Aizpuru - Apuntes Topologia General

Apuntes y Notas de Topología Antonio Aizpuru Tomás

Departamento de Matemáticas Universidad de Cádiz Año 2004

Las Matemáticas son importantes, sobre todo para las personas sensibles a la belleza. Es posible que algunas otras actividades humanas puedan ser más importantes: el arte, la poesía, la filosofía, . . . Pero es seguro que para mí existen otras cosas más importantes. A mi familia.

Índice 1 Espacios topológicos

1

1

Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Topología en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Base y subbase de una topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4

Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales) . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Puntos y subconjuntos especiales en un espacio topológico

15

1

Principales clases de puntos y subconjuntos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2

Densidad y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3 Propiedades elementales de numerabilidad y separación

27

1

Propiedades de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2

Propiedades de separación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

4 Convergencia y continuidad en espacios topológicos

36

1

Convergencia de sucesiones. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2

Redes y convergencia de redes en un espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3

Filtros y convergencia de filtros en un espacio topológico . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4

Filtros maximales y redes universales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5

Propiedades de las aplicaciones continuas. Homeomorfismos

. . . . . . . . . . . . . . . .

58

6

Espacios métricos completos. Complección de un espacio métrico . . . . . . . . . . . . . .

64

5 Producto de espacios topológicos. Topología inicial 1

Topología producto de un número finito de espacios topológicos 2

71 . . . . . . . . . . . . . .

71

2

Topología inicial y topología producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 Conexos y conexos por caminos

77 86

1

Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2

Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

3

Espacios conexos por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4

Espacios localmente conexos por caminos

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Espacios regulares, completamente regulares y normales 1

Espacios regulares y espacios T3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Espacios completamente regulares y espacios T 3a

3

Espacios normales y espacios T4

100 103 103

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

107

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

112

8 Compacidad.

121

1

Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

2

La compacidad en espacios métricos y seudométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

126

3

Numerablemente compactos. Secuencialmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . .

130

4

Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

5

La compactificación de Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

6

El espacio de Cantor y algunas cuestiones sueltas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

7

Álgebra de Boole y topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

9 Topología final y topología cociente

159

1

Topología final. Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

2

Topología cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

162

3

Topología de los espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

4

Suma de espacios topológicos y topología coherente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

168

A las cosas importantes: Mara, mis hijos, los amigos, las papas aliñás, la cruzcampo, el Habana club, la república federal que necesitamos, la playa, el tabaco,...

Prólogo Estos apuntes recogen los contenidos clásicos de un primer curso de Topología. Pensamos que, al menos, son necesarias unas noventa horas para poder recorrer con tranquilidad su contenido. Desearíamos con el trascurso del tiempo poder ampliar estos apuntes con los "Apuntes II" de un correspondiente curso de ampliación donde se recogiesen importantes aspectos de la topología que aquí no se han recogido. Actualmente la topología no es considerada como una disciplina auxiliar del Análisis o de la Geometría sino que tiene su propio cuerpo y sus propios métodos y formas de razonar. De hecho lo que se entiende por Topología se ha dividido en varias grandes especialidades, quizás tantas como el Análisis Matemático. No es casual, por tanto, la ausencia en estos apuntes de contenidos relativos a la Topología algebraica o la Topología diferencial, el modesto objetivo de estos apuntes se centra en lo que usualmente se denomina Topología de conjuntos. Pensamos que, por ejemplo, la introducción a la Topología algebraica no debe incluirse en un curso de Topología como el que proponemos. La Topología algebraica no debe correr el riesgo de ser el conjunto de los últimos temas de una asignatura y es urgente que en toda licenciatura de Matemáticas exista una asignatura obligatoria totalmente dedicada a esta disciplina. Queremos resaltar la deuda de gratitud que tenemos toda una generación con el tratado de Topología de cinco tomos [59] que publicó en la década de los 70 la editorial Alhambra. Los autores, sobradamente conocidos, difundieron y actualizaron eficazmente el conocimiento de la Topología entre el público Hispano. Quiero resaltar también otros libros de autores Hispanos que son muy indicados para aprender como son: [5], [7], [13], [24], [30], [31], [35], [40], [44], [57] y [62]. Pensamos que todo curso de topología general tendría que estar precedido de un curso de topología de espacios métricos donde el alumno pueda acceder, de manera natural, a los conceptos topológicos básicos. Para el estudio de la topología de espacios métricos quiero destacar el libro “Introducción a la topología de espacios métricos" de J.M. Díaz, es sencillamente un libro claro y espléndido. En la bibliografía incluimos también algunos libros clásicos que han alcanzado el calificativo de magistrales, como por ejemplo: [1], [3], [9], [10], [21], [27], [29], [34], [41], [48], [54], [65], [72], [78], [79], ... Queremos invitar a los estudiantes a que se acostumbren a estudiar en este tipo de libros ya que es seguro que con ellos sacaran más provecho que con la lectura de apuntes como los que estamos presentando. En cuanto al contenido y organización de estos apuntes quiero resaltar que responden, en parte, al gusto del autor. Hemos puesto cuidado en el capítulo de redes y filtros, pensamos que la técnica de las redes generaliza razonamientos propios de los espacios métricos, por otra parte es una técnica de gran uso en el Análisis Funcional. No queremos ocultar que, en ocasiones, en nuestros planteamientos tenemos presente al

Análisis Funcional y a la Teoría de la medida ya que se trata de disciplinas cuya conexión con la Topología es enorme. El capítulo de espacios compactos puede parecer extenso pero en realidad, como los restantes, es breve debido a la gran cantidad de cuestiones que han quedado por tratar. Deseamos manifestar que la razón principal de estos apuntes son los alumnos, si a ellos les resulta de alguna ayuda habremos conseguido nuestro propósito. Prácticamente la totalidad de las afirmaciones que se realizan en los apuntes son minuciosamente demostradas. Aunque avisamos que cuando en una demostración se utiliza un resultado anteriormente demostrado no solemos citar el lugar donde éste se encuentra, dejamos para el lector esta tarea. Se observará que no hemos incluido en estos apuntes ningún tipo de problemas, así que si los apuntes se suicidan no será por nuestra culpa. En la bibliografía incluimos libros de problemas como: [13], [22], [25], [70]. Quiero agradecer especialmente la ayuda de J.L. Romero, el ánimo y la cariñosa atención que siempre me presta constituyen un gran estímulo. Deseo destacar mi agradecimiento a F. Martínez por su constante disposición a la colaboración, su ayuda ha sido siempre eficaz. Agradezco a F. Benítez el que siga siempre dispuesto a discutir de Matemáticas, lo que constituye un gran estímulo para seguir aprendiendo. Ana Gómez Parra es una pieza importante del Departamento, gracias a su organización puedo disfrutar de más tiempo para las tareas docentes. También agradezco la ayuda de otros muchos amigos con los que acostumbro a hablar de Matemáticas y aunque no sea justo, sólo citaré a unos pocos: J. Pérez, J.M. Díaz, J. Ramírez, A. Pérez, M. Berrocoso, M. Gandarias, J. Sanz, J.C. Díaz, M.A. Moreno, M. Bruzón, A. Sala, J. Nieto, F. Fernández, M. Muñoz, H. Ramos, J.L. González, Seminario de Matemáticas del I.E.S. Columela, J. Güelmes, E. Pardo, E. Medina, C. Muriel, M.J. González, F. González, P. Venero, C. Vinuesa, Vicky, A. Chia, C. García, D. Almorza, Loreto, Aurora, Eva, Ma José, F. León,... El texto ha sido compuesto por los alumnos María del Carmen del Valle Rendón y Antonio Galván Ruiz. Agradezco su valioso trabajo.

Entre mi casa (Cádiz) y la Facultad (Puerto Real): Puente de Carranza, Septiembre de 1996.

CAPÍTULO 1

Espacios topológicos Índice del Tema 1

Espacios métricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Topología en un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Base y subbase de una topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

4

Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales) . . . . . . . . .

11

1

Espacios métricos

El concepto de espacio métrico surge del análisis matemático elemental. Suponemos que son conocidas las principales propiedades de los espacios métricos usuales en el análisis matemático elemental, aquí recordaremos brevemente algunos aspectos. Definición 1.1.1 Sea X un conjunto. Se llama distancia o métrica en X a cada aplicación d de X × X en el conjunto R de los números reales; d : X × X → R, que verifique las siguientes propiedades para cada x, y, z ∈ X. 1. d(x, y) ≥ 0

2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y

3. d(x, y) = d(y, x)

4. d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

Al par (X, d) se le llama entonces espacio métrico. Si la propiedad 2 es cambiada por 2’: Si x = y entonces d(x, y) = 0 se dice que d es una seudodistancia o seudométrica y al par (X, d) se le llama espacio seudométrico, observemos que entonces puede suceder que d(x, y) = 0 y que x 6= y. P 1 Ejemplo 1.1.2 1. En Rn definimos d(x, y) = ( ni=1 (xi −yi )2 ) 2 donde x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ). d es una métrica en Rn que se denomina métrica euclídea o usual. P 2. En Rn definimos d(x, y) = ni=1 |xi − yi |, d es métrica en Rn . 3. En Rn , d(x, y) = máx{|xi − yi | : i ∈ {1, . . . , n}}, d es métrica en Rn .

2

1. ESPACIOS MÉTRICOS

4. Sea M un conjunto cualquiera y sea X el conjunto de las aplicaciones reales definidas en M y que sean acotadas. Si f, g ∈ X definimos d(f, g) = sup{|f (a) − g(a)| : a ∈ M }, es sencillo comprobar que d es una métrica en X. 5. Sea X = C[0, 1] el espacio vectorial de las funciones reales R 1 y continuas definidas en [0, 1]. define:d∞ (f, g) = máx{|f (x) − g(x)| : x ∈ [0, 1]} d(f, g) = 0 |f (x) − g(x)| dx

Se

es fácil comprobar que tanto d∞ como d son distancias en X.

6. Sea X el espacio vectorial de las funciones definidas e integrables Riemann en [0, 1] y definimos d(f, g) = R1 1 2 0 |f (x) − g(x)| dx. Observemos que si f es la función real definida en [0, 1] por f (x) = x si x 6= 2 y f ( 12 ) = 0 y g es la función real definida en [0, 1] por g(x) = x 2 para cada x ∈ [0, 1], tenemos que f, g ∈ X y d(f, g) = 0, así pues d no es una distancia en X pero se puede comprobar que sí que es una seudodistancia. 1 P 7. En Rn , si p ∈ R y p ≥ 1 se define dp(x, y) = ( ni=1 |xi − yi |p ) p , observemos que si p = 1 tenemos el ejemplo 2 y si p = 2 el ejemplo 1. Para demostrar que dp es una distancia en R n , para cualquier p ∈ (1, ∞), la única propiedad no sencilla es la desigualdad triangular, vamos a demostrarla en varias etapas.

a.- Si a, b ∈ R y α, β ∈ (0, 1) con α + β = 1 entonces a α bβ ≤ αa + βb. Demostración Si a = b es evidente la igualdad, en otro caso supongamos que a < b y consideremos en [a, b] la función f (x) definida por f (x) = x p , por el teorema del valor medio sabemos que existe t ∈ (a, b) tal que bβ − aβ = (b − a)βtβ−1 , pero como t−α < a−α tenemos que bβ − aβ < (b − a)βa−α y multiplicando por aα se tiene aα bβ − a < (b − a)β y por tanto aα bp < αa + βb. b.- Desigualdad de Holder. Si x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn y p, q ∈ (1, ∞) de modo que 1 1 + = 1 entonces p q X 1 X 1 n n n X p q p q |xi y1 | ≤ |xi | |yi | i=1

i=1

i=1

Demostración Suponemos que algún x i y algún yj es distinto de cero, ya que si por ejemplo todos los x i 1 1 |xi |p son cero se tiene claramente la igualdad. Aplicamos el apartado a.- con α = , β = a = Pn , p p q i=1 |xi | |yi |q b = Pn obtenemos para cada i ∈ {1, . . . , n} que q i=1 |yi |

|xi |

Pn

i=1

|xi

|p

1 p

|yi |

Pn

i=1

|yi

|q

1 q

<

1 |xi |p 1 |yi |q Pn P + p i=1 |xi |p q ni=1 |yi |q

y si sumamos todas las desigualdades que tenemos para i ∈ {1, . . . , n} obtenemos que Pn 1 1 i=1 |xi yi | 1 1 < p + q = 1 p q Pn Pn p q i=1 |xi | i=1 |yi |

Apuntes y notas de Topología

CAPÍTULO 1. ESPACIOS TOPOLÓGICOS

3

c.- Desigualdad de Minkowski. Si a = (a 1 , . . . , an ) ∈ Rn , b = (b1 , . . . , bn ) ∈ Rn y p ∈ (1, ∞) entonces X n i=1

Demostración

Pn

i=1

|ai + bi |

|ai +bi |p =

p

1

p

≤

X n i=1

|ai |

Pn

i=1 |ai +bi ||ai +bi |

p

1

X n

p

p−1

+

i=1

≤

|bi |

p

1

p

Pn

i=1 |ai ||ai +bi |

p−1 +

Pn

i=1 |bi ||ai +bi |

p−1

1 1 p Utilizando la desigualdad de Holder deducimos que si q ∈ (1, +∞) es tal que + = 1 entonces p − 1 = p q q y 1 1 p q p Pn Pn Pn ·q p−1 p q ≤ · i=1 |ai | |ai + bi | i=1 |ai | i=1 |ai + bi | 1 1 p q p Pn Pn Pn ·q p−1 p q ≤ · i=1 |bi | |ai + bi | i=1 |bi | i=1 |ai + bi | por tanto n X i=1

p

|ai + bi | ≤

X n i=1

|ai + bi |

p

1 X n q

i=1

1 X 1 n p p p |ai | + |bi | p

i=1

y X n i=1

|ai + bi |

p

1

p

≤

X n i=1

|ai |

p

1

p

+

X n i1

|bi |

p

1

p

d.- Si x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , . . . , yn ) ∈ Rn , z = (z1 , . . . , zn ) ∈ Rn y p ∈ (1, ∞) entonces dp(x, y) ≤ dp(x, z) + dp(z, y).

Pn

|p

1

p

Demostración dp(x, y) = = i=1 |xi − yi 1 1 p p Pn p p zi | + = dp(x, z) + dp(z, y). i=1 |zi − yi )

Pn

i=1

|(xi − zi ) + (zi − yi

)|p

1

p

≤

Pn

i=1 |xi

−

Sea (X, d) un espacio métrico y consideremos un subconjunto no vacío Z de X, la restricción de d al conjunto Z × Z es una métrica en Z que se denomina distancia inducida por d en Z, diremos entonces que (Z, d) es un subespacio métrico de (X, d). Si A y B son subconjuntos no vacíos de X se define la distancia entre A y B por d(A, B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Si A ∩ B 6= ∅ tenemos que d(A, B) = 0 pero puede suceder que d(A, B) = 0 y que A ∩ B = ∅, en efecto, consideremos R con la métrica usual y sean A = (1, 2), B = (2, 3) tenemos que A ∩ B = ∅ pero d(A, B) = 0 Si A = {a} y B es un subconjunto no vacío de X entonces a d(A, B) lo denotaremos por d(a, B). El diámetro de un subconjunto A de X se define por d(A) = sup{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ A} que puede ser finito o infinito. Si d(A) es finito se dice que A es acotado. Si x ∈ X y r > 0, r ∈ R, se define la bola abierta de centro x y radio r por B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) < r} y se define la bola cerrada de centro x y radio r por B(x, r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} Antonio Aizpuru Tomás

4

2. TOPOLOGÍA EN UN CONJUNTO

Si A es un subconjunto de X y x ∈ X, se dice que x es un punto interior de A si existe r > 0, r ∈ R, ◦

tal que B(x, r) ⊂ A, al conjunto de todos los puntos de X que son interiores de A se le denota por A ó por Int(A). Se dice que A es abierto si A = Int(A) y se dice que A es cerrado si X − A es abierto. Es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades: 1.- ∅ y X son abiertos. 2.- La unión de cualquier familia de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. 3.- La intersección de una familia finita de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. A la familia de todos los subconjuntos abiertos de X : T d = {A ⊂ X : A es abierto en el espacio métrico (X, d)} se le llama topología determinada en X por la métrica d. De una forma similar se define la topología determinada por una seudométrica.

2

Topología en un conjunto. Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

Definición 1.2.1 Sea X un conjunto y sea T ⊂ P (X), diremos que T es una topología en X si y sólo si se verifican las siguientes propiedades: S 1.- ∅ ∈ T, X ∈ T . 2.- Para cada H ⊂ T se tiene que A∈H A ∈ T . 3.- Para cada A, B ∈ T se tiene que A ∩ B ∈ T . En esta situación al par (X, T ) se le llama espacio topológico y los elementos de T se llaman abiertos del espacio topológico (X, T ). Es evidente que la intersección de un número finito de conjuntos abiertos es un conjunto abierto. Ejemplo 1.2.2 1.- Sea X un conjunto y T t = {X, ∅}, Tt es una topología en X que se llama trivial. Si consideramos TD = P (X) también tenemos que TD es una topología en X que se llama discreta. Observemos que en un mismo conjunto se pueden definir topologías distintas, ya observamos antes que en un mismo conjunto se pueden definir métricas distintas. 2.- Sea (X, d) un espacio métrico y sea T d = {A ⊂ X : A es abierto en X para la métrica d}, entonces como ya se comentó Td es una topología en X que se denomina topología inducida por la métrica d. Definición 1.2.3 Sea (X, T ) un espacio topológico, se dice que (X, T ) es metrizable si existe una métrica d en X tal que T = Td .

si x 6= y si x = y 1 es fácil comprobar que d es métrica (llamada discreta) en X y que para cada x ∈ X es {x} = B(x, ), por 2 tanto {x} es abierto y de aquí se deduce que T D = Td , así pues (X, TD ) es un espacio metrizable.

Ejemplo 1.2.4 1.- Sea (X, TD ) y consideremos d : X × X → R definida por d(x, y) =

1 0

2.- Observemos que si (X, d) es un espacio métrico y x ∈ X, y ∈ X, x 6= y entonces d(x, y) = r con r r > 0, r ∈ R. Sean A = B(x, 3r ), B = B(y, ) es claro que A y B son abiertos, x ∈ A, y ∈ B y A ∩ B = ∅. 3 Vamos ahora a poner un ejemplo de espacio topológico que no es metrizable. Sea X un conjunto infinito y sea TCF = {A ⊂ X : X − A es finito } ∪ {∅} es sencillo comprobar que T CF es una topología en X. Apuntes y notas de Topología


5

Consideremos x ∈ X, y ∈ X tales que x 6= y y supongamos que existen A ∈ T CF , B ∈ TCF tales que x ∈ A, y ∈ B, A ∩ B = ∅, pero entonces X = (X − A) ∪ (X − B) y deducimos que X es finito lo cual es una manifiesta contradicción. Este razonamiento demuestra que no puede existir una métrica d en X tal que TCF = Td y por tanto que (X, T ) es un espacio topológico no metrizable. La abundancia e importancia de los espacios topológicos no metrizables justifica la existencia de la topología general como disciplina, una gran cantidad de conceptos de los que trata esta disciplina son una traslación de conceptos y propiedades de los espacios métricos. Los espacios métricos quedarán reducidos a un caso particular de espacio topológico pero su importancia es tan elevada que también queda justificada la existencia de una disciplina que se dedique a su estudio con detalle y no sólo por razones históricas o metodológicas. Teorema 1.2.5 Sea (X, d) un espacio métrico y sea Z ⊂ X, consideremos el subespacio métrico (Z, d) y sea M ⊂ Z entonces M es abierto en (Z, d) si y sólo si existe N abierto en (X, d) tal que M = Z ∩ N . Demostración Supongamos que M ⊂ Z es abierto en (Z, d), observemos que si x ∈ Z y r > 0, r ∈ R, la bola abierta de centro x y radio r en (Z, d) es {y ∈ Z : d(x, y) < r} pero este conjunto es precisamente B(x, r) ∩ Z donde B(x, r) es la bola de centro x y radio r en (X, d). Para S cada x ∈ M podemos > 0, r ∈ R tal que B(x, r ) ∩ Z ⊂ M y por tanto M = afirmar que existe r x x S x x∈M (B(x, rx ) ∩ Z) = S ( x∈M B(x, rx )) ∩ Z y si N = x∈M B(x, rx ) tenemos que N es abierto en (X, d) y M = N ∩ Z.

Recíprocamente supongamos que N es abierto en (X, d) y que M = N ∩ Z, veamos que M es abierto en (Z, d), consideremos que M 6= ∅ y sea x ∈ M , entonces existe r > 0 tal que B(x, r) ⊂ N pero entonces B(x, r) ∩ Z ⊂ N ∩ Z = M , es decir existe una bola abierta en (Z, d) de centro x que está contenida en M , así pues deducimos que M es abierto en (Z, d).

Este resultado sugiere que consideremos lo siguiente: Sea (X, T ) un espacio topológico, sea Z ⊂ X un subconjunto no vacío de X y sea TZ = {A ∩ Z : A ∈ T } es sencillo comprobar que T Z es una topología en Z que se denomina topología inducida por T en Z o bien topología relativa de T en Z. Al par (Z, T Z ) se le denomina subespacio topológico del espacio topológico (X, T ). Definición 1.2.6 Sea X un conjunto y sean T 1 y T2 dos topologías en X, se dice que T1 es menos fina que T2 o que T2 es más fina que T1 si T1 ⊂ T2 . Dado un conjunto X consideremos Tt = {∅, X} la topología trivial y TD = P (X) la topología discreta, es evidente que si T es cualquier topología en X tenemos que T t ⊂ T ⊂ TD , en general dadas dos topologías T1 y T2 en X puede suceder que T1 ⊂ T2 sea falso y que T2 ⊂ T1 también sea falso, en cuyo caso se dice que T1 y T2 son topologías en X que no son comparables. Por ejemplo si X = {a, b}, T 1 = {∅, X, {a}} y T2 = {∅, X, {b}}, tenemos que T1 y T2 son topologías en X que no son comparables. Definición 1.2.7 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea C ⊂ X, se dice que C es un conjunto cerrado en (X, T ) si X\C ∈ T . Aquí a la familia de todos los subconjuntos de X que sean cerrados la denotaremos por C(T ) y tenemos que C(T ) = {C ⊂ X : X\C ∈ T }, es sencillo demostrar que se verifican las siguientes propiedades: Antonio Aizpuru Tomás

6

1.T ∅ ∈C(T ), X ∈C(T ) A∈M A ∈ C(T ).

3. BASE Y SUBBASE DE UNA TOPOLOGÍA

2.- Si C, D ∈C(T ) entonces C ∪ D ∈C(T ).

3.- Si M ⊂ C(T ) entonces

Observemos que si C es una familia de subconjuntos de X verificando las anteriores propiedades 1.-,2.-,3.-, entonces si consideramos T = {X\C : C ∈C}, tenemos que T es una topología en X y C es precisamente la familia C(T ) de todos los conjuntos cerrados de (X, T ).

Ejemplo 1.2.8 1.- En R con la topología usual tenemos que: a. M = { n1 : n ∈ N} ∪ {0} es cerrado. b. N es cerrado. c. Si M ⊂ R es finito entonces M es cerrado. Sd. [0, 1) no es ni abierto ni cerrado. e. P = { n1 : n ∈ N} no es ni abierto ni cerrado, sin embargo P = n∈N { n1 } es decir P es unión de una cantidad numerable de cerrados. 2.- Sea X un conjunto y sea {A, B} una partición de X en conjuntos no vacíos, sea T = {X, ∅, A, B} tenemos que T es una topología en X y C(T ) = {X, ∅, A, B}, así pues puede suceder que un conjunto en un espacio topológico sea a la vez abierto y cerrado (en inglés: closed-open ≡ clopen).

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Base y subbase de una topología

Definición 1.3.1 Sea (X, T ) un espacio topológico y B ⊂ P (X) se dice que S B es base de la topología T si se verifica: 1.- B ⊂ T 2.- Para cada A ∈ T existe M ⊂ B tal que A = B∈M B. Teorema 1.3.2 Sean (X, T ) un espacio topológico y A un subconjunto de X entonces A ∈ T si y sólo si para cada x ∈ A existe B ∈ T tal que x ∈ B ⊂ A. Demostración Si A ∈ T para cada x ∈ A basta considerar B = A y tendremos xS∈ B ⊂ A. Recíprocamente si para cada x ∈ A existe Bx ∈ T tal que x ∈ Bx ⊂ A tendremos que A = x∈A Bx y por tanto A ∈ T.

Teorema 1.3.3 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea B ⊂ T , entonces B es base de T si y sólo si para cada A ∈ T y cada x ∈ A existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ A. S Demostración Si B es base de T y A ∈ T entonces existe M ⊂ B tal que A = B∈M B, por tanto si x ∈ A existe B ∈ M tal que x ∈ B, tenemos que x ∈ B ⊂ A y que B ∈ B.SRecíprocamente si para cada A ∈ T y cada x ∈ A existe Bx ∈ B tal que x ∈ Bx ⊂ A tenemos que A = x∈A Bx y {Bx : x ∈ A} ⊂ B así pues B es base de T .

Ejemplo 1.3.4 1.- Si (X, d) es un espacio métrico tenemos que B = {B(x, r) : x ∈ X, r > 0, r ∈ R} es base de Td . 2.- Si (X, T ) es un espacio topológico tenemos que B = T es base de T 3.- En el espacio topológico discreto (X, T D ) tenemos que B = {{x} : x ∈ X} es base de T D . Apuntes y notas de Topología


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Nos podemos preguntar que si dados un conjunto X y cualquier subconjunto B de P (X) es posible que exista una topología T en X tal que B sea base de T , esto no es cierto en general como ponemos ahora de manifiesto. Sean X = {x, y, z, t} y B = {{x, y}, {y, z, t}} si existe una topología T en X tal que B es base de T tendremos que {x, y} ∈ T y {y, z, t} ∈ T , por tanto {y} = {x, y} ∩ {y, z, t} ∈ T , pero esto es una contradicción ya que {y} no es unión de elementos de B. En el próximo teorema daremos la condición necesaria y suficiente para que B ⊂ P (X) sea base de una topología T de X Teorema S 1.3.5 Sean X un conjunto y B ⊂ P (X), entonces B es base de una topología T en X si y sólo si: 1.- A∈B A = X 2.- Para cada A, B ∈ B y cada x ∈ A ∩ B existe C ∈ B tal que x ∈ C ⊂ A ∩ B. En esta situación si B satisface 1. y 2. tendremos que la topología T de X de la cual B es base es única y es además la menos fina de todas las topologías de X que contienen a B.

Demostración Si T es una topología en X de la cual B es base como X ∈ T tendrá que verificarse que S S X = A∈B A. Si A, B ∈ B y x ∈ A ∩ B, como A ∩ B ∈ T existe M ⊂ B tal que A ∩ B = C∈M C, así pues existe C ∈ M tal que x ∈ C y tenemos que C ∈ B y x ∈ C ⊂ A ∩ B. S Supongamos ahora que B ⊂ P (X) verifica 1. y 2., definimos T (B) = {A ⊂ X: existe M ⊂ B con A = B∈M B}. S Vamos a demostrar que T (B) es una topología en X. De 1. se deduce que X ∈ T (B) y como ∅ S = A∈∅ A y ∅ ⊂ B tenemos queS∅ ∈ T (B). Sea P S⊂ T (B), para M D ⊂ B tal que D = A∈MD A, S cada D ∈ P existe S pero entonces M = D∈P MD ⊂ B y D∈P D = A∈M A y por tanto D∈P D ∈ T (B). S S Si C, D ∈ T (B) y C ∩ D = ∅ entonces C ∩ D ∈ T (B) y si C ∩ D 6= ∅ como C = A∈M A y D = B∈N B donde M ⊂ B y N ⊂ B, tenemos que para cada x ∈ C ∩ D existen A x ∈ M y Bx ∈ N tales que x ∈ Ax ∩ B Sx ⊂ C ∩ D, entonces por la condición 2 de B existe C x ∈ B tal que x ∈ Cx ⊂ Ax ∩ Bx así pues C ∩ D = x∈C∩D Cx y por tanto C ∩ D ∈ T (B). Ha quedado demostrado que T (B) es topología en X y es claro que B es base de T (B). Si S T 0 es otra 0 topología en X tal que B ⊂ T entonces para cada A ∈ T (B) existirá M ⊂ B tal que A = B∈M B y por tanto A ∈ T 0 así S pues T (B) ⊂ T 0 . Si B fuese base también de T 0 entonces para cada A ∈ T 0 existirá M ⊂ B tal que A = B∈M B y por tanto A ∈ T (B) y deducimos que tiene que ser T (B) = T 0 , por tanto T (B) es la única topología en X de la cual B es base. Si X es un conjunto y B es un subconjunto de P (X) que verifica las condiciones 1 y 2 de este último teorema diremos que B es base de topología. Definición 1.3.6 Sea X un conjunto y sean B 1 y B2 dos bases de topología, diremos que B 1 y B2 son equivalentes si T (B1 ) = T (B2 ).

Teorema 1.3.7 Sea X un conjunto y sean B 1 y B2 dos bases de topología se verifica que: a) T (B 1 ) ⊂ T (B2 ) si y sólo si para cada B1 ∈ B1 y cada x ∈ B1 existe B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊂ B1 . b) B1 y B2 son equivalentes si y sólo si se verifican: 1.- Para cada B 1 ∈ B1 y cada x ∈ B1 existe B2 ∈ B2 tal que x ∈ B2 ⊂ B1 2.- Para cada B2 ∈ B2 y cada x ∈ B2 existe B1 ∈ B1 tal que x ∈ B1 ⊂ B2 . Antonio Aizpuru Tomás

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S Demostración a) Sea A ∈ T (B1 ) existe M ⊂ B1 tal S que A = B∈M B, para cada B ∈ M y cada x ∈ B existe Bx ∈ B2 tal que x ∈ Bx ⊂ B, por tanto B = x∈B Bx y B ∈ T (B2 ) así pues también A ∈ T (B2 ). b) es una sencilla consecuencia de a).

Definición 1.3.8 Sean X un conjunto y d 1 , d2 dos distancias en X, se dice que d1 y d2 son topológicamente equivalentes si Td1 = Td2 . Se dice que d1 y d2 son equivalentes si existen dos números reales α > 0 y β > 0 tales que β d1 (x, y) ≤ d2 (x, y) ≤ α d1 (x, y) para cada x, y ∈ X. Teorema 1.3.9 Sean X un conjunto y d1 y d2 dos distancias en X. a) Td1 ⊂ Td2 si y sólo si para cada x ∈ X y cada r1 > 0, r1 ∈ R, existe r2 > 0, r2 ∈ R, tal que Bd2 (x, r2 ) ⊂ Bd1 (x, r1 ). b) d1 y d2 son topológicamente equivalentes si y sólo si para cada x ∈ X y cada r 1 > 0, r1 ∈ R, existe r2 > 0, r2 ∈ R, tal que Bd2 (x, r2 ) ⊂ Bd1 (x, r1 ), y también para cada x ∈ X y cada r2 > 0, r2 ∈ R, existe r1 > 0, r1 ∈ R tal que Bd1 (x, r1 ) ⊂ Bd2 (x, r2 ). c) Si existe un número real p > 0 tal que d 1 (x, y) ≤ pd2 (x, y) entonces Td1 ⊂ Td2 . d) Si d1 y d2 son equivalentes entonces son topológicamente equivalentes. e) El recíproco de d) no es cierto en general. Demostración a) Sean B1 = {Bd1 (x, r) : x ∈ X, r > 0, r ∈ R}, B2 = {Bd2 (x, r) : x ∈ X, r > 0, r ∈ R}, tenemos que Td1 = T (B1 ) y Td2 = T (B2 ). Supongamos que Td1 ⊂ Td2 y sean x ∈ X y r1 > 0, r1 ∈ R, entonces Bd1 (x, r1 ) ∈ Td2 y por tanto existe Bd2 (y, t) tal que x ∈ Bd2 (y, t) ⊂ Bd1 (x, r1 ). Si r2 > 0 y r2 < t − d2 (y, x) tenemos que Bd2 (x, r2 ) ⊂ Bd2 (y, t) ⊂ Bd1 (x, r). Recíprocamente supongamos que para cada x ∈ X y cada r1 > 0, r1 ∈ R, existe r2 > 0, r2 ∈ R, tal que Bd2 (x, r2 ) ⊂ Bd1 (x, r1 ), entonces si Bd1 (y, r) ∈ B1 y x ∈ Bd1 (y, r), consideremos r1 > 0, r1 ∈ R tal que r1 < r − d(y, x) tenemos que Bd1 (x, r1 ) ⊂ Bd1 (y, r) y existe r2 > 0 tal que x ∈ Bd2 (x, r2 ) ⊂ Bd1 (x, r1 ) ⊂ Bd1 (y, r) y se verifica que Bd2 (x, r2 ) ∈ B2 , por tanto T (B1 ) ⊂ T (B2 ) así pues Td1 ⊂ Td2 . b) Es consecuencia inmediata de a). r1 entonces si y ∈ Bd2 (x, r2 ) tenemos que d1 (x, y) ≤ p pd2 (x, y) < pr2 = r1 así pues y ∈ Bd1 (x, r1 ) y deducimos que Bd2 (x, r2 ) ⊂ Bd1 (x, r1 ). c) Sea x ∈ X y r1 > 0, consideremos r2 =

d) Es consecuencia inmediata de c). e) Consideremos el siguiente ejemplo: Sea (X, d) un espacio métrico y sea d 0 : X × X → R definida por d0 (x, y) = inf[1, d(x, y)] es fácil comprobar que d 0 es una distancia en X. Sean x ∈ X y r > 0, r ∈ R. Consideremos Bd (x, r), sea r 0 > 0, r 0 ∈ R tal que r 0 < inf{1, r} entonces Bd0 (x, r 0 ) ⊂ Bd (x, r), en efecto si y ∈ Bd0 (x, r 0 ) no puede ser d(x, y) > 1 ya que entonces r 0 > d0 (x, y) = 1, por tanto d(x, y) ≤ 1 y será d(x, y) = d0 (x, y) < r 0 ≤ r así pues y ∈ Bd (x, r) y concluimos que Bd0 (x, r 0 ) ⊂ Bd (x, r). Por otra parte si x ∈ X y r 0 > 0, r 0 ∈ R, consideremos r ∈ R, r < r 0 , entonces Bd (x, r) ⊂ Bd0 (x, r 0 ). Así pues podemos afirmar que d y d0 son topológicamente equivalentes. Supongamos ahora que X = R y que d es la distancia usual, consideremos la distancia topológicamente equivalente d 0 (x, y) = inf{1, d(x, y)}, Apuntes y notas de Topología


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ciertamente tenemos que d0 (x, y) ≤ d(x, y), pero si d0 y d fuesen distancias equivalentes tendremos que existirá p ∈ R, p > 0 tal que d(x, y) ≤ pd0 (x, y) para cada x, y ∈ R, pero como d0 (x, y) ≤ 1 tendrá que suceder que para cada x, y ∈ R sea d(x, y) ≤ p pero esto es falso ya que d(p + 1, 0) = p + 1, así pues d y d0 son topológicamente equivalentes pero no son equivalentes.

Nota 1.3.10 La equivalencia y la equivalencia topológica de seudométricas se define de igual forma que en el caso de métricas. El teorema anterior es también válido en el caso de seudométricas. Ejemplo 1.3.11 Sea X un conjunto, es sencillo demostrar que tanto la equivalencia topológica como la equivalencia de métricas son relaciones de equivalencia en el conjunto de todos las métricas de X. Por tanto si d1 , d2 y d3 son tres métricas en X y se verifica que d 1 es equivalente a d2 y que d2 es equivalente a d3 entonces también es d1 equivalente a d3 . P Consideremos ahora en Rn las métricas: d∞ (x, y) = máx{|xi − yi | : i ∈ {1, . . . , n}}, d1 (x, y) = ni=1 |xi − 1 P que estas tres métricas son yi | y dp (x, y) = ( ni=1 |xi − yi |p ) p donde p ∈ (1, +∞), vamos a demostrar P equivalentes. Es evidente que d∞ (x, y) ≤ d1 (x, y) y que d1 (x, y) = ni=1 |xi − yi | ≤ n máx{|xi − yi | : i ∈ 1 1 Pn p p {1, . . . , n}} = nd∞ (x, y). Además dP ∞ (x, y) = ([máx{|xi −yi | : i ∈ {1, . . . n}}] ) p ≤ ( i=1 |xi −yi | ) p = dp (x, y). Finalmente [dp (x, y))]p = ni=1 |xi − yi |p ≤ nd∞ (x, y)p . Teorema 1.3.12 Sean (X, T ) un espacio topológico, B ⊂ P (X) una base de T y Z ⊂ X. Entonces BZ = {B ∩ Z : B ∈ B} es una base de la topología T Z inducida por T en Z. Demostración Es claro que BZ ⊂ TZ . Sea C S ∈ TZ , entonces existe A ∈ T tal que C S = A ∩ Z pero como B es base de T existe M ⊂ B tal que A = B∈M B pero entonces C = A ∩ Z = B∈M (B ∩ Z) y {B ∩ Z : B ∈ M } ⊂ BZ . Definición 1.3.13 Sea (X, T ) un espacio topológico, T se dice que S ⊂ P (X) es una subbase de T si la familia de las intersecciones finitas de S : B(S) = { B∈M B : M ⊂ S y M finito} es una base de T . Ejemplo 1.3.14 Primero observemos que si S es subbase de una topología T de X entonces S ⊂ T . Consideremos ahora el espacio topológico (R, T u ) donde Tu es la topología usual de R. Entonces S = {(−∞, x), (y, +∞) : x, y ∈ R} es una subbase de T u ya que para cada intervalo abierto (a, b), a ∈ R, b ∈ R, a < b, tenemos que (a, b) = (−∞, b) ∩ (a, +∞). Teorema 1.3.15 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea S ⊂ P (X) una subbase de T . Si Z ⊂ X entonces SZ = {B ∩ Z : B ∈ S} es una subbase de TZ . T T Demostración B(SZ ) = { B∈M (B ∩ Z) : MT⊂ S y M finito} = {( B∈M B) ∩ Z : M ⊂ S y M finito} = {A ∩ Z : A ∈ B(S)} donde B(S) = { B∈M B : M ⊂ S y M finito} es base de T , así pues tenemos que B(SZ ) es base de TZ . Sea X un conjunto y sea S ⊂ P (X). No es cierto en general, como ya sabemos, que exista una topología T en X tal que S sea base de T , pero veremos a continuación que sí que es cierto que exista una topología T en X tal que S sea subbase de T . Antonio Aizpuru Tomás

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Teorema 1.3.16 Sea X un conjunto y sea S ⊂ P (X) entonces existe una única topología en X, que denotaremos por T (S), tal que S es subbase de T (S). Además se verifica que T (S) es la menos fina de todas las topologías de X que contienen a S. A T (S) se le denomina topología engendrada por S. T Demostración Sea B(S) = { B∈M B : M ⊂ S y M finito}, vamos a demostrar que B(S) verifica las condiciones que le garantizan el ser base de una topología. Aunque pueda resultar curioso observemos que T X = B∈∅ B y ∅ ⊂ S y ∅ es finito, así pues T X ∈ B(S). Sean T A 1 , A2 ∈ B(S) entonces existen T M 1 , M2 ⊂ S tales que M1 y M2 son finitos y A1 = B∈M1 B, A2 = B∈M2 B, entonces A1 ∩ A2 = B∈M1 ∪M2 B y M1 ∪ M2 ⊂ S es finito, por tanto A1 ∩ A2 ∈ B(S). Sea T (S) = T (B(S)) la única topología que tiene por base a B(S), por construcción es inmediato que S es subbase de T (S). Si T es cualquier topología que contiene a S es claro que B(S) ⊂ T y por tanto T (S) = T (B(S)) ⊂ T . Definición 1.3.17 Sean (X, T ) un espacio topológico y C una familia de subconjuntos de X. Se dice que C es una base de cerrados de (X, T ) si: T 1.- C⊂C(T ) 2.- Para cada A ∈C(T ) existe M ⊂C tal que A = C∈M C. Nota 1.3.18 Sea (X, T ) un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son de sencilla comprobación. a) Si C es una familia de subconjuntos de X entonces C es base de cerrados si y sólo si B = {X\C : C ∈ C} es base de abiertos. b) Sea X un conjunto y C una familia de subconjuntos de X. T Entonces existe una topología T en X tal que C es base de cerrados en (X, T ) si y sólo si se verifica: 1.- C∈C C= ∅ 2.- Para cada {C1 , C2 } ⊂C y cada x ∈ / C1 ∪ C2 existe C3 ∈C tal que x ∈ / C 3 y C1 ∪ C2 ⊂ C3 . En esta situación se verifica además que T es la única topología en X para la cual C es base de cerrados y si T 0 es otra topología en X tal que C ⊂ C(T 0 ) entonces T ⊂ T 0 . c) Si Z ⊂ X y C es base de cerrados en (X, T ) entonces {C ∩ Z : C ∈ C} es base de cerrados en (Z, T Z ). Ejemplo 1.3.19 a.- Si (X, d) es un espacio métrico entonces {X\B(x, r) : x ∈ X, r ∈ R, r > 0} es base de cerrados en (X, d). b.- En (R, Tu ), C= {(−∞, a] ∪ [b, +∞) : a ∈ R, b ∈ R, a < b} es base de cerrados, pero {[a, b] : a ∈ R, b ∈ R, a < b} no es base de cerrados. Definición 1.3.20 Sean (X, T ) un espacio topológico y L una familia de subconjuntos S de X. Se dice que L es una subbase de cerrados en (X, T ) si la familia de las uniones finitas de L : { C∈M C : M ⊂ L y M finito }, es una base de cerrados en (X, T ).

Observación 1.3.21 Sea (X, T ) un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son fáciles de probar.

a) Si L es una familia de subconjuntos de X, entonces L es subbase de cerrados en (X, T ) si y sólo si S = {X\C : C ∈L} es subbase de T . Apuntes y notas de Topología


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b) Si L es una familia de subconjuntos de X entonces existe una única topología T L en X tal que L es subbase de cerrados en (X, TL ), en esta situación si T 0 fuese otra topología en X tal que L ⊂C(T 0 ) se verifica que TL ⊂ T 0 . c) Si Z ⊂ X y L es subbase de cerrados en (X, T ) entonces {C ∩ Z : C ∈ L} es subbase de cerrados en (Z, TZ ). Ejemplo 1.3.22 En (R, Tu ) tenemos que L = {(−∞, a], [b, +∞) : a, b ∈ R} es subbase de cerrados.

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Sistemas de entornos. Bases y subbases de entornos (o locales)

Definición 1.4.1 Sea (X, T ) un espacio topológico y sean x ∈ X y V ⊂ X, se dice que V es entorno de x si existe A ∈ T tal que x ∈ A ⊂ V . Denotamos por V x a la familia de todos los entornos de x : Vx = {V ⊂ X : V es entorno de x}. A Vx se le llama sistema de entornos de x. Ejemplo 1.4.2 a) Si (X, d) es un espacio métrico entonces para cada x ∈ X es V x = {V ⊂ X: existe r > 0, r ∈ R con B(x, r) ⊂ V }. b) Sea (X, Tt ) donde Tt = {∅, X} es la topología trivial en X entonces para cada x ∈ X es V x = {X}. c) Sea X con la topología discreta TD entonces para cada x ∈ X es Vx = {A ⊂ X : x ∈ A} Teorema 1.4.3 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X, entonces A es abierto si y sólo si para cada x ∈ A se verifica que A ∈ Vx . Demostración Si A es abierto y x ∈ A es claro que A ∈ V x por otra parte si A ⊂ X es tal que para cada x ∈ A se verifica que A ∈ VxS , tendremos que para cada x ∈ A existe un conjunto abierto B x tal que x ∈ Bx ⊂ A, así pues, como A = x∈A Bx , tenemos que A es abierto. Teorema 1.4.4 a) Sea (X, T ) un espacio topológico y consideremos la aplicación V : X → P (P (X)) definida por V (x) = Vx , para cada x ∈ X. Entonces se verifican las siguientes propiedades para cada x ∈ X: 1.- V (x) 6= ∅ 2.- Si A ∈ V (x) entonces x ∈ A. 3.- Si M ⊂ X es tal que existe V ∈ V (x) con V ⊂ M entonces M ∈ V (x). 4.- Si A, B ∈ V (x) entonces A ∩ B ∈ V (x) 5.- Para cada A ∈ V (x) existe B ∈ V (x) tal que para cada y ∈ B se verifica que A ∈ V (y). b) Sea X un conjunto y V : X → P (P (X)) una aplicación que verifica las anteriores cinco propiedades entonces existe una única topología T V en X tal que para cada x ∈ X es V (x) el sistema de entornos de x en (X, TV ). Demostración a) La demostración de las cuatro primeras es sencilla veamos la quinta: sean x ∈ X y A ∈ V (x) entonces existe B abierto tal que x ∈ B ⊂ A, pero para cada y ∈ B es evidente que A es entorno de y, y por tanto A ∈ V (y). b) Definimos TV = {AS⊂ X : para cada x ∈ A es A ∈SV (x)}, tenemos que ∅ ∈ T V y X ∈ TV . Sea M ⊂ TV , veamos que A∈M A ∈ TV , en efecto: si xS∈ A∈M A entonces existe S B ∈ M tal que x ∈ B pero como B ∈ TV es B ∈ V (x) y por tanto también A∈M A ∈ V (x) ya que A∈M A ⊃ B. Antonio Aizpuru Tomás

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4. SISTEMAS DE ENTORNOS. BASES Y SUBBASES DE ENTORNOS (O LOCALES)

Sea A, B ∈ TV , tenemos que si x ∈ A ∩ B entonces A ∈ V (x) y B ∈ V (x) pero entonces A ∩ B ∈ V (x), deducimos por tanto que A ∩ B ∈ TV . Vamos ahora a demostrar que para cada x ∈ X es V (x) igual a V x el sistema de entornos de x para TV . Si x ∈ X y A es entorno de x para TV tenemos que existe B ∈ TV tal que x ∈ B ⊂ A pero entonces será A ∈ V (x), así pues Vx ⊂ V (x). Por otra parte si A ∈ V (x) consideremos B = {y ∈ X : A ∈ V (y)}, se verifica que x ∈ B ⊂ A y además B ∈ TV ya que si y ∈ B es A ∈ V (y) y por 5.- existe C ∈ V (y) tal que para cada z ∈ C es A ∈ V (z) y por tanto C ⊂ B y como C ∈ V (y) tenemos por 3.- que B ∈ V (y), por tanto B ∈ TV y como x ∈ B ⊂ A podemos afirmar que A ∈ Vx . Así pues Vx = V (x) y V (x) es el sistema de entornos de x para la topología T V . Finalmente si T es otra topología en X tal que para cada x ∈ X es V (x) el sistema de entornos de x tendremos que si A ∈ T es A ∈ V (x) para cada x ∈ A, pero esto significa que A ∈ TV , recíprocamente si A ∈ TV será A ∈ V (x) para cada x ∈ A pero esto significa que A ∈ T , concluimos que necesariamente T = T V . Nota 1.4.5 a) Sean (X, T ) un espacio topológico y sea Z ⊂ X es fácil probar que entonces para cada y ∈ Z el sistema de entornos de y para la topología T Z , inducida por T en Z, es {A ∩ Z : A ∈ Vy }. b) Vamos a demostrar que bajo ciertas condiciones se puede afirmar que la unión de cerrados es un cerrado. Sea (X, T ) un espacio topológico y L = {F i }i∈I una familia de subconjuntos de X. Diremos que L es localmente finita si para cada x ∈ X existen U entorno de x y J ⊂ I finito tales que U ∩ F i = ∅ para cada iS∈ I − J. Demostraremos ahora que si L = {FSi }i∈I es unaTfamilia localmente finita de cerrados entonces i∈I Fi es cerrado. En efecto, sea x ∈ X − ( i∈I Fi ) = T i∈I (X − Fi ), sean U entorno de S x y J ⊂ I, finito, tales que U ∩ Fi = ∅ si i ∈ I − J. Sea V = U ∩ ( i∈J (X − Fi )), tenemos que V ∩ ( i∈I Fi ) = ∅, pero como J es finito es V un entorno de x. Definición 1.4.6 Sean (X, T ) un espacio topológico y x ∈ X. Sea V x el sistema de entornos de x. Se dice que bx ⊂ Vx es base de entornos de x (o base local de x), si para cada A ∈ V x existe B ∈ bx tal que B ⊂ A. Ejemplo 1.4.7 1.- Sea (X, d) un espacio métrico. Para cada x ∈ X, b x = {B(x, n1 ) : n ∈ N} es base de entornos de x y también bx = {B(x, n1 ) : n ∈ N} es base de entornos de x. 2.- Sea el espacio topológico discreto (X, T D ), para cada x ∈ X es bx = {{x}} una base de entornos de x. Nota 1.4.8 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea Z ⊂ X entonces si y ∈ Z y b y es base de entornos de y, es fácil probar que entonces {A ∩ Z : A ∈ b y } es base de entornos de y en TZ , la topología inducida por T en Z. Teorema 1.4.9 a) Sea (X, T ) un espacio topológico y sea b : X → P (P (X)) una aplicación tal que para cada x ∈ X es b(x) una base de entornos de x, entonces se verifican las siguientes propiedades, para cada x ∈ X: 1.- b(x) 6= ∅ 2.- Si A ∈ b(x) entonces x ∈ A 3.- Si A, B ∈ b(x) existe C ∈ b(x) tal que C ⊂ A ∩ B 4.- Para cada A ∈ b(x) existe B ∈ b(x) tal que para cada y ∈ B existe C ∈ b(y) con C ⊂ A. b)Si X es un conjunto y b : X → P (P (X)) es una aplicación tal que b verifica 1,2,3 y 4 de a) entonces existe una única topología Tb en X tal que para cada x ∈ X es b(x) una base de entornos de x. Apuntes y notas de Topología


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Demostración a) 1,2 y 3 son sencillas de probar, veamos 4. Sea A ∈ b(x) entonces existe G abierto tal que x ∈ G ⊂ A y por tanto existe B ∈ b(x) tal que x ∈ B ⊂ G ⊂ A. Si y ∈ B será A entorno de y, por tanto existe c ∈ b(y) con C ⊂ A. b) Por medio de la aplicación b definimos la siguiente aplicación: V : X → P (P (X)) donde para cada x ∈ X es V (x) = {A ⊂ X : existe B ∈ b(x) con B ⊂ A}, es fácil comprobar que V verifica las propiedades 1,2,3,4 y 5 del teorema 1.4.4 y podemos considerar la topología TV , la única topología en X tal que para cada x ∈ X es V (x) sistema de entornos de x. Consideremos Tb = TV . Si T es otra topología en X tal que para cada x ∈ X es b(x) base de entornos de x en T , es claro que también para cada x ∈ X será V (x) sistema de entornos de x en T y por tanto T = T V .

Definición 1.4.10 Sea (X, T ) un espacio topológico. Si x ∈ X se dice que b x ⊂ Vx es una base de entornos abiertos de x si bx es una base de entornos de x tal que bx ⊂ T . Nota 1.4.11 Sea (X, T ) un espacio topológico, si para cada x ∈ X es b x base de entornos abiertos de x es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x ∈ X: 1.- b x 6= ∅. 2.- Si A ∈ bx entonces x ∈ A 3.- Si A, B ∈ bx entonces existe C ∈ bx tal que C ⊂ A ∩ B. 4.- Si A ∈ bx para cada y ∈ A existe B ∈ by tal que B ⊂ A. Además si X es un conjunto y b : X → P (P (X)) es una aplicación que verifica 1,2,3 y 4 entonces existe una única topología Tb en X tal que para cada x ∈ X es bx base de entornos abiertos de x en Tb . Para probar esta afirmación basta con que consideremos la aplicación V : X → P (P (X)) definida por V (x) = {A ⊂ X : existe B ∈ b(x) con B ⊂ A} y comprobar que V verifica las propiedades 1,2,3,4 y 5 del teorema 1.4.4, entonces tomaremos Tb = TV . Finalmente observemos que si (X, T ) es un espacio topológico y Z ⊂ X entonces si y ∈ Z y b y es base de entornos abiertos de y en (X, T ) se verifica que {A ∩ Z : A ∈ b y } es base de entornos abiertos de y en T Z , la topología inducida por T en Z. Teorema 1.4.12 Sean (X, T ) un espacio topológico y B ⊂ P (X). Entonces B es una base de T si y sólo si para cada x ∈ X es bx = {B ∈ B : x ∈ B} una base de entornos abiertos de x. Demostración Si B es una base de T y x ∈ X tenemos que para cada entorno V de x existe G ∈ T tal que x ∈ G ⊂ V y como B es base de T existe B ∈ B tal que x ∈ B ⊂ G ⊂ V y B ∈ b x . Si bx es base de entornos abiertos de x para cada x ∈ X tenemos que, si G ∈ T entonces para cada x ∈ G existe A x ∈ bx tal que x ∈ Ax ⊂ G y como B ⊂ T deducimos que B es base de T .

Ejemplo 1.4.13 En (R, Tu ) para cada x ∈ R es bx = {(x − n1 , x + n1 )} : n ∈ N} una base de entornos abiertos de x. Definición 1.4.14 Sean (X, T ) un espacio topológico, x ∈ X y S x una familia de subconjuntos de X, se dice que Sx es subbase de entornos de x (o subbase local de x) en (X, T ) si la familia de las intersecciones T finitas de Sx : { A∈M A : M ⊂ bx , M finito } es una base de entornos de x. Antonio Aizpuru Tomás

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4. SISTEMAS DE ENTORNOS. BASES Y SUBBASES DE ENTORNOS (O LOCALES)

Si Sx es subbase de entornos de x tal que Sx ⊂ T se dice que Sx es subbase de entornos abiertos de x. Nota 1.4.15 a) Sea (X, T ) un espacio topológico. Si para cada x ∈ X es S x ⊂ P (X) una subbase de entornos de x, es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x ∈ X. 1.- Si A ∈ bx entonces x ∈ A. 2.- Para cada A ∈T Sx existe {A1 , · · · , An } ⊂ Sx tal que para cada y ∈ A1 ∩ · · · ∩ An existe {B1 , · · · , Bm } ⊂ Sy con m i=1 Bi ⊂ A. Además, si X es un conjunto y S : X → P (P (X)) es una aplicación verificando 1 y 2 entonces existe una única topología T S en X tal que para cada x ∈ X es S(x) una subbase de entornos de x en (X, T S ). b) Sea (X, T ) un espacio topológico. Si para cada x ∈ X es S x ⊂ P (X) una subbase de entornos abiertos de x, es sencillo comprobar que se verifican las siguientes propiedades, para cada x ∈ X: 1.- Si A ∈ S x entonces x ∈ A 2.- Para cada A ∈ Sx y cada y ∈ A existe {A1 , · · · An } ⊂ Sy tal que A1 ∩ · · · ∩ An ⊂ A. Además, si S : X → P (P (X)) es una aplicación verificando 1 y 2 entonces existe una única topología T S en X tal que para cada x ∈ X es S(x) una subbase de entornos abiertos de x en (X, T S ). c) Sea (X, T ) un espacio topológico. Si Z ⊂ X entonces si y ∈ Z y S y es subbase de entornos de y en (X, T ) se verifica que {A ∩ Z : A ∈ Sy } es subbase de entornos de y en TZ , la topología inducida por T en Z. Si y ∈ Z y Sy es subbase de entornos abiertos de y en (X, T ) se verifica que {A ∩ Z : A ∈ S y } es subbase de entornos abiertos de y en T Z . d) Sea (X, T ) un espacio topológico. Si S es una familia de subconjuntos de X se verifica que S es subbase de T si y sólo si para cada x ∈ X tenemos que S x = {A ∈ S : x ∈ A} es una subbase de entornos abiertos de x en (X, T ). Ejemplo 1.4.16 En (R, Tu ) tenemos que para cada x ∈ R es bx = {(−∞, x + n1 ], [x − n1 , +∞) : n ∈ N} una subbase de entornos de x y bx = {(−∞, x + n1 ), (x − n1 , +∞) : n ∈ N} es una subbase de entornos abiertos de x.


CAPÍTULO 2

Puntos y subconjuntos especiales en un espacio topológico Índice del Tema 1

Principales clases de puntos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Densidad y espacios de Baire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Principales clases de puntos y subconjuntos

Sea (X, T ) un espacio topológico. Dado x ∈ X y A ⊂ X es evidente que se verifica una y sólo una de las tres siguientes alternativas. 1.- Existe V entorno de x tal que V ⊂ A, en este caso se dice que x es un punto interior de A. Al conjunto ◦

de todos los puntos interiores de A se le denota por A y también por Int(A) y se le denomina interior de A. 2.- Existe V entorno de x tal que V ⊂ X\A, en este caso se dice que x es un punto exterior de A. Al conjunto de todos los puntos exteriores de A se le denota por Ext(A) y se le denomina exterior de A. 3.- Para cada entorno V de x se verifica que V ∩ A 6= ∅ y V ∩ (X\A) 6= ∅, en este caso se dice que x es un punto frontera de A. Al conjunto de todos los puntos frontera de A se le denota por F r(A) y se le denomina frontera de A. Si x ∈ F r(A) ∩ A se dice que x es un punto borde de A. Al conjunto F r(A) ∩ A se le denota por B(A) y se le denomina borde de A o frontera interna de A. Al conjunto F r(A) ∩ (X − A) se le denota por CB(A) y se le denomina coborde de A o frontera externa de A. Se dice que x es un punto adherente de A o también un punto clausura de A si para cada entorno V de x se verifica que V ∩ A 6= ∅. Al conjunto de los puntos adherentes de A se le denota por A o por cl(A) y se denomina adherencia de A o clausura de A. Si x ∈ A es claro que una y sólo una de las siguientes alternativas es cierta: a) Para cada entorno V de x es

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1. PRINCIPALES CLASES DE PUNTOS Y SUBCONJUNTOS

V ∩ (A − {x}) 6= ∅, se dice en este caso que x es un punto de acumulación de A. Al conjunto de todos los puntos de acumulación de A se le denota por A 0 o por Ad y se le denomina conjunto derivado de A. b) Existe algún entorno V de x tal que V ∩ A = {x} se dice en este caso que x es un punto aislado de A. Al conjunto de todos los puntos aislados de A se le denota por A a . El siguiente teorema es una consecuencia evidente de todo lo anterior. Teorema 2.1.1 Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊂ X, entonces: 1. {Int(A), Ext(A), F r(A)} es una partición de X. 2. Ext(A) = Int(X − A). 3. F r(A) = B(A) ∪ CB(A) y B(A) ∩ CB(A) = ∅ 4. F r(A) = F r(X − A) = A ∩ (X − A) 5. A = Ad ∪ Aa y Ad ∩ Aa = ∅ 6. x ∈ Aa si y sólo si {x} es abierto en el espacio topológico (A, T A ) 7. A = Int(A) ∪ F r(A) = A ∪ F r(A) 8. A = A ∪ A d . 9.Int(A) = A − F r(A) = A − F r(A) 10. F r(A) = A − Int(A). Ejemplo 2.1.2 1. En (R, Tu ) si A = { n1 : n ∈ N} ∪ [2, 3) ∪ {0} entonces, Int(A) = (2, 3), F r(A) = { n1 : n ∈ N} ∪ {2, 3, 0}, Ext(A) = R − (Int(A) ∪ F r(A)), A = A ∪ {3}, A a = { n1 : n ∈ N}, Ad = A − Aa = [2, 3] ∪ {0}, B(A) = { n1 : n ∈ N} ∪ {2, 0}, CB(A) = {3} 2. Consideremos el espacio topológico discreto (X, T D ). Si A ⊂ X entonces: Int(A) = A, Ext(A) = X − A, F r(A) = ∅, A = A, Aa = A y Ad = ∅. 3. En (R, Tu ). Si A ⊂ R es finito entonces: Int(A) = ∅, Ext(A) = R − A, F r(A) = A, A = A, A a = A, Ad = ∅, B(A) = A, CB(A) = ∅.


CAPÍTULO 2. PUNTOS Y SUBCONJUNTOS ESPECIALES EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO

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Teorema 2.1.3 (propiedades elementales del interior). Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X. Entonces: 1.- Int(A) = ∪{G : G ∈ T y G ⊂ A} por tanto Int(A) es un conjunto abierto y es el mayor conjunto abierto contenido en A, esto es, si G es abierto y G ⊂ A será G ⊂ Int(A). 2.- A es abierto si y sólo si A = Int(A). 3.- Si B ⊂ A se verifica que Int(B) ⊂ Int(A). 4.- Si B ⊂ A se verifica que IntX (B) = IntA (B) ∩ IntX (A) donde IntA (B) denota el interior de B respecto del subespacio topológico (A, TA ). 5.- A es abierto si y sólo si para cada B ⊂ A es Int A (B) = IntX (B). Demostración 1. Si x ∈ Int(A) entonces existeSG x ∈ T tal S que x ∈ Gx ⊂ A y es claro que si G ∈ T y G ⊂ A entonces G ⊂ Int(A) por tanto Int(A) ⊂ x∈A Gx ⊂ {G : G ∈ T y G ⊂ A} ⊂ Int(A) así pues tenemos la igualdad que tratábamos de probar. 2. Es consecuencia de 1. 3. Si x ∈ Int(B) existe G ∈ T tal que x ∈ G ⊂ B ⊂ A por tanto Int(B) ⊂ Int(A). 4. Si x ∈ IntX (B) existe G, abierto en X, tal que x ∈ G ⊂ B. Por tanto x ∈ G ∩ A ⊂ B ∩ A = B y G ∩ A ∈ TA , así pues x ∈ IntA (B), pero como además x ∈ G ⊂ A también será x ∈ Int X (A). Por otra parte si x ∈ IntA (B) ∩ IntX (A) existirán G1 ∈ T y G2 ∈ T tales que x ∈ G1 ∩ A ⊂ B y x ∈ G2 ⊂ A, pero entonces x ∈ G1 ∩ G2 ⊂ B y será x ∈ IntX (B). 5. Si A es abierto y B ⊂ A tenemos IntX (B) = IntA (B) ∩ IntX (A) = IntA (B) ya que IntX (A) = A. Por otra parte tomando A = B deducimos que A = Int A (A) = IntX (A), por tanto A es abierto.

Teorema 2.1.4 (Propiedades características del interior) a)Sea (X, T ) un espacio topológico y consideremos la aplicación I : P (X) → P (X) definida para cada A ∈ P (X) por I(A) = Int(A). Se verifica: 1.- I(X) = X 2.- Para cada A ∈ P (X) es I(A) ⊂ A 3.- I(A∩B) = I(A)∩I(B) para cada A, B ∈ P (X) 4.- I(I(A)) = I(A) para cada A ∈ P (X). b) Sea X un conjunto e I : P (X) → P (X) una aplicación tal que verifica 1,2,3 y 4 de a), entonces existe una única topología TI en X tal que para cada A ∈ P (X) es Int(A) = I(A). Demostración a) 1 y 2 son evidentes. Si A, B ∈ P (X) tenemos que Int(A) ⊂ A, Int(B) ⊂ B por tanto Int(A)∩Int(B) ⊂ A∩B y como Int(A)∩Int(B) es abierto se verifica que Int(A)∩Int(B) ⊂ Int(A∩B). Por otra parte como A ∩ B ⊂ A y A ∩ B ⊂ B, tenemos que Int(A ∩ B) ⊂ Int(A) ∩ Int(B). Probaremos ahora 4, si A ∈ P (X) tenemos que Int(A) es abierto por tanto Int(Int(A)) = Int(A). b) Definimos TI = {A ∈ P (X) : I(A) = A} y demostraremos que T I es una topología en X. Por 1., tenemos que I(X) = X y por 2., ⊂ ∅ y por tanto I(∅) = ∅. Si {A i }i∈J es una familia de S que I(∅) S elementos que Aj = I(Aj ) = S de TI tenemos que I( S i∈J Ai ) ⊂ S i∈J Ai y para cada S j ∈ J se verifica S I[A ∩ ( A )] = I(A ) ∩ I( A ) ⊂ I( A ) por tanto A ⊂ I( A i j i∈J S i∈J i∈J i j∈J j i∈J i ) y deducimos que Sj S i I( i∈J Ai ) = i∈J Ai y por tanto i∈J Ai ∈ TI . Si A, B ∈ TI tenemos que I(A ∩ B) = I(A) ∩ I(B) = A ∩ B, así pues A ∩ B ∈ T I . Antonio Aizpuru Tomás

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Sea A ∈ P (X) y consideremos el espacio topológico (X, T I ), vamos a demostrar ahora que Int(A) = I(A). Como I(A) ⊂ A e I(I(A)) = I(A) tenemos que I(A) ∈ T I y I(A) ⊂ Int(A), por otra parte Int(A) ∈ T I , por tanto Int(A) = I(Int(A)) = I(A ∩ Int(A)) = I(A) ∩ I(Int(A)) ⊂ I(A). Si T 0 es otra topología tal que IntT 0 (A) = I(A) para cada A ∈ P (X) tenemos que: A ∈ T 0 ⇔ A = I(A) ⇔ A ∈ T y por tanto T = T 0 .

Ejemplo 2.1.5 a) Sea R con la topología usual. Tenemos que Int(Q) = Int(R − Q) = ∅, Int([a, b]) = (a, b). b)Sea R con la topología de los complementos finitos, T CF = {A ⊂ R : R − A es finito } ∪ {∅}, entonces Int((a, b)) = ∅. Observemos que en este espacio topológico se verifica que para cada A ⊂ R o bien Int(A) = ∅ o bien Int(A) = A c) Es sencillo demostrar que si (X, T ) es un espacio topológico, A ⊂ X y B ⊂ X entonces Int(A) ∪ Int(B) ⊂ Int(A ∪ B) pero la igualdad no es cierta en general. En efecto; en (R, T u ) sean A = [1, 2] y B = [2, 3], tenemos que A ∪ B = [1, 3] y Int(A ∪ B) = (1, 3), por otra parte Int(A) = (1, 2), Int(B) = (2, 3) y Int(A) ∪ Int(B) = (1, 3) − {2}. d) Si (X, T ) es un espacio topológico y {A 1 , · · · , An } es una familia finita de subconjuntos de X entonces Int(A1 ∩ · · · ∩ An ) = Int(A1 ) ∩ · · ·T∩ Int(An ), T pero si {Ai }i∈J es una familia no finita de subconjuntos de X sólo podemos afirmar que Int( i∈J Ai ) ⊂ i∈J Int(Ai ) pero la igualdad en general no es cierta. En efecto, para cada n ∈ T N el conjunto A n = R − { n1 }, tenemos que Int(An ) = An T en (R, Tu ) consideremos y n∈N Int(An ) = R − { n1 : n ∈ N} pero Int( n∈N An ) = R − ({ n1 : n ∈ N} ∪ {0}). Teorema 2.1.6 (Propiedades elementales de la clausura) T Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X, entonces: 1.- A = {C : C es cerrado y A ⊂ C}, por tanto A es un conjunto cerrado y es el menor conjunto cerrado que contiene a A, esto es, si F es cerrado y A ⊂ F entonces A ⊂ F . 2.- A es cerrado si y sólo si A = A 3.- Si B ⊂ A entonces B ⊂ A 4.Si B ⊂ A entonces clA (B) = B ∩ A donde clA (B) denota la adherencia de B en el subespacio topológico (A, TA ) 5.- A es cerrado si y sólo si clA (B) = B para cada B ⊂ A 6.- A = X − Int(X − A) es decir, A = X − Ext(A) 7.- Int(A) = X − (X − A) 8.- (X − A) = X − Int(A) 9.- Int(X − A) = X − A T Demostración 1. Sea x ∈ {C : C es cerrado y A ⊂ C} vamos a demostrar que x ∈ A. Si x ∈ / A entonces existe V entorno de x tal que V ∩ A = ∅, pero para V existe G abierto tal que x ∈ G ⊂ V y como G ∩ A = ∅ será A ⊂ X − G, pero X − G es cerrado que contiene a A y x ∈ / X − G lo que es una contradicción. Supongamos ahora que x ∈ A vamos a demostrar que para cada conjunto cerrado C tal que A ⊂ C es x ∈ C. En efecto, si fuese x ∈ X − C como V = X − C es abierto tendremos que V es entorno de x tal que V ∩ A = ∅ lo que no es posible ya que x ∈ A. 2. Es consecuencia evidente de 1). 3. Si x ∈ B entonces para cada entorno V de x es V ∩ B 6= ∅ y por tanto también es V ∩ A 6= ∅ así pues x ∈ A. 4. Consideremos B ⊂ A y x ∈ clA (B) es claro que x ∈ A y si V es entorno de x en (X, T ) tenemos que V ∩ A es entorno de x en (A, TA ) y por tanto V ∩ A ∩ B 6= ∅, así pues x ∈ B ∩ A. Por otra parte si Apuntes y notas de Topología


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x ∈ B ∩ A, consideremos un entorno U de x en (A, T A ) entonces existe V entorno de x en (X, T ) tal que U = V ∩ A, es claro que V ∩ B 6= ∅ pero observemos que U ∩ B = V ∩ A ∩ B = V ∩ B 6= ∅. 5. Si A es cerrado y B ⊂ A es B ⊂ A y por tanto cl A (B) = B ∩ A = B. Por otra parte si para cada B ⊂ A es clA (B) = B ∩ A = B, tenemos que B ⊂ A, pero entonces para B = A, deducimos que A ⊂ A y por tanto A = A lo que significa que A es cerrado.. 6. Si A ⊂ X entonces para cada x ∈ X es evidente que una de las dos siguientes afirmaciones es cierta: a) para cada entorno V de x se tiene que V ∩ A 6= ∅ es decir, x ∈ A b) existe V entorno de x tal que V ∩A = ∅, es decir, x ∈ Ext(A). Por tanto A y Ext(A) son disjuntos, X = A∪Ext(A) y A = X −Ext(A) 7. Razonando como en 6) con X − A tenemos que (X − A) y Ext(X − A) = Int(A) son disjuntos y su unión es X así pues Int(A) = X − (X − A). 8) y 9) son consecuencia de 6) y 7) cambiando A por X − A.

Teorema 2.1.7 (Propiedades características de la clausura) a) Sea (X, T ) un espacio topológico y consideremos la aplicación C : P (X) → P (X) definida para cada A ∈ P (X) por C(A) = cl(A), se verifica: 1- C(∅) = ∅; 2- para cada A ∈ P (X) es A ⊂ C(A), 3- C(A ∪ B) = C(A) ∪ C(B) para cada A, B ∈ P (X), 4- C(C(A)) = C(A) para cada A ∈ P (X). b) Sea X un conjunto y C : P (X) → P (X) una aplicación tal que verifica 1, 2, 3 y 4 de a. Entonces existe una única topología Tc en X que verifique que para cada A ∈ P (X) sea A = C(A) Demostración a) 1- y 2- son evidentes, 3- Si A, B ∈ P (X) entonces A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B por tanto A ∪ B ⊂ A ∪ B por otra parte como A ∪ B ⊂ A ∪ B y A ∪ B es cerrado será A ∪ B ⊂ A ∪ B. Finalmente si A ∈ P (X) entonces C(A) es cerrado y por tanto C(C(A)) = C(A). b) Definimos Tc = {A ⊂ X : C(X−A) = X−A} vamos a demostrar que T c es una topología en X. X ∈ Tc ya que C(X − X) = C(∅) = ∅ = X − X, también tenemos que ∅ ∈ T c ya que X = X − ∅ ⊂ C(X − ∅) por tanto C(X − ∅) = X − ∅. Si A, B ∈ Tc tenemos que C(X − (A ∩ B)) = C((X − A) ∪ (X − B)) = C(X − A) ∪ C(X − B) = (X − A) ∪ (X − B) = X − (A ∩ B). Si (Ai )i∈I es T una familia de elementos de Tc T tenemos para cada i ∈ S I que X − Ai = C(XS− Ai ) = C((X −Ai )∪( i∈I (X −AS i )) = C(X −Ai )∪C( i∈I (X −Ai )) ⊃ C(X T S S− i∈I Ai ) por tanto S X − i∈I Ai = (X − A ) ⊃ C(X − A ) ⊃ X − A así pues C(X − A ) = X − i i i i i∈I i∈I i∈I i∈I Ai y por tanto Si∈I A ∈ T . c i∈I i

Ahora demostraremos que para cada A ∈ P (X) se verifica que C(A) es cerrado en (X, T c ) o lo que es lo mismo X − C(A) ∈ Tc en efecto C(X − (X − C(A))) = C(C(A)) = C(A) = X − (X − C(A)). Por otra parte si A es cerrado tenemos que C(A) = C(X − (X − A)) = X − (X − A) = A. Si A ∈ P (X) como A ⊂ C(A) y C(A) es cerrado tenemos que A ⊂ C(A), pero al ser A cerrado tenemos que A = C(A) = C(A ∪ A) = C(A) ∪ C(A) ⊃ C(A), así pues C(A) = A para cada A ∈ P (X). Finalmente, supongamos que T es otra topología en X tal que para cada A ∈ P (X) se verifica que cl(A) = C(A) tenemos que dado A ∈ P (X) se verifica que A es cerrado en (X, T ) si y sólo si A = C(A) pero esto sucede si y sólo si A es cerrado en (X, Tc ), pero entonces tiene que verificarse que T = T c .

Antonio Aizpuru Tomás

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Ejemplo 2.1.8 1. En (R, Tu ) se verifica (a, b) = [a, b], N = N. 2. En (R, TCF ) tenemos que (a, b) = R y N = R. 3. Si (X, T ) es un espacio topológico y A, B ∈ P (X) es sencillo demostrar que A ∩ B ⊂ A ∩ B pero la igualdad no se verifica en general. En efecto: en (R, T u ) sean A = (1, 2), B = (2, 3) entonces A ∩ B = ∅ y A ∩ B = {2}. 4. Si (X, T ) es un espacio topológico y {A 1 , . . . , An } es una familia finita de subconjuntos de X se verifica S que A1 ∪S· · · ∪ An = A1 ∪ · · · ∪ An , pero si {Ai }i∈I es una familia infinita sólo podemos afirmar que i∈I Ai ⊂ i∈I Ai pero la igualdad no es cierta en general. En efecto, en (R, T u ) tenemos que S S x∈(0,1) {x} = (0, 1) pero x∈(0,1) {x} = [0, 1]. Teorema 2.1.9 (Propiedades elementales de la frontera) Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X entonces 1.- F r(A) es cerrado. 2.- A = A ∪ F r(A) 3.- Int(A) = A − F r(A) 4.- A es abierto si y sólo si A ∩ F r(A) = ∅ 5.- A es cerrado si y sólo si F r(A) ⊂ A 6.- F r(A) = ∅ si y sólo si A es un clopen Demostración 1. Es evidente ya que F r(A) = X − [Int(A) ∩ Ext(A)] o bien porque F r(A) = A ∩ (X − A). La demostración de las demás propiedades las dejamos como ejercicio.

Teorema 2.1.10 (Propiedades características de la frontera) Sea (X, T ) un espacio topológico se verifican las siguientes propiedades: 1.- F r(∅) = ∅ 2.- F r(X −A) = F r(A) para cada A ∈ P (X) 3.- Para cada A ∈ P (X) es F r(F r(A)) ⊂ F r(A) 4.- Para cada A, B ∈ P (X) es A ∩ B ∩ F r(A ∩ B) = A ∩ B ∩ [F r(A) ∪ F r(B)] Demostración 1. F r(∅) = ∅ ∩ X = ∅ 2. es evidente 3. F r(F r(A)) = F r(A) ∩ (X − F r(A) ⊂ F r(A) 4. A ∩ B ∩ [F r(A) ∪ F r(B)] = A ∩ B ∩ [(A ∩ (X − A)) ∪ (B ∩ (X − B))] = [A ∩ B ∩ A ∩ (X − A)] ∪ [A ∩ B ∩ B ∩ (X − B)] = [A ∩ B ∩ (X − A)] ∪ [A ∩ B ∩ (X − B)] = A ∩ B ∩ [(X − A) ∪ (X − B)] = A ∩ B ∩ [(X − A ∩ B)] = (A ∩ B) ∩ [(A ∩ B)] ∩ (X − (A ∩ B)) = A ∩ B ∩ F r(A ∩ B) Nota 2.1.11 Si X es un conjunto y F : P (X) → P (X) es una aplicación que verifica las propiedades 1, 2, 3 y 4 del teorema anterior entonces existe una única topología T F en X tal que para cada A ∈ P (X) es F r(A) = F (A); Omitimos la demostración pero sugerimos que el primer paso para realizarla es considerar TF = {A ⊂ X : A ∩ F (A) = ∅} y probar que TF es una topología en X. Ejemplo 2.1.12 1. Consideremos un espacio topológico discreto (X, T D ) entonces para cada A ⊂ X tenemos que tanto A como X − A son cerrados y por tanto F r(A) = ∅ Apuntes y notas de Topología


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2. En (R, Tu ) tenemos que F r(Q) = R y F r(N) = N, F r((a, b)) = F r([a, b]) = {a, b} 3. En (R, Tu ) sean A = (1, 4) B = (2, 3), tenemos que B ⊂ A y que F r(A), yF r(B) no tiene ninguna relación ya que F r(B) = {2, 3} y F r(A) = {1, 4} 4. Es sencillo comprobar que F r(Int(A)) ⊂ F r(A) y F r(A) ⊂ F r(A). Hay ejemplos que ponen de manifiesto que el contenido puede ser incluso estricto. En efecto, en (R, T u ) consideremos A = Q tenemos que F r(Int(A)) = F r(∅) = ∅, F r(A) = R y F r(A) = F r(R) = ∅. Observemos que también es F r(A) = R y F r(F r(A)) = ∅, así pues en general no se verifica que F r(A) este contenida en F r(F r(A)). Teorema 2.1.13 (Propiedades elementales del derivado) Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X entonces: 1.- A = A ∪ Ad

2.- A es cerrado si y sólo si A ⊃ Ad

3.- Si B ⊂ A entonces B d ⊂ Ad

Demostración Probaremos sólo 2. Si A es cerrado como A d ⊂ A y A = A tenemos que Ad ⊂ A. Si Ad ⊂ A como A = A ∪ Ad deducimos que A = A. Teorema 2.1.14 (Propiedades características del derivado) Sea (X, T ) un espacio topológico entonces se verifican las siguientes propiedades: 1.- ∅d = ∅ 2.- Para cada x ∈ X es x 6∈ {x}d Para cada A ∈ P (X) es (Ad )d ⊂ A ∪ Ad

3.- (A ∪ B)d = Ad ∪ B d para cada A, B ∈ P (X)

4.-

Demostración 1 y 2 son elementales. 3. Como A ⊂ A ∪ B y B ⊂ A ∪ B tenemos que A d ⊂ (A ∪ B)d y B d ⊂ (A ∪ B)d y por tanto Ad ∪ B d ⊂ (A ∪ B)d . Por otra parte si x ∈ (A ∪ B)d y sucediese que x 6∈ Ad ∪ B d existirán V1 y V2 entornos de x tales que V1 ∩ (A − {x}) = ∅ y V2 ∩ (B − {x}) = ∅. Consideremos V = V1 ∩ V2 tenemos que V es entorno de x y V ∩ (A ∪ B − {x}) = ∅ lo que contradice que x ∈ (A ∪ B)d . 4. (Ad )d ⊂ cl(Ad ) ⊂ cl(cl(A)) = cl(A) = A ∪ Ad . Nota 2.1.15 a) Sea X un conjunto y d : P (X) → P (X) una aplicación que verifique las cuatro propiedades del teorema anterior entonces existe una única topología T d en X tal que para cada A ⊂ X sea Ad = d(A). Para realizar la demostración sugerimos que se considere la aplicación C : P (X) → P (X) definida para A ∈ P (X) por C(A) = A ∪ d(A) y que se compruebe que C verifica las propiedades del teorema 2.1.7 b) A estas alturas ya hemos observado que existen diversos procedimientos para determinar en un conjunto X una topología. Recordemos algunos de los hasta ahora vistos. 1.- Por medio de la familia T de los conjuntos abiertos. 2.- Por medio de la familia C de los conjuntos cerrados. 3.- Por medio de una base B de abiertos. Antonio Aizpuru Tomás

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2. DENSIDAD Y ESPACIOS DE BAIRE

4.- Por medio de una subbase S de abiertos. 5.- Determinando para cada x ∈ X el sistema V x de los entornos de x. 6.- Determinando para cada x ∈ X una familia S x que sea base de entornos de x. 7.- Determinando para cada x ∈ X una familia S x que sea subbase de entornos de x. 8.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto interior de A. 9.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto clausura de A. La correspondiente aplicación C : P (X) → P (X) es conocida con el nombre de operador Kuratowski. 10.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto frontera de A. 11.- Determinando para cada A ⊂ X el conjunto derivado de A. Creo que ciertamente estamos agotados pero considérese que todavía no se han agotado las posibilidades de determinar una topología y que sólo hemos considerado las más importantes. Esperamos no volver a torturar al lector con otras nuevas posibilidades. Definición 2.1.16 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X. Se dice que x ∈ X es un punto de w-acumulación de A en (X, T ) si para cada entorno V de x se verifica que V ∩ A es un conjunto infinito. Al conjunto de todos los puntos de w- acumulación de A se le denota por A dw , es evidente que Adw ⊂ Ad y que si Adw 6= ∅ entonces A es infinito. Teorema 2.1.17 Sea (X, T ) un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.-Para cada x ∈ X se verifica que {x} es cerrado. 2.- Para cada A ⊂ X es A d = Adw . Demostración Supongamos que para cada x ∈ X se verifica que {x} es cerrado y consideremos A ⊂ X / Adw entonces existe un entorno V de x tal que V ∩ A = {a 1 , . . . , an } pero por hipótesis y x ∈ Ad , si x ∈ tenemos que B = {a1 , . . . , an } − {x} es cerrado y por tanto C = V ∩ (X − B) es un entorno de x pero C ∩ (A − {x}) = ∅ lo cual contradice que x ∈ A d . Supongamos ahora que para cada A ⊂ X es A d = Adw . Si x ∈ X será {x}d = {x}dw = ∅ por tanto {x} = {x} y {x} es pues cerrado. Ejemplo 2.1.18 Si (X, d) es un espacio métrico entonces para cada A ⊂ X es A dw = Ad .

2

Densidad y espacios de Baire

Definición 2.2.1 Sea (X, T ) un espacio topológico, se dice que A ⊂ X es un conjunto denso en X si A = X. Teorema 2.2.2 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X entonces A es denso en X si y sólo si para cada conjunto abierto y no vacío B se verifica que A ∩ B 6= ∅. Apuntes y notas de Topología


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Demostración Supongamos que si A es denso en X y que B es abierto en X con B 6= ∅. Consideremos x ∈ B como x ∈ A será B ∩ A 6= ∅. Recíprocamente si para cada abierto B con B 6= ∅ es B ∩ A 6= ∅ entonces tenemos que si x ∈ X y V es cualquier entorno de x se verifica que V ∩ A 6= ∅ y por tanto x ∈ A, así pues deducimos que A = X.

Ejemplo 2.2.3 En (R, Tu ) tenemos que tanto Q como R − Q son densos en R. Teorema 2.2.4 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X un conjunto denso en X, entonces para cada conjunto B abierto y no vacío se verifica que A ∩ B es denso en (B, T B ). Demostración Todo conjunto abierto de (B, T B ) es de la forma C ∩ B donde C es abierto de (X, T ), si C ∩ B es distinto del vacío entonces como C ∩ B es abierto en (X, T ) tenemos que (C ∩ B) ∩ (A ∩ B) = A ∩ (C ∩ B) 6= ∅. Definición 2.2.5 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X. Se dice que: 1.- A es fronterizo si Int(A) = ∅. 2.- A es denso en ninguna parte o diseminado o raro si A es fronterizo es decir Int(A) = ∅. 3.- A es denso en si mismo si A ⊂ Ad es decir A no tiene puntos aislados. 4.- A es perfecto si A es cerrado y denso en si mismo es decir si A = A d . 5.- A es disperso si A no contiene subconjuntos densos en si mismo es decir si para cualquier B ⊂ A con B 6= ∅ existe x ∈ B y un entorno V de x tal que V ∩ B = {x}. S 6.- A es de primera categoría si A = n∈N An donde An es diseminado para cada n ∈ N. 7.- A es de segunda categoría si A no es de primera categoría.

Nota 2.2.6 Resumiremos en esta observación solo parte de los resultados más destacados que tienen relación con las definiciones anteriormente realizadas. Sea pues (X, T ) un espacio topológico: 1.- Si A ⊂ X, entonces A es diseminado si y sólo si ExtA es denso.

Demostración: Si A es diseminado entonces ExtA = X − A = X − Int(A) = X. Si Ext(A) es denso en X tenemos que Int(A) = X − (X − A) = X − (Ext(A)) = ∅.

2.- Es evidente que todo conjunto diseminado es fronterizo pero el recíproco en S general no es cierto. En (R, Tu ) tenemos que Q es fronterizo pero no es diseminado. Además Q = q∈Q {q}, donde para cada q ∈ Q es {q} diseminado, así pues Q es unión numerable de conjuntos diseminados y por tanto Q es de primera categoría. 3.- A es fronterizo si y sólo si X − A es denso en X. En efecto: esto se deduce de que (X − A) = X − Int(A) y de que Int(A) = X − (X − A). Antonio Aizpuru Tomás

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4.- Si A es fronterizo y B diseminado entonces A ∪ B es fronterizo.

Demostración: X − B = (X − A) − B ⊂ [(X − A) − B] = [X − (A ∪ B)] y tomando de nuevo clausuras deducimos que [X − (A ∪ B)] ⊃ X − B = X.

Observemos que en (R, Tu ) tanto Q como I = R − Q son fronterizos pero su unión no es ni fronterizo ni diseminado.

5.- Si A y B son diseminados entonces A ∪ B es diseminado. En efecto: A ∪ B = A ∪ B, pero A es fronterizo y B es diseminado por tanto A ∪ B es fronterizo y A ∪ B diseminado. 6.- Es evidente que para un conjunto cerrado los conceptos de fronterizo y diseminado son equivalentes. Supongamos que A es un conjunto abierto, demostraremos que entonces F r(A) es fronterizo. En efecto: Int(F r(A)) = Int(A ∩ (X − A)) = Int(A) ∩ Int(X − A) = Int(A) ∩ Int[(X − Int(A))] = Int(A) ∩ Int(X − A) = Int(A) ∩ (X − A) = ∅.

