Movimiento circunferencial uniforme (M.C.U.) Recordando que los movimientos se clasifican en función a determinados conceptos básicos, tenemos que por la forma de la trayectoria estos pueden ser rectilíneos o curvilíneos. Si la trayectoria es una circunferencia entonces el movimiento se denomina: Movimiento Circunferencial. Cuando una partícula describe una circunferencia de manera que recorre arcos iguales en tiempos también iguales, diremos que posee un movimiento circunferencial uniforme. Definición de velocidad angular constante Se define como velocidad angular constante a aquella que no cambia de módulo y de dirección a través del tiempo, y cuyo valor nos indica el ángulo que gira un cuerpo rígido en cada unidad de tiempo. En el S.I. esta velocidad se expresa en radianes por segundo: rad/s. También puede expresarse en rev/s, o, rev/min = rpm, donde: 1 revolución (rev) = 2 p rad = 360° Leyes del movimiento de rotación uniforme En vista de que el movimiento de rotación uniforme posee velocidad angular (w) constante, tendremos que las leyes que lo describen son análogas a las del M.R.U. 1ra. 2da. q = w.t 3ra. Periodo (T) Llamamos así al tiempo que emplea un cuerpo con movimiento de rotación uniforme para realizar un giro de 360°, es decir, una vuelta completa. Su valor resulta ser inversamente proporcional con la velocidad v elocidad angular, pues pu es a mayor velocidad, menor es el tiempo en dar d ar una vuelta. Así, de la tercera ley le y del movimiento de rotación uniforme, tendremos: En el S.I., el período se expresa en segundos (s). Frecuencia (f) Denominamos así a aquella magnitud física que nos indica el número de vueltas completas que realiza un cuerpo con movimiento de rotación uniforme, en cada unidad de tiempo. En virtud a esta definición, la frecuencia se determina así: Si ahora nos fijamos en el valor del período y en el de la frecuencia encontraremos que uno es el inverso del otro. Esto lo comprobamos con el siguiente ejemplo: supongamos que el período de un cuerpo es de 2 segundos, es decir, en 2 s da una vuelta, luego, en 1 s dará d ará 1/2 vuelta, o lo que es lo mismo; da 1/2 vuelta por segundo. Luego:
Cuando el período se expresa en segundos (s), la velocidad angular en rad/s, entonces, la frecuencia se expresa en: Revoluciones / segundo = 1/s = s-1.
Velocidad tangencial (Vt) Cuando una partícula se desplaza, se comprueba que cualquiera que sea su trayectoria, desarrolla una velocidad de tipo lineal la cual tendrá siempre una dirección tangente a la curva en todo punto de ella. Gracias a esta velocidad la partícula logra recorrer arcos (s) de la curva, en una forma tal que intenta escapar de ella viajando por la tangente. Así pues llamaremos velocidad tangencial a aquella que posee una partícula cuando desarrolla un movimiento curvilíneo. El módulo de la velocidad tangencial no es más que la rapidez con que la partícula recorre una curva. En el M.C.U. el módulo de esta velocidad se mantiene constante y se determina así: Donde w es la velocidad angular con que gira el radio vector que sigue a la partícula, comprobándose además que los vectores que representan a son perpendiculares entre sí, tal como se puede observar en la figura. Unidades S.I.: (w) = rad/s, (r) = m, (vt) = m/s Observaciones: En base a las relaciones deducidas en el item anterior, podemos deducir el módulo de la velocidad tangencial en función del periodo T y la frecuencia f: vt = 2p f r = 2 p r / T Leyes del M.C.U. Las leyes que permiten describir el movimiento de rotación uniforme y el movimiento circunferencial uniforme son realmente equivalentes, y se deducen de las relaciones: 1ra. 2da. s = vt . t 3ra. Aceleración centripeta () Como ya sabemos, la velocidad tangencial intenta llevar a la partícula por la tangente alejándola