Cap¶³tulo 4 Transformada de Laplace
4.1
Introducci¶ on.
M
at em
at
ic
a1
.c
om
Vamos a introducir en este tema una herramienta u ¶til en la resoluci¶on de ecuaciones diferenciales y sistemas de ecuaciones diferenciales. La transformada de Laplace es un operador (act¶ ua sobre funciones dando lugar a otras funciones) cuya principal propiedad es transformar las derivadas de una funci¶ on en potencias. En el caso particular de las ecuaciones lineales de coe¯cientes constantes, este operador transforma la ecuaci¶on en un polinomio o una funci¶on racional cuyas \ra¶³ces" ( que van a ser funciones) nos van a proporcionar las soluciones de la ecuaci¶on. Resulta especialmente u ¶til cuando en la ecuaci¶ on intervienen funciones peri¶odicas, o un tipo particular de funciones denominadas funciones escal¶on y funciones impulso, que aparecen en problemas de fuerzas, ondas y corrientes el¶ectricas.
ww w.
4.1.1 De¯nici¶ on.- Sea f : [0; 1) 7 ¡! R una funci¶on de¯nida para t ¸ 0. Se denomina transformada de Laplace de f a la funci¶on F(p) de¯nida por: F(p) =
Z
1
e¡pt f (t)dt =
0
= lim
Z
b!1 0
b
e¡pt f (t)dt
cuyo dominio es el conjunto de valores p 2 R para los cuales la integral impropia es convergente. 9 Observaci¶ on: ² Si la integral anterior diverge para un valor de p, entonces la transformada no est¶a de¯nida en ese punto. ² La funci¶on f se denomina funci¶on objeto y la funci¶on F se denomina funci¶on imagen.
44
² La funci¶on F se denota tambi¶en por L(f ). Ejemplos: 1. L(1)(p) =
1 p
si p > 0.
Si p > 0, L(1)(p) = lim
b!1
Rb 0
Si p · 0, L(1)(p) = lim b!1 mada. n! pn+1
2. L(tn )(p) =
e¡pb b!1 ¡p
e¡pt dt = lim
Rb 0
+
1 p
= 1p :
e¡pt dt = 1, por tanto, no est¶a de¯nida la transfor-
si p > 0.
Se obtiene este resultado aplicando el principio de inducci¶ on completa: Para n=1, si p > 0, L(t)(p) = lim
Rb
e¡pt tdt = (integrando por partes) =
lim
=
1 : p2
be¡pb b7 !1 ¡p
R1
+
0
e¡pt dt p
¡pb
= lim ¡ e p2 b7 !1
b7 !1 + p12
0
Si p · 0 la integral diverge.
(n¡1)! pn
si p > 0, entonces
b7 !1 1 p¡a
+ np L(tn¡1 )(p) =
n! pn+1
si p > 0
si p > a. (la demostraci¶on se deja como ejercicio).
em
3. L(eat )(p) =
p
at ic a1
n e¡ pb
L(tn )(p) = lim ¡ b
.c
om
Si lo suponemos cierto para n-1, es decir L(tn¡1 )(p) = integrando por partes se obtiene:
M at
4. Igualmente, se puede demostrar utilizando la de¯nici¶on que:
ww
w.
L(cos bt)(p) = L( sen bt)(p) =
p + b2
si p > 0
b p2 + b2
si p > 0
p2
4.1.2 Proposici¶ on.- (Linealidad de la transformada). Sean f; g : [0; 1) 7 ¡! R; si existen F(p) y G(p) y ®; ¯ 2 R, entonces existe L(®f + ¯g)(p) y se tiene que: L(®f + ¯g)(p) = ®F(p) + ¯G(p) Esta propiedad se obtiene directamente de la de¯nici¶ on de transformada y de las propiedades de las integrales impropias. 10 Observaci¶ on: La propiedad anterior nos permite calcular, por ejemplo, la transformada de un polinomio, de forma f¶acil.
45
4.2
Condiciones de existencia de transformadas.