Si B es un conjunto cerrado entonces también es F r(B) un conjunto fronterizo. En efecto: Int(F r(B)) = Int(B ∩ (X − B)) = Int(B) ∩ Int(X − B) = (X − (X − B)) ∩ Int(X − B) = ∅.

Observaremos que en (R, Tu ) tenemos que F r(Q) no es fronterizo ni, por tanto, tampoco diseminado. S 7.- Si {Ai }i∈I es una familia de conjuntos densos en sí mismo entonces S S i∈I Ai es denso en si mismo. En efecto. Supongamos que a ∈ i∈I SAi fuese un punto aislado de i∈I Ai tenemos entonces que existe un entorno V de a tal que V ∩ ( i∈I Ai ) = {a}, sea j ∈ I tal que a ∈ Aj , entonces V ∩ Aj = {a} lo que contradice el que Aj sea denso en si mismo.

8.- Si A es denso en si mismo entonces A es perfecto. En efecto, tenemos que A ⊂ A y por tanto d d Ad ⊂ A ⊂ A entonces como A ⊂ Ad y A = A ∪ Ad se verifica que A = Ad ⊂ A ⊂ A y será d A=A . 9.- Si (X, T ) es un espacio topológico entonces existen un cerrado perfecto P y un abierto disperso D tales que P ∩ D = ∅ y P ∪ D = X.

Demostración: Sea L la unión de todos los subconjuntos de X que son denso en sí mismo, tenemos que L es denso en si mismo y por tanto P = L es perfecto, consideremos D = X − P tenemos que D es abierto pero también es disperso ya que no existe subconjunto de D que sea denso en si mismo. Observemos que si P1 ⊂ X es perfecto y D1 ⊂ X es abierto disperso y se verifica que X = P 1 ∪ D1 y P1 ∩ D1 = ∅ entonces P = P1 y D = D1 . En efecto: por construcción de P tenemos que P 1 ⊂ P , si P ∩ D1 6= ∅ como D1 es disperso existe x ∈ D1 ∩ P y un entorno V de x tal que V ∩ (D1 ∩ P ) = {x} pero como V ∩ D1 es entorno de x, tenemos que x será un punto aislado de P lo que contradice que P sea perfecto. Así pues se verifica que P 1 ⊂ P y P ∩ D1 = ∅ de donde se deduce que P = P1 y D = D1 .

Teorema 2.2.7 Si (X, T ) es un espacio topológico las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) La intersección de una familia numerable de abiertos densos en X es un conjunto denso en X. b) Cada abierto A distinto del vacío es de segunda categoría. c) La unión de una familia numerable de cerrados fronterizos es un conjunto fronterizo. d) Si A ⊂ X es de primera categoría entonces X − A es denso en X. Demostración a ⇒ b Sea A un abierto en X y supongamos que A es de primera S S categoría entonces A = n∈N Bn donde para cada n ∈ N es Bn diseminado, tenemos que A ⊂ n∈N Bn y X − A ⊃ Apuntes y notas de Topología


− Bn ), como para cada n ∈ N es X − Bn denso en X, por hipótesis, también será denso en X y por tanto X − A = X − A = X y por tanto será A = ∅. T

n∈N (X

T

n∈N (X

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− Bn )

S b ⇒ c Sea {Bn }n∈N una familia numerable de cerrados fronterizos tenemos que A = n∈N Bn es de primera categoría y es evidente que todo subconjunto de un conjunto de primera categoría es también de primera categoría, por tanto A no contiene ningún conjunto abierto ya que, por hipótesis, estos son de segunda categoría, por tanto Int(A) = ∅ S S c ⇒ d Supongamos que A = n∈N Bn donde Bn es diseminado para cada n ∈ N, entonces A ⊂ n∈N B n y por hipótesis será ∅ = Int(A) = X − (X − A) y por tanto X − A = X. d ⇒T a Sea {AS n }n∈N una familia numerable de conjuntos abiertos que son densos en X, tenemos que X − n∈N An = n∈N (X − An ) pero para cada n ∈ N es T Int(X − An ) = X − An = ∅ y por tanto X − An es un cerrado fronterizo T para cada n ∈ TN, así pues X − n∈N An es de primera categoría y por hipótesis tenemos que X − (X − n∈N An ) = n∈N An es un conjunto denso en X. Diremos que un espacio topológico (X, T ) es de Baire si (X, T ) posee cualquiera de las anteriores propiedades a, b, c y d. Estos espacios son de especial interés para el Análisis Matemático razón por la cual serán, más adelante, nuevamente estudiados. Ejemplo 2.2.8 a) Sea X = C00 el conjunto de las sucesiones (an )n∈N de números reales que son eventualmente nulas, es decir, existe n 0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , n ∈ N, es an = 0. Si (an )n∈N , (bn )n∈N ∈ X definimos d((an )n∈N , (bn )n∈N ) = sup{|an − bn | : n ∈ N}, es fácil comprobar que d es una métrica en X. Consideremos el espacio métrico (X, d) y para cada m ∈ N se F m = {(an )n∈N : (an )n∈N ∈ X y an = 0 si n > m, n ∈ N}. Demostraremos que F m es cerrado; en efecto, si (bn )n∈N ∈ X −Fm tenemos que existe k > m, k ∈ N tal que b k 6= 0, sea r = |b2k | entonces es fácil comprobar que B((bn )n∈N , r) ⊂ X −Fm . Ahora demostraremos que Int(Fm ) = ∅, en efecto, si Int(Fm ) 6= ∅ entonces  an si n ≤ m t existe B((an )n∈N , t) ⊂ Fm , consideremos la sucesión (bn )n∈N definida por bn = si n = m + 1  2 0 si n > n + 1 tenemos que (bn )n∈N ∈ B((an )n∈N , t) peroS(bn )n∈N ∈ / Fm lo que es una manifiesta contradicción, así pues Int(Fm ) = ∅. Finalmente observemos que m∈N Fm = X y por tanto (X, d) no puede ser una espacio de Baire. b) Sea (X, T ) un espacio topológico y A ⊂ X, consideremos (A, T A ) entonces si B ⊂ A es diseminado en (A, TA ) se verifica que B es diseminado en (X, T ). En efecto: si fuese IntX (B) 6= ∅ existirá G abierto no vacío de X tal que G ⊂ B, por tanto G ∩ B 6= ∅ y por tanto G ∩ A ⊂ B ∩ A = clA (B) y como G ∩ A es un abierto no vacío de (A, T A ) deducimos que IntA (clA (B)) 6= ∅ lo que contradice que B sea diseminado en (A, T A ). S Si ahora fuese B ⊂ A un conjunto de primera categoría en (A, T A ) tendremos que B = n∈N Cn donde para cada n ∈ N es Cn diseminado en (A, TA ), por tanto también para cada n ∈ N será C n diseminado en (X, T ) y así pues B será de primera categoría en (X, T ). Si A ⊂ X es abierto y (X, T ) es de Baire entonces (A, T A ) es de Baire. En efecto, si existe B ⊂ A abierto no vacío en (A, TA ) y B es de primera categoría en (A, TA ) tendremos que B será de primera categoría en (X, T ) pero como A es abierto en X deducimos que B es abierto no vació de X y B es de primera categoría en X lo que contradice que X sea Baire. Antonio Aizpuru Tomás

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Así pues, la propiedad Baire es una propiedad hereditaria a abiertos, pero finalmente observemos que la propiedad Baire no es hereditaria. En efecto: más adelante probaremos que (R, T ), donde T = T u , es de Baire pero es claro que (Q, TQ ) no es de Baire.


CAPÍTULO 3

Propiedades elementales de numerabilidad y separación Índice del Tema 1 2

Propiedades de numerabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propiedades de separación de puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Propiedades de numerabilidad

Sea X un conjunto, consideremos un subconjunto A de X S y una familia {A i }i∈I de subconjuntos de X. Se dice que {Ai }i∈I es un recubrimiento de A si A ⊂ i∈I Ai . Si {Ai }i∈J , J ⊂ I, es una subfamilia de {Ai }i∈I que también es recubrimiento de A entonces diremos que {A i }i∈J es un subrecubrimiento del recubrimiento {Ai }i∈I de A. Si (X, T ) es un espacio topológico por recubrimiento abierto de A ⊂ X se entenderá un recubrimiento cuyos elementos son conjuntos abiertos de (X, T ). En algunas ocasiones dejaremos de emplear la notación (X, T ), cuando no haya lugar a confusión posible, para designar a un espacio topológico, por tanto si X es un conjunto y decimos que X es un espacio topológico entenderemos que el conjunto X está dotado de cierta topología T , y si decimos que A es subespacio topológico de X, entenderemos que A ⊂ X y que A está dotado de la topología relativa T A , la topología inducida por T en A. Estudiaremos y relacionaremos las propiedades que a continuación se definen, en cada una de estas propiedades se hace referencia al concepto de numerabilidad razón por la cual son conocidas con el nombre de propiedades de numerabilidad. Definición 3.1.1 Sea X un espacio topológico: 1.- Se dice que X verifica el primer axioma de numerabilidad (IAN) si para cada x ∈ X existe b x base numerable de entornos de x.

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1. PROPIEDADES DE NUMERABILIDAD

2.- Se dice que X cumple el segundo axioma de numerabilidad (IIAN) si existe una base numerable para la topología de X. 3.- Se dice que X es de Lindelöf si todo recubrimiento abierto de X admite un subrecubrimiento numerable. 4.- Se dice que X es separable si existe un conjunto numerable que sea denso en X. Ejemplo 3.1.2 1. Todo espacio seudométrico (X, d) es IAN. En efecto, para cada x ∈ X basta considerar bx = {B(x, n1 ) : n ∈ N}. 2. El espacio topológico discreto (X, T D ) es IAN ya que para cada x ∈ X es bx = {{x}} base de entornos de x. (X, TD ) es IIAN si y sólo si X es numerable. 1 3. (Rn , Tu ) es IIAN. En efecto consideremos B= {B(q, m ) : q = (q1 , . . . , qn ) n ∈ Q y m, n ∈ N}. Es claro que B es numerable. Sea A abierto en R n y a = (a1 , . . . , an ) ∈ A entonces 1 < 2r y sea {q1 , . . . , qn } ⊂ Q tal que para existe r ∈ R, r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A. Sea m ∈ N tal que m 1 1 cada i ∈ {1, . . . , n} sea ai < qi < ai + mn . Consideremos B(q, m ) donde q = (q1 , . . . , qn ), tenemos que 1 1 1 1 2 2 a ∈ B(q, m ) ya que [(a1 − q1 ) + · · · + (an − qn ) ] 2 ≤ |a1 − q1 | + · · · + |an − qn | < m y si b ∈ B(q, m ) es 1 1 1 d2 (b, a) ≤ d2 (b, q) + d2 (q, a) < m + m < r así pues a ∈ B(q, m ) ⊂ B(a, r) ⊂ A y podemos afirmar que B es base de (Rn , Tu ).

4. (R, TCF ) no es IAN. En efecto, probaremos que si X es un conjunto no numerable entonces (X, T CF ) no es IAN. Supongamos que x ∈ X y que bx = {An : n ∈ N} es una base numerable S de entornos de x, tenemos que X − An es finito para cada n ∈ N y por tanto existe y ∈ X tal que y ∈ / n∈N (X − An ) y x 6= y, entonces A = X − {y} es entorno de x y por tanto existirá m ∈ N tal que x ∈ A m ⊂ X − {y} así pues y ∈ X − Am lo que constituye una contradicción. 5. R con la topología TCN de los complementos numerables no es IAN.

Nota 3.1.3 a) Sea X un espacio topológico y sea {U n : T n ∈ N} una base numerable de entornos de x ∈ X. Consideremos para cada n ∈ N el conjunto V n = ni=1 Ui , entonces es sencillo comprobar que {Vn : n ∈ N} es base de entornos de x y si i, j ∈ N, i < j entonces V j ⊂ Vi . b) Sea X un espacio topológico y sea {U n : n ∈ N} una base numerable de entornos de x ∈ X, para cada n ∈ N sea An abierto tal que x ∈ An ⊂ Un , T tenemos que {An : n ∈ N} es base numerable de entornos abiertos de x y si para cada n ∈ N es Bn = ni=1 Ai tenemos que {Bn : n ∈ N} es base numerable de entornos abiertos de x con la propiedad de que si i, j ∈ N y i < j entonces B j ⊂ Bi . c) Si una familia de conjuntos es numerable entonces la correspondiente familia de las intersecciones finitas es también numerable, por tanto podemos afirmar que si X es un espacio topológico entonces: i) X es IAN si y sólo si para cada x ∈ X existe subbase numerable de entornos de x. ii) X es IIAN si y sólo si existe subbase numerable de abiertos. Teorema 3.1.4 Si X es un espacio topológico que es IIAN entonces X es IAN y separable. Además, si A ⊂ X entonces para cada recubrimiento abierto de A existe algún subrecubrimiento numerable y en particular tenemos también que X es Lindelöf. Apuntes y notas de Topología

CAPÍTULO 3. PROPIEDADES ELEMENTALES DE NUMERABILIDAD Y SEPARACIÓN

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Demostración Sea B base numerable de abiertos de X que podemos denotar por B= {A n : n ∈ N}. Para cada x ∈ X tenemos que bx = {An : x ∈ An } es base numerable de entornos de x y por tanto X es IAN. Para cada n ∈ N tal que An 6= φ escogemos xn ∈ An y consideremos M = {xn : n ∈ N}. Si B es un conjunto abierto y no vacío tenemos que existe algún j ∈ N tal que A j ⊂ B y por tanto también xj ∈ B y B ∩ M 6= φ. Finalmente, si A ⊂ X y {Bi }i∈I es un recubrimiento abierto de A ⊂ X. Consideremos, para cada n ∈ N, Ln = {Bi : i ∈ I y An ⊂ Bi }, claramente no todos los Ln pueden ser vacíos y si N, escogemos en Ln un elemento que denotamos por B(n) . Sea J = {i ∈ N : Li 6= φ}, Ln 6= φ, n ∈ S si x ∈ A ⊂ i∈I Bi entonces existe i ∈ I tal que x ∈ Bi pero como B es base existe m ∈ N tal que xS ∈ Am ⊂ Bi , así pues Lm 6= φ y m ∈ J, por tanto tenemos que x ∈ B(m) , esto prueba que A ⊂ m∈J B(m) . Teorema 3.1.5 Si (X, T ) es un espacio topológico que es IIAN y B es una base de T entonces existe B 0 ⊂ B tal que B 0 es base numerable de T . Demostración Sea S B0 base numerable de T que denotamos por B 0 = {An : n ∈ N}; para cada n ∈ N tenemos que An = {B : B ⊂ A y B ∈ B} así pues {B : B ⊂ An y B ∈ B} es un recubrimiento abierto para de An y por tanto existe S subrecubrimiento numerable 0que denotamos por {B nm : m ∈ N}, por tanto 0 cada n ∈ N es An = m∈N Bnm es evidente que B ={Bnm : n ∈ N, m ∈ N} ⊂ B y que B es base numerable de T .

Nota 3.1.6 Si P es una propiedad relativa a espacios topológicos diremos que P es una propiedad hereditaria si para cada espacio topológico (X, T ) que verifica P y cada A ⊂ X tenemos que (A, T A ) también verifica P , si esto sucede para cada A ⊂ X que sea abierto se dice que P es una propiedad hereditaria para abiertos y si sucede para cada A ⊂ X que sea cerrado se dice que P es una propiedad hereditaria para cerrados. Es sencillo comprobar que las propiedades IAN y IIAN son hereditarias, pero más adelante comprobaremos que no sucede lo mismo con la propiedad separable y la propiedad Lindelöf. Ejemplo 3.1.7 1. En R, consideremos B= {[a, b) : a ∈ R, b ∈ R, a < b} es sencillo comprobar que B es base de una topología que denotaremos por T S . El espacio topológico (R, TS ) es conocido con el nombre de la recta de Sorgenfrey.Se verifica que (R, T S ) es IAN ya que dado x ∈ R tenemos que bx = {[x, q) : q ∈ Q, q > x} es base numerable de entornos de x, además es evidente que Q es denso en R para la topología TS , por tanto (R, TS ) es también separable. Demostraremos ahora que (R, T S ) es también de Lindelöf. En efecto: sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de R, para cada x ∈ R existe i x ∈ I y εx ∈ R, εx > 0, tal que x ∈ Ix = [x, x + εx ) ⊂ Aix , tenemos que {Ix : x ∈ R} es un recubrimiento abierto de R. Para cada x ∈ R escogemos un racional en Ix que denotamos por qx , observemos que si a, b ∈ R y a < b entonces si Ia ∩ Ib 6= ∅ se verifica que b ∈ Ia . Sea M = {y ∈ R : y ∈ / Ix − {x} para cada x ∈ R} y consideremos la aplicación ϕ : M → Q definida por ϕ(y) = q y para cada y ∈ M , tenemos que ϕ es inyectiva y por tanto M es numerable. Sea L = {y ∈ R : existe x ∈ R de modo que y ∈ I x − {x}} es claro que M ∪ L = R y en R con la topología usual tenemos que {I x −{x} : x ∈ R} es un recubrimiento abierto de L, pero como (R, T u ) es IIAN sabemos que existirá numerable de L S que denotaremos S S por {I xn − {xn } : n ∈ N}, S subrecubrimiento entonces R = M ∪ L ⊂ ( x∈M Ix ) ∪ [ n∈N (Ixn − {xn })] ⊂ ( x∈M Aix ) ∪ ( n∈N Aixn ) ⊂ R Veamos ahora que (R, TS ) no es IIAN. Si (R, TS ) fuese IIAN existirá B 0 base numerable de TS tal que B 0 ⊂ B, denotamos B 0 = {[xn , yn ) : n ∈ N, xn , yn ∈ R, xn < yn } y sea x ∈ R tal que x ∈ / {xn : n ∈ N}, 0 tenemos que x ∈ [x, x+1) y [x, x+1) ∈ TS , así pues existe [xm , ym ) ∈ B tal que x ∈ [xm , ym ) ⊂ [x, x+1) pero entonces tiene que ser x = xm lo cual es una contradicción. Antonio Aizpuru Tomás

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1. PROPIEDADES DE NUMERABILIDAD

2. Sea X un conjunto y TD la topología discreta en X, es sencillo demostrar que (X, T D ) es Lindelöf si y sólo si X es numerable y (X, TD ) es separable si y sólo si X es numerable. 3. Consideremos R, es sencillo comprobar que T = {A ⊂ R : 0 ∈ / A} ∪ {R} es una topología en R y es evidente que (R, T ) es un espacio topológico Lindelöf, pero si B = R − {0} tenemos que (B, T B ) no es Lindelöf ya que es fácil comprobar que T B es la topología discreta en B y B no es numerable. 4. En R2 consideremos B= {[a, b) × [c, d) : {a, b, c, d} ⊂ R, a < b, c < d} no tiene dificultad el comprobar que B es base de una topología en R2 que denotaremos por T . El espacio topológico (R 2 , T ) es separable ya que Q × Q = R2 . Sea Y = {(y, −y) : y ∈ R} tenemos para cada y ∈ R que ([y, y+1)×[−y, −y+1))∩Y = {(y, −y)} y por tanto {(y, −y)} es un abierto en (Y, T Y ), así pues TY es la topología discreta en Y y como Y no es numerable tenemos que (Y, TY ) no es separable mientras que (R2 , T ) si que lo es. El ejemplo 3 y el ejemplo 4 sugieren la siguiente definición. Definición 3.1.8 Sea (X, T ) un espacio topológico. a) Diremos que (X, T ) es hereditariamente Lindelöf si para cada Y ⊂ X se verifica que (Y, T Y ) es Lindelöf. b) Diremos que (X, T ) es hereditariamente separable si para cada Y ⊂ X se verifica que (Y, T Y ) es separable. Es evidente que si (X, T ) es hereditariamente Lindelöf entonces es Lindelöf y si (X, T ) es hereditariamente separable entonces es separable. Teorema 3.1.9 Sea X un espacio topológico. Si X es IIAN entonces X es hereditariamente Lindelöf y hereditariamente separable. Demostración Es evidente si recordamos que el IIAN es una propiedad hereditaria y que IIAN implica Lindelöf y separable.

Teorema 3.1.10 Sea (X, T ) un espacio topológico. Si Y ⊂ X entonces (Y, T Y ) es Lindelöf si y sólo si cada recubrimiento abierto de Y con abierto de X tiene subrecubrimiento numerable. S Demostración Si (Y, TY ) es Lindelöf y {Ai }i∈I ⊂ T es un recubrimiento de Y tenemos que ( i∈I Ai ) ∩ Y = Y pero {Ai ∩ Y : i S ∈ I} es un recubrimiento de Y conSelementos de T Y por lo que existe J ⊂ I tal que J es numerable y i∈J (Ai ∩ Y ) = Y pero entonces i∈J Ai ⊃ Y . Supongamos ahora que cada recubrimiento abierto de Y tiene subrecubrimiento numerable, vamos a demostrar que (Y, T Y ) es Lindelöf, S sea {Bi }i∈I una familia de elementos de TY tal que i∈I Bi = Y , para cada i ∈ I existe S Ai ∈ T tal que S Bi = Ai ∩ Y pero entonces A ⊃ Y y por hipótesis existe J ⊂ I numerable tal que i∈I i S i∈J Ai ⊃ Y y S entonces también es i∈J (Ai ∩ Y ) = i∈J Bi = Y Apuntes y notas de Topología


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Teorema 3.1.11 Sea (X, T ) un espacio topológico Lindelöf. Si A ⊂ X es cerrado entonces (A, T A ) es Lindelöf Demostración Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de A, entonces {A i }i∈I ∪ {X − A} es un recubrimiento abierto de X y, por hipótesis, existe J ⊂ I numerable tal que {A i }i∈J ∪ {X − A} es recubrimiento de X, es claro que entonces {Ai }i∈J es recubrimiento de A.

Teorema 3.1.12 Sea (X, T ) un espacio topológico. Entonces (X, T ) es hereditariamente Lindelôf si y sólo si para cada abierto A se verifica que (A, T A ) es Lindelöf. Demostración Supongamos que para cada abierto A se verifica que (A, T A ) es Lindelöf vamos S a demostrar que entonces (X, T )Ses hereditariamente Lindelöf. Sea B ⊂ X y sea {A i }i∈I ⊂ T tal que i∈I Ai ⊃ B, consideremos A = i∈I Ai tenemos que S S A ∈ T y por tanto (A, TA ) es Lindelöf, así pues existe J ⊂ I numerable tal que B ⊂ A = i∈I Ai = i∈J Ai . Teorema 3.1.13 Sea (X, T ) un espacio topológico separable entonces para cada A ⊂ X que sea abierto se verifica que (A, TA ) es separable. Demostración Sea B ⊂ X un conjunto numerable tal que B = X, sea A ⊂ X un conjunto abierto, entonces para cada D ⊂ A que sea abierto en (A, T A ) tenemos que D es abierto en (X, T ) y por tanto D ∩ B = D ∩ (A ∩ B) 6= ∅, esto prueba que B ∩ A es denso en (A, T A ) y es claro que B ∩ A es numerable.

Teorema 3.1.14 Sea X un espacio seudometrizable entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) X es IIAN b) X es Lindelöf c) X es separable. Demostración Sea d una seudométrica en X que induce la topología de X. a ⇒ b es consecuencia de que esta implicación es cierta para cualquier espacio topológico, como ya se demostró antes. b ⇒ c Para cada n ∈ N tenemos que Ln = {B(x; n1 ) : x ∈ X} es un recubrimiento abierto de X, por tanto existe un subrecubrimiento numerable que denotamos por K n = {B(xnm ; n1 ) : m ∈ N}, tenemos que para S cada n ∈ N será m∈N B(xnm ; n1 ) = X. Sea K = {xmn : m ∈ N, n ∈ N} tenemos que K es numerable, vamos a demostrar que K = X. En efecto: Ssea A ⊂ X un conjunto abierto y no vacío, existe pues x ∈ A y n ∈ N tal que B(x, n1 ) ⊂ A pero como m∈N B(xnm , n1 ) = X existe m ∈ N tal que x ∈ B(xnm , n1 ) entonces xnm ∈ B(x, n1 ) ⊂ A así pues K ∩ A 6= ∅, por tanto K = X. 1 c ⇒ a Sea K = {xn : n ∈ N} un conjunto numerable y denso en X, consideremos B= {B(x n , m ):n∈ N, m ∈ N}, veamos que B es base de T . En efecto, sean A un conjunto abierto y x ∈ A, entonces existe 1 1 1 1 m ∈ N tal que B(x, m ) ⊂ A, sea xn ∈ B(x, 2m ) ∩ K, entonces x ∈ B(xn , 2m ) ⊂ B(x, m ) ⊂ A.

Una sencilla consecuencia de este teorema es que la recta de Sorgenfrey no es seudometrizable. Antonio Aizpuru Tomás

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2. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN DE PUNTOS

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Propiedades de separación de puntos

Definición 3.2.1 Se dice que un espacio topológico X es T 0 si para cada x, y ∈ X con x 6= y se verifica que o bien existe Ux entorno de x con y ∈ / Ux o bien existe Uy entorno de y con x ∈ / Uy . Ejemplo 3.2.2 1.- Sea X un conjunto con al menos dos elementos a ∈ X, b ∈ X y consideremos T = {A ⊂ X : {a, b} ⊂ A} ∪ {∅} es sencillo comprobar que T es una topología en X y que el espacio topológico (X, T ) no es T0 . 2.- Todo espacio metrizable es T0 3.- Si (X, d) es un espacio seudométrico y existen x, y ∈ X tales que x 6= y y d(x, y) = 0 entonces (X, d) no es T0 . 4.- Es evidente que si (X, T ) es T0 entonces para cada A ⊂ X tenemos que (A, T A ) es T0 . Teorema 3.2.3 Sea X un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) X es T 0 b) Para cada x, y ∈ X con x 6= y se verifica que {x} 6= {y} c) Para cada x ∈ X es {x} d unión de cerrados. Demostración a ⇒ b Sean x, y ∈ X con x 6= y, podemos suponer que existe U x entorno de x tal que y∈ / Ux , por tanto ∈ / {y} pero como x ∈ {x} será {x} 6= {y} S S b ⇒ c Probaremos que {x}d = y∈{x}d {y} para lo cual es suficiente probar que y∈{x}d {y} ⊂ {x}d .

Tomemos y ∈ {x}d = {x} \ {x}, es claro que {y} ⊂ {x}. Además y 6= x, entonces por (b) se deduce que x∈ / {y}. Por tanto {y} ⊂ {x} \ {x} = {x} d .

c ⇒ a Sean x, y ∈ X con x 6= y, tenemos las posibilidades y ∈ / {x} d o bien y ∈ {x}d . Si y ∈ / {x}d también será cierto que y ∈ / {x}, por tantoSexistirá V y entorno de y tal que x ∈ / Vy . En el caso de que y ∈ {x}d tenemos por hipótesis que {x}d = i∈I Ci donde {Ci }i∈I es una familia de cerrados, por tanto existe i ∈ I tal que y ∈ Ci ⊂ {x}d y tenemos que V = X − Ci es un entorno de x tal que y ∈ / V.

Teorema 3.2.4 Sea X un conjunto y d una seudométrica en X entonces d es métrica en X si y sólo si (X, d) es T0 . Demostración Una de las implicaciones es evidente. Supongamos que (X, d) es T 0 . Sean x, y ∈ X con x 6= y y supongamos que por ejemplo se verifica que existe r > 0, r ∈ R tal que y ∈ / B(x, r) tenemos por tanto que d(x, y) ≥ r > 0.

Definición 3.2.5 Se dice que un espacio topológico X es T D si para cada x ∈ X se verifica que {x}d es cerrado. Observemos que si X es TD entonces X es T0 . Apuntes y notas de Topología


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Teorema 3.2.6 Dado un espacio topológico X las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.- X es T D 2.- Para cada A ⊂ X se verifica que Ad es cerrado. 3.- Para cada x ∈ X existen B abierto y C cerrado tales que {x} = B ∩ C. Demostración 1 ⇒ 2 Sea A ⊂ X y sea x ∈ Ad como Ad ⊂ A = A = A ∪ Ad tenemos que x ∈ A ∪ Ad , supongamos que x ∈ / Ad entonces existe un entorno abierto W x de x tal que Wx ∩ A = {x}, como {x}d es cerrado y x ∈ / {x}d tenemos que Ux = Wx ∩ (X − {x}d ) es entorno abierto de x. Veamos que d d Wx ∩ A ⊂ {x} , en efecto si z ∈ Wx ∩ Ad tenemos primero que z 6= x(x ∈ / Ad ) y después que para cada entorno abierto Wz de z será Wx ∩ Wz entorno de z y por tanto como z ∈ Ad será Wx ∩ Wz ∩ A 6= ∅, deducimos pues que x ∈ Wz y por tanto z ∈ {x}d . Tenemos que Ux ∩ Ad ⊂ Wx ∩ Ad ⊂ {x}d pero por otra parte Ux ∩ {x}d = ∅ así que deducimos que Ux ∩ Ad = ∅ lo cual es una contradicción ya que x ∈ A d , así pues podemos afirmar que si x ∈ Ad es x ∈ Ad y por tanto Ad es cerrado. 2 ⇒ 3 Si x ∈ X tenemos que x ∈ B = X − {x}d y B es abierto, por otra parte C = {x} es cerrado y es claro que {x} = B ∩ C. 3 ⇒ 1 Si x ∈ X tenemos por hipótesis que existen B abierto y C cerrado tales que B ∩ C = {x}, así pues {x}d = {x} − {x} = {x} − (B ∩ C) = {x} − (B ∩ C ∩ {x} = ( como {x} ⊂ C) = {x} − (B ∩ {x}) = {x} ∩ (X − B) y observemos que este conjunto es cerrado.

Ejemplo 3.2.7 1.- Si (X, d) es un espacio métrico entonces tiene la propiedad T D . 2.- Sea R y sea T = {(a, +∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R} es fácil comprobar que T es una topología en R y que (R, T ) es T0 ya que si x, y ∈ R y x < y podemos considerar V = (c, +∞) donde c ∈ (x, y), tenemos que V es entorno de y pero x ∈ / V , observemos que para cada x ∈ R es {x} d = (−∞, x) que no es cerrado, por tanto (R, T ) no es TD . 3.- Si un espacio topológico (X, T ) es T D entonces para cada A ⊂ X se verifica que (A, T A ) es también TD .

Definición 3.2.8 Se dice que un espacio topológico X es T 1 si para cada x ∈ X es {x}d = ∅. Observemos que si X es T1 también será TD y por tanto también T0 . Teorema 3.2.9 Sea X un espacio topológico, tenemos que las T siguientes afirmaciones son equivalentes: 1.- X es T1 2.- {x} es cerrado para cada x ∈ X. 3.- {x} = U ∈Vx U para cada x ∈ X, donde Vx es el sistema de entornos de x. 4.- Para cada x, y ∈ X con x 6= y existen U x entorno de x y Uy entorno de y tales que x ∈ / Uy , y ∈ / U x. 5.- Para cada A ⊂ X se verifica que si a ∈ A d entonces a es punto de w-acumulación de A, es decir podemos afirmar que A d = Adw . Demostración 1 ⇒ 2 Si x ∈ X, entonces {x} = {x} ∪ {x} d = {x} 2 ⇒ 3 Sea x ∈ X paraTcada y ∈ X con y 6= x tenemos que U = X − {y} es entorno de x, ya que {y} es T cerrado, por tanto y ∈ / U ∈Vx U y deducimos que U ∈Vx U = {x}. Antonio Aizpuru Tomás

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2. PROPIEDADES DE SEPARACIÓN DE PUNTOS

T T 3 ⇒ 4 Sean x, y ∈ X con x 6= y, tenemos, por hipótesis, que y ∈ / U ∈Vx U y x ∈ / U ∈Vy U , por tanto existen U1 entorno de x y U2 entorno de y tales que y ∈ / U1 y x ∈ / U2 . 4 ⇒ 5 Sean A ⊂ X y a ∈ Ad , supongamos que a no es de w-acumulación de A, entonces existirá un entorno Ua de a tal que U ∩ (A − {a}) = {a1 , . . . , an }, entonces para cada i ∈ {1, . . . , n} existe un entorno Ui de a tal que ai ∈ / Ui . Sea U = Ua ∩ U1 ∩ · · · ∩ Un , tenemos que U es entorno de a y U ∩ (A − {a}) = ∅ lo que contradice que a ∈ Ad . 5 ⇒ 1 Es evidente. Ejemplo 3.2.10 1. Todo espacio metrizable es T 1 . 2. Consideremos en R la familia de subconjuntos T = {[a, +∞) : a ∈ R} ∪ {(a, +∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R} es fácil comprobar que T es topología en R. Si a ∈ R tenemos que (−∞, a] es cerrado y [a, +∞) es abierto, como {a} = (−∞, a] ∩ [a, +∞) deducimos que (R, T ) es T D , pero observemos que {a}d = (−∞, a) y por tanto (R, T ) no es T1 3. Si (X, T ) es un espacio topológico T 1 y A ⊂ X se verifica que (A, TA ) es T1 . La siguiente propiedad de separación es la más frecuente y apreciada en topología. Definición 3.2.11 Sea X un espacio topológico se dice que X es T 2 o de Hausdorff si para cada x, y ∈ X con x 6= y existen Ux entorno de x y Uy entorno de y tales que Ux ∩ Uy = ∅. Es evidente que si X es T2 también será T1 . Ejemplo 3.2.12 1. Sea R con la topología T CF , de los complementos finitos, entonces (R, T CF ) es T1 ya / V 1 , y ∈ V1 , y ∈ / que si x, y ∈ R y x 6= y entonces V1 = R − {x} y V2 = R − {y} son abiertos además x ∈ V2 , x ∈ V2 . Pero observemos que (R, TCF ) no es T2 . 2. Todo espacio métrico es T2 . 3. Si (X, T ) es un espacio topológico T 2 y A ⊂ X se verifica que (A, TA ) es T2 . Definición 3.2.13 Sea X un espacio topológico se dice que X es T 2a o de Urysohn si para cada x, y ∈ X existen U1 entorno de x y U2 entorno de y tales que U1 ∩ U2 = ∅. Es evidente que si X es T2a también será T2 . Ejemplo 3.2.14 1. Todo espacio métrico es T 2a . 2. (Urysohn-1924): Consideremos X = (Z × N) ∪ {(0, −1), (0, 0)} y sea B= {{(n, m)} : (n, m) ∈ N × N} ∪ {{(−n, m)} : (n, m) ∈ N × N} ∪ {Anp : (n, p) ∈ N × N} ∪ {Bn : n ∈ N} ∪ {Cn : n ∈ N}, donde: S S Anp = {(0, n)} ∪ ( j≥p {(n, j)}) ∪ ( j≥p {(−n, j)}) S S Bn = {(0, 0)} ∪ [ j∈N ( i≥n {(i, j)})] S S Cn = {(0, −1)} ∪ [ j∈N ( i≥n {(−i, j)})] Apuntes y notas de Topología


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si tuviésemos paciencia podríamos comprobar que B es base de una topología T en X y que (X, T ) es tienen que existir n, m ∈ N tales que T2 . Si U es entorno de (0, 0) y V lo es de (0, −1) S forzosamente S U ⊃ Bn y V ⊃ Cm y tendremos U ⊃ Bn ⊃ j∈N ( i≥n+m {(i, j)}) ⊃ {(0, n + m)}, y V ⊃ Cm ⊃ S S j∈N ( i≥n+m {(−i, j)}) ⊃ {(0, n + m)}, por tanto U ∩ V 6= ∅ y podemos pues afirmar que (X, T ) no es T2a . 3. Si (X, T ) es un espacio topológico T 2a y A ⊂ X se verifica que (A, TA ) es T2a .


CAPÍTULO 4

Convergencia y continuidad en espacios topológicos Índice del Tema 1

Convergencia de sucesiones. Continuidad.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2

Redes y convergencia de redes en un espacio topológico . . . . . . . . . . . . .

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3

Filtros y convergencia de filtros en un espacio topológico . . . . . . . . . . . . .

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4

Filtros maximales y redes universales

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

5

Propiedades de las aplicaciones continuas. Homeomorfismos . . . . . . . . . . .

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6

Espacios métricos completos. Complección de un espacio métrico . . . . . . . .

64

1

Convergencia de sucesiones. Continuidad.

Suponemos que el lector familiarizado con el concepto de sucesión y con el concepto de sucesión convergente de números reales. Si (X, d) es un espacio métrico y (xn )n∈N es una sucesión en X se dice que la sucesión (x n )n∈N es convergente a x ∈ X o que x es un punto límite de (x n )n∈N si para cada r > 0, r ∈ R, existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , n ∈ N, es xn ∈ B(x, r), es sencillo probar que si (x n )n∈N es convergente a x ∈ X y a y ∈ X entonces x = y, en esta situación escribiremos lim n∈N (xn ) = x. Observemos que la conocida convergencia de sucesiones de números reales no es más que un caso particular de convergencia de sucesión en un espacio métrico cuando en R se considera la métrica usual. Trasladaremos el concepto de convergencia de sucesión de un espacio métrico a un espacio topológico cualesquiera pero, poco a poco, empezaremos a comprender que no todas las propiedades de la convergencia son como en los espacios métricos. Definición 4.1.1 Sea X un espacio topológico y sea (a n )n∈N una sucesión en X, diremos que (an )n∈N es convergente a a ∈ X o bien que a ∈ X es un punto límite de (a n )n∈N si para cada entorno V de a existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , n ∈ N, se tiene que an ∈ V . Denotamos por limn∈N (an ) o bien

CAPÍTULO 4. CONVERGENCIA Y CONTINUIDAD EN ESPACIOS TOPOLÓGICOS

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por lim(an ) al conjunto {a ∈ X : (an )n∈N es convergente a a} si este conjunto está formado por un solo elemento a ∈ X, también pondremos lim(a n ) = a. Puede suceder que lim(an ) = ∅ como sucede en (R, Tu ) con la sucesión ((−1)n )n∈N , pero también puede suceder que lim(an ) tenga más de un punto e incluso que sea todo el espacio X. Ejemplo 4.1.2 1.- Consideremos en un conjunto X la topología discreta T D . Sea (an )n∈N una sucesión en X y a ∈ X, si a ∈ lim(an ), como {a} es entorno de a, tendremos que existe n 0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , n ∈ N, es an = a, es decir la sucesión (an ) es una sucesión de las denominadas "triviales". Si la sucesión (an )n∈N es tal que an 6= am , si n, m ∈ N y n 6= m deducimos que lim(an ) = ∅. 2.- Sea (R, TCF ) y consideremos la sucesión ( n1 )n∈N , sean a ∈ R y V entorno de a, como R − V es finito tenemos que existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , n ∈ N, es n1 ∈ V y por tanto deducimos que a ∈ lim( n1 ) y que lim( n1 ) = R. 3.- Observemos que si (X, d) es un espacio métrico y en X se considera la topología T d inducida por la métrica d entonces afirmar que una sucesión (x n )n∈N ⊂ X es convergente a x ∈ X en el espacio métrico (X, d) es lo mismo que afirmar que (xn )n∈N es convergente a x en el espacio topológico (X, T d ). 4.- Podría pensarse que los espacios topológicos donde la convergencia no se comporta como en R son algo artificiales pero la realidad no es así, a muchos espacios de gran interés en topología y análisis les sucede esta circunstancia. Por ejemplo si (X, d) es un espacio seudométrico y x, y ∈ X son tales que d(x, y) = 0 entonces para cada sucesión (a n )n∈N de X se verifica que x ∈ lim(an ) si y sólo si y ∈ lim(an ). Supongamos R 1 que X = {f : [0, 1] → R : f es integrable Riemann} y que d es la seudométrica definida por d(f, g) = 0 |f (t)−g(t)|dt, consideremos la función f (x) = x 2 y para cada n ∈ N sea fn la función definida en [0, 1] por fn (x) = x2 + n1 . Se verifica que f ∈ lim(fn ), pero si g es la función definida por g(x) = x 2 si x 6= 12 y g( 12 ) = 0 también tenemos que g ∈ lim(fn ), es fácil ahora comprender que el conjunto lim(f n ) es infinito. 5.- Sean X un espacio topológico, (a n )n∈N una sucesión en X y a ∈ X. Es sencillo demostrar que a ∈ lim(an ) si y sólo si existe una subbase Sa , de entornos de a, tal que para cada V ∈ S a existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 , n ∈ N, es an ∈ V . 6.- Si (X, d) es un espacio seudométrico y (a n )n∈N es una sucesión en X entonces se verifica que a ∈ lim(a n ) si y sólo si la sucesión de números reales (d(a n , a)) es convergente a cero. Si ahora es (b n )n∈N otra sucesión en X y b ∈ lim(bn ) es sencillo comprobar que limn→∞ d(an , bn ) = d(a, b). Suponemos que el lector conoce el concepto de aplicación continua en el caso real. Sean (X, d), (Y, d 0 ) dos espacios métricos y f : X → Y una aplicación, se dice que f es continua en x ∈ X si para cada ε > 0, ε ∈ R, existe δ > 0, δ ∈ R, tal que si x 0 ∈ X y d(x, x0 ) < δ entonces d0 (f (x), f (x0 )) < ε. Sea A ⊂ R y f : A → R una aplicación, sea a ∈ A, es importante que se comprenda que lo que se entiende en análisis de una variable por el hecho de que f sea continua en a ∈ A es lo mismo que afirmar que f es continua en a ∈ A considerando a f como la aplicación definida entre los espacios métricos (A, d) y (R, d) donde en ambos conjuntos d está definida por d(x, y) = |x − y|. En la próxima definición extenderemos el concepto de continuidad al caso de aplicaciones definidas entre espacios topológicos cualesquiera.


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1. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. CONTINUIDAD.

Definición 4.1.3 Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Se dice que f es continua en x ∈ X si para cada entorno V de f (x) existe un entorno U de x tal que f (U ) ⊂ V , observemos que es equivalente afirmar que f −1 (V ) es entorno de x para cada entorno V de f (x). Si f es continua en cada x ∈ X diremos que f es continua en X. Teorema 4.1.4 Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación, entonces f es continua en X si y sólo si para cada A ⊂ Y que sea abierto se verifica que f −1 (A) es abierto. Demostración Supongamos que f es continua en X y que A ⊂ Y es un conjunto abierto, entonces si a ∈ f −1 (A) se verifica que A es entorno de f (a) y por tanto, como f es continua en a, tenemos que f −1 (A) es entorno de a. Así pues f −1 (A) es abierto. Supongamos ahora que se verifica que f −1 (A) es un conjunto abierto para cada abierto A ⊂ Y y sea x ∈ X, entonces si V es entorno de f (x) tenemos que existe un conjunto A abierto en Y tal que f (x) ∈ A ⊂ V pero como f −1 (A) es abierto y x ∈ f −1 (A) ⊂ f −1 (V ) tenemos que f −1 (V ) es entorno de x.

Nota 4.1.5 1.- Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Es fácil demostrar que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) f es continua en X. b) Existe B base de abiertos en Y tal que para cada B ∈ B es f −1 (B) un abierto en X. c) Existe S subbase de abiertos en Y tal que para cada B ∈ S es f −1 (B) un abierto de X. d) Para cada conjunto C ⊂ Y que sea cerrado en Y se verifica que f −1 (C) es cerrado en X. 2.- Sean (X, d) y (Y, d0 ) dos espacios métricos y f : X → Y una aplicación, afirmar que f es continua en x ∈ X considerando a X e Y como espacios métricos es lo mismo que afirmar que f es continua en x ∈ X considerando los espacios topológicos (X, T d ) y (X, Td0 ) donde Td y Td0 son las correspondientes topologías inducidas por las métricas d y d0 . 3.- Sean (X, d), (Y, d0 ) dos espacios métricos y f : X → Y una aplicación, se dice que f es uniformemente continua en A ⊂ X si para cada ε > 0, ε ∈ R, existe δ > 0, δ ∈ R, tal que si x, x 0 ∈ A y d(x, x0 ) < δ entonces d0 (f (x), f (x0 )) < ε. Observemos que si f es uniformemente continua en A ⊂ X entonces f es continua en cada x ∈ A pero el recíproco no es en general cierto. En efecto, si X = R y d la distancia usual tenemos que si f : X → X está definida por f (x) = x1 si x 6= 0 y f (0) = 1 entonces f es continua en cada x ∈ (0, 1), pero f no es uniformemente continua en (0, 1). Observemos finalmente que el concepto de continuidad uniforme es un concepto que en principio no es trasladable a espacios topológicos cualesquiera. Ejemplo 4.1.6 1.- Sea X un espacio topológico y sea I : X → X la aplicación identidad, I(x) = x para cada x ∈ X, es evidente que I es continua, sin embargo si T 1 y T2 son dos topologías distintas en X tendremos que I : (X, T1 ) → (X, T2 ) no es necesariamente continua y lo será si y sólo si T 2 ⊂ T1 . Consideremos en R la topología usual T u y la topología discreta TD y consideremos la aplicación identidad: I(R, Tu ) → (R, TD ) es fácil comprobar que I no es continua en cada x ∈ R, ya que si x ∈ R tenemos que en (R, TD ) es {x} entorno de x pero I −1 ({x}) = {x} no es entorno de x en (R, Tu ). 2.- Si X, Y son dos espacios topológicos y f : X → Y es una aplicación constante entonces f es continua. 3.- Si X, Y, Z son tres espacios topológicos y f : X → Y, g : Y → Z son aplicaciones tales que f es continua en x ∈ X y g es continua en f (x) entonces la correspondiente aplicación compuesta g ◦ f es Apuntes y notas de Topología


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continua en x ∈ X. En efecto: Si W es entorno de g(f (x)), por la continuidad de g, tenemos que g −1 (W ) es un entorno de f (x), pero por la continuidad de f , tenemos que f −1 (g −1 (W )) = (g ◦ f )−1 (W ) es un entorno de x. Deducimos por tanto que si las aplicaciones f y g son continuas entonces g ◦ f es también continua. 4.- Sea X un espacio topológico y consideremos R con la topología usual. Sean f, g : X → R dos aplicaciones que son continuas en a ∈ R entonces se verifica que: a) f + g es continua en a b) f · g es continua en a. c) fg es continua en a si g(a) 6= 0. La demostración la dejamos como ejercicio, tenemos que entender que f + g y f · g están definidas en X por (f + g)(x) = f (x) + g(x), (f · g)(x) = f (x) · g(x) y que la aplicación fg hay que considerarla definida en el subespacio topológico A = {x ∈ X : g(x) 6= 0}. Finalizaremos planteando la siguiente pregunta. ¿Las afirmaciones anteriores serían ciertas si en R consideramos una topología distinta de la usual? El siguiente teorema pondrá de manifiesto que la convergencia de sucesiones juega un papel fundamental, en algunos tipos de espacios topológicos, para el estudio de propiedades muy importantes. Teorema 4.1.7 Sea X un espacio topológico que es IAN y sea A ⊂ X 1.- Si a ∈ X entonces a ∈ A si y sólo si existe (a n )n∈N ⊂ A tal que a ∈ lim(an ). 2.- Si a ∈ X entonces a ∈ Ad si y sólo si existe (an )n∈N ⊂ A − {a} tal que a ∈ lim(an ) 3.- A es cerrado si y sólo si para cada (a n )n∈N ⊂ A se verifica que limn∈N (an ) ⊂ A. 4.- A es abierto si y sólo si para cada (a n )n∈N ⊂ X tal que lim(an ) ∩ A 6= ∅ se verifica que existe n0 ∈ N de manera que {an : n ≥ n0 } ⊂ A. 5.- Sea Y otro espacio topológico y f : X → Y una aplicación. Si x ∈ X entonces f es continua en x si y sólo si para cada (xn )n∈N ⊂ X tal que x ∈ lim(xn ) se verifica que f (x) ∈ lim(f (xn )). Demostración 1.- Supongamos que a ∈ A y sea {U n , n ∈ N} una base numerable de entornos de a tal que si i < j; i, j ∈ N, es Ui > Uj . Para cada n ∈ N consideremos an ∈ Un ∩ A. Probemos que a ∈ lim an . En efecto: si U es un entorno de a, existe m ∈ N tal que a ∈ U m ⊂ U , por tanto an ∈ Um ⊂ U para cada n ≥ m. Supongamos ahora que (an )n∈N ⊂ A y que a ∈ lim(an ) entonces es evidente que para cada entorno U de a se verifica que U ∩ A 6= ∅ y por tanto a ∈ A. 2.- Supongamos que a ∈ Ad y sea {Un : n ∈ N} una base numerable de entornos de a, para cada n ∈ N, como U1 ∩ · · · ∩ Un ∩ (A − {a}) 6= ∅, escogemos an ∈ U1 ∩ · · · ∩ Un ∩ (A − {a}), si U en un entorno de a, tenemos que existe m ∈ N tal que a ∈ Um ⊂ U pero entonces para cada n ≥ m, n ∈ N, será a n ∈ Um ⊂ U . Si (an ) ⊂ A − {a} es tal que a ∈ lim(an ) es evidente que a ∈ Ad . 3.- Sea A cerrado y (an )n∈N ⊂ A. Si a ∈ lim(an ) tenemos que a ∈ A, por tanto, como A es cerrado, será a ∈ A. Supongamos que para cada (an )n∈N ⊂ A es lim(an ) ⊂ A, sea a ∈ A tenemos que existe (an ) ⊂ A tal que a ∈ lim(an ) pero entonces será a ∈ A, por tanto A = A y A es cerrado. 4.- Sea A un abierto y (an )n∈N ⊂ X tal que lim(an ) ∩ A 6= ∅, sea a ∈ lim(an ) ∩ A entonces como A es entorno de a existe n0 ∈ N, tal que para cada n ≥ n0 , n ∈ N, es an ∈ A. Antonio Aizpuru Tomás

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1. CONVERGENCIA DE SUCESIONES. CONTINUIDAD.

Recíprocamente, sea A un conjunto que tiene la propiedad de que para cada sucesión (a n ) ⊂ X tal que lim(an ) ∩ A 6= ∅ se verifica que existe n0 ∈ N de modo que {an : n ≥ n0 , n ∈ N} ⊂ A, vamos a demostrar que X − A es cerrado, si (an )n∈N ⊂ X − A tendrá que verificarse que lim(a n ) ⊂ X − A ya que no es posible que sea lim(an ) ∩ A 6= ∅. 5.- Supongamos que f : X → Y es continua en x ∈ X y sea (x n )n∈N ⊂ X sucesión tal que x ∈ lim(xn ) demostraremos que f (x) ∈ limn∈N (f (xn )). En efecto si V es entorno de f (x) tenemos que f −1 (V ) será entorno de x, por tanto existe n0 ∈ N tal que para cada n ≥ n0 , n ∈ N, es xn ∈ f −1 (V ) y por tanto f (xn ) ∈ V . Recíprocamente supongamos que para cada sucesión (x n )n∈N ⊂ X tal que x ∈ lim(xn ) se verifica que f (x) ∈ lim(f (xn )), probaremos que entonces f es continua en x, supongamos que f no fuese continua en x y sea {Un : n ∈ N} una base numerable de entornos de x que podemos suponer que verifica que Ui ⊂ Uj si j, i ∈ N y j < i, como f no es continua en x tenemos que existe V entorno de f (x) tal que f −1 (V ) no es entorno de x pero esto implica que para cada n ∈ N existe x n ∈ Un tal que xn ∈ / f −1 (V ) es decir f (xn ) ∈ / V , es sencillo comprobar que x ∈ lim(x n ) pero que f (x) ∈ / lim(f (xn )) lo que contradice nuestra hipótesis.

Nota 4.1.8 Observemos que en cada uno de los apartados del teorema anterior sólo una de las implicaciones hace uso de la propiedad IAN y la otra implicación es cierta en cualquier espacio topológico. Definición 4.1.9 Sea X un conjunto y (x n )n∈N , (yn )n∈N dos sucesiones en X, diremos que (yn )n∈N es una subsucesión de (xn )n∈N si existe una aplicación ϕ : N → N estrictamente creciente (si i, j ∈ N, i < j es ϕ(i) < ϕ(j)) tal que para cada k ∈ N es y k = xϕ(k) . A la subsucesión (yn )n∈N la denotaremos también por (xnk )k∈N donde nk = ϕ(k) para cada k ∈ N. En ocasiones una subsucesión de (xn )n∈N se denota también por (xi )i∈M donde M es un subconjunto infinito de N, esta subsucesión puede interpretarse como (x nk )k∈N donde nk es el k-ésimo elemento de M en el orden de N. Definición 4.1.10 Sea X un espacio topológico y sea (x n )n∈N un sucesión en X. Diremos que x ∈ X es un punto de aglomeración de (xn )n∈N si para cada entorno U de x y cada n ∈ N existe m ≥ n, m ∈ N, tal que xm ∈ U . Al conjunto de los puntos de aglomeración de (x n )n∈N lo designaremos por Agl(xn )n∈N o bien por Agl(xn ), es evidente que lim(xn ) ⊂ Agl(xn ). Teorema 4.1.11 Sean X un espacio topológico, x ∈ X y (x n )n∈N una sucesión en X. a) x ∈ limn∈N (xn ) si y sólo si para cada subsucesión (x nk ) de (xn )n∈N se verifica que x ∈ limk∈N (xnk ) b) si (xnk )k es subsucesión de (xn )n entonces: lim(xnk ) ⊂ Agl(xnk ) ⊂ Agl(xn ). Demostración a)Sea (xnk )k∈N una subsucesión de (xn )n∈N si x ∈ limn∈N (xn ) y U es un entorno de x tenemos que existe n0 ∈ N tal que {xn : n ≥ n0 , n ∈ N} ⊂ U , pero existe k0 ∈ N tal que nk0 ≥ n0 y entonces si k ≥ k0 , k ∈ N, será nk ≥ n0 y por tanto {xnk : k ≥ k0 , k ∈ N} ⊂ U . b) La primera afirmación es un caso particular de la segunda, consideremos x ∈ Agl(x nk ) y sean U un entorno de x y n ∈ N tenemos que existe k ∈ N tal que n k ≥ n pero para nk existe p > k tal que xnp ∈ U Apuntes y notas de Topología


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ya que x ∈ Agl(xnk ), así pues si m = np es m > n y xm ∈ U por lo que podemos afirmar que x ∈ Agl(x n ).

Teorema 4.1.12 Sea X un espacio topológico IAN y sea (x n )n∈N una sucesión en X. Si x ∈ X entonces x ∈ Agl(xn ) si y sólo si existe (xnk )k∈N subsucesión de (xn )n∈N tal que x ∈ limk∈N (xnk ). Demostración Supongamos que x ∈ Agl(x n ) y sea {Vn : n ∈ N} base numerable de entornos de x tal que Vi ⊂ Vj si i > j, i, j ∈ N. Para V1 y n = 1 existe n1 > 1 tal que xn1 ∈ V1 . Para V2 y n = n1 existe n2 > n1 tal que xn2 ∈ V2 , así pues procediendo inductivamente obtenemos (x nk )k∈N subsucesión de (xn )n∈N tal que para cada k ∈ N es xnk ∈ Vk , es sencillo comprobar que x ∈ lim k∈N (xnk ). Nota 4.1.13 En muchos textos el concepto de subsucesión se define como sigue. Se dice que (yn )n∈N es un subsucesión de (xn )n∈N si para cada n0 ∈ N existe m0 ∈ N tal que para cada m ≥ m0 , m ∈ N, existe n ≥ n0 , n ∈ N, con ym = xn . Este concepto de subsucesión, engloba al anterior concepto de subsucesión como caso particular, pero no es equivalente. No es difícil comprobar que con este concepto de subsucesión son también ciertos los dos últimos teoremas. Este último concepto será el que se utilice a partir de ahora. Sean (xn )n∈N , (yn )n∈N , (zn )n∈N tres sucesiones en un conjunto X. Si (z n )n∈N es subsucesión de (yn )n∈N y (yn )n∈N es subsucesión de (xn )n∈N entonces (zn )n∈N es subsucesión de (xn )n∈N . Si (yn )n∈N es subsucesión de (xn )n∈N no tiene porqué verificarse que el recorrido de (y n )n∈N esté contenido en el recorrido de (xn )n∈N , aunque sí que se verifica siempre que la diferencia entre el recorrido de la subsucesión y el recorrido de la sucesión es un conjunto finito. Por ejemplo si en una sucesión modificamos los cinco primeros términos con elementos que no son de su recorrido y no alteramos los restantes, obtenemos una subsucesión cuyo recorrido no está contenido en el recorrido de la sucesión. Observemos que si (y n )n∈N es una subsucesión de (xn )n∈N entonces para cada n0 ∈ N existe m0 ∈ N tal que para cada m ≥ m0 , m ∈ N, existe n ≥ n0 , n ∈ N con xn = ym y si consideramos ahora la sucesión (z n )n∈N definida por zn = yn+m0 para cada n ∈ N, tenemos que (zn )n∈N es subsucesión de (yn )n∈N y por tanto también lo es de (xn )n∈N , pero ahora el recorrido de (zn )n∈N está contenido en el recorrido de (x n )n∈N . Definición 4.1.14 Sea X un conjunto y sea (x n )n∈N una sucesión en X. Si A ⊂ X diremos que (x n )n∈N está eventualmente en A, si existe n 0 ∈ N, tal que {xn : n ≥ n0 , n ∈ N} ⊂ A. Diremos que (xn )n∈N está frecuentemente en A si para cada n ∈ N existe m > n, m ∈ N tal que x m ∈ A. Con esta nomenclatura tenemos que si X es un espacio topológico y (x n )n∈N es una sucesión en X entonces podemos afirmar que: x ∈ lim(x n ) si y sólo si (xn )n∈N está eventualmente en cada entorno U de x, x ∈ Agl(xn ) si y sólo si (xn )n∈N está frecuentemente en cada entorno U de x. Nota 4.1.15 Conjuntos secuencialmente cerrados y aplicaciones secuencialmente continuas. Hemos observado como en los espacios IAN (por ejemplo los seudométricos) la convergencia de sucesiones es un eficaz instrumento para el conocimiento y caracterización de propiedades topológicas, en lo que sigue pondremos de manifiesto que el buen comportamiento de las sucesiones no es patrimonio exclusivo de los espacios IAN. Antonio Aizpuru Tomás

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2. REDES Y CONVERGENCIA DE REDES EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO

Sea X un espacio topológico y sea A ⊂ X, se dice que A es secuencialmente cerrado si para cada (an )n∈N ⊂ A se verifica que lim(an ) ⊂ A, es evidente que si A es cerrado entonces A es secuencialmente cerrado pero el recíproco en general no es cierto. En efecto, consideremos (R, T CN ). Sea (an )n∈N una sucesión tal que a ∈ lim(an ) tenemos que B = (R − {an : n ∈ N) ∪ {a} es entorno abierto de a y por tanto existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 es an ∈ B por tanto an = a0 si n ≥ n0 , n ∈ N. Es evidente que cualquier subconjunto de R será secuencialmente cerrado. Si A = (1, 2) entonces A no es cerrado pero sí que es secuencialmente cerrado. Además observemos que 1 ∈ A y no existe (a n )n∈N ⊂ A tal que 1 ∈ lim(an ). Si X es IAN y A ⊂ X entonces se verifica que A es cerrado si y sólo si A es secuencialmente cerrado. Si un espacio topológico X tiene esta propiedad diremos que X es un espacio topológico secuencial. Es sencillo demostrar que un espacio topológico X es secuencial si y sólo si verifica la siguiente propiedad: A ⊂ X es abierto si y sólo si para cada sucesión (x n )n∈N ⊂ X con lim(xn ) ∩ A 6= ∅ se tiene que (xn )n∈N está eventualmente en A. Si X es un espacio topológico IAN entonces X es secuencial pero por ejemplo (R, TCF ) no es IAN pero si es secuencial. En efecto, si A ⊂ R no es cerrado tenemos que A es infinito y A 6= R, sea (yn )n∈N una sucesión de elementos de A distintos dos a dos, es evidente que para x ∈ R − A es x ∈ lim(yn ) y por tanto A no es secuencialmente cerrado. Sean X e Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación, se dice que f es secuencialmente continua en x ∈ X si para cada sucesión (x n ) en X tal que x ∈ lim(xn ) se verifica que f (x) ∈ lim(f (xn )). Si f fuese secuencialmente continua en cada x ∈ X diremos que f es secuencialmente continua en X y esto sucede si y sólo si para cada B ⊂ Y que sea secuencialmente cerrado se verifica que f −1 (B) es secuencialmente cerrado en X. Es evidente que si f es continua entonces f es secuencialmente continua pero el recíproco no es cierto en general, por ejemplo, la aplicación identidad I : (R, T CN ) → (R, Tu ) es una aplicación secuencialmente continua en cada x ∈ R pero no es continua en ningún x ∈ R. (T CN = topología de los complementos numerables, TCN = {A ⊂ R : R − A es numerable } ∪ {∅}). Si X es un espacio topológico secuencial se verifica que para cada espacio topológico Y y cada aplicación f : X → Y se tiene que f es continua si y sólo si f es secuencialmente continua.

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Redes y convergencia de redes en un espacio topológico

Recordemos que en (R, TCN ) si A = (0, 1) entonces 0 ∈ A pero no existe (a n )n∈N ⊂ A tal que 0 ∈ lim an . Este ejemplo y otros muchos, algunos de los cuales ya se han comentado, ponen de manifiesto que el modelo de convergencia de sucesiones es insuficiente para describir y caracterizar propiedades topológicas en espacios topológicos cualesquiera, aunque es cierto que el modelo funciona perfectamente en algunos casos particulares de espacios topológicos. Trataremos de exponer un nuevo modelo de convergencia en la que la convergencia de sucesiones aparezca como un caso particular de convergencia. Más adelante se observará que los razonamientos con este modelo de convergencia ofrecen claridad y sencillez a muchas demostraciones de manera que se generalizarán algunas formas de razonar que teníamos en los espacios métricos. El modelo de convergencia que estudiaremos se conoce como convergencia de Moore-Smith y fue originado por el trabajo de Moore: “Definition of limits in general analysis", Proc. Nat. Acad. Sci. USA (1915). El concepto de convergencia que se usaba en este trabajo fue desarrollado en un trabajo posterior de Moore y Smith: “A general theory of limits", Amer. J. Math (1922). En estos trabajos se pone de manifiesto que el concepto de integrabilidad de funciones encajaba perfectamente en este nuevo concepto de convergencia. Fue en 1937 cuando G. Birkhoff aplicó el modelo de convergencia de Moore-Smith a espacios topológicos cualesquiera. El estudio de Birkhoff fue recogido en la publicación “Moore-Smith Apuntes y notas de Topología


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convergence in general topology", Ann. of Math (1937), pero el libro de texto que más contribuyó a la difusión definitiva del modelo de convergencia de Moore-Smith fue: “General topology" de J.L. Kelley (1955). Este libro conserva un gran valor por su enorme belleza. Una reflexión sobre las propiedades del orden de N que se utilizan en los razonamientos con sucesiones sugiere la siguiente definición: Definición 4.2.1 Sean D un conjunto y ≤ una relación binaria en D, diremos que (D, ≤) es un conjunto dirigido si se verifican: 1) d ≤ d para cada d ∈ D. 2) Sea {d1 , d2 , d3 } ⊂ D. Si d1 ≤ d2 y d2 ≤ d3 entonces d1 ≤ d3 . 3) Para cada {d1 , d2 } ⊂ D existe d3 ∈ D tal que d1 ≤ d3 y d2 ≤ d3 . Si (D, ≤) es un conjunto dirigido y L ⊂ D, se dice que L es cofinal en (D, ≤) si para cada d ∈ D existe d0 ∈ L tal que d ≤ d0 . En esta situación es fácil probar que (L, ≤) es también un conjunto dirigido. Los números naturales N con su orden usual ≤ son un ejemplo de conjunto dirigido y si M ⊂ N es infinito entonces M es cofinal en (N, ≤). Definición 4.2.2 Sea X un conjunto, se llama red en X a toda aplicación S de un conjunto dirigido (D, ≤) en X. Si S : (D, ≤) → X es una red en X la denotamos por S = {Sd ∈ X : d ∈ D, ≤} Cuando no haya lugar a confusión nos tomaremos la licencia de denotar a la red por (S d )d∈D,≤ ó (Sd )d∈D . Definición 4.2.3 Si (X, T ) es un espacio topológico y S = {S d ∈ X : d ∈ D, ≤} es una red en X se dice que S converge a x ∈ X o bien que x es límite de S si para cada entorno U de x existe d 0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, se verifica que Sd ∈ U . Al conjunto {x ∈ X : S converge a x en (X, T )} lo denotaremos por lim T (S). Cuando no haya lugar a confusión también lo denotaremos por lim(S) ó por lim d∈D (Sd ). Ejemplo 4.2.4 Veamos ya nuestro primer ejemplo de red convergente. Sea X un espacio topológico. Consideremos x ∈ X y sea bx una base de entornos de x. Definimos en b x la relación binaria: Si {V1 , V2 } ⊂ bx entonces V1 ≤ V2 si y sólo si V2 ⊂ V1 Es evidente que (bx , ≤) es un conjunto dirigido. Sea la aplicación S : b x → X definida, para cada V ∈ bx , por S(V ) = xV ∈ V . Tenemos la red S = {xV : V ∈ bx }, veamos que x ∈ limV ∈bx (xV ), en efecto: sea W un entorno de x entonces existe V0 ∈ bx tal que x ∈ V0 ⊂ W , para cada V ≥ V0 , V ∈ bx , será V ⊂ V0 y por tanto xV ∈ V0 ⊂ W . Cuando consideremos una base bx de entornos de x como conjunto dirigido, se entenderá que la relación binaria correspondiente es la que aquí se ha considerado. Antonio Aizpuru Tomás

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Observemos que si X es un conjunto y (x n )n∈N es una sucesión en X entonces esta sucesión es la red S = {xn : n ∈ N, ≤} donde S es la aplicación del conjunto dirigido (N, ≤) en X, S : N → X definida, para cada n ∈ N, por S(n) = xn . Si S = {Sd : d ∈ D, ≤} es una red en un conjunto X se define el recorrido o rango de S como el conjunto imagen de la aplicación S es decir RS = {x ∈ X : x = S d para algún d ∈ D}. Veamos otro ejemplo de red: sea X un conjunto infinito no numerable, D = P (X)\{∅} y en D definimos la relación binaria: Si {A, B} ⊂ D entonces A ≤ B si y sólo si A ⊂ B. Es claro que (D, ≤) es un conjunto dirigido y por medio de una aplicación de elección, S : D → X definida, para toda A ∈ D, por S(A) = SA ∈ A tenemos en X la red S = {SA : A ∈ D, ≤}. Es evidente que S no es una sucesión en X. Definición 4.2.5 Sean X e Y dos conjuntos, S = {S d : d ∈ D, ≤} una red en X y f : X → Y una aplicación, entonces la aplicación f ◦ S : D → Y define una red en Y que denotamos f (S) = {f (x d ) : d ∈ D, ≤}. Teorema 4.2.6 Sea X un espacio topológico y A ⊂ X se verifican los siguientes apartados: 1) x ∈ A si y sólo si existe (xd )d∈D red en A tal que x ∈ limd∈D (xd ). 2) x ∈ Ad si y sólo si existe (xd )d∈D red en A\{x} tal que x ∈ lim d∈D (xd ). 3) x ∈ Int(A) si y sólo si para cada red (x d )d∈D en X tal que x ∈ limd∈D (xd ) se verifica que existe d0 ∈ D tal que xd ∈ A para cada d ≥ d0 , d ∈ D. 4) A es cerrado si y sólo si para cada red (x d )d∈D en A se verifica que limd∈D (xd ) ⊂ A. 5) A es abierto si y sólo si para cada red (x d )d∈D en X tal que limd∈D (xd ) ∩ ∩ A 6= ∅ se verifica que existe d0 ∈ D tal que xd ∈ A, para cada d ≥ d0 , d ∈ D. 6) Si Y es otro espacio topológico y f : X → Y es una aplicación entonces f es continua en x ∈ X si y sólo si para cada red (xd )d∈D en X tal que x ∈ limd∈D (xd ) se verifica que f (x) ∈ limd∈D (f (xd )). Demostración 1) Supongamos que x ∈ A y sea V x el sistema de entornos de x, entonces para cada V ∈ Vx es V ∩ A 6= ∅ y por tanto existe xV ∈ V ∩ A. Tenemos que (xV )V ∈Vx es una red de A convergente a x. Recíprocamente si x ∈ limd∈D (xd ) siendo (xd )d∈D una red en A, tenemos que para cada V entorno de x existe d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, es xd ∈ V y por tanto V ∩ A 6= ∅, luego x ∈ A. 2) Supongamos que x ∈ Ad y sea Vx el sistema de entornos de x, entonces para cada V ∈ V x es V ∩(A\{x}) 6= ∅ y por tanto existe xV ∈ V ∩(A\{x}). Tenemos que (xV )V ∈Vx es una red en A convergente a x. Recíprocamente si x ∈ lim d∈D (xd ) y (xd )d∈D es una red en (A\{x}) se prueba, razonando como en 1) que x ∈ Ad . 3) Supongamos que x ∈ Int(A) y que (xd )d∈D es una red en X convergente a x, tenemos que existe un entorno U de x tal que x ∈ U ⊂ A y existe d 0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D es xd ∈ U , así pues {xd : d ≥ d0 } ⊂ A. Recíprocamente si x ∈ / Int(A) entonces para V ∈ V x existe xV ∈ V tal que xV ∈ /A así pues (xV )V ∈Vx es una red en X convergente a x y xV ∈ / A para cada V ∈ Vx . 4) Si A es cerrado y (xd )d∈D es una red en A convergente a x ∈ X tenemos por 1) que x ∈ A = A y por tanto limd∈D (xd ) ⊂ A. Recíprocamente si para cada red (x d )d∈D de A es limd∈D (xd ) ⊂ A consideremos Apuntes y notas de Topología


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x ∈ A. Como en 1) se construye en A la red (x V )V ∈VX convergente a x, pero por hipótesis será x ∈ A y por tanto A = A y A es cerrado. 5) Si A es abierto y (xd )d∈D es una red en X tal que lim d∈D (xd ) ∩ A 6= ∅, por ser A = Int(A), será limd∈D (xd ) ∩ Int(A) 6= ∅ y por 3) existe d0 ∈ D tal que {xd : d ≥ d0 , d ∈ D} ⊂ A. Recíprocamente si A es tal que para cada red (xd )d∈D en X que verifica limd∈D (xd ) ∩ A 6= ∅ se verifica que existe d0 ∈ D con {xd : d ≥ d0 , d ∈ D} ⊂ A entonces si a ∈ A por 3) se tiene que a ∈ Int(A). 6) Supongamos que f es continua en x ∈ X y que (x d )d∈D es una red en X tal que x ∈ lim d∈D (xd ), veamos que f (x) ∈ limd∈D (f (xd )). Sea W un entorno en Y de f (x) entonces f −1 (W ) es un entorno en X de x por lo que existe d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, es xd ∈ f −1 (W ) y por tanto f (xd ) ∈ W si d ≥ d0 , d ∈ D. Recíprocamente, supongamos que f no fuese continua en x, entonces existirá W entorno de f (x) tal que para cada V entorno de x se tiene que V 6⊂ f −1 (W ) es decir existe xV ∈ V con f (xV ) ∈ / W, así pues tenemos que la red (xV )V ∈Vx es convergente a x pero la red (f (xV ))V ∈Vx no converge a f (x). Teorema 4.2.7 Sea X un espacio topológico entonces X es T 2 si y sólo si para cada red (xd )d∈D en X se verifica que limd∈D (xd ) es vacío o bien consta de un único elemento. Demostración Si X es T2 y (xd )d∈D es una red en X tal que {x, y} ⊂ limd∈D (xd ), x 6= y, consideremos U entorno de x y V entorno de y tales que U ∩ V = ∅. Tenemos que existen {d 1 , d2 } ⊂ D tales que si d ≥ d1 , d ∈ D es xd ∈ U y si d ≥ d2 , d ∈ D, es xd ∈ V . Sea d3 ∈ D, tal que d3 ≥ d1 y d3 ≥ d2 , entonces xd3 ∈ U ∩ V lo que es absurdo. Recíprocamente, supongamos que para cada red (x d )d∈D se verifica que el conjunto lim d∈D (xd ) es vacío o unitario y supongamos que X no es T2 , entonces existen {x, y} ⊂ X, x 6= y, tales que para cada entorno U de x y cada entorno V de y es U ∩ V 6= ∅. Consideremos D = {(U, V ) : U ∈ V x , V ∈ Vy } y la relación ≤ en D : (U1 , V1 ) ≤ (U2 , V2 ) si y sólo si U2 ⊂ U1 y V2 ⊂ V1 . Es sencillo probar que (D, ≤) es un conjunto dirigido. Para cada (U, V ) ∈ D sea x (U,V ) ∈ U ∩ V , tenemos que {x(U,V ) : (U, V ) ∈ D, ≤} es una red en X, veamos que esta red converge a x. Sea W un entorno de x, tenemos que (W, X) ∈ D y para cada (U, V ) ≥ (W, X), (U, V ) ∈ D, por ser U ⊂ W será x (U,V ) ∈ W y se tiene la convergencia a x. Análogamente se prueba que la red converge a y, llegando a la contradicción.

Nota 4.2.8 Trataremos de exponer con brevedad el concepto de función real integrable Riemann expresado a través de la convergencia de redes. Sea [a, b], a < b, un intervalo cerrado y acotado de R. Se llama partición de [a, b] a cualquier subconjunto finito p de [a, b] que contenga a los extremos del intervalo; lo denotaremos en la forma p = {t0 , t1 , . . . , tn } de modo que a = t0 < t1 < · · · < tn = b. Para cada i ∈ {1, . . . , n} al intervalo [ti−1 , ti ] lo denotamos por pi y se le denomina intervalo i-ésimo de la partición y a su longitud se la denota por 4ti = ti − ti−1 . Se define el diámetro de la partición p por δ(P ) : máx{4t i : i ∈ {1, . . . , n}}. Denotamos por P ([a, b]), o bien si no hay confusión por P , al conjunto de todas las particiones de [a, b]. Para cada partición p = {t0 , t1 , . . . , tn } de [a, b] llamaremos aplicación de elección relativa a p a toda aplicación ep definida en {p1 , . . . , pn } con valores en [a, b] de modo que para cada i ∈ {1, . . . , n} sea ep (pi ) ∈ pi = [ti−1 , ti ]. Denotemos a ep (pi ) por epi . Consideremos el conjunto D = {(p, e p ) : p ∈ P, ep es una aplicación de elección relativa a p} y definimos en D la siguiente relación binaria: (p1 , ep1 ) ≤ (p2 , ep2 ) si y sólo si δ(p2 ) ≤ δ(p1 ) Es claro que esta relación en D es reflexiva y transitiva, además si (p 1 , ep1 ) y (p2 , ep2 ) son dos elementos de Antonio Aizpuru Tomás

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D y p3 = p1 ∪ p2 entonces (p1 , ep1 ) ≤ (p3 , ep3 ) y (p2 , ep2 ) ≤ (p3 , ep3 ) por lo que D es un conjunto dirigido. Considerando en D la relación:(p1 , ep1 ) (p2 , ep2 ) si y sólo si p2 ⊃ p1 , también se verifica que (D, ) es un conjunto dirigido. Sea f : [a, b] → R una función b]. Para cada partición p = {t 0 , t1 , . . . , tn } Pnreal definida y acotada enP[a, n de [a, b] se define s(f, p) = i=1 mi · 4ti y S((f, p) = i=1 Mi · 4ti , donde para cada i ∈ {1, . . . , n} es mi = inf{f (x) : x ∈ pi } y Mi = sup{f (x) : x ∈ pi }. Denominaremos a s(f, p) la suma inferior de f relativa a p y a P S(f, p) la suma superior de f relativa a p. Para cada aplicación de elección e p se define: SR(f, p, ep ) = ni=1 f (epi ) · 4ti que se denomina suma de Riemann de f relativa a p y a e p ; es evidente que s(f, p) ≤ SR(f, p, ep ) ≤ S(f, p). Se define la integral superior de f en [a, b] por: Z

a

b

f = inf{S(f, p); p ∈ P },

y la integral inferior de f en [a, b] por: Z

a

b

f = sup{s(f, p); p ∈ P } y se verifica que

Z

b a

f≥

Z

b

f

a

En cualquier curso de análisis de funciones de una variable se prueba que las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1)

Rb

af

=

Rb

a f.

2) Para cada ε > 0 existe p ∈ P tal que S(f, p) − s(f, p) < ε. 3) Existe I1 ∈ R tal que para cada ε > 0 existe pε ∈ P tal que si p ∈ P y p ⊃ pε entonces |SR(f, p, ep ) − I1 | < ε, para cada aplicación de elección e p . 4) Existe I2 ∈ R tal que para cada ε > 0 existe δ > 0 de modo que si p ∈ P y δ(p) ≤ δ entonces |SR(f, p, ep ) − I2 | < ε, para cada aplicación de elección e p . Cuando estamos en cualquiera de las anteriores situaciones se dice que f es integrable Riemann y se prueba Rb Rb Rb que a f = a f = I1 = I2 . A este número se le llama integral de f en [a, b] y se denota por a f .

Si consideramos la red {SR(f, p, ep ) : (p, ep ) ∈ D, }, es evidente que la afirmación 3) equivale a afirmar que esta red es convergente en R. Si consideramos la red {SR(f, p, e p ) : (p, ep ) ∈ D, ≤} es evidente que la afirmación 4) es equivalente a afirmar que esta red es convergente en R; esta red es la que usualmente se considera para la caracterización de funciones integrables Riemann en un intervalo [a, b]. Así pues podemos afirmar que una función f : [a, b] → R acotada es integrable Riemann si y sólo si la red S(f ) = {SR(f, p, ep ) : (p, ep ) ∈ D, ≤} es convergente en R. En esta situación ponemos: Z b f = lim{SR(f, p, ep ) : (p, ep ) ∈ D, ≤} a

Es sencillo comprobar que si (xd )d∈D y (yd )d∈D son dos redes en R, con la topología usual, con el mismo conjunto dirigido (D, ≤), y lim d∈D (xd ) = x, limd∈D (yd ) = y entonces para cada {α, β} ⊂ R se verifica Apuntes y notas de Topología


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que limd∈D (αxd + βyd ) = αx + βy. Con este resultado es muy sencillo probar que si f y g son funciones reales integrables Riemann en [a, b] entonces αf + βg es integrable Riemann en [a, b]. Otras propiedades de la integral de Riemann también se podrían demostrar de manera sencilla con la técnica de las redes. La integrabilidad de Lebesgue de una función real definida y acotada en un intervalo cerrado [a, b] también puede ser descrita por la convergencia de redes, para ello se sustituirá la familia P de las particiones finitas de [a, b] por la familia PN de las particiones numerables de [a, b] y se considerará la relación ; pero esto es un problema de otra envergadura en el que no entraremos para que no nos ponga un pleito el C.P.I.L (Colegio Profesional de Integradores Lebesgue). Nota 4.2.9 Sobre el concepto de subred. Una primera generalización del concepto de subsucesión es el siguiente: “Una subred de una red S = {Sd : d ∈ D, ≤} es S 0 = {Sd0 : d0 ∈ D 0 , ≤} donde D 0 es un subconjunto cofinal de D es decir: para cada d ∈ D existe d 0 ∈ D 0 tal que d0 ≥ d." También puede darse la siguiente generalización: “Una subred de una red S = {Sd : d ∈ D, ≤} es F ∗ = {Fe : e ∈ E, } de modo que existe ϕ : E → D aplicación monótona creciente, tal que ϕ(E) es cofinal en D y para cada e ∈ E es F e = Sϕ(e) ." Los conceptos anteriores de subredes, basadas en subconjuntos cofinales del conjunto dirigido, veremos que no son válidos para asegurar que los puntos de aglomeración de una red son los puntos límites de las subredes. Para asegurar este resultado es necesario dar el concepto de subred generalizando el concepto de subsucesión dado en la nota 4.1.13 que ahora recordamos: Sean X un conjunto y (xn )n∈N , (yn )n∈N dos sucesiones en X, recordemos que se decía que (y n )n∈N es subsucesión de (xn )n∈N si para cada n0 ∈ N existe m0 ∈ N tal que si m ≥ m0 , m ∈ N, entonces existe n ≥ n0 , n ∈ N, con xn = ym . Trataremos de extender este concepto al caso de redes. Definición 4.2.10 Sea X un conjunto no vacío y sean S = {S d : d ∈ D, ≤} y F = {Fe : e ∈ E, } dos redes en X, se dice que F es una subred de S si para cada d 0 ∈ D existe e0 ∈ E tal que para cada e ∈ E, e e0 , existe d ∈ D con d ≥ d0 y Sd = Fe . Es fácil probar que si (yn )n∈N es subsucesión de (xn )n∈N entonces (yn )n∈N es una subred de la red (xn )n∈N . Ejemplo 4.2.11 1) Sea X = {f : R → R; f es aplicación } y sea D = P F (R) = {A ⊂ R : A es finito }, consideremos en D la relación ⊂ de inclusión: es claro que (D, ⊂) es un conjunto dirigido y definimos por medio del mismo la siguiente red en X; S : D → X definida, para cada A ∈ D, por S(A) = χ A , siendo χA la aplicación característica de A, es decir la aplicación de R en R definida, para cada x ∈ R, por χA (x) = 1 si x ∈ A y χA (x) = 0 si x ∈ / A. Vamos a demostrar que ninguna subred F = {F e : e ∈ E, } de S = {χA : A ∈ D, ⊂} puede ser sucesión, para ello basta demostrar que E no puede ser numerable. Sea Im(F ) el recorrido de F en X, consideremos la aplicación g : R → Im(F ) definida, para cada x ∈ R, como sigue: como {x} ∈ D y F es subred de S existe e 0 ∈ E y A ∈ D con {x} ⊂ A tal que χA = Fe0 , entonces definimos g(x) = Fe0 . Observemos que si x ∈ R y g(x) = Fe0 y A ∈ D es tal que Fe0 = χA , entonces x ∈ A. Si consideramos el conjunto {z ∈ R : g(z) = F e0 }, este conjunto tendrá que ser subconjunto de A y por tanto será finito. Antonio Aizpuru Tomás

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Sea G la relación de equivalencia definida por la aplicación g, es decir, si {x, y} ∈ R entonces x G y si y sólo si g(x) = g(y). Sea R/G el correspondiente conjunto cociente cuyos elementos denotamos por x, S observemos que R/G es no numerable ya que R = x∈R/G x y cada x es un subconjunto finito de R. Consideremos la correspondiente aplicación definida por medio de g en R/G; g : R/G → Im(F ) definida, para cada x ∈ R/G, por g(x) = g(x). Sabemos que g es inyectiva y por tanto card(E) ≥ card(Im(F )) ≥ card(R/G) > card(N), así pues E es no numerable. 2) Consideremos en R la sucesión (xn )n∈N definida por: 1 si n es impar xn = ; consideremos D = P (N)\{∅} con la relación: A ≤ B si y sólo si A ⊂ B. Se 2 si n es par n tiene que (D, ≤) es un conjunto dirigido y definimos en R la red S : D → R definida, para cada A ∈ D, por: (primer elemento deAc )−1 si A 6= N SA = 1 si A = N Para cada n0 ∈ N consideremos A0 = {1, . . . , n0 } y para cada B ∈ P (N) con B ⊃ A0 tenemos que si 1 B 6= N entonces el primer elemento de B c será m > n0 y por tanto SB = m = x2m , 2m > n0 . Asimismo si B = N es SB = 1 y seguro que existe m > n0 tal que SB = xm . Así pues (SA )A∈D es una subred de (xn )n∈N y es claro que no es una sucesión. Definición 4.2.12 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea (x d )d∈D una red en X. Se dice que x ∈ X es un punto de aglomeración de la red (x d )d∈D si para cada entorno U de x y cada d ∈ D existe d 0 ∈ D tal que d0 ≥ d y xd0 ∈ U . El conjunto de los puntos de aglomeración de (x d )d∈D lo denotaremos por Agld∈D (xd ) o bien por Agl(xd ). Nota 4.2.13 1) Sea X un conjunto y M ⊂ X un subconjunto de X. Sea (x d )d∈D una red en X, se dice que (xd )d∈D está eventualmente en M si existe d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D es xd ∈ M . Se dice que (xd )d∈D está frecuentemente en M si para cada d ∈ D existe d 0 ∈ D tal que d0 ≥ d y xd0 ∈ M . Las siguientes afirmaciones son de sencilla comprobación. a) Si (xd )d∈D está eventualmente en M entonces (x d )d∈D está frecuentemente en M b) (xd )d∈D está c) Si (x d )d∈D está frecuentemente en M si y sólo si (xd )d∈D no está eventualmente en X − M . eventualmente en M entonces cada subred de (x d )d∈D también está eventualmente en M . d) Si (ye )e∈E es una subred de (xd )d∈D y (ye )e∈E está frecuentemente en M entonces (x d )d∈D también está frecuentemente en M . Con la notación que hemos introducido podemos afirmar que si X es un espacio topológico y (x d )d∈D es una red en X entonces: x ∈ lim(xd ) si y sólo si (xd )d∈D está eventualmente en cada entorno U de x; x ∈ Agl(xd ) si y sólo si (xd )d∈D está frecuentemente en cada entorno U de x. Las siguientes afirmaciones son de comprobación inmediata: 1. lim(x d ) ⊂ Agl(xd ). 2. x ∈ lim(xd ) si y sólo si para cada subred (ye )e∈E de (xd )d∈D , se verifica que x ∈ lim(yd ). 3. Si (ye )e∈E es una subred de (xd )d∈D entonces lim(ye ) ⊂ Agl(ye ) ⊂ Agl(xd ). 2) Sea X un conjunto no vacío y (xd )d∈D una red en X, para cada d ∈ D denotamos por B d al conjunto Bd = {xd0 ∈ X : d0 ≥ d, d0 ∈ D}. Si X fuese un espacio topológico es fácil comprobar que \ Agl(xd ) = Bd d∈D



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3) Sean X un conjunto no vacío y (ye )e∈E , (xd )d∈D dos redes tales que (ye )e∈E es subred de (xd )d∈D . Si f : X → Y es una aplicación es evidente que la red (f (y e ))e∈E es una subred de la red (f (xd ))d∈D . 4) Sean (xd )d∈D , (ye )e∈E , (zh )h∈H tres redes en un conjunto X. Si (zh )h∈H es subred de (ye )e∈E y (ye )e∈E es subred de (xd )d∈D entonces (zh )h∈H es subred de (xd )d∈D . Supongamos que {ye , e ∈ E, ≤0 } es subred de {xd , d ∈ D, ≤}, en general no se verifica que el recorrido de la primera esté contenido en el recorrido de la segunda, pero observemos que si d 0 ∈ D entonces existe e0 ∈ E tal que para cada e ≥0 e0 , e ∈ E, existe d ≥ d0 , d ∈ D con xd = ye , si consideramos E 0 = {e ∈ E : e0 ≤0 e} tenemos que {ye , e ∈ E 0 , ≤0 } es una subred de {ye , e ∈ E, ≤0 } y por tanto también es subred de {xd , d ∈ D, ≤} pero ahora el recorrido en X de la subred {ye , e ∈ E 0 , ≤0 } está contenido en el recorrido de la red {x d , d ∈ D, ≤}. / lim(x d ) entonces 5) Sea {xd , d ∈ D, ≤} una red en un espacio topológico X, sea x ∈ X tal que x ∈ existe U entorno de x tal que para cada d ∈ D existe d 0 ≥ d, d0 ∈ D con xd0 ∈ / U . Consideremos D 0 = {d ∈ D : xd ∈ / U } es claro que D 0 es cofinal en D y por tanto {xd , d ∈ D 0 , ≤} es una subred de {xd , d ∈ D, ≤}. Con estos datos sería ahora sencillo demostrar que si (x d )d∈D es una red tal que toda subred posee una subred convergente a un mismo x ∈ X entonces x ∈ lim(x d ). El siguiente teorema se aplicará posteriormente con provecho. Teorema 4.2.14 Sea X un conjunto y seaTB = {B i : i ∈ I} una familia de subconjuntos de X tal que para cada J ⊂ I finito existe j ∈ I tal que i∈J Bi ⊃ Bj . Sea S = {xd : d ∈ D, ≤} una red en X que está frecuentemente en Bi , para cada i ∈ I, entonces existe una subred de S que está eventualmente en Bi , para cada i ∈ I. Demostración Consideremos E = {(d, B i ) ∈ D × B : xd ∈ Bi } y la relación en E: (d, Bi ) (d0 , Bj ) si y sólo si d ≤ d0 y Bj ⊂ Bi Es sencillo comprobar que (E, ) es un conjunto dirigido. Sea la red F : E → X definida, para cada (d, Bi ) ∈ E por F (d, Bi ) = y(d,Bi ) = xd ∈ Bi ; probaremos que {y(d,Bi ) : (d, Bi ) ∈ E, } es una subred de S. En efecto si d0 ∈ D y consideramos Bj ∈ B entonces existe d0 ≥ d0 , d0 ∈ D tal que xd0 ∈ Bj y por tanto (d0 , Bj ) ∈ E, y para cada (d, Bi ) (d0 , Bj ) tenemos que y(d,Bi ) = xd y d ≥ d0 . Finalmente demostraremos que {y(d,Bi ) , (d, Bi ) ∈ E, } está eventualmente en Bi para cada i ∈ I. En efecto, sea Bj ∈ B, como S está frecuentemente en Bj existe d0 ∈ D tal que xd0 ∈ Bj por tanto (d0 , Bj ) ∈ E y para cada (d, Bi ) (d0 , Bj ) como Bi ⊂ Bj tenemos que y(d,Bi ) ∈ Bj .

