ). Seja σ1 = π1 |GT . Entãaoo σ1 : (x , T x) x) ∈ GT → x ∈ E. ´ claro que σ1 ∈ L(GT ; E ), E ), e σ1 é sobrejetiva. sobre jetiva. Pelo teorema teore ma da aplica¸cão ao aberta σ1 é um homeomorfismo. homeomor fismo. Notemos que σ1−1 : x

x) ∈ GT . ∈ E → (x , T x)

Segue que π2 σ1−1 = T , T , e portanto T é cont´ınua nu a.

◦

58

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 17.A. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach, e seja T L(E ; F ) F ) um operador sobrejetivo. (a) Dada uma seq¨ uˆ uência enci a limita lim itada da (yn ) em F , F , prove que existe uma seqüˆ uência ci a limitada (x (xn ) em E tal que T xn = yn para cada n. (b) Dada uma seq¨ uˆ uênci en ciaa (yn ), que converge a zero em F , F , prove que existe uma seq¨ uˆ uênci en ciaa (xn ), que converge a zero em E , tal que T xn = yn para cada n.

∈

17.B. Seja (x (xj ) uma seq¨ uˆ uênci en ciaa em E tal que φ(xj ) Seja T definido por T : φ E  (φ(xj ))∞ c0 . j =1 Prove que T

∈ L(E ; c0).

∈ →

→ 0 para cada φ ∈ E .

∈

17.C. Seja E um espa¸co co de Banach, e seja (φ ( φj ) uma seq¨ uˆ uênci en ciaa em E  tal ∞ que j =1 φj (x) < para cada x E . Seja T definido por



|

Prove que T

| ∞

∈ T : x ∈ E → (φj (x))∞ j =1 ∈ 1 .

∈ L(E ; 1).

59

18. Espectr Espectro o de um operador em um espa¸ co co de Banach 18.1. 18.1. Proposi¸ Proposi¸ c˜ cao. a õ. Seja E um espa¸co co de Banach, e seja T T < 1, ent˜ ao o operador I T é inve in vert´ rt´ıvel ıv el e

 

−

∈ L(E ; E ). Se

∞

 −        − −1

(I

T ) T )

T k .

=

k=0

∞ k k=0 T

Demonstra¸ c˜ ao. Como T < 1, a série er ie gente, e portanto convergente. Como n

(I

T ) − T )

é absol a bsoluta utament mentee converco nver-

∞

T k

T k

=

k=0

(I

T ) T ) = I

k=0

− T n+1

para cada n, segue que ∞

(I

− T ) T )

∞

    k

T

T k

=

k =0

(I

k=0

− T ) T ) = I .

18.2. Defini¸ c˜ ao. Se E é um espa es pa¸¸co co de Banach, denotaremos por I so( so(E ; E ) o subconjunto dos T L(E ; E ) que são ao invert´ inve rt´ıveis ıve is..

∈

18.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co de Banach. Ent˜ ao: (a) I so( so(E ; E ) é um subconjunto aberto de L(E ; E ). (b) A aplica¸c˜ cao ˜ T I so( so(E ; E ) T −1 I so( so(E ; E ) é con co nt´ınua.

∈

→

∈

Demonstra¸ c˜ ao. Se S L(E ; E ) é invert´ inve rt´ıvel, ıve l, ent˜ ent ão ao segue da proposi¸cão −1 anterior que S + S + T = (I ( I + + T S ) S ´ S é inve invert´ rt´ıvel ıve l tamb´ ta mbém em para pa ra cada ca da T L(E ; E ) −1 tal que T < 1/ S . Nessas condi¸c˜ cões oes

 

◦

 

∈

◦

∈

∞ −1

(S + S + T ) T )

−1

= S

−1 −1

◦ (I + T ◦ S

)

−1

= S

 ◦ −

( T S −1 )k ,

k=0

◦

e portanto ∞ −1

−1

(S + S + T ) T ) − S

 ≤    T

k

k=1

−1 k+1

S



 T S −1 2 = . 1 − T S −1 

A conclusão ao desejada segue. 18.4. Defini¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co de Banach, e seja T L(E ; E ). ). (a) Diremos que λ K pertence pertence ao espectro de T se o operador T λI nãaoo é inve nvert´ıvel ve l. σ (T ) T ) denota o espectro de T . T . (b) Diremos que λ K é um autovalor de T se o operador T λI não é injetivo. injetivo. Se λ é um autovalor aut ovalor de T , T , denotaremos por E λ o subespa¸co co de todos os x E tais que T x = λx. λx. Cada x = 0 em E λ é chama cha mado do de autovetor de T correspondente ao autovalor λ.

∈

∈ ∈

∈

−

−



60

´ claro 18.5. Exemplo. Exemplo. Seja E um espa¸co co de Banach, e seja T L(E ; E ). ). E que σ (T ) T ) contém em todos todo s os o s autovalores a utovalores de T . T . Se E tem dimensão ao finita, então é claro que σ (T ) T ) coincide com o conjunto dos autovalores de T . T .

∈

18.6. 18.6. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co de Banach complexo, e seja T L(E ; E ). Ent˜ ao: (a) O conjunto C σ(T ) T ) é abert abe rto o em C . (b) Para cada funcional ψ L(E ; E ) , a fun¸c˜ cao ˜ f ( f (λ) = ψ [(T [(T λI )−1 ] é anal´ıtica ıti ca no aberto C σ (T ) T ).

∈

\ \

∈

−

Demonstra¸ c˜ ao. (a) A fun¸c˜ caao õ φ:λ

∈ C → T − λI ∈ L(E ; E )

é claram cla rament entee cont´ con t´ınua, ınu a, e C σ(T ) T ) = φ−1 (I so( so(E ; E )). )).

\

(b) Dados U, V

∈ I so( so(E ; E ), ), é claro clar o que U ( U (U −1 − V −1 )V = V − U,

e portanto

U −1

− V −1 = U −1(V − U ) U )V −1 .

∈ C \ σ(T ), T ), segue que (T − λI )−1 − (T − λ0 I )−1 = (T − λI )−1 (λ − λ0 )(T )(T − λ0 I )−1 .

Dados λ, λ0

Aplicando ψ segue que f ( f (λ) λ

lim

λ→λ0

f (λ0 ) − f ( [(T − λ0 I )−2 ]. − λ0 = ψ[(T

Logo f é anal´ıtica. 18.7. 18.7. Teorema eorema.. Seja E um espa¸ espa¸co co de Banach Banach compl complexo exo,, e seja seja T L(E ; E ). Ent˜ ao σ (T ) T ) é um u m subconjun s ubconjunto to compacto n˜ ao vazio de C .

∈

Demonstra¸ c˜ ao. Pela proposi¸c˜ cão ao anterior σ (T ) T ) é fechado. fecha do. Se λ > T , então ao segue da Proposi¸c˜ cao ão 18.1 que o operador T λI = λ(I T e inve nvert´ıvel ve l. λ)´ Isto prova que λ T para cada λ σ (T ), T ), e portanto σ (T ) T ) é limita lim itado. do. Suponhamos que σ (T ) T ) seja vazio. Nesse caso, para cada funcional ψ L(E ; E ) , a fun¸c˜ caao õ f ( f (λ) = ψ [(T [(T λI )−1 ] é anal´ ana l´ıtica ıt ica em todo to do C. Para λ = 0 temos que

||≤  − (T

−1

− λI )

−

∈

− −



=

−

e portanto portanto

1 λ

I

∞

(T − λI )

−1

T λ

=

 −

k =0

T k , λk+1

T k 1 = . k +1 λ λ T

 ≤   k=0

∞

−1

−  ||

61

| |− 

||  

∈

Aplicando ψ segue que lim f ( f (λ) = 0, 0,

|λ|→∞

e f é em particular limitada. Segue do teorema de Liouville que f ( f (λ) = ψ [(T [(T

− λI )−1] = 0

para para todo todo λ

∈ C.

Como ψ é arbi ar bitr tr´ário, ario, segue do teorema de Hahn-Banach que (T

− λI )−1 = 0

para para todo todo λ

absurdo. Logo σ(T ) T ) n˜ ao ao é vazio vaz io..

62

∈ C,

19. Operadores Operadores compactos entre entre espa¸ cos cos de Banach 19.1. Defini¸ c˜ ao. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach, e seja T L(E ; F ). F ). (a) Diremos que T tem posto finito se o subespa¸co co T ( T (E ) tem dimensão ao finita. Lf (E ; F ) F ) denota o subespa¸co co dos operadores de posto finito de E em F . F . (b) Diremos que T é compacto se T ( T (B E ) é relativamente compacto compact o em F . F . LK (E ; F ) F ) denota o subespa¸co co dos operadores compactos de E em F . F . ´ E claro que todo to do operador op erador de posto finito é compacto.

∈

19.2. 19.2. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach Banach.. Ent˜ Ent˜ ao LK (E ; F ) F ) é um subespa¸co co fechado de L(E ; F ) F ). Demonstra¸ c˜ ao. Seja (T (T n ) uma sequência enci a em LK (E ; F ) F ) que converge a um operador T em L(E ; F ). Para provar provar que T é compacto compact o provaremos que cada F ). Para sequˆ seq uência en cia em T ( T (B E ) admite a dmite uma subsequência encia convergente. Utiliz Utilizare aremos mos o process processoo diagon diagonal al de Cantor. Cantor. Seja Seja ( xj )∞ um a sequˆ seq uência en cia j =1 uma ∞ ∞ 1 em B E . Como Como T 1 é compact comp acto, o, (xj )j =1 admite uma subsequência encia (xj )j =1 tal ∞ ∞ 1 1 que (T (T 1 xj )j =1 é convergente. Como T 2 é compact comp acto, o, (xj )j =1 admite uma sub∞ ∞ 2 2 sequ se quˆênci en ciaa (x ( xj )j =1 tal que (T (T 2 xj )j =1 é convergente. Procedendo Proced endo de maneira m aneira induin dui−1 ∞ i ∞ tiva podemos obter, para cada i N, uma subsequˆ sub sequência enci a (x ( xj )j =1 de (x ( xj )j =1 tal j ∞ i ∞ ∞ que (T (T i xj )j =1 é converge co nvergente. nte. Seja (zj )j =1 a sequˆ se quência enci a diagon di agonal al (x ( xj )j =1. Então, ao, para cada i N, (z ( zj )∞ e uma u ma subs su bseq equˆ uênci en ciaa de d e (x ( xji )∞ (T i zj )∞ j =i ´ j =i . Segue dai que (T j =1 ∞ é converge co nvergente, nte, para cada i N. Provaremos que (T (T zj )j =1 é conver con vergen gente te.. Dado  > 0, existe i tal que T i T < . Fixado i, existe j0 tal que

∈

∈

∈

 −  T izj − T i zk  <  para todo

j, k

≥ j0.

