UNIVERSIDAD VERACRUZANA
FACULTAD DE INGENIERÍA Y CIENCIAS QUÍMICAS REGIÓN POZA RICA - TUXPAM
SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS A TRAVÉS DE RUTINAS DE CÓDIGO ABIERTO ESCRITAS EN MATLAB
TESIS
PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO PETROLERO
P R E S E N T A:
DÉBORA MURGUÍA COBIÁN
DIRECTOR: ING. FRANCISCO JOSÉ MURGUÍA SANDRÍA
POZA RICA, VER.
FEBRERO 2015
AGRADECIMIENTOS
Si a alguno de ustedes le falta sabiduría, pídasela a Dios, y él se la dará, pues Dios da a todos generosamente sin menospreciar a nadie. Santiago 1:5
Gracias Dios por haberme dado las armas necesarias para seguir adelante, la capacidad de poder estudiar y la sabiduría para entender las cosas más difíciles. A mi familia, por darme una educación, su apoyo a pesar de las dificultades por creer en mi siempre y motivarme a seguir adelante, gracias por estar siempre a mi lado, espero que lo que haya hecho hasta ahora los haga sentirse orgullosos. Mi más profundo agradecimiento a todos mis maestros y compañeros de graduación, jamás los olvidare.
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RESUMEN
Objetivo General: Mostrar las capacidades del Software Matlab (con el que actualmente cuenta la Universidad de manera licenciada) para trabajar problemas de carácter petrolero, mediante la utilización de rutinas orientadas hacia la Simulación de Yacimientos y creadas bajo el esquema de Software Libre.
Resumen: Abordará generalidades de la Tesis y definirá los objetivos por alcanzar.
Introducción: Se describen algunos aspectos de la situación actual en la que se encuentra la carrera en lo que a software de ingeniería petrolera se refiere. Se comenta la posibilidad de usar software bajo el esquema de software libre en combinación con el software propietario que la UV tiene contratado bajo el esquema de licencias académicas y se proponen algunos ejemplos particulares de aplicación en simulación matemática de yacimientos.
Capítulo 1. RELEVANCIA Y OBJETO DE LA SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS. De manera general, se dará una breve introducción a la Simulación de Yacimientos
Capítulo 2. MATLAB COMO HERRAMIENTA DE PROGRAMACIÓN Será el capítulo introductorio al software propietario que se utilizará para el desarrollo del trabajo.
Capítulo 3. CONCEPTOS BÁSICOS, ECUACIONES FUNDAMENTALES DE FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS Y CÓMO SE SOLUCIONAN. Este capítulo estará enfocado en revisar los conceptos de ingeniería petrolera que se requieren entender y explotar las herramientas de software que se utilizarán.
Capítulo 4. LIBRERÍA DE FUNCIONES DE SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS (MRST). Se describen en este capítulo las librerías escritas para el software de Matlab, su origen, su desarrollo y como se encuentra organizadas. Así mismo, se documentan ejercicios prácticos de Simulación de Yacimientos resueltos con el software mencionado.
Para finalizar se presentarán las conclusiones y ventajas que se obtendrían al utilizar estas librerías escritas en Matlab como apoyo en la carrera de Ingeniería Petrolera.
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INTRODUCCIÓN
El objetivo del presente trabajo es motivar el estudio de una rama muy importante de la ingeniería Petrolera que es precisamente la Simulación Numérica de Yacimientos, para ello ponemos a su consideración una serie de trabajos relacionados que han sido publicados por investigadores especializados y que están disponibles para su libre uso.
Estos trabajos se encuentran organizados e identificados bajo el nombre de librerías de funciones para simulación de yacimientos MRST por sus siglas en inglés, están escritos en el lenguaje de programación Matlab, bajo un esquema de uso libre.
Para poder entender adecuadamente la mayor parte de los conceptos expresados aquí, se requiere de una revisión de los fundamentos de la ingeniería de yacimientos, de la simulación numérica y de la programación bajo el esquema de software libre.
Por lo que para recorrer este camino nos apoyaremos en algunas herramientas de software que nos facilitarán el entendimiento de las bases matemáticas que se requieren para hacer un modelo que pueda representar al hidrocarburo moviendose a través de un medio poroso como el yacimiento.
Finalmente hacemos énfasis en la disponibilidad de las herramientas para los estudiantes de la carrera de Ingeniería Petrolera de la Universidad Veracruzana.
Ingeniería Petrolera ‣ Yacimientos ‣ Simuladores ‣ Historia ‣ Clasificación ‣ Eclipse ‣ Ajustes ‣ Etc…
SNY
‣ Modelo Matemático ‣ Balance de Materia ‣ Difusividad ‣ Fases ‣ Ley de Darcy ‣ Etc..
Matemáticas
‣ Cálculo Vectorial ‣ Ecuaciones Diferenciales Parciales ‣ Métodos Numéricos ‣ Diferencias Finitas ‣ Etc…
Software
‣ Libre ‣ Propietario ‣ Matlab ‣ Mathematica ‣ Mupad ‣ Toolbox ‣ Etc..
Solución Numérica ‣ Un solo fluido. ‣ Monofásico ‣ Incompresibl e ‣ Interactivo ‣ Etc…
MRST
‣ Solucionadores de flujo ‣ Visualizadores ‣ Mallas ‣ Etc…
Mapa de
Recorrido General.
Derechos de Autor
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SINTEF® Es la organización independiente de investigación mas grande en Escandinavia, y los trabajos realizados por sus grupos de investigación en todas las áreas están bajo el amparo de sus patentes. Matlab Reservoir Simulation Toolbox (MRST) son desarrollos del grupo SINTEF de Matemáticas Aplicadas, que pueden ser usados bajo el amparo del acuerdo de licencia de uso público GNU.
MATLAB®
Es una marca registrada de software de The MathWorks.
MATHEMATICA® Es un programa utilizado en áreas científicas, de ingeniería, matemáticas y áreas computacionales. Es una marca registrada de software de Wolfram Research.
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Tabla de contenido RESUMEN ...................................................................................................................................... 4 INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................ 5 Capítulo 1. RELEVANCIA Y OBJETO DE LA SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS (SY) .............. 11 1.1 Antecedentes ...................................................................................................................... 12 1.2 Enfoque de la Simulación .................................................................................................... 15 1.2.1 Conceptos Básicos ....................................................................................................... 15 1.2.1 Objetivos de la Simulación ............................................................................................ 17 1.3 Proceso de Simulación ........................................................................................................ 17 14 Clasificación de los Simuladores .......................................................................................... 19 1.4.1 Simuladores Interactivos ............................................................................................... 20 Capítulo 2. MATLAB COMO HERRAMIENTA DE PROGRAMACIÓN ........................................ 21 2.1 Generalidades ..................................................................................................................... 22 2.2 Librerías Especializadas ...................................................................................................... 23 2.3 Simulink ............................................................................................................................... 27 Capítulo 3. CONCEPTOS BÁSICOS; ECUACIONES FUNDAMENTALES DE FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS Y CÓMO SE SOLUCIONAN ................................................. 28 3.0 Introducción ......................................................................................................................... 29 3.1 Conceptos básicos de Ingeniería de Yacimientos................................................................ 29 3.1.1 Potencial de Flujo ......................................................................................................... 29 3.1.2 Ley de Darcy ................................................................................................................. 30 3.1.3 Flujo Estacionario y No Estacionario ............................................................................. 32 3.2 Propiedades de la Roca y Fluidos del Yacimiento ............................................................... 33 3.2.1 Propiedades de la Roca ................................................................................................ 34 3.2.1.1 Porosidad y Heterogeneidad .................................................................................. 34 3.2.1.1 Porosidad y Anisotropía ......................................................................................... 34 3.2.2 Propiedades de los Fluidos ........................................................................................... 35 3.2.2.1 Tipos de Fluidos en el Yacimiento .......................................................................... 35 3.2.2.2 Compresibilidad de los Fluidos y Factor de Compresibilidad del Gas ..................... 36 3.2.2.3 Relación Gas-Líquido en Solución.......................................................................... 37 3.2.2.4 FVF (Factor de Volumen de Aceite de la Formación) ............................................. 37 3.2.2.5 Densidad del Fluido ................................................................................................ 38 3.2.2.6 Viscosidad del Fluido.............................................................................................. 38 3.2.3 Propiedades de la Roca/Fluido ..................................................................................... 39 3.2.3.1 Saturación del Fluido .............................................................................................. 39 3.2.3.2 Presión Capilar ....................................................................................................... 39 3.3 Ley de Conservación de la Masa ......................................................................................... 40 3.3.1 Conservación de la Masa para un fluido en una sola fase en una dimensión ................ 40
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3.3.2 Conservación de la Masa para un fluido en una sola fase multidimensional ................. 41 3.4 Ecuación Básica para el Flujo en una sola fase ................................................................... 41 3.5 Conceptos Matemáticos Básicos ......................................................................................... 41 3.5.1 Cálculo Diferencial Básico............................................................................................. 42 3.5.1.1 Derivadas y Diferenciación ..................................................................................... 42 3.5.1.2 Porosidad y Anisotropía ......................................................................................... 43 3.5.1.3 Expansión en Series de Taylor ............................................................................... 43 3.5.2 Ecuaciones Diferenciales (DE) Básicas ........................................................................ 43 3.5.2.1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ...................................................................... 43 3.5.2.2 Ecuaciones Diferenciales Parciales ........................................................................ 43 3.5.2.3 Condiciones Iniciales y de Frontera ........................................................................ 43 3.5.2.4 Operaciones Diferenciales Vectoriales, Nabla, Gradiente, Divergencia, Laplaciano43 3.5.3 Cálculo de Diferencias Finitas ....................................................................................... 44 3.5.3.1 Diferencias Finitas .................................................................................................. 44 3.5.4 Álgebra Lineal Básica ................................................................................................... 45 3.5.4.1 Notación Escalar y Operaciones ............................................................................ 45 3.5.4.2 Notación Vectorial y Operaciones........................................................................... 45 3.5.4.3 Notación Matricial y Operaciones ........................................................................... 45 3.5.4.4 Representación Matricial de Sistemas de Ecuaciones............................................ 45 3.6 Formulación de las Ecuaciones Básicas para el flujo en una sola fase ................................ 46 3.6.1 Ecuación de Continuidad en varias Geometrías de flujo ............................................... 46 3.6.2 Derivación de las Ecuaciones de Flujo Generalizadas .................................................. 53 3.6.2.1 Ecuación de Flujo en Coordenadas Rectangulares ................................................ 53 3.6.2.2 Ecuación de Flujo en Coordenadas Cilíndricas ...................................................... 53 3.5.4.3 Notación Matricial y Operaciones ........................................................................... 53 3.6.3 Diversas formas de las Ecuaciones de Flujo ................................................................. 53 3.6.3.1 Ecuación de Flujo para Fluidos Incompresibles ...................................................... 53 3.6.3.2 Ecuación de Flujo para Fluidos ligeramente Compresibles .................................... 54 3.6.3.3 Ecuación de Flujo para Fluidos Compresibles ........................................................ 54 3.6.4 Condiciones Iniciales y de Frontera .............................................................................. 55 3.6.4.1 Presión Especificada en la Frontera – Problema de Dirichlet ................................. 56 3.6.4.2 Gradiente de Presión Especificado en la Frontera – Problema de Neumann ......... 57 3.6.4.3 Gradiente de Presión y Especificaciones de Presión en la Frontera ....................... 58 3.7 Aproximación de las Ecuaciones de Flujo por Diferencias Finitas ....................................... 59 3.7.1 Construcción y Propiedades de Cuadrículas de Diferencias Finitas .............................. 60 3.7.1.1 Mallas de Bloques Centrados ................................................................................. 61 3.7.1.2 Mallas de Puntos Distribuidos ................................................................................ 61 3.7.1.3 Mallas Geométricamente Areales y Verticales ....................................................... 61 3.7.2 Aproximación de Diferencias Finitas de la Derivada Espacial ....................................... 61
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3.7.2.1 Aproximación de una Malla no Uniforme en una Dimensión ................................... 62 3.7.2.2 Aproximación de Múltiples Dimensiones ................................................................ 63 3.7.3 Aproximación de Diferencias Finitas a la Derivada en Tiempo ...................................... 63 3.7.3.1 Aproximación en Diferencias hacia atrás de la Ecuación de Flujo .......................... 63 3.7.3.2 Aproximación en Diferencias hacia delante de la Ecuación de Flujo ...................... 64 3.7.3.3 Aproximación en Diferencias Centradas en la Educación de Flujo ......................... 64 3.7.4 Implementación de Condiciones Iniciales y de Frontera ................................................ 65 3.7.4.1 Implementación de Condiciones Iniciales ............................................................... 65 3.7.4.2 Implementación de Condiciones de Frontera ......................................................... 66 3.7.5 Formulaciones Explícitas e Implícitas en Diferencias Finitas ......................................... 67 3.7.5.1 Formulación Explícita ............................................................................................. 67 3.7.5.2 Formulación Implícita ............................................................................................. 67 3.7.6 Error de Truncamiento, Estabilidad y Consistencia de los Esquemas en Diferencias Finitas .................................................................................................................................... 68 3.7.6.1 Error de Truncamiento y Análisis del Error de Truncamiento Presente ................... 68 3.7.6.2 Estabilidad y Análisis de la Estabilidad del Sistema ............................................... 69 3.7.6.3 Consistencia y Análisis de la Consistencia ............................................................. 69 3.8 Representación de Pozos .................................................................................................... 69 3.9 Solución de las Ecuaciones Diferenciales en forma Matricial............................................... 70 3.9.1 Ecuaciones en Diferencias en forma Matricial ............................................................... 71 3.9.1.1 Ecuaciones en Diferencias para problemas de Flujo en 1D .................................... 72 3.9.1.2 Ecuaciones en Diferencias para problemas de Flujo en 2D .................................... 72 3.9.1.3 Ecuaciones en Diferencias para problemas de Flujo en 3D .................................... 72 3.9.2 Métodos de Solución..................................................................................................... 72 3.9.2.1 Métodos Directos ................................................................................................... 72 3.9.2.2 Métodos Interativos ................................................................................................ 73 3.10 Solución Numérica de las Ecuaciones de Flujo en una Fase ............................................. 73 3.11 Simulación de Flujo Multifásico en Yacimientos Petroleros................................................ 74 3.12 Modelado del Flujo de un Fluido en una caja usando el Software Mathematica ................ 75 Capítulo 4. LIBRERÍA DE FUNCIONES DE SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS (MRST) ............ 76 4.1 Generalidades ..................................................................................................................... 77 4.2 Objetivos de MRST ............................................................................................................. 78 4.3 Código Abierto ..................................................................................................................... 79 4.3.1 ¿Por qué Código Abierto y por qué MATLAB? .............................................................. 79 4.4 Diseño de MRST ................................................................................................................. 79 4.4.1 Funcionalidades ............................................................................................................ 80 4.4.2 Módulos ........................................................................................................................ 81 4.4.2.1 Solucionadores Avanzados .................................................................................... 81 4.4.2.2 Coarseing (Engrosamiento) / Upscaling (Escalamiento) ......................................... 83
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4.4.2.3 Utilidades de Entrada y Salida................................................................................ 83 4.4.2.4 Mallas ..................................................................................................................... 84 4.4.2.5 Visualización .......................................................................................................... 84 4.5 Tutoriales............................................................................................................................. 85 4.6 Equipo MRST ...................................................................................................................... 86 4.7 Ejemplos.............................................................................................................................. 87 4.7.1 Solucionador de Flujo Básico ........................................................................................ 87 CONCLUSIONES ......................................................................................................................... 97 BIBLIOGRAFÍA ............................................................................................................................ 98 ANEXOS ...................................................................................................................................... 99
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CAPÍTULO 1.
RELEVANCIA Y OBJETO DE LA SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS (SY)
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1.1 Antecedentes
El estudio del movimiento de los fluidos ha sido históricamente de gran interés para científicos y pensadores del mundo, los cuales plantearon formulaciones para describir su movimiento a través de las matemáticas. Desde la antigüedad, ya Arquímedes analizaba el comportamiento de fluidos como el agua. Observó, entre otras cosas, cómo un fluido sometido a presión se desplaza desde la zona de mayor presión hasta la de menor. Leonardo Da Vinci en el siglo XV realizó grandes contribuciones al estudio del comportamiento de los fluidos mediante el planteamiento de ecuaciones matemáticas. Uno de sus trabajos más destacados fue la creación de la ecuación de continuidad o principio de conservación de la masa.
Por casi medio siglo, la Simulación de Yacimientos ha sido una parte integral de la administración de yacimientos petroleros.
La Ingeniería de Yacimientos tiene como objetivo principal optimizar la recuperación de hidrocarburos, para lo cual, con el tiempo se ha valido de técnicas y ecuaciones que han ido evolucionando con los avances científicos que han surgido hasta la actualidad, sin embargo, es importante mencionar que dichas técnicas y ecuaciones aún se siguen utilizando hoy en día.
Anteriormente se utilizaban métodos que consideraban el Yacimiento como un tanque con propiedades promedio, presión, propiedades petrofísicas y PVT de los fluidos; tanto que suponía la homogeneidad de todo el yacimiento, razonamiento que aunque parece lógico, no es válido; por lo que se optó por dividir el yacimiento en una serie de bloques o celdas (hoy conocidas como Mallas). A cada una de las celdas en las que se dividía el yacimiento, se le asignaban propiedades promedio, aplicando la ecuación de balance de materia para cada bloque ajustada a la ecuación de Darcy que permitía determinar la interacción entre las celdas, lo que ahora sirve de punto de partida en la Simulación de Yacimientos.