Teorema 4.2.15 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea (x d )d∈D una red en X entonces x ∈ Agl(xd ) si y sólo si existe una subred de (xd )d∈D convergente a x. Demostración Ya se comentó que si x ∈ X es un punto de convergencia de alguna subred de (x d )d∈D entonces x ∈ Agl(xd ). Supongamos ahora que x ∈ Agl(xd ) y consideremos elTsistema Vx de entornos de x, tenemos que si {A1 , . . . , Am } ⊂ Vx entonces existe A ∈ Vx tal que A ⊂ m i=1 Ai , además para cada A ∈ Vx la red (xd )d∈D está frecuentemente en A. Así pues por el teorema anterior existe (y e )e∈E una subred de (xd )d∈D que está eventualmente en cada A ∈ Vx , por lo que x ∈ lim(ye ). Proponemos al lector que haga una demostración directa de este teorema sin hacer uso del teorema anterior.


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Nota 4.2.16 1) Sean X un espacio topológico, x ∈ X y (x d )d∈D una red en X. Es sencillo probar que x ∈ lim(xd ) si y sólo si x es punto de aglomeración de toda subred de (x d )d∈D . 2) Sea X un espacio topológico y a ∈ X. Consideremos V a , el sistema de entornos de a y definimos Da = {(x, U ) : x ∈ U, U ∈ Va } y la relación en Da : (x, U1 ) (y, U2 ) si y sólo si U2 ⊂ U1 Se verifica que (Da , ) es un conjunto dirigido y definimos la red S a : Da → X definida, para cada (x, U ), por S a (x, U ) = a(x,U ) = x. A la red S a = {a(x,U ) : (x, U ) ∈ Da , } se le llama red de entornos del punto a ∈ X, y es evidente que a ∈ lim S a . Sea S = {xd : d ∈ D, ≤} una red en X, demostraremos que a ∈ lim S si y sólo si S es subred de S a . Supongamos que a ∈ lim S y sea (x, U ) ∈ D a entonces como U es entorno de a existe d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, es xd ∈ U y por tanto xd = a(xd ,U ) y (xd , U ) (x, U ). Supongamos ahora que S es subred de S a como a ∈ lim S a será a ∈ lim S. Ejemplo 4.2.17 El ejemplo que vamos a exponer es original de R. Arens, “Note on convergence in topology" Math. Mag. 23 (1950) 229-234, y en él se pone de manifiesto lo que realmente afirma el último teorema. Si (xn )n∈N es una sucesión en un espacio topológico X y x ∈ Agl(x n ) entonces existe una subred de (xn )n∈N que converge a x, pero esta subred bien podría no ser una subsucesión de (x n )n∈N . Sea el conjunto X = N × N y la aplicación V : X → P (P (X)) definida como sigue: si x = (1, 1) es V ((1, 1)) = {A ⊂ N × N : (1, 1) ∈ A y existe M ⊂ N cofinito tal que para cada m ∈ M es {n ∈ N : (m, n) ∈ A} cofinito }. Si x = (m, n) 6= (1, 1) es V ((m, n)) = {A ⊂ N × N : (m, n) ∈ A}. Es fácil ver que V verifica las propiedades precisas para que podamos afirmar que existe una única topología TV en X tal que para cada x ∈ X el sistema V x de entornos de x en TV es precisamente V (x). Observemos que para cada x ∈ X con x 6= (1, 1) es {x} ∈ T V . Consideremos en X la sucesión (xn )n∈N definida como sigue: • si n es potencia m de algún primo q ∈ N, q > 1, es x n = (q, m). • si n está en otra situación definimos x n = (2, n). Se verifica que (1, 1) ∈ Agl(xn ), en efecto: si A es entorno de (1, 1) y n 0 ∈ N tenemos que existe M ⊂ N cofinito tal que para cada m ∈ M es cofinito el conjunto {n ∈ N : (m, n) ∈ A}. Sea N\M = {m 1 , . . . , mp } y consideremos q ∈ N, tal que es primo y q > máx{n, m 1 , ..., mp }, como q ∈ M existe algún r ∈ N tal que (q, r) ∈ A por tanto si n = q r es xn = (q, r) ∈ A y n > n0 . Demostraremos que no existe ninguna subsucesión de (x n )n∈N que converja a (1, 1). En efecto, sea (y n )n∈N una subsucesión de (xn )n∈N , es claro que alguna subsucesión (z n )n∈N de (yn )n∈N estará formada por elementos distintos dos a dos y tendrá su recorrido contenido en el de (x n )n∈N . Tenemos dos posibilidades: a) Existe k ∈ N tal que {zn : n ∈ N} ∩ ({k} × N) es infinito, pero entonces sucede que (z n )n∈N no está eventualmente contenida en A = {(N × N)\({k} × N)} ∪ {(1, 1)} que es entorno de (1, 1) y por tanto (1, 1) ∈ / lim(zn ). b) Para cada k ∈ N es {zn : n ∈ N} ∩ ({k} × N) finito, entonces sucede que A = N × N\{z n : n ∈ N} es entorno de (1, 1) y (zn ) no está eventualmente contenida en A por tanto (1, 1) ∈ / lim(z n ). Apuntes y notas de Topología


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En cualquier caso (1, 1) ∈ / lim(zn ) por lo que (1, 1) ∈ / lim(yn ), pero es evidente que podemos afirmar que alguna subred de (xn )n∈N converge a (1, 1). Si {xd : d ∈ D, ≤} es una red, un tipo particular de subred es {x d ; d ∈ D 0 , ≤} donde D 0 ⊂ D es cofinal en (D, ≤), pero este tipo de subred no sería suficiente para todos nuestros propósitos pues puede suceder que x ∈ Agld∈D (xd ) y para cada subconjunto D 0 ⊂ D que sea cofinal en (D, ≤) se tenga que x ∈ / lim d0 ∈D0 (xd0 ). En efecto, si consideramos la sucesión (x n )n∈N tenemos que esta sucesión es la red {x n , n ∈ N, ≤} y si D 0 ⊂ N es un conjunto cofinal en (N, ≤) entonces {x m , m ∈ D 0 , ≤} es una subsucesión de (xn )n∈N y por tanto (1, 1) ∈ / lim{xm , m ∈ D 0 , ≤}.

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Filtros y convergencia de filtros en un espacio topológico

Sea X un espacio topológico y sea S = {x d , d ∈ D, ≤} una red en X, denotamos B(S) = {B d , d ∈ D} donde para cada d ∈ D es Bd = {xd0 : d0 ∈ D, d ≤ d0 }, tenemos pues que B(S) es una familia de subconjuntos de X y es sencillo comprobar que se verifica: 1. B(S) 6= ∅. 2. Para cada B d ∈ B(S) es Bd 6= ∅. 3. Si Bd1 , bd2 ∈ B(S) entonces existe Bd3 ∈ B(S) tal que Bd3 ⊂ Bd1 ∩ Bd2 Definición 4.3.1 Sea X un conjunto no vacío. a) Si B es una familia de subconjuntos de X se dice que B es una base de filtro si verifica: 1. B6= ∅. 2. ∅ ∈ / B. 3. Si B1 , B2 ∈ B entonces existe B3 ∈ B tal que B3 ⊂ B1 ∩ B2 . b) Si J es una familia de subconjuntos de X se dice que J es un filtro en X si verifica: 1. X ∈ J y ∅∈ / J 2. Si B ∈ J y A ⊂ X es tal que B ⊂ A entonces A ∈ J. 3. Si B 1 , B2 ∈ J entonces B1 ∩ B2 ∈ J. Nota 4.3.2 1. En 1937 el matemático francés H. Cartan desarrolló una teoría de la convergencia en espacios topológicos por medio de filtros, sus ideas están recogidas en el texto "Topologie Générales I" de N. Bourbaki (Ed. Hermann). 2. Si B es una base de filtro en X, entonces la familia {A ⊂ X : existe B ∈ B con B ⊂ A} es un filtro en X que denotamos por J(B). 3. Si J es un filtro en X entonces J es también una base de filtro en X, pero existen bases de filtro que no son filtros. 4. Si J es un filtro en X y B⊂ J se dice que B es base del filtro J si para cada A ∈ J existe B ∈ B tal que B ⊂ A, es evidente que entonces B es una base de filtro en X y que J(B)= J. Por otra parte si B es base de filtro en X entonces B es base del filtro J(B). Finalmente si J es un filtro en X es claro que J(J) = J. 5. Si S = {xd , d ∈ D, ≤} es una red en X entonces B(S) = {B d : d ∈ D} es una base de filtro en X y al filtro J(B(S)) se le denota por J(S) y se le denomina filtro asociado a la red S, es sencillo comprobar que si S 0 es subred de S entonces J(S) ⊂ J(S 0 ). 6. Sea B una base de filtro en X. Consideremos el conjunto D = {(x, B) : x ∈ B y B ∈ B} y consideremos en D la relación (x1 , B1 ) ≤ (x2 , B2 ) si y sólo si B2 ⊂ B1 , tenemos que (D, ≤) es un conjunto dirigido y por medio de él definimos la red S(B))= {S(x,B) = x ∈ X, (x, B) ∈ D, ≤} que se llama red asociada a la base Antonio Aizpuru Tomás

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3. FILTROS Y CONVERGENCIA DE FILTROS EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO

de filtro B. Observemos que para cada (x, A) ∈ D es B (x,A) = {S(z,C) : (x, A) ≤ (z, C), (z, C) ∈ D} = A y por tanto B(S(B)) = B. 7. Si J es un filtro y consideramos la red S(J) también se verifica que J(S(J)) = J. Finalmente si B 1 y B 2 son bases de filtro y B 1 ⊂ B 2 entonces S(B 2 ) es una subred de S(B 1 ). 8. Si S es una red en X entonces S(J(S)) es subred de S(B(S)) que a su vez es subred de S 9. Si B 1 y B 2 son dos bases de filtro en X entonces J(B 1 ) ⊂ J(B 2 ) si y sólo si para cada A1 ∈ B 1 existe A2 ∈ B 2 con A2 ⊂ A1 . Si J(B 1 ) = J(B 2 ) se dirá que B 1 y B 2 son bases de filtro equivalentes. 10. T Sea Σ una familia de subconjuntos de X con la propiedad de que si MT⊂ Σ es finito entonces B∈M B 6= ∅. Consideremos B(Σ) = {A ⊂ X : existe M ⊂ Σ, finito con A = B∈M B}, se verifica que B(Σ) es una base de filtro que se denomina base de filtro engendrada por Σ. Al filtro J(B(Σ)) se le denota por J(Σ) y se le denomina filtro engendrado por Σ y es, para el contenido, el menor filtro que contiene a Σ. 11. Sea X un conjunto no vacío y J un filtro en X. Sea B ⊂ X, entonces existe un filtro J 0 en X tal que J ⊂ J 0 y B ∈ J 0 si y sólo si A ∩ B 6= ∅ para cada A ∈ J. En efecto, es claro que si J ⊂ J 0 , B ∈ J 0 y J 0 es filtro entonces A ∩ B 6= ∅ para cada A ∈ J. Por otra parte si B ⊂ X es tal que para cada A ∈ J se verifica que A ∩ B 6= ∅, consideremos J 0 = {C ⊂ X : existe A ∈ J con A ∩ B ⊂ C}, es claro que J 0 es filtro y que J ⊂ J 0 . 12. Sean f : X → Y una aplicación y B una base de filtro en X, entonces f (B)= {f (A) : A ∈ B} es base de filtro en Y . Si J fuese filtro en X sólo podemos afirmar que f (J) es base de filtro en Y . Si B es base del filtro J entonces la base de filtro f (B) es equivalente a la base de filtro f (J). Por tanto para cada base de filtro B en X tenemos que f (B) y f (J(B)) son bases de filtro equivalentes en Y . 13. Sean f : X → Y una aplicación, B una base de filtro en Y y J un filtro en Y . Entonces se verifica: a) f −1 (B) = {f −1 (A) : A ∈ B} es base de filtro en X si y sólo si es f −1 (A) 6= ∅ para cada A ∈ B. b) No se puede afirmar, en general, que f −1 (J) sea filtro en X y se verifica que f −1 (J) es base de filtro en X si y sólo si f −1 (A) 6= ∅ para cada A ∈ J. Ejemplo 4.3.3 1. En N sea γ = {A ⊂ N : N − A es finito }, J es un filtro en N llamado filtro de Frechet. 2. Sean X un conjunto y M ⊂ X, M 6= ∅. Sea J = {A ⊂ X : M ⊂ A}, J es un filtro en X llamado filtro principal asociado a M . Observemos que B = {M } es base de filtro y que J(B) = J. 3. Sea X un conjunto. Sea J = {X}, J es un filtro en X. 4. Sea (X, T ) un espacio topológico y x ∈ X. Entonces V x , el sistema de entornos de x, es un filtro. Si b x es cualquier base de entornos de x, entonces b x es base de filtro y J(bx ) = Vx . 5. Sea (X, T ) un espacio topológico y M ⊂ X con M 6= ∅ entonces {A ⊂ X : ∃G ∈ T con M ⊂ G ⊂ A} es un filtro en X llamado filtro de entornos de M . Sea (X, T ) un espacio topológico y sea S = {x d , d ∈ D, ≤} una red en X. Consideremos la base de filtro asociada a la red, B(S) = {Bd , d ∈ D}, entonces es claro que x ∈ lim S si y sólo si para cada entorno T U de x, existe d0 ∈ D tal que Bd0 ⊂ U . Es también sencillo comprobar que x ∈ AglS si y sólo si x ∈ d∈D B d . Estos hechos justifican, de manera natural, la siguiente definición. Apuntes y notas de Topología


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Definición 4.3.4 Sea (X, T ) un espacio topológico y sea B una base de filtro en X. Se dice que B converge a x ∈ X, o que x es punto límite de B si para cada entorno U de x se verifica que existe B ∈ B tal que B ⊂ U . Al conjunto de los puntos límites de B lo denotamos por lim B. T Se dice que x ∈ X es punto de aglomeración de B si x ∈ B∈B T B, al conjunto de los puntos de aglomeración de B lo denotaremos por AglB y es evidente que AglB= B∈B B.

Nota 4.3.5 Expondremos algunas cuestiones elementales relacionadas con la definición anterior. 1. Sea (X, T ) un espacio topológico y sea x ∈ X, si J es un filtro en X entonces x ∈ lim J si y sólo si Vx ⊂ J. Si B es una base de filtro en X entonces: a) lim B⊂ Agl B b) lim B= lim J(B) c) Agl B= Agl J(B). 2. Sea (X, T ) un espacio topológico y sea S = {x d , d ∈ D, ≤} una red en X, entonces: a) lim S = lim B(S) b) Agl(S) = Agl(B(S)) c) lim S = lim J(S) d) Agl S = AglJ(S). 3. Sea (X, T ) un espacio topológico y sea B una base de filtro en X. Entonces: a) lim B = lim S(B) Agl (B) = Agl S(B).

b)

Demostración Por 2. podemos afirmar que lim S(B) = lim B(S(B)) = lim B y AglS(B) = AglB(S(B)) = Agl B. 4. Sea (X, T ) un espacio topológico y sean B 1 y B2 dos bases de filtro en X tales que B1 ⊂ B2 entonces lim B1 ⊂ lim B2 ⊂ Agl (B2 ) ⊂ Agl (B1 ). 5. Sea (X, T ) un espacio topológico y B una base de filtro en X. Si x ∈ X entonces x ∈ Agl (B) si y sólo si existe alguna base de filtro B 0 en X tal que B ⊂ B 0 y x ∈ lim B 0 . Demostración Sea x ∈ Agl(B) entonces para cada B ∈ B y cada A ∈ V x es A ∩ B 6= ∅, consideremos B 0 = {A ∩ B : A ∈ bx y B ∈ B}, donde bx es cualquier base de entornos de x con X ∈ b x , es sencillo comprobar que B 0 es base de filtro y que B ⊂ B 0 . Sea W un entorno de x y consideremos B ∈ B y U ∈ b x tal que U ⊂ W , tenemos que U ∩ B ∈ B 0 y U ∩ B ⊂ W , es pues claro que x ∈ lim B 0 . El recíproco es consecuencia de 4. 6. Sea X un espacio topológico entonces X es T 2 si y sólo si para cada B, base de filtro en X, se verifica que o bien lim B es vacío o bien lim B es unitario. Demostración Sea X un espacio topológico T 2 y supongamos que B es una base de filtro en X tal que x, y ∈ lim B y x 6= y. Consideremos U entorno de x y V entorno de y tales que U ∩ V = ∅, entonces, como x ∈ lim B, existe B1 ∈ B tal que B1 ⊂ U y, como y ∈ lim B existe B2 ∈ B tal que B2 ⊂ V , así pues tenemos que B1 ∩ B2 = ∅ lo cual contradice que B sea base de filtro. Supongamos ahora que X no es T2 entonces existen x, y ∈ X tales que para cada entorno U de x y cada entorno V de y es U ∩ V 6= ∅. Consideremos B = {A ∩ B : A ∈ V x , B ∈ Vy }, es sencillo comprobar que B es base de filtro en X. Para cualquier entorno U de x tenemos que si V es un entorno de y es U ∩ V ⊂ U y U ∩ V ∈ B, así pues x ∈ lim B. Pero razonando de igual forma con y deducimos que también es y ∈ lim B. Por tanto lim B no es ni vacío ni unitario. Antonio Aizpuru Tomás

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3. FILTROS Y CONVERGENCIA DE FILTROS EN UN ESPACIO TOPOLÓGICO

7. Sea f una función real definida y acotada en [a, b] y sea P el conjunto de todas las particiones finitas p de [a, b], consideremos la base de filtro B = {B p : p ∈ P } definida para cada p ∈ P por Bp = {SR(f, p0 , ep0 ) : δ(p0 ) < δ(p)}. Entonces f es integrable Riemann en [a, b] si y sólo si la base de filtro B es convergente Rb en R y en esta situación es a f = lim B. De manera similar podríamos considerar en R la base de filtro B 0 = {Bp0 : p ∈ P } definida para cada p ∈ P por Bp0 = {SR(f, p0 , ep0 ) : p0 ⊃ p} y también tendríamos que f es integrable Riemann en [a, b] si y sólo si la base de filtro B 0 es convergente en R, en cuyo caso sería Rb 0 a f = lim B .

En el siguiente teorema pondremos de manifiesto la utilidad de las bases de filtro, este teorema podría ser rápidamente demostrado haciendo uso de las relaciones entre redes y bases de filtro, sin embargo lo demostraremos directamente sin utilizar ningún resultado de redes. Nuestra intención es destacar que el modelo de convergencia de los filtros es tan sencillo y eficaz como el de las redes. Teorema 4.3.6 Sea X un espacio topológico y sea A ⊂ X, entonces: 1) x ∈ A si y sólo si existe B base de filtro en X tal que x ∈ lim B y B ⊂ A para algún B ∈ B.

2) x ∈ Ad si y sólo si existe B base de filtro en X tal que x ∈ lim B y B ⊂ A − {x} para algún B ∈ B. 3) x ∈ Int(A) si y sólo si para cada base de filtro B en X tal que x ∈ lim B existe B ∈ B tal que B ⊂ A. 4) A es abierto si y sólo si para cada base de filtro B en X tal que (lim B) ∩ A 6= ∅ existe B ∈ B tal que B ⊂ A. 5) A es cerrado si y sólo si para cada base de filtro B tal que existe B ∈ B con B ⊂ A se verifica que lim B ⊂ A. 6) Si Y es otro espacio topológico y f : X → Y una aplicación entonces f es continua en x ∈ X si y sólo si para cada B base de filtro en X tal que x ∈ lim B se verifica que f (x) ∈ lim f (B). Demostración a) Si x ∈ A y bx es cualquier base de entornos de x es fácil probar que B = {A ∩ V : V ∈ bx } es base de filtro en X y para cada B ∈ B es B ⊂ A. Si U es entorno de x tenemos que existe V ∈ b x tal que V ⊂ U , pero entonces A ∩ V ∈ B, y A ∩ V ⊂ U , así pues x ∈ lim B. Recíprocamente si B es base de filtro en X y se verifica que x ∈ lim B y B ⊂ A, para algún B ∈ B, tenemos que si U es entorno de x existe C ∈ B tal que C ⊂ U , consideremos D ∈ B con D ⊂ B ∩ C, tenemos que D ⊂ U ∩ A y D 6= ∅. b) De manera similar a 1. sustituyendo A por A − {x}. c) Supongamos que x ∈ Int(A) y que B es base de filtro en X tal que x ∈ lim(B), como Int(A) es entorno de x tenemos que existe B ∈ B tal que B ⊂ Int(A) ⊂ A. Recíprocamente si x ∈ / Int(A) consideramos B = {V ∩ (X − A) : V ∈ bx } donde bx es cualquier base de entornos de x, es fácil comprobar que B es base de filtro en X y que x ∈ lim B, sin embargo para cada B ∈ B es B ∩ A = ∅. d) Si A es abierto y x ∈ (lim B) ∩ A, donde B es base de filtro en X, tenemos que x ∈ Int(A) y por tanto existe B ∈ B con B ⊂ A. Recíprocamente, consideremos x ∈ A y sea B= b x , donde bx es cualquier base de entornos de x, tenemos que x ∈ (lim B) ∩ A y por tanto existe B ∈ B tal que B ⊂ A, pero entonces será A entorno de x y x ∈ Int(A), así pues A sería abierto ya que A = Int(A). e) Si A es cerrado y B es una base de filtro tal que A ⊃ B, para algún B ∈ B, entonces si lim B6= ∅ consideremos x ∈ lim B, por 1., tenemos que x ∈ A = A. Recíprocamente, sea x ∈ A entonces, por 1., Apuntes y notas de Topología


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existe una base de filtro B en X tal que x ∈ lim(B) y B ⊂ A, para algún B ∈ B, pero entonces, por hipótesis, tenemos que lim B⊂ A y por tanto x ∈ A, así pues A es cerrado ya que A = A. f) Supongamos que la aplicación f : X → Y es continua en x ∈ X. Sea B una base de filtro en X tal que x ∈ lim(B). Consideremos la base de filtro f (B)= {f (B), B ∈ B} y sea V entorno de f (x), tenemos que f −1 (V ) es entorno de x y por tanto existe B ∈ B tal que B ⊂ f −1 (V ), pero entonces f (B) ⊂ V y f (B) ∈ f (B) así pues f (x) ∈ lim f (B). Recíprocamente, supongamos que para cada base de filtro B en X y cada x ∈ lim B se verifica que f (x) ∈ lim f (B). Tenemos entonces que si b x es cualquier base de entornos de x es x ∈ lim bx y por tanto f (x) ∈ lim f (bx ), así pues si V es entorno de f (x) tenemos que existe B ∈ bx tal que f (B) ⊂ V , pero entonces B ⊂ f −1 (V ) y f −1 (V ) será entorno de x, podemos por tanto afirmar que f es continua en x.

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Filtros maximales y redes universales

Sea (A, ≤) un conjunto ordenado. Sea M ⊂ A. Se dice que a ∈ A es cota superior de M si para cada x ∈ M es x ≤ a y se dice que a es cota inferior de M si a ≤ x para cada x ∈ M . Se dice que M ⊂ A es una cadena en (A, ≤) si (M, ≤) es un conjunto totalmente ordenado es decir para cada x, y ∈ M o bien x ≤ y o bien y ≤ x. Se dice que a ∈ A es un elemento maximal en (A, ≤) si para cada b ∈ A tal que a ≤ b se verifica que a = b y se dice que a ∈ A es minimal en (A, ≤) si para cada b ∈ A tal que b ≤ a se verifica que b = a. El lema de Zorn afirma que si (A, ≤) es un conjunto ordenado donde toda cadena tiene cota superior entonces existe elemento maximal de (A, ≤). Observemos que, en esta situación, si a ∈ A y consideramos (A0 , ≤) con A0 = {b ∈ A : a ≤ b} podemos afirmar, con el lema de Zorn, que existe en (A0 , ≤) un elemento maximal, por tanto podemos afirmar que para cada a ∈ A existe b ∈ A tal que a ≤ b y b es un elemento maximal de (A, ≤). El lema de Zorn es equivalente al axioma de elección y la demostración se puede encontrar en los textos avanzados de teoría de conjuntos. Es sencillo probar que el lema de Zorn es también equivalente a afirmar que si (A, ≤) es un conjunto ordenado donde toda cadena tiene cota inferior y a ∈ A entonces existe b ∈ A tal que b ≤ a y b es un elemento minimal de (A, ≤). Aquí vamos a suponer que estamos dentro del modelo axiomático de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección y que por tanto admitimos la veracidad del lema de Zorn. Pasamos a estudiar ahora aplicaciones de este resultado. Sea X un conjunto no vacío y sea L = {B ⊂ P (X) : B es base de filtro en X}, tenemos que L 6= ∅ ya que B = {X} es tal que B ∈ L. Definimos en L la relación B 1 ≤ B2 si y sólo si B1 ⊂ B2 es claro que (L, ≤) es un conjunto ordenado. Sea H ⊂ L una cadena en (L, ≤) y consideremos B 0 = ∪{B : B ∈ H}, tenemos que B0 6= ∅ y ∅ ∈ / B0 . Si A1 , A2 ∈ B0 existirán B1 , B2 ∈ H tales que A1 ∈ B1 y A2 ∈ B2 , como H es una cadena podemos suponer que por ejemplo B 1 ⊂ B2 y por tanto A1 , A2 ∈ B2 así pues existe A3 ∈ B2 tal que A3 ⊂ A1 ∩ A2 pero es claro que A3 ∈ B0 , así pues B0 es base de filtro y por tanto B0 es una cota superior en (L, ≤) de H. Por tanto podemos afirmar, con el lema de Zorn, que en (L, ≤) hay elementos maximales. Si B es un elemento maximal de (L, ≤) es claro que J(B) = B y por tanto B será filtro. A los elementos maximales de (L, ≤) se les denomina filtros maximales o ultrafiltros. Así pues dada cualquier base de filtro B existe un ultrafiltro J0 tal que B ⊂ J0 . Pasamos ahora a estudiar algunos aspectos de los filtros maximales que recogemos juntos en la siguiente nota. Nota 4.4.1

1. Sea X un conjunto no vacío y sea J 0 un filtro en X. Entonces: a) J0 es filtro maximal Antonio Aizpuru Tomás

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4. FILTROS MAXIMALES Y REDES UNIVERSALES

si y sólo si para cada A, B ⊂ X tal que A ∪ B ∈ J 0 se verifica que o bien A ∈ J0 o bien B ∈ J0 ; b) J0 es maximal si y sólo si para cada B ⊂ X tal que A ∩ B 6= 0 si a ∈ J 0 se verifica que B ⊂ J0 . Demostración a) Sea J0 un ultrafiltro en X y sean A, B ⊂ X tales que A ∪ B ∈ J 0 y A ∈ / J0 . Consideremos J = {F : F ∪ A ∈ J0 } tenemos que B ∈ J y es fácil comprobar que J es filtro tal que J0 ⊂ J, así pues J = J0 y B ∈ J0 ya que B ∈ J. Supongamos ahora que J0 es filtro en X y que para cada A, B ⊂ X tal que A ∪ B ∈ J 0 se verifica que o bien A ∈ J0 o bien B ∈ J0 . Sea J un filtro en X tal que J0 ⊂ J. Sea A ∈ J, tenemos que A ∪ (X − A) = X ∈ J0 . Si fuese X − A ∈ J0 , como J0 ⊂ J, tendremos que {A, X − A} ⊂ J lo que no es posible. Por tanto será A ∈ J0 . Así pues es J0 = J y deducimos que J0 es filtro maximal. b) Es sencillo de probar si tenemos en cuenta el punto 11 de la nota 4.3.2. 2. Sean X un conjunto no vacío y B 0 una base de filtro tal que para cada A ∈ X se verifica que o bien es A ∈ B0 o bien es X − A ∈ B0 entonces B0 es filtro maximal. Demostración Sea J un filtro tal que B 0 ⊂ J, consideremos A ∈ J. Si fuese X − A ∈ B 0 tendremos que {A, X − A} ⊂ J lo que no es posible, por tanto A ∈ B 0 y será B0 = J, deducimos pues que B0 es filtro maximal. 3. Sea X un conjunto no vacío y B0 una base de filtro en X entonces J(B0 ) es ultrafiltro si y sólo si para cada A ⊂ X existe B ∈ B0 tal que o bien B ⊂ A o bien B ⊂ X − A. 4. Sea X un conjunto no vacío. Es evidente que la intersección de cualquier familia de filtros en X es un filtro en X. Sea B una base de filtro y sea J 0 el filtro obtenido con la intersección de todos los ultrafiltros que contienen a B, demostraremos que J 0 = J(B). En efecto, es claro que J(B) ⊂ J 0 . Supongamos que A ∈ J 0 y que A ∈ / J(B), para cada B ∈ J(B) tendremos que B ∩ (X − A) 6= ∅ y por tanto la familia {B ∩ (X − A) : B ∈ J(B)} tiene la propiedad de intersecciones finitas no vacías y existirá algún ultrafiltro J 0 tal que {B ∩ (X − A) : B ∈ J(B)} ⊂ J0 , si B ∈ J(B) será B ∩ (X − A) ∈ B0 y B ∩ (X − A) ⊂ B así pues B ∈ J0 . Por lo tanto B ⊂ J(B) ⊂ J0 y deducimos que J 0 ⊂ J0 y {A, X − A} ⊂ J0 lo que es una contradicción. Como consecuencia de lo anterior tenemos que cada filtro en X es la intersección de los ultrafiltros que lo contienen. 5. Sea X un conjunto no vacío y sea M ⊂ X. Consideremos el filtro principal asociado a M ; J(M ) = {A ⊂ X : M ⊂ A}. J(M ) es ultrafiltro si y sólo si M es unitario. En efecto, si {x, y} ⊂ M y x 6= y tendremos que M − {x} 6= ∅ y (M − {x}) ∪ {x} = M ∈ J(M ) pero M − {x} ∈ / J(M ) y {x} ∈ / J(M ) por lo que J(M ) no puede ser ultrafiltro. Por otra parte, si M = {a} es unitario y A ∪ B ∈ J(M ) será a ∈ A ∪ B por tanto o bien A ∈ J(M ) o bien B ∈ J(M ), así pues deducimos que J(M ) tiene que ser ultrafiltro. 6. Sea X un conjunto no vacío y sea f : X → Y una aplicación. Si J 0 es un ultrafiltro en X entonces tendremos que f (J0 ) es una base de filtro en Y , pero observemos que para cada A ⊂ Y tenemos que f −1 (A)∪f −1 (Y −A) = X y por tanto o bien f −1 (A) ∈ J0 y entonces f (f −1 (A)) ∈ f (J0 ) con f (f −1 (A)) ⊂ A o bien f −1 (Y −A) ∈ J0 y entonces f (f −1 (Y −A)) ∈ J0 con f (f −1 (Y −A)) ⊂ Y −A, así pues deducimos que J(f (J0 )) es un ultrafiltro. Apuntes y notas de Topología


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7. Sea X un espacio topológico y B una base de filtro en X entonces x ∈ lim B si y sólo si para cada ultrafiltro J0 de X con B ⊂ J0 se verifica que x ∈ lim J0 . Demostración Si J0 es ultrafiltro y B ⊂ J0 es tal que x ∈ lim B es evidente que x ∈ lim J 0 . Por otra parte, supongamos que x ∈ X es tal que para cada ultrafiltro J 0 con B ⊂ J0 se verifica que x ∈ lim J0 , tendremos que Vx ⊂ J0 para cada ultrafiltro J0 tal que B ⊂ J0 , por tanto será Vx ⊂ J(B) y deducimos pues que x ∈ lim B. 8. Si X es un espacio topológico y J es un ultrafiltro en X entonces Agl J = lim J. En efecto, tenemos que lim J ⊂ Agl J y si x ∈ Agl J se verifica que existe una base de filtro B tal que x ∈ lim B y J ⊂ B, pero entonces es J = B. 9. Sea X un conjunto y J un filtro maximal en X. Consideremos la correspondiente red asociada a J, S(J) = {S(x,B) = x, (x, B) ∈ D, ≤}. Sea M ⊂ X, si M ∈ J y z ∈ M tenemos que para cada (x, B) ≥ (z, M ), (x, B) ∈ D, es S(x,B) ∈ M . Si M ∈ / J entonces X − M ∈ J y si z ∈ X − M tenemos que para cada (x, B) ≥ (z, X − M ), (x, B) ∈ D es S (x,B) ∈ X − M . Así pues podemos afirmar que S(J) tiene la propiedad de que para cada M ⊂ X o bien S(J) está contenida eventualmente en M o bien S(J) está contenida eventualmente en X − M . Cuando una red S tiene esta propiedad se dice que S es una red universal en X y hemos demostrado que si J es ultrafiltro entonces S(J) es red universal. Supongamos ahora que S = {xd , d ∈ D, ≤} es una red universal y vamos a demostrar que el correspondiente filtro asociado J(S) = J(B(S)) es un ultrafiltro. En efecto, sea M ⊂ X y supongamos que, por ejemplo, S está eventualmente contenida en M es decir existe d 0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, se tiene que xd ∈ M , entonces Bd0 ⊂ M y por tanto M ∈ J(S). Observemos que si X es un espacio topológico y S es una red universal en X entonces lim S = lim J(S) = Agl J(S) = Agl (S), ya que J(S) es ultrafiltro. Por tanto si S es una red universal se verifica que lim S = Agl S. 10. Sea X un conjunto no vacío y sea S una red universal en X, si A ⊂ X y S está contenida frecuentemente en A entonces S no puede estar contenida eventualmente en X − A y por lo tanto S estará contenida eventualmente en A. Si ahora es S 0 una subred de S y A ⊂ X entonces si S está eventualmente contenida en A tenemos que S 0 también estará eventualmente contenida en A, deducimos por tanto que si S es una red universal también lo será toda subred S 0 de S. 11. Si S es una red universal entonces J(S) es un ultrafiltro y por tanto si S está eventualmente contenida en A ∪ B tenemos que A ∪ B ∈ J(S) y por tanto o bien A ∈ J(S) o bien B ∈ J(S), así pues o bien S está eventualmente contenida en A o bien lo está en B. Supongamos ahora que S es una red que tiene precisamente la propiedad de que para cada A, B ⊂ X, si S está eventualmente contenida en A ∪ B entonces o bien S está eventualmente contenida en A o bien lo está en B, en esta situación para cualquier A ⊂ X deducimos que o bien S está eventualmente contenida en A o bien lo está en X − A, así pues S tendrá que ser red universal. 12. Sea S una red en X y consideremos la base de filtro B(S), sea J filtro maximal tal que B(S) ⊂ J entonces S(J) es una red universal y S(J) es subred de S(B(S)) que a su vez es subred de S, así pues toda red S tiene una subred que es red universal. Supongamos ahora que S = {x d , d ∈ D, ≤} es una red universal en X, y que S 0 = {ye , e ∈ E, } es una subred de S, entonces sabemos que S 0 también será una red universal y es claro que J(S) = J(S 0 ), sea e0 ∈ E y consideremos Be0 = {ye : e ∈ E, e e0 } tenemos que Be0 ∈ J(S) y por tanto existe Bd0 ∈ B(S), Bd0 = {xd : d ∈ D, d ≥ d0 } tal que Bd0 ⊂ Be0 así pues para cada d ≥ d0 , d ∈ D, existe e e0 , e ∈ E con ye = xd y deducimos que S también tendrá que ser Antonio Aizpuru Tomás

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5. PROPIEDADES DE LAS APLICACIONES CONTINUAS. HOMEOMORFISMOS

subred de S 0 . 13. (¿Otra vez?) Sean X e Y dos conjunto y f : X → Y una aplicación. Si S es una red universal en X entonces f (S) será una red universal en Y . En efecto, sea B ⊂ Y entonces como S está eventualmente contenida en f −1 (B) ∪ f −1 (Y − B) tenemos que o bien S está eventualmente contenida en f −1 (B) y por tanto f (S) estará eventualmente contenida en B, o bien S está eventualmente contenida en f −1 (Y − B) y por tanto f (S) estará eventualmente contenida en Y − B.

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Propiedades de las aplicaciones continuas. Homeomorfismos

En primer lugar estudiaremos algunas sencillas caracterizaciones de la continuidad. Teorema 4.5.1 Sean X e Y dos espacios topológicos y sea f : X → Y una aplicación, entonces: a) f es continua si y sólo si para cada A ⊂ X es f (A) ⊂ f (A) b) f es continua si y sólo si para cada B ⊂ Y es f −1 (B) ⊃ f −1 (B) c) f es continua si y sólo si para cada B ⊂ Y es f −1 (Int(B)) ⊂ Int(f −1 (B)) d) f es continua si y sólo si para cada B ⊂ Y es f −1 (F r(B)) ⊃ F r(f −1 (B)) e) f es continua si y sólo si para cada A ⊂ X es f (A) ∪ f (A d ) ⊂ f (A) ∪ [f (A)]d f) f es continua si y sólo si para cada B ⊂ Y es f −1 (B) ∪ f −1 (B d ) ⊃ f −1 (B) ∪ [f −1 (B)]d Demostración a) Supongamos que f es continua y que A ⊂ X. Tenemos que f −1 (f (A)) es cerrado en X y contiene a A por tanto A ⊂ f −1 (f (A)) y f (A) ⊂ f (A). Una demostración con técnica de redes sería: si x ∈ A existe (xd )d∈D red en A tal que x ∈ limd∈D (xd ) y por tanto f (x) ∈ limd∈D (f (xd )) pero (f (xd ))d∈D es una red en f (A) y por tanto f (x) ∈ f (A). Recíprocamente, supongamos que para cada A ⊂ X es f (A) ⊂ f (A) entonces si B es cerrado en Y tenemos que f (f −1 (B)) ⊂ f (f −1 (B)) ⊂ B = B y por tanto será f −1 (B) ⊂ f −1 (B), así pues f −1 (B) es cerrado en X. b) Supongamos que f es continua y que B ⊂ Y tenemos que B ⊂ B y como f −1 (B) es un cerrado en X que contiene a f −1 (B) tenemos que f −1 (B) ⊂ f −1 (B). Recíprocamente si para cada B ⊂ Y es f −1 (B) ⊂ f −1 (B) consideremos un cerrado C ⊂ Y , entonces f −1 (C) ⊂ f −1 (C) = f −1 (C) y será f −1 (C) cerrado en X. c) Supongamos que f es continua y que B ⊂ Y , entonces f −1 (Int(B)) es abierto en X y está contenido en f −1 (B), por tanto f −1 (Int(B)) ⊂ Int(f −1 (B)). Recíprocamente, si para cada B ⊂ Y es f −1 (Int(B)) ⊂ Int(f −1 (B)) tenemos que si B fuese abierto en Y , entonces f −1 (B) ⊂ Int(f −1 (B)) y por tanto tendría que ser f −1 (B) abierto en X. d) Supongamos que f es continua y que B ⊂ Y , entonces f −1 (F r(B)) = f −1 ((B) ∩ (Y − B)) = f −1 (B) ∩ f −1 (Y − B) ⊃ f −1 (B) ∩ f −1 (Y − B) = f −1 (B) ∩ (X − f −1 (B)) = F r(f −1 (B)). Apuntes y notas de Topología


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Recíprocamente si para cada B ⊂ Y se verifica que f −1 (F r(B)) ⊃ F r(f −1 (B)) tenemos que si B es cerrado será F r(B) ⊂ B y entonces F r(f −1 (B)) ⊂ f −1 (F r(B)) ⊂ f −1 (B) y por tanto f −1 (B) será cerrado. e) Es una sencilla consecuencia de a) ya que si A ⊂ X es f (A) ∪ f (A d ) = f (A) y f (A) ∪ [f (A)]d = f (A). f) Se deduce de b) ya que si B ⊂ Y es f −1 (B) ∪ f −1 (B d ) = f −1 (B) y f −1 (B) ∪ [f −1 (B)]d = f −1 (B). Nota 4.5.2 Sobre la continuidad y los subespacios topológicos: 1) Sea (X, T ) un espacio topológico y sea A ⊂ X entonces la aplicación inclusión f : A → X es una aplicación continua de (A, TA ) en (X, T ). 2) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación continua. Si A ⊂ X entonces la aplicación restricción de f en A, f A : A → Y es una aplicación continua de (A, T A ) en (Y, T 0 ). Por otra parte si B ⊂ Y es tal que Imf ⊂ B se verifica que f es continua de (X, T ) en (Y, T 0 ) si y sólo si f es continua de (X, T ) en (B, T B0 ). 3) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación, si x 0 ∈ X es tal que {x0 } es abierto en X entonces se verifica que f es continua en x 0 . Si ahora es A ⊂ X y x0 ∈ Aa se verifica para fA : (A, TA ) → (Y, T 0 ) que fA es continua en x0 . Consideremos la aplicación identidad f de (R, T u ) en (R, TD ) tenemos que para cada x ∈ R f no es continua en x, pero si A = (1, 2) ∪ {3} y consideramos f A : (A, TA ) → (R, TD ) se verifica que fA si es continua en x = 3.

Nota 4.5.3 Sobre el concepto de límite de una aplicación: 1) Sean X un conjunto, (Y, T 0 ) un espacio topológico, f : X → Y una aplicación y B una base de filtro en X. Se dice que y0 ∈ Y es un punto límite de f en (Y, T 0 ) según la base de filtro B si y0 ∈ lim f (B), al conjunto de estos puntos se le denota por lim B f . Se dice que y0 ∈ Y es un punto de aglomeración de f en (Y, T 0 ) según B si y0 ∈ Agl f (B) al conjunto de estos puntos se le denota por AglB f . 2) Sea X = N y sea (Y, T 0 ) un espacio topológico. Consideremos B = {M ⊂ N : N − M es finito }. B es un filtro en N llamado filtro de Frechet, sea ahora S : N → Y una aplicación que determinará en Y una sucesión que denotamos por (yn )n∈N , es evidente que lim(yn ) = limB S y Agl(yn ) = AglB S. 3) Sea (D, ≤) un conjunto dirigido y sea (Y, T 0 ) un espacio topológico. Consideremos en D la base de filtro B (D) = {Kd : d ∈ D} donde para cada d ∈ D es Kd = {d0 ∈ D : d0 ≥ d}. Sea ahora S : D → Y una aplicación que determinará en Y una red que denotamos por (y d )d∈D , se verifica que lim(yd ) = limB(D) S y Agl(yd ) = AglB(D) S. 4) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y sean f : X → Y una aplicación y x 0 ∈ X. Se dice que y0 ∈ Y es un punto límite de f en x0 ∈ X si y0 es un punto límite de f en (Y, T 0 ) según el filtro de entornos Vx0 de x0 en (X, T ), al conjunto de estos puntos se le denota por lim x→x0 f (x) y si limx→x0 f (x) = {y0 } se escribe limx→x0 f (x) = y0 . Es sencillo comprobar que a) y0 ∈ limx→x0 f (x) si y sólo si para cada red (xd )d∈D en X con x0 ∈ lim(xd ) se verifica que y0 ∈ lim(f (xd )) Antonio Aizpuru Tomás

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b) f es continua en x0 si y sólo si f (x0 ) ∈ limx→x0 f (x). 5) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos, A ⊂ X, x0 ∈ Ad y f : A → Y una aplicación. Se dice que y0 es un punto límite de f cuando x ∈ A tiende a x 0 si y0 es un punto límite de f en (Y, T 0 ) según el filtro B = {B ∩ (A − {x0 }) : B ∈ Vx0 }, al conjunto de estos puntos se le denota por limx→x0 ,x∈A−{x0 } f , es sencillo comprobar que: a) y0 ∈ limx→x0 ,x∈A−{x0 } f (x) si y sólo si para cada red (xd )d∈D en A − {x0 } con x0 ∈ lim(xd ) se verifica que y0 ∈ lim f (xd ).

b) Si además de x0 ∈ Ad tenemos que x0 ∈ A entonces f es continua en x0 , como aplicación de (A, TA ) en (Y, T 0 ), si y sólo si f (x0 ) ∈ limx→x0 ,x∈A−{x0 } f . 6) Sean (X, T ), (Y, T 0 ), (Z, T 00 ) tres espacios topológicos, A ⊂ X, x 0 ∈ Ad , f : A → Y una aplicación y g : Y → Z una aplicación continua, entonces g(lim x→x0 ,x∈A−{x0 } f ) ⊂ limx→x0 ,x∈A−{x0 } g ◦ f . Definición 4.5.4 Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Se dice que f es abierta si para cada abierto A de X se verifica que f (A) es abierto en Y . Se dice que f es cerrada si para cada B cerrado en X se verifica que f (B) es cerrado en Y .

Teorema 4.5.5 Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación entonces: a) f es continua y abierta si y sólo si para cada B ⊂ Y se verifica que f −1 (Int(B)) = Int(f −1 (B)) b) f es continua y cerrada si y sólo si para cada A ⊂ X se verifica que f (A) = f (A) Demostración a) Supongamos que f es continua y abierta y que B ⊂ Y , como f es continua tenemos que f −1 (Int(B)) ⊂ Int(f −1 (B)) pero por ser f abierta tenemos que f (Int(f −1 (B))) es un abierto contenido en B y por tanto también estará contenido en Int(B), así pues Int(f −1 (B)) ⊂ f −1 (Int(B)) y por tanto f −1 (Int(B)) = Int(f −1 (B)). Recíprocamente supongamos que para cada B ⊂ Y se verifica que f −1 (Int(B)) = Int(f −1 (B)) entonces es claro que f es continua y si A ⊂ X es un abierto tendremos que f −1 (Int(f (A))) = Int(f −1 (f (A)) ⊃ IntA = A y por tanto que f (A) ⊂ Int(f (A)) lo que prueba que f (A) es abierto en Y . b) Supongamos que f es continua y cerrada. Sea A ⊂ X, como f es continua tenemos que f (A) ⊂ f (A) y como f es cerrada tenemos que f (A) es un cerrado en Y que contiene a f (A) y por tanto f (A) ⊃ f (A). Recíprocamente si para cada A ⊂ X se verifica que f (A) = f (A) es claro que f es continua y si A es cerrado en X será f (A) = f (A) = f (A) y por tanto f (A) será cerrado en Y .

Definición 4.5.6 Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Se dice que f es un homeomorfismo si f es biyectiva y f (T ) = T 0 . Obsérvese que si f es biyectiva se verifica que f (T ) = T 0 si y sólo si f y f −1 son continuas y en esta situación es T = {f −1 (B) : B ∈ T 0 }. El siguiente teorema tiene una demostración sencilla. Apuntes y notas de Topología


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Teorema 4.5.7 Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación biyectiva, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1) f es homeomorfismo. 2) f es abierta y −1 −1 es cerrada y continua. 5) f es abierta y continua. continua. 3)f es cerrada y continua. 4) f 6) f −1 es homeomorfismo. Definición 4.5.8 Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Se dice que f es homeomorfismo local si para cada a ∈ X existen V entorno abierto de a y W entorno abierto de 0 ). f (a) tales que f|V , la restricción de f a V , es un homeomorfismo de (V, T V ) en (W, TW Teorema 4.5.9 Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y un homeomorfismo local entonces f es continua y abierta. Demostración Sean B ∈ T 0 y a ∈ f −1 (B) tenemos que existen V entorno abierto de a y W entorno 0 ) pero B ∩ W ∈ T 0 por tanto abierto de f (a) tales que f|V es homeomorfismo de (V, TV ) en (W, TW W −1 f|V (B∩W ) = f −1 (B)∩V ∈ TV y existirá A ∈ T tal que f −1 (B)∩V = A∩V , así pues a ∈ A∩V ⊂ f −1 (B) y f −1 (B) será entorno de a en (X, T ), deducimos entonces que f −1 (B) ∈ T y que f es continua. Demostraremos ahora que f es abierta, sea A ∈ T y consideremos b ∈ f (A), sea a ∈ A tal que f (a) = b, entonces existen V entorno abierto de a y W entorno abierto de f (a) tales que f |V es un homeomorfismo 0 ). Como A ∩ V es abierto en (V, T ) tenemos que f (A ∩ V ) = f (A) ∩ W ∈ T 0 por de (V, TV ) en (W, TW V W 0 tanto existe B ∈ T tal que f (A) ∩ W = B ∩ W así pues b ∈ B ∩ W ⊂ f (A) y B ∩ W ∈ T 0 por tanto f (A) es entorno de b y deducimos que f (A) ∈ T 0 . Nota 4.5.10 1) Sean X un conjunto y T, T 0 dos topologías en X. Consideremos la aplicación identidad I : X → X, entonces la aplicación I es abierta de (X, T ) en (X, T 0 ) si y sólo si T ⊂ T 0 . La aplicación I es cerrada si y solo si T ⊂ T 0 . La aplicación I es homeomorfismo si y sólo si T = T 0 . 2) Sean (X, T ), (Y, T 0 ), (Z, T 00 ) tres espacios topológicos y las aplicaciones f : X → Y , g : Y → Z. Consideremos la aplicación g ◦ f : X → Z. Si f y g son abiertas entonces g ◦ f es abierta. Si f y g son cerradas entonces g ◦ f es cerrada. Si f y g son homeomorfismos entonces g ◦ f es homeomorfismo. 3) Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊂ X, A 6= ∅. Consideremos la aplicación inclusión j : A → X, j(a) = a, para cada a ∈ A. La aplicación j es abierta de (A, T A ) en (X, T ) si y sólo si A ∈ T . La aplicación j es cerrada si y sólo si A es cerrado en (X, T ). 4) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos, f : X → Y una aplicación y A ⊂ X. Si f es abierta y A ∈ T entonces f|A es abierta de (A, TA ) en (Y, T 0 ). Si f es cerrada y A es cerrado entonces f |A es cerrada. 5) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos, f : X → Y una aplicación y B ⊂ Y tal que Imf ⊂ B. Si f es una aplicación abierta de (X, T ) en (Y, T 0 ) entonces f es una aplicación abierta de (X, T ) en (B, T B0 ). Si f es una aplicación cerrada de (X, T ) en (Y, T 0 ) entonces f es una aplicación cerrada de (X, T ) en (B, TB0 ). Si B es abierto en Y entonces f es abierta de (X, T ) en (B, T B0 ) si y sólo si f es abierta de (X, T ) en (Y, T 0 ). Si B es cerrado en Y entonces f es cerrada de (X, T ) en (B, T B0 ) si y sólo si f es cerrada de (X, T ) en (Y, T 0 ). Antonio Aizpuru Tomás

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Si f es inyectiva, continua y abierta de (X, T ) en (Y, T 0 ) y B = Imf entonces f es un homeomorfismo de (X, T ) en (B, TB0 ). Si f es inyectiva, continua y cerrada de (X, T ) en (Y, T 0 ) y B = Imf entonces f es un homeomorfismo de (X, T ) en (B, TB0 ) 6) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos, f : X → Y una aplicación, entonces: a) f es homeomorfismo si y sólo si f es homeomorfismo local biyectivo. b) f es homeomorfismo de (X, T ) en un subespacio abierto de Y si y sólo si f es homeomorfismo local inyectivo. c) Si f es un homeomorfismo local entonces para cada A ∈ T se verifica que f |A es homeomorfismo local de (A, TA ) en (Y, T 0 ). 7) Consideremos (R, Tu ) y el intervalo abierto I = (a, b) también con la topología usual. Es sencillo 1 1 + b−t entonces f es un comprobar que si f : I → R es la aplicación definida en cada t ∈ I por f (t) = a−t homeomorfismo. 8) Sean X = [0, 2π] y S1 = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}, en X y S1 consideremos las correspondientes topologías heredadas, respectivamente, de la usual de R y la usual de R 2 . Sea f : X → S1 la aplicación definida en cada t ∈ X por f (t) = (cos t, sen t), se verifica que f es homeomorfismo local de X en S 1 pero f no es homeomorfismo ya que ni tan siquiera f es biyectiva. Si consideramos ahora la aplicación g : R → S 1 definida, para cada t ∈ R por g(t) = (cos t, sen t) tenemos que g es homeomorfismo local pero demostraremos que g no es cerrada. En efecto, tenemos que C = {2πn + n1 : n ∈ N} es cerrado en R pero f (C) = {(cos n1 , sen n1 ) : n ∈ N} no es cerrado en S1 ya que (1, 0) ∈ f (C) − f (C). 9) Sean X, Y dos espacios topológicos y f, g : X → Y dos aplicaciones continuas. Si Y es T 2 se verifica que H = {x ∈ X : f (x) = g(x)} es un subconjunto cerrado de X. Si existe A ⊂ X tal que A es denso en X y para cada x ∈ A es f (x) = g(x) entonces f = g. En efecto, sea (xd )d∈D una red contenida en H y sea x0 ∈ lim(xd ), tenemos que f (x0 ), g(x0 ) ∈ lim(f (xd )) = lim(g(xd )), pero como Y es T2 tenemos que los límites de redes serán o vacíos o unitarios. Por tanto f (x0 ) = g(x0 ) y x0 ∈ H, así pues deducimos que H es cerrado. 10) Sea X = {x, y, z} y consideremos en X las topologías T = {X, ∅, {x}}, T 0 = {X, ∅, {y}}, sea f : X → X definida por f (x) = y, f (y) = x, f (z) = z. f es homeomorfismo de (X, T ) en (Y, T 0 ) y sin embargo observemos que T y T 0 no son iguales. 11) Sean f, g : X → R dos aplicaciones reales y continuas definidas en un espacio topológico X. Se define la aplicación f ∨ g : X → R por (f ∨ g)(x) = máx{f (x), g(x)} en cada x ∈ X. Se define f ∧ g : X → R por (f ∧ g)(x) = mín{f (x), g(x)}. Demostraremos que ambas aplicaciones son continuas. Sea (x d )d∈D una red en X tal que x0 ∈ lim(xd ), tenemos que lim(f (xd )) = f (x0 ) y lim(g(xd )) = g(x0 ). Supongamos que f (x0 ) > g(x0 ) y sea > 0, ∈ R tal que g(x0 ) + < f (x0 ) − . Existen d1 ∈ D y d2 ∈ D tales que si d ≥ d1 , d ∈ D, es f (xd ) ∈ (f (x0 ) − , f (x0 ) + ) y si d ≥ d2 , d ∈ D, es g(xd ) ∈ (g(x0 ) − , g(x0 ) + ). Sea d0 ∈ D tal que d0 ≥ d1 y d0 ≥ d2 , tenemos que si d ≥ d0 es (f ∨ g)(xd ) = f (xd ) ∈ (f (x0 ) − , f (x0 ) + ) y (f ∧ g)(xd ) = g(xd ) ∈ (g(x0 ) − , g(x0 ) + ), esto prueba que lim(f ∨ g)(xd ) = f (x0 ) = (f ∨ g)(x0 ) y lim(f ∧ g)(xd ) = g(x0 ) = (f ∧ g)(x0 ). Para los casos f (x0 ) < g(x0 ) y f (x0 ) = g(x0 ) se puede hacer una demostración similar. Apuntes y notas de Topología


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Si |f | : X → R es la aplicación definida en cada x ∈ X por |f |(x) = |f (x)| tenemos que |f | = máx{f, −f } y por tanto |f | es continua en X si f lo es. 12) Sean X un espacio topológico y A ⊂ X. Se define la aplicación característica de A, χ A : X → R, por χA (x) = 1 si x ∈ A y χA (x) = 0 si x ∈ / A. Supongamos que en R se considera la topología usual (lo que siempre hay que suponer mientras no se diga lo contrario). Vamos a demostrar que {x ∈ X : χ A no es continua en x} = Fr (A). En efecto, sea x ∈ X tal que χ A no es continua en x, supongamos que x ∈ A (para x ∈ / A se razonaría de manera similar), tenemos que existe (x d )d∈D red en X tal que x ∈ lim(xd ) y es falso que lim χA (xd ) sea igual a χA (x) = 1, existe por tanto > 0, ∈ R, de modo que para cada d0 ∈ D existe d ≥ d0 , d ∈ D tal que χA (xd ) ∈ / (1 − , 1 + ), es decir χA (xd ) = 0 y xd ∈ X − A, así pues es claro que si U es entorno de x entonces U ∩ (X − A) 6= ∅, U ∩ A 6= ∅ y por tanto es x ∈ Fr(A). Supongamos ahora que x ∈ Fr(A), vamos a demostrar que χ A no es continua en x, suponemos también que x ∈ A (para x ∈ / A se razonaría de manera similar). Tenemos que 12 , 32 es entorno de χA (x) = 1 1 3 pero χ−1 A ( 2 , 2 ) ⊂ A y por tanto no puede ser entorno de x pues x ∈ X − A.

Finalmente observemos que χA será continua en X si y sólo si Fr(A) = ∅ es decir si y sólo si A es un clopen en X. Nota 4.5.11

1) Sea P una propiedad relativa a espacios topológicos y sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos, f : X → Y una aplicación y B = Imf . Diremos que P es una propiedad topológica si cuando X tiene P y f es un homeomorfismo se verifica que Y tiene P . Diremos que P es invariante por aplicaciones continuas si cuando X tiene P y f es continua se verifica que (B, T B0 ) tiene P . Diremos que P es invariante por aplicaciones continuas abiertas y sobreyectivas si cuando X tiene P y f es continua, abierta y sobreyectiva se verifica que Y tiene P . De manera análoga se define el concepto de P invariante por aplicaciones continuas, cerradas y sobreyectivas. Es fácil comprobar que {f −1 (D) : D ∈ T 0 } es una topología en X, esta topología la denotaremos por f −1 (T 0 ). Diremos que P se conserva por imagen inversa si cuando (Y, T 0 ) tiene la propiedad P y f es una aplicación cualesquiera de X en Y se verifica que (X, f −1 (T 0 )) tiene P . De manera análoga se define el concepto de propiedad P que se conserva por imagen inversa de aplicación inyectiva. Es razonable afirmar que lo menos que debe tener una propiedad P para que podamos decir de ella que es una propiedad propia de la topología es que P sea una propiedad topológica. 2) Es sencillo comprobar que las propiedades de separación T 0 , TD , T1 , T2 y T2a se conservan por imagen inversa de aplicación inyectiva y además son todas propiedades topológicas. Observemos que f : (R, Tu ) → (R, Tt ) definida para cada x ∈ R, por f (x) = x, es continua y sobreyectiva y (R, Tu ) tiene todas la propiedades anteriores pero (R, T t ) no tiene ninguna. 3) Las propiedades IAN y IIAN se conservan por imagen inversa de aplicaciones inyectivas además son invariantes por aplicaciones continuas abiertas y sobreyectivas por lo que también son propiedades topológicas. Finalmente observemos que f : (R, Tu ) → (R, TCF ) definida, en cada x ∈ R, por f (x) = x es continua y sobreyectiva y (R, Tu ) es IAN y IIAN pero (R, TCF ) no tiene ninguna de esas dos propiedades. 4) Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación continua. Si X es Lindelöf entonces f (X) es Lindelöf, por tanto la propiedad Lindelöf es topológica. En efecto, sea {Bi }i∈I una familia de abiertos de Y que recubren a f (X) entonces {f −1 (BS i )}i∈I es una familia de abiertosSen X que recubren a X y por tanto existe J ⊂ I, numerable, tal que X ⊂ i∈J f −1 (Bi ) así pues f (X) ⊂ i⊂J Bi . Antonio Aizpuru Tomás

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6. ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS. COMPLECCIÓN DE UN ESPACIO MÉTRICO

5) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación continua. Si (X, T ) es separable entonces (f (X), T 0 f (X)) es separable y por tanto la propiedad separable es topológica. En efecto, sea M ⊂ X un subconjunto de X numerable y denso en X. Sea Z = f (X), un abierto en Z será de la forma Z ∩ B donde B ∈ T 0 , entonces f −1 (Z ∩ B) = f −1 (B) que es abierto en X y por tanto existe a ∈ M tal que a ∈ f −1 (B) así pues f (a) ∈ Z ∩ B y por tanto f (M ) es denso en (Z, T Z0 ). 6) Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación continua, abierta y sobreyectiva, si X es de Baire entonces Y es también de Baire, así pues la propiedad Baire es una propiedad topológica. En efecto, si C es subconjunto diseminado de Y tenemos, por la continuidad de f , que f −1 (C) ⊂ f −1 (C) y por tanto Int (f −1 (C)) ⊂ Int (f −1 (C)) pero por ser f abierta tenemos que Int(f −1 (C)) = f −1 ( Int (C)) = ∅ así pues Int(f −1 (C)) = ∅. S Si C es de 1a categoría en Y tenemos que C = n∈N Cn donde para cada n ∈ N es Cn diseminado, por S tanto f −1 (C) = n∈N f −1 (Cn ) será de 1a categoría en X. Si B es abierto en Y entonces B no puede ser de 1a categoría ya que entonces f −1 (B) sería un abierto en X de 1a categoría y esto no es posible pues X es de Baire.

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Espacios métricos completos. Complección de un espacio métrico

Sea (X, d) un espacio métrico y sea (x n )n∈N una sucesión en X, se dice que (xn )n∈N es de Cauchy si para cada > 0, ∈ R, existe m ∈ N tal que para cada n ≥ m, n ∈ N, es d(x m , xn ) < . Observemos que decir que (xn )n∈N es de Cauchy es equivalente a afirmar que para cada > 0, ∈ R, existe n0 ∈ N tal que para cada p, q ∈ N con p ≥ n0 , q ≥ n0 se verifica que d(xp , xq ) < . Si (xn )n∈N es una sucesión convergente a x ∈ X entonces (x n )n∈N es de Cauchy. En efecto, dado > 0, ∈ R, existe n0 ∈ N tal que d(xn , x) < 2 si n ∈ N y n ≥ n0 , entonces si p, q ∈ N y p ≥ n0 , q ≥ n0 tenemos que d(xp , xq ) ≤ d(xp , x) + d(x, xq ) < 2 + 2 = . Finalmente observemos que el concepto de sucesión de Cauchy es un concepto que en principio no es trasladable a cualquier espacio topológico. Además la propiedad "ser sucesión de Cauchy" no es una propiedad topológica. En efecto, consideremos en R la métrica usual d(x, y) = |x − y|, consideremos y x también d0 (x, y) = | 1+|x| − 1+|y| |, es fácil probar que d0 es una métrica en R topológicamente equivalente a d y que se verifica que (n)n∈N es una sucesión de Cauchy en (R, d0 ), es claro que (n)n∈N no es de Cauchy en (R, d). Si d1 y d2 son métricas equivalentes en un conjunto X es evidente que entonces una sucesión (x n )n∈N de X es de Cauchy en (X, d1 ) si y sólo si es de Cauchy en (X, d2 ). Sea (X, d) un espacio métrico, se dice que (X, si toda sucesión de Cauchy es convergente. Pnd) es1 completo Si d es la métrica usual de R tenemos que k=0 k! n∈N es una sucesión de Cauchy en (Q, d) que no es convergente en (Q, d), así pues el espacio métrico (Q, d) no es completo. Es sobradamente conocido que el espacio métrico (R, d) si que es completo, observemos además que si d 0 es la métrica definida en R por y x d0 (x, y) = | 1+|x| − 1+|y| | entonces (R, d0 ) no es completo y d0 es topológicamente equivalente a d. El concepto de sucesión de Cauchy y de completitud se definen en un espacio seudométrico de igual forma que aquí se ha hecho para los espacios métricos. A continuación estudiaremos tres importantes propiedades de los espacios métricos completos.



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Teorema 4.6.1 (de Cantor) Sea (X, d) un espacio métrico entonces (X, d) es completo si y sólo si para cada sucesión (Ai )i∈N de subconjuntos T cerrados y no vacíos de X tales que A n+1 ⊂ An para cada n ∈ N y limn→∞ d(An ) = 0 se verifica que i∈N Ai es un conjunto unitario. Demostración Supongamos que (X, d) es completo y que (A i )i∈N es una sucesión de subconjuntos cerrados y no vacíos de X que verifica que lim n→∞ d(An ) = 0 y An+1 ⊂ An para cada n ∈ N. Para cada n ∈ N escogemos xn ∈ An . Consideremos > 0, ∈ R, entonces existe m ∈ N tal que d(A m ) < y para cada n ≥ m, n ∈ N, tenemos que xm , xn ∈ Am y por tanto d(xm , xn ) ≤ d(Am ) < , así pues (xn )n∈N es de Cauchy. Sea x ∈ X tal que lim(xn ) = x, entonces para cada T m ∈ N tenemos que {x n : n ≥ m} ⊂ Am y como Am es cerrado será x ∈ Am . Por otra parte si y ∈ m∈N Am es claro que d(x, y) ≤ d(Am ) para cada m ∈ N y por tanto d(x, y) = 0 y x = y. Recíprocamente, supongamos que se verifica la propiedad del enunciado y sea (x n )n∈N una sucesión de Cauchy en X. Para cada m ∈ N consideremos B m = {xn : n ∈ N, n ≥ m} y Am = Bm , es sencillo comprobar que en un espacio métrico se verifica que d(A) = d(A) y también es sencillo comprobar que para T la sucesión de cerrados (An )n∈N se verifica que lim d(Am ) = 0, así pues existe x ∈ X tal que i∈N Ai = {x} y como para cada n ∈ N es d(x, xn ) ≤ d(An ) deducimos que lim(xn ) = x. Nota 4.6.2 1) Si (X, d)Tes un espacio seudométrico el teorema anterior es verdadero pero sustituyendo T " i∈N Ai es unitario" por " i∈N Ai 6= ∅".

2) Sea (X, d) un espacio métrico y sea (A i )i∈N una sucesión de subconjuntos cerrados de X con A i+1 ⊂ Ai para cada i ∈ N. Observemos que si d(A 1 ) < ∞ entonces (d(An ))n∈N T será una sucesión convergente de números reales. Si lim d(An ) = α y α > 0 no podemos afirmar que sea i∈N Ai 6= ∅ ni siquiera en el caso en que (X, d) sea completo. Si el espacio (X, d)Ttuviese la propiedad de que para cada sucesión, (A i )i∈N , decreciente de cerrados con d(A1 ) < ∞ fuese i∈N Ai 6= ∅ tendríamos que para cada sucesión (x n )n∈N que estuviese contenida en algún conjunto A con d(A) < ∞ se verificaría que Agl(x n ) 6= ∅ y esto no es cierto en muchos espacios métricos completos. Consideremos X = N y d la métrica discreta en X, tenemos que (X, d) es un espacio métrico completo y si A1 = N y AT n = N − {1, . . . , n − 1}, n ∈ N, n > 1, se verifica que (A n )n∈N es una sucesión decreciente de cerrados y n∈N An = ∅. Teorema 4.6.3 (de Baire) Si (X, d) es un espacio métrico completo entonces es de Baire. Demostración Sea (An )n∈N una sucesión de T abiertos densos en X vamos a demostrar que T si A es cualquier abierto no vacío de X entonces A ∩ ( n∈N An ) 6= ∅ y desde aquí deduciremos que n∈N An es efectivamente denso en X. Sea A abierto no vacío, por un procedimiento inductivo vamos a construir una sucesión de bolas cerradas (B(xn , rn ))n∈N tales que B(x1 , r1 ) ⊂ A y que para cada n ∈ N sea B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn ) ∩ An , rn < n1 . Como A es abierto y no vacío existen x 1 ∈ A y r1 ∈ (0, 1) tales que B(x1 , r1 ) ⊂ A, como A1 es abierto y denso en X tenemos que B(x1 , r1 ) ∩ A1 es abierto no vacío, por tanto existen x 2 ∈ B(x1 , r1 ) ∩ A1 y r2 ∈ (0, 12 ) tales que B(x2 , r2 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ∩ A1 . Supongamos ahora que ya hemos construido B(x1 , r1 ) . . . B(xn , rn ) con las propiedades deseadas, entonces, como A n es abierto y denso en X, tenemos Antonio Aizpuru Tomás

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1 que B(xn , rn ) ∩ An es abierto y no vacío, por tanto existen x n+1 ∈ B(xn , rn ) ∩ An y rn+1 ∈ (0, n+1 ) tales que B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(xn , rn ) ∩ An .

La sucesión de bolas cerradas (B(xn , rn ))n∈N T está en la situación del teorema de Cantor y por tanto como (X, d) es completo existe x ∈ X tal que x ∈ n∈N B(xn , rn ), pero para cada n ∈ NTes B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ An y B(xn+1 , rn+1 ) ⊂ B(x1 , r1 ) ⊂ A así pues x ∈ A y x ∈ An , por tanto x ∈ A ∩ ( n∈N An ). Nota 4.6.4 Es fácil comprender que este último teorema es verdadero con la hipótesis de que (X, d) sea seudométrico completo. Definición 4.6.5 Sean (X, d), (Y, d0 ) dos espacios métricos y f : X → Y una aplicación, se dice que f es una isometría si para cada x1 , x2 ∈ X se verifica que d0 (f (x1 ), f (x2 )) = d(x1 , x2 ). Es claro que si f es isometría entonces f es inyectiva y uniformemente continua en X, además f será un homeomorfismo de (X, d) en (f (X), d0 ) y por tanto si f (X) = Y entonces f será un homeomorfismo de (X, d) en (Y, d0 ). Se dice que dos espacios métricos (X, d), (Y, d 0 ) son isométricos si existe alguna aplicación f : (X, d) → (Y, d0 ) que sea isometría sobreyectiva. Sea ahora la aplicación g : X → X, se dice que g es contractiva si existe un número real k ∈ (0, 1) tal que d(g(x), g(y)) ≤ kd(x, y) para cada x, y ∈ X. Es claro que entonces g será uniformemente continua en X. Nota 4.6.6 Consideremos en R los intervalos X = [0, 2], Y = [0, 4] y en ambos consideremos la métrica d usual de R. Sea f : (X, d) → (Y, d) la aplicación definida por f (x) = x 2 , para cada x ∈ X, es claro que f es un homeomorfismo de X en Y pero no es una isometría. Teorema 4.6.7 (de Banach) Si (X, d) es un espacio métrico completo y f : X → X es una aplicación contractiva entonces f admite un punto fijo único, es decir existe x ∈ X tal que f (x) = x y si y ∈ X es tal que f (y) = y entonces x = y. Demostración Sea k ∈ (0, 1) tal que d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) para cada x, y ∈ X. Construimos una sucesión (xn )n∈N en X de la siguiente forma: sea x1 ∈ X un elemento arbitrario y para cada n ∈ N definimos xn+1 = f (xn ). Probaremos que la sucesión (xn )n∈N es de Cauchy. Primero probaremos, por inducción, que para cada n ∈ N es d(xn , xn+1 ) ≤ k n−1 d(x1 , x2 ); en efecto: la desigualdad es cierta para n = 1 y si fuese cierta para n tendríamos que d(x n+1 , xn+2 ) = d(f (xn ), f (xn+1 )) ≤ kd(xn , xn+1 ) ≤ kk n−1 d(x1 , x2 ) = k n d(x1 , x2 ). Para cada m, p ∈ N tenemos que d(xm , xm+p ) ≤ d(xm , xm+1 ) +d(xm+1 , xm+2 )+· · ·+d(xm+p−1 , xm+p ) ≤ m−1 (1−k p ) m−1 (k m−1 + k m + · · · + k m+p−2 )d(x1 x2 ) = k 1−k d(x1 x2 ) ≤ k1−k d(x1 x2 ), como la sucesión (k m−1 )m∈N es convergente a cero deducimos con facilidad que efectivamente la sucesión (x n )n∈N es de Cauchy en X y por tanto existe x ∈ X tal que lim(xn ) = x, pero entonces será f (x) = lim(f (x n )) = lim(xn+1 ) = x. Finalmente si y ∈ X es tal que f (y) = y tenemos que d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ kd(x, y) así pues como k ∈ (0, 1) necesariamente será d(x, y) = 0 y por tanto x = y. Apuntes y notas de Topología


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Teorema 4.6.8 Sea (X, d) un espacio métrico y sea A ⊂ X un subconjunto denso en X. Si cada sucesión de Cauchy en (A, d) es convergente en (X, d) entonces (X, d) es completo. Demostración Sea (xn )n∈N una sucesión de Cauchy en (X, d), para cada n ∈ N existirá y n ∈ A tal que d(xn , yn ) < n1 , vamos a demostrar que (yn )n∈N es de Cauchy. Sea > 0, ∈ R, existe n1 ∈ N tal que para cada p, q ≥ n1 es d(xp , xq ) < 2 , sea n2 ∈ N tal que n12 < 4 y sea n0 = máx(n1 , n2 ) entonces para cada p, q ≥ n0 tenemos que d(yp , yq ) ≤ d(yp , xp ) + d(xp , xq ) + d(xq , yq ) ≤ 1p + 2 + 1q < . Así pues, por hipótesis, existe y ∈ X tal que lim(y n ) = y, pero entonces como para cada n ∈ N es 0 ≤ d(xn , y) ≤ d(xn , yn ) + d(yn , y) < n1 + d(yn , y) deducimos que lim(xn ) = y. Nota 4.6.9 Complección de un espacio métrico no completo. Sea (X, d) un espacio métrico no completo y denotaremos por SC(X, d) al conjunto de las sucesiones de Cauchy en (X, d). Definimos en SC(X, d) la relación: (x n )n∈N R(yn )n∈N si y sólo si la sucesión real (d(xn , yn ))n∈N es convergente a cero. Es sencillo comprobar que R es una relación de equivalencia y denotamos por CX al conjunto cociente SC(X, d)/R. La clase de equivalencia o elemento de CX definido por la sucesión de Cauchy (x n )n∈N será denotada por {(xn )}. Definimos en CX: d({(xn )}, {(yn )}) = lim d(xn , yn ), demostraremos primero que si (xn )n∈N y (yn )n∈N son sucesiones de Cauchy efectivamente (d(x n , yn ))n∈N es una sucesión convergente en R. Sea > 0, ∈ R, entonces existen n1 , n2 ∈ N tales que si p, q ≥ n1 es d(xp , xq ) < 2 y si p, q ≥ n2 es d(yp , yq ) < 2 , entonces si p, q ≥ n0 = máx(n1 , n2 ) tenemos que |d(xp , yp ) − d(xq , yq )| ≤ |d(xp , yp ) − d(xq , yp )| + |d(xq , yp ) − d(xq , yq )| ≤ d(xp , xq ) + d(yp , yq ) < , así pues (d(xn , yn ))n∈N es una sucesión de Cauchy en R y por tanto será convergente. Ahora demostraremos que el resultado de d({(x n )}, {(yn )}) no depende del representante de clase que se utilice. Sean (x0n )n∈N ∈ {(xn )} y (yn0 )n∈N ∈ {(yn )} demostraremos que lim d(x0n , yn0 ) = lim d(xn , yn ). En efecto, para cada n ∈ N tenemos que d(xn , yn ) ≤ d(xn , x0n ) + d(x0n , yn0 ) + d(yn0 , yn ) d(x0n , yn0 ) ≤ d(x0n , xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , yn0 ) y como lim d(xn , x0n ) = lim d(yn , yn0 ) = 0 deducimos que lim d(xn , yn ) = lim d(x0n , yn0 ). Así pues tenemos que d es una aplicación de CX × CX en R y probaremos que d es una métrica en CX. Para cada {(xn )}, {(yn )} y {(zn )} de CX tenemos que: d({(xn )}, {(yn )}) ≥ 0 y d({(xn )}, {(yn )}) = d({(yn )}, {(xn )}). Si d({(xn )}, {(yn )}) = 0 entonces lim d(xn , yn ) = 0 y por tanto {(xn )} = {(yn )}. Finalmente d({(xn )}, {(yn )}) = lim d(xn , yn ) ≤ lim d(xn , zn ) + + lim d(zn , yn ) = d({(xn )}, {(zn )}) + d({(zn )}, {(yn )}). Para cada x ∈ X denotaremos por (x) a la sucesión constante de valor x que evidentemente será de Cauchy. Consideremos la aplicación C : X → CX definida para cada x ∈ X por C(x) = {(x)} tenemos pues para cada x, y ∈ X que d(C(x), C(y)) = d(x, y) y por tanto C es una isometría de (X, d) sobre (C(X), d). Veamos que C(X) es denso en CX. En efecto, sean {(x n )} ∈ CX y > 0, ∈ R, entonces existe m ∈ N Antonio Aizpuru Tomás

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tal que para cada n ≥ m es d(xm , xn ) < 2 , por tanto será d(C(xm ), {(xn )}) = limn d(xm , xn ) ≤ por tanto C(xm ) ∈ C(X) ∩ Bd ({(xn )}, ).

2

< ,

Como C(X) es denso en (CX, d) tenemos que para probar que (CX, d) es completo bastaría con probar que cada sucesión de Cauchy en C(X) converge en CX. Sea (C(x n ))n∈N una sucesión de Cauchy en C(X), es claro que (xn )n∈N es una sucesión de Cauchy en X y que {(x n )} es un elemento de CX, vamos a demostrar que (C(xn ))n∈N converge en CX precisamente a {(xn )}. En efecto, sea > 0, existe n0 ∈ N tal que para cada m, n ≥ n0 es d(xm , xn ) < 2 , pero entonces para cualquier m > n0 que fijemos se verificará que d(C(xm ), {(xn )}) = limn d(xm , xn ) ≤ 2 < y por tanto lim(C(xn )) = {(xn )}. ˜ f ] tal que: Sea (Z, d) un espacio métrico no completo, se llama complección de (Z, d) a todo par [(Y, d), ˜ es un espacio métrico completo. a) (Y, d) ˜ es una isometría. b) f : (Z, d) → (Y, d) c) f (Z) es denso en Y . ˜ f] Así pues podemos decir que [(CX, d), C] es una complección de (X, d). Vamos a demostrar que si [(Y, d), ˜ tal es otra complección de (X, d) entonces existe una única isometría sobreyectiva ϕ de (CX, d) en (Y, d) ˜ que ϕ ◦ C = f . Vamos a definir la aplicación ϕ de (CX, d) en (Y, d) de la siguiente forma: Si z ∈ C(X) entonces existe un único x ∈ X tal que z = C(x) y lo inmediato será definir ϕ(C(x)) por f (x). Si z ∈ CX − C(X) sabemos que existe una sucesión (C(x n ))n∈N en C(X) tal que lim C(xn ) = z, como (C(xn )) es de Cauchy en CX tenemos que (xn ) es de Cauchy en X y por tanto (f (xn ))n∈N es de Cauchy en Y , así pues (f (xn ))n∈N converge a cierto y ∈ Y , definimos ϕ(z) = y. Veamos que la definición ϕ(z) no depende de la sucesión (C(xn ))n∈N que escojamos en C(X) convergiendo a z. En efecto, si (C(x 0n ))n∈N es otra sucesión en C(X) que converge a z es claro que lim d(x n , x0n ) = 0 y como f es isometría será ˜ (xn ), f (x0 )) = 0 y por tanto lim f (x0 ) = lim f (xn ) = y. lim d(f n n Demostraremos que ϕ es una isometría, sean z 1 , z2 ∈ CX entonces existen dos sucesiones (C(x 0n ))n∈N , (C(x00n ))n∈N en C(X) tales que lim(C(x0n )) = z1 y lim(C(x00n )) = z2 , tenemos que lim f (x0n ) = ϕ(z1 ) y lim f (x00n ) = ˜ (x0 ), f (x00 )) = d(ϕ(z ˜ ϕ(z2 ), entonces d(z1 , z2 ) = lim d(C(x0n ), C(x00n )) = lim d(x0n , x00n ) = lim d(f 1 ), ϕ(z2 )). n n Es evidente que se verifica que ϕ0 C = f demostraremos ahora que ϕ es sobreyectiva. En efecto, si y ∈ Y , por la densidad de f (X) en Y , tenemos que existe una sucesión (x n )n∈N en X tal que lim(f (xn )) = y, pero entonces como (f (xn )) es de Cauchy en Y y f es isometría tenemos que (x n )n∈N será de Cauchy en X y por tanto (C(xn )) será una sucesión de Cauchy en CX, así pues existe z ∈ CX tal que lim(C(x n )) = z, es evidente que ϕ(z) = y. ˜ otra isometría sobreyectiva tal que Finalmente demostraremos la unicidad de ϕ. Sea ϕ 0 : (CX, d) → (Y, d) 0 0 ϕ ◦ C = f entonces para cada x ∈ C(X) es ϕ (C(x)) = f (x) = ϕ(C(x)) por tanto ϕ y ϕ 0 coinciden en un subconjunto denso de CX y por tanto ϕ = ϕ 0 . ˜ f ] y [(Z, d), ˜ g] dos complecciones de un mismo espacio métrico (X, d), entonces existe ϕ 1 : Sean [(Y, d), ˜ isometría sobreyectiva tal que ϕ 1 ◦ C = f y también existe ϕ2 : (CX, d) → (Z, d) ˜ (CX, d) → (Y, d) −1 isometría sobreyectiva tal que ϕ2 ◦ C = g. Es sencillo comprobar que ϕ = ϕ 2 · ϕ1 es una isometría ˜ en (Z, d) ˜ y que ϕ · f = g. sobreyectiva de (Y, d) Así pues si (X, d) es un espacio métrico podemos identificar X con un subconjunto denso de su complección y podemos considerar que la complección es un espacio métrico completo (Y, d) de modo que X es un Apuntes y notas de Topología


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subconjunto denso de Y . En esta situación vamos a estudiar el concepto de espacio métrico topológicamente completo. Se dice que (X, d) es topológicamente completo si existe una métrica d 0 en X topológicamente equivalente a d tal que (X, d0 ) es completo. Demostraremos ahora que (X, d) es topológicamente completo si y sólo si X es un subconjunto Gδ de su complección (Gδ =intersección numerable de abiertos). En efecto, supongamos que X = ∩n∈N Bn donde para cada n ∈ N es Bn un subconjunto abierto de la complección (Y, d) de X. Para cada n ∈ N sea Cn = Y − Bn y definimos en X la aplicación fn (x) = d(x, Cn )−1 . t ˆ y) = Consideremos la aplicación h de R en R dada por h(t) = y definimos en cada x, y ∈ X : d(x, 1 + t P d(x, y) + n∈N 2−n h(|fn (x) − fn (y)|), es sencillo comprobar que dˆ es una métrica en X y que d(x, y) ≤ ˆ y). Sea (xn )n∈N una sucesión de Cauchy en (X, d), ˆ es claro que (xn ) es también una sucesión de d(x, Cauchy en (Y, d) y por tanto será convergente en (Y, d) a cierto y ∈ Y . Consideremos n ∈ N, tenemos que fn es una función continua definida en (X, d), así pues la sucesión f n (xm ))n∈N será de Cauchy en R y por tanto será convergente a cierto a n ∈ R, pero esto significa que limm→∞ d(xm , Cn ) = a1n > 0, lo que implica que d(y, Cn ) = a1n > 0 y que y ∈ / Cn . Deducimos que y ∈ ∩n∈N Bn = X. Veamos ahora ˆ como cada fn es una función real y continua definida en que (xm ) también converge a y en la métrica d: P −i < ε , (X, d) tenemos que limm→∞ h(|fn (xm ) − fn (y)|) = 0. Sea ε > 0, existe k ∈ N tal que ∞ i=k+1 2 3 ε para cada j ∈ {1, 2, . . . , k} existe nj ∈ N tal que si n ≥ nj es h(|fj (xn ) − fj (y)|) < 3k , además existe m ∈ N tal que si n ≥ m es d(xn , y) < 3ε , así pues si n ≥ n0 = máx(n1 , n2 , . . . , nk , m) es claro que Pk ε ε −i ≤ ε + ˆ n , y) ≤ d(xn , y) + Pk h(|fi (xn ) − fi (y)|) + P∞ d(x i=1 i=k+1 2 i=1 3k + 3 = ε. 3 ˆ es completo, además observemos que ha quedado probado que toda sucesión Ha quedado probado que (X, d) ˆ y con el mismo límite, este hecho unido a que convergente en (X, d) es también convergente en (X, d) ˆ ˆ d ≤ d prueba que d y d son métricas topológicamente equivalentes en X.

