NACRTNA GEOMETRIJA - PEDESET REŠENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEŽBE - isečak (deo e-knjige)

Stevan Opančarev, struk. inž. – spec.

NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REŠENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEŽBE

Srbobran, 2013.

Stevan Opančarev, strukovni inženjer – specijalista

NACRTNA GEOMETRIJA PEDESET REŠENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEŽBE Elektronska knjiga (E – knjiga) autor, urednik, tehnički urednik i grafički dizajn

Stevan Opančarev, struk. inž. – spec. recenzenti prof. dr Katarina Jevtić Novaković, dipl. inž. arh., profesor na Visokoj građevinsko geodetskoj školi u Beogradu Milenko Petković, dipl. inž. arh., urednik i autor internet portala koji je posvećen nacrtnoj geometriji http://nacrtna-geometrija.blogspot.com/ lektor prof. Pavle Papulin prodaja E – knjige Amazon Digital Services, Inc. (web sajt http://www.amazon.com/ ) izdavač samostalno IZDANJE U BOJI Umnožavanje i štampa cd-a

Copy Centar

Beograd Zdravka Čelara 12

web sajt http://www.copy.rs

tiraž 100 primeraka CIP - Каталогизација у публикацији Библиотека Матице српске , Нови Сад 514 . 18 ( 075 . 8 ) ( 076 ) ОПАНЧАРЕВ, Стеван Nacrtna geometrija [Elektronski izvor] : pedeset rešenih zadataka sa elaboratima za vežbe / Stevan Opančarev . - Srbobran : S. Opančarev , 2013 (Beograd : Copy Centar) . - 1 elektronski optički disk (CD-ROM) : tekst , slika ; 12 cm Tiraž 100 .

ISBN 978-86-914831-2-8 a ) Нацртна геометрија - Задаци

COBISS . SR - ID 277788167

NAPOMENA: Svako neovlašćeno korišćenje, umnožavanje, izmena, prodaja i distribuiranje materijala, u celini ili delimično, sa ovog CD medija je nezakonito. Svako kršenje autorskih prava biće sankcionisano u skladu sa zakonom.

RECENZIJA ELEKTRONSKE KNJIGE


autor: Stevan Opančarev, struk. inž. - spec. recenzent: dr Katarina Jevtić Novaković, dipl. inž. arh.

Elektronska knjiga NACRTNA GEOMETRIJA - PEDESET REŠENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEŽBE predstavlja bogatu zbirku geometrijskih problema, namenjenu ne samo studentima tehničkih fakulteta i grafičkog dizajna nego i široj čitalačkoj publici. Možemo je preporučiti i profesorima srednjih škola, koji bi zanimljivim zadacima inspirisali učenike i približili im logiku prostornog razmišljanja. Redosled zadataka, u okviru svakog poglavlja odražava iskustvo autora za prirodan tok i razvoj ideja u okviru jednog uvodnog kursa nacrtne geometrije. Kroz pet poglavlja - 1. OKTANTI, 2. TAČKA, PRAVA I RAVAN, 3. TRANSFORMACIJA, 4. ROTACIJA i 5. OBARANJE U PROJEKCIJSKIM RAVNIMA, na 263 strane, bogato ilustrovane grafičkim prikazima i 14 strana elaborata, namenjenih za samostalnu vežbu, autor postupno, rešavajući zadatke, korak po korak, omogućava čitaocu lako praćenje materije. Detaljnim rešavanjem svakog zadatka autor je želeo da pomogne studentu da samostalno nauči ili ponovi onu nastavnu celinu koja će mu biti odlična priprema za ispit. Ova knjiga će popuniti prazninu na opustelom tržištu knjiga iz oblasti nacrtne geometrije i recenzent je preporučuje za objavljivanje.

U Beogradu, 15. mart 2013. god.

_________________________________ dr Katarina Jevtić Novaković, dipl. inž. arh.

RECENZIJA ELEKTRONSKE KNJIGE


Gospodina Stevana Opančareva

U vremenu kad se uopšte ne izdaju ovakve knjige ova knjiga predstavlja pravo otkrovenje. Zadaci su pažljivo odabrani tako da svaki predstavlja međaš u određenoj oblasti iz same nacrtne geometrije. Autor knjige ih je poređao stepenasto po težini, od najlakšeg do najtežeg, i naravno uz svaki dao detaljno objašnjenje. Čitajući ovu zbirku možete da uđete u ceo taj proces rešavanja zadataka iz nacrtne geometrije, iako možda ranije i niste bili vični tome. Zadaci su detaljno opisani i osmišljeni od strane samog autora a to je sasvim novo u ovoj vrsti literature. To kažem zbog toga što većina ovakvih udžbenika ipak implementira tuđe zadatke. No sa ovom knjigom to nije slučaj. Crteži su nacrtani kompjuterski i u jasnim i jarkim bojama. Tačke su definisane prostorno bez ikakvih dvosmislenosti. Svaki zadatak je jedinstven u svojoj oblasti. Možda da su rađeni u malo većoj rezoluciji i to kao mape na formatu A3 bili bi još instruktivniji. Smatram da je ova knjiga podjednako dobra i đacima srednjih škola i studentima tehničkih fakulteta.

U Beogradu, 17. maj 2013. god.

____________________ Milenko Petković, dipl. inž. arh. http://nacrtna-geometrija.blogspot.com

SADRŽAJ

PREDGOVOR............................................................................................. str. ii UVOD.......................................................................................................... str. 3 NAPOMENE ZA CRTANJE.........................................................................str. 8 PEDESET REŠENIH ZADATAKA IZ NACRTNE GEOMETRIJE ZADACI............................................................................................ str. 12 REŠENJA......................................................................................... str. 18 Deo 1 OKTANTI..................................................................... str. 19 Deo 2 TAČKA, PRAVA I RAVAN .......................................... str. 27 Deo 2.1 TAČKA.............................................................. str. 27 Deo 2.2 PRAVA I DUŽ................................................... str. 35 Deo 2.3 RAVAN............................................................. str. 72 Deo 3 TRANSFORMACIJA................................................... str. 124 Deo 4 ROTACIJA................................................................... str. 164 Deo 5 OBARANJE U PROJEKCIJSKIM RAVNIMA.............. str. 201 LITERATURA.............................................................................................. str. 261 ELABORATI ZA VEŽBE ............................................................................ str. 264

| SADRŽAJ | strana i

NACRTNA GEOMETRIJA pEDESET rešenih ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEŽBE

Predgovor Namera autora je da kroz pedeset izabranih i potpuno rešenih zadataka upozna čitaoca sa nacrtnom geometrijom i postupkom rešavanja zadataka. Zadaci su podeljeni po oblastima i rešavani su postupno, da bi čitaocu bilo lakše da ih razume. Autor preporučuje da čitalac prethodno dobro usvoji teorijska znanja iz nacrtne geometrije da bi mogao pravilno da razume ovu e-knjigu. Takođe, pošlo se od pretpostavke da čitalac ima osnovna znanja iz geometrije (planimetrija i stereometrija) i geometrijskih konstrukcija. Način rešavanja zadataka, služi da čitaoca dovede do samostalnosti u rešavanju zadataka iz ove oblasti. Najveći problem može predstavljati nerazumevanje prostora (3-D) i njegovo predstavljanje u dve dimenzije (2-D)1. Zbog toga je autor vodio računa da svaki zadatak bude jednostavno objašnjen i razumljiv. Da bi se jedan predmet kao što je nacrtna geometrija približio studentima, potrebno je u zadacima predstaviti manji broj problema. Te zadatke rešavati korak po korak, u interakciji student - profesor. Potrebno je studente obučiti da 3-D objekte znaju preneti u 2-D ravni. Korisno je uporediti tradicionalni (tabla, kreda, lenjiri, šestar, uglomer) i novi (kompjuter, softver za crtanje CAD) metod i izabrati najpogodniji. Svako ko uspe da ovlada veštinama jedne nacrtne geometrije, imaće znanja da razvija trodimenzionalni (3-D) pogled. Istakao bih da se specijalne sposobnosti2 najefikasnije razvijaju slobodnoručnim crtanjem, potom tradicionalnim priborom, a tek na kraju primenom kompjuterskih softvera3. U eri napretka tehnologije i interneta i sve veće upotrebe kompjutera u učenju, izabrao sam da ovo bude elektronska verzija knjige (e-knjiga). Već u aprilu 2011. god. prodaja elektronskih knjiga je premašila prodaju štampanih4. 1

Prostorno razmišljanje na osnovu 2-D slike Vizuelizacije, prostornog razmišljanja i logike 3 Prema istraživanjima Comany P., Piquer A., Contero M. and Naya F. A Survey on Geometrical Reconstruction as a Core Technology to Sketch Based Modeling, Computer & Graphics 29 (2005.) 4 Kompanija za onlajn trgovinu Amazon.com 2

| PREDGOVOR | strana ii

U Srbiji, najpoznatiji sajt koji se bavi prodajom elektronskih knjiga je http://www.naseeknjige.com/5. Bitno je naglasiti da u Srbiji prodaja elektronskih knjiga nije zaživela u potpunosti. Za prodaju elektronskih http://www.amazon.com/6.

knjiga

u

svetu

najpoznatiji

je

web

sajt

Postoji i web sajt http://www.korisnaknjiga.com/elektronske-knjige7 koji besplatno preuzimanje e-knjiga.

nudi

Knjiga je napisana u .pdf formatu. Preporučljivo je koristiti jedan od besplatnih programa: 1. http://get.adobe.com/reader/ (Adobe Reader XI) 2. http://www.foxitsoftware.com/Secure_PDF_Reader/ (Foxit Reader 6) Pomenuo bih i web sajt http://nacrtna-geometrija.blogspot.com/, web portal o nacrtnoj geometriji, nezaobilazno mesto za sve one koje zanima nacrtna geometrija. Autor gorepomenutog web sajta isključivo postavlja zadatke urađene na papiru, u olovci. Iskreno se zahvaljujem recenzentima ove e-knjige, prof. dr Katarini Jevtić Novaković i Milenku Petković, dipl. inž. arh. na pažljivo pregledanom tekstu i iznošenju stručnog mišljenja koje je pomoglo da knjiga koja se nalazi pred vama bude stručno obrađena. Profesor Pavle Papulin je lektorisao knjigu i na tome mu se zahvaljujem. Svoja zapažanja čitaoci mogu da upute autoru elektronskom poštom na adresu [email protected]. U Srbobranu, 07. jun 2013. god. Stevan Opančarev, struk. inž. – spec. ___________________________

5

web sajt nastao krajem 2011. god., prva e-knjiga Žarko Laušević Godina prođe, dan nikada autor od 14.01.2013. god. prodaje svoje elektronske knjige na ovom web sajtu 7 web sajt www.baneprevoz.com/e-knjige/ je takođe nudio besplatno preuzimanje e-knjiga. Ovaj web sajt koji je već godinama bio dobro poznat svima u virtuelnom elektronskom prostoru Srbije da pirateriše knjige, 18. IV 2012. god. stavljen je van funkcije. 6

| PREDGOVOR | strana iii

“Među svim matematičarima, geometričari imaju prednost da mogu videti ono što proučavaju.” 8

8

Feliks Kristijan Klajn (nem. Felix Klein; Diseldorf, Nemačka, 25. april 1849. — Getingen, Nemačka, 22. jun 1925.) je bio nemački matematičar, poznat po svome radu na teoriji grupa, teoriji funkcija, neeuklidskoj geometriji i na povezivanju geometrije sa teorijom grupa

UVOD Nacrtna geometrija je metoda za proučavanje 3-D geometrije preko 2-D slika. Ona nudi uvid u unutrašnju strukturu i metrička svojstva prostornih objekata, postupaka i principa. Kao takva ona omogućuje razvijanje intelektualnih sposobnosti studenata za prostornu percepciju. Crteži nas vode kroz geometriju ali nisu njen glavni cilj. Za NG je tipično uzajamno delovanje: a) između 3-D situacije i njene 2-D reprezentacije, b) između intuitivnog razumevanja i strogo logičkog zaključivanja. NG ima dva cilja: 1) Ona određuje metode po kojima se na crtaćem papiru, mogu prikazati sve prostorne tvorevine, a uz pretpostavku da se te tvorevine mogu tačno definisati. 2) Određuje postupak, po kojem se iz crteža neke prostorne tvorevine može upoznati njen oblik. Tako se mogu izvesti svi zakoni koji su sadržani u predstavljenom obliku kao i međusobnim položajem njegovih delova. To dokazuje da je dva glavna cilja nacrtne geometrije - zamišljanje i analiziranje 3-D objekata – utvrdio već njen osnivač, Gaspard Monge (1746. 1818.). U poslednje vreme se ručno crtanje u nacrtnoj geometriji sve više zamenjuje sa CAD-om ili matematičkim softverom sa slika u.1 Spomenik G. Mongeu, Place de Monge, grafičkim outputom. Dobri poznavaoci Côte-d’Or, nacrtne geometrije uglavnom se Beaune (mesto rođenja), Dep. 9 Francuska opredeljuju za ovo drugo rešenje. 9

Izvor fotografije: Stachel H. Čemu služi nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvatić Baldasar), Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 39. str.

| UVOD | strana 3

Što je snažniji i sofisticiraniji softver za modeliranje, to je potreban viši nivo geometrijskog znanja. Loš dizajner neće nikad postati dobar samo upotrebom CAD-a umesto tradicionalnih pomagala. Zbog sličnih se razloga važnost matematike i dalje povećava, iako računari preuzimaju deo računanja. Druga pogrešna interpretacija nacrtne geometrije je u tome što se ona smatra samo teoretskim, akademskim predmetom. F. Hohenberg10 uverljivo osporava to mišljenje u svom udžbeniku. Na mnogim je primerima pokazao da je za stvarni svet bitna primena nacrtne geometrije. Lekari često cene svoje obrazovanje iz nacrtne geometrije. U anatomiji mnogo jednostavnije shvataju mrežu krvnih žila ili živaca. I u ortopediji geometrija pomaže da se shvati kako ljudski zglobovi funkcionišu i zašto iščašenje uzrokuje različite smetnje.

slika u.2 Objašnjenje glavnih pogleda u udžbeniku za stomatologe11 U predoperativnom zahvatu ispravan položaj kosti bio je označen na ekranu. U pretapanju slika taj je virtuelni položaj kombinovan sa aktuelnim. Rad se hirurga, dakle, sastojao u tome da ta dva položaja ručno izjednači na pacijentu. Kako je hirurg kontrolisao svoj rad? Pažljivo je ispitao tri glavna pogleda jer su oni omogućavali da se rastavi stvarni 3-D pomak u ravanske pokrete. Za detaljnu analizu 3-D objekta posebni pogledi često (pomoćni pogledi) otkrivaju stvarnu prostornu situaciju. Takvi pogledi često su ključ rešavanja 3-D problema. Smatram da su ti posebni pogledi pravo umeće nacrtne geometrije.