La simulación se ha practicado desde el inicio de la Ingeniería Petrolera, sin embargo fue en 1940 que se reconoció su potencial y varias compañías se dieron a la tarea de desarrollar modelos analógicos y numéricos que buscaran mejorar las soluciones analíticas existentes, balance de materia y cálculos de desplazamiento Buckley – Leverett.
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1950. A finales de los años 50, el compromiso hecho con la investigación para la solución numérica de las ecuaciones de flujo comenzaron a dar sus frutos. Los resultados fueron toscos pero sin duda útiles. Se comprobó la gran utilidad de los programas de computadoras en la simulación de yacimientos presentando un avance importante en la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales finitas para describir flujo Multifásico transitorio en 2D y 3D. Por primera vez, los ingenieros de Yacimientos eran capaces de resolver problemas complejos. El motor del desarrollo de sistemas de simulación numérica era ahora la habilidad de predecir el futuro desempeño del yacimiento bajo diversas condiciones de “y si…” para que se pudieran tomar mejores decisiones en cuanto a su manejo.
1960. A lo largo de 1960, el desarrollo de la simulación de yacimientos se dedico en gran parte las 3 fases y problemas de yacimientos de petróleo negro. Los métodos de recuperación simulados fueron: disminución de la presión y las diversas formas de mantenimiento de presión. Se desarrollaron más programas de computadora para hacer frente a la mayor parte de los problemas generales de yacimientos encontrados.
1970. Durante la década de 1970 se desarrollaron simuladores matemáticos que se extendían más allá de la recuperación primaria y secundaria convencionales en áreas como la inyección de químicos, steamflooding y la combustión in-situ. La investigación realizada durante este periodo, dio lugar a avances significativos en la caracterización física de los desplazamientos de hidrocarburos bajo las influencias de la temperatura, agentes químicos, y el comportamiento de fase compleja de componentes múltiples. Los simuladores debían ser capaces de reflejar la adsorción química y la degradación, cinética de la reacción, efectos interfacial-tensión-reducción y comportamientos de equilibrio de fases más complejos.
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1980. El rango de aplicación de la simulación siguió creciendo durante la década de 1980; el desarrollo de los simuladores puso énfasis en el manejo de pozos complejos y los yacimientos fracturados.
1990. Durante la década de 1990, se amplió la facilidad de uso gracias a las interfaces gráficas del usuario. Cerca de fines del siglo XX, los simuladores de yacimientos añadieron características tales como la refinación local de la cuadrícula y la capacidad de manejar geometrías complejas, así como también la integración con instalaciones de superficie. Ahora, los simuladores pueden manejar yacimientos complejos y, a la vez, ofrecer un manejo integrado de todo el campo.
Estos modelos (conocidos como simuladores de la nueva generación) han aprovechado varias tecnologías recientemente desarrolladas, que incluyen el procesamiento en paralelo. La computación paralela opera según el principio de que los problemas grandes, como la simulación de yacimientos, pueden descomponerse en otros más pequeños que se resuelven entonces de manera concurrente, o en paralelo. El paso del procesamiento en serie a los sistemas paralelos es un resultado directo del impulso para lograr un mejor desempeño de los procesos informáticos. En las décadas de1980 y1990,los diseñadores de hardware para computadoras se centraron en el aumento de la velocidad de los microprocesadores para mejorar el desempeño del hardware. Esta técnica, llamada escalamiento de frecuencia, se convirtió en una fuerza dominante en el desempeño de los procesadores para computadoras personales hasta alrededor de 2004. El escalamiento de frecuencia llegó a su fin debido al aumento de consumo de energía necesario para alcanzar frecuencias más altas. Los diseñadores de hardware para computadoras personales migraron entonces hacia los microprocesadores de núcleo múltiple, una forma de computación paralela. Durante las últimas cuatro décadas, la capacidad de computación y la simulación de yacimientos evolucionaron por trayectos similares. Desde la década de 1970 hasta el año 2004, los microprocesadores siguieron la ley de Moore, la cual establece que la densidad de los transistores en un microprocesador (círculos rojos) se duplica aproximadamente cada dos años. La simulación de yacimientos evolucionó de forma paralela con el crecimiento de la capacidad de computación en el aumento del número de celdas de cuadrícula (barras azules) que podían utilizarse. En la última década, la arquitectura de las computadoras se ha centrado en el procesamiento en paralelo más que en el simple aumento de la cantidad de transistores o en la frecuencia. De manera similar, la simulación de yacimientos ha avanzado hacia la solución en paralelo de las ecuaciones del yacimiento.
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Actualmente los modelos recientemente desarrollados para la Simulación de Yacimientos consideran el flujo de múltiples componentes en un yacimiento que está dividido en una gran cantidad de componentes tridimensionales conocidos como celdas de cuadrículas. La ley de Darcy y la de conservación de la masa, además del equilibrio termodinámico de componentes entre fases, gobiernan las ecuaciones que describen el flujo entrante y saliente de estas celdas. Además de las tasas de flujo, los modelos describen otras variables que incluyen la presión, la temperatura y la saturación de fases. Físicamente, el Yacimiento sólo puede producirse una vez, y no se asegura que se hará de la madera más adecuada ya que los errores pueden ocurrir en cualquier momento. Sin embargo, el modelo de Simulación nos brinda la posibilidad de producir un yacimiento varias veces y de diversas maneras; al observar el comportamiento del modelo bajo diferentes condiciones de operación ayudará a seleccionar el conjunto de condiciones óptimas más apropiadas para el Yacimiento. Hoy en día, a comparación de años anteriores y gracias a los avances tecnológicos en las computadoras y su velocidad de procesamiento, es posible hacer Simulaciones con mallas de millones de celdas para resolver grandes sistemas de ecuaciones y se utilizan también mallas no convencionales. De la misma forma, se pueden modelar proceso de recuperación más complejos que involucren numerosos tipos de líquidos y gases mediante modelos composicionales y térmicos.
1.2 Enfoque de la Simulación de Yacimientos La ingeniería interactúa con sistemas muy complejos que rebasan la capacidad de comprensión, razón por la cual se crean modelos o, representaciones más simples de un sistema, con el objetivo de ser capaces de analizar lo que se busca estudiar en un sistema real.
1.2.1 Conceptos Básicos
Los siguientes conceptos básicos ayudarán a entender un poco más sobre la Simulación: Simulación. Es la representación de procesos por medio de modelos teóricos o físicos. Simulación de Yacimientos. Es el proceso mediante el cual se le integran una serie de factores a un modelo matemático para describir con cierta precisión el comportamiento de ciertos eventos físicos que ocurren dentro del Yacimiento.
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Modelo Matemático. Es un sistema de ecuaciones diferenciales parciales que expresan el principio de conservación de la masa y/o energía acoplados con ecuaciones de flujo de fluidos (Ley de Darcy, Ley de Fick), temperatura y de concentración de estos fluidos en medios porosos. (Estas ecuaciones son ecuaciones diferenciales en derivadas parciales no lineales cuya solución es únicamente posible de forma numérica en un número de puntos preseleccionados en tiempo y en espacio). Una vez que el modelo matemático de Simulación es aprobado y calibrado adecuadamente, se convierte en una herramienta poderosa.
Modelo Numérico de Simulación. Es un conjunto de programas computacionales que utiliza métodos numéricos para obtener una solución aproximada del modelo matemático.
Un Modelo de Simulación de yacimientos esta conformado por tres partes: 1. Un modelo geológico en forma de malla volumétrica con propiedades de celdas(mallas) que describa la formación de roca porosa dada. 2. Un modelo de flujo que describa cómo es que el fluido fluye en un medio poroso, este está dado, típicamente como un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que expresan la conservación de masa o de volúmenes junto con las relaciones apropiadas de cierre. 3. Un modelo del pozo que describa el flujo que entra y sale del yacimiento, incluyendo un modelo para flujo dentro del agujero y cualquier acoplamiento a fluir o dispositivos de control de las instalaciones de superficie.
1.2.2 Objetivos de la Simulación La Simulación de Yacimientos nos permite entre otras cosas: • Conocer los volúmenes originales de Hidrocarburos • Tener una buena idea del movimiento de los fluidos en el Yacimiento
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• Determinar el comportamiento de un yacimiento bajo diversos mecanismos de
desplazamiento (recuperación primaria, secundaria y mejorada) • Estimar los efectos que tiene el gasto de producción sobre la recuperación • Definir los valores de parámetros en el Yacimiento para llevar a cabo estudios
económicos • Conocer las variaciones en las propiedades petrofísicas del Yacimiento o las
propiedades PVT cuando estas no se conocen bien. • Para realizar estudios individuales de pozos • Optimizar Sistemas de Recolección • Hacer programas de Producción • Determinar los efectos de la localización en los pozos y su esparcimiento
Los resultados típicos obtenidos de una Simulación consisten en una distribución de presiones y de saturaciones en cada una de las celdas en las que se ha dividido el Yacimiento, así como los volúmenes producidos y las relaciones agua-aceite y gas-aceite para los pozos productores. Si hay inyección de fluidos, se obtiene ya sea el ritmo de inyección de los pozos, o las presiones necesarias para inyectar los volúmenes establecidos.
1.3 Proceso de Simulación De manera general, podemos simplificar el trabajo que se hace en una Simulación en 3
partes. 1. Discretización en espacio y tiempo. 2. Aplicación de ecuaciones de Flujo de Fluidos para cada Fase. 3. Resultados
Descripción del Proceso de Simulación:
Formulación. Comprende las suposiciones iniciales que son inherentes al simulador, expresadas en términos matemáticos y posteriormente aplicadas a un volumen de control en el Yacimiento. El resultado es un grupo de EDP no lineales que describirán el flujo fluidos a través del medio poroso. 17
Discretización. Es el proceso mediante el cual las EDPs se convierten en ecuaciones algebraicas. Por lo general, si estas ecuaciones no pueden ser resueltas tan fácilmente, es necesario hacer una linealización. Linealización. Procedimiento de sustituir en una función las partes no lineales, por unas que si lo sean. Solución. En la representación de los pozos se incorporan los datos de producción e inyección a las ecuaciones antes mencionadas, una vez integradas, el proceso de liberalización aproxima estas ecuaciones de modo que sean resueltas como si fueran un sistema de ecuaciones lineal. Así se consigue la distribución de fluidos y de presiones a lo largo del yacimiento y se considera como solución. Validación y Aplicación. Comprende la revisión de todo el proceso para asegurar que no tenga errores (desde el punto de vista de programación y métodos numéricos).
Una corrida de Simulación puede tomar minutos, horas, días o semanas, dependiendo principalmente de el tamaño de la malla de simulación, el proceso a modelar, el tipo de aceite (si es negro o composicional) y de la capacidad de cómputo que se tenga.
Antes de realizar un estudio de Simulación es importante y recomendable hacer una correcta planeación del mismo, teniendo en mente que el propósito principal es identificar el tipo o tipos de mecanismos de desplazamiento y reconocer los factores que dominan en la representación del yacimiento (anisotropía y heterogeneidad), para así, poder determinar el nivel de complejidad del modelo del yacimiento, diseñarlo e identificar los datos necesarios para su construcción.
1.4 Clasificación de los Simuladores. La clasificación de los Simuladores de Yacimientos se hace dependiendo de sus parámetros de selección. (tabla 1.1)
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TIPO DE YACIMIENTO
FRACTURADO NO FRACTURADO
NIVEL DE SIMULACIÓN
POZO INDIVIDUAL YACIMIENTO SECTOR DEL YACIMIENTO
SIMULADOR
TIPO DE FLUJO
GAS, GEOTÉRMICO, DE ACEITE NEVRO, DE ACEITE VOLÁTIL, DE GAS Y CONDENSADO, DE RECUPERACIÓN QUÍMICA, DE RECUPERACIÓN DE MISCIBLES, DE RECUPERACIÓN TÉRMICA.
MONOFÁSICO BIFÁSICO TRIFÁSICO COMPOSICIONAL
NUMERO DE DIMENSIONES
CERO DIMENSIONES UNA DIMENSIÓN DOS DIMENSIONES TRES DIMENSIONES
GEOMETRÍA
X Y Z r X,Y X,Z Y,Z X,Y,Z,
Tipos de Simuladores:
1. Simuladores de Gas.- pueden ser modelados en una o dos fases dependiendo si existe agua móvil.
2. Simuladores de Aceite Negro (Black Oil).- Son capaces de simular sistemas donde están presentes gas, petróleo y agua en cualquier proporción. Este tipo de simuladores, es el más usado en yacimientos de petróleo y la principal suposición es que las composiciones del petróleo y el gas no cambian significativamente con la depleción.
3. Simuladores de Composicionales.- Toman en cuenta el comportamiento composicional entre los componentes individuales de los hidrocarburos en las fases de gas y líquidos. Esto es debido a que la información PVT no describe el comportamiento del fluido adecuadamente para los petróleos volátiles y condensados. La transferencia de masa entre cada uno de los elementos es calculada en fracciones molares de cada componente individual o pseudocomponentes combinando dos o mas de los componentes hidrocarburos individuales. Este tipo de modelo es necesario para yacimientos de condensado (retrógrado) y petróleo volátil así como cierto tipo de inyección de gas y/o procesos de recuperación mejorada. 19
4. Modelos de doble porosidad.- Son necesarios para modelar el comportamiento de yacimientos naturalmente fracturados así como algunos sistemas de carbonatos. El comportamiento de flujo y presión de este tipo de yacimientos puede ser considerado mas complejo que un sistema de porosidad simple.
5. Modelos termales.- Para simular procesos EOR tales como inyección de vapor o combustión in-situ. Todos estos modelos pueden tener una, dos o tres dimensiones.
1.4.1 Simuladores Interactivos El reto de los datos. Las simulaciones de yacimientos fácilmente se vuelven tan grandes que los procesos de entrada/salida, el post-procesamiento y la visualización se vuelven un reto para el software. Una plataforma en la nube para el cálculo acelerado y la representación visual es la denominada Tinia, que es básicamente una plataforma de C + + diseñada para hacer más fácil la creación de aplicaciones que pueden ejecutarse tanto en computadoras de escritorio y en la nube. Se centra principalmente en aplicaciones que hacen, interpretación, con OpenGL y / o cálculos los programas intensivos usando CUDA. En este ejemplo usando la plataforma Tinia se maneja la representación de los datos del subsuelo directamente en la GPU, lo que le permite visualizar y post-procesar (extraer subconjuntos de celdas, coloreandoles, etc.) de forma interactiva para mallas con millones de celdas.
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CAPÍTULO 2.
MATLAB COMO HERRAMIENTA DE PROGRAMACIÓN.
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2.1 Generalidades
MATLAB es un programa ampliamente usado por Ingenieros de Control en análisis y diseño y que además, posee una extraordinaria versatilidad y capacidad para resolver problemas en matemática aplicada,física, química, ingeniería, finanzas y muchas otras aplicaciones; esta basado en un sofisticado software de matrices para el análisis de sistemas de ecuaciones.
MATLAB goza en la actualidad de un alto nivel de implantación en escuelas y centros universitarios, así como en departamentos de investigación y desarrollo de muchas compañías industriales nacionales e internacionales. En entornos universitarios, por ejemplo, MATLAB se ha convertido en una herramienta básica, tanto para los profesionales e investigadores de centros docentes, como una importante herramienta para la impartición de cursos universitarios, tales como sistemas e Ingeniería de control, álgebra lineal, proceso digital de imagen, señal, etc. En el mundo industrial, MATLAB está siendo utilizado como herramienta de investigación para la resolución de complejos problemas planteados en la realización y aplicación de modelos matemáticos en ingeniería. Los usos más característicos de la herramienta los encontramos en áreas de computación y cálculo numérico tradicional, prototipaje algorítmico, teoría de control automático, estadística, análisis de series temporales para el proceso digital de señal.
El nombre MATLAB proviene de MATrix LABoratory (Laboratorio de Matrices); es un lenguaje de programación de gran aprovechamiento para la informática técnica que integra, computación, visualización y un ambiente moderno de lenguaje de programación, donde podemos encontrar, estructuras de datos sofisticadas, herramientas que se pueden crear, editar y depurar, así como programación orientada a objetos; lo que hace de MATLAB una herramienta ideal para la investigación y la enseñanza, así como para el desarrollo de aplicaciones técnicas fáciles de utilizar. Tiene muchas ventajas comparado con los lenguajes de programación convencionales ( como C, FORTRAN), en cuanto a la resolución de problemas 22
técnicos ya que su versión original utilizaba programas basados en rutinas de códigos LINPACK y EINSPACK, que son la máxima expresión de software de computación matricial empleados para la resolución de numerosos problemas relacionados con sistemas lineales y cálculo de autovalores y autovectores.
Se trata de un sistema interactivo para computación numérica y visualización de datos, cuyo dato base es una matriz que no requiere dimensionamiento. El software esta comercialmente disponible desde 1984 y actualmente se considera una herramienta estándar en la mayoría de las universidades e industrias de todo el mundo.
Para más detalles sobre MATLAB el siguiente enlace proporciona tutoriales para conocer más a detalle las funciones básicas del programa http://www.mathworks.com/help/matlab/getting-started-with-matlab.html desde los básicos de escritorio hasta programación, proporcionando a su vez documentos que ayuden a aclarar cualquier tipo de dudas.
2.2 Librerías Especializadas El programa MATLAB dispone de un código básico y de diversas librerías especializadas llamadas toolboxes, estas se agrupan en más de 35 diferentes** que se de describen en el sitio de Mathworks y son cotizadas manera independiente; se dispone de muchas más las cuales se venden por separado o pueden ser utilizadas en forma libre* bajo el concepto de licencia de uso público general GNU, siglas que en inglés definen el sistema operativo bajo el cual se fundamenta el desarrollar en código abierto y libre para su utilización. A continuación se mencionan de acuerdo a su área de aplicación.
