Modul Mata Kuliah RISET OPERASIONAL
Disusun oleh:
Lukmanulhakim Almamalik
Politeknik PIKSI Ganesha Bandung 2011
Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, karena dengan karunia-Nya modul mata kuliah Riset Operasional ini dapat kami selesaikan dan sajikan. Modul mata kuliah Riset Operasional ini dimaksudkan sebagai salah satu media belajar bagai mahasiswa Politeknik Piksi Ganesha dalam mata kuliah Riset Operasional, sehingga diharapkan mahasiswa bisa lebih memahami materi Riset Operasional yang diberikan dosen di dalam kelas. Modul ini terbagi menjadi 11 bab, dimana urutan per bab disesuaikan dengan sistematika silabus Riset Operasional yang diberikan kepada mahasiswa. Penulis mengucapkan terima kasih kepada rekan-rekan pengajar di Politeknik Piksi Ganesha, yang telah memberikan dorongan sehingga modul Riset Operasional ini selesai dibuat. Penulis menyadari bahwa isi modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu saran dan kritik untuk perbaikan modul ini akan penulis terima dengan senang hati. Akhir kata, semoga modul ini dapat bermanfaat bagi yang mempelajarinya.
Daftar Isi Hal 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.
Pengantar Riset Operasional Programa Linier Programa Linier: Solusi Grafik Programa Linier: Solusi Simplex Programa Linier: Solusi Simplex Minimasi dan Tipe Programa Linier Iregular Analisis Post Optimal Programa Linier: Metode Transportasi Programa Linier: Masalah Penugasan Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Teori Jaringan Kerja Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Critical Path Method (CPM) Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: PERT
9 16 24 37 46 52 65 72 76 84
2
1 Pengantar Riset Operasional A. Tujuan Kompetensi Khusus Menjelaskan sejarah dan falsafah Riset Operasional dan hubungannya dengan pengambilan keputusan. B. Uraian Materi 1.
Sejarah dan Latar Belakang Singkat Riset Operasional
•
Pada masa Perang Dunia II, angkatan perang Inggris membentuk suatu tim yang terdiri dari para ilmuan dan ahli militer untuk mempelajari strategi memenangkan perang melawan Jerman. Tim yang dibentuk bertujuan menentukan penggunaan sumber daya kemiliteran yang terbatas untuk dapat bekerja paling efektif. Dalam bekerjanya tim melakukan riset menggunakan pengetahuan ilmiah untuk menentukan penggunaan sumber-sumber yang terbatas tersebut. Setelah perang selesai, potensi komersialnya segera disadari oleh kalangan industri. Pengembangannya telah menyebar dengan cepat, terutama di belahan benua Amerika, terutama di Amerika Serikat. Sedemikian pesat perkembangannya sampai saat ini, Riset Operasional telah digunakan dalam hampir seluruh kegiatan, baik di perguruan tinggi, dunia usaha, pemerintahan, program kesehatan, maupun organisasi jasa. Dalam literatur manajemen, Riset Operasional sering juga dinamakan dengan Management Science.
• • •
2. Riset Operasional Sebagai Senit dan Imu • • • •
•
Riset Operasional adalah suatu teknik pemecahan masalah yang berusaha menetapkan arah tindakan terbaik (optimum) dari sebuah masalah keputusan dalam kondisi sumber daya yang terbatas. Istilah Riset Operasional seringkali diasosiasikan hampir secara ekslusif dengan penggunaan teknik-teknik matematika untuk membuat model dan menganalisis masalah keputusan. Walaupun teknik dan model matematis merupakan inti dari Riset Operasional, akan tetapi pemecahan masalah tidaklah hanya sekedar pengembangan dan pemecahan model-model matematis. Secara khusus, masalah-masalah keputusan biasanya mencakup faktor-faktor penting yang tidak terwujud (intagible) dan tidak dapat diterjemahkan secara langsung dalam bentuk model matematis. Faktor yang paling utama dari faktor-faktor tersebut adalah kehadiran unsur manusia sebagai si pengambil keputusan. Sebagai sebuah teknik pemecahan masalah, Riset Operasional dapat dipandang sebagai seni dan ilmu.
3
•
•
Aspek ilmu terletak pada penyediaan teknik-teknik matematik dan algoritma untuk memecahkan masalah yang dihadapi, sedangkan sebagai seni, keberhasilan dari solusi model matematis ini sangat bergantung pada kreativitas dan kemampuan seseorang sebagai pengambil keputusan untuk memecahkan masalah tersebut. Jadi pengumpulan data dalam pengembangan model, penentuan keabsahan model, dan penerapan dari pemecahan yang diperoleh akan bergantung pada kemampuan kelompok peneliti Riset Operasional yang bersangkutan untuk membentuk komunikasi yang baik dengan sumber-sumber informasi maupun dengan individu-individu yang bertanggung jawab atas solusi yang disarankan.
3. Komponen Model Keputusan •
Dalam menyelesaikan suatu permasalahan yang berkaitan dengan pengambilan keputusan ini, yang terlebih dahulu harus diidentifikasi adalah komponen-komponen utamanya, yaitu: a. Tujuan (objective). b. Variabel-variabel keputusan.
•
Tujuan adalah hasil akhir yang hendak dicapai yang dilakukan dengan cara memilih suatu tindakan yang paling tepat dari suatu sistem (permasalahan) yang dipelajari. Dalam bidang bisnis (atau perusahaan), tujuan diartikan sebagai usaha untuk memaksimumkan profit atau meminimumkan biaya atau ongkos. Sementara itu dalam bidang-bidang lain yang sifatnya non profit, tujuan tersebut dapat berupa pemberian kualitas pelayanan kepada para langganan. Ketika tujuan telah didefinisikan, tahap selanjutnya yang harus dilakukan adalah pemilihan tindakan terbaik yang dapat mencapai tujuan tersebut. Dalam hal ini, kualitas pemilihan tindakan tersebut akan sangat bergantung pada apakah si pengambil keputusan mengetahui seluruh pilihan tindakan atau tidak. Untuk dapat menentukan tindakan-tindakan yang mungkin dilakukan, haruslah diidentifikasi variabel-variabel sistem yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan. Tentu saja tingkat keberhasilan dalam mengidentifikasi variabel-variabel ini pun akan sangat bergantung pada kemampuan si pengambil keputusan.
•
•
4. Model Dalam Riset Operasional • •
Sebuah model keputusan semata-mata merupakan alat untuk ”meringkaskan” sebuah masalah keputusan dengan cara yang memungkinkan identifikasi dan evaluasi yang sistematis terhadap semua pilihan keputusan dari suatu masalah. Model adalah gambaran ideal dari suatu situasi (dunia) nyata, sehingga sifatnya yang kompleks dapat disederhanakan. Jenis-jenis model yang biasa digunakan: a. Model-model ikonis/fisik Penggambaran fisik dari suatu sistem, baik dalam bentuk ideal maupun dalam skala yang berbeda. Contoh 1.1: foto, peta, mainan anak-anak, maket, histogram. b. Model analog/diagramatis Model-model ini dapat menggambarkan situasi-situasi yang dinamis, dan model ini lebih banyak digunakan daripada model-model ikonis karena sifatnya yang dapat dijadikan analogi bagi karakteristik sesuatu yang
4
dipelajari. Contoh 1.2: kurva distribusi frekuensi pada statistik, flow chart, peta dengan bermacam-macam warna untuk menggambarkan kondisi sebenarnya. c. Model simbolis/matematika Penggambaran dunia nyata melalui simbol-simbol matematis. Model ini menggunakan seperangkat simbol matematik untuk menunjukkan komponenkomponen dari sistem nyata. Namun demikian, sistem nyata tidak selalu dapat diekspresikan dalam rumusan matematik. Model matematik dapat dibedakan menjadi dua kelompok, yaitu: deterministik dan probabilistik. Model deterministik dibentuk dalam situasi penuh kepastian, sedangkan model probabilistik meliputi kasus-kasus dimana diasumsikan penuh ketidakpastian. Contoh 1.3: Persamaan garis lurus y = ax + b; persamaan linier z = x1+x2+x3 d. Model simulasi Model-model yang meniru tingkah laku sistem dengan mempelajari interaksi komponen-komponennya. Karena tidak memerlukan fungsi-fungsi matematis secara eksplisit untuk merealisasikan variabel-variabel sistem, maka model-model simulasi ini dapat digunakan untuk memecahkan sistem kompleks yang tidak dapat diselesaikan secara matematis. Namun model-model ini tidak dapat memberikan solusi yang benar-benar optimum. Contoh 1.4: Simulator pesawat, simulator bisnis. e. Model heuristik Kadang-kadang formulasi matematis bersifat sangat kompleks untuk dapat memberikan suatu solusi yang pasti, atau mungkin suatu solusi optimum dapat diperoleh, akan tetapi memerlukan proses perhitungan yang sangat panjang dan tidak praktis. Untuk mengatasi kasus seperti ini dapat digunakan metode heuristik, yaitu suatu metode pencarian yang didasarkan atas intuisi atau aturan-aturan empiris untuk memperoleh solusi yang lebih baik daripada solusi-solusi yang telah dipelajari sebelumnya. •
Pembentukan model adalah esensi dari pendekatan Riset Operasi karena solusi dari pendekatan ini tergantung pada ketepatan model yang dibuat. Dalam Riset Operasi, model yang paling banyak digunakan adalah model matematis/simbolis, disamping banyak juga digunakan model-model simulasi dan heuristik.
5. Metodologi Riset Operasional •
Pembentukan model yang cocok hanyalah salah satu tahap dari aplikasi Riset Operasional. Pola dasar penerapan Riset Operasional terhadap suatu masalah dapat dipisahkan menjadi beberapa tahap. Berikut adalah tahapan-tahapan untuk memecahkan persoalan dalam riset operasional. a. Merumuskan Masalah Sebelum solusi terhadap suatu permasalahan dipikirkan, pertama kali yang harus dilakukan adalah mendefinisikan atau merumuskan permasalahan dengan baik. Definisi masalah yang tidak baik akan menyebabkan tidak diperolehnya penyelesaian atas suatu masalah atau penyelesaian yang tidak tepat. Dalam perumusan masalah ini ada tiga pertanyaan penting yang harus dijawab, terutama dikaitkan dengan Riset Operasional:
5
1) Variabel keputusan, yaitu unsur-unsur dalam persoalan yang dapat dikendalikan oleh pengambil keputusan. Ia sering disebut sebagai instrumen. 2) Tujuan. Penetapan tujuan membantu pengambil keputusan memusatkan perhatian pada persoalan dan pengaruhnya terhadap organisasi. Tujuan ini diekspresikan dalam variabel keputusan. 3) Kendala adalah pembatas-pembatas terhadap alternatif tindakan yang tersedia. b. Pembentukan Model Sesuai dengan definisi permasalahannya, kelompok peneliti Riset Operasional tersebut harus menentukan model yang paling cocok untuk mewakili sistem yang bersangkutan. Model tersebut harus merupakan ekspresi kuantitatif dari tujuan dan batasan-batasan persoalan dalam bentuk variabel keputusan. Dalam memformulasikan permasalahan, biasanya digunakan model analitik, yaitu model matematik yang menghasilkan persamaan. Jika pada suatu situasi yang sangat rumit tidak diperoleh model analitik, maka perlu dikembangkan suatu model simulasi. c. Pemecahan Model Pada tahap ini, bermacam-macam teknik dan metode solusi kuantitatif yang merupakan bagian utama dari Riset Operasional memasuki proses. Penyelesaian masalah sesungguhnya merupakan penerapan satu atau lebih teknik-teknik ini terhadap model. Seringkali, solusi terhadap model berarti nilai-nilai variabel keputusan yang mengoptimumkan salah satu fungsi tujuan dengan nilai fungsi tujuan lain yang dapat diterima. Disamping solusi model, perlu juga mendapat informasi tambahan mengenai tingkah laku solusi yang disebabkan karena perubahan parameter sistem. Ini biasanya dinamakan sebagai Analisis Sensitivitas. Analisis ini terutama diperlukan jika parameter sistem tak dapat diduga secara tepat. d. Validasi Model Sebuah model adalah absah jika, walaupun tidak secara pasti mewakili sistem tersebut dan dapat memberikan prediksi yang wajar dari kinerja sistem tersebut. Suatu metode yang biasa digunakan untuk menguji validitas model adalah dengan membandingkan kinerjanya dengan data masa lalu yang tersedia. Model dikatakan valid jika dengan kondisi input yang serupa dapat menghasilkan kembali kinerja seperti masa lampau. Masalahnya adalah bahwa tidak ada yang menjamin kinerja masa depan akan berlanjut meniru cerita lama. e. Implementasi hasil akhir Tahap terakhir adalah menerapkan hasil model yang telah diuji. Hal ini membutuhkan suatu penjelasan yang hati-hati tentang solusi yang digunakan dan hubungannya dengan realitas. Suatu hal yang kritis pada tahap ini adalah mempertemukan ahli Riset Operasional dengan mereka yang bertanggung jawab terhadap pelaksanaan sistem. •
Penyelesaian kelima langkah yang dijelaskan di atas bukan berarti proses ini telah selesai. Hasil model dan keputusan hasil yang tersedia memberikan umpan balik pada model awal.
6
6.
Metode-Metode Umum Mencari Solusi
•
Pada umumnya, terdapat tiga metode untuk mencari solusi terhadap model Riset Operasi, yaitu: a. Metode analitis, b. Metode numerik, dan c. Metode Monte Carlo.
•
Pendekatan analitik. Metode analitik memerlukan perwujudan model dengan solusi grafik atau perhitungan matematik. Jenis matematik yang digunakan tergantung dari sifat-sifat model. Pendekatan Numerik. Metode numerik berhubungan dengan perulangan atau cobacoba dari prosedur-prosedur kesalahan, melalui perhitungan numerik pada setiap tahap. Metode numerik digunakan jika metode analitik gagal untuk mencari solusi. Urutannya dimulai dengan solusi awal dan diteruskan dengan seperangkat aturanaturan untuk perbaikan menuju optimum. Solusi awal kemudian diganti dengan solusi yang diperbaiki dan proses itu diulang sampai tidak mungkin adanya perbaikan lagi atau biaya perhitungan lebih lanjut tidak dapat diterima. Metode Monte Carlo. Metode ini memerlukan konsep probabilistik dan sampling. Metode Monte-Carlo pada dasarnya adalah suatu teknik simulasi dimana fungsi distribusi statistik dibuat melalui seperangkat bilangan random.
•
•
7. Teknik-Teknik Riset Operasional • Banyak model Riset Operasional yang sudah dikembangkan dan digunakan terhadap permasalahan-permasalahan bidang bisnis. Mereka itu dapat dikelompokkan ke dalam beberapa jenis, seperti dapat dilihat pada tabel 1.1. Tabel 1.1 Model-model Riset Operasional Program Linier Matematika
Teknik Probabilistik Teknik Persediaan Teknik Jaringan Teknik Non-Linier lainnya
Model Programa Linier, Analisis Grafik, Metode Simplex, Model Minimasi, Post Optimasi, Transportasi dan Penugasan, Program Linier Integer Program Linier Sasaran Probabilitas, Teori Permainan, Analisis Keputusan Analisis Markov, Antrian, Simulasi, Peramalan Permintaan pasti, Permintaan tak pasti Arus Jaringan, CPM/PERT Program Dinamis, Analisis Titik Impas Teknik Solusi berdasarkan Kalkulus
8. Ciri-Ciri Riset Operasional • Terdapat beberapa ciri Riset Operasional yang menonjol diantaranya adalah: a. Riset Operasional merupakan pendekatan kelompok antar disiplin untuk mencari hasil optimum. b. Riset Operasional menggunakan teknik penelitian ilmiah untuk mendapatkan solusi optimum. c. Riset Operasional membuka permasalahan-permasalahan baru untuk dipelajari.
9. Keterbatasan Riset Operasional
7
• •
•
Riset Operasi berbeda dengan optimisasi klasik (kalkulus klasik). Dalam metode optimisasi klasik tidak dapat menangani kendala pertidaksamaan maupun persamaan secara serempak. Dengan kendala yang lebih bebas ini, metoda optimisasi non klasik ini (Riset Operasional) menjadi lebih menarik dan lebih realistis. Akan tetapi ini membutuhkan metode solusi yang baru karena kendala pertidaksamaan tak dapat ditangani dengan teknik kalkulus klasik. Seperti metode lainnya, Riset Operasional bukan tanpa kelemahan. Beberapa kelemahan dalam Riset Operasional diantaranya adalah: Perumusan masalah dalam suatu program Riset Operasional adalah suatu tugas yang sulit. Jika suatu organisasi mempunyai beberapa tujuan yang bertentangan, maka akan mengakibatkan terjadinya sub-optimum, yaitu kondisi yang tak dapat menolong seluruh organisasi mencapai yang terbaik secara serentak. Suatu hubungan non-linier yang diubah menjadi linier untuk disesuaikan dengan program linier dapat mengganggu solusi yang disarankan.
2 Programa Linier A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan permasalahan alokasi sumber daya terbatas ke dalam pemodelan Programa Linier. B. Uraian Materi 1. Pendahuluan •
Masalah keputusan yang sering dihadapi seorang manajer perusahaan adalah permasalahan optimasi alokasi sumber daya yang langka dan terbatas.
8
• • • •
•
•
Sumber daya tersebut dapat berupa bahan baku, peralatan dan mesin, ruang, waktu, dana, dan tenaga kerja; atau dapat juga berupa batasan pedoman atau aturan, seperti resep untuk membuat kue atau spesifikasi teknis suatu peralatan. Pada umumnya tujuan perusahaan yang paling sering terjadi adalah sedapat mungkin memaksimumkan laba. Tujuan lain dari unit organisasi yang merupakan bagian dari suatu organisasi biasanya berupa meminimumkan biaya. Salah satu metoda analisis yang paling luas dan paling baik digunakan untuk menyelesaikan permasalahan alokasi sumber daya adalah metoda programa linier atau dikenal dengan Linear Programming (Programa Linier). Terdapat tiga hal yang harus diperhatikan untuk menggunakan teknik programa linier untuk memecahkan permasalahan alokasi sumber daya. 1) Pertama, permasalahan harus dapat diidentifikasikan sebagai sesuatu yang dapat diselesaikan dengan programa linier. 2) Kedua, permasalahan yang tidak terstruktur harus dapat dirumuskan dengan model matematika, sehingga menjadi terstruktur. 3) Ketiga, model harus diselesaikan dengan teknik matematika yang telah dibuat. Teknik programa linier menggambarkan bahwa hubungan fungsi linier dalam model matematika adalah linier dan teknik pemecahan masalah terdiri dari langkah-langkah matematika yang telah ditetapkan disebut program. Dengan kata lain, sifat ’linier’ di sini memberi arti bahwa seluruh fungsi matematis dalam model ini merupakan fungsi yang linier, sedangkan kata program dapat diartikan sebagai perencanaan. Model program linier terdiri dari komponen dan karakteristik tertentu.
2. Formulasi Model Programa Linier •
Setelah masalah diidentifikasi, tujuan ditetapkan, langkah selanjutnya adalah memformulasikan model matematik yang meliputi tiga hal berikut: a. Menentukan variabel keputusan, b. Membentuk fungsi tujuan, dan c. Menentukan semua batasan model. a. Variabel keputusan • Variabel keputusan berupa simbol matematik yang menggambarkan tingkatan aktivitas perusahaan. Contoh 2.1: Perusahaan elektronika ingin menjual sebanyak x1 buah radio, x2 buah televisi, dan x3 buah lemari es, dimana x1, x2, dan x3 adalah lambang yang menunjukkan jumlah variabel setiap item yang tidak diketahui. Nilai akhir dari x1, x2, dan x3 sesuai dengan pengarahan perusahaan, dan merupakan keputusan. b. Fungsi Tujuan • Fungsi Tujuan merupakan hubungan matematika linier yang menjelaskan fungsi tujuan dalam terminologi variabel keputusan. • Fungsi tujuan selalu mempunyai salah satu target, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan suatu nilai (misalkan untuk kasus perusahaan adalah memaksimumkan laba atau meminimumkan biaya produksi). c. Batasan Model • Batasan Model merupakan hubungan linier dari variabel-variabel keputusan, menunjukkan keterbatasan sumber daya permasalahan tersebut.
9
Contoh 2.2: Besarnya biaya maksimum yang dikeluarkan oleh PT. XYZ untuk kegiatan pemasaran pada tahun ini adalah Rp 15.000.000,00. Tenaga kerja yang tersedia untuk memproduksi kue dan roti di perusahaan ini hanya 100 jam tenaga kerja per minggu. •
Berikut adalah contoh permasalahan formulasi model programa linier.