10

Hohenberg F. Konstruktive Geometrie in der Technik, 3. Aufl., Springer-Verlag, Wien 1966. Izvor fotografije: Stachel H. Čemu služi nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvatić Baldasar), Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 40. str. 11

| UVOD | strana 4

Sledeći primer (slika u.3) predstaviće poseban značaj posebnih pogleda. Primer: Gde sunce ranije izlazi 21. juna, u Oslu ili u Beču? grad Oslo Beč

istočna dužina 10,6° 16,4°

severna širina 59,9° 48,2°

Na slici u.3 određujemo pogled spreda sa sunčevim zracima koji su paralelni s ravni slike. Tada pretpostavimo da je to pogled u trenutku kada sunce u Oslu izlazi 21. juna. Čim se Beč prikaže u tom pogledu, lako se uočava odgovor na postavljeno pitanje. Taj pogled je koristan jer može razjasniti dodatne probleme kao i one s više detalja, na primer: a) Može li se dogoditi da u jednom danu, tokom jednogodišnjeg razdoblja, sunce izađe istovremeno u Oslu i u Beču? b) Obratite pažnju na činjenicu da je sunce, zbog prelamanja svetlosti u atmosferi približno 0,6° ispod lokalnog horizonta kada se posmatraču na zemlji čini da izlazi. c) U zoni astronomske zore sunce je između 6° i 18° ispod lokalnog horizonta. Istražujući poseban pogled koji smo pre predstavili, lako je shvatiti slika u.3 zašto je vreme dnevne zore kraće što Gde sunce 21. juna ranije izlazi, 12 je posmatrač bliže ekvatoru. u Oslu ili u Beču?13 Vizuelne informacije čovek prima putem očiju koje su u osnovi dvodimenzionalni detektori, osetljivi da detektuju dvodimenzionalnu informaciju koja se nalazi u likoravni upravnoj na pravac gledanja i pri tom neosetljivi na objekte koji su u položaju zraka. Stoga je uvek neophodno izabrati dobar pravac posmatranja da bi se trodimenzionalnost objekta pravilno shvatila.14 12

Stachel H. Čemu služi nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvatić Baldasar), Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god. 13 Izvor fotografije: Stachel H. Čemu služi nacrtna geometrija? (prevela Ksenija Horvatić Baldasar), Zbornik radova Dresdenskog simpozija o geometriji, 2003. god., 40. str. 14 Štulić R., Hiel K. ZNAČAJ SPOSOBNOSTI PROSTORNE VIZUELIZACIJE U OBRAZOVANJU ARHITEKTONSKE STRUKE - NOVE TENDENCIJE U NASTAVI GEOMETRIJE I GRAFIKE, Univerzitet u Novom Sadu, Fakultet tehničkih nauka, 2006. god.

| UVOD | strana 5

Duval15 je 1998. god. opisao, kroz trostruki proces, vezu između prostorne vizuelizacije i razmišljanja. Ona uključuje vizuelizaciju, konstruisanje i proces rezonovanja. Na slici u.4 je prikazano kako kognitivni procesi utiču jedan na drugi tokom učenja 3-D nacrtne geometrije. Takođe, pokazuje da rezonovanje nije uvek pod uticajem vizuelizacije (3-D u 2-D i obrnuto), ali i da se može razvijati sasvim odvojeno od ostalih procesa. Vizuelizacija (zamišljanje), može odvojeno da se razvija i ova studija pokazuje da proces prostornog zamišljanja i razmišljanja zajedno ne vrši uticaj na praksu. Brison16 (1992.) sugeriše da je zamišljanje osnova za razumevanje ostalih komponenti.

slika u.4 Sinergija veze prostorne vizuelizacije i rezonovanja, koja dovodi do poznavanja geometrije u praksi

slika u.5 Vizuelna iluzija: Sandro Del-Prete, Kvadratura točka, crtež, 1970. god.

Činjenica je da nacrtna geometrija simultano aktivira levu i desnu moždanu hemisferu. Ona povezuje analitičko sa sintetičkim, to jest, apstraktno sa konkretnim. Tako se razvijaju mentalni procesi poboljšavajući kreativne sposobnosti studenata i povećavajući njihove intelektualne kapacitete. To je dokazano eksperimentalnim rezultatima. Ovo stavlja nacrtnu geometriju u red bazičnih disciplina potrebnih u obrazovanju ne samo inženjera nego i studenata ostalih prirodnih nauka, pa čak i u medicini, filozofiji i umetnosti17. 15

Duval R. (1998.) Geometry from the cognitive point of view, In: C. Mammana and V. Villani (eds.), Perspectives on the Teaching of Geometry for 21st Century: an ICMI Study, Dordrecht: Kluwer 16 Brisson H. E. (1992.) Visualization in art and science, Leonardo, Visual Mathematics Special double issue, Vol. 25, No. 2 (4) 17 Gitller G., Gluck J. Differential Transfer of Learning: Effects of Instruction in Descriptive Geometry on Spatial Test Performance, JGG, Vol. 2, (1998.)

| UVOD | strana 6

NAPOMENE ZA CRTANJE Pribor potreban za crtanje 

papir A3 formata (mere: 297 x 420 mm) – poluhamer (80 gr./m2) – običan papir za fotokopiranje ili hamer, grafitna i drvena olovka H (2H) – tvrda i B (2B) – meka, gumica za brisanje, lenjiri:  pravi lenjir (dužine 30 cm),  trouglovi (sa uglovima od 30°-60°-90° i 45°-45°-90°), uglomer, šestar i minimum dve drvene boje (plava i crvena).

