Noções de Lógica Matemática - Puc - Sp

Untitled

30.08.03 21:11

PONTIFÍCIA PONTIF ÍCIA UNIVERSIDAD UNIVERSIDADE E CATÓL CATÓLICA ICA DE SÃO PAULO CENTRO CENTR O DE CIÊNCIAS CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA TECNOLOGIA

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA CELI CE LINA NA A. A.A. A.P. P. AB ABAR AR visitantes, desde 25/02/1999.

http://www.pucsp.br/~logica/principal.htm

Page 1 of 1

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:12

PONTIFÍCIA PONTI FÍCIA UNIVER UNIVERSIDADE SIDADE CATÓLIC CATÓLICA A DE SÃO PAULO CENTRO CENTR O DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA TECNOLOGIA - CEL CELINA INA A.A. A.A.P. P. ABAR ABAR -

- 19 9 9 -

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA 1. CON CONSID SIDERA ERAÇÕE ÇÕES S INICIAI INICIAIS S O aprendizado da Lógica auxilia os estudantes no raciocínio, na compreensão de conceitos básicos, básicos, na verificação verificação formal de programas programas e melhor os prepa prepara ra para o entendimento entendimento do conteúdo de tópicos mais avançados. Este roteiro constitui constitui uma INT alcançar os INTROD RODUÇÃ UÇÃO O À LÓGICA ELEMENTAR CLÁSSICA , procurando alcançar objetivos gerais e específicos propostos pela disciplina Lógica Matemática de Cursos de Ciência da Computação Computação que possuem a Lógica Lógica Matemática em seu currículo. currículo. O que apresentamos aqui, de modo sucinto, engloba engloba uma parte do conteúdo da disciplina disciplina LÓG LÓGICA ICA desta Universidade. Universidade. MATEMÁTICA MATEMÁTI CA do curso de Ciência da Computação desta Ao "navegar" através dos tópicos apresentados você você terá uma idéia de como começar a aprender aprender Lógica. Esperamos contribuir para o seu aprendizado!

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA CATÓLICA DE SÃO PAULO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS EXATAS E TECNOLOGIA TECNOLOGIA - CELIN CELINA A A.A.P. A.A.P. ABAR ABAR -

- 19 1999 99 -

http://www.pucsp.br/~logica/Inicio.htm

Page 1 of 1

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:13

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA 2. IN INTR TROD ODUÇ UÇÃO ÃO Neste roteiro, roteiro, o principal principal objetivo objetivo será a investiga investigação ção da validad validadee de ARGUMENTOS: conjunto conjunto de enunciados enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Os argumentos argumentos estão tradicionalmente divididos em DEDU DEDUTIVOS TIVOS e INDU INDUTIVOS TIVOS. ARGUMENTO DEDUTIVO:

verdadeira.

é válido quando quando suas suas premissas, premissas, se verdadeiras, verdadeiras, a conclusão conclusão é também também

Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem." Conclusão : "João é mortal." Esses argumentos serão objeto de estudo neste roteiro. assegurar a verdade da conclusão. conclusão. ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar

Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado." Não tratare trataremos mos do estudo estudo desses desses argumen argumentos tos neste neste roteiro roteiro..

As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa possa ter uma uma análise lógica apropriada apropriada para a verificação de sua validade. Tais técnicas de análise serão tratadas no decorrer decorrer deste roteiro. roteiro.


- 19 1999 99 -

http://www.pucsp.br/~logica/Introducao.htm

Page 1 of 1

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:13

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA 3.UMA 3.UM A CLA CLASSIF SSIFICA ICAÇÃO ÇÃO DA LÓGI LÓGICA CA LÓGICA INDUTIVA: útil útil no estudo da teoria da probabilidad probabilidade, e, não será abordada abordada neste roteiro. roteiro. LÓGICA DEDUTIVA: que pode ser dividida dividida em em : LÓGICA LÓG ICA CLÁSSIC CLÁSSICA A- Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de CÁLCULO DE PREDICADOS PREDICADOS DE 1 a ORDEM ORDEM com com ou sem sem igualda igualdade de e de algu alguns ns de seus seus subsi subsiste stema mas. s. •

IDEN TIDADE DE, da CONTRAD CONT RADIÇÃO IÇÃO e Três Princípios (entre outros) regem a Lógica Clássica: da IDENTIDA do TERCEIRO EXCLUÍDO os quais serão abordados mais adiante. •

LÓGICAS LÓGIC AS COMPLEMEN COMPLEMENTARES TARES DA CLÁSSICA CLÁSSICA: Complementam de algum modo a lógica clássica

estendendo o seu domínio. Exemplos: Exemplos: lógicas modal , deôntica, epistêmica , etc. •

LÓGICAS LÓGIC AS NÃO - CLÁSSIC CLÁSSICAS AS: Assim caracterizadas por por derrogarem algum ou alguns dos princípios da

lógica clássica. Exemplos: paracompletas paracompletas e intuicionistas (derrogam (derrogam o princípio do terceiro excluído); excluído); paraconsis paraconsistentes tentes (derroga (derrogam m o princípio princípio da contrad contradição) ição);; não-aléti não-aléticas cas (derr (derrogam ogam o terceiro terceiro excluído e o da contradição); não-reflexivas (derrogam o princípio da identidade); identidade); probabilísticas, polivalentes, fuzzy-logic, etc...


- 19 1999 99 -

http://www.pucsp.br/~logica/Classificacao.htm

Page 1 of 1

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:14

NOÇÕES NOÇ ÕES DE LÓGI LÓGICA CA MATEM MATEMÁTI ÁTICA CA 4. "ESBO "ESBOÇO" ÇO" DO DESEN DESENVOLV VOLVIMENT IMENTO O DA LÓGICA LÓGICA •

390 a.C. a.C. a ± 1840 1840 d.C. d.C.)) PERÍODO PERÍOD O ARIST ARISTOTÉLICO OTÉLICO (± 390

A história da Lógica tem início com o filósofo grego ARISTÓT ARISTÓTELES ELES (384 - 322a.C.) de Estagira (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da Lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido). válido). Seus escritos escritos foram reunidos na obra denominada Organon ou Instrumento da Ciência. Na Grécia, Grécia, distinguiram distinguiram-se -se duas grandes escolas de Lógica, a PERIPATÉTICA PERIPATÉTICA (que derivava derivava de Aristóteles) Aristóteles) e a ESTÓICA ESTÓI CA fundada por Zenão (326-264a.C.). (326-264a.C.). A escola escola ESTÓICA foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C. (280-250a.C.)) a partir partir da escola MEGÁRIA (fundada por Euclides, um seguidor de Sócrates). Segundo Kneale Kneale e Kneale (O Desenvolvimento Desenvolvimento da Lógica), houve durante muitos anos uma certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários e que isto talvez tenha prejudicado prejudicado o desenvolviment desenvolvimentoo da lógica, lógica, embora embora na na verdade verdade as teorias destas escolas escolas fossem fossem complementa complementares. res. GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos seguidos e só foram apreciados apreciados e conhecidos no século XIX . •

1840 a ± 1910 1910)) PERÍODO PERÍO DO BOOLEA BOOLEANO NO :(± 1840

Inicia-se Inicia-se com GEORGE BOOLE (1815-1864) e AUGUSTUS DE MORGAN (1806-1871). (1806-1871 ). Publicaram Publicaram os fundamentos fundamentos da chamada chamada Álgebra da lógica, respectivame respectivamente nte com MATHEMATICAL ANALYSIS ANALY SIS OF LOGIC e FORMAL LOGIC. BEGRIFFS SCHRIFT de GOTLOB FREGE (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra BEGRIFFSSCHRIFT

1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas reconhecidas pelos lógicos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento desenvolvimento da lógica que se seguiu. seguiu. Burali-Forti, Vacca, Vacca, Pieri, Pieri, Pádoa, Vailati, Vailati, etc. Quase toda GIUSEPPE PEANO (1858-1932) e sua escola com Burali-Forti, simbologia da matemática se deve a essa escola italiana. •

PERÍODO PERÍ ODO ATUA ATUAL: L: (1910- ........)

Com BERTRAND RUSSELL (1872-1970) e ALFRED NORTH WHITEHEAD (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra PRINCIPIA MATHEMATICA. Neuman, Bernays, Ackerman Ackerman e outros. DAVID HILBERT (1862-1943) e sua escola alemã com von Neuman, importantes contribuições. contribuições. KURT GÖDEL (1906-1978) e ALFRED TARSKI (1902-1983) com suas importantes Surgem as Lógicas não-clássicas : N.C.A. DA COSTA (Universidade de São Paulo) com as lógicas paraconsistentes , L. (Universidad e de Berkeley-USA) com a lógica "fuzzy" e as contribuições dessas lógicas para a Informática, A. ZADEH (Universidade no campo da Inteligência Artificial com os Sistemas Especialistas. Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em Lógica englobam muitas áreas do conhecimento.

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS EXATAS E TECNOL TECNOLOGIA OGIA - CELINA A.A.P. ABAR -

- 19 1999 99 -

http://www.pucsp.br/~logica/Desenvolvimento.htm

Page 1 of 1

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA 5. CÁL CÁLCUL CULO O PROPO PROPOSIC SICION IONAL AL Como primeira e indispensável parte da Lógica Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL CÁLCUL ULO O SENT SENTEN ENCI CIAL AL ou ainda CÁL CÁLCULO CULO DAS DAS SENT ENTENÇA ENÇAS S . ou CÁLC

5.1. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO PROPOSIÇ PROP OSIÇÃO ÃO: sentenças sentenças declarativas declarativas afirmativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. A lua é quadrada. • A neve é branca. • Matemática Matemática é uma uma ciência. ciência. •

Não serão serão objeto objeto de estudo estudo as sentenças sentenças interro interrogativ gativas as ou exclama exclamativas. tivas.

