BAB 7 MOMEN, KEMIRINGAN DAN KERUNCINGAN KERUNCINGAN
A. Momen Misalkan diberikan variable
dengan harga- harga :
1 ,2 ,….,
. Jika A = sebuah
bilangan bilangan tetap dan r = 0, 1, 2…, 2…, n maka momen ke-r sekitar A, disingkat didefinisikan oleh hubungan :
′
,
∑ ′ = ………………. 1 ∗ = ∑ =1 = ∑
Menurut Gasperz Gasp erz (1989:87) (1989:87)
Dimana d = X - A
Menurut Amudi Pasaribu (1975:123),
1 ℎ = = ℎ
Untuk A = 0 didapat momen ke-r sekitar nol atau disingkat momen ke-r (momen sekitar titik asal):
∑ = …………….. 2 ∑ ∑ + + ⋯+ =1 1 2 = = = ℎ 1 ℎ = = ∑ = ………………. 3 ∑ ∑ =1 = =
Menurut Gasperz Gasp erz (1989:87) (1989:87)
௰
Menurut Amudi Pasaribu (1975:122),
Dari rumus (2) maka untuk r =1 didapat rata-rata momen ke-r sekitar rata-rata, biasa disingkat dengan
. Jika A =
. Jadi didapat :
kita peroleh
Menurut Gasperz (1989:87)
Momen, Kemiringan, Kemiringan, dan Keruncingan Keruncingan
Page 1
Menurut Amudi Pasaribu (1975:123),
1 ℎ = = ℎ 2 dan untuk momen sampel dan untuk momen populasi jika adalah statistik sedangkan adalah parameter. Untuk r =2, rumus (3) memberikan varians
.
Untuk membedakan apakah momen itu untuk sampel atau populasi maka dipakai simbol: µ
′
µ
.
′
µ
′
µ
′
Jika data telah disusun dalam dalam bentuk distribusi frekuensi, maka rumus-
rumus diatas berturut-turut berbentuk :
∑ ′ = ………………. 4
Menurut Gasperz (1989:91),
∑ = ∑ =1 ∗ =
1 ℎ = = ℎ ∑ = …………….. 5 ∑ =1 + + ⋯+ 2 ∑ 1 2 1 = = = ℎ 1 ℎ = = ∑ = ………………. 6 = ∑ , = = ∑ ∑ =1 = =
Menurut Amudi Pasaribu (1975:123),
㐳
Menurut Gasperz (1989:91)
Menurut Amudi Pasaribu (1975:122),
Menurut Gasperz (1989:91)
〱
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 2
Menurut Pasaribu (1975:123),
1 ℎ = = ℎ ∑ ′ = ………………. 7 ∗ = ∑ =1
Dengan menggunakan cara sandi, rumus empat menjadi :
Dengan p = panjang kelas interval,
= variable sandi.
Menurut Gasperz (1989:91)
′ 2 2 = 2′ ′1 3 3 = 3′ 3′1 ′2 +2′1 2 4 = 4′ 4′1 ′3 +6′1 ′2 +3′1 4 1 = 0 ∗ ∗ 2 2 = 2∗ 1∗ ∗ ∗ 3 3 = 3∗ 31∗2∗ + 21∗2 ∗ ∗ 4 4 = 4 412 + 61 2 31 Dari
, harga-harga
untuk beberapa r, dapat ditentukan berdasarkan hubungan :
Menurut Gasperz (1989:96)
Contoh: Untuk menghitung empat buah momen sekitar rata-rata untuk data dalam daftar distribusi frekuensi, kita lakukan sebagai berikut. DATA 60 – 62
5
63 – 65
-2
-10
20
-40
80
18
-1
-18
18
-18
18
66 – 68
42
0
0
0
0
0
69 – 71
27
1
27
27
27
27
72 – 74
8
2
16
32
64
128
jumlah
100
0
15
97
33
253
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 3
Dengan menggunakan rumus (7) maka :
1 ∑ 1 1′ = = 3 10015 = 0,45 2 ∑ 2 2′ = = 32 10097 = 8,73 3 ∑ 3 3′ = 4 = 33 10033 = 8,91 4′ = 4 ∑ = 34 210053 = 204,93 2 = 2′ ′1 2 = 8,730,3 452 = 8,53 3 = 3′ 3′1 ′2 +2′1 2 = 8,91340,458,73 +20,453 = 2,69 4 = 4′ 4′1 ′3 +6′1 ′2 +3′1 2 = 204,93420, =458, =938,5+63 0,45 8,73 +30,454 = 199,38 2 Sehingga dengan menggunakan hubungan di atas :
Dari hasil ini didapat varians
B. Kemiringan (Kemencengan) Hasan (2009:125) menyatakan kemencengan atau kecondongan ( skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Menurut Somantri (2006:147), ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi. Menurut Gasperz (1989:98), ukuran kemenjuluran atau kemencengan ( skewness) merupakan suatu ukuran yang menunjukkan sejauh mana pergeseran dari bentuk yang simetri untuk suatu sebaran atau distribusi. Sedangkan menurut Herrhyanto dan Hamid (2008 : 6.2), ukuran kemiringan adalah ukuran yang menyatakan sebuah model distribusi yang mempunyai kemiringan tertentu. Jadi ukuran kemiringan adalah suatu ukuran yang dapat digunakan untuk menentukan miring tidaknya suatu kurva distribusi dibandingkan dengan bentuk yang simetri.