ˆ es Supongamos ahora que en X existe una métrica dˆ topológicamente equivalente a d tal que (X, d) completo, demostraremos que X es un conjunto G δ en su complección (Y, d). Para cada ε > 0 y n ∈ N 1 ˆ ˆ consideremos An (ε) = {y ∈ Y : diamB d (y, ε) < n } donde por diam entendemos el diámetro respecto de ˆ sea An = ∪ε>0 An (ε). Sea x ∈ An entonces existe ε > 0 tal que x ∈ An (ε), sea z ∈ Bd (x, ε ) la métrica d, 2 ε 1 ˆ y veamos que z ∈ An ( 2ε ), tenemos que Bd (z, 2ε ) ⊂ Bd (x, ε) y por tanto diamB d (z, 2 ) < n , esto prueba 1 que Bd (x, 2ε ) ⊂ An y por tanto que An es abierto. Si x ∈ X y n ∈ N consideremos B dˆ(x, 2n ), tenemos que 1 existe ε > 0, ε ∈ R, tal que Bd(x, ε) ⊂ Bdˆ(x, 2n ), así pues x ∈ An (ε) ⊂ An , deducimos que X ⊂ ∩n∈N An . Por otra parte si x ∈ ∩n∈N An como X es denso en Y tenemos que existe una sucesión (x n )n∈N de X tal que limn→∞ d(xn , x) = 0. Sea ε > 0 y sea n ∈ N tal que n1 < ε, entonces existe r > 0 tal que x ∈ An (r) ˆ es decir diamB(x, r) < n1 , también existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 , n ∈ N, es d(xn , x) < r. Por tanto ˆ p , xq ) < ε, así pues (xn )n∈N es de Cauchy en para cada p, q ≥ n0 será xp , xq ∈ Bd (x, r) y por tanto d(x ˆ y por tanto existe y ∈ X tal que en (X, d) ˆ es limn→∞ (xn ) = y por tanto x = y ∈ Y . Deducimos (X, d) que ∩An = X. Concluiremos exponiendo una construcción del cuerpo de los números reales, a partir del cuerpo de los números racionales, usando la técnica de la complección de un espacio métrico. Consideremos en Q la métrica usual definida en cada x, y ∈ Q por d(x, y) = |x − y|, tenemos que (Q, d) es un espacio métrico no completo y consideremos la complección (CQ, d). En CQ definimos las operaciones {(x n )} + {(yn )} = {(xn + yn )} ; {(xn )} · {(yn )} = {(xn · yn )}, es sencillo demostrar que el resultado de las mismas no depende del representante de clase que se utilice y que (CQ, +, ·) es un cuerpo. Definimos en CQ la relación: {(xn )} ≤ {(yn )} si y sólo si {(xn )} = {(yn )} o bien existen a > 0, a ∈ Q y n0 ∈ N tales que a < yn − xn para cada n ≥ n0 . Es sencillo comprobar que esta relación no depende del representante de clase que se utilice y que efectivamente es un orden en CQ. Si consideramos ahora la Antonio Aizpuru Tomás

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aplicación biyectiva C : Q → C(Q) ⊂ CQ tenemos que para cada x, y ∈ Q se verifica: a) C(x + y) = C(x) + C(y) b) C(x · y) = C(x) · C(y) c) x ≤ y si y sólo si C(x) ≤ C(y) Finalmente se comprueba que (CQ, +, ·, ≤) es un cuerpo ordenado y completo es decir que es el cuerpo de números reales. Observemos que Q con la métrica usual no es topológicamente completo ya que Q no es un conjunto G δ de su complección que es R. En efecto, si fuese Q = ∩ n∈N An , donde An ⊂ R es un conjunto abierto para cada n ∈ N, deducimos que R = [∪n∈N (X − An )] ∪ [∪q∈Q {q}] será unión numerable de cerrados fronterizos lo que contradice la propiedad Baire de R.


CAPÍTULO 5

Producto de espacios topológicos. Topología inicial Índice del Tema

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1

Topología producto de un número finito de espacios topológicos . . . . . . . . .

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Topología inicial y topología producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Topología producto de un número finito de espacios topológicos

Consideremos R con su topología usual, cualquier primer curso de Análisis Matemático dedica gran cantidad de tiempo al estudio de la convergencia de sucesiones y series y también al estudio de los límites y continuidad de funciones reales de una variable real. El esfuerzo que se realiza merece la pena, ya que en el posterior curso de análisis, cuando se considera R n con su topología usual, hay que decir muy pocas cosas sobre la convergencia de sucesiones y series y sobre el límite y continuidad de funciones de una variable real con valores en Rn , el esfuerzo se concentra por tanto en el estudio de las funciones reales de varias variables. Esto es así debido a que si tenemos una sucesión en R n : (xi )i∈N , donde xi = (xi1 , . . . , xin ) ∈ Rn para cada i ∈ N, entonces se verifica que lim i→∞ (xi ) = a, donde a = (a1 , . . . , an ) ∈ Rn , si y sólo si para cada j ∈ N se verifica que limi (xij ) = aj , así pues la convergencia de los vectores de R n queda reducida a la convergencia para cada una de sus coordenadas, observemos que de este resultado se deduce que para cada j ∈ {1 . . . n}, la correspondiente aplicación proyección p j : Rn → R, pj (x1 , . . . , xj , . . . , xn ) = xj es una aplicación continua. Si consideramos una aplicación f : A ⊂ R → R n es sencillo comprobar que f es continua en a ∈ A si y sólo si para cada j ∈ {1 . . . n} la llamada aplicación componente f j = pj ◦ f es continua en a. Trataremos de conseguir una generalización de esta relación topológica entre R y R n . Consideremos un espacio topológico (X, T ), nuestro propósito es dotar al producto cartesiano X ×X de una topología Tp de manera que la relación entre (X × X, T p ) y (X, T ) sea similar a la relación que teníamos entre R2 y R. En principio seremos algo más ambiciosos y comenzaremos por dos espacios topológicos (X1 , T1 ) y (X2 , T2 ) no necesariamente iguales. Trataremos de definir en X = X 1 × X2 una topología Tp , que llamaremos topología producto, de modo que se verifiquen, al menos, las siguientes propiedades deseables:

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1. TOPOLOGÍA PRODUCTO DE UN NÚMERO FINITO DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS

1) Sean (xd )d∈D una red en X y x ∈ X, donde x = (x1 , x2 ) y para cada d ∈ D es xd = (x1d , x2d ), entonces se verifica que x ∈ lim(xd ) en (X, Tp ) si y sólo si x1 ∈ lim(x1d ) en (X1 , T1 ) y x2 ∈ lim(x2d ) en (X2 , T2 ). 2) Consideremos las aplicaciones proyecciones p 1 : X → X1 y p2 : X → X2 que están definidas en cada x = (x1 , x2 ) ∈ X por p1 (x) = x1 y p2 (x) = x2 , entonces se verifica que p1 es una aplicación continua de (X, Tp ) en (X1 T1 ) y p2 es una aplicación continua de (X, Tp ) en (X2 T2 ) 3) Si (Y, T ) es un espacio topológico y f : (Y, T ) → (X, T p ) es una aplicación entonces f es continua si y sólo si son continuas las aplicaciones f 1 = p1 ◦ f y f2 = p2 ◦ f . No es difícil comprobar que la propiedad 2) es consecuencia de 3) y que 1) es equivalente a 3) pero ahora no entraremos en esa cuestión y trataremos sólo de decidir quien va a ser la familia T p de subconjuntos de X = X1 × X2 a la que llamaremos topología producto. Como pretendemos que las proyecciones p 1 y p2 −1 sean continuas tendrá que suceder que S = {p −1 1 (A) = A × X2 , p2 (B) = X1 × B : A ∈ T1 , B ∈ T2 } esté contenido en Tp . Por tanto Tp tendrá también que contener a la topología T que engendre S, es decir, la topología T que está determinada por la base de las intersecciones finitas de S : B p = {A × B : A ∈ T1 , B ∈ T2 }. Una vez que hemos deducido que Tp tiene que contener a la topología que hemos denotado por T nos preguntamos si Tp puede ser más grande que T , es decir, si puede suceder que T ⊂ T p y T 6= Tp . Si así fuese y considerásemos la aplicación identidad I : (X, T ) → (X, T p ) tendríamos que I no es continua pero sin embargo es sencillo comprobar que p 1 ◦ I, p2 ◦ I sí que lo son, así pues sucedería que T p no verificaría la propiedad 3), por tanto no queda más remedio que T = T p . Definición 5.1.1 Si (X1 , T1 ) y (X2 , T2 ) son dos espacios topológicos a la topología T p en X = X1 × X2 que tiene por subbase a S = {A × X2 , X1 × B : A ∈ T1 , B ∈ T2 } se le llama topología producto de T 1 y T2 , se denota también Tp = T1 × T2 . Observemos que la topología Tp tiene como base a Bp = {A × B : A ∈ T1 , B ∈ T2 }. Estudiaremos ahora propiedades y ejemplos sobre el producto de dos espacios topológicos. El siguiente teorema recoge los aspectos fundamentales y sólo demostraremos aquello que sea menos evidente. Teorema 5.1.2 Sean (X1 , T1 ), (X2 , T2 ) dos espacios topológicos y (X, Tp ) el correspondiente espacio producto. 1. Si B1 es base de T1 y B2 es base de T2 entonces B = {A × B : A ∈ B1 , B ∈ B2 } es base de Tp . 2. Si S1 es subbase de T1 y S2 es subbase de T2 entonces S = {A × B : A ∈ S1 , B ∈ S2 } es subbase de Tp . 3. Si bx1 es base de entornos de x1 ∈ X1 y bx2 es base de entornos de x2 ∈ X2 entonces b(x1 ,x2 ) = {A × B : A ∈ bx1 , B ∈ bx2 } es base de entornos de (x1 , x2 ) en Tp . 4. Sean (xd )d∈D una red en X y x ∈ X, donde x = (x1 , x2 ) y para cada d ∈ D es xd = (x1d , x2d ) entonces x ∈ lim(xd ) si y sólo si x1 ∈ lim(x1d ) en X1 y x2 ∈ lim(x2d ) en X2 . 5. Las proyecciones p1 : X → X1 y p2 : X → X2 son continuas y abiertas. 6. Sea T otra topología en X. Entonces: Apuntes y notas de Topología

CAPÍTULO 5. PRODUCTO DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS. TOPOLOGÍA INICIAL

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a) T = Tp si y sólo si para cada espacio topológico (Y, T 0 ) y cada aplicación g : (Y, T 0 ) → (X, T ) se verifica que g es continua si y sólo si p 1 ◦ g y p2 ◦ g son continuas. b) T = Tp si y sólo si para cada red (xd )d∈D en X y cada x ∈ X(x = (x1 , x2 ), xd = (x1d , x2d ) para cada d ∈ D) se verifica que x ∈ lim(xd ) si y sólo si x1 ∈ lim(x1d ) y x2 ∈ lim(x2d ). (Coloquialmente: Tp es la topología de la convergencia por coordenadas). 7. Si Tp1 es la topología producto de X1 ×X2 y Tp2 es la topología producto de X2 ×X1 entonces la aplicación ϕ : (X1 × X2 , Tp1 ) → (X2 × X1 , Tp2 ) definida, para cada (x1 , x2 ) ∈ X1 × X2 , por ϕ((x1 , x2 )) = (x2 , x1 ) es un homeomorfismo. 8. Sea (X3 , T3 ) otro espacio topológico. Si Tp1 es la topología producto de X1 × (X2 × X3 ), donde en X2 × X3 se considera la topología producto, y si T p2 es la topología producto en (X1 × X2 ) × X3 , donde en X1 × X2 se considera la topología producto, entonces, si identificamos X 1 × (X2 × X3 ) y (X1 × X2 ) × X3 con X1 × X2 × X3 tenemos que Tp1 = Tp2 . 9. Sean A1 ⊂ X1 , A2 ⊂ X2 y A = A1 × A2 . Consideremos el espacio topológico (A, T p1 ) producto de (A1 , T1A1 ) y (A2 , T2A2 ) se verifica que Tp1 = TpA . 10. Si A ⊂ X1 y B ⊂ X2 entonces: i) Int(A × B) = Int(A) × Int(B) ii) A × B = A × B F r(A × B) = (F r(A) × B) ∪ (A × F r(B)) iv) (A × B) d = (Ad × B) ∪ (A × B d ).

iii)

11. Sea (Y, T 0 ) otro espacio topológico y consideremos las aplicaciones f 1 : Y → X1 f2 : Y → X2 , entonces la aplicación (f1 , f2 ) : Y → X1 × X2 , definida, para cada y ∈ Y , por (f1 , f2 )(y) = (f1 (y), f2 (y)), es continua si y sólo si lo son f1 y f2 . 12. Sean (Y1 , T10 ), (Y2 , T20 ) otros dos espacios topológicos, (Y, T p0 ) el correspondiente espacio producto y f1 : (X1 , T1 ) → (Y1 , T10 ), f2 : (X2 , T2 ) → (Y2 , T20 ) dos aplicaciones. Consideremos la aplicación f 1 × f2 : (X, Tp ) → (Y, Tp0 ) definida para cada (x1 , x2 ) ∈ X por f1 × f2 ((x1 , x2 )) = (f1 (x1 ), f2 (x2 )) entonces: a) f1 × f2 es continua si y sólo si f1 y f2 son continuas. b) f1 × f2 es homeomorfismo si y sólo si f1 y f2 son homeomorfismos. Demostración Las tres primeras son inmediatas. 4) Si x ∈ lim(xd ) y A1 ∈ T1 es tal que x1 ∈ A1 entonces como (x1 , x2 ) ∈ A1 × X2 ∈ Tp existe d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, es xd ∈ A1 × X2 y por tanto x1d ∈ A1 , así pues x1 ∈ lim(x1d ), de forma similar se prueba que x2 ∈ lim(x2d ). Supongamos ahora que x1 ∈ lim(x1d ) y x2 ∈ lim(x2d ) entonces si A × B ∈ Bp y (x1 , x2 ) ∈ A × B tenemos que x1 ∈ A ∈ T1 y x2 ∈ A2 ∈ T2 , por tanto existen d1 ∈ D, d2 ∈ D tales que si d ≥ d1 , d ∈ D, es x1d ∈ A y si d ≥ d2 , d ∈ D, es x2d ∈ B. Sea d0 ∈ D tal que d0 ≥ d1 y d0 ≥ d2 , entonces si d ≥ d0 y d ∈ D tenemos que xd ∈ A × B. 5) Del apartado anterior se deduce que las proyecciones son continuas. Veamos que, por ejemplo, p 1 es abierta. Para esto es suficiente probar que las imágenes de los abiertos de B p , base de Tp , son abiertos en (X1 , T1 ), pero esto está claro ya que si A × B ∈ B p entonces p1 (A × B) = A ∈ T1 . 6) Supongamos que T = Tp y que tenemos el espacio topológico (Y, T 0 ) y la aplicación g : (Y, T 0 ) → (X, Tp ), es claro que si g es continua entonces también lo serán p 1 ◦ g y p2 ◦ g. Supongamos que p1 ◦ g y −1 −1 p2 ◦ g son continuas, entonces si A × B ∈ Bp tenemos que g −1 (A × B) = g −1 (p−1 1 (A)) ∩ g (p2 (B)) y −1 0 por tanto g (A × B) es abierto en (Y, T ). Antonio Aizpuru Tomás

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Recíprocamente, supongamos que para cada espacio (Y, T 0 ) y cada aplicación g : (Y, T 0 ) → (X, T ) se verifica que g es continua si y sólo si lo son p 1 ◦ g y p2 ◦ g entonces vamos a demostrar que T = T p . En efecto, sea (Y, T 0 ) = (X, T ) y consideremos la identidad g : (X, T ) → (X, T ) como g es continua tenemos, por hipótesis, que p1 ◦ g y p2 ◦ g son continuas, por tanto para cada A ∈ T 1 y B ∈ T2 tenemos que (p1 ◦ g)−1 (A) ∩ (p2 ◦ g)−1 (B) = (A × X2 ) ∩ (X1 × B) = A × B ∈ T , así pues necesariamente es Tp ⊂ T . Consideremos ahora la identidad g 0 : (X, Tp ) → (X, T ) y tenemos que p1 ◦ g 0 = p1 y p2 ◦ g 0 = p2 son continuas por tanto deducimos que g 0 es también continua y T ⊂ Tp . Los apartados 7) y 8) son inmediatos, probaremos 9): Tenemos que una base de T pA es {(A×B)∩(A1 ×A2 ) : A ∈ T1 , B ∈ T2 } = {(A ∩ A1 ) × (B ∩ A2 ) : A ∈ T1 y B ∈ T2 }, pero este conjunto es precisamente la base de la topología Tp1 en A obtenida como producto de (A1 , T1A1 ) y (A2 , T2A2 ). 10) i) Si x = (x1 , x2 ) ∈ Int(A × B) existen G1 ∈ T1 y G2 ∈ T2 tales que (x1 , x2 ) ∈ G1 × G2 ⊂ A × B entonces x1 ∈ G1 ⊂ A y x2 ∈ G2 ⊂ B y por tanto (x1 , x2 ) ∈ Int(A) × Int(B). Recíprocamente si (x1 , x2 ) ∈ Int(A) × Int(B) tenemos que x1 ∈ Int(A) y x2 ∈ Int(B) por tanto existen G1 ∈ T1 y G2 ∈ T2 tales que x1 ∈ G1 ⊂ A y x2 ∈ G2 ⊂ B y será (x1 , x2 ) ∈ G1 × G2 ⊂ A × B y G1 × G2 ∈ Tp , así pues (x1 , x2 ) ∈ Int(A × B). ii) Si (x1 , x2 ) ∈ A×B y G1 ×G2 ∈ Bp es tal que (x1 , x2 ) ∈ G1 ×G2 tenemos que G1 ∩A 6= ∅ y G2 ∩B 6= ∅ es claro entonces que (G1 × G2 ) ∩ (A × B) 6= ∅ y por tanto (x1 , x2 ) ∈ A × B. Supongamos ahora que (x1 , x2 ) ∈ A × B y sean G1 ∈ T1 y G2 ∈ T2 tales que x1 ∈ G1 y x2 ∈ G2 , entonces como G1 × G2 ∈ Tp tenemos que (G1 × G2 ) ∩ (A × B) 6= ∅ y por tanto G1 ∩ A 6= ∅ y G2 ∩ B 6= ∅ deducimos pues que x1 ∈ A y x2 ∈ B. iii) Si (x, y) ∈ F r(A × B) es (x, y) ∈ A × B y (x, y) ∈ / Int(A × B) es decir (x, y) ∈ A × B y (x, y) ∈ / Int(A) × Int(B). Si x ∈ Int(A) entonces como y ∈ B será y ∈ / Int(B) y por tanto y ∈ F r(B), así pues (x, y) ∈ A × F r(B). Si x ∈ / Int A será x ∈ F r(A), así pues (x, y) ∈ F r(A) × B. Supongamos ahora que (x, y) ∈ F r(A) × B y sea G 1 × G2 ∈ Bp tal que (x, y) ∈ G1 × G2 , tenemos que G1 ∩A 6= ∅, G1 ∩(X1 −A) 6= ∅ y G2 ∩B 6= ∅ por tanto (G1 ×G2 )∩(A×B) 6= ∅ y (G1 ×G2 )∩(X−(A×B)) 6= ∅ así pues F r(A) × B ⊂ F r(A × B), de manera análoga se prueba que A × F r(B) ⊂ F r(A × B). 11) De 6) deducimos que (f1 , f2 ) es continua si y sólo si p1 ◦(f1 , f2 ) = f1 y p2 ◦(f1 , f2 ) = f2 son continuas. 12) Si f1 y f2 son continuas también serán continuas f 1 ◦p1 = p01 ◦(f1 ×f2 ) y f2 ◦p2 = p02 ◦(f1 ×f2 ), donde p01 y p02 son las correspondientes proyecciones de (Y, T p0 ), así pues f1 × f2 será continua. Recíprocamente si f1 × f2 es continua probaremos que f1 es continua, sea B1 ∈ T10 , por ser p1 sobreyectiva es f1−1 (B1 ) = −1 −1 −1 0 −1 p1 (p−1 1 (f1 (B1 ))) = p1 ((f1 ◦ p1 ) (B1 )) = p1 ([p1 ◦ (f1 × f2 )] (B1 )) así pues f1 (B1 ) ∈ T1 ya que 0 p1 ◦ (f1 × f2 ) es continua y p1 es abierta. De forma análoga se prueba que f 2 es continua. Finalmente es claro que f1 × f2 es biyectiva si y sólo si f1 y f2 lo son, en cuyo caso es (f1 × f2 )−1 = f1−1 × f2−1 , de esta igualdad y de lo anterior se deduce con facilidad que f 1 × f2 es homeomorfismo si y sólo si f1 y f2 lo son. Nota 5.1.3 1. Sean (Y, T ) y (Z, T 0 ) dos espacios topológicos y f : (Z, T 0 ) → (Y, T ) una aplicación, se dice que f es una inmersión topológica o embebimiento (en inglés "embedding") si f es un homeomorfismo de (Z, T 0 ) en (f (Z), Tf (Z) ), en esta situación diremos que (Z, T 0 ) está sumergido o inmerso topológicamente o embebido en (Y, T ). Sean f1 : (Y, T ) → (X1 , T1 ) y f2 : (Y, T ) → (X2 , T2 ) dos aplicaciones continuas tales que separan puntos, es decir, si a, b ∈ Y y a 6= b o bien f1 (a) 6= f1 (b) o bien f2 (a) 6= f2 (b) y supongamos que f1 y f2 separan Apuntes y notas de Topología


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también puntos de cerrados, es decir, si C ⊂ Y es un cerrado y a ∈ / C entonces o bien f 1 (a) ∈ / f1 (C) o / f2 (C), en esta situación se verifica que la aplicación (f 1 , f2 ) es una inmersión de (Y, T ) en el bien f2 (a) ∈ espacio producto (X, Tp ). Demostración f = (f1 , f2 ) es continua ya que f1 y f2 lo son, además f es inyectiva ya que si a, b ∈ Y y a 6= b, tenemos por hipótesis que (f1 (a), f2 (a)) 6= (f1 (b), f2 (b)). Para concluir bastará con demostrar que f = (f1 , f2 ) : (Y, T ) → (f (Y ), Tpf (Y ) ) es abierta. Sea A un abierto de Y y sea y ∈ A entonces y ∈ / Y −A / f1 (Y − A) y por tanto que es cerrado en Y y por hipótesis podemos suponer que por ejemplo f 1 (y) ∈ f1 (y) ∈ X1 −f1 (Y − A) ⊂ X1 −f1 (Y −A), denotamos por Ay a X1 −f1 (Y − A) que será conjunto abierto −1 en X1 , tenemos que p−1 1 (Ay ) = Ay × X2 es abierto en X y que By = p1 (Ay ) ∩ f (Y ) ∈ Tpf (Y ) . Es ahora sencillo comprender que f (y) ∈ By ⊂ f (A), en efecto f (y) = (f1 (y), f2 (y)) ∈ By ya que f1 (y) ∈ Ay y si / A ya que entonces sería f 1 (z) ∈ f1 (Y −A) (f1 (z), f2 (z)) ∈ By será f1 (z) ∈ Ay y no puede suceder que z ∈ y f1 (Y − A) ∩ Ay 6= ∅, así pues z ∈ A y (f1 (z), f2 (z)) ∈ f (A). 2. Sean (X1 , T1 ), (X2 , T2 ) dos espacios topológicos y (X, T ) el correspondiente espacio producto. Consideremos la aplicación identidad f1 : X1 → X1 y sea f2 una aplicación constante de X1 en X2 , f2 (x1 ) = a2 ∈ X2 para cada x1 ∈ X1 . Es claro que f1 y f2 distinguen puntos de X1 y también distinguen puntos y cerrados de X1 , por tanto f = (f1 , f2 ) es una inmersión de X1 en X1 × X2 . Así pues X1 es homeomorfo a un subespacio de (X, Tp ). De manera similar se probaría que X 2 es homeomorfo a un subespacio de (X, T p ). 3. Sean n ∈ N. Se define la topología producto T p en Q (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) n espacios topológicos, −1 X = ni=1 Xi como la generada por la subbase S = {p p i (A) : i ∈ {1, . . . , n}, A ∈ Ti }, es evidente que Qn la correspondiente base B de Tp es Bp = { i=1 Ai : Ai ∈ Ti para cada i ∈ {1, . . . , n}}, es ahora sencillo comprobar que las afirmaciones del teorema anterior que conciernen a esta definición son todas ciertas, de todas formas estas afirmaciones serán una consecuencia de las que se demuestren en la próxima sección cuando estudiemos la topología producto de una familia arbitraria de espacios topológicos. Ejemplo 5.1.4 1. Sean (X1 , d1 ), (X2 , d2 ) dos espacios métricos. Se define en X = X 1 ×X2 , d((x1 , x2 ), (y1 , y2 )) = d1 (x1 , y1 ) + d2 (x2 , y2 ), es sencillo comprobar que d es una métrica en X y vamos a demostrar que T d coincide con la topología Tp de X producto de Td1 y Td2 . En efecto, tenemos que B = {Bd1 (x1 , r1 ) × Bd2 (x2 , r2 ) : x1 ∈ X1 , x2 ∈ X2 , r1 , r2 ∈ R, r1 > 0, r2 > 0} es una base de Tp y B 0 = {Bd ((x1 , x2 ), r) : (x1 , x2 ) ∈ X, r ∈ R, r > 0} es una base de Td . Sea (y1 , y2 ) ∈ Bd ((x1 , x2 ), r) y sea δ > 0 tal que Bd ((y1 , y2 ), δ) ⊂ Bd ((x1 , x2 ), r) es claro que (y1 , y2 ) ∈ Bd1 (y1 , 3δ ) × Bd2 (y2 , 3δ ) ⊂ Bd ((x1 , x2 ), r). Por otra parte sea (y1 , y2 ) ∈ Bd1 (x1 , r1 ) × Bd2 (x2 , r2 ) y consideremos δ1 > 0 y δ2 > 0 tales que Bd1 (y1 , δ1 ) ⊂ Bd1 (x1 , r1 ) y Bd2 (y2 , δ2 ) ⊂ Bd2 (x2 , r2 ), entonces si δ > 0 es tal que δ < mín(δ1 , δ2 ) es claro que (y1 , y2 ) ∈ Bd ((y1 , y2 ), δ) ⊂ Bd1 (y1 , δ) × Bd2 (y2 , δ) ⊂ Bd1 (x1 , r1 ) × Bd2 (x2 , r2 ). Con una demostración más sencilla se puede demostrar que la topología en R n+m obtenida como producto de (Rn , Tu ) y (Rm , Tu ) es la topología usual de Rn+m y la topología usual de Rn es la topología producto de (X1 , T1 ), . . . , (Xn , Tn ) donde para cada i ∈ {1, . . . , n} es Xi = R y Ti = Tu . 2. Observemos que en (R2 , Tu ) la bola euclídea es B((0, 0), 1) un abierto que no se puede obtener como producto de un abierto de (R, Tu ) con otro abierto de (R, Tu ). Es decir, el producto de abiertos es un abierto de la topología producto, pero no todo abierto de la topología producto se puede obtener como producto de abiertos. Es sencillo comprobar que si A es cerrado de (X 1 , T1 ) y B es cerrado de (X2 , T2 ) entonces A × B es cerrado de (X1 × X2 , T2 ), pero observemos que M = {(x, x)/x ∈ R} es un cerrado de (R2 , Tu ) y no se puede obtener como producto de cerrados de (R, T u ). Observemos finalmente que las proyecciones son aplicaciones abiertas pero que en general no son cerradas, Antonio Aizpuru Tomás

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por ejemplo, C = {(x, y) ∈ R2 : xy = 1} es cerrado en (R2 , Tu ) y su proyección en R es R − {0} que no es cerrado. 3. Sean (X1 , T1 ), (X2 , T2 ) dos espacios topológicos y (X, Tp ) el correspondiente espacio producto. Sean (Y, T ) otro espacio topológico y f : (Y, T ) → (X, T p ) una aplicación, hemos demostrado que f es continua si y sólo si lo son los componentes de p 1 ◦ f y p2 ◦ f , donde p1 y p2 son las correspondientes proyecciones del espacio producto (X, Tp ). Podemos ahora preguntarnos si existe un resultado parecido cuando tenemos una aplicación definida en (X, Tp ) es decir g : (X, Tp ) → (Y, T ), en esta situación cada x1 ∈ X1 da lugar a la aplicación gx1 : X2 → Y definida en cada x2 ∈ X2 por gx1 (x2 ) = g(x1 , x2 ), análogamente cada x2 ∈ X2 da lugar a la aplicación gx2 : X1 → Y definida por gx2 (x1 ) = g(x1 , x2 ), es claro que si g es continua también lo serán cada gx1y cada gx2 , pero el recíproco es falso. Por ejemplo si g : R 2 → R es la aplicación x1 · x2 /x21 + x22 si (x1 , x2 ) 6= (0, 0) definida por g(x1 , x2 ) = tenemos que, para cada x1 , x2 ∈ R, las 0 si (x1 , x2 ) = (0, 0) aplicaciones gx1 y gx2 son continuas en (0, 0) pero g no es continua en R ya que (( n1 , n1 ))n∈N es una sucesión convergente a (0, 0) pero (g( n1 , n1 ))n∈N es convergente a 12 . 4. Sea (X, d) un espacio seudométrico y consideremos en X × X la topología T p producto de (X, Td ) y (X, Td ). Consideremos la aplicación definida por la seudométrica d : (X × X, T p ) → (R, Tu ), se verifica que d es continua. Si consideramos en X × X la seudométrica d 0 ((a, b), (x, y)) = d(a, x) + d(b, y) es claro que Td0 = Tp y es sencillo comprobar que |d(a, b) − d(x, y)| ≤ d(a, x) + d(b, y), así pues tenemos que la aplicación d : (X × X, d0 ) → R es uniformemente continua. 5. Es evidente que toda aplicación lineal f : R n → R es continua. Por tanto si f : Rn → Rm es una aplicación lineal será continua ya que para cada i ∈ {1, . . . , m} será f i = pi ◦f continua. Como consecuencia deducimos que si m = n y f es biyectiva entonces f es un homeomorfismo. Es claro también que toda aplicación afín de Rn en Rm será continua y que toda afinidad en R n será homeomorfismo concretamente las homotecias y traslaciones son homeomorfismos. ~x 6. (Rn , d2 ) es homeomorfo a B1 = B(~0, 1). En efecto, para cada ~x ∈ B1 se define f (~x) = , donde 1 − |~x| p ~ x si ~x = (x1 , . . . , xn ) es |~x| = x21 + · · · + x2n . Esta aplicación es biyectiva y su inversa es g(~x) = 1+|~ x| . Es claro que tanto f como g son continuas. Observemos finalmente que para cada ~a ∈ R n y cada r > 0 es B(~a, r) homeomorfo a B(~0, 1), para comprobarlo basta considerar la aplicación h : B(~a, r) → B(~0, 1) definida por h(~x) = 1r (~x −~a) es claro que h es homeomorfismo. 7. Sea M = ~a + L(~a1 , . . . ,~am ) un subespacio afín de Rn de dimensión m < n, podemos suponer que {~a1 , . . . ,~am } es un sistema ortonormal y consideremos f : R m → M definida en cada ~x = (x1 , . . . , xm ) por f (~x) = ~a + x1~a1 + · · · + xn~an es claro que f es una isometría biyectiva y por tanto M y R m son homeomorfos, además deducimos que R m está inmerso topológicamente como subespacio afín de dimensión m en cualquier Rn con n > m. 8. Consideremos en R2 la corona circular: C0 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : a2 < x21 + x22 < b2 }, a, b ∈ R, a < b

y consideremos en R3 el cilindro de radio 1:

C1 = {x1 , x2 , x3 ) : x21 + x22 = 1}

En C0 y C1 consideraremos las correspondientes topologías usuales inducidas de las usuales de R 2 y R3 respectivamente. Apuntes y notas de Topología


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1 1 + , es claro que f es un a−x b−x q x1 x2 2 2 homeomorfismo y por medio del mismo definimos g : C 0 → C1 por g(x1 , x2 ) = p 2 ,p 2 , f ( x1 + x2 ) , x1 + x22 x1 + x22 es claro que g es continua y biyectiva y la aplicación inversa es h(x 1 , x2 , x3 ) = (x1 f −1 (x3 ), x2 f −1 (x3 )) que también es continua, así pues g es homeomorfismo de C 0 en C1 . Sea f : (a, b) → R la aplicación definida en cada x ∈ (a, b) por f (x) =

9. Observemos que C1 puede expresarse como S 1 × R donde S 1 = {(x1 , x2 ) : x21 + x22 = 1} es claro que la topología que induce R3 en C1 es la misma que la topología producto de S 1 con R. 10. Este ejemplo es por gentileza de "DONUTS" Se define el toro de dimensión 2 como el conjunto producto S 1 × S 1 dotado de la topología que hereda de R4 , es claro que S 1 × S 1 está topológicamente inmerso en R4 y demostraremos que también está inmerso en R3 . p En efecto, consideremos D = {(x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 : ( x21 + x22 − a)2 + x23 = b2 }, definimos f : S 1 × S 1 → D )x0 , bx ), f es biyectiva y de componentes continuas y por f (x1 , x2 , x01 , x02 ) = ((a + bx1 )x01 , (a + bx p1 2 2 22 x 1 + x 2 − a x3 x1 x2 su aplicación inversa es: g(x1 , x2 , x3 ) = , ,p 2 ,p 2 que es también b b x1 + x22 x1 + x22 continua, así pues S 1 × S 1 es homeomorfo a D y S 1 × S 1 se encuentra inmerso topológicamente en R 3 . 11. Si f : (X, T ) → (Y, T 0 ) es una aplicación continua se define el grafo de f como el conjunto Gf = {(x, y) : y = f (x)} ⊂ X × Y . Consideremos en X × Y la topología producto y sean las aplicaciones f1 : X → X, la identidad y f2 : X → Y, f2 = f . Entonces (f1 , f2 ) : X → X × Y es una inmersión de X en su grafo, Im(f1 , f2 ) = Gf . 12. Sea (X, T ) un espacio topológico y consideremos X × X con la topología producto. Consideremos 4 = {(x, x) : x ∈ X} con la topología inducida de X × X, entonces f : X → 4 definida para cada x ∈ X por f (x) = (x, x) es un homeomorfismo de X sobre 4. Es sencillo comprobar que (X, T ) es T 2 si y sólo si 4 es cerrado en X × X. q 13. Denotamos por S n la esfera de Rn+1 , S n = {(x1 , . . . , xn+1 ) ∈ Rn+1 : x21 + · · · + x2n+1 = 1}. Sea ~a = (0, 0, . . . , 1) ∈ S n , definimos en S n − {~a} la aplicación f : S n − {~a} → Rn por f (x1 , . . . , xn+1 ) = xn 1 ( 1−xx1n+1 , . . . , 1−x ) f es biyectiva, continua y su inversa es g(x 1 , . . . , xn ) = ( 1+(x22x ,... +···+x2 ) n+1 (x21 +···+x2n )−1 n . . . , 1+(x22x 2 ) , 1+(x2 +···+x2 ) ) que claramente es también continua +···+x n n 1 1 morfo a Rn . Podemos elegir cualquier otro punto ~b ∈ S n y comprobar

a Rn . (La aplicación f es denominada proyección estereográfica).

2

n

1

en

Rn.

Así pues

Sn

− {~a} es homeoque también es S n −{~b} homeomorfo

Topología inicial y topología producto

Sean (X, T1 ) y (X2 , T2 ) dos espacios topológicos, la topología producto T p en X = X1 × X2 es la menos fina de las topologías en X tal que las proyecciones p 1 : X → X1 y p2 : X → X2 son continuas. Nuestro propósito es ahora generalizar este concepto de la siguiente forma. Sea X un conjunto y sea L = {(Xi , Ti ), fi }i∈I una familia de espacios topológicos y aplicaciones donde para cada i ∈ I es f i : X → Xi una aplicación con dominio en X y valores en X i . Trataremos de obtener una topología T L en X tal que cada fi , i ∈ I, sea continua, es claro que tendrá que suceder que S L = {fi−1 (Ai ) : Ai ∈ Ti , i ∈ I} ⊂ TL Antonio Aizpuru Tomás

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2. TOPOLOGÍA INICIAL Y TOPOLOGÍA PRODUCTO

y definiremos TL como la topología engendrada por SL . Así pues TL es la única topología en X que tiene como subbase a SL y diremos que TL es la topología inicial en X para la familia L, es evidente que si T es otra topología en X de manera que cada f i es continua entonces será SL ⊂ T y por tanto TL ⊂ T . Ejemplo 5.2.1 1. Sea X un conjunto y sean (Y, T 0 ) un espacio topológico y f : X → Y una aplicación, es sencillo comprobar que T = f −1 (T 0 ) = {f −1 (B) : B ∈ T 0 } es una topología en X para lo cual la aplicación f : (X, T ) → (Y, T 0 ) es continua. T se denomina topología inducida en X por el espacio topológico (Y, T 0 ) y la aplicación f . Observemos que cualquier otra topología T 00 en X para lo cual f sea continua tendrá que verificar que T ⊂ T 00 , es claro que T es exactamente la topología inicial T L en X para la familia L = {(Y, T 0 ), f }. 2. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊂ X, es sencillo comprobar que T A es la topología inicial TL en A definida por L = {(X, T ), j}, donde j es la aplicación inclusión de A en X. 3. Sea X un conjunto, denotamos por T (X) a la familia de todas las topologías en X : T (X) = {T ⊂ P (X) : T es topología en X}. Si T1 , T2 ∈ T (X) decimos que T1 ≤ T2 si y sólo si T1 ⊂ T2 , es claro que (T (X), ≤) es un conjunto ordenado. Sea {Ti }i∈I una familia de topologías en X y consideremos L = {(X, T i ), fi }i∈I donde para cada i ∈ I es fi la S aplicación identidad de X en X. Se llama topología supremo de } a la topología T , es claro que {T L i∈L Ti ⊂ TL y para cualquier otra topología T en X que verifique S i i∈I i∈I Ti ⊂ T se verifica que TL ⊂ T , así pues TL es efectivamente el supremo de {T i }i∈I en el conjunto ordenado (T (X), ≤). Teorema 5.2.2 Sean X un conjunto y TL la topología inicial en X para la familia L = {(X i , Ti ), fi }i∈I . a) Si (xd )d∈D es una red en X y x ∈ X entonces x ∈ lim(xd ) si y sólo si fi (x) ∈ lim(fi (xd )) para cada i∈I b) Si B es una base de filtro en X y x ∈ X entonces x ∈ lim B si y sólo si f i (x) ∈ lim fi (B) para cada i ∈ I. Demostración Demostraremos sólo el apartado a). Si x ∈ lim(x d ) tenemos que como, para cada i ∈ I, es fi continua será fi (x) ∈ lim(fi (xd )). Recíprocamente, supongamos que para cada i ∈ I es f i (x) ∈ lim(fi (xd )) entonces si fj−1 (A), j ∈ I, A ∈ Tj , es un abierto de SL , subbase de TL , si x ∈ fj−1 (A), tenemos que existe d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, es fj (xd ) ∈ A y por tanto también será xd ∈ fj−1 (A). Teorema 5.2.3 (Propiedad universal de la topología inicial). Sean X un conjunto y T L la topología inicial en X para la familia L = {(Xi , Ti ), fi }. Sea T una topología en X entonces: a) T = TL si y sólo si para cada espacio topología (Y, T 0 ) y cada aplicación g : Y → X se verifica que g es continua si y sólo si fi ◦ g es continua para cada i ∈ I. b) T = TL si y sólo si para cada red (xd )d∈D en X y cada x ∈ X se verifica que x ∈ lim(x d ) si y sólo si fi (x) ∈ lim(fi (xd )) para cada i ∈ I. Apuntes y notas de Topología


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Demostración Sólo demostraremos el apartado a). Si T = T L y g : Y → X es continua, tenemos que para cada i ∈ I será fi ◦ g continua ya que fi es continua. Recíprocamente, supongamos que para cada i ∈ I es fi ◦ g continua entonces si fj−1 (Gj ) es un abierto de la subbase SL = {fi−1 (Gi ) : Gi ∈ Ti , i ∈ I} de TL tenemos que g −1 (fj−1 (Gj )) = (fj ◦ g)−1 (Gj ) será abierto en Y por ser fj ◦ g continua, así pues g es continua. Supongamos ahora que T es una topología en X que verifica que para cada espacio topológico (Y, T 0 ) y cada aplicación g : (Y, T 0 ) → (X, T ) se tiene que g es continua si y sólo si lo es f i ◦ g para cada i ∈ I. Consideremos la aplicación identidad I : (X, T ) → (X, T ), tenemos que I es continua y deducimos que para cada i ∈ I también lo será fi ◦ I = fi , por tanto TL ⊂ T . Por otra parte si consideramos la identidad I : (X, TL ) → (X, T ) tenemos que para cada i ∈ I es continua f i ◦ I = fi y también lo será I lo que implica que T ⊂ TL . Nota 5.2.4 Sea X un conjunto y sea L = {(X i , Ti ), fi }i∈I una familia de espacios topológicos y de aplicaciones fi : X → Xi para cada i ∈ I. 1) Si para cada i ∈ I es Si una subbase de Ti se verifica que entonces S = {fi−1 (A) : A ∈ Si , i ∈ I} es subbase de TL . 2) Si consideramos SL = {fi−1 (A) : A ∈ Ti , i ∈ I} tenemos que SL es subbase de TL pero en general no es base de TL . Vamos a demostrar que SL es base de TL si y sólo si {fi }i∈I separa en (X, TL ) puntos de cerrados. En efecto, si SL es base de TL , B es cerrado en X y x ∈ / B tenemos que x ∈ X − B ∈ T L , por tanto tienen que existir j ∈ I y A ∈ Tj tales que x ∈ fj−1 (A) ⊂ X − B, por tanto fj (x) ∈ A ⊂ Xj − fj (B), esto prueba que fj (x) ∈ / fj (B) ya que A es entorno abierto de fj (x) en (Xj , Tj ). Recíprocamente supongamos que {fi }i∈I separa puntos de cerrados en (X, TL ) entonces si A es abierto en X y x ∈ A tenemos que x∈ / X − A y existirá j ∈ I tal que fj (x) ∈ / fj (X − A), así pues fj (x) ∈ Xj − fj (X − A) = Aj , pero Aj ∈ Tj y x ∈ fj−1 (Aj ) ⊂ A, así pues SL es base de TL . 3) Sea T otra topología en X tal que la familia {f i }i∈I es de funciones continuas que separan puntos de X de cerrados de (X, T ). Demostraremos que entonces tiene que ser T = T L . Es claro que TL ⊂ T . Sean A ∈ T y x ∈ A, entonces x ∈ / X − A y existirá i ∈ I tal que f i (x) ∈ / fi (X − A), por tanto existe Ai ∈ Ti −1 tal que fi (x) ∈ Ai ⊂ Xi − fi (X − A), así pues x ∈ fi (Ai ) ⊂ A y por tanto deducimos que A ∈ TL . Definición 5.2.5 Sea Q {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y consideremos el conjunto producto cartesiano X = i∈I Xi = {x : I → ∪Xi : x(i) = xi ∈ Xi , para cada i ∈ I}, para cada i ∈ I sea pi : X → Xi , pi (x) = xi , la correspondiente aplicación proyección. Consideremos la familia L = {(Xi , Ti ), pi }i∈I . A la topología inicial en X, TL para la familia L se le llama topología producto de {(Xi , Ti )}i∈I y se la denota por Tp . Nota 5.2.6 En la situación de la anterior definición tenemos: Q 1. Sp = {p−1 i (Ai ) : Ai ∈ Ti , i ∈ I} es subbase de Tp y por tanto Bp = { i∈I Ai : Ai ∈ Ti , i ∈ I y existe M ⊂ I finito con Ai = Xi para cada i ∈ I − M } será base de Tp . Es sencillo comprobar que si −1 para cada Q i ∈ I es Bi base de Ti entonces S = {pi (Ai ) : Ai ∈ Bi , i ∈ I} es también subbase de Tp y B = { i∈I Ai : Ai ∈ Bi , i ∈ I y existe M ⊂ I finito con Ai = Xi para cada i ∈ I − M } es base de Tp . Si Antonio Aizpuru Tomás

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alguna Bi es sólo subbase de Ti sólo podemos afirmar Q que B es subbase de T p . Si para cada i ∈ I es bxi una base de entornos de xi ∈ Xi entonces bx = { i∈I Ui : existe M ⊂ I finito con Ui ∈ bxi , para cada i ∈ M y Ui = Xi si i ∈ I − M } es base de entornos en (X, T p ) de x = (xi )i∈I . 2. Para cada i ∈ I es pi : X → Xi continua, sobreyectiva y Q abierta. En efecto: que p i Q es continua y sobreyectiva es claro, sea ahora A ∈ T p y x ∈ A entonces sea i∈I Ai ∈ Bp tal que x ∈ i∈I Ai ⊂ A, tenemos que pi (x) ∈ Ai ⊂ pi (A) y Ai ∈ Ti así pues pi (A) tiene que ser abierto en (Xi , Ti ). Q 3. Para cada i ∈ I sea Ai ∈ Ti y Ai 6= ∅, entonces i∈IQAi ∈ Tp si y sólo si existe Q M ⊂ I finito tal que siQi ∈ I − MQ es Ai = Xi . En efecto, sea x ∈ i∈I Ai entonces existe i∈I Bi ∈ Bp tal que x ∈ i∈I Bi ⊂ i∈I Ai , pero como I finito tal que B i = Xi para cada i ∈ I − M Q existe M ⊂ Q tenemos Q que si i ∈ I − M será Ai = pi ( i∈I Ai ) ⊃ pi ( i∈I Bi ) = Xi . De este resultado deducimos que Int( i∈I Mi ) 6= ∅ si y sólo si existe M ⊂ I finitoQ tal que M i = QXi para cada i ∈ I − M y Int(Mi ) 6= ∅ si i ∈ M . Si I es finito es fácil comprobar que Int( i∈I Mi ) = i∈I Int(Mi ). Q 4. Si I = {1, . . . , n} es finito se verifica que B p = { i∈I Ai : Ai ∈ Ti , i ∈ {1, . . . , n}} es la base de Tp , así pues Tp es precisamente la topología que considerábamos como topología producto cuando estudiábamos la topología producto de un número finito de espacios. Q Q 5. Si para cada i ∈ I es Bi ⊂ Xi entonces i∈I Bi = i∈I Bi . En efecto, para cada i ∈ I es Q Q Q Q Q pi (Q i∈I Bi ) ⊂ pi ( Bi ) = Bi , así Bi . Por otra parte si x = (xi )i∈I ∈ i∈I Bi Q pues i∈I Bi ⊂ y i∈I Ai ∈ Bp es tal que x ∈ i∈I Ai es claro que para cada i ∈ I es Ai ∩ Bi 6= ∅ y por tanto Q Q Q ( i∈I Bi ) ∩ ( i∈I Ai ) 6= ∅ así pues x ∈ i∈I Bi . Q Desde este resultado es sencillo demostrar que si para cada i ∈ I es B i 6= ∅ entonces i∈I Bi es cerrado si y sólo si Bi es cerrado en Xi para cada i ∈ I. Q Q 6. Si a = (ai )i∈I ∈ i∈I Xi y consideramos Q Aa = {x ∈ i∈I Xi : Existe F ⊂ I finito con xi = ai para cada i ∈ I − F }, entonces Aa es denso en i∈I Xi . 7. Si (Y, T 0 ) es unQespacio topológico y para cada i ∈ I tenemos la aplicación g i : Y → Xi , definimos g = (gi )i∈I : Y → i∈I Xi por g(y) = (gi (y))i∈I . Entonces: a- g es continua si y sólo gi si es continua para cada i ∈ I. b- Si g es abierta entonces para cada i ∈ I se verifica que g i es abierta. 8. Sea {(Xi0 , Ti0 )}i∈I otra familia de espacios topológicos Q con 0el mismo índice Q I y para cada i ∈ I sea 0 0 gi : Xi → Xi una aplicación. Consideremos en X = i∈I Xi y en X = i∈I Xi las correspondientes topologías producto Tp0 y Q Tp . Sea g : (X 0 , Tp0 ) → (X, Tp ) la aplicación definida por g((x0i )i∈I ) = (gi (x0i ))i∈I , es usual denotar a g por i∈I gi . Se verifica entonces que: a- g es continua si y sólo si gi es continua para cada i ∈ I b- Si g es abierta entonces para cada i ∈ I es g i abierta. Si para cada i ∈ I es gi abierta y existe F ⊂ I finito tal que gi es sobreyectiva para cada i ∈ I − F se verifica que g es abierta. Si I es finito entonces g es abierta si y sólo si para cada i ∈ I es g i abierta. c- g es homeomorfismo si y sólo si para cada i ∈ I es g i un homeomorfismo. d- Si g es cerrada entonces para cada i ∈ I es g i cerrada. Apuntes y notas de Topología


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Veremos sólo la demostración de a-. Supongamos que g i es continua para cada i ∈ I. Tenemos que para cada i ∈ I es pi ◦ g = gi ◦ p0i , así pues pi ◦ g es continua para cada i ∈ I y por tanto g es continua. Recíprocamente, si g es continua y A i ∈ Ti , i ∈ I, tenemos que gi−1 (Ai ) = (p0i ◦ g −1 ◦ p−1 i )(Ai ) que será de Ti0 ya que pi ◦ g es continua y p0i es abierta, así pues gi es continua. Finalmente prestemos atención al siguiente ejemplo: Sean f1 : R → R la aplicación identidad y f2 : R → R la aplicación constante f2 (x) = 1, es claro que f1 y f2 son cerradas. Consideremos f1 × f2 : R2 → R2 , tenemos que C = {(x, y) ∈ R2 : x · y = 1} es cerrado en R2 pero (f1 × f2 )(C) = {(x, 1) ∈ R2 : x ∈ R − {0}} es claro que no es cerrado. 9. Sea Y un conjunto y sea L = {(Xi , Ti ), fi }i∈i una familia donde para cada i ∈ I es (X i , Ti ) un espacio topológico y fi es una aplicación de Y en Xi . Sea TL la correspondiente topología inicial en Y para la familia L y sea (X, Tp ) el correspondiente espacio producto de {(X i , Ti )}i∈I . Definimos f = (fi )i∈I : Y → X para cada y ∈ Y por f (y) = (fi (y))i∈I . Para cada i ∈ I es pi ◦ f = fi continua y f es pues continua, por tanto f −1 (Tp ) ⊂ TL . Sea B = fj−1 (Aj ), j ∈ I, Aj ∈ Tj , un elemento de Q Q −1 ( la SL de TL , consideremos i∈I Ai , donde Ai = Xi si i ∈ I − {j}, tenemos que f i∈I Ai ) = T subbase Q −1 −1 −1 (T ) y por tanto T = f −1 (T ). f (A ) = f (A ) = B y A ∈ T así pues S ⊂ f i j i p L p L p i∈I i i∈I j Hemos obtenido la siguiente conclusión: La topología producto se ha definido por medio de la topología inicial pero podíamos haber definido primera la topología producto para después definir por medio de la topología producto la topología inicial.

10. Sean (Y, T ) un espacio topológico y {(X Q i , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos, entonces (Y, T ) se puede sumergir topológicamente en ( i∈I Xi , Tp ) si y sólo si para cada i ∈ I existe una aplicación fi : Y → Xi tal que: a- {fi }i∈I distingue puntos de Y . b- T es la topología inicial TL de la familia L = {(Xi , Ti ), fi }i∈I Q En efecto, supongamos que f : (Y, T ) → ( Xi , Tp ) es una inmersión topológica. Consideremos para cada i ∈ I la aplicación fi = pi ◦f , demostraremos que {fi }i∈I distingue puntos de Y . Tenemos que si z 1 , z2 ∈ Y y z1 6= z2 como f es inyectiva será f (z1 ) 6= f (z2 ) y por tanto existe j ∈ I tal que pj (f (z1 )) 6= pj (f (z2 )) así pues fj (z1 ) 6= fj (z2 ). Sea TL la topología inicial en Y para la familia L = {(X i , Ti ), fi }i∈I , como para cada i ∈ I es fi continua será TL ⊂ T , pero observemos que (f (Y ), Tpf (Y ) ) es homeomorfo a (Y, T ), así pues si A ∈ T y x ∈ A tenemos que f (x) ∈ f (A) ∈ Tpf (Y ) y existirán Ai1 ∈ Ti1 , . . . , Ain ∈ Tin , {i1 , . . . , in } ⊂ I, −1 −1 −1 tales que f (x) ∈ p−1 i1 (Ai1 ) ∩ · · · ∩ pin (Ain ) ∩ f (Y ) ⊂ f (A), así pues x ∈ f i1 (Ai1 ) ∩ · · · ∩ fin (Ain ) ⊂ A y como fi−1 (Ai1 ) ∩ · · · ∩ fi−1 (Ain ) ∈ TL , deducimos que efectivamente es T ⊂ T L y por tanto T = TL . n 1 Recíprocamente, sean (Y, T ) un espacio topológico y L = {(X i , Ti ), fi }i∈I una familia de espacios topológicos donde para cada i ∈ I es fi una aplicación de Y en Xi , supongamos Q que T = TL y que {fi }i∈I distingue puntos de Y , consideremos la aplicación f = (f i )i∈I : (Y, T ) → ( i∈I Xi , Tp ) definida en cada y ∈ Y por f (y) = (fi (y))i∈I , es evidente que f es inyectiva, además para cada i ∈ I es f i = pi ◦ f y si B ⊂ Xi −1 −1 tendremos que fi−1 (B) = f −1 (p−1 i (B)), pero como f es inyectiva será f (f i (B)) = pi (B) ∩ f (Y ). Supongamos ahora que A ∈ T y x ∈ A, como T = T L , existirán Ai1 ∈ Ti1 , . . . , Ain ∈ Tin , {i1 , . . . in } ⊂ I, −1 tales que x ∈ fi−1 (Ai1 ) ∩ · · · ∩ fi−1 (Ain ) ⊂ A y será f (x) ∈ p−1 i1 (Ai1 ) ∩ · · · ∩ pin (Ain ) ∩ f (Y ) ⊂ f (A), n 1 deducimos pues f (A) ∈ Tpf (Y ) y por tanto f es inmersión topológica. 11. Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y sea (X, T p ) el correspondiente espacio producto, para cada i ∈ I la correspondiente proyección se denotará por p i . Sea {Fj }j∈J una partición de I. Para Antonio Aizpuru Tomás

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cada j ∈ J consideremos la familia {(X i , Ti )}i∈Fj y su correspondiente espacio producto (Y j , Tpj ), aquí denotaremos por p0i a las proyecciones. Sea (Y, Tp0 ) el espacio producto de la familia {(Y j , Tpj )}j∈J y ahora a la proyecciones las denotaremos por p 00j . Demostraremos que (X, Tp ) y (Y, Tp0 ) son homeomorfos por medio de la aplicación f : Y → X definida en cada y = (y j )j∈J de Y por f (y) = (xi )i∈I donde si i ∈ Fj es xi = p0i (yj ). Es claro que f es una aplicación biyectiva y que para cada j ∈ J y cada i ∈ F j , tenemos que son conmutativos los siguientes diagramas: P'' j

Y

f

Yj

p' i

Xi

p'' j

Y -1

f

pi

Yj

pi Π i F j

X

X

como pi ◦ f es continua para cada i ∈ I tenemos que f es continua. Como p 00j ◦ f −1 es continua para cada j ∈ J también tenemos que f −1 es continua. 12. Sean {(Xi , Ti )}i∈I y {(Yj , Tj )}j∈J dos familias de espacios topológicos y consideremos los correspondientes espacios producto (X, Tp ) y (Y, Tp0 ). Supongamos que existe una aplicación Qbiyectiva h : I → J y para cada i ∈ I existe unQhomeomorfismo fi de (Xi , Ti ) en (Yh(i) , Th(i) ) entonces i∈I fi será un homeomorfismo de (X, Tp ) en i∈I (Yh(i) , Th(i) ). Si en la familia {(Yj , Tj )}j∈J consideramos la partición {{h(i)}} i∈I de J deducimos que Q (Y, Tp0 ) es homeomorfo a i∈I (Yh(i) , Th(i) ), así pues (X, Tp ) e (Y, Tp0 ) son homeomorfos.

13. Sea (X, T ) un espacio topológico e I un conjunto por (X, T ) I se denota al espacio producto de la familia {(Xi , Ti )}i∈I donde para cada i ∈ I es Xi = X y Ti = T . Si J es otro conjunto tenemos que ((X, T )I )J es el espacio producto de {(Yj , Tj )}j∈J donde para cada j ∈ J es (Yj , Tj ) = (X, T )I , es claro que este espacio es homeomorfo a (X, T ) I×J ya que {I × {j}}j∈J es una partición de I × J. Ahora si I es un conjunto infinito y Card(I × J) = Card(I) podemos deducir del apartado anterior que ((X, T ) I )J es homeomorfo a (X, T )I . Q 14. Fijamos j ∈ I y b = (bi )i∈I ∈ X = i∈I Xi y sea M = {x ∈ X : xi = bi para cada i ∈ I − {j}}. Consideremos la aplicación g : Xj → M definida en cada a ∈ Xj por g(a) = (xi )i∈I donde xj = a y xi = bi si i ∈ I − {j}, es sencillo comprobar que g es un homeomorfismo de (X j , Tj ) en (M, TpM ).

15. Recordemos que las propiedades T 0 , TD , T1 , T2 , T2a son propiedades topológicas y hereditarias, así pues si (X, Tp ) tiene alguna de estas propiedades, del apartado anterior, deducimos que (X i , Ti ) también tendrá la correspondiente propiedad para cada i ⊂ I. Q 16. Para cada i ∈ I sea Ai ⊂ Xi , Ai 6= ∅. Consideremos A = i∈I Ai ⊂ X. Sea Tp0 la topología producto en AQde los espacios (Ai , TiAi ) entonces se verifica que Tp0 = TpA . En efecto, la base Bp0 de Tp0 es Bp0 = Q { i∈I Bi : existe J ⊂ I finito tal que Bi = Ai si i ∈ I − J y Bi = Gi ∩ Ai , Gi ∈ Ti , si Q i ∈ J} = {( i∈I Gi ) ∩ ( i∈I Ai ): existe J ⊂ I finito tal que Gi = Xi si i ∈ I − J y Gi ∈ Ti si i ∈ J} pero este conjunto es claramente una base de la topología T pA . 17. Sea (xd )d∈D una red en X donde para cada d ∈ D es xd = (xid )i∈I , sea x = (xi )i∈I ∈ X, sabemos que se verifica que x ∈ lim(xd ) en (X, Tp ) si y sólo si xi ∈ lim(xid ) en (Xi , Ti ) para cada i ∈ I, así pues en términos coloquiales podemos decir que la topología producto es precisamente la topología de la convergencia por coordenadas. Apuntes y notas de Topología


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Si hubiéramos realizado una mala Qgeneralización de la topología del producto de dos espacios habríamos considerado el conjunto B = { i∈I Ai : Ai ∈ Ti para cada i ∈ I} como base de la topología Q que hubiéramos denominado topología producto. B es efectivamente una base de topología en X = i∈I Xi y podemos considerar la correspondiente topología T generada por Q B. Supongamos ahora que I = N y n = que para cada i ∈ N es X = R y T = T , consideremos en R i i u i∈I Xi la topología T generada por Q k B = { i∈N Ai : Ai ∈ Tu para cada i ∈ N}. Sea (a )k∈N la sucesión en RN donde para cada k ∈ N es ak = (aik )i∈N , aik = 0 si k 6= i y akk = 1, sea a = (ai )i∈N ∈ RN donde para cada i ∈ N es ai = 0. Para cada j ∈ N tenemos que limk∈N pj (ak ) = aj = 0. Así pues podemos decir que (ak )k∈N es una sucesión de RN que converge por coordenadas a a pero sin embargo esta convergencia no es cierta en (R N , T ). En Q −1 1 efecto, consideremos A = i∈N Ai donde para cada i ∈ N es Ai = ( i+1 , i+1 ), tenemos que a ∈ A ∈ T k pero para cada k ∈ N es a ∈ / A. 18. Diremos que una propiedad P es productiva si siempre que tengamos una familia de espacios topológicos con la propiedad P se verifica que el correspondiente espacio topológico producto también tiene la propiedad P , si esta afirmación sólo es válida para familias numerables (respectivamente finitas) diremos que P es productiva numerable (respectivamente productiva finita). En lo que sigue deduciremos que las propiedades T 0 , T1 , T2 y T2a son propiedades productivas. En efecto, sean (xi )i∈I , (yi )i∈I dos elementos distintos de X,Qentonces existe Qj ∈ I tal que x j 6= yj , sean U y V ∈ Tj tales que xj ∈ U y yj ∈ V . Consideremos A = i∈I Ai , B = i∈I Bi ∈ Tp tales que si i ∈ I − {j} es Ai = Bi = Xi , Aj = U y Bj = V , las siguientes afirmaciones son evidentes: a- Si yj ∈ / U entonces (yi )i∈I ∈ / A. b- Si U ∩ V = ∅ entonces A ∩ B = ∅. c- Si U ∩ V = ∅ entonces A ∩ B = ∅. Sea I = N y para cada i ∈ I sea Xi = (0, +∞) y Ti = {∅, Xi } ∪ {[a, +∞) : a ∈ Xi } ∪ {(a, +∞) : a ∈ Xi }, entonces se verifica que cada (Xi , Ti ) tiene la propiedad TD pero (X, Tp ) no tiene la propiedad TD . Sin embargo es sencillo comprobar que la propiedad T D es productiva finita. 19. Supongamos que (X, Tp ) es IAN , entonces como IAN es propiedad topológica y hereditaria es claro que cada (Xi , Ti ) será IAN , pero veamos que podemos deducir además otra propiedad. Consideremos M = {i ∈ I : Card(Ti ) > 2} y sea x = (xi )i∈I ∈ X tal que para cada i ∈ M existe algún U xi ∈ Ti de modo que xi ∈ Uxi y Uxi 6= Xi . Sea {Unx : n ∈ N} ⊂ Tp base numerable de entornos de x. Para cada S n ∈ N sea Ln = {i ∈ I : pi (Unx ) 6= Xi }, tenemos que Ln es finito y como M ⊂ n∈N Ln , tendremos que M será numerable. Demostraremos ahora que si cada (Xi , Ti ) es IAN y el conjunto M es numerable entonces (X, T p ) es también IAN , sea x = (xi )i∈I ∈ X y para cada i ∈ I será bxi = {Unxi : n ∈ N} ⊂ Ti base numerable de entornos de xi . Observemos que si i ∈ I − M tiene que ser Q b xi = {Xi }, entonces como las partes finitas de un conjunto numerable es numerable es claro que b x = { i∈I Ai : existe J ⊂ I finito con Ai = Xi si i ∈ I − J. y Ai ∈ bxi si i ∈ J} ⊂ Tp es base numerable de entornos de x en (X, T p ). Como consecuencia deducimos que IAN es propiedad productiva numerable. No tiene ahora dificultad, razonando de manera similar, demostrar que lo que aquí se ha afirmado para el IAN es también cierto para el IIAN . 20. Si (X, Tp ) es Lindelöf vamos a demostrar que (X j , Tj ) también es Lindelöf para cada j ∈ QI. En efecto, sea {Gk }k∈L ⊂ Tj un recubrimiento abierto de Xj , consideremos, para cada k ∈ L, Bk = i∈I Ai donde Ai = Xi si i ∈ I − {j} y Aj = Gk . Tenemos que {Bk }k∈L ⊂ Tp es un recubrimiento abierto de X por Antonio Aizpuru Tomás

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lo ⊂ L numerable tal que S que existe M S p (B ) = k k∈M j k∈M Gk .

S

k∈M

Bk = X y como pj es sobreyectiva será Xj = pj (X) =

El siguiente ejemplo pone de manifiesto que la propiedad Lindelöf no es productiva: Sean X 1 = X2 = R y T1 = T2 = Ts la topología de Sorgenfrey de R. Sea (X, T p ) donde X = X1 × X2 = R2 y Tp es la topología producto de T1 y T2 , tenemos que B = {[a, b) × [c, d) : a, b, c, d ∈ R, a < b, c < d} es base de T p . Sea Y = {(y, −y) : y ∈ R}, tenemos que Y es cerrado y es sencillo comprobar que T pY es la topología discreta de Y , así pues (Y, TpY ) no es Lindelöf ya que Y no es numerable por tanto (X, T p ) no es Lindelöf ya que la propiedad Lindelöf es hereditaria a cerrados, sin embargo (X 1 , T1 ) y (X2 , T2 ) sí son Lindelöf. 21. Supongamos que (X, Tp ) es separable y sea D = {xn : n ∈ N} un subconjunto numerable y denso en X. Para cada i ∈ I tenemos que Xi = pi (X) = pi (D) ⊂ pi (D) ⊂ Xi , así pues pi (D) = Xi y (Xi , Ti ) es también separable, pero ahora demostraremos que cuando (X, T p ) es separable se verifica además que M = {i ∈ I : existen Ai , Bi ∈ Ti −{∅} con Ai ∩Bi = ∅} tiene que tener cardinal menor o igual que el de R. En efecto, para cada i ∈ M , consideremos D i = D ∩ p−1 i (Ai ), (por Ai y Bi entendemos los elementos de −1 Ti que aparecen en la definición de M ). Sean i, j ∈ M con i 6= j, consideremos x ∈ D ∩ p −1 i (Ai ) ∩ pj (Bj ) / Dj , así pues Di 6= Dj y por lo tanto la aplicación ϕ : M → P (D) definida es claro que x ∈ Di pero x ∈ para cada i ∈ M por ϕ(i) = Di es inyectiva por lo que Card(D) ≤ Card(P (H)) ≤ Card(R). Ahora demostraremos que si para cada i ∈ I es (X i , Ti ) separable y además Card(I) ≤ Card(R) entonces (X, Tp ) es también separable. En efecto: sea para cada i ∈ I, D i = {xni : n ∈ N} un subconjunto denso y numerable de Xi . Consideremos una aplicación ϕ : I → [0, 1] que sea inyectiva y sea P la familia de los conjuntos finitos, {F1 , . . . , Fk }, de subintervalos cerrados y acotados de [0, 1] que sean disjuntos dos a dos y tengan extremos racionales. Para cada k ∈ N, cada {F 1 , . . . , Fk } ∈ P y cada subconjunto finito k {m1 , . . . , mk } deN con k elementos definimos el siguiente elemento x Fm11,...,F ...mk de X: para cada i ∈ I es mj xi si ϕ(i) ∈ Fj k pi xFm11,...,F . ...mk = x1i en otro caso n k Como las partes finitas de un conjunto numerable es numerable tenemos que D = xFm11,...,F ...mk k ∈ N, {F1 , . . . , Fk } ∈ Q P, {m1 , . . . , mk } ⊂ N} es un conjunto numerable. Sea A = i∈I Ai un elemento de la base Bp de Tp , existen {i, . . . , ip } ⊂ I tales que si i ∈ I − {i, . . . , ip } es Ai = Xi . Para cada j ∈ {1, . . . , p}, como Dij n es denso en Xij , podemos considerar xijj ∈ Dij ∩ Aij , entonces como ϕ es inyectiva es seguro que existen F1 , . . . , Fp subintervalos cerrados y acotados de [0, 1] disjuntos dos a dos tales que si j ∈ {1, . . . , p} es F ,...,F ϕ(j) ∈ Fj . Es ahora evidente que xn11 ...np p ∈ D ∩ A. De lo anterior deducimos que si para cada i ∈ I es (X i , Ti ) = (R, Tu ) y es I = R entonces (X, Tp ) es separable pero si por ejemplo es I = P (R) entonces (X, T p ) no es separable. 22. Si I es numerable y cada (Xi , Ti ) es seudometrizable entonces (X, T p ) es seudometrizable. En efecto, podemos poner I = N y tampoco perdemos generalidad si suponemos que para cada i ∈ N tenemos una seudométrica di en Xi tal que si a, b ∈ Xi es di (a, b) ≤ 1 y Tdi = Ti . Definimos d : X × X → R por P di (xi , yi ) d((xi )i∈N , (yi )i∈N ) = ∞ , es sencillo comprobar que d es una seudométrica en X y vamos a i=1 2i demostrar que Td = Tp . Sean x = (xi )i∈N ∈ X y r ∈ R, r > 0, probaremos primero que B(x, r) ∈ T p . P Q r−d(x,y) 1 Sea y ∈ B(x, r), existe k ∈ N tal que ∞ . Consideremos δ = r−d(x,y) y A = i∈N Ai i=k+1 2i < 2 2(1− 1 ) 2k

donde Ai = B(yi , δ) si i ≤ k y Ai = Xi si i > k, tenemos que y ∈ A ⊂ B(x, r) ya que si z ∈ A es P di (xi , zi ) Pk di (yi , zi ) + di (xi , yi ) P∞ di (xi , zi ) 1 1 d(x, z) = ∞ ≤ i=1 + i=k+1 < δ( +· · ·+ k )+d(x, y)+ i=1 i i i 2 2 2 2 2 r − d(x, y) = r − d(x, y) + d(x, y) = r. 2 Apuntes y notas de Topología


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Q Consideremos ahora un elemento A de la subbase S p de Tp , A es de la forma A = i∈N Ai donde existe j ∈ N tal que si i 6= j, i ∈ N, es Ai = Xi y Aj = B(xj , rj ) con xj ∈ Xj y rj > 0. Sea y ∈ A entonces para P rj − dj (yj , xj ) di (zi , yi ) r= tenemos que y ∈ B(y, r) ⊂ A, ya que si z ∈ B(y, r) es d(y, z) = ∞

CAPÍTULO 6

Conexos y conexos por caminos Índice del Tema 1

Espacios conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2

Espacios localmente conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3

Espacios conexos por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

4

Espacios localmente conexos por caminos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Espacios conexos

Sean X un conjunto y A, B dos subconjuntos de X, se dice que {A, B} es una partición de X si A y B son no vacíos, disjuntos y su unión es X. Definición 6.1.1 Sea X un espacio topológico. Se dice que X es conexo si no existe una partición de X con dos conjuntos abiertos. Teorema 6.1.2 Sea X un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es conexo. 2. Si B1 y B2 son cerrados tales que X = B1 ∪ B2 y B1 ∩ B2 = ∅ entonces B1 = ∅ ó B2 = ∅. 3. Si A y B son subconjuntos de X tales que X = A ∪ B, A ∩ B = ∅ y A ∩ B = ∅ entonces A = ∅ ó B = ∅. 4. Si A ⊂ X es un clopen entonces A = X ó A = ∅. 5. Para cada A ⊂ X si A 6= ∅ y A 6= X entonces F r[A] 6= ∅. 6. Si (Y, TD ) es un espacio topológico discreto y f : X → Y es una aplicación continua entonces f es constante. 7. Si en {0, 1} consideramos la topología discreta entonces no existe una aplicación continua y sobreyectiva de X en {0, 1}. Demostración 1 ⇒ 2 Para A1 = X − B1 , A2 = X − B2 tenemos que A1 ∩ A2 = ∅, A1 ∪ A2 = X y A1 , A2 son abiertos, así pues o bien A1 = ∅ y entonces B2 = ∅, o bien A2 = ∅ y entonces B1 = ∅. 2 ⇒ 3 Tendremos que A ∪ B = X y se puede deducir que A ∩ B = ∅ y por hipótesis tendremos que o bien A = ∅ y entonces A = ∅, o bien B = ∅ y entonces B = ∅.

CAPÍTULO 6. CONEXOS Y CONEXOS POR CAMINOS

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3 ⇒ 4 Si A es clopen en X entonces X = A ∪ (X − A), A ∩ (X − A) = A ∩ (X − A) = ∅ y A ∩ (X − A) = A ∩ (X − A) = ∅, así pues por hipótesis o bien A = ∅ o bien X − A = ∅ en cuyo caso es A = X. 4 ⇒ 5 Es evidente ya que F r(A) = ∅ si y sólo si A es un clopen. 5 ⇒ 6 Sea f : X → Y continua y sea y ∈ Im f entonces f −1 ({y}) es un clopen no vacío en X y por tanto f −1 ({y}) = X y f (X) = {y}. 6 ⇒ 7 Es evidente. 7 ⇒ 1 Si A1 , A2 son abiertos no vacíos y disjuntos con A 1 ∪ A2 = X entonces la aplicación g : X → {0, 1} definida por g(x) = 0 si x ∈ A1 y g(x) = 1 si x ∈ A2 es continua y sobreyectiva.

Definición 6.1.3 Si (X, T ) es un espacio topológico y M ⊂ X se dice que M es conexo en (X, T ) si (M, TM ) es conexo. El siguiente teorema es de sencilla demostración. Teorema 6.1.4 Sea (X, T ) un espacio topológico, entonces: a) Si L ⊂ M ⊂ X entonces L es conexo en (X, T ) si y sólo si L es conexo en (M, T M ). b) Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. M es conexo en (X, T ). 2. Para cada A 1 , A2 ∈ T tales que M ⊂ A1 ∪ A2 y M ∩ A1 ∩ A2 = ∅ 3. Para cada par de cerrados C1 y C2 se verifica que o bien A1 ∩ M = ∅ o bien A2 ∩ M = ∅. de (X, T ) tales que M ⊂ C1 ∪ C2 y M ∩ C1 ∩ C2 = ∅ se verifica que o bien M ∩ C1 = ∅ o bien M ∩ C2 = ∅. 4. Para cada par de subconjuntos A y B de X tales que A ∪ B = M, A ∩ B = ∅ y B ∩ A = ∅ se verifica que o bien A = ∅ o bien B = ∅. Demostración La equivalencia de las tres primeras afirmaciones del apartado b. es clara, demostraremos sólo la equivalencia de éstas con 4. 1 ⇒ 4 Si M es conexo y A, B ⊂ X son tales que M = A ∪ B, A ∩ B = ∅ y A ∩ B = ∅ entonces tenemos que A ∩ B ∩ M = ∅ y M = (A ∩ M ) ∪ (B ∩ M ) así pues o bien A ∩ M = ∅ y como A = A ∩ M ⊂ A ∩ M será A = ∅ o bien B ∩ M = ∅ y entonces será B = ∅. 4 ⇒ 3 Si C1 y C2 son cerrados en X con M ⊂ C1 ∪ C2 y C1 ∩ C2 ∩ M = ∅ entonces para A = C1 ∩ M y B = C2 ∩ M tenemos que A ∩ B = ∅, A ∩ B = ∅ y A ∪ B = M y entonces o bien es A = ∅ o bien B = ∅.

Ejemplo 6.1.5 1. Consideremos (R, T u ). Se dice que M ⊂ R es un intervalo si para cada x, y ∈ M se verifica que [x, y] ⊂ M . Si M ⊂ R no es un intervalo tendremos que existirán x, y ∈ M tales que c ∈ / M para algún c ∈ (x, y) entonces, si A = (−∞, c) y B = (c, +∞), tenemos que M = (A∩M )∪(B ∩M ), A∩M 6= ∅, B ∩ M 6= ∅, y A ∩ B ∩ M = ∅, así pues M no es conexo. Supongamos ahora que M no es conexo y vamos a demostrar que M no es un intervalo. Tenemos que existen dos abiertos A1 y A2 tales que M = A1 ∪ A2 , A1 ∩ M 6= ∅, A2 ∩ M 6= ∅ y A1 ∩ A2 ∩ M = ∅. Antonio Aizpuru Tomás

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1. ESPACIOS CONEXOS

Consideremos a ∈ A1 ∩ M, b ∈ A2 ∩ M y supongamos que a < b. Definimos L = {x ∈ [a, b] : x ∈ A 1 }, tenemos que a ∈ L y que b es cota superior de L, así pues existe c = sup L, será c ∈ [a, b]. Si c ∈ A 1 ∩ M tendremos que c < b y como A1 es abierto existirá d ∈ A1 tal que d ∈ (c, b), por tanto d ∈ L lo que contradice que c = sup L. Si c ∈ A2 ∩ M será a < c y como A2 es abierto existirán d ∈ A2 tal que d ∈ (a, c) y [d, c] ⊂ A2 así pues L ∩ [d, c] = ∅ pero esto también contradice que c = sup L. Por tanto tenemos que c ∈ (a, b) y c ∈ / M , así pues M no es un intervalo. Hemos deducido que los únicos subconjuntos conexos de R son los intervalos. 2. Consideremos (Q, Tu ), si M ⊂ Q no es unitario es claro que M no es conexo, así pues Q no es conexo y conexo no es propiedad hereditaria. Teorema 6.1.6 Sean X e Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Si M ⊂ X es conexo y f es continua entonces f (M ) es conexo. Así pues ser conexo será también una propiedad topológica. Demostración Si f (M ) no es conexo existen B 1 y B2 abiertos en Y tales que f (M ) ∩ B1 6= ∅, f (M ) ∩ B2 6= ∅, f (M ) ⊂ B1 ∪B2 y f (M )∩B1 ∩B2 = ∅ pero entonces, si A1 = f −1 (B1 ) y A2 = f −1 (B2 ), tenemos que A1 y A2 son abiertos en X tales que M ∩ A1 6= ∅, M ∩ A2 6= ∅, M ⊂ A1 ∪ A2 y M ∩ A1 ∩ A2 = ∅ lo que contradice el que M sea conexo.

Teorema 6.1.7 Sean X un espacio topológico, A ⊂ X y M ⊂ X un conjunto conexo tales que M ∩A 6= ∅ y M ∩ (X − A) 6= ∅ entonces M ∩ F r(A) 6= ∅. Demostración Tenemos que M ⊂ A ∪ (X − A) y que M ∩ A 6= ∅, M ∩ (X − A) 6= ∅, así pues como M es conexo tendrá que ser M ∩ A ∩ (X − A) = M ∩ F r(A) 6= ∅. Teorema 6.1.8 Sean (X, T ) un espacio topológico y M ⊂ X un conjunto conexo. Entonces si P ⊂ X es tal que M ⊂ P ⊂ M se verifica que P es conexo. Así pues ser conexo y tener subconjunto denso que es conexo son afirmaciones equivalentes. Demostración Consideremos {0, 1} con la topología discreta y sea f : P → {0, 1} una aplicación continua, como M ⊂ P es conexo podemos suponer que, por ejemplo, es f (M ) = 0 entonces f −1 ({0}) es un cerrado en (P, TP ) que contiene a M y por tanto clP (M ) = M ∩ P = P ⊂ f −1 ({0}) ⊂ P , así pues f es constante en P y P es pues conexo.

Teorema 6.1.9 Sean X un espacio topológico y {A i }i∈I una S familia de subconjuntos conexos de X tales S que para cada partición {I1 , I2 } de I se verifica que para M1 = i∈I1 Ai y M2 = i∈I2 Ai es M1 ∩ M2 6= ∅ S o bien M1 ∩ M2 6= ∅ entonces M = i∈I Ai es conexo. Demostración Supongamos que M no es conexo, entonces existen A, B ⊂ X no vacíos tales que A∩B = ∅, A∩B = ∅ y M = A∪B, para cada i ∈ I tendremos que A i = (Ai ∩A)∪(Ai ∩B), (Ai ∩ A)∩(Ai ∩B) = ∅ y (Ai ∩ A) ∩ (Ai ∩ B) = ∅ así pues como Ai es conexo o bien Ai ∩ A = ∅ y entonces Ai ⊂ B o bien Apuntes y notas de Topología


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Ai ∩ B = ∅ y Ai ⊂ A. Consideremos I1 = {i ∈ I : Ai ⊂ A} y I2 = {i ∈ I : Ai ⊂ B}, es claro que = ∅, I1 ∪ I2 = I,SI1 6= ∅ y I2 6= ∅ ya que si por ejemplo fuese I1 = ∅ deduciríamos que A = ∅. Sean I1 ∩ I 2 S M1 = i∈I1 Ai , M2 = i∈I2 Ai , tenemos que M1 ∩ M2 ⊂ A ∩ B = ∅ y M1 ∩ M2 ⊂ A ∩ B = ∅ lo que contradice nuestra hipótesis.

NotaS 6.1.10 Sea {Ai }i∈I una familia de subconjuntos conexos de un espacio topológico X y sea A = i∈I Ai , las siguientes afirmaciones son consecuencias evidentes del teorema anterior. 1- Si para cada i, j ∈ I es Ai ∩ Aj 6= ∅ entonces A es conexo. 2- Si existe i ∈ I tal que para cada j ∈ I, j 6= i, es A i ∩ Aj 6= ∅ entonces A es conexo. 3- Si existe i ∈ I tal que para cada j ∈ I, j 6= i, es A i ∩ Aj 6= ∅ ó Ai ∩ Aj 6= ∅ entonces A es conexo. Teorema 6.1.11 Sea X un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: a- X es conexo. b- Para cada x, y ∈ X existe M ⊂ X conexo tal que x, y ∈ M . c- Existe x 0 ∈ X tal que para x ∈ X − {x0 } existe un conjunto conexo Mx verificando que {x, x0 } ⊂ Mx . Demostración Las implicaciones a ⇒ b y b ⇒ c son evidentes. S c ⇒ a Tendremos que X = x∈X−{x0 } Mx y como x0 ∈ Mx para cada x ∈ X − {x0 } deducimos, de la observación anterior, que X es conexo.