Computación Paralela Parallel Computing Toolbox 23
MATLAB Distributed Computing Server
Matemáticas, Estadística y Optimización Symbolic Math Toolbox Partial Differential Equation Toolbox Statistics Toolbox Curve Fitting Toolbox Optimization Toolbox Global Optimization Toolbox Neural Network Toolbox Model-Based Calibration Toolbox
Sistema de Control, Diseño y Análisis Control System Toolbox System Identification Toolbox Fuzzy Logic Toolbox Robust Control Toolbox Model Predictive Control Toolbox Aerospace Toolbox
Procesamiento de Señal y Comunicaciones Signal Processing Toolbox DSP System Toolbox Communications System Toolbox Wavelet Toolbox RF Toolbox Phased Array System Toolbox LTE System Toolbox 24
Procesamiento de Imágenes y Visión por Computador Image Processing Toolbox Computer Vision System Toolbox Image Acquisition Toolbox Mapping Toolbox
Pruebas y Medición Data Acquisition Toolbox Instrument Control Toolbox Image Acquisition Toolbox OPC Toolbox Vehicle Network Toolbox
Finanzas Computacionales Financial Toolbox Econometrics Toolbox Datafeed Toolbox Database Toolbox Spreadsheet Link EX (for Microsoft Excel) Financial Instruments Toolbox Trading Toolbox
Biología Computacional Bioinformatics Toolbox SimBiology
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Generación y Verificación de Códigos MATLAB Coder HDL Coder HDL Verifier Filter Design HDL Coder Fixed-Point Designer
Implementación de Aplicaciones MATLAB Compiler MATLAB Builder NE (for Microsoft .NET Framework) MATLAB Builder JA (for Java language) MATLAB Builder EX (for Microsoft Excel) Spreadsheet Link EX (for Microsoft Excel) MATLAB Production Server
Conectividad de Base de Datos y Presentación de Informes Database Toolbox MATLAB Report Generator
Estos toolboxes (cajas de herramientas) abarcan gran parte de las principales áreas del mundo de la ingeniería y la simulación; El paquete Matlab dispone de dos herramientas adicionales que expanden sus capacidades, Simulink (plataforma de simulación multidominio), que es un entorno gráfico interactivo con el que se puede analizar, modelar y simular la dinámica de sistemas no lineales, y GUIDE (editor de interfaces de usuario - GUI).
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2.3 Simulink Simulink es un entorno de diagramas de bloque para la simulación multidominio y de diseño basado en modelos; es compatible con la simulación, generación automática de código y la prueba continua y verificación de sistemas embebidos. Esta herramienta proporcionan un editor gráfico con librerías de bloques personalizables y solucionadores para el modelado y la simulación de sistemas dinámicos. Está integrado con MATLAB, lo que permite incorporar algoritmos de MATLAB en modelos así como la opción de exportar resultados de la simulación a MATLAB para su análisis posterior.
Entre las capacidades de esta herramienta se destacan: - Elaboración del Modelo . Subsistemas jerárquicos, modelos con bloques de
bibliotecas predefinidas. - Simulación del Modelo. Simula el comportamiento dinámico del sistema y
presenta resultados como las corridas de Simulación. - Análisis de Resultados de la Simulación. Permite ver resultados y depurar la
Simulación. - Manejo de Proyectos. Permite el manejo de archivos, componentes y grandes
cantidades de datos para el proyecto de manera fácil. - Conexión a Hardware. Permite conectar el modelo de hardware para las
pruebas en tiempo real y el despliegue de sistemas embebidos.
La posibilidad de usar software libre para los estudiantes de ingeniería petrolera de la UV es de relevancia por el alto costo que representa el software especializado en la industria del petróleo y el gas, y todavía mas el hecho de que el software disponible sea el mismo que se enseña y que se tiene licenciado y vigente, hace justificable esta investigación que se centra sobre las funciones para simulación de yacimientos de la Caja de Herramientas MRST.
27
CAPÍTULO 3.
CONCEPTOS BÁSICOS, ECUACIONES FUNDAMENTALES DE FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS Y CÓMO SE SOLUCIONAN.
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3.0 Introducción El modelado matemático de un sistema requiere del entendimiento del comportamiento de los diferentes elementos que lo conforman. El flujo de fluidos en medios porosos es un fenómeno complejo ya que se tienen que considerar ecuaciones que lo describan en una, dos o tres fases. Moviéndose a través de “canales de flujo” que presentan variaciones de uno o varios órdenes de magnitud y en los cuales los fluidos podrán ser tratados como compresibles, ligeramente incompresibles o incompresibles. Adicionalmente a esto para representar el sistema de flujo podrán utilizarse una, dos o tres dimensiones incluyendo si se desea heterogeneidad en las propiedades petrofísicas, efectos gravitacionales, efectos capilares y transferencia de masa entre las fases. Entonces dado que el medio poroso de interés para nosotros es el yacimiento petrolero, será muy conveniente conocer algunos conceptos básicos de ingeniería de yacimientos y las leyes fundamentales que rigen el flujo de fluidos. Así como algunas de las propiedades de la roca del yacimiento son de interés como las relacionadas con la capacidad de la roca para transmitir y almacenar líquidos en sus poros. La dependencia de las propiedades del fluido con las incógnitas de la simulación primaria (presión y saturación) se requiere conocer en una simulación de aceite negro. Una buena compresión de la dependencia de la presión con las densidades del fluido, viscosidades, y con los factores de volumen de formación (VFV), así como conocer las relaciones de las soluciones gas líquido, y la dependencia de la saturación con la permeabilidad relativa y la presión capilar es muy útil tanto para los desarrolladores de modelos y para los usuarios de simuladores.
3.1 Conceptos básicos de Ingeniería de Yacimientos. Comprender los conceptos básicos de ingeniería de yacimientos para problemas de modelado de flujo en medios porosos es muy importante. Esta porción del trabajo incluye discusiones sobre los conceptos de potencial de flujo del fluido, la ley de Darcy y fenómenos de transporte en estado estacionario y no estacionario. La presión capilar, la permeabilidad relativa y la ley de conservación de la masa se presentan en el contexto de sus aplicaciones al flujo de fluido mono y multifásico en medios porosos.
3.1.1 Potencial de Flujo. En ciencias de la tierra distintas de ingeniería de petróleo (por ejemplo, la geología o hidrología), el potencial de flujo a un punto determinado se define como el trabajo requerido por un proceso libre de fricción para transportar una unidad de masa de fluido desde un estado de presión atmosférica y cero elevación (punto de referencia absoluto) hasta el punto en cuestión. Definido de esta manera, el potencial de flujo se expresa matemáticamente y se define como el cabezal o altura del fluido (hf) para un fluido incompresible como:
Donde D es positivo en la dirección vertical hacia arriba y, 29
Es la densidad del fluido en términos de la presión por distancia (normalmente se llama la gravedad del fluido). En la ecuación 3.2, = factor de conversión por gravedad. (En la tabla 3.1 se pueden observar las unidades correspondientes) Multiplicando ambos lados de la ecuación 3.1 por obtenemos:
El término tiene unidades de presión y es frecuentemente referido como la presión al nivel de referencia (datum). En simulación e ingeniería de yacimientos es denominado como el potencial de flujo , o sea: En ingeniería de yacimientos, un datum arbitrario y conveniente (otro diferente al punto de referencia absoluto) se utiliza como referencia para todas las presiones del yacimiento. Este datum arbitrario puede ser el nivel del mar o en el centro, arriba, o en la base del yacimiento. El nivel de este nuevo punto de referencia no es importante porque el gasto depende del gradiente de potencial en lugar de potenciales absolutos. Por lo anterior los ritmos de cambio de la presión en las direcciones x, y, z se pueden representar por la expresión siguiente:
Donde el valor de Z es positivo en la dirección vertical hacia abajo. Esta es la expresión del gradiente de potencial para fluidos incompresibles.
3.1.2 Ley de Darcy La ley de Darcy es una relación empírica entre la cantidad de agua que fluye a través de un medio poroso y el gradiente de potencial (Darcy, 1856). Para flujo en una sola fase, de una sola dimensión (1D), esta ley puede expresarse en forma diferencial como sigue:
Donde factor de conversión para el coeficiente de transmisibilidad, k = permeabilidad absoluta de la roca en la dirección de flujo, µ = viscosidad del fluido, potencial de flujo, y u = cantidad de fluido por unidad de sección transversal a la dirección de flujo (velocidad superficial). Para el caso de flujo en 3D, la forma diferencial de la ecuación de Darcy, será:
Con la definición de gradiente de potencial (ecuación 3.5), el vector de velocidad quedaría:
30
Cuando se usa esta forma de la ley de Darcy, se deben de considerar algunos supuestos y limitaciones que van implícitas. (Scheidegger, 1974) (Collins, 1961) 1. El fluido es homogéneo, de una sola fase, y newtoniano. 2. No hay ninguna reacción química entre el fluido y el medio poroso. 3. Prevalecen condiciones de flujo laminar. 4. La permeabilidad es una propiedad del medio poroso que es independiente de la presión, la temperatura, y el fluido que fluye. 5. No hay ningún efecto deslizamiento. (Klinkenberg, 1941) 6. No hay ningún efecto electrocinético. Para flujo multifásico, la forma extendida de la ley de Darcy para cada fase, puede ser
expresada como: Donde Donde , y = Permeabilidad relativa, viscosidad, presión y gravedad del fluido para cada fase respectivamente. La ley de Darcy puede considerarse una ley empírica o una expresión analítica derivada de la ecuación de Navier–Stokes (Collins, 1961). En ambos casos la ley de Darcy es una piedra angular para simulación de yacimientos. La nomenclatura utilizada en la descripción de la ecuación de Darcy, pueden consultarse en la tabla 3.1.
3.1.3 Flujo en Estado Estacionario y No Estacionario El flujo en estado estacionario y no estacionario, son un par de conceptos básicos que necesitan tanto los ingenieros en ejercicio como los estudiantes. Por ejemplo, la naturaleza del flujo que presenta la inyección de agua en un yacimiento es la razón por la que la producción de aceite no responda inmediatamente a los cambios en la misma, La compresibilidad del fluido, cf y la manera en la que la densidad ρ responde a la presión son los factores principales de este comportamiento.
31
Para un fluido incompresible la respuesta de la presión se hace sentir al instante con la misma intensidad en cualquier punto en el yacimiento, siempre que la roca del yacimiento sea incompresible. Matemáticamente esto sería: Cuando cf = 0 o la ρ es constante para toda p y
En términos de la velocidad del fluido,
Problemas de flujo que involucran fluidos incompresibles y medios porosos tienen soluciones que son independientes del tiempo (porque todos las derivadas con respecto al tiempo son cero) y dependientes sólo del espacio. Tal flujo se llama flujo en estado estacionario debido a todas las propiedades son constantes, o constantes, con el tiempo. Para fluidos compresibles y ligeramente compresibles, el choque de la presión (o al menos parte de la misma) serán absorbidas por la compresión del fluido inicialmente hasta que los fluidos ya no puedan comprimirse. El resto de la energía será transmitida al siguiente punto en el espacio, y así sucesivamente. La energía almacenada en el fluido comprimido será liberada más adelante y se transmitirá de un punto al siguiente. Con el tiempo, el choque de presión (o por lo menos parte de ella) se hará sentir en cualquier punto de observación. Es decir que el comportamiento en el medio poroso no es transitorio, o dependiente del tiempo. En este caso tendremos: Cuando cf > 0 y
En términos de la velocidad del fluido,
Problemas de flujo que involucran fluidos compresibles o ligeramente compresibles tienen soluciones que dependen del espacio y del tiempo. Para estos problemas, la solución en un momento dado se obtiene mediante la aproximación de la solución desde t0 = 0 hasta t1 = t0 + Δt y desde t1 hasta t2 = t1 + Δt y así sucesivamente, hasta que se alcanza el tiempo final. El proceso de aproximación en la solución en el tiempo o bien puede ser continuo, como en el análisis de cambios de presión, o discreto, como en la simulación numérica de yacimientos. Este tipo de flujo es denominado transitorio o no estacionario. 32
3.2 Propiedades de la Roca y Fluidos del Yacimiento Las propiedades de la roca del yacimiento, las propiedades físicas de los fluidos [tales como el comportamiento de presión/volumen/temperatura (PVT)], las propiedades de la interacción de la roca fluido (como las presiones capilares y permeabilidades relativas) influyen fuertemente en el flujo multifásico en medios porosos. Las siguientes secciones mencionan algunos de los fundamentos de estas propiedades.
3.2.1 Propiedades de la Roca y Fluidos del Yacimiento En esta sección se comentan propiedades de la roca del yacimiento, tales como la porosidad y la permeabilidad, que se suponen independientes del contenido de líquido, siempre que la roca y el fluido sean no reactivos. Los conceptos de heterogeneidad y anisotropía de la roca son también introducidos.
3.2.1.1 Porosidad y Heterogeneidad La porosidad es en el espacio poroso de la roca del yacimiento donde se almacenan los hidrocarburos, algunos de los poros se encuentran interconectados mientras que otros se encuentran aislados, una medida de la misma es la fracción (%) que representan los poros entre el volumen total de la roca que ocupan. En la roca del yacimiento se distinguen de forma primaria dos tipo de porosidad; la total y la efectiva, la primera incluye los poros aislados y los interconectados mientras que la segunda solo los interconectados. Desde este punto de vista la porosidad efectiva será la de interés para la producción y representa entonces una medida de la capacidad del yacimiento para almacenar fluidos producibles. En general una propiedad como la porosidad varía de un punto a otro o de una región a otra, entendiéndose como heterogénea y cuando permanece invariable con la posición donde se determina será entonces homogénea. El caso de porosidad homogénea es más bien usado para casos de yacimientos ideales que sirven para encontrar soluciones simples a problemas que de otra manera no se pueden resolver analíticamente.
3.2.1.2 Porosidad y Anisotropía La permeabilidad será una medida de la capacidad de un medio poroso de transmitir fluidos a través de los poros interconectados. Esta capacidad es denominada absoluta o simplemente permeabilidad si medio esta 100% saturado de un fluido en una sola fase. 33
La permeabilidad varía de un punto a otro e, incluso, en un depender de la dirección del flujo.
mismo punto, puede
La permeabilidad absoluta es la medición de la permeabilidad obtenida cuando sólo existe un fluido, o fase, presente en la roca. La permeabilidad efectiva es la capacidad de flujo preferencial o de transmisión de un fluido particular cuando existen otros fluidos inmiscibles presentes en el yacimiento (por ejemplo, la permeabilidad efectiva del gas en un yacimiento de gas-agua). Las saturaciones relativas de los fluidos, como así también la naturaleza del yacimiento, afectan la permeabilidad efectiva La permeabilidad relativa es la relación entre la permeabilidad efectiva de un fluido determinado, con una saturación determinada, y la permeabilidad absoluta de ese fluido con un grado de saturación total. Si existe un solo fluido presente en la roca, su permeabilidad relativa es 1.0. El cálculo de la permeabilidad relativa permite la comparación de las capacidades de flujo de los fluidos en presencia de otros fluidos, ya que la presencia de más de un fluido generalmente inhibe el flujo. En general la permeabilidad vertical es menor que la horizontal y esa relación define a la anisotropía ya que cuando hay una tendencia direccional muy clara se considera al medio poroso como anisotrópico siendo isotrópico en caso contrario.
3.2.2 Propiedades de los Fluidos Las propiedades de los fluidos que son de interés en el modelado de yacimientos incluyen compresibilidades, densidades, factores volumétricos de formación, relaciones gas en solución/liquido, y viscosidades. La dependencia de las propiedades del petróleo, el agua y el gas con la presión a la temperatura del yacimiento serán discutidos también para comprender mejor el papel que desempeñan en el modelado de yacimientos. En general en los yacimientos de hidrocarburos, se pueden producir simultáneamente aceite, agua y gas ya que estos coexisten a una temperatura y presión propias del yacimiento. El gas que se produce se encuentra libre y en solución. La mayor parte del gas en solución proviene del gas disuelto en el aceite y el resto del gas disuelto en el agua. Por lo tanto considerando que el aceite y el agua son inmiscibles, las propiedades de la fase aceite a condiciones de yacimiento se ven fuertemente afectados por el gas en solución. Del mismo modo, las propiedades del agua se ven afectadas (aunque en mucha menor medida) por el gas disuelto en el agua.
3.2.2.1 Tipos de Fluidos en el Yacimiento Habrá que considerar también que el tipo de fluidos que se producen en un yacimiento petrolero son aceite, agua y gas, mismos que se clasifican en incompresibles, ligeramente compresibles y compresibles dependiendo del comportamiento que tengan cuando se sujetan a presión externa. 34
Un fluido incompresible tendrá compresibilidad cero esto es que tendrá densidad
constante independientemente de la presión a que este sujeto. Este tipo de fluido es una idealización del gas-libre, aceite y agua. Un fluido ligeramente compresible tiene una pequeña pero constante compresibilidad que normalmente varía entre 10-5 a 10-6 psi -1. Ejemplos: a condiciones de yacimiento el agua y el aceite (sin gas). El fluido compresible tiene una compresibilidad entre 10-3 a 10-4 psi -1, su densidad se incrementa cuando se aumenta la presión, pero se estabiliza a altas presiones. El gas es compresible.
Figura 3.1 Comportamiento de la densidad de varios tipos de fluidos como función de la presión.