Segue que

T zj − T zk  ≤ T zj − T izj  + T izj − T izk  + T izk − T zk  < 3 para todo j, k ≥ j0 . Logo (T (T zj )∞ e conver co nverge gente nte.. j =1 ´ 19.3. Teorema eorema de Schauder. Schauder. Sejam E e F espa¸cos cos de Banach. Banach. Ent˜ Ent˜ ao    um operador operador T L(E ; F ) F ) é compacto compacto se e s´ o se seu dual T L(F ; E ) é compacto.

∈

∈

⇒

∈

Demonstra¸ c˜ ao. ( ) Suponhamos que T L(E ; F ) F ) seja compacto. Como cada espa¸co co métri et rico co com compa pact ctoo é sepa s epar´ rável, avel, e como T ( T (E ) = ∞ nT (BE ), segue n=1 nT ( ∞ que T ( T (E ) é sepa se par´ rável. avel. Seja (y (yk )k=1 um subconjunto enumerável avel denso de T ( T (E ). ). Para provar que T  é compacto, com pacto, provaremos que q ue cada c ada seqüˆ uênci en ciaa em T  (B F ) admite uma subseq¨ uˆ uência encia convergente. c onvergente. Seja ( yn )∞ uˆ uênci en ciaa em B F . n=1 uma seq¨ Utiliz Utilizand andoo o process processoo diagon diagonal al de Cantor Cantor podemos podemos achar achar uma subseq¨ subseq¨ uˆ uência ci a  ∞  ∞  ∞ ∞ (zn )n=1 de (yn )n=1 tal que (z (zn (yk ))n=1 converge para cada k . Com omo o (y (yk )k=1  ∞ é dens de nsaa em T ( T (E ), ) , e (z (zn )∞ B , segue que (z ( z ( y )) converge para cada F n=1 n n=1 y T ( T (E ). ). Se definimos z  (y ) = limn→∞ zn (y ) para cada y T ( T (E ), ), segue que z  é um funcional linear em T ( T (E ), ), e z  1. Pelo Pelo teorema de Hahn-Banach Hahn-Banach podemos   supor que z F .







⊂

∈

∈



∈

 ≤

63

Como T ( T (B E ) é precompacto, precomp acto, dado  > 0, existem existem x1 ,...,xm

∈ BE tais que

m

T ( T (B E )

 ⊂

BF (T xj , ).

j =1

Como zn (y)

T (E ), ), existe n0 ∈ N tal que → z (y) para cada y ∈ T ( sempre que n ≥ n0 , 1 ≤ j ≤ m. |zn − z, T xj | <  sempre Dado x ∈ B E , seja 1 ≤ j ≤ m tal que x ∈ BF (T xj ; ). Ent˜ ao, ao, para cada n ≥ n0 tem-se que |T zn − T  z, x| = |zn − z, T x| ≤ |zn − z, T x − T xj | + |zn − z, T xj | < 3. Segue que T  zn − T  z   ≤ 3 para todo n ≥ n0 , e portanto (T ( T  zn )∞ n=1 converge    a T z em E .

( ) Suponhamos que T  L(F  ; E  ) seja compacto. Pelo que acabamos de ver, T  L(E  ; F  ) é compacto. Como o diagrama

⇐

∈

∈

E J E

−T →

↓

E 

F

↓ J F F 

−T →

é comutativo, segue que T é compa co mpact cto. o.

64

F 

20. Conjuntos Conjuntos ortonormais ortonormais em espa¸ cos cos de Hilbert 20.1. 20.1. Defini¸ Defini¸ c˜ cao. a õ. Seja E um espa¸co co com produto interno interno.. Um conjunto conjunto S E é dito di to ortonormal se dados x, y S tem-se que (x (x y ) = 0 se x = y e (x y) = 1 s e x = y . Um conjun conjunto to ortonor ortonormal mal S E é dit di to completo se S ⊥ = 0 .

⊂ |

∈

⊂

{}

|



´ fácil E acil verificar verificar que todo conjunto conjunto ortonormal ortonormal em E é linear li nearmente mente indepe ind epenndente. ´ fácil E acil ver que um conjunto ortonormal S E é completo complet o se e só se S é maximal entre os conjuntos ortonormais de E , ou seja S não ao está contido em nenhum outro conjunto ortonormal. Se S é um conjunto ortonormal ortonor mal em E tal que o subespa¸co co [S ] gerado por S é dens de nsoo em E , então é fácil acil ver que S é com compl plet eto. o.

⊂

´ fácil 20.2. Exemplo. Exemplo. E acil verificar que os vetores unitários arios e1 = (1, (1, 0, 0,..., 0), 0), e2 = (0 ( 0, 1, 0, ..., ..., 0), 0), ..., en = (0, (0, 0, 0,..., 1) formam formam um conjunto conjunto ortonormal ortonormal completo completo em K2n . ´ fácil 20.3. Exemplo. Exemplo. E acil verificar que a sequˆ encia encia de vetores unitários e1 = (1 ( 1, 0, 0,...) ,...), e2 = (0, (0, 1, 0,...) ,...), e3 = (0, (0, 0, 1,...) ,...), ... formam formam um conjunto conjunto ortonormal ortonormal completo completo em 2 . 20.4. Exemplo. Exemplo. N˜ ao ao é dif´ıcil ıci l verificar verifi car que as fun¸ fun ¸c˜ coes o˜es u0 (t) =

√12π ,

un (t) =

√1π cosn cosnt,

vn (t) =

√1π sennt sennt

(n

∈ N)

formam um conjunto ortonormal no espa¸co co de Hilbert real L2 ([0, ([0, 2π ]; R). Mais adiante veremos que este conjunto ortonormal é completo. 20.5. Exemplo. Exemplo. N˜ ao ao é dif´ıcil ıci l verificar verifi car que as fun¸ fun ¸c˜ coes o˜es un (t) =

√12π eint

(n

∈ Z)

formam um conjunto ortonormal no espa¸co co de Hilbert complexo L2 ([0, ([0, 2π ]; C). Mais adiante veremos que este conjunto ortonormal é completo. 20.6. Proposi¸ c˜ cao a õ (Processo de ortonormaliza¸ c˜ c˜ ao ao de Gram-Sch Gra m-Schmidt midt). ). Seja E um espa¸co co com pro produto interno. Seja (xn )N uma sequˆ encia e ncia finita ou n=1 infinita de vetores linearmente independentes em E . Ent˜ ao existe exis te uma sequência enci a N ortonormal (yn )n=1 em E tal que [x1 ,...,xn ] = [y [ y1 ,...,yn ] para cada n

≤ N . N . 65

Demonstra¸ c˜ ao. Sejam (u (un )N (yn )N n=1 e (y n=1 definidas indutivamente da maneira seguinte: u1 u1 = x1 , y1 = ; u1

 

n−1

un = xn ´ imediato que E

−



(xn yj )yj ,

j =1

yn =

|

un un

 

para n

≥ 2.

|

(un yj ) = 0 semp sempre re que que j < n, e portanto

|

(yn yj ) = 0 semp sempre re que que j < n. Usando indu¸c˜ cao aõ vemos que [x1 ,...,xn ] = [u1 ,...,un ] = [y [ y1 ,...,yn ] para cada n

N , completando completando a demonstra¸ demonstra¸c˜ cão. ao. ≤ N ,

20.7. Corolário. ario. Seja E um espa¸co co com produto interno de dimens˜ ao finita n. Ent˜ Ent˜ ao existe em E um conjunto ortonormal completo formado por n vetores. 20.8. Corol´ ario. ario. Seja E um espa¸co co com produto interno separ´ avel. Ent˜ ao existe em E um conjunto ortonormal completo enumer´ avel. 20.9. 20.9. Proposi¸ Proposi¸ c˜ cao. a õ. Seja E um espa¸co co com produto produto interno. interno. Ent˜ ao cada conjunto ortonormal em E est´ a contido em algum conjunto ortonormal completo. Demonstra¸c˜ ao. Seja S 0 um conjunto ortonormal em E , e seja a fam´ fa m´ılia ıl ia de todos os conjuntos ortonormais em E que qu e cont´ co ntém em S 0 . é um conjunto conj unto parcialmente ordenado por inclusão ao de conjuntos. conjuntos. Seja (S (S i )i∈I uma um a cad´ cad éia ei a em . Então ao é fácil acil ver que i∈I S i é um u m conjunto ortonormal ortonor mal em E , e claramente cont´ con tém em cada cad a S i . Isto prova prova que cada cad´ eia eia em admite uma cota superior. Pelo lema de Zorn, existe em um elemento maximal S . Segu Seguee que S é um conjunto ortonormal completo em E , que qu e cont´ con tém em S 0 .

P

P

∪

P

P

P

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 20.A. Seja E um espa¸co co com produto produto interno interno.. Prove Prove que cada cada conjun conjunto to ortonormal em E é linearmente linearme nte independente. indep endente. 20.B. Seja E um espa¸co co com produto interno, e seja S um conjunto ortonormal em E . Prove Prove que que S é completo complet o se e só se S não ao está contido em nenhum outro conjunto ortonormal. 20.C. Seja E um espa¸co co com produto interno, e seja S um conjunto ortonormal em E . 66

(a) Se o subespa¸co co [S ] gerado por S é dens de nsoo em E , prove que S é compl co mplet eto. o. (b) Se E é um espa¸ esp a¸co co de Hilbert, e S é completo, complet o, prove que q ue [S ] é denso de nso em E . 20.D. Prove que os vetores unitários arios e1 = (1, (1, 0, 0,...) ,...), e2 = (0, (0, 1, 0,...) ,...), e3 = (0, (0, 0, 1,...) ,...),... formam formam um conjunto conjunto ortonormal ortonormal completo completo em 2 . 20.E. Prove que as fun¸c˜ coes o˜es u0 (t) =

√12π ,

un (t) =

√1π cosn cosnt,

vn (t) =

√1π sennt sennt

(n = 1, 2, 3,...) ,...)

formam um conjunto ortonormal no espa¸co co de Hilbert real L2 ([0, ([0, 2π ], R). 20.F. Prove que as fun¸c˜ cões oes un (t) =

√12π eint

(n

∈ Z)

formam um conjunto ortonormal no espa¸co co de Hilbert complexo L2 ([0, ([0, 2π ], C).