  

  

Slika n.1 Deo pribora koji se koristi u nacrtnoj geometriji

Slika n.2 Primer savijanja papira A3 (297 x 420 mm) formata - uzdužno savijanje Obeležavanje elemenata         

ose u koordinatnom sistemu (centar koordinatnog sistema - 0) sa x (1x2), y, yo i z, a njihove projekcije sa x', x'', x''' (čitaj: x prvo /prim/, x drugo /sekund/, x treće), y', y'', y''', yo', yo'', yo''', z', z'', z''', oktanti su obeleženi rimskim brojevima I, II, III, IV, V, VI, VII i VIII, ravni sa H – horizontalna (ili π1), V (ili F) – vertikalna (frontalna ili π2) i P – profilna (ili π3) ravan, tačke u kosoj projekciji (u prostoru, 3-D) i rogljevi geometrijskih tela su obeleženi velikim slovom A, B, C, ... , a njihove projekcije (u ortogonalnim projekcijama, 2-D) A', A'', A''' (čitaj: A prvo /prim/, A drugo /sekund/, A treće), tačke koje leže na koordinatnim osama (udaljenost tačke od koordinatnog sistema) sa Ax (leži na x osi), Ay (leži na y osi), Az (leži na z osi), prave, stranice trougla su obeležene malim slovom a, b, c, ... , a projekcije pravih a', a'', a''', ... , normala je obeležena malim slovom n, duži su obeleženi velikim slovima AB (̅̅̅̅ ili duž AB), ... , projekcijski prodori P1 (1) – prodor kroz horizontalnicu, P2 (2) – prodor kroz vertikalnicu, P3 (3) – prodor kroz profilnicu, a njihove projekcije P' (1', 2', 3'), P'' (1'', 2'', 3''), P''' (1''', 2''', 3''') (čitaj: P (1, 2, 3) prvo /prim/, P (1, 2, 3) drugo /sekund/, P (1, 2, 3) treće), | NAPOMENE ZA CRTANJE | strana 8

                      

pomoćne spone su obeležene brojevima 1 (①), 2 (②), 3 (③), 4 (④), ... simetrala duži (deli duž na dva jednaka dela), presečna tačka dve prave koje se seku, kao i centar opisane kružnice trougla (npr. ABC) su obeleženi velikim slovom S, simetrala stranica (duži) trougla (npr. ABC) je obeležena malim slovom s, poluprečnik kruga, poluprečnik upisanog kruga je obeležen malim slovom r, poluprečnik opisanog kruga je obeležen velikim slovom R, ravni, unutrašnji uglovi trougla su obeleženi grčkim slovima α, β, γ, δ, ε, ... , a projekcije ravni α1, α2, α3 (čitaj: alfa jedan, alfa dva, alfa tri), osni prodori ravni αx, αy, αz (prodori osa x, y i z kroz ravan α), ... , trougao Δ (npr. ΔABC), ... , simboli: normalno -  , paralelno - , ugao -  , sutražnica je obeležena malim slovom s1 (h) – prva sutražnica, s2 (f) – druga sutražnica, ..., a njihove projekcije s1' (h'), s1'' (h''), s1''' (h''') (čitaj: s1 (h) prvo /prim/, s1 (h) drugo /sekund/, s1 (h) treće), presečnica dve ravni je obeležena malim slovom p, transformacione ravni sa 1x2 (τ1), 2x3 (τ2), 3x4, .... , smer posmatranja tela iz prve projekcije je obeležen malim slovom m, smer posmatranja tela iz treće transformisane projekcije je obeležen malim slovom n, prava veličina rastojanja (udaljenosti) je obeležena malim slovom d, rotirane tačke u kosoj projekciji (u prostoru, 3-D) su obeležene velikim slovom Ar, Br, Cr, ... , a njihove projekcije (u ortogonalnim projekcijama, 2-D) Ar', Ar'', Ar''', kružnica rotacije (za neku tačku, npr. za tačku A) je obeležena malim slovom kA, osa rotacije je obeležena malim slovom c ( prolazi kroz tačku N i normalna je na vertikalnicu), tačka kroz koju prolazi osa rotacije c je obeležena velikim slovom N, obrnut položaj tačke (npr. A) je obeležen velikim slovom Ao, obrnut položaj prve projekcije tačke (npr. A') - Ao', obrnut položaj druge projekcije tačke (npr. A'') - Ao'', .... nagibnica je obeležena malim slovom q (q1 – prva nagibnica, q2 – druga nagibnica, q3 – treća nagibnica), uglovi su obeleženi grčkim slovima φ, θ, .... tačke u oborenoj ravni (horizontalnoj, vertikalnoj ili profilnoj) Ao, Bo, .... , prave u oborenoj ravni ao, bo, .... , sutražnica u oborenoj ravni s1o (ho), s2o (fo), .... ravni u oborenoj ravni αo, βo, ....

U zadacima svi podaci su dati u cm (osim ako nije drugačije rečeno). Uglovi su dati u stepenima [°]. Kod izrade zadataka nevidljive linije crtaju se isprekidanom linijom. Linije koje su manje važne crtaju se debljom linijom; dati elementi i rešenja zadatka – najdebljom linijom, a prava veličina rastojanja - linijom: crta, tačka, crta. Pisati tehničkim slovima (vidi slike n.3 i n.4).

| NAPOMENE ZA CRTANJE | strana 9

Slika n.3 Latinično pismo (kosa slova), brojevi i oznake, SRPS EN ISO 3098-2:2011

Slika n.4 Grčko pismo (kosa slova), SRPS EN ISO 3098-3:2011 Tehničke crteže ne crta program ili računar, već čovek koji ume da crta tehničke crteže. Ko ne nauči da crta rukama i priborom za crtanje neće umeti ni računarom. Program za crtanje i računar je bolji pribor od olovke, trouglova, šestara, gumice i lenjira, ali je i dalje samo pribor. Student bi prvo morao da radi elaborate samostalno, na papiru u olovci, koristeći sav neophodan pribor, bez upotrebe kompjutera za crtanje. Samo tako će naučiti da crta i da prostorni izgled tela (u tri dimenzije) prikaže u dve dimenzije (na dvodimenzionalnu ravan crteža) i obrnuto. | NAPOMENE ZA CRTANJE | strana 10

ZADACI

ZADACI Deo 1 OKTANTI 1. U kom oktantu može da se nalazi jedna tačka A, ako sve tri njene projekcije leže u jednoj tački? (Skicirati i obrazložiti). 2. Oko koje ose se rotira horizontalnica? Skicirati i obrazložiti na primeru horizontalnice I i IV oktanta. 3. Kroz koliko najviše odn. najmanje oktanata može prolaziti jedna prava a? (Skicirati i obrazložiti).

Deo 2 TAČKA, PRAVA I RAVAN Deo 2.1 TAČKA 4. Nacrtati sve tri projekcije tačke B (II oktant) tako da je 0A = 0B (0 – centar koordinatnog sistema). A(-3; 7; -4) 5. Data je tačka M(-6; -2; 7), odrediti koordinate tačke A ako je ona simetrična datoj tački M u odnosu na profilnicu. 6. Odrediti tačku A koja je udaljena 5cm od y ose, leži na horizontalnici, a iza vertikalnice je 2cm. 7. Tačka M leži na y osi i profilnici i udaljena je 4cm od koordinatnog početka (iza vertikalnice). Nacrtaj. 8. Odrediti sve tri projekcije tačke L (II i VI oktant), koja je udaljena 7cm od koordinatnog početka. Ly = -3cm. Deo 2.2 PRAVA I DUŽ 9. Nacrtati pravu j ako su poznati njeni prodori kroz projekcijske ravni P1(4; 5; 0) i P2(9; 0; -3). 10. Ako je data druga i treća projekcija prave a (vidi sliku), potrebno je odrediti: a) prvu projekciju prave a, b) vidljivost projekcija i c) oktante kroz koje prava a prolazi.