3.2.2.2 Compresibilidad de los Fluidos y Factor de Compresibilidad del Gas La compresibilidad de un fluido se define como el cambio volumétrico relativo de una masa dada ante un cambio de presión a temperatura constante, matemáticamente la compresibilidad puede ser expresada como: Donde
A partir de la definición de densidad de un fluido , una expresión equivalente para la compresibilidad de un fluido sería:
35
Como se había comentado previamente para el caso de un fluido incompresible (Cf = 0 psi-1), para uno ligeramente compresible (10-6 psi-1 < Cf < 10-5 psi-1), o compresible (Cf > 10-4 psi -1). El factor de compresibilidad Z, es un factor de corrección, que se introduce en la ecuación de estado de gas ideal para modelar el comportamiento de los gases reales, los cuales se pueden comportar como gases ideales para condiciones de baja presión y alta temperatura, tomando como referencia los valores del punto crítico, es decir, si la temperatura es mucho más alta que la del punto crítico, el gas puede tomarse como ideal, y si la presión es mucho más baja que la del punto crítico el gas también se puede tomar como ideal. De manera alternativa, el factor de compresibilidad para gases específicos puede ser leído a partir de gráficos de compresibilidad generalizados que grafiquen Z como una función de la presión a temperatura constante.
3.2.2.3 Relación Gas - Líquido en Solución A temperatura y presión de yacimiento, el equilibrio termodinámico de un sistema de gas/líquido se da por la transferencia de masa entre las dos fases. En un sistema de aceite negro, esta transferencia de masa puede ser descrita por la relación gas/liquido en solución. La relación gas/liquido en solución es el volumen de gas (en condiciones estándar) que debe disolverse en una unidad de volumen de líquido (en condiciones estándar) para que el líquido y el sistema de gas alcancen el equilibrio a la temperatura y presión del yacimiento. El equilibrio en este contexto significa que el líquido estaría saturado con el gas. En yacimientos de aceite negro existen dos relaciones gas-liquido, una que es gas-aceite y otro gas-agua, la cual para propósitos prácticos se asume igual a cero.
3.2.2.4 FVF (Factor de Volumen de Aceite de la Formación) Una masa fija de un fluido del yacimiento ocupa un volumen diferente a diferentes presiones en el mismo. Los FVF´s se utilizan para convertir los volúmenes de la presión y temperatura del yacimiento a sus volúmenes equivalentes a condiciones estándar. Estos factores toman en cuenta el volumen de cambios causados por la compresibilidad del fluido para las fases de agua y gas y los causados por la compresibilidad del fluido y de transferencia de masa de solución de gas para la fase de aceite. La fase FVF es la relación entre el volumen que la fase ocupa a la presión y temperatura del yacimiento y la que estaría ocupando en condiciones estándar,
36
Para una sola fase (agua, gas o aceite muerto) la ecuación 3.3 puede ser escrita en términos de densidades.
Donde el subíndice
3.2.2.5 Densidad del Fluido
Como ya se mencionó, la densidad de un fluido es la relación que existe entre su masa y su
volumen , y para el caso del gas se daría en términos de la ley del
gas real:
Donde z= factor de compresibilidad, p=presión. M = Masa Molar, R = Constante de los gases ideales y T = Temperatura
3.2.2.6 Viscosidad del Fluido La viscosidad del fluido es una medida de la facilidad con la que el fluido fluye como resultado de un gradiente de presión aplicado. En un fluido diluido (gaseoso), las moléculas están muy separadas y ofrecen una baja resistencia a fluir como consecuencia de sus movimientos aleatorios. En contraste, un fluido denso ofrece alta resistencia al flujo debido a que las moléculas de fluido están cerca unas de otras y sus movimientos aleatorios retardan el flujo. La viscosidad del fluido es una función de la presión y la temperatura; sin embargo, sólo sería de interés la dependencia de la viscosidad con la presión en los yacimientos isotermales. El comportamiento de la viscosidad está relacionado con la de la densidad debido a la densidad es una medida de la trayectoria libre media de las moléculas de líquido y gas, en consecuencia, una medida de los movimientos e interacciones moleculares aleatorios que afectan a la viscosidad.
3.2.3 Propiedades de la Roca / Fluido
37
Esta sección presenta las definiciones básicas de saturación de los fluidos encontrados en el flujo multifásico e introduce el concepto de la presión capilar.
3.2.3.1 Saturación de un Fluido La saturación de fluidos de un fluido particular es la fracción del espacio de los poros que está ocupado por ese fluido. Para el caso de flujo monofásico, la saturación del fluido Sl, es la unidad. Para el flujo en dos fases aceite y agua, La saturación de aceite So, es la fracción de espacio vacío ocupado por la fase de aceite, y la saturación de agua Sw, es la fracción restante que está ocupada por la fase agua. Estas dos saturaciones son interdependientes esto es: Definiciones similares se tienen para el flujo en dos fases de aceite y gas. Para el flujo en las tres fases aceite, agua, y el gas, la suma de las saturaciones de aceite y agua se refiere con frecuencia como la saturación del líquido, SL. Las tres saturaciones se relacionan mediante la ecuación de restricción:
3.2.3.2 Presión Capilar Existe presión capilar siempre que los poros (capilares) están saturados con dos o más fases. En un sistema de dos fases, la presión capilar es por definición la presión de la fase no mojante menos la presión de la fase mojante.
Para un sistema aceite agua, y Para un sistema en dos fases aceite gas. La presión capilar es una función de la saturación y la historia de saturación (es decir, drenaje o imbibición) para una roca del yacimiento dado y fluidos a una temperatura y composición constante.
3.3 Ley de la Conservación de la Masa La ley de la conservación de la masa es una ecuación de balance de materia realizada para un componente en un volumen de control del sistema a modelar. En yacimientos de petróleo, el volumen de control se compone de un medio poroso que contiene fluidos en una, dos, o tres fases. Esta sección se refiere a un fluido en una sola fase. El medio 38
poroso es tratado como un continuo cuyas propiedades físicas en cualquier momento son las del elemento representativo del medio. El volumen de control, cuya forma depende del sistema de coordenadas utilizado en el modelo, se elige y un balance de materia para el componente se hace sobre él. El balance de materia para cualquier componente C, en el sistema puede ser expresado como:
Donde mi =”masa entrando”= o sea la masa del componente entrando al volumen de control desde otras partes del yacimiento, mo =”masa saliendo”= o sea la masa del componente dejando el volumen de control hacia otras partes del yacimiento; ms =”masa fuente/sumidero”= o sea la masa del componente dejando o entrando al volumen de control externamente (a través de pozos); y ma =”masa acumulada”= que es la masa del exceso de material acumulado o agotado en el volumen de control sobre un intervalos de tiempo. Permitiendo las dimensiones finitas del volumen de control y el intervalo de tiempo aproximar a cero y tomar límites, la ecuación 3.26 resulta en una ecuación de conservación de la masa para el componente considerado.
3.3.1 Conservación de la Masa para un fluido en una sola fase, en una dimensión La ecuación que se obtiene a partir del análisis del flujo sobre el volumen de control en el medio poroso es:
Cuyo desarrollo puede consultarse en el archivo anexo 1.
3.3.2 Conservación de la Masa para un fluido en una sola fase multidimensional Para el caso en 3D siguiendo un desarrollo similar se obtiene:
Cuyo desarrollo puede consultarse en el archivo anexo 2.
39
3.4 Ecuación Básica para el Flujo en una sola Fase La ecuación de flujo para una sola fase se puede obtener mediante la combinación de la forma apropiada de la ley de Darcy y la ecuación de la conservación de la masa. La densidad del fluido se expresa generalmente en la forma implícita de la FVF como una función de la presión. Combinando la ley de Darcy para flujo de una sola fase, de la ecuación 3.10 y la ecuación de la conservación de la masa de la ecuación 3.44 obtendremos la ecuación de flujo para un fluido en una sola fase.
Donde l= o, w, o, g Se puede consultar el detalle del desarrollo de esta ecuación en diferentes sistemas de coordenadas en la sección 3.6 y la descripción de las variables utilizadas en la tabla 3.1. La ecuación 3.45 es la ecuación fundamental usada en simulación de yacimientos. En su desarrollo no se asumen consideraciones respecto al tipo de fluido (incompresible, ligeramente compresible o compresible), en consecuencia esta ecuación es válida para una sola fase de aceite, agua o gas.
3.5 Conceptos Matemáticos Básicos Los modelos matemáticos, tales como los simuladores de diferencias finitas, se construyen en base a principios físicos y matemáticos fundamentales. Se ha comentado líneas arriba los principios físicos que intervienen en la simulación de yacimientos, incluyendo la ley de conservación de la masa. La ley de Darcy para flujo de fluidos a través de medios porosos. Así como el comportamiento de la presión, el volumen y la temperatura (PVT) de los fluidos del yacimiento y las propiedades de la roca del mismo. Los principios matemáticos necesarios para desarrollar simuladores de yacimientos numéricos incluirán el cálculo diferencial básico, la teoría de las ecuaciones diferenciales, el análisis numérico, el cálculo de diferencias finitas y el álgebra lineal. El cálculo diferencial, que se remonta a la época de Newton y Leibniz, relaciona la derivada (o pendiente de la tangente) de una función continua a la función en sí misma. Esta rama de las matemáticas tiene muchas aplicaciones importantes en campos tan diversos como la ingeniería, las ciencias físicas, biología, economía y las matemáticas aplicadas. Las ecuaciones diferenciales implican tanto funciones conocidas como desconocidas, Ellas tienen aplicaciones en muchas de las mismas áreas que el cálculo diferencial, junto 40
con las derivadas de las funciones desconocidas. Ejemplos de ecuaciones diferenciales utilizados en ingeniería petrolera son la que describen el flujo a través de una tubería (ecuación de Euler), el método de Muskat para yacimientos con empuje por capa de gas, la ecuación para pruebas de presión en pozos (ecuación de Difusividad), y las ecuaciones utilizadas en la simulación de yacimientos. Los métodos numéricos de análisis proporcionan técnicas computacionales (algoritmos) para las soluciones aproximadas de problemas matemáticos exactos. Técnicas de análisis numérico, o métodos numéricos, se utilizan para poner problemas matemáticos complejos en equipos digitales y obtener soluciones aproximadas a problemas que de lo contrario no tendrán solución. Una rama del análisis numérico el cálculo de diferencias finitas, se utiliza para aproximar las relaciones funcionales y sus derivadas en una serie de puntos discretos (discontinuos). Tales puntos pueden ser mediciones en experimentos de laboratorio, observaciones de campo o pueden ser generados en la solución numérica de las ecuaciones diferenciales. El cálculo de diferencias finitas se relaciona con cálculo diferencial a través del desarrollo en series de Taylor. El álgebra lineal trata de la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Una fuente de problemas de ecuaciones lineales en ingeniería de yacimientos es la aproximación de las ecuaciones diferenciales continuas por ecuaciones en diferencias finitas. Las siguientes ligas provienen del sitio http://mathworld.wolfram.com/ y ofrecen material de interés sobre los siguientes tópicos:
3.5.1 Cálculo Diferencial Básico. Será la rama del cálculo matemático que trabaja con derivadas.
3.5.1.1 Derivadas y Diferenciación http://mathworld.wolfram.com/Derivative.html
3.5.1.2 Derivadas Parciales http://mathworld.wolfram.com/PartialDerivative.html
3.5.1.3 Expansión en Series de Taylor http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html
3.5.2 Ecuaciones Diferenciales (DE) Básicas 41
Una ecuación diferencial es una ecuación que implica las derivadas de una función, así como la función en sí misma. Si se trata de derivadas parciales, la ecuación se llama una ecuación diferencial parcial (PDE); Si sólo derivadas ordinarias están presentes, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria (ODE). Las ecuaciones diferenciales juegan un papel muy importante y útil en matemáticas aplicadas, la ingeniería y la física, y mucha maquinaria matemática y numérica ha sido desarrollada para la solución de ecuaciones diferenciales.
3.5.2.1 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias http://mathworld.wolfram.com/OrdinaryDifferentialEquation.html
3.5.2.2 Ecuaciones Diferenciales Parciales http://mathworld.wolfram.com/PartialDifferentialEquation.html
3.5.2.3 Condiciones Iniciales y de Frontera http://mathworld.wolfram.com/InitialConditions.html http://mathworld.wolfram.com/BoundaryConditions.html
3.5.2.4 Operaciones Diferenciales Vectoriales: Nabla, Gradiente, Divergencia, Laplaciano. http://mathworld.wolfram.com/Nabla.html http://mathworld.wolfram.com/Gradient.html http://mathworld.wolfram.com/Divergence.html http://mathworld.wolfram.com/Laplacian.html
Los siguientes ejemplos interactivos provienen del sitio de http://demonstrations.wolfram.com/ y son demostraciones hechas con el software de Mathematica© y son muy útiles para mejorar el entendimiento de estos conceptos matemáticos básicos.
Ejemplos: http://demonstrations.wolfram.com/DerivativeAsAFunction/ Derivada de una función. http://demonstrations.wolfram.com/PartialDerivativesIn3D/ Derivadas parciales en 3D. 42
http://demonstrations.wolfram.com/DirectionalDerivativesAndTheGradient/ direccionales y el gradiente.
Derivadas
http://demonstrations.wolfram.com/TaylorPolynomials/ Expansión usando polinomios de Taylor. http://demonstrations.wolfram.com/LinearFirstOrderDifferentialEquation/ diferencial lineal de primer orden por el método de variación de parámetros.
Ecuación
3.5.3 Cálculo de Diferencias Finitas
El cálculo diferencial discutido en las secciones anteriores es apropiado para funciones continuas solamente; sin embargo, en las aplicaciones de yacimientos petroleros, una situación a menudo surge cuando los valores funcionales son conocidos sólo en puntos discretos. Por ejemplo, estos puntos discretos pueden ocurrir durante las mediciones de campo donde los valores tales como las presiones y las tasas de producción se miden en intervalos de tiempo fijos. Los valores de Las propiedades medidas se conocen sólo en el instante cuando se miden. Para los puntos discretos, se dispone de técnicas matemáticas para aproximar los valores a partir de las funciones y sus derivadas en los puntos donde no se conocen. El cálculo de diferencias finitas es una técnica de este tipo. El cálculo de diferencias finitas es la rama de las matemáticas que utiliza operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) para calcular derivadas aproximadas, ecuaciones diferenciales, y otras operaciones analíticas realizadas en funciones continuas.
3.5.3.1 Diferencias Finitas http://mathworld.wolfram.com/FiniteDifference.html
Diferencias hacia adelante (http://mathworld.wolfram.com/ForwardDifference.html ), hacia atrás (http://mathworld.wolfram.com/BackwardDifference.html ), centradas (http://mathworld.wolfram.com/CentralDifference.html) y divididas (http://mathworld.wolfram.com/DividedDifference.html ).
Demostraciones sobre el tema de las diferencias finitas: http://demonstrations.wolfram.com/FiniteDifferenceApproximationsOfTheFirstDerivativeOf AFunctio/ Aproximación de la primera derivada por diferencias finitas. http://demonstrations.wolfram.com/FiniteDifferenceSchemesOfOneVariable/ Esquemas de diferencias finitas para una sola variable. 43
3.5.4 Álgebra Lineal Básica Álgebra lineal (http://mathworld.wolfram.com/LinearAlgebra.html ) es la rama de las matemáticas que se ocupa de los vectores, matrices, y la solución de ecuaciones lineales. Escribiendo la ecuación característica en diferencias finitas linealizada en cada nodo desconocido se genera un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. En esta sección se ofrecen referencias a conceptos del álgebra lineal básica que son relevantes para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
3.5.4.1 Notación Escalar y Operaciones http://mathworld.wolfram.com/Scalar.html
3.5.4.2 Notación vectorial y operaciones. http://mathworld.wolfram.com/Vector.html
3.5.4.3 Notación matricial y operaciones. http://mathworld.wolfram.com/Matrix.html
3.5.4.4 Representación matricial de sistemas de ecuaciones. http://mathworld.wolfram.com/LinearSystemofEquations.html
Más demostraciones sobre temas de álgebra lineal: http://demonstrations.wolfram.com/VectorsIn3D/ Vectores en 3D. http://demonstrations.wolfram.com/3x3MatrixExplorer/ Explorador de operaciones con una matriz de 3 x 3. http://demonstrations.wolfram.com/SolvingMatrixSystemsWithRealIntervalOrUncertainEle ments/ resolviendo sistemas de ecuaciones lineales. Finalmente una demostración que representa la solución de una ecuación diferencial parcial por el método de diferencias finitas, en este caso para la ecuación de Laplace que como se verá más adelante es un caso particular de la ecuación de flujo para un fluido incompresible. http://demonstrations.wolfram.com/SolutionsOfTheFiniteDifferenceDiscretizedLaplaceEqu ation/ 44
3.6 Formulación de las Ecuaciones Básicas para el Flujo en una Sola Fase En esta sección se presentan las ecuaciones básicas que describen el transporte de un fluido de una sola fase a través de un medio poroso. Estas ecuaciones matemáticas describen los procesos físicos de interés en el yacimiento y están en la forma de ecuaciones diferenciales parciales (PDE) que consideran las relaciones dinámicas entre el fluido, el medio poroso, y las condiciones de flujo presentes en el sistema. Se va definir un modelo matemático que describa los aspectos más importantes del flujo de un fluido monofásico. Se acostumbra que las ecuaciones de modelo como este se expresen en diferentes sistemas de coordenadas y se desarrollan para el caso más general. Por facilidad trabajaremos con el modelo en coordenadas rectangulares y presentando solo la aplicación de los otros casos en coordenadas cilíndricas y esféricas. La figura 3.2 destaca la las etapas de formulación en el desarrollo de un simulador de yacimientos.