Puesto que la transformada de Laplace es una integral impropia, las condiciones de existencia se basan en las condiciones para la existencia de integrales impropias, que se han estudiado en Matem¶aticas II; en particular, utilizaremos los criterios de comparaci¶on y el concepto de convergencia absoluta. Para trabajar con funciones que tienen transformada de Laplace, vamos a de¯nir dos tipos particulares de funciones : 4.2.1 De¯nici¶ on.- Una funci¶on f : [0; 1) 7 ¡! R se dice continua a trozos si para cada b > 0, la funci¶on f tiene a lo sumo un n¶ umero ¯nito de discontinuidades en [0; b] y todas son de salto ¯nito.
a1
.c
om
11 Observaci¶ on: Se vi¶o el curso anterior que las funciones continuas a trozos en intervalos acotados son integrables. Como si f es continua a trozos, e¡pt f (t) tambi¶en R lo es, resulta que para todo b > 0, existe 0b e¡pt f (t)dt. Para que exista la integral impropia es necesario adem¶as que jf (t)e¡pt j tienda a 0 en 1, pero ya se vi¶o el curso anterior que esto no es su¯ciente. Por ello, vamos a de¯nir otro tipo de funciones y R a dar un criterio para que la integral impropia 01 e¡pt f (t)dt converja.
em
at
ic
4.2.2 De¯nici¶ on.- Una funci¶on f : [0; 1) 7 ¡! R se dice que es de orden exponencial c, si existen t0 ¸ 0 y M > 0, tales que: para cada t ¸ t0 .
at
jf (t)j · M ect
ww w.
M
En el caso de que f sea de orden exponencial c, se tiene que: je¡pt f (t)j · Me¡(p¡c)t
si t ¸ t0 :
Si adem¶as f est¶a acotada en [0; t0 ], se puede encontrar una constante K > 0 tal que je¡pt f (t)j · Ke¡(p¡c)t si t ¸ 0 4.2.3 Teorema.- Sea f : [0; 1) 7 ¡! R una funci¶on continua a trozos y de orden exponencial c. Entonces: 1. Existe F(p) si p > c. 2. lim F(p) = 0. p7 !1
Demostraci¶on: Teniendo en cuenta la observaci¶on anterior, como f(t) es una funci¶on acotada en cada intervalo cerrado (por ser continua a trozos), existe una constante K > 0 tal que si t ¸ 0. je¡pt f (t)j · Ke(c¡p)t ;
46
R
K Si p > c, entonces 01 Ke¡(p¡c)t dt = KL(1)(p ¡ c) = p¡c Por tanto, aplicando el criterio de mayoraci¶on para integrales impropias, existe la R integral 01 je¡pt f (t)jdt para p > c y se deduce la existencia de la transformada de Laplace. R R K Adem¶as, 0 · 01 je¡pt f (t)jdt · 01 Ke(c¡p)t dt = p¡c . 2 y por tanto lim F(p) = 0. p7 !1 Como consecuencia del teorema se tiene:
² si Á(p) es una funci¶on que depende de p y no veri¯ca que lim Á(p) = 0, entonces p7 !1 no puede ser la transformada de Laplace de ninguna funci¶ on continua a trozos y de orden exponencial. Se puede probar un resultado m¶as general a¶ un: no puede ser la transformada de Laplace de ninguna funci¶on. En particular, las funciones log p, sen p, cos p, ep y cualquier funci¶on racional en la que el grado del numerador sea mayor o igual que el del denominador, no pueden ser transformadas de ninguna funci¶on de variable real.
R1
at
0
2
e¡x dx =
Z
ww
w.