Teorema 6.1.12 Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y sea (X, T p ) el correspondiente espacio topológico producto, entonces (X, T p ) es conexo si y sólo si (Xi , Ti ) es conexo para cada i ∈ I. Demostración Supongamos que (X, Tp ) es conexo. Para cada i ∈ I sea pi la proyección de X en Xi como X es conexo y Xi = pi (X), es claro que Xi es conexo. Si para cada i ∈ I es (Xi , Ti ) conexo demostraremos que (X, Tp ) es conexo. Comenzaremos suponiendo que I es finito, I = {1, . . . , n}. Sean x = (x1 , . . . , xn ), y = (y1 , . . . , yn ) dos elementos distintos de X. Sea M n = {x1 } × · · · × {xn−1 } × Xn , como Mn es homeomorfo a Xn tenemos que Mn es conexo en (X, Tp ). Sea Mn−1 = {x1 }×· · · ×{xn−2 }× Xn−1 × {yn }, tenemos que Mn−1 es conexo, x ∈ Mn y (x1 , . . . , xn−1 , yn ) ∈ Mn ∩ Mn−1 . Sea Mn−2 = {x1 } × · · · × {xn−3 } × Xn−2 × {yn−1 } × {yn }, tenemos que Mn−2 es conexo y (x1 , . . . , xn−2 , yn−1 , yn ) ∈ Mn−1 ∩ Mn−2 . Así sucesivamente terminaremos por considerar M 1 = X1 × {y2 } × · · · × {yn } que es conexo, además y ∈ M1 y (x1 , y2 , . . . , yn ) ∈ M1 ∩ M2 , es ahora sencillo comprender que M n ∪ Mn−1 es un conjunto conexo que tiene puntos en común con M n−2 y por tanto Mn ∪ Mn−1 ∪ Mn−2 es conexo, reiterando deducimos que M = M1 ∪ M2 ∪ · · · ∪ Mn es un conjunto conexo que contiene a {x, y}, así pues (X, Tp ) es conexo. Supongamos ahora que tenemos una familia {(X i , Ti )}i∈I , no necesariamente finita, de espacios topológicos conexos y consideremos el correspondiente espacio producto (X, T p ). Fijamos a = (ai )i∈I ∈ X y considerQ amos Ma = {x ∈ Xi : existe Jx ⊂ I, Jx finito, tal que xi = aS i si i ∈ I −Jx }, es claro que Ma es denso en X. Sea L la familia de partes finitas de I, tenemos Q que M a = J∈L MJ donde MJ = {x ∈ X :Txi = ai si i ∈ I − J},Spara cada J ∈ L es MJ homeomorfo a i∈J Xi y por tanto es conexo, además a ∈ J∈L MJ , por tanto J∈L MJ = Ma es conexo y como Ma es denso en X también será X conexo. Antonio Aizpuru Tomás

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1. ESPACIOS CONEXOS

Ejemplo 6.1.13 1. Para cada n ∈ N se verifica que (R n , Tu ) es conexo. 2. Si X tiene más de un elemento se verifica que (X, T D ) no es conexo. 3. Si X es infinito el espacio topológico (X, T CF ) es conexo. 4. Sea S n la esfera unidad de Rn+1 , si a ∈ S n tenemos que S n − {a} es homeomorfo a Rn+1 y por tanto S n − {a} es conexo y como S n − {a} es denso en S n tenemos que S n es conexo. Probaremos ahora que S 1 no pude ser homeomorfo a ningún intervalo M ⊂ R. En efecto, supongamos que f : S 1 → M es un homeomorfismo, sea a ∈ S 1 tal que f (a) ∈ Int(M ), tenemos que S 1 −{a} será homeomorfo a M −{f (a)} pero S 1 − {a} es conexo y M − {f (a)} no lo es. 5. El cilindro S 1 × R y el toro S 1 × S 1 son conexos. 6. Sea (R, TS ) la recta de Sorgenfrey, es sencillo comprobar que para cada a, b ∈ R con a < b se tiene que [a, b) es un clopen, como consecuencia podemos deducir que todo subconjunto con más de un elemento no es conexo. 7. Consideremos en R la topología T = {A ⊂ R : 0 ∈ / A} ∪ {R}, tenemos que R es conexo y que también es conexo todo subconjunto M ⊂ R tal que 0 ∈ M . Así pues M = (−1, 1) es conexo pero es sencillo comprobar que Int(M ) = (−1, 1) − {0} no es conexo. 8. Consideremos x, y ∈ Rn , x 6= y. El segmento de extremos x, y se define por [x, y] = {x + t(y − x) : t ∈ [0, 1]}, demostraremos que [x, y] es conexo. Sea α : [0, 1] → R n definida en cada t ∈ [0, 1] por α(t) = x + t(y − x), es evidente que α es continua y como Im(α) = [x, y] tenemos que [x, y] es conexo. Un subconjunto A de Rn se dice que es convexo si para cada x, y ∈ A se verifica que [x, y] ⊂ A, así pues todo subconjunto convexo será conexo y en particular las bolas de R n son conexas; el recíproco es evidentemente falso ya que, por ejemplo, en R 2 tenemos que la unión de dos rectas que se cortan en un punto es un conjunto conexo y no es convexo. Finalmente observemos que si n ≥ 2, n ∈ N y a ∈ R n entonces Rn −{a} es conexo ya que si x, y ∈ Rn −{a} y M es la unión de dos rectas r1 y r2 que se cortan y no pasan por a se verifica que {x, y} ⊂ M y M es conexo. 9. En R2 tenemos que S 1 es conexo y M = {(0, x) : x ∈ R} también es conexo pero S 1 ∩ M = {(0, 1), (0, −1)} no es conexo. Nota 6.1.14 1. Teorema del valor medio. Sea X un espacio topológico conexo y sea f : X → R continua. Si a, b ∈ X y α ∈ R son tales que f (a) < α < f (b) entonces existe z ∈ X tal que f (z) = α. En efecto, tenemos que A = {x ∈ X : f (x) < α}, B = {x ∈ X : f (x) > α} son abiertos, no vacíos y disjuntos, por lo tanto su unión no puede ser X y existirá z ∈ X tal que f (z) = α. 2. Se dice que un espacio topológico X tiene la propiedad del punto fijo si para cada aplicación continua f : X → X existe a ∈ X tal que f (a) = a. Si X es no conexo entonces existen A y B conjuntos clopen no vacíos y disjuntos tales que A ∪ B = X, fijamos a ∈ A y b ∈ B y consideramos la aplicación f : X → X definida por f (x) = b si x ∈ A y f (x) = a si x ∈ B, tenemos que f es continua y por tanto X no tiene la propiedad del punto fijo. Así pues todo espacio con la propiedad del punto fijo tiene que ser conexo, pero el recíproco no es cierto ya que por ejemplo, R es conexo y la aplicación f : R → R definida en cada x ∈ R por f (x) = ex es continua y para cada x ∈ R es ex 6= x. Demostraremos ahora que si I = [0, 1] entonces I tiene la propiedad del punto fijo. En efecto, sea f : I → I una aplicación continua y definimos g : I → I Apuntes y notas de Topología


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para cada x ∈ I por g(x) = f (x) − x, si para cada x ∈ I fuese g(x) 6= 0 tendremos que o bien es g(x) > 0 para cada x ∈ I y entonces f (1) > 1 o bien g(x) < 0 para cada x ∈ I y entonces f (0) < 0, así pues necesariamente existe a ∈ I tal que g(a) = 0 es decir tal que f (a) = a. 3. Sean X un espacio topológico y Z ⊂ X, se dice que Z es un retracto de X si existe g : X → Z sobreyectiva y continua tal que para cada x ∈ Z es g(x) = x, a la aplicación g se le llama retracción de X en Z. Si X tiene la propiedad del punto fijo y Z es un retracto de X entonces Z también tiene la propiedad del punto fijo. En efecto, si f : Z → Z es una aplicación continua y g : X → Z es una retracción existirá x ∈ X tal que (f ◦ g)(x) = x, así pues x ∈ Z, por tanto g(x) = x y f (x) = x. Si X es T2 y g : X → Z, Z ⊂ X, es una retracción tenemos que si (x d ) es una red en Z y lim(xd ) = x entonces g(x) = lim(g(xd )) = lim(xd ) = x, así pues x ∈ Z y podemos afirmar que Z es cerrado. Es sencillo ahora comprobar que los únicos retractos de R son los intervalos cerrados. 4. Teorema de Borsuk-Ulam. Sea f : S n → R una aplicación continua entonces existe x ∈ S n tal que f (x) = f (−x). En efecto, definimos h : S n → R, para cada x ∈ S n , por h(x) = f (x) − f (−x) tenemos que h es continua y si x ∈ S es tal que h(x) 6= 0 tenemos que h(−x) = f (−x) − f (x) = −h(x) así pues por el teorema del valor medio existe z ∈ S n tal que h(z) = 0 y por tanto f (z) = f (−z). 5. En Rn si M = L(a1 , . . . , an−1 ) es un subespacio vectorial de dimensión n − 1 entonces F = R n − M no es conexo. En efecto: los puntos de M están caracterizados por una condición del tipo α 1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn = 0, consideremos f : F → R definida por f (x 1 , . . . , xn ) = α1 x1 + · · · + αn xn , f es claramente continua y es sencillo comprobar que existen x, y ∈ F tales que f (x) < 0 y f (y) > 0 pero sin embargo es f (z) 6= 0 para cada z ∈ F . Si M = b + L(a1 , . . . , an−1 ) es un subespacio afín de dimensión n − 1 también tendremos que F = R n − M no es conexo. Si M = L(a1 , . . . , am ), m < n − 1, es subespacio vectorial de dimensión m se verifica que F = R n − M sí que es conexo. En efecto; Si x, y ∈ F y x 6= y tenemos que si y ∈ / L(a 1 , . . . am , x) es [x, y] ⊂ F y [x, y] es conexo. Si y ∈ L(a1 , . . . , am , x) entonces {x, y} ⊂ P ⊂ F donde P = [x, z]∪[z, y] y z ∈ / L(a 1 , . . . , am , x). 6. En R un intervalo del tipo [a, b] no puede ser homeomorfo a uno del tipo (c, d), en efecto si f : [a, b] → (c, d) fuese un homeomorfismo tendremos que A = [a, b] − {b} sería homeomorfo a B = (c, d) − {f (b)} pero A es conexo y B no lo es. Con argumentos similares se prueba que (a, b] ó [a, b) tampoco pueden ser homeomorfos a (c, d) y que [a, b] no es homeomorfo a (c, d]. Supongamos ahora que B es un subconjunto abierto de R, demostraremos que si f : B → R es una inmersión necesariamente tiene que ser f (B) un abierto en R. En efecto: si B fuese un intervalo del tipo (a, b) tenemos que f (B) tendrá que ser S también un intervalo abierto. Si ahora B es cualquier abierto de R, podemos expresar B como B = i∈J Ii donde para cada i ∈ J es Ii un intervalo abierto, así pues S f (B) = i∈J f (Ii ) también será unión de intervalos abiertos y por tanto abierto. Definición 6.1.15 Sea X un espacio topológico y K un subconjunto de X, se dice que K es una componente conexa de X si K es conexo y no existe Z ⊂ X conexo tal que K ⊂ Z y Z 6= K. Para cada x ∈ X denotamos por c(x) la unión de todos los conjuntos conexos que contienen a x. El siguiente teorema resume lo fundamental de este nuevo concepto. Teorema 6.1.16 Sea X un espacio topológico. Antonio Aizpuru Tomás

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1. ESPACIOS CONEXOS

a- Para cada x ∈ X es c(x) cerrado y componente conexa de X. Si x, y ∈ X y x 6= y entonces o bien c(x) ∩ c(y) = ∅ o bien c(x) = c(y) y por tanto las componentes conexas de X constituyen una partición de X. Si K es componente de X entonces K = c(x) para cualquier x ∈ K. Si M es conexo, M ⊂ X, se tiene que si x ∈ M entonces c(x) es la única componente conexa que contiene a M. b- X es conexo si y sólo si X tiene una única componente conexa. c- En general las componentes conexas no son abiertas. Las componentes conexas {K i }i∈I de X son abiertas si y sólo si {Ki }i∈I es una familia localmente finita, es decir, para cada x ∈ X existen U entorno de x y J ⊂ I finito tales que para cada i ∈ I − J es U ∩ K i = ∅. d- Si {Ai : i ∈ I} es una partición de X en abiertos conexos se verifica que dicha familia es exactamente la familia de las componentes conexas de X. e- Si Y es otro espacio topológico y f : X → Y una aplicación continua entonces para cada x ∈ X es f (c(x)) ⊂ c(f (x)). Si f es homeomorfismo entonces para cada x ∈ X es f (c(x)) = c(f (x)). Por tanto el cardinal de la familia de las componentes conexas de un espacio topológico es una propiedad topológica. Demostración a) c(x) es la unión de una familia de conexos que tiene intersección distinta del vacío, así pues c(x) es conexo. Si K es cualquier conexo tal que c(x) ⊂ K tendremos que x ∈ K y por tanto c(x) = K, así pues c(x) es componente conexa de X y como c(x) ⊂ c(x) y c(x) es conexo tendrá que suceder que c(x) = c(x). Si x 6= y y c(x) ∩ c(y) 6= ∅ entonces c(x) ∪ c(y) es un conjunto conexo que contiene a c(x) y c(y) así pues deducimos que c(x) = c(y). Si K es componente conexa de X y x ∈ K será K ⊂ c(x) y por tanto c(x) = K. Finalmente si M es conexo y x ∈ M es evidente que M ⊂ c(x), si se tiene también que M ⊂ c(y) tendremos que c(x) ∩ c(y) 6= ∅ y por tanto c(x) = c(y). b) Si X es conexo es claro que para cada x ∈ X el mayor conjunto conexo que contiene a x es X y por tanto c(x) = X. Recíprocamente si existe una única componente conexa c(x), x ∈ X, tenemos que para cada y ∈ X será y ∈ c(y) = c(x) así pues c(x) = X y X será conexo. c) Sea X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, tenemos que {0} es una componente conexa de X y {0} no es abierto en X. Si las componentes conexas son abiertas y x ∈ X tenemos que c(x) será un entorno de x que no corta a ningún otro miembro de la familia de componentes conexas. Recíprocamente, si la familia de componentes conexas de X, {Ki }i∈I , es localmente finita tenemos que si j ∈ I y x ∈ K j existen U entorno abierto de x y J = {i1 , . . . , im } ⊂ I tales que U ∩ Ki = ∅ si i ∈ I − J, supongamos que j = i1 , entonces U − (Ki2 ∪ · · · ∪ Kim ) es entorno abierto de x y está contenido en K j , así pues Kj será entorno de cada uno de sus puntos y por tanto será abierto. d) Sea x ∈ X y j ∈ I tal que xS∈ Aj tenemos que Aj ⊂ c(x) pero si existe y ∈ c(x) − Aj tendremos que c(x) = (c(x) ∩ Aj ) ∪ (c(x) ∩ ( i6=j Ai )) lo que contradice que c(x) sea conexo, por tanto c(x) = A j .

e) Si f : X → Y es continua y x ∈ X tenemos que f (c(x)) es conexo y f (x) ∈ f (c(x)) por tanto f (c(x)) ⊂ c(f (x)). Si f es homeomorfismo tendremos que f −1 (c(f (x))) es conexo que contiene a c(x) y por tanto c(x) = f −1 (c(f (x))), así pues será f (c(x)) = c(f (x)).

Teorema 6.1.17 Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y sea (X, Q T p ) el correspondiente espacio topológico producto. Entonces si a = (a i )i∈I ∈ X se verifica que c(a) = i∈I c(ai ). Apuntes y notas de Topología


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Q Q Demostración Es claro que i∈I c(ai ) es conexo por tanto i∈I c(ai ) ⊂ c(a) pero por otra parte (c(a)) un conexo que contiene a aj y por tanto pj (c(a)) ⊂ c(aj ), tenemos que para cada j ∈ I es pjQ deducimos pues que también c(a) ⊂ i∈I c(ai ). Nota 6.1.18 1. En (X, TD ) las componentes conexas son de la forma c(x) = {x}. 2. En R − {a} las componentes conexas son (−∞, a) y (a, +∞). 3. Si X es un espacio topológico se dice que a ∈ X es un punto de componentes conexas. Si Y es otro espacio topológico y f : X → Y si a ∈ X es un punto de corte de orden n entonces f (a) es también, Los puntos de R son puntos de corte de orden 2. Los puntos de R n puntos de S n son también puntos de corte de orden 1.

corte de orden n si X − {a} tiene n es un homeomorfismo se verifica que en Y , un punto de corte de orden n. son puntos de corte de orden 1. Los

4. Sea X = (R × {0}) ∪ ({0} × R) con la topología inducida de la de R 2 . El punto (0, 0) es un punto de corte de orden 4 y los restantes puntos de X son puntos de corte de orden 2. 5. Se dice que un espacio topológico X es 0-dimensional si existe una base de abiertos formada por conjuntos clopen de X. Es sencillo comprobar que X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0} es 0-dimensional. Para cualquier conjunto X se verifica que el espacio topológico discreto (X, T D ) es 0-dimensional. Q es 0-dimensional ya que la intersección con Q de los intervalos abiertos de extremos irracionales constituyen una base de clópenes en Q. 6. Se dice que un espacio topológico X es totalmente disconexo si para cada x ∈ X es c(x) = {x}. Los espacios discretos son por tanto totalmente disconexos. Q con la topología usual también es totalmente disconexo. A un espacio topológico que no es conexo se le suele denominar también disconexo. El producto de espacios totalmente disconexos es un espacio totalmente disconexo. 7. Si X es un espacio topológico que es T 1 y 0-dimensional entonces X es totalmente disconexo. En efecto, si x ∈ X y existe y ∈ c(x) con y 6= x existirá un clopen A tal que x ∈ A y y ∈ / A, entonces c(x) = (A ∩ c(x)) ∪ (Ac ∩ c(x)) es una partición de c(x) en dos abiertos no vacíos y disjuntos lo que contradice que c(x) sea conexo. Más adelante, cuando estudiemos los espacios compactos, se probará que si además de compacto el espacio es T 2 entonces son equivalentes las propiedades 0-dimensionales y totalmente disconexo. La recta de Sorgenfrey, (R, T s ), es 0-dimensional y T2 por lo que será totalmente disconexa. 8. Si X es un espacio topológico y x ∈ X se dice que x es un punto de dispersión si X − {x} es totalmente disconexo. Consideremos en R la topología T = {A ⊂ R : 0 ∈ / A} ∪ {R}, es claro que (R, T ) es conexo y que 0 es un punto de dispersión. 9. La circunferencia S 1 no es homeomorfa a ningún subconjunto de R ya que si lo fuese este subconjunto sería un intervalo y en los intervalos hay puntos de corte de orden 2 mientras que todo punto de S 1 es un punto de corte de orden 1. 10. Si {(Xi , Ti )}i∈I es una familia de espacios topológicos y (X, T p ) es el correspondiente espacio producto entonces (X, Tp ) es 0-dimensional si y sólo si (Xi , Ti ) es 0-dimensional para cada i ∈ I. En efecto, si B es base de conjuntos clopen de Tp y j ∈ I, sea B un abierto en (Xj , Tj ) tal Qque xj ∈ B y consideremos cualquier x ∈ X tal que pj (x) = xj . Tenemos que existe A ∈ B con x ∈ A ⊂ i∈I Bi donde Bi = Xi , i ∈ I − {j} y Bj = B, es claro que pj (A) y pj (X − A) = Xj − pj (A) son abiertos, así pues pj (A) es clopen en (Xj , Tj ) y xj ∈ pj (A) ⊂ B. Antonio Aizpuru Tomás

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1. ESPACIOS CONEXOS

Q Recíprocamente, si para cada i ∈ I es B i una base de clópenes de Ti tendremos que B = { Bi : existe J ⊂ I finito con Bi = Xi si i ∈ I − J y Bi ∈ Bi si i ∈ J} es una base de Tp donde cada elemento es clopen en X. 11. Sea (X, ≤) un conjunto totalmente ordenado, utilizaremos la siguiente notación: si a, b ∈ X y a 6= b, a ≤ b definimos (a, b) = {x ∈ X : a < x < b}, (−∞, b) = {x ∈ X : x < b}, ya con esto es sencillo comprender que es lo que se entiende por [a, b], (−∞, b], [a, +∞). Sea T la familia de subconjuntos de X caracterizados por la siguiente propiedad: A ∈ T si para cada x ∈ A existen a, b ∈ X tales que x ∈ (a, b) ⊂ A, o bien x ∈ (−∞, b) ⊂ A o bien x ∈ (a, +∞) ⊂ A, es sencillo comprobar que T es una topología en X y T es llamada topología del orden en (X, ≤). Diremos que el conjunto ordenado (X, ≤) tiene un boquete si existen a, b ∈ X tales que (a, b) = ∅, en esta situación está claro que todo entorno de a también lo sería de b y que por tanto (X, T ) no es T 0 , es sencillo probar que X es T2 y sólo si X no tiene boquetes. Diremos que (X, ≤) verifica el principio del supremo si todo subconjunto de X que esté acotado superiormente tiene supremo, en esta situación es sencillo demostrar que todo conjunto acotado inferiormente tiene ínfimo. Vamos a demostrar que (X, T ) es conexo si y sólo si (X, ≤) no tiene boquetes y verifica el principio del supremo. Si X tiene el boquete (a, b) = ∅ entonces X será la unión disjunta de dos cerrados no vacíos: X = (−∞, a] ∪ [b, +∞) y por tanto X no será conexo. Supongamos que existe M ⊂ X acotado superiormente y sin supremo, es claro que entonces ninguna cota superior de M pertenecerá a M . Consideremos A = {x ∈ X : x es cota superior de M } y B = {x ∈ X : x no es cota superior de M }. Si x ∈ B existe y ∈ M con x < y, entonces x ∈ (−∞, y) ⊂ B y deducimos que B es abierto. Si x ∈ A existirá y ∈ X cota superior de M con y < x, por tanto x ∈ (y, +∞) ⊂ A y deducimos que A es también abierto, como X = A ∪ B, A 6= ∅, B 6= ∅ y A ∩ B = ∅ tenemos que X no puede ser conexo. Supongamos ahora que (X, ≤) verifica el principio del supremo y que no tiene boquetes, si fuese X no conexo tendremos que X = A ∪ B donde A y B son dos abiertos no vacíos y disjuntos, consideremos a ∈ A y b ∈ B y supongamos que a < b y que α = sup A ∩ (a, b) y β = inf B ∩ (a, b), si c ∈ (α, β) como α < c tenemos que c ∈ / A y como c < β tenemos c ∈ / B, lo que no es posible. Supongamos que (X, ≤) tiene primero y último elemento, en este caso podemos poner X en la forma X = [α, β]. Vamos a demostrar que si además (X, T ) es conexo entonces (X, T ) verifica la propiedad del punto fijo. Sea f : X → X una aplicación continua y supongamos que no existe punto fijo, sea A = {x ∈ X : f (x) < x}. Es claro que β ∈ A y probaremos que A es abierto. Sea x 0 ∈ A entonces f (x0 ) < x0 , sea z ∈ X tal que f (x0 ) < z < x0 , tenemos que [α, z] es entorno abierto de f (x 0 ), así pues existe (z1 , z2 ) entorno abierto de x0 tal que f ((z1 , z2 )) ⊂ [α, z), podemos suponer que z < z1 , si x ∈ (z1 , z2 ) tenemos α ≤ f (x) < z < z1 < x, así pues (z1 , z2 ) ⊂ A. De manera similar se prueba que B = {x ∈ X : f (x) > x} es abierto y como α ∈ B tenemos que A y B son abiertos no vacíos y disjuntos cuya unión es X lo que contradice que X sea conexo. Finalmente observemos que, en la última situación, si Y es otro espacio topológico conexo y f : Y → X = [α, β] es una aplicación continua tal que α, β ∈ f (Y ) entonces f (Y ) = X. En efecto, si existiera x ∈ X tal que x ∈ / f (Y ) tendremos que [α, x) y (x, β] son abiertos disjuntos tales que cortan cada uno a f (Y ) y f (Y ) ⊂ [α, x) ∪ (x, β] lo que contradice que f (Y ) sea conexo.



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Espacios localmente conexos

Definición 6.2.1 Un espacio topológico (X, T ) se dice que es localmente conexo si para cada x ∈ X existe bx base de entornos de x tal que cada U ∈ b x es conexo. Un subconjunto M ⊂ X se dice que es localmente conexo si (M, TM ) es conexo. Ejemplo 6.2.2 1. Si X = R − {0} tenemos que X es localmente conexo pero no es conexo. 2. R es localmente conexo pero Q no es localmente conexo así pues localmente conexo no es propiedad hereditaria. 3. Sea A = { n1 : n ∈ N} ∪ {0} y B = {x ∈ R : x ≥ 0}, consideremos el subconjunto de R 2 , 1 X = (A S × R) ∪ (B × {0}). Para cada n ∈ N sea H n = {( n , y), y ∈ R} y sea H = B × {0}. Tenemos que X = ( n∈N Hn ) ∪ H y para cada n ∈ N es H ∩ Hn 6= ∅, así pues podemos deducir que X es conexo.

Vamos a probar que X no es localmente conexo demostrando que (0, 1) no tiene base de entornos conexos. Supongamos que (0, 1) sí tiene base de entornos conexos, tendremos que existirá un entorno conexo V de 1 (0, 1) en X tal que (0, 1) ∈ V ⊂ B((0, 1) : 12 ) ∩ X. Es claro que existe m ∈ N tal que ( m , 1) ∈ U y 1 1 1 ( m+1 , 1) ∈ U . Sea r un número irracional tal que m+1 < r < m , tenemos que M1 = {(x, y) : x < r} y 1 M2 = {(x, y) : x > r} son abiertos de R2 tales que U ⊂ M1 ∪ M2 y observemos que ( m+1 , 1) ∈ U ∩ M1 1 ( m , 1) ∈ U ∩ M2 y U ∩ M1 ∩ M2 = ∅, esto contradice nuestra suposición de que U era conexo. 4. El espacio discreto (X, TD ) no es conexo pero sí localmente conexo ya que cada x ∈ X admite como base de entornos conexos a bx = {{x}}. Si consideramos X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0} con la topología usual tenemos que X no es conexo y tampoco es localmente conexo ya que 0 no tiene una base de entornos conexos, sin embargo para cada n ∈ N tenemos que n1 tiene como base de entornos conexos a b = {{ n1 }}. Teorema 6.2.3 Sea X un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es localmente conexo. 2. Para cada abierto A de X y cada componente conexa C del subespacio A se verifica que C es abierto en X. 3. La topología de X tiene una base cuyos elementos son conexos. Demostración 1 ⇒ 2 Sea x ∈ C ⊂ A, por hipótesis existe U entorno de x que es conexo y tal que x ∈ U ⊂ A, como C es componente conexa en A será x ∈ U ⊂ C, así pues C es abierto. 2 ⇒ 3 Sea B = {B ⊂ X : B es abierto y conexo}, para cada A ⊂ X que sea abierto tenemos que A será la unión de sus componentes conexas pero cada una de ellas es un elemento de B 3 ⇒ 1 Si existe B = {B ⊂ X : B es abierto y conexo} base de la topología de X, tendremos que para cada x ∈ X es bx = {A ∈ B : x ∈ A} una base de entornos conexos de x. Teorema 6.2.4 Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. a) Si X es localmente conexo y f es continua, abierta y sobreyectiva entonces Y es localmente conexo. b) Si X es localmente conexo y f es continua, cerrada y sobreyectiva entonces Y es localmente conexo. Demostración a- Sea y ∈ Y y sea x ∈ X tal que f (x) = y, sea b x base de entornos conexos de x, como f es continua y abierta tenemos que bf (x) = {f (A) : A ∈ bx } es una base de entornos conexos de f (x). Antonio Aizpuru Tomás

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2. ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOS

b- Sea B abierto en Y y sea C una componente conexa de B, si K es una componente conexa de f −1 (B) tal que K ∩ f −1 (C) 6= ∅ como f (K) ∩ C 6= ∅ y f (K) es conexo será f (K) ⊂ C y K ⊂ f −1 (C) así pues deducimos que f −1 (C) es unión de componentes conexas de f −1 (B), como f −1 (B) es abierto y X es localmente conexo tenemos que cada componente conexa de f −1 (B) será abierta y por tanto f −1 (C) será abierto. Por ser f sobreyectiva es f (X − f −1 (C)) = Y − C, pero como f es cerrada tenemos que Y − C será cerrado y C será abierto, esto prueba que Y es localmente conexo.

Teorema 6.2.5 Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y sea (X, T p ) el correspondiente espacio topológico producto, las siguientes afirmaciones con equivalentes: 1.- (X, T p ) es localmente conexo. 2.- Para cada i ∈ I es (Xi , Ti ) localmente conexo y existe J ⊂ I finito tal que X i es conexo para cada i ∈ I − J.

Demostración 1 ⇒ 2 Para cada i ∈ I tenemos que la proyección p i : X → Xi es continua abierta y sobreyectiva, así pues Xi es localmente conexo. Por otra parte si x ∈ X y U es entorno conexo de x tenemos que por ser U entorno de x existe J ⊂ I finito tal que p i (U ) = Xi si i ∈ I − J, así pues Xi es conexo para cada i ∈ I − J. Q 2 ⇒ 1 Sea a ∈ X y U entorno de a, existe M ⊂ I finito tal que a ∈ i∈I Ai ⊂ U , donde Ai es abierto en Xi y Ai = Xi si i ∈ IQ − M , para cada i ∈ M ∪ J existe Bi entorno conexo en Ai , entonces Q de ai contenido Q también será conexo i∈I Bi donde Bi = Xi si i ∈ I − (M ∪ J) y a ∈ i∈I Bi ⊂ i∈I Ai ⊂ U .

Ejemplo 6.2.6 1.- Sean X = N ∪ {0} con la topología discreta, Y = { n1 : n ∈ N} ∪ {0} con la topología 1 inducida de R, consideremos la aplicación f : X → Y definida por f (0) = 0 y f (n) = para cada n ∈ N, n tenemos que f es biyectiva y continua, X es localmente conexo y sin embargo Y no es localmente conexo. 2.- Si X es localmente conexo separable y si A es un subconjunto abierto de X entonces tenemos que A es la unión disjunta de sus componentes conexas que son abiertos de X, así pues A tiene que ser la unión de una familia numerable de abiertos conexos disjuntos dos a dos. En particular todo subconjunto abierto A de R es unión de una familia numerable de intervalos disjuntos dos a dos. 3.- Consideremos en R2 , X = {(x, sen x1 ) : x ∈ R, 0 < x ≤ 1} ∪ {(0, 0)}. Sea V cualquier entorno de (0, 0) 2 tal que V ∩ X ⊂ B((0, 0), 12 ) ∩ X. Para cada k ∈ N consideremos la recta R k : x = (2k+1)π , tenemos que 2 1 / B((0, 0); 2 )∩X, para cada k ∈ N consideremos Rk ∩X tiene como único elemento a ( (2k+1)π , +1 ó −1) ∈ los abiertos disjuntos: 2 2 2 Pk = {(x, y) ∈ R2 : x < (2k+1)π } y Qk = {(x, y) ∈ R2 : x > (2k+1)π }, como limk→∞ (2k+1)π = 0 es evidente que existirá k ∈ N tal que V ∩ X ∩ P k 6= ∅ y V ∩ X ∩ Qk 6= ∅ y como V ⊂ Pk ∪ Qk podemos afirmarque V no puede ser conexo lo que prueba que (0, 0) no puede tener base de entornos conexos. Vamos ahora a demostrar que X sí que es conexo. Consideremos la aplicación f : (0, 1] → R 2 definida por f (x) = (x, sen x1 ), f es continua y Im f = X − {(0, 0)}, por tanto A = X − {(0, 0)} es conexo, por otra parte A = A ∪ {(0, y) : y ∈ [−1, 1]} también será conexo y como A ⊂ X ⊂ A tenemos que X es conexo



3

97

Espacios conexos por caminos

Definición 6.3.1 Dado un espacio topológico X a toda aplicación continua α de [0, 1], con su topología usual, en X se le llama camino en X, al punto α(0) = a se le llama origen del camino y a α(1) = b se le llama final del camino, se dice entonces que α es un camino en X que une o conecta a con b. Dado un camino α en X se define el camino inverso α −1 como la aplicación α−1 : [0, 1] → X definida en cada t ∈ [0, 1] por α−1 (t) = α(1 − t), α−1 es pues un camino que conecta α(1) con α(0) siendo Imα−1 = Imα. Dados dos caminos α y β en X de modo que α(1) = β(0), es decir el final de α coincide con el origen de β, se define la composición de α y β como el camino denotado por α ∗ β y definido por α ∗ β(t) = α(2t) si 0 ≤ t ≤ 12 . β(2t − 1) si 12 ≤ t ≤ 1 Es sencillo comprobar que efectivamente α ∗ β es un camino que conecta α(0) con β(1). Si α es una aplicación continua definida en un intervalo cualesquiera [a, b] y con valores en X entonces la aplicación β : [0, 1] → X definida para cada t ∈ [0, 1] por β(t) = α((b − a)t + a) es un camino que conecta α(a) con α(b) y además Im β = Im α, así pues los caminos en un espacio topológico podrían definirse desde cualquier intervalo [a, b] pero es mucho más sencillo y práctico considerar que se definen siempre desde el intervalo [0, 1]. Definición 6.3.2 Se dice que un espacio topológico X es conexo por caminos si para cada a, b ∈ X existe un camino en X que conecta a con b. Si M ⊂ X, se dice que M es conexo por caminos si (M, T M ) es conexo por caminos. Es evidente que M ⊂ X será conexo por caminos si y sólo si para cada a, b ∈ M existe un camino α en X que conecta a con b y tal que Imα ⊂ M . Ejemplo 6.3.3 1. En R2 sea X = {(x, sen x1 ) : 0 < x ≤ 1} ∪ {(0, y) : −1 ≤ y ≤ 1}, ya se probó que X es conexo y no es localmente conexo. Supongamos que exista un camino α(t) = (x(t), y(t)) que conecta (0, 0) y ( π1 , 0) tendremos que x(0) = 0, x(1) = π1 , y(0) = 0, y(1) = 0, así pues existe t1 ∈ (0, 1) 2 2 tal que x(t1 ) = 3π y por tanto será y(t1 ) = −1, existe t2 ∈ (0, t1 ) tal que x(t2 ) = 5π y por tanto será y(t2 ) = 1, así sucesivamente se construye una sucesión (t n )n∈N en (0, 1] que es decreciente y tal que 2 x(tn ) = , y(tn ) = (−1)n sea a = limn→∞ tn , tenemos entonces que 0 = lim x(tn ) = x(a) y por (2n + 1)π tanto será y(a) = lim y(tn ) = 0, pero es manifiestamente falso que lim y(t n ) = 0. Finalmente observemos que A = {(x, sen x1 ) : x ∈ (0, 1]} sí que es conexo por caminos pero X = A no lo es. 2. Sea M un subconjunto convexo de Rn , entonces para cada a, b ∈ M tenemos que α : [0, 1] → M, α(t) = tb + (1 − t)a es un camino que conecta a con b y que tiene la imagen contenida en M . Nota 6.3.4 1. Si X es un espacio topológico y α es un camino en X entonces es evidente que Imα es un conexo por caminos. Antonio Aizpuru Tomás

98

3. ESPACIOS CONEXOS POR CAMINOS

2. Sea X un espacio topológico. Si existe a ∈ X tal que para cada x ∈ X existe un camino en X que une a con x entonces X es conexo por caminos. En efecto, sean x, y ∈ X, si α es un camino que une a con x y β es un camino que une a con y tenemos que α −1 ∗ β es un camino que une x con y. 3. Sean X un espacio topológico y {Ai }i∈I una familia de subconjuntos conexos por caminos. a- Si

Ai es conexo por caminos. S b- Si para cada i, j ∈ I es Ai ∩ Aj 6= ∅ entonces i∈I Ai es conexo por caminos. S c- Si existe j ∈ I tal que Ai ∩ Aj 6= ∅ para cada i ∈ I entonces i∈I Ai es conexo por caminos. T

i∈I

Ai 6= ∅ entonces

S

i∈I

Teorema 6.3.5 Sea X un espacio topológico. Si X es conexo por caminos entonces X es conexo. Demostración Si X fuese no conexo existirán A y B dos abiertos disjuntos y no vacíos tales que A ∪ B = X. Sean a ∈ A, b ∈ B y α un camino que une a con b, tenemos que α −1 (A) y α−1 (B) son dos abiertos disjuntos y no vacíos cuya unión es [0, 1] lo que no es posible.

Ejemplo 6.3.6SSea en R2 , D = {(x, 0) : x ∈ ( 12 , 1]} y para cada n ∈ N sea T An = {(x, y) : y = n1 x, x ∈ [0, 1]} y A = n∈N An , como para cada n ∈ N es An conexo y (0, 0) ∈ n∈N An tenemos que A es conexo y por tanto también es conexo A = A ∪ {(x, 0) : 0 ≤ x ≤ 1}. Consideremos B = A ∪ D, como A ⊂ B ⊂ B = A tenemos que tanto B como B son también conexos. Probaremos que B no es localmente conexo. Sea V entorno de (1, 0) en R 2 , tenemos que existe z ∈ R − Q tal que (1, z) ∈ Int V , consideremos G1 = {(x, y) : y > zx}, G2 = {(x, y) : y < zx}, G1 y G2 son dos abiertos disjuntos de R2 . Sean G01 = G1 ∩ V ∩ B y G02 = G2 ∩ V ∩ B, entonces G01 y G02 son dos abiertos de V ∩ B que son no vacíos y disjuntos. De forma similar se demostraría que B no es localmente conexo. Teorema 6.3.7 Sean X, Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Si X es conexo por caminos y f es continua entonces f (X) es conexo por caminos. La propiedad de ser conexo por caminos es una propiedad topológica. Demostración Sean f (a), f (b) ∈ f (X). Si α es un camino en X que une a con b tendremos que f ◦ α es un camino en f (X) que une f (a) con f (b).

Teorema 6.3.8 Sean {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y (X, Tp ) el correspondiente espacio producto. Entonces (X, T p ) es conexo por caminos si y sólo si (X i , Ti ) es conexo por caminos para cada i ∈ I. Demostración Para cada i ∈ I tenemos que la proyección p i : X → Xi es continua y sobreyectiva, por tanto si X es conexo por caminos tenemos que X i será conexo por caminos. Recíprocamente supongamos que para cada i ∈ I es (Xi , Ti ) conexo por caminos. Sean a = (ai )i∈I , b = (bi )i∈I dos elementos de X, para cada i ∈ I sea αi : [0, 1] → Xi un camino que une en Xi a ai con bi , tenemos que α = (αi )i∈I : [0, 1] → X será un camino en X que une a con b.



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Definición 6.3.9 Sea X un espacio topológico y A un subconjunto de X, se dice que A es una componente conexa por caminos de X si A es conexo por caminos y no existe Z ⊂ X conexo por caminos tal que A ⊂ Z y Z 6= A. Para cada x ∈ X denotamos por k(x) a la unión de todos lo conjuntos conexos por caminos que contienen a x. El siguiente teorema resume lo fundamental de este nuevo concepto. Teorema 6.3.10 Sea X un espacio topológico a) Para cada x ∈ x es k(x) componente conexa por caminos. Si x, y ∈ X y x 6= y entonces o bien k(x)∩k(y) = ∅ o bien k(x) = k(y) y por tanto la componentes conexas por caminos de X constituyen una partición de X. Si A es componente conexa por caminos de X entonces para cada x ∈ A es A = k(x) y si B ⊂ X es conexo por caminos y x ∈ B entonces k(x) es la única componente conexa por caminos que contiene a B. b) X es conexo por caminos si y sólo si X tiene una única componente conexa por caminos. c) En general las componentes conexas por caminos no son ni abiertos ni cerrados y las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. Las componentes conexas por caminos de X son abiertos. 2. Todas las componentes conexas por caminos son cerrados y constituyen una familia localmente finita. 3. Cada punto de X tiene un entorno conexo por caminos. En esta situación se verifica que las componentes conexas de X coinciden con las componentes conexas por caminos de X. d) Si {Ai }i∈I es una partición de X en abiertos conexos por caminos se verifica que dicha familia es exactamente la familia de las componentes conexas por caminos de X. e) Si Y es otro espacio topológico y f : X → Y es una aplicación continua entonces para cada x ∈ X es f (k(x)) ⊂ k(f (x)). Si f es homeomorfismo entonces para cada x ∈ X es f (k(x)) = k(f (x)) por tanto el cardinal de la familia de las componentes conexas por caminos de un espacio topológico es una propiedad topológica. f) Se verifica que X es conexo y cada punto de X tiene un entorno conexo por caminos si y sólo si X es conexo por caminos. Demostración a) k(x) es la unión de una familia de conexos por caminos que tienen intersección distinta del vacío, así pues k(x) es conexo por caminos. Si A es cualquier conexo por caminos tal que k(x) ⊂ A tenemos que como x ∈ A será A ⊂ k(x) y por tanto A = k(x). Si x, y ∈ X, x 6= y y k(x) ∩ k(y) 6= ∅ tendremos que como k(x) ∪ k(y) es un conexo por caminos será k(x) = k(x) ∪ k(y) = k(y). Si A es componente conexa por caminos y x ∈ A será A ⊂ k(x) y por tanto A = k(x). Finalmente si B es conexo por caminos y x ∈ B será B ⊂ k(x) y si también se tiene B ⊂ k(y) tendremos que k(x) ∩ k(y) 6= ∅ y por tanto k(x) = k(y). b) Si X es conexo por caminos es claro que para cada x ∈ X es k(x) = X. Recíprocamente si existe una única componente conexa por caminos k(x) tendremos que, para cada y ∈ X, es y ∈ k(y) = k(x) y por tanto k(x) = X y X será conexo por caminos. c) En R2 si A = {(x, sen x1 ) : x ∈ (0, 1]} ∪ {(0, y) : y ∈ [−1, 1]} tenemos que A tiene dos componentes conexas por caminos: k1 = {(x, sen x1 ) : x ∈ (0, 1]} que no es cerrado y k2 = {0} × [−1, 1] que no es abierto, pero tenemos que A es conexo por lo que se deduce que, en general, las componentes conexas no coinciden con las componentes conexas por caminos. Antonio Aizpuru Tomás

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4. ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOS POR CAMINOS

Es claro que 1 ⇒ 2. Demostraremos que 2 ⇒ 3. Supongamos que la familia de componentes conexas por caminos {ki }i∈I es de cerrados y es localmente finita. Sea j ∈ I y x ∈ k j , existen U entorno abierto de x y J = {i1 , . . . , in } ⊂ I tales que U ∩ ki = ∅ si i ∈ I − J. Supongamos que j = i1 , entonces U − (ki2 ∪ · · · ∪ kin ) es entorno abierto de x y está contenido en k j , así pues kj es abierto y podemos afirmar que cada punto de X tiene un entorno conexo por caminos. 3 ⇒ 1 Para cada x ∈ X si z ∈ k(x) tenemos que existe un entorno U de z que es conexo por caminos, como z ∈ U ⊂ k(z) = k(x) deducimos que k(x) tiene que ser abierto. Finalmente, en esta situación, si k es una componente conexa por caminos será k conexo y por tanto existe una única componente conexa C tal que k ⊂ C pero como k es clopen tiene que verificarse que k = C. d) Estamos en la situación de c) y por tanto las componentes conexas y conexas por caminos coinciden, para cada i ∈ I es Ai conexo y recordemos que ya hemos demostrado que si {A i }i∈I es una partición de X en abiertos conexos entonces {Ai }i∈I es exactamente la familia de componentes conexas de X. e) Si x ∈ X tenemos que f (k(x)) es conexo por caminos y por tanto f (k(x)) ⊂ k(f (x)), si f es homeomorfismo tendremos que f −1 (k(f (x))) es conexo por caminos que contiene a k(x) y por tanto k(x) = f −1 (k(f (x))), así pues f (k(x)) = k(f (x)). f) Supongamos que X es conexo y que cada punto de X tiene un entorno conexo por caminos entonces como las componentes conexas coinciden con las componentes conexas por caminos tendremos que X es conexo por caminos.

Teorema 6.3.11 Sean {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y Q (X, Tp ) el correspondiente espacio topológico producto. Si a = (a i )i∈I ∈ X entonces k(a) = i∈I k(ai ) Q Q Demostración Tenemos que i∈I k(ai ) es un conexo por caminos que contiene a a, por tanto i∈I k(ai ) ⊂ k(a). Por otra parte para cada iQ∈ I será p i (k(a)) Q conexo por caminos que contiene a a i , por tanto pi (k(a)) ⊂ k(ai ), así pues k(a) ⊂ i∈I pi (k(a)) ⊂ i∈I k(ai ).

4

Espacios localmente conexos por caminos

Definición 6.4.1 Sea X un espacio topológico, diremos que X es localmente conexo por caminos si para cada x ∈ X existe bx base de entornos de x que son conexos por caminos. Ejemplo 6.4.2 1. Consideremos en R2 ,SB = [0, 1] × {0}, A0 = {0} × [0, 1], para cada n ∈ N sea An = { n1 } × [0, 1]. Sea A = B ∪ A0 ∪ ( n∈N An ), A es conexo por caminos porque es la unión de una familia de conexos por caminos con intersección no vacía. Demostraremos que A no es localmente conexo por caminos. En efecto, sea V cualquier entorno en R 2 de (0, 1) que no corta a B, entonces existe m ∈ N tal que para cada n ≥ m es ( n1 , 1) ∈ A ∩ V , supongamos que existe un camino α(t) = (x(t), y(t)) en A ∩ V 1 1 1 que une (0, 1) con ( m , 1), será x(0) = 0, x(1) = m , sea z irracional tal que z ∈ (0, m ) tiene que existir t1 ∈ (0, 1) tal que x(t1 ) = z, pero entonces será y(t1 ) = 0 y esto contradice que α(t1 ) ∈ A ∩ V . Así pues A no es localmente conexo por caminos. Apuntes y notas de Topología


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2. En R, si A es la unión de dos intervalos abiertos y disjuntos tenemos que A es localmente conexo por caminos pero no es conexo por caminos. 3. Un espacio que sea conexo y localmente conexo por caminos tiene que ser conexo por caminos. 4. Como los espacios conexos por caminos son conexos podemos deducir que los espacios localmente conexos por caminos son localmente conexos pero demostraremos que hay espacios localmente conexos que no son localmente conexos por caminos. Consideremos el conjunto A = [0, 1] × [0, 1] con una relación de orden total definida por x1 < y 1 ó (x1 , x2 ) ≤ (y1 , y2 ) ⇔ x1 = y 1 y x 2 ≤ y 2 Se tiene que (0, 0) es el primer elemento de (A, ≤) y (1, 1) es el último, además (A, ≤) no tiene boquetes y todo subconjunto no vacío tiene supremo. Por tanto si en A consideramos la correspondiente topología del orden tenemos que A es conexo y localmente conexo. Demostraremos ahora que A no es conexo por caminos y que por tanto, como A es conexo, tampoco puede ser localmente conexo por caminos. Supongamos que α es un camino que une (0, 0) con (1, 1), entonces tendrá que ser Imα = X, observemos que para t ∈ [0, 1] es At = {t} × (0, 1) abierto en A, ya que At es el intervalo ((t, 0), (t, 1)). Así pues {α −1 (At ) : t ∈ [0, 1]} será una familia no numerable de abiertos en [0, 1] disjuntos dos a dos pero esto contradice el que [0, 1] sea separable. Teorema 6.4.3 Sea X un espacio topológico. Las siguientes afirmaciones son equivalentes: a- X es localmente conexo por caminos. b- Para cada x ∈ X y cada entorno U de x existe algún entorno V de x tal que para cada y ∈ V existe un camino en U que une x con y. c- Toda componente conexa por caminos de un abierto A de X es abierta. d- La topología de X tiene una base cuyos elementos son conexos por caminos. Demostración a ⇒ b Sea U entorno de x, entonces existe V entorno de x que es conexo por caminos y tal que x ∈ V ⊂ U , es evidente que para cada y ∈ V existe en V un camino que une x con y y que estará por tanto contenido en U . b ⇒ c Sean A ⊂ X un conjunto abierto y x ∈ A. Sea k(x) ⊂ A la componente conexa por caminos en A determinada por x, sea y ∈ k(x), como A es entorno de y tenemos por hipótesis que existe V entorno de y tal que para cada z ∈ V existe un camino en A que une y con z, esto implica que y ∈ V ⊂ k(y) = k(x) y por tanto que k(x) es entorno de cada uno de sus puntos. Así pues k(x) es abierto. c ⇒ d Sea B la familia de las componentes conexas por caminos de los abiertos de X, es claro que cada abierto será unión de sus componentes conexas por caminos y por tanto será unión de elementos de B. d ⇒ a Si B es base de la topología de X cuyos elementos son conexos por caminos tenemos que para cada x ∈ X es bx = {A ∈ B : x ∈ A} una base de entornos de x cuyos elementos son conexos por caminos. Nota 6.4.4 1. Si X es un espacio localmente conexo por caminos hemos demostrado que las componentes conexas por caminos de X son abiertos por tanto en X coincidirán las componentes conexas por caminos y las componentes conexas. 2. Se ha demostrado anteriormente que un espacio topológico X es conexo por caminos si y sólo si es conexo y cada punto tiene un entorno conexo por caminos. En particular se deduce que todo espacio conexo y Antonio Aizpuru Tomás

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4. ESPACIOS LOCALMENTE CONEXOS POR CAMINOS

localmente conexo por caminos es conexo por caminos y por tanto un abierto de R n será conexo si y sólo si es conexo por caminos. Se dice que un espacio topológico X es una variedad topológica si X es T 2 , IIAN y cada x ∈ X tiene algún entorno U que es homeomorfo a algún abierto de algún R n , si el n ∈ N es el mismo para cada x ∈ X diremos que X es una variedad topológica de dimensión n. Es claro que una variedad topológica es conexa si y sólo si es conexa por caminos. 3. La propiedad localmente conexo por caminos no es una propiedad hereditaria ya que R tiene esta propiedad pero Q no la tiene. En efecto, sean x ∈ Q y U ⊂ Q un entorno de x, sean a, b ∈ U y supongamos que a < b, si α es un camino en U que une a con b consideremos un irracional z tal que a < z < b, tendrá que existir t ∈ (0, 1) tal que α(t) = z lo que no es posible porque Imα ⊂ Q. 4. Sean X e Y dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación. Si X es localmente conexo por caminos y f es homeomorfismo entonces Y es localmente conexo por caminos. Teorema 6.4.5 Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos no vacíos y sea (X, T p ) el correspondiente espacio producto. Entonces (X, T p ) es localmente conexo por caminos si y sólo si X i es localmente conexo por caminos para cada i ∈ I y existe J ⊂ I finito tal que si i ∈ I − J es X i conexo por caminos. Demostración Supongamos que (X, Tp ) es localmente conexo por caminos. Sean j ∈ I, a ∈ X j y U entorno de a en Xj , sea x = (xi )i∈I donde xj = a, tenemos que V = p−1 j (U ) es entorno de x y por tanto existirá W ⊂ V entorno de x conexo por caminos, entonces p j (W ) será también conexo por caminos, pero pj (W ) es entorno de a y pj (W ) ⊂ U . Por otra parte existe J ⊂ I finito tal que p i (W ) = Xi para cada i ∈ I − J, así pues tendrá que ser Xi conexo por caminos para cada i ∈ I − J. Recíprocamente, supongamos que (Xi , Ti ) es localmente conexo por caminos, para cada i ∈ I, y que existe J ⊂ I finito tal que (Xi , Ti ) es conexo Q por caminos si i ∈ I − J. Sea x = (x i )i∈I ∈ X y sea U entorno de x entonces existe F ⊂ I finito tal que i∈I Ai ⊂ U donde Ai = Xi si i ∈ I − F y xi ∈ Ai ∈ Ti siQi ∈ F . Para cada i ∈ J ∪ F existe Vi entorno conexo por caminos de xi tal queQVi ⊂ Ai , consideremos i∈I Bi donde Bi = XQ i si i ∈ I − (J ∪ F ) y Bi = Vi si i ∈ J ∪ F , tenemos que i∈I Bi será conexo por caminos y es claro que i∈I Bi es entorno de x y está contenido en U .


CAPÍTULO 7

Espacios regulares, completamente regulares y normales Índice del Tema 1

Espacios regulares y espacios T3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2

Espacios completamente regulares y espacios T3a

. . . . . . . . . . . . . . . . .

107

3

Espacios normales y espacios T4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Espacios regulares y espacios T3

Definición 7.1.1 Se dice que un espacio topológico (X, T ) es regular si para cada subconjunto cerrado F ⊂ X y para cada x ∈ X con x ∈ / F existen U entorno de x y A abierto tales que F ⊂ A y A ∩ U = ∅; más brevemente se dice que X es regular si pueden separarse puntos y cerrados con abiertos disjuntos. Ejemplo 7.1.2 1) Sea (X, Tt ) un espacio topológico con la topología trivial T t = {∅, X}, es claro que (X, Tt ) no es T0 pero si es regular. 2) Si (X, T ) es regular se verifica que para cada {x, y} ⊂ X, x 6= y, o bien es {x} = {y} o bien {x} ∩ {y} = ∅. En efecto; si {x} 6= {y}, o bien x ∈ / {y} o bien y ∈ / {x}, supongamos que x ∈ / {y} entonces existen A y B abiertos disjuntos tales que x ∈ A y {y} ⊂ B, así pues {x} ⊂ X\B y {x} ∩ {y} = ∅. Consideremos (R, TCF ) y F = {1, 2}, tenemos que F es cerrado y 0 ∈ / F pero si A y B son abiertos tales que 0 ∈ A y {1, 2} ⊂ B entonces es claro que A ∩ B 6= ∅, luego (R, T CF ) no es regular. Pero observemos que (R, TCF ) es T1 y por tanto si x 6= y es {x} = {x}, {y} = {y} luego {x} ∩ {y} = ∅. 3) Si (X, d) es un espacio seudométrico entonces X es regular. Teorema 7.1.3 Sea X un espacio topológico, son equivalentes: a) X es regular.

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1. ESPACIOS REGULARES Y ESPACIOS T 3

b) Para cada x ∈ X y cada entorno U de x existe otro entorno V de x tal que V ⊂ U . c) Para cada x ∈ X existe bx , base de entornos de x, formada por conjuntos cerrados. Demostración a ⇒ b Sea x ∈ X y U entorno de x entonces existe A abierto tal que x ∈ A ⊂ U , por tanto x ∈ / X\A; al ser X\A cerrado existen B 1 y B2 abiertos disjuntos tales que x ∈ B1 y X\A ⊂ B2 . Tenemos que x ∈ B1 ⊂ B1 ⊂ X\B2 ⊂ A ⊂ U . b ⇒ c Basta considerar para cada x ∈ X a b x = {V : V es entorno cerrado de x}. c ⇒ a Si F es cerrado y x ∈ / F tenemos que existe V entorno cerrado de x tal que x ∈ V ⊂ X\F , así pues si A = X\V tenemos que A es abierto que contiene a F y es disjunto del entorno V de x.

Definición 7.1.4 Se dice que X es T3 si X es regular y T0 . Teorema 7.1.5 Si X es T3 entonces X es T2a . Demostración Sean x 6= y, {x, y} ⊂ X, entonces por ser X T 0 será {x} 6= {y}, luego {x} ∩ {y} = ∅, así pues y ∈ / {x} y existirán A y B abiertos disjuntos tales que y ∈ A y {x} ⊂ B pero también existen U entorno de x y V entorno de y tales que U ⊂ B y V ⊂ A, luego U ∩ V = ∅. Nota 7.1.6 1) Consideremos en R, T = {A ⊂ R : para cada x ∈ A existen {a, b} ⊂ R, a < b, con x ∈ (a, b) y (a, b)\Q ⊂ A} ∪ {∅}. Es fácil comprobar que T es topología en R. Observemos que (0, 1)\Q no es abierto en la topología usual pero si es un elemento de T . Por otra parte todo abierto de la topología usual si es abierto de T , luego Tu ⊂ T, Tu 6= T . Si {x, y} ⊂ R y x < y consideremos {c, d} ⊂ R tales que x < c < d < y; si ε > 0, ε ∈ R y A = [x − ε, c], B = [d, y + ε], se verifica que A y B son entornos cerrados y disjuntos de x e y, por tanto (R, T ) es T 2a . Demostraremos ahora que (R, T ) no es T 3 ; tenemos que R\Q ∈ T luego Q es cerrado. Sea x ∈ / Q, tenemos que si U es entorno de x que no corta a Q tendrá que contener un conjunto de la forma A = (a, b)\Q, con x ∈ (a, b), además si B ∈ T contiene a Q será B un abierto de la topología usual de R. Tomemos q ∈ Q tal que a < q < b, como q ∈ B existe algún irracional z tal que a < z < q y z ∈ B por tanto B ∩ A 6= ∅. 2) Es sencillo demostrar que todo espacio métrico es T 3 . 3) Sea (X, T ) un espacio topológico regular y sea Y un conjunto. Sea f : Y → X una aplicación. Recordemos que se denotaba por f −1 (T ) al conjunto f −1 (T ) = {f −1 (A) : A ∈ T } y que f −1 (T ) es una topología en Y tal que f es continua. Veamos que (Y, f −1 (T )) es regular. En efecto: si y ∈ Y y U es entorno de y entonces existe A ∈ T tal que y ∈ f −1 (A) ⊂ U . Tenemos que f (y) ∈ A y como X es regular existe V entorno cerrado de f (y) tal que f (y) ∈ V ⊂ A. Es ahora sencillo probar que y ∈ f −1 (V ) ⊂ f −1 (A) ⊂ U y que f −1 (V ) es entorno cerrado de y en (Y, f −1 (T )). Si (X, T ) fuese T3 se puede demostrar con facilidad que (Y, f −1 (T )) también sería T3 si y sólo si f es inyectiva. Si A ⊂ X entonces recordemos que la topología T A es i−1 (T ) donde i : A → X es la aplicación inclusión, por tanto la regularidad y T3 son propiedades hereditarias. Por otra parte si (X, T ) es un espacio topológico en el que se verifica que para cada x ∈ X existe U entorno cerrado de X tal que (U, TU ) es regular (respectivamenteT3 ) entonces (X, T ) es regular (respectivamenteT3 ). Apuntes y notas de Topología

CAPÍTULO 7. ESPACIOS REGULARES, COMPLETAMENTE REGULARES Y NORMALES

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Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : (X, T ) → (Y, T 0 ) una aplicación. Si f es homeomorfismo tendremos que T = f −1 (T 0 ) y T 0 = f (T ) así pues si uno de los dos es regular (respectivamenteT 3 ) también lo será el otro. Teorema 7.1.7 Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y (X, T p ) el correspondiente espacio producto entonces: a) (X, Tp ) es regular si y sólo si (Xi , Ti ) es regular para cada i ∈ I. b) (X, Tp ) es T3 si y sólo si (Xi , Ti ) es T3 para cada i ∈ I. Demostración Como T0 es una propiedad productiva tenemos que b) es consecuencia de a). Supongamos que (X, Tp ) es regular entonces para cada i ∈ I tenemos que X i es homeomorfo a un subespacio de X y por tanto como la propiedad regular es hereditaria tenemos que X i será regular. Supongamos ahora Q que, para cada i ∈ I, (Xi , Ti ) es regular y sea x = (xi )i∈I ∈ X y U ⊂ X un entorno de x entonces x ∈ i∈I Ai ⊂ U donde Ai = Xi para i ∈ I\J siendo J ⊂ IQfinito y Aj ∈ Tj si j ∈ J. Para cada j ∈ J existe Bj , entorno de xj , tal Q que Bj ⊂ A Qj entonces x ∈ V = i∈I Bi , donde Bi = Xi si i ∈ I\J, y V es un entorno de x tal que V = i∈I Bi ⊂ i∈I Ai ⊂ U . Teorema 7.1.8 Sean (X, T ) un espacio topológico, (Y, T 0 ) un espacio T3 , A ⊂ X denso en X y f : A → Y una aplicación. Entonces existe una aplicación f : X → Y continua y con f| A = f si y sólo si para cada x0 ∈ X existe limx→x0 ,x∈A f . En esta situación se verifica que la extensión f es única. Demostración Supongamos que existe f y sea x 0 ∈ X. Como f es continua en x0 para cada entorno V de f(x0 ) existe U entorno de x0 tal que f(U ) ⊂ V así pues también será f (U ∩ A) ⊂ V lo que demuestra que f (x0 ) = limx→x0 ,x∈A f . Recíprocamente, por hipótesis tenemos que para cada x 0 ∈ X existe limx→x0 ,x∈A f y será único puesto que Y es T3 . Consideremos la aplicación f : X → Y definida por f (x 0 ) = limx→x0 ,x∈A f , probaremos que f es continua, sea x0 ∈ X y V entorno de f(x0 ), como Y es regular existe W entorno cerrado de f(x 0 ) contenido en V , como f(x0 ) = limx→x0 ,x∈A f , existe U entorno abierto de x0 tal que f (U ∩ A) ⊂ W . Demostraremos que f (U ) ⊂ W ⊂ V , en efecto si x ∈ U es f (x) = lim x→x0 ,x∈A f y si V 0 es entorno de f (x) existe U 0 entorno de x tal que U 0 ⊂ U y f (U 0 ∩ A) ⊂ V 0 y como también es f (U 0 ∩ A) ⊂ W y U 0 ∩ A 6= ∅, ya que A es denso en X, tenemos que V 0 ∩ W 6= ∅. Así pues f(x) ∈ W = W y tendremos que f(U ) ⊂ W y f es continua en x0 ∈ X. Veamos que f(x) = f (x) si x ∈ A. En efecto, si f(x) 6= f (x) existen W1 entorno de f (x) y W2 entorno de f (x) tales que W1 ∩ W2 = ∅ como f(x) = limy→x,y∈A f (y) existirá U entorno de x tal que f (U ∩ A) ⊂ W 1 , así pues f (x) ∈ W1 lo cual es absurdo ya que f (x) ∈ W2 . Finalmente si g : X → Y es otra aplicación continua tal que g(x) = f (x) para cada x ∈ A, tenemos que, por ser Y un espacio T3 , será {x ∈ X : f(x) = g(x)} un conjunto cerrado, pero como este conjunto contiene a A que es denso en X deducimos que f(x) = g(x) para cada x ∈ X. Teorema 7.1.9 Sean (X, T ) un espacio topológico, (Y, T 0 ) un espacio T3 , A ⊂ X denso en X y f : A → Y una aplicación. Entonces existe una aplicación continua f : X → Y siendo f | A = f si y sólo si para cada x0 ∈ X y cada (xd )d∈D red en A con x0 ∈ limd∈D (xd ) se verifica que la red (f (xd ))d∈D converge en (Y, T 0 ). En esta situación f es la única aplicación continua definida en X tal que f| A = f . Antonio Aizpuru Tomás

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1. ESPACIOS REGULARES Y ESPACIOS T 3

Demostración Supongamos que existe f : X → Y continua tal que f | A = f . Si (xd )d∈D es una red en A tal que x0 ∈ limd∈D (xd ) entonces por la continuidad de f es f (x 0 ) = limd∈D (f(xd )); la igualdad se debe por ser Y un espacio T3 . Como para cada d ∈ D es xd ∈ A tenemos que f(xd ) = f (xd ) así pues la red (f (xd ))d∈D es convergente en Y . Recíprocamente, consideremos cualquier x 0 ∈ X y sea Vx0 el sistema de todos los entornos de x 0 en X, como A es denso en X podemos considerar el conjunto D x0 = {(x, U ) : x ∈ U ∩ A, U ∈ Vx0 }. En Dx0 definimos la relación: (x1 , U1 ) (x2 , U2 ) si y sólo si U2 ⊂ U1 Es sencillo probar que (Dx0 , ) es un conjunto dirigido. Consideremos la red S x0 : Dx0 → A definida, para cada (x, U ), por Sx0 (x, U ) = x. Es claro que x0 ∈ lim Sx0 y probaremos que si S = {xd : d ∈ D1 ≤} es otra red en A que converge a x0 entonces S es subred de Sx0 . En efecto, si (x, U ) ∈ Dx0 tendremos que como U ∈ Vx0 existe d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D, es xd ∈ U ∩ A y por tanto xd = Sx0 (xd , U ) y (xd , U ) (x, U ). Así pues si b = lim (x,U )∈Dx0 f (Sx0 (x, U )) tendremos que para cada red (xd )d∈D en A que converja a x0 se verifica que b = limd∈D f (xd ), por tanto podemos definir en X la aplicación f(x0 ) = limd∈D f (xd ) donde (xd )d∈D es cualquier red contenida en A que converja a x 0 . Observemos que si a ∈ A entonces f (a) = f(a), en efecto tenemos que f(a) = lim (x,U )∈Da f (Sa (x, U )) y si f (a) 6= f (a) entonces consideremos W entorno de f(a) tal que f (a) ∈ / W , existe (x 1 , U1 ) ∈ Da tal que si (x, U ) (x1 , U1 ) es f (Sa (x, U )) ∈ W pero entonces (a, U1 ) (x1 , U1 ) y será f (Sa (a, U1 )) = f (a) ∈ W , lo cual es una contradicción. Probaremos finalmente que f es continua en X y aquí jugará un papel importante la regularidad de Y . Sea x0 ∈ X entonces f(x0 ) = lim(x,U )∈Dx0 f (Sx0 (x, U )). Si V es entorno de f(x0 ) consideremos W entorno cerrado de f(x0 ) tal que W ⊂ V , existe (x1 , U1 ) ∈ Dx0 tal que si (x, U ) ≥ (x1 , U1 ) y (x, U ) ∈ Dx0 entonces f (Sx0 (x, U )) ⊂ W , así pues si V es entorno abierto de x 0 con V ⊂ U1 tenemos que f (V ∩ A) ⊂ W . Probaremos ahora que f(V ) ⊂ W , en efecto sea y 0 ∈ V , como y0 ∈ lim(x,U )∈Dy0 Sy0 (x, U ) será f(y0 ) = lim(x,U )∈Dy0 f (Sy0 (x, U )), como V es entorno de y0 tenemos que existe (x1 , U1 ) ∈ Dy0 tal que si (x, U ) (x1 , U1 ) y (x, u) ∈ Dy0 entonces Sy0 (x, U ) ∈ V ∩ A y será f (Sy0 (x, U )) ∈ f (V ∩ A) ⊂ W , así pues deducimos que f (y0 ) ∈ N ya que W es cerrado. El estudio de la unicidad de f se deja como ejercicio para el lector.

Nota 7.1.10 1) El penúltimo teorema podría demostrarse como consecuencia del último o también el último como consecuencia del primero pero hemos preferido hacer pruebas independientes. 2) Una sencilla consecuencia del último teorema es el siguiente resultado: Sean (X, T ) un espacio topológico, (Y, T 0 ) un espacio T3 , A ⊂ X denso en X y f : A → Y continua. Entonces existe una aplicación f : X → Y continua y con f |A = f si y sólo si para cada x0 ∈ X\A y cada red (xd )d∈D en A con x0 ∈ limd∈D (xd ) se verifica que la red (f (xd ))d∈D converge en (Y, T 0 ). En esta situación f es la única aplicación continua definida en X tal que f |A = f . 3) Sean (X, T ) un espacio topológico IAN , (Y, T 0 ) un espacio T3 , A ⊂ X denso en (X, T ) y f : A → X una aplicación. Entonces existe f : (X, T ) → (Y, T 0 ) continua tal que f |A = f si y sólo si para cada x ∈ X y cada sucesión (xn )n∈N ⊂ X con x ∈ lim(xn ) se verifica que la sucesión (f (xn ))n∈N es convergente en (Y, T 0 ). En esta situación f es la única aplicación continua definida en X tal que f| A = f . Demostración La condición necesaria es evidente, veamos la condición suficiente; sea x 0 ∈ X, como X es IAN, y A es denso en X existe (xn )n∈N ⊂ A tal que x0 ∈ lim(xn ) entonces por hipótesis existe b ∈ Y Apuntes y notas de Topología


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tal que lim f (xn ) = b. Supongamos que (yn )n∈N es otra sucesión en A tal que x0 ∈ lim(yn ), consideremos la sucesión (zn )n∈N donde para cada n ∈ N es z2n = xn y z2n−1 = yn . Tenemos que (f (zn ))n∈N es convergente en Y pero como esta sucesión tiene una subsucesión convergente a b entonces la sucesión converge a b y también es b = lim f (yn ). Tiene pues sentido definir la aplicación f : X → Y , para cada x 0 ∈ X, por f (x0 ) = lim f (xn ) donde (xn )n∈N es cualquier sucesión en A que converge a x 0 . Si x ∈ A entonces la sucesión (xn )n∈N donde xn = x, para cada n ∈ N, es una sucesión que converge a x y por tanto f (x) = lim f (x n ) = f (x). Veamos que f es continua en cada x0 ∈ X. Sea V entorno de f (x0 ) en Y y sea W entorno cerrado de f(x0 ) tal que W ⊂ V , sea bx0 = {Un : n ∈ N} base numerable y decreciente de entornos abiertos de x 0 . Como A es denso en X tenemos que para cada n ∈ N es U n ∩ A 6= ∅ y demostraremos que existe k ∈ N tal que f (Uk ∩ A) ⊂ W , en caso contrario tendremos que para cada n ∈ N existe x n ∈ Un ∩ A con f (xn ) ∈ /W pero entonces (xn )n∈N es una sucesión en A que converge a x0 y tiene que ser f (x0 ) = lim f (xn ) y esto es una contradicción. Así pues existe k ∈ N tal que f (U k ∩ A) ⊂ W , probaremos ahora que f (Uk ) ⊂ W , sea x ∈ Uk y sea (yn )n∈N sucesión en A tal que x ∈ lim(yn ), como Uk es abierto existe m ∈ N tal que si n ≥ m, n ∈ N es yn ∈ Uk y por tanto f (yn ) ∈ W si n ∈ N, n ≥ m, pero como W es cerrado será lim f (yn ) = f(x) ∈ W así pues f (Uk ) ⊂ W y f es pues continua en cada x0 ∈ X. 4) Sean (X, T ) un espacio IAN , (Y, T 0 ) un espacio T3 , A ⊂ X denso en X y f : A → Y una aplicación continua. Entonces existe una aplicación continua f de (X, T ) en (Y, T 0 ) tal que f |A = f si y sólo si para cada x ∈ X\A y cada (xn )n∈N ⊂ A con x ∈ lim(xn ) se verifica que (f (xn )) converge en (Y, T 0 ). En esta situación f es la única aplicación continua definida en X tal que f | A = f .

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Espacios completamente regulares y espacios T3a

Definición 7.2.1 Se dice que un espacio topológico X es completamente regular si para cada cerrado no vacío F ⊂ X y cada x ∈ X\F existe una aplicación continua f de X en [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (F ) = {1}. Se dice que X es T3a o Tychonoff si es completamente regular y T 0 .

Nota 7.2.2 Sea X un espacio topológico. Si a ∈ R, denotamos por a a la aplicación real definida en cada x ∈ X por a(x) = a; supongamos que X es tal que para cada cerrado no vacío F ⊂ X y cada x ∈ X\F existe una aplicación f , real y continua, tal que f (x) = a y f (F ) = {b} con a 6= b, probaremos que entonces X es completamente regular. En efecto: sean F cerrado, F 6= ∅ y x ∈ X\F , sea f : X → R continua tal que f (x) = a y f (F ) = {b}, 1 supongamos que a < b y consideremos g = b−a · [(f − a) ∨ 0], tenemos que g es continua y toma valores en [0, +∞), g(x) = 0 y g(F ) = {1}, entonces es claro que h = g ∧ 1 toma valores en [0, 1], h(x) = 0 y h(F ) = {1}. Observemos que los completamente regulares son el modelo de espacio topológico que garantiza la existencia de funciones reales y continuas no constantes. Supongamos ahora que X es tal que para cada cerrado no vacío F ⊂ X y cada x ∈ X\F existe una aplicación f , real y continua, tal que f (x) ∈ / f (F ), probaremos que entonces X es también completamente regular. Consideremos r > 0, r ∈ R tal que [f (x)−r, f (x)+r] esté contenido en R\f (F ) y sea g : R → [0, 1] una aplicación continua que verifique g(f (x)) = 1 y si t ∈ / [f (x) − r, f (x) + r] sea g(t) = 0, entonces si h = g ◦ f tenemos que h(x) = 1 y h(F ) = {0}. Antonio Aizpuru Tomás

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2. ESPACIOS COMPLETAMENTE REGULARES Y ESPACIOS T 3A

Observemos que existen espacios X que son completamente regulares y no son T 3a , por ejemplo si X tiene más de dos puntos y en X consideramos la topología trivial T t , tenemos que (X, Tt ) es completamente regular y no es T3a , otro ejemplo es X = {x, y, z} con T = {∅, X, {x, y}, {z}}. Teorema 7.2.3 a) Si X es completamente regular entonces X es regular. b) Si X es T3a entonces X es T3 . Demostración a) Sean F ⊂ X cerrado no vacío y x ∈ X\F entonces existe f : X → [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (F ) = {1}. Sean U = f −1 ([0, 1/2)) y V = f −1 ((1/2, 1]), tenemos que U y V son abiertos en X, U ∩ V = ∅, x ∈ U y F ⊂ V . El apartado b) es consecuencia inmediata de a). Sea X un espacio topológico, denotamos por C(X) al espacio vectorial de las funciones reales y continuas definidas en X y por C ∗ (X) al subespacio de C(X) formado por las aplicaciones reales y continuas que son acotadas. Por C(X, I) denotaremos la familia de las aplicaciones reales y continuas definidas en X con valores en I = [0, 1]. Si f ∈ C(X) denotamos por zf = {x ∈ X : f (x) = 0} y por czf = {x ∈ X : f (x) 6= 0}, zf es un subconjunto cerrado en X que se llama conjunto cero de f y czf es un conjunto abierto llamado conjunto cocero de f . Si f ∈ C(X) y α : R → (−1, 1) es cualquier homeomorfismo con α(0) = 0 tenemos que g = α ◦ f ∈ C ∗ (X) y zf = zg y czf = czg. Sea A ⊂ X, se dice que A es un conjunto cero de X si existe f ∈ C(X) tal que A = zf . Se dice que A es un conjunto cocero si existe f ∈ C(X) tal que A = czf . Teorema 7.2.4 Sea X un espacio topológico, son equivalentes: a) X es completamente regular. b) {czf : f ∈ C(X)} es base de abiertos. c) {zf : f ∈ C(X)} es base de cerrados. Demostración a) ⇒ b) Sea A ⊂ X abierto no vacío, consideremos x ∈ A y F = X\A, entonces existe f ∈ C(X) tal que f (x) = 1 y f (F ) = {0}. Tenemos que x ∈ czf ⊂ A. b) ⇒ c) Es evidente c) ⇒ a) Sean F ⊂ X, cerrado no vacío y x ∈ X\F , entonces existe M ⊂ C(X) tal que F = como x ∈ / F existe f ∈ M tal que x ∈ / zf , deducimos que X es completamente regular.

T

f ∈M

zf ,

Ejemplo 7.2.5 Este ejemplo aparece en el trabajo de A. Mysior "A regular space wich is not completaly regular". Proc. Amer. Math 81 (1.981) 652-653. Sea X = {p} ∪ {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0}, donde p ∈ R. Para cada (x, y) ∈ X con y > 0 consideremos como base de entornos a b(x,y) = {(x, y)}, para cada (x, 0) ∈ X consideramos como base de entornos a b(x,0) = {(Ix ∪ Jx )\P : P ⊂ R2 es finito que no contiene a (x, 0)}, donde I x = {(x, y 0 ) ∈ X : 0 ≤ y 0 ≤ 2} y Jx = {(x0 , y 0 ) ∈ X : x0 = y 0 + x, 0 ≤ y 0 ≤ 2}. Para p ∈ X consideramos como base de entornos a Apuntes y notas de Topología


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bp = {An ∪ {p} : n ∈ N} donde An = {(x, y) ∈ X : x ≥ n}. Es sencillo comprobar que existe una topología en X de modo que las bases de entornos de los puntos de X son los conjuntos aquí señalados. Con esta topología es sencillo probar que X es T 2 . Observemos que para cada (x, 0) ∈ X los elementos b(x,0) son clópenes de X. Sea (x, y) ∈ X tal que y > 0 entonces si C ⊂ X es cerrado y (x, y) ∈ / C tenemos que al ser {(x, y)} clopen en X, para U = {(x, y)} será X\U un abierto que contiene a C y U es abierto que contiene a (x, y). Para p ∈ X si C ⊂ X es cerrado tal que p ∈ / C, como X\C es entorno de p existirá m ∈ N tal que {p} ∪ Am ⊂ X\C y por tanto C estará contenido en {(x, y) ∈ X : x < m}. Es sencillo comprobar que G = {(x, y) ∈ X : x < m} ∪ {(x, y) ∈ X : x ∈ [m, m + 2], y 6= 0} es un abierto que no corta al entorno Am+3 ∪ {p} de p Si (x, 0) ∈ X y C ⊂ X es cerrado tal que (x, 0) ∈ / C tenemos que existe P ⊂ R 2 conjunto finito tal que ((Ix ∪ Jx )\P ) ∩ C = ∅ entonces X\((Ix ∪ Jx )\P ) es un abierto que contiene a C. Hemos probado que X es regular, ahora veremos que X no es completamente regular. Para cada n ∈ N sea Bn = {(x, 0) : n − 1 ≤ x ≤ n}, es claro que Bn es cerrado. Consideremos B1 y tenemos que p ∈ / B1 . Sea f : X → [0, 1] continua tal que f (B1 ) = {1}, probaremos que también es f (p) = 1. Veamos que f −1 (1) ∩ Bn es infinito para cada n ∈ N, lo haremos por inducción. Para n = 1 es evidente que f −1 (1) ∩ B1 es infinito, supongamos que f −1 (1) ∩ Bk es infinito. Sea A un subconjunto numerable de f −1 (1) ∩ Bk , para cada (x, 0) ∈ A tenemos que Jx \f −1 (1) = U Hn donde Hn = {z ∈ Jx : 0 ≤ f (z) ≤ 1 − n1 }, tenemos que Hn es cerrado y (x, 0) ∈ / Hn por tanto (x, 0) ∈ / H n y deducimos que como Hn ⊂ Jx tiene que ser Hn infinito −1 y por tanto Jx \f (1) es a lo más numerable. También será numerable A 0 = U {Jx \f −1 (1) : (x, 0) ∈ A}. Sea g la aplicación proyección de X\{p} en el eje x; g(x, y) = (x, 0). Tenemos que g(A 0 ) ∩ Bk+1 es a lo más numerable y por tanto Bk+1 \g(A0 ) será infinito. Sea (z, 0) ∈ Bk+1 \g(A0 ) entonces tenemos que Iz ∩ Jx ∩ f −1 (1) 6= ∅ para cada x ∈ A, ya que si (z, y) ∈ I z ∩ Jx y (z, y) ∈ / f −1 (1) entonces −1 0 0 (z, y) ∈ Jx \f (1) ⊂ A y (z, 0) sería de g(A ). Cada entorno U de (z, 0) contiene a I z menos a un número finito de puntos, forzosamente existe x ∈ A tal que J x ∩ Iz ⊂ U y entonces Jx ∩ Iz ∩ f −1 (1) ⊂ U , así pues deducimos que f (z, 0) = 1 para cada (z, 0) ∈ B k+1 \g(A0 ) y esto prueba que f −1 (1) ∩ Bk+1 es infinito. Como para cada n ∈ N es An ∪ {p} ⊃ Bn+1 tendremos que (An ∪ {p}) ∩ f −1 (1) 6= ∅ y por tanto necesariamente será f (p) = 1. Queda pues probado que X no es completamente regular. El primer ejemplo de espacio regular no completamente regular fue obtenido por Tychonoff en 1.930. Posteriormente Hewit y Novak modificaron el ejemplo para obtener espacios regulares en los que cada función real continua era constante (J. Novak. "Regular Space in wich every continous function is constant". Časapis Pěst Mat. Fys. 1.948). Teorema 7.2.6 a) Si (X, d) es seudométrico entonces es completamente regular. b) Si (X, d) es métrico entonces es T3a . Demostración a) Sea F ⊂ X cerrado no vacío y a ∈ / F , definimos f : X → R por f (x) = d(x, F ) = inf {d(x, y) : y ∈ F }. Si (xn )n∈N es una sucesión en X tal que x ∈ lim(xn ) entonces para cada n ∈ N es 0 ≤ d(xn , F ) ≤ d(x, F ) + d(xn , x) y por tanto limn→∞ f (xn ) = f (x). Así pues f es continua y f (F ) = {0} y f (a) 6= 0. El punto b) es consecuencia inmediata del a). Teorema 7.2.7 Sea X un conjunto, (Y, T ) un espacio topológico y f : X → Y una aplicación: Antonio Aizpuru Tomás

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2. ESPACIOS COMPLETAMENTE REGULARES Y ESPACIOS T 3A

a) Si (Y, T ) es completamente regular entonces (X, f −1 (T )) es completamente regular. b) Si (Y, T ) es T3a y f es inyectiva entonces (X, f −1 (T )) es T3a . c) Las propiedades completamente regular y T 3a son propiedades topológicas y hereditarias. Demostración a) Sean x ∈ X y F un cerrado no vacío de (X, f −1 (T )), tenemos que existe B ∈ T tal que X\F = f −1 (B) y entonces F = f −1 (C) donde C = Y \B. Como C es cerrado no vacío en Y y f (x) ∈ / C existe una aplicación continua g : Y → [0, 1] tal que g(f (x)) = 0 y g(C) = {1} pero entonces h = g ◦ f es una aplicación continua de X en [0, 1] tal que h(x) = 0 y h(F ) = {1}. Los puntos b) y c) son consecuencia inmediata de a).

Teorema 7.2.8 Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y (X, T p ) es correspondiente espacio producto: a) (X, Tp ) es completamente regular si y sólo si (X i , Ti ) es completamente regular, para cada i ∈ I. b) (X, Tp ) es T3a si y sólo si (Xi , Ti ) es T3a , para cada i ∈ I. Demostración a) Como la propiedad completamente regular es hereditaria y topológica tenemos que si (X, Tp ) es completamente regular entonces cada (X i , Ti ) lo es. Supongamos que (Xi , Ti ) es completamente Q regular para Q cada i ∈ I. Sean F ⊂ X un cerrado no vacío y x ∈ X\F . Tenemos que existe i∈I Ai ∈ Tp tal que x ∈ i∈I Ai ⊂ X\F , sea J ⊂ I finito tal que si i ∈ I\J es A i = Xi . Para cada j ∈ J tenemos que pj (x) ∈ / Xj \Aj y existe pues fj : Xj → [0, 1] continua tal que fj (pj (x)) = 0 y fj (Xj \Aj ) = {1}. Definimos g : X → [0, 1], para cada y ∈ X, por g(y) = max{f j (pj (y)) : j ∈ J}, es sencillo comprobar que g es continua, g(x) = 0 y g(F ) = {1}. b) Es consecuencia de a) y de que T0 es una propiedad hereditaria, topológica y productiva.

Nota 7.2.9 Sobre los cubos, los espacios completamente regulares y la seudometrizabilidad. 1) Un cubo es el espacio producto de una familia {(X i , Ti )}i∈I donde para cada i ∈ I es Xi = [0, 1] y Ti es la topología usual en [0, 1] y I es cualquier conjunto no vacío. Lo denotamos por [0, 1] I . Sea (X, T ) un espacio topológico y I = [0, 1], consideremos: L = {(I, Tu ), f }f ∈C(X,I) Vamos a probar que (X, T ) es completamente regular si y sólo si T = T L , donde TL es la topología inicial determinada en X por la familia L,

Es claro que la topología inicial de una familia donde los espacios son completamente regulares será completamente regular. Supongamos ahora que (X, T ) es completamente regular entonces es claro que TL ⊂ T . Sea A ∈ T , A 6= ∅, sea x ∈ A entonces existe f ∈ C(X, I) tal que f (x) = 0 y f (X\A) = {1} entonces x ∈ f −1 ([0, 1)) ⊂ A y f −1 ([0, 1)) ∈ TL así pues es claro que T = TL . Es ahora sencillo demostrar que también se verifica lo siguiente:

(X, T ) es T3a si y sólo si T = TL donde L = {([0, 1], Tu ), f }f ∈C(X,I) y C(X, I) distingue puntos de X. Apuntes y notas de Topología


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2) Si (X, T ) es homeomorfo a un subespacio de un producto de espacios seudometrizable tendremos que necesariamente (X, T ) es completamente regular, probaremos ahora el recíproco. Supongamos que (X, T ) es completamente regular, para cada f ∈ C(X, I) definimos d f (x, y) = |f (x) − f (y)|, es sencillo comprobar que df es una seudométrica en X. Denotamos por X f al conjunto X dotado de la topología inducida por la seudométrica d f y para cada f ∈ C(X, I) denotamos por i f : X → Xf a la aplicación definida en cada x ∈ X por i f (x) = x. Tenemos que if es continua ya que dado a ∈ X y ε > 0, ε ∈ R, tenemos que df : X × X → R es continua en (a, a) y por tanto existe U entorno de a en X tal que si (x, y) ∈ U × U es d f (x, y) = |f (x) − f (y)| ∈ (−ε, ε), y por tanto U ⊂ i−1 f (Bdf (if (a), ε)). La familia: L = {(Xf , df ); if }f ∈C(X,I)

distingue puntos y cerrados de X ya que si x ∈ / F y F ⊂ X es un cerrado no vacío existe g ∈ C(X, I) / ig (F ) = {y ∈ Xg : dg (y, F ) = 0}, con g(x) = 0, g(F ) = {1}, así pues para X g es ig (x) = x ∈ con este resultado es evidente que T = T y por tanto la aplicación: ϕ = (if )f ∈C(X,I) : X → L Q f ∈C(X,I) Xf , definida, para cada x ∈ X, por ϕ = (i f (x))f ∈C(X,I) , es una inmersión.

3) Si (X, T ) es homeomorfo al subespacio de un cubo es claro que (X, T ) tiene que ser T 3a , probaremos ahora el recíproco. Supongamos que (X, T ) es T 3a , entonces T es la topología inicial T L para la familia L = {([0, 1], Tu ), f }f ∈C(X,I) y C(X, I) distingue puntos entonces sabemos que ϕ = (f ) f ∈C(X,I) : X → [0, 1]C(X,I) , (ϕ(x) = (f (x))f ∈C(X,I) ), es una inmersión.

