Modul 8 Cadangan Asuransi

Modul 8 Cadangan Premi A.R. Effendie, M.Sc

PEN DA HULUAN

P

ada suatu jenis asuransi yang sama, akan diperlihatkan mengenai penerimaan dan pengeluaran yang berhubungan

dengan premi pada umur yang sama. Sejak diterimanya premi tersebut akan diperoleh pendapatan yang berasal dari bunga secara terus menerus sehingga jumlah uang akan semakin besar. Dari

uang

inilah

akan

dilakukan

pembayaran

uang

pertanggungan (manfaat kematian). Dalam jangka waktu tertentu baik pada premi tahunan maupun premi anuitas pendapatan yang diperoleh dari bunga biasanya akan lebih besar daripada pengeluaran. Selisih yang diperoleh inilah yang kemudian disebut sebagai cadangan perusahaan. Istilah cadangan dalam dunia perusahaan biasanya diartikan sebagai suatu dana yang disisihkan untuk digunakan dalam keadaan darurat. Pada dunia perasuransian, cadangan dalam

asuransi jiwa merupakan sejumlah uang yang disisihkan (sisa) dari aktivitas transaksi premi-klaim pada suatu periode tertentu. Oleh karena itu cadangan bukanlah suatu aset atau bagian kekayaan

perusahaan,

melainkan

merupakan

kewajiban

perusahaan atau dengan kata lain hutang perusahaan kepada para pemegang polis. Jadi dana yang terkumpul pada perusahaan-perusahaan asuransi jiwa, sebagian besar bukanlah milik perusahaan melainkan milik para pemegang polis. Seseorang yang mengikuti asuransi jiwa seumur hidup akan membayarkan premi yang jumlahnya melampaui jumlah santunan yang harus dibayarkan perusahaan. Dengan demikian akan terkumpul sejumlah dana di perusahaan asuransi yang disebut cadangan. Cadangan ini merupakan liabilitas sehingga perusahaan asuransi tentunya berkewajiban menginvestasikan modal tersebut secara aman. Jadi cadangan akan diperoleh berdasarkan premi manfaat seperti yang sebelumnya telah ditentukan berdasarkan prinsip ekivalensi. Dengan demikian, cadangan pada saat t merupakan selisih antara nilai sekarang santunan dengan premi manfaatnya.

Kegiatan Belajar 1 Cadangan Model Kontinu (Continuous Benefit Reserves)

C

adangan model kontinu merupakan kelanjutan dari premi model kontinu penuh yang merupakan penerapan dari

prinsip ekivalensi. Pada asuransi jiwa kontinu seumur hidup sebesar 1 unit yang diterbitkan atas (x), premi tahunan kontinunya di simbolkan dengan

.

Hubungan cadangan

untuk tertanggung yang masih hidup pada t tahun berikutnya didefinisikan berdasarkan prinsip ekivalensi sebagai nilai harapan dari kerugian prospektif pada waktu t, yang berarti tertanggung telah hidup sampai t.

Untuk T(x)  t , kerugian

prospektifnya adalah t

L  vT (x)t  P (A x )aT (x)t  

(8.1.1)

Cadangan merupakan nilai harapan kondisional yang dihitung menggunakan distribusi kondisional dari sisa usia waktu pada saat t untuk seseorang yang terseleksi pada waktu x yang dalam Notasi Aktuaria Internasional dinotasikan dengan

V (A x )  E [ L T (x)  t ]

t

 

t

 E [vT (x)t T (x)  t ]  P (A x )E [aT (x)t T (x)  t ]  

 A x t  P (A  x  )a  x t  

 

(8.1.2)

 

Persamaan (8.1.2) dapat ditulis menjadi V (Ax )  Axt  P (Ax )axt

(8.1.3)

t

Ketika t=0 maka cadangannya akan bernilai nol juga, artinya pada saat penandatanganan kontrak dengan penerapan prinsip ekivalensi akan menyebabkan cadangan bernilai nol. Dengan demikian, berdasarkan persamaan (8.1.2) dan (8.1.3) cadangan dapat dinyatakan sebagai selisih antara nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa seumur hidup pada usia x+t dengan nilai sekarang aktuaria dari premi tahunan berikutnya. Perlu

diketahui

bahwa

dalam

mencari

variansi

Lt

sebelumnya haruslah mendefinisikan t L terlebih dahulu t

L  vT (x)t  P (A x )aT (x)t )  

 vT (x)t 

P (A x )(1  vT (x)t )  

 P (A x ) P (A  x )       vT (x)t  1         

t

 P (Ax ) P (Ax ) L  vT (x)t  1       

(8.1.4)

Seperti pada persamaan (7.1.5) di bab sebelumnya, maka akan diperoleh variansinya sebagai berikut 2



P (Ax ) T (x)t Var [t L T (x)  t ]   1  T (x)  t ]  Var [v    

2

2 P (Ax ) 2   1  [ Axt  Axt ]   





(8.1.5)

Contoh 8.1.1 Berdasarkan hukum DeMoivre dengan lx  100  x dan tingkat suku bunga 6 %, tentukan a. P (A35) b. tV (A35) danVar [t L T (x)  t ] Jawab: a. lx  100  x t

t

p35  1  t

65

p35(35  t)  1 untuk 0  t  65 65

A35 

65

1  v65 1 t 1 v dt   0,258047 0 65 65 

P (A35) 