| NG50 - ZADACI | strana 13

11. Nacrtati sve tri projekcije prave b koja prolazi kroz IV i VI oktant. Naznačiti vidljivost projekcija prave b kroz projekcijske ravni. 12. Kroz tačku A(-3; 1; -4) povući pravu a tako da bude paralelna sa horizontalnicom, a sa vertikalnicom da gradi ugao od 30°. 13. Utvrditi međusobni položaj pravâ a { A(-8; 5; 2) B(0; 1; 2) } i b { C(-8; 2,5; 3,5) D(0; 6,5; 6,5) }. 14. Naći b unakrsno sa a (seče pravu a). Prava b prolazi kroz tačku K. Prava b je paralelna sa vertikalnicom. a { A(2; 1; -8) B(-7; 4; 2) } K(0; 2; -1) 15. Nacrtati tačku M na pravoj a, tako da je tačka M udaljena 3cm od vertikalnice. a { A(6; 7; -4) B(-2; -4; 5,5) } 16. Postaviti tačku M koja je najbliža y osi na pravu a {A(1; 4; 3) B(6; 3; 0)}. 17. Odrediti nepoznatu tačku B, koja leži na duži AV i deli je na dva jednaka dela, tako da je duž AV  3. Tačka V(?; ?; 5) leži na vertikalnici. A(-4; 2; -3) 18. Naći tačke M i N. Tačka M leži na pravi a { A(-4; 7; -2) B(4; 6; 7) } i horizontalnici. Tačka N leži na pravi b { b┴H, B } i nalazi se 2cm iznad π1. 19. Nacrtati najkraće rastojanje prave a {D(-1; 1; 8) E(8; -3; -4)} od z ose. Deo 2.3 RAVAN 20. Nacrtati tragove ravni alfa koja prolazi kroz pravu a {A(2; 0; 5) B(8; 5; -4)} i koordinatni početak. 21. Nacrtati ravan alfa normalno na pravu a { M(-3; 1; -2) N(6; 4; 5) }, tako da prolazi kroz simetralu duži MN. 22. Nacrtati ravan alfa, ako je prvi trag ravni alfa 4cm udaljen od y ose. α(? ; ? ; -7) 23. Nacrtati ravan β tako da prolazi kroz tačku F(-5; 7; -2) i x osu. 24. Odrediti zajedničku duž ravni λ(-2; 2; 3) i ∆ABC { A(3; 7; 1) B(0; 3; 7) C(6; 1; 3) }. a) Isšrafirati deo trougla ABC koji se nalazi iznad ravni λ. b) Odrediti vidljivost trougla ABC u prvoj i drugoj projekciji pod pretpostavkom da su projektne ravni i ravan λ neprovidni. 25. U ravni (10; 8; 6) naći tačku R koja je od frontalne ravni udaljena 1cm, a od profilne ravni 6cm. 26. Nacrtati ravan α(-8; 9; ?) koja prema horizontalnici ima nagib 60°.


27. Nacrtaj projekcije prave a koja se nalazi u ravni α(-6; -4; 6), normalna je na njen prvi trag α1 i prolazi kroz osni prodor sa z osom αz. 28. Nacrtati zajedničku tačku z ose i ΔABC. A(7; 0; 0) B(0; -6; 0,5) C(-8; 4; 9) 29. Odrediti koliki ugao zaklapa prava a {M, N(4; 0; ?)} sa vertikalnicom. Prava a je paralelna sa horizontalnicom. Tačka M je zajednička tačka ravni α(-4; 6; -9) i prave b {B(-8; 4; -5) C(7; -4; 2)}.

Deo 3 TRANSFORMACIJA 30. Odrediti koliko se cm duži AB {A(5,5; -6; -3,5) B(-5,5; 3,5; 6)} nalazi ispod horizontalnice. Zadatak rešiti transformacijom. 31. Odrediti koliko se cm duži MN {M(2; 2; 1) α(8; ∞; 5).

N(9; 5; 5)} nalazi ispod ravni

32. Na pravi a {A(6,5; -6; 2) B(-4; 0; -8)} odrediti sve tačke koje su od date tačke G(-3; 7; -6) udaljene 9cm. 33. Odrediti udaljenost prave p od tačke A(7; 4; 5). Prava p predstavlja zajedničku duž ravni α(3; -1; 7) i β(1; 1; ∞). Zadatak rešiti transformacijom. 34. Odrediti koliko je tačka A udaljena od tačke T. Tačka A leži na profilnici. Udaljena je 5cm od koordinatnog početka i nalazi se u III i VII oktantu. Tačka T leži na x osi 7cm levo od profilnice. Naći pravu veličinu AT transformacijom. 35. Odrediti pravu veličinu najkraćeg rastojanja prave a {A(0; 3; -4) B(5; -2; 4)} od prodora x ose kroz ravan α(2,5; -9; ∞). 36. Odrediti ugao između presečnih pravi a i b. Zadatak rešiti transformacijom. Podatke uzeti proporcionalno sa slike.


37. Izvršiti dve transformacije datog tela (date su njegove ortogonalne projekcije i obeleženi rogljevi) prema zadatoj slici. Gde je:  τ1 - prva ravan transformacije, a  τ2 - druga ravan transformacije. Napomena Podatke uzeti proporcionalno sa crteža.

Deo 4 ROTACIJA 38. Nacrtati tačku A koja je rotirana za 120° oko ose c. Ta osa prolazi kroz tačku N(-4; 5; 2) i normalna je na vertikalnicu. Ar(-7; 5; 6) <<-- rotirana tačka A 39. Nacrtati pravu a (vidi sliku) tako da prolazi kroz tačke A i B i da je pod uglom od 45° u odnosu na vertikalnicu. Tačka A je 7cm udaljena od koordinatnog početka. Napomena Zadatak rešiti rotacijom. Podatke uzeti sa crteža. Sve mere su u cm.

40. Odrediti projekcije duži AB čija je prava veličina 4cm ako je A(1; 0,5; 1) B(3,5; ?; 2,5). 41. Rotirati tačku Q(5; 6; 2) oko ivice AC sve dok ne padne u ravan ∆ABC { A(0; 7; 1) B(2; 1; 6) C(6; 3; 1) }. 42. Nacrtati pravu a tako da prolazi kroz tačke A i B, a da zaklapa ugao od 30° sa horizontalnicom. a { A(6; 6; 3) B(-4; ?; -4) }


43. Odrediti udaljenost između dve paralelne ravni α i β (vidi sliku). Napomena Zadatak rešiti rotacijom. Podatke uzeti sa crteža. Sve mere su u cm.

Deo 5 OBARANJE U PROJEKCIJSKIM RAVNIMA 44. Nacrtati tačku S u ravni α(11; 9; 10) koja je podjednako udaljena od sve tri tačke A, B i C, a koje leže na datoj ravni α. A(2; 4; ?) B(4; ?; 5) C(7; 2,5; ?) 45. Date su tačke A(2; 2; 3) i B(5; 3; 2). Odrediti tačku M na horizontalnici koja je udaljena 3cm od tačaka A i B. 46. Nacrtati projekcije jednakostraničnog trougla ABC { a = 5cm } koji se nalazi na ravni α(10; 6; 7). Tačka A(5; ?; 2) leži na ravni α, a tačka B leži na α2. 47. U ravni α(-7; 6; 6) nacrtati pravu a { T(-2; 2; ?) <- pripada ravni α } koja sa α2 zaklapa ugao od 60°. 48. Nacrtati pravu b koja je paralelna sa pravom a { A(0; ?; 6) B(?; 4; 3) }. Obe prave se nalaze u ravni α(5; 3; 9). Prava a je udaljena 2cm od prave b. 49. Nacrtati pravu a { A(3; 2; 4), B }. Tačka B leži na y osi, a ugao između y ose i prave a je 60°. 50. Nacrtati ravan beta koja je paralelna ravni alfa, a nalazi se na 2cm rastojanja od nje. α(4; 6; -6)

NAPOMENA Svaki problem treba najpre dobro prostorno shvatiti i misaono rešiti, pa tek onda metodama nacrtne geometrije rešiti crtanjem.