4) Si (X, T ) es homeomorfo a un subespacio de un producto numerable de espacios seudometrizados es claro que (X, T ) es IIAN y completamente regular, es claro que B 0 = {f −1 ((0, 1]) : f ∈ C(X, I)} es una base de T y consideremos otra que sea numerable y esté contenida en B 0 ; B = {fn−1 ((0, 1]) : n ∈ N}. Para cada n ∈ N denotaremos por X n al conjunto X dotado de la seudométrica d n = dfn , y denotamos por in : X → Xn la aplicación definida para cada x ∈ X por i n (x) = x. Consideremos la familia L = {(Xn , dn ); in }n∈N es claro que L distingue puntos de X y que cada i n es continua, veamos que L distingue puntos de cerrados; sea F ⊂ X un cerrado no vacío y sea x ∈ / F , tenemos −1 / in (F ) = {y ∈ que existe n ∈ N tal que x ∈ fn ((0, 1]) ⊂ X\F , por tanto en XQ n es in (x) = x ∈ Xn : dn (y, F ) = 0}. Deducimos por tanto que ϕ = (i n )n∈N : X → Xn definida, para cada x ∈ X, por ϕ(x) = (in (x))n∈N , es una inmersión. Recordemos que el producto numerable de espacios seudometrizables es seudometrizable y como consecuencia de lo aquí demostrado se deduce que si (X, T ) es IIAN entonces, (X, T ) es seudometrizable si y sólo si es completamente regular. 5) Si (X, T ) es homeomorfo a un subespacio de un cubo numerable es evidente que (X, T ) será IIAN y T3a , demostraremos ahora que el recíproco es cierto. Sea (X, T ) un espacio T 3a y IIAN, igual que en el apartado anterior podemos determinar una sucesión (f n )n∈N en C(X, I) tal que B = {fn−1 ((0, 1]) : n ∈ N} es una base de T . Consideremos la familia L = {([0, 1] n , Tu ), fn }n∈N donde para cada n ∈ N es [0, 1]n = [0, 1], es claro que L distingue puntos y cerrados y como para cada n ∈ N es f n continua tendremos que : ϕ = (fn )n∈N : X →

Y

[0, 1]n , es una inmersión

n∈N

Recordemos que el producto numerable de espacios metrizables es un espacio metrizable, así pues si (X, T ) es un espacio topológico IIAN se deduce de lo anterior que (X, T ) es metrizable si y sólo si (X, T ) es T3a . Antonio Aizpuru Tomás

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3. ESPACIOS NORMALES Y ESPACIOS T 4

3

Espacios normales y espacios T4

Definición 7.3.1 Se dice que un espacio topológico (X, T ) es normal si para cada par de cerrados F 1 y F2 , no vacíos y disjuntos, existen dos abiertos A 1 y A2 , disjuntos tales que F1 ⊂ A1 , F2 ⊂ A2 . Se dice que (X, T ) es T4 si es normal y T1 . El siguiente teorema, tal y como está planteado es de demostración inmediata. Teorema 7.3.2 Sea (X, T ) un espacio topológico, entonces son equivalentes: 1) (X, T ) es normal. 2) Para cada cerrado F y cada abierto A tales que F ⊂ A existe un abierto B tal que F ⊂ B ⊂ B ⊂ A. 3) Para cada cerrado F y cada abierto A tales que F ⊂ A existe cerrado H tal que F ⊂ Int(H) ⊂ H ⊂ A. 4) Para cada par de cerrados F1 , F2 , no vacíos y disjuntos, existe un abierto B tal que F 1 ⊂ B y B ∩ F2 = ∅. 5) Para cada par de cerrados F1 , F2 , no vacíos y disjuntos, existen dos abiertos A 1 , A2 tales que F1 ⊂ A1 , F2 ⊂ A2 y A1 ∩ A2 = ∅. Ejemplo 7.3.3 1) Sea X = R+ y en X consideremos T = {[a, +∞), (a, +∞) : a ∈ X} ∪ {∅}. Es sencillo probar que (X, T ) es normal y T 0 , pero observemos que no es T1 por tanto no será regular ni completamente regular ni T 4 . 2) Cualquier conjunto X con más de un elemento y dotado de la topología trivial es normal y no es T 0 . Teorema 7.3.4 Sea X un espacio topológico: a) Si X es regular y Lindelöf entonces X es normal. b) Si X es regular y IIAN entonces X es normal. Demostración a) Sean F1 y F2 dos cerrados no vacíos y disjuntos, como X es regular para cada x ∈ F 1 existe un entorno Ux de x tal que Ux ∩ F2 = ∅ y para cada y ∈ F2 existe un entorno Vy de y tal que Vy ∩F1 = ∅. Como X es Lindelöf existen {xn : n ∈ N} ⊂ F1 y {yn : n ∈ N} ⊂ F2 tales que F1 ⊂ ∪n∈N Uxn y F2 ⊂ ∪n∈N Vyn . Consideremos para cada n ∈ N, An = Uxn \ ∪nj=1 V yj y Bn = Vyn \ ∪nj=1 U xj , y sean A = ∪n∈N An y B = ∪n∈N Bn . Tenemos que A y B son abiertos y disjuntos, además F 1 ⊂ A y F2 ⊂ B. Nota 7.3.5 a) Supongamos que X es un espacio topológico con la siguiente propiedad: Para cada par de subconjuntos cerrados y disjuntos B 1 y B2 se verifica que existe una aplicación continua f : X → R tal que f (B1 ) = a y f (B2 ) = b con a 6= b, entonces suponiendo que a < b y escogiendo c ∈ (a, b), tendremos que si G1 = {x ∈ X : f (x) < c} y G2 = {x ∈ X : f (x) > c} se verifica que B1 ⊂ G1 , B2 ⊂ G2 y G1 , G2 son abiertos disjuntos. Así pues el espacio X tendrá que ser normal. El lema de Urysohn es la afirmación Apuntes y notas de Topología


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recíproca, es decir que si X es un espacio normal entonces dos subconjuntos cerrados y disjuntos pueden ser separados por una función real y continua definida en X. La primera demostración de este resultado fue dada por Urysohn en "Uber die Mächtigkeit der Zubammenhängenden Mengen" Math. Ann. 1925, y es ciertamente una demostración complicada, el lema citado aparece en el camino del estudio de condiciones de metrización. b) Supongamos ahora que X es un espacio topológico que tiene la siguiente propiedad: Para cada subconjunto cerrado A y cada aplicación continua g : A → R existe una aplicación continua f : X → R tal que f |A = g. En esta situación es claro que X tiene que ser un espacio normal ya que si B 1 y B2 son subconjuntos cerrados y disjuntos entonces la aplicación g : B 1 ∪ B2 → R definida, por ejemplo, por g(x) = 0 si x ∈ B1 y g(x) = 1 si x ∈ B2 es una aplicación continua y si f es la extensión continua de g de B1 ∪ B2 a X tendremos que f es una función real y continua que separa a B 1 y B2 . El teorema de Tietze es la afirmación recíproca es decir que si X es un espacio normal entonces toda función real y continua definida en un subconjunto cerrado tiene extensión continua a X. El primer estudio de este teorema aparece en el trabajo de Tietze "Über Funktionen, die auf einer abgeschlossenen. Menge stetig sind" J. Reine Angew Math 1915. c) Con el transcurso del tiempo han aparecido otras demostraciones del lema de Urysohn y del teorema de Tietze más sencillas y breves, normalmente se obtenía el teorema de Tietze como una consecuencia, no demasiado inmediata, del lema de Urysohn, aunque es mucho más corto y sencillo obtener el lema de Urysohn como consecuencia del teorema de Tietze, pero el problema era conseguir una demostración sencilla del teorema de Tietze que no hiciese uso del lema de Urysohn. En 1986 S. Grabiner realiza el trabajo "The Tietze Extension Theorem and the open mapping theorem" publicado en Amer. Math. Monthly, donde se demuestra el teorema de Tietze como una sencilla consecuencia de un lema de aproximación para aplicaciones lineales definidas entre espacios de Banach. La demostración de este lema es sencilla y breve pero no es del todo adecuada en un texto de introducción a la topología. En 1993 Mark Mandelkern realiza el trabajo "A short proof of the Tietze -Urysohn Extension Theorem" publicado en Arch. Math., en este trabajo se demuestra el teorema de Tietze usando precisamente las técnicas que se suelen utilizar para la demostración del lema de Urysohn. Vamos a ver a continuación esta demostración, que por cierto es bellísima, esperamos que el lector disfrute. Teorema 7.3.6 de Tietze-Urysohn. Sean X un espacio topológico normal, A ⊂ X un subconjunto cerrado y g : A → [0, 1] una aplicación continua entonces existe una aplicación continua f : X → [0, 1] tal que f (x) = g(x) para cada x ∈ A. Demostración(M. Mandelkern) Para cada p ∈ Q definimos Ap = {x ∈ A : g(x) ≤ p} que será un subconjunto cerrado de X, observemos que si x ∈ A es g(x) = inf {p : x ∈ Ap , p ∈ Q}. Para cada q ∈ Q ∩ (0, 1) definimos B q = {x ∈ A : g(x) ≥ q} que es cerrado en X y Uq = X − Bq que será un subconjunto abierto de X. Denotamos P = {(p, q) : p, q ∈ Q y 0 ≤ p < q < 1} que por ser numerable lo podemos también denotar por P = {(pn , qn ) : n ∈ N}. Sea (p1 , q1 ) ∈ P , como Ap1 es cerrado, Uq1 es abierto y Ap1 ⊂ Uq1 tenemos que por ser X un espacio normal existe un cerrado H 1 ⊂ X tal que Ap1 ⊂ Int(H1 ) ⊂ H1 ⊂ Uq1 . Supongamos ahora que hemos probado la existencia de n−1 conjuntos cerrados H 1 . . . Hn−1 verificando que para cada j ∈ {1, . . . , n − 1} es Apj ⊂ Int(Hj ) ⊂ Hj ⊂ Uqj y si k, j ∈ {1, . . . , n − 1} y pj < pk , qj < qk entonces Hj ⊂ Int(Hk ), vamos a proceder a la definición del cerrado H n , sean J = {j ∈ N : j ∈ Antonio Aizpuru Tomás

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{1, . . . , n − 1}, pj < pn , qj < qn } y F = {i ∈ N : i ∈ {1, . . . , n − 1}, pn < pi , qn < qi }, consideremos el cerrado Apn ∪ (∪j∈J Hj ) que está contenido en el abierto Uqn ∩ (∩i∈F Int(H T i )), como X es normal existe un cerrado Hn ⊂ X tal que Apn ∪ (∪j∈J Hj ) ⊂ Int(Hn ) ⊂ Hn ⊂ Uqn ∩ ( i∈F Int(Hi )). Por inducción queda demostrada la existencia de una familia (H n )n∈N de subconjuntos cerrados de X, que ahora indicaremos de nuevo por {Hpq : (p, q) ∈ P }, que tiene las siguientes propiedades: a) Para cada (p, q) ∈ P es Ap ⊂ Int(Hpq ) ⊂ Hpq ⊂ Uq . b) Si (p, q), (t, r) ∈ P y p < t, q < r entonces Int(H pq ) ⊂ Htr . Para cada p ∈ Q definimos Zp ⊂ X de la siguiente forma: Si p ∈ Q ∩ [0, 1) Zp = ∩q>p Hpq , si p < 0 Zp = ∅ y si p ≥ 1 y p ∈ Q definimos Zp = X. Para cada (p, q) ∈ P si escogemos t ∈ Q con p < t < q deducimos que Z p ⊂ Hpt ⊂ Int(Htq ) ⊂ Htq ⊂ ∩Hqr r > q = Zq , por tanto Zp < Int(Zq ). Sea p ∈ [0, 1) ∩ Q tenemos que Ap está contenido en Hpq para cada q > p, (p, q) ∈ P , por tanto Ap ⊂ A ∩ Zp = A ∩ (∩q>p Hpq ) ⊂ A ∩ (∩q>p Uq ), pero observemos que si x ∈ A ∩ (∩q>p Uq ) es g(x) < q para cada q > p así pues tiene que ser g(x) ≤ p y por tanto A ∩ (∪ q>p Uq ) = Ap . Así pues {Zp : p ∈ Q} es una familia de subconjuntos cerrados de X que tiene las propiedades: c) zp ⊂ Int(Zq) si p < q, p, q ∈ Q d) Zp ∩ A = Ap para cada p ∈ Q. Finalmente definimos, para cada x ∈ X, f (x) = inf {p : p ∈ Q, x ∈ Z p }, es claro que Im f ⊂ [0, 1] y si x ∈ A es f (x) = g(x). Sean a, b ∈ R con a < b, si x ∈ Int(Zq )\Zp donde a < p < q < b, p, q ∈ Q, entonces como x ∈ Z q será f (x) ≤ q pero como x ∈ / Zp será f (x) ≥ p, así pues tendremos que f (x) ∈ (a, b). Recíprocamente si f (x) ∈ (a, b) y p, q ∈ Q son tales que a < p < f (x) < q < b es claro que x ∈ Int(Z q ) − Zp así pues f −1 (a, b) = ∪{Int(Zq )\Zp : p, q ∈ Q y a < p < q < b} y por tanto deducimos que f es una aplicación continua.

Nota 7.3.7 1) Podemos ya demostrar con el teorema de Tietze el lema de Urysohn. Sea X un espacio normal y sean B1 , B2 dos subconjuntos cerrados y disjuntos entonces existe una aplicación continua f : X → [0, 1] tal que f (B1 ) = 0 y f (B2 ) = 1. En efecto, definimos g : B1 ∪ B2 → [0, 1] por g(x) = 0 si x ∈ B1 y g(x) = 1 si x ∈ B2 , es claro que g es continua y si f : X → [0, 1] es una aplicación continua tal que fB1 ∪B2 = g tendremos que f (B1 ) = 0 y f (B2 ) = 1. Observemos que fijados cualquier par a, b de números reales, a < b, podemos considerar un homeomorfismo α : [0, 1] → [a, b] con α(0) = a y α(1) = b, entonces h = α ◦ f es una aplicación real y continua definida en X y tal que h(B1 ) = a y h(B2 ) = b. 2) Demostraremos ahora que el último teorema es válido si se sustituye el intervalo [0, 1] por cualquier intervalo de R. Supongamos que X es un espacio normal y sea A ⊂ X un subconjunto cerrado. Sea g : A → [−a, a], a ∈ R, a > 0, una aplicación continua, consideremos un homeomorfismo α de [−a, a] en [0, 1], para α ◦ g tenemos que existe h : X → [0, 1] continua tal que si x ∈ A es h(x) = α(g(x)). Sea l = α −1 ◦ h, tenemos que l es continua, toma valores en [−a, a] y si x ∈ A es l(x) = α −1 (α(g(x))) = g(x). Apuntes y notas de Topología


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Supongamos ahora que g : A → (−a, a) es una aplicación continua entonces existe h : X → [−a, a] continua tal que si x ∈ A es h(x) = g(x). Si Imh 6= (−a, a) consideremos el cerrado B = {x ∈ X : h(x) = a ó h(x) = −a}, como B es disjunto de A existe l : X → [0, 1] continua tal que l(A) = {1} y l(B) = {0}. Consideremos la aplicación f = l · h. Es claro que Imf ⊂ (−a, a), f es continua y si x ∈ A ˙ es f (x) = l(x)h(x) = h(x) = g(x). Supongamos ahora que tenemos una aplicación real y continua, no necesariamente acotada, definida en A, es decir, tenemos la aplicación g : A → R continua. Consideremos cualquier homeomorfismo α : R → (−a, a), entonces existe h : X → (−a, a) continua tal que h |A = α ◦ g, sea f = α−1 ◦ h, tenemos que f es una aplicación real y continua definida en X y si x ∈ A es f (x) = α −1 (h(x)) = α−1 (α(g(x))) = g(x). Con esta técnica de elegir el homeomorfismo que sea adecuado es sencillo demostrar cada uno de los casos correspondientes a los otros intervalos. Teorema 7.3.8 Sea X un espacio topológico normal entonces: a) X es regular si y sólo si X es completamente regular. b) X es T1 si y sólo si X es T3a . (Por tanto cada espacio T4 es T3a ). Demostración a) Supongamos que X es regular y sean F ⊂ X un cerrado vacío y x ∈ X\F , como X es regular existe un entorno cerrado U de x tal que U ∩ F = ∅, como X es normal existe una aplicación continua f : X → [0, 1] tal que f (U ) = {0} y f (F ) = {1}. b) Supongamos que X es normal y T1 , es decir X es T4 . Sean F ⊂ X un cerrado no vacío y x ∈ X\F entonces tenemos que {x} y F son dos cerrados disjuntos y existirá una aplicación continua f : X → [0, 1] tal que f (x) = 0 y f (F ) = {1}. Ejemplo 7.3.9 a) Vamos a demostrar que existen espacios T 3a que no son T4 , para esto precisaremos demostrar lo que se conoce como el lema de Jones: Si (X, T ) es un espacio topológico y existen subconjuntos A y B tales que A es denso, B es cerrado, card(B) ≤ card(P (A)) y (B, TB ) es discreto, entonces (X, T ) no es normal. Haremos la demostración por reducción al absurdo, supongamos que (X, T ) fuese normal entonces para cada M ⊂ B tenemos que M y B\M son cerrados en X luego existen G M y GB\M abiertos en X tales que M ⊂ GM , B\M ⊂ GB\M y GM ∩ GB\M = ∅. Definimos ϕ : P (B) → P (A), para cada M ⊂ B, por ϕ(M ) = GM ∩ A, supongamos que M1 , M2 ∈ P (B) y que x1 ∈ M1 \M2 entonces GM1 ∩ GB\M2 6= ∅ y por la densidad de A existirá y ∈ A ∩ GM! ∩ GB\M2 así pues y ∈ A ∩ GM1 , y ∈ / A ∩ GM2 , deducimos que ϕ es inyectiva por lo que card(B) < card(P (B)) ≤ card(P (A)) ≤ card(B), pero esto es una contradicción. El ejemplo que vamos a considerar ahora es el de la recta Sorgenfrey (R, T S ), donde recordemos que TS es la topología obtenida por medio de la base B = {[a, b) : a, b ∈ R, a < b}. Tenemos que (R, T S ) es regular ya que cada [a, b) ∈ B es cerrado, además (R, T S ) es Lindelöf y T2 por lo que está claro que (R, TS ) es normal. Consideremos (R2 , T ) donde T es la topología producto de (R, T S ) con (R, TS ), tenemos que A = Q × Q es denso y numerable en (R2 , T ) y que B = {(x, −x) : x ∈ R} es un subconjunto cerrado de (R2 , T ) tal que (B, TB ) es un espacio discreto y card(B) ≥ card(P (A)). Es por tanto evidente que (R2 , T ) no es normal pero sin embargo es T 3a por ser el producto de dos espacios con esta propiedad. Antonio Aizpuru Tomás

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Hemos comprobado además que el producto de dos espacios normales o T 4 no necesariamente es normal o T4 , pero más adelante comprobaremos que si el producto de una familia de espacios es normal o T 4 entonces cada espacio de la familia tiene la correspondiente propiedad. b) Vamos a exponer un ejemplo que pone de manifiesto que la propiedad T 4 no es hereditaria, y como la propiedad T1 sí lo es deduciremos que la propiedad normal no es hereditaria. Sea γ un ordinal y consideremos X = [1, γ] con la topología del orden que es la generada con la base: B = {[1, α) : α ∈ X} ∪ {(α, β) : α, β ∈ X, α < β}∪ ∪{(β, γ] : β ∈ X, β 6= γ}

Es claro que X es regular y T2 , vamos a demostrar que si {Ui }i∈I es un recubrimiento abierto de X entonces existe algún subrecubrimiento finito; a los espacios con esta propiedad se les llama compactos y serán estudiados más adelante. Es claro que todo compacto es también Lindelöf. Consideremos M = {α ∈ X : [1, α] es recubierto por una subfamilia finita de {U i }i∈I }, es claro que 1 ∈ M y que si {α, β} ⊂ M y α ⊂ β entonces [α, β] ⊂ M así pues M es un intervalo. Sea p = supM , es 1 < p y si fuese p < γ consideremos j ∈ I tal que p ∈ Uj , entonces existen {x, y} ⊂ X tales que p ∈ (x, y) ⊂ U j de aquí se deduce que [1, y] puede ser recubierto por una subfamilia finita de {U i }i∈I y por tanto obtenemos la contradicción de que y ∈ M , p < y. Sean Y = [1, w] y Z = [1, Ω] donde w es el primer ordinal no finito y Ω es el primero no numerable. Consideremos en Y y en Z las correspondientes topologías del orden y sea (X, T p ) el correspondiente espacios producto que es conocido como el cuadrado de Tychonoff. Vamos a demostrar ahora que X es también compacto, más adelante se probará que el producto de cualquier familia de espacios compactos es compacto. La prueba que ahora vamos a hacer permitirá al lector comprobar que el producto de dos compactos también lo es, lo que también permite deducir que el producto de cualquier familia finita de espacios compactos es un espacio compacto. Sea {Vi }i∈M un recubrimiento de X. Para cada (y, z) ∈ X existe i (y,z) ∈ I tal que (y, z) ∈ Vi(y,z) , existirán pues I (y,z) entorno abierto de y en Y , y J (y,z) entorno abierto de z en Z tales que (y, z) ∈ I (y,z) × J (y,z) ⊂ S z Ui(y,z) . Para cada z ∈ Z que fijemos tenemos que Y = y∈Y I (y,z) y por tanto existen {y1z , . . . , yn(z) }⊂Y (y z

z

,z)

z

(y z

,z)

n(z) , definimos J z = J (y1 ,z) ∩ · · · ∩ J (n(z) que será entorno abierto de z. tales que Y = I (y1 ,z) S ∪ · · · ∪z I Tenemos que Z = z∈Z J así pues existe {z1 , . . . , zm } ⊂ Z tal que Z = J z1 ∪ · · · ∪ J zm , entonces es claro z1

(y

z1

,z )

zm

(y zm

,z )

que X = Y ×Z = [(I (y1 ,z1 ) ×J z1 )∪· · ·∪(I n(z1 ) 1 ×J z1 )]∪· · · ∪[(I y1 ,zm ) ×J zm )∪· · · ∪(I n(zm ) m × J zm )] ⊂ Vi(yz1 ,z1 ) ∪ · · · ∪ Vi(ynz1 (z1 ),z1 ) ∪ · · · ∪ Vi(y1zm ,zm) ∪ · · · ∪ Vi(ynzm (zm),zm) . Así pues como X es Lindelöff 1 y regular tenemos que X será normal. Demostraremos que X 0 = X\{(w, Ω)} no es normal. Consideremos en X 0 los cerrados disjuntos A = {(w, z) : z ∈ Z\{Ω}} y B = {(y, Ω) : y ∈ Y \{w}}. Sea V un abierto en X tal que V ∩ X 0 = V \{(w, Ω)} contiene a B. Para cada n ∈ N = Y − {w} tenemos que (n, Ω) ∈ V así pues existe zn ∈ Z tal que para cada z > zn , z ∈ Z es (n, z) ∈ V . Sea z0 = sup{zn : n ∈ N}, obtenemos que z0 < Ω ya que el supremo de una familia numerable de ordinales numerables no puede ser un ordinal no numerable. La proyección p1 (B) en Y tiene que ser un abierto que contiene a Y \{w}, forzosamente será w ∈ p1 (B) y por tanto (w, z0 ) ∈ V , pero (w, z0 ) ∈ A así pues (V \{(w, Ω)}) ∩ A 6= ∅. c) Sea X = {x, y, z, t} y consideremos en X la topología T = {X, {y, z, t}, {z, t}, {y, t}, {t}, ∅}. Observemos que los cerrados no vacíos de X contienen a {x} y por tanto (X, T ) es normal y sin embargo si Y = {x, y, t} tenemos que (Y, TY ) no es normal. Teorema 7.3.10 Sea X un espacio topológico, entonces: Apuntes y notas de Topología


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a) Si X es seudométrico entonces X es normal. b) Si X es métrico entonces X es T4 . Demostración a) Sea (X, d) un espacio seudométrico y sean F 1 y F2 dos cerrados no vacíos y disjuntos, sea f : X → R definida, para cada x ∈ X, por f (x) = d(x, F 2 ) − d(x, F1 ), es claro que si G1 = f −1 ((−∞, 0)), G2 = f −1 ((0, +∞)) entonces G1 y G2 son abiertos disjuntos tales que F1 ⊂ G2 y F2 ⊂ G1 . La parte b) es consecuencia de a).

Teorema 7.3.11 de metrización de Urysohn: Sea X un espacio topológico IIAN, entonces: 1) Son equivalentes: (a) X es seudometrizable.

(b) X es completamente regular.

2) También equivalen las siguientes afirmaciones: (a) X es metrizable. (d) X es T3 .

(c) X es regular.

(b) X es T 4 .

(c) X es T3a .

Demostración 1) Sólo puede presentar alguna dificultad c ⇒ a; si X es IIAN y regular, será regular y Lindelöf y por tanto normal, pero al ser normal y regular será completamente regular lo que unido a ser IIAN implica que X es seudometrizable. Observemos que si X = R + y T = {[a, +∞), (a, +∞) : a ∈ R+ } ∪ {∅, R+} se verifica que (X, T ) es normal y T 0 , pero como no es T1 no puede ser ni regular ni completamente regular y por tanto existen espacios normales que no son seudometrizables. 2) es consecuencia de 1. y del teorema anterior.

Teorema 7.3.12 Sea (X, T ) un espacio topológico y F ⊂ X cerrado: a) Si (X, T ) es normal entonces (F, TF ) es normal. b) Si (X, T ) es T4 entonces (F, TF ) es T4 . Demostración a) Si (X, T ) es normal y B 1 , B2 son dos cerrados no vacíos y disjuntos de (F, T F ), como F es cerrado tenemos que B1 y B2 son cerrados en (X, T ) luego existen A 1 , A2 , abiertos disjuntos en (X, T ) tales que B1 ⊂ A1 y B2 ⊂ A2 , entonces B1 ⊂ A1 ∩ F y B2 ⊂ A2 ∩ F . La parte b) es consecuencia de a).

Teorema 7.3.13 Sean (X, T ) y (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y f : X → Y una aplicación continua cerrada y sobreyectiva, entonces: a) Si (X, T ) es normal se verifica que (Y, T 0 ) es normal. b) Si (X, T ) es T4 entonces (Y, T 0 ) es T4 . Antonio Aizpuru Tomás

118


Por tanto las propiedades normal y T 4 son propiedades topológicas. Demostración a) Supongamos que (X, T ) es normal y sean B 1 , B2 , dos cerrados no vacíos y disjuntos en (Y, T 0 ), entonces si F1 = f −1 (B1 ) y F2 = f −1 (B2 ) tenemos que F1 y F2 son cerrados no vacíos y disjuntos en X por tanto existen {A1 , A2 } ⊂ T con A1 ∩ A2 = ∅ y F1 ⊂ A1 , F2 ⊂ A2 . Sean G1 = Y \f (X\A1 ), G2 = Y \f (X\A2 ), como f es cerrada serán {G1 , G2 } ⊂ T 0 y es sencillo probar que B1 ⊂ G1 , B2 ⊂ G2 y G1 ∩ G2 = ∅. La parte b) es consecuencia de a).

Teorema 7.3.14 Sean {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y (X, T p ) el correspondiente espacio producto: a) Si (X, Tp ) es normal entonces (Xi , Ti ) es normal para cada i ∈ I. b) Si (X, Tp ) es T4 entonces (Xi , Ti ) es T4 para cada i ∈ I. Demostración a) Supongamos que (X, T P ) es normal y sea j ∈ I. Consideremos un elemento fijo a = (ai )i∈I de X, es sencillo ver que Xa,j = {x = (xi )i∈I ∈ X : si i ∈ I\{j} es xi = ai } es un subespacio de X homeomorfo a Xj por medio de la aplicación fj : Xj → X definida, para cada xj ∈ Xj , por fj (xj ) = (xi )i∈I , donde xi = ai si i ∈ I\{j}. Demostraremos que Xa,j es normal. Sean B1 y B2 dos −1 −1 −1 cerrados disjuntos de Xa,j , tenemos que F1 = p−1 j (fj (B1 )) y F2 = pj (fj (B2 )) son cerrados disjuntos de X, por tanto existen G1 y G2 abiertos disjuntos en X tales que F1 ⊂ G1 y F2 ⊂ G2 . Entonces tenemos que B1 ⊂ G1 ∩ Xa,j y B2 ⊂ G2 ∩ Xa,j . La parte b) se deduce de a).

Nota 7.3.15 Sea (X, T ) un espacio topológico y L = {F i }i∈I una familia de subconjuntos de X. Se dice que L es puntualmente finita si para cada x ∈ X existe J ⊂ I finito tal que x ∈ / F i para cada i ∈ I\J. Se dice que L es localmente finita si para cada x ∈ X existe U entorno de x y J ⊂ I finito tales que U ∩ Fi = ∅ para cada i ∈ I\J. Se dice que L es discreta si para cada x ∈ X existe U entorno de x tal que U corta a lo sumo a un elemento de L. Si L es discreta entonces L es localmente finita y si L es localmente finita entonces L es puntualmente finita. Observemos que en (R, T u ), la familia L = {(−1, 0); (0, 1)} es localmente finita y no es discreta, y la familia L 0 = { n1 : n ∈ N} es puntualmente finita y no es localmente finita. Recordemos que la unión de una familia localmente finita de conjuntos cerrados es un conjunto cerrado. Si L es discreta tenemos que L es localmente finita pero además si i 6= j, {i, j} ⊂ I entonces F i ∩ F j = ∅, veamos que el recíproco es cierto, en efecto: si L es localmente finita es sencillo demostrar que también lo será L0 = {F i : i ∈ I}. Sea x ∈ X, si x ∈ / ∪F i tenemos que U = X\ ∪i∈I F i es un entorno de x, si x ∈ ∪i∈I F i existirá un único j ∈ I tal que x ∈ F j y entonces U = X\ ∪i∈I F i es un entorno de x que sólo corta, de la familia L, al elemento F j . Teorema 7.3.16 Sea X un espacio topológico entonces X es normal si y sólo si para cada familia numerable y discreta de cerrados {Fn : n ∈ N} existe una familia numerable de abiertos {A n : n ∈ N} tal que Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j, {i, j} ⊂ N y Fi ⊂ Ai para cada i ∈ N. Apuntes y notas de Topología


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Demostración Supongamos que X es normal, tenemos que B 1 = ∪i≥2 Fi es cerrado y disjunto con F1 así pues existe A1 abierto tal que F1 ⊂ A1 , A1 ∩ B1 = ∅. Tenemos que la familia de cerrados {A1 } ∪ {Fi : i ≥ 2, i ∈ N} es discreta, sea B2 = A1 ∪ (∪i≥3 Fi ), B2 es cerrado y disjunto con F2 por tanto existe un abierto A2 tal que F2 ⊂ A2 y A2 ∩ B2 = ∅. Tenemos que A1 ∩ A2 = ∅ y que la familia de cerrados {A1 , A2 } ∪ {Fi : i ≥ 3, i ∈ N} es discreta. Supongamos que se han obtenido los abiertos A 1 , A2 , . . . , An , tales que F1 ⊂ A1 , . . . , Fn ⊂ An y que S {A1 , . . . , An } ∪ {Fi : i ≥ n + 1, i ∈ N} es discreta, consideremos el cerrado Bn+1 = (A1 ∪ · · · ∪ An ) ∪ ( i≥n+2 Fi ), como Bn+1 es disjunto de Fn+1 existirá un abierto An+1 tal que Fn+1 ⊂ An+1 y An+1 ∩ Bn+1 = ∅ por tanto queda demostrada la existencia de la sucesión (A i )i∈N de abiertos y tal que Fi ⊂ Ai para cada i ∈ N, y si i 6= j, i, j ∈ N entonces A i ∩ Aj = ∅.

Definición 7.3.17 Sea X un espacio topológico y {A i }i∈I un recubrimiento abierto de X. Se dice que otro recubrimiento abierto {Bi }i∈I de X es una contracción de {Ai }i∈I si para cada i ∈ I es B i ⊂ Ai , en esta situación se dirá que {Ai }i∈I tiene contracción. Teorema 7.3.18 Sea X un espacio topológico, entonces X es normal si y sólo si todo recubrimiento abierto y puntualmente finito tiene contracción. Demostración Si todo recubrimiento abierto de X tiene contracción y F 1 , F2 son dos cerrados disjuntos no vacíos entonces {X\F1 , X\F2 } es un recubrimiento abierto de X. Sea {B 1 , B2 } una contracción de {X\F1 , X\F2 } tenemos que B 1 ⊂ X\F1 y B 2 ⊂ X\F2 entonces F1 ⊂ X\B 1 , F2 ⊂ X\B 2 y (X\B 1 ) ∩ (X\B 2 ) = ∅, luego X es normal. Supongamos ahora que X es normal y que {A i }i∈I es un recubrimiento abierto de X. Sea ≤ una relación de buen orden en I, vamos a construir por inducción transfinita una familia {B i }i∈I de abiertos tal que para S S cada i ∈ I se verifique que B i ⊂ Ai y que ( j≤i Bj ) ∪ ( j>i Aj ) = X.

Sea r ∈ I y supongamos que hemos obtenido {B i :Si < r, i ∈ I} S de manera que se verifican las condiciones que deseamos. Comenzaremos por demostrar que iln Ai ), será x ∈ ir Ai )], como Fr es cerrado y está contenido en el abierto A r tenemos que existe un abierto Br tal que Fr ⊂ Br ⊂ B r ⊂ Ar . Es claro que {Bi : i ≤ r, i ∈ I} verifica las condiciones deseadas. Por tanto la existencia de la familia de abiertos {B i }i∈I tal que para cada i ∈ I es B i ⊂ Ai S podemos afirmar S y ( j≤i Bj ) ∪ ( j>i Aj ) = X. Sólo resta probar que {Bi }i∈I es recubrimiento de X. Sea Sx ∈ X y denotamos {l1 , . S . . , ln } = {i ∈ I : x ∈ Ai }, de manera que l1 < · · · < ln , entonces como x ∈ / i>ln Ai , se verifica que x ∈ i≤ln Bi . Definición 7.3.19 Sea X un espacio topológico y f : X → R una aplicación, se define el soporte de f por sop(f ) = {x ∈ X : f (x) 6= 0}.

Sea {fi }i∈I una familia de aplicaciones reales y continuas definidas en X, se dice que {fP i }i∈I es una partición continua de la unidad en X si {sop(fi )}i∈I es una familia localmente finita en X y i∈I fi (x) = 1, para cada x ∈ X. Antonio Aizpuru Tomás

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Si {Ai }i∈I es una familia de subconjuntos de X y {f i }i∈I una familia de aplicaciones de X en R, entonces se dice que {fi }i∈I está subordinada a {Ai }i∈I si para cada i ∈ I es sop(fi ) ⊂ Ai . Observemos que si {fi }i∈I es una familia de aplicaciones reales y continuas definidas en X con {sop(f i ) : i ∈ I} localmente finito entonces para cada x0 ∈ X existe U entorno de x0 tal que {i ∈ I : sop(f P i )∩U 6= ∅} es finito. Si denotamos a este conjunto por {i1 , . . . , in } tenemos que para P cada x ∈ U esP i∈I fi (x) = fi1 (x) + · · · + fin (x), así pues es claro que la aplicación definida en X por ( i∈I fi )(x) = i∈I fi (x) es continua. Teorema 7.3.20 Sea X un espacio topológico entonces X es normal si y sólo si cada recubrimiento abierto y localmente finito tiene subordinada una partición continua de la unidad. Demostración Supongamos que cada recubrimiento abierto y localmente finito tiene subordinada una partición continua de la unidad. Sean F 1 y F2 dos cerrados no vacíos y disjuntos. Entonces {X\F 1 , X\F2 } es un recubrimiento abierto y localmente finito, consideremos la partición continua de la unidad {f 1 , f2 } que este recubrimiento tiene subordinada, y sean A 1 = X\sop(f1 ), A2 = X\sop(f2 ), es claro que A1 y A2 son abiertos y disjuntos y que F1 ⊂ A1 , F2 ⊂ A2 , por tanto el espacio X es normal. Supongamos que X es normal y sea {Ai }i∈I un recubrimiento de X abierto y localmente finito, consideremos una contracción {Bi }i∈I de {Ai }i∈I . Como X es normal, para cada i ∈ I existe un abierto G i tal que Bi ⊂ B i ⊂ Gi ⊂ Gi ⊂ Ai y también existirá una aplicación continua g i : X → [0, 1], tal que gi (B i ) =P {1} y gi = (X\G P i ) = {0}, será sop(gi ) ⊂ Gi ⊂ Ai , es claro que la aplicación definida en X por h(x) = ( i∈I gi )(x) = i∈I gi (x) es continua en X. Para cada x ∈ X existe j ∈ I tal que x ∈ B j y por gi (x) tanto gj (x) = 1 y h(x) ≥ 1, por tanto para cada i ∈ I la aplicación f i : X → R definida por fi (x) = h(x) P es continua y tal que sop(fi ) = sop(gi ) ⊂ Ai y i∈I fi (x) = 1, para cada x ∈ X.


CAPÍTULO 8

Compacidad. Índice del Tema 1

Espacios compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

121

2

La compacidad en espacios métricos y seudométricos . . . . . . . . . . . . . . .

126

3

Numerablemente compactos. Secuencialmente compactos . . . . . . . . . . . .

130

4

Espacios localmente compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

5

La compactificación de Alexandroff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

6

El espacio de Cantor y algunas cuestiones sueltas . . . . . . . . . . . . . . . . .

142

7

Álgebra de Boole y topología . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

1

Espacios compactos

Definición 8.1.1 Sea (X, T ) un espacio topológico. Se dice que (X, T ) es compacto si todo recubrimiento abierto S de X tiene subrecubrimiento finito, es decir, S para cada familia {A i }i∈I de conjuntos abiertos con X = i∈I Ai existe J ⊂ I, J finito, tal que X = i∈J Ai . Sea A ⊂ X, se dice que A es un subconjunto compacto de X si (A, T A ) es compacto, es sencillo comprobar que las siguientes afirmaciones cada familia {A i }i∈I de S son ciertas: 1. A es compacto si y sólo si para S abiertos de X tal que A ⊂ i∈I Ai se verifica que existe J ⊂ I finito tal que A ⊂ i∈J Ai . 2. Si B ⊂ A, entonces B es compacto en (A, TA ) si y sólo si B es compacto en (X, T ). Teorema 8.1.2 (Caracterización de la compacidad por familia de abiertos y por familia de cerrados). Sea X un espacio topológico, entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X S es compacto. 2. Para cada familia de abiertos {A } con la propiedad de que si J ⊂ I es finito entonces i i∈I i∈J Ai 6= X S se verifica que i∈I Ai 6= 3. Para cada familia de cerrados, {F i }i∈I , con la propiedad de que si T X. J ⊂ I es finito entonces F = 6 ∅ (propiedad de intersecciones finitas i∈J i T T no vacías (P.I.F.)) se verifica que Fi 6= ∅. 4. Para cada familia de cerrados, {F i }i∈I , tal que i∈I Fi = ∅ existe J ⊂ I, J finito, tal i∈IT que i∈J Fi = ∅.

122

1. ESPACIOS COMPACTOS

Demostración = X − Fi yTpara cada J ⊂ I finito, S 1 ⇒ 2 Es evidente. S 2 ⇒ 3 Para cada i ∈ I sea A i S 3⇒4 tenemos que i∈J Ai 6= X, así pues i∈I Ai 6= X y por tanto X − i∈I Ai = i∈I Fi 6= ∅. Es evidente. 4 ⇒ 1 SeaS{Ai }i∈I un recubrimiento abierto de X, para cada i ∈TI sea F i = X − Ai , T entonces F = X − ( i∈I Ai ) = ∅ y por tanto existe J ⊂ I, J finito, tal que i∈J Fi = ∅, así pues i i∈I S A = X. i∈J i Teorema 8.1.3 (Caracterización de la compacidad por medio de base de topología). Sea X un espacio topológico, entonces son equivalentes: 1. X es compacto. 2. Existe B = {B i : i ∈ I} S base de abiertos delSespacio X tal que para cada L ⊂ I con X = i∈L Bi se verifica que existe J ⊂ L, J finito, tal que X = i∈J Bi . Demostración 1 ⇒ 2 Es evidente. 2 ⇒ 1 Sea B = S S {B i : i ∈ I} una base de abiertos tal que si L ⊂ I y X = i∈L Bi existe J ⊂ L, J finito, tal que X = i∈J Bi . Sea {Ai }i∈M un recubrimiento abierto de X. Para cada x ∈ XS existe ix ∈ M tal que x ∈ Aix , pero también existe jx ∈ I tal que x ∈ Bjx ⊂ Aix , así pues como X = x∈X Bjx existirá {jx1 , . . . , jxn } tal que X = Bjx , ∪ · · · ∪ Bjxn ⊂ Aix1 ∪ · · · ∪ Aixn Teorema 8.1.4 (Caracterización de la compacidad por filtros y redes). Sea X un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es compacto. 2. Para cada filtro maximal Im en X se verifica que lim J 6= ∅. 3. Para cada base de filtro B en X se verifica que AglB 6= ∅. 4. Para cada red S en X se verifica que AglS 6= ∅. Demostración 1 ⇒ 2 Si J es filtro T maximal tenemos que {B : B ∈ J} es una familia de cerrados con P.I.F., por tanto lim J = AglJ = B∈J B 6= ∅. 2 ⇒ 3 Sea B base de filtro. Consideremos J filtro maximal en X tal que B ⊂ J, entonces AglB ⊃ lim J 6= ∅. 3 ⇒ 4 Sea S una red en X y consideremos la base de filtro B(S), asociada a la red S, entonces Agl(S) = Agl B(S) 6= ∅. 4 ⇒ 3 Si B es base de filtro tenemos que Agl(B) = Agl S(B) donde S(B) es la red asociada a B. 3 ⇒ 1 Sea L = {F i : i ∈ I} una familia de cerrados con P.I.F., sea B la familia de intersecciones T de subfamilias finitas de L, claramente es B una base de filtro, por tanto como Agl B 6= ∅ tenemos que i∈I Fi 6= ∅. Teorema 8.1.5 (Caracterización de Alexander de la compacidad por medio de subbase). Sea X un espacio topológico, entonces son equivalentes: 1. X es compacto. 2. Existe S = {S i : i ∈ L} S subbase de abiertosSdel espacio X tal que para cada I ⊂ L con X = i∈I Si se verifica que existe J ⊂ I finito tal que X = i∈J Si . Demostración 1 ⇒ 2 Es evidente. 2 ⇒ 1 Supongamos que X no es compacto y que, por tanto, existe F, filtro maximal en X, con lim F = ∅, entonces para cada x ∈ X existe i x ∈ L tal que Six ∈ / F, por hipótesis podemos afirmar que existe {x 1 , . . . , xn } ⊂ X tal que X = Six1 ∪ · · · ∪ Sixn , pero para cada i ∈ {1, . . . , n} es Sxi ∈ / F lo que contradice que F sea maximal. En el siguiente teorema resumimos las propiedades más elementales de los compactos. Apuntes y notas de Topología

CAPÍTULO 8. COMPACIDAD.

123

Teorema 8.1.6 Sea X un espacio topológico compacto. Se verifican: 1) Si S = {xd , d ∈ D, ≤} es una red en X y A ⊂ X es abierto con Agl S ⊂ A entonces existe d 0 ∈ D tal que xd ∈ A para cada d ≥ d0 , d ∈ D. 2) Si B es base de filtro y A ⊂ X es abierto con Agl B ⊂ A entonces existe B ∈ B tal que B ⊂ A. 3) Si S es una red en X con Agl S = {x} entonces lim S = {x}. 4) Si B es una base de filtro tal que Agl B = {x} entonces lim B = {x}. 5) Si F ⊂ X es cerrado entonces F es compacto. Si Y es un espacio topológico T 2 y F ⊂ Y es un subconjunto compacto de Y entonces F es cerrado. 6) Si Y es un espacio topológico y {F1 , . . . , Fn } es una familia finita de subconjuntos compactos de Y entonces F1 ∪ · · · ∪ Fn es compacto. Si además Y es T2 y {Fi }i∈I es una familia de subconjuntos T compactos de Y se verifica que i∈I Fi es compacto.

7) Si Y es un espacio topológico y f : X → Y es una aplicación continua entonces f (X) es compacto.

8) Si Y es un espacio topológico T2 y f : X → Y es una aplicación continua entonces f es cerrada. Si f fuese biyectiva entonces f es homomorfismo. Si f es inyectiva entonces f es inmersión. Demostración 1) Para cada d ∈ TD consideremos B d = {xd0 : d0 ≥ d, d0 ∈ D}, supongamos que A ⊂ X es abierto y que AglS = d∈D B d ⊂ A, es claro que {Bd : d ∈ D} tiene la P.I.F. y que {Bd , d ∈ D} ∪ {X − A} no tiene la P.I.F., así pues como X es compacto existe {d 1 , . . . , dn } ⊂ D tal que B d1 ∩ · · · ∩ B dn ∩ (X − A) = ∅, si d0 ∈ D es tal que d0 ≥ di para cada i ∈ {1, . . . , n} tenemos que x d ∈ A para cada d ≥ d0 , d ∈ D. T 2) Sean B base de filtro en X y A ⊂ X abierto tales que AglB = B∈B B ⊂ A. Tenemos que {B : B ∈ B} tiene la P.I.F. y que {B : B ∈ B} ∪ {X − A} no tiene la P.I.F., por tanto existe {B 1 , . . . , Bn } ⊂ B tal que B1 ∩ · · · ∩ Bn ∩ (X − A) = ∅, sea B ∈ B tal que B ⊂ B1 ∩ · · · ∩ Bn entonces B ⊂ A. 3) Si S = {xd , d ∈ D, ≤} y Agl S = {x} entonces para cada entorno abierto U de x será Agl S ⊂ U y por 1) existe d0 ∈ D tal que xd ∈ U para cada d ≥ d0 , d ∈ D. 4) Sea B base de filtro tal que AglB = {x}, entonces si U es entorno abierto de x tenemos que Agl B ⊂ U , por 2) existe B ∈ B tal que B ⊂ U . 5) Si {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de F tenemos que {A i }i∈I ∪ {X − F } es un recubrimientoSabierto de X, por tanto existe J ⊂ I, J finito, tal que {A i }i∈J ∪ {X − F } recubre a X, es claro que F ⊂ i∈J Ai .

Supongamos que Y es un espacio T2 y que F ⊂ Y es un subconjunto compacto de Y . Sea x ∈ Y − F , para cada yS∈ F existen Ux,y entorno abierto de x y Uy , entorno abierto de y, tales que Ux,yT ∩ Uy = ∅, como F ⊂ y∈F Uy existirá {y1 , . . . , yn } ⊂ F tal que F ⊂ Uy1 ∪ · · · ∪ Uyn . Consideremos U = ni=1 Ux,yi , es claro que U ∩ F = ∅ y por tanto x ∈ / F , deducimos que F = F y que F es cerrado. 6) Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de F1 ∪ · · · ∪ Fn , para cada j ∈ {1, . . . , n} como Fj es compacto existe Ij ⊂ I, finito, tal que {Ai }i∈Ij recubre a Fj , es evidente que si J = I1 ∪ · · · ∪ In entonces J es finito y {Ai }i∈J recubre a F1 ∪ · · · ∪ Fn . Antonio Aizpuru Tomás

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1. ESPACIOS COMPACTOS

Supongamos ahora que T Y sea un espacio T 2 y que {Fi }i∈I es una familia de subconjuntos compactos de Y , tenemos que F = i∈I Fi será cerrado y si fijamos j ∈ I será F un subconjunto cerrado del compacto Fj y por tanto F será compacto. 7) Sea {Bi }i∈I un recubrimiento abierto en Y de f (X), S tenemos que {f −1 (Bi )}i∈I será S un recubrimiento −1 abierto de X, por tanto existe J ⊂ I finito tal que X = i∈J f (Bi ), así pues f (X) ⊂ i∈J Bi . 8) Si Y es T2 y f : X → Y es continua tenemos que para cada cerrado B ⊂ X es B compacto, por tanto f (B) es compacto en Y y será pues también cerrado. El siguiente teorema es uno de los que más consecuencias ha aportado a la topología y sobre todo al Análisis Funcional. Teorema 8.1.7 (Teorema de Tychonoff). Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y sea (X, T p ) el correspondiente espacio producto. Entonces (X, Tp ) es compacto si y sólo si (Xi , Ti ) es compacto para cada i ∈ I. Demostración Si (X, Tp ) es compacto es evidente que, para cada i ∈ I, como X i = pi (X) será Xi compacto. Supongamos ahora que (Xi , Ti ) es compacto para cada i ∈ I. Sea J un filtro maximal en X, para cada i ∈ I tenemos que pi (J) es una base de filtro en Xi y porQtanto existe xi ∈ Xi tal que xi ∈ Agl pi (J). Sea x = (xi )i∈I , demostraremos que x ∈ lim J. Sea U = i∈I Ai ∈ Bp tal que x ∈ U , sea J ⊂ I, finito tal que Ai = Xi si i ∈ I\J. Para cada i ∈ J tenemos que p i (U ) = Ai es entorno de xi en Xi , así pues Ai ∩ pi (F ) 6= ∅ para cada F ∈ J y también será p−1 F 6= ∅ para cada F ∈ J, por tanto para cada i (Ai ) ∩T −1 i ∈ J es p−1 (A ) ∈ J y como J es finito también será U = i i∈J pi (Ai ) ∈ J. i Ejemplo 8.1.8 1) Consideremos (R, T u ) y sea [a, b] un intervalo cerrado y acotado, probaremos que [a, b] es compacto. Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de [a, b] y sea M = {x ∈ [a, b] : [a, x] puede ser recubierto por un subrecubrimiento finito de {A i }i∈I }. Tenemos que a ∈ M y que M está acotado superiormente, sea x = sup M , es sencillo comprobar que a < x ≤ b. Si fuese x < b, escogemos i 0 ∈ I tal que x ∈ Ai0 , entonces existe ε > 0, ε ∈ R, tal que a < x − ε < x + ε < b y [x − ε, x + ε] ⊂ A i0 , también existe y ∈ M tal que x − ε < y. Sea J ⊂ I finito tal que {Ai }i∈J recubre a [a, y], tenemos que {Ai }i∈J ∪ {Ai0 } recubre a [a, x + ε] y x + ε ∈ M lo cual es una contradicción. Por tanto x = b y desde aquí es fácil deducir que [a, b] puede ser recubierto por un subrecubrimiento finito de {A i }i∈I . Si A ⊂ R es compacto es claro que será cerrado y tiene que ser acotado ya que de lo contrario existirá una sucesión (x n )n∈N contenida en A tal que lim(|xn |) = +∞ y es claro que entonces será Agl (x n ) = ∅. Consideremos (Rn , Tu ), la topología Tu está inducida, entre otras muchas métricas, por d ∞ . Consideremos A ⊂ Rn , si A es cerrado y acotado existirá p ∈ N tal que A ⊂ [−p, p] × · · · × [−p, p], entonces como A sería un subconjunto cerrado de un espacio compacto y por tanto A sería compacto. Recíprocamente, si A ⊂ R n es compacto entonces sabemos que A sería cerrado, si A no fuese acotado sucedería que para algún j ∈ {1, 2, . . . , n} el conjunto p j (A) no sería acotado en R, esto significa que podemos obtener una sucesión en A de modo que la sucesión de la j-ésima coordenada de sus términos diverge en valor absoluto, es evidente que la aglomeración de esta sucesión sería vacía. Finalmente observemos que para cada n ∈ N se tiene que (R n , Tu ) no es compacto. 2) Consideremos los espacios topológicos (X 1 , T1 ) = (R, Tu ) y (X2 , T2 ) donde X2 = {x, y} y T2 es la topología trivial en X. Sea (X, Tp ) el correspondiente espacio producto. Sean A = {x} × [−1, 1] ∪ Apuntes y notas de Topología


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{y} × (−1, 1), B = {y} × [−1, 1], tenemos que A y B son subconjuntos compactos de (X, T p ) pero A ∩ B = {y} × (−1, 1) no es compacto. 3) En (R, TCF ) cualquier subconjunto es compacto así pues N es compacto pero N no es cerrado. 4) Tenemos que ([0, 1], Tu ) es compacto y (0, 1) no es compacto, así pues la compacidad no es hereditaria. 1 1 , a + ) ∪ (n, +∞) : n ∈ N y n n a ∈ R}, se verifica que A = [2, +∞) es compacto en (R, T ) pero A = R no es compacto. 5) Consideremos en R la topología T generada por la base B = {(a −

6) Para cada n ∈ N tenemos que la esfera S n es un subconjunto compacto de (Rn+1 , Tu ). Para cada n ∈ N el toro T n = S 1 × · · · × S 1 es un espacio compacto. 7) Si (X, T ) es compacto y f : X → R es una aplicación continua entonces f es acotada y alcanza el máximo y el mínimo. En efecto como f (X) es compacto en (R, T u ) tenemos que f (X) es acotado y es cerrado, por tanto el supremo y el ínfimo de f (X) pertenecen a f (X). 8) Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊂ X un subconjunto compacto, entonces si B ⊂ A es infinito se verifica que B d 6= ∅. En efecto, consideremos una sucesión (x n )n∈N ⊂ B tal que xi 6= xj ; si i 6= j, i, j ∈ N. Como A es compacto existe x ∈ Agl(xn ), es evidente que x ∈ B d . En (R, Tu ), si B ⊂ R es infinito y acotado entonces existe n ∈ N tal que B ⊂ [−n, n], por tanto B d 6= ∅. 9) Si X es un espacio topológico T2 o regular y A es un subconjunto compacto de X entonces A es compacto. En efecto, supongamos que X es T 2 entonces A es cerrado y será A = A. Supongamos ahora que X es regular, sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de A, para cada x ∈ A sea i x ∈ I tal que x ∈ Aix y sea Ux abierto tal que x ∈ Ux ⊂ U x ⊂ Aix . Como A es compacto existe {x1 , . . . , xn } ⊂ A tal que A ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn , por tanto A ⊂ U x1 ∪ · · · ∪ U xn ⊂ Aix1 ∪ · · · ∪ Aixn . 10) Sea X = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 0} y sea T la topología obtenida por la base B = {B((x, y), r) : r > 0, (x, y) ∈ X, r < y} ∪ {B((x, 0), r) ∩ (X − R × {0}) ∪ {(x, 0)} : x ∈ R, r ∈ R, r > 0} (entiéndase que la bolas son las de la distancia euclídea). Es sencillo comprobar que (X, T ) es T 2 y IAN. Consideremos A = [−1, 1] × [0, 1]. Toda red en A tiene punto de aglomeración y sin embargo A no es compacto. Teorema 8.1.9 Sea X un espacio topológico y sean K y F dos subconjuntos de X tales que K ∩F = ∅. a) Si X es T2 y los subconjuntos K y F son compactos, entonces existen abiertos A y B tales que K ⊂ A, F ⊂ B y A ∩ B = ∅. b) Si X es compacto y T2 entonces X es normal. c) Si X es T2a y los conjuntos K y F son compactos, entonces existen abiertos A y B tales que K ⊂ A, F ⊂ B y A ∩ B = ∅. d) Si X es regular, K compacto y F cerrado, entonces existen abiertos A y B tales que K ⊂ A, F ⊂ B y A ∩ B = ∅. e) Si X es compacto y regular entonces X es normal. f) Si X es completamente regular, K es compacto y F cerrado, entonces existe una aplicación continua f : X → [0, 1] tal que f (K) = {0} y f (F ) = {1}. Antonio Aizpuru Tomás

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2. LA COMPACIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS Y SEUDOMÉTRICOS

Demostración a) Sea x ∈ K, para cada y ∈ F existen abiertos A x,y , By tales S que Ax,y ∩ By = ∅, x ∈ n ∈ By . Por la compacidad de F existe {y , . . . , y } ⊂ F tal que F ⊂ Ax,y , y T 1 n i=1 Byi , consideremos Sn n Ax = i=1 Ax,yi y Bx = i=1SByi . Tenemos que Ax ∩ BxS = ∅. Por la compacidad de K existe Tm m {x1 , · · · , xm } ⊂ K tal que K ⊂ m A . Consideremos A = A y B = B , se verifica que x x x j j j j=1 j=1 j=1 K ⊂ A, F ⊂ B, A ∩ B = ∅ y que A y B son abiertos. b) Es consecuencia de a). c) Sea x ∈ K. Para cada y ∈ F existen abiertos A x,y y By tales que Snx ∈ Ax,y , y ∈ By y Ax,y Tn∩ B y = ∅. Por laScompacidad de F existe {y1 , . . . , yn } ⊂ F tal que F ⊂ i=1 Byi . Sean Ax = i=1 Ax,yi y Bx =S ni=1 Byi , observemos que AxS ∩ B x = ∅. Por laTcompacidad de K existe {x1 , . . . , xm } ⊂ K tal que m m K ⊂ j=1 Axj . Consideremos A = m j=1 Axj y B = j=1 Bxj , tenemos que A y B son abiertos tales que K ⊂ A, F ⊂ B y A ∩ B = ∅. d) Para cada x ∈ K existe un entornoSabierto, A x de x talSque Ax ⊂ X − F . Por S la compacidad de K existe {x1 , . . . , xn } ⊂ K tal que K ⊂ ni=1 Axi . Sea A = ni=1 Axi y B = X − ni=1 Axi . Tenemos que A y B son abiertos tales que K ⊂ A, F ⊂ B y A ∩ B = ∅. e) Es consecuencia de d). f) Para cada x ∈ K existe una aplicación continua f x : X → [0, 1] tal que fx (x) = 0 y fx (F ) = 1 {1}, consideremos Ax = fx−1 ([0, )), como Ax es abierto por la compacidad de K deducimos que existe 2S {x1 , . . . , xn } ⊂ K tal que K ⊂ ni=1 Axi . Consideremos la aplicación g : X → [0, 1] definida en cada 1 x ∈ X por g(x) = mín{fx1 (x), . . . , fxn (x)}, tenemos que g es continua y que g(K) ⊂ [0, ), g(F ) = {1}. 2 1 Consideremos una aplicación continua h : [0, 1] → [0, 1] tal que h([0, )) = {0} y h(1) = 1. Sea f = h ◦ g 2 es claro que f es continua y que f (K) = {0} y f (F ) = {1}.

2

La compacidad en espacios métricos y seudométricos

Sea (X, d) un espacio seudométrico y sea A ⊂ X. Se dice que A es un conjunto acotado si d(A) = sup{d(x, y) : x, y ∈ A} < ∞, a d(A) se le llama diámetro de A y es sencillo demostrar que d(A) = d(A). Toda bola de (X, d) es un conjunto acotado. Si A es un conjunto acotado y no vacío y a ∈ X se verifica que si α = compacto y a ∈ A tenemos S d(a, x) + d(A) + 1 y x ∈ A entonces A ⊂ B(a, α). Si A ⊂ XSes m que A ⊂ n∈N B(a, n) y por tanto existen {i1 , . . . , im } ⊂ N tal que A ⊂ j=1 B(a, ij ), así pues si p ∈ N y p = máx{i1 , . . . , in } será A ⊂ B(a, p) ⊂ B(a, p) y es claro que A será acotado. Si fuese el propio X compacto podemos deducir que para cada a ∈ X existe p ∈ N tal que X = B(a, p) = B(a, p). La distancia entre dos subconjuntos A y B de X se define por d(A, B) = inf{d(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}. Si A ⊂ X y f : X → R es la aplicación definida en cada x ∈ X por f (x) = d(x, A), entonces f es continua en X ya que, es fácil comprobarlo, para cada x, y ∈ X es |f (x) − f (y)| ≤ d(x, y). Si A ⊂ X es cerrado se verifica que d(x, A) = 0 si y sólo si x ∈ A. Recordemos que si cada sucesión de Cauchy en (X, d) es convergente entonces se dice que (X, d) es completo, en esta situación si F ⊂ X es cerrado también tenemos que (F, d) es completo. Se dice que A ⊂ X es un conjunto totalmente acotado o precompacto si para cada ε > 0, ε ∈ R, existe un Apuntes y notas de Topología


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recubrimiento finito de A con conjuntos de diámetro menor que ε. Si A ⊂ X es un conjunto precompacto y ε > 0, ε ∈ R, existirá un recubrimiento {A 1 , . . . , An } de A tal que para cada i ∈ {1, . . . , n} Snes A i ∩ A 6= ∅ y d(Ai ) < ε, si S escogemos para cada i ∈ {1, . . . , n} a x i ∈ A ∩ Ai , tenemos que A ⊂ i=1 B(xi , 2ε) y por tanto A ⊂ ni=1 B i (xi , 2ε), así pues deducimos que A es también precompacto, en esta situación si consideramos h ∈ R tal que h > máx{d(xi , xj ) + 4ε : i, j ∈ {1 . . . n}, i 6= j} es sencillo comprobar que d(A) < h, por tanto si A es precompacto necesariamente A es acotado. Si X es un conjunto infinito y d es la métrica discreta en X, entonces todo subconjunto de X es acotado pero ningún subconjunto infinito es precompacto. Teorema 8.2.1 Sean (X, d) un espacio métrico y A ⊂ X, entonces son equivalentes: 1) A es compacto. 2) Para cada sucesión (an )n∈N de A se verifica que Agl(an ) 6= ∅. 3) Para cada sucesión (xn )n∈N de A se verifica que Agl(xn ) 6= ∅. Demostración 1 ⇒ 2 Es evidente.

1 , por hipótesis n existe a ∈ Agl(an ). Demostraremos que a ∈ Agl(xn ), sea r > 0 y consideremos B(a; r) y m ∈ N, existe 1 r r n0 ≥ m tal que si n ≥ n0 es < y como a ∈ Agl(an ) existe n ≥ n0 tal que an ∈ B(a; ), entonces si n 2 2 r r n ≥ n0 tenemos que n ≥ m y d(xn , a) ≤ d(xn , an ) + d(an , a) < + = r. 2 2 2 ⇒ 3 Sea (xn )n∈N una sucesión en A, para cada n ∈ N sea a n ∈ A tal que d(an , xn ) ≤

3 ⇒ 1 Primero demostraremos que A es separable. Para cada n ∈ N consideremos el recubrimiento 1 de A : Ln = {B(x, ) : x ∈ A}. Si no existe subrecubrimiento finito de A para L n razonamos de n 1 1 la siguiente forma: Sea x1 ∈ A y sea x2 ∈ A\B(x1 , n1 ), como B(x1 , ) ∪ B(x2 , ) no contiene a A n n 1 1 existe x3 ∈ A\B(x1 , ) ∪ B(x2 , ), de esta forma obtendremos una sucesión (x n )n∈N en A tal que si n n 1 i 6= j, i, j ∈ N es d(xi , xj ) ≥ , pero esto es una contradicción ya que Agl(x n ) = ∅, así pues para cada n 1 1 n ∈ N existe Kn = {xn1 , . . . , xnp } ⊂ A tal que A ∈ B(xn , ) ∪ · · · ∪ B(xnp , ) n n S Sea K = n∈N Kn , es evidente que K es denso en A, así pues A será separable y también Lindelöf. Si {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de A existirá un subrecubrimiento numerable que denotaremos por {An }n∈N , si no existiese para A un subrecubrimiento finito de {A n }n∈N , podremos escoger para cada n ∈ N un xn ∈ A\A1 ∪ · · · ∪ An , sea x ∈ Agl(xn ) y sea j ∈ N tal que x ∈ Aj , entonces existe m > j tal que xm ∈ Aj lo que contradice que xm ∈ A\A1 ∪ · · · ∪ Am . Nota 8.2.2 1. Si X es un espacio topológico y A ⊂ X, se dice que A es relativamente compacto si A es compacto. 2. Sea (X, d) un espacio métrico. Si A ⊂ X es tal que cada B ⊂ A que sea infinito verifica que B d 6= ∅ entonces A es compacto. En efecto, sea (a n )n∈N una sucesión en A, si el recorrido de la sucesión es finito es claro que (an )n∈N tiene punto de aglomeración. Supongamos que el recorrido de la sucesión es infinito y sea a un punto de acumulación de dicho recorrido, como X es un espacio T 1 tendremos que a es también punto de w-acumulación de dicho recorrido pero entonces es claro que a ∈ Agl(a n ). 3. Si (X, d) es un espacio seudométrico entonces son equivalentes: a) (X, d) es compacto. Antonio Aizpuru Tomás

b) Toda

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2. LA COMPACIDAD EN ESPACIOS MÉTRICOS Y SEUDOMÉTRICOS

sucesión en X tiene punto de aglomeración. Si además (X, d) es métrico a y b son equivalentes a Todo subconjunto infinito tiene punto de acumulación.

c)

Teorema 8.2.3 Sea (X, d) un espacio seudométrico. Si A ⊂ X es precompacto entonces A es separable. Sn B(xni , n1 ). Sea Demostración Para cada n ∈ N, sea Ln = {xn1 , . . . , xnjn } ⊂ A tal que A ⊂ ji=1 S 1 L = n∈N Ln , tenemos que L ⊂ A y si x ∈ A y ε > 0 existirá m ∈ N tal que < ε, pero entonces existe m 1 i ∈ {1, . . . , jm } tal que x ∈ B(xmi ; ), así pues xmi ∈ L ∩ B(x, ε), es pues evidente que L es denso en m A.

Teorema 8.2.4 Sean (X, d) un espacio seudométrico y (x n )n∈N una sucesión en X. a) Si (xn )n∈N es de Cauchy entonces el rango de (xn )n∈N es precompacto. b) Si el rango de (xn )n∈N es precompacto entonces existe una subsucesión de (x n )n∈N que es de Cauchy. Demostración a) Dado ε > 0,Sε ∈ R, existe m ∈ N tal que para cada n ≥ m, n ∈ N, es d(x m , xn ) < ε, es evidente que {xn : n ∈ N} ⊂ m i=1 B(xi , ε).

b) Existen un número finito de bolas de radio 12 que recubren a la sucesión, así pues existen M 1 ⊂ N infinito, y B 1 , bola de radio 12 , tales que {xi : i ∈ M1 } ⊂ B 1 . Existen un número finito de bolas de 2

2

radio 13 que recubren a {xi : i ∈ M1 }, así pues existe M2 ⊂ M1 infinito y B 1 , bola de radio 13 , tal que 3 {xi : i ∈ M2 } ⊂ B 1 , así inductivamente determinamos las sucesiones (M j )j∈N , (B 1 )j∈N tales que para 3

j

cada j ∈ M es {xi : i ∈ Mj } ⊂ B 1 , B 1 es bola de radio j

j

1 j

y Mj+1 es subconjunto infinito de Mj .

Escogemos n1 ∈ M1 , sea n2 ∈ M2 tal que n1 < n2 , supuesto que hemos elegido n1 ∈ M1 , . . . , nk ∈ Mk tal que n1 < n2 < · · · < nk elegimos nk+1 ∈ Mk+1 tal que nk < nk+1 . Demostraremos que (xnk ) es de 2 Cauchy. En efecto, sea ε > 0 y sea m ∈ N tal que m < ε, si p, q ≥ m tenemos que {np , nq } ⊂ Mm y por 2 tanto {xnp , xnq } ⊂ B 1 , así pues d(xnp , xnq ) < m < ε. m

Teorema 8.2.5 Sea (X, d) un espacio seudométrico: a) Si A ⊂ X entonces A es compacto si y sólo si A es precompacto y A es completo. b) X es compacto si y sólo si X es precompacto y completo. Demostración a) Si A es compacto es claro que tanto A como A son precompactos. Si (a n )n∈N es una sucesión de Cauchy en A, tenemos por la compacidad de A que existe a ∈ A ∩ Agl(a n ), demostraremos que a ∈ lim(an ). Sea ε > 0, ε ∈ R, existe n0 ∈ N tal que para cada p, q ≥ n0 , p, q ∈ N, es d(xp , xq ) < 2ε . Si n > n0 , n ∈ N, como a ∈ Agl(xn ) existe p ≥ n0 , p ∈ N tal que xp ∈ B(a; 2ε ) entonces d(xn , a) ≤ d(xn , xp ) + d(xp , a) < ε. Recíprocamente supongamos que A es precompacto y que A es completo, también tendremos que A es precompacto y si (xn )n∈N es una sucesión en A, tenemos que el recorrido de la sucesión será precompacto, por tanto existe una subsucesión (x nk )k∈N de (xn )n∈N que será de Cauchy, como A es completo tenemos que (xnk )k∈N es convergente y por tanto Agl(xn ) 6= ∅, así pues A es compacto. b) es consecuencia de a).



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Teorema 8.2.6 (del recubrimiento de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio seudométrico y sea A un subconjunto compacto de X, entonces para cada recubrimiento abierto {Ai }i∈I de A existe ε > 0, ε ∈ R (llamado número de Lebesgue del recubrimiento), tal que para cada a ∈ A existe ia ∈ I con B(a, ε) ⊂ Aia . S Demostración Como A es compacto existe {i 1 , . . . , im } ⊂ I tal que A ⊂ m j=1 Aij . Para cada j ∈ {1, . . . , m} sea fij la aplicación continua definida en cada x ∈ X por f ij (x) = d(x, X − Aij ), tenemos que f = fi1 + · · · + fim es continua y que para cada a ∈ A es f (a) > 0, como f (A) es compacto δ existe δ > 0, δ ∈ R, tal que si a ∈ A entonces f (a) > δ. Sea ε > 0 tal que ε < m . Si a ∈ A existe j ∈ {1, . . . , m} tal que a ∈ Aij , demostraremos que B(a; ε) ⊂ Aij . Sea z ∈ B(a, ε) entonces d d(z, X − Aij ) ≥ d(a, X − Aij ) − d(a, z) > m − ε > 0, así pues z ∈ Aij . Veamos otra demostración. Supongamos que no existe el número ε de Lebesgue para el recubrimiento 1 abierto {Ai }i∈I de A, entonces para cada n ∈ N existe a n ∈ A tal que E(an , ) no está contenido en n ningún abierto del recubrimiento, como A es compacto existe a ∈ Agl(a n ) ∩ A, sea i0 ∈ I tal que a ∈ Ai0 , 1 < 2r , como a ∈ Agl(an ) existe p ≥ m tal entonces existe r > 0 tal que B(a, r) ⊂ A i0 , sea m ∈ N tal que m que ap ∈ B(a, 2r ). Si z ∈ B(ap , 1p ) será d(z, a) ≤ d(z, ap ) + d(ap , a) < 1p + r2 < r, así pues B(ap , 1p ) ⊂ Ai0 lo que es una contradicción.

Teorema 8.2.7 Sean (X, d), (Y, d0 ) dos espacios seudométricos y f : X → Y una aplicación continua. Si (X, d) es compacto entonces f es uniformemente continua. Demostración Sea ε > 0, ε ∈ R. Por la continuidad de f tenemos que {f −1 (B(y, 2ε ))}y∈Y es un recubrimiento abierto de X, consideremos el número, δ > 0, de Lebesgue de ese recubrimiento. Sean x1 , x2 ∈ X tales que d(x1 , x2 ) < δ. Sea y0 ∈ Y tal que B(x1 , δ) ⊂ f −1 (B(y0 , 2ε )) tendremos que {f (x1 ), f (x2 )} ⊂ B(y0 , 2ε ) y por tanto d0 (f (x1 ), f (x2 )) ≤ d0 (f (x1 ), y0 ) + d0 (y0 , f (x2 )) < ε. Otra demostración: Si f no fuese uniformemente continua entonces es que existen ε > 0, ε ∈ R, de modo que para cada n ∈ N existen xn , zn ∈ X tales que d(xn , zn ) < n1 y d0 (f (xn ), f (zn )) > ε. Por la compacidad de X existe M ⊂ N infinito tal que (x i )i∈M tiene en el límite a cierto x0 ∈ X, si consideramos ahora la sucesión (zi )i∈M existirá T ⊂ M infinito tal que (zi )i∈T tiene en el límite a cierto z0 ∈ X. Como f es continua en x0 existe δ > 0 tal que si d(x, x0 ) < δ, entonces d0 (f (x), f (x0 )) < ε, observemos que para cada i ∈ T es 0 ≤ d(x0 , z0 ) ≤ d(x0 , xi ) + d(xi , zi ) + d(zi , z0 ), así pues d(x0 , z0 ) = 0 y d0 (f (x0 ), f (z0 )) ≥ d0 (f (x0 ), f (z0 )) − d0 (f (zi ), f (z0 )) y deducimos por tanto que d0 (f (x0 ), f (z0 )) ≥ ε lo cual es una contradicción.

Nota 8.2.8 1) Sea X un espacio topológico para el cual existe una familia numerable {f n : n ∈ N} de funciones continuas de X en [0, 1] de modo que para cada x ∈ X y cada entorno U de x existen n ∈ N y ε > 0, ε ∈ R, tales que {y ∈ X : |fn (y) − fn (x)|} ⊂ U . Entonces X es seudometrizable y la topología de X puede ser inducida por una seudométrica d tal que (X, d) sea precompacto. En efecto, es fácil comprobar que d(x, y) = supn∈N n1 |fn (x) − fn (y)| es una seudométrica en X, demostraremos que la topología que induce d en X es la topología de X. Consideremos la bola B(x, r) con r ≤ 1, r ∈ R. Sea n ∈ N tal que n1 < r. Sea U = {y ∈ X : |fi (x) − fi (y)| < r si i ∈ {1 . . . n}}, tenemos que U es abierto y x ∈ U ⊂ B(x, r). Consideremos ahora x ∈ X y U un entorno de x, entonces existe n ∈ N y ε > 0, ε ∈ R, tal que V = {y ∈ X : |fn (x) − fn (y)| < ε} ⊂ U , es evidente entonces que B(x, nε ) ⊂ U . Antonio Aizpuru Tomás

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3. NUMERABLEMENTE COMPACTOS. SECUENCIALMENTE COMPACTOS

Demostraremos ahora que (X, d) es precompacto. Sea ε > 0, ε ∈ R y sea n ∈ N tal que n1 < ε. Para cada variación (r1 , . . . , rn ) de {1, . . . , n} consideremos el conjunto A (r1 ,...,rn ) = {x ∈ X : rin−1 ≤ fi (x) ≤ rni para cada i ∈ {1 . . . n}}, es claro que diam (A (r1 ,...,rn ) ) ≤ n1 < ε, además los nn conjuntos de la forma A(r1 ,...,rn ) constituyen un recubrimiento de X. 2) Sea X un espacio regular y IIAN, sabemos que entonces X será seudometrizable y por tanto también normal, demostraremos que la seudométrica d que induce la topología de X pude escogerse de modo que (X, d) sea precompacto. En efecto, sea B una base numerable de abiertos en X, para cada par (U, V ) de elementos de B con U ⊂ V escogemos una función continua f (U,V ) : X → [0, 1] tal que f(U,V ) (U ) = {0} y fU,V ) (X − V ) = {1}. Esta familia de funciones es numerable y ahora demostraremos que está en la situación del apartado anterior. Sea x ∈ X y V ∈ B tal que x ∈ V , como X es regular existe un entorno cerrado C de x tal que C ⊂ V , entonces existe U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ C. Tenemos que U ⊂ V y {y ∈ X : f(U,V ) (x) − f(U,V ) (y)| < 1} ⊂ V .

3

Numerablemente compactos. Secuencialmente compactos

Definición 8.3.1 Sea X un espacio topológico. Se dice que X es numerablemente compacto si para cada sucesión (xn )n∈N de X se verifica que Agl(xn ) 6= ∅. Si toda sucesión de X tiene subsucesión convergente se dice que X es secuencialmente compacto. Teorema 8.3.2 Sea X un espacio topológico, las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. X es numerablemente compacto. 2. Para T cada familia numerable de cerrados {F n }n∈N con intersecciones finitas no vacías (P.I.F) se verifica que n∈N Fn 6= ∅. 3. Para cada familia numerable de abiertos {An }n∈N que recubre a X se verifica que existe subrecubrimiento finito. Tn Demostración 1 ⇒ 2 Para cada n ∈ N, sea T x n ∈ i=1 Fi , sea x ∈ Agl(xn ), para cada n ∈ N tenemos que x ∈ {xi : i ≥ n} ⊂ Fn y por tanto x ∈ n∈N Fn .

2 ⇒ 3 Sea {An }n∈N familia numerable T de abiertos que recubre a X, consideremos para cada T n ∈ N el cerrado FSn = X − An , tenemos que n∈N Fn = ∅ y por tanto existirá M ⊂ N finito tal que i∈M Fi = ∅, así pues i∈M Ai = X.

3 ⇒ 1 Sea (xn )n∈N una sucesión en X, consideremos para cada n ∈ NTa F n = {xi : i ∈ N, i ≥ n} y el abierto An = X − Fn , si M ⊂ NSes finito y m = máx M es claro queT i∈M Fi = Fm 6= ∅ y por tanto S A i∈M i 6= X, por hipótesis será i∈N Ai 6= X y por tanto Agl(xn ) = n∈N Fn 6= ∅. Nota 8.3.3 1. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊂ X. Se dice que A es numerablemente compacto si (A, TA ) es numerablemente compacto. Se dice que A es secuencialmente compacto si (A, T A ) es secuencialmente compacto. Es sencillo comprobar que A S es numerablemente compacto si y sólo si para cada S familia numerable de abiertos {A n }n∈N tal que A ⊂ n∈N An se verifica que existe M ⊂ N finito con A ⊂ i∈M Ai . Es también sencillo comprobar que si B ⊂ A entonces B es numerablemente compacto en (A, TA ) si y sólo si lo es en (X, T ). Un resultado similar se tendría para el caso secuencialmente compacto. 2. Si X es compacto es evidente que X es numerablemente compacto. Si X es secuencialmente compacto también se verifica que X es numerablemente compacto. Si X = [0, 1] y consideramos la topología usual Apuntes y notas de Topología


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tenemos que X es compacto, secuencialmente compacto y numerablemente compacto pero (0, 1) no tiene ninguna de estas propiedades. 3. Si X es numerablemente compacto y Lindelöf es claro que X es compacto. Si X es numerablemente compacto y IAN entonces X es secuencialmente compacto. 4. Sea (X, ≤) un conjunto bien ordenado no numerable tal que a es el primer elemento y b es el último. Sea L = {x ∈ X : [a, x) no es numerable }, sea z el primer elemento de L, consideremos el conjunto [a, z) con la topología del orden. Vamos a demostrar que [a, z) no es Lindelöf y por tanto tampoco puede ser compacto. En efecto, tenemos que {[a, y) : y ∈ X, y < z} es un recubrimiento abierto de [a, z) ya que si y ∈ [a, z) es claro que existe y 0 ∈ X tal que y < y 0
P∞

r=1

6. Si X es compacto, regular y disperso entonces X es secuencialmente compacto. En efecto, sea (x n )n∈N una sucesión en X, tenemos que Agl(x n ) 6= ∅, como Agl(xn ) no es denso en sí mismo existen x ∈ Agl(x n ) y Vx , entorno cerrado de x, tales que Vx ∩ Agl(xn ) = {x}, como x ∈ Agl(xn ) existe una subsucesión (xnj )j∈N de (xn )n∈N tal que (xnj )j∈N ⊂ Vx , tenemos que Agl(xnj )j∈N ⊂ Vx ∩ Agl(xn ) = {x} y como Agl(xnj )j∈N = {x} y X es compacto deducimos que lim x nj = x. 7. Sean (X, T ) un espacio topológico y C un subconjunto cerrado de X. Si X es numerablemente compacto entonces C es numerablemente compacto. En efecto, si (x n )n∈N es un sucesión en C tenemos que Agl(xn ) 6= ∅ para la topología T , pero como C es cerrado se verifica que Agl(x n ) ⊂ C. Antonio Aizpuru Tomás

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Si X es secuencialmente compacto entonces C es secuencialmente compacto. En efecto, si (x n )n∈N es una sucesión en C tenemos que para la topología T se verifica que existe alguna subsucesión (x nk )k∈N de (xn )n∈N con lim(xnk ) 6= ∅, pero como C es cerrado se verifica que lim(x nk ) ⊂ C. En lo que sigue pondremos un ejemplo de un espacio topológico en el que existe un subconjunto que es secuencialmente compacto y que no es cerrado. Sea (X, ≤) un conjunto bien ordenado tal que a es el primer elemento y b es el último, consideremos el conjunto X dotado de la topología del orden. Probaremos que X es compacto. Sea {U i }i∈I un recubrimiento abierto de X, consideremos M = {x ∈ [a, b] : existe J x ⊂ I finito de modo que [a, x] es recubierto por {Ui }i∈Jx }. Tenemos que M 6= ∅ ya que a ∈ M . Sea C = sup M , es claro que a < c. Si es c < b tenemos que existe j ∈ I tal que c ∈ Uj , por tanto S existen x, y ∈ (a, b) con x < y y c ∈ (x, y) ⊂ U j , consideremos k ∈ I tal que y ∈ Uk , será [a, y] ⊂ ( i∈Jx Ui ) ∪ Uj ∪ Uk pero esto significa que y ∈ M lo cual contradice que c sea el supremo de M . Con un razonamiento muy parecido se prueba que c ∈ M y por tanto deducimos que [a, b] es compacto. Si X es no numerable y z es el primero del conjunto L = {x ∈ X : [a, x) no es numerable }, entonces tenemos que [a, z] es compacto y antes se demostró que [a, z) es secuencialmente compacto y por tanto numerablemente compacto, pero observemos que [a, z) no es subconjunto cerrado de [a, z]. 8. Sea (X, T ) un espacio topológico T 2 y IAN, sea A ⊂ X. Si A es numerablemente compacto entonces A es cerrado, en efecto, si a ∈ A tenemos que existe una sucesión (a n )n∈N en A tal que limn an = a, por tanto Agl(an ) = a y como A es numerablemente compacto será a ∈ A. Si A fuese secuencialmente compacto también tendríamos que A sería cerrado. 9. Sea (X, T ) un espacio topológico regular y IAN. Si A ⊂ X es numerablemente compacto demostraremos que A es también numerablemente compacto. En efecto, bastará con demostrar que si (x n )n∈N es una sucesión en A − A entonces Agl(xn ) ∩ A 6= ∅. Para cada n ∈ N existe una sucesión (z kn )k∈N de A tal que xn ∈ limk zkn y como A es numerablemente compacto existe t n ∈ Aglk∈N (zkn ) ∩ A. Veamos que cada entorno de tn contiene también a xn . Sea U entorno de tn , si xn ∈ / U , como X es regular, existe un entorno V de tn tal que tn ∈ V ⊂ V ⊂ U , por tanto X − V es un entorno de x n y existirá k0 ∈ N tal que para cada k ≥ k0 es zkn ∈ X − V , pero esto contradice que tn ∈ Aglk∈N (zkn ). Consideremos ahora la sucesión (tn )n∈N , como A es numerablemente compacto y X es IAN, existirá cierta subsucesión (tnp )p∈N tal que para algún t ∈ A sea t ∈ limp (tnp ), si V es un entorno de t tenemos que existe p0 ∈ N tal que para cada p ≥ p0 será tnp ∈ V pero entonces será xnp ∈ V y esto prueba que t ∈ Agl(xn ). 10. Sea (X, T ) un espacio topológico y {A i }i∈I una familia de S subconjuntos de X. Si para cada i ∈ I es Ai numerablemente compacto y I es finito entonces A = i∈I Ai es numerablemente compacto, un resultado análogo se tendría para el caso secuencialmente compacto. Si X es T 2 y IAN y para cada i ∈ I T es Ai numerablemente compacto entonces A = i∈I Ai es numerablemente compacto. En efecto, para cada i ∈ I será Ai cerrado y por tanto A será cerrado, si i 0 ∈ I tendremos que A es cerrado en Ai0 que es numerablemente compacto por tanto A es numerablemente compacto en A i0 y también lo será en X. Un resultado análogo y con demostración parecida tendríamos en el caso secuencialmente compacto. 11. Sea (X, T ) un espacio topológico, se dice que X es Bolzano-Weierstrass (B-W) si todo subconjunto infinito de X tiene punto de acumulación. Se dice que A ⊂ X es B-W si (A, T A ) es B-W. Si X es B-W y C ⊂ X es cerrado entonces C es B-W. Si X es numerablemente compacto entonces X es B-W. Si consideramos R y T = {(a, +∞) : a ∈ R} ∪ {[a, +∞) : a ∈ R} ∪ {∅, R}, tenemos que (R, T ) es T D , no es T1 , es B-W y no es numerablemente compacto.



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Si X es B-W y T1 entonces X es numerablemente compacto. En efecto, si (x n )n∈N es una sucesión en X de puntos distintos dos a dos, tenemos que existe x ∈ X que es punto de acumulación de su recorrido y por tanto como X es T1 , será de w-acumulación, es claro que x ∈ Agl(x n ). 12. Sea (X, d) un espacio seudométrico y A ⊂ X. En su momento se demostró que las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) A es compacto. b) A es numerablemente compacto. c) A es secuencialmente compacto. Si además X es métrico las anteriores son equivalentes a d) A es B-W. Así pues también son equivalentes las afirmaciones: a) X es compacto. b) X es numerablemente compacto. c) X es secuencialmente compacto. Si además X es métrico las anteriores son equivalentes a d) X es B-W. 13. Sean X, Y dos espacios topológicos, f : X → Y una aplicación continua y A ⊂ X. Si A es numerablemente compacto entonces f (A) es numerablemente compacto. En efecto, si {V n }n∈N es un recubrimiento abierto de f (A) entonces {f −1 (Vn )}n∈N es recubrimiento abierto S de A y por tanto existe M ⊂ N finito tal que {f −1 (Vi )}i∈M recubre a A pero entonces será f (A) ⊂ i∈M Vi .

Si A es secuencialmente compacto entonces f (A) es secuencialmente compacto. En efecto, si (y n )n∈N es una sucesión de f (A) tal que para cada n ∈ N es y n = f (xn ), con xn ∈ A, entonces (xn ) es una sucesión en A por lo que existirán cierta subsucesión (x nk )k∈N y a ∈ A tales que a ∈ limk (xnk ), por la continuidad de f tenemos que f (a) ∈ lim k (ynk ). Si X es numerablemente compacto, Y es T 2 y IAN y f : X → Y es biyectiva y continua entonces f es homeomorfismo. En efecto, veamos que f es cerrada, sea A ⊂ X cerrado, entonces A es numerablemente compacto y por tanto f (A) es numerablemente compacto y como Y es T 2 y IAN será f (A) cerrado. 14. Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y sea (X, T p ) el correspondiente espacio producto. Si (X, Tp ) es secuencialmente compacto (respectivamente numerablemente compacto) entonces (X i , Ti ) es secuencialmente compacto (respectivamente numerablemente compacto) para cada i ∈ I. Si tenemos una familia numerable {(X i , Ti )}i∈N , de espacios secuencialmente compactos demostraremos que el correspondiente espacio producto (X, T p ) es también secuencialmente compacto. Sea (xn )n∈N una sucesión en X donde para cada n ∈ N es x n = (xni )i∈N , tenemos que (xn1 )n∈N es una sucesión en X1 , y como X1 es secuencialmente compacto existen M 1 ⊂ N infinito y z1 ∈ X1 tales que z1 ∈ limn∈M1 (xn1 ). Para (xn2 )n∈M1 existen M2 ⊂ M infinito y z2 ∈ X2 tales que z2 ∈ limn∈M2 (xn2 ). Así, por inducción, para cada j ∈ N quedan determinadas M j ⊂ N y zj ∈ Xj . Sea z = (zj )j∈N ∈ N y consideremos la subsucesión (xmi )i∈N de (xn )n∈N donde m1 = primer elemento de M1 y mi = primer elemento de {k ∈ Mi : k > mi−1 } si i > 1, i ∈ N. Demostraremos que (xmi )i∈N converge a z, para esto n i demostraremos que si j ∈ N entonces (x m j )i∈N converge a zj . En efecto, tenemos que zj ∈ limn∈Mj (xj ) mi m pero si i ≥ j es mi ∈ Mi ⊂ Mj , por tanto (xj )i∈N es subsucesión de (xnj )n∈Mj así que zj ∈ limi∈N (xj i ). 15. Si (X, T ) es un espacio topológico T 1 entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) (X, T ) es numerablemente compacto. b) Cada A ⊂ X que sea cerrado y numerable es compacto. c) Si A ⊂ X es cerrado y TA es la topología discreta se verifica que A es finito. a ⇒ b Sea A = {xn : n ∈ N} subconjunto cerrado y numerable de (X, T ), sea {B i }i∈I recubrimiento abierto de A, como A es numerable existe J ⊂ I tal que J es numerable y {B i }i∈J recubre a A, pero como A es cerrado tenemos que A es numerablemente compacto y por tanto existe H ⊂ J finito tal que {B i }i∈H recubre a A.