de la curva, sin embargo algo la obliga a continuar en ella como jalándola y evitando que se aleje. De este modo la dirección del movimiento se ve obligada a cambiar de manera continua a lo largo del movimiento curvilíneo. Recordemos aquí que la única razón que justifica los cambios de velocidad es la existencia de una aceleración. Sin embargo, si sólo se trata de cambios en la dirección de la velocidad sin que se altere su módulo, ello sólo puede deberse a un tipo especial de aceleración a la que en adelante llamaremos aceleración centrípeta o central, la cual se manifiesta en el grado de “brusquedad” con que un cuerpo o partícula toma una curva. Así pues, comprobaremos que en una curva muy cerrada el cambio de dirección es brusco, debido a que la aceleración centrípeta es grande. El vector es perpendicular a y se dirige siempre al centro de la curva, tal como lo muestra la figura. El módulo de esta aceleración viene dado por las siguientes relaciones: Observación: La relación para la aceleración centrípeta es válida no sólo para el M.C.U. sino en general para todo movimiento curvilíneo. Fórmulas Velocidad angular Velocidad lineal
q = w.t s = V.t Periodo T (tiempo en dar una vuelta) Frecuencia
Relación entre f y T Relación entre t y w f ® rps w = 2p.f f ® rpm w = .f Aceleración centrípeta nidades de medida PRIMERA NIVEL 1 :
PRACTICA
1. Un disco emplea 10 s en dar media vuelta, hallar el periodo de revolución. a) d) 25 e) 50
5
s
b)
10
c)
20
2. Un brazo mecánico demora 20 s en realizar 5 vueltas, determine su periodo de revolución. a) d) 8 e) 10
2
s
b)
4
c)
5
3. El periodo de giro de un dispositivo mecánico es 10 s. Hallar la frecuencia en RPS. a) d) 50 e) 100
0,1
b)
20
c)
0,5
4. Un disco gira con una frecuencia de 5 RPS, hallar su velocidad angular en rad/s. a) 5 d) 16p e) 2,5p
p
b)
10p
c)
5. Un cilindro gira con una frecuencia de 45 RPM, hallar su velocidad angular en rad/s.
8p
a) d) 4,5p e) 6p
p
b)
1,5p
c)
3p
6. Una partícula que describe una trayectoria circular gira 90° en 10 s. Hallar su velocidad angular en rad/s. a) d) e)
9
b)
10
c)
7. Determine la velocidad angular del segundero de un reloj en rad/s. a) d) e)
p
b)
c)
8. Las cuchillas de una licuadora giran con una frecuencia de 90 RPM. Hallar la velocidad lineal de los puntos periféricos los cuales se encuen tran a 5 cm del eje de giro. a) 5 p cm/s b) 10p c) 15p d) 15 e) 10 9. Un disco gira a razón de 45 RPM y tiene un radio de 10 cm. Determine la velocidad lineal de un punto que se encuentra a 4 cm del borde. a) 3p cm/s b) 6p c) 9p d) 10p e) 18p 10. Una estrella fugaz brilla en el cielo durante 3 s, describiendo un ángulo de 10 °. Si su radio promedio es 90 km, determine la velocidad tangencial de la estrella en km/h. a) 1 000 p b) 1 500 c) 3 000 d) 4 500 e) 600 11. Hallar el ángulo girado por la manecilla horaria de un reloj entre 4:21 p.m. y las 5:05 p.m. a) 10° b) 11° c) 20° d) 22° e) 30° 12. Una partícula describe un M.C.U. tal que recorre una circunferencia de 14 cm de radio en 4 s. Halle la velocidad tangencial de los puntos periféricos del disco. (Considere: p = 22/7) a) d) 28 e) 60
11
cm/s
b)
22
c)
14
13. Un cilindro de 40 cm de radio gira en torno a su eje a razón de 75 RPM. ¿Cuál es la velocidad tangencial de los puntos de su superficie? a) 0,5p m/s b) 2p c) p d) 0,25p e) 4p 14. “Jaimito” está volando cometa. Si durante 3,14 s; describe en el cielo un arco de 18°. ¿Cuál es la velocidad tangencial de la cometa si la longitud de hilo que la sostiene es de 60 m?
a) 3 m/s b) 6 c) 8 d) 12 e) 15 15. Una partícula describe un M.C.U. tal que recorre una circunferencia de 14 cm de radio en 4 s. Considerando (p = 22/7), calcular: I. II. El a) 11 c) ; e) NIVEL II :
número rad/s; 15
Velocidad de vueltas 30 d)
en b) 22
1 ; ;
angular. minuto. 15 30 N.A.