REŠENJA

REŠENJA Deo 1 OKTANTI 1. U kom oktantu može da se nalazi jedna tačka A, ako sve tri njene projekcije leže u jednoj tački? (Skicirati i obrazložiti). REŠENJE Tri međusobno ortogonalne ravni, u preseku, dele ukupni prostor na osam jednakih potprostora (slika 1.1). Svaki od ovih potprostora omeđen je sa tri poluravni. Iz prikazanog sistema oktanata (osmine ukupnog prostora) koristiće se jedan (I oktant), i to onaj najpovoljniji za jednostavno prikazivanje i definisanje elemenata nacrtne geometrije (NG).

slika 1.1 Sistem oktanata (horizontalnica je obeležena zelenom bojom, vertikalnica je obeležena plavom bojom, a profilnica je obeležena crvenom bojom)

| NG50 – REŠENJA | strana 19

Prvo ćemo poći od prvog oktanta, koji predstavlja osnovu nacrtne geometrije. On je izdvojen iz sistema oktanata i postaje osnovni triedar18 (slika 1.2). Zadržava se položaj koordinatnog početka (0) i orjentacija osa (x, y i z) kao i u izvornom sistemu oktanata. Uputstva za otvaranje kako osnovnog triedra, tako i sistema oktanata, date su na slici 1.3 i 1.4.

slika 1.2 Osnovni triedar

slika 1.3 Osnovni triedar - rotacija dve projektne ravni (H i P) – otvaranje osnovnog triedra, kako bi se one dovele u vertikalnu ravan

18

sklop tri ravni


slika 1.4 Oktanti - rotacija dve projektne ravni (H i P) - otvaranje sistema oktanata, kako bi se one dovele u vertikalnu ravan Oznake osnovnih projekcijskih ravni su: V - vertikalna (ili frontalna F) ravan, H horizontalna ravan i P - profilna ravan. Rotacijom dve projekcijske ravni: 1. horizontalnice i 2. profilnice, dolazimo do poklapanja sve tri projektne ravni u jednu – vertikalnu (frontalnu) – vidi sliku 1.4. Dakle, ako znamo ovo, dolazimo do sledećeg zaključka: Tačka A se može nalaziti u II ili VIII oktantu. U tim oktantima se sve tri projekcijske ravni (H, V /F/ i P) poklapaju!


Na slikama 1.5 i 1.6 data su rešenja ovog zadatka.

slika 1.5 Rešenje zadatka: tačka A se nalazi u II oktantu

slika 1.6 Rešenje zadatka: tačka A se nalazi u VIII oktantu


17. Odrediti nepoznatu tačku B, koja leži na duži AV i deli je na dva jednaka dela, tako da je duž AV  3. Tačka V(?; ?; 5) leži na vertikalnici. A(-4; 2; -3)

REŠENJE Pošto tačka B deli duž AV na dva jednaka dela, ona je zapravo simetrična tačka duži AV. Treba znati da, kada je neka duž (ili prava) paralelna sa profilnicom, tada se ta duž (ili prava) u trećoj projekciji vidi u pravoj veličini. U prvoj i drugoj projekciji će se videti kao duž koja je paralelna sa y (z) osom. Pošto znamo da je duž AV paralelna sa profilnicom, to znači da je po x osi jednako udaljena od bilo koje tačke sa duži AV do profilnice. To znači, da sve tačke sa duži AV imaju isto rastojanje po x osi. Dakle koordinata tačke V po x osi biće jednaka kao i koordinata tačke A po x osi: Ax = Vx = - 4cm I sada je V(-4; ?; 5). Pošto je još rečeno da tačka V leži na vertikalnici to znači da je Vy = 0, znači da smo našli tačku V (nepoznate koordinate). Sada su nađene sve nepoznate koordinate tačke V: V(-4; 0; 5). Duž AV u prostoru je nacrtana na slici 17.1. slika 17.1 Projekcije duži AV - u prostoru (3-D) Pristupamo crtanju sve tri projekcije duži AV (slika 17.2), u ortogonalnim projekcijama (2-D).


slika 17.2 Crtanje sve tri projekcije duži AV - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Pošto smo rekli da se prava veličina duži AV vidi u profilnici, duž A'''V''' podelimo na dva jednaka dela (lenjirom ili šestarom) i tu tačku obeležimo sa B''' (slika 17.3).


slika 17.3 Određivanje treće projekcije tačke B na duži AV - u ortogonalnim projekcijama (2-D) Nakon toga iz B''' povlačimo horizontalu ka duži A''V'' i tu se nalazi tačka B''. Pošto se tačka B nalazi u V oktantu (jer je B''' omeđena (-x) yo i z osom, a tu se nalazi profilnica V oktanta), horizontalnica V oktanta je omeđena -x i y osom. Tu nam se mora nalaziti prva projekcija tačke B28. Sada u šestar uzmemo rastojanje od centra koordinatnog sistema (0), do preseka vertikale iz B''' sa x osom. To rastojanje prebacimo na y osu. Sada iz preseka kružnog luka sa y osom povlačimo horizontalu, na levo. U preseku te horizontale i duži A'V' dobijamo tačku B' (slika 17.4). To je ujedno i rešenje ovog zadatka. Lenjirom izmerimo rastojanja dobijene tačke B po x, y i z osi. Koordinate tačke B: B(-4; 1; 1). 28

Naravno, prva projekcija tačke B mora ležati i na duži AV


slika 17.4 Određivanje prve i druge projekcije tačke B na duži AV - u ortogonalnim projekcijama (2-D) – rešenje zadatka


31. Odrediti koliko se cm duži MN {M(2; 2; 1) α(8; ∞; 5).

N(9; 5; 5)} nalazi ispod ravni

REŠENJE Ovaj zadatak ćemo nacrtati u osnovnom triedru (3-D) i u ortogonalnim projekcijama (2-D). U osnovnom triedru (3-D) prikazujemo rešenje ovog zadatka (slika 31.1) radi lakšeg sagledavanja rešenja u ortogonalnim projekcijama (2-D) koje će biti objašnjeno postupno.

slika 31.1

Određivanje dela duži MN koji se nalazi ispod ravni  (obeleženo isprekidanom linijom) - u osnovnom triedru (u prostoru, 3-D)34

Na slici 31.1 su nacrtane projekcije duži MN i ravni . Takođe je određen i prodor duži MN kroz  (tačka P). Obeležen je deo duži MN koji se nalazi ispod ravni  (isprekidana linija). 34


Pristupamo crtanju u ortogonalnim projekcijama (2-D). Nacrtaćemo dve projekcije duži MN i ravni  (slika 31.2).

slika 31.2 Crtanje date duži MN i ravni

 - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Da bi odredili pravu veličinu duži MN koja se nalazi ispod ravni , prvo moramo naći prodor duži MN kroz datu ravan . Prodor (P) duži MN kroz datu ravan  je zajednička tačka ravni  i duži MN.


slika 31.3

Određivanje prodora (P) duži MN kroz ravan  i vidljivost duži MN - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Iz zadatka vidimo da se tačka M nalazi ispod ravni konstatovati i kad nacrtamo projekcije tačaka M i N.

