Unidade 5 01.Um fabricante de motores pretende comprar correias do fornecedor XYZ. Para esse fabricante, um aspecto importante da qualidade desse produto é o comprimento das correias. A partir de uma amostra de 20 correias, estimou-se o comprimento médio em 72 cm com desvio-padrão de 0,8cm. Sabendo que o comprimento das correias segue uma distribuição normal, assinale a alternativa correta. Com 95% de confiança, dizemos que o comprimento médio de todas as correias produzidas pelo fornecedor XYZ está entre 71,6 e 72,4 cm. 02. Um farmacêutico pretende estimar o tempo de reação dos pacientes a um novo remédio para dor de cabeça. Para tanto, coletou uma amostra de 15 pacientes, que utilizaram o novo remédio. A partir dessa amostra, estimou que tempo médio de reação é de 10 minutos, com desvio-padrão de 2 minutos. Pode-se afirmar, portanto, que:
Aumentando o tamanho da amostra, o farmacêutico poderia ter menor margem de erro para o mesmo nível de confiança. a Trata-se de uma questão conceitual. A alternativa "ao nível de 91% de confiança, o tempo médio de reação de todos os pacientes que utilizam o novo remédio está entre 10 e 11 minutos" está errada, pois, ao nível de 91% de confiança, o tempo de reação está entre 9,1 e 10,9 minutos. Na alternativa "ao nível de 99% de confiança, o tempo médio de reação de todos os pacientes que utilizam o novo remédio está entre 9 e 11 minutos", os valores corretos seriam 8,5 e 11,5 minutos. A alternativa "aumentando o tamanho da amostra, o farmacêutico poderia ter menor margem de erro para o mesmo nível de confiança" é correta. E isso i sso pode ser verificado pela equação da margem de erro – como o tamanho da amostra n se encontra no denominador, seu aumento acarreta a redução da margem de erro (são inversamente proporcionais, mantendo o nível de confiança). A alternativa "Aumentando o tamanho da amostra, o farmacêutico não teria alterações na margem de erro, nem no nível de confiança" está errada, pois, aumentando o tamanho da amostra, automaticamente, automaticame nte, altera-se a margem de erro. Para manter a margem de erro, seria necessário aumentar o nível de confiança. 03. Uma pesquisa realizada com profissionais da área de engenharia estimou que o salário
médio desses profissionais é de R$8 mil. A pesquisa, que entrevistou 500 profissionais em todo o Brasil, trabalhou com o nível de 95% de confiança. A margem de erro do estudo é de R$88,00. Sobre essa pesquisa, pode-se afirmar que:
verdadeiro salário médio dos engenheiros no Brasil está entre R$7.912,00 e R$8.088,00. A alternativa "o verdadeiro salário médio dos engenheiros no Brasil está entre R$7.827,52 e R$8.172,48."está errada, pois a margem de erro é de R$88, não sendo necessário multiplicar novamente pelo valor de z. A alternativa "aumentando o nível de confiança, aumentase a precisão da estimativa do salário médio" está errada, pois, aumentando o nível de confiança, aumentamos a margem de erro,
reduzindo portanto a precisão do estudo. A alternativa "reduzindo o nível de confiança, aumenta-se a margem de erro da estimativa do salário médio" está errada, pois, reduzindo o nível de confiança, reduzimos a margem de erro da estimativa, aumentando a precisão do estudo. A resposta então pode ser obtida calculando:
04. Um instituto de pesquisas científicas sobre saúde realizou um teste clínico para verificar a eficácia do método YSORT, projetado para aumentar a probabilidade de se conceber bebês do sexo masculino. De 200 bebês nascidos de pais que utilizaram o respectivo método, 175 eram meninos. Considerando 97% de confiança, a verdadeira proporção de meninos nascidos de pais que utilizam o método YSORT está entre: 82,4% e 92,6%.
Como o tamanho da amostra é grande (n>30), lançamos mão do TCL para dizer que a média amostral segue aproximadamente uma distribuição normal de probabilidades.
Na amostra de 200 bebês, a proporção de bebês do sexo masculino é de 175/200 = 0,875 ou 87,5%. Para obter a estimativa intervalar, utilizamos a equação:
05. O rendimento de um processo químico está sendo estudado. Nos últimos 35 dias de
operação da planta, resultou-se um rendimento percentual médio de 92%, com desviopadrão de 5%. Pode-se afirmar, portanto, que o verdadeiro rendimento percentual médio está entre: 89,8% e 94,2%, ao nível de 99% de confiança.