5.2.OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL PROPOSICIONAL VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS : letr letras as lati latina nass minú minúsc scul ulas as p,q,r,s,.... ,.... para para indi indica carr as prop propos osiçõ ições es (fórmu (fórmulas las atômicas) atômicas) . Exemplos: A lua é quadrada : p A neve é branca : q •

CONECTIVOS LÓGICOS : As fórmulas fórmulas atômicas podem podem ser combinadas entre entre si e, para representar tais combinações usaremos os os conectivos lógicos : •

: e , : ou ,

: se...então ,

: se e somente se , : não

Exemplos: •

A lua é quadrada e a neve é branca. : p

•

A lua é quadrada ou a neve é branca. : p

•

Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p

•

A lua é quadrada se e soment somentee se a neve é branca. : p

•

A lua não é qua quadra drada. da. : p

http://www.pucsp.br/~logica/Proposicional.htm

q (p e q são chamados conjunctos) q ( p e q são chamados disjunctos) q ( p é o antecedente e q o conseqüente) q

Page 1 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , par parên êntes teses es que que serv servem em para para deno denotar tar o "alc "alcan ance" ce" dos dos con conec ectiv tivos os;;

•

Exemplos: •

•

quadra rada da e a neve neve é bran branca ca então a lua não é quad quadra rada da.. : Se a lua é quad ((p q) p) A lua não é quadrada quadrada se e somente se a neve é branca. : (( p) q))

DEFINIÇÃO DE FÓRMULA :

•

1. Toda fórmula atômicaé uma fórmula fórmula.. 2. Se A e B são fórmulas então (A B) , (A B) , (A B) B) , (A B) e ( A) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. . Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ∼,

,

,

,

.

Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. Exemplo: a fórmula p q r p q deve ser entendida como (((p q) ( r)) ( p ( q)))

5.3 - AS TABELAS VERDADE A lógica clássica é governada por por três princípios (entre outros) que podem podem ser formulados como segue: Princípio Princíp io da Identidade Identidade: Todo objeto objeto é idêntico a si mesmo. mesmo.

•

Princípio da Contradição Princípio Contradição: Dadas duas proposições proposições contraditória contraditóriass (uma é negação negação da outra), outra), uma delas é falsa. •

Princípio Princ ípio do Terceiro Terceiro Excluído Excluído: Dadas duas proposições proposições contraditórias, uma delas é verdadeira. verdadeira.

•

Com base nesses princípios as proposições proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que que a lógica clássica é bivalente. Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas-verdade tabelas-verdade : 1.Tabe 1.Tabela la verdad verdadee da "negação" : ~p é verdad verdadeir eiraa (falsa (falsa)) se e soment somentee se p é falsa falsa (verda (verdadei deira) ra)..


Page 2 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

p

~p

V

F

F

V

2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros. p

q

p∧q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos. p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. p

q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

5. Tabela verdade verdade da "bi-implicação": a bi-implicação bi-implicação é verdadeira verdadeira se, e somente somente se seus componentes componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos


Page 3 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Exemplo: Construir a tabela verdade verdade da fórmula : ((p ∨ q) q) → ~p) → (q ∧ p) p) p

q

((p ∨ q) → ~p) → (q ∧ p)

V

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

F

F

V

V

F

F

NÚMERO DE LINHAS DE UMA TABELA-VERDADE TAB ELA-VERDADE : Cada proposição simples (atômica) tem dois valores V ou F, que se excluem. Para n atômicas distintas, há tantas possibilidades quantos são os arranjos com repetição repetição de 2 (V e F) elementos elementos n a n. Segue-se Segue-se que o número número de linhas da tabela verdade verdade é 2 n. Assim, para duas duas pro propo posi siçõ ções es são 2 2 = 4 linh linhas as;; para para 3 prop propos osiç içõe õess são são 2 3 = 8; etc. etc. •

Exemplo: a tabela - verdade da fórmula ((p ∧ q) → r) terá 8 linhas como segue : p

q

r

((p ∧ q) → r )

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

F

F

F

F

V

NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual: inclusivo (disjunção) ("vel") e exclusivo ( "aut") onde p q significa ((p ∨ q) ∧∼ (p ∧ q)).


Page 4 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

p

q ((p ∨ q) ∧ ∼ (p ∧ q))

V

V

V

F F V

V

F

V

V V

F

F

V

V

VV

F

F

F

F

FV

F


- 19 1999 99 -


Page 5 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

NOÇÕES NOÇ ÕES DE LÓGI LÓGICA CA MATE MATEMÁ MÁTI TICA CA 6. O CÁLCULO CÁLCULO PROPOSI PROPOSICIONA CIONALL E A ÁLGEBRA ÁLGEBRA DOS CONJUNTO CONJUNTOS S O Cálculo Proposicional e a Álgebra dos Conjuntos possuem possuem estruturas semelhantes. semelhantes. Toda fórmula do Cálculo Proposicional Proposicional determina uma operação correspondente com conjuntos conjuntos : a neg negaç ação ão ( ) cor corre resp spon onde de à com compl plem emen enta taçã çãoo ( ’ ), a co conjun njunçã çãoo ( ) cor corre resp spoonde à int inter erse secç cção ão ( ) , a dis disjjunção ( ) co corresp esponde à união ião ( ). As variáveis proposicionais proposicionais podem servir servir como variáveis simbolizando conjuntos na nova expressão. Exemplo: (( p q)

correspond ondee a (( p p)corresp

q)

p’)

DIAGRAMAS S DE EULER-V EULER-VENN ENN que são Podemos expressar, as operações entre conjuntos através dos DIAGRAMA úteis na verificação de propriedades propriedades de operações entre conjuntos, mas não não devem ser considerados instrumentos de prova matemática rigorosa. 1.COMPLEMENTAÇÃO : p’que corresponde à NEGAÇÃO : p p

~p

1

V

F

2

F

V

onde as linhas (1) e (2) (2) da tabela correspondem às regiões (1) e (2) do diagrama respectivamente. 2.UN UNIÃ IÃO O:p p q

q que corresponde à DISJUNÇÃO: p q

http://www.pucsp.br/~logica/Conjuntos.htm

Page 1 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

p

q

p

q

1

V

V

V

2

V

F

V

3

F

V

V

4

F

F

F

as linhas (1), (2), (3) e (4) da tabela correspondem às regiões (1), (2), (3) e (4) do diagrama respectivamente. respectivamente. A região hachurada no diagrama corresponde às linhas da tabela onde a fórmula p q assume valor V. 3. INTERSECÇÃO : p p q

q que corresponde à CONJUNÇÃO: p

q

p q p q

1

V

V

V

2

V

F

F

3

F

V

F

4

F

F

F

A região hachurada do diag diagra rama ma corr corres espo pond ndee à linh linhaa (1) (1) da tabe tabela la,, on onde de a fórm fórmul ulaa p q assu assume me valo valorr V. A figura abaixo forma um diagrama de Venn apropriado para três conjuntos. Temos 8 regiões que correspondem, respectivamente, respectivamente, às 8 linhas da tabela-verdade ao lado do diagrama :


Page 2 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

p q r

1

V V V

2

V V F

3

V F V

4

V F

5

F V V

6

F V F

7

F F V

8

F F

F

F

Exemplo: O diagrama de Venn abaixo corresponde à fó fórmula ((p ∧ q) → r) e à expressão (p

p

q

r

((p

q)

V

V

V

F

V

V V

V

V

F

V

V

F F

V

F

V

F

F

V V

V

F

F

F

F

V F

F

V

V

F

F

V V

F

V

F

F

F

V F

F

F

V

F

F

V V

F

F

F

F

F

V F

q)

r’.

r)

7.TAUT 7.T AUTOLO OLOGIA GIA E CON CONTRA TRA -TAUTOL -TAUTOLOGI OGIA A TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LÓGICAMENTE VÁLIDA : Fórmula Fórmula que possui possui apenas valor V em sua tabela tabela verdad verdade. e. Exemplo : p p


Page 3 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

p

p p

p

1

V

F

V

2

F

V

V

CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LÓGICAMENTE FALSA : Fórmula Fórmula que possui possui apenas apenas la verd valo valorr F em sua sua tabe tabela verdad ade. e. Exemplo : p p •

p

p p

p

1

V

F

F

2

F

V

F

CONTINGENTE ou INDETERMINADA : Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade. Exemplo : p q •

p

q

p

q

1

V

V

V

2

V

F

F

3

F

V

V

4

F

F

V

8. REGRAS DE DE INFERÊNCIA INFERÊNCIA E EQUIVALÊNC EQUIVALÊNCIAS IAS TAUTOLÓ TAUTOLÓGICAS GICAS REG RAS DE INFERÊN REGRAS INFERÊNCIA CIA .: A fór fórmula ula imp implica lica tau tautoló tológgica icament mentee a fór fórmula e ind indica icamos mos somente se a fórmula é uma tautol tautologi ogiaa . •


se e

Page 4 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

Regras

Fórmulas Atômicas

Fórmulas Compostas

p (p

A, A

Modus Ponens

MP

Modus Toll ens

MT

Silogismo Silogi smo Hipotético Hipoté tico

SH

(p

Silogismo Disjuntivo Disjuntiv o

SD

(p q)

Simplifi Simp lificação cação

SM

p q

Adi ção

AD

p

p q

Elimina Eli minação ção

EL

(p

(q r) )

Prova por Casos C asos

CS

(p

r)

q)

q (p

q q)

p

q) ( q

r)

p

B/B

B, A

(p

r)

A

q

B/ A

B, B A, A

p

C/A

C

B/B

A B/A A/A q

(q

p

r)

r

B

B , (A

(p q)

r

A

(B C) / A

C, B

C / (A

C B)

C

EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS : As fórmulas e são tautológicamente equivalentes e indicamos indicamos se e somente somente se a fórmula fórmula é uma tauto tautolog logia ia •

Comutativa

p q

q p

Associativa Associa tiva

(p q) q) r

Idempot Idem potente ente

p p

p

p p

p

Propriedades Propriedad es de de V

p V

p

p V

V

Propriedades Propriedad es de de F

p F

F

p F

p

Absorção

p (p r)

Distribu Dist ribu tiva s

p (q

Distribu Dist ribu tiva s

p

p (q (q r)

r)

(p q ) (p

(q r)

(p

q

~p

q

Def. bicondici bico ndici onal

p

q

(p

q) ( q

( p)

p

Contraposição

p

Export Exp ortaçã ação( o( )

Importação (⇐ )

Troca de Premissas

p

(q

q

r)

p

p (q

(p q ) (p

p

r)

(q r) (p q)

p

q

r)

p (q r)

p (p r)

q

Def. implicação implica ção

Nega Ne gaçã ção o

r)

q) (p q)

p

q p

(p q) r

p

(p q)

Leis de De Morgan

p q

p)

p

q

p

q

(p

r)

q) (p q)

p

q

(p

q)

r)

(~p q) q) (~ (~q p)

p

q

(p q) (p

r

p

(q

r)

r)

Ex emplo : Dadas as fórmulas A: p (q r) e B : ∼(q r ) p vamos verificar que A quee A / B. Bast qu Bastaa veri verifi fica car, r, com com o uso uso das das tab tabelas elas verd verdad ade, e, qu quee A B é tautologia. p q r ( p (q r) r))) ( (q r ) p) http://www.pucsp.br/~logica/Conjuntos.htm

B ou ainda

Page 5 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

V

F

V

F

V

F

V

F

F

F

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

B pois A

B é tautologia.