, a tačka N iznad. To možemo

Pošto je tačka M ispod ravni , a tačka P je prodor duži MN kroz ravan transformacijom da odredimo pravu veličinu duži MP.

, mi treba

Postavljamo transformacionu ravan paralelno sa duži MP (prvom ili drugom projekcijom). Mi smo izabrali da postavimo transformacionu ravan 1x3 paralelno sa M'P'. Kroz tačke M' i P' postavljamo pomoćnu liniju koja je normalna na transformacionu ravan 1x3.


Pošto preko transformacione ravni 1x3 želimo da transformišemo prvu projekciju u treću, uzimamo rastojanja od x ose do druge projekcije M'' i P''. Ova rastojanja su pozitivna jer se nalaze iznad x ose (slika 31.4). Ta rastojanja nanosimo na pomoćnu liniju.

slika 31.4 Određivanje treće, transformisane projekcije tačaka M''' i P''' - u ortogonalnim projekcijama (2-D)


Potom nalazimo pravu veličinu duži MP. Prava veličina duži se u nacrtnoj geometriji obeležava sa crta-tačka-crta (slika 31.5).

slika 31.5 Određivanje prave veličine duži M'''P''' - u ortogonalnim projekcijama (2-D) – rešenje zadatka Lenjirom izmerimo duž M'''P''' i to je rešenje ovog zadatka. Rešenje ovog zadatka je d = M'''P''' = 2,9cm.


42. Nacrtati pravu a tako da prolazi kroz tačke A i B, a da zaklapa ugao od 30° sa horizontalnicom. a { A(6; 6; 3) B(-4; ?; -4) } REŠENJE Ovo je klasičan slučaj određivanja ugla između prave a { A, B } i horizontalnice. Samo što se ovde zadatak radi obrnuto: ovde nam je dat ugao a treba odrediti prvu projekciju prave a, dok u klasičnom slučaju treba naći ugao između prave a i horizontalnice. Rotacija duži se najčešće primenjuje prilikom određivanja prave veličine duži i njenih uglova prema projekcijskim ravnima. Nagib duži prema horizontalnici se određuje rotacijom duži oko ose normalne na horizontalnicu, a pojaviće se u vertikalnici. Crtamo datu prvu i drugu projekciju tačke A i poznatu drugu projekciju tačke B. Potom spajamo tačke A''B'' i to je druga projekcija prave a (a'') (slika 42.1).

slika 42.1 Crtanje prve i druge projekcije tačke A (A' i A'') i druge projekcije tačke B (B''), pri čemu je A''B'' = a'' - u ortogonalnim projekcijama (2-D)


Kroz tačku B'' postavljamo sponu (horizontalu) paralelno sa x osom (vertikalnicom). Uglomerom nanosimo ugao od 30 tako da novodobijena prava ar'' prolazi kroz tačku A'' i gradi ugao od 30 sa sponom (horizontalom) kroz tačku B'' (slika 42.2).

slika 42.2 Crtanje prave veličine prave a (ar'' {A'', Br''} ) koja zaklapa ugao od 30 sa horizontalnicom (konstrukcija sa uglomerom) - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Tako dobijamo tačku Br'' (slika 42.3).


slika 42.3 Crtanje prave veličine prave a (ar'' {A'', Br''} ) koja zaklapa ugao od 30 sa horizontalnicom - u ortogonalnim projekcijama (2-D) Sada iz dobijene tačke Br'' spuštamo vertikalu na sponu koja prolazi kroz tačku A' i paralelna je sa x osom. Tu se nalazi tačka Br' (slika 42.4).


slika 42.4 Određivanje tačke Br' - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Iz tačke A' (igla šestara ide u A' i uzimamo rastojanje A'Br') rotiramo tačku Br' (na dole) na vertikalu iz B'' i dobijamo tačku B'.

Koordinate dobijene tačke B su: B(-4; 12,5; -4)38. Ostalo je još da spojimo A' i B' i dobijemo prvu projekciju prave a { A(6; 6; 3), B(-4; 12,5; -4) } (slika 42.5).

38

Ovo je prvo rešenje ovog zadatka. Drugo rešenje bi bilo kada bi se tačka B' nalazila iznad B''. Drugo rešenje bismo dobili kada bismo iz tačke A' (igla šestara ide u A', uzimamo rastojanje A'Br') rotirali tačku Br' (na gore) na vertikalu iz B'' i dobili tačku B'.


slika 42.5 Crtanje prve projekcije prave a {A, B}, koja zaklapa ugao od 30o sa horizontalnicom u ortogonalnim projekcijama (2-D) – rešenje zadatka Ovo je ujedno i rešenje ovog zadatka.


49. Nacrtati pravu a { A(3; 2; 4), B }. Tačka B leži na y osi, a ugao između y ose i prave a je 60°. REŠENJE Ovaj zadatak ćemo nacrtati u osnovnom triedru (3-D) i u ortogonalnim projekcijama (2-D). U osnovnom triedru prikazujemo rešenje ovog zadatka (slika 49.1) radi lakšeg sagledavanja rešenja u ortogonalnim projekcijama koje će biti objašnjeno postupno. Prvo ćemo oboriti tačku A na horizontalnicu, a potom postavljamo tačku B1o = B1I na y osu (prvo rešenje) tako da je  (duž AB1(= B1'), y osa) = 60. Nanosimo uglomerom ugao od 60 između prave a { AB1(= B1')} i y ose. Možemo i da nanesemo ugao od 30 između horizontale iz tačke AI jer mi zapravo obaramo pravougli trougao AyAB1. Jedan ugao je 90, a pošto drugi treba da bude 60, treći ugao u pravouglom trouglu treba da je: 90 - 60 = 30. Napomena: Zadatak ima dva rešenja. Tačka B1 (na y osi ispred tačke A) i B2 (na -y osi iza tačke A).

slika 49.1 Obaranje tačke A na horizontalnicu (prvo rešenje) - u osnovnom triedru (3-D)


Gde je:  Ao – oborena tačka A na horizontalnicu,  B1 – tačka koja leži na y osi (prvo rešenje) i  a {A, B1} – prava koja gradi ugao od 60 sa y osom. Sada ćemo dati i matematičko rešenje ovog zadatka. Ono treba da se slaže sa grafičkim rešenjem46 koje ćemo nacrtati u ortogonalnim projekcijama (2-D).