Contoh 2.3 Kombinasi Produk Perusahaan Tembikar PT. XYZ memproduksi dua macam produk setiap hari, yaitu: genteng dan bata. Perusahaan mempunyai 2 (dua) sumber daya yang terbatas jumlahnya yang digunakan untuk memproduksi kedua produk tersebut, yaitu: tenaga kerja dan tanah liat. Dengan keterbatasan sumber daya yang dimilikinya, perusahaan ingin mengetahui berapa jumlah genteng dan bata yang akan diproduksi setiap harinya dalam rangka memaksimumkan laba. Kedua produk tersebut mempunyai kebutuhan sumber daya untuk produksi serta laba per item sebagai berikut:
Produk Genteng Bata
Kebutuhan Sumber Daya Tenaga Kerja Tanah liat (jam/unit) (kg/unit) 1 4 2 3
Laba (Rp/unit) 4 5
Sebagai tambahan informasi: tersedia 40 jam tenaga kerja dan 120 kg tanah liat setiap hari untuk produksi. Masalah ini akan dirumuskan sebagai model program linier dengan mendefinisikan secara terpisah setiap komponen model dan menggabungkan komponenkomponen tersebut dalam satu model. Penyelesaian: Langkah 1: Mengenali Variabel Keputusan • Keputusan yang dihadapi manajemen dalam masalah ini adalah berapa jumlah genteng dan jumlah bata yang harus diproduksi setiap hari. Ada dua variabel keputusan yang dicari yaitu jumlah genteng dan jumlah bata. Untuk itu, kita dapat menyatakannya dengan memisalkan bahwa x1 adalah jumlah genteng dan x2 adalah jumlah bata yang diproduksi setiap hari. x1 = jumlah genteng yang diproduksi x2 = jumlah bata yang diproduksi Langkah 2: Memformulasikan fungsi tujuan • Tujuan perusahaan adalah ingin memaksimumkan laba. Laba perusahaan adalah jumlah total dari laba setiap genteng dan setiap bata. • Laba dari genteng ditentukan oleh perkalian antara laba setiap genteng, Rp 4/unit, dengan jumlah genteng yang diproduksi, yaitu x1. Begitu pula dengan laba dari bata ditentukan oleh perkalian antara laba setiap bata, Rp 5/unit, dengan jumlah bata yang diproduksi, x2. • Dengan demikian, total laba adalah dalam pemodelan ini dilambangkan dengan Z, dapat dijelaskan secara matematika sebagai berikut. Z = Rp (4x1+5x2).
10
•
Dengan menempatkan terminologi memaksimumkan laba di depan fungsi laba, penggambaran tujuan perusahaan untuk memaksimumkan laba dapat ditulisakan sebagai berikut: Memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 dimana Z merupakan total laba tiap hari (Rp) 4x1 = laba dari genteng (dalam Rp) 5x2 = laba dari bata (dalam Rp)
Langkah 3: Menetapkan Batasan Model • Dari masalah di atas, terdapat 2 (dua) sumber daya yang digunakan dalam produksi, yaitu tenaga kerja dan tanah liat yang jumlah persediaan keduanya terbatas. Produksi genteng dan bata memerlukan kedua sumber daya, baik tenaga kerja dan tanah liat. Batasan Tenaga Kerja • Untuk setiap genteng yang diproduksi memerlukan 1 jam tenaga kerja, sehingga jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi semua genteng adalah 1.x1. • Untuk setiap bata yang diproduksi memerlukan 2 jam tenaga kerja, sehingga jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi semua bata adalah 2.x2. • Total tenaga kerja yang digunakan oleh perusahaan adalah penjumlahan dari tenaga kerja yang digunakan oleh setiap produk, yaitu: 1x1 + 2x2 • Jumlah tenaga kerja sebesar 1x1 + 2x2 dibatasi sampai dengan 40 jam per hari (jumlah jam maksimum tenaga kerja yang dimiliki perusahaan), sehingga batasan tenaga kerja sekarang 1x1 + 2x2 ≤ 40 jam. • Ketidaksamaan atau ‘kurang dari atau sama dengan’ (≤) digunakan dalam model ini, bukan persamaan (=), karena 40 jam tenaga kerja adalah maksimum sumber daya yang dapat digunakan, dan bukan jumlah yang harus digunakan. • Batasan ini mempunyai fleksibilitas. Artinya perusahaan tidak diharuskan menggunakan semua kapasitas 40 jam, akan tetapi dapat menggunakan jumlah masukan ke produksi yang dapat memaksimumkan laba sampai dengan dan termasuk 40 jam tenaga kerja. Berarti perusahaan mungkin saja mempunyai kapasitas yang tidak terpakai (misalnya sebagian waktu dari 40 jam yang tidak digunakan oleh perusahaan). Batasan Tanah Liat • Batasan untuk tanah liat dirumuskan sama dengan batasan tenaga kerja. • Karena setiap genteng yang diproduksi memerlukan 4 kg tanah liat, maka jumlah tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi semua genteng adalah 4.x1. • Karena setiap bata yang diproduksi memerlukan 3 kg tanah liat, maka jumlah tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi semua bata adalah 3.x2. • Total tanah liat yang digunakan oleh perusahaan adalah penjumlahan dari tanah liat yang digunakan oleh setiap produk, yaitu: 4x1 + 3x2. • Akan tetapi jumlah tanah sebesar 4x1 + 3x2 dibatasi sampai dengan 120 kg per hari, sehingga batasan tanah liat menjadi: 4x1 + 3x2 ≤ 120 kg Batasan yang non negatif. • Batasan akhir adalah bahwa jumlah genteng dan jumlah bata yang diproduksi bernilai nol atau positif, karena tidak mungkin mempunyai jumlah produksi yang negatif.
11
•
Batasan ini disebut batasan non negatif dan dinyatakan dalam matematika sebagai berikut x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
•
Dengan demikian, maka Formulasi Model Program Linier yang lengkap untuk masalah ini adalah: Memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 terbatas pada 1x1 + 2x2 ≤ 40 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0
Contoh 2.4 Formulasi Model Kasus Minimasi Perusahaan PT. ABC memproduksi campuran ”kue” dengan sekali produksi adalah 1000 kg. Campuran ”kue” tersebut terbuat dari tiga bahan, yaitu: daging ayam, daging sapi, dan cereal dengan harga masing-masing bahan adalah sebagai berikut: Bahan Daging ayam Dagingn sapi Cereal
Biaya per kg (Rupiah) 3.000 5.000 2.000
Berdasarkan resep yang ada, campuran ”kue” tersebut harus terdiri dari paling sedikit 200 kg daging ayam, paling sedikit 400 kg daging sapi, dan tidak lebih dari 300 kg cereal. Perusahaan ingin mengetahui pencampuran optimal dari bahan-bahan yang dapat meminimumkan biaya. Formulasikan model program linier untuk masalah ini. Penyelesaian: Langkah 1: Mengenali Variabel Keputusan • Untuk mengidentifikasi setiap bagian dari model secara terpisah, mulai dengan variabel keputusan. (Variabel keputusannya adalah ingin mengetahui banyaknya masing-masing bahan campuran ”kue”). x1 = jumlah kg daging ayam x2 = jumlah kg daging sapi x3 = jumlah kg cereal Langkah 2: Memformulasikan Fungsi Tujuan • Tujuan perusahaan adalah ingin meminimumkan biaya, sehingga fungsi tujuannya adalah: Meminimumkan Z = Rp (3.000 x1 + 5.000 x2 + 2.000 x3) dimana Z merupakan biaya per 1000 kg untuk sekali produksi 3.000 x1 = biaya daging ayam. 5.000 x2 = biaya daging sapi. 2.000 x3 = biaya cereal. Langkah 3: Menetapkan Batasan Model. • Batasan-batasan masalah ini terdapat dalam batasan resep dan fakta bahwa setiap sekali produksi harus berisi 1000 kg campuran.
12
x1 + x2 + x3 = 1000 (sekali produksi sama dengan 1000 kg) x1 ≥ 200 (paling sedikit 200 kg) x2 ≥ 400 (paling sedikit 4000 kg) x3 ≤ 300 (tidak boleh lebih dari 300 kg) dan Batasan non-negativitas x1, x2 , x3 ≥ 0 (batasan non negatif) Dengan demikian formulasi model permasalahan tersebut menjadi: Meminimumkan Z = 3000x1 + 5000x2 + 2000x3 terbatas pada x1 + x2 + x3 = 1000 x1 ≥ 200 x2 ≥ 400 x3 ≤ 300 x1, x2 , x3 ≥ 0 C. Tugas Kerjakan latihan-latihan soal di bawah ini! 1) Dua produk dihasilkan menggunakan tiga mesin. Waktu masing-masing mesin yang digunakan untuk menghasilkan kedua produk dibatasi hanya 10 jam per hari. Waktu produksi dan keuntungan per unit masing-masing produk ditunjukkan tabel di bawah ini : Waktu produksi (menit) Produk Mesin 1 Mesin 2 Mesin 3 Mesin 4 1 10 6 8 2 2 5 20 15 3 a. b. c. d.
Mengenali variabel keputusan Memformulasikan fungsi tujuan Menetapkan batasan model Formulasi Modelnya adalah
2) Perusahaan ABCD akan memproduksi dua macam benda, yaitu Produk I dan Produk II. Untuk memproduksi setiap unit produk I diperlukan bahan baku A sebanyak 40 kg dan bahan baku B sebanyak 25 kg serta bahan baku C sebanyak 80 kg. Sedangkan untuk memproduksi setiap unit produk II diperlukan bahan baku A sebanyak 30 kg dan bahan baku B sebanyak 40 kg serta bahan baku C sebanyak 50 kg. Jumlah bahan baku yang disediakan perusahaan masing-masing adalah bahan baku A sebanyak 3000 kg dan bahan baku B sebanyak 1500 kg serta bahan baku C sebanyak 3600 kg. Sumbangan terhadap laba dan biaya tetap (yang dihitung dengan harga jual persatuan dikurangi biaya variabel per satuan) setiap unit produk I sebesar Rp 150,00 dan setiap unit produk II Rp 120,00. Buat Formulasi Model dari permasalahan di atas. Agar masalah dapat dipahami a. Susunlah dalam bentuk tabel berikut.
13
Bahan Baku A B C Laba b. c. d. e.
Kebutuhan Bahan Baku/unit Produk I Produk II
Kapasitas
Mengenali variabel keputusan Memformulasikan fungsi tujuan Menetapkan batasan model Formulasi Modelnya adalah
3) Sebuah perusahaan ingin menentukan berapa banyak masing-masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan tenaga kerja dan bahan baku serta sumbangan keuntungan masing-masing produk adalah sebagai berikut:
Produk 1 Produk 2 Produk 3
Kebutuhan sumber daya Tenaga kerja Bahan (kg/unit) (jam/unit) 5 4 2 6 4 3
Keuntungan (Rp/unit) 3 5 2
Tersedia 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400 kg. Buat formulasi model program linier untuk permasalahan ini! 4) Perusahaan makanan ternak merencanakan untuk membuat dua jenis makanan yaitu makanan A dan makanan B. Kedua jenis makanan tersebut mengandung vitamin dan protein. Makanan A paling sedikit diproduksi 2 unit dan makanan B paling sedikit diproduksi 1 unit.
Jenis Makanan Makanan A Makanan B Minimum Kebutuhan
Kebutuhan sumber daya Vitamin Protein (unit) (unit) 2 2 1 3 8 12
Biaya per unit (x Rp 1000) 100 80
Formulasikan model programa linier tersebut! 5) PT Kue Enak memproduksi tiga jenis roti kering, yaitu pia, bolukismis dan coklatkeju dengan keuntungan tiap jenis produk masing-masing Rp 150, Rp 400 dan Rp 600. Setiap minggu ditetapkan minimum produksi roti pia 25 unit, bolu kismis 130 unit dan coklat keju 55 unit. Ketiga jenis roti memerlukan pemrosesan tiga kali yaitu penyiapan bahan, peracikan dan pengovenan seperti terlihat pada tabel berikut: Pemrosesan
Jenis Roti
Penyediaan
14
Penyiapan bahan Peracikan Pengovenan
Pia 4 3 1
Bolu kismis 2 4 2
Coklat keju 6 9 4
Maksimum (jam) 130 170 52
Formulasikan model programa linier tersebut!
3. Programa Linier: Solusi Grafik A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami danmenyelesaikan permasalahan programa linier menggunakan metode grafik B. Uraian Materi 1.
Pendahuluan
15
•
• •
Pada dasarnya, metode-metode yang dikembangkan untuk memecahkan model Programa linier adalah ditujukan untuk mencari solusi dari beberapa pilihan solusi yang dibentuk oleh persamaan pembatas, sehingga diperoleh nilai fungsi tujuan yang optimum. Ada dua cara yang biasa digunakan untuk menyelesaikan persoalan-persoalan Programa Linier (PL), yaitu dengan 1) metode grafik dan 2) metode simpleks. Pada bab ini akan dipelajari solusi grafik programa linier.
2. Solusi Grafik • • •
Persoalan Programa Linier dapat diilustrasikan dan dipecahkan secara grafik jika persoalan ini hanya memiliki dua variabel keputusan. Model Programa Linier dengan tiga variabel penggambarannya sangat sulit, sedangkan untuk model yang lebih dari tiga variabel tidak bisa dibuat grafik sama sekali. Meskipun permasalahan dengan dua variabel jarang terjadi dalam dunia nyata, akan tetapi penafsiran geometris dari metode grafik ini sangat bermanfaat untuk memahami metode pemecahan yang umum melalui algoritma simpleks yang akan dibicarakan kemudian.
2.1 Solusi Grafik Kasus Maksimasi Berikut adalah contoh solusi grafik untuk kasus Programa Linier Maksimasi. Contoh 3.1 Solusi Grafik Programa Linier Kasus Maksimasi Berikut adalah ilustrasi pemecahan persoalan Programa Linier dengan menggunakan metode grafik dengan mengambil contoh permasalahan sebelumnya, yaitu permasalahan perusahaan Tembikar PT. XYZ pada bab 2. Berikut dituliskan kembali model Programa Linier perusahaan PT XYZ. Memaksimumkan Z = $ (4x1 +5x2) terbatas pada jam tenaga kerja x1 + 2x2 ≤ 40 kg tanah liat 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0 dimana x1 = jumlah genteng yang diproduksi x2 = jumlah bata yang diproduksi •
Selanjutnya mohon diingat bahwa: Koefisien nilai 4 dan 5 dalam fungsi tujuan adalah keuntungan genteng dan bata; Koefisien nilai 1 dan 2 pada batasan pertama masing-masing adalah merupakan jumlah jam tenaga kerja yang diperlukan untuk memproduksi setiap genteng dan bata; koefisien nilai 4 dan 3 pada batasan kedua menunjukkan jumlah kg tanah liat yang diperlukan untuk memproduksi setiap genteng dan bata.
Langkah Pemecahan Solusi Grafik a. Membuat sumbu koordinat kartesius
16
• Gambar 3.1 adalah satu kumpulan koordinat untuk variabel-variabel keputusan x1 dan x2, tempat grafik dari model matematik akan digambarkan. Hanya kuadran yang positif yang akan digambarkan, yaitu kuadran tempat x1 dan x2 akan selalu positif ( x1 ≥ 0 dan x2 ≥ 0). x2 40 30 20 10 0
10
20
30
40
x1
Gambar 3.1 Koordinat untuk analisis grafik b. Menggambar grafik • Langkah pertama dalam menggambar grafik untuk model Programa Linier adalah memperlihatkan batasan-batasan dalam grafik. Kedua batasan digambarkan sebagai garis lurus dan masing-masing garis dibuat dalam grafik. x2
x2
50
50
40
40
30
30
20
x1 + 2x2 = 40
10
10 0
4x1 + 3x2 = 120
20
10
20
30
40
50
x1
0
10
20
30
40
50
x1
a. b. Gambar 3.2 a. Grafik dari batasan tenaga kerja b. Grafik dari batasan untuk tanah liat • Prosedur yang paling mudah untuk menggambarkan garis lurus ini adalah dengan cara menentukan dua titik pada garis dan menarik garis lurus melalui titik-titik tersebut. • Untuk persamaan batasan tenaga kerja, x1 + 2x2 = 40 (gambar 3.2a), satu titik akan diperoleh jika salah satu titiknya bernilai 0. Untuk itu: jika x1 = 0, kita masukkan (substitusikan) nilai x1 = 0 ke dalam persamaan x1 + 2x2 = 40, sehingga akan dihasilkan nilai x2 = 20, dan titik ini berpotongan dengan sumbu x2.
17
jika x2 = 0, kita masukkan (substitusikan) nilai x2 = 0 ke dalam persamaan x1 + 2x2 = 40, sehingga akan dihasilkan nilai x1 = 40, dan titik ini berpotongan dengan sumbu x1. • Untuk persamaan: 4x1 + 3x2 = 120 , untuk batasan tanah liat (gambar 3.2b). jika x1 = 0, maka x2 = 40 , berpotongan dengan sumbu x2. jika x2 = 0, maka x1 = 30 , berpotongan dengan sumbu x1. • Garis pada grafik gambar 3.2 menunjukkan grafik kedua persamaan ini. Akan tetapi garis pada grafik 3.2 tersebut masih berupa garis sebuah batasan dan tidak menunjukkan seluruh batasan seperti gambar 3.3. x2
x2
50
50
40
40 B
30
x1 + 2x2 ≤ 40
20 10 0
30
10
A 10
20
a
4x1 + 3x2 ≤120
20
30
40
50
x1
0
10
20
30
40
50
x1
b Gambar 3.3 Grafik dengan daerah batasan
c. Menentukan daerah solusi yang layak (Solusi Fisibel) • Untuk menguji ketepatan dari daerah batasan, cek setiap satu titik yang berada di dalam dan di luar daerah. Sebagai contoh, ambil dua buah titik A dan B, masing masing berada di dalam dan di luar daerah, seperti dapat dilihat pada gambar 3.3a. Titik uji A pada gambar 3.3a, yang merupakan perpotongan dari x1 = 10 dan x2 = 10. Masukkan nilai-nilai ini ke dalam batasan tenaga kerja, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. 10 + 2x (10) ≤ 40 30 ≤ 40 • Hasil ini menunjukkan bahwa ternyata titik A berada di dalam daerah batasan karena nilainya lebih kecil (30) dari 40. • Berikutnya adalah titik uji B yang berada pada x1 = 40 dan x2 = 30. Hasilnya adalah 40 + 2 x (30) ≤ 40 100 ≤ 40 • Titik B jelas berada di luar daerah batasan karena nilai x1 dan x2 menghasilkan kuantitas 100, yang melebihi 40. Hal yang sama juga dapat dilakukan pada gambar 3.3b, sehingga kombinasi dari kedua garis tersebut dapat dilihat pada grafik 3.4.
18
x2 50 40
Daerah batasan kedua model grafik
30 20 10 0
10
20
30
40
50
x1
Gambar 3.4 Daerah batasan dari kedua persamaan • Sekarang perhatikan gambar 3.5. Daerah di dalam garis tebal pada gambar 3.5 merupakan daerah yang berlaku untuk batasan kedua model karena daerah ini merupakan satu-satunya daerah dalam grafik yang berisi nilai-nilai yang dapat memenuhi kedua batasan secara simultan (daerah solusi yang layak). • Beberapa titik dalam daerah solusi yang layak akan menghasilkan laba maksimum bagi perusahaan tersebut. x2 50 40 30
Daerah solusi fisibel 20 10 0
10
20
30
40
50
x1
Gambar 3.5 Daerah fisibel d. Mencari Titik Solusi. Langkah berikutnya adalah menentukan titik dalam daerah solusi yang layak yang menghasilkan laba terbesar. • Untuk memulai menganalisis solusi, garis fungsi tujuan disiapkan secara acak berdasarkan tingkatan laba yang dipilih. Sebagai contoh, jika laba Z adalah 80, fungsi tujuannya adalah sebagai berikut. 80 = 4x1+5 x2 • Seperti halnya garis batasan, persamaan ini juga digambarkan sebagai garis seperti pada gambar 3.6.
19
x2 50 40 30
garis 80 = 4x1+5 x2
20 10 0
10
20
30
40
50
x1
Gambar 3.6 Mencari solusi dengan menggunakan persamaan garis fungsi tujuan • Selanjutnya geser garis tersebut menjauhi titik origin (0,0). Laba meningkat jika fungsi tujuan menjauhi titik (0,0). Laba maksimum yang akan dicapai adalah pada titik dimana garis fungsi tujuan merupakan yang terjauh dari titik pangkal dan masih menyentuh suatu titik dalam daerah solusi yang layak. • Dari gambar 3.6 didapatkan bahwa solusi optimal dicapai di titik B. x2 50 40 30 20 10 0
10
20
30
40
50
x1
Gambar 3.7 Garis bantu digeser menjauhi titik orijin untuk mencari solusi optimum
Langkah ketiga dalam pendekatan solusi grafik adalah mencari nilai x1 dan x2 ketika titik solusi optimal diperoleh. Koordinat x1 dan x2 dapat langsung diperoleh dari grafik seperti gambar 3.8 adalah x1 =24 dan x2 = 8. Dengan demikian fungsi tujuan Z= 4 x 24 + 5 x 8 = 136.