Figura 3.2 Etapas en la formulación de un simulador de yacimientos.
3.6.1 Ecuación de Continuidad en Varias Geometrías de Flujo La ecuación de continuidad (ecuación diferencial de la conservación de masa) se puede desarrollar escribiendo una ecuación de balance de materia sobre un volumen de control (elemento de volumen estacionario) a través del cual el fluido estaría circulando. La siguiente demostración muestra en forma gráfica el principio de la ecuación de continuidad. La forma del elemento de volumen depende del sistema de coordenadas que se utiliza para describir el problema de flujo. El sistema de coordenadas debe ajustarse lo más posible a la geometría de flujo definido por las líneas equipotenciales y líneas de corriente que son, a su vez definidos por la forma de los límites físicos y la distribución de propiedades del yacimiento. 45
La figuras 3.3 a 3.6 muestran tres geometrías de flujo de uso común en el modelado de yacimientos. Tenga en cuenta que, para propiedades homogéneas de las rocas, las líneas de corriente se definen por los límites físicos del elemento de volumen en cada sistema de coordenadas.
Figura 3.3 Geometría rectangular de flujo y detalles del volumen de control; a) flujo en 1D y en la dirección x solamente; b) flujo en 2D en la direcciones x, y únicamente, c) flujo en 3D en las direcciones x, y, z.
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Figura 3.4 Geometría cilíndrica de flujo y detalles del volumen de control; a) flujo en 1D y en la dirección r solamente; b) flujo en 2D en la direcciones r, y θ únicamente, c) flujo en 3D en las direcciones r, θ, z.
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Figura 3.5 Geometría esférica de flujo y detalles del volumen de control; a) flujo en 1D y en la dirección r solamente; b) flujo en 2D en la direcciones r, y θ únicamente, c) flujo en 3D en las direccione r, θ, Θ.
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Figura 3.6 Líneas equipotenciales Φ y líneas de flujo Ψ describen el flujo en un pozo desde una fuente lineal infinita a un potencial uniforme.
Cabe señalar que, las geometrías cilíndrica, esférica y el flujo rectangular representan patrones de flujos relativamente simples y bien definidos. El sistema de coordenadas rectangulares representa los sistemas de flujo rectilíneos, mientras que los sistemas tanto en coordenadas cilíndricas y esféricas representar sistemas de flujo curvilíneos. En estos dos sistemas curvilíneos, los elementos de flujo son patrones relativamente simples formados a partir de elementos geométricos ortogonales bien definidos, tales como cilindros y esferas. Cuando las líneas equipotenciales y líneas de corriente son no uniforme y asimétricamente distorsionadas por la forma física irregular definida por los límites o propiedades de los yacimientos heterogéneos, un sistema de coordenadas curvilíneas generalizado puede ser más conveniente. En la figura 3.6 se observa donde un pozo está situado a una distancia de una fuente lineal infinita (eje x), presenta esta situación. Cualquier elemento cuadrilátero encerrado dentro de un par de líneas equipotenciales y un par de líneas de corriente ambas vecinas definirá un elemento de volumen ortogonal apropiada en coordenadas curvilíneas. La sección 3.6.2 muestra que es necesario definir un volumen elemental representativo con el que se pueda describir una ecuación de balance de materia. El enfoque continuo debe ser usado para definir las propiedades del volumen elemental y el fluido pasando a través de él. Este enfoque simplemente trata el medio poroso como un continuo en relación con las propiedades del fluido y la roca (tales como la porosidad, la permeabilidad, la viscosidad y la densidad del fluido) asignadas para el volumen de control. Estas propiedades describen el comportamiento global del medio poroso y el fluido contenido en el mismo.
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La figura 3.7 muestra la aplicación del principio continuo para definir la porosidad del volumen elemental representativo. Aplicar el enfoque del continuo da como resultado la definición macroscópica del volumen de control. El volumen representativo intenta resumir comportamiento macroscópico del sistema tomando en cuenta el promedio neto de los efectos microscópicos.
Figura 3.7 – (a) Asignación de porosidad para un elemento representativo de volumen; (b) Elemento representativo de volumen en 3D.
Para expresar matemáticamente el flujo de fluidos a través del medio poroso, se hace necesaria la descripción de los mismos a través de tres principios fundamentales. 1. El principio de conservación de la masa (Ec. 3.26), que establece que el total de la masa de fluido entrando en un elemento representativo de volumen en el yacimiento, debe ser igual al incremento neto en la masa del fluido en dicho elemento más el total de la masa del fluido que sale del mismo. 2. Una ecuación de estado (EOS) (Ec. 3.20) que describa la densidad de un fluido como una función de la temperatura y la presión.
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3. La ecuación constitutiva (Ec. 3.8) que describe la tasa de movimiento del fluido entrando o saliendo del volumen elemental representativo.
3.6.2 Derivación de las Ecuaciones de Flujo Generalizadas 3.6.2.1 Ecuación de Flujo en coordenadas Rectangulares
Esta es su forma más general y su desarrollo puede consultarse en el archivo anexo 3.
3.6.2.2 Ecuación de Flujo en coordenadas Cilíndricas
Cuyo desarrollo puede consultarse en el archivo anexo 4.
3.6.3 Diversas Formas de las Ecuaciones de Flujo En las secciones anteriores de este capítulo se mostraron las ecuaciones de flujo para un fluido homogéneo en una sola fase, sin especificar si el fluido era incompresible, ligeramente compresible, o compresible. Las siguientes secciones modifican la ecuación de flujo general según la dependencia de la densidad del fluido con la presión. Se continúa considerando el flujo en una sola fase.
3.6.3.1 Ecuación de Flujo para fluidos Incompresibles Si el fluido es incompresible, la densidad es considerada constante e independiente de la presión y por supuesto la compresibilidad igual a cero. Bajo estas consideraciones la ecuación 3.62 quedaría de la forma siguiente:
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Misma que para el caso en que no exista algún término externo que implique entrada o salida de flujo (Pozo), la ecuación 3.67 quedaría:
Ecuación también conocida como la ecuación de Laplace. El desarrollo de las expresiones anteriores puede verse en el archivo anexo 5.
3.6.3.2 Ecuación de Flujo para fluidos ligeramente Compresibles Este tipo de fluidos tiene su compresibilidad en el rango de 10-5 a 10-6 psi-1. Ejemplos: a condiciones de yacimiento el agua y el aceite muerto (sin gas). Las ecuaciones que los describen serían las siguientes:
La ecuación 3.97 representa el flujo en una sola fase de un fluido ligeramente compresible en una formación heterogénea e isotrópica. Para una formación homogénea e isotrópica esta ecuación se simplifica y queda como:
Si no existe un término externo de fuente/sumidero (pozo) en el sistema, la ecuación 3.98 se convierte en:
La ecuación 3.99 se conoce como la ecuación de Difusividad por analogía matemática con el desarrollo del flujo difusional y su desarrollo junto con el de las expresiones anteriores puede verse en el archivo anexo 6.
3.6.3.3 Ecuación de Flujo para fluidos Compresibles Para este tipo de fluidos su compresibilidad está en el rango de 10-3 a 10-4 psi-1, su densidad se incrementa cuando aumenta la presión, pero se estabiliza a altas presiones. El gas es compresible.
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La expresión 3.106 representa la forma final de la ecuación de flujo para fluidos compresibles y su desarrollo se puede ver en el archivo anexo 7.
3.6.4 Condiciones Iniciales y de Frontera La sección 3.5.2.3 nos remite a una breve descripción de lo que son las condiciones iniciales y de frontera tema que a su vez se relaciona con de las ecuaciones diferenciales básicas, también mostrado a través de ligas relacionadas. En esta sección, se comenta este tema con más detalle, con aplicación específica a problemas de flujo de fluidos. Las ecuaciones que se han mencionado representan problemas físicos específicos. Por ejemplo, la ecuación. 3.88 representa una extensa clase de fenómenos físicos conocidos como fenómenos de estado estacionario. Dentro del alcance de estos apuntes, la ecuación 3.88 representa el flujo en una sola fase, de un fluido incompresible a través de un medio poroso incompresible en 3D que tiene propiedades homogéneas e isotrópicas.
La ecuación 3.88 tiene un número infinito de soluciones. Para elegir una en particular se deben de especificar condiciones adicionales en los límites del dominio en cuestión. Estas condiciones se llaman condiciones de contorno o de frontera. El problema de encontrar la solución a la ecuación. 3.88 que satisface las condiciones impuestas de contorno se llama un problema de valores en la frontera. Si el problema es similar a la ecuación de Difusividad,
Que describe un fenómeno (flujo en estado inestable) dependiente del tiempo, Las condiciones de contorno deben cumplirse para todos los tiempos . En el caso de la ecuación 3.99, las condiciones iniciales también deben ser satisfechas en cada punto del dominio en el instante de tiempo en particular cuando el proceso físico comienza . El problema de encontrar la solución de la ecuación. 3.99 que satisface las condiciones iniciales y de contorno especificadas se denomina un problema de valores iniciales y de frontera.
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Considérese el dominio de flujo (2D) de dos dimensiones se muestra en la figura 3.10 para un pozo situado en la parte central del campo. El dominio de flujo descrito por la ecuación 3.99, es el área entre los límites del yacimiento y el agujero del pozo.
Figura 3.10 Dominio de flujo bidimensional con un pozo Por lo tanto, podemos agrupar los límites bajo dos nombres generales: externas, que son las fronteras físicas del dominio de flujo, e internas, que serían los pozos. Cualquier especificación de las condiciones de contorno para las PDE´s mostradas en esta sección debe proporcionar una descripción de la forma geométrica de los límites y las ubicaciones de los pozos. Veamos ahora las distintas condiciones de frontera que se encuentran en los problemas de flujo de fluidos en medios porosos.
3.6.4.1 Presión Especificada en la Frontera - Problema de Dirichlet En los límites internos, o sea en el pozo, esta especificación implica un pozo produciendo (o inyectando) a una presión constante directo a la formación. Por otro lado, en los límites externos, tal especificación implica que la presión en el límite se mantiene constante. Este tipo de condición de frontera se produce en yacimientos que están constantemente cargados por una fuerte afluencia de agua de modo que la presión en la interface entre el yacimiento de hidrocarburos y el acuífero que lo limita, permanezca constante. En la teoría de las PDE´s, el problema de encontrar una solución para un dominio con una especificación de presión sobre sus fronteras se conoce como el problema de Dirichlet. La figura 3.11 muestra un típico problema de este tipo.
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Figura 3.11 Problema de estado estacionario de Dirichlet.
3.6.4.2 Gradiente de Presión Especificado en la Frontera - Problema de Neumann Mediante la especificación de un gradiente de presión normal a la frontera, el flujo (o velocidad) normal a la frontera queda determinado. Por lo tanto, una especificación de flujo a velocidad constante en el agujero del pozo es equivalente a especificar un gradiente de presión sobre la formación. Esta proposición puede entenderse mejor si se considera la ley de Darcy escrita en la interface de un pozo y la formación,
La ecuación 3.107 puede ser reorganizada para resolverse por el gradiente de presión como:
En la ecuación 3.108, m, rw, k, y h son específicos del problema y asignando una velocidad de flujo constante (fijando el valor de q), uno simplemente especifica el valor de . Tenga en cuenta que q es el gasto en la interface con la formación en la ecuación. 3.108. De nuevo, la especificación del gradiente de presión a lo largo de una frontera externa resulta en la especificación del flujo normal a la misma. Un caso especial a menudo encontrado en ingeniería de yacimientos es una frontera de ausencia de flujo donde el flujo se desvanece en todas partes en dicha frontera. Obviamente, si no existe flujo a través de la de la frontera, esto implica que el gradiente de presión a través de la misma también es cero. Un yacimiento volumétrico con fronteras exteriores completamente selladas equivale a un gradiente de presión cero a través de sus límites exteriores.
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El problema de encontrar la solución para una distribución de presión en un dominio con una especificación del gradiente de presión a través de sus fronteras es conocido como el problema de Neumann. La figura 3.12 muestra esquemáticamente un típico problema de este tipo.
Figura 3.12 Problema de estado no estacionario de Neumann.
3.6.4.3 Gradiente de Presión y Especificaciones de Presión en la Frontera En ocasiones, el potencial y su primera derivada son prescritos en diferentes segmentos de la frontera. Tal condición es posible cuando se trata de un medio poroso que tiene una frontera semipermeable (con fugas). Bajo estas condiciones, la condición de frontera del tipo Dirichlet se prescribe en una parte de la frontera y la condición de Neumann es establecida para el resto de la frontera. Un yacimiento de aceite que está parcialmente expuesto a un fuerte acuífero es un ejemplo típico de esta condición de frontera mixta (figura 3.13).
Figura 3.13 Especificación de condiciones de frontera mixtas.
En problemas dependientes del tiempo (flujo en estado no estacionario), el límite condiciones deben ser especificadas para todo . Para estos problemas, las condiciones de frontera también pueden convertirse en una función del tiempo. Por ejemplo, un pozo 56
que se puso en producción a un gasto constante, cerrado por un período de tiempo, y finalmente puesto en producción con otro gasto, ilustra una situación donde las condiciones de frontera impuestas son una función del tiempo. Para completar la descripción matemática del problema, debemos especificar la condición inicial para las variables dependientes del tiempo. Esto es logrado mediante la especificación de las presiones en cada punto en el tiempo inicial. Generalmente, las presiones iniciales se especifican a una profundidad de referencia específica y los gradientes hidrostáticos existentes se utilizan para inicializar el problema a otras profundidades. Se pueden consultar discusiones detalladas sobre las condiciones iniciales y de frontera para flujo multifásico en el libro de (Turgay Ertekin, 2001), secciones. 9.7.1 y 9.7.2.
3.7 Aproximación de las Ecuaciones de Flujo por Diferencias Finitas
En la sección anterior se mostró la derivación de las ecuaciones de flujo para una sola fase a través de medios porosos como ecuaciones diferenciales parciales (PDE´s), de segundo orden en el espacio y de primer orden en el tiempo. En general, estas ecuaciones no pueden ser resueltas analíticamente (exactamente) debido a su naturaleza no lineal. Técnicas numéricas (aproximadas) deben ser utilizadas para resolver las ecuaciones de flujo. El método numérico más popular actualmente en uso en la industria del petróleo es el método de diferencias finitas. El método de diferencias finitas se implementa mediante la superposición de una cuadrícula o malla de diferencias finitas en el yacimiento a ser modelado. El tipo de cuadrícula seleccionado se utiliza para aproximar las derivadas espaciales en las ecuaciones continuas. Estas aproximaciones se obtienen truncando el desarrollo en series de Taylor de las variables desconocidas (por lo general presión para los problemas en una sola fase de flujo y la presión y la saturación para los problemas de dos fases de flujo) en las ecuaciones. Un procedimiento similar se utiliza en el dominio del tiempo. Dos tipos de cuadrículas se utilizan generalmente en la simulación de yacimientos: la de bloque centrado (cuerpo centrado) y la de punto distribuido (malla centrada). Aunque estos sistemas de redes se discuten en términos de coordenadas rectangulares (cartesianas), son igualmente aplicables en sistemas de coordenadas cilíndricas, esféricas o elípticas. La implementación de aproximaciones en diferencias finitas da como resultado ecuaciones algebraicas denominadas ecuaciones en diferencias finitas. Debe ser hecho hincapié en que las soluciones de las ecuaciones en diferencias finitas pueden ser 57
obtenidas sólo en los puntos discretos definidos por la cuadrícula. En otras palabras, las presiones calculadas a partir de un simulador de yacimientos serán conocidas sólo en puntos de la cuadrícula dentro del yacimiento. Esto en contraste con las soluciones de las ecuaciones continuas, que se pueden obtener en todos los puntos en el yacimiento. Discretización es el proceso de convertir ecuaciones continuas en ecuaciones en diferencias finitas. En la figura 3.8 se ve donde se lleva a cabo el paso de discretizar en el desarrollo de un simulador de diferencias finitas.
Figura 3.14 El proceso de la discretización en el desarrollo de un simulador de yacimientos.
En la sección 3.6 se han derivado las ecuaciones de transporte que describen el flujo en estado inestable; estas ecuaciones contienen una segunda derivada de la presión con respecto al espacio y una primera derivada de la presión con respecto a tiempo. La segunda derivada en la ecuación de flujo es generalmente aproximada utilizando un operador de diferencias centrada debido a la naturaleza de orden superior de la aproximación. La primera derivada es en general aproximada utilizando un operador de diferencias hacia atrás. Estas opciones son dictadas por la estabilidad del sistema final de ecuaciones. La estabilidad es una propiedad que describe la capacidad de un error pequeño propagarse y crecer con los cálculos posteriores.