Como o tamanho da amostra é grande (n>30), lançamos mão do TCL para dizer que a média amostral segue aproximadamente uma distribuição normal de probabilidades.
Para a construção do intervalo de confiança, utilizamos as seguintes informações disponíveis no enunciado: n = 35
s=5% (desvio-padrão amostral). Apesar de os dados serem apresentados em valores percentuais, vamos construir o intervalo de confiança para média, uma vez que o objetivo do estudo é estimar o rendimento percentual médio desste processo químico. A margem de erro é dada por:
Unidade 6 01. Suponha que a Companhia Energética de Minas Gerais (CEMIG), após fazer uma
campanha de conscientização da população quanto à redução do consumo de energia elétrica, pretende realizar um estudo para estimar o consumo mensal médio de energia por residência (em kWh). Considere que estudos anteriores mostraram que o desvio-padrão do consumo de energia elétrica é de 150 kWh. Para um estudo com 95% de confiança e margem de erro máxima da estimativa de 10 kWh, o tamanho amostral necessário é de: 865 residências.
Utilizando a equação 4 da unidade 6, conclui-se que a resposta correta é a alternativa "865 residências"
Como não foi disponibilizado no enunciado o total de residências atendidas pela COPASA/MG, realiza-se o cálculo do tamanho amostral, considerando a equação para a população infinita.
02. Uma assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário para determinar a proporção da população atendida por uma unidade de saúde, que pertence ao município de Contagem. O valor da proporção amostral é desconhecido. Ela quer ter 95% de confiança que o erro máximo de estimativa (E) seja de ± 2% (ou 0,02). Quantos pacientes necessitam ser entrevistados? 2401 pacientes.
Considerando que o valor da proporção amostral de atendimentos de pacientes na unidade de saúde não é conhecido, utilizamos a equação para p desconhecido para determinar o tamanho da amostra, sendo o valor de p = 0,5. Sabemos que, para 95% de confiança, teremos o valor crítico (Zα/2) = 1,96. Então, temos:
Nesse caso, já temos um número inteiro e não é preciso fazer arredondamento sempre para cima. Devemos, portanto, obter uma amostra de ao menos 2401 pacientes para determinar a proporção de atendidos na unidade de saúde de Contagem. A resposta correta é 2401 pacientes. 03. A empresa Vaquinha Mimosa deseja trocar o fornecedor de embalagens de leite.
Atualmente cerca de 10% da produção de leite tem sido perdida devido ao rompimento das embalagens. O possível novo fornecedor alega que apenas 1% de suas embalagens apresentam o defeito de rompimento. Considere que o gerente de produção da Vaquinha Mimosa pretende confirmar a informação do novo fornecedor, conduzindo um estudo com 98% de confiança e margem de erro máxima da estimativa de 1%. Diante disso, podemos afirmar que, para esse estudo, o tamanho amostral necessário é de: 538 embalagens.
Como o processo de produção de embalagens é contínuo, trabalhamos com a equação 1 da unidade 6, que se refere à população infinita. Note também que o enunciado não informou o tamanho da população, que seria a quantidade de embalagens já produzidas pelo novo fornecedor. Utilizando esse procedimento, verifica-se que a resposta correta é a alternativa B.
O objetivo do estudo é a estimação de uma proporção populacional. Note que já foi disponibilizada uma estimativa a priori, 1%, que poderá ser utilizada para definir o tamanho amostral. 04. Em um experimento, o fabricante de fibras sintéticas está interessado em saber sobre a
resistência à tensão que essas fibras têm. Suspeita-se que a resistência esteja relacionada à porcentagem do algodão na fibra. Cinco níveis de porcentagem de algodão são usados e cinco réplicas são corridas em uma ordem aleatória.