M
y teniendo en cuenta que 1, se tiene que
em
at ic
a1
.c
om
² Las hip¶otesis del teorema son condiciones su¯cientes, pero no necesarias; por ejemplo, la funci¶on t¡1=2 no es continua a trozos en [0; 1), pero si p > 0, mediante el cambio de variable pt = u2 se obtiene: Z b Z ppb 2 2 e¡pt t¡1=2 dt = p e¡u du p 0 0
1
e
p
¼ , 2
¡pt ¡1=2
t
0
tomando l¶³mites cuando b tiende a
dt =
s
¼ : p
² No todas las funciones poseen transformada de Laplace, por ejemplo la funci¶ on x2 e veri¯ca que lim ex
x7 !1
2 ¡px
=1
para cualquier valor de p
y por tanto la integral impropia correspondiente a la transformada de Laplace no converge para ning¶ un valor de p. (Esta funci¶on es tambi¶en un ejemplo de funci¶on que no es de ning¶ un orden exponencial).
4.3
Transformada de derivadas e integrales.
4.3.1 Teorema.- Sea f : [0; 1) 7 ¡! R una funci¶on de clase 1 y de orden exponencial c. Entonces para todo p > c existe F(p) y L(f 0 )(p) y se tiene: L(f 0 )(p) = pF(p) ¡ f (0)
47
4.3.2 Teorema.- Sea f : [0; 1) 7 ¡! R una funci¶on de clase n y de orden exponen0 00 n¡1) son tambi¶en de orden exponencial c, entonces existen sus cial c. Si f ; f ; : : : ; f transformadas para todo p > c y se cumple: L(f n) )(p) = pn F(p) ¡ pn¡1 f (0) ¡ pn¡2 f 0 (0) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ f n¡1) (0): 4.3.3 Teorema.- Sea f : [0; 1) 7 ¡! R una funci¶on continua y de orden exponencial c. Si la funci¶on Z t g(t) = f (u)du 0
es tambi¶en de orden exponencial c, entonces para todo p > c existen F(p) y L(g)(p) y se veri¯ca: 1 L(g)(p) = F(p): p 4.3.4 Teorema.- (Teorema del valor inicial) Si a las hip¶otesis del teorema 4.3.1 a~ nadimos que f 0 sea de orden exponencial c, se cumple: lim f (t) = lim pL(f )(p):
1.c
om
p!1
t!0+
ic a
4.3.5 Teorema.- (Teorema del valor ¯nal) Si a las hip¶otesis del teorema anterior a~ nadimos que c < 0 se cumple:
at
lim f (t) = lim pL(f )(p):
t!1
em
at
Teoremas operacionales.
M
4.4
p!0+
ww
w.
Permiten calcular m¶as r¶apidamente la transformada de Laplace de ciertas funciones. 4.4.1 Teorema.- Primer teorema de traslaci¶ on (Trasladada de la funci¶ on imagen). Si existe la transformada de Laplace de la funci¶on f en un punto p ¡ a (a 2 R), entonces existe L(eat f (t))(p) y L(eat f (t))(p) = F(p ¡ a): (Demu¶estrese a partir de la de¯nici¶on de transformada). Consecuencia: Permite calcular la transformada de una exponencial multiplicada por otra funci¶on que tenga transformada. Por ejemplo: L(eat sen (t))(p) =
1 (p ¡ a)2 + 1
(p ¡ a) (p ¡ a)2 + 1 Antes de ver otros resultados, introduciremos algunas funciones importantes: L(eat cos(t))(p) =
48
4.4.2 De¯nici¶ on.- (Funci¶on de Heaviside) Se de¯ne como ( 0 si t < 0 u(t) = 1 si t ¸ 0 Para cada p > 0 existe L(u)(p) = p1 . 4.4.3 De¯nici¶ on.- (Funci¶on escal¶on) Si a > 0 se de¯ne la funci¶on escal¶on en a como: ua (t) =
(
0 si t < a = u(t ¡ a) 1 si t ¸ a
4.4.4 Proposici¶ on.- Para cada p > 0 existe e¡pa : L(ua )(p) = p Demostraci¶on: En efecto, 1
0
e¡pt ua (t)dt =
1 ¡a
e¡p(s+a) u(s)ds =
Z
em
Z
1
e¡pa e¡ps u(s)ds =
0
e¡pa p 2
at
=
at ic
(haciendo el cambio de variable s = t ¡ a)
.c om
Z
a1
L(ua )(p) =
ww
w.