20
x2 50 40 30 20 B
10 0
10
20
30
40
50
x1
Gambar 3.8 Titik solusi optimum
2.2 Solusi Grafik Masalah Minimasi •
Secara umum, solusi grafik masalah minimasi mempunyai cara yang sama dengan masalah maksimasi, kecuali untuk sedikit perbedaan. Contoh 3.2 Pemecahan Masalah Minimasi Programa Linier dengan Metode Grafik. Formulasi Model Minimasi Meminimkan Z = 6x1 + 3x2 terbatas pada 2 x1 + 4 x2 ≥ 16 4 x1 + 3 x2 ≥ 24 x1 , x2 ≥ 0
•
Untuk menyelesaikan model Programa linier dengan metode grafik: Langkah pertama adalah menggambarkan persamaan dari dua model batasan (lihat Gambar 3.9). x2 10
2 x1 + 4 x2 = 16
8 6 4
4 x1 + 3 x2 = 24
2 0
2
4
6
8
12
x1
Gambar 3.9 Garis batasan untuk model minimasi
21
•
Menentukan daerah solusi fisibel. Berikut adalah daerah solusi yang layak dipilih yang menggambarkan ketidaksamaan ≥ pada batasan-batasan tersebut (Gambar 3.10). x2 10 8 6
Daerah solusi yang layak 4 2 0
2
4
6
8
12
x1
Gambar 3.10 Daerah solusi yang layak • • •
Langkah berikutnya adalah menentukan titik optimal. Solusi optimal untuk masalah minimasi adalah juga pada batasan daerah solusi yang layak, akan tetapi batas daerah solusi terdiri dari titik-titik terdekat dari titik pangkal (titik orijin). Solusi optimal terdapat pada salah satu titik yang terekstrim pada batas daerah solusi. Dalam hal ini titik sudut yang menunjukkan tingkat ekstrim pada batas solusi yang terdekat pada titik pangkal, tiga titik sudut A, B, dan C dan garis fungsi tujuan. Pada saat fungsi tujuan bergeser mengarah ke titik pangkal, titik terakhir yang tersentuh dalam daerah solusi adalah titik yang layak. Hal ini menunjukkan bahwa nilai terendah telah dicapai. x2 10 8
A
6 4 B 2 C 0
2
4
6
8
12
x1
Gambar 3.11 Titik Solusi Optimal • •
Langkah terakhir dalam pendekatan solusi secara grafik adalah mencari nilai x1 dan x2 pada titik A. Solusi optimalnya adalah dengan mensubstitusikan nilai A pada fungsi tujuan Z = 6x1 + 3x2 (Coba Anda hitung sendiri!)
22
C. Tugas Kerjakan latihan-latihan soal di bawah menggunakan solusi grafik ! 1. memaksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 terbatas pada x1 + 2 x2 ≤ 10 6 x1 + 6 x2 ≤ 36 x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 2. memaksimumkan Z = 5 x1 + x2 terbatas pada 3x1 + 4 x2 = 24 x1 ≤ 8 x1 + 3x2 ≤ 12 x1 , x2 ≥ 0 3. meminimumkan Z = 8 x1 + 6 x2 terbatas pada 4x1 + 2x2 ≤ 20 -6x2 + 4x2 ≤ 12 x1 + x2 ≥ 6 x1 , x2 ≥ 0 4. meminimumkan Z = 5 x1 + 2 x2 terbatas pada 6 x1 + x2 ≥ 6 4 x1 + 3 x2 ≥ 2 x1 + 2 x2 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0
23
4. Programa Linier: Solusi Simplex A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami menggunakan metode simplex.
dan
mampu
menyelesaikan
permasalahan
B. Uraian Materi 1. Pendahuluan • • •
• • •
Tidak semua permasalahan Programa Linier dapat diselesaikan secara grafik. Untuk mengatasinya akan diperkenalkan sebuah metode dengan menggunakan pendekatan matematis yaitu: Metode Simplex. Metode Simplex merupakan suatu prosedur ulang yang bergerak dari satu jawab layak basis ke jawab berikutnya sedemikian rupa sehingga harga fungsi tujuan terus menaik (dalam persoalan maksimasi) atau fungsi tujuan menurun (dalam kasus minimasi). Proses ini akan terus berkelanjutan sampai dicapai jawab optimal (jika ada) yang memberi harga maksimum (minimum). Dalam pemecahan metode simplex model Programa Linier diubah ke dalam bentuk sebuah tabel, dinamakan tabel simplex, kemudian dilakukan langkah-langkah matematis pada tabel tersebut. Langkah-langkah matematis ini pada dasarnya merupakan replikasi proses pemindahan dari suatu titik ekstrim ke titik ekstrim lainnya pada batas daerah solusi. Tidak seperti metode grafik dimana dengan mudah titik terbaik dapat dicari diantara semua titik-titik solusi, metode simplex bergerak dari satu solusi ke solusi lain yang lebih baik sampai pada akhirnya solusi yang terbaik didapat.
2. Solusi Metode Simplex •
Langkah pertama untuk memecahkan Programa Linier dengan metode simplex adalah mengubah batasan-batasan model ke dalam bentuk persamaan yang merupakan persyaratan untuk pemecahan secara simultan. • Metode simplex memberikan suatu prosedur standar untuk mentransformasikan batasan pertidaksamaan berjenis ≤ ke dalam bentuk persamaan (=). • Transformasi ini dicapai dengan cara menambahkan suatu variabel baru yang dinamakan dengan variabel slack (variabel pengurang), diberi notasi s, dari sisi kiri batasan (untuk kasus maksimasi). Contoh 4.1 : Penambahan Variabel Slack x1 + 2x2 ≤ 40 diubah menjadi
Tanda pertidaksamaan
x1 + 2x2 + s1 = 40, dimana s1 ≥ 0
variabel slack
tanda persamaan
24
Contoh 4.2 Formulasi Model Programa Linier Dengan Penambahan Variabel Slack Kembali pada contoh permasalahan sebelumnya, kasus Perusahaan Tembikar PT. XYZ dengan formulasi model berikut: memaksimumkan Z = Rp (4x1 + 5x2) terbatas pada x1 + 2x2 ≤ 40 jam tenaga kerja kg tanah liat 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0 Mengubah batasan model. • Penambahan suatu variabel pengurang (s) pada setiap pertidaksamaan batasan di atas akan menghasilkan persamaan-persamaan berikut: x1 + 2x2 + s1 = 40 jam tenaga kerja kg tanah liat 4x1 + 3x2 + s2 = 120 •
•
Apa yang dimaksud dengan variabel slack? Variabel slack, s1 dan s2 , merupakan suatu nilai sebarang yang diperlukan, sehingga nilai sisi kiri dari tanda persamaan akan bernilai sama dengan nilai sisi kanannya. Sebagai contoh, misalkan suatu solusi hipotetis dari x1 = 5 dan x2 = 10. Substitusikan nilai-nilai tersebut (x1 = 5 dan x2 = 10) ke dalam persamaan-persamaan batasan pada ilustrasi 4.2, sehingga akan menghasilkan nilai: x1 + 2 x2 + s1 = 40 jam tenaga kerja 5 + 2.(10) + s1 = 40 jam tenaga kerja s1 = 15 jam tenaga kerja dan + s2 = 120 kg tanah liat 4x1 + 3x2 4.(5) + 3. (10) + s2 = 120 kg tanah liat s2 = 70 kg tanah liat
• •
• • •
Dari contoh di atas, x1 = 5 genteng dan, x2 = 10 bata mencerminkan suatu solusi yang belum menggunakan seluruh jumlah jam tenaga kerja dan tanah liat. Untuk membuat 5 genteng dan 10 bata hanya memerlukan 25 jam tenaga kerja. Hal ini berarti masih ada 15 jam tenaga kerja yang belum terpakai. Begitu juga dengan tanah liat yang digunakan untuk memproduksi 5 genteng dan 10 bata masih menyisakan 70 kg tanah liat. Dengan demikian, secara umum suatu variabel slack mencerminkan sumber-sumber daya yang tidak terpakai. Dalam contoh di atas, s1 mencerminkan jumlah jam tenaga kerja yang belum terpakai, sedangkan s2 mencerminkan jumlah kg tanah liat yang belum terpakai. Sumber-sumber yang tidak terpakai secara penuh akan muncul pada saat x1 = 0 dan x2 = 0 (di titik orijin (0,0). Dengan demikian jika nilai x1 = 0 dan x2 = 0 tersebut disubstitusikan ke persamaan batasan model, maka hasilnya adalah 0 + 2.(0) + s1 = 40 x1 + 2x2 + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120 4.(0) + 3. (0) + s2 = 120
25
•
Karena tidak ada produksi pada titik orijin (titik asal (0,0)), berarti semua sumbersumber daya tersebut tidak terpakai, jadi variabel pengurang sama dengan jumlah total tiap sumber yang tersedia, yaitu: s1 = 40, s2 = 120.
Efek pada fungsi tujuan. Pertimbangan berikutnya adalah efek dari variabel-variabel pengurang yang baru ini terhadap fungsi tujuan. Fungsi tujuan dalam contoh tersebut adalah: Z = Rp (4x1+5 x2) • • • •
Koefisien 4 dan 5 merupakan masing-masing merupakan kontribusi laba untuk tiap genteng dan bata. Lalu apa kontribusi dari variabel slack s1 dan s2? Variabel slack tersebut tidak memberikan kontribusi apa-apa terhadap fungsi tujuan karena mereka mencerminkan sumber yang tidak terpakai. Laba baru akan diperoleh hanya jika sumber-sumber digunakan untuk menghasilkan genteng dan bata. Dengan menggunakan variabel pengurang, fungsi tujuan dapat dituliskan sebagai berikut: Memaksimumkan Z = 4x1 + 5 x2 + 0.s1 + 0.s2
Batasan yang non negatif. Seperti pada variabel keputusan (x1 dan x2), variabel slack juga hanya dapat memiliki nilai non negatif karena sumber yang bernilai negatif adalah tidak mungkin. • Dengan demikian maka untuk formulasi model ini, non negatifnya adalah: x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0 •
Formulasi model Programa Linier sekarang untuk kasus contoh di atas adalah memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 + 0s1 + 0s2 terbatas pada x1 + 2x2 + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0
3. Solusi Untuk Persamaan Simultan • •
• •
Setelah kedua batasan ini diubah ke dalam bentuk persamaan, maka untuk menentukan nilai dari variabel pada tiap titik solusi persamaan-persamaan batasan dapat dipecahkan secara simultan. Pada contoh tersebut, terdapat dua persamaan dengan empat variabel yang tidak diketahui (yaitu: dua variabel keputusan (x1 dan x2) dan dua variabel pengurang (s1 , s2)), suatu situasi yang membuat solusi simultan secara langsung tidak memungkinkan. Perhatikan kembali kedua persamaan batasan contoh di atas. x1 + 2x2 + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120 Metode simplex memudahkan permasalahan ini dengan memberikan nilai nol untuk beberapa variabel. Jumlah variabel yang diberi nilai nol adalah n-m, dimana n sama dengan jumlah variabel sedangkan m sama dengan jumlah batasan (tidak termasuk batasan nonnegatif).
26
• •
• •
Untuk contoh model ini berarti n = 4 variabel dan m = 2 batasan, sehingga dua dari empat variabel tersebut diberi nilai nol (yaitu, 4 – 2 = 2). Sebagai contoh, misalkan x1 = 0 dan s1 = 0, maka kedua persamaan batasan tersebut akan menghasilkan seperti di bawah ini. x1 + 2x2 + s1 = 40 0 + 2x2 + 0 = 40 x2 = 40 dan 4 x1 + 3 x2 + s2 = 120 4.(0) + 3 (40) + s2 = 120 s2 = 60 Solusi ini berhubungan dengan titik A pada gambar 4.1. Grafik pada gambar 4.1 memperlihatkan bahwa pada titik A, dimana x1 = 0, x2 = 20, s1 = 0, dan s2 = 60 adalah solusi yang diperoleh jika diselesaikan dengan memecahkan persamaan simultan. Solusi ini nyata sebagai suatu solusi fisibel dasar. x2 x1 = 0 x2 =20 s1 = 0 s2 = 60
+ s2 = 120
40 30 20
x1 = 0 x2 = 0 s1 = 40 s2 = 120
4 x1 + 3 x2
50
A B
10 0
D
10
20
x1 = 24 x2 = 8 s1 = 0 s2 = 0 x1 = 30 x2 = 0 s1 = 10 s2 = 0
30
C
40
50
x1 + 2x2 + s1 = 40
x1
Gambar 4.1 Solusi pada titik-titik A, B, C, dan D • • •
Suatu solusi fisibel dasar adalah solusi yang memenuhi batasan model. Suatu solusi fisibel dasar memenuhi batasan-batasannya dan terdiri dari variabel dengan nilai non negatif dan n-m variabel yang diberi nilai nol. Biasanya, sebanyak m variabel mempunyai nilai solusi yang positif, namun, bila satu dari m variabel mempunyai nilai nol, solusi fisibel dasar dinyatakan mengalami degenerasi.
4. Metode Simplex Menggunakan Tabel Simplex • • • •
Langkah-langkah metode simplex dilakukan dalam suatu kerangka tabel, atau disebut dengan tabel simplex. Tabel simplex adalah tabel yang memuat semua keterangan yang perlu bagi jawab layak basis dari suatu permasalahan Programa linier. Tabel ini juga mengatur model ke dalam suatu bentuk yang memungkinkan untuk penerapan langkah-langkah matematis menjadi lebih mudah. Bentuk umum tabel simplex awal dengan judul kolom dan baris diperlihatkan pada tabel 4.1.
27
Tabel 4.1 Tabel Awal (Secara Umum) cj Variabel dasar
Kuantitas (solusi)
x1
...
xn
...
s1
...
sn
zj cj - zj
Contoh 4.3 Solusi Metode Simplex dengan Tabel Simplex Berikut adalah langkah-langkah penyelesaian permasalahan Programa linier menggunakan metode simplex dengan tabel simplex dengan contoh persoalan Perusahaan Tembikar PT. XYZ. Kita tuliskan kembali model matematikanya memaksimumkan Z = $ (4x1+5 x2) terbatas pada x1 + 2x2 ≤ 40 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0
jam tenaga kerja kg tanah liat
Langkah 1: mengubah bentuk batasan model pertidaksamaan menjadi persamaan. Untuk persoalan Perusahaan Tembikar PT. XYZ, hasil transformasi modelnya adalah sebagai berikut. (lihat contoh 4.2) memaksimumkan Z = 4x1+5 x2 + 0s1 + 0s2 terbatas pada x1 + 2x2 + s1 = 40 4x1 + 3x2 + s2 = 120 x1 , x2 , s1 , s2 ≥ 0 Langkah 2: Siapkan tabel awal untuk solusi fisibel dasar pada titik orijin dengan jumlah kolom sebanyak jumlah variabel ditambah tiga dan jumlah baris sebanyak jumlah batasan ditambah empat. • Tabel simplex awal untuk model Perusahaan Tembikar PT. XYZ, dengan berbagai judul kolom dan baris diperlihatkan pada tabel 4.2. Langkah 3: Isi kolom-kolom dan baris tabel simplex untuk solusi fisibel dasar di titik orijin.
28
Tabel 4.2 Tabel Simplex cj Variabel Kuantitas dasar (solusi)
x1
x2
s1
s2 variabel-variabel model sepanjang baris kedua dari atas, yaitu x1 , x2 , s1 , s2
zj cj - zj
1) Tahap pertama dalam mengisi tabel 4.2 adalah menuliskan variabel-variabel model sepanjang baris kedua dari atas. Kedua variabel keputusan ditulis terlebih dahulu dengan mengikuti urutan besarnya subskripnya, diikuti dengan variabel pengurang yang juga ditulis mengikuti urutan besarnya subskripnya. Langkah ini menghasilkan suatu baris berisi x1 , x2 , s1 , s2 dalam tabel 4.2. 2) Tahap berikutnya adalah menentukan suatu solusi fisibel dasar. Dengan kata lain, dua variabel manakah yang akan membentuk solusi fisibel dasar dan variabel mana yang akan diberi nilai nol? Tabel 4.3 Solusi Fisibel Dasar cj Variabel Kuantitas dasar (solusi) 40 s1 120 s2 zj cj - zj • •
x1
x2
s1
s2 variabel-variabel dasar dan nilainya di titik orijin. s1 = 40 dan s2 = 120
Metode simplex memilih titik orijin sebagai awal dari solusi fisibel dasar karena nilai variabel keputusan pada titik orijin selalu dapat diketahui dalam semua Programa linier. Pada titik orijin tersebut (x1 = 0 dan x2 = 0), yang merupakan variabel-variabel dalam solusi fisibel dasar untuk kasus ini adalah s1 dan s2. Dengan demikian, jika nilai x1 = 0 dan x2 = 0, maka kita substitusikan nilai-nilai tersebut pada kedua persamaan batas, hasilnya adalah x1 + 2x2 + s1 = 40
0
+ 2.(0) + s1 = 40 s1 = 40 jam
4x1 + 3x2 + s2 = 120 4.(0) + 3. (0) + s2 = 120 s2 = 120 kg • •
Dengan kata lain, pada titik orijin, dimana tidak ada produksi, semua sumber-sumber tersebut tidak terpakai, dan variabel s1 dan s2, yang membentuk solusi fisibel dasar. Dalam tabel 4.3 ditulis di bawah kolom variabel dasar dengan nilai-nilainya masingmasing 40 dan 120 ditulis di bawah kolom kuantitas (solusi).
29
• •
Karena tabel simplex awal selalu dimulai dengan solusi pada titik orijin, maka variabel-variabel dasar pada titik orijin adalah variabel pengurang, s1 dan s2. Variabel dasar adalah variabel yang nilainya tidak sama dengan nol; sedangkan variabel non-dasar adalah variabel yang nilainya sama dengan nol.
Tabel 4.4 Tabel Simplex dengan nilai-nilai cj cj 4 5 Variabel Kuantitas x1 x2 dasar (solusi) 0 40 s1 0 120 s2 zj cj - zj •
•
•
0
0
s1
s2
Z = 4x1+5 x2 + 0s1 + 0s2
Selanjutnya isi nilai cj, yaitu: koefisien-koefisien fungsi tujuan, yang mencerminkan kontribusi pada keuntungan (atau biaya) untuk setiap variabel xj atau sj pada fungsi tujuan. Sepanjang baris teratas dimasukkan nilai-nilai cj , yaitu 4, 5, 0, dan 0 untuk setiap variabel, seperti ditunjukkan pada tabel 4.4. Nilai-nilai cj pada sisi kiri tabel adalah kontribusi keuntungan dari variabel-variabel yang termasuk pada solusi fisibel dasar, dalam hal ini s1 dan s2. Variabel-variabel ini dituliskan pada sisi kiri tabel dengan tujuan digunakan untuk menghitung nilai pada baris zj. Kolom-kolom di bawah tiap variabel (x1 , x2 , s1 , s2) mengikuti koefisien variabel keputusan dan variabel pengurang dalam persamaan batasan model, dan hasilnya dapat dilihat pada tabel 4.5.
Tabel 4.5 Tabel Simplex dengan Koefisien Batasan Model cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas x1 x2 s1 s2 dasar (solusi) 0 40 1 2 1 0 s1 0 120 4 3 0 1 s2 zj cj - zj • •
Nilai cj koefisien fungsi tujuan
Kolom-kolom di bawah tiap variabel (x1 , x2 , s1 , s2)
Sampai di sini proses pengisian tabel simplex awal telah lengkap. Nilai-nilai yang harus diisi pada baris zj dan cj – zj, seperti juga nilai-nilai tabel selanjutnya diperoleh dari hasil perhitungan matematis yang menggunakan formulaformula simplex.
Menghitung zj dan Baris cj-zj • Langkah 4 : Menghitung nilai zj dan baris cj-zj Menghitung zj • Nilai pada baris zj dihitung dengan jalan mengalikan tiap nilai kolom cj (pada sisi kiri) dengan tiap kolom variabel (di bawah x1, x2, s1, dan s2), dan kemudian menjumlahkan tiap set nilai-nilai ini satu persatu. Nilai zj ini ditunjukkan dalam tabel 4.6.
30
Tabel 4.6 Tabel Simplex dengan nilai-nilai cj cj 4 5 Variabel Kuantitas x1 x2 dasar 0 40 1 2 s1 0 120 4 3 s2 zj 0 0 0 cj - zj Contoh perhitungan Nilai baris zj di bawah kolom kuantitas; cj kuantitas 0 X 40 =0 0 X 120 =0 zq =0
0
0
s1
s2
1 0 0
0 1 0
Nilai zj
nilai baris zj di bawah kolom x1 cj x1 0 x 1 =0 0 x 4 =0 zq =0
Menghitung baris cj-zj • Baris cj-zj dihitung dengan jalan mengurangkan nilai baris zj dari nilai-nilai baris (teratas) cj. Sebagai contoh, pada kolom x1, nilai cj-zj dihitung sebagai 4 – 0 = 4. Nilai ini seperti juga nilai cj-zj lainnya ditunjukkan pada tabel 4.7. Tabel 4.7 Tabel Simplex Awal Lengkap cj 4 Variabel Kuantitas x1 dasar 0 40 1 s1 0 120 4 s2 zj 0 0 cj - zj 4 • •
5
0
0
x2
s1
s2
2 3 0 5
1 0 0 0
0 1 0 0
Tabel 4.7 adalah tabel simplex awal yang lengkap dengan semua nilai yang telah terisi. Tabel 4.7 mencerminkan solusi pada titik orijin, dengan nilai x1 = 0, x2 = 0, s1 = 40 dan s2 = 120. Solusi ini jelas tidak optimal karena tidak ada keuntungan yang diperoleh. Jadi kita ingin berpindah ke suatu titik solusi yang akan memberikan solusi lebih baik. Dengan kata lain, kita ingin memproduksi salah satu dari beberapa genteng (x1) atau beberapa bata (x2).