Com base nessas informações, neste experimento, podemos dizer que:
a VARIÁVEL RESPOSTA é a resistência à tensão da fibra sintética, o FATOR é a porcentagem de algodão na fibra e os TRATAMENTOS são os cinco níveis de porcentagem de algodão O aluno deve lembrar que os fatores são as variáveis controláveis que podem exercer influência sobre a variável resposta. Tratamento são as combinações específicas dos níveis de diferentes fatores, e variável resposta é o resultado de interesse registrado após a realização de um ensaio. Logo, variável resposta é a resistência à tensão das fibras (característica de qualidade de interesse no estudo), fator é a porcentagem de algodão na fibra e tratamento são os cinco níveis do fator, pois temos apenas um fator. 05. Um instituto de pesquisa de mercado pretende realizar um estudo para estimar o salário
médio dos engenheiros no estado de Minas Gerais. De acordo com o artigo “Disponibilidade de mão de obra qualificada para o curto e médio prazo: uma proposta aplicada ao caso dos engenheiros em Minas Gerais” (Octávio Alcântara Torres em Asociación Latinoamericana d e Población, 2014), estima-se que a população total de engenheiros em MG, no ano de 2015, seja de 157 mil profissionais, e que o desvio-padrão do salário seja de R$8 mil. De acordo com essas informações, assinale a alternativa correta. Para um estudo com 95% de confiança e margem de erro máxima da estimativa de R$350, será necessária uma amostra de 1.982 profissionais.
Deve ser utilizada a equação para o cálculo de tamanho de amostra para média, pois o objetivo do estudo é estimar o salário médio dos engenheiros. Deve-se também utilizar a fórmula com correção para população finita, uma vez que foi apresentado o tamanho da população com sendo de 157 mil profissionais.
A alternativa "Para um estudo com 95% de confiança e margem de erro máxima da estimativa de R$350, será necessária uma amostra de 1.982 profissionais" é a opção correta. A alternativa "Para um estudo com 97% de confiança e margem de
erro máxima da estimativa de R$350, será necessária uma amostra de 1.882 profissionais"está errada, pois, aumentando o nível de confiança do estudo, o tamanho da amostra deve aumentar para 2.423 profissionais. A alternativa "Para um estudo com 95% de confiança e margem de erro máxima da estimativa de R$250, será necessária uma amostra de 1.782 profissionais" está errada, pois, reduzindo a margem de erro, o tamanho da amostra deve aumentar para 3.838 profissionais. A alternativa "Para um estudo com 97% de confiança e margem de erro máxima da estimativa de R$250, será necessária uma amostra de 1.682 profissionais" está errada, porque, aumentando o nível de confiança e reduzindo a margem de erro, o tamanho da amostra deveria aumentar para 4.679 profissionais. 06. Imagine uma empresa de fundição que está com sérios problemas na dimensão final de
cabeçotes produzidos. A suspeita é de que o problema esteja nos moldes utilizados para produzir os cabeçotes. Suponha então que se queira saber se quatro diferentes tipos de molde (considera-se cada molde como um tratamento) de uma linha de produção produzem diferentes leituras na dimensão final dos cabeçotes. Imagine agora que sejam realizados quatro ensaios para cada molde. Existe assim um único fator (variável independente importante). Considerando os seis termos básicos do planejamento de experimentos: unidade experimental, fatores, níveis de um fator, tratamento, ensaio e variável resposta, identifique, no caso apresentado, a aplicação de cada um desses termos.
RESPOSTA ESPERADA
Unidade experimental: unidade básica para a qual será feita a medida da resposta. No nosso caso, cada unidade experimental corresponde a um cabeçote. Fatores: tipos distintos de condição com as quais são manipuladas as unidades experimentais. No nosso caso, temos um único fator: o molde. Níveis de um fator: diferentes modos da presença de um fator no estudo considerado. No caso citado, os níveis do fator molde são os diferentes tipos de técnica: técnica 1, técnica 2, técnica 3 e técnica 4. Podemos dizer, portanto, que nosso fator tem quatro níveis. Tratamento: combinações específicas dos níveis de diferentes fatores. Quando temos apenas um fator, como é o nosso caso, o tratamento é o próprio nível dos fatores: tratamento 1 = técnica 1; tratamento 2 = técnica 2; tratamento 3 = técnica 3; tratamento 4 = técnica 4. Ensaio: cada realização do experimento em uma determinada condição de interesse (tratamento). No nosso caso, cada ensaio consiste em produzir um cabeçote a partir de cada molde. Variável resposta: resultado de interesse registrado após a realização de um ensaio. No nosso caso, variável resposta é a dimensão final do cabeçote. Unidade 8 01. Em relação ao coeficiente de correlação, analise as assertivas abaixo:
I. No teste de correlação, a hipótese nula afirma a não existência de correlação entre as
variáveis. II. A correlação não faz distinção sobre qual variável projeta-se em cada eixo do plano cartesiano. Dessa forma, Cor (X,Y) = Cor (Y,X). Em relação às afirmativas acima, é CORRETO afirmar que: as duas assertivas são verdadeiras e a segunda não justifica a primeira.