M
4.4.5 De¯nici¶ on.- (Funci¶on impulso unitario.) Si a; b > 0 se de¯ne la funci¶on impulso unitario en [a; b] como: 8 > > < 0 si t < a
ua;b (t) = > 1 si a · t · b > : 0 si t ¸ b 4.4.6 Proposici¶ on.- Para cada p > 0 existe L(ua;b )(p) =
e¡pa ¡ e¡pb : p
Demostraci¶on: En efecto, la funci¶on ua;b (t) se puede escribir como ua ¡ ub y de ah¶³ se deduce el valor de la transformada. 2 4.4.7 Teorema.- Segundo teorema de traslaci¶ on (Trasladada de la funci¶ on objeto). Sea f una funci¶on real de¯nida en R; si existe F(p) y a > 0, existe L(ua (t)f (t ¡ a))(p) = e¡ap L(f )(p):
49
Demostraci¶on: L(ua (t)f (t ¡ a))(p) =
Z
1
0
e¡pt ua (t)f (t ¡ a)dt =
= ( haciendo el cambio de variable s=t-a) = =
Z
1
0
Z
1 ¡a
e¡p(s+a) u(s)f (s)ds
e¡ps e¡pa f (s)ds = e¡pa L(f )(p): 2
12 Observaci¶ on: 1. El efecto de considerar la funci¶ on f (t ¡ a) en lugar de f (t) es una traslaci¶on de la funci¶on al punto a. 2. El efecto de multiplicar a la funci¶on f (t ¡ a) por ua (t) es que se anula la funci¶on a la izquierda de a.
a1
.c om
3. De hecho, si se trabaja con funciones f : [0; 1) 7 ¡! R, para poder de¯nir L(ua (t)f (t ¡ a))(p) con a > 0 es necesario prolongar f a [¡a; 0]. Esta prolongaci¶on se hace habitualmente asignando el valor 0 a la funci¶on en este intervalo.
at e
m
at ic
4.4.8 Teorema.- Cambio de escala. Si existe L(f ) en ap , siendo a > 0, entonces existe L(f (at))(p) y esta transformada vale 1 p L(f )( ) a a
ww
w.
M
La demostraci¶on es una simple aplicaci¶on de la de¯nici¶on de transformada. Consecuencias: 1. Permite calcular f¶acilmente algunas transformadas. 2. Un cambio de escala en la funci¶on objeto produce un cambio de escala inverso en la funci¶on imagen.
4.5
Aplicaci¶ on a las ecuaciones diferenciales de coe¯cientes constantes.
Dada la ecuaci¶on
y 00 + ay 0 + by = f (x) y(0) = y0 0 y (0) = y1
9 > > = > > ;
se busca una soluci¶on y = y(x) ( es decir, una funci¶on dos veces derivable en un intervalo [a,b] que contenga a 0, y que cumpla la ecuaci¶ on en dicho intervalo).
50
Si f(x) es continua a trozos y de orden exponencial se puede demostrar ( no lo haremos) que las funciones y; y 0 ; y 00 cumplen las mismas propiedades. Entonces, considerando la transformada a ambos lados de la ecuaci¶on, se tiene: L(y 00 + ay 0 + by)(p) = L(f (x))(p) es decir, p2 Y(p) ¡ py0 ¡ y1 + a(pY(p) ¡ y0 ) + bY(p) = F(p) que es una ecuaci¶on algebr¶aica en Y. Despejando, se obtiene la transformada de la funci¶on y: F(p) + (p + a)y0 + y1 Y(p) = p2 + ap + b
Ejemplo: Dado el problema
ic a1
9
.c om
Se puede demostrar que dos funciones continuas con id¶entica transformada son iguales [Dettman, pg. 308], por tanto, si encontramos una funci¶on h(x), dos veces derivable en [a,b] y cuya transformada coincida con Y(p), ser¶a la soluci¶on buscada de la ecuaci¶on diferencial.
em
at
y 00 + 4y = 4x > > = y(0) = y0 > > y 0 (0) = y1 ;
at
Aplicando el m¶etodo anterior se obtiene:
ww w.