Variabel Non-Dasar yang masuk. • Pada umumnya, nilai pada baris cj-zj mencerminkan kenaikan bersih per unit variabel non dasar yang masuk ke dalam solusi dasar. • Secara alamiah, kita ingin memperoleh sebanyak mungkin keuntungan, mengingat tujuan utamanya adalah memaksimumkan laba.
31
• •
•
Dengan demikian, kita memasukkan variabel yang akan memberikan kenaikan bersih terbesar terhadap laba per unit. Pada tabel 4.8 kita memilih variabel x2 sebagai variabel dasar yang memasuki solusi karena variabel tersebut memiliki kenaikan bersih terbesar terhadap laba per unit, dan merupakan nilai positif tertinggi pada baris cj-zj. Variabel non dasar yang masuk menjadi variabel dasar ditentukan dengan cara mencari nilai pada baris cj-zj yang terbesar.
Tabel 4.8 Pemilihan Variabel Dasar yang masuk cj 5 0 4 Variabel Kuantitas x1 x2 s1 dasar 0 40 1 2 1 s1 0 120 4 3 0 s2 zj 0 0 0 0 cj - zj 4 5 0
0 s2 0 1 0 0
variabel x2 •
Kolom x2 yang diberi garis terang pada tabel 4.8 disebut kolom pemutar (pivot column).
Variabel Dasar yang Keluar • Dalam contoh permasalahan ini, setiap solusi fisibel dasar hanya terdiri dari dua variabel yang diberi nilai nol, dan satu dari dua variabel dasar yang ada, s1 atau s2 akan meninggalkan solusi dan menjadi nol. • Untuk menentukan variabel dasar mana yang harus keluar menjadi variabel non-dasar dalam metode ini, caranya adalah dengan mencari nilai non-negatif terkecil dari hasil pembagian antara nilai kuantitas dari variabel solusi dasar terhadap nilai koefisien dari kolom pemutar. • Dengan demikian maka, variabel dasar yang keluar pada tabel 4.8 adalah variabel s1. Baris s1 yang diarsir terang pada tabel 4.8 dinyatakan sebagai baris pemutar (pivot row). • Variabel dasar yang keluar menjadi variabel non-dasar ditentukan dengan cara mencari nilai terbesar dari hasil perhitungan pembagian antara nilai kuantitas dari variabel solusi dasar terhadap nilai variabel pada kolom pemutar. Membentuk Tabel Baru Tabel 4.9 memperlihatkan tabel simplex ke dua dari variabel solusi dasar fisibel yang baru, yaitu x2 dan s2 berikut koefisien cj yang berhubungan. Tabel 4.9 Variabel Dasar dan nilai cj untuk tabel Simplex Kedua cj 4 5 0 0 Variabel Kuantitas x1 x2 s1 s2 Dasar 5 x2 0 s2
32
zj cj - zj •
Nilai baris yang beragam dalam tabel kedua dihitung menggunakan beberapa formula simplex. 1. Untuk baris x2 yang disebut baris pemutar tabel baru, dihitung dengan membagi tiap nilai dalam baris pemutar pada tabel pertama terhadap angka pemutar. nilai baris pemutar = (nilai baris pemutar tabel lama /angka pemutar) tabel baru
Tabel 4.10 Perhitungan Nilai Baris Pemutar yang Baru cj Variabel Kuantitas 4 5 0 0 Dasar x1 x2 s1 s2 5 20 1/2 1 1/2 0 x2 0 s2 zj cj - zj 2. Untuk menghitung nilai baris lainnya (dalam hal ini hanya ada satu baris) digunakan formula yang berbeda.
Nilai baris tabel baru
= Nilai baris tabel lama
-
Koefisien kolom pemutar yang berhubungan
x
Nilai baris pemutar tabel baru yang behubungan
Perhitungan Nilai Baris s2 yang baru Kolom
Kuantitas x1 x2 s1 s2
Nilai baris tabel lama
-
120 4 3 0 1
-
Koefisien kolom pemutar yang berhubungan ( 3 ( 3 ( 3 ( 3 ( 3
x
x x x x x
Nilai baris pemutar tabel baru yang behubungan 20 ) ½ ) 1 ) ½ ) 0 )
=
Nilai baris Lama
= = = = =
60 5/2 0 -3/2 1
Tabel simplex kedua diselesaikan dan dilengkapi dengan jalan menghitung baris zj dan cj – zj sama seperti perhitungan pada tabel pertama. Baris zj dihitung dengan jalan menjumlahkan hasil kali nilai kolom cj dengan semua nilai kolom lainnya. Kolom kuantitas x1 x2
zq z1 z2
= = =
(5) . (20) + (0) . (60) (5) . (1/2) + (0) . (5/2) (5) . (1) + (0) . (0)
= = =
100 5/2 5
33
s1 s2
z3 z4
= =
(5) . (1/2) + (0) . (-3/2) (5) . (0) + (0) . (1)
= =
5/2 0
Nilai baris zj dan nilai baris cj-zj dimasukkan ke dalam tabel untuk melengkapi tabel simplex kedua yang ditunjukkan dalam tabel 4.11. Tabel 4.11 Tabel Simplex kedua yang lengkap. cj Variabel Kuantitas 4 5 dasar x1 x2 5 20 1/2 1 x2 0 60 5/2 0 s2 zj 100 5/2 5 cj - zj 3/2 0
0
0
s1 1/2 -3/2 5/2 -5/2
s2 0 1 0 0
Tabel 4.11 di atas masih belum memberikan solusi optimal. Untuk mendapatkan tabel simplex solusi optimal, langkah-langkah seperti sebelumnya perlu dilakukan. Tabel Siplex Optimal • Untuk menentukan variabel non dasar yang masuk menjadi variabel dasar dan variabel dasar yang keluar menjadi variabel non dasar, dilakukan perhitungan seperti sebelumnya. 1. Menentukan variabel yang masuk Variabel non dasar yang masuk ditentukan dengan cara mencari nilai baris cj-zj yang tertinggi, seperti dapat dilihat pada tabel 4.12. 2. Variabel yang keluar Variabel dasar yang keluar ditentukan dengan cara membagi nilai kuantitas dari variabel solusi dasar terhadap nilai kolom pemutar. Dan variabel dasar yang keluar adalah variabel yang mempunyai hasil bagi nonnegatif terkecil, seperti dapat dilihat pada tabel 4.12. Tabel 4.12 Kolom Pemutar, Baris Pemutar, dan angka pemutar. cj Variabel Kuantitas 4 5 0 0 dasar x1 x2 s1 s2 5 20 1/2 1 1/2 0 x2 0 60 5/2 0 -3/2 1 s2 zj 100 5/2 5 5/2 0 cj - zj 3/2 0 -5/2 0 Baris pemutar tabel baru (x1) dalam tabel simplex ketiga dihitung dengan menggunakan formula yang sama seperti sebelumnya. Jadi semua nilai-nilai baris pemutar lama dibagi dengan 5/2 sebagai angka pemutar, hasilnya dapat dilihat pada tabel 4.13. Tabel 4.13 Nilai-nilai baris pemutar lama cj Variabel Kuantitas 4 5
0
0
34
dasar x2 x1 zj cj - zj
5 4
24
x1
x2
s1
s2
1
0
-3/5
2/5
Nilai-nilai baris lainnya (x2) dihitung seperti yang diperlihatkan pada tabel . Perhitungan Nilai Baris x2 yang Baru
kolom Kuantitas x1 x2 s1 s2
Nilai baris tabel lama
-
20 ½ 1 ½ 0
-
Koefisien kolom pemutar yang berhubungan (½ (½ (½ (½ (½
x
x x x x x
Nilai baris pemutar tabel baru yang behubungan 24 ) 1 ) 0 ) -3/5 ) 2/5 )
Nilai = baris Lama = = = = =
8 0 1 4/5 -1/5
Nilai-nilai yang baru ini, seperti baris zj dan nilai baris cj-zj yang baru, diperlihatkan dalam tabel ke tiga yang lengkap dalam tabel 4.14. Tabel 4.14 Tabel Simplex lengkap cj Variabel Kuantitas 4 dasar x1 5 8 0 x2 4 24 1 x1 zj 136 4 cj - zj 0 •
5
0
0
x2 1 0 5 0
s1 4/5 -3/5 8/5 -8/5
s2 -1/5 2/5 3/5 -3/5
Untuk menentukan variabel yang masuk berdasarkan pengamatan pada baris cj-zj, kita lihat bahwa suatu variabel non-dasar tidak akan menghasilkan kenaikan bersih positif terhadap laba dimana semua nilai baris cj-zj pada saat itu nol atau negatif. Ini berarti solusi optimal telah tercapai. Jadi solusinya adalah x1 = 24 genteng x2 = 8 bata Z = Rp 136
C. Tugas Kerjakan latihan-latihan soal di bawah menggunakan solusi simplex! 1. memaksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 terbatas pada x1 + 2 x2 ≤ 10 6 x1 + 6 x2 ≤ 36 x2 ≤ 4
35
x1 , x2 ≥ 0 2. Memaksimumkan Z = 2x1 + 3x2 terbatas pada x1 + 3x2 ≤ 6 3x1 + 2x2 ≤ 6 x1 , x2 ≥ 0 1. Perusahaan XYZ menghasilkan dua macam jenis barang, yaitu Produk I dan Produk II. Untuk memproduksi setiap unit Produk I diperlukan bahan baku A sebanyak 1 satuan, bahan baku B sebanyak 2 satuan. Sedangkan untuk memproduksi setiap unit Produk II diperlukan bahan baku A sebanyak 1 satuan, bahan baku B sebanyak 1 satuan. Jumlah bahan baku yang disediakan perusahaan masing-masing sebanyak 600 satuan untuk bahan baku A dan sebanyak 1000 satuan untuk bahan baku B. Harga jual setiap produk masing-masing adalah Produk I sebesar 150 satuan dan Produk II sebesar 100 satuan. Anda diminta bantuan untuk memecahkan permasalahan tersebut. 2. Memaksimumkan Z = 4x1 + 2x2 Terbatas pada 1x1 + 2x2 ≤ 40 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0
36
5. Programa Linier: Solusi Simplex Minimasi dan Tipe Programa Linier Iregular A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami menggunakan metode simplex.
dan
mampu
menyelesaikan
permasalahan
B. Uraian Materi 1. Pendahuluan • •
Secara umum, langkah-langkah metode simplex yang telah dijelaskan pada bab sebelumnya digunakan untuk semua tipe masalah programa linier. Untuk masalah minimasi, diperlukan sedikit perubahan dalam proses simplex yang normal.
2. Masalah Minimasi Program Linier Contoh 5.1 Penyelesaian masalah minimasi progama linier menggunakan metode simplex. Diketahui formulasi model Programa Linier minimasi sebagai berikut. Meminimumkan Z = 6x1 + 3x2 terbatas pada 2 x1 + 4 x2 ≥ 16 4 x1 + 3 x2 ≥ 24 x1 , x2 ≥ 0 Cari solusinya menggunakan Metode Simpleks Penyelesaian: Langkah pertama dari proses simplex adalah mengubah semua batasan pertidaksamaan ≥ ke bentuk persamaan (=) dengan mengurangi suatu variabel penambah (variabel surplus) dan ditambahkan variabel artifisial A.
2x1 + 4x2 ≥ 16 diubah menjadi 4x1 + 3x2 ≥ 24 diubah menjadi
Tanda pertidaksamaan
•
2x1 + 4x2 - s1 + A1 = 16, dimana s1 ≥ 0 4x1 + 3x2 - s2 + A2 = 24, dimana s2 ≥ 0
variabel surplus
tanda persamaan
Variabel penambah diberi simbol s dan harus nonnegatif (≥ 0 ).
37
•
• •
Suatu variabel pengurang yang ditambahkan pada batasan ≤ mencerminkan sumber yang tidak terpakai, sedangkan variabel penambah yang dikurangkan pada batasan ≥ mencerminkan kelebihan di atas batas minimal sumber yang diperlukan. Variabel artifisial (A) tidak memberikan arti seperti halnya variabel pengurang atau variabel penambah. Variabel Artifisial diselipkan ke dalam persamaan hanya untuk memberikan solusi positif pada titik pangkal (titik orijin). Variabel artifisial analog dengan roket booster yang tujuannya adalah untuk mengangkat pesawat dari permukaan bumi, tetapi sekali pesawat terangkat, roket tersebut tidak ada gunanya lagi sehingga roket tersebut lalu dibuang.
Langkah kedua adalah mengubah persamaan fungsi tujuan dengan menambahkan variabel big M. Z = 6x1 + 3x2 + 0. s1 + 0. s2 + M.A1 + M. A2 • •
Seperti variabel pengurang, variabel penambah tidak mempunyai dampak menaikkan atau menurunkan biaya pada fungsi tujuan. Dengan demikian transformasi model masalah minimasi secara lengkapnya adalah: meminimumkan Z = 6x1 + 3x2 + 0. s1 + 0. s2 + M.A1 + M. A2 terbatas pada 2x1 + 4x2 - s1 + A1 = 16 4x1 + 3x2 - s2 + A2 = 24 x1 , x2 , s1 , s2 , A1, A2 ≥ 0
3. Tabel Simplex Minimasi • • • •
Pembentukan tabel simplex awal untuk model minimasi dilakukan dengan cara yang sama seperti untuk model maksimasi, kecuali untuk satu perbedaan kecil. Pada baris akhir tabel simplex, tidak lagi menghitung cj – zj , melainkan menghitung zj – cj, yang mencerminkan penurunan biaya per unit bersih, dan kemudian dipilih nilai positif terbesar untuk penentuan variabel yang masuk dan kolom pemutar. Pilihan lain, kita tetap dapat menghitung cj – zj dan tetap kita memilih nilai negatif terbesar sebagai kolom pemutar. Namun agar tetap konsisten dalam aturan untuk memilih kolom pemutar, kita akan tetap menggunakan zj – cj.
Tabel Simplex Awal • Tabel simplex awal model minimasi di atas ditunjukkan pada tabel 5.1. (Catatan: lihat cara memasukkan parameter-parameter seperti contoh pada bab 4 sebelumnya) Tabel 5.1 Tabel Simplex Awal Model Minimasi cj
Variabel dasar
Kuantitas (solusi)
M M
A1 A2
16 24
6
3
0
0
M
M
x1 2 4
x2 4 3
s1 -1 0
s2 0 -1
A1 1 0
A2 0 1
38
zj zj - cj •
40 M
6M 6M-6
7M 7M-3
-M -M
-M -M
M 0
M 0
Pada tabel 5.1, kolom x2 dipilih sebagai kolom pemutar karena 7M-3 adalah nilai positif terbesar pada baris zj – cj, (x2 sebagai variabel yang masuk). A1 dipilih sebagai variabel dasar yang keluar (baris pemutar) karena hasil bagi sebesar (16/4) = 4 untuk baris ini merupakan nilai positif terendah. (A1 sebagai variabel yang keluar)
•
Tabel Simplex Kedua • Tabel simplex kedua dibentuk menggunakan formula simplex yang telah diperkenalkan pada bab 4, ditunjukkan pada tabel 5.2. Tabel 5.2 Tabel Simplex Kedua cj Variabel Kuantitas dasar (solusi) 3 M
• •
x2 A2 zj zj - cj
4 12 12 M + 12
6
3
0
0
M
x1 1/2 5/2 5M/2 + 3/2 5M/2 - 9/2
x2 1 0 3 0
s1 -1/4 3/4 -3/4 + 3M/4 -3/4 + 3M/4
s2 0 -1 -M -M
A2 0 1 M 0
Perhatikan bahwa kolom A1 telah dihilangkan pada tabel simplex kedua. Begitu variabel artifisial meninggalkan solusi fisibel dasar, variabel tersebut tidak akan pernah kembali, mengingat biayanya yang tinggi, yaitu M. Pada tabel 5.2, kolom x1 dipilih sebagai kolom pemutar karena 5M/2 - 9/2 adalah nilai positif terbesar pada baris zj – cj. A2 dipilih sebagai variabel dasar yang keluar (baris pemutar) karena hasil bagi sebesar (24/5) untuk baris ini merupakan nilai positif terendah.
• •
Tabel Simplex Ketiga • Pada tabel 5.3 tabel simplex ketiga, x1 menggantikan A2. • Kedua kolom A1 dan A2 telah dihilangkan karena kedua variabel artifisial tersebut telah meninggalkan solusi. Tabel 5.3 Tabel Simplex Ketiga cj Variabel Kuantitas Dasar (solusi) 3 6
•
x2 x1 zj zj - cj
8/5 24/5 168/5
6
3
0
0
x1 0 1 6 0
x2 1 0 3 0
s1 -2/5 3/10 3/5 3/5
s2 1/5 -2/5 -9/5 -9/5
Sampai di sini (tabel 5.3) solusi optimal belum dipenuhi, karena pada baris zj – cj masih ada yang bernilai positif. (solusi optimal terpenuhi jika nilai (zj – cj) semuanya nol atau negatif.
39
• • •
Pada tabel 5.3, kolom s1 dipilih sebagai kolom pemutar karena 3/5 adalah nilai positif terbesar pada baris zj – cj. x1 dipilih sebagai variabel dasar yang keluar (baris pemutar) karena baris tersebut memiliki rasio positif terkecil sebesar 16. Dalam pemilihan baris ini, nilai -4 untuk baris x2 tidak diperhitungkan karena yang dipilih adalah nilai positif atau nol. Jika yang dipilih baris x2 hal ini akan menyebabkan s1 memiliki nilai kuantitas yang negaitf pada tabel keempat, dan nilai ini tidak layak.
Tabel Simplex Optimal Tabel 5.4 Tabel Simplex Optimal cj Variabel Kuantitas Dasar (solusi) 3 x2 8 0 s1 16 zj 24 zj - cj •
6 x1 4/3 10/3 4 -2
3 x2 1 0 3 0
0 s1 0 1 0 0
0 s2 -1/3 -4/3 -1 -1
Tabel 5.4 merupakan tabel simplex yang optimal, dimana tidak satupun terdapat nilai positif pada baris zj – cj. Solusi optimalnya adalah x1 = 0 s1 = 16 x2 = 8 s2 = 0 Z = 24
Penyesuaian Tabel Simplex Untuk Suatu Model Minimasi: 1. Mengubah semua batasan ≥ ke dalam bentuk persamaan dengan cara mengurangkan suatu variabel penambah dan menambahkan suatu variabel artifisial. 2. Memberikan nilai cj sebesar M untuk semua variabel artifisial pada fungsi tujuan. 3. Mengubah baris cj – zj menjadi zj – cj . 4. Masalah Batasan Campuran • •
Sebelumnya telah dipelajari permasalahan maksimasi dengan pertidaksamaan batasan ≤ saja dan permasalahan minimasi dengan persamaan batasan ≥ saja. Bagaimana dengan penyelesaian permasalahan dengan batasan campuran, yaitu terdiri dari batasan yang mempunyai bentuk ≤, ≥ dan =.
Contoh 5.2 Permasalahan Programa Linier untuk Masalah Batasan Campuran. Formulasi Model Permasalahan Batasan Campuran Memaksimumkan Z = 400 x1 + 200 x2 terbatas pada x1 + x2 = 30
40
2x1 + 8x2 ≥ 80 x1 ≤ 20 x1 , x2 ≥ 0 Langkah pertama metode simplex adalah mengubah pertidaksamaan ke dalam bentuk persamaan. • Batasan Pertama, yaitu: x1 + x2 = 30 sudah berbentuk persamaan. Untuk batasan yang pada awalnya berbentuk persamaan, karena itu tidak perlu menambah variabel pengurang. • Meskipun persamaan batasan pertama ini nampaknya dalam bentuk yang telah sesuai solusi simplex, kita perlu menguji apakah telah sesuai dengan solusi simplex. Uji dilakukan di titik orijin (titik pangkal (0,0)). x1 + x2 = 30 0 + 0 = 30 0 ≠ 30 (karena 0 tidak sama dengan 30, batasan ini tidak fisibel) • Batasan yang berbentuk persamaan perlu ditambah variabel artifisial (A). Uji di titik pangkal, dimana x1 =0 dan x2 =0. x1 + x2 + A1 = 30 0 + 0 + A1 = 30 • Batasan Kedua, yaitu persamaan 2x1 + 8x2 ≥ 80 adalah suatu pertidaksamaan (≥), diubah ke dalam bentuk persamaan (=) dengan mengurangkan suatu variabel penambah dan menambahkan suatu variabel artifisial. 2x1 + 8x2 – s1 + A2 = 80 • Batasan ketiga, adalah pertidaksamaan (≤) dan diubah ke bentuk persamaan (=) dengan menambahkan variabel pengurang (slack). x1 + s2 = 20 Mengubah fungsi tujuan Memaksimumkan Z = 400 x1 + 200 x2 + 0. s1 + 0.s2 – M.A1 –M.A2 Batasan nonnegatif x1 , x2 , s1 , s2 , A1, A2 ≥ 0 •
Perubahan masalah program linier di atas secara lengkapnya adalah: Memaksimumkan Z = 400 x1 + 200 x2 + 0. s1 + 0.s2 – M.A1 –M.A2 terbatas pada x1 + x2 + A1 = 30 2x1 + 8x2 – s1 + A2 = 80 x1 + s2 = 20 x1 , x2 , s1 , s2 , A1, A2 ≥ 0
Langkah Kedua membuat tabel simplex awal. Tabel 5.5 merupakan tabel simplex awal. Tabel 5.5 Tabel Simplex Awal model minimasi cj 400 Variabel Kuantitas dasar (solusi) x1 -M A1 30 1 -M
A2
80
2
200 x2 1
0 s1 0
0 s2 0
-M A1 1
-M A2 0
8
-1
0
0
1
41
0
•
s2 zj cj - zj
20 -110 M
1 0 -3M -9M 400 + 3M 200 + 9M
0 M -M
1 0 0
0 -M 0
0 -M 0
x2 adalah variabel yang masuk (nilai cj – zj nya paling besar); A2 adalah variabel yang keluar (perbandingan antara kuantitas/koefisien kolom pemutar yang berhubungan paling kecil; 80/8=10). Tabel 5.6 adalah tabel simplex kedua.