1. La figura muestra el M.C.U. de un móvil con un periodo de 24 s. ¿Qué tiempo tarda el móvil para ir de “A” hacia “B”? a) 4 s b) 6 c) 8 d) 10 e) 12 2. La esferita mostrada gira uniformemente a razón de 120 RPM. Si la cuerda que la sostiene tiene una longitud de 1m. ¿Qué velocidad lineal tiene la esferita? a) 2,28 m/s b) 3,14 c) 4,71 d) 5,28 e) 6,28 3. Dos partículas se mueven en la misma circunferencia con velocidades constantes de 5 y 10 cm/s. Si parten desde 2 puntos diametralmente opuestos y al encuentro, calcular al cabo de cuanto tiempo se encuentran. (Diámetro = 4,2 m; p = 22/7) a) 10 s b) 12 c) 20 d) 44 e) 22 4. Si una partícula gira con un periodo de 4 s describiendo una circunferencia de 8 m de radio. ¿Cuál es la aceleración centrípeta de la partícula? (p2 = 9,8) a) 4,9 m/s2 b) 9,8 c) 14,7 d) 19,6 e) 24,5 5. Una a) d) e)
partícula
gira
45°
en
10
s.
Hallar b)
su
velocidad
angular
constante. c)
6. El minutero de un reloj mide 10 cm. Calcular la velocidad del extremo del minutero. a) d) e)
b)
7. Si la polea “A” gira con una velocidad angular de 20 p rad/s. ¿Con qué velocidad angular gira la polea “B”? RA = 10 cm; RB = 50 cm.
c)
a) p rad/s b) 2p c) 3p d) 4p e) 5p 8. Cuando el disco gira, el punto “A” tiene una velocidad de 12 m/s. ¿Cuál será la velocidad del punto “B”? a) 12 m/s b) 10 c) 8 d) 6 e) 4 9. Dos móviles que poseen velocidades constantes de p rad/s y 3p rad/s parten simultáneamente del mismo punto como en el diagrama. Luego de que tiempo se encontrarán. a) d) 0,4 e) 0,5
0,1
s
b)
0,2
c)
0,3
10. Se observa que la velocidad tangencial de un cuerpo es 20 cm/s y su velocidad angular es 0,5 rad/s. Halle su aceleración centrípeta. a) d) NIVEL III :
2
cm/s2 10
b)
4 e)
c)
20 40
1. La figura muestra dos poleas unidas por una faja. Las poleas giran con M.C.U. siendo la velocidad angular de la polea mayor que 6 rad/s. Si los radios están en relación de 1 a 3, hallar el ángulo que gira la polea menor en un intervalo de tiempo de 30 s. a) 120 rad b) 350 c) 480 d) 540 e) 240 2. La figura muestra esquemáticamente a un disco rotando con velocidad angular constante. Si los puntos 1 y 2 distan del centro “O” 1,5 cm y 3 cm respectivamente, la relación de sus rapideces V2/V1 será: a) 2 b) 3 c) 4 d) 1 e) 5 3. Las manecillas de un reloj señalan las 12 en punto. Cuando el minutero se desplaza hasta las 4 h, el ángulo que forma con el horario será: a) 120° d) 100° e) 140°
b)
130°
c)
110°
4. Una partícula en M.C.U. tiene una velocidad angular de 6 rad/s. Si el radio de la trayectoria es 3 m, ¿cuál es la magnitud de la velocidad tangencial? a) d) 10 e) 4
12
m/s
b)
18
c)
6
5. La figura muestra esquemáticamente el movimiento de dos ruedas en contacto y con M.C.U. Determinar la velocidad angular de la rueda “A”, si el de la rueda “B” es 40 rad/s. RA = 2 m ; RB = 6 m a) 60 rad/s b) 30 c) 120 d) 180 e) 90 6. Una partícula gira con M.C.U.V. en un plano horizontal. Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. La aceleración siempre es tangente a la trayectoria. II. La magnitud de la velocidad tangencial es constante. III. La velocidad angular es perpendicular al plano de la trayectoria. a) FVF b) VFV c) VFF d) FVV e) FFV 7. Una esfera hueca de radio 1 m gira alrededor de un eje vertical que pasa por su centro. Un proyectil se desplaza horizontalmente con una rapidez de 200 m/s y perpendicularmente al eje de la esfera (figura). El proyectil pasa por el agujero “A” indicado en la figura, ¿a qué velocidad angular constante debe girar la esfera para que el proyectil pase nuevamente por el mismo agujero? a) 200 p rad/s b) 300 c) 100 p d) 150 e) 400 8. En relación al movimiento circular uniforme, indicar la verdad (V) o falsedad (F) de siguientes proposiciones. I. La velocidad II. La aceleración centripeta está III. La magnitud de la a) FVV b) d) FFF e) FFV