3.7.1 Construcción y Propiedades de Cuadrículas de Diferencias Finitas Como se comentó anteriormente, dos tipos de cuadrículas en diferencias finitas se utilizan en la simulación de yacimientos: la de bloque centrado y la de punto distribuido. En una cuadrícula de bloque centrado, los bloques de la cuadrícula de dimensiones conocidas se superponen sobre el yacimiento. Para el sistema de coordenadas rectangulares, los puntos de la cuadricula se definen como los centros de estos bloques del reticulado. En una cuadrícula de punto-distribuido, los puntos de la malla son distribuidos en el depósito antes de que se definan bloques en el contorno. Para una cuadrícula rectangular, un bloque límite se coloca a medio camino entre dos puntos de presión adyacentes. Históricamente, los simuladores de yacimientos han usado bloques centrados en diferencias finitas ya que el volumen asociado con cada punto representativo está claramente definido. El propósito del sistema de cuadriculado es dividir el depósito en 58
bloques para qué propiedades representativas de las rocas puedan ser asignadas. Por lo tanto, las celdas de la cuadrícula deben ser suficientes pequeñas para describir la naturaleza heterogénea del yacimiento y para permitir que las propiedades promediadas de la misma celda representen adecuadamente el comportamiento del flujo en el yacimiento. Esto, sin embargo, no siempre se puede lograr debido a que el esfuerzo requerido para un estudio de simulación está directamente relacionada con el número de celdas de la cuadrícula utilizados en el estudio. Hay básicamente dos métodos para el manejo de las condiciones de frontera, el primer método, sin puntos discretos en la frontera, es el más apropiado para condiciones de frontera de falta de flujo. El segundo método, con puntos de la frontera, es más aplicable a situaciones en las que una variable dependiente como la presión, se especifica en el límite. Las siguientes documentos anexos tratan sobre la construcción cuadriculas de bloque centrado bloque y de punto distribuido. La discusión de estos sistemas considera únicamente flujo en una sola dirección (la dirección x). Para el flujo en más de una dirección, los principios discutidos en este capítulo se pueden extender fácilmente a múltiples dimensiones.
3.7.1.1 Mallas de Bloques Centrados
El tema puede consultarse en el archivo anexo 8.
3.7.1.2 Mallas de Punto Distribuido
El tema puede consultarse en el archivo anexo 9.
3.7.1.3 Mallas Geométricas Areales y Verticales.
Consúltese en el archivo anexo 10.
3.7.2 Aproximación en Diferencias Finitas de la Derivada Espacial Las ecuaciones de flujo en medios porosos contienen derivadas continuas con respecto a variables en espacio y tiempo. En la sección 3.5.1.1 sugerimos algunas ligas que discuten técnicas para aproximar derivadas con diferencias finitas. 59
El principio básico detrás de estas técnicas fue la de sustituir las derivadas parciales en las ecuaciones de flujo con aproximaciones algebraicas. Esta sección se va a centrar en la aproximación de las ecuaciones de flujo de fluidos por diferencias finitas mediante el método de las series de Taylor. Estas aproximaciones se obtienen por la expansión en serie de Taylor de la variable dependiente en las proximidades de los puntos de la cuadrícula. Cuando las aproximaciones son aplicadas a una ecuación de flujo única, la PDE se sustituye por un sistema de ecuaciones algebraicas. La discretización es el proceso de convertir la PDE continua a un sistema de ecuaciones algebraicas. Otros métodos de discretización igualmente aplicables incluyen el método integral de diferencias finitas, el método del elemento finito, y el método del contorno finito (o método de la ecuación integral de contorno). La ecuación de en una sola fase para flujo ligeramente compresible a través de medios porosos se derivó en la ecuación 3.92, y para flujo unidimensional (1D) esta ecuación tiene la forma:
Donde el subíndice I se refiere a la Fase I (o ó w). Hay que recordar que la ecuación 3.115 ignora el gradiente de profundidad y asume un medio poroso incompresible. Más adelante en la sección 3.10 se eliminan estos supuestos de la solución de la ecuación de flujo.
3.7.2 .1 Aproximación a una Malla Uniforme en una Dirección La expresión que define la aproximación en diferencias finitas para una malla uniforme es la siguiente:
O en términos de transmisibilidades:
Las transmisibilidades Tlxi+1/2 y Tixi-1/2 son referidas como las transmisibilidades del medio porosos y son definidas como:
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La transmisibilidad en un medio poroso se considera que es una propiedad definida del mismo, donde el fluido que fluye a través del medio, la dirección del mismo y la posición en el espacios son indicados por los subíndices l, x, i±1/2 respectivamente. Para una cuadrícula bloque de centrado uniforme, las separaciones entre los puntos de la cuadrícula (o centros de bloque) son las mismas y son iguales a la dimensión de bloque Δx. Es decir,
3.7.2.2 Aproximación a una No Malla Uniforme en una Dirección La ecuación 3.133 es válida tanto para los sistemas de malla de bloque centrado y punto distribuido. Solo las separaciones entre los puntos de la cuadrícula quedarían definidos como:
Y similarmente en la dirección hacia atrás:
3.7.2.3 Aproximación en Múltiples Dimensiones En las secciones anteriores se discutió el proceso de discretización en una sola dimensión, podemos ahora aplicar estas mismas técnicas para problemas multidimensionales, para consultar este y los procesos anteriores favor de ver el archivo anexo 11.
3.7.3 Aproximación en Diferencias Finitas a la Derivada en Tiempo
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La discretización de la derivada en el tiempo en las ecuaciones 3.131 y 3.132 se maneja de la misma manera como la derivada espacial. Tres posibles aproximaciones se pueden utilizar para la derivada del tiempo: diferencias hacia atrás, diferencias hacia adelante, y las diferencias centralizadas. Tanto las diferencias hacia adelante y hacia atrás son aproximaciones de primer orden, mientras que las diferencias centralizadas son de segundo orden. Aunque la diferencia central es una aproximación de orden superior, generalmente no es utilizada debido a problemas de estabilidad y las dificultades que presenta en la aplicación de las condiciones iniciales (Aziz, 1979). La aproximación usando diferencias hacia atrás se utiliza generalmente en la simulación de yacimientos, ya que su uso no limita el tamaño del paso de tiempo para una solución estable.
3.7.3.1 Flujo
Aproximación en Diferencias hacia atrás de la Ecuación de
La expresión que define las diferencias hacia atrás en diferencias finitas sería la que se muestra a continuación:
3.7.3.2 Aproximación en Diferencias hacia adelante de la Ecuación de Flujo
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En estas ecuaciones, las presiones sobre el lado izquierdo de las ecuaciones se evalúan en el nivel de tiempo anterior n, para la aproximación hacia adelante y en el nuevo nivel de tiempo, n + 1, para la aproximación hacia atrás.
3.7.3.3 Aproximación en Diferencias centradas de la Ecuación de Flujo La denominada aproximación de Richardson, quedaría de la siguiente forma:
Para una discusión más detallada de los niveles de tiempo donde aplican estas expresiones se sugiere consultar el archivo anexo 12.
3.7.4 Implementación de Condiciones Iniciales y de Frontera En secciones anteriores de este capítulo, tres aproximaciones en diferencias finitas adecuadas para la simulación de yacimientos se derivaron: diferencias hacia atrás, hacia 63
adelante y centradas. Estas aproximaciones se hicieron a la ecuación en derivadas parciales en una sola fase, que regula el flujo a través de medios porosos. En las ligas mostradas en la sección 3.5.2 se discuten soluciones a las ecuaciones diferenciales generales. Se encontró que estas soluciones van a ser familias de funciones que satisfacen la ecuación diferencial de origen. Para obtener la solución de ingeniería deseada al problema que nos ocupa, la ecuación diferencial debe ser someterse a unas condiciones iniciales y de frontera apropiadas. Las condiciones iniciales y de frontera se utilizan para determinar la función que resuelve el problema dado de forma única. Mientras que una familia completa de soluciones satisface la ecuación diferencial, sólo hay una solución única que satisface la ecuación diferencial, las condiciones iniciales y las condiciones de frontera simultáneamente. Por lo tanto, para obtener una solución única para los problemas de simulación de yacimientos, las condiciones iniciales y de frontera deben también aproximarse por métodos de diferencias finitas e incorporarse en el simulador del yacimiento. La Sec. 3.6.5 discute condiciones iniciales y de frontera para las ecuaciones de flujo en una sola fase que son relevantes para problemas comunes de ingeniería de yacimientos.
3.7.4.1 Implementación de Condiciones Iniciales En esta sección se restringirá la discusión a los problemas de flujo en una sola fase. El objetivo de la simulación de yacimientos es predecir distribuciones de presión y gastos de producción a través del tiempo. Esto se logra mediante el uso de ecuaciones en diferencia finita ecuaciones para avanzar en la simulación de un nivel de tiempo conocido (el tiempo en el que se conocen todas las variables dependientes, n) a un nivel de tiempo desconocido (el tiempo en el que las variables dependientes van a ser predichas, n + 1). En las ecuaciones en diferencias finitas, el término pn representa los valores de presión de los puntos de la cuadrícula en el nivel de tiempo conocido. El procedimiento paso a paso para el avance de la simulación en el tiempo comienza asignando valores conocidos de presión al nivel de tiempo n en las ecuaciones de diferencias finitas. Las ecuaciones pueden ser resueltas para las presiones desconocidos, Pn+1. Una vez determinado, los valores de Pn + 1 se utilizan como presiones conocidas para el próximo paso de tiempo. Para iniciar este procedimiento, las presiones conocidas utilizadas en las ecuaciones para la primera etapa de tiempo son las presiones en las condiciones iniciales. Para los problemas en una sola fase, las presiones iniciales en el yacimiento pueden ser determinadas por el gradiente de presión local. Las presiones asignados a la cuadrícula de celdas se calculan inicialmente con la ecuación 64
y el ajuste para todas las cuadrículas, obteniéndose:
En la ecuación 3.162, po = presión en el nivel de referencia de profundidad Zo y Zi,j,k = profundidad de la celda (i,j,k) a la presión Obsérvese que el término incluye (ecuación 3.2), la densidad de la fase que es dependiente de la presión para fluidos compresibles y ligeramente compresibles. Por lo tanto, la aplicación de la ecuación 3.162 puede requerir iteraciones.
3.7.4.2 Implementación de Condiciones de Frontera Definir las fronteras en un yacimiento de petróleo puede ser muy complicado, ya que consiste en describir los límites externos e internos que delinean el sistema del yacimiento. Las fronteras externas deben incluir tanto los límites de los hidrocarburos en el yacimiento como cualquier acuífero asociado. La mayoría de los simuladores comerciales de yacimientos asumen que el sistema yacimiento / acuífero está delimitado por una frontera con ausencia de flujo a cierta distancia de la roca conteniendo hidrocarburos. Internamente un yacimiento de petróleo puede contener fronteras de diferentes tipos, como serían los pozos, roca impermeable, y fallas de sellado. •
Fronteras externas. Los límites externos de todos los yacimientos constarán de los límites de la zona que contiene hidrocarburos y cualquier acuífero asociado. Dos tipos importantes de límites son generalmente considerado en simulación de yacimientos: La especificación del gradiente de presión (que incluye la frontera con ausencia de flujo) y la especificación de la presión. La implementación de las condiciones de frontera depende del tipo de frontera encontrado en el campo y el sistema de malla (bloque centrado o punto distribuido) utilizado en la discretización. Los detalles de cada caso se pueden consultar en el documento anexo 13.
•
Fronteras internas. Las fronteras internas en un yacimiento de hidrocarburos incluyen pozos, roca que no pertenece al yacimiento y fallas de sellado. Cada uno de estos límites requiere un método de aplicación diferente. Consúltese el documento anexo 14.
3.7.5 Formulaciones Explícitas e Implícitas en Diferencias Finitas El problema a resolver en el modelado de yacimientos es avanzar en la simulación de las condiciones iniciales a los tiempos futuros. Esto se logra dando pasos a través de la simulación en intervalos de tiempo discretos denominados pasos de tiempo (timesteps). Anteriormente, en este capítulo se derivaron dos aproximaciones en diferencias finitas: diferencias hacia adelante y hacia atrás (las ecuaciones. 3.158 y 3.154, respectivamente). Aunque tienen formas similares, hay una diferencia fundamental entre las dos formulaciones. 65
Debido a los niveles de tiempo asignados a las presiones en los lados izquierdos de las ecuaciones, la ecuación en diferencias hacia adelante resulta en un cálculo explícito para las presiones para el nuevo nivel de tiempo, mientras que la ecuación en diferencias hacia atrás resulta en un cálculo implícito para las presiones al nuevo nivel de tiempo. Esta diferencia es el objeto de esta sección.
3.7.5.1 Formulación Explícita
Esta expresión para las aproximaciones en diferencias hacia adelante resulta en ser condicionalmente estable lo cual limita su uso en simulación de yacimientos.
3.7.5.2 Formulación Implícita
En esta caso la formulación explicita de la fórmula de diferencias hacia atrás es incondicionalmente estable lo que la hace la más utilizada en simulación. Para más detalles sobre estas formulaciones consúltese el documento anexo 15.
3.7.6 Error de Truncamiento, Estabilidad y Consistencia de los Esquemas en Diferencias Finitas Para reemplazar una PDE continua con su representación de diferencias finitas, ciertos aspectos de la aproximación tienen que ser investigados cuidadosamente. En particular, es importante para estimar la magnitud del error introducido cuando la aproximación se aplica, si los errores introducidos en una cierta etapa de los cálculos crecen sin control como para sobresalir sobre la solución y, por último, si la aproximación en diferencias finitas utilizada es compatible con la PDE original. Las siguientes tres secciones presentan procedimientos de análisis que se pueden utilizar para hacer frente a estas cuestiones.
3.7.6.1 Error de Truncamiento y Análisis del Error de Truncamiento Presente 66
Como se comentó en las secciones 3.7.2 y 3.7.3, la sustitución de la derivada espacial y de la derivada en tiempo se logra mediante el uso de una expansión en serie de Taylor truncada. Por lo tanto un error de truncamiento es un resultado directo de esta aproximación. El resultado neto de este error de truncamiento es de naturaleza aproximada a la solución. En otras palabras, si se utilizara un equipo con la capacidad para manejar un número infinito de dígitos para obtener la solución a la ecuaciones en diferencias finitas (es decir, una solución sin error de redondeo), la solución sería diferente de la solución exacta de la PDE original debido a este error de truncamiento. Los problemas que se tienen que abordar son la magnitud del error de truncamiento y cómo podemos aumentar la precisión de una aproximación por la disminución de la magnitud de este error. Como se mencionó anteriormente, la desviación de la PDE a partir de su correspondiente aproximación de diferencias finitas en un punto dado en el espacio y en un instante en el dominio del tiempo se llama error local de truncamiento error o error local de discretización.
3.7.6.2 Estabilidad y Análisis de la Estabilidad del Sistema Como se comentó en la sección anterior, la solución del problema de diferencias finitas (discreto) podría no converger a la solución exacta del problema diferencial incluso si las dimensiones de la malla se hacen pequeñas. La disparidad de las dos soluciones debido principalmente al efecto del error de redondeo, que pueden diferir de un computador a otro dependiendo del número de dígitos que maneje durante los cálculos y en el orden interno de los mismos. El error de redondeo resultante pronto podría sobresalir sobre la solución deseada y conducir a resultados incorrectos. Un esquema numérico que no puede controlar el crecimiento de este error genera una solución inestable. Hay varios procedimientos para el análisis de la estabilidad de una aproximación en diferencias finitas dada. Después de realizar un análisis de estabilidad en una aproximación de diferencias finitas dada, uno puede determinar los criterios estabilidad del esquema propuesto (es decir, si el esquema propuesto es incondicionalmente estable, con condiciones estables, o incondicionalmente inestable). A continuación se mencionan algunos de los más conocidos únicamente como referencia de los mismos: •
Análisis de estabilidad por el método de las Series de Fourier.
•
Análisis de estabilidad por el Método Matrix.
67
Dichos métodos pueden ser consultados en (Turgay Ertekin, 2001), páginas 98 y 100 respectivamente.
3.7.6.3 Consistencia y Análisis de la Consistencia La consistencia (o compatibilidad) de una aproximación en diferencias finitas con la ecuación diferencial es otra propiedad importante que debe examinarse cuidadosamente. A veces es posible aproximar una PDE con una ecuación en diferencias finitas que pasa la prueba de estabilidad mientras que la solución ofrecida por la ecuación en diferencias finitas puede converger a la solución de otra ecuación diferencial conforme el tamaño de tamaños de la malla tiende a cero. Para un esquema consistente, se espera que la aproximación en diferencias finitas sea idéntica a la PDE original conforme los tamaños de la malla tienden a cero.
3.8 Representación de Pozos El objetivo final del estudio de simulación de yacimientos es pronosticar ya sea gastos y/o presiones de fondo fluyendo con precisión, y estimar distribuciones de presión y saturación. El tratamiento de pozos en la simulación de yacimientos presenta dificultades que requieren una consideración especial. En general estas dificultades pueden ser divididas en tres categorías: 1. El bloque que acoge la terminación del pozo suele ser grande en comparación con el tamaño del pozo, de modo que la presión del bloque calculada por el simulador de yacimientos es una mala estimación de la presión del pozo que fluye. 2. El acoplamiento de la compleja interacción entre el yacimiento y el pozo es a menudo problemática, particularmente en el caso de pozos atravesando capas múltiples. 3. La asignación de las tasas de producción de fase en el flujo multifásico cuando se especifica una sola fase o la tasa de producción total del pozo. Otros problemas surgen cuando varios pozos están en un solo bloque del reticulado y pozo no se encuentra en el centro del bloque. El tratamiento de un pozo individual hace aún más complicado cuando se considera flujo instantáneo de entrada, detalles la terminación del pozo, la hidráulica del sistema de superficie, y procesos estimulación.
un se de de
La figura siguiente muestra el paso de la representación de pozos en el desarrollo de un simulador de yacimientos.
68
Figura 3.40 La representación de pozos en el desarrollo de un simulador de yacimientos.
3.9 Solución de las Ecuaciones en Diferencias Lineales La solución de sistemas lineales es uno de los pasos de cálculo más intensos que se realizan a través de una unidad central de procesamiento en una simulación de yacimientos. Todas las técnicas matemáticas mencionadas hasta ahora dan como resultado un conjunto de ecuaciones algebraicas que pueden ser lineales o no lineales. El carácter lineal o no lineal del sistema de ecuaciones es determinado por la naturaleza del problema [ecuaciones diferenciales parciales (PDE´s)] lineales o no lineales y la naturaleza de la aproximación en diferencias finitas (tratamiento explícito o implícito de los coeficientes). Incluso cuando un sistema de ecuaciones no lineal es obtenido a partir de aproximaciones en diferencias finitas, estas ecuaciones pueden convertirse en lineales usando técnicas de linealización que se comentan en la sección siguiente. La figura 3.10 muestra el paso de la solución algebraica en el proceso de simulación de yacimientos.