MATEMATIČKO REŠENJE pravougli trougao AyAB1,2 tg 60 

32  42 5  Y   2,89cm Y tg 60

gde je: 32  42  9  16  25  5

Y = Y1 = Y2

slika 49.m1 Trougao AyAB1, tačka B1 leži na y osi – prvo rešenje zadatka

Koordinate tačaka B1 (prvo rešenje): PRVO REŠENJE - pozitivna y osa B1y = 2 + Y1 = 2 + 2,89 = 4,89cm B1(0; 4,89; 0) Koordinate tačaka B2 (drugo rešenje): DRUGO REŠENJE - negativna y osa |B2y| = Y2 - 2 = 2,89 - 2 = 0,89cm B2y = - 0,89cm (pošto leži na -y osi) B2(0; -0,89; 0)

46

slika 49.m2 Trougao AyAB2, tačka B2 leži na -y osi – drugo rešenje zadatka

Moguća su minimalna odstupanja zbog teško ostvarivog tačnog crtanja i nanošenja datih mera


Pristupamo crtanju u ortogonalnim projekcijama. Nacrtaćemo dve projekcije date tačke A (slika 49.2).

slika 49.2 Crtanje datih projekcija tačke A (A' i A'') - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Iz tačke 0 obaramo tačku A'' na x osu i dobijamo tačku Ao''. Potom spuštamo vertikalu iz Ao''. U preseku vertikale iz Ao'' i spone (horizontala iz A' paralelno sa x osom) dobijamo tačku Ao (slika 49.3).


slika 49.3 Obaranje date tačke A na horizontalnicu (Ao) - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

o

Sada uzimamo uglomer i nanosimo ugao od 60 tako da novodobijena prava a prolazi kroz tačku Ao i gradi ugao od 60 sa y osom (slika 49.4).


slika 49.4 o Crtanje prave veličine prave a (a {Ao, B1o}) koja zaklapa 60 sa y osom (konstrukcija sa uglomerom). Prava a je oborena je na horizontalnicu - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Napomena: Zadatak ima dva rešenja. Tačka B1 (na y osi; ispred tačke A) i B2 (na -y osi; iza tačke A). Mi smo nacrtali prvo rešenje ovog zadatka, tačku B1.

Sada prikazujemo dobijenu pravu a koja je oborena na horizontalnicu (slika 49.5).


slika 49.5 o Crtanje prâve veličine prȁve a (a {Ao, B1o}), koja zaklapa 60 sa y osom i oborena je na horizontalnicu - u ortogonalnim projekcijama (2-D)

Pošto oborena tačka B1 leži na y osi i prva projekcija tačke B1 će takođe ležati na y osi. B1' = B1o Sada je još ostalo da ucrtamo prvu i drugu projekciju prave a {A, B1} – prvo rešenje (slika 49.6).


slika 49.6 Crtanje prave a {A, B1} (prvo rešenje), koja zaklapa 60o sa y osom - u ortogonalnim projekcijama (2-D) – rešenje zadatka Sa crteža izmerimo koordinatu tačke B1 po y osi (B1y) za prvo rešenje. Sa crteža dobijamo koordinate prvog rešenja ovog zadatka, tačka B1: B1(0; 5,13; 0). Vidimo da je ovo rešenje tačno jer smo u matematičkom postupku dobili: B1(0; 4,89; 0) Greška crtanja je: B1 graf. - B1 mat. = 5,13 - 4,89 = 0,24 cm, a to je prihvatljivo! Ovo je ujedno i rešenje ovog zadatka. Napomena: Drugo rešenje, tačka B2 (na -y osi; iza tačke A) nije nacrtano, ali su matematički određene koordinate tačke B2: B2 (0; -0,89; 0).


ELABORATI

NACRTNA GEOMETRIJA [C1. RAVAN]

ZADACI

C1.

Ime i Prezime i broj indeksa:

1.

Data je prva projekcija tačke M i trougao ABC u dve projekcije. Nacrtati drugu projekciju tačke M tako da se ona nalazi na trouglu ABC (podatke uzeti proporcionalno sa crteža).

bodovi:

/ 105 bod.

5 bodova 2.

Rešiti nepoznate projekcije tačke A tako da ona leži u datoj ravni α. a) α(5,5; 3,5; 3) A(2; 1; ?) b) α(4; -3; 8) A(7; ?; 7) c) α(2; -1; -2) A(?; -1; 3,5)

10 bodova 3.

Nacrtati sledeće ravni u specijalnom položaju: a) α(3; 4; ∞) c) γ(∞; 3; -4) b) β(4; ∞; -4) d) δ(∞; ∞; 4) e) ravan ε paralelno sa horizontalnicom, a udaljena od nje za 1 cm (ispod horizontalnice), f) ravan η paralelno sa vertikalnicom, a udaljena od nje za 2 cm (iza vertikalnice), g) ravan λ paralelno sa profilnicom, a udaljena od nje za 1 cm (desno od profilnice).

10 bodova 4.

Nacrtati tragove ravni α koju određuju dve prave a i b, a koje se seku u tački S. a {A(6; -5; 3) S(1; 1; -1)} b {B(-1; 2; 5) S}

5 bodova 5.

Nacrtati tragove ravni α koju određuje prava a {A(?; 5; 0) B(2; 1; -1) } i tačka C(3; 4; ?). Tačka A pripada profilnici, a tačka C horizontalnici.

10 bodova

datum

C1.

bodovi

grupa

br. indeksa

NACRTNA GEOMETRIJA ime i prezime

NACRTNA GEOMETRIJA [C1. RAVAN]

ZADACI

C1.

Ime i Prezime i broj indeksa:

6.

Date su tačke A(1; -7; 2), B(-3; 5; 4) i C(-2; 0; 6). Odrediti ravan α za sledeće slučajeve: a) za dve prave koje se seku u tački C, b) za dve paralelne prave a {B, C} i c {A} i c) za trougao ABC koji pripada ravni α.

bodovi:

/ 105 bod.

15 bodova

7.

Naći presek između ravni α i β. a) α(-2; 1; 1) β(1; -2; -1) b) α(3; 3; 1,5) β(-1; 1; -2) c) α(1,5; -3,5; 1,5) β(-1,5; 1; ∞) d) α(2; -2,5; 1,5) β(2; 1; -1,5)

15 bodova

8.

Nacrtati projekcije ravni β kroz tačku B(-1; 1; -5) paralelno sa ravni α(-2; 1; 5).

10 bodova

9.

Odrediti prodor prave a {A(1; 1; -3) B(-4; 3; 0)} kroz ravan α(2; 1; 1,5).

5 bodova

10.

Kroz pravu c {A(-4; -2; 0) B(2; -5; 6)} postaviti ravan β normalno na δ(4; 3; -5).

10 bodova

11.

Kroz tačku M postaviti ravan α koja će biti normalna na pravu b. M(3; -1,5; 3) b {A(0; -1; -1) B(6; 5; -5)}

VAŽNO

10 bodova Pre početka rada pročitati:  Elaborat se predaje u vidu ukoričenih rešenih zadataka.  Na naslovnoj strani elaborata se nalaze zadaci sa imenom i prezimenom studenta.  Zadaci se rade na formatu papira A3, grafitnom olovkom i priborom (lenjiri, uglomer i šestar) uz mogućnost korišćenja olovaka u boji.  Svaki list mora imati ime i prezime studenta.  Sve konstrukcije moraju biti jasne i prikazane na crtežu.

datum

C1.

bodovi

grupa

br. indeksa

NACRTNA GEOMETRIJA ime i prezime

NACRTNA GEOMETRIJA - PEDESET REŠENIH ZADATAKA SA ELABORATIMA ZA VEŽBE - isečak (deo e-knjige)

Recommend Documents