M
1 Y(p) = 2 p +4
Ã
4 + py0 + y1 p2
!
La funci¶on y(x) = y0 cos 2x + y21 sen 2x + x ¡ 12 sen 2x tiene por transformada Y(p) y se puede comprobar que es la soluci¶on buscada. El problema que nos queda por resolver es, dada Y(p), >c¶omo encontrar una funci¶on dos veces derivable, cuya transformada sea ¶esta?.
4.6
M¶ etodo de fracciones simples para el c¶ alculo de la transformada inversa de Laplace.
Llamamos transformada inversa de Laplace de la funci¶on Y, a una funci¶on su¯cientemente regular y(x) tal que L(y(x))(p) = Y(p). Hemos observado hasta ahora que la mayor parte de las transformadas son funciones racionales Q(p) con grado del denominador mayor que el del numerador. El m¶etodo R(p) de fracciones simples consiste en descomponer esta funci¶on racional en fracciones simples y determinar la antitransformada de cada una, obteniendo como soluci¶on la
51
suma de las antitransformadas. Para aquellas funciones que no son racionales, en algunos casos, se pueden aplicar las propiedades de derivaci¶on e integraci¶on de la transformada para obtener la antitransformada (cuando la derivada o la primitiva de tales funciones sea racional). En la tabla de antitransformadas pueden observarse las antitransformadas de todos los tipos de fracciones simples existentes: 1 p¡a
1 (p¡a)n 1 ((p+A)2 §B 2 )n
1 (p+A)2 §B 2
4.7
Aplicaci¶ on a las ecuaciones diferenciales lineales con coe¯cientes que son polinomios de grado 1.
Derivadas e integrales de transformadas.
.c o
m
4.7.1 Teorema.- Sea f : [0; 1) 7 ¡! R una funci¶on continua y de orden exponencial n c. Entonces para todo p > c existen L((¡t)n f (t))(p) y d dpF(p) y: n
a1
dn F(p) L((¡t) f (t))(p) = dpn
at ic
n
em
4.7.2 Teorema.- Si f : [0; 1) 7 ¡! R y f (t) son funciones continuas a trozos y de t orden exponencial c. Entonces para todo p > c
w.
M
at
Z 1 f (t) )(p) = L( F(s)ds: t p
ww
4.7.3 Proposici¶ on.- Con las mismas hip¶otesis del teorema anterior, si podemos hacer p=0, se obtiene: lim+ L(
p!0
Z 1 f (t) )(p) = F(s)ds: t 0
Aplicaci¶ on: La ecuaci¶on: A(x)y 00 + B(x)y 0 + C(x)y = R(x) donde A,B y C son polinomios de grado uno, se puede resolver utilizando la transformada de Laplace; ¶esta convierte la ecuaci¶on en una ecuaci¶on diferencial lineal de primer orden en L(y). Resolvi¶endola, se obtiene L(y), y antitransformando se obtiene la soluci¶on de la ecuaci¶on.
52
4.8
Otras propiedades
Producto de convoluci¶ on. 4.8.1 De¯nici¶ on.- Sean f y g funciones integrables. Se de¯ne la funci¶ on convoluci¶on de f y g, que denotaremos f ¤ g, como la funci¶on de¯nida por (f ¤ g)(t) =
Z
t
0
f (s)g(t ¡ s)ds
4.8.2 Teorema.- Si f y g son continuas a trozos y de orden exponencial c, entonces existe L(f ¤ g)(p) para p > c y L(f ¤ g)(p) = L(f )(p)L(g)(p): Consecuencia: Este teorema permite encontrar la antitransformada de ciertas funciones sin necesidad de descomponer en fracciones simples, como por ejemplo:
m
2 + 4)
a1
.c o
p(p2
em
at
ic
cuya antitransformada es la convoluci¶on de las funciones 1 y sen (2t). Tambi¶en permite obtener otras antitransformadas como la de la funci¶on: 1 + 1)2
at
(p2
ww w.