67

21. Conjuntos Conjuntos ortonormais ortonormais completos em espa¸ cos cos de Hilbert 21.1. 21.1. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co com produto interno, seja M um subespa¸co co de dimens˜ ao finita n, seja x1 ,...,xn um conjunto ortonormal em M , e seja x E . Ent˜ ao:

{

∈

}

n

(a)

|  − | x



(x xj )xj = d(x, M ),

j =1

n

(b)

(x xj ) 2

| | ≤ x.

j =1

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Pelo Teorema 10.3 (e a Observa¸c˜ cão ao 10.4) podemos escrever (1) x = p + q, com p M, q M ⊥ .

∈

 −n p = d(x, M ).).

Além diss di ssoo x escrever p =

∈

Como Como (x (x1 ,...,xn ) é uma base de M , podemos M ⊥ , segue que j =1 αj xj . Como x p = q



0 = (x

−

∈

− p|xk ) = (x|xk ) − ( p|xk ) = (x|xk ) − αk

para k = 1, 1 , 2,...,n. ,...,n. Logo n

(2)

p=



|

(x xj )xj ,

j =1

e (a) segue. (b) Usando (1) e (2) e o teorema de Pitágoras agoras segue que n

x

2

2

2

  + q ≥  p

= p

2

=

|

(x xj ) 2 .

j =1

| |

21.2. 21.2. Proposi¸ Proposi¸ c˜ c˜ ao ao (Desigualdade de Bessel). Seja E um espa¸co co com pro produto interno, interno, seja (xi )i∈I um conjun conjunto to ortonorma ortonormall em E , e seja x E . Ent˜ ao o conjunto I x = i I : (x xi ) = 0

∈

é enum en umer er´ ´ avel e

{∈

|

|  }

(x xi ) 2

i∈I x

| | ≤ x2.

Demonstra¸ c˜ ao. Temos que ∞

I x =



J k ,

k=1

onde

{ ∈ I : |(x|xi)| > k1 }.

J k = i

68

Segue da proposi¸c˜ cao aõ anterior que cada J k é finito. De fato, se J é qualq qua lquer uer subconjunto subconjunto finito de J k , segue da proposi¸c˜ cao ão anterior que

|

x2 ≥

(x xj ) 2 >

| |

j ∈J

1 J = , k2 k2

||



j ∈J

e portanto portanto J < k 2 x 2 . Segue que J k k 2 x 2 para cada k, e portanto I x é enumerável. avel. Escrevamos (x (xi )i∈I x como uma sequência enci a y1 , y2 , y3 ,... Pela proposi¸c˜ cão ao anterior

||



| |≤  

n

| |

(x yj ) 2

| | ≤ x2

j =1

e portanto

para cada n,

∞

2

| |

(x xi ) =

i∈I x

|

(x yj ) 2

| | ≤ x2.

j =1

21.3. Proposi¸ c˜ cao. a õ. Seja E um espa¸co co de Hilbert, seja (xi )i∈I um conjunto ortonormal em E , e seja x E . Ent˜ ao a série eri e

∈



|

(x xi )xi

i∈I x

é incondi i ncondicio cionalm nalmente ente convergente, converge nte, ou seja sej a é convergent conv ergente, e, e sua s ua soma s oma é indepen i ndepen-dente da ordem escolhida em I x . Demonstra¸ c˜ ao. Pela proposi¸c˜ cao aõ anterior o conjunto I x é enu e nume mer´ rável. avel. Seja (yj ) uma ordena¸c˜ cao a˜ o de (x (xi )i∈I x , e seja m

sm =



|

(x yj )yj

j =1

para cada m. Se n < m, segue do teorema de Pitágoras agoras que m

sm − sn Como

2

=

m

 |  2

j =n+1

(x yj ) 2 .

=

j =n+1

| |

m

|

(x yj ) 2

j =1

| | ≤ x2

para cada m, pela proposi¸ proposi¸c˜ cão ao anter anterior ior,, segue segue que (s ( sm ) é uma sequência enci a de Cauchy em E , e converge portanto a um vetor s E . Para provar que a soma da série erie é indep i ndependente endente da ordena¸c˜ ao ao escolhida, seja (zk ) uma outra ordena¸c˜ cao aõ de (x (xi )i∈I x , e seja

∈

n

tn =



(x zk )zk

k=1

69

|

para cada n. O racioc´ raci oc´ınio ınio anterior mostra que n

|

(x zk ) 2

| | ≤ x2

k=1

para cada n, e a sequ s equˆência en cia (tn ) converge a um vetor t achar m0 e n0 em N tais que

∈ E . Dado  > 0, podemos

∞

| | |≤ | | |≤ (x yj ) 2

2 e

j =m+1

s − sm  ≤ 

para todo m

≥ m0,

t − tn  ≤ 

para todo n

≥ n0.

∞

(x zk ) 2

2 e

k =n+1

Fixemos m

≥ m0, e seja n ≥ n0 tal que {y1,...,ym} ⊂ {z1,...,zn }. Entãaoo tn − sm = (x|yj )yj ,



j ∈J

onde J

⊂ N \ {1, 2,...,m}. Segue que ∞

tn − sm

2

=

|

(x yj )

|

j ∈J

| | ≤ 2

(x yj ) 2

j =m+1

| | ≤ 2 .

Logo

t − s ≤ t − tn + tn − sm + sm − s ≤ 3. Como  > 0 é arbit arb itr´ rário, ario, concluimos que t = s. 21.4. 21.4. Teorema eorema.. Seja E um espa¸co co de Hilbert, e seja S = (xi )i∈I um conjunto ortonormal em E . Ent˜ ao as seguintes condi¸c˜ coes ˜ s˜ ao equivalentes: (a) O subespa¸co co [S ] é denso den so em E . (b) S é compl com plet eto. o. (c) x =



|xi)xi para todo x ∈ E . )(y |xi ) para todo x, y ∈ E . i∈I (x|xi )(y 2 i∈I |(x|xi )| para todo x ∈ E .

i∈I (x

(d) (x y ) =

| (e) x2 =

 

A identidade id entidade em (e) ( e) é conhecida con hecida como identidade de Parseval .

⇒ ⇒

⇒

⇒

Demonstra¸ c˜ ao. As implica¸c˜ cões oes (a (a) (b), (c) (d) e (d ( d) (e) são ao claras. Provaremos as implica¸c˜ cões oes (b (b ) (c) e (e) (a) ao mesmo tempo. Dado x E , sejam

⇒

∈

p =



|

(x xi )xi ,

i∈I

70

q=x

− p.

Pela proposi¸c˜ cão ao anterior p está bem definido. Como

|

| − ( p|xj ) = 0

(q xj ) = (x ( x xj ) para todo j

∈ I , vemos que q ∈ S ⊥.

Suponhamos (b). Entãaoo S é completo, complet o, ou seja S ⊥ = 0 . Segue que q = 0, e portanto portanto x = p = i∈I (x xi )xi , ou seja (c).



{}

|

Suponhamos (e), e seja M = [S ]. ]. Entãaoo p M e q M ⊥ . Pelo teorema de Pitágoras agoras x 2 = p 2 + q 2 = (x xi ) 2 + q 2 .





 

i∈I



Segue de (e) que q = 0, e portanto x = p (a).

∈ ∈ | | | 

∈ M . M . Logo E = M = [S ], ], ou seja

Devido à condi¸c˜ cão ao (c) do teorema anterior, os conjuntos ortonormais completos em espa¸cos cos de Hilbert são ao chamados chama dos também em de bases ortonormais. ortonormais . 21.5. Teorema eorema de Riesz-Fisc Riesz-Fischer. her. Cada espa¸co co de Hilbert separ´ avel de dimens˜ ao infinita é isometri i sometricamente camente isomorfo i somorfo a 2 . Demonstra¸ c˜ ao. Pelo Corolário ario 20.8 existe em E uma E uma sequˆ s equência enci a ortono ort onormal rmal ∞ completa completa (xn )n=1. Pelo teorema anterior ∞

2

x

(3)

|

(x xn ) 2 para todo x

=

| |

n=1

∈ E.

Consideremos a aplica¸c˜ caao õ T : x

∈ E → ((x ((x|xn ))∞ n=1 ∈ 2 .

T é claramente linear, e segue de (3) que T é uma isometria. isometr ia. Para completar compl etar a demonstra¸c˜ cao ão provaremos que T é sobrej sob rejet etiva. iva. Dado (ξ (ξn ) 2 , seja x = ∞ E . Para Para prov provar que x está bem n=1 ξn xn n definido, seja sn = j =1 ξj xj para cada n. Ent˜ ao, ao, para m < n temos que

∈





sn − sm

∈

n

2

=

 

n

ξj xj

j =m+1



2

=

|

ξj 2 .

j =m+1

Como ∞ , segue que (s ( sn ) é uma u ma sequˆ se quência enc ia de Cauchy Ca uchy em E . Logo x j =1 ξj < ´ claro que (x está bem definido. E ( x xj ) = ξj para cada j . Logo (ξ (ξn ) = T x, como queriamos.



| | ∞

|

21.6. 21.6. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co com produto interno, e sejam S 1 e S 2 dois conjuntos ortonormais completos em E . Ent˜ Ent˜ ao S 1 e S 2 tem a mesma cardinalidade.