C. Keruncingan atau Kurtosis Keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. (Hasan, 2009:137). Menurut Gasperz (1989: 104), kurtosis adalah suatu ukuran tentang keruncingan dari sebuah sebaran, yang biasanya dibandingkan dengan sebaran normal. Menurut Somantri
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 4
(2006:151), kurtosis merupakan tingkat menggunungnya suatu distribusi, yang umumnya dibandingkan dengan distribusi normal”. Sedangkan menurut Herrhyanto dan Hamid (2008 : 6.12), kurtosis adalah derajat kepuncakan dari suatu distribusi, biasanya diambil relatif terhadap distribusi normal. Jadi keruncingan adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi, yang biasanya dibandingkan dengan distribusi normal.
D. Koefisien Momen Kemiringan Untuk mengetahui
bahwa konsentrasi distribusi menceng ke
kanan
atau
menceng ke k iri, dapat digunakan metode-metode berikut : 1. Koefisien Kemencengan Pearson Koefisien Kemencengan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. (Hasan, 2009:126). Koefisien Kemencengan Pearson d irumuskan sebagai berikut:
=
Keterangan :
sk = koefisien kemencengan Pearson s = simpangan baku
= modus
Apabila secara empiris d idapatkan hubungan antar nilai pusat sebagai :
= 3 = 3
Maka rumus kemencengan diatas dapat diubah menjadi:
2. Koefisien Kemencengan Bowley Koefisien kemencengan Bowley berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil (Q1, Q 2 dan Q3) dari sebuah distribusi. (Hasan, 2009:125). Begitu pula menurut Gasperz (1989:101) bahwa “Bowley (A.L Bowley) mendasarkan rumusnya pada nilai-nilai kuartil dari suatu sebaran (distribution)”. Koefisien kemencengan Bowley dirumuskan :
2 1 = 33 22 +2 1
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 5
= 2− +
Keterangan : sk B =
koefisien kemencengan Bowley;
Q=
kuartil
3. Koefisien Kemencengan Persentil Gasperz (1989:102) mengatakan “Ukuran Kelly merupakan suatu ukuran moderat antara ukuran Pearson yang didasarkan pada semua bagian data dan ukuran Bowley yang didasarkan pada 50% dari bagian data. sebaran antara persentil 90 (
90
Kelly mendasarkan pada
dan persentil 10
. Jadi Koefisien
Kemencengan Persentil didasarkan atas hubungan antar persentil (P 90, P50 dan P10) dari sebuah distribusi (Hasan, 2009:132). Koefisien Kemencengan Persentil dirumuskan :
50 10 = 9090 5050 +50 10 = 2− +
sk P = koefisien kemecengan persentil , P = persentil 4. Koefisien Kemencengan Momen
Koefisien Kemencengan Momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan
pangkat
dilambangkan
tiga
dengan
simpangan α3.
baku.
Koefisien
Koefisien
kemencengan
kemencengan momen
momen
disebut
juga
kemencengan relatif. (Hasan, 2009:133) Menurut Gasperz (1989:103), kemenjuluran relatif α3 digunakan sebagai pengukuran kemenjuluran sekitar rata-rata sebaran teorit is (distribusi teoritis). Menurut Somantri (2006:149), koefisien alpha ketiga merupakan rata-rata penyimpangan data dari rata-ratanya dipangkatkan tiga, dibagi dengan simpangan baku pangkat tiga. Jadi koefisien kemencengan momen adalah nilai perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Untuk mencari nilai α 3, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok. a.
