Standar Kompetensi :
Memahami operasi hitung bentuk aljabar. Kompetensi Dasar :
Mengenal bentuk aljabar dan unsur-unsurnya, serta melakukan bentuk hitung pada bentuk aljabar. Apersepsi :
Gambar disamping adalah foto udara sebuah perumahan. Jika panjang lahan utuk perumahan dinyatakan dengan (3 x – 2) km dan lebar lahan dinyatakan dengan (2 x – 1) km. Dapatkah kamu menentukan luas lahan permukaan itu? Jika x di ganti dengan 2. Berapa luas keliling lahan perumahan tersebut? Sebelum mempelajari materi operasi bentuk aljabar pada bab ini, kalian perlu mengingat kembali operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan pemangkatan bilangan bulat maupun pecahan. Materi tersebut menjadi dasar untuk mempelajari materi bab ini. Tujuan Pembelajaran :
1.
Melalui apersepsi peserta didik dapat mendefinisikan pengertian suku, faktor, dan suku jenis.
2.
Menjelaskan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan) perpangkatan) suku sejenis dan tidak sejenis.
3.
Dengan berbagai contoh soal peserta didik dapat menggunakan sifat perkalian bentuk aljabar untuk menyelesaikan soal.
4.
Menyelesaikan operasi hitung (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan) perpangkatan) pecahan aljabar dengan penyebut satu suku.
5.
Menyederhanakan hasil operasi pecahan aljabar.
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar Alj abar
1
Materi : 3.1 Arti Bentuk Aljabar
Pada operasi perkalian bilangan bulat, telah dibahas arti perkalian dua bilangan bulat sebagai berikut : 2x6
= 6 + 6 , ………..jumlah enaman terdiri atas 2 suku , bila 6 kita ganti dengan apel maka,
2 x apel
= apel + apel,…… jika apel kita lambangkan dengan a maka, 2 x a = a + a = 2a
Begitu juga dengan 3 x 5 = 5 + 5 + 5……jumlah limaan terdiri atas 3 suku, jika 5 kita ganti pisang maka 3 x pisang = pisang + pisang + pisang, bila pisang kita lambangkan p maka, 3 x p = p + p + p = 3p
Bentuk seperti 2a dan 3p dinamakan bentuk aljabar, 2
3
operasi perkalian bilangan bulat seperti a × a ditulis a , a × a × a ditulis sebagai a , 4
dan a × a × a × a × a ditulis sebagai a , dan seterusnya. 3
Bentuk-bentuk lainnya seperti 2 a, -5y,5n, 5q , 6 x + y, dan 3p + 4 jg dapat disebut bentuk aljabar
Pada Bentuk 2a = 2 x a, 2 dan a disebut faktor perkalian dari 2a Bentuk -5y = -5 x y, -5 dan y disebut faktor perkalian dari -5y, Pada 5n = 5 × n, maka 5 dan n juga disebut faktor perkalian dari 5n 2
2
Begitu juga pada 10pq r factor perkaliannya adalah 2 x 5 x p x q x r Coba perhatikan kasus berikut ini : Terdapat 3 bolpoin, 4 buku dan 1 pensil di tas susi, kita juga dapat menuliskan bahwa didalam tas susi ada 3 bolpoin + 4 buku + 1 Pensil, jika b melambangkan bolpoin, k melambangkan buku, dan p melambangkan pensil maka bentuk 3b + 4k + 1p adalah Bentuk aljabar,
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
2
3b, 4k, 1p disebut suku, b,k,p disebut variabel atau peubah dan bilangan –
bilangan 3,4,1 disebut koefisien Bentuk aljabar adalah suatu bentuk kalimat matematika yang mengandung variabel dan konstanta. 3,
Bentuk aljabar seperti 2 a, 5q dan -7 xy disebut bentuk aljabar suku tunggal karena hanya memiliki satu suku saja. Pada bentuk aljabar -3 p + 2, -3 disebut koefisien, p disebut variabel (peubah), dan 2 disebut konstanta.
