CURSO: DINAMICA
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23 de abril de 2017
SEMANA 2: EL MOVIMIENTO MOVIMIENTO RECTILINEO
ecuaciones del movimiento rectilíneo curvilíneo en en la solución solución de 1. CAPACIDAD. Aplica las ecuaciones problemas, con el apoyo de las tic. 2. ECUACIONES DEL MOVIMIENTO
Posición Posici ón : x= f(t) x está está en función del tiempo: ejemplo x= t³ - 5t² + 4t Velocidad : v= dx es la derivada de la posición respecto al tiempo : ejemplo dt v = 3t² - 10t +4 aceleración aceleraci ón a= a= dv es la derivada de la velocidad respecto al tiempo, ejemplo dt a= 6t - 10 EJEMPLO 1 Considere la partícula que se mueve en una línea recta y suponga que su posición está definida por la ecuación: x = 6t² - t³ donde t se expresa en segundos y x en metros. SOLUCION La velocidad de v en cualquier tiempo t se se obtiene al diferenciar x con respecto a t = dx = 12 t - 3t ² La ecuación de la velocidad es :v = dt
La aceleración a se obtiene al diferenciar otra vez con respecto a t : a = dv = 12 - 6 t dt
La coordenada de la posición, la velocidad y la aceleración se grafican contra t, se muestra en las figuras
Posición Posici ón
Velocidad
Preguntas para ampliar el conocimiento a) En qué tiempo la coordenada de posición es es máximo máxim o b)
En qué tiempo la velocidad veloci dad es máximo
c)
En qué tiempo la aceleración es máximo
d)
En qué tiempo la coordenada de posición es cero
e)
En qué tiempo la velocidad veloci dad es cero
f) g)
En qué tiempo la aceleración es cero Calcular Calcul ar la coordenada de posición, la velocidad y la aceleraci aceleración ón en t=3 s
h)
Confirmar la frase, si la aceleración es negativa, la velocidad disminuye.
aceleración aceleraci ón
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CONCLUSION: a) El movimiento de una partícula es conocido si se sabe la posición de la partícula para todo valor del tiempo t b) Si la velocidad aumenta, la aceleración es positiva, si la velocidad disminuye la aceleración es negativa c) Con mayor frecuencia, las condiciones del movimiento se especificarán por el tipo de aceleración que posee la partícula.
3. DETERMINACIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA Se considerarán tres clases comunes de movimiento:
1. a = f(t). La aceleración es una función dada de t. Al resolver la ecuación a = dv/dt queda como sigue dv = f(t) dt. Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuación
∫ dv = ∫f(t) dt Para definir en forma única el movimiento de la partícula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento , esto es, el valor de v 0 de la velocidad y el valor x0 de la coordenada de la posición en t = 0. Al sustituir las integrales indefinidas por integrales definidas con los límites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales t = 0 y v = v0 y los límites superiores correspondientes a t = t y v = v, se escribe lo cual produce v en términos de t .
La ecuación anterior puede resolverse ahora para dx , dx= v dt y la expresión que se acaba de obtener sea sustituida por v . Ambos miembros se integran después, el miembro izquierdo con respecto a x desde x = x 0 hasta x = x , y el miembro derecho respecto a t desde t = 0 hasta t = t. La coordenada de la posición x se obtiene de ese modo en términos de t; el movimiento está completamente determinado. 2. a = f(x). La aceleración es una función dada de x. Al resolver la ecuación a = dv/dt queda a= (dv/dt)(dx/dx) a dx= v dv queda como sigue vdv = f(x) dx. Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuación ∫ vdv = ∫f(x) dx Puesto que cada miembro contiene sólo una variable, se puede integrar la ecuación. Denotando de nuevo mediante v 0 y x 0, respectivamente, los valores iniciales de la velocidad y la coordenada de la posición, se obtiene
3. a = f(v). La aceleración es una función dada de v. Al resolver la ecuación a = dv/dt queda
como sigue dt = dv/f(v). Al integrar ambos miembros. , se obtiene la ecuación
∫ dt= ∫(1/v)dv
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EJEMPLO 2 Una pelota se lanza con una velocidad de 10 m/s dirigida verticalmente hacia arriba desde una ventana ubicada a 20 m sobre el suelo. Si se sabe que la aceleración de la pelota es constante e igual a 9.81 m/s2 hacia abajo, determine: a) la velocidad v y la elevación y de la pelota sobre el suelo en cualquier tiempo t , b) la elevación más alta que alcanza la pelota y el valor correspondiente de t, c ) el tiempo en el que la pelota golpea el suelo y la velocidad correspondiente. d) Dibuje las curvas v -t y y -t. SOLUCION: Para este ejemplo, el movimiento lo define la aceleración, la coordenada de posición es y, con sentido positivo hacia arriba. Se elige O el punto de referencia. La aceleración a=-9.81 m/s² a) Velocidad y elevación instantánea
v = 10 - 9.81 t ..ec. 1
Al sustituir v en v = dy/dt y observar que en t= 0, y 0 = 20 m, se tiene:
y = 20+10t - 4.905 t ²
…….ec. 2
b) Máxima elevación. Cuando la pelota alcanza su máxima elevación, se tiene v = 0. Al sustituir en (1), se obtiene 10 - 9.81t = 0 t = 1.019 s Al sustituir t =1.019 s en (2), se tiene y = 20 +10(1.019) - 4.905(1.019)2 y = 25.1 m c) La pelota golpea el suelo . Cuando la pelota golpea el suelo, se tiene y = 0. Al sustituir en (2), se 20 + 10t - 4.905t² = 0 t=-1.243 s y t = +3.28 s obtiene Sólo la raíz t =+3.28 s corresponde a un tiempo después de que el movimiento se ha iniciado. Al considerar este valor de t en (1), se tiene v = 10 - 9.81(3.28)=-22.2 m/s v= 22.2 m/s ↓
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d) Las curvas son:
EJEMPLO 3: El mecanismo de freno que se usa para reducir el retroceso en ciertos tipos de cañones consiste esencialmente en un émbolo unido a un cañón que se mueve en un cilindro fijo lleno de aceite. Cuando el cañón retrocede con una velocidad inicial v 0, el émbolo se mueve y el aceite es forzado a través de los orificios en el émbolo, provocando que este último y el cañón se desaceleren a una razón proporcional a su velocidad; esto es, a = - kv. Exprese a) v en términos de t, b) x en términos de t, c) v en términos de x. Dibuje las curvas del movimiento correspondiente SOLUCION a) v términos de t. Al sustituir - kv por a en la expresión fundamental que define a la aceleración, a = dv/dt, se escribe - kv = dv/dt
- k dt = dv/v, integrando
v = vo e -kt b) x términos de t. Al sustituir la expresión que acaba de obtenerse para v en v = dx/dt, se escribe
vo e –kt = dx/dt
c) v términos de x . Mediante la sustitución - kv en a = v dv/dx, se escribe - kv = v dv/dx dv = - kdx v v - v 0 = - kx
v = v 0 - kx
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EJERCICIOS:
1. El movimiento de una partícula está defi nido por la relación x = 1.5t4 – 30t 2 + 5t + 10, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 4 s. Rpta. 66.0 m, 149.0 m/s, 228 m/s 2 2. El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 12t 3 – 18t 2 + 2t + 5 , donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine la posición y la velocidad cuando la aceleración de la partícula es igual a cero. Rpta. 3 .00 m, 27.00 m/s 3. El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 6t2 – 8 + 40 cos t, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos, respectivamente. Determine la posición, la velocidad y la aceleración de la partícula cuando t = 6 s. Rpta. 248 in., 72.0 in/s, 2383 in/s 2 4. El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 6t4 – 2t3 – 12t2 + 3t + 3, donde x y t se expresan en metros y segundos, respectivamente. Determine el tiempo, la posición y la velocidad cuando a = 0. Rpta. 0.667 s, 0.259 m, 28.56 m/s 5. El movimiento de una partícula está definido por la relación x = 2t 3 – 15t2 + 24t + 4, donde x se expresa en metros y t en segundos. Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la posición y la distancia total viajada hasta ese momento cuando la aceleración es cero. Rpta. a) 1.0 s y 4.00 s. b) 1.50 m, 24.5 m. 6. El movimiento de una partícula está definido por la relación x = t 3 – 6t2 - 36t - 40, donde x y t se expresan en pies y segundos, respectivamente. Determine a) cuándo la velocidad es cero, b) la velocidad, la aceleración y la distancia total viajada cuando x = 0 7. La posición de una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta está definida por la relación x = t 3 - 6t 2 - 15t + 40, donde x se expresa en pies y t en segundos. Determine a) Las ecuaciones del movimiento
b) el tiempo al cual la velocidad será cero, c ) la posición y la distancia recorrida por la partícula en ese tiempo, d ) la aceleración de la partícula en ese tiempo, e) la distancia recorrida por la partícula desde t = 4 s hasta t= 6 s. f) Grafique las curvas x v t, v v t, a v t