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b ⇒ c Sea A cerrado tal que TA es la topología discreta, supongamos que A es infinito entonces si B ⊂ A es infinito y numerable tendremos que B es cerrado en (A, T A ) que es numerablemente compacto y por tanto B será compacto en (A, TA ) lo que no es posible ya que (A, TA ) es discreto y B no es finito. c ⇒ a Sea (xn )n∈N una sucesión de elementos de X distintos dos a dos y supongamos que Agl(x n ) = ∅. Denotemos A = {xn : n ∈ N}, demostraremos que A es cerrado. En efecto, si x ∈ A\A como X es T 1 tendremos que x será un punto de w-acumulación de A y por tanto un punto de aglomeración de (x n )n∈N . Veamos que la topología TA es discreta. En efecto, si TA no fuese discreta existiría x ∈ A tal que {x} ∈ / TA y por tanto tendríamos de nuevo que x tendría que ser punto de w-acumulación de A. Deducimos pues que A es cerrado y TA es discreto por tanto A será finito, lo que es falso. 16. Consideremos el conjunto [a, z] del apartado 4., para cada x ∈ (a, z) sea b x = {(t, x] : t < x} y sean ba = {{a}}, bz = {Ax : x ∈ [a, z)}, donde Ax = {t ∈ [x, z]: existe t0 < t con (t0 , t) = ∅} ∪ {z}. Se puede comprobar que se dan las condiciones para que exista una única topología T en [a, z] de manera que para cada x ∈ [a, z] es bx una base de entornos abiertos de x en ([a, z], T ) es sencillo comprobar que ([a, z], T ) es T2 y ahora demostraremos que también es numerablemente compacto. Sea (y n )n∈N una sucesión de elementos distintos dos a dos contenidos en [a, z). Consideremos A = {x ∈ [a, z) : [a, x] contiene infinitos elementos de (xn )n∈N }, como para cada n ∈ N es [a, xn ] numerable y [a, z) no es numerable es seguro que existe x ∈ [a, z) tal que xn ≤ x para cada n ∈ N, así pues será x ∈ A y A es pues no vacío. Sea x 0 el primer elemento de A es claro que x0 ∈ Agl(xn ). Veamos ahora que ([a, z], T ) no es regular. En efecto, sea x ∈ (a, z) y consideremos el entorno abierto A x de z, demostraremos que Ax no contiene la adherencia de ningún entorno de z. Sea U entorno de z tal que U ⊂ Ax entonces existirá y ∈ [a, z) tal que A y ⊂ U y por tanto Ay ⊂ Ax . Sea t ∈ [a, z) tal que y ≤ t y x ≤ t. Es sencillo, por inducción, determinar una sucesión (x n )n∈N tal que (t, x1 ) = ∅ y para cada n ∈ N sea t < xn < xn+1 con (xn , xn+1 ) = ∅, así pues será (xn )n∈N ⊂ Ay . Sea t0 = sup{xn : n ∈ N}, tenemos que t0 ∈ (t, z) y no existe t0 < t0 tal que (t0 , t) = ∅, pero para cada t0 < t se tiene que existe n0 ∈ N con xn0 ∈ (t0 , t] y esto prueba que t0 ∈ {xn : n ∈ N} ⊂ Ay ⊂ Ax y esto es absurdo ya que t0 ∈ / Ax . 17. Si X es un espacio topológico numerablemente compacto, T 2 y IAN entonces X es regular. En efecto, sea x ∈ X y sea bx = {Un : n ∈ N} base numerable de entornos de T x tal que para cada n ∈ N es Un+1 ⊂ Un . Sea U un entorno de x, ya que X es T2 , tenemos que n∈N U n = {x} y por tanto {U } ∪ {X S − U n : n ∈ N} es un recubrimiento abierto de X, así pues existe J ⊂ N finito tal que X = U ∪ [ i∈J (X − U i )], si j0 = máx{i ∈ N : i ∈ J} deducimos que X = U ∪ (X − U j0 ) y por tanto U j0 ⊂ U . 18. Dentro de la clase de los espacios numerablemente compactos tenemos las siguientes caracterizaciones de la seudometrizabilidad y la metrizabilidad. Sea X un espacio numerablemente compacto, entonces: a) X es seudometrizable si y sólo si X es regular y IIAN. b) X es metrizable si y sólo si X es T3 y IIAN. 19. Vamos a demostrar que el producto de un espacio compacto por un espacio numerablemente compacto es numerablemente compacto, previamente necesitaremos demostrar algunas cuestiones que son importantes por sí solas. a) Sean (X, T ), (Y, T 0 ) dos espacios topológicos y (X × Y, T p ) el correspondiente espacio producto, sean A ⊂ X compacto, B ⊂ Y compacto y U abierto en (X × Y, T p ) tales que A × B ⊂ U , entonces existen U1 ∈ T, U2 ∈ T 0 tales que A ⊂ U1 , B ⊂ U2 y U1 × U2 ⊂ U . En efecto, sea y ∈ B, para cada x ∈ A Apuntes y notas de Topología


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tenemos que (x, y) ∈ A × B ⊂ U , así pues existen V yx entorno abierto de x y Wxy entorno abierto de y tales y x} x1 xn que Vyx × WT x ⊂ U , como {Vy S x∈A recubre A, existirán x1 , . . . , xn ∈ A tales que A ⊂ Vy ∪ · · · ∪ Vy , y n n sean W y = i=1 Wxi y Vy = i=1 Vyxi , tenemos que Vy × W y ⊂ U y A ⊂ Vy , pero como {W y }y∈B es un recubrimiento abierto deTB existen y ! , . . . , ym ∈ B tales que B = W y1 ∪ · · · ∪ W ym . Consideremos Sm y U2 = i=1 W i y U1 = m i=1 Vyi es claro que U 1 y U2 son abiertos. Además A ⊂ U1 , B ⊂ U2 y U1 × U 2 ⊂ U . b) Si X es compacto e Y un espacio topológico entonces la proyección p : X × Y → Y es una aplicación cerrada. En efecto, sea F ⊂ X × Y un conjunto cerrado y sea y ∈ Y − p(F ), tenemos que X × {y} es un compacto contenido en X × Y − F , así pues existe V entorno abierto de y tal que X × V ⊂ X × Y − F es evidente que y ∈ V ⊂ Y − p(F ) y deducimos que Y − p(F ) es abierto y por tanto p(F ) es cerrado. c) Si X es compacto e Y numerablemente compacto entonces X × Y es numerablemente compacto. En efecto, consideremos la proyección p : X × Y → Y que será una aplicación cerrada. Sea ((x n , yn ))n∈N una sucesión en X × Y y para cada m ∈ N sea B m = {(xi , yi ) : i ≥ m, i ∈ N}. Sea y0 ∈ Agli∈N (yi ), entonces es claro que para cada m ∈ N es y 0 ∈ p(Bm ), pero como p es cerrada será y0 ∈ p(B m ) y por tanto (X × {y0 }) ∩ B m 6= ∅ para cada m ∈ N. Observemos que X × {y 0 } es compacto y que L = {(X × {y0 }) ∩ B m : m ∈ N} es una familia de cerrados con la P.I.F. en el conjunto X × {y 0 }, así pues existe x0 ∈ X tal que (x0 , y0 ) ∈ ∩B m , m ∈ N y por tanto (x0 , y0 ) ∈ Agln∈N ((xn , yn )). 20. Se dice que un espacio topológico (X, T ) es seudocompacto o Weierstrass (W.) si se verifica que toda función continua de (X, T ) en (R, Tu ) está acotada. Para un espacio topológico (X, T ) las siguientes afirmaciones son equivalentes: a) X es W. b) Cada función continua de X en R alcanza su supremo. c) Cada función continua de X en R alcanza su ínfimo. En efecto, la equivalencia entre b) y c) es evidente y entonces también es claro que b ⇒ a, probaremos de a ⇒ b. Sea f : X → R continua, tenemos que f será acotada y sea α = sup{f (x) : x ∈ X}. Si f no alcanza el supremo tenemos que también es continua la aplicación g : X → R definida en cada x ∈ X por g(x) = α−f1 (x) , es fácil probar que g no es acotada lo que es absurdo. Consideremos en N la familia de subconjuntos B = {{2n − 1, 2n} : n ∈ N}, B es base de abiertos de una topología T en N y se verifica que (N, T ) es B-W. Consideremos f : (N, T ) → (R, T u ) definida para cada n ∈ N por f (2n) = f (2n − 1) = n es sencillo comprobar que f es continua y no acotada, así pues (N, T ) no es W. Sean (X, T ) un espacio topológico y A ⊂ X, se dice que A es Weierstrass si (A, T A ) es W. Si ahora (Y, T 0 ) es un espacio topológico, f : X → Y una aplicación continua y A ⊂ X un subconjunto Weierstrass entonces f (A) es W. En efecto, si h es una aplicación continua de (f (A), T f0 (A) ) en (R, Tu ) tenemos que h ◦ fA es continua, por tanto h ◦ fA es acotada y deducimos que h será acotada. 21. Consideremos el espacio topológico (R, T CN ) que será W. ya que para toda aplicación continua f : (R, TCN ) → (R, Tu ) se verifica que f es constante. Tenemos que la acumulación de N en (R, T CN ) es vacía, así pues (R, TCN ) no es B-W y por tanto tampoco es numerablemente compacto. Observemos además que (N, TCN N ) es discreto y como consecuencia no será Weierstrass, así pues la propiedad Weierstrass no se hereda a cerrados. Demostraremos ahora que si X es numerablemente compacto entonces X es W. En efecto, sea f una aplicación continua de (X, T ) en (R, T u ) y supongamos que, por ejemplo, f no está acotada superiormente. Entonces existe una sucesión (xn )n∈N en X tal que (f (xn )) es estrictamente creciente y no acotada. Sea a ∈ Agl(xn ), como f es continua, tenemos que f (a) ∈ Agl(f (x n )) pero esto no es posible. Antonio Aizpuru Tomás

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4. ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOS

Si el espacio (X, T ) es T4 y W. entonces se verifica que (X, T ) es numerablemente compacto. En efecto, si (X, T ) no es numerablemente es que existe una sucesión (x n )n∈N , de elementos distintos dos a dos, en X tal que Agl(xn ) = ∅, pero esto implica que A = {xn : n ∈ N} es un subconjunto cerrado de X tal que (A, TA ) es discreto. Entonces tenemos que es continua la aplicación f : A → R definida en cada x n ∈ A por f (xn ) = n. Si ahora consideramos la extensión continua f : X → R tal que f A = f tenemos que f es continua y no es acotada, así pues X no es W. Como consecuencia evidente de lo anterior tenemos que en un espacio métrico son equivalentes las propiedades compacto, numerablemente compacto, secuencialmente compacto, B-W y W. Finalmente resaltamos que el producto de dos espacios W. no es necesariamente un espacio W., pero sí se verifica que el producto de un espacio compacto con un espacio W. es W. 22. Respecto a los modelos de espacios aquí estudiados están abiertos interesantes problemas como las siguientes: ¿Cada producto de espacios secuencialmente compactos es un espacio numerablemente compacto? ¿Existe un espacio separable, IAN, T 2 , no normal y numerablemente compacto? ¿Existe un espacio separable, IAN, T2 , no compacto y numerablemente compacto?

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Espacios localmente compactos

Definición 8.4.1 Se dice que un espacio topológico (X, T ) es localmente compacto si para cada x ∈ X existe bx base de entornos de X tal que cada U ∈ b x es compacto. Se dice que A ⊂ X es un subconjunto localmente compacto si (A, TA ) es localmente compacto.

Nota 8.4.2 1. (Rn , Tu ) es localmente compacto pero no es compacto. 2. Q no es un subconjunto localmente compacto de R: sea q ∈ Q y sea U ⊂ Q un entorno de q, existen a, b ∈ R, a < b, tales que q ∈ (a, b) ∩ Q ⊂ U , si U fuese compacto en Q tendríamos que U sería compacto en R y por tanto U sería cerrado en R, pero esto no es posible ya que si x es irracional y x ∈ (a, b) tenemos que x ∈ U d pero x ∈ / U . Queda pues probado que la compacidad local no es una propiedad hereditaria. 3. Consideremos X = Q ∪ {e} y T = TuQ ∪ {X}, tenemos que (X, T ) es un espacio topológico compacto. Si q ∈ Q y U ⊂ Q es entorno de a, razonando como en 2, comprobaremos que U no puede ser compacto y por tanto el espacio (X, T ) no es localmente compacto. 4. Si X es un conjunto infinito entonces el espacio discreto (X, T D ) es localmente compacto pero no es compacto. Teorema 8.4.3 Sea (X, T ) un espacio localmente compacto y sea A ⊂ X. a) Si A es abierto se verifica que A es localmente compacto. b) Si A es cerrado se verifica que A es localmente compacto. Demostración a) Sea x ∈ A y sea U entorno de x en (A, T A ), entonces también será U entorno de x en (X, T ) y por tanto existe un entorno W de x que es compacto en (X, T ) y tal que W ⊂ U , es claro que W es también compacto y entorno de x en (A, T A ). Apuntes y notas de Topología


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b) Sea x ∈ A y sea U entorno de x en (A, TA ), existe pues V entorno de x en (X, T ) tal que U = V ∩ A, por hipótesis existe W entorno de x en (X, T ) que es compacto y tal que W ⊂ V , entonces W ∩ A es entorno de x en (A, TA ) y W ∩ A ⊂ U y demostraremos que W ∩ A es compacto en (A, T A ). Si {Ai }i∈I es un recubrimiento abierto de W ∩ A tenemos que {A i }i∈I ∪ {X − A} es un recubrimiento de W , por tanto existe J ⊂ I finito tal que {Ai }i∈J ∪ {X − A} recubre a W , así pues {Ai }i∈J recubre a W ∩ A.

Teorema 8.4.4 Sea (X, T ) un espacio topológico T 2 o regular, entonces son equivalentes: a- (X, T ) es localmente compacto, b- Para cada x ∈ X existe U entorno de x que es compacto, c- Para cada x ∈ X existe U entorno abierto de x tal que U es compacto. Demostración En cualquier caso es claro que a ⇒ b ⇒ c, demostraremos que si X es T 2 entonces c ⇒ a. En efecto, sea x ∈ X y sea U entorno abierto de x tal que U es compacto. Sea V entorno de x, tenemos que V ∩ U es entorno de x en (U , TU ) que es compacto y T2 , por tanto regular, existe pues W entorno cerrado de x en (U , TU ) tal que W ⊂ V ∩ U , es claro que W será compacto en (U , TU ) y por tanto también es compacto en (X, T ) y como U es entorno de x es sencillo entender que W es también entorno de x en (X, T ). Ahora demostraremos que si X es regular también se tiene que c ⇒ a. Sea x ∈ X y U entorno abierto de x tal que U es compacto. sea V entorno de x, como U ∩ V es entorno de x y X es regular existe W entorno de x tal que W ⊂ V ∩ U ⊂ U , como W es subconjunto cerrado del compacto U tenemos que W es compacto.

Nota 8.4.5 Del teorema anterior se deduce que si X es compacto y además es T 2 o regular entonces X es localmente compacto. Teorema 8.4.6 Sea (X, T ) un espacio topológico T 2 . Entonces la intersección finita de subconjuntos localmente compactos es localmente compacto. Demostración Sean A y B dos subconjuntos localmente compactos de X, sea x ∈ A∩B y U un entorno de x en (A ∩ B, TA∩B ), tenemos que existirán U1 entorno de x en (A, TA ) y U2 entorno de x en (A, TB ) tales que U = U1 ∩ A ∩ B y U = U2 ∩ A ∩ B. Por hipótesis existe V1 entorno compacto de x en (A, TA ) con V1 ⊂ U1 y existe V2 entorno compacto de x en (B, TB ) con V2 ⊂ U2 . Como X es T2 tenemos que V1 ∩ V2 es compacto y V1 ∩ V2 = (V1 ∩ A ∩ B) ∩ (V2 ∩ A ∩ B), así pues V1 ∩ V2 es entorno de x en (A ∩ B, TA∩B ) y es claro que V1 ∩ V2 ⊂ U .

Teorema 8.4.7 Sea (X, T ) un espacio T 2 . Si A ⊂ X es localmente compacto entonces A es intersección de un abierto y un cerrado. Demostración Tenemos que A = A ∩ [A ∪ (X − A)]. Demostraremos que si A es localmente compacto entonces B = A ∪ (X − A) es abierto. Sea x ∈ B, si fuese x ∈ X − A es claro que x es un punto interior de B y si x ∈ A existe U , entorno de x, tal que U ∩ A es compacto y como X es T 2 será U ∩ A cerrado. Antonio Aizpuru Tomás

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4. ESPACIOS LOCALMENTE COMPACTOS

Consideremos G ∈ T tal que x ∈ G ⊂ U , vamos a demostrar que G ⊂ B. Si t ∈ G y t ∈ / A se verifica que t∈ / U ∩ A y V = G ∩ [X − (U ∩ A)] es entorno abierto de t, tenemos que V ∩ A = G ∩ [X − (U ∩ A)] ∩ A ⊂ U ∩ [X − (U ∩ A)] ∩ A = ∅ y deducimos que t ∈ / A, por tanto t ∈ X − A ⊂ B. Nota 8.4.8 Sea el espacio topológico (Q, T u ) y consideremos el espacio topológico discreto (Q, T D ). Sea la aplicación identidad I : (Q, TD ) → (Q, Tu ) tenemos que I es continua y sobreyectiva, (Q, T D ) es localmente compacto y (Q, Tu ) no lo es. Así pues, en general, la imagen por una aplicación continua de un espacio localmente compacto no es necesariamente localmente compacto. Teorema 8.4.9 Sean (X, T ) un espacio localmente compacto, (Y, T 0 ) un espacio topológico y f : (X, T ) → (Y, T 0 ) una aplicación continua abierta y sobreyectiva. Entonces (Y, T 0 ) es localmente compacto. Demostración Sean y ∈ Y y V un entorno de y, consideremos x ∈ X tal que f (x) = y, tenemos que f −1 (V ) es entorno de x y por tanto existe U entorno compacto de x tal que x ∈ U ⊂ f −1 (V ), como f es abierta, tenemos que f (U ) es entorno de y = f (x) y como f es continua se verifica que f (U ) es compacto, es evidente que f (U ) ⊂ V . Teorema 8.4.10 (de Baire) Si (X, T ) es localmente compacto y además es T 2 o regular entonces (X, T ) es de Baire. Demostración Sean {An }n∈N una familia numerable de abiertos densos en X y A un abierto, demostraremos que (∩n∈N An ) ∩ A 6= ∅. Sea B1 = A, tenemos que B1 ∩ A1 es abierto y no vacío, haciendo uso de la compacidad local junto con la hipótesis de regularidad o bien de T 2 , deducimos que existe un abierto no vacío B 2 tal que B2 es compacto y B2 ⊂ B1 ∩ A1 . Tenemos que B2 ∩ A2 es abierto no vacío y por tanto también existe un abierto no vacío B3 tal que B3 es compacto y B3 ⊂ B2 ∩ A2 . Supuesto que tenemos Bn abierto no vacío tal que Bn es compacto y Bn ⊂ Bn−1 ∩ An−1 tendremos que Bn ∩ An es abierto no vacío y de nuevo deducimos que existe un abierto Bn+1 tal que Bn+1 es compacto y Bn+1 ⊂ Bn ∩ An . Inductivamente queda probado que existe una sucesión de abiertos no vacíos (B n )n∈N tal que B1 = A y para cada n ∈ N es Bn+1 compacto tal que Bn+1 ⊂ Bn ∩ An . de la compacidad de B2 y de que B2 ⊃ · · · ⊃ Bn+1 ⊃ Bn+2 ⊃ . . . deducimos que ∅ 6= ∩n∈N Bn+1 ⊂ ∩n∈N (Bn ∩ An ) = (∩n∈N Bn ) ∩ (∩n∈N An ) ⊂ A ∩ (∩n∈N An ). Teorema 8.4.11 Sean {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacio topológicos y (X, T p ) el correspondiente espacio producto. Entonces (X, Tp ) es localmente compacto si y sólo si (X i , Ti ) es localmente compacto para cada i ∈ I y existe J ⊂ I finito tal que (X i , Ti ) es compacto para cada i ∈ I − J. Demostración Si (X, Tp ) es localmente compacto es evidente que para cada i ∈ I es (X i , Ti ) localmente compacto. Si x ∈ X tenemos que existe V entorno compacto de x, como existe J ⊂ I finito tal que Pi (V ) = Xi para cada i ∈ I − J, tenemos que Xi es compacto si i ∈ I − J. Apuntes y notas de Topología


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Supongamos ahora que para cada i ∈ I es (X i , Ti ) localmente compacto y que existe J ⊂ I finito tal que si i ∈ I − J es (Xi , Ti ) compacto. Sea x = (xi )i∈I ∈ X y sea U entorno de x, tenemos que existe F ⊂ I finito tal que si i ∈ I − F es Pi (U ) = Xi . Para cada i ∈ I − F ∪ J sea Ai = Xi y si i ∈ F ∪ J sea Ai un entorno compacto de xi en (Xi , Ti ), es claro que A = ui∈I Ai es entorno compacto de x en (X, Tp ) y que A ⊂ U. Teorema 8.4.12 Sea (X, T ) un espacio topológico. Se verifica: a) Si X es localmente compacto y T2 entonces X es regular. b) Si X es localmente compacto y regular entonces X es completamente regular. c) Si X es localmente compacto y T2 entonces X es T3a . Demostración a) Si x ∈ X y U es entorno de x tenemos que existe V entorno compacto de x tal que V ⊂ U pero como X es T2 tenemos que V será cerrado. b) Sean A ⊂ X un subconjunto cerrado y x ∈ X − A, tenemos que existe un entorno abierto U de x tal que U es compacto y U ⊂ X − A, como X es regular también existe V entorno de x tal que V ⊂ U , consideremos el espacio (U , TU ) que será normal y en este espacio V y U − U son cerrados disjuntos, así pues existe f : U → [0, 1] continua tal que f (U − U ) = {1} y f (V ) = {0}. Definimos g : X → [0, 1] por g(x) = f (x) si x ∈ U y g(x) = 1 si x ∈ / U , es claro que g es continua, g(x) = 0 y g(A) = {1}. El último apartado es consecuencia de los dos primeros.

Nota 8.4.13 Sea (X, ≤) un conjunto bien ordenado no numerable y tal que a ∈ X es el primer elemento y b ∈ X el último. Sea L = {x ∈ X : [a, x) no es numerable} y sea z el primer elemento de L, consideremos el conjunto [a, z] con la topología T del orden, tenemos que [a, z] es compacto y [a, z) es localmente compacto, así pues se verifica que el correspondiente espacio producto ([a, z] × [a, z), T p ) es localmente compacto y es fácil observar que también es numerablemente compacto, demostremos ahora que este espacio no es normal. En efecto, consideremos los cerrados B 1 = {z} × [a, z) y B2 = {(x, x) : x ∈ [a, z)}, sean A1 y A2 abiertos tales que B1 ⊂ A1 y B2 ⊂ A2 . Para cada x ∈ [a, z) como (z, x) ∈ B1 ⊂ A1 existirá cierto entorno abierto (ax , z] × Ux ⊂ A1 y existirá bx ∈ (ax , z) tal que x < bx . Consideremos la aplicación f : [a, z) → [a, z) definida en cada x ∈ [a, z) por f (x) = bx , tenemos que para cada x ∈ [a, z) es x < f (x). Por inducción construimos las sucesiones x1 ∈ [a, z), y1 = f (x1 ), x2 = f (y1 ), y2 = f (x2 ), etc. . . es decir tenemos dos sucesiones (xn ), (yn ) de [a, z) tales que para cada n ∈ N es y n = f (xn ) > xn y xn+1 = f (yn ) > yn . Sea d = sup{xn : n ∈ N} = sup{yn : n ∈ N}, es claro que lim(xn ) = lim(yn ) = d y por tanto lim((xn , yn )) = (d, d), así pues (d, d) ∈ B2 ⊂ A2 y es punto de acumulación de {(x, f (x)) : x ∈ [a, z)} ⊂ A 1 , deducimos por tanto que A1 ∩ A2 6= ∅.

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La compactificación de Alexandroff

Sea (X, T ) un espacio topológico, se llama compactificación de (X, T ) a todo par {(Y, T 0 ), f } donde (Y, T 0 ) es un espacio topológico compacto y f es una aplicación continua de (X, T ) en (Y, T 0 ) de modo que f (X) es denso en Y y f es un homeomorfismo de (X, T ) en (f (X), T f0 (X) ). Antonio Aizpuru Tomás

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5. LA COMPACTIFICACIÓN DE ALEXANDROFF

Diremos que la compactificación {(Y, T 0 ), f } es por un solo punto si Y − f (X) es un conjunto unitario y diremos que la compactificación es T2 si (Y, T 0 ) es un espacio T2 . Si {(Y1 , T1 ), f1 } y {(Y2 , T2 ), f2 } son compactificaciones de (X, T ) diremos que son topológicamente equivalentes si existe un homeomorfismo g de (Y 1 , T1 ) en (Y2 , T2 ) tal que g ◦ f1 = f2 . Teorema 8.5.1 (Sobre la compactificación de Alexandroff). Sea (X, T ) un espacio topológico no compacto. Sea X ? = X ∪ {∞} donde ∞ ∈ / X, sea T ? = T ∪ {A? ⊂ X ? : X ? − A? es un subconjunto cerrado y compacto de (X, T )} y sea j : X → X ? definida en cada x ∈ X por j(x) = x se verifica que {(X ? , T ? ), j} es una compactificación de X por un solo punto que es la llamada compactificación de Alexandroff. Demostración Observemos que si B ∈ T ? o bien es B ∈ T o bien B = A ∪ {∞} tal que A ⊂ X y X − A es cerrado y compacto, es pues claro que ∅ ∈ T ? ya que ∅ ∈ T y X ? ∈ T ? ya que X ? = X ∪ {∞} y X − X = ∅ que es cerrado y compacto. Sean B1 , B2 ∈ T ? . Si B1 , B2 ∈ T es claro que B1 ∩ B2 ∈ T ? . Si B1 ∈ T y X ? − B2 es cerrado y compacto en X tenemos que B1 ∩ B2 = B1 ∩ [X − (X ? − B2 )] ∈ T ⊂ T ? . Si B1 y B2 son tales que X ? − B1 y X ? − B2 son compactos y cerrados en X entonces (X ? − B1 ) ∪ (X ? − B2 ) = X ? − (B1 ∩ B2 ) y también será cerrado y compacto, por tanto será B 1 ∩ B2 ∈ T ? . Sea {Ai }i∈I una familia de elementos de T ? . Si para cada i ∈ I es Ai ∈ T es claro que ∪i∈I Ai ∈ T ⊂ T ? . Supongamos ahora que existe algún j ∈ I tal que X ? − Aj es cerrado y compacto en X entonces tenemos que ∩i∈I (X ? − Ai ) == X ? − ∪i∈I Ai ⊂ X ? − Aj y como X ? − ∪i∈I Ai es cerrado en X contenido en el compacto X ? − Aj también tenemos que X ? − ∪i∈I Ai es compacto en X y por tanto ∪i∈I Ai ∈ T ? . ? Consideremos j : (X, T ) → (X ? , T ? ) observemos que j(X) = X y Tj(X) = T ya que si X ? − B es cerrado y compacto en X entonces X ∩ B = X − (X ? − B) ∈ T , así pues j es homeomorfismo de (X, T ) en ? ), es claro que j(X) = X es denso en (X ? , T ? ) ya que {∞} ∈ / T ? porque X ? − {∞} = X no (j(X), Tj(X) es compacto, por tanto todo elemento de T ? corta a X.

Finalmente demostraremos que (X ? , T ? ) es compacto. Sea {Ai }i∈I un recubrimiento abierto de X ? , tenemos que existe j ∈ I tal que ∞ ∈ Aj , por tanto X ? − Aj es cerrado y compacto en X y observemos que {Ai ∩ (X ? − Aj )}i∈I−j es recubrimiento abierto de X ? − Aj , así pues existe J ⊂ I finito tal que X ? − Aj = ∪i∈J [Ai ∩ (X ? − Aj )], es claro entonces que X ? = Aj ∪ (∪i∈J Ai ). Nota 8.5.2 Sea {(X ? , T ? ), j} la compactificación de Alexandroff de (X, T ), es sencillo probar que : a) (X ? , T ? ) es T0 si y sólo si (X, T ) es T0 . b) (X ? , T ? ) es T1 si y sólo si (X, T ) es T1 . Teorema 8.5.3 Sea (X, T ) un espacio topológico no compacto y sea {(X ? , T ? ), j} su compactificación de Alexandroff entonces (X ? , T ? ) es T2 si y sólo si (X, T ) es T2 y localmente compacto. Demostración Si (X ? , T ? ) es compacto y T2 tendremos X ? es localmente compacto y como X ? es T2 tendremos que {∞} será cerrado en X ? , por tanto j(X) = X ? − {∞} será abierto y por tanto también Apuntes y notas de Topología


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localmente compacto, deducimos que X será localmente compacto. Es evidente que j(X) será T 2 y también lo tendrá que ser X. Supongamos que (X, T ) es localmente compacto y T 2 , demostraremos que (X ? , T ? ) es T2 . Sean x, y dos puntos distintos de X ? , si ninguno de los dos es ∞ tenemos que existirán A, B ∈ T ⊂ T ? tales que x ∈ A, y ∈ B y A ∩ B = ∅. Si por ejemplo es y = ∞ tenemos que existe U ⊂ X entorno compacto de x en X, entonces si V = X ? − U tendremos que V es entorno de ∞ en X ? y que U ∩ V = ∅.

Teorema 8.5.4 (de Alexandroff) Sea X un espacio topológico, entonces X admite una compactificación T2 por un sólo punto si y sólo si X es localmente compacto y T 2 . En esta situación se verifica que cualquier par de compactificaciones Hausdorff por un sólo punto de X son topológicamente equivalentes y por tanto equivalentes a la compactificación de Alexandroff. Demostración Supongamos que {(Y, T 0 ), f } es una compactificación T2 por un sólo punto de X, tenemos que Y será localmente compacto. Si Y − f (X) = {w}, como Y es T 2 , se verifica que {w} es cerrado y por tanto f (X) será abierto y por tanto será f (X) localmente compacto, se deduce pues que X es también localmente compacto y T2 . Supongamos que X es localmente compacto y T 2 , entonces basta considerar la compactificación de Alexandroff que sabemos que también tiene que ser T 2 . En esta situación supongamos que {(Y, T 0 ), f } y {(Z, T 00 ), g} son dos compactificación Hausdorff por un solo de X con Y − f (X) = {w} y punto 0 si y = w w , es claro que F es Z − g(X) = {w 0 }. Sea F : Y → Z definida por F (y) = g ◦ f −1 (y) si y 6= w biyectiva y que F ◦ f = g y que F −1 ◦ g = f . Veamos que F es homeomorfismo, demostraremos primero que F es abierta. Sea B un conjunto abierto en Y , si w ∈ / B entonces f −1 (B) es abierto en X y como g es homeomorfismo de X en g(X) tenemos que F (B) = g(f −1 (B)) será abierto en g(X) y por tanto también será abierto en Z. Si w ∈ B tendremos que Y − B es compacto de f (X) y f −1 (Y − B) será compacto de X y por tanto F (Y − B) = g(f −1 (Y − B)) es compacto de Z, pero como Z es T 2 , tenemos que F (Y − B) = Z − F (B) es cerrado y por tanto F (B) es abierto. Razonando de manera similar probaríamos que F −1 es abierta y por tanto F es continua.

Nota 8.5.5 Consideremos S n la esfera de Rn+1 con la topología usual, Tu tenemos que S n es compacto y T2 . Sea a = (0, 0, . . . , 1) ∈ S n y consideremos la aplicación f : S n − {a} → Rn definida por xn f (x1 , x2 , . . . , xn+1 ) = ( 1−xx1n+1 , . . . , 1−x ), se verifica que f es continua y biyectiva y la aplicación inn+1 x2 +···+x2 −1

2xn n 1 1 versa es g : Rn → S n − {a} definida por g(x1 , . . . , xn ) = ( 1+x22x 2 , . . . , 1+x2 +···+x2 , 1+x2 +···+x2 ) que n n 1 +···+xn 1 1 también es continua, así pues g es homeomorfismo de R n en S n − {a}, es claro entonces que {(S n , Tu ), g} es una compactificación T2 por un punto de (Rn , Tu ) que será pues equivalente a la de Alexandroff.

Nota 8.5.6 La recta real ampliada. Definimos el conjunto R = R ∪ {+∞, −∞}, R es conocido como recta real ampliada. El orden usual, ≤, de R se extiende a R de la siguiente forma: para cada a ∈ R es −∞ ≤ a ≤ +∞. Es evidente que (R, ≤) está totalmente ordenado. Para cada x ∈ R definimos b x = {(x − ε, x + ε) : ε ∈ R, ε > 0} si x ∈ R, b+∞ = {(a, +∞] : a ∈ R} y b−∞ = {[−∞, a) : a ∈ R}, es sencillo comprobar que se dan las condiciones para que exista una única topología T en R de modo que para cada x ∈ R sea b x una base de entornos Antonio Aizpuru Tomás

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6. EL ESPACIO DE CANTOR Y ALGUNAS CUESTIONES SUELTAS

abiertos de x. El espacio topológico (R, T ) es conocido como recta real ampliada, es sencillo probar que este espacio es T2 . Dada una sucesión (an )n∈N de números reales, recordemos que en Análisis se definió el concepto de lim a n = +∞ de la siguiente forma: se dice que lim n→∞ an = +∞ si para cada a ∈ R existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 , n ∈ N se verifica que an > a. Podemos comprobar con facilidad que esta definición coincide con el concepto de convergencia de (an )n∈N a +∞ en el espacio (R, T ). Análogamente se dice que lim a n = −∞ si para cada a ∈ R existe n0 ∈ N tal que si n ≥ n0 , n ∈ N es an < a, esta definición también equivale a afirmar que (an )n∈N converge a −∞ en (R, T ). Consideremos ahora [−1, 1] con la topología usual y la aplicación f : [−1, 1] → R definida por f (−1) = t −∞, f (1) = +∞ y f (t) = 1−|t| si t ∈ (−1, 1), f es biyectiva y su aplicación inversa es g : R → [−1, 1] t definida por g(−∞) = −1, g(+∞) = 1, g(t) = 1+|t| . Es sencillo comprobar que f es continua y como

[−1, 1] es compacto tenemos que f es homeomorfismo y también se verificará que (R, T ) es compacto. Finalmente consideremos la aplicación j : R → R definida en cada x ∈ R por j(x) = x, es evidente que j es un homeomorfismo de (R, Tu ) sobre (R, T j(X) ) y que j(X) es denso en R, así pues podemos afirmar que {(R, T ), j} es una compactificación T 2 por dos puntos de (R, Tu ).

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El espacio de Cantor y algunas cuestiones sueltas

Consideremos la familia de espacios topológicos {(X n , Tn )}n∈N , donde para cada n ∈ N es Xn = {0, 1} y Tn es la topología discreta en {0, 1}. Al correspondiente espacio producto (X, T p ) se le denomina espacio de Cantor y se puede denotar por {0, 1} N . Tenemos que el espacio de Cantor será métrico, compacto y 0-dimensional. Una métrica que induce la topología del espacio de Cantor es d(x, y) = sup{ n1 |xn − yn | : n ∈ N}, donde x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N son dos elementos de X. Una base de abiertos de la topología del espacio de Cantor es B = {{x1 } × · · · × {xn } × Xn+1 × Xn+2 × · · · : n ∈ N y xi ∈ {0, 1} si i ∈ {1, . . . , n}}, es claro que cada elemento de B es un clopen. P 2xn Consideremos la aplicación ϕ : X → [0, 1] definida en cada x = (x n )n∈N de X por ϕ(x) = ∞ n=1 3n es claro que ϕ está bien definida y demostraremos que ϕ es inyectiva. Sean x, y ∈ X con x 6= y, sea i ∈ NP el primer natural tal xi 6= yi y supongamos que xiP= 1 e yi = 0, tenemos que ϕ(x) − ϕ(y) = Pque 2y P 2yi 2yn 2xi 2xn 2 n + n>i 3n − 3i − n>i 3n ≥ 3i − n>i 3n ≥ 32i − n>i 32n = 32i − 31i = 31i > 0. Veamos ahora 3i que ϕ es continua. En efecto, sean x = (x n )n∈N ∈ X y ε > 0, ε ∈ R. Sea n ∈ N tal que 31n < ε. Sea P 2|xi −yi | A = {x1 } × · · · × {xn } × Xn+1 × · · · . Si y ∈ A entonces |ϕ(x) − ϕ(y)| ≤ ∞ ≤ 31n < ε. i=n+1 3i

Deducimos pues que el espacio de Cantor X es homeomorfo al compacto C = Imϕ ⊂ [0, 1]. A C se le conoce también como espacio de Cantor, tenemos que C es un subconjunto cerrado de [0, 1] con Card(C) = Card(R). Veamos que C es fronterizo en R. En efecto, sean a, b ∈ R tal que a < b y (a, b) ⊂ C, consideremos A ⊂ C tal que A es clopen de C y A 6= C, entonces existen dos abiertos G 1 y G2 , de R tales que G1 ∩ C = A y G2 ∩ C = C − A, por tanto (a, b) = [(a, b) ∩ A] ∪ [(a, b) ∩ (C − A)] = [G1 ∩ (a, b)] ∪ [G2 ∩ (a, b)], pero no es posible que (a, b) se pueda obtener como la unión de dos abiertos de R disjuntos y no vacíos. P xn Es conocido que cada elemento x de [0, 1] tiene una expresión de la forma x = ∞ n=1 3n donde para cada n ∈ N es xn ∈ {0, 1, 2}. Dividimos [0, 1] en tres intervalos de igual longitud y consideremos el intervalo P∞ 1 2 n central A1 = ( 3 , 3 ), es claro que si x = n=1 2x / A1 ya que si x1 = 0 3n es un elemento de C entonces x ∈ 1 2 1 es x ≤ 3 y si x1 = 1 es x ≥ 3 , por otra parte 3 = 03 + 322 + 323 + . . . , 23 = 23 + 302 + 303 + . . . , así pues Apuntes y notas de Topología


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1 2 3, 3

∈ C y C ⊂ [0, 13 ] ∪ [ 23 , 1], dividimos ahora cada uno de estos dos últimos intervalos en tres intervalos de igual longitud y consideremos los correspondientes intervalos centrales ( 19 , 29 ) y ( 79 , 89 ), si x ∈ [0, 13 ] es x1 = 0 y si x2 = 0 es x ≤ 19 y si x2 = 1 es x ≥ 29 así pues x ∈ / ( 19 , 29 ) pero { 19 , 29 } ⊂ C. Una conclusión similar obtiene con ( 79 , 89 ) y tenemos que C ⊂ [0, 19 ] ∪ [ 29 , 13 ] ∪ [ 23 , 79 ] ∪ [ 89 , 1], denotamos A2 = ( 19 , 29 ) ∪ ( 79 , 89 ). Observemos que si λ es la medida de subespacio en R es λ(A 1 ) = 13 y λ(A2 ) = 29 . Procediendo de esta manera inductivamente se obtiene una sucesión de abiertos, (A n )n∈N , donde para cada n ∈ N es An la unión n−1 de 2n−1 intervalos abiertos disjuntos y λ(A n ) = 2 3n , no es difícil comprobar que C = [0, 1] − ∪ n∈N An y P∞ 2n−1 como λ(∪n∈N An ) = n=1 3n = 1 tenemos que λ(C) = 0. El espacio de Cantor tiene interés en teoría de la medida ya que aporta un ejemplo de conjunto con el mismo cardinal que R que tiene medida cero. Comprobaremos ahora que el espacio de Cantor tiene también, por sus propiedades, un gran interés para la topología. En lo que sigue, cuando lo consideremos conveniente, consideraremos que el espacio de Cantor X es el subconjunto C de [0, 1] de los elementos de la forma P 2xn x= ∞ donde para cada n ∈ N es xn ∈ {0, 1} que será denominado n-ésima coordenada de x. En n=1 3n C se considerará la métrica usual. Teorema 8.6.1 Sea X el espacio de Cantor, cada subconjunto cerrado F de X es un retracto de X. Demostración Definimos una aplicación f : X → F de la siguiente forma, sea x ∈ X: x1 si existe y ∈ F tal que y1 = x1 1a coordenada de f (x) = f (x)1 = 1 − x1 si para cada y ∈ F es y1 6= x1 , por tanto existe y ∈ F tal que y1 = f (x)1 .   x2 si existe y ∈ F tal que 2a coordenada de f (x) = f (x)2 =  1 − x2 en otro caso

y1 = f (x)1 , y2 = x 2

, por tanto existe y ∈ F tal que y1 = f (x)1 , y2 = f (x)2 . procediendo inductivamente,

  xi si existe y ∈ F con yj = f (x)j si i-ésima coordenada de f (x) = j ∈ {1, . . . , i − 1} e yi = xi  1 − xi en otro caso

, una vez que está definido f (x) = (f (x) n )n∈N observemos que para cada n ∈ N existe y n ∈ F tal que n-ésima coordenada de f (x) = n-ésima coordenada de y n y como |y n − f (x)| < 31n , para cada n ∈ N, deducimos que f (x) ∈ F . Demostraremos que f es uniformemente continua. Sea ε > 0, ε ∈ R, consideremos n ∈ N tal que 31n < ε y sean x, y ∈ X tales que |x − y| < ε, es claro que x i = yi si i ∈ {1, . . . , n} por tanto |f (x) − f (y)| < ε. Finalmente es evidente que si x ∈ F es f (x) ∈ F , así pues f es una retracción de X en F .

Teorema 8.6.2 Si Y es un espacio métrico y compacto entonces es imagen continua del espacio de Cantor X, es decir existe una aplicación f : X → Y continua y sobreyectiva. Demostración Tenemos que Y es IIAN y sea B = {A n : n ∈ N} una base de abiertos en Y , para cada x = (xn )n∈N de X consideremos Bx = ∩n∈N B(xn ) donde para cada n ∈ N es B(xn ) = An si xn = 0 Antonio Aizpuru Tomás

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y B(xn ) = Y − An si xn = 1. Veamos que Bx es a lo sumo unitario. Si a, b ∈ Y y a 6= b tenemos / Am así pues si xm = 0 es b ∈ / Bx y si xm = 1 es a ∈ / Bx . que existirá m ∈ N tal que a ∈ Am y b ∈ Sea M = {x ∈ X : Bx 6= ∅}, si x ∈ M denotaremos al único elemento de B x por f (x). Tenemos definida una aplicación f : M → Y , demostraremos que f es sobreyectiva. Sea y ∈ Y , para cada n ∈ N si y ∈ An definimos xn = 0 y en otro caso definimos xn = 1, si consideramos x = (xn )n∈N tenemos que Bx = {y} y por tanto x ∈ M y f (x) = y. Veamos que f es continua, sea x ∈ M y U entorno abierto de f (x). Tenemos que {f (x)} = B x = ∩n∈N B(xn ) ⊂ U y {Y − B(xn ) : n ∈ N} ∪ {U } será un recubrimiento abierto de Y , así pues existe n ∈ N tal que Y = ∪ ni=1 (Y − B(xi )) ∪ U y esto implica que ∩ni=1 B(xi ) ⊂ U . Sea A = {x1 }×· · ·×{xn }×Xn+1 ×. . . , tenemos que x ∈ A∩M y si y ∈ A∩M entonces f (y) ∈ ∩ni=1 B(xi ) ⊂ U . Demostraremos ahora que M es cerrado. Si x ∈ / M tenemos que ∩ n∈N B(xn ) = ∅ n y por tanto existirá n ∈ N tal que ∩i=1 B(xi ) = ∅, así pues si A = {x1 } × · · · × {xn } × Xn+1 × . . . tenemos que x ∈ A y es claro que para cada y ∈ A es ∩ i∈N B(yi ) ⊂ ∩ni=1 B(xi ) = ∅ así pues A ⊂ X − M . Como M es cerrado existe una retracción r : X → D, es evidente que f ◦ r es una aplicación continua y sobreyectiva de X en M .

Nota 8.6.3 1- Una consecuencia sencilla del teorema anterior es que si un espacio topológico es métrico y compacto tendrá que tener menor o igual cardinal que el espacio de Cantor, es decir menor o igual cardinal que R. Así pues si un espacio topológico Y es tal que Card(Y ) > Card(R) tenemos que Y no puede ser métrico y compacto. 2- En su momento demostramos que un espacio 0-dimensional y T 1 es también totalmente disconexo, así pues el espacio de Cantor es también totalmente disconexo. Veamos ahora que en el marco de los espacios compactos y T2 las propiedades 0-dimensional, y totalmente disconexo son equivalentes. Primero vamos a demostrar que si X es compacto y T2 entonces para cada componente conexa c(x) se verifica que c(x) = K donde K = ∩A∈L A y L = {A ⊂ X : x ∈ A y A es clopen}. En efecto, sea A un clopen tal que x ∈ A, tenemos que c(x) = (c(x) − A) ∪ (c(x) ∩ A). Como c(x) es conexo y c(x) ∩ A 6= ∅ deducimos que c(x) − A = ∅ y por tanto c(x) ⊂ A, así pues c(x) ⊂ K. Demostraremos ahora que K es conexo y que por tanto K ⊂ c(x). Supongamos que K es no conexo entonces podemos poner K = K 1 ∪ K2 donde K1 y K2 son cerrados en K, por tanto también en X, no vacíos y disjuntos. Suponemos que x ∈ K 1 y tenemos que existen abiertos disjuntos B1 y B2 tales que K1 ⊂ B1 y K2 ⊂ B2 entonces K = ∩A∈L A ⊂ B1 ∪ B2 y ∪A∈L (X − A) ⊃ (X − B1 ) ∩ (X − B2 ), como (X − B1 ) ∩ (X − B2 ) es compacto existe {A1 , . . . , An } ⊂ L tal que (X − A1 ) ∪ · · · ∪ (X − An ) ⊃ (X − B1 ) ∩ (X − B2 ), así pues x ∈ A = A1 ∩ · · · ∩ An ⊂ B1 ∪ B2 y como A ∩ B1 = A ∩ (X − B2 ) tenemos que A ∩ B1 es clopen y x ∈ A ∩ B1 , por tanto K ⊂ A ∩ B1 y deducimos que K2 ⊂ B1 lo que es absurdo. Queda probado que K es conexo y como x ∈ K será K ⊂ c(x) y podemos ya afirmar que c(x) = K. Supongamos ahora que X es compacto T 2 y totalmente disconexo y sea x ∈ X. Sea U entorno abierto de x, tenemos que c(x) = {x} = ∩A∈L A ⊂ U donde L = {A ⊂ X : x ∈ A y A es clopen}, así pues X − U ⊂ ∪A∈L (X − A) y como X − U es compacto existe {A 1 , . . . , An } ⊂ L tal que X − U ⊂ (X − A1 ) ∪ · · · ∪ (X − An ), por tanto A = A1 ∩ · · · ∩ An ⊂ U y tenemos que A es clopen con x ∈ A ⊂ U . Esto prueba que X es 0-dimensional. 3- Si X es compacto y T2 y C1 , C2 son dos componentes conexas distintas se verifica que existen A y B, dos conjuntos clopen de X, tales que C 1 ⊂ A, C2 ⊂ B y A ∩ B = ∅. En efecto, como C1 y C2 son cerrados disjuntos existen B1 , B2 dos abiertos disjuntos tales que C1 ⊂ B1 y C2 ⊂ B2 . Sean x1 ∈ C1 y x2 ∈ C2 , tenemos que C1 = ∩A∈L1 A ⊂ B1 , C2 = ∩B∈L2 B ⊂ B2 donde L1 = {A ⊂ X : x1 ∈ A y A es clopen} y L2 = {B ⊂ X : x2 ∈ B y B es clopen}, como en el apartado anterior se prueba que existen {A1 , . . . , An } ⊂ L1 y {B1 , . . . , Bn } ⊂ L2 tales que C1 ⊂ A = A1 ∩ · · · ∩ An ⊂ B1 , Apuntes y notas de Topología


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C2 ⊂ B = B1 ∩ · · · ∩ Bm ⊂ B2 , tenemos que A y B son conjuntos clopen de X que son disjuntos. 4- Si X es un espacio topológico regular y numerable entonces X es 0-dimensional. En efecto, tenemos que X será regular y Lindelöf y por tanto también será normal. Sean A ⊂ X abierto y x ∈ A, existe V entorno cerrado de x tal que x ∈ V ⊂ V ⊂ A y también existe una aplicación continua f : X → [0, 1] tal que f (V ) = {1} y f (X \ V ) = {0}, como [0, 1] no es numerable existe α ∈ (0, 1) − Imf , entonces K = {x ∈ X : f (x) > α} = {x ∈ X : f (x) ≥ α} es un clopen y es claro que x ∈ K ⊂ A. 5- Si X es un espacio topológico disperso y T 1 entonces X es totalmente disconexo. En efecto, sea K una componente conexa de X, como K no es denso en si mismo existe x ∈ K tal que x ∈ / K d , existe pues A entorno abierto de x tal que A ∩ K = {x}, tenemos pues que {x} es clopen en K y por tanto K = {x}. Podemos también afirmar que si X es compacto, T 2 y disperso entonces X es 0-dimensional. 6- Si X es T2 y numerable demostraremos que X no es conexo por caminos. Sea α : [0, 1] → X una aplicación continua tenemos que Imα es compacto, T 2 y numerable por tanto será 0-dimensional, pero como Imα es conexo deducimos que Imα es un conjunto unitario. Así pues en X no existen más caminos que los formados por un solo punto y X no puede ser conexo por caminos. Veamos ahora un ejemplo de un espacio topológico X que es T2 y conexo siendo X infinito y numerable. Consideremos el conjunto N, para cada a, b ∈ N haremos uso de las siguientes notaciones: (a, b) = máximo común divisor de a y b; < a, b >= {x = a + nb : n ∈ N}. Es claro que si (a, b) = 1 y x ∈< a, b > entonces (x, b) = 1. Demostraremos ahora que si A =< a, b >, A 0 =< a0 , b0 > y A ∩ A0 6= ∅ entonces A ∩ A0 =< x, c > siendo c el mínimo común múltiplo de b y b 0 , además si (a, b) = (a0 , b0 ) = 1 entonces será (x, c) = 1. En efecto, sea x el primer elemento de A ∩ A 0 , es claro que < x, c >⊂ A ∩ A0 , por otra parte si z ∈ A ∩ A0 lo podemos poner como z = x + y donde y es múltiplo de b y b 0 , por tanto y también será múltiplo de c, así pues A ∩ A0 ⊂< x, c >. Supongamos que (a, b) = (a0 , b0 ) = 1 y sea p > 1 un factor primo de c, p tiene que ser factor de b o de b0 . Supongamos que p es factor de b, entonces como x es de la forma x = a + nb, deducimos que p no es factor de x ya que (a, b) = 1. Así pues (x, c) = 1. Consideremos B = {< a, b >: a, b ∈ N y (a, b) = 1} de lo anterior es sencillo deducir que B es base de abiertos de cierta topología T en N, observemos que si a, b ∈ N y a 6= b se verifica que si p es primo mayor que a y b entonces < a, p > ∩ < b, p >= ∅, así pues (N, T ) es T 2 . Vamos a demostrar que si a, a0 , b, b0 ∈ N y (b, b0 ) = 1 entonces < a, b > ∩ < a0 , b0 >6= ∅. En efecto, tenemos que existen p, q ∈ Z tales que pb+qb0 = 1. Si a = a0 tenemos que a+bb0 pertenece a < a, b > ∩ < a0 , b0 >, en otro caso suponemos que a > a0 y sea m = a−a0 , tenemos que a−a0 = m(pb+qb0 ) y a−mpb = a0 +mqb0 . Sea t ∈ N tal que t > máx(|mp|, |mq|) entonces a − mpb + tbb 0 = a0 + mqb0 + tbb0 y es claro que este número es elemento de < a, b > ∩ < a0 , b0 >. Demostraremos finalmente que (N, T ) es conexo. Sean A 1 y A2 dos abiertos, disjuntos y no vacíos, sean < a1 , b1 > y < a2 , b2 > dos elementos de B tales que < a1 , b1 >⊂ A1 y < a2 , b2 >⊂ A2 . Supongamos que b1 · b2 ∈ A2 , como A2 es abierto existe < c, d >∈ B tal que b1 · b2 ∈< c, d >⊂ A2 , tenemos que (b1 · b2 , d) = 1 y también (b1 , d) = 1, así pues < a1 , b1 > ∩ < c, d >6= ∅, esta contradicción demuestra que b1 · b 2 ∈ / A2 , de igual forma se probaría que b1 · b2 ∈ / A1 y por tanto A1 ∪ A2 6= N. Observemos que si f : (N, T ) → (R, TU ) es una aplicación continua entonces f tiene que ser constante ya que si A ⊂ R es numerable y no unitario existe x ∈ R − A tal que A ∩ (−∞, x) 6= ∅ y A ∩ (x, +∞) 6= ∅, por tanto A no puede ser conexo.


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7- Recordemos que en un espacio topológico localmente conexo las componentes conexas son conjuntos clopen, así pues si X es un espacio compacto y localmente conexo necesariamente tiene que tener un número finito de componentes conexas. 8- Se dice que un espacio topológico X es una curva de Peano si existe una aplicación continua y sobreyectiva de [0, 1] en X. Vamos a demostrar que si I es un conjunto numerable entonces, aunque parezca sorprendente [0, 1]I es una curva de Peano. En efecto, consideremos el espacio de Cantor {0, 1} N , como [0, 1] es métrico y compacto existe f : {0, 1}N → [0, 1] aplicación continua y sobreyectiva. Consideremos las familias {(Xi , Ti )}i∈I , {(Yi , Ti0 )}i∈I , donde para cada i ∈ I es (Xi , Ti ) = {0, 1}N yY (Yi0 , Ti0 ) = [0, 1]. Sea, para cada i ∈ I, la aplicación fi : (Xi , Ti ) → (Yi , Ti0 ) donde fi = f . Sea g = fi : ({0, 1}N )I → [0, 1]I , i∈I

tenemos que g es continua y sobreyectiva. En su momento demostramos que existen dos homeomorfismos h : {0, 1}N → ({0, 1}N )I y k : C → {0, 1}N , donde C es el espacio de Cantor contenido en [0, 1], así pues si l = g ◦ h ◦ k tenemos que l es una aplicación continua y sobreyectiva de C en [0, 1] I . Para cada i ∈ I consideremos la correspondiente proyección p i de [0, 1]I en [0, 1] y sea li = pi ◦ l : C → [0, 1], tenemos que li es continua y sobreyectiva. Por el teorema de Tietze tenemos que, para cada i ∈ I, existe la extensión continua li de li a [0, 1] tal que l iC = li . Consideremos la aplicación l = (l i )i∈I de [0, 1] en [0, 1]I , tenemos que l es continua y como l C = l también tenemos que l es sobreyectiva.

Teorema 8.6.4 Si Y es un espacio métrico y compacto entonces existe una aplicación continua f : Y → X = {0, 1}N tal que para cada componente conexa k de Y existe x k ∈ X con f (k) = {xk } y si k, k 0 son 0 dos componentes conexas distintas de Y se verifica que x k 6= xk . Demostración Como Y es IIAN existirá una base B de abiertos que es numerable y tendremos que cada clopen de Y puede expresarse como la unión finita de elementos de B, así pues la familia L de todos los subconjuntos clopen de Y es numerable y por tanto la podemos expresar en la forma L = {A n : n ∈ N}. Definimos f : Y → X en cada y ∈ Y por f (y) = (y n )n∈N donde, para cada n ∈ N, es yn = 1 si y ∈ An y si y ∈ / An es yn = 0. Si A ∈ L denotamos A1 = A y A0 = Y − A. Veamos que f es continua. Sea y ∈ Y y sea B = {y1 } × · · · × {yn } × {0, 1} × . . . un entorno de f (y) = (yn )n∈N , tenemos que A = Ay11 ∩ · · · ∩ Aynn es un entorno de y y si z ∈ A es claro que z j = yj si j ∈ {1, . . . , n}, así pues f (A) ⊂ B. Si k es una componente conexa de Y , como f es continua, tenemos que f (k) es un subconjunto conexo de X pero como X es totalmente disconexo deducimos que existe x k ∈ X tal que f (k) = {xk }. Sean k y k 0 dos componentes conexas distintas de Y , entonces existen dos subconjuntos clopen, A y A 0 de X tales que k ⊂ A, k 0 ⊂ A0 y A ∩ A0 = ∅, pero como A, A0 ∈ L existen p, q ∈ N tales que p 6= q, A = Ap y 0 A0 = Aq , tenemos que f (k) = {xk } donde p-ésima coordenada de xk = 1 y f (k 0 ) = {xk } donde p-ésima 0 0 coordenada de xk = 0, así pues xk 6= xk . Nota 8.6.5 1- Con el teorema anterior está claro que si Y es métrico compacto 0-dimensional entonces existe una aplicación f : Y → {0, 1}N continua e inyectiva. Podemos afirmar que un espacio topológico Y es métrico, compacto y 0-dimensional si y sólo si es homeomorfo a algún subconjunto cerrado de {0, 1} N . 2- Si un espacio topológico X es T1 y disperso entonces el conjunto D0 = {x ∈ X : {x} es un conjunto clopen en X} es denso en X. En efecto, sea A ⊂ X un conjunto abierto, como A no es denso en si mismo existe algún x ∈ Aa , por tanto existe algún abierto B tal que B ∩ A = {x}, así pues {x} es clopen. Si X es un espacio topológico T1 que no es perfecto entonces existe x ∈ X tal que {x} es clopen. En efecto, consideremos la correspondiente descomposición, X = P ∪ D, de X donde P y D son disjuntos, Apuntes y notas de Topología


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P es perfecto y D es abierto y disperso. Como X no es perfecto entonces D 6= ∅ y existe x ∈ D a , por tanto existe un conjunto abierto B con B ∩ D = {x}, es claro que {x} es clopen. Finalmente, si X es T1 y perfecto se verifica que cada conjunto abierto y no vacío A ⊂ X es infinito. En efecto, si es A = {a1 , . . . , an } abierto y finito será {a1 } = A − {a2 , . . . , an } abierto y por tanto {a1 } será clopen en X lo que contradice que X sea perfecto. 3- Sean X, Y dos espacios compactos y T 2 y sea f : X → Y una aplicación continua y sobreyectiva, entonces existe un subconjunto cerrado B de X tal que f (B) = Y y para cada cerrado F ⊂ B se tiene que f (F ) 6= Y . En efecto, consideremos la familia L = {C ⊂ X : C es cerrado y f (C) = Y }. Consideremos en L la relación de orden definida por la inclusión: C ≤ D si y sólo si C ⊂ D. Vamos a demostrar que todo subconjunto totalmente ordenado H de L tiene cota inferior. Es evidente que para cada M ⊂ H que sea finito se tiene que ∩C∈M C 6= ∅, así pues, como X es compacto, tenemos que F = ∩ C∈H C 6= ∅, veamos que f (F ) = Y . Sea y ∈ Y , para cada C ∈ H existe x C ∈ C tal que f (xC ) = y. Consideremos el conjunto dirigido (H, ) con D C si y sólo si C ⊂ D, tenemos que {x C : c ∈ H, } es una red en X y por tanto tendrá cierta subred convergente a algún x 0 ∈ X, pero para cada D ∈ H se tiene que {xC : C ∈ H, D C} está contenido en D, por tanto x 0 ∈ D y deducimos que x0 ∈ F , por la continuidad de f tenemos que f (x0 ) = y. Queda probado que F ∈ L y que F es la cota inferior de H, por el lema de Zorn podemos afirmar que en L existe algún elemento B que será minimal. 4- Sean X, Y dos espacios compactos y T 2 , sea f : X → Y una aplicación continua y sobreyectiva. Si existe M ⊂ Y que es perfecto entonces existe algún subconjunto de X que es perfecto. En efecto, tenemos que existe F ⊂ X que es cerrado con f (F ) = M y de modo que para cada B ⊂ F que sea cerrado tenemos que f (B) 6= M . Demostraremos que F es perfecto. Si F no es perfecto es que existe a ∈ F y un conjunto abierto A ⊂ X tal que A ∩ F = {a} entonces B = F − A = F − {a} es cerrado y como f (a) ∈ M d existe una red (yd )d∈D en M − {f (a)} que converge a f (a). Para cada d ∈ D sea x d ∈ B tal que f (xd ) = yd , como B es compacto existirá cierta subred (x d0 )d‘∈D0 de (xd )d∈D convergente a cierto x ∈ B, como f es continua, tenemos que f (x) = f (a). Por tanto f (B) = M y esto es una contradicción. Como consecuencia de este resultado que acabamos de demostrar se deduce que si X, Y son dos espacios compactos T2 y f : X → Y es una aplicación continua y sobreyectiva entonces si X es disperso también lo será Y . 5- Sea X un espacio topológico y sea X = P ∪ D la descomposición perfecto-disperso de X. Si x ∈ X es tal que {x} es clopen entonces x ∈ D pero el recíproco no es necesariamente cierto. En R consideremos A = { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, tenemos que A, con la topología usual, es un espacio compacto T 2 , 0-dimensional y disperso, por tanto para la correspondiente descomposición P ∪ D, perfecto-disperso, de A se tiene que P = ∅. Para cada n ∈ N es { n1 } un clopen pero {0} no es abierto y 0 ∈ D. Demostraremos ahora que si X es compacto, T 2 , no tiene sucesiones convergentes distintas de las triviales y Card(X) ≥ Card(N) entonces si X = P ∪ D es la descomposición perfecto-disperso se verifica que P 6= ∅ y para cada x ∈ D es {x} un clopen. En efecto, es claro que P 6= ∅ ya que en otro caso sería X secuencialmente compacto. Sea x ∈ D, tenemos que existe V , entorno cerrado de x, tal que V ⊂ D. Tenemos que V es compacto y disperso y como no existen sucesiones convergentes distintas de las triviales deducimos que V tiene que ser finito, por otra parte existe algún abierto A tal que x ∈ A ⊂ V y como A es finito tenemos que A también será cerrado, finalmente como {x} = A − (A − {x}) tenemos que {x} será abierto. 6- Sea X un espacio topológico y sean A ⊂ X abierto y B ⊂ X cerrado con B ⊂ A. Si X es normal Antonio Aizpuru Tomás

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sabemos que existe un abierto G ⊂ X tal que B ⊂ G ⊂ G ⊂ A, demostraremos que en el caso en que X sea compacto, T2 y perfecto entonces el abierto G puede escogerse de modo que G 6= B y G 6= A. En efecto, tenemos que A − B es abierto y por tanto es infinito. Sean x 1 , x2 , dos elementos distintos de A − B, para cada y ∈ B existe un abierto G y tal que {x2 } ⊂ Gy ⊂ Gy ⊂ A − {x1 }, por la compacidad de B tenemos que existe {y1 , . . . , ym } ⊂ B tal que B ⊂ G = Gy1 ∪ · · · ∪ Gym , tenemos que G 6= B ya que x2 ∈ G − B y también es G 6= A ya que x1 ∈ A − G, además B ⊂ G ⊂ G ⊂ A. 7- Sea X un espacio topológico compacto y T 2 , tenemos que [0, 1] es perfecto y por tanto si existe una aplicación continua y sobreyectiva de X en [0, 1] deducimos que X tiene algún subconjunto perfecto. Demostraremos ahora el recíproco. Supongamos que X tiene algún subconjunto perfecto y probaremos que existe una aplicación continua y sobreyectiva de X en [0, 1], también quedará probado que Card(X) ≥ Card(R). Sea F un subconjunto perfecto de X, tenemos que F es compacto, T 2 y perfecto y trabajaremos con la topología que induce X en F . Sea D el conjunto de los números diádicos de [0, 1], podemos poner D = ∪n∈N Dn donde, para cada n ∈ N, es Dn = { 2mn : m ∈ N y 1 ≤ m ≤ 2n − 1}. Construimos la siguiente familia de abiertos. Para n = 1 elegimos un conjunto abierto A 1 no vacío y tal que A 1 6= F . 2

2

Para n = 2 y D2 = { 14 , 24 , 34 } elegimos los abiertos no vacíos A 1 , A 3 tales que A 1 ( A 1 ( A 1 y 4

4

4

4

2

A 1 ( A 3 ( A 3 ( F . Si suponemos que para cada i ∈ Dn tenemos un abierto no vacío Ai de modo que 2

4

4

si i, j ∈ Dn y i < j es Ai ( Aj ⊂ Aj ( F es sencillo escoger para cada i ∈ D n+1 − ∪j≤n Dj un abierto Ai de modo que si i, j ∈ Dn+1 y i < j es Ai ( Aj ⊂ Aj ( F . Por inducción deducimos que existe una familia de abiertos {Ai }i∈D tal que si i < j, i, j ∈ D es Ai ( Aj ⊂ Aj ( F . Ahora definimos la aplicación f : F → [0, 1] en cada x ∈ F por f (x) = sup{i ∈ D : x ∈ / A i } y convenimos en que sup∅ = 0. Sea i ∈ D y x ∈ X, si es x ∈ / Ai entonces para cada j ∈ D con j < i es x ∈ / A j y por tanto f (x) ≥ i, si es x ∈ Ai entonces para cada j ∈ D con j > i es x ∈ A j y por tanto f (x) ≤ i. Veamos que f es continua en cada x ∈ X. Sea ε > 0, ε ∈ R. Si f (x) = α ∈ (0, 1) entonces existen i, j ∈ D tales que α − ε < i < α < j < α + ε y x ∈ V = (F − Ai ) ∩ Aj , entonces V es entorno abierto de x y para cada z ∈ V es f (z) ∈ [i, j] ⊂ (α − ε, α + ε). Si f (x) = 0 entonces x ∈ ∩ i∈D Ai , sea j ∈ D tal que j < ε, entonces x ∈ Aj y es f (z) ≤ j < ε para cada z ∈ Aj . Si f (x) = 1 tenemos que x ∈ / Ai , sea i ∈ D tal que 1 − ε < i, tenemos que V = F − Ai es entorno abierto de x y si z ∈ V es 1 − ε < f (z). Demostraremos ahora que f es sobreyectiva. Sea j ∈ D, tenemos que {A j − Ai , i ∈ D, i < j} es una familia de cerrados con la P.I.F., sea pues x ∈ ∩ i∈D,i

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9- Sea X un espacio compacto y T2 entonces X es disperso si y sólo si cada aplicación continua f de X en R verifica que Imf es numerable. En efecto, si X no fuese disperso sabemos que existe una aplicación continua y sobreyectiva de X en [0, 1]. Por otra parte si X es disperso y f : X → R es continua tenemos que Imf es disperso y por tanto tiene que ser numerable. El espacio de Cantor es métrico, compacto, 0-dimensional y perfecto, en el próximo teorema veremos que, desde el punto de vista topológico, es el único espacio con esas características. Teorema 8.6.6 Si Y es un espacio métrico, compacto, 0-dimensional y perfecto entonces Y es homeomorfo al espacio de Cantor X = {0, 1}N . Demostración Como Y es perfecto tenemos que cada conjunto clopen de Y tiene que ser infinito, por tanto es sencillo comprobar que cada conjunto clopen se puede descomponer en cualquier cantidad finita de conjuntos clopen disjuntos y no vacíos. Sea A ⊂ Y un clopen y sea ε > 0, ε ∈ R, para cada y ∈ A tenemos que existe un clopen Ay tal que y ∈ Ay ⊂ B(y, ε), por la compacidad de A existe {y 1 , . . . , yn } ⊂ A tal que A = Ay1 ∪ · · · ∪ Ayn , definimos B1 = Ay1 , B2 = Ay2 − Ay1 . . . Bn = Ayn − (Ay1 ∪ · · · ∪ Ayn−1 ) para n > 2, tenemos que A = B1 ∪ · · · ∪ Bn y {B1 , . . . , Bn } son conjuntos clopen disjuntos y de diámetro menor que ε, si ahora excluimos de {B1 , . . . , Bn } los conjuntos que sean vacíos y procedemos a descomponer convenientemente los restantes es claro que podemos obtener m ∈ N y una familia {A 1 , . . . , A2m } de 2m clopenes disjuntos, no vacíos y de diámetro menor que ε tal que A = A 1 ∪ · · · ∪ A2m . Procedemos ahora inductivamente de la siguiente forma: Sea {F 1 , . . . , F2m1 } una partición de Y en conjuntos clopen no vacíos y de diámetro menor que 12 . Definimos: A1 = F1 ∪ · · · ∪ F 1 (2m1 ) , B1 = 2 Y − A1 = F 1 (2m1 )+1 ∪ · · · ∪ F2m1 , A2 = (F1 ∪ · · · ∪ F 1 2m1 ) ∪ (F 1 (2m1 )+1 ∪ · · · ∪ F 3 2m1 ), es decir A2 lo 2 4 2 4 obtenemos con la primera mitad de los conjuntos clopen utilizados en A 1 y la primera mitad de los utilizados en B1 , sea B2 = Y − A2 = (F 1 2m1 +1 ∪ · · · ∪ F 1 2m1 ) ∪ (F 3 (2m1 )+1 ∪ · · · ∪ F2m1 ). A3 se obtendría con la 4 2 4 primera mitad de cada uno de los paréntesis de A 2 y B2 y se definiría B3 = Y − A3 que será la segunda mitad de los paréntesis, procediendo de esta forma obtendríamos A m1 = {∪Fi : i ∈ {1, . . . , 2m1 }, i impar}, Bm1 = Y − Am1 . Observemos que si para cada i ∈ {1, . . . , m 1 } denotamos 1Ai = Ai , 0Ai = Bi se verifica m1 } y donde x ∈ {0, 1} si i ∈ {1, . . . , m }. 1 que ∩m j 1 i=1 xi Ai es exactamente alguno de los F j , j ∈ {1, . . . , 2 Procederemos ahora a subir el segundo peldaño: es claro que existe m 2 ∈ N tal que para cada j ∈ {1, . . . , 2m1 } existe una partición de Fj en una familia {Fji : 1 ≤ i ≤ 2m2 }, de 2m2 conjuntos clopen no vacíos de diámetro menor que 14 , tenemos que {Fji : 1 ≤ i ≤ 2m2 , 1 ≤ j ≤ 2m1 } es una partición de Y en 2m1 +m2 conjuntos clopen no vacíos de diámetro menor que 14 y procediendo de manera similar a como se hizo anteriormente se obtendrían A m1 +1 , Bm1 +1 , Am1 +2 , Bm1 +2 , . . . , Am1 +m2 , Bm1 +m2 . El lector nos perdonará que no subamos el peldaño k + 1 en el supuesto que se ha subido ya el peldaño k ∈ N, pero nada impide que él lo haga. Hemos obtenido una sucesión de pares de conjuntos cerrados y disjuntos (A n , Bn )n∈N en Y con las siguientes propiedades: a- para cada conjunto finito M ⊂ N es ∩ i∈M xi Ai 6= ∅, donde para cada i ∈ N es xi ∈ {0, 1}, 1Ai = Ai y 0Ai = Bi . Una sucesión de estas características se dice que está entrelazando ("Interlocking"). b- Para cada n ∈ N es A n ∪ Bn = Y . c- Para cada x, y ∈ Y con x 6= y existe n ∈ N tal que x ∈ An , y ∈ Bn o bien x ∈ Bn , y ∈ An . En efecto para cada i ∈ N definimos xi = 1 si x ∈ Ai y en otro caso xi = 0, tenemos que x ∈ ∩i∈N xi Ai = ∩j≥0 Mj donde Mj = ∩mj +1≤i≤mj+1 xi Ai (m0 = 0) y 1 como diam(Mj ) ≤ 2j deducimos que ∩i∈N xi Ai = {x}, así pues existe n ∈ N tal que y ∈ / x n An mientras que x ∈ xn An . Observemos que en el espacio de Cantor X = {0, 1} N si para cada n ∈ N definimos An = {(xi )i∈N ∈ Antonio Aizpuru Tomás

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7. ÁLGEBRA DE BOOLE Y TOPOLOGÍA

X : xn = 1} Bn = {(xi )i∈N ∈ X : xn = 0} se verifica que la sucesión {(An , Bn )} tiene las propiedades a,b y c. Demostraremos ahora que si Y es un espacio topológico compacto T 2 donde existe una sucesión {(An , Bn )} con las propiedades a,b y c entonces Y es homeomorfo al espacio de Cantor X. En efecto, definimos la aplicación f : Y → X en cada x ∈ Y por f (x) = (x i )i∈N , donde para cada i ∈ N es xi = 1 si x ∈ Ai y xi = 0 si x ∈ Bi , de la propiedad c se deduce que f es inyectiva y de la propiedad a se deduce que f es sobreyectiva. Solo queda probar que f es continua y lo haremos probando que para cada n ∈ N es continua pn ◦ f donde pn es la n-ésima proyección de X = {0, 1} N . Sea (xd )d∈D una red en Y que converge a x ∈ Y , supongamos que, por ejemplo, es p n (f (x)) = xn = 1, esto significa que x ∈ An y por tanto tiene que existir d0 ∈ D tal que para cada d ≥ d0 , d ∈ D es xd ∈ An y por tanto pn (f (xd )) = 1.

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Álgebra de Boole y topología

Entre las estructuras matemáticas que surgieron en el siglo XIX una de las más interesantes es la del álgebra de Boole. Su principal interés se centra en que modeliza aspectos de diversas ramas de la Matemática: lógica, teoría de conjuntos, teoría de la medida, estadística, ... Las ideas de George Boole (1.815-1.864) acerca de esta estructura son expresadas en sus obras “Mathematical Analysis of Logic" (1.847) y “Investigation of the Laws of Though" (1.854). A partir de 1.934 con los trabajos de M.H. Stone se obtiene la relación entre las álgebras de Boole y la Topología. En 1.959 sale a la luz el texto "Boolean Algebras" de R. Sikorski (Springer-Verlag) con el que alcanza enorme difusión la teoría sobre álgebras de Boole. En la actualidad prosiguen de forma muy notable las investigaciones relacionadas con las álgebras de Boole como puede comprobarse en el tratado "Handbook of Boolean Algebras" (North-Holland 1.989). Aquí estudiaremos sólo los aspectos más básicos de las álgebras de Boole. Definición 8.7.1 Un álgebra de Boole es un conjunto F en el que están definidas dos operaciones binarias ∨, ∧ y una operación unitaria que denotaremos por c , de manera que se verifican las siguientes propiedades para cada a, b, c ∈ F: 1) a ∨ b = b ∨ a, a ∧ b = b ∧ a 2) a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c, a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c. 3) (a ∧ b) ∨ b = b, (a ∨ b) ∧ b = b. 4) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c), a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c). 5) (a ∧ ac ) ∨ b = b, (a ∨ ac ) ∧ b = b. Es sencillo comprobar que para cada a, b ∈ F se verifica que a ∧ a c = b ∧ bc y denotaremos por (0, cero) al elemento a ∧ ac . Análogamente se verifica, para cada a, b ∈ F, que a ∨ a c = b ∨ bc y denotaremos por (uno, 1) al elemento a ∨ ac . Es también sencillo demostrar que (a c )c = a para cada a ∈ F. Si a, b ∈ F y a ∧ b = 0 diremos que a y b son disjuntos. Es usual la notación: a ∧ b c = a − b y (a − b) ∨ (b − a) = a4b. Nota 8.7.2 1- Sea X un conjunto y consideremos el conjunto P (X) de las partes de X con las operaciones unión, intersección y complementación (c). Tenemos que (P (X), ∪, ∩, c ) constituye el ejemplo más sencillo Apuntes y notas de Topología


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de álgebra de Boole. Por medio de este ejemplo podemos dar una definición más intuitiva del concepto de álgebra de Boole diciendo que un álgebra de Boole es un conjunto F con dos operaciones binarias ∨, ∧ y una operación unitaria c de modo que las operaciones ∨, ∧ y c tienen en F las mismas propiedades finitas que tiene la unión, intersección y complementación en cualquier P (X). Veremos ahora otros ejemplos que son de gran interés en topología: a− Sea X un espacio topológico y sea F un subconjunto cerrado de X, se dice que F es cerrado regular si F = cl(Int(F )). La familia de los cerrados regulares de X la denotaremos por CR(X), es sencillo comprobar que CR(X) = {cl(G) : G ⊂ X es abierto}. Consideremos en CR(X) las operaciones: A ∨ B = A ∪ B, A ∧ B = cl(Int(A ∩ B)) y Ac = cl(X − A), con estas operaciones CR(X) es un álgebra de Boole donde 1 = X y 0 = ∅. b− Sea X un espacio topológico y sea G un subconjunto abierto de X, se dice que G es abierto regular si G = Int(Cl(G)). La familia de los abiertos regulares de X la denotaremos por OR(X), es sencillo comprobar que OR(X) = {Int(F ) : F ⊂ X es cerrado}. Consideremos en OR(X) las operaciones A ∨ B = Int(cl(A ∪ B)), A ∧ B = A ∩ B y Ac = Int(X − A). Con estas operaciones OR(X) es un álgebra de Boole donde 1 = X y 0 = ∅. c− Sea X un espacio topológico. Consideremos D(X) = {A ⊂ X : F r(A) es diseminado} con las operaciones A ∪ B, A ∩ B y Ac = X − A. Con estas operaciones D(X) es un álgebra de Boole. d− Sea X un espacio topológico. Consideremos F 0 (X) = {A ⊂ X : A es clopen} con las operaciones A ∪ B, A ∩ B y Ac = X − A. Con estas operaciones F0 (X) es un álgebra de Boole. Cuando dos elementos de un álgebra de Boole F son subconjuntos de cierto conjunto X y las operaciones son la unión, intersección y complementación conjuntista se suele también decir que F es un cuerpo de conjuntos. 2- Sea F un álgebra de Boole. Definimos en F la relación a ≤ b si y sólo si a ∧ b = a. Es sencillo comprobar que a ∧ b = a si y sólo si a ∨ b = b y que ≤ es una relación de orden parcial en F. Por tanto para cada familia M = {aα }α∈I de elementos de F, podemos considerar el supremo que denotaremos por supM = ∨ α∈I aα y el ínfimo inf M = ∧α∈I aα , veremos más adelante que supM e inf M no necesariamente tienen que existir. Si M ⊂ F es finito, M = {a1 , . . . , an } entonces se verifica que supM = a1 ∨· · ·∨an , Inf M = a1 ∧· · ·∧an . Se dice que F es completa si para cada M ⊂ F se verifica que existe supM . Se dice que F es σ-completa si para cada M ⊂ F que sea numerable se verifica que existe supM . Es sencillo comprobar que las siguientes afirmaciones son equivalentes. i− F es completa; ii− Para cada familia M = {a α }α∈I de elementos disjuntos de F (aα ∧aβ = 0 si α, β ∈ I y α 6= β) se verifica que existe ∨α∈I aα ; iii− Para cada familia M ⊂ F se verifica que existe ∨ α∈I aα ; iv− Para cada familia M ⊂ F se verifica que existe Inf M . También es claro que son equivalentes: i) F es σ-completa; ii) Para cada sucesión (a i )i∈N de elementos disjuntos de F se verifica que existe ∨ i∈N ai ; iii) Para cada sucesión (ai )i∈N de elementos de F que sea creciente (ai ≤ aj si i, j ∈ N y i ≤ j) se verifica que existe ∨ i∈N ai ; iv) Para cada sucesión (ai )i∈N de elementos de F que sea decreciente se verifica que existe ∧ i∈N ai ; v) Para cada M ⊂ F que sea numerable se verifica que existe inf M . Sea X un conjunto infinito y sea Φ(X) la familia de los subconjuntos finitos y cofinitos de X, Φ(X) es un álgebra de Boole con las operaciones unión, intersección y complementación, es claro que esta álgebra de Boole no es σ-completa.