•
Tabel 5.6 Simplex Kedua cj Variabel Kuantitas dasar (solusi) -M A1 20 200 x2 10 0 s2 20 zj 2000 - 20 M cj - zj • •
• •
200 x2 0 1 0 200 0
0 s1 1/8 -1/8 0 -25 – M/8 25 +M/8
0 s2 0 0 1 0 0
-M A1 1 0 0 -M 0
x1 adalah variabel yang masuk (nilai cj – zj nya paling besar) ; s2 adalah variabel yang keluar (perbandingan antara kuantitas/koefisien kolom pemutar yang berhubungan paling kecil; 20/1). Tabel 5.7 adalah tabel simplex ketiga.
Tabel 5.7 Tabel Simplex Ketiga cj Variabel Kuantitas Dasar (solusi) -M 200 400
400 x1 ¾ ¼ 1 50 - 3M/4 350 + 3M/4
A1 x2 x1 zj cj - zj
5 5 20 9000-5M
400 x1 0 0 1 400 0
200 X2 0 1 0 200 0
0 s1 1/8 -1/8 0 -25 – M/8 25 +M/8
0 s2 -3/4 -1/4 1 350+3M/4 -350-3M/4
-M A1 1 0 0 -M 0
s1 adalah variabel yang masuk (nilai cj – zj nya paling besar); A1 adalah variabel yang keluar (perbandingan antara kuantitas/koefisien kolom pemutar yang berhubungan paling kecil; 5/(1/8)). Tabel 5.8 adalah tabel simplex optimal.
Tabel 5.8 Simplex Optimal cj Variabel Kuantitas Dasar (solusi) 0 s1 40 200 x2 10 400 x1 20 zj 10000 cj - zj
400 X1 0 0 1 400 0
200 x2 0 1 0 200 0
0 s1 1 0 0 0 0
0 s2 -6 -1 1 200 -200
42
• •
Tabel 5.8 sudah optimal karena nilai cj – zj nya semuanya nol (0) atau negatif. Solusi optimal untuk permasalahan ini adalah: x1 = 20 x2 = 10 s1 = 40 Z = 10.000
Aturan untuk meyiapkan batasan ≤, ≥, dan = untuk metode simplex Batasan Penyesuaian Koefisien Fungsi Tujuan Maksimasi Minimasi ≤ Tambah variabel pengurang 0 0 = Tambah variabel artifisial -M M ≥ Kurang variabel penambah dan 0 0 tambah variabel artifisial -M M
5. •
Masalah Jenis Programa Linier Yang Tidak Teratur Ada beberapa masalah khusus program linier yang akan dijelaskan berikut, yaitu permasalahan-permasalahan solusi optimal majemuk, masalah tidak layak, masalah solusi tidak terbatas.
a. Solusi Optimal Majemuk Contoh 5.3 Pada contoh 5.3 ini misalkan dari kasus PT XYZ fungsi tujuannya diubah dari Z = 4x1 + 5x2 menjadi Z = 4x1 + 3x2. Dengan demikian, formulasi modelnya adalah Memaksimumkan Z = 4x1 + 3x2 Terbatas pada 1x1 + 2x2 ≤ 40 4x1 + 3x2 ≤ 120 x1 , x2 ≥ 0 • • •
Grafik dari model ditunjukkan oleh gambar 5.1. Perubahan pada fungsi tujuan membuat garis fungsi tujuan menjadi sejajar dengan garis batasan 4x1 + 3x2 ≤ 120. Kedua garis ini mempunyai kemiringan yang sama. Solusi optimalnya berada di garis B dan C, sehingga terdapat beberapa pilihan solusi optimalnya. x2 50 40 30 20
A B
10 0
10
20
C 30
40
50
x1
43
Gambar 5.1 Solusi optimal majemuk model PT XYZ.
•
Tabel simplex optimalnya
Tabel 5.9 Tabel Simplex Optimal cj 4 Variabel Kuantitas x1 Dasar 0 10 0 s1 4 30 1 x1 zj 120 4 cj - zj 0 • • • •
5
0
0
x2
s1
s2
5/4 3/4 3 0
1 0 0 0
-1/4 ¼ 1 -1
Tabel 5.9 berhubungan dengan titik C pada grafik. Bukti adanya solusi optimum majemuk untuk masalah ini dapat ditentukan pada baris cj - zj . Solusi optimal majemuk diindikasikan oleh nilai 0 (nol) pada baris cj - zj (atau zjcj) untuk variabel bukan dasar. Solusi optimal alternatifnya adalah sebagai berikut.
Tabel 5.10 Tabel Simplex Optimal Alternatif cj 4 5 Variabel Kuantitas x1 x2 Dasar 5 8 0 1 x2 4 24 1 0 x1 zj 120 4 3 cj - zj 0 0
0
0
s1
s2
4/5 -3/5 0 0
-1/5 2/5 1 -1
b. Suatu Masalah yang Tidak Fisibel • Dalam beberapa kasus masalah Program Linier tidak mempunyai daerah fisibel, jadi tidak terdapat solusi fisibel dasar pada masalah tersebut. Contoh 5.4 Memaksimumkan Z = 5x1 + 3x2 Terbatas pada 4x1 + 2x2 ≤ 8 x1 ≥ 4 x2 ≥ 6 x1 , x2 ≥ 0 Tugas: Coba gambarkan model Progam Linier tersebut, cari solusi optimumnya dengan metode grafik. c. Suatu Masalah Tidak Berbatas
44
• •
Dalam beberapa kasus masalah daerah solusi yang layak dibentuk oleh batasanbatasan model tidak tertutup. Dalam hal ini fungsi tujuan mungkin saja akan naik terus-menerus tidak terbatas tanpa mencapai nilai maksimum, mengingat fungsi tujuan tidak akan pernah mencapai batas daerah solusi yang layak.
Contoh 5.5 Memaksimumkan Z = 4x1 + 2x2 Terbatas pada x1 ≥ 4 x2 ≤ 2 x1 , x2 ≥ 0 Tugas: Coba gambarkan model Progam Linier tersebut, cari solusi optimumnya dengan metode grafik. Kesimpulan dari Simplex yang irreguler • Solusi optimal majemuk diidentifikasikan oleh nilai cj – zj (atau zj - cj) = 0 untuk variabel bukan non dasar. • Sedangkan untuk menentukan solusi pengganti, masukkan variabel yang memiliki nilai cj – zj sama dengan nol. C. Tugas Kerjakan latihan-latihan soal di bawah menggunakan solusi simplex! 1. Meminimumkan Z = 5 x1 + 2 x2 terbatas pada 6 x1 + x2 ≥ 6 4 x1 + 3 x2 ≥ 2 x1 + 2 x2 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0 2. Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 terbatas pada 2x1 + 3x2 ≤ 1 x1 + x2 = 2 x1 , x2 ≥ 0 3. Meminimumkan Z = 20x1 + 10x2 terbatas pada x1 + x2 = 150 -x1 ≥ -40 x2 ≥ 20 x1 , x2 ≥ 0 4. Memaksimumkan Z = x1 + x2 terbatas pada x1 - x2 ≥ -1 -x1 + 2x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0
45
6. Analisis Post Optimal A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang Dualitas, Analisis Sensitivitas, dan Post Opimal B. Uraian Materi 1. Pendahuluan • •
•
Begitu solusi suatu masalah Programa Linier telah ditemukan, mungkin kita cenderung untuk berhenti menganalisis model tersebut. Analisis lebih jauh atas solusi optimal akhir justru dapat menghasilkan informasi yang lebih berguna. Solusi optimal dari suatu model programa linier dapat dianalisis dengan dua cara, yaitu: a. Merumuskan dan menginterpretasikan dual dari model. b. Menganalisis dampak yang terjadi pada solusi optimal atas perubahanperubahan yang terjadi pada koefisien-koefisien batasan model dan fungsi tujuan. Proses ini dikenal dengan analisis sensitivitas. Dual adalah suatu bentuk alternatif model berisi informasi mengenai nilai-nilai sumber yang biasanya membentuk sebagai batasan model.
2. Model Dual Dari Primal • • • •
Setiap model programa linier mempunyai dua bentuk: Primal dan Dual. Bentuk asli dari progama linier disebut Primal. Contoh model pada bab-bab sebelumnya adalah model-model primal. Dual adalah bentuk alternatif model yang dikembangkan sepenuhnya dari bentuk primal.
2.1 Model Dual Maksimasi Contoh 6.1 Model Dual Model Primal Maksimasi Toko Mebel ‘Gaya’ memproduksi meja dan kursi yang dihitung atas dasar harian. Tiap meja yang diproduksi menghasilkan keuntungan Rp 160, sedangkan tiap kursi menghasilkan keuntungan Rp 200. Produksi meja dan kursi ini bergantung pada tersedianya sumber-sumber yang terbatas (tenaga kerja, kayu, dan gudang tempat penyimpanan). Kebutuhan sumber-sumber untuk memproduksi meja dan kursi serta jumlah total sumber yang tersedia adalah sebagai berikut Kebutuhan sumber
46
Sumber Tenaga Kerja Kayu Gudang penyimpanan
Meja
Kursi
2 jam 18 kubik 24 m2
4 jam 18 kubik 12 m2
Jumlah yang tersedia 40 jam 216 kubik 240 m2
Perusahaan ingin mengetahui berapa banyak meja dan kursi yang harus diproduksi untu memaksimumkan keuntungan. Model tersebut diformulasikan sebagai berikut: Memaksimumkan Z = 160 x1 + 200 x2 Terbatas pada: 2 x1 + 4 x2 ≤ 40 jam tenaga kerja 18 x1 + 18 x2 ≤ 216 kubik kayu 24 x1 + 12 x2 ≤ 240 m2 tempat penyimpanan x1 , x2 ≥ 0 dimana x1 = jumlah meja yang diproduksi x2 = jumlah kursi yang diproduksi Dalam model tersebut merupakan model maksimasi untuk mendapatkan nilai laba sebanyak-banyaknya. • • •
Model di atas mewakili Model Primal. Untuk Suatu Model Maksimasi Primal, bentuk dualnya merupakan Suatu Model Minimasi. Bentuk dual untuk contoh model ini adalah: Meminimumkan Zd = 40 y1 + 216 y2 + 240 y3 Terbatas pada 2 y1 + 18 y2 + 24 y3 ≥ 160 4 y1 + 18 y2 + 12 y3 ≥ 200 y1 , y2 , y3 ≥ 0
Dalam model dual ini yang analisis ditinjau dengan meminimumkan biaya sekecilkecilnya. •
Hubungan khusus antara primal dan dual yang diperlihatkan pada contoh di sini adalah sebagai berikut. 1) Variabel y1 , y2 , y3 berhubungan dengan batasan model primal. Untuk setiap batasan dalam primal terdapat satu variable dual. Sebagai contoh, dalam kasus ini primal mempunyai tiga batasan, karena itu dual memiliki tiga variabel keputusan. 2) Nilai kuantitas pada sisi kanan pertidaksamaan batasan primal merupakan koefisien fungsi tujuan dual. Nilai-nilai batasan primal, yaitu 40, 216, dan 240 membentuk fungsi tujuan dual: Z = 40 y1 + 216 y2 + 240 y3 3) Koefisien batasan model primal merupakan koefisien variable keputusan dual. Contoh batasan tenaga kerja dalam primal mempunyai koefisien 2 dan 4. Nilai-nilai ini merupakan koefisien variable y1 dalam batasan model dual: 2 y1 dan 4 y1 4) Koefisien fungsi tujuan primal, yaitu 160 dan 200 mewakili kebutuhan batasan model (nilai kualitas pada sisi kanan batasan) dual.
47
•
Hubungan antara primal-dual dapat diamati dengan cara membandingkan bentuk kedua model tersebut seperti ditunjukkan pada gambar berikut.
Primal Memaksimumkan
Dual Meminimumkan
Z = 160 x1 + 200 x2
Z = 40 y1 + 216 y2 + 240 y3
Terbatas pada: Terbatas pada 2 x1 + 4 x2 ≤ 40 18 x1 + 18 x2 ≤ 216 24 x1 + 12 x2 ≤ 240
2 y1 + 18 y2 + 24 y3
≥ 160
4 y1 + 18 y2 + 12 y3 ≥ 200 x1 , x2 ≥ 0
Masalah Primal (atau Dual)
y1 , y2 , y3 ≥ 0
Masalah Dual (atau Primal)
Koefisien fungsi tujuan ……………… Nilai kanan fungsi batasan Maksimumkan Z (atau Y) …………... Minimumkan Y (atau Z) Batasan i ……………………………… Variabel yi (atau xi) Bentuk ≤ ………………………………. yi ≥ 0 Bentuk = ………………………………. yi ≥ dihilangkan Variabel xj ……………………………. Batasan j xj ≥ 0 ………………………………...... Bentuk ≥ xj ≥ 0 dihilangkan ………………….... Bentuk =
2.2 Model Dual Minimasi • Bentuk primal standar untuk permasalahan minimasi, semua batasan mempunyai tanda pertidaksamaan ≥ . Contoh 6.2 Model Dual Model Primal Minimasi Formulasi Model Primal Minimasi Meminimumkan Z = 6x1 + 3x2 Terbatas pada 2 x1 + 4 x2 ≥ 16 4 x1 + 3 x2 ≥ 24 x1 , x2 ≥ 0 •
Dual dari model ini diformulasikan sebagai berikut: Memaksimumkan Zd = 16 y1 + 24 y2 Terbatas pada
48
2 y1 + 4 y2 ≤ 6 4 y1 + 3 y2 ≤ 3 y1 , y2 ≥ 0
2.2 Suatu Masalah Batasan Campuran •
Model Dual dari Primal Campuran dapat dilihat sebagai berikut.
Contoh 6.3 Model Dual Model Primal Campuran Formulasi Model Primal Campuran Memaksimumkan Z = 10x1 + 6x2 Terbatas pada x1 + 4 x2 ≤ 40 3 x1 + 2 x2 = 60 2 x1 + x2 ≥ 25 x1 , x2 ≥ 0 • • •
Satu kondisi yang diperlukan untuk mentransformasikan masalah primal ke dalam bentuk dual adalah bahwa primal harus dalam bentuk standar. Untuk suatu maksimasi primal, semua batasan model harus ≤; dan untuk suatu minimasi primal, semua batasan harus ≥. Jadi saat model maksimasi mencakup batasan campuran, langkah pertama adalah mengubah semua batasan model ke dalam bentuk ≤. a. Batasan pertama x1 + 4 x2 ≤ 40 telah dalam bentuk tepat. b. Batasan kedua 3x1 + 2 x2 = 60 harus diubah ke dalam bentuk ≤ (kasus maksimasi). Persamaan ini ekuivalen dengan dua batasan berikut: b.1 3x1 + 2 x2 ≥ 60 b.2 3x1 + 2 x2 ≤ 60 Batasan b.1 belum memenuhi syarat, dan batasannya harus diubah ke dalam bentuk ≤. Untuk itu batasan b.1 dikalikan dengan bilangan (-1), sehingga batasan sekarang menjadi: -3x1 - 2 x2 ≤ - 60
•
c. Batasan model terakhir 2 x1 + x2 ≥ 25 Sama halnya dengan batasan b.1, batasan terakhir (c) ini harus diubah ke dalam bentuk batasan primal standar (kasus maksimasi batasan primal standar harus ≤ 0). Untuk itu batasan terakhir harus dikalikan dengan bilangan (-1), sehingga diperoleh batasan primal standarnya adalah - 2 x1 - x2 ≤ - 25 Dengan demikian, maka model primal bentuk standar dapat disimpulkan sebagai berikut: Memaksimumkan Zp = 10x1 + 6x2
49
Terbatas pada x1 + 4 x2 ≤ 40 3x1 + 2 x2 ≤ 60 -3x1 - 2 x2 ≤ -60 - 2 x1 - x2 ≤ - 25 x1 , x2 ≥ 0 •
Bentuk dual dari model ini diformulasikan sebagai: Meminimumkan Zd = 40 y1 + 60 y2 - 60 y3 - 25 y4 Terbatas pada y1 + 3y2 - 3y3 - 2y4 ≥ 10 4y1 + 2 y2 - 2 y3 - y4 ≥ 6 y1,y2 ,y3 ,y4 ≥ 0
4. Penggunaan Dual •
•
•
Manfaat utama dari dual bagi pengambil keputusan terletak pada informasi yang dihasilkan, antara lain tentang sumber-sumber model serta mereka dapat melihat alternatif permasalahan dari sisi yang berbeda. Seringkali manajer tidak terlalu menaruh perhatian pada laba akan tetapi lebih pada penggunaan sumber-sumber karena manajer lebih sering mempunyai kendala atas penggunaan sumber-sumber daripada atas akumulasi laba. Solusi dual memberikan informasi kepada manajer mengenai nilai dari sumber-sumber yang terutama penting dalam pengambilan keputusan untuk menentukan apakah perlu menambah sumber-sumber serta biaya yang harus dikeluarkan untuk tambahan tersebut.
5. Analisis Sensitivitas •
• • •
• •
•
Setelah ditemukan penyelesaian optimal dari suatu masalah Programa Linier, kadangkadang dirasa perlu untuk mengkaji lebih jauh berbagai kemungkinan seandainya terjadi perubahan-perubahan pada koefisien-koefisien di dalam model pada saat tabel optimal telah diseselaikan. Jika hal itu terjadi, seseorang dapat saja memutuskan untuk menghitung kembali dari awal dengan masalah baru (karena perubahan koefisien tertentu). Tentu saja apabila cara ini dilakukan akan memakan waktu yang lama karena ia harus menghitung segala sesuatunya kembali. Untuk menghindarinya biasanya digunakan suatu cara yang dinamakan analisis sensitivitas, yang pada dasarnya memanfaatkan kaidah-kaidah metode simplex primaldual semaksimal mungkin. Karena analisis dilakukan setelah dicapainya penyelesaian optimal, maka analisis ini sering disebut pula: Post Optimality Analysis. Tujuan analisis sensitivitas adalah mengurangi perhitungan-perhitungan dan menghindari perhitungan ulang, apabila terjadi perubahan-perubahan satu atau beberapa koefisien model Progama Linier pada saat penyelesaian optimal telah dicapai. Pada dasarnya perubahan-perubahan yang mungkin terjadi setelah dicapainya penyelesaian optimal terdiri dari beberapa macam, yaitu: a. Keterbatasan kapasitas sumber daya. Dengan kata lain, nilai kanan fungsi-fungsi batasan.
50
b. Koefisien-koefisien fungsi tujuan. c. Koefisien-koefisien teknis fungsi-fungsi batasan, yaitu koefisien-koefisien yang menunjukkan berapa bagian kapasitas sumber yang ”dikonsumsi” oleh satu satuan kegiatan. d. Penambahan variabel-variabel baru. e. Penambahan batasan baru.