A35 1  A35



ln1,06(0,258047)  0,020266 1  0,258047

b. tV (A35)  A35t  P (A35)a35t

 1  A35t        (0,3478013)(1  A35t )

 A35t  (0,020266)   A35t



2

2 P (Ax ) 2 Var [t L T (x)  t ]   1   [ Axt  Axt ]    2 2  0,020266 2   1  [ A35t  A35t ] ln1,06  













2

 (1,816568)[2A35t  A35t ]  Contoh 8.1.2 Suatu asuransi dwiguna berjangka n tahun dterbitkan atas (x) dengan model kontinu penuh. Kemudian t L didefinisikan sebagai

kerugian prospective pada waktu t, buktikan Axt:n t  Axt:n t 2

2

Var [t L T  t ] 

 a 

2

x:n

Jawab : t

L  vU  P (Ax:n )aU ) untuk 0  U  n  t

vn t  Pan t untuk U  n  t  1  vU  P P  vU  1           

L  vU  PaU )  vU  P  t

2

 1  P Var ( t L )   1   Var vU    Var vU  a     x:n  

2

 

 

 

Var vU  2Axt:n t  Axt:n t 2 sehingga terbukti bahwa Axt:n t  Axt:n t 2

2

Var ( t L ) 

 a 

2

x:n

 Pada pembahasan premi model kontinu telah disajikan rumus premi untuk berbagai jenis asuransi di tabel 7.1.1

Berdasarkan tabel tersebut berikut ini disajikan untuk bentuk rumus prospektive dari cadangan pada berbagai jenis asuransi. Tabel 8.1.1 Notasi

Jenis

Aktuaria

Asuransi

Persamaan Prospective

Internasion

Jiwa Seumur hidup Berjangka

n

tahun Dwiguna

al V (Ax ) t

Axt  P (Ax )axt  A

V (A1 )

t



x:n

 0

x:n

tn tn

 A  P (Ax:n )axt:n t  xt:n t 1 

t n t n

h t

 Axt  h P (Ax )a x t:ht

th

h t

 A  h P (Ax:n )axt:ht x t:n t



n

tahun Seumur hidup

 P (A1 )axt:n t

V (Ax:n )

t

Berjangka

1

x t:n t

V (Ax ) 

t h

 Axt

dengan h-kali pembayaran premi Dwiguna

n-

tahun dengan

V (Ax:n )

tahun

1 1  A  P (Ax:n )axt:nt xt:n t   1

1

V (A x:n )

t

murni berjangka

 Axt:n t  1 

pembayaran premi h- kali Dwiguna



n



t hn ht n t n

tn t n

Anuitas Jiwa

V ( n ax )

t

Seumur



n t



axt  P ( n ax )axt:nt

 axt

tn t n

Hidup Contoh 8.1.3 Nyatakan rumus prospective dari cadangan berikut : 20 10

V (A35:30 )

a.

b. Cadangan manfaat pada akhir tahun kelima untuk asuransi berjangka 10 tahun sebesar 1 unit yang diterbitkan atas (45) dengan premi tunggal. Jawab : V (A35:30 )  A45:20  20P (A35:30 )a45:10

20 10

a.

b. 5V (A 1

45:10

)  A 1 , karena preminya tunggal. 50:5

 Contoh 6.1.4 Hitunglah tV (Ax ) apabila diketahui i.

axt  15

ii. 1000P (Ax )  11,8 iii.   0,04 Jawab : tV (Ax )  Axt  P (Ax )axt

 (1   axt )  P (Ax )axt





 1    P (Ax ) axt  1  (0,04  0,0118)15  0,223  Perhitungan

cadangan

yang

telah

dijelaskan

diatas

merupakan suatu metode yang melihat ke depan dalam waktu (perhitungan maju). Metode yang dikenal sebagai metode prospektive ini mendefinisikan cadangan sebagai selisih antara nilai sekarang aktuaria dari santunan yang akan datang dengan premi manfaat yang akan datang. Berdasarkan metode inilah selanjutnya dengan mudah dapat dikembangkan beberapa rumus umum

lainnya yang dapat diterapkan pada berbagai jenis

asuransi. Rumus-rumus yang diperoleh ini nantinya dapat digunakan untuk polis pada berbagai tingkat manfaat dan premi. Pembahasan kali ini akan dijelaskan bentuk lain rumus umum pada jenis asuransi dwiguna berjangka n-tahun selain metode prospektive yang telah dijelaskan terlebih dahulu.

Rumus yang pertama dikenal sebagai rumus premi diferensi (Premium-difference formula. Rumus tV (Ax:n ) dalam bentuk ini diperoleh dengan menfaktorkan keluar axt:n t

dari rumus

prospektivenya sehingga nantinya akan diperoleh persamaan berikut  A x t:n t

V (Ax:n )  

t

 axt:n t

  P (Ax:n ) axt:n t 

 P (Axt:n t )  P (Ax:n )axt:n t (8.1.6) Persamaan (8.1.6) memperlihatkan bahwa cadangan merupakan nilai sekarang aktuaria dari selisih premi (Premium difference) yang dibayarkan melebihi dari sisa pembayaran premi berjangkanya. Selisih ini diperoleh dengan mengurangi premi tahunan awal dari besarnya premi asuransi pada saat tertanggung berusia x+t. Kemudian rumus yang kedua adalah rumus paid-up insurance formula. Rumus ini diperoleh dengan menfaktorkan nilai sekarang aktuaria santunan yang akan datang dari rumus prospektivenya. Dengan demikian akan diperoleh

 axt:n t  V ( A )  1  P ( A )   Axt:n t t x:n x:n Axt:n t   P (Ax:n )    1  Axt:n t P (Axt:n t )  (8.1.7) Persamaan (8.1.7) ini menunjukkan bahwa cadangan merupakan nilai sekarang aktuaria dari sebagian sisa manfaat yang akan datang. Selain itu untuk perhitungan cadangan yang melihat mundur dalam waktu untuk melihat apa yang terjadi dapat pula digunakan suatu metode yang dikenal dengan sebutan metode restropektif. Perlu diketahui sebelumnya bahwa untuk t
1

xs:t

 t E xsAxst:n st

(8.1.8) dan axs:n s  axs:t  t E xsaxst:n st (8.1.9) Kedua persamaan tersebut kemudian disubtitusikan ke sV (Ax:n ) sehingga diperoleh