tangencial dirigida al velocidad VFV
9. Si la rueda “A” gira a RA = 10 RB. Hallar la frecuencia de “B” (en RPM). a) d) 300 e) N.A.
20
b)
50
es centro de la angular es c)
30
RPM
c)
p p p las
constante. trayectoria. constante. VVV
y
tiene
150
10. Un cono gira con un periodo de 4 s. ¿En qué relación están las velocidades de los puntos “P” y “Q”? a) b) c) d) e) NIVEL 4: 1. En la figura el bloque “A” sube a 10 m/s. ¿Con qué velocidad sube el bloque “B”, RB = 2RA = 20 cm?
a) d) 20 e) 25
5
m/s
b)
10
c)
15
2. Determinar con qué velocidad angular gira la rueda “B” sabiendo que la rueda “A” tiene una velocidad angular de 60 rad/s. a) 45 rad/s b) 80 c) 60 d) 40 e) 90 3. ¿Con qué velocidad desciende el bloque si el periodo de rotación de “C” es p/50 s? (RC = 2RB = 4RA = 40 cm) a) 5 m/s b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 4. La gráfica representa el movimiento circular uniforme de una partícula, halle su periodo de rotación. a) 2 s b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 5. Una partícula con M.C.U. describe el gráfico w – t mostrado, halle el número de vueltas que habrá dado en 120 s. a) d) 30 e) 45
5
b)
10
c)
15
6. A 5 m de altura, sobre un punto “P” marcado en la periferia de un disco de 45 RPM, se deja caer una piedra en el preciso instante en que el disco empieza a girar. Al caer dicha piedra sobre el disco. ¿A qué distancia del punto “P” lo hará? (Radio = 15 cm) a) d) e) 30
15
cm
b)
0
c)
45
7. Un tubo horizontal de 100 cm, gira como se muestra a razón de 12 rad/s, además una esferita se desliza en su interior con 5 m/s. ¿Qué rapidez tendrá la esferita al salir del tubo?
a) d) 13 e) 7
5
m/s
b)
12
c)
17
8. Un disco horizontal gira con una velocidad angular constante de 2p rad/s, una persona deja caer un pequeño cuerpo sobre un punto “P” del disco. ¿Cuál es la mínima altura desde la cual se debe dejar caer el cuerpo para que al llegar al disco lo haga justamente sobre el punto “P”?
a) 2,4 d) 4,9 e) N.A.
m
b)
9,8
c)
6,4
9. Si mediante un impulso al disco, se le hace girar con w = 2p rad/s. ¿Cuántas vueltas dará dicho disco, hasta que llega al piso? (No existe rozamiento) (g = 10 m/s2) a) d) 3 e) 2
1
b)
5
c)
4
10. Un cilindro hueco de 3 m de largo gira alrededor de su eje con velocidad angular constante de 6 p rad/s. Una bala disparada paralelamente al eje de rotación perfora las bases en dos puntos cuyos radios forman un ángulo de 8°. Calcular la velocidad de la bala. a) 400 m/s b) 604 c) 410 d) 400,5 e) 390 11. En una discoteca un alumno decide tomar el tiempo que permanece girando un disco de 45 RPM obteniendo un tiempo de 4 minutos. Si luego se vuelve a tocar el mismo disco pero por error a 78 RPM. Calcular el tiempo que demora en tocarse. a) 2 min b) 1 min c) 50 s d) 1,5 min e) Más de 2 min 12. Si la rueda de 10 cm gira con una velocidad angular constante de 20 rad/s. ¿Con qué velocidad asciende el bloque? (r = 5 cm) a) 20 cm/s b) 30 c) 40 d) 50 e) N.A. 13. Si la polea “A” gira con una velocidad angular de 20 p rad/s, ¿Con qué velocidad angular gira la polea “B”. RA = 20 cm; RB = 60 cm?