Neste exemplo, exemplo, A

As TAUTOLOGIAS são infinitas e desempenham um importante papel nos processos de dedução no Cálculo Proposicional como veremos em próximos tópicos.

9. FORMA FORMAS S NORMAIS NORMAIS CONJUN CONJUNTIVA TIVA E DISJUNTIV DISJUNTIVA A EQUIVALÊNCIA LÊNCIAS S TAUTOL TAUTOLÓGICAS ÓGICAS dadas ac Algumas EQUIVA acima nos permitem transformar qualquer fórmula em uma fórmul fórmulaa lógicam lógicament entee equ equiva ivalen lente, te, que não con conten tenha ha os con conect ectivo ivoss e , transf transform ormand ando-a o-a em uma FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) como segue: 1. substitui-se substitui-s e fórmulas: A B por ∼A B e A B por ( A B) 2. elimina-se a negação que que precede os parênteses parênteses substituindo-se: (A B) por ∼A B e (A B) por A B. 3. eliminam-se as negações múlti ltiplas substit tituindo ( A) por A. 4. elimina-se o alcance dos conectivos substituindo para obter obter a FNC : A para obter obter a FND : A

(B (B

C) por (A C) por (A

B) B)

(A (A

( B

A)

C) C)

Deste modo, uma fórmula está em FORMA NORMA NORMAL L CONJUN CONJUNTIVA: TIVA: FNC ou em FORMA NOR NORMAL MAL DISJUNTIVA: FN FND D se, e somente se: 1. No máximo contém os conectivos , , . 2. A negação não tem alcance alcance sobre sobre os conectivos conectivos e . 3. Não aparecem negações sucessivas. 4. O conectivo não tem alcance sobre na FNC e, o conectivo

não tem alcance sobre na FND.

Exemplos: FNC FN C : ( p q) (r s p) FND FN D : p (q r) ( s p) Exemplo: Determine uma FND e uma FNC equivalente à fórmula http://www.pucsp.br/~logica/Conjuntos.htm

Page 6 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

((p 1.

((p

q)

q)

q) q)

q) .

(r (r

q)

Fórmula dada

(r

q)

1. Def. de Implicação

(r

q)

2.

((p

q) q)

q)

3.

( (p

q)

4.

( p

q)

q

(r

q)

3. Negação e De Morgan

5.

( p

q)

q

(r

q)

4.FND

6.

(( p

q) q)

( q

7.

(( p

q)

V)

8.

( p

q)

(r

9.

( p

q

r) ( p

q

10.

( p q

r) ( p

q)

q)

q)) q) (r

(r

2. De Morgan

q) q)

q)

5. Distributiva 6. Tautologia

q)

7. Propriedade de V

q)

8. Distributiva 9. Idempotente e FNC

10. PR PROB OBLE LEMA MA DE DE POST POST Como já observamos podemos podemos construir a tabela verdade de uma fórmula conhecidos os valores verdade das fórmulas que a compõem. O problema recíproco se coloca : para toda tabela verdade, existe uma fórmula que a determina? determina? Este problema problema é conhecido conhecido como PROBLEMA DE POST e pode ser resolvido resolvido obtendo-s obtendo-see uma FNC ou uma FND que satisfaça a tabela verdade dada. Pa Para se obter uma FND:

•

1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem V na última coluna; 2. Construimos para cada uma destas linhas as conjunções correspondentes; conjunções obtendo uma fórmula em FN 3. Fazemos a disjunção destas FND D que satisfaz a tabela verdade. Exemplo: Determine uma uma fórmula que que satisfaça a tabela verdade verdade abaixo: p q ?

Resposta: Fórmula obtida (p

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

q) ( p

(p

( p

q)

q)

q) FND

Pa Para se obter uma FNC:

•


Page 7 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:15

1. Observamos todas as linhas da tabela que possuem F na última coluna; 2. Construimos para cada uma destas linhas as disjunções correspondentes; disjunções obtendo uma fórmula em FN 3. Fazemos a conjunção destas FNC C que satisfaz a tabela verdade. Exemplo: Determine uma uma fórmula que que satisfaça a tabela verdade verdade abaixo: p q ?

Resposta: Fórmula obtida ( p

q)

V

V

V

V

F

F

p

F

V

F

p

F

F

V

(p

q q

q) FN FNC C

As FND e FNC ob obti tida dass como como acim acimaa são são completas ou seja seja,, em cada cada disj disjun unct ctoo (FND) ou em cada cada conj conjun unct ctoo (FNC ) tod todas as variá ariávveis eis pro propposic osicio iona nais is estã estãoo pr presen esente tes. s.


- 19 1999 99 -


Page 8 of 8

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:16

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA 11. NOÇÕ NOÇÕES ES DE ÁLGE ÁLGEBRA BRA BOO BOOLEAN LEANA A Uma das características da investigação científica científica é procurar padrões padrões ou semelhanças entre fenômenos observados. Vimos que o Cá Cálc lcul uloo Prop Propos osic icio iona nall e a Teor Teoria ia dos dos Conju onjunt ntos os possuem algumas propriedades estruturas matemáticas que, juntamente com operações ou relações entre seus objetos em comum ou sejam são estruturas estrutura ura matemática matemática a um esqueleto humano pois, embora obedecem certas regras. Podemos comparar uma estrut as aparências externas das pessoas pessoas sejam diferentes, a forma e a disposição dos ossos são as mesmas. Assim, estrutura ura matemátic matemática a, Álgebra Booleana, que incorpora as propriedades básicas do vamos definir, uma estrut Cálculo Proposicional e a Teoria dos Conjuntos, ou seja, é um outro modelo modelo de uma mesma estrutura matemática. O conceito de Álgebra Booleana foi formulado pelo matemático inglês George Boole por volta de 18 1850 50.. Por ÁLGEBRA BOOLEANA ente entenndemo emos um conjunto B={p, q, r , ..} junto com duas opera erações biná inárias + e em B, uma operação singular ’ em B e dois elementos distintos 0 e 1 de B tais que valem as seguintes proprieda propriedades: des: (para (para todo p , q , r em B ) : •

Asso ciativ cia tiv a

(p + q) + r = p + (q + r)

(p q) r = p (q r)

Comutativa

p+q=q+p

p q=q p

Idempot Idem potente ente

p+p=p

p p=p

Absorçã Abs orçã o

(p q) + p = p

(p + q) p = p

Dist ribu tiva

p + (q r) = (p + q) (p + r) p (q + r) = (p q) + (p r)

Propriedades Propried ades do

0

p+0=p

p 0=0

Propriedades Propried ades do

1

p+1=1

p 1=p

p em B , existe p’ em p + p’ = 1

p p’ = 0

Quaisquer que seja B tal que

Indicamos uma Álgebra Booleana por [ B , + , , ’ , 0 , 1 ]. - A operação p q pode ser denotada simplesmente por pq eliminando o operador . •

- É normal normal a seguinte terminologia na Álgebra Booleana : p q : encontro de p e q. p + q : junção de p e q. p’ : complemento de p. 0 : elemento zero. 1 : elemento unitário. Uma expressão booleana, uma fórmula e uma expressão na álgebra do conjuntos,são correspond correspondentes entes se substituimos ’ , + , , = , 0 , 1 respectivamente por ~ , , , , F , V ou ainda por ’, , , = , , U http://www.pucsp.br/~logica/Booleana.htm

Page 1 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:16

(considerando-se (considerando-se p , q ,.. como: elementos de B , variáveis proposicionais ou conjuntos respectivamente). Ex emplo: (p’ + (q

r))’ corresponde a ( p

(q r)) ou ainda a (p’

(q

r))’

Para formalizar as semelhanças entre o Cálculo Proposicional e a Álgebra Booleana, notemos que o conjunto das proposições proposições é uma Álgebra Álgebra de Boole em relação relação à conjunção, conjunção, à disjunção disjunção e à negação. MAPA A DE KA KARNA RNAUGH UGH 12. APLI APLICAÇÕ CAÇÕES ES DE ÁLGE ÁLGEBRA BRA BOOLE BOOLEANA ANA : MAP

De modo sucinto podemos dizer que o MAPA DE KARNAUGH é um método de simplificação de expressões lógicas fundamentado fundamentado em teoremas da Álgebra Booleana e utilizando representações representações gráficas. Utilizando o mapa de Karnaugh podemos simplificar fórmulas ou expressões booleanas em FND COM COMPLE PLETA TA, sem o uso direto de propriedades para obter tais simplificações. seguintes represen representaçõe taçõess gráficas (mapas), (mapas), de acordo com o REPRESENTAÇÃO GRÁFICA : Temos as seguintes REPRESENTAÇÃO número de variáveis (aqui (aqui representadas por letras maiúsculas) das expressões: (no (no que se segue entende-se entende-se AB como A B) a) Duas variáveis:

A

A’

B B’ b) Três variáveis :

AB

AB’

A’B’

A’B

C C’ c) Quatro variáveis :

AB

AB’

A’B’

A’B

CD CD’ C’D’ C’D Em cada mapa: Os quadrados de cima e os de baixo são adjacentes; os da esquerda e os da direita são adjacentes. Os quadrados adjacentes adjacentes diferem diferem apenas por por uma variável . Cada quad quadrado rado indicará indicará um DISJUNCTO sendo representad representada. a. DISJU NCTO da FNDCOMPLETA que está sendo Cada DISJUNCTO DISJ UNCTO será representado escrevendo 1 no respectivo quadrado. Ex emplos:

Representar a expressão AB’C + A’B’C A’B’C + ABC’ ABC’

http://www.pucsp.br/~logica/Booleana.htm

Page 2 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:16

AB C C’

AB’ 1

A’B’ 1

A

A’ 1 1

A’B

1

Representar a expressão AB’+ A’B + A’B’

B B’

1

Podemos construir Mapas de Karnaugh para 5 ou mais variáveis passando para representações gráficas tridimensionais tridimensionais tornando-se inadequado. procedemos do seguinte modo: modo: SIMPLIFICAÇÃO : Para simplificar procedemos 1. Agr Agrup upar ar , tra traçan çando do ova ovais is ao redor redor de de todos todos os os " 1" para para for forma marr grup grupos os de de 2 n " 1" adja adjace cent ntes es.. 2. Nenhum "1" pode ficar ficar fora dos dos grupos grupos formados formados.. Se necessário necessário,, agrupá-lo agrupá-lo sozinh sozinho. o. 3. Quanto maior o grupo, mais simplificada ficará a expressão. 4. Se necessário, necessário, um "1" pode ser ser agrupado agrupado mais de uma vez. vez. Nunca Nunca agrupá-lo agrupá-lo se não houve houverr necessidade. necessidade. 5. A variável que se repetir em cada grupo permanece na expressão. A variável que não se repete é eliminada. Exemplos:

a) Simplificando a expressão ABC + AB’C’ + A’BC obtemos a expressão AB’C’ + BC

b) Simplif Simplificand icandoo a expressão expressão AB’+ A’B + A’B’ obtemos obtemos A’+ B’

13. APLI APLICAÇÕ CAÇÕES ES DE ÁLGE ÁLGEBRA BRA BOOLE BOOLEANA ANA : ÁLGEBRA DOS CIRC CIRCUITO UITOS S http://www.pucsp.br/~logica/Booleana.htm

Page 3 of 5

A:\LOGICA.CHI

30.08.03 21:16

A introdução de uma Álgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao matemático americano CLAUDE E. SHANNON ( A Symbolic Analysis of Relay and Swit ching hing Cir Cir cuits - 1938). De modo sucinto mostraremos esse tipo de de relacionamento com a Cálculo Proposicional e a Álgebra Booleana. Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode assumir um dos dois estados, "fechado" ou "aberto". No estado "fechado fechado" " (que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corr corren ente te pass passee atra atravé véss do po pont nto, o, enq enquant uantoo no esta estado do "aberto quee indi indica care rem mos por 0) nenh enhuma corr corren ente te pod odee aberto" " (qu passar pelo ponto. ponto. 1.Circuito com um int erruptor p:

p

A indicação "fechado" ou "aberto" do interruptor será conhecida com a indicação de p=1 ou p=0 respectivamente. 2.Circuito com dois int erruptor es p e q: •

Em paral elo indicad indicadoo por p + q p

Neste caso não não passa passa corrente corrente se e somente somente p=0 e q=0 ou seja, seja, estão ambos " abertos" o q que corresponde no Cálculo Proposicional à tabela verdade da disjunção p q . •

•

Em séri e indicad indicadoo por por p q ou pq p q Neste caso passa passa corrente corrente se e somente somente se se p=1 e q=1 ou seja, seja, estão estão ambos ambos " fechados" o que corresponde no Cálculo Proposicional à tabela verdade da conjunção p q . abre o outro fecha e reciprocamente correspondendo à tabela Circuitos acoplados contraditórios: quando um abre

verdade da negação. •

Circuitos acoplados equival ent es: se comportam do mesmo modo correspondendo correspondendo à tabela verdade da bi-

implicação p

q.

correspondente ao esquema abaixo é : Ex emplo : A expressão booleana correspondente

(( p q) + ((p ((p q) + q)) q)) = pq pq + pq + q Simplificando a expressão: representamos o circuito simplificado obtido obtido : (( p q) + ((p q) + q)) = ( p q) + q = q (por absorção) representamos


Page 4 of 5

A:\LOGICA.CHI

(p

30.08.03 21:16

q)

r

p

q

correspondente à fórmula fórmula Exemplo : A expressão e um circuito correspondente

r será : p’ + q +r +r’’

Exemplo : Um comitê tem 3 membros . Um projeto passa se e somente se o presidente vota a favor favor e obtém

maioria. Projetar Projetar um circuito de modo que que cada membro vote a favor apertando apertando um botão e tal que a luz se acenda se o projeto for aprovado.

Sendo P o presid president entee e Solução: Sendo

outros dois dois membro membros, s, a tabela tabela verdad verdadee abaixo abaixo corres correspon ponde de às A e B os outros informações dadas onde 1 representa a aprovação do projeto. Obtendo a FND correspondente temos (P A B) + (P A B’ ) + (P A’ B) que simplificando por Mapa de Karnaugh temos PA + PB = P ( A + B) sendo simples a representação do circuito.

P 1

A 1

B 1

? 1

1

1

0

1

1

0

1

1

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0


- 19 1999 99 -


Page 5 of 5

LOGICA5

30.08.03 21:17

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA 14. VAL VALIDA IDADE DE DE ARG ARGUME UMENTO NTO No início início deste roteiro, mencionamos mencionamos que nosso principal principal objetivo é a investigaç investigação ão da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados dos quais um é a CONC LUSÃO e os demais PREMISSAS. Vamos verificar verificar como podemos proceder na investigação investigação de certos argumentos argumentos de modo formal .

DEFI NIÇÃO DEFINIÇÃ O: Chamamo Chamamoss ARGUMENTO uma seqüênci seqüênciaa premissas e a última fórmula B, A1 , A2 ,A3 ,... , A n , B (n 0) de fórmulas onde os A i (0 i n) chamam-se premissas conclusão. 

<

<

DEFI NIÇÃO DEFINIÇÃ O: Um ARGUMENTO A1 , A2 ,A3 ,... , An , B é VÁLIDO se e somente somente se, sendo sendo as premiss premissas as verdadeiras a conclusão B também é verdadeira, ou ainda, se e somente se, a fórmula

A1 A2 A 3 ...

indicado como segue segue A n B é uma tautologia que será indicado A1 , A2 , A 3 ,... , A n | B que se lê : "A1 , A2 , A 3 ,... , A n acarretam B" ou, "B decorre de A1 , A2 , A3 ,... , An " ou, " B se dedu deduzz de A1 , A2 , A3 ,... , A n" ou aind aindaa, " B se infe inferre de A1 , A2 , A3 ,... , A n ."

15.VALIDAD 15.VA LIDADE E DE UM ARGUMENTO: ARGUMENTO: VERIFICAÇÃ VERIFICAÇÃO O POR TABELA TABELA VERDADE. VERDADE. Com o uso das tabelas verdade é suficiente verificar se a fórmula A1 A2 A 3 ... A n B é tautologia.

Exemplo: O argumento p, q r, r, q é válido pois a fórmula (p (q r) r) q é uma tautologia. O que verificamos nas linhas onde as premissas premissas são verdadeiras verdadeiras que a conclusão também é verdadeira verdadeira (tabela verdade abaixo, linha 4).

http://www.pucsp.br/~logica/Argumento.htm

Page 1 of 4

LOGICA5

30.08.03 21:17

p

q

r

p

q

r

r

q

V

V

V

V

V

F

F

V

V

F

V

F

V

F

V

F

V

V

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

F

F

F

V

V

V

16.VALIDADE 16.VALIDA DE DE UM ARGUMENTO: ARGUMENTO: VERIFICAÇ VERIFICAÇÃO ÃO SEM O USO DE TABELA TABELA VERDADE. Temos os seguintes métodos:

1. DEMONSTRAÇÃO DIRETA 2. DEMONSTRAÇÃO DEMONSTRAÇÃO INDIRETA INDIRETA - CONDICIONAL CONDICIONAL 3. DEMONSTRAÇÃO DEMONSTRAÇÃO INDIRETA - POR ABSURDO

4. DEMONSTRAÇÃO DEMONSTRAÇÃO INDIRET INDIRETA A – ÁRVORE DE REFUTAÇÃO REFUTAÇÃO 1. DEMONSTR DEMONSTRAÇÃ AÇÃO O DIRETA Cons Consis iste te em d emonstrar ou de duzir a concl conclus usão ão B a partir partir das das premis premissa sass A1 , A2 , A3 ,... , A n , EQUIVALÊNCIAS ÊNCIAS TAUTOLÓ TAUTOLÓGICAS GICAS e as REGRAS DE INFERÊN INFERÊNCIA CIA . aplicando as EQUIVAL Ex emplo : Demonstrar a validade do argumento p, q Demonstração : 1. p premissa 2. q r premissa 3. r premissa 4. q Conclusão (2 e 3 : Modus Toll ens) Ex emplo :Demonstrar a validade do argumento p Demonstração : 1. p q premissa 2. q premissa r 3. r s premissa Silogismo Hipotéti Hipotéti co 4. p r 1.2. Silogismo 5. r s 3. De f. d e impli cação Silogismo Hipotéti Hipotéti co 6. p s 4.5. Silogismo ∼


r, r, q

q,q

r,r

s, s

p

Page 2 of 4

LOGICA5

7. s 8. s

30.08.03 21:17

p 6. Contraposição Conclusão 7. N e gação p

2. DEMONSTRAÇÃO DEMONSTRAÇÃO INDIRE INDIRETA TA - CONDICIONAL CONDICIONAL Para demonstrar demonstrar a validade de argumentos argumentos cuja conclusão conclusão é uma fórmula condicional condicional do tipo B C , considera-se o ant ece como uma premissa adicional e o conseqüent eC será a conclusão a ser eced ent e B , co demonstrada. De fato, sendo: válidoo entã entãoo 1. A1 , A2 , A 3 ,... , A n , B , C válid 2. A1 , A2 , A 3 ,... , A n , B | C isto é, 3. ((A1 A2 A 3 ... A n ) B ) C é tautologia tautologia (Importação e Exportação) e portanto 4. (A1 A 2 A3 ... A n ) (B C) é tautologia ainda, a, 5. A1 , A2 , A3 ,... , A n | B C ou aind 6. A1 , A2 , A 3 ,... , A n, B C é válido