M
como convoluci¶on de la funci¶on sen t consigo misma. Funciones peri¶ odicas.
4.8.3 Teorema.- Si f : [0; 1) 7 ¡! R es una funci¶on de periodo T y continua a trozos en [0,T], existe su transformada de Laplace para p > 0 y RT 0
L(f )(p) =
e¡pt f (t)dt 1 ¡ e¡pT
Demostraci¶on: Por ser continua a trozos en [0,T] y peri¶odica, es de orden exponencial 0. Entonces, si p > 0, se tiene: L(f )(p) =
Z
1
e
¡pt
f (t)dt =
0
Z
T
¡pt
e
0
f (t)dt +
Z
1
e¡pt f (t)dt =
T
(haciendo el cambio de variable s = t ¡ T ) =
Z
0
T
e¡pt f (t)dt +
Z
1 0
53
e¡p(s+T ) f (s + T )ds =
=
Z
T
e
¡pt
¡pT
f (t)dt + e
Z
1
e¡ps f (s)ds:
0
0
Despejando, se obtiene el resultado. Ejemplo: R 2¼ ¡pt e sen tdt 1 L( sen t)(p) = 0 = : ¡2¼p 1¡e 1 + p2
4.9
2
Delta de Dirac
A menudo los sistemas mec¶anicos o el¶ectricos est¶an sometidos a fuerzas de gran magnitud que act¶ uan durante un intervalo de tiempo muy peque~ no. Vamos a construir funciones que nos pueden servir de modelo para tales fuerzas: Para ² > 0, consideremos 8 1 > > si a < t < a + ² > < ² ±² (t ¡ a) = > > > :
t·a
si
¶o t ¸ a + ²
.c
om
Conviene observar:
0
Z
1 ¡1
±² = 1 µ
em
2.
at ic
a1
1. La variaci¶on de las gr¶a¯cas de las funciones ±² cuando ² se hace cada vez m¶as peque~ no.
¶
"
M at
1 e¡ap e¡(a+²)p 1 3. L(±² ) = L (u(t ¡ a) ¡ u(t ¡ (a + ²))) = ¡ ² ² p p
#
ww
w.
4. Cuando ² ! 0, no tiene sentido lim²!0 ±² (t ¡ a) como una funci¶on propiamente dicha, pero podemos considerar una \especie de funci¶ on" de¯nida como ±(t ¡ a) = lim ±² (t ¡ a) ²!0
que vale in¯nito en el punto a y 0 en los restantes. La llamaremos \delta de Dirac" en el punto a, y la manejaremos por sus propiedades: (a) (b)
Z
1
¡1
±=1 L(±(t ¡ a)) = L(lim ±² ) = lim L(±² ) = ²!0
²!0
e¡ap (1 ¡ e¡²p ) = e¡ap ²!0 ²p
= lim
(en el u ¶ltimo paso hemos aplicado la regla de L'H^opital). En particular cuando a = 0, L(±(t)) = 1
54
ww w.
M at
em
at ic
a1
.c om
Observemos que limp!1 L(±(t))(p) 6 ! 0, lo que nos corrobora que, en efecto, la delta de Dirac no es una funci¶on. Por otra parte, la delta se puede considerar una \especie de derivada" de la funci¶on u escal¶on.
55
Tabla de transformadas f (t)
L(f (t))(p) = F(p)
1
1 p
si p > 0
n! pn+1
si p > 0
t
v u u t
si p > 0
sen bt
b p2 + b2
si p > 0
p p2 + b2
si p > 0
tn
n = 1; 2; : : :
.c
at ic a1 ww
w.