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Para cualquier espacio topológico X se verifica que las álgebras de Boole CR(X) y OR(X) son completas. 3- Sean F y G dos álgebras de Boole y f : F → G una aplicación, se dice que f es un homomorfismo de F en G si para cada a, b ∈ F se verifica que: i) f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b); ii) f (a ∧ b) = f (a) ∧ f (b); iii) f (ac ) = (f (a))c . Si además f es biyectiva se dice entonces que f es isomorfismo. Si existe algún isomorfismo entre dos álgebras de Boole F y G se dice que F y G son isomorfas. Sea X un espacio topológico. Consideremos las álgebras de Boole CR(X) y OR(X). Sea f : CR(X) → OR(X) la aplicación definida en cada A de CR(X) por f (A) = X − A, es sencillo comprobar que es un isomorfismo. 4- Sean F un álgebra de Boole e I un subconjunto de F. Se dice que I es un ideal de F si verifica: i) 1 ∈ / I; ii) a ∨ b ∈ I para cada a, b ∈ I; iii) Si b ∈ I y a ∈ F con a ≤ b entonces a ∈ I. Si además no existe otro ideal I 0 de F tal que I 0 6= I y I ⊂ I 0 se dice que I es ideal maximal. I = {0} es un ideal de F que es denominado trivial. / J; ii) a ∧ b ∈ J Sea J un subconjunto del álgebra de Boole F, se dice que J es un filtro de F si verifica: i) 0 ∈ para cada a, b ∈ J; iii) Si b ∈ J y a ∈ F con b ≤ a entonces a ∈ J. Si además no existe otro filtro J 0 de F tal que J0 6= J y J ⊂ J0 se dice que J es un filtro maximal. J = {1} es un filtro que se denomina trivial. Observemos que cuando definimos el concepto de filtro J en un conjunto X lo que en realidad se decía es que J era un filtro del álgebra de Boole P (X). Sea I ⊂ F y sea J = {a ∈ F : ac ∈ I}, es sencillo comprobar que I es ideal si y sólo si J es filtro, en esta situación tenemos que I será ideal maximal si y sólo si J es filtro maximal. Vamos a demostrar que si J es un filtro de F entonces J es maximal si y sólo si para cada a ∈ F se tiene que o bien a ∈ J o bien a c ∈ J. En efecto, supongamos que existe a ∈ F tal que a ∈ / J y ac ∈ / J, consideremos J0 = J ∪ {b ∧ a : b ∈ J} es sencillo comprobar que J0 es filtro y que J0 6= J, J ⊂ J0 , por tanto J no es filtro maximal. Recíprocamente, supongamos que J no es maximal en este caso existen un filtro J 0 y a ∈ J0 de modo que J ⊂ J0 y a ∈ / J, es c claro que a ∈ / J. Si I es un ideal de F entonces I es maximal si y sólo si para cada a ∈ F o bien a ∈ I o bien a c ∈ I. De una forma sencilla se puede demostrar también que si J es un filtro entonces J es maximal si y sólo si para cada a, b ∈ F con a ∧ b = 0 y a ∨ b ∈ J se verifica que o bien a ∈ J o bien b ∈ J. Sea a ∈ F − {0, 1}, el conjunto Ja = {b ∈ F : a ≤ b} es un filtro de F llamado principal y el conjunto I a = {b ∈ F : b ≤ a} es un ideal también llamado principal. Consideremos ahora un subconjunto M de F con la propiedad de que para cada subconjunto finito {a1 , . . . , an } ⊂ M se verifica que ∧ni=1 ai 6= 0, entonces es sencillo comprobar que J = {b ∈ F : existe {a1 , . . . , an } ⊂ M con ∧n i=1 ai ≤ b} es un filtro de F. Análogamente si M ⊂ F tiene la propiedad de que para cada subconjunto finito {a 1 , . . . , an } ⊂ M se verifica que ∨ni=1 ai 6= 1 entonces el conjunto I = {b ∈ F : existe {a1 , . . . , an } ⊂ M con b ≤ ∨ni=1 ai } es un ideal. 5- Sea F un álgebra de Boole y sea J0 un filtro de F, por medio del lema de Zorn demostraremos que existe un filtro J tal que J es maximal y J0 ⊂ J. En efecto, sea L = {J ⊂ F : J es filtro y J 0 ⊂ J}, consideremos en L la relación J1 ≤ J2 si y sólo si J1 ⊂ J2 que es un orden parcial en L. Sea {J α }α∈I una cadena en L, es sencillo comprobar que J = ∪α∈I Jα es un filtro de L, así pues como toda cadena de L tiene cota superior podemos afirmar, por el lema de Zorn, que existe un filtro maximal J tal que J 0 ⊂ J. Es claro que entonces para cada ideal I0 existe un ideal I tal que I es ideal maximal. 6- Sea F un álgebra de Boole y F0 un subconjunto de F, se dice que F0 es una subálgebra de F si se verifica que para cada a, b ∈ F0 es {a ∨ b, a ∧ b, ac } ⊂ F0 . Es claro que F0 es subálgebra de F si y sólo si (F0 , ∨, ∧,c ) es un álgebra de Boole, observemos que en esta situación es {0, 1} ⊂ F 0 . Apuntes y notas de Topología


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Es sencillo probar que la intersección de una familia de subálgebras es también una subálgebra. Sea M ⊂ F, entonces la intersección de todas las subálgebras de F que contienen a M es una subálgebra que denotamos por F(M ) y se dice que es generada por M . Si M = ∅ entonces F(M ) = {0, 1}. Si M 6= ∅ entonces a ∈ F(M ) si y sólo si a puede expresarse en la forma a = (a 11 ∧· · ·∧a1r1 )∨(a22 ∧· · ·∧a2r2 )∨· · ·∨(ap1 ∧· · ·∧aprp ) donde aij ∈ M o bien acij ∈ M si 1 ≤ i ≤ p, 1 ≤ j ≤ ri . Si F0 es una subálgebra de F y a0 ∈ / F0 entonces la subálgebra G generada por F 0 y a0 es la constituida por los elementos a ∈ F que pueden expresarse en la forma a = (a 1 ∧ a0 ) ∨ (a2 ∧ ac0 ) donde a1 , a2 ∈ F o lo que es equivalente a = a1 ∨ (a2 ∧ a0 ) ∨ (a3 ∧ ac0 ) donde a1 , a2 , a3 ∈ F y son disjuntos dos a dos. Sea F0 una subálgebra de F y consideremos la aplicación h : F 0 → F definida en cada a ∈ F0 por h(a) = a, es claro que esta aplicación es un homomorfismo inyectivo. Si F y G son dos álgebras de Boole y h : F → G es un homomorfismo se verifica que si F 0 es un subálgebra de F entonces G0 = {h(a) : a ∈ F} es un subálgebra de G. 7- Sea F un álgebra de Boole y I ⊂ F un ideal, definimos la siguiente relación en F : aRb si y sólo si a4b ∈ I, es claro que R es una relación de equivalencia en F. La clase de equivalencia definida por a ∈ F la denotamos por [a] y denotamos por F/I al correspondiente conjunto cociente. En F/I consideramos las siguientes operaciones: [a] ∨ [b] = [a ∨ b], [a] ∧ [b] = [a ∧ b] y [a] c = [ac ]. No es complicado probar que efectivamente se trata de operaciones en F/I y que F/I con estas operaciones es un álgebra de Boole, esta álgebra es denominada álgebra cociente de F con respecto al ideal I. Es sencillo comprobar que se verifican las propiedades: [a] = [0] si y sólo si a ∈ I; [a] = [1] si y sólo si a c ∈ I; [a] ≤ [b] ⇒ a − b ∈ I. La aplicación h : F → F/I definida en cada a ∈ F por h(a) = [a] es homomorfismo sobreyectivo, esta aplicación es denominada canónica. Veamos a continuación un sencillo ejemplo: Sea F un álgebra de Boole y sea a ∈ F, consideremos F a = {b ∈ F : b ≤ a} y en Fa consideramos las mismas operaciones ∨, ∧ y c que tenemos en F pero con bc = a − b, es claro que Fa es un álgebra de Boole con el mismo cero de F y cuya unidad es a. Sea Iac = {b ∈ F : a ∧ b = 0}, el ideal generado por a c , definimos la aplicación l : Fa → F/Iac en cada b ∈ Fa por l(b) = [b], es sencillo comprobar que l es un isomorfismo. Teorema 8.7.3 de representación de Stone. Sea F un álgebra de Boole. Entonces existe un espacio X compacto, T2 y 0-dimensional tal que F es isomorfa al álgebra de Boole F 0 (X) de los conjuntos clopen de X. Demostración Sea X el conjunto de todos los filtros maximales de F, es decir X = {J ⊂ F : J es filtro maximal de F}. Para cada a ∈ F denotamos por H(a) a la familia de todos los filtros maximales J de F tales que a ∈ J, es decir H(a) = {J ∈ X : a ∈ J}. Las siguientes propiedades son evidentes: i) H(0) = ∅; ii) H(a1 ∨ a2 ) = H(a1 ) ∪ H(a2 ) a1 , a2 ∈ F; iii) H(a1 ∧ a2 ) = H(a1 ) ∩ H(a2 ) a1 , a2 ∈ F; iv) H(ac1 ) = X − H(a1 ), a1 ∈ F; v) H(a1 ) 6= H(a2 ) si a1 6= a2 , a1 , a2 ∈ F; vi) H(a1 ) ⊂ H(a2 ) si y sólo si a1 ≤ a 2 . Consideremos la siguiente familia de subconjuntos de X: F 0 = {H(a) : a ∈ F} y en F0 consideraremos las operaciones H(a1 ) ∪ H(a2 ), H(a1 ) ∩ H(a2 ) y H(a)c = X − H(a). Tenemos que F0 con estas operaciones es un álgebra de Boole que es claramente isomorfa al álgebra F por medio de la aplicación H : F → F 0 . Se verifica que ∪a∈F H(a) = X y que H(a1 ) ∩ H(a2 ) = H(a1 ∧ a2 ) si a1 , a2 ∈ F, por tanto existe una única topología T en X tal que F0 es base de T . Cada elemento H(a) de F0 es un clopen de (X, T ) ya que Antonio Aizpuru Tomás

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X − H(a) = H(ac ), por tanto X es 0-dimensional y F0 ⊂ F0 (X) (recordemos que por F0 (X) denotamos el álgebra de Boole de los subconjuntos clopen de X). Demostraremos que X es T 2 . Sean J1 , J2 ∈ X con J1 6= J2 entonces, como J1 y J2 son filtros maximales distintos de F, existe a ∈ J 1 tal que ac ∈ J2 , tenemos que J1 ∈ H(a), J2 ∈ H(ac ) y H(a)∧H(ac ) = ∅. Veamos que X es compacto, consideremos un subconjunto de F0 con la P.I.F., es decir {H(a) : a ∈ L} ⊂ F con L ⊂ F de modo que para cada M ⊂ L que sea finito se verifica que ∩a∈M H(a) 6= ∅, es claro que entonces también será ∧ a∈M a 6= 0 si M ⊂ L es finito, así pues existe algún filtro maximal J de F tal que L ⊂ J, es evidente que J ∈ ∩ a∈L H(a). Finalmente demostraremos que F0 (X) ⊂ F0 y por tanto es F0 = F0 (X). En efecto, sea A ∈ F0 (X), como A es compacto y F0 es base de T existe {H(a1 ), . . . , H(an )} ⊂ F0 tal que A = H(a1 ) ∪ · · · ∪ H(an ) = H(a1 ∨ · · · ∨ an ). Nota 8.7.4 1- Sean F un álgebra de Boole y Z un espacio compacto, T 2 y 0-dimensional, diremos que Z es el espacio de Stone de F si F y F0 (Z) son isomorfos. Consideremos el espacio (X, T ) obtenido a partir de F en el teorema de representación y sea h : F → F 0 (Z) un isomorfismo entre F y F0 (Z), definimos la aplicación f : X → Z en cada J ∈ X de la siguiente forma: si J ∈ X tenemos que h(J) = {h(a) : a ∈ J} es un filtro maximal de F0 (Z) y de la compacidad de Z se deduce que ∩ a∈J h(a) es un conjunto unitario {z}, ponemos f (J) = z. Si J1 , J2 ∈ X y J1 6= J2 sabemos que existe a ∈ J1 tal que ac ∈ J2 , así pues f (J1 ) ∈ h(a) y f (J2 ) ∈ h(ac ), por tanto f (J1 ) 6= f (J2 ). Si z ∈ Z tenemos que J0 = {A ∈ F0 (Z) : z ∈ A} es filtro maximal de F0 (Z),así pues J = {h−1 (A) : A ∈ J0 } ∈ X y es claro que f (J) = z. Finalmente demostraremos que f (H(a)) = h(a) para cada a ∈ F y que por lo tanto es claro que f es un homeomorfismo. En efecto, si J ∈ H(a) será a ∈ J y f (J) ∈ h(a). Recíprocamente si z ∈ h(a) tenemos que J = {h −1 (A) : A ∈ F0 (Z) y z ∈ A} ∈ X y f (J) = z, pero como z ∈ h(a) y a = h −1 (h(a)) será a ∈ J y J ∈ H(a), así pues z ∈ f (H(a)). Queda pues probado que salvo homeomorfismo el espacio de Stone de un álgebra de Boole es único. Es sencillo demostrar que dos álgebras de Boole son isomorfas si y sólo si sus espacios de Stone son homeomorfos. 2- Sea X un conjunto infinito y consideremos el álgebra de Boole Φ(X) de los subconjuntos finitos o cofinitos de X. No es difícil demostrar que el espacio de Stone de Φ(X) es la compactificación de Alexandroff del espacio discreto (X, TD ), obsérvese que en Φ(X) sólo existe un único filtro maximal que no sea principal. 3- Sea F un álgebra de Boole. Sean X el espacio de Stone de F, F 0 = F0 (X) y H el correspondiente isomorfismo entre F y F0 . Supongamos que L = {ai : i ∈ I} es una familia de elementos de F para la que existe supremo ∨i∈I ai ∈ F, demostraremos que en F0 también existe el supremo de {H(ai ) : i ∈ I} y es H(∨i∈I ai ) = ∪i∈I H(ai ). En efecto, para cada i ∈ I es ai ≤ ∨i∈I ai y por tanto H(ai ) ⊂ H(∨i∈I ai ), así pues ∪i∈I H(ai ) ⊂ H(∨i∈I ai ). Si es ∪i∈I H(ai ) 6= H(∨i∈I ai ) entonces tenemos que H(∨i∈I ai )−∪i∈I H(ai ) es abierto y no vacío y por tanto existe a ∈ F\{0} tal que H(a) ⊂ H(∨ i∈I ai ) − ∪i∈I H(ai ), deducimos que (∨i∈I ai ) − a 6= ∨i∈I ai y que para cada i ∈ I es ai ≤ (∨i∈I ai ) − a lo que contradice el que ∨i∈I ai sea el supremo de L. Podemos afirmar que H(∨i∈I ai ) = ∪i∈I H(ai ) ∈ F0 , si H(a) ∈ F0 es tal que H(ai ) ⊂ H(a) para cada i ∈ I es claro que ∪i∈I H(ai ) ⊂ H(a), así pues ∪i∈I H(ai ) es el supremo de {H(ai ) : i ∈ I} en F0 . Si el supremo de {H(ai ) : i ∈ I} es ∪i∈I H(ai ) entonces tenemos que ∪i∈I H(ai ) es compacto y por tanto existe {i1 , . . . , in } ⊂ I, n ∈ N tal que ∪i∈I H(ai ) = H(ai1 ) ∪ · · · ∪ H(ain ) = H(ai1 ∨ · · · ∨ ain ), deducimos que ai1 ∨ · · · ∨ ain es el supremo de {ai : i ∈ I}. Por tanto no se verifica en general que ∪ i∈I H(Ai ) sea el supremo de {H(ai ) : i ∈ I} y puede perfectamente suceder que ∪ i∈I H(ai ) − ∪i∈I H(ai ) 6= ∅. 4- Sean F un álgebra de Boole. X el espacio de Stone de F, F 0 = F0 (X) y H el correspondiente isomorfismo



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entre F y F0 . Sea I un ideal de F y sea F/I la correspondiente álgebra cociente. Sea B = ∪ a∈I H(a) y F = X − B. Con la topología inducida de X es F un espacio compacto, T 2 y 0-dimensional. Consideremos la aplicación l : F/I → F0 (F ) definida en cada [a] de F/I por l([a]) = H(a) ∩ F , es sencillo comprobar que l es un isomorfismo, así pues F es el espacio de Stone de F/I. Supongamos ahora que E ⊂ X es un conjunto cerrado, sea I = {a ∈ F : H(a) ∩ F = ∅}, es sencillo comprobar que I es un ideal de F y que la aplicación l : F/I → F 0 (E), l([a]) = H(a) ∩ E es un isomorfismo. Por tanto podemos afirmar que el espacio de Stone de toda álgebra cociente de F es un subconjunto cerrado del espacio de Stone de F y que todo subconjunto cerrado del espacio de Stone de F es el espacio de Stone de alguna álgebra de Boole cociente de F. 5- Sean F1 y F2 dos álgebras de Boole, X1 y X2 los correspondientes espacios de Stone, F10 = F0 (X1 ), F20 = F0 (X2 ) y H1 , H2 los correspondientes isomorfismos de F 1 en F10 y de F2 en F20 respectivamente. Sea f un homomorfismo entre las álgebras de Boole F 1 y F2 . Definimos la aplicación F : X2 → X1 , en cada J ∈ X2 por F (J) = {a ∈ F1 : f (a) ∈ J} = f −1 (J), es sencillo comprobar que efectivamente F (J) ∈ X 1 . Demostraremos que F es continua en X 2 . En efecto, sea H1 (a) ∈ F10 , a ∈ F1 , entonces F −1 (H1 (a)) = {J ∈ X2 : F (J) ∈ H1 (a)} = {J ∈ X2 : f −1 (J) ∈ H1 (a)} = {J ∈ X2 : a ∈ f −1 (J)} = {J ∈ X2 : f (a) ∈ J} = H2 (f (a)). Estudiaremos ahora la relación entre las aplicaciones f y F : a) f es sobreyectiva si y sólo si F es inyectiva. En efecto, suponemos que f es sobreyectiva y sean J 1 , J2 dos elementos distintos de X2 , entonces existe b ∈ J1 tal que bc ∈ J2 , ya que f es sobreyectiva existen a1 , a2 ∈ F1 tales que f (a1 ) = b y f (a2 ) = bc , si suponemos que F (J1 ) = F (J2 ) entonces a1 , a2 ∈ F (J1 ) y por tanto a1 ∧ a2 ∈ F (J1 ), así pues f (a1 ∧ a2 ) = f (a1 ) ∧ f (a2 ) = b ∧ bc = 0 ∈ J1 y esto es una contradicción. Supongamos ahora que F : X 2 → X1 es inyectiva, tenemos entonces que F (X 2 ) es un subconjunto cerrado de X1 que es homeomorfo a X2 . Sea b ∈ F2 entonces F (H2 (b)) será un clopen de la topología relativa de F (X2 ), así pues existe a ∈ F1 tal que F (H2 (b)) = H1 (a)∩F (X2 ), demostraremos que / J2 entonces f (ac ) ∈ J2 y f (a) = b. Si es f (a) 6= b tenemos que existe J 2 ∈ X2 tal que b ∈ J2 pero f (a) ∈ ac ∈ f −1 (J2 ) = F (J2 ) ∈ F (H2 (b)) ⊂ H1 (a), sea J ∈ H1 (a) tal que F (J2 ) = J, tenemos la contradicción de que {a, ac } ⊂ J. b) f es inyectiva si y sólo si F es sobreyectiva. En efecto, supongamos que f es inyectiva y sea J ∈ X 1 . Sea J0 = {f (a) : a ∈ J}, para cada subfamilia finita {f (a 1 ), . . . , f (an )} de J0 tenemos que f (a1 )∧· · · ∧f (an ) = f (a1 ∧ · · · ∧ an ) 6= 0 ya que a1 ∧ · · · ∧ an 6= 0 y f es inyectiva, por el lema de Zorn existe un filtro maximal J00 en F2 tal que J0 ⊂ J00 . Se verifica que F (J00 ) = f −1 (J00 ) ⊃ f −1 (J0 ) ⊃ J y como J es maximal será F (J00 ) = J. Supongamos ahora que F es sobreyectiva. Sea a ∈ F 1 \{0} y consideremos un J ∈ X1 tal que a ∈ J, sea J0 ∈ X2 tal que F (J0 ) = J, tenemos que existe b ∈ J0 tal que f (a) = b, por tanto f (a) 6= 0 y deducimos que f tiene que ser inyectiva. 6- Sea F un álgebra de Boole, un elemento a ∈ F se dice que es un átomo si a 6= 0 y para cada b ∈ F si b ≤ a entonces o bien es b = 0 o bien es b = a. Se dice que F es atómica si para cada b ∈ F\{0} existe un átomo a ∈ F tal que a ≤ b. Se dice que F es no atómica si en F no existen átomos. Se dice que F es superatómica si cada subálgebra de F es atómica. El álgebra de Boole P (N) es atómica pero más adelante veremos que no es superatómica. El álgebra de Antonio Aizpuru Tomás

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Boole Φ(N) es superatómica. Sean X el espacio de Stone de F, F0 = F0 (X) y H el correspondiente isomorfismo entre F y F0 . Sea a ∈ F, demostraremos que a es un átomo de F si y sólo si H(a) es un conjunto unitario. En efecto, si J ∈ H(a) y es H(a)\{J} 6= ∅ entonces existe b ∈ F\{0} tal que H(b) ⊂ H(a)\{J}, deducimos que b ∈ / {0, a} y que b ≤ a, por tanto a no puede ser átomo de F. Por otra parte si a ∈ F y existe b ∈ F\{0, a} tal que b ≤ a tenemos que H(b) ⊂ H(a) y H(b) 6= H(a), así pues H(a) no es unitario. Observemos que si a es un átomo de F entonces el único elemento de H(a) es el filtro principal determinado por a. Es sencillo ahora concluir que si F es un álgebra de Boole y X es el espacio de Stone de F entonces se verifica: a) F no es atómica si y sólo si X es perfecto; b) F es atómica si y sólo si el conjunto D 0 = {x ∈ X : {x} es clopen en X} es denso en X. 7- El espacio de Cantor, C = {0, 1}N es un espacio métrico compacto y 0-dimensional. Consideremos M = {{x1 } × · · · × {xn } × Xn+1 × . . . : n ∈ N y x1 , . . . , xn ∈ {0, 1}}, tenemos que M ⊂ F0 (C) y es sencillo comprobar que F0 (C) es la familia de las uniones finitas y disjuntas de M , además es claro que F0 (C) es no atómica. Sea X un espacio compacto, T2 y 0-dimensional, sea P ∪ D la descomposición perfecto-disperso de X. Demostraremos que si P 6= ∅ entonces existe una familia L de elementos de F 0 = F0 (X) de la forma: Ai1 ,...,in con n ∈ N y (i1 , . . . , in ) secuencia finita de 0 y 1 de modo que se verifica: i) A 0 ∪ A1 = X y A0 ∩ A 1 = ∅ ii) Ai1 ,...,in−1 ,0 ∪ Ai1 ,...,in−1 ,1 = Ai1 ,...,in−1 y Ai1 ,...,in−1 ,0 ∩ Ai1 ,...,in−1 ,1 = ∅ para cada i1 , . . . , in−1 ∈ {0, 1} y n ≥ 2. A una familia de estas características se le suele denominar árbol de F 0 . Es sencillo probar que la familia de las uniones finitas y disjuntas de L coincide con la menor subálgebra G 0 de F0 que contiene a L. Consideremos la aplicación h : L → M definida por h(Ai1 ,...,in ) = {i1 } × · · · × {in } × Xn+1 × . . . y consideremos la aplicación h : G0 → F0 (C) obtenida al asociar a las uniones finitas y disjuntas de elementos de la forma Ai1 ,...,in los elementos de F0 (C) obtenidos con la unión de los correspondientes h(A i1 ,...,in ), no es difícil comprobar que h es un isomorfismo. La familia L la podemos obtener por inducción de la siguiente manera: Primer escalón: Tenemos que P es un conjunto infinito, si x, y ∈ P y x 6= y existe A 0 ∈ F0 tal que x ∈ A0 , y ∈ / A0 . Sea A1 = X − A0 , tenemos que A0 ∩ P = 6 ∅, A1 ∩ P 6= ∅ y por tanto A0 ∩ P y A1 ∩ P son conjuntos infinitos ya que P es perfecto. Segundo escalón: Procedemos con A0 y A0 ∩ P de la misma forma que lo hicimos con X y P y obtenemos A00 , A01 ∈ F0 tales que A00 ∩ A0 ∩ P 6= ∅, A01 ∩ A0 ∩ P 6= ∅, A00 ∩ A01 = A0 y A00 ∩ A01 = ∅. De la misma manera obtendremos para A1 una descomposición en A10 y A11 . Los más jóvenes puedan ya, si es que quieren, subir el escalón n + 1 en el supuesto de estar en el escalón n. Ha quedado demostrado que si P 6= ∅ entonces existe una subálgebra G 0 de F0 (X) que es isomorfa a F0 (C). Vamos a demostrar ahora que si F es un álgebra de Boole y X es su espacio de Stone entonces F es superatómica si y sólo si X es disperso. En efecto, si X no es disperso tenemos que existe una subálgebra G0 de F0 (X) que es isomorfa a F0 (C), si H es el correspondiente isomorfismo entre F y F 0 (X) es claro Apuntes y notas de Topología


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que G = {H −1 (A) : A ∈ G0 } es una subálgebra de F que también será isomorfa a F 0 (C), como G es no atómica tenemos que F no es superatómica. Supongamos ahora que X es disperso, sea G una subálgebra de F y sea Y su espacio de Stone. Consideremos el homomorfismo inclusión de G en F, f : G → F, f (a) = a para cada a ∈ G. Sea F : X → Y la aplicación continua que induce el homomorfismo f , como X es disperso y F es además sobreyectiva deducimos que Y tiene que ser disperso y entonces D 0 = {y ∈ Y : {y} es clopen} es denso en Y , por tanto G tiene que se atómica. Finalmente observemos que si F es un álgebra de Boole numerable y no atómica entonces su espacio de Stone X es métrico, compacto, 0-dimensional y perfecto, así pues X será homeomorfo al espacio de Cantor C y por tanto F será isomorfa a F0 (C). 8- Sea F un álgebra de Boole finita con Card F = n, n ∈ N. Demostraremos que existe un conjunto finito X de modo que F es isomorfa al álgebra de Boole P (X) y que por tanto si Card X = m se verifica que n = 2m . En efecto, veamos en primer lugar que F es atómica. Si a 0 ∈ F y a0 no es un átomo entonces existe a1 ∈ F\{0, a0 } tal que a1 ≤ a0 , si a1 no es un átomo existirá a2 ∈ F\{0, a0 , a1 } tal que a2 ≤ a1 , es claro que en un número de pasos necesariamente menor que n deducimos que existe a ∈ F tal que a es un átomo y a ≤ a0 . Supongamos que {a1 , . . . , am } es el conjunto de todos los átomos de F y consideremos el conjunto X = {1, . . . , m}. Sea a ∈ F y sea A = {i ∈ X : a i ≤ a}, es claro que a = ∨aii∈A . Consideremos la aplicación f : F → P (X) definida, en cada a ∈ F, por f (a) = {i ∈ X : a i ≤ a}. Es evidente que f es un isomorfismo entre F y P (X), por tanto Card (F) = n = 2 m . Hemos deducido que las únicas álgebras de Boole finitas son las constituidas por las partes de un conjunto finito. 9- Sea X un espacio compacto y T2 , se dice que X es extremadamente disconexo si la clausura de cada conjunto abierto es un conjunto abierto, es claro que entonces X es 0-dimensional y demostraremos que F0 = F0 (X) es completa. En efecto, sea {A i }i∈I ⊂ F0 , tenemos que A = ∪i∈I Ai ∈ F0 y si B ∈ F0 es tal que Ai ⊂ B, para cada i ∈ I, se verifica que A = ∪ i∈I Ai ⊂ B, así pues A es el supremo de {Ai }i∈I . Sean F un álgebra de Boole y X su espacio de Stone. Demostraremos que si F es completa entonces X es extremadamente disconexo. En efecto, sea F 0 = F0 (X) y sea H el correspondiente isomorfismo entre F y F0 , sea B un subconjunto abierto de X y sea M = {a ∈ F : H(a) ⊂ B}, tenemos que existe b ∈ F tal que b = supM , entonces H(b) = ∪a∈M H(a) = B, así pues B es abierto. 10- Sea X un espacio topológico compacto y T 2 , se dice que X es básicamente disconexo si la clausura de cada conjunto cocero es un conjunto abierto. Es sencillo comprobar que en un espacio T 4 los conjuntos cocero coinciden con los conjuntos abiertos y F σ (Fσ =unión numerable de cerrados), también se verifica que los conjuntos cero coinciden con los cerrados G δ (Gδ = intersección numerable de abiertos). Demostraremos ahora que si X es básicamente disconexo entonces X es 0-dimensional. En efecto, sea B ⊂ X un conjunto abierto y sea x ∈ B, como X es completamente regular existe un conjunto cocero V tal que x ∈ V ⊂ V ⊂ B y tenemos que V es clopen. Es evidente que todo espacio extremadamente disconexo es básicamente disconexo. Vamos a demostrar que si X es básicamente disconexo y F0 = F0 (X) entonces F0 es σ-completa. En efecto, sea {Ai : i ∈ N} una familia numerable de elementos de F0 , tenemos que ∪i∈N Ai es un cocero y por tanto A = ∪i∈N Ai ∈ F0 , es evidente que A es el supremo de {Ai : i ∈ N}. Supongamos ahora que F es un álgebra de Boole σ-completa y vamos a demostrar que el espacio de Stone X de F es básicamente disconexo. En efecto, sea F 0 = F0 (X) y sea H el correspondiente isomorfismo entre F y F0 . Sea B = ∪n∈N Bn un subconjunto de X abierto y Fσ (Bn cerrado para cada n ∈ N). Para cada n ∈ N, como Bn es compacto y B es abierto, existe an ∈ F tal que Bn ⊂ H(an ) ⊂ B, es claro que Antonio Aizpuru Tomás

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B = ∪H(an ) y si a = ∨n∈N an tenemos que B = H(a), así pues B es abierto. 11- Sea F un álgebra de Boole y sea X el espacio de Stone de F. Demostraremos que si F es σ-completa entonces en X no existen sucesiones convergentes distintas de las triviales. En efecto, supongamos que (xn )n∈N es una sucesión de elementos distintos de X que converge a x ∈ X. Sea F 0 = F0 (X). Para cada n ∈ N tenemos que Cn = {x1 , . . . , xn } y Dn = {xi : i ∈ N, i ≥ n + 1} ∪ {x} son conjuntos cerrados y disjuntos, así pues existe B n ∈ F0 tal que Cn ⊂ Bn y Bn ∩ Dn = ∅. Denotamos A1 = B1 y An = Bn − ∪n−1 i=1 Bi , para cada n ≥ 2, n ∈ N. Tenemos que (A i )i∈N es una sucesión de elementos de F0 disjuntos dos a dos de modo que para cada n ∈ N es x n ∈ An . Sea N = P ∪ Q una partición de N en dos conjuntos infinitos y disjuntos y sean E = ∪ i∈P Ai , F = ∪i∈Q Ai , como F es σ-completa deducimos que E y F son elementos disjuntos de F0 pero por otra parte tiene que suceder que x ∈ E ∩ F lo cual es una contradicción. Finalmente observemos que si F es además infinita y X = P ∪ D es la descomposición perfecto-disperso de X entonces P 6= ∅ ya que si P = ∅ sería X secuencialmente compacto. De lo anterior podemos deducir que el álgebra de Boole P (N) no es superatómica aunque recordemos que P (N) es atómica. 12- Sea X un espacio completamente regular, se dice que X es un F -espacio si para cada par de coceros disjuntos, C y D, existe una aplicación f , real y continua, tal que f (C) = 0 y f (D) = 1, observemos que entonces es C ∩ D = ∅. Hay que resaltar que existen ejemplos de F -espacios compactos y T 2 que no son 0-dimensionales. Se dice que un álgebra de Boole F tiene la propiedad de separación numerable o propiedad de Seever si para cada sucesión (ai )i∈N de elementos de F, disjuntos dos a dos, y cada M ⊂ N existe a M ∈ F tal que ai ≤ aM si i ∈ M y ai ∧aM = 0 si i ∈ N−M , esto es equivalente a afirmar que para cada par de sucesiones (ai )i∈N , (bi )i∈N de elementos disjuntos de F si se verifica que a i ∧ bj = 0 para cada i, j ∈ N entonces existe a ∈ F tal que para cada i ∈ N es ai ≤ a y a ∧ bi = 0. Demostraremos que si F es un álgebra de Boole entonces F tiene la propiedad de Seever si y sólo si su espacio de Stone X es un F -espacio. En efecto, supongamos que F tiene la propiedad de Seever y sea F0 = F0 (X). Sea H el correspondiente isomorfismo entre F y F 0 , es claro que F0 también tiene la propiedad de Seever. Sean C y D dos coceros disjuntos de X entonces es sencillo comprobar, como en 11, que existen dos sucesiones (c i )i∈N , (di )i∈N de F tales que C = ∪i∈I H(ci ), D = ∪i∈I H(di ), sean n−1 a1 = c1 , b1 = d1 , an = cn − ∨n−1 i=1 ci y bn = dn − ∨i=1 di si n ≥ 2. Tenemos que (ai )i∈N y (bi )i∈N son dos sucesiones de elementos disjuntos de F tales que C = ∪ i∈N H(ai ), D = ∪i∈N H(bi ), por hipótesis existe a ∈ F tal que para cada i ∈ I es ai ≤ a y a ∧ bi = 0, tenemos pues que C ⊂ H(a) y H(a) ∩ D = ∅. Para concluir bastará considerar la función característica de H(a). Supongamos ahora que X es un F -espacio y sean (a i )i∈N , (bi )i∈N dos sucesiones de elementos disjuntos de F tales que ai ∧ bj = 0 para cada i, j ∈ N, entonces C = ∪i∈N H(ai ) y D = ∪i∈N H(bi ) son dos coceros disjuntos, tenemos que C ∩ D = ∅ y como C es un subconjunto abierto del compacto C deducimos que existe a ∈ F tal que C ⊂ h(a) ⊂ C, es claro que para cada i ∈ I es a i ≤ a y a ∧ bi = 0. Observemos que todo espacio básicamente disconexo es F -espacio pero el recíproco no es cierto. En efecto, si I es el ideal de los elementos finitos de P (N) tenemos que el espacio de Stone de P (N)/I es un F -espacio que no es básicamente disconexo. Es sencillo probar, como en el caso básicamente disconexo, que en un F -espacio compacto y T 2 no existen sucesiones convergentes distintas de las triviales.


CAPÍTULO 9

Topología final y topología cociente Índice del Tema 1

Topología final. Identificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2

Topología cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3

Topología de los espacios proyectivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4

Suma de espacios topológicos y topología coherente . . . . . . . . . . . . . . . .

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1

Topología final. Identificación

Sea X un conjunto y L = {(Xi , Ti ), gi }i∈I una familia de espacios topológicos (X i , Ti ) y aplicaciones gi : Xi → X, es sencillo comprobar que la familia de subconjuntos de X: T (L) = {A ⊂ X : g i−1 (A) ∈ Ti para cada i ∈ I}, es una topología en X. A T (L) se le denomina topología final en X para la familia L, observemos que para cada i ∈ I será gi una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T (L)). Teorema 9.1.1 Sean X un conjunto y L = {(X i , Ti ), gi }i∈I una familia de espacios topológicos y aplicaciones gi : Xi → X. Sea T una topología en X, entonces T = T (L) si y sólo si para cada i ∈ I es g i una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T ) y si T 0 es otra topología en X para la cual también es g i una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T 0 ) entonces T 0 ⊂ T . Demostración Supongamos que T = T (L), es claro que g i será continua para cada i ∈ I, sea T 0 otra topología en X tal que si i ∈ I es gi una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T 0 ), entonces si A ∈ T 0 tenemos que gi−1 (A) ∈ Ti , para cada i ∈ I, por tanto será A ∈ T (L). Recíprocamente como para cada i ∈ I es g i una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T (L)) será T (L) ⊂ T , pero como por hipótesis tenemos que para cada i ∈ I es g i aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T ) tendremos que si A ∈ T es gi−1 (A) ∈ Ti para cada i ∈ I y por tanto A ∈ T (L). Así pues será T = T (L).

Teorema 9.1.2 (Propiedad universal de la topología final)

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1. TOPOLOGÍA FINAL. IDENTIFICACIÓN

Sea X un conjunto y L = {(Xi , Ti ), gi }i∈I una familia de espacios topológicos y aplicaciones g i : Xi → X. Sea T una topología en X, entonces T = T (L) si y sólo si para cada espacio topológico (Y, T 0 ) y cada aplicación g : (X, T ) → (Y, T 0 ) se verifica que g es continua si y sólo si g ◦ g i es continua para cada i ∈ I. Demostración Supongamos que T = T (L), sea g : (X, T (L)) → (Y, T 0 ) una aplicación continua, se verificará que g ◦ gi es también continua para cada i ∈ I. Si ahora tenemos que g : (X, T (L)) → (Y, T 0 ) es una aplicación tal que g ◦gi es continua para cada i ∈ I, entonces si B ∈ T 0 tenemos que gi−1 (g −1 (B)) ∈ Ti para cada i ∈ I y por tanto será g −1 (B) ∈ T (L), deducimos pues que g tiene que ser continua. Recíprocamente. Si tomamos (Y, T 0 ) = (X, T ) tendremos que la identidad I de (X, T ) en (X, T ) es continua y por tanto podremos afirmar que para cada i ∈ I es g i = I ◦ gi una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T ) y por tanto será T ⊂ T (L). Si ahora consideramos (Y, T 0 ) = (X, T (L)) y la aplicación identidad I de (X, T ) en (X, T (L)), como para cada i ∈ I tenemos que g i = I ◦ gi es continua se verificará que I es continua y que por tanto T (L) ⊂ T . Nota 9.1.3 1) Sea {Ti }i∈I un familia de topologías en un conjunto X y consideremos la familia L = {(X, Ti ), Ii }i∈I donde para cada i ∈ I es Ii : X → X la aplicación identidad, es sencillo probar que la correspondiente topología final T (L) en X es T (L) = ∩ i∈I Ti y es, para la relación de contenido, la topología ínfimo de la familia {Ti }i∈I . 2) Sean (Y, T ) un espacio topológico, X un conjunto y g : Y → X una aplicación, a la topología final en X para la familia L = {(Y, T ), g} se le llama topología de identificación en X de T por medio de g y la denotaremos T (g). Si A ⊂ X se verifica que A ∈ T (g) si y sólo si g −1 (A) ∈ T y A es cerrado en (X, T (g)) si y sólo si g −1 (A) es cerrado en (Y, T ). Observemos que el conjunto X\g(Y ) es un clopen en (X, T (g)). Si consideramos la aplicación g 0 : Y → g(Y ) definida por g 0 (y) = g(y) entonces T (g)|g(Y ) = T (g 0 ). 3) Sean (X1 , T1 ) y (X2 , T2 ) dos espacios topológicos y f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) una aplicación, se dice que f es una identificación si f es sobreyectiva y T 2 = T1 (f ), así pues si f es una identificación será f una aplicación continua. 4) Si f1 : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) y f2 : (X2 , T2 ) → (X3 , T3 ) son identificaciones entonces f2 ◦f1 : (X1 , T1 ) → (X3 , T3 ) es una identificación. En efecto f2 ◦ f1 es sobreyectiva y como es continua será T 3 ⊂ T1 (f2 ◦ f1 ). Sea A ∈ T1 (f2 ◦ f1 ) entonces tendremos que f1−1 (f2−1 (A)) ∈ T1 y por tanto será f2−1 (A) ∈ T2 , pero esto significa que A ∈ T3 . 5) Si f1 : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) es una identificación y f2 : (X2 , T2 ) → (X3 , T3 ) es una aplicación tal que f2 ◦ f1 es identificación, entonces f2 es identificación. En efecto, es claro que f 2 es sobreyectiva. Demostraremos que T2 (f2 ) = T3 , como f1 es identificación y f2 ◦ f1 es continua será f2 continua y por tanto T3 ⊂ T2 (f ). Sea ahora A ∈ T2 (f2 ), será f2−1 (A) ∈ T2 y por tanto f1−1 (f2−1 (A)) ∈ T1 y como f2 ◦ f1 es identificación tendremos que A ∈ T1 (f2 ◦ f1 ) = T3 . 6) Sea X un conjunto y sean T1 y T2 dos topologías en X y consideremos la aplicación identidad I : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ), si se verifica que T2 ⊂ T1 entonces I es continua pero si T1 6= T2 es claro que I no será identificación. Es sencillo comprobar que I será identificación si y sólo si es homeomorfismo es decir si T1 = T 2 . 7) Sea f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) una aplicación inyectiva, entonces f es identificación si y sólo si f es homeomorfismo. En efecto, es claro que si f es homeomorfismo entonces f es identificación. Supongamos que f es identificación, ya que f es inyectiva tenemos que f será biyectiva. Veamos que f es abierta, sea Apuntes y notas de Topología

CAPÍTULO 9. TOPOLOGÍA FINAL Y TOPOLOGÍA COCIENTE

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A ∈ T1 , como A = f −1 (f (A)) y f es identificación tenemos que f (A) ∈ T 2 . 8) Sea f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) una aplicación. Si f está en cualquiera de los siguientes casos entonces f es identificación: a- f es sobreyectiva, continua y abierta; b- f es sobreyectiva, continua y cerrada; c- f es continua y existe g : (X2 , T2 ) → (X1 , T1 ) continua tal que f ◦ g es la aplicación identidad en X 2 (se dice que g es una sección continua de f ). Veamos la demostración de estas afirmaciones: a) Como f es continua es T2 ⊂ T1 (f ). Sea A ∈ T1 (f ) entonces f −1 (A) ∈ T1 y como f es abierta y sobreyectiva será A = f (f −1 (A)) ∈ T2 . b) También aquí deducimos de la continuidad de f que T 2 ⊂ T1 (f ). Sea A ∈ T1 (f ) entonces X1 \f −1 (A) será cerrado y como f es cerrada será X 2 \f (X1 \f −1 (A)) ∈ T2 , pero como además f es sobreyectiva es X2 \f (X1 \f −1 (A)) = A. c) Es claro que f tiene que ser sobreyectiva y como f es continua será T 2 ⊂ T1 (f ). Sea A ∈ T1 (f ), como A = g −1 (f −1 (A)) deducimos que A ∈ T2 . Finalmente observemos que si (X1 , T1 ) es compacto, (X2 , T2 ) es T2 y f es continua y sobreyectiva entonces f es identificación.

9) Sea f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) una identificación, consideremos B 2 ⊂ X2 , B1 = f −1 (B2 ) y la aplicación g = f |B1 , determinada por f , de B1 a B2 con las correspondientes topologías inducidas: g : (B 1 , T10 ) → (B2 , T20 ) donde T10 = T1B1 , T20 = T2B2 . Demostraremos que si B2 ∈ T2 entonces g también es identificación. En efecto, como g es continua tenemos que T 20 ⊂ T10 (g), sea A ∈ T10 (g) entonces g −1 (A) = B1 ∩ f −1(A) ∈ T10 , pero como B2 ∈ T2 deducimos que B1 = f −1 (B2 ) es de T1 , por tanto B1 ∩ f −1 (A) ∈ T1 y como B1 ∩ f −1 (A) = f −1 (B2 ) ∩ f −1 (A) = f −1 (B2 ∩ A) tenemos que B2 ∩ A ∈ T2 y como A = B2 ∩ (B2 ∩ A) será A ∈ T20 . Si tenemos el caso en que B2 es cerrado en (X2 , T2 ) también se puede demostrar que g es identificación. Supongamos ahora que la aplicación f es abierta, probaremos que en este caso también es g una identificación. En efecto, sea A ∈ T10 (g) entonces g −1 (A) = B1 ∩ f −1 (A) ∈ T10 por tanto existe C ∈ T1 tal que g −1 (A) = B1 ∩ C y de aquí se deduce que A = B2 ∩ f (C), pero como f es abierta es f (C) ∈ T 2 . Si la aplicación f fuese cerrada también se puede probar que g sería identificación. Vamos ahora a exponer un ejemplo que pone de manifiesto que en general la restricción de una identificación no tiene porqué ser una identificación. Sea X1 = [0, 1] y T1 la correspondiente topología usual en X 1 , sea X2 = {t ∈ X1 : t ∈ / Q − {1}}. Sea f : X1 → X2 definida en cada x ∈ X, por f (x) = x si x ∈ X 2 y f (x) = 1 en otro caso, tenemos que f es una aplicación sobreyectiva, por tanto si consideramos en X 2 la topología T2 = T1 (f ) tendremos que f : (X, T1 ) → (X2 , T2 ) es una identificación. Consideremos B = X 2 −{1}, tenemos que f −1 (B) = B y sea g = f |B , tenemos que g es la aplicación identidad de (B, T 10 ) en (B, T20 ) donde T10 = T1B y T20 = T2B . Sea B ∩ (0, 12 ), es claro que g −1 (B ∩ (0, 12 )) = B ∩ (0, 12 ) ∈ T10 y por tanto B ∩ (0, 12 ) ∈ T10 (g), demostraremos que B ∩ (0, 12 ) ∈ / T20 . Supongamos que B ∩ (0, 12 ) ∈ T20 , entonces existe A ∈ T2 = T1 (f ) tal que B ∩ (0, 12 ) = A ∩ B. Tenemos que f −1 (A) ∈ T1 y por tanto existe un racional q tal que q ∈ f −1 (A), por tanto 1 ∈ A y entonces Antonio Aizpuru Tomás

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2. TOPOLOGÍA COCIENTE

f −1 (A) ⊃ [0, 1] ∩ Q, de esto deducimos que existirá algún irracional t ∈ f −1 (A) tal que t > 12 , por tanto f (t) = t ∈ A ∩ B lo que no es posible. 10) Sea f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) una identificación. Si (X1 , T1 ) tiene alguna de las siguientes propiedades: conexo, conexo por caminos, compacto, numerablemente compacto, secuencialmente compacto, entonces (X2 , T2 ) también tiene la correspondiente propiedad. Observemos que se demostró que las propiedades citadas se conservan por imagen de aplicación continua.

2

Topología cociente

Sea X un conjunto y R una relación de equivalencia en X. El conjunto cociente de X por R lo denotaremos, como es usual, por X/R y sus elementos o clases de equivalencia los denotaremos por x o R(x). Tenemos que para cada x ∈ X es x = {y ∈ X : xRy} y la familia {x : x ∈ X} es una partición de X. Denotaremos por p a la llamada aplicación canónica o proyección de X en X/R que está definida en cada x ∈ X por p(x) = x, es claro que p es sobreyectiva. Si T es una topología en X se llama topología cociente T /R en el conjunto cociente X/R a la topología final T (p) en X/R. Al espacio topológico (X/R, T /R) se le llama espacio topológico cociente de (X, T ) por R o respecto de R. Dado A ⊂ X se define la R-saturación de A por R(A) = {x ∈ X : existe y ∈ A con xRy}, es claro que A ⊂ R(A) y se dice que A es R-saturado si R(A) = A. Vamos a demostrar que T /R = {p(A) : A ∈ T y R(A) = A}. En efecto, sea B ∈ T /R entonces A = p−1 (B) ∈ T y p(A) = B, sea y ∈ R(A) entonces existe x ∈ A tal que yRx entonces p(y) = p(x) ∈ B y por tanto y ∈ p−1 (B) = A. Recíprocamente, sea A ∈ T tal que R(A) = A entonces demostraremos que A = p−1 (p(A)) y por tanto p(A) ∈ T /R. Es claro que A ⊂ p −1 (p(A)), sea x ∈ p−1 (p(A)) entonces p(x) ∈ p(A) es decir existe y ∈ A tal que p(x) = p(y), por tanto como xRy será x ∈ A. Es sencillo comprobar que la familia de cerrados de (X/R, T /R) es {F ⊂ X/R : p −1 (F ) es cerrado en (X, T )} = {p(B) : B ⊂ X es cerrado y R-saturada}. Si x ∈ X/R tenemos que el sistema de entornos de x será {B ⊂ X/R : p −1 (B) es entorno de x} = {p(A) : A es entorno de x y R(A) = A}. Finalmente observemos que la aplicación proyección p : (X, T ) → (X/R, T /R) es una identificación. Si f es una aplicación entre dos conjuntos X 1 y X2 denotamos por Rf a la correspondiente relación de equivalencia definida por f en X1 : xRf y si y sólo si f (x) = f (y). A los subconjuntos R f -saturados se les denomina f -saturados, es sencillo comprobar que A ⊂ X 1 es f -saturado si y sólo si A = f −1 (f (A)). Se denota por f a la aplicación de X1 /Rf en X2 definida en cada x ∈ X1 /Rf por f (x) = f (x) , es claro que f es una aplicación inyectiva y que f = f ◦ p donde p es la proyección de X 1 en X1 /Rf . En el siguiente teorema veremos que la topología identificación es, desde el punto de vista topológico, una topología cociente.

Teorema 9.2.1 Sean (X1 , T1 ), (X2 , T2 ) dos espacios topológicos y f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) una aplicación. Entonces f es identificación si y sólo si f : (X 1 /Rf , T1 /Rf ) → (X2 , T2 ) es homeomorfismo. Apuntes y notas de Topología


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Demostración Supongamos que f es identificación. Como p es identificación y f = f ◦p es identificación se verifica que f es identificación, pero como además f es inyectiva será f un homeomorfismo. Recíprocamente. Si f es homeomorfismo será identificación y como p también lo es deducimos que f = f ◦p es identificación.

Nota 9.2.2 1) Si (X1 , T1 ) es compacto (X2 , T2 ) es T2 y f : X1 → X2 es continua y sobreyectiva, entonces (X1 /Rf , T1 /Rf ) es homeomorfo a (X2 , T2 ). 2) Sea (X, T ) un espacio topológico. Consideremos A ⊂ X y la relación xR A y si y sólo si x = y ó {x, y} ⊂ A, observemos que la partición que R A determina en X es {{x} : x ∈ X − A} ∪ {A}. Al espacio topológico (X/RA , T /RA ) se le denota por (X/A, T /A). Si A ∈ T es sencillo comprobar que p : X → X/A es abierta. Si A es cerrado en X entonces p : X → X/A es cerrada. Tanto si A es cerrado o abierto y B = X/A − {p(A)} se verifica que p : (X − A, T X−A ) → (B, T /A)B es homeomorfismo. 3) Consideremos los conjuntos [0, 1] y S 1 = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : x21 + x22 = 1} ambos con su topología usual, la aplicación f : [0, 1] → S 1 definida en cada t ∈ [0, 1] por f (t) = (cos 2πt, sen 2πt) es continua y sobreyectiva y también será cerrada ya que [0, 1] es compacto, así pues f es una identificación, por tanto f : [0, 1]/Rf → S 1 será un homeomorfismo. Observemos que [0, 1]/R f = [0, 1]/{0, 1}. 4) Sea (R, Tu ) y consideremos (R\Q, Tu /Q). Sea A un abierto no vacío de R entonces A es R Q -saturado si y sólo si Q ⊂ A. Sea F un cerrado de R distinto de R, entonces F es R Q -saturado si y sólo si Q ∩ F = ∅. Es sencillo ahora comprobar que la correspondiente proyección p : R → R/Q no es ni abierta ni cerrada. 5) Sea (R, Tu ), sea G la relación de equivalencia definida en R por xGy si y sólo si x−y ∈ Q. Demostraremos que Tu /G es la topología trivial en R/G. Sea B un cerrado no vacío de (R/G, T u /G) entonces existe un cerrado no vacío F ⊂ R que es G-saturado y tal que B = p(F ). Sea x ∈ F y sea y ∈ R, tenemos que existe una sucesión de racionales (q n )n∈N tal que lim(qn ) = y − x, entonces (x + qn )n∈N es una sucesión en F que converge a y, por tanto F = R y B = p(F ) = R/G. 6) Sea B n la bola unidad cerrada de Rn . Consideremos f : B n → S n definida por f (x) = a si |x| = 1, donde x a = (0, . . . , 0, 1) ∈ S n , y si |x| < 1 f (x) = q −1 (h(x)) donde h(x) = 1−|x| , q es la proyección estereográfica y1 yn n n de S − {a} en R es decir: q(y1 , . . . , yn+1 ) = ( 1−yn+1 , . . . , 1−yn+1 ) y q −1 (x) es la correspondiente 2

−1+|x| 2x1 2xn aplicación inversa de q : q −1 (x1 , . . . , xn ) = ( 1+|x| 2 , . . . , 1+|x|2 , 1+|x|2 ). Tenemos que f es sobreyectiva y no es difícil demostrar que f es continua. Como B n es compacto deducimos, al ser S n T2 , que f es cerrada. Así pues f es identificación y f : B n /Rf → S n es un homeomorfismo. Finalmente se puede comprobar que Rf es la relación determinada en B n por S n−1 .

7) Sea f : R → S 1 definida en cada x ∈ R por f (x) = (cos(2πx), sen(2πx)), tenemos que f es continua y sobreyectiva y demostraremos que f es identificación demostrando que f es abierta. Sea I = (a, b) un intervalo de R. Si b − a > 1 será f (I) = S 1 . Supongamos que b − a ≤ 1, entonces S 1 − f (I) = f ([b, a + 1]) y como f ([b, a + 1]) es compacto en S 1 tenemos que f (I) es abierto. Deducimos pues que f : R/R f → S 1 es un homeomorfismo. Obsérvese que xR f y ⇔ x − y ∈ Z. 8) Sea f : [0, 1] × [0, 1] → S 1 × [0, 1] definida por f (x, y) = (cos(2πx), sen(2πx), y). Es claro que f es continua, sobreyectiva y cerrada, por tanto f es una identificación y tenemos el homeomorfismo f : [0, 1] × [0, 1]/Rf → S 1 × [0, 1]. Observemos que (a, b)Rf (x, y) ⇔ (a, b) = (x, y) o bien |a − x| = 1 y b = y. Antonio Aizpuru Tomás

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2. TOPOLOGÍA COCIENTE

9) Sea f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) una aplicación. Denotamos por f 0 : (X1 , T1 ) → (f (X1 ), T2f (X1 ) ) a la aplicación definida en cada x ∈ X1 por f 0 (x) = f (x), ya se comentó que se verifica que T 1 (f 0 ) = T1 (f )f (X1 ) . Consideremos la biyección f : (X1 /Rf , T1 /Rf ) → (f (X1 ), T20 ) donde T20 = T2f (X1 ) , es sencillo demostrar que 1) f es continua si y sólo si f es continua. 2) f es homeomorfismo si y sólo si T20 = T1 (f 0 ) = T1 (f )f (X1 ) . Por tanto si f es una aplicación continua tenemos que f es continua pero en general no se puede afirmar que f sea homeomorfismo. 10) Sean (X1 , T1 ), (X2 , T2 ) dos espacios topológicos. Sean R1 una relación de equivalencia en X1 y R2 una relación de equivalencia en X2 . Si f es una aplicación de X1 en X2 se dice que f es compatible con R1 y R2 si cuando se tiene xR1 y se verifica que f (x)R2 f (y), en esta situación podemos considerar la aplicación f : X1 /R1 → X2 /R2 y se verifica que si f es continua entonces f es continua. Si f fuese identificación entonces f también lo será. En efecto, si f es continua tenemos que p 2 ◦ f es continua y como p2 ◦ f = f ◦ p1 será f ◦ p1 continua y por tanto f es continua. Si f es identificación tenemos que p2 ◦ f será identificación y como p2 ◦ f = f ◦ p1 y p1 es identificación tenemos que f será identificación. 11) Sean (X1 , T1 ) y (X2 , T2 ) dos espacios topológicos. Sean R1 y R2 relaciones de equivalencia en X1 y X2 respectivamente. Si f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) es una aplicación que verifica xR1 y si y sólo si f (x)R2 f (y) entonces la aplicación f : (X1 /R1 , T1 /R1 ) → (X2 /R2 , T2 /R2 ) es inyectiva y si f fuese identificación deduciríamos que f es homeomorfismo. Consideremos [0, 1] con la relación xR 1 y si y sólo si x = y ó |x − y| = 1. Consideremos R con la relación xR2 y ⇔ x − y ∈ Z. Sea f : [0, 1] → R la aplicación definida en cada x ∈ [0, 1] por f (x) = x. Es claro que xR1 y si y sólo si f1 (x)R2 f2 (y). Sea x ∈ R, si E(x) es la parte entera de x tenemos que f(R1 (x − E(x))) = R2 (x), así pues f : [0, 1]/R1 → R/R2 es una aplicación sobreyectiva. Tenemos que [0, 1]/R1 es compacto y es sencillo comprobar que R/R 2 es T2 , podemos pues deducir que f es identificación y por tanto f es un homeomorfismo de [0, 1]/R 1 en R/R2 . 12) Sea f : (X1 , T1 ) → (X2 , T2 ) un homeomorfismo. Si R1 es una relación de equivalencia en X1 podemos definir por medio de la biyección f la siguiente relación en X 2 : aR2 b si y sólo si f −1 (a)R1 f −1 (b), es claro que R2 es también de equivalencia. Es sencillo comprobar que f : (X 1 /R1 , T1 /R1 ) → (X2 /R2 , T2 /R2 ) es un homeomorfismo. 13) Sea (X, T ) un espacio topológico y R una relación de equivalencia en X. Entonces (X/R, discreto si y sólo si R es un conjunto abierto en (X × X, T × T ).

T R)

es

En efecto, supongamos que (X/R, T /R) es discreto, para cada x ∈ X tenemos que {R(x)} es abierto en X R y por tanto p−1 ({R(x)}) = R(x) es abierto en X. Si (x, y) ∈ R tendremos que (x, y) ∈ R(x)×R(y) ⊂ R y por tanto R es abierto en X × X. Recíprocamente, supongamos que R es abierto en X × X entonces es difícil probar que R(x) es abierto en X, además R(x) es R-saturado y por tanto p(R(x)) = {R(x)} es abierto en X/R. 14) Sean (X, T ) un espacio topológico y R una relación de equivalencia en X. Supongamos que R es cerrado en X × X y que la proyección canónica p : X → X/R es abierta, demostraremos que entonces (X/R, T /R) es T2 . Sean x, y ∈ X tales que R(x) 6= R(y), entonces (x, y) ∈ / R y existirán A, B ∈ T tales Apuntes y notas de Topología


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que (x, y) ∈ A × B y (A × B) ∩ R = ∅. Entonces R(x) ∈ p(A), R(y) ∈ p(B) y p(A) ∩ p(B) = ∅ siendo p(A) y p(B) abiertos de X/R. 15) Sean {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y (X, T p ) el correspondiente espacio producto. Supongamos que para cada i ∈ I tenemos una relación de equivalencia R i en Xi , es sencillo comprobar que (xi )i∈I R(yi )i∈I si y sólo si xi Ryi para cada i ∈ I es una relación de equivalencia en X. Q Sea h : (X, Tp ) → i∈I (Xi /Ri , Ti /Ri ) la aplicación definida en cada (xi )i∈I ∈ X por h((xi )i∈I ) = (pi (xi ))i∈I , tenemos Q que h es continua, sobreyectiva y compatible con R; si consideramos la aplicación Ti h : (X/R, Tp /R) → i∈I (Xi /Ri , R ) tendremos que h es biyectiva y continua aunque en general no es i homeomorfismo. Aunque si pi es abierta, para cada i ∈ I, tendremos que h será abierta y desde aquí es sencillo comprobar que también lo es h, así pues en este caso h sería homeomorfismo. 16) Consideremos X1 = X2 = [0, 1], sea R1 una relación de equivalencia en X1 y R2 una relación de equivalencia en X2 donde R1 = R2 = R con xRy si y sólo si x = y ó |x − y| = 1. Sea h : [0, 1] × [0, 1] → [0, 1]/R1 × [0, 1]/R2 = S 1 × S 1 = T 2 (T 2 = Toro) definida por h(x1 , x2 ) = (p1 (x1 ), p2 (x2 )). Es claro que h es continua y sobreyectiva y no tiene dificultad probar que h es cerrada, así pues h es identificación y si observamos que Rh = R1 × R2 deducimos que h : [0, 1] × [0, 1]/R1 × R2 → T 2 es un homeomorfismo. Veamos ahora un ejemplo parecido. Sean X 1 = X2 = R, sean R1 y R2 relaciones de equivalencia en X1 y X2 respectivamente, donde R1 = R2 = R y xRy si y sólo si x − y ∈ Z. Sea h : R × R → R/R1 × R/R2 = T 2 definida por h(x1 , x2 ) = (p(x1 ), p2 (x2 )). Podemos comprobar que h es identificación y que Rh = R1 × R2 , así pues h : R × R/R1 × R2 → T2 es un homeomorfismo. 17) Sean (X, T ) un espacio topológico y R una relación de equivalencia en X. Si (X/R, T /R) es T 2 entonces R es cerrado en (X × X, T × T ). En efecto, consideremos p × p : (X × X, T × T ) → (X/R × X/ R, T /R × T /R). Como (X/R, T /R) es T2 tenemos que H = {(R(x), R(x)) : x ∈ X} es cerrado en (X/R × X/R, T /R × T /R) así pues (p × p)−1 (H) = R será cerrado en X × X. 18) Si consideramos el cociente de R con la relación R determinada por A = (−1, 1) se obtiene un espacio que no es T1 ya que el conjunto unitario {R(A)} no es cerrado en R/R. Podemos pues deducir que las propiedades T1 , T2 , T2a , T3 , T4 y metrizable no se conservan por cocientes. 19) Consideremos en R2 la relación R determinada por A = {0} × R. Demostraremos que R 2 /R no es IAN. Sea R(A) ∈ R2 /R y supongamos que R(A) posee una base numerable de entornos {U n }n∈N . Para cada (x, y) ∈ A y cada n ∈ N tenemos que Vn = p−1 (Un ) es un entorno de (x, y). Para cada r ∈ R denotamos Cr = {(x, y) ∈ R2 : x > r}, Dr = {(x, y) ∈ R2 : y > r}, es claro que V1 ∩ D1 es entorno de algún punto de A y existirá (x1 , y1 ) ∈ V1 ∩ D1 con x1 < 0. Sean α1 ∈ (x1 , 0), β1 ∈ (y1 , +∞), tenemos que V2 ∩ Cα1 ∩ Dβ1 será entorno de algún punto de A y por tanto existirá (x 2 , y2 ) ∈ V2 ∩ Cα1 ∩ Dβ1 con x2 < 0. Reiterando este razonamiento determinaremos las sucesiones ((x n , yn ))n∈N , (αn )n∈N , (βn )n∈N de modo que x1 < α1 < x2 < α2 < x3 < . . . , y1 < β1 < y2 < β2 < y3 < . . . y xn < 0 para cada n ∈ N. Consideremos el conjunto B = {(x, y) : y ≤ 1} ∪ {(x, y) : x > α 1 , y < β1 } ∪ · · · ∪ {(x, y) : x > αn , y < βn } ∪ . . . , / B y que B es R-saturado y entorno de cada punto de A, así tenemos que para cada n ∈ N es (xn , yn ) ∈ pues p(B) es entorno de R(A) pero es claro que, para cada n ∈ N, p(B) no contiene punto alguno de U n y 2 esto contradice nuestra suposición. Así pues RR no es IAN y tampoco será IIAN, deducimos por tanto que las propiedades IAN, IIAN y seudometrizable no se conservan por cocientes. 20) Sea (X, T ) un espacio topológico y sean R 1 y R2 dos relaciones de equivalencia en X tales que si xR1 y entonces xR2 y (se dice que R1 ⊂ R2 ). Consideremos en X/R1 la siguiente relación: R1 (x)R2 / R1 R1 (y) si y sólo si existen a, b ∈ X tales que a ∈ R 1 (x), b ∈ R1 (y) y aR2 b. Consideremos la aplicación Antonio Aizpuru Tomás

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3. TOPOLOGÍA DE LOS ESPACIOS PROYECTIVOS XR1 R2 R1

definida en cada R2 (x) ∈ X/R2 por h(R2 (x)) = R2 /R1 (R1 (x)), se verifica que h es T /R1 1 , . biyectiva y es un homeomorfismo entre los espacios topológicos (X/R 2 , RT2 ) y RX/R 2 /R1 R2 /R1

h : X/R2 →

En efecto, es sencillo comprobar que h es biyectiva y que es conmutativo el diagrama: pi

X

p2

X \ R1

p

(X \ R1 )\(R2 \ R 1 )

h

X \ R2

como p ◦ p1 es identificación y p2 es identificación es sencillo deducir que h es identificación lo que añadido a que h es biyectiva implica que h es identificación. 22) Sea I = [0, 1] y consideremos la aplicación continua g : I × I → R 3 definida en cada (x, y) ∈ I × I por f (x, y) = ([2 + (2y − 1) sen πx] cos 2πx, [2 + (2y − 1) sen πx] sen 2πx, (2y − 1) cos πx), tenemos que g es una identificación de I × I en Img = M . El espacio topológico M es conocido con el nombre de banda de Möbius. Se puede comprobar que la relación que induce g : I × I → M es (x, y)R(a, b) si y sólo si (x, y) = (a, b) o bien (x, y) = (0, y) y (a, b) = (1, 1 − y), así pues la banda de Möbius es homeomorfa a I × I/R.

3

Topología de los espacios proyectivos

El espacio proyectivo real de dimensión n, n ∈ N, se obtiene como el conjunto cociente de R n+1 \{0} con la relación de equivalencia xRy si y sólo si x = λy, para algún λ ∈ R, este conjunto cociente se denota por Rpn y observemos que sus elementos son los subespacios de R n+1 que tienen dimensión 1. Consideremos la esfera S n y en S n la relación de equivalencia xR 0 y si y sólo si x = −y. Definimos la x y la aplicación i : S n → Rn+1 \{0} por i(x) = x, tenemos aplicación f : Rn+1 \{0} → S n por f (x) = |x| que f es continua y sobreyectiva y que i es una sección continua de f , es decir f ◦i es la aplicación identidad en S n . Por tanto f es una identificación, además se verifica que si xRy entonces f (x)R 0 f (y), deducimos n+1 pues que la correspondiente aplicación f : R R\{0} = Rpn → S n /R0 es un homeomorfismo. Observemos que S n /R0 es compacto y conexo, así pues Rpn es también compacto y conexo. Demostraremos ahora que Rpn es T2 probando que S n /R0 es T2 . Consideremos la proyección p0 : S n → S n / R0 y demostraremos que p0 es abierta. Si A ⊂ S n es un abierto denotamos por Aˆ = {−x : x ∈ A}, es claro ˆ es abierto en S n /R0 . Además es que Aˆ es abierto y que A ∪ Aˆ es R0 -saturado, así pues p0 (A) = p0 (A ∪ A) 0 n n n claro que R es cerrado en S × S y por tanto podemos afirmar que S /R0 es T2 . Vamos ahora a deducir n+1 que p : Rn+1 \{0} → R R\{0} = Rpn es también abierta. Sea A un subconjunto abierto de R n+1 \{0}, demostrar que p(A) es abierto equivale a demostrar que f (p(A)) = p 0 (f (A)) es abierto y esto es evidente ya que p0 y f son abiertas. Nota 9.3.1 1. Sea F un subconjunto de Rp n , se dice que F es un subespacio proyectivo de dimensión m ≤ n si p−1 (F )∪{0} es un subespacio vectorial de R n+1 de dimensión m+1, es claro que si E ⊂ R n+1 es un subespacio vectorial de dimensión m + 1, m ≤ n, entonces F = p(E\{0}) será un subespacio proyectivo Apuntes y notas de Topología


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de dimensión m. Sea q : Rpn → Rpn una aplicación biyectiva, se dice que q es una proyectividad si existe un isomorfismo f : Rn+1 → Rn+1 tal que p ◦ fRn+1 −{0} = q ◦ p. Observemos que si f : Rn+1 → Rn+1 es un isomorfismo entonces se verifica que xRy si y sólo si f (x)Rf (y), así pues podemos considerar la aplicación q = n+1 n+1 f Rn+1 \{0} : R R\{0} → R R\{0} es decir q : Rpn → Rpn , es claro que p ◦ fRn+1 −{0} = q ◦ p y que q es sobreyectiva. Así pues q es un proyectividad. Finalmente, probaremos que q es homeomorfismo. Tenemos que fRn+1 \{0} es homeomorfismo y por tanto q será identificación biyectiva, así pues q es homeomorfismo. 2. Sea F = p(E\{0}) un subespacio proyectivo de dimensión m ∈ n de Rp n probaremos que F es homeomorfo a pRm . Sea E0 el subespacio de Rn+1 definido por E0 = {(x1 , . . . , xn ) : xm+2 = 0, . . . , xn = 0}, como E0 es de dimensión m + 1 tenemos que existe un isomorfismo f : R n+1 → Rn+1 tal que f (E) = E0 , sea q : Rpn → Rpn la correspondiente proyectividad asociada a f , tenemos que q(F ) = q ◦ p(E\{0}) = p(f (E\{0}) = p(E0 \{0}) será un subespacio proyectivo de Rp n que denotaremos por F0 y como q es homeomorfismo tenemos que F es homeomorfo a F0 . Vamos a probar que F0 es homeomorfo a Rpm consideremos g : Rm+1 \{0} → Rn+1 \{0} definida por g(x1 , . . . , xm+1 ) = (x1 , . . . , xm+1 , 0, . . . , 0), g es lineal y por tanto compatible con las relaciones que definen a los correspondientes espacios proyectivos, así pues podemos m+1 n+1 considerar g : R R\{0} = Rpn → R R\{0} = Rpn , g es inyectiva y como g es continua también lo será g además es claro que g es cerrada, por tanto Rp m es homeomorfo a g(Rpm ) = p(g(Rm+1 \{0})) = p(E0 \{0}) = F0 . 3. Demostraremos que Rn está inmerso en Rpn , más concretamente demostraremos que el complementario de un hiperplano proyectivo F de Rpn es homeomorfo a Rn . Sin pérdida de generalidad supongamos que el hiperplano vectorial E tal que p(E\{0}) = F es E = {x ∈ R n+1 : xn+1 = 0}. Consideremos x1 xn las aplicaciones f : Rn+1 \E → Rn , definida por f (x1 , . . . , xn , xn+1 ) = ( ,..., ) y g : Rn → xn+1 xn+1 Rn+1 \E, definida por g(z1 , . . . , zn ) = (z1 , . . . . . . , zn , 1), tenemos que f y g son continuas y que f ◦ g = f , así pues tenemos que f es una identificación, es sencillo comprobar que si x, y ∈ Rn+1 \E entonces f (x) = f (y) si y sólo si existe λ ∈ R, λ 6= 0, tal que n+1 x = λy, así pues Rf = R (donde R es la relación del espacio proyectivo) y R Rf\E = Rpn \F . Consideremos la aplicación f : Rpn \F → Rn , tenemos que f ◦ p = f y como f es identificación es f n+1 homeomorfismo. Observemos que la topología que se obtiene en Rp n \ F como el cociente R R \E coincide con la topología que hereda Rpn \F , como subconjunto de Rpn ya que Rpn \F es abierto en Rpn . Si ahora −1 consideramos la aplicación g = f tenemos que g : Rn → Rpn \F ⊂ Rpn , tenemos además que g es una n n inmersión de R en Rp , si demostramos que Rpn \F es denso en Rpn quedará probado que (Rpn , g) es una compactificación de Rn . Tenemos que g(Rn ) = p(Rn+1 \E) ⊃ p(Rn+1 \E) = p(Rn+1 \{0}) = Rpn . Finalmente observemos que Rpn es una variedad topológica de dimensión n ya que es T 2 y IIAN, además si a = [(a1 , . . . , an+1 )] ∈ Rpn podemos suponer que, por ejemplo, es a n+1 6= 0 entonces Rpn \F sería un entorno abierto de a que es homeomorfo a R n . 4. Sean B n la bola unidad de Rn con su topología usual y S n la esfera de Rn+1 tambiénpcon su topología usual. Consideremos la aplicación f : B n → S n definida por f (x1 , . . . , xn ) = (x1 , . . . , xn , 1 − (x21 + · · · + x2n )) tenemos que f es continua. En B n consideremos la relación de equivalencia xRy si y sólo si x = y o bien {x, y} ⊂ S n−1 y x = −y. En S n consideramos la relación de equivalencia xR 0 y si y sólo si x = y o bien x = −y. Tenemos que f es compatible con R y R 0 , así pues la correspondiente aplicación f : B n / R → S n /R0 es continua, es claro que f es también biyectiva y deducimos que f es un homeomorfismo. Antonio Aizpuru Tomás

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4. SUMA DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y TOPOLOGÍA COHERENTE

Por tanto B n /R y Rpn son homeomorfos.

4

Suma de espacios topológicos y topología coherente

Sea {Xi }i∈I una familia S de conjuntos. Se define la unión disjunta o suma directa P de la familia como el conjunto ⊕i∈I Xi = i∈I Xi × {i}, es también usual denotar a este conjunto por i∈I Xi . Observemos que si tenemos la familia {X1 , X2 } donde X1 = X2 = A, la técnica de definir la unión disjunta es contemplar a X1 y a X2 como conjuntos disjuntos lo que se consigue identificando, o copiando biyectivamente, a X 1 con A × {1} y a X2 con A × {2}. Debido a que X1 ⊕ X2 es la unión ordinaria de copias disjuntas de X 1 y X2 , cuando escribamos X1 ⊕ X2 podemos suponer, por comodidad, que X 1 y X2 son disjuntos, similar suposición haremos en el caso X = ⊕i∈I Xi , observemos que entonces cada A ⊂ X puede expresarse como S A = i∈I Ai donde Ai ⊂ Xi para cada i ∈ I.

Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos. Consideremos X = ⊕ i∈I Xi y para cada i ∈ I consideremos la aplicación ji : Xi → X definida en cada xi ∈ Xi por ji (xi ) = xi . Consideremos la familia L = {(Xi , Ti ), ji }i∈I , a la topología final, T (L), P en X para la familia L se le llama topología suma de {(Xi , Ti )}i∈I y se denota por ⊕i∈I Ti o bien por i∈I Ti , observemos que por tanto ⊕Ti = {A ⊂ X : A = S Ai y Ai ∈ Ti para cada i ∈ I}. Es sencillo comprobar que para cada i ∈ I se verifica que X i es abierto y cerrado en (⊕Xi , ⊕i∈I Ti ).

Nota 9.4.1 Sea {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y, como ya se comentó, consideraremos que Xi ∩ Xj = ∅ si i, j ∈ I y i 6= j. Sea (X, T ) el correspondiente espacio topológico suma: S 1. Sea A = i∈I Ai ⊂ X donde Ai ⊂ Xi para cada A es cerrado en X si y sólo si para S i ∈ I, entonces: a) S cada i ∈ I es Ai cerrado en Xi . b) Int A = i∈I Int(Ai ) c) A = i∈I Ai .

2. Consideremos para cada i ∈ I la aplicación j i : (Xi , Ti ) → (X, T ) definida en cada xi ∈ Xi por ji (xi ) = xi . Se verifica que ji es inyectiva, continua, abierta y cerrada. Así pues j i es un homeomorfismo de (Xi , Ti ) en (Xi , TXi ).

3. De las características de la topología final deducimos en particular lo siguiente: a) Si T 0 es otra topología en X tal que para cada i ∈ I es ji : (Xi , Ti ) → (X, T 0 ) continua entonces T 0 ⊂ ⊕i∈I Ti . b) Sean (Y, T 0 ) un espacio topológico y f : (X, T ) → (Y, T 0 ) una aplicación se verifica que f es continua si y sólo si f ◦ j i es continua para cada i ∈ I. 4. Sea {(Xi0 , Ti0 )}i∈I otra familia de espacios topológicos con el mismo conjunto de índices. Para cada i ∈ I sea fi : Xi → Xi0 una aplicación. Sea f = ⊕i∈I fi : ⊕i∈I Xi → ⊕i∈I Xi0 la aplicación definida por f (x) = fi (x) si x ∈ Xi , i ∈ I. Si consideramos en ⊕i∈I Xi0 la correspondiente topología suma se verifica que f es continua (respectivamente abierta, cerrada, homeomorfismo) si y sólo si para cada i ∈ I es f i continua (respectivamente abierta, cerrada, homeomorfismo). 5. Si P es una propiedad relativa a la topología se dice que P es sumable si cuando cada miembro de una familia de espacios topológicos {(X i , Ti )}i∈I , tenga la propiedad P se verifica que el correspondiente espacio topológico suma, (⊕i∈I Xi , ⊕i∈I Ti ) tiene la propiedad P . Las siguientes afirmaciones son de sencilla comprobación: a) Si Card I ≥ 2 entonces (X, T ) no es conexo. b) (X, T ) es compacto si y sólo si I es finito y para cada i ∈ I es (X i , Ti ) compacto. c) Son sumables las siguientes propiedades: T 0 , TD , T1 , T2 , T2a , T3 , T3a , T4 , regular, completamente regular, normal, Apuntes y notas de Topología


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seudometrizable, metrizable, localmente compacto y Baire. S 6. Para cada i ∈ I sea Ai ∈ Xi . Sea A = i∈I Ai entonces TA = ⊕i∈I TiA .

7. Sea (Y, T 0 ) un espacio topológico y {Yi }i∈J una partición de Y entonces se verifica que T 0 = ⊕TY0 i si y sólo si Yi ∈ T 0 para cada i ∈ I. Nota 9.4.2 Topología coherente con una familia de espacios topológicos. Sea H = {(X i , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos donde la familia de conjuntos S {X i }i∈I no es necesariamente de conjuntos disjuntos dos a dos. Sea X un conjunto que contiene a i∈I Xi y para cada i ∈ I sea ji : Xi → X la aplicación definida en cada xi ∈ Xi por j(xi ) = xi . 1. Se dice que una topología T en X es coherente con la familia H si para cada i ∈ I es T Xi = Ti y T es la topología final T (L) de la familia L = {(X i , Ti ), ji }i∈I . Así pues si existe la topología coherente es única y aquí la denotaremos por T (H). Es sencillo comprobar que A ∈ T (H) si y sólo si A ∩ X i ∈ Ti para cada i ∈ I. Sea C ⊂ X se verifica que C es cerrado en (X, T (H)) si y sólo si C ∩ X i es cerrado en cada (Xi , Ti ). 2. En el siguiente ejemplo veremos que la topología coherente no necesariamente existe. Consideremos el conjunto de índices I = (R×{0})∪(R×{1}). Para cada i = (t, 0) ∈ R×{0} consideremos el conjunto Xi = R × {t} y para cada i = (t, 1) ∈ R × {1} sea X i = {t} × R. Para cada i ∈ (Q×{0})∪(Q×{1}) sea Ti la topología discreta en Xi y para los restantes casos consideramos que Ti es la topología trivial en Xi . Observemos que si Xi ∩ XSj 6= ∅ entonces, como Xi ∩ Xj consta de un solo punto, se verifica que TiXi ∩Xj = TjXi ∩Xj . Tenemos que i∈I Xi = R2 y veremos que no existe una topología en R2 que sea coherente con H = {(Xi , Ti )}i∈I . En efecto, sea T (L) la topología en R 2 final para la familia L = {(Xi , Ti ), ji }i∈I donde ji es la correspondiente aplicación inclusión. Si i √ = (0, 1) tenemos que Xi = {0} × R y√que Ti es la correspondiente topología discreta,√así pues {(0, 2)} ∈ T(0,1) . Demostraremos que {(0, 2)} ∈ / T (L)X(0,1) . Sea A ∈ T (L) tal que (0, 2) ∈ A, √ √ −1 tenemos que j(√2,0) (A) es un abierto en X(√2,0) = R × { 2} que contiene a (0, 2), como T(√2,0) es la √ √ √ √ topología trivial será R × { 2} ⊂ j(−1 (A) = A. Si t ∈ R − Q y t 6= 2 tenemos que (t, 2) ∈ A, como 2,0) √ (t, 2) ∈ X(t,0) = R × {t} y T(t,0) es trivial, deducimos también que R × {t} ⊂ A es decir (0, t) ∈ A. Por √ tanto no puede suceder que A ∩ X(0,1) = {(0, 2)}. 3. La topología coherente T (H) existe si y sólo si existe una topología T en X tal que T Xi = Ti para cada i ∈ I. En efecto, si existe la topología coherente T (H) = T (L) tendremos por definición que T (H) Xi = Ti . Recíprocamente, sea T una topología en X tal que T Xi = Ti para cada i ∈ I. Consideremos la topología T (L) final en X para la familia L = {(Xi , Ti ), ji }i∈I . Para cada i ∈ I tenemos que ji es una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T (L)) así pues T (L)Xi ⊂ Ti . Como por otra parte también es ji una aplicación continua de (Xi , Ti ) en (X, T ), para cada i ∈ I, se verifica que T ⊂ T (L) y por tanto T Xi ⊂ T (L)Xi . Así pues T (L)Xi = Ti , para cada i ∈ I. Por tanto la topología coherente es T (L). Observemos por último que si existe una topología T en X tal que T Xi = Ti para cada i ∈ I entonces se verifica que T ⊂ T (L). Veremos ahora un ejemplo en el que sucede que el contenido T ⊂ T (L) es estricto: Consideremos (R, T ) donde T = TCF , sea I = PF (R) la familia de las partes finitas y no vacías de R y para cada A ∈ I sea XA = A. Sea S la familia de espacios topológicos H = {(X A , TA ) : A ∈ I}. Tenemos que T es una topología en R = A∈I XA tal que para cada A ∈ I es TXA = TA y por tanto existirá la correspondiente topología coherente T (H), es sencillo comprobar que T (H) es la topología discreta de R Antonio Aizpuru Tomás

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4. SUMA DE ESPACIOS TOPOLÓGICOS Y TOPOLOGÍA COHERENTE

así pues T ⊂ T (H) y T 6= T (H). S 4. Sean H = {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y X = i∈I Xi . Si Xi ∩ Xj = ∅ cuando i 6= j, i, j ∈ I, entonces la topología suma ⊕ i∈I Ti en X es la topología coherente T (H) en X para la familia H. S 5. Sean H = {(Xi , Ti )}i∈I una familia de espacios topológicos y X un conjunto tal que i∈I Xi ⊂ X, las siguientes afirmaciones tienen una fácil demostración: a) Si existe la topología coherente T (H) en X con S la familia H entonces se verifica que X\ i∈I Xi es abierto y cerrado en (X, T (H)). b) Si para cada i, j ∈ I con i 6= j y Xi ∩ Xj 6= ∅ se verifica que TiXi ∩Xj = TjXi ∩Xj , Xi ∩ Xj ∈ Ti y Xi ∩ Xj ∈ Tj entonces existe la topología coherente T (H) en X con la familia H y X i ∈ T (H) para cada i ∈ I. En efecto, consideramos la topología final T (L) en X para la familia L = {(X i , Ti ), ji }i∈I . Es claro que para cada r ∈ I es Xr ∈ T (L) ya que para cada i ∈ I es ji−1 (Xr ) = Xi ∩ Xr ∈ Ti . Demostraremos que para cada i ∈ I es T (L)Xi = Ti . Sea A ∈ T (L)Xi entonces A = B ∩ Xi con B ∈ T (L) y A = ji−1 (B) así pues A ∈ Ti . Sean i ∈ I y A ∈ Ti , tenemos que A = A ∩ Xi y Xi ∈ T (L), por tanto A ∈ T (L)Xi . De manera similar se demuestra la siguiente c) Si para cada i, j ∈ I con i 6= j y X i ∩ Xj 6= ∅ se verifica que TiXi ∩Xj = TjXi ∩Xj , Xi ∩ Xj es cerrado en (Xi , Ti ) y en (Xj , Tj ) entonces existe la topología coherente T (H) en X para la familia H. d) Sean T (H) la topología coherente en X con la familia H y f : (X, T (H)) → (Y, T 0 ) una aplicación, donde (Y, T 0 ) es un espacio topológico, se verifica que f es continua si y sólo si fXi es continua de (Xi , Ti ) en (Y, T 0 ) para cada i ∈ I. S 6. Sean (X, T ) un espacio topológico y {A i }i∈I una familia de subconjuntos de X tales que i∈I Int(A) = X, entonces T es la topología coherente en X para la familia H = {(A i , Ti )}i∈I , donde para cada i ∈ I es T i = T Ai . En efecto, es evidente que existe la topología coherente T (H) en X para la familia H y que T ⊂ T (H). Sea B ∈ T (H), entonces para cada i ∈ I tenemos que B ∩ A i ∈ TAi = Ti y existirá Gi ∈ T tal que B ∩ Ai = G ∩ Ai , observemos que B ∩ Int (Ai ) = B S∩ Ai ∩ Int(Ai ) = G ∩ Ai ∩ Int(Ai ) = G ∩ Int(Ai ) y por tanto B ∩ Int(Ai ) ∈ T . Deducimos que B = i∈I (B ∩ Int(Ai )) ∈ T . Los apuntes finalizan aquí pero amenazamos que serán ampliados con nuevos capítulos en los próximos cursos.


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ÍNDICE DE TÉRMINOS

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Índice de términos CR(X), 151 F -espacio, 158 OR(X), 151 Álgebra de Boole, 150 δ-completa, 151 Átomo, 155 atómica, 155 cociente, 153 completa, 151 de conjuntos, 151 de las partes de un conjunto, 151 de los conjuntos finitos y cofinitos, 151 de Seever, 158 no atómica, 155 superatómica, 155 Adherencia, 15 Aglomeración de base de filtro, 53 de filtro, 53 de una red, 48 Aplicación abierta, 60 característica, 63 cerrada, 60 continua, 37, 58 contractiva, 66 identificación, 160 proyección, 71 secuencialmente continua, 41 uniformemente continua, 38 Axioma de elección, 55 Banda de Möbius, 166 Base, 6 de cerrados, 10 de entornos, 12 de entornos abiertos, 13 de filtro, 51 de filtro asociada a una red, 51

de filtro convergente, 53 de un filtro, 51 Bases equivalentes, 7 Bola abierta, 3 cerrada, 3 Boquete, 94 Borde, 15 Camino, 97 Caracterización de Alexander, 122 Cilindro, 76 Clausura, 15 Coborde, 15 Compactificación, 139 de Alexandroff, 140 Complección de un espacio métrico, 67 Componente conexa, 91 conexa por caminos, 99 Composición de caminos, 97 Conjunto abierto, 4 bien ordenado, 132 cero, 108 cerrado, 5 clopen, 6 cocero, 108 cofinal, 43 compacto, 121 de primera categoría, 23 de segunda categoría, 23 denso, 22 denso en ninguna parte, 23 denso en si mismo, 23 derivado, 16 dirigido, 43 diseminado, 23 disperso, 23 fronterizo, 23


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localmente compacto, 136 numerablemente compacto, 130 perfecto, 23 precompacto, 126 raro, 23 relativamente compacto, 127 secuencialmente cerrado, 41 secuencialmente compacto, 130 totalmente acotado, 126 Continua, 37 Continuidad, 58 Contracción de recubrimiento, 119 Corona circular, 76 Cubo, 110 Cuerpo de conjuntos, 151 Curva de Peano, 146 Demostración de Mark Mandelkern, 113 Descomposición perfecto-disperso, 24, 147 Desigualdad de Holder, 2 de Minkowski, 3 Diámetro, 3 Distancia, 1 entre conjuntos, 3 Distancias equivalentes, 8 topológicamente equivalentes, 8 DONUTS, 77 Ejemplo de A. Mysior, 108 de Arens, 50 de Urysohn, 34 Embebimiento, 74 Embedding, 74 Entorno, 11 Espacio 0-dimensional, 93 T0 , 32 T1 , 33 T2 , 34 T3 , 104 T4 , 112 TD , 32 T2a , 34 T3a , 107 básicamente disconexo, 157 Bolzano-Weierstrass, 132

compacto, 121 completamente regular, 107 completo, 64 conexo, 86 conexo por caminos, 97 de Baire, 25 de Cantor, 142 de Hausdorff, 34 de Stone, 154 de Tychonoff, 107 de Urysohn, 34 extremadamente disconexo, 157 hereditariamente Lindelöf, 30 separable, 30 Lindelöf, 28 localmente compacto, 136 localmente conexo, 95 localmente conexo por caminos, 100 métrico, 1 metrizable, 4 normal, 112 numerablemente compacto, 130 primer axioma de numerabilidad (IAN), 27 producto, 71, 72 proyectivo, 166 regular, 103 secuencial, 42 secuencialmente compacto, 130 segundo axioma de numerabilidad (IIAN), 28 separable, 28 seudocompacto, 135 seudométrico, 1 topológico, 4 totalmente disconexo, 93 Weierstrass, 135 Espacios isométricos, 66 Eventualmente, 48 Extensión de función continua, 105 Exterior, 15 Familia de funciones subordinada, 119 discreta, 118 discreta de cerrados, 118 localmente finita, 12, 118 de cerrados, 12 puntualmente finita, 118



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Filtro, 51 asociado a una red, 51 convergente, 53 de entornos de M , 52 de Frechet, 52 en un álgebra de Boole, 152 generado por una base de filtro, 51 maximal en un álgebra de Boole, 152 principal asociado, 52 trivial, 152 Filtros maximales, 55 Frecuentemente, 48 Frontera, 15 externa, 15 interna, 15 Función, 45 integrable Riemann, 54 uniformemente continua, 129 Homeomorfismo, 60 local, 61 Homomorfismo entre álgebras de Boole, 152 Ideal en un álgebra de Boole, 152 maximal en un álgebra de Boole, 152 principal, 152 trivial, 152 Inmersión topológica, 74 Integrable Riemann, 45 Interior, 15 Isometría, 66 Isomorfismo entre álgebras de Boole, 152 Límite de de de de de Lema de de

base de filtro, 53 filtro, 53 redes, 43 sucesión, 37 una aplicación, 59 Urysohn, 112 Zorn, 55, 152

Métrica, 1 discreta, 4 euclídea o usual, 1 Métricas equivalentes, 8

topológicamente equivalentes, 8 Número de Lebesgue, 129 Operador clausura, 19 derivado, 21 frontera, 20 interior, 17 Kuratowski, 22 Ordinal, 116 P.I.F., 121, 130 Partición continua de unidad, 119 Principio del supremo, 94 Propiedad de intersecciones finitas no vacías, 121, 130 de Seever, 158 del punto fijo, 90 invariante por imagen inversa, 63 por imagen inversa de aplicación inyectiva, 63 productiva, 83 sumable, 168 topológica, 63 universal de la topología final, 159 universal de la topología inicial, 78 Propiedades de numerabilidad, 27 Proyección estereográfica, 77, 163 Proyectividad, 167 Punto adherente, 15 aislado, 16 clausura, 15 de w-acumulación, 22 de acumulación, 16 de aglomeración, 48 de condensación, 148 de corte, 93 de corte de orden n, 93 de dispersión, 93 exterior, 15 frontera, 15 interior, 4, 15 límite según una base de filtro, 59 Puntualmente finito, 119 Rango de red, 44


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Recorrido de red, 44 Recta de Sorgenfrey, 29 real ampliada, 141 Recubrimiento, 27, 119 abierto, 27, 121 Red, 43 asociada a un filtro, 52 asociada a una base de filtro, 51 convergente, 43 Redes universales, 55 Retracto, 91

coherente, 169 de identificación, 160 de los complementos finitos, 18 de los complementos numerables, 28 de Sorgenfrey, 29 del orden, 94, 116, 131, 132 discreta, 4 final, 159 inducida, 5 inicial, 77 más fina, 5 menos fina, 5 producto, 71, 72, 79 relativa, 5 suma, 168 trivial, 4 Toro, 77

Seudodistancia, 1 Seudométrica, 1 Sistema de entornos, 11 Soporte de función, 119 Subálgebra de álgebra de Boole, 152 Subbase, 9 de cerrados, 10 de entornos, 13 de entornos abiertos, 14 Subespacio proyectivo, 166 topológico, 5 Subrecubrimiento, 27 Subred, 47 Subsucesión, 40 Sucesión, 36 convergente, 36 de Cauchy, 64 Suma directa, 168

Ultrafiltros, 55 Unión disjunta, 168 Uniformemente continua, 38 Variedad topológica, 102 de dimensión n, 102

Teorema de Alexandroff, 141 de Baire, 65, 138 de Banach, 66 de Borsuk-Ulam, 91 de Cantor, 64 de representación de Stone, 153 de Tietze, 112 de Tietze-Urysohn, 113 de Tychonoff, 124 del punto fijo, 66 del recubrimiento de Lebesgue, 129 del valor medio, 90 metrización de Urysohn, 117 Topología, 4 cociente, 162 Apuntes y notas de Topología

Aizpuru - Apuntes Topologia General

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