71

Demonstra¸ c˜ ao. A conclusão ao é clara cla ra se S 1 ou S 2 é finito. fini to. Suponhamos Supon hamos que S 1 e S 2 s˜ ao ao infinitos. Para cada x S 1 seja

∈  0}. S 2 (x) = {y ∈ S 2 : (x|y ) =

Afirmamos que S 2 =



S 2 (x).

x∈S1

∈



∈

De fato, seja y S 2 . Como Como y = 0 e S 1 é completo, complet o, existe x S 1 tal que (x y ) = 0. Logo Logo y S 2 (x). Segue Segue da Proposi¸ Proposi¸c˜ cao aõ 21.2 que S 2 (x) é enumer enu mer´ável avel para cada x. Logo S 2 S 1 N = S 1 .

| 

∈

| | ≤ | || | | | De maneira análoga aloga podemos provar que |S 1 | ≤ |S 2 |.

Na se¸c˜ cão ao anterior vimos exemplos de conjuntos ortonormais completos em K2n e 2 . Ago Agora ra verem veremos os exempl exemplos os de conjun conjuntos tos ortono ortonorma rmais is com comple pletos tos em L2 [0, [0, 2π ]. 21.7. Teorema. eorema. As fun¸c˜ c˜ oes u0 (t) =

√12π ,

un (t) =

√1π cosn cosnt,

vn (t) =

√1π sen nt, nt,

∈

com n N , formam um conjunto ortonormal completo no espa¸co de Hilbert real L2 ([0, ([0, 2π ]; R). Demonstra¸ c˜ ao. Seja S o conjunto formado pelas fun¸c˜ coes o˜es un e vn . Não é dif´ıcil ıcil verificar verifi car que S é um conjunto ortonormal. ortonorm al. Para provar que S é com c ompl plet etoo basta provar que [S [S ] é um subespa sub espa¸¸co co denso de L2 ([0, ([0, 2π ]; R). Seja B = f C ([0, ([0, 2π ]; R) : f (0) f (0) = f (2 f (2π π) .

{ ∈

}

´ fácil E acil ver que B é um u m sub s ubes espa¸ pa¸co co denso de C ([0, ([0, 2π ]; R) na norma de L2 ([0, ([0, 2π ]; R). Como C ([0, ([0, 2π ]; R) é um subespa sub espa¸¸co co denso de L2 ([0, ([0, 2π]; R), segue que B é um subespa¸co co denso de L2 ([0, ([0, 2π ]; R). ´ E claro que [S [S ] B . Para Para completa completarr a demons demonstra tra¸¸c˜ cao ão do teorema basta provar que [S [S ] é um subespa sub espa¸¸co co denso de B na norma de C ([0, ([0, 2π ]; R). Seja K = z C : z = 1 = eit : 0 t 2π .

⊂

{ ∈ || } { ≤ ≤ } Para cada f ∈ B seja f ˜ ∈ C (K ; R) definida por f ( f ˜(eit ) = f ( f (t) (0 ≤ t ≤ 2π ).

´ claro que B e C (K ; R) s˜ E ao ao algebras álgebras , e a aplica¸c˜ cãaoo T : f

∈ B → f ˜ ∈ C (K ; R) 72

é um u m isomorfi iso morfismo smo isom´ iso métrico etri co entre entr e a álgebra algebra B e sua imagem em C (K ; R). Seja A a subálgebra algebra de B gerada pelas fun¸c˜ cões oes f 1 (t) = 1, 1 , f 2 (t) = cost, cost, f 3 (t) = sent, sent, ´ claro que A˜ é a sub´ e seja A˜ = T ( T (A). E su bálgebra algebra de C (K ; R) gerada pelas fun¸c˜ cões oes f ˜1 (eit ) = 1, f ˜2 (eit ) = cost, cost, f ˜3 (eit ) = sent. sent. ´ claro que: E (a) A˜ cont´ con tém em as fun¸ fu n¸c˜ coes ões constantes; ˜ (b) A separa os pontos de K , ou seja, dados Z 1 = z2 em K , existe f ˜ A˜ tal que f ( f ˜(z1 ) = f ( f ˜(z2 ). Segue do teorema de Stone-Weierstrass que A˜ é densa den sa em C (K ; R). Como Como T é uma u ma isometria, isometri a, segue que A é densa de nsa em B . Não ao é dif´ıcil ıcil verificar verifi car que cada f A pode ser escrita na forma





∈

∈

n

f ( f (t) = a0 +



(ak coskt coskt + bk senkt senkt)),

k=1

ou seja A

⊂ [S ].]. Segue que [S [ S ] é denso de nso em B , como queriamos. queriamos.

De maneira análoga, aloga, utilizando utilizando a vers˜ vers˜ ao complexa do teorema de Stoneao Weierstrass, podemos provar o teorema seguinte. 21.8. Teorema. As fun¸c˜ c˜ oes un (t) = eint , com n Z , formam um conjunto ortonormal completo no espa¸co co de Hilbert complexo L2 ([0, ([0, 2π ]; C ).

∈

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 21.A. Seja E um espa¸co co com produto interno, e seja S = (xn )∞ n=1 uma seq¨ uˆ uência encia ortonormal ortonor mal em E . Pro Prove que que S é fechado fechado e limitado, limitado, mas n˜ ao é compacto. 21.B. Seja E um espa¸co co de Hilbert, seja (x ( xn )∞ uˆ uência enci a ortonor orto normal mal n=1 uma seq¨ em E , e seja ∞

L=

 {

| | ≤ 1/n

λn xn : λn

n=1

}

para todo n .

Prove que L é com compa pacto cto..

Sugest˜ ao: Considere o conjunto ao: K = (λn )∞ n=1

{

⊂ K : |λn| ≤ 1/n

e a aplica¸c˜ caao õ

}

para todo n ,

∞

f :

(λn )∞ n=1

∈ K

 →

73

n=1

λn xn

∈ E.

∞ 21.C. Sejam (a (an )∞ (bn )∞ n=0 e (b n=1 em R tais que n=0 an . Prove que existe uma única unica f L2 ([0, ([0, 2π]; R) tal que

∞

a0 =



∈

1 2π

√

2π



para todo n

0

1 f ( f (t)dt, an = π

2π

 √ 0

∞ 21.D. Seja (c (cn )+ n=−∞ em C tal que uma unica u ńica f L2 ([0, ([0, 2π ]; C) tal que

 √

∈

2π





f ( f (t)e−int dt

0

74

+∞ n=−∞

|cn|2 < ∞.

para todo n



∞ n=1

|bn|2 <

2π

1 f ( f (t)cosn )cosntdt, tdt, bn = π

∈ N.

1 cn = 2π

| |2 < ∞ e

f ( f (t)senntdt )senntdt

0

Prove Prove que que existe existe

∈ Z.

22. Operadores Operadores auto-adjuntos auto-adjuntos em espa¸ cos cos de Hilbert E e F denotam espa¸cos cos de Hilbert. F ), existe um ´ unico T ∗ ∈ L(F ; F ; E ) tal ∈ L(E ; F ) que (1) (T x|y) = (x ( x|T ∗ y ) para todo x ∈ E, y ∈ F. Tem-se que T ∗  = T . Diremos que T ∗ é o adjunto adju nto de T . T . Demonstra¸ c˜ ao. Fixemos y ∈ F . F . Ent˜ Ent˜ ao ao o funcional x ∈ E → (T x|y) ∈ K é linear lin ear e cont´ınuo, ınuo , com norma norm a ≤  T y . Pelo Pelo teorema de represen representa¸ ta¸c˜ cao aõ de ∗ Riesz existe um único unico y ∈ E tal que (2) (T x|y ) = (x|y ∗ ) para para todo todo x ∈ E e y ∗  ≤ T y . Definam Definamos os T ∗ : F → E por T ∗ y = y ∗ para cada y ∈ F . F . ∗ ∗ Segue de (2) que T é linear lin ear e cont´ınuo, ınuo , e que T  ≤ T . Isto prova prova que T ∗ ∗ verifica (1), e a unicidade de T segue de (1). O mesmo racioc racio c´ınio prova a existência encia de um único unico T ∗∗ ∈ L(E ; F ) F ) tal que (3) (T ∗ y|x) = (y |T ∗∗ x) para para todo todo y ∈ F, x ∈ E, com T ∗∗  ≤ T ∗ . De (1) e (3) segue que T ∗∗ = T , T , e portanto T ∗  = T . 22.2. Defini¸ c˜ cao. a õ. Um operador T ∈ L(E ; E ) é dit di to auto-adjunto se T ∗ = T , T , ou seja (T x|y) = (x ( x|T y ) para para todo todo x, y ∈ E. 22.1. 22.1. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Dado T

∈ L(E ; E ) um operador auto-adjunto. Ent˜ ao T  = sup{|(T x|x)| : x = 1 }.

22.3. Proposi¸ c˜ ao. Seja T

Demonstra¸ c˜ ao. Seja C = sup (T x x) : x = 1 .

{| | |  

}

≤ 

A desigualdade C T segue de imediato da desigualdade de Cauchy-Schwarz. Provaremos a desigualdade oposta. Se T s = 0 para todo s S E , entãaoo T = 0, 0 , e a conclus˜ conc lusão ao é clara c lara.. Seja Sej a s S E tal que T s = 0, e sejam



∈

∈

 1/2s,

x = Ts Entãaoo

 −1/2T s.

y = Ts

x2 = y2 = T s

e (T x y ) = (T y x) = T s 2 .

|

|

75

 

Sejam u = x + y,

v=x

− y.

Entãaoo

| | | | | (T v|v ) = (T x|x) − (T x|y ) − (T y|x) + (T ( T y |y ) .

(T u u) = (T x x) + (T ( T x y ) + (T ( T y x) + (T ( T y y ),

Segue que

2(T x|y) + 2(T 2(T y|x) = 4 T s2 . | − (T v|v) = 2(T

(T u u)

Por outro lado, pela defini¸c˜ cão ao de C , e pela lei do paralelogramo,

| − (T v|v) ≤ C u2 + C v2 = C (x + y2 + x − y2) = 2C (x2 + y2 = 4C T s.

(T u u)

Segue que

 2 ≤ 4C T s,

4 Ts

  ≤ C .

e portanto portanto T Se T Sejam

∈ L(E ; E ) é auto-a aut o-adju djunto, nto, é claro clar o que (T x|x) é real apara cada x ∈ E . mT = inf {(T x|x) : x = 1 }, M T T = sup{(T x|x) : x = 1}.