A assertiva I é verdadeira e pode ser encontrada no mapa conceitual do objeto de aprendizagem, na seção I “Etapas para o teste de correlação” da Estrutura didática da Unidade 8. A assertiva II também é verdadeira.
02. As assertivas abaixo se referem ao coeficiente de correlação:
I. O coeficiente de correlação mede o grau de intensidade do relacionamento linear entre
duas ou mais variáveis quantitativas. II. O valor da correlação depende da unidade de medida dos dados. Em relação às assertivas apresentadas, é CORRETO afirmar que: as duas assertivas são falsas.
A afirmativa I é incorreta, pois a correlação pode ser calculada apenas para duas variáveis quantitativas. A resposta pode ser encontrada no Item “Análise de Correlação” do livro da Unidade 8. A afirmativa II é incorreta, pois a correlação independe da unidade de medida dos dados, conforme explicitado no subtópico “Coeficiente de Correlação de Pearson”, do tópico “Análise de Correlação” da Unidade 8. 03. Analise as afirmações sobre o modelo de regressão. I - A estimativa dos parâmetros e do modelo de regressão simples levam em consideração todos os valores assumidos pelas variáveis explicativa e resposta. II - A estimativa dos parâmetros e do modelo de regressão simples podem ser feitas pelo método dos mínimos quadrados. III - No modelo de regressão, quanto maior o tamanho da amostra, melhor a qualidade do modelo de regressão. IV - O somatório do produto de X por Y, no modelo de regressão, não pode ser um número negativo. Em relação às assertivas apresentadas, assinale a alternativa CORRETA. São verdadeiras as afirmativas I e II.
A assertivas I e II estão corretas e podem ser encontradas no subtópico “Regressão linear simples” do livro da Unidade 8. A assertiva III está incorreta, pois a qualidade do ajuste da reta não fica melhor quando o tamanho da amostra aumenta. A assertiva IV também é incorreta, pois o somatório do produto das variáveis pode ser negativo, caso as variáveis sejam negativamente relacionadas. Também podem ser encontradas no subtópico “Regressão linear simples”. 04. Sobre o modelo de regressão, assinale a alternativa
INCORRETA.
No modelo Y = 1 + 2X, o aumento de uma unidade na variável X implica no aumento de três unidades na variável Y.
A assertiva “No modelo Y = 1 + 2X, o aumento de uma unidade na variável X implica no aumento de três unidades na variável Y” é falsa, pois o aumento de uma unidade em X implica no aumento de duas unidades em Y, e não em três unidades. 05. Sobre o diagrama de dispersão, analise as assertivas abaixo:
I. O diagrama de dispersão é utilizado para avaliar a associação (ou falta de associação)
entre duas variáveis quantitativas. II. O diagrama de dispersão geralmente é construído antes do cálculo da correlação. Em relação às assertivas acima, pode-se afirmar que: as duas assertivas são verdadeiras e a segunda não justifica a primeira.
As duas assertivas são verdadeiras. Na assertiva I, pode-se destacar que o diagrama de dispersão não tem aplicação para variáveis categóricas, somente quantitativas. Na assertiva II, é indicado que o diagrama de dispersão seja construído antes do cálculo da correlação para que o analista tenha uma ideia do grau de associação entre as variáve is. 06. Ao analisar a correlação entre os gastos com propaganda (x) de uma empresa (em
milhares de reais) e as suas vendas (y) (em milhares de reais), percebeu-se que há forte correlação entre elas. Assim, foi calculada a equação da reta de regressão entre as variáveis, que está apresentada abaixo: y = 50,729x + 104,061 Portanto, de posse da equação de regressão, DETERMINE o que se pede: a) O valor das vendas com 10 milhares de reais gastos com propaganda. b) Os valores gastos com propaganda, sabendo que as vendas foram de 1 118,641 milhares de reais.
RESPOSTA ESPERADA Padrão de Resposta:
Para o cálculo do valor das vendas com 10 milhares de reais, basta utilizar a equação dada, substituindo em x o valor 10, já que a unidade é em milhares. y=50,729·10+104,061=611,351 Ou seja, estima-se que a venda é de 611,351 milhares de reais para essa proposta. b) Nesse caso, basta utilizar a equação para determinar o valor de x, sabendo que y=1118,641. Substituindo o valor de y na equação dada, temos:
Ou seja, estima-se que foram investidos 20 milhares de reais em propaganda.