Figura 3.41 La solución del sistema de ecuaciones algebraicas en el proceso de simulación de yacimientos.
En esta sección se comentan las soluciones de sistemas de ecuaciones de la forma:
Donde [A] = matriz cuadrada de coeficientes, conocidos, y es el vector de incógnitas.
d= vector de valores
Hay muchos algoritmos de solución para estos sistemas de ecuaciones, cada uno con sus ventajas y desventajas. Se mencionarán algunos de los más conocidos y con tratamiento 69
en los cursos de álgebra lineal y métodos numéricos dejando los más avanzados solo como referencia.
3.9.1 Ecuaciones en Diferencias en Forma Matricial La aproximación en diferencias finitas de las ecuaciones diferenciales continuas que describen el flujo de fluidos en medios porosos entrega un sistema de ecuaciones de la forma:
Hasta
Por lo tanto, estamos interesados en un sistema de n ecuaciones que relacionan n incógnitas (x1, x2, x3,….,xn); n x n coeficientes aij; y n términos en el lado derecho di. Anteriormente se describió la aplicación de diversos algoritmos para resolver sistemas de ecuaciones, vamos a mostrar paso a paso como las aproximaciones en diferencias finitas de una PDE pueden ser escritas en forma matricial. Primero se discutirá en caso de yacimientos unidimensionales (1D) y posteriormente el caso en 2 y tres dimensiones (2D y 3D).
•
3.9.1.1 Ecuaciones en diferencias para problemas de Flujo en 1D Ecuación para flujo incompresible.
•
Ecuación para flujo ligeramente incompresible.
•
Ecuación para flujo compresible.
•
3.9.1.2 Ecuaciones en diferencias para problemas de Flujo en 2D Ecuación para flujo incompresible.
•
Ecuación para flujo ligeramente incompresible. 70
•
Ecuación para flujo compresible.
•
3.9.1.3 Ecuaciones en diferencias para problemas de Flujo en 3D Ecuación para flujo incompresible.
•
Ecuación para flujo ligeramente incompresible.
•
Ecuación para flujo compresible.
3.9.2 Métodos de Solución
•
3.9.2.1 Métodos Directos Eliminación gaussiana.
•
Reducción de Gauss Jordan.
•
Reducción de Crout.
•
Algoritmo de Thomas.
•
Métodos mejorados de los algoritmos de solución directa.
•
3.9.2.2 Métodos Interativos Método de Jacobi.
•
Método de Gauss Seidel.
•
Métodos de sobre relajación sucesiva (SOR)
•
Método Point SOR (PSOR)
•
Método Line SOR (LSOR)
•
Método Block SOR (BSOR)
•
Procedimiento iterativo implícito de direcciones alternantes (ADIP)
•
Técnicas de factorización aproximada.
71
3.10 Solución Numérica de las Ecuaciones de Flujo en una fase En la sección 3.4 se mostró el desarrollo de la ecuación diferencial parcial (PDE) que regula el flujo de una sola fase en un medio porosos anisotrópico. En la sección 3.7 se comentó como la PDE se aproxima por diferencias finitas. La presente sección comenta las solución numérica de las ecuación de flujo en una sola fase para fluido incompresible, fluido ligeramente compresible, y compresible. Aunque las formas algebraicas de la aproximación de diferencias finitas a las ecuaciones de flujo para incompresible, ligeramente compresible, y fluidos compresibles son similares, los métodos de solución requeridos para lograr una solución numérica difieren. Esto es debido a que el término de acumulación y los términos de transmisibilidad difieren en la magnitud de la respuesta causada por cambios en la presión. Para los problemas de flujo incompresible, el término de acumulación se elimina de las ecuaciones de flujo y condiciones de estado estable prevalecen. En contraste, para ligeramente compresible y problemas de flujo compresible, la acumulación de cambios de fluidos con condiciones de presión y de estado inestable prevalecen. Los términos de transmisibilidad, en la ecuación de diferencias finitas son definidas en la sección 5.3 (Ec. 5.48 y 5.49). Dos dificultades surgen en el cálculo de los términos de transmisibilidad en las ecuaciones de flujo. La primera dificultad es que las transmisibilidades se evalúan en los límites de las celdas de la rejilla, mientras que las propiedades de las rocas, KH y h, y las propiedades de los fluidos dependientes de la presión, ml y BI, son conocidas sólo en los centros de las celdas. Esto también es cierto para los problemas de flujo multifásico donde se requieren las permeabilidades relativas en los límites del bloque del reticulado pero las saturaciones y, en consecuencia, las permeabilidades relativas se conocen sólo en el interior de la celda. La segunda dificultad con la evaluación de la transmisibilidad en términos de las ecuaciones en diferencias finitas es la dependencia de las transmisibilidades sobre la presión en los problemas de flujo en una sola fase (y sobre la presión y la saturación para los problemas de flujo multifásico). La dependencia de las transmisibilidades sobre las incógnitas se traduce en un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales. Los solucionadores de ecuaciones discutidos en la sección 3.9 son válidos solo para ecuaciones lineales; Por lo tanto, las ecuaciones no lineales deben ser linealizadas antes de que se puedan ser resueltas. La figura 3.11 muestra el paso de la linealización de las ecuaciones lineales en el proceso de simulación de yacimientos.
algebraica no
72
Figura 3.17 Paso de linealización en el proceso de simulación de yacimientos.
3.11 Simulación de Flujo Multifásico en Yacimientos Petroleros En los apartados vistos hasta ahora, se han comentado los procedimientos utilizados en el desarrollo de simuladores de diferencias finitas, La figura 3.12 muestra estos procedimientos para el caso de flujo multifásico.
Figura 3.18 Pasos mayores en el desarrollo de simuladores de flujo multifásico.
En el procedimiento de formulación discutido en la sección 3.4, la ecuación de continuidad (balance de masa diferencial), una ecuación de estado [Descripción matemática del comportamiento de la presión, el volumen y la temperatura (PVT) del fluido que fluye], y una ecuación de transporte (Ley de Darcy) fueron combinados para desarrollar una ecuación diferencial parcial (PDE) que describe el flujo en una sola fase a través de medios porosos. Cuando estas ecuaciones se aplican a problemas de flujo de múltiples fases, un sistema de PDE de se genera con una ecuación para cada componente de hidrocarburo y una ecuación para la fase de agua. Estas PDE´s se acoplan entre sí mediante ecuaciones de restricción adicionales y relaciones de presión capilar. En la sección 3.5, discutimos la aplicación del procedimiento de discretización a la ecuación de flujo en una sola fase. Para los sistemas de flujo multifásico, el procedimiento de discretización espacial se utiliza para convertir operadores diferenciales continuos de la forma , a una forma algebraica. Para el flujo de una sola fase, la variable en el operador diferencial es definida como y
73
la variable es la presión p. Para el caso del flujo multifásico las variables y pueden tener varias definiciones. El tratamiento es muy similar al mostrado para el caso de flujo monofásico y su desarrollo puede ser consultado en (Turgay Ertekin, 2001) capítulo 9, página 218.
74
Capítulo 4.
LIBRERIA DE FUNCIONES DE SIMULACIÓN DE YACIMIENTOS DE MATLAB (MRST)
75
Originalmente MRST fue desarrollada para apoyar la investigación sobre discretización y solucionadores multiescala consistentes en mallas poliédricas no estructuradas, pero en los últimos años se fue desarrollando como una plataforma eficiente para la creación rápida de prototipos y pruebas de eficacia de nuevos modelos matemáticos y métodos de simulación.
4.1 Generalidades La caja de herramientas MRST (por sus siglas en inglés, Caja de Herramientas de Simulación de Yacimientos) esta desarrollada por el grupo SINTEF de Matemáticas Aplicadas, como resultado de trabajos de investigación en el desarrollo de nuevas (multiescala) metodologías computación reales. MRST es básicamente un conjunto de herramientas de programación que permite hacer prototipos rápidos y demostraciones que permitan entender claramente conceptos de modelado y generación de mallas en simulación. Adicionalmente la mayoría de sus herramientas son eficientes y aplicables a modelos complejos de gran tamaño.
Uno de los objetivos principales de la caja de herramientas MRST es proporcionar un marco general de flujo y transporte de fluidos en medios porosos con un enfoque especial en mallas no estructuradas y métodos multiescala, así como la demostración de nuevos métodos de simulación.
Las funciones para la rápida elaboración de prototipos de solucionadores de flujo y transporte: •
Estructura de las mallas, rutinas de fabricación de mallas, entrada / procesamiento de los formatos estándar de la industria, tales como mallas para manejar ejemplos con datos reales y datos sintéticos.Parámetros petrofísicos y modelos de fluidos incompresibles, rutinas de conversión a / desde las unidades de campo comunes SI y, rutinas geoestadísticas muy simplificados 76
•
Rutinas para la creación y manipulación de las condiciones de frontera, las fuentes / sumideros y modelos de pozo.
•
Estado del Yacimiento (presión, flujos, saturaciones, composiciones, …)
•
Rutinas de visualización de datos de la celda y la cara (escalares)
4.2 Objetivos de MRST De manera general, MRST desea: - Proporcionar una estructura general para flujo de fluidos y transporte en medios
porosos - Enfoque especial en mallas no estructuradas y métodos multiescala.
En el área de investigación MRST espera: - Desarrollar nuevos esquemas de solucionadores y discretización - Aplicaciones para nuevos problemas científicos y de Ingeniería. - Preservar el saber cómo y promover la re-utilización de resultados obtenidos en
investigaciones anteriores. - Contribuir a la producción de nuevas investigaciones (de compañeros) para su
aceleración. - Evaluación Comparativa - comparar diferentes métodos en problemas estándar
de prueba.
En el área estudiantil MRST quiere: - Desarrollar la intuición de los estudiantes por el flujo de fluidos en medios
porosos. - Facilitar el probar, comparar y la extensión de métodos existentes.
77
- Actualmente se esta preparando un libro de texto (con ejemplos trabajados).
4.3 Código Abierto El término “OpenSource” o “Código abierto” hace referencia a algo que puede ser modificado puesto que su diseño es de acceso público. El software de código abierto es aquel distribuido bajo una licencia que permite su uso, modificación y redistribución. Como su nombre lo indica, el requisito principal para que una aplicación sea considerada bajo esta categoría es que el código fuente se encuentre disponible. Esto permite estudiar el funcionamiento del programa y efectuar modificaciones con el fin de mejorarlo y/o adaptarlo a algún propósito específico.
4.3.1 Porqué Código Abierto y Porqué MATLAB? Primero que nada, porque elaborar prototipos en lenguaje de Script es mucho más efectivo que hacerlo en alguno de los lenguajes tradicionales compilados (C/ C++/ FORTRAN), lo que nos lleva a elegir MATLAB, que gracias a su funcionalidad nos proporciona ciertas libertades al permitirnos explorar algoritmos e implementaciones alternas a las matemáticas, remplazar gradualmente operaciones individuales con ediciones de manera acelerada redimibles desde MATLAB, además nos brinda acceso directo al entorno de MATLAB y al prototipo mientras se desarrollan los componentes de repuesto, sin mencionar que hay más experiencia en MATLAB y Octave que en, por ejemplo, Python.
4.4 Diseño de MRST CÓMO ESTA DISEÑADO MRST?
El objeto fundamental es el Mallado, por eso se destacan 3 aspectos importantes: - Estructura de datos para geometría y topología. - Varias rutinas para la construcción Mallas.
78
- Entrada de formatos estándar de la industria (propietarios, es decir permite el
acceso de datos externos, ej, datos reales)
Otro aspecto que destaca de MRST es que las propiedades físicas están definidas como objetos dinámicos en MATLAB. Propiedades del medio (φ,K,…), Fluidos del Yacimiento (ρ, μ, kr, PVT, …), fuerzas motoras (pozos, condiciones de frontera, fuentes), estado del Yacimiento (presión, gasto, saturaciones, ect…). Todas las operaciones de MRST aceptan, manipulan y producen objetos de este tipo. *Todas las propiedades físicas están en unidades del SIU.
MRST está constituida por dos partes principales, la primera es un núcleo que ofrece funcionalidades básicas y solucionadores para una y dos fases; estos se pueden utilizar para simular flujos incompresibles de una y dos fases en mallas generales no estructuradas; y la segunda parte consiste en un set de módulos add-on (adicionales) que ofrecen una variedad más amplia y avanzada de modelos, visualizadores y solucionadores.
4.4.1 Funcionalidades Dentro de las funcionalidades básicas encontramos: - Solucionadores de presión y transporte para flujo de una y dos fases. - Rutinas para construcción y visualización de mallas estructuradas y no
estructuradas completamente. - Lectura y procesamiento de mallas esquina de punto - Unidades físicas y propiedades - Estructura de Datos (mallas, pozos, fluidos, objetos) - Conjunto de Características estables
Módulos Adicionales: - Extensiones o modificaciones de las funcionalidades básicas de MRST
79
- Solucionadores más avanzados (IMPES y Solucionadores totalmente implícitos
de Petróleo negro, polímeros, modelos de equilibrio vertical) - Solucionadores Multiescala (MsMFE, MsFV) y Modelo de Reducción (POD) - Laboratorio Numérico de CO2 - Upscaling, coarsening (engrosamiento), diagnósticos de flujo, visualización
avanzada… - Los módulos pueden contener un código en desarrollo activo
La versión 2014a fue liberada el 14 de Mayo del 2014 y puede descargarse bajo los términos de GNU General Public License (GPL).
http://www.sintef.no/Projectweb/MRST/Downloadable-Resources/Download/
Instalación: MRST se proporciona como un archivo de almacenamiento autónomo (un archivo TAR-estilo Unix comprimido con gzip). El archivo se puede extraer de dentro de MATLAB mediante la función de descomprimir. Los desarrolladores MRST recomiendan extraer los archivos a un subdirectorio del directorio principal del usuario
4.4.2 Modulos A partir de la versión liberada 2011a, como ya se mencionó antes, MRST se divide en funcionalidades básicas y módulos adicionales, en este último encontramos un conjunto de funciones y scripts que amplían o modifican las capacidades existentes de MRST. Un módulo puede usar todas las funcionalidades de la caja de herramientas principal y, opcionalmente, puede depender de otros módulos.
4.4.2.1 Solucionadores Avanzados •
Solucionadores totalmente Empíricos
80
Este módulo contiene un set de solucionadores completamente empíricos para una amplia variedad de problemas de flujo. Utiliza diferenciación automática para calcular Jacobianos* lo que facilita la creación de nuevos modelos prototipos.
•
Diagnóstico de Flujo
Este módulo contiene utilidades y ejemplos que muestran el comportamiento/particionamiento del marcador y las pruebas de calidad de escalamiento (Upscaling).
•
Elementos Multiescala Finitos Mixto
Este módulo implementa los elementos multiescala finitos mixtos con el método de elemento (MsMFE) aplicado a mallas no estructuradas en 3D.
•
Volúmenes Finitos Multiescala
Este módulo implementa los volúmenes finitos multiescala con el Método MsFV aplicado a mallas no estructuradas en 3D.
•
Solucionador IMPES
Este módulo contiene una implementación de un solucionador de presión/transporte usando una presión implícita, una saturación explícita y una estrategia IMPES para comprimir el flujo de aceite negro.
•
MPFA
Este módulos implemente el esquema MPFA-O, que es un ejemplo de una aproximación de flujo multipunto que emplea un grado de libertad mayor para asegurar una discretización consistente con los efectos de una orientación de malla reducida.
•
Laboratorio Numérico de CO2.
Este modulo ofrece herramientas y scripts para informatizar trampas estructurales, regiones de acumulación, trayectorias de derrame, así como una Simulación rápida y correcta de la migración de CO2 utilizando modelos verticalmente integrados. También provee de acceso simplificado a juegos de datos públicos que se encuentren disponibles.
•
Formulaciones Adjuntas.
81
Este módulo implementa estrategias de producción-optimización basadas en formulaciones adjuntas. Esto permite por ejemplo, la optimización del valor actual neto limitado por la presión de fondo de pozo (BWP) en pozos.
4.4.2.2 Coarsening (Engrosamiento) / Upscaling (Escalamiento)
• Coarsening (Engrosamiento) por amalgamación
Este módulo contiene un set de herramientas y tutoriales para la construcción de mallas gruesas basadas en la amalgamación de celdas a partir de un modelo de escala fina.
• Upscaling (Escalamiento)
Este módulo incluye escalamientos basados en el flujo para ambas permeabilidad y transmisibles para mallas cartesianas, así como un ejemplo de escalamiento armónico para mallas de punto de esquina.
4.4.2.3 Utilidades de Entrada y Salida
• SPE 10, Modelo 2.
Este módulo contiene herramientas para descargar y convertir la información del Modelo 2 del Proyecto 10ma Solución Comparativa. También cuenta con un script para simular el model completo (utilizando el Solucionador Multimalla AGMG).
• Lector de Superficie.
Este módulo contiene soporte para la entrada de lectores de simulación completos en formato ECLIPSE, incluyendo lectura de entrada, conversión a unidades SI, y construcción de objetos MRST para mallas, fluidos, propiedades de las rocas y pozos.
• Módulo MEX.