Com esta nota¸c˜ cao aõ obtemos o corolário ario seguinte: 22.4. 22. 4. Corol´ Cor olário. ari o. Seja T

operador auto-adjunto. Ent˜ ao: ∈ L(E ; E ) um operador T  = max {M T T , −mT }.

∈

Seja T L(E ; E ). ). Lem Lembre bremos mos que, que, se λ é um autovalor de T , T , entãaoo E λ denota o subespa¸co co E λ = x E : T x = λx .

{ ∈

}

22.5. Proposi¸ c˜ ao. Seja T L(E ; E ) um operador auto-adjunto. (a) Se λ é um autoval auto valor or de T , T , ent˜ ao λ é real rea l e mT λ M T T . (b) Se λ e µ s˜ ao autovalores distintos de T , T , ent˜ ao os subespa¸cos cos E λ e E µ s˜ ao ortogonais entre si.

∈

≤ ≤

Demonstra¸ c˜ ao. (a) Suponhamos que T x = λx, λx, com x = 1. Entãaoo



|

|

(T x x) = (λx x) = λ, e portanto portanto mT λ M T T . (b) Suponhamos Suponhamos T x = λx e T y = µy. µy. Entãaoo

≤ ≤

( λx y ) = (T x y) = (x ( x T y ) = (x µy) λ(x y) = (λx µy) = µ(x y).

|



|

|

|

|

Se λ = µ, então ao (x y) = 0. 76

|

|

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 22.A. Seja T

F ), e sejam Φ : E → E  e Ψ : F → F  definidos definidos por ∈ L(E ; F ), para todo todo s, x ∈ E, Φs, x = (x|s) para para todo todo t, y ∈ F. Ψt, y = (y|t) para

Prove que o seguinte segu inte diagrama d iagrama é comutativo: comut ativo: ∗

F Ψ

−T →

↓ F 

E

↓Φ 

−T →

22.B. Dados S, T L(E ; F ), F ), prove que: (a) (S (S + + T ) T )∗ = S ∗ + T ∗ . (b) (λT (λT ))∗ = λT ∗ . (c) T ∗ T = T T ∗ = T 2 .

E 

∈



 

   22.C. Dados S, T ∈ L(E ; E ), ), prove que (T (T S )∗ = S ∗ T ∗ . 22.D. Seja T ∈ L(E ; F ), F ), e sejam M e N subespa¸cos cos fechados de E e F , F , ∗ ⊥ ⊥ respectivamente. Prove que T ( T (M ) ⊂ N se e só se T (N ) ⊂ M . 22.E. Seja T ∈ L(E ; E ) um operador operador auto-adjunto auto-adjunto.. Prove Prove que T n é auto au to-adjunto para cada n ∈ N. 22.F. Sejam s, T ∈ L(E ; E ) operadores operadores auto-adjuntos. auto-adjuntos. Prove Prove que que T S é

auto-adjunto se e só se T S = ST . ST .

77

23. Teorema eorema espectral espectral para operadores compactos e auto-adjunt auto-adjuntos os em espa¸ cos cos de Hilbert

∈

23.1. 23.1. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co de Hilbert, e seja T L(E ; E ) um oper operador ador comp compacto acto e auto-adju auto-adjunto, nto, com com T = 0. Entao ˜ T ou T é um autovalor de T , T , e existe um autovetor correspondente x S E tal que (T x x) = T .



∈

 

 

−  | | |

Demonstra¸ c˜ ao. Pelo Corolário ario 22.4 existe uma sequˆ encia encia ( xn ) que (T (T xn xn ) λ, onde λ é T ou T . Notemos que

|

→

  −  0 ≤ T xn − λxn 2 = (T xn − λxn |T xn − λxn ) = T xn 2 − λ(T xn |xn ) − λ(xn |T xn ) + λ2 xn 2 ≤ T 2 − 2λ(T xn|xn) + λ2. Como T 2 − 2λ(T xn |xn ) + λ2 → 0, segue que T xn − λxn → 0.

⊂ S E tal

Como T é compact comp acto, o, a sequência enci a (T xn ) admite uma subsequência encia convergente. gente. Sem perda de genera generalid lidade ade podemos podemos supor supor que (T ( T xn ) converge a um vetor y. Como Como T xn λxn 0, segue que λxn y . Como Como λ = 0, segue que xn x, onde x = λy . Como Como xn = 1 para todo n, segue que x = 1. 1. Por um lado T xn y = λx. λx. Por outr outro o lado lado T xn T x. Logo Logo T x = λx, λx, e λ é um autovalor. Finalmente, como (T xn xn ) T , segue que (T x x) = T , completando a demonstra¸c˜ cao. aõ.

−

→

→

→

→ → | | → 

  |

  | | |  

23.2. 23.2. Teorema eorema.. Seja E um espa¸co co de Hilbert, e seja T L(E ; E ) um operador compacto e auto-adjunto, com T = 0. 0 . Ent˜ ao: (a) Existe uma sequˆ s equˆ encia encia finita ou infinita i nfinita (λn ) de autova au tovalores, lores, e uma sequência enci a correspondente (xn ) de autovetor autovetores, es, tal que T admite admite uma repr represen esenta¸ ta¸c˜ cao ˜ da forma (1) Tx = λn (x xn )xn = (T x xn )xn

∈





∈



|

|

para todo x E . A sequˆ s equência enc ia (xn ) é orto or tonor norma mal. l. (b) Se a sequência enci a (λn ) é infinita infi nita,, ent˜ ao λn 0. (c) Cada autovalor λ = 0 de T aparece na sequência enc ia (λn ). O subesp subespa¸ a¸co co de autovetores correspondente E λ tem dimens˜ ao finita. A dimens˜ ao de E λ coincide com o n´ umero de vezes que λ aparece na sequência enc ia (λn ).

→



Demonstra¸ c˜ ao. (a) Aplicando a proposi¸c˜ cao ão anterior obtemos λ1 x1 E , com x1 = 1, tais que

∈

 

∈ R, e

|λ1| = T .

T x1 = λ1 x1 ,

Seja E 1 = [x1 ] o subespa¸ subespa¸co co gerado por x1 . Não ao é dif´ d if´ıcil ıci l verific ve rificar ar que o sub s ubespa espa¸¸co co E 1⊥ é invari i nvariant antee sob s ob T , T , ou seja T ( T (E 1⊥ ) E 1⊥ . De fato, para cada x E 1⊥ tem-se que (T x x1 ) = (x ( x T x1 ) = (x ( x λ1 x1 ) = λ1 (x x1 ) = 0.

⊂

|

|

∈

|

78

|

Se a restri¸c˜ cãaoo T E 1⊥ é identicamente identicame nte zero, então ao o process processo o termina termina ai. Caso Caso ⊥ contrário, ario, aplicando a proposi¸c˜ cao aõ anteror à restri¸c˜ cãaoo T E 1 , obtemos λ2 R, e ⊥ x2 E 1 , com x2 = 1, tais que

|

∈

|

 

∈

|λ2| = T |E 1⊥.  0, e uma Procedendo por indu¸c˜ cao aõ obtemos obtemo s uma sequência encia (λn ) ⊂ R, com λn = sequência encia correspondente corresp ondente ( xn ) ⊂ E , com xn  = 1, tais que T xn = λn xn , xn ∈ E n⊥−1 , |λn| = T |E n⊥−1 para cada n ≥ 2, ´ claro que a sequˆ onde E n = [x1 ,...,xn ] para cada n ≥ 1. E sequência encia ( |λn |) é decrescente, decrescente , e a sequência encia ( xn ) é ortonor ort onormal mal.. Suponhamos primeiro que a restri¸c˜ cãaoo T |E n⊥ seja zero para algum n. Cada Cada x ∈ E pode ser escrito na forma x = yn + zn , com yn ∈ E n , zn ∈ E n⊥ , T x2 = λ2 x2 ,

e portanto

n

x=



|

(x xj )xj + zn .

j =1

Como T E n⊥ = 0, segue que

|

Tx =

n

n





(x xj )T xj =

j =1

=

|

(x xj )λj xj

j =1

|

n

n

n







|

(x λj xj )xj =

j =1

|

(x T xj )xj =

j =1

|

(T x xj )xj .

j =1

Isto prova a representa¸c˜ cão ao (1) quando T E n⊥ = 0 para algum n.

|

→

| |

(b) Suponhamos Supo nhamos que a sequência encia (λn ) seja infinita, mas λn 0. Como ( λn ) é decre d ecrescent scente, e, existe exis te  > 0 tal que λn  para todo n. Como T é com compac pacto to,, a sequˆ seq uência en cia (T xn ) admite uma subsequ˜ encia encia convergente. convergente. Como T xn = λn xn e λn (xn ) admite uma subsequência encia convergente.  para todo n, segue que (x Mas isto é absurdo, pois, sendo (xn ) ortonormal, segue que xn xm 2 = 2 sempre que n = m.

| |≥

| |≥

 − 



A seguir provaremos que a representa¸c˜ ao ao (1) é v´ alida alida quando a restri¸c˜ cãaoo T E n⊥ é distinta de zero para cada n. Como no caso anterior anterior escrevamos escrevamos x = yn + zn , com yn E n , zn E n . Como λn+1 = T E n⊥ , segue que

|

∈

∈ | |  |  T zn ≤ T |E n⊥zn ≤ |λn+1|x → 0.

Segue que n

T x = T yn + T zn = lim lim T yn = lim lim n→∞

79

n→∞



|

(x xj )T xj

j =1

=

∞

∞





(x xj )λj xj =

j =1

|

(T x xj )xj .

j =1

|



(c) Suponhamos que exista um autovalor λ = 0 de T que não ao apare¸ca ca na sequ se quˆênci en ciaa (λ ( λn ). Seja x um autovetor correspondente, x = 0. Neste caso (x ( x xn ) = 0 para cada n, e segue de (1) que T x = 0, absurdo, pois T x = λx, λx, com λ = 0, x = 0. Suponhamos que um autovalor λ = 0 apare¸ca ca p vezes na sequência encia ( λn ). Neste caso o subespa¸co co E λ cont´ em em um subconjunto ortonormal formado por p vetores xn1 ,...,xnp , e dai dimE dimE λ p. Se fos fosse se dim dimE E λ > p, então ao existiria x E λ , com x = 0 e (x ( x xnj ) = 0 para j = 1,...,p. ,...,p. Dai (x (x xn ) = 0 para todo n, e seguiria de novo de (1) que T x = 0, absurdo. Logo dimE dimE λ = p.





|





∈



≥

|

|

Exer Ex erc c´ıcio ıc ioss 23.A. Seja S

∈ L(2; 2) definido por S : (ξ1 , ξ2 , ξ3 ,...) ,...) → (0, (0, ξ1 , ξ2 , ξ3 ,...) ,...).