C. Tugas Buat Formulasi Model Dual dari Model Primal Berikut 1. Meminimumkan Z = 5 x1 + 2 x2 terbatas pada 6 x1 + x2 ≥ 6 4 x1 + 3 x2 ≥ 2 x1 + 2 x2 ≥ 4 x1 , x2 ≥ 0 2. Meminimumkan Z = 2x1 + 3x2 terbatas pada 2x1 + 3x2 ≤ 1 x1 + x2 = 2 x1 , x2 ≥ 0 3. Memaksimumkan Z = x1 + x2 terbatas pada x1 - x2 ≥ -1 -x1 + 2x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 4. Meminimumkan Z = 3x1 + 5x2 + 2x3 terbatas pada x1 + x2 + x3 = 1000 x1 ≥ 200 x2 ≥ 400 x3 ≤ 300 x1, x2 , x3 ≥ 0 7. Memaksimumkan Z = 4 x1 + 5 x2 terbatas pada x1 + 2 x2 ≤ 10 6 x1 + 6 x2 ≤ 36 x2 ≤ 4 x1 , x2 ≥ 0 8. Meminimumkan Z = 8 x1 + 6 x2 terbatas pada 4 x1 + 2 x2 ≥ 10 - 6 x1 + 4x2 ≤ 12
51
x1 + x2 ≥ 6 x1 , x2 ≥ 0
7. Programa Linier: Metode Transportasi A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan penggunaan metode transportasi B. Uraian Materi 1. Pendahuluan •
•
•
Metode transportasi merupakan suatu metoda yang digunakan untuk mengatur distribusi dari sumber-sumber (S) yang menyediakan produk yang sama ke tempattempat yang membutuhkan (tujuan, T) secara optimal. Alokasi produk ini harus diatur sedemikian rupa, karena terdapat perbedaan biayabiaya pengalokasian dari satu sumber ke tempat-tempat tujuan berbeda-beda, dan dari beberapa sumber ke suatu tempat tujuan yang juga berbeda-beda. Metode transportasi ini dapat juga digunakan untuk memecahkan beberapa permasalahan bisnis, seperti pengiklanan, pembelanjaan modal, alokasi dana untuk investasi, analisis lokasi, keseimbangan lini produksi perakitan dan perencanaan serta penjadualan produksi. Sumber
Tujuan X11
S1
X12
T1
X13 X21 X22 S2
Xm1
Sm
T2
X23 Xm2 Xmn
Tn
Gambar 7.1 Model transportasi dari sebuah jaringan dengan m sumber dan n tujuan 2. Model Transportasi • Model transportasi diformulasikan menurut karakteristik-karakteristik unik permasalahannya sebagai berikut: a. Suatu barang dipindahkan dari sejumlah sumber ke tempat tujuan dengan biaya seminimum mungkin.
52
• •
•
b. Atas barang tersebut tiap sumber dapat memasok suatu jumlah yang tetap dan tiap tempat tujuan mempunyai jumlah permintaan yang tetap. Meskipun model transportasi umum ini dapat diterapkan pada berbagai permasalahan, namun yang paling lazim adalah penerapan pada transportasi barang. Persoalan transportasi merupakan bagian dari bentuk persoalan program linier khusus yang disebut persoalan aliran jaringan kerja. Jaringan kerja adalah susunan titik (disebut node) dan garis (disebut anak panah) yang menghubungkan node-node. Contoh fisik jaringan kerja meliputi kota dan jalan yang menghubungkannya, jaringan kerja distribusi air (anak panahnya adalah pipa dan nodenya adalah stasiun pemompaan dan titik percabangan dari pipa besar ke pipa kecil). Secara umum, model dalam persoalan transportasi dapat digambarkan dalam suatu tabel yang menunjukkan sisi penawaran (kapasitas persediaan) dan jumlah permintaan, serta biaya transportasi dari masing-masing sumber ke masing-masing tujuan.
Tabel 7.1 Tabel Transportasi Tujuan
Tujuan T1
Asal S1
c11 X11
Tujuan T.
c12 X1.
c21 X21 c.1 X.1 Xm1
c.n X.n
cm2
cm.
Xm2 b1
a2
c.. X..
cm1
c2n X2n
c.2 X.1
Sm
a1
c2. X2.
Xm. b2
Kapasitas Persediaan ai
c1n X1n
c22 X22
...
Tujuan Tn
c1.
X12
S2
Permintaan (Kebutuhan) bj
Tujuan T2
cmn
... am
Xmn ..
bm
Keterangan : = Tempat ke- i asal barang (sumber) Si m = Jumlah tempat asal (sumber) Tj = Tempat ke- j, Tujuan Barang n = Jumlah tempat tujuan = Jumlah barang yang akan didistribusikan dari sumber Si ke tujuan Tj Xij = Biaya distribusi 1 unit barang dari Si ke Tj aij = Jumlah seluruh barang (kapasitas persediaan) dari Si ai bj = Kapasitas Kebutuhan barang di Tj Model Persoalan Transportasi Fungsi Tujuan m
Meminimumkan z =
n
∑ ∑ c ij x ij
i =1 j=1
n
Terbatas pada
∑ x ij = a ij j=1
53
n
∑ x ij = b ij j=1
x ij ≥ 0 Tahap Penyelesaian Kasus Transportasi: 1) Buat Tabel Transportasi (Lihat Tabel 7.1) 2) Tentukan Penyelesaian Awal Syarat :
m
n
i =1
j=1
∑ a i = ∑ b j (Jumlah Permintaan = Kapasitas Persediaan)
Penyelesaian awal (pengisian tabel tahap pertama) dapat dilakukan dengan 3 cara: a. Metode North West Corner b. Metode Least Cost c. Metode Vogel 3) Lakukan Cek Optimalisasi a. Metode Stepping Stone b. Modified Distribution Method (Modi) 4) Lakukan Perbaikan Tabel 5) Kembali ke Langkah 3 Contoh 7.1 Model Transportasi Standar PT ABCD memiliki 3 pabrik motor di A, B dan C dan 3 distributor utama di D, E, dan F. Jumlah produksi motor tiap pabrik dalam satu tahun adalah 90 unit, 60 unit dan 50 unit. Permintaan ketiga distributor setiap tahunnya masing masing sejumlah 50 unit, 110, unit dan 40 unit. Biaya pengiriman tiap unit motor dari tiap pabrik ke tiap distributor ditunjukkan pada matriks berikut: PABRIK A B C
D 20 15 25
DISTRIBUTOR E 5 20 10
F 8 10 19
Tentukan pendistribusian yang optimal (jumlah pengiriman motor dari tiap pabrik ke tiap distributor, dengan total biaya minimal) Penyelesaian: Model Programa Linier dari masalah di atas dapat dirumuskan sebagai berikut. X11 = Jumlah motor yang dikirim dari A ke D X12 = Jumlah motor yang dikirim dari A ke E X13 = Jumlah motor yang dikirim dari A ke F X21 = Jumlah motor yang dikirim dari B ke D X22 = Jumlah motor yang dikirim dari B ke E X23 = Jumlah motor yang dikirim dari B ke F X31 = Jumlah motor yang dikirim dari C ke D X32 = Jumlah motor yang dikirim dari C ke E X33 = Jumlah motor yang dikirim dari C ke F
54
Formulasi Model: Meminimumkan Z = 20X11 + 5X12 + 8X13+ 15X21 + 20X22 + 10X23+ 25X31 +10X32+19 X33
Terbatas pada X11 + X12 + X13 = 90 X21 + X22 + X23 = 60 X31 + X32 + X33 = 50 X11 + X21 + X31 = 50 X12 + X22 + X32 = 110 X13 + X23 + X33 = 40 X11, X12,..., X33 ≥ 0 1) Buat Tabel Transportasi Ke
D
E
F
8
Kapasitas Pabrik ai 90
10
60
19
50
Dari A
20 X11
5 X13
X12
B
15 X21
20 X23
X22
C
25 X31
Kebutuhan Gudang bj
10 X33
X32 50
110
40
2) Tentukan Penyelesaian Awal •
Metode North West Corner (NWC) Metode optimasi dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah. a. Pengisian sel dimulai dari sudut kiri atas tabel (yaitu sel X11). Bandingkan persediaan di S1 dengan kebutuhan di T1, yaitu masing-masing a1 dan b1. Cari X11 = min (a1, b1) pilih nilai paling minimal antara a1 dan b1. • Bila a1 > b1, maka X11 = b1. Teruskan ke sel X12, kemudian tentukan nilai X12 = min (a1 - b1 , b2). • Bila a1 < b1, maka X11 = a1. Teruskan ke sel X21, kemudian tentukan nilai X21 = min (b1 – a1 , a2). • Bila a1 = b1, buat X11 = b1. Teruskan ke sel X22. b. Teruskan langkah tersebut, setahap demi setahap menjauhi sudut kiri atas, hingga akhirnya harga telah dicapai pada sudut kanan bawah. Ke
D
E
F 8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
Dari A
50 X11
B
20 15
X21
40 X12 60 X22
5 X13 20 X23
55
C
25 X31
Kebutuhan Gudang bj
10
10 X32
50
19
40 X33
110
50
40
Biaya Minimalnya adalah Z = 20 X11 + 5X12 + 20X22 + 10X32 + 19X33 = 1000+ 200 + 1200+100 +760 = 20 (50) + 5 (40) + 20 (60) + 10(10) + 19 (40) = 3260 Kelemahan metode ini: tidak memperhitungkan besarnya biaya, sehingga kurang efisien. •
Metode Least Cost Mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu Cara ongkos baris terkecil a. Kita mulai dari baris a1. Kita mencari ongkos terkecil pada baris ini. Misalkan terjadi pada kolom Tk. Kemudian tentukan X1k = min (a1, bk). Jika X1k = a1, tinggalkan baris a1 dan teruskan ke baris a2. Jika X1k = bk, tinggalkan kolom Tk dan tentukan ongkos terkecil pada baris a1 kembali. Kalau ini terjadi pada kolom 1, maka buatlah X11 = min (a1 – b1k, b1). Teruskan proses ini hingga baris a1 telah terpenuhi dan sesudah itu pindah ke baris a2. Ke
D
E
F 8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
Dari A B C Kebutuhan Gudang bj
20 X11 20 X21 30 X31
5
90 X12
15 25
50
20 X22 20 X32
X13 40 X23
10 X33 110
40
Biaya Min Z = 5 X12 + 10X32 + 10X23 + 20X21 + 25X31 Z = 5 (90) + 10 (20) + 10 (40) + 15 (20) + 25 (30) = 450 + 200 + 400 + 300 + 750 = 2100 Metode Least Cost lebih efisien dibandingkan dengan NWC. •
Metode Vogel Metode Vogel merupakan metode yang lebih mudah dan lebih cepat untuk mengatur alokasi dari beberapa sumber ke daerah tujuan. Tahap tahap penyelesaian metode vogel adalah sebagai berikut: a. Tentukan selisih ongkos terkecil dan kedua terkecil dari tiap tiap baris dan tiap tiap kolom. b. Pilih baris atau kolom yang memiliki selisih ongkos terbesar. c. Isikan pada sel yang memiliki ongkos terkecil di baris atau kolom yang terpilih pada langkah 2.
56
d. Lanjutkan sampai selesai Kembali ke contoh sebelumnya, kita akan menggunakan metode Vogel. Tentukan selisih ongkos terkecil dan kedua terkecil dari tiap tiap baris dan tiap tiap kolom.
PABRIK A B C Kebutuhan Perbedaan kolom
DISTRIBUTOR D E F 20 5 8 15 20 10 25 19 10 50 110 40 20-15 = 5 10-5=5 10-8=2
PABRIK A B Kebutuhan Perbedaan kolom
PABRIK A B Kebutuhan Perbedaan kolom
D 20 15
DISTRIBUTOR E 5 20
50 20-15 = 5
PABRIK
90 60 50
110-50 = 60 20-5=15
90 60
40 108=2
DISTRIBUTOR E F
B
15
10
Kebutuhan
50 (40-30)=10
Perbedaan baris 8-5 = 3 15-10 = 5
XAE=60 Hilangkan kolom E Kapasitas 90-60=30 60
40 10-8=2
D
Perbedaan baris 8-5 = 3 15-10 = 5 19-10 = 9 XCE=50 Hilangkan baris C
Kapasitas F 8 10
DISTRIBUTOR D E F 20 8 15 10 50 20-15 = 5
Kapasitas
Perbedaan baris 20-8 = 12 15-10 = 5
XAF=30 Hilangkan baris A Kapasitas
Perbedaan baris
60
15-10 = 5 XBD=50 XBF=10
57
Biaya Transportasinya adalah Z = 10 (50) + 5 (60) + 8 (30) + 15 (50) + 10 (10) = 500+300+240+750+100 =1890
3) Cek Optimalitas Syarat yang harus dipenuhi: Jumlah sel yang terisi: (m + n) – 1 m = jumlah baris tabel transportasi n = jumlah kolom tabel transportasi Cek optimalitas dapat dilakukan dengan 2 cara, yaitu dengan Metode Stepping Stone atau Metode MODI (modified distribution) •
Metode Stepping Stone Misalkan tabel awal yang digunakan adalah hasil dari metode NWC Ke D E F Dari A 20 5 8 50 40 B
15
60
20
C
25
10
10
Kebutuhan Gudang bj
50
40
110
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
40
Biaya Minimalnya adalah Z = 20 X11 + 5X12 + 20X22 + 10X32 + 19X33 = 1000+ 200 + 1200+100 +760 = 20 (50) + 5 (40) + 20 (60) + 10(10) + 19 (40) = 3260 Perbaikan 1: Dengan cara coba-coba! Ke D E Dari A 20 5 50 40 90 X11 X12 B 15 20 50 60 10 X21 X22 C 25 10 10 X31 X32 Kebutuhan Gudang bj 50 110
F 8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
X13 X23 40 X33 40
Biaya Minimalnya adalah
58
Z = 5X12 + 15X21 + 20X22 + 10X32 + 19X33 = 5 (90) + 15 (50) + 20 (10) + 10(10) + 19 (40) = 450+750+200+100+760=2260
Perbaikan 2 Ke Dari A
D 20 X11 50 X21
B
E
15
C
25 X31
Kebutuhan Gudang bj
5
90 50 X12 10 X22 10 50 X32
50
F 40 X13
20 10
X23 40 X33
110
8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
40
Z = 5X12 + 8X13+ 15X21 + 20X22 + 10X32 = 5 (50) + 8(40)+15 (50) + 20 (10) + 10(50) = 250+ 320+ 750+200+500= 2020 Perbaikan 3 Ke Dari A
D 20 X11 50 X21
B
E
15
C
25 X31
Kebutuhan Gudang Bj
5
50 60 X12 10 X22 50 X32
50
F
20
40 30 X13 10 X23
10
8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
X33 110
40
Z = 5X12 + 8X13+ 15X21 + 10X23 + 10X32 = 5 (60) + 8(30)+15 (50) + 10 (10) + 10(50) = 300+ 240+ 750+100+500= 1890 Karena harga cij sudah tidak ada yang negatif, maka tabel sudah optimal • Metode Modi (Modified Distribution) a. Gunakan tabel awal (misalkan diambil dari tabel NWC) Tabel awal (diambil dari metode NWC) Ke
D K1
Dari A
50
E K2 20
40
F K3 5
8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
59
R1 B R2 C R3 Kebutuhan Gudang bj
15
60
20
25
10
10
50
40
110
10
60
19
50
40
b. Buat variabel Ri dan Kj untuk masing-masing baris dan kolom c. Hitung sel yang berisi (nilai setiap kolom dan tiap baris) dengan persamaan Ri + Kj = Cij Ri = nilai baris i Kj = nilai kolom j Cij = biaya pengangkutan dari sumber i ke tujuan j Langkah-langkah pengisian tabel 1) Isilah tabel pertama dari sudut kiri atas ke kanan bawah 2) Menentukan nilai baris dan kolom dengan cara: • Baris pertama selalu diberi nilai 0 • Nilai baris yang lain dan nilai semua kolom ditentukan berdasarkan rumus Ri + Kj = Cij.
A -D = R1 + K1 = 20 A -E = R1 + K2 = 5 B -E = R2 + K2 = 20 C -E = R3 + K2 = 10 C -F = R3 + K3 = 19
Dari persamaan di atas, hitung K1 dan R1 dicari dengan cara memberi baris R1 = 0. Nilai baris A = R1 = 0 Mencari nilai kolom K1: R1 + K1 = C11 0 + K1 = 20, nilai kolom D = K1 = 20 Mencari nilai kolom dan baris yg lain: 1). R1 + K1 = 20 0 + K1 = 20 ,K1 =20 2). R1 + K2 = 5 0 + K2 = 5 ,K2 = 5 3). R2 + K2 = 20 R2 + 5 = 20 ,R2 = 15 4). R3 + K2 = 10 R3 + 5 = 10 ,R3 = 5 5). R3 + K3 = 19 5 + K3 = 19 ,K3 = 14 Ke Dari A R1=0 B R2=15 C
D K1=20 20 50
E K2=5
F K3=14
40
5
8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
15
60
20
10
60
25
10
10
19
50
40
60
R3=5 Kebutuhan Gudang bj
50
110
40
d. Hitung nilai/indeks perbaikan setiap sel yang kosong dengan persamaan Indeks perbaikan adalah nilai dari segi empat air (segi empat yang kosong). Cij - Ri - Kj = indeks perbaikan Cij - Ri - Kj
indeks perbaikan
BD
15 – 15 – 20
-20
CD
25 – 5 – 20
0
AF
8 – 0 – 14
-6
BF
10 – 15 – 14
-19
(Suatu sel dikatakan optimal jika indeks perbaikannya ≥ 0, jika belum pilih yang negatifnya terbesar) e.
Memilih titik tolak perubahan Pilih nilai yang negatifnya besar yaitu BD
f. Buat jalur tertutup • Berilah tanda positif pada B-D. • Satu sel yang isi terdekat dan sebaris (yaitu B-E), satu sel yang isi terdekat dan sekolom (yaitu A-D), berilah tanda negatif pada dua sel tersebut. • Kemudian pilih satu sel yang sebaris atau sekolom dengan dua sel bertanda negatif tadi (A-E) dan beri tanda positif. • Selanjutnya pindahkan isi dari sel bertanda negatif ke yang bertanda positif sebanyak isi terkecil dari sel yang bertanda positif (50). Jadi, B-D kemudian berisi 50, B-E berisi 60-50=10, • A-E berisi 40+50=90 dan A-D tidak berisi. Ke Dari A R1=0 B R2=15 C R3=5 Kebutuhan Gudang bj
D K1=20 20 50 15 50 + 25
E K2=5 5 40 90 + 20 60 10 10 10
50
110
F K3=14
40
8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
40
Z = 5X12+15X21 + 20X22+ 10X32 + 19X33 = 5(90) + 15(50)+20 (10) + 10 (10) + 19(40) = 450+ 750+200+100+760= 2260
61
g.
Ulangi langkah-langkah c – f sampai indeks perbaikan bernilai ≥ 0.
Tabel Pertama Hasil Perubahan Ke
D K1=20
Dari A R1=0 B R2=15 C R3=5 Kebutuhan Gudang Bj
50
20
E K2=5 5 90
15
10
20
25
10
10
50
F K3=14
40
110
8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
40
Cij - Ri - Kj = indeks perbaikan Cij - Ri - Kj
indeks perbaikan
AD
20 – 0 – 20
0
AF
8– 0– 14
-6
BF
10 – 15 – 14
-19
CD
25–5 – 20
0
Tabel Kedua Hasil Perubahan Ke D Dari K1=20 A 20 R1=0 B 15 50 R2=15 C 25 R3=5 Kebutuhan Gudang 50 Bj
E K2=5 5 90 10 10 20 + 110
20 10
F K3=14
10 + 40 30 -
8
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
40
62
Z = 5X12+15X21 + 10X23+ 10X32 + 19X33 = 5(90) + 15(50)+10 (10) + 10 (20) + 19(30) = 450+ 750+100+200+570= 2070
Tabel Ketiga Hasil Perubahan Ke
D K1=20
Dari A R1=0 B R2=15 C R3=5 Kebutuhan Gudang Bj
50
20
E K2=5 5 60
15
20
25
50
F K3=14 8 30 10
10
50
110
Kapasitas Pabrik (ai) 90
10
60
19
50
40
Z = 5X12+8X13+15X21 + 10X23+ 10X32 = 5(60) + 8(30)+15(50)+10 (10) + 10 (50) = 300+ 240+750+100+500= 1890 Cij - Ri - Kj = indeks perbaikan Cij - Ri - Kj
indeks perbaikan
AD
20 – 0 – 20
0
BE
20-2-5
13
CD
25-5-13
7
CF
19-5-8
6
C. Tugas 1. Sebuah perusahaan penggilingan beras memiliki 30 truk beras di Karawang dan 60 truk di Cirebon. Sementara itu dari Bogor, Bandung dan Garut telah datang pesanan beras masing-masing 20, 36, dan 34 truk. Pimpinan perusahaan menginginkan suatu rencana pengangkutan yang paling murah, berdasarkan ongkos angkutan seperti pada tabel berikut (per truk):
63
Ke
Bogor
Bandung
Garut
Karawang
$42
$55
$60
Cirebon
$36
$47
$51
Dari
Buat rencana pengangkutan yang meminimumkan ongkos transportasi!
2. Sebuah perusahaan perminyakan mempunyai persediaan minyak 300.000 barel di Istambul, 200.000 barel di Dubai, dan 150.000 barel di Saudi Arabia. Seorang pembeli di Roma memesan 400.000 barel dan pembeli di Paris memesan 250.000 barel. Ongkos pengangkutan setiap barelnya diperlihatkan dalam tabel berikut. Istambul
Dubai
Saudi Arabia
Roma
38
10
18
Paris
34
22
25
Buat rencana pengangkutan yang meminimumkan ongkos transportasi!
64
8. Programa Linier: Masalah Penugasan A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan penggunaan metode penugasan B. Uraian Materi 1. Pendahuluan • Model penugasan merupakan kasus khusus dari model transportasi, dimana sejumlah m sumber ditugaskan ke sejumlah n tujuan (satu sumber untuk satu tujuan), sedemikian sehingga didapat ongkos total yang minimum. • Biasanya yang dimaksud dengan sumber adalah pekerja, sedangkan yang dimaksud dengan tujuan adalah mesin/pekerjaan. • Salah satu metode yang digunakan untuk Penugasan adalah metode Hungarian. • Penggambaran umum persoalan penugasan dapat dilihat pada tabel 8.1 Tabel 8.1 Matrik Penugasan Pekerjaan
Karyawan
1
•
2
3
4
..