Este módulo contiene extensiones de MRST escritas en lenguajes compilados, tales como cálculos geométricos más eficientes computacionalmente, así como una API para MRST. 82
4.4.2.4 Mallas
• Módulo de Mallas gruesas.
Este módulo contiene extensas funcionalidades para mallas gruesas, mismas que son útiles para solucionadores multiescala, métodos de engrosamiento y escalamiento.
•
Herramientas de Mallado.
El módulo de herramientas de mallado contiene funciones útiles para operar en mallas, por ejemplo, encontrar mallas que se cierren en un punto, comparar dos mallas, etc…
4.4.2.5 Visualización • Visualización Interactiva.
Este módulo cuenta con características que ayudan al usuario a inspeccionar y manipular diversos sets de datos de manera interactiva e incluye, de manera particular, un espectador* simple para los datos de salida en Eclipse.
‣ Módulo de Líneas de Corriente.
Permite rastrear lineas de corriente basadas en flujos.
4.4.3 Modulos Terceros
• Módulo de Filtro de Ensemble Kalman.
Este módulo esta desarrollado por Olwijn Leeuwenburgh (TNO) e incluye ambos esquemas EnKF y EnRML, localización, inflación, datos asíncronos y permite tanto datos producción como datos sísmicos (saturación). Ambos parámetros, convencionales y estructurales pueden ser actualizados.
83
• Módulo de Matriz de Fractura Discreta (DFM por sus siglas en inglés).
Este módulo, desarrollado por Eirik Keilegavlen y Tor Harald Sandve (Universidad de Bergen, Noruega), permite a los usuarios resolver y visualizar problemas de flujo con rocas fracturadas involucradas.
De esta manera, los módulos de terceros brindan una buena oportunidad de publicación para quienes desarrollen alguna funcionalidad sobre MRST que pueda ser de beneficio o ayuda para alguien más.
4.5 Tutoriales MRST también cuenta con algunas extracciones tutoriales que incluye cada módulo y que brindan una visión general de las funciones básicas de la caja de herramientas, entre las que destacan: • Columna de Gravedad • Tutorial de Visualización • Solucionador de flujo con presión capilar • Tutorial del Solucionador básico de Flujo • Tutorial de la Fábrica de Mallas • Visualización de la formación Johansen • Modelado de Yacimiento Real p1 • Modelado de Yacimiento Real p2
http://www.sintef.no/Projectweb/MRST/Tutorials/
En la Galería se muestran las características más destacadas de MRST mediante ejemplos de Simulaciones y visualizaciones realizadas por el kit de la caja de Herramientas. Los ejemplos disponibles en la galería se enlistan a continuación.
1. Solucionador de Aceite Negro 2. Diagnóstico de Flujo 84
3. Método de Volúmenes Finitos Multiescala 4. Optimización de Producción 5. Validación del Modelo Delfg EGG 6. Trampa Estructural de CO2 ** 7. Mallado Flexible 8. Visualización 9. Fallas y Multiplicadores 10.
Optimización de Velocidad
Algunos de los ejemplos tienen la opción de paper en vez de mostrar la tabla de características, este es un archivo escrito del trabajo en tema.
MRST cuenta con un amplio numero de usuarios a nivel mundial y es utilizado en gran número de artículos en revistas, congresos y conferencias, y tesis de maestría y doctorado.
4.6 Equipo MRST El equipo de MRST esta compuesto por diversos investigadores de SINTEF, que es ela mayor organización independiente de Investigación de Escandinavia.
SINTEF se basa en la investigación disciplinar de amplia base que posee experiencia internacional de primer nivel en las áreas de tecnología, medicina y ciencias sociales. Es una organización independiente no comercial dedicada a la investigación. El grupo SINFEF esta estructurado en varios institutos de investigación definidos en términos de cadenas de valor y clusters industriales del mercado. Así pues encontramos:
• SINTEF INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGY • SINTEF BUILDING AND INFRASTRUCTURE
85
• MARINTEK • SINTEF FISHERIES AND AQUACULTURE • SINTEF ENERGY RESEARCH • SINTEF PETROLEUM RESEARCH • SINTEF TECHNOLOGY AND SOCIETY
MRST cuenta con artículos de SINTEF publicados conocidos sobre el tema y proporciona a su vez enlaces donde se hace notar su uso.
http://www.sintef.no/Projectweb/MRST/Publications/
El equipo de desarrolladores esta conformado de la siguiente manera:
- Dr. Bárd Skaflestad, Científico de Investigación - Dr. Knut-Andreas Lie, Jefe Científico, profesor - Dr. Halvor Møll Nilsen, Científico Senior - Dr. Stein Krogstad, Científico Senior - Olav Møyner, Maestría en Ciencia, desarrollador de Software - Dr. Xavier Raynaud, Científico de investigación - Dr. Atgeirr F. Rasmussen, Científico de Investigación.
4.7 Ejemplos
4.7.1 Solucionador de Flujo Básico El propósito de este ejemplo es mostrar los pasos básicos para configurar, solucionar y visualizar un problema de flujo sencillo. Con este fin, vamos a calcular una solución analítica conocida: la solución de la presión lineal que describe equilibrio hidrostático para un fluido incompresible en una sola fase. 86
El modelo básico de flujo en superficie consiste en una ecuación de conservación de materia y la ley de Darcy (que relaciona el caudal volumétrico al gradiente de potencia del flujo).
Donde se Eliminando
desconocen la presión
y la velocidad del flujo
podemos reducir la ecuación (1.1) a una ecuación elíptica de Poisson.
En la ecuación (1.1) la roca esta caracterizada por la permeabilidad K que da a la roca la habilidad de transmitir el fluido.
Para resolver este ejemplo, se utilizará el solucionador resSol. Este solucionador esta compuesto de la siguiente manera: De acuerdo a los parámetros que se tengan, tenemos las dos funciones principales del solucionador: state = initResSol(G, p0) state = initResSol(G, p0, s0) Donde los Parámetros son G - Estructura de Datos de la Malla p0 - Presión Inicial de Yacimiento. Escalar o Vectorial ( G.cells.num-by-1) s0 - Saturación Inicial del Yacimiento. Un vector 1-by-(numero de fases) o un arreglo de celdas (G.cells.num)-by-(numero de fases). El valor por defecto: s0=0 (para una sola fase) Retornos: state - Estructura de la Solución del Yacimiento iniciada con campos. - Presión — Un valor de presión escalar para cada celda en ‘G’ - Flujo — Un valor de flujo de Darcy para cada cara en ‘G’ -s — Saturaciones de fase para todas las fases en cada celda. 87
Observaciones: En caso de que una arreglo (G.cells.num)-by-3 de saturación de fluidos, state.s, las columnas generalmente son interpretadas de la siguiente manera: 1 <-> Agua, 2 <-> Liquido, 3 <-> Vapor Las presiones individuales (p0) y las saturaciones iniciales de fase (s0) se repiten de manera uniforme para todas las cuadrículas. El flujo inicial Darcy es cero en todo el Yacimiento.
Código: if nargin <= 2, s0 = 0; end [nc, nf] = deal(G.cells.num, G.faces.num); if isfield(G, 'nnc') && isfield(G.nnc, 'cells') % Expand the number of interfaces with the number of non-neighboring % interfaces nf = nf + size(G.nnc.cells, 1); end if size(s0, 1) == 1, s0 = repmat(s0(1,:), [nc, 1]); elseif size(s0, 1) ~= nc, error(msgid('InitSat:Inconsistent'), ... ['Initial saturation must either be 1-by-np ', ... 'or (G.clls.num (=%d))-by-np.'], nc); end if numel(p0) == 1, p0 = repmat(p0, [nc, 1]); end resSol = struct('pressure', p0, 'flux', zeros([nf, 1]), ... 's', s0);
...
if nargin == 4, if isa(varargin{1}, 'double') && ... size(varargin{1}, 2) == size(resSol.s, 2), z = varargin{1}; if size(z, 1) == 1, 88
z = repmat(z, [nc, 1]); elseif size(z, 1) ~= nc, error(msgid('Mass:WrongSize'), ... ['Surface volume: Expected G.cells.num (=%d) ', ... 'rows. Got %d.'], nc, size(z, 1)); end resSol.z = z; else warning(msgid('Mass:Inconsistent'), ... ['Initial mass (surface volume) must be ', ... '(SIZE(s,2) (=%d))-column DOUBLE array (ignored).'], ... size(resSol.s, 2)); end end end
A continuación se muestra el desglose de la solución del problema paso por paso:
1. Definir Geometría Se construye una malla cartesiana de tamaño 10-por-10-por-4 celdas, donde cada celda tendrá una dimensión de 1-por-1-por-1. Debido a que los solucionadores de flujo de MRST son aplicables para mallas generales no estructuradas, la malla cartesiana se representa usando un formato no estructurado, donde las celdas, caras, nodos, etc, están dados de manera explícita. nx = 10; ny = 10; nz = 4; G = cartGrid([nx, ny, nz]); display(G); G = cells: faces: nodes: cartDims: type:
[1x1 struct] [1x1 struct] [1x1 struct] [10 10 4] {'tensorGrid'
‘cartGrid'}
Una vez que la estructura de la malla se ha generado, se grafica la geometría plotGrid(G); view(3), camproj orthographic, axis tight, camlight headlight
89
2. Procesamiento de la Geometría
Una vez configurada la estructura base, se procede a calcular los centroides y volúmenes de las celdas y centroides, normales y áreas de las caras. Para una malla cartesiana, esta información se puede calcular trivialmente, pero se da explícitamente para que el solucionador de flujo sea compatible con mallas completamente no estructuradas. G = computeGeometry(G);
3. Ingresar datos de Roca y Fluidos
Los únicos parámetros en la ecuación de presión en una fase son la permeabilidad K y la viscosidad del fluido anisotrópica.
. Se fija la permeabilidad como homogénea y
La viscosidad se especifica al decir que el Yacimiento esta lleno de un solo fluido, para el cual, el valor de la viscosidad, por defecto, es igual a la viscosidad de la unidad. El solucionador de flujo esta escrito para un flujo incompresible general y requiere la evaluación de una movilidad total, que se proporciona por el objeto del fluido. rock.perm = repmat([1000, 100, 10].* milli*darcy(), [G.cells.num, 1]); fluid
= initSingleFluid('mu' , 1*centi*poise , ... 'rho', 1014*kilogram/meter^3);
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4. Iniciar el Simulador de Yacimientos
Para simplificar la comunicación entre los diversos solucionadores de flujo y de transporte, todas las incógnitas se concentran en una estructura. Aquí, esta estructura se inicia con la presión uniforme inicial de Yacimiento igual a cero y la saturación (una fase) igual a 0.0 (utilizando el comportamiento predeterminado en initResSol) resSol = initResSol(G, 0.0); display(resSol); resSol = pressure: [400x1 double] flux: [1380x1 double] s: [400x1 double]
5. Condiciones de Frontera de Dirichlet
Los solucionadores de flujo de MRST asumen automáticamente condiciones sin caudal en todas las fronteras exteriores (e interiores); para otro tipo de condiciones de frontera, se deben indicar explícitamente. Aquí se imponen condiciones de Neumann ( flujo de 1m3/día) en lado de la izquierda mundial. Los flujos se deben dar en unidades de m3/s y por lo tanto, se debe dividir por el número de segundos en un día. Del mismo modo, se han creado condiciones de frontera de Dirichlet p=0 en el lado derecho de la malla respectivamente. Para un fluido de una sola fase, no se necesita especificar la saturación de entrada en la frontera. De manera similar, la composición del fluido sobre las caras de salida (aquí a la derecha) se ignoran por pside. bc = fluxside([], G, 'LEFT', 1*meter^3/day()); bc = pside (bc, G, 'RIGHT', 0); display(bc); bc = face: type: value: sat:
[80x1 int32] {1x80 cell} [80x1 double] []
6. Construcción del Sistema Lineal
Se construyen los componentes del sistema lineal de presión mimética para el sistema Ax=b 91
basado en una malla de entrada y propiedades de roca para el caso se ausencia de gravedad. gravity off; S = computeMimeticIP(G, rock); % Plot the structure of the matrix (here we use BI, the inverse of B, % rather than B because the two have exactly the same structure) clf, subplot(1,2,1) cellNo = rldecode(1:G.cells.num, diff(G.cells.facePos), 2) .'; C = sparse(1:numel(cellNo), cellNo, 1); D = sparse(1:numel(cellNo), double(G.cells.faces(:,1)), 1, ... numel(cellNo), G.faces.num); spy([S.BI , C , D ; ... C', zeros(size(C,2), size(C,2) + size(D,2)); ... D', zeros(size(D,2), size(C,2) + size(D,2))]);
title('Hybrid pressure system matrix')
La estructura de bloque se puede ver claramente en la matriz dispersa A, que nunca se forma en su totalidad, De hecho, en lugar de almacenar B, almacenamos su inversa B^-1. Del mismo modo, los bloques Cy D no están representados en la estructura S; mismos que pueden ser fácilmente formados explícitamente cuando sea necesario, o su acción puede ser fácilmente calculada. display(S); S = BI: [2400x2400 double] ip: 'ip_simple' type: ‘hybrid'
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7. Solución del Sistema Linear
Resolver el sistema linear construido de S y bc para obtener una solución para el flujo y la presión del Yacimiento. La función solveIncompFlow requiere que pasemos una solución de estructura de pozos, incluso si el Yacimiento no tiene ninguno; así que, se inicia con una estructura wellSol vacía. La opción ‘MatrixOutput=true’ agrega la matriz del sistema A a resSol para permitir la inspección de la matriz. resSol = solveIncompFlow(resSol, G, S, fluid, ... 'bc', bc, 'MatrixOutput', true); display(resSol); resSol = pressure: flux: s: facePressure: A:
[400x1 double] [1380x1 double] [400x1 double] [1380x1 double] [1340x1340 double]
8. Examinar Resultados
El objeto ResSol contiene la matriz de complemento de Schur utilizado para resolver el sistema híbrido. subplot(1,2,2), spy(resSol.A); title('Schur complement system matrix');
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Finalmente, graficamos convertir la presión calculada para la unidad ‘bar’ antes de trazar un resultado. clf plotCellData(G, convertTo(resSol.pressure(1:G.cells.num), barsa()), ... 'EdgeColor', 'k'); title('Cell Pressure [bar]') xlabel('x'), ylabel('y'), zlabel('Depth'); view(3); shading faceted; camproj perspective; axis tight; colorbar
Corriendo Rutina en MATLAB Para correr la Rutina en Matlab, buscamos en Current Folder la carpeta de 1ph el ejemplo de nombre simpleBC.m y le damos doble click de manera que nos aparezca en el editor
Al darle correr, nos aparecerán en el Comand Window (es el lugar donde se ingresan las variables, se ejecutan funciones y se corren los archivos M.) los parámetros dados y los resultados obtenidos con resSol, junto con una figura. La gráfica final que muestra la presión en unidades ‘bar’.
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Aunado a eso, en el Workspace se mostraran una serie de variables (arrays) generadas en la ventana de comandos (mediante el uso de comandos)
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CONCLUSIONES
Como resultado de la investigación sobre la disponibilidad de Ingeniería Petrolera para fines académicos se encontró lo siguiente:
1. El software desarrollado por el grupo SINTEF cumple con las expectativas para su uso académico y de investigación en temas relacionados a la Simulación de Yacimientos. 2. Se comprobó la disponibilidad de acceso a información adicional del software desarrollado en MATLAB bajo un esquema de uso libre. 3. Los datos se encuentran bien documentados y en constante actualización (2 veces al año). 4. Se probó la funcionalidad de los ejemplos, además que permiten ser replicados con datos de yacimientos reales mismos que cuentan con permiso de uso. 5. El software permite hacer desde prototipos básicos hasta simuladores completos. 6. Para comprender lo anterior se requiere tener un conocimiento sólido de las bases matemáticas de la Simulación de Yacimientos.
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BIBLIOGRAFÍA
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ANEXOS
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Tabla de Contenido
Tabla 3.1 Anexo 1. Conservación de la Masa para un fluido en una sola fase, en una dimensión. Anexo 2. Conservación de la Masa para un fluido en una sola fase, multidimensional. Anexo 3. Ecuación de flujo en coordenadas Rectangulares. Anexo 4. Ecuación de Flujo en Coordenadas Cilíndricas Anexo 5. Ecuación para Flujos Incompresibles Anexo 6. Ecuación para Flujos Ligeramente Compresibles Anexo 7. Ecuación para Flujos Compresibles Anexo 8. Mallas de Bloques Centrados Anexo 9. Mallas de Punto Distribuido Anexo 10. Mallas Geométricas Anexo 11. Aproximación en Diferencias Finitas de la Derivada Espacial. Anexo 12. Aproximación en Diferencias Finitas de la Derivada en Tiempo Anexo 13. Implementación de Condiciones de Frontera; Condiciones Externas Anexo 14. Condiciones Internas Anexo 15. Formulación Explícita Anexo 16. Ecuaciones en Diferencias en Problemas de Flujo en 1D. Anexo 17. Ecuaciones en Diferencias en Problemas de Flujo en 2D. Anexo 18. Ecuaciones en Diferencias en Problemas de Flujo en 3D. Anexo 19. Problema de Flujo Incompresible en una sola Fase
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Tabla 3.1
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Anexo 1.
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Anexo 2.
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Anexo 3.
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Anexo 4.
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Anexo 5.
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Anexo 6.
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Anexo 7.
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Anexo 8.
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Anexo 9.
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Anexo 10.
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Anexo 11.
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Anexo 12.
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Anexo 13.
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Anexo 14.
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Anexo 15.
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Anexo 16.
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Anexo 17.
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Anexo 18.
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Anexo 19.
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