(a) S é inje in jeti tivo? vo? (b) S é sob s obrej rejet etivo ivo?? (c) S é com compa pact cto? o? (d) Determine o adjunto S ∗ de S 23.B. Seja T L(E ; F ) F ) um operador de posto finito. Prove Prove que T admite uma representa¸c˜ cão ao da forma

∈

n

Tx =



(x ak )bk

k=1

|

para cada x

F . ∈ E , onde ak ∈ E e bk ∈ F . 23.C. Seja T ∈ L(2 ; 2 ) o operador definido por T : (ξ1 , ξ2 , ξ3 ,...) ,...)

→ (ξ1, ξ22 , ξ33 ,...) ,...).

Prove que T é um operador compacto e auto-adjunto.

80

24. Espa¸ Espa¸ cos localmente convexos cos 24.1. 24.1. Defini¸ Defini¸ c˜ ao. Diremos que E é um espa¸co co vetorial topol´ ogico sobre K se se verificam as seguintes condi¸c˜ cões: oes: (a) E é um espa¸ esp a¸co co vetorial sobre K. (b) E é um espa¸ esp a¸co co topológico. ogico. (c) As seguintes aplica¸c˜ coes o˜es são ao cont´ con t´ınuas ınu as::

∈ E × E → x + y ∈ E, (λ, x) ∈ K × E → λx ∈ E.

(x, y)

24.2. Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co vetorial topol´ ogico. Ent˜ ao: (a) Para cada a E , a aplica¸c˜ c˜ ao x E a + x E é um homeomorfis homeom orfismo. mo. (b) Para cada λ = 0 em K , a aplica¸c˜ c˜ ao x E λx E é um homeomo hom eomorr fismo.

∈ 

∈ →

∈ ∈ → ∈

∈ E × E → ∈ × → λx ∈ E .

Demonstra¸ c˜ ao. (a) segue da continuidade da aplica¸c˜ cao aõ (x, y) x + y E . (b) segue da continuidade da aplica¸c˜ cão ao (λ, x) K E

∈

24.3. 24. 3. Corol´ Cor olário. ari o. Seja E um espa¸co co vetorial topol´ ogico. Ent˜ ao: (a) Para cada a E , U é uma vizinha viz inhan¸ n¸ca c a de zero se e s´ o se a + U é uma vizinhan¸ca ca de a. (b) Para cada λ = 0 em K , U é uma vizinha viz inhan¸ n¸ca c a de zero se e s´ o se λU é uma vizinhan¸ca ca de zero.

∈ 

24.4. Defini¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co vetorial sobre K. (a) Um conjunto A E é dit di to convexo se (1 λ)x + λy A para todo x, y A e 0 λ 1. (b) Um conjunto A E é dito equilibrado se λx A para todo x A e λ 1. (c) Um conjunto A E é dito absorvente se dado x E , existe δ > 0 tal que λx A para todo λ δ.

∈ | |≤

≤ ≤

∈

⊂ ⊂ ⊂ | |≤

−

∈

∈

∈

∈

24.5. 24.5. Exempl Exemplo. o. Se E é um espa¸ esp a¸co co vetorial topológico, ogico, então ao é fácil acil ver que cada vizinhan¸ca c a de zero em E é um conjunto conjunto absorvente. absorvente. Basta usar a continuidade da aplica¸c˜ cãaoo λ K λx E em zero para x E fixo.

∈ → ∈

∈

24.6. 24.6. Defin Defini¸ i¸ c˜ ao. Diremos que E é um espa¸co co localmente convexo se E é um espa¸ es pa¸co co vetorial topológico ogico tal que cada vizinhan¸ca ca de zero contém em uma vizinhan¸ca ca convexa de zero. 24.7. 24.7. Propos Proposi¸ i¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co localmen localmente te convexo. convexo. Ent˜ ao cada vizinhan¸ca ca de zero cont´ em em uma vizinhan¸ vizinhan ¸ca ca convexa e equilibrada de zero. Demonstra¸ c˜ ao. Seja U uma vizinhan¸ca ca de zero em E . Seja U 1 uma vizinhan¸ca ca convexa de zero em E , U 1 U . U . Como a aplica¸c˜ cãaoo

⊂ (λ, x) ∈ K × E → λx ∈ E 81

é cont´ co nt´ınua ın ua em (0, (0 , 0), existem δ > 0 e uma vizinhan¸ca ca V de zero em E tais que λx U 1 para todo λ δ e x V . V . Seja

∈

| |≤

∈

V 1 =



λV.

|λ|≤δ |≤δ

Entãaoo V 1 é uma vizinha vizi nhan¸ n¸ca ca equilibrada de zero em E , V 1 n

W =

 {

⊂ U 1. Seja

n

λj xj : xj

j =1

∈ V 1, λj ≥ 1,



}

λj = 1 .

j =1

Entãaoo W é o menor subconjunto convexo convexo de E que qu e cont´ co ntém em V 1 . Com Como V 1 é equilibrado, segue que W é equilibrado. equilib rado. Como V 1 U 1 , e U 1 é convexo, convex o, segue segu e que W U 1 . Segue que W é uma vizinha vizi nhan¸ n¸ca ca convexa e equilibrada de zero em E , W U .

⊂

⊂ ⊂

´ f´ 24.8. Exemplos. Exemplos. (a) E acil acil ver que cada espa¸co co normado E é um espa¸ esp a¸co co localmente localmente convex convexo. o. As bolas B (0; ), com  > 0, formam uma base de vizinhan¸cas cas convexas e equilibradas de zero. (b) Seja E um espa¸co co normad normado. o. Dados Dados x0 consideremos o conjunto

∈ E , φ1,...,φn ∈ E  e  > 0,

{ ∈ E : 1≤suj≤pn |φj (x − x0| <  }.

U ( U (x0 ; φ1 ,...,φn ; ) = x

Diremos que um conjunto U E é aberto abert o para a topologia fraca , que deno taremos por σ (E, E ), se para cada x0 U , U , U contém em um conjunto da forma  ´ U ( U (x0 ; φ1 ,...,φn ; ). E fácil acil ver que (E, ( E, σ (E, E )) é um espa¸ esp a¸co co localmente convexo. vexo. Os conjun conjuntos tos da forma U (0; (0; φ1 ,...,φn ; ), com φ1 ,...,φn E  e  > 0, formam uma base de vizinhan¸cas cas convexas e equilibradas de zero.

⊂

∈

∈

(c) Seja E um espa¸co co normad normado. o. Dados Dados φ0 consideremos o conjunto

∈ E , x1,...,xn ∈ E e  > 0,

{ ∈ E  : 1≤suj≤pn |(φ − φ0)(x )(x)| < }.

U (φ0 ; x1 ,...,xn ; ) = φ

Diremos que um conjunto U E  é aberto abert o para a topologia fraca-estrela , que  denotaremos por σ(E , E ), ), se para cada φ0 U , U contém em um conjunto da   ´ forma U ( U (φ0 ; x1 ,...,xn ; ). E fácil acil ver que (E ( E , σ (E , E )) )) é um espa¸ esp a¸co co localmente convex convexo. o. Os conjuntos conjuntos da forma U (0; U (0; x1 ,...,xn ; ), com x1 ,...,xn E e  > 0, formam uma base de vizinhan¸cas cas convexas e equilibradas de zero.

⊂

∈

∈

(d) Seja X um espa¸co co topológico, ogico, e seja C (X ) o espa¸co co vetorial de todas as K. Dado fun¸c˜ coes o˜e s cont´ con t´ınuas ınu as f : X Dadoss f 0 C (X ), ), K X compacto e  > 0, consideremos o conjunto

→

∈

⊂

{ ∈ C (X ) : xsup |f ( f (x) − f 0 (x)| <  }. ∈K

U ( U (f 0 , K , ) ) = f

82

⊂

Diremos que um conjunto U C (X ) é abe a berto rto para par a a topologia compacto-aberta , que denotaremos denotaremos por τ 0 , se para cada f 0 U , U , U contém em um conjunto da forma ´ U ( U (f 0 , K , ). ). E fácil acil ver que (C ( C (X ), τ 0 ) é um espa¸co co localmente localmente convexo convexo.. Os conjuntos da forma U (0 U (0,, K , ), ), com K X compacto e  > 0, formam uma base de vizinhan¸cas cas convexas e equilibradas de zero.

∈ ⊂

24.9. 24.9. Defini¸ Defini¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co vetori vetorial. al. Uma fun¸ fun¸c˜ cãaoo p : E chamada de seminorma se verifica as seguintes condi¸c˜ coes: o˜es: (a) p(x) 0 para todo x E . (b) p(λx) λx) = λ p( p(x) para todo x E , λ K. (c) p(x + y ) p(x) + p + p((y ) para todo x, y E .

≥

∈

|| ≤

∈

∈

→ R é

∈

Uma seminorma p é uma norma se e só se p(x) = 0 implica x = 0. 24.10. 24.10. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. ao. Seja E um espa¸co co vetorial, e seja p uma seminorma em E . Ent˜ ao o conjunto

{ ∈ E : p(x) <  }

V p, = x

é convexo, equilibrado e absorvente, absorvent e, para para cada  > 0. A demonstra¸c˜ cao ão desta proposi¸c˜ cao aõ é simples simp les,, e é deixada dei xada como exerc exer c´ıcio. ıci o. 24.11. 24.11 . Defini¸c˜ cao. a õ. Seja E um espa¸co co vetorial, e seja A um subconjunto absorvente de E . A fun¸c˜ caao õ pA : E R definida por

→ pA (x) = inf {ρ > 0 : x ∈ ρA}

é chamad cha madaa de funcional de Minkowski de A. 24.12. Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸coi coi vetorial, e seja A um subconjunto convexo, equilibrado e absorvente de E . Ent˜ ao: (a) pA é uma u ma seminor sem inorma ma em E . (b) x E : pA < 1 A x E : pA (x) 1 .