V (Ax:n )  A

s

1

x s:t

 P (Ax:n )axs:t

 t E xs[Axst:n st  P (Ax:n )axst:n st ]  A 1  t E xs stV (Ax:n )  P (Ax:n )axs:t x s:t

(8.1.10) Dengan demikian dapat diperoleh hubungan antara cadangan awal dan akhir tahun pada selang waktu t tahun yang selanjutnya dapat dituliskan sebagai berikut : Cadangan awal = APV manfaat awal yang dibayarkan untuk satu periode +APV dwiguna murni awal untuk cadangan akhir - APV premi yang dibayarkan dalam satu periode

Selain itu persamaan (8.1.10) dapat juga dituliskan ke dalam bentuk lain, yaitu V (Ax:n )  P (Ax:n )axs:t ]  A

s

1

x s:t

 t E xs stV (Ax:n )

(8.1.11) Selanjutnya dengan mensubtitusikan

s0

ke persamaan

(8.1.11) maka dengan prinsip ekivalensi akan menyebabkan V (A

s

x:n

)  0.

Dengan demikian diperoleh

V (Ax:n ) 

t

1 E t x

 P (A )a  A  1  x:n x:t  



x:t

(8.1.12) Persamaan inilah yang dikenal dengan restropective formula. Contoh 8.1.5 V (A40) dalam beberapa metode berikut : Nyatakan 20 10

a. Metode prospektive b. Paid-up insurance formula c. Premium-difference formula Jawab: a. Metode prospektive V (A40)  A50  20P (A40)a50:10

20 10

b. Paid-up insurance formula Dari metode prospektive, apabila A50 difaktorkan keluar maka akan diperoleh  a   V (A40)   1  20P (A40) 50:10 A50   1    A50    

20 10

P (A40)  A50 P (A50) 10  20

c. Premium-difference formula Dari metode prospektive, apabila a50:10 difaktorkan keluar maka akan diperoleh

 A 50

  20P (A40) a50:10  a   50:10   10P (A50)  20P (A40) a50:10

V (A40)  

20 10





 Kemudian, seperti yang telah diketahui sebelumnya bahwa s

x:t



a

x:t

E t x

. Dengan demikian apabila sx:t 

a

x:t

E t x

disubtitusikan

ke persamaan (8.1.12) maka diperoleh V (Ax:n )  sx:t P (Ax:n )sx:t  t kx

t

(8.1.13) dengan k 

A1 x:t

t x

t

Ex

(8.1.14) Persamaan (8.1.14) diatas dikenal dengan sebutan accumulated cost of insurance dimana k 

t x

t



0

(8.1.15)

vs s px x (s)ds vt t px



t



0

(1  i )t slxs x (s)ds lxt

Contoh 8.1.6 Nyatakan

cadangan-cadangan

berikut

dalam

bentuk

retrospektivenya a.

20 10

b.

10

c.

30 20

V (A40)

V (A40:20 ) V ( 30a35)

Jawab : V (A40) 

a.

20 10

b.

10

P (A40)s40:10  10k40

20

V (A40:20 )  P (A40:20 )s40:10  10k40

c. Karena tidak ada santunan maka cadangannya hanya sebesar total premi sebelumnya, yaitu : V ( 30a35) 

30 20

P ( 30 a35)s35:20

30

 Perlu diingat bahwa di pembahasan sebelumnya telah diperoleh persamaan P (Ax ) 

 Ax 1  Ax

dan 1   ax  Ax . Apabila

kedua persamaan tersebut disubtitusikan kedalam bentuk prospektivenya (8.1.3) maka

V (Ax )  Axt  P (Ax )axt

t

 1   ax  axt  ax     1     axt  a   x 

 1   axt    1   axt  1

axt ax

(8.1.16) 1

Kemudian apabila P (Ax )  a   disubtitusikan ke premiumx

difference formula (8.1.6) maka diperoleh V (Ax )   P (Axt )  P (Ax ) axt

t

1   P (Axt )  P (Ax ) P (Axt )   P (Axt )  P (Ax )  P (Axt )  

(8.1.17) Demikian pula apabila Axt  1   axt maka persamaan (8.1.16) dapat dituliskan dalam bentuk lain menjadi V (Ax )  1 

t



1  Axt

1  Ax 1  Ax  (1  Axt ) 1  Ax

V (Ax ) 

Axt  Ax

t

1  Ax

(8.1.18) Ketiga persamaan terakhir diatas menggunakan hubungan antara anuitas premi dengan manfaatnya yang telah dijelaskan pada bab sebelumya. Oleh karena itu persamaan-persamaan tersebut hanya dapat diterapkan pada jenis asuransi seumur hidup dan asuransi dwiguna dengan periode pembayaran premi dan santunan yang sama. Lebih jauh lagi tidak hanya dalam periode yang sama, melainkan juga frekuensi pembayaran premi juga harus sama dengan pembayaran santunan, artinya apabila dalam satu tahun dilakukan m-laki pembayaran premi maka tertanggung juga akan menerima m-kali pembayaran santunan dari perusahaan asuransi. Contoh 8.1.7 Hitunglah 10V (A50) apabila diketahui : i.

P (A50)  0,25

ii. P (A60)  0,50 iii.   0,04 Jawab :

V (Ax ) 

t

P (Axt )  P (Ax )



P (Axt )  

0,50  0,25  0,463 0,50  0,04 

Contoh 8.1.8 Diketahui bahwa : i.

t

kx = 0,25

ii.

t

E x = 0,35

iii.