N
1 2 .. m
Syarat Penggunaan Model Penugasan a. Jumlah Sumber/Pekerja = Jumlah Pekerjaan b. Tiap Pekerja untuk satu pekerjaan c. Jika ada n sumber, n tujuan/pekerjaan, maka kemungkinan penugasan = n.
2. Masalah Minimasi Berikut adalah contoh Penugasan Masalah Minimasi. Contoh 8.1
65
•
Suatu perusahaan mempunyai 4 karyawan dengan tingkat produktivitas berbeda dan 4 jenis pekerjaan yang berbeda-beda. Biaya penugasan tiap karyawan untuk pekerjaan yang berbeda-beda tersebut dapat dilihat pada tabel 8.2 Tabel 8.2 Matrik biaya penugasan Pekerjaan (Biaya x Rp 1000)
Karyawan
A B C D
II 20 16 20 18
III 18 21 23 18
IV 22 17 20 16
Bagaimana menugaskan keempat karyawan untuk mendapatkan biaya minimum? Langkah Penyelesaian Metode Penugasan 1) Menyusun tabel seperti tabel 8.2 2) Melakukan pengurangan matriks dengan cara: a. Memilih biaya terkecil dari setiap baris. Tabel 8.3 Pemilihan biaya terkecil Pekerjaan (Biaya x Rp 1000)
Karyawan
A B C D
I 15 14 25 17
II 20 16 20 18
III 18 21 23 18
IV 22 17 20 16
nilai 15 nilai 14 nilai 20 nilai 16
b. Kurangkan semua biaya dengan biaya terkecil setiap baris Tabel 8.4 Tabel pengurangan biaya dengan biaya terkecil Pekerjaan (Biaya x Rp 1000)
Karyawan
A B C D
I 15-15=0 14-14=0 25-20=5 17-16=1
II 20-15=5 16-14=2 20-20=0 18-16=2
III 18-15=3 21-14=7 23-20=3 18-16=2
IV 22-15=7 17-14=3 20-20=0 16-16=0
nilai 15 nilai 14 nilai 20 nilai 16
3) Melakukan pengurangan kolom Berdasarkan hasil tabel 8.4, pilih biaya terkecil setiap kolom untuk mengurangi seluruh biaya dalam kolom-kolom tersebut. Tabel 8.5 Matriks total opportunity cost Pekerjaan (Biaya x Rp 1000) K
•
I 15 14 25 17
A
I 0
II 5
III 3-2=1
IV 7
66
B C D
0 5 1
2 0 2
7-2=5 3-2=1 2-2=0
3 0 0
nilai 2 kolom III
4) Membentuk penugasan optimum Prosedur praktis untuk melakukan uji optimalisasi adalah dengan menarik sejumlah minimum garis horisontal dan/atau vertikal untuk meliputi seluruh elemen yang bernilai nol dalam matriks total opportunity cost. Jika jumlah garis sama dengan jumlah baris/kolom maka penugasan telah optimal. Jika tidak harus direvisi.
Tabel 8.6 Matriks uji optimalisasi Pekerjaan (Biaya x Rp 1000)
Karyawan
A B C D
I 0 0 5 1
II 5 2 0 2
III 1 5 1 0
IV 7 3 0 0
Dari tabel 8.6 ada tiga garis yang meliputi seluruh nilai nol dibandingkan dengan empat baris atau kolom, sehingga masih diperlukan revisi matriks. 5) Melakukan Revisi Tabel a. Untuk merevisi matriks total opportunity cost, pilih angka terkecil yang tidak terliput (dilewati garis). b. Kurangkan angka yang tidak dilewati garis dengan angka terkecil c. Tambahkan angka yang terdapat pada persilangan garis dengan angka terkecil. d. Kembali ke langkah 4.
Karyawa
Tabel 8.7 Revisi tabel Pekerjaan (Biaya x Rp 1000) A B C D
I 0 0 5 1
II 5-1 2-1 0 2
III 1-1 5-1 1 0
IV 7-1 3-1 0 0
nilai terkecil 1
K
Tabel 8.8 Revisi tabel terakhir Pekerjaan (Biaya x Rp 1000) A
I 0
II 4
III 0
IV 6
67
B C D
0 5 1
1 0 2
4 1 0
2 0 0
Dalam table 8.8 dibutuhkan 4 garis untuk meliput seluruh nilai nol atau sama dengan jumlah baris/kolom, sehingga penugasan telah optimal. Karyawan A ditugaskan pada pekerjaan III Karyawan B ditugaskan pada pekerjaan I Karyawan C ditugaskan pada pekerjaan II Karyawan D ditugaskan pada pekerjaan IV Total Biaya (Min)
= Rp 18.000 = Rp 14.000 = Rp 20.000 = Rp 16.000 = Rp 68.000
3. Masalah Maksimasi • Metode penugasan Hungarian untuk minimasi juga dapat diterapkan untuk penugasan yang menyangkut maksimasi. • Dalam masalah maksimasi, matriks elemen-elemen menunjukkan tingkat keuntungan (indeks produktivitas). • Efektivitas pelaksanaan tugas oleh karyawan secara individual diukur dengan jumlah kontribusi keuntungan. •
Contoh 8.2 Suatu perusahaan memiliki 5 karyawan dan masing-masing karyawan tersebut dapat mengerjakan 5 jenis pekerjaan yang ada di perusahaan tersebut. Adapun keuntungan dari hasil pekerjaan mereka adalah berbeda-beda, seperti dapat terlihat pada tabel 8.9.
Karyawan
Tabel 8.9 Matriks keuntungan Pekerjaan (Biaya x Rp 1000) A B C D E
I 10 14 9 13 10
II 12 10 8 15 13
III 10 9 7 8 14
IV 8 15 8 16 17
V 15 13 12 11 17
Dari data di atas, tugaskanlah masing-masing karyawan ke masing-masing pekerjaan sehingga keuntungan menjadi maksimal. •
Langkah Penyelesaian: 1. Seluruh elemen dalam setiap baris dikurangi dengan nilai maksimum dalam baris yang sama. Prosedur ini menghasilkan matriks Opportunity Loss. Tabel 8.10 Matriks opportunity loss Pekerjaan (Biaya x Rp 1000)
68
Karyawan
A B C D E
I 5 1 3 3 7
II 3 5 4 1 4
III 5 6 5 8 3
IV 7 0 4 0 0
V 0 2 0 5 0
Nilai-nilai ini sebenarnya negatif. 2. Dari hasil langkah 1, pilih elemen terkecil dari tiap-tiap kolom untuk mengurangi elemen-elemen pada kolom yang sama, maka diperoleh matriks total opportunity loss, seperti tabel 8.11.
Karyawan
Tabel 8.11 Matriks opportunity loss dengan pengurangan elemen Pekerjaan (Biaya x Rp 1000) A B C D E
I 4 0 2 2 6
II 2 4 3 0 3
III 2 3 2 5 0
IV 7 0 4 0 0
V 0 2 0 5 0
3. Melakukan jadual penugasan a. Tarik sejumlah minimum garis horizontal dan vertikal untuk melipat seluruh elemen bernilai nol. b. Bila jumlah garis sama dengan jumlah kolom, maka penugasan optimal adalah fisibel. Bila tidak harus direvisi.
Karyawan
Tabel 8.12 Matriks opportunity loss dengan jumlah garis = jumlah baris Pekerjaan (Biaya x Rp 1000) A B C D E
I 2 0 0 2 6
II 0 4 1 0 3
III 0 3 0 5 0
IV 5 0 2 0 0
V 0 2 0 5 0
Hasil penyelesaian pada tabel 8.12 di atas telah optimal karena banyaknya jumlah garis = banyaknya jumlah kolom = banyaknya jumlah baris. Tabel penugasan adalah sebagai berikut:
69
Karyawan A ditugaskan pada pekerjaan II Karyawan B ditugaskan pada pekerjaan I Karyawan C ditugaskan pada pekerjaan V Karyawan D ditugaskan pada pekerjaan IV Karyawan E ditugaskan pada pekerjaan III
= Rp 12.000 = Rp 14.000 = Rp 12.000 = Rp 16.000 = Rp 14.000
Total Biaya (Maks)
= Rp 68.000
4 Masalah Ketidakseimbangan • Jika ada penambahan pekerjaan, akan tetapi tidak diimbangi penambahan pekerja, maka dalam model Penugasan Hungarian, penyelesaiannya harus ditambah Variabel Semu (dummy variable). • Pada contoh minimasi di atas ada penambahan pekerjaan V, sehingga harus ditambah dengan Karyawan Semu supaya dapat dilakukan penyelesaian.
Karyawan
Pekerjaan (Biaya x Rp 1000)
•
A B C D DummyE
I 15 14 25 17 0
II 20 16 20 18 0
III 18 21 13 18 0
IV 22 17 20 16 0
V 21 15 27 18 0
Prosedur penyelesaian sama dengan langkah-langkah sebelumnya.
C. Tugas 1. Sebuah perusahaan pengecoran logam mempunyai empat jenis mesin, yaitu M1, M2, M3, dan M4. Setiap jenis mesin mempunyai kapasitas yang berbeda dalam pengoperasiannya. Dalam minggu mendatang perusahaan medapatkan pesanan untuk menyelesaikan empat jenis pekerjaan yaitu J1, J2, J3, dan J4. Biaya pengoperasian setiap pekerjaan oleh keempat mesin dapat dilihat pada tabel di bawah ini.
Job
Mesin J1 J2 J3 J4
M1 210 140 150 200
M2 150 160 175 175
M3 180 200 220 160
M4 130 190 200 190
70
Persoalannya adalah bagaimana menugaskan agar keempat mesin dapat menyelesaikan keempat jenis pekerjaan dengan total biaya minimum. 2. Seorang pengusaha konveksi mempunyai 4 karyawati yang memproduksi 4 jenis produk. Jumlah produk yang dihasilkan masing-masing karyawan tiap bulannya dapat dilihat pada tabel berikut.
Karyawati
Produk A B C D
Celana 210 140 150 200
Rok 150 160 175 175
Hem 180 200 220 160
Baju Safari 130 190 200 190
Bagaimana penugasan agar jumlah produk yang dihasilkan maksimum. 3. Sebuah toko variasi mobil, katakanlah ZIGZAG, mempunyai 4 teknisi, yaitu Rudi, Efer, Algi dan Hasan. Keempat teknisi ini mempunyai kemampuan yang berbeda-beda dalam memasang variasi mobil. Ada 4 pelanggan, yaitu Wing, Andre, Yani dan Kris, yang akan memasang variasi mobil. Untuk menghemat waktu pemasangan, manajer perusahaan ingin membuat penugasan. Lamanya waktu untuk tiap jenis pemasangan variasi mobil dapat dilihat pada tabel berikut ini: TEKNISI Rudi Efer Algi Hasan
Wing 3 5 2 8
PELANGGAN Andre Yani 6 7 6 3 8 4 6 5
Kris 10 8 16 9
71
9. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Teori Jaringan Kerja A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan teknik perencanaan dan jaringan kerja B. Uraian Materi 1. Pendahuluan • Manajemen Projek secara lambat laun telah menjadi suatu bidang baru dengan berkembangnya dua teknik analisis yang dipergunakan untuk perencanaan, penjadualan, dan pengawasan suatu projek, yaitu Critical Path Method (CPM) dan Program Evaluation and Review Technique (PERT). • Salah satu tujuan dari analisis ini adalah untuk menentukan waktu terpendek yang diperlukan untuk merampungkan proyek, atau menentukan critical path, yaitu jalur dalam jaringan yang membutuhkan waktu penyeleseian paling lama. • Penentuan critical itu sangat penting karena jalur itu meliputi kegiatan-kegiatan yang perlu diawasi secara sangat hati-hati agar proyek diselesaikan pada waktunya. 2 Diagram Jaringan Kerja • Diagram jaringan kerja mempunyai dua peranan: 1) sebagai alat perencanaan projek dan 2) sebagai ilustrasi secara grafik dari kegiatan-kegiatan suatu projek. • Model jaringan telah diterapkan secara luas dalam bidang manajemen karena model ini, yang berupa rangkaian jalur-jalur atau garis-garis yang dihubungkan pada beberapa titik, mudah dibentuk dan ditafsirkan (komunikatif). • Masalah-masalah yang dapat disederhanakan dalam model jaringan: masalah jalan pintas, masalah rentang cabang terpendek dan masalah arus terbanyak. • Masalah jalan pintas berhubungan dengan penemuan jarak terpendek dari suatu tempat asal ke tempat tujuan dari jalur alternatif yang tersedia. Tujuan analisis ini tidak selalu meminimumkan jarak, tetapi kadang-kadang berubah menjadi meminimumkan waktu tempuh atau biaya perjalanan. • Masalah rentang cabang terpendek berhubungan dengan penemuan jalur-jalur yang menghubungkan semua titik dalam jaringan agar jumlah panjang seluruh jalur terkecil.
72
•
Masalah arus maksimum berhubungan dengan alokasi arus pada jalur-jalur dalam jaringan yang memiliki kapasitas terbatas dari tempat asal ke tempat tujuan agar jumlah arus yang mengalir maksimum. Tabel 9.1 Simbol dan Arti Diagram Jaringan Simbol
Arti Anak Panah
Lingkaran kecil atau node Anak panah terputus-putus •
Keterangan Menyatakan kegiatan dengan membutuhkan durasi dan sumber daya. Pangkal dan ujung anak panah menyatakan kegiatan mulai dan akhir. Pada umumnya kegiatan diberi kode huruf besar A, B, dan sebagainya. Menyatakan suatu kejadian atau peristiwa. Umumnya kejadian diberik kode dengan angka 1, 2, 3, dan sebagainya. Menyatakan kegiatan semu atau “dummy”.
Informasi menyusun jaringan kerja Tabel 9.2 Ketentuan penyusunan jaringan kerja A B 2
1
Kegiatan B hanya dapat dimulai setelah kegiatan A selesai.
3
A
C 3
1
Kegiatan C hanya dapat dimulai setelah kejadian A dan B selesai. Kegiatan A dan B boleh berlangsung bersama-sama; kegiatan A dan B berakhir pada kejadian yang sama.
4
B 2
A
1
4
C 3
B
D 5
2 A 1
Kegiatan C dan D dapat dimulai setelah kegiatan A dan B berakhir, dan selesai pada kejadian yang berbeda.
B
C 3
4
2
Bila dua kejadian yang dimulai pada kejadian yang sama dan berakhir pada kejadian yang sama pula, maka kegiatan tersebut tidak boleh berimpit.
benar A,B 1
C 2
3
salah A 1
C 3
B
4
Dalam suatu jaringan kerja tidak boleh terjadi suatu loop.
2
73
Nomor kejadian terkecil adalah nomor kejadian awal dan nomor kejadian terbesar adalah nomor kejadian akhir.
Contoh 9.1 Suatu pabrik merencanakan untuk mengembangkan dan memasarkan komputer mini dari jenis baru. Kegiatan pengembangan dan pemasaran dapat dilihat pada tabel 9.3. Tabel 9.3 Aktivitas perencanaan pembuatan komputer mini Kegiatan Keterangan A B C D E F
Rancangan Hardware Produksi Hardware Rancangan Software Uji coba Produksi user manual Pemasaran
Kegiatan sebelumnya a a b,c d e
Waktu (bulan) 12 8 10 6 4 8
Gambarkan diagram jaringan kerja proyek tersebut! Penyelesaian: Gambar diagram jaringan kerja tabel
1
a 12
b 8
2
3
d 6
5
e 4
6
f 8
7
c 10 4
C. Tugas 1. Tabel 9.4 merupakan tabel memuat kegiatan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu Proyek Sistem Informasi. Pada tabel 9.3 tersebut juga dibuat waktu yang dibutukan setiap kegiatan serta hubungan antara satu dengan kegiatan lainnya.
74
Tabel 9.4 Perencanaan Pembangunan Situs Web Kegiatan Keterangan A B C D E f g h I J
Mengevaluasi flatform teknologi saat ini Mendefinisikan kebutuhan user Merancang lay out halaman situs Web Set-up server Web Estimasi saluran komunikasi data Web Uji coba Link dan halaman situs Web Implementasi situs Web dalam lingkungan intranet Sosialisasi situs web intranet perusahaan Melatih pengguna Membuat laporan ke manajemen
Kegiatan sebelumnya a b b b c,d d,e
Waktu (hari) 2 5 4 3 1 4 3
f,g g h, i
2 5 1
a. Gambarkan diagram jaringan kerja proyek SI tersebut.
2. Tabel 9.5 merupakan tabel yang memuat kegiatan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu Proyek Sistem Informasi. Pada tabel tersebut juga dibuat waktu yang dibutukan setiap kegiatan serta hubungan antara satu dengan kegiatan lainnya. Tabel 9.5 Aktivitas perencanaan pembuatan sistem informasi. Kegiatan Kegiatan sebelumnya Waktu (minggu) A 5 B A 6 C A 12 D B,C 7 E D 4 F E,G 6 G A 10 a. Gambarkan diagram jaringan kerja proyek SI tersebut. 3. Tabel 9.6 merupakan tabel yang memuat kegiatan perencanaan yang dibutuhkan untuk membangun rumah. Pada tabel tersebut juga dibuat waktu yang dibutukan setiap kegiatan serta hubungan antara satu dengan kegiatan lainnya. Tabel 9.6 Kegiatan dalam Perencanaan Membangun Rumah Kegiatan Pendahulu Menggambar dan cari dana (a) – Peletakan pondasi (b1) a Pemesanan bahan (b2) a Memilih cat (c) b1, b2
Waktu 3 bulan 2 bulan 1 bulan 1 bulan
75
Membangun rumah (d) Memilih karpet (e) Penyeleseian (f)
b1, b2 c d, e
3 bulan 1 bulan 1 bulan
a. Gambarkan diagram jaringan kerja proyek SI tersebut.
10. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Critical Path Method (CPM) A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan teknik perencanaan dan jaringan kerja model CPM B. Uraian Materi 1. Model Jaringan CPM •
Model jaringan CPM tersusun atas dua komponen utama, yaitu titik-titik (nokta/lingkaran) dan garis-garis (cabang/anak panah). Garis menunjukan jenis kegiatan dari suatu proyek, sementara titik menunjukan awal atau akhir suatu kegiatan, atau biasa dinamakan events. Contoh 10.1 Gambar 10.1 menunjukan model jaringan pembangunan sebuah rumah. Jaringan ini terdiri dari 3 kegiatan: 1) menggambar rumah, 2) mencari dana, dan 3) membangun rumah. Kegiatan-kegiatan ini dalam model diwakili dengan anak panah, events (peristiwa) ditunjukan oleh lingkaran. Lingkaran 1 maksudnya awal menggambar rumah, lingkaran 2 maksudnya akhir menggambar rumah dan awal mencari dana. Model jaringan juga menunjukan precedence relationship di antara kegiatan-kegiatan. Menggambar rumah mendahului mencari dana dan yang terakhir ini mendahului membangun rumah. Ini berarti suatu kegiatan belum dapat dimulai sampai kegiatan yang mendahuluinya diselesaikan. Dalam analisis CPM, suatu lingkaran tertentu dikatakan terealisasi jika semua keiatan yang berakhir pada lingkaran itu telah dirampungkan. Sebagai contoh, lingkaran 2 akan terealisasi pada akhir bulan ke-2 (setelah dua bulan). Pada waktu itu, pencarian dana dapat dimulai. Pembangunan rumah dapat dimulai setelah bulan ke-3 berakhir. Pada kasus ini pembangunan rumah dapat dirampungkan paling cepat pada akhir bulan ke-9.
76
Gambar 10.1 Jaringan Pembangunan Rumah dan Waktu Kegiatan •
Ada suatu aturan dalam membuat model jaringan CPM, yaitu dua atau lebih kegiatan tak dapat secara serentak berawal dan berakhir pada lingkaran yang sama. Sebagai contoh perhatikan suatu proyek yang dijadualkan seperti pada tabel 10.1.
Tabel 10.1 Kegiatan dalam Perencanaan Membangun Rumah Kegiatan Pendahulu Menggambar dan cari dana (a) – Peletakan pondasi (b1) a Pemesanan bahan (b2) a Memilih cat (c) b1, b2 b1, b2 Membangun rumah (d) Memilih karpet (e) c Penyeleseian (f) d, e •
Waktu 3 bulan 2 bulan 1 bulan 1 bulan 3 bulan 1 bulan 1 bulan
Model jaringan yang ditunjukan pada Gambar 10.1 adalah salah karena menyimpang dari aturan. Kesalahannya adalah bahwa b1 dan b2 muncul dari lingkaran a dan juga berakhir pada lingkaran yang sama, yaitu lingkaran 3.
Gambar 10.1 Jaringan Pembangunan Rumah dan Waktu Kegiatan yang Salah •
•
Masalah ini diselesaikan dengan memperkenalkan suatu aktivitas dummy. Suatu aktivitas dummy digambarkan dengan anak panah terputus dan disisipkan pada jaringan itu untuk menunjukan suatu precendede relationship. Suatu aktivitas dummy tidak memakan waktu, jadi waktu kegiatan sama dengan nol. Dengan demikian, model jaringan yang benar dari proyek yang penjadualannya disajikan pada tabel 10.1 ditunjukkan oleh gambar 10.2.