Ex emplo : Demonstrar a validade do argumento p Demonstração : 1. p q premissa 2. q r premissa 3. r s premissa 4. s premissa adicional Silogismo Disj Disj untivo 5. r 3.4. Silogismo 6. p Silogismo Hipotéti Hipotéti co r 1.2. Silogismo 7. r p 6. Contraposição 8. p Conclusão 5.7. Mod us Ponens

q,q

r,r s, s

p

3.DEMONSTRAÇÃO 3.DEMONSTRAÇÃ O INDIR INDIRETA ETA - POR ABSURDO ABSURDO Para demonstrar, por absurdo, um argumento A1 , A 2 , A3 ,..., An, B considera-se a negação da conclusão B como premissa adicional e conclui-se um u ma fórmula F (fórmula fa f alsa do tipo ) De fato, sendo: válido, temos temos 1.A1 , A2 , A 3 ,..., An , B | F válido, 2.A1 , A2 , A 3 ,..., An | B F isto é, 3.A1 , A2 , A 3 ,..., An | B F ( De f. impli cação) 4.A1 , A2 , A3 ,..., An | B F ( N e gação) 5.A1 , A2 , A3 ,..., An | B ( Propri edad e d e F ) ou ainda, válido do.. 6.A1 , A2 , A 3 ,... , A n , B é váli

Ex emplo : Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento argumento p q,q r,r s, s p 1. p q premissa 2. q premissa r 3. r s premissa 4. ( s p) premi premissa ssa adicion adicional al http://www.pucsp.br/~logica/Argumento.htm

Page 3 of 4

LOGICA5

5. p 6. r 7. p 8. s 9. ( s 10. F

30.08.03 21:17

r s s p p)

Silogismo Hipotéti Hipotéti co 1.2. Silogismo 3. De f. d e impli cação Silogismo Hipotéti Hipotéti co 5.6. Silogismo 7. Contraposição ( s p) 4. 8. Conjunção 9.


- 19 1999 99 -


Page 4 of 4

LOGICA5

30.08.03 21:18

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA ÁRVORE E DE REFUT REFUTAÇÃO AÇÃO 4.DEMONSTRAÇÃO INDIRETA – ÁRVOR ÁRVORE DE REFUTAÇÃ REFUTAÇÃO O é um método método para verificar verificar a validade validade de um argumento, argumento, análogo análogo à demonstração por absurdo.Para testarmos a validade de um argumento construímos uma lista de fórmulas consistindo consistindo de suas premissas premissas negação da sua conclusã conclusão o B que formam formam a RAIZ DA ÁRVORE . A árvore árvore continua continua A1, A2 , A3 ,... ,An e a negação abaixo com a construção de seus RAMO aplicações de regras, que serão especificadas especificadas abaixo, e gerando RAMOS S por aplicações novas linhas na árvore. A árvore termina quando as fórmulas de seus ramos são: são: variáveis proposicio proposicionais, nais, negações de variáveis variáveis proposicionais, proposicionais, ou quando encontrarmos em todos os ramos uma fórmula F. Se encontr encontrarmo armoss em todos todos os ramos ramos da árvore árvore uma fórmula fórmula F , então então a nossa tenta tentativa tiva de refut refutaçã ação o falhou falhou ou seja, o argumento argumento é válido. válido. Se em em algum algum ramo ramo da da árvore árvore não foi possível possível encontrar encontrar uma uma fórmula F , então refutamos o argumento, argumento, isto é, o argumento argumento não é válido.

Exemplo: Construir Construir uma árvore de refutação refutação para mostrar mostrar que: p

q|

p

- Escrevemos a premissa e a negação da conclusão: 1. p q 2. p - Sabemos que p q é verdadeira se, e somente se, p e q são ambas verdadeiras; verdadeiras; daí, podemos substituir substituir as linhas 3. e 4., 4., respectivamente respectivamente,, e MARCANDO ( ) a fórmula p q . p q por p e q gerando as

(Uma fórmula marcada marcada não poderá mais ser utilizada na construção construção da árvore!!!) 1. p q 2. p 3. p 4. q - Como linha 5. : 1. p q 2.

verdadeira se e somente se p é verdadeira, verdadeira, marcamos p é verdadeira

substituímos por p gerando a p e substituímos

p

3. p 4. q 5. p - A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos obtivemos variáveis proposicionais proposicionais ou negações de variáveis variáveis proposicionais. proposicionais. Por outro outro lado encontramos encontramos nas linhas 3. e 5. uma fórmula F , ou seja, nossa tentativa de refutação refutação falhou e portanto portanto o argumento argumento é válido. válido. Isso será expresso expresso escrevendo escrevendo um X no final da lista, gerando a linha 6 e fec fechando hando o único ramo da árvore. 1. p q

http://www.pucsp.br/~logica/Arvore.htm

Page 1 of 6

LOGICA5

30.08.03 21:18

2. p 3. p 4. q 5. p 6. X A árvore de refutação está completa. completa. A nossa busca para uma refutação do argumento argumento dado falhou e, portanto, o argumento é válido. Construir uma árvore de refutação refutação para mostrar mostrar que : p Exemplo:Construir

q, p |

q

- Iniciamos a árvore escrevendo escrevendo a lista de fórmulas as premissas premissas e a negação da conclusão: 1. p q 2. p 3. q - Sabemos que p fato fato,, mar marca camo moss p 1. p q 2. p 3. q / \ 4. p q

q é verdadeira se, e somente se, p é verdadeira ou q é verdadeira. verdadeira. Para representar representar esse q e ram ramif ific icam amos os a árv árvor ore, e, gera gerand ndo o a lin linha ha 4 com com dois dois ramo ramoss:

- A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos obtivemos variáveis proposicionais proposicionais ou negações negações de variáv variáveis eis propos proposicio icionais nais.. Por outro outro lado lado encontr encontramos amos uma fórmul fórmulaa F em um ramo, ramo, nas nas linhas linhas 2. e 4. e no outro ramo, nas linhas 3. e 4., ou ou seja, nossa tentativa tentativa de de refutação falhou falhou e portanto portanto o argumento argumento é válido. Isso será expresso escrevendo um X no final de cada ramo da lista gerando a linha 5 e fechando os dois ramos ramos da árvore árvore.. 1. p q 2. p 3. q / \ 4. p q 5. X X A árvore de refutação refutação está completa. completa. Como Como a tentativa de de refutação falhou falhou nos dois ramos, ramos, o argumento argumento dado é válido.

Exemplo:Construir Construir uma árvore de refutação para verificar verificar a validade do argumento: p q, p | q 1. p q 2. p 3. q - Temos Temos que 1. p q

equivalente nte a q; daí, marcamos marcamos q é equivale


escrevemos mos q gerando gerando a linha linha 4. : q e escreve

Page 2 of 6

LOGICA5

30.08.03 21:18

2. p 3. q 4. q - Como no exemplo anterior, marcamos p 1. p q 2. p 3. q

q e ramificamos ramificamos a árvore gerando a linha 5. com dois ramos: ramos:

4. q

/ \ 5. p q - A árvore árvore terminou terminou e nos dois dois ramos não há contradições, contradições, ou seja, seja, uma fórmula F . Neste caso os ramos não serão fechados fechados e o argumento argumento não é válido.

REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO As regras para a construção de uma árvore de refutação refutação estão relacionadas relacionadas com as tabelas verdade verdade já conhecidas. Ao aplicar uma regra em uma fórmula fórmula da árvore, temos temos a observar que : - a fórmula será marcada (

) para evitar aplicações repetidas de uma regra em uma mesma fórmula.

- a aplicação de uma regra deve gerar gerar : uma ou duas linhas, um ramo ou dois ramos conforme a regra, e será aplicada em todos os ramos abertos (não fechados com X) aos quais a fórmula pertence. pertence. Temos as seguintes regras :

1. REGRA DA DUPLA NEGAÇÃO (

A gera uma linha e escrevemos A na linh inha. Pro Procedem demos assim em todo odos os ramos mos aberto rtos aos quais a fór fórmula mula A perte rtence nce poi pois, A é verda rdadeir eira se e somen omente te se A é verd verdad adei eira ra.. ) : Uma fórmula do tipo

2. REGRA DA CONJUNÇÃO ( ): Uma fórmula do tipo A B gera duas linhas e escrevemos, escrevemos, em cada linha, linha, as fórmulas fórmulas A e B . Procede Procedemos mos assim assim em todos todos os ramos ramos abertos abertos aos quais quais a fórmula fórmula A B pertence pertence pois, A B assume valor V se, e somente, somente, as fórmulas fórmulas A e B são verdadeira verdadeiras. s. 1. A B 2. A 3. B 3. REGRA DA DISJUNÇÃO ( ): Uma fórmula linha e doi dois ra ramos e escreve fórmula do tipo A B gera uma li escrevemos, mos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas A e B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quai uais a fórm fórmul ulaa A B perten tence pois ois, A B assume val valor V se, e somen mente, a fór fórmula mula A é ver verdad dadeira ou a fórmula B é verdadeira. 1.A B / \ 2. A B http://www.pucsp.br/~logica/Arvore.htm

Page 3 of 6

LOGICA5

30.08.03 21:18

4. REGRA DA IMPLICAÇÃO ( ): Uma fórmula do tipo A B gera uma linha e dois ramos e escr escreve evemos mos,, na linha linha e, em cada cada ramo, ramo, as fórmul fórmulas as A e B respe respect ctiva ivame mente nte.. Proce Procede demos mos assim assim em todos todos os ramos abertos aos quais a fórmula fórmula A B pertence pois, A B assume valor V se, e somente, a fórmula verdadeira. 1. A B 2.

verdadeira ou a fórmula fórmula B é A é verdadeira

/ \ A B

5. REGRA DA BI- IMPLICAÇÃO ( ) : Uma fórmula do tipo A B gera duas linha s e dois ramos e escrev escrevemos emos nas linhas linhas as fórmula fórmulass A e B em um ramo e as fórmulas fórmulas A e B no outro outro ramo. ramo. Procedem Procedemos os assim assim em todo todoss os ramo ramoss aber aberto toss aos aos quai quaiss a fórm fórmul ulaa A B pert perten ence ce pois pois,, A B assu assume me valo valorr V se, se, e some soment nte, e, a fórmula

(A B) é verdadeira ou a fórmula ( A B 1.A / \ 2.A A 3.B B

B) é verdadeira.