A xt = 0,5

Hitunglah tV (A x ) Jawab :

 Ax 1  Ax  axt  Axt  1 P 

A x  A x:t  t E x A xt 1

 t E x t kk  t E x A xt  t E x ( t kk  A xt )  0,35(0,25  0,50)  0,2625 V (A x )  Axt  P ax t

t

  Ax  1  Axt  1 A     x  Ax   0,5   1  Axt  0,5  (0,356)(0,5)  0,322  1 A    x  0,5  



Jadi cadangannya sebesar 0,322





L ATI HA N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

1. Hitunglah axt apabila diberikan : i. 1000tV (Ax )  100 ii. 1000P (Ax )  10,50 iii.

  0,03

Petunjuk : Gunakan metode prospektive 2. Diketahui bahwa : i.

k = 0,55

5 30

ii. 5E 30 = iii.

0,3

A 35 = 0,6

Hitunglah 5V (A 30) Petunjuk : Gunakan P 

 Ax 1  Ax

dan  axt  Axt  1

3. Nyatakan 105V (A50) dalam beberapa metode berikut : i. Metode prospektive ii. Paid-up insurance formula iii. Rumus premi differensi Petunjuk: Bentuk dahulu dalam metode prospektive, kemudian baru diubah ke dalam bentuk lain dengan menfaktorkan keluar salah satu dari anuitas ataupun nilai sekarang aktuarianya. 4. Anda diberikan L adalah the loss random variable

dari

asuransi seumur hidup kontinu dari seseorang yang berusia 2

30 , Var(L) = 0,2, A 50 = 0,7, dan A 30 = 0,3. Hitunglah V (A 30)

20

Petunjuk : Gunakan rumus



Var (L )   1 



P (Ax )  



2

subtitusikan ke dalam persamaan tV (Ax )  5. Anda diberikan : i. A30  0,12 ii. A40  0,23

 

[ 2Ax  Ax

2

]

Axt  Ax 1  Ax

kemudian

Hitunglah 10V (A30) Petunjuk : Gunakan hubungan anuitas dan premi pada metode prospektive

RA NG KUMA N

Cadangan dalam asuransi jiwa merupakan sejumlah uang yang disisihkan (sisa) dari aktivitas transaksi premi-klaim pada suatu periode tertentu. Cadangan dapat dinyatakan dengan selisih antara nilai sekarang aktuaria untuk asuransi jiwa seumur hidup pada usia x+t dengan nilai sekarang aktuaria dari premi tahunan berikutnya. Untuk suatu asuransi jiwa seumur hidup, cadangan dapat dinyatakan dengan V (Ax ) = Axt  P (Ax )axt

t

Persamaan tersebut dikenal sebagai metode prospektive yang melihat kedepan dalam waktu. Selain metode prospektive tersebut dikenal pula tiga metode lainnya yang untuk asuransi dwiguna akan diperoleh rumus sebagai berikut : 1. Premium-difference formula V (Ax:n )   P (Axt:n t )  P (Ax:n ) axt:n t

t

2. Paid-up formula  axt:n t  V ( A )  1  P ( A )   Axt:n t t x:n x:n Axt:n t   P (Ax:n )    1  Axt:n t P (Axt:n t )  3. Retrospective formula V (Ax:n ) 

t

1 E t x

 P (A )a  A  1  x:n x:t  



x:t

Hubungan antara cadangan awal dan cadangan akhir dapat ditulis sebagai berikut: Cadangan awal = APV manfaat awal yang dibayarkan untuk satu periode +APV dwiguna murni awal untuk cadangan akhir - APV premi yang dibayarkan dalam satu periode

Kemudian dengan mensubtitusikan 1   ax  Ax

P (Ax ) 

 Ax 1  Ax

dan

ke dalam metode prospektive maka akan diperoleh

beberapa penurunan rumus sebagai berikut: 1. tV (Ax )  1 

axt ax

2. tV (Ax )  3. tV (Ax ) 

P (Axt )  P (Ax ) P (Axt )  

Axt  Ax 1  Ax

TES F O RMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Manakah dari pernyataan dibawah ini yang benar untuk menyatakan htV  A x:n  untuk t  h









(i)  h P Axt:n t  h P Ax:n  axt:ht 



  A   P A  s 

P Ax:n h (ii)  1   P Axt:n t h  (iii)

h

x:n

x t:n t

x:t

k

t x

a. (i) dan (ii)

d. (i), (ii) dan (iii)

b. (i) dan (iii)

e. Bukan (A), (B),

c. (ii) dan (iii)

(C), atau (D)

2. Untuk polis asuransi jiwa berjangka 25 tahun dengan santunan menurun kontinu penuh yang diterbitkan atas(40) diberikan : i.

bt  1000a

25t

untuk 0  t  25

ii. Premi tahunan kontinu penuh sebesar 200 iii. A50:15  0,60 iv. i  0, 05 dan   0, 04879 Hitung cadangan pada akhir tahun ke 10 untuk asuransi ini a.600

d. 750

b. 650

e. 800

c.700 3. Anda diberikan: (i) L adalah variabel random kerugian dari Asuransi seumur hidup kontinu dari seseorang yang berusia 25. (ii) Var(L) = 0,2 (iii) (iv)

A 45 = 0,7 2

A 25 = 0,3

Hitunglah 20V (A 25) a.0,3

d. 0,6

b. 0,4

e.0,7

c.0,5

4. Anda diberikan : a)

t

kx = 0,30

b)

t

E x = 0,45

c) A xt = 0,52 Hitunglah tV (A x ) a.0,22

d. 0,39

b. 0,24

e.0,49

c.0,30

Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal

 100%

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

Kegiatan Belajar 2 Cadangan Model Diskrit Penuh (Fully Discrete Benefit Reserves)