Untuk data tunggal Koefisien kemencengan momen untuk data tunggal dirumuskan sebagai:
á3
1 3 ∑ 3 á3 = 3 = 3
= koefisien kemecengan momen
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 6
Menurut Gasperz (1989:103),
3 = 33 3 = √ 323 1 á3 = 33 = 3 3
捦
Menurut Pasaribu (1975:128),
b.
=1
Untuk data berkelompok
Koefisien kemencengan momen u ntuk data berkelompok dirumuskan
1 3f ∑ xx n 3 α3 = s3 = s3 C ∑f u ∑f u ∑f u ∑f u atau α = s = n 3 n n +2 n 1 á3 = 33 = 3 =1 3 C ∑f u ∑f u ∑f u ∑f u atau α = s = n 3 n n +2 n 〱
Menurut Pasaribu (1975:128),
dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktis dan lebih mudah perhitungannya.
E. Koefisien Momen Keruncingan Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien kurtosis persentil. 1.
Koefisien keruncingan Koefisien keruncingan atau koefisien kurto sis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Untuk mencari nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data kelompo k. a.
Untuk data tunggal
1 4 ∑ xx n α4 = s4 4 = 44 4 = 242
Menurut Gasperz (1989:103),
Menurut Pasaribu (1975:131),
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 7
1 á4 = 44 = 4 =1 4 1 4 ∑ xx n α4 = s4 f ∑fu C ∑f u ∑f u ∑f u ∑f u ∑f u atau α = n = n 4 n n +6 n n 3 n 1 4 á4 = 4 = 4 4
b.
Untuk data kelompok
Menurut Pasaribu (1975:131),
2.
=1
Koefisien kurtosis persentil
Koefisien kurtosis persentil dilambangkan dengan K (kappa). Untuk distribusi normal, nilai K=0,263 . Koefisien kurtosis persentil, dirumuskan :
1 Q Q 2 K = P P
F. Sifat Distribusi Data Berdasarkan Koefisien Momen Kemiringan Dan Koefisien Momen Keruncingan.
1. Sifat Distribusi Data Berdasarkan Koefisien Momen Kemiringan Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median dan modus yang tidak sama besarnya (
≠ ≠
. Sehingga distribusi akan
terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif. Jika nilai sk dihubungkan dengan keadaan kurva maka :
a. b.
= 0 ˃ 0 kanan
kurva memiliki bentuk simetris nilai-nilai
terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak disebelah
) sehingga kurva memiliiki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng
ke kanan atau menceng positif.
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 8
c.
˂ 0 kiri
nilai-nilai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak
disebelah
) sehingga kurva memiliiki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri
atau menceng negatif. Berikut ini gambar kurva dari distribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).
Mo
(a)
Mo
(b)
Gambar 1 Keterangan : Kemencengan Distribusi (a) Menceng ke kanan (b) Menceng ke kiri a. Koefisien Kemencengan Pearson
Contoh soal : Berikut ini adalah data nilai ujian statistik dari 40 mahasiswa sebuah universitas Nilai Ujian
Frekuensi
31 – 40
4
41 – 50
3
51 – 60
5
61 – 70
8
71 – 80
11
81 – 90
7
91 – 100
2
Ju mlah
40
Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemencengannya (gunakan kedua rumus tersebut) !
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 9
Penyelesaian:
X
F
31 – 40
35,5
4
-4
41 – 50
45,5
3
-3
51 – 60
55,5
5
61 – 70
65,5
8
71 – 80
75,5
81 – 90
85,5
91 – 100
95,5
Nilai
Jumlah
11
U
u
16
F
f
-16
64
9
-9
27
-2
4
-10
20
-1
1
-8
8
0
0
0
0
7
1
1
7
7
2
2
4
4
8
40
-32
134
= + ∑∑ = 75,5 +103240 = 75,5 8 = 67,5 ∑ ∑ 1 34 32 = = 10 40 40 = 101,646 = 16,46 1 1 ∑ ( ) 2 2 = + . = 60,5 + 2 4012 8 .10 = 60,5 +10 = 70,5 = + 1 +1 2 . = 70,5 + 3+43 = 70,5 +4,29 = 74,34 = = 67,516,474,6 3 4= 0,42 = 3 = 367,16,54670,5 = 0,5 Dengan menggunakan cara lain :
Oleh karena nilai sk -nya negatif (-0,42) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 10
b. Koefisien Kemencengan Bowley
Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien. Kemencengan.Apabila nilai sk B dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan : a.