6. REGRA DA NEGAÇÃO DA CONJUNÇÃO ( ): Uma fórmu fórmula la do tipo tipo (A B) gera uma linha e dois ramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas A e B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula (A B) pertence pois, (A B) assume valor V se, e somente, somente, a fórmula fórmula A é verdadeira verdadeira ou a fórmula B é verdadeira. verdadeira. B) 1. (A / \ 2.€ A B 7. REGRA DA NEGAÇÃO DA DISJUNÇÃO ( ) : Uma fórmula do tipo escrevemos, em cada linha, as fórmulas A e B. Procedemos Procedemos assim em todos os (A B) gera duas linhas e escrevemos, ramos ramos abertos abertos aos quais quais a fórmula fórmula (A B) pertenc pertencee pois, pois, (A B) assume assume valor valor V se, e somente, somente, as fórmulas Ae B são verdadeiras. B) 1. (A A 2. B 3. 8. REGRA DA NEGAÇÃO DA IMPLICAÇÃO ( ) : Uma fórmul fórmulaa do tipo tipo gera duas linhas e escr escreve evemos mos,, em cada cada linha, linha, as fórmul fórmulas as A e B. Proce Procede demos mos assim assim em todos todos os (A B) gera ramos abertos aos quais a fórmula (A B) pertence pertence pois, (A B) assume valor V se, e somente, as fórmulas Ae B são verdadeiras. (A B) 1. 2. A 3. B 9. REGRA DA NEGAÇÃO DA BI- IMPLICAÇÃO ( ): Uma fórmul fórmulaa do tipo tipo duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas A e B em um ramo e as (A B) gera duas http://www.pucsp.br/~logica/Arvore.htm

Page 4 of 6

LOGICA5

30.08.03 21:18

fórm fórmul ulas as A e B no outr outro o ramo ramo.. Proc Proced edem emos os assi assim m em em todo todoss os ramo ramoss aber aberto toss aos aos quai quaiss a fórm fórmul ulaa (A B) pertence pois, (A B) assume valor V se, e somente, somente, a fórmula fórmula ( A B) é verdadeira verdadeira ou a fórmula (A B) é verdadeira.

(A / 2.€ A 3. B 1.

B) \ A B

10. RAMO FECHADO : Um ramo será fechado se nele existem uma fórmula A e sua negação A e escrevemos X no final do ramo. 1. A 2. A 3. X OBSERVAÇÕES: - As regras dadas para construir árvores árvores de refutação se aplicam em cada linha ao conectivo principal principal da fórmula e não não a subfórmulas. subfórmulas. Por Por exemplo, 1. p q 2. p q 1.( ) (INCORRETO!!) - Não importa a ordem em que as regras são aplicadas; no entanto, é mais eficiente eficiente aplicar as regras, regras, primeiramente primeiramente,, em fórmulas fórmulas que que não resultam resultam em em ramificaçõ ramificações. es. - Cada linha gerada deve ser justifica justificada da indicando a respectiva respectiva linha de origem na qual foi aplicada a regra e também a regra usada. - Fórmul Fórmulaa na qual qual foi foi aplic aplicad adaa alguma alguma reg regra ra deve deve ser ser marca marcada da ( ) para para evita evitarr aplic aplicaç ações ões repeti repetida dass da mesm mesma. a.

Exemplos: 1.) Verificar, Verificar, por meio de árvore de refutação, refutação, a validade do argumento: argumento: p r s, r s q , p q 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

p r s Premissa r s q Premissa (p q) Negação Negação da Conclusã Conclusãoo p 3.( ) q 3.( ) / \ p (r s) 1.( ) X(6.4) / \ 6. ( ) r s / \ / \ (r s) q (r s) q 2.( ) / \ \ / \ \ r s X r s X ( ) X ? (9.5) X ? (9.5) (10.8)


(10.8)

Page 5 of 6

LOGICA5

30.08.03 21:18

Temos neste caso dois ramos que não fecharam e, portanto, o argumento não é válido. 2.) Construir Construir uma árvore de refutação para verificar verificar se a fórmula (p q) (p q) é uma tautologia: 1. 2. 3.

((p

q) (p (p

(p q) q)

4. 5.

p q

6. 7.

/ \ p q X X

q))

Negação Negação da Conclusã Conclusãoo 1. ( ) 1. ( ) 2. ( ) 2. ( )

3. (

)

(6.4) (6.5) Todos os ramos estão fechados; assim a fórmula é válida, ou seja, é uma tautologia.


- 19 1999 99 -


Page 6 of 6

O CÁLCULO DE PREDICADOS DE 1a ORDEM

30.08.03 21:19

NOÇÕES NOÇÕ ES DE LÓG LÓGICA ICA MAT MATEMÁ EMÁTI TICA CA O CÁLC CÁLCULO ULO DE PRE PREDI DICA CADO DOS S DE 1a ORDE ORDEM M O Cálculo de Predicados, dotado de uma linguagem mais rica, tem várias aplicações importantes não só para matemáticos e filósofos filósofos como também para para estudantes de Ciência da Computação. Em primeiro lugar, podemos observar observar que, nas linguagens de programação conhecidas como PROCEDURAIS (Pascal e outras) , os programas são elaborados para "dizer" ao computador a tarefa que que deve ser realizada. realizada. Em outras linguagens linguagens de programação conhecidas conhecidas como DECLARATIVAS DECLARATIVAS,, os programas programas reunem uma série de dados e regras e as usam para para gerar conclusões. Estes programas são conhecidos como como SISTEMAS ESPECIALISTAS ou SISTEMAS SISTEMAS BASEADOS NO CONHECIMENTO CONHECIMENTO que simulam em muitos muitos casos a ação de um ser ser humano. Essas linguagens declarativas inclui predicados, quantificadores , conectivos lógicos e regras de inferência que, que, como veremos, fazem parte do Cálculo de Predicados. Em segundo lugar, podemos podemos observar que existem vários tipos de argumentos os quais, apesar de válidos, não é possível justificá-los com com os recursos do Cálculo Proposicional; por exemplo: 1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas. Pedro não é amigo de Jonas. Logo, Pedro não é amigo de Carlos. 2. Todos os humanos são racionais. Alguns animais são humanos. Portanto, alguns animais são racionais. A verificação da validade desses argumentos nos leva não só ao significado dos dos conectivos mas também ao signific significado ado de expressões como "todo", "algum", "qualquer", "qualquer", etc. Para que possamos tornar tornar a estrutura de sentenças complexas complexas mais transparente é necessário a introdução introdução de novos símbolos na linguagem do Cálculo Proposicional, obtendo-se a linguagem do do Cálculo de Predicados de 1a Ordem. tivvos do cál cálculo pro propo possic iciional e os par arêênte tesses, os seguint Nesta nova linguagem linguagem teremo teremos, s, além além dos conecti seguintes es novos símbolos: variáveis: x,y,z,.....,x x,y,z,.....,x ,y ,z ,...... constantes : a,b,c,...., a,b,c,....,aa ,b ,c ,...... símbolos de predicados: P , Q , R , S ,.... ,.... quantificadores : ∀ (universal) (universal) , ∃ (existencial) termos: as variáveis variáveis e as constantes constantes são designadas pelo nome genérico de termos os quais serão designados por t1 , t2 , ...,tn ...

as variáveis representam objetos que não estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.); as constantes representam representam objetos identificados do Universo ("João", "o ponto A", etc. ); os símbolos de predicados representam propriedades ou relações entre os objetos do Universo. http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm

Page 1 of 10


30.08.03 21:19

Exemplos: "Maria é inteligente" : I(m) I(m) ; onde m está identificando Maria e I a propriedade de "ser inteligente". "Alguém gosta de Maria" : G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém". De modo geral temos: P(x) : significa significa que x tem a propried propriedade ade P . ( x)P(x): significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos os objetos objetos do Universo

considerado tem a propriedade P. ( x)P(x): significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no mínimo mínimo um objeto objeto do Universo considerado que tem a propriedade P. Notamos Notamos que que os símbolos símbolos de de predicados predicados serão unários, unários, binários binários ou ou n-ários n-ários conforme conforme a propriedad propriedadee que representam envolver, respectivamente respectivamente um, dois dois ou mais objetos do universo universo e dizemos dizemos também que o símbolo de predicado predicado tem peso 1, 1, peso 2 ... ou peso n. OBS.: Um símbolo de pred predicados icados 0-ário (peso zero) identifica-se identifica-se com um dos símbolos de de predicado; por exemplo: exemplo: "chove" "chove" podemos podemos simbolizar simbolizar "C" "C".. fórmulas las atômic atômicas as e As fórmulas mais simples do Cálculo de Predicados de 1a Ordem são chamadas de fórmu podem podem ser definidas definidas como: como: "Se P for um um símbol símboloo de pred predicad icadoo de peso peso n e se t 1 , t 2 , ...,t ...,t n forem forem termos termos então então P(t P(t1 , t2 , ..., ...,ttn ) é uma uma fórm fórmul ulaa atôm atômic ica. a.""

DEFINIÇ DEFI NIÇÃO ÃO DE FÓR FÓRMU MULA LA

:

1.Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2.Se α e β forem fó fórmulas então (∼α), (α∧β) , (α∨ β) , ( α→ β) e (α↔β) sã são fórmulas. 3.Se .Se α for uma fórmula e x uma variável então ( ∀x) α e ( ∃x) α são fórmulas. 4.As únicas únicas fórmulas são são dadas por 1. 2. e 3. acima. acima. Exemplos de fórmulas: P(x,a); R(y,b, R(y,b,t); t); (∀z)(P(x z)(P(x,a) ,a) → R(y,b, R(y,b,z)) z));; €€€€ €€€€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€€€ €€ ∼( ∃x)( ∼P(x,a) ∧ R(y,b,t)); (∃y)(∀x)R(y,b,t).