S

aat polis asuransi atau anuitas dikeluarkan, maka tertanggung berkewajiban membayar premi sebesar

kesepakatan, sedangkan perusahaan asuransi berkewajiban membayar santunan apabila terjadi suatu kematian, atau habis jangka waktu dari suatu polis asuransi. Selisih antara premi dan santunan disebut sebagai cadangan. Dimana fungsi kerugian dari manfaat cadangan adalah: k

 K  x k 1  P a& & x K x k 1    

L v

 

V  E  k L K x  k, k+1,...  

k x

(8.2.1) Pembahasan kali ini yaitu mengenai cadangan dengan metode prospektif untuk asuransi diskrit penuh dengan pembayaran premi tahunan dan pembayaran manfaat diakhir tahun. Cara perhitungan cadangan prospektif, yaitu cadangan selama jangka waktu tertentu adalah nilai santunan yang akan datang dikurangi dengan nilai harapan premi yang akan datang.

& & V  Axk  Pxa x k

k x

(8.2.2) Variansi dari cadangan di atas, yaitu:

 

Var  k L K x  k, k+1,...     K  x k 1   P  = Var  v K x  k, k+1,...  1  x d     2  P   K  x  k 1  =  1  x Var  v K x  k, k+1,...   d    2  2 P  =  1  x  Var  2Axk  Ax k    d   

 

 





(8.2.3)

Contoh 8.2.1: Tentukan persamaan nilai sekarang aktuaria dan manfaat premi dari Var  k L K  x   k, k  1,... untuk asuransi dwiguna n tahun diskrit penuh.

Jawab:

 P  P  1 x:n   x:n K x  k, k 1,..., n  1   d d     P P  vn k  1 x:n   x:n K x  n, n  1,...,   d d    Var  k L K x  k, k  1,...

 

 

K x k 1

k

L v

 

 



2

P  2   1 x:n  2Axk:nk  Axk:nk  .  d    





Persamaan untuk jenis asuransi jiwa yang lain terdapat dalam tabel berikut: Tabel 8.2 Jenis

Notasi

Asuransi

Internasion

Jiwa Seumur hidup

al Aktuaria V t x

Berjangka n-

V1

k

tahun Dwiguna Berjangka n-

x:n

Persamaan Prospective & Axt  Pxa& xt  A 

1

x k:n k

 0

& &  P1 a x k:n k x:n

 A & &  Px:n a x k:n k x k:n k  1 

V

t x:n



kn kn kn kn

tahun Seumur hidup

 Axk  h Pxa& & x k:hk  A x  t 

h t x

V

dengan h-kali 

kh kh

pembayaran premi Dwiguna

n-

tahun dengan

 A & &  h Px:n a x k:n k x k:hk

h t x:n

V



 Axk:nk  1 

pembayaran premi h- kali Dwiguna

 A 

& & V (n a ) x



1

murni berjangka

V (A x:n )

t



1

x k:n k

 1

&  P 1a& x k:n k x:n

khn hkn kn

kn kn

n

tahun Anuitas Jiwa

t

Seumur

n k



& & & & & a&  P (n a )a x k x x k:n k

kn kn

& &  a x t

Hidup Persamaan yang terdapat pada cadangan kontinu, dapat juga digunakan untuk cadangan diskrit penuh, yaitu: V

t x:n





& &  Pxk:n k  Px:n a x k:n k

(8.2.4) Persamaan di atas adalah persamaan untuk premi yang berbeda dari cadangan untuk asuransi berjangka yang diperoleh dari metode prospektif yang digunakan untuk menghitung nilai anuitas pada usia x+t dari selisih premi masa depan. Selisih

tersebut diperoleh dari selisih nilai polis sekarang dengan nilai polis yang akan datang. Contoh 8.2.2: Jika k 

n 1 , V  , 2 k x:n 6

dan a&&x:n  a&&x2k:n 2k  2a&&xk:n k .

Hitung: kVxk:n k Penyelesaian: & & a

& & a

1

5

 k:n k  , sehingga : xk:n k  . Diketahui kVx:n = 1  x& & & a& 6 a 6 x:n x:n

& & & & & & a  2a Diketahui pula bahwa a , x:n x 2k:n 2k x k:n k sehingga diperoleh

Kemudian :

& & a x:n & & a xk:n k

& & a x2k:n 2k & & a xk:n k

 2



& & a x 2k:n 2k & & a xk:n k

2

6 4  , sehingga 5 5

V  1 k xk:n k

& & a x2k:n 2k & & a xk:n k

 1

4 1  5 5 

Persamaan untuk paid-up insurance, yaitu:  Px:n  V   1   Axk:n k t x:n   P  x k:n k  (8.2.5) Untuk metode retrospektif dengan melihat persamaan (8.1.10) untuk h < n – j, diperoleh: V

j x:n

& &  h E x j  Ax j :h  Px:n a x  j :h

V

j h x:n

(8.2.6) Kemudian jika j = 0 diperoleh 0Vx:n = 0 , V

h x:n

Dimana

1   & &  A 1 Px:n a  x:h E x:n h x  &  Px:n s&  k h x x:h 

A1 k  h x

x:n h

Ex

(8.2.7)

merupakan akumulasi biaya dari asuransi

(accumulated cost of insurence). Perbedaan premi yang terdapat dalam premi dengan hkali pembayaran premi untuk asuransi dwiguna murni dari cadangan pada akhir h-tahun, yaitu Px  P 1  P x:n

(8.2.8)