77
Gambar 10.2 Jaringan Dengan Aktivitas Dummy
Critical Path (Lintasan Kritis) Telah disebutkan bahwa sasaran utama analisis CPM adalah menentukan waktu terpendek yang diperlukan untuk menyelesaikan suatu proyek atau menentukan waktu yang diperlukan untuk suatu jalur kritis, yaitu jalur waktu terlama. Untuk menjelaskan lintasan kritis lihat lagi model jaringan terakhir. Jaringan tersebut memiliki 4 pilihan jalur, sebut saja A,B,C dan D, seperti disajikan pada tabel 10.2 (waktu kegiatan diletakan di atas anak panah).
Tabel 10.2 Seluruh Jalur yang mungkin dari Suatu Jaringan Jalur
A
Events (titik awal/akhir) 3 2 0 3 1 1 23467
Panjang jalur waktu
B
3 2 0 1 1 1 1234567
8 bulan
C
3 1 3 1 12467
8 bulan
D
3 1 1 1 1 124567
7 bulan
9 bulan
Dengan menjumlahkan seluruh waktu kegiatan pada setiap jalur diperoleh panjang jalur waktu. Jalur A merupakan jalur waktu terlama, yaitu 9 bulan, maka jalur A merupakan critical path, sehingga waktu tersingkat untuk merampungkan proyek ini adalah 9 bulan.
78
•
Penjadualan Kegiatan Atau Events Analisis CPM juga bertujuan menentukan jadual kegiatan/events yang menerangkan kapan kegiatan ini dimulai dan berakhir. Penjadualan itu juga dapat digunakan untuk menentukan lintasan kritis (sekaligus waktu minimum yang diperlukan untuk menyelsesaikan proyek) dan kegiatan apa yang dapat ditunda dan berapa lama. Lingkaran 4 tak dapat direalisasikan sebelum semua kegiatan yang mendahuluinya diselesaikan. Jadi waktu tercepat merealisasikan lingkaran 4 adalah 5 bulan. Waktu ini dinamakan waktu tercepat, earliest time, diberi simbol ET4=5. Penetuan earlist time dilakukan dengan melintasi jaringan ke arah minimum yang diperlukan untuk menyelesaikan proyek. Secara umum, earliset time setiap lingkaran j dirumuskan sebagai berikut: ETj = maks {ET1+tij}. Dimana i adalah nomor lingkaran awal dari semua kegiatan yang berakhir ada lingkaran j dan tij adalah waktu kegiatan i j Sebagai contoh, ET6 dihitung sebagi berikut: ET6 = maks {ET5 + t56 , ET4 + t46} = maks { 6 + 1 , 5 + 3} = maks { 7 , 8} = 8 bulan ET semua lingkaran pada kasus yang dipelajari ditunjukkan pada gambar 9.5
79
Gambar 10.3 Jaringan Dengan ET
Langkah berikutnya untuk menentukan lintasan kritis adalah menghitung latest time, diberi simbol LT. Latest time suatu lingkaran adalah waktu terakhir (paling lambat) suatu lingkaran dapat direalisasikan tanpa menunda waktu penyelesaian proyek, dalam pengertian waktu minimum. Untuk kasus yang dipelajari, karena waktu minimumnya adalah 9 bulan, maka latest time pada lingkaran 7 adalah 9 bulan. Latest time ditentukan dengan melintasi jaringan ke arah belakang. Secara umum, perhitungan latest time lingkaran i dirumuskan sebagai berikut:
LT1 = min {LTj - tij} dimana j adalah lingkaran akhir dari semua kegiatan yang berawal pada lingkaran i Contoh 10.2 LT6 = min {LT7 – t67} = min {9-1} = 8 bulan LT5 = min {LT6 – t56} = min {8-1} = 7 bulan LT4 = min {LT6 – t46 , LT5 – t45} = min {8 - 3 , 7 - 1} = min 5 bulan
LT semua lingkaran pada kasdusau yang dipelajari disajikan pada Gambar 12.6
Pada lintasan kritis (1234567), ET = LT. Artinya kegiatan-kegiatan kritis ini harus dimulai tepat waktu minimum, yaitu 9 bulan. Ini berarti selain memilih jalur waktu terpanjang dari seluruh jalur yang mungkin dari suatu jaringan, lintasan kritis dapat ditentukan dengan memeriksa di mana lingkaran-lingkaran yang memiliki ET = LT. Pada Gambar 9.6 lingkaran 1,2,3,4,6 dan 7 semuanya memiliiki ET = LT, jadi mereka berada pada critical path.
80
Gambar 10.4 Jaringan Dengan ET Dan LT, Anak Panah Tebal Menunjukkan Critical Path
Penentuan critical path dengan cara terakhir dapat menemui kesulitan. Contohnya, bagaimana mengetahui bahwa critical path-nya bukan 12467, dimana semua lingkarannya juga memiliki ET=LT. Untuk mengatasi masalah ini ada cara untuk menentukan mana yang merupakan kegiatan kritis. Cara ini menggunakan konsep yang dinamakan slack kegiatan, yaitu waktu di mana suatu kegiatan dapat ditunda tampa mempengaruhi penyeleseian proyek dengan waktu minimum. Slack kegiatan i j, diberi simbol sij, dihitung seperti berikut: Sij = LTj – ETi – tij Contoh 10.3 S12 = LT2 – ET1 – t12 = 3 – 0 – 3= 0 S23 = LT3 – ET2 – t23 = 5 – 3 – 2= 0 S34 = LT4 – ET3 – t34 = 5 – 5 – 0= 0 S46 = LT6 – ET4 – t46 = 8 – 5 – 3= 0 S67 = LT7 – ET6 – t67 = 9 – 8 – 1= 0 S24 = LT4 – ET2 – t24 = 5 – 3 – 1= 1
Slack untuk seluruh kegiatan ditunjukan pada gambar 10.5. terlihat bahwa S24=1 artinya kegiatan 24 dapat tertunda 1 bulan, tanpa memperlambat penyelesaian proyek. Semua kegiatan-kegiatan yang slacknya adalah nol berarti kegiatan-kegiatan itu tidak dapat ditunda jika proyek ingin diselesaiakan dengan waktu minimum. Gambar 10.5 menunjukan bahwa semua kegiatan kritis memiliki slack tidak sama dengan nol. Sementara semua kegiatan lainnya memiliki slack tidak sama dengan nol. Kesimpulannya, critical path akan meliputi seluruh kegiatan dengan slack sama dengan nol.
81
Gambar 10.5 Jaringan Dengan Slack, Anak Panah Tebal Menunjukkan Critical Path
Gambar 10.6 menunjukan bahwa S45 dan S56 adalah 1 bulan. Ini artinya, yang dapat ditunda hanya salah satu kegiatan, yaitu 1 bulan, tetapi bukan kedua kegiatan masing-masing 1 bulan. Slack untuk kedua kegiatan ini dinamakan shared slack, artinya dua kegiatan berurut 45 dan 56 dapat tertunda 1 bulan tanpa memperlambat penyelesaian proyek.
82
• •
• • •
Earliest Posible Event Time ( TE ) Waktu tercepat untuk bisa memulai pekerjaan, jadi sama dengan Earliest Start time Latest Allowable Event Time (TL) Waktu yang paling lambat untuk dimulai suatu kegiatan, jadi sama dengan Latest Start time Event Slack Time adalah Selisih antara TL – TE Earliest Finishing Time (EF) Waktu paling cepat untuk dapat menyelesaikan suatu pekerjaan Latest Finishing Time (LF) Waktu paling lambat untuk menyelesaikan suatu pekerjaan
C. Tugas 1. Tabel 10.3 merupakan tabel memuat kegiatan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu Proyek Sistem Informasi. Tabel 10.3 Perencanaan Pembangunan Situs Web Keterangan Kegiatan Waktu Kegiatan sebelumnya (hari) a Mengevaluasi flatform teknologi saat 2 ini b Mendefinisikan kebutuhan user a 5 c Merancang lay out halaman situs Web b 4 d Set-up server Web b 3 e Estimasi saluran komunikasi data b 1
83
f g h i j
Web Uji coba Link dan halaman situs Web Implementasi situs Web dalam lingkungan intranet Sosialisasi situs web intranet perusahaan Melatih pengguna Membuat laporan ke manajemen
c,d d,e
4 3
f,g
2
g h, i
5 1
a. Cari lintasan kritisnya, ET, LT, slack.
2. Tabel 9.5 merupakan tabel yang memuat kegiatan yang dibutuhkan untuk menyelesaikan suatu Proyek Sistem Informasi. Pada tabel tersebut juga dibuat waktu yang dibutukan setiap kegiatan serta hubungan antara satu dengan kegiatan lainnya. Tabel 9.5 Aktivitas perencanaan pembuatan sistem informasi. Kegiatan Kegiatan sebelumnya Waktu (minggu) A 5 B A 6 C A 12 D B,C 7 E D 4 F E,G 6 G A 10 a. Cari lintasan kritisnya, ET, LT, slack.
11. Teknik Perencanaan dan Jaringan Kerja: Program Evaluation and Review Technique (PERT) A. Tujuan Kompetensi Khusus Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan teknik perencanaan dan jaringan kerja model PERT B. Uraian Materi
Pada bab 11, waktu kegiatan ini diasumsikan diketahui dengan pasti, sehingga merupakan suatu nilai tunggal atau model jaringan CPM yang merupakan model deterministik.
84
Dalam prakteknya, waktu kegiatan demikian jarang ditemui. Pada umumnya, projek yang disederhanakan dalam jaringan bersifat khas, karena itu sering tidak memiliki dasar yang kuat untuk memastikan waktu kegiatan-kegiatan yang terlibat. Jika kasusnya waktu kegiatan merupakan variabel acak yang memiliki distribusi probabilitas, maka digunakan PERT sebagai pengganti CPM. PERT mengasumsikan bahwa penyelesaian kegiatan mengikuti distribusi beta, dengan rata-rata (tij) dan varian (vij) seperti berikut:
t ij =
a + 4m + b 6
b−a v ij = 6
2
dimana t = taksiran ekspektasi waktu (waktu yang diharapkan) akan terjadi a = taksiran waktu yang optimistik b = taksiran waktu yang pesimistik m = taksiran waktu yang kebanyakan terjadi (modus)
PERT juga mengasumsikan bahwa waktu kegiatan adalah independen secara statistik, sehingga rata-rata dan variansi waktu-waktu kegiatan itu dapat dijumlahkan untuk menghasilan rata-rata dan varians waktu penyelesaian projek. PERT lebih jauh menasumsikan bahwa terdapat cukup banyak yang terlibat dalam proyek sehingga rata-rata dan varians waktu penyelesaian proyek, sesuai dengan central limit theorem, mengikuti distribusi normal. Contoh 11.1 Tabel 11.1 merupakan perkiraan waktu kegiatan yang terlibat dalam pembangunan rumah berikut rata-rata dan variansinya. ET dan LT setiap lingkaran serta slack kegiatan ditunjukkan pada gambar 11.1. Dengan mengamati gambar 11.1 terlihat bahwa critical path meliputi kegiatan yang memiliki slack sama dengan nol yaitu 12345 (anak panah tebal).
Tabel 11.1 Perkiraan Waktu Kegiatan Dari Gambar 11.1 Perkiraan waktu (minggu) parameter distribusi beta Kegiatan a m b tij vij 1 2 1 3 2 3 2 4 3 4 3 5 4 5
5 7 3 1 4 3 3
8 10 5 3 6 3 4
17 13 7 5 8 3 5
9 10 5 3 6 3 4
4 1 4/9 4/9 4/9 0 1/9
85
Gambar 11.1 Jaringan Dengan ET, dan LT dan Slack
Telah disebutkan bahwa waktu projek (tp) mengikuti distribusi normal yang rata-ratanya µ, adalah jumlah rata-rata waktu kegiatan kritis, sehingga µ = t12 +t23 + t24 + t25 =9 +5 + 6 + 4 = 24 minggu Dan variannya, σ2, adalah jumlah varians waktu kegiatan kritis, sehingga σ2 = v12+v23+v34+v45 = 4+4/9+4/9+1/9 = 5 minggu
Dengan asumsi waktu projek mengikuti distribusi normal dan nilai-nilai parameternya diketahui, maka dengan bantuan kurva normal standaed dapat dibuat pernyataan probabilitas tentang waktu penyelesaian proyek melebihi 25 minggu, developer akan dikenakan denda sebagai berikut. P(tp > 25) = P z >
25 − µ
= P (z >
σ2 25 − 24
5
)
= P (z > 0,4472) = 0,5 – 0,1736 = 0,3264 Jadi peluang proyek dirampungkan sebelum 25 minggu adalah 0,6736 ( = 1-0,3264) atau peluang developer tidak mampu menyelesaikan dalam 25 minggu, sehingga harus membayar denda adalah 0,3264 seperti ditunjukan pada gambar 11.2.
86
= 5
0,3264 =24 25
tp
Gambar 11.2 Probabilitas Proyek selesai lebih dari 25 minggu
87
: POLITEKNIK PIKSI GANESHA : Riset Operasional
Program Studi / Smt. Ke Kode Mata Kuliah / SKS :
:
TUJUAN KOMPETENSI KHUSUS : Setelah mahasiswa mengikuti perkuliahan ini diharapkan mampu: 1. Menjelaskan falsafah Riset Operasional dan hubungannya dengan pengambilan keputusan. 2. Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan permasalahan alokasi sumber daya terbatas ke dalam pemodelan Programa Linier. 3. Mahasiswa mampu memahami danmenyelesaikan permasalahan programa linier menggunakan metode grafik 4. Mahasiswa mampu memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan menggunakan metode simplex 5. Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang Dualitas, Analisis Sensitivitas, dan Post Opimal
PRASYARAT : Untuk dapat mengikuti mata kuliah ini, mahasiswa sudah mengambil mata kuliah Probabilitas dan Statistik dan Aljabar Linier
.
88
Setelah mengikuti perkuliahan, mahasiswa diharapkan akan dapat: 1) menjelaskan latar belakang sejarah dan falsafah dasar riset operasional, 2) memahami dan memformulasikan model untuk memecahkan alokasi sumber daya yang terbatas menggunakan metode programma linier, transportasi, model penugasan, dan analisis jaringan kerja CPM/PERT.
TUJUAN KOMPTENSI UMUM :
Mata kuliah ini bermaksud untuk memperkenalkan riset operasional mulai dari latar belakang munculnya riset operasional sampai dengan teknik-teknik riset operasional dan penggunaannya dengan bantuan komputer. Materi-materi pokok yang akan dibahas dalam mata kuliah ini antara lain meliputi: falsafah dasar riset operasional serta hubungannya dengan pengambilan keputusan dan penggunaan komputer, memahami dan memformulasikan model untuk memecahkan alokasi sumber daya yang terbatas menggunakan Program Linier dengan teknik grafik, metode simplex, transportasi, dan penugasan. Disamping itu beberapa teknik lain seperti analisis jaringan kerja CPM/PERT, pengambilan keputusan dipelajari dalam mata kuliah ini.
DESKRIPSI SINGKAT :
Perguruan Tinggi Mata Kuliah
GARIS-GARIS BESAR PROGRAM PENGAJARAN
Tujuan Kompetensi Khusus
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan falsafah Riset Operasional dan hubungannya dengan pengambilan keputusan
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan permasalahan alokasi sumber daya terbatas ke dalam pemodelan Programa Linier.
No
1.
2.
Riset Operasi Sebagai Senit dan Imu Metodologi Riset Operasional
Pengantar Programa Linear Formulasi Model Programa Linier
•
•
• •
Sejarah dan Latar Belakang Riset Operasi
•
Pokok Bahasan
• • • •
•
• • •
• •
• •
Metode
Permasalahan alokasi sumber daya terbatas Bentuk baku model Programa Linier. Karakteristik Masalah Programa Linier. Sifat Model Programa Linier.
- Ceramah - Diskusi - Tugas
- Ceramah Sejarah Singkat Riset Operasi. Peranan Riset Operasional dalam - Diskusi pengambilan keputusan. Ilmu dan Seni dalam Riset Operasi. Komponen-komponen dari sebuah model pengambilan keputusan. Model-model Riset Opersional. Metodologi Riset Operasional. Metode Umum Mencari Solusi Permasalahan Teknik-teknik, ciri-ciri dan keterbatasan Riset Operasi
Sub Pokok Bahasan
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan penggunaan metode transportasi Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan penggunaan metode penugasan Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan teknik perencanaan dan jaringan kerja Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan teknik perencanaan CPM dan PERT.
RINCIAN ISI MATA KULIAH
6. 7. 8. 9.
- Papan tulis - Infocus - Laptop
- Papan tulis - Infocus - Laptop
Alat Bantu
89
1, 2, 3,4
Pustaka
Tujuan Kompetensi Khusus
Mahasiswa mampu memahami danmenyelesaikan permasalahan programa linier menggunakan metode grafik
Mahasiswa mampu memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan menggunakan metode simplex
Mahasiswa mampu memahami dan mampu menyelesaikan permasalahan menggunakan metode simplex
No
3
4
5&6
Solusi Programa Linier dengan Metode Primal Simpleks
Solusi Simplex Programa Linier Minimasi Penggunaan bentuk solusi awal buatan
•
• •
Solusi grafik Programa Linier
•
Pokok Bahasan
• •
•
•
• •
•
•
• •
•
•
•
•
Metode
Pengertian Metode Simplex. Formulasi Model Programa Linier dalam bentuk baku. Solusi Persamaan Simultan Model Programa Linier Metode Simplex menggunakan Tabel simpleks. Variabel Slack Penentuan solusi optimal menggunakan tabel simplex Permasalahan Minimasi Porgrama Linier dengan Metode Simplex: Variabel Artifisial, Variabel Big M. Tabel Simplex Permasalahan Minimasi Programa Linier. Permasalahan Batasan Campuran Kasus-kasus khusus dalam aplikasi metode simpleks.
- Ceramah - Diskusi
- Ceramah - Diskusi
Permasalahan Programa Linier yang dapat - Ceramah - Diskusi dipecahkan dengan metode grafik Teknik Memecahkan Persoalan Programa Linier dengan Solusi Grafik. Menggambarkan fungsi kendala dan tujuan pada sumbu koordinat XY dan mampu menentukan solusi optimal. Solusi Maksimasi dan Minimasi dua dimensi dengan grafis.
Sub Pokok Bahasan
- Papan tulis - Infocus - Laptop
- Papan tulis - Infocus - Laptop
- Papan tulis - Infocus - Laptop
Alat Bantu
90
1, 2, 3,4
1, 2, 3,4
1, 2, 3,4
Pustaka
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan teknik perencanaan dan jaringan kerja.
12
Mahasiswa mampu
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan penggunaan metode penugasan
11
13 &
UTS Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan penggunaan metode transportasi
Mahasiswa mampu memahami dan menjelaskan tentang Dualitas, Analisis Sensitivitas, dan Post Opimal
Tujuan Kompetensi Khusus
8 9 & 10
7
No
Model penugasan
Perencanaan jaringan kerja
Metode
•
•
Pengertian model transportasi Solusi metodemetode
Primal dan Dual Analisis Sensitivitas dan Post Optimal.
•
•
•
• •
Pokok Bahasan
•
•
• • • • • • •
•
• • •
•
Model jaringan CPM
Perencanaan Jaringan Kerja
Definisi dan aplikasi model transportasi. Solusi awal metode transportasi North West Corner (NWC). The Least Cost (LC). Vogel’s Aproximation Methods Optimalitas Stepping Stones MODI Model penugasan menggunakan metode Hungarian. Solusi optimal menggunakan Metode Hungarian, maksimasi dan mininasi.
Solusi permasalahan primal dan dual. Interpretasi ekonomi permasalahan dual. Analisis sensitivitas atau post optimal.
Sub Pokok Bahasan
- Ceramah - Diskusi
- Ceramah - Diskusi
- Ceramah - Diskusi
- Ceramah - Diskusi
Metode
- Papan tulis - Infocus - Laptop
- Papan tulis - Infocus - Laptop
- Papan tulis - Infocus - Laptop
- Papan tulis - Infocus - Laptop
Alat Bantu
91
1, 2, 3,4
1, 2, 3,4
1, 2, 3,4
1, 2, 3,4
1, 2, 3,4
Pustaka
memahami dan menjelaskan kondisi dan proses pengambilan keputusan
14
1. 2. 3. 4.
CPM/PERT
Pokok Bahasan • Model jaringan PERT
Sub Pokok Bahasan - Ceramah - Diskusi
Metode
Bernard W. Taylor III, (1996). Sains Manajemen, Edisi keempat, Jakarta Salemba Empat Hamdy A. Taha. (1992). Operation Research. An Introduction, MacMillan. Sri Mulyani. Riset Operasional. LPEM, UI. Tjutju, T. & Dimyati, A., (2002), Operation Research, Edisi Lima, Sinar Baru Algasindo Bandung.
Daftar Pustaka
Tujuan Kompetensi Khusus
No - Papan tulis - Infocus - Laptop
Alat Bantu
92
Pustaka