M
at em
cos bt
sh (bt)
¼ p om
¡1=2
ch (bt)
b p2 ¡ b2
si p > jbj
p p2 ¡ b2
si p > jbj
u
1 p
si p > 0
ua
e¡pa p
si p > 0
±(t ¡ a)
e¡pa
si p > 0
56
Tabla de propiedades L(f (t))(p) = F(p)
f (t) f0
pF(p) ¡ f (0)
f n)
pnF(p) ¡ pn¡1f (0) ¡ pn¡2f 0(0) ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ f n¡1)(0)
Z t
0
1 F(p) p
f (u)du
1 p F( ) a a
a1
.c
om
f (at)
at M
Z 1
p
ww w.
eatf (t)
em at
(¡t) f (t) f (t) t
dnF(p) dpn
ic
n
F(p ¡ a) e¡apF(p)
u(t ¡ a)f (t ¡ a) Z t
0
f
F(u) du
f (u)g(t ¡ u) du
F(p)G(p) RT
0
T-peri¶odica
57
e¡ptf (t)dt 1 ¡ e¡pT
4.10
Ejercicios:
1. Si f : [0; 1) 7 ¡! R es una funci¶on de orden exponencial c y g : [0; 1) 7 ¡! R es de orden exponencial d, >de qu¶e orden exponencial es f + g y f g?. 2. Demostrar que si limt7 !1
jf (t)j ect
es ¯nito, entonces f es de orden exponencial c.
3. Calcular la transformada de Laplace de las funciones siguientes: (a) f (t) = [t] ¡ t donde [t] denota la parte entera de t. (b) f (t) = [t] ( poner esta funci¶on como suma de dos funciones cuya transformada de Laplace sea conocida). (c) f (t) =
(
1 0
(d) f (t) = j sen tj.
si t 2 [na; (n + 1)a] con n 2 N par (onda cuadrada). si t 2 [na; (n + 1)a] con n 2 N impar
4. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
at
ic
(c) y 00 + 2y 0 + 2y = 2, y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
a1
(b) y 00 ¡ 4y 0 + 4y = 0, y(0) = 0, y 0 (0) = 3.
.c o
m
(a) y 0 + y = 3e2t , y(0) = 0.
em
(d) y 00 + y 0 = 3t2 , y(0) = 0, y 0 (0) = 1.
at
(e) y 00 + 2y 0 + y = u1 (t) ¡ 2u2 (t) + u3 (t), y(0) = y 0 (0) = 0.
M
(f) ty 00 + (2t + 3)y 0 ¡ (4t + 9)y = 0, y(0) = 1.
ww w.
(g) ty 00 + (3t ¡ 1)y 0 + 3y = 6e¡3t , y(0) = 1, y(5) = 2. 5. Utilizando la propiedad de la transformada de Laplace: ¡
d L(f )(p) = L(tf (t))(p); dp
encontrar la antitransformada de las funciones siguientes (se sugiere derivar estas funciones, antitransformar y aplicar la propiedad mencionada): (a) arctg 1p . (b) log (c) log
³ ³
p¡3 p+1
´
p2 +1 p2 +4
.
´
.
6. La de°exi¶on est¶atica en una viga rectil¶³nea uniforme de longitud L que soporta una carga w(x) por unidad de longitud, se obtiene a partir de la ecuaci¶ on diferencial: EIy iv) (x) = w(x)
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en donde E es el m¶odulo de elasticidad del material e I es el momento de inercia de una secci¶on transversal de la viga. Para una viga en voladizo empotrada en su extremo izquierdo (x=0) y libre en su extremo derecho (x=L), se tiene que Y(x) debe satisfacer: y(0) = 0, y 0 (0) = 0, y 00 (L) = 0, y 000 (L) = 0.
ww
w.
M
at
em
at
ic
a1
.c om
Las dos primeras condiciones expresan que la de°exi¶ on est¶atica de la viga y la pendiente son cero en x = 0 y las dos u ¶ltimas dicen que el momento °exionante y la fuerza cortante son 0 en x = L. Usar la transformada de Laplace para determinar la soluci¶on y(x) de este problema de contorno, cuando una carga constante w0 se distribuye uniformemente a lo largo de la viga, es decir, cuando w(x) = w0 , 0 · x · L.
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