1

x:n

V

n x

Contoh 8.2.3: Hitung nilai dari Px:n jika nVx = 0,08, Px = 0,024 dan Px:n  0,2 . 1

1

Penyelesaian : Dengan

metode

mengalikan

n

Ex ,

& V  Px .s&  n kx . x:n

retrospektiv

Dengan

n x

diperoleh:

n

& E x .nVx  Px .a&  A1 x:n

. Dibagi

x:n

dengan a&&x:n sehingga diperoleh Px:n .nVx  Px  Px:n . 1

1

Kemudian Px:n  Px  Px:n .nVx  0,24   0,2  0,8  0, 08 1

1

 Manfaat Cadangan dengan Basis Semikontinu (Benefit Reserves on a Semicontinuous Basis)

Palam kenyataan di dunia asuransi, dibutuhkan manfaat

 



 



 

1 premi tahunan semikontinu P Ax , P A x:n , P A x:n , h P A x

, dan

h





P A x:n untuk menghitung klaim kematian denga

pembayaran

diakhir. Dalam

beberapa

kasus,

persamaan

cadangan manfaat pada tabel 8.2 memerlukan perubahan notasi dari A menjadi A dan P menjadi P . Sehingga, notasi untuk

 

cadangan manfaat pada pembahasan kali ini adalah V A , indeks (subscript) pada A digunakan untuk melambangkan jenis dari asuransi. Sebagai contoh notasi untuk h-kali pembayaran premi, asuransi dwiguna n- tahun.





 V A   A x  k:n k  1 

h k

 



 Ax  k :n k  h P A x k :n k a& & x  k :n  k

k hn hk n k  n

(8.2.9) Jika kematian diasumsikan berdistribusi uniform unruk setiap usia, dapat diperoleh:

 

V A 

h k

i h  hkV 1 kV1  x:n x:n

(8.2.10) Contoh kasus untuk jenis cadangan ini dapat dilihat pada ilustrasi berikut: Diberikan asuransi dwiguna sebesar 1 kepada (45), manfaat dibayarkan pada saat kematian. Diasumsikan premi tahunan dengan anuitas diawal, apakah cadangan pada tahun ke-5?





Cadangan pada tahun ke 5 dinotasikan dengan 5V A45:20 , yang artinya dapat dilihat pada ilistrasi di bawah ini:









& V A45:20  A50:15  P A45:20 .a& 50:15

5

Manfaat Cadangan dengan Premi Manfaat Dibayarkan mkali (Benefit Reserves Based on True m-thly Benefit Reserves) Dengan metode prospektif, diperoleh persamaan untuk V xm:n , yaitu:

h k

h k

V

 m x:n

(m) &  Ax  k :n k  h Px:nm  a& x  k :h  k

kh

(8.2.11) h  m Dimana kV x:n menyatakan cadangan pada akhir tahun ke-k

dengan h-kali pembayaran untuk suatu polis asuransi bila premi dibayarkan m-kali dalam setahun untuk asuransi berjangka.

h h  m Terdapat perbedaan antara kV x:n dan kVx:n dalam kasus

yang umum dari asuransi dwiguna. (m) & & V xm:n  hkVx:n  h Px:n a&  h Px:nm  a& x  k :h  k x  k :h  k

h k

&(xm:h) a& (m) & & a&  h Px:nm  a& x  k :h  k x  k :h  k &x:h a&

 m

 h Px:n

(8.2.12) Untuk k < h. Apabila kematian berdistribusi uniform dalam setiap usia, menjadi: h k

V

 m x:n

V

h k x:n

 a& &( m ) & &  1 ax:h    m  A1

 m

 h Px:n 

x:n

& a& x:n 

& a& x  k :h  k

&( m ) a& &   a&    m A 1   1 x  k :h  k x  k :h  k V xm:n  hkVx:n    m  h Px:nm  kV1

h k

x:n

(8.2.13) Contoh 4: Mengikuti tabel Illustrative Life dengan asumsi kematian berdistribusi uniform untuk setiap usia dan i = 0,06. asuransi dwiguna 20-tahun yang diterbitkan kepada (50) dengan unit manfaat dan premi manfaat true semiannual, hitunglah: a. manfaat kematian pada akhir tahun kesepuluh jika manfaat dibayarkan pada akhir tahun dari kematian.

b. manfaat kematian pada akhir tahun kesepuluh jika manfaat dibayarkan pada saat kematian. Penyelesaian: Berdasarkan contoh pada bab sebelumnya diperoleh suatu nilai: A1

60:10

 0,13678852

A60:10  0,58798425 & a&  7, 2789425 60:10 V1

 A1

V

&  A60:10  P50:20 a&  0,355380 60:10

10

50:20

10 50:20

 P1

60:10

50:20

& a&  0, 052752 60:10

Dengan asumsi kematian berdistribusi uniform untuk setiap usia, diperoleh:

& a& ( 2)

60:10

&    2  a&   (2)(1  10 E60 )  7,1392299 60:10

Manfaat

V( 2)

10

kematian,

50:20

,

dapat

dihitung

dengan

menggunakan: & A60:10  P( 2) a& ( 2) 50:20

60:10

 0,355822

atau V

10 50:20

  (2) P( 2)

50:20

V1

10

50:20

 0,355822

untuk bagian (b) diperlukan beberapa penambahan nilai:

i A 1  0,13423835  50:20 A50:20 P (2) ( A50:20 )   0, 03286830 & a& ( 2) 60:10

i A 1  0,14085233  60:20 A50:20  0,36471188 P ( A50:20 ) 

A50:20  0, 03229873 & a& ( 2) 60:10

A60:10  0,59204806 & V ( A50:20 )  A60:10  P ( A50:20 )a&  0,3569475 50:20

10

(2) &50:20 V (2) ( A50:20 )  A60:10  P (2) ( A50:20 )a&  0,3573937

10

 (2) P (2) ( A50:20 ) 10V 1

50:20

 0, 000446

Cadangan Manfaat untuk Apportionable or Discountinous Basis Suatu asuransi jiwa seumur hidup dengan pembayaran sebesar 1 saat kematian dari seseorang (x), dan besar premi m tahunan P  Ax yang dibayarkan dengan anuitas apportionable m diawal cadangan selama t dinotasikan V   Ax .