a) p rad/s b) 2 c) 3 d) 4 e) N.A. 14.Si la polea “A” gira a razón de 10 rad/s. Hallar la velocidad de la polea “C”. RA = 20 cm, RB = 15 cm, RC = 5 cm.
a) 10 rad/s b) 20 c) 30 d) 40 e) 50 15. Si el bloque “A” tiene una 60 cm/s, ¿cuál será la velocidad de “B”? Las poleas son solidarias.
velocidad
de
a) 10 cm/s b) 20 c) 40 d) 60 e) 80 16. En el instante mostrado el bloque desciende con una velocidad de 0,4 m/s. ¿Cuál es la velocidad angular de la polea (3) en ese instante? r1 = 20 cm; r2 = 30 cm y r3 = 40 cm a) 0,6 rad/s b) 1,8 c) 2,1 d) 1,5 e) 0,3 17. Halle la velocidad lineal de un punto “P” de la Tierra si sena = 3/8 y radio de la Tierra es 6 400 km. a) p km/h b) 200p c) 140p d) 280p e) p/20 18. Desde “A” se suelta la esferita y luego la “B” empieza a girar simultáneamente partiendo desde “B”. Hallar la rapidez angular aproximada de la segunda si chocan con “C”. (g = 10 m/s2) a) 0,6p b) 0,7p c) 0,8p d) 0,9p e) p 19. Una esfera de radio “R” está girando con una constante alrededor de su eje diametralmente AB. Determinar la relación de rapideces lineales en los p untos “P” y “Q”. a) d) e)
b)
c)
20. Se dispara una bala con una rapidez de V = 200 m/s contra un cascarón esférico de papel que gira con movimiento uniforme respecto a un diámetro vertical sabiendo que el radio del cascarón es 10 m, calcular la mínima rapidez angular (en rad/s) con que deberá girar el cascarón para que el proyectil haga un solo agujero. La trayectoria de la bala paso por el centro de la esfera.
a) 10 d) 40p e) 30p
p
b)
5p
c)
20p
21. Desde los bordes de una plataforma circular con un cañon se dispara un proyectil con V = ( 5 i + 2 j ) m/s en el preciso instante en que la plataforma empieza a girar con velocidad angular constante, como se muestra en la figura. Si al caer el proyectil impacta sobre el cañon, calcule la rapidez angular mínima de la plataforma. a) p d) 2,5p e) 0,25p
rad/s
b)
1,5p
c)
2p
1. El movimiento circular uniforme ___________________ es aquel que desarrolla una trayectoria __________________. 2. En todo M.C.U. siempre existen ______ desplazamientos: a) Desplazamiento ______________________ b) Desplazamiento ______________________ 3. En todo M.C.U. existen ____ velocidades. La velocidad ____________ mide el ángulo barrido en un intervalo de tiempo. La fórmula de la “w” es: 4. De donde se puede obtener dos relaciones adicionales: q = ________ ´ _________ t = ____________ Donde:
5. La velocidad _________ mide el arco recorrido en un intervalo de tiempo; la fórmula de la “V” es : , de donde se puede obtener dos relaciones adicionales: S = ________ ´ __________ t ___________ Donde: El _____________ indica el tiempo que demora en dar una vuelta. Su unidad es el _____________. La _____________ indica la relación entre el número de vueltas y el intervalo de tiempo. ______________________
sus unidades: _________________________ _________________________ _________________________ Es la relación entre la frecuencia y el periodo: Relación entre la “w” y la “f”: si “f” está en ______________________ si “f” está en _____________________ w = ____________________________ f ó w = _______________________ En todo M.C.U. existirá una ________________ que produce el cambio de ___________ de la velocidad del móvil en todo instante. La fórmula de la aceleración ______________________ es: _________________ ____________ ´ _____________ _________________ _________________ Las velocidades de la aceleración centrípeta es ________________ la dirección de la aceleración centrípeta es ____________________ y siempre dirigido hacia el _______________. Transmisión del movimiento