{ ∈

}⊂ ⊂{ ∈

Demonstra¸ c˜ ao . provemos que

≤ } ´ claro que pA (x) ≥ 0 para todo x ∈ E . (a) E

pA (λx) λx) = λ p pA (x) para para todo todo x

A segu seguir ir

|| ∈ E, λ ∈ K. Isto Ist o é claro clar o se λ = ao, como A é equilibrado, equilib rado, temos que  0. Se λ = 0, então, pA (λx) λx) = inf {ρ > 0 : λx ∈ ρA} = inf {ρ > 0 : |λ|x ∈ ρA} ρ = inf {ρ > 0 : x ∈ |λ| A} = inf {|{|λ|σ : σ > 0, x ∈ σA} = |λ| p pA(x). Finalmente provemos que pA (x + y)

≤ pA (x) + p + pA (y ) 83

para para todo todo x, y

∈ E.

Dado  > 0, existem existem α , β > 0 tais que x β < p A (x) + . Como A é conve co nvexo xo,, x+y

∈ αA, αA, α < pA (x) + , x ∈ βA βA,,

α β ∈ αA + βA = (α ( α + β )( )( A+ A) ⊂ (α + β )A. α + β α + β

Segue que pA (x + y )

≤ α + β ≤ pA(x) + p + pA (y ) + 2. 2 .

Como  > 0 é arbit arb itr´ rário, ario, a conclusão ao desejada segue. (b) (b ) é claro. cla ro.

84

25. O teorema de Hahn-Banach Hahn-Banach em espa¸ cos localmente convexos cos Se E é um espa¸ esp a¸co co vetorial topológico, ogico, denotaremos por E  o espa¸co co vetorial dos funcionais funcion ais lineares cont´ cont´ınuos φ : E K. Um exame exame da demons demonstra tra¸¸c˜ cao aõ do teorema de Hahn-Banach em espa¸cos cos normados mostra o teorema seguinte.

→

25.1. Teorema eorema de Hahn-Banach. Hahn-Banach. Seja E um espa¸co co vetorial, e seja M 0 um subespa¸co co de E . Seja Seja p : E R uma seminorma, e seja φ0 : M 0 K um funcional linear tal que φ0 (x) p(x) para todo x M 0 . Ent˜ ao existe um funcional linear φ : E K tal que: (a) φ(x) = φ0 (x) para todo x M 0 ; (b) φ(x) p(x) para todo x E .

→

|

→ |≤ ∈ ∈

|

|≤

→

∈

25.2. Corolário. ario. Seja E um espa¸co co localmente convexo, e seja M 0 um  subespa¸co c o de E . Ent˜ Ent˜ ao, dado φ0 M 0 , sempre existe φ E  tal que φ(x) = φ0 (x) para todo x M 0 .

∈

∈

∈

Demonstra¸ c˜ ao. O conjunto U = x

{ ∈ M 0 : |φ0(x)| < 1}

é uma vizinh viz inhan¸ an¸ca ca aberta de zero em M 0 . Seja V uma vizinhan¸ca ca aberta de zero em E tal que V M 0 = U . U . Seja Seja W uma vizinhan¸ca ca convexa e equilibrada de zero em E tal que W V . V . Entãaoo W M 0 U e

∩

⊂

∩

⊂ {x ∈ E : pW (x) < 1} ⊂ W ⊂ {x ∈ E : pW (x) ≤ 1}. Se x ∈ M 0 e pW (x) < 1, segue que |φ0 (x)| < 1, e dai segue que |φ0 (x)| ≤ pW (x) para todo x ∈ M 0 . Pelo Pelo teorema teorema anterior existe um funcional funcional linear φ : E → K tal que φ(x) = φ0 (x) para todo x ∈ M 0 e |φ(x)| ≤ pW (x) para todo x ∈ E . Segue que |φ(x)| ≤  para todo x ∈ W . W . Em particular φ é cont´ınuo nu o. 25.3. 25.3. Co Coro rol´ l´ ario. ario. Seja E um espa¸ espa¸co co loca localmente lmente convexo convexo de Hausdorff. Hausdorff.  Ent˜ ao, dado x = 0 em E , sempre existe φ E tal que φ(x) = 0.



∈



Demonstra¸ c˜ ao. Sendo E um espa¸co co de Hausdorff, existe uma vizinhan¸ca ca U de zero tal que x / U . U . Sem perda de generalidad generalidadee podemos supor que U é equilibrada. Isto implica que λ < 1 sempre que λx U , U , e portanto

∈

|| ∈ |λ| <  sempre que λx ∈ U. (1) Seja M 0 = [x], e seja φ0 : M 0 → K definido por φ0 (λx) λx) = λ. φ0 é clara cl aramen mente te linear, e segue de (1) que φ0 é cont´ c ont´ınuo. ınu o. Pelo Pel o cor c orol´ olário ario anterior existe φ ∈ E   0. tal que φ(y ) = φ0 (y ) para todo y ∈ M 0 . Em particular φ(x) = 1 =

25.4. 25. 4. Corol´ Coro l´ ario. ari o. Seja E um espa¸co co vetorial topol´ ogico, seja A um subcon junto convexo, equilibrado e aberto de E , e seja b E A. Ent˜ ao existe φ E  tal que φ(b) 1 e φ(a) < 1 para todo a A.

≥

|

|

∈

∈ \

Demonstra¸ c˜ ao. Pela Proposi¸c˜ cão ao 24.12

{x ∈ E : pA (x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ E : pA(x) ≤ 1}. 85

∈

Como A é aberto, abert o, segue que

{ ∈ E : pA < 1},

A= x

e portanto pA (b) 1. Seja M 0 = [b], e seja φ0 : M 0 K definido por φ0 (λb) λb) = λpA (b) para todo λ. φ0 é claramente linear e φ0 (λb) λb) = pA (λb) λb) para todo λ. Pelo Pelo Teorema Teorema 25.1 ∗ existe φ E tal que φ(λb) λb) = λpA (b) para todo λ e φ(x) pA (x) para todo nu o, φ(b) = pA (b) 1 e φ(a) x E . Em particular φ é cont´ınuo pA (a) < 1 para todo a A.

≥

|

∈ ∈ ∈

→ |

≥

|

|≤ | |≤

25.5. Corolário. ario. Seja E um espa¸co co localmente convexo, seja A um subconjunto convexo, equilibrado e fechado de E , e seja b E A. Ent˜ Ent˜ ao existe  φ E tal que φ(b) > 1 e φ(a) 1 para todo a A.

∈

|

|≤

∈ \

∈

Demonstra¸ c˜ ao. Seja U uma vizinhan¸ca ca convexa e equilibrada de zero tal que (b (b + 2U ) U ) A = , e portanto (b (b + U ) U ) (A + U ) = . Seja C = A + U . Pela Proposi¸c˜ cão ao 24.12

∩

∅

∩

∅

{x ∈ E : pC (x) < 1} ⊂ C ⊂ {x ∈ E : pC (x) ≤ 1}. Como C é fechad f echado, o, segue segu e que q ue

{ ∈ E : pC (x) ≤ 1},

C = x

e portanto pC (b) > 1. Seja M 0 = [b], e seja φ0 : M 0 K definido por φ0 (λb) λb) = λpC (b) para todo λpC (b). φ0 é claramente linear e φ0 (λb) λb) = pC (λb) λb) para todo λ. Pelo Pelo Teorema Teorema ∗ 25.1 existe φ E tal que φ(λb) λb) = λpC (b) para todo λ e φ(x) pC (x) para todo x E . Em particular φ é cont´ınuo nu o, φ(b) = pC (b) > 1 e φ(a) pC (a) 1 para todo a A.

→

∈

∈ ∈

|

86

|

|≤ |≤

≤

26. A topologia topologia fraca Seja E um espa¸co co normado. normado. Lem Lembremo bremoss que a topologia topologia fraca σ (E, E  ), é a topologia que admite como base de vizinhan¸cas cas de x0 E os conjuntos da forma

∈

{ ∈ E : |φj (x − x0)| < 

U ( U (x0 ; φ1 ,...,φn ; ) = x

para para 1

≤ j ≤ n},

com φ1 ,...,φn E  e  > 0. Deno Denote temo moss por τ E a topologia da norma em E . Como Como cada cada vizi vizinh nhan an¸¸ca ca U (0; (0; φ1 ,...,φn ; ) cont´ em em uma bola, é claro que  σ (E, E ) τ E .

∈

≤

26.1. 26.1. Observ Observa¸ a¸ c˜ cao. a õ. N˜ ao ao é dif´ dif´ıcil provar que cada vizinhan¸ vizinha n¸ca ca da forma U (0; U (0; φ1 ,...,φn ; ) cont´ c ontém em uma u ma vizinha vizi nhan¸ n¸ca ca da forma U (0; U (0; ψ1 ,...,ψm ; δ ), com ψ1 ,...,ψm linearmente independentes. 26.2. Proposi¸ c˜ cao. a õ. Se E é um espa¸ es pa¸co co normado, ent˜ ao (E, σ (E, E  )) = E  . Demonstra¸ c˜ ao. Como σ (E, E  ))

≤ τ E , é claro clar o que (E, σ (E, E  )) ⊂ E  . Para provar a inclusão ao oposta, seja φ ∈ E  . Como U (0; U (0; φ; ) = {x ∈ E : |φ(x)| < }, é claro cla ro que qu e φ é σ (E, E  )-co )- cont´ nt´ınua ınua.. O lema seguinte é muito util. u ´ til. 26.3. Lema. Seja E um espa¸co co vetorial, e sejam φ1 ,...,φn , φ

∈ E  tais que

n



j =1

φj−1 (0)

⊂ φ−1(0). (0).