-3 adalah koefisien p
Bentuk aljabar - 3p + 2
2 adalah konstanta p adalah variabel (peubah)
Bentuk aljabar -3 p + 2 terdiri dari dua suku, yaitu -3 p dan 2. Oleh karena itu disebut bentuk aljabar suku dua atau binom. Bentuk aljabar seperti 4 x + 2 y – 5 disebut bentuk aljabar suku tiga atau trinom. Sedangkan bentuk aljabar yang memiliki beberapa suku seperti suku dua, suku tiga, suku empat,dan seterusnya disebut suku banyak atau polinom.
Selanjutnya perhatikan ilustrasi berikut ini!
Didalam kulkas Andi terdapat 2 apel, 3 berimbing, 4 apel dan 5 berimbing, kita dapat menuliskannya dengan 2 a + 3b + 4a + 5b, 2 apel dan 4 apel merupakan buah yang sejenis , 3 berimbing dan 5 berimbing juga merupakan buah yang sejenis jadi dapat kita simpulkan bahwa 2a + 4a dan 3b + 5b adalah suku yang sejenis. sedangkan 2 apel dan 3 berimbing bukanlah buah yang sejenis demikian pula dengan 4 apel dan 5 berimbing juga bukan buah yang sejenis jadi kita simpulkan bahwa 2a + 3b dan 4a + 5b bukan suku yang sejenis
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
3
Suku sejenis, 2 a dan 4 a
Bentuk aljabar 2a + 3b + 4a + 5b
Suku sejenis, 3 b dan +5 b
Dari contoh-contoh diatas dapat disimpulkan bahwa suku-suku sejenis pada bentuk aljabar hanya berbeda pada koefisiennya.
3.2 KPK dan FPB Bentuk Aljabar Suku Tunggal
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari bentuk-bentuk aljabar tidak dicari melalui himpunan kelipatan persekutuan, melainkan ditentukan dengan cara pemfaktoran (faktorisasi). Demikian juga untuk menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) kita harus mencari hasil kali factor primanya terlebih dahulu. Berikut ini adalah pembahasan tentang hubungan antara KPK dan FPB dari bentuk aljabar suku tunggal terhadap faktor-faktornya. 1. Tentukan KPK dari 2ab dan 10b 2ab 10b
Hasil kali faktor prima dan variabel
=2×a×b
yang berbeda
=2×5×b
Jadi, KPK dari 2ab dan 10b
= 2 ×5 ×a × b
2. Tentukan FPB dari 2 ab dan 10b
2ab
=2×a×b
10b
=2x5xb
Hasil kali faktor prima dan variabel yang sama
Jadi, FPB dari 2ab dan 10b = 2 x b 2
3
3. KPK dari 3 xy dan 9 y z 2
2
3 xy = 3 × x × y 3
2
Hasil kali faktor prima dan variabel yang berbeda dengan pangkat tertinggi
3
9y z = 3 × y × z
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
4
2
3
= 3 x x x y x z
2
3
FPB dari 3 xy dan 9 y z 2
Hasil kali faktor prima dan variabel yang
2
3xy = 3 x x x y 3
2
sama dengan pangkat terendah
3
9y z = 3 × y × z 2
=3 x y 2 3 2
2
3
2
4. p q r = p × q × r 2 4 3
2
4
q r s = q × r × s 2 3 2
3 2 4 3
2 3 4 3
KPK dari p q r dan q r s = p q r s 2
3
4
3
= p × q × r × s 2 3 2
2 4 3
FPB dari p q r dan q r s
hasil kali variabel yang berbeda dengan pangkat yang tertinggi
2 2
= q r 2
2
= q × r
hasil kali variabel yang sama dengan pangkat yang terendah
Dari uraian diatas, maka dapat disimpulkan bahwa :
KPK merupakan hasil perkalian dari semua faktor-faktor (prima) dan variabel yang berbeda dengan mengambil pangkat tertinggi. FPB merupakan hasil perkalian dari faktor-faktor (prima) dan variabel yang sama denagn mengambil pengkat terendah.
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
5
3.3 Pengertian Perkalian, Pemangkatan, dan Pembagian pada Bentuk Aljabar Suku Tunggal a. Perkalian
Telah dibahas bahwa bentuk aljabar 2 x a dapat disederhanakan menjadi 2 a, dan 5 x x dapat disederhanakan menjadi 5 x . Sifat – sifat perkalian
perkalian bersifat komutatif
Misal : a × 2 = 2a Mempunyai hasil yang sama
2 × a = 2a Jadi, a × 2 = 2 × a = 2a
x3=3x
=3
Dengan menggunakan cara dan sifat tersebut di atas, maka dapat diperoleh hal-hal berikut ini.
a × b = ab b × a = a × b = ab
sifat komutatif
Perkalian bersifat assosiatif
Misal : (4 x 5) x 3 = 60 4 x (5 x 3) = 60
Mempunyai hasil yang sama
Jadi, (4 x 5) x 3 = 4 x (5 x 3) = 60 Dengan demikian sifat assosiatif :
(a x b) x c = a x (b x c)
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
6
Perkalian bersifat distributif
(a + b) + (c + d) = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc +bd Atau
(a + b) + (c + d) = = ac + ad + bc +bd
b. Pemangkatan Pada bahasan bilangan bulat telah dibicarakan bahwa pemangkatan suatu bilangan diperoleh dari perkalian berulang untuk bilangan yang sama . Jadi untuk sembarang bilangan a, maka 2
a =a×a a2 = a × a × a a2 x a3 = a2+3 (a2)3 = a2x3 (ab)2 = (ab) × (ab) (a + b)2 = (a + b)(a + b) (a – b)2= (a – b)(a – b)
Hal ini juga berlaku pada bentuk aljabar, misalnya : 2
b =b×b
2
(-b) = (-b) × (-b)
2
(-b) = -(b × b)
2
(2b) = 2b × 2b 2
Dalam pemangkatan bentuk aljabar, perlu dibedakan pengertian antara -( b) dan 2
(-b) , yaitu sebagai berikut 2
(i) Pada bentuk -( b) , yang dikudratkan hanya b. (ii)
2
Pada bentuk (-b) , yang dikuadratkan adalah - b.
c. Pembagian
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
7
Operasi pembagian merupakan hasil penyederhanaan dengan cara menghilangkan factor – factor perkalian dari koefisien,konstanta dan variabel yang sama. Misal: 1.
8ab : 4a = (2b)(4a) : (4a) = 2b, bentuk aljabar 8ab dan 4a mempunyai factor yang sama yaitu 4a sehingga hasil pembagian 8ab dengan 4a dapat disederhanakan menjadi 2b.
2. 2a : a = 2, karena 2a dan a memiliki factor yang sama yaitu a sehingga hasil pembagian 2a dengan a dapat disederhanakan. Demikian pula dengan 6 xy dan 2 y yang memiliki faktor yang sama yaitu 2 y, sehingga 6 xy : 2 y = 3 x.
3.4 Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar
Setelah kita mengenal suku-suku sejenis kita dapat belajar menyerderhanakan sukusuku tersebut dengan penjumlahan dan pengurangan, Contoh : 1. 4a + 2a = (4 + 2)a = 6a Bandingkan dengan cara pengerjaan 4
ditambah 2
menjadi 6
2. 5p – 3p = 5 x p – 3 x p = (5 – 3)p = 2p Jadi, dalam sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau perkalian terhadap pengurangan, berlaku sifat-sifat berikut ini :
1. ab + ac = a( b + c) atau ab + ac = ( b + c) a 2. ab – ac = a( b – c) atau ab – ac = ( b – c) a
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
8
Sifat-sifat di atas dapat digunakan untuk menjumlahkan atau mengurangkan sukusuku sejenis pada bentuk aljabar sehingga bentuknya menjadi lebih sederhana.
3.5 Pecahan Bentuk Aljabar
Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang, penyebut, atau keduaduanya memuat bentuk aljabar. Misalnya :
Pada pembahasan ini akan dipelajari tentang pecahan-pecahan aljabar yang penyebutnya merupakan suku tunggal seperti :
2.5.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar
Pada bahasan bilangan pecahan telah dipelajari bahwa pecahan-pecahan yang penyebutnya sama dapat dijumlahkan atau dikurangkan dengan cara menjumlahkan atau mengurangkan pembilang-pembilangnnya. Hal ini juga berlaku untuk pecahan-pecahan bentuk aljabar . Jika pecahan-pecahan yang akan dijumlahkan atau dikurangkan memiliki penyebut-penyebut yang berbeda, maka penyebut-penyebut pecahan tersebut harus disamakan terlebih
dahulu. Untuk menyamakan penyebut-penyebut pecahan, tentukanlah KPK dari penyebut-penyebut pecahan tersebut, kemudian masing-masing pecahan
diubah menjadi pecahan yang penyebutnya merupakan KPK yang sudah ditentukan. a. Penjumlahan Pecahan Bentuk Aljabar
1.
+
=
=
Penyebutnya sama
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
9
senilai
2.
senilai
+
=
+
=
=
…… KPK dari 3m dan 4m adalah 12m
Penyebut tidak sama
b. Pengurangan Pecahan Bentuk Aljabar
Misalkan :
Contoh : Sederhanakanlah penjumlahan dan pengurangan pecahan berikut ini!
1.
+
2.
Jawab: 1.
+
= = =
2.
–
= = = = c.
…………. KPK dari a dan b adalah ab
=
+
+
atau
– -
…………KPK dari 8a dan 4a adalah 8a
Perkalian dan Pembagian Pecahan Bentuk Aljabar
Perhatikan perkalian dua bilangan berikut : x
x =
=
x
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
10
Hasil operasi perkalian bilangan pecahan di peroleh dengan mengalikan pembilang dengan pembilang dan penyebut dengan penyebut. Cara seperti ini juga berlaku pada perkalian pecahan bentuk aljabar Misalkan :
=
= =
Untuk pembagian dua bilangan pecahan, telah dibahas bahwa membagi dengan satu pecahan sama artinya dengan mengalikan terhadap kebalikan pecahan tersebut. Hal ini juga berlaku pada pembagian pecahan bentuk aljabar .
Misalkan :
= = =
=
2.5.2 Pemangkatan Pecahan Bentuk Aljabar
Untuk menentukan hasil pemangkatan pada pecahan bentuk aljabar, perlu diingat kembali arti pemangkatan suatu bilangan dan sifat perkalian pecahan berikut ini.
n
(i)
a =a×a×a×a...×a
n faktor (ii)
Kedua sifat diatas kita gunakan secara bersama-sama untuk menentukan hasil pemangkatan dari pecahan bentuk aljabar. Misal:
2
=
x
=
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
11
3.6 Perkalian Istimewa Bentuk Aljabar 3.6.1 Perkalian Suatu Bilangan dengan Suku Dua dan Suku Tiga
Perhatikan gambar 3.1 (i) yang menunjukan sebuah persegi panjang dengan panjang ( x + 4) dan lebar x, sehingga x
x ( x +
4)
luasnya = x( x +4).
x
Gambar 3.1 (ii) menunjukan bahwa untuk menentukan luas persegi panjang pada gambar 3.1 (i) dapat dilakukan x
4 (i)
dengan membagi persegi panjang tersebut menjadi dua 2
buah persegi panjang, sehingga luasnya menjadi x + 4 x. Oleh karena luas kedua persegi panjang pada gambar 3.1 sama, maka x( x +4) = x2 + 4 x. Dengan demikian, bentuk x
xx
2
4x
perkalian x( x +4) dapat dinyatakan sebagai
bentuk
2
penjumlahan x + 4 x.
x
Dengan menggunakan prinsip diatas, maka hasil perkalian
(ii)
4
Gambar 3.1
suatu bilangan dengan suku tiga dapat ditentukan seperti berikut ini. x(x + y + 4) = x(x + y) + 4x = x(x + y) + 4x 2
= x + xy + 4x
Menyatakan bentuk perkalian menjadi bentuk penjumlahan disebut menjabarkan (menguraiakan).
Untuk sembarang bilangan x, y, dan k selalu berlaku : 2 x( x + k) = x + kx 2 x( x + y + k) = x + xy + kx
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
12
3.6.2
Perkalian Suku Dua Dengan Suku Dua
a. Dengan Menggunakan Hukum Distributif Persegi panjang-persegi panjang memiliki ukuran yang sama, sehingga luasnya sama. Dengan demikian, terdapat hubungan sebagai berikut. (x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)……Gambar (ii) x 2
= + 3x + 2x + 6 …….Gambar (iii)
(x + 2)(x + 3)
= + 5x + 6 x
3 (i)
Pada Langkah 1 dan 2 digunakan hukum (sifat) distributif ,
x
x(x+3)
2
2(x+3)
sehingga penjabaran bentuk perkalian (x + 2)(x + 3) seperti di atas adalah adalah penjabaran menggunakan hukum distributif . Pada penjabaran tersebut, ternyata suku dua yang pertama,
x+3 (ii)
yaitu (x + 2) diuraikan, sedangkan suku dua yang kedua, yaitu (x + 3) tetap. Hal ini dapat ditunjukkan dengan skema berikut ini.
X
2
3x
(x + 2)(x + 3) = x(x + 3) + 2(x + 3)
x
Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan 2
2x
dengan
6
menggunakan
hukum
distributive
yaitu
)
(iii)
b. Dengan Menggunakan Skema Perhatikan hasil perkalian dua suku dua pada contoh sebelumnya dengan mengamati langkah kedua.
2) = Ternyata hasil perkalian dapat diperoleh dengan menggunakan skema berikut.
Langkah (2) disebut perkalian suku luar dan Langkah (3) disebut perkalian suku dalam. Hasil perkalian suku luar dan suku dalam sering kali dapat dijumlahkan
(disederhanakan).
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
13
Perkalian dua suku dua dapat dijabarkan dengan skema berikut:
=
= 3.6.3 Pengkuadratan Suku Dua
Pengkuadratan suku dua secara umum ditulis dalam bentuk 3.6.4 Penggunaan Perkalian Istimewa untuk Menghitung Hasil Perkalian Bilangan
Sifat-sifat perkalian istimewa bentuk aljabar dapat digunakan untuk menentukan hasil perkalian bilangan-bilangan dengan cara yang paling mudah. Misalkan:
=
= Kesimpulan :
1.
Bentuk gabungan antara bilangan dan huruf disebut bentuk aljabar suku tunggal. Contoh: 2a , -3p, 5x
2
Bilangan didepan huruf disebut koefisien dan huruf disebut variabel.
Suku tunggal yang dihubungkan mengunakan tanda + atau – dengan suku tunggal lain atau dengan sebuah bilangan disebut bentuk aljabar suku banyak. 2 Contoh: 2a 3 p , 5x + 2x – 1.
Bilangan tanpa variabel pada suku banyak disebut konstanta.
Suku-suku yang bervariabel sama dengan pangkat variabel yang juga sama disebut suku sejenis. 2
2
Contoh: 2a sejenis dengan 5a , 3x sejenis dengan 5x . 2.
Beberapa operasi hitung pada bentuk aljabar antara lain:
Hasil penjumlahan dan pengurangan suku-suku sejenis dapat ditentukan dengan menggunakan sifat ab ac a (b c) atau ba ca (b c)a
Nilai suatu bentuk aljabar dapat ditentukan dengan mensubstitusikan nilai-nilai variabelnya.
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
14
Hasil perkalian suku satu dengan suku banyak dapat ditentukan dengan menggunakan sifat a(b c) ab ac atau a (b c) ab ac .
Hasil perkalian suku dua dengan suku dua dapat ditentukan dengan menggunakan sifat (a b)(c d ) a( c d ) b(c d ) ac ad bc cd .
Pengkuadratan suku dua (a b) 2 a 2 2ab b 2 ( a b) a 2ab b 2
3.
2
2
Perkalian istimewa: ( a b)( c d ) a 2 b 2
Pecahan bentuk aljabar adalah pecahan yang pembilang, penyebut, atau kedu-
duanya memuat bentuk aljabar.
Pecahan-pecahan bentuk aljabar dapat dijumlahkan dan dikurangkan jika penyebutnya sama. Jika penyebutnya belum sama, maka harus disamakan terlebih dahulu .
Perkalian pecahan bentuk aljabar dilakukan dengan mengalikan pembilang, dan penyebut dengan penyebut.
Pembagian pecahan dapat dihitung dengan cara perkalian yaitu pecahan yang dibagi dikalikan dengan kebalikan pembaginya. a c a d ad : b d b c bc
Jika n adalah bilangan bulat positif dan
a b
a adalah bentuk aljabar, maka b
n
a a a a didefinisikan sebagai: .... b b b b n faktor
Matematika Kelas VII Semester 1 Bentuk Aljabar
15
n