Assim os argumentos dado dadoss no início podem ser representados simbolicamente simbolicamente como: 1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas. Pedro não é amigo de Jonas. Logo, Pedro não é amigo de Carlos. (∀x) (P(x,c) → P(x,j)) €€€€ ∼ P(p,j) €€€€ ∼ P(p,c) http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm

Page 2 of 10


30.08.03 21:19

onde P(x,y) significa que x é amigo de y e c, p, j são constantes que representam Carlos, Pedro e Jonas Jonas respectivamente. 2. Todos os humanos são racionais. Alguns animais são humanos. Portanto, alguns animais são racionais. (∀x) (P(x (P(x)) → Q(x)) (x)) (∃x) (R(x (R(x)) ∧ P(x) P(x))) (∃x) (R(x (R(x)) ∧ Q(x) Q(x))) onde P ,Q ,R simbolizam as propriedades de: ser humano, humano, ser racional e ser animal respectivamente. respectivamente. ESCOPO DE UM QUANTIFIC QUANTIFICADOR ADOR :Se α é um uma fó fórmula e x uma va variáv iável, então tão em (∀x) α ou em (∃x)α dize izemos que α é o escopo do quantific ificaador ( ∀x) ou ( ∃x).

Por Por exem exempl ploo na fórm fórmul ulaa ( ∃y)( y)( ∀x)(R x)(R(y (y,b ,b,t ,t)) → ( ∀z) P(z, P(z,a) a))) temo temoss os segu seguin inte tess quan quantif tific icad ador ores es e seus seus resp respec ecti tivo voss escopos: ( y) : (∀x)(R(y,b,t) → (∀z) P(z,a)) ( x) : (R(y (R(y,b ,b,t ,t)) → (∀z) P(z, P(z,a) a))) ( z) : P(z,a)

definição de fórmula dada acima podemos podemos NEGAÇÃO NEGAÇÃ O DE FÓRMULAS FÓRMULAS QUANTI QUANTIFIC FICADAS ADAS da definição :

perceber perceber que que um quantificad quantificador or univer universal sal ou existen existencial cial pode pode ser precedido precedido de de uma negação. negação. Vejamos Vejamos como podemos podemos proced proceder er se for necessário necessário a eliminação eliminação dessa negação. negação. Considerem Consideremos, os, por por exemplo, exemplo, a fórmula fórmula (∀x)P(x) x)P(x) e o conjunto conjunto universo universo U={a,b,c} U={a,b,c}.. É evidente que que nesse caso caso temo temos: s: (∀x)P( x)P(x) x) ⇔ P(a) P(a) ∧ P(b) P(b) ∧ P(c) P(c).. Podemos considerar então que : (∀x)P(x) ⇔∼(P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)) ⇔∼P(a) ∨∼P(b) ∨∼P(c) o qual qual signific significaa que exis existe te no mínim mínimoo um objeto objeto em em U tal que que P(x) P(x) , ou seja seja , ( x)P(x) ( x) P(x) ou ainda de modo geral para uma fórmula α qualquer temos (1) ( x)

( x)

Da equivalência acima segue imediatamente que : (2). ( x) P(x) ( x)P(x) (3). ( x)P(x) ( x) P(x) (4). ( x) P(x) ( x)P(x)

http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm

Page 3 of 10


30.08.03 21:19

ENUNCI ENU NCIAD ADOS OS CA CATEG TEGÓRI ÓRICO COS S Certos enunciados se apresentam freqüentemente na Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados chamados de Enunciados Cat e góricos. Relac lacion ionaremos os os qu quatro en enunciad iados ma mais comuns qu que sã são re representados pelas le letras A, E, I, O : A - da forma "Todo P é Q" (universal afirmativa) E - da forma "Nenhum P é Q" ou "Todo P não é Q" (universal (universal negativa) negativa) I - da forma "Algum P é Q" (particular afirmativa) O - da forma "Algum P não é Q" (particular negativa)

simbolizados respectivamente como: A - (∀x)(P x)(P(x (x)) → Q(x) Q(x))) E - (∀x)(P( )(P(xx) →∼Q(x Q(x)) I - (∃x)(P x)(P(x (x)) ∧ Q(x) Q(x))) O - (∃x)(P x)(P(x (x)) ∧∼Q(x) Q(x)))

DIAGRAMAS DE VENN PARA ENUNCI ENUNCIADOS ADOS CATEGÓRI CATEGÓRICOS COS Se considerarmos P e Q dados acima como dois conjuntos quaisquer, os enunciados dados podem ser interpretados como segue: A : "Todo P é Q" afirma que todos os elementos de P são elementos de Q, ou seja, que P é um subconjunto subconjunto de Q, isto é, P ⊂ Q . E: "Nenhum P é Q" afirma que os conjuntos P e Q não têm elementos em comum, isto é, quee P ∩ Q =∅ ou aind qu aindaa qu quee P ⊂ Q’. Q’. I : "Algum P é Q" afirma que os conjuntos P e Q têm pelo menos um elemento em comum, isto é, P ∩ Q ∅ O: "Algum P não é Q" que P ∩ Q’  ∅ .

afirma que P tem pelo menos um elemento que não está em Q, ou ainda,

Estas interpretações podem ser feitas através de Diagramas de Venn, os quais são úteis na na verificação da validade de argumentos cat e góricos cujas pr emissas e conclusão são enunciados cat e góricos do tipo A, E, I ou O mas não devem ser considerados instrumentos de prova rigorosa. Lembramos que no Cálculo Proposicional os diagramas de Venn foram utilizados para para estabelecer uma correlação entre as linhas da tabela tabela verdade de uma fórmula e as regiões do diagrama de Venn correspondente. Para verificarmos a validade de um argumento cat e górico, as interpretações dos enunciados categóricos nos Diagramas Diagramas de Venn serão consideradas consideradas como segue: segue: 1. Cada círculo representa uma uma classe de objeto que quando quando em branco indica ausência de informação a respeito do conjunto. 2. Círculo hachurado ou região região de um círculo círculo hachurada, representa região VAZIA de elementos. 3. Círculo ou região de um círculo com X representa região não vazia de de elementos.


Page 4 of 10


30.08.03 21:19

Exemplo: Se J representa representa o predicado "ser jovem" temos os diagramas diagramas abaixo:

REPRESENTAÇÃO REPRES ENTAÇÃO DO ENUNCIA ENUNCIADOS DOS CATEGÓR CATEGÓRICOS ICOS Os enunciados cat e góri cos pode podem m ser representad representados os como segue :

VALIDADE DE ARGUMENTOS ARGUMENTOS CATEGÓR CATEGÓRICOS ICOS POR POR DIAGRAMAS DIAGRAMAS DE DE VENN Para verificarmos a validade de um arg umento cat e góri co procedemos como segue: 1.Tr .Transf ansfer erim imoos par paraa o diag iagrama, ama, form formad adoo po por tr três círc círcuulos los, as info inform rmaç açõões das pr emissas, ini inici cian anddo pel peloos enunciados universais; 2.V erifi camos se informação dada na concl usão esta aí representada sem nenhuma condição e d e modo úni co .

3.Se isto ocorre então o argumento é válido. Vejamos os seguintes exemplos: Exemplo I.

(1) Todos os cientistas são estudiosos. (2) Alguns cientistas são inventores. (3) Alguns estudiosos são inventores.

A parte hachurada corresponde ao enunciado (1), vazia de el e mentos; a parte assinalada com X corresponde corresponde ao enunciado (2). Dessa forma, as informações das premissa premissass forem forem transfer transferidas idas para o diagrama diagrama e a conclus conclusão ão (3) (3) está representad representada. a. Portanto Portanto o argumento argumento é válido. válido. Exemplo II.


Page 5 of 10


30.08.03 21:19

Todos os brasileiros são felizes. Todos os paulistas são brasileiros. Todos os paulistas são felizes.

Vemos que o argumento é válido válido pelo diagrama acima.Lembre-se que parte hachurada é região vazia! Exemplo III.

(1) Nenhum estudante é velho . (2) Alguns jovens não são estudantes . (3)Alguns velhos não são jovens.

A premissa (1) (1) está representada representada na região hachurada e a premissa premissa (2) está marcada marcada com X sobre a linha linha pois pois a informação correspondente correspondente pode estar presente em duas duas regiões e não temos informação para para saber especificamente em qual qual delas. delas. Desse modo o argumento argumento não é válido pois a conclusao não está representada com absoluta absoluta certeza. certeza. A validade de um argumento não depende do cont eúdo dos enunciados e sim da sua forma e da r elação entre as premissas e a conclusão.

ÁRVORE ÁRV ORES S DE REF REFUTA UTAÇÃO ÇÃO GENERA GEN ERALIZ LIZAÇ AÇÃO ÃO PA PARA RA O CÁ CÁLC LCULO ULO DE PRED PREDIC ICADO ADOS S DE 1a ORDEM ORDEM.. No Cálculo Cálculo Proposicio Proposicional nal mostram mostramos os como como as tabelas tabelas verdade, verdade, as demonstraçõ demonstrações es e as as árvores árvores de refutaçã refutaçãoo podem ser usadas usadas para a verificação verificação da validade validade de argument argumentos os e de tautologias. tautologias. Verificaremo Verificaremoss no que segue segue como as árvore árvoress de refutação refutação podem podem ser generalizad generalizadas as para o Cálculo Cálculo de de Predicados Predicados de 1 a Ordem. Ordem. Como anteriormente, as árvores de refutação vão nos permitir verificar a validade de de argumentos em um número número finito finito de passos. No entanto, entanto, esta técnica no Cálculo de Predicados Predicados pode não nos fornecer fornecer nenhuma resposta em alguns casos como veremos veremos adiante. A generalização generalização das das árvores árvores de refutação refutação para o Cálculo Cálculo de Predicado Predicadoss de 1 a Ordem manterá manterá todas todas as regras regras anteriormente dadas para o Cálculo Proposicional e novas regras regras serão estipuladas estipuladas para as fórmulas contendo os quant quantifi ificad cadore oress Un Unive iversa rsall ( ) e Existe Existenci ncial al ( ). Teremo Teremoss então, então, além além das dez regras dad dadas as no cálculo cálculo http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm

Page 6 of 10


30.08.03 21:19

Proposicional, as seguintes novas regras : 11. R 11. Re gra da N e gação do Quantifi cador Universal ( ): Uma Uma fórm fórmul ulaa do tip tipo ∼(∀x)β gera gera uma uma linh linhaa na qual qual escr escrev evem emos os a fór fórmu mula la (∃x)∼β. Proc Proced edem emos os assi assim m em em tod todos os os ramo ramoss abe abert rtos os aos aos qua quais is a fór fórmu mula la ∼( ∀x) β pertence. pertence. 12. R 12. Re gra da N e gação do Quantifi cado adorr Ex Exis ist t encial ( ) : Uma fórmula do tip tipo ∼(∃x)β gera uma lin linha na qual qual escr escrev evem emos os a fór fórmu mula la (∀x)∼β. Proc Proced edem emos os assi assim m em em tod todos os os ramo ramoss abe abert rtos os aos aos qua quais is a fór fórmu mula la ∼( ∃x) β pertence. pertence. 13. R 13. Re gra do Quantifi Quantifi cador Exist encial ( ) : Uma Uma fórm fórmul ulaa do tipo tipo (∃x)β(x) (x) gera gera uma uma linha linha na qual qual escrevemo escrevemoss a fórmula fórmula β(c) onde c é uma nova constante que não ocorre ocorre em qualquer qualquer ramo da árvore e substituirá as ocorrências da variável x, do quantificador, na fórmula β. Procedemos assim em todos todos os ramos aber aberto toss aos aos quais quais a fór fórmu mula la (∃x)β(x) (x) pert perten ence ce..

fórmula la (∃x)β(x) (x) sign signifi ifica ca que existe existe pelo pelo menos menos um um objeto objeto do Univ Univers ersoo que que tem a Justificativa: A fórmu propriedad propriedadee β e este será identifica identificado, do, sempre sempre,, por uma "nova "nova"" constante constante ou seja, seja, uma constan constante te que que não ocorre na árvore. 14. R 14. Re gra do Quantifi Quantifi cador Universal ( ) : Uma Uma fórm fórmul ulaa do do tip tipoo (∀x)β(x) (x) gera gera uma uma lin linha ha na qual qual qualquer constante constante que já ocorre ocorre em qualq escr escrev evem emos os a fórm fórmul ulaa β(c) (c) onde onde c é qualquer qualque uerr ramo ramo da árvo árvore re e substituirá as ocorrências da variável x, do quantificador, na fórmula β. Procedemos assim em todos os ramos aber aberto toss aos aos quais quais a fórm fórmul ulaa (∀x)β(x) (x) pert perten ence ce.. Justificativa: A fórmul fórmulaa (∀x)β(x) (x) signif significa ica que todos todos os objetos objetos do univer universo so tem a propri proprieda edade de β. Sendo Sendo

assim, a regra deve ser aplicada a todas as constantes presentes presentes na árvore e eventualmente para aquelas que que surgirem durante a "construção" da árvore como observamos abaixo. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:

1. Como Como sabem sabemos, os, as fórm fórmula ulass para as as quais quais são aplic aplicada adass as regras regras,, sempre sempre serão serão "marc "marcada adas" s" ( ). No entanto, entanto, para para a regra ( ∀) do quantifi quantificador cador universal universal isto isto não será será obedecido obedecido pois, pois, se surgi surgirr uma nova nova constante constante na árvor árvoree por aplicaç aplicação ão da regr regraa ( ∃), para para esta cons constan tante te dever deveráá ser aplica aplicada da a regr regraa ( ∀) em todas todas as as fórmu fórmulas las do titipo (∀x)β(x) da ár árvore. 2.Somente se nenhuma constante ocorre ocorre em algum ramo é que podemos podemos introduzir uma nova constante para usar em possív possíveis eis aplicaçõe aplicaçõess da regra regra (∀) ao longo do referi referido do ramo. ramo. Exemplo I.: Vamos verificar que a fórmula ( x)P(x)

( x)P(x) é válida por árvore de refutação.

1. (( x)P(x) ( x)P(x))  Premissa 2. ( x)P(x) 1. (∼→) 3. ( x)P(x) 1. (∼→) 4. ( x) P(x) 3. (∼∃) 5. P(a) 2. ( ) (obs.2 acima) http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm

Page 7 of 10


6. P(a) 7. X

30.08.03 21:19

4. (∀) 5. e 6.

Exemplo II. Verifique a validade do argumento argumento categórico categórico :

Todo Todoss os cien cienti tist stas as são são estu estudi dios osos os.. - ( ∀x)(C x)(C(x (x)) → E(x) E(x))) Alguns cientistas são inventores. - (∃x)(C x)(C(x (x)) ∧ I(x) I(x))) Alguns estudiosos são inventores. - ( x)(E(x) I(x)) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

( x)(C(x) ( x)(C(x)

E(x)) I(x)) 

( x)(E(x)

I(x)) 

( x) (E(x) I(x)) (C(a) I(a))  (C(a) (E(a)

E(a))  I(a))  C(a) I(a)

/

\

C(a)

E(a)

/

Premissa Premissa Premissa Adicional 3.(∼∃) 2. (∃) : a é nova nova cons consta tant ntee 1.(∀) : a é con consta stante nte que já oco ocorre rre 4. (∀) : a é constante que já ocorre 5. (∧) 5. (∧) 6.(→)

\

11. X (10,8) E(a) I(a) 7.( ∼∧) X (1,10) X(11,9) 12. O argumento é válido pois todos os ramos foram fechados. categórico : Exemplo III. Verifique a validade do argumento categórico Nenhum estudante é velho . (∀x)(E(x) x)(E(x) → ∼V(x)) Alguns jovens não são estudantes (∃x)(J( )(J(xx) ∧∼E(x) E(x))) Alguns velhos não são jovens (∃x)(V(x) ∧∼J(x)) V(x)) 1. ( x)(E(x) Premissa 2. ( x)(J(x) E(x))€€€€€€€€€€€€€ Premissa 3. ( x)(V(x) J(x)) Premissa Adicional 4. ( x) (V(x) J(x)) 3. ( ) (J(a) E(a)) 5. 2. ( ) : a é nova constante. (E(a) V(a)) 6. 1. ( ) : a é constante constante que já existe. existe. 7. constante que já existe existe (V(a) J(a))€€€€€€€€€€ 4. ( ) : a é constante J(a) 8. 5. ( ) E(a) 9. 5.( ) / \ 10. 6.( ) E(a) V(a) / \ / \ 11. V(a) J(a) V(a) J(a) 7.( ) 12. / \ / \ http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm

Page 8 of 10


30.08.03 21:19

O argumento não é válido pois a árvore terminou e temos ramos abertos. Exemplo IV. ( x)( y)P(x,y) , P(a,a)

1. ( x)( y)P(x,y) 2. P(a,a) 3. ( y)P(a,y) 4. P(a,b) 5. ( y)P(b,y) 6. P(b.c)

Premissa Premissa adicional. 1. (∀) : a é cons consta tant ntee que que já exis existe te.. 3. (∃) : b é nov novaa con constan stante. te. 1. (∀) : b é constante que já eexxiste. 5. (∃) : c é nov novaa con constan stante. te.

Como podemos observar a árvore nunca terminará; é infinita. Vamos assumir que o argum argumento ento não não é válido válido. Na verdade verdade não existe existe um método método efetivo efetivo que que nos permita permita decidir sempre, sempre, e para para qualquer qualquer argumento argumento do Cálculo de Predicado Predicados, s, se tal argumento argumento é válido ou não é válido. válido. Este resultado resultado mostra mostra que o Cálculo de Predicados Predicados é indecidível. indecidível. A indecidibilidade indecidibilidade do Cálculo Cálculo de Predicados pode pode ser provada e é conhecida conhecida como "Tese de Church" . Há muitos livros de lógica que abordam este assunto. Quando verificamos a validade validade de um argumento estamos estamos verificando se, no caso das premissas serem verdadeiras elas inferem uma determinada determinada conclusão. conclusão. Isto é possível possível ser feito por por vários métodos métodos no Cálculo Proposicional os quais não todos se generalizam para o Cálculo de Predicados como como verificamos acima.

DEFINIÇÕES: Para estudarmos o Cálculo de Predicados sobre outros outros aspectos algumas definições são importantes e as especific especificamo amoss abaixo: abaixo:

OCORRÊNCIAS OCORR ÊNCIAS LIVRE E LIGADA LIGADA DE UMA UMA VARIÁVEL: VARIÁVEL: Uma Uma oco ocorr rrên ência cia de uma uma var variá iáve vell x numa numa fórm fórmul ulaa é ligada se x é uma uma var variáv iável el de um quan quanti tific ficad ador or na fórm fórmul ulaa ou x está no escopo escopo de um qua quantif ntificad icador or ( ∀x) ou ( ∃x) na fórmul fórmula. a. Caso con contrár trário io a oco ocorrê rrência ncia de x é livre.

VARIÁV VAR IÁVEL EL LIG LIGADA ADA (LIVRE) (LIVRE):: Se a ocorrência de x é ligada (livre) numa fórmula, dizemos que x é variável ligada (livre) na fórmula. Assim uma variável pode ser livre ou ligada numa mesma fórmula. Exemplo:Na fórmula ( y)(( x)R(y,b,t) 1 2 3

( z) P(x,a)) temos cinco variáveis que estão numeradas onde:

4

5

1,2,3,4 são ligadas e 5 é livre. Vemos que x ocorre livre e ligada na mesma fórmula. fórmula.

SENTENÇA: Uma fórmula em que não não há ocorrências livres de variáveis chamamos de sentença.

TERMO TER MO LIVR LIVREE PAR PARA A UMA VARIÁVE VARIÁVEL: L: http://www.pucsp.br/~logica/CalculodePredicados.htm

Page 9 of 10


30.08.03 21:19

Um termo termo t é livre livre para a variáv variável el y na fórmu fórmula la α se, quando quando se se substitui substitui as ocorrên ocorrências cias livres livres de y por por t, as ocorrências de t em α assim obtidas ocorrem livres. Exemplos: 1. x é livre para y em P(y). 2. x não não é livre livre para para y em ( ∀x)P(y) x)P(y).. 3. x é livre para x em qualquer fórmula. 4. qualquer termo é livre para x numa fórmula α se em α não há ocorrência livre de x. PONTIFÍCIA UNIVERS PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE IDADE CATÓLICA CATÓLICA DE DE SÃO PAULO CENTRO CENTR O DE CIÊNCIAS CIÊNCIAS EXATAS EXATAS E TECNOLOGI TECNOLOGIA A - CEL CELINA INA A.A A.A.P. .P. ABAR ABAR - 2001 -


Page 10 of 10

Noções de Lógica Matemática - Puc - Sp

Recommend Documents