Ent˜ ao φ é combi com bina na¸¸c˜ cao ˜ linear de φ1 ,...,φn . Demonstra¸ c˜ ao. Seja T : E

→ Kn definida por

T x = (φ1 (x),...,φn (x)). )). Entãaoo T é linear, linear, e segue da hip´ otese otese que T −1 (0) φ−1 (0). (0). Se defin definim imos os ψ : T ( T (E ) K por ψ (T x) = φ(x), entãaoo ψ est´ a bem b em definida e é linear. Seja Ψ : Kn K uma transforma¸c˜ cao aõ linear tal que Ψ T ( T (E ) = ψ. Se (e (e1 ,...,en ) é a n base canônica onica de K , entãaoo

⊂

→ →

|

φ(x) = ψ (T x) = Ψ(T Ψ(T x) = Ψ(φ Ψ(φ1 (x),...,φn (x)) = Ψ(

n

n





φj (x)ej ) =

j =1

j =1

87

φj (x)Ψ(e )Ψ(ej ).

26.4. 26.4. Co Coro rol´ l´ ario. ario. Seja E um espa¸ espa¸co co vetori vetorial, al, e sejam sejam φ1 ,...,φn E ∗ funcionais lineares linearmente independentes. Ent˜ ao: (a) Existen vetores x1 ,...,xn E tais que φj (xk ) = δjk para j, k = 1,...n. ,...n. n −1 (b) E = [x [ x1 ,...,xn ] φ (0) algebricamente. j =1 j

∈

⊕



∈

26.5. 26.5. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co normado. normado. Ent˜ ao σ (E, E  ) = τ E se es´ o se E tem dimens˜ ao finita. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que E tenha dimensão ao finita. Seja (e (e1,...,en ) n uma base de E , e seja (φ (φ1 ,...,φn ) a base dual. Seja T : E ∞ o isomorfismo canˆ onico, onico, ou seja T x = (φ1 (x),...,φn (x)) para cada x E . Ent˜ aaoo T é um isomorfismo topológico, ogico, e T transforma a vizinhan¸ca ca U (0; (0; φ1 ,...,φn ; ) na bola B (0; ). Isto prova que as topologias σ (E, E  ) e τ E coincidem. Reciporocamente suponhamos que σ (E, E  ) = τ E . Então ao a bola BE cont´ nt ém uma vizinhan¸ca ca da forma U ( U (φ1 , ...φ ...φn ; ), com φ1 ,...,φn linearmente independentes. Assim temos que

→ ∈

n

BE

⊃ U (0; U (0; φ1 ,...,φn ; )

 ⊃

Pelo Corolário ario 26.4 existem vetores x1 ,...,xn

φj−1 (0). (0).

j =1

∈ E tais que

n

E = [x [ x1 ,...,xn ]

 ⊕

φj−1 (0). (0).

j =1

Como a bola BE não ao pode conter um subespa¸co co vetorial não ao triv t rivial, ial, conclu´ conc lu´ımos ımos n −1 que j =1 φj (0) = 0 , e portanto E = [x1 ,...,xn ] tem dimensão ao finita.



{}

88

27. A topologia topologia fraca estrela estrela Seja E um E um espa¸co co normado. Lembremos que a topologia fraca estrela σ (E  , E ), ),  é a topologia que admite como base de vizinhan¸cas cas de φ0 E os conjuntos da forma

∈

)(xj )| <  par para 1 ≤ j ≤ n}, { ∈ E  : |(φ − φ0)(x ´ claro que σ (E  , E ) ≤ σ (E  , E  ) ≤ τ E . com x1 ,...,xn ∈ E e  > 0. E U ( U (φ0 ; x1 ,...,xn ; ) = φ



27.1. 27.1. Observ Observa¸ a¸ c˜ cao. a õ. N˜ ao ao é dif´ dif´ıcil provar que cada vizinhan¸ vizinha n¸ca ca da forma U (0; U (0; x1 ,...,xn ; ) cont´ co ntém em uma u ma vizinha vizi nhan¸ n¸ca ca da forma U (0; U (0; y1 ,...,ym ; δ ), com y1 ,...,ym linearmente independentes. 27.2. Proposi¸ c˜ ao. Se E um espa¸co co normado, ent˜ ao (E  , σ(E  , E )) )) = E .

∈ E define um funcional linear x ˆ : φ ∈ E  → φ(x) ∈ K,

Demonstra¸ c˜ ao. Cada x

que é clarament clar amentee cont´ınuo ınuo para σ (E  , E ). ). Isto prova que

⊂ (E , σ(E , E )))). Para provar a inclusão ao oposta, seja T ∈ (E  , σ (E  , E )) )) . Então ao existem x1 ,...,xn ∈ E

E e  > 0 tais que

U (0; U (0; x1 ,...,xn ; ) Segue que

⊂ {φ ∈ E  : |T ( T (φ)| < 1}.

n



x ˆj−1 (0)

j =1

⊂ T −1(0). (0).

Pelo Lema 26.3 T é comb co mbin ina¸ a¸c˜ cao aõ linear dos funcionais x ˆ j , ou seja T ( T (φ) =

n

n





αj φ(xj ) = φ(

j =1

para cada φ

αj xj )

j =1

∈ E . Assim T = xˆ, onde x =



n j =1 αj xj .

27.3. 27.3. Proposi¸ Proposi¸ c˜ ao. Seja E um espa¸co co normado. normado. Ent˜ ao σ(E  , E ) = τ E se e s´ o se E tem dimens˜ ao finita. 

Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que E tenha dimensão ao finita. Seja (e (e1,...,en )  n uma base de E , e seja (φ (φ1 ,...,φn ) a base dual. Seja T : E ∞ o isomorfismo  canˆ onico, onico, ou seja T φ = (φ(e1 ),...,φ( ,...,φ(en )) para cada φ E . Ent˜ Ent˜ aaoo T é um isomorfismo topológico, ogico, e T transforma a vizinhan¸ca ca U (0; U (0; e1,...,en ; ) na bola B (0; ) . Isto prova que as topologias σ (E  , E ) e τ E coincidem. Reciprocamente, suponhamos que σ (E  , E ) = τ E . Segu Seguee que σ (E  , E  ) = τ E . Pela Proposi¸c˜ cão ao 26.5 E  tem dimensão ao finita. Logo E tem dimensão ao finita.

∈







89

→

27.4. Teorema eorema de Goldstine. Goldstine. Seja E um espa¸co co normado. norm ado. Então: ao: 



σ (E ,E )

(a) BE = B E 



(b) E  = E

.



σ (E ,E )

.

Demonstra¸ c˜ ao. Basta provar (a), pois (b) é conseq¨ con seqüˆ uência encia imediata imediat a de (a). ´ claro que BE BE , e que BE é σ(E  , E  )-fechada. Logo E

⊂









σ (E ,E )

BE

⊂ BE



.

Para provar a inclusão ao oposta suponhamos que exista y 

∈ BE \ BEσ(E





,E )



.



σ (E ,E )

Como B E é convexo, equilibrado equili brado e σ (E  , E  )-fechado, o Teorema 25.5 garante a existência encia de T (E  , σ (E  , E  )) tal que

∈ σ (E |T ( T (y )| > sup{|T ( T (x )| : x ∈ B E





,E )

}.

Como (E (E  , σ (E  , E  )) = E  , pela Proposi¸ Proposi¸c˜ cao aõ 27. 27.2, 2, existe existe y       T ( T (y ) = y (y ) para todo y E . Logo

∈

|y (y)| > sup{|y(x)| : x ∈ BE } = y. Seja z  = y /y  . Entãaoo |y  (z  )| > 1, absurdo, pois z  ∈ BE



∈

e y 

E  tal que

∈ BE



.

27.5. 27.5. Teorema eorema de Alaogl Alaoglu. u. Se E é um espa¸ es pa¸co co normado, ent˜ ao a bola  BE é σ (E , E )-compacta. 

→ KE definida por

Demonstra¸ c˜ ao. Seja T : E 

T ( T (φ) = (φ ( φ(x))x∈E . Entãaoo T é um isom i somorfis orfismo mo topo to pol´ lógico ogico entre (E (E  , σ (E  , E )) )) e sua imagem em KE . Se D(0; r) denota a bola fechada de centro 0 e raio r em K, então ao é claro cla ro que T ( T (BE ) 

⊂

 

x∈E



D(0; x ).

Pelo teorema de Tychonoff o produto x∈E D(0; x ) é compacto. com pacto. Para comcom pletar a demonstra¸c˜ cao ão basta provar que T ( T (BE ) é fechado fecha do em x∈E D(0; x ). Seja (φ (φi ) uma rede em BE tal que (T (T ((φi )) converge a g em x∈E D(0; x ), ou seja φi (x) g (x) para cada x E . Como cada φi é line li near ar,, é fácil acil ver que g é linea l inear. r. E como co mo g(x) D(0; x ) para cada x E , concluimos que g BE . 

→

∈

 ||

∈





∈



 

∈



27.6. Teorema. eorema. Um espa¸co co normado E é reflexivo se e s´ o se a bola BE é  σ (E, E )-compacta. Demonstra¸ c˜ ao. Suponhamos que E seja reflexivo. Sabemos que a inclusão canˆ onica onica E  E  é uma isometria, isometr ia, e além em disso a topologia topo logia σ (E  , E  ) em E 

→

90

induz a topologia σ (E, E  ) em E . Assi Assim, m, se se E é reflexivo, refle xivo, entãaoo BE = BE    e as topologias σ (E, E ) e σ (E , E ) coincidem em BE = BE . Como BE é σ (E  , E  )-comp )-compact acto, o, pelo Teorema eorema de Ala Alaogl oglu, u, segue segue que BE é σ (E, E  )compacto. Reciprocamente suponhamos que a bola BE seja σ (E, E  )-compacta. )-compacta. Pelo Pelo Teorema de Goldstine temos que 







σ (E ,E )

BE = B E 

Assim, dado x

∈ BE





.

, existe uma rede (x (xi )

⊂ BE tal que x , x  = limx, xi

para todo x E  . Como Como a bola bola BE é σ (E, E  )-compacta, a rede (x ( xi ) admite uma subrede (x (xθ(j ) ) que converge fracamente a um ponto x BE , ou seja

∈

∈

x, x = limx, xθ(j)). Segue que para todo x

x, x = limx, xθ(j ) = x , x

∈ E , e portanto x = x. Logo BE

91



= BE , e E é reflexi refl exivo. vo.

Notas de Análise Funcional - Jorge Mujica

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