Jika Q3 - Q2 = Q2 - Q1 atau Q3 + Q1 - 2Q2 = 0 maka sk B = 0 dan distribusi datanya simetri
b.
Jika Q1 = Q2 maka sk B = 1 dan distribusi datanya miring ke kanan
c.
Jika Q2 = Q3 maka sk B = -1 dan distribusi datanya miring ke kiri
d.
sk B = ± 0,10 menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan sk B> 0,30 menggambarkan kurva yang menceng be r a r t i.
Contoh soal : Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut : Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997
Nilai Ujian
Frekuensi
20,00 – 29,99
4
30,00 – 39,99
9
40,00 – 49,99
25
50,00 – 59,99
40
60,00 – 69,99
28
70,00 – 79,99
5
Ju mla
111
Penyelesaian: Kelas
Kelas
Kelas
1 = 3 1 1 = 1 + 4 (1∑ 1) . = 39,995+ 27,725513 .10 = 45,895 2 = 4 1 ∑ ( ) 2 2 2 = 2 + 2 . = 49,995+ 55,40538 .10 = 54,37 3 = 5 3 (∑ ) 3 4 3 = 3 + 3 . = 59,995+ 83,228578.10 = 61,87
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 11
Karena
+ 6 1, 8 72 54, 3 7 +45, 8 95 2 1 = 3 2 = 3 1 61,8745,895 = 0,06 0,06 negative (
) maka kurva maka kurva menceng ke kiri.
c. Koefisien Kemencengan Persentil
Contoh Soal: Tentukan kemencengan kurva dari distribusi frekuensi berikut: Nilai Ujian Matematika Dasar I dari 111 mahasiswa, 1997
Nilai Ujian
Frekuensi
20,00 – 29,99
4
30,00 – 39,99
9
40,00 – 49,99
25
50,00 – 59,99
40
60,00 – 69,99
28
70,00 – 79,99
5
Ju mlah
111
Penyelesaian: Kelas
10 = 12 10 = + 10 (∑1 1). = 29,995+ 11,914 .10 = 50 = 1 ∑ ( ) 1 2 50 = + 1 . = 49,995+ 55,5938.10 = 69,44 90 = 9 (∑ ) 1 10 90 = + 1 . = 59,995+ 99,9978 .10 = 84,33 + 8 4, 3 32 69, 4 4 +37, 8 85 50 10 = 902 = 9010 84,3337,885 = 0,36 0,36 37,885
Kelas
Kelas
Karena
4
5
negative (
) maka kurva maka kurva menceng ke kiri.
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 12
d. Koefisien Kemencengan Momen
Apabila nilai α3dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan : a. Untuk distribusi simetris (normal), nilai α 3= 0, b. Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai α3 = positif, c. Untuk distribusi menceng ke kiri, nila i α3= negatif, d. Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki nilai α3 > ± 0,50 adalah distribusi yang sangat menceng e. Menurut Kenney dan Keeping, nilai α3 bervariasi antara ± 2 bagi distribusi yang menceng.
2. Sifat Distribusi Data Berdasarkan Koefisien Momen Keruncingan
Berdasarkan keruncingannya, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut : a. Leptokurtik
: Merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif t inggi.
b. Platikurtik
: Merupakan distribusi yang memiliki puncak hampir mendatar
c. Mesokurtik
: Merupakan d istribusi yang memiliki pu ncak tidak tinggi dan
tidak mendatar Bila distribusi merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal. Dari hasil koefisien kurtosis, ada tiga kriteria untuk mengetahui model distribusi dari sekumpulan data, yaitu koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan α4 (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh : 1) Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik 2) Nilai lebih besar dari 3, maka dist ibusinya adalah distribusi leptokurtik 3) Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 13
leptokurtik
mesokurtik
platikurtik
Gambar 2. Kurva Keruncingan a) Koefisien keruncingan
Contoh soal : tentukan keruncingan kurva dari data 2,3,6,8,11! Penyelesaian :
= 6 = 3,67
X
4
2
-4
256
3
-3
81
6
0
0
8
2
16
11
5
625
Jumlah
0
978
1 1 4 ∑ xx α4 = n s4 = 3,5 697784 = 1181,95,64 = 1,08
Karena nilainya 1,08 (lebih kecil dari 3) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.
b) Koefisien kurtosis persentil
Jika has il perhitu ngan koefisien keruncingan diperoleh : a) Nilai lebih kurang dari 0,263, maka distribusinya adalah distribusi pletikurtik b) Nilai lebih lebih dari 0,263, maka distibusinya adalah distribusi leptokurtik c) Nilai yang sama dengan 0,263, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 14
Contoh soal : Berikut ini disajikan tabel distribusi frekuensi dari tinggi 100 mahasiswa universitas XYZ. a. Tentukan koefisien kurtosis persentil (K) ! b. Apakah distribusinya termasuk distribusi normal !