Untuk

bilangan

bulat

k,

diperoleh

cadangan

apportionable dengan metode prospektif: h k

V

 m

A A x:n

x  k :n  k

 h P  Ax:n  ax mk :h  k  hkV  Ax:n  . (8.2.14)

Pada pembahasan sebelumnya cadangan apportionable merupakan kombinasi dari: P 1  Ax   P  Ax   P  AxPR 

(8.2.15)

Notasi PR digunakan untuk asuransi dengan premi yang dikembalikan (premi refund feature). Ax  k  Ax  k &  P  AxPR  a& xk  &  a& & da& xk &  P  Ax  x  k   P 1  Ax   P  Ax  a& xk 

V  AxPR   P  Ax 

k

(8.2.16) Sehingga diperoleh: d P  Ax   P 1  Ax  

(8.2.17)

Dapat diperoleh persamaan di bawah ini: V  1  Ax   kV  Ak   kV  AxPR 

k

(8.2.18)

L ATI HA N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

20 20 1. Jika: i = 0,04, 23V15 = 0,585 dan 24V15 = 0,600, hitung p38 .

Petunjuk: 20 Gunakan A38  vq38  vp38 A39 , dimana 23V15  A38 .

2. Untuk asuransi hidup diskrit penuh (fully descrete whole life insurance) sebesar 1000 dari orang yang berusia 50 tahun, anda diberikan: (i) 1000P40 = 25 (ii) 1000A61 = 440 (iii) 1000 q60 = 20 (iv) i = 0,06 Hitung 1000 10 V50 Petunjuk: & Gunakan 1000  A60  Pa& 60 

3. Hitunglah 15V45:20 jika anda diberikan P45:20 = 0,03, A45:15 = 1

0,06, d = 0,054 dan 15 k45 = 0,15

Petunjuk: Gunakan metode retrospektif 4. Jika Ax:n = 0,20 dan d = 0,08. Tentukan Petunjuk:

V

n 1 x:n

V

n 1 x:n

=

&  Ax  n 1:n  n 1  Pa& x  n 1:n  n 1

5. Untuk asuransi seumur hidup diskrit sebesar 25.000.000 untuk usia 25 tahun, Anda diberikan: (i) P25 = 0,01128 (ii) P25:151 = 0,05107 (iii) P25:15 = 0,05332 Hitung 25.000.000 15V25  P 1 15V25 1 Petunjuk: P25  P25:15 25:15

RA NG KUMA N

Cara perhitungan cadangan prospektif, yaitu cadangan selama jangka waktu tertentu adalah nilai santunan yang akan datang dikurangi dengan nilai harapan premi yang akan datang.

& V  Ax  k  Px a& xk

k x

Persamaan yang terdapat pada cadangan kontinu, dapat juga digunakan untuk cadangan diskrit penuh untuk premi yang berbeda dari cadangan untuk asuransi berjangka yang diperoleh dari metode prospektif, yaitu: V

t x:n

&   Px  k:n  k  Px:n  a& x  k :n  k

Persamaan untuk paid-up insurance, yaitu:  Px:n  V  1    Ax  k :n k t x:n  Px  k:n  k    Sedangkan persamaan retrospektif, diperoleh: V

h x:n

1  &  A 1  Px:n a& x:h x:n h Ex   Px:n & s&  h kx x:h 

h  m Dengan metode prospektif, diperoleh persamaan untuk kV x:n

yang menyatakan cadangan pada akhir tahun ke-k dengan h-kali pembayaran untuk suatu polis asuransi bila premi dibayarkan mkali dalam setahun untuk asuransi berjangka yaitu: h k

V

 m x:n

(m) &  Ax  k :n k  h Px:nm  a& x  k :h  k

Untuk

bilangan

bulat

kh

k,

apportionable dengan metode prospektif:

diperoleh

cadangan

h k

V

 m

A A x:n

x  k :n  k

 h P  Ax:n  ax mk :h  k  hkV  Ax:n  .

TES F O RMATIF 2 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat!

1. Hitunglah 20V45 . Jika diketahui P45 = 0,014, P45:201 = 0,022, P45:20 = 0,030 a. 0,260

d. 0,269

b. 0,263

e. 0,273

c. 0,267 2. Untuk asuransi hidup diskrit penuh (fully descrete whole life insurance) sebesar 1000 dari orang yang berusia 50 tahun, anda diberikan: (i) 1000P40 = 25 (ii) 1000A61 = 440 (iii) 1000 q60 = 20

(iv) i = 0,06 Hitung 1000 10 V50 a. 170

d. 176

b. 172

e. 178

c. 174 3. Untuk suatu asuransi jiwa berjangka menurun 10 tahun diskrit penuh dengan masa pembayaran premi 5 tahun dari usia 60 tahun, Anda diberikan: (i) bk+1 = 1000(10 – k), k = 0, , 9 (ii) premi tahunan tetap dibayar selama 5 tahun sebesar 218,15 (iii) q 60 k = 0,02 + 0,001k, k = 0, , 9 (iv) i = 0,06 Hitung 2V, cadangan premi pada akhir tahun kedua a. 70 b. 72 c. 74 d. 76 e. 78

4. Untuk suatu asuransi dwiguna 3 tahun diskrit penuh sebesar 1000 dari usia x (i) i = 0,05 (ii) px = px 1 = 0,7 Hitung cadangan akhir tahun kedua a. 526

d. 845

b. 632

e. 952

c. 739 5. Diberikan: (i)

V ( A40 ) = 0,3847

20

(ii) a40 = 20,00 (iii) a60 = 12,25 PR Hitung 20V ( A40 )

a. 0,0025

d. 0,0028

b. 0,0026

e. 0,0029

c. 0,0027 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah

jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan =

Jumlah Jawaban yang Benar Jumlah Soal

 100%

Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang

Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.

Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1. e

4. b

3. e

5. b

Tes Formatif 2 1.

e

2. b 3. e 4. a 5. d Penyelesaian soal-soal Latihan Latihan 1 1. tV ( Ax )  Ax t  P ( Ax )ax t  (1   ax t )  P ( Ax )ax t  1     P ( Ax )  ax t

ax t 

2.

1  tV ( Ax ) 1  0,1   22, 22    P ( Ax )  0, 03  0, 0105

P

 Ax dan  ax t  Ax t  1 1  Ax

A x  A 1x:t  t E x A x t  t Ex t k k  t E x A x t  5 E30 ( 5 k 30  A35 )  0,3(0,55  0, 6)  0,345

5

V ( A30 )  A35  Pa35   A30  1  A35    1  A30

 0,5   

A30    1  A35   0, 6  (0,527)(0, 6)  0, 2838  1  A30

 0,5  

10 3. Bentuk- bentuk lain 5V ( A50 )

a. Metode prospektive V ( A50 )  A55  10 P ( A50 )a55:5

10 5

b. Paid-up insurance formula Dari metode prospektive, apabila A55 difaktorkan keluar maka akan diperoleh a     ) P ( A50 V ( A50 )   1  10 P ( A50 ) 55:5 A55  1  10  A55 A55  10 P ( A55    )

10 5

c. Premium-difference formula Dari metode prospektive, apabila a55:5 difaktorkan keluar maka akan diperoleh  A55   10 P ( A50 ) a55:5  a   55:5 

V ( A50 )  

10 5

  10 P ( A55 )  10 P ( A50 )  a55:5

4.

20

V ( A30 ) 

Ax t  Ax A50  A30  1  Ax 1  A30 2



P ( Ax ) Var ( L)   1     

P ( A30 )   1   

0, 2



1    a30

0, 2

2



0, 2

2

Jadi

2

2

[ 2 A30   A30  ] 2

[ 2 A30   A30  ] 2

A30   A30 

 1 A  30

A30

[ 2 Ax   Ax  ]

2

2



0,3   A30 

 1 A 

2

2

30

 0,5 20

V ( A30 ) 

5. tV ( Ax ) 

Ax t  Ax 1  Ax

V ( A30 ) 

10

A50  A30 0, 7  0,5   0, 4 1  A30 1  0,5

A40  A30 0, 23  0,12   0,125 1  A30 1  0,12

Latihan 2 20 20 1. diketahui bahwa 23V15  A38  0,589 dan 24V15  A39  0, 600 .

Sehingga dengan menggunakan persamaan di bawah ini, kita dapat memperoleh p38 , yaitu

V  A39  0, 600

20 24 15

A38  v q38  v p38 A39 1 1 p38  0, 600   1  p38   1, 04 1, 04 0, 6084  1  0, 4 p38  p38  0,979 0,585 

2. terlebih dahulu kita akan mencari A60 A60  v q60  v p60 A61 

1   20   1  20        1 1000   1, 06  1000  1,  06  0, 42566 

 0, 44 

1000 A60  425, 66

Kemudian & & & & 1000  A60  Pa 60   1000 A60  1000 Pa60

 1  A60   d 

 425, 66  25 

 1  0, 42566   0, 06 1, 06 

 425, 66  25 

 425, 66  253, 66  171, 99

kita akan mencari

P

1

25:15

untuk dapat menggunakan

persamaan P25  P25:15  P25:15 15V25 , yaitu 1

P

1

25:15

 P25:15  P

1

1

25:15

 0, 05332  0, 05107  0, 00225

Sehingga dapat kita peroleh P25  P

1

25:15

P

1

V

15 25

25:15

0, 01128  0, 00225  0, 0510715 V25 15

V25  0,17681  25.000.00015 V25  4.420.000

3. diketahui bahwa

15 k 45 

A1

45:15

15 E45

, maka

15

E45 = 0,40 dan A45:15

= 0,46. & sehingga dapat kita peroleh a& 45:15 = 10. dengan menggunakan metode retrospektif, didapat 15V45:20 

& ( P45:20 a&  A1 45:15

45:15

15

E45

)

= 0,60

4. karena merupakan bagian asusansi dwiguna, sehingga

= 1. dengan menggunakan rumus rekursi dapat diperoleh p  (1  i )( n 1Vx:n   )  q maka V

n 1 x:n

 v 

&   Ax:n / a&  dAx:n / (1  Ax:n ) = 0,02. x:n Sehingga

V

n 1 x:n

= 0,90

Kunci Jawaban Tes Formatif

V

n 1 x:n

Tes Formatif 1 1. e

4. b

3. e

5. b

Tes Formatif 2 1.

e

4. a

2. b

5. d

3. e Daftar Pustaka Bowers, dkk, 1997, Actuarial Mathematics, 2nd edition, The Society of Actuaries Gauger, Michael A, 1997, Actec Study Manual for the Course 150 Examination of the Society of Actuaries (Volume II) 1997 Edition, Actec Publications, Inc. Ross, Sheldon, 1998, A First Course in Probability 5 th edition, Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey