MOVIMIENTO CURVILINEO alguna vez nos hemos preguntado como ocurre el movimiento delos asientos de una montaña rusa o el desplazamiento de un cuerpo en un tobogán curvilíneo, estas menciones son ejemplos de movimiento curvilíneo en nuestro diario vivir, ejemplos de movimiento en tres dimensiones, utilizando un análisis vectorial para así determinar la posición, velocidad y aceleración de dichas partículas.
Magnitudes cinemáticas Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY. Situamos un origen y unos ejes y representamos representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son:
Vector de posición. Vector velocidad. Vector aceleración
VECTOR POSICION Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y y en el instante t' se se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r '.'. Diremos que el móvil se ha desplazado Δr=r’r en -t . Dicho vector en el intervalo de tiempo Δt=t' -t tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P, este designara la posición de
la partícula, la dirección de este vector cambiara a medida que la partícula se mueva a lo largo de la curva desplazamiento
VECTOR VELOCIDAD
el vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento ar entre el tiempo que ha empleado en desplazarse
.
El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, es decir ,la secante que une los puntos P y P' de la figura.
El vector velocidad en un ins tante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P.
,
, tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto
En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto.
La dirección del vector velocidad es tangente a la trayectoria
VECTOR ACELERACIÓN En el instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v' .
El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia
.
Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad y el intervalo de tiempo
, en el que tiene lugar dicho cambio.
Y la aceleración a en un instante
Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son
La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z. Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados.
COMPONENTES RECTANGULARES DE LA VELOCIDAD Y LA ACELEARACIÓN Partimos del vector de posición r de una partícula en sus componentes rectangulares:
Sabiendo que las coordenadas x, y ,z son funciones de t y derivando la ecuación anterior dos veces, obtenemos la velocidad y la aceleración:
Por tanto, las componentes escalares de la velocidad son:
Y de la aceleración:
Si
> 0 => Indica que la componente vectorial
, está dirigida hacia la derecha.
Si
< 0 => Indica que la componente vectorial
, está dirigida hacia la izquierda.
MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL
Las componentes de la aceleración para el movimiento de un proyectil, teniendo en cuenta que se desprecia la resistencia del aire, son:
Sabiendo que, , y0, , son las coordenadas del arma y , , , son las componentes de la velocidad inicial V0 del proyectil, e integrando dos veces respecto a t las ecuaciones anteriores de la aceleración, obtenemos las ecuaciones del movimiento:
Si el proyectil es disparado desde el origen O, en el plano xy, se tiene que
y
y las ecuaciones del movimiento se reducen a:
Estas ecuaciones, indican que el proyectil permanece en el plano xy y que su movimiento en dirección horizontal es uniforme, mientras que en su dirección vertical es uniformemente acelerado.
Por tanto, el movimiento de un proyectil resulta de dos movimientos rectilíneos independientes, que pueden visualizarse fácilmente imaginando que el proyectil es disparado verticalmente con una velocidad inicial
desde una plataforma que se
mueve con una velocidad horizontal constante La coordenada x del proyectil, es igual a la en todo instante a la distancia recorrida por la plataforma Las ecuaciones que determinan las coordenadas x e y de un proyectil en cada instante son las ecuaciones paramétricas de una parábola. Por tanto, la trayectoria de un proyectil es parabólica.
Importante: La definición hecha anteriormente, deja de ser válida cuando se tiene en cuenta la resistencia del aire o la variación de la aceleración de la gravedad con la altura.
EJERCICIOS
PROBLEMA Nº 1 Se dispara un proyectil desde el borde de un acantilado de 150 m, con una velocidad inicial de 180 m/s, y con una inclinación de 30º respecto a la horizontal. despreciando la resistencia del aire, calcular.
A. La distancia en horizontal desde el arma al punto de impacto del proyectil con el suelo. B. La máxima altura sobre el suelo que alcanza el proyectil.
Solución Vamos a estudiar el movimiento horizontal y vertical por separado.
Movimiento vertical. El movimiento vertical , es un movimiento uniformemente acelerado. Eligiendo el sentido positivo del eje y hacia arriba, y situando el origen O en el arma, obtenemos:
Cómo las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado son:
Si sustituimos los valores anteriores en estas ecuaciones, obtenemos:
Movimiento horizontal. El movimiento horizontal es un movimiento uniforme. Eligiendo en sentido positivo del eje x hacia la derecha, se tiene:
Sustituyendo estos valores en las ecuaciones del movimiento uniforme, resulta:
A. D istancia horizontal. Cuando el proyectil llega al suelo, se tiene:
Si introducimos este valor en la ecuación 2 del movimiento vertical del proyectil, resulta:
Sustituyendo el valor de t = 19,91 s en la ecuación 4, del movimiento horizontal, obtenemos:
B. Altura máxima. Cuando el proyectil alcanza la altura máxima, se tiene Vy=0. Luego, introduciendo este valor en la ecuación 3 del movimiento vertical, resulta:
La altura máxima sobre el suelo es:
PROBLEMA N.º 2 Se dispara un proyectil con una velocidad de 240 m/s sobre un blanco B situado a 600 m por encima del arma A y a una distancia horizontal de 3600 m. Despreciando la resistencia del aire, calcular:
A. E l valor del angulo de tiro alfa.
Solución Movimiento horizontal. Situando el origen de coordenadas en el arma, se tiene:
Sustituyendo este valor en la ecuación del movimiento horizontal uniforme, resulta:
El tiempo empleado por el proyectil para recorrer una distancia horizontal de 3600 m se obtiene haciendo x igual a 3600 m.
Movimiento vertical.
Sustituyendo estos valores en la ecuación del movimiento uniformemente acelerado, se tiene:
I mpacto del proyectil contra el blanco. Cuando x = 3600 m, se ha de verificar y = 600 m. Sustituyendo este valor de y , y haciendo t igual al valor hallado anteriormente, resulta:
Cómo
, se
tiene:
Resolviendo esta ecuación de segundo grado en tgx, resulta: y
Por tanto,
y
dos ángulos de tiro.
Se consigue alcanzar el blanco con cualquiera de estos
PROBLEMA Nº 3 El automóvil A viaja hacia el este a la velocidad constante de 36 Km/h. Cuando pasa por el cruce, el automóvil B arranca a 3,5 m al norte del cruce y se dirige hacia el sur con una aceleración constante de 1,2 m/s2. Calcular: A. La posición, la velocidad y la aceleración de B relativas a cinco segundos
después de que A atraviese el cruce.
Solución Tomamos unos ejes x e y con origen en el cruce de las dos calles y con unos sentidos positivos, respectivamente, hacia el este y el norte.
Movimiento del automóvil A. Primero expresamos la celeridad en m/s:
Como el movimiento de A es uniforme, para cualquier instante podemos escribir:
Movimiento del automóvil B. Como el movimiento de B es uniformemente acelerado, podemos escribir:
Para t = 5 s, tenemos
Movimiento de B relativo a A. Dibujando el triángulo correspondiente a la ecuación HACER obtenemos el módulo y la dirección y el sentido del vector de posición de B relativo a A.
Procediendo de modo similar, hallamos la velocidad y la aceleración de B relativa a A.