Tinggi (inci)
frekuensi (f)
60 – 62
5
63 – 65
18
66 – 68
42
69 – 71
27
72 – 74
8
Ju mlah
100
Penyelesaian : Kelas
Kelas
Kelas
Kelas
Q1 = kelas ke3 1 Q1 = B1 + 4 nf Q∑1 f 1o .C = 65,5 + 2523 42 .3 = 65,64 Q3 = kelas ke4 3 Q3 = B3 + 4 nf Q∑3 f 3o .C = 68,5+ 7565 27 .3 = 69,61 P10 = kelas ke210 ∑ n f o 1 0 100 P10 = B10 + f P10 .C = 62,5 + 105 18 .3 = 63,33 P90 = kelas ke490 ∑ n f 9 0 100 P90 = B90 + f P90 o .C = 68,5 + 9065 27 .3 = 71,28 1 1 Q Q 6 165, 6 4 K = 2P P = 2 69, 71,2863,33 = 0,25
Koefisien kurtosis persentil (K) adalah :
Karena nilai K = 0,25 ( K < 0,263) maka distribusinya bukan distribusi normal.
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 15
DAFTAR PUSTAKA
Akbar, Purnomo Setiady dan Husaini Usman. 2006. Pengantar Statistika Edisi Kedua. Jakarta : PT Bumi Aksara Akdon dan Riduwan .2013. Rumus dan Data dalam Analisis Statistika. Bandung : Alfabeta. Dajan, Anto, 1986. “Pengantar Metode Statistik Jilid II”. Jakarta : LP3ES . Furqon. 1999. Statistika Terapan Untuk Penelitian. AFABETA:Bandung Gaspersz, Vincent. 1989. Statistika. Armico:Bandung Hamid, H.M. Akib dan Nar Herrhyanto. 2008. Statistika Dasar. Jakarta : Universitas Terbuka. Harinaldi, 2005. “ Prinsip- prinsip Statistik untuk Teknik dan Sains”. Jakarta : Erlangga. Hasan, M. Iqbal. 2011. Pokok – Pokok Materi Statistika 1 ( Statistik Deskriptif ). Jakarta : PT Bumi Aksara Herrhyanto, Nar. 2008. Statistika Dasar . Jakarta: Universitas Terbuka. Mangkuatmodjo, Soegyarto. 2004. Statistika Lanjutan. Jakarta: PT Rineka Cipta. Pasaribu, Amudi. 1975. Pengantar Statistik . Gahlia Indonesia : Jakarta Rachman,Maman dan Muchsin . 1996. Konsep dan Analisis Statistik . Semarang : CV. IKIP Semarang Press Riduwan . 2010. Dasar-dasar Statistika. Bandung : Alfabeta. Saleh,Samsubar. 1998. STATISTIK DESKRIPTIP . Yogyakarta : UPP AMP YKPN. Siregar,Syofian. 2010. Statistika Deskriptif untuk Penelitian Dilengkapi Perhitungan Manual dan Aplikasi SPSS Versi 17 . Jakarta : Rajawali Pers. Somantri, Ating dan Sambas Ali Muhidin. 2006. Aplikasi statistika dalam Penelitian. pustaka ceria : Bandung Subana,dkk. 2000. Statistik Pendidikan. Pustaka Setia:Bandung Sudijono, Anas. 2008. Pengantar Statistik Pendidikan. Raja Grafindo Persada.Jakarta Sudijono, Anas. 2009. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada. Sudijono, Anas. 1987. Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta : PT RajaGrafindo Persada. Sudjana, M.A., M.SC.2005. METODE STATISTIKA. Bandung: Tarsito Sugiyono. 2014. Statistika untuk Penelitian. Bandung : Alfabeta. Supranto, 1994. “Statistik Teori dan Aplikasi Jilid 2”. Jakarta : Erlangga. Usman, Husaini & Setiady Akbar, Purnomo.2006. PENGANTAR STATISTIKA. Yogyakarta: BUMI AKSARA. Walpole, Ronald E, 1995. “Pengantar Statistik Edisi Ke-4”. Jakarta : PT Gramedia.
Momen, Kemiringan, dan Keruncingan
Page 16
